Algebra 2do Año

8/18/2019 Algebra 2do Año

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Álgebra

algebra 2do año.indd 23 24/02/2014 05:12:56 p.m.






25 ÁLGEBRA1

Ecuación de primer grado (resolución)

Marco teórico

1. DeniciónLa forma general de una ecuación de primer grado,también llamada ecuación lineal, es: ax + b = 0Dónde: x: variable o incógnita a; b: constantes; a ≠ 0; a, b∈

2. Transposición de términosAl transportar términos se busca despejar la variablede la ecuación.Este efecto hace que los términos pasen de unmiembro al otro, efectuando la operación inversarespectiva.Se representa los siguientes casos: a) x + 3 = 12 x = 12 – 3 = 9

Restando

b) x – 7 = 2 x = 2 + 7 =9

Sumando

c) -3 x = 15 15x 53

= = −−

Dividendo

d) x = 6 x = 6(7) = 42 7

Multiplicando

3. Resolución de las ecuaciones lineales concoecientes fraccionarios

Para resolver ecuaciones de primer grado concoecientes fraccionarios se debe:a) Calcular el mínimo común múltiplo de todos

los denominadores.b) Multiplicar a todos los términos de la ecua-

ción con el mínimo común múltiplo. De estamanera los denominadores se simplificarán.

Ejemplo:Resuelve: − =x x 2

5 6 51. Calculamos el M.C.M de todos los denominadores. 5 – 6 – 5 2 5 – 3 – 5 3 5 – 1 – 5 5 1 – 1 – 1 M.C.M. (5; 6; 5) = 30

2. Multiplicamos por el M.C.M. a todos los términos.

306

x5

5

1

x306

− 1

30 =

6251

6x – 5x = 12

X = 12

Conjunto solución= {12} (C.S.)

1




26ÁLGEBRA1

ECUACIÓN DE PRIMERGRADO (RESOLUCIÓN)2.o año

Trabajando en Clase

Integral1. Resuelve: a) 2x + 3 = x + 1 b) -3x + 5 = 7 c) 2x + 5x = 12 d) =3x 8

2

2. Resuelve: − =x15 7

2

3. Resuelve: 3(x – 1) + 2(x – 2) = 4(x + 2)

Católica4. Resuelve:

− − +− =x 3 x 2 x 52 3 4

Resolución: M.C.M. (2;3;4) = 12 Todo por «12»

126

x 3

2

−12

−

4x 2

3

−12

=

3x 5

4

+

6(x – 3) – 4(x – 2) = 3(x + 5) 6x – 18 – 4x + 8 = 3x + 15

2x – 10 = 3x + 15

-15 – 10 = 3x – 2x -25 = x

C.S. = {-25}5. Resuelve: + + +− =x 2 x 3 x 5

3 2 6

6. Resuelve: − + =x x 1

3 4 4

7. Resuelve: − −=2x 1 x 3

3 2

UNMSM8. Resuelve: + =+

x 2 3x 1 5

5(x + 2) = 3(x + 1)

5x + 10 = 3x + 3

5x – 3x = 3 – 10 2x = -7 x = − 7

2 C.S. = { }− 72

9. Resuelve: + =−

x 1 3x 1 4

10. Resuelve: − −− = − −x 4 x 5 (x 7)

3 2

11. Resuelve: + + + ++ = +x 3 x 4 x 2 x 1

4 5 3 2

UNI

12. Resuelve: (3x + 2)2 = (x – 1) (9x + 1)

(3x + 2)2 = (x – 1) (9x + 1)

(3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2 = (x)(9x) + x(1) – (9x) – 1(1)

9x2 + 12x + 4 = 9x2 - 8x - 1

12x + 4 = -8x – 1

12x + 8x = –4 – 1

20x = –5

5 1x 20 4= − = − C. S. ={ }14−




27 ÁLGEBRA1

2.o añoECUACIÓN DE PRIMERGRADO (RESOLUCIÓN)

13. Resuelve: (x – 2)2 = (x – 1) (x – 2)

14. Resuelve: − = + +

2(3x 1) (3x 1)(x 2)3

NOTA:

• A toda ecuación de primer grado se leconoce como ecuación lineal.

• Para resolver una ecuación lineal sedespeja «x» y no «–x»




Marco teórico

1. Ecuación literal de primer grado Es aquella donde al menos uno de sus coecientes

es una letra. Ejemplo:

ax + b = bx + a variable: x coecientes: a, b

Pasos a seguir para resolver una ecuación literal.A. Agrupa en un solo miembro de la ecuación,

los términos que contengan la variable, en elotro, los que no la contengan.

ax + b = bx + a

ax – bx = a – b

con la sin variable variable

B. Factoriza: ( )− = −x a b a b

C. Despeja: −= → =−

≠

a bx x 1a b

Si a b2. Análisis de compatibilidad

Sea: ax + b = 0A. Ecuación compatible determinada Tiene solución única. Cumple: a≠ 0∧ b∈

B. Ecuación compatible indeterminada Tiene infinitas soluciones; C.S. = Cumple: a= 0∧ b = 0

C. Ecuación incompatibleNo tiene solución; C.S. =∅

a = 0∧ b ≠ 0

Trabajando en Clase

Integral

1. Resuelve: mx 5n nx 5m; m n+ = + ≠

2. Resuelve:( ) ( ) ( )+ + + = + + +2 x 2 3 x 4 4 x 4 x 2

3. Resuelve: ( ) ( ) ( ) ( )+ − + = + − −5 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1

Católica

4. Si bx + 7 = 3x + 6 es una ecuación compatibledeterminada, ¿qué valor no puede tomar “b”?

bx + 7 = 3x + 6 bx – 3x + 7 – 6 = 0 (b – 3)x + 1 = 0 (compatible determinada) b – 3≠ 0 b ≠ 3

Luego, el valor que no puede tomar “b” es 3.

5. Si: mx + 3 = 2x + 12 es una ecuación compatibledeterminada, ¿qué valor no puede tomar “m”?

28ÁLGEBRA2

Ecuaciones de primer grado(análisis de compatibilidad)

2




29 ÁLGEBRA2

2.o añoECUACIONES DE PRIMER GRADO(ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD)

6. Si b(x + 5) – 3(x + 2) = 5(b + 10) + x es una ecua-ción compatible determinada, ¿qué valor no pue-de tomar “b”?

7. Resuelve: x(a + c) = c(x + 1); a≠ 0

UNMSM

8. Si bx 3 2x x a 4+ + = + + es una ecuación com-patible indeterminada, calcula “a.b”

( )

( )( )

00

bx 2x x a 4 3bx x a 1

x b 1 a 1 0

(compatible indeterminada)

b 1 0 a 1 0b 1 1 aLuego : ab 1 1 1

+ − = + −+ = +

+ − − =

+ = ∧ − − == − − =

= − − =

9. Si: b + 3x = 5x – ax + 3 , es una ecuación compa-tible indeterminada, calcula “a.b”

10. Resuelve: (x + 6)(x + 3) = (x + 5)(x + 4)

11. Resuelve: a(x –b) + b(x + a) =a2 – b2; a + b≠ 0

UNI12. Si: b(x + 2) + 3(x + 3) = 4(x + 1), es una ecuación

incompatible, calcula “b” Resolución: ( ) ( ) ( )

( )00

b x 2 3 x 3 4 x 1bx 2b 3x 9 4x 4

bx 3x 4x 2b 9 4 0bx x 2b 5 0

b 1 x 2b 5 0

(Ecuación incompatible)b 1 0b 1

≠

+ + + = ++ + + = +

+ − + + − =− + + =

− + + =

− ==

��

13. Si: a(x + 3) + 2(x + 1) = 4(x + 5), es una ecuaciónincompatible, calcula “a”

14. Resuelve: =− −7 2

x 9 x 9

Recuerda que

El denominador en una ecuación debe serdiferente de cero.

Asi:= → ≠−

3 5 x 2x 2




Marco teórico

30ÁLGEBRA3

1. DeniciónLos sistemas de ecuaciones son conjuntos de dos omás ecuaciones con dos o más incógnitas.Un sistema de ecuaciones lineales consta de dosecuaciones y dos incógnitas; cuya solución se vericasimultáneamente.Sea el siguiente sistema: 1

2 3

x + 2y = 13 x + y = 8Cumple para: x = 3 y = 5

2. Conjunto solución (C.S.)Conjunto de todos los valores de las incógnitas conque se verica el sistema.Del sistema anterior, el conjunto solución es:

C.S. = {(3 ; 5)}

x y

3. Método de reducciónEste método es el más rápido para resolver un sistemalineal, también llamado sistema de primer grado.Ejemplo: Resuelve: 1

2 3

4x – y = 24 …(a) 5x + y = 48 … (b)

Tratemos de eliminar la variable que se encuentra enigual cantidad, para lo cual usaremos operaciones enlas ecuaciones.Sumando miembro a miembro

1 2 3

−4x y = +↓+

24 ( )

5x y =

==

48

9x 72x 8

Para calcular «y» reemplazamos x = 8 en cualquierade las dos ecuaciones. Así:En (a) : 4(8) – y =24 32 – y = 24 8 = y

Luego el conjunto solución es:C.S. = {(8 ; 8)}

4. Análisis de compatibilidadSea el sistema 1

2 3

a1x + b1y = C1 a2x + b2y = C2

4.1. Sistema compatible determinado Tiene solución única. Se cumple: ≠1 1

2 2

a ba b

4.2. Sistema compatible indeterminado Tiene innitas soluciones. Se cumple:

= =1 1 1

2 2 2

a b ca b c

4.3. Sistema incompatible Se cumple: = ≠1 1 1

2 2 2

a b ca b c

NOTA

En un sistema lineal el conjunto soluciónestá dado por pares ordenados.

C.S. = {(x ; y)}

Sistema de ecuaciones lineales

3




31 ÁLGEBRA3

2.o añoSISTEMA DEECUACIONES LINEALES

Trabajando en Clase

Integral1. Resuelve: 1

2 3

3x + y = 7 x + y = 132. Calcula «x» en el siguiente sistema de ecuaciones

lineales. 1

2 3

2x – y = 5 y – x = –1

3. Resuelve: 1

2 3

4x – 3y = 6 2x – y = 2

Católica4. Si 1

2 3

(a – 2)x + ay = 3 5x + 3y = 11 Es un sistema compatible determinado, determi-

na el valor que no puede tomar «a». Resolución: El sistema es compatible determinado

Entonces: − ≠ → − ≠

→ − ≠− ≠

(a 2) a 3a 6 5a5 3

6 2a3 a

Luego «a» no puede tomar el valor de –3.

5. Si: 2x + ay = 7 3x + (a + 3)y = 11

Es un sistema compatible determinada, calcula el valor que no puede tomar «a».

6. Si: 1

2 3

3x – (a – 2)y = 13 4x + ay = 5 Es compatible determinado, calcula el valor que

no puede tomar «a».

7. Calcula «x + y» en el siguiente sistema de ecuaciones: 1

2 3

3x + 2y = 9 5x + 3y = 14

UNMSM8. Si: (b – 3)x + 2y = 6 4x – (a – 5)y = 3

Es compatible indeterminado Calcula «a.b»

Resolución: Como el sistema es compatible indeterminado,entonces:

− = =− −

b 3 2 64 (a 5) 3

Luego:

− = =− −b 3 6 2 6

4 3 (a 5) 3

− = 2b 3 24

=− + 2a 5

b – 3 = 8 1 = –a + 5 b = 11 a = 5 – 1 ; a = 4 Por lo tanto a×b = 44

9. Si (a – 5)x + 3y = 6 2x – (b – 4)y = 2

Es compatible indeterminado, calcula «a + b».

10. Si (a – 2)x + 9y = 12 2x + 3y = b – 2 Es compatible indeterminado, calcula «a.b».

11. Calcula «x» en el siguiente sistema de ecuaciones: 4(x + 3) + 3(y + 4) = 36 5(x + 4) + 4(y + 5) = 60

UNI12. Si (a + 2)x – (a – 3)y = 18 3x + 12y = 8 Es incompatible, calcula «a» Resolución: Como el sistema es incompatible entonces:

( )9 39 23 12

−+ = −

4a + 8 = –a + 3 a + 4a = 3 – 8 5a = –5 a = –1

13. Si (5 – a)x + 6y = 7 (a + 1)x + 2y = 5 Es incompatible, calcula «a».

14. Calcula «xy» en el siguiente sistema de ecuaciones.

y 5x 45 4

y 6x 56 5




Marco teórico

32ÁLGEBRA4

1. Exponente Natural n

n veces

a a.a.a a ;n= ∈�

Ejemplos: 3 50

3veces50veces

a a.a.a x x.x... x• = • =

2. Exponente Cero a 1 ; a 0° = ∀ ≠ Observación:0° → No denido. Ejemplos: ( )30 1 3 1• ° = • − ° =

3. Exponente Negativo n

n 1a ; a 0a

− = ∀ ≠

Ejemplos: 2 2 2 2

2 21 1 3 55 35 3 5 3

− −− • = • = • =

4. Leyes de ExponentesA. Productos de bases iguales

n m p n m pa a a a + +⋅ ⋅ =

Ejemplos:

3 2 3 2 1 6

x x x x x+ +• ⋅ ⋅ = =

5 7 3 5 7 3 1x x x x x x− − +• ⋅ ⋅ = = =

B. División de bases iguales n

n mm

a a ; a 0a

−= ∀ ≠

Ejemplos:

( )

33 2

2

55 3 5 3 8

3

x x xxx x x x

x

−

− − +−

• = =

• = = =

Potencia de potencia

( ) pmn n m pa a ⋅ ⋅ =

Ejemplos: ( )

( ) ( )( )

23 6

3 2 32 6

a a

a a a

− −

− − −−

• =

= =

D. Potencia de un producto ( )n n na.b a .b=

También ( )aa ax .y x.y =

Ejemplos: ( ) ( ) ( )

( )

2 2 23 3 6 2

xx x x

x .y x . y x .y

5 .6 5.6 30

• = =

• = =

E. Potencia de una división an n a

n aa a x x;b y b y

= =

Ejemplos: 2 2

2

xxx

x

3 3 95 255

10 10 255

• = =

• = =

5. Ecuación exponencial Es aquella ecuación que lleva la incógnita en el

exponente. Ejemplo: 2x3 81= → 32x = 34 → 2x = 4

x = 26. Ecuación Trascendente La incógnita aparece en la base y el exponente a la vez. Ejemplo:

xx 4= ; ( )( )

( )( )

( )

x 2

x 2 4

x 2 256

x 2 4 x 2 4x 6

−

−

− =

− = → − ==

xx = 22

x = 2

Leyes de exponentes (Potenciación y ecuaciones exponenciales)

4




LEYES DE EXPONENTES (POTENCIACIÓNY ECUACIONES EXPONENCIALES)

33 ÁLGEBRA4

2.o año

Trabajando en Clase

Integral1. Reduce:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 32 5 4 3

3 34 5 2

x .y . x .y . x.y H

x .y . x .y

=

2. Reduce:

( ) ( )

( )

2n 3 veces n 15 veces

3n 2 veces

x.x...x x.x...xBx.x...x

− +

−

=

3. Reduce: ( ) ( ) ( )2 22 244 4 4A x .x .x . x

− − −=

Católica4. Resuelve: x 2 x 39 27+ −= Resolución:

( ) ( )

x 2 x 3

x 2 x 3

x 2 x 32 3

2x 4 3x 9

9 27

9 27

3 3

3 32x 4 3x 9

13 x

+ −

+ −

+ −

+ −

=

=

=

=→ + = −

=

5. Resuelve: x 1 x 332 8− +=

6. Resuelve:

x 1 x 3

2 . 4 16+ +

=

7. Resuelve: ( )( )x 33 x 3 81

−− =

UNMSM8. Calcula:

4

2 3

1243B

1 127 81

−

− −

=

Resolución: ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

4

4

2 3 2 3

45 20

2 3 6 123 4

202

18

1243243B

1 1 27 . 81.27 81

3 3B3 .33 . 3

3B 3 93

−

− −

= =

= =

= = =

9. Calcula: 4

3 2

132N

1 18 16

−

− −

=

10. Calcula: 3 1 31 27 3A

3 10 5

− − − = + +

11. Reduce: 5 3

2 3 415 .14 .24P30 .35 .6

=

UNI12. Reduce: x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 32 2 2B2 2 2

+ + +

− − −+ +=+ +

Resolución: ( )

( )

x 1 1 2x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 x 3 2 1

x 1 xx 3

2 1 2 22 2 2B2 2 2 2 2 2 1

2B 22

++ + +

− − − −

+

−

+ ++ += =+ + + +

= = 1 x+ − 3 42 16+ = =

13. Reduce: x 4 x 3 x 2

x 2 x 3 x 43 3 3A3 3 3

+ + +

− − −+ +=+ +

14. Resuelve: x 1 x 2 x 3

2 2 2 448+ + +

+ + =






35 ÁLGEBRA5

2.o añoRADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL

4.4. Raíces sucesivas

3 3 2 422 2 (2.2 2)4 14

24 25

x x x x

x

⋅ ⋅ + +=

=

5. Ecuación exponencial Teorema

ax = bx ; ∀ a ≠ b x = 0

Trabajando en Clase

Integral1. Calcula

6 34 48 24 5A 2 3 243= − − −

2. Resuelve:

5 54 4B 27 2 3 16= ⋅ ⋅ ⋅

3. Reduce: 33 5 2C x x x= y señala el exponente nal de «x».

Católica4. Resuelve: 6 44m 5 2m 39 3+ +=

Resolución: MCM (4; 6) = 12

6 4m 5

9 +( )

12

( )12

4 2m 3

3 +=

( ) ( )

( )

2 34m 5 2m 3

8m 10 6m 9

8m 102 6m 9

16m 20 6m 9

9 3

9 3

3 3

3 316m 20 6m 9

10m 1111m10

+ +

+ +

+ +

+ +

=

=

=

=+ = +

= −

= −

5. Resuelve: 5 34 3m 2 m5 5+ +=

6. Resuelve: x x 227 81+=

7. Resuelve: 5 5x 2 x 23 7− −=

UNMSM

8. Calcula:

( ) ( ) ( )1 1 22 3 21 1 1A

4 27 625

− − −− − −= + +

Resolución:

( ) ( ) ( )( )

1 1 2

2

2 3 2

111232

13 4

4

1 1 1A4 27 625

A 4 27 625

A 4 27 625

A 2 3 625A 5 5A 10

− − −− − −= + +

= + +

= + +

= + += +=

9. Calcula: 1 2 13 2 2

B 27 16 121

− − −= + −

Ejemplo: x 3 x 33 5− −=

x 3 0

x 3x 9

→ − ===




36ÁLGEBRA5

RADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL2.o año

10. Calcula:

( ) 5

55 33S 7 7 3= ⋅ ⋅

11. Calcula el exponente nal de «x» en:

5 5 53 7 11

5 52 4x x xA

x x

⋅ ⋅=⋅

UNI

12. Calcula: 1532B 64

−−−=

Resolución: 1

1 5 551 1

32 32 32B 64 64 64− − − = → ⇒

1122 21 1B 64 B B

64 641

B 8

− = ⇒ = ⇒ =

=

13. Calcula: 1481B 27

−−−=

14. Calcula:

m m mm 4 m 1 m 22 4 8+ + −⋅ ⋅




37 ÁLGEBRA6

Polinomios I

6Marco teórico

1. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica reducida a un solo

término. Se compone de las siguientes partes:

( ) 3 2P x; y 5 x y = −

Exponentes

Coeciente (incluye al signo)Variable

Parte literal

2. TÉRMINO SEMEJANTE T. S. Dos términos algebraicos son semejantes si tie-

nen la misma parte literal (mismas variables ele- vadas o los mismos exponentes respectivamente).

6 9

6 9

7x y términos semejantes

3x y

− −

3. POLINOMIO Un polinomio es aquella expresión algebraica en

donde los exponentes de sus variables son enterospositivos.

Ejemplos:

( ) 3 2 3P x; y 5x y 3xy = +

Es polinomio, por sus exponentes enteros positivos. ( ) 4 3Q x; y 3x y 2x−= −

No es polinomio porque los exponentes – 4;3 no son enteros positivos.

A. Notación Polinómica

( ) 5 2P x;y 3x 3x= −

variablesnombre del polinomio

4. VALOR NUMÉRICO V. N. El valor numérico (V.N) es el número que resul-

ta de reemplazar la (s) variable (s) por cantidadesespecícas llamadas números.

Ejemplos: Y ( ) 2P x 5x 3x 7= + −

Y ( ) ( ) ( )2P 3 5 3 3 3 7 47= + − = A. Aplicación de valor numérico a la nota-

ción polinómica Sea: ( )P 3x 2 2x 1− = −

Calcula: P(7)3x 2 7

3x 9

x 3

− ==

=

Se iguala:

Se reemplaza: ( ) ( )( )

P 7 2 3 1

P 7 5

= −=

B. Suma de coecientes de un polinomio S.C. = P(1)

Ejemplo:Calcula la suma de coecientes de:

( )

( ) ( )

P x 1 2x 3X 1 1 x 2

P 1 2 2 3 1

− = −− = → =

⇒ = − =

Luego: S.C.= 1

C. Término independienteT.I = P(0)

Ejemplo: Calcula el término independiente de

( )

( ) ( )

P x 1 2x 3x 1 0 x 1

P 0 2 1 3 5

+ = −+ = → = −

= − − = −

Luego: T.I = - 5




38ÁLGEBRA6

POLINOMIOS I2.o año

Integral1. Si

m 3n 3 4 9 523x y 5x y ++

∧ son semejantes.

Calcula “m.n”

2. Si ( )m

m 8 11 m5P x 2x 4x 3x− −= + − es un polino-mio, calcula “m”

3. Si ( ) 2P x 3x 3x 1= − + , calcula P(–2)

Católica

4. Si ( ) 2P x 2 2x 3x 5+ = − + , calcula P(0) Resolución: Como ( ) 2P x 2 2x 3x 5+ = − + , calcula P(0) x+2 = 0→ x = –2

( ) ( ) ( )( ) ( )

2P 0 2 2 3 2 5

P 0 2 4 6 5 19

= − − − += + + =

5. Si ( ) 2P x 4 x 3x 1;+ = − + , calcula P(3)

6. Si xP 3 2x 7;2 − = − + calcula P(0)

7. Si ( ) 2P 2x 1 4x x 1− = + − ; calcula P(2)

UNMSM8. Si 23x 2P x x 1

2− = + + ; calcula la suma de

coecientes.Resolución:

( )

( )

2

2

3x 2P x x 12

3x 2 12

4 4 4x S.C. P 1 13 3 3

16 12 9P 19 9 9

− = + + − =

= = = + +

= + +

Luego S.C = ( ) 37P 1

9

=

Trabajando en Clase

9. Si: ( ) 2P 3x 1 x 5x 1− = − + ; calcula la suma decoecientes.

10. Si: ( ) 2P 2x 1 x x 1+ = − + ; calcula su término in-dependiente.

11. Si la suma de coecientes de( ) 2P x 3 x mx 4− = + +es 9, calcula “m”.

UNI

12. Si b 3 4 3 d 5 3 4ax y cx y 12x y − −+ = ;calcula “a – b + c - d”

Resolución: b 3 4

3 d 5

3 4

ax y

cx .y

12x y

−

−Términos

semejantes(+)

a c 12b 3 3 b 6d 5 4 d 9

• + =• − = → =• − = → =

Piden: a b c da c b d

12 6 9 3

− + −+ − −

− − = −

13. Si 3 b 2 c 2 4 3 4ax y 7x y 13x y − −+ = . Halla “a + b + c”

14. Sea el polinomio: P(x + 2) = (x + 2)3 – 3(x – 1) + mx + 5

Se cumple que la suma de coecientes y el térmi-no independiente suman 200. Hallar “M”




39 ÁLGEBRA7

Polinomios II

7Marco teórico

POLINOMIOS ESPECIALES1. Polinomio completo Es el polinomio que incluye todos los exponentes

de la variable seleccionada, desde el mayor gradohasta el término independiente. Ejemplo: 4 3 25F(x) 3x 10 x 7x 2x

4= + − + +

2. Polinomio ordenado Es aquel polinomio donde los exponentes de la

variable están ordenados en forma creciente o de-creciente.

Ejemplo: R(x) = 8x3 + 5x2 – 2x + 3

R(x) es ordenado de forma decreciente respecto a «x»

3. Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el que cada uno de sus tér-

minos tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo:

2 6 5 3 7

8 88

2M(x; y) 9x y x y 4x y 5

GA

= − −→

Y El polinomio es homogéneo de grado 8. Y Grado, de homogeneidad = 8

4. Polinomios idénticos Dos polinomios son idénticos si se cumple: mx2 + nx + p = kx2 + rx + 5

m = k ; n = r ; p = s Ejemplo: Determina «a» y «b» si se cumple: (a + 5)x3 + 2bx2 + a = 7x3 + 4x2 + 2

Y a + 5 = 7 ⇒ a = 2Y 2b = 4 ⇒ b = 2

5. Polinomios idénticamente nulo Es aquel polinomio que tiene sus coecientes nu-

los, es decir, si mx2 + nx + p es idénticamentenulo, se cumple:

m = 0 ; n = 0 ; p = 0

Ejemplo: Determina «a» y «b» si(a + 3)x + (b + 2) es idénticamente nulo.

Y a + 3 = 0 ⇒ a = –3Y b + 2 = 0 ⇒ b = –2

6. Polinomio mónico Es aquel polinomio cuyo coeciente principal (el

término de mayor grado) es igual a uno. Ejemplo: P(x) = 7x + 2x8 + 3x2 + x9

Coeciente principal

P(x): Es mónico




40ÁLGEBRA7

POLINOMIO II2.o año

Integral1. Si P(x) = 8 + x + x4 – 5x3 – 2xa-5

Es un polinomio completo; calcula el valor de «a». 2. Si P(x) = x15 – 3x7 – 2xa-3 + 5xb+2 – 3x4 + 2x – 1

Es un polinomio ordenado; calcula el valor de «a + b» 3. Si P(x) = 3xa-1 + 5xb+1 + 3xc-2 + xd+4 + 6 Es un polinomio completo y ordenado; calcula

«a + b + c + d»

Católica

4. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x; y) = 3xa+2+ y b + 3x4y 3 + x6y a-b

Calcula el valor de «a × b» Resolución: Cada término posee el mismo grado absoluto a + 2 + b = 4 + 3 = 6 + a – b

( ) a b+ ↓ + 5...(I)

a b

=

− 1...(II)

2a 6a 3

===

Reemplazando en (I) b = 2 Luego «a . b» = 6

5. Si el siguiente polinomio es homogéneo:P(x,y) = 3xmy 3 – 6x5y 7 – 2x3y n-3

Halla «m×n»

6. Si: P(x) = (n-2)x6 – (m – 4)x2 + p – 2 Es un polinomio nulo, calcula «n + m + p».

7. Si P(x) = 2x3 + (m – 3) x9 + 2x5 – 8mx3

Es un polinomio mónico, calcula el valor de «m».

UNMSM

8. Si: (m + 1)x2 + 7x + 2mx2 – n + 1≡ 7x2 + 2x + 7 +

px – 2n; calcula el valor de «m + n + p». Resolución: Reducimos los polinomios idénticos para poder

comparar sus respectivos coecientes:

Trabajando en Clase

(m + 1 + 2m)x2 + 7x – n + 1≡ 7x

2 + (2 + p) x + 7 – 2n

3m + 1 = 7 7 = 2 + p m = 2 5 = p –n + 1 = 7 – 2n n = 6 Luego: m + n + p = 2 + 6 + 5 = 13

9. Si (m + 3)x2 + 2x + mx2 – n≡ 5x2 + 7x + 3 + px + 2n; calcula «m + n + p» 10. Si P(x;y) = (m – 6)x2y 3 + (4 – n)xy + nx2y 3 + mxy «Es idénticamente nulo, calcular el valor de «m.n» 11. Si 5x + 7≡ (m + n)x + 2m – 1; calcula el valor «m – n»

UNI

12. Si A(x – 2) + B(x + 3)≡ 6x + B Determina el valor de «A × B» Resolución: Como en una identidad, se verica para cualquier

valor de x. Y Para x = 2

A(2 – 2) + B(2 + 3)≡ 6(2)+ 3 0 5B≡ 15 B≡ 3

Y Para x≡–3 A(–3 –2) + B(–3 + 3) = 6(–3) + 3 –5A + 0 = –15 A = 3 Luego «A × B» = 9

13. Si A(x – 2) + B(x + 1)≡ 2x + 5 Calcula el valor de «A . B»

14. Si P(x) = 7 + 2xa+b+ x2a-b + 5x3c+d – x4c-d

Es completo y ordenado, calcula el valor de «a + b+ n + m»




Trabajando en Clase

41 ÁLGEBRA8

Repaso

8

1. Resuelve:x 2 113

+ =

a) 29 b) 21 c) 18d) 27 e) 33

2. Resuelve: x x 1

8 4− = −

a) 10 b) 3 c) 4d) 2 e) 8

3. Resuelve: x 1 x 2 x 2x 1

2 3 4

+ + ++ = + −

a) 6 b) 8 c) 7d) –7 e) –8

4. Resuelve: x 3 5

x 2 4− =+

a) 3 b) –1 c) 20d) 12 e) –22

5. Resuelve: (x + 6) (x + 2) = (x + 2) (x + 4)

a) 32 b) 2 c)d) 4 e) –2

6. Si ax + 2 = 3x + 1 es una ecuación compatible de-terminada, ¿qué valor no puede tomar «a»?a) 5 b) 1 c) 6d) 3 e) 2

7. Si m x + 2 + 2x = x + n + 4 es una ecuación com-patible indeterminada, calcula «m + n».a) –2 b) 2 c) 1

d) –3 e) 3

8. Reduce: M = (x5)2.(x-5)3.x2

a) x2 b) x3 c) x5

d) x-2 e) x-3

9. Calcula:

4 2 3E x x x=

a) 8 23x b) 8 32x c) x2

d) 2 3x e) 8 25x

10. Resuelve: m + n = 5 3m + 2n = 19 Calcula «m + n»

a) 6 b) –6 c) 2d) 5 e) 3

11. Si P(x – 4) = x2 + 2x – 5 Calcula «P(1)»

a) 15 b) 20 c) 30d) 10 e) 40

12. Si la suma de coecientes deP(x) = x + (3 + m)x2 + 5 + n; es 15. Calcula «m + n».

a) 6 b) 5 c) 4d) 1 e) 2

Claves

01. d02. e03. e04. e05. e

06. d

07. d08. e09. a10. d11. c

12. a

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Algebra 2do Año

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