ஒன்பதாம் வகுப்பு€¦ · (iv) = ச (equal to) P(A) A 4å...

தமிழநாடு அரசு

தமிழநாடு அரசு விைலயிலலாப பாடநூல வழஙகும திடடததினகழ ெவளியிடபபடடது

பளளி கலவிதணடாைம மனித ேநயமறற ெசயலும ெபருஙகுறறமும ஆகும

ஒனபதாம வகுபபுஇரணடாம பருவம

ெதாகுதி 2

கண

9th Maths T-II TM.indb 1 11-08-2018 18:16:24

தமிழநாடு அரசு

முதலபதிபபு - 2018

(ெபாதுப பாடததிடடததின கழ ெவளியிடபபடட முபபருவ நூல)

மாநிலக கலவியியல ஆராயசசி மறறும பயிறசி நிறுவனம© S C E R T 2 0 1 8

பாடநூல உருவாககமும ெதாகுபபும

தமிழநாடு பாடநூல மறறும கலவியியல பணிகள கழகம

w w w . t e xt b ookso n l i n e . t n . n i c. i n

நூல அசசாககம

The wisepossess all

க ற க க ச

விறபைனககு அனறு

க ற க க ச


(iii)

1 கண ம�ொழி 1-211.1 க 11.2 க ச ச க கள 21.3 ொ க கள 71.4 ற க ச ச க தொ ொ க க க கள 13

2 ம�யமயெணகள 22-452.1 க 222.2 ைக 232.3 கள 262.4 கல த த 372.5 39

3 இயெறகணிதம 46-753.1 க 463.2 கொ ணி தற 483.3 றகணித ற ொ ல கள 513.4 கொ ணி த 583.5 தொ ல த 68

4 வடிவியெல 76-1024.1 க 764.2 கள 774.3 ள கள ச 814.4 ொ க கள 824.5 ொறக கள 934.6 ச ல 97

5 புளளியியெல 103-1305.1 க 1035.2 த கல த 1045.3 ல ொக ல கள 1065.4 ச ச ொச 1115.5 ல லை 1185.6 க 125

வி கள 131-136

மபொ கம


(iv)

= ச (equal to) P(A) A க க க (power set of A)

≠ ச லை (not equal to) ly த ொ (similarly)

< க ல (less than) ச ச ொச (symmetric di�erence)

≤ ல ை ச (less than or equal to) கள (Natural numbers)

> க (greater than) கள (Whole numbers)

≥ க ை ச (greater than or equal to) ககள (integers)

≈ ச ொ ொ (equivalent to) கள (Real numbers)

ச (union) க கொ (Triangle)

(intersection) கொ (Angle)

ல க க (universal set) ச (perpendicular to)

∈ (belongs to) ல (parallel to)

ை (does not belong to) (implies)

த க (proper subset of) (therefore)

க (subset of or is contained in) (since (or) because)

த க ை (not a proper subset of)

| | த (absolute value)

க ை (not a subset of or is not contained in)

தொ ொ ொகச ச (approximately equal to)

A (or) Ac A கக (complement of A) (or) ச ச (congruent)

(or) { } ற கக ை ல க க (empty set or null set or void set) ற ொ ல (identically equal to)

n(A)A க ை ச (number of elements in the set A)

ல (pi)

∑ த (summation) ! லக ை ல

(plus or minus)

கள

ல கள


(v)

கற ல வி கள

பு

ம யெலபொ ம யெல ம

இ ணயெ ம யெலபொ

சி த க ம

வதறகொ க கள

ப ள மத வி ொ கள

ற த ொ தல

பயிறசி

ல ச ச ொ கல க கற ல ல ொக ொற ல த

ொ ொ ொ க ககொ த தக கல த

கணித லதக கற க கொள ொ கல ச ொ க க த

ொ கள கணித லதக கற க கொள லத த ொ கல த தல கொ க ொக க த

கற ொ ொ ொ ள தலை தொ ொ ை த

ொ ொ கற றல ல த

ொ ொ த ொககல த

கற ொ ற லத ச த

ொ ொ கற ொ க ள தலை த

பொ ல பயெ பொ த புகள

ல த க ொ க ள

ொ ள ல ல ொ கள ள ள கொ க ச ல ை ச ொக கக ச

ககொளக ச ல த க ச ொ தொல ல தொ க ொல கொ

ச ை க ச த ை ல தொ ல சொ கக த கக கக ற ச

PreliminaryT-II TM.indd 5 11-08-2018 18:24:04

(vi)


1க ொ

1

ொ மவ (1834-1923)

கற ல வி கள Â க ச ச க ொற ல க த Â க ச ச க ச ொ ல க த Â க ச ச க ல கொள த Â ொ க கல ச ச ொ த Â க ொ ல ொ கலக ொ க க க க க

கொ த

1.1 கம க ல கக ொ ளக தொ லத ொ

ள ொ க க ொ ற கக க ொக க க க க ச க கள ச ொ க கள ற ல க க

ற க ொ ொ க க க ல ொ ச ற க ொச ொ க ச ச கல ச ச ொ தொ

க ச ச கல ச ொ தொ ொற ச ொ கணித கல ொ த க ை றல ொ க ொ க ொ க க கல ற க ொ

லத ககொ ொ

ொ ொ ை க கணித ைொ க க க ல ொ கல க ை க கல

ொக ொ க ொ க க கொ ொ க தக ள த கக ற

கணி ொ ொ ல க த

கண ம�ொழி

கணித க க க க கொ லத ொககல கலை கக - ொ க


2 தொ கணித

1.2 கண ம யெலகளி பணபுகள (Properties of Set Operations) த ொ க க ச ற ொ க ச ச க கல க கற ொ

த ொ க A ற(i) A A A∪ = ற

A A A∩ = [த க கள].

(ii) A A∪ =f ற A A∩ =U [ச கள].

த ொ க A ற ற ற

A A∩ =A A∩ =A A∩ =U∩ =A A∩ =A AUA A∩ =A A [ச கள].A AA A

பு1.2.1 ப �ொற பணபு (Commutative Property) க ொ க ச ச கல ொ த

ொற கல ொ ொ ககைொ ககொ ொக க க ச ற ச ொற

ல தொ லதக கொ ைொ A = { }2 3 8 10, , , ற B = { }1 3 10 13, , , க கள க A B∪ = { }1 2 3 8 10 13, , , , , ற B A∪ = { }1 2 3 8 10 13, , , , ,

A B B A∪ = ∪ லத ொ கொ க க ச ககொ ொற ல கக ொ A B∩ = { }3 10, ற B A∩ = { }3 10, . A B B A∩ = ∩ லத ொ கக க க ககொ ொற ல கக

ொற A ற B ல க கள (i) A B B A�� (ii) A B B A��

கொ 1.1 A b e f g= { }, , , ற B c e g h= { }, , , (i) க க ச (ii) க க ககொ ொற கல ச ச ொ கக .

P l n p�� , , ற P Q j l m n o p�� , , , , , கொ கக ள P ற Q

ொக க கள Q ற P Q ொக கக

சி த க ம

ொக கக P Q ொக கக ொக கக

கொ கக ல A b e f g= { }, , , ற B c e g h= { }, , ,

(i) A B = b c e f g h, , , , ,{ } ... (1)

B A = b c e f g h, , , , ,{ } ... (2)

(1) ற (2) A B B A∪ = ∪ . க க ச ொற ல ச ொ கக

(ii) A BÇ = e g,{ } ... (3) B AÇ = e g,{ } ... (4) (3) ற (4) A B B A∩ = ∩

க க ொற ல ச ொ கக


3க ொ

பு

க க த ச ைொ ொற ல த ை லத ல ொ க ொச ொற ல தொ கல ொை க ொச ொற ல ை க கொ ைொ ககொ ொக

A = {a,b,c}, B = {b,c,d} A - B = {a}, B – A = {d}; ற A B B A− ≠ − லத ொ கொ

ற த ொ தல(1) A = {1,2,3,4} ற B = {2,4,6,8}, (i) A B (ii) B A (iii) A B (iv) B A கொ க(2) றல க க ச ற ககொ ொற கல ச

ச ொ கக

1.2.2 பு பணபு Associative Property) ொ ொ ச ற ச ச கல க கல க கொ ச ொ ொ . A B= − = −{ , , , }, { , , , }1 0 1 2 3 0 2 3 ற C = { , , , }0 1 3 4 க கள க ொ , B C = { , , , , , }-3 0 1 2 3 4

A B C( ) = { , , , } { , , , , , }− ∪ −1 0 1 2 3 0 1 2 3 4

= { , , , , , , }- -3 1 0 1 2 3 4 ... (1)

, A B = { , , , , , }- -3 1 0 1 2 3

( )A B C = { , , , , , } { , , , }− − ∪3 1 0 1 2 3 0 1 3 4

= { , , , , , , }- -3 1 0 1 2 3 4 ... (2)

(1) ற (2) A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪( ) ( ) .

க க ச ககொ ச ொ , B CÇ = { , }0 3

A B CÇ Ç( ) = { , , , } { , }− ∩1 0 1 2 0 3

= { }0 ... (3) , A BÇ = { , }0 2

( )A B CÇ Ç = { , } { , , , }0 2 0 1 3 4Ç

= { }0 ... (4) (3) ற (4) A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩( ) ( ) .

க க ககொ ச



ச A, B ற C ல க கள ( i ) A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪( ) ( ) (ii)A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩( ) ( )

கொ 1.2 A B= { } = { }2 3 4 5 2 3 5 7, , , , , , , ற C = { }1 3 5, ,

A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪( ) ( ) லதச ச ொ கக

A B= { } = { }2 3 4 5 2 3 5 7, , , , , , , ற C = { }1 3 5, ,

ொ B C = 1 2 3 5 7, , , ,{ } A B C( ) = 1 2 3 4 5 7, , , , ,{ } ... (1)

A B = 2 3 4 5 7, , , ,{ } ( )A B C = 1 2 3 4 5 7, , , , ,{ } ... (2)

(1) ற (2) A B C( )= ( )A B C ச ொ கக

கொ 1.3 A = −

12

014

34

2, , , , , B =

014

34

252

, , , , ற C = −

12

14

1 252

, , , ,

A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩( ) ( ) லதச ச ொ கக

ொ ொக க ொச ொ ச ல ல ச ொ தொ (A – B) – C A – (B – C)

ொ A, B ற C ககொ ொக க கள க ொச ொ ச

ல ல ச தொ (A – B) – C = A – (B – C) ொ ொ

பு ொ ( )B CÇ = 1

42

52

, ,

A B CÇ Ç( ) = 14

2,

... (1)

A BÇ = 014

34

2, , ,

( )A B CÇ Ç = 14

2,

... (2)

(1) ற (2),

( )A B CÇ Ç = A B CÇ Ç( ) ச ொ கக

பயிறசி 1.1

1. P = { }1 2 5 7 9, , , , , Q = { }2 3 5 9 11, , , , , R = { }3 4 5 7 9, , , , ற S = { }2 3 4 5 8, , , ,

(i) ( )P Q R (ii) ( )P Q SÇ Ç (iii) ( )Q S RÇ Ç றல க கொ க


5க ொ

2. க க க ொற கல ச சொ கக P = {x : x 2 ற 7 க ல ள கள} ற Q = {x : x 2 ற 7 க ல ள த ொ கள}

3. A = {p,q,r,s}, B = {m,n,q,s,t} ற C = {m,n,p,q,s} க க ச ககொ ச கல ச ச ொ கக

4. A = −{ }11 2 5 7, , , , B = { }3 5 6 13, , , ற C = { }2 3 5 9, , , ற ற க

க க ககொ ச ல ச ச ொ கக.

5. A={x x nn: ,= ∈2 W ற n<4}, B={x x n n: ,= ∈2 N ற n<4} ற C = { , , , , }0 1 2 5 6 க க ககொ ச ல ச ச ொ கக

1.2.3 ப பணபு Distributive Property)

க தொ ககைொ ல ல ச தொ a b c a b a c× + = × + ×( ) ( ) ( ) லதக க த க கற க ொ ொ ொ க க ொ ச தொ ல ல ச லதச ச ொ கக ொ

A x y z= { }, , , B t u x z= { }, , , ற C s t x y= { }, , , க கல க க ொ ொ , B C = s t u x y z, , , , ,{ } A B C∩ ∪( ) = x y z, ,{ } ... (1)

, A BÇ = x z,{ } ற A C x y∩ = { },

( ) ( )A B A C∩ ∪ ∩ = x y z, ,{ } ... (2)

(1) ற (2) A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) .

ச தொ

கண களி பும மவ டி ப ம ய ம

ொ , B CÇ = { , }t x

A B C∪ ∩( ) = { , , , }t x y z ... (3)

, A B = { , , , , }t u x y z ற A C = { , , , , }s t x y z

( ) ( )A B A C∪ ∩ ∪ = { , , , }t x y z ... (4)

(3) ற (4), A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) .

தொ ச



A, B ற C ல க கள (i) A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) [ ச தொ ](ii) A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) [ தொ ச ]

கொ 1.4 A B= { } =0 2 4 6 8, , , , , {x : x கொ ற x < 11} ற

C = {x : x ற 5 9≤ <x } A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக

க A = 0 2 4 6 8, , , ,{ } , B = 2 3 5 7, , ,{ } ற C = 5 6 7 8, , ,{ } த ொ கொ B CÇ = { }5 7,

A B C∪ ∩( ) = { }0 2 4 5 6 7 8, , , , , , ... (1)

A B = { }0 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , , ற A C = { }0 2 4 5 6 7 8, , , , , ,

க ( ) ( )A B A C∪ ∩ ∪ = { }0 2 4 5 6 7 8, , , , , , ... (2)

(1) ற (2) A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) ச ொ கக

கொ 1.5 கல A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக

.... (1)

B C A B C∩ ∪( )

.... (2)

A BÇ A CÇ ( ) ( )A B A C∩ ∪ ∩ 1.1

(1) ற (2) A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) ை ச ொ கக


7க ொ


1. K a b d e f= { }, , , , , L b c d g= { }, , , ற M a b c d h= { }, , , , ககொ றல க க க (i) K L M∪ ∩( ) (ii) K L M∩ ∪( )

(iii) ( ) ( )K L K M∪ ∩ ∪ (iv) (K L) ( )∩ ∪ ∩K M

2. ககொ ொ ற ல க (i) A B C∪ ∩( ) (ii) A B C∩ ∪( )

(iii) ( )A B C∪ ∩ (iv) ( )A B C∩ ∪

3. A B= { } = { }11 13 14 15 16 18 11 12 15 16 17 19, , , , , , , , , , , ற C = { }13 15 16 17 18 20, , , , , க க க A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக

4. A x x x= ∈ − < ≤{ }: , ,2 4 B={x : x ∈W , x ≤ 5}, ற C = − −{ }4 1 0 2 3 4, , , , ,

க க க A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக

5. கல A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக.

1.3 டி �ொ க வி கள (De Morgan’s Laws)

க ொ க (1806-1871) ை க கணித லத 1806 ொ த க ள ல ொத 27 ொள தொ ொ

ல த லத ொ க க க ொ ொ ணி த தொ ொ க ொதக லத ொ த ொ ொ ைொ ற

ை க (Cambridge) க ள (Trinity)

க க ொ க ொச ற க ககொ ை கல ொக ொ த கள ொ க கள ல கக

1.3.1 கணவி யெொ றகொ டி �ொ க வி கள (De Morgan’s Laws for Set Difference)

த கள க ச ச க ொ ச ற க ொச லத தொ A = − −{ }5 2 1 3, , , , B = − −{ }3 2 0 3 5, , , , ற C = − −{ }2 1 0 4 5, , , , க கல க க ொ ொ B C = { , , , , , , }- - -3 2 1 0 3 4 5

A B C− ∪( ) = −{ }5 1, ... (1)

A B- = { , }-5 1 ற A C− = −{ }5 1 3, ,



( ) ( )A B A C− ∪ − = −{ }5 1 3, , ... (2) ( ) ( )A B A C− ∩ − = −{ }5 1, ... (3)

(1) ற (2) A B C− ∪( ) ≠ − ∪ −( ) ( )A B A C ொ கொ ொ ொ (1) ற (3) A B C− ∪( ) = ( ) ( )A B A C− ∩ − லத ொ கொ

( ) ( ) ( )A B A C A B− ∪ − ∪ ∩ =____( ) ( ) ( )( )A B( ) ( )A C( ) ( )A B( )− ∪( )− ∪( )( )A B( )− ∪( )A B( ) − ∪( )− ∪( )( )A C( )− ∪( )A C( ) ( )A B( )∩( )A B( )( )( )A B( )( )( )A B( )

சி த க ம ொ B CÇ = −{ }2 0 5, ,

A B C− ∩( ) = −{ }5 1 3, , ... (4)

(3) ற (4) A B C− ∩( ) ≠ − ∩ −( ) ( )A B A C ொ கொ ொ ொ (2) ற (4) A B C A B A C− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( ) ொ

க ொச றகொ ொ க களA, B ற C ல க கள (i) A B C A B A C− ∪ = − ∩ −( ) ( ) ( ) (ii) A B C A B A C− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( )

கொ 1.6 கல A B C A B A C− ∪ = − ∩ −( ) ( ) ( )

லதச ச ொ கக

.... (1)

B C A B C− ∪( )

.... (2)

A B- A C- ( ) ( )A B A C− ∩ −

1.2

(1) ற (2) A B C A B A C− ∪ = − ∩ −( ) ( ) ( ) ச ொ கக


9க ொ

கொ 1.7 P = {x : x W ற 0 < x < 10}, Q = {x : x = 2n+1, n W ற n<5}

ற R = { }2 3 5 7 11 13, , , , , P Q R P Q P R− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக

க Q கல கக தகொ கக , x = 2n + 1n x

n x

n x

n

= → = + = + == → = + = + == → = + = + == →

0 2 0 1 0 1 1

1 2 1 1 2 1 3

2 2 2 1 4 1 5

3

( )

( )

( )

xx

n x

= + = + == → = + = + =

2 3 1 6 1 7

4 2 4 1 8 1 9

( )

( )

x ொ 1, 3, 5, 7 ற 9

க கள P, Q ற R ல ொ

P Q= { } = { }1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 5 7 9, , , , , , , , , , , , ,

ற R = { }2 3 5 7 11 13, , , , ,

த ( )Q RÇ = 3 5 7, ,{ } P Q R− ∩( ) = 1 2 4 6 8 9, , , , ,{ } ... (1) P–Q = 2 4 6 8, , ,{ } ற P–R = 1 4 6 8 9, , , ,{ } க ( ) ( )P Q P R− ∪ − = 1 2 4 6 8 9, , , , ,{ } ... (2)

(1) ற (2) P Q R P Q P R− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( ) ச ொ கக

ற த ொ தல

1. A = {a,b,c,d}, B = {b,d,e,f } ற C = {a,b,d, f } (i) B C (ii) A B C� �( ) (iii) A–B (iv) A–C றல க கொ க

2. P, Q ற R க கல க கொ ற ற கள ல க (i) Q R

(ii) P Q R� �( ) (iii) P–Q (iv) P–R

1.3.2 கண கொ டி �ொ க வி கள (De Morgan’s Laws for Complementation)

த கள க ச ச க ொ ச ற றல க க ொதொ ல க க U={0,1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5} ற B={0,3,4,5} றல க க ொ

A B A B− = ∩ ′

ச ொ

தல க க

ச ொ

ொ A B = { , , , , }0 1 3 4 5

( )A B∪ ′ = { , }2 6 .....( )1

A = { , , , }0 2 4 6 and B = { , , }1 2 6

′ ∩ ′A B = { , }2 6 .....( )2

(1) ற (2) ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′ ொ ொ A B∩ = { }3 5,



( ) , , , ,A B∩ ′ = { }0 1 2 4 6 .....( )3

( ) ( )A B B A− ∪ − ′ =____

தல க க A′ = { }0 2 4 6, , , ற B ′ = { }1 2 6, ,

A B′ ∪ ′ = { }0 1 2 4 6, , , , .....( )4

(3) ற (4) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′ ொ ொ

க ககொ ொ க கள U ல க க A B த ள ல த க கள (i) ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′ (ii) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′

கொ 1.8 கல ச ச ொ ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′

A B ( )A B∪ ′

.... (1)

A B ′ ∩ ′A B

.... (2)

1.3

(1) ற (2) ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′ ச ொ கக

கொ 1.9 U = ∈ − ≤ ≤{ }x x x: , 2 10 ,

A x x p p p= = + ∈ − ≤ ≤{ }: , ,2 1 1 4 , B x x q q q= = + ∈ − ≤ <{ }: , ,3 1 1 4 க க க க க ககொ ொ க கல ச ச ொ கக

கொ கக ல U = − −{ , , , , , , , , , , , , }2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,

A = −{ , , , , , }1 1 3 5 7 9 ற B = −{ , , , , }2 1 4 7 10

(i) ( )A B∪ ′ = ′ ∩ ′A B

ொ A B = { , , , , , , , , }- -2 1 1 3 4 5 7 9 10


11க ொ

( )A B∪ ′ = { , , , }0 2 6 8 ..... ( )1

( ) ( )A B A B∪ ′ ∪ ′ ∩ =___′

தல க க

( ) ( )

A = { , , , , , , }-2 0 2 4 6 8 10 ற B = { , , , , , , , }-1 0 2 3 5 6 8 9

′ ∩ ′A B = { , , , }0 2 6 8 ..... ( )2

(1) ற (2) ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′ ச ொ கக

(ii) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′

ொ A BÇ = { , }1 7

( )A B∩ ′ = { , , , , , , , , , , }- -2 1 0 2 3 4 5 6 8 9 10 ..... ( )3

′ ∪ ′A B = { , , , , , , , , , , }- -2 1 0 2 3 4 5 6 8 9 10 ..... ( )4

(3) ற (4) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′ ச ொ கக


1. ள ககொ க கல க கொ க (i) A B- (ii) B C- (iii) ′ ∪ ′A B

(iv) ′ ∩ ′A B (v) ( )B C∪ ′

(vi) A B C− ∪( ) (vii) A B C− ∩( )

2. A, B ற C ல ொ க கள ககொ க க க ல க

(i) ( )A B C− ∩ (ii) ( )A C B∪ − (iii) A A C− ∩( ) (iv) ( )B C A∪ − (v) A B CÇ Ç

3. A = { , , , , }b c e g h , B = { , , , , }a c d g i ற C = { , , , , }a d e g h A B C− ∩( ) = ( ) ( )A B A C− ∪ − ககொ க

4. A = {x : x = 6n, n W ற n<6}, B = {x : x = 2n, n N ற 2<n 9} றC = {x : x = 3n, n N ற 4 n<10} A B C A B A C− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( ) க கொ க

5. A = {–2, 0, 1, 3, 5}, B = {–1, 0, 2, 5, 6} ற C = {–1, 2, 5, 6, 7} A B C− ∪( ) = ( ) ( )A B A C− ∩ − ககொ க

6. A = {y : y = a + 12

, a W ற a 5}, B = {y : y = 2 12

n - , n W ற n 5}

ற C = − −

112

132

2, , , , A B C A B A C− ∪ = − ∩ −( ) ( ) ( ) ககொ க

7. கல A B C A B A C− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( ) லதச ச ொ கக



8. U = {4,7,8,10,11,12,15,16}, A={7,8,11,12,} ற B = {4,8,12,15} க ககொ கல ச ச ொ கக

9. U x x x= − ≤ ≤ ∈{ : , },4 4 A x x x= − < ≤ ∈{ : , }4 2 ற

B x x x= − ≤ ≤ ∈{ : , }2 3 க ககொ கல ச ச ொ கக.

10. கல ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′ லதச ச ொ கக

1

2

படி : ககொ ல க ல

ணி தொ கக ற ச ச க ணி தொ

ச ொ கள கொ கக க த ச ொ ை கக கொ கக க க க லத

ொ க ொ லத த ச ல லத க

படி த ொ ொ ச ொ ல ச ொ கக

ச ொ றகொ கண ம�ொழி: https://ggbm.at/ r 9 d or Scan the QR Code.

இ ணயெ ம யெலபொ ம யெலபொ டி இ யில க மப வ


13க ொ

தல க க

( )A B− ′ க ச ச ொ

(i) B A- (ii) B A− ′ (iii) A B′ ∪ (iv) ′ ∩A B

1.4 ண �ற ம கண ம யெலகள தொ பயெ பொ கண கள (Cardinality and Practical Problems on Set Operations)

தற n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ லத க கல க கொ க க கல ற கற தொ க கள

கொ கக ொ த ல ல க க ககொ லத ொ

A, B ற C ல க கள n A B C( ) = n A n B n C( ) ( ) ( )+ + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩n A B n B C n A C n A B C( ) ( ) ( ) ( )

பு

கல க கொ க க கல கள ள தொக க லதக க ொ

A, B ற C ொ கல க க க கள க A B

C

a b

c

z yr

x

.1.4

க A ள ொ க ணிகலக aக B ள ொ க ணிகலக bக C ள ொ க ணிகலக c.

Â க ள ொ க ணிகலக= + +( )a b c

Â க க ள ொ க ணிகலக= + +( )x y z

Â க க ள ொ க ணிகலக= r

Â ல த க க ள ொ த ொ க ணிகலக தற = + + +( )x y z r

Â க க ள ொ த ொ க ணிகலக = ( )a b c x y z r+ + + + + +



ச ொ - 1

ல A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ல ொ கல க க

ல ொ A B C D E F G H I J

ொ

7 15 11 10 13 12 24 17 25 28

ல ொ

ல க ல

லகொ

க

றக த க கொ கக லத ை கல க கொ

1.5

X Y

ற க Z

க ககொ ொகக க ல கக (i) க ள ல ொ க

ணிகலக = ______.(ii) க க ள ல ொ க

ணிகலக (iii) ச ொக க க ள ல ொ க

ணிகலக (iv) ல ொ ொத ல ொ க

ணிகலக (v) ( )X Y Z∪ ∪ ′ ள ல ொ க ணிகலக = ______.

கொ 1.10 க ள ொ க 240 ொ கள ல (cricket) 180 ொ கள கொ (football) 164 ொ கள ல கொ

(hockey), 42 ல ற கொ 38 கொ ற ல கொ 40 ல ற ல கொ 16 ல ொ க

ல ொ ொ கள ொ ொ ல த ல ொ ைொ கற ொ

(i) க ள ொ த ொ க ணிகலக

(ii) ல ொ ல ொ ொ க ணிகலக றல க கொ க


15க ொ

C ல F கொ H ல கொ ல ொ

ொ க க கள க

1.6

n C( ) ,= 240 n F( ) ,= 180 n H( ) ,= 164 n C F( ) ,∩ = 42

n F H( ) ,∩ = 38 n C H( ) ,∩ = 40 n C F H( ) .∩ ∩ = 16 த கல ொ

(i) க ள ொ க ணிகலக

= 174+26+116+22+102+24+16 = 480

(ii) ல ொ ல ொ ொ க ணிகலக

= 174+116+102 = 392

கொ 1.11 600 கள ள 35

ள

(scooter), 13

(car), 14

(bicycle) ல ள

120 கள ள ற 86 கள ற

90 கள ள ற 215

கள லக ொக கல ல க ொ கள

(i) ல த லக ொக கல ல க க ணிகலக

(ii) த ொக ல ககொத க ணிகலக றல க கொ க

S ள C ற B ல க க க கள க

1.7

U(600)

கொ கக n( )U = 600 ; n S( ) = 35

600 360× =

n C( ) = 13

600 200× = , n B( ) = 14

600 150× =

n S C B( )∩ ∩ = × =215

600 80

(i) ல த லக ொக கல ல க க ணிகலக = 40+6+10+80 = 136



(ii) த ொக ல ககொத க ணிகலக = 600 – ( ல த ொக லத ல க கள) = − + + + + + +600 230 40 74 6 54 10 80( )

= −600 494 = 106

கொ 1.12 100 ொ கள ள 85 ொ கள த கள 40 ொ கள ை கள 20 ொ கள கள

32 த ற ை 13 ை ற 10 த ற கள ொ ொ ல த ொ ொ ொ

ொ க ொ க ணிகலகல க கொ க

A த B ை ற C ொ ொ க க கள க

கொ கக ல n A B C( ) = 100, n A( ) ,= 85 n(B) ,= 40 n(C) ,= 20

n B(A ) ,∩ = 32 n C(B ) ,∩ = 13 n C(A )∩ = 10 .

n A B C( )= n A n B n n A B n B C n A C n A B C( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

100 = 85 40 20 32 13 10+ + − − − + ∩ ∩n A B C( )

n A B C( )∩ ∩ = − =100 90 10 க 10 ொ கள ொ கல கள

கொ 1.13 A, B ற C லக ொ த கள ொ 200 ச தொதொ க த 75 கள A தல ொ லை 100 கள B தல ொ லை 50 கள

C தல ொ லை 125 கள ல த த க ொ ொ தொக க

(i) ச ொக த கல ொ ச தொதொ க ணிகலக(ii) தல ொ ச தொதொ க ணிகலக றல க

கொ க A(125) B(100)

C(150)

z y

a b

c

r

x

1.8

ொ த ச தொதொ க ணிகலக = 200

த ொ கொத கள ொ களA 75 125

B 100 100

C 50 150


17க ொ

தல ொ க ணிகலக = + +a b c

ச ொக த கல ொ க ணிகலக = + +x y z

ற ல த த கல ொ ொ

தொ x y z r+ + + = 125 ... (1)

கொ கக ல n A B C( )∪ ∪ = 200 , n(A) = 125, n(B) = 100, n(C) = 150,

n(AÇB) = x + r, n(BÇC) = y + r, n(AÇC) = z + r, n(AÇBÇC) = r

ொ

n(A B C) = n(A)+ n(B)+ n(C)– n(AÇB) – n(BÇC)– n(AÇC)+ n(AÇBÇC)

200 = 125+100+150–x–r–y–r–z–r+r

= 375–(x+y+z+r)–r

= 375–125–r x y z r+ + + =

125

200 = 250–r r = 50

(1) x y z+ + + 50 = 125

x y z+ + = 75

க ச ொக த கல ொ ச தொதொ க ணிகலக = 75.

( ) ( )a b c x y z r+ + + + + + = 200 ... (2)

(2) a b c+ + + 125 = 200

a b c+ + = 75

க தல ொ ச தொதொ க ணிகலக = 75.


1. n A B C n A n B n C n A B n B C n A C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩n A B C( ) லதக ககொ க க க ச ச ொ கக

(i) A a c e f h= { }, , , , , B c d e f= { }, , , ற C a b c f= { }, , ,

(ii) A = { }1 3 5, , , B = { }2 3 5 6, , , ற C = { }1 5 6 7, , ,



2. 275 கள த ச தொ 150 கள ைச ச தொ 45 கள ச தொ ொ 125 கள த ற ைச ச தொளகல 17 கள ை ற ச தொளகல 5 கள த ற ச தொளகல 3

கள ச தொளகல ொ ொ கள ள ொ ல த ச தொல ொ ொ ொ கள

(i) ச தொல ொ க ணிகலக (ii) ல த ச தொளகல ொ க

ணிகலக(iii) ள ொ தக க ணிகலக றல க கொ க

3. சொ த ொ க க 800 க க த க 3

8 A லக சொ ல 1

5 B லக சொ ல 1

2

C லக சொ ல 70 கள A ற B லக சொ கல 55 கள B ற C லக சொ கல 60 கள A ற C லக சொ கல 1

40

கள லக சொ கல தொக த த (i) லக சொ கல க ணிகலக

(ii) ல த லக சொ ல ொ க ணிகலக(iii) லக சொ க த சொ ல தொத க

ணிகலக றல க கொ க

4. 1000 சொ க த 600 சொ கள தொக 350சொ கள க தொக 280 சொ கள ககொச சொ தொக

த த 120 சொ கள ற க 100 சொ கள க ற ககொச சொ 80 சொ கள ற ககொச சொ

கல ொ சொ றக ற ல த ொ ச தொ கல சொ க ணிகலகல க கொ க

5. கொ கக n( )U = 125 , y x ொ ற z x 10 க x ,y

ற z ற ல க கொ க

6. 35 ொ கள கொ ொ ச க (Chess), ொ (Carrom), லச

(Table tennis) ல ொ க த ல ல ொ ொ கள 22 ொ கள ச க 21 ொ கள ொ 15 ொ கள லச


19க ொ

10 ொ கள ச க ற லச 8 ொ கள ொ ற லச 6 ொ கள ல ொ கல

ல ொ ொ கள (i) ச க ற ொ ல ொ லச ல ொ ொத கள (ii) ச க ல ொ கள

(iii) ொ ல ொ க ணிகலகல க கொ க லத த

7. ள 50 ொ கள ை ொக ொ ை ை ொக ொ ை தொ ள க தல 25 ொ கள ை 20 ொ கள ை 30 ொ கள 10 ொ கள

லக க ொ கள தல ொ கள ச ொக லக க ள க தல



1. U = ∈{ :x x ற x < 10}, A = { }1 2 3 5 8, , , , ற B = { }2 5 6 7 9, , , , n A B( )∪ ′

(1) 1 (2) 2 (3) 4 (4) 8

2. P, Q ற R ல க கள P Q R− ∩( )

(1) P Q R− ∪( ) (2) ( )P Q R∩ −

(3) ( ) ( )P Q P R− ∪ − (4) ( ) ( )P Q P R− ∩ −

3. ககொ ற ச(1) A B A B− = ∩ (2) A B B A− = − (3) ( )A B A B∪ ′ = ′ ∪ ′ (4) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′

4. n A B C( ) ,∪ ∪ = 40 n A( ) ,= 30 n B( ) ,= 25 n C( ) ,= 20 n A B( ) ,∩ = 12 n B C( )∩ = 18 ற n A C( )∩ = 15 n A B C( )Ç Ç

(1) 5 (2) 10 (3) 15 (4) 20

5. n A B C( ) ,∪ ∪ = 100 n A x( ) ,= 4 n B x( ) ,= 6 n C x( ) ,= 5 n A B( ) ,∩ = 20 n B C( ) ,∩ = 15 n A C( )∩ = 25 ற n A B C( )∩ ∩ = 10 x (1) 10 (2) 15 (3) 25 (4) 30



6. A, B ற C ல க கள ( ) ( )A B B C− ∩ − க ச ச ொ

(1) A (2) B (3) C (4) f

7. J கக கல க கொ க க K த கக கள ச ொக ள க க ற L கொ

ச கொ ொக ள க க J K LÇ Ç

(1) ச கக க கொ க க

(2) ச கக க கொ க க(3) ச கக ச கொ க கொ க க (4) ச கொ க கொ க க

8. A ற B ற ற க கள ( ) ( )A B A B− ∪ ∩

(1) A (2) B (3) f (4) U

9. கொ கக ொ

(1) Z X Y− ∪( ) (2) ( )X Y Z∪ ∩

(3) Z X Y− ∩( ) (4) Z X Y∪ ∩( )

10. க 40% ககள லக லத 35% ககள லக கல 20% ககள லக கல ொ கள றக லக கல ொத க சத த

(1) 5 (2) 8 (3) 10 (4) 15

ம யெல ம1. கள ற ள 20 க ககொ த கல

தல க

(i) ள (ii) லச Motorbike) ள

(iii) ககணி ள (iv) ற லச ள

(v) லச ற ககணி ள

(vi) ற ககணி ள

(vii) ள


21க ொ

2. த கல க ககொ ொகக க ல கக தல க

(i) ச ொக ொ ொ ள ல ள

(ii) ல ள

(iii) ககணி லை

(iv) லை

(v) ச ொக ொ கள ல ள


z ப �ொற பணபு A, B ல க கள

A B B A∪ = ∪ ; A B B A∩ = ∩

z பு பணபு A, B ற C ல க கள

A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪( ) ( ) ; A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩( ) ( )

z ப பணபு A, B ற C ல க கள

A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( ) ச தொ

A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪( ) ( ) ( ) தொ

z கண வி யெொ றகொ டி �ொ க வி கள A, B ற C ல க கள A B C A B A C− ∪ = − ∩ −( ) ( ) ( )

A B C A B A C− ∩ = − ∪ −( ) ( ) ( )

z கண கொ டி �ொ க வி கள U ல க க A, B த க கள ( )A B A B∪ ′ = ′ ∩ ′ ; ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′

z கண களி ண(i) A ற B ல க கள

n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩

(ii) A, B ற C ல க கள

n A B C n A n B n C( ) ( ) ( ) ( )∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩n A B n B C n A C n A B C( ) ( ) ( ) ( )




Â க கள ற க கல ல த Â கல ல ொ கொ த Â க க த கக ற த ொ ல ச

ச கல ச ச ொ த Â க ல த த Â கல கொள த

2.1 கம 3×3×3×3 லதச கக ொக 34 தைொ க 81 = 34. க

ொ க ல கக

xn = x×x×x× ... ×xn கொ ணிகள (n லக )

ொ x ொ n க ல கக . x–n xn இன பெருககல தலைகழி ஆகும.

(xn n ox x× = =− 1 லத ொ

xx

nn

− = 1 தைொ

ொ Al khwarizmi) ொ கக கணித லததொ கணித ொக கள

(surdus) கக க ல ல ொ க ொ த ொ கல கொ க ொல (inaudible) ொ ொ

ை ொ ச (surdus) ொ கக கணித ை லத த

ொக த ை லை (surd) ை ை த ொ ை

REAL NUMBERS2 ம�யமயெணகள ொ ொகக க க கக க தல ொக ள க

க ொ லத ொ ொ ொக க த ொ

ொ ொ ொ


23 கள

ொ 12

லத 2 1- தைொ ொ சச ொக தைொ த ொ 4 3-

1

43 ச ொ சி த க ம

• 210 1024 க ச ச ொ? • 2–1 < 1 தைொ ொ? • –23 (–2)3

ை ொ • x x− −×5 2 ொக

க ? • x m nx− −×

4

கொ 2.1

க (i) 10–3 (ii) 13

2

−

(iii) 0 14

.( )−

(i) 10 3

3

1

10

11000

0 001− = = = .

(ii) 13

1

13

1

19

92

2

=

=

=−

(iii) 0 14

.( )− =

=

−110

1

110

4

4 =

1

110000

10000

=

ற த ொ தல

1. க க ல ைொத ொ க க (i) a a5 3´ (ii) a a5 3× − (iii) a a5 5× −

(iv) 3 5 1x x× − (v) 6 4 57x x− × (vi) 10 81 1m m− −×

(vii) x x5 2÷ − (viii) x x− −÷5 2 (ix) x x− ÷5 2

(x) 24 62 3p p− ÷ (xi) ( )a-5 2 (xii) ( )a- -5 2

(xiii) ( )a 5 2- (xiv) ( )2 2 3x - (xv) ( )2 2 3 4x y -

2. க (i) 9–2 (ii) 24 × 4–2 (iii) 25 51 2− −× (iv) (0.2)5 (v) 15

4

−

3. x = 3 ற y = –1 (xy2)–1 கொ க

4. க க 2 3 6

2 3 30

3

3 2

n n n

n n n

´ ´

´ ´

2.2 வடிவம (Radical Notation) n லக ற r க rn = x r x n

ை ல கக



லத ொ xn = r ொ க

கக ை ற க ை ற க கல

கொள தற ள லக சற க த க ொ

கல கொள ைொகொள ைொ

பு

n ைக (radical) ; n ை லச (index) ல க ொ தல

ல தொ ற x ை ொ (radicand) ல கக .

n = 2 க r 2 = x ,

r = x2 , ொ x கக ை லத ல ொ தொ r x கக ை

ககொ ொக 162 லத 16 தைொ

n =3 ொ x க ை லத x3 ொ ககொ ொக 83 க ை ொ த (8 = 23 ச தொ )

சி த க ம

ககொ ற ள த 9 கக ை 3 ை – 3

( ) 9 3=

( ) − = −9 3

( ) 9 3= ±( ) 9 39 3= ±9 3

4 க தல கக ை கள ள (+2)×(+2) = 4 ற (–2)×(–2) = 4

+2 ற –2 4 கக ை கள ைொ ொ 4 2=± த

n ல ொக க ொ xn லக ை லதக n n ல ை லதக – xn ற க

கொள ல 4 2= ற − =−4 2 ொ ொ த n

றல ொக க ொ x ல ற ச ொக ொ n ை க ககொ ொக

8 23 = ற − =−32 25 .

2.2.1 Fractional Index)

64 43 =

ைக

ை ொ

ை லச r = xn கல க

கொள ொ ள ை லச ொ ( n = 3) தல ல ல ல க ொ

ை ொ ல க லத த க

க கல ை கல தற ள க லதக த தொ xn லத x n

1

( க ) தைொ


25 கள

ககொ ொக 643 = 6413 ற 25 = 25

12 .

ை த ொ ை க க க க ல ைக க ல ல கொ கக ள

க க ைக க ொ ொக ொ க ல

26 = 64 2 646= 2 6416= 2 ை

25 = 32 2 325= 2 3215= 2 ை

24 = 16 2 164= 2 1614= 2 ை

23 = 8 2 83= 2 813=

க ை ை

ை

22 = 4

2 42= ை கக ொக

2 4=

2 412=

2 கக ை ை

2 ை

கொ 2.2 றல 2n க :

(i) 8 (ii) 32 (iii) 14

(iv) 2 (v) 8

(i) 8 2 2 2= × × ; 8 23=

(ii) 32 = 2 2 2 2 2 25× × × × = (iii) 14

12 2

1

22

2

2=×= = −

(iv) 2 21 2= /

(v) 8 2 2 2 212

3

= × × =

. தல 2

32 தைொ

2.2.2 xmn பத மபொ ள (m ற n லக ககள)

xmn லத ொ x m க n ை ை n ை

m க தைொ

, x xmn m n� � �

1

ை x xn

m

mn1� � � ை xn

m� �



கொ 2.3 கொ க (i) 8154 (ii) 64

23-

(i) 8154 4

544

5581 3 3 3 3 3 3 3 243= ( ) =

= = × × × × =

(ii) 641

64

1

64

1

4

23

23

32 2

−

= =

( )= ( ) = 1

16


1. றல 5n க:

(i) 625 (ii) 15

(iii) 5 (iv) 125

2. றல 4n க:(i) 16 (ii) 8 (iii) 32

3. கொ க

(i) 4912( ) (ii) 243

25( ) (iii) 8

53( ) (iv) 9

32-

(v) 127

23

−

(vi) 64125

23

−

4. கலக க:

(i) 5 (ii) 72 (iii) 4935

( ) (iv) 1

1003

7

5. ககொ ற 5 ை லதக கொ க

(i) 32 (ii) 243 (iii) 100000 (iv) 10243125

2.3 கள (Surds)

கல ற க கள றல கொ த ற லக ொ த றல த ொ தற ொ ை தொ ொ கல

க ொக த ொ ல ற கறக க ொ

4 ல ைொ ொ கக ொகக ொ

4 க ைொக 2 ல ொக த . ொ ொ 19

ொ

தைொ ொ க தொக தைொ ைொ த 13

. 0 01.

தல தொக தைொ த 0.1


27 கள

4 , 19

ற 0 01. ற கொ ொ ைொ லத ொ கொ ைொ க ொ ச ொ

18 லதக க க ைக ைொ த ல ொ கொ ொ 2 கக ை 5 க ை ொ ைக ைொ கொ ைொத

கள கள ல த கல க க கக ொகக கொ ச ொ த ொ ை கள

த ணி த ொ ை an க n n� �, 1 , ‘a’ த

கொ கள: 2 x2 = 2 ச ொ த ொ ை x2 – 2 = 0 த கல க க கக ொகக கொ ச ொ லதக

க கக 2 த ொ லத 1.4142135… ொச த ல ற தச ொ ைொ

33 313 க ச ச ொ x3 – 3 = 0 ச ொ

த ொ ை 3 த ொ லத 1.7320508… ொச த ல ற தச ொ ைொ

x2 – 6x + 7 = 0 ொ ச ச ொ கல ற கள த கறக க கள றக ச ொ ொ த கல க க கக ொகக கொ

ச ச ொ த ை 3 2+

125

ொ லை லத 15

த ொகச க த

1681

4 ொ க ை தல 23

ச கக

க த த க க ொ த ொ ை த ொ ொக த ொ லத க ள த ொக த ைொ

தொ த க ககல க கொ த ொ ச ொ ற ை ொக ககொ

கள க ொ க க கள ச ொ ொ 2 1 414= . , ற 3 1 732= . ொ தொ ொ கல க கொள ொ .

2 1 414 1 99936 22 2( ) = ( ) = ≠. . ; 3 1 732 3 999824 3

2 2( ) = ( ) = ≠. .



2 ற 3 ற தொ ொ கல ொ ொ ற கச ச ொ கல ல கொ க லத

ொ கொ ொ ொ க ொ க ொை க த க ககலை லைகள ொ த கள ணிகல ச ச ொ க ொ கள

க க தல கல ற ொ கற ல ொததொ .

ற த ொ தல1. ொ த ைொத ல க த த கொ .

(i) 365098

1 1 44 32 1205, , , . , ,

(ii) 7 48 36 5 3 1 21110

3, , , , . ,+

2. ல க த ொ க ொ ல ல க கை தொ ைொ கக3. ைொ த ொ க க ொ ை ககொ கல க கொ ச ொ கக

2.3.1 டி வ (Order of a surd)

ொ த ை தொ த ை லச த

டி வ an லச n 995 லச 5

2.3.2 டி வ ககள Types of Surds)

கல க லக தைொ

(i) லச கொ கள

ை தற ற க லசகள ச த கள லச கொ கள ல ச ைக கொ கள

ல கக ககொ ொக

x a m, ,32 2 ொ லச கள ை கள

5 23 3

13, ( ), ( )x ab- ொ லச கள ை க கள

3 10 63 4, , ற 825 லச கொ கள


29 கள

கொ 2.4 றல லச கொ க ொக ொற

ொ (i) 3 (ii) 34 (iii) 33

(i) 3 = 312 (ii) 34 = 3

14 (iii) 33 = 3

13

= 3612 = 3

312 = 3

412

= 3612 = 3312 = 3412

= 72912 = 2712 = 8112

கல லச கொ க ொக ொற

(ii) லத த ற த ொ கொ ணிக ககைொக

ொ ள த ொக கொ ணி ககொ கல ல ச

ை லச கச தொ கக

ைக லச ொக த ொ

லச n கொ ைக க ள an த கொ ணி ககக ொ a லக

கொ ொக

(i) ல த த (ii) தொ ல த த

1825

3 = 18 525 5

3´´

1825

3 = 18 1225 12

3´´

= 90125

3 = 216300

3

= 90

533 = 90

5

3

= 6300

33 = 6

3003

(iii) த

18125

3 = 18

533 = 18

5

3

தல த த ொ ொ கக.



கொ 2.5 1. கொ கக ள கல க: i ii) )8 1923

2. 7 53 4> லத கக.

1. (i) 8 4 2 2 2= × =

(ii) 192 4 4 4 3 4 33 3 3= × × × =

2. 73 = 7 2401412 12=

5 5 5 5 125414

312 312 12= = = =

2401 12512 12>

க , 7 53 4> .

(iii) ல ொ ற கை கள Pure and Mixed Surds) க ை க த ல ொ

ககொ ொக 3 , 63 , 74 , 495 ல ல ொ கள

த க ை க த ொக கை

ககொ ொக 5 3 , 2 54 , 3 64 கை கள

(iv) ற கள (Simple and Compound Surds) ல கொ ள ககொ ொக

3 , 2 5 கள ை தற ற கள ச ச க ொ ை ல கக தொ ககொ ொக 5 3 2 3 2 7+ −, , 5 7 2 6 3− + கள

(v) Binomial Surd) ை க த ல ல

த ொக ொ ை த

ற ொ ொக ொ

ககொ ொக 12

19 5 3 2 3 2 7− + −, , கள


31 கள

கொ 2.6 லச க: 2 4 33 2 4, ,

2 43 2, , 34 ற லசகள 3, 2, 4.

3, 2, 4 ொ = 12.

2 2 2 2 16313

412 412 12=

=

= = ; 4 4 4 4 40962

12

612 612 12=

=

= =

3 3 3 3 27414

312 312 12=

=

= =

2 3 43 4 2, , 16 27 409612 12 12

லச 2 3 43 4 2, , .

2.3.3 வி கள Laws of Radicals) m, n லக ககள a ற b லக த கள

ககொ ைக கல ல த ள

வ ண. வடிவம வடிவம(i)

a a ann

nn( ) = =a a an

n

n n1 1( ) = = ( )

(ii)a b abn n n× =

a b abn n n

1 1 1

× =( )(iv)

a a anm mn mn= =a a an

mmn m

n11

1 11

( ) = = ( )(v) a

b

ab

n

nn=

a

b

ab

n

n

n

1

1

1

=

ைக கல ககக ை க க கல தற ொ ொ ொ .

கொ 2.7 கொ கக கல த க ற லச ை ொ ற க றல க க

(i) 1083 (ii) 10242

3 ( )−



2 1082 543 273 93 3

1

(i) 1083 = ×27 43

= ×3 433

= ×3 433 3 ( ைக - ii)

= ×3 43 ( ைக - i) லச= 3; ை ொ = 4; க = 3

(ii) 10242

3 ( )− = × × ×( )

−2 2 2 23 3 3

23

2 10242 5122 2562 1282 642 322 162 82 42 2

1

= × × ×( )

−

2 2 2 23 3 33

2

[ ைக (i)]

= × × ×

−

2 2 2 233 33 33 32

[ ைக (ii)]

= × × ×

−

2 2 2 232

[ ைக (i)]

= ×

−

8 232

=

×

18

1

2

2

3

2

= 164

14

3

லச= 3 ; ை ொ = 14

; க = 164

( க லத த கல ).

பு

5 ற 6 கல க க க 5 25= ற 6 36=

க , 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, ற 35 5 க 6 க ல க ொ .

3 2 3 2 182= × = , 2 3 2 3 122= × = க , 17, 15, 14, 13

2 3 க 3 2 க ல க ொ .

2.3.4 களில ொ டி ப ம யெலகள Four Basic Operations on Surds)

(i) களில ல �ற ம கழி தல Addition and subtraction of surds) த கல க ககொ ல க ொ க கக ொ

a b c b a c bn n n± = ±( ) , b > 0.


33 கள

கொ 2.8 (i) 3 7 ற 5 7 க க ற த த

ொ ை த ொ ொ ச ச ொ கக

(ii) 4 5 7 5 க கக ொ த ொ ை த ொ

ொ

(i) 3 7 5 7+ = +( )3 5 7 = 8 7 . த ொ .

(ii) 7 5 4 5- = −( )7 4 5 = 3 5 . த ொ .

கொ 2.9 ககொ றல ச க க:

(i) 63 175 28− + (ii) 2 40 3 625 4 3203 3 3+ −

(i) 63 175 28− + = × − × + ×9 7 25 7 4 7

= − +3 7 5 7 2 7

= +( )−3 7 2 7 5 7

= −5 7 5 7 = 0

(ii) 2 40 3 625 4 3203 3 3+ −

= × + × − ×2 8 5 3 125 5 4 64 53 3 3

= × + × − ×2 2 5 3 5 5 4 4 533 33 33

= × + × − ×2 2 5 3 5 5 4 4 53 3 3

= + −4 5 15 5 16 53 3 3

= + −( )4 15 16 53 = 3 53

(ii) களில மப கல �ற ம வ தல த கல க ககொ கல கக ொ ை

கக ொ



க கக கள க கக கள

(i) a b abn n n× =

(ii) a b c d ac bdn n n× = கb d, > 0

(iii) a

b

ab

n

nn=

(iv) a bc d

acbd

n

nn= க b d, > 0

கொ 2.10 403 ற 163 க க.

40 16 2 2 2 5 2 2 2 2

2 5 2 2 4 2 5 4 2

3 3 3 3

3 3 3 3

× = × × ×( ) × × × ×( )= ×( ) × ×( ) = × ×( ) = × ×55

4 10

3

3=

கொ 2.11 2 72 5 32 3 50´ ´ ல க க க ல ல த க.

72 36 2 6 2

32 16 2 4 2

50 25 2 5 2

= × =

= × =

= × =

2 72 5 32 3 50 2 6 2 5 4 2 3 5 2

2 5 3 6 4 5 2 2 2

3600 2 2

× × = ×( )× ×( ) × ×( )= × × × × × × × ×

= ×

== 7200 2

கொ 2.12 89 ல 66 கக.

8

6

8

6

9

6

19

16

=

ச ொ - 1

ககொ கள ொ தொக க தொ

4415

4415

= ற 5524

5524

= ல ச ொ ொ க த

கல க கொ க

(6, 9 ொ 18 லதக க கொளக )

=8

6

218

318

( )

= =8

6

8 86 6 6

2

3

118

118

×× ×

=

=

=

827

23

23

118

3118

=

16

623


35 கள


1. க ற க த கல ச க க:

(i) 5 3 18 3 2 3+ − (ii) 4 5 2 5 3 53 3 3+ −

(iii) 3 75 5 48 243+ − (iv) 5 40 2 625 3 3203 3 3+ −

2. க கக ற த கல ச க க : (i) 3 5 2´ ´ (ii) 35 7 (iii) 27 8 1253 3 3´ ´

(iv) 7 5 7 5a b a b−( ) +( ) (v) 225729

25144

1681

−

÷

3. 2 1 414 3 1 732 5 2 236 10 3 162= = = =. , . , . , . ககொ ற கல தச த ொகக கொ க

(i) 40 20- (ii) 300 90 8+ −

4. கல லச ல கக: (i) 5 4 33 9 6, , (ii) 5 7 332 43, ,

5. க க ொ க கக க

க க ொ ல ொ ல ொ ொ ல ல ககொ கக

6. க க ொ க கக க

க க ொ த ல ொ ொ ல ல ககொ கக

ச ொ 2

ல தொல O, A, B, C ொ கக.

B

Y

XC

A

2

1. 5

1

0. 5

-0. 5

-0. 5 0. 5 1 1. 5 2O

2

ச OABC , OA = AB = BC = OC = 1 ைச கொ OAC ,

AC = +1 12 2

= 2 ை [ தொக தற ]

லை AC = 2 , ொ .



ககொ ல கல க க க

A

B

D

E

C3

2. 5

2

1. 5

1

0. 5

-0. 5-0. 5 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3O

2

2

2

Y

X

3

3

A

BC3

2. 5

2

1. 5

1

0. 5

-0. 5-0. 5 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3O

18

Y

X

லை AC லத க கொ ைொ AC = AD DE EC+ + ( ை ச க லை ) = 2 2 2+ +

AC = 3 2 ை கள

AC = OA OC2 2 2 23 3+ = +

= 9 9+

AC = 18 ை களல ச ொ ொ கக

த ச லை கள கொ ச கல ச ச ொ கக

ச ொ -3ககொ ொ 6 ச ற 3 ச கக கல க கொ ல க லதக க க

A= { ல க A B C D }

= {ச கக க கொ கள AED, EDF, EFB, BFC ற

க த }

A= 9 3 ச ச ொ கக

3

3A

D

E

F

B

C

3 h h 3 3

3H

G3

1½

1½

1½

1½

3

3

பு (i) ல க = A b h� � ச ை கள, b AE EB� � � � �3 3 6ச

h FG EF EG� � � � � ��

��

2 2 22

3 112

= 332

ச

(ii) ச கக க கொ A a=34

2 ச ை கள, a = 3 சக கொ க ணிகலகல க ை ல க ல

க றக கல ச ச ொ கக


37 கள

2.4 க வி த ப தல(Rationalisation of Surds) கொ கக ல த ொக ொற லத த ொ கக

ை கக ொ த கொ கக த கொ ணி

ககொ(i) 3 த கொ ணி 3 ` 3 × 3 = 3 த )

(ii) 547 த கொ ணி 537 ( ககற ை = 5 577 = , த )

சி த க ம 1. ை க ககொ (i) 12 த கொ ணி ொ

3 க த கள த கொ ணி ொக கக ொ

2. ககொ (ii) 537 க த கள த கொ ணி ொக கக ொ ல க கொ ொகக ற க ற த

கொ ணிகள க ொ ற ள கச லத த கொ ணி ொகக க க தற ொ க கொ ொ க த ொ

ற த ொ தல

கக ொ க த கொ ணில க க றல ச ச ொ கக

(i) 18 (ii) 5 12 (iii) 493 (iv) 1

8

2.4.1 இ ண கள(Conjugate Surds)

3 2+ த த கொ ணில ொ கக தொ த ொ த ல ைக ல கொ ள

த ல ைொ ள க க த கொ ணி கக ள

3 2+ த கொ ணி 3 2- . லத க ல ொகச ச ொ ககைொ

3 2 3 2 3 2

9 2

22

+( ) −( ) = − ( )= −

= 7 த

a,b த கள a + b த கொ ணி a b- ச ொ ச ொ கக a,b த கள a b+ த



த கொ ணி a b- ச ொ ை − +a b ச ொ ொ க

a b+ ற a b- ள கள ல கள ல கக b a+ ல − +b a ச ொ க ொ ள ல ொற த ை த ணி ல ல ைொ லத

கொ 2.13 ல த க (i) 7

14 (ii) 5 3

5 3

+

−

(i) த கொ ணி ொ 14 ற தொ ல க க

7

14

7

14

14

14

7 1414

142

= × = =

(ii) 5 3

5 3

+

− =

+( )−( )

×+( )+( )

5 3

5 3

5 3

5 3 =

+( )−( )

5 3

5 3

2

22

=+( ) + × ×

−

5 3 2 5 3

25 3

22

=+ +25 3 10 3

22 = +

=× +28 10 3

222 14 5 3

22[ ]

=+14 5 311


1. ல த க

(i) 1

50 (ii) 5

3 5 (iii) 75

18 (iv) 3 5

6

2. ல த ச க க

(i) 48 32

27 18

+

− (ii) 5 3 2

3 2

+

+

(iii) 2 6 5

3 5 2 6

-

- (iv) 5

6 2

5

6 2+−

−


39 கள

3. 7 2

7 27

−

+= +a b a ற b கல க கொ க

4. x = +5 2 xx

2

2

1+ கொ க

5. 2 1 414= . , 8 5 2

3 2 2

-

- ல 3 தச த ொகக கொ

2.5 வியெல வடிவம (Scientific Notation) க 13,92,000 ற

12,740 றல ச சொ ொ க ொ தொக தொ

ொ ொக 13,92,000 லத 1.392 ×106 12,740 லத 1.274×104, கொ தொ

ல ொக தொ த லக ைொ ல

1 392 1

1 274 1

6

4

.

.

×

×≈ × ≈

0

0

1413

10 1082

க க ள தொ ொ ொக 108 ல லச ொக க ல கக லத தற ொ ொ கற ல ச

தொ க ை கச கல தச க

ல க ல கல ல ொக ச த க

2.5.1 வியெல வடிவில ணக தல(Writing a Number in Scientific Notation) ல தக ககொ ல கள

ள தொக ல(i) தச ள க கக ொ ச ற க ொ தச

ள ல க க(ii) ல தச ள க தச ள க ல ள ைகக க

ணிகலகல க க க க லத ‘n’ க லத 10 க 10n த .

(iii) தச ள ொ கக க த தொ க ‘n’ லக . ை கக க த தொ க ‘n’ ல

N ல N a n= ×10 தைொ க 1 10≤ <a , ‘n’ ொ த



ல கொ கக ள 10 ொ ககொ கள றக கக லத த

த � புளளி வடிவம

வியெல

வடிவமத � புளளி வடிவம

100 1 × 102 0.01 1 × 10-2

1,000 1 × 103 0.001 1 × 10-3

10,000 1 × 104 0.0001 1 × 10-4

1,00,000 1 × 105 0.00001 1 × 10-5

10,00,000 1 × 106 0.000001 1 × 10-6

1,00,00,000 1 × 107 0.0000001 1 × 10-7

ை ககொ கல க கொ ொ

கொ 2.14 க

(i) 9768854 (ii) 0.04567891 (iii) 72006865.48

(i) 9 7 6 8 8 5 4 . 0 = 9 768854 106. ´ 6 5 4 3 2 1

தச ள ொ 6 கள கக ொக க த ள n = 6.

(ii) 0 . 0 4 5 6 7 8 9 1 = 4 567891 10 2. × −

1 2

தச ள ொ கள ை கக ொக க த ள n = –2.

(iii) 7 2 0 0 6 8 6 5 . 4 8 = ×7 200686548 107.

7 6 5 4 3 2 1

தச ள ொ 7 கள கக ொக க த ள n = 7 .

2.5.2 வியெல வடிவ த த � வடிவிற �ொற தல (Converting Scientific Notation to Decimal Form)

ள ல ல கல ற ல ொக தச ற ொற ைொ


41 கள

(i) தச ல க

(ii) 10 க ள லக ை கக ொக ல கக ொக க ள ணிற ச ச ொக தச ள ல

க க தல ச லதச ச க கொளக

(iii) த ல தச க

கொ 2.15 ககொ கல தச க (i) 6 34 104. ´ (ii) 2 00367 10 5. × −

(i) 6 34 104. ´

6 . 3 4 0 0 = 63400

1 2 3 4

(ii) 2 00367 10 5. × −

0 0 0 0 0 2 . 0 0 3 6 7 5 4 3 2 1

= 0 0000200367.

2.5.3 வியெல வடிவில ள ணகளி கண கள (Arithmetic of Numbers in Scientific Notation)

(i) ள க க கள ச ொக தொ ற ை க த ச லை ல ொகச ச ைொ .

கொ 2.16 ல 5.97×1024 ைொ ல 0.073 ×1024 ற ொ த ல

ொ த ல = 5.97×1024 + 0.073 ×1024

= (5.97 + 0.073) ×1024

= 6.043 ×1024

(ii) ைக கல ச ச ொக ள க கக ற தலை ல ொகச ச ககைொ



கொ 2.17 ககொ றல க

(i) 500000004( ) (ii) 0 00000005

3.( ) (iii) 300000 2000

3 4( ) ×( ) (iv) 4000000 0 000023 4( ) ÷( ).

(i) 50000000 5 0 104 7

4

( ) = ×( ).

= ( ) ×( )5 0 104 7

4

.

= ×625 0 1028.

= × ×6 25 10 102 28.

= ×6 25 1030.

(ii) 0 00000005 5 0 103 8

3

. .( ) = ×( )−

= ( ) ×( )−5 0 103 8

3

.

= ( )×( )−125 0 1024

.

= × × −1 25 10 102 24.

= × −1 25 10 22.

(iii) 300000 20003 4( ) ×( )

= ×( ) × ×( )3 0 10 2 0 1053

34

. .

= ( ) ×( ) ×( ) ×( )3 0 10 2 0 103 5

3 4 34

. .

= ( )×( )×( )×( )27 0 10 16 0 1015 12. .

= ×( )×( )× ×( )×( )2 7 10 10 1 6 10 101 15 1 12. .

= × × × × ×2 7 1 6 10 10 10 101 15 1 12. .

= × + + +4 32 101 15 1 12. = ×4 32 1029.

(iv) 4000000 0 000023 4( ) ÷( ).

= ×( ) ÷ ×( )−4 0 10 2 0 1063

54

. .

= ( ) ×( ) ÷( ) ×( )−4 0 10 2 0 103 6

3 4 54

. .

=×

× −

64 0 10

16 0 10

18

20

.

.

= × × +4 10 1018 20

= ×4 0 1038.

சி த க ம

1. 2.83104 ல க ககற ை ொக க

2. 2.83104 ொகக ல க ொ கல க


1. ககொ கல க(i) 569430000000 (ii) 2000.57 (iii) 0.0000006000 (iv) 0.0009000002

2. ககொ கல தச க(i) 3 459 106. ´ (ii) 5 678 104. ´ (iii) 1 00005 10 5. × − (iv) 2 530009 10 7. × −


43 கள

3. ககொ றல ச க க(i) 300000 20000

2 4( ) ×( ) (ii) 0 000001 0 00511 3

. .( ) ÷( )

(iii) 0 00003 0 00005 0 009 0 056 4 3 2

. . . .( ) ×( ){ }÷ ( ) ×( ){ }4. ககொ தக லை க

(i) ைக ககள தொலக ொ 7000,000,000. (ii) 9460528400000000 லதக க(iii) ைக ொ ல 0.00000000000000000000000000000091093822

5. க க (i) (2.75 × 107) + (1.23 × 108) (ii) (1.598×1017) – (4.58 ×1015)

(iii) (1.02 × 1010) × (1.20 × 10–3) (iv) (8.41 × 104) ' (4.3 × 105)

ச ொ - 4

க கொளக க ள ச ொச தொலை ொ கொ கக ள கல க கொளக க

ள தொலை கல க க க லச க

கொள தச ொ 7.78´108

ச ொ 58000000த 2.28´108

2870000000 ள 108000000 4500000000

1.5´108

ச 1.43´108



1. ககொ ற க த

(1) 25 கக ை 5 ை −5 (3) 25 5=

(2) − = −25 5 (4) 25 5= ±

2. ககொ ற ள த ை

(1) 818

(2) 73

(3) 0 01. (4) 13



3. 640

(1) 8 10 (2) 10 8 (3) 2 20 (4) 4 5

4. 27 12+ =

(1) 39 (2) 5 6 (3) 5 3 (4) 3 5

5. 80 5= k , k=?

(1) 2 (2) 4 (3) 8 (4) 16

6. 4 7 2 3× = =

(1) 6 10 (2) 8 21 (3) 8 10 (4) 6 21

7. 2 3

3 2 ல த ொக ொற

(1) 23

(2) 32

(3) 63

(4) 23

8. 2 5 22

−( )

(1) 4 5 2 2+ (2) 22 4 10- (3) 8 4 10- (4) 2 10 2-

9. 18

2

3

3 க ச ொ

(1) 3 (2) 93 (3) 9 (4) 33

10. 0 000729 0 093

43

4. .( ) × ( )− −

= ______

(1) 10

3

3

3 (2) 10

3

5

5 (3) 10

3

2

2 (4)

10

3

6

6

11. If 9 923x = ,, x = ______

(1) 23

(2) 43

(3) 13

(4) 53

12. ணிற கச ச ொ ககொ (1) 0.5 ´ 105 (2) 0.1254 (3) 5.367 ´10–3 (4) 12.5 ´ 102

13. 5.92 × 10–3 தச (1) 0.000592 (2) 0.00592 (3) 0.0592 (4) 0.592

14. ச க ல ற கை கள ல 5×105 ற 4×104 த (1) 9×101 2 (2) 9×109 2 (3) 2×1010 2 (4) 20×1020 2


45 கள

ல தறகொ க கள

z ‘a’ லக த ‘n’ லக ற an த ொ an

z ‘m’, ‘n’ லக ககள a, b லக த கள

(i) a a ann

nn( ) = = (ii) a b abn n n× = (iii) a a anm mn mn= = (iv) ab

ab

n

nn=

z ல ற ொ ொ க த ல ச ல த த .

z N ல N a n= ×10 தைொ க 1 10≤ <a , ‘n’ ொ த

படி 1 படி 2

ச ொ றகொ

Real N mbers: https://ggbm.at/ p U or Scan the QR Code.


ம யெலபொ டி இ யில க மப வ

படி – 1: ககொ ல க ல

ணி தொ கக ற ச ச க ணி தொ

ச ொ கள கொ கக க த ச ொ கொ ணி தறகொ கள கொ கக க

ககொ க கொ கக க கொ கக க க க ற கல ள ச தொ கல ொற ொ கொ ணிக கல

கபடி - 2 : ொ ச ொ க கொ கக க ை கக

ககொ கள கொ கக க கல ொற தற m ற n கல க ல கல ச ச ொ கக



கற ல வி கள Â கொ ணி தற லத கொ த Â றகணித ற ொ ல கல க கொ ணி த Â க கொல கல க கொ ணி த Â ொ கொ த Â ax bx c2 + + ( 0)a ள க கொல ல க

கொ ணி த Â க கொல ல க கொ ணி த Â தொ ல த ல க கொல ல க கொ ணி த

3.1 கம ொ த க கொல கள ற க

ணிகலகல ொ ற லககள க கொல க ச கள ல ச ச கள தற ற த ொ கள றல க கற ொ .

பல பு கொ வகள க கொல ொ கள ற ொ கல க கொ ொ

ல ச ச க ொ ல கக தொ ொ க க கள ல ற ககள .

ொ ைொ தொ க கணித லத ொ ற ள த ல சலச

ற கணித ல கலைகக க ற ொ க கொல ல க கொல ொ

க ககல க ொ ல ல க ொ

ல தொ ல த கொ கக க கொல

ச ொ ற ள க ணிகலகல n கல க கொ ச ொ ற n கள

கணித கக கல றகணித ல தற லதக கொ க தொ

றகணித த க லத ொகக கொ க கொ க ’ ை

3 இயெறகணிதம

பொ ொ (1765 ொ –1822 ொ )


47றகணித

பல பு கொ வகளி வ க பொ Classificationofpolynomial)

புகளி ணணி க யெ மபொபுகளி ணணி க மபயெ கொ

கள

களொ கள

க கொல க கொல க கொல

ொ க கொல

5, –5x, 7x2 (x + 5), x2 – 75(a+b+c), a3+b2+c5

x6 + y4 + 2+m3

படி யெ மபொக

கொல ககொ

ச ொ க கொல க கொல

க கொல க கொல

5, –7, –5, 25x + 5, y–5, 7x, –25xx2 – 5x, x2+5x+6x3+x+7, 7x3–5x2+3x+4

பல பு கொ வயி சியெம ல ம

ொ க கொல = 0 ககொ ொக 5 = 5× 1 = 5 × x o = 5x o

ொ க கொல ொ க கொல ொ க கொல

5 = 5× 1 = 5 × x = 5x5 = 5× 1 = 55 = 5× 1 = 5

பு p x( ) க கொல p a( ) = 0

‘ a ’ p x( ) ச ை க கொல ச ொ p x( ) = 0 த ை

ககொ ல க கொல ொ ல ககொ கொ க

( 1) 2 51

2xxx

++

( 2) 5 2 93 2x x x− + − − ( 3) 4 3 1x x+ −

சி த க ம

தற ம p x( ) க கொல ல ( )x a- கக p a( )

( )x x2 6 8− + ( )x - 3 கக தற p( )3

p( ) ( )3 3 6 3 82= − +

= − +9 18 8

= –1

p( )3 0

( )x - 3 p x( ) கொ ணி ை

x - 3 ச கொx − =3 0

x = 3 க ல க



ை ள க கொல ல ( )x - 4 கக தற p(4); p(4) = − +4 6 4 82 ( )

= − +16 24 8

p(4) = 0

க ( )x - 4 p x( ) கொ ணி ொ

x - 4 ச கொ , x − =4 0க கொ ொ

x = 4

த � ( )p x க கொல ல ( )x a- கக � ( )p a = 0

( )x a- � ( )p x கொ ணி ொ தற கொ ணி தற ற ச ச கொ ணி தற

க ற ள த

ல ல தொ ை க

கொல ொ கொ கக க கொல

கொ ணி ொ லை ொ க க

3.2 கொ ணி தற ம

p x( ) க கொல n 1 ற

‘ a ’

( i ) p a( ) = 0 க ள ொ ( )x a- p x( ) கொ ணி .

( i i ) ( )x a- p x( ) கொ ணி p a( ) = 0

பணம p x( ) கொல ற ( )x a- க கொல

க கொல க த ( d i v i s i o n a l g o r i t h m ) p x x a q x p a( ) ( ) ( ) ( )= − + q x( ) ற p a( )

( i ) p a( ) = 0 p x x a q x( ) ( ) ( )= − ( )x a- p x( ) கொ ணி

a a b( ),0 ல ககள க a b b = ax x

ககள

b( )( )( )( )0( ) ல ல ல

சி த க ம

ககள ககள ககள

( i i ) ( )x a- p x( ) கொ ணி ொ தொ p x x a g x( ) ( ) ( )= −

ொ

p a a a g a

g a

( ) ( ) ( )

( )

= −= ×=

0

0

( )x a- p x( ) கொ ணி p a( ) = 0


49றகணித

பு

z p ( a ) = 0 ( )x a- p x( ) கொ ணி ( x–a =0, x =a) z p ( –a ) = 0 ( x + a ) p x( ) கொ ணி ( x+a=0, x=–a)

z p −

ba

= 0 ( ax+b ) p x( ) கொ ணி

z pba

= 0 ( ax–b ) p x( ) கொ ணி

z p(a) = 0 ற p(b) = 0 ( x–a ) ( x–b ) p x( ) கொ ணி

கொ 3.1 ( )x + 2 x x x3 24 2 20− − + கொ ணி க கொ க

(x+2) ச கொ

x + 2 = 0

x = –2

p x x x x( )= − − +3 24 2 20 க

கொ ணி தற ( )x + 2 p x( ) கொ ணி p( )− =2 0

p( ) ( ) ( ) ( )− = − − − − − +2 2 4 2 2 2 203 2

= − − + +8 4 4 4 20( )

p( )− =2 0

( )x + 2 x x x3 24 2 20− − + கொ ணி ொ

கொ 3.2 ( )3 2x - 3 20 123 2x x x+ +− கொ ணி ொ

3x–2 ச கொ ,

3x – 2 = 0

3x = 2

x = 23

p x x x x( )= + −3 20 123 2 + க கொ ணி தற , ( )3 2x - p x( )

கொ ணி p 23

0

=

p23

=

+

−

+3

23

23

2023

123 2



=

+

−

+3

827

49

2023

12 ற த ொ தல

z p ( _ _ _ _ _ _ ) = 0 , ( x+3 ) p ( x ) கொ ணி

z p ( _ _ _ _ _ _ ) = 0 , ( 3–x )p ( x ) கொ ணி

z p ( _ _ _ _ _ _ ) = 0 , ( y–3 )p ( y ) கொ ணி

z p ( _ _ _ _ _ _ ) = 0 , ( –x–b ) p ( x ) கொ ணி

z p ( _ _ _ _ _ _ ) = 0 , ( –x+b ) p ( x ) கொ ணி

= + − +89

49

1209

1089

=−( )120 1209

p 23

= 0

க ( )3 2x -

3 20 123 2x x x+ − + � கொ ணி ொ

கொ 3.3 2 6 43 2x x mx− + + கொ ணி ( )x -2 m கொ க

x–2 ச கொ

x – 2 = 0

x = 2

p x x x mx( )= − + +2 6 43 2 க

கொ ணி தற p(2) = 0 ( )x -2 கொ ணி ொ p(2) = 0

2 2 6 2 2 43 2( ) ( ) ( )− + +m = 0

2 8 6 4 2 4( ) ( )− + +m = 0

− +4 2m = 0

m = 2

பயிறசி3.1

1. ககொ க கொல க க ( )x -1 கொ ணி ொ க கொ க i x x x) –3 25 10 4+ + ii x xx) –4 25 5 1+ +

2. 2 4 74 3 2x x x x+ −+ − க கொல க ( )x + 2 கொ ணி ொ ொ

3. கொ ணி தற லத �2 5 28 153 2x x x− − + க கொல க ( )x - 5 கொ ணி ககொ க

4. x x mx3 23 24− +− க கொல க ( )x + 3 கொ ணி m ல க கொ க


51றகணித

5. ax x b2 5+ + க கொல க ( )x -2 ற x −

12

ல கொ ணிகள a = b ககொ க

6. p x x x x( )= − + +2 9 123 2 கொல க ( )2 3x - கொ ணி ொ

7. ( )x -1 kx x x3 22 25 26− + − க k ல க கொ க

8. x x2 2 8– – ச க ( )x + 2 ற ( )x - 4 ற கக க ொ லதக கொ ணி தற லத ச ச ொ கக

3.3 இயெறகணித றம ொ �கள

ச ொ ள ொ க க ொ ொ க ொ ொ சச ொ ற ொ ல

ற ொ ல கல ொ கற க ொ

(1) (2)( ) ( )

( ) ( )( ) (

a b a ab b a b a ab b

a b a b a b

+ ≡ + + − ≡ − +

+ − ≡ −

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

3 44 2) ( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ + ≡ + + +

பு

( i ) a b a b ab2 2 2 2+ = + −( ) ( i i ) a b a b ab2 2 2 2+ = − +( )

( i i i ) aa

aa

2

2

21 1

2+ = +

− ( i v ) a

aa

a2

2

21 1

2+ = −

+

கொ 3.4 றல ற ொ ல கல த க( i ) ( )3 4 2x y+ ( i i ) ( )2 3 2a b- ( i i i ) ( )( )5 4 5 4x y x y+ − ( i v ) ( )( )m m+ −5 8

( i ) ( )3 4 2x y+ [ ( )a b a ab b+ = + +2 2 22 ]

( )3 4 2x y+ = + +( ) ( )( ) ( )3 2 3 4 42 2x x y y [ ,a x b y= =3 4 ]

= + +9 24 162 2x xy y

( i i ) ( )2 3 2a b- [ ( )x y x xy y− = − +2 2 22 ]

( )2 3 2a b- = − +( ) ( )( ) ( )2 2 2 3 32 2a a b b [ ,x a y b= =2 3 ]

= − +4 12 92 2a ab b



( i i i ) ( )( )5 4 5 4x y x y+ − [ ( )( )a b a b a b+ − = −2 2 ]

( )( )5 4 5 4x y x y+ − = −( ) ( )5 42 2x y [a x b y= =5 4 ]

= −25 162 2x y

( i v ) ( )( )m m+ −5 8 [ ( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ − = + − −2 ]

( )( )m m+ −5 8 = + − −m m2 5 8 5 8( ) ( )( ) = − −m m2 3 40 [ , ,x m a b= = =5 8 ]

3.3.1( )a b c+ + 2 பு கொ வயி வி வொ கம ExpansionofTrinomial

x y+( )2 = x xy y2 22+ +

c2

b2

a2a

a b c

b

c bcca

ca

bcab

ab

(a+b+c)2 ொ த த x a b y c= + =,

( )a b c+ + 2 = + + + +( ) ( )( )a b a b c c2 22

= + + + + +a ab b ac bc c2 2 22 2 2

= + + + + +a b c ab bc ca2 2 2 2 2 2

( )a b c a b c ab bc ca+ + ≡ + + + + +2 2 2 2 2 2 2

கொ 3.5 ( )a b c− + 2 கொ க

( )a b c+ + 2 ‘ b ’ ‘ -b ’

ற ொ ல ( )a b c+ + 2 = + + + + +a b c ab bc ca2 2 2 2 2 2

( ( ) )a b c+ − + 2 = + − + + − + − +a b c a b b c ca2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )

ற த ொ தல

ற ொ ல கல ச ச ொ கக

( )a b c+ + 2 = − − −( )a b c 2

( )− + +a b c 2 = − −( )a b c 2

( )a b c− + 2 = − + −( )a b c 2

( )a b c+ − 2 = − − +( )a b c 2

= + + − − +a b c ab bc ca2 2 2 2 2 2

கொ 3.6 ( )2 3 4 2x y z+ +

கொ க

ற ொ ல

( )a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2

a x b y= =2 3, ற c z= 4


53றகணித

( )2 3 4 2x y z+ + = + + + + +( ) ( ( )( ) ( )( ) ( )( )) ( )2 3 4 2 2 3 2 3 4 2 4 22 2 2x y z x y y z z x

= + + + + +4 9 16 12 24 162 2 2x y z xy yz xz

கொ 3.7 3 2 4m n l+ − கக கொ ச கொ க

ச = கக ´ கக a = 3m,b = 2nc = 4 l

= + − × + −( ) ( )3 2 4 3 2 4m n l m n l

= + −( )3 2 4 2m n l

( )a b c a b c ab bc ca+ + = + + ++ +2 2 2 2 2 2 2 ொ த த

3 2 42

m n l+ + −

( ) = + + − + + − + −( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 2 4 2 3 2 2 2 4 2 4 32 2 2m n l m n n l l m

= + + + − −9 4 16 12 16 242 2 2m n l mn ln lm�

ச = + + + − − [ ]9 4 16 12 16 242 2 2m n l mn ln lm ச ை கள

3.3.2 பு கொ வகளி மப கறப ள யெ றம ொ �கள (IdentitiesinvolvingProductofThreeBinomials)

( )( )( )x a x b x c+ + + = + + +�[( ) ( )] ( )x a x b x c

= + ++ +[ ]( )( )x x ab x ca b2

= + + + + + + +x x a b x x abx x c a b x c abc2 2( ) ( )( )( ) ( )( )

= + + + + + + +x ax bx abx cx acx bcx abc3 2 2 2

= + + + + + ++x a b c x b bc ca x abca3 2( ) )(

( )( )( ) ( ) )(x a x b x c x a b c x b bc ca x abca+ + + ≡ + + + + + ++3 2

கொ 3.8 ககொ றல த க

�( ) ( )( )( )��

( )�( )( )( )��

i x x x

ii b b b

+ + ++ + −

5 6 4

3 4 5

�( ) ( )( )( )��

( ) �( )( )( )��

iii a a a

iv x x x

2 3 2 4 2 5

3 1 3 2 3 4

+ + +− + −

a = 5b = 6c = 4

(1)

ற ொ ல ( )( )( )x a x b x c+ + + = + + + + + + +x a b c x ab bc ca x abc3 2( ) ( ) . . . ( 1)

( i ) ( )( )( )x x x+ + +5 6 4

= + + + + + + +x x x3 5 6 4 30 24 20 5 6 42

( ) ( ) ( )( )( )

= + + +x x x3 215 74 120



( i i ) ( )( )( )2 3 2 4 2 5a a a+ + + x = 2a, a = 3b = 4, c = 5

(1) = + + + + + + +( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 3 4 5 2 12 20 15 2 3 4 53 2a a a

= + + +8 12 4 47 2 603 2a a a( )( ) ( )( )

= + + +8 48 94 603 2a a a

( i i i ) ( )( )( )b b b+ + −3 4 5 x = b, a = 3, b = 4, c = –5

(1) = + + − + − − + −b b b3 23 4 5 12 20 15 3 4 5( ) ( ) ( )( )( )

= + + − + −b b b3 22 23 60( ) ( ) ( )

x x a

b c

� � ��

3 1

2 4

,

, ( 1)

= + − −b b b3 22 23 60

( i v ) ( )( )( )3 1 3 2 3 4x x x− + −

= + − + −( ) ( )( )3 1 2 4 33 2x x + − − + + − −( )( ) ( )( )( )2 8 4 3 1 2 4x

= + − + − +27 3 9 6 3 83 2x x x( ) ( )( )

= − − +27 27 18 83 2x x x

3.3.3( )x y+ 3 �ற ம( )x y- 3 இ வி வொ கம ( )( )( )x a x b x c+ + + ≡ + + + + + + +x a b c x ab bc ca x abc3 2( ) ( )

ககொ ற ொ ல a b c y= = = ொ

( )( )( )x y x y x y+ + + = + + + + + + +x y y y x yy yy yy x yyy3 2( ) ( )

= + + +x y x y x y3 2 2 33 3( ) ( )

( )x y+ 3 ≡ + + +x x y xy y3 2 2 33 3

ை ( )x y+ 3 ≡ + + +x y xy x y3 3 3 ( )

y க -y, ( )x y x x y xy y− ≡ − + −3 3 2 2 33 3 ை ( ) ( )x y x y xy x y− ≡ − − −3 3 3 3

ச ொ -1

( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3

a3 + + +a2b a2b a2b ab2 ab2 ab2 b3

க ச ற க ச ச க கல க கொ ( a–b ) 3 ககொ ொ ல றக ொ ொக க


55றகணித

கொ 3.9 ( )2 3 3x y+ த க

( )x y+ 3 = + + +x x y xy y3 2 2 33 3

( )2 3 3x y+ = + + +( )2 3 2 3 3 2 3 33 2 2 3x x y x y y( ) ( )( ) ( )( )

= + + +8 3 4 3 3 2 9 273 2 2 3x x y x y y( )( ) ( )( )

= + + +8 36 54 273 2 2 3x x y xy y �

கொ 3.10 ( )5 3 3a b- த க

( )x y- 3 = − + −x x y xy y3 2 2 33 3 ொ த

( )5 3 3a b- = − +( ) ( ) ) ( )( ) – ( )(5 3 5 3 3 5 3 33 2 2 3a a b a b b

= − +125 3 25 3 3 5 9 33 2 2 3a a b a b b( ) ( )( – ( ))( )

= − + −125 225 135 273 2 2 3a a b ab b

x y z xyz x y z x y z xy yz zx3 3 3 2 2 23+ + − ≡ + + + + − − −( )( )

றக ற ொ ல ல ை ள கொல கல க ச ச ொ ககைொ

பு(1) ( )x y z+ + =0 x y xyz3 3 32 3� � �

(2) க த கக ொ றல ச ை ற ொ ல க த

(i) x y x y xy x y3 3 3 3+ ≡ + − +( ) ( ) (ii) x y x y xy x y3 3 33− ≡ −( ) + −( )

கொ 3.11 ( ) ( )2 3 4 4 9 16 6 12 82 2 2x y z x y z xy yz zx+ + + + − − − ககற ைல க கொ க

( )( )a b c a b c ab bc ca+ + + + − − −2 2 2 = + + −a b c abc3 3 3 3 ொ த த

( )( )2 3 4 4 9 16 6 12 82 2 2x y z x y z xy yz zx+ + + + − − −

= + + −( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 3 4 3 2 3 43 3 3x y z x y z

= + + −8 27 64 723 3 3x y z xyz



கொ 3.12 ற ொ ல ல 10 15 53 3 3− + கொ க

a = 10, b = –15, c = 5

ற ொ ல a b c+ + = 0 , a b c3 3 3+ + = 3abc

a b c+ + = − + =10 15 5 0

10 15 53 3 3+ − +( ) = −3 10 15 5( )( )( )

10 15 53 3 3− + = −2250

கொ 3.13 a b c ab bc ca a b b c c a2 2 2 2 2 212

+ + − − − = − + − + −

( ) ( ) ( ) க

a b c ab bc ca2 2 2+ + − − − = + + − − −22

2 2 2[ )a b c ab bc ca 2 க 2 கக

= + + − − −

12

2 2 2 2 2 22 2 2a b c ab bc ca

= + − + + − + + −12

2 2 22 2 2 2 2 2[( ) ( ) ( )]a b ab b c bc c a ca

= − + − + −12

2 2 2[( ) ( ) ( ) ]a b b c c a

a b c ab bc ca2 2 2+ + − − − = − + − + −

12

2 2 2( ) ( ) ( )a b b c c a கக


1. ககொ றல ொக க ( i ) ( )2 3 4 2x y z+ + ( i i ) ( )2 3 4 2a b c− +

( i i i ) ( )− + +p q r2 3 2 ( i v ) a b c4 3 2

2

+ +

2. ககொ ற ொகக கொ க ( i ) ( )( )( )x x x+ + +4 5 6 ( i i ) ( )( )( )2 3 2 4 2 5p p p+ − −

( i i i ) ( )( )( )3 1 3 2 3 4a a a+ − + ( i v ) ( )( )( )5 4 4 4 5 4+ + − +m m m

3. ொககொ x 2 க x க ற ொ கல றகணித ற ொ ல ல க கொ க

( i ) ( )( )( )x x x+ + +5 6 7 ( i i ) ( )( )( )2 3 2 5 2 6x x x+ − −


57றகணித

4. ( )( )( )x a x b x c x x x+ + + = + + +3 214 59 70 ககொ ற கொ க

( i ) a b c+ + ( i i ) 1 1 1a b c+ + ( i i i ) a b c2 2 2+ + ( i v ) a

bcbac

cab

+ +

5. க

( i ) ( )2 3 3a b+ ( i i ) ( )3 4 3a b- ( i i i ) xy

+

13

( i v ) aa+

13

6. றகணித ற ொ ல கல ற கொ க

( i ) 983 ( i i ) 1033 ( i i i ) 993 ( i v ) 10013

7. ( )x y z+ + = 9 ற ( )xy yz zx+ + = 26 x y z2 2 2+ + ல க கொ க

8. 3 4 10a b+ = ற ab = 2 27 643 3a b+ கொ க

9. x y− = 5 ற xy = 14 x y3 3- கொ க

10. aa+ =

16 a

a

3

3

1+ கொ க

11. xx

2

2

123+ = x

x+

1 ற xx

3

3

1+ ற கல க கொ க

12. yy−

=

127

3

yy

3

3

1- கொ க

13. க க ( i ) ( )( )2 3 4 4 9 16 6 12 82 2 2a b c a b c ab bc ca+ + + + − − −

( i i ) ( )( )x y z x y z xy yz xz− + + + + + −2 3 4 9 2 6 32 2 2

14. ற ொ ல கல கொ க ( i ) 7 10 33 3 3− + �� ( i i ) 729 216 27- -

( i i i ) 13

12

56

3 3 3

+ − ( i v ) 1 18

278

+ −

15. ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x y y z z x

x y y z z x

2 2 3 2 2 3 2 2 3

3 3 3

− − −

− + − + −

+ +

ற ொ ல ல ச க க

16. a b= =4 5, ற c = 6 ( )

( )

ab bc ca a b c

abc a b c

+ + − − −

− − −

2 2 2

3 3 33 கொ க

17. x y z xyz3 3 3 3+ + − = + + − + − + −12

2 2 2[ ][( ) ( ) ( ) ]x y z x y y z z x ச ச ொ கக

18. 2 3 4 0x y z− − = 8 27 643 3 3x y z- - க கொ க



3.4 கொ ணி ப தல(Factorisation) ொ ொக கொ ணி த கக லகச ச ொ

ககொ ொக -1 : 3ல 5ல க ொ 15 ல க 15 க கொ ணி ொ 3, 5 கொ ணிக ொகக ல க

ககொ ொக -2 : ( x + 2) ற ( x + 3) க ொ x x2 5 6+ + ல க x x2 5 6+ + க கொ ணி ொ ( x + 2) ற ( x + 3)

கொ ணிக ொகக ல க

( )( )x x+ +3 2

x x x( ) ( )+ + +2 3 2

x x x2 2 3 6+ + +

x x2 5 6+ +

( )( )x x+ +3 2

x x x( ) ( )+ + +2 3 2

x x x2 2 3 6+ + +

x x2 5 6+ +

கொணி

த

க

த

கொ கக ல க கொல ல ச ல கொல க ககற ை ொக ொற ல கொ ணி த

க கொ ணி த ொ ைொத ொ ல கொல கள ல த

கொ ணி த க கள ( i ) ொ ொ கொ ணி ல ( i i ) ொக த ab ac+ a b pa pb+ − − a b a c⋅ + ⋅ ( ) ( )a b p a b+ − + ொக ல த a b c( )+ கொ ணி ல ( )( )a b p+ −1 கொ ணி ல க கொல ல க கொ ணி ொ ொ ொ கொ ணிகல க கொ ணி ல ொக ொ

கொ 3.14 கொ ணி க( i ) am bm cm+ + ( i i ) a a b3 2- ( i i i ) 5 10 4 2a b bc ac− − + ( i v ) x y xy+ − −1

( i ) am bm cm+ + ( i i ) a a b3 2-

am bm cm+ + a a a b2 2⋅ − ⋅ ொக ல த

m a b c( )+ + கொ ணி ல a a b2× −( ) கொ ணி ல ( i i i ) 5 10 4 2a b bc ac− − + ( i v ) x y xy+ − −1 5 10 2 4a b ac bc− + − x y xy− + −1

( a–b ) = – ( b–a )

5 2 2 2( ) ( )a b c a b− + − ( ) ( )x y x− + −1 1

( )( )a b c− +2 5 2 ( ) ( )x y x- - -1 1

( )( )x y- -1 1


59றகணித

3.4.1 மப மபொ வ மபொ வ [Greatest Common Divisor (GCD)]

ை தற ற க கொல க ொ ொ கக ொக ொ த ொ க கொ ணிக ள க ச ொ ல க கொ

க கொல ொ லத ொ ககொ ணி ொ கொ [ H i g h e s t C o m m o n F a c t o r ( H C F ) ] ொ

ககொ ொக 14xy2 ற 42 x y கொல கல க க ொ 14 ற ொ கள 2, 7 ற 14 ற ொ 14 xy2 ற xy

ொ க ொ x , y ற xy ற ொ xy

14xy2 = 1 · 2 · 7 · x · y · y

42xy = 1 · 2 · 3 · 7 · x · y

14xy2 ற 42xy ொ 14xy

கொ ணி ப தல யில மபொ வ கொ தல(i) கொ கக ொ கொல ல கொ ணிக ககற ை ொக

த(ii) க கொல க ொ ொ கொ கொல ொ

( i i i ) கொல க க ககள க ொக ற ொ க லதக கொல க ொ கக

கொ 3.15 ககொ ற ற ொ கொ க

( i ) 16 243 2 3x y xy z, ( i i ) ( )y3 1+ ற ( )y2 1-

( i i i ) 2 182x - ற x x2 2 3- - ( i v ) ( ) , ( ) , ( )a b b c c a- - -2 3 4

( i ) 16 3 2x y = × × × ×2 2 2 2 3 2x y = × ×24 3 2x y = 2 23 22´ ´ ´ ´x x y

24 3xy z = × × × × × ×2 2 2 3 3x y z = × × × ×2 33 3x y z = 2 33 2´ ´ ´ ´ ´x yy z

க ொ = 23 2xy

( i i ) y y3 3 31 1+ = + = − ++( )( )y y y1 12

y2 1- = −y2 21 = −+( )( )y y1 1

க ொ = +( )y 1



( i i i ) 2 182x - = −2 92( )x = −2 32 2( )x = + −2 3 3( )( )x x

x x2 2 3- - = − + −x x x2 3 3

= − + −x x x( ) ( )3 1 3

= +−( )( )x x3 1

க ொ = ( )x - 3

( i v ) ( ) , ( ) , ( )a b b c c a- - -2 3 4

1 த ொ ொ கொ ணி லை ொ = 1


1. ககொ ற ற ொ கொ க

( i ) p p p5 11 9, , ( i i ) 4 3 3 3x y z, ,

( i i i ) 9 152 2 3 3 2 4a b c a b c, ( i v ) 64 2408 6x x,

( v ) ab c a b c a bc2 3 2 3 3 2, , ( v i ) 35 49 145 3 4 2 3 2 2x y z x yz xy z, ,

( v i i ) 25 100 1253 2ab c a bc ab, , ( v i i i ) 3 5 7abc xyz pqr, ,

2. ொ கொ க

( i ) ( ), ( )2 5 5 2x x+ + ( i i ) a a am m m+ + +1 2 3, ,

( i i i ) 2 4 12 2a a a+ −, ( i v ) 3 5 72 3 4a b c, ,

( v ) x x4 21 1- -, ( v i ) a ax a x3 2 29 3- -, ( )

3.4.2 றம ொ �க பயெ ப கொ ணி ப தல (Factorisation usingIdentity)

( i ) a ab b a b2 2 22+ + ≡ +( ) ( i i ) a ab b a b2 2 22− + ≡ −( )

( i i i ) a b a b a b2 2− ≡ + −( )( ) ( i v ) a b c ab bc ca a b c2 2 2 22 2 2+ + + + + ≡ + +( )

( v ) a b a b a ab b3 3 2 2+ ≡ + − +( )( ) ( v i ) a b a b a ab b3 3 2 2− ≡ − + +( )( )

( v i i ) a b c abc a b c a b c ab bc ca3 3 3 2 2 23+ + − ≡ + + + + − − −( )( )

பு

( ) ( ) ( ); ( )( )( )

( ) ( )

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b

+ + − = + − = + + −

+ − −

2 2 2 2 4 4 2 2

2

222 6 6 2 2 2 24= − = + − − + + +ab a b a b a b a ab b a ab b; ( )( )( )( )


61றகணித

ற த ொ தல

(i) aa

aa

aa

+

+ −

= +

1 12

12 2

2

2

2

(ii) aa

aa

+

− −

=

1 14

2 2

கொ 3.16 கொ ணி க

( i ) 9 12 42 2x xy y+ + ( i i ) 25 10 12a a− + ( i i i ) 36 492 2m m-

( i v ) x x3 - ( v ) x 4 16- ( v i ) x y z xy yz xz2 2 24 9 4 12 6+ + − + −

( i ) 9 12 42 2x xy y+ + = + +( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 22 2x x y y

= +( )3 2 2x y [ a ab b a b2 2 22+ + = +( ) ]

( i i ) 25 10 12a a− + = − +( ) ( )( )5 2 5 1 12 2a a

= −( )5 1 2a [ a ab b a b2 2 22− + = −( ) ]

( i i i ) 36 492 2m n- = ( ) ( )6 72 2m n-

= + −( )( )6 7 6 7m n m n [ a b a b a b2 2− = + −( )( )]

( i v ) x x x x3 2 1− = −( )

= −x x( )2 21

= + −x x x( )( )1 1

( v ) x 4 16- = x 4 42- [ a b a b a b a b4 4 2 2− = + + −( )( )( )]

= + −( )( )x x2 2 2 22 2

= + + −( )( )( )x x x2 4 2 2

( v i ) x y z xy yz xz2 2 24 9 4 12 6+ + − + −

= − + + + − + + −( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x y z x y y z z x2 2 22 3 2 2 2 2 3 2 3

= − + +( )x y z2 3 2 ( ை ) ( )x y z- -2 3 2



கொ 3.17 றல க கொ ணி க

( i ) 27 1253 3x y+ ( i i ) 216 3433 3m m-

( i i i ) 2 164 3x xy- ( i v ) 8 27 642 723 3 3 2x y xy+ + −

( i ) 27 1253 3x y+ = +( ) ( )3 53 3x y [ ( ) ( )( )]a b a b a ab b3 3 2 2+ = + − +

= + − +( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 5 3 3 5 52 2x y x x y y

= + − +( )( )3 5 9 15 252 2x y x xy y

( i i ) 216 3433 3m m- = −( ) ( )6 73 3m n [ ( ) ( )( )]a b a b a ab b3 3 2 2− = − + +

= − + +( )( ) ( ) ( )( ) ( )6 7 6 6 7 72 2m n m m n n

= − + +( )( )6 7 36 42 492 2m n m mn n

( i i i ) 2 164 3x xy- = −2 83 3x x y( )

= −( )2 23 3x x y( ) [ ( ) ( )( )]a b a b a ab b3 3 2 2− = − + +

= − + +( )2 2 2 22 2x x y x x y y( )( ( )( ) ( ) )

= − + +2 2 2 42 2x x y x xy y( )( )

( i v ) 8 27 64 723 3 3x y z xyz+ + −

= + + −( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 3 4 3 2 3 43 3 3x y z x y z

= + + + + − − −( )( )2 3 4 4 9 16 6 12 82 2 2x y z x y z xy yz xz

கொ 3.18 ( i ) a b ab+ = =6 5, a b3 3+ க கொ க ( i i ) x y xy− = =4 5, x y3 3- க கொ க

( i ) a b+ = 6, ab = 5 ( i i ) x y xy− = =4 5,

a b3 3+ = + − +( ) ( )a b ab a b3 3 x y3 3- = − + −( ) ( )x y xy x y3 3

= −( ) ( )( )6 3 5 63 = +4 3 5 43 ( )( )

= 126 = 124


63றகணித

கொ 3.19 yy−

=

1729

3

yy

-1 ற y

y

3

3

1- க கொ க

ல 15 ொ ச சொ கக (i) 20173 + 20183

(ii) 20183 – 19733

ல 15 ொ ொ ொ

சி த க ம

(ii) 2018(ii) 20183 – 1973 – 19733(ii) 2018(ii) 2018(ii) 2018(ii) 2018

yy−

13

= 729

க ை கொ

yy−

13

3 = 7293 = 933

க yy

-1 = 9

yy

3

3

1- = −

+ −

yy

yy

13

13

a b a b ab a b3 3 3 3− = − + −

( ) ( )

= +9 3 93 ( )

yy

3

3

1- = 756


1. றல க கொ ணி க ( i ) 2 4 82 2 2a a b a c+ + ( i i ) ab ac mb mc− − +

( i i i ) pr qr pq p+ + + 2 ( i v ) 2 2 13 2y y y+ − −

2. றல க கொ ணி க ( i ) x x2 4 4+ + ( i i ) 3 24 482 2a ab b− + ( i i i ) x x5 16-

( i v ) mm

2

2

123+ − ( v ) 6 216 2- x ( v i ) a

a

2

2

118+ −

( v i i ) m m4 27 1− + ( v i i i ) x xn n2 2 1+ + ( i x ) 13

2 32a a− +

( x ) a a b b4 2 2 4+ + ( x i ) x y4 44+

3. றல க கொ ணி க (i) 4 9 25 12 30 202 2 2x y z xy yz xz+ + + + + (ii) 1 9 2 6 62 2+ + + − −x y x xy y

(iii) 25 4 9 20 12 302 2 2x y z xy yz xz+ + − + − (iv) 1 4 9 4 12 62 2 2x y z xy yz xz+ + + + +

4. றல க கொ ணி க ( i ) 8 1253 3x y+ ( i i ) a3 729- ( i i i ) 27 83 3x y-

( i v ) m3 512+ ( v ) a a b ab b3 2 2 33 3 2+ + + ( v i ) a6 64-

5. றல க கொ ணி க ( i ) x y z xyz3 3 38 27 18+ + − ( i i ) a b ab3 3 3 1+ − +

( i i i ) x y xy3 38 6 1+ + − ( i v ) l m n lmn3 3 38 27 18- - -



3.4.3 ax bx c a2 0+ + ≠, � ல ள இ படி பல பு கொ வக பு கொ வ கொ ணி ப தல

ax bx c2 + + கொ ணிகள( )kx m+ ற ( )lx n+ ல க

ax bx c2 + + = + +( )( )kx m lx n = + + +klx lm kn x mn2 ( )

x x2, க ற ொ கல ச ொ க a kl b lm kn= = +, ( ) ற c = mn க ல க ac k l ற mn ககற ை x க ொ lm ற kn ககற ை க ச ச க ( ) ( )kl mn lm kn× = × .

ax bx c2 + + கொ ணி ப த பற வணடியெ படிகள படி : x 2 க ல ொ கக தொ ac .

படி : ac கொ ணிக ொக கக ொ க ொ கொ ணிக த ற கக ல b ற a c க ச ச ொக

கக

படி : ககொ ணிகல சொ க ொக க கொ ணி த

கொ 3.20 கொ ணி க 2 15 272x x+ +

கொ ணிக ககa c =54

கொ ணிக த

b = 1 5



b = 1 51 × 54 55 –1 × –54 –552 × 27 29 –2 × –27 –293 × 18 21 –3 × –18 –216×9 15 –6 × –9 –15

6 ற 9 தல ொ கொ ணிகள

ax bx c2 + + 2 15 272x x+ + ச த a b c= = =2 15 27, ,

ககற ை ac = × =2 27 54ற த b = 15

6, 9 கொ ணிகள b = 15 ற ac = 54 லத ல ச லதக கொ ல ல 6x ற 9x ொற ல கக

2 15 272x x+ + = + + +2 6 9 272x x x

= + + +2 3 9 3x x x( ) ( )

= + +( )( )x x3 2 9

2 15 272x x+ + = ( )x + 3 ( )2 9x +


65றகணித

கொ 3.21 கொ ணி க 2 15 272x x− +



b =–15



b =–151 × 54 55 –1 × –54 –552 × 27 29 –2 × –27 –293 × 18 21 –3 × –18 –216 × 9 15 –6×–9 –15

−6 ற −9 தல ொ கொ ணிகள

ax bx c2 + + 2 15 272x x− + ச ச த a b c= = − =2 15 27, , ககற ை ac = 2×27 = 54,

ற த b=–15

ல ல –6x ற –9x ொற ல கக

2 15 272x x− + = − − +2 6 9 272x x x = − − −2 3 9 3x x x( ) ( ) = − −( )( )x x3 2 9

, 2 15 272x x− + கொ ணிகள ( )x - 3 ற ( )2 9x -

கொ 3.22 கொ ணி க 2 15 272x x+ −

கொ ணிக கக

a c =–54


b =15


a c =–54


b =15–1 × 54 53 1 × –54 –53–2 × 27 25 2 × –27 –25–3×18 15 3 × –18 –15–6 × 9 3 6 × –9 –3

–3 ற 18 தல ொ கொ ணிகள

ax bx c2 + + 2 15 272x x+ −

ச த a b c= = = −2 15 27, ,

ககற ை ac = 2×–27 = –54, ற த b = 15

ல ல –3x ற 18x ொற ல கக

2 15 272x x+ − = + − −2 18 3 272x x x = + − +2 9 3 9x x x( ) ( )

= + −( )( )x x9 2 3

2 15 272x x+ − கொ ணிகள ( )x + 9 ற ( )2 3x -

கொ 3.23 கொ ணி க 2 15 272x x- -


a c =–54


b =–15


a c =–54


b =–15–1 × 54 53 1 × –54 –53–2 × 27 25 2 × –27 –25–3 × 18 15 3×–18 –15–6 × 9 3 6 × –9 –3

3 ற −18 தல ொ கொ ணிகள

ax bx c2 + + 2 15 272x x- - ச த a b c= = − = −2 15 27, ,

ககற ை ac = 2×–27=–54, ற த b = – 15

ல ல –18x ற 3x ொற ல கக



2 15 272x x- - = − + −2 18 3 272x x x

= − + −2 9 3 9x x x( ) ( )

= − +( )( )x x9 2 3

2 15 272x x- - = ( )x - 9 ( )2 3x +

கொ 3.24 ( ) ( )x y x y+ + + +2 9 20 கொ ணிக

ககa c =20


b = 9



b = 91 × 20 21 –1 × –20 –212 × 10 12 –2 × –10 –124×5 9 –4 × –5 –94 ற 5 தல ொ கொ ணிகள

க கொ ணி க

x y p+ = , க p p2 9 20+ +

ax bx c2 + + ச த a b c= = =1 9 20, ,

ககற ை ac = 1×20 = 20,

ற த b=9

ல ல 4p ற 5p ொற ல கக

p p2 9 20+ + = + + +p p p2 4 5 20

= + + +p p p( ) ( )4 5 4

= + +( )( )p p4 5

p x y= + க க ல ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y+ + + + = + + + +2 9 20 4 5

பயிறசி3.51. கொ ணி க ( i ) x x2 10 24+ + ( i i ) x x2 2 99- - ( i i i ) z z2 4 12+ −

( i v ) x x2 14 15+ − ( v ) p p2 6 16- - ( v i ) t t2 72 17+ −

( v i i ) x x2 8 15− + ( v i i i ) y y2 16 80- - ( i x ) a a2 10 600+ −

2. கொ ணி க ( i ) 2 9 102a a+ + ( i i ) 11 5 6 2+ −m m ( i i i ) 4 20 252x x− +

( i v ) 32 8 60 2+ −x x ( v ) 5 29 422 2x xy y- - ( v i ) 9 18 8 2− +x x

( v i i ) 6 16 82 2x xy y+ + ( v i i i ) 9 3 12 2+ −x x ( i x ) 10 7 3 2- -a a

( x ) 12 36 272 2 2 2x x y y x+ + ( x i ) a b a b+( ) + +( )+29 18

3. கொ ணி க ( i ) ( ) ( )p q p q- - - -2 6 16 ( i i ) 9 2 4 2 132( ) ( )x y x y- - - -

( i i i ) m mn n2 22 24+ − ( i v ) 5 2 3 52a a+ − ( v ) a a4 23 2− +


67றகணித

( v i ) 8 2 153 2 2m m n mn- - ( v i i ) 4 3 5 2 32x x+ − ( v i i i ) a a4 27 1− +

( i x ) aa

2

2

118+ − ( x ) 1 1 2

2 2x y xy+ + ( x i ) 3 8 4

2 2x xy y+ +

ச ொ -2

( 1) ொகக தொளகல க கொல ல க கொ ணி த தல ொ ொ கள தொல லக ொ க த ககொள

வ க1

x

x

லக x 2 ச ை கள ல ச தொளகள

வ க2

1

x

லக x ச ை கள ல ச க தொளகள

x ை கள ற கை 1 ை

வ க3

1

1

லக ை ல ச தொளகள

வழி : ககொ ொக , 2 5 32x x+ + க கொ ணி த x 2 தொளகள x தொளகள ை தொளகல க கொள ொ

த ச தொளகள

x x1

1

1

x x

x2 x2

1

1

1

1 1 1

1 1

x x x

x x x

x x

x x

11

1

+ +

2x 2 + 5x + 3

த ச த தொளகல ொ ல தொ ல ச க லத ல க ச ச க கை கொ ணிக ொக ல லத

ை ககைொ

x2 x2 x x x

x x 1 1 1

2x + 3

x + 1

ச க கக கள ( 2x + 3) ற ( x + 1)

(2) தொளகல க கொல கல க கொ ணி க

( i ) x x2 5 6+ + ( i i ) 4 8 32x x+ + ( i i i ) 3 4 12x x+ +



3.5 மதொ வ தல(SyntheticDivision) க கொல கல கொ ணிக ொக தற தொ ல த

த ற கக ொ ல ொ கொ ணிகல கக த க கொல க ை கல க கொ த க ொ ல ல

ொ கொ ொ

தொ ல தலை த கொள தற ள த ல கொ ல ல த கொ ொ

கொல p x x x x( ) ( )= − − +3 2 5 73 2

ற க கொல d x x( )= + 3 றல க கொ ற கொ க

ளவ தல (LongDivisionMethod)

கொ கக க கொல ல லச கக

கொ ,

3 3xx

= 3x2

-11 2xx

= –11x

40xx

= 40

3 11 402x x− +x + 3 3 2 7 53 2x x x− + −

3 93 2x x+( –) ( –)

− + −11 7 52x x

- -11 332x x( +) ( +)

40 5x -40 120x +

( –) ( –)-125

3 11 402x x− + ற -125.

ொக 3 2 7 53 2x x x− + − = 3 11 40125

32x x

x− + −

+

தொ ல தலை றகொ ககொ க ொ

p x x x x( ) ( )= − − +3 2 5 73 2 d x x( )= + 3 q(x) ற கொ ொ

கொல ற க கொல ல ற ொற க

3 2 7 53 2x x x− + − ( )

x + 3 ( )


69றகணித

கொல க ககல த லச த ைொத க க ‘0’

3 −2 7 −5 த லச

கொல ச லதக கொ க x + =3 0 x = −3

கொல ச லத த லசக ொ க ொ லச ச லத த க க க

–3 3 –2 7 –5 த லச0 ொ லச

ொ ொ லசல க ககொ ொ ச க

–3 3 –2 7 –5 த லச0 –3× 3 –9 –3× –11 33 –3× 40 –120 ொ லச

3 –11 40 –125 ொ லச

ொ லச ள கல ல த ல கள ல க கக ொ

3 11 402x x− + ற -125.

கொ 3.25 தொ ல த ல ல ( )3 4 53 2x x- - ( 3x+1) கொ க

d(x)= 3x+1 ச கொ ,

3x + 1 = 0 3x = –1

x = -13

p ( x ) = 3 4 53 2x x- - , d x x( ) ( )= +3 1

p( x) = 3 4 0 53 2x x x− + − ற d x x( )= +3 1

-13

3 –4 0 –5

0 –1 53

-59

3 –5 53

-509

3 4 53 2x x- - = +

− +

−x x x

13

3 553

509

2



=+× − +

−

( )3 13

353

59

509

2xx x

3 4 53 2x x- - = + − +

−

( )3 153

59

509

2x x x [ p x d x q x r( ) ( ) ( )= + ]

x x2 53

59

− +

ற -50

9

கொ 3.26 x x x x4 3 210 35 50 29+ + + + ( )x + 4 ககக ல க x ax bx3 2 6− + + , a , b ற றல க கொ க

x+4 ச கொ

x + 4 = 0

x = –4

p x x x x x( )= + + + +4 3 210 35 50 29 க = + + + +x x x x4 3 210 35 50 29

க ககள 1 10 35 50 29

–4 1 10 35 50 29

0 –4 –24 –44 –24

1 6 11 6 5

x x x3 26 11 6+ + + x ax bx3 2 6− + + x 2 க 6 = −a x க 11 = b

க a = −6 , b = 11 ற = 5 .


1. தொ ல தலை ற கொ க ( i ) ( ) ( )x x x x3 2 7 3 3+ − − ÷ − ( i i ) ( ) ( )x x x x3 22 4 2+ − − ÷ +

( i i i ) ( ) ( )x x x x3 24 16 61 4+ + + ÷ − ( i v ) ( ) ( )3 2 7 5 33 2x x x x− + − ÷ +

( v ) ( ) ( )3 4 10 8 3 23 2x x x x− − + ÷ − ( v i ) ( ) ( )8 2 6 5 4 14 2x x x x− + + ÷ +

2. ( )8 2 6 74 2x x x− + − ( )2 1x + ககக ல க ( )4 33 2x px qx+ − + p , q ற ல க கொ க

3. 3 11 34 1063 2x x x+ + + x - 3 ககக ல க 3 2x ax b+ + a , b ற றல க கொ க

3.5.1மதொ வ த பயெ ப கொ ணி ப தல (FactorisationusingSyntheticDivision)

க கொல ல தொ ல த த ொ ொ க கொல க ொகக கொ ணி த லத ொ கறகைொ


71றகணித

கொ கக க கொல p x( ) க க கொ ணி ல த கொ தொ ல தலை p x( ) க கொ ணில க கொ ைொ த க கொல ல க கொ ணிக ககற ை ொகக கொ ணி தைொ

பு

z ொ க கொல ைொத க கொல p(x) க p(a) = 0 தொ x = a த ச ொ

z x–a p(x) க கொ ணி தொ p(a) = 0 கொ ணி தற படி பல பு கொ வ (x – 1)�ற ம (x + 1) யெ கொ ணிக ொ �ொ

மத மகொள ளியெ z p(x) ல க க ககள ற ொ த ச

தொ p(x) க (x–1) கொ ணி ொ z p(x) ல ல க க ள க க ககள ற ொ

க தைொ றல ல க க ள க க கக த க ச ச தொ (x+1) p(x) க கொ ணி ொ

கொ 3.27 ( i ) x x x3 27 13 7− + − க ( )x -1 கொ ணி ொ

( i i ) x x x3 27 13 7+ + + க ( )x +1 கொ ணி ொ

( i ) p x x x x( )= − + −3 27 13 7 க க கக த = − + − =1 7 13 7 0

( )x -1 p x( ) கொ ணி

( i i ) q x x x x( )= + + +3 27 13 7 க றல ல க கள கொ க க கக த = 7 + 7 = 14 றல ல க கள கொ க க கக த = 1+ 13 = 14 ( )x +1 q x( ) கொ ணி

கொ 3.28 x x x3 213 32 20+ + + கொ ணிக ொகக கொ ணி க

p x x x x( )= + + +3 213 32 20 க ல க க கக த = + + + = ≠1 13 32 20 66 0



( )x -1 கொ ணி ை ல ல க கள கொ க க ககள ற ொ த = 13 + 20 = 33 றல ல க கள கொ க க கக த = 1 + 32 = 33

க ( )x +1 p x( ) கொ ணி

ற கொ ணிகல க கொ தொ ல த ல ல ொ

I II–1 1 13 32 20

0 –1 –12 –20

–2 1 12 20 0 ( )0 –2 –201 10 0 ( )

p x x x x( ) ( )( )( )= + + +1 2 10

x x x

x x x

3 213 32 20

1 2 10

+ + += + + +( )( )( )

–1 1 13 32 20

0 –1 –12 –201 12 20 0 ( )

p x x x x( ) ( )( )= + + +1 12 202

ொ x x2 12 20+ + =x x x2 10 2 20+ + +

=x x x( ) ( )+ + +10 2 10

=( )( )x x+ +2 10

x x x3 213 32 20+ + + = + + +( )( )( )x x x1 2 10

கொ 3.29 x x x3 25 2 24− − + க கொ ணி க

p x x x x( )= − − +3 25 2 24 க

x = 1 p( )1 = − − + = ≠1 5 2 24 18 0; ( )x -1 கொ ணி ை

x = –1 p( )-1 = − − + + = ≠1 5 2 24 20 0; ( )x +1 கொ ணி ை

க ற x கொ ணிகல க கொ த க கற ( t r i a l a n d e r r o r

m e t h o d ) ல ல த

x x2 7 12− + ற 3 ச ொ சொ க ொ 3

ச லை –3 ை 4 ை –4 … ச ொ சொ கக

பு x = 2

p( )2 = − − +2 5 2 2 2 243 2( ) ( )

= − − +8 20 4 24

= 8 0 க , ( x–2 ) கொ ணி ை


73றகணித

x = −2

p( )-2 = −( ) − − − − +2 5 2 2 2 243 2( ) ( )

= − − + +8 20 4 24

p( )-2 = 0

க , ( x+2 ) கொ ணி ொ

–2 1 –5 –2 240 –2 +14 –24

3 1 –7 12 0 ( )0 3 –121 –4 0 ( )

( )( )( )x x x+ − −2 3 4 கொ ணிகள

x x x x x x3 2 25 2 24 2 3 4− − + = + − −( )( )( )


1. தொ ல த ல ல க கொ ணி க :

( i ) x x x3 23 10 24− − + ( i i ) 2 3 3 23 2x x x− − +

( i i i ) 4 5 7 63 2x x x− + − ( i v ) − + +7 3 4 3x x

( v ) x x x3 2 14 24+ − − ( v i ) x x3 7 6− +

( v i i ) x x x3 210 10− − + ( v i i i ) x x3 5 4− +



1. p a( ) = 0 ( )x a- p ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) கொ ணி

2. ( )2 3- x ச _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( 1) 3 ( 2) 2 ( 3) 23

( 4) 32

3. x -1 கொ ணி( 1) 2 1x - ( 2) 3 3x - ( 3) 4 3x - ( 4) 3 4x -



4. x - 3 p x( ) கொ ணி ( 1) 3 ( 2) –3 ( 3) p ( 3 ) ( 4) p ( –3 )

5. ( )( )x y x xy y+ − +2 2 ( 1) ( )x y+ 3 ( 2) ( )x y- 3 ( 3) x y3 3+ ( 4) x y3 3-

6. x - 8 x x2 6 16- - கொ ணி ற ொ கொ ணி ( 1) ( )x + 6 ( 2) ( )x -2 ( 3) ( )x + 2 ( 4) ( )x -16

7. ( )a b c+ − 2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( 1) ( )a b c− + 2 ( 2) ( )− − +a b c 2 ( 3) ( )a b c+ + 2 ( 4) ( )a b c- - 2

8. ax bx c2 + + க கொல கொ ணிக த ற ககற ை ல

( 1) a , bc ( 2) b , ac ( 3) ac , b ( 4) bc , a

9. ax bx c2 + + க கொல கொ ணிகள ( )x + 5 ற ( )x - 3 a , b ற c கள (1) 1,2,3 (2) 1,2,15 (3) 1,2, −15 (4) 1, −2,15

10. க கொல க க ச கொ ணிகள ககைொ( 1) 1 ( 2) 2 ( 3) 3 ( 4) 4

11. ொ க கொல ( 1) 3 ( 2) 2 ( 3) 1 ( 4) 0

12. கொ க ொ (1) −1 (2) 0 (3) 1 (4) 2

13. ( )x x2 2 7− + ( )x + 4 ககக ல க ( 1) 28 ( 2) 31 ( 3) 30 ( 4) 29

14. a a ak k k, ,+ +1 5 k N ற ொ( 1) ak ( 2) ak+1 ( 3) ak+5 ( 4) 1

15. x y4 4- ற x y2 2- ொ

( 1) x y4 4- ( 2) x y2 2- ( 3) ( )x y+ 2 ( 4) ( )x y+ 4

16. 36 தொ ொ கல 48 தொ ொ கல கொ ல ொ ொ ொக ச ணிகலக ள ொ ல த ச தல லசக ொ கல த

( 1) 12 ( 2) 144 ( 3) 7 ( 4) 72


75றகணித


கொ ணி தற ம z p x( ) ( )x a- ல க p a( ) = 0 ( )x a- p x( )

கொ ணி ொறம ொ �கள

z ( )a b c a b c ab bc ca+ + ≡ + + + + +2 2 2 2 2 2 2

z ( ) ( ), ( ) ( )a b a b ab a b a b a b ab a b+ ≡ + + + + ≡ + − +3 3 3 3 3 33 3

z ( ) ( ), ( ) ( )a b a b ab a b a b a b ab a b− ≡ − − − − ≡ − + −3 3 3 3 3 33 3

மப கல றம ொ �கள z a b a b a ab b3 3 2 2+ ≡ + − +( )( )

z a b a b a ab b3 3 2 2− ≡ − + +( )( )

z a b c abc a b c a b c ac bc ca3 3 3 2 2 23+ + − ≡ + + + + − − −( )( )

z x a b c x ab bc ca x abc x a x b x c3 2+ + + + + + + ≡ + + +( ) ( ) ( )( )( )

படி – 1: ககொ ல க ல ணி தொ

கக ற ச ச க ணி தொ றகணித சொ த ை ச ொ கள கொ கக க த ச ொ 2

ல ல கக க கொ கக க a ற b கல க

ல க ற ொ ல க கபடி - 2: த ொ a ற b கல க ல த ள

ற ொ ல கல க 1 2

ச ொ றகொ

Algebraic den es: https://ggbm.at/ yU or Scan the QR Code.

இ ணயெ ம யெலபொ ம யெலபொ டி இ யில க மப வ



கற ல வி கள Â ொ க தொ தற கல கொள த க த ற

த Â றகள தொ கொ கள தொ தற கல கொள த

க த ற த Â ொறக தொ தற கல கொள த க த ற

த Â க க கல ொ த ொ தற கல த Â க கொ ள ல ள ல லதக த Â க கொ க கொ கள ல க கொ ல லதக த

4.1 கம கள லத கல ச ற ள ொ ளக

ொ கள லத ற க ககல ொக கொ த ல ொகச சகக க கக த ை ைொற க ொற லத ற க ொ

4.1

ளி(325- 265 ( ொ ))

ககக கணித லத ொ க த லத ல கக ொ ல

கணித ைொற கச த க ல ள கணித

கற த க க ொ லத ற ள ொ ொ தக க

ணி கொ ொ கக ள

4 வடிவியெல

க லதல ொை க ொ ைக ொ


77

4.2 வ ப கள (Parts of Circle)

ொ ை கொ

ை கொ ககொ ொக ொறக

கக கள ற ல கல ல த

ொ ொ ல ல ொ ல ல ொல ல ொல ல ொ

பு

4.2

லை ொ ள ொ ொத தொலை ள ள க க

ககைொ லை ொ ள ொ த ல லத ொ ொத தொலை ொ

த லத க கொ லத ள க ொ ொ த கொ

ல கக கொ ல ள கள

ல ொ ொ த ொ ல கக ல ச ொ ல கக

த லை ொ ை கொ க தற ொ ற சொ லை ொ

ம யெலபொ - 1

1. ொ ல ை க ொ க ல ல தலை ொக ல ல ல கக

2. லை லத ொ ல கற ொ தொ ல த ொக க ல கக

3. லைகள ொ ொ லத ொக கக ல ொக க கொ ல ொகக கொ லை

ள க க A ற B AB கொ ல ொக க த ச ொ ல லை ச க ள க க C ற D

த கொ க ச க ள ல O த ல லைக லத க ொ கள

ல க கொ க ள க கொ க ொ ச கக

தச ச ொ ல க கொ க ள ச க ள ல ல ல க ொ .

4.3A

D

F

BC

EO

கல ல ொ கொ ல கக கள கொ ல க கொ க ச ொக ொ லத ச க ொக லதக

கொ ைொ லத ச ொக க ொக க கொ ல கக

தொ ொ ள ள கல ல ொக ல க ொ கொ



4.4

P

Q

B

S

R

A

ொ கொ த லத ல ொக ைொ க ை ைொ க ொ ள கல த

ச லதக கொ ைொ த கல ொ கள ல க ொ ொை ள

ள கல ல க கொ த ொ ல கக ற ொ கள

4.5

P

R

Q

S

ொ த P, R, Q ற S ொ ள கல க கக PRQ ற QSP

தொ ச ொ கள த கல PRQ ற QSP ை கக ொக PQ ற QP க ககைொ தொ ச ொ த ொ ல கக ொ ொக

றகள க கொ லச கக .

ள கள P ற Q லத க ொக க க ொ ற ொ ல ொ க ொ

QP ற ல ொ PQ ல கக .

ொ z லத ச ொக க ொக

க கொ z க ொ ொ z ச ச கொ z லத ொை

லலலல

பு

4.6

P

O

Q

ொ ொ PQ ற QP

ல ல க க ொ

ல கக த ொ த ொ ற ைொ

ல ல கக .

4.7A

B

CD

O

கள AB ற CD

ல ச கொ கல தொ ல லச கள றல , AB CD தைொ

m mAB CD =

4.8A

B

O

க கொ

க கொ

த ொ ∠ = ∠AOB COD

கள ற ைொ ல ல க கொ ைொ ல ொை

ைொ க கொ ல ைொ க கொ ல லதக கொ ைொ


79

மபொ �யெ வ கள

ல லத கல ல கள ொ ல கள ொ ொ ொ கொ ை ககொ கள:

லத ைக ொ லை லைகள 4.9

வ � வ கள (Congruent Circles)

கள ச ச ற ொ கைொக க ை ொ க தொ ல ல ல ொ ொ ொ கொ

ை ககொ கள:

ள ொ ொ ச ச கள

ல க கள

சி த க ம

ொ

சகக கள க ல கள 4.10

வ த மபொ புளளி � ம

த லத ககொ 4.11 ல ள த ள P க க க ல O ள Pக ள OP P ல ொ

P ள

P

P

O

4.11

(i) OP = ள ள(ii) OP < ள ள ள

(iii) OP > ள ள

ொ ல க த லத க ொக க .



ற த ொ தலச ொ த ொ க க

ொ ொ ச ொக ள கல க கொ க

ல க ல ல

1. ற தல கக கள ள

2. ை கொ ொ?

சி த க ம

ை கொ ொ

ொ ொ ொ

ொ ொ ொ

ொ ொ ொ .

ற தல கள ொ ொ கக

கள ல ள கல ற கக ொ

ொ த லத க ொக க

லத ககைொ

ல க ள தொலை


1. கொ கல க :

(i) கொ ல கக(ii) க ொ ொ ச

(iii) ல த த ொ ள க ல ல கக

(iv) ல ள க க ல

(v) ொ த லத க ொக க .

2. ச ொ ை த ொ தற கொ த க

(i) ள ள கல ல க கொ ொ ல கக

(ii) ள ல க கல ள ல ொ

(iii) லை ல கக


81

(iv) ொ ற ச ொ ொ கல ற க(v) க கொ ொணிற த த ற ல

ொ .

4.3 புளளிகள வழி யெ ம ல ம வ ம (Circle Through Three Points)

ள கள கொ தொ ல லத ொ கற ள ொ ொ ள ற ள கள தல

கள ல லத ொ கறக க ொ கொ கக ள P ள கள A B ற கள

ல லத ொ ொ கக

P

A

B

A B C

4.12 4.13 4.14

ொ கொ ைல ள கள A, B ற C ககொள ொ த ள கள ல ொ ொ லதச

க ொ ள கள கொ ல ொ ல ைொ

4.15

A

O

BC

ள க கொ ல ொத ள கள ல க கொ லத ல க ற ல தலை ல தொ கக க ல க க கொ கள

ச க ள ொ ற ல த ொ ற ல கக

A B ற C ொக ொ தொ ச த ொ தக ற ொ ற

ல ச ச .

தற ம 1 கொ ல ொத ள கள தொ ல .




கொ ல ொத ள கள A, B ற C ககொள ொ த ள கள தல கள ல

4.16

A

B

C

l2l1

S1. ல தொல AB ச ொ க கொ ல ொக க

2. A B ொ ொ AB லத ொக AB க ல க க கொ l1 ொகக

3. ள கள B ற C க கள 1 ற 2 ச ச க கொ l2 ல ொகக

4. க கொ கள l1 ற l2 S ச க5. ொ S ல ொக SA ொக கொ ல க

ொ கொ கக ள கள A, B ற C ச தொ

4.4 வ ொணகளி பணபுகள (Properties of Chords of a Circle)

கொ கள கொ கள க கொ கள ற ொறக கல ற ள ொ ற க ல ல ள ொ

றல ைொ ச ை த கல ொக க ொ ொ ொ ொ கல ல ொகக கொ ை

கல க ொ தொ கக ொக ொ ற ல ொணிற ல ச க கொ ல கொ க ொ

4.4.1 ொணிற �யெ வ யெ ப ம ம (Perpendicular from the Centre to a Chord)

O-ல ல ொகக கொ ொ AB ககொள ொ OC AB

ல க ற OA, OB ல கக க கொ கள AOC ற BOC தொக ொ 4.17

A B

O

C

4.17

ொ த க கொ க ச ச ொ ல கக ொ ொ கற ள ச ச க கொ க ககொ

கல தல ைொ . ∠ = ∠ =OCA OCB

90° ⊥( )OC AB ற OA OB= கள கக OC ொ ொ ச க க க AOC ற BOC ச ச ொ ல ொ AC BC= . த ொத ை

ொ ல ொ .

தற ம 2 ல ொணிற ல ச த ொல ச க


83

தற ம 2இ � த ல லத ொணி ள ல ல க கொ த ொணிற ச ச தொ .


1. O ல ொகக கொ த ல லத ல தொ ை கொ த ல

A B

l

OC

A B

O

4.18

2. லத ள கள A ற B க கக

3. ள கள A, B ல க கொ A ற B ச ச ொக AB க கொ ல ொகக .

4. B BA கொ த ச ொ A ொ ல க க கொ ல ொகக

5. த கொ l AB க ல க க கொ ொக க AB C ச க .

6. AC ற BC ச ொ கள

கொ 4.1 ச ள ல 2 11 ச தொலை ள ொணி கொ க

4.19

A B

O

C12 ச

211

ச

ொ AB ற AB ள C க லக ொ , OC AB , OA ற OCல ல கக. OA.

OC = 2 11 ச ற OA = 12ச க கொ கக ள

A B

Cதொக தற ம தொக தற க க ொ ற

த தற க ொ

ச கொ க கொ

க கக ொ ற கக க கக க

த க ச ச ச கொ ABC BC AB AC2 2 2= + .

தற ொ த ை க ள தொக

கக

பு ச கொ OAC தொக தற லத த

AC OA OC2 2 2= −

= −= −

12 2 11

144 44

2 2( )

= 100ச AC 2 = 100ச AC = 10ச

க ொ AB = 2AC

= 2 × 10ச

= 20ச



கொ 4.2 ொ ல க ொ AB ள லத ள ொ C ற D ச க AB CD AC− = 2 க

A C DM

O

B

4.20

கொ கக ல ொ AB ள

லத C ற D ச க : AB CD AC− = 2

ல : OM AB ல க த : , OM AB

, OM CD

க , AM = MB ... (1) ( ல ல ச ொல ச க )

CM = MD ... (2)

ொ , AB–CD = 2AM–2CM

= 2(AM–CM) (1) ற (2)

AB – CD = 2AC

ற த ொ தல1. 25ச ற ொணி 40 ச

ல ொணிற ள கொ க2. PQ=4 ச ள ொ ள கள P ற Q கள ல க

4.4.2 ொண �யெ ல தொ ம கொணம (Angle Subtended by Chord at the Centre) ொணிற ைொக ொ ச ொ ொ கல ககொள ொ ொ

ொ ற ொ ல ொ கக க ொ .

4.21

A

B

C

D

O

Oல ல ொக ல ச ொ ொ கல ககொள ொ ொணி ல கல ல ல ொ

க கொ கள AOB ற OCD ொ ொ ொ கொ கக ொ கள ச ொ ல ற கக கள கள OA=OC ற OB=OD. (SSS)

க கொ கள ச ச ொ ல தொ ∆ ≡ ∆OAB OCD . m AOB = ∠m COD. ற ல ச ச .

தற ம 3 ச ொ கள ல ச கொ கல தொ .


85


வழி

B

A

D

C

O

A

O

B

1. O ல ொகக கொ த ல லத கக .

2. லத ல ொக க த ள கள A, B கக .

3. ல AB கக4. ொ ற ொ ல கொ ல

ொ லத CD ொ (AB = CD).

5. கல ல OAB ற OCD க6. க தொல OAB ற OCD

A

B

D

C

O

4.22

கக7. த க கொ கள OAB ற OCD

ற ொ ல ல கக .

ற ொ தல

1. கள ∆ ≡ ∆OAB OCD ச ொ2. ல O ொ கள AB ற CD க ச ச க

கொ கள ல க ல ொணிற ள லத கக

4.23

A

B

C

D

O

ொ ல ச கொ கல தொ ொ கள AB ற CD கல க கொ ொ தொ தற (3) ∠ = ∠AOB COD

AOB ற COD கொ கல ள க கக கள க ொ

கொ ∆ ≡∆AOB COD . ொ AB ொ CD ொ ொ தலை

ல ொ தைொ :

தற ம இ � த ல ச கொ கல தொ ொ கள ொ ச ள ல .

4.24

A

BL

M

C

D

O

த ச ொ கள கொ கக ொ ற ல ள தொலை ல ொ கக க ொ OL AB ற OM CD ல க தற (2) தச ச க கொ கள ொ கல ச ச ொக க க AL CM= . OAL ற OCM ொ கொ கள∠ = ∠ = °OLA OMC 90 ற OA OC= கள ச க

∆ ≡∆OAL OCM . ல ள தொலை OL OM= ல ொ தைொ .



தற ம 4 ச ொ கள ல ச தொலை க . தற தலை க க கல கக க ள தொக தொ

லத ொ

தற 4 தலை ல ச தொலை ள ொ கள ச ள ல .


1. 25 ச ற ொணி 40 ச ல ொணிற ள கொ க

2. 52 ச ற ொணி 20 ச ல ொணிற ள கொ க

3. ல 8 ச தொலை 30 ச ள ொ ல ள கொ க

4. 4 2 ச ள AB ற CD க ச தொ கள ல ள ொ AC கொ க OAC

ற OCA கொ க.

5. 15 ச ள ல 12 ச தொலை ல ள ொணி கொ க

6. O ல ொக ல AB ற CD ல ொ ொ கள 10 ச AB = 16 ச ற CD = 12 ச ொ க க

ல தொலைல ொ கக

7. 5 ச ற 3 ச ள கள ள க க கொள ற ல க க ல தொலை 4 ச ொ ொணி

லதக கொ க

4.4.3 வ வில தொ ம கொணம (Angle Subtended by an Arc of a Circle)


வழி : 1. O ல ொகக கொ க ல கல

ல தொ ல க

2. த க ல ற கல கக


87

3. ற ள கல க ற ற A B ற C க

C

C

A

A

A

B

B

B

0

O

O

C

ல

4.26

B O C

A

B

O

C

A

B

O

C

A

4.25

4. க கொ கல கொ ள ொ ள A ள ொ ொ

ல தொ க

ற ொ தல :

(i) ல ல கொ (ii) ல கொ (iii) ல கொ

ொ ைொ ல தொ கொ ற தொ கொ ற ல ள ல க கொ க ொ

4.4.4 �யெம �ற ம ப யில � ம கொண கள (Angle at the Centre and the Circumference)

O ல ல ொகக கொ த லத ககொள ொ ொ ள கள A, B ற C கக

A

O

D

X

B

C

A O

D

X

B

C

AO

D

X

BC

4.27 4.28 4.29

AB ல ற ல ள C கல ொ த

ல லக ொ கொ கல ை ள ல க AXB ல தொ கொ AOB ACB

தொ கொ



ொ கக ∠ = ∠AOB ACB2 . தறகொக COல D க க CD ல கக ∠ =∠OCA OAC

ற த ொ தல

1. ள ல க லைகல ல ல ொ

ல லத லை க த கொ ற ச க

4.30

2. கொ ற க ொ லத

க கொ கக ல

ைல கை ை ொக ொற க

OA=OC கள க கொ = ள கொ க

த

∠ = ∠ +∠

= ∠AOD OAC OCA

OCA2 1.... ( )

த ொ ,

∠ = ∠ +∠

= ∠BOD OBC OCB

OCB2 2.... ( )

(1) ற (2) ,

∠ +∠ = ∠ +∠AOD BOD OCA OCB2( )

ொக ொ ல ∠ = ∠AOB ACB2 .

ல ொ :

தற ம 5 ல தொ கொ த லை த

த ள ற கொ லத ொ கொ .


1. த O ல ல ொகக கொ தொ ல க

4.31

A

O

B

P2. ள கள A ற B AB க 3. ல O A,B ல கக P ற ொ

ள ள க ள P ள கள A ற B ல கக

4. க தொ த ொ AOB கக த க கொ ல OA OB

ொ ொ கக.5. த கொ த லத ல ள கொ APB OA

PA ச ொக ொ ொ ல கக கள

(i) 12AOB = _______ (ii) APB = _________

z ல ல கொ ச கொ z ச கள ச க கொ கல தொz ல ல கொ ச கொ ல ல கொ ச கொ ல ல கொ ச கொ ல ல கொ ச கொ ல ல கொ ச கொ

பு

ச கள ச க கொ கல தொ ச கள ச க கொ கல தொ ச கள ச க கொ கல தொ ச கள ச க கொ கல தொ ச கள ச க கொ கல தொ


89

படி – 1

ககொ ல க ல ணி தொ

கக ற ச ச க ணி தொ த ச ொ கள கொ கக க

படி - 2

ொ ச ொ B ற D ள கல கொ கல ச ச ொ கக க கொ ற ொணி

லத ொற

1

2

ச ொ றகொ

Angle in a circle: https://ggbm.at/yaNUhv9S or Scan the QR Code.


ம யெலபொ டி இ யில க மப வ



கொ 4.3 ககொ க x° ல க கொ க

(i) Q

O

R

P xc

50c (ii)

260c

xcM

O L

N

(iii) 63c

xc

X

Z

O

Y

(iv) 20o

35oxo

A

CO

B 4.32 4.33 4.34 4.35

ல தொ கொ த லை த

த ள ற கொ லத ொ கொ தற லத ொ

(i) ∠ =POR PQR2 Q

O

R

P xc

50c

xx

° = × °° = °

2 50

100

(ii) ∠ =MNL12

ல MOL

260c

xcM

O L

N

= × °12

260

x° = °130

(iii) XY

63c

xc

X

Z

O

Y

∠ = °XZY 90 ( ல ல கொ )

XYZ

x

x

° + ° + ° = °° = °

63 90 180

27

(iv) OA=OB=OC ( கள)

20o

35oxo

A

CO

B

OAC

∠ = ∠ = °OAC OCA 20

OBC ∠ = ∠ = °OBC OCB 35

(ச ொ கக க க ள கொ கள ச )

∠ = ∠ +∠

° = ° + °° = °

ACB OCA OCB

x

x

20 35

55

கொ 4.4 ( 4.36) ல O ற ∠ = °ABC 30 AOC க கொ க

A

C

O

B30o

4.36

∠ = °ABC 30 கொ கக ள ∠ = ∠AOC ABC2 (

ைொ ல தொ கொ தொ கொ கொ )

= × °= °

2 30

60


91

ொ ொ ற ொ ொ தற லத ொ ககைொ ைொ கொ லத ைொ கொ லத ற ல ொ

ச கொ லத தொ லதக கற க ொ கொ கக ள ொ AB ள கள C ற D ல க ள ள கள

ொ ொ ACB ற ADB க கொ ொ தக கொ க க ல த ொ ள தொ

4.4.5 வ ண ப யில தொ ம கொண கள (Angles at the Circumference to the same Segment)

O ல ல ொகக கொ AB ககொளக ள கள C ற D ள ள கள கள OA ற OB

ல கக.

4.37

OA

D C

B

12∠ = ∠AOB ACB ( தற )

ற 12∠ = ∠AOB ADB ( தற )

∠ = ∠ACB ADB

த ொ தற லத த கதற ம 6 ல கொ கள ச


வழி :

4.38

O

A

D C

B

1. ல தொ O ல ல ொகக கொ த ல க

2. A,B ள கல க றல ல AB க

3. ள கள C ற D த AB கக

4. ACB ற ADB ல க 5. க தொல கொ கள ACB ற ADB ல க

றல கக6. கக கொ ACB க கொ ADB ொ க

(i) கள ொ (ii) ACB ADB ல ொக ொ தொ (iii) AB C, D லைக க ொ ொ கை ல ொ



கொ 4.5 கொ கக ள O ல ∠ = °OQR 48 P P

Q R

4.39

O

கொ கக ல ∠ = °OQR 48 .

ORQ 48° ( __________)

QOR =180 2 48 84° − × °( )= ° .

ொ QR ல ொக கொ ொக கொ லத ொ கொ

QPR = 12

84 42× °= ° .

ற த ொ தல ,

1. ல ொணிற ல ச ொல 2. ொணி ள ல ல லத ல க கொ ொணிற 3. ச ொ கள ல கொ கல தொ4. ல ச கொ கல தொ ொ கள 5. ல ல கொ 6. ல தொ கொ 7. ல ல கொ ல கொ


1. க x° ல க கொ க (i)

60o

30o

x°

A

C

O

B

(ii)

Q

30 o

x° O80o

R

P (iii)

M N70o

x°

O

P

(iv) YZ

120o

x°

O

X (v)

Bx°

O 100o140o

C

A


93

A B

D

O

P

C

2. கொ கக ள , ∠ = °CAB 25 ,

BDC , DBA ற COB கொ க

4.5 வ ொறக கள (Cyclic Quadrilaterals)

ொறக ொறக லத த கல ற ொ கக ள ொ ொறக ொ ல க ல தொ க கொ

க ொ ொ த ொறக ொறக ொ ொ ொறக கல க கொ ைொ .

4.40

D

A B

C ல ல க ல ள ொ ொறக ABCD க கொளக ொ ொ க கொ கள

லக க கொ கள கக ள ொ ல ல ல O ல கக OA, OB, OC

ற OD கள ற ொ ச கக க கொ கள OAB, OBC, OCD ற ODA றல க

கொ ொ ல O ல ச ற ள கொ க த 360° . ொ ச கக க கொ க கொ க த 180° .

4.41

D

A1 1

2

23

34

4B

CO

ொ , 2×( 1+ 2+ 3+ 4) + ல O ல கொ = 4× 180° 2×( 1+ 2+ 3+ 4) + 360° = 720°

லதச கக ( 1+ 2+ 3+ 4) = 180° .

ொ கொ(i) ( 1+ 2) + ( 3+ 4) = 180° ( கொ கள B ற D த )

(ii) ( 1+ 4) + ( 2+ 3) = 180° ( கொ கள A ற C த )

ொ கள ொ கொ கக ள

தற ம 7 ொறக கொ கள லக க கொ கள தற 7 தலை க க கல க ள தொக தொ

லத கொ ொதற ம 7இ � த ொறக சொ க கொ கள லக க கொ கள த ொறக ொறக ொ




வழி A

B

O C

D

4.42

1

23

41. O ல ல ொகக கொ த ல க .

2. ள கள A B C ற D த லைக ொறக ABCD ல க த கொ க க ள ொ க

2

B

3C

4D

1A

Fig. 4.43

3. க கொ த லத ொறக ABCD கக

4. 4.43 கொ ள ொ கொ கள A B C ற D கக

5. கொ கள 1 2 3, , ற 4 க கொ கள A, B, C ற D ள கொ க ொக ல

4.44 கொ ள ொ க6. கொ கள∠ +∠1 3 ற ∠ +∠2 4 ற கொ க

A3

B

OC1

D2

4

1

23

4

4.44

ற ொ கொணபவற புக:1. (i) ∠ +∠ =A C _____ (ii) ∠ +∠ =B D _____

(iii) ∠ +∠ =C A _____ (iv) ∠ +∠ =D B _____

2. ொறக கொ க த _______.

3. ொறக சொ கொ கள _______.

ற த ொ தல

1. கொ கக A .

D

A

B

C

93o

4.45

2. ச க ொறக ொ3. த ல க ொறக ொ4. ொறக கொ ச கொ த

ொறக லத ற

கொ 4.6 ொறக PQRS ∠ = °PSR 70 ற ∠ = °QPR 40

PRQ க கொ க 4.46 ொ கக .


95

P

Q

R

S

O

70o

40o

4.46

ொறக PQRS ∠ = °PSR 70 கொ கக ள ∠ +∠PSR PQR = °180 (கொ க______)

70° +∠PQR = °180

PQR = °− °180 70

PQR = °110

PQR ொ

∠ +∠ +∠PQR PRQ QPR = °180 (கொ க_________)

110 40° +∠ + °PRQ = °180

PRQ = °− °180 150

PRQ = °30

வ ொறக மவளி கொணம

D

A

OB

C

E

4.47

ொறக க கொ த தொ கக த ள கக ொக கொ .

ொறக ABCD கக AB E ல க ABC ற CBE கொ ச சொ கள

ற த 180° ABC ற ADC ொறக கொ கள ற த 180° ற ொ

∠ +∠ = ∠ +∠ABC CBE ABC ADC க ∠ = ∠CBE ADC . த ொ ற கொ க க ைொ

தற ம 8 ொறக கக லத தொ ற க கொ ள கொ ற ச ச .

ற த ொ தல

1. ொறக சொ கொ கள லக கள த ொறக

2. ொணி ல ொ ல ள 3. ொறக கக ொ ொ க கொ ொ ள

கொ ற 4. ொறக கொ கள



கொ 4.7 கொ கக ள கொ கள x° ற y° ல க கொ க

100o

60o30oxo

yo

4.48

ொறக க கொ க ொ y°= °100

x° + °= °30 60 லக ொ x° = °30


A B

120o

xo

O

CD

1. கொ கக x° கொ க.

E

A O

B

C

D

35o

30o

40o

2. கொ கக ள O ல ல ொகக கொ AC ∠ = °ADE 30 ; ∠ = °DAC 35

ற ∠ = °CAB 40 ,

(i) ACD

A B

CD

2y+4o 6x–4

o4y

–4o

7x+2

o

(ii) ACB ற (iii) DAE கொ க.

3. கொ கக ள ொறக ABCD ல க கொ கல கொ க

4. AB ற CD ொறக ABCD ல ொ கக கள AB = 10 ச CD = 24 ச ற 13 ச கக கள AB ற CD க ல ள ல த லதக கொ க

A

C

PD

B

40 o

60o

5. கொ கக ள ொறக ABCD கள

ள P ∠ = °DBC 40 ற ∠ = °BAC 60

(i) CAD (ii) BCD

A 8ச

6ச

7ச

C D

M

L

O

B

கொ க

6. AB ற CD O ல ல ொகக கொ ல ொ ொ கள AB = 8 ச

CD = 6 ச OM AB, OL CD ல LM 7 ச கொ க


97

A 2D

C

B6

7. ொை ல கள கொ கக ள ல கை 6 ற ல க 2

ல ல ள க

AC

120o

O

B

8. ∠ =ABC 1200 , Oல ல ொகக கொ ள ள கள A, B ற C OAC கொ க

A B

D

O

P

C9. ள ொ க ச க தறகொக

தொ ொ கள கக தறகொக 6 ள ல தொ லத க ொ ொ ொ கள கொ ள ொ A B C ற D ள க கக

AB = 8 CD = 10 AB CD ற ொ ொ AB ற CD ள ொ P தொ ல

ல க ொ ல P க ள கொ க

P Q

OR

100o30o

10. கொ கக ள ∠ =POQ 1000 ற ∠ =PQR 300

RPO கொ க

4.6 ம ய வடிவியெல (Constructions)

I

C

A B

4.49

த ொ க கொ ற ற ச கொ ல லதக தற க கற க கொ ொ

ொ ொ க கொ ள ல ற க கொ ல லதக தற க கறக த ொ ொ ொ தறகொக ொ (i) கொ கக கொ ல க க கொ ல த

ற (ii) கொ கக கொ ற க கொ ச ல த ொ றல ொ

4.6.1 கொண ள வ ம வ தல (Construction of the Incircle of a Triangle)

4.50

ள வ �யெம (Incentre)

க கொ கொ ச கள ச க ள ொ த ள ல க கொ ள க கொ க ொ ொ ல கக ள

ல ள ல I ை தொ கக க கொ கக க

ச தொலை ள



கொ 4.8 AB = 6 ச ∠ = °B 65 ற AC = 7 ச க ள

த

4.51

65o

ABC ல த ள ல க ள லத க

4.52

65o

படி 1 : AB = 6ச , ∠ = °B 65 ற AC = 7ச க ள ABC ல க

4.53

65 o

படி 2 : ல கொ க க க A ற B கொ ச கள ல க ல

ச க ள I ABC ள ல I த கக ற ச

AB ச க கொ ல க க கொ AB ச ச க ள D

4.54

65 o

படி 3: I ல ொக ID ொக கொ ல க ொ க கொ

ல கக கல ொக தொ ச ச

படி 4: ள லத கக ள = 1.9ச

ல லக க கொ க க ள ல ொ க கொ ள லொ க கொ ள லொ க கொ ள லொ க கொ ள ல

பு


99


1. 6.5 ச கக ள ச கக க கொ ல த ள ல லதக கக ள லத ல க

2. க 10 ச கக 8 ச ள ச கொ க கொ ல க த ள ல லதக ள ல க

3. AB = 9 ச , ∠ = °CAB 115 ற ∆ = °ABC 40 க க ABC ல க த ள ல லதக ள ல க றக க க க த ொ க கொ ற ள ொ

க கொ ள ல லத கள கொ ைொ

4. AB = BC = 6ச ∠ = °B 80 க க ABC ல க த ள ல லதக ள ல க.

4.6.2 கொண கொ �யெம வ தல (Construction of the Centroid of a Triangle)

B CG

A

4.55

கொ �யெம (Centroid) க கொ க கொ கள ச க ள

க கொ க கொ ல ொ ொக G க

த

4.56

கொ 4.9 PQR க கொ ல ல க த கக கள PQ = 8ச ; QR = 6ச ; RP = 7ச .

4.57

படி 1 : கொ கக ள கள PQ = 8ச , QR = 6ச ற

RP = 7ச கொ PQR ல க த கக க க PQ

ற QR ல க க கொ கள ல PQ ள M ற

QR ள N கக.



4.58

படி 2 : க கொ கள PN ற RM ல க ல ச க ள G ள G PQR க கொ ல .

z க கொ ற க கொ கள ல

z க கொ ல ொ க கொ கல ல 2:1

த க z ல லக க கொ க க

க கொ ல ொ க கொ ள ல

z க கொ ல ொ த க கொ ல க கொ லத த ள

லை ொக தொ த ை தொ ல

ல கக

z க கொ ற க கொ ற க கொ ற

ல ககல ககல கக

பு


1. LM = 7.5 ச MN = 5ச ற LN = 8ச க க LMN ல த க கொ ல லதக கக .

2. க கொ ABC ல ல த க கொ ல லதக கக A ச கொ AB = 4ச ற AC = 3ச

3. AB = 6ச , ∠ = °B 110 ற AC = 9ச க ள ABC ல த க கொ ல லதக கக.

4. PQ = 5 ச PR = 6 ச ற ∠ = °QPR 60 க ள PQR ல க க கொ ல லதக கக

5. கக ச க ள ச கக க கொ ல க த க கொ ல ற ள ல லதக கக கள



1. O ல ல ொகக கொ ச ள ொ கள PQ ற RS ∠ = °POQ 70 ∠ =ORS _______

(1) 60° (2) 70° (3) 55° (4) 80°


101

2. 25 ச ள ல 15 ச ள ொணி

(1) 25ச (2) 20ச (3) 40ச (4) 18ச

C

O

B

A

40c3. ல O ற

∠ = °ACB 40 ∠ =AOB ______

(1) 80° (2) 85° (3) 70° (4) 65°

4. ொறக ABCD ∠ = ∠ =A x C x4 2, x

(1) 30° (2) 20° (3) 15° (4) 25° D

B

C

EA O

5. ல O ற AB ொ CD ள E ச க CE = ED = 8 ச ற EB = 4 ச

(1) 8ச (2) 4ச (3) 6ச (4)10ச

RS

V

T

PQ

80o

6. PQRS ற PTVS ொறக க ∠ = °QRS 80 ∠ =TVS

(1) 80° (2) 100° (3) 70° (4) 90°

7. ொறக கொ 75° கொ

(1) 100° (2) 105° (3) 85° (4) 90°

DC

F

EO

A

B

80o

100o

20o

8. ொறக ABCD கக DC E ல ள AB க ல ொக

CF ல க ∠ = °ADC 80 ற ∠ = °ECF 20 ∠ =BAD ?

(1) 100° (2) 20°

(3) 120° (4) 110°



9. AD ொகக கொ ொ AB AD = 30 ச ற AB = 24 ச ல AB ல ள

(1) 10ச (2) 9ச (3) 8ச (4) 6ச .

P

S

17 ச

QR

O10. OP = 17 ச PQ = 30 ச ற OS PQ க ச

ச

(1) 10ச (2) 6ச (3) 7ச (4) 9ச


z கொ ல ொத ள கள தொ ல z ச ள ொ கள ல ச கொ கல தொ z ல ொணிற ல ச த ொல ச க

z ள ச ொ கள ல ச க z ல தொ கொ த லை த

த ள ற கொ லத ொ கொ z ல ல கொ ச கொ ொ z ல கொ கள ச z ொறக ொ சொ கொ க த 180° z ொறக கக லத தொ ற க கொ ள

கொ ற ச ச


103ள


Â ள த கக லத த ற த ல க க கல த

Â ச ொச த ொ ல ல த Â த ச ொச லககல ல த Â லக த ொத த க ச ொச ல லை க றல க

கொ ல கல ல த Â லக த த க ச ொச ல லை க றல க

கொ த

5.1 கம கல தறகொக த கல த தொ த ச த ற

க த ற ை ள ொ ொ க ச ற த சொ த த கள ொ த தொகக லத ற

த கல தொ த ள ல ொ த கள ணி சொ ல கள ொ த கல ச கல க ொ ொ கல தற ள ல கள

க ொக

ச ொ ொ (1890 - 1962 ( ொ ))

ச ொ ொ ை ள ைொ ற ைொ ொ சொதல ல ற ள

த லத ல கக ொ ச த சொ சொ த ொ ச ொ ைொ கக ககொ கல

கொ ொற ச தொ தொ க ை ல ொ ொை

தகக ொ க க

5 புளளியியெல

ள த லை ொக க ககள ல கக ச



U19 பொ டிகள மவற தொலவி டி ொஇ யெொ 71 52 18 0/1

யெொ 67 50 15 0/2பொ தொ 69 50 19 0/0ப க ொ த 64 45 17 1/1

�ற இ யெொ 71 44 27 0/0மத கொ 61 43 17 0/1இ ொ 69 40 28 0/1இ க 68 36 31 0/1

சி ொ 66 30 35 0/1மபொ வ 62 28 34 0/0யெ ொ 49 16 32 1/0

கொ தொ 24 11 13 0/0யெொ 47 9 37 1/0

மக யெொ 17 5 12 0/0க ொ 29 4 23 1/1ப புவொ 41 3 38 0/0

ல ச களவாடிககயாளர

மனநிைறவு கணகெகடுபபு

த ொ ணவகமகள � வ

க மத வி கள

கச

ொ லை

ச லை

க ொச

இ யெ ம�ொ த ள ொ றப

கணி பு ொ 7.2%

ம 7.4%

க வ 7.3%

�ொ க 7.5%

டி 7.6%

சி 7%

ப ம� கொ 7.2%

ம� ல 7.5%

கொல � 8%

5.2 த க தல

ற த ொ தலத லை த கல க

z க ொ க க z ொ ச கலககள z ொ ொதொ சச கலககள z ள த கள z த த கள z ச லத கள z ற ல கணி z லை

(Collection of Data ) ொ ொக த கள த லை த கள ொகக க தொலை ச த ல

கல ொ ல கல த லை

த கல ொ ற கள த க

கக கள ொ லை த கள ககொ ொக த கள க கலககள

ொ ல

5.2.1 ண �க வ ப தல

த கல க கொ கள ல க ள க ள

ொ றல ள க ச க ல

ொக க ல ொ ொ ொ தொ

கொ ள தல கக

த கல க கொ கள த கல க கொ கள த கல க கொ கள

ம யெலபொ

கக

(Getting the Facts Sorted Out) தொ கக லை ொ த கள ச ல ொ தொக ககொ த ொ ல ச ொத த கள ொ ொ ச ைொத லை த கள தொ

ல க லை ககொ ொக த ொ கள ற கணித கள ொ த ள

61 60 44 49 31 60 79 62 39 51 67 65 43 54 51 4252 43 46 40 60 63 72 46 34 55 76 55 30 67 44 5762 50 65 58 25 35 54 59 43 46 58 58 56 59 59 4542 44


105ள

த ள க த கல கள க ல ொ ணி ொ லத த தக த ொ த க கொ க ொ ல 56 க ல ொக ற கள தல கள ொ சற க

தைொக க கொ கக கல ல ொ லை ல ொக

க க க க த 79 ல த 25

ொ த கல க ற ொ க ொக ொ ல த தைொ றல தைொ

தறகொ ொ ல ற ொக க

இ மவளி � மபண25-30 30,2531-35 31,34,3536-40 39,4041-45 44,43,42,43,44,43,45,42,4446-50 49,46,46,50,4651-55 51,54,51,52,55,55,5456-60 60, 60,60,57,58,59,58,58,56,59,5961-65 61,62,65,63,62,6566-70 67,6771-75 7276-80 79,76

ற ொகக க ல தொக ல கக ொ

“56 க ல ொ கள ற கள த ல ” ொ ற ல க ொ

ல கல ொ தல லை க க தல தல தறகொ

ொ ொ ொகக க ை கக த ல ொ ொ தல

ச கக ொகக ொ ை ொ ொ றக ல ல ள தொகக

ள ொ ல ொக லச தைொ

த ல ொ ொ தல கள ள லத க த ொ க ள த க

கள தல ற ள லதக க த த க த ல க ல

ல கக

இ மவளி

புகளி ணணி க

25-30 231-35 336-40 241-45 946-50 551-55 756-60 1161-65 666-70 271-75 176-80 2



க ல க க க ொ க கொ க கல ொ தக கை க ொக ொக ல தொ தற

ைொக க கொ க ொ ககொ ொக 31-35 க ொக க ொ 31,34,35 தொ A A A க ொ ொ ொ

56-60 க A A A A A A A A A A A த தக லத த கக ொ தொ க கொ க ல தற ொ க கொ க க க க ககொக A A A A ொ ொ ககொ ொக 11 லதக கொ

ொ A A A A A A A A A ொ ொ ொ ை க கக றகொ க ல கக ொ ல

ற த ொ தலக த ொ கக

23 44 12 11 45 55 79 2052 37 77 97 82 56 28 7162 58 69 24 12 99 55 7821 39 80 65 54 44 59 6517 28 65 35 55 68 84 9780 46 30 49 50 61 59 3311 57

தொ ல க கொளக 56-60 ககொ ொ 56

லை 60 ை லை

தொ ல க கொளக

ை லை ை லை ை லை

பு இ மவளி

கொ கள க மவண

25-30 A A 231-35 A A A 336-40 A A 241-45 A A A A A A a a 946-50 A A A A 551-55 A A A A A A 756-60 A A A A A A A A A 1161-65 A A A A A 666-70 A A 271-75 A 176-80 A A 2

ொ த 50

5.3 �யெ பொ வகள (Measures of Central Tendency) ொ ொ கொ கக தக ககொ ல க

ொ ொ ச ொ த ககள ச ொச ொக ொ ொ க ணி தொலைககொ தொ கல ொ க ொ கள க தொ ொ ணி ொ க ொ கள ொ ள ை ை க ொ ககைொ ை

ல ொ ொ ககைொ ச ொச கொ கக தக தொலைககொ தொ ல ொ த ச க ற க கொள

ச ொச ைொ தக லை த ற ச க க கொ த த ல ல ொ தக ை ொ கள

ள லத

ச ொச க லத ொ த ச ொச த ொ ல கணித ைொ ொ ல சற ச ொச ககொ லக ல ல கள


107ள

ள ல ச ச ொச ல லை க ல ொ ல க த ல தக

ொ ொ ொ ச ொச கல த த ச ொச க கொ கக தக க லதக க லத

க க கசச ொக க லத க கொ க தல ொ

5.3.1 ொ (Arithmetic Mean-Raw Data)

ைொ லக ொ ச ொச க ொ ொகக கொ கக தக சச ொச த கொ கக ல க தலை க

ணிகலக ொ

ககொ ொக (T20) ல தொ ல ொ 8 க த கள 25, 32, 36, 38, 45,41,35 ற 36 ககொ ொ ச ொச ல

X = x

n∑ = 8

25 32 36 38 45 41 35 368

288+ + + + + + += = 36 க க க ைொ

லத x1, x2, x3, …, xn n கள ற சச ொச X க (X bar கக கக ொ ொ தைொ .

த ல ொ கசச ொச ொக த த க ொ

ொ ை த கசச ொச க க ல ல த

கசச ொச ொக த த க ொைொ க க

கொல கொ கக கக லை

த ல ொ கசச ொச ொக த ல ொ கசச ொச ொக த ல ொ கசச ொச ொக

கக லைகக லைகக லை

பு X =

ல க தக ணிகலக

X = 1

1nxi

n

∑

ொ ல ொ ொ ொக தைொ :

X =x

n∑

க ொ (Assumed Mean

method)

ை க க க ல ல ொகச ச தற தொ ொ ொ ல ச ொச ொகக கணி க க கலகச

ச ொ த தொ ொ ொ ல ொ கசச ொச ல ககைொ தொ ொக லத ககொ ள ல தொ த க

ணிகலக 38 ல ொ கசச ொச ொக ககொள ொ கசச ொச ொ லத ொ

25–38 = –13, 32–38 = –6, 36–38 = –2, 38–38 = 0,

45–38 = 7, 41–38 = 3, 35–38 = –3, 36–38 = –2



ொ க ச ொச = � � � � � � � ��

��13 6 2 0 7 3 3 2

8

16

82

ொ கசச ொச ொ க ச ொச ல க க ச ச ொ ச ொச ல க

ச ொ ச ொச = கசச ொச + ொ க ச ொச = 38 – 2 = 36 . ைொ க க ச ச ொச கொ த கசச ொச ல ள தொக

க

5.3.2 ொ வ க ப த ப ொத க மவண ப வல (Mean-Ungrouped Frequency Distribution)

ள ல ொ க கொ 12 ொ க கல ச ககொள ொ

140, 142, 150, 150, 140, 148, 140, 147, 145, 140, 147, 145.

த க ச ொச லத ொ கொதற ை கள ள

(i) ல கல தல ணிகலக ொ ைொ

14 142+15 15 14 148+14 147+145+14 147+1450 0 0 0 0 0

12

1734

121

+ + + + + + = = 444 5.

(ii) கசச ொச ல ல ைொ 141 ல கசச ொச ொக ககொ கக ொ ச ொச கொ ைொ

= + − + + + + − + + − + + + − + +141

1 1 9 9 1 7 1 6 4 1 6 4

12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

== + − + = + = + =1414 46

12141

42

12141 3 5 144 5. .

(iii) ொ ல ொ லக த ொத க க ச ச ொச கொ ல ல க 140 4 ல ள

140 க 4 142 1 ல ள 142 க 1 லத ொ ற க க கொ ொ

க க க ல க

கள ச 140 142 150 148 145 147

ொ க ணிகலக 4 1 2 1 2 2

4 ல 140 லதக கொ ைொ த ொ த 140 × 4 = 560

1 ல 142 லதக கொ ைொ த ொ த 142 × 1 = 142

2 ல 150 லதக கொ ைொ த ொ த 150 × 2 = 300. லத ொை ற கல கொ


109ள

த கல க கக ொ ைொ

சச ொச = க த

க ணிகலக

= =1734

12144 5. ச

யெ ம (x)

க மவண (f)

fx

140 4 560142 1 142150 2 300148 1 148145 2 290147 2 294

12 1734

ல ல ல த க க ொ ல தைொ ொ ொ ொக ொ x1, x2, x3, … xn n க க கள ல f1, f2, f3,…,fn ச ொச ொ ல க

ொ லை ள ல க

க தல க க த

ொ தல ல ொக கக

ொ லை

கக

பு

X = f x f x f x

f f fn n

n

1 1 2 2

1 2

� � � � �

� �

+ +…++ +…

=f x

f

i ii

n

ii

n�

�

�

�1

1

=fx

f

றகொ ல ல கசச ொச ல ல த ொ தொ லத ொக

ற

(iv) கசச ொச க ொ கக ல ல த ொ ச ொ

(x)d =

கசச ொச ைகக

க (f) fd

140 140 – 145 = – 5 4 –20

142 142– 145 = – 3 1 –3

150 150 – 145 = + 5 2 +10

148 148 – 145 = + 3 1 + 3

145 கசச ொச 145 – 145 = 0 2 0

147 147 – 145 = + 2 2 + 4

ொ த 12 –23 +17 = –6



ச ச ொச கசச ொச + ைகக க த க ச ொச

= Afd

f� ��

= 145 + ��

��6

12 = 145.0 – 0.5 = 144.5

ைொ க க ச ச ொச கொ த கசச ொச ல த ொக க

ற த ொ தல ள க க ொ லக த ொத த க ொக

ை க த ள

75, 75, 75, 75, 95, 95, 95, 95, 95, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135, 135,155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155, 155,175, 175, 175, 175, 175, 175, 175, 175, 195, 195, 195, 195.

கக ல க த த க ச ொச ல க கொ ற ச க(i) ல கல ொ த ணிகலக ொ கக

(ii) கசச ொச ல ல ( ii)) க கொ க(iii) லக த ொத க த ொ ச

Xfx

f� ��

ொ ொ ல க(iv) கசச ொச ல ல ( iv)) க கொ க

த ல க ல ொக க

5.3.3 ொ வ க ப த ப க மவண ப வல (Mean-Grouped Frequency Distribution)

ள லக த ள க கக ல ல கல க ைொக கக

க 10-20 20-30 30 – 40 40 – 50 50 - 60

ொ கலக ொ க ணிகலக

80 120 50 22 8

றக ைொ ல ொ கலக ொ க ணிகலகல க கொ ககொ ொக 120 ொ கலக ொ கள 20 த 30 க க ொக க ொ கள லக த க ல

த ொ க ொ த த கள ல ொ ொ ொ


111ள

ல ொக தல த ல ொ

ல ள ள ொ கக ொ ொ ை க க

ல ள = UCL LCL2+ UCL லை

LCL லை

5.4 ொ (Arithmetic Mean) தொ கக க ச ொச ல க ககொ ல க த

ல ல க க க ைொ (i) ல (ii) கச ச ொச ல (iii) ைகக ல

5.4.1 டி (Direct Method)

ல ல ொ ச ொச கொ தறகொ ொ ொ X fx

f� ��

x ல ல ள ற f த ல க

ல ச ொச கொ தறகொ கள (i) ொ ல ல ள ல க க லத x க

கக

(ii) ல ள கல தற ல க ொ க கக ை த fx க கொ

(iii) ∑fx க க க ∑f கக ச ொச ல க

கொ 5.1 ொ கக ணிகலக ல கொ கக ள ொ கக ச ொச லதக கொ க

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

கக ணிகலக 2 6 9 7 4 2

கக ணிகலக (f) ல (x) fx

0-10 2 5 10

10-20 6 15 90

20-30 9 25 225



30-40 7 35 245

40-50 4 45 180

50-60 2 55 110

f� � 30 fx� � 860

ச ொச = Xfx

f� ��

= 86030

= 28.67

ொ கக ச ொச = 28.67.

5.4.2 கச ச ொச ல (Assumed Mean Method)

லக த த க ச ச ொச ல ல ை ல ொகக கொ லத ற ொ தொ கொ கக த கள க ணிகலக க ொ த கல த க கல க ற தல க கொ க ொக தொ ைொ த கள ற க ககொள க

தொக க ொ ொ லக த த க க கச ச ொச ல ல க சச ொச கொ ைொ

கச ச ொச ல ச ொச கொ தறகொ கள

1. த க தொ ல கச ச ொச (A) ககொள ொ த ொ ல ொக தொ ொ தொக க

2. ொ ற ைகக d = x – A க கொ க

3. ைகக ல த த ல க f க fd∑ க கொ க

3. X Afd

f� � �

� ொ ொ ல க

கொ 5.2 கக த க க ச ச ொச ல க கொ க

100-120 120-140 140-160 160-180 180-200 200-220 220-240

க 10 8 4 4 3 1 2

கச ச ொச A = 170


113ள

க f

ல x

d = x–Ad = x–170 fd

100-120 10 110 –60 –600

120-140 8 130 –40 –320

140-160 4 150 –20 –80

160-180 4 170 0 0

180-200 3 190 20 60

200-220 1 210 40 40

220-240 2 230 60 120

f∑ = 32 fd∑ = –780

5.4.3 படிவி க (Step Deviation Method) ல க க லத ல தறகொக ைகக d = x – A

ல c தொ x Ac− c க ச ொச கொ

ொ ொ ொ

X =Afd

fc� �

�

��

�

��

��

, d x Ac

��

கொ 5.3 கக ற ைகக ல ச ொச ல க கொ க

ல 0-8 8-16 16-24 24-32 32-40 40-48

க ( f ) 10 20 14 16 18 22

கச ச ொச A = 28, c = 8

ல ல ள x க f d

x Ac

=−

fd

0-8 4 10 –3 –308-16 12 20 –2 –40

16-24 20 14 –1 –1424-32 28 16 0 032-40 36 18 1 1840-48 44 22 2 44

f∑ = 100 fd∑ = –22

ச ொச X = A+ fd

f∑∑

= 17078032

��

��

�

��

X = 170–24.375

= 145.625



(i) xi fi ொக க ொ ல த

(ii) xi fi ொக க ொ கச ச ொச ை ைகக ல ல

தைொ(iii) ல கள ச ைொ க

ொ தொக க ொ ைகக ல ல தைொ

(i) x f ொக க ொ f ொக க ொ f ொக க ொ ொக க ொ ொக க ொ ொக க ொ பு

ொ ைகக ல ல தைொொ ைகக ல ல தைொொ ைகக ல ல தைொொ ைகக ல ல தைொொ ைகக ல ல தைொ

ச ொச X Afd

f� � �

�×c

� �

��

��

�

�� 28

22100

8

=28–1.76=26.24

5.4.4 ொ யி சி பு பணபு (A special property of the Arithmetic Mean)

a,b ற c கள க ற ச ொச a b c+ +

3 ொ

த ச ொச ொ லத ொ ச ொச ணி ைகக ல க ொ ற த ைகக க த

ணகள ொ யி வி கம

a aa b c a b c−+ +

=− −

32

3

b ba b c b c a−+ +

=− −

32

3

c ca b c c a b−+ +

=− −

32

3

ொ த = 23

23

23

a b c b c a c a b− −+

− −+

− − = 0

ொ ொ ல தைொ ச ொச ல க ைகக க தொலக ச x1, x2, x3,..., xn n ள க சச ொச X

x X x X x X x Xn1 2 3

−( )+ −( )+ −( )+ + −( )... =0 . ( )x Xi

i

n

− ==∑ 0

1

1. த ள ொ ொ ொ k ொ ைொ ை க தொ ைொ த ச ொச ொ ொ k ை ல .

2. த ள ொ ொ ொ k, k 0 க ொ ைொ ை தொ ைொ த ச ொச ொ ொ k கக ை கக .

கொ 5.4 ககொ த க க க ச ச ொச ைகக க தொலக கொ க 21, 30, 22, 16, 24, 28, 18, 17


115ள

Xx

n� � =

21 30 22 16 24 28 18 178

1768

� � � � � � �� = 22

சச ொச X x ைகக x–X

ைகக க தொலக

= (21–22)+(30–22)+(22–22)+(16–22)+(24–22)+(28–22)+(18–22)+(17–22) = 16–16 = 0. ை x X�� 0

ச ொச ல க ைகக க தொலக ச

ற த ொ தல

10 த க ச ொச 48 ொ த 7 க

க தொ ல க த க ச ொச ல க கொ க

கொ 5.5 6 த க ச ொச 45 ொ த 4 க ொ ல க

ச ொச ல க கொ க

x1, x2, x3, x4, x5, x6 த க

ச ொச xi

i

n

��

1

6 = 45 க

ொ த க ொ ல க ச ொச

X = ( )x

i

�� 4

61

6

= ( ) ( ) ) ( ) ( )x x x x x

1 2 3 4 64 4 4 4 4

6

+ + + + + + + + +

= x xi

ii

i

��

� �24

6 61

6

1

6

+4 ற த

ொ தல

z 12 த க ச ொச 20 ொ த ல 6

கக ல க த க ச ொச ல க கொ க

z 30 த க ச ொச 16 ொ த ல 4 கக ல க

த க ச ொச ல க கொ க

X = 45 + 4 = 49.

கொ 5.6 7 த க ச ொச 30 க ொ ல 3 ககக ல க

ச ொச ல க கொ க

X x x x x x x x1 2 3 4 5 6 7, , , , , , . த கள க

X =xi

i��

1

7

7 = 30 ை x

ii��

1

7

= 210



ொ ல ககக ல க ச ொச

xi

i 371

7

��

=

x x x x x x x1 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3 3 3 37

� � � � � ��

��

�

��

= xi

i��

1

7

21= 210

21= 10

ொற ல ற த ொ தல

ொ கள க கொ கக ள ொ

ல ல க ற க சச ொச கள

ல 45 60, 65 ை 70 த ொ க

சச ொச ல க கொ க

Y X ொ ல ககக ல க

YX

= = =3

303

10� � . த ச ொச

ல ச ொச ல ககக ல ள

கொ 5.7 25 ொ க ச ொச 78.4 96 ொ 69 த தைொக ொ கக க ச ொ கல க கொ ச ொச ல க கொ க

ொ க ணிகலக ற ச ொச ல n X= =25 78 4, .

த ொ x X n� � � � � �78 4 25 1960.

ச ொ x த ொ x – த ொ ச ொ

� � � �1960 69 96 1987

ச ொ ச ொ X �

�xn

=198725

= 79 48.

ற 5.1

1. ொ க கொை லை 26 24 28 31 30° ° ° ° °c c c c c, , , , , 26 24° °c c,

க க த ொ றகொ ச ொச லைல க கொ க

2. ள 4 க ல க ச ொச 60 க ல கள 56 68 ற 72 ொ கொ ல ல க கொ க


117ள

படி ககொ ல க ல கக

ணி தொ ற ச ச க

ணி தொ ககொ க கொ கக க கல ற ொக க தொ கக ள த கல ள ச ொககல ொற

த ை கக ல கல ச ச ொ கக

படி

ச ொ றகொ ைகக ல ச ொச கொ த

இ யில க மப ம ப ம




3. கணித ை த 10 ொ கள 75 12 ொ கள 60 8 ொ கள 40 ற 3 ொ கள30 ற

ொ த ச ொச

4. க 6 ற ொ ொ கக க க றலக கல 10 ொ கள கொ கல றகொ த ற ற ொ க க க கள ள

கள 1 2 3 4 5 6

ற ொ க க க ( 3) 145 148 142 141 139 140ற ொ கக க ச ொச ல க கொ க

5. கக ச ொச 20.2 p ல க கொ க

கள 10 15 20 25 30

ொ க ணிகலக

6 8 p 10 6

6. ள ொ க ல ல றகொக கக ச ொச ல ல ல ை கொ க

ல 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75


4 11 19 14 0 2

7. கக ச ொச ல கச ச ொச ல கொ க

ல 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50

க 5 7 15 28 8

8. கக ச ொச ல ைகக ல கொ க

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44

க ணிகலக 4 20 38 24 10 9

5.5 இ

த க க ல த ல க ல ல ல த ல க ச ச ச ொகச ச லை த ொ ல ச

ச ொச ைக ணி ொ ொ கள ல `5000, `6000, `7000 ற `8000 ககொ ொ க ச ொச


119ள

ொ = 5000 6000 7000 8000

4

+ + + = `6500 . ொ தொ தொக ` 29000 ொத ொ க ச தொ த க ச ொச ொ 5000 6000 7000 8000 29000

5

+ + + + = 550005

= `11000 . த க ள ொ ச ொச ொ `11000 க ொ த ொக ல ொதொ க ள கக க த ொ ச ொச ல ொ க

ச ொச ல ொ ொ ல ைக ச ச ொ க ொ ொ ச ொச லகல த த ொல லை

ை லச கக கல ச ொக க ொக க ல ல லை

ககொ ொக ள 9 ொ க கள ல 122 ச 138 ச 124 ச 125 ச 135 ச 141 ச 138 ச 140 ச 141 ச 147 ச

ற 161 ச ககொள ொ

(i) கக ொ க க ச ொச 137ச

(ii) த கல லச 122 ச 125 ச 125 ச 135 ச 138 ச 140 ச 141 ச 147 ச 160 ச ொ 138 ச

ொ ச ைொ ணிகலக கள ற லதக கொ ைொ த ல க ல லை

ொ

(iii) த தொ 11 கள லச கக தொ த 6 ல லை தொ ல

ள த தொ 101 கள தொ 51 ல லை

த தொ றல ணிகலக கள தொ ல ல தொகக கொ ைொ ொ ொக த தொ றல

ணிகலக n கள தொ த ல லை n +

12

(iv) ள தொ 6 கள தொ ொ ல லை கொ ள தொ ல ள க



ச ொச ல லை 3.5 க ைொ ொ த தொ 100 கள தொ 50.5 ல லை

த தொ ல ணிகலக n கள தொ த

ல லை n2

ற n2

1+

க ச ொச .

கொ 5.8 ல தொ 11 கள த கள ல 7,

21, 45, 12, 56, 35, 25, 0, 58, 66, 29 ற ல லை கொ க

கொ கக கல லச கக ொ ொ 0, 7, 12, 21, 25, 29, 35, 45, 56, 58, 66

க ணிகலக 11 றல ல

ல லை = 11 12+

= 122

6 29

கொ 5.9 10,17,16,21,13,18,12,10,19, 22, ல லை கொ க

கொ கக கல லச கக ொ ொ 10,10,12,13,16,17,18,19,21,22. க ணிகலக 10 ல ல

ல லை = 102

ற 10

21+

க ச ொச

5 ற 6 க ச ொச

= .216 17

233 16 5+

= =

கொ 5.10 கொ கக ள ல கணித ற த ை த ல 12 ொ க கள

கணித

52 55 32 30 60 44 28 25 50 75 33 62

54 42 48 49 27 25 24 19 28 58 42 69

த ொ ொ கள க ற ள


121ள

கல லச த

கணித

25 28 30 32 33 44 50 52 55 60 62 75

19 24 25 27 28 42 42 48 49 54 58 69

ொ க ணிகலக 12 6 ற 7 ற ொ க ச ொச ல லை

கணித ொ ல லை = 44 502+ = 47

ொ ல லை = 42 422+

= 42

கணித ொ ொ லதக கொ த ச ைொ

5.5.1 இ வ க ப த ப ொத க மவண ப வல (Median-Ungrouped Frequency Distribution)

(i) கொ கக கல ை லச த(ii) க லைக க க N ொ த க

(iii) N றல ல ொக தொ ல லை = N +

12

(iv) N ல ல ொக தொ ல லை

(v) =

N N2 2

1

2

+

+

கொ 5.11 ல லை கொ க

ச 160 150 152 161 156 154 155


12 8 4 4 3 3 7

கொ கக த கல லச கக ொ ொ ச ொ க

ணிகலக

க 150 8 8152 4 12



154 3 15155 7 22156 3 25160 12 37161 4 41

N = 41

ல லை = N +

12

= 41 12+

= 21

41 ொ க கல லச லச ொ 21 ொ ல ொக க 20 ள ொ 21 ொ லதக கொ ொ 15 ொ கள க ொ கக 154 ச ற ச ச ொக ொ ை ல ொக ொ ள

22 ொ கள க ொ கக 155 ச ற ச ச ொக ொ ை ொக ொ ள 21 ொ 155 ச லத

ைொ ல லை 155 ச5.5.2 இ வ க ப த ப க மவண ப வல (Median - Grouped Frequency Distribution) லக த க ல லை க க ககொ

கல க கொ கள

(i) க லைக க க

(ii) N க க த N2

ல க கொ க

(iii) க N2

ொகக கொ க ல ல லை ல கக

(iv) ல லை = l

Nm

fc+

−

×2 ொ ொ ல க

கொ ைொ

l = ல லை லை f = ல லை க c = ல லை N = க க த f�� m = ல லை க க ொ லத

க


123ள

கொ 5.12 கொ கக ள 200 க ொ ொ ச சை க க ல லை கொ க

ொ ொ ச சை `

0-1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000

க ணிகலக

28 46 54 42 30

ொ ொ ச சை (`

க ணிகலக

க

0-1000 28 281000-2000 46 742000-3000 54 1283000-4000 42 1704000-5000 30 200

N=200

ல லை = N2

= 200

2

ற த ொ தல

z த ொ க ல லை _____.

z த ொ க ொ ல ச க

ொ ல லை கொ க z ல லை க க

ல ள ொ

= 100

ல லை = 2000 – 3000

N2 = 100 l = 2000

m = 74, c = 1000, f = 54

ல லை = lN

m

fc+

−

×2

= 2000 + 54100 74 1000#-

` j

= 2000 + 5426 1000#` j = 2000 + 481.5

= 2481.5

கொ 5.13 கக த க ல லை ல க கொ க

ல 0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50

க 6 24 x 16 9



ல க f க 0-10 6 6

10-20 24 3020-30 x 30 + x30-40 16 46 + x40-50 9 55 + x

N= 55 + x

ல லை 24 ல லை 20 – 30 l = 20 N = 55 + x, m = 30, c = 10, f = x

ல லை = l

Nm

fc+

−

×

2

24 = 20

552

30

10+

+−

×

x

x

4 = 5 25xx- ல ொக

4x = 5x – 25

5x – 4x = 25 x = 25 ற தொ க ள க க ல க கொ ல லை ச ொ ொ ல ல லை ல க ொ லை

ற 5.2

1. கக த க க ல லை கொ க 47, 53, 62, 71, 83, 21, 43, 47, 41.

2. கக த க க ல லை கொ க 36, 44, 86, 31, 37, 44, 86, 35, 60, 51

3. லச ல கக 11, 12, 14, 18, x+2, x+4, 30, 32, 35, 41 த க ல லை 24 x ல க கொ க

4. ொ ச ொ 13 க த கக லத ல தொ ொல க கொ ொ ச ச ல த ககொள லத 31,33,63,33,28,29,33,

27,27,34,35,28,32 ள ொ கள த ககொள ல லை கொ க

5. தொ த ொ கள த க க ல லை கொ க

ல 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

ொ க ணிகலக 2 7 15 10 11 5


125ள

6. லக கக ச ொச ொ த ல லை ல ொ ொ ககள 3, 4, 6, 9 ற த ல லை 6 தொ

ல க கொ க

5.6 க ொ கள ற ொக கள ற த கள கொ கக ள

ொ ற ொக கள

X 4, 12, 006

Y 9, 87, 991

Z 7, 11, 973

ொ த 21, 11, 970

த ொ ற ற ொக கக ொ க ொக க க ணிகலக ைொ ொக கல ற களதொ ொ க ொ

ொக க ொ த ணிகலக க ொ தொ ற ற ொ ொ ொ த ொ ொ க ொ க ொக கள

ற லத ொ ல

ள 9 ள 100 ொ க க ல ொ க கொைணிகல கக த ள ொ க கொைணிக

கள கொ கக ள

கொைணிக 5 6 7 8 9 10

ொ க ணிகலக 10 12 27 31 19 1

கக ொ க

ொ ற ல ொக ல ல

ககொ த ல ைொ ச ல

கக ொ க த

கக ொ க

பு

த த ல கொைணிகல க ணிகலக ொ க

றக ககொ க ச ொச ற ல லை கொ தச லைக

ொ த ற தொக க ைொ ொை த ல கள ொ தற ொ தொ

க ற ொ க ல ற ள க

ச ொச ல ற கொ ொ கல லை ொ த த ொ க ொக ொ கக கொ ொ ல ொ கக த க க



லக த க க க ல ற க க ொ

5.6.1 க ம ப ப ொத த (Mode - Raw Data) க ல ற ள க

கொ 5.14 லை ள தொ ைொ க ொள த கள ல ` 500, ` 600, ` 600, ` 800, ` 800, ` 800 ற ` 1000 ொள த க க கொ க

த ` 600 க ொ ல ற ற ல ை ல ற தொ க ` 800

கொ 5.15 க க க கொ க 17, 18, 20, 20, 21, 21, 22, 22

த 20, 21, 22 கள ொ ல தொ த க க 20, 21, 22 க கள ள

க ள றல க க கள ள ல க க கள ள க

க க க ள க

க ள றல க ள றல க ள றல க ள றல க க ள றல

பு

க க க க க க ள க க

5.6.2 க வ க ப த ப ொத க மவண ப வல (Mode for Ungrouped Frequency Distribution)

லக த ொத க க க ல ற ள க

கொ 5.16 தொ ொ 4 கல ொ 5 கல 6 கல 9 கல கொ ள க கொ க

தொ 4 5 6 9

க 5 4 9 6

கொ கக த க க 9 ற க 6 க 6


127ள

5.6.3 க வ க ப த ப க மவண ப வல (Mode–Grouped Frequency Distribution)

லக த க க ச ொ த ொ தொ க ச ொ ல க கொ கக க ொ

ல க ச ொ தொக ள ொ க தொ ொ ல க ொ ொ ை கொ ைொ

க = l f ff f f

c��

� ��

��

�

��1

1 22

க க ல ற ள ல க ல ொ

l க லை f க க f1 க க க லத க f2 க க க லத க

கொ 5.17 ககொ த க க க கொ க

கள 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

ொ க ணிகலக 7 10 16 32 24

தொ ச ைொத ல ல

தொ ச ொ ல ொக ொற தற

ொ ல லை 0.5 க

க கக ற லை 0.5 க

பு கள ொ க ணிகலக

0.5-5.5 7

5.5-10.5 10

10.5-15.5 16

15.5-20.5 32

20.5-25.5 24

க 16-20 க க l = 15.5, f = 32, f1 = 16, f2=24, c = 20.5–15.5 = 5

க = lf f

f f fc+

−

− −

×1

1 22

= . 64 16 2432 1615 5 5#+- --

` j

= 15.5 + 2416 5#` j = 15.5 + 3.33 =18.83.



5.6.4 ொ இ க இவற மப ப (An Empirical Relationship Between Mean, Median and Mode).

க கள ொக க ொ க லக ொ ச ொச க க ல லக தொ ற

க ≈ 3 ல லை – 2 ச ொச

கொ 5.18 ச ொச ற க ல 66 ற 60 ல லை கொ க

ச ொச 66 க 60

க ≈ 3 ல லை 2 ச ொச 60 ≈ 3 ல லை 2(66)

3 ல லை ≈ 60 +132

ல லை ≈ 1923

≈ 64

ற 5.3

1. 10 தொ ைொ க ொத ொ கள ல 5000, 7000, 5000, 7000, 8000, 7000, 7000, 8000, 7000, 5000 ச ொச ல லை க கொ க2. கொ கக ள த க க க கொ க 3.1, 3.2, 3.3, 2.1, 1.3 , 3.3 , 3.1

3. 11, 15, 17, x+1,19, x–2, 3 த க ச ொச 14, x ல க கொ க x ல க கொ த க க கொ க

4. ல ொ க கொ ச ல க ககொ தல கொ கக ள38 39 40 41 42 43 44 45

ணிகலக 36 15 37 13 26 8 6 2 த கொ ச ல க க தல ள 5. த க க கொ க

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50ொ க ணிகலக 22 38 46 34 20

6. த க ச ொச ல லை க கொ கல 25-34 35-44 45-54 55-64 65-74 75-84ொ க ணிகலக 4 8 10 14 8 6


129ள

ம யெல ம1. 20 தல ொ ை க க ச க க

லை த ொ கக. ச ொச ல லை ற க கொ க ல கல க

2. ள ொ க ற (i) ச ொச ல க கொ க ல ல (ii) ச ொச ல க கொ க ல ல

ற 5.4


1. கற ல க த கள (1) லக த த கள (2) ல (3) க (4) ச ொத த கள

2. ல ள m தொ க லை ‘b’ த லை

(1) 2m - b (2) 2m+b (3) m-b (4) m-2b.

3. ற ல ொக ல ை(1) ச ொச (2) ச (3) ல லை (4) க

4. க ச ொச ற கக ொ ற க ச ொச 78 க ல கக (1) 101 (2) 100 (3) 99 (4) 98.

5. த க ல ற ள (1) க (2) ச (3) க (4) ல லை

6. தொ க ச ொச ல லை ற க ொக ல தொ (1) 2,2,2,4 (2) 1,3,3,3,5 (3) 1,1,2,5,6 (4) 1,1,2,1,5

7. ச ொச ல க ைகக க தொலக(1) 0 (2) n-1 (3) n (4) n+1.

8. a,b,c,d ற e ச ொச a, c ற e ச ொச 24 b ற d ச ொச (1) 24 (2) 36 (3) 26 (4) 34

9. x, x+2, x+4, x+6, x+8, த ச ொச 11 த த க சச ொச

(1) 9 (2)11 (3) 13 (4) 15.



10. 5,9,x,17 ற 21 ச ொச ொ 13 , x (1) 9 (2) 13 (3) 17 (4) 21

11. த 11 க கக க ச ொச(1) 26 (2) 46 (3) 48 (4) 52.

12. த 10 கொ க கக க ச ொச(1) 12.6 (2) 12.7 (3) 12.8 (4) 12.9

13. த க ல லை (1) 4 (2) 4.5 (3) 5 (4) 5.5.

14. தொ ச ொச X . தொ ொ ொ கக ொ த ச ொச (1) X +z (2) X - z (3) z X (4) X

15. 165 கொக கொ ணிக ச ொச (1) 5 (2) 11 (3) 13 (4) 55

வதறகொ க கள z ொகக றகொக ல கள ற கல த கள ொ

z ொகக க ச த கல ச சக த லை த கள ொ ை க த கல த ொ லை த கள

z தொ கக லை த கள ச ொத த கள z ல கல த த கள தொ கக த கள

z க த தல ல லதக க

z ள =UCL LCL+2

(UCL – லை LCL – லை z ல = UCL – LCL z தொ கக த க ச ொச

ல கச ச ொச ல ைகக ல

Xfxf

� ��

X Afdf

� � ��

X Afdfc� � �

�

��

�

��

��

z க த ல ள ல க க க த

z லக த க ல லை = l

N m

fc�

��

��2

z லக த க க = l f ff f f

c��

� ��

��

�

��1

1 22


131ல கள

ல கள

1. கண ம�ொழிபயிறசி 1.1

1. (i) {1,2,3,4,5,7,9,11} (ii) {2,5} (iii) {3,5 }


1. (i) { a,b,c,d,e,f } (ii) {a,b,d } (iii) { a,b,c,d,e,f } (iv) {a, b, d }

2. (i) A B

CA B C∪ ∩( )

(ii) A B

CA B C∩ ∪( )

(iii) A B

C( )A B C∪ ∩

(iv) A B

C( )A B C∩ ∪


1. (i) 3 4 6, ,{ } (ii) −{ }1 5 7, , (iii) −{ }3 0 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , , , ,

(iv) −{ }3 0 1 2, , , (v) 1 2 4 6, , ,{ } (vi) 4 6,{ } (vii) −{ }1 3 4 6, , ,

2.(i) A B

C( )A B C− ∩

(ii) A B

C( )A C B∪ −

(iii) A B

CA A C− ∩( )

(iv) A B

C( )B C A∪ −

(v) A B

CA B CÇ Ç


2. (i) 185 (ii) 141 (iii) 326 3.(i) 125

(ii) 695 (iii) 105 4. 70



5. x = 20 , y = 40 , z = 30 6. (i) 5 (ii) 7

(iii) 8 7. 5


1.(1) 1 2. (3) ( ) ( )P Q P R− ∪ −

3. (4) ( )A B A B∩ ′ = ′ ∪ ′ 4.(2) 10 5.(1) 10

6.(4) f 7. (3) ச கக ச கொ க கொ க க . 8.(1) A 9.(3) Z X Y− ∩( ) 10.(1) 5

2. ம�யமயெணகளபயிறசி 2.1

1.(i) 54 (ii) 5 1- (iii) 512 (iv) 5

32

2.(i) 42 (ii) 432 (iii) 4

52 3.(i) 7

(ii) 9 (iii) 32 (iv) 127

(v) 9

(vi) 2516

4.(i) 512 (ii) 7

12 (iii) 7

103

(iv) 10143

-

5.(i) 2 (ii) 3 (iii) 10 (iv) 45


1.(i) 21 3 (ii) 3 53 (iii) 26 3 (iv) 8 53

2. (i) 30 (ii) 5 (iii) 30 (iv) 49 25a b-

(v) 516

3.(i) 1 852. (ii) 23 978.

4. (i) 5 3 43 6 9> > (ii) 3 5 732 43> >

5. (i) (ii) (iii) (iv)

6. (i) (ii) (iii) (iv)


1.(i) 210

(ii) 53

(iii) 5 66

(iv) 302

2. (i) 43

5 2 6( )+ (ii) 13 4 6- (iii) 9 4 3021

+ (iv) -2 5

3. a b=−

=4

3113

, 4. xx

2

2

118+ = 5. 5.414


1. (i) 5 6943 1011. ´ (ii) 2 00057 103. ´ (iii) 6 0 10 7. × − (iv) 9 000002 10 4. × −


133ல கள

2. (i) 3459000 (ii) 56780 (iii) 0.0000100005 (iv) 0.0000002530009

3. (i) 1 44 1028. ´ (ii) 8 0 10 60. × − (iii) 2 5 10 36. × − 4.(i) 7 0 109. ´

(ii) 9 4605284 1015. ´ (iii) 9 1093822 10 31. × −

5. (i) 1 505 108. ´ (ii) 1 5522 1017. ´ (iii) 1 224 107. ´ (iv) 1 9558 10 1. × −


1. (4) 25 5= ± 2.(4) 13 3.(1) 8 10 4.(3) 5 3

5.(2) 4 6.(2) 8 21 7. (3) 63

8.(2) 22 4 10-

9.(2) 93 10.(4) 10

3

6

6 11.(2) 4

3 12.(3) 5 367 10 3. × −

13.(2) 0 00592. 14.(3) 2 1010´ 2

3. இயெறகணிதமபயிறசி 3.1

1. (i) ( )x -1 கொ ணி ொ (ii) ( )x -1 கொ ணி ை

2. x + 2 கொ ணி ை 3. ( )x - 5 p x( ) கொ ணி ொ

4. m = 10 6. 7. k = 3 8.


1.(i) 4 9 16 12 24 162 2 2x y z xy yz xz+ + + + + (ii) 4 9 16 12 24 162 2 2a b c ab bc ac+ + − − +

(iii) p q r pq qr pr2 2 24 9 4 12 6+ + − + − (iv) a b c ab bc ac2 2 2

16 9 4 6 3 4+ + + + +

2.(i) x x x3 215 74 120+ + + (ii) 8 24 14 603 2p p p− − +

(iii) 27 27 18 83 2a a a+ − − (iv) 64 64 100 1003 2m m m+ − −

3.(i) 18,107,210 (ii) −32, −6, +90

4.(i) 14 (ii) 5970

(iii) 78 (iv) 7870

5.(i) 8 27 36 543 3 2 2a b a b ab+ + + (ii) 27 64 108 1443 3 2 2x y x y xy− − +

(iii) xy

xy

x

y3

3

2

2

1 3 3+ + + (iv) a

aa

a3

3

13

3+ + +

6.(i) 941192 (ii) 1092727 (iii) 970299 (iv) 1003003001

7. 29 8. 280 9. 335 10. 198 11. +5, +110

12. 36 13.(i) 8 27 64 723 3 3a b c abc+ + − (ii) x y z xyz3 3 38 27 18− + +

14.(i) −630 (ii) 486 (iii) -512

(iv) -94



15. ( )( )( )x y y z x z+ + + 16. 115

18. 72xyz


1. (i) p5 (ii) 1 (iii) 3 2 2 3a b c (iv) 16 6x

(v) abc (vi) 7 2xyz (vii) 25ab (viii) 1

2. (i) 1 (ii) am+1 (iii) ( )2 1a + (iv) 1

(v) x x+( ) −( )1 1 (vi) a x−( )3


1.(i) 2 1 2 42a b c( )+ + (ii) ( )( )a m b c- -

(iii) ( )( )p q p r+ + (iv) ( )( )( )y y y+ − +1 1 2 1 2.(i) x +( )2 2 (ii) 3 4 2( )a b-

(iii) x x x x( )( )( )+ − +2 2 42 (iv) mm

mm

+ +

+ −

15

15

(v) 6 1 6 1 6( )( )+ −x x (vi) aa

aa

− +

− −

14

14

(vii) ( )( )m m m m2 23 1 3 1+ + − + (viii) ( )xn + 1 2

(ix) a

33

2

−

(x) ( )( )a b ab a b ab2 2 2 2+ + + − (xi) ( )( )x y xy x y xy2 2 2 22 2 2 2+ + + −

3. (i) ( )2 3 5 2x y z+ + (ii) ( )1 3 2+ −x y ( ை ) ( )− − +1 3 2x y

(iii) ( )− + +5 2 3 2x y z ( ை ) ( )5 2 3 2x y z- - (iv) 1 2 32

x y z+ +

4. (i) ( )( )2 5 4 10 252 2x y x xy y+ − + (ii) ( )( )a a a− + +9 9 812

(iii) ( )( )3 2 9 6 42 2x y x xy y− + + (iv) ( )( )m m m+ − +8 8 642

(v) ( )( )a b a b ab+ + +2 2 2 (vi) ( )( )( )( )a a a a a a+ − + − + +2 2 4 2 4 22 2

5. (i) ( )( )x y z x y z xy yz xz+ + + + − − −2 3 4 9 2 6 32 2 2

(ii) ( )( )a b a b ab b a+ + + + − − −1 12 2

(iii) ( )( )x y x y xy y x+ − + + − + +2 1 4 1 2 22 2

(iv) ( )( )l m n l m n lm mn ln− − + + + − +2 3 4 9 2 6 32 2 2


1.(i) ( )( )x x+ +6 4 (ii) ( )( )x x− +11 9

(iii) ( )( )z z+ −6 2 (iv) ( )( )x x+ −15 1

(v) ( )( )p p− +8 2 (vi) ( )( )t t- -9 8

(vii) ( )( )x x- -5 3 (viii) ( )( )y y− +20 4

(ix) ( )( )a a+ −30 20


135ல கள

2. (i) ( )( )2 5 2a a+ + (ii) ( )( )11 6 1− +m m (iii) ( )2 5 2x - (iv) ( )( )- - -12 8 5 4x x

(v) ( )( )x y x y− +7 5 6 (vi) ( )( )2 3 4 3x x- - (vii) 2 3 2 2( )( )x y x y+ +

(viii) − + −3 4 3 1( )( )x x (ix) − + −1 3 10 1( )( )a a

(x) 3 3 22 2x y( )+ (xi) ( )( )a b a b+ + + +6 3

3. (i) ( )( )p q p q− − − +8 2 (ii) ( )( )18 9 13 2 1x y x y− − − +

(iii) ( )( )m n m n+ −6 4 (iv) a a+( ) −( )5 5 3 (v) ( )( )( )a a a+ − −1 1 22

(vi) m m n m n( )( )4 5 2 3+ − (vii) 3 2 4 3x x+( ) −( ) (viii) ( )( )a a a a2 23 1 3 1+ + − + (ix) a

aa

a− +

− −

14

14

(x) 1 12

x y+

(xi) 1 2 3 2x y x y+

+


1.(i) x x2 4 5 12+ + , (ii) ( ),x 2 1 2- -

(iii) x x2 8 48 253+ + , (iv) 3 11 40 1252x x− + −,

(v) xx2 23

349

49

- - , (vi) 22

38

5132

10932

32

xx x

− − + ,

2. 4 2 3 2 03 2x x p q− + = − =, , , =−10

3. a b= =20 94, , =388பயிறசி 3.7

1.(i) ( )( )( )x x x− + −2 3 4 (ii) ( )( )( )x x x+ − −1 2 2 1

(iii) ( )( )x x x− − +1 4 62 (iv) ( )( )( )x x x− − +1 2 1 2 3

(v) ( )( )( )x x x+ + −2 3 4 (vi) ( )( )( )x x x− − +1 2 3

(vii) ( )( )( )x x x− − +1 10 1 (viii) ( )( )x x x− + −1 42


1. (4) கொ ணி 2.(3) 23

3.(2) ( )3 3x - 4.(3) p( )3

5.(3) x y3 3+( ) 6.(3) ( )x + 2 7.(2) − − +( )a b c2 8.(2) b,ac

9. (3) 1,2, −15 10.(3) 3 11.(4) 0 12.(3) 1

13. (2) 31 14.(1) ak 15.(2) x y2 2−( ) 16.(3) 7

4. வடிவியெலபயிறசி 4.1

1. (i) (ii) ல (iii) (iv) (v)

2. (i) த (ii) ச (iii) ச (iv) ச (v) த




1. 15ச 2. 24ச 3. 17ச 4. 8ச , 45 45° °,

5. 18ச 6. 14 ச 7. 6 ச


1. (i) 45° (ii) 10° (iii) 55° (iv) 120° (v) 60°

2. ∠ = ° ∠ = ° ∠ = °BDC DBA COB25 65 50, ,


1. 30° 2.(i) ∠ = °ACD 55 (ii) ∠ = °ACB 50 (iii) ∠ = °DAE 25

3. ∠ = °A 64 ; ∠ = °B 80 ; ∠ = °C 116 ; ∠ = °D 100 4. 17ச 5.(i) ∠ = °CAD 40 (ii) ∠ = °BCD 80 6. =5ச 7. 3.25

8. ∠ = °OAC 30 9. 5.6 10. ∠ = °RPO 60


1.(1) 55° 2.(3) 40ச 3.(1) 80° 4.(1) 30°

5.(4) 10ச 6.(1) 80° 7.(2) 105° 8.(3) 120°

9.(2) 9ச 10.(4) 9ச

5. புளளியியெலபயிறசி 5.1

1. 27°C 2. 44 3. 56.96 ( ை ) 57 ( தொ ொ ொக)

4. 142.5 3 5. p = 20 6. 40.2 7. 29.29 8. 29.05


1. 47 2. 44 3. 21 4. 32

5. 31 6. 38


1. 6600, 7000, 7000 2. 3.1 ற 3.3 ( க ) 3. 15

4. 40 5. 24 6. 55.9, 56.64, 58.5


1. (4) ச ொத த கள 2.(1) 2m−b 3.(2) ச 4.(3) 99

5. (3) க 6.(2) 1, 3, 3, 3, 5 7.(1) 0 8.(4) 34

9.(1) 9 10.(2) 13 11.(2) 46 12.(4) 12.9

13.(2) 4.5 14.(3) zX 15.(4) 55


137கணிதக கலைசசொறகள

கணித க ம ொறகளக கள Indices

ல Semi-circle Scienti�c notation

ல க க Universal setல லை Medianல Conjugate

ொ லை த கள Secondary data கள Binomial surds

ள Inradiusள ல Incentreள Incircleகச ச ொச Assumed mean

க Set complementationக ொச Set di�erenceக ச ச கள Set operationsகை கள Mixed surdsகொ ணி தற Factor theoremகொ ணி த Factorisation

கள Compound surdsச ச ொச Arithmetic mean

கொ Angleச ச கள Congruent circle

க கொ Minor sectorச ொத த கள Raw data

ச Associative propertyதொ கக ொத த கள Ungrouped dataதொ கக த கள Grouped dataதொ ல த Synthetic division

க கொ ல Centroidொ Chordொறக Quadrilateralக Frequency table

Distributive property ைகக ல Step-deviation method

Circumferenceொற Commutative property

ச கொ ணி Zero / Factor க கொ Major sector ொ ல கள Concentric circle

ொ Greatest Common Divisorக Mode

க Finite setத லை த கள Primary data

ல ொ கள Pure surdsகள Surds

ற ொ ல கள Identitiesை ொ Radicandைக Radical

ல ொக ல கள Measures of central tendencyல Centre

த ல Division algorithm ொறக Cyclic Quadrilateralக கொ Sector

Segmentத த Rationalisationத ொ Irrational number

Diameter ொக க கள Disjoint sets க கள Overlapping sets Venn diagram



பொ ல வொ க இ கண பதொம வ பு

� ொயவொ

வ இ ொ இ ொ�ொ ம,ொ ,

கணித ,த ணி, ச ல .

வ ொகொ க ,ல ொ

ொ ொ ொ க ல ல .

இ ொ � ொ� ,கணிதக க ைொசக ,

கணித கள ச க ச ல -05.

பொ வல

வ க �ொ ொ ,ல ொ ,

. க. கொ தொ க ச ல .

பொ ல வொ கம

மப ப � ொப ,ல ொ

ொ க ற ற ொ ொ லை ொ

கொ.ம . . க� ம யி ொபு ,தொ . . கொ ல கொ -1

ம ல �ொ ,தொ

. . . ல க ொ .

இ ொ வொ ,தொ ,

ொ ள கொ கை த ொ .

.பு க ண ,தொ ,ல ொ க . . ள த .

ொ மவ க ொ� ,கலை தொ ,

கொ ொ ொ . . கொ .

பொ க ப ொ தொ ொ ை லை ள

ல க ொ

யவொ கள

வ .ப ம யெ ொ� ,த ொ , கலைக க ொ -601204.

வ ொ தொ,த ொ , கலைக க ொ -601204.

வ கவிதொ,த ொ ,

ொ க க ச ல .

பொ ண பொ

பொ த ம லவி,ல க ,ொ ைக க ொ ச ற ற ,

ச ல

ண பொ

ொ க�ல,லை ல ொ ,

ொ ைக க ொ ச ற ற ச ல

யவொ களி ண பொ

வி யெ ,தொ

கொ ொ

ண பொ

தொ வொ ொ தொ ,

கொச ள ொ .

வி � ொண �

இ ொ ம க ொத ள க ச ொ

ொ லை ொ

ம கள

கொ ொ

பொல வி ொய ள ொக

சை ொ

க �ற ம வடிவ � புப க வடிவ � பொ ொய ொ ,

தொ ல ச ல -02.

கொபு ொ வல ொ த க ப ம ொல வில

வடிவ � பு க கம

த ப வல,

த சச ொ ைக க ொ ச ற ற ச ல

ண பொ � ொ ,

க தொ தொ ச ள ச ல ச ொ


Date post:	04-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

ஒன்பதாம் வகுப்பு€¦ · (iv) = ச (equal to) P(A) A 4å...

Documents