วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
1
อนเวอรสของความสมพนธ
อนเวอรส(ตวผกผน)ของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตว
หลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r เขยนแทนดวย 1r
เราตองทราบวา
1. สามารถเขยน 1r ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน 1r {(y,x) | (x, y) r}
2. ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B แลว 1r เปนความสมพนธ…………………………………………..
3. เนองจาก r และ 1r เกดจากการสลบทกนของตวหนากบตวหลงของคอนดบ
เกดเปนความสมพนธ rD ………………………. และ rR ……………………………….
ตวอยางท 1 จงหาอนเวอรสของพรอมกบโดเมนและเรนจของอนเวอรส
1) 1r {(1,2),(3,4),(5,6)} 2) 2r {( 3,1),(0,8),(4,6)}
3) 2r {( 3, 10),( 2,5),( 1,0),(1, 5),(2,10)} 4) 4r {(a,Z),(b,Y),(c,X),(d,W),(e,V)}
การหาอนเวอรสมาในรปแบบบอกเงอนไข
การหา 1r แบบบอกเงอนไขสามารถท าได 2 วธ
1) โดยการสลบทคอนดบ แตคงเงอนไขเดมไว
เชน r {(x, y) A B | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ……………………….. เรนจคอ………………………………….
1r {(y,x) B A | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ……………………….. เรนจคอ………………………………….
เชน
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
2
2) โดยการคงทคอนดบไว แตสลบทตวแปรในเงอนไขแทน
เชน r {(x, y) A B | y 2x 3}
1r {(x, y) B A | x 2y 3}
จดใหมจะไดวา 1 x 3r {(x, y) B A | y }
2
ตวอยางท 2 ก าหนด r {(x, y) R R | y 5x 4} จงพจารณาอนเวอรสของ r วาถกหรอผด
…………………………………1) 1r {(y,x) R R | y 5x 4}
…………………………………2) 1r {(x, y) R R | x 5y 4}
…………………………………3) 1 x 4r {(x, y) R R | y }
5
ตวอยางท 3 จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปนพรอมทงหาโดเมนและเรนจ
1) 1r {(x,y) | y 2x 4} 2) 2
3 2xr {(x, y) | y }
3x 5
3) 3r {(x, y) | y x 1} 4) 24r {(x, y) | y 16 y }
5) 5r {(x, y) | y x 4 1} 6) 6r {(x,y) | x | y | 1}
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
3
ตวอยาง 4 จงเขยนกราฟอนเวอรสของ r ลงบนแกน xy รวมกบกราฟ r
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
4
2. ฟงกชน (Function)
2.1 ความหมายของฟงกชน
ฟงกชน คอ ความสมพนธทมสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธ
เพยงตวเดยวเทานน
Note !!!!
ตวอยางท 1 ก าหนดให 1r {(0,3),(1,1),(2,1),(3,4)} และ 2r {(0,1),(1,1),(1,2),(0,4)}
จาก 1 2r , r เขยนแผนภาพแสดงการจบคไดดงน
จะไดวา 1r …………………………………. และ 2r ………………………………….
ตวอยางท 2 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนหรอไม
1) a {(4,5),(6,8),(7,0)} 2) b {(5,6),(5,7),(5,8)}
3) c {(3,6),(5,4),(3,0)} 4) d {(4,6),(9,6),(5,1)}
5) e {(2,5),(3,7),(2,5)} 6) f {(4,0),(6,0),(2,0)}
การพจารณาความเปนฟงกชนโดยใชกราฟ
ลากเสนตรงตงฉากกบแกน x (ขนานกบแกน y) แลวใหตดกราฟ ถา
- ตดกราฟเพยง 1 จด ……………………………………….…………
- ตดกราฟตงแต 2 จดขนไป ……………………………………………..
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
5
ตวอยางท 3 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนหรอไม
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
6
การตรวจสอบฟงกชน
ตวอยางท 4 ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน
1) 1r {(x, y) | y 3x 1} 2) 22r {(x, y) | y x }
3) 23r {(x, y) | y x} 4) 4r {(x, y) | y 2x}
สญลกษณของฟงกชน
ถา f เปนฟงกชน และ x, y f แลวเราจะเขยนสญลกษณนวา y f (x) โดยเราจะเรยก y วา
คาฟงกชนของ x ภายใตฟงกชน f
ตวอยางท 5 ให f (x) 2x 1 จงหาคาของฟงกชน f (3),f(0) และ f ( 4)
ตวอยางท 6 ให 2f (x) x 5 จงหาคาของฟงกชน f ท x เมอ x {0,1,5}
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
7
ชนดของฟงกชน
ชนดของฟงกชนประกอบดวย ฟงกชนเชงเสน , ฟงกชนก าลงสอง , ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล , ฟงกชน
คาสมบรณและฟงกชนขนบนได
ฟงกชนเชงเสน
ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป y ax b เมอ a,b เปนจ านวนจรง และ a 0 กราฟของ
ฟงกชนเชงเสน จะเปนกราฟ………………………………
ตวอยางท 7 จงเขยนกราฟของ y x 2
จดตดแกน x คอ………………..
จดตดแกน y คอ………………..
ตวอยางท 8 จงเขยนกราฟของ y 2x 4
x y
จดตดแกน x คอ………………..
จดตดแกน y คอ………………..
จาก y ax b เมอ a 0 เราเรยกวา ฟงกชนเชงเสน
แตถา a 0 จะไดวา…………… เราจะเรยกวา………..…………… ซงจะเปนกราฟขนานแกน x เสมอผานจด (0,b)
ฟงกชนคงตว จะเปนกราฟทขนานแกน x เสมอผานจด (0,b) เชน
ตวอยางท 8.1 จงเขยนกราฟของ y 2 ตวอยางท 8.2 จงเขยนกราฟของ y 3
ตดแกน y ทจด........................... ตดแกน y ทจด...........................
x 0 y 0
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
8
ตวอยางท 9 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนในระนาบเดยวกน
1) 1y x และ 2y 4x
2) 1y x และ 2y 4x
จากตวอยาง เราสามารถสรปไดวา
กรณ a 0 เมอ a มากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..
เมอ a นอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..
กรณ a 0 เมอ a ตดลบมากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..
เมอ a ตดลบนอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
9
ตวอยางท 10 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนในระนาบเดยวกน
1) 1y 3x 6 2) 1y x 3 และ 2y 2x 3
และ 2y 3x 9
การเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองทอยในรป 2y a(x h) k
ตวอยางท 11 จงเขยนกราฟของ 2y 2(x 1) 2 เทยบกบกราฟของ 2y x
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
10
ฟงกชนก าลงสอง
ฟงกชนก าลงสอง เปนฟงกชนทอยรป 2y ax bx c เมอ a,b,c เปนจ านวนจรงใดใด และ a 0
ซงลกษณะกราฟของฟงกชนนจะมลกษณะเปนเสนโคงหงายหรอคว า ขนอยกบคา a โดย
จากรปจะเหนวา ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงหงายขน
ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงคว าลง
กราฟของฟงชนก าลงสองในรปนมชอเรยกวา…………………………………….
และเรยกจดยอดของพาราโบลา คอ………………………………………………….
ถากราฟพาราโบลาหงาย จะมจดวกกลบทเปน……………………………..…
ถากราฟพาราโบลาคว า จะมจดวกกลบทเปน……………………………..…
ตวอยางท 12 จงเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ
1) 2y x 2) 21y x
2
x y
x y
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
11
ตวอยางท 13 จงเขยนกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ
1) 2y x 2) 2y 5x
3) 2y x 1 4) 2y x 1
5) 2y (x 3) 6) 2y (x 3) 2
ตวอยางท 14 จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนในระนาบเดยวกน
1) 21y x , 2
2y x 1 , 23y x 2 2) 2
1y (x 1) , 22y (x 2) ,
และ 24y x 3 และ 2
3y (x 3)
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
12
ตวอยางท 15 จงหาจดสงสดหรอต าสดของกราฟของฟงกชนตอไปน
1) 2y (x 3) 3
2) 2y (x 2) 3
ตวอยางท 16 จงเขยนกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ
1) 2y x 2x 15 2) 2y 2x 4x 16
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
13
การน ากราฟของฟงกชนก าลงสองไปใชในการแกสมการและอสมการ
1) การแกสมการโดยใชกราฟ
ถากราฟตดแกน x จะมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง
ถากราฟไมตดแกน x จะไมมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง
ตวอยางท 17 จงหาค าตอบของสมการ 22x 2 0 โดยใชกราฟและจดตวแกน x และ y
วธท า
ตวอยางท 18 จงหาค าตอบของ 2(x 4) 0
x y
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
14
ตวอยางท 19 จงหาค าตอบของ 22(x 1) 2 0 โดยใชกราฟ
ตวอยางท 20 จงหาค าตอบของ 2f (x) x 6x 8 และจงหา
1) โดเมนและเรนจของฟงกชน f 2) จดวกกลบของกราฟ
3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอต าสดและมคาเทาใด
4) จดทกราฟตดแกน x
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
15
2) การแกอสมการโดยใชกราฟ
ตวอยางท 21 จงแกอสมการ 2x 9 โดยใชกราฟ
ตวอยางท 22 จงแกอสมการ 2x 2x 3 0 โดยใชกราฟ
ตวอยางท 23 จงแกอสมการ 2x 2x 3 0 โดยใชกราฟ
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
16
ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล
รปทวไปของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล คอ xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟของฟงกชนจะม
ลกษณะดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 24 จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล xy 2
วธท า
x y
3
2
1
0
3
2
1
ตวอยางท 25 จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล x
1y
2
วธท า
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
17
จากตวอยางทผานมาจะไดวา ถา a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y กเพมตามไป
แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปน…………………………………. ( increasing function)
เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )
ถา 0 a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y จะลดลง
แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปน…………………………………. ( decreasing function)
เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )
จากตวอยางทงสองจะไดวา กราฟฟงกชน xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟจะตดแกน y ทจด (0,1) เสมอ
เพราะ 0a 1 แตกราฟจะไมตดแกน x เพยงแตมคาเขาใกล 0 หรอมคาเขาใกลแกน x เทานน
ตวอยางท 26 จงหาคา x เมอก าหนดให x
181
3
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
18
ฟงกชนคาสมบรณ
รปทวไปของฟงกชนคาสมบรณคอ y | x a | c โดยท a และ c เปนจ านวนจรง
ตวอยางท 27 จงเขยนกราฟของ y | x |
วธท า
โดเมนคอ……………………
เรนจคอ………………………
ตวอยางท 28 จงเขยนกราฟของ y | x 1|
วธท า
โดเมนคอ……………………
เรนจคอ………………………
ตวอยางท 29 จงเขยนกราฟของ y | x | 1
วธท า
โดเมนคอ……………………
เรนจคอ………………………
x y
2
1
0
1
2
x y
2
1
0
1
2
x y
2
1
0
1
2
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
19
ตวอยางท 30 จงหาคา x ทท าให | x 1| 3 โดยใชกราฟ
วธท า
ตวอยางท 31 จงหาคา x ทท าให | x 1| 2 0 โดยใชกราฟ
วธท า
ตวอยางท 32 จงหาคาของ | x 3 | เมอ x 0
วธท า
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
20
ฟงกชนขนบนได
ฟงกชนขนบนได หมายถง ฟงกชนทมคาคงตวเปนชวงๆมากกวาสองชวงซงกราฟจะมลกษณะคลายขนบนได
ตวอยางท 33 งานการกศลงานหนง ไดก าหนดราคาบตรเขาชมงานดงน เดกอายต ากวา 5 ป เขาชมฟร ผทมอาย
ตงแต 5 ถง 12 ป ราคาบตรละ 10 บาท และผทมอายเกน 12 ปขนไป ราคาบตรละ 20 บาท
จงเขยนฟงกชนแสดงความสมพนธระหวางอายกบบตรราคาเขาชม พรอมทงเขยนกราฟของฟงกชน
วธท า
เขยนเปนกราฟไดดงน
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
21
ตวอยางท 34 จงเขยนกราฟฟงกชนขนบนไดแสดงอตราคาโดยสารของรถประจ าทาง ซงมรายละเอยดดงน
วธท า
เขยนฟงกชนขนไดไดดงน
เขยนเปนกราฟไดดงน
ระยะทาง (กโลเมตร) อตราคาโดยสาร (บาท) ไมเกน 12 เกน 4 แตไมเกน 8 14 เกน 8 แตไมเกน 12 16 เกน 12 แตไมเกน 16 18 เกน 16 แตไมเกน 20 20 20 ขนไป 22