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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DO CONTÍNUO

NOTAS DE AULAS (Álgebra e Análise Tensorial)

Sergio Persival Baroncini Proença

São Carlos, Janeiro de 2011.


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Introdução à Mecânica do Contínuo - Elementos de Álgebra Tensorial

Autor: Sergio P.B. Proença

1. Espaços Vetoriais Reais

Def.1 - Espaço vetorial sobre o campo R dos números reais é um sistema(V ,+, R, ) constituído por:

- um conjunto não-vazio V cujos elementos são chamados vetores;- uma operação binária + sobre V chamada adição de vetores, cujo elementoneutro será representado por 0;- um campo = (R, +, ), dotado das operações de soma e multiplicação,cujos elementos são chamados escalares, sendo os elementos zero eidentidade, representados por 0 e 1, respectivamente;- uma aplicação () de RV em V chamada multiplicação de escalar porvetor, que associa ao par ( , x) o vetor representado por x.

Para a operação de adição, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas:

a) A adição de vetores é comutativa

, x y y x x y V (1)

b) A adição de vetores é associativa

( ) ( ) , , x y z x y z x y z V (2)

c) Existe um único vetor 0 em V , chamado vetor nulo ou elemento neutro, talque:

x 0 x x V (3)

d) Para cada vetor x V , o chamado vetor oposto ou simétrico de é tal

que:

( ) x x 0 x V (4)

Def.2 - sejam dois vetores x e y, define-se por vetor diferença ou subtração entre x e y ao vetor resultante da soma de x com o simétrico de y,representado por x - y, ou seja:

( ) x y x y (5)


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A operação de multiplicação por escalar deve apresentar as seguintes propriedades:

e) ( ) ( ) , e x x x V f) 1x x x V g) ( ) , e x x x x V h) ( ) e , y x y x y V (6 a,b,c,d)

Os exemplos que seguem constituem espaços vetoriais.

Exemplo 1: o conjunto dos números reais para as definições usuais de soma

e produto.

Exemplo 2: o sistema ( , , , )n das n-uplas de números reais( , ,..., )1 2 n x e ( , ,..., )1 2 n y sendo ,i i R , em que as operações

igualdade de vetores, a adição de vetores e a multiplicação por escalar sãodefinidos por:

se ;

( ,..., )

( ,..., )

1 1 n n

1 1 n n

1 n

x y

x y

x

Exemplo 3: o espaço vetorial V cujos elementos são funções reais de mesmodomínio D tais que

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

f g x f x g x

f x f x

Exemplo 4: o sistema ( , , , )m n

R

de todas as m n matrizes sobre ocampo , sendo a adição de matrizes e a multiplicação de matriz por escalaroperações já conhecidas.

2. Dependência e independência linear de um conjunto de vetores

Def.3 - sendo V o espaço vetorial sobre o campo , um subconjunto S comnúmero finito de vetores , , ,1 2 n x x x de V é dito ser linearmente dependente

se existirem escalares ( , ,..., )1 2 n não todos nulos tais que:


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1 2 n

1 2 n x x x 0 (7)

A notação empregando índices superiores é, por hora, introduzida e será justificada mais adiante.

Def.4 - um subconjunto S é dito linearmente independente se paraquaisquer vetores não-nulos , ,1 n x x de S , em número finito, e escalares

j ,

a igualdade:

1 2 n

1 2 n x x x 0 implicar em ...1 2 n 0

Exemplo 5: dois vetores (segmentos orientados clássicos) não-colineares no plano são linearmente independentes.

Exemplo 6 : os monômios 1, x1, x2, ... , xn são vetores linearmenteindependentes no espaço dos polinômios em x. Evidentemente, neste caso osíndices superiores indicam potências.

3. Espaços com produto interno

Def.5 - Denomina-se produto interno em V , toda aplicação que associa acada par de vetores ( x,y) de V V um único real denotado por ( x . y) tal que:

i. x y y x ii. ( ) y x y

iii. x y z x z y z

iv. x x 0 sendo que x 0 se e só se 0 (8 a,b,c,d)

Um espaço vetorial com produto interno é denominado Espaço Euclidiano.

Exemplo7 - No espaço 2 o produto interno entre x = ( x1 ,x2) e y = ( y1 ,y2) pode ser definido por:

1 1 2 2 1 2 2 1 x y x y x y x y x y (9)

Exemplo8 - No espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [a,b]define-se produto interno por:


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b

a g f t g t dt (10)

Exemplo9 - No espaço das matrizes reais de ordem n n define-se produtointerno por:

T B tr A B (11)

onde a operação traço, denotada por tr(.), realiza a soma dos elementos dadiagonal principal de uma matriz.

Def.6 - Sendo V um espaço euclidiano, denomina-se norma de um elementou de V ao número real não-negativo obtido por:

.1

2u u u (12)

A norma assim definida satisfaz às seguintes propriedades:

i. u u

ii. / ;u 0 p u 0 0 0

iii. u v u v (desigualdade de Cauchy-Schwarz)iv. u v u v (desigualdade triangular) (13 a,b,c,d)

Obs. Qualquer operação que não necessariamente faça uso do produtointerno, como na (12), mas que satisfaça às propriedades acima constituiuma norma. Assim o conceito se estende aos espaços vetoriais quaisquer.

Def.7 - a distância entre dois elementos x e y de um espaço vetorial V édefinida como a norma da diferença entre eles, sendo representada por:

,d x y x y (14)

A medida assim definida satisfaz às seguintes propriedades:

i. , ,d x y d y x

ii. , ,d x y 0 se x y e d x x 0 (15 a,b,c)


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iii. , ,d x y d x z d z y (a distância é o menor caminho entre dois pontos)

Um espaço com operação distância definida é chamado de espaço métrico.

Def.8 - Da desigualdade de Cauchy-Schwarz decorre a definição de ângulo 0 entre dois vetores não-nulos, representada por:

cos , y

x y y

(16)

Obs. Não se define ângulo entre vetores quando pelo menos um deles é ovetor nulo.

Outras definições complementares são também de interesse:

Def.9 - Dois vetores x e y são ortogonais se x y 0 ; logo, o ângulo entre

eles é2

.

Def.10 - Um conjunto de vetores de V é ortogonal se seus vetores foremortogonais dois a dois.

Def.11 - Um vetor x é dito unitário, ou versor , se x 1 .

Exemplo10 - No espaço das funções contínuas no intervalo [-1,1] com produto interno definido por:

1

1 g f t g t dt

(17)

os polinômios ( ) e ( ) 2 f t t g t 3t 1 são ortogonais, assim como asfunções ( ) cos e ( ) f t 2m t g t sen2n t , com m e n inteiros quaisquer.

4. Combinações lineares. Base e dimensão

Def.12 - um vetor x do espaço vetorial V é dito ser uma combinação lineardos vetores , ,1 n x de V se existirem escalares , ,...,

1 2 n tais que:


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1 2 n

1 2 n x x x x (18)

Def.13 - uma base de um espaço vetorial V é um subconjunto de V linearmente independente tal que todo vetor do espaço pode ser escrito deforma única como uma combinação linear dos vetores da base.

Existem infinitas bases em um espaço vetorial.

Def.14 - a dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetoreslinearmente independentes do espaço.

O espaço V é dito de dimensão finita se admitir uma base finita.

O teorema seguinte é apenas enunciado.

Teorema1 - Em qualquer espaço euclidiano:

i. Um vetor x é ortogonal a todo vetor do espaço se, e só se, x é o vetornulo.

ii. Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é linearmente independente.

Def.15 - Num espaço euclidiano, um conjunto ortonormal é um conjuntoortogonal de vetores unitários.

Exemplo10 - Considerando-se o produto interno definido por i i x y x y (i =1,...,n) , os vetores:

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1

2

n

x 1 0 0 0

x 0 1 0 0

x 0 0 0 1

(19)

são unitários e constituem uma base ortonormal para o n .

Os teoremas que seguem são enunciados sem demonstração:

Teorema2 - Todo espaço vetorial possui uma base.


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Teorema 3 - Num espaço de dimensão finita qualquer conjunto de vetores

linearmente independente pode ser estendido a uma base.

Corolário - Se V for um espaço de dimensão finita n então:

a) Qualquer conjunto de n + 1 vetores de V é linearmente dependente; b) Nenhum subconjunto de V contendo menos de n vetores pode gerar V.

Sendo com ( , , ),ie i 1 n uma base de V , qualquer vetor x do espaço dado

por 1 2 n1 2 ne e e pode ser escrito segundo uma notação indicial

na forma:i

i x e (20)

onde os i são as componentes de x na base ie , também denominadas, poruma razão que ficará clara mais adiante, componentes contravariantes.

Nota-se que na notação indicial, a repetição de índices no mesmo termo temo significado de somatória, sendo o número de parcelas igual à dimensão do

espaço. O índice repetido é denominado índice mudo. Aliás, para índicemudo pode-se adotar qualquer letra, de modo que segundo uma mesma baseo vetor x pode ser representado indiferentemente por:

i j k

i j k x e e e (21)

uma vez que todos os índices variam de 1 a n .

No caso de vetores diferentes, escritos cada um como combinação linear de

uma mesma base, é conveniente adotar letras diferentes para os índicesmudos. Entretanto, a notação indicial permite representar, por exemplo, umconjunto de m vetores escritos em função de uma mesma base de dimensãon, do seguinte modo:

j

i i j x a e com i = 1, ..., m e j = 1, ... , n (22)

O que é equivalente a:


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1 2 n

1 1 1 1 2 1 n

1 2 n

2 2 1 2 2 2 n

1 2 n

m m 1 m 2 m n

x a e a e a e

x a e a e a e

x a e a e a e

(23)

Decorre da definição 15 e do teorema 2 que todo espaço euclidiano dedimensão finita admite uma base ortonormal. Os vetores da base ortonormalverificam a condição:

i j ije e (24)

ou seja: se e sei j i je e 0 i j e e 1 i j . Essas condições são

resumidas na (24) pelo símbolo de Kronecker ij .

Em termos práticos, a base ortonormal pode ser obtida de uma baseortogonal dividindo-se cada vetor pela sua norma.

Sejam ie e f duas bases de V n (espaço vetorial de dimensão n). Então como

os j são vetores de V n, também eles podem ser representados por

combinações lineares dos ie :

i

j j iC e (25 a)

A mesma expressão pode ser colocada em forma matricial admitindo-se, porexemplo, que nas componentes iC o índice superior i está associado ao

número de uma linha da matriz C e o índice inferior j ao número de umacoluna. Nessas condições vale também a representação:

T

f C e (25 b)

sendo C interpretada como matriz de mudança de base.

Sendo, por outro lado, i e as componentes de um vetor x nas bases ie e

j , respectivamente, então:


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i j

i j x e f

Substituindo-se a relação (25 a), segue que:

j i i

j i i x C e e (26)

Como as componentes segundo uma mesma base são únicas, então:

i j i

jC (27 a)

ou ainda, matricialmente:

C (27 b)

Sendo a matriz C inversível e conhecidas as componentes i , vale escrever:

1C

ou D , com 1

D C

.

Em notação indicial:

j i j

i D (28)

Nota-se, portanto, que a variação das componentes de um vetor escrito na base ie para a base f se dá com o inverso da matriz que opera a mudança

dos vetores da base ie para os vetores da base j f . Segue daí a denominação

de componentes contravariantes.

A condição de que D e C são inversas uma da outra pode ser colocada emnotação indicial como:

i k k

j i jC D (29)

onde se fez uso, novamente, do símbolo de Kronecker , mais formalmentedefinido por:


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k

j

0 se k j

1 se k j

(30)

Observa-se que nos vetores a notação com índices superiores dascomponentes contravariantes é proposital e está para diferenciar dascomponentes covariantes, que se escrevem em relação a uma base dual e sãoidentificadas por um índice subscrito.

Um mesmo vetor pode então ser escrito segundo componentescontravariantes numa base natural ou covariantes numa base dual . Sendo ie

e j g versores das bases natural e dual, ambos se relacionam pela seguintecondição:

j j

i ie g (31)

Conclui-se, portanto, que por definição os versores da base dual obedecem auma relação de ortogonalidade em relação aos versores da base naturalregida pela (31).

O interesse pela base dual existe quando a base natural não é ortogonal,entretanto, nestas notas, por simplificação, admite-se que as bases naturaisadotadas sejam sempre ortonormais, de modo que as componentes naturais e duais se confundem. Nesse caso, o posicionamento dos índices nasrepresentações dos versores da base ou das componentes de vetores emrelação a elas torna-se irrelevante. Segue, por exemplo, que o símbolo deKronecker pode ser representado indistintamente com índices em posiçãomista, sobrescritos ou subescritos como: j jii ji .

Por outro lado, em função de sua propriedade o símbolo de Kronecker podefuncionar, numa dedução, como um trocador de índices, pois:

j i ij (32)

O mesmo símbolo serve, ainda, para indicar a soma dos elementos dadiagonal principal de uma matriz ( n n ) como segue:


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ij iiija a (33)

(nesse caso fica implícito que: )ii 11 22 nna a a a .

5. Produto vetorial e produto misto

O produto vetorial de dois vetores u e v é definido como a operação queapresenta as seguintes propriedades:

i. u v v u

ii. u v w u w v w u,v V ; ,

iii. u . u v v . u v 0

iv. 2

u v . u v u.u v.v u.v (34 a,b,c,d)

O resultado do produto vetorial é um vetor ortogonal ao plano definido por u e v, como indica a propriedade iii.

Em relação a uma base ortonormal de V , a operação produto vetorial édefinida por:

ijk i j k u v u v e (35)

onde ijk é o operador de permutação, que assume o valor +1 para uma

permutação cíclica ('horária') dos índices i, j e k , -1 para uma permutaçãoanti-cíclica e zero no caso de coincidência nos valores de quaisquer pares outripla de índices.

Escrevendo-se u e v em função de suas componentes na base ortonormal de

V i i j ju u e ; v v e e substituindo-se na relação anterior, conclui-se que:

i j ijk k e e e (36)

Realizando-se o produto interno da anterior por k e e por m ne e resultam,respectivamente:


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ijk i j k e e .e (37)

i j m n ijk mnp k pe e . e e e .e (38)

Da anterior seguem os seguintes casos particulares:

- se k = p

ijk mnk i j m n im jn in jme e . e e (39)

- se k = p e j = n

ijk mjk i j m j ime e . e e 2 (40)

- se k = p, j = n e i = m

ijk ijk 6 (41)

As duas últimas relações podem ser verificadas considerando o seguinte

desenvolvimento:

ijk mjk i 21 m21 i31 m31 i12 m12 i32 m32 i13 m13 i 23 m23

Tendo-se em vista a (34 d) e a (16), resulta a definição do módulo do produto vetorial:

2 2

2 2 2 2 2

u v u v . u v u.u v.v u.v

u v u v cos u,v

u v u v sen u,v

(42)

A relação do módulo do produto vetorial ao quadrado escrita emcomponentes fica dada por:


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2

ijk mnk i j m n

im jn in jm i j m n

i i j j i i j j

u v u v u v

u v u vu u v v u v u v

(43)

Seguindo um procedimento análogo é possível demonstrar que:

u v w u.w v u.v w (44)

Geometricamente o módulo do produto vetorial coincide com a área do paralelogramo definido por u e v. Assim, admite-se a denominação "vetor

área" para o vetor resultante do produto vetorial de dois vetores com móduloigual à área do paralelogramo por eles definido e com direção normal ao seu

plano.

O produto misto de vetores, simbolizado por: u v .w é definido pelaoperação:

1 1 1

ijk i j k 2 2 2

3 3 3

u v w

u v .w u v w u v w

u v w

(45)

O produto misto apresenta as seguintes propriedades:

i.

u v .w w u .v v w .u

v u .w u w .v w v .u u,v,w V

ii. u v w .d u w .d v w .d u,v,w,d V ; ,

iii. w. u v 0 se os vetores são linearmente dependentes.

O resultado do produto misto, em módulo, pode ser geometricamenteinterpretado como o volume do paralelepípedo de arestas alinhadas com u, v e w.


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6.

Formas lineares, bilineares e quadráticas

Chama-se forma linear em um espaço vetorial V toda aplicação f que a cadavetor x de V associa um único número real f(x), de modo que:

( ) ( ) ( ) x y f x f y ( ) ( ) x f x (46)

Uma forma bilinear é uma aplicação B que a cada par de vetores de V associa um único número real satisfazendo as seguintes condições:

( , ) ( , ) ( , ) B x y z B x z B y z

( , ) ( , ) B x y B x y ( , ) ( , ) ( , ) x y z B x y B x z ( , ) ( , ) , , B x y B x y x y z V R (47)

Uma forma bilinear é dita simétrica se:

( , ) ( , ) B x y B y x (48)

Seja B uma forma bilinear simétrica definida em um espaço vetorial V dedimensão finita. Define-se forma quadrática associada à forma bilinear comoa aplicação que a cada vetor x de V associa um único número real ( ) B x , demodo que:

( ) ( , ) B x B x x (49)

Uma forma quadrática se diz positivo-definida se:

( ) ( , ) 0 B x B x x (50)

7. Transformações Lineares em Espaços Euclidianos

Sendo U e V espaços vetoriais reais, uma função : F U V é dita umatransformação linear se vale a seguinte relação:

( ) ( ) ( ) F u v F u F v (51)


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onde , são números reais, u e v são vetores de U e ( ), ( ) F u F v são vetoresde V .

Exemplo 12 - Seja f uma função de em tal que: : 3 x x , então:

a)

( ) ( ) x f x b) ( ) ( ) ( ) x y f x f y

De fato:

( ) 3 3 ( ) x x x f x

( ) 3( ) 3 3 ( ) ( ) x y x y x y f x f y

A função f como definida acima é uma transformação linear de em .

Exemplo13 - Analogamente pode-se mostrar que a função f de em talque : 3 5 x x não é uma transformação linear de em .

Exemplo14 - Seja V o espaço vetorial das funções polinomiais f sobre ocorpo dos números reais, dadas por:

0 1

0 1:n

n x a x a x a x

Seja D o operador de derivação tal que:

1

1 2( ) : 2n

n D f x a a x na x .

Então D é uma transformação linear de V em V , ou seja, em um ponto x qualquer do domínio de f :

a)

[ ( ] ( ) D f x Df x b) 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) D f x f x Df x Df x

Voltando à consideração da (51), se V = R a transformação F é denominadaforma linear, ou funcional linear. O teorema da representação das formaslineares diz que dada uma forma F existe um único vetor a U tal que:

( ) . F v a v v U .


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Por outro lado, sendo x e y vetores de um espaço vetorial de dimensão finita,a uma forma bilinear B definida em V pode-se associar uma transformação

linear T , tal que:

( , ) . , x y T x y x y V (52)

8. Vetores e valores próprios

Seja T uma transformação linear num espaço vetorial de dimensão finita.Um vetor x do espaço que satisfaz a relação:

T x x (53)

é chamado vetor próprio da transformação. O escalar , que pode assumirvalores reais ou complexos, é chamado valor próprio, ou autovalor de T .

Existem alguns teoremas importantes no estudo dos autovalores. Os seusenunciados são aqui apresentados sem demonstração.

Teorema 4: Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Se T é umatransformação linear simétrica definida em V , então todos os seus

autovalores são reais.

Teorema 5: Seja T uma transformação linear num espaço vetorial dedimensão finita. O conjunto de auto-vetores de T correspondente aautovalores distintos é linearmente independente.

Teorema 6: Seja T uma transformação linear simétrica num espaço vetorialde dimensão finita. Existe em V uma base ortonormal relativa à qual a matrizde T é diagonal.

Teorema 7: Seja T uma transformação linear simétrica num espaço vetorialde dimensão finita. Auto-vetores de T associados a autovalores distintos sãoortogonais entre si.

Teorema 8: Seja V um espaço vetorial real euclidiano de dimensão três. Sejauma forma quadrática definida sobre versores 1 2 3, e f f de V e atransformação linear a ela associada. Então a forma quadrática passa por um


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mínimo 3 e por um máximo 1 , respectivamente nos versores 3 f e 1 f , onde

1 2 3 são os autovalores reais da transformação.

9.

Tensores de segunda ordem

Quando os espaços U e V forem um mesmo espaço vetorial, a transformaçãolinear : F V V é chamada de tensor.

Um tensor A de segunda ordem associa a um vetor arbitrário a outro vetor Aa. A transformação em questão é tal que:

a b Aa Ab (54)

O tensor nulo de segunda ordem O associa o vetor nulo ao vetor arbitrário a:

Oa 0 (55)

O tensor identidade I associa o vetor a à ele mesmo:

a a (56)

9.1 Produto Tensorial

O produto tensorial de dois vetores u e v de V é o tensor definido pelarelação:

( ) ( )u v w v w u (57)

onde w é um vetor de V .

Note-se que o produto tensorial é uma transformação linear de V em V , ouseja:

( )( ) ( ) ( )u v x y u v x u v y (58)

9.2 Base e componentes de um tensor

Seja V um espaço vetorial euclidiano de dimensão finita n, sendo ie versoresde uma base. O conjunto de tensores:


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/ , 1, ,i je e c i j n (59)

constitui uma base para o espaço dos tensores de segunda ordem.

A representação de um tensor T em componentes com relação à basetensorial pode ser escrita por:

/ , 1, ,ij i jT T e e c i j n (60)

Por outro lado, dado o tensor T , suas componentes em relação à basetensorial podem ser determinadas por:

. / , 1, ,ij i jT e Te c i j n (61)

9.3 Algumas Propriedades

O transposto de um tensor S representado por T S é o tensor que obedece aseguinte propriedade:

,T S u v u S v u v V . (62)

Um tensor é dito simétrico se T S S e é dito antissimétrico se T S S . Darelação (62) sendo S um tensor antissimétrico segue que:

,S u v u S v u v V (63 a)

No caso particular de u = v na relação anterior, resulta:

0S u u (63 b)

Decorrem da (57) e da definição (62):

a) ( ) . .( )u v w d w v u d

b) ( )T u v v u c) ( )( ) ( . )( )u v c d v c u d d) ( ) ( ) L u v Lu v


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e) ( ) , , , ,T u v L u L v u v c d w V (64 a,b,c,d,e)

Outras relações de interesse envolvendo transposto de um tensor são asseguintes:

a) ( )T T T S T S T

b) T T S S

c) T T T ST T S

d) T T S S (66 a,b,c,d)

Todo tensor pode ser decomposto, de forma única, como a soma de sua partesimétrica e outra antissimétrica, as quais são definidas, respectivamente, por:

12 ( )

T U F F 12 ( )

T W F F (67 a,b)

onde F U W . Como conseqüência: v Fv v Uv .

O traço de um tensor é a aplicação que a cada tensor associa um número real

definido por:

( )tr u v u v (68)

O produto interno entre dois tensores S e T é o número real representado por(S.T ) e obtido pela seguinte operação:

. T S T tr S T (69)

A norma de um tensor é o número real não-negativo determinado por:

1 2

.S S S (70)

A norma obedece às seguintes propriedades:

a) S v S v

b) SF S F


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c) S G S G

d) u v u v (71 a,b,c,d)

O determinante de um tensor S é o determinante da matriz que reúne suascomponentes em relação à uma base qualquer:

det det[ ]S S (72)

Em termos das componentes do tensor S , a relação anterior pode ser escritana forma:

ijk pqr ip jq kr 1det S S S S 6

(73)

Levando-se em conta que ijk ijk 6 , pode-se ainda escrever:

ijk pqr ip jq kr det S S S S (74)

Com as relações anteriores pode-se concluir que:

3det det

det det

det ( ) det det

det 1

T S S

S S

B A B

I

(75 a,b,c,d)

Se det 0 o tensor é inversível e, portanto, existe 1 tal que:

11

det det A

(76)

Com a relação anterior, pode-se mostrar que:

1 1 1 B B A

(77)

Uma interpretação geométrica para o determinante de um tensor de segundaordem pode ser obtida mediante o produto misto, o qual, como já foi visto,representa o volume de um paralelepípedo.


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Um tensor T que atua sobre os vetores que concorrem no produto misto

transforma linearmente o paralelepípedo envolvido em outro cujo volume édeterminado por:

pqr pi i qj j rk k ijk i j k v T u T v .T w T u T v T w u v w detT (78)

Assim sendo:

T u T v .T wvdetT

V u v . w

(79)

Em aplicações de interesse, particularmente quando T representa um tensorde deformação, é comum impor a restrição que det T > 0, isto é: adeformação não implica em inversão do volume inicial. Nessas condições,os sinais de módulo na relação anterior podem ser suprimidos.

Em outro caso particular, quando w u v segue que:

T T u T v .T u v T T u T v . u vdetT u v . u v u v . u v

(80)

ou ainda,

T detT u v . u v T T u T v . u v (81)

de onde resulta:

1

T T u T v detT T u v

(82)

9.4 Invariantes de um tensor de segunda ordem

As propriedades do produto misto permitem mostrar que dado um tensor desegunda ordem T arbitrário e duas bases também arbitrárias definidas pelosvetores (u,v,w) e (l,m,n) valem as seguintes relações:


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T u v .w u Tv .w u v .Tw T l m .n l Tm .n l m .Tn

u v . w l m .n

T u Tv .w u Tv .Tw T u v .Tw T l T m .n l Tm .Tn Tl m .Tm

u v . w l m .n

Tu Tv .Tw Tl Tm .Tn

u v . w l m .n

(83 a,b,c)

Das relações anteriores, nota-se que o resultado numérico de cada igualdade

é o mesmo independente da base adotada e, por isso denominado invariante.Respectivamente para as relações (83 a,b,c) os invariantes são representados por 1 I , 2 I e 3 I .

Formalmente, invariantes são aplicações que fazem corresponder a umtensor de segunda ordem um único número real, independente da baseescolhida para representá-lo. Dado um tensor qualquer A, os invariantes

podem ser definidos pelas seguintes operações:

1 iitr A A

2 2

2

1 1( )

2 2 ii ij ji I tr A tr A A A A A

3 det A (84 a,b,c)

Da (84 a) segue que:

T tr A tr A

tr AB tr B A (85)

Da (84 c) pode-se concluir que:

det detT A (86)

Admitindo-se que um tensor A seja definido pelo produto tensorial de doisvetores arbitrários u e v, isto é: u v , as relações (83) e as definiçõesdos invariantes permitem concluir que o segundo e o terceiro invariantes deA se anulam e:


24/61



.

det 0

tr u v u v

u v

(87 a,b)

A partir de uma representação matricial para o tensor A cuja base é definidaa partir de uma base de versores ie , pode-se mostrar que o primeiroinvariante (traço) coincide com a soma dos elementos da diagonal principal.O segundo invariante coincide com a soma dos determinantes menores deordem dois e o terceiro invariante é dado pelo determinante da matriz dotensor.

Do anterior decorre uma propriedade útil em algumas aplicações de

interesse, que consiste na derivada do determinante de um tensor em relaçãoa um escalar.

Nesse sentido, seja T um tensor inversível que depende de um parâmetro real . Segue da (79) sucessivamente que:

u v . w detT T u T v .T w (88 a)

d d d u v . w detT T u T v .T w T u T v .T wd d d

d T u T v . T w

d

(88 b)

Introduzindo o tensor 1d

B T T d

, oud

BT T d

, a anterior assume a

forma:

d u v . w detT BT u T v .T w T u BT v .T wd

T u T v .BT w

(89)

Considerando que Tu, Tv e Tw são vetores e com a (83 a) e a definição do primeiro invariante, resulta:


25/61



d

u v . w detT tr B T u T v .T w tr B detT u v .wd

(90)

Conclui-se, finalmente, que:

1d d T

detT detT tr T d d

(91)

9.5 Vetores e valores próprios de um tensor de segunda ordem

Seja A um tensor de segunda ordem arbitrário. Um vetor x é um vetor próprio de A se existe um escalar λ que satisfaz a relação:

ou 0 Ax x A I x (92)

O escalar pode assumir valores reais e é chamado valor próprio, ouautovalor de A.

Por outro lado, diz-se que λ é um autovalor de A se satisfaz a equação

característica:

det 0 A I (93)

Em forma expandida, a equação característica pode ser representada naforma:

3 2

1 2 3 I I 0 (94)

onde e1 2 3 I ,I I são invariantes do tensor A.

Um tensor simétrico S possui três autovalores reais e1 2 3 , e três vetores

próprios e1 2 3e ,e e , ou autoversores, que compõem uma base ortonormal.Aplicando a (59) os autoversores constituem uma base segundo a qual otensor S pode ser escrito tendo os autovalores como componentes:

1 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (95)


26/61



A forma anterior é denominada representação espectral do tensor simétrico.

Explorando essa representação, os invariantes dados pelas (62) assumem asseguintes expressões:

1 1 2 3 I tr S

2

2 1 2 1 3 2 3

1

2 ii ij ji I S S S

3 1 2 3 1 2 3ijk i j k I S S S (96 a,b,c)

Um tensor é dito positivo-definido se:

a Sa 0 a 0 (97)

Um tensor simétrico positivo-definido possui autovalores positivos. Nessacondição, pela (69 c) det S > 0 e, portanto, S é inversível. A representaçãoespectral do tensor inverso é dada por:

1 1 1 11 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e (98)

Um tensor antissimétrico possui pelo menos um autovalor não-nulo.

9.6 Relação entre um tensor antissimétrico e o produto vetorial

É possível associar a um vetor a do produto vetorial um tensorantissimétrico A tal que:

com ev a v a V A LinV (99 a)

Adotando-se uma base ortonormal k e , em forma indicial a relação anterior passa a ser dada por:

ik k ijk j k v a v (99 b)

Segue ainda que:


27/61



2 2ik ijk j

ikm ik ikm ijk j ikm ikj j jm j m

A a

a a a a

(100)

As relações anteriores permitem determinar as componentes do tensor A e dovetor a umas em função das outras. Tais relações escritas em notaçãomatricial são dadas, respectivamente, por:

32 23

3 2

3 1 13 31

2 1

21 12

1

201

0 ;

20 1

2

A Aa a

A a a a A A

a a A A

(101)

Em particular, se o vetor a se apóia no eixo 3 ( 3a a ) resulta:

0 0

0 0

0 0 0

a

A a

(102)

Nota-se uma correspondência válida em três dimensões: o número decomponentes independentes de a e de A coincidem. Em geral, diz-se que a éo vetor associado ao tensor A e A é o tensor do vetor a.

Um exemplo da utilização do conceito de "vetor de tensor" apresenta-se narelação seguinte:

e s a sT v T v T v T v a v v V T LinV (103)

onde sT é a parte simétrica de T , aT a parte antissimétrica e a é o vetor deaT .

9.7 Tensor Ortogonal

Sejam x e y dois vetores quaisquer de V transformados por um tensor Q detal modo que:


28/61



x Q x ; y Q y ; x x ; y y (104)

Observa-se que o tensor Q assim definido preserva o produto interno devetores, ou seja:

x y x y (105)

De outro modo, pela (16), o ângulo entre x e y se mantém entre e y .

Ainda da (100):

T x y x y Q x Q y Q Q x y . (106)

Logo, pode-se concluir que T Q Q I , ou que 1T Q Q . O tensor Q échamado de Tensor Ortogonal .

Considere-se a ação de um tensor ortogonal sobre um dos versores de uma base ortonormal:

* j je Qe (107)

Assim, explorando as (56) e (57) pode-se concluir que o tensor ortogonal pode ser escrito numa base mista da seguinte forma:

* *; T i i i iQ e e Q e e (108 a,b)

Por outro lado, conhecidos os versores * ei ie e , as componentes do tensor

ortogonal na base i je e podem ser calculadas mediante as seguintes

relações:

* *

* *

. . cos ,

. . . cos ,

i j i j i jij

T T

i j i j j i j i jiij

Q e Qe e e e e

Q e Q e Qe e Q e e e e

(109 a,b)

Ainda, se detQ 1 o tensor ortogonal é dito próprio e efetua, conforme semostra em seguida, rotação em torno de pontos ou de eixos que passam por


29/61



esses pontos (eixo de rotação). Se detQ 1 o tensor ortogonal é ditoimpróprio e efetua tanto rotação quanto reflexão de eixos em relação a

planos perpendiculares a estes eixos.

Para mostrar que o efeito do tensor ortogonal próprio sobre um vetor podeser interpretado como uma rotação do vetor em torno de um eixo,inicialmente considera-se a seguinte identidade:

T T Q Q I Q I (110)

Operando-se o determinante em ambos os lados da igualdade, encontra-se:

det Q I 0 (111)

Comparando-se a relação anterior com a (66), conclui-se que o tensor Q possui um autovalor unitário e, portanto:

T Q p Q p (112)

Admitindo-se que p seja um versor, pode-se acrescentar a ele dois outros

versores, q e r , e compor uma base ortonormal. Explorandoconvenientemente a propriedade (112) e com a condição de ortogonalidadeentre os versores dessa base, conclui-se que Qq e Qr são ortogonais ao vetor

p e estão contidos no mesmo plano do par (q, r ). Nessas condições, valem asrelações:

;Qq q r Qr q r (113)

Pela ortogonalidade inicial entre q e r e com a propriedade (106) do tensor

Q, conclui-se ainda sobre a ortogonalidade entre Qq e Qr , e que ambos sãoversores, isto é:

0; 1Qq Qr Qq Qr (114)

Sendo detQ 1 , da (79) pode-se escrever a igualdade:

q r Qp Qq Qr (115)


30/61



Seguem, das (109) e (110), substituindo-se nelas as definições dadas pelas(108), as seguintes relações entre os parâmetros , , e :

2 2

2 2

1

1

0

1

(116 a,b,c,d)

As relações anteriores garantem a existência de um ângulo θ definido no plano q-r tal que: cos e en .

Por outro lado, com os pares de versores da base (p,q,r) pode-se gerar uma base tensorial e em relação à ela escrever o tensor Q nos moldes descritos pela (60), isto é:

pp pq pr

qp qq qr

rp rq rr

Q Q p p Q p q Q p r

Q q p Q q q Q q r

Q r p Q r q Q r r

(117)

As componentes de Q podem ser determinadas conforme indica a relação(61) e escritas em função de , , e . Nessas condições, considerando-seque cos , en e aplicando-se as (113), a (117) assumeuma forma mais simplificada:

cosQ p p q q r r sen q r r q (118)

Em notação matricial o tensor de rotação descrito pela (118) fica

representado por:

1 0 0

Q 0 cos sen

0 sen cos

(119)


31/61



Aplicando Q sobre os versores q e r , conclui-se, conforme ilustra a Figura 1,que o efeito é o de uma rotação de um ângulo θ em torno da direção definida

por p:

0 1 0 0 0 0

q 1 Q q 0 cos sen 1 cos

0 0 sen cos 0 sen

(120)

0 1 0 0 0 0

r 0 Qr 0 cos sen 0 sen

1 0 sen cos 1 cos

(121)

(det Q =1)

q

r

p

(det Q = -1)

*

p*

q*

r *

p =

+

Figura 1 – Interpretação do tensor de rotação sobre uma base

Para fins de interpretação geométrica do efeito da aplicação do tensor Q sobre um vetor x qualquer, considere-se um ponto O para origem em relaçãoà qual é posicionada a base (p,q,r) e também para origem de vetoresrepresentados geometricamente no espaço tridimensional correspondente. Aaplicação de Q sobre x leva ao seguinte vetor:


32/61



cos cos p q r q r y Qx x p x x sen q x sen x r (122)

onde: ; ; . p q r x x p x x q x x r

Analisando a (122), e em particular as componentes do vetor y em relação à base (p,q,r), nota-se, em primeiro lugar, que a componente segundo p é amesma do vetor x segundo aquele mesmo versor. As outras componentesencontram-se no plano q-r .

A

r

q

x

Qx

A'

yq

yr

xq

xr

xQx

p

qr

q

o

o'

Figura 2 – Interpretação geral do tensor de rotação

A Figura 2 ilustra uma interpretação geométrica para o efeito do tensor derotação sobre um vetor x. Na representação espacial claramente pode-seconcluir que a componente de x e de Qx é a mesma em relação ao eixo p. Na

projeção no plano q-r , destacam-se as componentes de Qx, que segundo ageometria indicada podem ser facilmente determinadas pelas relações:


33/61



cos

cos cos sen sen

cos sen

q

q r

y Qx

x

x x

(123 a)

sen

sen cos sen cos

cos sen

r

r q

y Qx

x

x x

(123 b)

Nota-se que as relações anteriores aparecem na (122), validando ainterpretação geométrica proposta.

Pode-se, finalmente, com o auxílio da Figura 2, determinar as seguintesrelações para o cálculo das componentes e m do deslocamento do ponto A (posicionado pelo vetor x) respectivamente nas direções de q e r :

cos 1 sen

cos 1 sen

q q q r

r r r q

x y x x

m y x x x

(124)

Em notação matricial a relação anterior fica expressa como segue:

cos 1 sen

sen cos 1q

r

x

m

(125)

Incluindo a componente segundo p, o deslocamento do ponto A ficaexpresso por:

cos 1 sen 0

sen cos 1 0

0 0 1

q

r

p

x

m x

p x

(126)

Existe uma relação entre um tensor ortogonal Q e um tensor antissimétricoA dada por:


34/61



21 1

2! ! A nQ e I A A A

n (127)

Observa-se que sendo A antissimétrico:

1T T A AQ e e Q (128)

A (127) pode ser entendida como uma função de argumento tensorial e valortensorial. Além disso, ela apresenta a propriedade de isotropia.

Diz-se que uma função tensorial ( ) H F T apresenta isotropia se:

( )T T T QHQ QF T Q F QTQ (129)

sendo Q um tensor ortogonal. No caso da relação (127 ), tem-se que H e e:

2

2

1 1

2! !

1 12! !T

T A T n T

T T T n T

I

QAQ

QHQ Qe Q Q I A A A Qn

QIQ QAQ QA Q QA Qn

e

(130)

Funções tensoriais isotrópicas podem ser construídas a partir de funçõesanalíticas. Assim, a (127) resulta de:

21 112! !

x ne x x xn

(131)

Por outro lado, substituindo-se na matriz do tensor ortogonal (119) osseguintes desenvolvimentos em série:

3 5 7

3! 5! 7! sen

(132 a,b)

2 4 6

cos 12! 4! 6!


35/61



e após separar a soma de matrizes e compará-la com a (127) , conclui-se

que:

0 0 0

A 0 0

0 0

(133)

Em notação tensorial:

q r r q

(134)

9.9 Relação entre as componentes de um tensor de segunda ordem numamudança de base

Há várias situações em que grandezas vetoriais e tensoriais em geral precisam ser referenciadas a bases que diferem entre si por uma rotação. Nesses casos há interesse em relacionar as componentes daquelas grandezasescritas segundo as diferentes bases.

Sejam, então, ie e je as bases em questão, cujos versores se relacionam poruma rotação mediante as relações:

j k j k e Q e (135)

ou

e Qe (136)

Certo vetor u pode ser escrito nessas bases pelas relações:

i i j ju u e u e u (137)

Levando-se em conta a relação entre os versores das bases:

k j k ij j iu u Q e Q u e (138)


36/61



Segue da anterior a relação entre as componentes do vetor u:

T

j ij iu Q u u Q u (139)

ou

u Qu (140)

No caso de um tensor de segunda ordem T , o mesmo pode ser escritosegundo duas bases tensoriais como:

ij i j kl k l T t e e t e e (141)

Considerando a relação de rotação entre os versores das bases segue que:

kl mk m nl n kl mk nl m n mn m nT t Q e Q e t Q Q e e t e e (142)

Entre as componentes do tensor vale, portanto, a relação:

mn mk kl nl t Q t Q (143)

ou, matricialmente

T T QT Q (144)

ou

T T Q T Q (145)

Assim, um tensor de segunda ordem numa mudança de base deve obedecer aregra anterior.

Uma conclusão importante resulta do cálculo dos autovalores do tensor T :

det det 0T T I Q T Q I (146)

Explorando uma propriedade do determinante segue que:


37/61



det det

det det det det 0

T T T

T T

Q T Q I Q T Q Q I Q

Q T I Q Q T I Q

(147)

Finalmente, conclui-se que:

det det 0T I T I (148)

Ou seja: λ é também autovalor para T .

10. Diferenciação em Espaços Vetoriais

Seja g uma função com domínio num intervalo aberto R e cujos valores podem ser escalares, vetores ou tensores 1. Sendo α um escalar que defineuma vizinhança em torno de um ponto t do domínio, a derivada de g em t ,( g ), é definida por:

0

1( ) lim

d g t g t g t g

dt

(149)

A definição de derivada e o conceito de parcela de ordem superior implicamem que se pode escrever o valor da função em torno de t como:

( ) ( ) g t g t g t (150)

isto é, um termo linear em mais um termo de ordem superior, ou quetende a zero mais rapidamente do que o termo linear quando 0 .

Pode-se ainda interpretar que a derivada é uma aplicação (linear) que, para

pequeno, permite aproximar a variação g t g por um termolinear no acréscimo. Esse conceito pode ser generalizado, como se verá emseguida, para as aplicações em que o domínio está definido num espaçovetorial.

Por outro lado, observando a consistência dimensional em cada parcela da(150), conclui-se que a derivada de uma função de valor vetorial é um vetore de uma função de valor tensorial é um tensor.

1 g(x) denota o valor de g em x.


38/61



Em Mecânica do Contínuo, porque aos pontos materiais serão associadosvetores de posição, as aplicações que fazem corresponder aos pontos valores

escalares, vetoriais ou tensoriais de interesse terão como argumentos vetorese serão referenciadas não como funções, mas sim como campos escalares,vetoriais ou tensoriais, respectivamente.

Sejam, então, V e U espaços vetoriais normados e f uma aplicação definidanuma região em V e com valores em U. Generalizando o conceito de parcelade ordem superior, diz-se que a medida de f(v) aproxima-se de zero maisrapidamente que a medida de v, ou é de ordem superior nessa medida( ( ) ( ) / 0 f v v p v ) se:

00

( )lim 0vv

f v

v

. (151)

Considerando-se, então, uma aplicação f sobre V que leva a valores em U eseja W um subconjunto aberto em V . Então, : f W U é diferenciável em x W na direção do vetor u se existir uma transformação linear

( ) : Df x V U tal que:

( ) / 0 f x u f x Df x u u p u (152)

Em particular ( ) D f x u é a parcela linear no acréscimo e define o conceitode derivada direcional.

No sentido de estender o papel da derivada expresso na (149) para este caso,considere-se uma vizinhança de x na direção de u definida com o auxílio deum escalar , na forma: u . Então, para x e u fixos, tem-se que:

*( ) ( ) f x u f (153)

Pode-se, agora, desenvolver a (153) em série em torno de :

* * *0

0 ( )d

f f f d

(154)


39/61



Substituindo-se esse resultado na (153) e truncando o desenvolvimento emsérie no termo linear em , aquela relação passa a ser escrita como:

0

( )d

f x u f x f x ud

(155)

Para o confronto com a anterior é interessante reescrever a (152) na seguinteforma:

f x u f x Df x u (156)

Segue da comparação entre a (156) e a (155) que:

0

d f x u Df x u

d

(157)

Diz-se que a relação anterior define a derivada direcional de f e exprime a parte linear do acréscimo de f conforme indica a (152).

Em cada caso, pode-se determinar a parte linear do acréscimo ou poraplicação da definição dada pela (152) ou por aplicação direta da (157).

Como exemplo para o cálculo da parcela linear no acréscimo, seja :V R dada por: ( ) .v v v . Então, pelo conceito de diferenciabilidade:

( ) / 0v u v D v u u p u

Para determinar a parcela linear no acréscimo, considere-se o

desenvolvimento de ( )v u pela definição da aplicação dada:

( ) ( ).( ) . 2 . .v u v u v u v v v u u u

( ) ( ) 2 . .v u v v u u u


40/61



Pode-se mostrar que u.u é de ordem superior quando 0u , ou seja,

verifica a condição: 00

.

lim 0uu

u u

u .

De fato, pela desigualdade do triângulo:.

.u u

u u u u uu

, logo o

limite indicado na condição é igual à zero. Assim sendo,

( ) 2 . D v u v u

Por outro lado, ao mesmo resultado anterior pode-se chegar aplicando-se a

definição (157). Segue, então, que:

2( ) . 2 . .v u v v v u u u

0

( ) 2 . 2 .

( ) 2 .

d v u v u u u

d d

v u v ud

Uma observação importante é que no caso analisado ( ) D v u é uma formalinear, pois é uma função de valor escalar ( :V R ). Pode-se, portanto,aplicar o teorema da representação das formas lineares e representar odiferencial na forma do produto interno do vetor u por outro vetor:

( ) . ( 2 . ) D v u u v u (158)

Onde (.) é o operador gradiente que associa a cada um vetor ;claramente neste caso: 2v .

A derivada direcional satisfaz as propriedades usuais de derivadas, quaissejam as regras do produto e da cadeia, a serem vistas mais adiante.

11.

Gradiente e divergente

Considerem-se aplicações gerais definidas num subconjunto aberto de V (umespaço vetorial associado ao espaço de pontos) e que podem ser campos


41/61



escalares, vetoriais ou tensoriais. O conceito de derivada direcional, oudiferenciabilidade, estendido a essa situação geral enseja a introdução dos

operadores gradiente e divergente.

Num primeiro caso, considere-se como um campo escalar. Então:

( ) / 0 x u x D x u u p u

e ( ) D x é uma aplicação linear de V em R . De fato, como já visto, peloteorema da representação das formas lineares ( ) D x u pode ser escrito comoo produto interno vetor u pelo vetor gradiente, ( ) x V :

( ) . D x u u (159)

Noutro caso, se v é um campo vetorial, escreve-se:

( )v x u v x Dv x u u

e ( ) Dv x é uma transformação linear de V em V , ou seja, um tensor. Neste

caso, representa-se essa transformação por ( )v x , lendo-se gradiente de v em x, de modo que:

( ) ( )tensor

Dv x u v x u (160)

Se T é um campo tensorial, escreve-se:

( )T x u T x DT x u u

e ( ) DT x é uma transformação linear de V no espaço dos tensores desegunda ordem, ou seja, um tensor de terceira ordem. Neste caso, representa-se essa transformação por ( )T x , lendo-se gradiente de T em x, de modoque:

32

( ) ( )aa tensor ordemtensor ordem

DT x u T x u

(161)


42/61



Por definição, dado um campo vetorial regular V associado ao espaço pontual euclidiano, o campo escalar:

( )divv tr v (162)

é chamado divergente de v.

Por outro lado, o divergente de um tensor de segunda ordem pode ser obtido pela contração primeira do gradiente desse tensor, sendo essa operaçãorepresentada por:

divT T I (163)

Nota-se que na relação anterior T é um tensor de terceira ordem.

Com a relação (163) pode-se ainda escrever:

divT h T I h (164)

Outras relações de interesse envolvendo T e divT são as seguintes:

divT v h T I v h T v h (165)

divT v T v (166)

De fato, a última igualdade pode ser demonstrada a partir do seguintedesenvolvimento em componentes:

ns i j k n s p pijk

p ns jn ks i pijk

p kj i pijk

T I h T e e e e e h e

T h e e

T h e e


43/61



p i j k pijk

p kp i jijk

p kp i jp pijk

p kj i pijk

T h T h e e e e

T h e eT h e e

T h e e

(167)

Pelas definições anteriores, observa-se que o gradiente eleva a ordem doargumento e o divergente diminui. Assim, por exemplo, sucessivamente ogradiente de um escalar leva a um tensor de primeira ordem e o gradientedesse tensor leva a um tensor de segunda ordem. Ao contrário, o divergente

de um tensor de segunda ordem leva a um tensor de primeira e uma novaaplicação do divergente leva a um escalar (tensor de ordem zero).

12. Regras do produto e da cadeia

Freqüentemente é necessário computar a derivada da operação 'produto' deduas funções cujos argumentos e valores pertencem a espaços vetoriaisnormados. O 'produto' pode ser representado mediante operações bilinearesdiferentes, de acordo com os tipos de espaços envolvidos, como porexemplo:

( , )

( , ) .

( , )

( , )

( , )

rod v v

rod u v u v

rod u v u v

rod S v Sv

rod S S

(165)

Em termos gerais a operação produto pode ser simbolizada por:

:rod F G W (166)

onde F, G e W são espaços normados de dimensão finita e prod é bilinear.

Assim, sendo : D F e : g D G , então ( , ) :h prod f g D W é umaoperação bilinear definida por:


44/61



( ) ( ), ( )h x prod f x g x x D (167)

com D um subconjunto aberto de um espaço vetorial de dimensão finita U .

Regra do produto: sejam f e g diferenciáveis em x D . Então o produto( , )h prod f g é diferenciável em x e

( ) ( ) ( )

( ), ( )

( ) ( ) , ( ) ( )

( ), ( ) ( ), ( ) ( ) , ( )

h x u h x D h x u u D

prod f x u g x u

prod f x Df x u g x Dg x u

prod f x g x prod f x Dg x u prod Df x u g x

\

( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) D h x u prod f x Dg x u prod Df x u g x u D (168)

Exemplificando numa situação mais específica, com o produto simples defunções, a (168) resulta partindo das condições de diferenciabilidade de f e

g :

( )

( )

x u f x Df x u u

g x u g x Dg x u u

E, portanto, da bilinearidade da operação produto:

( ) ( ) ( ) ( )

h x u f x u g x u

f x g x f x Dg x u Df x u g x u

sendo que os termos de ordem superior existem uma vez que:

1( ) Df x u k u e 2( ) Dg x u k u .

Para o caso em que U = R, da regra do produto decorrem:


45/61



( )

( . ) . .

( )

v v v

v w v w v w

u v u v u v

(169)

( )

( )

Sv S v S v

S S S

onde o ponto indica derivada simples em relação a um escalar.

Regra da cadeia: seja g diferenciável em x D e f diferenciável em( ) y g x . Então a composição h f g é diferenciável em x e

( ) ( ) ( ) Dh x D f y dg x

ou,

( ) ( ) ( ) Dh x u D f g x Dg x u u D (170)

De fato,

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

h x u h x D h x u u D

f g x u

f g x Dg x u

f g x Df g x Dg x u

Supondo, em particular, U R então, escrevendo t em lugar de x:

( ) ( ) ( )d

g t Df g t g t dt

(171)

Voltando à regra do produto, ela permite deduzir uma série de relações deinteresse entre gradientes e divergentes de campos escalares, vetoriais etensoriais e o gradiente do produto desses campos.


46/61



Seja v V campo vetorial, uma relação para ( )v , com um campoescalar, pode ser deduzida a partir da aplicação da regra do produto. De fato,

por um lado:

( )h v x h x v x D v h h

Por outro lado,

( )

( )

( )h

x h v x h x D h v x D v h h

x v x x D v h D hv x D hD v h h

Comparando-se as duas formas, em particular os termos lineares noacréscimo h, resulta:

( ) ( )vetor vetor escalar

D v h Dv h D hv

( ) .v h vh h v

vh v hv v h

v v v (172)

Aplicando-se a definição (162) do divergente de um campo vetorial, resulta:

.

div v tr v v

tr v v

( ) .div v div v v (173)

Seja, agora, um campo escalar definido pelo produto interno de dois camposvetoriais u e v. Uma relação de interesse envolve .u v , sendo obtida,analogamente como procedido anteriormente, do seguinte desenvolvimento:


47/61



. ) . . ( )

. ) . ( )

u x h v x h u x v x D u v h h

u x h v x h u x D u h v x D v h h

( . ) .( ) .

( . ). . .

. .

escalar vetor vetor

T T

D u v h u Dv h Du h v

u v h u v h v u h

v u h u v h

. T T u v v u u v (174)

Considerando-se um campo vetorial obtido pela aplicação de um campotensorial S sobre um campo vetorial v, as relações para S v e div S v

podem ser obtidas do seguinte desenvolvimento:

( )

( )

S x h v x h Sv D Sv h h

S x h v x h S x D S h v x D v h h

( ) ( )

( )

vetor vetor tensor

D Sv h S Dvh DS h v

Sv h S v h Sh v

Empregando-se a (165), resultam:

( )

( )

( )

Sv h S v h S I v h

Sv h S v h divS v h

Sv S v divS v

(175)

Explorando, mais uma vez, a relação entre o traço do gradiente de um campovetorial e o divergente, da relação anterior obtém-se:

[ ( )] ( )tr Sv tr div S v tr S v


48/61



( ) . . .T div S v div S v tr S v div S v S v (176)

Da relação anterior também se pode concluir que para qualquer vetor a dado,o divergente de um campo tensorial S é o único campo vetorial com a

propriedade:

. ( )divS a div S a a V (177)

Nota-se que o resultado da operação anterior é um escalar. Assim, como S a é um campo vetorial, a operação ( )div Sa é uma forma linear em V 2, a qual

pode ser representada pelo produto interno de a pelo vetor divS de V .

Considerando agora o produto entre um campo escalar e outro tensorial,também se pode mostrar que:

( )

( )

S x h S D S h h

x h S x h x D h S x DS x h h

( ) ( )tensor tensor escalar

D S h D S h D h S

S h S h h S

(178)

O desenvolvimento em componentes permite concluir pela validade daseguinte relação:

S u h u h S (179)

Com a (179), a (178) passa a ser escrita na forma:

S h S h S h

S S S

(180)

2 Dado a Є V a operação div(S a) associa um escalar.


49/61



Explorando a definição (163) e observando que:

S I S (181)

da (179) resulta:

( )

S I SI S I

div S divS S

(182)

Observa-se que a (181) pode ser demonstrada a partir de sua forma emcomponentes:

ij pm i j k p mk

ij pm j k p m ik

ij pm jp km ik

ij i j

ij i j k k

ij jk ik

ij i j

S I S e e e e e

S e e e e e

S e

S e

S S e e eS e

S e

(183)

Uma última relação de interesse resulta do produto tensorial entre doiscampos vetoriais:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x h v x h u v D u v h h

u x h v x h u x Du x h v x Dv x hu x v x u Dv x h Du x h v h

( ) ( ) ( )

( )

D u v h u Dv x h Du x h v

u v h u v h u h v


50/61



Novamente, um desenvolvimento por componentes permite demonstrar asigualdades:

u vh u v h

u h v u v h

Resulta que:

( )u v u v u v (184)

Explorando a (163), pode-se obter:

( )

( )

( )

u v I u v I u v I

div u v I v u u v

div u v div v u u v

(185)

Na dedução anterior empregou-se a igualdade, que pode ser demonstradamediante seu desenvolvimento em componentes:

u v I u v (186)

13. Cálculo das componentes do gradiente e do divergente de camposescalares, vetoriais e tensoriais

Seja uma base fixa (ou invariável) em V e um campo regular de naturezaescalar, vetorial ou tensorial. Então, definindo-se o acréscimo por um vetor h alinhado com o versor k e da base, pode-se escrever que:

( ) / 0k k h

x e x D x e p

(187)

Portanto,


51/61



0

1limk k D x e x e x

(188)

O escalar pode ser interpretado como a componente do vetor acréscimosegundo a direção definida pelo versor k e , ou seja: .k k h h e . Além disso,se a base está atrelada a um sistema cartesiano adotado, segundo os versoresda base definem-se as coordenadas cartesianas k x . Nessas condições o limiteindicado na (181) exprime uma derivada parcial (direcional) de emrelação a k x :

k

k

x

D x e x

(189)

O conceito geral expresso pela (189) pode ser usado para o cálculo dascomponentes do gradiente e do divergente de campos escalares, vetoriais outensoriais.

Num primeiro caso, considere-se que seja um campo escalar regular.Então, k D x e fica representado por um produto interno entre o gradiente

do campo escalar ( ) e o versor da base. Assim sendo, a derivadadirecional fornece as componentes desse gradiente:

. ( )k k k k escalar

D x e e x

(190)

Conhecidas suas componentes num espaço de dimensão n, o vetor podeser representado pela seguinte combinação linear dos versores da base:

1 2

1 2

k n

k n

e e e e x x x x

(191)

Sendo, agora, v um campo vetorial regular. Segue a seguinte relaçãoentre a derivada direcional e o gradiente do campo vetorial:

k k

k vetor

v D x e ve

(192)


52/61



Como v é um tensor, empregando a relação (61) suas componentes obtêm-

se do seguinte desenvolvimento:

( )( ) . . .

( . )

ji

j j

ik i k i i

k k

j i j i

k k

v evv e v e e e

x x

v ve e

x x

(193)

Uma vez conhecidas suas componentes o tensor v pode ser representado

pela seguinte combinação linear dos tensores da base:

( ) , 1, ,ik i k v v e e i k n (194)

Com a (168) pode-se exprimir a relação para o cálculo do divergente docampo vetorial:

( )

( ) .

ik i k

i i

ik i k ik ik i

divv tr v tr v e e

v v

v e e x x

(195)

Noutra situação, considere-se S como um campo tensorial regular.Explorando a relação (163), podem-se obter expressões para S e divS . Partindo de

k k k

S D S x e S x e

(196)

por um lado tem-se que:

k ijl i j l k

ijl i j lk ijk i j

S x e S e e e e

S e e S e e

Por outro lado, introduzindo a representação de S em componentes, segueque a (196) assume a representação:


53/61



ij

ijk i j i jk

S S e e e e

x

Portanto, conclui-se que as componentes do tensor de terceiraordem S podem ser determinadas por:

i j

ijk

k

S S

x

(197)

Empregando-se agora a definição do divergente de um tensor de segundaordem dada pela (163), pode-se deduzir uma expressão para divS :

ij i j k mn m nk

ij ik mn jm kn i i

k k

S divS S x I e e e e e

x

S S e e

x x

Como iidivS divS e , da anterior resulta que cada componente de divS é

determinada por:

ik i

k

S divS

x

(198)

Uma aplicação da relação anterior aparece no estudo das tensões, particularmente na relação de equilíbrio do elemento de volume. Sendo b o vetor que reúne as componentes das forças por unidade de volume e T o

tensor que reúne as componentes de tensão normal e de cisalhamento doestado de tensão, aquela relação pode ser representada como:

0divT b (199)

De fato, a mesma expressão escrita em componentes fica dada por:

0 ( 1,2,3)ii idivT b e k (200)


54/61



Ou ainda, tendo-se em vista a (198):

0 ( , 1,2,3)ik iik

T b e i k x

(201)

Considerando-se a independência linear dos versores da base, segue que arelação anterior representa o seguinte conjunto de equações:

1311 121

1 2 3

T T T b 0

x x x

2321 222

1 2 3

T T T b 0 x x x

(202)

31 32 333

1 2 3

T T T b 0

x x x

Normalmente, costuma-se associar os números 1, 2 e 3 com as direções doseixos de referência x, y e z. Além disso, as componentes do tensor T que

possuem índices iguais são as componentes de tensão normal e aquelas deíndices diferentes as componentes de cisalhamento. Nessa notação a (202)(cuja interpretação pode ser obtida a partir da figura abaixo) passa a serdada, já se levando em conta a simetria do tensor de tensão, por:

11 21 311

1 2 3

b 0 x x x

12 22 322

1 2 3

b 0

x x x

(203)

13 23 333

1 2 3

b 0 x x x


55/61



6.

Teorema da divergência

O teorema da divergência aplica-se na transformação de integrais de camposdefinidos sobre volumes (V ) para integrais sobre as superfícies de contorno( S ) desses volumes. A origem do teorema está na integração por partes,como se procura ilustrar em seguida.

Considere-se uma função diferenciável de duas variáveis, e resultante do produto de duas funções diferenciáveis. Então, pela regra do produto:

( , ), ( , ) f g

f x y g x y g f x x x

(204)

Portanto:

2 2 2

1 1 1

22

1

1

( , ), ( , ) x x x

x x x x

x

x x

g f f dx g dx f x y g x y dx

x x x f

g dx f g x

(205)

Seja, agora, Ω um domínio no plano x-y. A normal ao contorno tem porcossenos diretores: 1 xn n l e 2 yn n m .


56/61



ymáx

ymin

x (y)1

x (y)2

S1

S2

n

dy

dx

n

dx

dy

X

Y

n

Figura 3 – Interpretação para integração por partes

Segue que:

2

min 1

22

1

min 1

( )

( )

( )( )

( )

( )

máx

máx

y x y

y x y

y x y x y

x y

y x y

g g f d f dx dy

x x

f dx f g dy

x

2 1

min min

2 1

min min

( ) ( )

2 1( ) ( )

máx máx

máx máx

y y

x y x y y y

y y

x y x y y y

f g d fg dy fg dy

x

f d fg l dS fg l dS

x

Nota-se que o sinal negativo no integrando da última parcela da relaçãoanterior decorre do fato que em S 1, indicado na Figura 3, a componente xn da normal aponta no sentido contrário ao do eixo x de referência. Dodesenvolvimento anterior, conclui-se que:

ouS

g f f d g d f g l dS

x x

S

f g d f g l dS

x

(206)


57/61



Analogamente ao último resultado:

S

f g d f g mdS y

(207)

Em conjunto, as relações (206) e (207) são representações do teorema dadivergência. De acordo com a interpretação dada ao produto ( f g ) o teoremaassume diferentes representações.

Sendo, em particular, f g um campo escalar, as relações do teorema dadivergência podem ser reunidas na seguinte forma:

, / 1,2i iS i

n dS d d c i x

(208)

Passando para uma notação intrínseca, cada uma das relações anteriores pode ser interpretada como integrais de componentes de campos vetoriais

e n :

S

d ndS

(209)

Por outro lado, somando-se as relações (206) e (207):

S

f g f g d f g l f g m dS

x y

(210)

e interpretando-se ( f g ) como componentes de um campo vetorial v, isto é,

1 2v fg e fg e , o teorema da divergência se expressa por integrais

envolvendo campos escalares ( divv ) e ( .v n ):

.S

divvd v n dS

(211)


58/61



A relação anterior pode ser generalizada considerando-se dois vetoresarbitrários a e b 3 e substituindo-se v por: .v v a Tb . Por um lado, segue

que:

. . . .

.

v

T

v a Tb n Tb v a n a v Tb n

a v T n b

(212)

Por outro lado, levando-se em conta as (173), (174) e (176):

. . . .. . .

. . .

. .

T div v a Tb v a div Tb Tb v a

v a divT b Tb v a

divT b v a vTb a

v divT b a vT b a

(213)

Voltando à integral (211) e tendo-se em vista a arbitrariedade dos vetores a eb, resulta;

T S

v divT vT d v T n dS

(214)

Há outros dois casos particulares de interesse da relação anterior.

Em primeiro lugar, sendo T = I (tensor identidade), obtém-se:

S

vd v n dS

(215)

Num segundo caso, considerando-se v um vetor fixo, da (214) resulta:

T S

v divT d v T n dS

(216)

de onde se conclui que:

3 a e b são vetores arbitrários e não campos vetoriais, por isso seus gradientes são nulos!


59/61



T S

divT d T n dS

(217)

Ainda se pode escrever outra forma de interesse, explorando-se o produtovetorial entre os versores de uma base e o conceito de rotacional. Então:

ou . j k ljk l j k i ijk e e e e e e (218)

O rotacional associado a um campo vetorial a é o campo vetorial definido por:

,

3 2 1 3 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

ijk k j irot a a ea a a a a a

e e e x x x x x x

(219)

Considerando-se a relação (208) e particularizando para o caso em que

ijk k a , segue que: ijk i k jn a n a e , , j ijk k ja , coincidindo,

respectivamente, com as i-ézimas componentes do vetor n a e dorotacional de a. Assim sendo, em modo intrínseco resulta:

S

rot a d n a dS

(220)

Todas as relações entre as integrais de volume e de superfície apresentadasconstituem formas do teorema da divergência. Portanto, a depender doscampos envolvidos o teorema da divergência apresenta-se segundodiferentes formas. Em resumo, as formas de maior interesse são dadassegundo uma notação intrínseca por:

S

d ndS

(221)

com um campo escalar.

S

vd v ndS

(222)


60/61

Introdução à Me

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