Analyse Et d Algebre 1

8/19/2019 Analyse Et d Algebre 1

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TABLE DES MATIÈRES

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Notations standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Vocabulaire Mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Grammaire élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. L’anneau Z des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Produits, sommes et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 . 1 . P r o dui t s e t s o m m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 12.1.1. Produits et sommes directes de groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Le cas des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Produit et somme dans une catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1. Relations d’équivalence et partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Passage au quotient par une relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. L’anneau Z/DZ des entiers relatifs modulo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 152.4. Quotients d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 . 6 . G r o upe s q uo t i e nt s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2.6.1. Groupe opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6.2. Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.3. Quotients de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1. Généralités sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 . 2 . G r o upe s c y c l i q ue s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3.2.1. Structure des groupes cycliques, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2. Sous-groupes des groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. Le théorème de Lagrange et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5. Le groupe symétrique Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5.1. Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


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TABLE DES MATIÈRES

3.5.2. Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.3. Groupe alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6. Les théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 . 1 . 1 . E ndo m o r phi s m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 44.1.2. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3. Automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.4. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.5. Espaces propres, espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.6. Mise sous forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2. Modules de torsion sur K[T] et réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.1. Anneaux et modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2. Structure des modules de torsion sur K[T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.4. Application à la réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1. Généralités sur les idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.2. Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3. Structure des modules de torsion sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1. Ouverts, fermés, voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.3. Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 . 2 . E s pa c e s m é t r i q ue s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 95.3. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4. Sous-espaces, produits, quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4.1. Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4.2. Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4.3. Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.5. Espaces séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.6. Intér ieur , adhérence, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7. Suites dans un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7.1. Suites, suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7.2. Suites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556. Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 . 2 . Co m pa c i t é e t s u i t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 76.3. Propriétés de base des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.1. Compacts d’un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.2. Compacts d’un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 . 3 . 3 . Co m pa c i t é l o c a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

6.4. La droite réelle achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.1. Les espaces topologiques ordonnés R et R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.2. Limite supérieure, limite inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


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TABLE DES MATIÈRES

6.5. L’espace topologique T = R/Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637. Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 . 1 . E ns e m bl e s c o nne x e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 47.2. Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8. Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.1. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2. Principales propriétés des espaces complets .. ............................................ 698.3. Complétion d’un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9. Convergence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.1. Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.2. Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10. Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.1. Normes et applications linéaires continues .. ............................................ 74

10.2. La norme d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.3. Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.4. La boule unité d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.5. Applications bil inéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.6. Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11. Tératologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.1. Fonctions continues dérivables nulle part . . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . 791 1 . 2 . L ’ e s c a l i e r du di a bl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 011.3. L’ensemble triadique de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.4. La courbe de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.5. Ensembles connexes non connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11.5.1. Le graphe de sin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8411.5.2. Le tipi de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12. Construction de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.1. Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.2. Entiers relatifs, nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.3. Nombres réels, nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.4. Nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12.4.1. Le corps Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.4.2. Construction algébrique de Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.4.3. Topologie de Q p . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9212.4.4. Une description arboricole des nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.4.5. L’anneau des nombres complexes p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.4.6. Fragments d’analyse p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13. Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Index du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

I. Représentations des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115I.1. Représentations et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1. Représentations de groupes, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1172. Caractère d’une représentation, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1. Caractères linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 20

2 . 2 . So m m e s di r e c t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0


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TABLE DES MATIÈRES

2.3. Représentations de permutation, représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213. Morphismes de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.1. La représentation Hom(V1, V2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 13.2. Opérateurs d’entrelacement, représentations isomorphes .. ............................122

I.2. Décomposition des représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1241. Décomposition en somme directe de représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242. Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1263. Orthogonal ité des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1284. Applications du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1. Nombre des représentations irréductibles . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . 1294.2. La décomposition canonique d’une représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.3. Un critère d’irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.4. La décomposition de la représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5. Le cas des groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.1. La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2. Le groupe dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 325.3. Le théorème de structure des groupes finis commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6. Table des caractères d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134I.3. Construction de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1. Constructions tensorielles de représentations .. ............................................1381.1. Produit tensoriel d’espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381.2. Produit tensoriel de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.3. Carré symétrique et carré extérieur d’une représentation .. ............................141

2. Représentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.1. Caractère d’une représentation induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.2. La formule de réciprocité de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.3. Transitivité des inductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.4. Les théorèmes d’Artin et de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

II. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149II.1. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1. Convergence normale, séries sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502. Espaces de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3. Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524. Complétion d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545. Applications linéaires continues entre espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566. Le dual d’un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

II.2. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1.1. Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601.2. Projection orthogonale sur un sous-espace fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2. Le dual d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623. Le théorème de projection sur un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

I I . 3 . E x e r c i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5

1. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


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TABLE DES MATIÈRES

2. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

II.4. Espaces de Banach p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681 . D é fini t i o n e t e x e m pl e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 82 . B a s e s o r t ho no r m a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 93. Le dual d’un espace de Banach p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

III. Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 173III.1. Intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

1. Dallages et fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732. Ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753. Fonctions mesurables, ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.1. Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 77

3.2. La tribu des ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.3. Fonctions mesurables et ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Définition de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.1. Intégration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.2. Mesure de Lebesgue d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1824.3. Intégration des fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846. Premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

III.2. Quelques espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861. L’espace L1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862. L’espace L2(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3. Convergence dans L1

et L2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894. Espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191III.3. Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1. Le théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922. La formule du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953. L’ intégrale de la gauss ienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1974. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

III.4. Construction de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991. Le théorème de convergence dominée pour les fonctions en escalier bornées . . . . . . . . . . . . . . . . 1992. Mesure et mesure extérieure des ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023. Le théorème de convergence monotone pour les fonctions bornées à support compact . . . . . . 203

4. Limites simples p.p. de fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045. Le théorème de convergence monotone et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

IV. Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 207IV.1. Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207IV.2. Transformée de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

1. Caractères linéaires de R et Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102. Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103. Le théorème de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114. Transformée de Fourier et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

IV.3. Formules d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

1. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214


6/47

TABLE DES MATIÈRES

2. Séries de Fourier multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172.1. Le cas du réseau Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2.2. Le cas d’un réseau quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193. La formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214. La formule d’inversion de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 25. Formules d’inversion dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

IV.4. Transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251. Transformée de Fourier des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252. Définition de la transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 73. Comparaison des transformées de Fourier dans L1 et L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284 . D é r i v a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9

V. Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2311. Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312. Rayon de convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2333. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. 235

3 . 1 . D é fi n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 53.2. Théorème des zéros isolés et unicité du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363.3. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

V.2. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391. Généralités sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392. Intégration le long d’un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

3. Holomorphie des fonctions dérivables au sens complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424. Construction de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.1. Séries de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.2. Produits infinis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.3. Fonctions holomorphes définies par une intégrale . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . 247

V.3. Structure locale des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2481. Le théorème d’inversion locale holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482. Logarithme et fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

1. Vocabulaire de topologie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2532. Un cas particulier de la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543. Démonstration de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

VI.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2591 . P r i m i t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 92. Nombre de tours d’un lacet autour d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

2 . 1 . D é fi n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 02.2. Détermination visuelle de l’indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

VI.3. La formule des résidus de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2641. Fonctions holomorphes sur une couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642. Fonctions holomorphes sur un disque épointé ; résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

3. La formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269


7/47

TABLE DES MATIÈRES

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

VII. Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273VII.1. Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2731. Abscisse de convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2732. Demi-plan de convergence d’une série de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2771. La fonction Γ dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772. Une formule intégrale pour les séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803. Prolongement analytique de séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

VII.3. La fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2821. Séries de Dirichlet attachées à des fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2822. Prolongement analytique de la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284

3. Équation fonctionnelle de la fonction zêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854. Les zéros de la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288VII.4. Fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 89

1. Caractères de Dirichlet et Fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2892. Conducteur et sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903. Le théorème de la progression arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914. Équation fonctionnelle des fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

V I I . 5 . A ut r e s e x e m pl e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 51. La fonction de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952. La fonction τ de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

VII.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

A. Le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 3A.1. I ntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 03A.2. Les fonctions ψ et ψ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

1. Théorème des nombres premiers et comportement de ψ1 en +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062. Une formule intégrale pour ψ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

A.3. Formules explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3091. Énoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3092. Les fonctions L et L

L en dehors de la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113. La fonction L dans la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124. La fonction L

L dans la bande critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5 . C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3161. Non annulation sur la droite Re(s) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162 . C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8

A.5. Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3191. L’hypothèse de Riemann et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192. L’hypothèse de Riemann et la fonction M de M e r t e ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 93. L’hypothèse de Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 20

B. Volume de SLn(R)/SLn(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 321B.1. Volume d’objets arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1 . R é s u l t a t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1


8/47

TABLE DES MATIÈRES

2. Intégration sur un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 233. Un dévissage du groupe SLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

4. Intégration sur Rn et sur SLn(R)/SLn(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275. Apparition de ζ (n) et fin du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3286. Résultats arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

B.2. La mesure de Haar de SLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311. Transvections et structure du groupe SLn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 22. Invariance de dg pa r t r a ns l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 43. De SLn−1(R) à SLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

C. Groupes finis et représentations : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337C . 1 . p - G r o u p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7

1. Généralités sur les p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

2. Représentations des p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338C.2. Représentations du groupe symétrique Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3391. Partitions de n et représentations de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 92. Diagrammes de Young et représentations de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 13. Caractères de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

C.3. Représentations de GL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3431. Le groupe GL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3432. Construction de représentations de GL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 33. Les classes de conjugaison de GL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3444. La table des caractères de GL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3465. Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

D. Fonctions d’une variable p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353D.1. Analyses fonctionnelles réelle et p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353D.2. Fonctions k-fois uniformément dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

1. Fonctions de classe C k et fonctions de classe C ku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3542. Fonctions continues sur Zm p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3563. Coefficients de Mahler des fonctions de classe C ku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

D.3. Fonctions localement analytiques sur Z p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3581. Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3582. Fonctions localement analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3603. Bases orthonormales d’espaces de fonctions localement analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

4. Démonstration du lemme D.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362D.4. La fonction ζ p- a d i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 31. Intégration p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3632. Les congruences de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

E. Le problème des nombres congruents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367E.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67E.2. Arithmétique des courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369E.3. L’heuristique de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370E.4. Fonction L d ’une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 71E.5. La stratégie de Tunnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

E.6. Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374


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TABLE DES MATIÈRES

E.7. Courbes elliptiques et formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

F. Introduction au programme de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 377F.1. La conjecture d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3791. Le groupe G Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3792. Représentations de G Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3803. Fonctions L d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824. Fonctions L de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

4.1. Représentations impaires et formes modulaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3834.2. Représentations paires et formes de Maass .. ..........................................385

5. La théorie du corps de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386F.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

1. Adèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

1.1. Le t héorème d’Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3891.2. L’anneau des adèles de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3901.3. Le groupe des idèles de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

2. La formule de Poisson adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922.1. Transformée de Fourier sur Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922.2. Transformée de Fourier adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

3. Transformée de Mellin adélique et fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3953.1. Intégration sur Q∗ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3953.2. Intégration sur le groupe des idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3953.3. Transformée de Mellin sur Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3973.4. La transformée de Mellin adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

3.5. Le théorème de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 984. Application aux fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4004.1. La fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4004.2. Fonctions L de caractères de A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4004.3. Caractères de Dirichlet et caractères linéaires continus des idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

F.3. Le programme de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4021. Représentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4022. Des formes modulaires aux représentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

2.1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052.2. La forme automorphe associée à une forme modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052.3. La décomposition de GL2(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

3. Quelques autres aspects du programme de Langlands . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . 406

G. Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409G.1. Table des caractères de A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409G.2. Représentations de GL2(F3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415G.3. Coefficients de Fourier des fonctions continues . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 420G.4. Fonctions d’Hermite et transformée de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422G.5. Transformée de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426G.6. Loi d’addition sur une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430G.7. Coefficients de Fourier des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436G.8. Prolongement analytique d’intégrales et de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

G.9. Le théorème de Mordell-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445


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TABLE DES MATIÈRES

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 7I nde x t e r m i no l o g i q ue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 8

É no nc é s m a t hé m a t i q ue s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 4Index des noms propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466R e pè r e s c hr o no l o g i q ue s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 8


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INTRODUCTION

Les mathématiques sont à la fois un outil d’une puissance surprenante, utilisé à desdegrés divers par les autres sciences, et une des plus incroyables constructions collectivesde l’humanité, s’appuyant sur des bases consolidées génération après génération pourpermettre à l’édifice de monter toujours plus haut.

Ce cours est une introduction à trois des théories qui servent de socle aux mathéma-tiques. La première (chap. I) est la théorie des représentations des groupes finis et deleurs caractères, développée dans les années 1895-1905 par F. Frobenius, W. Burnsideet I. Schur. Cette théorie est une extension de l’algèbre linéaire (il s’agit de comprendrel’action simultanée de plusieurs isomorphismes sur un espace vectoriel de dimension fini,

et donc l’action du groupe qu’ils engendrent), mais la théorie des caractères est aussiune première approche de la transformée de Fourier dans un cadre fini où les difficultésanalytiques sont absentes. La théorie des représentations des groupes joue un rôle centralen mathématiques, dans certaines branches de la physique (par exemple en physique desparticules) ou encore dans une petite partie de la chimie classique (cristallographie) ; lecas des groupes finis sert souvent de guide pour deviner ce que l’on est en droit d’espérerdans des cas plus compliqués.

La seconde (chap. II, III et IV) est l’analyse fonctionnelle des années 1900-1930 (es-paces de Banach, intégration de Lebesgue, transformée de Fourier), dans laquelle se sontillustrés R. Baire, S. Banach, M. Fréchet, H. Hahn, D. Hilbert, H. Lebesgue, M. Plan-

cherel, F. Riesz, H. Steinhaus... Cette théorie, née des préoccupations du siècle précédentconcernant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles..., forme labase de l’analyse réelle moderne. Ses applications à l’étude des équations aux dérivéespartielles provenant de la physique (équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger...)sont innombrables.

La dernière partie du cours (chap V, VI et VII) est consacrée à la théorie des fonctionsanalytiques d’une variable complexe, qui s’est développée entre les mains de A. Cauchydans les années 1820-1840, mais a été revisitée régulièrement depuis ; la présentation suiviedans ce cours doit beaucoup aux apports de K. Weierstrass et de H. Poincaré datant de


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2 INTRODUCTION

la seconde moitié du XIXe siècle. Cette théorie est probablement, avec la théorie généraledes groupes, celle qui est utilisée dans le plus grand nombre des autres branches des

mathématiques ou de la physique théorique. Par exemple, la représentation conforme desouverts du plan, à laquelle nous ne ferons qu’une brève allusion (note 1 du chap. VI),a des applications à l’étude de l’équation de la chaleur avec conditions au bord dans undomaine plan, à l’aérodynamique (transformation de Joukovski), à l’étude du mouvementbrownien ou celle des polymères, etc.

Le problème majeur d’un cours de ce type est que l’on est conduit à privilégier lesrésultats qui ont le plus d’applications futures et à reléguer en exercice tout ce qui faitle sel des mathématiques, ce qui revient un peu à visiter une cathédrale en ne s’intéres-sant qu’aux consolidations successives de la base de ses piliers. Pour essayer de lutter

contre cette tendance, nous avons privilégié des objets analytiques, issus de la théoriedes nombres, ayant la faculté étonnante d’interagir avec quasiment tous les domaines desmathématiques (voire de la physique théorique) et, ce faisant, de contribuer fortement audéveloppement de ces domaines. Il s’agit des fonctions L, dont la fonction zêta de Riemann(définie par ζ (s) =

+∞n=1

1ns

pour Re(s) > 1) est le prototype. L’un des premiers résul-tats remarquables concernant ces objets est probablement la célèbre formule ζ (2) = π

2

6

de L. Euler (1734), répondant à une question posée en 1644 et connue sous le nom de« problème de Bâle ». Le même Euler a mis au jour un lien heuristique entre la fonction ζ et la répartition des nombres premiers qui ne fut rigoureusement établi qu’en 1896 parJ. Hadamard et C. de la Vallée Poussin en suivant une stratégie suggérée par B. Riemannen 1858. Entre-temps, G. Dirichlet avait introduit en 1837 les premières fonctions L pourdémontrer l’existence d’une infinité de nombres premiers dans les progressions arithmé-tiques. L’annexe A, consacrée à ces résultats, fournit une illustration frappante de l’utilitédes fonctions holomorphes pour attaquer des problèmes qui en semblent fort éloignés. De-puis, le monde des fonctions L s’est enrichi au point de former un édifice imposant dontl’annexe F essaie de donner une idée en partant de la constatation que, pour apprécierl’élégance et la majesté de la voûte de Notre-Dame, il n’est nul besoin de comprendrepourquoi elle ne s’écroule pas ni, a fortiori, comment on a fait pour la construire sansque tout tombe au fur et à mesure. Nous nous sommes restreint à l’aspect analytique des

fonctions L ; celui-ci fait intervenir d’autres objets mathématiques ayant un don d’ubi-quité assez époustouflant, à savoir les formes modulaires que nous avons reléguées dansune série d’exercices en vertu du principe énoncé plus haut. Nous avons (presque) résistéà la tentation d’explorer les propriétés arithmétiques de ces fonctions L : leurs valeurs auxentiers cachent des trésors qui font l’objet de conjectures générales de P. Deligne (1977,dont la conjecture met en perspective le π2 de la formule d’Euler, et la non apparitionde π3 pour ζ (3)), de A. Beilinson (1985, qui vise, en particulier, à expliquer quels objetsinterviennent dans ζ (3)) et de S. Bloch et K. Kato (1989, dont la conjecture donne une for-mule totalement générale fournissant, par exemple, une signification à l’apparition de 691

dans la formule ζ (12) = 691 π12

36·53·72·11·13 ). Un exemple de ces trésors cachés est la conjecture


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INTRODUCTION 3

de Birch et Swinnerton-Dyer, qui date du début des années 1960, et à laquelle l’annexe Eest consacrée.

Notations standard

On note N l’ensemble des entiers naturels, Z l’anneau des entiers relatifs, Q le corps desnombres rationnels, R le corps des nombres réels et C le corps des nombres complexes.On note Q∗, R∗ et C∗ les groupes multiplicatifs de Q, R et C.

On note R+ (resp. R∗+) l’ensemble des nombres réels positifs (resp. strictement positifs)et R− (resp. R∗−) l’ensemble des nombres réels négatifs (resp. strictement négatifs).

On note R = R ∪{±∞} la droite réelle achevée, et R+ = R+ ∪ {+∞} la demi-droiteréelle achevée.

Si t ∈ R, on note [t] sa partie réelle, et {t} = t − [t], sa partie fractionnaire.Si X est un ensemble, on note |X| son cardinal.Si A est un anneau, et si n ∈ N− {0}, on note Mn(A) l’anneau des matrices n × n à

coefficients dans A, GLn(A) ⊂ Mn(A) le groupe des matrices inversibles (celles dont ledéterminant est inversible dans A), et SLn(A) le sous-groupe de GLn(A) des matrices dedéterminant 1.

Bibliographie sommaire

Le lecteur désirant approfondir(1) certains des thèmes développés dans ce cours est invité

à consulter les ouvrages ci-dessous. Ces ouvrages partent à peu près au même niveau quele présent cours, mais sont plus spécialisés, ce qui leur permet d’aller plus loin.

P. Biane, J-B. Bost et P. Colmez, La fonction zêta , Presses de l’École Polytechnique.Le lecteur y trouvera divers aspects de la fonction zêta en lien avec l’arithmétique ou les

probabilités.

J-B. Bost, Fonctions analytiques d’une variable complexe , École Polytechnique.Couvre les chapitres V à VII, et une partie de l’annexe A.

D. Bump, Automorphic forms and representations , Cambridge University Press.Version développée de l’annexe F ; sa lecture demande un investissement non négligeable.

H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes , Hermann.

Couvre les chapitres V et VI, et poursuit en direction de la géométrie (surfaces de Riemann,

et fonctions de plusieurs variables).

W. Ellison, Les nombres premiers , Hermann.Couvre l’annexe A, et bien plus.

W. Fulton et J. Harris, Representation theory. A first course , GTM 129, Springer-Verlag.

(1)La manière standard pour fabriquer des exercices est de prendre des résultats démontrés dans desouvrages plus spécialisés et de les découper en questions. Le lecteur trouvera donc dans ces ouvrages la

solution de la plupart des exercices de ce cours...


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4 INTRODUCTION

Débute par le chapitre I et l’annexe C, et poursuit en direction des représentations des groupes

de Lie.

R. Godement, Analyse mathématique II, III et IV , Springer-Verlag.Couvre l’essentiel du cours, et de ce que j’aurais voulu y mettre, en prenant son temps, ce

que son nombre de pages permet. Les formes modulaires y sont traitées avec le respect qu’elles

méritent.

N. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms , GTM 97, Springer-Verlag.Offre un voyage à travers la théorie des nombres en prenant comme fil conducteur le problème

des nombres congruents (annexe E).

S. Patterson, An introduction to the theory of the Riemann Zeta-function , CambridgeUniversity Press.

Couvre l’annexe A, et poursuit en direction des hypothèses de Riemann et Lindelöf.

W. Rudin, Real and complex Analysis , Mc Graw-HillUn cours d’analyse qui couvre en particulier la partie analyse du cours (chapitres II à VI),

mais ne s’arrète pas là, loin s’en faut.

J-P. Serre, Cours d’arithmétique , Presses Universitaires de France.Un fort joli livre pour en apprendre plus sur les formes quadratiques à coefficients rationnels

et les formes modulaires.

J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis , Hermann.Couvre le chapitre I et une partie de l’annexe C, et continue sur des sujets plus pointus

concernant les représentations des groupes finis.

A. Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker , Springer-Verlag.Un livre semi-historique très agréable à lire, illustrant à un niveau élémentaire les liens entre

les fonctions holomorphes et la théorie des nombres.

Enfin, voici deux livres portant sur l’histoire des idées mathématiques dont beaucoupde notes de bas de page du présent texte sont issues. Les périodes couvertes par ces deuxouvrages ne sont pas identiques bien qu’il y ait une intersection non vide ; celle du secondest plus récente et demande un bagage mathématique un peu plus solide.

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques, routes et dédales ,Points Sciences, Éditions du Seuil.J. Dieudonné, Abrégé d’histoire des mathématiques , Hermann.


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VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE

La

nécessité

de

définir

précisément

les

objets

avec

lesquels

ils

travaillent

s’est

imposée

graduellement aux mathématiciens confrontés à des contradictions d’ordre presque mé-taphysique. L’avènement de la théorie des ensembles (à partir des travaux fondateurs de G. Cantor dont le début date des années 1870) et l’axiomatisation croissante des mathé-matiques ont d’une part fait disparaître un certain nombre d’obstacles psychologiques à la création d’objets nouveaux(2), et d’autre part débouché sur la création d’un vocabulaire extrêmement précis, qui a rendu possible l’explosion des mathématiques au cours du XXe

siècle.Ce mouvement a fini par atteindre l’enseignement avec l’introduction des « maths mo-

dernes

»

au

collège

(et

même

en

grande

section

de

maternelle).

Dans

les

années

70,

le

programme enseigné dans le secondaire et dans les classes préparatoires reposait sur le slogan

:

«

Dieu

créa

l’ensemble

vide

et

l’homme

fit

le

reste

».

C’était

un

peu

radical,

mais

avait le mérite de présenter les mathématiques de manière cohérente et de montrer que l’on pouvait créer de nouveaux objets à partir d’objets déjà existants. La présentation en était malheureusement extrêmement dogmatique, et l’impression qu’on en retirait était plutôt que Dieu avait créé l’ensemble vide et la théorie des ensembles, et sur sa lancée, les entiers, les entiers relatifs, les nombres rationnels, puis les groupes, les anneaux, les corps et les espaces vectoriels, puis les nombres réels, ensuite il avait introduit des ε et des δ ,

(2)Les nombres complexes ont mis près de deux siècles à être acceptés (et même les nombres négatifs onteu leurs détracteurs ; un cas extrème est Augustus de Morgan qui continuait à les considérer, au milieu duXIXe-siècle, comme dénués de tout fondement, et a passé une bonne partie de sa vie à essayer de prouverqu’on pouvait fort bien s’en passer), alors que, de nos jours, des objets nettement plus compliqués lesont dès qu’ils ont fait la preuve de leur utilité pour résoudre, ou même formuler proprement, certainsproblèmes ; c’est par exemple le cas de l’anneau des « nombres complexes p-adiques » construit par J.-M. Fontaine (1982). Les obstacles psychologiques n’ont toutefois pas complètement disparu ; l’apparitiond’un objet nouveau ne se fait pas sans heurt, et provoque des conflits parfois brutaux entre les anciens,dont le point de vue « On a fait de très bonnes maths pendant 2000 ans sans avoir besoin de ces horreurs »reflète l’appréhension devant la perspective de devoir étudier un nouveau sujet “incompréhensible”, et les

modernes qui voient dans le nouvel objet la solution à tous les problèmes...


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6 VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE

puis créé la topologie..., et quand il avait enfin été content du résultat, il avait fait donaux hommes d’une théorie immuable et parfaite, à la beauté froide et lisse.

Le dogme a changé vers le milieu des années 90, et on est reparti sur le mode : « Dieua créé les nombres réels, puis les nombres complexes, et envoyé Gauss sur terre pourexpliquer qu’il n’y avait pas besoin de chercher plus loin. ». Tout procédé de constructiona été soigneusement banni du programme officiel, et une grande partie du vocabulairemathématique de base a disparu ou a été vidé de sa substance (3). C’est fort regrettablecar la maîtrise du vocabulaire mathématique demande du temps : il décrit des conceptsqui reposent souvent sur d’autres concepts, et il faut voir fonctionner ces concepts poursaisir véritablement le sens des mots. Or ce temps fait cruellement défaut une fois passéela période des classes préparatoires.

Ce chapitre essaie de pallier à ces disparitions ; la plus grande partie de son contenun’est pas utilisée dans le texte principal(4), mais est incluse car elle est susceptible de faireson apparition dans n’importe quel domaine utilisant des mathématiques. Il ne prendpas les mathématiques à leur début(5), et le lecteur est supposé avoir déjà des notionsmême vagues de la plupart des sujets qui suivent. Plutôt qu’un cours organisé, il s’agitd’une espèce de dictionnaire, et comme dans un dictionnaire, il n’est pas rare que certainspassages fassent appel à des notions définies ultérieurement.

1. Grammaire élémentaire

Si X est un ensemble, on note |X| son cardinal.L’expression A ∼= B signifie qu’il existe un isomorphisme entre A et B (la notion dépend

donc de la structure mise sur A et B), ce qui est nettement moins précis (et donc plus

(3)Le programme de la filière PC est à cet égard assez catastrophique, puisque sa dernière mouture avu l’introduction de faux concepts, et même de définitions fausses. Il est un peu difficile de comprendrel’idéologie qui a abouti à ce résultat ; peut-être peut-on mettre cela sur le compte de l’effet d’horizon (quiconduisait les premiers programmes jouant aux échecs à faire des sacrifices incompréhensibles visant àrepousser hors de leur champ de vision un mat improbable) et de l’utilitarisme à court terme faisant desravages dans les mentalités de l’époque.(4)

Les résultats exposés dans le cours sont en grande partie antérieurs à la mise en valeur des conceptsprésentés dans ce chapitre, ce qui fait que l’on peut les présenter, en se contorsionnant un peu, sansrecourir à ces concepts. D’un autre côté, lire « Les misérables » ou les « Disquisitiones arithmeticae » àla lumière d’une lampe électrique est nettement plus confortable qu’à la lueur d’une chandelle, même sices œuvres datent d’avant l’invention de l’ampoule électrique et si la chandelle a un charme certain...(5)Il a été écrit de la manière suivante. J’ai d’abord, pour chaque concept de base, fait une liste desénoncés que j’utilise régulièrement sans me poser de question. C’est plus ou moins ce qui se trouve engros caractères. J’ai ensuite rajouté les démonstrations (en général en petits caractères). Une exceptionà ce principe est le traitement de l’algèbre linéaire, où j’ai remplacé les démonstrations vues en classespréparatoires par d’autres, donnant des résultats plus puissants. J’ai aussi rajouté, pour les amateurs,une collection de monstres mathématiques, et quelques résultats plus culturels comme la construction

des nombres p-adiques, les théorèmes de Sylow ou la simplicité de An.


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1. GRAMMAIRE ÉLÉMENTAIRE 7

souple) qu’une phrase du genre « u réalise un isomorphisme de A sur B » où un isomor-phisme explicite est requis. Par exemple, dire que deux espaces vectoriels de dimension

finie sur un corps K sont isomorphes revient juste à dire qu’ils ont la même dimension.

1.1. L’anneau Z des entiers relatifs

• Si A est un sous groupe de Z (muni de +), il existe D 0 unique, tel que A = DZ.Si A = {0}, alors D = 0. Si A = 0, alors A contient des éléments > 0 puisque A est stable

par x → −x ; soit D le plus petit de ces éléments. Une récurrence immédiate montre que Acontient nD, pour tout n ∈ N, et donc aussi pour tout n ∈Z puisque A est stable par x → −x.Autrement dit, A ⊃ DZ.

Maintenant, soit a ∈ A, et soit r ∈ {0, . . . , D − 1} le reste de la division euclidienne de apar D. Alors a − r ∈ DZ ⊂ A, et donc r = a − (a − r) ∈ A. Comme D est par hypothèse leplus petit élément strictement positif de A, cela implique r = 0, et donc a ∈ DZ. On en déduitl’inclusion A ⊂ DZ et l’égalité A = DZ que l’on cherchait à démontrer.

On écrit a | b (pour a divise b) pour signifier que b est un multiple de a, et a b poursignifier le contraire. Si a, b ∈ Z, on définit le plus grand diviseur commun pgcd(a, b) de aet b comme étant 0 si a = b = 0, et comme étant le plus grand entier d > 0 divisant à lafois a et b, si a = 0 ou b = 0. On dit que a et b sont premiers entre eux , si pgcd(a, b) = 1.

Un élément p de N est premier , si p = 1 et si les seuls diviseurs de p sont 1 et p. Onnote P = {2, 3, 5, . . .} l’ensemble des nombres premiers. Il est clair que si p ∈ P , et sia ∈ N, alors soit p | a auquel cas pgcd( p, a) = p, soit p a auquel cas p est premier à a.

Remarquons que aZ + bZ = {ax + by, x, y ∈ Z} est un sous-groupe de Z ; et c’est leplus petit sous-groupe de Z contenant a et b (en effet, un sous-groupe de Z contenant aet b contient ax et by et donc aussi ax + by, pour tous x, y ∈ Z). On note (a, b), l’élémentde N tel que aZ+ bZ = (a, b)Z ; cet élément existe et est unique d’après le point ci-dessus.

• Si a, b ∈ Z, alors (a, b) = pgcd(a, b) ; en particulier, a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u, v ∈ Z tels que 1 = au + bv (théorème de Bézout(6) ).

Si a = b = 0, le résultat est immédiat. Suposons donc a = 0 ou b = 0. Par définition de (a, b),a et b sont des multiples de (a, b), et donc (a, b) pgcd(a, b). Réciproquement, si d 1 divisea et b, alors d divise ax + by, quels que soient x, y ∈ Z ; en particulier, d divise (a, b) et doncd (a, b). On en déduit l’inégalité (a, b) pgcd(a, b) qui permet de conclure.

• Si a est premier avec b et c, alors a est premier avec bc ; si a divise bc et si a est premieravec b, alors a divise c (lemme de Gauss).

Si (a, b) = (a, c) = 1, il existe u1, v1 tels que au1 + bv1 = 1 et u2, v2 tels que au2 + cv2 = 1.On a donc 1 = (au1 + bv1)(au2 + cv2) = au + bcv, avec u = au1u2 + bv1u2 + cu1v2 et v = v1v2,ce qui prouve que (a,bc) = 1. On en déduit le premier énoncé.

Si bc = ad et au + bv = 1, alors acu + adv = c, et donc a(cu + dv) = c, ce qui prouve que adivise c ; d’où le second énoncé.

(6)Il est en fait dû à C.-G. Bachet de Méziriac (1624) ; Bézout (1730-1783) a démontré l’énoncé analogue

dans l’anneau K[T].


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8 VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE

• Si n ∈ Z− {0}, il existe des nombres premiers p1, . . . , pr tels que n = sign(n) p1 · · · pr ;de plus, les pi, pour 1 i r, sont uniquement déterminés à l’ordre près. En d’autres

termes, n peut se factoriser de manière unique comme produit de facteurs premiers(7)(théorème fondamental de l’arithmétique).

Le cas n 0 ; on peut donc supposer n > 0.L’existence se démontre par récurrence. C’est évident pour n = 1, auquel cas, on a r = 0

(un produit vide vaut 1 par définition). Maintenant, si n 2 est premier, alors n = n estune factorisation de n sous la forme voulue. Si n 2 n’est pas premier, alors n = ab, avec2 a n − 1 et 2 b n − 1. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à a etb, ce qui permet d’écrire a sous la forme a = p1 · · · ps, et b sous la forme b = ps+1 · · · pr, où

p1, . . . , pr sont des nombres premiers. On a alors n = p1 · · · pr, ce qui prouve que n admet unefactorisation sous la forme voulue.

L’unicité se démontre en utilisant le lemme de Gauss. Si p1 · · · pr = q 1 · · · q s où les pi et lesq j sont

Date post:	08-Jul-2018
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Analyse Et d Algebre 1

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