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Sesión TresSesión TresDistribuciones de probabilidad Distribuciones de probabilidad

discretas y continuas discretas y continuas

Dr. Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

De la sesión anterior

Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School


Nuestro interés es el número de éxitosNuestro interés es el número de éxitos que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.

Tomamos x como el número de éxitosTomamos x como el número de éxitos que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.

Distribución Binomial


donde: f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos n = el número de intentos p = la probabilidad de éxito de cualquier intento

Función de probabilidad binomial


)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf

)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf


Función de probabilidad binomial


Probabilidad de una Probabilidad de una secuencia particular de resultados secuencia particular de resultados

con x éxitos en n intentoscon x éxitos en n intentos

Número de resultadosNúmero de resultados experimentales que danexperimentales que dan

x éxitos en intentosx éxitos en intentos

)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf

)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf


Ejemplo

La empresa está preocupada por la alta rotación de sus empleados. Para un empleado seleccionado al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la persona no esté el próximo semestre trabajando. Si se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando el próximo semestre en el CITEC?



Diagrama de árbol 1st Worker 1st Worker 2nd Worker2nd Worker 3rd Worker3rd Worker xx Prob.Prob.

Leaves (.1)Leaves (.1)

Stays (.9)Stays (.9)

33

22

00

22

22



S (.9)S (.9)



S (.9)S (.9)

S (.9)S (.9)

S (.9)S (.9)

L (.1)L (.1)

L (.1)L (.1)

L (.1)L (.1)

L (.1)L (.1) .0010.0010

.0090.0090

.0090.0090

.7290.7290

.0090.0090

11

11

.0810.0810

.0810.0810

.0810.0810

1111



Utilizando la función de probabilidad Binomial

tome: p = .10, n = 3, x = 1tome: p = .10, n = 3, x = 1


)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf

)()1()!(!

!)( xnx pp

xnxn

xf

243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0)!13(!1

!3)1( )13(1

f 243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0

)!13(!1!3

)1( )13(1

f


utilizando Tablas de Probabilidad Binomial

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

pn x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p


X P(X)

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

Utilizando excelBinomial


El valor El valor esperadoesperado;;

La varianza;La varianza;

La desviación estándar, La desviación estándar, = =

Var(Var(xx) = ) = 22 = = np(1-pnp(1-p)Var(Var(xx) = ) = 22 = = np(1-pnp(1-p)

EE((xx) = ) = = = npnpEE((xx) = ) = = = npnp


)1( pnp )1( pnp


E(x) = E(x) = npnp = 3(.1) = .3 = 3(.1) = .3 empleadosempleados de 3 de 3

Var(Var(xx) =) = 22 = = 3(.1)(.9) = .273(.1)(.9) = .27


empleados52.)9)(.1(.3 empleados52.)9)(.1(.3


Una variable aleatoria con una distribución Poisson Una variable aleatoria con una distribución Poisson es útil para estimar el número de ocurrencias sobre es útil para estimar el número de ocurrencias sobre un intervalo especificado de tiempo o espacio.un intervalo especificado de tiempo o espacio.

Es una variable aleatoria discreta que puede tomar Es una variable aleatoria discreta que puede tomar una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).

Distribución Poisson


Ejemplo de variables aleatorias con Ejemplo de variables aleatorias con distribución Poissondistribución Poisson

La cantidad de fugas en 10 km. de un La cantidad de fugas en 10 km. de un gaseoductogaseoducto

Los automóviles que pasan por Los automóviles que pasan por una caseta en una horauna caseta en una hora




Propiedades de los experimentos Poisson

La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia ointervalo es independiente de la ocurrencia o no-occurrencia en cualquier otro intervalo.no-occurrencia en cualquier otro intervalo.

La probabilidad de una ocurrencia es la mismaLa probabilidad de una ocurrencia es la mismapara dos intervalos cualesquiera de igual longitudpara dos intervalos cualesquiera de igual longitud



Función de probabilidad Poisson

en donde:en donde:f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalof(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo µ= media de ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervalo e = 2.71828e = 2.71828

!)(

xe

xfx


MERCYMERCY

• Ejemplo: Hospital López Mateos

Los fines de semana en la tarde

a la sala de emergencias del

Hospital LM llegan en promedio

6 pacientes por hora .

Cuál es la probabilidad de que

lleguen 4 pacientes en 30 minutos

en la tarde de un fin de semana?



Utilizando la Función de Probabilidad Poisson

MERCYMERCY

= 6/hora = 3/media-hora, x = 4 = 6/hora = 3/media-hora, x = 4


1680.0!4

)71828.2(3)4(

34

f 1680.0!4

)71828.2(3)4(

34

f


Utilizando las tablas de probabilidad Poisson

MERCYMERCY


Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)


Dr Jorge Ramírez MedinaITESM EGADE Zona Centro

MERCYMERCY

Poisson Distribution of Arrivals

Poisson Probabilities

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de llegadas en 30 Minutos

Pro

bab

ilid

ad

La La secuencia secuencia continua:continua:11, 12, …11, 12, …


Una propiedad de la distribución Poisson es queUna propiedad de la distribución Poisson es queLa media y la varianza son iguales. La media y la varianza son iguales.

= 2



MERCYMERCY

Varianza de las llegadas durante el periodo de 30 minutos.

= 2 = 3



SLOW

Distribución de probabilidad exponencial

• Útil para describir el tiempo que toma el completar una tarea.

• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser utilizadas para describir:

Tiempo de llegada Entre vehículos

a una caseta.

Tiempo requerido para llenar un cuestionario

Distancia entre baches en una

autopista


• Función de densidad

donde: = media e = 2.71828

Para x Para x ≥0, ≥0, μ≥μ≥00


x

exf

1)(

x

exf

1)(


• Probabilidades acumulativas

donde: x0 = algún valor específico de x


ox

exxP 1)( 0

ox

exxP 1)( 0


• Ejemplo; gasolinera las Torres

El tiempo entre carros que llegan a la gasolinera las Torres sigue una distribución de probabilidad exponencial con una media entre llegadas de 3 minutos. Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas sea menor o igual de 2 minutos.



xx

f(x)f(x)

.1.1

.3.3

.4.4

.2.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo entre llegadas (mins.)

P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866 P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866



Una propiedad de la distribución exponencial es Una propiedad de la distribución exponencial es que la media, que la media, , y la desviación estándar, , y la desviación estándar, , son iguales , son iguales

La desviación estándar, La desviación estándar, , y la varianza, , y la varianza, 22, para el , para el tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:

= = 3 minutes

2 = (3)2 = 9



La distribución exponencial está sesgada positivamente.La distribución exponencial está sesgada positivamente.

La medición del sesgo para la distribución La medición del sesgo para la distribución exponencial es 2.exponencial es 2.



La distribución PoissonLa distribución Poissonda una descripción apropiadada una descripción apropiadadel número de ocurrenciasdel número de ocurrenciaspor intervalopor intervalo

La distribución exponencialLa distribución exponencialda una descripción apropiadada una descripción apropiadade la longitud del intervalode la longitud del intervaloentre las ocurrenciasentre las ocurrencias

Relación entre las distribuciones

exponencial y Poisson

Reflexión en clase


Uso y abuso de la estadística

• Cuidado con lo que asume.• Sea claro acerca quiere descubrir.• No tome la causalidad por sentado.• Con estadística no se puede probar cosas

con el 100% de certeza• Un resultado que es numéricamente

significativo puede ser inútil.

Tomado de The Use and Misuse of statistics HBP.


Fin Sesión 3

Date post:	26-May-2015
Category:	Education
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