Akar Persamaan Qu

7/22/2019 Akar Persamaan Qu

http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 1/75

METODE NUMERIK

BUKU REFERENSI :

1. Metode Numerik oleh Dr. Ir. Bambang

Triatmodjo

MATERI :

1. Akar akar persamaan

2. Interpolasi3. Integrasi Numerik

4. Penyelesaian Persamaan Differential

dengan Finite Difference



AKAR-AKAR

PERSAMAAN

Kuliah Matematika 4 (Metode Numerik)

Grafis/ Tabel

Bi-Section

False Position Iterasi Sederhana

Newton Raphson

Secant

Linier

Kuadrat

Kubik Polinomial

Lagrange

Spline

INTERPOLASI



Mencari Akar Akar Persamaan :- Adalah mencari nilai X sehingga F(X)=0 (memotong sumbu X)

- Misal untuk Persamaan kuadrat : F(X)=a.X2 + b.X + c

- Nilai akar akar persamaannya bisa dicari dgn rumus abc sbb :

- X1,2 = [-b ± (b2 – 4a.c)]/2.a



- Jika F(X) mempunyai pangkat 3 atau lebih, maka untuk mencari nilai X

yang menghasilkan F(X)=0 bisa dilakukan dengan beberapa metode,

yaitu :1. Metode GRAFIS

2. Metode Bagi Dua (Bi-Section)

3. Metode Falsi (False Position)

4. Metode Iterasi Sederhana

5. Metode Newton Rapshon

6. Metode Secant



Metode yang PALING sederhana untuk memperoleh

taksiran atas akar persamaan f ( x ) = 0 adalah :

•membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di manaia memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x

untuk mana f ( x ) = 0, memberikan aproksimasi

(hampiran) kasar dari akar yang dicari.

•Jika diperlukan lebih teliti, nilai interval x untukpengeplotan di perkecil lagi (misal menjadi DX/10).

Demikian seterusnya sampai diperoleh ketelitian nilai

akar yang dicari.

METODE GRAFIS

(GRAPHICAL METHOD)



Nilai praktis dari Metode Grafis sangat terbatas karena

kurang tepat. Namun, metode grafis dapat di manfaatkan

untuk memperoleh taksiran kasar dari akar.

Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan

awal untuk metode numerik yang di bahas di sini.



Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar,

taksiran grafis merupakan sarana yang pentinguntuk memahami sifat-sifat fungsi dan

mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang

tersembunyi dari metode-metode numerik seperti

discontinuity, divergence.



F (x)

F (x)

F (x)

F (x)

(a)

(b)

(d)

(c)

(x i) (x ii)

x

x

x

x



GAMBAR 1. Ilustrasi sejumlah cara umum bahwa suatuakar mungkin terjadi dalam selang yang di tentukan oleh

batas bawah xl dan batas atas xu.

Bagian (a) dan (c) menunjukan bahwa jika f ( xl ) dan f ( xu)

keduanya bertanda sama, maka di dalam selang tidak

akan terdapat akar ATAU terdapat akar sebanyak bilangan

genap.

Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa jika fungsi

berbeda pada tanda titik-titik ujung, maka dalam selang

akan terdapat akar sebanyak bilangan ganjil.



METODE BAGI DUA(Bi-section Method)



Bi-section (Bagi Dua)Ide awal metode ini adalah METODE TABEL, dimana area [xl,

xu] dibagi menjadi N bagian.

Dalam metode BISEKSI, range [xl, xu] dibagi menjadi 2

bagian. Dua bagian ini dipilih bagian mana yang

mengandung nilai akar dan bagian yang tidak mengandung

akar dibuang.

Hal ini dilakukan terus hingga diperoleh akar persamaan

dengan ketelitian tertentu.



Langkah – langkah dalam menyelesaikan

Metode Bagi Dua :

Langkah 1 :Pilih a sebagai batas bawah dan

b sebagai batas atas untuktaksiran akar sehinggaterjadi perubahan tandafungsi dalam selang interval[a,b].

Atau periksa apakah benarbahwa

f(a) . f(b) < 0

f(b)

f(a)



Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

2

bac

Langkah 2 :



Menentukan daerah yang berisi akar

fungsi:Langkah 3 :

Jika z merupakan akar fungsi,

maka f(x < z) dan f(x > z)saling berbeda tanda.

f(a)*f(c) negatif, berarti diantara a & c ada akar fungsi.

f(a)*f(c) positif, berarti diantara b & c ada akar fungsi

f(a)

f(c)

f(b)



Menentukan kapan proses pencarian akarfungsi berhenti:

Langkah 4 :

Proses pencarian akar fungsi dihentikan Sampai

keakuratan yang diinginkan dicapai. Keakuratandapat diketahui dari kesalahan relatif semu sbb :



Contoh :

Carilah salah satu akar persamaan

berikut:

xe- x +1 = 0

disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa)

=0.001

dengan menggunakan range x=[−1,0]



Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b

(xr) = nilai tengah = xmaka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

2

ba



Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738

dan f(x) = -0.00066Untuk menghentikan iterasi, dapatdilakukan dengan menggunakan toleransi

error atau iterasi maksimum.

Catatan :

Dengan menggunakan metode biseksi dengan

tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakinteliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar

jumlah iterasi yang dibutuhkan.



“ METOD POSISI S L H T U P LSU “

False Position)



False Position

Prinsip:

• Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi

merupakan garis lurus

• Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan

sebagai akar fungsi.





LANGKAH -LANGKAH1.Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot fungsi).

2. Tentukan batas awal yang mengurung akar fungsi.



3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi diantara kedua batas,

lalu cari titik potongnya dengan sumbu x=nol yaitu c.Nilai c dihitung dengan persamaan



4. Geser salah satu batas ke titik potong itu, sementara batas lain tidak

berubah. Ulangi langkah 3.

5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup.

6. Titik potong garis nol dan garis lurus yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi.



•Metode False Position juga menggunakan

dua batas seperti metode Bisection.

•Namun, berbeda dari metode Bi-section,

pada metoda False Position hanya satu

batas yang berubah.

•Pada contoh sebelum ini, batas a berubah

sementara batas b tetap.

•

Pada contoh berikut terjadi sebaliknya.



Menghitung akar fungsi dengan metode false

position, menggunakan a dan b sebagai batas-

batas awal:• jika batas a tetap, batas b berubah:

• jika batas b tetap, batas a berubah:

• kesalahan relatif semu:



Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu

sudah mencapai / memenuhi batas keakuratan yang

diinginkan.

Catatan: (Metoda Posisi Palsu)

Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan

metoda secant.

Dalam penyelesaian f (x) = 0, ditentukan suatu interval[a,b] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(a).f(b) < 0

(berlawanan tanda).



Metode Iterasi Satu Titik

Sederhana



Metode iterasi sederhana adalah metodeyang memisahkan x dengan sebagian x yang

lain sehingga diperoleh : x = g(x). Dikenal juga sebagai metode x = g(x)

Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan

dalam bentukx(n+1)=g(xn)

Dimana n= 0,1,2,3,....



Contoh

Gunakan metode iterasi satu titik untukmendapatkan akar dari

Langkah – langkah penyelesaian

02033 x x

02033



menyusun kembali pers.

dalam bentuk x=g(x) .

3 )203( x x

3

203

x

x

3

202

x

x

)20

3( x

x

………. (1)

………. (2)

………. (3)

………. (4)

02033 x x



Dari rumusan pertama dapat dinyatakanpersamaan iterasinya sebagai

dengan n = 1,2,3,..... Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:

Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut

3)1( )203( nn x x

055686.3)20843867.23(

843867.2)2013(

32

3

1

x

x



Nilai Iterasi dari persamaan 1

iterasi x g(x) Ea

1 1 2.843867

2 2.843867 3.055686 6.931961

3 3.055686 3.078205 0.731565

4 3.078205 3.08058 0.077088

5 3.08058 3.08083 0.008122

6 3.08083 3.080856 0.000856

7 3.080856 3.080859 9.02E-05

8 3.080859 3.080859 9.5E-06

9 3.080859 3.080859 1E-06

10 3.080859 3.080859 1.05E-07




iterasi x g(x) Ea

1 1 -6.33333

2 -6.33333 -91.3457 93.06663

3 -91.3457 -254070 99.96405

4 -254070 -5.5E+15 100

5 -5.5E+15 -5.4E+46 100

6 -5.4E+46 -5E+139 100

7 -5E+139

8

9

10




iterasi x g(x) Ea

1 1 -10

2 -10 0.206186 4950

3 0.206186 -6.7625 103.049

4 -6.7625 0.46804 1544.854

5 0.46804 -7.19182 106.508

6 -7.19182 0.41049 1852.007

7 0.41049 -7.0634 105.8115

8 -7.0634 0.426516 1756.071

9 0.426516 -7.09702 106.0098

10 -7.09702 0.422229 1780.847




iterasi x g(x) Ea

1 1 4.795832

2 4.795832 2.677739 -79.1

3 2.677739 3.235581 17.24086

4 3.235581 3.030061 -6.78272

5 3.030061 3.098472 2.207889

6 3.098472 3.074865 -0.76773

7 3.074865 3.082913 0.26104

8 3.082913 3.080158 -0.08944

9 3.080158 3.081099 0.030566

10 3.081099 3.080777 -0.01045



Dari hasil di atas nampaknyapersamaan 2 dan 3 memberikan hasil

yang TIDAK Konvergen alias Divergen.

Persamaan 4 dan persamaan 1,mampu memberikan nilai akar yang

kita cari (Konvergen).





Pengertian

Salah satu metode penyelesaianakar-akar persamaan non linier

f (x ), dengan menentukan satu nilaitebakan awal dari akar yaitu x i



Grafik Pendekatan MetodeNewton-Raphson

)( x f

0 x

1

ii x x

)( i x f

)( i x f

i x

Kemiringan )(' 1i x f

1i x

)( 1i x f

Kemiringan )(' i x f

1i x

)( 1i x f

2i x



Langkah-langkah penyelesaianMetode Newton-Raphson

Langkah 3

Lakukan i terasi x i = x

0dengan persamaan : )('

)(1

i

iii

x f

x f x x

Langkah 1

Cari f’ x dan f” x dari f(x)

Langkah 2Tentukan titk x

0 dan Uji sesuai :

Apakah memenuhi syarat persamaan?

Jika tidak, cari nilai x o baru.

100

00 ) ).f '(x f '(x

) ).f"(x f(x



Contoh Soal:

Pernyataan Masalah:

Gunakan Metode Newton-Raphson untukmenaksir akar dari :

f (x) = e -x -x

menggunakan sebuah tebakan awal x 0 = 0 .



Solusi :

Langkah 1:

Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai :

1)(' xe x f

xe x f )(''00 x



Langkah 2:

Lakukan uji syarat persamaan

1)(').('

)(").(

00

00 x f x f

x f x f

1)2).(2(

)1.(1

14

1

14

1

1)(''

21)('

10)(

0

0

0

0

0

0

e x f

e x f

e x f

memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-

akarnya dapat dicari dengan metode Newton-

Raphson

L k h 3



Langkah 3:Lakukan Iterasi dengan :

Iterasi, i xi f(xi )=e-x-x f ’(xi )=-e-x-1

0

1

2

3

4

0

0,500000000

0,566311003

0,567143165

0,567143290

1

0,106530659

1,304510116x10-3

1,96536x10-7

6,43x10-10

-2

-1,60653066

-1,567615513

-1,567143362

-1,567143291

)(')(

1

i

iii

x f x f x x

Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin

mendekati 0

akar x 4 f(x 4 ) dekat dengan harga 0



Kelemahan

Metode Newton-Raphson

1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik)

penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut

tidak dapat dicari secara bersamaan.

2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak

memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun

ada akar penyelesaiannya.

4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks,pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan

menjadi sulit.



METODE SEC NT



METODE SEC NT

Waktu di SMA, kita sering menyelesaikanpersamaan kuadrat yaitu berbentuk

f(x) = a. x²+ b.x+ c misalnya persamaan kuadrat x²- 9 = 0,

maka akar-akarnya dapat ditentukan denganpersamaan abc

x = (-b ± √ b² -4.ac)/2a

Maka akar x2- 9 = 0 adalah x1= + 3 dan x2=- 3



Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode Newton

Raphson, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan beda hingga

(∆)

gambar 1. Penentuan nilai turunan fungsi dengan metode Secant.

xk-1 xk xk+1xk+2



Dimana,





Algoritma program untuk metode Secant:

Tentukan X0, X1, toleransi, dan jumlahiterasi maksimum.

Hitung Xbaru = X1 - f(X1)( X1- X0)/[f(X1) –

f(X0)]. Jika nilai mutlak (Xbaru - X1) < toleransi,

diperoleh tulisan xbaru sebagai hasilperhitungan.

jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum,

akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (2).



Contoh 1: hitung akar persamaan dari :f(x) = x³ - 3x - 20,

Perkiraan awalX 1= 6, f(6)=178X 2= 2, f(2)=-18iterasi pertama:

x3=178-6 =2.3673469iterasi kedua:X 2= 2 , f(2)=-18x3=2.3673469, f(2.3673469)= -13.83464426

x4= 2.3673469--13.83464426 =3.587438053



Iterasi X1 X2 X3 f(x1) f'(x2) f(x3)

1 6 2 2.367346900 178 -18 -13.83464426

2 2 2.367346900 3.587438053 -18 -13.83464426 15.40697963

3 2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963 -3.302376572

4 3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 -0.576057128

5 2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467

5 3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128 0.029936467 -0.000248906

5 3.082034087 3.080849690 3.080859456 0.029936467 -0.000248906 -1.06044E-07



Contoh 2

hitung akar persamaan dari :

y = x³+ x²- 3x-3

dengan menggunakan metode secant,disyaratkan bahwa batas kesalahan

relatif < 0.01%.



Hasil :



01201 a x x x f ( x f ( x

Iterasi x 0 x1 x2 F(x0) F(x1) εa(%)

1 1 2 1,571429 -4 3

2 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304

3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119

4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126

5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137

6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06



Keuntungan: cepat konvergenKerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen)



METODE TERBUKA

AKAR GANDA

Akar ganda berpadanan dengan



Akar ganda berpadanan dengansuatu titik dimana fungsi

menyinggung sumbu x.Misalnya, akar ganda-dua

dihasilkan dari persamaan

113)( x x x x f

375)( 23 x x x x f

x=1



Akar ganda

Akar ganda dua

Akar ganda tiga

Akar ganda empat

Dan seterusnya



Penyelesaian akar ganda

Ralston danRabinowitz (1978)

Kelemahan:

multiplisitas akar

harus diketahui

)('

)(1

i

iii

x f

x f m x x

Dimana m adalah bilangan multiplisitas akarMisalnya : akar tunggal, m = 1

akar ganda dua, m = 2akar ganda tiga, m = 3, dst



Penyelesaian akar ganda Ralston dan Rabinowitz mendefinisikan

suatu fungsi baru yaitu:

yaitu untuk mengembangkan suatu bentuk

alternatif dari metode Newton-Rapshonmenjadi:

i

i

ii xu

xu x x

'1

)('

)(

)( x f

x f

xu



Penyelesaian akar ganda Persamaan tersebut dideferensialkan

untuk memberikan:

dan setelah disubtitusikan ke persamaansemula menjadi:

2)(')('')()(')('')('

x f x f x f x f x f xu



Penyelesaian akar ganda

Metode Newton-Rapshon yangdimodifikasi untuk akar ganda

)('')()('

)(')(21

iii

iii

x f x f x f

x f x f x x



6/18/2014 66

STUDI KASUSDESAIN RANGKAIAN LISTRIK



6/18/2014 67

Latar belakang

Hukum Kirchoff untuk mempelajarikeadaan mantap (tidak berubah terhadap

waktu) dari rangkaian listrik. Masalah lainnya adalah keadaan transien

mencangkup rangkaian dimana

perubahan periode secara mendadak

Saat tercapai steady state baru terjadi



6/18/2014 68

Dalam rangkaian listrik, bila sakelar ditutup, arusakan mengalami osilasi sampai tercapai steady state

baru.

Saat tercapai steady state baru, terjadipenyesuaian diikuti penutupan sakelar

Lama periode penyesuaian, tergantungpada:

1) sifat penyimpan muatan (kapasitor)

2) sifat penyimpan energi (induktor)

C q



6/18/2014 69

Rumus

Arus tahanan penurunan tegangan (VR )

Arus induktor perubahan tegangan (VL)

Besar perubahan tegangan sepanjang kapasitor (Vc)

dt

di L

VR =iR

VL = dt

di L

VC=

C

q

C

q

6/18/2014



HKM KIRCHHOFF II :

PENJUMLAHAN ALJABAR DARI TEGANGAN DI SEKELILING

RANGAKAIAN TERTUTUP ADALAH NOL

Setelah sakelar ditutup:

Arus dihubungkan dengan muatan:

Karenanya:

70

0C

q Ri

dt

di L

dt

dqi

02

2

C

q

dt

dq R

dt

qd L

S l i dib ik



6/18/2014 71

Solusi yang diberikan:

Dimana: t=0, q=qo=VoC, Vo=teg. Muatan baterai. Q(t) digambarkan:

Ket: Muatan pada sebuah kapasitor sebagai fungsiwaktu diikuti penutupan sakelar

t

L

R

LC

Coseqt q L Rt

2

2/

0

2

1)(

Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputi



6/18/2014 72

Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputipenentuan harga tahanan yang layak untukmendisipasikan energi pada suatu kelajuan tertentu

dengan harga L dan C yang diketahui. Untuk studikasus sekarang, dianggap muatan harusdidisipasikan hingga 1% dari harga awalnya (q/q0 =0.01)dalam waktu t = 0.05 detik , dengan L = 5Hdan C = 10-4F.

Solusi : Perlu diselesaikan Persamaan(6.11) untuk R dengan harga-hargayang diketahui yaitu q,q0,L dan C .

Metode bagi dua akan digunakan untukkeperluan ini.

DENGAN MENGATUR KEMBALI

6/18/2014



DENGAN MENGATUR KEMBALI

PERSAMAAN SEBELUMNYA:

Atau memakai harga numerik:

Pemeriksaan terhadap persamaan ini menyarankan

bahwa bentangan awal bagi R yang cukup pantasadalah 0 sampai 400( karena 2000-0.01R 2 harus lebihbesar dari nol) Gambar 6.7 yaitu suatu grafik dariPersamaan (6.12) memastikan hal ini.Dua puluh iterasimetode bagi dua memberikan R = 328.1515dengan

suatu kesalahan yang lebih kecil dari 0.0001% 73

02

1)(

2

2/

q

qt

L

R

LC Cose R f L Rt

01.005.001.02000)( 205.0 RCose R f R



6/18/2014 74

Ket: Grafik ini dipakai untukmemperoleh tebakan awal bagi R yangmengurung R



Date post:	08-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	arif-kurnia-raharja
View:	250 times
Download:	0 times

Akar Persamaan Qu

Documents