Analyse fonctionnelle et distributions, EISTI, ING 2,...

Analyse fonctionnelle et distributions, EISTI,

ING 2, 2015-2016.

Thierry JeckoAGM, UMR 8088 du CNRS, Universite de Cergy-Pontoise,

Departement de mathematiques, site de Saint Martin,2 avenue Adolphe Chauvin,

F-95302 Cergy-Pontoise cedex, France.e-mail : [email protected]

web : http ://www.u-cergy.fr/tjecko/

07-12-2015

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Analyse fonctionnelle et distributions, 07-12-2015 2

1 Espaces topologiques.

1.1 Definitions et premieres proprietes.

1.1.1 Topologie, ouverts, fermes.

Definition 1.1.1. Soit E un ensemble et T une famille de parties de E (i.e.T ⊂ P(E)). On dit que T definit une topologie sur E (est une topologiesur E) si

(o1) E ∈ T et ∅ ∈ T ,

(o2) si O1,O2 ∈ T alors O1 ∩O2 ∈ T ,

(o3) si A est un ensemble quelconque d’indices et si (Oα)α∈A ∈ T A alors⋃α∈AOα ∈ T .

Definition 1.1.2. Un espace topologique est un ensemble muni d’une to-pologie (E, T ). Les elements de la famille T s’appellent les parties ouvertesde E (les ouverts de E) pour la topologie T . Une partie F de E est ditefermee (F est un ferme de E) pour la topologie T si F c := E \ F est unouvert pour T . La topologie T est separee (l’espace topologique (E, T ) estsepare) si pour tous x,y ∈ E tels que x 6= y, il existe deux ouverts disjointsO1 et O2 tels que x ∈ O1 et y ∈ O2.

Proposition 1.1.3. Soit (E, T ) un espace topologique.

(f1) ∅ et E sont ouverts et fermes a la fois.

(f2) Une reunion de deux fermes de E est un ferme de E.

(f3) Une intersection quelconque de fermes de E est un ferme de E.

Exemple 1.1.4. Topologie induite.Soit (E, T ) un espace topologique et X ⊂ E. La topologie induite sur X parcelle de T est definie par

TX = O ∩X; O ∈ T .

a) F ∈ P(X) est ferme dans X si et seulement s’il existe F ′ ferme dans Etel que F = F ′ ∩X.

b) E separe implique X separe.

Exemple 1.1.5. Topologie quotient.Soit (E, T ) un espace topologique et R une relation d’equivalence sur E. Ona donc, pour tous x, y, z ∈ E,


xRx,si xRy alors yRx,si xRy et yRz alors xRz.

Pour tout x ∈ E, [x] = y ∈ E; yRx est la classe de x et on considerel’ensemble quotient E = [x];x ∈ E. L’application π : E → E definie par

π(x) = [x]

est appelee application canonique. La topologie quotient T sur E est definiepar

T =U ∈ P(E); π−1(U) ∈ T

.

1.1.2 Voisinages.

Definition 1.1.6. Soit (E, T ) un espace topologique et x ∈ E. On dit queV ∈ P(E) est un voisinage de x (pour la topologie T ) s’il existe un ouvertO ∈ T tel que x ∈ O ⊂ V .

Proposition 1.1.7. Soit (E, T ) un espace topologique et U ∈ P(E). U estouvert si et seulement s’il est voisinage de chacun de ses points.

1.1.3 Adherence, interieur, points isoles et points d’ac-cumulation.

Soit (E, T ) un espace topologique et A ∈ P(E).

Proposition 1.1.8. La reunion de tous les ouverts inclus dans A est le plusgrand ouvert inclu dans A. L’intersection de tous les fermes contenant A estle plus petit ferme contenant A.

Definition 1.1.9.

On appelle interieur de A le plus grand ouvert inclus dans A. On le

noteA.

On appelle adherence de A le plus petit ferme contenant A. On le noteA.

Definition 1.1.10.

1) Un point x ∈ E est adherent a A si x ∈ A.


2) L’ensemble A est dense dans E si A = E.

3) Un point x ∈ E est un point d’accumulation de A si x ∈ A \ x.4) Un point x ∈ A est isole dans A si x n’est pas un point d’accumulation

de A.

Proposition 1.1.11.

1) A est ouvert dans E si et seulement siA = A.

2) A est ferme dans E si et seulement si A = A.

3) x ∈ A si et seulement si A rencontre tout voisinage de x.

4) A est dense dans E si et seulement si A rencontre tout ouvert de E.

5) x ∈ E est un point d’accumulation de A si et seulement si tout voisinagede x rencontre l’ensemble A \ x.

6) x ∈ A est isole dans A si et seulement s’il existe un voisinage de x quine rencontre pas A \ x.

1.1.4 Base d’une topologie.

Proposition 1.1.12. Soit E un ensemble. Soit W une famille de parties deE (i.e. W ⊂ P(E)) telle que

(i) ∅ ∈ W et E = ∪W∈WW ;

(ii) l’intersection de deux elements quelconques de W s’ecrit comme unereunion d’elements de W.

Alors la famille

TW = toutes les reunions possibles d’elements deW

definit une topologie sur E, appelee la topologie engendree par W.

Demonstration.

(o1) D’apres (i), ∅ ∈ T et E ∈ T .

(o2) D’apres (ii), (⋃α∈A

Wα

)⋂(⋃β∈B

Vβ

)=

⋃(α,β)∈A×B

Wα ∩ Vβ

=⋃

(α,β)∈A×B

⋃γ∈I(α,β)

Mα,β,γ ,

ou les Mα,β,γ sont tous dans W .


(o3) Une reunion de reunions d’elements de W est une reunion d’elementsde W .

Definition 1.1.13. Soit (E, T ) un espace topologique. On dit qu’une familleW de parties de E est une base de la topologie T si

T = TW = toutes les reunions possibles d’elements de W .

Proposition 1.1.14. Soit (E, T ) un espace topologique et W ⊂ T . La fa-mille W est une base de T si et seulement si, pour tout O ∈ T et tout x ∈ O,il existe Wx ∈ W tel que x ∈ Wx ⊂ O.

Demonstration.

(⇒) : Pour des Wα dans W , x ∈ O =⋃α∈AWα donc, pour un certain α,

x ∈ Wα ⊂ O.

(⇐) :

O =⋃x∈O

Wx .

Exemple 1.1.15. Topologie usuelle de R.La famille W = ]a; b[; a, b ∈ R est une base de la topologie usuelle de R.

Exemple 1.1.16. Topologie usuelle de Rd.Soit |·|e la norme euclidienne sur Rd . La famille de toutes les boules ouvertes

B(a; r[ = x ∈ Rd; |x− a|e < r

avec a ∈ Rd et r ≥ 0, est une base de la topologie usuelle de Rd.

Exercice 1.1.17. Montrer que, quelle que soit la norme ‖ · ‖ sur Rd, lafamille de toutes les boules ouvertes x ∈ Rd; ‖x − a‖ < r avec a ∈ Rd etr ≥ 0 est une base de la topologie usuelle sur Rd. (On admettra que toutesles normes sur Rd sont equivalentes).

1.2 Topologie produit.

1.2.1 Produit de deux espaces topologiques.

Soit (X, T ) et (X ′, T ′) deux espaces topologiques.


Definition 1.2.1. On appelle ouvert elementaire de E = X×X ′ toute partieU × V de X ×X ′ avec U ∈ T et V ∈ T ′.

Proposition 1.2.2. La famille

W = ouverts elementaires de E = X ×X ′

verifie les conditions (i) et (ii) de la Proposition 1.1.12.

Definition 1.2.3. La topologie sur E = X×Y engendree par W est appeleetopologie produit sur E = X × Y .

Attention ! Dans la topologie produit, il y a des ouverts non elementaires !comme le montre l’exercice suivant.

Exercice 1.2.4. Dans R2 munie de la topologie produit (qui se trouve etresa topologie usuelle, voir ci-apres), verifier que U = R2 \ (x; 0);x ≤ 0 estun ouvert qui n’est pas elementaire.

Exemple 1.2.5. Topologie usuelle de R2.Soit T la topologie usuelle et W la famille des ouverts elementaires. SoitO ∈ T et x ∈ O. Par definition, O contient un disque ouvert centre en x.Comme ce disque contient un carre ouvert centre en x, O contient un elementde W qui contient x. Par la proposition 1.1.14, T est la topologie engendreepar W, c’est-a-dire la topologie produit.

1.2.2 Produit de n espaces topologiques.

Soit (X1, T1), . . . , (Xn, Tn) des espaces topologiques.

Definition 1.2.6. On appelle ouvert elementaire de E = X1×· · ·×Xn toutepartie de U1 × · · · × Un de E avec Ui ∈ Ti, pour tout i = 1, . . . , d.

Proposition 1.2.7. Soit E = X1 × · · · ×Xn. La famille

W = ouverts elementaires deE


Definition 1.2.8. La topologie engendree parW est appelee topologie produitsur E = X1 × · · · ×Xn.

Exemple 1.2.9. Topologie usuelle de Rd, d ≥ 2.


1.3 Produit infini.

Soit I un ensemble quelconque d’indices et (Xi, Ti)i∈I une famille d’espacestopologiques. Soit E =

∏i∈I Xi. Pour tout i ∈ I, on note par pi la projection

canonique de E sur Xi.

Definition 1.3.1. On appelle ouvert elementaire de E =∏

i∈I Xi toute in-tersection finie ⋂

i∈J

p−1i (Uj)

ou J ⊂ I est fini et, pour tout i ∈ J , Ui ∈ Ti.

Proposition 1.3.2. Soit E =∏

i∈I Xi. La famille

W = ouverts elementaires deE


Demonstration. Admise.

Definition 1.3.3. La topologie engendree parW est appelee topologie produitsur E =

∏i∈I Xi.

Proposition 1.3.4. (E, TW) est separe si et seulement si, pour tout i ∈ I,(Xi, Ti) l’est.


1.4 Topologie d’un espace metrique.

Definition 1.4.1. Un espace metrique (E,d) est un ensemble E muni d’unedistance d, c’est-a-dire d’une application d : E × E → R+ verifiant les pro-prietes suivantes. Pour tous x, y, z ∈ E,

(d1) d(x; y) = 0 ⇔ x = y,

(d2) d(x; y) = d(y,x),

(d3) d(x; z) ≤ d(x; y) + d(y; z).


Pour a ∈ E et r ≥ 0 on note par

B(a; r[ = x ∈ E; d(x; a) < rresp. B(a; r] = x ∈ E; d(x; a) ≤ r

la boule ouverte (resp. fermee) du centre a et du rayon r dans E.

Definition 1.4.2. On dit qu’une partie A de E est bornee si il existe uneboule B(a; r] dans E telle que A ⊂ B(a; r].

Proposition 1.4.3. La famille W = B(a; r[; a ∈ X, r ≥ 0 verifie lesconditions (i) et (ii) de la Proposition 1.1.12.

Definition 1.4.4. La topologie usuelle d’un espace metrique (E, d) est TWpour W = B(a; r[; a ∈ E, r ≥ 0. Elle est separee.

Proposition 1.4.5. Une partie U d’un espace metrique (E, d) est ouverte siet seulement si, pour tout x ∈ U , il existe r > 0 tel que B(x; r[⊂ U .

Proposition 1.4.6. Une partie F d’un espace metrique (E, d) est fermee siet seulement si, pour toute suite convergente d’elements de F , la limite estdans F .

1.5 Topologie d’un espace vectoriel norme.

Definition 1.5.1. Soit E un espace vectoriel sur le corps K = R ou C. Unenorme ‖ · ‖ sur E est une application de E dans R+ telle que

(i) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖.(ii) ∀x, y ∈ E, ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

(iii) ‖x‖ = 0 implique x = 0.

Un espace vectoriel E muni d’une norme ‖ · ‖ est appele un espace vectorielnorme (“evn” en abrege).

Remarque 1.5.2. Un evn (E, ‖ · ‖) est un espace metrique pour la distanced‖·‖(x; y) = ‖x− y‖.

Definition 1.5.3. La topologie usuelle d’un evn (E,‖ · ‖) est la topologie del’espace metrique (E, d‖·‖).

Remarque 1.5.4. Dans un evn (E, ‖ · ‖),

B(a; r[= a+B(0; r[ et B(a; r] = a+B(0; r] .


1.6 Applications continues, homeomorphismes.

Soit (X, TX) et (Y, TY ) deux espaces topologiques et f : X → Y .

Definition 1.6.1.

1) L’application f : X → Y est continue si, pour tout V ∈ TY , f−1(V ) ∈TX .

2) ` ∈ Y est limite de f en a ∈ X si, pour tout V ∈ V(`), f−1(V ) ∈ V(a).

3) f est continue en x ∈ X si f(x) est limite de f en x.

Proposition 1.6.2. f : X → Y est continue si et seulement si f est continueen x, pour tout x ∈ X.

Proposition 1.6.3. f : X → Y est continue si et seulement si, pour toutferme F de Y , f−1(F ) est ferme dans X.

Proposition 1.6.4. Soit (X, T ) et (Xi, Ti)i∈I des espaces topologiques. SoitY =

∏i∈I Xi muni de la topologie produit. Une application f : X → Y est

continue si et seulement si, pour tout i ∈ I, pi f est continue.

Demonstration. Exercice.

Definition 1.6.5.

1) Une application f : X → Y est ouverte si, pour tout ouvert O de X,f(O) est ouvert dans Y .

2) Une application f : X → Y est fermee si, pour tout ferme F de X,f(F ) est ferme dans Y .

3) Une application f : X → Y est un homeomorphisme si f : X → Y estbijective et les applications f : X → Y et f−1 : Y → X sont continues.

Proposition 1.6.6. Soit f : X → Y une bijection continue. Les proprietessuivantes sont equivalentes :

1) f : X → Y est ouverte.

2) f : X → Y est fermee.

3) f : X → Y est un homeomorphisme.

Demonstration. Comme f est bijective, on a, en notant par f 〈−1〉 la bijectionreciproque de f ,

∀U ∈ P(X),(f 〈−1〉)−1

(U) = f(U) .

On en deduit (1⇔ 3) et (2⇔ 3).


2 Espaces compacts, espaces complets.

2.1 Compacite : premieres proprietes.

Soit (E, T ) un espace topologique et P une partie de E.

Definition 2.1.1.

1) On dit qu’une famille Uα, α ∈ A est un recouvrement ouvert de P si,pour tout α ∈ A, Uα ∈ T et P ⊂ ∪α∈AUα.

2) On dit que Uβ, β ∈ B est un sous-recouvrement du recouvrementouvert Uα, α ∈ A de P si B ⊂ A et P ⊂ ∪β∈BUβ.

3) On dit qu’un recouvrement ouvert Uα, α ∈ A de P est fini si l’en-semble A est fini.

Exemple 2.1.2. Recouvrements ouverts de R.

1) La famille ]a; b[; a, b ∈ R, a < b est un recouvrement ouvert de R.

2) La famille ]x− ε;x+ ε[;x ∈ R, ε > 0 est le meme recouvrement.

3) La famille ]x− ε;x+ ε[;x ∈ Q, ε > 0 en est un sous-recouvrement.

Definition 2.1.3. On dit que K est compact dans (E, T ) si, pour tout re-couvrement ouvert de K, il en existe un sous-recouvrement fini.

Proposition 2.1.4. Dans un espace topologique separe, tout compact estferme.

Demonstration. Pour tous x ∈ K et y ∈ Kc, il existe deux ouverts disjointsUxy et Oxy tels que x ∈ Uxy et y ∈ Oxy. Soit y ∈ Kc. Uxy, x ∈ K estun recouvrement ouvert de K donc il en existe un sous-recouvrement finiUxy, x ∈ Ay. L’intersection finie

Oy :=⋂x∈Ay

Oxy ∈ T ,

contient y. De plus, pour x ∈ Ay, Uxy∩Oxy = ∅ donc Uxy∩Oy = ∅ et, commeles Uxy pour x ∈ Ay recouvrent K, Oy ∩ K = ∅. Ceci etant vrai pour touty ∈ Kc, ∪y∈KcOy ⊂ Kc. Comme chaque Oy contient y, Kc ⊂ ∪y∈KcOy. D’ouKc = ∪y∈KcOy est ouvert.

Proposition 2.1.5. Toute partie fermee F d’un compact K est compacte.


Demonstration. Si Uα, α ∈ A est un recouvrement ouvert de F alors F c∪Uα, α ∈ A est un recouvrement ouvert du compact K = (F c ∩ K) ∪ F .Donc, il existe A′ fini tel que F c ∪ Uα, α ∈ A′ ou bien Uα, α ∈ A′recouvre K. Dans les deux cas, Uα, α ∈ A′ recouvre F et il est fini. F estdonc compact.

Proposition 2.1.6. Toute partie infinie I d’un compact K admet au moinsun point d’accumulation.

Demonstration. Par l’absurde. I n’admet pas de point d’accumulation donc,en particulier,

∀x ∈ I, ∃Ux ∈ T ; Ux ∩ I = x . (1)

Soit x ∈ K\I. Comme x n’est pas point d’accumulation de I, il existe Ux ∈ Ttel que x ∈ Ux et Ux ∩ I = ∅. Ux, x ∈ K est un recouvrement ouvert ducompact K. Il admet donc un sous-recouvrement fini Ux1 , · · · , Uxn. CommeI ⊂ K, les elements de I se repartissent dans les Uxj avec xj ∈ I. A cause de(1), un tel Uxj contient au plus un element de I. Contradiction puisque I estinfini.

Proposition 2.1.7. Soit (X, TX) et (Y, TY ) deux espaces topologiques et f :X → Y continue. Si K ∈ P(X) est compact, alors f(K) l’est aussi.

Demonstration. Si Uα, α ∈ A est un recouvrement ouvert de f(K) alorsf−1(Uα), α ∈ A est recouvrement ouvert du compact K. Il existe doncJ ∈ P(A) fini tel que f−1(Uα), α ∈ J recouvre K. Uα, α ∈ J recouvref(K) et f(K) est compact.

Definition 2.1.8. Un espace topologique (E, T ) est localement compact sitout point de E admet un voisinage compact.

2.2 Produits d’espaces compacts.

Theoreme 2.2.1. (Theoreme de Tychonov.) Tout produit d’espaces com-pacts est compact pour la topologie produit.

Exemple 2.2.2. [0; 1]N et [0; 1]R sont compacts pour la topologie produit.


Demonstration. Produit de deux espaces compacts seulement.Soit (X, TX) et (Y, TY ) deux espaces compacts. Soit Oα, α ∈ A un re-couvrement ouvert de X × Y . Comme les ouverts elementaires forment unebase de la topologie produit, il existe, pour tout (x, y) ∈ X × Y , Uxy ∈ TX ,Vxy ∈ TY et α(x; y) ∈ A tels que (x; y) ∈ Uxy × Vxy ⊂ Oα(x,y). On fixe y ∈ Y .Uxy;x ∈ X recouvre X. Par compacite de X, il existe Ay ∈ P(A) fini telque X ⊂ ∪x∈AyUxy. On a y ∈ Vy := ∩x∈AyVxy ∈ TY . Donc Vy; y ∈ Y est unrecouvrement ouvert de Y et, par compacite de Y , il existe B ∈ P(Y ) finitel que Y ⊂ ∪y∈BVy. Donc

X × Y ⊂ X ×⋃y∈B

Vy =⋃y∈B

(X × Vy) .

Pour y ∈ B,

X × Vy = X ×⋂x∈Ay

Vxy ⊂( ⋃x∈Ay

Uxy

)×( ⋂x∈Ay

Vxy

).

Pour tout x ∈ Ay,⋂x′∈Ay

Vx′y ⊂ Vxy donc X × Vy ⊂⋃x∈Ay

(Uxy × Vxy) .

On obtient donc

X × Y ⊂⋃y∈B

⋃x∈Ay

(Uxy × Vxy) ⊂⋃y∈B

⋃x∈Ay

Oα(x,y) ,

ce qui donne un sous-recouvrement fini de Oα, α ∈ A.

2.3 Compacts dans un espace metrique.

Soit (X, d) un espace metrique (donc separe).

Proposition 2.3.1. Dans un espace metrique, tout compact est borne.

Demonstration. Du recouvrement ouvert B(x; r[, x ∈ K, r > 0 d’un com-pact K, on peut en extraire un fini : ∪1≤i≤nB(xi; ri[. Soit x0 ∈ X. D’apresl’inegalite triangulaire, on peut trouver r0 > 0 assez grand tel que, pour tout1 ≤ i ≤ n, B(xi; ri[⊂ B(x0; r0[. Donc K ⊂ B(x0; r0[.


Proposition 2.3.2. Soit X = Rd muni de la topologie usuelle et K ⊂ E.Alors

(K est compact )⇔ (K est ferme et borne ) .

Attention ! Faux en general, cf. exemple 2.3.9.

Demonstration.(⇒) : cf. Propositions 2.1.4 et 2.3.1.(⇐) :K est contenu dans [−M ;M ]d qui est compact pour la topologie produit(cf. theoreme 2.2.1). Comme la topologie produit coıncide avec la topologieusuelle, [−M ;M ]d est compact pour cette derniere. K etant ferme, il est aussicompact (cf. Proposition 2.1.5).

Proposition 2.3.3. Soit (X,d) un espace metrique. Il est localement compactsi et seulement si, pour tout x ∈ X, il existe r > 0, tel que la boule fermeeB(x; r] est compacte.

Demonstration.(⇐) : Pour tout x ∈ X, B(x; r] est un voisinage compact de x puisqu’ilcontient B(x; r[.(⇒) : Pour un voisinage compact K de x, il existe r > 0 tel que B(x; 2r[⊂ K.On a x ∈ B(x; r] ⊂ B(x; 2r[⊂ K. B(x; r] est un ferme dans un compact doncest compacte.

Definition 2.3.4. On dit que K ⊂ X est precompact si, pour tout ε > 0, onpeut recouvrir K par un nombre fini de boules ouvertes du rayon ε > 0 :

K ⊂ B(x1; ε[∪ . . . ∪ B(xn; ε[ .

Lemme 2.3.5. Soit K ∈ P(X). Si toute partie infinie I de K admet unpoint d’accumulation dans K alors K est precompact.

Demonstration. Par contraposee. Il existe ε > 0 tel que K ne peut etrerecouvert par un nombre fini de boule de rayon ε. Soit x0 ∈ K. CommeK n’est pas recouvert par B(x0; ε[, il existe x1 ∈ K tel que d(x0;x1) ≥ ε.Supposons construits x0, x1, · · · , xn tels que, pour tous i 6= j entre 1 et n, onait d(xi;xj) ≥ ε. Comme K ne peut etre recouvert par les boules B(x0; ε[,· · · , B(xn; ε[, qui sont en nombre fini, il existe xn+1 ∈ K tel que, pourtout 0 ≤ i ≤ n, d(xi;xn+1) ≥ ε. Par recurrence, on obtient ainsi une suite(xn)n∈N ∈ KN telle que, pour n 6= m, d(xn;xm) ≥ ε > 0. L’ensemble I =xn;n ∈ N est infini et sans point d’accumulation.


Lemme 2.3.6. Soit K ∈ P(X). Si toute partie infinie I de K admet unpoint d’accumulation dans K alors toute suite d’elements de K admet unesous-suite convergente dans K.

Demonstration. Soit (xn)n∈N ∈ KN. Soit X0 = xn;n ∈ N. Si X0 est unensemble fini alors la suite est stationnaire donc convergente. Sinon, par hy-pothese, X0 a un point d’accumulation ` ∈ K. Il existe donc m0 tel quexm0 6= ` et xm0 ∈ B(`; 1[. On pose r0 = 1 et φ(0) = m0. Supposons construitsφ(0) < · · · < φ(n) et r0 ≥ · · · ≥ rn tels que, pour 0 ≤ k ≤ n, xφ(k) ∈ B(`; rk[et

rk = min(

2−k; minp≤φ(k−1)

d(`, xp)).

Soit rn+1 = min(

2−(n+1); minp≤φ(n)

d(`;xp)).

Il existe m tel que xm 6= ` et xm ∈ B(`; rn+1[. Necessairement φ(n+1) = m >φ(n). Par recurrence, on construit ainsi une sous-suite (xφ(n))n qui convergevers ` puisque, pour tout n ∈ N, xφ(n) ∈ B(`; 2−n[.

Lemme 2.3.7. Soit K ∈ P(X). Si, de toute suite d’elements de K, on peutextraire une sous-suite convergente dans K alors, pour tout recouvrementouvert Uα, α ∈ A de K,

∃ε > 0; ∀x ∈ K, ∃α ∈ A; B(x; ε[⊂ Uα .

Demonstration. Par l’absurde. Il existe (xn)n ∈ KN telle que, pour tout α ∈A, B(xn; 2−n[ 6⊂ Uα. Soit (xφ(n))n∈N une sous-suite convergeant vers un certainx ∈ K. Il existe β ∈ A tel que x ∈ Uβ. Comme Uβ est ouvert, il existe r > 0tel que B(x; r[⊂ Uβ. En utilisant l’inegalite triangulaire et la convergencexφ(n) → x, on peut trouver p assez grand tel que B(xp; 2−p[⊂ B(x; r[⊂ Uβ.Contradiction.

Theoreme 2.3.8. (Bolzano-Weierstrass.) Soit (X,d) un espace metriqueet K ∈ P(X). Alors les proprietes suivantes sont equivalentes.1) De toute suite d’elements de K on peut extraire une sous-suite convergente

dans K.2) Toute partie infinie I de K admet un point d’accumulation dans K.3) K est compact.

Demonstration.(1 ⇒ 2) : I contient une suite de points deux a deux distints qui converge.


Sa limite est un point d’accumulation de I.(2⇒ 1) : cf. Lemme 2.3.6.(3⇒ 2) : cf. Proposition 2.1.6.(2⇒ 3) : Soit Uα, α ∈ A un recouvrement ouvert de K. Par (2⇒ 1) et lelemme 2.3.7,

∃ε > 0; ∀x ∈ K, ∃α ∈ A; B(x; ε[⊂ Uα .

D’autre part, d’apres le lemme 2.3.5, K est precompact. Donc

K ⊂n⋃i=1

B(xi; ε[⊂⋃α∈J

Uα ,

ou J ∈ P(A) est fini.

Exemple 2.3.9. Soit E l’espace des fonctions bornees de R dans R muni dela norme

‖f‖∞ = supx∈R|f(x)| .

La boule B(0; 1] centree sur la fonction nulle est fermee et bornee mais ellen’est pas compacte. On ne peut extraire de sous-suite convergente de la suite(1I[n;n+1[)n∈N ∈ EN.

Definition 2.3.10. Soit (X,dX) et (Y,dY ) deux espaces metriques. f : X →Y est uniformement continue sur X si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 telque pour tous x, x′ ∈ X,(

dX(x;x′) < δ)⇒

(dY (f(x); f(x′)) < ε

).

Theoreme 2.3.11. (Theoreme de Heine.) Soit (X,dX) et (Y,dY ) deuxespaces metriques et f : X → Y continue. Si X est compact alors f estuniformement continue.

Demonstration. Soit ε > 0. Par continuite, il existe, pour chaque x ∈ X, unδx > 0 tel que f(B(x; 2δx[) ⊂ B(f(x); ε/2[. ∪x∈XB(x, δx[ est un recouvrementouvert du compact X donc X ⊂ ∪1≤i≤nB(xi, δxi [. Soit δ = min1≤i≤n δxi . Soitx, x′ ∈ X avec d(x;x′) < δ. Il existe i tel que x ∈ B(xi; δxi [. Par l’inegalitetriangulaire, x′ ∈ B(xi; 2δxi [. Comme

d(f(x); f(x′)) ≤ d(f(x); f(xi)) + d(f(x′); f(xi)) ,

on a d(f(x); f(x′)) < 2× ε/2 = ε.


2.4 Espaces metriques complets.

Definition 2.4.1. Soit (X, d) un espace metrique.

1). Une suite (xn)n∈N ∈ XN est de Cauchy si

∀ε > 0,∃N ∈ N;∀n, p ∈ N, n ≥ N ⇒ d(xn+p;xn) < ε .

2). (X, d) est complet si toute suite de Cauchy de X converge vers unelement de X.

Proposition 2.4.2.

1). Toute suite convergente est de Cauchy.

2). Toute sous-suite d’une suite de Cauchy est de Cauchy.

3). Toute suite de Cauchy est bornee.

4). Une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente convergevers la meme limite.

5). Soit (X, d) un espace metrique complet et F ∈ P(X)\∅. F est fermessi F est complet.

Demonstration. Exercice. Rappel : Une injection croissante ϕ : N→ N veri-fie, pour tout n, ϕ(n) ≥ n.

Theoreme 2.4.3. Soit (X, d) un espace metrique. Les proprietes suivantessont equivalentes.

1). X est compact.

2). Toute partie infinie de X admet un point d’accumulation.

3). Toute suite de X admet un sous-suite convergente.

4). X est precompact et complet.

Demonstration.(1⇔ 2⇔ 3) : c’est le theoreme de Bolzano-Weierstrass (theoreme 2.3.8).(1 ⇒ 4) : X est precompact par le lemme 2.3.5. Une suite de Cauchy a unevaleur d’adherence donc elle converge par le 4) de la proposition 2.4.2.(4⇒ 1) : preuve admise.

Proposition 2.4.4. Soit (E, ‖ · ‖) un evn. Les proprietes suivantes sontequivalentes.1) La boule fermee B(0; 1] est compacte.


2) Pour tout e ∈ E et tout r > 0, la boule fermee B(e; r] est compacte.3) E est localement compact.

Demonstration.(1⇒ 2) : Soit f : E → E definie par f(x) = e+rx. Elle est continue. CommeB(0; 1] est compacte, B(e; r] = f(B(0; 1]) l’est aussi.(2⇒ 3) : cf. Proposition 2.3.3.(3⇒ 1) : Par la Proposition 2.3.3, il existe r > 0 tel que B(0; r] soit compacte.Comme f : x 7→ x/r est continue, B(0; 1] = f(B(0; r]) est compacte.

Proposition 2.4.5. Soit (E, ‖ · ‖) un evn localement compact. Alors E estcomplet.

Demonstration. Soit (xn)n∈N ∈ EN une suite de Cauchy. Elle est borneedonc incluse dans une boule B(0;R] qui est compacte, par hypothese. Lasuite admet donc une valeur d’adherence. Comme elle est de Cauchy, elleconverge.

Proposition 2.4.6. Soit (E, ‖ · ‖) un evn sur R (ou C) et F un sous-espacede dimension finie. F est complet (donc ferme) et toutes les normes sur Fsont equivalentes.

Demonstration. Soit d la dimension de F . On traite d’abord le cas F = Rd.Soit ‖ · ‖ une norme sur Rd. Pour tous x = (x1; · · · ;xd) et y = (y1; · · · ; yd)dans Rd, on a, par l’inegalite triangulaire et en notant par (e1; · · · ; ed) la basecanonique de Rd,

∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ ≤ ‖x− y‖ ≤ d∑j=1

|xj − yj| · ‖ej‖ ≤ d · |x− y|e · sup1≤j≤d

‖ej‖ .

Donc ‖ · ‖ est lipschitzienne donc continue. Soit ‖ · ‖′ une autre norme surRd. Elle est aussi continue. Pour x 6= 0, on a

‖x‖‖x‖′

=|x|e‖x/|x|e‖|x|e‖x/|x|e‖′

=‖x/|x|e‖‖x/|x|e‖′

donc supx 6=0 ‖x‖(‖x‖′)−1 = sup|x|e=1 ‖x‖(‖x‖′)−1. Par la proposition 2.3.2, la

sphere Sd−1 = x ∈ Rd; |x|e = 1 est compacte. Comme ‖ · ‖(‖ · ‖′)−1 estcontinue, elle est bornee sur Sd−1 (cf. propositions 2.1.7 et 2.3.2). Donc les“sup” precedents sont finis et ‖ ·‖ ≤ C‖ ·‖′, pour un certain C > 0 (l’inegalite


est bien sur valable pour x = 0). Par le meme argument, en echangeant lesroles de ‖ · ‖ et ‖ · ‖′, on obtient ‖ · ‖′ ≤ C ′‖ · ‖, pour un certain C ′ > 0. Lesnormes ‖ · ‖ et ‖ · ‖′ sont equivalentes.D’apres le resultat precedent, on peut choisir une norme sur Rd pour montrerla completude. On choisit la | · |∞, la norme “sup” sur Rd definie par |x|∞ =sup1≤j≤d |xj|, pour x = (x1; · · · ;xd). Soit (x(n))n∈N ∈ (Rd)N de Cauchy. Pour1 ≤ j ≤ d, comme |yj| ≤ |y|∞, pour tout y ∈ Rd, (xj(n))n∈N est une suitede Cauchy dans R donc converge vers un certain xj. Soit x = (x1; · · · ;xd).Comme, pour tout n ∈ N, |x(n) − x|∞ = max1≤j≤d |xj(n) − xj|, (x(n))n∈Nconverge vers x pour | · |∞.On revient au cas general. Soit (f1, · · · , fd) etant une base de F et ϕ : Rd → Fdefinie par ϕ(a1, · · · , ap) =

∑nj=1 ajfj. ϕ est lineaire bijective.

Si ‖ · ‖ et ‖ · ‖′ sont deux normes sur F , ‖ · ‖ ϕ et ‖ · ‖′ ϕ sont deux normessur Rd. Ces dernieres sont equivalentes donc les premieres aussi, puisque ϕest bijective.Soit ‖ · ‖ une norme sur F . Comme ϕ est une isometrie de (Rd, ‖ · ‖ ϕ) sur(F, ‖ · ‖), ϕ−1 transforme les suites de Cauchy dans F en suites de Cauchydans Rd. Ces dernieres convergent dans Rd donc, par continuite de ϕ, lespremieres convergent dans F .

2.5 Theoreme de Riesz.

Theoreme 2.5.1. (Theoreme de Riesz) Un evn est localement compactsi et seulement s’il est de dimension finie.

Demonstration.(⇐) : Un espace F de dimension d est en bijection bicontinue avec Rd :ϕ : Rd → F (cf. preuve de la proposition 2.4.6). En particulier, sa boule unitefermee B est l’image par ϕ d’un ferme borne de Rd. Ce dernier est compact(cf. proposition 2.3.2). Comme ϕ est continue, B est compacte (cf. proposi-tion 2.1.7). F est donc localement compact d’apres la proposition 2.4.4.(⇒) : Soit E evn localement compact. Par la proposition 2.4.4, B = B(0; 1]est compacte. Il existe donc x1, · · · , xn ∈ B tels que

B ⊂⋃

1≤i≤n

B(xi; 1/2[ .

Soit F le sous-espace engendre par x1, · · · , xn. Comme il est de dimen-sion finie, il est complet donc ferme (cf. proposition 2.4.6). On montre par


l’absurde que E = F . Supposons qu’il existe a ∈ E \ F . Comme a 6∈ F , ladistance r de a a F est strictement positive. Par definition de cette distance,il existe x ∈ F tel que r ≤ ‖x−a‖ < 3r/2. Soit y = (a−x)/‖a−x‖. Commey ∈ B, il existe i tel que y ∈ B(xi; 1/2[. On a

a = x+ ‖a− x‖y = x+ ‖a− x‖xi + ‖a− x‖(y − xi)

= x′ + ‖a− x‖(y − xi)avec x′ := x+ ‖a− x‖xi ∈ F . Donc

r ≤ ‖a− x′‖ = ‖a− x‖ · ‖y − xi‖ < ‖a− x‖/2 < 3r/4 .

Contradiction.

2.6 Theoreme du point fixe de Picard.

Soit (X,d) un espace metrique.

Definition 2.6.1. Soit f : X → X.

1). f est contractante s’il existe k ∈ [0; 1[ tel que, pour tout x, y ∈ X,d(f(x); f(y)) ≤ kd(x; y) .

2). a ∈ X est un point fixe de f si f(a) = a.

Theoreme 2.6.2. Soit (X, d) un espace metrique complet non-vide. Touteapplication contractante f : X → X admet un unique point fixe.

Demonstration. Si x et y sont des points fixes alors d(x; y) = d(f(x); f(y)) ≤kd(x; y). Comme k < 1, d(x; y) = 0 et x = y. Soit x ∈ X et (xn)n∈N =(f n(x))n. Pour tout n,

d(xn+1;xn) ≤ kd(xn;xn−1) ≤ · · · ≤ knd(x1;x0) .

Pour tous n, p ∈ N,

d(xn+p;xn) ≤p−1∑`=0

d(xn+1+`;xn+`) ≤ knd(x1;x0)

p−1∑`=0

k` ≤ knd(x1;x0)(1−k)−1 .

Donc (xn)n∈N est de Cauchy. Comme X est complet, elle converge vers un cer-tain a ∈ X. La sous-suite (xn+1)n∈N de (xn)n∈N converge aussi vers a. f etantcontractante, elle est lipschitzienne donc continue. D’ou f(a) = lim f(xn) =limxn+1 = a.


2.7 Prolongement d’applications uniformement conti-nues.

Theoreme 2.7.1. Soit (X, dX) un espace metrique, X1 un sous-ensembledense de X, (Y, dY ) un espace metrique complet et f : X1 → Y une ap-plication uniformement continue. Il existe une unique fonction continue f :X → Y telle que, pour tout x ∈ X1, f(x) = f(x). De plus, f est aussiuniformement continue.

Demonstration. Si g et h sont deux prolongements continus, alors, par den-site, x = limxn avec xn ∈ X1 et g(x) = lim f(xn) = h(x).Soit x ∈ X \ X1 et (xn)n∈N ∈ XN

1 qui converge vers x dans X. C’estdonc une suite de Cauchy. Comme f est uniformement continue, la suite(yn)n∈N = (f(xn))n∈N est de Cauchy dans Y , qui est complet, donc elleconverge vers un y ∈ Y . On pose f(x) = y. Si (x′n)n∈N ∈ XN

1 convergeaussi vers x alors (f(x′n))n∈N converge vers le meme y car, d’apres l’uniformecontinuite,

dY(f(x′n); f(xn)

)→ 0 , quand n→∞ .

f est donc bien definie.Soit ε > 0. Par hypothese, il existe δ > 0 tel que, pour x1, x

′1 ∈ X1,

dX(x1;x′1) < δ ⇒ dY(f(x1); f(x′1)

)< ε/3 . (2)

Soit x ∈ X et x′ ∈ X avec dX(x;x′) < δ/3. Il existe x1, x′1 ∈ X1 tels que

dX(x;x1) < δ/3, dY (f(x1); f(x)) < ε/3, dX(x′, x′1) < δ/3 et dY (f(x′1); f(x′)) <ε/3. Par l’inegalite triangulaire, dX(x1;x′1) < δ. Par l’inegalite triangulaire et(2), dY (f(x); f(x′)) < ε.

2.8 Espaces de fonctions continues.

On procede a quelques rappels sur les espaces de fonctions continues. Uneversion plus detaillee est presentee en appendice.

Soit (X, T ) un espace topologique separe compact et (Y, d) un espace me-trique complet. L’espace C(X, Y ) des fonctions continues de X dans Y estun espace metrique complet pour la distance de la convergence uniforme :

d∞ : C(X, Y )× C(X, Y ) → R+


definie par, pour f, g ∈ C(X, Y ),

d∞(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x)

),

Definition 2.8.1. Soit a ∈ X. Une famille A ⊂ C(X, Y ) est equicontinueen a si

∀ε > 0,∃V ∈ V(a); ∀f ∈ A,∀x ∈ X, x ∈ V ⇒ d(f(x), f(a)

)< ε .

A est equicontinue sur X si elle est equicontinue en tout a de X.

Theoreme 2.8.2. (Theoreme d’Ascoli) Soit X un espace topologique com-pact, (Y,d) un espace metrique complet et A ⊂ C(X, Y ). Les proprietes sui-vantes sont equivalentes :

1). L’adherence de A est compacte dans C(X,Y ).

2). A est equicontinue sur X et, pour tout a ∈ X, l’adherence de f(a); f ∈A est compacte dans Y .

Pour K = R ou C, C(X,K) est un K espace vectoriel norme complet pour lanorme ‖ · ‖∞ associee a la distance d∞.

Theoreme 2.8.3. (Theoreme de Stone-Weierstrass, cas reel). Soit Xun espace topologique compact et A une sous-algebre de C(X,R) telle que

1). La fonction constante egale a 1 appartient a A.

2). Pour tout x, x′ ∈ X tels que x 6= x′, il existe f ∈ A telle que f(x) 6=f(x′).

Alors A est dense dans C(X,R) pour ‖ · ‖∞.

Theoreme 2.8.4. (Theoreme de Stone-Weierstrass, cas complexe).Soit X un espace topologique compact et A une sous-algebre de C(X,C) telleque



3). Pour tout f ∈ A, f ∈ A.

Alors A est dense dans C(X,C) pour ‖ · ‖∞.


2.9 Applications lineaires continues.

Definition 2.9.1. Soit E et F deux evns sur un corps K (K = R ou C).Une application f : E → F est lineaire si, pour tous x, x′ ∈ E et a, b ∈ K,f(ax+ bx′) = af(x) + bf(x′).

Proposition 2.9.2. Soit E et F deux evns sur K et f : E → F lineaire. Lesproprietes suivantes sont equivalentes.

1). f est continue.

2). f est continue en un point de E.

3). ∃c > 0 ; ∀x ∈ E, ‖f(x)‖ ≤ c‖x‖.4). supx 6=0 ‖f(x)‖/‖x‖ <∞.

5). sup‖x‖≤1 ‖f(x)‖ <∞.

6). sup‖x‖=1 ‖f(x)‖ <∞.

7). Si A ∈ P(E) est bornee, f(A) est bornee.

8). f est uniformement continue.

Demonstration. (1⇒ 2), (3⇒ 4), (4⇒ 5), (5⇒ 6), (8⇒ 1) : exercice.(2⇒ 3) : On suppose f continue en a. Soit g : E → E definie par g(x) = x+aet h : F → F definie par h(y) = y − f(a). Comme g et h sont continues,hf g est continue en 0. Or, pour tout x, hf g(x) = f(x+a)−f(a) = f(x)par linearite. Donc f continue en 0. Il existe donc r > 0 tel que (‖x‖ ≤ r ⇒‖f(x)‖ ≤ 1). Soit c = 1/r. Pour x 6= 0, ‖rx/‖x‖‖ ≤ r donc ‖f(rx/‖x‖)‖ ≤ 1soit ‖f(x)‖ ≤ c‖x‖. Cette formule est encore valable si x = 0.(6 ⇒ 7) : On note par c le sup dans 6). Il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r].Pour x ∈ B(0, r] \ 0, ‖f(x)‖ = ‖x‖‖f(x/‖x‖)‖ ≤ ‖x‖c ≤ cr. Commef(0) = 0, f(B(0, r]) ⊂ B(0, cr]. Comme A ⊂ B(0, r], f(A) est borne.(7 ⇒ 8) : f(B(0; 1]) est borne donc il existe c > 0 tel que (‖x‖ ≤ 1 ⇒‖f(x)‖ ≤ c). Comme precedemment, on a, pour tout x, ‖f(x)‖ ≤ c‖x‖.Donc, pour x, x′ ∈ E, ‖f(x) − f(x′)‖ = ‖f(x − x′)‖ ≤ c‖x − x′‖. f estc-lipschitzienne donc uniformement continue.

Remarque 2.9.3. Pour f : E → F lineaire continue,

supx 6=0

‖f(x)‖‖x‖

= sup‖x‖≤1

‖f(x)‖ = sup‖x‖=1

‖f(x)‖ .



Definition 2.9.4. On note par L(E;F ) l’espace vectoriel des applicationslineaires continues de E dans F . Pour f ∈ L(E;F ), la valeur commune dela remarque 2.9.3 est la norme de f dans L(E;F ), notee ‖f‖L(E;F ) (ou ‖f‖).

Exemple 2.9.5. L’application I : C([0; 1],R)→ R definie par

I(g) =

∫ 1

0

g(t) dt ,

pour g ∈ C([0; 1],R), est lineaire continue de norme ‖I‖ = 1.

Exemple 2.9.6. Soit C0(R;R) l’espace vectoriel de fonctions continues f :R → R telles que x ∈ R : f(x) 6= 0 est borne, muni de la norme ‖ · ‖∞.L’application I : C0(R;R)→ R definie par, pour g ∈ C(R;R),

I(g) =

∫ ∞−∞

g(t) dt

est bien definie, lineaire mais pas continue. En effet, en prenant gn : R→ Rdefinie par gn(t) = nt si 0 ≤ t ≤ 1/n, gn(t) = 1, si 1/n ≤ t ≤ n, gn(t) =n(n + 1/n − t), si n ≤ t ≤ n + 1/n, et nulle ailleurs, on voit que (I(gn))ntend vers l’infini alors que, pour tout n, ‖gn‖∞ = 1.

Proposition 2.9.7. Soit E,F deux evns.

1). L(E;F ) est un espace vectoriel et l’application ‖ · ‖L(E;F ) : L(E;F )→R+ definit une norme.

2). Si F est de Banach alors (L(E;F ), ‖ · ‖L(E;F )) l’est aussi.

Demonstration.1) : Exercice.2) : Soit (fn)n une suite de Cauchy dans L(E;F ). Soit x ∈ E. (fn(x))n estdonc une suite de Cauchy dans F qui est complet. Elle converge vers uncertain f(x). Ceci definit f : E → F . Par passage a la limite, on voit quef est lineaire. Comme (fn)n est une suite de Cauchy dans L(E;F ), on voitque (fn)n converge vers f , uniformement sur la boule unite fermee de E.On en deduit que f est bornee sur cette derniere, donc f ∈ L(E;F ), et que‖fn − f‖L(E;F ) → 0.

Definition 2.9.8. Pour un evn E sur un corps K, on note E ′ = L(E,K).C’est le dual topologique de E. Pour tout u ∈ E ′ et x ∈ E on note(u, x) = u(x) ∈ K. E ′ muni de la norme ‖ · ‖L(E;K) est le dual fort de E.


Corollaire 2.9.9. Le dual fort E ′ d’un evn E sur K = R ou C est un espacede Banach.

Demonstration. Comme K est complet, il suffit d’appliquer le 2) de la pro-position 2.9.7.

3 Theoreme de Hahn-Banach et ses conse-

quences.

3.1 Lemme de Zorn.

Definition 3.1.1. Soit Z un ensemble. Un relation d’ordre R sur Z est unerelation verifiant

1). ∀x ∈ Z, xRx ;

2). ∀x, y ∈ Z, (xRy et yRx) ⇒ x = y.

3). ∀x, y, z ∈ Z, (xRy et yRz) ⇒ xRz.

Dans ce cas, on dit que (Z,R) un ensemble ordonne.

Definition 3.1.2. Soit (Z,≤) un ensemble ordonne. Soit A ∈ P(Z).

1). A est totalement ordonnee si ∀x, y ∈ A, (x ≤ y ou y ≤ x).

2). z ∈ Z majore A (est un majorant de A) si ∀x ∈ A, x ≤ z.

3). a ∈ A est un element maximal de A si ∀x ∈ A, a ≤ x ⇒ x = a.

Definition 3.1.3. Soit (Z,≤) un ensemble ordonne. L’ordre est inductif sitoute partie totalement ordonnee de Z admet un majorant.

Theoreme 3.1.4. (Lemme de Zorn). Tout ensemble non vide ordonneinductif admet un element maximal.

Demonstration. Admise (elle utilise l’axiome du choix).


3.2 Theoreme d’Hahn-Banach : forme analytique.

Definition 3.2.1. Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C. Une applica-tion p : E → R+ est une sous-norme si

1). ∀x, y ∈ E, p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ;

2). ∀x ∈ E, ∀t > 0, p(tx) = tp(x).

C’est une semi-norme si, en outre, pour tout t ∈ K, p(tx) = |t|p(x).

Theoreme 3.2.2. (Theoreme de Hahn-Banach analytique reel). SoitE un R-ev muni d’une sous-norme p. Soit F un sous-espace vectoriel de Eet f : F → R une forme lineaire verifiant, pour tout x ∈ F , f(x) ≤ p(x). Ilexiste une forme lineaire f : E → R qui prolonge f et telle que, pour toutx ∈ E, f(x) ≤ p(x).

Demonstration. Soit Z l’ensemble des applications lineaires h, definie surun sous-espace D(h) de E qui contient F , et a valeurs dans R, telles queh prolonge f et, pour tout x ∈ D(h), h(x) ≤ p(x). Z contient f . Pourh1, h2 ∈ Z, h1 ≤ h2 si D(h1) ⊂ D(h2) et si h2 prolonge h1. (Z,≤) est unensemble ordonne. Soit A = (hi)i∈I une partie totalement ordonnee de Z.Soit h definie sur

D(h) =⋃i∈I

D(hi)

par h(x) = hi(x) si x ∈ D(hi). h est bien definie (car A est totalementordonnee), appartient a Z et majore A. L’ordre est donc inductif. Par lelemme de Zorn (cf. theoreme 3.1.4), Z admet un element maximal f . Pourconclure la preuve, il suffit de montrer que D(f) = E.Supposons qu’il existe x0 ∈ E \ D(f). Necessairement x0 6= 0. Soit α ∈ R.Soit h definie sur D(h) = D(f)+Rx0 par h(x+ tx0) = f(x)+ tα. Admettonsprovisoirement qu’on peut choisir α de sorte que h ∈ Z. Alors, dans ce cas,f ≤ h mais f 6= h puisque D(f) est strictement inclu dans D(h). Cecicontredit la maximalite de f et montre que D(f) = E.Il reste a trouver α tel que h ∈ Z. Pour x, y ∈ D(f),

f(x) + f(y) = f(x+ y) ≤ p(x+ y) ≤ p(x+ x0) + p(y − x0) .

Donc f(y)− p(y − x0) ≤ p(x+ x0)− f(x). Pour

S = supy∈D(f)

(f(y)− p(y − x0)

), I = inf

x∈D(f)

(p(x+ x0)− f(x)

),


on a S ≤ I. Soit α ∈ [S; I]. Pour z ∈ D(f) et t ∈ R, on verifie que h(z+tx0) ≤p(z + tx0). C’est vrai si t = 0 car f(z) ≤ p(z). Pour t > 0, on a

h(z + tx0) = t(f(z/t) + α

)≤ t(f(z/t) + I

)≤ t(f(z/t) + p(z/t+ x0)− f(z/t)

)= p(z + tx0) .

Pour t < 0, on obtient de meme le resultat en utilisant cette fois α ≥ S.

Remarque 3.2.3. Dans le cadre du theoreme precedent, on a, pour toutx ∈ E, −f(x) = f(−x) ≤ p(−x) donc −p(−x) ≤ f(x) ≤ p(x) soit

|f(x)| ≤ max(p(−x); p(x)) .

En particulier, si p est une semi-norme, on a, pour tout x ∈ E, |f(x)| ≤ p(x).

Theoreme 3.2.4. (Theoreme de Hahn-Banach analytique complexe).Soit E un C-ev muni d’une semi-norme p. Soit F un sous-espace vectoriel deE et f : F → C une forme lineaire verifiant, pour tout x ∈ F , |f(x)| ≤ p(x).Il existe une forme lineaire f : E → C qui prolonge f et telle que, pour toutx ∈ E, |f(x)| ≤ p(x).

Demonstration. <(f) est une forme R-lineaire sur E, vu comme R-ev, quiverifie <(f) ≤ |<(f)| ≤ |f | ≤ p. Par le theoreme d’Hahn-Banach reel (cf.theoreme 3.2.2), il existe g : E → R, R-lineaire qui prolonge <(f) et quiverifie g ≤ p.On definit f : E → C par f(x) = g(x) − ig(ix). Pour x ∈ F , −<(f)(ix) =−<(f(ix)) = −(f(ix)+f(ix))/2 = −(if(x)−if(x))/2 = −i(f(x)−f(x))/2 ==(f)(x). D’ou f(x) = g(x) − ig(ix) = <(f)(x) − i<(f)(ix) = <(f)(x) +i=(f)(x) = f(x). f prolonge donc f .f est R-lineaire. Pour x ∈ E, f(ix) = g(ix)− ig(−x) = i(−ig(ix) + g(x)) =if(x). Donc f est C-lineaire.Il reste a voir que, pour tout x ∈ E, |f(x)| ≤ p(x). Si f(x) = 0, c’est vrai car

p est positive. Si f(x) 6= 0, soit z = f(x)/|f(x)|. Comme f(zx) = zf(x) =|f(x)| est reel, f(zx) = <(f)(zx) = (g(zx) − ig(izx) + g(zx)− ig(izx))/2avec g(zx), g(izx) reels. Donc f(zx) = g(zx) ≤ p(zx). Comme p est unesemi-norme, p(zx) = |z|p(x) = p(x) donc |f(x)| = f(zx) ≤ p(x).

3.3 Consequences dans les evns.

Proposition 3.3.1. Soit E un evn, x ∈ E et F un sous-espace vectoriel deE. x ∈ F si et seulement si toute forme lineaire continue sur E, nulle sur


F , s’annule en x. En particulier, F est dense dans E si et seulement si touteforme lineaire continue sur E, nulle sur F , est nulle.

Demonstration.(⇒) : Si x ∈ F , il existe (xn)n une suite d’elements de F qui tend vers x.Pour toute forme lineaire continue f , f(x) = lim f(xn). Si f est nulle sur Falors f(x) = 0.(⇐) : On montre la contraposee. Soit x0 6∈ F . La somme G = F + Cx0 estdirecte et d := d(x0, F ) > 0. Soit g : G → C definie par g(x + zx0) = zd,pour x ∈ F et z ∈ C. g est lineaire. Comme −z−1x ∈ F ,

|g(x+ zx0)| = |z|d ≤ |z|‖z−1x+ x0‖E

= ‖x+ zx0‖E .On peut donc appliquer le theoreme d’Hahn-Banach complexe (cf. theo-reme 3.2.4) avec p = ‖ · ‖E. Soit f un prolongement de g a E verifiant|f | ≤ ‖ · ‖E. f ∈ E ′, f(x0) = g(x0) = 1 et, pour tout x ∈ F , f(x) = g(x) = 0.(⇒) : Soit f ∈ E ′ nulle sur F . Pour x ∈ E, x = limxn avec xn ∈ F pourtout n, par densite. Par continuite de f , f(x) = lim f(xn) = 0.(⇐) : Soit x ∈ E. Comme toute forme lineaire continue sur E et nulle sur Fs’annule en x, x ∈ F (par la premiere equivalence). D’ou E = F .

Proposition 3.3.2. Soit E un evn.

1). ∀x ∈ E \ 0, ∃f ∈ E ′ ; ‖f‖E′ = 1 et f(x) = ‖x‖E.

2). Pour tout x ∈ E,

sup‖f‖E′=1

|f(x)| = sup‖f‖E′≤1

|f(x)| = sup‖f‖E′ 6=0

|f(x)|‖f‖E′

= ‖x‖E .

3). Pour x 6= y dans E, il existe f ∈ E ′ telle que f(x) 6= f(y).

Demonstration.1). Soit g : Cx→ C definie par g(zx) = z‖x‖E. g est lineaire et, pour tout z,|g(zx)| = |z| · ‖x‖E ≤ ‖zx‖E. Par le theoreme d’Hahn-Banach complexe (cf.theoreme 3.2.4) avec p = ‖ · ‖E, il existe f : E → C lineaire prolongeant g ettelle que |f | ≤ p. Donc f ∈ E ′ et ‖f‖E′ ≤ 1. De plus, f(x) = g(x) = ‖x‖E etdonc ‖f‖E′ = 1.2). Soit x ∈ E. On a deja vu l’egalite des trois suprema (cf. remarque 2.9.3).Soit S leur valeur. Pour f ∈ E ′, par definition de ‖f‖E′ , |f(x)| ≤ ‖f‖E′ ·‖x‖E.Donc S ≤ ‖x‖E. Par 1), S = ‖x‖E.3). Soit x 6= y dans E. On applique le 1) a x− y.


Definition 3.3.3. Pour un evn E sur un corps K, le bidual de E, note E ′′,est le dual de (E ′, ‖ · ‖E′).

Proposition 3.3.4. Soit E un espace de Banach et J : E → E ′′ definiepar, pour x ∈ E, J(x) est la forme lineaire continue sur E ′ definie parJ(x)(f) = f(x). J est une isometrie.

Demonstration. Comme, pour tout x ∈ E et tout f ∈ E ′, |J(x)(f)| ≤‖x‖E‖f‖E′ , J(x) ∈ E ′′ et J est bien definie. De plus, pour tout x ∈ E,‖J(x)‖E′′ ≤ ‖x‖E. Par la proposition 3.3.2, pour tout x ∈ E, il existe f ∈ E ′telle que f(x) = ‖x‖E et ‖f‖E′ = 1. Donc ‖J(x)‖E′′ = ‖x‖E.

Definition 3.3.5. Un espace de Banach E est reflexif si J(E) = E ′′.

3.4 Theoreme d’Hahn-Banach : forme geometrique.

Definition 3.4.1. Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C et C ∈ P(E).On dit que C est convexe si

∀x, y ∈ C , ∀t ∈ [0; 1] , tx+ (1− t)y ∈ C .

Proposition 3.4.2. Soit E un evn sur K = R ou C, C un convexe ouvertde E contenant l’origine. Pour tout x ∈ E, on definit la jauge de C par

p(x) = inft > 0; t−1x ∈ C

.

On note S1 = z ∈ K; |z| = 1.1) p est une sous-norme sur E.

2) C = x ∈ E; p(x) < 1.3) Il existe une constante r > 0 telle que, pour tout x ∈ E, p(x) ≤

r−1‖x‖E.

4) p(x) est une semi-norme si et seulement si, pour tout x ∈ C et toutz ∈ S1, zx ∈ C.

Demonstration.3). Comme C est ouvert, il existe r > 0 tel que BE(0, 2r[⊂ C. p(x) est biendefini car, pour t = r−1‖x‖E, t−1x ∈ BE(0, 2r[. De plus, p(x) ≤ t = r−1‖x‖E.En particulier, p(0) = 0.


2). Si p(x) < 1 alors, par definition de p(x), x = 1 · x ∈ C. Si x ∈ C alors,comme C est ouvert, il existe ρ > 0 tel que BE(x, ρ[⊂ C. Donc (1+ρ/2)x ∈ Cet p(x) ≤ (1 + ρ/2)−1 < 1.1) Soit s > 0. Si t−1x ∈ C alors (ts)−1sx ∈ C donc p(sx) ≤ ts. En passanta l’infimum sur t, p(sx) ≤ s · p(x). En appliquant ce resultat a (s; s−1x) aulieu de (s;x) puis a (s−1;x), on obtient p(x) = p(ss−1x) ≤ s · p(s−1x) ≤s · s−1 · p(x) = p(x). D’ou s · p(s−1x) = p(x) soit p(s−1x) = s−1 · p(x).Soit x, y ∈ E. Soit t, s > 0 tels t−1x ∈ C et s−1y ∈ C. Comme C est convexe,

x+ y

t+ s=

t

t+ s· xt

+(

1− t

t+ s

)· ys∈ C .

Donc p(x + y) ≤ t + s. En faisant tendre t → p(x) et s → p(y), on obtientp(x+ y) ≤ p(x) + p(y).4). (⇒) : Si x ∈ C et z ∈ S1 alors p(zx) = p(x) < 1 par 2). Donc zx ∈ C par2).(⇐) : Par contraposee. D’apres 1) et le fait que p(0) = 0, il existe y ∈ E etz ∈ S1 tels que p(y) 6= p(zy). Par exemple p(zy) < p(y). Pour x = (z/p(y))y,p(x) = p(zy)/p(y) < 1 d’apres 1), donc, par 2), x ∈ C. On a z ∈ S1 etp(zx) = 1, d’apres 1), donc, par 2), zx 6∈ C.

Theoreme 3.4.3. (Theoreme de Hahn-Banach geometrique). Soit Aet B deux parties convexes, non-vides et disjointes d’un evn E sur K = R ouC.

1) Si A est ouvert, il existe f ∈ E ′ \ 0, separant A et B au sens large,c’est-a-dire : il existe a ∈ R tel que

∀x ∈ A, ∀y ∈ B,<(f)(x) ≤ a ≤ <(f)(y) .

2) Si A est ferme et B est compact alors il existe f ∈ E ′ separant strictementA et B, c’est-a-dire : il existe a, b ∈ R tels que

∀x ∈ A,∀y ∈ B,<(f)(x) ≤ a < b ≤ <(f)(y) .

Demonstration.Etape 1. Pour K = R, on suppose A voisinage ouvert de 0 et B = x0 (enparticulier x0 6∈ A). Soit p la jauge de A (cf. proposition 3.4.2). C’est unesous-norme sur E, A = p−1([0; 1[) et p(x0) ≥ 1. L’application g : Rx0 → Rdefinie par g(tx0) = t est lineaire et verifie, pour tout t > 0,

g(tx0) = t ≤ tp(x0) = p(tx0) ,


et, pour t ≤ 0,g(tx0) = t ≤ 0 ≤ p(tx0) .

Par le theoreme de Hahn-Banach analytique reel (cf. theoreme 3.2.2), il existef : E → R lineaire, non nulle, qui prolonge g et telle que f ≤ p. Pour x ∈ A,f(x) ≤ p(x) < 1 = g(x0) = f(x0). De plus, f est majoree par 1 sur A doncminoree par −1 sur −A. Or −A∩A est un voisinage ouvert de 0, donc f estbornee sur une boule centree en 0. Par la proposition 2.9.2, f est continue.Etape 2. Pour K = R, on suppose A ouvert mais 0 6∈ A et B = x0. Soitx1 ∈ A. On applique l’etape 1 a A − x1 et x0 − x1. Par linearite, une formelineaire qui separe A− x1 et x0 − x1 separe aussi A et B.Etape 3. Pour K = R, on se place dans le cas general du point 1) dutheoreme. On applique l’etape 2 a l’ouvert

A−B = x− y; x ∈ A, y ∈ B ,

qui ne contient pas 0 (car A et B sont disjoints), et a 0. Soit f ∈ E ′

separant A − B et 0. Quitte a changer f en −f , on peut supposer f ≤ 0sur A−B donc supA f ≤ infB f .Etape 4. Pour K = R, on suppose A ferme et B compact. Donc A− B estun ferme ne contenant pas 0. Il existe donc r > 0 tel que l’ouvert BE(0; r[ estdisjoint de A−B. Par l’etape 3, il existe f ∈ E ′ separant BE(0; r[ et A−B.Quitte a changer f en −f ,

supA−B

f ≤ infBE(0;r[

f = d < 0 .

Donc supA f ≤ d+ infB f < infB f .Etape 5. Pour K = C, soit fr ∈ L(E;R) separant A et B. En posant f(x) =fr(x) − ifr(ix), f est lineaire continue sur C (cf. preuve du theoreme 3.2.4)et <(f) separe A et B.

4 Theoreme de Baire et ses consequences.

4.1 Espaces de Baire.

Definition 4.1.1. Un espace topologique X est de Baire si, pour toute suitede fermes Fn de X d’interieur vide,

⋃n Fn est d’interieur vide.

Proposition 4.1.2. Un espace topologique X est de Baire si et seulement si,pour toute suite d’ouverts denses On de X, l’intersection

⋂nOn est dense.


Demonstration. O est dense dans X si et seulement si F = X \O est d’inte-rieur vide. De plus X \

⋂nOn =

⋃nX \On.

Exemple 4.1.3. Tout ensemble X muni de la topologie discrete est de Baire.

Demonstration. Dans ce cas, un ferme d’interieur vide est toujours vide.

Exemple 4.1.4. R muni de la topologie Ts.c.i = R∪∅∪]a; +∞[; a ∈ Rn’est pas de Baire.

Demonstration. Dans ce cas, un ouvert est soit vide soit dense. En prenant,0n =]n; +∞[, pour tout n,

⋂nOn = ∅, qui n’est pas dense.

Lemme 4.1.5. Un partie A d’un espace topologique X est dense dans X siet seulement si tout ouvert de X rencontre A.


Proposition 4.1.6. Soit X un espace topologique de Baire et (Fn) une suite

de fermes de X telle que⋃n Fn = X. Alors

⋃n

F n est dense dans X.

Demonstration. Pour tout n, Kn = Fn \F n est un ferme d’interieur vide.

Comme X est de Baire,⋃nKn est d’interieur vide. En particulier, X \

⋃nKn

est dense dans X. Comme

X =⋃n

Fn =⋃n

( F n ∪Kn

)=(⋃

n

F n

)∪(⋃

n

Kn

),

X \⋃nKn ⊂

⋃n

F n et

⋃n

F n est dense dans X.

Theoreme 4.1.7. (Theoreme de Baire). Tout espace metrique completest de Baire.

Demonstration. Soit X un espace metrique complet et (On)n une suite d’ou-verts denses dans X. Soit U un ouvert de X, il suffit de montrer que Urencontre l’intersection des On.Comme O1 est dense, l’ouvert U ∩O1 est non vide. Il existe donc x1 ∈ U ∩O1

et r1 > 0 tel que B(x1; r1] ⊂ U ∩ O1. Supposons construits x1, · · · , xn ∈ Xet r1, · · · , rn tels que, pour tout 1 ≤ p ≤ n − 1, 0 < rp+1 < rp/2 et


B(xp+1; rp+1] ⊂ Op+1 ∩ B(xp; rp[. Comme On+1 est dense, On+1 ∩ B(xn; rn[est non vide donc il existe xn+1 ∈ On+1 ∩ B(xn; rn[ et rn+1 < rn/2 tels queB(xn+1; rn+1] ⊂ On+1∩B(xn; rn[. Par recurrence, on construit ainsi des suites(xn)n ∈ XN et (rn)n ∈ (R+∗)N telles que, pour tout n, p ∈ N,

rn ≤ r121−n et xn+p ∈ B(xn; rn[ .

La suite (xn)n est de Cauchy dans le complet X donc converge vers un certainx verifiant, pour tout n, x ∈ B(xn; rn] car la boule est fermee. Donc

x ∈∞⋂n=1

B(xn; rn] ⊂ U ∩( ∞⋂n=1

On

)et U rencontre l’intersection des On.

Remarque 4.1.8. Soit E un evn. Si F est un sous-espace strict de E,F = ∅.

Si E est complet, il ne peut etre reunion denombrable de sous-espaces stricts,par le theoreme de Baire (cf. theoreme 4.1.7) et la proposition 4.1.6. Enparticulier, il ne peut pas avoir une base algebrique denombrable. L’espacevectoriel des polynomes a coefficients dans K a une telle base donc il n’estcomplet pour aucune norme mise sur lui.

Definition 4.1.9. Soit X un espace topologique de Baire. Un ouvert O deX est de Baire si O muni de la topologie induite par X est de Baire.

Proposition 4.1.10. Soit X un espace topologique de Baire et O un ouvertde X. Les proprietes suivantes sont equivalentes.

1). O est de Baire.

2). Pour toute suite (On)n d’ouverts de X telles que, pour tout n, O ∩On

est dense dans O, l’intersection des O ∩On est dense dans O.

3). Pour toute suite (Fn)n de fermes de X telles que, pour tout n, O ∩ Fnest d’interieur vide, la reunion des O ∩ Fn est d’interieur vide.


Corollaire 4.1.11. Tout ouvert d’un espace metrique complet est de Baire.

Demonstration. Par la proposition 4.1.10, on peut reprendre la preuve dutheoreme de Baire (cf. theoreme 4.1.7) en remplacant, pour tout n, On parO ∩On, O etant l’ouvert de X considere.


Definition 4.1.12. Dans un espace topologique X de Baire, une partie Aest maigre si elle est contenue dans une reunion denombrable de fermes deX d’interieur vide.

Remarque 4.1.13. Une partie maigre d’un espace de Baire X est d’interieurvide. Son complementaire dans X est donc dense dans X.

Remarque 4.1.14. Une suite de fonctions convergeant simplement ne convergepas toujours uniformement (meme sur un compact). La suite (t 7→ tn)nconverge simplement sur [0; 1] vers une fonction discontinue donc la conver-gence ne peut etre uniforme.

Proposition 4.1.15. Soit I un intervalle non vide de R et (fn)n une suitede fonctions continues de I → R convergeant simplement vers f . Il existeune partie maigre B de R incluse dans I telle que f est continue sur I \B.

Demonstration. Pour n, p, q ∈ N, soit

En,p,q = x ∈ I; |fp+q(x)− fp(x)| ≤ 1/n+ 1 .

Par continuite, chaque En,p,q est ferme donc l’intersection En,p = ∩qEn,p,ql’est aussi. Soit n fixe. Pour chaque x ∈ I, (fn(x))n tend vers f(x) donc, pourp assez grand et pour tout q, x ∈ En,p,q. Donc x ∈ En,p. D’ou I = ∪pEn,p.Soit Gn := ∪p

En,p. Il est ouvert. On montre qu’il est dense dans I.

Soit U un ouvert non vide de I. Il existe O ouvert de R tel que U = O ∩ I.Pour chaque p, En,p∩O est un ferme de O et O = ∪p(En,p∩O). Comme R estcomplet, O est de Baire donc il existe p tel que En,p ∩ O est d’interieur nonvide. Il existe donc un ouvert inclu dans En,p∩O ⊂ O∩I = U et Gn∩U 6= ∅.Donc Gn est dense dans I.Soit G = ∩nGn. Il suffit de montrer que f est continue sur G et que B = I \Gest maigre.I \G est la reunion des I \Gn, qui sont d’interieur vide puisque Gn est densedans I. Donc I \G est maigre.Soit a ∈ G et ε > 0. Soit n tel que 3/n < ε. Comme a ∈ Gn, il existe p tel

que a ∈En,p. Pour x ∈

En,p, |fp(x) − f(x)| ≤ 1/n, par passage a la limite.

Comme fp est continue en a, il existe un ouvert V tel que a ∈ V ∩ I et, pour

tout x ∈ V ∩ I, |fp(x)− fp(a)| ≤ 1/n. Donc, pour x ∈ V ∩En,p (voisinage de

a dans I),

|f(x)− f(a)| ≤ |f(x)− fp(x)|+ |fp(x)− fp(a)|+ |fp(a)− f(a)| ≤ 3/n < ε ,

ce qui donne la continuite de f en a.


Remarque 4.1.16. En utilisant le theoreme de Baire, on peut montrer quel’ensemble des fonctions continues de [0; 1] dans R qui sont derivables en aumoins un point constitue une partie maigre dans l’ensemble des fonctionscontinues de [0; 1] dans R. Il y a donc une partie dense de fonctions continuesnulle part derivables dans l’ensemble des fonctions continues.

4.2 Theoreme de Banach-Steinhaus.

Theoreme 4.2.1. Soit E,F deux evns, E etant un Banach non vide. SoitH ⊂ L(E;F ). Si

∀x ∈ E, suph∈H‖h(x)‖F < +∞

alorssuph∈H‖h‖L(E;F ) < +∞ .

Demonstration. Soit ϕ : E → R+ definie par ϕ(x) = suph∈H ‖h(x)‖F et,pour tout n, posons

Vn = ϕ−1(]n; +∞[) = x ∈ E; ϕ(x) > n .

Montrons que Vn est ouvert. Soit x ∈ Vn. Par definition de ϕ, il existe h ∈H \ 0 telle que ‖h(x)‖F > n. Pour tout x′ ∈ E,

‖h(x)‖F − ‖h(x′)‖F ≤ ‖h(x)− h(x′)‖F = ‖h(x− x′)‖ ≤ ‖h‖ · ‖x− x′‖E .

Soit r = ‖h(x)‖F − n > 0. Pour x′ ∈ E verifiant ‖x − x′‖E < r/‖h‖,‖h(x)‖F − ‖h(x′)‖F < r donc ‖h(x′)‖F > ‖h(x)‖F − r = n. En particulier,Vn contient B(x; r‖h‖−1[. Ceci etant vrai pour tout x ∈ Vn, Vn est ouvert.Comme ϕ prend des valeurs finies,

⋂n Vn = ∅. Donc, E =

⋃n Fn, ou Fn :=

E\Vn est ferme, pour tout n. Par le theoreme de Baire (cf. theoreme 4.1.7) etle fait que E n’ait pas un interieur vide, les Fn ne peuvent pas tous avoir un

interieur vide. Il existe donc un n pour lequelF n 6= ∅. Comme

F n = E \ V n,

il existe donc a ∈ E et r > 0 tel que B(a; r] ∩ Vn = ∅. Soit x ∈ E avec‖x‖E = 1 et soit h ∈ H. Comme a et a + rx sont dans B(a; r], ϕ(a) ≤ n etϕ(a+ rx) ≤ n. Donc, pour tout h ∈ H,

‖h(x)‖F = r−1‖h(rx)‖F ≤ r−1(‖h(a+ rx)‖F + ‖h(a)‖F

)≤ 2n/r .

Donc, pour tout h ∈ H, ‖h‖ ≤ 2n/r et suph∈H ‖h‖ ≤ 2n/r <∞.


Corollaire 4.2.2. Soit E,F deux evns, E etant un Banach. Soit (fn)n unesuite dans L(E;F ) qui converge simplement vers une certaine application fde E dans F . Alors f ∈ L(E;F ) et

‖f‖ ≤ lim inf ‖fn‖ ≤ supn‖fn‖ < ∞ .

Demonstration. Par passage a la limite, f est linaire. Soit H = fn;n ∈ N.Comme (fn)n converge simplement, on peut appliquer le theoreme de Banach-Steinhaus (cf. theoreme 4.2.1) qui donne supn ‖fn‖ < ∞. En particulier,0 ≤ ` := lim inf ‖fn‖ < ∞. Il existe une sous-suite (‖fϕ(n)‖)n convergeantvers `. Soit x ∈ E avec ‖x‖E = 1, pour tout n, ‖fϕ(n)(x)‖F ≤ ‖fϕ(n)‖, donc,en passant a la limite, ‖f(x)‖F ≤ `. D’ou ‖f‖ ≤ `.

Corollaire 4.2.3. Soit C0(R;R) l’ensemble de fonctions continues f : R→ Rtelles que x ∈ R; f(x) 6= 0 est borne, muni de la norme ‖ · ‖∞. Cet espacen’est pas complet.

Demonstration. Pour tout n, In : C0(R;R) → R definie par, pour g ∈C0(R;R),

In(g) =

∫ n

−ng(t) dt ,

est lineaire continue. De plus, pour tout g ∈ C0(R,R), quand n→∞,

In(g) → I(g) =

∫ ∞−∞

g(t) dt .

Si C0(R;R) etait complet, on aurait, par le theoreme de Banach-Steinhaus(cf. theoreme 4.2.1), la continuite de I. Or, on a vu qu’elle n’est pas continue(cf. exemple 2.9.6), l’espace n’est donc pas complet.

4.3 Theoreme de l’application ouverte.

Proposition 4.3.1. Soit E,F deux evns et f : E → F lineaire. Les proprie-tes suivantes sont equivalentes :

1). f est ouverte.

2). Il existe r > 0 tel que BF (0; r[⊂ f(BE(0; 1]).


3). Il existe k > 0 tel que

∀y ∈ F, ∃x ∈ E; f(x) = y et ‖x‖E ≤ k‖y‖F .

Demonstration.(1 ⇒ 2) : Comme BE(0; 1[ est ouverte, f(BE(0; 1[) est ouvert. Comme 0 =f(0) appartient a ce dernier, il existe r > 0 tel que BF (0; r[⊂ f(BE(0; 1[) ⊂f(BE(0; 1]).(2⇒ 1) : Soit U ouvert de E. Pour x ∈ U , il existe ε > 0 tel que BE(x; ε] ⊂BE(x; 2ε[⊂ U .

BF (f(x); rε[= f(x) + εBF (0; r[⊂ f(x) + εf(BE(0; 1]) = f(BE(x; ε]) ⊂ f(U) .

Donc f(U) est ouvert.(2⇒ 3) : Soit k > 1/r. Donc 1/k < r et

(k‖y‖F )−1y ∈ BF (0; r[⊂ f(BE(0; 1]) .

Donc il existe x′ ∈ BE(0; 1] tel que f(x′) = (k‖y‖F )−1y. Soit x = k‖y‖Fx′.On a f(x) = y et ‖x‖E = k‖y‖F‖x′‖E ≤ k‖y‖F .(3 ⇒ 2) : On choisit r = 1/k. Soit y ∈ BF (0; r[. Par hypothese, il existex ∈ E tel que f(x) = y et ‖x‖E ≤ k‖y‖F < kr = 1. Donc x ∈ BE(0; 1[ ety ∈ f(BE(0; 1[) ⊂ f(BE(0; 1]).

Theoreme 4.3.2. (Theoreme de l’application ouverte). Soit E,F deuxespaces de Banach (non vides) et f ∈ L(E;F ).

1). Si f est surjective, f est ouverte.

2). Si f est bijective, f est un homeomorphisme.

Demonstration.1). Par la proposition 4.3.1, il suffit de montrer la propriete 2) de cette propo-sition. Pour y ∈ F , il existe, par surjectivite, x ∈ E tel que f(x) = y. Commeil existe n ∈ N tel que n ≥ ‖x‖E, y ∈ f(BE(0;n]). D’ou F = ∪nf(BE(0;n]).Comme F est d’interieur non vide et complet, il existe, par le theoremede Baire (cf. theoreme 4.1.7), un n > 0 tel que f(BE(0;n]) est d’interieurnon vide. Il existe donc a ∈ F et ρ > 0 tels que BF (a; ρ] ⊂ BF (a; 2ρ[⊂f(BE(0;n]). On montre que BF (0; r] ⊂ f(BE(0; 1]).Soit r = n−1ρ et a′ = n−1a. Comme ϕ1 : x 7→ n−1x est un homeomorphisme,

f(BE(0; 1]) = n−1f(BE(0;n]) = n−1f(BE(0;n]) .


D’autre part, BF (n−1a; r] = n−1BF (a; ρ] donc BF (a′; r] ⊂ f(BE(0; 1]).Soit y ∈ BF (0; r]. On a y = (1/2)((y+ a′) + (y− a′)) avec −(y− a′), y+ a′ ∈BF (a′; r]. Pour ε > 0, il existe x, x′ ∈ BE(0; 1] tels que ‖f(x)− (y+a′)‖F < εet ‖f(x′) + (y − a′)‖F < ε. Par l’inegalite triangulaire,∥∥y − f((x− x′)/2)∥∥

F=∥∥y − (f(x)− f(x′)

)/2∥∥F< ε .

Comme (x− x′)/2 ∈ BE(0; 1], y ∈ f(BE(0; 1]) et BF (0; r] ⊂ f(BE(0; 1]).Il reste a voir que BF (0; r[⊂ f(BE(0; 1]). Soit z ∈ BF (0; r[. On montre quez ∈ f(BE(0; 1]). Comme 0 = f(0), on peut supposer z 6= 0.Il existe µ ∈]0; 1[ tel que ‖z‖F = r(1− µ). Donc y = (1− µ)−1z ∈ BF (0; r] ⊂f(BE(0; 1]). Il existe donc y1 ∈ f(BE(0; 1]) tel que ‖y1−y‖F ≤ µr. Supposonsconstruits y0 = 0, y1, · · · , yn ∈ F tel que, pour 1 ≤ p ≤ n, on ait µ−(p−1)(yp−yp−1) ∈ f(BE(0; 1]) et ‖yp − y‖F ≤ µpr. Par hypothese de recurrence, y ∈BF (yn;µnr]. Comme l’application ϕn : F 3 t 7→ yn + µnt ∈ F est continue,

BF (yn;µnr] = ϕn(BF (0; r]

)⊂ ϕn

(f(BE(0; 1])

)⊂ ϕn f

(BE(0; 1]

)donc y ∈ BF (yn;µnr] ⊂ yn + µnf(BE(0; 1]). On peut donc trouver yn+1 ∈yn + µnf(BE(0; 1]) tel que ‖yn+1 − y‖ ≤ µn+1r. On a la propriete souhaiteeau rang n+1. Par recurrence, la suite (yn)n∈N est construite avec la proprieteen question, pour tout n.Il existe donc une suite (xn)n∈N d’elements de E telle que, pour tout n,yn+1 − yn = f(xn) avec ‖xn‖E ≤ µn. Comme µ < 1,

∑n∈N xn converge

absolument. Comme E est complet,∑

n∈N xn converge vers un x ∈ E verifiant

‖x‖E ≤∞∑n=0

‖xn‖E ≤ (1− µ)−1 .

Par continuite de f ,

f(x) = limn

n∑k=0

f(xk) = limn

n∑k=0

(yk+1 − yk) = limnyn = y .

Donc z = (1 − µ)y = f((1 − µ)x) avec (1 − µ)x ∈ BE(0; 1]. Donc z ∈f(BE(0; 1]) et BF (0; r[⊂ f(BE(0; 1]).2). Comme f est surjective, f est ouverte par 1). f etant bijective, c’est unhomeomorphisme, d’apres la proposition 1.6.6.

Corollaire 4.3.3. Soit ‖ · ‖1 et ‖ · ‖2 deux normes sur un espace vectoriel Etelles qu’il est complet pour chacune d’elle et elles sont comparables. Alorselles sont equivalentes.


Demonstration. Par exemple, il existe c > 0 tel que, pour tout x ∈ E,‖x‖1 ≤ c‖x‖2. L’application idE de (E, ‖ · ‖2) dans (E, ‖ · ‖1) est donc li-neaire continue. Comme ces espaces sont complets et que l’application estbijective, le theoreme de l’application ouverte (cf. theoreme 4.3.2) impliqueque son inverse est continue. Donc il existe d > 0 telle que, pour tout x ∈ E,‖x‖2 ≤ d‖x‖1. Les normes sont donc equivalentes.

Exemple 4.3.4. Sur `2, on peut mettre les normes ‖·‖∞ et ‖·‖2. En utilisantle corollaire 4.3.3, on peut montrer que (`2, ‖ · ‖∞) n’est pas complet.

4.4 Theoreme du graphe ferme.

Lemme 4.4.1. Soit (E, ‖ · ‖E) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces de Banach. Soit‖·‖pr : E×F → R+ definie par ‖(x; y)‖pr = ‖x‖E+‖y‖F . (E×F, ‖·‖pr) est unespace de Banach. De plus, les projections pE : E×F → E et pF : E×F → Fdefinies par pE(x; y) = x et pF (x; y) = y sont continues.


Theoreme 4.4.2. (Theoreme du graphe ferme). Soit E,F deux espacesde Banach et f : E → F lineaire. f est continue si et seulement si son grapheG = (x; f(x)), x ∈ E est ferme dans E × F pour la norme produit ‖ · ‖pr.

Demonstration.(⇒) : Soit (xn, f(xn))n une suite d’elements de G qui converge vers un (x; y)dans E × F pour ‖ · ‖pr. Alors (xn)n converge vers x dans E. Comme fest continue, (f(xn))n converge dans F vers f(x). Par unicite de la limite,y = f(x), (x; y) ∈ G et G est ferme.(⇐) : G etant un sous-espace ferme du Banach E ×F , il est aussi un espacede Banach (pour ‖ · ‖pr). L’application p : G→ E definie par p(x; f(x)) = xest continue et bijective (car f est une application). Par le 2) du theoremede l’application ouverte (cf. theoreme 4.3.2), p−1 est continue. Comme pF estcontinue et comme f = pF p−1, f est continue.

Corollaire 4.4.3. Soit E,F deux espaces de Banach et f : E → F lineaire.f est continue si et seulement si, pour toute suite (xn)n convergeant dans Evers x telle que (f(xn))n converge dans F vers y, alors y = f(x).


Demonstration. G est ferme pour ‖ · ‖pr si et seulement si, pour toute suited’elements de G qui converge dans E × F , la limite est dans G. Une suited’elements de G qui converge dans E×F est une suite (xn; f(xn))n ou (xn)nest une suite d’elements de E qui converge vers un certain x et ou la suite(f(xn))n d’elements de F converge vers un certain y. Dire que la limite d’unetelle suite (xn; f(xn))n est dans G signifie que y = f(x).

5 Proprietes du dual topologique, topologies

faibles.

5.1 Topologies rendant des applications continues.

Exemple 5.1.1. Soit E = C(R;R) muni de la norme ‖ · ‖∞. Pour touta ∈ R, l’application δa : E → R qui a f associe f(a) est continue. Peut-onconstruire la topologie la moins fine (c’est-a-dire avec le minimum d’ouverts)qui rendent les applications δa continues ? Oui et on peut le faire de manieretres generale.

Proposition 5.1.2. Soit X un ensemble, (Yi, Ti)i∈I une famille quelconqued’espaces topologigues et, pour tout i ∈ I, soit ϕi : X → Yi. Alors

W =

⋂i∈J

ϕ−1i (Oi);∀i ∈ J,Oi ∈ Ti, J ⊂ I, J fini

engendre une topologie TW sur X qui est la moins fine des topologies sur Xrendant toutes les ϕi continues.

Demonstration. Exercice (utiliser la proposition 1.1.12).

Proposition 5.1.3. Dans la cadre de la proposition precedente, on munit Xde la topologie TW . Soit Z un espace topologique, ψ : Z → X et (xn)n ∈ XN.ψ est continue si et seulement si, pour tout i ∈ I, ϕi ψ : Z → Yi l’est. Deplus,

x = limxn ⇔ ∀i ∈ I, ϕi(x) = limϕi(xn) .

Demonstration. Continuite de ψ.(⇒) : ϕi ψ est continue comme composee de fonctions continues.


(⇐) : Soit V un voisinage de ψ(z). Donc

ψ(z) ∈⋂i∈J

ϕ−1i (Oi) ⊂ V ,

avec J ⊂ I, J fini et, pour tout i ∈ J , Oi ouvert dans Yi. Pour i ∈ J , ϕi ψest continue donc Ui = (ϕi ψ)−1(Oi) est un ouvert de Z. Comme J estfini, ∩i∈JUi est aussi un ouvert de Z. Comme, pour i ∈ J , ψ(z) ∈ ϕ−1

i (Oi),z ∈ Ui et z ∈ ∩i∈JUi. De plus, pour i ∈ J , ψ(Ui) = ϕ−1

i (Oi) ⊂ V donc∩i∈JUi ⊂ ψ−1(V ). ψ est donc continue en z.Etude de limxn.(⇒) : Le resultat decoule de la continuite des ϕi.(⇐) : Soit V un voisinage de x. Donc

x ∈⋂i∈J

ϕ−1i (Oi) ⊂ V ,

avec J ⊂ I, J fini et, pour tout i ∈ J , Oi ouvert dans Yi. Comme J est finiet que, pour tout i ∈ J , ϕi(x) = limϕi(xn) ∈ Oi, il existe N ∈ N tel que,

n ≥ N ⇒ ∀i ∈ J, ϕi(xn) ∈ Oi .

Donc, pour n ≥ N , xn ∈ V . D’ou x = limxn.

Remarque 5.1.4. Dans l’exemple 5.1.1, TW est en fait la topologie de laconvergence simple, comme le montre la proposition 5.1.3. Elle est differentede la topologie engendree par ‖ · ‖∞.

Remarque 5.1.5. La topologie produit sur un produit X = Πi∈IXi d’espacestopologigues est la topologie la moins fine rendant continues les projectionscanoniques pi : X → Xi.

5.2 Topologie faible sur un Banach.

Definition 5.2.1. Soit E un evn sur K. La topologie faible σ(E,E ′) sur Eest la topologie la moins fine rendant toutes les u ∈ E ′ continues.

Proposition 5.2.2. La topologie σ(E,E ′) sur E est separee. Pour x0 ∈ E,tout voisinage V de x0 pour σ(E,E ′) contient, pour un ε > 0 et une famillefinie (fi)i∈I ∈ (E ′)I , un cylindre

x ∈ E; ∀i ∈ I, |fi(x− x0)| ≤ ε . (3)


Demonstration. Soit x 6= y in E. Par la proposition 3.3.2, il existe f ∈ E ′

telle que f(x) 6= f(y). Comme K est separe, il existe U et V des ouvertsdisjoints de K tels que f(x) ∈ U et f(y) ∈ U . Comme f est aussi continuepour la topologie σ(E,E ′), f−1(U) est un voisinage ouvert de x et f−1(V )est un voisinage ouvert de y. De plus, f−1(U) ∩ f−1(V ) = ∅ car U ∩ V = ∅.σ(E,E ′) est donc separee.Par la proposition 5.1.2,

x0 ∈⋂i∈I

f−1i (Oi) ⊂ V ,

avec I fini et, pour i ∈ I, fi ∈ E ′ et Oi voisinage ouvert de fi(x0). Comme Iest fini, il existe ε > 0 tel que, pour tout i ∈ I, BK(fi(x0); ε] ⊂ Oi. Commechaque fi est lineaire, V contient le cylindre (3).

Proposition 5.2.3. Soit E un espace de Banach et (xn)n ∈ EN.

1). xn x dans σ(E,E ′) ssi, pour tout f ∈ E ′, f(xn)→ f(x) (dans K).

2). Si xn → x fortement (i.e. pour ‖ · ‖E) alors xn x dans σ(E,E ′).

3). Si xn x dans σ(E,E ′) alors (‖xn‖)n est bornee et ‖x‖ ≤ lim inf ‖xn‖.4). Si xn x dans σ(E,E ′) et si fn → f fortement dans E ′ (i.e. ‖fn −

f‖E′ → 0) alors fn(xn)→ f(x) (dans K).

Demonstration.1). Cela decoule la proposition 5.1.3.2). Pour tout f ∈ E ′ et tout n, |f(xn) − f(x)| ≤ ‖f‖E′‖xn − x‖E doncf(xn)→ f(x). Par 1), xn x dans σ(E,E ′).3). La norme de la forme lineaire continue E ′ 3 f 7→ f(x) est ‖x‖E d’apresune consequence du theoreme d’Hahn-Banach (cf. proposition 3.3.2). Dememe, pour tout n, E ′ 3 f 7→ f(xn) ∈ K est lineaire continue de norme‖xn‖E. Par hypothese et par 1), il s’agit d’une suite de formes lineaires conti-nues qui converge simplement vers la premiere forme. Comme E ′ est complet,on peut appliquer un corollaire du theoreme de Banach-Steinhaus (cf. corol-laire 4.2.2) donnant ‖x‖E ≤ lim inf ‖xn‖E ≤ supn ‖xn‖E <∞.4). Pour tout n,

|fn(xn)− f(x)| ≤ |fn(xn)− f(xn)| + |f(xn)− f(x)|≤ ‖fn − f‖E′‖xn‖E + |f(xn)− f(x)| .

Comme xn x dans σ(E,E ′), f(xn)→ f(x) (cf. 1).) et (‖xn‖E)n est bornee(cf. 3).). De plus, fn → f pour ‖ · ‖E′ , donc fn(xn)→ f(x).


5.3 Topologies sur un dual.

Definition 5.3.1. Pour un evn E sur un corps K, on note E ′ = L(E;K).C’est le dual topologique de E. Pour tout u ∈ E ′ et x ∈ E on note(u, x) = u(x) ∈ K. (·, ·) est le crochet de dualite entre E ′ et E. E ′ muni dela norme ‖ · ‖L(E;K) est le dual fort de E. Le bidual de E, note E ′′, est ledual fort de (E ′, ‖ · ‖E′).

Proposition 5.3.2. Le dual fort E ′ d’un evn E sur K = R ou C est unespace de Banach.

Demonstration. cf. corollaire 2.9.9.

Remarque 5.3.3. Pour un Banach E, on a deja deux topologies sur E ′ :la topologie forte (associee a ‖ · ‖E′) et la topologie faible σ(E ′, E ′′) vue auparagraphe precedent.

Definition 5.3.4. Soit E un espace de Banach. La topologie “∗ faible” sur E ′,notee aussi σ(E ′, E), est la topologie la moins fine rendant les applicationsE ′ 3 f 7→ f(x), pour x ∈ E, continues.

Remarque 5.3.5. σ(E ′, E) est moins fine que σ(E ′, E ′′). Elles coıncident siE est reflexif.

Proposition 5.3.6. Soit E un espace de Banach et (fn)n ∈ (E ′)N.

1). σ(E ′, E) est separee.

2). Tout voisinage de f0 pour σ(E ′, E) contient, pour un ε > 0 et unefamille finie (xi)i∈I ∈ EI , un cylindre

f ∈ E ′;∀i ∈ I, |(f0 − f)(xi)| ≤ ε .

3). fn f dans σ(E ′, E) ssi, pour tout x ∈ E, fn(x)→ f(x) (dans K).

4). Si fn → f fortement (i.e. pour ‖ · ‖E′) alors fn f dans σ(E ′, E ′′). Sifn f dans σ(E ′, E ′′) alors fn f dans σ(E ′, E).

5). Si fn f dans σ(E ′, E) alors (‖fn‖E′)n est bornee et ‖f‖E′ ≤ lim inf ‖fn‖E′.6). Si fn f dans σ(E ′, E) et si xn → x fortement dans E (i.e. ‖xn −

x‖E → 0) alors fn(xn)→ f(x) (dans K).

Demonstration. Elle est similaire a celle des propositions 5.2.2 et 5.2.3.

Remarque 5.3.7. Pour un evn E de dimension finie, les topologies forte,σ(E ′, E ′′) et σ(E ′, E) sur l’espace E ′ coıncident.


5.4 Theoreme de Banach-Alaoglu.

Theoreme 5.4.1. (Theoreme de Banach-Alaoglu). Soit E un espacevectoriel norme. La boule unite fermee BE′(0; 1] de E ′ est compacte pour latopologie ∗ faible σ(E ′, E).

Demonstration. Soit Y = KE muni de la topologie produit. Dans la suite, E ′

est toujours muni de la topologie ∗ faible σ(E ′, E). Soit ψ : E ′ → Y definiepar ψ(f) = (f(x))x∈E. Comme, pour tout x ∈ E, f 7→ f(x) est continue, ψest continue par la remarque 5.1.5 et la proposition 5.1.3. Montrons que ψest un homeomorphisme de E ′ sur ψ(E ′).ψ est injective. Comme, pour tout x ∈ E, ψ(E ′) 3 y 7→ ψ−1(y)(x) ∈ Kcoıncide avec ψ(E ′) 3 y 7→ yx qui est continue pour la topologie produit, ψ−1

est continue par la proposition 5.1.3.On a ψ(BE′(0; 1]) = K avec

K =y ∈ Y ;∀x, x′ ∈ E,∀λ ∈ K; |yx| ≤ ‖x‖E, yλx+x′ = λyx + yx′

.

On a K = K1 ∩K2 avec

K1 =y ∈ Y ;∀x ∈ E, |yx| ≤ ‖x‖E

=∏x∈E

BK(0; ‖x‖E] ,

K2 =y ∈ Y ;∀x, x′ ∈ E,∀λ ∈ K; yλx+x′ = λyx + yx′

.

Par le theoreme de Tychonov (cf. theoreme 2.2.1), K1 est compact dans Y(donc ferme). On montre que K2 est ferme.Pour x, x′ ∈ E et λ ∈ K,

Ax,x′,λ = y ∈ Y ; yλx+x′ = λyx + yx′

est ferme puisque l’application Y 3 y 7→ yλx+x′ − λyx− yx′ ∈ K est continue.Donc

K2 =⋂

x,x′∈E,λ∈K

Ax,x′,λ

est aussi ferme.K est donc un ferme dans un compact donc est compact. Comme ψ−1 estcontinue, BE′(0; 1] est compacte.

Remarque 5.4.2. En general, E ′ muni de la topologie ∗ faible σ(E ′, E) n’estpas un espace metrique. Il n’est donc pas clair que, d’une suite bornee dansE ′, on puisse extraire une sous-suite convergente pour σ(E ′, E).


Corollaire 5.4.3. Soit E un espace de Banach separable et (fn)n ∈ (E ′)N

une suite bornee. Alors il existe une sous-suite (fϕ(n))n qui converge pour latopologie ∗ faible σ(E ′, E).


Proposition 5.4.4. Soit E un espace de Banach reflexif. La boule unitefermee BE(0; 1] de E est compacte pour la topologie faible σ(E,E ′). De plus,si (xn)n ∈ EN une suite bornee, alors il existe une sous-suite (xϕ(n))n quiconverge pour la topologie faible σ(E,E ′).


Remarque 5.4.5. Dans la preuve des deux resultats precedents, on utilisedes espaces metriques compacts et le theoreme de Bolzano-Weierstrass (cf.theoreme 2.3.8). Plus precisement, pour la proposition 5.4.3, on utilise lefait que BE′(0; 1] munie de la topologie ∗ faible σ(E ′, E) est en fait un espacemetrique. Pour la seconde partie de la proposition 5.4.4, on note par M lafermeture (pour la topologie de la norme de E) de l’espace vectoriel engendrepar les xn. Cette fois, c’est la boule unite fermee BM(0; 1] de M munie de latopologie faible σ(M,M ′) qui est un espace metrique.

5.5 Topologies faibles dans un Hilbert.

Remarque 5.5.1. Soit H un espace de Hilbert. Par le theoreme 11.2.5, onpeut identifier H ′ a H a l’aide du produit scalaire. H est donc reflexif. En par-ticulier, sur H ′, les topologies faible σ(H ′, H ′′) et ∗ faible σ(H ′, H) coıncident(cf. remarque 5.3.5). Par l’identification de H ′ a H, on peut transporter latopologie faible σ(H ′, H) de H ′ sur H et la comparer a la topologie faibleσ(H,H ′) sur H (cf. proposition 5.5.2).

Proposition 5.5.2. Soit H un Hilbert sur K. Soit d : H → H ′ l’homeo-morphisme isometrique qui a x ∈ H associe 〈x, ·〉 ∈ H ′. Alors d est aussiun homeomorphisme de (H, σ(H,H ′)) sur (H ′, σ(H ′, H)). En particulier,pour une suite (xn)n∈N ∈ H et x ∈ H, xn x pour σ(H,H ′) si et seule-ment si 〈xn, ·〉〈x, ·〉 pour σ(H ′, H) si et seulement si, pour tout y ∈ H,〈xn, y〉 → 〈x, y〉 dans K. De plus, si xn x pour σ(H,H ′), alors la suite(‖xn‖)n∈N ∈ H est bornee et ‖x‖ ≤ lim infn→∞ ‖xn‖.


Demonstration. Pour tout y ∈ H, H 3 x 7→ dx(y) = 〈x, y〉 ∈ K est an-tilineaire continue donc continue de (H, σ(H,H ′)) dans K. Par la proposi-tion 5.1.3, d est continue de (H, σ(H,H ′)) dans (H ′, σ(H ′, H)). Pour touty ∈ H, H ′ 3 f 7→ 〈y, d−1(f)〉 ∈ K est antilineaire continue donc conti-nue de (H ′, σ(H ′, H)) dans K. Par la proposition 5.1.3, d−1 est continue de(H ′, σ(H ′, H)) dans (H, σ(H,H ′)).D’apres les propositions 5.2.3 et 5.3.6, xn x pour σ(H,H ′) ssi, pour toutf ∈ H ′, f(xn) → f(x) ssi, pour tout y ∈ H, 〈y, xn〉 → 〈y, x〉 ssi, pour touty ∈ H, 〈xn, y〉 → 〈x, y〉 ssi 〈xn, ·〉〈x, ·〉 pour σ(H ′, H).D’apres l’identification precedente, la derniere assertion est une consequencedu point 5) de la proposition 5.3.6.

Definition 5.5.3. Une suite (xn)n∈N dans un espace de Hilbert H convergefaiblement vers x si, pour tout y ∈ H, 〈y, xn〉 → 〈y, x〉.

Theoreme 5.5.4. Soit H un Hilbert et (xn)n∈N ∈ HN une suite bornee. Ilexiste une sous-suite (xϕ(n))n∈N qui converge faiblement.

Demonstration. Il suffit d’appliquer les propositions 5.4.4 et 5.5.2.

6 Topologie sur les espaces de fonctions test,

topologie sur les espaces de distributions.

Dans le cours d’ING1, une definition succinte des distributions et des distri-butions temperees a ete donnee. Des proprietes importantes ont egalementete presentees en vue d’applications en EDP.

Les distributions sont des formes lineaires continues. L’aspect topologique estreste relativement cache dans le cours d’ING1. On va voir ici que les espacesde fonctions test sont munis d’une topologie faible appropriee. Les espacesduaux seront munis d’une topologie de type ∗ faible.

6.1 Motivation.

Pour expliquer les choix topologiques sur les espaces de fonctions test, on seconcentre sur les distributions sur R.


On a vu en ING1 qu’il est important de pouvoir interpreter une fonctionf ∈ L1

loc(R;C) comme une distribution en l’identifiant a la forme lineaire

Tf : C∞c (R;C) 3 ϕ 7→∫Rf(x)ϕ(x) dx ∈ C . (4)

Ici C∞c (R;C) designe l’espace vectoriel sur C des fonctions de classe C∞ deR dans C a support compact. Cette condition de support assure que Tf estbien definie. D’autre part, on definit la derivee de la distribution Tf par

∀ϕ ∈ C∞c (R;C) ,(Tf)′

(ϕ) = −∫Rf(x)ϕ′(x) dx . (5)

Lorsque f est C1, on a, par integration par parties, pour ϕ ∈ C∞c (R;C),∫Rf ′(x)ϕ(x) dx = −

∫Rf(x)ϕ′(x) dx

et, dans ce cas, T(f ′) = (Tf )′. Ceci motive la definition (5). On voit, de plus,

que rien n’empeche de continuer a deriver puisque les fonctions test sont declasse C∞. C’est l’un des interets essentiels des distributions.

Comme les espaces de fonctions test sont (presque toujours) de dimensioninfinie, la continuite des formes lineaires n’est pas automatique. Il est cepen-dant important d’avoir une certaine continuite. Il s’agit donc de choisir unetopologie appropriee sur les espaces de fonctions test.

On va voir que des choix naturels s’averent inadaptes et qu’il faut recourrir ades topologies relativement compliquees (c’est pourquoi on les a, autant quefaire se peut, cachees en ING1).

Soit K un compact non vide de R. Par exemple, K = [a; b] avec a < b.L’espace vectoriel C0

K(R;C) des fonctions continues de R dans C a supportdans K est un espace de Banach pour la norme

‖f‖∞ = supx∈R|f(x)| = sup

x∈K|f(x)| .

Dans ce Banach, on trouve le sous-espace C∞K (R;C) des fonctions C∞ de Rdans C a support dans K. Ce dernier n’est pas ferme donc pas complet (cf.TD).

Pire, on a le defaut suivant. Si T est une forme lineaire continue sur C∞K (R;C)pour la norme ‖ · ‖∞, on souhaite qu’il en soit de meme pour l’applicationlineaire

T ′ : C∞K (R;C) 3 ϕ 7→ −T (ϕ′) ∈ C ,


puisque c’est ainsi que l’on veut definir la derivee de T . Il existe certes unc > 0 tel que, pour tout ϕ ∈ C∞K (R;C), |T (ϕ′)| ≤ c‖ϕ′‖∞ mais il n’existeaucun c′ > 0 tel que, pour tout ϕ ∈ C∞K (R;C), ‖ϕ′‖∞ ≤ c′‖ϕ‖∞ (cf. TD).En fait, si T = Tf avec f(x) = x−1/2 si x > 0 et f(x) = 0 si x ≤ 0, alors laproposition

∃c′ > 0 ; ∀ϕ ∈ C∞K (R;C) , |T ′(ϕ)| = |T (ϕ′)| ≤ c′‖ϕ‖∞

est fausse (cf. TD). Il n’est donc pas adapte de munir C∞K (R;C) de la topo-logie definie par la norme ‖ · ‖∞. Ce defaut suggere de prendre une normequi depend de toutes les derivees des fonctions test :

supn∈N‖ϕ(n)‖∞ ?

Il n’est pas sur que le “sup” soit fini. Que dire de :

supn∈N

‖ϕ(n)‖∞1 + ‖ϕ(n)‖∞

?

Cette fois, le “sup” est fini mais ce n’est pas une norme !

Conclusion : il semble inadapte de prendre la topologie definie par unenorme sur C∞K (R;C) (et donc aussi sur C∞c (R;C)).

On choisit de definir une topologie sur C∞K (R;C) a l’aide de la famille d’apriori semi-normes, pour n ∈ N,

pn : ϕ 7→ ‖ϕ(n)‖∞ .

Lorsque K = [a; b], on peut montrer qu’il s’agit de normes mais le pointessentiel n’est pas la. Ce qui importe est de prendre plusieurs (semi-)normes.

Sur l’espace C∞(R;C), on prend les semi-normes, pour n ∈ N et K compactdans R,

pn,K : ϕ 7→ ‖ϕ(n)‖∞,K := supx∈K|ϕ(n)(x)| .

pn,K n’est pas une norme sur C∞(R;C). Sur l’espace de Schwartz S(R;C),on utilise les semi-normes, pour m,n ∈ N,

pm,n : ϕ 7→ supx∈R|xmϕ(n)(x)| .

On rappelle que S(R;C) est l’espace vectoriel des fonctions ϕ de classe C∞

de R dans C pour lesquelles tous les pm,n(ϕ) sont finies.


Remarque 6.1.1. A partir d’une famille au plus denombrable de semi-normes (pn)n∈N sur un espace vectoriel E, on peut construire, pour (g;h) ∈E2,

d(g;h) =∞∑n=0

2−npn(g − h)

1 + pn(g − h). (6)

Sous certaines conditions sur les pn, d est une distance. Ce sera le cas surC∞K (R;C) et sur S(R;C). Pour C∞(R;C), on peut choisir une famille de-nombrable de semi-normes en posant pn = pn,Kn avec Kn = [−n;n] et definirune distance via (6). On verra de plus que, dans ces cas-la, l’espace metriqueainsi obtenu est complet (voir aussi les TD).

6.2 Espaces vectoriels localement convexes.

Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C).

Definition 6.2.1. Une semi-norme sur E est une application p : E → R+

telle que, pour tous f, g ∈ E et λ ∈ K,

p(λf) = |λ| p(f) et p(f + g) ≤ p(f) + p(g) .

Remarque 6.2.2. Soit p une semi-norme sur E. De la propriete d’homoge-neite (la premiere propriete dans la definition 6.2.1) avec λ = 2 et f = 0E,on deduit que p(0E) = 0. Il est cependant possible qu’il existe f ∈ E \ 0Etel que p(f) = 0. Quand ce n’est pas le cas, p est en fait une norme sur E.

Soit P une famille de semi-normes (non toutes nulles) sur E. On considere latopologie TP sur E la moins fine rendant toutes ces semi-normes continues.On rappelle qu’une telle topologie est la topologie TW engendree par

W =

⋂p∈Pf

p−1(Op) ; Pf partie finie deP ,Op ouvert deR, pour p ∈ Pf.

On a donc

TP = TW = toutes les reunions possibles d’elements de W .

En fait (cf. TD), TW = TW ′ ou

W ′ =

⋂p∈Pf

p−1(]ap − εp; ap + εp[

); Pf partie finie deP ,

ap ∈ R , εp > 0, pour p ∈ Pf.


On a aussi TW = TW ′′ ou

W ′′ =

⋂p∈Pf

k ∈ E; p(k − g) < ε

; Pf partie finie deP , g ∈ E , ε > 0

.

Exemple 6.2.3. Soit E un espace vectoriel norme de norme ‖ · ‖. Soit P =‖ · ‖. Dans ce cas, TP coıncide avec la topologie definie par la norme ‖ · ‖.En effet, tout element de W ′′ est une intersection finie de boules ouvertespour ‖ · ‖. C’est donc un ouvert pour la topologie definie par la norme ‖ · ‖.Toute boule ouverte pour ‖ · ‖ est un element de W ′′.

Remarque 6.2.4. Lorsque p est une semi-norme sur un espace vectoriel E,les ensembles k ∈ E; p(k − g) < ε sont convexes.

La topologie TP est compatible avec la structure d’espace vectoriel sur E dansle sens ou les operations dans E sont continues pour TP . Pour verifier ce point,rappelons que, sur le produit de deux espaces topologiques (X, TX) et (Y, TY ),on met la topologie produit, c’est-a-dire la topologie TWprod

engendree par

Wprod =OX ×OY ; OX ∈ TX , OY ∈ TY

.

Theoreme 6.2.5. Soit E un espace vectoriel equipe d’une famille P de semi-normes sur E. On munit E de la topologie TP . Alors les applications Φ+ :E × E → E et Φ : K× E → E definies par

Φ+(f ; g) = f + g et Φ(λ; f) = λf

sont continues pour la topologie produit correspondante.On dit que (E, TP ) est un espace vectoriel topologique.

Demonstration. Il suffit de montrer que tout

V =⋂p∈Pf

k ∈ E ; p(k − k0) < ε

,

avec k0 ∈ E, ε > 0 et Pf une partie finie de P , Φ−1+ (V ) est voisinage de

chacun de ses points. Soit (g0, h0) ∈ Φ−1+ (V ). Pour p ∈ Pf , soit δp > 0 tel que

p(g0 + h0− k0) = (1− 2δp)ε (en fait, δp = (1/2)(1− ε−1p(g0 + h0− k0)) > 0).Pour

(g;h) ∈⋂p∈Pf

k ∈ E ; p(k − g0) < δpε

×` ∈ E ; p(`− h0) < δpε

,


on a, pour p ∈ Pf ,

p(g + h− k0) = p(g + h− (g0 + h0) + g0 + h0 − k0

)≤ p

(g + h− (g0 + h0)

)+ p(g0 + h0 − k0)

≤ p(g − g0) + p(h− h0) + (1− 2δp)ε

< 2δpε + (1− 2δp)ε = ε .

Donc (g;h) ∈ Φ−1+ (V ). Ce dernier contient donc un voisinage ouvert de

(g0, h0), pour la topologie produit. Il est donc ouvert.On montre que Φ−1(V ) est voisinage de chacun de ses points. Soit (λ0, h0) ∈Φ−1(V ). Pour p ∈ Pf , soit δp > 0 tel que p(λ0h0 − k0) = (1 − 2δp)ε. Soitαp = min(1; δpε(p(h0) + 1)−1) et βp = δpε(|λ0|+ 1)−1). Pour

(λ;h) ∈⋂p∈Pf

µ ∈ K ; |µ− λ0| < αp

×k ∈ E ; p(k − h0) < βp

,

on a, pour p ∈ Pf ,

p(λh− k0) ≤ p(λ(h− h0)

)+ p((λ− λ0)h0) + p(λ0h0 − k0)

≤ |λ|βp + αpp(h0) + (1− 2δp)ε

≤(|λ0|+ 1

)βp + αp

(p(h0) + 1

)+ (1− 2δp)ε

< 2δpε + (1− 2δp)ε = ε .

Donc (λ;h) ∈ Φ−1(V ). Ce dernier contient donc un voisinage ouvert de(λ0, h0), pour la topologie produit. Il est donc ouvert.

Il est utile de savoir quand une semi-norme sur E est continue pour TP .

Proposition 6.2.6. Une semi-norme q sur E est continue pour la topologieTP si et seulement si il existe C > 0 et une partie finie Pf de P tels que

∀g ∈ E , q(g) ≤ C∑p∈Pf

p(g) . (7)

Le resultat est encore vrai si l’on remplace ci-dessus la∑p∈Pf

par supp∈Pf

.

Demonstration.⇐=) : On montre la continuite en g0 ∈ E. Soit ε > 0. En notant par |Pf | lecardinal de Pf , on choisit δ = εC−1(|Pf |+ 1)−1. Pour

g ∈⋂p∈Pf

h ∈ E ; p(h− g0) < δ


on a, d’apres l’hypothese,

|q(g) − q(g0)| ≤ q(g − g0) ≤ C∑p∈Pf

p(g − g0) < C |Pf | δ ≤ ε .

=⇒) : Par hypothese, q est continue en 0. Il existe donc δ > 0 tel que

g ∈ V :=⋂p∈Pf

h ∈ E ; p(h) < δ

=⇒ q(g) < 1 .

Soit g ∈ E. Si, pour tout p ∈ Pf , p(g) = 0 alors, pour tout λ > 0, λg ∈ V etλq(g) < 1. Ceci n’est possible que si q(g) = 0. Maintenant, si

∑p∈Pf p(g) > 0

alors le vecteur g′ = (δ/2)(∑

p∈Pf p(g))−1g appartient a V , donc q(g′) < 1 cequi donne

q(g) ≤ (2/δ)∑p∈Pf

p(g) .

On a donc (7) avec C = 2/δ.

Proposition 6.2.7. (E, TP ) est un espace separe si et seulement si, pourtous g 6= h dans E, il existe p ∈ P telle que p(g − h) > 0 si et seulement si,pour tout k ∈ E \ 0, il existe p ∈ P telle que p(k) > 0.

Demonstration. On montre la premiere equivalence seulement.⇐=) : Soit g 6= h in E. Par hypothese, il existe p ∈ P tel que p(g − h) > 0.On a

g ∈ U := k ∈ E ; p(k − g) < (1/2)p(g − h) ,

h ∈ V := k ∈ E ; p(k − h) < (1/2)p(g − h) ,

U ∈ TP et V ∈ TP . Si k ∈ U ∩ V alors

p(g − h) ≤ p(g − k) + p(k − h) < 2 · (1/2)p(g − h) = p(g − h) .

Contradiction car p(g − h) > 0. Donc U ∩ V = ∅.=⇒) : Soit g 6= h in E. Par hypothese, il existe U ∈ TP et V ∈ TP tels queU ∩ V = ∅. Il existe donc Pf une partie finie de P et ε > 0 tels que⋂

p∈Pf

k ∈ E ; p(k − g) < ε ⊂ U .

Comme h 6∈ U , il existe p ∈ Pf tel que p(h− g) ≥ ε > 0.


Definition 6.2.8. Un espace vectoriel E muni d’une topologie T est unespace vectoriel localement convexe si T est separee et est engendree par unefamille de semi-normes sur E (i.e. T = TP , pour une famille P de semi-normes sur E).

Proposition 6.2.9. Une suite (gn)n∈N de (E, TP ) converge vers g si et seule-ment si, pour toute p ∈ P , la suite reelle (p(gn − g))n∈N converge vers 0.

Demonstration. On donne deux preuves de ce resultat, la premiere etantbasee sur la proposition 5.1.3.⇐=) : Pour tout n ∈ N, on a |p(gn)− p(g)| ≤ p(gn− g). D’apres l’hypothese,on en deduit que limn→∞ p(gn) = p(g). Par la proposition 5.1.3, (gn)n∈Nconverge vers g dans (E, TP ).=⇒) : Comme (gn)n∈N converge g dans (E, TP ), (gn − g)n∈N converge vers0E dans (E, TP ) (cf. theoreme 6.2.5). Il suffit d’appliquer la proposition 5.1.3pour avoir le resultat.Donnons maintenant une preuve “plus concrete”.⇐=) : Soit V un voisinage de g pour TP . Il existe ε > 0 et Pf une partie finiede P tels que ⋂

p∈Pf

k ∈ E ; p(k − g) < ε ⊂ V .

Comme Pf est fini, il existe, par hypothese, un N ∈ N tel que

n ≥ N =⇒ ∀p ∈ Pf , p(gn − g) < ε .

Donc, pour n ≥ N , gn ∈ V .=⇒) : Soit p ∈ P . Soit ε > 0. Comme k ∈ E ; p(k−g) < ε est un voisinageouvert de g, il existe, par hypothese, un N ∈ N tel que

n ≥ N =⇒ gn ∈ k ∈ E ; p(k − g) < ε .

Doncn ≥ N =⇒ p(gn − g) < ε .

D’ou limn→∞ p(gn − g) = 0.

Theoreme 6.2.10. Soit E (resp. F ) un espace vectoriel muni d’une familleP (resp. P ′) de semi-normes. Une application lineaire L de (E, TP ) dans(F, TP ′) est continue si et seulement si la proposition (C) suivante est vraie.(C) : Pour toute p′ ∈ P ′, il existe une partie finie Pf (p

′) de P et C(p′) > 0tels que

∀g ∈ E , p′(L(g)

)≤ C(p′)

∑p∈Pf (p′)

p(g) . (8)


Le resultat est encore vrai si l’on remplace dans la proposition (C) la∑

p∈Pf (p′)par sup

p∈Pf (p′)

.

Demonstration. Par la proposition 5.1.3, L est continue si et seulement si,pour toute p′ ∈ P ′, p′ L est continue de (E, TP ) dans (R; | · |). Pour p′ ∈ P ′,p′ L est une semi-norme sur E. La proposition 6.2.6 donne l’equivalencecherchee.

Definition 6.2.11. Le dual topologique de (E, TP ) est l’espace vectoriel desformes lineaires continues sur E pour la topologie TP .

Proposition 6.2.12. Une application lineaire L de E dans K est continuepour la topologie TP si et seulement si il existe C > 0 et un partie finie Pfde P tels que

∀g ∈ E ,∣∣L(g)

∣∣ ≤ C∑p∈Pf

p(g) .

Le resultat est encore vrai si l’on remplace ci-dessus la∑p∈Pf

par supp∈Pf

.

Demonstration. Il suffit d’appliquer le theoreme 6.2.10 avec F = K et P ′ =| · |, ou | · | est le module ou la valeur absolue.

Definition 6.2.13. Soit (E, TP ) un espace vectoriel localement convexe. Ondit qu’une suite (gn)n∈N d’elements de E est de Cauchy si, pour tout voisinage(ouvert) V de 0E, il existe N ∈ N tel que, pour tout (n;m) ∈ N2,

n ≥ N =⇒ gn+m − gn ∈ V .

On dit que (E, TP ) est complet si toute suite de Cauchy de E est convergente(pour TP ).

Proposition 6.2.14. Soit (gn)n∈N une suite d’un espace vectoriel localementconvexe (E, TP ). Elle est de Cauchy si et seulement si, pour tout p ∈ P ,

limn→∞

supm∈N

p(gn+m − gn

)= 0 .

En particulier, si (gn)n∈N est une suite de Cauchy dans (E, TP ) et p ∈ P , lasuite (p(gn))n∈N est de Cauchy dans R.


Demonstration.=⇒) : Soit p ∈ P et ε > 0. Par hypothese, il existe un N ∈ N tel que, pourtout (n;m) ∈ N2,

n ≥ N =⇒ gn+m − gn ∈ k ∈ E ; p(k) < ε .

Donc, pour n ≥ N , supm∈N p(gn+m − gn) ≤ ε.⇐=) : Soit V un voisinage de 0E pour TP . Il existe ε > 0 et Pf une partiefinie de P tels que ⋂

p∈Pf

k ∈ E ; p(k − g) < ε ⊂ V .

Comme Pf est fini, il existe, par hypothese, un N ∈ N tel que, pour toutn ∈ N,

n ≥ N =⇒ ∀p ∈ Pf , supm∈N

p(gn+m − gn) < ε .

Donc, pour n ≥ N , pour tout m ∈ N, gn+m − gn ∈ V .Soit (gn)n∈N est une suite de Cauchy dans (E, TP ) et p ∈ P . Comme, pour tout(n;m) ∈ N2, |p(gn+m)− p(gn)| ≤ p(gn+m − gn), on en deduit que (p(gn))n∈Nest de Cauchy dans R.

6.3 Metrisabilite.

Dans le cadre du paragraphe precedent, on suppose maintenant que l’on aune famille (au plus) denombrable P de semi-normes sur E. On peut doncecrire P = pn;n ∈ N. Au vu de la remarque 6.1.1, on a la

Proposition 6.3.1. On suppose que (E, TP ) est separe. Alors la formule (6)

∀(g;h) ∈ E2 , d(g;h) =∞∑n=0

2−npn(g − h)

1 + pn(g − h)(9)

definit une distance sur E. De plus, la topologie definie par cette distancecoıncide avec TP . L’espace topologique (E, TP ) coıncide donc avec l’espacemetrique (E, d).

Demonstration. Pour (g;h) ∈ E2, la serie dans (9) converge absolument doncd est bien definie. On verifie que c’est bien une distance sur E (cf. TD ; onutilise en particulier que (E, TP ) est separe). Montrons maintenant que la


topologie Td associee a cette distance est en fait TP . Pour ce faire, il suffit demontrer que tout ouvert pour Td est un ouvert pour TP et que tout ouvertpour TP est un ouvert pour Td.Soit U un ouvert pour Td. Pour tout g ∈ U , U contient une boule ouverteBd(g; r[ avec r > 0. Soit N ∈ N tel que

∞∑n=N+1

2−n <r

2.

U contient le voisinage ouvert V de g pour TP donne par

V =⋂

n∈0;1;···;N

k ∈ E ; pn(k − g) < (r/4) .

En effet, si h ∈ V alors

0 ≤ d(g;h) ≤N∑n=0

2−npn(h− g) +∞∑

n=N+1

2−n < 2 · r4

+r

2= r .

Soit V un ouvert pour TP . Pour tout g ∈ V , il existe une partie finie Nf deN et ε > 0 tels que V contient

Vg =⋂n∈Nf

k ∈ E ; pn(k − g) < ε .

Soit N = maxNf . Soit r ∈]0; 2−N min(1/2; ε/2)[. Vg (donc V ) contient laboule ouverte Bd(g; r[. En effet, pour h ∈ Bd(g; r[, on a

N∑n=0

2−npn(g − h)

1 + pn(g − h)≤ d(g;h) < r .

Donc, pour tout n ∈ Nf , n ≤ N et

pn(g − h)

1 + pn(g − h)< r · 2n ≤ r · 2N ≤ min(1/2; ε/2) .

L’application ϕ :]0; +∞[3 t 7→ t/(1 + t) ∈]0; 1[ est croissante et bijectiveet sa bijection reciproque est donnee par ϕ−1(s) = s/(1 − s). On deduit del’inegalite precedente que, pour tout n ∈ Nf ,

pn(g − h) < ϕ−1(r · 2N) ≤ 2 · r · 2N ≤ ε

et donc que h ∈ Vg ⊂ V .


Remarque 6.3.2. Dans le cadre de la proposition 6.3.1, on considere unesuite (gn)n∈N d’elements de E. Comme la notion de suite de Cauchy dansE (cf. definition 6.2.13) est purement topologique, on peut l’exprimer auchoix avec la famille P ou bien avec la distance d. Ceci vaut egalement pourl’eventuelle completude de (E, TP ).

On applique maintenant ce que l’on vient de voir aux espaces S, C∞ et C∞Kmuni de familles de semi-normes similaires a celles que l’on a introduites plushaut.

Soit Ω un ouvert de Rd avec d ∈ N∗. Soit K un compact inclu dans Ω. Onmunit C∞K (Ω;C) de la famille denombrable PK = pn,K ;n ∈ N des semi-normes definies par

pn,K : C∞K (Ω;C) 3 ϕ 7→∑α∈Nd|α|≤n

supx∈K

∣∣(∂αxϕ)(x)∣∣ . (10)

Si l’on remplace la somme precedente par le “sup” pour α ∈ Nd avec |α| ≤ n,cela ne change par la topologie TPK .

Lorsque Ω 6= Rd, la frontiere ∂Ω n’est pas vide et, en choisissant un x0 ∈ Ω,on pose, pour tout n ∈ N,

Kn =x ∈ Ω ; dist(x; ∂Ω) ≥ (n+1)−1 ∩

x ∈ Ω ; ‖x−x0‖Rd ≤ n

. (11)

Si Ω = Rd, on pose, pour tout n ∈ N,

Kn =x ∈ Ω ; ‖x‖Rd ≤ n

. (12)

Dans les deux cas, (Kn)n∈N est une suite de compacts verifiant, pour tout

n ∈ N, Kn ⊂Kn+1. Pour tout compact K inclu dans Ω et n ∈ N, on considere

les semi-normes

qn,K : C∞(Ω;C) 3 ϕ 7→∑α∈Nd|α|≤n

supx∈K

∣∣(∂αxϕ)(x)∣∣

et on pose qn = qn,Kn . On munit C∞(Ω;C) de la famille denombrable Q =qn;n ∈ N. Si Q′ = qn,K ;n ∈ N, K ⊂⊂ Ω, il se trouve que TQ′ = TQ. Sil’on remplace dans la formule precedente la somme par le “sup” pour α ∈ Nd

avec |α| ≤ n, cela ne change pas les topologies TQ et TQ′ . On note parfois parE(Ω;C) l’espace topologique (C∞(Ω;C), TQ).


Concernant l’espace de Schwartz, on se limitera au cas Ω = Rd. On rappelleque l’espace de Schwartz S(Rd;C) sur Rd est l’espace vectoriel des fonctionsϕ de classe C∞ sur Rd telles que, pour tous multiindices α, β ∈ Nd, la fonc-tion Rd 3 x 7→ xα(∂βxϕ)(x) est bornee. On munit S(Rd;C) de la familledenombrable S = sn,m;n,m ∈ N des semi-normes definies par

sn,m : S(Rd;C) 3 ϕ 7→∑α∈Nd|α|≤n

∑β∈Nd|β|≤m

supx∈Rd

∣∣∣xα(∂βxϕ)(x)∣∣∣ .

La encore on peut remplacer l’une des sommes precedentes ou bien meme lesdeux par le “sup” correspondant sans changer la topologie TS.

Theoreme 6.3.3. Les espaces vectoriels (C∞K (Ω;C), TPK ), (C∞(Ω;C), TQ)et (S(Rd;C), TS) sont des espaces vectoriels localement convexes completsdont la topologie est donnee par la distance d definie en (9) avec la familleappropriee de semi-normes.

Demonstration. En appliquant la proposition 6.2.7, on montre que les es-paces sont bien separes. Le fait que chaque topologie est donnee par la dis-tance d appropriee decoule de la proposition 6.3.1. Pour la completude, lecas de (C∞K (Ω;C), TPK ) est traite dans un exercice des TD. Les autres cas sedemontrent de maniere similaire.

6.4 Topologie sur C∞c (Ω;C).

Il est naturel d’equiper C∞c (Ω;C) d’une famille P de semi-normes pour ob-tenir un espace vectoriel localement convexe. On aimerait de plus qu’il soitcomplet. On note que

C∞c (Ω;C) =⋃

K⊂⊂Ω

C∞K (Ω;C) .

Soit K un compact inclu dans Ω. On souhaite qu’une fonction ϕ ∈ C∞K (Ω;C)soit “proche de 0” pour TP si et seulement si elle est “proche de 0” pour TPK .Il est donc naturel d’exiger que la topologie TPK coıncide avec TP (K), latopologie induite par TP sur C∞K (Ω;C).

Peut-on appliquer la construction du paragraphe 6.3 a C∞c (Ω;C) ? Oui maisla completude fait defaut comme le montre la proposition 6.4.1 ci-dessous.


Pour n ∈ N et K compact dans Ω, notons par pn,K,e la semi-norme definiesur C∞c (Ω;C) par

pn,K,e(ϕ) =∑α∈Nd|α|≤n

supx∈K

∣∣(∂αxϕ)(x)∣∣ .

C’est une extension de pn,K , donnee par (10). Considerons les familles P0 =pn,K,e;n ∈ N, K ⊂⊂ Ω et P1 = pn,Kn,e;n ∈ N, avec Kn defini par (11) ou(12). Il se trouve qu’elles engendrent la meme topologie separee sur C∞c (Ω;C),i.e. TP0 = TP1 . De plus, on verifie que, pour tout K ⊂⊂ Ω, TPK coıncide avecTP0(K) = TP1(K), le topologie induite sur C∞K (Ω;C) par TP0 = TP1 . On peutdonc suivre la construction du paragraphe 6.3 mais on a la

Proposition 6.4.1. On suppose que l’on a muni l’espace C∞c (Ω;C) d’une fa-mille denombrable P = pn;n ∈ N de semi-normes de sorte que (C∞c (Ω;C), TP )soit separe et que, pour tout compact K inclu dans Ω, TP (K) = TPK . Alorsla formule (9) definit une distance sur C∞c (Ω;C) mais l’espace metrique(C∞c (Ω;C), TP ) n’est pas complet.

Demonstration. Par la proposition 6.3.1, la formule (9) definit une distancesur C∞c (Ω;C) dont la topologie coıncide avec TP . Soit K ⊂⊂ Ω. C∞K (Ω;C)est un sous-espace strict de C∞c (Ω;C). Montrons par l’absurde qu’il est d’in-terieur vide pour TP .Supposons que C∞K (Ω;C) contienne un ouvert de TP . Il existe donc ε > 0, Nf

une partie finie de N et g0 ∈ C∞c (Ω;C) tels que⋂n∈Nf

g ∈ C∞c (Ω;C) ; pn(g − g0) < ε

⊂ C∞K (Ω;C) .

DoncV :=

⋂n∈Nf

h ∈ C∞c (Ω;C) ; pn(h) < ε

⊂ C∞K (Ω;C) .

Soit g ∈ C∞c (Ω;C). Il existe M > 0 tel que, pour tout n ∈ Nf , pn(g) < εM .Donc M−1g ∈ V ⊂ C∞K (Ω;C) et, comme C∞K (Ω;C) est un espace vectoriel,g ∈ C∞K (Ω;C). D’ou C∞c (Ω;C) = C∞K (Ω;C), contradiction.Montrons maintenant que C∞K (Ω;C) est un ferme pour TP .Comme (C∞c (Ω;C), TP ) est un espace metrique, il suffit de montrer que,si (ϕn)n∈N est une suite d’elements de C∞K (Ω;C) qui converge vers ψ ∈C∞c (Ω;C) pour TP , alors ψ ∈ C∞K (Ω;C). Soit (ϕn)n∈N une telle suite. Commeelle converge pour TP , elle est de Cauchy pour TP et donc aussi pour TP (K).Or TP (K) = TPK donc (ϕn)n∈N est une suite de Cauchy dans (C∞K (Ω;C), TPK )),


qui est complet (cf. theoreme 6.3.3). Elle converge donc vers un certainϕ ∈ C∞K (Ω;C) pour TPK . Or TP (K) = TPK , elle converge donc aussi versϕ pour TP (K) et donc aussi pour TP . Comme (C∞c (Ω;C), TP ) est separe,ψ = ϕ ∈ C∞K (Ω;C).Il reste a montrer que (C∞c (Ω;C), TP ) n’est pas complet.Supposons le contraire. (C∞c (Ω;C), TP ) est donc un espace metrique complet.Or,

C∞c (Ω;C) =⋃n∈N

C∞Kn(Ω;C) ,

ou les C∞Kn(Ω;C) sont des sous-espaces fermes d’interieur vide. Par le theo-reme de Baire (cf. theoreme 4.1.7), (C∞c (Ω;C), TP ) doit etre d’interieur vide,contradiction.

Remarque 6.4.2. La proposition 6.4.1 s’applique avec P = P1. Donc C∞c (Ω;C)n’est pas complet pour TP1 = TP0.

Definition 6.4.3. On munit C∞c (Ω;C) de la topologie TP definie par la fa-mille P de toutes les semi-normes p sur C∞c (Ω;C) telles que, pour tout com-pact K inclu dans Ω, la restriction de p a C∞K (Ω;C) soit continue (pour TPK).On note par D(Ω;C) l’espace topologique (C∞c (Ω;C), TP ).

Proposition 6.4.4. L’espace vectoriel (C∞c (Ω;C), TP ) est separe. On a TP0 ⊂TP . Soit K un compact inclu dans Ω. La topologie TP (K) induite sur C∞K (Ω;C)par TP coıncide avec TPK . En particulier, l’injection i : (C∞K (Ω;C), TPK ) −→(C∞c (Ω;C), TP ), donnee par i(ϕ) = ϕ, est lineaire continue.

Demonstration. Soit n ∈ N, K ⊂⊂ Ω et K ′ ⊂⊂ Ω. La restriction de lasemi-norme pn,K,e a C∞K′(Ω;C) verifie, pour tout ϕ ∈ C∞K′(Ω;C), pn,K,e(ϕ) ≤pn,K′,e(ϕ). Elle est donc continue pour TPK′ par la proposition 6.2.6. Doncpn,K,e ∈ P et TP0 ⊂ TP .Pour tout ϕ ∈ C∞c (Ω;C)\0, p0,K,e(ϕ) > 0 pour K = suppϕ ⊂⊂ Ω. Commep0,K,e ∈ P , (C∞c (Ω;C), TP ) est separe, par la proposition 6.2.7.Soit K ⊂⊂ Ω. Soit V un ouvert pour TPK et ϕ ∈ V . V contient, pour unecertaine partie finie Nf de N et un certain ε > 0,⋂

n∈Nf

ψ ∈ C∞K (Ω;C) ; pn,K(ψ − ϕ) < ε

= C∞K (Ω;C) ∩

⋂n∈Nf

ψ ∈ C∞c (Ω;C) ; pn,K,e(ψ − ϕ) < ε


qui est un voisinage ouvert pour TP (K) de ϕ. Donc TPK ⊂ TP (K).Un ouvert U pour TP (K) s’ecrit U ′ ∩ C∞K (Ω;C) pour un ouvert U ′ de TP .Pour tout ϕ ∈ U , U ′ contient, pour une certaine partie finie Pf de P et uncertain ε > 0,

Uϕ :=⋂p∈Pf

ψ ∈ C∞c (Ω;C) ; p(ψ − ϕ) < ε

.

Puisque chaque p ∈ Pf est continue sur C∞K (Ω;C) et Pf est fini, il existe, parla proposition 6.2.6, un C > 0 et une partie finie Nf de N tels que

∀p ∈ Pf ,∀κ ∈ C∞K (Ω;C) , p(κ) ≤ C∑n∈Nf

pn,K(κ) .

En posant N = |Nf |+ 1, U contient le voisinage⋂n∈Nf

ψ ∈ C∞K (Ω;C) ; pn,K(ψ − ϕ) < C−1N−1ε

de ϕ pour TPK . D’ou TP (K) ⊂ TPK .Soit U un ouvert de C∞c (Ω;C) pour TP . On a i−1(U) = U ∩ C∞K (Ω;C), quiappartient a TP (K). Comme TPK = TP (K), i−1(U) est ouvert pour TPK . i estdonc continue.

Remarque 6.4.5. La preuve precedente a etabli que, pour tout n ∈ N ettout K ⊂⊂ Ω, pn,K,e ∈ P . La norme ‖ · ‖∞,Ω definie sur C∞c (Ω;C) par

‖ϕ‖∞,Ω = supx∈Ω

∣∣ϕ(x)∣∣

appartient a P . Elle est donc continue sur (C∞c (Ω;C), TP ). Elle n’est cepen-dant pas continue sur (C∞c (Ω;C), TP0) (cf. TD). Donc TP 6= TP0 = TP1.Pour tout n ∈ N et tout K ⊂⊂ Ω, la restriction de qn,K a C∞c (Ω;C) est pn,K,eet cette derniere appartient a P .Pour tout n,m ∈ N, la restriction sn,m,r de sn,m a C∞c (Rd;C) appartient aP . En effet, la restriction de sn,m,r a C∞K (Rd;C) est dominee par sup(|x|+1)n;x ∈ Kpm,K donc continue sur C∞K (Rd;C) (cf. proposition 6.2.6).

On veut verifier que D(Ω;C) = (C∞c (Ω;C), TP ) est complet. Pour ce faire,on va utiliser la

Proposition 6.4.6. Soit (ϕn)n∈N une suite de Cauchy dans D(Ω;C). Alorsil existe un compact K inclu dans Ω tel que, pour tout n ∈ N, ϕn est a supportdans K.


Demonstration. Soit (ϕn)n∈N une suite de Cauchy dans (C∞c (Ω;C), TP ). Onsuppose que, pour tout compact K inclu dans Ω, il existe k ∈ N tel quesuppϕk 6⊂ K. Par recurrence, pour tout n ∈ N, il existe donc un kn ∈ Net xn 6∈ Kn tels que ϕkn(xn) 6= 0. De (xn)n∈N on peut extraire une sous-suite (yn)n∈N = (xsn)n∈N telle que (|yn|)n∈N tend vers l’infini ou bien telle que(yn)n∈N converge vers un y ∈ ∂Ω, la frontiere de Ω. Pour tout n ∈ N, soitan = |ϕksn (yn)| > 0. Pour ϕ ∈ C∞c (Ω;C), l’expression

p(ϕ) =∞∑n=0

a−1n n|ϕ(yn)|

est bien definie puisque un nombre fini de termes de la suite (yn)n∈N ap-partient au support de ϕ. Elle definit une semi-norme sur C∞c (Ω;C). SoitK ⊂⊂ Ω. Il existe un q tel que, pour n > q, yn 6∈ K. Soit M = supa−1

n n; 0 ≤n ≤ q. Donc, pour ϕ ∈ C∞K (Ω;C),

0 ≤ p(ϕ) =

q∑n=0

a−1n n|ϕ(yn)| ≤ M · ‖ϕ‖∞,K = M · p0,K(ϕ) .

Ceci implique que la restriction de p a C∞K (Ω;C) est continue (cf. propo-sition 6.2.6). Donc p ∈ P . Par hypothese et par la proposition 6.2.14, lasuite (p(ϕksn ))n∈N est de Cauchy dans R donc bornee. Or, pour tout n ∈ N,p(ϕksn ) ≥ a−1

n n|ϕksn (yn)| = n. Contradiction.

Theoreme 6.4.7. L’espace vectoriel localement convexe (C∞c (Ω;C), TP ), noteD(Ω;C), est complet.

Demonstration. Soit (ϕn)n∈N une suite de Cauchy dans D(Ω;C). Par la pro-position 6.4.6, il existe K ⊂⊂ Ω tel que tous les ϕn sont a support dans K.Soit p ∈ P . Par la proposition 6.2.14, on a, pour tout m ∈ N, p(ϕn+m−ϕn)→0 quand n → ∞. Ceci etant valable, par la remarque 6.4.5, pour p = pk,K,e,pour tout k ∈ N, on en deduit que (ϕn)n∈N est aussi une suite de Cauchy dans(C∞K (Ω;C), TPK ). Ce dernier etant complet par le theoreme 6.3.3, (ϕn)n∈Nconverge dans (C∞K (Ω;C), TPK ) vers un certain ϕ ∈ C∞K (Ω;C). Comme toutesemi-norme p ∈ P est continue sur (C∞K (Ω;C), TPK ), on en deduit que p(ϕn−ϕ)→ 0 quand n→∞. Par la proposition 6.2.9, (ϕn)n∈N converge vers ϕ dansD(Ω;C).

Remarque 6.4.8. Dans la remarque 6.4.2, on a vu que (C∞c (Ω;C), TP1)n’est pas complet. Par le theoreme 6.4.7, on retrouve TP0 = TP1 6= TP (cf.Remarque 6.4.5).


Proposition 6.4.9. Soit (ϕn)n∈N dans D(Ω;C). Elle converge vers ϕ ∈C∞c (Ω;C) si et seulement si il existe un compact K inclu dans Ω tel queϕ et, pour tout n ∈ N, ϕn sont a support dans K, et (ϕn)n∈N converge versϕ dans (C∞K (Ω;C), TPK ).

Demonstration.=⇒) : On suppose que (ϕn)n∈N converge vers ϕ dans (C∞c (Ω;C), TP ). Elleest donc de Cauchy dans cet espace. Par la proposition 6.4.6, chaque ϕn esta support dans un compact K, independant de n. De plus, par la preuve dutheoreme 6.4.7, (ϕn)n∈N converge vers ϕ dans (C∞K (Ω;C), TPK ).⇐=) : On suppose que (ϕn)n∈N converge vers ϕ dans (C∞K (Ω;C), TPK ). Parla fin de la preuve du theoreme 6.4.7, (ϕn)n∈N converge vers ϕ dans l’espace(C∞c (Ω;C), TP ).

On peut donner le lien suivant entre les differents espaces de fonctions testque nous avons consideres.

Proposition 6.4.10. Les applications

i1 : D(Ω;C) −→ E(Ω;C) , i2 : D(Rd;C) −→ S(Rd;C)

et i3 : S(Rd;C) −→ E(Rd;C)

toutes donnees par ϕ 7→ ϕ, sont lineaires, injectives, continues et d’imagedense.

Demonstration. Exercice. Pour la continuite, on pourra utiliser la remarque 6.4.5et le theoreme 6.2.10. Pour les images denses, voir TD.

6.5 Espaces de distributions.

On definit ici les espaces de distributions. Pour ce faire, on considere lesduaux topologiques des espaces de fonctions test introduits precedemment.

Proposition 6.5.1. Soit K un compact inclu dans Ω. Une application li-neaire T de C∞K (Ω;C) dans C est continue (pour TPK) si et seulement si ilexiste C > 0 et n ∈ N tels que

∀ϕ ∈ C∞K (Ω;C) ,∣∣T (ϕ)

∣∣ ≤ C pn,K(ϕ) . (13)


Demonstration. Soit P fK une partie finie de PK . Soit n = maxm; pm;K ∈

P fK. On a, pour tout ϕ ∈ C∞K (Ω;C),∑

p∈P fK

p(ϕ) ≤ |P fK | · pn,K(ϕ) .

Le resultat cherche se deduit donc de la proposition 6.2.12.

Proposition 6.5.2. Une application lineaire T de D(Ω;C) dans C est conti-nue (pour TP ) si et seulement si, pour tout compact K inclu dans Ω, la res-triction de T a C∞K (Ω;C) est continue pour TPK si et seulement si, pour toutcompact K inclu dans Ω, il existe CK > 0 et nK ∈ N tels que

∀ϕ ∈ C∞K (Ω;C) ,∣∣T (ϕ)

∣∣ ≤ CK pnK ,K(ϕ) . (14)

On note par D′(Ω;C) le dual topologique de D(Ω;C). C’est l’espace vectorieldes formes lineaires continues sur D(Ω;C). Ses elements sont les distribu-tions sur Ω.

Demonstration. On montre la premiere equivalence.=⇒) : Soit T continue sur D(Ω;C) et K ⊂⊂ Ω. Par la continuite de l’ap-plication i de la proposition 6.4.4, T i, la restriction de T a C∞K (Ω;C), estcontinue pour TPK .⇐=) : On suppose T continue sur tous les C∞K (Ω;C). La semi-norme p surD(Ω;C), donnee par p = | · | T est continue sur chaque C∞K (Ω;C). Doncp ∈ P et p est continue sur D(Ω;C). Par la proposition 5.1.3, T est donccontinue sur D(Ω;C).La seconde equivalence decoule de la proposition 6.5.1.

Proposition 6.5.3. Une application lineaire T de C∞(Ω;C) dans C estcontinue (pour TQ) si et seulement si il existe un compact K inclu dans Ω,C > 0 et n ∈ N tels que

∀ϕ ∈ C∞(Ω;C) ,∣∣T (ϕ)

∣∣ ≤ C qn,K(ϕ) , (15)

si et seulement si il existe C > 0 et n ∈ N tels que

∀ϕ ∈ C∞(Ω;C) ,∣∣T (ϕ)

∣∣ ≤ C qn(ϕ) = C qn,Kn(ϕ) . (16)

On note par E ′(Ω;C) le dual topologique de E(Ω;C) = C∞(Ω;C). C’est l’es-pace vectoriel des formes lineaires continues sur E(Ω;C). On verra que seselements s’identifient, sur Ω, a des distributions a support compact.


Demonstration. Si Q′f une partie finie de Q′. Soit

n = maxm ∈ N;∃K ′ ⊂⊂ Ω; qm;K′ ∈ Q′f

∈ N .

Soit K la reunion (finie !) de tous les K ′ ⊂⊂ Ω pour lequels il existe un m ∈ Ntel que qm;K′ ∈ Q′f . On a alors K ⊂⊂ Ω et, pour tout ϕ ∈ C∞(Ω;C),∑

p∈Q′f

p(ϕ) ≤ |Q′f | · qn,K(ϕ) .

Soit Qf une partie finie de Q. Soit n = maxm ∈ N; qm;Km ∈ Qf. On a

∀ϕ ∈ C∞(Ω;C) ,∑p∈Qf

p(ϕ) ≤ |Qf | · qn,Kn(ϕ) .

Les resultats cherches se deduisent donc de la proposition 6.2.12 et du faitque TQ = TQ′ .

Proposition 6.5.4. Une application lineaire T de S(Rd;C) dans C est conti-nue (pour TS) si et seulement si il existe C > 0 et n,m ∈ N tels que

∀ϕ ∈ S(Rd;C) ,∣∣T (ϕ)

∣∣ ≤ C sn,m(ϕ) . (17)

On note par S ′(Rd;C) le dual topologique de S(Rd;C). C’est l’espace vectorieldes formes lineaires continues sur S(Rd;C). Ses elements sont les distribu-tions temperees sur Rd.

Demonstration. Soit Sf une partie finie de S. Soit n = maxn′ ∈ N;∃m′ ∈N; sn′,m′ ∈ Sf. Soit m = maxm′ ∈ N;∃n′ ∈ N; sn′,m′ ∈ Sf. On a

∀ϕ ∈ S(Rd;C) ,∑p∈Sf

p(ϕ) ≤ |Sf | · sn,m(ϕ) .

Le resultat cherche se deduit donc de la proposition 6.2.12.

Remarque 6.5.5. Grace a la proposition 6.4.10, on a des relations entre lesdifferents types de forme lineaire continue.Si T ∈ E ′(Ω;C) alors T i1 ∈ D′(Ω;C) et T i1 n’est autre que la restrictionde T au sous-espace D(Ω;C) de E(Ω;C).De meme, si T ∈ S ′(Rd;C) alors la restriction de T a D(Rd;C) est T i2 quiest continue sur D(Rd;C). Si T ∈ E ′(Rd;C), T i3 ∈ S ′(Rd;C) et T i3 i2 ∈D′(Rd;C).


6.6 Topologie sur les duaux topologiques.

Sur un espace vectoriel localement convexe (E, TP ), on peut mettre la topolo-gie ∗ faible σ(E ′, E), c’est-a-dire la topologie la moins fine rendant continuesles applications lineaires Lg : E ′ 3 L 7→ L(g) ∈ C, pour g ∈ E. Par la propo-sition 5.1.3, une suite (Ln)n∈N d’elements de E ′ converge vers L ∈ E ′ pourla topologie ∗ faible si et seulement si, pour tout g ∈ E, (Ln(g))n∈N convergevers L(g) dans C. Lorsque l’espace localement convexe est metrisable et com-plet, on a le theoreme de Banach-Steinhaus suivant.

Theoreme 6.6.1. Soit (E, TP ) un espace vectoriel localement convexe me-trisable et complet. Soit H ⊂ E ′. Si

∀g ∈ E, supL∈H|L(g)| < +∞

alors il existe Pf une partie finie de P et C > 0 tels que

∀g ∈ E , ∀L ∈ H , |L(g)| ≤ C∑p∈Pf

p(g) .

Demonstration. Soit n ∈ N. Comme chaque L ∈ H est continue, Fn(L) :=g ∈ E; |L(g)| ≤ n est un ferme de E pour TP . Donc

Fn :=⋂L∈H

Fn(L)

est aussi un ferme de E. D’apres l’hypothese, E = ∪n∈NFn. Comme (E, TP )est un espace metrique complet, il est de Baire (cf. theoreme 4.1.7). Les Fn nepeuvent donc pas tous avoir un interieur vide. Soit N ∈ N tel que l’interieurde FN n’est pas vide. Il existe donc g0 ∈ FN , Pf une partie finie de P et δ > 0tels que

V :=⋂p∈Pf

h ∈ E ; p(h) < δ

=

⋂p∈Pf

g ∈ E ; p(g − g0) < δ

⊂ FN .

Soit g ∈ E. Si, pour tout p ∈ Pf , p(g) = 0 alors, pour tout λ > 0, λg ∈V . Donc, pour tout L ∈ H, pour tout λ > 0, λ|L(g)| ≤ N . Ceci imposeL(g) = 0, pour tout L ∈ H. Si, maintenant,

∑p∈Pf p(g) > 0 alors le vecteur

δ(2∑

p∈Pf p(g))−1g appartient a V ⊂ FN donc, pour tout L ∈ H,

|L(g)| ≤ 2Nδ−1∑p∈Pf

p(g) .


Corollaire 6.6.2. Soit (E, TP ) un espace vectoriel localement convexe metri-sable et complet. Soit (Ln)n∈N une suite dans E ′ qui converge simplement versune certaine application L de E dans C. Alors L ∈ E ′ et (Ln)n∈N convergevers L dans E ′ pour la topologie ∗ faible.

Demonstration. L est lineaire de E dans C. Soit H = Ln;n ∈ N. Pourtout g ∈ E, (Ln(g))n∈N converge dans C, elle est donc bornee. On peut doncappliquer le theoreme 6.6.1. Il existe donc Pf une partie finie de P et C > 0tels que, pour tout n ∈ N et tout g ∈ E,∣∣Ln(g)

∣∣ ≤ C∑p∈Pf

p(g) .

Or Ln(g)→ L(g) donc, par passage a la limite quand n→∞, on obtient∣∣L(g)∣∣ ≤ C

∑p∈Pf

p(g) .

D’apres la proposition 6.2.12, L ∈ E ′. La convergence simple de (Ln)n∈N versL donne la meme convergence pour la topologie ∗ faible.

Definition 6.6.3. Sur l’espace D′(Ω;C), on choisit de mettre la topologie ∗faible, c’est-a-dire la topologie la moins fine rendant continues les applicationslineaires Lϕ : D′(Ω;C) 3 T 7→ T (ϕ) ∈ C, pour ϕ ∈ D(Ω;C).Soit K un compact inclu dans Ω. Sur le dual topologique (C∞K (Ω;C))′ deC∞K (Ω;C), on choisit de mettre la topologie ∗ faible, c’est-a-dire la topologiela moins fine rendant continues les applications lineaires Lϕ : (C∞K (Ω;C))′ 3T 7→ T (ϕ) ∈ C, pour ϕ ∈ C∞K (Ω;C).Sur l’espace E ′(Ω;C), on choisit de mettre la topologie ∗ faible, c’est-a-direla topologie la moins fine rendant continues les applications lineaires Lϕ :E ′(Ω;C) 3 T 7→ T (ϕ) ∈ C, pour ϕ ∈ E(Ω;C).Sur l’espace S ′(Rd;C), on choisit de mettre la topologie ∗ faible, c’est-a-dire la topologie la moins fine rendant continues les applications lineairesLϕ : S ′(Rd;C) 3 T 7→ T (ϕ) ∈ C, pour ϕ ∈ S(Rd;C).

Theoreme 6.6.4. Soit K un compact inclu dans Ω. Soit (Tn)n∈N une suitedans le dual (C∞K (Ω;C))′ de C∞K (Ω;C) qui converge simplement vers une cer-taine application T de C∞K (Ω;C) dans C. Alors T ∈ (C∞K (Ω;C))′ et (Tn)n∈Nconverge vers T dans (C∞K (Ω;C))′ pour la topologie ∗ faible.Soit (Tn)n∈N une suite dans E ′(Ω;C) qui converge simplement vers une cer-taine application T de E(Ω;C) dans C. Alors T ∈ E ′(Ω;C) et (Tn)n∈N convergevers T dans E ′(Ω;C) pour la topologie ∗ faible.


Soit (Tn)n∈N une suite de distributions temperees (i.e. une suite dans S ′(Rd;C))qui converge simplement vers une certaine application T de S(Rd;C) dansC. Alors T ∈ S ′(Rd;C) et (Tn)n∈N converge vers T dans S ′(Rd;C) pour latopologie ∗ faible.

Demonstration. Dans chaque cas, le corollaire 6.6.2 s’applique, d’apres letheoreme 6.3.3, et donne le resultat.

Bien que la topologie de D(Ω;C) ne soit pas metrisable, le corollaire 6.6.2est valable pour E = D(Ω;C).

Theoreme 6.6.5. Soit (Tn)n∈N une suite de distributions (i.e. une suitedans D′(Ω;C)) qui converge simplement vers une certaine application Tde D(Ω;C) dans C. Alors T ∈ D′(Ω;C) et (Tn)n∈N converge vers T dansD′(Ω;C) pour la topologie ∗ faible.

Demonstration. Soit K ⊂⊂ Ω. (Tn)n∈N converge simplement vers T surC∞K (Ω;C). Par le theoreme 6.6.4, la restriction de T a C∞K (Ω;C) appartienta (C∞K (Ω;C))′. Ceci etant vrai pour tout K ⊂⊂ Ω, T ∈ D′(Ω;C), par laproposition 6.5.2. Comme (Tn)n∈N converge simplement vers T ∈ D′(Ω;C),(Tn)n∈N converge vers T pour la topologie ∗ faible.

Soit (E, TP ) un espace vectoriel localement convexe. On peut verifier quela topologie ∗ faible sur le dual topologique E ′ de E est la topologie TWengendree par

W =

⋂g∈Ef

M ∈ E ′; |(M−L)(g)| < ε

; Ef partie finie deE ,L ∈ E ′ , ε > 0

.

Pour g ∈ E, l’application pg : E ′ −→ R+ definie par pg(L) = |L(g)| est unesemi-norme sur E ′. Soit P ∗ = pg; g ∈ E. Les elements de W constituentune base de voisinages pour TP ∗ donc TW = TP ∗ et (E ′, TW) est un espacevectoriel localement convexe.D’apres la proposition 6.2.14, pour une suite (Ln)n∈N de Cauchy dans E ′ pourla topologie ∗ faible, on a, pour tout g ∈ E,

limn→∞

supm∈N

∣∣∣(Ln+m − Ln)(g)∣∣∣ = 0 .


En particulier, pour tout g ∈ E, la suite (Ln(g))n∈N est de Cauchy dans Cdonc converge vers un certain L(g) ∈ C. Cela definit une application L de E ′

dans C. On suppose maintenant que (E, TP ) est metrisable et complet. Parle corollaire 6.6.2, on en deduit que L ∈ E ′ et que (Ln)n∈N converge vers Ldans E ′ pour la topologie ∗ faible. On a montre la

Proposition 6.6.6. Soit (E, TP ) un espace vectoriel localement convexe me-trisable et complet. Alors son dual topologique E ′ est complet pour la topologie∗ faible.

Corollaire 6.6.7. Soit K un compact inclu dans Ω. Les espaces (C∞K (Ω;C))′,E ′(Ω;C) et S ′(Rd;C) sont complets pour la topologie ∗ faible correspondante.

Demonstration. Dans chaque cas, la proposition 6.6.6 s’applique.

Corollaire 6.6.8. L’espace D′(Ω;C) est complet pour la topologie ∗ faible.

Demonstration. Soit (Tn)n∈N une suite de Cauchy dans D′(Ω;C) pour latopologie ∗ faible. D’apres la proposition 6.2.14, pour tout ϕ ∈ D(Ω;C),(Tn(ϕ))n∈N est de Cauchy dans C donc converge vers un certain T (ϕ). Par letheoreme 6.6.5, T ∈ D′(Ω;C) et (Tn)n∈N tend vers T dans D′(Ω;C) pour latopologie ∗ faible.

6.7 Injections continues.

Dans ce paragraphe, on va satisfaire une importante condition que nousavions requise dans le paragraphe 6.1, a savoir qu’une fonction localementintegrable sur Ω doit definir une distribution sur Ω via la formule (4). On vaaussi preciser la nature de E ′(Ω;C).

Definition 6.7.1. On dit qu’un ouvert ω inclu dans Ω est un ouvert de nul-lite pour une distribution T ∈ D′(Ω;C) si, pour tout ϕ ∈ D(Ω;C) a supportinclu dans ω, T (ϕ) = 0.Le support d’une distribution T ∈ D′(Ω;C) est le complementaire du plusgrand ouvert de nullite pour T . C’est un ferme de Ω, note supp T .On definit de meme le support d’un element T ∈ E ′(Ω;C) et celui d’un ele-ment T ∈ S ′(Rd;C).

Proposition 6.7.2. Si S, T ∈ D′(Ω;C) (resp. E ′(Ω;C), resp. S ′(Rd;C)) etλ ∈ C∗, supp λT = supp T et supp (S + T ) ⊂ supp S ∪ supp T .



Proposition 6.7.3. Soit T ∈ D′(Ω;C) (resp. T ∈ E ′(Ω;C)) telle que suppT est un compact inclu dans Ω. Il existe χ ∈ C∞c (Ω;C) telle que χ = 1 auvoisinage de supp T .Pour tout ϕ ∈ D(Ω;C) (resp. ϕ ∈ E(Ω;C)), T (ϕ) = T (χϕ).Si ϕ ∈ D(Ω;C) (resp. ϕ ∈ E(Ω;C)) est nulle au voisinage de supp T . AlorsT (ϕ) = 0.

Demonstration. Voir TD.

Remarque 6.7.4. Soit T ∈ E ′(Ω;C). Par la proposition 6.5.3, il existe uncompact K inclu dans Ω et n ∈ N tels que (15) est valide. En particulier, suppT ⊂ K et supp T est compact. De plus, pour K ′ ⊂⊂ Ω et pour ϕ ∈ C∞K′(Ω;C),|T (ϕ)| ≤ Cqn,K(ϕ) ≤ Cpn,K′(ϕ). Donc la restriction de T a D(Ω;C) est unedistribution a support compact (inclu dans K). Voir aussi la remarque 6.5.5.

Theoreme 6.7.5. L’application i : E ′(Ω;C) −→ D′(Ω;C) qui, a toute T ∈E ′(Ω;C), associe sa restriction a D(Ω;C), est bien definie, lineaire, continueet injective. De plus, l’image de i est i(E ′(Ω;C)) = T ∈ D′(Ω;C); suppT ⊂⊂Ω. L’application j : i(E ′(Ω;C)) −→ E ′(Ω;C) qui, a T ∈ i(E ′(Ω;C)) associe,pour χ ∈ C∞c (Ω;C) telle que χ = 1 au voisinage du support de T , Tχ :E(Ω;C) −→ C donnee par Tχ(ϕ) = T (χϕ), est bien definie, lineaire, continueet c’est la bijection reciproque de i : E ′(Ω;C) −→ i(E ′(Ω;C)).On identifiera souvent E ′(Ω;C) avec i(E ′(Ω;C)).

Demonstration. Soit F = T ∈ D′(Ω;C); suppT ⊂⊂ Ω. Par la remarque 6.7.4,i est bien definie et i(E ′(Ω;C)) ⊂ F . i est lineaire. Si T appartient aunoyau de i alors, pour tout ϕ ∈ E(Ω;C), on a, par la proposition 6.7.3,T (ϕ) = T (χϕ) = i(T )(χϕ) = 0. Donc T = 0 et i est injective.Par la definition 6.6.3, pour tout ϕ ∈ E(Ω;C), Lϕ : E ′(Ω;C) 3 T 7→ T (ϕ)est continue. Donc, pour ϕ ∈ D(Ω;C), E ′(Ω;C) 3 T 7→ i(T )(ϕ) est continue.Par la proposition 5.1.3, i est continue.Soit T ∈ F et χ ∈ C∞c (Ω;C) telle que χ = 1 au voisinage de supp T . Commeil existe C > 0 et Cχ > 0 tel que, pour tout ϕ ∈ E(Ω;C),

|T (χϕ)| ≤ C · pn,suppχ(χϕ) ≤ Cχ · pn,suppχ(ϕ) = Cχ · qn,suppχ(ϕ) ,

l’application Tχ : E(Ω;C) 3 ϕ 7→ T (χϕ) appartient a E ′(Ω;C). De plus,i(Tχ) = T , puisque χ = 1 au voisinage de supp T . Donc i(E ′(Ω;C)) = F .Toujours pour T ∈ F , soit χ, χ′ ∈ C∞c (Ω;C) telles que χ = 1 au voisinage de


supp T et χ′ = 1 au voisinage de supp T . Comme χ−χ′ s’annule au voisinagede supp T , Tχ = Tχ′ , par la proposition 6.7.3. Donc j est bien definie. Elleest lineaire et i j = idF . Pour T ∈ E ′(Ω;C), on a, par la proposition 6.7.3,pour tout ϕ ∈ E(Ω;C), T (ϕ) = T (χϕ) = i(T )(χϕ) = (i(T ))χ(ϕ). Doncj i = idE ′(Ω;C). j est donc bien la bijection reciproque de i.On admet que j est continue.

On se place maintenant sur Rd. Au vu de la remarque 6.5.5, on a le

Theoreme 6.7.6. L’application j1 : E ′(Rd;C) −→ S ′(Rd;C) qui, a T ∈E ′(Rd;C), associe sa restriction a S(Rd;C), est bien definie, lineaire, conti-nue et injective.L’application j2 : S ′(Rd;C) −→ D′(Rd;C) qui, a toute T ∈ S ′(Rd;C), associesa restriction a D(Rd;C), est bien definie, lineaire, continue et injective.

Demonstration. Par la remarque 6.5.5, j1 est bien definie et lineaire. SoitT appartenant au noyau de j1 et ϕ ∈ E(Rd;C). Pour tout ψ ∈ S(Rd;C),j1(T )(ψ) = 0. Comme (E(Rd;C), TQ) est un espace metrique, il existe, d’apresla densite de S(Rd;C) dans (E(Rd;C), TQ) (cf. proposition 6.4.10), une suite(ϕn)n∈N d’elements de S(Rd;C) qui converge vers ϕ dans (E(Rd;C), TQ).Comme T est continue sur cet espace,

T (ϕ) = limn→∞

T (ϕn) = limn→∞

j1(T )(ϕn) = 0 .

Donc T = 0 et j1 est injective.Par la definition 6.6.3, pour tout ϕ ∈ E(Rd;C), la forme Lϕ : E ′(Rd;C) 3T 7→ T (ϕ) est continue. Donc, pour ϕ ∈ S(Rd;C), E ′(Rd;C) 3 T 7→ j1(T )(ϕ)est continue. Par la proposition 5.1.3, j1 est continue.De maniere similaire, on montre les proprietes annoncees de j2.

Remarque 6.7.7. Dans le cadre du theoreme 6.7.5, en utilisant la densitede D(Ω;C) dans E(Ω;C), on constate, pour T ∈ E ′(Ω;C), qu’on a supp T =supp i(T ).De meme, dans le cadre du theoreme 6.7.6, on constate, pour T ∈ E ′(Rd;C),que supp T = supp j1(T ) = supp j2 j1(T ).

On en vient maintenant aux distributions temperees associees a une fonction.Pour ce faire, on a besoin de quelques rappels de theorie de l’integration.

Pour Ω, un ouvert de Rd, d ∈ N∗, et p ∈ [1; +∞], on munit Lp(Ω;C) (pourla mesure de Lebesgue) de sa norme habituelle ‖ · ‖p. On note par C0(Ω;C)


l’espace vectoriel des fonctions continues sur Ω qui tendent vers 0 sur le bord∂Ω et a l’infini. Plus precisement, une fonction ϕ : Ω −→ C appartient aC0(Ω;C) si elle est continue et si, pour tout ε > 0, il existe un N ∈ N tel que,pour tout x 6∈ KN , |ϕ(x)| < ε. L’espace C0(Ω;C) muni de la norme ‖ · ‖∞ estun sous-espace ferme de Cb(Ω;C), l’espace des fonctions continues borneessur Ω. Ce dernier est complet (cf. theoreme 10.1.6). Donc C0(Ω;C) est unespace de Banach.On utilisera les inegalites de Holder. On identifie le dual de Lq(Ω;C), pour1 ≤ q < ∞, (resp. C0(Ω;C)) a Lp(Ω;C) avec 1 < p = q/(q − 1) ≤ ∞, (resp.L1(Ω;C)) en identifiant toute fonction f ∈ Lp(Ω;C) (resp. f ∈ L1(Ω;C)) ala forme lineaire continue sur Lq(Ω;C) (resp. C0(Ω;C)) donnee par

Rf : g 7→∫

Ω

f(x)g(x) dx . (18)

On utilisera aussi le fait que C∞c (Ω;C) est dense dans Lq(Ω;C), pour 1 ≤q <∞, et aussi dans C0(Ω;C) (cf. TD).

Theoreme 6.7.8. L’application j : Lp(Rd;C) −→ S ′(Rd;C) qui, a f ∈Lp(Rd;C), associe

T tf : S(Rd;C) 3 ϕ 7→∫Rdf(x)ϕ(x) dx ∈ C ,

est bien definie, lineaire, continue et injective.

Demonstration. Soit f ∈ Lp(Rd;C) et ϕ ∈ S(Rd;C). Pour p =∞, on a∫Rd

∣∣f(x)ϕ(x)∣∣ dx ≤ ‖f‖∞ · (∫

Rd

(|x|+ 1

)−d−1dx

)· sd+1,0(ϕ) .

Pour p = 1, on a ∫Rd

∣∣f(x)ϕ(x)∣∣ dx ≤ ‖f‖1 · s0,0(ϕ) .

Pour 1 < p < ∞, on a, par l’inegalite de Holder, en notant par n la partieentiere de d/q plus 1 avec 1/q + 1/p = 1,∫

Rd

∣∣f(x)ϕ(x)∣∣ dx ≤ ‖f‖p · (∫

Rd

(|x|+ 1

)−nqdx

)1/q

· sn,0(ϕ) .

Dans les trois cas, T tf (ϕ) est definie comme integrale absolument convergenteet |T tf (ϕ)| est domine par le membre de droite de l’inegalite precedente cor-

respondante. Il existe donc C > 0 et n ∈ N tel que, pour tout f ∈ Lp(Rd;C)


et tout ϕ ∈ S(Rd;C), |T tf (ϕ)| ≤ C · ‖f‖p · sn,0(ϕ). Par la proposition 6.5.4,

T tf ∈ S ′(Rd;C). Donc j est bien definie. De plus, comme |T tf (ϕ)| = |j(f)(ϕ)|,cette derniere inegalite donne l’inegalite (8) du theoreme 6.2.10, donc ce der-nier donne la continuite de j.Soit f dans le noyau de j. T tf est la restriction de Rf (donnee par (18)).

Donc Rf est une forme lineaire continue sur Lq(Rd;C) avec 1 ≤ q <∞ (resp.C0(Rd;C)), nulle sur un sous-espace dense, a savoir S(Rd;C). Par un corol-laire du theoreme d’Hahn-Banach (cf. proposition 3.3.1), Rf et donc f estnulle. j est donc injective.

On revient maintenant sur un ouvert Ω de Rd. Pour p ∈ [1; +∞] et K ⊂⊂ Ω,on note par ‖ · ‖K,p la norme naturelle sur Lp(K;C).

Definition 6.7.9. On designe par Lploc(Ω;C) l’espace vectoriel des fonctionsf , mesurables sur Ω (pour la mesure de Lebesgue), telles que la restrictionf|K de f a K appartient a Lp(K;C). Pour K ⊂⊂ Ω, rK,p : Lploc(Ω;C) −→R+ definie par rK,p(f) = ‖f|K‖K,p est une semi-norme. On munit l’espaceLploc(Ω;C) de la famille Rp = rK,p;K ⊂⊂ Ω.

Soit p ∈ [1; +∞]. Il se trouve que la topologie TRp est separee et coıncide avecla topologie TR′p engendree par la famille denombrable de semi-normes R′p =rKn,p;n ∈ N. Donc (Lploc(Ω;C), TRp) est metrisable. De plus, on peut mon-trer (en utilisant la completude des Lp(K;C)) qu’il est complet. D’autre part,on constate que Lp(Ω;C) ⊂ Lploc(Ω;C) et Lploc(Ω;C) ⊂ L1

loc(Ω;C) (puisque,pour K ⊂⊂ Ω, Lp(K;C) ⊂ L1(K;C)).On est en mesure maintenant d’associer a une fonction dans L1

loc(Ω;C) unedistribution, et ce de maniere continue.

Theoreme 6.7.10. Soit p ∈ [1; +∞].L’application k1 : Lp(Ω;C) −→ Lploc(Ω;C), donnee par k1(f) = f , est biendefinie, lineaire, continue et injective.L’application k2 : Lploc(Ω;C) −→ L1

loc(Ω;C), donnee par k2(f) = f , est biendefinie, lineaire, continue et injective.L’application k3 : L1

loc(Ω;C) −→ D′(Ω;C) qui, a f ∈ L1loc(Ω;C), associe

Tf : D(Ω;C) 3 ϕ 7→∫Rdf(x)ϕ(x) dx ∈ C ,

est bien definie, lineaire, continue et injective.


Demonstration. D’apres les inclusions Lp(Ω;C) ⊂ Lploc(Ω;C) ⊂ L1loc(Ω;C), les

applications k1 et k2 sont bien definies. Pour tout K ⊂⊂ Ω, rK,p ≤ ‖ · ‖p etrK,1 ≤ rK,p (par l’inegalite de Holder). Donc k1 et k2 sont continues, d’apresle theoreme 6.2.10.Soit f ∈ L1

loc(Ω;C) et ϕ ∈ C∞K (Ω;C). On a∫Ω

∣∣f(x)ϕ(x)∣∣ dx ≤ ‖f‖K,1 · p0,K(ϕ) .

Tf (ϕ) est definie comme integrale absolument convergente et |Tf (ϕ)| ≤ ‖f‖K,1·p0,K(ϕ). Par la proposition 6.5.1, Tf est continue sur C∞K (Ω;C), pour toutcompact K. Par la proposition 6.5.2, Tf ∈ D′(Ω;C). Donc k3 est bien definie.De plus, comme |Tf (ϕ)| = |k3(f)(ϕ)|, l’inegalite precedente donne l’inegalite(8) du theoreme 6.2.10, donc ce dernier donne la continuite de k3.Soit f dans le noyau de k3. Soit K ⊂⊂ Ω. On note par g la restriction de

f aK. On sait que g ∈ L1(

K;C). Pour ϕ ∈ C∞c (

K;C), soit ψ ∈ C∞c (Ω;C)

definie par ψ(x) = ϕ(x) si x ∈K et par ψ(x) = 0 sinon. On a∫

K

g(x)ϕ(x) dx =

∫Ω

f(x)ψ(x) dx = 0 .

La forme lineaire continue Rg (cf. (18) avec Ω remplace parK) sur C0(

K;C)

est donc nulle sur sur un sous-espace dense dans C0(K;C), a savoir C∞c (

K;C).

Par un corollaire du theoreme d’Hahn-Banach (cf. proposition 3.3.1), Rg etdonc g est nulle. Donc rK,1(f) = ‖g‖K,1 = 0. Ceci etant vrai pour toutK ⊂⊂ Ω, f annule toutes les semi-normes de R1. Comme la topologie TR1

est separee, f = 0. k3 est donc injective.

7 Operations continues sur les distributions.

On generalise ici aux distributions bon nombre d’operations sur les fonctions,a l’exception notable du produit.

7.1 Restriction et support singulier d’une distribution.

On considere deux ouverts ω et Ω de Rd tels que ω ⊂ Ω.


Proposition 7.1.1. L’injection i : D(ω;C) −→ D(Ω;C), qui a ϕ ∈ D(ω;C)associe son extension ϕ a Ω par 0, est bien definie, lineaire et continue.L’injection i′ : D′(Ω;C) −→ D′(ω;C), qui a T associe sa restriction T|ω aD(ω;C) est bien definie, lineaire et continue.

Demonstration. Pour ϕ ∈ D(ω;C), ϕ est bien de classe C∞ et supp ϕ = suppϕ. Donc i est bien definie et lineaire. On note par Pω (resp. PΩ) la famille desemi-normes sur D(ω;C) (resp. D(Ω;C)). Soit p ∈ PΩ, la restriction p|ω de pa ω est une semi-norme sur D(ω;C) car, pour ϕ ∈ D(ω;C), p|ω(ϕ) = p(ϕ). Deplus, comme tout compactK inclu dans ω est aussi inclu dans Ω, la restrictionde p|ω a C∞K (ω;C) est continue puisque la restriction de p a C∞K (Ω;C) l’est.Donc p i = p|ω ∈ Pω. Par le theoreme 6.2.10, i est continue. Donc i′ est biendefinie et lineaire. Pour tout ϕ ∈ D(ω;C), en posant Lϕ : D′(ω;C) 3 T 7→T (ϕ), Lϕ i′ = Lϕ : D′(Ω;C) 3 T 7→ T (ϕ). Par le theoreme 6.2.10, i′ estcontinue.

Definition 7.1.2. On dit qu’une distribution T ∈ D′(Ω;C) est C∞ sur ω s’ilexiste g ∈ C∞(ω;C) telle que T|ω = Tg dans D′(ω;C). Le complementaire duplus grand ouvert ou T est C∞ est appele le support singulier, note suppsingT . C’est un ferme de Ω.Pour une distribution temperee T ∈ S ′(Rd;C), on dit qu’elle est C∞ sur ω sisa restriction j2(T ) a D(Rd;C) l’est. Son support singulier est par definitioncelui de j2(T ).

Proposition 7.1.3. Soit T, S ∈ D′(Ω;C) et λ ∈ C∗. On a suppsing T ⊂supp T , suppsing (S + T ) ⊂ supp S ∪ supp T et suppsing λT = suppsing T .


7.2 Produit par une fonction C∞.

Pour f ∈ C∞(Ω;C) et T ∈ D′(Ω;C), l’application D(Ω;C) 3 ϕ 7→ T (fϕ) estbien definie et lineaire car fϕ ∈ D(Ω;C).

Proposition 7.2.1. L’application precedente est une distribution sur Ω. Onnote cette derniere par fT .

Demonstration. Exercice. (Indication : on pourra utiliser la formule de Leib-nitz sur les derivees d’un produit de fonctions C∞).


Il se trouve que l’application de E(Ω;C)×D′(Ω;C) −→ D′(Ω;C), qui a (f, T )associe fT n’est pas continue. Cependant, on a la

Proposition 7.2.2. Soit f ∈ C∞(Ω;C).L’application lineaire Pf : D(Ω;C) −→ D(Ω;C), qui a ϕ associe fϕ, estcontinue. L’application lineaire P ′f : D′(Ω;C) −→ D′(Ω;C), qui a T associefT , est continue.Soit S ∈ D′(Ω;C). L’application lineaire PS : E(Ω;C) −→ D′(Ω;C), qui a gassocie gS, est continue.De plus, si (gn)n∈N converge vers g dans E(Ω;C) et (Sn)n∈N converge vers Sdans D′(Ω;C) alors (gnSn)n∈N converge vers gS dans D′(Ω;C).

Demonstration. ..... Utiliser le fait que D′(Ω;C) est localement convexe et letheoreme 6.2.10 .....

Proposition 7.2.3. Pour f ∈ C∞(Ω;C) et T ∈ D′(Ω;C),

suppfT ⊂ supp f ∩ suppT et suppsing fT ⊂ suppsing T .


Remarque 7.2.4. Si supp f ∩ supp T = ∅, fT = 0. Si f : R 3 x 7→ x etT = δ0, la masse de Dirac en 0, fT = 0 donc

supp fT = ∅ 6= 0 = supp f ∩ suppT .

Si suppsing T 6= ∅ et supp f ∩ supp T = ∅ alors

suppsing fT = ∅ 6= suppsing T .

Si l’on multiplie une distribution temperee par une fonction C∞, on n’obtientpas toujours une distribution temperee. Cela vient du fait que le produit d’unefonction C∞ par une fonction de l’espace de Schwarz n’est pas toujours dansce dernier.

Definition 7.2.5. Soit m ∈ N. On dit qu’une fonction f ∈ Cm(Rd;C) esta croissance lente si, pour tout α ∈ Nd tel que |α| ≤ m, il existe mα ∈ N etCα > 0 tels que

∀x ∈ Rd ,∣∣(∂αf)(x)

∣∣ ≤ Cα(|x|+ 1)mα .

On note par OmM(Rd;C) l’espace vectoriel des fonctions de classe Cm a crois-

sance lente. On note par OM(Rd;C) l’espace vectoriel des fonctions de classeC∞ a croissance lente.


Proposition 7.2.6. Soit f ∈ OM(Rd;C).L’application lineaire Mf : S(Rd;C) −→ S(Rd;C), qui a ϕ associe fϕ,est continue. L’application lineaire M′

f : S ′(Rd;C) −→ S ′(Rd;C), qui a Sassocie fS, est continue.

Demonstration. .....

7.3 Derivation des distributions.

Pour α = (α1; · · · ;αd) ∈ Nd, on pose |α| = α1 + · · · + αn. On note par lesderivees partielles dans Rd par ∂α = ∂α1 · · · ∂αd avec ∂αj = (∂/∂xj)

αj .

Proposition 7.3.1. Soit α ∈ Nd.L’application ∂α : D(Ω;C) 3 ϕ 7→ ∂αϕ ∈ D(Ω;C) est lineaire continue. PourT ∈ D′(Ω;C), l’application ∂αT : D(Ω;C) 3 ϕ 7→ (−1)|α|T (∂αϕ) definit unedistribution sur Ω. L’application ∂α : D′(Ω;C) 3 T 7→ ∂αT ∈ D′(Ω;C) estlineaire continue.L’application ∂α : S(Rd;C) 3 ϕ 7→ ∂αϕ ∈ S(Rd;C) est lineaire continue.Pour toute T ∈ S ′(Rd;C), l’application ∂αT : S(Rd;C) 3 ϕ 7→ (−1)|α|T (∂αϕ)definit une distribution temperee sur Ω. L’application ∂α : S ′(Rd;C) 3 T 7→∂αT ∈ S ′(Rd;C) est lineaire continue.

Demonstration. Comme ∂α+βϕ = ∂α(∂βϕ) et ∂α+βT = ∂α(∂βT ), il suffit demontrer le resultat pour |α| = 1 puis proceder par recurrence sur |α|. Onsuppose desormais que |α| = 1.Pour ϕ ∈ D(Ω;C), ∂αϕ ∈ D(Ω;C). De plus, pour tout n ∈ N et K ⊂⊂Ω, pn,K,e(∂

αϕ) ≤ pn+1,K,e(ϕ). Par le theoreme 6.2.10, ∂α est continue surD(Ω;C). Donc, pour T ∈ D′(Ω;C), ∂αT est lineaire continue. Pour ϕ ∈D(Ω;C), on a, pour tout T ∈ D′(Ω;C), |(∂αT )(ϕ)| = |T (∂αϕ)|, donc, par letheoreme 6.2.10, ∂α est continue sur D′(Ω;C).On traite le cas des distributions temperees de maniere similaire puisque l’ona, pour tout n,m ∈ N et tout ϕ ∈ S(Rd;C), pour |α| = 1, sn,m(∂αϕ) ≤sn,m+1(ϕ).

Proposition 7.3.2. Soit α ∈ Nd et T ∈ D′(Ω;C).On a supp (∂αT ) ⊂ supp T . Pour tout ouvert ω inclu dans Ω, (∂αT )|ω =∂α(T|ω). De plus, suppsing (∂αT ) ⊂ suppsing T .



Proposition 7.3.3. Soit α ∈ Nd. Alors pour f ∈ C∞(Ω;C) (resp. OM(Rd;C))et T ∈ D′(Ω;C) (resp. S ′(Rd;C)),

∂α(fT ) =∑β≤α

Cβα · (∂α−βf) · (∂βT ) .

Demonstration. C’est une consequence de la formule de Leibnitz pour lesderivees d’un produit de fonctions C∞.

Definition 7.3.4. Soit T ∈ D′(Ω;C). L’application | · | T est une semi-norme sur D(Ω;C). Soit K ⊂⊂ Ω. Par la proposition 6.5.2, il existe unn ∈ N et C > 0 tels que la restriction a C∞K (Ω;C) de | · | T soit domineepar la semi-norme Cpn,K. Soit nK le plus petit entier naturel verifiant cettepropriete. On dit que la restriction de T a C∞K (Ω;C) est d’ordre nK.La borne superieure de l’ensemble nK ;K ⊂⊂ Ω est appelee l’ordre (dederivation) de la distribution T . C’est un entier naturel ou bien +∞.

Proposition 7.3.5. Une distribution a support compact est d’ordre fini.Soit T ∈ D′(Ω;C) d’ordre m ∈ N ∪ ∞. Soit ϕ ∈ D(Ω;C) telle que, pourtout α ∈ Nd avec |α| ≤ m, ∂αϕ est nulle sur le support de T , alors T (ϕ) = 0.

Demonstration. Soit T ∈ D′(Ω;C) a support compact K. Soit χ ∈ C∞c (Ω;C)telle que χ = 1 au voisinage de K. Soit K ′ = supp ϕ. Par la proposition 6.5.2,la restriction de | · | T a C∞K′(Ω;C) est dominee par une certaine semi-normeCpn,K′ . Soit K ′′ ⊂⊂ Ω et ϕ ∈ C∞K′′(Ω;C). On a T (ϕ) = T (χϕ), par laproposition 6.7.3. Donc |T (ϕ)| ≤ Cpn,K′,e(χϕ). Par la formule de Leibnitz(pour les fonctions), |T (ϕ)| ≤ C ′pn,K′,e(ϕ). Donc T est d’ordre au plus n.Le second resultat est demontre en TD.

Les propositions suivantes donnent un lien entre la derivation classique etcelle des distributions.

Proposition 7.3.6. Soit m ∈ N et α ∈ Nd tel que |α| ≤ m.Si f ∈ Cm(Ω;C) alors ∂α(Tf ) = T∂αf .Si f ∈ Om

M(Rd;C) alors ∂α(T tf ) = T t∂αf .

Demonstration. C’est une consequence de la formule d’integration par par-ties.


Proposition 7.3.7. Formule des sauts. On se place en dimension d = 1.Soit a < b dans R. Soit f :]a; b[−→ C telle qu’il existe a = x0 < x1 < · · · <xn = b tels que, pour tout i ∈ 1; · · · ;n, f|]xi−1;xi[ est continue, et, pour touti ∈ 1; · · · ;n− 1,

f(xi + 0) := limx→xix>xi

f(x) et f(xi − 0) := limx→xix<xi

f(x)

existent dans C. Donc f ∈ L1loc(]a; b[;C). On suppose de plus que f ′ existe

presque partout et que f ′ ∈ L1loc(]a; b[;C). Alors, dans D′(]a; b[;C),

(Tf)′

= Tf ′ +n−1∑i=1

(f(xi + 0) − f(xi − 0)

)· δxi . (19)

Demonstration. Soit ϕ ∈ D(]a; b[;C). Comme f est bornee, on a

(Tf)′

(ϕ) = −Tf(ϕ′)

= −∫ b

a

f(x)ϕ′(x) dx

= − limε→0+

n∑i=1

∫ xi−ε

xi−1+ε

f(x)ϕ′(x) dx .

Par integration par parties,

(Tf)′

(ϕ) = − limε→0+

n∑i=1

([f(x)ϕ(x)

]xi−εxi−1+ε

−∫ xi−ε

xi−1+ε

f ′(x)ϕ(x) dx

).

Comme f ′ ∈ L1loc(]a; b[;C) et ϕ est a support compact dans ]a; b[,

(Tf)′

(ϕ) = − limε→0+

n∑i=1

[f(x)ϕ(x)

]xi−εxi−1+ε

+

∫ b

a

f ′(x)ϕ(x) dx

=n−1∑i=1

f(xi + 0)ϕ(xi) −n−1∑i=1

f(xi − 0)ϕ(xi) + Tf ′(ϕ) .

Ceci etant vrai pour tout ϕ ∈ D(]a; b[;C), on a montre (19).

7.4 Transformation de Fourier.

Dans ce paragraphe, on se place sur Rd. Pour f ∈ L1(Rd;C), la transformeede Fourier de f est la fonction f : Rd −→ C qui a ξ ∈ Rd associe l’integrale


absolument convergente

f(ξ) =

∫Rde−ix·ξf(x) dx .

Si, de plus, f ∈ L1(Rd;C), on peut reconstituer f (presque partout) par laformule d’inversion de Fourier

f(x) = (2π)−d∫Rdeix·ξf(ξ) dξ .

Soit Iv : S(Rd;C) −→ S(Rd;C) qui a f associe la fonction Ivf donneepar (Ivf)(x) = f(−x). Elle est continue. L’application I ′v : S ′(Rd;C) −→S ′(Rd;C) qui a T associe la distribution temperee T Iv est bien bien definieet continue.

Proposition 7.4.1. L’application F : S(Rd;C) −→ S(Rd;C) qui a ϕ asso-cie ϕ est bien definie, lineaire et continue. Elle est bijective et sa bijectionreciproque est donnee par (2π)−dIv F , qui est aussi continue.L’application F ′ : S ′(Rd;C) −→ S ′(Rd;C) qui a T associe T F est biendefinie, lineaire et continue. Elle est bijective et sa bijection reciproque estdonnee par (2π)−dF ′ I ′v, qui est aussi continue.


Pour α ∈ Nd, soit fα : Rd −→ R definie par fα(x) = xα.

Proposition 7.4.2. Pour ϕ ∈ S(Rd;C), T ∈ S ′(Rd;C) et α ∈ Nd, F(fαϕ) =(−i)|α|∂α(F(ϕ)) et F ′(fαT ) = (−i)|α|∂α(F ′(T )).

7.5 Produit tensoriel de distribution.

Soit d1, d2 ∈ N∗. Soit Ω1 un ouvert de Rd1 et Ω2 un ouvert de Rd2 . Pourf1 : Ω1 −→ C et f2 : Ω1 −→ C le produit tensoriel f1 ⊗ f2 de f1 et f2 estl’application Ω1 × Ω2 3 (x1;x2) 7→ f1(x1) · f2(x2). On remarque les chosessuivantes :Si f1 est C∞ sur Ω1 et f2 est C∞ sur Ω2, alors f1 ⊗ f2 est C∞ sur Ω1 × Ω2 ;Si f1 ∈ L1

loc(Ω1;C) et f2 ∈ L1loc(Ω2;C), alors f1 ⊗ f2 ∈ L1

loc(Ω1 × Ω2;C). Si


Proposition 7.5.1. L’espace vectoriel D(Ω1;C)⊗D(Ω2,C) = ϕ1⊗ϕ2;ϕ1 ∈D(Ω1), ϕ2 ∈ D(Ω2) est dense dans D(Ω1 × Ω2;C).


Proposition 7.5.2. Soit ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2;C).Pour tout x1 ∈ Ω1, ϕ(x1; ·) : Ω2 −→ C, qui a x2 associe ϕ(x1;x2), appartienta D(Ω2;C).Pour tout x2 ∈ Ω2, ϕ(·;x2) : Ω1 −→ C qui a x1 associe ϕ(x1;x2), appartienta D(Ω1;C).


Pour ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2;C) et T1 ∈ D′(Ω1;C), on peut appliquer a x2 fixe, T1

a ϕ(·;x2). De meme, si T2 ∈ D′(Ω2;C), on peut appliquer, a x1 fixe, T2 aϕ(x1; ·).

Proposition 7.5.3. Soit T1 ∈ D′(Ω1;C), T2 ∈ D′(Ω2;C) et ϕ ∈ D(Ω1 ×Ω2;C). La fonction T2(ϕ) : Ω1 3 x1 7→ T2(ϕ(x1; ·)) appartient a D(Ω1;C). Lafonction T1(ϕ) : Ω2 3 x2 7→ T1(ϕ(·;x2)) appartient a D(Ω2;C).Les applications

D(Ω1×Ω2;C) 3 ϕ 7→ T1(T2(ϕ)) ∈ C et D(Ω1×Ω2;C) 3 ϕ 7→ T2(T1(ϕ)) ∈ C

sont bien definies, coıncident et definissent une distribution sur Ω1×Ω2. Onnote cette derniere par T1 ⊗ T2, c’est le produit tensoriel de T1 et T2.


Proposition 7.5.4. Soit T1 ∈ D′(Ω1;C) et T2 ∈ D′(Ω2;C).Alors supp (T1 ⊗ T2) = (suppT1)× (suppT2).Pour α = (α1;α2) ∈ Nd1 × Nd2, ∂α(T1 ⊗ T2) = (∂α1T1)⊗ (∂α2T2).Si f1 ∈ C∞(Ω1;C) et f2 ∈ C∞(Ω2;C) alors

(f1T1)⊗ (f2T2) = (f1 ⊗ f2)(T1 ⊗ T2) .

Si f1 ∈ L1loc(Ω1;C) et f2 ∈ L1

loc(Ω2;C) alors Tf1⊗f2 = Tf1 ⊗ Tf2.



Il se trouve que l’application D′(Ω1;C) × D′(Ω2;C) 3 (T1;T2) 7→ T1 ⊗ T2 ∈D′(Ω1 × Ω2;C) n’est pas continue mais on a la

Proposition 7.5.5. Soit T1 ∈ D′(Ω1;C). L’application lineaire D′(Ω2;C) 3T2 7→ T1 ⊗ T2 ∈ D′(Ω1 × Ω2;C) est continue. De meme, si T2 ∈ D′(Ω2;C),l’application lineaire D′(Ω1;C) 3 T1 7→ T1⊗T2 ∈ D′(Ω1×Ω2;C) est continue.Soit (T1,n)n∈N une suite de distributions sur Ω1 qui converge vers T1 dansD′(Ω1;C). Soit (T2,n)n∈N une suite de distributions sur Ω2 qui converge versT2 dans D′(Ω2;C). Alors la suite (T1,n⊗ T2,n)n∈N converge vers T1⊗ T2 dansD′(Ω1 × Ω2;C).


Soit K ∈ D′(Ω1 × Ω2;C). Pour ϕ2 ∈ D(Ω2;C), IK(ϕ2) : D(Ω1;C) 3 ϕ1 7→K(ϕ1 ⊗ ϕ2) ∈ C est bien definie et lineaire. Il se trouve qu’il s’agit d’unedistribution sur Ω1 (voir le theoreme 7.5.6 qui suit). Donc l’application IK :D(Ω2;C) 3 ϕ1 7→ IK(ϕ2) ∈ D′(Ω1;C) est bien definie et lineaire. Est-ellecontinue ? Non. Mais le theoreme 7.5.6 montre qu’elle est sequentiellementcontinue au sens suivant : Si (ϕ2,n)n∈N est une suite convergente vers ϕ2 dansD(Ω2;C) alors la suite de distributions (IK(ϕ2,n))n∈N converge vers IK(ϕ2)dans D′(Ω1;C).

Theoreme 7.5.6. Theoreme des noyaux de Schwartz.Soit K ∈ D′(Ω1 × Ω2;C). L’application IK : D(Ω2;C) 3 ϕ2 7→ IK(ϕ2) ∈D′(Ω1;C) est bien definie, lineaire et sequentiellement continue.Reciproquement, pour toute application I : D(Ω2;C) −→ D′(Ω1;C) lineaireet sequentiellement continue, il existe une unique distribution K ∈ D′(Ω1 ×Ω2;C) telle que I = IK.


Tout ceci est encore valable pour les distributions temperees. Pour les pro-duits par une fonction C∞, on prend bien sur des fonctions dans OM et, pourles distributions temperees associees a une fonction, on prend des fonctionsdans Om

M ou Lp.


8 Convolution de distributions.

On se place sur Rd. On rappelle que, pour f ∈ L1(Rd;C) et g ∈ Lp(Rd;C),

(f ∗ g)(x) :=

∫Rdf(x− t)g(t) dt =

∫Rdf(t)g(x− t) dt

est presque partout absolument convergente. La fonction f ∗ g est le produitde convolution des fonctions f et g. On a, de plus, f ∗ g ∈ Lp(Rd;C) et‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖1‖g‖p.On remarque que, pour f ∈ L1(Rd;C) et g ∈ L1(Rd;C), pour ϕ ∈ C∞c (Rd;C),on a, par le theoreme de Fubini,∫

Rd(f ∗ g)(x)ϕ(x) dx =

∫R2d

f(x)g(y)ϕ(x+ y) dxdy . (20)

En voulant interpreter cette quantite comme (Tf ⊗ Tg) applique a (x; y) 7→ϕ(x+y), on tombe sur la difficulte suivante. Cette derniere fonction est certesde classe C∞ mais n’est pas a support compact (sauf si ϕ = 0).

8.1 Distributions a supports convolutifs et convolutionde distributions.

Definition 8.1.1. Soit S, T ∈ D′(Rd;C). On dit que S et T sont a supportsconvolutifs si, pour tout R > 0, il existe M > 0 tel que

(x; y) ∈ suppS×suppT ; x+y ∈ B(0;R]⊂ B(0;M ]×B(0;M ] = B(0;M ]2 .

Exemple 8.1.2. Si S, T ∈ D′(Rd;C) avec S a support compact, alors Set T sont a supports convolutifs. En dimension d = 1, si S, T ∈ U ∈D′(R;C);∃c ∈ R; suppU ⊂ [c; +∞[ alors S et T sont a supports convolutifs.

Si S et T sont a supports convolutifs et ϕ ∈ C∞c (Rd;C), on remarque quel’intersection

K := supp (Sx ⊗ Ty) ∩ supp((x; y) 7→ ϕ(x+ y)

)est compacte ! En effet, si (x; y) appartient au support de (x; y) 7→ ϕ(x+y), ilexiste R > 0 tel que x+y ∈ B(0;R], puisque ϕ est a support compact. Si, de


plus, (x; y) ∈ supp (Sx ⊗ Ty) alors, par la propriete de supports convolutifs,(x; y) vit dans le compact B(0;M ]2.Soit χ ∈ C∞(R2d;C) telle que χ = 1 au voisinage de K. On peut definirl’application de S ∗ T a ϕ par

(S ∗ T )(ϕ) = (Sx ⊗ Ty)((x; y) 7→ χ(x; y)ϕ(x+ y)

), (21)

puisque (x; y) 7→ χ(x; y)ϕ(x+y) est a support dans supp χ, qui est compact.De plus, ce choix semble judicieux car si S = Tf et T = Tg avec f, g ∈L1(Rd;C) sont a supports convolutifs alors, pour tout ϕ ∈ C∞c (Rd;C), (S ∗T )(ϕ) = (Tf ∗ Tg)(ϕ) = Tf∗g(ϕ), d’apres (20).

Proposition 8.1.3. Soit S, T ∈ D′(Rd;C) a supports convolutifs. Soit K ′ ⊂⊂Rd et χ ∈ C∞c (Rd;C) telle χ = 1 sur le compact

K = supp (Sx ⊗ Ty) ∩

(x; y) ∈ R2d;x+ y ∈ K ′.

La forme lineaire (S ∗ T )|K′ donnee sur C∞K′(Rd;C) par (21) est bien de-finie, lineaire et continue. Soit S ∗ T la forme lineaire sur D(Rd;C) dontles restrictions a C∞K′(Rd;C) sont donnees par les (S ∗ T )|K′ est bien definie(i.e. ne depend pas du choix des fonctions χ), lineaire continue. On a doncS ∗ T ∈ D′(Rd;C), c’est la convolution de S et T .


Proposition 8.1.4. Soit S, T ∈ D′(Rd;C) a supports convolutifs.Soit α ∈ Nd. Pour tout (β; γ) ∈ Nd ×Nd tel que β + γ = α, ∂βS et ∂γT sonta supports convolutifs et ∂α(S ∗ T ) = (∂βS) ∗ (∂γT ).L’ensemble suppS + suppT est ferme et supp (S ∗ T ) ⊂ suppS + suppT .On a aussi suppsing (S ∗ T ) ⊂ suppsingS + suppsing T .


Proposition 8.1.5. Soit R, S, T ∈ D′(Rd;C). On dit qu’elles sont a supportsconvolutifs si pour tout R > 0, il existe M > 0 tel que

(x; y; z) ∈ suppR× suppS × suppT ; x+ y + z ∈ B(0;R]⊂ B(0;M ]3 .

Dans ce cas, R et S∗T sont a supports convolutifs, R∗S et T sont a supportsconvolutifs et R ∗ (S ∗ T ) = (R ∗ S) ∗ T .



Voyons maintenant un cas particulier important.

Proposition 8.1.6. Soit S ∈ D′(Rd;C) et f ∈ C∞c (Rd;C). Alors supp f =suppTf , S et Tf sont a supports convolutifs et il existe g ∈ C∞(Rd;C) telleque S ∗ Tf = Tg. De plus, pour tout x ∈ Rd, g(x) = S(f(x− ·)), ou f(x− ·) :Rd −→ C associe a y le complexe f(x− y).


8.2 Continuite de la convolution de distributions.

Les proprietes de continuite de la convolution de distributions sont plutotpauvres. Par exemple, supposons qu’on ait deux suites (Sn)n∈N et (Tn)n∈Nde distributions sur Rd telles que, pour chaque n ∈ N, Sn et Tn sont a sup-ports convolutifs. On suppose de plus que (Sn)n∈N converge vers S, (Tn)n∈Nconverge vers T et que S et T sont a supports convolutifs. La convergencede (Sn ∗ Tn)n∈N vers S ∗ T peut etre fausse ! Voici un contre-exemple dansD′(R;C). Pour tout n ∈ N, on pose Sn = δn et Tn = δ−n. On a Sn → 0 etTn → 0 dans D′(R;C). Mais, pour tout n ∈ N, Sn ∗ Tn = δ0 6= 0.

Definition 8.2.1. Soit A,B deux parties de Rd. On dit qu’elles sont convo-lutives si, pour tout R > 0, il existe M > 0 tel que

(x; y) ∈ A×B ; x+ y ∈ B(0;R]⊂ B(0;M ]×B(0;M ] = B(0;M ]2 .

On remarque que deux distributions S et T sont a supports convolutifs sileurs supports sont convolutifs.

Theoreme 8.2.2. Soit (Sn)n∈N et (Tn)n∈N deux suites dans D′(Rd;C) quiconvergent dans D′(Rd;C) vers S et T , respectivement. On suppose, de plus,qu’il existe deux parties A et B convolutives et N ∈ N tels que, pour n ≥ N ,suppSn ⊂ A et suppTn ⊂ B. Alors S et T sont a supports convolutifs et(Sn ∗ Tn)n∈N vers S ∗ T dans D′(Rd;C).

Demonstration. .......


8.3 Convolution et transformation de Fourier.

Pour f, g ∈ L1(Rd;C), on sait que f ∗ g ∈ L1(Rd;C). Par le theoreme deFubini, on a, presque partout pour ξ ∈ Rd,∫

Rde−ix·ξ(f ∗ g)(x) dx =

∫R2d

e−i(x+y)·ξf(x)g(y) dxdy

=

(∫Rde−ix·ξf(x) dx

)·(∫

Rde−iy·ξg(y) dy

)donc f ∗ g(ξ) = f(ξ) · g(ξ). On va generaliser ce resultat au cas deux cassuivants : S ∈ S ′(Rd;C) et T = T tf , pour f ∈ S(Rd;C) ; S ∈ S ′(Rd;C) et

T ∈ E ′(Rd;C). Pour ce faire, on va utiliser dans chaque cas une definitionappropriee de la convolution.

Proposition 8.3.1. Soit f ∈ S(Rd;C) et S ∈ S ′(Rd;C). Pour tout x ∈ Rd,l’application f(x − ·) : Rd −→ C, qui associe a y le complexe f(x − y),appartient S(Rd;C). La fonction g : Rd −→ C donnee par g(x) = S(f(x−·))est bien definie et appartient a OM(Rd;C). On note f ∗ S = g. De plus,F ′(T tg) = F(f) · F ′(S).


Maintenant considerons E ∈ E ′(Rd;C) et S ∈ S ′(Rd;C). On identifie E avecsa restriction a D(Rd;C), qui est une distribution a support compact. Onnote par Sr la restriction de S a D(Rd;C), qui est une distribution. E et Srsont a supports convolutifs.On note encore par Iv l’application de D(Rd;C) dans lui-meme qui a ϕ as-socie x 7→ ϕ(−x). Cette application est continue et on note encore par I ′vl’application de D′(Rd;C) dans lui-meme qui a T associe T Iv, qui est aussicontinue.

Lemme 8.3.2. Pour f ∈ D(Rd;C), I ′v(E) ∗ Tf = Tf ′ ou, pour tout x ∈ Rd,f ′(x) = (I ′v(E))(f(x−·)), et f ′ ∈ C∞c (Rd;C), par la proposition 8.1.6. On a,pour tout ϕ ∈ D(Rd;C), (E ∗ Sr)(ϕ) = Sr(ϕ

′).


Ensuite, on montre la variante suivante de la proposition 8.1.6.


Lemme 8.3.3. Pour f ∈ S(Rd;C) et E ∈ E ′(Rd;C), il existe g ∈ S(Rd;C)telle que Tf ∗ E = Tg et l’application f 7→ g est continue sur S(Rd;C).

Grace a ces preliminaires, on peut montrer la

Proposition 8.3.4. Soit E ∈ E ′(Rd;C) et S ∈ S ′(Rd;C). Alors E∗Sr s’etenda une distribution temperee notee E ∗ S. De plus, il existe g ∈ OM(Rd;C)telle que F ′(E ∗ S) = gF ′(S) et T tg = F ′(E).


9 Applications.

On va voir quelques applications des proprietes des distributions qui ont etevues dans les paragraphes precedents.

9.1 Proprietes de densite.

Proposition 9.1.1. Soit E un espace vectoriel localement convexe. Soit Fune partie de E ′ telle que, pour tout T ∈ E ′, il existe une suite d’elements deF qui converge vers T dans E ′ (pour la topologie ∗ faible). Alors F est densedans E (pour la topologie ∗ faible).


Au moyen de l’application k3 du theoreme 6.7.10, on peut injecter D(Ω;C)dans son dual D′(Ω;C).

Proposition 9.1.2. Pour tout T ∈ D′(Ω;C), il existe une suite (gn)n∈N dansD(Ω;C) telle que (Tgn)n∈N converge vers T dans D′(Ω;C).En particulier, l’espace D(Ω;C) (= k3(D(Ω;C))) est dense dans son dualD′(Ω;C).

Demonstration. ........


De meme, on peut utiliser l’application j du theoreme 6.7.8 pour injecterD(Rd;C) dans l’espace S ′(Rd;C).

Proposition 9.1.3. Pour tout S ∈ S ′(Rd;C), il existe une suite (gn)n∈Ndans D(Rd;C) telle que (T tgn)n∈N converge vers S dans S ′(Rd;C).En particulier, l’espace D(Rd;C) (= j(D(Rd;C))) est dense dans S ′(Rd;C).

Demonstration. ........

9.2 Operateurs differentiels et solutions fondamentales.

Definition 9.2.1. Soit m ∈ N. Soit (aα)|α|≤m une famille de fonction C∞

sur Ω a valeurs dans C. L’operateur

P (x, ∂x) =∑|α|≤m

aα∂α

est un operateur differentiel sur Ω.

Par la formule de Leibnitz, on voit qu’un operateur∑|α|≤m ∂

α bα peut se

mettre sous la forme∑|α|≤m aα∂

α.

Proposition 9.2.2. Un operateur differentiel P (x, ∂x) sur Ω est continu surD(Ω;C). Il est aussi continue sur D′(Ω;C).Si Ω = Rd et si ses coefficients aα appartiennent a OM(Rd;C), alors unoperateur differentiel P (x, ∂x) est continue sur S(Rd;C) et sur S ′(Rd;C).Si T ∈ D′(Ω;C) alors suppsingP (x, ∂x)T ⊂ suppsing T .


On remarque que, si ϕ ∈ D(Ω;C) et T ∈ D′(Ω;C), on a

(P (x, ∂x)T

)(ϕ) = T

(∑|α|≤m

(−1)|α|(∂α aα)(ϕ)

)= T

(∑|α|≤m

bα∂αϕ

),

pour des coefficients bα de classe C∞. On note par P T (x, ∂x) l’operateur∑|α|≤m(−1)|α|∂α aα.


Definition 9.2.3. Un operateur differentiel P (x, ∂x) est dit hypoelliptique si,pour tout T ∈ D′(Ω;C), suppsing T = suppsingP (x, ∂x)T .

D’apres la proposition 9.2.2, l’hypoellipticite de d’un operateur differentielP (x, ∂x) se caracterise par le fait que, pour toute distribution T , on aitsuppsing T ⊂ suppsingP (x, ∂x)T .

Dans ce cours, on se limite a quelques resultats sur les operateurs differen-tiels a coefficients constants sur Rd (i.e. lorsque toutes les fonctions aα sontconstantes).

Definition 9.2.4. Soit P (∂x) un operateur differentiel a coefficients constantssur Rd. Une distribution E ∈ D′(Rd;C) est une solution fondamentale deP (∂x) si P (∂x)E = δ0. Une distribution F ∈ D′(Rd;C) est une parametricede P (∂x) si suppsing (P (∂x)E − δ0) = ∅.

L’interet des solutions fondamentales est donne par le

Theoreme 9.2.5. Soit P (∂x) un operateur differentiel a coefficients constantssur Rd.L’operateur P (∂x) admet une solution fondamentale.Si E est une solution fondamentale de P (∂x) et si S ∈ E ′(Rd;C) alorsE ∗ S est une solution de l’equation d’inconnue U ∈ D′(Rd;C) donnee parP (∂x)U = S.L’operateur P (∂x) est hypoelliptique si et seulement si toutes ses solutionsfondamentales sont C∞ sur Rd \ 0 si et seulement si une solution fonda-mentale de P (∂x) est C∞ sur Rd \ 0 si et seulement si P (∂x) admet uneparametrice qui est C∞ sur Rd \ 0.

Dire qu’une distribution E ∈ D′(Rd;C) est C∞ sur Rd \ 0 signifie qu’ilexiste une fonction g : Rd −→ C, localement integrable et de classe C∞

sur Rd \ 0 telle que Tg = E. Autrement dit, E est C∞ sur Rd \ 0 si etseulement si suppsingE ⊂ 0.


Remarque 9.2.6. On peut montrer que, pour d ≥ 3, la distribution E = Tfou f est la fonction localement integrable donnee par f(x) = |x|2−d est une


solution fondamentale du Laplacien

−∆ :=d∑i=1

(−∂2xi

) .

Comme f est C∞ sur Rd \ 0, le Laplacien est hypoelliptique, par le theo-reme 9.2.5.

Definition 9.2.7. Soit P (∂x) un operateur differentiel a coefficients constantssur Rd. On dit qu’il est elliptique si, pour tout ξ 6= 0, P (ξ) 6= 0.

Theoreme 9.2.8. Soit P (∂x) un operateur differentiel a coefficients constantssur Rd. Si P (∂x) est elliptique alors P (∂x) est hypoelliptique.


9.3 Espaces de Sobolev.

Pour une fonction u ∈ L2(Ω;C) et α ∈ Nd, on notera par ∂αu la distribu-tion ∂α(Tu). Lorsque ∂αu = Tv pour une certaine fonction v ∈ L2(Ω;C), onidentifiera ∂αu et v. Parfois, ∂αu designera la distribution temperee ∂α(T tu).

Definition 9.3.1. Soit m ∈ N. L’espace de Sobolev sur Ω d’indice m est lesous-espace vectoriel de L2(Ω;C) donne par

Hm(Ω;C) =u ∈ L2(Ω;C) ; ∀α ∈ Nd avec |α| ≤ m, ∂αu ∈ L2(Ω;C)

.

Dire que ∂αu ∈ L2(Ω;C) signifie qu’il existe v ∈ L2(Ω;C) telle que ∂αu = Tv.

Exemple 9.3.2. Pour tout ε > 0, la fonction uε donnee par uε(x) = |x|1/2+ε

appartient a H1(]− 1; 1[;C). On remarque aussi que, si u est C1 sur ]− 1; 1[avec u et u′ bornees alors u ∈ H1(]− 1; 1[;C).

Proposition 9.3.3. Pour m ∈ N, Hm(Ω;C) est un espace de Hilbert pour leproduit scalaire

〈u , v〉 =∑|α|≤m

∫Ω

∂αu · ∂αv dx .



Proposition 9.3.4. Soit m ∈ N.Pour tout u ∈ Hm(Ω;C), il existe une suite (gn)n∈N dans D(Ω;C) telle que(gn)n∈N converge vers u dans Hm(Ω;C).En particulier, l’espace D(Ω;C) est dense dans Hm(Ω;C).


On se place maintenant sur Rd et on definit une famille plus large d’espacesde Sobolev.

Definition 9.3.5. Soit s ∈ R. L’espace de Sobolev sur Rd d’indice s estdonne par

Hs(Rd;C) =u ∈ S ′(Rd;C) ; F ′(u) ∈ L2

(Rd;C; 〈ξ〉2s dξ

).

On a pose 〈ξ〉 = (1 + |ξ|2)1/2.Dans le cas Ω = Rd et s ∈ N, la definition est coherente avec la defini-tion 9.3.1, comme le montre la proposition 9.3.6 ci-dessous.

Proposition 9.3.6. Pour s ∈ R, Hs(Rd;C) est un espace de Hilbert pour leproduit scalaire

〈u , v〉 =

∫RdF ′(u)(ξ) · F ′(v)(ξ) · 〈ξ〉2s dξ .

Si s = m alors Hs(Rd;C) coıncide avec l’espace Hm(Rd;C) donne par ladefinition 9.3.1. De plus, les deux produits scalaires definissent des normesequivalentes sur Hm(Rd;C).Pour s ∈ R, l’espace D(Rd;C) est dense dans Hs(Rd;C).


Proposition 9.3.7. Pour s ∈ R, on peut identifier le dual de l’espace de Hil-bert Hs(Rd;C) a H−s(Rd;C) par l’application lineaire bijective et bicontinueA : H−s(Rd;C) −→ (Hs(Rd;C))′ donnee par

Au : Hs(Rd;C) 3 v 7→∫RdF ′(u)(ξ) · F ′(v)(ξ) dξ .



10 Appendice 1 : Espaces de fonctions conti-

nues.

10.1 Convergence uniforme.

Definition 10.1.1. Pour des espaces topologiques X et Y , on note parC(X, Y ) l’ensemble des fonctions de X dans Y qui sont continues. LorsqueY est un espace metrique, on note par B(X, Y ) l’ensemble des fonctions deX dans Y qui sont bornees, et on pose Cb(X, Y ) = C(X, Y ) ∩ B(X, Y ).

Remarque 10.1.2. Lorsque X est compact et Y un espace metrique, C(X, Y ) =Cb(X, Y ).

Proposition 10.1.3. Soit X un espace topologique et (Y, d) un espace me-trique. L’application

d∞ : B(X, Y )× B(X, Y ) → R+

definie par, pour f, g ∈ B(X, Y ),

d∞(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x)

),

est une distance sur B(X, Y ).


Definition 10.1.4. Soit (fn)n ∈ (Y X)N une suite de fonctions de X dans(Y, d) (espace metrique) et f : X → Y . (fn)n converge vers f uniformementsi

limn

supx∈X

d(fn(x), f(x)

)= 0 .

Proposition 10.1.5. On suppose que (fn)n converge vers f uniformement.fn ∈ B(X, Y ), pour n assez grand, equivaut a f ∈ B(X, Y ). fn ∈ C(X, Y ),pour n assez grand, implique f ∈ C(X, Y ).


Theoreme 10.1.6. Soit X un espace topologique et (Y, d) un espace metriquecomplet. Les ensembles (B(X, Y ), d∞) et (Cb(X, Y ), d∞) sont des espaces me-triques complets.


Demonstration. Soit (fn)n une suite de Cauchy dans (B(X, Y ), d∞). Soitx ∈ X. (fn(x))n est donc une suite de Cauchy dans (Y, d) qui est complet.Elle converge vers un certain f(x). Ceci definit f : X → Y . Comme (fn)nune suite de Cauchy dans (B(X, Y ), d∞), on voit que (fn)n converge unifor-mement vers f . Par la proposition 10.1.5, f ∈ B(X, Y ) donc (fn)n convergevers f pour d∞. (B(X, Y ), d∞) est donc complet.Soit (fn)n ∈ (Cb(X, Y ))N qui converge vers f ∈ B(X, Y ) pour d∞. Elleconverge donc uniformement vers f . Par la proposition 10.1.5, f ∈ Cb(X, Y ).Donc Cb(X, Y ) est ferme dans le complet (B(X, Y ), d∞). Il est donc completaussi.

Remarque 10.1.7. Lorsque X est compact et Y un espace metrique complet,C(X, Y ) est complet pour la distance d∞.

10.2 L’espace de Banach C(X,K), avec X compact etK = R ou C.

D’apres la remarque 10.1.7, C(X,K) est complet pour d∞. Mais C(X,K) estun espace vectoriel sur K. Muni de la norme

‖f‖∞ = supx∈X|f(x)|

qui est associee a la distance d∞, c’est un evn. Comme (C(X,K), ‖ · ‖∞) a lameme topologie que (C(X,K), d∞), il est complet.

Definition 10.2.1. Un evn est de Banach s’il est complet.

Proposition 10.2.2. Soit E un espace de Banach sur K. Une serie d’ele-ments de E qui converge absolument converge dans E et la norme de lasomme est inferieure ou egale a la somme des normes.


Corollaire 10.2.3. Soit X un espace topologique compact. Soit (un)n unesuite de fonctions continues sur X a valeurs dans K. Si

∞∑n=0

‖un‖∞ < +∞ ,

alors la serie de fonctions∑un converge uniformement vers une fonction de

C(X,K).


Demonstration. Comme C(X,K) est un Banach, il suffit d’appliquer la pro-position 10.2.2.

10.3 Theoreme d’Ascoli.

Definition 10.3.1. Une partie A d’un espace topologique E est relativementcompacte si son adherence A est compacte.

Proposition 10.3.2. Soit X et Y deux espaces topologiques, Y etant separe,et f : X → Y une application continue. Si A est une partie relativementcompacte de X alors f(A) est une partie relativement compacte de Y .

Demonstration. Comme A ⊂ A, f(A) ⊂ f(A) et f(A) ⊂ f(A). Comme A estcompacte et f continue, f(A) est compacte. Comme Y est separe, f(A) estaussi fermee. D’ou f(A) ⊂ f(A). f(A) est donc un ferme dans un compactdonc il est compact.

Proposition 10.3.3. Soit (X, d) un espace metrique complet et A ∈ P(X).A est relativement compact si et seulement si A est precompact.

Demonstration. Par le theoreme 2.4.3, A est relativement compact si et seule-ment si A est precompact et complet. Comme X est complet, A est un fermedans un complet donc complet.

Definition 10.3.4. Soit X un espace topologique separe et (Y, d) un espacemetrique. Soit a ∈ X. Une famille A d’applications definie sur X et a valeursdans Y est equicontinue en a

∀ε > 0,∃V ∈ V(a); ∀f ∈ A,∀x ∈ X, x ∈ V ⇒ d(f(x), f(a)

)< ε .

A est equicontinue sur X si elle est equicontinue en tout a de X.

Proposition 10.3.5. Soit X un espace topologique separe et (Y, d) un espacemetrique.

1). Toute fonction appartenant a une famille A ⊂ Y X equicontinue sur Xest continue sur X.

2). Toute partie finie A de C(X, Y ) est equicontinue sur X.



Theoreme 10.3.6. (Theoreme d’Ascoli) Soit X un espace topologiquecompact, (Y,d) un espace metrique complet et A ⊂ C(X, Y ). Les proprietessuivantes sont equivalentes :

1). A est relativement compacte dans C(X,Y ).

2). A est equicontinue sur X et, pour tout a ∈ X, f(a); f ∈ A estrelativement compact dans Y .

Demonstration.(1 ⇒ 2) : L’application δa : C(X, Y ) → Y , definie par δa(f) = f(a), est1-lipschitzienne donc continue. Par la proposition 10.3.2, f(a); f ∈ A =δa(A) est relativement compact. Soit ε > 0. Par hypothese, A est precompactdonc A aussi. Il existe donc J fini tel que :

A ⊂⋃j∈J

B∞(fj; ε/3[ .

Il s’agit de boules de (C(X, Y ), ‖ · ‖∞). Soit a ∈ X. Par la proposition 10.3.5,fj, j ∈ J est equicontinue en a donc, il existe V ∈ V(a) tel que, pour toutj ∈ J ,

x ∈ V ⇒ d(fj(x), fj(a)

)< ε/3 .

Pour x ∈ V et f ∈ A, il existe j ∈ J tel que ‖f − fj‖∞ < ε/3 donc

d(f(x), f(a)

)≤ d(f(x), fj(x)

)+d(fj(x), fj(a)

)+d(fj(a), f(a)

)< 3ε/3 = ε .

(2⇒ 1) : Par la proposition 10.3.3, il suffit de montrer que A est precompact.Soit ε > 0. Pour tout x ∈ X, il existe un ouvert U(x) ∈ V(x) tel que, pourtout f ∈ A,

y ∈ U(x)⇒ d(f(x), f(y)

)< ε/8 .

Comme X est compact, il existe x1, · · · , xn tel que

X ⊂n⋃i=1

U(xi) .

Pour 1 ≤ i ≤ n, f(xi); f ∈ A est precompact. Donc leur reunion aussi. Ilexiste donc m ∈ N et des points y1, · · · , ym ∈ Y tels que

n⋃i=1

f(xi); f ∈ A ⊂m⋃j=1

B(yj, ε/8[ .

Pour ϕ : [1;n]→ [1;m], soit

Aϕ =f ∈ A;∀i, f(xi) ∈ B(yϕ(i), ε/8[

.


Pour f ∈ A, il existe ϕ telle que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, f(xi) ∈ B(yϕ(i), ε/8[,donc f ∈ Aϕ. D’ou

A =⋃ϕ

Aϕ ,

ϕ decrivant un ensemble fini. Pour f, f ′ ∈ Aϕ et x ∈ X, il existe i tel quex ∈ U(xi) donc

d(f(x), f ′(x)

)≤ d

(f(x), f(xi)

)+ d(f(xi), yϕ(i)

)+ d(yϕ(i), f

′(xi))

+ d(f ′(xi), f

′(x))< ε/2 .

D’ou ‖f − f ′‖∞ ≤ ε/2. En choisissant une fonction fϕ dans Aϕ, on a Aϕ ⊂B∞(fϕ, ε/2]. On montre que

A ⊂⋃ϕ

B∞(fϕ, ε[ .

Soit g ∈ A. Il existe ϕ, f ∈ Aϕ avec ‖g−f‖∞ < ε/2. Donc ‖g−fϕ‖∞ < ε.

10.4 Theoreme de Stone-Weierstrass.

Lemme 10.4.1. Soit ψ : [0; 1] → R+ definie par ψ(t) = 1 −√

1− t. ψ estcontinue, C∞ sur [0; 1[, ses derivees sont positives et ψ est limite uniformesur [0; 1] de sa serie de Taylor en 0 :

limn

supt∈[0;1]

|ψ(t)− Pn(t)| = 0 avec Pn(t) =n∑k=0

ψ(k)(0)

k!tk .


Soit X un espace topologique compact et K = R ou C.

Definition 10.4.2. Une partie A de C(X,K) est une sous-algebre de C(X,K)si A est un sous-espace vectoriel de C(X,K) stable par le produit.

Proposition 10.4.3. L’adherence d’une sous-algebre A de C(X,K) est unesous-algebre de C(X,K).


Demonstration. Soit λ, µ ∈ K, f, g ∈ A. Il existe des suites (fn)n et (gn)nd’elements de A telles que fn → f et gn → g pour la norme ‖·‖∞ de C(X,K).Comme A est l’adherence de A et comme

λfn + µgn → λf + µg et fngn → fg ,

pour ‖ · ‖∞ , A est une sous-algebre de C(X,K).

Lemme 10.4.4. Soit A une sous-algebre de C(X,K) verifiant


2). Pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′, il existe f ∈ A telle que f(x) 6=f(x′).

Soit x 6= x′ ∈ X et y, y′ ∈ K. Il existe f ∈ A telle que f(x) = y et f(x′) = y′.

Demonstration. Il existe g ∈ A telle que g(x) 6= g(x′). La fonction

f = y + (y′ − y)g − g(x)

g(x′)− g(x)

convient.

Theoreme 10.4.5. (Theoreme de Stone-Weierstrass, cas reel). SoitX un espace topologique compact et A une sous-algebre de C(X,R) telle que




Demonstration. Pour f ∈ A avec f ≥ 0 et f 6= 0,√f =

√‖f‖∞

(1− ψ(1− f/‖f‖∞)

),

donc√f ∈ A. Pour f ∈ A, |f | =

√f 2 ∈ A, max(f ; 0) = (f + |f |)/2 ∈ A,

min(f ; 0) = (f − |f |)/2 ∈ A. Si g ∈ A, alors max(f ; g) = (f + g + |f −g|)/2 ∈ A et min(f ; g) = (f + g − |f − g|)/2 ∈ A. Par recurrence, on endeduit que, pour tout n, pour tout g1, · · · , gn ∈ A, max(g1; · · · ; gn) ∈ A etmin(g1; · · · ; gn) ∈ A.Soit g ∈ C(X,R) et ε > 0. Il suffit de montrer qu’il existe f ∈ A telle que

‖f − g‖∞ < ε (car A = A). Par le lemme 10.4.4,

∀x, x′ ∈ X , x 6= x′ ⇒(∃h ∈ A; h(x) = g(x) et h(x′) = g(x′)

)(∗) .


Soit x ∈ X fixe. Ix := k ∈ A; k(x) = g(x) est non vide. Pour k ∈ Ix,

Uk := x′ ∈ X; k(x′) > g(x′)− ε = (k − g)−1(]− ε; +∞[)

est un voisinage ouvert de x. D’apres (∗), pour tout x′ ∈ X \ x, il existeh ∈ Ix telle que y ∈ Uh. Donc X ⊂ ∪h∈IxUh. Comme X est compact, il existeh1x, · · · , hnx ∈ Ix telles que X ⊂ ∪1≤i≤nUhix . Donc hx = max(h1

x, · · · , hnx) ∈ Ixet, pour tout x′ ∈ X, x′ ∈ Uhix pour un certain i donc hx(x

′) ≥ hix(x′) >

g(x′)− ε. En particulier hx appartient a

I = h ∈ A; ∀x′ ∈ X, h(x′) > g(x′)− ε .

Pour h ∈ I, on considere l’ouvert

Vh := x′ ∈ X;h(x′) < g(x′) + ε = (h− g)−1(]−∞; ε[) .

Pour tout x ∈ X, x ∈ Vhx . DoncX ⊂ ∪h∈IVh. CommeX est compact, il existeh1, · · · , hm ∈ I telles que X ⊂ ∪1≤i≤nVhi . Alors f = min(h1, · · · , hm) ∈ I et,pour tout x′ ∈ X, il existe un i tel que x′ ∈ Vhi donc f(x′) ≤ hi(x

′) < g(x′)+ε.Conclusion

∀x′ ∈ X, g(x′)− ε < f(x′) < g(x′) + ε ,

c’est-a-dire ‖f − g‖∞ < ε.

Remarque 10.4.6. On peut remplacer l’hypothese 1) du theoreme par l’hy-pothese plus faible : ∀x ∈ X, ∃f ∈ A ; f(x) 6= 0. Voir paragraphe 10.5.






Demonstration. Soit AR = f ∈ A; f = f. C’est une sous-algebre deC(X,R) qui contient la fonction 1. Si x 6= x′, il existe f ∈ A tel que f(x) 6=f(x′). Donc, <(f)(x) 6= <(f)(x′) ou =(f)(x) 6= =(f)(x′) avec <(f),=(f) ∈AR. Par le theoreme Stone-Weierstrass reel (cf. theoreme 10.4.5), AR estdense dans C(X,R). Donc A = AR + iAR est dense dans C(X,C).


Corollaire 10.4.8. (Theoreme de Weierstrass). Pour tout [a; b] ⊂ R,l’ensemble des fonctions polynomiales est dense dans C([a; b],R).

Demonstration. Soit A la R-algebre des fonctions polynomiales sur [a; b].C’est une sous-algebre de C([a; b],R) et elle contient la fonction 1. Si x 6= x′

dans [a; b], la fonction f(t) = (t−x)/(x′−x) est polynomiale et verifie f(x) =0 6= 1 = f(x′). Le theoreme de Stone-Weierstrass reel (cf. theoreme 10.4.5)donne le resultat.

Corollaire 10.4.9. Soit S1 = z ∈ C; |z| = 1. L’ensemble des polynomesen z et z est dense dans C(S1,C).

Demonstration. Soit A la C-algebre des fonctions polynomiales en z et z surS1, qui est compact. Elle contient la fonction 1, elle est stable par passage auconjugue. Si y 6= y′ dans S1, P (z) = (z− y)/(y′− y) appartient a A et verifieP (y) = 0 6= 1 = P (y′). Par le theoreme de Stone-Weierstrass complexe (cf.theoreme 10.4.7), A est dense dans C(S1,C).

Corollaire 10.4.10. L’ensemble des polynomes trigonometriques∑N

n=m aneinx

avec an ∈ C, n ∈ Z, est dense dans l’espace C des fonctions continues, 2π-periodiques sur R et a valeurs dans C.

Demonstration. Pour z = eix, on a z = e−ix. Donc l’application Φ : C(S1,C)→C definie par Φ(f)(x) = f(eix) est un homeomorphisme qui envoie les poly-nomes en z et z sur les polynomes trigonometriques. Comme les premierssont denses dans C(S1,C) par le corollaire precedant, les derniers sont densesdans C.

10.5 Complement : Version plus generale du theoremede Stone-Weierstrass.

Theoreme 10.5.1. (Theoreme de Dini). Soit X un espace metrique com-pact. Si (fn)n est une suite monotone de fonctions continues de X dans Rqui converge simplement vers une fonction continue g alors la convergenceest uniforme.



Lemme 10.5.2. Il existe une suite (un)n de fonctions polynomes reelles,convergeant uniformement sur [0; 1] vers t 7→

√t et verifiant, pour tout n,

un(0) = 0.

Demonstration. On definit (un)n par recurrence en posant u0 = 0 et, pourtout n, pour tout t ∈ [0; 1],

un+1(t) = un(t) +(t− un(t)2

)/2 (∗).

Par recurrence, on montre que, pour tout n, un+1 ≥ un, un(0) = 0 et, pourtout t ∈ [0; 1], un(t) ≤

√t. Pour t fixe, la suite (un(t))n est croissante majoree

donc converge vers un certain v(t) ∈ [0;√t]. Par passage a la limite dans (∗),

v(t) = v(t) +(t− v(t)2

)/2 soit v(t) =

√t. La fonction v est donc continue et,

par le theoreme de Dini (cf. theoreme 10.5.1), (un)n converge uniformementvers v.

Lemme 10.5.3. Soit A une sous-algebre de C(X,R) verifiant

1). ∀x ∈ X, ∃f ∈ A ; f(x) 6= 0.

2). Pour tous x, x′ ∈ X tels que x 6= x′, il existe f ∈ A telle que f(x) 6=f(x′).

Soit x 6= x′ ∈ X. Il existe f ∈ A telle que f(x) 6= 0, f(x′) 6= 0 et f(x) 6= f(x′).Pour a, b ∈ R, il existe f ∈ A telle que f(x) = a et f(x′) = b.

Demonstration. Soit x 6= x′ dans X. Il existe g ∈ A telle que g(x) < g(x′).Si 0 < g(x) < g(x′) ou g(x) < g(x′) < 0, g convient. On considere le cas0 = g(x) < g(x′) (si g(x) < g(x′) = 0, on s’y ramene en changeant g en −g eten echangeant x et x′). Il existe h ∈ A telle que h(x) > 0. Soit a > 0 tel que2a‖h‖∞ < g(x′) et posons f = g+ah ∈ A. 0 < g(x)+ah(x) = f(x) < a‖h‖∞et a‖h‖∞ < g(x′)− a‖h‖∞ ≤ g(x′) + ah(x′) = f(x′).On cherche f sous la forme αf + βf 2, α, β ∈ R. Les conditions f(x) = a etf(x′) = b forment un systeme lineaire dont le determinant

f(x)f(x′)(f(x′)− f(x)) 6= 0 .

Un choix de α, β convient donc.

Theoreme 10.5.4. (Theoreme de Stone-Weierstrass, cas reel). SoitX un espace topologique compact et A une sous-algebre de C(X,R) telle que

1). ∀x ∈ X, ∃f ∈ A ; f(x) 6= 0.




Demonstration. Pour f ∈ A avec f ≥ 0 et pour la norme ‖ · ‖∞ de C(X,R),√f = limun(f), par le lemme 10.5.2. Pour tout n, un(f) ∈ A car un(0) = 0.

D’ou√f ∈ A. Pour f ∈ A, |f | =

√f 2 ∈ A, max(f ; 0) = (f + |f |)/2 ∈ A,

min(f ; 0) = (f − |f |)/2 ∈ A. Si g ∈ A, alors max(f ; g) = (f + g + |f −g|)/2 ∈ A et min(f ; g) = (f + g − |f − g|)/2 ∈ A. Par recurrence, on endeduit que, pour tout n, pour tout g1, · · · , gn ∈ A, max(g1; · · · ; gn) ∈ A etmin(g1; · · · ; gn) ∈ A.Soit g ∈ C(X,R) et ε > 0. Il suffit de montrer qu’il existe f ∈ A telle que

‖f − g‖∞ ≤ ε (car A = A). Par le lemme 10.5.3,

∀x, x′ ∈ X , x 6= x′ ⇒(∃h ∈ A; h(x) = g(x) et h(x′) = g(x′)

)(∗) .

Soit x ∈ X fixe. Ix := k ∈ A; k(x) = g(x) est non vide. Pour k ∈ Ix,

Uk := x′ ∈ X; k(x′) > g(x′)− ε = (k − g)−1(]− ε; +∞[)

est un voisinage ouvert de x. D’apres (∗), pour tout x′ ∈ X \ x, il existeh ∈ Ix telle que x′ ∈ Uh. Donc X ⊂ ∪h∈IxUh. Comme X est compact, il existeh1x, · · · , hnx ∈ Ix telles que X ⊂ ∪1≤i≤nUhix . Donc hx = max(h1

x, · · · , hnx) ∈ Ixet, pour tout x′ ∈ X, x′ ∈ Uhix pour un certain i donc hx(x

′) ≥ hix(x′) >

g(x′) − ε. En particulier hx appartient a I = h ∈ A; ∀x′ ∈ X, h(x′) >g(x′)− ε. Pour h ∈ I, on considere l’ouvert

Vh := x′ ∈ X;h(x′) < g(x′) + ε = (h− g)−1(]−∞; ε[) .

Pour tout x ∈ X, x ∈ Vhx . DoncX ⊂ ∪h∈IVh. CommeX est compact, il existeh1, · · · , hm ∈ I telles que X ⊂ ∪1≤i≤nVhi . Alors f = min(h1, · · · , hm) ∈ I et,pour tout x′ ∈ X, il existe un i tel que x′ ∈ Vhi donc f(x′) ≤ hi(x

′) < g(x′)+ε.Conclusion

∀x′ ∈ X, g(x′)− ε < f(x′) < g(x′) + ε ,

c’est-a-dire ‖f − g‖∞ ≤ ε.


1). ∀x ∈ X, ∃f ∈ A ; f(x) 6= 0.





Demonstration. Soit AR = f ∈ A; f = f. C’est une sous-algebre deC(X,R). Pour x ∈ X, il existe f ∈ A telle que f(x) 6= 0. Donc <(f)(x) 6=0 ou =(f)(x) 6= 0 avec <(f),=(f) ∈ AR. Si x 6= x′, il existe f ∈ Atel que f(x) 6= f(x′). Donc, <(f)(x) 6= <(f)(x′) ou =(f)(x) 6= =(f)(x′)avec <(f),=(f) ∈ AR. Par le theoreme Stone-Weierstrass reel (cf. theo-reme 10.5.4), AR est dense dans C(X,R). Donc A = AR + iAR est densedans C(X,C).

11 Appendice 2 : Espaces de Hilbert.

11.1 Espaces prehilbertiens.

Definition 11.1.1. Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C. Un produitscalaire sur E est une application 〈·, ·〉 : E × E → K verifiant :

1). ∀x, y ∈ E, 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∈ K ;

2). ∀x, z, z′ ∈ E, ∀a, b ∈ K, 〈z + ax, z′〉 = 〈z, z′〉+ a〈x, z′〉 ;3). ∀x, z, z′ ∈ E, ∀a, b ∈ K, 〈z, z′ + ax〉 = 〈z, z′〉+ a〈z, x〉 ;4). ∀x ∈ E, 〈x, x〉 ∈ R+ ;

5). 〈x, x〉 = 0 si et seulement si x = 0.

Un espace prehilbertien E sur K est un K-espace vectoriel muni d’un produitscalaire 〈·, ·〉.

Proposition 11.1.2. Dans un espace prehilbertien (E, 〈·, ·〉), E 3 x 7→〈x, x〉1/2 est une norme ‖ · ‖ verifiant, pour tous x, y ∈ E,

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖ , (22)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 . (23)

Demonstration. On traite le cas K = C. On a ‖ax‖ =√aa〈x, x〉 = |a|‖x‖. Si

‖x‖ est nul alors x = 0 par le 5) de la definition 11.1.1. Si x = ay avec a ∈ C,


(22) est une egalite. Supposons x 6∈ Cy et posons 〈x, y〉 = reis avec r, s ∈ R.R 3 t 7→ ‖x + te−isy‖2 est un polynome reel du second degre sans racinereelle donc son discriminant est strictement negatif : (2r)2 < 4‖x‖2‖y‖2, cequi donne (22) car |r| = |〈x, y〉|. Comme

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2<(〈x, y〉

), (24)

(22) donne l’inegalite triangulaire ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. En utilisant (24), onen deduit (23).

Proposition 11.1.3. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien sur K. Soit x, y ∈E. Pour K = R,

〈x, y〉 =(‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2

)/2 .

Pour K = C,

〈x, y〉 =(‖x+ y‖2 − i‖x+ iy‖2 − (1− i)‖x‖2 − (1− i)‖y‖2

)/2 .


Definition 11.1.4. Si 〈x, y〉 = 0, x et y sont orthogonaux (on note x ⊥ y).Une famille (xi)i∈I d’elements non nuls est orthogonale si, pour i 6= j, xi ⊥xj. Elle est orthonormale si, de plus, pour tout i, ‖xi‖ = 1.

Proposition 11.1.5. Pour toute famille orthogonale finie (xi)i∈I de E ettous (ai)i∈I ∈ KI , ∥∥∥∑

i∈I

aixi

∥∥∥2

=∑i∈I

|ai|2‖xi‖2 . (25)

En particulier, toute famille orthogonale est libre.

Demonstration. Exercice (utiliser (24) et une recurrence sur le cardinal del’ensemble I).

Definition 11.1.6. Un espace prehilbertien (E, 〈·, ·〉), complet pour la normeE 3 x 7→ 〈x, x〉1/2, est un espace de Hilbert.


11.2 Theoreme de projection.

Definition 11.2.1. Soit (H, 〈·, ·〉) un espace de Hilbert, x ∈ H et F ∈ P(H)\∅. La distance de x a F est

d(x, F ) := infy∈F‖x− y‖ .

L’orthogonal de F dans H est

F⊥ := x ∈ H;∀y ∈ F, 〈x, y〉 = 0 .

Remarque 11.2.2. F⊥ est toujours un sous-espace vectoriel ferme de H,F⊥ = (F )⊥ et F ⊂ (F⊥)⊥. Si F est un sous-espace de H alors la sommeF + F⊥ est directe.

Theoreme 11.2.3. Soit F un sous-espace vectoriel ferme d’un Hilbert H.

1). Il existe une unique application PF : H → F , appelee projection ortho-gonale sur F , telle que

∀x ∈ H , ‖x− PF (x)‖ = d(x, F ) .

2). PF est l’unique application f : H → F telle que

∀x ∈ H,∀y ∈ F, 〈x− PF (x), y〉 = 0 .

3). H = F ⊕F⊥. Le projecteur sur F associe a cette decomposition est PF(en particulier P 2

F = PF ). PF est lineaire continu de norme ≤ 1 et, siF 6= 0, ‖PF‖ = 1.

Demonstration. On suppose K = C. Soit x ∈ H. Il existe (yn)n ∈ FN telleque d(x, F ) = lim ‖x− yn‖. D’apres (23), pour tout n, p,

‖2x− yn+p − yn‖2 + ‖yn+p − yn‖2 = 2‖x− yn+p‖2 + 2‖x− yn‖2 ,

‖yn+p − yn‖2 ≤ 2‖x− yn+p‖2 + 2‖x− yn‖2 .

On en deduit que (yn)n est de Cauchy. Comme H est complet, (yn)n converge.Comme F est ferme, la limite appartient a F . On la note PF (x). Commed(x, F ) = lim ‖x − yn‖, d(x, F ) = ‖x − PF (x)‖, par continuite de la norme.Soit y ∈ F \ 0 et t ∈ R∗. Par la proposition 11.1.3,

<(〈x− PF (x), ty〉

)=(‖x− PF (x) + ty‖2 − ‖x− PF (x)‖2 − t2‖y‖2

)/2


≥(d(x, F )2 − d(x, F )2 − t2‖y‖2

)/2 ≥ −t2‖y‖2/2 .

En divisant par t et en faisant t→ 0, on voit que <(〈x−PF (x), y〉) ≥ 0. Parle meme calcul avec −y a la place de y, on obtient <(〈x− PF (x),−y〉) ≥ 0.D’ou <(〈x−PF (x), y〉) = 0. De meme, on montre que =(〈x−PF (x), y〉) = 0.Donc 〈x− PF (x), y〉 = 0.Soit f : H → F telle que

∀x ∈ H,∀y ∈ F, 〈x− f(x), y〉 = 0 .

Donc, pour x ∈ H et y ∈ F ,

‖x− y‖2 = ‖x− f(x)‖2 + ‖f(x)− y‖2 ≥ ‖x− f(x)‖2.

Donc ‖x− f(x)‖ = d(x, F ). f verifie donc

∀x ∈ H , ‖x− f(x)‖ = d(x, F ) .

Par (23), pour x ∈ H et y ∈ F ,

‖x− (f(x) + PF (x))/2‖2 + ‖(f(x)− PF (x))/2‖2

= 2‖(x− f(x))/2‖2 + 2‖(x− PF (x))/2‖2 = d(x, F )2.

Comme (f(x) + PF (x))/2 ∈ F , ‖x − (f(x) + PF (x))/2‖2 ≥ d(x, F )2, donc‖(f(x)− PF (x))/2‖2 = 0 et f(x) = PF (x).Comme, pour tout x ∈ H, x = PF (x) + (x − PF (x)) avec PF (x) ∈ F etx−PF (x) ∈ F⊥ et comme la somme F +F⊥ est directe (cf. remarque 11.2.2),H = F⊕F⊥ et PF est la projection sur le premier terme. PF est donc lineaire.Par orthogonalite, ‖x‖2 = ‖PF (x)‖2 + ‖x− PF (x)‖2 donc ‖PF (x)‖ ≤ ‖x‖ et‖PF‖ ≤ 1. Si y ∈ F \ 0 alors y = PF (y) donc ‖PF‖ = 1.

Corollaire 11.2.4. Si F est un sous-espace d’un Hilbert H, alors F =(F⊥)⊥. En particulier, la somme H = F ⊕ F⊥ est orthogonale. F est densedans H si et seulement si F⊥ = 0.

Demonstration. Par la remarque 11.2.2, F⊥

= F⊥ donc H = F ⊕ F⊥ par letheoreme 11.2.3.Montrons que F = (F⊥)⊥. Par la remarque 11.2.2, on sait que F ⊂ (F⊥)⊥.Si x ∈ (F⊥)⊥, x = x + x0 avec x ∈ F et x0 ∈ F⊥. Comme x ∈ (F⊥)⊥,

0 = 〈x, x0〉 = 0 + ‖x0‖2, car x0 ∈ F⊥ = F⊥

et x ∈ F . D’ou x0 = 0 et x ∈ F .Donc (F⊥)⊥ ⊂ F .

La somme H = F ⊕ F⊥ est orthogonale puisque F⊥

= F⊥ et (F⊥)⊥ = F .Comme H = F ⊕ F⊥, H = F ssi F⊥ = 0.


Theoreme 11.2.5. Soit H un Hilbert. L’application d : H → H ′ qui, a toutx ∈ H, associe l’application dx : H 3 y 7→ 〈x, y〉 ∈ K, est bien definie etantilineaire. C’est une isometrie de H sur H ′.

Demonstration. L’application dx est lineaire. Par Cauchy-Schwartz (cf. (22)),elle est continue et ‖dx‖ ≤ ‖x‖. d est donc bien definie. Comme dx(x) = ‖x‖2,‖dx‖ = ‖x‖. De plus, d est antilineaire d’apres les proprietes du produitscalaire. Il reste a montrer que d(H) = H ′.0 = d(0) ∈ d(H). Soit u ∈ H ′ \ 0. F = u−1(0) est un sous-espace strict etferme de H. Comme H = F⊕F⊥, a ∈ F⊥\0 ⇒ u(a) 6= 0. Si a, b ∈ F⊥\0,a − (u(a)/u(b))b ∈ F ∩ F⊥ donc il est nul et F⊥ est de dimension 1. Soita ∈ F⊥ \ 0, b = a/u(a) est une base de F⊥. Pour x ∈ H, x = y + λb avecy ∈ F et λ ∈ K. Donc u(x) = λu(b) = λ = 〈b/‖b‖2, x〉. D’ou u ∈ d(H).

Remarque 11.2.6. A cause du resultat precedent, on identifie souvent Het son dual H ′.

11.3 Bases hilbertiennes.

Definition 11.3.1. Soit E un evn. Un famille (ei)i∈I d’elements de E esttotale si elle engendre un sous-espace vectoriel F = vect(ei)i∈I dense dansE. E est separable s’il admet une famille denombrable dense.

Remarque 11.3.2. On admet qu’un evn E est separable si et seulement s’ilexiste une suite libre et totale dans E.

Definition 11.3.3. Une famille orthonormale et totale dans un espace deHilbert est une base hilbertienne.

Remarque 11.3.4. On peut montrer que tout espace de Hilbert admet unebase hilbertienne. On peut etablir des proprietes generales sur de telles baseset donner une description generale de tous les espaces de Hilbert. Dans cecours, on se limite aux espaces de Hilbert separables.

Proposition 11.3.5. Soit H un Hilbert separable. Il admet une base hilber-tienne.

Demonstration. Soit (an)n∈N une famille libre et totale. On va l’orthogo-naliser. Soit b0 = a0. Supposons construits b0, · · · , bn deux a deux ortho-gonaux tels que vect(b0, · · · , bn) = vect(a0, · · · , an) =: Fn. Soit bn+1 =


an+1 − PFn(an+1). Pour tout p ≤ n, 〈bn+1, bp〉 = 0 car bn+1 ∈ F⊥n (cf.2) du theoreme 11.2.3). De plus, bn+1 ∈ vect(a0, · · · , an, an+1) et an+1 ∈vect(b0, · · · , bn, bn+1) donc vect(b0, · · · , bn, bn+1) = vect(a0, · · · , an, an+1). Parrecurrence, la famille orthogonale (bn)n∈N est construite et vect(bn)n∈N =vect(an)n∈N donc elle est aussi totale. Pour tout n, posons cn = bn/‖bn‖.(cn)n∈N est une base hilbertienne.

Remarque 11.3.6. On a utilise le procede d’orthonormalisation de Gram-Schmidt pour construire la base hilbertienne (cn)n∈N a partir de (an)n∈N.

Proposition 11.3.7. Soit H un Hilbert separable.

1). Si (en)n∈N une famille orthonormale, alors, pour tout x ∈ H, (〈en, x〉)n ∈`2 et on a l’inegalite de Bessel

∞∑n=0

∣∣〈en, x〉∣∣2 ≤ ‖x‖2 . (26)

2). Si (en)n∈N une base hilbertienne, alors, pour x, y ∈ H, on a les identitesde Parseval

∞∑n=0

∣∣〈en, x〉∣∣2 = ‖x‖2 , (27)

∞∑n=0

〈en, x〉〈en, y〉 = 〈x, y〉 . (28)

De plus, x est la somme de la serie∑

n〈en, x〉en et il y a unicite decette ecriture de x comme somme de

∑n anen (an ∈ K). L’application

c : H → `2 definie par c(x) = (〈en, x〉)n est une isometrie lineairebijective.

Demonstration.1). Soit x ∈ H. Soit N ∈ N. D’apres (24) et (25),

0 ≤∥∥∥x− N∑

n=0

〈en, x〉en∥∥∥2

= ‖x‖2 − 2<( N∑n=0

∣∣〈en, x〉∣∣2)+N∑n=0

∣∣〈en, x〉∣∣2 ,= ‖x‖2 −

N∑n=0

∣∣〈en, x〉∣∣2 , (29)


ce qui donne (26).2). Soit x ∈ H. Pour tous k, p ∈ N, d’apres (25),

∥∥∥ k+p∑n=k+1

〈en, x〉en∥∥∥2

=

k+p∑n=k+1

∣∣〈en, x〉∣∣2 . (30)

Comme∑

n

∣∣〈en, x〉∣∣2 converge par (26),∑

n〈en, x〉en est de Cauchy dans Hqui est complet. Elle converge donc vers un x′ ∈ H. Pour tout p, 〈ep, x−x′〉 =0, par continuite. Donc x− x′ appartient a l’orthogonal du sous-espace vec-toriel engendre par les ep. Comme (ep)p est une base hilbertienne, ce dernierest dense dans H donc son orthogonal est nul (cf. corollaire 11.2.4). D’oux = x′. Maintenant (29) donne (27). Si x est la somme d’une serie

∑n anen

alors, pour tout p, par continuite,

〈ep, x〉 =∞∑n=0

an〈ep, en〉 = ap . (31)

Soit y ∈ H. Pour tout N , par continuite,

⟨ N∑n=0

〈en, x〉en, y⟩

=∞∑p=0

⟨ N∑n=0

〈en, x〉en, 〈ep, y〉ep⟩

=∞∑p=0

N∑n=0

〈en, x〉〈ep, y〉δn,p

=N∑n=0

∞∑p=0

〈en, x〉〈ep, y〉δn,p =N∑n=0

〈en, x〉〈en, y〉 . (32)

Comme 〈·, y〉 est continue, le membre de gauche de (32) tend vers 〈x, y〉,quand N →∞, ce qui donne (28).Par (26), c est bien definie. Par les proprietes du produit scalaire, c est li-neaire. Par (27), c’est une isometrie (donc une injection). Soit (an)n ∈ `2. Par(30),

∑n anen est une suite de Cauchy dans H complet donc elle converge

vers un certain x ∈ H. Par (31), an = 〈en, x〉, pour tout n, c’est-a-dire(an)n = c(x).

12 Appendice 3 : Dualite d’espaces de suites.

On donne ici une determination du dual des espaces `p sous forme d’un pro-bleme corrige. A la fin du probleme, deux questions concernent les topologiesfaibles sur ce type d’espace et une autre aborde leur reflexivite.


Rappels :- Un espace vectoriel norme est dit separable s’il existe une partie (au plus)denombrable dense.- Une famille d’un espace vectoriel norme est dite totale si le sous-espacequ’elle engendre est dense.

Probleme. Pour p ∈ [1; +∞], on note par `p l’espace de Banach des suitesreelles u = (un)n∈N telles que

∞∑n=0

|un|p < ∞ , si p <∞ , et supn∈N|un| < ∞ , si p =∞ ,

muni de la norme

|u|p =

( ∞∑n=0

|un|p)1/p

, si p <∞ , et |u|∞ = supn∈N|un| , si p =∞ .

On note par c0 le sous-espace vectoriel ferme de `∞ constitue des suitestendant vers 0. On rappelle les inegalites de Holder suivantes. Pour p, q ∈[1; +∞] avec p−1 + q−1 = 1, pour u et v des suites reelles,

∞∑n=0

|unvn| ≤( ∞∑n=0

|un|p)1/p

·( ∞∑n=0

|un|q)1/q

, si 1 < p <∞ , (33)

∞∑n=0

|unvn| ≤( ∞∑n=0

|un|)·(

supn∈N|vn|), si p = 1 . (34)

Pour k ∈ N, soit e(k) la suite reelle (e(k)n )n∈N definie par e

(k)n = 0 pour n 6= k

et par e(k)n = 1 pour n = k. Soit F = vect(e(k))k∈N l’espace vectoriel sur R

engendre par la famille libre (e(k))k∈N. Soit sgn : R→ R, qui, a t < 0, associe−1, a 0, associe 0 et, a t > 0, associe +1.

1. a. Montrer que F est dense dans c0 et dans `p, pour p < ∞. Que sepasse-t-il si p =∞ ?

b. En deduire que c0 et `p, avec p <∞, sont separables.

2. Soit p ∈ [1; +∞] et q tel que p−1 + q−1 = 1. Pour v ∈ `q, soit Rv

l’application qui, a u ∈ `p associe

Rv(u) =∞∑n=0

unvn . (35)


a. Montrer que Rv est bien definie. On ne justifiera pas qu’elle estlineaire.

b. Montrer que Rv ∈ (`p)′ et que sa norme dans cet espace ‖Rv‖ ≤ |v|q.c. Pour p = 1, montrer que ‖Rv‖ = |v|∞. (Indication : pour tout ε > 0,

on construira en utilisant la fonction sgn une suite u ∈ `1 telle queRv(u) > |v|∞ − ε. )

d. Pour p = ∞, montrer que ‖Rv‖ = |v|1. (Indication : on construiraen utilisant la fonction sgn une suite u ∈ `∞ telle que Rv(u) = |v|1.) Montrer que la norme de Rv dans (c0)′ est aussi |v|1.

e. Pour 1 < p <∞, montrer que ‖Rv‖ = |v|q. (Indication : on construiraen utilisant la fonction sgn une suite u ∈ `p telle que Rv(u) = |v|q. )

f. En deduire que, dans tous les cas, l’application v 7→ Rv est uneisometrie lineaire de `q dans (`p)′.

3. Soit e′ ∈ (`p)′ si p < ∞ et e′ ∈ (c0)′ si p = ∞. Pour tout k ∈ N, onpose vk = e′(e(k)) et v = (vk)k∈N.a. Pour p = 1, montrer que v ∈ `∞ et que |v|∞ ≤ ‖e′‖.b. On suppose 1 < p <∞.

i. Montrer que, pour tout N ∈ N,

N∑k=0

|vk|q ≤ ‖e′‖ ·( N∑k=0

|vk|p(q−1)

)1/p

. (36)

(Indication : appliquer e′ a un wN =N∑k=0

λke(k) bien choisi.)

ii. En deduire que, pour tout N ∈ N,( N∑k=0

|vk|q)1/q

≤ ‖e′‖ . (37)

iii. Montrer que v ∈ `q et que |v|q ≤ ‖e′‖.c. On suppose p =∞.

i. Montrer que, pour tout N ∈ N,

N∑k=0

|vk| ≤ ‖e′‖ . (38)

(Indication : appliquer e′ a un wN =N∑k=0

λke(k) bien choisi.)

ii. En deduire que v = (vk)k ∈ `1 et que |v|1 ≤ ‖e′‖.


d. Montrer que, pour tout x ∈ F , e′(x) = Rv(x).e. Montrer que e′ = Rv.

4. En deduire qu’il existe une bijection lineaire isometrique entre (`p)′ et`q, si p <∞, et entre (c0)′ et `1.

5. Montrer que l’isometrie du 2.f pour p = ∞ n’est pas surjective. (Indi-cation : on pourra utiliser le theoreme d’Hahn-Banach.)

6. Montrer que, pour 1 < p < ∞, `p est reflexif mais que `1 et c0 ne lesont pas.

7. Montrer que la suite (e(k))k∈N tend vers 0 pour la topologie faibleσ(`p, (`p)′), si 1 < p <∞, et pour la topologie faible σ(c0, (c0)′). Mon-trer que c’est faux si p = 1.

8. Montrer que la suite (e(k))k∈N tend vers 0 pour la topologie ∗ faibleσ((`p)′, `p), si 1 ≤ p <∞, et pour la topologie ∗ faible σ((c0)′, c0).

Correction du probleme :

1.a. Soit u ∈ `p, avec p < ∞. On montre qu’il existe une suite (uN)N d’ele-ments de F qui converge vers u dans `p. Soit

uN = (u0, u1, · · · , uN , 0, · · · ) =N∑k=0

uke(k) ∈ F .

Comme |u − uN |pp est le reste d’ordre N de la serie convergente∑|un|p, il

tend vers 0 quand N →∞ donc |u− uN |p aussi.Si u ∈ c0, on prend la meme suite (uN)N et on a |u−uN |∞ = supn>N |un| → 0puisque u tend vers 0. F est donc dense dans c0 et `p.Dans le cas p = ∞, le resultat est faux. Soit u ∈ F . Comme u est unecombinaison lineaire finie d’elements de (e(k))k, il existe n tel que un = 0.Donc, en notant 1I la suite constante egale a 1, qui appartient a `∞, on a|u − 1I|∞ ≥ |un − 1| = 1. Comme u est quelconque dans F , la boule ouvertede centre 1I et de rayon 1 dans `∞ ne rencontre pas F . Donc 1I 6∈ F et `∞ 6= F .1.b. La suite (e(k))k est libre (admis) et totale (cf. 1.a) dans c0 et `p pourp <∞, donc ces espaces sont separables, d’apres le cours.2.a. Comme v ∈ `q et u ∈ `p, la serie

∑unvn converge absolument (c’est-

a-dire∑|unvn| converge) d’apres (33) et (34). Elle converge donc dans R.

Rv(u) est bien defini comme la somme de la serie∑unvn.

Ici j’ai souvent vu l’erreur suivante :On a ∣∣∣ ∞∑

n=0

unvn

∣∣∣ ≤ ∞∑n=0

|unvn| ≤ · · · <∞


Donc Rv(u) est bien defini.Le terme

∑∞n=0 unvn n’a aucun sens donc on ne peut pas faire de calcul avec

lui. Ce raisonnement est donc faux. Il n’est valable que pour les series atermes positifs. Dans ce cas,

∑∞n=0 unvn a toujours un sens dans R ∪ +∞

puisque c’est la limite d’une suite croissante.Rappelons que la convergence absolue de

∑unvn entraine que la suite( N∑

n=0

unvn

)N

est de Cauchy et, comme R est complet, on en deduit que sa limite∑∞

n=0 unvnexiste.2.b. Maintenant que l’on sait que la limite Rv(u) existe, on peut ecrire∣∣∣ ∞∑

n=0

unvn

∣∣∣ ≤ ∞∑n=0

|unvn| ,

car cela s’obtient en passant a la limite N →∞ dans les inegalites

∣∣∣ N∑n=0

unvn

∣∣∣ ≤ N∑n=0

|unvn| .

En utilisant (33) et (34), on obtient, pour tout u ∈ `p, |Rv(u)| ≤ |u|p|v|q.Comme Rv est lineaire (il n’etait pas demande de justifier ce point), celamontre, d’apres le cours, que Rv est lineaire continue sur `p soit Rv ∈ (`p)′.De plus, comme on a par definition

‖Rv‖ = sup|u|p≤1

|Rv(u)| ,

l’inegalite precedente donne ‖Rv‖ ≤ |v|q.Dans les questions 2.c, 2.d et 2.e, on calcule ‖Rv‖ dans 3 cas differents.Comme il s’agit d’un “sup”, il n’est pas atteint en general. On ne peutdonc pas toujours ecrire

‖Rv‖ =∣∣∣ ∞∑n=0

unvn

∣∣∣pour un certain u de norme inferieure a 1. Si c’est le cas, il faut donc expliquerpourquoi. D’apres les indications donnees dans l’enonce, le “sup” est atteintdans 2.d et 2.e mais pas toujours dans 2.c (en fait si, par exemple, vn =1 − 1/(n + 1) pour tout n dans 2.c, on peut montrer que le “sup” n’est pas


atteint).2.c. Soit ε > 0. On construit u ∈ `1 avec |u|1 ≤ 1 tel que |Rv(u)| > |v|∞− ε.Par definition de |v|∞, il existe k ∈ N tel que |vk| > |v|∞ − ε. On poseu = e(k) ∈ `1. On a |u|1 =

∑∞n=0 |un| = |uk| = 1. De plus, |Rv(u)| = |ukvk| =

|vk| > |v|∞ − ε. Par definition d’un “sup” et d’apres 2.b, ‖Rv‖ = |v|∞.2.d. On construit u ∈ `∞ avec |u|∞ ≤ 1 tel que |Rv(u)| = |v|1. Soit u definiepar un = sgn(vn). On a |u|∞ ≤ 1 (c’est nul si v = 0 et c’est 1 sinon). De plus,

|Rv(u)| =∣∣∣ ∞∑n=0

unvn

∣∣∣ =∣∣∣ ∞∑n=0

|vn|∣∣∣ = |v|1 .

La seconde question est plus delicate. On montre maintenant que

‖Rv‖ := supu∈c0,|u|∞≤1

|Rv(u)| = |v|1 .

Soit ε > 0. Comme v ∈ `1, il existe N ∈ N tel que∑∞

n=N+1 |vn| < ε. Soit udefinie par un = sgn(vn) pour n ≤ N et par un = 0 si n > N . On a bienu ∈ c0 puisqu’elle est nulle a partir d’un certain rang et |u|∞ ≤ 1. De plus,

|Rv(u)| =N∑n=0

|vn| = |v|1 −∞∑

n=N+1

|vn| > |v|1 − ε .

Par definition d’un “sup” et d’apres 2.b, ‖Rv‖ = |v|1.2.e. On construit u ∈ `p tel que |Rv(u)| = |u|p|v|q. Soit u definie par, pourtout n,

un = sgn(vn)|vn|q/p .

On a, d’apres 1 = 1p

+ 1q,

|u|p =( ∞∑n=0

|vn|p·q/p)1/p

=( ∞∑n=0

|vn|q)1/p

et |Rv(u)| =∣∣∣ ∞∑n=0

|vn|1+q/p∣∣∣ =

∞∑n=0

|vn|q ,

donc, toujours grace a 1 = 1p

+ 1q,

|u|p|v|q =( ∞∑n=0

|vn|q)1/p+1/q

=∞∑n=0

|vn|q = |Rv(u)| .

Pour deviner cet argument, on cherche u sous la forme un = sgn(vn)|vn|α, oncalcule |u|p et |Rv(u)|, et on ajuste α pour avoir |Rv(u)| = |u|p|v|q.2.f. Le resultat resulte de 2.a et, respectivement, 2.c, 2.d et 2.e.3.a. Comme e(k) ∈ `1, |e(k)|1 = 1 et e′ ∈ (`1)′, on a, |vk| = |e′(e(k))| ≤


‖e′‖ · |e(k)|1 = ‖e′‖. Ceci etant vrai pour tout k, v ∈ `∞ et |v|∞ ≤ ‖e′‖.3.b.i. Soit

wN =N∑k=0

sgn(vk)|vk|q−1e(k) .

On a donc, en utilisant le fait que e′ ∈ (`p)′,

N∑k=0

|vk|q = |e′(wN)| ≤ ‖e′‖ · |wN |p = ‖e′‖( N∑k=0

∣∣sgn(vk)|vk|q−1∣∣p)1/p

= ‖e′‖( N∑k=0

|vk|p(q−1))1/p

.

On a montre (36).3.b.ii. On note que (37) est valide si vk = 0 pour 0 ≤ k ≤ N . On supposemaintenant que l’un de ces termes est non nul. Dans (36), on peut doncdiviser de part et d’autre par

( N∑k=0

|vk|p(q−1))1/p

=( N∑k=0

|vk|q)1/p

,

(cf. 1 = 1p

+ 1q). On obtient donc

( N∑k=0

|vk|q)1−1/p

≤ ‖e′‖ ,

ce qui est (37) puisque 1 = 1p

+ 1q.

3.b.iii. D’apres 3.b.ii., les sommes partielles de la serie∑|vk|q sont bornees

par ‖e′‖q donc cette serie converge et v ∈ `q. De plus, en passant a la limiteN →∞ dans (37), on obtient |v|q ≤ ‖e′‖.3.c. Le traitement de la question est similaire a 3.b mais plus facile (prendreλk = sgn(vk)).3.d. Soit x ∈ F . Par definition de F , il existe N ∈ N tel que

x =N∑k=0

xke(k) =

(x0, x1, · · · , xN , 0, · · ·

).

Par linearite de e′, e′(x) =∑N

k=0 xke′(e(k)) =

∑Nk=0 xkvk = Rv(x).

3.e. Soit u ∈ `p (resp. c0). Comme par 1.a, F est dense dans `p (resp. c0), uest limite d’une suite (xk)k d’elements de F dans `p (resp. c0). Comme e′ et


Rv sont (lineaires) continues, e′(u) = lim e′(xk) et Rv(u) = limRv(xk). Par

3.d, e′(xk) = Rv(xk), pour tout k, donc e′(u) = Rv(u).

On peut aller un peu plus vite en utilisant un corollaire du theo-reme de Hahn-Banach.D’apres 1.b, e′ − Rv est lineaire continue sur `p (resp. c0). Par 3.d, cetteforme est nulle sur un sous-espace dense (a savoir F ) dans `p (resp. c0). Parune consequence du theoreme de Hahn-Banach, cette forme est nulle. D’oue′ = Rv.4. Le caractere isometrique a ete montre au 2.f et la surjectivite est etablieau 3.5. D’apres 1.a., F n’est pas dense dans `∞. Par le theoreme d’Hahn-Banach,il existe donc une forme lineaire continue non nulle e′ sur `∞ telle que e′ s’an-nule sur F . Si e′ = Rv, pour un v ∈ `1, on aurait, pour tout k, e′(e(k)) = vk.Or, pour tout k, e(k) ∈ F donc vk = e′(e(k)) = 0. D’ou v = 0 et e′ = R0 = 0.Contradiction. Donc e′ n’appartient pas a l’image de l’isometrie du 2.f. quandp =∞. Cette derniere n’est donc pas surjective.6. Pour 1 < p < ∞, il existe, par 4., une isometrie bijective de (`p)′ sur `q

et une autre de (`q)′ sur `p (car 1 < q < ∞). Il existe donc une isometriebijective entre (`p)′′ et `p et `p est reflexif. Toujours par 4. et par le memeargument, il existe une isometrie bijective entre (c0)′′ et `∞. Comme c0 eststrictement inclu dans `∞, J(c0) ne peut etre egale a (c0)′′. Donc c0 n’est pasreflexif. Par 4. encore et l’argument precedent, il existe une isometrie bijec-tive entre (`1)′′ et (`∞)′. Comme `1 est strictement inclu dans (`∞)′ (cf. 5.),J(`1) ne peut etre egale a (`1)′′. Donc `1 n’est pas reflexif.7. D’apres le cours, la suite (e(k))k∈N converge vers a dans `p pour la topo-logie faible σ(`p, (`p)′) si et seulement si, pour tout e′ ∈ (`p)′, la suite reelle(e′(e(k)))k∈N converge vers e′(a). Soit e′ ∈ (`p)′. Par 4., il existe v ∈ `q telque e′ = Rv. Donc, pour tout k, e′(e(k)) = Rv(e

(k)) = vk. Comme la serie=∑N

k∈N |vk|q converge, son terme general tend vers 0. Donc (vk)k∈N tendvers 0 et (e′(e(k)))k∈N tend vers e′(0). Ceci etant vrai pour tout e′ ∈ (`p)′,la suite (e(k))k∈N converge vers la suite nulle dans `p pour la topologie faibleσ(`p, (`p)′).Le meme argument montre que (e(k))k∈N converge vers 0 dans c0 pour la to-pologie faible σ(c0, (c0)′).Soit 1I la suite constante egale a 1. Elle appartient a `∞ donc R1I ∈ (`1)′. Pourtout k ∈ N, R1I(e

(k)) = 1. Donc (R1I(e(k)))k∈N ne tend pas vers 0 donc (e(k))k∈N

ne converge pas vers la suite nulle dans `1 pour la topologie faible σ(`1, (`1)′).En fait, cette suite n’a pas de limite dans `1 pour la topologie faible σ(`1, (`1)′).8. On voit e(k) comme un element de (`p)′. Cela signifie que l’on identifie e(k)

avec Re(k) . D’apres le cours, la suite (e(k))k∈N converge vers a′ dans (`p)′ pourla topologie ∗ faible σ((`p)′, `p) si et seulement si, pour tout u ∈ `p, la suite


reelle (Re(k)(u))k∈N converge vers a′(u). Or, pour tout k ∈ N et tout u ∈ `p,Re(k)(u) = uk donc (Re(k)(u))k∈N converge vers 0 = R0(u). Donc la suite(e(k))k∈N converge vers 0 dans (`p)′ pour la topologie ∗ faible σ((`p)′, `p).De meme, (e(k))k∈N tend vers 0 dans (c0)′ pour la topologie ∗ faible σ((c0)′, c0).

Date post:	24-Jan-2021
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