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Universit Aix Marseille

Licence de mathmatiques

Cours dAnalyse numrique

Raphale Herbin

18 novembre 2013

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Table des matires

1 Systmes linaires 5

1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Pourquoi et comment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Quelques rappels dalgbre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Discrtisation de lquation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Corrigs des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Les mthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Mthode de Gauss, mthodeLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Mthode de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.4 Quelques proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.6 Suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.7 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4 Normes et conditionnement dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.1 Normes, rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.2 Le problme des erreurs darrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.4.3 Conditionnement et majoration de lerreur darrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.4.4 Discrtisation dquations diffrentielles, conditionnement efficace" . . . . . . . . . . . 581.4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4.6 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.4.7 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5 Mthodes itratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.5.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.5.2 Quelques exemples de mthodes itratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.5.3 Les mthodes par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.5.4 Exercices, noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.5 Exercices, suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.5.6 Exercices, corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.6 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.6.1 Mthode de la puissance et de la puissance inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.6.2 Mthode QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.6.4 Suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.6.5 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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TABLE DES MATIRES TABLE DES MATIRES

2 Systmes non linaires 116

2.1 Les mthodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.1.1 Point fixe de contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.1.2 Point fixe de monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.1.3 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.2 Mthode de Newton dansIR n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2.1 Construction et convergence de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2.2 Variantes de la mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3 Optimisation 155

3.1 Dfinitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.1.1 Extrema, points critiques et points selle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.1.2 Rappels et notations de calcul diffrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.1.3 Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.2 Optimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2.1 Dfinition et condition doptimalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2.2 Rsultats dexistence et dunicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3 Algorithmes doptimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.3.1 Mthodes de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.3.2 Algorithmes du gradient conjugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.3.3 Mthodes de Newton et QuasiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.3.4 Rsum sur les mthodes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.4 Optimisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.4.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.4.2 Existence Unicit Conditions doptimalit simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.4.3 Conditions doptimalit dans le cas de contraintes galit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.4.4 Contraintes ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.5 Algorithmes doptimisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.5.1 Mthodes de gradient avec projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.5.2 Mthodes de dualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4 Equations diffrentielles 220

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204.2 Consistance, stabilit et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.3 Thorme gnral de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.5 Explicite ou implicite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4.5.1 Limplicite gagne... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.5.2 Limplicite perd... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.5.3 Match nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.6 Etude du schma dEuler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.8 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Analyse numrique I, tl-enseignement, L3 2 Universit dAix-Marseille, R. Herbin, 18 novembre 2013

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Introduction

Lobjet de lanalyse numrique est de concevoir et dtudier des mthodes de rsolution de certains problmesmathmatiques, en gnral issus de la modlisation de problmes rels", et dont on cherche calculer la solution laide dun ordinateur.Le cours est structur en quatre grands chapitres : Systmes linaires

Systmes non linaires Optimisation Equations diffrentielles.On pourra consulter les ouvrages suivants pour ces diffrentes parties (ceci est une liste non exhaustive!) : A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Mthodes Numriques : Algorithmes, Analyse et Applications, Springer

2006. P.G. Ciarlet, Introduction lanalyse numrique et loptimisation, Masson, 1982, (pour les chapitre 1 3 de ce

polycopi). M. Crouzeix, A.L. Mignot, Analyse numrique des quations diffrentielles, Collection mathmatiques appli-

ques pour la maitrise, Masson, (pour le chapitre 4 de ce polycopi). J.P. Demailly, Analyse numrique et quations diffrentielles Collection Grenoble sciences Presses Universi-

taires de Grenoble L. Dumas, Modlisation loral de lagrgation, calcul scientifique, Collection CAPES/Agrgation, Ellipses,

1999. E. Hairer, polycopi du cours "Analyse Numrique", http ://www.unige.ch/ hairer/polycop.html J. Hubbard, B. West, Equations diffrentielles et systmes dynamiques, Cassini. J. Hubbard et F. Hubert, Calcul Scientifique, Vuibert. P. Lascaux et R. Thodor, Analyse numrique matricielle applique lart de lingnieur, tomes 1 et 2, Masson,

1987 L. Sainsaulieu, Calcul scientifique cours et exercices corrigs pour le 2me cycle et les coles dingnieurs,

Enseignement des mathmatiques, Masson, 1996. M. Schatzman, Analyse numrique, cours et exercices, (chapitres 1,2 et 4). D. Serre, Les matrices, Masson, (2000). (chapitres 1,2 et 4). P. Lascaux et R. Theodor, Analyse numrique sapplique aux sciences de lingnieur, Paris, (1994) R. Temam, Analyse numrique, Collection SUP le mathmaticien, Presses Universitaires de France, 1970.Et pour les anglophiles... M. Braun, Differential Equations and their applications, Springer, New York, 1984 (chapitre 4). G. Dahlquist and A. Bjrck, Numerical Methods, Prentice Hall, Series in Automatic Computation, 1974, Engle-

wood Cliffs, NJ. R. Fletcher, Practical methods of optimization, J. Wiley, New York, 1980 (chapitre 3). G. Golub and C. Van Loan, Matrix computations, The John Hopkins University Press, Baltimore (chapitre 1). R.S. Varga, Matrix iterative analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1962.Pour des rappels dalggre linaire : Poly dalgbre linaire de premire anne, P. Bousquet, R. Herbin et F. Hubert, http ://www.cmi.univ-mrs.fr/ her-

bin/PUBLI/L1alg.pdf Introduction to linear algebra, Gilbert Strang, Wellesley Cambridge Press, 2008

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TABLE DES MATIRES TABLE DES MATIRES

Ce cours a t rdig pour la licence de mathmatiques distance (tlenseignement) du CTES de luniversitdAix-Marseille. Chaque chapitre est suivi dun certain nombre dexercices. On donne ensuite des suggestionspour effectuer les exercices, puis des corrigs dtaills. Il est fortement conseill dessayer de faire les exercices

dabord sans ces indications, et de ne regarder les corrigs dtaills quune fois lexercice achev (mme si certainesquestions nont pas pu tre effectues), ceci pour se prparer aux conditions dexamen.


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Chapitre 1

Systmes linaires

1.1 Objectifs

On note Mn(IR)lensemble des matrices carres dordren. SoitA Mn(IR)une matrice inversible, etb IRn,on a comme objectif de rsoudre le systme linaireAx= b, cest dire de trouverxsolution de :

x IRnAx= b

(1.1)

CommeAest inversible, il existe un unique vecteur xIRn solution de (1.1). Nous allons tudier dans les deuxchapitres suivants des mthodes de calcul de ce vecteur x : la premire partie de ce chapitre sera consacre auxmthodes directes" et la deuxime aux mthodes itratives". Nous aborderons ensuite en troisime partie lesmthodes de rsolution de problmes aux valeurs propres.Un des points essentiels dans lefficacit des mthodes envisages concerne la taille des systmes rsoudre. Entre1980 et 2000, la taille de la mmoire des ordinateurs a augment de faon drastique. La taille des systmes quon

peut rsoudre sur ordinateur a donc galement augment, selon lordre de grandeur suivant :1980 : matrice pleine (tous les termes sont non nuls) n= 102

matrice creuse n= 106

2000 : matrice pleine n= 106

matrice creuse n= 108

Le dveloppement des mthodes de rsolution de systmes linaires est lie lvolution des machines infor-matiques. Un grand nombre de recherches sont dailleurs en cours pour profiter au mieux de larchitecture desmachines (mthodes de dcomposition en sous domaines pour profiter des architectures parallles, par exemple).Dans la suite de ce chapitre, nous verrons deux types de mthodes pour rsoudre les systmes linaires : lesmthodes directes et les mthodes itratives. Pour faciliter la comprhension de leur tude, nous commenons parquelques rappels dalgbre linaire.

1.2 Pourquoi et comment ?

Nous donnons dans ce paragraphe un exemple de problme dont la rsolution numrique recquiert la rsolutiondun systme linaire, et qui nous permet dintroduire des matrices que nous allons beaucoup tudier par la suite.Nous commenons par donner ci-aprs aprs quelques rappels succincts dalgbre linaire, outil fondamental pourla rsolution de ces systmes linaires.

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1.2. POURQUOI ET COMMENT ? CHAPITRE 1. SYSTMES LINAIRES

1.2.1 Quelques rappels dalgbre linaire

Quelques notions de base

Ce paragraphe rappelle des notions fondamentales que vous devriez connatre lissue du cours dalgbre linairede premire anne. On va commencer par revisiter le produit matriciel, dont la vision combinaison linaire delignes est fondamentale pour bien comprendre la forme matricielle de la procdure dlimination de Gauss.SoientAetBdeux matrices carres dordren, etM=AB. Prenons comme exemple dillustration

A=

1 20 1

, B =

1 03 2

etM=

5 43 2

On noteai,jbi,jet mi,j,i, j = 1, . . . nles coefficients respectifs deA,Bet M. Vous savez bien sr que

mi,j =

nk=1

ai,kbk,j . (1.2)

Si on crit les matricesAetBsous forme de lignes (notes i) et colonnes (notescj) :

A=

1(A). . .n(A)

etB = c1(B) . . . n(B)Dans nos exemples, on a donc

1(A) =

1 2

, 2(A) =

0 1

, c1(B) =

13

c2(B) =

02

.

Lexpression (1.2) scrit encoremi,j =i(A)cj (B),

qui est le produit dune matrice 1

npar une matrice n

1, quon peut aussi crire sous forme dun produit

scalaire :mi,j = (i(A))

t cj (B)o(i(A))t dsigne la matrice transpose, qui est donc maintenant une matrice n 1quon peut identifier unvecteur deIRn. Cest la technique habituelle de calcul du produit de deux matrices. On a dans notre exemple :

m1,2= 1(A) c2(B) =

1 20

2

.

= (i(A))t cj (B) =

12

02

= 4.

Mais de lexpression (1.2), on peut aussi avoir lexpression des lignes et des colonnes deM = ABen fonction

des lignes deBou des colonnes deA:

i(AB) =n

k=1

ai,kk(B) (1.3)

cj (AB) =

nk=1

bk,jck(A) (1.4)

Dans notre exemple, on a donc :

1(AB) =1 0+ 2 3 2= 5 4


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ce qui montre que la ligne 1 de ABest combinaison linaire des lignes de B. Le colonnes deAB, par contre, sontdes combinaisons linaires de colonnes deA. Par exemple :

c2(AB) = 0 10+ 2 21= 42Il faut donc retenir que dans un produit matricielAB,

les colonnes deABsont des combinaisons linaires des colonnes deAles lignes deABsont des combinaisons linaires des lignes deB.

Cette remarque est trs importante pour la reprsentation matricielle de llimination de Gauss : lorquon calculedes systmes quivalents, on effectue des combinaisons linaires de lignes, et donc on multiplie gauche par unematrice dlimination.

Le tableau ci-dessous est la traduction littrale de Linear algebra in a nutshell, par Gilbert Strang1

Pour unematrice carreA, on donne les caractrisations du fait quelle est inversible ou non.

Ainversible Anon inversible

Les vecteurs colonne sont indpendants Les vecteurs colonne sont lisLes vecteurs ligne sont indpendants Les vecteurs ligne sont lis

Le dterminant est non nul Le dterminant est nulAx= 0a une unique solutionx = 0 Ax= 0 a une infinit de solutions.

Le noyau deAest rduit {0} Le noyau deAcontient au moins un vecteur non nul.Ax= b a une solution uniquex= A1b Ax= ba soit aucune solution, soit une infinit.

Aan(nonzero) pivots Aar < npivotsAest de rang maximal : rg(A) =n. rg(A) =r < n

La forme totatement chelonneRdeAest la matrice identit Ra au moins une ligne de zros.Limage deAest toutIRn. Limage deAest strictement incluse dansIRn.LespaceL(A)engendr par les lignes deAest toutIRn. L(A)est de dimensionr < n

Toutes les valeurs propres deAsont non nulles Zero est valeur propre deA.AtAis symtrique dfinie positive AtAnest que semi- dfinie .

TABLE1.1: Extrait de Linear algebra in a nutshell, G. Strang

On rappelle pour une bonne lecture de ce tableau les quelques dfinitions suivantes :

Dfinition 1.1(Pivot). SoitA Mn(IR)une matrice carre dordren. On appelle pivot deAle premier lmentnon nul de chaque ligne dans la forme chelonne de A obtenue par limination de Gauss. Si la matrice est

inversible, elle a doncnpivots (non nuls).

Dfinition 1.2(Valeurs propres). SoitA Mn(IR)une matrice carre dordren. On appelle valeur propre deAtout Cl tel quil existe x Cl n,x = 0 tel queAx= x. Llmentxest appel vecteur propre deAassoci .

1. Voir la page web de Strangwww.mit.edu/~gspour une foule dinformations et de cours sur lalgbre linaire.


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Dfinition 1.3 (Dterminant). Il existe une unique application, note det deMn(IR) dans IR qui vrifie lesproprits suivantes

(D1) Le dterminant de la matrice identit est gal 1.

(D2) Si la matrice Aest obtenue partir deApar change de deux lignes, alors detA= detA.(D3) Le dterminant est une fonction linaire de chacune des lignes de la matrice A.

(D3a) (multiplication par un scalaire) si A est obtenue partir de Aen multipliant tous les coefficients duneligne par IR, alorsdet(A) = det(A).

(D3b) (addition) siA=

1(A)...

k(A)...

n(A)

, A=

1(A)...

k(A)...

n(A)

etB =

1(A)...

k(A) +k(A)...

n(A)

, alors

det(B) = det(A) + det(A).

On peut dduire de ces trois proprits fondamentales un grand nombre de proprits importantes, en particulierle fait quedet(AB) = detAdetBet que le dterminant dune matrice inversible est le produit des pivots : cestde cette manire quon le calcule sur les ordinateurs. En particulier on nutilise jamais la formule de Cramer,beaucoup trop coteuse en termes de nombre doprations.

On rappelle que si A Mn(IR)une matrice carre dordren, les valeurs propres sont les racines dupolynmecaractristiquePAde degrn, qui scrit :

PA()) = det(A I).

Matrices diagonalisables

Dfinition 1.4(Matrice diagonalisable dans IR). SoitA une matrice relle carre dordre n. On dit que A estdiagonalisable dansIRsi il existe une base(u1, . . . ,un)deIR

n et des rels1, . . . , n(pas forcment distincts)tels que Aui = iui pour i = 1, . . . , n. Les rels 1, . . . , n sont les valeurs propres de A, et les vecteursu1, . . . ,unsont les vecteurs propres associs.

Vous connaissez srement aussi la diagonalisation dansCl : une matrice relle carre dordre n est toujours dia-

gonalisable dansCl, au sens o il existe une base (u1, . . . ,un)de Cln

et des nombres complexes1, . . . , n(pasforcment distincts) tels que Aui = iui pour i = 1, . . . , n. Ici et dans toute la suite, comme on rsout dessystmes linaires rels, on prfre travailler avec la diagonalisation dansIR; cependant il y a des cas o la diago-nalisation dansCl est utile et mme ncessaire (tude de stabilit des systmes difrentiels, par exemple). Par soucide clart, nous prciserons toujours si la diagonalisation considre est dansIRou dansCl.

Lemme 1.5. SoitAune matrice relle carre dordren, diagonalisable dansIR. Alors

A= Pdiag(1, . . . , n)P1,


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oPest la matrice dont les vecteurs colonnes sont gaux aux vecteurs 1, . . . , n.

DMONSTRATION SoitPla matrice dfinie (de manire unique) parPei = ui, o(ei)i=1,...,nest la base canoniquede IRn, cest--dire que (ei)j = i,j . La matrice Pest appele matrice de passage de la base (ei)i=1,...,n la base(ui)i=1,...,n; lai-me colonne dePest constitue des composantes deuidans la base canonique(e1, . . . , en).La matricePest videmment inversible, et on peut crire :

Aui = APei = iui,

de sorte que :P1APei = iP

1ui = iei.

On a donc bienP1AP = diag(1, . . . , n)(ou encoreA = Pdiag(1, . . . , n)P1).

La diagonalisation des matrices relles symtriques est un outil quon utilisera souvent dans la suite, en particulierdans les exercices. Il sagit dun rsultat extrmement important.

Lemme 1.6(Une matrice symtrique est diagonalisable dansIR). SoitEun espace vectoriel surIRde dimensionfinie :dimE= n,n IN, muni dun produit scalaire i.e. dune application

E E IR,(x, y) (x | y)E,

qui vrifie :x E, (x | x)E 0et(x | x)E= 0 x= 0,(x, y) E2, (x | y)E= (y| x)E,y E, lapplication deEdansIR, dfinie parx (x | y)Eest linaire.

Ce produit scalaire induit une norme surE,

x

= (x | x)E.SoitTune application linaire de EdansE. On suppose que Test symtrique, c..d. que(T(x)| y)E = (x|T(y))E, (x, y) E2 . Alors il existe une base orthonorme(f1 . . . f n)deE(c..d. telle que(fi, fj)E=i,j) et(1 . . . n) IRn tels queT(fi) = ifipour touti {1 . . . n}.

Consquence immdiate : Dans le cas o E = IRn, le produit scalaire canonique de x = (x1, . . . , xn)t ety= (y1, . . . , yn)t est dfini par(x | y)E=x y=

ni=1 xiyi. SiA Mn(IR)est une matrice symtrique, alors

lapplicationTdfinie deEdansEpar : T(x) = Axest linaire, et : (T x|y) = Ax y = x Aty = x Ay =(x | T y).DoncTest linaire symtrique. Par le lemme prcdent, il existe(f1 . . . f n)et(1 . . . n) IRtels queT fi = Afi = ifi i {1, . . . , n} etfi fj = i,j, (i, j) {1, . . . , n}2.

Interprtation algbrique :Il existe une matrice de passagePde(e1, . . . , en)base canonique dans(f1, . . . , f n)

dont la premire colonne dePest constitue des coordonnes defidans(e1 . . . en). On a :P ei =fi. On a alorsP1AP ei = P1Afi = P1(ifi) = iei = diag(1, . . . , n)ei, o diag(1, . . . , n) dsigne la matricediagonale de coefficients diagonaux1, . . . , n. On a donc :

P1AP =

i 0. . .0 n

= D.De plusPest orthogonale,i.e.P1 =Pt. En effet,

PtP ei ej =P ei P ej = (fi|fj ) = i,j i, j {1 . . . n},


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et donc(PtP ei ei) ej = 0 j {1 . . . n} i {1, . . . n}.On en dduit PtP ei =eipour touti = 1, . . . n,i.e.PtP =P Pt =I d.

DMONSTRATIONdu lemme 1.6 Cette dmonstration se fait par rcurrence sur la dimension de E.1re tape.

On supposedimE= 1. SoiteE,e= 0, alorsE= IRe= f1avecf1= ee . SoitT :EElinaire symtrique, ona :T f1IRf1donc il existe1IRtel queT f1= 1f1.

2me tape.On suppose le lemme vrai sidimE < n. On montre alors le lemme si dimE=n. SoitEun espace vectoriel norm surIRtel quedimE= netT :EElinaire symtrique. Soitlapplication dfinie par :

: EIRx(T x|x).

Lapplicationest continue sur la sphre unitS1 ={x E| x = 1}qui est compacte car dimE < + ; il existedonc eS1tel que (x)(e) = (T e|e) = pour tout xE. Soit yE\ {0}, et soit t]0, 1y [alors e + ty= 0.

On en dduit que :e + ty

e + ty S1donc(e) =

T (e + ty)

e + ty | e + ty

e + ty

E

donc(e + ty|e + ty)E (T(e + ty)|e + ty). En dveloppant on obtient :[2t(e|y) + t2(y|y)E]2t(T(e)|y) + t2(T(y)|y)E.

Commet >0, ceci donne :[2(e|y) + t(y|y)E]2(T(e)|y) + t(T(y)|y)E.

En faisant tendretvers0+, on obtient2(e|y)E 2(T(e)|y),Soit0(T(e) e|y )pour touty E\ {0}.Demme pourz=yon a 0(T(e) e|z)donc(T(e) e|y)0. Do(T(e) e|y) = 0 pour toutyE. Onen dduit queT(e) =e.On posefn= eetn= .

SoitF ={x E; (x| e) = 0}, on a donc F = E, et E = F

IRe : on peut dcomposer x Ecomme (x =x(x| e)e+ (x| e)e). LapplicationS = T|Fest linaire symtrique et on a dimF = n1. etS(F) F. Onpeut donc utiliser lhypothse de rcurrence : (1 . . . n1)IRn et (f1 . . . f n1)En tels que i {1 . . . n 1},Sfi = T fi = ifi, et i, j {1 . . . n 1}, (fi|fj) = i,j.Et donc(1 . . . n)et(f1 . . . f n)conviennent.

1.2.2 Discrtisation de lquation de la chaleur

Dans ce paragraphe, nous prenons un exemple trs simple pour obtenir un systme linaire partir de la discrti-sation dun problme continu.

Lquation de la chaleur unidimensionnelle

Discrtisation par diffrences finies de u = f Soitf C([0, 1], IR). On chercheutel que

u(x) = f(x) (1.5a)

u(0) =u(1) = 0. (1.5b)

Remarque 1.7(Problmes aux limites, problmes conditions initiales). Lquation diffrentielle u= fadmetune infinit de solutions. Pour avoir existence et unicit, il est ncessaire davoir des conditions supplmentaires.Si lon considre deux conditions en 0 (ou en 1, lorigine importe peu) on a ce quon appelle un problme deCauchy, ou problme conditions initiales. Le problme(1.5)est lui un problme aux limites : il y a une conditionpour chaque bord du domaine. En dimension suprieure, le problme u = fncessite une condition sur aumoins un bout de frontire pour tre bien pos : voir le cours dquations aux drives partielles de master pourplus de dtails ce propos.


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x

x

x

x

x

x0 = 0 x1 xi = ih

u(x)

ui

xN+1 = 1

x

x

x

x x

FIGURE1.1: Solution exacte et approche de u = f

On peut montrer (on ladmettra ici) quil existe une unique solution u C2([0, 1], IR). On cherche calculerude manire approche. On va pour cela introduire la mthode de discrtisation ditepar diffrences finies. Soitn IN, on dfinith = 1/(n+ 1) lepas de discrtisation, c..d. la distance entre deux points de discrtisation,et pouri = 0, . . . , n+ 1on dfinit les points de discrtisationxi = ih(voir Figure 1.1), qui sont les points olon va crire lquation u = fen vue de se ramener un systme discret, c..d. un systme avec un nombrefini dinconnuesu1, . . . , un. Remarquons quex0 = 0et xn+1 = 1, et quen ces points, u est spcifie par lesconditions limites (1.5b). Soitu(xi)la valeur exacte deuenxi. On crit la premire quation de (1.5a) en chaquepointxi, pouri = 1 . . . n.

u(xi) = f(xi) = bi i {1 . . . n}. (1.6)Supposons queu C4([0, 1],IR) (ce qui est vrai sif C2). Par dveloppement de Taylor, on a :

u(xi+1) = u(xi) + hu(xi) +

h2

2u(xi) +

h3

6u(xi) +

h4

24u(4)(i),

u(xi1) = u(xi) hu(xi) + h2

2 u(xi) h

3

6 u(xi) + h

4

24 u(4)(i),

aveci (xi, xi+1)eti (xi, xi+1). En sommant ces deux galits, on en dduit que :

u(xi+1) + u(xi1) = 2u(xi) + 1

h2u(xi) +

h4

24u(4)(i) +

h4

24u(4)(i).

On dfinit lerreur de consistance, qui mesure la manire dont on a approch u(xi) ; lerreur de consistanceRiau pointxiest dfinie par

Ri= u(xi) u(xi+1) + u(xi1) 2u(xi)h2

. (1.7)

On a donc :

|Ri| = u(xi+1) + u(xi1) 2u(xi)h2 + u(xi)h424 u(4)(i) + h424 u(4)(i)

h

2

12u(4). (1.8)

o u(4) = supx]0,1[ |u(4)(x)|. Cette majoration nous montre que lerreur de consistance tend vers 0 commeh2, et on en dit que le schma estconsistant dordre 2.


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On introduit alors les inconnues (ui)i=1,...,n quon espre tre des valeurs approches de u aux points xi et quisont les composantes de la solution (si elle existe) du systme suivant

ui+1+ ui1 2uih2 =bi, i; 1 i n,u0 = un+1 = 0.

(1.9)

On cherche doncu =

u1...un

IRn solution de (1.9). Ce systme peut scrire sous forme matricielle :Knu= bob =

b1...bn

etKnest la matrice carre dordrende coefficients(ki,j )i,j=1,ndfinis par :

ki,i =

2

h2, i= 1, . . . , n ,

ki,j = 1h2

, i= 1, . . . , n , j = i 1,ki,j = 0, i= 1, . . . , n ,|i j| >1.

(1.10)

On remarque immdiatement queKnest tridiagonale.On peut montrer que Knest symtrique dfinie positive (voir exercice 7 page 18), et elle est donc inversible LesystmeKnu= badmet donc une unique solution. Cest bien, mais encore faut il que cette solution soit ce quonesprait, c..d. que chaque valeurui soit une approximation pas trop mauvaise de u(xi). On appelle erreur dediscrtisation enxila diffrence de ces deux valeurs :

ei= u(xi) ui, i= 1, . . . , n . (1.11)

mSi on appelle e le vecteur de composantesei, on dduit de la dfinition 1.11 de lerreur de consistance et desquations (exactes) 1.6 que

Kne= Ret donce = K1n R. (1.12)

Le fait que le schma soit consistant est une bonne chose, mais cela ne suffit pas montrer que le schma estconvergent, c..d. que lerreur entre maxi=1,...,n ei tend vers 0 lorsque h tend vers 0, parce que A dpend deh ! Pour cela, il faut de plus que le schma soit stable, au sens o lon puisse montrer queK1n est bornindpendamment deh, ce qui revient trouver une estimation sur les valeurs approchesuiindpendante deh. Lastabilit et la convergence font lobjet de lexercice 40, o lon montre que le schma est convergent, et quon alestimation derreur suivante :

maxi=1...n

{|ui u(xi)|} h2

96u(4).

Cette ingalit donne la prcision de la mthode (cest une mthode dite dordre 2). On remarque en particulierque si on raffine la discrtisation, cestdire si on augmente le nombre de points nou, ce qui revient au mme,si on diminue le pas de discrtisationh, on augmente la prcision avec laquelle on calcule la solution approche.

Lquation de la chaleur bidimensionnelle

Prenons maintenant le cas dune discrtisation du Laplacien sur un carr par diffrences finies. Si u est une fonctionde deux variables x et y valeurs dans IR, et siu admet des drives partielles dordre 2 en x et y , loprateurlaplacien est dfini paru = xxu+yy u. Lquation de la chaleur bidimensionnelle scrit avec cet oprateur.On cherche rsoudre le problme :

u= fsur =]0, 1[]0, 1[,u= 0sur,

(1.13)


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On rappelle que loprateur Laplacien est dfini pouru C2(), oest un ouvert deIR2, par

u=2u

x

2+

2u

y

2.

Dfinissons une discrtisation uniforme du carr par les points (xi, yj ), pour i = 1, . . . , M et j = 1, . . . , M avecxi = ih, yj = jh et h = 1/(M+ 1), represente en figure 1.2 pour M = 6. On peut alors approcher lesdrives secondes par des quotients diffrentiels comme dans le cas unidimensionnel (voir page 11), pour obtenirun systme linaire : Au = bo A Mn(IR)et b IRn avecn = M2. Utilisons lordrelexicographique"pour numroter les inconnues, c..d. de bas en haut et de gauche droite : les inconnues sont alors numrotes de1 n = M2 et le second membre scrit b = (b1, . . . , bn)t. Les composantesb1, . . . , bn sont dfinies par :pouri, j = 1, . . . , M , on posek = j + (i 1)Met bk = f(xi, yj ).

2 3 4 5 6

7 8 9

31

10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

302928272625

32 33 34 35 36

1i= 1

j = 1

x

y

FIGURE1.2: Ordre lexicographique des inconnues, exemple dans le casM= 6

Les coefficients deA= (ak,)k,l=1,npeuvent tre calculs de la manire suivante :

Pour i, j = 1, . . . , M , on posek = j + (i 1)M,ak,k =

4

h2,

ak,k+1 =

1

h2 sij=M,

0 sinon,

ak,k1 = 1h2 sij= 1,0 sinon,ak,k+M=

1

h2sii < M,

0 sinon,

ak,kM=

1

h2sii >1,

0 sinon,

Pour k= 1, . . . , n , et= 1, . . . , n;ak, = 0, k = 1, . . . , n ,1 < |k | < nou |k | > n.


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La matrice est donc tridiagonale par blocs, plus prcisment si on note

D=

4 1 0 . . . . . . 0

1 4

1 0 . . . 0

0 . . . . . . . . . . . . ......

0 . . .

. . . . . . 1

0 . . . 0 1 4

,

les blocs diagonaux (qui sont des matrices de dimensionM M), on a :

A=

D Id 0 . . . . . . 0Id D Id 0 . . . 0

0 Id D Id 0...

. . . . . .

. . . . . .

...

0 . . . Id D Id0 . . . 0 Id D

, (1.14)

oI ddsigne la matrice identit dordreM.

Matrices monotones, ou inverse positive Une proprit qui revient souvent dans ltude des matrices issuesde la discrtisation dquations diffrentielles est le fait que si leur action sur un vecteurudonne un vecteur positifv(composante par composante) alors le vecteurude dpart doit tre positif (composante par composante) ; on ditsouvent que la matrice est monotone, ce qui nest pas un terme trs evocateuri. . . Dans ce cours, on lui prfererale terme inverse positive ; en effet, on montre la proposition quune matriceAest monotone si et seulementsi elle inversible et inverse positive.

Dfinition 1.8 (IP-matrice ou matrice monotone). Si x IRn, on dit que x 0 [resp. x > 0] si toutes lescomposantes dexsont positives [resp. strictement positives].SoitA Mn(IR), on dit queAest une matrice monotone si elle vrifie la proprit suivante :

Six IRn est tel queAx 0, alorsx 0,

ce qui peut encore scrire : {x IRn t.q.Ax 0} {x IRn t.q.x 0}.

Proposition 1.9(Caractrisation des matrices monotones). Une matrice A est monotone si et seulement si elleinversible et inverse positive (c..d. dont tous les coefficients sont positifs).

La dmonstration de ce rsultat est lobjet de lexercice 5. Retenez que toute matrice monotone est inversible etdinverse positive que cette proprit de monotonie est utilise pour tablir une borne de A1 pour la matricede discrtisation du Laplacien, dont on a besoin pour montrer la convergence du schma. Cest donc une propritqui est importante au niveau de lanalyse numrique.

1.2.3 Exercices

Exercice 1(Vrai ou faux ? Motiver les rponses. . . ).

On suppose dans toutes les questions suivantes quen 2.1. SoitZ IRn un vecteur non nul. La matriceZZt est inversible.


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2. La matrice inverse dune matrice triangulaire infrieure est triangulaire suprieure.

3. Les valeurs propres sont les racines du polynme caractristiques

4. Toute matrice inversible est diagonalisable dansIR

5. Toute matrice inversible est diagonalisable dans C6. Le dterminant dune matriceAest gal au produit de ses valeurs propres.

7. SoitAune matrice carre telle queAx= 0 = x= 0 . AlorsAest inversible.8. SoitAune matrice carre telle queAx 0= x 0. AlorsAest inversible.9. Une matrice symtrique est inversible.

10. Une matrice symtrique dfinie positive est inversible.

Exercice 2(Sur quelques notions connues).

1. Soit Aune matrice carre dordre net b IR3. Peut il exister exactement deux solutions distinctes ausystmeAx= b ?

2. SoientA,Bet Cde dimensions telles queABetBCexistent. Montrer que siAB = I detBC= I d, alorsA= C.

3. Combien y a -til de matrices carres dordre 2 ne comportant que des 1 ou des 0 comme coefficients ?Combien dentre elles sont inversibles ?

4. SoitB =

3 25 3

.Montrer queB1024 =I d.

Exercice 3(La matriceK3). Soitf C([0, 1], IR). On chercheutel que u(x) = f(x),x (0, 1), (1.15a)

u(0) =u(1) = 0. (1.15b)

1. Calculer la solution exacteu(x)du problme pourf 1(on admettra quelle est unique).On discrtise le problme suivant par diffrences finies, avec un pas h = 14avec la technique vue en cours.

2. A laide de dvloppements de Taylor, crire lapproximation de u(xi)au deuxime ordre en fonction deu(xi), u(xi1etu(xi+1). En dduire le schma aux diffrences finies pour lapproximation de(1.15), quoncrira sous la forme :

K3u= b, (1.16)

oK3est la matrice de discrtisation quon explicitera, u =

u1u2u3

etb =b1b2

b3

=f(x1)f(x2)

f(x3)

.3. Rsoudre le systme linaire(1.16)par la mthode de Gauss. Comparerui etu(xi) pouri = 1, 2, 3, et

expliquer pourquoi lerreur de discrtisationu(xi) uiest nulle.

4. Reprendre les questions prcdentes en remplaant les conditions limites(1.15b)par :

u(0) = 0, u(1) = 0. (1.17)

5. On remplace maintenant les condtions limites(1.15b)par :

u(0) = 0, u(1) = 0. (1.18)

(a) Montrer que le problme(1.15a)-(1.18)admet plusieurs solutions.

(b) Ecrire la discrtisation du problme(1.15a)-(1.18), toujours avech = 14, sous la formeK3u =ben

explicitantK3etb.Analyse numrique I, tl-enseignement, L3 15 Universit dAix-Marseille, R. Herbin, 18 novembre 2013

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(c) Montrer que la matriceK3nest pas inversble : on part dun problme continu mal pos, et on obtientpar discrtisation un problme discret mal pos. . .

Exercice 4(Matrices symtriques dfinies positives). Suggestions en page 18, corrig en page 19. On rappelle que

toute matriceA Mn(IR)symtrique est diagonalisable dansIR(cf. lemme 1.6 page 9). Plus prcisment, on amontr en cours que, siA Mn(IR)est une matrice symtrique, il existe une base de IRn, note {f1, . . . , f n}, etil existe1, . . . , n IRt.q.Afi = ifi, pour touti {1, . . . , n}, etfi fj = i,jpour touti, j {1, . . . , n}(x ydsigne le produit scalaire dexavecydansIRn).

1. SoitA Mn(IR). On suppose queA est symtrique dfinie positive, montrer que les lments diagonauxdeAsont strictements positifs.

2. SoitA Mn(IR)une matrice symtrique. Montrer que Aest symtrique dfinie positive si et seulement sitoutes les valeurs propres deAsont strictement positives.

3. SoitA Mn(IR). On suppose queAest symtrique dfinie positive. Montrer quon peut dfinir une uniquematriceB Mn(IR), symtrique dfinie positive t.q.B2 =A(on noteB = A 12 ).

Exercice 5(IP-matrice). Corrig en page 20

Soit n IN, on note Mn(IR)lensemble des matrices de n lignes et n colonnes et coefficients rels. Si x IRn,on dit quex 0[resp.x >0] si toutes les composantes dexsont positives [resp. strictement positives].SoitA Mn(IR), on dit queAest une IP-matrice si elle vrifie la proprit suivante :

Six IRn est tel queAx 0, alorsx 0,ce qui peut encore scrire : {x IRn t.q.Ax 0} {x IRn t.q.x 0}.1. SoitA = (ai,j )i,j=1,...,n Mn(IR). Montrer queA est une IP-matrice si et seulement si A est inversible etA1 0(cest--dire que tous les coefficients deA1 sont positifs).

2. SoitA=

a bc d

une matrice relle dordre 2. Montrer queAest une IP-matrice si et seulement si :

ad < bc,a < 0, d bc,a > 0, d > 0,b 0, c 0.

(1.19)

3. Montrer que siA Mn(IR)est une IP-matrice alorsAt (la transpose deA) est une IP-matrice.4. Montrer que siAest telle que

ai,j 0, pour touti, j = 1, . . . , n , i =j,ai,i>

nj=1j=i

|ai,j|, pour touti= 1, . . . , n , (1.20)

alorsAest une IP-matrice.

5. En dduire que siAest telle que

ai,j 0, pour touti, j = 1, . . . , n , i =j,ai,i>

nj=1j=k

|aj,i|, pour touti = 1, . . . , n , (1.21)

alorsAest une IP-matrice.

6. Montrer que siA Mn(IR)est une IP-matrice et six IRn alors :Ax > 0 x > 0.


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cest--dire que {x IRn t.q.Ax >0} {x IRn t.q.x >0}7. Montrer, en donnant un exemple, quune matrice A de Mn(IR)peut vrifier {x IRn t.q. Ax > 0} {x IRnt.q.x >0

}et ne pas tre une IP-matrice.

8. On suppose dans cette question queA Mn(IR)est inversible et que {x IRn t.q.Ax >0} {x IRn t.q.x > 0}. Montrer queAest une IP-matrice.9. (Question plus difficile) Soit Elespace des fonctions continues sur IR et admettant la mme limite finie en+et. SoitL(E)lensemble des applications linaires continues de Edans E. Pourf E, on dit quef > 0(resp. f 0) sif(x) > 0(resp. f(x) 0) pour tout x IR. Montrer quil existeT L(E)tel queT f 0 = f 0, etg Etel queT g > 0et g > 0(ceci dmontre que le raisonnement utilis en 2 (b) nemarche pas en dimension infinie).

Exercice 6(M-matrice).

Dans ce qui suit, toutes les ingalits crites sur des vecteurs ou des matrices sont entendre au sens composantepar composante.SoitA= (a

i,j)

i,j=1,...,nune matrice carre dordren. On dit queAest uneM-matrice siAest une IP-matrice (A

est inversible etA1 0, voir exercice 5) qui vrifie de plus(a) ai,i> 0pouri = 1, . . . , n ;

(b) ai,j 0pouri, j = 1, . . . , n,i =j ;1. SoitAune IP-matrice ; montrer queAest uneM-matrice si et seulement si la proprit (b) est vrifie.

2. SoitA=

a bc d

une matrice relle dordre 2. Montrer queAest une M-matrice si et seulement si :

ad > bc,a > 0, d >0,b 0, c 0.

(1.22)

3. Les matricesA = 1 22 1 etB = 2 11 2 sont-elles des IP-matrices ? des M-matrices ?4. SoitAla matrice carre dordre 3 dfinie par :

A=

2 1 120 1 11 0 1

Montrer queA1 0mais queAnest pas uneMmatrice.5. SoitAune matrice carre dordren = m +p, avecm, p INtels quem 1etp 1, vrifiant :

ai,i 0,ai,j 0, pourj = 1, . . . , n , j=i,

ai,i+

nj=1j=i

ai,j = 0

pouri = 1, . . . , m , (1.23)

ai,i= 1,ai,j = 0, pourj = 1, . . . , n , j=i,

pouri = m + 1, . . . , n . (1.24)

i m,(k)=1,...,Li ; k1 = i, kLi > m, etak,k+1

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5.1 Montrer que le systme (1.26) admet une et une seule solution.

5.2 Montrer queuest tel quemink=m+1,n bk ui maxk=m+1,n bk.(On pourra pour simplifier supposer queles quations sont numrotes de telle sorte quemink=m+1,n bk = bm+2 b2 . . . bn= maxk=m+1,n bk.)6. On considre le problme de Dirichlet suivant :

u = 0sur[0, 1] (1.27a)u(0) = 1 (1.27b)

u(1) = 1. (1.27c)

6.1 Calculer la solution exacteude ce problme et vrifier quelle reste comprise entre -1 et 1.

6.2 Soit m > 1et soient A et b et la matrice et le second membre du systme linaire dordre n= m +2obtenu pardiscrtisation par diffrences finies avec un pas uniforme h = 1m du problme (1.27) (en crivant les conditionsaux limites dans le systme). Montrer que la solution u = (u1, . . . , un)t IRn du systme Au = bvrifie1 ui 1.

Exercice 7(Matrice du Laplacien discret 1D). Corrig dtaill en page 19.Soitf C([0, 1]). Soitn IN,nimpair. On poseh = 1/(n + 1). SoitKnla matrice dfinie par (1.10) page 12,issue dune discrtisation par diffrences finies avec pas constant du problme (1.5a) page 10.Montrer queKnest symtrique dfinie positive.

Exercice 8(Pas non constant). Reprendre la discrtisation vue en cours avec un pas hi = xi+1 xinon constant,et montrer que dans ce cas,le schma est consistant dordre 1 seulement.

Exercice 9(Raction diffusion 1d.). Corrig dtaill en page 19. On sintresse la discrtisation par DiffrencesFinies du problme aux limites suivant :

u(x) + u(x) = f(x), x ]0, 1[,u(0) =u(1) = 0.

(1.28)

Soitn

IN. On noteU = (uj

)j=1,...,n

une valeur approche de la solution udu problme (1.28) aux points jn+1

j=1,...,n

. Donner la discrtisation par diffrences finies de ce problme sous la forme AU=b.

Exercice 10(Discrtisation).

On considre la discrtisation pas constant par le schma aux diffrences finies symtrique trois points duproblme (1.5a) page 10, avec f C([0, 1]). Soit n IN, n impair. On poseh = 1/(n+ 1). On note u estla solution exacte,xi = ih, pouri = 1, . . . , nles points de discrtisation, et (ui)i=1,...,n la solution du systmediscrtis (1.9).

1. Montrer que siu C4([0, 1], alors la proprit (1.7) est vrifie, c..d. :

u(xi+1) + u(xi1) 2u(xi)h2

= u(xi) + Riavec |Ri| h2

12u(4).

2. Montrer que sifest constante, alorsmax

1in|ui u(xi)| = 0.

.

3. Soitnfix, et max1in

|ui u(xi)| = 0. A-t-on forcment quefest constante sur[0, 1] ? (justifier la rponse.)

1.2.4 Suggestions pour les exercices

Exercice 4 page 16 (Matrices symtriques dfinies positives)

3. Utiliser la diagonalisation sur les oprateurs linaires associs.


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1.2.5 Corrigs des exercices

Exercice 7 page 18 (Matrice du laplacien discret 1D.)

Pour montrer queA est dfinie positive (car A est videmment symtrique), on peut montrer que Ax x > 0six = 0. On a

Ax x= 1h2

x1(2x1 x2) +

n1i=2

xi(xi1+ 2xi xi+1) + 2x2n xn1xn

On a donc

h2Ax x = 2x21 x1x2 n1i=2

(xixi1+ 2x2i

ni=3

xixi1+ 2x2n xn1xn

=n

i=1x2i +

n

i=2x21i+ x

2n 2

n

i=1xixi1

=n

i=2

(xi xi1)2 + x21+ x2n 0.

De plus,Ax x= 0 x21 = xn= 0etxi= xi1pouri= 2n, doncx= 0.

Exercice 9 page 18 (Raction diffusion 1D.)

La discrtisation du probllme consiste chercherUcomme solution du systme linaire

AU=

f(

j

N+ 1)

j=1,...,n

o la matriceA M

n(IR)est dfinie parA= (N+ 1)2Kn+ Id,I ddsigne la matrice identit et

Kn=

2 1 0 . . . 01 2 1 . . . ...0

. . . . . .

. . . 0...

. . . 1 2 10 . . . 0 1 2

Exercice 4 page 16 (Matrices symtriques dfinies positives)

1. Supposons quil existe un lment diagonal ai,ingatif. AlorsAei ei 0ce qui contredit le fait que A estdfinie positive.

2. Soitx IRn, dcomposonsxsur la base orthonorme(fi)i=1,n: x =ni=1 xifi. On a donc :Ax x=

ni=1

ix2i . (1.29)

Montrons dabord que si les valeurs propres sont strictement positives alorsAest dfinie positive :Supposons que i 0,i = 1, . . . , n. Alors pourx IRn, daprs (1.29), Axx 0 et la matrice Aest positive. Supposons maintenant que i > 0,i = 1, . . . , n. Alors pourx IRn, toujours daprs (1.29),(Ax x= 0) (x= 0), et la matriceAest donc bien dfinie.


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Montrons maintenant la rciproque : si A est dfinie positive, alorsAfi fi > 0, i = 1, . . . , net donci > 0,i= 1, . . . , n.

3. CommeA est s.d.p., toutes ses valeurs propres sont strictement positives, et on peut donc dfinir lapplicationlinaireSdans la base orthonorme(fi)i=1,n par :S(fi) = ifi, i= 1, . . . , n. On a videmmentS S= T,et donc si on dsigne parBla matrice reprsentative de lapplicationSdans la base canonique, on a bienB2 =A.

Exercice 5 page 16 (IP-matrice)

1. Supposons dabord queA est inversible et que A1 0 ; soit x IRn tel queb = Ax 0. On a doncx= A1b, et comme tous les coefficients deA1 et debsont positifs ou nuls, on a bien x 0.Rciproquement, siAest une IP-matrice, alorsAx = 0entrainex = 0ce qui montre queAest inversible.Soiteile i-me vecteur de la base canonique deIR

n, on a :AA1ei = ei 0, et donc par la proprit deIP-matrice,A1ei 0, ce qui montre que tous les coefficients deA1 sont positifs.

2. La matrice inverse deAestA1 = 1

d bc a

avec =ad bc. Les coefficients deA1 sont donc

positifs ou nuls si et seulement siad < bc,a 0, d 0b 0, c 0

ou

ad > bc,a 0, d 0,b 0, c 0.

Or on a forcment ad = 0: en effet sinon on aurait dans le premier cas) bc < 0, orb 0et c 0, cequi aboutit une contradiction. De mme dans le deuxime cas, on auraitbc > 0, orb 0et c 0. Lesconditions prcdentes sont donc quivalentes aux conditions (1.19).

3. La matriceAt est une IP-matrice si et seulement At est inversible et(At)1 0.Or (At)1 = (A1)t.Do lquivalence.

4. Supposons queAvrifie (1.20), et soitx IRn tel queAx 0.Soitk 1, . . . , ntel quexk = min{xi, i=1, . . . , n}.Alors

(Ax)k = ak,kxk+n

j=1j=k

ak,jxj 0.

Par hypothse,ak,j 0pourk =j , et doncak,j = |ak,j |. On peut donc crire :

ak,kxk n

j=1j=k

|ak,j |xj 0,

et donc :

(ak,k n

j=1j=k

|ak,j |)xkn

j=1j=k

|ak,j |(xj xk).

Commexk = min{xi, i = 1, . . . , n}, on en dduit que le second membre de cette ingalit est positif ounul, et donc quexk 0.On a doncx 0.

5. Si la matriceAvrifie (1.21), alors la matriceAt vrifie (1.20). On en dduit par les questions prcdentesqueAt etAsont des IP-matrices.

6. Soit1le vecteur deIRn dont toutes les composantes sont gales 1. SiAx >0, comme lespaceIRn est dedimension finie, il existe > 0 tel queAx 1. Soitz = A11 0 ; on a alorsA(x z) 0 et doncx z, carAest une IP-matrice.Montrons maintenant quez >0: tous les coefficients de A1 sont positifs ou nuls et au moins lun dentreeux est non nul par ligne (puisque la matrice A1 est inversible). On en dduit que zi=

ni=1(A

1)i,j >0pour touti= 1, . . . , n. On a donc bienx z >0.


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1.3. LES MTHODES DIRECTES CHAPITRE 1. SYSTMES LINAIRES

7. SoitAla matrice nulle, on a alors {x IRn t.q.Ax >0} = , et donc {x IRn t.q.Ax >0} {x IRnt.q.x >0}. PourtantAnest pas inversible, et nest donc pas une IP-matrice.

8. Soit xtel que Ax 0, alors il existe 0 tel que Ax+ 1 0.Soit maintenant b = A11 ; on aA(x + b)> 0et doncx + b > 0. En faisant tendrevers 0, on en dduit quex 0.

9. SoitT L(E)dfini parf E T f, avecT f(x) = f( 1x )si x= 0et f(0) = , avec = lim f.On vrifie facilement queT f E. Si T f 0, alorsf( 1x ) 0pour toutx IR; doncf(x) 0pour toutx IR \ {0} ; on en dduit quef(0) 0par continuit. On a donc bien f 0.Soit maintenantgdfinie deIRdansIRparg(x) = | arctan x|. On ag(0) = 0, doncg>0. OrT g(0) = 2etT g(x) = | arctan 1x | >0six >0, doncT g >0.

1.3 Les mthodes directes

1.3.1 Dfinition

Dfinition 1.10 (Mthode directe). On appelle mthode directe de rsolution de (1.1) une mthode qui donneexactementx(Aetbtant connus) solution de (1.1) aprs un nombre fini doprations lmentaires (+, , , /).

Parmi les mthodes de rsolution du systme (1.1), la plus connue est la mthode de Gauss(avec pivot), encoreappelemthode dchelonnementoumthode LUdans sa forme matricielle.Nous rappelons la mthode de Gauss et sa rcriture matricielle qui donne la mthodeLUet nous tudierons plusen dtails la mthode de Choleski, qui est adapte aux matrices symtriques.

1.3.2 Mthode de Gauss, mthodeLU

SoitA M

n(IR)une matrice inversible, etb

IRn. On cherche calculerx

IRn tel queAx = b. Le principe

de la mthode de Gauss est de se ramener, par des oprations simples (combinaisons linaires), un systmetriangulaire quivalent, qui sera donc facile inverser.Commenons par un exemple pour une matrice3 3. Nous donnerons ensuite la mthode pour une matricen n.

Un exemple3 3On considre le systmeAx= b, avec

A=

1 0 10 2 11 1 2

b= 212

.On crit la matrice augmente, constitue de la matriceAet du second membreb.

A=

A b

= 1 0 1 20 2 1 11 1 2 2

.Gauss et oprations matricielles Allons y pour Gauss :La premire ligne a un 1 en premire position (en gras dans la matrice), on dit que cest un pivot. On va pouvoirdiviser toute la premire ligne par ce nombre pour en soustraire un multiple toutes les lignes daprs, dans le butde faire apparatre des 0 dans tout le bas de la colonne.


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La deuxime quation a dj un 0 dessous, donc on na rien besoin de faire. On veut ensuite annuler le premiercoefficient de la troisime ligne. On retranche donc (-1) fois la premire ligne la troisime 2 :

1 0 1 20 2 1 11 1 2 2

33+1 1 0 1 20 2 1 10 1 1 0

Ceci revient multiplier A gauche par la matriceE1 =

1 0 00 1 01 0 1

.La deuxime ligne a un terme non nul en deuxime position (2) : cest un pivot. On va maintenant annuler ledeuxime terme de la troisime ligne ; pour cela, on retranche 1/2 fois la ligne 2 la ligne 3 :1 1 1 20 2 1 1

0 1 1 0

331/221 0 1 20 2 1 1

0 0 12

12

.Ceci revient multiplier la matrice prcdente gauche par la matrice E2 = 1 0 00 1 0

0 12 1 .On a ici obtenu une

matrice sous forme triangulaire suprieure trois pivots : on peut donc faire la remonte pour obtenir la solutiondu systme, et on obtient (en notantxiles composantes de x) :x3 = 1puisx2 = 1et enfinx1 = 1.On a ainsi rsolu le systme linaire.On rappelle que le fait de travailler sur la matrice augmente est extrmement pratique car il permet de travaillersimultanment sur les coefficients du systme linaire et sur le second membre.Finalement, au moyen des oprations dcrites ci-dessus, on a transform le systme linaire

Ax= b en Ux= E2E1b, o U=E2E1A

est une matrice triangulaire suprieure.

Factorisation LU Tout va donc trs bien pour ce systme, mais supposons maintenant quon ait rsoudre3089 systmes, avec la mme matrice Amais 3089 seconds membres bdiffrents 3. Il serait un peu dommagede recommencer les oprations ci-dessus 3089 fois, alors quon peut en viter une bonne partie. Comment faire ?Lide est de factoriser la matrice A, c..d de lcrire comme un produit A= LU, o L est triangulaire infrieure(lower triangular) et Utriangulaire suprieure (upper triangular). On reformule alors le systme Ax = bsous laformeLUx= bet on rsout maintenant deux systmes faciles rsoudre car triangulaires : Ly = betUx= y .La factorisation LU de la matrice dcoule immdiatement de lalgorithmede Gauss. Voyons comment sur lexempleprcdent.

1/ On remarque queU=E2E1Apeut aussi scrireA = LU, avecL= (E2E1)1.2/ On sait que(E2E1)1 = (E1)1(E2)1.3/ Les matrices inversesE11 etE

12 sont faciles dterminer : commeE2consiste retrancher 1/2 fois la ligne 2

la ligne 3, lopration inverse est dajouter 1/2 fois la ligne 2 la ligne 3, et donc

E12 ==1 0 00 1 0

0 12 1

.Il est facile de voir queE11 =

1 0 00 1 01 0 1

et doncL = E11 E12 = 1 0 00 1 01 12 1

.2. Bien sr, ceci revient ajouter la premire ligne! il est cependant prfrable de parler systmatiquement de retrancher car cest ce quon

fait conceptuellement : pour llimination on enlve un multiple de la ligne du pivot la ligne courante.3. Ceci est courant dans les applications. Par exemple on peut vouloir calculer la rponse dune structure de gnie civil 3089 chargements

diffrents.


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La matriceLest une matrice triangulaire infrieure (et cest dailleurs pour cela quon lappelle L, pour lowerin English...) dont les coefficients sont particulirement simples trouver : les termes diagonaux sont tous gaux un, etchaque terme non nul sous-diagonalLi,j est gal au coefficient par lequel on a multipli la ligne pivot

iavant de la retrancher la lignej .4/ On a bien donc A = LUavecL triangulaire infrieure (lower triangular) et Utriangulaire suprieure (uppertriangular).

La procdure quon vient dexpliquer sappelle mthode LU pour la rsolution des systmes linaires, et elleest dune importance considrable dans les sciences de lingnieur, puisquelle est utilise dans les programmesinformatiques pour la rsolution des systmes linaires.Dans lexemple que nous avons tudi, tout se passait trs bien car nous navons pas eu de zro en position pivotale.Si on a un zro en position pivotale, la factorisation peut quand mme se faire, mais au prix dune permutation.Le rsultat gnral que lon peut dmontrer, est que si la matrice A est inversible, alors il existe une matrice depermutation P, une matrice triangulaire infrieure L et une matrice triangulaire suprieure U telles que P A= LU:voir le thorme 1.17.

Le cas gnral dune matricen nDe manire plus gnrale, pour une matriceAcarre dordren, la mthode de Gauss scrit :On pose A(1) = A et b(1) = b. Pour i = 1, . . . , n1, on cherche calculer A(i+1) et b(i+1) tels que lessystmesA(i)x = b(i) et A(i+1)x = b(i+1) soient quivalents, oA(i+1) est une matrice dont les coefficientssous-diagonaux des colonnes 1 isont tous nuls, voir figure 1.3 :Une fois la matriceA(n) (triangulaire suprieure) et le vecteur b(n) calculs, il sera facile de rsoudre le systmeA(n)x= b(n). Le calcul deA(n) est ltape de factorisation", le calcul de b(n) ltape de descente", et le calculdexltape de remonte". Donnons les dtails de ces trois tapes.

Etape de factorisation et descente Pour passer de la matriceA(i) la matrice A(i+1), on va effectuer descombinaisons linaires entre lignes qui permettront dannuler les coefficients de la i-me colonne situs en dessousde la lignei(dans le but de se rapprocher dune matrice triangulaire suprieure). Evidemment, lorsquon fait ceci,

il faut galement modifier le second membreben consquence. Ltape de factorisation et descente scrit donc :1. Pourk iet pourj = 1, . . . , n, on posea(i+1)k,j =a(i)k,jet b(i+1)k =b(i)k .2. Pourk > i,sia(i)i,i= 0, on pose :

a(i+1)k,j = a

(i)k,j

a(i)k,i

a(i)i,i

a(i)i,j , pourk = j, . . . , n , (1.30)

b(i+1)k = b

(i)k

a(i)k,i

a(i)i,i

b(i)i . (1.31)

La matriceA(i+1) est de la forme donne sur la figure 1.3. Remarquons que le systmeA(i+1)x= b(i+1) est bien

quivalent au systmeA(i)x= b(i).Si la condition a(i)i,i= 0 est vrifie pour i= 1 n, on obtient par le procd de calcul ci-dessus un systme linaireA(n)x = b(n) quivalent au systmeAx = b, avec une matriceA(n) triangulaire suprieure facile inverser. Onverra un peu plus loin les techniques de pivot qui permettent de rgler le cas o la conditiona(i)i,i= 0nest pasvrifie.

Etape de remonte Il reste rsoudre le systmeA(n)x= b(n). Ceci est une tape facile. CommeA(n) est unematrice inversible, on aa(i)i,i= 0pour tout i1, . . . , n, et commeA(n) est une matrice triangulaire suprieure, onpeut donc calculer les composantes dexen remontant", cestdire de la composantexn la composantex1:


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a(1)1,1

a(i+1)i+1,i+1

a(i+1)i+2,i+1

a(i+1)N,N

a(1)1,N

a(i+1)N,i+10

0

0

0

A(i+1) =

FIGURE1.3: Allure de la matrice de Gauss ltape i + 1

xn= b

(n)n

a(n)n,n,

xi= 1

a(n)i,i

(b(i)

j=i+1,n

a(n)i,jxj ), i= n 1, . . . , 1.

Il est important de savoir mettre sous forme algorithmique les oprations que nous venons de dcrire : cest ltapeclef avant lcriture dun programme informatique qui nous permettra de faire faire le boulot par lordinateur !

Algorithme 1.11(Gauss sans permutation).

1. (Factorisation et descente)Pouriallant de1n, on effectue les calculs suivants :

(a) On ne change pas lai-me ligne (qui est la ligne du pivot)ui,j =ai,jpourj = i, . . . , n,yi = bi

(b) On calcule les lignesi + 1ndeUet le second membreyen utilisant la lignei.Pourkallant dei + 1n:

k,i= ak,i

ai,i(siai,i= 0, prendre la mthode avec pivot partiel)

pourjallant dei + 1n,uk,j =ak,j k,iui,j(noter queak,i = 0)

Fin pouryk = bk k,iyi

Fin pour

2. (Remonte) On calculex:

xn= ynun,n

Pouriallant den 11,xi= yi

Pourjallant dei + 1n,xi = xi ui,jxj

Fin pour

xi = 1

ui,ixi

Fin pour


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Cot de la mthode de Gauss (nombre doprations) On peut montrer (on fera le calcul de manire dtaillepour la mthode de Choleski dans la section suivante, le calcul pour Gauss est similaire) que le nombre doprationsncessaires pour effectuer les tapes de factorisation, descente et remonte est 23 n

3 + O(n2).

En ce qui concerne la place mmoire, on peut trs bien stocker les itrs A(i)

dans la matrice Ade dpart, ce quonna pas voulu faire dans le calcul prcdent, par souci de clart.

DcompositionLU Si le systmeAx= bdoit tre rsolu pour plusieurs second membresb, on a dj dit quona intrt ne faire ltape de factorisation (i.e.le calcul de A(n)), quune seule fois, alors que les tapes de descenteet remonte (i.e.le calcul deb(n) etx) seront faits pour chaque vecteurb. Ltape de factorisation peut se faire endcomposant la matriceAsous la formeLU. Supposons toujours pour linstant que lors de lalgorithme de Gauss,

la condition a(i)i,i= 0est vrifie pour tout i= 1, . . . , n . La matrice L a comme coefficients k,i= a

(i)k,i

a(i)i,i

pour k > i,

i,i= 1pour touti= 1, . . . , n, eti,j = 0 pourj > i, et la matriceUest gale la matriceA(n). On peut vrifierqueA = LUgrce au fait que le systme A(n)x = b(n) est quivalent au systme Ax = b. En effet, commeA(n)x = b(n) etb(n) = L1b,on en dduit queLU x = b, et commeAet LUsont inversibles, on en dduit queA1b= (LU)1bpour toutb

IRn. Ceci dmontre queA = LU.La mthodeLUse dduit donc de la mthode

de Gauss en remarquant simplement que, ayant conserv la matriceL, on peut effectuer les calculs sur baprs lescalculs surA, ce qui donne :

Algorithme 1.12(LUsimple (sans permutation)).

1. (Factorisation) Pouriallant de1n, on effectue les calculs suivants :

(a) On ne change pas lai-me ligneui,j =ai,jpourj = i, . . . , n,

(b) On calcule les lignesi + 1ndeUen utilisant la lignei(mais pas le second membre).Pourkallant dei + 1n:

k,i= ak,i

ai,i(siai,i= 0, prendre la mthode avec pivot partiel)

pourjallant dei + 1n,

uk,j =ak,j k,iui,j(noter queak,i = 0)Fin pour

2. (Descente) On calculey(avecLy = b)Pouriallant de1n,yi= bi

i1k=1 i,kyk(on a ainsi implicitementi,i= 1)

3. (Remonte) On calculex(avecU x= y)Pouriallant den1,xi=

1ui,i

(yi n

j=i+1 ui,jxj )

Remarque 1.13 (Optimisation mmoire). Lintroduction des matrices L etU et des vecteurs y etxnest pasncessaire (tout peut scrire avec la matrice A et le vecteurb, que lon modifie au cours de lalgorithme). Lin-troduction de L, U, xety peut toutefois aider comprendre la mthode. Le principe retenu est que, dans les

algorithmes (Gauss ou LU), on modifie la matrice Aet le second membreb(en remplaant le systme rsoudrepar un systme quivalent) mais on ne modifie jamais L,U,yetx(qui sont dfinis au cours de lalgorithme).

Que faire en cas de pivot nul : la technique de permutation Dans la prsentation de la mthode de Gauss et dela dcompositionLU, on a suppos que la conditiona(i)i,i= 0tait vrifie chaque tape. Or il peut savrer quece ne soit pas le cas, ou que, mme si la condition est vrifie, le pivot" a(i)i,isoit trs petit, ce qui peut entraner deserreurs darrondi importantes dans les calculs. On peut rsoudre ce problme en utilisant les techniques de pivotpartiel" ou pivot total", qui reviennent choisir une matrice de permutation Pqui nest pas forcment gale lamatrice identit dans le thorme 1.17.


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Plaons-nous litrationide la mthode de Gauss. Comme la matrice A(i) est forcment non singulire, on a :

det(A(i)

) = a(i)

1,1a(i)

2,2 a(i)

i1,i1deta

(i)i,i . . . a

(i)i,n

.

.. .

. . .

..a

(i)n,i . . . a

(i)n,n

= 0.On a donc en particulier

det

a

(i)i,i . . . a

(i)i,n

... . . .

...

a(i)n,i . . . a

(i)n,n

= 0.On dduit quil existe i0 {i , . . . , n} tel que a(i)i0,i = 0. On choisit alors i0 {i , . . . , n} tel que|a

(i)i0,i

| =max{|a(i)k,i|, k = i, . . . , n}.Le choix de ce max est motiv par le fait quon aura ainsi moins derreur darrondi.On change alors les lignesieti0(dans la matriceAet le second membreb) et on continue la procdure de Gaussdcrite plus haut.

Lintrt de cette stratgie de pivot est quon aboutit toujours la rsolution du systme (ds queAest inversible).Remarque 1.14(Pivot total). La mthode que nous venons de dcrire est souvent nomme technique de pivotpartiel. On peut vouloir rendre la norme du pivot encore plus grande en considrant tous les coefficients restantset pas uniquement ceux de la colonnei. A letapei, on choisit maintenanti0etj0 {i , . . . , n} tels que |a(i)i0,j0 | =max{|a(i)k,j|, k = i, . . . , n, j = i, . . . , n},et on change alors les lignes i eti0 (dans la matrice A et le secondmembre b), les colonnes i etj0de A et les inconnues xietxj0 . La stratgie du pivot total permet une moins grandesensibilit aux erreurs darrondi. Linconvnient majeur est quon change la structure de A : si, par exemple lamatrice avait tous ses termes non nuls sur quelques diagonales seulement, ceci nest plus vrai pour la matriceA(n).

Ecrivons maintenant lalgorithme de la mthodeLUavec pivot partiel ; pour ce faire, on va simplement remarquerque lordre dans lequel les quations sont prises na aucune importance pour lalgorithme. Au dpart de lalgo-

rithme, on initialise la bijectiontde {1, . . . , n} dans {1, . . . , n} par lidentit, c..d.t(i) = i ; cette bijectiontvatre modifie au cours de lalgorithme pour tenir compte du choix du pivot.Algorithme 1.15(LUavec pivot partiel).

1. (Initialisation det) Pouriallant de1n,t(i) = i. Fin pour

2. (Factorisation)

Pouriallant de1n, on effectue les calculs suivants :

(a) Choix du pivot (et de t(i)) : on cherche i {i , . . . , n} t.q.|at(i),i| = max{|at(k),i|, k {i , . . . , n}} (noter que ce max est forcment non nul car la matrice est inversible).

On modifie alorsten inversant les valeurs det(i)ett(i).p= t(i) ;t(i) = t(i) ;t(i) = p.

On ne change pas la lignet(i):ut(i),j =at(i),jpourj = i, . . . , n,

(b) On modifie les lignest(k),k > i(et le second membre), en utilisant la ligne t(i).Pourk = i + 1, . . . , n} (noter quon a uniquement besoin de connatre lensemble , et pas lordre) :t(k),i=

at(k),iat(i),iPourjallant dei + 1n,

ut(k),j =at(k),j t(k),iut(i),j(noter queut(k),i= 0)Fin pour

Fin pour


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3. (Descente) On calculeyPouriallant de1n,

yt(i) = bt(i) i1j=1 t(j),kyk

Fin pour4. (Remonte) On calculex

Pouriallant den1,x(t(i) =

1ut(i),i

(yi n

j=i+1 ut(i),jxj )

Fin pour

NB : On a chang lordre dans lequel les quations sont considres (le tableau t donne cet ordre, et donc lamatriceP). Donc, on a aussi chang lordre dans lequel interviennent les composantes du second membre : lesystmeAx = best devenu P Ax = P b. Par contre, on na pas touch lordre dans lequel interviennent lescomposantes dexety.

Il reste maintenant signaler le miracle" de cet algorithme. . . Il est inutile de connaitrea priori la bijection pourcet algorithme. A ltapei de litem1 (et dailleurs aussi ltape i de litem 2), il suffit de connatre t(j)pour

j allant de 1 i, les oprations de 1(b)se faisant alors sur toutes les autres lignes (dans un ordre quelconque).Il suffit donc de partir dune bijection arbitraire de{1, . . . , n}dans{1, . . . , n}(par exemple lidentit) et de lamodifier chaque tape. Pour que lalgorithme aboutisse, il suffit que at(i),i= 0(ce qui toujours possible car Aest inversible).

Remarque 1.16(Ordre des quations et des inconnues). Lalgorithme se ramne donc rsoudreLUx = b, enfaisantLy = betU x= y . Quand on faitLy = bles equations sont dans lordret(1), . . . , t(k)(les composantesde b sont donc aussi prises dans cet ordre), mais le vecteury est bien le vecteur de composantes (y1, . . . , yn).Puis, on faitUx = y, les quations sont toujours dans lordret(1), . . . , t(k)mais les vecteursx ety ont commecomposantes respectives(x1, . . . , xn)et(y1, . . . , yn).

Le thorme dexistence Lalgorithme LU avec pivot partiel nous permet de dmontre le thorme dexistencede la dcomposition LU pour una matrice inversible.

Thorme 1.17 (Dcomposition LUdune matrice). SoitA Mn(IR) une matrice inversible, il existe unematrice de permutationPtelle que, pour cette matrice de permutation, il existe un et un seul couple de matrices(L, U)oLest triangulaire infrieure de termes diagonaux gaux 1 etUest triangulaire suprieure, vrifiant

P A= LU.

DMONSTRATION1.Lexistencede la matricePet des matricesL Upeut seffectuer en sinspirant de lalgorithme LUavec pivot partiel1.15).

En effet, chaque tape i de lalgorithme 1.15 peut scrire comme A(i) = E(i)P(i)A(i1), avec A(0) = A, P(i) estla matrice de permutation qui permet le choix du pivot partiel, et E(i) est une matrice dlimination qui effectue lescombinaisons linaires de lignes permettant de mettre zro tous les coefficients de la colonne i situs en dessous de lalignei. Pour simplifier, raisonnons sur une matrice4 4(le raisonnement est le mme pour une matricen n. On a doncen appliquant lalgorithme :

E(3)P(3)E(2)P(2)E(1)P(1)A= U

Les matricesP(i+1) etE(i) ne permutent pas. Prenons par exempleE2, qui est de la forme

E(2) =

1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 b 0 1


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SiP(3) est la matrice qui change les lignes 3 et 4, alors

P(3) =

1 0 0 00 1 0 0

0 0 0 10 0 1 1

etP

(3)E(2) =

1 0 0 00 1 0 0

0 b 0 10 a 1 0

, alors queE

(2)P(3) =

1 0 0 00 1 0 0

0 a 0 10 b 1 0

Mais par contre, comme la multiplication gaucheparP(i+1) permuteles lignes i + 1 et i +k, pour un certaink 1,et que la multiplication droitepermuteles colonnesi+ 1 eti+k, la matriceE(i) =P(i+1)E(i)P(i+1) est encore unematrice triangulaire infrieure avec la mme structure que E(i) : on a juste chang les coefficients extradiagonaux deslignesi + 1eti + k. On a donc

P(i+1)E(i) =E(i)P(i+1). (1.32)Dans lexemple prcdent, on effectue le calcul :

P(3)E(2)P(3) =

1 0 0 00 1 1 00 b 1 00 a 0 1

=E(3,qui est une matrice triangulaire infrieure de coefficients tous gaux 1, et commeP(3)P(3) = Id, on a donc :

P(3)E(2) =E(2)P(3).Pour revenir notre exemplen= 4, on peut donc crire :

E(3) E(2)P(3) E(1)P(2)P(1)A= UMais par le mme raisonnement que prcdemment, on a P(3) E(1) =E(1)P(3) oE(1) est encore une matrice triangulaireinfrieure avec des 1 sur la diagonale. On en dduit que

E(3) E(2) E(1)P(3)P(2)P(1)A= U, soit encoreP A= LUoP =P(3)P(2)P(1) bien une matrice de permutation, etL = (E(3) E(2) E(1))1 est une matrice triangulaire infrieureavec des 1 sur la diagonale.

Le raisonnement que nous venons de faire pourn = 3se gnralise facilement nquelconque. Dans ce cas, lchelonne-ment de la matrice scrit sous la forme

U=E(n1)P(n1) . . . E (2)P(2)E(1)P(1)A,

et se transforme grce (1.32) en

U=F(n1) . . . F (2)F(1)P(n1) . . . P (2)P(1)A,

o les matricesFisont des matrices triangulaires infrieures de coefficients diagonaux tous gaux 1. Plus prcisment,

Fn1 = En1,Fn2 = E(n2),Fn3 =E(n3), etc. . . On a ainsi dmontr lexistence de la dcompositionLU.

2. Pour montrer lunicitdu couple (L, U) Pdonne, supposons quil existe une matrice Pet des matrices L1, L2,triangulaires infrieures etU1,U2, triangulaires suprieures, telles que

P A= L1U1= L2U2

Dans ce cas, on a donc L12 L1 = U2U11 . Or la matrice L

12 L1est une matrice triangulaire infrieure dont les coefficients

diagonaux sont tout gaux 1, et la matrice U2U11 est une matrice triangulaire suprieure. On en dduit queL12 L1 =

U2U11 =I d, et donc queL1 = L2etU1= U2.

Remarque 1.18(Dcomposition LU pour les matrices non inversibles). En fait nimporte quelle matrice carreadmet une dcomposition de la forme P A = LU. Mais si la matrice Anest pas inversible, son chelonnementva nous donner des lignes de zros pour les dernires lignes . Dans ce cas, la dcompositionLUnest dans ce caspas unique. Cette remarque fait lobjet de lexercice 18.

Programme FORTRAN Voici le programmes FORTRAN (tests avec un exemple) de lalgorithme LU avecpivot partiel (1.15). Le programme FORTRAN pour lalgorithme LU sans pivot partiel (1.12) sobtient en com-mentant les lignes 31 45.


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1 p rogram g a u ss l u p i v ot ( LU a ve c p i v o t )2 i m p l i c i t no ne3 i n t e g e r : : n , m, i , j , k , i p , i pa , n j4 do u bl e p r e c i s i o n : : p5 ! m at r i ce d u s y s t em e e t f ac t o r i s a t i o n6 do u bl e p r e c i s i o n , d i m en s i o n ( : , : ) , a l l o c a t a b l e : : a , l , u7 ! t ( i ) = i em e l i g n e p i v o t8 i n t e g e r , d i m en s i o n ( : ) , a l l o c a t a b l e : : t9 ! s e co nd membre , s o l u t i o n i n t e r m e d i a i r e , s o l f i n a l e

10 d o ub l e p r e c i s i o n , d i m en s i o n ( : ) , a l l o c a t a b l e : : b , y , x11 n= 312 m=nn13 ! D e f in i t io n de l a m a tr i ce a14 a l l o c a t e ( a ( n , n ) )15 a l l o c a t e ( l ( n , n ) )16 a l l o c a t e (u (n , n) )17 a (1 ,1) =1 ; a (1 ,2) =2 ; a (1 ,3) =418 a ( 2 , 1 ) = 2; a (2 ,2 ) =5 ; a (2 ,3 ) =219 a (3 ,1 ) =3 ; a (3 ,2 ) =1 ; a (3 ,3 ) =120 do i =1, n21 do j =1, n22 l ( i , j ) =023 u ( i , j ) =024 e n d d o25 en d d o26 ! T ab le a u d e s p i v o t s27 a l l o c a t e ( t (k ) )28 do i =1, n29 t ( i )= i30 en d d o31 ! F a c t o r i s a t io n a ve c p i vo t32 do i =1, n33 ! R e ch e rc h e d u p i v o t34 p=a ( t ( i ) , i )35 i p = i36 do j = i + 1 , n37 i f ( a ( t ( j ) , i ) a ( t ( j ) , i ) > pp ) t h en38 p=a ( t ( j ) , i )39 i p = j40 end i f 41 en d d o42 ! P e r m u ta t i o n d e l i g n e s43 ipa =t ( i )44 t ( i )= t ( ip )45 t ( ip )= ip a46 p r i n t , t (1) , t (2) , t (3 )47 ! i em e l i g n e48 do j= i , n49 u ( t ( i ) , j )= a ( t ( i ) , j )50 en d d o51 ! c h an g em e nt l i g n e s i +1 a n52 do j = i + 1 , n53 l ( t ( j ) , i ) =a ( t ( j ) , i ) / a ( t ( i ) , i )54 do k=i +1, n55 a ( t ( j ) ,k )=a ( t ( j ) , k ) l ( t ( j ) , i ) a ( t ( i ) ,k )56 en d d o57 en d d o58 en d do59 ! Secon d membre60 a l l o c a t e ( b ( k ) )61 b (1) =7 ; b (2) =5 ; b (3) =562 ! s o l u t i o n63 a l l o c a t e ( x ( k ) )64 a l l o c a t e ( y ( k ) )65 ! d e s c e n t e


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66 do i =1, n67 y ( i )=b ( t ( i ) )68 do k=1 , i 169 y( i )=y ( i ) l ( t ( i ) ,k ) y ( k )

70 en d d o71 en d d o72 p r i n t , y ( 1 ) , y ( 2 ) , y ( 3 )73 ! remontee74 p r i n t , u ( t ( k ) , n )75 do i = n , 1 , 176 x( i )=y ( i )77 do k=i +1, n78 x( i )=x ( i )u( t ( i ) , k) x ( k )79 en d d o80 x ( i )=x ( i ) / u ( t ( i ) , i )81 en d d o82 p r i n t , x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 )83 open (u n i t=1 , f i l e= r e s u l t a t , s t a t u s= unknown )84 do i =1, n85 w r i t e ( 1 , ) x ( i )

86 en d d o87 end

1.3.3 Mthode de Choleski

On va maintenant tudier la mthode de Choleski, qui est une mthode directe adapte au cas oAest symtriquedfinie positive. On rappelle quune matrice A Mn(IR) de coefficients (ai,j)i=1,n,j=1,n est symtrique siA = At, oAt dsigne la transpose de A, dfinie par les coefficients (aj,i)i=1,n,j=1,n, et que Aest dfiniepositive siAx x > 0 pour tout x IRn tel quex= 0. Dans toute la suite, x ydsigne le produit scalaire desdeux vecteursxet yde IRn. On rappelle (exercice) que si Aest symtrique dfinie positive elle est en particulierinversible.

Description de la mthode

Commenons par un exemple. On considre la matriceA =

2 1 01 2 00 1 2

, qui est symtrique. Calculons sadcompositionLU. Par chelonnement, on obtient

A= LU=

1 0 0 12 1 00 23 1

2 1 00 32 10 0 43

La structureLUne conserve pas la symtrie de la matriceA. Pour des raisons de cot mmoire, il est important depouvoir la conserver. Une faon de faire est de dcomposerUen sa partie diagonale fois une matrice triangulaire.On obtient

U= 2 0 00 32 00 0 43

1 12 00 1 230 0 1

On a doncU =DLt, et comme tous les coefficients de Dsont positifs, on peut crireD =

D

D, o

Dest

la matrice diagonale dont les lments diagonaux sont les racines carres des lments diagonaux deA. On a doncA= L

D

DLt =LLt, avecL= LD. Notons que la matriceLest toujours triangulaire infrieure, mais ses

coefficients diagonaux ne sont plus astreints tre gaux 1. Cest la dcomposition de Choleski de la matriceA.

De fait, la mthode de Choleski consiste donc trouver une dcomposition dune matriceA symtrique dfiniepositive de la forme A = LLt, o Lest triangulaire infrieure de coefficients diagonaux strictement positifs. On


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rsout alors le systme Ax = ben rsolvant dabord Ly = bpuis le systme Ltx = y. Une fois la matriceAfactorise", cestdire la dcomposition LLt obtenue (voir paragraphe suivant), on effectue les tapes dedescente" et remonte" :

1. Etape 1 : descente" Le systme Ly = b scrit :

Ly=

1,1 0... . . . ...n,1 . . . n,n

y1...

yn

= b1...

bn

.Ce systme scrit composante par composante en partant de i= 1.

1,1y1 = b1, donc y1 = b11,1

2,1y1+ 2,2y2 = b2, donc y2 = 1

2,2(b2 2,1y1)

... ...j=1,i

i,jyj = bi, donc yi= 1

i,i(bi

j=1,i1

i,jyj )

... ...

j=1,n

n,jyj =bn, donc yn= 1

n,n(bn

j=1,n1

n,jyj ).

On calcule ainsiy1,y2,. . . , yn.

2. Etape 2 : remonte" On calcule maintenant xsolution deLtx= y.

Ltx=

1,1 2,1 . . . n,1

0 . . ....

...0 . . . n,n

x1

...

xn

=

y1

...

yn

.

On a donc :n,n xn= yndoncxn=

ynn,n

n1,n1xn1+ n,n1xn= yn1doncxn1 = yn1n,n1xn

n1,n1...

j=1,n j,1xj =y1doncx1 =y1 j=2,n

j,1xj

1,1.

On calcule ainsixn,xn1, . . . , x1.

Existence et unicit de la dcomposition

SoitAune matrice symtrique dfinie positive. On sait dj par le thorme 1.17 page 27, quil existe une matricede permutation etL triangulaire infrieure et Utriangulaire suprieure telles queP A = LU. Lavantage dans lecas o la matrice est symtrique dfinie positive, est que la dcomposition est toujours possible sans permutation.On prouve lexistence et unicit en construisant la dcomposition, c..d. en construisant la matriceL.


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Pour comprendre le principe de la preuve, commenons dabord par le cas n = 2. Dans ce cas on peut crire

A=

a bb c

. On sait quea >0carAest s.d.p. . Lchelonnement deAdonne donc

A= LU= 1 0

ba 1

a b0 c b2a

En extrayant la diagonale de U, on obtient :

A= LU=

1 0ba 1

a 0

0 c b2a

a b

a0 1

.

Et donc

A=LLt avecL= a 0b

acb2a

.

Thorme 1.19(Dcomposition de Choleski). SoitA Mn(IR)(n 1) une matrice symtrique dfinie positive.Alors il existe une unique matriceL Mn(IR),L = (i,j)ni,j=1, telle que :

1. Lest triangulaire infrieure (cestdirei,j = 0sij > i),

2. i,i> 0,pour touti {1, . . . , n},3. A= LLt.

DMONSTRATION

I- Existence deL: dmonstration par rcurrence surn

1. Dans le casn = 1, on aA = (a1,1). CommeAest symtrique dfinie positive, on a a1,1 > 0. On peut donc dfinirL= (1,1)o1,1 =a1,1, et on a bienA = LLt.

2. On suppose que la dcomposition de Choleski sobtient pourA Mp(IR)symtrique dfinie positive, pour 1p net on va dmontrer que la proprit est encore vraie pour A Mn+1(IR)symtrique dfinie positive. SoitdoncA Mn+1(IR)symtrique dfinie positive ; on peut crireAsous la forme :

A=

B a

at

(1.33)oB Mn(IR)est symtrique,a IRn et IR. Montrons queB est dfinie positive, c..d. que By y > 0,pour toutyIRn tel quey= 0. Soit doncyIRn \ {0},etx =

y0

IRn+1. CommeAest symtrique dfinie

positive, on a :

0< Ax x= B a

at

y

0

y

0

= By

aty

y

0

= By ydonc Best dfinie positive. Par hypothse de rcurrence, il existe une matrice M Mn(IR) M= (mi,j)ni,j=1telleque :

(a) mi,j = 0 sij > i

(b) mi,i> 0

(c) B= M Mt.


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On va chercherLsous la forme :

L=

M 0

bt

(1.34)

avecb IRn, IR+tels que LLt = A.Pour dterminer b et , calculons LLt oL est de la forme (1.34) etidentifions avecA:

LLt =

M 0

bt

Mt b

0

=

MMt Mb

btMt btb + 2

On cherchebIRn etIR+tels queLLt =A, et on veut donc que les galits suivantes soient vrifies :

Mb= aetbtb + 2 =.

CommeMest inv

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