ออกแบบโปรแกรมควบคม Gyroscope แบบ 3 แกน เพอใชเปนแนวทางในการสราง ชดฝกซอมวงสวงของการตกอลฟ
ปรญญานพนธ ของ
ชชวาล ศาลาลอย
เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล
กมภาพนธ 2550
ออกแบบโปรแกรมควบคม Gyroscope แบบ 3 แกน เพอใชเปนแนวทางในการสราง ชดฝกซอมวงสวงของการตกอลฟ
บทคดยอ ของ
ชชวาล ศาลาลอย
เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล
กมภาพนธ 2550
ชชวาล ศาลาลอย (2550). ออกแบบโปรแกรมควบคม Gyroscope แบบ 3 แกน เพอใช เปนแนวทางในการสรางชดฝกซอมวงสวงของการตกอลฟ. ปรญญานพนธ วศ.ม. (วศวกรรมเครองกล). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ คณะกรรมการควบคม: พนโท ผศ. ดร. ทววชร วระแกลว, พนโท ผศ. ดร. อโณทย สขแสงพนมรง.
ปรญญานพนธนมวตถประสงคทมงเนนวจยเพอศกษาการเคลอนทของ ไจโรสโคป (Gyroscope) แบบ 3 มตโดยมจดมงหมายเพอทาการกาหนดตาแหนงและทศทางการเคลอนทของไจโรสโคป (Gyroscope) โดยทาการหาคาแรงบดในแตละแกนเพอนามาใชเปนคาเรมตน ในการพฒนาชดไมกอลฟฝกซอมวงสวงตอไปโดยการทดลองนไดทาการกาหนดชนดของไม และทศทางการเคลอนทและตาแหนงของเวลาจากโปรแกรมจาลอง วงสวงของ Swing Maker และทาการกาหนดวธการการคานวณโดยใชโปรแกรม Matlab 5.3 เขามาชวยทา การวเคราะหและ ใชวธการทาง Optimization มากาหนดวธการคานวณเพอทาการหาคาตอบของการเคลอนท โดยมงหวงเพอทจะนาไปใชในการออกแบบชดฝกซอมวงสวงตอไป การศกษาการเคลอนทของ ไจโรสโคป (Gyroscope) แบบ 3 มต โดยวเคราะหหาคาแรงบดในตาแหนงตางๆ ของวงสวงทเหมาะสมโดยวธการทาง Optimization พบวา สามารถทาการกาหนดคาแรงบด ซงเกดจากการเคลอนทของวงสวงได และจะไดนาไปสการออกแบบชด ฝกซอมวงสวงกอลฟตอไป
DESIGNING OF PROGRAM TO CONTROL 3 AXIS GYROSCOPE FOR DEVELOPING THE GOLF SWING TRAINING SYSTEM
AN ABSTRACT BY
CHATCHAWHAL SALALOY
Presented in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master of Engineering degree in Mechanical Engineering
at Srinakharinwirot University February 2007
Chatchawhal Salaloy. (2007). Designing of Program to Control 3 Axis Gyroscope for Developing the Golf Swing Training System. Master thesis, M.Eng.(Mechnical Engineering). Bangkok: Graduate School, Srinakharinwirot University. Advisor Committee : Lt. Col. Assist. Prof. Dr. Tawiwat Veeraklaew : Lt. Col. Assist. Prof. Dr.Anotai Suksangpanomrung.
The purpose objective of this thesis is emphasize on studying the three dimensional gyroscope for finding direction and position. First, each torque along each axis of Cartesian coordinate is developed through the dynamic equation of the system of gyroscope as a constraint in the form of resultant in order to make it satisfied with a swing of golf player. Then the problem can be solved by using Matlab code. As a result, the solution can be used to develop prototype later as a future work.
ประกาศคณปการ
ปรญญานพนธฉบบน สาเรจไดดวยความกรณาของ พนโท ผชวยศาสตราจารย ดร. ทววชร วระแกลว ประธานกรรมการควบคมปรญญานพนธ และพนโท ผชวยศาสตราจารย ดร.อโณทย สขแสงพนมรง กรรมการควบคมปรญญานพนธ ทกรณาใหคาปรกษา แนะนา ใหความชวยเหลอ และแกไขความบกพรอง อกทงใหกาลงใจขณะดาเนนการทาปรญญานพนธ ผวจยขอกราบขอบพระคณเปนอยางสงตลอดไป ขอขอบพระคณ ผชวยศาสตราจารย วชต บวแกว, ดร.ถวดา มณวรรณ ทชวยตรวจแกไขปรญญานพนธ และใหขอเสนอแนะทเปนประโยชนตองานวจย ขอขอบคณบดา มารดา ตลอดจนเพอนรวมงานทกทาน ในความสนบสนน ชวยเหลอและใหกาลงใจ เปนอยางดตลอดเวลา ขอขอบคณเพอนรวมชน โครงการความรวมมอหลกสตรปรญญาโท มศว. และ รร. จปร.สาขาวศวกรรมเครองกล รน 2 ทกทานทใหความชวยเหลอและเปนกาลงใจ ชชวาล ศาลาลอย
ออกแบบโปรแกรมควบคม Gyroscope แบบ 3 แกน เพอใชเปนแนวทางในการสราง ชดฝกซอมวงสวงของการตกอลฟ
ปรญญานพนธ ของ
ชชวาล ศาลาลอย
เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล
กมภาพนธ 2550 ลขสทธเปนของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ
สารบญ บทท หนา 1 บทนา ........................................................................................................ 1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา................................................. 1 วตถประสงคของโครงการวจย................................................................. 1 ขอบเขตของโครงการวจย....................................................................... 2 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ……………………………………………….... 2
2 ทฤษฎและงานวจยทเกยวของ ………………………………………………... 3 การทบทวนเอกสารทเกยวของ ..…........................................................... 3 ออปตไมตเซชน (Optimization) ………………........................................ 4
3 วธดาเนนการวจย …………………………………………………..………….. 27 การกาหนดปญหา (State of the Problem) ……..…………………………... 27 การแกปญหาเชงตวเลข (Numerical Methods) ……..……………………… 28 การพฒนาโปรแกรมคอมพวเตอร (Computer Programming) ………..…… 31
4 ผลการทดสอบและวเคราะหผลการทดสอบ …………………………..…… 32 การกาหนดรปแบบของวงสวง………....................................................... 32 การกาหนดตาแหนงการเคลอนท……….................................................. 34 การวดองศาและวธการวดคา………….................................................... 35 ผลการทดสอบ………............................................................................ 41
5 สรปและวจารณผลการทดสอบ .................................................................. 45 สรปและวจารณผลการทดสอบ............................................................... 45 ขอเสนอแนะ…………………................................................................. 45
บรรณานกรม ................................................................................................. 46
ภาคผนวก …………………………………………………………………………. 48
ประวตยอผวจย ............................................................................................. 50
บญชภาพประกอบ ภาพประกอบ หนา 1 แสดงการเคลอนทของความเรวเชงมม………………………………….............. 23 2 แสดงการเคลอนทของGyroscope ในแนวแกน X,Y,Z …………...…………….. 28 3 แสดงรปตวอยางวงสวงดานหลง ………………………………………………… 32 4 แสดงรปตวอยางวงสวงดานขาง .......................…………………….………… 33 5 แสดงรปตวอยางวงสวงดานบน.................................…………………………. 33 6 แสดงรปการปรบความเรววงสวงของโปรแกรม Swing Maker..……………….. 34 7 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ = 25.39 องศา .. 35 8 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ YX = 2.68 องศา …. 35 9 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX = 354.37 องศา.. 36 10 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =305.24 องศา… 36 11 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ YX = 352.5 องศา… 36 12 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX = 5.3 องศา ...... 37 13 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ = 344.8 องศา 37 14 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ YX = 344.47 องศา 37 15 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX = 45.78 องศา 38 16 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ = 321.3 องศา.. 38 17 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ YX = 294.4 องศา.. 38 18 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX = 70 องศา ...... 39 19 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ = 18.82 องศา… 39 20 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ YX = 274.8 องศา… 39 21 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX = 91.64 องศา… 40 22 กราฟแสดงการเคลอนทของวงสวงดาน Top view, Side view, Back view …… 41 23 กราฟแสดงคา ทออกจากโปรแกรม............………………………….. 44 24 กราฟแสดงการเคลอนทของวงสวงทออกจากโปรแกรม........………….………… 44
321 ,, TTT
บญชตาราง ตาราง หนา 1 แสดงคาองศาในดาน ดานหลง, ดานขาง, ดานบน …….................................. 40
บทท 1 บทนา
1. ความสาคญและทมาของปญหาททาวจย ปจจบนกฬากอลฟไดเปนทสนใจและนยมเลนกนทงภายในประเทศและตางประเทศทงในเชงพาณชยจงทาใหกฬาประเภทนมผสนใจอยางแพรหลายและเพมมากขนอยางตอเนองซงสถานทในการเลนและอปกรณตางๆทใชเปนสวนประกอบในการเลนกฬาประเภทนกไดมการพฒนาควบคกนกนไปกบความนยมทมากขนอยางตอเนองโดยททาอยางไรไมกอลฟจะมนาหนกและจดศนยถวงทเหมาะสมทสดและตไดระยะทไกลและทศทางทแมนยาทสด สงหนงทเปนปจจยสาคญไปกวาอปกรณทไดมการคนควาและพฒนาอยางตอเนองนนคอวงสวงทถกตองและสวยงามซงตองอาศยการฝกซอมทถกวธประกอบดวยการขนวงสวงทถกจงหวะและการวาดวงสวงทถกวธซงจากทไดกลาวมานนไดเกดแนวคดทวาทาอยางไรการฝกซอมนนสามารถฝกซอมไดดวยตวเองโดยทไมตองเดนทางไปทสนามและการฝกซอมนนทาอยางไรจงจะมวงสวงทถกตองการฝกซอมนนทาอยางไรจงจะมวงสวงทสวยงาม จากแนวคดทกลาวมานไดทาการออกแบบชดไมกอลฟฝกซอมวงสวงโดยใชไจโรสโคป (Gyroscope) จากหลกการการเคลอนทแบบไจโรสโคป ทสามารถควบคมทศทางและกาหนดทศทางไดซง ไจโรสโคปหนงตวใชกบการกาหนดทศทางหนงทศทางจากหลกการนทาใหเกดแนวคดทวา ถาใช ไจโรสโคป 3 ตว มาทาการกาหนดทศทางทง 3 แกนเพอควบคมการเคลอนทไปไดทง 3 แกน พรอมกนโดยการกาหนดความเรวการหมนของ ไจโรสโคป ทง 3 แกน ในชวงเวลาพรอมกนซงจะไดทศทางทแมนตรงและในทางตรงกนขามในกรณทมแรงมากระทาในทศทางทนอกเหนอทศทางทกาหนดซงทาให ไจโรสโคป ไมอยในตาแหนงทกาหนดไวนนจะทาใหเกดแรงตานจากแนวแกน เปนอปกรณชวยฝกสอนและพฒนาวงสวงของผฝกหดโดยทจะสามารถทราบจดบกพรองและตาแหนงของวงสวงทผดจงหวะซงจะนาไปสแนวทางการแกไขวงสวงของผฝกหดโดยทจะทาใหการตกอลฟเกดการพฒนาไปอยางรวดเรวการตแตละครงไดระยะและทศทางทเหมาะสมทสดซงทงนทงนนขนอยกบการฝกซอมของผฝกหดดวย
2. วตถประสงคของการวจย 1. เพอศกษาการเคลอนทของ ไจโรสโคป แบบ 3 แกน 2. เพอหาแนวทางในการควบคมการเคลอนทของไจโรสโคป แบบ 3 แกนไปกาหนด ทศทางการเคลอนทของชดไมกอลฟฝกซอมวงสวงตอไป
2
3. ขอบเขตของการวจย 1. ออกแบบและเขยนโปรแกรมMatlabเพอทาแบบจาลองการควบคมการเคลอนทของไจโรสโคปใน แบบ 3 มต บนคอมพวเตอร 2. ควบคมความเรวรอบเพอกาหนดทศทางของความเรวเชงมมของระบบไจโรสโคป แบบ 3 แกน
4. ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการวจย สงทจะไดรบจากงานวจยนคอ สามารถกาหนดตวแปรในโปรแกรมเพอใชในการควบคมและกาหนดทศทางการเคลอนทของไจโรสโคป แบบ 3 แกนเพอเปนแนวทางในการประยกตสการสรางชดไมกอลฟฝกสอนวงสวงโดยใชไจโรสโคปเปนตวควบคมทศทางไมกอลฟ ซงผฝกหดนนจะไดมการพฒนาวงสวงเพอการเลนกฬากอลฟทถกวธและมวงสวงทสวยงาม
บทท 2 ทฤษฎและงานวจยทเกยวของ
ในการวจยครงน ไดศกษาและทบทวนเอกสารงานวจยทเกยวของ และนาเสนอตามหวขอตอไปน
1. การทบทวนเอกสารงานวจยทเกยวของ Hsien-Keng Chen; & Zheng-Ming Ge (2004) ไดทาการวจยพฤตกรรมการเคลอนทกลแบบ Two degree of freedom ของ ไจโรสโคป (Gyroscope) ทมการกระจายแรงสนสะเทอนซงเปนพนฐานทเกยวกบคณสมบตของการประมาณการทางดาน Numerical ซงแสดงเปนแบบไมเปนเชงเสนสามารถแสดงใหเหนถงความสมาเสมอของความไมเปนระเบยบของการเคลอนทจากพฤตกรรมเชงคณสมบตของระเบยบททาการศกษาโดยหลกทางคณตศาสตร โดยขนาดมสวนเกยวของเปนจดทมการแบงแยกของเสนขนาดซงสามารถทาการวเคราะหสวนทออกจากขอบเขตของระบบทกาหนดโดยใชวธทาง การคานวณเชงตวทใชขอมลตามการบนทกของเวลาและขอบเขตของระบบซงเกดจากผลกระทบของความเรวในการหมนของไจโรสโคป ทเกดจากพฤตกรรมเชงกล Kasahara; & et.al. (2000) เปนการวเคราะหและวดคาดวยไจโรสโคป แบบ 3 แกน ไดมการพฒนาการวดคาของแรงและทศทางโดยใช ไจโรสโคป มาเปนตววดคาของแรงและทศทางโดยทใชวธการทางดานพลศาสตรซงเปนลกษณะการวดคาทางไจโรสโคป ซงคาทวดไดนนสามารถตรวจสอบไดโดยทางทฤษฏและโดยทางการทดลองซงคาทไดนนสามารถนาไปใชวดคาของแรงในแบบ 3 แกนได ในการวดคาของแรงและทศทางจะมวธการโดยใชจานหมน 2 อนตดตงอยกบไจโรสโคป สาหรบ 1 แกนซงจานหมนนนจะใช Servomechanisms ในขณะทจานหมนนนคาทตองการนนจะทามมตามภาระของแรงทกระทา ในบางกรณจะเกดคาความผดพลาดในการวดซงตองมการกาหนดคาตวแปรเขามาชดเชย ซงจะทาใหคาทวดนนออกมาแมนยาขน Tan; & et.al. (2001) ไดทาการวจยและออกแบบการประมวลผลการปฏบตการ การตรวจสอบเสนทศทางการมองเหนทมการเปลยนแปลง โดยใชกระจกททาการควบคมดวย ไจโรสโคปมาเปนตวควบคมทศทางของกระจกการมองของเครองบนและยานพาหนะทขบเคลอนอยในอากาศ ซงการหมนของไจโรสโคปมคณสมบตทเมอเกดการหมนในแนวแกนแลวจะสามารถรกษาระดบในแนวแกนไวโดยทถามแรงภายนอกมากระทาจะมแรงตานซงเกดจากการรกษาระดบในแนวแกนของไจโรสโคปซงจากคณสมบตนนามาสการแกปญหาในการควบคมเครองมอการ
4
กาหนดทศทางในเครองบนและพาหนะทขบเคลอนในอากาศโดยในงานวจยนจะกลาวถงการออกแบบประสทธภาพการควบคมการทางานของเสนกาหนดทศทางการมอง แบบไมเปนเชงเสน รศ.ดร.ชต เหลาวฒนา; ดร.ถวดา มณวรรณ และวรพฒน นกลวฒโอภาส (2543) ไดวจยหนยนตเคลอนทไดซงกาลงไดรบการพฒนาและวจยอยางมากทงแบบเคลอนทดวยลอและการเคลอนทดวยขา หนยนตบางชนดเปนแบบลกผสม คอใชทงลอและขา ศนยปฏบตการเพอพฒนาหนยนตภาคสนาม (FIBO) มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบรไดเรมดาเนนการวจยออกแบบและสรางหนยนตแบบใหมซงใชหลกการเคลอนทแบบ ไจโรสโคป ในการรกษาสมดลและกาหนดทศทางการเคลอนททาใหสามารถเคลอนไหวไดอยางถกตอง ซงหนยนตมโครงสรางภายนอกเปนลอซงใชการสมดลแบบพลวตภายในมไจโรสโคปหมนดวยความเรวสงและทาใหเกดการทรงตวของไจโรสโคปซงสามารถควบคมการเคลอนทของหนยนตได อมราพร บญประทะทอง ศกษาการแกปญหาดวยวธตรงของระบบทางพลศาสตร ทเหมาะสมดวยวธการแกปญหาของโปรมแกรมทไมเปนเชงเสน รวมกบวธของรงเง–กตตา” (The direct approach of general dynamic optimal control: nonlinear programming and Runge-Kutta method) โดยการแกปญหาการหาคาเหมาะสมทสดของระบบควบคมทางพลศาสตร (Dynamic–optimization problem) โดยใช Numerical integration ซงในงานวจยนใชวธของรงเง–กตตา (Runge–Kutta) กาหนดเปนปญหาแลวนามาหาคาตอบดวยวธของการแกปญหาสาหรบโปรแกรมทไมเปนเชงเสน โดยสรางกระบวนการหาคาตอบตามขนตอนบนโปรแกรม MATLAB และตดตอผใชไดโดยผานหนาจอรบขอมล เพอใหงายตอการใชงานและเปดกวางแกผทเรมศกษา Optimization กระบวนการคานวณใชการคานวณทาง Symbolic ประกอบกบ Optimization toolbox ในโปรแกรม MATLAB
2. ออปตไมซเซชน (Optimization) ออปตไมซเซชน (Optimization) เปนวธการหรอเครองมอทางคณตศาสตรเพอหาคาทเหมาะสมทสด ซงคาเหมาะสมทสดนเปนไดทงคาทตาสดหรอคาสงสด เปาหมายของการออปตไมซเซชน (Optimization Goal) ทาเพอใหมความคมคาทสดทงดานการลงทน พลงงาน การใชประโยชนและความปลอดภยนนเอง กอนทเราจะสามารถนาออปตไมซเซชน (Optimization) ไปประยกตเพอใชงาน เราจะตองทาการศกษาและเขาใจในรายละเอยดเสยกอน ออปตไมซเซชน (Optimization) นนสามารถนาไปประยกตใชไดกบทกสาขาวชา แตในการคนหาคาตอบของปญหาโดยเทคนควธออปตไมซเซชน (Optimization) จาเปนทจะตองกาหนดลกษณะของปญหา
5
ใหออกมาในรปของแบบจาลองทางคณตศาสตรเสยกอน คอ ดไซนวารเอเบล (Design variables), ดไซนพารามเตอร (Design parameters) และดไซนฟงกชน (Design functions) ซงมรายละเอยดปลกยอยดงน
2.1 ดไซนวารเอเบล (Design Variables) คอตวแปรหรอสงทบอกถงรายละเอยดของการออกแบบ ในทางคณตศาสตรตวแปรคอตวทไมทราบคาและตองทาการหาคาออกมาดไซนวารเอเบลนนผออกแบบจาเปนจะตองใชประสบการณ, ความชานาญ,ขอกาหนดของวธ และพนฐานความรมาเปนองคประกอบการตดสนใจ หลกการและวธการของดไซนวารเอเบล คอตองเปนลเนยรอนดเพนเดนท (Linear independent) หมายความวาดไซนวารเอเบลจะไมสามารถถกกาหนดขนมาจากการใชความสมพนธทางเลขคณตได ดไซนวารเอเบลสามารถมไดหลายตวเพอทจะใหการออกแบบนนมความสมบรณ และกลมดไซนวารเอเบลเหลานจะถกเรยกวา ดไซนเวกเตอร (Design vector: matrix) และใชอกษร n แทนจานวนใดๆ ของดไซนวารเอเบลและในเทอมทางคณตศาสตรนนมกจะใชอกษร x และมตวเลขหอยเพอระบลาดบทของตวแปรของการออกแบบนนๆ มกมการเขยนสญลกษณของดไซนเวกเตอรหลายลกษณะดงน คอ [ ]X , X หรอ x , [ ]Tnxxx ,...,, 21 และ
nixi ,...,2,1, =
2.2 ดไซนพารามเตอร (Design Parameters) คอสงทคงทไมมการเปลยนแปลงในขณะทกาลงออกแบบอยถงแมวาจะมการออกแบบในลกษณะทแตกตางกน เชน ภาระทกระทา คณสมบตของวสดและลกษณะรปทรงเปนตน ดไซนพารามเตอรสามารถมไดหลายตวเชนเดยวกบดไซนวารเอเบลและเปน เวกเตอร (Vector: matrix) เชนกน สามารถเขยนสญลกษณไดคลายๆ กนดงน คอ [ ]P , P หรอ p และ [ ]Tqppp ,...,, 21
2.3 ดไซนฟงกชน (Design Functions) คอขอมลสาคญเกยวกบการออกแบบโดยจะใชดไซนวารเอเบลและดไซนพารามเตอรมาประเมนคาและเปนตวพสจนแบบจาลองทางคณตศาสตรของปญหาการออกแบบดวย ดไซนฟงกชนนสามารถแสดงออกมาในรปแบบของดไซนออปเจคทฟวและ/หรอเงอนไขบงคบ (Design objectives and/or constraints) ซงจะเปนตวผลกดนใหเกดการคนหาการออกแบบทเหมาะสมขนมาและตองเปนไปตามเงอนไขบงคบดวยจงจะถอวาเปนการออกแบบทสมบรณและใชการได
6
(Feasible) ตวอยางเชน ตองการออกแบบใหโครงสรางมมวลนอยทสดนกกลายเปนออปเจคทฟวฟงกชน (Objective function) โดยทความเคนในวสดจะตองนอยกวาความตานแรงดงคราก (Yield strength) นกจะเปนคอนสเทรนทฟงกชน (Constraint functions) ซงมรายละเอยดปลกยอยดงตอไปน
2.4 รปแบบมาตรฐานออปตไมซเซชน (The Standard Format Optimization) จากทกลาวมานนเปนองคประกอบโดยทวไปของแบบจาลองเพอหาคาทางคณตศาสตรโดยการใชเทคนคออปตไมซเซชน (Optimization) และมการเขยนในเทอมทางคณตศาสตรไดหลายๆ แบบดงน
หาคานอยทสดของ ( )nxxx ,...,, 21ƒ (2.1) โดยสอดคลองกบเงอนไข: ( ) mlxxxg nl ,...,2,1 ,0,...,, 21 == (2.2)
( ) mlxxxc nl ,...,2,1 ,0,...,, 21 =≤ (2.3)
njxxx ujj
lj ,...,2,1 , =≤≤ (2.4)
เขยนในลกษณะทเปนเวกเตอรดงน
หาคานอยทสดของ ( ) [ ]nXX ,ƒ (2.5)
โดยสอดคลองกบเงอนไข: ( )[ ] 0=lXg (2.6) ( )[ ] 0≤lXc (2.7) uplow XXX ≤≤ (2.8)
2.5 ออปตไมซเซชนกบปญหาทางวศวกรรม ปญหาทางวศวกรรมทดไซนวารเอเบลไมขนกบเวลาและมการนาเอาออปตไมซเซชน (Optimization) เขามาประยกตใชงานจะเรยกกนวา สแตตกออปตไมซเซชน (Static optimization) สวนปญหาทขนกบเวลาจะเรยกวา ไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) ดงทได
7
กลาวมาแลวในหวขอทผานมาพบวาเปาหมายของออปตไมซเซชน (Goal of optimization) คอการคนหาคาทเหมาะสมของดไซนวารเอเบล (Design variables) ทมออปเจคทฟวฟงกชน (Objective function) เปนคานอยสดหรอมากสด (Minimum or maximum) ซงมอยสองลกษณะคอ โกลบอล (Global) และโลคอล (Local)
2.5.1 กรณนอยสด (Minimum)
กลมของเวกเตอร [ ]nT xxxx ... 21= ททาใหฟงกชน ( )nxx ,...,1ƒ เปนโกล บอลมนมม
(Global minimum) ไดถา
( ) ( )nnn hxhxxx ++ƒ≤ƒ ,...,,..., 111 (2.9)
เมอ [ ] 0 ... 21 ≠= nT hhhh เปนเวกเตอรทเพมคาใหกบ [ ]n
T xxxx ... 21= แลวทาใหเกดคาของฟงกชนทมากขนกวาเดม และกลมของเวกเตอร [ ]n
T xxxx ... 21= ททาใหฟงกชน ( )nxx ,...,1ƒ มคานอยทสดเมอเปรยบเทยบกบบรเวณขางเคยง (Neighborhood) แลวจะเรยกวาโลคอลมนนมม (Local minimum)
2.5.2 กรณมากสด (Maximum)
กลมของเวกเตอร [ ]nT xxxx ... 21= ททาใหฟงกชน ( )nxx ,...,1ƒ เปนโกล บอลเมก
ซมม (Global maximum) ไดถา
( ) ( )nnn hxhxxx ++ƒ≥ƒ ,...,,..., 111 (2.10)
เมอ [ ] 0 ... 21 ≠= nT hhhh เปนเวกเตอรทเพมคาใหกบ [ ]n
T xxxx ... 21= แลวกยงทาใหคาของฟงกชนนอยกวาเดม และกลมของเวกเตอร [ ]n
T xxxx ... 21= ททาใหฟงกชน ( )nxx ,...,1ƒ มคามากทสดเมอเปรยบเทยบกบบรเวณขางเคยง(Neighborhood)แลวจะเรยกวาโลคอลเมกซมม (Local maximum)
2.6 พลศาสตรออปตไมซเซชน (Dynamic Optimization) ปญหาทางวศวกรรมทตวแปรตางๆขนกบเวลาจะถกเรยกวาพลศาสตรและมกจะใชสมการเชงอนพนธมาเปนตวแสดงระบบพลศาสตร (Dynamic systems) ดงน
8
( ) nituuxxx mnii ,,1 ,,,,,,, 11 KKK& =ƒ= (2.11)
เมอ t คอเวลา (Time), ix คอสเตตวารเอเบล (State variables) ตวอยางเชน พกดทวไปหรออนพนธเวลา (Generalized coordinates or time derivatives), iu คอคอนโทรลอนพต (Control inputs) และ iƒ คอนอนลเนยรฟงกชน (Nonlinear functions) ของสเตตวารเอเบล (State variables) และคอนโทรลอนพต (Control inputs) หากทาการกาหนดคาใหกบคอนโทรลอนพต (Control inputs) ( ) ( )tutu m,,1 K เปนเงอนไขเรมตน (Initial condition) เรากจะสามารถทาการคานวณวถ (Trajectory) ของสเตตวารเอเบล (State variables) ( )txi ไดดวยวธอนาไลตกหรอวธเชงตวเลข (Analytical or numerical) ได ตวอยางเชนการเคลอนทเปนเสนตรง (Rectilinear) ของอนภาค (Particle) หนงหนวยมวลภายใตแรงกระทาภายนอกทปอนให สามารถเขยนอธบายไดดวยสมการเชงอนพนธ (Differential equation) เปน ux =&& เมอ x คอตาแหนงของอณภาคและ u คอแรงกระทา จะเหนไดวาเปนสมการเชงอนพนธอนดบสอง (Second-order differential equation) แตสามารถทาการแปลงใหเปนสมการเชงอนพนธอนดบหนง (First-order differential equation) ดงสมการ (2.11) ได นนคอให 21 xx =& และ ux =2& สาหรบระบบทางวศวกรรมทแสดงไดดวยสมการ (2.11) นน โดยปกตแลวจะตองมการกาหนดสภาวะเรมตนเสมอ (Initial state) จากนนกทาการเลอกชวงเวลาใหกบคอนโทรลอนพต (Control inputs) ( ) ( )tutu m,,1 K เพอใหออปเจคทฟวฟงกชน (Objective function) เปนคานอยสดหรอมากสด ปญหาไดนามกจะเรยกออปเจคทฟวฟงกชน (Objective function) วาคอสฟงกชนนอล (Cost functional) และเขยนเปนสมการดงน
( ) ( ) tduuxxtLuuxxtJ f
f
t
t mnmn t ∫+Φ=0
,,,,,,,,,,,, 1111 KKKK (2.12)
เมอ 0t คอเวลาเรมตน, ft คอเวลาสดทาย, สวนคอสฟงกชนนอล (Cost functional) ประกอบไปดวยสองสวน สวนแรกคอ ),,,( 1 nxxt KΦ ซงจะขนอยกบเวลาสดทาย (Final time) และสภาวะสดทาย (Final state) ของระบบ สวนทสองคอ tduuxxtLft
t mn∫0
),,,,,,( 11 KK เปนสวนทขนอยกบเวลาทผานไป (Time history) ของสเตตวารเอเบล (State variables) และคอนโทรลวารเอเบล (Control variables) โดยท Φ และ L คอนอนลเนยรฟงกชน (Nonlinear functions) ของสเตตวารเอเบล (State variables) และคอนโทรลวารเอเบล (Control variables)
9
2.7 แคลคลสออฟวารเอชน (Calculus of Variations) โดยจะเรมจากระบบขนความเสรเดยว (Single-stage systems) และระบบหลายระดบขนความเสร (Multistage systems) ตามลาดบ สญลกษณทใชแทนแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variation) กคอฟงกชนนอล (Functional) เขยนเปนสมการไดเปน
[ ] ( )dtxxtFxJ ft
t∫= 0
,, & (2.13)
ซงเปนการเปลยนฟงกชนตอเนอง (Continuous functions) ( )tx ใหเปนจานวนจรง นนคอถากาหนด ( )tx กจะสามารถหาคาของฟงกชนนอล (Functional) ไดโดยการใชวธอนาไลตกหรอวธเชงตวเลข (Analytical or numerical) โดยทฟงกชนนอล (Functional) อาจจะขนอยกบหลายๆฟงกชนตอเนอง [ ] ( )dtxxxxxxtFxxxJ ft
t nnn ∫=0
,,,,,,,,,,, 212121 &K&&KK (2.14)
ฟงกชนนอล (Functional) เปนการเปลยนฟงกชนตอเนอง (Continuous functions) หลายๆ ฟงกชน กคอ ( ) ( ) ( )txtxtx n,,, 21 K ใหเปนจานวนจรงนนเอง ในการนาเอาแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variations) มาใชนนมเปาหมายเดยวกนกบสแตตกออปตไมซเซชน (Static optimization) นนกคอ คนหาเนคเซสเซอรคอนดซน (Necessary conditions) สาหรบเอกทรมม (Extremum) สาหรบฟงกชนนอล (Functional) และการตรวจสอบวาเอกทรมม (Extremum) ทหาไดเปนคานอยสดหรอมากสด (Sufficient conditions) ในการนาเอาแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variations) มาใชกบไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) จะเกยวของกบจดเรมตนและจดสดทาย ซงมไดหลายกรณ ดงรายละเอยดตอไปน
2.7.1 ฟงกชนนอลของฟงกชนเดยว (Functionals of a Single Function) เปนฟงกชนนอล (Functional) ของระบบขนความเสรเดยว (Single-stage systems) โดยมรายละเอยดของจดสดทายและเวลาสดทายหลายลกษณะดงน คอ
2.7.2 กาหนดจดสดทายและเวลาสดทายไวคงท (Fixed End Time and End Points)
ถาฟงกชน ( )xxtF &,, สามารถทาอนพนธอนดบหนงและสองไดอยางตอเนองโดยอยระหวางชวงเวลา fttt ≤≤0 และสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions)
10
( ) 00 xtx = และ ( ) ff xtx = กจะเปนการกาหนดการคนหาคาของฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ( )tx ทเปนเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) [ ] ( )dtxxtFxJ ft
t∫= 0
,, & นนเอง ซงมวธการทาไดดงน คอ เรากาหนดให ( )tx เปนฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ทเปนเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) [ ]xJ ถา ( )tx ถกเพมคาดวย ( )th ดงนนเพอใหยงคงสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary
conditions) อย ดงนน ( ) ( ) 00 == fthth กจะพบการเปลยนแปลงของฟงกชนนอล (Functional) JΔ เปน
[ ] [ ] ( ) ( )[ ]dtxxtFhxhxtFxJhxJJ ft
t∫ −++=−+=Δ0
,,,, &&& (2.15)
เมอใชอนกรมเทยเลอร (Taylor series) และตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป ไดการเปลยนแปลงเปน
dthxFh
xFJ ft
t∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=0
&&
δ (2.16)
เมอ Jδ เปนคาโดยประมาณของ JΔ เนองจากไดตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป ดงนนเมอทาการอนทเกรดบายพาส (Integrating by parts) กจะพบวา
0
0tt
t
th
xFh
xFhdt
xF
dtd
xFJ
f
f
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
= ∫ &&&δ (2.17)
เมอเงอนไขจาเปน (Necessary conditions) กคอ 0=Jδ ท ( ) ( ) 00 == fthth จงจะสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) และกาหนดไวอกวา F จะตองทาอนพนธไดอยางตอเนองสองครง นนกหมายความวา
xF
dtd
xF
&∂∂
−∂∂ เปนฟงกชนทตอเนอง และเมอ 0=Jδ ซง
พบวา
0=∂∂
−∂∂
xF
dtd
xF
& (2.18)
ซงสมการนเปนทรจกกนในนาม สมการของออยเลอร (Euler’s equation) ซงจะทาใหผลเฉลยของ ( )tx สอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( ) 00 xtx = และ ( ) ff xtx = ซงเรา
11
สามารถทาการหาคาโดยใชความรทางแคลคลส (Calculus) หาคาไดโดยวธออยเลอร-ควอช (Euler-Cauchy) ได
2.7.3. กาหนดเวลาสดทายคงทแตจดสดทายแปรผนได (Fixed End Time, Variable End Points)
แตกตางกบกรณ (2.7.2) เพยงแคจดสดทายเทานน ดงนนจงได เพยงแตเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( )0tx และ ( )ftx ไมไดถกกาหนดไวตายตว และ ( ) ( )fthth ,0 กสามารถกาหนดไดตามชอบใจ ทาใหไดเงอนไขจาเปน (Necessary conditions) เปน
0=∂∂
−∂∂
xF
dtd
xF
& (2.19)
00=
∂∂
txF&
(2.20)
0=∂∂
ftxF&
(2.21)
ซงสมการนเปนทรจกกนในนามสมการของออยเลอร (Euler’s equation) ซงจะทาใหผลเฉลยของ ( )tx สอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( )0tx และ ( )ftx ซงสามารถหาคา
โดยใชความรทางแคลคลส (Calculus) โดยวธออยเลอร-ควอช (Euler-Cauchy) ได
2.7.4 เวลาสดทายและจดสดทายแปรผนได (Variable End Time and End Points)
กรณนถอไดวาเปนรปแบบทวไปของปญหาทางวศวกรรมเลยกวาไดแตกมวธการหาคาตอบคลายๆ กบกรณ (2.7.2) ถา ( )tx เปนฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ทเปน เอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) [ ]xJ ถา ( )tx ถกเพมคาดวย ( )th ดงนนกจะพบการเปลยนแปลงของฟงกชนนอล (Functional) JΔ เปน
[ ] [ ]( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )∫∫
∫
∫ ∫
++
+
+
++−+++
−++=
−++=
−+=Δ
00
0
0
00 0
,,,,
,,,,
,,,,
tt
t
tt
t
t
t
tt
tt
t
t
dthxhxtFdthxhxtF
dtxxtFhxhxtF
dtxxtFdthxhxtF
xJhxJJ
ff
f
f
ff f
δδ
δ
δ
&&&&
&&&
&&&
(2.22)
12
เมอใชอนกรมเทยเลอร (Taylor series) และตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป จะไดการเปลยนแปลงเปน
( )
( ) 00
0
,,
,,
thxhxtF
thxhxtFdthxFh
xFJ
t
ft
t
t f
f
δ
δδ
&&
&&&&
++−
+++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
= ∫ (2.23)
เมอ Jδ เปนคาโดยประมาณของ JΔ เนองจากไดตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป ดงนนเมอทาการอนทเกรดบายพาส (Integrating by parts) สมการกจะพบวา
( ) ( ) 00
00
,,,, thxhxtFthxhxtF
hxFh
xFhdt
xF
dtd
xFJ
tft
tt
t
t
f
f
f
δδ
δ
&&&&
&&&
++−+++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
= ∫ (2.24)
เมอ ( ) 00 00txxth tt δδ &−= และ ( ) fttf txxth
ffδδ &−= ดงนนเขยนสมการใหมไดเปน
00
00
txxFFtx
xFF
xxFx
xFhdt
xF
dtd
xFJ
tft
tt
t
t
f
f
f
δδ
δδδ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
= ∫
&&
&&
&&& (2.25)
เมอเงอนไขจาเปน(Necessary conditions) กคอ 0=Jδ ท ( )th , ftxδ ,
0txδ , ftδ และ 0tδ จง
จะสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ทาใหไดเงอนไขจาเปน(Necessary conditions) และมเงอนไขขอบเขต (Boundary Conditions) คอ
0=∂∂
−∂∂
xF
dtd
xF
& (2.26)
0 ,0 ,0 ,000=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−=∂∂
=∂∂
tttt xxFFx
xFF
xF
xF
ff&
&&
&&& (2.28)
13
ซงจดสดทายท ftt ,0 และคาของฟงกชนทจดสดทาย ( ) ( )ftxtx ,0 สามารถคานวณไดจากเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ทง 4 นนนเอง
2.8 ฟงกชนนอลของหลายฟงกชน (Functionals of Variance Functions) เปนฟงกชนนอล (Functional) ของระบบหลายระดบขนความเสร (Multistage systems) โดยมรายละเอยดของจดสดทายและเวลาสดทายหลายลกษณะดงน คอ
2.8.1 กาหนดจดสดทายและเวลาสดทายไวคงท (Fixed End Times and End Points)
ถาฟงกชน ( )nn xxxxtF &K&K ,,,,, 11 สามารถทาอนพนธอนดบหนงและสองไดอยางตอเนองโดยอยระหวางชวงเวลา fttt ≤≤0 และสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( ) 10 ii xtx = และ ( ) 2ifi xtx = กจะเปนการกาหนดการคนหาคาของฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ( ) nitxi ,,1, K= ทเปนเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) [ ] ( )dtxxtFxJ ft
t∫= 0
,, & นนเอง ซงมวธการทาไดดงน คอ เรากาหนดให ( )tx เปนฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ทเปนเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) คอ [ ] ( )dtxxxxtFxxJ ft
t nnn ∫=0
,,,,,,,, 111 &K&KK (2.28) ถา ( ) nitxi ,,1, K= ถกเพมคาดวย ( ) nithi ,,1, K= และเพอใหยงคงสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary Conditions) ดงนน ( ) ( ) 00 == fii thth กจะพบการเปลยนแปลงของฟงกชนนอล (Functional) JΔ เปน
[ ] [ ]
( )( )
dtxxxxtF
hxhxhxhxtF
xxJhxhxJJ
ft
tnn
nnnn
nnn
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−++++
=
−++=Δ
0 ,,,,,,,,,,,,
,,,,
11
1111
111
&K&K
&&K&&K
KK
(2.29)
ใชอนกรมเทยเลอร (Taylor Series) และตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไปกจะไดการเปลยนแปลงเปน
dthxFh
xFJ ft
t
n
ii
ii
i∫ ∑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=0 1
&&
δ (2.30)
14
เมอ Jδ เปนคาโดยประมาณของ JΔ เนองจากไดตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป ดงนนเมอทาการอนทเกรดบายพาส (Integrating by parts) สมการกจะพบวา
∑∫ ∑==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=n
iti
iti
i
t
t
n
ii
ii
hxFh
xFdth
xF
dtd
xFJ
f
f
110
0 &&&δ (2.31)
เมอเงอนไขจาเปน (Necessary conditions) กคอ 0=Jδ ท ( ) ( ) 00 == fii thth จงจะสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) และกาหนดไวอกวา F จะตองทาอนพนธไดอยางตอเนองสองครงนนกหมายความวา
ii xF
dtd
xF
&∂∂
−∂∂ เปนฟงกชนทตอเนองและเมอ 0=Jδ ดงนน
พบวา ni
xF
dtd
xF
ii
,,1 ,0 K&
==∂∂
−∂∂ (2.32)
ซงสมการนเปนทรจกกนในนามสมการของออยเลอร (Euler’s equation) ซงจะทาใหผลเฉลยของ ( )txi สอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( ) 10 ii xtx = และ ( ) 2ifi xtx = ซง
เราสามารถทาการหาคาโดยใชความรทางแคลคลส (Calculus) หาคาไดโดยวธออยเลอร-ควอช (Euler-Cauchy) ได
2.8.2 กาหนดเวลาสดทายไวคงทแตจดสดทายแปรผนได(Fixed End Time and Variable End Points)
แตกตางกบกรณ (2.8.1) เพยงแคจดสดทายเทานน ดงนนจงใชสมการของหวขอ (2.8.1) ได เพยงแตเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( )0txi และ ( )fi tx ไมไดถกกาหนดไวตายตว และ ( ) ( )fii thth ,0 จงสามารถกาหนดไดตามการใชงาน ทาใหไดเงอนไขจาเปน (Necessary condition) เปน ni
xF
dtd
xF
ii
,,1 ,0 K&
==∂∂
−∂∂ (2.33)
nixF
ti
,,1 ,00
K&
==∂∂ (2.34)
nixF
fti
,,1 ,0 K&
==∂∂ (2.35)
ซงสมการนเรยกวาสมการของออยเลอร (Euler’s equation) ซงจะทาใหผลเฉลยของ ( )txi สอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ( )0txi และ ( )fi tx ซงเราสามารถทาการ
15
หาคาโดยใชความรทางแคลคลส (Calculus) หาคาไดโดยวธออยเลอร-ควอช (Euler-Cauchy) ไดเชนกน
2.8.3 เวลาสดทายและจดสดทายแปรผนได (Variable End Time and End Points)
กรณนเปนรปแบบทวไปทใชเปนเงอนไขหลกในการแกปญหาทางวศวกรรมแตกมวธการหาคาตอบใกลเคยง กบกรณ (2.8.1) ถา ( ) nitxi ,,1 , K= เปนฟงกชนเปาประสงค (Desire function) ทเปนเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functionals) ],,[ 1 nxxJ K ถา ( )txi ถกเพมคาดวย ( )thi ดงนนกจะพบการเปลยนแปลงของฟงกชนนอล (Functional) JΔ เปน
[ ] [ ]
( )( )dtxxxxtF
dthxhxhxhxtF
xxJhxhxJJ
f
ff
t
t nn
tt
tt nnnn
nnn
∫
∫−
++++=
−++=Δ+
+
0
00
,,,,,,
,,,,,,
,,,,
11
1111
111
&K&K
&&K&&K
KKδ
δ (2.36)
( )( )
( )( )∫
∫
∫
+
+
++++−
+++++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−++++
=Δ
00
0
0
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
1111
1111
11
1111
tt
t nnnn
tt
t nnnn
t
tnn
nnnn
dthxhxhxhxtF
dthxhxhxhxtF
dtxxxxtF
hxhxhxhxtFJ
ff
f
f
δ
δ
&&K&&K
&&K&&K
&K&K
&&K&&K
(2.37)
เมอใชอนกรมเทยเลอร (Taylor series) และตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป จะไดการเปลยนแปลงเปน
( )( ) 01111
1111
1
0
0
,,,,,,
,,,,,,
thxhxhxhxtF
thxhxhxhxtF
dthxFh
xFJ
tnnnn
ftnnnn
t
t
n
ii
ii
i
f
f
δ
δ
δ
&&K&&K
&&K&&K
&&
++++−
+++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= ∫ ∑=
(2.38)
เมอ Jδ เปนคาโดยประมาณของ JΔ เนองจากไดตดเทอมทมเลขชกาลงสงทงไป ดงนนเมอทาการอนทเกรดบายพาส (Integrating by parts) สมการกจะพบวา
16
( )[ ]( )[ ] 01111
1111
111
0
00
,,,,,,
,,,,,,
thxhxhxhxtF
thxhxhxhxtF
hxFh
xFdth
xF
dtd
xFJ
tnnnn
ftnnnn
n
iti
i
n
iti
ii
t
t
n
i ii
f
f
f
δ
δ
δ
&&K&&K
&&K&&K
&&&
++++−
+++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
= ∑∑∫ ∑===
(2.39)
เมอ ( ) 00 00txxth titii δδ &−= และ ( ) ftitifi txxth
ffδδ &−= ดงนนสมการจะเปน
0
11
111
0
00
txxFFtx
xFF
xxFx
xFdth
xF
dtd
xFJ
t
n
ii
ift
n
ii
i
n
iti
i
n
iti
ii
t
t
n
i ii
f
f
f
δδ
δδδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
∑∑
∑∑∫ ∑
==
===
&&
&&
&&& (2.40)
เมอ 0=Jδ ท ( )thi , ftixδ ,
0tixδ , ftδ และ 0tδ จงจะสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ทาใหไดเงอนไขจาเปน (Necessary conditions) เปน
nixF
dtd
xF
ii
,,1 ,0 K&
==∂∂
−∂∂ (2.41)
และมเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) เปน
nix
xFFx
xFF
nixF
xF
t
n
ii
it
n
ii
i
ti
ti
f
f
,,1 ,0 ,0
,,1 ,0 ,0
0
0
11K&
&&
&
K&&
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−
==∂∂
=∂∂
∑∑==
(2.42)
ซงจดสดทายท ftt ,0 และคาของฟงกชนทจดสดทาย ( ) ( )fii txtx ,0 สามารถคานวณไดจากเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) ทง 4 นนนเอง
2.9 ฟงกชนนอลมเงอนไขบงคบ (Functionals with Constraints) เปนฟงกชนนอล (Functional) ทมเงอนไขบงคบเขามาเกยวของดวยซงอาจจะเปนไดทงอควอลตคอนสเทรนท (Equality constraints) และอนอควอลตคอนสเทรนท (Inequality constraints) ในทนจะกลาวถงเฉพาะวธลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier)
17
2.9.1 ฟงกชนคอนสเทรนท (Function Constraints)
พจารณาฟงกชนนอล (Functional) ],,[ 1 nxxJ K ซงจะตองเกยวของหรอสอดคลองกบฟงกชนอควอลตคอนสเทรนท (Equality constraints) mjxxxxtg nnj ,...,1 ,0),...,,,...,,( 11 ==&& และ nm < เสมอ เมอเราใชเทคนควธการแบบลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier) กจะไดฟงกชนนอลใหมเปน
[ ]( )
( ) ( ) dtxxxxtgt
xxxxtFxxJ ft
tm
jnnjj
nn
n ∫ ∑ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=′
=
0
111
11
1 ,...,,,...,,
,,,,,,,,
&&
&K&K
Kλ
(2.43)
เมอ ( )tjλ คอลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier) และ ∑=
+=′m
jjj gFF
1λ ซงจะเปน
F ตวใหมของเนคเซสเซอรคอนดซน (Necessary conditions) เพอใชสาหรบเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functional) นนเอง โดยจะนาไปใชกบลกษณะของเวลาและจดสดทายทงสามแบบดงทกลาวมาแลว นนกคอ กาหนดจดสดทายและเวลาสดทายไวตายตว (Fixed end time and end points), กาหนดเวลาสดทายไวตายตวแตจดสดทายแปรผนได (Fixed end time, variable end points) และเวลาสดทายและจดสดทายแปรผนได (Variable end time and end points) ซงกระทาไดเพยงแคเปลยนจาก F เปน F ′ กสามารถทาการหาเนคเซสเซอรคอนดซน (Necessary conditions) ซง 0=′Jδ ไดเชนกน โดยท 0=jg กทาใหสามารถเอกทรมม (Extremum) ได
2.9.2 ฟงกชนเงอนไขบงคบทจดสดทาย (End Point Function Value Constraints) เอกทรมมของฟงกชนนอล (Functional) ],,[ 1 nxxJ K ซงฟงกชน )( fi tx จะตองสอดคลองกบเงอนไขบงคบ (Constraints) pkxxts
ftnk ,...,1 ,0),...,,( 1 == ณ เวลาสดทาย การหาผลเฉลยของปญหานจะสามารถทาการเขยนฟงกชนนอล (Functional) ใหมไดเปน
[ ] ( ) ∑∫=
+=′p
kkk
t
t nnn sdtxxxxtFxxJ f
1111
0
,,,,,,,, υ&K&KK (2.44)
เมอ kυ คอคาคงตวลากรานซมลตไพลเออร (Constant Lagrange multiplier) ทาใหสามารถดดแปลงสมการไดเปน
18
01
1 11
1 11
0
0
0
txxFF
ttsx
xFFx
xF
xxs
xFdth
xF
dtd
xFJ
t
n
ii
i
ft
n
i
p
k
kki
i
n
iti
i
n
i t
i
p
k i
kk
ii
t
t
n
i ii
f
f
f
δ
δυδ
δυδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=′
∑
∑ ∑∑
∑ ∑∫ ∑
=
= ==
= ==
&&
&&&
&&
(2.45)
เมอเงอนไขจาเปน (Necessary condition) กคอ 0=′Jδ ท ( )thi ,
ftixδ , 0tixδ , ftδ และ 0tδ
จงจะสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) จะไดเนคเซสเซอรคอนดซน (Necessary conditions) เปน ni
xF
dtd
xF
ii
,,1 ,0 K&
==∂∂
−∂∂ (2.46)
โดยท 0=ks จงจะทาใหไดคาตอบทเปนทยอมรบได (Feasible) และมเงอนไขขอบเขตเปน
00
100
0
0
11 1
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−
==∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−
∑∑ ∑
∑
== =
=
t
n
ii
it
n
i
p
k
kki
i
tit
p
k i
kk
xxFF;
ts
xxFF
,n, ixF;
xs
F
f
f
&&
&&
K&
υ
υ
(2.47)
2.9.3 ฟงกชนเงอนไขบงคบทวไป (General Constraints)
จากหวขอ (2.9.1 และ 2.9.2) เราสามารถเอกทรมม (Extremum) ของฟงกชนนอล (Functional) [ ] ( )dtxxxxtFxxJ ft
t nnn ∫=0
,,,,,,,, 111 &K&KK ไดโดยทฟงกชน ( )txi สอดคลองกบฟงกชนอควอลตคอนสเทรนท (Equality constraints) ( ) 0,...,,,...,, 11 =nnj xxxxtg && เมอ
mj ,...,1 = โดย nm < เสมอ และสอดคลองกบเงอนไขบงคบทจดสดทาย (End point constraints) ( ) pkxxts
ftnk ,...,1 ,0,...,, 1 == โดย mp < เสมอ ดงนนเมอใชเทคนควธลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier) กจะไดฟงกชนนอล (Functional) ใหมเปน
[ ]( )
( ) ( ) ∑∫ ∑ ==
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=′
p
kkk
t
tm
jnnjj
nn
n sdtxxxxtgt
xxxxtFxxJ f
11
11
11
10 ,...,,,...,,
,,,,,,,, υ
λ &&
&K&K
K (2.48)
19
เมอ ( )tjλ และ kυ คอลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier) ดงนนหากกรณปญหาเปนแบบเวลาสดทายและจดสดทายแปรผนได (Variable end time and end points) กจะสามารถดดแปลงสมการไดเปน
01
1 11
1 11
0
0
0
txxFF
ttsx
xFFx
xF
xxs
xFdth
xF
dtd
xFJ
t
n
ii
i
ft
n
i
p
k
kki
i
n
iti
i
n
i t
i
p
k i
kk
ii
t
t
n
i ii
f
f
f
δ
δυδ
δυδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂′∂
−′−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂′∂
−′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂′∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂′∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂′∂
−∂′∂
=′
∑
∑ ∑∑
∑ ∑∫ ∑
=
= ==
= ==
&&
&&&
&&
(2.49)
เมอ ∑=
+=′m
jjj gFF
1λ (2.50)
ทาใหไดเงอนไขจาเปน (Necessary conditions) สาหรบเอกทรมม (Extremum) ดงน 0=
∂′∂
−∂′∂
ii xF
dtd
xF
&
01
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂
′∂ ∑=
ft
p
k i
kk
i xs
xF υ&
(2.51)
0
0
,,1,0
0
0
1
1 1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
′∂−′
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂
′∂−′
==∂′∂
∑
∑ ∑
=
= =
t
n
ii
i
t
n
i
p
k
kki
i
ti
xxFF
tsx
xFF
nixF
f
&&
&&
K&
υ (2.52)
โดยท mjg j ,,1,0 K== และ pksk ,,1,0 K== จงจะทาใหไดคาตอบทเปนทยอมรบได 2.10 การแกปญหาไดนามกออปตไมซเซชนดวยแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of Variation with Dynamic Optimization) จากทกลาวมาแลวในสวนของแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variation) นนพบวามประโยชนอยางมากกบการนามาแกปญหาทางดานไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic
20
optimization) ดงนนตอไปนเราจะมาดวธการนาเอาแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variation) มาใชแกปญหาไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) ดงน
2.10.1 เวลาสดทายถกกาหนดไวตายตว (Fixed Final Time) ลกษณะเชนนถอวาเปนลกษณะทถอวาธรรมดาทวไปแตตองเปนระบบทเขาขายดงนคอ มรปแบบการระบปญหาโดยสมการ (2.11), มลกษณะของคอสฟงกชนนอล (Cost Functional) ดงสมการ (2.12), เวลาเรมตนและเวลาสดทายคอ 0t และ ft ถกกาหนดไวตายตว (Fixed end time) และระบสภาวะเรมตนไวแลว ( ) ( )fn txtx ,,01 K ตามลาดบ ตวอยางเชน รถไฟทวงระหวางเมองสองเมองทมกาหนดเวลาออกและเวลาถงสถานไวตายตวแลว ซงออปเจคทฟวฟงกชน (Objective function) อาจจะเปนการสนเปลองพลงงานเชอเพลงทนอยทสดกได ซงเราจะกลาวถงลกษณะของปญหาทพบในงานดานไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) 3 ลกษณะดวยกน คอ สภาวะสดทาย ( ) ( )fnf txtx ,,1 K ถกกาหนดไวตายตว, สภาวะสดทาย ( ) ( )fnf txtx ,,1 K ถกกาหนดไวตายตวแตมเงอนไขบงคบ (Constraints) และสดทายคอคอนโทรล
วารเอเบลและสเตตวารเอเบล (Control variables and state variables) ตองสอดคลองกบเงอนไขบงคบตลอดเวลา
2.10.2 เวลาสดทายแปรผน (Variable Final Time) ลกษณะเชนนมลกษณะคลายกบหวขอ (2.7.4) เพยงแตทเวลาสดทาย ft แปรผนได แตตองมรปแบบการระบปญหาโดยสมการ (2.11), มลกษณะของคอสฟงกชนนอล (Cost functional) ดงสมการ (2.12), เวลาเรมตนคอ 0t ถกกาหนดไวตายตว (Fixed start time) แตเวลาสดทาย ft มการแปรผน (Variable end time) และมการระบสภาวะเรมตนไวแลว ( ) ( )fn txtx ,,01 K ตามลาดบ เชน การแขงรถเปนตน จะกลาวถงลกษณะของปญหาทพบในงานดานไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) 3 ลกษณะดวยกน คอ สภาวะสดทาย ( ) ( )fnf txtx ,,1 K ถกกาหนดไวตายตว, สภาวะสดทาย ( ) ( )fnf txtx ,,1 K ถกกาหนดไวใหเปนไปตามเงอนไขบงคบ (Constraints) และสดทายคอคอนโทรลวารเอเบลและสเตตวารเอเบล (Control variables and state variables) ตองสอดคลองกบเงอนไขบงคบตลอดเวลาการเคลอนท ดงรายละเอยดตอไปน
21
2.10.3 สภาวะสดทายถกกาหนดไวตายตว (Final States are Prescribed) ปญหานมฟงกชนนอล (Functional) เปน
[ ] ( )
( ) tduuxxtL
nuuxxJ
f
f
t
t mn
tmn xxt
∫ ′+
Φ=′
0
,,,,,,
1,,,,,
11
11 ,,,KK
KK K (2.53)
เมอ
( ) ( )
( ) ( )[ ]∑=
−ƒ+
=′n
iimnii
mnmn
xuuxxtt
uuxxtLuuxxtL
111
1111
,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
&KK
KKKK
λ (2.54)
เมอ ( )tiλ คอลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange Multipliers) ดวยการกาหนดเวลาและสภาวะเรมตน รวมทงระบสภาวะสดทายไว ดงนนจะพบการเปลยนแปลงของฟงกชนดงน
f
t
n
j
n
k kk
jj
m
ktk
ktk
k
u
t
t
m
k kkx
t
t
n
j jj
tuLu
xLxL
t
uuLu
uL
dthuL
dtd
uLdth
xL
dtd
xLJ
f
f
k
f
j
f
δ
δδ
δ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂′∂
−∂′∂
−′+∂Φ∂
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
′∂−
∂′∂
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
′∂−
∂′∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂′∂
−∂′∂
=′
∑ ∑
∑
∫ ∑∫ ∑
= =
=
==
1 1
1
11
0
00
&&
&&
&&
&&
(2.55)
เมอเราทาการประเมนคาแตละสวนในสมการ กจะทาใหเราสามารถหาเงอนไขจาเปน (Necessary Conditions) ไดดงน
njxx
L n
i j
ii
jj ,,1 ,
1K& =
∂∂ƒ
−∂∂
−= ∑=
λλ
mkuu
L n
i k
ii
k
,,1 ,01
K==∂∂ƒ
+∂∂ ∑
=
λ (2.56)
01
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ƒ++
∂Φ∂ ∑
=ft
n
iiiL
tλ
ผลเฉลยของสภาวะ (States) ( )tx j , ลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multipliers) ( )tjλ (บางครงเรยกโคสเตต (Costates)), คอนโทรลอนพต (Control inputs) ( )tuk และเวลาสดทาย ft สามารถหาคาไดโดยการใชสเตตอเควชน (State equations) คอสมการ (2.11) จานวน n สมการ, โคสเตตอเควชน (Costate equations) คอสมการ (2.56) จานวน n สมการ และเอดดชนนอลอเควชนคอสมการ (2.56) จานวน m สมการและสมการเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions)
22
คอสมการ (2.56) ทาใหมสมการเชงอนพนธอนดบหนง (First order different equations) อยจานวน n2 สมการ และมสมการสามญ (Ordinary equations) จานวน 1+m สมการ ในการหาผลเฉลยนมความจาเปนตองมการกาหนดเงอนไขขอบเขต (Boundary conditions) จานวน n2 เงอนไข และตองกาหนดสภาวะทเวลา 0t และ ft ดวย
2.11 สรปเกยวกบไดนามกออปตไมซเซชน(Dynamic Optimization Conclusion) ปญหาไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) มจดเรมตนจากสมการการเคลอนทกคอ ∑ == xmmaF && แตในการแกปญหาดวยโปรแกรมคอมพวเตอรนนไมสะดวกถาสมการมรปแบบเปนสมการกาลงสองดงกลาว ดงนนจงนยมจดรปสมการเปนกาลงหนงคอ
21 xx =& และ mFx ∑=2& ดงสมการ (2.11) คอ ( ) nituuxxx mnii ,,1 ,,,,,,, 11 KKK& =ƒ= (2.57) ปญหาไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) นน จะมการกาหนดเงอนไขเรมตนและเงอนไขขอบเขตเสมอ (Initial and boundary conditions) และอาจจะมการเพมเงอนไขบงคบ (Constraints) เขาไปดวย แลวจงกาหนดคอสฟงกชนนอล (Cost functional) วาตองการคานอยสดหรอมากสด ดงน ( ) ( ) tduuxxtLxxtJ f
f
t
t mntn ∫+Φ=0
,,,,,,,,, 111 KKK (2.58) โดยทคอสฟงกชนนอล (Cost functional) มสองสวนกคอ ( )
ftnxxt ,,, 1 KΦ ซงเรยกวา เทอรมนอลเทอม (Terminal term) และ ( ) tduuxxtLft
t mn∫0
,,,,,, 11 KK ซงเรยกวา อนทกรล
เทอม (Integral term) ซงหากกาหนด ∑=
=m
iiuL
1
2 จะเรยกวาปญหาพลงงานนอยสด (Minimum
energy), หากกาหนด ∑=
=m
iiuL
1 จะเรยกวาปญหาเชอเพลงนอยสด (Minimum fuel), หาก
กาหนด ft=Φ จะเรยกวาปญหาเวลานอยสด (Minimum time) และหากกาหนด ( )ftx2=Φ จะเรยกวาปญหาความเรวสงสด (Maximum velocity) เปนตน ซง Φ และ L จะเรยกวา สภาวะของปญหา (State of the problem) และสามารถแกปญหาไดดวยเทคนคทางตวเลข (Numerical techniques) มสองลกษณะใหญคอ วธไดเรคท (Direct methods) และวธอนไดเรคท (Indirect
23
methods) โดยอาศยหลกการของแคลคลสออฟวารเอเบล (Calculus of variations) ทาใหสามารถเขยนคอสฟงกชนนอล (Cost functional) โดยทวไปทมลากรานซมลตไพลเออร (Lagrange multiplier) lυ , iλ และ iμ เขามาเกยวของไดดงนคอ
( ) ( )
dtLJ
tdscgxLsJ
f
f
t
t
t
t
n
i
r
i
p
iiiiiiiii
q
lll
∫
∫ ∑ ∑ ∑∑
′+Φ′=′
+++ƒ−+++Φ== = ==
0
0 1 1 1
2
1μμλυ &
(2.59)
เมอ ( ) ( )∑ ∑ ∑
∑
= = =
=
+++ƒ−+=′
+Φ=Φ′
n
i
r
i
p
iiiiiiiii
q
lll
scgxLL
s
1 1 1
2
1
μμλ
υ
&
(2.60)
สมการดงกลาวนนาไปใชกบปญหาไดนามกออปตไมซเซชน (Dynamic optimization) ไดทกปญหา เพราะไดรวมเอาเงอนไขบงคบเชงเทากบและเชงเปรยบเทยบ (Equality and inequality constraints) เขาไวดวยกนแลว เพยงแคตดเทอมทไมมในปญหานนๆ ออกกจะไดรปสมการตามโจทยของปญหานนๆ นนเอง 2.12 ความเรวเชงมม (Angular Velocity)
ภาพประกอบ 1 แสดงการเคลอนทของความเรวเชงมม กาหนดให 321 ,, bbb ตามกฎมอขวาซงตงฉากซงกนและกนกาหนดหนวยของเวกเตอรวตถ B เคลอนทโดยอางองเฟรม A ความเรวเชงมม B ในเฟรม A กาหนดการแทนคาเปน BAω ซงเขยนสมการไดดงน
2bv
3bv
1bv
3av
2av
1ar
Rigid body
24
ปรมาณเวกเตอรเขยนอยในรป ω 2
131
323
21 b
dtdb
bbdtdb
bbdtdB
bAAA
BA ⋅+⋅+⋅Δω (2.61) และลดรปของสมการในแบบสมการ Differential
213132321 bbbbbbbbbBA ⋅+⋅+⋅Δ•••
ω 211313121 bbbbbbbbbBA ⋅×+⋅×=× &&ω (2.62) 2121331 bbbbbbbBA ⋅+⋅−=× &&ω Differentiation เทยบกบเวลา 111 =⋅bb และ 013 =⋅bb จะไดวา 011 =⋅bb& 3113 bbbb ⋅−=⋅ && (2.63) และเขยนสมการใหมได 3132121111 bbbbbbbbbbBA ⋅+⋅+⋅=× &&&ω (2.64) แตในสมการของกฎมอขวาสามารถเขยนใหอยในรปสมการของ 11 bbBA &=×ω 22 bbBA &=×ω 33 bbBA &=×ω (2.65) และเวกเตอรใดๆในเฟรมB กาหนดให β เปน ความเรวเชงมมเขยนสมการได 332211 bbb ββββ ++= 321 ,, βββ คงท 332211 bbb &&& ββββ ++= (2.66) 332211 bbb BABABA ×+×+×= ωβωβωββ& βωβββω ×=++×= BABA bbb )( 332211 2.12.1 รปแบบของปรมาณความเรวเชงมม(Simple Angular Velocity) ในทนจะกลาวถงเฟรมของไจโรสโคป (Gyroscope) ซงจากรปม 4 เฟรม คอ A,B,C,D สามารถเขยนใหอยในรปแบบของปรมาณความเรวเชงมมไดดงน bqBA
1&=ω (2.67)
25
cqCB2&=ω (2.68)
dqDC3&−=ω (2.79)
2.12.2 ความเรงเชงมม (Angular Acceleration) ความเรงเชงมมสามารถทาใหอยในรปของ BAα ซงหมายความวาความเรงของวตถBอางองจากเฟรม A โดยท
dtd
dtd BABBAA
BA ωωα == (2.70) แต DCCBBADA αααα ++≠ (2.71) สามารถเขยนสมการได 21
1 kqAA &=ω (2.72) 72
2 kqAA &=ω (2.73) 33
2 kqBA &=ω (2.74)
)( 2211 BAAAAAA
BA
dtd ωωωα ++= (2.75)
)( 337221 kqkqkqdtdA
&&& ++= (2.76) 2.2.12.3 ฟงกชนเงอนไขของรปแบบ(Configuration Constraints) Rheonomic 0),,,,...,,,( 111 =tzyxzyxf nnn คอฟงกชนเงอนไขทขนกบเวลา โดยท
01 =⋅ zbPvv , 02 =⋅ zbP
vv (2.77)
Scleronomic 0),,,...,,,( 111 =nnn zyxzyxf คอ constraints ทไมขนกบเวลา โดยท LPP =− 12
vv (2.78)
26
2.12.4 รปแบบสถานะทวไป(Generalized Coordinates) สมการฟงกเงอนไขแบบฮารโลโนมค (Holonomic constraint equation) Mvn −Δ3 (2.79) โดยท n = holonomic constraints v =จานวน degree of freedom M =เงอนไขบงคบ
บทท 3 วธดาเนนการวจย
ในการวจยครงน ผวจยไดดาเนนการตามขนตอนดงน
1. การกาหนดปญหา (State of the problem) 2. การแกปญหาเชงตวเลข (Numerical methods) 3. การออกแบบโปรแกรมคอมพวเตอร (Computer Programming)
1. การกาหนดปญหา (State of the Problem) ในการออกแบบการเคลอนทของไจโรสโคปนนจะทาการกาหนดและทาการเกบคาการ
เคลอนทของวงสวงตนแบบ ซงทาการคดเลอกจากวงสวงของนกกอลฟทมวงสวงทสวย ตไดระยะทไกลและทศทางทตรงเปาหมายมาเปนตนแบบในการเคลอนทของไจโรสโคปโดยทาการเขยนโปรแกรมซงนาไปใชกบชดฝกซอมวงสวงเพอ ทาการกาหนดเสนทางการเคลอนทของไมกอลฟ(Constraint Path) จากสงทไดกาหนดมานนปญหาทจะเกดขนตามมาคอขอบเขต(Boundary)ทเกดจากจดเรมตนและจดสนสด ( Two Point Boundary Value Problem) โดยจะตองทาการแกปญหาแบบ DAE (Differential Algebra Equation) โดยทตองกาหนดสมการขนมาเพอแกปญหาโดยทกาหนดให dtTTTJ
ft
t
)( 23
22
21
0
++= ∫ (3.1)
จากรปแบบสมการซงจดใหอยในรปแบบของสมการออปตไมซเซชน (Optimization Equation) โดยท Functional J = คาพลงงานของระบบทใชนอยทสด (minimum energy)ออปตไมซเซชน (Optimization)เปนตวกาหนดความเรวการหมนของไจโรสโคปทง 3 แกนซงจะทาการควบคมคาแรงบด (Torque) ในชวงเวลาและทศทางทเหมาะสมในการควบคมตาแหนงของเวลา ณ จดใดๆ ในทางตรงกนขามในกรณทมแรงมากระทาในทศทางทนอกเหนอทศทางทกาหนดหรอในชวงเวลาทไมเหมาะสมซงทาใหไจโรสโคปไมอยในตาแหนงทกาหนดไวนนจะทาใหเกดแรงตานจากแนวแกนซงเปนคาแรงบด (Torque) ของไจโรสโคป
28
2. การแกปญหาเชงตวเลข (Numerical Methods) ทาการหาคาแรงบดในตาแหนงตางๆของ 332211 ,, xxx TTT ในแตละแกนของทศทางการ
เคลอนทของไจโรสโคปโดยใชสมการของEuler’s Dynamic Equation
1101 xTHCA =++oooo
ψθθ (3.2)
2202 yTHCB =−+oooo
θψψ (3.3)
33111232
22
1 sin}cossin)({)sinsco( zx TTDDCDDC −−=−++++ ψϕψψψϕψψoooo
(3.4)
ภาพประกอบ 2 แสดงการเคลอนทของGyroscope ในแนวแกน X,Y,Z
โดยสามารถกาหนดตวแปรตางๆดงน A = moment of inertia ทอยในแนวแกน OX กาหนดใหมคา = 1 B = moment of inertia ทอยในแนวแกน OY กาหนดใหมคา = 1 C = moment of inertia ทอยในแนวแกน OZ กาหนดใหมคา = 1 1C = คา Viscous friction coefficient ของ OX กาหนดใหมคา = 1
2C = คา Viscous friction coefficient ของ OY กาหนดใหมคา = 1 3C = คา Viscous friction coefficient ของ OZ กาหนดใหมคา = 1 1D = คา Moment of innertia ทเกดจากคา Gimbal ในแนวตง กาหนดใหมคา = 1 2D = คา Moment of innertiaทเกดจากคา Gimbal ในแนวตง กาหนดใหมคา = 1 0H = spin angular momentum ของ Gyro-rotor ทจด center กาหนดใหมคา = 1 11xT , 22xT , 33xT = คา แรงบด(Torque) ในแนวแกน
29
จากแนวคดและรปแบบของปญหาของสมการ Euler’s Dynamic Equation ผทาการวจยไดทาการเปลยนแปลงสมการ Euler’s Dynamic Equation แตคงไวซงพนฐานของสมการเดมโดยททาการปรบเปลยนเพอใหเหมาะสมกบการใชงานทางในรปของสมการออปตไมซเซชน (Optimization Equation) เพอทาการวเคราะหและคานวณหาคาของทศทางและตาแหนงของวงสวง ซงจากทกลาวมาผวจยไดทาการเปลยนรปแบบของสมการใหมไดดงน โดยกาหนดให θ=1x (3.5) ψ=2x (3.6) φ=3x (3.7) 41 xx =& (3.8) 52 xx =& (3.9) 63 xx =& (3.10)
(3.11) (3.12)
))(sin2(
)cos()sin()sin(
22
62253216 x
xxxxTxTx
+−−
=& (3.13)
จากสมการ(3.2) (3.3) (3.4) ผวจยไดทาการเปลยนรปใหอยในสมการทใชในออปตไมซเซชน (Optimization Equation)โดยขนตอนตอไปเมอไดคา 321 ,, TTT ซงเปนคาแรงบดของมอเตอรจากนนผวจยทาการกาหนดใหอยในรปของปญหาทาง Optimization โดยคอสฟงกชนนอล (Cost Functional) คอ J เปนคาพลงงานของระบบทใชนอยทสด (minimum energy)
∫ ++=ft
t
dtTTTJ0
)( 23
22
21 (3.14)
ft = ขอมลของเวลาการตของนกกอลฟ 0t = จดเรมตนของวงสวงกาหนดใหเรมจากจดทไมอยกบลกกอลฟ โดยผวจยจะทาการหามมทง 3 ได )(,, tγβα โดยทใชหลกการของเวกเตอร จาก kjiv
vvvv321 ννν ++= (3.15)
514 xTx −=&
425 xTx −=&
30
ซงแสดงถงทศทางของแรงรวมและทาการเปลยนรปของสมการโดยใหอยในรปของขนาดของเวกเตอร 2
322
21 νννν ++= (3.16)
ผวจยทาการแทนคาแรงบดใหอยในรปแบบของเวกเตอรเพอทาการหาทศทางการเคลอนทของไจโรสโคปโดยทาการกาหนดคาของเวกเตอรแรงบดรวม 123 TTTTtot
vvvv++= ดงน
kTT
vv11 = (3.17)
jTkTiTT
vvvv21112 sincos +−= ψψ (3.18)
iTkTjTkTjTiTTvvvvvvv
322111123 sincossin)sin(cos)sin(cos +++−−= φφφψφψψ (3.19)
kTTjTTiTTTtot
vvvv)sinsinsin()cossincos()cos( 121231 φψφφψφψ −+−++= (3.20)
แทนคามมดวยคา 321 ,, xxx ทกาหนดไว θ=1x , ψ=2x , φ=3x
kxxTxT
jxxTxTiTxTTtotv
vvv
))sin()sin()sin((
))cos()sin()cos(())cos((
32132
32132321
−+
−++= (3.21)
ทาการเปลยนรปของสมการเพอทาการหามมทง 3 โดยทาการแกสมการเพอหามม γβα ,, ซงกคอมม φψθ ,, ของสมการนนเอง โดยกาหนดใหเปนเงอนไขบงคบ (Function Constraints)
axisX a⇒=νν
α 1cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
α 11cos (3.22)
axisY a⇒=νν
β 2cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
β 21cos (3.23)
axisZ a⇒=νν
γ 3cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
γ 31cos (3.24)
232132
232132
2321
321
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(()cos(cos
xxTxTxxTxTTxTTxT
−+−++
+=α (3.25)
31
232132
232132
2321
32132
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(())cos()sin()cos((cos
xxTxTxxTxTTxTxxTxT
−+−++
−=β (3.26)
232132
232132
2321
32132
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(())sin()sin()sin((cos
xxTxTxxTxTTxTxxTxT
−+−++
−=γ (3.27)
3. การพฒนาโปรแกรมคอมพวเตอร (Computer Programming) ในการออกแบบโปรแกรมเพอทาการคานวณตามวธดงทกลาวมานนทางผทาการวจยไดทาการออกแบบและเขยนโปรแกรมMATLABเพอทาการหาคาและในบางสวนของการเขยนโปรแกรมในงานวจยนผวจยไดขอความอนเคราะหนาโปรแกรมททาการเขยนเพอแกปญหาทางออปตไมซเซชน (Optimization) โดย T.Veeraklaew1999 [5] มาชวยแกปญหาของสมการในบางสวน
บทท 4 การออกแบบวธการทดลอง
ในการออกแบบการทดลองจะตองกาหนดวงสวงและขนาดไมกอลฟทจะนามาใชในการทดลองและทาการกาหนดคาทมความสาคญตอการคานวณ การกาหนดรปแบบของวงสวงนนผทาการทดลองไดนาโปรแกรม Swing Maker มาใชในการทดลองโดยรปแบบของโปรแกรมนนเปนวงสวงมาตรฐานและสมบรณแบบทงขนาดของไมทมหลายขนาดจากนนผทาการทดลองจะไดทาการกาหนดตาแหนงความเรวของวงสวงและทาการวดคาองศาทตาแหนงตางๆจากนนผทาการทดลองจะไดนาคาทไดนนมาทาการคานวณทางคณตศาสตรโดยใชโปรแกรม MATLAB 5.3 เพอใหไดคาแรงบดทจะนามาใชกบไจโรสโคปเพอนามาควบคมไมกอลฟในตาแหนงตางๆ โดยทาการจดลาดบการทดลองดงน 1. การกาหนดรปแบบของวงสวง ผทาการทดลองไดทาการกาหนดการใชโปรแกรมทจะใชทาการทดลองคอ Swing Maker เพอทาการกาหนดขนาดของไมกอลฟโดยใชหวไมหนงและเหลกเกาเพอนามากาหนดตาแหนงทศทางและองศาโดยทาการกาหนดจากทศทางการมองจากดานหนา ดานขาง และดานบน ดงรปตวอยาง
ภาพประกอบ 3 แสดงรปตวอยางวงสวงดานหลง
33
ภาพประกอบ 4 แสดงรปตวอยางวงสวงดานขาง
ภาพประกอบ 5 แสดงรปตวอยางวงสวงดานบน
34
2. การกาหนดตาแหนงการเคลอนท จากการเคลอนทของวงสวงจากโปรแกรม Swing Maker ผทาการทดลองไดทาการ
กาหนดตาแหนงโดยทาการจบเวลาการเคลอนทของวงสวงในแตละดานโดยแบงเปนท 0 วนาท,5วนาท 10 วนาท,12 วนาท,14วนาท ตามลาดบโดยทาการวดองศาของวงสวงจากโปรแกรม Swing Maker Deluxe ททาการปรบคาความเรวของวงสวงมาทตาแหนงชาสด
ภาพประกอบ 6 แสดงรปการปรบความเรววงสวงของโปรแกรม Swing Maker
เมอทาการปรบความเรวของวงสวงแลวขนตอนผทาการทดลองจงทาการเกบขอมลโดยการเกบรปของวงสวงจากโปรแกรมในแตละดานและในแตละตาแหนงของเวลาตามทผทาการทดลองไดกาหนดไวแลวในขางตนตอไป
35
3. การวดองศาและวธการวดคา ผทาการทดลองไดกาหนดตวอยางการทดลองไวคอ เหลก 9 โดยทาการวดองศาจาก
ตาแหนงตางๆ ทไดกลาวมาขางตนโดยใชการวดคาจากโปรแกรม CAD 3D เนองจากผทาการทดลองทาการวดคาดานขาง และดานบน และนาคาองศาทง 2 ดานมาทาการหาคาดานหลงโดยใชโปรแกรม CAD 3D โดยในแตละตวอยางมดงตอไปน การทดลองทใชเหลก 9 (Iron 9) ทาการกาหนดเสน ทางการเคลอนทของไมกอลฟ(Constraint Path)
ภาพประกอบ 7 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =25.39 องศา
ภาพประกอบ 8 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ YX =2.68 องศา
36
ภาพประกอบ 9 แสดงตาแหนงท 1 ชวงเวลาท 0 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX =354.37 องศา
ภาพประกอบ 10 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =305.24 องศา
ภาพประกอบ 11 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ YX =352.5 องศา
37
ภาพประกอบ 12 แสดงตาแหนงท 2 ชวงเวลาท 5 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX =5.3 องศา ภาพประกอบ 13 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =344.8 องศา
ภาพประกอบ 14 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ YX =344.47 องศา
38
ภาพประกอบ 15 แสดงตาแหนงท 3 ชวงเวลาท 10 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX =45.78 องศา
ภาพประกอบ 16 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =321.3 องศา
ภาพประกอบ 17 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ YX =294.4องศา
39
ภาพประกอบ 18 แสดงตาแหนงท 4 ชวงเวลาท 12 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX =70 องศา ภาพประกอบ 19 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ YZ =18.82 องศา
ภาพประกอบ 20 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ YX =274.8 องศา
40
ภาพประกอบ 21 แสดงตาแหนงท 5 ชวงเวลาท 14 วนาทวดองศา ในระนาบ ZX =91.64 องศา
จากภาพประกอบ 7 - 21 ซงแสดงถงตาแหนงขององศาในเวลาทแตกตางกนในแตละดานทางผทาการวจยไดทาการสรปเปนตารางเพอใหงายตอการนาไปใชงาน ตาราง 1 แสดงคาองศาในดานหลง (Back view), ดานขาง (Side view), ดานบน (Top view)
องศา ตาแหนง หวขอ
เวลา วนาท ดานหลง(θ ) ดานขาง(ψ ) ดานบน(φ )
1 0 25.39 2.68 354.37
2 5 305.24 352.5 5.3
3 10 344.8 344.47 45.78
4 12 321.3 294.4 70
5 14 18.82 274.8 91.64
41
4. ผลการทดลอง
ภาพประกอบ 22 กราฟแสดงการเคลอนทของวงสวงดานบน, ดานขาง, ดานหลง ทาการกาหนดขอบเขต(Boundary condition) ของสมการ
4431.0)( 01 =tx เรเดยน (4.1) 0468.0)( 02 =tx เรเดยน (4.2)
1849.6)( 03 =tx เรเดยน (4.3) 0)( 04 =tx (4.4) 0)( 05 =tx (4.5) 0)( 06 =tx (4.6)
ทาการหาทศทางของการเคลอนทของไจโรสโคปโดยทาการหาเวกเตอรรวมโดยใชคาของ 321 ,, TTT ซงเปนคาแรงบดของมอเตอรในแนวแกนทไดจากโปรแกรมนามาแทนในเงอนไขบงคบ (Function Constraints) kTT
vv11 = (4.7)
ดานบน ดานหลง ดานขาง
องศา
(เรเดยน
)
เวลา ( t )
42
jTkTiTTvvvv
21112 sincos +−= ψψ (4.8) iTkTjTkTjTiTTvvvvvvv
322111123 sincossin)sin(cos)sin(cos +++−−= φφφψφψψ (4.9) kTTjTTiTTTtot
vvvv)sinsinsin()cossincos()cos( 121231 φψφφψφψ −+−++= (4.10)
kxxTxT
jxxTxTiTxTTtotv
vvv
))sin()sin()sin((
))cos()sin()cos(())cos((
32132
32132321
−+
−++= (4.11)
จาก kjiv
vvvv321 ννν ++=
23
22
21 νννν ++= (4.12)
ทาการแกสมการเพอหามม γβα ,,
axisX a⇒=νν
α 1cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
α 11cos (4.13)
axisY a⇒=νν
β 2cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
β 21cos (4.14)
axisZ a⇒=νν
γ 3cos ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
νν
γ 31cos (4.15)
232132
232132
2321
321
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(()cos(cos
xxTxTxxTxTTxTTxT
−+−++
+=α (4.16)
232132
232132
2321
32132
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(())cos()sin()cos((cos
xxTxTxxTxTTxTxxTxT
−+−++
−=β (4.17)
232132
232132
2321
32132
))sin()sin()sin(())cos()sin()cos(())cos(())sin()sin()sin((cos
xxTxTxxTxTTxTxxTxT
−+−++
−=γ (4.18)
จากคาองศาทไดจากการวดนามาทาการใสลงในสมการPolynomialเพอหาคาทตองการคอ
321 ,, TTT แทนคามมดวยคา 321 ,, xxx ทกาหนดไว θ=1x , ψ=2x , φ=3x นาคาองศาทไดแทนกลบไปในภาพประกอบ 4.20
43
θ=1x (4.19) 432
1 0041.01283.01958.13282.44431.0 ttttx −+−+= (4.20) ψ=2x (4.21) 432
2 0006.00105.00716.0767.10468.0 ttttx +−−+= (4.22) φ=3x (4.23) 432
3 0006.00274.04374.07987.21849.6 ttttx +−+−= (4.24) 41 xx =& (4.25) 32
4 0164.03849.03916.23282.4 tttx −+−= (4.26) 2
4 0492.07698.03916.2 ttx −+−=& (4.27) 52 xx =& (4.28) 32
5 0024.00315.01432.0767.1 tttx +−−= (4.29) 2
5 0072.0063.01432.0 ttx +−−=& (4.30) 63 xx =& (4.31) 32
6 0024.00822.08748.07987.2 tttx +−+−= (4.32) 2
6 0072.01644.08748.0 ttx +−=& (4.33) 514 xTx −=& (4.34) 32
1 0024.00807.06266.06246.0 tttT +−+−= (4.35) 625 xTx −=& (4.36)
322 0024.0075.08118.09419.2 tttT +−+−= (4.37)
(4.38)
(4.39)
จากสมการทกลาวมาขางตนผวจยไดทาการใชโปรแกรมทาการคานวณหาคา 321 ,, TTT ซงอยในรปของกราฟดงตอไปน
))(sin2()cos()sin()sin(
22
62253216 x
xxxxTxTx
+−−
=&
622521
22
63 )cos()sin()sin(
))(sin2(xxxxxT
xxT
−+
=&
44
ภาพประกอบ 23 กราฟแสดงคา 321 ,, TTT ทออกจากโปรแกรม
ภาพประกอบ 24 กราฟแสดงการเคลอนทของวงสวงทออกจากโปรแกรม
แกน X แกน Z
แกนY
บทท 5 สรปและวจารณ
1. สรปและวจารณผลการทดสอบ จากการทดลองและทาการเขยนโปรแกรมทาใหทราบถงผลทออกมาจากสมการทไดทาการกาหนดขนโดยใช Optimization นนมความสมบรณ 100% ซงทาใหคา Control input ทไดออกมานนสามารถนามาใชในการกาหนดการเคลอนทของไจโรสโคป (Gyroscope) ทง 3 แกนโดยจากสมการทไดทาการทดลองมานนจะไดคาแรงบด(Torque)ของมอเตอรในแตละแกนและในแตละชวงเวลา โดยวธ Minimum Energy แบบ Two point Boundary Value Problem โดยกาหนดจดเรมตนและจดสดทาย โดยทาการวดคาองศาและเวลาในแตละตาแหนงและทาการกาหนดเงอนไขตางๆ ทาใหไดสมการซงนาไปสคาแรงบด(Torque) ของมอเตอรในแตละชวงเวลาทเหมาะสมและผลของคาตอบทไดจากโปรแกรมทาใหไดเสนกราฟทแสดงใหเหนทศทางการเคลอนทของไจโรสโคป (Gyroscope) ไปตามทศทาง , ตาแหนงและเวลาทผทดลองไดทาการกาหนดขนมาซงจะทาการเรยกวา Path Line ของวงสวงกอลฟ ซงจากขนตอนตอจากนไปจะนาไปสการสรางชดไมกอลฟฝกซอมวงสวง โดยททาการกาหนด Path Line ลงไปในชดไมกอลฟฝกซอมวงสวงเพอมงหวงวาผใชจะตองมวงสวงทสมบรณและสวยงามสามารถตลกไดไกลและมจงหวะทเหมาะสม 2. ขอเสนอแนะ ในการพฒนาในขนตอไปคอการสรางชดไมกอลฟฝกซอมวงสวงโดยนาโปรแกรมทไดสรางขนมานมาพฒนาตอโดยการเพมเงอนไขตางๆเขาไปใหเหมาะสมกบการใชงานจรงเชน คาของนาหนกของไมกอลฟ คาของ momentum และคาสมประสทธ อนๆทมผลกบการสรางชดไมกอลฟฝกซอมวงสวง และหากตองการทา Path line ใหมการเคลอนทใหเหมอนจรงมากทสดนนจะตองเพมความละเอยดของระดบตาแหนงการเคลอนทของโปรแกรมซงตองมการพฒนาตอไปซงการพฒนาดงกลาวจาเปนตองใชcomputer ทมประสทธภาพสง
บรรณานกรม
บรรณานกรม มนส สงวรศลป, รศ.ดร.; และ วรรตน ภทรอมรกล. (2543). คมอ MATLAB ฉบบสมบรณ. กรงเทพฯ :
สานกพมพอนโฟเพรส. สธรรม ศรเกษม,ผศ.น.ท. ดร.; เมธนทร ทรงชยกล,น.ต. ; และสงา ศรศภปรดา,ร.อ.. MATLAB เพอการ
แกปญหาทางวศวกรรม. กรงเทพฯ: สานกพมพมหาวทยาลยรงสต. Evtim V. Zahariev. (1997). Dynamics and Optimization of Controlled Mechanical Systems: Institute
of Mechanics Bulgarian Academy of Sciences Acad. G. Bonchev Street, bl. 41113 Sofia, Bulgaria.
Hsien-Keng Chen & Zheng-Ming Ge (2004) Bifurcations and chaos of a two-degree-freedom dissipative gyroscope.
Kasahara M.S.; & et al. (2000, July). Analysis of a gyroscopic force measuring system in three-dimensional space. Measurement. 28(3) : 235–247.
Veeraklaew. T. (1999). Extensions of Optimization Theory and New Computational Approaches for Higher-order Dynamic Systems. Dissertation Ph.D (Mechanical Engineering).Delaware:Graduate School of University of Delaware.Photocopied. [5]
Singiresu S Rao.(1996). Engineering Optimization Theory and Practice. 3rd ed. USA : John Wiley & sons Inc.
Sunil Kumar Agrawal, Brian C Fabien. (1999). Optimization of Dynamic Systems. Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Tan K.C.; & et al. (2001). Design and real-time implementation of a multivariable gyro-mirror line-of-sight stabilization platform. Department of Electrical & Computer Engineering, National University of Singapore.
Xiong G.L.; & et al. (2003, May). Study of the gyroscopic effect of the spindle on the stability characteristics of the milling system. Journal of Materials Processing Technology. 138(8) : 379–384.
Ying Z.G. & Zhu W.Q. (2003, July). Exact stationary solutions of stochastically excited and dissipated gyroscopic systems. Journal of Materials Processing Technology, 138(9) : 379–384.
ภาคผนวก
49
อภธานศพท
A คอmoment of inertia ทอยในแนวแกน OX B คอmoment of inertia ทอยในแนวแกน OY C คอmoment of inertia ทอยในแนวแกน OZ
1C คอคา Viscous friction coefficient ของ OX 2C คอคา Viscous friction coefficient ของ OY 3C คอคา Viscous friction coefficient ของ OZ 1D คอคา Moment of innertiaทเกดจากคา Gimbal ในแนวตง 2D คอคา Moment of innertiaทเกดจากคา Gimbal ในแนวตง 0H คอspin angular momentum ของ Gyro-rotor ทจด center
T คอคา Torque ในแนวแกน ψ คอมมสาย (Yaw angle) ของไจโรสโคปในแนวแกน Z ของระบบแกนโลก ψ& คออตราการสาย (Yaw rate) รอบแกน Z ของระบบแกนโลก φ คอมมสาย (Yaw angle) ของยานยนตในแนวแกนY ของระบบแกนโลก φ& คออตราการสาย (Yaw rate) รอบแกน Y ของระบบแกนโลก θ คอมมสาย (Yaw angle) ของยานยนตในแนวแกน X ของระบบแกนโลก θ& คออตราการสาย (Yaw rate) รอบแกน X ของระบบแกนโลก i , j , k คอเวกเตอรหนงหนวย
ft ขอมลของเวลาการตของนกกอลฟ 0t จดเรมตนของวงสวงกาหนดใหเรมจากจดทไมอยกบลกกอลฟ
ประวตยอผวจย
51
ประวตยอผวจย ชอ ชอสกล นายชชวาล ศาลาลอย วนเดอนปเกด 26 สงหาคม 2518 สถานทเกด จงหวดสระบร สถานทอยปจจบน 102 หม5 ต.ทบกวาง อ.แกงคอย จ.สระบร 18260 ประวตการศกษา พ.ศ. 2534 มธยมศกษาตอนตน จาก แกงคอยวทยาคม จ.สระบร พ.ศ. 2537 ประกาศนยบตรวชาชพ (ปวช.ชางกลโรงงาน) จาก วทยาลยเทคนคสระบร พ.ศ. 2539 ประกาศนยบตรวชาชพชนสง (ปวส.ชางเทคนคการผลต) จาก วทยาลยเทคนคสระบร พ.ศ. 2543 วศวกรรมศาตรบณฑต (วศ.บ. เครองกล) จาก มหาลยเทคโนโลยมหานคร พ.ศ. 2550 บณฑตศกษาวศวกรรมศาตรมหาบณฑต (วศ.ม. เครองกล) จาก มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ
