al_pos v 2ª semana

Algebra Linear

Francisco Duarte Moura Neto — Instituto PolitecnicoLuiz Mariano Paes de Carvalho — Instituto de Matematica e Estatıstica

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

21 de maio de 2011

Sumario

1 Metodo de Eliminacao de Gauss 1

1.1 Metodo de substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Etapas do metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fatoracao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Fatoracao PA = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Sistemas de equacoes com matrizes retangulares . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Sobre sistemas singulares e regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Determinante 16

2.1 Propriedades do determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Areas e Volumes 18

3.1 Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Hipervolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Paralelogramo em IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Criterio do determinante para vetores l.i.’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Gram-Schmidt 23

4.1 Processo de ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Fatoracao QR de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Teorema Fundamental da Algebra Linear 26

5.1 Multiplicacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 A geometria dos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3 A geometria das transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Autovalores e Autovetores 35

6.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Determinacao analıtica dos autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Aplicacao ao estudo de sistemas de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

ii SUMARIO

7 Diagonalizacao de Matrizes 427.1 Resultado basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3 Funcao de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.4 Aplicacao a equacoes de diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Teorema Espectral 528.1 Consideracoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 Espacos vetoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.3 Equacoes diferenciais e a exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Massas e Molas em Equilıbrio 629.1 Uma massa e uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2 Duas molas e uma massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.3 Uma massa suspensa por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.4 Uma massa entre duas molas alinhadas com a forca da gravidade . . . . . 649.5 Duas massas e duas molas alinhadas com a gravidade . . . . . . . . . . . . 659.6 Uma linha de molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10 Projecoes e Quadrados Mınimos 7110.1 Projecao sobre linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.2 Determinacao da constante de elasticidade de uma mola . . . . . . . . . . 7310.3 Solucao de sistemas impossıveis: quadrados mınimos . . . . . . . . . . . . 7410.4 Regressao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11 Agrupamento de Genes 7911.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.2 Particionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12 Exercıcios I 8012.1 Parte um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012.2 Parte dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.3 Parte tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8412.4 Parte quatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

13 Exercıcios II 9013.1 Um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9013.2 Dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9213.3 Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Capıtulo 1

Metodo de Eliminacao de Gauss

1.1 Metodo de substituicao

O metodo de eliminacao de Gauss nada mais e do que uma versao algoritmica do metodode substituicao. Recordamos o metodo de substituicao. O metodo de substituicao escreveuma das incognitas em termos das outras (resolve para uma em funcao das outras),e substitui a expressao dessa incognita nas restantes equacoes, eliminando-a, portanto.Vejamos um exemplo, com tres equacoes a tres incognitas u, v e w,

2u + v + w = 54u − 6v = −2−2u + 7v + 2w = 9

1a equacao2a equacao3a equacao

(1.1)

Resolvemos a primeira equacao para a incognita u em funcao das outras incognitas, ob-tendo

u =1

2(5− v − w) (1.2)

A equacao (1.2) e equivalente a primeira equacao em (1.1). Substituindo-se o valor de ucomo expresso pelo lado direito da equacao (1.2) nas 2a e 3a equacoes de (1.1) obtemos{

42

(5− v − w) − 6v = −2−22

(5− v − w) + 7v + 2w = 9(1.3)

resultando em {− 8v − 2w = −12

8v + 3w = 14(1.4)

Chamemos o numero que multiplica a incognita u, na 1a equacao em (1.1) de pivo, isto e,2 e o pivo da primeira equacao em (1.1). Se multiplicarmos ambos os lados da 1a equacaoem (1.1) por 4

2, onde no denominador temos o pivo, e se da segunda equacao subtrairmos

esse multiplo da primeira equacao, obtemos a equacao,

−8v − 2w = −12

1

2 CAPITULO 1. METODO DE ELIMINACAO DE GAUSS

Analogamente, multiplicando-se ambos os lados da primeira equacao em (1.1) por −22

,onde novamente, no denominador temos o pivo da primeira equacao e no numerador onumero que multiplica u, a variavel que sera substituıda, na terceira equacao, e da terceiraequacao subtraırmos esse multiplo da primeira equacao, obtemos,

8v + 3w = 14

Em outras palavras, da segunda e da terceira equacoes subtraımos multiplos da primeiraequacao conseguindo eliminar a incognita u, e obtendo as mesmas equacoes derivadas porsubstituicao, equacao (1.4). E nesta ideia que se baseia a primeira etapa do metodo deeliminacao de Gauss.

Reduzimos entao o sistema de tres equacoes a tres incognitas ao sistema2u+ v + w = 5{−8v − 2w = −128v + 3w = 14

formado por uma equacao a tres incognitas e um sub-sistema de duas equacoes a duasincognitas, v e w. Sabendo-se a solucao do sub-sistema dois por dois, isto e, sabendo-seo valor de v e w, pode-se recorrer a primeira equacao para determinar u.

Mas, ao sub-sistema dois por dois podemos aplicar a mesma ideia de substituicao,isto e, usa-se a segunda equacao para determinar uma das incognitas, v, em funcao daoutra, w, e substitui-se na terceira equacao, obtendo-se, esquematicamente, um sistemana forma

equacao a tres incognitas, u, v, e w{equacao a duas incognitas, v e w{

equacao a uma incognita, w

concretamente dado neste caso por2u+ v + w = 5{−8v − 2w = −12{w = 2

Desta forma resolve-se a ultima equacao, determinando-se w, depois substitui-se o valorde w na segunda equacao, determinando-se o valor de v, e finalmente usa-se na primeiraequacao os valores ja determinados de v e w para obter-se o valor de u. A esta ultimaetapa da-se o nome de retrosubstituicao.

Claramente o procedimento pode ser seguido no caso de um sistema de n equacoes a nincognitas, trocando-o inicialmente por uma equacao com n incognitas e um sub-sistemade n − 1 equacoes a n − 1 incognitas, e procedendo recursivamente, para ‘diminuir’ otamanho do sub-sistema ate atingir um sub-sistema de uma equacao a uma incognita.

1.2 Etapas do metodo de Gauss

O metodo de eliminacao de Gauss e constituıdo por duas etapas: (A) Eliminacao avancada;(B) Retrosubstituicao.

1.2. ETAPAS DO METODO DE GAUSS 3

(A) Eliminacao avancada A eliminacao avancada elimina variaveis de equacoes maisabaixo usando as de cima. E um processo reversıvel. O numero (nao-nulo) que multiplicaa variavel da equacao acima a ser eliminada das equacoes abaixo e chamado de pivo.

No exemplo,pivo︷︸︸︷

2 u + v + w = 54u − 6v = −2−2u + 7v + 2w = 9

Usa a 1a equacao para eliminar a1a variavel (u) das equacoes restantessubtraindo multiplos da 1a a 2a e depois a 3a

(1.5)

2u + v + w = 5

−pivo︷︸︸︷

8 v − 2w = −128v + 3w = 14

linha 1 e mantidalinha 2→ linha 2 −2·linha 1

linha 3→ linha 3 −(−1)·linha 1

Observacoes

• Para eliminar o 4u na 2a equacao basta subtraı-la de um multiplo da 1a linha. Omultiplicador da 1a linha e obtido dividindo-se o 4 pelo pivo. Assim, faz-se a trocada 2a linha,

linha 2 → linha 2 - 2·linha 1

• Note que este procedimento e reversıvel. Por exemplo, para recuperar a 2a linhaoriginal basta adicionar a 2a linha atual duas vezes a linha 1 atual (que, alias, naosofre alteracoes).

linha 2 → linha 2 + 2·linha 1

• O procedimento gerou um subsistema de 2 equacoes a 2 incognitas (v, w). Sabendo-se a solucao deste subsistema 2 por 2, sabemos a solucao do sistema 3 por 3 original.

• Aplicando-se este procedimento sistematicamente, o sistema vai gerando subsiste-mas de tamanho cada vez menor: 3 por 3 → 2 por 2 → 1 por 1.

Usa-se, em seguida, a 2a equacao para eliminar a 2a variavel (v) da equacao restante(a 3a equacao), subtraindo-se da 3a equacao um multiplo da 2a.

2u + v + w = 5− 8v − 2w = −12

w = 2

mantemmantem

linha 3 −(−1)·linha 2


(B) Retrosubstituicao A substituicao recuada ou retrosubstituicao procede da ultimaequacao em direcao a primeira, como a seguir:

w = 2−8v − 2(2) = −12 ⇒ v = 12u+ (1) + (2) = 5 ⇒ u = 1

ultima equacaosubstitui-se w da 3a equacao na 2a equacaosubstituem-se os valores de w e v na 1a equacao

Finalmente u = 1v = 1w = 2

(1.6)

Observacao conceitualmente importante Esta ultima etapa tambem e reversıvel.E a reversibilidade das duas etapas, A e B, que garante logicamente que as solucoes dosistema original, equacao 1.1 (ou equacao 1.5) e as solucoes do sistema final, equacao 1.6,sao as mesmas. Pode-se ir de uma a outra e da outra a uma...

Pode-se utilizar uma notacao matricial para ressaltar ainda mais o caracter algorıtmico,de processamento de numeros, de que se reveste o metodo de Gauss. O objetivo e obter-seuma matriz triangular superior1 U , (upper triangular). Tem-se

2 1 14 −6 0−2 7 2

∣∣∣∣∣∣b︷︸︸︷

5−29

linha 1 → linha 1linha 2 → linha 2 −2· linha 1linha 3 → linha 3 + linha 1

⇒

2 1 1−8 −28 3

∣∣∣∣∣∣5−1214

linha 1 → linha 1linha 2 → linha 2linha 3 → linha 3 + linha 2

⇒

2 1 1−8 −2

1

∣∣∣∣∣∣5−12

2

1.3 Perspectiva matricial do procedimento: matrizes

elementares e fatoracao LU

Fatoracao LU

O metodo de eliminacao de Gauss para a resolucao de equacoes lineares procede usandooperacoes elementares sobre a matriz do sistema de forma a obter, no final, uma matriztriangular superior.

1Uma matriz U e triangular superior, se suas entradas abaixo da diagonal principal sao nulas, isto e,se Uij denota a entrada na linha i e coluna j da matriz U , entao, Uij = 0 sempre que i > j.

1.3. FATORACAO LU 5

Uma das operacoes elementares do metodo e a substituicao de uma linha do sistema porela diminuıda de um multiplo de uma outra linha. Essa operacao pode ser representadapela multiplicacao pela esquerda da matriz A do sistema, por uma matriz dita elementar,E. A matriz elementar tem por caracterısticas, ser triangular inferior, com 1’s na diagonalprincipal, e um unıco valor nao nulo abaixo da diagonal. Esse valor, representado por−m, esta localizado na mesma linha que e usada para modificar e na coluna com mesmoındice que a linha que esta sendo modificada, onde m representa o valor a ser multiplicadoa linha a ser usada na modificacao e o chamado multiplicador.

Isto e um pouco complicado de descrever sem sımbolos para denotar as linhas envol-vidas, mas um pouco confuso (abstrato) se usarmos a notacao. Vamos usar a notacaoadequada e depois fazer um exemplo para facilitar a compreensao.

Seja Ai a i-esima linha da matriz A. No metodo de Gauss, tipicamente substituımosa linha i, pela linha Ai − mAj, onde j < i, com o objetivo de usar a linha j, maisprecisamente o elemento Ajj, chamado pivo, para eliminar (zerar) o elemento Aij da

linha i. Para tal, o multiplicador e m =Aij

Ajj.

A matriz elementar que corresponde a essa operacao e a matriz cujos unicos elementosnao-nulos sao a diagonal principal, que so tem 1’s, e o elemento

Eij = −m

Como j < i, a matriz e triangular inferior.Consideremos um exemplo.

E︷︸︸︷ 1 0 0−2 1 00 0 1

A︷︸︸︷ 2 1 1

4 −6 0−2 7 2

=

EA︷︸︸︷ — A1 —— A2 − 2A1 —— A3 —

=

2 1 10 −8 −2−2 7 2

F︷︸︸︷ 1 0 0

0 1 01 0 1

EA︷︸︸︷ 2 1 1

0 −8 −2−2 7 2

=

FEA︷︸︸︷ — (EA)1 —— (EA)2 —— (EA)3 + (EA)1 —

=

2 1 10 −8 −20 8 3

G︷︸︸︷ 1 0 0

0 1 00 1 1

FEA︷︸︸︷ 2 1 1

0 −8 −20 8 3

=

GFEA=U︷︸︸︷ — (FEA)1 —— (FEA)2 —— (FEA)3 + (FEA)2 —

=

U︷︸︸︷ 2 1 10 −8 −20 0 1

A matriz U e triangular inferior. Denote por G−1, F−1, E−1, as matrizes que representamas operacoes elementares inversas. No exemplo, pode-se verificar que

G−1 =

1 0 00 1 00 −1 1

, F−1 =

1 0 00 1 0−1 0 1

e E−1 =

1 0 02 1 00 0 1


Calculando-se o produto obtem-se

L = E−1F−1G−1 =

1 0 02 1 0−1 −1 1

que e uma matriz triangular inferior (por isso a escolha da letra L para representa-la, doingles lower triangular).

Como

GFEA = U

aplicando-se em ambos os lados da equacao acima, as operacoes inversas, comecando coma inversa da ultima realizada, G, obtemos

G−1GFEA = G−1U donde FEA = G−1U

e em seguida, a inversa de F e depois a inversa de E, chega-se a

A = E−1F−1G−1GFEA = E−1F−1G−1U = LU

isto e, a matriz foi fatorada num produto de uma matriz triangular inferior com 1′s nadiagonal, L, por uma matriz triangular superior com os pivos na diagonal, U .

Em resumo, as matrizes L e U terao o seguinte aspecto,

L =

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

e U =

pivo1 ∗ ∗0 pivo2 ∗0 0 pivo3

onde, por exemplo, m21 e o multiplicador utilizado para ‘limpar’a posicao 21, linha 2,coluna 1, com a ajuda da linha 1. A linha 2 subtrai-se m21 vezes a linha 1, onde

m21 =elemento 21

pivo1

e pivo1 e o pivo da linha 1.

Resolucao de sistemas com a fatoracao LU

Considere um sistema de equacoes lineares na forma

Ax = b

onde se tenha conseguido fatorar A = LU . Entao, pode-se escrever

L

y︷︸︸︷Ux = b ⇒

{Ly = bUx = y

1.4. FATORACAO PA = LU 7

Assim, resolve-se primeiramente o sistema para y,

Ly = b

que e facil e rapido de se resolver, — e uma substituicao avancada — e em seguida,resolve-se para x o sistema

Ux = y

que e uma retrosubstituicao, igualmente facil e rapida de executar.

Exemplo 1 No exemplo, resolve-se 1 0 02 1 0−1 −1 1

y1

y2

y3

=

5−29

donde, sucessivamente, da primeira equacao y1 = 5, da segunda equacao, 2(5)+y2 = −2ou, y2 = −12, e da terceira equacao, −5− 1(−12) + y3 = 9, resultando em y3 = 2.

Em seguida, resolve-se 2 1 10 −8 −20 0 1

uvw

=

5−12

2

que resulta na solucao (u, v, w) = (1, 1, 2).

Observacao Depois de obter a fatoracao LU de uma matriz A, quando existir, e possıvelresolver rapidamente Ax = b para diversos lados direitos b. Isso pode ser interessanteem aplicacoes onde se procure saber o comportamento de um sistema (com x sendo aresposta do sistema), quando diferentes estımulos (representados por b) sejam aplicadosa ele.

1.4 Eliminacao, substituicao e permutacao: fatoracao

PA = LU

Quando a fatoracao LU falha

O algoritmo de Gauss pode falhar quando o sistema e singular, caso que sera analisadoposteriormente, ou quando, apesar de ser regular (nao singular), o candidato a pivo e nulo.Neste utimo caso, e simples modificar o algoritmo, permutando-se as linhas do sistema.Exemplifiquemos.


Exemplo 2 Exemplo de sistema singular. Assuma que ao aplicar o algoritmo de Gaussa um sistema, obtenha:

u + v + w = —2u + 2v + 5w = —4u + 4v + 8w = —

⇒u + v + w = —

3w = a4w = b

O algoritmo nao pode prosseguir, e temos as seguintes possibilidades para o conjuntosolucao do sistema:

a

3=

b

4⇒ o sistema tem infinitas solucoes;

a

36= b

4⇒ o sistema nao tem solucao alguma

Exemplo 3 Exemplo de sistema nao singular, e algoritmo de Gauss, como apresentadoate o momento, falha.

u + v + w = —2u + 2v + 5w = —4u + 6v = 8w = —

⇒

u + v + w = —0u + 0v + 3w = —0u + 2v + 4w = —

Nao ha como continuar o algoritmo uma vez que o candidato a pivo e nulo. A solucaodeste pequeno obstaculo e trocar as duas ultimas linhas de posicao

u + v + w = —0u + 2v + 4w = —0u + 0v + 3w = —

e o algoritmo pode prosseguir com a etapa B da retrosubstituicao.

Matrizes de permutacao

Uma matriz de permutacao e obtida a partir da matriz identidade trocando-se suas linhasou colunas. Assim, uma matriz de permutacao, n× n, tem apenas n entradas nao-nulas,iguais a 1, sendo que em cada linha e em cada coluna ha apenas uma entrada igual a 1.

A matriz P e um exemplo de matriz de permutacao:

P =

0 1 01 0 00 0 1

→ Obtida da matriz identidade trocandoa 1a e a 2a colunas (ou linhas)

Uma matriz de permutacao pode ser representada por suas colunas ou linhas que saovetores canonicos, como no exemplo a seguir:

Q =

0 1 00 0 11 0 0

=

| | |e3 e1 e2

| | |

=

— eT2 —— eT3 —— eT1 —

1.4. FATORACAO PA = LU 9

Concentremo-nos na representacao envolvendo as colunas. Defina a funcao

i : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}j 7→ i(j) = ij

onde i1 = 3, i2 = 1 e i3 = 2. Entao

Q =

| | |ei1 ei2 ei3| | |

=

| | |e3 e1 e2

| | |

Ou seja, dada uma funcao bijetora (injetora e sobrejetora) de {1, 2, 3} em si mesmo, temosuma matriz de permutacao, bastando colocar na coluna j o vetor eij . E vice-versa.

Assim, o numero de matrizes de permutacao, n× n, e igual ao de funcoes bijetores de{1, 2, . . . n} em {1, 2, . . . n}. Ora, esse e numero e o numero de permutacoes de n objetos:n!.

Uma propriedade das matrizes de permutacao e que o produto dela com sua transpostae a identidade (i.e. sua inversa e a sua transposta). Vejamos como verificar,

PT︷︸︸︷— eTi1 —— eTi2 —...

......

— eTin —

P︷︸︸︷ | | · · · |

ei1 ei2 · · · ein| | | |

= I

A entrada lm (linha l e coluna m) da matriz produto P TP e dada por eTileim = δlm, istoe, P TP = I.

Sistemas nao-singulares: fatoracao PA = LU

Por simplicidade, represente matriz de permutacao da seguinte forma0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

=

— eT3 —— eT2 —— eT1 —— eT4 —

=

3214

Na obtencao da fatoracao PA = LU , onde A e a matriz original do sistema linear, P

e uma matriz de permutacao, L e uma matriz triangular inferior, com uns na diagonalprincipal, e U uma matriz triangular superior, o algoritmo comeca com duas copias daidentidade e a matriz A lado a lado e termina com as matrizes P , L e U . A primeiraidentidade e a matriz P sao representadas como anteriormente explicitado,

[I I A] → [P L U ]


Ilustramos o processo atraves de um exemplo,1234

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 2 4 63 2 1 51 3 2 1−2 1 −1 2

troca linha 1 com a 3 (para ver como registrar)

3214

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

pivo︷︸︸︷1 3 2 13 2 1 51 2 4 6−2 1 −1 2

usa pivo para ‘limpar’ coluna 1 abaixo dele,

coloca multiplicadores na segunda matrizA2 7→ A2 − 3A1; A3 7→ A3 − 1A1;

A4 7→ A4 − (−2)A1;

3214

1 0 0 03 1 0 01 0 1 0−2 0 0 1

1 3 2 10 −7 −5 20 −1 2 50 7 3 4

troca linhas 2 e 3 (facilita as contas)

3124

1 0 0 01 1 0 03 0 1 0−2 0 0 1

1 3 2 1

0

pivo︷︸︸︷−1 2 5

0 −7 −5 20 7 3 4

pivo (−1) para ‘limpar’ coluna 2 abaixo dele;

multiplicadores na segunda matrizA3 7→ A3 − 7A2; A4 7→ A4 − (−7)A2

3124

1 0 0 01 1 0 03 7 1 0−2 −7 0 1

1 3 2 10 −1 2 50 0 −19 −330 0 17 39

troca linhas 3 e 4 (para ilustrar o metodo)

3142

1 0 0 01 1 0 0−2 −7 1 03 7 0 1

1 3 2 10 −1 2 5

0 0

pivo︷︸︸︷17 39

0 0 −19 −33

usa pivo 17 (para zerar −19 abaixo dele)A4 7→ A4 −

(−1917

)A3

)

3142

1 0 0 01 1 0 0−2 −7 1 03 7 −19

171

1 3 2 10 −1 2 50 0 17 390 0 0 180

17

Obtem P , L e U

1.5. SISTEMAS DE EQUACOES COM MATRIZES RETANGULARES 11

Pode-se verificar que PA = LU , onde

P =

3142

=

0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0

L =

1 0 0 01 1 0 0−2 −7 1 03 7 −19

171

e U =

1 3 2 10 −1 2 50 0 17 390 0 0 180

17

1.5 Sistemas de equacoes com matrizes retangulares

1.5.1 Retas

Dados dois pontos distintos x0 = (x01, x

02, . . . x

0n)T , x1 = (x1

1, x12, . . . x

1n)T ∈ IRn, x0 6= x1,

a reta que passa por esses pontos e definida por

r = {x ∈ IRn tal que x = x0 + t(x1 − x0) para todo t ∈ IR} (1.7)

A representacao dada acima da reta r tambem e chamada de equacao parametrica dareta. O vetor x1 − x0 (ou qualquer multiplo seu nao-nulo), e o vetor direcao da reta r.

Exemplo 4 Sejam (1, 3) e (2, 1) ∈ IR2. Determine: (a) a equacao parametrica da reta;(b) a equacao da reta.

Solucao a) x1 − x0 = (1,−2)T . Entao a equacao parametrica e(xy

)= x = x(t) =

(1 + t3− 2t

)∀t ∈ IR

b) Como x = 1 + t e y = 3− 2t, eliminando t, obtem-se y + 2x = 5.

Poder-se-ia ter feito a alınea b) usando a formula usual para a equacao da reta em IR2

passando pelos pontos x0 = (x0, y0) e x0 = (x1, y1):

y − y0

x− x0

=y1 − y0

x1 − x0

(1.8)

Vale lembrar que enquanto a equacao (1.7) e valida em IRn, para qualquer n ≥ 1, aequacao (1.8) so e valida para IR2 e nao ha formula analoga, com apenas uma equacao,para n 6= 2.


1.5.2 Resolver sistemas

A questao que se coloca e sobre o significado de resolver um sistema de equacoes. Quandoo sistema tem apenas uma solucao, a questao e determinar a solucao. Quando o sistematem mais do que uma solucao, o que se quer e parametrizar o conjunto solucao, isto e,determinar uma funcao cuja imagem seja o conjunto solucao do sistema de equacoes.Vejamos alguns exemplos para entender o que se quer dizer.

Resolva a equacao 3x = 4. A solucao desta equacao, em IR e unica e e x = 4/3. Resolvaagora a equacao 3y + 4x = 12 em IR2. O conjunto de pontos que satisfaz esta equacaocompoe uma reta. A resolucao implica que se determine uma equacao parametrica dareta. Bem

y =12

3− 4

3x ⇒

(xy

)=

(x

4− 43x

)x

(1−4

3

)+

(04

)∀x ∈ IR

ou seja e a reta que ‘passa’ pelo ponto (0, 4)T e tem direcao (3,−4)T .

Sistemas de m equacoes a n incognitas

Para resolver sistemas lineares de m equacoes a n incognitas, podemos aplicar proce-dimento analogo ao ja apresentado, usando permutacoes, e subtraindo a uma linha ummultiplo de outra.

O objetivo agora e que e um pouco modificado. Ao inves de realizar as operacoeselementares para obter uma matriz triangular inferior, realizam-se essas operacoes com ointuito de chegar a uma matriz escada. Uma matriz escada e tal que:

• As linhas nulas aparecem embaixo;

• Abaixo de qualquer pivo so ha zeros;

• Cada pivo esta a direita do pivo da linha acima.

Com esse objetivo em mente, dada uma matriz A, m×n, e sempre possıvel determinarmatrizes P , quadrada, m×m, de permutacao, L, tambem quadrada, m×m, triangularinferior com uns na diagonal principal, e U , m× n, matriz escada, contendo os pivos, talque PA = LU .

Considere a resolucao do sistema Ax = b, onde, apos as operacoes elementares,

A | b → U | b

U | b =

U︷︸︸︷pivo︷︸︸︷1 3 2 1 0

0 0

pivo︷︸︸︷3 1 2

0 0 0 0

pivo︷︸︸︷2

b︷︸︸︷∣∣∣∣∣∣

412

1.6. SOBRE SISTEMAS SINGULARES E REGULARES 13

Aqui temos 5 variaveis, (x1, x2, . . . , x5, 3 pivos (= dim Im(A) associados as variaveisx1, x3, x5, chamadas de basicas ou dependentes, 5− 3 = 2 variaveis livres.

A resolucao do sistema se completa ao escrever as variaveis basicas em funcao daslivres. Resolvendo da ultima em direcao a primeira equacao,

x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4

3x3 + x4 + 2x5 = 1

2x5 = 2

obtemos

x5 = 1

3x3 + x4 = −1 ⇒ x3 = −1

3− 1

3x4

x1 + 3x2 + 2

(−1

3− 1

3x4

)+ x4 = 4 ⇒ x1 =

14

3− 3x2 −

1

3x4

donde as solucoes sao dadas porx1

x2

x3

x4

x5

=

143− 3x2 − 1

3x4

x2

−13− 1

3x4

x4

1

=

143

0−1

3

01

+ x2

−31000

+ x4

−1

3

0−1

3

10

para todo x2, x4 ∈ IR.

1.6 Sobre sistemas singulares e regulares

A palavra singular ja diz que se um sistema e singular e porque ele e, de alguma formadiferente, ou melhor raro. O que e raro, e diferente, e singular. Entao os sistema singularessao ‘raros’e os regulares sao mais comuns. Vamos esclarecer isso um pouco. Considere ossistemas de duas equacoes a duas incø’gnitas a seguir:{

2x− y = 1x+ y = 5

Tem uma unica solucao: sistema regular

{2x− y = 1

4x− 2y = 8 Nao tem nenhuma solucao: sistema singular

{2x− y = 1

−4x+ 2y = −2 Tem infinitas solucoes: sistema singular


Um sistema de duas equacoes a duas incognitas e dito regular se tem uma e somente umasolucao (sistema deteminado), caso contrario, se nao tiver nenhuma solucao, ou infinitassolucoes e chamado de singular (sistema impossıvel ou indeterminado). Seja S o espacode todos os sistemas de duas equacoes a duas incognitas,{

ax+ by = cdx+ ey = f

Coomo cada equacao representa uma reta, podemos pensar que S e o conjunto de paresde retas, ou ainda, que e o conjunto dos coeficientes,

S =

{(a b cd e f

), para todo , a, b, c, d, e, f ∈ IR

}Sejam

SR = ‘conjunto dos sistemas regulares’

SS = ‘conjunto dos sistemas singulares’

Entao,

S = SRd∪ SS

onde ∪ designa a uniao de conjuntos e d diz que a intersecao dos conjuntos e vazia.Observamos o seguinte com relacao aos sistemas regulares e singulares:

1. Um sistema regular corresponde a duas retas transversais. Se as perturbarmos umpouquinho, isto e, se modificarmos um pouquinho os coeficientes do sistema, asduas retas continuarao a ser transversais, logo o sistema resultante continuara a serregular, a ter uma unica solucao;

2. Um sistema singular corresponde a (a) duas retas paralelas, ou (b) duas retas coin-cidentes. A perturbarmos um pouquinho essas retas, e claro que podemos continuara ter retas paralelas, ou coincidentes, mas e possıvel perturba-las bem pouquinho eelas passarem a ser transversais, correspondendo assim a um sistema regular, comuma unica solucao.

O conjunto dos sistema regulares e dito:

• aberto (ou estavel) porque satisfaz a propriedade 1. acima;denso porque satisfaz a propriedade 2. acima

O conjunto dos sistema regulares e aberto porque suficientemente perto de qualquersistema regular so ha sistemas regulares, e e denso porque perto de qualquer sistema(regular ou singular) ha um sistema regular.

1.6. SOBRE SISTEMAS SINGULARES E REGULARES 15

Sejamos um pouco mais formais. Uma perturbacao de um sistema e simplesmenteuma perturbacao (modificacao) dos seus coeficientes. Considere uma perturbacao nossistemas singulares dados anteriormente,{

(2 + ε)x− y = 14x− 2y = 8

(x, y) =

(4

ε,8

ε− 4

)Tem uma unica solucao: sistema regular

{(2 + ε)x− y = 1−4x+ 2y = −2

(x, y) = (0,−1) Tem uma unica solucao: sistema regular

Assim, dado um sistema singular, havera tao perto quanto se queira, ε bem pequeno, umsistema regular (sistemas regulares sao densos).

Por outro lado, uma perturbacao pequena de um sistema regular nao ‘destroi’ suaregularidade. Considere uma perturbacao geral do sistema regular dado,{

(2 + ε1)x+ (−1 + ε2)y = (1 + ε3)(1 + ε4)x+ (1 + ε5)y = (5 + ε6)

Quando ε’s forem bem pequenos, o sistema tem uma unica solucao: sistema regular. Defato,

det

(2 + ε1 −1 + ε21 + ε4 1 + ε5

)= 3+

α︷︸︸︷(ε1 + ε4 + ε5 − ε2 + ε1ε5 − ε2ε4) = 3 + α

que e diferente de zero garantido a resolucao do sistema, desde que α ou os ε’s sejampequenos.

Porque o conjunto Sr e aberto e denso em S e justificavel afirmar que, salvo raras (equica honrosas) excecoes, um sistema de n equacoes a n incognitas tem uma unica solucao.Em matematica diz-se que genericamente um sistema de n equacoes a n incognitas, temuma unica solucao. Ou ainda, a existenca e unicidade de solucoes e uma propriedadegenerica de sistemas de n equacoes a n incognitas.

Capıtulo 2

Determinante

Da lıngua portuguesa, estudante significa, por incrıvel que possa parecer, ‘aquele queestuda’, como amante e aquele que ama, presidente aquele que preside e determinanteaquele que determina.

Para entender que em matematica o nome nao e incompatıvel com o sentido da palavradeterminante, vamos primeiro ver o que e o determinante. Mais a frente, veremos porqueele e ‘o que determina’.

O determinante, denotado por det, e uma funcao escalar (isto e, assume valores re-ais) definida para matrizes quadradas com as seguintes propriedades (que a caracterizamcompletamente):

i) det I = 1;

ii) det e multilinear nas linhas, isto e, escolhida uma linha, e mantidas inalteradas asoutras linhas, o det e linear nessa linha (aditiva e homogenea de grau 1);

iii) det e anti-simetrica, isto e, trocando-se duas linhas, o det troca de sinal.

Vejamos como essas propriedades especificam unicamente o determinante.

Exemplo 5 A partir das propriedades definidoras, calcule o determinante de uma matriz2× 2.

det

(a bc d

)= det

((a 0) + (0 b)

c d

)ii= det

(a 0c d

)+ det

(0 bc d

)ii= det

(a 0c 0

)+ det

(a 00 d

)+ det

(0 bc 0

)+ det

(0 b0 d

)ii= ac det

(1 01 0

)+ ad det

(1 00 1

)+ bc det

(0 11 0

)+ bd det

(0 10 1

)= ad− bc

16

2.1. PROPRIEDADES DO DETERMINANTE 17

uma vez que por (iii)

det

(1 01 0

)= − det

(1 01 0

)⇒ det

(1 01 0

)= 0

e analogamente,

det

(0 10 1

)= 0

e por (iii) e (i),

det

(0 11 0

)= − det

(1 00 1

)= −1

2.1 Propriedades do determinante

Para facilitar o calculo do determinante de uma matriz e conveniente introduzir algu-mas propriedades que agilizam o seu calculo. Se formos usar apenas as propriedadesdefinidoras, resultara em um processo moroso.

a) Se duas linhas da matriz sao iguais, o determinante e nulo. Esta propriedade e umaconsequencia de (iii). Para nao dificultar a notacao, vamos ilustrar a demonstracaono caso de uma matriz 3× 3, que e suficientemente esclarecedora. De fato, assumaque a primeira e a segunda linha se igualam, e troque-as entre si. Pela propriedade(iii) — A1 —

— A1 —— A3 —

(iii)︷︸︸︷= −

— A1 —— A1 —— A3 —

vemos que o determinante se anula.

Capıtulo 3

Areas e Volumes

3.1 Calculo de areas

Dados dois vetores v1 e v2 em IRn, o paralelogramo gerado por eles tem a mesma areaque o paralelogramo gerado por v1 e v2 + λv1, para todo o valor de λ. Escolha entao λde tal sorte que v1 e v2 + λv1 formem um retangulo, i.e., escolha de tal forma que essesvetores sejam ortogonais,

v1 ⊥ v2 + λv1

Assim

(v2 + λv1)Tv1 = 0

vT2 v1 + λvT1 v1 = 0 ⇒ λ =vT2 v1

vT1 v1

Agora, sejam u1 = v1 e u2 = v2 − vT2 v1

vT1 v1

v1. E claro que u1 ⊥ u2 (foram construıdos

para tal). Denote por

P(u,v) = ‘paralelogramo gerado por u e v’

Entao

areaP(u1,u2) = ||u1|| ||u2||

e tambem

areaP(v1,v2) = areaP(u1,u2)

Seja

A =

| |u1 u2

| |

18

3.1. CALCULO DE AREAS 19

a matriz cujas colunas sao os vetores u1 e u2. Entao,

ATA =

(— uT1 —— uT2 —

) | |u1 u2

| |

=

(uT1 u1 0

0 uT2 u2

)donde

det(ATA) = uT1 u1uT2 u2 = ||u1||2||u2||2

logo

areaP(u1,u2) = ||u1|| ||u2|| =√

det(ATA)

quando u1 ⊥ u2.Por outro lado, seja

B =

| |v1 v2

| |

a matriz cujas colunas sao os vetores v1 e v2 e note que | |

u1 u2

| |

=

| |v1 v2 − λv1

| |

=

| |v1 v2

| |

R︷︸︸︷(

1 −λ0 1

)ou, em outras palavras,

A = BR

onde R e uma matriz quadrada, 2× 2. Entao,

det(ATA) = det(RTBTBR) = det(RT ) det(BTB) det(R) = det(BTB)

uma vez que detR = detRT = 1.A matriz BTB e a matriz de Gram dos vetores v1 e v2,

BTB =

(vT1 v1 vT1 v2

vT2 v1 vT2 v2

)e e instrumental na determinacao da area do paralelogramo formado por v1 e v2. De fato,do que ficou dito, temos, em geral,

areaP(v1,v2) = |√

det(BTB) |

Observacao 6 Note que, se os vetores v1 e v2 estiverem em IR2, a matriz B e quadradae, como o determinante de uma matriz e de sua transposta sao iguais, temos det(BTB) =det(BT ) det(B) = (detB)2, donde,

areaP(v1,v2) =√

det(BTB) =√

(detB)2 = | detB|

20 CAPITULO 3. AREAS E VOLUMES

3.2 Volumes

Em IR3, sejam tres vetores l.i.’s, v1, v2 e v3. Seja

P(v1,v2,v3) = ‘paralelepıpedo gerado pelos vetores’

Entao, analogamente ao que foi feito para dois vetores em IR2 pode-se concluir que

volume (P(v1,v2,v3)) = | detA|

onde A e a matriz cujas colunas sao os vetores v1, v2 e v3.

3.3 Hipervolume

Em IR4, sejam quatro vetores l.i.’s, v1, v2, v3 e v4, gerando um hiper-paralelogramo de16 = 24 = C0

4 + C14 + C2

4 + C34 + C4

4 vertices dados por:

C04 = 1 0 = (0, 0, 0, 0)

C14 = 4 v1, v2, v3, v4

C24 = 6 v1 + v2, v1 + v3, v1 + v4, v2 + v3 v2 + v4 v3 + v4

C34 = 4 v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v4, v1 + v3 + v4, v2 + v3 + v4

C44 = 1 v1 + v2 + v3 + v4

Seja

P(v1,v2,v3,v4) = ‘hiper-paralelogramo gerado pelos vetores’

Entao,

4-volume (P(v1,v2,v3,v4)) = | detA|

onde A e a matriz cujas colunas sao os vetores v1, v2, v3 e v4.Note que os vetores sao l.i.’s se e somente se detA 6= 0.

3.4 Paralelogramo em IR3

Dados v1 e v2 ∈ IR3, tem-se o paralelogramo gerado, P(v1,v2). A matriz A cujas colunassao os vetores v1 e v2,

A =

| |v1 v2

| |

=

a11 a12

a21 a22

a31 a32

3.5. CRITERIO DO DETERMINANTE PARA VETORES L.I.’S 21

tem tres submatrizes, escolhendo duas linhas em tres, (C23 = 3),

A12 =

(a11 a12

a21 a22

), A13 =

(a11 a12

a31 a32

), A23 =

(a21 a22

a31 a32

)Cada uma delas contem dois vetores correspondentes, respectivamente, a projecao dosvetores originais nos planos xy, xz e yz, gerando em cada plano, paralelogramos (casual-mente as projecoes podem ser l.d.’s e nao gerar paralelogramos). Mostramos o seguinte‘Teorema de Pitagoras’ para as areas:

(areaP)2 = (areaP12)2 + (areaP13)2 + (areaP23)2

onde, por exemplo, P12 representa o paralelogramo resultante da projecao do paralelo-gramo original no plano xy.

Demonstracao Vimos, anteriormente, que

(areaP(v1,v2))2 = det(ATA) (3.1)

= det

(vT1 v1 vT1 v2

vT2 v1 vT2 v2

)= det

(a2

11 + a221 + a2

31 a11a12 + a21a22 + a31a23

a11a12 + a21a22 + a31a32 a212 + a2

22 + a232

)=

(a2

11 + a221 + a2

31

) (a2

12 + a222 + a2

32

)− (a11a12 + a21a22 + a31a32)2

= a211a

212 + a2

11a222 + a2

11a232 + a2

21a212 + a2

21a222 + a2

21a232 + a2

31a212 + a2

31a222 + a2

31a232

−(a2

11a212 + a2

21a222 + a2

31a232 + 2a11a12a21a22 + 2a11a12a31a32 + 2a21a22a31a32

)= a2

11a222 + a2

11a232 + a2

21a212 + a2

21a232 + a2

31a212 + a2

31a222

−2a11a12a21a22 − 2a11a12a31a32 − 2a21a22a31a32

Por outro lado

(detA12)2 = det

[(a11 a12

a21 a22

)]2

= a211a

222 − 2a11a12a21a22 + a2

12a221

(detA13)2 = det

[(a11 a12

a31 a32

)]2

= a211a

232 − 2a11a32a31a12 + a2

31a212 (3.2)

(detA23)2 = det

[(a21 a22

a31 a32

)]2

= a221a

232 − 2a21a32a31a22 + a2

31a222

(...horas depois...) comparando as equacoes (3.1) e (3.2), concluımos a demonstracao doresultado.

3.5 Criterio do determinante para vetores l.i.’s

Os vetores v1, v2, v3 ∈ IRn sao l.i’s se e somente se algum dos subdeterminantes 3× 3, (eha C3

n tais subdeterminantes) da matriz A, n× 3 cujas colunas sao os vetores dados, for

22 CAPITULO 3. AREAS E VOLUMES

nao nulo. Caso contrario, isto e, se todos os subdeterminantes 3 × 3 forem nulos, entaoos vetores sao l.d.’s.

Este resultado se generaliza para k vetores em IRn, k ≤ n. Os vetores v1, v2, . . .vk ∈IRn sao l.i.’s se somente se algum subdeterminante k × k da matriz A cujas colunas saoos vetores dados, for nao nulo. Se todos os Ck

n subdeterminantes forem nulos, entao osvetores serao l.d.’s.

Tambem,

k − volumeP (v1,v2, . . .vk) =

√ ∑klinhas

(detAk linhas)2

Observacao 7 Hiper-volume ou k-volume

• k = 1 comprimento

• k = 2 area

• k = 3 volume (usual)

• (k = 0 numero de elementos)

Capıtulo 4

Gram-Schmidt

4.1 Processo de ortogonalizacao

Considere o seguinte problema. Dados os vetores l.i.’s, obtenha uma base para o espacogerado. Para ilustrar, consideremos tres vetores, a, b e c em IRn, independentes, eU = span {a, b, c}, deseja-se obter uma base ortonormal para U . Uma forma de seresolver este problema e atraves do processo de Gram-Schmidt ou algum de seus variantes.Pode-se inicialmente ortogonalizar (10 passo) e em seguida normalizar (20 passo).10 passo: ortogonalizacao. Sejam

q1 = a

q2 = b− q1q1T

q1T q1

b (4.1)

q3 = c− q1q1T

q1T q1

c +q2q2

T

q2T q2

c (4.2)

Pode-se verificar que os vetores q1, q2 e q3 sao ortogonais entre si (i.e. dois a dois). Istoe natural se observarmos como foram obtidos. O vetor q2 e obtido de b, ‘retirando-se’ acomponente paralela ao vetor q1, que e a projecao ortogonal de b sobre a direcao de q1,

q1q1T

q1T q1

b

Analogamente, o vetor q3, e obtido retirando-se as componentes paralelas a q1 e q2.20 passo: normalizacao. Sejam

q1 =q1

||q1||

q2 =q2

||q2||(4.3)

q3 =q3

||q3||Os vetores q1, q2 e q3, formam uma base ortonormal de U .

23

24 CAPITULO 4. GRAM-SCHMIDT

4.2 Fatoracao QR de uma matriz

Da equacao (4.1) podemos reescrever

a = q1

b =

s12︷︸︸︷q1

Tb

q1T q1

q1 + q2

c =

s13︷︸︸︷q1

Tc

q1T q1

q1+

s23︷︸︸︷q2

Tc

q2T q2

q2 + q3

ou, agrupando em forma matricial, | | |a b c| | |

=

| | |q1 q2 q3

| | |

1 s12 s13

0 1 s23

0 0 1

Da equacao (4.3), temos

q1 = ||q1||q1 q2 = ||q2||q2 q3 = ||q3||q3

temos, | | |q1 q2 q3

| | |

=

| | |||q1||q1 ||q2||q2 ||q3||q3

| | |

=

| | |q1 q2 q3

| | |

||q1|| 0 00 ||q2|| 00 0 ||q3||

Sendo entao R a seguinte matriz,

R =

r11 r12 r13

0 r22 r23

0 0 r33

=

||q1|| 0 00 ||q2|| 00 0 ||q3||

1 s12 s13

0 1 s23

0 0 1

=

||q1|| ||q1||s12 ||q1||s13

0 ||q2|| ||q2||s23

0 0 ||q3||

pode-se escrever (qualquer matriz com colunas l.i.’s) A como o produto

A = QR

onde Q e uma matriz com colunas ortonormais, possivelmente retangular, e R matrizquadrada triangular superior. Essa e a fatoracao QR de uma matriz.

4.2. FATORACAO QR DE UMA MATRIZ 25

Assuma que A e uma matriz quadrada, e tenhamos a fatoracao QR de A. Neste caso,a matriz Q tambem sera quadrada, logo e uma matriz ortogonal, i.e., QTQ = I. Nestecaso, para resolver o sistema Ax = b, notamos que

Q

y︷︸︸︷Rx = b

donde, resolvemos primeiramente para y o sistema,

Qy = b

cuja solucao e obtida simplesmente por multiplicacao de matrizes, y = QTb, e em seguidaresolve-se

Rx = y

que so envolve retro-substituicao (igualmente facil).

Capıtulo 5

Teorema Fundamental da AlgebraLinear

5.1 Multiplicacao de matrizes

Sejam A uma matriz m× p e B uma matriz q× n. Se p = q e possıvel multiplicar A porB; se p 6= q nao e possıvel.

Exemplo 8 Considere A, matriz 2× 3 e B, matriz 3× 4. −1 1 1 02 1 1 00 −1 1 0

(

2 2 31 5 2

) (· · · 1 · · · · · ·· · · · · · 8 · · ·

)Em geral, seja:

• Ai = ‘i-esima linha da matriz A’;

• Bj = ‘j-esima coluna da matriz B’;

• Cij = ‘elemento da matriz C na i-esima linha e j-esima coluna’.

Seja ainda C = AB. Define-se

Cij =

p∑k=1

AikBkj

para todo i = 1, . . .m e j = 1, . . . n.Com essa definicao de produto de matrizes, e notando que Ai e uma matriz 1 × p e

Bj e uma matriz p× 1, entao, Cij = AiBj, e uma matriz 1× 1.

26

5.1. MULTIPLICACAO DE MATRIZES 27

Algoritmo para calculo de C = A×B A = A7×5; B = B5×8; C = C7×8

BeginAlgorithm. Faca C ← 0, a matriz nula.. For i = 1 : 7 → (escolhe a linha do resultado). For j = 1 : 8 → (escolhe a coluna do resultado). For k = 1 : 5 → (calcula o resultado como acumulacao progressiva). Cij ← Cij + Aik ·Bkj

. EndFor

. EndFor

. EndForEndAlgorithm

O que acontece se trocarmos a ordem dos For’s ? Quantas trocas existem?

Algumas formas de ‘olhar’ a multiplicacao de matrizes Podemos organizar amultiplicacao de matrizes por diferentes blocos: elementos, linhas, colunas, etc, Vejamosalgumas possibilidades.

. . . . . . . . .— Ai —. . . . . . . . .

...... | ...

...... Bj ...

...... | ...

=

...

......

......

... Cij...

......

......

Observamos que Cij = AiB

j.

| | | || | | || | | || | | || | | |

... | ...

... Bl ...

... | ...

... | ...

=

... | ...... C l ...... | ...... | ...

Notamos que C l e combinacao linear das colunas de A com coeficientes dados pelas colunaBl.

Vejamos uma ultima e importante estruturacao do produto de duas matrizes:

| | |A1 A2 A3

| | |

— B1 — —— B2 — —— B3 — —

= A1B1 + A2B2 + A3B3

28 CAPITULO 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA LINEAR

5.2 A geometria dos sistemas lineares

Intersecao de conjuntos ‘lineares’: 2x− y + z = 2x+ y − 2z = 0x− 2y − z = −2

Neste caso, o conjunto solucao representa a intersecao de tres planos (tres conjuntos‘lineares’):

• plano π1: plano perpendicular ao vetor (2,−1, 1) e passando pelo ponto (4, 2, 0);

• plano π2: plano perpendicular ao vetor (1, 1,−2) e passando pelo ponto (0, 0, 0);

• plano π3: plano perpendicular ao vetor (1,−2,−1) e passando pelo ponto (0, 1,−1)

A unica solucao e (1, 1, 1).Representacao de vetor por combinacao linear das colunas da matriz: 2 −1 1

1 1 −21 −2 −1

xyz

=

20−1

2

11

−11−2

1−2−1

xyz

=

20−2

x

211

+ y

−11−2

+ z

1−2−1

=

20−2

5.3 A geometria das transformacoes lineares

Uma funcao (ou transformacao) T : IRn → IRm e linear se

• T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u,v ∈ IRn(‘T da soma e a soma dos T ’s’);

• T (λu) = λT (u) para todo λ ∈ IR e todo u ∈ IRn (‘T do multiplo e o multiplo doT ’).

Em particular, T (0) = 0, (T (‘vetor nulo em IRn’) = ‘vetor nulo em IRm’). Em outraspalavras: e condicao necessaria, mas nao suficiente, para T ser linear que ‘leve’ o zero nozero.

5.3. A GEOMETRIA DAS TRANSFORMACOES LINEARES 29

Uma funcao linear e ‘confundıvel’ com uma matriz, a matriz cujas colunas sao asimagens dos vetores canonicos. Seja A uma matriz m× n e u um vetor em IRn. Entao afuncao

u 7→ Au

cujo domınio e IRn e contradomınio e IRm e linear. Ademais,

Ae1 = A1 = ‘a primeira coluna de A’

Ae2 = A2 = ‘a segunda coluna de A’...

Aen = An = ‘a n-esima coluna de A’

Dois subespacos importantes associados a uma transformacao linear A sao o nucleo,N(A), um subespaco do domınio, e a imagem, Im(A), um subespaco do contradomınio,

N(A) = {x ∈ IRn | Ax = 0} = ‘nucleo da transformacao A’

Im(A) = {y = Ax ∈ IRm para algum x ∈ IRn} = ‘imagem da transformacao A’

O nucleo e tambem chamado de espaco nulo, e a imagem de espaco coluna. Se apli-carmos os mesmos conceitos a matriz AT teremos, o nucleo de AT , que para a matriz Ae chamado de espaco nulo a esquerda de A, isto porque,

ATy = 0 ⇔ (ATy)T = 0 ⇔ yT (AT )T = 0 ⇔ yTA = 0

e o espaco coluna de AT e o chamado espaco linha de A. Estes espacos vetoriais saoconhecidos como os quatro espacos fundamentais de A.

Pela definicao, observamos que para se saber se x pertenca a N(A) basta calcular Axe verificar se e nulo, ao passo que se quisermos saber se determinado y pertence a Im(A),e necessario resolver, para x, o sistema de equacoes Ax = y.

Por outro lado, se quisermos determinar todos os elementos de N(A), devemos resolvero sistema de equacoes Ax = 0, ao passo que para gerar um elemento de Im(A) bastaescolher um qualquer elemento x de IRn e calcular Ax, que pertencera a Im(A).

Definicao Dados vetores u1, u2, . . . ,uk ∈ IRn, o espaco gerado por eles e o subespacocontendo todas as combinacoes lineares desses vetores,

span{u1, u2, . . . ,uk} = {c1u1 + c2u2 + . . . ckuk,∀c1, c2 . . . ck ∈ IR}

A imagem de A e entao o espaco gerado pelas colunas de A,

Im(A) = span{A1, A2, . . . An}

Uma matriz A, (i.e., uma funcao linear), ‘leva’ subespacos em subespacos. Em parti-cular, como uma reta passando pela origem e um subespaco, se colecionarmos as imagens


dos pontos de uma reta passando pela origem, como este conjunto tem que ser um su-bespaco vetorial, entao so podera ser uma nova reta passando pela origem ou a propriaorigem.

Mas mais ainda. Transformacoes lineares levam translacoes de subespacos em translacoesde subespacos. Assim,

• pontos vao em pontos (esta afirmacao e sem graca: cada ponto do domınio vai emum e um so ponto do contradomınio por definicao de funcao);

• retas vao em retas ou em pontos;

• planos vao em planos, retas ou pontos.

Como exemplo muito simples, considere a transformacao linear

P : IR3 → IR3

(x, y, z) 7→ P (x, y, z) = (x, y, 0)

que representa uma projecao ortogonal sobre o plano xy, e e dada pela matriz P

P

xyz

=

1 0 00 1 00 0 0

xyz

=

xy0

Entao,

• a reta t(1, 1, 1), ∀t ∈ IR tem por imagem a reta dada pela equacoes x = y e z = 0,ou parametricamente, por (t, t, 0), ∀t ∈ IR;

• Ja a reta (0, 0, t), ∀t ∈ IR tem por imagem a origem (0, 0, 0);

• o plano z = 3 tem por imagem o plano z = 0, ou seja o plano xy;

• o plano x+ y = 1 tem por imagem a reta (1, 0) + t(1,−1),∀t ∈ IR.

Exemplo 9 Dada a transformacao linear definida pela matriz T ,

T =

(1 0 1/20 1 2

)determine a imagem por T da reta definida pelos pontos (1, 1, 1) e (3, 2,−1).

Podemos fazer este problema determinando a reta e depois sua imagem, ou determinandoa imagem dos pontos e depois o conjunto (reta ou ponto) que eles definem.

5.4. ORTOGONALIDADE 31

• Primeiro a reta e depois a imagem. A reta tem por direcao o vetor diferenca(3, 2,−1)− (1, 1, 1) = (2, 1,−2), e a equacao parametrica e:

t 7→ (1 + 2t, 1 + t, 1− 2t)

Assim, calculando a imagem do ponto generico,

T

1 + 2t1 + t1− 2t

=

(1 0 1/20 1 2

) 1 + 2t1 + t1− 2t

=

(32

+ 32t

3− 3t

)

que e a reta pelo ponto (32, 3) com direcao definida pelo vetor (3

2,−3).

• As imagens dos pontos dados sao:

T

111

=

(32

3

)e T

32−1

=

(52

1

)

Vemos entao estes pontos correspondem a fazer t = 0 e t = 2/3, na reta obtidaanteriormente. Como a imagem e uma reta, e passa pelos pontos obtidos, e amesma.

5.4 Ortogonalidade

Recordamos alguns conceitos sobre produto interno. O produto interno ou escalar de doisvetores em IRn e dado por

〈u,v〉 =n∑i=1

uivi = u1v1 + u2v2 + . . . unvn

e a norma de um vetor e dada por:

||u|| =√〈u,u〉 =

√u2

1 + u22 + u2

3 + . . . u2n

Dois vetores sao chamados ortogonais se e somente se

u1v1 + u2v2 + . . . unvn = 0

Neste caso denota-se u ⊥ v (e le-se u e perpendicular a v). A motivacao para estadefinicao, e que para v−u ser a hipotenusa do triangulo com outros lados u e v, devemoster o teorema de Pitagoras satisfeito, i.e.,

||u||2 + ||v||2 = ||v − u||2

e usando as definicoes esta equacao implica que u1v1 + u2v2 + . . . unvn = 0.


Definicao Subespacos U e V ⊂ IRn sao ortogonais se e somente se para todos u ∈ U ev ∈ V , tem-se u ⊥ v (i.e. uTv = 0).

Exemplo 10 Em IR3 o plano xy (U = {(a, b, 0), ∀a, b ∈ IR})e o eixo dos z’s (V ={(0, 0, c), ∀c ∈ IR})sao espacos ortogonais. De fato,

uTv = (a b 0)

00c

= 0

Exemplo 11 Os espacos

U = ‘plano xy’;

V = ‘plano xz,

nao sao espacos ortogonais. Verifique.

Definicao Dado um subespaco U , o espaco perpendicular ou ortogonal a U , denotadopor U⊥ (le-se U perp) e o subespaco formado por todos os vetores w que sejam ortogonaisa cada um dos vetores de U , i.e., em sımbolos,

w ∈ U⊥ ⇔ w ⊥ u, ∀u ∈ U

No exemplo 10, tem-se que U⊥ = V e V ⊥ = U . No exemplo 11 tem-se que V ⊥ ={(0, y, 0), ∀y ∈ IR = ‘eixo dos y’s.

Observacao Pode-se verificar que (U⊥)⊥ = U , isto e, calculando-se o perp do perp deum subespaco em IRn obtem-se novamente o subespaco original. (O perp do perp e oproprio espaco).

Definicao Dados dois subespacos U e V , ortogonais, definimos o subespaco U ⊕ V ={u + v, ∀u ∈ U, v ∈ V }, chamado soma direta ortogonal. Dados dois subespacos U eV , ortogonais, dizemos que sao complementares ortogonais se, dado qualquer vetor doespaco, w, ele puder ser escrito, de forma unica, como a soma de um elemento de U e umde V . Denota-se isto escrevendo U ⊕ V = IRn

E fato que dim(U ⊕ V ) = dim(U) + dim(V ).No exemplo 10, U e V sao complementares ortogonais. De fato, em geral, dado U , seu

complementar ortogonal e U⊥.Em IR3, o eixo dos x’s e o eixo dos z’s sao subespacos ortogonais, mas nao sao com-

plementares ortogonais.Com a notacao introduzida, podemos enunciar o

5.4. ORTOGONALIDADE 33

Teorema Fundamental da Algebra Linear Dada uma matriz A, m× n,

• O espaco nulo de uma matriz A e o complementar ortogonal do espaco linha de A,em IRn;

• O espaco nulo a esquerda e o complementar ortogonal do espaco coluna de A emIRm.

Como

• o espaco nulo de A e o nucleo de A, N(A);

• o ‘espaco coluna de A’ e a imagem de A, Im(A);

• o ‘espaco linha de A’ e Im(AT );

• e o ‘espaco nulo ‘a esquerda de A’, e o nucleo da transposta, N(AT ),

podemos escrever o TEFAL da seguinte forma simbolica:

(Im(AT ))⊥ = N(A)

(Im(A))⊥ = N(AT )

Podemos ainda escrever:

N(A)⊕ Im(AT ) = IRn

N(AT )⊕ Im(A) = IRm

Como consequencia temos que

dim N(A) + dim Im(AT ) = n = dim Dom(A)

dim N(AT ) + dim Im(A) = m = dim ContraDom(A)

Observamos que dim Im(A) = dim Im(AT ) que e o posto da matriz e e o numero de pivos.Assim, pode-se esvrever

dim N(A) + dim Im(A) = n = dim Dom(A)

Este ultimo resultado e mais conhecido como o teorema do nucleo e da imagem. Qua-litativamente podemos expressar o resultado da seguinte forma: Tendo n dimensoes nodomınio da transformacao linear A, algumas sao anuladas (dim N(A)) e outras ‘sobrevi-vem’ na imagem de A, de forma a que todas as dimensoes iniciais estao contabilizadas.Poder-se-ia dizer que este resultado e uma ‘lei de balanco de dimensoes’.

Como consequencia to TEFAL, Im(A) = N(AT )⊥, e como o sistema linear Ax = btem solucao se e somente se b ∈ Im(A) ou seja b ∈ N(AT )⊥, isto e b tem que ser ortogonalao nucleo da transposta, ou aos elementos de uma base desse espaco. Se v1, . . . ,vl foremuma base de N(AT ), deve-se ter:

〈b,vi〉 = 0 i = 1, . . . l

Estas equacoes sao chamadas de condicoes de compatibilidade.


Exemplo 12 Considere o sistema 1 −1 00 1 −1−1 0 1

x1

x2

x3

=

b1

b2

b3

Como N(AT ) = span{(1, 1, 1)}, entao o sistema tem solucao se e somente se b satisfizer aseguinte condicao de compatibilidade:

b1 + b2 + b3 = 0

Observacao

Assuma que A e uma matriz real simetrica. Entao existe matriz ortogonal Q e matrizdiagonal D tal que:

AQ = QD

ou

A = QDQT

Sendo Q1, . . . , Qn as colunas de Q e d1, . . . dn as entradas da diagonal principal de D,pode-se verificar que:

A = d1Q1(Q1)T + d2Q

2(Q2)T + . . . dnQn(Qn)T (5.1)

Uma vez que as colunas (e as linhas) de Q sao vetores com norma 1, notamos que a matrizP1 = Q1(Q1)T e uma matriz de projecao, isto e, (P1)2 = P1. Alias, como P1 e uma matrizsimetrica, entao P1 e uma projecao ortogonal. Como tambem e uma matriz com posto 1,a imagem e gerada pelo vetor Q1, P1 e a matriz da projecao ortogonal sobre a direcao deQ1. Resultado analogo vale para Pi, i = 1, 2, . . . , n.

A equacao (5.1) ‘revela’ como ‘funciona’ uma matriz real simetrica. Calculando Ax oresultado e

Ax = d1Q1(Q1)Tx + d2Q

2(Q2)Tx + . . . dnQn(Qn)Tx

= d1P1x + d2PT2 x + . . . dnPnx (5.2)

Dado x, a componente de x no eixo definido por Qi,

Pix = Qi(Qi)Tx

e multiplicada por di para produzir a imagem; a soma dessas componentes amplia-das/reduzidas, espelhadas ou nao, e o vetor resultante, como mostra a equacao (5.2).A ampliacao versus reducao e definida por | di |. Se | di |> 1 tem-se uma ampliacao,se 0 < | di |< 1 tem-se uma reducao, se di = 0 tem uma anulacao, e se | di |= 1nao ha nem reducao, nem ampliacao, tem-se uma manutencao. Ja se di < 0 tem-se umespelhamento, caso contrario nao.

Capıtulo 6

Autovalores e Autovetores

6.1 Motivacao

Considere o problema de valor inicial (PVI) para uma equacao diferencial ordinaria (EDO)linear de 1a ordem {

dxdt

= ax , t > 0x(0) = x0

A solucao geral da EDO e

x(t) = ceat

onde c e uma constante qualquer, e assim,

x0 = x(0) cea0 = c → x0 = c

a solucao do PVI e dada por

x(t) = x0eat

Quando

• a > 0 o PVI e um modelo para o crescimento populacional;

• a < 0 tem-se um modelo para o decaimento radiativo;

• a = tem-se um modelo para uma situacao constante, que nao varia com o tempo(estacionaria).

No primeiro caso temos uma escala de tempo naturalmente associada ao fenomeno sendomodelado,

td = ‘o tempo necessario para que a quantidade x dobre de valor’

35

36 CAPITULO 6. AUTOVALORES E AUTOVETORES

Neste caso, td satisfaz,

x0eatd = x(td) = 2x0

donde, aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equacao anterior, obtemos

td =ln(2)

a

Analogamente, para o segundo caso, define-se a seguinte escala de tempo,

tm = ‘vida media’

o tempo necessario para a quantidade x se reduzir a metade do seu valor inicial,

tm = − ln(2)

a

que tambem e uma quantidade positiva, uma vez que, neste caso, a < 0.Considere agora um PVI para um sistema de duas equacoes diferenciais ordinarias a

duas funcoes incognitas, lineares de 1a ordem{dxdt

= ax+ bydydt

= cx+ dyt > 0

{x(0) = x0

y(0) = y0

onde as equacoes estao no lado esquerdo e as condicoes iniciais no lado direito da equacaoem destaque anterior.

Utilizando notacao matricial o sistema pode ser reescrito como

dvdt︷︸︸︷

d

dt

(xy

)=

A︷︸︸︷(a bc d

) v︷︸︸︷(xy

),

v(0)︷︸︸︷(x(0)y(0)

)=

v0︷︸︸︷(x0

y0

)Assim, em notacao vetorial, temos:

d

dtv = Av , v(0) = v0 (6.1)

Procuremos solucoes na forma de ‘separacao de variaveis’,

v(t) =

(αβ

)eλt (6.2)

(onde temos a separacao das variaveis de estado, (α, β)T , e a variavel temporal, eλt). Comv dada pela equacao (6.2), temos

d

dtv =

d

dt

(αeλt

βeλt

)=

(αλeλt

βλeλt

)= λeλt

(αβ

)(6.3)

6.1. MOTIVACAO 37

Av(t) = eλtA

(αβ

)(6.4)

Impondo que os lados direitos de (6.3) e (6.4) se igualem, (i.e., que v(t) dada em (6.2)satisfaca a equacao (6.1), obtemos,

eλtA

(αβ

)= λeλt

(αβ

), ∀t,

ou, uma vez que eλt 6= 0, ∀t,

A

(αβ

)= λ

(αβ

)(6.5)

Resumindo temos: v = v(t) dado na equacao (6.2) e solucao do sistema de EDO’s(6.1) se e so se α, β, e λ satisfazem equacao (6.5). Assim, e natural estudar equacoes dotipo da equacao (6.5).

Definicao 13 Dada uma matriz quadrada A, n× n, procura-se λ (escalar pertencente aIR ou C) e vetor v 6= 0 (pertencente a IRn ou a Cn, tais que

Av = λv (6.6)

Os λ’s que satisfazem esta equacao sao chamados de autovalores da matriz, e os corres-pondentes v’s sao chamados de autovetores.

Observacao 14 a) As incognitas, neste problema, sao λe v;b) O conjunto dos autovalores de uma matriz e o espectro da matriz,

σ(A) = {λ, tal que existe v 6= 0 satisfazendo Av = λv}

c) O problema (6.6) nao e linear uma vez que envolve produtos das incognitas, λv.

Exemplo 15 Reflexao por reta. Considere a reflexao, R, pela reta passando pela origeme com direcao dada pelo vetor (3,−2)T . Temos:

R

(3−2

)=

(3−2

)→

(3−2

)e autovetor de R associado ao autovalor λ = 1

R

(23

)= −

(23

)→

(23

)e autovetor de R associado ao autovalor λ = −1

Note que os vetores(46

),

(−2−3

),

(−4−6

),

(1015

)e

(2/31

)tambem sao autovetores de R associados ao autovalor −1 uma vez que sao todos elesmultiplos nao nulos do autovetor (2, 3)T .


Exemplo 16 Projecao sobre reta. Considere a projecao ortogonal, Π, sobre a reta dadano exemplo anterior. Entao

Π

(23

)=

(00

)Π

(3−2

)=

(3−2

)logo (2, 3)T e autovetor de Π associado ao autovalor 0 e (3,−2)T e autovetor de Π associadoao autovalor 1.

Observacao 17 a) Todo o vetor u 6= 0 que esteja no nucleo da matriz A e um autovetorassociado ao autovalor 0. Em outras palavras, zero e um autovalor de uma matriz se esomente se seu nucleo for nao-trivial;b) Se u 6= 0 e autovetor da matriz A relativo ao autovalor λ, entao todo o seu multiplinao-nulo, ku, com k 6= 0 tambem sera autovetor de A para o mesmo autovalor λ;c) Recordamos que uma matriz quadrada A e inversıvel se e so se N(A) = {0}. Assim,A e inversıvel se e so se 0 nao for autovalor de A.d) O problema de determinacao dos autovalores, envolvendo o determinante, e altamentenao-linear. Conhecidos os autovalores, a determinacao dos autovetores e um problemalinear.

6.2 Determinacao analıtica dos autovalores

Para resolver

Av = λv

escrevemos

Av − λIv = 0

ou, ainda, colocando em evidencia o v,

(A− λI)v = 0

Procuramos solucoes nao-triviais (ie., v 6= 0) desta equacao. Isto ocorre se e so se A− λIfor nao-inversıvel, ou seja, se e so se det(A− λI) = 0.

Observacao 18 a) pc(λ) = det(A − λI) e um polinomio de grau n em λ, chamado depolinomio caracterıstico de A.b) pc(λ) tem n raızes se forem contadas as multiplicidades;c) As raızes podem ser complexas;d) λ e um autovetor de A se e so se λ e raiz do polinomio caracterıstico.

6.3. APLICACAO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE EDO’S 39

Exemplo 19 Dada a matriz

A =

(4 −52 −3

)calcule os autovalores e correspondentes autovetores.

Solucao Polinomio caracterıstico de A,

pc(λ) = det(A− λI) = det

(4− λ −5

2 −3− λ

)= (4− λ)(−3− λ)− 2(−5)

= λ2 − λ− 2

As raızes sao λ = 2 e λ = −1, isto e, σ(A) = {−1, 2}.Calculo do autovetor associado a λ = 2

(A− λI)v = 0 ⇔(

2 −52 −5

)(xy

)=

(00

)⇔ 2x− 5y = 0 ⇔

(xy

)= k

(52

)para todo k 6= 0, ou seja, (5, 2)T ou qualquer multiplo nao-nulo e autovetor associado aoautovalor λ = 2.

Calculo do autovetor associado a λ = −1(5 −52 −2

)(xy

)=

(00

)⇔

(xy

)= k

(11

)Exercıcio 20 Interprete geometricamente a transformacao linear associada a matriz A,vendo como e transformado o paralelogramo gerado pelos autovetores (5, 2)T e (1, 1)T .

6.3 Aplicacao ao estudo de sistemas de EDO’s

Considere o PVI para um sistema de EDO’s{dvdt

= 4v − 5w, t > 0, v = 8 em t = 0dvdt

= 2v − 3w, t > 0, w = 5 em t = 0

Sejam

u =

(v(t)w(t)

), u0 = u(0) =

(v(0)w(0)

)=

(85

)e A =

(4 −52 −3

)Entao, em forma vetorial o problema se escreve

du

dt= Au, t > 0, sistema de EDO’s (6.7)

u(0) = u0, condicoes iniciais (6.8)


Procure solucoes da forma u(t) = xeλt, com x um vetor e λ um escalar (uma constante).Solucoes nao-triviais somente quando (λ,x) e um par (autovalor, autovetor) da matriz A.

Usando os calculos realizados na secao anterior, concluımos que

u1 = e−t(

11

)e u2 = e2t

(52

)sao duas solucoes do sistema de equacoes (6.7).

Observamos que a combinacao linear de solucoes do sistema (6.7) tambem e solucaodo sistema. De fato,

d

dt

u(t)︷︸︸︷(c1u1(t) + c2u2(t)) = c1

du1

dt+ c2

du2

dt= c1Au1 + c2Au2 = A

u︷︸︸︷(c1u1 + c2u2)

isto e,

du

dt= Au

Assim, para resolver o PVI, procuramos c1 e c2 tais que

c1u1(0) + c2u2(0) =

(85

)ou seja,

c1

(11

)+c2

(52

)=

(85

)⇔(

1 51 2

)(xy

)=

(85

)⇔{c1 + 5c2 = 8c1 + 2c2 = 5

⇔{c1 = 3c2 = 1

Solucao do sistema (6.7) satisfazendo as condicoes iniciais (6.8) e:

u(t) = 3e−t(

11

)+ 1

(52

)e2t =

(3e−t + 5e2t

3e−t + 2e2t

)Observacao 21 a) Seja λ um autovalor de A, n×n. O conjunto de todos os vetores v quesao autovetores de A correspondendo ao autovalor λ, juntamente com o vetor nulo, v = 0,(que nao e autovetor), forma um subespaco de IRn, chamado de autoespaco associado aoautovalor λ, Vλ, i.e.,

Vλ = {v tal que Av = λv}

e um subespaco, o autoespaco do autovalor λ.b) O traco de uma matriz A e:

tr (A) =n∑i=1

aii

6.3. APLICACAO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE EDO’S 41

E fato que

tr (A) =n∑i=1

λi = λ1 + λ2 + . . . λn (6.9)

det(A) =n∏i=1

λi = λ1 · λ2 · . . . λn (6.10)

No exemplo,

V−1 = span {(1, 1)T}V2 = span {(5, 2)T}

Tambem

tr (A) = a11 + a22 = 4 + (−3) = 1 = 2 + (−1) = λ1 + λ2

det(A) = a11 · a22 − a21 · a12 = 4 · (−3)− (−5) · 2 = −2 = 2 · (−1) = λ1 · λ2

Exemplo 22 Vamos demonstrar os resultados das equacoes (6.9), (6.10) no caso 2 × 2.O polinomio caracterıstico da matriz

A =

(a bc d

)e

pc(λ) = (a− λ)(d− λ)− bc = λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc)= λ2 − tr (A)λ+ det(A)

Se λ1 e λ2 sao as raızes de pc, entao, pc pode ser escrito como

pc(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1 · λ2

Aassim, igualando os coeficientes, temos

λ1 + λ2 = tr (A) = a11 + a22

λ1 · λ2 = det(A) = a11 · a22 − a21 · a12

Capıtulo 7

Diagonalizacao de Matrizes

7.1 Resultado basico

Definicao 23 Uma matriz A, n×n, e diagonalizavel se e so se existe matriz P , inversıvel,e matriz D diagonal, (i.e. fora da diagonal principal os elementos sao nulos), tais que

A = PDP−1 (ou AP = PD)

Teorema 24 Dada matriz A, n × n, com n autovetores l.i.’s, entao A e diagonalizavel,e se λ1, . . . , λn sao os autovalores e v1, . . . ,vn sao os correspondentes autovetores, entaopodemos tomar

D =

λ1 · · · · · · O· · · . . . · · · · · ·· · · · · · . . . · · ·O · · · · · · λn

e P =

| ...

... |v1

...... vn

| ...... |

| ...... |

onde O representa os zeros da matriz.

Exemplo 25 Seja a matriz A do exemplo (19). Entao,

D =

(−1 00 2

)P =

(1 51 2

)donde,

P−1 =1

−3

(2 −5−1 1

)=

(−2

353

13−1

3

)Entao (

4 −52 −3

)=

(1 51 2

)(−1 00 2

)(−2/3 5/31/3 −1/3

)

42

7.1. RESULTADO BASICO 43

Demonstracao Escrevendo a condicao de autovalor-autovetor temos,

Av1 = λ1v1

......

Avn = λnvn

Organizando em forma matricial

AP =

| | ... |

Av1 Av2... Avn

| | ... || | ... |

=

| | ... |

λ1v1 λ2v2... λnvn

| | ... || | ... |

=

| | ... |v1 v2

... vn

| | ... || | ... |

λ1 O. . .

. . .

O λn

= PD

Assim, AP = PD e como P e inversıvel (pois P tem colunas l.i.’s), ultiplicando ambosos lados pela direita por P−1 temos

AP = PD ⇒ APP−1 = PDP−1 ⇒ A = PDP−1

Observacao 26 a) A e diagonalizavel se e so se A admite uma base de autovetores.b) Se A tem n autovalores distintos entao tera n autovetores l.i.’s e automaticamente seradiagonalizavel.c) A nao precisa ter n autovalores distintos para ser diagonalizavel. Os exemplos maissimples sao a matriz a matriz identidade e a matriz nula, n×n. Mais geralmente qualquermatriz diagonal e diagonalizavel, basta escolher P = I. Pode ter ou nao todos os elementosdistintos na diagonal principal.d) A matriz P que diagonaliza uma matriz nao e unica. Por exemplo, para a matrizidentidade, qualquer matriz inversıvel serve.

Exemplo 27 Nem todas as matrizes sao diagonalizaveis. Por exemplo, as matrizes

A =

(0 10 0

)e B =

(3 10 3

)nao sao diagonalizaveis.

44 CAPITULO 7. DIAGONALIZACAO DE MATRIZES

A matriz A tem zero como unico autovalor, com multiplicidade 2. Os autovetores saomultiplos nao-nulos de (1, 0)T , (nao ha outros autovetores), i.e.

V0 = span {(1, 0)T}

Similarmente, a matriz B tem tres como unico autovalor, com multiplicidade 2; V3 =span {(1, 0)T}.

Diz-se que a multiplicidade algebrica e 2 (a raiz e dupla) e a multiplicidade geometricae um (pois a dimensao o autoespaco associado ao autovalor e um).

Observacao 28 a) Seja A uma matriz n × n e assuma que seus autovalores sejamλ1, λ2 . . . , λk com multiplicidades n1, n2, . . . nk, respectivamente. Neste caso, o numerode raızes

n = n1 + n2 + . . . nk e, tambem

pc(λ) = (−1)n(λ− λ1)n1 · (λ− λ2)n2 · . . . (λ− λk)nk

Sejam ainda d1 = dimVλ1 , d2 = dimVλ2 . . . e dnk= dimVλnk

. Define-se:

ni = ‘multiplicidade algebrica do autovalor λi’

di = ‘multiplicidade geometrica do autovalor λi’

Em geral,

‘multiplicidade algebrica de λi’ ≥ ‘multiplicidade geometrica de λi’

E fato que a matriz A e diagonalizavel se e so se ni = di, para todo i = 1, . . . k,

‘multiplicidade algebrica de λi’ = ‘multiplicidade geometrica de λi’

b) A e diagonalizavel se e somente se os autovetores formarem uma base (i.e., existir basede autovetores).c) A e inversıvel se e somente se os autovalores forem nao-nulos.d) Autovalores distintos implica autovetores l.i.’s

Demonstracao De fato, sejam v1, v2 autovetores de A, cujos respectivos autovaloressao denotados por λ1 e λ2. Entao,

c1v1 + c2v2 = 0 ⇒ 0 = A(c1v1 + c2v2) = c1Av1 + c2Av2 = c1λ1v1 + c2λ2v2

Assim,{c1v1 + c2v2 = 0

c1λ1v1 + c2λ2v2 = 0⇒{c1λ1v1 + c2λ1v2 = 0c1λ1v1 + c2λ2v2 = 0

⇒ c2(λ1 − λ2)v2 = 0

Mas λ1 6= λ2 e v2 6= 0, donde c2 = 0. De forma analoga conclui-se que c1 = 0, logo aunica combinacao linear de v1 e v2 nula e quando os coeficientes sao nulos, ou seja, v1 ev2 sao l.i.’s.

7.2. EXEMPLOS 45

7.2 Exemplos

Exemplo 29 Cizalhamento

A =

(1 1

3

0 1

)Polinomio caracterıstico: pc(λ) = (1− λ)2

V1 = span {(1, 0)T}

Multiplicidade algebrica do autovalor 1 e 2; multiplicidade geometrica do autovalor 1 e 1.Assim, a matriz A nao e diagonalizavel.

Exemplo 30 Reflexao pelo plano x + y + z = 0. Polinomio caracterıstico: pc(λ) =(1− λ)2(−1− λ)

V1 = {(x, y, z) tal que x+ y + z = 0}V−1 = span {(1, 1, 1)T}

Multiplicidade algebrica do autovalor 1 e 2; multiplicidade geometrica do autovalor 1 e 2.Multiplicidade algebrica do autovalor −1 e 1; multiplicidade geometrica do autovalor −1e 1. Assim, a matriz da reflexao e diagonalizavel.

Exemplo 31 Matriz A,

A =

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

Polinomio caracterıstico: pc(λ) = λ4

V0 = span {(1, 0, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T}

Multiplicidade algebrica do autovalor 0 e 4; multiplicidade geometrica do autovalor 1 e 2.A nao e diagonalizavel.

Exemplo 32 Matriz de rotacao por π/2.

K =

(0 −11 0

)Polinomio caracterıstico: pc(λ) = λ2 + 1. Autovalores: λ± = ±i.

Vi = span {(i, 1)T}

K =

P︷︸︸︷(i −i1 1

) D︷︸︸︷(i 00 −i

) P−1︷︸︸︷(i −i1 1

)1

2i

K e diagonalizavel.


Observacao 33 Se uma matriz, A, com entradas reais admitir um autovalor, λ, com-plexo (mais claramente, com parte imaginaria nao-nula), entao o autovetor associado, v,tambem tera entradas complexas. Alem disso, λ, o complexo conjugado do autovalor, ev, o complexo conjugado do autovetor, tambem sao um par de autovalor, autovetor deA. De fato,

Av = λv ⇒ Av = λv ⇒ Av = λv ⇒ Av = λv

Este resultado pode ser empregado no exemplo anterior, para a determinacao do autovetorassociado a −i, quando se tiver calculado o autovetor associado a i.

7.3 Funcao de matriz

Potencias

A = PDP−1

A2 = PDP−1PDP−1 = PD2P−1

D2 =

λ21 O

. . .

O λ2n

Exemplo 34 Para a matriz A do exemplo 19 temos

A5 =

P︷︸︸︷(1 51 2

) D5︷︸︸︷((−1)5 0

0 25

) P−1︷︸︸︷(−1

3

)(2 −5−1 1

)=

(54 −5522 −23

)Inversas

A−1 = PD−1P−1

De fato,

PD

I︷︸︸︷P−1P D−1P−1 = P

I︷︸︸︷DD−1 P−1 = PP−1 = I

No exemplo,

A−1 =

(1 51 2

)(−1 00 1/2

)(2 −5−1 1

)(−1

3

)=

(32

−52

1 −2

)=

(1 00 1

)

7.3. FUNCAO DE MATRIZ 47(4 −52 −3

)(32

−52

1 −2

)=

(1 00 1

)Polinomio em A Dado um polinomio, por exemplo q(x) = x2 − 3x + 2, denota-se porq(A) a matriz

q(A) = A2 − 3A+ 2I

Se A e diagonalizavel, pode-se calcular q(A) da seguinte forma,

q(A) = PD2D−1 − 3PDP−1 + 2PP−1 = P(D2 − 3D + 2I

)P−1 = Pq(D)P−1

Para a matriz dada no exemplo 19,

q(A) =

(1 51 2

)(q(−1) 0

0 q(2)

)(2 −5−1 1

)(−1

3

)=

(1 51 2

)(6 00 0

)(2 −5−1 1

)(−1

3

)=

(−4 10−4 10

)(−1

3

)Definicao 35 Espectro de A, σ(A), e o conjunto dos autovalores de A.

Observacao 36 Se σ(A) = {λ1, λ2, . . . λn} entao,

σ(A−1) = {λ−11 , λ−1

2 , . . . λ−1n } para A ter inversa, zero nao e autovalor

σ(A+ cI) = {λ1 + c, λ2 + c, . . . λn + c}σ(kA) = {kλ1, kλ2, . . . kλn} onde k e um numero real ou complexo

σ(Ak) = {λk1, λk2, . . . λkn} onde k e um inteiro

σ(q(A)) = {q(λ1), q(λ2), . . . q(λn)}, onde q e um polinomio

.Demonstracao (apenas uma das propriedades)

λ ∈ σ(A) ⇔ ∃v 6= 0 tal que Av = λv ⇔ Av + cv = λv + cv

⇔ (A+ cI)v = (λ+ c)v ⇔ λ+ c ∈ σ(A+ cI)

Exemplo 37 Sendo A a matriz do exemplo 19, σ(A) = {−1, 2}, e

σ(A− I) = σ

(4 −52 −4

)= {−2, 1}

Teorema 38 Se A e B sao diagonalizaveis, entao elas possuem a mesma matriz de au-tovetores, P , se e so se comutam, i.e., AB = BA. Neste caso, os autovalores de AB


(ou de BA) sao dados pelo prodto dos autovalores de A e de B associados aos mesmosautovetores. Mais especificamente, se

Avi = λivi e Bvi = µivi, entao ABvi = (λiµi)vi

Demonstracao (⇒, se diagonalizam com a mesma P , entao comutam) Se A =PDP−1 e B = PΓP−1 entao

AB = PD

I︷︸︸︷P−1P ΓP−1 = P

diagonais comutam︷︸︸︷DΓ P−1 (AB e diagonalizavel com P ; diagonal λiµi

= PΓDP−1 = PΓP−1PDP−1 = BA

(⇐, se comutam, entao diagonalizam com a mesma P ) Assuma que os autovetores sejamdistintos. Entao

Av = λv ⇒ BAv = λBv ⇒ A(Bv) = λ(Bv)

Bv e um autovetor de A (ou e nulo). Em qualquer dos casos, v e autovetor de B,

• Se Bv = 0, v e autovetor associado ao autovalor nulo;

• Se Bv 6= 0 , como λ’s sao distintos, o autoespaco tem dimensao 1, logo Bv = αv,logo v e autovetor de B, assim, P e o mesmo.

7.4 Aplicacao a equacoes de diferencas

Exemplo 39 juros a 6% ao ano; capital a investir R$ 1000,00Denote por

P0 → ‘principal ou capital inicial’

Pk → ‘capital no k-esimo ano’

a) Juros simples (calculado uma vez ao ano):

Pk = (1 + 0, 06)kP0

Por exemplo, P5 = ‘capital apos 5 anos’ = (1 + 0, 06)5P0 ' 1338, 23.

b) Juros compostos todos os meses (composto 12 vezes ao ano)

Pk+1 =

(1 +

0, 06

12

)Pk, k indica mes

donde Pk =

(1 +

0, 06

12

)kP0

7.4. APLICACAO A EQUACOES DE DIFERENCAS 49

5 anos correspondem a 60 meses, assim,

P60 =

(1 +

0, 06

12

)60

1000 =

((1 +

0, 06

12

)12)5

1000 ' 1348, 85

c) Juros compostos diariamente (365 dias ao ano)

Pk =

(1 +

0, 06

365

)kP0

P5·365 =

[(1 +

0, 06

365

)365]5

1000 ' 1349, 83

c) Juros compostos instantaneamente. Inicialmente calcule o valor quando o ano e divididoem N partes iguais, assim 5 anos corresponde a 5N divisoes,

P5N =

[(1 +

0, 06

N

)N]5

1000

Assim, para saber o valor quando os juros sao calculados instantaneamente, basta calcularo limite quando N →∞,

limN→∞

P5N =(e0,06

)51000 ' 1349, 87

Mais formalmente, se t representa o tempo em anos, tem-se que

P (t+1

N) = P (t)

(1 +

0, 06

N

)ou, denotando por ∆t = 1/N , tem-se que

P (t+ ∆t)− P (t)

∆t= 0, 06P (t)

e passando ao limite, quando ∆t→ 0,

lim∆t→0P (t+ ∆t)− P (t)

∆t= 0, 06P (t)

obtem-se a equacao diferencial que P (t) satisfaz,

P ′(t) = 0, 06P (t)

cuja solucao geral e

P (t) = P0e0,06t


Exemplo 40 Sequencia de Fibonacci A sequencia de Fibonacci e definida como asolucao da seguinte equacao de diferencas linear de 2a ordem{

Fk+2 = Fk+1 + FkF0 = 0, F1 = 1

Considere o vetor

U k =

(Fk+1

Fk

)Entao, U k satisfaz o seguinte sistema de equacoes de diferencas, linear de 1a ordem,

U k+1 =

(Fk+2

Fk+1

)=

(Fk+1 + FkFk+1

)=

A︷︸︸︷(1 11 0

) Uk︷︸︸︷(Fk+1

Fk

)isto e,

U k+1 = AU k com U 0 = (F1, F0)T = (1, 0)T

A forma da solucao pode ser obtida notando que

U 1 = AU 0

U 2 = AU 1 = A(AU 0) = A2U 0

U 3 = AU 2 = A(A2U 0) = A3U 0

...

U k = AkU 0

Podemos verificar que a matriz A tem 2 autovalores distintos,

φ± =1±

√(5)

2

logo A e diagonalizavel. A quantidade φ+ e conhecida como a razao aurea1 Assim, A =PDP−1 onde

P =

(−1 −1φ− φ+

)D =

(φ+ 00 φ−

)P−1 =,− 1√

5

(φ+ 1−φ− −1

)1Seja um retangulo de lados L e l, com L > l, e considere o quadrado de lado l incluıdo no retangulo.

O retangulo menor que sobra tem lados l e L− l. Estes serao proporcionais aos lados do retangulo maior,respectivamente L e l, se a razao r = L/l for a razao aurea.

L

l=

l

L− l⇒

l2 = L2 − Ll ⇒ L2

l2− L

l= 1⇒ r2 − r − 1 = 0

7.4. APLICACAO A EQUACOES DE DIFERENCAS 51

Pode-se verificar que

Ak = PDkP−1

Ainda,

Fk =(

0 1)( Fk+1

Fk

)=(

0 1)U k

=(

0 1)AkU 0 =

1√5

(φk+ − φk−

)E interessante notar que Fk, pela definicao e a condicao inicial, e necessariamente umnumero inteiro, mas olhando a expressao desse numero usando a razao aurea e difıcilacreditar em tal.

Observacao 41 Para o calculo de potencias de matrizes diagonalizaveis em geral, temos,

U k = AkU 0 = PDk

c︷︸︸︷P−1U 0

= P

λk1. . .

λkn

c1

...cn

= P

c1λk1

...cnλ

kn

= c1λ

k1v1 + c2λ

k2v2 . . . cnλ

knvn

Definicao 42 Dada equacao de diferencas

U k+1 = AU k

diz-se que e:a) estavel se os autovalores satisfazem |λi| < 1;b) neutramente estavel se |λj| = 1 para algum j e |λi| < 1, para os restantes i’s;c) instavel se, para algum autovalor, |λj| > 1

Teorema 43 (Perron-Frobenius) Seja A uma matriz cujas entradas sao todas positivas.Entao o maior autovalor λ1 de A e real e positivo, e os componentes do autovetor corres-pondente podem ser escolhidos positivos.

Definicao 44 Uma matriz e de Markov, se todas suas entradas sao nao-negativas e asoma dos elementos de cada coluna e um.

Toda a matriz de Markov tem 1 como autovalor. O vetor com todas as entradas iguais a1 e autovetor da transposta de uma matriz de Markov, associado ao autovalor 1.

Capıtulo 8

Teorema Espectral

8.1 Consideracoes iniciais

Exemplo 45 Diagonalize a matriz abaixo, com uma matriz inversıvel e depois com umamatriz ortogonal.

A =

5 −1 −1−1 5 −1−1 −1 5

(Note que o segundo problema e possıvel porque A e simetrica.) Autovalores

pc(λ) = det(A− λI) = −λ3 + 15λ2 − 72λ+ 108

= −(λ− 3)(λ− 6)2

As raızes sao 3, com multiplicidade 1, e 6, com multiplicidade (algebrica) dois.Autovetores para λ = 3 (A− 3I)v = 0, i.e., 2 −1 −1

−1 2 −1−1 −1 2

xyz

=

000

A solucao e, (

x y z)T

= z(

1 1 1)T ∀z

Autovetores para λ = 6 (A− 6I)v = 0, i.e., −1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 −1

xyz

=

000

Tem-se que x = −y − z donde a solucao e,(

x y z)T

=(−y − z 1 1

)T= y

(−1 1 1

)T+ z

(−1 1 1

)T ∀y, z

52

8.1. CONSIDERACOES INICIAIS 53

Assim, a matriz dos autovetores,

S =

1 −1 −11 1 01 0 1

e inversıvel, e

AS = SD

D =

3 0 00 6 00 0 6

Agora, podemos construir uma matriz ortogonal para diagonalizar A. Aplicamos o pro-cesso de Gram-Schmidt (G-S) as colunas de S.(

1 1 1)T →

√3

3

(1 1 1

)TOs vetores b = (−1, 1, 0)T e c = (−1, 0, 1)T sao ortogonais ao vetor (1, 1, 1)T , masnao sao ortogonais entre si. No entanto os vetores b e c pertencem ao autoespaco V6.Combinacoes lineares dos dois continuam a pertencer ao mesmo espaco. De fato, comoAb = 6b, e Ac = 6c,

A(βb + γc) = βA(b) + γA(c) = β6b + γ6c = 6(βb + γc) ∈ V6

Como o processo de Gram-Schmidt troca vetores por combinacoes lineares deles, se com-binarmos vetores do mesmo autoespaco, eles continuarao no mesmo autoespaco e podemser escolhidos (e isso que G-S faz) de forma a serem vetores ortonormais. Facamos,

c = c− Pbc =(−1 0 1

)T − 1

||(−1, 1, 0)||2(−1 1 0

)T=(−1/2 −1/2 1

)TAgora normalize c, obtendo (−

√6/6, −

√6/6, 2

√6/6)T . Entao, a matriz

Q =

√

33−√

22−√

66√

33

√2

2−√

66√

33

0 2√

66

e ortogonal e A = QDQT .

Teorema 46 Teorema Espectral Matrizes simetricas reais tem autovalores reais e seusautovetores podem ser escolhidos ortonormais, formando base, isto e, se A = AT , existematriz diagonal real, D, e matriz ortogonal, Q, (QQT = I), tal que

A = QDQT

onde as colunas de Q sao formadas pelos autovetores e a diagonal principal de D e formadapelos autovalores de A.

54 CAPITULO 8. TEOREMA ESPECTRAL

8.2 Espacos vetoriais complexos

Denotamos por ICn o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros complexos.

x ∈ ICn, x =(x1 x2 . . . xn

)T, com xi ∈ IC

Denotamos a norma em ICn por, || ||, onde

||x||2 = |x1|2 + . . . |xn|2

Vale recordar que se z = a+ib ∈ IC, com a, b ∈ IR, e i2 = −1, entao o complexo conjugadode z e

z = a− ib

e

zz = |z|2 = a2 + b2

Um numero complexo z e dito complexo unitario se |z| = 1. Recordamos ainda a formulade Euler,

ea+ib = ea(cos b+ isen b)

Dado x ∈ Cn, i.e. uma matriz n×1, denota-se por x∗ ou por xH , e le-se x hermitiano,a matriz 1× n

xH = xT =(x1 x2 . . . xn

)O produto interno em ICn e dado por

(x,y) = xHy = x1y1 + x2y2 + . . . xnyn

Exemplo 47 Sejam

x =

(1 + i

3i

)e y =

(4− i

2

)Temos

xH = xT =(

1− i −3i)

Assim,

xHy =(

1− i −3i)( 4− i

2

)= (1− i)(4− i) + (−3i)2 = 3− 11i

e

xHx =(

1− i −3i)( 1 + i

3i

)= (1− i)(1 + i) + (−3i)(3i) = 11 = ||x||2

8.2. ESPACOS VETORIAIS COMPLEXOS 55

Dada uma matriz A define-se AH (tambem denotada por A∗), A hermitiana ou A estrelaou a adjunta de A, por

AH =(A)T

a transposta conjugada da matriz A.Pode-se verificar que

(AB)H = BHAH e (AH)H = A

Assim,

(x, Ay) = xHAy = (AHx)Hy = (AHx,y)

e este resultado mostra como A muda de posicao no produto interno. No caso real, Amuda de posicao no produto interno, pela transposta, e no caso complexo pela transpostaconjugada.

Definicao 48 Uma matriz e dita hermitiana ou auto-adjunta se AH = A, i.e. se Ahermitiana e ela propria.

Em particular, uma matriz hermitiana, quando muda de posicao no produto interno,continua ela propria. O mesmo ocorre com matrizes simetricas reais e o produto internoe o produto interno em IRn, que ao trocar de posicao no produto interno, se manteminalteradas.

Exemplo 49 A matriz

A =

(2 3− 3i

3 + 3i 5

)e hermitiana.

Exemplo 50 Seja A uma matriz anti-simetrica real, AT = −A. Entao, iA e uma matrizhermitiana.

Observacao 51 a) Uma matriz A e hermitiana se e somente se aij = aji e ao longo dadiagonal principal so ha numeros reais.b) Se A e real, AH = AT e A sera hermitiana se e so se A for simetrica.c) Os autovalores de matrizes hermitianas sao reais e os autovetores (de autovalores dis-tintos) sao ortogonais.

Demonstracao (c) Seja v e λ um par autovetor-autovalor de A, Av = λv. Entao,

λvHv = vHAv = (AHv)HvAH=A

= (Av)Hv = (λv)Hv = λvHv

Como vHv 6= 0 pois v e um autovetor, entao, λ = λ, isto e, λ e real.


Esta mesma demonstracao mostra que se A e simetrica real, entao seus autovaloressao reais.d) Se λ 6= θ forem autovalores de A, u e v forem os respectivos autovetores, (Au = λue Av = θv, com u 6= 0 6= v) e A auto-adjunta, AH = A, entao u ⊥ v.

Demonstracao

Au = λu ⇒ λvHu = vHAu ⇒λvHu = (AHv)Hu = (Av)Hu = (θv)Hu = θvHu = θvHu

Assim,

(λ− θ)vHu = 0

e como λ 6= θ, conclui-se que vHu = 0 isto e, que u ⊥ v.

Definicao 52 a) Uma matriz U e unitaria se UHU = I ou, o que e o mesmo, UUH = I.b) Uma matriz A e anti-hermitiana ou anti-autoadjunta se AH = −A.c) Uma matriz A e normal se AHA = AAH (isto e, se comuta com a sua transpostaconjugada). No caso de A ser real, A e normal de ATA = AAT .

Matriz Definicao Teorema Espectral Autovalores

Hermitiana AH = A A = UDUH , UHU = I reaisSimetrica real A = AT e A = A A = QDQT , QQT = I, Q = Q reais

Anti-hermitiana AH = −A A = UDUT , UUH = I imaginarios purosAnti-simetrica real AT = −A e A = A A = UDUT , UUH = I imaginarios purosOrtogonal (real) ATA = I, e A = A A = UDUT , UUH = I complexos unitarios

Unitaria AHA = I A = UDUT , UUH = I complexos unitariosNormal AHA = AAH A = UDUT , UUH = I complexos em geral

Observacao 53 a) Todas as classes de matrizes apresentadas na tabela anterior saonormais.b) Se A = UDUH , entao,

A = UDUH =

| ... |u1

... un

| ... |

λ1

. . .

λn

— uH1 —

...— uHn —

=

| ... |λ1u1

... λnun

| ... |

— uH1 —

...— uHn —

= λ1u1u

H1 + λ2u2u

H2 + . . . λnunu

Hn

8.2. ESPACOS VETORIAIS COMPLEXOS 57

c) Dados vetores ortonormais, u1, . . . ,uk, a matriz de projecao ortogonal no espaco geradopor eles e:

P = u1uH1 + u2u

H2 + . . .uku

Hk

d) Todas as classes de matrizes acima sao diagonalizaveis, admitindo base ortonormal deautovetores.e) Se A e anti-hermitiana, entao B = iA e hermitiana.

Demonstracao De fato,

BH = (iA)H = −iAH = −i(−A) = iA = B

f) Se A e hermitiana, entao iA e anti-hermitiana.g) Se A e unitaria, entao seus autovalores sao complexos unitarios.

Demonstracao Como

Av = λv ⇒ ||Av|| = ||λv|| ⇒ ||Av||2 = ||λv||2

⇒ (Av)HAv = (λv)Hλv ⇒ vH

I︷︸︸︷AHA v = λvHλv

⇒ vHv = λλvHv

Como vHv = ||v||2 6= 0, entao |λ| = 1, i.e., os autovalores sao unitarios.h) tr (AT ) = tr (A), tr (AH) = ¯tr (A).i) det(AT ) = det(A) e det(AH) = ¯det(A)j) det(eA) = etr (A).

Demonstracao

det(eA) = det(UeDUH) = det(U) det(eD) det(UH)

= det(U) det(UH) det(eD) = eλ1+λ2+...λn = etr (A) 6= 0

logo eA e sempre inversıvel. Note que det(U) det(UH) = det(UUH) = det(I) = 1 e que

eD =

eλ1

. . .

eλn

Duas matrizes A e B sao similares se existe P , inversıvel tal que

A = PBP−1

Assim, uma matriz e diagonalizavel se for similar a uma matriz diagonal.


Exemplo 54 Considere a funcao

F : IR3 → IR

(x, y, z) 7→ F (x, y, z) =(x y z

) 8 −2 0−2 −6 10 1 4

xyz

=

(x y z

)PDP T

xyz

=

(u v w

)D

uvw

= λ1u

2 + λ2v2 + λ3w

2

onde

D =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

e

uvw

= P T

xyz

representa uma mudanca de variavel.

Matrizes similares tem os mesmos autovalores (mesmo espectro). De fato, os respec-tivos polinomios caracterısticos se igualam,

det(A− λI) = det(PBP−1 − λPP 1) = det(P (B − λI)P−1)

= det(P ) det(B − λI) det(P−1) = det(P ) det(P−1) det(B − λI)

= det(PP−1) det(B − λI) = det(I) det(B − λI) = det(B − λI)

Teorema 55 Lema de Schur Toda a matriz quadrada A e similar, por uma matrizunitaria, U , a uma matriz triangular superior, T , isto e,

A = UTUT

Os autovalores de A sao os mesmos de T e os de T sao as entradas na diagonal principal.

8.3 Equacoes diferenciais e a exponencial de matrizes

Recordamos que a funcao exponencial para numeros reais (ou complexos) pode ser definidaatraves da serie convergente

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ . . .

8.3. EQUACOES DIFERENCIAIS E A EXPONENCIAL DE MATRIZES 59

Em particular, tomando x = at temos

eat = 1 + at+a2t2

2!+

(a3t3

3!+a4t4

4!+ . . .

Derivando termo a termo, obtem-se Em particular, tomando x = at temos

d

dteat =

d

dt

(1 + at+

a2t2

2!+

(a3t3

3!+a4t4

4!+ . . .

)= 0 + a+ a2t+ a3 t

2

2!+ a4 t

3

3!+ . . .

= a

(1 + at+

a2t2

2!+a3t3

3!+a4t4

4!+ . . .

)= aeat

Assim, a funcao x(t) = x0eat satisfaz a equacao diferencial ordinaria

dx

dt= ax

e a condicao inicial x(0) = x0.Analogamente, considere o PVI associado a um sistema de equacoes diferenciais line-

ares, homogeneas de 1a ordem,

dx

dt= Ax, t > 0 (8.1)

x(0) = x0

onde x = x(t).Se definirmos a exponencial de matrizes1,

eAt = 1 + At+ A2 t2

2!+ A3 t

3

3!+ A4 t

4

4!+ . . .

Exemplo 56 Sendo A = diag(1, 2),

eAt =

(1 00 1

)+

(1 00 2

)t+

(1 00 4

)t2

2!+ . . .

=

(et 00 e2t

)Note que

d

dteAt = A+ A2t+ A3 t

2

2!+ . . .

= A

(I + At+ A2 t

2

2!+ . . .

)= AeAt

1A exponencial de matrizes quadradas e uma funcao bem definida uma vez que a serie e convergenteem sentido apropriado, mas cuja discussao foge aos objetivos destas notas


Assim, se x(t) = eAtx0, tem-se que

d

dtx = A

x︷︸︸︷eAtx0 = Ax

e, x(0) = eA0x0 = e0x0 = Ix0 = x0, ou seja x(t) = eAtx0 satisfaz o problema (8.1).No caso em que A e diagonalizavel, A = PDP−1, temos:

eAt = I+

A︷︸︸︷PDP−1 t+

A2︷︸︸︷PD2P−1 t

2

2!+

A︷︸︸︷PD3P−1 t

3

3!+ . . .

= P

(I +Dt+D2 t

2

2!+D2 t

3

3!+ . . .

)P−1

= P

eλ1t

. . .

eλnt

Assim,

x(t) = P

eλ1t

. . .

eλnt

c︷︸︸︷P−1x0

= P

c1eλ1t

...cne

λnt

= c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2 + . . . cneλntvn

Exemplo 57 Determine a solucao do PVI dado a seguir,

du

dt=

(−2 11 −2

)u u(0) =

(23

)Autovalores da matriz do sistema

det

(−2− λ 1

1 −2− λ

)= (2− λ)2 − 1 = 0

Autovalores: λ = −1 e λ = −3.Autovetores associados ao autovalor λ = −1, α(1, 1)t, ∀α.Autovetores associados ao autovalor λ = −3, β(1,−1)t, ∀β.Solucao da forma

u(t) = c1

(11

)e−1t + c2

(1−1

)e−3t

8.3. EQUACOES DIFERENCIAIS E A EXPONENCIAL DE MATRIZES 61

Para satisfazer a condicao inicial,(23

)= u0 = c1

(11

)+ c2

(1−1

)donde {

c1 + c2 = 2c1 − c2 = 3

⇒{

c1 = 5/2c2 = −1/2

A solucao entao e dada por

u(t) =5

2

(11

)e−1t +−1

2

(1−1

)e−3t =

1

2

(5e−t − e−3t

e−t + e−3t

)

Capıtulo 9

Massas e Molas em Equilıbrio

9.1 Uma massa e uma mola

Considere uma mola na horizontal com uma das extremidades (a da esquerda) presa auma parede e em cuja outra extremidade esta ligada uma massa pontual. O movimentodesse sistema e regido pela 2a lei de Newton. Denotemos por m a massa da partıculapontual, por L o comprimento livre da mola, e por y = y(t) a posicao da massa comrelacao a parede, e por F a forca exercida pela mola na massa. Entao, pela 2a lei deNewton, temos:

md2y

dt2= F

A forca que a mola exerce sobre a massa e proporcional a alteracao do comprimento damola (Hook),

F ∝ ‘variacao do comprimento’

A variacao do comprimento da mola e dado por y − L, que e positivo se a mola estasendo alongada (sofrendo distensao) e negativo se ela estiver sendo diminuıda (sofrendocompressao). A forca que a mola exerce, sobre a massa e no sentido de diminuir seutamanho, caso esteja sendo alongada, e de aumentar caso esteja menor que seu tamanhonatural. Neste caso, pode-se entao escrever que

F = −c(y − L)

onde c denota a constante de elasticidade da mola, ou constante de Hook.A situacao de equilıbrio ocorre quando y(t) e constante, donde d2y/dt2 = 0, e, pela

segunda lei de Newton, e necessario que F = 0 donde y = L, isto e, quando a mola estivercom o seu comprimento natural.

Se x(t) for a posicao da mola, no tempo t, em relacao a posicao de equilıbrio,

x = y − L

62

9.2. DUAS MOLAS E UMA MASSA 63

entao F = −cx e

md2x

dt2= −cx

que e a forma usual da equacao do sistema massa-mola.

9.2 Duas molas e uma massa

Seja uma massa pontual entre duas molas cada uma das molas presa uma parede. Sejay = y(t) a posicao da massa, marcada com relacao a parede da esquerda, e denote a molada esquerda por 1 e a da direita por 2.

Alguns informacoes sobre o sistema sao dados na tabela a seguir, onde ∆c > 0 denotaa variacao do comprimento de uma mola e D representa a distancia entre as paredes.

mola comp. const. Hook pto inicial pto final ∆c

1 L1 c1 0 y(t) y − L1

2 L2 c2 y(t) D D − y − L2

Nao se faz a-priori nenhuma relacao entre L1, L2 e D. Assim, quando o sistema estiverem equiıbrio, e D > L1 + L2, as molas estarao sendo distendidas, e caso D < L1 + L2 asmolas estarao sendo comprimidas. Denote por

F1 = ‘forca exercida pela mola 1 na massa’ = −c1(y − L1)

F2 = ‘forca exercida pela mola 2 na massa’ = c2(D − y − L2)

A equacao de movimento continua sendo a expressao da 2a lei de Newton, md2ydt2

= Fonde F = F1 + F2 e o somatorio das forcas exercidas sobre a massa. Assim, a condicaode equilıbrio continua sendo a nulidade de F , isto e,

−c1(y − L1) + c2(D − y − L2) = 0

Resolvendo-se para y, a solucao de equilıbrio ocorre quando a massa se encontra em

y =c1L1 + c2(D − L2)

c1 + c2

Como casos particulares temos:

• c1 = c2 ⇒ y = D+L1−L2

2

• L1 = L2 ⇒ y = c2D+(c1−c2)L1

c1+c2

• c1 = c2 e L1 = L2 ⇒ y = D2

64 CAPITULO 9. MASSAS E MOLAS EM EQUILIBRIO

Observacao Se D = L1 + L2, entao quando c1 = c2, y = L1 e quando L1 = L2,y = c1L1+c2L2

c1+c2= c1

c1+c2L1 + c2

c1+c2L2 que e a media ponderada dos comprimentos por pesos

referentes a elasticidade relativa das molas.

9.3 Uma massa suspensa por uma mola

Quando uma massa esta suspensa por uma mola, e o eixo esta apontando para baixo,seja y o deslocamento da massa em relacao ao ponto de suporte da mola. Tipicamente,os valores que y assume sao positivos. Esta situacao representa um sistema com umaextremidade fixa e a outra livre (FL).

A soma das forcas, uma devido a gravidade e a outra devido a forca de restauracaoda mola, e dada por,

F = −c(y − L) +mg

e a equacao de movimento escreve-se como

md2y

dt2= F = −c(y − L) +mg

Em equilıbrio, −c(y − L) +mg = 0, ou

y = L+mg

c

E usual utilizar variavel para descrever posicao em relacao a posicao de equilıbrio, istoe,

x = y −(L+

mg

c

)Neste caso, a equacao diferencial para x e dada por

md2x

dt2= −cx

e, claro,

y = x+(L+

mg

c

)9.4 Uma massa entre duas molas alinhadas com a

forca da gravidade

Consideramos uma massa presa a duas molas, na vertical, com cada uma das molaspresas, uma ao teto e a outra ao chao. Esta situacao representa um sistema com as duasextremidade fixas (FF).

Temos as seguintes forcas atuando sobre a massa:

9.5. DUAS MASSAS E DUAS MOLAS ALINHADAS COM A GRAVIDADE 65

• Forca da gravidade: Fg = mg;

• Forca exercida pela mola 1 (a mais acima): F1 = −c1(y − L1);

• Forca exercida pela mola 2 (a de baixo): F2 = c2(D − y − L2).

Quando em equilıbrio,

0 = Fg + F1 + F2

= mg − c1(y − L1) + c2(D − y − L2)

que e uma equacao linear em y, a posicao da massa, e cuja solucao e

y =mg

c1 + c2

+c1L1 + c2(D − L2)

c1 + c2

9.5 Duas massas e duas molas alinhadas com a gra-

vidade

Nesta situacao temos duas molas e duas massas, com uma das molas presa a uma paredee o sistema todo ‘pendurado’. E o caso de uma extremidade fixa e a outra livre.

As forcas atuando sobre a massa 1 (a mais acima) sao:

• Forca da gravidade: Fg1 = m1g;

• Forca exercida pela mola 1 (a mais acima) sobre a massa 1: F11 = −c1(y1 − L1);

• Forca exercida pela mola 2 (a de baixo) sobre a massa 1: F21 = c2(y2 − y1 − L2).

As seguintes forcas atuam sobre a massa 2 (a de baixo):

• Forca da gravidade: Fg2 = m2g;

• Forca exercida pela mola 2 sobre a massa 2: F22 = −c2(y2 − y1 − L2).

As condicoes de equilıbrio sao:

0 = F1 = Fg1 + F11 + F21 = m1g − c1(y1 − L1) + c2(y2 − y1 − L2)

0 = F2 = Fg2 + F22 = m2g − c2(y2 − y1 − L2)

Este e um sistema de equacoes lineares para (y1, y2), que pode ser re-escrito como

c1(y1 − L1)− c2(y2 − y1 − L2) = m1g

c2(y2 − y1 − L2) = m2g

ou, em forma matricial,(c1 + c2 −c2

−c2 c2

)(y1

y2

)−(c1L1 − c2L2

c2L2

)=

(m1gm2g

)


ou, ainda,(1 −10 1

)(c1 00 c2

)[(1 0−1 1

)(y1

y2

)−(L1

L2

)]= g

(m1

m2

)Denotando as matrizes,

A =

(1 −10 1

)e C =

(c1 00 c2

)e os vetores

y,=

(y1

y2

), m =

(m1

m2

)e L =

(L1

L2

)a equacao para y pode ser escrita como

ATCAy = gm + ATCL

9.6 Uma linha de molas

Considere uma linha de molas e massas entre elas, penduradas por uma das molas presaao teto. Com relacao a outra extremidade do sistema, podemos ter duas possibilidades:fixa ou livre. O sistema entao do tipo fixo-fixo (FF) ou fixo-livre(FL).

Assuma que o sistema seja constituıdo por tres massas. Ha entao quatro molas nosistema FF e tres no FL. Vamos obter as equacoes relacionando o deslocamento das massase a tensao nas molas, primeiro no caso FF e depois no FL.

Sistema Fixo-Fixo

Em geral, no sistema FF, se ha n massas, entao haverao n + 1 molas. Consideremos ocaso em que n = 3. Denotemos por

y = (y1, y2, y3) → ‘posicao das massas’

u = (u1, u2, u3) → ‘deslocamento das massas do equilıbrio sem gravidade’

e = (e1, e2, e3, e4) → ‘alongamento das molas’

w = (w1, w2, w3, w4) → ‘tensao nas molas: forca interna’

f = (f1, f2, f3) → ‘forca nas massas’

A obtencao das equacoes sera realizada em tres etapas:

• 1a etapa Relaciona a posicao (ou o deslocamento) das massas ao alongamento dasmolas (condicao geometrica);

y 7→ e

9.6. UMA LINHA DE MOLAS 67

• 2a etapa Relaciona o alongamento das molas as forcas internas nas molas (lei deHook);

e 7→ w

• 3a etapa Relaciona as forcas internas das molas as forcas (externas) sobre as massas(lei de balanco).

w 7→ f

1a etapa Relacao geometrica: alongamento das molas dependendo das posicoes dasmesmas

e1 = y1 − L1

e2 = y2 − y1 − L2 (9.1)

e3 = y3 − y2 − L3

e4 = D − y3 − L4

Alternativamente, podemos obter o alongamento das molas dependendo do desloca-mento das massas da posicao de equilıbrio quando sob a ausencia da forca da gravidade(sistema na horizontal),

ei = ‘alongamento da mola i ’ = ui − ui−1

= ‘deslocamento da massa i ’− ‘deslocamento da massa i− 1 ’

Assim,

e1 = u1

e2 = u2 − u1 (9.2)

e3 = u3 − u2

e4 = −y3

As equacoes (9.2) e (9.2) podem ser reapresentadas matricialmente, dando:e1

e2

e3

e4

=

1 0 0−1 1 00 −1 10 0 −1

y1

y2

y3

−

L1

L2

L3

L4 −D

ou seja,

e = Ay − L

onde L = (L1, L2, L3, L4 −D)T e A e a matriz de diferencas, 4× 3,

A =

1 0 0−1 1 00 −1 10 0 −1


2a etapa A lei de Hook (uma lei constitutiva ou material) conecta os alongamentos dasmolas a tensao interna das mesmas

w1 = c1e1

w2 = c2e2

w3 = c3e3

w4 = c4e4

ou, simplesmente,

w = Ce

onde a matriz da materialidade e dada por

C = diag(c1, c2, c3, c4) =

c1 0 0 00 c2 0 00 0 c3 00 0 0 c4

3a etapa Equacao de balanco (afirmacao do estado de equilıbrio): as forcas internas(w) das molas devem balancear as forcas externas sobre as massas (f). A massa i temacima a mola i e abaixo a mola i+ 1:

0 = Fi = Forca da gravidade + forca da mola i+ forca da mola i+ 1

= mig − wi + wi+1

Assim,

w2 − w1 = m1g

w3 − w2 = m2g

w4 − w3 = m3g

ou, pondo em evidencia as matrizes,

−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 1

w1

w2

w3

w4

= g

m1

m2

m3

ou ainda,

ATw = gm

9.6. UMA LINHA DE MOLAS 69

A matriz de rigidez do sistema fixo-fixo

Finalmente, das tres etapas, concluımos:

ATw = gm → AT (Ce) = gm → AT (C(Au)) = gm

isto e ATCAu = gm ou

ATC(Ay − L) = gm ⇒ ATCAy = gm + ATCL

A matriz K = ATCA e chamada de matriz de rigidez do sistema. Ela e o analogodiscreto do operador laplaciano que tanto aparece nas equacoes da Fısica-Matematica.

Podemos determinar qual a estrutura de K = ATCA. De fato,

A =

−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 1

c1 0 0 00 c2 0 00 0 c3 00 0 0 c4

1 0 0−1 1 00 −1 10 0 −1

=

c1 + c2 −c2 0−c2 c2 + c3 −c3

0 −c3 c3 + c4

Como caso particular, tomemos molas com constante de elasticidade unitaria, c1 = c2 =c3 = c4 = 1, C = I. Entao,

K =

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

ou seja, K = K3, que novamente reencontramos.

Sistema Fixo-Livre

No sistema FL, ha o mesmo numero de massas e molas. Consideremos o caso em que hatres massas. Analogamente ao caso do sistema FF, denotemos por

y = (y1, y2, y3) → ‘posicao das massas’

u = (u1, u2, u3) → ‘deslocamento das massas do equilıbrio sem gravidade’

e = (e1, e2, e3) → ‘alongamento das molas’

w = (w1, w2, w3) → ‘tensao nas molas: forca interna’

f = (f1, f2, f3) → ‘forca nas massas’

A obtencao das equacoes e realizada nas tres etapas descritas anteriormente.


1a etapa Deslocamentos das massas → alongamento de molasQuando em equilıbrio, na horizontal, o sistema satisfaz

y = (y1, y2, y3) = (L1, L1 + L2, L1 + L2 + L3)

e a variavel u e medida a partir desses pontos, resultando em

u = (u1, u2, u3) = (y1 − L1, y2 − (L1 + L2), y3 − (L1 + L2 + L3))

o que reescrito fornece,

(y1, y2, y3) = (u1 + L1, u2 + L1 + L2, u3 + L1 + L2 + L3)

donde

e1 = y1 − L1 = u1

e2 = y2 − y1 − L2 = u2 − u1 (9.3)

e3 = y3 − y2 − L3 = u3 − u2

ou ainda, e1

e2

e3

=

1 0 0−1 1 00 −1 1

u1

u2

u3

2a etapa Alongamento de molas → tensao interna w1

w2

w3

=

c1 0 00 c2 00 0 c3

e1

e2

e3

3a etapa Tensao interna de molas → forcas sobre massas

w2 − w1 = m1g

w3 − w2 = m2g

−w3 = m3g

ou −1 1 00 −1 10 0 −1

w1

w2

w3

= g

m1

m2

m3

Capıtulo 10

Projecoes e Quadrados Mınimospara Matrizes Retangulares

10.1 Projecao sobre linha reta

Sejam dados um ponto b e uma reta r, que passa pela origem e que tem direcao definidapelo vetor a. Como veremos, os dois problemas a seguir sao equivalentes:

• Determinar ponto p da reta r, mais proximo de b;

• Determinar a projecao ortogonal de b sobre a reta r.

Ponto mais proximo O ponto generico da reta e dado por ta, com t ∈ IR. Seja f(t)a distancia de ta a b,

f(t) = dist(‘ponto da reta’, b) = dist(ta, b) = ||ta− b||=

√(a1t− b1)2 + (a2t− b2)2 + . . . (ant− bn)2

Observamos que achar o ponto de mınimo de f e equivalente a achar o ponto de mınimoda funcao g = f2

2, dada explicitamente por

g : IR → IR

t 7→ g(t) =1

2

((a1t− b1)2 + (a2t− b2)2 + . . . (ant− bn)2

)Procuramos o ponto de mınimo entre os pontos crıticos de g (i.e., quando g′ = 0). Deri-vando g em relacao t, e igualando a zero temos

g′(t) = (a1t− b1) · a1 + (a2t− b2) · a2 + . . . (ant− bn) · an = 0

donde, resolvendo para t obtemos

t =a1b1 + a2b2 + . . . anbna2

1 + a22 + . . . a2

n

=aTb

aTa

71

72 CAPITULO 10. PROJECOES E QUADRADOS MINIMOS

Recordamos aqui que a e um vetor coluna,

a =

a1

a2...an

Assim, o ponto mais proximo e dado por

p = t · a =aTb

aTaa =

aaT

aTab = Pab

onde a matriz

Pa =aaT

aTa,

n× n, e chamada de matriz de projecao ortogonal sobre a direcao do vetor a.Note que o ponto mais proximo nao deveria depender do tamanho de a, nem de seu

sentido, e apenas de sua direcao. Isso e o que de fato ocorre pois se substituirmos a porλa, λ 6= 0, a matriz permanece inalterada, Pa = Pλa.

Observacao Dados vetores u e v ∈ IR, (vetores ‘em pe’), e usual denotar a matriz uvT ,n× n, por u⊗ v, i.e.,

u⊗ v = uvT ,

o chamado produto tensorial de u e de v. Assim, Pa = a⊗a||a||2 = a

||a|| ⊗a||a|| .

Projecao ortogonal sobre uma linha reta Para que ta seja a projecao ortogonal deb sobre r, e necessario que o vetor indo de ta a b, isto e, o vetor diferenca, b − ta, sejaortogonal a a,

b− ta ⊥ a

isto e, que o produto escalar entre os dois seja nulo,

(a, b− ta) = aT (b− ta) = 0

Assim,

aTb− taTa = 0 ⇒ t =aTb

aTa

Logo, Pab, a projecao ortogonal de b sobre a linha gerada por a e dada por

Pab = ta =aTb

aTaa =

aaT

aTab

10.2. DETERMINACAO DA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE UMA MOLA73

Observacao A matriz P = Pa = aaT

aTa satisfaz: (i) P e simetrica; (ii) P 2 = P ; (iii)

posto de P e igual a um; (iv) Im(P ) = span{a}; (v) N(P ) = span{a}⊥.O ultimo destes resultados depende do Teorema Fundamental da Algebra Linear (TE-

FAL). Demonstracao:

N(P )TEFAL

= Im(P T )⊥ = span{a}⊥

10.2 Determinacao da constante de elasticidade de

uma mola

Consideramos a seguir uma aplicacao da tecnica de quadrados mınimos desenvolvidaanteriormente ao problema inverso de determinar a constante de elasticidade de umamola.

Assuma que lhe seja fornecida uma tabela de dados experimentais relacionando forcaaplicada sobre uma mola, denotada por b, e o respectivo alongamento da mola, denotadopor a,

a a1 a2 · · · anb b1 b2 · · · bn

Uma lei fısica (lei constitutiva) diz que b e proporcional a a,

b ∝ a

isto e, existe uma constante, a constante de proporcionalidade, neste caso chamada deconstante de elasticidade da mola ou constante de Hook, denotada por c, tal que

b = ca

Em particular, se quisermos dobrar o alongamento da mola, devemos dobrar a forcaaplicada sobre sua extremidade.

Nosso interesse entao e determinar c tal que

b1 = ca1

b2 = ca2

...

bn = can

ou seja, queremos resolver o sistema de n equacoes a uma incognita, c, dado porb1

b2...bn

=

a1

a2...an

c


Em geral este sistema e impossıvel, isto e, salvo raras excecoes o sistema nao tem solucao.Sejam a = (a1 a2 . . . an)T e b = (b1 b2 . . . bn)T . Alternativamente, o que se procura fazere determinar o valor de c de forma a que o vetor erro, b − ca, seja o vetor de menortamanho possıvel. Isto e, procura-se minimizar a soma de quadrados,

E(c) = (b1 − ca1)2 + (b2 − ca2)2 + . . . (bn − ca2)2

A solucao, ja sabemos, e:

c =aTb

aTa=

∑ni=1 aibi∑ni=1 a

2i

10.3 Solucao de sistemas impossıveis: quadrados mınimos

Seja Ax = b um sistema impossıvel. Geralmente, troca-se este problema pelo problemade minimizar, em algum sentido, o vetor Ax− b.

A solucao de quadrados mınimos de um sistema impossıvel e, por definicao, o valor daincoginta x tal que o vetor de discrepancia d = Ax− b tenha a menor norma euclideanapossıvel.

Esta solucao e conseguida quando o vetor b− Ax seja ortogonal ao espaco coluna deA, isto e, se as colunas de A forem A1, A2, . . . , Ak,

A =

| | ... |A1 A2 ... Ak

| | ... |

devemos ter que

A1 ⊥ b− AxA2 ⊥ b− Ax

...

An ⊥ b− Axou ainda,

(A1)T (b− Ax) = 0

(A2)T (b− Ax) = 0...

(Ak)T (b− Ax) = 0

donde

(A1)TAx = (A1)Tb

(A2)TAx = (A2)Tb...

(Ak)TAx = (Ak)Tb

10.3. SOLUCAO DE SISTEMAS IMPOSSIVEIS: QUADRADOS MINIMOS 75

que pode ser reorganizado em forma matricial,— (A1)T —— (A2)T —· · · · · · · · ·— (Ak)T —

Ax =

— (A1)T —— (A2)T —· · · · · · · · ·— (Ak)T —

b

o que notoriamente pode ser escrito simplesmente como a chamada equacao normal,

ATAx = ATb

cuja solucao e a solucao de quadrados mınimos de um sistema impossıvel.Apresentamos uma deducao alternativa, baseada no Teorema Fundamental da Algebra

Linear. Queremos determinar x de tal forma que

b− Ax ⊥ Im(A)

Isto e, queremos que

b− Ax ∈ Im(A)⊥

Mas, pelo TEFAL, Im(A) = N(AT )⊥, donde, Im(A)⊥ = (N(AT )⊥)⊥ = N(AT ), uma vezque o perp do perp de um espaco vetorial de dimensao finita e o proprio espaco. Entao,basta que b− Ax ∈ N(AT ), isto e,

AT (b− Ax) = 0 ⇒ ATAx = ATb

obtendo novamente a equacao normal.

Observacao (1) E um fato que se A tem colunas linearmente independentes (li’s), entaoATA e inversıvel. Neste caso, podemos representar a solucao de quadrados mınimos por

x =(ATA

)−1ATb

e a projecao ortogonal de b sobre o espaco coluna de A por

Pb = Ax = A(ATA

)−1ATb

A matriz

P = A(ATA

)−1AT

e a matriz da projecao ortogonal de b sobre o espaco coluna de A.

(ii) Quando A nao tem colunas li’s, basta reduzir o problema escolhendo colunas li’s.


Um exemplo Considere

A =

1 21 30 0

e b =

456

O sistema Ax = b e impossıvel. A solucao de quadrados mınimos e obtida resolvendo-sea equacao normal, ATAx = ATb,(

1 1 02 3 0

) 1 21 30 0

( xy

)=

(1 1 02 3 0

) 456

ou, efetuando as multiplicacoes,(

2 55 13

)(xy

)=

(923

)cuja solucao e (x, y) = (2, 1).

O erro cometido e dado por

b− Ax =

456

− 1 2

1 30 0

( 21

)=

006

A matriz de projecao P e dada por

P A(ATA

)−1AT =

1 0 00 1 00 0 0

uma matriz de projecao sobre o plano xy como era natural esperar se notarmos como saoas colunas da matriz A.

Observacao Dada uma matriz A qualquer, a matriz P = A(ATA

)−1AT satisfaz as

seguintes propriedades: (i) P 2 = P (idempotencia); (ii) P T = P (simetria).

Definicao Uma matriz e chamada de matriz de projecao se e so se satisfaz a condicao(i) acima. Quando, alem de (i) satisfaz (ii), entao e chamada de matriz de projecaoortogonal.

Existe motivacao geometrica para o uso dessa nomenclatura.

Observacao Dados k vetores li’s em IRn, v1, v2, . . .vk, com n ≥ k, entao, para deter-minar a matriz de projecao sobre o espaco U gerado pelos vetores,

U = span{v1, v2, . . .vk}

basta construir a matriz A cujas k colunas sao os vetores dados, e a matriz de projecao e

entao dada por P = A(ATA

)−1AT .

10.4. REGRESSAO LINEAR 77

10.4 Regressao linear

Considere a tabela dada a seguir referente a dados experimentais. Assume-se que asvariaveis denotadas por x sejam livres (explicativas) e que a variavel y seja dependente(variavel resposta)

x1 x2 x3 . . . xn y

1a observacao x11 x1

2 x13 . . . x1

n y1

2a observacao x21 x2

2 x23 . . . x2

n y2

......

......

......

......

......

......

......

observacao k xk1 xk2 xk3 . . . xkn yk

Assuma agora que tem motivos para achar que os dados sao razoavelmente representadospelo seguinte modelo linear,

y = α0 + α1x1 + α2x2 + . . . αnxn

A questao e determinar os coeficientes α0, α1, . . . αn de forma a que a soma dos quadradosdos erros seja mınima. Temos:

d1 = y1 −(α0 + α1x

11 + α2x

12 + . . . αnx

1n

)→ erro na 1a observacao

d2 = y2 −(α0 + α1x

21 + α2x

22 + . . . αnx

2n

)→ erro na 2a observacao

...

dk = yk −(α0 + α1x

k1 + α2x

k2 + . . . αnx

kn

)→ erro na k-esima observacao

Quer-se entao minimizar a soma dos quadrados,

E(α0, α1, . . . αn) = (d1)2 + (d2)2 + . . . (dk)2

=k∑i=1

(yi − α0 −

n∑j=1

αjxij

)2

Qual a solucao? Pode derivar a funcao E com relacao a cada αi e obter um sistema linearpara determinar os pontos crıticos. Alternativamente, pense a equacao (10.1) matricial-mente,

Denotemos por d = (d1 d2 . . . dk)T o vetor de discrepancia, y = (y1 y2 . . . yk)T ,α = (α0 α1 . . . αn)T , e

X =

1 x1

1 . . . x1n

1 x21 . . . x2

n...

... . . ....

1 xk1 . . . xkn


A equacao (10.1) pode entao ser escrita simplesmente como

d = y −Xα

A situacao ideal seria determinar α de tal forma que d pudesse ser escolhido igual aovetor nulo. Como isto quase nunca e possıvel, vemos que estamos perante um problemaimpossıvel, e partimos para obter a solucao de quadrados mınimos. Assim, o valor dovetor α que procuramos e solucao da equacao normal,

XTXα = XTy

Capıtulo 11

Agrupamento de Genes

11.1 Motivacao

Um microarray de DNA mede os nıveis de expressao de milhares de genes em um experi-mento unico. Essa informacao pode ser armazenada em um vetor coluna longo. Se temos20 indivıduos, e 1000 nıveis, podemos formar a matriz G, 1000× 20,

G =

| | · · · || | · · · |G1 G2 ... G20

| | · · · || | · · · |

Uma questao basica (etapa inicial) para o entendimento deste conjunto de dados e

agrupar os genes que apresentem nıveis de expressao altamente correlacionados (e algumasvezes anti-correlacionados). Esses genes podem estar no mesmo caminho celular.

O projeto do Genoma Humano nos disse quais sao as pecas no quebra-cabeca da vida:as linhas de G.

Questao → de que forma essas pecas se mobilizam para produzir funcao como, porexemplo, criar proteınas?

11.2 Particionamento

Interesse em particionar um grafo em duas partes, isto e, a partir de um grafo conexo,retirar alguns arcos de forma a obter dois subgrafos desconexos.

79

Capıtulo 12

Exercıcios I

12.1 Parte um

1a Questao: a) Dada a matriz

P =

23−1

3−1

3

−13

23−1

3

−13−1

323

mostre que e uma matriz de projecao (isto e, que P 2 = P ) ortogonal (isto e, que P = P t).b) Considere o triangulo em IR3 cujos vertices sao dados pelos pontos

a =

303

, b =

6−6

6

e c =

6−3

6

e calcule a imagem de cada um desses pontos (vetores) pela transformacao P .c) Sejam a, b e c as imagens dos pontos a, b e c por P . Determine a equacao da reta r(por extensao −→ parametrica) que passa pelos pontos a e b.d) O ponto c pertence a r?

2a Questao: Seja P a matriz da 1a questao. Determine: a) o nucleo de P ; b) a imagemde P .

3a Questao: Dado o problema de valor na fronteira (ou de contorno) para a funcaoy = y(x),

d2y

dx2+ 2y = 4x− 3, para x ∈]0, 2[

sujeito as condicoes de Dirichlet, y(0) = 3 e de Neumann, dydx

(2) = 4, obtenha um sistemade tres equacoes a tres incognitas que o aproxime, pelo metodo de diferencas finitas,usando que

dy

dx(x) ≈ y(x+ h)− y(x− h)

2he

d2y

dx2(x) ≈ y(x+ h)− 2y(x) + y(x− h)

h2

80

12.1. PARTE UM 81

quando h, que representa o tamanho da malha, e pequeno.

4a Questao: a) Determine uma fatoracao PA = LU da matriz

A =

0 1 1 21 2 1 22 7 6 12 6 4 8

b) Usando o resultado na alınea a), determine a solucao do sistema

Ax =

461620

5a Questao: a) Dado o plano π de equacao x + 2y + z = 0, determine a matriz R dareflexao em relacao ao plano π. b) De os vertices de um triangulo cuja imagem pelatransformacao R seja ele proprio.

6a Questao: a) Determine a fatoracao PA = LU da matriz

A =

1 1 1 21 1 2 12 1 1 12 3 4 6

b) Determine o espaco nulo de A.c) Determine o espao coluna de A.d) Determine a solucao do sistema Ax = b onde b = [1, 3, 3, 3]T .

7a Questao: a) Determine a matriz Q da projecao sobre o plano de equacao x−y+z = 0segundo a direcao definida pelo vetor [2, 1, 2]T .b) Calcule Q7.

8a Questao: Dado o problema de valor na fronteira (ou de contorno) para a funcaoy = y(x),

d2y

dx2− 3

dy

dx= 4x− 3, para x ∈]− 1, 1[

sujeito as condicoes de Dirichlet, y(−1) = 5 e de Robin, y(1) + 3 dydx

(1) = 0, obtenha umsistema de cinco equacoes a cinco incognitas que o aproxime, pelo metodo de diferencasfinitas, usando que

dy

dx(x) ≈ y(x+ h)− y(x− h)

2he

d2y

dx2(x) ≈ y(x+ h)− 2y(x) + y(x− h)

h2na equacao,

82 CAPITULO 12. EXERCICIOS I

e dy/dx ≈ (y(x + h) − y(x))/h, na condicao de fronteira de Robin, quando h, querepresenta o tamanho da malha, e pequeno. Use h = 1/2 = 0, 5. Explicite a matriz dosistema de equacoes.

9a Questao: a) Obtenha a matriz de incidencia A do grafo dado na figura. b) Determineo espaco nulo de A; c) Determine o espaco nulo a esquerda de A; d) Explique o que oTeorema Fundamental da Algebra Linear afirma para A; e) Determine ATA e AAT .

12.2 Parte dois

1a Questao: Determine uma expressao simples para

det

a a a aa b b ba b c ca b c d

2a Questao: Um fabricante de perfumes, desejando determinar o preco de venda quemaximizaria o seu lucro, quer expressar as suas vendas semanais y (em milhares de vidros)como uma funcao linear do preco x (em reais por vidro), y = a + bx. Com este objetivoem mente, ele realizou vendas experimentais do perfume em quatro cidades semelhantes,tendo obtido os seguintes resultados:

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4x 6,25 6,75 8,00 8,75y 6,03 5,62 4,78 4,34

a) Obtenha o sistema indeterminado que a e b devem satisfazer.b) Determine a e b que melhor se ajustam aos dados, no sentido dos mınimos quadrados.

3a Questao: Dados dois polinomios de grau menor ou igual a 2, p e q, defina o seguinteproduto interno,

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)

Utilize o metodo de Gram-Schmidt a base {1, x, x2} com este produto interno.

4a Questao: Dados os vetores

v1 =

1101

v2 =

1011

v3 =

0111

a) Determine uma base ortonormal para

V = span{v1, v2, v3}

12.2. PARTE DOIS 83

b) Obtenha a matriz da projecao ortogonal sobre V .c) Dado o vetor

c =

7070

determine vetores a e b tais que

c = a + b

com a ∈ span{v1, v2, v3} e b ⊥ a.

5a Questao: a) Dados dois numeros reais, u e v, mostre que (u−v)2+(u+v)2 = 2(u2+v2).b) Considere o paralelogramo P gerado pelos vetores u e v, digamos em IR2, isto e, oparalelogramo tem os vertices (0, 0), u = (u1, u2), v e u+v. Assuma que o produto internoe a norma de vetores sao os usuais, respectivamente, uTv = u1v1 + u2v2 e ||u|| =

√uTu.

Mostre que

||u + v||2 + ||u− v||2 = 2(||u||2 + ||v||2

)c) (Regra do paralelogramo) Interprete, geometricamente, o resultado obtido acima.(Dica: O comprimento do segmento que liga a origem ao vetor u + v, uma diagonaldo paralelogramo, e ||u + v||. O que representa ||u− v|| ? E ||u|| ?)

6a Questao: Um homem da idade media foi esticado, em um aparelho de tortura, acomprimentos L = 5, 6 e 7 pes, sob forcas aplicadas F = 1, 2 e 4 toneladas. Assumindoa lei de Hook, L = a + bF , determine o comprimento normal do sujeito, a, por mınimosquadrados.

7a Questao: Calcule o determinante da matriz

A =

1 t t2 t3

t 1 t t2

t2 t 1 tt3 t2 t 1

(Sugestao: Utilize a eliminacao de Gauss para calcular o determinante.)

8a Questao: [Algumas alıneas sao independentes das outras]. a) A distancia deum (hiper)plano aTx = c, em um espaco de dimensao m, a origem e |c|/||a||. Qual adistancia do plano x1 + x2 − x3 − x4 = 8 a origem, e que ponto no plano e o mais pertoda origem.b) Determine uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz

A =

1 −63 64 85 07 8


c) Escreva A como QR, onde Q tem colunas ortonormais e R e triangular superior.d) Determine a matriz de projecao sobre o espaco gerado pela colunas de A. (Sugestao:Faca isso a partir da matriz Q.e) Determine a solucao de mıminos quadrados de Ax = b, se b = (−3, 7, 1, 0, 4).

9a Questao: a) Determine os coeficientes de Fourier a0, a1, b1 da funcao degrau y(x),que e 1 no intervalo 0 ≤ x ≤ π e 0 no restante do intervalo π < x ≤ 2π:

a0 =(y, 1)

(1, 1)a1 =

(y, cosx)

(cosx, cosx)b1 =

(y, senx)

(senx, senx)

b) Represente graficamente a funcao y(x) e a funcao aproximada, z(x), obtida atraves dopolinomio de Fourier,

z(x) = a0 + a1 cosx

com apenas dois termos.

10a Questao: a) Aplique o metodo de Gram-Schmidt aos vetores (1,−1, 0), (0,1,-1), e(1,0,-1), para encontrar uma base ortonormal para o plano x1 + x2 + x3 = 0 (ao qual osvetores anteriores pertencem). Qual e a dimensao deste subespaco, e quantos vetores naonulos resultam do metodo de Gram-Schmidt?b) Obtenha as matrizes da projecao ortogonal sobre o subespaco V definido pelo plano,e sobre o subespaco V ⊥ (V perp).

12.3 Parte tres

1a Questao: Considere o problema de valor inicial para o sistema de equacoes diferenciaisordinarias:

x′1 = 3x1 + 3x2

x′2 = 4x1 + 2x2, t > 0 (12.1)

onde x1 = x1(t) e x2 = x2(t), e as condicoes iniciais sao

x1(0) = 1 , x2(0) = 2 (12.2)

a) Represente o sistema matricialmente.

b) Determine as solucoes da equacao (12.1) da forma

(x1(t)x2(t)

)=

(uv

)eλt, onde u, v

e λ sao constantes.c) Determine a solucao de (12.5) sujeita as condicoes da equacao (12.2).

2a Questao: Diagonalize a matriz

A =

0 1 11 0 11 1 0

12.3. PARTE TRES 85

atraves de uma matriz ortogonal, sabendo que os autovalores sao -1 e 2.

3a Questao: Sejam a, b, c e d numeros reais tais quea2 + b2 = 1c2 + d2 = 1ac+ bd = 0

(12.3)

Mostre que a2 + c2 = 1b2 + d2 = 1ab+ cd = 0

(12.4)

(Sugestao: Lembre-se, esta disciplina e de Algebra Linear — vetores e matrizes.)

4a Questao: [ Calculo Funcional] Note bem: varias alıneas nao dependem das anteri-ores. Dada a matriz

A =

(0 2−1 3

)a) Determine o polinomio caracterıstico de A.b) Diagonalize A.c) Use a alınea anterior para calcular A8.d) Dado um polinomio q(x) = x3 − 7x2 + 3x + 5, defina a avaliacao de q na matriz A,como sendo

q(A) = A3 − 7A2 + 3A+ 5I (nao precisa calcular)

O teorema de Cayley-Hamilton diz que uma matriz anula o seu polinomio caracterıstico,isto e,

pc(A) = 0

onde o zero no lado direito da equacao e a matriz nula. Verifique, no caso da matriz Adada e usando o polinomio determinado na alınea a), a veracidade do teorema de Cayley-Hamilton neste caso.e) Use o resultado acima para dar uma formula para A2 atraves de um polinomio de graumenor ou igual a 1.f) Determine um polinomio de grau 1, r(x) = ax + b, que interpole a funcao x8 nosautovalores de A. Isto e, se λ1 e λ2 forem os autovalores de A, determine a e b tais que

aλ1 + b = λ81

aλ2 + b = λ82

g) Calcule r(A).h)Verifique que A8 = r(A).


————————————————————————-

Lembrete: (r su v

)−1

=1

rv − su

(v −s−u r

)Obs.: O resultado exibido na alınea h) e bastante geral. Conhecendo-se o espectro

de uma matriz e possıvel achar-se potencias arbitrarias de uma matriz — e portantoresolver diversos problemas — avaliando polinomios interpolantes simples, sem ter queachar autovetores nem diagonalizar a matriz. A consequencia do Teorema de Cayley-Hamilton exibida na alınea e) indica porque isso e possıvel — troca potencias maiores pormenores.

5a Questao: Sejam α1 e α2 numeros reais nao-nulos, e v1 e v2 vetores em IR5, com norma1 e ortogonais. Defina a matriz

A = α1v1vT1 + α2v2v

T2

a) Mostre que a matriz A e simetrica.b) A matriz A e diagonalizavel? Justifique.c) Calcule Av1.d) O que voce pode concluir sobre a relacao entre A e v1?e) Mostre que zero e autovalor de A.f) O que voce sabe dizer sobre o auto-espaco associado ao autovalor zero? Em particular,qual e a sua dimensao?

6a Questao: Uma empresa de mudancas que opera no triangulo Rio, Sampa e BH temem cada uma das cidades uma garagem. Todo o mes metade dos caminhoes que estaoem BH e no Rio vao para Sampa, e a outra metade ficam nas respectivas cidades, e oscaminoes que estao em Sampa se dividem igualmente entre BH e o Rio. Monte a matrizde transicao T , 3 × 3, e obtenha o estado estacionario u∞ correspondendo ao autovalorλ = 1. Assuma que o numero de caminhoes total e de 1000 unidades.

7a Questao: Uma questao importante relativamente a matrizes que modelam situacoesfısicas e a localizacao dos autovalores de uma matriz; por vezes mesmo quando nao epossıvel determina-los facilmente, saber algo a respeito e suficiente. O teorema a seguir euma ferramenta importante nesse contexto.

Teorema (dos cırculos) de Gerschgorin. Todo autovalor de uma matriz A, n×n, comentradas reais ou complexas, esta na uniao dos cırculos (de Gerschgorin) C1, C2, . . . , Cn,onde Ci e o cırculo, no plano complexo1 de centro aii, o i-esimo elemento da diagonalprincipal da matriz, e raio dado pela formula ri =

∑nj=1;j 6=i |bij| que se iguala a soma dos

valores absolutos dos restantes elementos da i-esima linha.

1O plano complexo e, essencialmente, o IR2, com o eixo dos x′s sendo o eixo real e o eixo dos y′s oeixo imaginario.

12.4. PARTE QUATRO 87

a) Dada a matriz

D =

4 2 11 5 32 4 7

determine os centros e os raios dos quatro cırculos de Gerschgorin.b) Uma matriz e chamada diagonalmente dominante quando cada entrada da diagonalexcede a soma dos valores absolutos dos restantes elementos da linha. A matriz D ediagonal dominante?c) Observe que nenhum cırculo de Gerschgorin da matriz D contem o numero real λ = 0.Mostre, entao que D e inversıvel.

8a Questao: Considere o problema de valor inicial para o sistema de equacoes diferenciaisordinarias:

x′1 = 3x1 − 12x2

x′2 = −2x1 + 3x2, t > 0 (12.5)

onde x1 = x1(t) e x2 = x2(t), e as condicoes iniciais sao

x1(0) = 3 , x2(0) = 2 (12.6)

a) Represente o sistema matricialmente.

b) Determine as solucoes da equacao (12.5) da forma

(x1(t)x2(t)

)=

(uv

)eλt, onde u, v

e λ sao constantes.c) Determine a solucao de (12.5) sujeita as condicoes da equacao (12.6).


A =

2 1 01 1 10 1 2

atraves de uma matriz ortogonal, sabendo que zero e um dos autovalores de A.

12.4 Parte quatro

1a Questao: Dada a matriz tridiagonal

A =

a1 c1

b1 a2 c2

b2 a3 c3

b3 a4 c4

b4 a5 c5

b5 a6


onde os espacos vazios sao preenchidos por zeros, obtenha a decomposicao A = LU ,fazendo as hipoteses adequadas sobre as entradas da matriz A.

2a Questao: Companhias multinacionais nos EUA, Japao e Europa detem recursos novalor de US$ 4 trilhoes (4 × 1012). No inıcio, $ 2 trilhoes estao nos EUA, e $ 2 trilhoesestao na Europa. Cada ano, 1/2 do dinheiro dos EUA ficam no paıs, e o restante vai parao Japao e para a Europa em quantidades iguais. No caso do Japao e da Europa, metadedos recursos fica nos respectivos paıses e o restante vai para os EUA.a) Obtenha a matriz A tal que E

JE

ano k + 1

= A

EJE

ano k

b) Determine a distribuicao limite dos $ 4 trilhoes quando o mundo ‘terminar.c) Determine a distribuicao dos recursos no ano k.

3a Questao: Dado o sistema0 0 0 0 1 −10 0 0 0 2 10 0 3 1 5 10 0 1 3 2 52 1 2 3 1 01 2 1 −1 2 −1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

=

03101194

calcule a solucao apos obter a decomposicao PA = LU .

4a Questao: Um fabricante de perfumes, desejando determinar o preco de venda quemaximizaria o seu lucro, quer expressar as suas vendas semanais y (em milhares de vidros)como uma funcao linear do preco x (em reais por vidro), y = a + bx. Com este objetivoem mente, ele realizou vendas experimentais do perfume em quatro cidades semelhantes,tendo obtido os seguintes resultados:

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4x 6,25 6,75 8,00 8,75y 6,03 5,62 4,78 4,34

a) Obtenha o sistema indeterminado que a e b devem satisfazer.b) Determine a e b que melhor se ajustam aos dados, no sentido dos mınimos quadrados.

5a Questao: Dados dois polinomios de grau menor ou igual a 2, p e q, defina o seguinteproduto interno,

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)

Utilize o metodo de Gram-Schmidt a base {1, x, x2} com este produto interno.

12.4. PARTE QUATRO 89

6a Questao: Diagonalize a matriz A por intermedio de uma matriz ortogonal,

A =

3 3 1 13 3 1 11 1 3 31 1 3 3

7a Questao: a) Quais os valores de a e b que tornam a seguinte equacao uma cadeia deMarkov?

uk+1 = Auk =

(a b

1− a 1− b

)uk, u0 =

(11

)b) Calcule uk = SΛS−1u0 para valores arbitrarios de a e b.c) Sob quais condicoes em a e b, uk se aproxima de um limite finito quando k ← ∞ equale o limite?E necessario que A seja uma matriz de Markov?

8a Questao: a) Determine a funcao do tipo a cosx + b senx mais proxima da funcaof = sen 2x no intervalo [−π, π]. Lembre que, neste caso, o produto interno e dado por∫ π−π. (Dica: Lembre que o mais proximo, e dado pela projecao ortogonal).

9a Questao: a) Determine o posto da matriz A e escreva-a na forma A = uvT :

A =

1 0 0 30 0 0 02 0 0 6

b)Para a matriz A determine a base dos quatro sub-espacos associados (nucleo, imagem[espaco coluna], nucleo a esquerda, espaco linha.


A =

2 1 01 1 10 1 2

atraves de uma matriz ortogonal, sabendo que zero e um dos autovalores de A.

11a Questao: a) Obtenha o polinomio caracterıstico da matriz

A =

1 3 −13 −3 3−1 3 1

b) Determine os autovalores de A sabendo que 3 e um dos autovalores.c) Obtenha autovetores relativos a cada autovalor encontrado.

12a Questao: Dado o plano π de equacao x−y+2z = 0, determine a matriz da projecaosobre π segundo a direcao definida pelo vetor (1,1,1).

13a Questao: Considere a projecao ortogonal sobre a reta x−2y = 0, aqui denotada porT : IR2 → IR2. Sem determinar explicitamente a matriz que representa T , de:a) os autovalores de T ;b) autovetores para cada um dos autovalores.

Capıtulo 13

Exercıcios II

13.1 Um

1a Questao: Dada a matriz tridiagonal

A =

a1 c1

b1 a2 c2

b2 a3 c3

b3 a4 c4

b4 a5 c5

b5 a6

onde os espacos vazios sao preenchidos por zeros, obtenha a decomposicao A = LU ,fazendo as hipoteses adequadas sobre as entradas da matriz A.

2a Questao: a) Mostre que

limh→0

f(x+ h)− f(x− h)

2h= f ′(x)

b) Dado o problema de valor na fronteira (ou de contorno)

d2y

dx2+ 3

dy

dx+ y = 5x2 + 3x, para x ∈ [0, 2]

sujeito as condicoes y(0) = 2 e y(2) = 1, obtenha um sistema de quatro equacoes a 4incognitas que o aproxime, utilizando para esquema de discretizacao o metodo de dife-rencas finitas.

3a Questao: Dado o sistema0 0 0 0 1 −10 0 0 0 2 10 0 3 1 5 10 0 1 3 2 52 1 2 3 1 01 2 1 −1 2 −1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

=

03101194

90

13.1. UM 91

calcule a solucao apos obter a decomposicao PA = LU .

4a Questao: Dado o plano π de equacao x− 2y + z = 0, determinea) a matriz A da reflexao em relacao ao plano π;b) a matriz B da projecao ortogonal sobre π;c) a matriz C da projecao segundo a direcao do vetor (1, 1, 1).

5a Questao: a) Determine o posto das matrizes A,B,C da questao anterior.b) Determine os espacos nulos de A, B e C.c) Determine os espacos coluna de A, B e C.d) Determine, sem fazer contas, atraves de um argumento geometrico, A2, B2 e C2.Tambem AB.

6a Questao: Dados os vetores (‘verticais’) u ∈ IRm e v ∈ IRn, define-se o produtotensorial u⊗ v pelo produto de matrizes,

u⊗ v = uvT

onde o superescrito T denota a transposicao.a) Dados u = (1, 2,−1)T e v = (2,−3− 4)T determine u⊗ v e uTv.Uma matriz A e decomponıvel quando e possıvel escolher vetores u e v tais que A = u⊗v.b) Dadas as matrizes

A =

2 7−6 −214 14

e B =

4 165 256 36

decida se sao decomponıveis e, em caso afirmativo, obtenha os correspondentes u e v.c) Dada A = u⊗v, determine base para o espaco nulo e o espaco coluna de A e verifiqueo teorema fundamental da algebra linear neste caso.

7a Questao: Diz-se dos vetores u1, u2, . . . ,uk que sao ortogonais se 〈ui,uj〉 = 0, ∀i 6= j.a) Calcule B2 onde B = u1 ⊗ u1.b) Calcule A2 e (I − A)2 quando A = u1 ⊗ u1 + u2 ⊗ u2 + . . .uk ⊗ uk.

8a Questao: Diz-se que a matriz B e obtida de A por uma perturbacao de posto 1 ou queB e uma perturbacao de posto 1 da matriz A quando B = A + C onde C e uma matrizde posto 1. Analogamente poder-se-ia definir perturbacoes de posto 2 ou superiores. Eclaro que quando u,v 6= 0 e C = u ⊗ v, C tera posto 1 (como verificado anteriormentena questao 6c).a) Mostre que a matriz ‘cheia’

4 1 1 11 5 1 11 1 3 11 1 1 2

pode ser obtida como uma perturbacao de posto 1 de uma matriz diagonal com entradas(3,4,2,1), e a perturbacao e da forma u⊗ u.

92 CAPITULO 13. EXERCICIOS II

b) Dadas as matrizes

A =

2 −1 0 0 −1−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −1−1 0 0 −1 2

e A =

2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 2

mostre que A e obtida de A por uma perturbacao de posto 2 que pode ser escrita comou1 ⊗ v1 + u2 ⊗ v2. Obtenha u1,u2,v1,v2.c) Considere a matriz tridiagonal abaixo

A =

a1 c1

b1 a2 c2

b2 a3 c3

b3 a4 c4

b4 a5 c5

b5 a6

e mostre que esta pode ser escrita como uma perturbacao de posto 2 da matriz em blocos

A =

a1 c1

b1 a2 c2

b2 a3

a4 c4

b4 a5 c5

b5 a6

d) Mostre que se C, m × n, tem posto 1, entao existem u ∈ IRm e v ∈ IRn tais queC = u⊗ v. (Este resultado e a volta da questao 6c).

9a Questao: (Sherman-Morrison) a) A inversa da matriz B = I − v⊗w tem a formaB−1 = I − cv ⊗w. Multiplicando, determine o valor de c.b) Se A e inversıvel e B = A − vwT e inversıvel, entao a inversa de B e B−1 =A−1 − cA−1vwTA−1. Multiplicando (e procurando por um escalar em vwTA−1vwTA−1)encontre o numero c.

10a Questao: a) Dada a matriz da questao 8a), determine sua inversa.b) Faca o mesmo exercıcio usando o resultado da questao 9b).c) Se voce subtrair 1 da 1a entrada, a11 de A, que matriz sera de A−1 para obter-se ainversa da nova matriz? Em A−1 seja q a primeira coluna, rT a primeira linha, e s aprimeira entrada.

13.2 Dois

1a Questao: Para se estudar a influencia das variaveis capital investido (x1) e gasto empublicidade (x2) no lucro anual (y) de empresas, foram observadas essas variaveis em doze

13.2. DOIS 93

empresas em um mesmo ano. Os seguintes resultados foram registrados, na unidade de100.000 reais,

y 12 13 3 3 11 19 1 14 15 17 2 15x1 31 16 29 19 27 21 24 11 26 18 12 3x2 4 5 3 0 2 6 2 3 6 6 1 5

Ajuste a estes dados um modelo do tipo y = a + bx1 + cx2, pelo metodo dos mınimosquadrados.

2a Questao: Um experimento foi realizado para se estudar a relacao entre o grau decorrosao de um metal, y, e o tempo de exposicao (em semanas), x, desse metal a acao daacidez do solo. Foram obtidos os seguintes resultados:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 0,08 0,18 0,32 0,53 0,88 1,30 1,95 2,80 3,90 4,60

Ajuste a esses dados o modelo y = a+ bx+ cx2, pelo metodo dos mınimos quadrados.

3a Questao: Encontre a curva y = C+D2t que da o melhor ajuste por mınimos quadradospara as medidas y = 6 em t = 0, y = 4 em t = 1 e y = 0 em t = 2. Escreva as tresequacoes que seriam resolvidas se a curva passasse por esses tres pontos, e encontre osmelhores valores para C e D.

4a Questao: O teorema fundamental da algebra linear e frequentemente apresentadocomo a alternativa de Fredholm: Para quaisquer A e b, um e apenas um dos seguintesproblemas tem solucao:

(1) Ax = b (2) ATy = 0, yTb 6= 0.

Em outras palavras, ou (a) b esta no espaco coluna de A e assim (1) tem solucao, ou (b)existe y no nucleo de AT , y ∈ N (AT ), tal que yTb 6= 0. Consequentemente, note que setodo y que pertencer ao nucleo de AT satisfizer yTb = 0 entao (2) nao tem solucao, e (1)tera.

a) Mostre que e contraditorio que os problemas (1) e (2) tenham solucao ao mesmo tempo.b) Determine uma base para o espaco nulo da matriz

A =

(1 0 21 1 4

)e verifique que este e ortogonal ao espaco linha. Dado x = (3, 3, 3), decomponha-o emuma componente no espaco linha, xr e um componente no espaco nulo, xn.

5a Questao: a) A distancia de um (hiper)plano aTx = c, em um espaco de dimensao m,a origem e |c|/||a||. Qual a distancia do plano x1 +x2−x3−x4 = 8 a origem, e que ponto


no plano e o mais perto da origem.b) Determine uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz

A =

1 −63 64 85 07 8

c) Escreva A como QR, onde Q tem colunas ortonormais e R e triangular superior.d) Determine a matriz de projecao sobre o espaco gerado pela colunas de A, a partir damatriz Q.e) Determine a solucao de mıminos quadrados de Ax = b, se b = (−3, 7, 1, 0, 4).

6a Questao: Se A e uma matriz quadrada e inversıvel mostre que AB tem o mesmoespaco nulo (e o mesmo espaco linha e o mesmo posto) que a matriz B.

7a Questao: a) Projete o vetor b = (1, 2) na direcao dos vetores ortogonais (1, 1) e (1,-1)e verifique que a soma dessas projecoes e o proprio vetor b.b) Faca o mesmo mas agora projete na direcao dos vetores nao ortogonais (1,0) e (1,1).Mostre que, diferentemente do que ocorre com o caso ortogonal, a soma das duas projecoesunidimensionais nao se iguala ao vetor b.

8a Questao: a) Determine o comprimento do vetor v = (1/√

2, 1/√

4, 1/√

8, . . .) e dafuncao f(x) = ex (no intervalo 0 ≤ x ≤ 1). Qual e o produto interno, neste intervalo, deex e e−x?b) Determine os coeficientes de Fourier a0, a1, b1 da funcao degrau y(x), que e 1 nointervalo 0 ≤ x ≤ π e 0 no restante do intervalo π < x ≤ 2π:

a0 =(y, 1)

(1, 1)a1 =

(y, cosx)

(cosx, cosx)b1 =

(y, senx)

(senx, senx)

c) Determine a linha reta mais perto da parabola y = x2 no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 nosentido de L2[−1, 1].d) Determine o proximo polinomio de Legendre - um polinomio cubico ortogonal a 1, x ea x2 − 1

3sobre o intervalo −1 ≤ x ≤ 1.

e) Aplique o metodo de Gram-Schmidt aos vetores (1,−1, 0), (0,1,-1), e (1,0,-1), paraencontrar uma base ortonormal para o plano x1 + x2 + x3 = 0 (ao qual os vetores acimapertencem). Qual e a dimensao deste subespaco, e quantos vetores nao nulos resultam dometodo de Gram-Schmidt?

9a Questao: a) Eliminacao por blocos da, se o bloco pivo A for inversıvel,(I 0

−CA−1 I

)(A BC D

)=

(A B0 D − CA−1B

)A matriz D−CA−1B e chamada de complemento de Schur. Mostre que seu determinante

13.3. TRES 95

vezes detA se iguala ao determinante da matriz em blocos original,(A BC D

)Mais ainda, mostre que se AC = CA, entao esse determinante se iguala a det(AD−CB).b) Neste caso, o sistema de equacoes para (v,p) dado por:

Av +Bp = α

Cv +Dp = β

pode ser desacoplado em equacoes que primeiramente devem ser resolvidas para p e emseguida para v. Determine essas equacoes.

10a Questao: Se C =

(a bc d

)e D =

(u vw z

)entao a equacao para a determinacao

de matrizes C e D tais que CD = −DC se torna equivalente a:

CD +DC = 0 ou

2a c b 0b a+ d 0 bc 0 a+ d c0 c b 2d

uvwz

=

0000

a) Determine o determinante da matriz A, 4 por 4, dos coeficientes.b) Mostre que detA = 0 apenas em dois casos: a+ d = 0 ou ad− bc = 0.Em todos os outros casos, CD = −DC so sera possıvel com D = 0.c) Construa exemplos nao triviais de matrizes C e D satisfazendo CD = −DC.

13.3 Tres

1a Questao: Dada a matriz

A =

1 2 −11 0 14 −4 5

Determine:(a) o polinomio caracterıstico de A e os autovalores de A, sabendo-se que λ = 1 e umaraiz do polinomio caracterıstico de A.(b) um autovetor correspondente a cada autovalor e diagonalize A.

2a Questao: Dado o plano π de equacao x−y+2z = 0, considere a matriz A da projecaosobre π segundo a direcao definida pelo vetor (1,1,1). Sem determinar explicitamente A,obtenha:a) Os autovalores de A;b) Uma base de autovetores.


c) A base e ortogonal?d) A matriz A e diagonalizavel?

Uma questao importante e a localizacao dos autovalores de uma matriz; por vezes mesmoquando nao e possıvel determina-los facilmente, saber algo a respeito e suficiente. Oteorema a seguir e uma ferramenta importante nesse contexto.

Teorema (dos cırculos) de Gerschgorin. Todo autovalor de uma matriz A, n × n,esta em pelo menos um dos cırculos (de Gerschgorin) C1, C2, . . . , Cn, onde Ci e o cırculode centro aii e raio ri =

∑nj=1;j 6=i |bij| igual a soma dos valores absolutos dos restantes

elementos da i-esima linha.

3a Questao: a) A matriz

A =

4 2 11 5 32 4 7

e chamada diagonalmente dominante porque cada entrada da diagonal excede a soma dosvalores absolutos dos restantes elementos da linha. Esboce os cırculos de Gerschgorinpara esta matriz.b) Nenhum cırculo contem λ = 0. Mostre que as matrizes diagonalmente dominantes saosempre inversıveis.c) Conclua, justificando, que A e inversıvel.d) Lembrando que todos os autovalores de matrizes simetricas reais sao reais, use o te-orema de Gerschgorin para obter um intervalo que contenha σ(C), o espectro da matrizC, onde

C =

2 0 10 3 21 2 2

e) Considere uma matriz B cujas linhas satisfazem

|bi1|+ |bi2|+ |bi3|+ . . .+ |bin| < 1 ∀i

Mostre, a partir do teorema de Gerschgorin, que todos os autovalores deB satisfazem |λ| <1. (Sugestao: Aqui e conveniente escrever a equacao do i-esimo cırculo de Gerschgorin,

|bii − z| ≤ |bi1|+ |bi2|+ . . .+ |bi i−1|+ . . .+ |bi i−1|+ |bin|

e trabalhe o lado esquerdo.)

4a Questao: a) Dada uma matriz A anti-Hermitiana, AH = −A, mostre que se u e vsao autovetores de A, associados respectivamente a autovalores distintos µ e λ, (µ 6= λ),entao u e ortogonal a v (uHv = 0).b) Dada matriz anti-Hermitiana, mostre que B = A + 1

2I e inversıvel. (Sugestao: Qual

e a relacao entre σ(B) e σ(A)? Ou melhor, qual a relacao entre os autovalores das duas

13.3. TRES 97

matrizes?)c) Mostre que a relacao de similaridade de matrizes, A ∼ B se e so se existir S inversıveltal que A = SBS−1, e uma relacao de equivalencia.

5a Questao: Uma matriz simetrica real A e chamada de positiva definida se xTAx > 0,para todo x 6= 0.a) Escolhendo adequadamente x, mostre que a11 > 0. Mostre tambem que todas asentradas da diagonal principal de A sao positivas.b) Mostre que os autovalores de A sao positivos (sugestao: escolha x). Conclua que A einversıvel.c) Determine os autovalores da matriz

C =

(1 11 1

)e decida se A e positiva definida.d) Dada a funcao quadratica

f(x, y, z) = 5x2 + 4y2 + 3z2 − 2xy − 2xz + 2yz

escreva-a na forma xTAx onde xT = (x y z) e A e uma matriz simetrica.e) Decida se a matriz A e positiva definida. (Sugestao: Gerschgorin).

6a Questao: Suponha que a populacao de coelhos, c, e de lobos, l, sao governadas pelosistema de equacoes diferenciais ordinarias:

dc

dt= 4c− 2l

dl

dt= c+ l

a) Explique porque e razoavel que o coeficiente de c na 1a equacao seja positivo e ocoeficiente de l seja negativo.b) Explique o significado dos sinais dos coeficientes de c e l na 2a equacao.c) Se inicialmente c = 300 e l = 200, quais sao as populacoes de coelhos e lobos no tempot?d) Depois de um tempo longo, qual e a proporcao de coelhos e lobos? (c(t)/l(t) quandot→ +∞).

7a Questao: a) Dada a funcao quadratica

f(x1, x2, x3) = 3x21 + 5x2

2 + 2x23 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3

escreva-a na forma xTAx onde xT = (x1 x2 x3) e A e uma matriz simetrica.b) Diagonalize A atraves de uma matriz ortogonal Q, A = QDQT com D diagonal,sabendo que 2 e um dos autovalores de A.c) Faca a mudanca de variaveis y = QTx e obtenha h(y) = f(Qy).d) Considere a equacao f(x) = 1 nas novas variaveis (h(y) = 1). Identifique este conjunto.


Note que a transformacao y = QTx preserva angulos e distancias, assim, o conjuntogeometrico obtido e o mesmo que nas variaveis x, mas ‘mudado de posicao’.e) Ja agora, a partir de A = QDQT e escolhendo direito Λ, obtenha uma raiz quadradade A, B, com B2 = A, B na forma QΛQT .

8a Questao: Considere a matriz tridiagonal

A =

a bb a b

b a. . .

. . . . . . bb a

Seja Xk = det(A(k)) o determinante da k-esima sub-matriz principal de A, isto e, a matrizk × k no canto superior esquerdo da matriz A.a) Expandindo pela k-esima linha, mostre que

Xk = aXk−1 − b2Xk−2

b) Resolva esta equacao de diferencas, para obter o valor de Xk para k arbitrario. (Se formuito difıcil em geral, faca apenas para quando a = 2 e b = −1).

9a Questao: Seja A uma matriz tridiagonal simetrica de tamanho (n+m)× (n+m).a) Verifique que A pode ser escrita como uma matriz diagonal em blocos,

A =

(T1 00 T2

)+ β(en + en+1)⊗ (en + en+1)

onde T1 e uma matriz n× n e T2 e uma matriz m×m. Ilustre essa decomposicao com amatriz dada na questao anterior (a = 2 e b = −1, e n = m = 3.)b) Se T1 = Q1D1Q

T1 e T2 = Q2D2Q

T2 , mostre que

A =

(Q1 00 Q2

)[(D1 00 D2

)+ βz ⊗ z

](QT

1 00 QT

2

)com zT = (qT1 , q

T2 ) onde qT1 e a ultima linha de Q1 e qT2 e a primeira linha de Q2.

c) Ilustre explicitamente esta construcao com o exemplo referido.

10a Questao: Exercıcios 5.3.5, 5.3.9 e 5.3.11 do livro Linear Algebra and its Applicationsby G. Strang.

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