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UFR de Math´ ematiques Licence premi` ere ann´ ee (SESI - PEIP) M21B : Math´ ematiques fondamentales Semestre 2 - Analyse Ann´ ee 2014-2015 Abdellah HANANI
UFR de Mathematiques
Licence premie`re annee
(SESI - PEIP)
M21B : Mathematiques fondamentales
Semestre 2 - Analyse
Annee 2014-2015
Abdellah HANANI
Table des matie`res
1 Integration des fonctions reelles 1
1.1 Construction de lintegrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Primitive et integrale dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Calcul de primitives et dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Fractions rationnelles en sin et cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Autres fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Developpements limites 11
2.1 Existence des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Definition, proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Operations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Somme, produit et composee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Quotient et integration des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Applications des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 DL(), branches infinies et asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Courbes parametrees 18
3.1 Definitions generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Etude des points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Plan detude, exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Equations differentielles 23
4.1 Generalites sur les equations differentielles lineaires . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Equations differentielles lineaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Resolution de lequation normalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Resolution de lequation non normalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Equations differentielles lineaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
4.3.1 Vocabulaire, generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Resolution de lequation homoge`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.3 Resolution de lequation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre 1
Integration des fonctions reelles
1.1 Construction de lintegrale de Riemann
1.1.1 Sommes de Darboux
Definition 1.1. Une subdivision de [a, b] R est une partie finie X = {x0, . . . , xn} de [a, b]telle que
a = x0 < x1 < < xn = b.Le pas de la subdivision X est le reel |X| = sup1kn(xkxk1). On note aussi Sa,b lensembledes subdivisions de [a, b].
Une subdivision de [a, b] est donc un decoupage de lintervalle [a, b] en sous-intervalles.
Definition 1.2. Soit X,Y Sa,b. On dit que X est plus fine que Y si Y X.
Soit f : [a, b] R une fonction bornee. Lintegrale de f sur [a, b] est laire algebrique de lapartie S de R2 limitee par la courbe de f et les droites y = 0, x = a et x = b. On affecte unsigne negatif aux aires des parties situees au dessous de laxe des abscisses.
Definition 1.3 (Proposition). On dit que f : [a, b] R est en escalier sil existe unesubdivision X : a = x0 < x1 < < xn = b de [a, b] telle que f soit constante, egale a` ck,sur chaque intervalle ]xk1, xk[, 1 k n. Pour une telle fonction, la quantite b
af(x) dx =
nk=1
(xk xk1)ck
ne depend pas de la subdivision choisie. On lappelle integrale (de Riemann) de f sur [a, b].
Remarquer que les valeurs de f en x0, . . . xn peuvent etre arbitraires.
Exemple. Sur [a, b] = [0, 6], considerons la fonction f definie par
f(x) =
1 si 0 x 12 si 1 < x 4
2 si 4 < x 6.Lintegrale de f sur [0, 6] est If = Aire(A1)Aire(A2) + Aire(A3) = 1.
2 Chapitre 1 : Integration des fonctions reelles
1
2
12
1 2 3 4 5 6
A1
A2
A3
A present, pour toute subdivision X Sa,b de [a, b], les reels
mk = infxk1xxk
f(x) et Mk = supxk1xxk
f(x), 1 k n,
existent dans R puisque f est bornee.
Definition 1.4. La petite et la grande somme de Darboux de f relativement a` la subdivisionX sont definies respectivement par
s(f,X) =nk=1
(xk xk1)mk et S(f,X) =nk=1
(xk xk1)Mk.
Interpretation geometrique. Les sommes de Darboux sont les aires des rectangles debase [xk1, xk] encadrant lepigraphe de f de en-dessous et respectivement au-dessus. Enparticulier, s(f,X) et S(f,X) fournissent un encadrement de laire de S :
s(f,X) baf(x) dx S(f,X).
Cet encadrement est dautant meilleur que le pas de la subdivision est petit.
a b
s(f,X)
a b
S(f,X)
Theore`me 1.1.
1. Le nombre s(f) = supXSa,b
s(f,X) existe et est appele integrale inferieure de f .
2. Le nombre S(f) = infXSa,b
s(f,X) existe et est appele integrale superieure de f .
3. On a toujours : s(f) S(f).
1.1 Construction de lintegrale de Riemann 3
1.1.2 Fonctions integrables
Definition 1.5. On dit quune fonction f est integrable (ou Riemann integrable) sur [a, b]si son integrale inferieure est egale a` son integrale superieure : s(f) = S(f). Ce nombrecommun est alors lintegrale (de Riemann) de f sur [a, b]. On le note b
af(x) dx.
Remarques.
1. On retiendra que ce nest jamais avec cette definition que lon calcule une integrale.
2. Si f est integrable sur [a, b], on pose
abf(x) dx =
baf(x) dx.
3. La variable x figurant dans lintegrale est muette : elle nintervient pas dans le resultat.
Theore`me 1.2 (Crite`re dintegrabilite de Riemann). Une fonction f est integrablesur [a, b] si et seulement si pour tout > 0 il existe une subdivision X Sa,b telle queS(f,X) s(f,X) < .
Ce crite`re permet de demontrer ce qui suit.
Theore`me 1.3. Toute fonction monotone ou continue sur [a, b] est integrable sur [a, b].
Corollaire 1.1. Toute fonction monotone sur les sous-intervalles dune subdivision de [a, b]ou continue par morceaux sur [a, b] est integrable sur [a, b].
Il suffit utiliser ladditivite des sommes de Darboux, s(f,X Y ) = s(f,X) + s(f, Y ) pourX Sa,c et Y Sc,b qui entrane celle de s(f) et de meme pour S(f).
Rappel. On dit quune fonction f : [a, b] R est continue par morceaux sur [a, b] sil existeune subdivision X : x0 = a < x1 < < xn = b telle que
i. la restriction de f a` ]xi1, xi[ est continue.ii. f admet une limite a` droite aux points xi, 0 i n 1.iii. f admet une limite a` gauche aux points xi, 1 i n.
Exemple. La fonction de Dirichlet :
Q(x) =
{1 si x Q0 si x / Q
nest pas integrable sur [a, b] car on a :
X Sa,b : s(f,X) = 0 et S(f,X) = b a.En effet, dans chaque I = [xi1, xi] il existe un irrationnel, donc inf f(I) = 0, mais aussiun rationnel, donc sup f(I) = 1. Ainsi s(f,X) = 0 et S(f,X) est somme des longueurs dessous-intervalles et donc egale a` b a.
4 Chapitre 1 : Integration des fonctions reelles
1.1.3 Sommes de Riemann
Soit X Sa,b une subdivision de [a, b]. Soit = (1, . . . , n) tel que k [xk1, xk] pour toutk {1, . . . , n}. On appelle (X, ) une subdivision pointee et
R(f,X, ) =
nk=1
(xk xk1)f(k)
la somme de Riemann de f associee a` la subdivision pointee (X, ).
Theore`me 1.4. Soit f une fonction integrable sur [a, b]. Alors les sommes de Riemann
R(f,X, ) tendent vers
baf(x) dx, independamment du choix des k, lorsque le pas de la
subdivision tend vers 0.
Application. Pour etudier la limite dune suite (un) faisant intervenir une somme et le grou-
pementk
n. Lune des methodes consiste a` essayer decrire un sous la forme un =
1
n
n1k=0
f(k/n)
et utiliser les sommes de Riemann.
Exemple. Determinons limn+un, ou` un =
1
n2
n1k=0
n2 k2.
Solution. On represente un comme une somme de Riemann :
un =1
n
n1k=0
n2 k2n2
=1
n
nk=0
1
(k
n
)2= R(f,X, )
avec [a, b] = [0, 1], f(x) =
1 x2, xk = kn
et k =k
npour k = 0, . . . , n 1. Donc
limn+un =
10
1 x2 dx = Aire(A)
=pi
4(cf. plus loin pour
un autre calcul).
A
1
1
Theore`me 1.5 (Proprietes de lintegrale de Riemann). Soient f, g : [a, b] R.1. Si f et g sont integrables sur [a, b] alors pour tout (, ) R2, f + g est integrable
sur [a, b] et ba
[f(x) + g(x)] dx =
baf(x) dx+
bag(x) dx.
2. Si f et g sont integrables sur [a, b] et si g f alors bag(x) dx
baf(x) dx. En
particulier, |f | est integrable sur [a, b] et baf(x) dx
ba|f(x)|dx.
1.2 Primitive et integrale dune fonction 5
3. Pour tout c [a, b], f est integrable sur [a, b] si, et seulement si, elle lest sur [a, c] etsur [c, b]. Dans ce cas, b
af(x) dx =
caf(x) dx+
bcf(x) dx.
Theore`me 1.6 (de la moyenne). Soit f, g : [a, b] R deux fonctions continues avec g > 0sur ]a, b[. Alors il existe c [a, b] tel que b
af(x)g(x) dx = f(c)
bag(x) dx.
Remarque. En prenant g = 1, il existe c [a, b] tel que 1b a
baf(x) dx = f(c).
1.2 Primitive et integrale dune fonction
Dans toute cette section, I designe un intervalle non trivial de R.
Definition 1.6. Soit f : I R une fonction reelle. On dit quune fonction F : I R estune primitive de f sur I si F est derivable sur I et si pour tout x I, F (x) = f(x).
Remarques.
1. Deux primitives F et G de f sur I diffe`rent dune constante.
2. Le fait que I est un intervalle est fondamental. Si par exemple I = [0, 1] [2, 3] lafonction G definie par G(x) = 0 sur [1, 2] et G(x) = 1 sur [2, 3] est une primitive de lafonction nulle f 0 sur I. La fonction F nulle est egalement une primitive de f sur Iet ces deux fonctions ne diffe`rent pas dune constante.
Theore`me 1.7 (Theore`me fondamental de lanalyse). Soit f : I R une fonctioncontinue et a I. Alors la fonction F definie sur I par
x I, F (x) = xaf(t) dt
est de classe C 1 sur I et est la seule primitive de f qui sannule en a.
Ce theore`me est fondamental car il permet de relier calcul differentiel et calcul integral. Ilpermet aussi le calcul pratique des integrales a` laide des primitives.
Corollaire 1.2 (Formule de Newton-Leibniz). Soit f une fonction continue sur unintervalle I et F une primitive de f sur I. Alors pour tout a et b dans I, b
af(x) dx = F (b) F (a).
6 Chapitre 1 : Integration des fonctions reelles
Notation.
1. On note [F (x)]ba = F (b) F (a).2. Si f est une fonction continue, la notation
f(x) dx est utilisee pour representer une
primitive quelconque de f :f(x) dx =
xaf(x) dx+ C, C R.
Theore`me 1.8 (Fonctions definies par une integrale). Soit f : I R une fonctioncontinue sur I. Soient u, v : J I deux fonctions derivables sur lintervalle J . Alors lafonction G definie sur J par
x J, G(x) = v(x)u(x)
f(t) dt
est derivable sur J et
x J, G(x) = v(x)f(v(x)) u(x)f(u(x)).
1.3 Calcul de primitives et dintegrales
1.3.1 Integration par parties
Proposition 1.1 (Integration par parties). Soient u, v : I R de classe C 1 sur I eta, b I. Alors
1.
u(x)v(x) dx = u(x)v(x)
u(x)v(x) dx.
2.
bau(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ba
bau(x)v(x) dx.
Exemples.
1. Pour calculer des primitives de type
exP (x) dx, il suffit dintegrer plusieurs fois par
parties en derivant le polynome P . Calculons F (x) =
(x2 + x)ex dx. Une premi`re
integration par parties donne :
F (x) = (x2 + x)ex
(2x+ 1)ex dx G(x)
et une deuxie`me permet de calculer
G(x) = (2x+ 1)ex
2ex dx = (2x 1)ex.
Finalement, F (x) = (x2 x+ 1)ex.
1.3 Calcul de primitives et dintegrales 7
2. Pour calculer des primitives faisant intervenir ln, arctan, arcsin, . . . , on inte`gre par
parties. Calculons F (x) =
arctanx dx. Si lon inte`gre par parties en derivant arctan,
on obtient :
F (x) = x arctanx
x
1 + x2dx = x arctanx 1
2ln(1 + x2).
3. Il y a des primitives que lon ne peut exprimer a` laide des fonctions usuelles. Soit
F (x) =
ln(1 + x)
xdx. Si lon inte`gre par parties en derivant ln, on obtient :
F (x) = ln(x) ln(1 + x)
ln(x)
1 + xdx.
La nouvelle primitive fait encore intervenir un logarithme ; on ne sait pas lexprimer a`laide des fonctions usuelles.
Comme application de ce resultat, on obtient la formule de Taylor avec reste integral.
Theore`me 1.9 (Taylor avec reste integral). Soit f une fonction reelle de classe C n+1,n N, sur un intervalle I. Alors, (a, x) I2, on a :
f(x) =
nk=0
f (k)(a)
k!(x a)k +
xaf (n+1)(t)
(x t)nn!
dt.
Le reste integral est la fonction Rn definie sur I par
Rn(x) =
xaf (n+1)(t)
(x t)nn!
dt.
1.3.2 Changement de variable
Proposition 1.2. Soit f : I R une fonction continue et soit : [, ] I de classe C1avec () = a et () = b. Alors
1.
f((t))(t) dt = F ((t)) ou` F (u) =
f(u) du.
2.
f((t))(t) dt =
baf(u) du.
Commentaire. La formule de changement de variables peut servir dans les deux sens.
On veut calculerf((x))(x) dx. On pose u = (x) et donc du = (x) dx. On
substitue ensuite dans lintegrale en question :f((x)
=u
)(x) dx = du
=
f(u) du.
On determine
f(u) du = F (u), puis on remplace u par (x).
8 Chapitre 1 : Integration des fonctions reelles
On veut calculerf(x) dx. On pose x = (t) avec bijective. Donc dx = (t) dt et
ensuite, f(x) dx =
f((t)
=x
)(t) dt = dx
.
On determine
f((t))(t) dt = F (t), puis on remplace t par 1(x).
Exemple 1. Determiner les primitives de x 7 2x cos(x2) et calculer pi/2
02x cos(x2) dx.
Solution. On pose u = x2, donc du = 2x dx. Dou`2x cos(x2) dx =
cosudu = sinu+ C = sin(x2) + C, C R,
et par suite, pi/20
2x cos(x2) dx =[sin(x2)
]pi/20
= sin(pi/2) sin 0 = 1.
Exemple 2. Calculer les primitives de
1 x2 sur ]1, 1[. En deduire 1
0
1 x2 dx.
Solution. Il sagit de calculer F (x) =
1 x2 dx. On pose x = sin t avec t J =
[pi
2,pi
2
].
Doncdx = cos t dt =
1 sin2 tdt car cos est poistive sur
[pi
2,pi
2
].
Le changement : t 7 sin t est bijective ( est continue et strictement croissante sur J).Dou`
1 x2 dx =
(1 sin2 t) dt =
cos2 t dt =
1 + cos 2t
2dt
=t
2+
sin 2t
4+ C =
arcsinx
2+
sin(2 arcsinx)
4+ C.
En particulier,
10
1 x2 dx =
[arcsinx
2+
sin(2 arcsinx)
4
]10
=pi
4.
1.3.3 Primitives de fractions rationnelles
La decomposition en elements simples dune fraction rationnelle aboutit aux termes :dx
(x a)n ,
dx
(ax2 + bx+ c)n,
x dx
(ax2 + bx+ c)n
Avec, pour les deux derniers termes, = b2 4ac < 0 (et donc a 6= 0 et c 6= 0).
Premier terme. On a :
dx
(x a)n =
ln |x a| si n = 1
1
1 n1
(x a)n1 si n 6= 1.
1.3 Calcul de primitives et dintegrales 9
Second terme. On transforme ax2 + bx+ c en un terme de la forme 1 + t2 :
ax2 + bx+ c =1
4a
(4a2x2 + 4abx+ 4ac
)=
1
4a
[(2ax+ b)2 + 4ac b2
]
=4ac b2
4a
[(2ax+ b4ac b2
)2+ 1
].
Avec t =2ax+ b4ac b2 , et donc dx =
4ac b2
2adt, on se rame`ne au calcul de
In(t) =
dt
(1 + t2)n.
Une integration par parties, avec
u =1
(1 + t2)net v = 1 = u = 2nt
(1 + t2)n+1et v = t,
donne
In(t) =t
(1 + t2)n+ 2n
t2 dt
(1 + t2)n+1.
On utilise t2 = (1 + t2) 1, ce qui donne
In(t) =t
(1 + t2)n+ 2nIn(t) 2nIn+1(t).
Dou`
In+1(t) =1
2n
t
(1 + t2)n+
2n 12n
In(t) avec I1(t) =
dt
1 + t2= arctan(t).
Troisie`me terme. On fait apparaitre la derivee de ax2 + bx+ c :x dx
(ax2 + bx+ c)n=
1
2a
2ax+ b
(ax2 + bx+ c)ndx b
2a
dx
(ax2 + bx+ c)n.
Le premier terme est de la formeu(x)
(u(x))n. Une primitive est donc
2ax+ b
(ax2 + bx+ c)ndx =
1
1 n1
(ax2 + bx+ c)n1si n 6= 1
ln |ax2 + bx+ c| si n = 1.
1.3.4 Fractions rationnelles en sin et cos
Pour calculer
f(sinx, cosx) dx, on essaie lune des techniques suivantes.
Re`gle de Bioche. Si la forme f(sinx, cosx) dx est invariante par le changementde x en x on pose t = cosxde x en pi x on pose t = sinxde x en pi + x on pose t = tanx.
10 Chapitre 1 : Integration des fonctions reelles
Methode generale. On pose t = tan x2
. Ce qui donne x = 2 arctan t, et on utilise alors
les relations
dx =2 dt
1 + t2, sinx =
2t
1 + t2, cosx =
1 t21 + t2
.
On se rame`ne au calcul dune primitive dune fraction rationnelle en t.
Linearisation. Dans certains cas, il faudra lineariser a` laide des formules dEuler :
cos(ax) =eiax + eiax
2et sin(bx) =
eibx eibx2i
.
1.3.5 Autres fractions rationnelles
Pour une fraction de la forme f(ex, shx, chx), on pose t = ex. On aura x = ln t, dx = dtt
,
shx =t t1
2et chx =
t+ t1
2. On retrouve une fraction rationnelle en t.
Pour une fraction de la forme f(x, nax+ b
cx+ d
)avec adbc 6= 0, on pose t = n
ax+ b
cx+ d.
On aura
x =b dtnctn a dx =
ad bc(ctn a)2nt
n1 dt.
On retrouve encore une fraction rationnelle en t.
Pour une fraction de la forme f(x,ax2 + bx+ c), on transforme ax2 + bx+ c en unedes formes suivantes :
.t2 + 1, on pose alors t = shu t2 + 1 = chu.
.t2 1, on pose alors t = chu t2 1 = shu.
.
1 t2, on pose alors t = sinu 1 t2 = cosu.On retombe sur une fraction rationnelle dun des types qui prece`dent.
Exemple. Calculons
x2 + 2x+ 3 dx. On transforme x2 + 2x+ 3 comme suit :
x2 + 2x+ 3 = 4 (x 1)2 = 4[
1(x 1
2
)2].
On posex 1
2= sinu dx = 2 cosudu avec u
[pi
2,pi
2
]. Dou`
x2 + 2x+ 3 dx = 4
cos2 udu = 2
[1 + cos(2u)] du
= 2u+ sin(2u) + C = 2u+ 2 sinu cosu+ C
= 2 arcsinx 1
2+ xx2 + 2x+ 3 + C, C R.
Chapitre 2
Developpements limites
2.1 Existence des DL
2.1.1 Definition, proprietes
Definition 2.1. Soit I un intervalle ouvert, a I et f une fonction definie sur I, sauf peutetre en a. On dit que f admet un developpement limite dordre n en a, DLn(a) en abrege,sil existe un polynome P de degre n est une fonction definie sur I tels que
x I, f(x) = P (x a) + (x a)n(x)
avec limxa (x) = 0. On appelle P (x a) la partie regulie`re du DLn(a) et (x a)
n(x) son
reste dordre n.
Exemple. Soit n N, pour tout x 6= 1, on a :
1
1 x = 1 + x+ x2 + + xn + x
n+1
1 x.
Or limx0
x
1 x = 0. Donc1
1 x admet un DLn(0) dont le reste est (x) =xn+1
1 x et la partieregulie`re est
P (x) = 1 + x+ x2 + + xn.
Notation. Si P est un polynome, on note Pm la somme de ses monomes de degre m.
Proposition 2.1 (Troncature). Si f admet un DLn(a) de partie regulie`re P (xa), alors,pour tout m n, f admet un DLm(a) de partie regulie`re Pm(x a).
Un developpement limite, sil existe, est unique au sens suivant :
Proposition 2.2. Si f admet un DLn(a) alors celui-ci est unique, cest a` dire la partieregulie`re et le reste sont uniques.
Dans la pratique, on rame`ne le calcul dun DLn(a) au calcul dun DLn(0).
12 Chapitre 2 : Developpements limites
Proposition 2.3. Soient f une fonction definie au voisinage du point a R, sauf peut etreen a, et g : t 7 f(a + t). La fonction f admet un DLn(a) si et seulement si g admet unDLn(0). Dans ce cas, si
g(t) = a0 + a1t+ a2t2 + + antn + tn(t)
avec limt0
(t) = 0, alors
f(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + + an(x a)n + (x a)n(x a).
Corollaire 2.1. On suppose que f admet un DLn(0). Si f est paire (resp. impaire) alors lapartie regulie`re du DLn(0) est paire (resp. impaire).
2.1.2 Formules de Taylor
Donnons dabord une generalisation du theore`me des accroissements finis.
Theore`me 2.1 (Taylor-Lagrange). Soit f : I R une fonction de classe C n sur I etn+ 1 fois derivable sur I. Alors, pour tout (a, x) I2, c entre a et x tel que
f(x) =nk=0
f (k)(a)
k!(x a)k + f
(n+1)(c)
(n+ 1)!(x a)n+1.
Le termef (n+1)(c)
(n+ 1)!(x a)n+1 est appele reste de Lagrange dordre n.
La formule de Taylor-Young est laspect local de cette formule. Elle necessite une hypothe`semoins forte et apparat comme un veritable constructeur de developpements limites.
Theore`me 2.2 (Taylor-Young). Soit f : I R une fonction admettant une derivee dordren en a I. Alors il existe une fonction definie sur I telle que
x I, f(x) =nk=0
f (k)(a)
k!(x a)k + (x a)n(x)
avec limxa (x) = 0. Le terme (x a)
n(x) est le reste de Young dordre n.
Remarque. Si f est n fois derivable en 0 alors f admet un DLn(0) et les coefficients de sapartie regulie`re sont
f(0), f (0),f (2)(0)
2!, . . . ,
f (n)(0)
n!.
La reciproque est fausse si n 2. Par exemple, la fonction f definie par
f(x) = 1 + 2x+ x2 + x3 cos1
xsi x 6= 0 et f(0) = 0
admet un DL2(0). En effet, avec (x) = x cos1x , on a bien limx0
(x) = 0.
2.2 Operations sur les DL 13
Par ailleurs, la fonction f existe et elle est donnee par
f (x) = 2 + 2x+ 3x2 cos1
x+ x sin
1
xsi x 6= 0 et f (0) = 2.
Or
limx0
f (x) f (0)x 0 = limx0
(2 + 3x cos
1
x+ sin
1
x
)nexiste pas. Donc f nadmet pas de derivee seconde en 0.
Exemples. Dans la suite, on note o(xn) = xn(x) ou` est une fonction inconnue verifiantlimx0
(x) = 0.
1. Pour tout n N, on a : (ex)(n) = ex. Donc ex admet un DLn(0) et, puisque e0 = 1,
ex = 1 + x+x2
2+ + x
n
n!+ o(xn)
2. Pour tout n N, on a : (sinx)(n) = sin(x+ n
pi
2
). Donc sinx admet un DLn(0) et
sinx = x x3
3!+ + (1)
p
(2p+ 1)!x2p+1 + o(x2p+1)
3. Pour tout n N, on a : (cosx)(n) = cos(x+ n
pi
2
). Donc cosx admet un DLn(0) et
cosx = 1 x2
2+ + (1)
p
(2p)!x2p + o(x2p)
4. Par recurrence, on verifie que la derivee n-ie`me de (1 + x) est :
((1 + x))(n) = ( 1) ( n+ 1)(1 + x)n.
On en deduit que (1 + x) admet un DLn(0) et
(?) (1 + x) = 1 + x+( 1)
2!x2 + + ( 1) ( n+ 1)
n!xn + o(xn)
2.2 Operations sur les DL
La formule de Taylor-Young permet de calculer un DLn(0) dune fonction n fois derivableen 0. Il est deconseille dutiliser systematiquement cette formule, en particulier, en presencedexpressions compliquees.
14 Chapitre 2 : Developpements limites
2.2.1 Somme, produit et composee
Proposition 2.4 (Somme et produit). On suppose que f et g admettent des DLn(0) dela forme
f(x) = P (x) + o(xn), g(x) = Q(x) + o(xn).
Alors f + g et fg admettent des DLn(0) dont les parties regulie`res sont respectivement
P (x) +Q(x) et [P (x)Q(x)]n.
Exemple 1. A partir du DLn(0) de ex, on obtient ceux de chx =
ex + ex
2et shx =
ex ex2
.
Soit
chx = 1 +x2
2+ + x
2p
(2p)!+ o(x2p) et shx = x+
x3
3!+ +
p0
x2p+1
(2p+ 1)!+ o(x2p+1)
Exemple 2. Former le DL4(0) de f(x) = ex cosx. On trouve :
f(x) = 1 + x x3
3 x
4
6+ o(x4).
Proposition 2.5 (Composee). On suppose que f et u admettent des DLn(0) de la forme
f(x) = P (x) + o(xn), u(x) = Q(x) + o(xn).
Si u(0) = 0 alors (f u) admet un DLn(0) dont la partie regulie`re est [P (Q(x))]n.
Exemple. Former le DL4(0) de esinx.
Solution. On trouve : esinx = 1 + x+x2
2 x
4
8+ o(x4).
2.2.2 Quotient et integration des DL
Rappelons dabord le theore`me de division suivant les puissances croissantes.
Theore`me 2.3. Soient A,B K[X] deux polynomes avec B(0) 6= 0. Alors, pour tout n N,il existe deux polynomes Q et R tels que
A(X) = B(X)Q(X) +Xn+1R(X).
On appelle Q le quotient a` lordre n de la division de A par B.
Proposition 2.6 (Quotient). On suppose que f et g admettent des DLn(0) de la forme
f(x) = A(x) + o(xn), g(x) = B(x) + o(xn).
Si g(0) 6= 0 alors fg
admet un DLn(0) dont la partie regulie`re est le quotient de la division
de A par B suivant les puissances croissantes a` lordre n.
2.2 Operations sur les DL 15
Exemple. Former le DL5(0) de tanx. Avec tanx =sinx
cosx, on a bien cos 0 = 1 6= 0, le DL5(0)
de sin et cos sont :
sin(x) = x x3
6+
x5
120+ o(x5) et cos(x) = 1 x
2
2+x4
24+ o(x5).
La division suivant les puissances croissantes de la partie regulie`re de sinx par celle de cosxdonne la partie regulie`re de tanx :
x x3
6+
x5
1201 x
2
2+
x4
24
x+x3
3+
2
15x5
(x x
3
2+
x5
24
)x3
3 x
5
30
(x3
3 x
5
6+
x7
72
)2x5
15 x
7
72
Donc tanx = x+x3
3+
2
15x5 + o(x5)
Theore`me 2.4 (Integration des DL). Soient n N et f une fonction derivable au voisi-nage de 0. Si f admet un DLn(0) de la forme f (x) = a0 + a1x+ + anxn + o(xn), alorsf admet un DLn+1(0) de la forme
f(x) = f(0) + a0x+a12x2 + + an
n+ 1xn+1 + o(xn+1).
Exemples.
1. Dans la formule (?), ci-dessus, on pose = 1, on aura :1
1 + x= 1 x+ x2 x3 + + (1)nxn + o(xn)
Or (log(1 + x)) =1
1 + xet log(1) = 0, donc en integrant, on obtient :
log(1 + x) = x x2
2+x3
3+ + (1)n+1x
n
n+ o(xn)
2. Dans la formule (?), ci-dessus, on pose = 12
:
11 + x
= 1 x2
+3
8x2 + + (1)n 1.3.5. . . . (2n 1)
2.4.6 . . . (2n)xn + o(xn)
En remplacant x par x2, on obtient :1
1 x2 = 1 +x2
2+
3
8x4 + + 1.3.5. . . . (2n 1)
2.4.6 . . . (2n)x2n + o(x2n).
Or (arcsinx) =1
1 x2 , donc en integrant et puisque arcsin 0 = 0, on obtient :
arcsinx = x+x3
6+ + 1.3.5. . . . (2n 1)
2.4.6 . . . (2n)
x2n+1
2n+ 1+ o(x2n+1).
16 Chapitre 2 : Developpements limites
2.3 Applications des DL
2.3.1 Calcul de limites
Pour calculer limx0+
f(x)
g(x), lorsque on obtient une forme indeterminee, on remplace f et g par
leur DL. Si
f(x) = akxk + o(xk) et g(x) = blx
l + o(xl)
avec ak 6= 0 et bl 6= 0, alors
lim0+
f(x)
g(x)= lim
0+
akxk
blxl=akbl
lim0+
xkl =
0 si k > lakbl
si k = l
si k < l.
On dispose dun resultat analogue en 0.
Exemple. Calculer limx0
ex + ex 2 cosxx sinx
. On a
x sinx = x2 + o(x2), ex + ex = 2 + x2 + o(x2) et 2 cosx = 2 x2 + o(x2).
Donc ex + ex 2 cosx = 2x2 + o(x2) et
limx0
ex + ex 2 cosxx sinx
= limx0
2x2
x2= 2.
2.3.2 Etude locale
Proposition 2.7. Soit f : I R une fonction continue en x0 I. Alors f admet unDL1(x0) si et seulement si f est derivable en x0. Dans ce cas
f(x) = f(x0) + f(x0).(x x0) + o(x x0).
Proposition 2.8. Si f est continue en x0 et si elle admet un DLn(x0), n 2, de la forme
f(x) = a0 + a1(x x0) + + an(x x0)n + o((x x0)n).
Alors Cf admet la droite dequation : y = a0 + a1(x x0) comme tangente au point x0,et la position de Cf par rapport a` est determine par le monome non nul de plus bas degreak(x x0)k avec k 2 :
. Si k est pair et ak < 0, Cf est en dessous de .
. Si k est pair et ak > 0, Cf est au dessus de .
- Si k est impair, Cf admet un point dinflexion au point (x0, f(x0)).
2.3 Applications des DL 17
2.3.3 DL(), branches infinies et asymptotes
Definition 2.2. Soit f une fonction definie au voisinage de linfini (). On dit que fadmet un DLn() si la fonction g definie par g(t) = f
(1t
)admet un DLn(0). Si ce
developpement estg(t) = P (t) + o(tn),
alors, au voisinage de ,f(x) = P
(1x
)+ o( 1xn
).
Proposition 2.9. Supposons que f admet un developpement en sous la forme :
f(x) = ax+ b+a1x
+ + anxn
+ o
(1
xn
).
Alors la droite dequation : y = ax + b est une asymptote de Cf au voisinage de . Deplus, en notant ak, k 1, le premier terme non nul, la position de par rapport a` Cf estdonnee par le signe de
akxk
.
Exercice. Soit f(x) = x arctanx. Determiner le DL3(+) de f(x)x
. En deduire que Cf
posse`de une symptote oblique et preciser la position de Cf par rapport a` .
Chapitre 3
Courbes parametrees
3.1 Definitions generales
Dans toute la suite, le plan affine euclidien est muni dun repe`re orthonorme R =(O,~i,~j
),
et tout point du plan sera represente par ses coordonnees (x, y) dans ce repe`re.
Definition 3.1. Soit I R et f : I R une application. On note x : I R et y : I Rles fonctions composantes de f .
. Le point M(t) de coordonnees (x(t), y(t)) decrit une courbe du plan appelee courbeparametree (de parame`tre t).
. Lapplication f est un parametrage de et le syste`me dequations{x = x(t)y = y(t)
definit une parametrisation de . On note souvent = (I, f).
Remarque.
1. On peut toujours eliminer la variable t entre les deux equations pour obtenir y enfonction x et se ramener a` une equation cartesienne. Souvent la fonction obtenue estcompliquee.
2. Reciproquement, toute courbe definie par y = g(x) peut etre parametree par{x = ty = g(t).
Exemples.
1. Droites. Soient A = (a1, a2) et B = (b1, b2). Le vecteurAB a pour coordonnees
AB = (b1 a1, b2 a2) et la droite (AB) a pour parametrisation{x(t) = a1 + t(b1 a1)y(t) = a2 + t(b2 a2), t R.
2. Cercles. Le cercle de centre A = (a, b) et de rayon R > 0 a pour parametrisation{x(t) = a+R cos ty(t) = b+R sin t, t [0, 2pi].
3.2 Etude des branches infinies 19
3. Ellipses. Lellipse dequationx2
a2+y2
b2= 1, a, b > 0, a pour parametrisation{
x(t) = a cos ty(t) = b sin t, t [0, 2pi].
Definition 3.2. Soit = (I, f) une courbe parametree. Le domaine de definition du pa-rametrage f est lintersection des domaines de definition des fonctions x et y.
Exemple. Soit la courbe definie par{x(t) =
t a
y(t) =b t.
1. Quel est le domaine de definition du parametrage ?
2. Quelle est lallure de la courbe (calculer x2 + y2) ?
3.2 Etude des branches infinies
Definition 3.3. La courbe parametree presente une branche infinie si au moins une descoordonnees tend vers linfini quand t tend vers une valeur finie t0 ou linfini.
Determination pratique des branches infinies.
1. Si limtt0
x(t) = a R et limtt0
y(t) = , alors admet la droite dequation x = a commeasymptote verticale. Si x(t) a est positif, la courbe est a` droite de lasymptote, sinonelle est a` gauche. La courbe coupe lasymptote lorsque x(t) = a.
2. Si limtt0
x(t) = et limtt0
y(t) = a R, alors admet la droite dequation y = a commeasymptote horizontale. Si y(t) a est positif, la courbe est au dessus de lasymptote,sinon elle est en dessous. La courbe coupe lasymptote lorsque y(t) = a.
3. Si limtt0
x(t) = et limtt0
y(t) = , on etudie limtt0
y(t)
x(t).
(a) Si limtt0
y(t)
x(t)= 0, alors admet une BPDA laxe des x.
(b) Si limtt0
y(t)
x(t)= , alors admet une BPDA laxe des y.
(c) Si limtt0
y(t)
x(t)= a R, on etudie lim
tt0[y(t) ax(t)].
- Si limtt0
[y(t) ax(t)] = , alors admet une BPDA la droite dequationy = ax.
- Si limtt0
[y(t) ax(t)] = b R, alors admet la droite dequation y = ax+ bcomme asymptote oblique. La position de la courbe par rapport a` est donneepar le signe de y(t) ax(t) b. Si cette expression est positive, la courbe estau dessus de lasymptote, sinon, elle est en dessous.
20 Chapitre 3 : Courbes parametrees
3.3 Etude des points particuliers
Definition 3.4. On suppose que x : t 7 x(t) et y : t 7 y(t) sont derivables en t0. Le vecteurf (t0) = (x(t0), y(t0)) est appele le vecteur derivee de f en t0.
. Sif (t0) 6= (0, 0), le point M(t0) est dit point ordinaire. La droite T passant par M(t0)
et de vecteur directeurf (t0) est appelee tangente a` en M(t0). Une representation
parametrique de T est donc
T :
{x = x(t0) + x
(t0)(t t0)y = y(t0) + y
(t0)(t t0).
. Sif (t0) = (0, 0), le point M(t0) est dit stationnaire ou singulier.
Remarque.
1. Si x(t0) 6= 0 et y(t0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t0).2. Si x(t0) = 0 et y(t0) 6= 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t0).
Tangente en un point stationnaire. On suppose que les fonctions x et y sont plusieursfois derivables.
1. Sif (t0) = (0, 0) et
f (t0) 6= (0, 0), la tangente a` en M(t0) est la droite T passant
par M(t0) et de vecteur directeurf (t0).
2. Sif (t0) = =
f (p1)(t0) = (0, 0) et
f (p)(t0) 6= (0, 0), la tangente a` en M(t0) est la
droite T passant par M(t0) et de vecteur directeurf (p)(t0).
Etude locale. On designe par p le premier entier non nul tel quef (p)(t0) 6= (0, 0) :
p = min
{n N |
f (n)(t0) 6= (0, 0)
}et par q le premier entier strictement superieur a` p tel que les vecteurs
f (p)(t0) et
f (q)(t0) ne
soient pas colineaires :
q = min
{n N | R,
f (n)(t0) 6=
f (p)(t0)
}.
Ecrivons la formule de Taylor-Young a` lordre q, cest-a`-dire le DLq(t0) :
f(t) = f(t0) +
qk=p
f (k)(t0)
(t t0)kk!
+ o ((t t0)q) .
Or pour p+ 1 k q 1,f (k)(t0) = k
f (p)(t0). Donc
f(t) = f(t0) +
[(t t0)p
p!+ p+1
(t t0)p+1(p+ 1]!
+ q1 (t t0)q1
(q 1)!]f (p)(t0)
+f (q)(t0)
(t t0)qq!
+ o ((t t0)q) .
3.4 Plan detude, exemple 21
Si x1(t) et y1(t) designent les composantes deM(t0)M(t) dans la base
(f (p)(t0),
f (q)(t0)
),
on a les equivalences
x1(t) t0
(t t0)pp!
et y1(t) t0
(t t0)qq!
.
Selon la parite de p et de q, on a les resultats suivants :
Proposition 3.1 (Definition).
1. Si p pair et q impair, au voisinage de t0, x1(t) 0 et y1(t) a le signe de (t t0) : traverse la tangente en M(t0), qui est un point de rebroussement de 1
e`re espe`ce.
2. Si p pair et q pair, au voisinage de t0, x1(t) 0 et y1(t) 0 : ne traverse pas latangente et M(t0) est un point de rebroussement de 2
nde espe`ce.
3. Si p impair et q pair, au voisinage de t0, x1(t) change de signe et y1(t) 0 : touchela tangente T et M(t0) est appele meplat.
4. Si p impair et q impair, au voisinage de t0, x1(t) et y1(t) changent de signe : traversela tangente et M(t0) est un point dinflexion.
p pair, q impairp pair, q pair
p impair, q pair p impair, q impair
Definition 3.5. On dit que le point M = (I, f) est un point double (ou multiple) silexiste t1 6= t2 tels que M = f(t1) = f(t2).
Remarque. Pour trouver les points doubles, il faut donc resoudre le syste`me{x(t1) = x(t2)y(t1) = y(t2)
avec t1 6= t2. Cest en general un calcul assez lourd.
3.4 Plan detude, exemple
Letude dune courbe parametree comprend six etapes.
22 Chapitre 3 : Courbes parametrees
1. Domaine de definition. Determiner le domaine D ou` la courbe est definie.
2. Recherche de periodes et symetries.
1. Si T > 0 tel que t D, x(t) = x(t + T ) et y(t + T ) = y(t), la fonction est T -periodique : on peut alors restreindre letude a` lintersection de D avec un intervalle delongueur T et on obtient ainsi toute la courbe.
2. Si D est symetrique, on restreint letude a` t D R+ si on a une des symetriessuivantes :
(a) t D, x(t) = x(t) et y(t) = y(t). La courbe est parcourue 2 fois.(b) t D, x(t) = x(t) et y(t) = y(t). On comple`te par symetrie par rapport a`
laxe des ordonnees.
(c) t D, x(t) = x(t) et y(t) = y(t). On comple`te par symetrie par rapport a`laxe des abscisses.
(d) t D, x(t) = x(t) et y(t) = y(t). On comple`te par symetrie par rapporta` lorigine.
3. Etudier les branches infinies. Determiner, sil y en a, les asymptotes verticales, hori-zontales et obliques.
4. Derivees et tableau de variation. Etudier les variations de x et y en etudiant les signesde x et y et representer leurs variations dans un tableau.
5. Etudier les points particuliers. Determiner, sil y en a, les points stationnaires, pointsdoubles et points dintersection avec les axes.
6. Representation graphique. Dessiner la courbe en utilisant les renseignements des etapesprecedentes.
Remarque. Dans le trace, le parame`tre t napparat pas. Cest x(t) et y(t) qui se lisent surla courbe. Le parame`tre t sinterpre`te comme le temps et le point M(t) designe la positiondun mobile a` linstant t.
. designe alors la trajectoire du mobile,
.f (t) est la vitesse du mobile et
.f (t) est son acceleration.
Quand t augmente, le trace evolue comme suit :
1. Si x et y , on se deplace vers la droite et vers le haut.2. Si x et y , on se deplace vers la droite et vers le bas.3. Si x et y , on se deplace vers la gauche et vers le haut.4. Si x et y , on se deplace vers la gauche et vers le bas.
Exemple. Etudier et tracer la courbe definie parx(t) = t2 +
2
t
y(t) = t2 +1
t2.
Chapitre 4
Equations differentielles
4.1 Generalites sur les equations differentielles lineaires
Dans ce paragraphe, I designe un intervalle de R non reduit a` un point. Le symbole Krepresentera indifferemment lensemble des reels R ou lensemble des complexes C.
Definition 4.1. Soient a0, a1, . . . , ak et b des fonctions continues sur un intervalle I de Ra` valeurs dans K. On appelle equation differentielle lineaire dordre k toute relation de laforme :
(E) aky(k) + ak1y(k1) + + a0y = b.
- Une solution sur I de cette equation est une fonction k fois derivable : I K telleque
x I, ak(x)(k)(x) + ak1(x)(k1)(x) + + a0(x)(x) = b(x).- Resoudre, ou integrer lequation differentielle (E) revient a` determiner lensemble des
fonctions qui sont solutions de (E). On notera SK(E) cet ensemble.
- Si la fonction b est identiquement nulle, lequation differentielle (E) est dite homoge`neou sans second membre. On la note (E0).
- Si ak est la fonction constante de valeur 1 sur I, (E) est dite normalisee.
Definition 4.2. Soit (x0, y0) I K. On dit que la solution de (E) verifie la conditioninitiale (x0, y0) si, et seulement si, (x0) = y0.
Notation. On designe par L lapplication lineaire definie, sur lensemble des fonctions k-foisderivables, par
L(y) = aky(k) + ak1y(k1) + + a0y.
Theore`me 4.1 (Principe de resolution). Soit 0 une solution particulie`re de (E). Alorsles solutions de (E) sont les fonctions de la forme 0 +, ou` est une solution de lequationdifferentielle homoge`ne associee a` (E) :
(E0) L(y) = 0.
Autrement dit, SK(E) = {0 + | SK(E0)}.
24 Chapitre 4 : Equations differentielles
Proposition 4.1 (Principe de superposition). Soient b1 et b2 deux fonctions continuessur I telles que b = b1 + b2. Si 1 et 2 sont des solutions particulie`res respectivement de
L(y) = b1 et L(y) = b2
alors 0 = 1 + 2 est une solution particulie`re de (E).
4.2 Equations differentielles lineaires du premier ordre
4.2.1 Resolution de lequation normalisee
Theore`me 4.2 (Fondamental). Soit a une fonction reelle continue sur I. Alors les solu-tions reelles de lequation homoge`ne
(E0) y + a(x)y = 0
sont les fonctions definies sur I par (x) = keA(x), ou` k R et ou` A est une primitivede a sur I.
Remarque. La resolution de (E) se reduit a` la recherche dune solution particulie`re. Parfoisceci se fait en remarquant une solution evidente. Voici trois cas particuliers ou` lon peutprevoir la nature dune solution particulie`re. Supposons que la fonction a soit constante devaleur a R.
- Si b(x) = P (x) est un polynome de degre n, lequation (E) admet comme solutionparticulie`re un polynome de degre n si a 6= 0.
- Si b(x) = P (x)ex, ou` P est un polynome de degre n et R, lequation (E) admetcomme solution particulie`re une fonction de la forme 0(x) = Q(x)e
x ou`
. Q est un polynome de degre n si a+m 6= 0.
. Q est un polynome de degre n+ 1 si a+m = 0.
- Si b(x) = 1 cos(t) + 2 sin(t), ou` 1, 2 et R, lequation (E) admet commesolution particulie`re une fonction de la forme 0(x) = 1 cos(t) + 2 sin(t) ou` 1 et2 R.
Exemple. Resolvons sur R lequation (E) : y 2ty = 4t. Ici a(t) = 2t dont une primitiveest donnee par A(t) = t2. Lequation homoge`ne y 2ty = 0 admet comme solutions les definies sur R par
(t) = keA(x) = ket2, ou` k R.
Par ailleurs, la fonction 0 definie par 0(t) = 2 est une solution particulie`re evidente, doncles solutions de (E) sont les fonctions definies sur R par
(t) = (t) + 0(t) = ket2 2, ou` k R.
Methode de la variation de la constante. Pour determiner une solution particulie`re de(E) a` laide de cette methode, on ope`re en trois etapes.
4.2 Equations differentielles lineaires du premier ordre 25
1. On determine une solution non nulle de lequation homoge`ne. Celle-ci est donnee par(x) = keA(x) ou` A est une primitive de a sur I et k R.
2. On cherche une solution particulie`re de (E) sous la forme 0(x) = k(x)eA(x) ou` k
est une fonction derivable a` determiner pour que 0 soit une solution de (E). On alequivalence suivante :
0 est une solution de (E) k(x)eA(x) = b(x).
3. On calcule une primitive de b(x)eA(x) sur I, ce qui donne k, et donc 0.
Exemple. Resolvons sur R lequation (E) : y x1 + x2
y =1
1 + x2. Ici I = R.
1. Une primitive de a(x) = x1 + x2
est A(x) = log
1 + x2. Lequation homoge`ne (E0)
admet comme solutions les definies sur R par
(x) = keA(x) = k
1 + x2, ou` k R.
2. Recherchons une solution particulie`re sous la forme :
0(x) = k(x)
1 + x2 0(x) = k(x)
1 + x2 + k(x)x
1 + x2.
On remplace dans (E) et on obtient :
k(x) =1
1 + x2 k(x) = arctanx.
Ainsi 0(x) = arctanx.
1 + x2 est une solution particulie`re de (E).
Les solutions de (E) (sur R) sont les fonctions definies sur R par
(x) = (k + arctanx)
1 + x2, ou` k R.
Corollaire 4.1. Soit (x0, y0) IK. Alors il existe une et une seule solution de lequationdifferentielle (E) verifiant la condition initiale y(x0) = y0.
4.2.2 Resolution de lequation non normalisee
Soit , et trois fonctions continues sur I. On conside`re lequation differentielle lineairedu premier ordre suivante :
(E) (x)y + (x)y = (x).
Soit J I un intervalle tel que (x) 6= 0 pour tout x J . Sur J , on peut diviser par cequi permet de normaliser (E) en lequation
(En) y + a(x) = b(x),
ou` a =
et b =
. La resolution de (E) sur I se fait comme suit.
26 Chapitre 4 : Equations differentielles
1. On resout lequation homoge`ne associee a` (En) sur les sous-intervalles J de I sur lesquelsa ne sannule pas.
2. On cherche une solution particulie`re de (En). Ceci resout comple`tement (En) sur cessous-intervalles.
3. Toute solution de (E) sur un de ces sous intervalles J est solution de (E) sur ce memesous intervalle. On etudie alors le raccord de ces solutions en un point x0 ou` a sannule :si 1 est une solution de (E) sur J1 =]c1, x0[ et si 2 est une solution de (E) surJ2 =]x0, c2[, pour que 1 et 2 se raccordent en x0, il est necessaire que :
- Les fonctions 1 et 2 aient une meme limite ` en x0.
- La fonction definie sur ]c1, c2[ par |J1 = 1, |J2 = 2 et (x0) = ` soitderivable en x0.
Exemple. Resoudre dans R lequation differentielle (E) : xy 2y = x.
Solution. On voit que (x) = x ne sannule quen 0. Donc on resout sur J1 =], 0[ et surJ2 =]0,+[.
1. Sur J1, lequation normalisee est : y 2
xy = 1. On pose
a(x) = 2x A(x) = lnx2.
Donc les solutions de lequation homoge`ne sur J1 sont les fonctions definies par
1(x) = kelnx2 = kx2, k R.
On remarque que 0(x) = x est une solution particulie`re de (E) sur J1. Donc lessolutions de (E) sur J1 sont les fonctions 1 definies par
1(x) = kx2 x, k R.
2. Sur J2 les calculs sont les memes que sur J1, donc les solutions de (E) sur J2 sontdonnees par
2(x) = kx2 x, k R.
3. Dabord limx0+
1(x) = 0 = limx0
2(x). Donc, si est solution de (E) sur R alors
(?) (x) =
k1x
2 x si x ]0,+[k2x
2 x si x ], 0[0 si x = 0.
Enfin, cette fonction est bien derivable en 0 car
limx0+
(x) (0)x 0 = 1 = limx0
(x) (0)x 0 .
Les solutions de (E) sur R sont les fonctions definie par (?).
4.3 Equations differentielles lineaires du second ordre 27
4.3 Equations differentielles lineaires du second ordre
4.3.1 Vocabulaire, generalites
Definition 4.3. Considerons trois scalaires a, b, c K avec a 6= 0 ainsi quune fonctionf : I K continue. On appelle equation differentielle lineaire du second ordre toute equationde la forme :
(E) ay + by + cy = f.
- Une solution sur I de cette equation est une fonction 2 fois derivable : I K telleque
x I, a(x) + b(x) + c(x) = f(x).- Resoudre, ou integrer lequation differentielle (E) revient a` determiner lensemble des
fonctions qui sont solutions de (E). On notera SK(E) cet ensemble.
- Si la fonction f est identiquement nulle, lequation differentielle (E) est dite homoge`neou sans second membre. On la note (E0).
- Lequation complexe aX2 +bX+c = 0 est appelee equation caracteristique de lequationdifferentielle (E).
Definition 4.4. Soit (x0, y0, y1) I K K. On dit que la solution de (E) verifie lacondition initiale (x0, y0, y1) si (x0) = y0 et
(x0) = y1.
Remarque. Lensemble SK(E0) des solutions de lequation homoge`ne est un K-espace vec-toriel : toute combinaison lineaire de solutions de (E0) est encore solution de (E0).
Theore`me 4.3 (Dimension de SK(E0)). Si lequation homoge`ne (E0) admet une solution1 telle que 1(x) 6= 0 pour tout x I. Alors lensemble SK(E0) des solutions de (E0) est unespace vectoriel de dimension 2.
4.3.2 Resolution de lequation homoge`ne
Lemme 4.1. Pour tout r C, la fonction definie par (x) = erx est une solution de (E0)si, et seulement si, r est une solution de lequation caracteristique associee a` (E0).
Remarque. Lequation caracteristique admet toujours une solution dans C. Donc, dapre`sce lemme, lequation homoge`ne admet toujours une solution de la forme x 7 erx. Or, lafonction exponentielle ne sannule jamais. Donc, dapre`s le theore`me precedent, SC(E0) estde dimension 2.
Theore`me 4.4 (Resolution dans C). On note = b2 4ac le discriminant de lequationcaracteristique associee a` (E0).
1. Si 6= 0, lequation caracteristique posse`de deux racines distinctes r1 6= r2 et lessolutions de (E0) sont les fonctions
(x) = k1er1x + k2e
r2x, ou` k1, k2 K.
28 Chapitre 4 : Equations differentielles
2. Si = 0, lequation caracteristique posse`de une racine double r et les solutions de (E0)sont les fonctions
(x) = (k1 + k2x)erx, ou` k1, k2 K.
Theore`me 4.5 (Resolution dans R). On note = b2 4ac le discriminant de lequationcaracteristique associee a` (E0).
1. Si > 0, lequation caracteristique posse`de deux racines reelles distinctes r1 6= r2 etles solutions de (E0) sont les fonctions
(x) = er1x + er2x, ou` , R.
2. Si = 0, lequation caracteristique posse`de une racine double r et les solutions de (E0)sont les fonctions
(x) = (+ x)er0x, ou` , R.3. Si < 0, lequation caracteristique posse`de deux racines complexes conjuguees r i
et les solutions de (E0) sont les fonctions
(x) = erx [ cos(x) + sin(x)] , ou` , R.
Exemple. Soit R. Resoudre dans R les equations differentielles
(E1) : y 2y = 0 et (E2) : y + 2y = 0.
1. Les racines de lequation caracteristique associee a` (E1) sont . Donc les solutionsreelles de (E1) sont les fonctions definies par
(x) = ex + ex, ou` , R.
2. Les racines de lequation caracteristique associee a` (E2) sont i. Donc les solutionsreelles de (E2) sont les fonctions definies par
(x) = cos(x) + sin(x), ou` , R.
4.3.3 Resolution de lequation avec second membre
La resolution de lequation avec second membre est donc reduite a` la recherche dune solutionparticulie`re. A cet effet,
- toute astuce est bonne pour trouver une solution particulie`re ;
- on peut decomposer le second membre en morceaux plus simples, et utiliser le principede superposition.
Par ailleurs, voici deux cas particuliers importants ou` lon connait a priori la forme dunesolution particulie`re.
- Si f(x) = exP (x) avec R et P R[X], on cherche une solution de la forme0(x) = e
xxmQ(x) ou` Q est un polynome de meme degre que P et
. m = 0 si nest pas une racine de lequation caracteristique.
4.3 Equations differentielles lineaires du second ordre 29
. m = 1 si est une racine simple de lequation caracteristique.
. m = 2 si est une racine double de lequation caracteristique.
- Si f(x) = ex[P1(x) cos(x) + P2(x) sin(x)], ou` , R et P1, P2 R[X], on chercheune solution de la forme :
0(x) = exxm[Q1(x) cos(x) +Q2(x) sin(x)],
ou` Q1 et Q2 sont deux polynomes de meme degre n = sup(degP1, degP2) et
. m = 0 si + i nest pas une racine de lequation caracteristique.
. m = 1 si + i est une racine de lequation caracteristique.
Exemple 1. Resolvons sur R lequation (E) : y y 2y = (6x 5)ex.1. Lequation caracteristique r2 r 2 = 0 admet deux racines distinctes 2 et 1. Donc
les solutions de (E0) sont de la forme
0(x) = k1e2x + k2e
x, ou` k1, k2 R.
2. 1 est racine simple de lequation carcteristique, recherchons une solution particulie`resous la forme
(x) = x(ax+ b)ex = (ax2 + bx)ex.
On derive deux fois et on injecte dans (E), on aura :
6ax+ 2a 3b = 6x 5 a = 1 et b = 1.
Donc (x) = (x2 + x)ex. Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme :
(x) = k1e2x + (x2 + x+ k2)ex, ou` k1, k2 R.
Exemple 2. Resolvons sur R lequation (E) : y2y+2y = 5 cos. Lequation caracteristiquer2 2r + 2 = 0 admet deux racines complexes conjuguees 1 i. Donc les solutions de (E0)sont de la forme :
0(x) = ex(k1 cosx+ k2 sinx), ou` k1, k2 R.
On cherche une solution particulie`re sous la forme
(x) = a cosx+ b sinx.
On derive deux fois et on injecte dans (E), on aura :
(a 2b) cosx+ (2a+ b) sinx = cosx{a 2b = 52a+ b = 0
{a = 1b = 2
Donc (x) = cosx 2 sinx est une solution particulie`re de (E). Ainsi les solutions de (E)sont les fonctions de la forme :
(x) = ex(k1 cosx+ k2 sinx) + cosx 2 sinx, ou` k1, k2 R.
Variation de la constante. Cette methode sappuie sur le lemme suivant :
30 Chapitre 4 : Equations differentielles
Lemme 4.2. Soit {1, 2} une base de SK(E0). Alors pour toute fonction derivable sur Ril existe un unique couple (h1, h2) de fonctions derivables sur R tel que
= h11 + h22 avec h11 + h
22 = 0.
On cherche une solution particulie`re sous la forme = h11 + h22 ou` h1 et h2 sont deuxfonctions derivables verifiant h11 + h22 = 0. Ainsi
= h11 + h22 et
= h11 + h
22 + h1
1 + h2
2.
En injectant dans (E), on obtient : a(h11 + h22) = f(x) car ai + bi + ci = 0 pour
i = 1, 2.
Donc, h1 et h2 sont solutions du syste`me h11 + h
22 = 0
h11 + h22 =f(x)
a.
Ce syste`me se resout facilement, ce qui donne h1 et h2, puis h1 et h2 par integration.
Corollaire 4.2. Soit (x0, y0, y1) I KK. Alors il existe une et une seule solution delequation differentielle (E) verifiant la condition initiale y(x0) = y0 et y
(x0) = y1.
Intgration des fonctions rellesConstruction de l'intgrale de RiemannSommes de DarbouxFonctions intgrablesSommes de Riemann
Primitive et intgrale d'une fonctionCalcul de primitives et d'intgralesIntgration par partiesChangement de variablePrimitives de fractions rationnellesFractions rationnelles en sin et cosAutres fractions rationnelles
Dveloppements limitsExistence des DLDfinition, propritsFormules de Taylor
Oprations sur les DLSomme, produit et composeQuotient et intgration des DL
Applications des DLCalcul de limitesEtude localeDL(oo), branches infinies et asymptotes
Courbes paramtresDfinitions gnralesEtude des branches infiniesEtude des points particuliersPlan d'tude, exemple
Equations diffrentiellesGnralits sur les quations diffrentielles linairesEquations diffrentielles linaires du premier ordreRsolution de l'quation normaliseRsolution de l'quation non normalise
Equations diffrentielles linaires du second ordreVocabulaire, gnralitsRsolution de l'quation homogneRsolution de l'quation avec second membre
