Home >Documents >Akar Persamaan Qu

Akar Persamaan Qu

Date post:08-Feb-2018
Category:
View:243 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    1/75

    METODE NUMERIK

    BUKU REFERENSI :

    1. Metode Numerik oleh Dr. Ir. Bambang

    Triatmodjo

    MATERI :

    1. Akar akar persamaan

    2. Interpolasi3. Integrasi Numerik

    4. Penyelesaian Persamaan Differential

    dengan Finite Difference

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    2/75

    AKAR-AKAR

    PERSAMAAN

    Kuliah Matematika 4 (Metode Numerik)

    Grafis/ Tabel

    Bi-Section

    False Position Iterasi Sederhana

    Newton Raphson

    Secant

    Linier

    Kuadrat

    Kubik Polinomial

    Lagrange

    Spline

    INTERPOLASI

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    3/75

    Mencari Akar Akar Persamaan :- Adalah mencari nilai X sehingga F(X)=0 (memotong sumbu X)

    - Misal untuk Persamaan kuadrat : F(X)=a.X2+ b.X + c

    - Nilai akar akar persamaannya bisa dicari dgn rumus abc sbb :

    - X1,2 = [-b (b24a.c)]/2.a

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    4/75

    - Jika F(X) mempunyai pangkat 3 atau lebih, maka untuk mencari nilai X

    yang menghasilkan F(X)=0 bisa dilakukan dengan beberapa metode,

    yaitu :1. Metode GRAFIS

    2. Metode Bagi Dua (Bi-Section)

    3. Metode Falsi (False Position)

    4. Metode Iterasi Sederhana

    5. Metode Newton Rapshon

    6. Metode Secant

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    5/75

    Metode yang PALING sederhana untuk memperoleh

    taksiran atas akar persamaan f(x) = 0 adalah :

    membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di manaia memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x

    untuk mana f (x) = 0, memberikan aproksimasi

    (hampiran) kasar dari akar yang dicari.

    Jika diperlukan lebih teliti, nilai interval x untukpengeplotan di perkecil lagi (misal menjadi DX/10).

    Demikian seterusnya sampai diperoleh ketelitian nilai

    akar yang dicari.

    METODE GRAFIS

    (GRAPHICAL METHOD)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    6/75

    Nilai praktis dari Metode Grafis sangat terbatas karena

    kurang tepat. Namun, metode grafis dapat di manfaatkan

    untuk memperoleh taksiran kasar dari akar.

    Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan

    awal untuk metode numerik yang di bahas di sini.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    7/75

    Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar,

    taksiran grafis merupakan sarana yang pentinguntuk memahami sifat-sifat fungsi dan

    mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang

    tersembunyi dari metode-metode numerik seperti

    discontinuity, divergence.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    8/75

    F (x)

    F (x)

    F (x)

    F (x)

    (a)

    (b)

    (d)

    (c)

    (xi) (x ii)

    x

    x

    x

    x

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    9/75

    GAMBAR 1. Ilustrasi sejumlah cara umum bahwa suatuakar mungkin terjadi dalam selang yang di tentukan oleh

    batas bawahxldan batas atasxu.

    Bagian (a) dan (c) menunjukan bahwa jika f(xl) dan f(xu)

    keduanya bertanda sama, maka di dalam selang tidak

    akan terdapat akar ATAU terdapat akar sebanyak bilangan

    genap.

    Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa jika fungsi

    berbeda pada tanda titik-titik ujung, maka dalam selang

    akan terdapat akar sebanyak bilangan ganjil.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    10/75

    METODE BAGI DUA(Bi-section Method)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    11/75

    Bi-section (Bagi Dua)Ide awal metode ini adalah METODE TABEL, dimana area [xl,

    xu] dibagi menjadi N bagian.

    Dalam metode BISEKSI, range [xl, xu] dibagi menjadi 2

    bagian. Dua bagian ini dipilih bagian mana yang

    mengandung nilai akar dan bagian yang tidak mengandung

    akar dibuang.

    Hal ini dilakukan terus hingga diperoleh akar persamaan

    dengan ketelitian tertentu.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    12/75

    Langkahlangkah dalam menyelesaikan

    Metode Bagi Dua :

    Langkah 1 :Pilih a sebagai batas bawah dan

    bsebagai batas atas untuktaksiran akar sehinggaterjadi perubahan tandafungsi dalam selang interval[a,b].

    Atau periksa apakah benarbahwa

    f(a) . f(b) < 0

    f(b)

    f(a)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    13/75

    Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

    2

    bac

    Langkah 2 :

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    14/75

    Menentukan daerah yang berisi akar

    fungsi:Langkah 3 :

    Jika z merupakan akar fungsi,

    maka f(x < z) dan f(x > z)saling berbeda tanda.

    f(a)*f(c) negatif, berarti diantara a & c ada akar fungsi.

    f(a)*f(c) positif, berarti diantara b & c ada akar fungsi

    f(a)

    f(c)

    f(b)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    15/75

    Menentukan kapan proses pencarian akarfungsi berhenti:

    Langkah 4 :

    Proses pencarian akar fungsi dihentikan Sampai

    keakuratan yang diinginkan dicapai. Keakuratandapat diketahui dari kesalahan relatif semu sbb :

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    16/75

    Contoh :

    Carilah salah satu akar persamaan

    berikut:

    xe-x+1 = 0

    disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (a)

    =0.001

    dengan menggunakan range x=[1,0]

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    17/75

    Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu)= batas atas = b

    (xr)= nilai tengah = xmaka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

    2

    ba

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    18/75

    Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738

    dan f(x) = -0.00066Untuk menghentikan iterasi, dapatdilakukan dengan menggunakan toleransi

    error atau iterasi maksimum.

    Catatan :

    Dengan menggunakan metode biseksi dengan

    tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakinteliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar

    jumlah iterasi yang dibutuhkan.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    19/75

    METOD POSISI S L H T U P LSU False Position)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    20/75

    False Position

    Prinsip:

    Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi

    merupakan garis lurus

    Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan

    sebagai akar fungsi.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    21/75

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    22/75

    LANGKAH -LANGKAH1.Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot fungsi).

    2. Tentukan batas awal yang mengurung akar fungsi.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    23/75

    3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi diantara kedua batas,

    lalu cari titik potongnya dengan sumbu x=nol yaitu c.Nilai c dihitung dengan persamaan

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    24/75

    4. Geser salah satu batas ke titik potong itu, sementara batas lain tidak

    berubah. Ulangi langkah 3.

    5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup.

    6. Titik potong garis nol dan garis lurus yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    25/75

    Metode False Position juga menggunakan

    dua batas seperti metode Bisection.

    Namun, berbeda dari metode Bi-section,

    pada metoda False Position hanya satu

    batas yang berubah.

    Pada contoh sebelum ini, batas a berubah

    sementara batas b tetap.

    Pada contoh berikut terjadi sebaliknya.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    26/75

    Menghitung akar fungsi dengan metode false

    position, menggunakan a dan b sebagai batas-

    batas awal:jika batas a tetap, batas b berubah:

    jika batas b tetap, batas a berubah:

    kesalahan relatif semu:

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    27/75

    Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu

    sudah mencapai / memenuhi batas keakuratan yang

    diinginkan.

    Catatan: (Metoda Posisi Palsu)

    Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan

    metoda secant.

    Dalam penyelesaian f (x) = 0, ditentukan suatu interval[a,b] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(a).f(b)< 0

    (berlawanan tanda).

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    28/75

    Metode Iterasi Satu Titik

    Sederhana

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    29/75

    Metode iterasi sederhana adalah metodeyang memisahkan x dengan sebagian x yang

    lain sehingga diperoleh : x = g(x). Dikenal juga sebagai metode x = g(x)

    Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan

    dalam bentukx(n+1)=g(xn)

    Dimana n=0,1,2,3,....

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    30/75

    Contoh

    Gunakan metode iterasi satu titik untukmendapatkan akar dari

    Langkahlangkah penyelesaian

    02033 xx

    02033

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    31/75

    menyusun kembali pers.

    dalam bentuk x=g(x).

    3 )203( xx

    3

    203

    x

    x

    3

    202

    x

    x

    )20

    3(x

    x

    . (1)

    . (2)

    . (3)

    . (4)

    02033 xx

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    32/75

    Dari rumusan pertama dapat dinyatakanpersamaan iterasinya sebagai

    dengan n = 1,2,3,..... Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:

    Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut

    3)1( )203( nn xx

    055686.3)20843867.23(

    843867.2)2013(

    32

    3

    1

    x

    x

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    33/75

    Nilai Iterasi dari persamaan 1

    iterasi x g(x) Ea

    1 1 2.843867

    2 2.843867 3.055686 6.931961

    3 3.055686 3.078205 0.731565

    4 3.078205 3.08058 0.077088

    5 3.08058 3.08083 0.008122

    6 3.08083 3.080856 0.000856

    7 3.080856 3.080859 9.02E-05

    8 3.080859 3.080859 9.5E-06

    9 3.080859 3.080859 1E-06

    10 3.080859 3.080859 1.05E-07

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    34/75

    Nilai Iterasi dari persamaan 2

    iterasi x g(x) Ea

    1 1 -6.33333

    2 -6.33333 -91.3457 93.06663

    3 -91.3457 -254070 99.96405

    4 -254070 -5.5E+15 100

    5 -5.5E+15 -5.4E+46 100

    6 -5.4E+46 -5E+139 100

    7 -5E+139

    8

    9

    10

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    35/75

    Nilai Iterasi dari persamaan 3

    iterasi x g(x) Ea

    1 1 -10

    2 -10 0.206186 4950

    3 0.206186 -6.7625 103.049

    4 -6.7625 0.46804 1544.854

    5 0.46804 -7.19182 106.508

    6 -7.19182 0.41049 1852.007

    7 0.41049 -7.0634 105.8115

    8 -7.0634 0.426516 1756.071

    9 0.426516 -7.09702 106.0098

    10 -7.09702 0.422229 1780.847

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    36/75

    Nilai Iterasi dari persamaan 4

    iterasi x g(x) Ea

    1 1 4.795832

    2 4.795832 2.677739 -79.1

    3 2.677739 3.235581 17.24086

    4 3.235581 3.030061 -6.78272

    5 3.030061 3.098472 2.207889

    6 3.098472 3.074865 -0.76773

    7 3.074865 3.082913 0.26104

    8 3.082913 3.080158 -0.08944

    9 3.080158 3.081099 0.030566

    10 3.081099 3.080777 -0.01045

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    37/75

    Dari hasil di atas nampaknyapersamaan 2 dan 3 memberikan hasil

    yang TIDAK Konvergen alias Divergen.

    Persamaan 4 dan persamaan 1,mampu memberikan nilai akar yang

    kita cari (Konvergen).

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    38/75

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    39/75

    Pengertian

    Salah satu metode penyelesaianakar-akar persamaan non linier

    f (x),dengan menentukan satu nilaitebakan awaldari akar yaitu xi

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    40/75

    Grafik Pendekatan MetodeNewton-Raphson

    )(xf

    0 x

    1

    ii xx

    )( ixf

    )( ixf

    ix

    Kemiringan )(' 1ixf

    1ix

    )( 1ixf

    Kemiringan )(' ixf

    1ix

    )( 1ixf

    2ix

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    41/75

    Langkah-langkah penyelesaianMetode Newton-Raphson

    Langkah 3

    Lakukan i terasixi =x

    0dengan persamaan : )('

    )(1

    i

    iii

    xf

    xfxx

    Langkah 1

    Cari f x dan f x dari f(x)

    Langkah 2Tentukantitk x

    0 dan Uji sesuai :

    Apakah memenuhi syarat persamaan?

    Jika tidak, cari nilai xobaru.

    100

    00 )).f '(xf '(x

    )).f"(xf(x

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    42/75

    Contoh Soal:

    Pernyataan Masalah:

    Gunakan Metode Newton-Raphsonuntukmenaksir akar dari :

    f (x) = e-x-x

    menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    43/75

    Solusi:

    Langkah 1:

    Turunan pertama dan kedua dari fungsif(x) = e-x-xdapat dievaluasikan sebagai :

    1)(' xexf

    xexf )(''00 x

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    44/75

    Langkah 2:

    Lakukan uji syarat persamaan

    1)(').('

    )(").(

    00

    00 xfxf

    xfxf

    1)2).(2(

    )1.(1

    14

    1

    14

    1

    1)(''

    21)('

    10)(

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    exf

    exf

    exf

    memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-

    akarnya dapat dicari dengan metode Newton-

    Raphson

    L k h 3

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    45/75

    Langkah 3:Lakukan Iterasi dengan :

    Iterasi, i xi f(xi)=e-x-x f (xi)=-e

    -x-1

    0

    1

    2

    3

    4

    0

    0,500000000

    0,566311003

    0,567143165

    0,567143290

    1

    0,106530659

    1,304510116x10-3

    1,96536x10-7

    6,43x10-10

    -2

    -1,60653066

    -1,567615513

    -1,567143362

    -1,567143291

    )(')(

    1

    i

    iii

    xfxfxx

    Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin

    mendekati0

    akarx4 f(x4)dekat dengan harga 0

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    46/75

    Kelemahan

    Metode Newton-Raphson

    1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik)

    penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut

    tidak dapat dicari secara bersamaan.

    2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak

    memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun

    ada akar penyelesaiannya.

    4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks,pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan

    menjadi sulit.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    47/75

    METODE SEC NT

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    48/75

    METODE SEC NT

    Waktu di SMA, kita sering menyelesaikanpersamaan kuadrat yaitu berbentuk

    f(x) = a. x+ b.x+ c misalnya persamaan kuadrat x- 9 = 0,

    maka akar-akarnya dapat ditentukan denganpersamaan abc

    x = (-b b-4.ac)/2a

    Maka akar x2- 9 = 0 adalah x1= + 3 dan x2=- 3

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    49/75

    Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode Newton

    Raphson, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan beda hingga

    ()

    gambar 1. Penentuan nilai turunan fungsi dengan metode Secant.

    xk-1 xk xk+1xk+2

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    50/75

    Dimana,

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    51/75

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    52/75

    Algoritma program untuk metode Secant:

    Tentukan X0, X1, toleransi, dan jumlahiterasi maksimum.

    Hitung Xbaru = X1 - f(X1)( X1- X0)/[f(X1)

    f(X0)]. Jika nilai mutlak (Xbaru - X1) < toleransi,

    diperoleh tulisan xbaru sebagai hasilperhitungan.

    jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum,

    akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (2).

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    53/75

    Contoh 1: hitung akar persamaan dari :f(x) = x - 3x - 20,

    Perkiraan awalX 1= 6, f(6)=178X 2= 2, f(2)=-18iterasi pertama:

    x3=178-6 =2.3673469iterasi kedua:X 2= 2 , f(2)=-18x3=2.3673469, f(2.3673469)= -13.83464426

    x4= 2.3673469--13.83464426 =3.587438053

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    54/75

    Iterasi X1 X2 X3 f(x1) f'(x2) f(x3)

    1 6 2 2.367346900 178 -18 -13.83464426

    2 2 2.367346900 3.587438053 -18 -13.83464426 15.40697963

    3 2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963 -3.302376572

    4 3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 -0.576057128

    5 2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467

    5 3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128 0.029936467 -0.000248906

    5 3.082034087 3.080849690 3.080859456 0.029936467 -0.000248906 -1.06044E-07

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    55/75

    Contoh 2

    hitung akar persamaan dari :

    y = x+ x- 3x-3

    dengan menggunakan metode secant,disyaratkan bahwa batas kesalahan

    relatif < 0.01%.

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    56/75

    Hasil :

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    57/75

    01201 axxxf ( xf ( x

    Iterasi x0 x1 x2 F(x0) F(x1) a(%)

    1 1 2 1,571429 -4 3

    2 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304

    3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119

    4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126

    5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137

    6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    58/75

    Keuntungan: cepat konvergenKerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen)

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    59/75

    METODE TERBUKA

    AKAR GANDA

    Akar ganda berpadanan dengan

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    60/75

    Akar ganda berpadanan dengansuatu titik dimana fungsi

    menyinggung sumbu x.Misalnya, akar ganda-dua

    dihasilkan dari persamaan

    113)( xxxxf

    375)( 23 xxxxf

    x=1

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    61/75

    Akar ganda

    Akar ganda dua

    Akar ganda tiga

    Akar ganda empat

    Dan seterusnya

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    62/75

    Penyelesaian akar ganda

    Ralston danRabinowitz (1978)

    Kelemahan:

    multiplisitas akar

    harus diketahui

    )('

    )(1

    i

    iii

    xf

    xfmxx

    Dimana m adalah bilangan multiplisitas akarMisalnya : akar tunggal, m = 1

    akar ganda dua, m = 2akar ganda tiga, m = 3, dst

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    63/75

    Penyelesaian akar ganda Ralston dan Rabinowitz mendefinisikan

    suatu fungsi baru yaitu:

    yaitu untuk mengembangkan suatu bentuk

    alternatif dari metode Newton-Rapshonmenjadi:

    i

    i

    iixu

    xuxx

    '1

    )('

    )(

    )( xf

    xf

    xu

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    64/75

    Penyelesaian akar ganda Persamaan tersebut dideferensialkan

    untuk memberikan:

    dan setelah disubtitusikan ke persamaansemula menjadi:

    2)(')('')()(')('')('

    xfxfxfxfxfxu

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    65/75

    Penyelesaian akar ganda

    Metode Newton-Rapshon yangdimodifikasi untuk akar ganda

    )('')()('

    )(')(21

    iii

    iii

    xfxfxf

    xfxfxx

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    66/75

    6/18/2014 66

    STUDI KASUSDESAIN RANGKAIAN LISTRIK

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    67/75

    6/18/2014 67

    Latar belakang

    Hukum Kirchoff untuk mempelajarikeadaan mantap (tidak berubah terhadap

    waktu) dari rangkaian listrik. Masalah lainnya adalah keadaan transien

    mencangkup rangkaian dimana

    perubahan periode secara mendadak

    Saat tercapai steady state baru terjadi

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    68/75

    6/18/2014 68

    Dalam rangkaian listrik, bila sakelar ditutup, arusakan mengalami osilasi sampai tercapai steady state

    baru.

    Saat tercapai steady state baru, terjadipenyesuaian diikuti penutupan sakelar

    Lama periode penyesuaian, tergantungpada:

    1) sifat penyimpan muatan (kapasitor)

    2) sifat penyimpan energi (induktor)

    Cq

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    69/75

    6/18/2014 69

    Rumus

    Arus tahanan penurunan tegangan (VR)

    Arus induktor perubahan tegangan (VL)

    Besar perubahan tegangan sepanjang kapasitor (Vc)

    dt

    diL

    VR=iR

    VL=dt

    diL

    VC=

    C

    q

    C

    q

    6/18/2014

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    70/75

    HKM KIRCHHOFF II :PENJUMLAHAN ALJABAR DARI TEGANGAN DI SEKELILING

    RANGAKAIAN TERTUTUP ADALAH NOL

    Setelah sakelar ditutup:

    Arus dihubungkan dengan muatan:

    Karenanya:

    70

    0C

    qRi

    dt

    diL

    dt

    dqi

    02

    2

    C

    q

    dt

    dqR

    dt

    qdL

    S l i dib ik

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    71/75

    6/18/2014 71

    Solusi yang diberikan:

    Dimana: t=0, q=qo=VoC, Vo=teg. Muatan baterai. Q(t) digambarkan:

    Ket: Muatan pada sebuah kapasitor sebagai fungsiwaktu diikuti penutupan sakelar

    t

    L

    R

    LC

    Coseqtq LRt

    2

    2/

    0

    2

    1)(

    Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputi

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    72/75

    6/18/2014 72

    Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputipenentuan harga tahanan yang layak untukmendisipasikan energi pada suatu kelajuan tertentu

    dengan harga Ldan Cyang diketahui. Untuk studikasus sekarang, dianggap muatan harusdidisipasikan hingga 1% dari harga awalnya (q/q0 =0.01)dalam waktu t= 0.05 detik , dengan L= 5Hdan C= 10-4F.

    Solusi : Perlu diselesaikan Persamaan(6.11) untuk Rdengan harga-hargayang diketahui yaitu q,q0,Ldan C.

    Metode bagi dua akan digunakan untukkeperluan ini.

    DENGAN MENGATUR KEMBALI

    6/18/2014

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    73/75

    DENGAN MENGATUR KEMBALI

    PERSAMAAN SEBELUMNYA:

    Atau memakai harga numerik:

    Pemeriksaan terhadap persamaan ini menyarankan

    bahwa bentangan awal bagi R yang cukup pantasadalah 0 sampai 400( karena 2000-0.01R2 harus lebihbesar dari nol) Gambar 6.7 yaitu suatu grafik dariPersamaan (6.12) memastikan hal ini.Dua puluh iterasimetode bagi dua memberikan R= 328.1515dengan

    suatu kesalahan yang lebih kecil dari 0.0001% 73

    02

    1)(

    2

    2/

    q

    qt

    L

    R

    LCCoseRf LRt

    01.005.001.02000)( 205.0 RCoseRf R

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    74/75

    6/18/2014 74

    Ket: Grafik ini dipakai untukmemperoleh tebakan awal bagi R yangmengurung R

  • 7/22/2019 Akar Persamaan Qu

    75/75

of 75/75
METODE NUMERIK BUKU REFERENSI : 1. Metode Numer ik oleh Dr . Ir . Bambang Triatmodjo MA TERI : 1.  Akar akar p ersamaan 2. Interpolasi 3. Integrasi Numerik 4. Penyelesaian Persamaan Differential dengan Finite Difference
Embed Size (px)
Recommended