Algebra Roman a Prods Cal Are

Cluj Napoca, 2012 Radu

Spatii cu produs scalar

Definitia 54. Un produs scalar pe spatiul vectorial V peste F este o functie (formabilineara ) x, y : V V F cu proprietatile :

(positivity and definiteness) xv, vy 0 and xv, vy 0 iff v 0. (additivity in the first slot)xu ` v, wy xu,wy ` xv, wy, for all u, v, w P V (homogeneity in the first slot) xav, wy axv, wy for all a P F and v, w P V (conjugate symmetry) xv, wy xw, vy for all v, w P V .

Un s.v. inzestrat cu un produs scalar se numeste spatiu cu produs scalar.

Cel mai imp. exemplu este Fn. Fie v pv1, . . . , vnq si w pw1, . . . wnq si definimprodusul scalar:

xv, wy v1w1 ` ` vnwn.

Algebra liniara 69


Ex. tipic de produs scalr, numit prod. scalar Euclidean , iar cand ne referim la Fn ca spatiucu produs scalar, ne gandim la acest produs scalar Euclidean , daca nu se specifica in mod

expres altul.

Examples

Din def. rezulta :

xv, 0y x0, vy 0xu, v ` wy ` xu, vy ` xu,wyxu, vy xu, vyforallu, v, w P V and P F

Definitia 55. Fie V un s.v. peste F. O functie

|| || : V R

s.n. norma pe V daca:

Algebra liniara 70


(positivity) ||v|| 0, v P V v 0 ; (homogeneity) ||v|| || ||v||, @ P F, @v P V ; (triangle inequality) ||u ` v|| ||u|| ` ||v||, @u, v P V ;

Un spatiu normat este o pereche pV, || ||q, cu V s.v. iar || || este norma pe V .

Definitia 56. Fie X nevida . O functie d : X X R care satisface proprietatile:

(positivity) dpx, yq 0 and dpx, yq 0 x y (symmetry) dpx, yq dpy, xq, @x, y P X (triangle inequality) dpx, yq dpx, zq ` dpz, yq, @x, y, z P X

s.n metrica sau distanta pe X. O multime X impreuna cu o metrica definita ea s.n.

Ne vom ocupa cu produse scalare.

Dar observam ca un prod. scalar pe V defineste o norma, prin ||v|| axv, vy pt.v P V , iar o norma pe V defineste o metricaprin dpv, wq ||w v||, pt. v, w P V .

Algebra liniara 71


Pt. un spatiu cu produs scalar pV, x , yq sunt adevarate identitatile:

xmi1ivi,

nj1jwjy

mi1

nj1ijxvi, wjy.

Definitia 57. Doi vectori u, v P V se numesc ortogonali daca xu, vy 0.Teorema 58. (Legea Paralelogramului ) Fie V un spatiu cu produs scalrsi u, v PV .Atunci

||u v||2 ` ||u v||2 ||u||2 ` ||v||2

Dem

||u ` v||2 ` ||u v||2 xu ` v, u ` vy ` xu v, u vy xu, uy ` xu, vy ` xv, uy ` xv, vy`xu, uy xu, vy xv, uy ` xv, vy

2p||u||2 ` ||v||2q.

Algebra liniara 72


Gata Dem.

Teorema 59. (Theorem lui nea Pythagoras )Fie V un spatiu cu produs scalar, siu, v P V ortogonali. Atunci

||u ` v||2 ||u||2 ` ||v||2.

Dem

||u ` v||2 xu ` v, u ` vy xu, uy ` xu, vy ` xv, uy ` xv, vy ||u||2 ` ||v||2.

Gata Dem.

Vom demonstra una din cele mai imprtante inegalitati in matematica, inegalitatea

Cauchy-Schwartz. Exista o multime de dem. prez. una care e folositoare prin tehnica si

rationamentul ei.

Algebra liniara 73


Consideram u, v P V . Vrem sa sriem u ca si suma dintre un vector collinear cu vsi un vector ortogonal cu v. Fie inF si u v ` pu vq. Impunand conditia ca vortogonal cu pu vq, avem

0 xu v, vy xu, vy ||v||2,adica in mode necesar xu, vy{||v||2, iar descompunerea este

u xu, vy||v||2 v ` pu xu, vy||v||2 vq.

Teorema 60. Cauchy-Scwartz Inequality Fie V un spatiu cu produs scalariar u, v PV . Atunci

|xu, vy| ||u|| ||v||.Egalitatea are loc iff u, v este multiplu scalr de celalalt.

Dem Fie u, v P V . Daca v 0 ambii membri ai ineg. sunt 0 si rez. are loc.

Algebra liniara 74


Pp. v 0. Scriem u xu,vy||v||2v ` pu xu,vy||v||2vq. Din T. Pitagora

||u||2 ||xu, vy||v||2 v||2 ` ||pu xu, vy||v||2 vq||

2

|xu, vy|2

||v||2 ` ||pu xu, vy||v||2 vq||

2

|xu, vy|2

||v||2 ,

ineg. echiv cu cea din teorema.

Avem eg. iff pu xu,vy||v||2vq 0, adica iff u este multiplu scalar de v.

Gata Dem.

Algebra liniara 75


Baze ortonormale

Definitia 61. O familie de vectori A tei|i P I, ei P V u s.n. familie ortogonala dacaxei, ejy 0 pt orice ei, ej P A. Familia A s.n. ortonormala daca este ortogonala si||ei|| 1 @ ei P A.

Motivul esential pt. care studiem familii ortogoonale este ca in baze ortonormale

calculele se fac f. usor.

Propositia 62. Daca pe1, . . . emq este o familie ortonormala de vectori in V , atunci

||1e1 ` . . . mem||2 |1|2 ` ` |m|2for all 1, . . . m P F.Dem Apply Phytagorean Theorem, you at home z. Gata Dem.

Corolar 63. Orice familie ortonormala de vectori este liniar independenta.

Algebra liniara 76


Dem Fie A o familie ortonormala in V si pe1, . . . , emq o parte finita a ei iar1, . . . , m P F cu

1e1 ` ` mem 0.Rezulta ca |1|2 ` ` |m|2 0, adica j 0, @j 1, . . . ,m. Gata Dem.

O baza ortonormala intr-un sp. cu produs scalar V este o baza a lui V care este

de asemenea a familie ortonormala in V . Este clar ca o familie ortonormala de lungime

dimV este o baza ortonormala (argumentati z).

Teorema 64. Fie pe1, . . . , enq o baza ortonormala insp. cu produs scalar V . Dacav 1e1 ` ` nen P V , atunci

i xv, eiy, si

||v||2 ni1|xv, eiy|2

Algebra liniara 77


Dem Fie v 1e1` `nen. Cons. prod. scalar in ambii termeni cu ei si rezultaprima afimratie.A doua rezulta din aplicarea repetata a teoremei lui conu Pitagora. GataDem.

Up to know we have an image about the usefulness of orthonormal basis. But how one

does go to find them?. The next results give an answer to the question. The algorithm is a

well known algorithm in linear algebra, called Gram-Schmidt procedure. Here is pointed the

procedure, giving a method for turning from a linearly independent list into an orthonormal

one, with the same span as the original one.

Teorema 65. Gram-Schmidt Daca pv1, . . . , vmq este o multime liniar independentain V , atunci exista o familie ortonormala et of vectors pe1, . . . emq in V a.i.

spanpv1, . . . , vkq spanpe1, . . . , ekqfor k 1,m.

Dem Fie pv1, . . . , vmq liniar ind. Vom construi familia ortonormala pe1, . . . , emqortonormala inductiv. Fie e1 v1{||v1||.

Algebra liniara 78


Pp. ca j 1 si familia pe1, . . . , ej1q am ales-o a.i.

spanpv1, . . . , vj1q spanpe1, . . . , ej1q

Consideram

ej vj xvj, e1ye1 xvj, ej1yej1||vj xvj, e1ye1 xvj, ej1yej1||

Deoarece pv1, . . . , vmq sunt liniar ind., rezulta ca vj nu este in spanpv1, . . . , vj1q,si deci nici in spanpe1, . . . , ej1q.

Atunci ej este bine definita si ||ej|| 1.

Prin calcul direct rezulta ca pt. 1 k j avem

Algebra liniara 79


xej, eky x vj xvj, e1ye1 xvj, ej1yej1||vj xvj, e1ye1 xvj, ej1yej1||, eky

xvj, eky xvj, eky||vj xvj, e1ye1 xvj, ej1yej1|| 0,

si deci pe1, . . . ekq este familie ortonormala. Din modul de definire al lui ej studentu poasa vada (dupa un moment de cugetare of course) ca vj P spanpe1, . . . , ejq, care implica,(impreuna cu ipoteza de inductie), ca

spanpv1, . . . , vjq spanpe1, . . . , ejq

Ambele multimi fiind liniar independente (prima din ip. si a doua din ortogonalitate),

rezulta ce subspatiile au aceeasi dim j, deci sunt egale. Gata Dem.

Now we can state the main results in this section

Algebra liniara 80


Corolar 66. Orice spatiu cu produs scalar, finit dimensional are o baza ortonormala

Dem Alegem o baza in V , applicam Gram-Schmidt si obtinem o lista ortonormala, delungime dimV . Rezulta ca lista este o baza, fiind liniar independenta. Gata Dem.

The next proposition shows that any orthonormal list can be extended to an orthonormal

basis.

Propositia 67. Orice familie ortonormala de vectori a unui spatiu cu produs scalar depoate extinde la o baza ortonormala a lui V .

Dem Pp. ca pe1, . . . emq este o familie ortonormla de vectori. Fiind liniar independenta,se extinde la o baza pe1, . . . em, vm`1, . . . , vnq. Aplicam algoritmul Gram-Schmidtvectorilor pe1, . . . em, vm`1, . . . , vnq, si obtinem pe1, . . . em, fm`1, . . . , fnq.

Procedeul Gram Schmidt lasa primii m vectori neschimbati, fiind deja ortonormali.Deci

obtinem o extindere la o baza ortonormala. Gata Dem.

Corolar 68. Pp. T P EndpV q. Daca T are o matrice sup. triunghiulara rel. la o baza

Algebra liniara 81


a lui V , atunci T are o matrice superior triunghiulara relativ la o baza ortonormala a lui

V .

Corolar 69. Pp. ca V este sp. vectorial complex si T P EndpV q. Atunci T are omatrice sup. triunghiulara relativ la o baza ortonormala a lui V .

Algebra liniara 82


Proiectii ortogonala si probleme de minimizare

Fie U P V o submultime a unui spatiu cu produs scalr V . Complementul ortogonalal lui U , notat UK este multimea vectorilor in V care sunt ortogonali la fiecare vector dinU :

UK tv P V |xv, uy 0, @u P Uu.

Homework Verify that UK is a subspace of V , that V K 0 and 0K V , thatU1 U2 UK1 UK2 .Teorema 70. Daca U este subspatiu al lui V , atunci

V U UK

Dem Suppose tha U este subspatiu al lui V (finit dim.). Aratam ca

V U ` UK

Algebra liniara 83


Fie te1, . . . , emu o baza in U si v P V . Avem

v pxv, e1ye1 ` ` xv, emyemq ` pv xv, e1ye1 xv, emyemq

Notam primul vector cu u iar al doile cu w. Clar u P U . Pt. orice j 1,m avem

xw, ejy xv, ejy xv, ejy 0

Atuci w este ortogonal pe fiecare vector din baza lui U , i.e. w P UK, i.e.

V U ` UK.

Aratam ca U X UK t0u.

Algebra liniara 84


Fie v P U X UK, atunci v este ortogonal pe fiecare vector din U (fiindca este in UK,adica xv, vy 0, echivalent cu v 0. Relatiile V U ` UK si U X UK t0u implicavirgula concluzia teoremei.

Gata Dem.

Corolar 71. (Pt. voi de demonstrat z) Daca U1, U2 sunt subspatii in V atunci

U1 pUK1 qK. pU1 ` U2qK UK1 X UK2 . pU1 X U2qK2 UK1 ` UK2 .

Dem Your job Gata Dem.

Intr-un spatiu vectorial real cu produs scalardefinim unghiul a doi

{pv, wq arccos xv, wy}v} }w}Algebra liniara 85


Avem

vKw {pv, wq 0.

Algebra liniara 86


Varietati liniare

Fie V un s.v. peste F.

Definitia 72. O multime L v0 ` VL tv0 ` v|v P VLu unde v0 P V este un vectoriar VL V este subspatiu in V s.n. varietate liniara. Subspatiul VL s.n. subspatiuldirector al varietatii liniare iar vectorul v0 s.n. vector director.

Remarks

if v0 P VL then L Vl. v0 P L because v0 v0 ` 0 P v0 ` L. for v1, v2 P L we have v1 v2 P L. for every v1 P L we have L v1 ` L. VL1 VL2 iff L1 L2.

Definitia 73. Dimensiunea unei var. liniare este dimensiunea spatiului ei director.

Algebra liniara 87


Varietatile liniare L1 and L2 se numesc ortogonale daca VL1KVL2. Varietatile liniare L1 and L2 se numesc paralele daca VL1 VL2 sau VL2 VL1.

Ecuatiile unei varitati liniare

Fie L v0 ` VL o varietate liniara intr-un s.v. finit dimensionala V . Pp. cadimL k n dimV putem alege in spatiul director VL o baza (finita) tv1 . . . vku.Avem

L tv ` v0 ` 1v1 ` ` kvk|i P F, i 1, k

Consideram o baza arbitrara (fixa) in V , lets say te1, . . . enu and iar daca utilizamvectori coloana pt. coordonatele in baza obtinem ecuatiile parametrice ale varietatiiliniare.

Algebra liniara 88


$&%x1 x01 ` 1v11 ` . . . kv1k. . .

xn x0n ` 1vn1 ` . . . kvnk

Rangul matricii pvijqi1,nj1,k

is k deoarece vectorii v1, . . . vk sunt lin. ind.

1. O varietate liniara de dim. 1 s.n. dreapta.

2. O varietate liniara de dim. 2 s.n. plan.

3. O varietate liniara de dim. k s.n. k-plan

4. O varietate liniara de dim.n 1 intr-un s,v, de dim n hiperplan.

Fie V si U doua s.v. peste Fn si T : V U liniara. Vom arata ca orice varietateliniara in V este nucleul unei aplicatii liniare. Pp. ca VL este subspatiu in V . Alegem o

Algebra liniara 89


baza te1, . . . , eku in VL si o completam la o baza in te1, . . . , ek, ek`1, . . . , enu of V .Consideram U spantek`1, . . . , enu. Fie T : V U dat de

T pe1q 0, . . . T pekq 0, T pek`1q ek`1, . . . , T penq ensi o extindem prin liniaritate. Este clar ca kerT VL and T U si T este surjectiva.

Teorema 74. Daca T : V U este liniara, surjectiva , pt. orice u0 P U , multimeaL tv P V T pvq u0u este varietate liniara.

dem Fiindca T surjectiva, rezulta ca exista v0 P V cu T pv0q u0 Vom arata catv v0|v P Lu kerT .

Fie v P L. T pv v0q T pvq T pv0q 0, so tv v0|v P Lu kerT .

Fie v1 P kerT , i.e. T pv1q 0. Sriem v1 pv1 ` v0q v0. T pv1 ` v0q u0, decipv1 ` v0q v0 P L, adica tv v0|v P Lu kerT . gata dem

Teoremele anterioare ne dau (atsa ar fi un esemplu de Teorema de univesalitate:

Algebra liniara 90


Teorema 75. Pt. orice varietate liniara L V de dimensiune dimL k, dimV n,exista un s.v. U , cu dimU n k, o aplicatie liniara T : V U surjectiva, si unvector u P U with

L tv P V |T pvq uu.

Please think about the proof on your own z.

Daca alegem in V si U doua baze si scriem aplicatia liniara din teorema precendenta

matricial MTv u obtinem ecuatiile implicite ale varietatii liniare L,$&%a11x1 ` a12x2 ` ` a1nxn b1. . .

ap1x1 ` ap2x2 ` ` apnxn bp

unde p n k dimU , rank paijq i1,pj1,n

.

Algebra liniara 91


Un hiperplan are o singura ecuatie

a1v1 ` . . . anvn b

Spatiul director poate fi vazut ca

V tv v1e1 ` . . . vnen|fpvq 0u,

unde f este aplicatia liniara f : V R cu fpe1q a1, . . . fpenq an.

Daca ne gandim la hiperplan ca si la o varietate liniara in spatiul euclidian Cn, ecuatiapoate fi scrisa ca

xv, ay 0,where a a1e1 ` ` anen,

unde a este vectorul normal la hiperplan.

In general ecuatiile unei varietati liniare intr spatiul euclidian sunt:

Algebra liniara 92


$&%xv, v1y b1. . .

xv, vpy bp

unde vectorii v1, . . . vp sunt liniar independenti. Subspatiul director este dat de$&%xv, v1y 0. . .

xv, vpy 0

deci vectorii v1, . . . vp sunt perpendiculari pe VL.

Determinanti Gram. Distante.

Vom incerca sa gasim o abordare unitara pentru algoritmi de calculare a distantelor in

s.v. cu produs scalar.

Algebra liniara 93


Fie pV, x, yq in s.v. cu produs scalar si vi P V , i 1, k.

Determinantul

Gpv1, . . . vkq

xv1, v1y xv1, v2y . . . xv1, vkyxv2, v1y xv2, v2y . . . xv2, vky. . . . . . . . . . . .

xvk, v1y xvk, v2y . . . xvk, vky

s.n. det. Gram al vectorilor v1 . . . vk.

Propositia 76. Intr-un spatiu cu produs scalr v1, . . . vk sunt liniar independenti iffGpv1, . . . , vkq 0.

dem Consideram sistemul

G

x1x2

...

xk

00

...

0

Algebra liniara 94


Dansul poa sa fie rescris asha$&%xv1, vy 0. . . where v x1v1 ` . . . xkvkxvk, vy 0

gata dem.

Vectorii v1, . . . vk sunt liniar independenti D x1, . . . xk P F, nu tonti zero v 0. Sistemul are solutie netriviala daca si numai daca detG 0.

Propositia 77. Daca te1, . . . , enu sunt liniar independenti iar tf1, . . . fnu sunt vectoriobtinuti prin ortogonalizare Gram Schmidt avem:

Gpe1, . . . enq Gpf1, . . . , fnq }f1}2 }fn}2

Algebra liniara 95


dem In Gpf1, . . . , fnq inlocuim fn by en a1f1 . . . an1fn1 si obtinem

Gpf1, . . . , fnq Gpf1, . . . , fn1, enq

. Recursiv avem realtia din teorema (prima ). Dar Gpf1, . . . , fnq }f1}2 }fn}2 deoarece in det. avem numai pe diagonala el. diferite de zero adica asteaxf1, f1y, . . . , xfn, fny.

Remarks

}fk} c

Gpe1,...ekqGpe1,...,ek1q

fk ek a1f1 . . . ak1fk1 ek vk one obtains ek fk ` vk,vk P spante1, . . . , ek1u and fk P spante1, . . . , ek1uK, so fk is the orthogo-nal complement of ek with respect to the space generated by te1 . . . , ek1u.

gata dem

Algebra liniara 96


Distante. Distanta de la un vector la un subspatiu

Fie U un subspatiu in V . Distanta de la un vector v si un subspatiu U este

dpv, Uq infwPU

dpv, wq infwPU

}v w}

Propositia 78. Distanta de la un vector la un subspatiu este

dpv, Uq }vK} dGpe1, . . . ek, vqGpe1 . . . ekq

unde v v1 ` vK, v1 P U, vK P UK iar e1 . . . ek este o baza U .

dem Prima data dem. ca }vK} }v v1} }v u}, @u P U . Avem

Algebra liniara 97


xvK, vKy xvK ` v1 u, vK ` v1 uy xvK, vKy xvK, vKy ` xv1 u, v1 uy.

A doua parte a inegalitatii rezulta din propoziti anterioara. gata dem.

Definitia 79. Daca e1, . . . , ek sunt vectori in V volumul k- paralelipipedului construitpe vectorii e1, . . . ek este definit de Vkpe1 . . . ekq

aGpe1 . . . ekq.

Avem realtia

Vk`1pe1 . . . ek, ek`1q Vkpe1 . . . ekqdpek`1, spante1, . . . ekuq

Algebra liniara 98


Distanta de la un vector la o varietate liniara.

Fie L v0`VL o varietate liniara si v un vector in s.v. finit dimensional V . Distantaeste invarianta la translatii

dpv1, v2q dpv1 ` v0, v1 ` v0q }v1 v2} }v1 ` v0 pv2 ` v0q}

Aceasta inseamna ca avem

dpv, Lq infwPL

dpv, wq infvLPVL

dpv, v0 ` vLq

infvLPVL

dpv v0, vLq

dpv v0, VLq

In final

Algebra liniara 99


dpv, Lq dpv v0, VLq dGpe1, . . . ek, v v0q

Gpe1 . . . ekq ,unde e1, . . . ek is a basis in VL.

Consideram hiperplanul H de ecuatie

xv v0, ny 0 .

Subspatiul director este VH xv, ny 0 iar distanta de la v la H

dpv,Hq dpv v0, VHq.

Descompunem v v0 n` vH, unde vH este proiectia ortogonala a lui v v0 peVH iar n este componenta normala a lui v v0 rel. la VH. Inseamna ca

dpv,Hq }n}

Algebra liniara 100


Calculam putintel avand la capsor observatiile anterioare :

xv v0, ny xn ` vL, ny xn, ny ` xvL, ny }n}2 ` 0

Adica am obtinut;|xv v0, ny|

}n} ||}n} }n}adica

dpv,Hq |xv v0, ny|}n}

Daca avem o baza ortonormala , ecuatia unui hiperplan H este

a1x1 ` . . . anxn ` b 0 ,

adica relatia este in acest caz

Algebra liniara 101


dpv,Hq |a1v1 ` ` anvn ` b|ba21 ` . . . a2n

.

Algebra liniara 102


Distanta dintre doua varietati liniare.

Pt. A si B multimi intr-un spatiu metric , distanta dintre ele este

dpA,Bq inftdpa, bq|a P A , b P Bu

Pt. doua varietati liniare L1 v1 ` V1 and L2 v2 ` V2 rezulta usor:

dpL1, L2q dpv1 ` V1, v2 ` V2q dpv1 v2, V1 v2q (2) dpv1 v2, V1 ` V2q (3)

Aceasta ne da propozitia urmatoare

Propositia 80. Distanta dintre varietatile liniare L1 v1 ` V1 si L2 ` v2 ` V2 esteegala cu distanta dintre vectorii v1 v2 si spatiul suma V1 ` V2.

Algebra liniara 103


Daca alegem o baza in V1 ` V2, lets say e1, . . . , ek rezulta formula

dpL1, L2q dGpe1, . . . , ek, v1 v2q

Gpe1 . . . ekq

Geometrie analitica

Vom aplica distante la probleme geometrice in spatii euclidiene. Consideram v.s. Rn

cu produsul scalar canonic: pt. x px1, . . . xnq and y py1, . . . , ynq P Rn produsulscalar este

xx, yy ni1xkyk

Fie D1 , D2 doua drepte (var. lin. 1 dimensional ), M un punct (var. lin. zero dim.)

(il asimilam cu vector 0M , P o var. lin. doi dim. (un plan), iar H o var. lin. n 1

Algebra liniara 104


(hiperplane). Ecuatiile acestora sunt:

D1 : x x1 ` sd1D2 : x x2 ` td2M : x xMP : x xP ` v1 ` v2H : xx, ny ` b 0,

unde s, t, , , b P R. Reamintim ca doua var. liniare sunt paralele d.s.n.d unul dinsubspatiile directore este inclus in celalalt.

Acum putem scrie formulele de baza pt. spatii euclidiene (rel. la distante).

Algebra liniara 105


dpM,D1q dGpxM x1, d1q

Gpd1q;

dpM,P q dGpxM xP , v1, v2q

Gpv1, v2q ;

dpD1, D2q dGpx1 x2, d1q, d2

Gpd1, d2qif D1 D2

dpD1, D2q dGpx1 x2, d1q

Gpd1, qif D1 D2

dpM,Hq |xxM , ny ` b|}n}

dpD1, P q dGpx1 xP , d1, v1 ` v2q

Gpd1, v1, v2qif D1 P

Algebra liniara 106

Date post:	01-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	gianinamarian
View:	227 times
Download:	0 times

Algebra Roman a Prods Cal Are

Documents