ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

LORENTZ UZAYINDA UMBİLİK YÜZEYLER

Esma DEMİR

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2010

Her hakkı saklıdır

�OZET

Y�uksek Lisans Tezi

LORENTZ UZAYINDA UMB_IL_IK Y�UZEYLER

Esma DEM_IR

Ankara �Universitesi

Fen Bilimleri Enstit�us�u

Matematik Anabilim Dal�

Dan��sman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

E�s Dan��sman: Prof. Dr. Rafael LOPEZ

Bu tez be�s b�ol�umden olu�smaktad�r.

_Ilk b�ol�um giri�s k�sm�na ayr�lm��st�r.

_Ikinci b�ol�umde, 3 boyutlu Lorentz uzay� tan�mlan�p, bu uzayda vekt�orel �carp�m,

e�griler ve y�uzeylerden bahsedilmi�stir.

�U�c�unc�u b�ol�umde,ilk �once Lorentz uzay�nda helikoidal y�uzey tan�mlanm��s, sonra

da helikoidal hareket grubu alt�nda bir noktan�n y�or�ungesinden bahsedilip d�onel

y�uzeylere ve helikoidal y�uzeylere �ornekler verilmi�stir.

D�ord�unc�u b�ol�umde, Lorentz uzay�nda bir y�uzeyin e�grilikleri ve umbilik y�uzeyler

tan�mlanm��s daha sonra da umbilik y�uzeylere �ornekler verilmi�stir.

Son olarak be�sinci b�ol�umde sabit ortalama e�grili�ge ve sabit Gauss e�grili�gine sahip

helikoidal y�uzeyler i�cin baz� teoremler verilmi�stir.

2010, 60 sayfa

Anahtar Kelimeler : Lorentz uzay�, Helikoidal y�uzeyler, Umbilik y�uzeyler, Sabit

ortalama e�grilik, Sabit Gauss e�grili�gi .

i

ABSTRACT

Master Thesis

UMBILICAL SURFACES IN LORENTZ 3-SPACE

Esma DEM_IR

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Co Advisor: Prof. Dr. Rafael LOPEZ

This thesis consists of �ve chapters.

The �rst chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, Lorentz 3-space and its properties, are mentioned. Then

vector product, curves and surfaces are given.

In the third chapter, �rstly helicoidal surfaces on Lorentz 3-space is de�ned. Then

orbit of a point under a helicoidal motion group ise mentioned and some examples

of the rotational surfaces and helicoidal surfaces are examined.

In the forth chapter, curvatures of a surface on Lorentz 3-space are de�ned and some

examples of umbilical surfaces are given.

Finally in the �fth chapter some theorems for surfaces with constant mean curvature

and constant Gauss curvature are given.

2010, 60 pages

Key Words: Lorentz 3-space, Helicoidal surfaces, Umbilical surfaces, Constant

mean curvature, Constant Gauss curvature.

ii

TES�EKK�UR

Bu �cal��sma konusunu bana vererek, bana ara�st�rma olana�g� sa�glayan ve ara�st�rmalar�m�n

her a�samas�nda en yak�n ilgi ve �onerileriyle beni y�onlendiren dan��sman hocam, Say�n

Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara �Universitesi Fen Fak�ultesi)'ya, tezimle ilgili kendisi

ile �cal��sma f�rsat� buldu�gum e�s dan��sman hocam Say�n Prof. Dr. Rafael LOPEZ

( Universidad de Granada Deparmant of Geometry and Topology)'e, �cal��smalar�m

s�uresince desteklerini esirgemeyen Say�n Do�c Dr. Hac� AKTAS� (Nev�sehir �Universitesi

Fen Edebiyat Fak�ultesi)'a te�sekk�urlerimi sunar�m.

Ayr�ca �cal��smalar�m s�uresince bir�cok fedakarl�klar g�ostererek beni destekleyen aileme

en derin duygularla te�sekk�ur ederim.

Esma DEM_IR

Ankara, 2010

iii

_IC� _INDEK_ILER

�OZET i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

TES�EKK�UR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

S_IMGELER D_IZ_IN_I v

S�EK_ILLER D_IZ_IN_I vi

1. G_IR_IS� 1

2. LORENTZ-M_INKOWSKI UZAYI 3

2.1 Temel Tan�mlar 3

2.2 Lorentz Vekt�orel C�arp�m� 6

2.3 E31 �un _Izometrileri 6

2.4 E31 te E�griler ve Y�uzeyler 10

3. HEL_IKO_IDAL Y�UZEYLER 15

3.1 Tan�mlar ve Parametrizasyonlar 15

3.2 Bir Noktan�n Helikoidal Hareket Alt. Y�or�ungesi 19

3.3 E31 te Helikoidal Y�uzey�Ornekleri 24

4. E31 te Y�UZEYLER_IN E�GR_IL_IKLER_I 30

4.1 Non-dejenere Y�uzeylerin Ortalama E�grilikleri ve Gauss E�grilikleri 30

4.2 Umbilik Y�uzeyler 35

5. HEL_IKO_IDAL Y�UZEYLER_IN ORT. VE GAUSS E�GR_IL_IKLER_I 40

5.1 Helikoidal Y�uzeylerin Ort. ve Gauss E�grili�gi 40

5.2 E�griliklerin Sabit Olma Durumu 42

5.3 Polinomlar ve C�emberler Taraf�ndan �Uretilen Helikoidal Y�uzeyler 46

5.4 H2 = K S�art�n� Sa�glayan Timelike Y�uzeyler 53

6. KAYNAKLAR 58

iv

S_IMGELER D_IZ_IN_I

E31 3 boyutlu Lorentz-Minkowski uzay�

TpM p 2M noktas�ndaki tanjant uzay

H Ortalama e�grilik

K Gauss e�grili�gi

GL;h Ekseni L ve ad�m� h olan helikoidal hareket grubu

H21 Hiperbolik y�uzey

S21 De Sitter y�uzeyi

E; F; G Bir y�uzey i�cin birinci esas formun katsay�lar�

e; f; g Bir y�uzey i�cin ikinci esas formun katsay�lar�

W Birinci esas form

C Light koni

v

S�EK_ILLER D_IZ_IN_I

S�ekil 2.1.1 Light koni 4

S�ekil 2.4.1 Hiperbolik y�uzey, light koni, De Sitter y�uzeyi 14

S�ekil 3.1.1 Hiperbolik y�uzey 18

S�ekil 3.1.2 De Sitter y�uzeyi 19

S�ekil 3.2.1 E31 te Lorentz �cemberleri 21

S�ekil 3.3.1 Birinci �ce�sit helikoid 24

S�ekil 3.3.2 _Ikinci �ce�sit helikoid 24

S�ekil 3.3.3 �U�c�unc�u �ce�sit helikoid 25

S�ekil 3.3.4 Cayley y�uzeyi 25

S�ekil 3.3.5 Lorentz silindiri 26

S�ekil 3.3.6 Parabolik null silindir 27

S�ekil 5.2.1 K = 0 ve ekseni timelike olan helikoidal y�uzey 44

vi

S�ekil 5.2.2 K = 0 ve ekseni lightlike olan helikoidal y�uzey 45

S�ekil 5.2.3 H = K = 1 ve ekseni lightlike olan helikoidal y�uzey 46

vii

1. G_IR_IS�

Bilindi�gi gibi �Oklid uzay�nda H2 � K > 0 �sart�n� sa�glayan y�uzeyler i�cin Wein-

garten d�on�u�s�um�un�un matrisi, pozitif tan�ml� bir metri�ge g�ore self-adjoint oldu�gu

i�cin k�o�segenle�stirilebilirdir. Hatta H2 � K = 0 �sart�n� sa�glayan noktalar y�uzeyin

umbilik noktalar�d�r. �Oklid uzay�nda t�um noktalar� umbilik olan y�uzeyler umbilik

y�uzeylerdir.

E31 te H;K ve umbilik olma aras�ndaki ili�ski �Oklid uzay�ndan farkl�d�r. �Oncelikle

H ve K dan bahsedebilmek i�cin non-dejenere y�uzeylere ihtiya�c vard�r. Bunun

i�cin de y�uzeyler �uzerinde tan�mlanan metrik non-dejenere olmal�d�r. E31 te iki

�ce�sit non-dejenere y�uzey vard�r. Birincisi metri�gin pozitif tan�ml� oldu�gu spacelike

y�uzeyler, ikincisi ise metri�gin Lorentz metri�gi (non-dejenere indeks 1) oldu�gu time-

like y�uzeylerdir. Bu iki durumda H ve K, �Oklid uzay�na benzer �sekilde tan�mlan�r.

Ap bir p 2M noktas�ndaki �sekil operat�or�u olmak �uzere

H(p) = �iz(Ap); K(p) = � det(Ap)

�seklindedir. Burada e�ger y�uzey spacelike ise � = �1; timelike ise � = 1 olarak

al�nacakt�r.

E31 te spacelike bir y�uzey i�cin H(p)2 � K(p) > 0 �sart� sa�glan�r ve Weingarten

d�on�u�s�um�un�un matrisi k�o�segenle�stirilebilirdir. p noktas� umbilik oldu�gunda H(p)2�

K(p) = 0 olur. Bu y�uzden durum �Oklid uzay� ile ayn�d�r. Timelike durumda ise

(i) Ap k�o�segenle�stirilebilir ise H(p)2�K(p) > 0 d�r ve p noktas� umbilik oldu�gunda

H(p)2 �K(p) = 0 olur.

(ii) Ap k�o�segenle�stirilemez ise bu durumda H(p)2 �K(p) 6 0 d�r.

�Oklid uzay�nda oldu�gu gibi E31 te t�um noktalar� umbilik olan y�uzeyler umbilik

1

y�uzeylerdir. Bunlar d�uzlemler, hiperbolik y�uzeyler ve pseudo k�urelerdir. Bu y�uzeylerin

�sekil operat�or�un�un matrisi k�o�segenle�stirilebilirdir. Bununla beraber �sekil operat�or�un�un

matrisi birim matrisin kat� olmayan ancak a 2 R olmak �uzere

0@a 0

1 a

1A �seklinde

yaz�labilen y�uzeyler de vard�r. Bunlara genelle�stirilmi�s umbilik y�uzeyler denir. Hiper-

bolik y�uzeyler spacelike y�uzeylerdir ve negatif sabit e�grili�ge sahiptirler. Pseudo

k�ureler ise timelike y�uzeylerdir ve pozitif sabit e�grili�ge sahiptirler. Bu y�uzden �Oklid

uzay�ndaki k�urelerle benzerlerdir.

Bu �cal��sma �cer�cevesinde,�oncelikle 3 boyutlu Lorentz uzay� ile ilgili temel tan�mlar

verilecektir. Ayr�ca E31 te vekt�orel �carp�m, izometriler, e�griler, y�uzeyler, d�onme

hareket gruplar�, helikoidal hareket gruplar�ndan bahsedilecektir. Bununla beraber

E31 te helikoidal y�uzeyler ve umbilik y�uzeyler ele al�narak �ornekler verilecektir ancak

genelle�stirilmi�s umbilik y�uzeyler ele al�nmayacakt�r. E31 te helikoidal y�uzeylerin or-

talama e�grilikleri H ve Gauss e�grilikleri K i�cin bu e�griliklerin sabit olmas� durumu

gibi basit fonksiyonlar aranacakt�r.

2

2. LORENTZ-M_INKOWSK_I UZAYI

2.1 Temel Tan�mlar

R3, bilinen vekt�or yap�s�yla �u�c boyutlu reel vekt�or uzay� ve E1 = (1; 0; 0); E2 =

(0; 1; 0); E3 = (0; 0; 1) iken Bu = fE1; E2; E3g; R3 �un bilinen baz� olmak �uzere

(x; y; z) bu baza g�ore bir vekt�or�un koordinatlar�d�r.

E�ger fe1; :::; emg vekt�or c�umlesi ise he1; :::; emi = fPaiei; ai 2 R; 1 6 i 6 mg

bu vekt�orlerin lineer kombinasyonlar� taraf�ndan �uretilen alt vekt�or uzay�d�r.

Tan�m 2.1.1: u = (u1; u2; u3) ve v = (v1; v2; v3) 2 E3 olmak �uzere Lorentz uzay�nda

i�c �carp�m a�sa�g�daki �sekilde tan�mlan�r:

h; i : E3xE3 �! E

(u; v) �! hu; vi = u1v1 + u2v2 � u3v3

E3 �uzerinde tan�mlanan bu simetrik,bilineer ve nondejenere metrik tens�ore Lorentz

metri�gi denir (O'Neill 1983).

Ayn� zamanda

hu; vi = ut

0BBB@1 0 0

0 1 0

0 0 �1

1CCCA v = utGvyaz�labilir.

Tan�m 2.1.2: h; i ; E3 de Lorentz metri�gi olsun.fE3; h; ig ikilisine 3 boyutlu Lorentz

uzay� denir ve E31 ile g�osterilir.

v = (v1; v2; v3) 2 E31 olmak �uzere v nin normu kvk =pjhv; vij �seklinde tan�mlan�r.

(O'Neill 1983).

Tan�m 2.1.3: v = (v1; v2; v3) 2 E31 olmak �uzere

3

hv; vi < 0 ise v ye timelike vekt�or ;

hv; vi = 0 ve v 6= 0 ise v ye null ya da lightlike vekt�or;

hv; vi > 0 ise v ye spacelike vekt�or denir (O'Neill 1983).

E31 te lightlike koni t�um lightlike vekt�orlerin k�umesidir ve a�sa�g�daki �sekilde tan�mlan�r

C = f(x; y; z) 2 E31 : x2 + y2 � z2 = 0g � f(0; 0; 0)g

S�ekil 2.1.1: Light koni

Tan�m 2.1.4: U � E31 bir altvekt�or uzay� olsun. U �uzerinde tan�mlanan metrik

h; ijU pozitif tan�ml�ysa U ya spacelike, nondejenere indeks 1 ise timelike, dejenere

ve U 6= f0g ise lightlike denir.

Bir vekt�or�un ya da bir alt vekt�or uzay�n�n karakteri spacelike, timelike ya da light-

like olarak belirlidir. Bu durumda U bu �u�c durumdan birini sa�glar.

�Onerme 2.1.1: U , E31 �un bir alt vekt�or uzay� olsun.

(i) E�ger U = hui ve u spacelike (s�ras�yla timelike, lightlike) ise U da spacelike

( s�ras�yla timelike, ligthlike) olur.

(ii) U? timelike (s�ras�yla spacelike, lightlike) ise U spacelike (s�ras�yla timelike,

lightlike) olur.

4

(iii) E�ger U lightlike bir d�uzlem ise bu durumda boy(U \ U?) = 1 dir.

(iv) boy(U) = 2 olsun. Bu durumda U iki tane lineer ba�g�ms�z lightlike vekt�or

i�ceriyor ise kendisi timeliket�r. Di�ger yandan U bir lightlike vekt�or i�ceriyor ancak

timelike vekt�or i�cermiyorsa kendisi lightliket�r.

�Onerme 2.1.2: (i) u ve v iki timelike vekt�or ve hu; vi 6= 0 olmak �uzere

hju; vji >p�hu; ui

p�hv; vi

dir. hu; vi < 0 ve u ile v aras�ndaki hiperbolik a�c� ' olmak �uzere hu; vi = � juj jvj cosh'

dir.

(ii) u ve v iki lightlike vekt�or olmak �uzere hu; vi = 0 ise bu vekt�orler lineer ba�g�ml�d�r.

(iii) u ve v iki timelike ya da lightlike vekt�or olmak �uzere hu; vi = 0 ise bu du-

rumda bu vekt�orlerin ikisi de lightliket�r.

� ; E31 te t�um timelike vekt�orlerin k�umesi olsun. u; v 2 � olmak �uzere yukar�daki

�onermeden hu; vi > 0 veya hu; vi < 0 oldu�gunu biliyoruz. u 2 � olmak �uzere

C(u) = fv 2 � ; hu; vi < 0g k�umesine u ya ait timelike koni denir.

Tan�m 2.1.5: E3 = (0; 0; 1) ve u bir timelike vekt�or olmak �uzere u 2 C(E3)

ise u ya gelecek y�onl�u denir.

�Onerme 2.1.3: P; E31 te bir d�uzlem olsun. Ne de �Oklid metri�gi ile bu d�uzleme

ortogonal vekt�or olmak �uzere Ne timelike (s�ras�yla spacelike, lightlike) ise P space-

like (s�ras�yla timelike, lightlike) olur.

5

2.2 Lorentz Vekt�orel C�arp�m�

Tan�m 2.2.1: u; v 2 E31 olmak �uzere u ve v nin vekt�orel �carp�m� uxv a�sa�g�daki

e�sitlikleri sa�glar.

huxv; wi = det(u; v; w)

uxv =

���������i j �k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

���������E�ger �Oklid uzay�ndaki vekt�orel �carp�ma uxev dersek, uxv, uxev nin z = 0 d�uzlemine

g�ore yans�mas�d�r.

�Onerme 2.2.1: Lorentz vekt�orel �carp�m� a�sa�g�daki �ozellikleri sa�glar.

(i) uxv = �vxu dir.

(ii) uxv vekt�or�u u ve v ye diktir.

(iii) uxv = 0 olmas� i�cin gerek ve yeter �sart bu vekt�orlerin ba�g�ml� olmamalar�d�r.

(iv) uxv 6= 0 olmak �uzere bu vekt�or�un P = hu; vi d�uzleminde olmas� i�cin P lightlike

olmal�d�r.

Tan�m 2.2.2: E31 , 3 boyutlu Lorentz uzay� ve u; v 2 E31 olsun.

hu; vi = 0 ise u ve v vekt�orleri E31 de birbirine ortogonaldir denir (O'Neill 1983).

2.3. E31 �un _Izometrileri

Tan�m 2.3.1: E31 �un bir izometrisi A : E31 �! E31 , Lorentz metri�gini koruyan

6

bir izomori�zmdir. �Oyle ki

hAu;Avi = hu; vi ; u; v 2 E31

dir. E31 �un b�ut�un izometrilerinin c�umlesi O1(3) ile g�osterilir.

O1(3) �un bir eleman� iki ortonormal baz aras�ndaki ge�ci�s matrisi olarak al�nabilir.

C� �unk�u E31 �un bir izomor�zmi A olmak �uzere e�ger A ortonormal baz olmay� koruy-

orsa bir izometridir.

Lemma 2.3.1: A 2 O1(3) olsun.

(i) detA = 1 ise A y�onlendirmeyi korur.

(ii) A = (aij) olmak �uzere detA = 1 ve a33 > 0 ise A timelike y�onlendirmeyi

korur.

Teorem 2.3.1: O1(3) �un ba�glant�l� elemanlar�

O++1 (3) = fA 2 O1(3); detA = 1; a33 > 0g

O+�1 (3) = fA 2 O1(3); detA = 1; a33 < 0g

O�+1 (3) = fA 2 O1(3); detA = �1; a33 > 0g

O��1 (3) = fA 2 O1(3); detA = �1; a33 < 0g

olarak tan�mlan�r ve O++1 (3) k�umesine ortocrone grup denir.

Tan�m 2.3.2: E31 te d�onme, bir vekt�or�u, L do�grusu �uzerinde bir nokta etraf�nda

hareket ettiren izometridir. L do�grusuna d�onmenin ekseni denir.

E31 te eksenin spacelike, timelike veya lightlike olmas�na g�ore �u�c �ce�sit d�onme hareketi

vard�r. Bu durumda L, s�ras�yla z-ekseni, x-ekseni veya (1,0,1) vekt�or�u taraf�ndan

7

�uretilen do�gru al�nabilir. D�onme hareketinin matrisi de yine L nin karakterine ba�gl�

olarak de�gi�sir.

1. L = h(0; 0; 1)i �seklinde timelike ise d�onme matrisi A

A =

0BBB@cos � � sin � 0

sin � cos � 0

0 0 1

1CCCA , � 2 R

2. L = h(1; 0; 0)i �seklinde spacelike ise d�onme matrisi A

A =

0BBB@1 0 0

0 cosh � sinh �

0 sinh � cosh �

1CCCA , � 2 R

3. L = h(1; 0; 1)i �seklinde lightlike ise d�onme matrisi A

A =

0BBBB@1� �

2

2�

�2

2

�� 1 �

��2

2� 1 +

�2

2

1CCCCA , � 2 R

olur.

Tan�m 2.3.3: Lorentz hareketi � : E31 �! E31 uzakl��g� koruyan bir d�on�u�s�umd�ur.

�Oyle ki

j�(p)� �(q)j2 = jp� qj2

dir.

v 2 E31 vekt�or�un�un �otelemesi Tv(p) = p+ v d�on�u�s�um�ud�ur.

Her Lorentz hareketi E31 �un bir izometrisi A ve �otelemesi Tv nin bile�skesidir. K�saca

� = TvoA d�r.

8

Teorem 2.3.2: Lorentz hareket grubu Lorentz hareketlerinin a�sikar olmayan bir

grubudur. Her helikoidal hareket grubu bir L ekseni ve h 2 R ad�m�yla kesin olarak

tan�mlan�r. Bu grubu GL;h ile g�osterece�giz.

1. L = h(0; 0; 1)i �seklinde timelike ise

�t(a; b; c) =

0BBB@cos t � sin t 0

sin t cos t 0

0 0 1

1CCCA0BBB@a

b

c

1CCCA+ h0BBB@0

0

t

1CCCA (2.1)

2. L = h(1; 0; 0)i �seklinde spacelike ise

�t(a; b; c) =

0BBB@1 0 0

0 cosh t sinh t

0 sinh t cosh t

1CCCA0BBB@a

b

c

1CCCA+ h0BBB@t

0

0

1CCCA (2.2)

3. L = h(0; 0; 1)i �seklinde lightlike ise

�t(a; b; c) =

0BBBB@1� t

2

2t

t2

2

�t 1 t

�t2

2t 1 +

t2

2

1CCCCA0BBB@a

b

c

1CCCA+ h0BBBB@t3

3� t

t2

t3

3+ t

1CCCCA (2.3)

olarak tan�mlan�r. E�ger h = 0 al�n�rsa bu durumda L ekseni etraf�nda bir d�onme

grubu elde edilir.

Helikoidal hareket gruplar�nda �otelemenin ekseni, d�onme ekseninin karakterine ba�gl�

olarak de�gi�siklik g�osterir.

(i)E�ger d�onme ekseni timelike ya da spacelike ise �oteleme de bu eksen �uzerinde

olur.

9

(ii) E�ger d�onme ekseni lightlike ise �oteleme bu eksen �uzerinde de�gildir. Bu ek-

sene paralel olan bir do�gru �uzerindedir.

�Ornek 2.3.1. fe1; e2; e3g, E31 �un ortonormal baz�, t 2 R ve A lightlike eksen

�uzerinde bir d�onme, v = (1; 0; 1) olmak �uzere helikoidal hareket � = TvoA

�t(a; b; c) =

0BBBB@1� t

2

2t

t2

2

�t 1 t

�t2

2t 1 +

t2

2

1CCCCA0BBB@a

b

c

1CCCA+0BBB@1

0

1

1CCCAdir. Burada � nin yeni ekseni L ye paralel olan R = (0;�1; 0)+h(1; 0; 1)i do�grusudur.

Baz� yazarlar buna k�ubik vida hareketi de demektedir.

2.4. E31 te E�griler ve Y�uzeyler

I; R nin bir a�c�k aral��g� olmak �uzere E31 te bir e�gri � : I �! E31 �seklinde tan�ml�

diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. E�ger bir t0 2 I noktas�nda �0(t0) 6= 0 ise � ya

bu noktada reg�ulerdir denir.

E31 te vekt�orlerin karakterleri a�sa�g�daki gibi ifade edilir.

Tan�m 2.4.1: �; E31 te bir e�gri olsun. E�ger bir t 2 I noktas� i�cin �0(t) space-

like (s�ras�yla timelike, lightlike) ise �(t) spacelike (s�ras�yla timelike, lightlike) t�r.

Genel olarak, E31 te bir e�grinin karakteri I n�n b�ut�un noktalar�nda ayn� de�gildir.

Yani � n�n spacelike, timelike, lightlike oldu�gu noktalar olabilir. Bununla beraber

� n�n spacelike ve timelike oldu�gu noktalar aras�nda, lightlike oldu�gu bir nokta da

vard�r. E�ger �; bir t0 2 I noktas�nda spacelike ya da timelike ise � n�n ayn� karak-

tere sahip oldu�gu bir (t0 � �; t0 + �) a�c�k aral��g� vard�r.

Lemma 2.4.1: Her spacelike ya da timelike e�gri yay parametresi ile parametre-

lendirilebilir. Bir � : I �! E31 e�grisi i�cin bir � : J �! I di�eomor�zmi vard�r �oyle

10

ki � = �o� bir e�gri olmak �uzere her s 2 j i�cin � spacelike ise h�0(s); �0(s)i = 1 ve

her s 2 J i�cin � timelike ise h�0(s); �0(s)i = �1 dir.

M; ba�glant�l� bir y�uzey ve x : M �! R3 bir immersiyon �oyle ki TpM , p 2 M

noktas�ndaki te�get d�uzlem olmak �uzere x in p noktas�ndaki diferensiyeli

(dx)p : TpM �! R3 olsun. Bu durumda (dx)p(TpM); R3 te TpM �(dx)pTpM

�seklinde bir d�uzlem olur.

gp(u; v) = hdxp(u); dxp(v)i

metri�gi i�cin x : (M; gp) �! E31 , M nin bir izometrik immersiyonudur. Bununla

beraber M ye x ile beraber E31 te bir y�uzey denir.

Tan�m 2.4.2: Bir x : M �! E31 immersiyonu i�cin p noktas�ndaki birinci esas

form gp : TpMxTpM �! R metri�gidir. TpM �uzerindeki metrik �u�c �sekilde olabilir.

(i) TpM , spacelike bir d�uzlem ise gp pozitif tan�ml�d�r.

(ii) TpM , timelike bir d�uzlem ise gp indeks 1 tipinde bir metriktir.

(iii) TpM , lightlike bir d�uzlem ise gp dejenere bir metriktir.

Tan�m 2.4.3: E�ger bir M y�uzeyi ve her p 2 M i�cin TpM spacelike (s�ras�yla time-

like, lightlike) ise M nin immersiyonu x :M �! E31 de spacelike (s�ras�yla timelike,

lightlike) t�r. Bununla beraberM de spacelike (s�ras�yla timelike ya da lightlike) t�r.

_Immersiyon timelike ya da spacelike ise non-dejeneredir.

Bundan sonra gp yerine h; i ifadesi kullan�lacakt�r.

Tan�m 2.4.4: X : U �! M , M nin bir parametrizasyonu olsun. Birinci esas

11

formun katsay�lar� E; F; G : U �! R olmak �uzere

E = hXu; Xui , F = hXu; Xvi ; G = hXv; Xvi

dir. Bununla beraber W = EG� F 2 olarak tan�mlan�r.

�Onerme 2.4.1: X : U �! M , M nin bir parametrizasyonu olsun. E�ger M

non-dejenere ise

N(u; v) =XuxXv

jXuxXvj

olarak tan�mlan�r. A�sa�g�daki �onermeler birbirine denktir.

(i) M y�uzeyi spacelike (ya da timelike) t�r.

(ii) W pozitif (ya da negatif) tan�ml�d�r.

(iii) N timelike (ya da spacelike) t�r.

Bunun yan�nda W = 0 ya da XuxXv vekt�or�u lightlike ise M , lightliket�r.

�Onerme 2.4.2: x : M �! E31 , M y�uzeyinin spacelike bir immersiyonu olsun.

Bu durumda M y�onlendirilebilir bir y�uzeydir.

_Ispat: Her p 2 M i�cin, TpM spacelike bir d�uzlemdir. O halde TpM? time-

liket�r. TpM? �uzerinde iki timelike vekt�or aras�nda hN(p); E3i < 0 olacak �sekilde

bir N(p) 2 C(E3) olsun.

M nin y�onlendirilmesini sa�glayan bu N : M �! E31 fonksiyonunun diferensiyel-

lenebilir olmas� gerekmektedir. Bunun i�cin U a�c�k, ba�glant�l� bir k�ume, X : U �

R2 �!M koordinat fonksiyonu ve X = X(u; v) olmak �uzere U �uzerinde tan�mlanan

N(u; v) =XuxXv

jXuxXvj

fonksiyonu TX(u;v)M ye ortogonal olan bir birim vekt�or tan�mlar.DN;N

E= 1 veya

12

DN;N

E= �1 dir. O halde N; N veya �N ile uyu�sur. Bu da diferensiyellenebilir

oldu�gunu g�ostermektedir.

Spacelike y�uzeylerde bir N y�onlendirmesi al�nd��g�nda her zaman hN;E3i < 0 ve M

nin y�onlendirmesi gelecek y�onl�u kabul edilecektir.

�Oklid uzay�n�n tersine, Lorentz-Minkowski uzay�nda k�ure tan�m� yoktur. Bunun

yerine a�sa�g�daki kuadrikler tan�mlan�r. r > 0 ve p0 2 E31 olmak �uzere :

1. Yar��cap� r ve merkezi p0 olan hiperbolik y�uzey

H21 (r; p0) = fp 2 E31 ; hp� p0; p� p0i = �r2g

2. Yar��cap� r ve merkezi p0 olan psuedo-k�ure

S21(r; p0) = fp 2 E31 ; hp� p0; p� p0i = r2g

3. Merkezi po olan lightlike koni

C(p0) = fp 2 E31 ; hp� p0; p� p0i = 0g

E�ger p0 orijin ise ilk iki durum i�cin H21 (r) ve S

21(r) de yaz�l�r.

Tan�m 2.4.5: Hiperbolik y�uzey H21 (1) �seklinde tan�ml� y�uzeydir ve H

21 ile g�osterilir.

De Sitter Y�uzeyi ise S21 = S21(1) olarak tan�mlan�r.

M non-dejenere bir y�uzey ve N(p) de her p noktas�nda TpM ye ortogonal olan birim

vekt�or olmak �uzereM spacelike iseN(p) 2 H21 (1) veM timelike iseN(p) 2 S21(1) dir.

Teorem 2.4.1: Hiperbolik y�uzey H21 spacelike bir y�uzey ve De Sitter y�uzeyi S

21

timelike bir y�uzeydir. Bununla beraber lightlike koni, lightlike bir y�uzeydir.

13

Tan�m 2.4.6: Nondejenere bir M y�uzeyi �uzerindeki y�onlendirme N : M �! E31

�seklindeki diferensiyellenebilir fonksiyondur. �Oyle ki her p 2M i�cin jN(p)j, TpM ye

ortogonaldir ve jN(p)j = 1 dir. Hatta e�ger M spacelike bir y�uzey ise gelecek y�onl�u

bir y�onlendirmeye sahiptir. Bu da N :M �! H21 �seklinde bir d�on�u�s�um tan�mlar.

S�ekil 2.4.1: Hiperbolik y�uzey, light koni, De Sitter y�uzeyi

S�ekilde s�ras�yla hiperbolik y�uzey, light koni ve De Sitter y�uzeyi g�or�ulmektedir.

14

3. HEL_IKO_IDAL Y�UZEYLER

3.1 Tan�mlar ve Parametrizasyonlar

Tan�m 3.1.1 ( Birinci Tan�m): E31 te d�uzlemsel bir e�grinin bir paramatreli

helikoidal hareket grubu alt�nda �cizdi�gi y�or�ungeye helikoidal y�uzey denir. E�ger

hareketin ekseni L ve ad�m h ise helikoidal hareket grubu GL;h ile g�osterilir. D�onel

y�uzeyler h = 0 olan helikoidal y�uzeylerdir.

D�uzlemsel e�gri (s) ve helikoidal hareket grubu GL;h = f�(t); t 2 Rg ise y�uzeyin

parametrizasyonu X(s; t) = �(t)( (s)) dir.

Tan�m 3.1.2 (_Ikinci Tan�m): E31 te bir helikoidal y�uzey helikoidal hareketlerin

bir parametreli grubu GL;h alt�nda invaryant olan y�uzeydir.

Burada y�uzey, M 2-boyutlu bir manifold olmak �uzere, X : M �! E31 �seklinde bir

immersiyondur. E�ger 8t 2 R i�cin �(t)(X(M)) � X(M) ise y�uzeye invaryant denir.

Lemma 3.1.1: L timelike bir eksen olmak �uzere M , helikoidal hareket grubu GL;h

alt�nda invaryant bir y�uzey olsun. Ekseni i�ceren bir P d�uzlemi al�n�rsa bu durumda

P \ M reg�uler e�grilerin ba�glant�l� elemanlar�ndan olu�sur. � b�oyle bir eleman ise

M = �t(�) dir.

_Ispat: L = h(0; 0; 1)i ve P de y = 0 d�uzlemi olmak �uzere verilen bir p 2 E31 ,

p =2 L noktas� i�cin p nin y�or�ungesi � = GL;h(p), P d�uzlemini belli noktalarda keser.

E�ger p = (a; b; c) ise GL;h(p),

�(t) = (a cos t � b sin t; a sin t + b cos t; c + ht) �seklinde parametrize edilir. O halde

a sin t + b cos t = 0 olmas� durumunda �; P ile kesi�sir. a = 0 ise t =�

2; a 6= 0 ise

sin t = �b=pa2 + b2 ve cos t = a=

pa2 + b2 olur. ft + 2n�;n 2 Zg k�umesi al�narak

aranan noktalar bulunur. �Oteleme grubu, Tv taraf�ndan v = (0; 0; h) ile �uretilir.

�1 ve �2, M \ P nin �t(�1) \ �2 6= ? �sart�n� sa�glayan iki eleman� olsun. E�ger

(a0; 0; c0) 2 �1 ve �t(a0; 0; c0) 2 �2 � P ise bu durumda a0 sin t = 0 olur. a0 6= 0 ise

15

sin t = 0 olmal�d�r. O halde �i � P ise �t(�i) � P olur. Buradan da �t(�1) � �2olur. Benzer �sekilde ��t ile beraber �1 \��t(�2) 6= ? alarak �t(�1) = �2 elde edilir.

Sonu�c olarak e�ger �1; GL;h(�1) \ �2 = ? �sart�n� sa�gl�yor ise GL;h(�1), S de ka-

pal� bir k�umedir ve bu da bir �celi�skidir.

E�ger helikoidal hareketin ekseni timelike de�gilse bu sonu�c ge�cerli de�gildir.

�Ornek 3.1.1: De sitter y�uzeyi S21 ; L = h(1; 0; 0)i ile GL;0 �n d�onme hareket grubu

alt�nda invaryantt�r. p = (x; y; z) 2 S21 ise x2 + y2 � z2 = 1 dir ve

�t(p) = (x; y cosh t+z sinh t; y sinh t+z cosh t) olur. Bu da yukar�daki e�sitli�gi sa�glar.

Ancak S21 , y = 0 d�uzlemi ile kesi�sti�ginde 1(s) = (cosh s; 0; sinh s) ve

2(s) = (� cosh s; 0; sinh s) e�grileri elde edilir. Bu e�grilere d�onme hareketi uygu-

lan�rsa S21 � f(0; y; z); y2 � z2g bulunur.

Lemma 3.1.2: M , E31 te h 6= 0 olmak �uzere helikoidal hareket grubu GL;h alt�nda

invaryant bir y�uzey olsun. L, spacelike (veya lightlike) ve P de L ye ortogonal bir

d�uzlem (ya da L yi i�ceren lightlike d�uzlem) olmak �uzereM \P ,M = GL;h( ) �sart�n�

sa�glayan e�grisidir.

_Ispat: p 2 M \ P noktas� al�n�rsa bu noktan�n y�or�ungesi GL;h(p), P d�uzlemini

tek noktada keser.

(i) Eksen L = h(1; 0; 0)i spacelike ve P de x = 0 d�uzlemi olsun. Bu durumda p

noktas�n�n y�or�ungesi �(t) = (a + ht; b cosh t � c sinh t; b sinh t + c cosh t) olur. E�ger

a+ ht = 0 ise �; P d�uzlemini keser. Buradan t = �aholarak bulunur.

(ii) Eksen L = h(1; 0; 1)i lightlike ve d�uzlem de P = h(1; 0; 1); (0; 1; 0)i olmak �uzere

�(t) 2 P olmas� i�cin t = a� c2h

olmal�d�r.

O halde M \ P nin tek bir elemana sahip oldu�gu g�osterilmi�s oldu.

16

Teorem 3.1.1: M; E31 te helikoidal hareket grubu GL;h alt�nda invaryant bir y�uzey

olsun. E�ger L timelike ya da h 6= 0 olmak �uzere timelike olmayan bir eksen ise

GL;h(�) = M olacak �sekilde d�uzlemsel bir � e�grisi vard�r. Bu e�griye M nin �urete�c

e�grisi denir.

(i) L timelike ise bu durumda �, L yi i�ceren bir d�uzlemin eleman�d�r. L = h(0; 0; 1)i

ise bu e�gri (s) = (f(s); 0; g(s)) �seklinde parametrize edilir ve �t (2.1) ile verilen

helikoidal hareket, M y�uzeyi de X(s; t) = �t( (s)) olmak �uzere

X(s; t) = (f(s) cos t; f(s) sin t; ht+ g(s)) (3.1)

olur.

(ii) L spacelike ise bu durumda �, L ye ortogonal bir d�uzlem ile M nin kesi�simidir..

L = h(1; 0; 0)i ise bu e�gri (s) = (0; f(s); g(s)) �seklinde parametrize edilir ve �t (2.2)

ile verilen helikoidal hareket, M y�uzeyi de X(s; t) = �t( (s)) olmak �uzere

X(s; t) = (ht; f(s) cosh t+ g(s) sinh t; f(s) sinh t+ g(s) cosh t) (3.2)

olur.

(iii) L lightlike ise bu durumda �, L yi i�ceren dejenere d�uzlem ileM nin kesi�simidir.

L = h(1; 0; 1)i ise bu e�gri (s) = (f(s); g(s); f(s)) �seklinde parametrize edilir ve �t(2.3) ile verilen helikoidal hareket, M y�uzeyi de X(s; t) = �t( (s)) olmak �uzere

X(s; t) = (f(s) + tg(s) + h(t3

3� t); g(s) + ht2; f(s) + tg(s) + h(t

3

3+ t)) (3.3)

olur.

�Ornek 3.1.2: E31 �un her P d�uzlemi d�onel y�uzeydir. P nin karakterine ba�gl� olarak

�u�c farkl� durum vard�r.

(i) P , z = 0 spacelike d�uzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (s; 0; 0) do�grusunun

17

timelike z ekseni etraf�nda d�ond�ur�ulmesiyle elde edilen d�onel y�uzeydir ve

X(s; t) = (s cos t; s sin t; 0); s; t 2 R dir.

(ii) P , x = 0 timelike d�uzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (0; s; 0) do�grusunun

spacelike x ekseni etraf�nda d�ond�ur�ulmesiyle elde edilen d�onel y�uzeydir ve

X(s; t) = (0; s cosh t; s sinh t); s; t 2 R dir.

(iii) P , x � z = 0 spacelike d�uzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (0; s; 0)

do�grusunun lightlike eksen etraf�nda d�ond�ur�ulmesiyle elde edilen d�onel y�uzeydir ve

X(s; t) = (st; s; st); s; t 2 R dir.

�Ornek 3.1.3: Hiperbolik y�uzeyler �urete�c e�grileri spacelike, eksenleri timelike olan

d�onel y�uzeylerdir.

L; timelike z ekseni, P , y = 0 d�uzlemi ve �urete�c e�gri x2�z2 = �r2 e�sitli�giyle beraber

olarak al�n�rsa bu durumda (s) = (r sinh s; 0; r cosh s) ve y�uzeyin parametrizas-

yonu da

X(s; t) = (r sinh s cos t; r sinh s sin t; r cosh s)

olur. Bu y�uzey x2 + y2 � z2 = �r2; z > 0 e�sitli�gini sa�glar ve H21 y�uzeyidir.

S�ekil 3.1.1: Hiperbolik y�uzey

18

�Ornek 3.1.4: Pseudo k�ureler �urete�c e�grileri ve eksenleri timelike olan d�onel y�uzeylerdir.

Yine timelike L ekseni, bu ekseni i�ceren P d�uzlemi ve �urete�c e�gri x2 � z2 = r2

e�sitli�giyle beraber olarak al�n�rsa bu durumda (s) = (r cosh s; 0; r sinh s) olur.

Bu e�grinin z ekseni etraf�nda d�ond�ur�ulmesiyle

X(s; t) = (r cosh s cos t; r cosh s sin t; r sinh s)

elde edilir. Bu y�uzey x2 + y2 � z2 = r2; z > 0 e�sitli�giyle beraber S21 y�uzeyidir.

S�ekil 3.1.2: De Sitter y�uzeyi

3.2 Bir Noktan�n Helikoidal Hareket Alt�ndaki Y�or�ungesi

�Onerme 3.2.1: Bir y�or�ungenin karakteri sabittir.

_Ispat: p = (a; b; c) noktas�n�n y�or�ungesi i�cin �u�c farkl� durum s�oz konusudur.

(i) L timelike ise p nin y�or�ungesi

�(t) = (a cos t� b sin t; a sin t+ b cos t; c+ ht)

19

dir. Bu durumda h�0(t); �0(t)i = a2 + b2 � h2 olur.

(ii) L spacelike ise p nin y�or�ungesi GL;h(p)

�(t) = (a+ ht; b cosh t+ c sinh t; b sinh t+ c cosh t)

dir. Bu durumda h�0(t); �0(t)i = �b2 + c2 + h2 olur.

(iii) L lightlike ise p nin y�or�ungesi

�(t) = (a+ (b� h)t+ c� a2t2 + h

t3

3; b+ (c� a)t+ ht2; a+ (b+ h)t+ c� a

2t2 + h

t3

3)

dir. Bu durumda h�0(t); �0(t)i = (a� c)2 � 4bh olur.

Tan�m 3.2.1: E31 te bir noktan�n d�onme grubu alt�ndaki y�or�ungesi Lorentz �cemberidir.

p = (a; b; c); E31 te bir nokta ve GL = f�t : t 2 Rg de L eksenine g�ore d�onme

grubu olsun. p nin GL alt�ndaki y�or�ungesi �(t) = �t(p); t 2 R olmak �uzere p =2 L

al�n�rsa yine L nin karakterine ba�gl� olarak �u�c farkl� durum s�oz konusudur.

(i) Eksen timelike z ekseni ise �(t) = (a cos t � b sin t; b cos t + a sin t; c) e�grisi olur.

Bu e�gri z = c d�uzleminde yar��cap�pa2 + b2 olan spacelike �cemberdir.

(ii) Eksen spacelike x ekseni ise �(t) = (a; b cosh t+ c sinh t; c cosh t+ b sinh t) e�grisi

olur. Bu e�gri i�cin j�0(t)j2 = �b2 + c2 olarak hesaplan�r. Bu durumda b ve c nin

alaca�g� de�gerlere g�ore �u�c farkl� durum s�oz konusudur.

(a) b2 < c2 ise � spacelike bir e�gridir ve z-eksenini tek noktada keser. E�ger

p = (0; 0; c) olarak al�n�rsa �(t) = (0; c sinh t; c cosh t) olur. Bu e�gri x = 0 d�uzleminde

z2 � y2 = c2 hiperbol�ud�ur.

(b) b2 = c2 ise � lightlike bir e�gridir ve �(t) = (a; +�c(cosh t+sinh t); c(cosh t+sinh t))

20

olur. Buradan �, x = a d�uzlemindeki y = +�z do�grular�ndan biridir

(c) b2 > c2 ise � timelike bir e�gridir ve y-eksenini tek noktada keser. E�ger p =

(0; b; 0) olarak al�n�rsa �(t) = (0; b cosh t; b sinh t) olur. Bu e�gri x = 0 d�uzleminde

y2 � z2 = b2 hiperbol�ud�ur.

(iii) Eksen L = h(1; 0; 1)i yani lightlike ise ve p = (a; 0; c) ise j�0(t)j2 = (a � c)2

ve p =2 L oldu�gundan � spacelike bir e�gridir ve �(t) = (a; 0; c) + (c � a)t(0; 1; 0) +

(c� a)(t2=2)(1; 0; 1) �seklinde ifade edilir. Bu e�gri x� z = a� c d�uzleminde yatar ve

ekseni (1; 0; 1) e paralel olan bir parabold�ur.

S�ekil 3.2.1: E31 te Lorentz �cemberleri

E3 te bir helis, her noktas�ndaki te�geti sabit bir v vekt�or�uyle sabit a�c� yapan e�gridir.

Ya da ba�ska bir ifadeyle � e�grilik ve � da torsiyon olmak �uzere �=� sabit olan bir

e�gridir. E�ger � ve � sabitse bu durumda bu e�gri dairesel helis olarak adland�r�l�r.

Di�ger yandan E3 te bir noktan�n bir helikoidal hareket grubu alt�ndaki y�or�ungesi, �

ve � sabit olan e�gridir ve bu da dairesel helistir.

Lorentz uzay�nda ise durum biraz farkl�d�r. Lorentzde a�c�dan bahsetmek sadece

timelike vekt�orler s�oz konusu oldu�gunda m�umk�und�ur.

21

Bir : I � R �! E31 nondejenere e�grisi i�cin h( 0(s); 0(s)i = � olmak �uzere e�ger

spacelike ise � = 1 ve timelike ise � = �1 dir. Bununla beraber 00(s); 0(s) ye

ortogonal oldu�gundan h 00(s); 0(s)i = 0 olur. E�ger timelike ise her s i�cin 00(s)

spaceliket�r. Ancak spacelike ise 00(s) spacelike, timelike ya da lightlike olabilir.

00(s) lightlike de�gilse ve 00(s) 6= 0 ise bu durumda bir Frenet e�grisidir.

t(s) = 0(s) tanjant vekt�or olmak �uzere n�n e�grili�gi �(s) = j 00(s)j, normali

n(s) = 00(s)=�(s); binormali b(s) = t(s)xn(s) olur. b(s); n(s) ve t(s) ye ortog-

onaldir. hn(s); n(s)i = � olmak �uzere � = 1 ise n(s) spacelike, � = �1 ise n(s)

timeliket�r. hb(s); b(s)i = ��� dir. ft(s); n(s); b(s)g baz�na Frenet �cat�s� denir.

Bu �u�c vekt�or�un t�urevleri Frenet e�sitlikleri olarak adland�r�l�r ve a�sa�g�daki gibidir.

t0(s) = �(s)n(s)

n0(s) = ����(s)t(s) + �b(s)

b0(s) = ��(s)n(s)

� fonksiyonuna e�grisinin torsiyonu denir ve ikinci e�sitlikten � = ��� hn0(s); b(s)i

elde edilir.

Frenet e�grileri i�cin e�grilik ve torsiyon sabittir.

(i) L timelike ve p 2 L ise �(t) = (0; 0; c + ht); L eksenini tan�mlar. p =2 L ise

h�0(t); �0(t)i = a2 + b2 � h2 olarak hesaplan�r ve bu durumda �'n�n karakteri sabit-

tir. p = (a; 0; 0) ve a 6= 0 ise �(t) = (a cos t; a sin t; ht) olur ve h�0(t); �0(t)i = a2�h2

bulunur. Buradan e�ger a2 > h2 ise � spacelike, a2 < h2 ise � timelike olur.

�(t) = (a costp

�(a2 � h2); a sin

tp�(a2 � h2)

; htp

�(a2 � h2))

ve

�(s) = �jaj

a2 � h2 ; ,� = � h

a2 � h2

olarak bulunur.

22

(ii) L spacelike ise

(a) p = (0; a; 0) ise �(t) = (ht; a cosh t; a sinh t) ve yay paramatresi ile

�(t) = (htp

�(�a2 + h2); a cosh

tp�(�a2 + h2)

; a sinhtp

�(�a2 + h2))

ve

�(s) =jaj

�(�a2 + h2) ; ,� =h

a2 � h2

dir.

(b) p = (0; 0; a) ise �(t) = (ht; a sinh t; a cosh t) ve h�0(t); �0(t)i = a2 + h2 olur.

Buradan

�(t) = (htp

a2 + h2; a cosh

tpa2 + h2

; a sinhtp

a2 + h2)

ve

�(s) =jaj

a2 + h2; ,� = � h

a2 + h2

elde edilir.

(iii) L lightlike ve p = (a; 0; c) ise

�(t) = (a+ ht� a� c2t2 + h

t3

3; t(�a+ c+ ht); c+ ht� a� c

2t2 + h

t3

3)

ve h�0(t); �0(t)i = (a� c)2 olmak �uzere

�(s) =2 jhja2; ,� =

2h

a2

olur.

Teorem 3.2.1: GL;h helikoidal hareket grubu ve p 2 E31 olmak �uzere GL;h(p) bir

Frenet e�grisi olsun. GL;h(p) i�cin e�grilik ve torsiyon sabittir. O halde GL;h(p) Lorentz

uzay�nda dairesel helistir.

23

3.3 E31 te Helikoidal Y�uzey �Ornekleri

�Ornek 3.3.1: Helikoidler

(i) L timelike bir eksen olsun. (s) = (s; 0; 0) do�grusu i�cinX(s; t) = (s cos t; s sin t; ht)

elde edilir. Bu y�uzey birinci �ce�sit helikoid tir.

S�ekil 3.3.1: Birinci �ce�sit helikoid

(ii) L spacelike bir eksen olsun. _Iki farkl� durum s�oz konusudur.

(a) (s) = (0; s; 0) olmak �uzere X(s; t) = (ht; s cosh t; s sinh t) y�uzeyi ikinci �ce�sit

helikoid tir.

S�ekil 3.3.2: _Ikinci �ce�sit helikoid

24

(b) (s) = (0; 0; s) olmak �uzere X(s; t) = (ht; s sinh t; s cosh t) y�uzeyi �u�c�unc�u �ce�sit

helikoid tir.

S�ekil 3.3.3: �U�c�unc�u �ce�sit helikoid

�Ornek 3.3.2: (Cayley Y�uzeyi) Lightlike L = h(1; 0; 1i ekseni etraf�nda (s) =

(0; s; 0) do�grusu ile �uretilen helikoidal y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (st� ht+ ht3

3; s+ ht2; st+ ht+

ht3

3)

olur. Bu y�uzeye Cayley y�uzeyi denir.

S�ekil 3.3.4: Cayley y�uzeyi

�Ornek 3.3.3: L = h(0; 0; 1)i timelike ekseni etraf�nda (s) = (r; 0; s); r > 0 do�grusu

ile �uretilen helikoidal y�uzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (r cos t; r sin t; s+ ht) dir

25

ve x2 + y2 = r2 olmak �uzere bu y�uzey Lorentz silindiri dir. Bu y�uzey farkl� bir

�sekilde de ifade edilebilir. z = 0 d�uzleminde (s) = (r cos s; r sin s; 0) e�grisine L

ekseni y�on�unde helikoidal hareket grubu uygulan�rsa elde edilen parametrizasyon

X(s; t) = (r cos(s + t); r sin(s + t); ht) olur. (s; t) �! (s + t; t) de�gi�simi yap�l�rsa

X(s; t) = (r cos t; r sin t; ht) elde edilir.

S�ekil 3.3.5: Lorentz silindiri

�Ornek 3.3.4: Ligthlike do�grular taraf�ndan �uretilen helikoidal y�uzeyler

(i) L = h(0; 0; 1)i timelike eksen etraf�nda (s) = (s; 0; s + a0); a0 2 R taraf�ndan

�uretilen helikoidal y�uzey

X(s; t) = (s cos t; s sin t; s+ a0 + ht)

�seklinde parametrize edilir.

(ii) L = h(1; 0; 0)i spacelike eksen etraf�nda (s) = (0; s; s+ a0); a0 6= 0 ile �uretilen

helikoidal y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (ht; (s+ a0) sinh t+ s cosh t; (s+ a0) cosh t+ s sinh t)

26

�seklindedir. Burada birinci esas form �a20 oldu�gundan a0 6= 0 olarak al�nmal�d�r.

(iii) L = h(1; 0; 1)i lightlike eksen ve (s) = (s; 0; s) ise elde edilen helikoidal y�uzey

X(s; t) = (s+ h(�t+ t3

3); ht2; s+ h(t+

t3

3)

olur. Bu y�uzeye parabolik null silindir denir. (z � x)2 = 4hy e�sitli�gini sa�glar.

S�ekil 3.3.6: Parabolik null silindir

Yukar�daki �orneklerin bir �co�gu regle y�uzeylerdir. Bilindi�gi gibi bir � e�grisi ve bu

e�griyle beraber do�grular ailesi taraf�ndan �uretilen y�uzeyler regle y�uzeylerdir. Bu

tan�m R3 �un a�n yap�s�yla ge�cerlidir. � : I �! R3; � = �(t) ve �!w (t) 2 R3;�!w (t) 6= 0 olmak �uzere � e�grisi ve �!w vekt�or alan� taraf�ndan �uretilen regle y�uzey

X(s; t) = �(t) + s�!w (t) �seklinde tan�mlan�r.

�Onerme 3.3.1: E31 te �urete�c e�grisi bir do�gru olan helikoidal y�uzey regle y�uzeydir.

_Ispat: p0 2 E31 , �!v 6= 0 olmak �uzere (s) = p0 + s�!v do�grusu ile �uretilen GL;h( )

y�uzeyi ele al�n�rsa GL;h grubunun elemanlar� �t(p) = A(t)p+�!b (t); A(t) 2 O1(3);

27

�!b (t) 2 E31 ise

�t( (s)) = A(t)p0 + sA(t)�!v +�!b (t) = �(t) + s�!w (t)

olur. Burada

�(t) = A(t)p0 +�!b (t); �!w (t) = A(t)�!v

dir.

�Ornek 3.3.5: y2 � z2 = r2 e�sitli�giyle verilen y�uzey regle y�uzeydir ve bu y�uzeyin

parametrizasyonu

X(s; t) = (0; r cosh s; r sinh s) + t(h; 0; 0)

dir. Bu y�uzey L = h(1; 0; 0)i ekseniyle beraber helikoidal bir y�uzeydir. �Urete�c e�gri

x = 0 d�uzleminde yatar ve y�uzeyin bu d�uzlemle kesi�simi (s) = (0; r cosh s; r sinh s)

e�grisidir. Ancak bu bir do�gru de�gildir.

�Ornek 3.3.6: L = h(0; 0; 1)i timelike eksen olmak �uzere �urete�c e�gri y = 0 timelike

d�uzleminde yatar. Bu durumda iki farkl� durum s�oz konusudur.

(i) (s) = (r sinh s; 0; r cosh s) e�grisi spaceliket�r ve elde edilen y�uzey

X(s; t) = (r sinh s cos t; r sinh s sin t; ht+ r cosh s)

olur.

(ii) (s) = (r cosh s; 0; r sinh s) e�grisi timeliket�r ve elde edilen y�uzey

X(s; t) = (r cosh s cos t; r cosh s sin t; ht+ r sinh s)

dir.

28

�Ornek 3.3.7: L = h(1; 0; 0)i spacelike eksen olmak �uzere L'ye ortogonal olan

d�uzlem �uzerinde iki �ce�sit e�gri vard�r. Bu e�grilerle elde edilen y�uzeylere hiperbo-

lik silindir denir.

(i) (s) = (0; r sinh s; r cosh s) e�grisi ile �uretilen y�uzey

X(s; t) = (ht; r sinh(s+ t); r cosh(s+ t)) olur ve (s; t) �! (s+ t; t) de�gi�simi yap�l�rsa

X(s; t) = (ht; r sinh s; r cosh s)

elde edilir.

(ii) (s) = (0; r cosh s; r sinh s) e�grisi taraf�ndan �uretilen y�uzey

X(s; t) = (ht; r cosh(s+ t); r sinh(s+ t)) dir ve (s; t) �! (s+ t; t) de�gi�simi yap�l�rsa

X(s; t) = (ht; r cosh; r sinh s)

olur.

29

4. E31 te Y�UZEYLER_IN E�GR_IL_IKLER_I

4.1 Non-dejenere Y�uzeylerin Ortalama E�grilikleri ve Gauss E�grilikleri

x : M �! E31 bir M y�uzeyinin immersiyonu olmak �uzere, e�ger immersiyon space-

like ise M y�uzeyi y�onlendirilebilirdir ve gelecek y�onl�u Gauss d�on�u�s�um�u N al�n�r.

hN;Ni = � olmak �uzere e�ger immersiyon spacelike ise � = �1 ve timelike ise � = 1

dir. _Iki durumda da y�uzey nondejeneredir.

�(M); M nin te�get vekt�or alanlar�n�n c�umlesi olsun. r0; E31 �un Levi-Civitta kon-

neksiyonu olmak �uzere X;Y 2 �(M) ise bu durumda

r0XY = (r0

XY )> + (r0

XY )?

dir. Burada > ve ? s�ras�yla r0XY vekt�or alan�n�n te�ger k�sm�n� ve normal k�sm�n�

g�ostermektedir.r, M �uzerinde x immersiyonunun konneksiyonu olmak �uzere

rXY = (r0XY )

>

dir. x in ikinci esas formu � : �(M)x�(M) �! (�(M))? olmak �uzere

�(X; Y ) = (r0XY )

?

olur. O halde

r0XY = rXY + �(X; Y ) (4.1)

elde edilir. Bu e�sitli�ge Gauss form�ul�u denir.

S�imdi normal vekt�or alan� � olmak �uzere �r0X� n�n te�get vekt�or alan� A�(X) =

�(r0X�)

> i�cin (4.1) den

hA�(X); Y i = h�(X; Y ); �i (4.2)

olur. A� : �(M) �! �(M) d�on�u�s�um�une � ye ba�gl� Weingarten endomor�zmi denir.

30

� simetrik oldu�gundan (4.2) den

hA�(X); Y i = hX;A�(Y )i (4.3)

dir. Bu da A� d�on�u�s�um�un�un M �uzerinde tan�mlanan metri�ge g�ore lineer ve self-

adjoint oldu�gunu g�osterir. � = N al�n�rsa hN;Ni = � oldu�gundanr0XN;N

�= 0

olur. O halde (rXN)? = 0 ve

�r0XN = AN(X) (4.4)

bulunur.

Tan�m 4.1.1: p 2M noktas�ndaki Weingarten endomor�zmi

Ap : TpM �! TpM;Ap = AN(p) olarak tan�mlan�r. v 2 TpM ve X 2 �(M) de v yi

geni�sleten te�get vekt�or alan� olmak �uzere Ap(v) = (A(X))p ve (4.4) ten

Ap(v) = �(dN)p(v); v 2 TpM

olur. Burada (dN)p, E31 te N nin p noktas�ndaki diferensiyelidir.

E�ger X; Y 2 �(M) ise (4.1) ve (4.2) den

�(X; Y ) = � h�(X; Y ); NiN = � hA(X); Y iN (4.5)

olur ve (4.1)

r0XY = rXY + � hA(X); Y iN

olarak yaz�labilir.

Tan�m 4.1.2: Bir nondejenere immersiyon i�cin ortalama e�grilik

H =1

2_Iz(�)

31

ve Gauss e�grili�gi

K = � det(�)

dir. Ortalama e�grilik fonksiyonu H,�!H = HN ve H = �

D�!H;�!NEd�r.

Bu hesaplamalar B = fe1;e2g ortonormal baz�na g�ore yap�lm��st�r veM nin spacelike

ya da timelike olmas�na g�ore s�ras�yla he1; e1i = � ve he2; e2i = �� dir. Bu durumda

�!H =

1

2(�(e1; e1)� ��(e2; e2) (4.6)

H =�

2(hAe1; e1i � � hAe2; e2i) (4.7)

K = �(hAe1; e1i hAe2; e2i � hAe1; e2i2 (4.8)

_Iddia: Bu tan�mlar se�cilen bazlardan ba�g�ms�zd�r.

_Ispat: B0 = fv1; v2g ortonormal baz� i�cin B ve B0 bazlar� aras�nda ge�ci�s matrisi

C =

0@a c

b d

1A olmak �uzere

v1 = ae1 + be2; v2 = ce1 + de2

ve � = �1 ise

C =

0@cos � � sin �

sin � cos �

1A (4.9)

ve � = 1 ise

C =

0@cosh � sinh �

sinh � cosh �

1A (4.10)

Buradan (4.9) ve (4.10) kullan�larak

�(v1; v1)� ��(v2; v2) = (a2 � �c2)�(e1; e1) + (b2 � �d2)�(e2; e2) + 2(ab� �cd)�(e1; e2)

= �(e1; e1)� ��(e2; e2)

ve

32

hAv1; v1i hAv2; v2i � hAv1; v2i2 = (ad� bc)(hAe1; e1i hAe2; e2i � hAe1; e2i2)

(ad� bc = 1 oldu�gundan)

= hAe1; e1i hAe2; e2i � hAe1; e2i2

elde edilir.

�Onerme 4.1.1: Bir nondejenere y�uzeyin Weingarten d�on�u�s�um�un�un matrisi A ol-

mak �uzere

H =�

2_Iz(A) ve K = � det(A)

d�r.

_Ispat: TpM nin bir ortonormal baz� fe1; e2g i�cin daha �once verilen tan�mlardan

�!H =

hAe1; e1i � � hAe2; e2i2

N (4.11)

H = �hAe1; e1i � � hAe2; e2i

2(4.12)

O halde H = (�=2) _Iz(A) olur. Di�ger yandan det(A) = ��(hAe1; e1i hAe2; e2i �

hAe1; e2i2 )oldu�gundan K = � det(A) olur.

�Ornek 4.1.1: p0 merkezli, r yar��capl� H21 (r; p0) hiperbolik d�uzlemi ve her v 2 TpM

te�get vekt�or�u i�cin normal vekt�or N(p) =(p� p0)r

ve Ap(v) = �v

rolur. O halde I2

te�get d�uzlemde birim matris olmak �uzere Ap = �1rI2 olur ve buradan H =

�

rve

K = � �r2

�Ornek 4.1.2: p0 merkezli, r yar��capl� S21(r; p0) psuedo-k�ure i�cin Ap = �1

rI2 ve

H =�

r; K = � �

r2tir.

33

�Onerme 4.1.2: TpM nin fe1; e2g baz� i�cin

H =�

2

je1j2 hAe2; e2i � 2 he1; e2i hAe1; e2i+ je2j2 hAe1; e1ije1j2 je2j2 � he1; e2i2

(4.13)

K = �hAe1; e1i hAe2; e2i � hAe1; e2i2

je1j2 je2j2 � he1; e2i2(4.14)

ve

X = X(u; v) y�uzeyi i�cin

Xu =@X(u; v)

@u, Xv =

@X(u; v)

@v

dir ve birinci ve ikinci esas formun katsay�lar� s�ras�yla fE;F;Gg ve fe; f; gg olmak

�uzere

E = hXu; Xui ; F = hXu; Xvi ; G = hXv; Xvi

e = �hNu; Xui ; f = �hNu; Xvi ; g = �hNv; Xvi

olur. O halde

H = �1

2

eG� 2fF + gEEG� F 2 ; K = �

eg � f 2EG� F 2 (4.15)

bulunur ve burada

N =XuxXvp

��(EG� F 2)

dir. W = EG � F 2; e�ger M spacelike ise pozitif, M timelike ise negatiftir. Her

u; v; w 2 E31 i�cin huxv; wi = det(u; v; w) oldu�gundan (4.15) ten

H = �12

G det(Xu; Xv; X{{u)� 2F det(Xu; Xv; Xuv) + E(Xu; Xv; Xvv)

(��(EG� F 2))3=2

= �12

H1(��W )3=2 (4.16)

olur. Ayr�ca

K = �det(Xu; Xv; X{{u) det(Xu; Xv; Xvv)� det(Xu; Xv; X{{v)2

(EG� F 2)2

34

= �K1

W 2(4.17)

elde edilir.

�Ornek 4.1.3: f; � R2 de bir d�on�u�s�um ve M de f nin gra��gi olsun. X(x; y) =

(x; y; f(x; y)) �seklinde verilen X : �! E31 immersiyonu i�cin Xx = (1; 0; fx) ve

Xy = (0; 1; fy) olmak �uzere EG� F 2 = 1� f 2x � f 2y=1� jDf j2 dir. M nondejenere

ve M spacelike ise jDf j2 < 1; M timelike ise jDf j2 > 1 dir. O halde

H = �(1� fy)2fxx + 2fxfyfxy + (1� f 2x)fyy2��1� f 2x + f 2y ��3=2

K = �fxxfyy � f 2xy(1� f 2x � f 2y )2

olarak hesaplan�r.

4.2 Umbilik Y�uzeyler

�Oklid uzay� ve Lorentz uzay� aras�ndaWeingarten d�on�u�s�um�un�un k�o�segenle�stirilebilmesi

konusunda farkl�l�klar vard�r. E3 te Weingarten endomor�zminin matrisi k�o�segenle�stiri-

lebilirdir. Ancak E31 te k�o�segenle�stirmeden bahsetmek sadece metri�gin pozitif tan�ml�

oldu�gu spacelike y�uzeylerde m�umk�und�ur. Timelike y�uzeyler i�cin ise Weingarten

d�on�u�s�um�un�un matrisinin k�o�segenle�stirilemedi�gi �ornekler vard�r. Bu b�ol�umde E31 te

b�ut�un timelike ve spacelike umbilik y�uzeyler bulunacakt�r.

Tan�m 4.2.1: Bir p 2 M noktas� ve x : M �! E31 nondejenere immersiyonu

i�cin e�ger Ap endomor�zmi k�o�segenle�stirilebilir ise Ap nin eigen de�gerlerine p nok-

tas�ndaki esas e�grilikler denir ve �1(p) ve �2(p) ile g�osterilir.

E�ger immersiyon spacelike ise (4.3) ten Ap; M �uzerindeki metri�ge g�ore self-adjointtir

ve metrik pozitif tan�ml� oldu�gundan Ap k�o�segenle�stirilebilirdir.

35

�Onerme 4.2.1: Ap; E31 �un non-dejenere bir y�uzeyinde k�o�segenle�stirilebilir olsun.

Bu durumda

H(p) = ��1(p) + �2(p)

2

ve

K(p) = ��1(p)�2(p)

dir.

Tan�m 4.2.2: E�ger bir p 2 M noktas�nda ikinci esas form metrik ile orant�l�ysa,

yani

�p(u; v) = �(p)(u; v)

ise p noktas� umbilik noktad�r. E�ger her p 2 M i�cin bu �sart sa�glan�yorsa bu du-

rumda M umbilik y�uzeydir.

�Ozel olarak umbilik bir noktadaWeingarten d�on�u�s�um�un�un matrisi k�o�segenle�stirilebi-

lirdir ve �1(p) = �2(p) dir.

S�imdi baz� �ornekler verelim.

1. Spacelike ya da timelike d�uzlemler umbilik y�uzeylerdir. Bu y�uzeyler i�cin her

p noktas�nda Ap = 0 ve �1 = �2 = 0 d�r.

2. Yar��cap� r; merkezi p0 olan hiperbolik d�uzlem H21 (r; p0) olmak �uzere bu y�uzey

i�cin Ap = �1

rI2 dir. Buradan �1 = �2 = �

1

rolur.

3. Benzer �sekilde pseudo-k�ure S21(r; p0) i�cin Ap = �1

rI2 dir. Buradan �1 = �2 = �

1

rolur.

4. y2�z2 = 1 silindiri spacelike bir y�uzeydir. X(s; t) = (ht; sinh s; cosh s) parametri-

36

zasyonu i�cin fXs; Xtg baz�na ba�gl� olarak Weingarten d�on�u�s�um�un�un matrisi0@�1 0

0 0

1Aolur. O halde bu y�uzey �uzerinde umbilik nokta yoktur.

�Onerme 4.2.2: M; E31 te non-dejenere bir y�uzey ve p 2 M olmak �uzere Ap

k�o�segenle�stirilebilir ise

H(p)2 � �K(p) > 0 (4.18)

d�r. E�ger y�uzey umbilik bir y�uzey ise H(p)2 � �K(p) = 0 olur.

_Ispat: �Onerme 4.2.1 den

0 6 (��1(p)� �2(p)2

)2 = (��1(p) + �2(p)

2)2 � �1(p)�2(p) = H2(p)� �K(p)

olur. H2(p)� �K(p) = 0 olmas� i�cin �1(p) = �2(p); yani p noktas� umbilik olmal�d�r.

S�imdi timelike ve spacelike durum aras�ndaki fark� g�ormek i�cinWeingarten d�on�u�s�um�u-

n�un matrisi k�o�segenle�stirilemeyen bir y�uzey �orne�gi verelim.

�Ornek 4.2.1: _Ikinci �ce�sit helikoid y�uzeyi i�cin y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (ht; s cosh t; s sinh t) ve h > 0; s 2 (h;1) olmak �uzere birinci esas form

EG� F 2 = h2 � s2 < 0 olur. Bu durumda y�uzey timelike bir y�uzeydir ve bu y�uzey

i�cin

H = 0; K =h2

(h2 � s2)2

dir. O halde H2 � K < 0 olur ve bu da Weingarten d�on�u�s�um�un�un matrisinin

k�o�segenle�stirilemeyece�gi anlam�na gelir. Burada

A =

0@ 0 h(s2�h2)3=2

� hps2�h2 0

1A

37

d�r. Karakteristik polinom PA(x) = det(A � xI2) = x2 +h2

(s2 � h2)2 olur ve A

k�o�segenle�stirilemez.

�Ornek 4.2.2: X(s; t) = (s + h(�t + t3

3); ht2; s + h(t +

t3

3)) parametrizasyonu ile

belirlenen parabolik null silindir i�cin EG � F 2 = �4h2; H = K = 0 d�r. O halde

H2 �K = 0 olur. h > 0 olmak �uzere Weingarten d�on�u�s�um�un�un matrisi

A =

0@0 0

1 0

1Abulunur. Karakteristik polinom PA(x) = x

2 dir ve A k�o�segenle�stirilemez.

Teorem 4.2.1: Lorentz uzay�nda umbilik y�uzeyler sadece d�uzlemler, hiperbolik

y�uzeyler ve pseudo-k�urelerdir.

_Ispat: M bir y�uzey olmak �uzere her p 2 M ve w 2 TpM i�cin �dNp(w) = �(p)w

oldu�gu biliniyor.

_Iddia: �, M �uzerinde sabit bir fonksiyondur.

X : U �!M y�uzeyin parametrizasyonu ve f = ��oX ise

(NoX)u = (dN)X(u;v)Xu = fXu

(NoX)v = (dN)X(u;v)Xv = fXv

olmak �uzere birinci e�sitlikte v ye g�ore diferensiyel, ikinci e�sitlikte u ya g�ore diferen-

siyel al�n�rsa

(NoX)uv = fvXu + fXuv

(NoX)vu = fuXv + fXvu

olur. O halde fvXu = �fuXv dir. Bu da f nin U �uzerinde sabit bir fonksiyon

oldu�gu anlam�na gelir. Bu durumda � da X(U) �uzerinde sabit bir fonksiyondur. M ,

ba�glant�l� bir y�uzey oldu�gundan �, M �uzerinde de sabittir.

38

Sabit � fonksiyonu i�cin iki durum s�oz konusudur.

(i) E�ger � = 0 ise dNp = 0 olur ve bu durumda N sabittir. N = �!a olsun.

h(p) = h�!a ; pi fonksiyonu her v 2 TpM i�cin dhp(v) = h�!a ; vi = 0 e�sitli�gini sa�glar. O

halde h sabittir. Buradan M � fp 2 E31 : h�!a ; pi = hg olur. ve M; �!a ya ortogo-

naldir.

(ii) E�ger � 6= 0 ise h : M �! E31 ; h(p) = p +1

�N(p) �seklinde bir fonksiyon ol-

sun. Bu durumda dhp(v) = 0 d�r ve h sabittir. h(p) = p0 olacak �sekilde bir p0 2 E31vard�r. Buradan

p+1

�N(p) = p0; 8p 2M

ve buradan

hp� p0; p� p0i =1

�2�

ve hN(p); N(p)i = � olur. O haldeM y�uzeyi � = �1 ise hiperbolik y�uzey H21 (

1j�j ; p0),

� = 1 ise pseudo-k�ure S21(1j�j ; p0) dir. Bu da ispat� tamamlar.

39

5. HEL_IKO_IDAL Y�UZEYLER_IN ORTALAMA E�GR_IL_IKLER_I VE GAUSS

E�GR_IL_IKLER_I

Bu b�ol�umde helikoidal y�uzeylerin ortalama e�grilikleri ve Gauss e�grilikleri i�cin ba-

sit fonksiyonlar aranacakt�r. Daha sonra ise H2 = K e�sitli�gini sa�glayan y�uzeyler

ara�st�r�lacakt�r.

5.1 Helikoidal Y�uzeylerin Ortalama E�grili�gi ve Gauss E�grili�gi

E31 te helikoidal y�uzeylerin ortalama e�grili�gi ve Gauss e�grili�gi eksenin karakterine

g�ore hesaplan�r.

(i) Eksen L = h(0; 0; 1)i yani timelike eksen ise �urete�c e�gri y = 0 d�uzleminde yatar.

Bu e�gri (s) = (s; 0; f(s)) olsun. O halde elde edilen y�uzey

X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht+ f(s))

olur. Bu y�uzey i�cin birinci esas form W = �h2 + s2(1� f 02) ve ortalama e�grilik ile

Gauss e�grili�gi de

H = �12

(�2h2 + s2)f 0 � s2f 03 + s(s2 � h2)f 00(��(�h2 + s2(1� f 02)))3=2 (5.1)

K =h2 � s3f 0f 00

(h2 � s2(1� f 02))2 (5.2)

olarak hesaplan�r.

(ii) Eksen L = h(1; 0; 0)i yani spacelike eksen ise (s) = (0; s; f(s)) al�n�rsa elde

edilen y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (ht; s cosh t+ f(s) sinh t; f(s) cosh t+ s sinh t)

40

olur. Bu y�uzey i�cin birinci esas form W = h2(1� f 02)� (s� ff 0)2 olmak �uzere

H = �12

h(�sf 0 + sf 03 + f(1� f 02) + (s2 � h2)f 00 � f 2f 00)(��(h2(1� f 02)� (s� ff 0)2))3=2 (5.3)

K = h2(f 02 � 1)2 + f 00(sf 0 � f)(h2(1� f 02)� (s� ff 0)2)2 (5.4)

olur.

(iii) Eksen L = h(1; 0; 1)i yani lightlike eksen ise �urete�c e�gri (s) = (f(s); s; f(s))

olarak al�n�rsa elde edilen y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (f(s) + ts� ht+ ht3

3; s+ ht2; f(s) + ts+ ht+

ht3

3

ve birinci esas form da W = �4h(s+ hf 02) olur. Buradan

H = � 1

4h

f 0 � 2sf 00(��(s+ hf 02))3=2 (5.5)

K =1 + 2hf 0f 00

4(s+ hf 02)2(5.6)

olarak hesaplan�r.

�Ornek 5.1.1: (a) Birinci, ikinci ve �u�c�unc�u �ce�sit helikoidler i�cin H = 0 d�r.

(b) Cayley y�uzeyinin ortalama e�grili�gi s�f�rd�r.

(c) Lorentz silindiri x2 + y2 = r2 i�cin jHj = 1

2rve K = 0 d�r.

(d) Parabolik null silindir i�cin K = H = 0 d�r.

(e) y2 � z2 =�+r2 hiperbolik silindirleri i�cin jHj = 1

2rve K = 0 d�r.

41

5.2 E�griliklerin Sabit Olma Durumu

(i) Eksen timelike olmak �uzere H sabit ise (5.1) den

2�Hs =

s2f 0p

��(�h2 + s2(1� f 02))

!0

ve buradan integral al�n�rsa bir � 2 R i�cin

s2f 0p��(�h2 + s2(1� f 02))

= �Hs2 + �

olur. Bununla beraber K sabit ise (5.2) den

�s2f 02 + h2

�h2 + s2(1� f 02)

�0= �2Ks

ve integral al�n�rsas2f 02 + h2

�h2 + s2(1� f 02) = �Ks2 + �

olarak bulunur.

(ii) Eksen spacelike ve H sabit ise (5.3) ten

2H�(s� ff 0) = h

f � sf 0p��(h2(1� f 02)� (s� ff 0)2

!0

buradan integral al�n�rsa bir � 2 R i�cin

h(f � sf 0)p��(h2(1� f 02)� (s� ff 0)2

= �H(s2 � f 2) + �

olur. Bununla beraber K sabit ise (5.4) ten

h2�

f 02 � 1h2(1� f 02)� (s� ff 0)2

�0= �2K(s� ff 0)

42

ve integral al�n�rsa

h21� f 02

h2(1� f 02)� (s� ff 0)2 = K(s2 � f 2) + �

olarak hesaplan�r.

(iii) Eksen lightlike ve H sabit ise (5.5) ten

f 0p

��h(s+ hf 02)

!0=2�H

h

ve integral al�n�rsa bir � 2 R i�cin

f 0p��h(s+ hf 02)

=2�H

hs+ �

olur. K sabit ise (5.6) dan �� 1

s+ hf 02

�0= 4K

ve integral al�n�rsa

� 1

s+ hf 02= 4Ks+ �

bulunur.

Teorem 5.2.1: M; E31 te helikoidal hareket grubu alt�nda invaryant olan bir y�uzey

olsun. E�ger K = 0 ise

(i) Eksen timelike ise y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht+ h arctan(hp

�2s2 � h2) +

p�2s2 � h2)

dir.

(ii) Eksen lightlike ise y�uzey, teorem 3.1.1 deki �sekilde parametrize edilir ve

f(s) = � 2

3ph(�h� s)3=2

43

dir.

_Ispat: (i) Eksen timelike ise K = 0 oldu�gundan s3f 0f 00 = h2 dir. Buradan

(f 02)0 = �(h2

s2)0 olur ve bir � 6= 0 i�cin

f 0(s)2 = �h2

s2+ �2

ve

f 0(s) =

p�2s2 � h2s

olur. h > 0 kabul edilirse

R ps2 � 1s

ds = arctan(1ps2 � 1

) +ps2 � 1

oldu�gundan

f(s) = h arctan(hp

�2s2 � h2) +

p�2s2 � h2 + �; � 2 R

olur.

S�ekil 5.2.1: K = 0; h = � = 1 olmak �uzere ekseni timelike olan helikoidal y�uzey

(ii) Eksen lightlike ve K = 0 ise 1 + 2hf 0f 00 = 0 olur ve h > 0 iken integral

44

al�n�rsa

f(s) = � 2

3ph(�h� s)3=2 + �; � 2 R

elde edilir.

S�ekil 5.2.2: f(s) = �2(1� s)3=2=3 ve K = 0 olmak �uzere ekseni

lightlike olan helikoidal y�uzey

�Ornek 5.2.1: Timelike eksenle beraber bir helikoidal y�uzey i�cin K = �1; h = 1 ve

� = �1 olarak al�n�rsa ilk integral 2� s2(1� f 02) = 0 olur ve bu denklemin �c�oz�um�u

f(s) =p2 arctan(

p2p

s2 � 2) +

ps2 � 2; jsj >

p2

olur. Burada y�uzey spacelike ve W = 1 dir.

�Ornek 5.2.2: Eksen lightlike olmak �uzere K = 1; � = �4; h = �1 se�cilirse

� 1

s� f 02 = 4(s� 1)

olur. Buradan jsj > 1 al�n�rsa

f 02 =(2s� 1)24(s� 1) =) f 0 =

2s� 12ps� 1

45

elde edilir. Bu denklemin �c�oz�um�u

f(s) =1

3(2s+ 1)

ps� 1

dir. Bu y�uzey i�cin K = 1 ve jHj = 1 dir. O halde H2 �K = 0 bulunur.

W =1

1� s < 0 oldu�gundan timelike bir y�uzeydir.

S�ekil 5.2.3: H = K = 1 ve f(s) = (2s� 1)ps� 1=3 olmak �uzere ekseni

lightlike olan helikoidal y�uzey

5.3 Polinomlar ve C�emberler Taraf�ndan �Uretilen Helikoidal Y�uzeyler

Teorem 5.3.1: E31 te ortalama e�grili�gi sabit ve �urete�c e�grisi f(s) =mPn=0

ansn poli-

nomunun gra��gi olan bir helikoidal y�uzey i�cin m 6 1 ise �urete�c e�grisi bir do�grudur.Hatta bir Lorentz hareketinden sonra :

(i) E�ger eksen L = h(0; 0; 1)i timelike eksen ise elde edilen y�uzey H = 0 olmak �uzere

birinci �ce�sit helikoid, a0 2 R olmak �uzere X(s; t) = (s cos t; s sin t;�+s + a0 + ht);

parametrizasyonu ile birlikte jHj = 1

holan y�uzey ya da x2 + y2 = r2 ve jHj = 1

2rolan Lorentz silindiridir.

46

(ii) E�ger eksen L = h(1; 0; 0)i spacelike eksen ise elde edilen y�uzey H = 0 ol-

mak �uzere ikinci �ce�sit helikoid, �u�c�unc�u �ce�sit helikoid ya da a0 6= 0 olmak �uzere

parametrizasyonu X(s; t) = (ht; (�+s+ a0) sinh t+ s cosh t; (

�+s+ a0) cosh t+ s sinh t)

olan y�uzeydir.

(iii) E�ger eksen L = h(1; 0; 1)i lightlike eksen ise H = 0 olmak �uzere Cayley y�uzeyi

ya da parabolik null silindirdir.

_Ispat: am 6= 0 olmak �uzere f(s) =mPn=0

ansn polinomu taraf�ndan �uretilen y�uzey

ele al�n�rsa (4.16) dan e�ger H1 = 0 ise H = 0 d�r ya da H s�f�rdan farkl� bir sabit

ise 4H2(��W )3 �H21 = 0 d�r. Di�ger yandan f , s ye ba�gl� bir polinom oldu�gundan

H1 = 0 ve 4H2(��W )3 �H2

1 = 0 polinom e�sitlikleridir ve

P (s) =kPn=0

Ansn = 0

�seklinde ifade edilir. Burada t�um katsay�lar s�f�r olmal�d�r. O halde 8n i�cin An = 0

d�r. Yine eksenin karakterine g�ore �u�c farkl� durum vard�r.

(i) Eksen L = h(0; 0; 1)i ise Teorem 3.1.1 den �urete�c e�gri y = 0 d�uzleminde yatar.

E�ger , y ekseninde bir gra�k de�gilse r > 0 olmak �uzere (s) = (r; 0; s) dir.Elde

edilen y�uzey jHj = 1

2rolan Lorentz silindiridir.

(s) = (s; 0; f(s)) olarak al�nd��g�nda ise H �n s�f�r olup olmamas�na ba�gl� olarak

iki durum vard�r.

H = 0 ise (5.1) ifadesi s ye ba�gl� bir polinomdur. m > 2 ise ba�s katsay� s2f 03

terimine aittir ve �m3a3m t�ur. Buradan am = 0 olur ve bir �celi�skidir. m < 2 olsun.

m = 1 ise ba�s katsay� a1(1� a21) = 0 olur. O halde a1 =�+1 dir ve H1 =

�+2h2 elde

edilir ve bu da bir �celi�skidir. m = 0 ise f(s) = a0 ve H = 0 olur.

47

H 6= 0 olacak �sekilde bir sabit olsun. E�ger m > 2 ise P nin ba�s katsay�s� s6f 06

terimine aittir ve 4H2m6a6m d�r ve bu bir �celi�skidir. m = 1 ise P; ba�s katsay�s�

A6 = 4H2(1 � a21)3 olan bir polinomdur. Buradan a1 =

�+1 dir ve a1 in bu

de�gerleriyle W = �h2 olarak hesaplan�r. Bu durumda jHj = 1

holmak �uzere

P (s) = 4h4(�1 + h2H2) olur.

Sonu�c olarak f sabit bir fonksiyon ve H = 0 d�r ya da f(s) =�+s + a0 ve H 6= 0

d�r. _Ilk durumda y�uzey X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht+a0) �seklinde parametrize edilen

birinci �ce�sit helikoid y�uzeyidir.

(ii) Eksen L = h(1; 0; 0)i ise Teorem 3.1.1 den �urete�c e�gri , x = 0 d�uzlemindedir.

E�ger , y ekseninde bir gra�k de�gilse bu durumda (s) = (0; b; s) dir. b = 0

ise H = 0 olmak �uzere helikoidal y�uzey sabit ortalama e�grili�ge sahiptir. S�imdi

(s) = (0; s; f(s)) olsun. Yine iki farkl� durum s�oz konusudur.

H = 0 durumunda m > 2 ise (5.3) ifadesinde ba�s katsay� s3m�2 terimine aittir

ve ha3mm(m � 1)2 dir. Buradan da am = 0 olur ve bu bir �celi�skidir. m 6 1 olsun.m = 1 ise P (s) = ha0(1� a1)2 = 0 ve buradan a0 = 0 ya da a1 =

�+1 olur. a1 =

�+1

ise birinci esas form W = �a20 d�r. O halde a0 6= 0 olmal�d�r. m = 0 ise P (s) = ha0

d�r ve a0 = 0 olur.

H s�f�rdan farkl� bir sabit olsun. E�ger m > 2 ise P nin ba�s katsay�s� s12m�6 terimineaittir ve 4H2m6a12m dir. O halde am = 0 olur ve bu bir �celi�skidir.E�ger m = 1 ise P ,

alt�nc� dereceden bir polinomdur ve ba�s katsay�s� A6 = 4H2(a21 � 1)6 olur. Buradan

a1 =�+1 dir ve H = 0 elde edilir. Bu da bir �celi�skidir.

Sonu�c olarak H = 0 ise a0; a1 2 R ve a0 6= 0 olmak �uzere f(s) = a1s ya da

f(s) =�+s+ a0 olur. _Ilk durumda �u�c olas�l�k vard�r.

(a) ja1j < 1 ise y�uzey �(s) = (0;s

cosh �; 0) olmak �uzere GL;h(�) ikinci �ce�sit he-

likoidtir. Di�ger yandan

48

�t( (s)) = �t+�(�(s))� (h�; 0; 0) = GL;h(�)� (h�; 0; 0)

yaz�l�r. Bu y�uzey ikinci �ce�sit helikoidtir.

(b) ja1j = 1 ise W = 0 olur. Bu bir �celi�skidir.

(c) ja1j > 1 olmas� durumu ja1j < 1 olmas�yla benzerdir. Y�uzey �u�c�unc�u �ce�sit

helikoidtir.

(iii) Eksen ligthlike ise e�grisi h(1; 0; 1); (0; 1; 0)i d�uzleminde yatar. E�ger , y eks-

eninde bir gra�k de�gilse bu durumda (s) = (s; b; s) ve elde edilen helikoidal y�uzey

de ortalama e�grili�gi H = 0 olan parabolik null silindir olur. (s) = (f(s); s; f(s))

olarak al�n�rsa elde edilen y�uzeyin ortalama e�grili�gi (5.5) ile verilen e�sitlik ile bulunur.

H = 0 olsun. E�ger m > 1 ise P polinomunun derecesi m � 1 ve ba�s katsay�s�

da �4h2mam(2m� 3) olur. O halde am = 0 d�r ve bu da bir �celi�skidir. E�ger m = 0

ise f(s) = a0 sabit bir fonksiyondur ve H = 0 d�r.

H; s�f�rdan farkl� bir sabit olsun. E�ger m > 2 ise P polinomunun derecesi 6m � 6ve ba�s katsay�s� da �256H2h6m6a6m olur. Buradan am = 0 d�r. C�eli�ski elde edilir.

m = 1 ise P �u�c�unc�u dereceden bir polinomdur ve ba�s katsay�s� 256h3H2 dir. Yine

�celi�ski elde edilir. Son olarak m = 0 ise H = 0 d�r.

Lightlike durumda H = 0 olmas� i�cin f sabit bir fonksiyon olmal�d�r. f(s) = a0

olarak al�n�rsa y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (st+ h(t3

3� t); s+ ht2; st+ h(t

3

3+ t)) + (a0; 0; a0); a0 2 R

�seklindedir. Bu y�uzey Cayley y�uzeyidir. Bu da ispat� tamamlar.

Teorem 5.3.2: E31 te �urete�c e�grisi Lorentz �cemberi ve ortalama e�grili�gi de sabit

olan bir y�uzey i�cin eksen spacelike ve H 6= 0 d�r.Bununla beraber �cemberin merkezi

49

eksen �uzerindedir ve bir Lorentz hareketinden sonra elde edilen y�uzey y2� z2 =�+r2

dir.

_Ispat: Eksenin karakterine ba�gl� olarak �u�c farkl� durum vard�r.

(i) Eksen L = h(0; 0; 1)itimelike ise �urete�c e�gri (s) = (x(s); 0; z(s)) olmak �uzere bu

e�gri y = 0 timelike d�uzleminde yatar. O halde bu d�uzlemde bir Lorentz hareketinden

sonra n�n parametrizasyonu x2�z2 =�+r2 e�grisidir. E�ger x2�z2 = r2 e�grisi al�n�rsa

(s) =

0BBB@cosh � 0 sinh �

0 1 0

sinh � 0 cosh �

1CCCA0BBB@r cosh s

0

r sinh s

1CCCA+0BBB@�

0

�

1CCCA= (�+ r cosh(s+ �); 0; �+ r sinh(s+ �))

olur. Burada �; �; � 2 R ve y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (cos t(�+ r cosh(s+ �)); sin t(�+ r cosh(s+ �)); �+ ht+ r sinh(s+ �))

dir.

(a) H = 0 ise H1 = 0 d�r ve bu e�sitlik

3Pn=0

An cosh(n(s+ �)) = 0

�seklinde yaz�labilir. cosh(n(s+ �)) fonksiyonlar� lineer ba�g�ms�z oldu�gundan

0 6 n 6 3 i�cin An = 0 d�r ve ba�s katsay� A3 =1

2r3(h2+ r2) olur ve bu bir �celi�skidir.

(b) H s�f�rdan farkl� bir sabit ise 4H2(��W )3 �H21 = 0 olur ve bu e�sitlik

6Pn=0

An cosh(n(s+ �)) = 0

50

�seklinde yaz�labilir. Buradan

A6 = �1

8r6(h2 + r2)2(

�+1 +H2(h2 + r2)

�+1 ifadesi y�uzeyin timelike ya da spacelike olma durumuna g�ore de�gi�sir. E�ger

1+H2(h2+r2) al�n�rsa �celi�ski elde edilir. �1+H2(h2+r2) durumunda H2 =1

h2 + r2

ve A5 =�r7(h2 + r2)

4olur. Bu durumda � = 0 olmal�d�r. Ancak A2 =

3h4r6

2oldu�gundan �celi�ski elde edilir.

Sonu�c olarak eksenin timelike olmas� durumda sabit ortalama e�grilik m�umk�un de�gildir.

(ii) Eksen L = h(1; 0; 0i spacelike ise �urete�c e�gri (s) = (0; y(s); z(s)), x = 0 timelike

d�uzleminde yatar ve bu d�uzlemde de�gi�smez bir hareketten sonra ; y2 � z2 =�+r2

�cemberi olur. y2 � z2 = r2 a�l�n�rsa �urete�c e�gri

(s) =

0BBB@1 0 0

0 cosh � sinh �

0 sinh � cosh �

1CCCA0BBB@

0

r cosh s

r sinh s

1CCCA+0BBB@0

�

�

1CCCA= (0; �+ r cosh(s+ �); �+ r sinh(s+ �)

�seklinde yaz�l�r. Burada �; �; � 2 R ve y�uzeyin parametrizasyonu

X(s; t) = (ht; � cosh t+� sinh t+r cosh(s+ t+�); � sinh t+� cosh t+r sinh(s+ t+�)

dir.

(a) H = 0 ise bu e�sitlik

hr2(��2 + �2 + h2 � r� cosh(s+ �) + r� sinh(s+ �)) = 0

olur. cosh(s+ �) ve sinh(s+ �) fonksiyonlar� lineer ba�g�ms�z oldu�gundan katsay�lar�

s�f�r olmal�d�r. O halde � = � = 0 olur ve H = 0 oldu�gundan h3r2 = 0 elde edilir ve

bu bir �celi�skidir.

51

(b) H s�f�rdan farkl� bir sabit ise 4H2(��W )3 �H21 = 0 olur ve bu e�sitlik

6Pn=0

(An cosh(n(s+ �)) +Bn sinh(n(s+ �))) (5.7)

�seklinde yaz�l�r. Buradan An = Bn = 0 ve �ozel olarak

A6 = �1

8(�2 + �2)(�4 + 14�2�2 + �4)H2r6 = 0

ve � = � = 0 d�r ve (5.7) e�sitli�gi h6r4(�1 + 4H2r2) = 0 olur. O halde jHj = 1

2rdir.

�Urete�c e�gri (s) = (0; r cosh(s+ �); r sinh(s+ �)) yani y2 � z2 = r2 �cemberidir.

(iii) Eksen L = h(1; 0; 1)i ligthlike ise �urete�c e�gri x�z = 0 d�uzlemindedir. �; �; � 2 R

olmak �uzere

(s) =

0BBBB@1� �

2

2�

�2

2

�� 1 �

��2

2� 1 +

�2

2

1CCCCA0BBBB@cs2

2

cs

cs2

2

1CCCCA+0BBB@�

�

�

1CCCAolarak yaz�l�r.

(a) H = 0 ise bu e�sitlik 4c2h2(�2�+ c� � chs) = 0 olur. Bu s'ye ba�gl� bir polinom

oldu�gundan s'nin ba�skatsay�s� 4c3h3 = 0 olmal�d�r ve Bu bir �celi�skidir.

(b) H 6= 0 ise 4H2(��W )3 � H21 = 0 ifadesi alt�nc� dereceden bir polinomdur.

Ba�skatsay� �256c6h6H2 olur ve bu da bir �celi�skidir.

O halde eksenin ligthlike olmas� durumda sabit ortalama e�grilik m�umk�un de�gildir.

Teorem 5.3.3: E31 te Gauss e�grili�gi sabit olan bir helikoidal y�uzey i�cin e�ger �urete�c

e�grisi bir f(s) =mPn=0

ansn polinomunun gra��gi ise bu durumda m 6 1 dir. Hatta

(i) Eksen timelike ise elde edilen y�uzey K = 0 olmak �uzere x2 + y2 = r2 Lorentz

silindiridir ya da X(s; t) = (s cos t; s sin t;�+s + a0 + ht) y�uzeyidir. Bu y�uzey i�cin

K =1

h2dir.

52

(ii) E�ger eksen spacelike ise elde edilen y�uzeyin parametrizasyonu a0 6= 0 olmak

�uzere X(s; t) = (ht; (�+s + a0) sinh t + s cosh t; (

�+s + a0) cosh t + s sinh t) olur. Bu

y�uzey i�cin K = 0 d�r.

(iii) Eksen lightlike ise elde edilen y�uzeyK = 0 olmak �uzere parabolik null silindirdir.

Teorem 5.3.4: E31 te Gauss e�grili�gi K sabit olan bir y�uzey i�cin e�ger �urete�c e�gri bir

�cember ise eksen spacelike, K = 0 ve elde edilen y�uzey y2 � z2 =�+r2 hiperbolik

silindiridir. Ayr�ca �cemberin merkezi eksen �uzerindedir.

5.4 H2 = K S�art�n� Sa�glayan Timelike Y�uzeyler

Y�uzey spacelike ise her noktas�nda H2 � K > 0 e�sitli�gi ge�cerlidir. Umbilik nok-

talarda ise H2 �K = 0 d�r. T�um noktalar�n umbilik oldu�gu y�uzeyler d�uzlemler ve

hiperbolik y�uzeylerdir ve bu durumda y�uzey d�onel y�uzeydir.

Y�uzey timelike ve Weingarten d�on�u�s�um�un�un matrisi k�o�segenle�stirilebilir ise H2 �

K > 0 d�r. H2 � K = 0 olan y�uzeyler ise d�uzlemler ve pseudo k�urelerdir ve yine

y�uzey d�onel y�uzeydir.

�Ornek 5.4.1: (i) Timelike eksen �uzerinde (s) = (s; 0; s + a0) taraf�ndan �uretilen

y�uzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (s cos t; s sin t; s+ht+a0) ve jHj =1

h, K =

1

h2;

W = �h2 dir. h > 0 ise

A =

0B@ 1

h0

�1 1

h

1CAolur ve bu matris k�o�segenle�stirilebilir bir matris de�gildir.

(ii) Spacelike eksen �uzerinde (s) = (0; s; s+a0) taraf�ndan �uretilen y�uzeyin parametri-

zasyonu X(s; t) = (ht; s cosh t + (s + a0) sinh t; s sinh t + (s + a0) cosh t); W = �a20

53

ve H = K = 0 d�r. a0 > 0 olmak �uzere

A =

0B@ 0 0

� ha0

0

1CAd�r.

(iii) Parabolik null silindir i�cin H = K = 0 d�r. Eksen L = h(1; 0; 1)i, �urete�c

e�gri (s) = (s; 0; s) ve W = �4h2 olmak �uzere h > 0 ise

A =

0@0 0

1 0

1Adir.

�Onerme 5.4.1: E31 te helikoidal y�uzeyler �uzerinde umbilik nokta yoktur.

_Ispat: M bir helikoidal y�uzey olmak �uzere e�ger p 2 M noktas� umbilik ise bir

� 2 R i�cin IIp = �Ip dir. Buradan0@e f

f g

1A = �

0@E F

F G

1Ave

e

E=f

F=g

G= �

d�r. O halde fG�gF = 0 olur. B�ol�um 5.1 de verilen parametrizasyonlar kullan�l�rsa

(i) Eksen timelike olmak �uzere W = �h2 + s2(1� f 02) ve

F = �hf 0; G = �h2 + s2

f =�hp��W

; g =s2f 0p��W

54

d�r.

(ii) Eksen spacelike olmak �uzere W = h2 � s2 + 2sff 0 � (h2 + f 2)f 02 ve

F = f � sf 0; G = h2 � s2 + f 2

f =h(�1 + f 02)p

��W; g =

�hf + hsf 0p��W

elde edilir.

(iii) Eksen lightlike olmak �uzere W = �4h(s+ hf 02)

F = �2hf 0; G = �4hs

f =2hp��W

; g =�4h2f 0p��W

bulunur. �U�c durumda da fG� gF 6= 0 d�r.

Teorem 5.4.1: E31 te �urete�c e�grisi f(s) =mPn=0

ansn polinomunun gra��gi olan time-

like helikoidal y�uzey i�cin H2�K = 0 isem 6 1 dir. Hatta y�uzeyin parametrizasyonu

(i) Eksen timelike ise X(s; t) = (s cos t; s sin t;�+s + a0 + ht) dir. Burada a0 2 R;

jHj = 1

hve K =

1

h2olur.

(ii) Eksen spacelike ise X(s; t) = (ht; (�+s + a0) sinh t + s cosh t; (

�+s + a0) cosh t +

s sinh t) olur. Bu y�uzey i�cin H = K = 0 d�r.

(iii) Eksen lightlike ise X(s; t) = (s + bt + h(�t + t3

3); b + ht22s + bt + h(t +

t3

3))

olur. Bu y�uzey parabolik null silindirdir ve H = K = 0 d�r.

_Ispat: (4.16), (4.17) den veW < 0 oldu�gundan H2�K = 0 e�sitli�gi H21�4WK1 = 0

e�sitli�gi ile e�sde�gerdir. �Urete�c e�gri s ye ba�gl� bir polinomdur ve bu e�sitlikkPn=0

Ansn = 0

�seklinde yaz�labilir. Yine t�um katsay�lar s�f�r olmal�d�r ve eksenin karakterine ba�gl�

55

olarak �u�c farkl� durum vard�r.

(i) Eksen timelike ise Lorentz silindiri H2 �K = 0 e�sitli�gini sa�glamaz.

(s) = (s; 0; f(s)) olarak al�n�rsa H21 � 4WK1 = 0 e�sitli�gi

((�2h2 + s2)f � s2f 03 + s(s2 � h2)f 00)2 � 4(h2 � s2 + s2f 02)(h2 � s3f 0f 00) = 0

�seklinde yaz�labilir.

E�ger m > 2 ise P nin ba�skatsay�s� s4f 06 terimine aittir ve m6am dir ve bu bir

�celi�skidir. E�ger m = 1 ise P d�ord�unc�u dereceden bir polinomdur. Ba�s katsay�s�

da A4 = a21(1 � a21) olur. O halde a1 =�+ olur. Bu durumda jHj = 1

h; ve

K =1

h2W = �h2 d�r. m = 0 ise elde edilen y�uzey birinci �ce�sit helikoiddir ve

H2 �K = 0 e�sitli�gini ger�ceklemez.

(ii) Eksen spacelike olsun. (s) = (0; b; s) olarak al�n�rsa elde edilen y�uzey H2�K =

0 e�sitli�gini sa�glamaz. (s) = (0; s; f(s)) olarak al�n�rsa

h(sf 0� sf 03+ f(f 02� 1)+ (h2� s2)f 00+ f 2f 00)2+4((f � sf 0)2+ (h2� s2+ f 2)(�1+

f 02))(hf 00(f � sf 0)� h(f 02 � 1)2) = 0 bulunur.

m > 2 ise polinomun derecesi 8m�6 ve ba�s katsay� �4hm6a6m d�r. Bu bir �celi�skidir.

m = 1 ise bu durumda polinomun derecesi 2 ve ba�s katsay� A2 = 4h2(1� a21)4 olur.

O halde a1 =�+1 dir. Bu y�uzey H2 �K = 0 e�sitli�gini sa�glar.

(iii) Eksenin lightlike olmas� durumunda (s) = (s; b; s) al�n�rsa elde edilen y�uzey

parabolik null silindirdir ve bu y�uzey i�cin H = K = 0 d�r. (s) = (f(s); s; f(s)) ise

H21 � 4WK1 = 0 e�sitli�gi

(h(f 0 � 2sf 00)2 � 4(s+ hf 02)(1 + 2hf 0f 00) = 0

�seklindedir.

56

m > 2 ise polinomun derecesi 4m � 5 ve ba�s katsay� �8h2m4(m � 1)a4m d�r. Bu

bir �celi�skidir. E�ger m = 1 ise 3ha21 + 4s = 0 olur. Bu da bir �celi�skidir. m = 0 ise

hs = 0 elde edilir. Yine �celi�skiye var�l�r.

Teorem 5.4.2: M; E31 te bir timelike y�uzey olsun. H2 �K = 0 olmas� i�cin gerek

ve yeter �sart M y�uzeyinin X(s; t) = �(s)+ tw(s) �seklinde parametrize edilebilen bir

regle y�uzey olmas�d�r. Burada � ve w lightlike e�grilerdir.

Teorem 5.4.3: �;w : I �! E31 �seklinde tan�ml� iki lightlike e�gri olmak �uzere

X(s; t) = �(s)+tw(s) �seklinde parametrize edilenM y�uzeyinin reg�uler noktalar�nda

H2 �K = 0 d�r.

_Ispat: Xs = �0(s) + tw0(s); Xt = w(s) ve Xtt = 0 d�r. Buradan g = G = 0

olur ve

H =f

F; K = � f

2

F 2

elde edilir.

57

6. KAYNAKLAR

Abdell-Baky, R. A., 2008. "Ruled W-Surfaces in Minkowski 3-Space R31"; Archivum

Math. 44 , 251-263

Baikoussis, C. , Koufogiorgos, T. , 1998 "Helicoidal Surfaces with Prescribed Mean

or Gaussian Curvature", J. Geom. 63, 25-29

Beneki, C. , Kaimakamis, G. , Papantoniou, B. J. ,2002 "Helicoidal Surfaces in

Three Dimensional Minkowski Space", J. Math. Anal. Appl. 275,

586-614

Choi, M. , Kim, D. S. , Kim, Y. H. , 2009 "Helicoidal Surfaces with Pointwise 1-Type

Gauss Map", J. Korean Math. Soc.

Choi, M. , Kim, Y. H. , Park, G. , 2009 "Helicoidal Surfaces and Their Gauss Map

in Minkowski 3-Space II", Bull. Korean Math. Soc. 46, 567-576

Clelland, J. N. , 2010 "Totally Quasi-Umbilical Timelike Surfaces in R1;2", arXiv:

1006.4380vl

Dillen, F. , K�uhnel, W. , 1999 "Ruled Weingarten Surfaces in Minkowski 3-Space",

Manuscripta Math. 98, 307-320

Hac�saliho�glu, H.H., 2000 "Diferensiyel Geometri Cilt 2"

Hano, J. , Nomizu, K. ,1984 "Surfaces of Revolution with Constant Mean Curvature

in Lorentz-Minkowski Space" Tohoku Math. J. 36, 427-437

Hou, Z.H., Ji, F., 2006 "Helicoidal Surfaces under a cubic ScrewMotion in Minkowski

3-Space " J. Math Anal., Appl. , 634-647

58

Hou, Z.H., Ji, F., 2007 "Helicoidal Surfaces with H2 = K in Minkowski 3-Space",

J. Math Anal., Appl. 318, 101-113

Ji, F. , Hou, Z.H., 2005 "A Kind of Helicoidal Surfaces in 3-Dimensional Minkowski

Space", J. Math Anal., Appl. 304, 632-643

Ji, F. , Wang, Y. , "Linear Weingarten Helicoidal Surfaces in Minkowski 3-Space",

Kobayashi, O. ,1983 "Maximal Surfaces in 3-dimensional Minkowski Space L3 "

Tokyo J. Math 6, 297-309

Lopez, F. J. , Lopez, R. , Souam, R. , 2000 "Maximal Surfaces of Riemann Type in

Lorentz-Minkowski Space L3" , Michigan Math. J. 47, 469-497

Lopez, R. , 2000 "Timelike Surfaces with Constant Mean Curvature in Lorentz

3-Space" Tohoku Math J. 52, 515-532

Lopez, R. , Demir, E. , 2010 "Helicoidal Surfaces in Minkowski Space with Constant

Mean Curvature and Constant Gauss Curvature" arXiv:1006.2345

Mira, P. , Pastor, J. A. , 2003 "Helicoidal Maximal Surfaces in Lorentz-Minkowski

Space", Monatsh. Math. 140, 315-334

O'Neill, B. 1983 "Semi Riemannian Geometry with Applicationto General Relativ-

ity", Academic Press, New York

Sasahara, N. , 2000 "Spacelike Helicoidal Surfaces with Constant Mean Curvature

in Minkowski 3-Space", Tokyo J. Math. 23, 477-502

Weinstein, 1996 "An Introduction to Lorentz Surfaces", Walter de Gruyter, 1996

59

�OZGEC�M_IS�

Ad� Soyad� : Esma DEM_IR

Do�gum Yeri : Ankara

Do�gum Tarihi : 08.05.1986

Medeni Hali : Bekar

Yabanc� Dili : _Ingilizce

E�gitim Durumu ( Kurum ve Y�l)

Lise : Ankara G�olba�s� Anadolu Lisesi-2004

Lisans : Ankara �Universitesi Fen Fak�ultesi Matematik B�ol�um�u-2008

Y�uksek Lisans : Ankara �Universitesi Fen Bilimleri Enstit�us�u Matematik Anabilim

Dal�-(2008-2010)

C�al��st��g� Kurum/ Kurumlar ve Y�l

Nev�sehir �Universitesi Ara�st�rma G�orevlisi 2009-

60