UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE INGENIERIA QUIMICAANALISIS NUMERICO

TEMA: AJUSTE DE CURVAS

Integrantes: Avila Marlon Gallo Jhoselyn

INTRODUCCIN

Muchos problemas de investigacin, estadsticos, experimentales y de ingeniera requieren de curvas que describan matemticamente las relaciones entre las variables de esos problemas (curvas aproximadas). El proceso de obtencin de las curvas que mejor describan esos datos se conoce como ajuste de curvas.Bsicamente el ajuste de curvas se utiliza cuando se tiene una serie de datos calculados y se desea conocer valores intermedios no conocidos, o tambin en aquellos casos en que se desee una versin simplificada de una funcin para derivar nuevos valores.

Para decidir que curva debe utilizarse es necesario obtener diagramas de dispersin de las variables

xy-1100917253443506-1

MTODOS DE AJUSTE DE CURVAS

1. LNEA RECTA

Y=f(x)=Ax+B

Clculo del Error

xkykf(xk)=8,6-1,6xklekl(ek)^2-11010,20,20,04098,60,40,1617700255,40,40,16343,80,20,04432,20,80,64500,60,60,366-1-100sumatoria2,61,4

EJEMPLO:

xkykxk^2xkyk-1101-10090017172541034912431612502506-136-620379225

Resolviendo el sistema:

Codificacin Matlab

RESULTADOFuncin Basic Fitting

Supongamos que tenemos N puntos cuyas abscisas son distintas. Entonces, el coeficiente A de la curva potencial ptima en mnimos cuadrados viene dada por:

Demostracin:

De la funcin anterior sacamos la derivada y la igualamos a cero:

La ecuacin es:

EJEMPLOEn la tabla siguiente se tienen datos experimentales sobre el tiempo que tarda en llegar al suelo un cuerpo, segn la altura desde la que se la deja caer. Siendo la relacin aproximar los valores a la aceleracin de la gravedad.

Ecuacin general: Para obtener el coeficiente A aplico la formula siguiente y reemplazo los valores obtenidos de la tabla:

Se obtiene de esta forma la curva de ajuste

Igualando:

EJEMPLOEfectuado el ajuste con una ecuacin que mantiene la forma del mtodo tenemos la siguiente:

Codificacin Matlab

Ajustar una curva exponencial de la forma: (1) a un conjunto de puntos( (dados de antemano. Tomamos logaritmo natural en (1) ln(y)=Ax+lnC

Hacemos cambio de variable Y= ln y ; X=x ; B= ln C

As tenemos: Y= Ax+B Se calcula la recta de regresin: (

Ecuaciones Normales de Gauss

2.Donde N= nmero de datos Calculados A, B se debe calcular el parmetro C EJEMPLOUtilizar el mtodo de linealizacin de los datos para hallar un ajuste exponencial a los cinco datos:(0;1,5), (1;2,5) ), (2;3,5) ), (3;5), (4;7,5)

SOLUCIONCambio de variables X= x ; Y= ln y ( (0;0,40547), (1;0,91629), (2;1,25276), (3;1,60944), (4;2,01490)

Graficamos y calculamos los coeficientes de las ecuaciones de Gauss

YkXkYk=InYkXk^2Xk,Yk1,55 0 0,40547 0 0 2,5 1 0,91629 1 0,916291 3,5 2 1,25276 4 2,505526 5 3 1,60944 9 4,828314 7,5 4 2,01490 16 8,059612 20,05106,198860 3016,309743 Comprobamos que la recta de regresin Y= Ax+B para los puntos calculados es:

Y=0,391202x+0,457367

Ecuaciones Normales de Gauss 30A+10B=16,309742 10A+5B= 6,198860 A= 0,391202 B= 0,457367

Encontramos C C= =1,579910 Sustituimos en la ecuacin inicial (Por el mtodo de linealizacin de datos)

Graficamos

La diferencia con el mtodo lineal reside en el hecho de que las ecuaciones no son lineales para las incgnitas A y C Supongamos que queremos ajustar la curva exponencial de la forma Dado un conjunto de puntos ( ,( Consiste en hallar el mnimo de la funcin

Se hallan las derivadas parciales de E(A.C) respecto de A y C

Se iguala a cero , por lo tanto tendremos:

EjemploUtilizar el mtodo no lineal de los mnimos cuadrados para hallar el ajuste exponencial ptimo para los cinco datos: (0;1,5), (1;2,5) (2;3,5) , (3;5), (4;7,5) Se tiene que minimizar la cantidad E(A.C) dada por

Para aproximar los valores de A y C que minimizan E(A.C)Utilizaremos la instruccin fmins de Matlab, para ello definimos la funcin E(A.C) como un fichero de texto E.m para que pueda ser usado con Matlab. Utilizando los valores iniciales A= 1 y C= 1 obtenemos A= 0,383570469 ; C= 1,6108995

GRAFICA

Ambas aproximaciones, usando el mtodo de linealizacin de datos y el mtodo no lineal difieren en no ms del 2% a lo largo del intervalo [ 0;4]

Codificacin Matlab

RESULTADO

5. AJUSTE POLINOMIAL

GRACIAS!!!