Valor Absoluto

INDICEValor Absoluto ..03Inecuaciones con Valor Absoluto... 11Logaritmos .17Funcin Exponencial ........17Funcin Logartmica ..29Propiedades Generales:Cologaritmo y Antilogaritmo .42Relaciones y Funciones..51Lmites.57Derivadas 63Integrales. 69Frmulas . 75Miscelnea ..80TEMA: VALOR ABSOLUTO

Definicin:El valor absoluto de un nmero real a se denota por |a| y se define:

Ejm: |2| = 2 :

Si

Interpretacin geomtrica: Geomtricamente el valor absoluto de la diferencia de dos nmeros a y b denotado |a b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numrica:

|a b|

||ab

Teorema:- valor de a:|a| 0 Se cumple: Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0 |a| = |-a| a |a| -a |a|

Supngase: que a 0 b 0 entonces:

|a| |b| = |ab|

|an| = |a|n , n entero

Desigualdad Triangular:

Dada por: |a + b| |a| + |b|

Demostracin:

i) a |a| y b |b| |a| + |b| a + bii)-a |a| y b |b| -(a + b) |a| + |b| |a| + |b| -(a + b)

De donde: |a + b| |a| + |b|

Ecuaciones con Valor Absoluto:El siguiente teorema es utilizado en la solucin de ecuaciones con valor absoluto:

Teorema:Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la ecuacin |a| = b esta determinado por la condicin b 0; la cual debe ser resuelta previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U.

Ejm: |x| = 4

Como: b = 4 0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuacin:

|x| = 4 x = 4 x = -4

As: El C.S.= Un {4 , -4}= R n {4 , -4}= {4 , -4}

Teorema: Dados a, b RSi |a| = |b| a = b a = -b

Ejm:

Resolver la ecuacin:|x2 4x| = |2x 8|a = bx2 4x = 2x 8 x2 6x + 8 = 0

(x 4) (x 2) = 0 a = -bx2 4x = -(2x 8)x2 2x -8 = 0

(x 4) (x + 2) = 0

C.S. = {4 , 2 , -2}

EJERCICIOS

1.

lgebra 212. Resolver: |x 1| = -3x

Rpta.:

3. Resolver la ecuacin: |x + 1| + |x 1| = 6.

Rpta.:

4. Resolver:

(x 3)2 8 |x 3| + 15 = 0

Rpta.:

5. Dados los conjuntos de nmeros reales:

S = {P R / 2P + 6 P }

T ={q R / |aq + b| |a + b aq|, -2b a 0}

Entonces: S T es:

Rpta.:

6. Si:

A = {x R / |3x 1| = 2x + 5}

B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}

Hallar la suma de los elementos de A B:

Rpta.:

7. Resolver la siguiente ecuacin:

|5x 3| = 4x + 1

Rpta.:

8. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x

|x 3| + |y 4| = 7

|x 3| - y = 1

Rpta.:

9. Resolver:

|x|2 - |x| - 42 = 0

Rpta.:

10. Resolver la ecuacin siguiente:

|x2 + x 12| = 3 x

Rpta.:

11. Las soluciones de la ecuacin:

|x| + x3 = 0

Rpta.:

12. El conjunto solucin de:

|2x 5| = 4

Rpta.:

13. Cuntos elementos tiene el conjunto solucin de la ecuacin

|x2 2| = 2 3x?

Rpta.:

14. Indicar las soluciones (la cantidad) de la ecuacin.

x2 - |x| + 0,125 = 0

Rpta.:

15. Resolver:

||x2 1| - x | = x

Rpta.:

16. Resolver:

||x| - 1| = 2- x

Rpta.:

EJERCICIOS

1. Indicar la mayor solucin al resolver:

a) -2b) 2c) 0d) 3e) -3 2. Resolver:

a) -2b) 8/3c) 3/8d) -1/2e) a y b

3. Cuntos elementos tiene el C.S. de:

|x2 2| = 2 3x?

a) 4b) 3c) 3d) 1e) 0

4. Proporcionar el cardinal del conjunto solucin de la ecuacin:

|x + 3| - |x 1| = x + 1

a) 5b) 4c) 3d) 1e) 2

5. Calcular:

si: x -3 , -2

a) -2b) 1c) 3d) 2e) 5

6. Indicar la suma de las soluciones:

a) 41 / 7b) 38 / 7c) 13 / 7d) 19 / 5e) 32 / 57. Si: x1 y x2 son las soluciones de:

||15 2x| - 4| = 8

Calcular |x1 x2|

a) 8b) 10c) 11d) 14e) 12

8. Indicar el producto de las soluciones:

|x2 6| = |x|

a) 18b) -18c) 36d) -24e) -20

9. Indicar la suma de las soluciones de:

3 |x + 1| + |x 8| = 19

a) 4/3b) 9/4c) 5/7d) 1/2e) 11/6

10. Resolver:

|x 2| + |x 3| = |2x - 5| a) x - , 2 3 , +b) x - , -1 3 , +c) x Rd) x e) x - , 4

11. Cuntos valores de x verifican la ecuacin:

|x + 3| = |2x 4| + 5?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) Ninguna

12. Resolver:

||x| - 1| 2 x

a) {3/2} b) {-3/2}c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}e) {3/2 ; 1/4}

13. Resolver:

||x + 4| +4| -2 = 0

Indicar la suma de todos los valores que asume xa) -8b) -6c) 3d) 0e) No existe tal suma

14. Indicar una raz al resolver:

a) 1b) -2c) 3/2d) -5/2e) Ms de una es correcta

15. Las soluciones de la ecuacin.

|18 3x x2| = 3 x son

a) -5 y 3b) -7 y -5c) -6 y 2d) -5; -7 y 3e) -5 ; -6 y 3

16. La suma de las valores de y es:

y 2 |x| = -3 |y| + x = 3

a) -2b) 6c) 7d) 10e) 13

17. Las soluciones de la ecuacin:

x2 . 3x + 3.+3|x5|+ 6 = x2 . 3|x5|+ 8+ 3x+1

a) x = {-1/3 , 1/3}b) - x 5c) 5 x d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x

18. Despus de resolver la ecuacin:

||x 5 | + 3| = 2, se puede decir que:

a) x = 5b) x = 8c) x = 0d) es una indet..e) es imposible

19. Resolver: (x1 + x2)

|x + 9| = 16a) -12b) -16c) -4d) 9e) 15

20. Resolver:

|x2 4| = 5

a) {3 , -3}b) {-3}c) {1 , -1}d) {3}e) R

TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Sabemos: La solucin de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas: Sean x a R entonces: Si |x| a a 0 -a x a Si |x| a a 0 -a x a Si |x| a a 0 x -a Si |x| a a 0 x -a

Teorema:Dados a,b R:1. |a| |b| (a + b) (a - b) 02. |a| |b| (a + b) (a b) 03. |a| |b| (a + b) (a b) 0

Ejm:Resolver: |2x 3| 1|2x 3| 1 1 0 -1 2x 3 2 1 0 1 x 2 1 x 2 C.S. -1 , 2

Si |x| a , donde a 0

De donde viene:a) Si x 0 entonces |x| = x x a

b) Si x 0 entonces |x| = -x -x a -a x

|x| a se cumple que: -a x a

se cumple lo mismo para |x| a , donde a 0

EJERCICIOS

1. 2. Resolver la siguiente inecuacin:

|3x 5| 7

Rpta.:

3. Resolver:

|4x 3| 5

Rpta.:

4. Resolver la siguiente inecuacin:

|x2 6x + 8| 4 x

Rpta.:

5. Resolver:

|x2 2x 5| |x2 + 4x 7|

Rpta.:

6. Resolver:

|9 x2| 7

Rpta.:

7. Resolver;

|x + 1| - |3x + 7| 0

Rpta.:

8. Determinar la solucin de:

Rpta.:

9. Resolver:

|3x 1| |x|

Rpta.:

10. Si:A = {x R / 2- |2x + 3| 3}B = {x R / 2- |x + 2| 0}Hallar: (B A)

Rpta.:

11. Hallar el conjunto solucin:

|x + 6| |x + 9| + |x 2|

Rpta.:

12. Hallar el C.S. de:

||x 3| + 3| -2

Rpta.:

13. Si:

Hallar: AC

Rpta.:

14. Hallar el menor de los nmeros M tales que.

Rpta.:

15. Hallar el C.S.:

x

Rpta.:

16. Hallar el nmero de elementos del siguiente conjunto:

{x Z / |2x 3| |x + 6|}

Rpta.:

EJERCICIOS

lgebra221. Si: ; determinar el menor valor entero de M para que se cumpla:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 1

2. Resolver:

|x3 1| x2 + x + 1 es:

a) 1 x 2 b) 0 x 1c) 0 x 2d) -1 x 0e) 0 x 2

3. La solucin d la inecuacin:

a) 2 4 x -2 b) 2 4 x -2 c) 2 4 x 2d) 2 4 x -2 ; -2 x 2e) - x 2

4. Hallar los valores de x

X2 + 4 |x + 2| 20, es:

a) - x 4 b) 4 x c) -3 x 4d) Ninguna valor e) Todo valor de x

5. La solucin de la inecuacin:

|x + 2 x2| |x2 3x + 4| es:

a) 1 x 3b) - x 1c) - x 1 ; 1 x 3d) - x 3e) 3 x

6. La solucin de:

|x3 7x + 6| 19x x3 18 es:

a) x - , -3 -3 , 1 b) x -3 , 1 3 , c) x - , 1 3 x d) - x 1 ; 1 x e) x - , 0 3 ,

7. El intervalo que satisface al siguiente sistema de inecuacin:

|x2 4| 5 (1)|x2 5x + 6| (2)

a) 1 x 3 b) 1 x 3c) 1 x 3d) -3 x 3e) -3 x 4

8. Resolver:

|2x2 + x 5| x2 + 2x 3

a) x - , 1

b) x 1 , 2

c) x - ; -3 +

d) x - ,

e) x -, 2,

9. Resolver:

|x 4| - |x 2| |x 1|

Indique la suma de los valores naturales menores que 15

a) 102b) 103c) 104d) 105e) N.A.

10. La desigualdad:

-x2 + 3 |x| + 28 0

Es equivalente a:

a) x 7b) -3 x 3c) x 3 x -3d) x -7 x 7e) x -3 x 7

11. Para cuantos valores enteros se verifica:

|5x 10| + |14 7x| |2x x 0 y b 1) es el exponente x a que debe elevarse la base b (bx) para obtener N.

Notacin:

Se lee Logaritmo del nmero N en base b es igual a x

Por definicin: Si

Esta relacin puede ser en funcin exponencial o funcin logartmica:

1.

2.

Ejemplos:

FUNCIN EXPONENCIAL:

Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teora de exponentes, restringir nmeros reales positivos y los exponentes a nmeros racionales.

1)

7) 2)

8) 3)

9) 4)

10) 5)

11) 6)

12)

Definicin: La funcin exponencial de base a, se define de la siguiente manera:

Observacin:Por qu se excluye a, a = 1?Tambin debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendramos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (-1) 3/8, etc., no estn definidas en el sistema de nmeros reales.

Grfica de Funciones Exponenciales.

a) Cuando la base a < 0,1>:

En el grfico se observa:

b) Cuando la base a < 1, >:

En el grfico se observa:

c) Si a > 1:

Se observa:

En x = 0 ; ax = a-x = 1

Grafica de la funcin exponencial natural, f(x) = ex:

Sus propiedades son las mismas que las de la funcin f(x) = ax

Problemitas: Graficar:

Caso I: f(x)=4x a>1

Localizamos los puntos:

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.Caso II:

Localizamos puntos:

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:

Sin utilizar logaritmos:

Como:

Quedara: x y a = y x b

Sacando x:

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , x > 0

II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , x < 0III) Si 0 < a < 1 entonces

Sol:

1) Mediante la exponencial decreciente:

Como: 0 < a < b < 1

0x< ax < bx bx La proposicin es verdadera

3) Graficando

Como resolver una ecuacin exponencial con logaritmos:

Ejemplo:

Hallar unos de los valores de x que satisfagan el sistema:

En (1):

En (2):

64x+y = 12 (sacando logaritmo)log 64(x+y) = log 12 (x + y) log 64 = log 12

(x + y) = ()

Saber:Log12 = 2 Log2 + Log3 ; Log6 = Log2 + Log3Log64= 6 Log 2

Sabemos:

Igualmente:

Otro caso: Una de las races de la ecuacin:

Sacando Logaritmos:

EJERCICIOS

01) Resolver: ax = b

Rpta:

02) Resolver: = c

Rpta:

03) Resolver:

Rpta:

04) Resolver el siguiente sistema:

Rpta:

05) Resolver la siguiente ecuacin:

3x+2 = 135.

Sabiendo que: log2 = 0.30103 log3 = 0.47712

Rpta:

06) Resolver la desigualdad:

2x 52x 5x+1 + 2 < 0

Rpta:

07)

Si se cumple que: la equivalencia de: x log es:

Rpta:

08) El valor de la expresin:

Rpta:

09) El valor de la expresin:

Rpta:

010) El valor de la expresin: es:

Rpta:

011)

Sabiendo que el logaritmo de , en base , es igual a: , el valor de: es:

Rpta:

012)

Si x = el valor de: es:

Rpta:

013) El valor de x que satisface la siguiente ecuacin: es:

Rpta:

014) Las races de la ecuacin: son:

Rpta:

015) Al resolver la ecuacin: 5(4x) + 4(10x) = 25x, el valor obtenido para x es:

Rpta:

016) Al resolver la ecuacin:

Rpta:

017) El nmero de soluciones reales que presenta la ecuacin:

es:

Rpta:

018) Al resolver la ecuacin: , se puede afirmar que:

Rpta:

019) El mayor valor de x que satisface la siguiente ecuacin:

Rpta:

020) El producto de las races de la ecuacin: , es:

es:

Rpta:

EJERCICIOS

01) La ecuacin : , tiene por solucin a:

a) 1b) 2c) 4d) 1 y 2e) 1 y 4

02) El valor de x que satisface al sistema:

a)

b)

c)

d)

e)

03) Uno de los valores de x que satisfacen al sistema:

a) -1b) 2c) 10d) 100e) 1000

04) El valor de y que satisface al siguiente sistema:

a) 2b) 3c) 8d) 64e) 256

05) La suma; ( x + y) se obtiene al resolver el sistema:

es:

a) 3b) 4c) 6d) 9e) 10

06) Despus de resolver el sistema de ecuaciones:

Se observa que el valor de x es:

a) ab) 1/ac) bd) 1/be) a2

07) El mayor valor de y que satisface el sistema:

a) 1b) 2c) 4

d) e)

08) Al resolver el sistema:

el valor (x + y) que se obtiene es:a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

09) Si: 4x- 4x 1 = 24, el valor de (2x)x es:

a) b) c) 25

d) 125e)

010) Los valores que satisfacen a la ecuacin: , son:

a) b) slo 3

c) d) e) slo -3

011) Hallar x, si: 10x + 10 x = 3

a) b) 10

c)

d)

e)

012) Si x es un nmero entero positivo que verifica la relacin: respecto a la desigualdad podemos afirmar que:

a) Hay infinitas solucionesb) El mayor valor de x es 11c) Solamente la satisfacen los enteros impares menores que 25. d) La suma de todas sus soluciones es 21. e) El menor valor de x es 15

013) Los valores de x que satisfacen la ecuacin: tienen como producto:

a) 0b) 1c) 4d) 1e) 12

014) Se tiene la funcin: ; a > 1, x [1,>. Hallar el rango de f.

a) b)

c) d)

e)

015) Hallar la suma de los cuadrados de todos los elementos que cumplen con

a) 25b) 18c) 36d) 32e) 16

TEMA: FUNCIN LOGARTMICA

Definicin: Puesto que la funcin exponencial f(x) = ax, tal que f: R R+ es una funcin inyectiva.

Y su funcin inversa es: (Funcin Logaritmo)

Sea: a > 0, a 1, siendo a la base, denotada por:

ay = x

Don f = R+ = < 0, >Ran f = R =

Ahora veremos las siguientes grficas:

Caso I: Si 01

Observamos:

x < 0,1> ; logax < log1/ax x < 1,> ; logax < log1/ax Existe simetra respecto al eje x.

Propiedades Generales de los logaritmos

Sea b: base de f(x) = logbx; b>0 b 1.

Si b > 1 logb =+ logb0 = - Si 0 < b < 1 logb = - logb0 = +

Nota: Sea : log251 = 2 39967 Donde: caracterstica = 2y la Mantisa = 0.39967 (parte decimal)

Ejemplos:

1) Encontrar el valor de x a partir de:

Considere: a > 0 a 1

Solucin:

Sabemos: logbb = 1 logbbn = n logbb = n (1) = n

Segn el enunciado:

Adems:

Llamaremos:

Poniendo en (I):

Resolviendo:

Como m = logax

2) Reducir:

Sabemos: por lo tanto segn el problema.

, reemplazando en el enunciado.

3)

Resolver: log + log - log 1,2 = 1

Sabemos: , adems

En el problema:

Como:

En (I) tenemos:

Resolviendo:

Rpta: x = 2

4) Resolver la ecuacin:

Sabemos:

Primeramente, hacer que todos tengan una misma base.

(de I, II, III); reemplazando en el problema:

5) Calcular:

Sabemos:

En el problema:

I =

Reemplazamos:

Por lo tanto: 6) Si: . Calcular: log616

Recordar:

Por lo tanto:

Luego:

Pero como:

Reemplazando en a:

Por lo tanto:

PASO DE UN SISTEMA DE LOGARITMO A OTRO

El problema consiste en calcular el logaritmo de un nmero N en una base b (b > 1 b 1), si se conoce el logaritmo de N en base a; (a>1 a 0). Dato: ; se pide: .

Tomando logaritmo en base a ambos miembros de la igualdad:

(sabemos).

Se obtiene:

El factor: se llama Mdulo de paso de un sistema de logaritmos de base a a otro de base b.

Ejemplo: Del ejercicio (6) del anterior:

; nos piden

Reemplazando:

(Esta forma ser ms simple que al utilizar el mtodo anterior)

Indicar la relacin de a y b. Si:

Solucin:

Cambiando de base: Para:

Para el otro caso:

reemplazamos en el problema.

Sea:

Cumple dos relaciones entre a/b, segn el problema.

EJERCICIOS

01)

Calcular el logaritmo de en base: es:

Rpta:

02)

Luego de resolver el sistema: Calcular: ; considere x >y

Rpta:

03) Resolver: Hallar: Tan (2x).

Rpta:

04)

Calcular: Si

Rpta:

05) Resolver: Rpta:

06) Indicar el valor de: es:

Rpta:

07) Resolver

Rpta:

08) Si consideramos a>1; el valor de x que verifica el siguiente sistema: Rpta:09) Reducir: Rpta:

010) Mostrar el equivalente de:

Rpta:

011) El valor de x que verifica la ecuacin: Si: sabiendo que:

012) Sabiendo que:

Calcular b

Rpta:

013) Cuntas cifras tiene el resultado de efectuar:

Rpta:

014) Cuntas soluciones presenta el sistema?

Rpta:

015) Calcular el rea de la regin que describen en el plano Gausseano los nmeros complejos Z. que verifican la desigualdad. Rpta:

016) Hallar x de:

considere: a> 0 a 1

Rpta:

017) Hallar el valor de n: Rpta:

018) Simplifique: sabiendo que:

Rpta:

019) Resolver:

Rpta:

020) Cuntos nmeros enteros no positivos verifican la inecuacin: Rpta:

EJERCICIOS

01) Calcular el valor de:

a) 2/5b) 3/4c) 4/3d) 5/3e) 2/3

02)

Evaluar: para:

a) 1b) -1c) 1/2d) -1/2e) 2

03) Calcular:

a) 512b) 1024c) 2048d) 4096e) 2

04) Reducir:

a) b) c)

d) e) 05)

Si: halle:

a) 5/2b) -5/2c) -2/5d) 2/5e) Ms de una es correcta.

06) Hallar x

a) 5b) 6c) 3d) 1e) -1/2

07)

Sabiendo que el logaritmo de en base de es:

Hallar x:

a) 729b) 8c) 27d) 1e) 64

08) Resolver:

a) x = 1/3b) x = 1/8c) x {1/3, 1/8}d) x = 1/9e) 1/2

09) A partir del grafico de las curvas logartmicas:

Calcular; a + b + p + q + r + s + t + u

a) 4+ log20b) 3 + log12c) 6 + log24d) 8 +l og30e) 6 + log 24

010) Resolver el sistema:

a) {(9,7)}b) {(9,2)}c) d) {(3,4)}e) {(7,9)}

011) Resolver en Z: a) 1b) 2c) 3d) 8e) 5/2

012) Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

013) Hallar el rango de la funcin:

a) b)

c) d)

e)

014) Graficar:

015) Sealar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I)

II)

III)

IV)

a) VFVVb) VFFFc) VFVFd) FVFVe) FVVF

016) Resolver:

a) 10b) 16c) 20d) 22e) 24

017) Sabiendo que los logaritmos: logyx; logzy; logxz; logxz, en ese orden, forman una progresin geomtrica y adems cumple las siguientes igualdades: 2x4= y4 + z4; xyz = 125. El valor de ( x + y + z), es igual a:

a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25

018) El valor de x que satisface a la siguiente igualdad.

a)

b)

c)

d)

e)

019) El valor de x que satisface al siguiente sistema:

a) 2b) 3

c) d)

e)

020) La solucin de la ecuacin: es:

a) 11

Determine:

Rpta:

011) Hallar la suma de valores de y, luego resolver:

Rpta:

012) El valor de la expresin: es:

Rpta:

013) El valor de la expresin: es:

Rpta:

014) Si x = 2 log3a el valor de : es:

Rpta:

015) La raz de la ecuacin: es:

Rpta:

016) El producto de las races de la ecuacin: es:

Rpta:

017) El valor de x que satisface el sistema: antilogxy = yx (1)ax = antilogby (2)

Rpta:

018) Despus de simplificar:

resulta:

Rpta:

019) El valor de x que satisface la siguiente igualdad:

es

Rpta:

020) El producto de lar races de la siguiente ecuacin:

Rpta:

EJERCICIOS

01) Calcular:

a) 2b) 4c) 3d) 5e) 1

02) Si:

Hallar:

a) 0b) 2c) -2d) -1e) 1

03) Calcular:

a) 8b) 1/8c) 16d) 1/16e) 4

04) Calcular: A. B es:

a) -12b) -364c) 322d) 18e) 24

05) Si: (ab) = 2 calcular:

a) -1/2b) -1/324c) -11d) -1/112e) -1/24

06) Sabiendo que: Adems: ab = c

Calcular: a) 1b) 0c) -1d) -2e) 2

07) Sabiendo que:

Calcular:

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

08) Hallar: Siendo:

a) 1/2b) 1/6c) 1/3d) 1/5e) 2

09) El valor simplificado de: es: R.

Nos piden: Hallar los valores de x, si la ecuacin:

a) {3, 9}b) {3, -9}c) {3, -6}d) {6, 9}e) {3,6}

010)

Sea: es y

Hallar:

a) 1b) 4c) 2d) 16e) 0

011) Las races de la ecuacin: a) 2 y 3b) 4 y 6c) 3 y 4d) 6 y 8e) 4 y 5

012) Despus de simplificar: resulta:

a) 2b) 3c) 8d) 6e) 8

013) Calcular: el lnxx-2 Sabiendo que: a) e - 1b) e - 2c) ed) e + 1e) e + 2

014)

Sean A y B; nmeros enteros. Hallar:

a) 5b) 4c) 3d) 2e) 6

015) Al resolver:

el valor que se obtiene para x es:

a) -3b) 1, 000c) 0,01d) 0,1e) 0,001

PROBLEMAS

1. 01) El producto de las races de la siguiente ecuacin:

a) 0b) 1c)

d) e)

02) Hallar la menor raz:

a) 9-1b) 3-1

c) d)

e)

03) Dada la ecuacin: acerca de su conjunto solucin, podemos afirmar:

a) Es vacob) Es unitarioc) Es binariod) Es ternarioe) Es cuaternario

04) Calcular: a) 512b) 1024c) 2048d) 4096e) 32

05) Resolver:

a) x = 1/3b) x = 1/8c) x {1/3, 1/8}d) x = 1/9e) 1/2

06)

Tres nmeros enteros positivos a, b y c con a < b < c; estn en progresin geomtrica. ; estn en progresin aritmtica, as: hallar el valor de a

a) 0,5b) 16c) 8d) 2e) 4

07) Si: estn en progresin geomtrica, calcular: x z. Si y z = 2

a) 2b) 4c) 8d) 3e) 9

08) Resuelva el sistema:

a) x = 8, y = 16, z = 64 b) x = 2, y = 4, z = 4c) x = -8, y = 16, z = -64d) x = 2, y = 8, z = 4e) N. A.

09) La solucin de la ecuacin:

, es:

a) x = -2b) x = 3c) x = 2d) x = 3 x = -2e) x = 3 x =+2

010) La solucin de la desigualdad:

es:

a) 1< x < 3b) 0 < x < 3c) 3< x < 9d) 1 1; b > 1. Es y una funcin de x?

a) Sib) Solo si x > a x < -ac) Slo si x > ad) Slo si x < ae) No

04.Sea la funcin:

f(x) =

entonces f es:

a)No creciente en

b)No creciente en

c)No decreciente en

d)Constante en

e)No decreciente en

05.Si Dom f y Ran f representan el dominio y el rango de la funcin real:

f(x) = , determinar Dom f g Ranf.

a) b)

c) d)

e)

06.Si [x] designa el mximo entero de x; adems (x1, x2) es el conjunto solucin de: x2 2x 1Calcular: [x1] + [x2]a) 4b) 3c) 2d) 1e) 0

07.Cul de los siguientes grficos puede ser la grfica de una funcin polinomial:

P(x) = x3 + ax + 0, a 0

08.Resolver [x] + [2x] + [3x] = 14; donde la notacin [ ] indica el mximo entero.

a) b)

c) d)

e)

09.Dado f: R R/f(x) = x3 29x + 1, encontrar: f .a) 48b) 52c) 43d) 50e) 49

10.Sea la funcin real definida por g(x) = x2 2x 1, si: x . Hallar Rang.

a) b)

c) d)

e)

11.Si: f: R , definida por f(x) = x2. Hallar Dom f

a) b)

c) d)

e)

12.En la funcin real:

h(x) = -, determinar su dominio y rango, proporcionando luego Dom h Ran h.

a) b)

c) d)

e)

13.Cules de las siguientes funciones son aplicaciones?

I)R R/y = x/(x-1)

II)g: R/y = 1/

III)h: R / y = 2x+3

IV)e: R R/y =

a) f y hb) g y ec) h y ed) f y ee) f, h y e.

14.Determinar el rea mxima de un rectngulo que tiene un lado en el eje x y los dos vrtices del lado opuesto sobre la parbola: f(x) = 12 x2

a) 45b) 54c) 32d) 48e) 36

15.Determinar el rango de la funcin f definida por:

f(x) =

a) b)

c) d)

e)

TEMA: LIMITES

Limite: significa valor ms prximo.

Notacin:

Limite de f(x) cuando; x tiende a a

OBS: tiende < > se acerca. < > se aproxima.

Ejemplo:

Ejemplo:

Operaciones:

1) Lim (K) = R; K R

2) Lim (F(x) G(x)) = lim (F(x)) lim G(f)

3) Lim K (F(x) = K lim f(x)

4)

5)

6)

7)

Formas Determinadas:

1)

2)

3)

Formas Indeterminadas:

1)

2)

3) - ; 0 .

4) 1, 1-

5) 00; 0; 0

EJERCICIOS

01) Calcular:

Rpta:

02) Calcular:

Rpta:

03) Calcular: Rpta:

04) Calcular: Rpta:

05)

Si: y . Hallar los valores de a si: Rpta:

06) Indicar verdadero (v) o falso (F) segn corresponda:

Rpta:

07) Calcular:

Si: Rpta:

08) Encontrar el valor de A: Rpta:

09) Hallar: Rpta:

010) Si:

Hallar:

Rpta:

011) Calcular:

Rpta:

012) Calcular:

Rpta:

013) Calcular: ; si

Rpta:

014) Calcular:

Rpta:

015) Calcular:

Rpta:

016) Calcular:

Rpta:

017) Si sabemos que:

Determinar:

Rpta:

018) Calcular: siendo: m = Y/2

Rpta:

019) Si:

Me piden Calcular: M . N

Rpta:

020) Calcular:

Rpta:

EJERCICIOS

01) Calcular:

a) b)

c) d)

e)

02) Calcular: a > 0 y a 1.

a) b)

c) d)

e)

03) Calcular:

a) b)

c) d)

e)

04) Calcular:

a) b)

c) d)

e)

05) Calcular:

a) 15b) 3/15c) 2d) 2/15e) 1/2

06) Calcular:

a) b)

c) d)

e)

07) Hallar a y b, constantes para que: dar como respuesta: (ab + a+b)

a) 1b) 2c) -1d) 3e) 4

08) Calcular:

a) 5/13b) 13/8c) 13/24d) 5/48e) 13/48

09) Calcular: a) 1/4b) 1/3c) 6d) 5

e)

a) 2b) -2c) 1d) -1e) 0

010) Se tiene:

a) 1b) 2c) -7/2d) 7/2e) 0

011) Hallar:

a) 1b) 2c) -7/2d) 7/2

e)

012) Calcular:

a) bb) ac) d) -e) N.A

013) Calcular:

a) e4b) e5c) e6d) e3e) e2

014) Calcular el limite:

a) 2b) 1c) -7/2d) 7/2

e)

015) Calcular:

a) e2b) e4c) e6d) e8e) N.A

TEMA: DERIVADAS

* Se define: Sea: f (x) = y; como una regla de correspondencia.

f(x) Se llama derivada de esta funcin.

Ejemplo:

Sea: f(x) = 3x2 + 6x ; f(x)= 4x + 2

f(x) = 6x + 6. f(x) = 4

En General:

Sea: f(x) = axm + bxn + cxp

Hallando su derivada:

Se observa; que:

El exponente se resta 1. El otro baja como coeficiente multiplicando.

Casos: (de derivada) X2+ 4x 2x + 4 2 (2da Derivada) 4 0 xn nxn-1 x-3 -3 x-4 x-2 -2x-3Forma trigonomtrica: Senx Cosx Cos(x) -Sen (x) Tan (x) Sec2 (x) Cot (x) -Csc2 (x) Sec (x) Tan xSecx Csc (x) -Cotx Cosx Sen (mx) mCos (mx) Cos (mx) -mSen (mx)

Aplicaciones de la derivada: (de una funcin)Sea una funcin con regla de correspondencia: Y = f(x), luego la ecuacin f(x) = 0.Tiene por Races: x1,x2,x3, ., xn: los cuales forman los puntos (x1, f(x1); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)), (xn, f(xn)).

Llamados extremos relativos:

Ahora si:

As mismo; la ecuacin: f (x) = 0

Tiene por races: (1; 2; 3; 4;..)

Los cuales forman los puntos de inflexin o de cambio de con cavidad.

Ejemplo:

La ecuacin:

Los extremos relativos son:

Luego: f (x) = 6x 2

f (-1/3) = -4 (mximo Relativo)

f(1) = 4 (mnimo Relativo)

Se tiene: f (1/3) 0

EJERCICIOS

01) Si: Calcular: F(7)

Rpta:

02) Si Calcular: F (-3)

Rpta:

03) Si: Calcular: F(1)

Rpta:

04) Dado la funcin:

Si: F (a) = . Calcular a.

Rpta:

05) Calcular n

Si

Siendo:

Rpta:

06) Calcular: a2 +b2, si la funcin: presenta un extremo relativo en (1; 2)

Rpta:

07) Calcular ab si la funcin: presenta un electo mnimo relativo en el punto (-1, 4)

Rpta:

08) Calcular F(-1) en la funcin F(x), que verifica:

Rpta:

09) Dada la funcin F(x) que verifica: Calcular: F(-1)

Rpta:

010) Si la suma de dos nmeros es 18, encontrara los nmeros tales que la suma de sus cuadrados sea mnimo. Indicar como respuesta la diferencia de dichos nmeros.

Rpta:

011) Si la suma de la base y la altura de un tringulo es igual a 38 m. Qu dimensin debe tener dicho tringulo para que su rea sea mxima?

Rpta:

012) Hallar el rea mxima de un rectngulo que tiene su base inferior en el eje x y dos de sus vrtices en la curva: Y = 6 2x2

Rpta:

013) Un punto, mvil P describe la curva:

Determinar la distancia mnima de P al origen.

Rpta:

014) Encuentre el punto sobre la grafica de: mas cercano al punto (3; 1)

Rpta:

015) Un punto esta en movimiento segn la ley: Donde x se mide en metros y T en segundos. Hallar su velocidad despus de 6seg. Del comienzo del movimiento.

Rpta:016) Encontrar las dimensiones del cilindro recto circular de volumen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H y radio R. Dar como respuesta su altura.

Rpta:

017) Hallar el rea del mayor rectngulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas, que pueden inscribirse en la regin limitada por las parbolas. 3y= 12 x2 ; 6y = x2 - 12

Rpta:

018) Encontrar las coordenadas del punto o puntos de la curva; Y2 = 2x + 3; que estn mas cerca al origen.

Rpta:

019) Si la funcin: f(x) = x3 + ax2 + bx +c, tiene un mximo relativo en x = -1 y un mnimo relativo en x = 3. Calcular ab

Rpta:

020) Un paralelogramo y un tringulo tiene un vrtice comn y los otros vrtices del paralelogramo estn sobre los lados del tringulo dado. Calcular el rea mxima del paralelogramo que se puede inscribir de esta forma. Base del tringulo = 10; Altura del tringulo = 6.

Rpta:

EJERCICIOS

01)

Dada la funcin: Calcular:

a) b) c)

d) e)

02) Sea la funcin: ; si f(0) = 3 f(1) = 1

Adems:

Calcular el valor de:

a) 0b) 1/3c) 4d) e) 1/2

03) Se tiene la derivada de una funcin: calcular: f(-1); si f(0)=1

a) 0b) -1c) 1d) 2e) -2

04)

Si: ; calcular:

a) -15b) -2.5c) 3d) 25e) -56

05)

Dada la funcin: , si su derivada es: calcular: ab

a) 128b) -64c) 64d) -128e) 32

06) Calcular; a + b, si la funcin: Presenta punto de inflexin en el punto (-2, 11)

a) 8b) 4c) 5d) 13e) 9

07)

Siendo: para que el valor de a se cumple:

a) 1b) 3c) 2d) 5e) 4

08) Cul es el producto mnimo de dos nmeros cuya diferencia es 4?

a) 5b) 12c) 0d) -3e) -4

09) Sea las funciones: Donde: x pertenece en primer cuadrante.Adems se tiene que:

Hallar:

a) 1b) 2xc) x +1d) 0e) 2

010) Si se tiene el siguiente tringulo rectngulo:

Nos piden hallar:

con respecto al

a) 5b) 7c) 4d) 3e) 6

011) Indicar el rea mxima de un rectngulo de lados (3 2x) y (x + 1).

a) b) 25/2c) 25/8d) 5/2e) 35/4

012) Si el propietario de un teatro cobra S/. 10, 00 por cada boleta de admisin, la asistencia promedio ser de 100 personas. Si por S/. 1, 00 de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en dos personas A cunto debe vender cada entrada para obtener una ganancia mxima?

a) S/. 10b) S/. 15c) S/. 20d) S/. 30e) S/. 21

013) Una pieza larga y rectangular de lmina de 30 cm. De ancho la convirtiese en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ngulos rectos con la base. Cul debe ser el ancho de las partes dobladas, si se desea que tenga la mayor capacidad posible?

a) 5cm.b) 10 cm.c) 8,25 cm.d) 6 cm.e) 7,5 cm.

014) Las graficas adjuntos corresponden a las funciones:

Determinar la mxima longitud vertical d.

Si:

a) 25/8b) 15/2c) 21/8d) 17/4e) 1

015) Un torpedero esta anclado a 9Km del punto ms prximo a la orilla. Se necesita enviar un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre el campamento y el punto mas prximo referido es de 15 Km.: teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 Km. /h y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar en que pinto de la orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo mas pronto posible.

a) A 3 Km. Del campamentob) A 5 Km. Del campamentoc) A 2 Km. Del campamentod) A 8 Km. Del campamentoe) A 4 Km. Del campamento

TEMA: INTEGRALES

Se define una integral como:

Siendo:

Ejemplo:

Debemos tener en cuenta:

Se tiene algunas integrantes:

Recuerda:Nunca Olvidarse de la Consonante

Aplicado a funciones trigonomtricas:

-

-

-

-

-

-

EJERCICIOS

01) Se tiene la siguiente integral:

Hallar: a x b

Rpta:

02) Si: adems g(2) = 6 Hallar la constante de la integracin:

Rpta:

03) Hallar la suma de las integrales: Si:

Rpta:

04) Si: Hallar: m- (n + p)

Rpta:

05) Sea la funcin: Al hallar su integral, sus coeficientes suman 14. Hallar la constante.

Rpta:06) Hallar: G(2) Rpta:

07)

Sabemos que: entonces: Hallar: G(e 9)

Rpta:

08) Hallar:

Rpta:

09)

Si: y su integral de dicha funcin es. 4x2 + 3x +1. Hallar:

Rpta:

010) Calcular:

Rpta:

011) Resolver:

Rpta:

012) Resolver:

Rpta:

013) Hallar:

Rpta:

014) Resolver:

Rpta:

015) Sea las integrales:

Hallar

Rpta:

016) Resolver:

Rpta:

017) Sea las siguientes integrales:

Nos piden hallar: M SI:

Rpta:

018)

Resolver: si se sabe que: y

Rpta:

019)

Se sabe que: entonces: siendo: y

Rpta:

020) Resolver:

Rpta:

EJERCICIOS

01) Sea la siguiente integral:

Hallar:

a) 2b) 1c) 3d) e) 1/4

02)

Hallar: Si:

a) 5b) 7c) 6d) 9e) 2

03) Si la siguiente integral se encuentra en 10 y 15. Adems: C = Sea la integral:

Hallar el valor entero de x

a) 1/2b) -2c) 1d) 2e) 3

04) Si: Adems: G (2) = 48; nos pide Calcular la constante de integracin.

a) 8b) 5c) 9d) 7e) 6

05) Resolver:

a) b) 1c) 2

d) e)

06)

Sea la siguiente funcin: y su integral de dicha funcin es: 6x2 + 4x + 7

a) b)

c) d)

e)

07) Sea las siguientes integrales:

Hallar: Adems: C1 = C2

a) 3b) 2c) 4d) 3/2e) 3/4

08) Resolver:

a) 4 y -4b) 2c) 4/3d) 3 y -3e) 2 y -2

09) Calcular:

a) b)

c) d)

e)

010) Sea las siguientes integrales:

Hallar

Siendo las constantes de integracin: cero

a) b)

c) d)

e)

011) Resolver:

a) 1/4b) 2c) d) 1e) 2/3

012) Hallar el valor de M.

a) 1/2b) 2c) 1d) 1/6e) 1/3

013) Resolver: , si se sabe que:

y

a) b)

c) d)

e)

014)

Sabemos que: y

Nos piden hallar: M si:

a) 1/3b) 2/3c) 2d) 3/2e) 1

015) Resolver:

y

nos piden hallar: M x N

a) b) c)

d) e)

FRMULAS

Logaritmos:

.

Funcin Exponencial:

Si: Si: Si: Adems:

Hay que saber reglas de exponentes.

Funcin Logartmica:

Sea: a: base de

Si Si

Si:

PROPIEDADES GENERALES

Cologaritmo y Antilogaritmo.

Cologaritmo:

Antilogaritmo:

Sea:

Propiedades:

1)

2)

3)

4)

Relaciones Funciones:

Relacin:

Reflexiva: Simtrica: Transitiva:

Funciones:

F es funcin tal que (x; y) F (x, z) F y = z

Dom (f) A Ran(f) B partida llegada

lgebra de Funciones:

Suma: Dom Resta: Dom Producto: Dom Division: Dom

Limites:

Operaciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Derivadas:

Y= f(x) f(x) = 0 f (x1) < 0 : Mximo Relativo f (x2) > 0 : Mnimo Relativo

Siendo: f ( ) la 2da Derivada

Integrales:

constante

MISCELNEAS

01) 02) Efectuar:

03) Efectuar:

04) Reducir:

05) Hallar x en:

06) Resolver:

07) Resolver:

2x+2x 1+2x 2+2x 3+2x 4 =248

08) Calcular M, sabiendo que: a + b + c = 2p

Si:

09) Sabiendo que: , hallar la expresin:

010) Si: x y = 8. Hallar: (x 3y)2 4y(2y x) + 8

011)

Si: , calcular:

012) Determinar el valor de:

(2b)2x (2b)2x, si se sabe que: (2b)8x + (2b)8x = 7 y 0 < b <

013) Si:

Hallar: