Junio 2014Opción A

Ejercicio 1. Se consideran las matrices � � y � siendo a un número

real cualquiera.

a) Obtenga la matriz �

Para obtener la matriz pedida, comenzamos a calcular las potencias de A:

�

Está claro, por tanto, que la matriz � será: �

b) Para a = 2, resolver la ecuación matricial: �

En primer lugar despejamos la matriz X de la ecuación matricial dada:

�

Como se ve, será necesario calcular la inversa de � siendo �

Aplicando el apartado a, se tiene que �

A continuación, calculamos la matriz inversa de � :

�

Y por tanto, la matriz X queda como:

A = 1 a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B = 1/ 2 03 / 4 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A2014

A2 = A ⋅A= 1 a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1 2a

0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A3 = A2 ⋅A = 1 2a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1 3a

0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A2014 1 2014a0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A3 ⋅X − 4B = 0

A3X − 4B = 0

A3X = 4B→ A3( )−1 A3X = 4 A3( )−1 B→ X = 4 A3( )−1 B

A3 A = 1 20 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A3 = 1 60 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A3

A3A3 = 1 6

0 1= 1

adj(A3) = 1 0−6 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

A3( )−1 = 1A3

adj(A3)( )t = 1 −60 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�

Ejercicio 2. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa de pende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por �

a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo

Para calcular el máximo de la inversión será necesario calcular los vértices de la función empleando para ello la primera derivada:

�

A continuación, calculamos los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x que anulan la derivada:

�

Finalmente comprobamos que x=9 es el máximo de la función estudiando el signo de la derivada:

�

Y por tanto x = 9 es un máximo.

Para ese valor de x la función vale:

�

Es decir, el beneficio son 300.000 euros.

b) Calcule f’(7) e interprete el signo del resultado.

�

Puesto que la derivada es positiva, la función de beneficio crecerá en un entorno de x = 7.

c) Dibuje la función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la inversión x el beneficio es de 138 mil euros?

Para dibujar la función f(x) basta con calcular los cortes con los ejes puesto que conocemos el valor del máximo (apartado a), ubicado en (9,300).

Corte con el eje x:

�

X = 4 1 −60 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/ 2 03 / 4 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4 −4 0

3 / 4 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −16 0

3 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f (x) = −2x2 + 36x +138

f '(x) = −4x + 36

f '(x) = 0→−4x + 36 = 0→ x = 9

f '(1)>0f crece

← →⎯⎯ 9 f '(10)<0f decrece

← →⎯⎯⎯

f (9) = −2 ⋅92 + 36 ⋅9 +138 = 300

f '(7) = 8

f (x) = 0→−2x2 + 36x +138 = 0→ x = −36 ± 362 − 4 ⋅138 ⋅(−2)−4

=x = −3,24x = 21,24

⎧⎨⎩

Corte con el eje y:

�

Además, los valores para los que el beneficio es 138.000 euros son:

�

Y por tanto la función queda representada como:

Ejercicio 3. Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraeremos una bola de la urna A, y si sale cruz, la extraemos de la urna B. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) “La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par”.

En primer lugar dibujaremos el diagrama de sucesos para facilitar el cálculo de las preguntas pedidas:

f (0) = 138

f (x) = 138→−2x2 + 36x +138 = 138→−2x2 + 36x = 0

x(−2x + 36) = 0→x = 0x = 18

⎧⎨⎩

�

Sabiendo esto, la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par es:

�

b) El número de la bola extraída sea par.

Calculamos la probabilidad total del suceso “bola par”:

�

c) La bola sea de la urna A, si ha salido un número par.

En este caso, se trata de calcular una probabilidad condicionada:

�

Ejercicio 4. Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros de narrativa que se venden en la actualidad. Para ello se elige una muestra aleatoria de 121 libros, encontrando que tienen un precio medio de 23 €. Se sabe que el precio de los libros de narrativa sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica 5€.

a) Obtenga un intervalo de confianza al 98,8 % para el precio medio de estos libros.

El intervalo de confianza para la media del precio de los libros será de la forma:

�

Siendo:

�

Puesto que queremos un intervalo de confianza al 98,8% se tiene que el nivel de significancia es:

Sacar de la urna A: 12

Sacar bola par: 37

Sacar bola impar: 47

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Sacar de la urna B: 12

Sacar bola par: 25

Sacar bola impar: 35

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

P(A∩Par) = 12⋅ 37= 314

P(Par) = P A∩Par( )+ P(B∩Par) = 12⋅ 37+ 12⋅ 25= 314

+ 210

= 15 +1470

= 2970

P(A | Par) = P(A∩Par)P(Par)

= 3 /1429 / 70

= 210406

= 1529

I = x − error, x + error( )

x = 23

σ = 5121

= 511

Error = zα /2σn

�

Por tanto, el valor � será aquel que cumpla: �

Consultando en la tabla, el valor que deja a la izquierda probabilidad 0,994 es: �

Con todos estos valores calculados, el error es: �

Y el intervalo de confianza queda: �

�

b) ¿Cuántos libros habría que elegir como muestra para que con la misma confianza el error máximo de la estimación no excediera de 1 €?

Queremos que el error de la estimación sea inferior a 1 € manteniendo el mismo nivel de confianza. Por tanto:

�

Opción B

Ejercicio 1. Dadas las inecuaciones

�

represente el recinto que limitan y sus vértices.

Para representar el recinto que delimitan pintamos cada una de las rectas que definen:

�

�

�

Y por tanto:

α = 1− 0,988 = 0,012→α / 2 = 0,006

zα /2 P(z < zα /2 ) = 1− 0,006 = 0,994

zα /2 = 2,51

Error = 2,51⋅ 511

= 1,14

I = x − error, x + error( ) = 23−1.14,23+1.14( ) = 21.86,24.14( )

Error <1→ zα /2σn<1→ 2,51 5

n<1

12,55 < n → n >157,5 → n ≈158 libros

y ≤ x + 52x + y ≥ −44x ≤10 − yy ≥ 0

y ≤ x + 5→ y = x + 5x = 0→ y = 5x = −5→ y = 0

⎧⎨⎩

2x + y ≥ −4→ 2x + y = −4x = 0→ y = −4x = −2→ y = 0

⎧⎨⎩

4x ≤10 − y→ 4x = 10 − yx = 0→ y = 10x = 5 / 2→ y = 0

⎧⎨⎩

�

A continuación calculamos los 4 vértices de la región:

�

b) Obtenga el máximo y el mínimo de la función � en el recinto anterior, así como

los puntos en los que se alcazan.

Para obtener el máximo y el mínimo de dicha función en la región bastará con estudiar el valor que toma en cada uno de los 4 vértices, puesto que es en esos puntos donde deberá alcanzar su máximo y su mínimo.

Vértice A: �

Vértice B: �

A2x + y = −4−x + y = 5

⎧⎨⎩

→ 3x = −9→ x = −3→ y = 2→ A(−3,2)

B(−2,0)

C4x + y = 10−x + y = 5

⎧⎨⎩

→ 5x = 5→ x = 1→ y = 6→C(1,6)

D(2.5,0)

f (x, y) = x + 12y

f (−3,2) = −3+ 122 = −2

f (−2,0) = −2 + 120 = −2

Vértice C: �

Vértice D: �

Por tanto el máximo se alcanza en el vértice C y el mínimo en los vértices A y B.

Ejercicio 2. Sea la función f definida por �

a) Obtenga los valores de a y b para que la función sea continua y derivable.

Observando la función se tiene que el único punto donde hay que estudiar la continuidad es en x=2, es decir, donde se produce el cambio de tramo. En este caso el punto x = 0 no sería necesario estudiarlo ya que, aunque está fuera del dominio de la segunda parte de la función, no entra en el tramo x > 2.

Continuidad en x = 2

�

Para que la función sea continua en x = 2

�

Derivabilidad en x = 2

�

Para que la función sea derivable en x = 2

�

Conociendo el valor de b calculamos el valor de a para lograr la continuidad y la derivabilidad en x = 2

�

f (1,6) = 1+ 126 = 4

f (2.5,0) = 2.5 + 120 = 2.5

f (x) =−bx2 − bx + a si x ≤ 260x

si x > 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

f (2) = −4b − 2b + a = −6b + alimx→2−

f (x) = −4b − 2b + 2

limx→2+

f (x) = 602

= 30

f (2) = limx→2−

f (x) = limx→2+

f (x)

−6b + a = 30

f '(x) =−2bx − b si x < 2−60x2 si x > 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→2−

f '(x) = limx→2+

f '(x)

−4b − 2 = −15→−4b = −13→ b = 134

−6b + a = 30→−6134+ a = 30→ −78

4+ a = 30→ a = 198

4= 992

b) Para a = 48 y b = 3, estudie la monotonía de f(x) y calcule sus extremos.

�

Para estudiar la monotonía calculamos la derivada de f.

�

A continuación calculamos los puntos críticos, es decir, los valores de x que anulan la derivada. Para ello, igualamos ambos tramos de la derivada a 0:

�

Finalmente, estudiamos el signo de la derivada:

�

Por tanto, en x = -0.5 se tiene un máximo relativo.

Ejercicio 3. Antonio va a lo compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?

En primer lugar dibujaremos el diagrama de sucesos para facilitar el cálculo de las preguntas pedidas:

�

Puesto que nos piden la probabilidad de que la fruta esté de oferta un día se tiene:

f (x) =−3x2 − 3x + 48 si x ≤ 260x

si x > 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

f '(x) =−6x − 3 si x < 2−60x2 si x > 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

−6x − 3= 0 → x = − 12

−60x2 = 0 → No tiene solución

f '(−2)>0f crece

← →⎯⎯⎯ −0.5 f '(0)<0f decrece

← →⎯⎯⎯ 2 f '(10)<0f decrece

← →⎯⎯⎯

Va a la compra: 25

Hay oferta: 13

No hay oferta: 23

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

No va a la compra: 35

Hay oferta: 12

No hay oferta: 12

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

�

b) Calcule la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.

Nos piden calcular:

�

Ejercicio 4. Un titular de prensa afirma que el 70% de los jóvenes de una ciudad utilizan las redes sociales para comunicarse. Para contrastar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra aleatoria de 500 jóvenes de esa ciudad y se obtiene que 340 de ellos usan la red para comunicarse. Analice mediante un contrate de hipótesis bilateral: (� ) si se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que dicha afirmación es cierta.

Puesto que queremos realizar un contraste de hipótesis bilateral para la probabilidad, la región de aceptación quedará definida como:

�

con un nivel de significancia de �

Es decir:

�

el valor de � será aquel que cumpla: �

Consultando en la tabla, el valor que deja a la izquierda probabilidad 0,995 es: �

Por tanto, el intervalo queda:

�

Una vez que tenemos definida la región de aceptación, vemos si el valor de la probabilidad obtenido para la muestra entra en dicho intervalo:

�

Puesto que � se puede afirmar con un nivel de significación 1% que la afirmación es cierta.

P(Oferta) = P Va∩Oferta( )+ P(No va∩Oferta) = 25⋅ 13+ 3

5⋅ 12= 2

15+ 3

10= 4 + 9

30= 13

30

P(Compra∪Oferta) = P(Compra)+ P(Oferta)− P(Compra∩Oferta) =25+ 1330

− 25⋅ 13= 25+ 1330

− 215

= 12 +13− 430

= 2130

= 710

H0 : p = 0.7

p − zα /2 ⋅pqn, p + zα /2 ⋅

pqn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α = 0.01

0.7 − z0.005 ⋅0.7 ⋅0.3500

,0.7 + z0.005 ⋅0.7 ⋅0.3500

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z0.005 P(z < zα /2 ) = 1− 0,005 = 0,995

zα /2 = 2,575

0.7 − 2.575 0.7 ⋅0.3500

,0.7 + 2.575 0.7 ⋅0.3500

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0.64,0.75( )

p ' = 340500

= 0.68

p '∈ 0.64,0.75( )