, " .~... ..,

,-

ANALCGO PARA ESTUDO TEuRICO DO TESTE DE

DECREMENTO El-l UJI.l V:s..O DE LINEA AEREA DE THANSHI SS}W

Afonso Henr iqu es. 1>101'ei1'a dos Santos

M5rcio Tadeu de Al me ida.

Es t udou-se 0 comportame nt.o do amortecimen to da s vibra

, ~6es em urn cabo, num v~o de Linha A~rea de Transmiss~o> com um amor

tecedor "S tockbridge ", atr av~s 9-o teste dedecrement0 logarltmico . ,

Usou-se nesse estudo te6rico urn an5logo el~trico, onde

for,3.m feitas algumas ·hi p5teses . de earacter pratico. para simplifiear

Obteve-se uma equa~ao que permite calcular 0 consumo de

'b ...... A .l .. Vl .ratorla qu~ e ~ecom6lluado como uma medida da eficieneia • do amortecedor t!STOCKBRIDGE It

•

N01vlliNCLATUR},

= For~a transversal no condutor

- Amplitude da . for~a transversal aplicada no yao em t =:: n =:: Frequencia de vibra~ao

= Veloeidade transversal do condutor

= Veloeidade transversal no regime permanente de ressonancia

V·e locidade Tela tiva transversal durante 0 periodo de deere ..;.

menta

= Acelera~ao transversal no regime permanente

= Tensao no condutor

"

~

" .. ~,

--;

:~.

" :;:~

.. '

j.-

} ~ ~ ~; ~

~ '. -.

i:c ~

?. f t:! " f

'10

,~ ~ tl .~

f , ? '" *, r t.'

l i' ~ ~

t f , ~ if

~ ~ ~: !i( ~~ !~

If t f ~ ~,

f ~ t

~ '~

~ t l 1\

l i 2 ,

I ( t,

f

/ .:.. ......... A ' i.':" ~_, ••• _ ... .. '" .,

.. 2 -

= Tempo de percurso ao l ongo do compr i mento do vao

= massa por unidade de c omprimento do conililt or

::: f ator de amortecimento

::: impend~nc i a complexa do amorte c edor

- impend~nc i a m e c~nica cara c te r l s t ica do condutor

'1'

'h = tempo gast o pa ra re duzir a amplitude d~ regime permanent e para

, a me t a de

w = Fr equ~ncia angular

VtR - velocidade da ondaviajante

p ::: £a tor complexo de reflexao :::::.f e j \0

L = Comprimento do vao

p = pot~nciam~dia que flui para 0 arnortecedor

p = nfimero de reflex6es

SeX) = fela~ao inversa - onda padrao

o = decremento lagaritmico

A = comprimento de onda

g = acelera~ao da gravidade

1. INTRODU(:AO

A vibra~ao eolica nos condutores das Linhas Aereas de Transmis

sio e urn fen6meno, que frequenternente causa serios danos. Urn dos fato

res mais irnportantes envolvidos nesse problema e 0 amortecimento mec~

nico no sistema. Muitas pesquisas neste carnpot tratam~se do arnorteci

mento no condutor e tambem devido aos arnortecedores.

f ' ,Urn metoda bern conhecido de medida de amortecimento mecani

I co e 0 metoda do decrcmento. A estrutura investigada & excitada

I I t !

por

~ '.

t

.:~

(

.. ...; • . _~ .... f :.~ •. _ · .. , .; .. -•. ",~ ,.., .. . ." ,. .~

\!}fi i.1 for C; 2', t que produz oscila~oes h8rmonicas, A for~a e rapidamente 1'e

movida, e as oscilac;oes livres durante 0 periodo de' decremento , sao

rcgistradas pOl' urn osci15grafo adequado. Odecrement o logar!tMico, de

finido como 0 Jagaritmo neperiano da relac;~o entre duas amp l itudes su ~~

t ccssivas. ~ uma me d ida do amortec i men t o do s is tema . Em sis temas linea

. " ~

las discretizados, a curv a de de cr ement o e desc rita pOI' uma fun~ ~o ex

ponenci Ct l • ...

Da s inve st iga~o e s t e5ricas e exp erimentais, feitas por v a

rios pe squisado r es Cvej a bibliografia), foi ob s er vado que as

de decremento em t est.es de vaos de laborat5riosao geralmente

cur vas

curva s

com de gr au s; urn fato que apresenta urn important e conte~do na int erp re

tac;~o dos r esul t ados dos testes.

2. ANALISE TE6RICA

2. 1. ANALOGIA ELbTRICA

Para 0 engenheiro eletricista, analogias entre sistemas

cos e mecfinicos , sao particularmente usados no s estudos de vibra~oes

mecinicas. Os metodos e solu~6es de problemas de Engenharia ~let r ica,

podem entao ser usados para esta investiga~ao.

As analogias eletricas ji foram tambem usados em trab a lhos

anteriores sobre esse assunto [1, 2J. A analogia comumente usada e a

i clissica, onde for~as mecinicas e tensoes eletrica s sao grandezas an5

logas. Neste trabalho, a analogia usada seri a introduzida ~. pOl'

Firestone (3). As maiores vantagens dessa analogia e que 0 fllayout"

geometrico do circuito eletrico an~logo 6 0 do sistema mec~nico. A16rn

disso, as Leis de Kirchoff se aplicam diretamente. A £or~a mecinic a ~

I "niloga a corrente elltriea, a veloeidade e anlloga a tensio, e . a im

,

' .. -.-~--

· ~. .

~4-

'" ,A

hH'C~{n ita e de£inida pela equa~ao:

v Z f': ~ F

( 1)

Bh~~ ~ V a diferen~a de velocidade comp lexa atrav~s do component e me dinico.

p a fot;a atrav5s do componente mecinico.

Tern sido mo strado que urn condutor tensionado i analo go a

ilfu~ ithha de trahsmiss~o de energia el~trica . . No caso sem distor~~o:

s~ 0 ccnduto r for considerado sem distor~ao\ 0 qual ' e assu

fuia~ ~~ra v ibra~Ses em andas senoidais, 0 decr emento de uma ~ :. ... onda

tfan.%\·~'i'sa viaj ando fiO longo do VaG e descrita por uma fun~ao exponen

Na analise s eguinte~ a analogia e us ada diretamente pela

t(:ronv~I%~() cas equa~5es da Eletricidade, para as equa~oes da Mecanica.

Para as equa~6es el~tricas usadas, a refer~ncia 'Sf deve

:Z"~ -;. ~EPRESENTA~AO TEORICA DO VAO DE TESTE

-1\ figura 1 mostl'a um di"agrama esquematico de um vao hipo tetico ' .. ..... ·.::h.

* 4~~~~~Y do excitadol' eletrodinamico pode ser variada ao longo do

Ji>i.a~·a podermos fixal" 0 amortecedor em urn antino de vibra~ao.

o excitador ~ suposiamente fixado ao condutor por urn disp£

~iJ.\:i.i\-QI\ que liberte-o pOl' meio de urn mecanisme especial.

A. figura 2 mostra 0 diagrama anilogo equivalente do v~o hi

lYRl<t:t:t1.\:·\)" A tim de cvitar cornplica<.;:oes desnecessarias, as segu i ntes

4:.

· ... ....::....: . ~. ~.' ... ~ .

FI G. 1 - WJ. G BIPOTETICO P{~RA TESTE.

simplifica~oes foram feitas.

~) As impendincias ZA e ZB serao tomadas iguais a zero. Isto siR

nifica que os terminais sao considerados imoveis.

~) A impendincla Zv ~ infinita . Isto significa que as perdas e 0 mo

vimento da massa do excitador e equipamentos sao desprezados.

(c) Pela mesma razao os trechos pequenos entre Q excitador e 0 termi

nal A e entre 0 term~nal B sao tomadas tamb~m como infinito, ou

seja~ ZI = Z2 = infinito.

o en N N

FI G. 2 - £: QUIVALENTE ANALOGO 00 VAO HIPOTETlCO

2.3.- VtBRA<;AO EM ESTADO PERMANENTE

' Supond6 que a for~a harmBnic a (fig. 2) ~ aplicada no VaG em t =

0, Uma onda transversal come~ari a viajar ao longo do vao. A velocida

de transver~al do condutor ~ dada P9r:

'.

-6-,

x sen lV (t - tJ-' ) tR

(3)

(lnde : fiX" e a distancia viajada. Quando a o.nda alcan<;a 0 amorte c edor

! oco rre a reflex~o. A magni tude e angulo de f ase da onda refletida de

4 p~nde sobre tudo de Zo e Zn" 0 fator de r~flex~o e: ~ i. ".

I t , : I i i

! [

t !

p = (4)

Qu ando a onda refletida re t orna ao excitador, uma nova re

flex~o toma lugar nesSe ponto; 0 diagrama de reflex~o, mostrado na fi

gura 3, ~ usual para estudos posteriores das ondas compostas no v a o .

o diagrama mostra as ondas que constituem a vibra<;~o em urn dado tempo

e em dada ponto ao longo do v~o.

41

f = t

o v o .e----------------~---------------------~~~---~x o L

FIG. 3 DIAGR AMA DE REFLEXAO.

"'",:::": ..

L r 't "

" .; ." ~ .. ,' "... .,,"

" '.

J i f oi e s crito Ceq. 3) , que consi ~erando a onda ., J S8. ; quando 0 excitador e solto do cabo, em t :::: 0 : '!~ ,. r

.. ~; ' ,1-

$" .1'.-i­.~

I l ~ f ~

& '., \Cd

1-". " ~ t ~,

v ::: x senW ( t .,.. ~) tR

A onda pode tambem s er represent ada pe l a equa ~ ao

-....

transver

( 3)

complexa

( a )

i , o fator de ref l exao e as sumido ser p no amor t ecedor e +1 J' 1 no e~£itado r. Com a ajuda dodiagr ama de refl exao, fi g .

J que :

I t'

I Y to<; t.; ~ 1'0 z 0 { exp [j W (t -U:

R) -ax] + p exp [a eZL-x) - jlh + jW C t+ u:

R)]

[1 "+ ~X}j ("' b:. 2.L - j.W.2.T) + p 2exp (-a. 4 .L - jW4T) + ••• + .•• ;] .

L e T ::: . utR

t be\·~ ·:s ~t notado que as termos incluindo as fa tores e.,..j WpT f

%~~~~ d~ lifu tempo piT.

A condi~ao de ressonancia da:

Re [e'-j CW ~ ' ~ ~) J ::: 1

¢ = 2~n Cn e urn inteiro).

b~rl em ressonancia,

.1

I ! I

vista

x

(b)

(c)

s a o atr a

(d)

-. '. :: .. "-

v (x. tJ ::: Z F o 0

y J P -2etL sen Wet + - . ' - ) x (1 - . e . UtR

x - -) UtR

2 -4ctL P e .,

-:- p • - 0: (2L "" x) e . x

(e )

Depois de urn numero infi.nito de reflexoes, qu ando 0 e s tado

I permanente e a l can<; a do, t emo s :

F Z t V (x $ t ) = _ _ 0_0-,.,---,,­~) st 1 _ pe- 20:L ~.

~ t.

~

[-ax

e . ( x ... sen W t - -) UtR

I d ~ nue po e ser reescr i t a na forma: • 1 I:

F Z o 0

Vs t (x,t) = 1 -2xL - pe

. . - o: (2L - x) pc . • sen Wet

sen Wt

(e- ax _ p.e- (2L - x)) (Wx 'I. l' J. . . • sen U • cos vt tR"

+---2_)J UtR .

(f)

(5)

Da equa<;ao (5), e visto - que os nos, em geral, n~o estio em

rela<;io de amplitud~s das velocidades transversais em

antina, e dada por: .

SeX) = v , m1.n v::-max

= 1 _ p.e- 2et (L - x)

1 + ' p.e- 2a (L - x) (6)

urn

. "-

Se 0 a~ortecedor no condutor e despreiIvel\ a equa<;ao 6,

, e reduzida para a mesma expressao que e dada na referencia [1]. Para

este caso especial a seguinte expressao e derivada daequa<;ao (5), ou

. seja. fazendo 0: = 0 vem=

, \~ " :.~~ .~

-- 9-

p z [ ;:: ~l . .o, _.· .op" .se.n WCt •. U

X

tR) + V,. ~ ex; t ) _

s t.

~: " p:"o d e set' rea r ranJ' ada l)ara: . .,. flUe 'i! -}

.~ ! ~ ~ t '4-..t.

[_.2;1:> . 1\'y x 1 .' . -F l -- sen ivt . case ., ) + sen IVL't - ,,- "'\.

Vst == '0 b .L- P utR U tR J j

(g)

(7)

" i Uma interpreta~io interessante dessa equa~ao. ~ que na vi I . • ~ tf~~~O p~de ser composta de uma enda pura estacion~ria e uma onda pu

'f'.~ .. · Vtijiht~ (fig. 4)\ a filtima sende exatamente igual a primeira

k~~tt~~~ no vi6. Esta onda foinece urn fluxo de energia do excitador

I I

~if~ ~ ~fu~rtecedor.

v

onda

ESiACIONARIA

VIAJANTE

LIZ

~-r F x V.

'I,. .;'""

-10-

A pot6ncia instant[nea fluindo ao imortec edor f dada por :

Da equa~ao ( f ) ~ podemos escrever que a for~a

--) :.. p • s enNet -+- --) x . x ] UtR UtR

A potencia transmitida sera entao:

2 F Z o 0 -(1~ p)2.

t ransversal

(g)

(h)

o valor medic durante urn numero inte iro de periodos. pode

calculado por:

Vrnax

F~ Z ~ o 0 1 -+- P .

2 1 - P

Da equa;io (S). podemos : deduzir que:

¥.: P Z o 0

. Substituindo Fo na equa~ao ( i), · chegamo s a~

. S

Onde S ecalculado da equa~a~ (6), quando

(i)

(j)

( 8 )

=0. Em geral, I I tontudo, 0 fluxo de potBncia e uma fun~ao da posi~ao ao longo do VaO, I

l devido n dissipn~io de cncrgia no prBp~io condutoi . A pot~ncia total t

I t

! I

~

-11-

intf6duz ida dent r o do s i stema, pod e seT calculada da equa~aa ( 8) , s e

e S sao mcdidas p r 6ximas do excitador ._ isto e. em x = 0, vem :

S(O) -- 1

1 +

- a2 L p . e

- 2CiL p • e

As expre ssoe s apres entada s nessa se~ao s erao usad a s i

(9)

na se

~ e~b ~~gui nte , para explanar a s form a s da s curva s de decrement o obser t"

~ Vada s.

CURVA DE DECREMENTO

COhsidere urn vaG de teste em ressonancia de regime permanente.

= O~ 0 excitador e subtamente solto do condutor. Ao inves de l'e

fu~V~t k for;a~ a nova condi~ao po de serobtida pela adi~ao de Ullia for

Para encontrar - 0 resul tado -final. - as can

t'f:ii)'ui ~6e s da £or~a ne ga ti va sao si,mplesmente .: adicionadas a ,. -COnQl<.;; a o

a~ fpgime pe rmanente na se~ao precedente. b importante notar que as

v~r~as ccntribui~6es sao atrasadas no tempo, de acordo com a fig ,·3.

-A pr~.Jiteh'a redu<;.ao ocorre em t = O. Entao: nada acontcce . at~ t = 2~.

• A

A ~elocidade em regime permanente no excitador~ e dada por

(k1

G).nG~ S to)e dada na equa~ao (9). Assumindo x = O. ,...

na equa~ao (e1 ~

(Ll

I [ I

I f t

-12-

Onde os termos com fatores e-apL sao atrasadosde urn tern

po P 1" ,

A for~a> negativa - P.sen Nt resultara em -veO,t),

Juntando os termos sirnultineos e ~efinindo V reI c omo a

razio entre as amplitudes de velocidades e a amplitude de velocidade

em regime permanente, obtemos, para 0 perrodo de decrement o

v = 1 reI

que po de ser reescrita como:

V l(n-) = 1 + S(O) re

(rn)

(10)

o numero de degraus e (n + 1) ,_ e i e inteiro. £, entaa, vi~

to que os deg-raus. na curva de decremento, ocorr em nos m-31 tiplos de

2 • A figura 5 rnostra a curva te8rica corn S(O) = 0\25

1,0 , S(O)= 0.25 " .

'" "' "' 2f2S (O) ,i

....... - 2 f>~ S to)

-- -"'"""-------. ------

FIG. 5 ~ CURVA DE DEC R EMENTO TEORfCA EM DEGR AUS

----- CURVA DE MEDIA (f>t ="pe- 2 o:, L. )

~- -'

~", ' .... .. ,.:-~, ....... -. ___ , ••• ~" ... ~ " , .'. _, " .. "':"';~' '.: _,.,' , '; _. 'I."' -,-, • • • ~.~._. ~

~; .. "~ . .... "4._ ~ .>- ~ •• :";, • • ,,,_. ~""-'~'''''' '/'.' ..... ,~".F._~;,a • . ;~;,~~ ... , ••• .... , ~.. ' .. '. "~ ·_~wrr , • •

2.5.~' DECREMENTO LOGARiTMICO

Nesta se~ao a rela~~o entre 0 deeremento logarItmieo eomumente

usadO c os fatores que dcfinem a cur va de decremento, S(O) e T , se

ta.o discutidos .

A eurv a

=

de decremento suave e

- Oft e

dada por:

(11)

Vamos mostrar que se a eurva em degraus, de aeoTdo com a

bqua~io (10) for aproximada por u ma curva m~dia. teremos a equa~ao im

PQ rtante (11). que ser~ d eduz ida a seguir :

Para t > 2 T c ada degrau 'causa uma diminui~ao:

Y:re1 t 2 S (0) ( (n)

Que para valores de t tal que t/2T s eja urn In

l eirb.

o intervalo entre cada degrau ~ c onstante 1 = 2T • Se

c th t a seguinte equa~~o diferencial ~ obtida.

elV 1 re =-At

_ S(O) -a?L t/2T :;: T (p.e - ) (o)

lhtegrando a equac;;ao Lo}, rende

-Ln [1 + ~~gtJ t 2 S (0) I · TT

Vl~e t ~ L J

[i S (O)J e

tn + slOT

(p) .

-14-

Esta cqua~ao deve sati sfaz e r as duas condi~6es limites:

el) \' ' 1 -)- 0 quando t + 00 e e exatamente satisfeita. re

(ii) V 1 "". 1 para t =: 0 ....

exatamente satisfeita . ,que nao e re

Para pequenos valores de S(O), contudo, a aproxima~io ~ boa. Para

S(O) == 0,2S. 0 desvio 6 aproximadamente 2% e aproxima-se de zero quan

do S eO) diminui. Na figura 5 a curva amortecida 1 corresponde a equa

Da equa~ao (p), 0 d e c remento logaritmico ~ encontrado de

acordo com a d~fini~ao dada pela equac;ao (1l) • isto e:

.Ln / -{(I + S ( 0) ] [1 seo)]} == (1 2)

~.\;~ 2 f T

~~;--/

Da (12) 1

... visto 0 depende somente equa~ao e que , nao do

consume de pot~ncia, expr~sso por S(O), mas tamb~m de T • 0 qual ~e

pende novamente do comprimen to do v io , tensio, e massa por unidade de

compriment o do condutor. Isto e de ~ grande importancia para as conclu

soes do teste de decremento. Como exemplo, assume~s e que 0 . amortece

dor de vibrac;io e test a do pelo m~todo de decreme nto em dois vios dlfe

rentes, tensionados corn a mesma tensao, mas com comprimento diferen

test A v e locidade da onda viajante e a mesma nos dois v a os, dal

proporcional ao comprimento do vio, portanto. baseado sobre tudo

decremento logarftmico. 0 amortecedor pareceri ser melhor quando

tado no vio menor, qu e quando no maior vao; uma conclusao qu e· e

.... e

no

te s

obvi

amente incorreta . De acordo com a equac;ao(12)~ 0 L e cons tante\ des

de que a pot~ncia disiipada no amortecedor seja a mesma nos dois c a

Sas. E portanto, visto que, a decremento lagaritmico sozinho naa da

~"'.-"~'"~4«rl!'"'~~-~~''': "~":~~~-':T~ ': -~'~·~!-~::7",:~:"~·~'-:;:~~·~~:~t:)!;,~~~:.~~;~~.:.;'~~~ .•. ·~!·~:~01)~':'~"· Z-.7"':'~_~~" J' . -:: ;V~~:Y7~~:-~ "':::·::- ·:~:-:·~.~-:--~;{,:?·~~~;~~~·~·rf "'·~·~:p-:?:i.rr.~r":~~ ~ ~~;.~~.'~~~1-"'"'I.' .~; ...

~. . .

. ~.:: O::v ~ O~.~.

-15 ....

dida da efici~ncia do amortecedar. f uHla me - " . ~ :~: :!, .f

Aoinves do decrementa lo garltmico, as quantidades S(O) e

~ P dcvem ser recomendadas como uma medida daefici~ncia do amortecedor, ~ i, r-'t·· ,. r t.

isto concorda tamb ~m co~ as considera~6es de

JONES [l~ . Nesta referencia. 0 calc,ula de S ·1

TOMPKINS, MERRIL e

e baseado. sobre tudo

t . ~

i l

t ~

na medida de amplitudes no no e no antino; exist8m dificuldades nes

sas medidas, quando 0 amortecimehto ~ pequeno.

De acordo com a analise anterior . s pode ser ca1culado

das rnedidas de decremento. Este e urn processo ~a is s imples e mais pr~

eiso, principalmente quando 0 arnortecimento e pequeno . . A curva de

cremento parece, 'entio, nao ter degraus definidos.

Substituindo 6 da equa~io

na · equa~ao (12). temos:

S(O) =

. ";k-r/Th .1 . . " .. e .. ..

1 + -kT/Th e

(13)

de

I onde k = 2Ln2 ;; 1,3864 e Th e metade do tempo, isto e, 0 tempo

ate qu~ a amplitude tenha diminuido para a metade do valor da amplitu

de em regime permanente.

Em urn caso especial, quando 0 amortecimento acontece no

propria condutor, ~ e independente de T • Nesse caso, se

igual a 1, podemos escrever que:

o = ex.A

p for

(14)

. ,; ....

'.~

~

". ,!,:J;' .•

-16-

Z.6. - OJ3S ERVA~OES

No estudo anter i or os fenBmcnos tTansit~rios, que sempr~ oc orrem,

pio f or am consiclerados . Quando 0 excitador ~ desconectado, urn impulse

r rcsuJ. t a r a devicle a' va r iac;;ao da mas sa vi brante. Consequentemen t c , os

portanto , ser esperado , que uma curva ' de decremento medida

cia degrau pur~, como indicado na curva te6rica da figura 5,

Em nos sa opiniao, contudo, a an~lise dada neste artigo,

rende em princfpio urn quadro corre to do comportamento do VaG hipot~ti

co.

CONCLUSOES

Foi mostrado que 0 mecanismo do teste de decremento em 'um vaG hi

pote t ico e urn pouco mais complicado do que em sistemas discretizados.

Isto nao significa, contudo, que Q met~do de decremento seja menos v~

lido au menos conveniente. 0 metodo e considerado particularmente a

plicado, para investigac;;8es em' laborat6rio. Entretanto l os pont os

listadoi aba ixo, devem se r lembrados afi~ de obter os resultados si£.

nifica tivos.

~) As curvas de decremento obtidas teoricamente ~ sao curvas em de

(b)

graus.

o decremento 10garItmico sozinho, nao di informa~io significativa

da performance do sistema, a menos que a dissipa~ao de

ocorra inteiramcnte dentro do pr6prio condu tor.

energia

(e) Em adi~ao ao deeremento logar!tmico, a rela~io inversa da onda e s .

tacion~ria e 0 consumo de pot~ne ia devem seT calculadas as medi

~, .

;.

.. ~

r

! L

;,"" . ~ '. . ' .~ ~ •• ';< ~ oJ. " ,~_-_ . .....

... 17--

,!"s' desse decrcmento. )"'(\. ..

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ESCOLA FEDERAL DE ENGENHARIA DE ITAJUBA

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECANICA

DEPARTAMENTO DE PROJETO

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