หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน

ผเรยบเรยง รศ.ดร.นพพรแหยมแสง ทรงศกดดานพานช ผตรวจ สวรกาญจนมยร รตนาเชอรน ยพดมงคลจนดาวงศ บรรณาธการ ทรงวทยสวรรณธาดา

คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 2

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

สงวนลขสทธ : กมภาพนธ 2559

สงวนลขสทธตามกฎหมาย หามลอกเลยน ไมวาจะเปนสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน นอกจากจะไดรบอนญาตเปนลายลกษณอกษร

หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน

คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 2

ขอมลทางบรรณานกรมของสำานกหอสมดแหงชาต

นพพร แหยมแสง.

หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2

ภาคเรยนท 2.--กรงเทพฯ : แมคเอดดเคชน, 2559.

156 หนา.

1. คณตศาสตร--การศกษาและการสอน (มธยมศกษา).

I. ทรงศกด ดานพานช, ผแตงรวม. II. ชอเรอง.

510.7

ISBN 978-616-274-705-2

จดพมพและจดจำาหนายโดย

สงธนาณตสงจาย ไปรษณยลาดพราว

ในนาม บรษท แมคเอดดเคชน จำากด

เลขท 9/99 อาคารแมค ซอยลาดพราว 38 ถนนลาดพราว แขวงจนทรเกษม เขตจตจกร กรงเทพฯ 10900

☎ 0-2938-2022-7 โทรสาร 0-2938-2028

E-mail : macpress@MACeducation.com www.MACeducation.com

พมพท : บรษท กรนแอปเปล พรนตง จำากด

หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรเลมนไดจดทำาขนตามมาตรฐานการเรยนรตวชวดชนปของหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช2551ของกระทรวงศกษาธการเมอผเรยนไดเรยนและปฏบตกจกรรมตามหนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตรครบทง6เลมผเรยนจะมศกยภาพความสามารถทงในดานความรเชงเนอหาและมทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตรทจำาเปนสามารถแกปญหาไดดวยวธทหลากหลายสามารถใหเหตผลสามารถสอสารสอความหมายทางคณตศาสตรมความคดรเรมสรางสรรคสามารถเชอมโยงความรตางๆทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆได

อยางไรกตาม แมวาการนำาเสนอเนอหาในหนงสอชดนจะมงเนนใหผเรยนมความรอบรในเนอหา และมทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตรดงกลาว แตผเรยนจะบรรลตามมาตรฐานการเรยนรทจำาเปนทง 6 สาระ คอสาระท1จำานวนและการดำาเนนการสาระท2การวดสาระท3เรขาคณตสาระท4พชคณตสาระท5การวเคราะหขอมลและความนาจะเปนและสาระท6ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตรยอมขนอยกบองคประกอบทสำาคญ2ประการคอตวผเรยนและตวผสอนทงผเรยนและผสอนจำาเปนจะตองใหความเอาใจใสตอการจดกจกรรมการเรยนการสอนอยางจรงจงในทกขนตอน กลาวคอผเรยนจะตองพรอมทจะศกษาเลาเรยนอยางจรงจง มงมนทจะศกษาคนควาและทำาแบบฝกหดอยางสมำาเสมอเมอมขอสงสยจะตองดำาเนนการศกษาหาคำาตอบในขอสงสยเหลานนโดยอาจรวมกนศกษาไปพรอมกบเพอนและกบผสอนสวนผสอนจะมบทบาทเปนผชวยเหลอสงเสรมใหผเรยนเกดการเรยนร ผสอนจะตองคำานงถงระดบความสามารถและวฒภาวะของผเรยน โดยการจดกจกรรมการเรยนการสอนจะตองเรมจากงายไปยากจากรปธรรมไปสกงรปธรรมและนามธรรมใชสอตางๆทจำาเปนเพอใหผเรยนไดใชประกอบการศกษาคนควา เพอใหพบกฎเกณฑตางๆ รวมกน แตการทผเรยนจะคนพบกฎเกณฑตางๆ ได จะตองอยในสถานการณทเหมาะสม เชน ในสถานการณการสาธตหรอทดลองรวมกน และผสอนตองใชคำาถามกระตนไปตามลำาดบจนผเรยนสามารถสรปกฎเกณฑไดผสอนพงระลกดวยวาการมอบหมายงานอยางใดอยางหนงใหผเรยนศกษาคนควาจะตองอยภายใตพนฐานความรของผเรยนทจะสามารถทำาได

ดวยความมงมนของผสอนทจะพฒนาการเรยนการสอนคณตศาสตรใหเปนไปตามมาตรฐานทกำาหนดไวและดวยความตงใจจรงของผเรยนทจะแสวงหาความรและพฒนาทกษะ/กระบวนการตลอดจนความเอาใจใสในการทำาแบบฝกหดเพอฝกทกษะและการตรวจสอบความเขาใจในเนอหาดวยการฝกแกปญหาทแตกตางไปจากตวอยางทพบเหนในหนงสอเรยนจะทำาใหผเรยนประสบความสำาเรจในการเรยนคณตศาสตรไดอยางแนนอน

รศ. ดร.นพพร แหยมแสง

ทรงศกด ดานพานช

คำานำา

หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 2ตรงตามสาระและมาตรฐานการเรยนร ดงน

สาระการเรยนร มาตรฐานการเรยนร

สาระท1 จำานวนและการดำาเนนการ ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจำานวนและการใชจำานวน

ในชวตจรง

ค1.2เขาใจถงผลทเกดขนจากการดำาเนนการของจำานวนและความสมพนธ

ระหวางการดำาเนนการตางๆและสามารถใชการดำาเนนการในการแกปญหา

ค1.3ใชการประมาณคาในการคำานวณและแกปญหา

ค1.4เขาใจระบบจำานวนและนำาสมบตเกยวกบจำานวนไปใช

สาระท3เรขาคณต ค3.2ใชการนกภาพ(visualization)ใหเหตผลเกยวกบปรภม(spatial

reasoning) และใชแบบจำาลองทางเรขาคณต (geometricmodel) ใน

การแกปญหา

สาระท4พชคณต ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร

(mathematicalmodel) อนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปล

ความหมายและนำาไปใชแกปญหา

สาระท6ทกษะและกระบวนการ

ทางคณตศาสตร

ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การ

สอความหมายทางคณตศาสตร และการนำาเสนอ การเชอมโยง ความร

ตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และม

ความคดรเรมสรางสรรค

คำาชแจง

หนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตรชนมธยมศกษาปท2ภาคเรยนท2นบรษทแมคเอดดเคชน จำากด จดทำาและพฒนาขนใหมตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551 โดยทหนงสอเรยนเลมนไดปรบปรงพฒนาจากการตดตามผลการนำาไปใชในระยะเวลา 5 ปทผานมา โดยปรบเนอหาและกจกรรมใหทนสมย เหมาะสมกบนโยบายการจดการศกษาของรฐและสภาพสงคมทเปลยนแปลงไปสสงคมอดมปญญาทเครองมอสอสารมความทนสมย และมประสทธภาพสง ทำาใหมนษยสามารถเขาถงแหลงขอมลความรไดสะดวกรวดเรวมาก รปแบบการเรยนรและการจดการเรยนการสอนมความจำาเปนตองปรบเปลยน โดยตระหนกในขอน บรษทแมคเอดดเคชน จำากด จงไดมการปรบปรงและพฒนาหนงสอเรยนเลมนใหม โดยยงคงยดแนวทางของหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช2551ดงน 1. จดทำาสาระการเรยนรใหตรงตามตวชวดชนปและครอบคลมมาตรฐานการเรยนรของหลกสตรทกมาตรฐานทหลกสตรแกนกลางฯกำาหนดใหเรยนในแตละป 2.จดทำาตวชวดชนปเพอการประเมนคณภาพภายนอกรอบท4ดานผเรยนของสำานกงานรบรองมาตรฐานและประเมนคณภาพการศกษา(สมศ.)และสะทอนใหเหนถงความตระหนกและความพยายามของสถานศกษาทจะจดการเรยนการสอนใหไดตามมาตรฐานทกำาหนด 3.จดใหมกจกรรมเพอฝกกระบวนการเรยนรทมงพฒนาใหผเรยนไดเรยนรจนบรรลตามมาตรฐานการเรยนร ตวชวดชนปของหลกสตร โดยผสอนควรใหคำาแนะนำาเพมเตมเพอใหผเรยน ทกคนปฏบตไดจรงบรษทแมคเอดดเคชนจำากดขอขอบพระคณทกทานทใหความไววางใจเลอกใชสอการเรยนรของบรษทและขอตงปณธานวาจะสรางสรรคสอการเรยนรทมคณคาและเกดประโยชนสงสดตอวงการการศกษาตลอดไป

บรษท แมคเอดดเคชน จำากด

สารบญ

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส 1

(ตรงตามมาตรฐานค3.2ตวชวดขอ2และค6.1ตวชวดขอ1)

1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก 2

2.ทฤษฎบทพทาโกรส 6

3.บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส 16

4.พหคณของความยาวของดานทกดานของรปสามเหลยมมมฉาก 22

5.กจกรรมชวนศกษา 27

หนวยการเรยนรท 2 ความรเบองตนเกยวกบจำานวนจรง 31

(ตรงตามมาตรฐานค 1.1 ตวชวดขอ 1, 2, 3, ค 1.2 ตวชวดขอ 1, 2, ค 1.3 ตวชวดขอ 1, ค 1.4 ตวชวดขอ 1

และค6.1ตวชวดขอ1)

1. ระบบจำานวนจรงเบองตน 32

2. รากทสองและรากทสามในระบบจำานวนจรง 46

หนวยการเรยนรท 3 การประยกตของสมการเชงเสนตวแปรเดยว 78

(ตรงตามมาตรฐานค4.2ตวชวดขอ1และค6.1ตวชวดขอ2)

1. สมการ 79

2. การประยกต 89

หนวยการเรยนรท 4 เสนขนาน 102

(ตรงตามมาตรฐานค3.2ตวชวดขอ1)

1. เสนขนาน 103

2. เสนขนานและมมแยงภายใน 120

3. เสนขนานและมมภายนอกกบมมภายใน 123

4. เสนขนานและมมแยงภายนอก 125

5. รปสามเหลยมและเสนขนาน 133

บรรณานกรม 143

ภาคผนวก 144

ดชน 148

หนวยการเรยนรท 1

ทฤษฎบทพทาโกรส

1.ใชทฤษฎบทพทาโกรสและบทกลบในการใหเหตผลและแกปญหา(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ2) 2.ใชวธการทหลากหลายแกปญหา(มฐ.ค6.1ตวชวดขอ1)

ทฤษฎบทพทาโกรส

1.สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ2)

5.กจกรรมชวนศกษา(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ2,มฐ.ค6.1ตวชวดขอ1)

2.ทฤษฎบทพทาโกรส(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ2)

4.พหคณของความยาวของดานทกดานของรปสามเหลยมมมฉาก(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ 2)

3.บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

(มฐ.ค3.2ตวชวดขอ2)

ตวชวดชนป

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 22

ในหนวยการเรยนรน นกเรยนจะไดทราบสมบตของรปสามเหลยมมมฉากทมชอวาทฤษฎบทพทาโกรส (Pythagoras’ theorem)ทฤษฎบทพทาโกรสเปนหนงในทฤษฎบททสำาคญมากในคณตศาสตร มหลกฐานชดเจนวาในยคสมยบาบโลนมการศกษาและคนพบความสมพนธของความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากดงตอไปน

1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

รปสามเหลยมมมฉากหมายถงรปสามเหลยมทมมมใดมมหนงเปนมมฉากพจารณา

รปสามเหลยมมมฉากABCมACB^ เปนมมฉาก

เรยกAB วาดานตรงขามมมฉาก เรยกAC และBC วาดานประกอบมมฉาก จะเหนวารปสามเหลยมมมฉากมดานตรงขามมมฉากเปน ดานทยาวทสด

สรางรปสามเหลยมมมฉาก โดยใหดานประกอบมมฉาก และดานตรงขามมมฉากม ความยาวตามทกำาหนดใหดงน 1.ดานประกอบมมฉากยาว3เซนตเมตรและ4เซนตเมตร

วดความยาวของดานตรงขามมมฉากได5เซนตเมตร ความสมพนธของความยาวของดานทงสาม52 5 32

142

A

BC

4 ซม.

3 ซม.

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส3

2.ดานประกอบมมฉากยาว6เซนตเมตรและ8เซนตเมตร

วดความยาวของดานตรงขามมมฉากได10เซนตเมตร ความสมพนธของความยาวของดานทงสาม102 5 62

182

3.ดานประกอบมมฉากยาว2.4เซนตเมตรและ3.2เซนตเมตร วดความยาวของดานตรงขามมมฉากได4เซนตเมตร ความสมพนธของความยาวของดานทงสาม42 5 3.22

12.42

ขอ1, 2, 3จะสอดคลองกบความสมพนธของความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากABCมมมACBเปนมมฉาก ถาc แทนความยาวของดานตรงขามมมฉาก a และbแทนความยาวของดานประกอบมมฉาก ดงรป

จะไดความสมพนธของความยาวของดานทงสามเปนc2 5 a21b2

8 ซม.

6 ซม.

A

B Ca

bc

3.2 ซม.

2.4 ซม.

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 24

สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

สำาหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆ กำาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของกำาลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก

กจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1

จงใชสมบตของรปสามเหลยมมมฉากเขยนแสดงความสมพนธระหวางความยาวของดานทงสาม 1. 2. 3.

4. 5.

ตวอยางจงหาความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน (1) (2)

วธทำา (1) จากสมบตของรปสามเหลยมมมฉาก จะได a2 5 92

1122

5 811144

5 225

5 15315หรอ(215)3(215)

a 5 15หรอ215

เนองจากaเปนความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากซงมคาเปนบวกเสมอ ดงนนa 5 15

ตอบ 15หนวย

x

yz

ab

12a

610

2.4 n

2.6

m

3.6

1.5

a

26

10a 12

9

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส5

(2) จากสมบตของรปสามเหลยมมมฉาก จะได 262 5 a2

1102

a2 5 2622102

5 6762100

5 576

5 24324หรอ(224)3(224)

a 5 24หรอ224

เนองจากaเปนความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากซงมคาเปนบวกเสมอ ดงนนa 5 24

ตอบ 24หนวย

แบบฝกหด 1

1.จงหาคาของxเมอxแทนความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

2. จากรปDABCเปนรปสามเหลยมหนาจว AB 5 AC 5 15หนวย,BC 5 18หนวย AD ⊥ BC จงหาพนทDABC

3. จากรปhABCDเปนรปสเหลยมมมฉาก BD 5 25หนวยและAB 5 15หนวย จงหาความยาวเสนรอบรปของhABCD

x

2029

x

3.5

1.2

x

1216

x30

34

A

B D C

A B

CD

25

15

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 26

2. ทฤษฎบทพทาโกรส

จากรปDABCเปนรปสามเหลยมมมฉาก มมมABCเปนมมฉาก เรยกAC วาดานตรงขามมมฉาก เรยกAB และBC วาดานประกอบมมฉาก

กจกรรมความสมพนธของดานของรปสามเหลยมทเกยวของกบทฤษฎบทพทาโกรส

มความสมพนธพเศษระหวางพนทของรปสเหลยมจตรสทสรางจากดานสามดานของ รปสามเหลยมมมฉาก กจกรรมสองกจกรรมตอไปนจะชวยใหนกเรยนเรมเหนความสมพนธ ดงกลาวกอนทจะกลาวในรปทวไปในกจกรรม3

กจกรรม 1

1.ใหนกเรยนใชกระดาษสรางรปสามเหลยมมมฉากABCโดยมAC และCB ซงเปนดานประกอบมมฉากยาวเทากนและAB เปนดานตรงขามมมฉาก 2.สรางรปสเหลยมจตรสบน AC , CB และ AB กำาหนดชอเปนhACMN, hCBPO และhARQBตามลำาดบดงรป

A

B C

A

BC

R

Q

PO

N

M

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส7

3.ลากAM , NC , CP และOB 4.ตดhACMNและhCBPOแตละรปออกเปน4ชนดงรป

5.นำารปสามเหลยมทง8ชนไปวางซอนทบhARQBจะวางซอนทบhARQBไดสนทพอดหรอไม

กจกรรม 2

1.ใหนกเรยนใชกระดาษสรางรปสามเหลยมมมฉากABCโดยมมมACBเปนมมฉากและCB ยาวเปนสองเทาของAC 2.สรางรปสเหลยมจตรสบนAB , AC และBC กำาหนดชอเปนhABDE, hAGFCและhBCHIตามลำาดบดงรป

14

32

5

78 6

A

B

R

Q

O

N

MC

A C

G F

H

IB

D

E

P

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 28

3.ตดhAGFCและตดhBCHIโดยแบงhBCHIออกเปน4สวนโดยมจดJและจดK เปนจดกงกลางของHI และBC ตามลำาดบดงรป

4.นำากระดาษทง5ชน(คอชนท1, 2, 3, 4และ5)ไปซอนทบhABDEจะวางซอนทบhABDEไดสนทพอดหรอไม ในกจกรรม1และกจกรรม2นกเรยนไดนำาชนสวนจากพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉากไปวางซอนทบพนทรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก ซงจะวางไดเตมรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากพอดการทำากจกรรม1และกจกรรม2พบวา ผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉากเทากบพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉาก

รปกจกรรม 1 รปกจกรรม 2

1

2

4

3

5

G F

A C

E

D

B

H

I

JK

14

32

5

7

8 6A

BCM

N

O P

R

Q

1

2

4

3 5

A C

G F

E

D

B

H

I

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส9

กจกรรม 3

1.ใหนกเรยนใชกระดาษสรางรปสามเหลยมมมฉากABCโดยมมมACBเปนมมฉากและBC ยาวกวาAC 2.สรางรปสเหลยมจตรสบนAB , AC และBC กำาหนดชอเปนhABDE, hAGFCและhBCHIตามลำาดบดงรป

3.หาจดในhBCHIซงเปนจดตดของเสนทแยงมมกำาหนดจดดงกลาวเปนจดO 4.ทจดO ลากเสนตรง j ตงฉากกบดานตรงขามมมฉาก AB และลากเสนตรง k ตงฉากกบเสนตรงjเสนตรงjและเสนตรงkแบงhBCHIเปนสวนยอย4สวนดงรป

5.ตดhAGFCและสวนยอย4สวนของhBCHIไปวางซอนทบhABDEจะซอนทบhABDEไดสนทพอดหรอไม ถานกเรยนสรางรปไมคลาดเคลอนเมอนำาไปวางซอนทบhABDEจะพบวาซอนทบไดสนทพอด นกเรยนจะสรปผลการทำากจกรรมนวาอยางไร ใหนกเรยนเปรยบเทยบขอสรปของนกเรยนกบขอสรปของเพอนๆ

A B

C

F

H

I

E D

G

B

H

I

kO

C

F

G

A

E D

j

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 210

ถาความยาวของดานประกอบมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากเปน a และ b ดงนนพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉากจะเปน a2 และ b2 ตามลำาดบถาความยาวของดานตรงขามมมฉากเปนcดงนนพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากเปนc2 จงเขยนขอความคาดกาณของนกเรยน ขอความคาดการณของนกเรยนควรสอดคลองกบทฤษฎบทพทาโกรสดงน

สำาหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆกำาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉากจะเทากบผลบวกของกำาลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก

นนคอเมอcเปนความยาวของดานตรงขามมมฉากaและbเปนความยาวของดานประกอบมมฉากจะได

c2 5 a21b2

ตวอยางท 1จงหาความยาวของดานตรงขามมมฉากcในรปสามเหลยมมมฉากเมอกำาหนดaและbเปนความยาวของดานประกอบมมฉาก (1) a 5 12, b 5 5 (2) a 5 1.6, b 5 3 (3) a 5 7, b 5 24

วธทำา (1)จากทฤษฎบทพทาโกรสc2 5 a21b2

เมอa 5 12และb 5 5 จะได c2 5 122

152

5 144125

5 169

5 13313

ดงนน c 5 13

ตอบ 13หนวย

a

bc

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส11

(2)จากทฤษฎบทพทาโกรสc2 5 a21b2

เมอa 5 1.6และb 5 3 จะได c2 5 1.62

132

5 2.5619

5 11.56

5 3.433.4

ดงนน c 5 3.4

ตอบ 3.4หนวย (3)จากทฤษฎบทพทาโกรสc2 5 a2

1b2

เมอa 5 7และb 5 24

จะได c2 5 721242

5 491576

5 625

5 25325

ดงนน c 5 25

ตอบ 25หนวย

หมายเหต เนองจากaและbเปนความยาวของดานประกอบมมฉากและcเปนความยาวของดานตรงขามมมฉากซงมคาเปนบวกเสมอดงนนในหนวยการเรยนรนจงกลาวถงเฉพาะคาa, bและcทเปนบวกเทานน

ในกรณทโจทยกำาหนดความยาวของดานตรงขามมมฉาก และความยาวของดานประกอบมมฉากมาใหดานหนงเรากสามารถหาความยาวของดานประกอบมมฉากอกดานหนงได เนองจาก c2 5 a2

1b2 ..........(1)

ถาโจทยกำาหนดคาcและaมาใหและโจทยตองการหาคาbเราอาจจดรปสมการ(1) เปน b2 5 c2

2a2 ..........(2)

ถาโจทยกำาหนดคาcและbมาใหและโจทยตองการหาคาaเราอาจจดรปสมการ(1) เปน a2 5 c2

2b2 ..........(3)

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 212

ตวอยางท 2จงหาความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมมมฉากเมอกำาหนดใหaและb เปนความยาวของดานประกอบมมฉากและcเปนความยาวของดานตรงขามมมฉาก (1) b 5 15, c 5 39 (2) a 5 24, c 5 30

(3) b 5 4.5, c 5 7.5

วธทำา (1)จาก a2 5 c22b2

b 5 15และc 5 39

จะได a2 5 3922152

5 1,5212225

5 1,296

5 36336

ดงนน a 5 36

ตอบ 36หนวย (2)จาก b2 5 c2

2a2

เมอa 5 24และc 5 30

จะได b2 5 3022242

5 9002576

5 324

5 18318

ดงนน b 5 18

ตอบ 18หนวย (3)จาก a2 5 c2

2b2

เมอb 5 4.5และc 5 7.5

จะได a2 5 7.5224.52

5 56.25220.25

5 36

5 636

ดงนน a 5 6

ตอบ 6หนวย

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส13

ตวอยางท 3 ชายคนหนงขรถจกรยานไปทางทศเหนอ 14 กโลเมตร แลวเดนทางตอโดยการเดนเทาไปทางทศตะวนตกอก10กโลเมตรจากนนนงเรอขนไปทางทศเหนออก10กโลเมตรจงถงทหมายชายคนนอยหางจากจดเรมตนกกโลเมตรวธทำา ใหจดAเปนจดเรมตน AB เปนระยะทางทขรถจกรยานไปทางทศเหนอ 14กโลเมตร BC เปนระยะทางทเดนเทาไปทางทศตะวนตก 10กโลเมตร CD เปนระยะทางทนงเรอขนไปทางทศเหนอ 10กโลเมตร AD แทนระยะหางจากจดเรมตนถงทหมายตอDC ไปทางจดCพบสวนของเสนตรงAEทขนานกบBC ทจดEจะไดรปสเหลยมผนผาABCEและรปสามเหลยมมมฉากADEทมมมAEDเปนมมฉาก จะได AD2 5 AE2

1DE2

แต AE 5 BC 5 10

และ DE 5 DC1CE

5 10114 (CE 5 AB)

5 24

จะได AD2 5 1021242

5 1001576

5 676

5 26326

ดงนน AD 5 26

ตอบชายคนนอยหางจากจดเรมตน26กโลเมตรตวอยางท 4จากรปจงหาพนทของรปสเหลยมคางหมABCDซงมAB 5 12เซนตเมตร BC 5 13เซนตเมตรและCD 5 17เซนตเมตร

10 กม.

10 กม.

14 กม.

D

C

E A

B

13 ซม.

17 ซม.12 ซม.

A D

B

C

E

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 214

วธทำา ลากBE ขนานกบAD พบCD ทจดE

ดงนนDBCEเปนรปสามเหลยมมมฉากและhABEDเปนรปสเหลยมมมฉาก

จะได EC 5 CD2ED

5 17212 (ED 5 AB)

5 5เซนตเมตร

เนองจากDBCEเปนรปสามเหลยมมมฉาก

ดงนน BC2 5 BE21CE2

132 5 BE2152

BE2 5 132252

5 169225

5 144

5 12312

จะได BE 5 12เซนตเมตร

นนคอพนทของรปสเหลยมคางหมABCD 5 12

3(12117)312

5 2936

5 174ตารางเซนตเมตร ตอบ 174ตารางเซนตเมตร

กจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 2

กำาหนดaและbเปนความยาวของดานประกอบมมฉากและcเปนความยาวของดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากจงหาความยาวของอกดานหนง 1. a 5 8, b 5 15 2. a 5 12, b 5 35

3. b 5 2.1, c 5 2.9 4. a 5 2.4, c 5 3

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส15

แบบฝกหด 2

1. จงใชทฤษฎบทพทาโกรสหาคาของc เมอc แทนความยาวของดาน (1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

3

4

c1

2.4

c

c

60

25

c

56

33

60

45

c

1.2

0.9 c

c1.6

6.3

c 5

1.4

41

40

bcc

28

53

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 216

2. จากรปทกำาหนดใหจงหาคาของaเมอaแทนความยาวของดาน (1)

(2)

(3)

3. บนไดยาว50ฟตปลายบนไดขางหนงจรดกบเสาสง48ฟตปลายบนไดอกขางหนงอยหางจากโคนเสากฟต

3. บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

ถาพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานหนงของรปสามเหลยมเทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานอกสองดานแลวรปสามเหลยมนเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม ใหนกเรยนทำากจกรรมตอไปน ขนท 1กำาหนดสวนของเสนตรงยาว8เซนตเมตร15เซนตเมตรและ17เซนตเมตร พจารณาความสมพนธของกำาลงสองของความยาวสวนของเสนตรงจะเหนวา 172 5 152

182

ขนท 2 ใชวงเวยนและสนตรงสรางรปสามเหลยมโดยใชสวนของเสนตรงทสรางในขนท1 ขนท 3 ใชโพรแทรกเตอรวดขนาดของมมภายในทอยตรงขามดานทยาวทสดมมดงกลาวมขนาดเทากบ90องศาหรอไม

12

17

a

22

20

25

a

a

16

4

8

7

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส17

ใหนกเรยนหาความสมพนธของกำาลงสองของความยาวสวนของเสนตรงทกำาหนดใหแลวสรางรปสามเหลยมจากความยาวสวนของเสนตรงทกำาหนดใหพรอมตรวจสอบวาเปน รปสามเหลยมมมฉากหรอไม กำาหนดความยาวสวนของเสนตรงดงน 3เซนตเมตร,4เซนตเมตรและ5เซนตเมตร จะเหนวา52 5 32

142

สรางรปDXYZใหXY 5 3เซนตเมตร XZ 5 4เซนตเมตรและYZ 5 5เซนตเมตร วดมมYXZมขนาด908หรอไม

จากกจกรรมจะเหนไดวา ถารปสามเหลยมXYZมดานยาวx, yและzหนวยตามลำาดบและx2 5 y2

1z2 จะไดวาDXYZเปนรปสามเหลยมมมฉากและมดานทยาวxหนวยเปนดานตรงขามมมฉาก ซงเปนจรงตามบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสทกลาววา สำาหรบรปสามเหลยมใดๆ ถากำาลงสองของความยาวของดานดานหนงเทากบผลบวกของกำาลงสองของความยาวของดานอกสองดานแลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยมมมฉาก บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสนนเปนจรงโดยสามารถพสจนไดดงน

กำาหนดให DABCมAB 5 cหนวยBC 5 aหนวยAC 5 bหนวยและb2 5 a21c2

ตองการพสจนวา DABCเปนรปสามเหลยมมมฉากมมมABCเปนมมฉาก แนวคดในการพสจนตองสรางรปสามเหลยมมมฉากDEF ใหมมDEF เปนมมฉาก

EF และ DE เปนดานประกอบมมฉากยาว aหนวยและ cหนวยตามลำาดบแลวแสดงวา DDEF DABC

3

45

XY

Z

A

B Ca

bc

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 218

พสจนสรางรปสามเหลยมมมฉากDEF ใหมมDEF เปนมมฉากEF และDE เปนดานประกอบมมฉากยาวaหนวยและcหนวยตามลำาดบ

EF 5 BC 5 aและDE 5 AB 5 c (จากการสราง)

DDEFเปนรปสามเหลยมมมฉากจะได DF2 5 a2

1c2 (ทฤษฎบทพทาโกรส)

แตจากDABCจะได b2 5 a2

1c2 (กำาหนดให)

ดงนน DF2 5 b2 (สมบตการเทากน)

นนคอ DF 5 b

จะได DDEF DABC (ดาน-ดาน-ดาน)

ดงนน DEF^ 5 ABC^ 5 908 (มมทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการมขนาดเทากน)

นนคอDABCเปนรปสามเหลยมมมฉากมมมABCเปนมมฉากตวอยางท 1 DABCมดานยาว15เซนตเมตร,36เซนตเมตรและ39เซนตเมตรDABCเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไมวธทำา ให a 5 15เซนตเมตร b 5 36เซนตเมตร c 5 39เซนตเมตร จะได a2 5 225

b2 5 1,296

c2 5 1,521

a21b2 5 22511,296

5 1,521

ดงนนc2 5 a21b2

ตอบ DABCเปนรปสามเหลยมมมฉาก

D

E F

c

a

A

B

C

39 ซม.

15 ซม.

36 ซม.

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส19

ตวอยางท 2กำาหนดรปสามเหลยมABCดงรปจงแสดงวาDABCเปนรปสามเหลยมมมฉาก

วธทำา DABDเปนรปสามเหลยมมมฉาก จะได AB2 5 AD2

1BD2

5 1221162

5 1441256

AB2 5 400

DACDเปนรปสามเหลยมมมฉาก จะได AC2 5 AD2

1CD2

5 122192

5 144181

AC2 5 225

จะได AB21AC2 5 4001225

5 625

และ BC2 5 (BD1DC)2

5 (1619)2

5 252

5 625

ดงนน BC2 5 AB21AC2

ตอบ DABCเปนรปสามเหลยมมมฉากมมมBACเปนมมฉาก

A

B C

D

12

16 9

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 220

แบบฝกหด 3

1. จงใชบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสตรวจสอบวารปสามเหลยมแตละรปเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2. จงใชทฤษฎบทพทาโกรสหรอบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสแกปญหาแตละขอตอไปน (1)รปสามเหลยมทมความยาวของดานเปน9นว12นวและ18นวเปนรปสามเหลยม

มมฉากหรอไม (2)จงหาพนทของรปสามเหลยมมมฉากซงมดานตรงขามมมฉากยาว13เซนตเมตรและ

ดานประกอบมมฉากดานหนงยาว12เซนตเมตร (3)รปสเหลยมดานขนานมดานยาว9เซนตเมตรและ12เซนตเมตรและเสนทแยงมมยาว

15 เซนตเมตร รปสเหลยมดานขนานนเปนรปสเหลยมมมฉากหรอไม ถาไมเปน รปสเหลยมมมฉากความยาวเสนทแยงมมทยาว15เซนตเมตรนเปนเสนทแยงมมเสนทสนกวาหรอยาวกวาเสนทแยงมมอกเสนหนง

(4)จงหาความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉากทมเสนทแยงมมเสนหนงยาว26เซนตเมตรและความยาวของดานอกดานหนงของรปสเหลยมมมฉากเปน10เซนตเมตร

(5)รปสเหลยมขนมเปยกปนรปหนง มเสนทแยงมมยาว 16 และ 12 เซนตเมตร จะม เสนรอบรปยาวกเซนตเมตร

21.2

1.6

514

13

1237

35

465

63

16 5

15

12.5 9.5

10.4

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส21

3. จงแสดงวธทำา (1)รปสเหลยมมมฉากทมดานกวาง 7 เซนตเมตร ดานยาว 24 เซนตเมตร จะม

เสนทแยงมมยาวเทาไร (2)ถาความยาวของดานสามดานของรปสามเหลยมมมฉากเปนจำานวนนบสามจำานวน

เรยงกนจงหาความยาวของดานทงสาม (3)ถาความยาวของดานสามดานของรปสามเหลยมมมฉากเปนจำานวนคสามจำานวนเรยง

กนจงหาความยาวของดานทงสาม (4)จงหาพนทของรปสามเหลยมมมฉากทมดานตรงขามมมฉากยาว34เซนตเมตรและ

ดานประกอบมมฉากดานหนงยาว30เซนตเมตร (5)รปสเหลยมจตรสมความยาวของเสนทแยงมมเปน16เซนตเมตรรปสเหลยมจตรสน

มพนทเทาไร (6)รปสเหลยมมมฉากมความยาวรอบรป 28 เซนตเมตร และรปสเหลยมมมฉากนม

ความกวาง6เซนตเมตรจงหาความยาวของเสนทแยงมม (7)รปสามเหลยมหนาจวมดานทยาวเทากนยาวดานละ13เซนตเมตรฐานยาว24เซนตเมตร

จงหาพนทของรปสามเหลยมหนาจวน (8)สวนรปสเหลยมมมฉากกวาง 12 เมตร และมเสนทแยงมมยาว 20 เมตร จงหา

ความยาวรอบรปของสวนรปสเหลยมมมฉากน (9)ในการหาระยะทางระหวางจดA และ B ซงเปนจดทอยตรงขามกนของทะเลสาบ

ผสำารวจไดกำาหนดจดCเพอใหมมABCเปนมมฉากโดยการวดพบวาระยะACยาว80เมตรและระยะBCยาว64เมตรจงหาระยะจากAถงB

(10) เสาธงตนหนงหกณจดทสงจากพนดน9ฟตและจดปลายดานบนของเสาโดนพนซงหางจากฐาน12ฟตดงรปจงหาวากอนทเสาธงจะหกเสาธงสงกฟต

ทะเลสาบ

A

B

C

64 ม.

80 ม.

9 ฟต

12 ฟต

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 222

4. อาคารสองหลงอยหางกน12เมตรอาคารหลงหนงสง14เมตรอกหลงหนงสง23เมตรตองการใชบนไดพาดระหวางดาดฟาของอาคารทงสอง ความยาวของบนไดนนยาวอยางนอยกเมตร

5. จากรปทรงสเหลยมมมฉากABCDEFGHมดานABยาว12เซนตเมตรดานADยาว9 เซนตเมตรและดานDHยาว8เซนตเมตรจงหาความยาวของดานBH

4. พหคณของความยาวของดาน ทกดานของรปสามเหลยมมมฉาก

ถาเปลยนความยาวแตละดานของรปสามเหลยมมมฉากโดยคณความยาวของดานดวยจำานวนบวกเดยวกนแลวรปสามเหลยมทไดเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไมนกเรยนสามารถสรางขอความคาดการณไดจากการทำากจกรรมตอไปน

12 ซม.

H G

E FC

BA

8 ซม.

9 ซม.

D

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส23

กจกรรม

กำาหนดให a และb เปนความยาวของดานประกอบมมฉากและ c เปนความยาวของ

ดานตรงขามมมฉาก

ใหนกเรยนดำาเนนการดงน

1. เลอกรปสามเหลยมมมฉากรปใดรปหนงเปลยนความยาวของรปสามเหลยมดงกลาว

เปนสองเทาของความยาวเดมแลวตรวจสอบความสมพนธในรปa21b2 5 c2 ถาเปนไปตาม

ความสมพนธแสดงวารปสามเหลยมทมความยาวดานเปนสองเทาของความยาวเดมเปนรปสาม

เหลยมมมฉาก

2. เลอกรปสามเหลยมมมฉากรปอนๆทตางจากรปสามเหลยมในขอ1 เปลยนความยาว

ของรปสามเหลยมเปนสามเทาของความยาวเดมแลวตรวจสอบความสมพนธในรปa21b2 5 c2

ถาเปนไปตามความสมพนธแสดงวารปสามเหลยมทมความยาวดานเปนสามเทาของความยาว

เดมเปนรปสามเหลยมมมฉาก

3. เลอกรปสามเหลยมมมฉากรปอนๆทตางจากรปสามเหลยมในขอ 1 และขอ 2 คณ

ความยาวของดานแตละดานของรปสามเหลยมดวยจำานวนบวกเดยวกนซงไมจำาเปนตองเปน

จำานวนนบแลวตรวจสอบความสมพนธในรปa21b2 5 c2 ถาเปนไปตามความสมพนธแสดงวา

รปสามเหลยมทมความยาวดงกลาวเปนรปสามเหลยมมมฉาก

4. เขยนขอความคาดการณเกยวกบการคณความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก

ดวยจำานวนบวกเดยวกนแลวตรวจสอบวาสอดคลองกบขอสงเกตตอไปนหรอไม

ขอสงเกตถาคณความยาวของดานทกดานของรปสามเหลยมมมฉากดวยจำานวนบวก

เดยวกนความยาวแตละดานทไดจะยงคงเปนความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก

จากขอความดงกลาวเราสามารถเขยนในรปทวไปโดยใชสญลกษณ

เมอa, b, cเปนความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากและn 0

ถาa21b2 5 c2แลว(na)2

1(nb)2 5 (nc)2

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 224

จากการทำากจกรรมขางตนน นกเรยนจะพบวา ถาคณความยาวของทงสามดานของ

รปสามเหลยมมมฉากดวยจำานวนบวกเดยวกน แลวความยาวทไดจะยงคงเปนความยาวของ

ดานของรปสามเหลยมมมฉาก

แบบฝกหด 4

1. จงหาความยาวของดานทยงไมทราบความยาวของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน (1) (2) (3)

(4) (5)

(6) (7)

2. กำาหนดรปสเหลยมมมฉากมพนท168ตารางเซนตเมตรดงรป

จงหาaและc

2745

5.6 6.54.8 5

2451

20

48

413

12

21

72

7 ซม.

a

c

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส25

3. สวนทแรเงามพนทเทาไร (1)

(2) (3)

4. กำาหนดa, b, cเปนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากโดยทa , b , cถาเพมความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากเปน2เทา,3เทา,4เทาและ2.4เทาของความยาวเดม แลวความยาวดานทเปลยนไปจะเปนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก หรอไม

ตวอยาง กำาหนดa 5 3, b 5 4, c 5 5 เพมความยาวดานเปน3เทาของความยาวเดม จะได3a 5 9, 3b 5 12และ3c 5 15

จะได 152 5 921122

225 5 811144เปนจรง ดงนน เมอเพมความยาวดานของรปสามเหลยมเปน 3 เทาของความยาวเดม

ความยาวดานทเปลยนไปยงคงเปนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนเตมขอความในชองวางใหสมบรณ

48 ซม.4 ซม.

14 ซม.

12 นว

13 นว 7 ซม.

25 ซม.

O

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 226

ความยาวดานของ

รปสามเหลยมมมฉาก a, b, c

เปลยนเปน2 เทา

2a, 2b, 2c

เปลยนเปน3 เทา

3a, 3b, 3c

เปลยนเปน4 เทา

4a, 4b, 4c

เปลยนเปน2.4 เทา

2.4a, 2.4b, 2.4c

3, 4, 5

....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .......................

9, 12, 15

152 5 92 1 122

225 5 811144

เปนจรงดงนน9, 12, 15 เปนความยาวดานของรปสามเหลยม

มมฉาก

........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................

5, 12, 13

........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................

....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .......................

8, 15, 17

....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .......................

........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส27

5. จงหาพนทของรปสามเหลยมมมฉากทมดานประกอบมมฉากดานหนงยาว 12 เซนตเมตรและดานตรงขามมมฉากยาว37เซนตเมตร

6. กลองขนาด6 ซม.38 ซม.324 ซม.ดงรปหลอดแกวทยาวทสดทจะใสกลองไดมความยาวเทาไร

5. กจกรรมชวนศกษา

เรามวธทแสดงใหเหนจรงในการพสจนทฤษฎบทพทาโกรสอยมากมายหลายวธ ใน หนวยการเรยนรนจะกลาวบางวธทนกเรยนสามารถศกษาได ใหนกเรยนพจารณาhABCDและhEFGHซงเปนรปสเหลยมจตรสทมความยาวแตละดานเปน a1b หนวย และรปสามเหลยมแตละรปมดานประกอบมมฉากยาว a และ b หนวย ดานตรงขามมมฉากยาวcหนวยดงรปจงตอบคำาถามตอไปน

หลอดแกว

24 ซม.

8 ซม.

6 ซม.

x

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 228

รปท 1 รปท 2

1. hABCDมพนทกตารางหนวย 2. hEFGHมพนทกตารางหนวย 3.พนทhABCDและพนทhEFGHเทากนหรอไม 4.รปสามเหลยมทงแปดรปทบรรจอยในhABCDและhEFGHแตละรปมพนทเทาไร 5. hIJKLเปนรปสเหลยมชนดใด 6.กำาหนดรปสามเหลยมทงแปดรปแตละรปมดานตรงขามมมฉากยาวcหนวยดงนนhIJKLมพนทกตารางหนวย 7. hEMQOเปนรปสเหลยมชนดใดมพนทเทาไร 8. hPGNQเปนรปสเหลยมชนดใดมพนทเทาไร 9.พนทhIJKLเกยวของกบผลบวกพนทhEMQOและhPGNQอยางไร หากนกเรยนศกษาปญหาขางตนไดเขาใจนกเรยนจะสามารถตอบคำาถามไดวา 1. hABCDมพนท(a1b)2 5 a2

12ab1b2ตารางหนวย 2. hEFGHมพนท(a1b)2 5 a2

12ab1b2ตารางหนวย 3.พนทhABCDเทากบพนทhEFGH (จากคำาตอบขอ1และขอ2)

4.รปสามเหลยมทงแปดรปแตละรปมพนท 12

3a3b 5 12

abตารางหนวย

5.จากรปhIJKLสามารถแสดงไดวา 4^ 5 908ดงน

เนองจาก 1^

1 2^ 5 908 (มมอกสองมมของรปสามเหลยมมมฉาก)

และ 1^ 5 3^ (DAIL DBJI)

ดงนน 3^

1 2^ 5 908 (สมบตการเทากน) ..........(1)

และ 3^

1 2^

1 4^ 5 1808 (ขนาดของมมตรง) ..........(2)

ดงนนจาก(1)และ(2)จะไดวา

4^ 5 908

A

D

BI

J

K

L

C

a

b

b

a

a

a

b

b

43

1

7

6

5

42c

c

c

c c

c

2 3

1

E

H

FM

P

G

b

O

N

a

a

a

a

b

b

b6

5

8

7

Q

หนวยการเรยนรท 1 ทฤษฎบทพทาโกรส29

เชนเดยวกนสามารถแสดงไดวา 5^ , 6^ และ 7^ ตางกมขนาด908

และhIJKLมแตละดานยาวcหนวย ดงนนhIJKLเปนรปสเหลยมจตรส 6. hIJKLมความยาวแตละดานcหนวยจงมพนทc2ตารางหนวย 7. hEMQOเปนรปสเหลยมจตรสมพนทa2ตารางหนวย 8. hPGNQเปนรปสเหลยมจตรสมพนทb2ตารางหนวย 9.เนองจากพนทhABCDลบดวยผลบวกพนทของรปสามเหลยม4รปเทากบ พนทhEFGHลบดวยผลบวกพนทของรปสามเหลยม4รป ดงนน พนทhIJKL 5 พนทhEMQO1พนทhPGNQ

นนคอ c2 5 a21b2

แบบฝกหด 5

1. hABCDเปนรปสเหลยมจตรสมความยาวของดานแตละดานเทากบa1bหนวยและhEFGH มความยาวของดานแตละดานเทากบcหนวยจงเตมชองวางหรอตอบคำาถามตอไปน

(1) hABCDมพนท(a1b)2 5 a212ab1....................ตารางหนวย

(2) hEFGHมพนทเทาไร

(3)รปสามเหลยมสรปมพนทรวมกนเปน4 12

× a × b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 5 ....................ตารางหนวย

(4)พนทhABCDลบดวยพนทรปสามเหลยมสรปเทากบ

(a1b)224 1

2 × a × b⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 5 a2

12ab1b22....................

5 a21 ....................ตารางหนวย

จากขอ(2)และขอ(4)จะไดวาc2 5 a21 ....................

A

D

BE

F

G

H

C

a

b

b

a

a

a

b

b

43

12

5

c

c

c

c

คณตศาสตร ม.2 ภาคเรยนท 230

2. hABDEเปนรปสเหลยมคางหมมความยาวดานตางๆดงรปจงเตมชองวางหรอตอบคำาถามตอไปน

(1) ACE^ มขนาด908เพราะเหตใด

(2) DABCมพนท 12

3p3 .................... 5 12

pqตารางหนวย

(3) DCDEมพนท 12

3....................3q 5 12

pqตารางหนวย

(4) DACEมพนท 12

3r3 .................... 5 12

r2ตารางหนวย

(5)พนทในขอ(2), (3)และ(4)รวมกนได

....................1....................1.................... 5 pq112

r2ตารางหนวย

(6)หาพนทhABDEโดยใชสตรพนทรปสเหลยมคางหมได

12

3(p1q)(p1q) 5 12

(p212pq1 ....................) 5 1

2p2

1pq112

q2ตารางหนวย

(7)จากขอ(5)และขอ(6)เนองจากเปนพนทของhABDEเหมอนกนดงนนจะได

pq112

r2 5 12

p21pq1

12

q2

จะได r2 5 ....................1....................

D E

AB

C

p

q

r

q

p1

2

3

4