ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
APLICANDO A TEORIA DA CONFIABILIDADE
Márcio Tacques do Rego Monteiro Junior
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2019
ANÁLISE GLOBAL DE ESTURUTURAS DE EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
APLICANDO A TEORIA DA CONFIABILIDADE
Márcio Tacques do Rego Monteiro Junior
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
______________________________________
Prof. Sérgio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.
______________________________________
Prof. Anderson Pereira, D.Sc.
______________________________________
Prof. Júlio Jerônimo Holtz Silva Filho, D.Sc.
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2019
iii
Monteiro Junior, Márcio Tacques do Rego
Análise Global de Estruturas de Edifício de Concreto
Armado Aplicando a Teoria da Confiabilidade/Márcio
Tacques do Rego Monteiro Junior – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2019.
VIII, 68p.: il.; 29,7cm
Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Engenharia Civil, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 67-68.
1. Introdução. 2. Abordagens para Dimensionamento
Estrutural. 3. O Programa VAP. 4. Análise Global de um
Pórtico de Edifício Convencional. 5. Conclusão.
I. Santos, Sérgio Hampshire de Carvalho. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Civil III. Análise Global de Estruturas de
Edifício de Concreto Armado Aplicando a Teoria da
Confiabilidade.
iv
AGRADECIMENTOS
Ao prof. Sérgio Hampshire de Carvalho Santos, por ter me orientado no
desenvolvimento deste trabalho, sendo sempre solícito e paciente, tendo me
passado muitos ensinamentos nesse período.
Aos professores Anderson Pereira e Júlio Jerônimo Holtz Silva Filho pela
disponibilidade e atenção para fazer parte da Banca Examinadora deste Projeto de
Graduação.
Aos meus familiares, por todo o suporte dado para que eu pudesse concluir a
minha graduação.
Aos amigos que fiz durante esses 5 anos de graduação, que sempre me
ajudaram nos estudos e tornaram mais divertida essa etapa da minha formação.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
APLICANDO A TEORIA DA CONFIABILIDADE
Márcio Tacques do Rego Monteiro Junior
Fevereiro/2019
Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
Curso: Engenharia Civil
A abordagem por segurança global considera as diferentes incertezas no
comportamento estrutural por meio de uma condição pré-definida de estado limite.
Nesta avaliação, se majora uma ou mais variáveis de carregamento por um fator λ
(fator de segurança global), até que se atinja a situação de colapso da estrutura,
sendo as variáveis ligadas às solicitações e às resistências tomadas com seus
valores médios. Essa abordagem permite quantificar a segurança estrutural global,
diferentemente dos modelos de dimensionamento usualmente adotados, em que
se visa apenas garantir a segurança seccional. Este trabalho pretende avaliar o
fator λ encontrado na análise por segurança global, relacionando-o com os índices
de confiabilidade e níveis de segurança adotados em projeto. Para isso, o pórtico
central de uma edificação convencional de 13 pavimentos será analisado para a
ação de cargas permanentes e da carga acidental de vento.
Palavras-Chave: Análise de confiabilidade; Concreto armado; Segurança global
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Civil Engineer
RELIABILITY EVALUATION OF STRUCTURAL SAFETY FACTOR FOR
REINFORCED CONCRETE BUILDINGS USING A GLOBAL RESISTANCE
APPROACH
Márcio Tacques do Rego Monteiro Junior
February/2019
Advisor: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
Course: Civil Engineering
The global resistance approach considers the different uncertainties in
structural behavior through a predefined limit state condition. In this evaluation, one
or more load variables are multiplied by a factor λ (global safety factor), until the
structural collapse situation is reached, being the variables corresponding to the
loads and the resistances taken with their mean values. This approach allows
quantifying the global structural safety, differently of the design models currently
adopted, in which the purpose is only to ensure the sectional safety. This work
intends to evaluate the λ factor found in the global safety analysis, relating it with
reliability indexes and safety levels adopted in the design. For this, the central
frame of a conventional building with 13 floors is analyzed for the action of
permanent loads and the variable wind load.
Keywords: Reliability; Reinforced Concrete; Global Resistance.
vii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
1.1 MOTIVAÇÃO ................................................................................................. 1
1.2 OBJETIVOS .................................................................................................. 3
1.3 METODOLOGIA ............................................................................................ 3
1.4 ESTRUTURA DO TEXTO ............................................................................. 5
2 ABORDAGENS PARA DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL ............................ 6
2.1 MÉTODO DE PROJETO SEMI-PROBABILÍSTICO ....................................... 6
2.1.1 Estados limites .......................................................................................... 6
2.1.2 Ações e combinações de ações no ELU.................................................... 8
2.1.3 Propriedades e resistência do concreto armado ...................................... 10
2.2 PROJETO BASEADO NA TEORIA DA CONFIABILIDADE (MÉTODO
PROBABILÍSTICO) ................................................................................................. 15
2.2.1 Variáveis aleatórias ................................................................................. 16
2.2.2 Distribuições aleatórias contínuas ........................................................... 18
2.2.3 Variáveis de projeto e suas distribuições ................................................. 21
2.2.4 Função de falha ....................................................................................... 22
2.2.5 Probabilidade de falha (𝑷𝒇) ..................................................................... 24
2.2.6 Índice de confiabilidade (β) ...................................................................... 25
2.2.7 Métodos de análise ................................................................................. 28
2.3 PROJETO BASEADO NA ABORDAGEM POR SEGURANÇA GLOBAL .... 33
2.3.1 O fator de segurança global (λ) ............................................................... 33
2.3.2 A análise não linear ................................................................................. 34
2.3.3 Verificação explícita da rotação plástica solicitante ................................. 35
2.3.4 Metodologia do projeto aplicada na análise global ................................... 36
3 O PROGRAMA VAP ........................................................................................... 37
4 ANÁLISE GLOBAL DE UM PÓRTICO DE EDIFÍCIO CONVENCIONAL ........... 41
4.1 ESTRUTURA ANALISADA .......................................................................... 41
4.2 ANÁLISE DETERMINÍSTICA PELO ESTADO LIMITE ÚLTIMO .................. 42
4.2.1 Dimensionamento das vigas .................................................................... 43
4.2.2 Dimensionamento do pilar mais solicitado ............................................... 45
viii
4.3 ANÁLISE POR SEGURANÇA GLOBAL ...................................................... 47
4.4 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA O ELU - VIGAS ................................... 51
4.5 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA O ELU – PILARES .............................. 54
4.6 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA A SEGURANÇA GLOBAL ................... 59
4.7 CAPACIDADE DE ROTAÇÃO DAS RÓTULAS PLÁSTICAS ...................... 64
5 CONCLUSÃO ..................................................................................................... 66
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 67
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
Na Engenharia de Estruturas, é prática corrente em projeto que o
dimensionamento dos elementos estruturais seja realizado a partir de modelos
semi-probabilísticos. Essa metodologia torna necessária a adoção de coeficientes
de segurança que majoram as solicitações e minoram as resistências, com o
objetivo de mitigar inúmeras as incertezas relacionadas ao projeto e à execução de
estruturas.
São exemplos de incertezas observadas no dimensionamento estrutural as
propriedades físicas e mecânicas de resistência dos materiais, a magnitude e a
forma de aplicação dos carregamentos e a modelagem estrutural (deve-se levar
em conta que os modelos teóricos utilizados para o dimensionamento apresentam
simplificações e discrepâncias com relação ao modelo real). Além disso, deve-se
levar em conta possíveis erros e imperfeições durante a construção da estrutura.
Com o objetivo de garantir os níveis de segurança mínimos estabelecidos para
as estruturas civis, as normas de ações e cargas apresentam os coeficientes de
segurança que devem ser utilizados pelos engenheiros civis na execução de seus
projetos. Os valores recomendados para os coeficientes de segurança devem ser
calibrados de acordo os índices de confiabilidade (β). Para o cálculo destes β é
necessário avaliar as variáveis de resistência e solicitação envolvidas em projeto
de acordo com seus valores médios e desvios padrão, por meio de modelos
probabilísticos.
A Teoria da Confiabilidade é utilizada para a avaliação dos modelos semi-
probabilísticos adotados no dimensionamento estrutura. Por meio de sua
aplicação, é possível definir a probabilidade de falha e o índice de confiabilidade
(β) em função do período de vida útil de uma estrutura. O índice de confiabilidade
representa o grau de confiança de um sistema estrutural para a falha, assumindo-
se respeitadas as condições estabelecidas em projeto.
Com os recentes avanços nos estudos de dimensionamento de estruturas
baseado na teoria de confiabilidade, surge o conceito de segurança global
(CERVENKA,2013).
A abordagem por segurança global considera as diferentes incertezas no
comportamento estrutural por meio de uma condição pré-definida de estado limite.
Nesta avaliação, se majora uma ou mais variáveis de carregamento por um fator λ
2
(fator de segurança global), até que se atinja a situação de colapso da estrutura,
sendo as variáveis ligadas às solicitações e às resistências tomadas com seus
valores médios, permitindo que a análise fique isenta de definições arbitrárias de
valores característicos.
Para uma melhor definição do fator de segurança global (λ), é utilizada a
metodologia de análise não linear, ferramenta que se torna cada vez mais comum
para projeto de novas estruturas e avaliação de estruturas já construídas. O
conceito de análise não linear surge como uma alternativa à análise linear
convencional, possibilitado pelo avanço das ferramentas computacionais de
avaliação de estruturas. Embora inicialmente, devido à sua complexidade, essa
metodologia fosse adotada apenas em estudos e pesquisas para embasar
investigações experimentais, a acurácia dos resultados obtidos e a possibilidade
de otimização no dimensionamento das estruturas fizeram com que ela se tornasse
uma importante prática de dimensionamento.
No dimensionamento convencional por meio de modelos semi-probabilísticos,
considera-se a distribuição dos esforços internos por meio da análise linear e a
segurança dos elementos estruturais é verificada seccionalmente. Nessa
abordagem são adotadas hipóteses que não necessariamente refletem o
comportamento real das estruturas.
A distribuição elástica dos esforços internos é uma boa representação para a
aplicação de cargas de baixa magnitude. No entanto, conforme o aumento da
magnitude das solicitações pode ocorrer uma redistribuição desses esforços
devido a respostas inelásticas na estrutura, invalidando essa hipótese.
Além disso, a análise de segurança seccional por meio dos estados limite,
conforme preconizado em diversas normas de dimensionamento, assume-se o
comportamento não linear dos materiais que compõem a estrutura, não sendo
essa uma hipótese consistente com a distribuição elástica dos esforços internos.
A análise não linear permite verificar a estrutura dentro de diversas hipóteses
de carregamento e considerando diferentes respostas estruturais, de acordo com a
magnitude das solicitações de projeto, além de permitir a avaliação da segurança
global do modelo estrutural analisado, não apenas a avaliação seccional dos
elementos estruturais isolados.
3
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho pretende avaliar o fator de segurança global (λ)
encontrado na análise por segurança global, relacionando-o com os índices de
confiabilidade e níveis de segurança adotados em projeto. Além disso, pretende-se
determinar se o índice de confiabilidade (β) correspondente ao fator de segurança
global (λ) está acima dos limites recomendados pelas normas de dimensionamento
de estruturas.
Será também feita uma comparação entre os índices de confiabilidade
encontrados ao se avaliar uma estrutura de edificação convencional pela análise
semi-probabilística, utilizando o critério dos estados limites preconizados na NBR
6118 (ABNT, 2014) e pela análise de segurança global. Vale ressaltar que na
análise semi-probabilística serão determinados índices de confiabilidade para cada
um dos elementos estruturais analisados, enquanto na análise por segurança
global será determinado apenas um índice de confiabilidade, relacionado ao nível
de segurança da estrutura como um todo.
Essa comparação visa evidenciar que a análise por segurança global pode
conduzir ao dimensionamento de estruturas mais econômicas, sem prejudicar a
segurança da estrutura quando comparada à análise determinística.
1.3 METODOLOGIA
O pórtico central de uma edificação convencional de 13 pavimentos é
analisado para a ação de cargas permanentes e da carga acidental de vento,
considerando as abordagens semi-probabilísticas e probabilísticas, no intuito de
determinar o nível de segurança dessa edificação.
Inicialmente é realizado o dimensionamento dos elementos estruturais que
compõem o pórtico central (vigas e pilares), considerando a aplicação de cargas de
vento concentradas nos nós e de cargas de peso próprio distribuídas nos
pavimentos. As cargas são aplicadas na estrutura modelada com o auxílio de um
programa de análise estrutural e são retiradas as solicitações máximas de cálculo
que atuam em cada elemento estrutural. Nessa etapa, o dimensionamento
estrutural segue as recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2014), sendo adotada a
abordagem semi-probabilística, com uso dos coeficientes de segurança
apresentados pela Norma e de valores característicos de resistência e solicitação,
considerando o estado limite último.
4
Tendo sido determinadas as dimensões e as armaduras dos elementos
estruturais por meio da abordagem semi-probabilística, é realizada então a análise
por segurança global, com o objetivo de determinar o fator de segurança global.
Para isso, é realizada uma análise não linear da estrutura em um programa de
análise estrutural, considerando a aplicação das cargas de vento e peso próprio
com seus valores médios. Além disso, são consideradas as resistências médias de
vigas e pilares, e a formação de um mecanismo de rótulas plásticas nas vigas
quando elas atingem suas respectivas capacidades resistentes. Para garantir a
simetria da estrutura analisada é considerada simplificadamente a aplicação
apenas de esforços nodais, permitindo uma melhor análise da formação das
rótulas plásticas.
Neste projeto, a carga de peso próprio é mantida constante e a solicitação de
vento é progressivamente majorada e aplicada na estrutura até o momento de
colapso do pórtico analisado. O fator de segurança global (λ) pode ser então
determinado como a razão entre o esforço de vento aplicado no momento de
colapso da estrutura e o valor médio da solicitação de vento.
Após o dimensionamento dos elementos estruturais no estado limite último e a
determinação do fator λ pela abordagem de segurança global, são realizadas
análises de confiabilidade com o intuito de determinar os níveis de segurança
associados a cada elemento estrutural (análise probabilística para o estado limite
último) e o nível de segurança associado ao comportamento global da estrutura
(análise probabilística para a abordagem por segurança global).
Para realização das análises de confiabilidade é utilizado o programa “VAP”
(2017), que permite, por meio da definição de uma função de falha associada às
variáveis de projeto, determinar os índices de confiabilidade (β) e as probabilidades
de falha relacionados a cada um dos casos estudados.
Tendo sido obtidos os resultados para as análises de confiabilidade, é feita
uma comparação entre os índices de confiabilidade encontrados e chega-se à
conclusão que a abordagem por segurança global resulta em valores de β maiores
do que os obtidos nas análises semi-probabilísticas seccionais de vigas e pilares, o
que indica que essa metodologia pode levar à uma otimização do projeto,
resultando em estruturas mais econômicas sem afetar a segurança estrutural.
5
1.4 ESTRUTURA DO TEXTO
Este trabalho está estruturado em capítulos. A ordenação dos tópicos é
apresentada a seguir:
Capítulo 1: Introdução do tema estudado no trabalho, contendo a motivação para
realização do mesmo, objetivos e a metodologia adotada.
Capítulo 2: Revisão bibliográfica, com a apresentação das diferentes abordagens
para o dimensionamento estrutural adotadas nas análises realizadas.
Capítulo 3: Apresentação do programa “VAP” (2017), utilizado nas análises
probabilísticas referentes ao estudo de caso.
Capítulo 4: Estudo de caso - Análise global de um pórtico de edifício convencional.
Capítulo 5: Conclusão do trabalho.
Capítulo 6: Referências bibliográficas utilizadas como base para a elaboração do
trabalho.
6
2 ABORDAGENS PARA DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
2.1 MÉTODO DE PROJETO SEMI-PROBABILÍSTICO
A norma brasileira de projeto de estruturas de concreto NBR 6118 (ABNT,
2014) baseia-se em um método semi-probabilístico de projeto. Nela é apresentada
a metodologia de estados limites, que consiste na definição de valores
característicos das variáveis e de coeficientes parciais de ponderação, que
dependem da natureza das solicitações e resistências consideradas em projeto.
Esses coeficientes são adotados com o intuito de levar em consideração as
incertezas associadas à cada variável de projeto, permitindo que haja uma certa
margem de segurança entre a resistência e as solicitações atuantes na estrutura
analisada e diminuindo assim a probabilidade de falha da mesma, conforme
apresentado na figura 2.1:
Figura 2.1 – Esquema do método semi-probabilístico (FRANCO, 2010)
A seguir serão apresentadas as recomendações normativas no que diz
respeito à determinação das resistências e propriedades dos materiais adotados
em projeto (concreto e aço), das ações e combinações de ações atuantes nas
estruturas analisadas e dos estados limites que devem ser considerados para a
verificação do comportamento estrutural.
2.1.1 Estados limites
Estados limites estão relacionados aos critérios de segurança adotados para
as diversas verificações que devem ser consideradas no dimensionamento das
estruturas. A NBR 6118 (ABNT, 2014) classifica os estados limites em estados
limites últimos e estados limites de serviço.
7
Estados limites últimos (ELU) correspondem à máxima capacidade resistente
da estrutura. Sua ocorrência representa uma situação de colapso estrutural e
determina a paralisação do uso da construção. A seguir são apresentados alguns
exemplos de estados limites últimos considerados na NBR 6118 (ABNT, 2014):
a) Estado limite último de perda do equilíbrio da estrutura;
b) Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da
estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e
tangenciais;
c) Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da
estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda
ordem;
d) Estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;
e) Estado limite último de colapso progressivo.
Neste trabalho é considerado no dimensionamento das estruturas o estado
limite apresentado no item “b”. As vigas são dimensionadas para solicitações de
flexão e os pilares para solicitações de flexocompressão.
A condição de segurança no ELU é apresentada na NBR 6118 (ABNT, 2014)
por meio da seguinte relação entre a resistência e a solicitação de cálculo:
𝑅𝑑 ≥ 𝑆𝑑 (( (2-1)
Sendo:
𝑅𝑑 - Resistência de cálculo
𝑆𝑑 - Solicitação de cálculo
Já os estados limites de serviço (ELS) são aqueles relacionados ao conforto
do usuário e à durabilidade, aparência e boa utilização da estrutura. A seguir são
apresentados os estados limites de serviço a serem considerados nas estruturas
de concreto armado:
a) Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W);
b) Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF).
c) Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE).
Neste trabalho não são considerados os estados limites de serviço para
verificação dos elementos estruturais dimensionados, pois eles não estão
relacionados com o colapso estrutural, tema principal de estudo das análises de
confiabilidade realizadas.
8
2.1.2 Ações e combinações de ações no ELU
As solicitações de cálculo são obtidas por meio da majoração das solicitações
características consideradas no dimensionamento estrutural. A NBR 6118 (ABNT,
2014) define os coeficientes parciais de ponderação de ações. As solicitações
características e os coeficientes por sua vez dependem dos tipos de ações, que
podem ser classificados conforme apresentado a seguir:
a) Ações permanentes (𝐹𝑔𝑘): Ações que ocorrem durante toda a vida útil da
estrutura com valores praticamente constantes, como o peso próprio
estrutural.
b) Ações variáveis (𝐹𝑞𝑘): Ações cujos valores variam significativamente ao
longo da vida útil da estrutura e atuam de forma intermitente, como o
vento.
c) Ações devido a deformações impostas (𝐹𝜀𝑘 ): Ações devidas a efeitos
indiretos, como recalques de apoio, variação de temperatura e retração.
Para as ações permanentes, os valores característicos adotados devem ser
iguais aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade,
correspondentes ao quantil de 50%, tanto para ações favoráveis quanto para as
desfavoráveis.
Para as ações variáveis, os valores característicos correspondem a valores
que tem de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido
desfavorável, durante um período de 50 anos.
Os coeficientes de ponderação 𝛾𝑓 de ações definidos na NBR 6118 (ABNT,
2014) para o ELU são apresentados na tabela 2.1:
Tabela 2.1 – Coeficientes de ponderação de ações 𝛾𝑓 no ELU (ABNT, 2014)
9
Além dos coeficientes de ponderação, a norma também apresenta os
coeficientes de combinação 𝛾𝑓2 para o ELU nos casos de atuação simultânea de
duas ou mais ações no elemento estrutural:
Tabela 2.2 – Coeficientes de combinação de ações 𝛾𝑓2 no ELU (ABNT, 2014)
A NBR 6118 (ABNT, 2014) apresenta também as possíveis combinações de
ações a serem consideradas:
Tabela 2.3 – Combinações no ELU (ABNT, 2014)
Com base nas tabelas 2.1, 2.2 e 2.3, chega-se à equação que define a
solicitação de cálculo no ELU para situação de esgotamento da capacidade
resistente de elementos estruturais de concreto armado:
10
𝑆𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ 𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞𝑘,1 + ∑(𝜓0,𝑗 ∙ 𝐹𝑞𝑘,𝑗) ) (( (2-2)
Em que:
𝑆𝑑 - é a solicitação de cálculo;
𝛾𝑔 e 𝛾𝑞 - são os valores dos coeficientes de ponderação de cargas permanentes e
variáveis, respectivamente;
𝐹𝑔𝑘, 𝐹𝑞𝑘,1 e 𝐹𝑞𝑘,𝑗 - são os valores característicos devidos às ações permanentes,
ação variável principal e ações variáveis secundárias, respectivamente;
𝜓0,𝑗 - são os valores dos coeficientes de combinação associados às ações
variáveis secundárias.
Vale ressaltar que existem várias possibilidades para as combinações de
ações, dependendo de qual das ações variáveis seja tomada como principal.
Essas diferentes possibilidades devem ser contempladas no projeto.
2.1.3 Propriedades e resistência do concreto armado
O concreto armado é um material estrutural que consiste na combinação do
concreto simples com barras de aço. O concreto simples é um aglomerado de
cimento, água e agregados que apresenta boa resistência a compressão, porém
não trabalha bem à tração. Para combater essa deficiência, são posicionadas
barras de aço dentro do concreto para resistir aos esforços de tração. O
funcionamento conjunto desses materiais é possível graças a aderência existente
entre eles.
A seguir são apresentados os conceitos de resistência característica e as
propriedades do concreto e do aço, além dos coeficientes de minoração
apresentados na NBR 6118 (ABNT, 2014) para determinação da resistência de
cálculo desses materiais.
2.1.3.1 Resistência característica (𝑓𝑘)
A resistência característica é definida na NBR 6118 (ABNT, 2014) como o valor
de resistência que apresenta probabilidade de apenas 5% de não ser atingido
dentro de uma amostra de um determinado material, sendo admitida uma
distribuição normal para as resistências, conforme apresentado na figura 2.2:
11
Figura 2.2 – Valor característico da resistência (PINHEIRO, 2012)
Logo, a resistência característica (𝑓𝑘) é avaliada a partir do valor médio (𝑓𝑚) e
do desvio padrão (�̅�) da amostra analisada:
𝑓𝑘 = 𝑓𝑚 − 1,65 ∙ �̅� (( (2-3)
Sendo a média:
𝑓𝑚 =∑ 𝑓𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛 (( (2-4)
E o desvio padrão:
�̅� = √∑ (𝑓𝑖−𝑓𝑚)²𝑛
𝑖=1
𝑛−1 (( (2-5)
Vale ressaltar que, para o concreto, a resistência característica adotada em
projeto deve corresponder aos resultados de ensaios de compressão axial
realizados em corpos de prova de concreto com 28 dias de idade.
Os concretos são classificados em classes de acordo com a sua resistência.
Um concreto é dito da classe C40 se ele apresenta 40 MPa de resistência
característica.
2.1.3.2 Propriedades do concreto
a) Diagrama tensão-deformação:
O diagrama tensão (𝜎𝑐)-deformação (𝜀𝑐) do concreto no estado limite último é
apresentado na figura 2.3:
12
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação do concreto no ELU (NBR6118, 2014)
Sendo adotados os seguintes valores para os parâmetros 𝜀𝑐2 (deformação
específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e 𝜀𝑐𝑢
(deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura), para concretos
de classes até C50:
𝜀𝑐2 = 2 ‰ (( (2-6)
𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ (( (2-7)
A NBR 6118 (ABNT, 2014) permite a consideração simplificada de um
diagrama tensão-deformação de formato retangular com tensão constante de 0,85
𝑓𝑐𝑑 ,desde que não ocorra uma diminuição de largura da seção comprimida de
concreto conforme se aproxime do bordo comprimido, para concretos de Classe até
C50. Para isso, deve-se considerar uma redução de 20% na profundidade da linha
neutra “x” nas peças submetidas a esforços de flexão. O diagrama simplificado foi
utilizado no dimensionamento estrutural de vigas e pilares realizado nesse trabalho.
O fator 0,85 é um redutor da resistência que leva em consideração a aplicação
de carregamentos de longa duração no concreto (efeito Rüsch).
13
b) Módulo de elasticidade
A NBR 6118 (ABNT, 2014) apresenta a formulação para a determinação dos
módulos de elasticidade inicial (𝐸𝑐𝑖) e secante (𝐸𝑐𝑠) do concreto, estimados a partir
de sua classe:
Módulo de elasticidade inicial (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎):
𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 ∙ 5600√𝑓𝑐𝑘 (( (2-8)
Módulo de elasticidade inicial (𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎):
𝐸𝑐𝑖 = 21,5 ∙ 10³ ∙ 𝛼𝐸 ∙ (𝑓𝑐𝑘
10+ 1,25)
1/3 (( (2-9)
Sendo 𝛼𝐸 um parâmetro que depende da rocha matriz de brita empregada como
agregado (1,2 para diabásio e basalto; 1,0 para granito e gnaisse; 0,9 para calcário
e 0,7 para arenito).
A partir do módulo de elasticidade inicial, é estimado o módulo de
elasticidade secante:
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 ∙ 𝐸𝑐𝑖 (2-10)
𝛼𝑖 = 0,80 + 0,20 ∙𝑓𝑐𝑘
80 < 1,0 (2-11)
2.1.3.3 Propriedades do aço
a) Módulo de elasticidade
A NBR 6118 (ABNT, 2014) fornece o valor para o módulo de elasticidade do
aço CA-50, utilizado como armadura passiva nos elementos de concreto armado:
𝐸𝑠 = 210 𝐺𝑃𝑎 = 210 ∙ 106 𝑘𝑃𝑎 (2-12) ((
b) Diagrama tensão (𝜎𝑠) - deformação (𝜀𝑠)
Para o cálculo no estado limite último, a NBR 6118 (ABNT, 2014) apresenta
no item 8.3.6 o diagrama tensão-deformação bilinear genérico para os aços, que
pode ser representado como na figura 2.4:
14
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação do aço no ELU (SANTOS, 2017)
O diagrama apresentado mostra que, quando submetido à tração, o patamar
máximo de deformação antes do escoamento do aço corresponde a 𝜀𝑦𝑑 , que
depende do tipo de aço. Já a deformação máxima do aço após o início da
plastificação, que independe do tipo de aço, é de 10‰.
Na compressão, o limite para o início do escoamento do aço também é 𝜀𝑦𝑑.
No entanto, a deformação máxima do aço após o início da plastificação fica
limitada à 3,5‰, correspondente a deformação máxima do concreto na ruptura.
A tabela a seguir apresenta os valores de 𝜀𝑦𝑑 para os diferentes aços
comerciais, sendo o aço CA-50 o mais utilizado nas armaduras passivas para
concreto armado.
Tabela 2.4 – Deformações no aço
2.1.3.4 Resistências de cálculo
A resistência de cálculo dos materiais é obtida por meio da adoção dos
coeficientes de minoração apresentados pela NBR 6118 (ABNT, 2014).
15
Tabela 2.5 – Coeficientes de minoração das resistências (ABNT, 2014)
Com isso, determina-se a resistência de cálculo do concreto (𝑓𝑐𝑑):
𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 (2-13)
E a resistência de cálculo do aço utilizado como armadura (𝑓𝑦𝑑):
𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠 (2-14)
Em que:
𝑓𝑐𝑘 é a resistência característica à compressão do concreto;
𝑓𝑦𝑘 é a tensão de escoamento característica do aço.
2.2 PROJETO BASEADO NA TEORIA DA CONFIABILIDADE (MÉTODO
PROBABILÍSTICO)
A Teoria da Confiabilidade permite considerar as diversas incertezas
associadas ao dimensionamento estrutural, por meio da análise de cada uma das
variáveis associadas à resistência ou à solicitação considerada em projeto. Assim,
são consideradas incertezas associadas às propriedades físicas e de resistência
dos materiais, magnitude e forma de aplicação dos carregamentos e as diferenças
entre modelos teóricos adotados e a realidade. Além disso leva-se também em
consideração erros e imperfeições que podem ocorrer durante a etapa de
construção das estruturas.
Para isso, as variáveis de projeto são tomadas como distribuições
probabilísticas, ou seja, variáveis aleatórias tomadas com seus valores médios e
desvios padrão, sendo a natureza dessas distribuições dependentes do tipo de
variável analisada.
A Análise de Confiabilidade tem como objetivo a determinação da
probabilidade de falha de um determinado modelo estrutural, sendo a falha a
situação em que a estrutura atinge uma condição indesejada. Nesse trabalho, será
16
considerada como falha a situação em que ocorra a ruptura das vigas por flexão ou
a ruptura dos pilares por flexocompressão.
Surge como um dos principais conceitos associados à Teoria da
Confiabilidade o índice de confiabilidade (β), a partir do qual se pode determinar a
probabilidade de falha (𝑝𝑓) de uma estrutura.
O índice de confiabilidade pode ser definido como o grau de segurança de
um sistema estrutural para a falha. Sua determinação é feita a partir de uma função
de falha, usualmente uma função que relaciona resistência e solicitação.
2.2.1 Variáveis aleatórias
Variável aleatória pode ser entendida como uma função que associa cada
elemento de um espaço amostral à um número real (PINHEIRO, et al., 2011).
Portanto, uma variável aleatória corresponde a um vetor (X), nos quais estão
contidos diversos resultados possíveis (x) para caracterizar o valor que essa
variável assume em uma determinada condição ou experimento. A variável
aleatória pode ser então vista como uma distribuição dos diversos resultados
obtidos para diferentes condições ou repetições de um experimento.
Como exemplo de uma variável aleatória pode-se considerar os resultados
dos ensaios de compressão axial em cilindros de concreto. Cada um dos valores
encontrados para as diferentes repetições do ensaio é considerado uma realização
da variável (x), já o conjunto de todos os resultados obtidos (X) é a própria variável
aleatória que define a resistência do concreto.
Nas análises de confiabilidade que visam determinar a segurança de
elementos estruturais são estudadas variáveis aleatórias contínuas. Uma variável
aleatória é dita contínua, se o número de valores que ela puder assumir for
qualquer valor dentro de um intervalo de reais, ou seja, um infinito inumerável
(BECK, 2015).
Uma variável aleatória contínua pode ser representada por uma função
contínua, conhecida como função densidade de probabilidade (PDF), desde que
essa função respeite algumas condições, apresentadas a seguir:
I. A função densidade de probabilidade deve ser sempre maior ou igual à 0,
ou seja, 𝑓𝑥(𝑥) ≥ 0 para qualquer valor de x.
II. A área sob a curva que representa a função densidade de probabilidade
deve ser igual à 1:
17
∫ 𝑓𝑥+∞
−∞(𝑥)𝑑𝑥 = 1 (2-15)
III. A probabilidade de um valor ser menor ou igual à 𝑥𝑖 é:
𝐹𝑥(𝑥𝑖) ≡ 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥𝑖) = ∫ 𝑓𝑥
𝑥𝑖
−∞(𝑥)𝑑𝑥 (2-16)
Embora qualquer função que satisfaça essas três condições possa
representar variáveis aleatórias, é comum a adoção de modelos de funções pré-
definidas. As funções adotadas nesse trabalho são apresentadas no item 2.2.2.
Além da função densidade de probabilidade (PDF), alguns parâmetros podem
ser utilizados para caracterizar uma variável aleatória. Os principais parâmetros de
variáveis aleatórias são apresentados em seguida:
a) Média (µ)
A média ou valor esperado de uma variável aleatória contínua é definida como:
𝐸(𝑋) = 𝜇𝑥 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓𝑥
+∞
−∞(𝑥)𝑑𝑥 (( (2-17)
b) Variância
A variância traduz a dispersão dos dados em torno da média, sendo expressa por:
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥)² ∙ 𝑓𝑥
+∞
−∞(𝑥)𝑑𝑥
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝜇𝑥2 (2-18)
c) Desvio padrão (𝜎𝑥)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, sendo a medida de
dispersão mais utilizada:
𝜎𝑥 = √𝑉𝐴𝑅(𝑋) (( (2-19)
d) Coeficiente de variação (COV)
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média de uma
variável aleatória. Esse coeficiente é utilizado para mensurar a amplitude de
dispersão dos valores encontrados e permite melhor visualização sobre a
variabilidade de uma função.
𝐶𝑂𝑉 =𝜎𝑥
𝜇𝑥 (( (2-20)
18
2.2.2 Distribuições aleatórias contínuas
Neste item são apresentadas as distribuições aleatórias contínuas utilizadas
usualmente nas análises de confiabilidade estrutural, adotadas no desenvolvimento
desse trabalho. Para caracterizá-las, são apresentados seus principais parâmetros
e suas respectivas funções densidade de probabilidade e de distribuição
acumulada.
2.2.2.1 Distribuição normal N (µ, σ)
A distribuição normal, também chamada de gaussiana, é talvez a mais
conhecida e a mais utilizada, sendo adotada com muita frequência para
representar fenômenos físicos (SCHNEIDER, 2006).
Essa distribuição é simétrica e caracterizada por dois parâmetros, média (µ) e
desvio padrão (σ). Sua função densidade de probabilidade é dada pela seguinte
expressão:
𝑓(𝑥) =1
𝜎𝑥 ∙ √2𝜋exp [−
1
2(
𝑥 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥) ²] (( (2-21)
A sua função de distribuição acumulada não possui expressão na forma
analítica, sendo definida como:
𝐹(𝑥) = ∫1
𝜎𝑥 ∙ √2𝜋exp [−
1
2(
𝑥 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥) ²] 𝑑𝑥
𝑥
−∞
(( (2-22)
Essa função cumulativa pode ser avaliada por meio de processos de
integração numérica ou com o uso de tabelas apresentadas em livros de
estatística.
A seguir são apresentadas, na figura 2.5, três distribuições normais de
probabilidade que apresentam a mesma média (µ=0) e diferentes desvios padrão
(σ = 0,5, 0,7 e 1). O intuito é de mostrar que quanto maior for a dispersão com
relação a média, mais dilatada será a base da função densidade de probabilidade
(PDF), o que acarreta em distribuições com maior.
19
Figura 2.5 – Distribuições normais (FRANCO, 2010)
Se uma variável aleatória possui distribuição normal, com média zero e
desvio padrão igual a um, é dito que essa variável possui distribuição normal
padrão (PINHEIRO, et al., 2011).
Para melhor representação da distribuição normal padrão, é introduzida uma
variável auxiliar, chamada de variável reduzida ou padrão, apresentada a seguir:
𝑌 =𝑋 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥 (( (2-23)
Assim, a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão é
dada por:
𝑓(𝑦) = 𝜙(𝑦) =1
√2𝜋exp [−
1
2𝑦²] (( (2-24)
Já a função cumulativa da distribuição normal padrão é definida como:
Φ(𝑦) = ∫1
√2𝜋exp [−
1
2𝑦²]
𝑦
−∞
(( (2-25)
Como exemplo de uma distribuição normal padrão tem-se a curva em laranja
apresentada na figura 2.5.
O teorema do limite central afirma que caso haja uma soma de um grande
número de variáveis aleatórias, a distribuição de probabilidade dessa soma se
20
aproxima da distribuição normal, independentemente da natureza de distribuição
dessas variáveis (MELCHERS, 1999).
A distribuição normal é utilizada nas análises de confiabilidade para
representar variáveis de resistência dos materiais, dimensões seccionais,
solicitações permanentes, etc. Para o caso de algumas grandezas físicas como as
dimensões seccionais, deve-se ter cuidado para que as variáveis analisadas não
assumam valores negativos, já que isso seria impossível na prática.
2.2.2.2 Distribuição de Gumbel
A distribuição de Gumbel é classificada como uma distribuição de valores
extremos. Esse tipo de distribuição é utilizado quando é interessante determinar os
valores máximo ou mínimo da ocorrência de um fenômeno, como por exemplo a
determinação da maior carga variável de ocupação que ocorre no piso de um
edifício durante o seu período de vida útil.
A função densidade de probabilidade para distribuições do tipo Gumbel é
apresentada a seguir:
𝑓(𝑥) =1
𝜎∙ exp [(
𝑥 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥) − exp (
𝑥 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥)] (( (2-26)
Sendo a média dada por:
𝜇𝑥 = 𝑏 +𝛾
𝑎
(( (2-27)
E a variância dada por:
𝜎2 =𝜋²
6 ∙ 𝑎² (( (2-28)
Em que:
𝑎 representa o parâmetro de escala;
𝑏 representa o parâmetro de posição;
𝛾 = 0,57721566 (constante de Euler).
Já a função cumulativa da distribuição Gumbel é definida como:
𝐹(𝑥) = exp [− exp (−𝑥 − 𝜇𝑥
𝜎𝑥)] (( (2-29)
21
A seguir, na figura 2.6, é apresentado um exemplo de função densidade de
probabilidade para uma distribuição do tipo Gumbel com média de 21,37 e desvio
padrão de 7,48, que representa o esforço horizontal devido a carga de vento que é
utilizado nas análises de confiabilidade realizadas nesse trabalho:
Figura 2.6 – Exemplo de distribuição do tipo Gumbel
A distribuição Gumbel possui muitas aplicações em engenharia, sendo
utilizada principalmente para descrever fenômenos naturais, como vazão de rios,
volume de chuvas, velocidades de vento e magnitudes de sismos.
No que diz respeito às análises de confiabilidade estrutural aqui descritas, a
distribuição de Gumbel é utilizada para representar as variáveis de cargas
acidentais e solicitações devidas a ação do vento.
2.2.3 Variáveis de projeto e suas distribuições
A tabela 2.6 apresenta um resumo das distribuições adotadas para as
principais variáveis aleatórias consideradas em projetos de estruturas de concreto
armado. Além do tipo das distribuições, são também apresentados outros
parâmetros pertinentes para caracterizar cada variável.
22
Tabela 2.6 – Resumo das variáveis para estruturas de concreto armado (SANTOS, 2018)
Em que:
“Bias factor” é um fator utilizado para relacionar o valor médio com o valor
característico de cada variável, sendo a razão entre os dpisvalores médio e
característico;
Fractil ou TM representa, dependendo da variável, ou o fractil da curva de
probabilidades utilizado para definir seu valor característico, ou o período de
recorrência adotado para determinação dos valores extremos de variáveis
aleatórias (intervalo de tempo em que, em média, o valor característico é igualado
ou ultrapassado).
2.2.4 Função de falha
A função ou equação de falha para um sistema qualquer corresponde a uma
função g (�̃�) das n variáveis aleatórias envolvidas em um problema. Quando essa
função se iguala à zero, tem-se a situação crítica em que se atinge a configuração
de estado limite preconizada na análise, escrita da seguinte forma (BECK, 2015):
𝑔(�̃�) = 𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) = 0 (( (2-30)
Essa função apresenta dois domínios distintos, quando 𝑔 (�̃�) ≤ 0 a função se
encontra no domínio de falha (𝛺𝑓), e na situação em que 𝑔 (�̃�) > 0 a função se
encontra no domínio de sucesso (𝛺𝑠).
VARIÁVEL DISTRIBUIÇÃO BIAS FACTOR COV ou s Fractil ou TM
Carga Permanente Normal 1,050 0,10 0,48
Carga Acidental (50 anos) Gumbel 0,890 0,35 140
Vento (50 anos) Gumbel 1,187 0,35 50
Modelagem das cargas Normal 1,000 0,10 -
Resistência do concreto Normal 1,328 0,15 0,05
Resistência do aço Normal 1,089 0,05 0,05
Dimensões seccionais Normal 1,000 4mm+0,006L≤10mm -
Área das barras Normal 1,000 0,015 -
Cobrimento Normal 1,000 5mm -
Modelagem das resistências Normal 1,000 0,05 -
RESUMO DAS VARIÁVEIS PARA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
23
𝛺𝑓 = {�̃�|𝑔(�̃�) ≤ 0}
𝛺𝑠 = {�̃�|𝑔(�̃�) > 0} (( (2-31)
A figura 2.7 apresenta os domínios de sucesso e falha para o caso de uma
função de falha g (𝑈1, 𝑈2), dependente de duas variáveis aleatórias. A linha que
delimita esses dois domínios, em que g (𝑈1, 𝑈2) = 0, é chamada superfície de falha.
Figura 2.7 – Função de falha (FRANCO, 2010)
A equação de estado limite adotada usualmente nas análises de
confiabilidade estrutural, que expressa o problema fundamental de confiabilidade, é
uma função que relaciona as variáveis de resistência e solicitação consideradas
em um projeto.
𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑍 = 𝑅 − 𝑆 (( (2-32)
Em que:
R é a variável aleatória correspondente à resistência;
S é a variável aleatória correspondente à solicitação.
Portanto, atinge-se a situação de falha na região em que 𝑆 > 𝑅 , ou seja,
quando a solicitação é maior do que a resistência estrutural, o que corresponde a
Z (margem de segurança) < 0. Diversas possibilidades para o problema
fundamental são apresentadas na figura 2.8.
24
Figura 2.8 – Problema fundamental da confiabilidade (BECK, 2015)
O domínio de falha para o problema fundamental da confiabilidade é
apresentado na figura 2.9:
Figura 2.9 – Domínio de falha para o problema R-S (BECK, 2015)
2.2.5 Probabilidade de falha (𝑷𝒇)
A probabilidade de falha de um sistema representa as chances dos
resultados obtidos nas análises estarem contidos no domínio de falha (�̃� ∈ 𝛺𝑓).
𝑃𝑓 = 𝑃[{�̃� ∈ 𝛺𝑓}] = 𝑃[{𝑔(𝑥) ≤ 0}] (( (2-33)
25
Caso a função conjunta de probabilidades 𝑓�̃�(�̃�) seja conhecida, a
probabilidade de falha pode ser obtida pela seguinte integral, no domínio de falha
(𝛺𝑓):
𝑃𝑓 = ∫ 𝑓�̃�(�̃�) 𝑑�̃� (( (2-34)
Já para o problema fundamental da confiabilidade, tem-se:
𝑃𝑓 = 𝑃[{𝑅 ≤ 𝑆}] = [{(𝑟, 𝑠)𝜖 𝛺𝑓}] (( (2-35)
Assumindo que as distribuições de probabilidade de resistência (R) e
solicitação (S) são conhecidas e independentes, a probabilidade de falha para o
problema fundamental da confiabilidade pode ser calculada como:
𝑃𝑓 = ∫ ∫ 𝑓𝑟
𝑠
−∞
∞
−∞
(𝑟)𝑓𝑠(𝑠)𝑑𝑟𝑑𝑠 = ∫ 𝐹𝑟(𝑠)𝑓𝑠(𝑠)𝑑𝑠∞
−∞
(( (2-36)
Por meio da observação da figura 2.8, percebe-se que a probabilidade de
falha está relacionada com área de sobreposição entre as funções densidade de
probabilidade de resistência e solicitação. Logo, quanto mais distantes forem as
médias das distribuições de resistência e solicitação, menor será a probabilidade
de falha.
Outro fator que influencia a área de sobreposição das curvas é o grau de
dispersão das variáveis aleatórias, que se relaciona com o desvio padrão das
distribuições. Quanto menor for o grau de dispersão das distribuições, menor será
a probabilidade de falha.
2.2.6 Índice de confiabilidade (β)
O índice de confiabilidade é um fator de referência que expressa o grau de
confiança de um modelo estrutural para falha, considerando um determinado modo
de comportamento para a estrutura e sendo respeitadas as premissas adotadas
em projeto.
Ao analisar o problema fundamental da confiabilidade, em que 𝑍 = 𝑅 − 𝑆 ,
caso R e S sejam variáveis aleatórias, Z também o será. Portanto, Z possui função
densidade de probabilidade 𝑓𝑧 (𝑧).
Nesse caso, a probabilidade de falha da função Z pode ser calculada da
seguinte maneira (BECK, 2015):
26
𝑃𝑓 = 𝑃[{𝑍 ≤ 0}] = ∫ 𝑓𝑧(𝑧)𝑑𝑧0
−∞
= 𝐹𝑧(0) (( (2-37)
Sendo R e S distribuições normais, Z também será uma distribuição normal,
com as seguintes média e desvio padrão:
𝜇𝑍 = 𝜇𝑅 − 𝜇𝑆 (( (2-38)
𝜎𝑍 = √𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆
2 (( (2-39)
Transformando a variável Z em uma variável Y com distribuição normal padrão:
𝑌 =𝑍 − 𝜇𝑍
𝜎𝑍 (( (2-40)
A probabilidade de falha pode então ser descrita como:
𝑃𝑓 = 𝑃[{𝑍 ≤ 0}] = 𝑃[{𝑌 ∙ 𝜎𝑍 + 𝜇𝑍 ≤ 0}]
𝑃𝑓 = 𝑃 [{𝑌 ≤ −𝜇𝑧
𝜎𝑧}] = 𝛷 (−
𝜇𝑧
𝜎𝑧) = 𝛷(−𝛽) (( (2-41)
Sendo 𝛽 definido como:
𝛽 =𝜇𝑍
𝜎𝑍
(( (2-42)
O índice de confiabilidade pode então ser interpretado como a distância entre
o valor médio de Z e a situação de falha, medido em unidades de desvio padrão
(BASTOS, 2012), ver figura 2.10. Essa definição pode ser utilizada mesmo quando
a variável Z apresenta distribuição diferente da normal.
Figura 2.10 – Índice de confiabilidade (BASTOS, 2012)
27
Quanto maior for o índice de confiabilidade da estrutura, maior será o seu
grau de confiança para a falha, e menor será sua probabilidade de falha. Portanto,
o grau de confiança de uma estrutura está diretamente relacionado ao valor médio
da função margem de segurança (Z), sendo a estrutura mais segura quanto maior
for esse valor. Já quanto maior for o valor do desvio padrão, maior será a
dispersão da função margem se segurança, o que diminui a confiabilidade
estrutural.
Tendo definido o índice de confiabilidade (β), é necessário determinar limites
para os seus valores e para a probabilidade de falha das estruturas, com o intuito
de garantir a segurança. O anexo B da EN 1990 (CEN, 2002) estabelece restrições
para os índices de confiabilidade, de acordo com classes de consequência.
Cada classe de consequência (CC) está relacionada à uma classe de
confiabilidade (RC), cujos índices de confiabilidade são delimitados de acordo com
a tabela 2.7 a seguir:
Tabela 2.7 – Classes de consequência (CEN, 2002)
Assim, percebe-se que o índice de confiabilidade está relacionado com o
período de vida útil da construção, que pode ser classificado nas categorias
definidas na tabela 2.8, pelo Código Modelo da fib (2013).
28
Tabela 2.8 – Vida útil das construções (FIB, 2013)
Por fim, deve-se considerar também o estado limite que está sendo analisado
para delimitar os valores de β:
Tabela 2.10 – Restrições de β de acordo com o estado limite (CEN, 2002)
Portanto, para a análise de confiabilidade de um edifício convencional em
concreto armado (RC2), no estado limite último, caso estudado nesse trabalho, o
índice de confiabilidade fica limitado a:
𝛽 ≥ 3,8 (( (2-43)
2.2.7 Métodos de análise
Conforme apresentado nos itens anteriores, a Teoria da Confiabilidade
permite determinar a probabilidade de falha de uma estrutura, por meio de funções
de falha, a partir da resolução da integral apresentada na equação (2.34). No
entanto, para problemas reais, nem sempre é possível determinar de forma
analítica a solução dessa equação.
Nos casos em que as variáveis aleatórias não são independentes entre si
e/ou apresentam distribuições diferentes da normal ou funções de falha complexas,
é necessária a utilização de métodos alternativos para a avaliação da
29
probabilidade de falha de uma estrutura a partir de sua equação de falha. A seguir
são apresentados os principais métodos para análise de confiabilidade estrutural.
2.2.7.1 Método de Monte Carlo
O método de Monte Carlo é um método numérico que pode ser utilizado para
analisar funções de falha de qualquer forma, podendo as variáveis aleatórias que
compõem essa equação de falha apresentar qualquer distribuição de densidade de
probabilidade.
Trata-se de um método estatístico de simples aplicação, no qual é realizada
uma simulação numérica que considera diversas possibilidades de valores para
cada variável aleatória, de acordo com suas distribuições. Esses valores são
determinados a partir de um arranjo de números pseudoaleatórios.
A precisão dessa simulação numérica está diretamente relacionada ao
número de experimentos realizados, ou seja, ao número de valores que cada
variável aleatória assume. Logo, por mais que esse método apresente a vantagem
de poder ser utilizado de maneira geral, sua principal desvantagem é a
necessidade de realização de um grande número de simulações para atingir
resultados com boa precisão.
O fator limitante para a utilização do método de Monte Carlo é a capacidade
computacional (SCHNEIDER, 2006).
A probabilidade de falha pelo método de Monte Carlo, após a realização de N
experimentos, é determinada a partir da seguinte equação:
𝑃𝑓 = 1
𝑁∙ ∑ 𝐼[𝐺(𝑋) ≤ 0]
𝑁
𝑖=1
(( (2-44)
Em que:
N é o número de experimentos realizados;
𝐼[ ] é chamada de função indicadora, que define a região de segurança e a região de
falha, definida como:
𝐼[𝐺(𝑋)] = { 1 , 𝐺(𝑋) ≤ 0 0 , 𝐺(𝑋) > 0
(( (2-45)
30
Portanto, considerando N o número de experimentos realizados, e 𝑛𝑓 o
número de experimentos em que a equação de falha atingiu o domínio de falha, a
probabilidade de falha pode ser definida como:
𝑃𝑓 = 𝑛𝑓
𝑁 (( (2-46)
2.2.7.2 First order reliability method (FORM)
Conforme apresentado no item 2.2.6, o valor do índice de confiabilidade (β)
para o problema fundamental da confiabilidade (Z = R - S), sendo R e S variáveis
aleatórias estaticamente independentes e com distribuição normal, pode ser dado
por:
𝛽 = 𝜇𝑅−𝜇𝑆
√𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆
2
(( (2-47)
Fazendo a transformação das variáveis de resistência e solicitação para as
variáveis reduzidas, que apresentam distribuição normal padrão, tem-se:
𝑟 =𝑅 − 𝜇𝑅
𝜎𝑅 (( (2-48)
𝑠 =𝑆 − 𝜇𝑆
𝜎𝑆 (( (2-49)
Com isso, é possível reescrever a equação de falha para o problema
fundamental da confiabilidade:
𝑍 = 𝑟𝜎𝑟 + 𝜇𝑅 − 𝑠𝜎𝑆 − 𝜇𝑆 (( (2-50)
Tendo sido determinada a função de falha, pode-se determinar a superfície
de falha e os domínios de sucesso e de falha, conforme apresentado na figura
2.12:
31
Figura 2.12 – Representação da superfície de falha (FRANCO, 2010)
A figura 2.13 apresenta a superfície de falha (Z=0.0), na qual está contido o
ponto (r*, s*), sendo esse o ponto mais próximo, pertencente à superfície de falha,
da origem do espaço normal padrão. A distância entre esse ponto, conhecido como
ponto de projeto, e a origem do espaço normal padrão representa o grau de
segurança do sistema para a falha.
Essa distância é obtida por meio da geometria analítica:
𝑑 = 𝜇𝑅−𝜇𝑆
√𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆
2
(( (2-51)
Portanto, percebe-se que, para o caso do problema fundamental da
confiabilidade, com as variáveis de resistência e solicitação tomadas com
distribuição normal padrão, a superfície de falha é uma reta, e a distância d
apresenta o mesmo valor do índice de confiabilidade (β).
O método FORM aplica a metodologia descrita acima, em que busca-se a
função de falha de um sistema no espaço reduzido (reta), por meio da
transformação das variáveis de solicitação e resistência em variáveis de
distribuição normal padrão, e, por fim, determina-se a distância entre a origem do
espaço reduzido e o ponto de projeto, sendo esse o ponto contido na superfície de
falha mais próximo da origem.
32
Figura 2.13 – Representação do método FORM (FRANCO, 2010)
Ao se analisar a figura 2.13 percebe-se que a aproximação da superfície de
falha em uma reta no espaço reduzido implica na obtenção de valores
aproximados de β, podendo ser a favor da segurança quando a função g(V) for
convexa com relação ao ponto de projeto, e contra a segurança quando for
côncava.
Para os casos usuais de análise de confiabilidade em elementos estruturais,
a diferença entre os valores de β reais e aqueles obtidos pela aplicação do método
FORM é aceitável.
2.2.7.3 Second order reliability method (SORM)
O método SORM apresenta metodologia similar ao método FORM, sendo o
índice de confiabilidade (β) também obtido por meio da distância entre a origem do
espaço reduzido e o ponto de projeto.
No entanto, nesse caso a transformação das variáveis aleatórias visa a
aproximação da superfície de falha por uma função quadrática, não mais em uma
reta, o que resulta em valores de β mais próximos dos valores reais.
Embora mais preciso, o método SORM apresenta uma implementação
computacional mais complexa do que o método FORM.
33
2.3 PROJETO BASEADO NA ABORDAGEM POR SEGURANÇA
GLOBAL
O avanço nos estudos de dimensionamento estrutural baseados na Teoria da
Confiabilidade permitiu o desenvolvimento de uma nova metodologia de projeto. A
abordagem por segurança global (CERVENKA, 2013) surge com o intuito de
possibilitar o projeto de estruturas mais econômicas, sem comprometer o nível de
segurança estrutural.
Na abordagem por segurança global, o dimensionamento estrutural é realizado
inicialmente de acordo com as recomendações normativas, visando a uma
posterior otimização. No caso desse trabalho, os elementos estruturais (vigas e
pilares) são dimensionados de acordo com a metodologia apresentada na NBR
6118:2014.
2.3.1 O fator de segurança global (λ)
As diversas incertezas presentes no dimensionamento estrutural são então
consideradas por meio da adoção de um fator de segurança global (λ). Esse fator
único é adotado para a consideração conjunta de todas as incertezas presentes no
projeto, diferentemente do método de dimensionamento semi-probabilístico usual,
em que são adotados coeficientes de segurança parciais para cada uma das
variáveis consideradas no projeto.
Figura 2.14 – Abordagem por segurança global x método semi-probabilístico
Nesta avaliação, o fator λ é utilizado para majorar uma ou mais cargas
atuantes no modelo estrutural, até que se atinja a situação de colapso da estrutura,
ou seja, o valor numérico de λ que leva a estrutura ao colapso é considerado como
o fator de segurança global da análise realizada.
𝜆 = 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎𝑝𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙)
𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑎 (( (2-52)
34
Para que a análise seja isenta de definições arbitrárias de valores
característicos, e para que seja possível determinar a probabilidade de falha e o
índice de confiabilidade (β) associado ao fator de segurança global (λ), as variáveis
de resistência e solicitação são tomadas com seus valores médios, evitando a
influência da definição arbitrária das variáveis características de projeto.
2.3.2 A análise não linear
Para melhor definição do fator de segurança global (λ), é utilizada a
metodologia de análise não linear, ferramenta que se torna cada vez mais comum
para projeto de novas estruturas e avaliação de estruturas já construídas. Nesse
trabalho, foi considerada a formação de rótulas plásticas nas vigas de concreto
armado a partir do momento em que elas atingem sua capacidade resistente,
sendo os esforços redistribuídos para outros elementos estruturais.
A figura 2.15 exemplifica o mecanismo de formação de rótulas plásticas nas
vigas no problema analisado.
Figura 2.15 – Mecanismo de formação de rótulas plásticas (análise não linear)
O avanço das ferramentas computacionais de avaliação de estruturas
possibilitou que o conceito de análise não linear passe a ser utilizado em projetos
35
como uma alternativa à análise linear convencional. Inicialmente essa metodologia
era adotada apenas em pesquisas e estudos teóricos, devido à sua complexidade.
No entanto, a acurácia dos resultados encontrados e a possibilidade da otimização
no projeto estrutural tornaram a análise não linear uma prática possível de
dimensionamento.
No caso da análise linear, utilizada no dimensionamento usual de estruturas
por meio de modelos semi-probabilísticos, considera-se a distribuição elástica dos
esforços internos nos elementos estruturais, sendo a segurança estrutural
analisada por meio de verificações seccionais em cada um desses elementos.
Essa abordagem adota hipóteses que nem sempre refletem o comportamento real
das estruturas.
A aplicação de cargas de baixa magnitude em um elemento estrutural gera
uma distribuição de esforços internos que pode ser bem representada por modelos
elásticos, no entanto, com o aumento das solicitações, é comum que ocorra uma
redistribuição desses esforços internos devido a respostas inelásticas.
Além disso, a distribuição elástica dos esforços internos não é consistente com
o comportamento não linear dos materiais que compõem a estrutura, considerado
nas análises de segurança seccionais de acordo com os estados limites
preconizados nas diversas normas de dimensionamento.
A análise não linear possibilita a avaliação da segurança global do modelo
estrutural, não apenas a avaliação seccional de elementos estruturais isolados,
além de permitir a verificação da estrutura dentro de diversas hipóteses de
carregamento e considerando diferentes respostas estruturais.
2.3.3 Verificação explícita da rotação plástica solicitante
A NBR 6118 (ABNT,2014) apresenta em seu item 14.6.4.4 um modelo para
verificação da rotação nas rótulas plásticas, em que são determinados limites para
as rotações plásticas impostas em estruturas de concreto armado, de acordo com
a figura 2.16:
36
Figura 2.16 – Capacidade de rotação de rótulas plásticas (ABNT, 2014)
O limite da rotação plástica solicitante apresentado na figura 2.16 corresponde
à situação em que a razão a/d =3. Em que “a” é a distância entre o engaste e o
ponto de momento fletor nulo da viga analisada e “d” é a altura útil da viga.
Para outras situações, deve-se adotar a seguinte relação na determinação da
capacidade de rotação das rótulas plásticas:
𝜃𝑎𝑑𝑚 = 𝜃𝑝𝑙 ∙ √(𝑎/𝑑)
3 (( (2-53)
2.3.4 Metodologia do projeto aplicada na análise global
A seguir é apresentada a sequência de etapas adotada para a verificação
estrutural na abordagem por segurança global:
1) Dimensionamento dos elementos estruturais pelo método semi-
probabilístico de projeto, seguindo as recomendações normativas;
2) Análise não linear do modelo estrutural com auxílio de programa
computacional, considerando valores médios de solicitação e resistência;
3) Determinação do fator de segurança global (λ), referente ao carregamento
que leva a estrutura ao colapso;
4) Análise de confiabilidade para o fator λ encontrado, considerando o
comportamento global do modelo estrutural.
37
3 O PROGRAMA VAP
O programa Variables Processor (VAP) foi desenvolvido por Petschacher na
década de 1990, possibilitando a realização de análises de segurança estrutural
baseadas na Teoria da Confiabilidade. O programa pode ser utilizado em diversas
aplicações de engenharia, quando tem-se a necessidade de analisar a influência
das variáveis consideradas em projeto de maneira mais precisa.
Nele, define-se uma função de falha (G) que relaciona as variáveis de
resistência (R) com as de solicitação (S), de acordo com o problema fundamental
da confiabilidade, como apresentado na figura 3.1:
Figura 3.1 – Função de falha e variáveis no programa VAP
Para o caso exemplificado, a equação de falha depende de dez variáveis
aleatórias independentes, cada uma delas com sua distribuição de densidade de
probabilidade característica.
Na figura 3.2 é apresentado um exemplo de função de falha, para o caso de
análise de estabilidade global em um pórtico de edificação convencional, estudo
que será apresentado no item 4 do presente trabalho:
Figura 3.2 – Definição de função de falha no programa VAP
Tendo sido definida a função de falha, é necessário caracterizar as variáveis
aleatórias que a compõem, introduzindo no programa suas distribuições e seus
valores característicos. As figuras 3.3 e 3.4 apresentam a definição de duas das
variáveis aleatórias adotadas no caso que será analisado.
38
Figura 3.3 – Definição da variável FC (resistência do concreto)
Nesse caso, define-se “FC” (resistência do concreto) como uma variável aleatória
de distribuição normal, com média de 39840 kPa e desvio padrão de 5976 kPa.
Figura 3.4 – Definição da variável FH (força horizontal)
39
Já para o caso de “FH” (força horizontal), foi adotada uma variável aleatória
com distribuição de Gumbel (valores extremos), com média de 10,68 kN e desvio
padrão de 3,74 kN.
Após a definição da função de falha e da caracterização das variáveis
aleatórias que a compõem, é então realizada a análise no programa para
determinação dos índices de confiabilidade e das probabilidades de falha
associadas ao caso estudado.
O programa possibilita a utilização dos métodos FORM, SORM e Monte Carlo
para realização de análises e simulações, além da metodologia de integração
numérica.
Figura 3.5 – Opções de análise no programa VAP.
A seguir, nas figuras 3.6 e 3.7 são apresentadas as interfaces para aplicação
dos métodos FORM e SORM, utilizados no presente trabalho.
Figura 3.6 – Interface para aplicação dos métodos FORM e SORM.
Clicando em “start” o programa roda a análise e retorna a probabilidade de
falha no campo “pf”, no caso de aplicação do método FORM, ou nos campos “pf” e
“pf2”, ao adotar-se o método SORM.
40
Já no caso de aplicação do Método de Monte Carlo, deve-se definir também o
número de simulações a serem realizadas. O programa retorna a probabilidade de
falha e a distribuição de densidade de probabilidade da função de falha.
Figura 3.7 – Interface para aplicação do método de Monte Carlo
41
4 ANÁLISE GLOBAL DE UM PÓRTICO DE EDIFÍCIO CONVENCIONAL
A seguir é apresentado um exemplo de realização de análise por segurança
global de um pórtico representativo de uma estrutura de edificação convencional,
cujos elementos estruturais foram dimensionados de acordo com as
recomendações da norma brasileira NBR 6118 (ABNT,2014).
Em seguida são realizadas análises de confiabilidade utilizando o programa
“VAP”. Encontram-se os índices de confiabilidade para a situação final de
segurança global e para a análise seccional usual e então é feita uma comparação
entre os resultados obtidos.
4.1 ESTRUTURA ANALISADA
A estrutura analisada neste trabalho é um edifício convencional de 13
pavimentos. Será feita a análise do pórtico plano central do edifício. A seguir, nas
figuras 4.1 e 4.2 são apresentados o esquema da planta do edifício e o esquema
do pórtico plano.
Figura 4.1 – Planta do edifício Figura 4.2 – Pórtico plano central
A análise de segurança global realizada leva em consideração dois
carregamentos atuantes na estrutura: uma carga transversal de vento, com
resultante de 1 kN/m² na fachada maior e uma carga permanente distribuída por
42
pavimento de 8 kN/m². Com isso, é possível determinar as resultantes dessas
cargas, que são aplicadas diretamente nos nós do pórtico plano.
Carga de Vento:
𝑉 = 1𝑘𝑁
𝑚2× 3𝑚 × 6𝑚 = 18 𝑘𝑁 (( (4-1)
Carga de Piso:
𝑃 = 8𝑘𝑁
𝑚2× 5𝑚 × 6𝑚 = 240 𝑘𝑁 (( (4-2)
No entanto, para o dimensionamento dos elementos estruturais no estado
limite último, de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), considera-se as cargas
aplicadas no pavimento como distribuídas, com a justificativa de que as seções
transversais adotadas para as vigas sejam compatíveis com aquelas observadas
em estruturas reais.
Essa consideração permite que o mecanismo de formação de rótulas plásticas
utilizado na análise de segurança global também esteja em conformidade com
aquilo que seria observado na prática.
Carga de piso distribuída:
𝑃𝑑𝑖𝑠𝑡 = 8𝑘𝑁
𝑚2× 6𝑚 = 48 𝑘𝑁/𝑚² (( (4-3)
4.2 ANÁLISE DETERMINÍSTICA PELO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
As cargas de vento e de piso distribuída são aplicadas no pórtico central da
edificação modelado em programa de análise estrutural, conforme apresentado na
figura 4.3:
43
Figura 4.3 – Cargas aplicadas no ELU.
Com isso, são determinados os máximos momentos fletores atuantes nas
vigas e os máximos momento fletor e esforço normal que atuam no pilar mais
solicitado. Em seguida, os elementos estruturais são dimensionados.
4.2.1 Dimensionamento das vigas
Tabela 4.1– Esforços solicitantes nas vigas no ELU
Tendo encontradas as máximas solicitações nas vigas, é realizado o
dimensionamento. Determinam-se as seções transversais e as áreas de armadura
necessárias de acordo com a formulação apresentada na NBR 6118 (ABNT,2014).
No dimensionamento busca-se adotar seções em que a relação linha neutra sobre
altura útil se aproxime o máximo possível de 0,45 (valor limite) para uma melhor
adequação posterior nas análises por segurança global e por confiabilidade
seccional.
𝑥
𝑑≅ 0,45 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒)
(( (4-4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Mk(kNm) 613,6 649,0 619,6 601,0 572,4 549,9 526,2 499,1 477,2 451,6 427,5 414,1 346,0
Md(kNm) 859,0 908,6 867,4 841,4 801,4 769,9 736,7 698,7 668,1 632,2 598,5 579,7 484,4
Vigas
44
A seguir são apresentados os resultados obtidos, sendo exemplificada a
metodologia de dimensionamento adotada por meio do cálculo da Viga 1.
Tabela 4.2 – Dimensionamento das vigas no ELU
Exemplo de cálculo da viga 1:
As resistências características do concreto e do aço adotadas são:
𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 (( (4-5)
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (( (4-6)
Primeiro, determina-se o valor da altura útil da seção de concreto considerando
um cobrimento de 0,05 m:
𝑑 = ℎ − 𝑐𝑜𝑏 = 1,10 − 0,05 = 1,05 𝑚. (( (4-7)
Em seguida, são determinados os fatores adimensionais 𝐾𝑚𝑑, 𝐾𝑥 𝑒 𝐾𝑧:
𝐾𝑚𝑑 =𝑀𝑑
𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=
859
0,15 × 1,052 ×30000
1,4
= 0,242 (( (4-8)
𝐾𝑥 =𝑥
𝑑=
1 − (1 − 2 ×𝐾𝑚𝑑0,85
)0,5
0,8=
1 − (1 − 2 ×0,2420,85
)0,5
0,8= 0,431
(( (4-9)
𝐾𝑧 = 1 − 0,5 × 0,8 × 𝐾𝑥 = 1 − 0,5 × 0,8 × 0,431 = 0,828 (( (4-10)
Com isso, é possível determinar a área de armadura necessária para resistir
ao momento fletor de projeto.
45
𝐴𝑠 =𝑀𝑑
𝐾𝑧 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑=
859
0,828 × 1,05 ×50
1,15
= 22,73 𝑐𝑚² (( (4-11)
4.2.2 Dimensionamento do pilar mais solicitado
São retirados da análise em programa computacional os máximos esforço
normal e momento fletor atuantes no pilar mais solicitado do pórtico central.
Esforço normal:
𝑁𝑘 = −3565,7 𝑘𝑁 (( (4-12)
𝑁𝑑 = 1,4 × −3565,7 = −4992 𝑘𝑁 (( (4-13)
Momento fletor:
𝑀𝑘 = 347,78 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-14)
𝑀𝑑 = 1,4 × 347,8 = 487 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-15)
Tendo sido determinados os valores das solicitações de cálculo, é realizado o
dimensionamento do pilar mais solicitado, considerando o comportamento em
flexão composta reta. Esse dimensionamento é realizado com o auxílio da planilha
desenvolvida por SANTOS (2019), de acordo com o preconizado pela NBR 6118
(ABNT,2014).
A seguir, na figura 4.4, é apresentado o ábaco de interação utilizado no caso
analisado.
46
Figura 4.4 –Ábaco de verificação do pilar mais solicitado no ELU.
São considerados os seguintes dados de cálculo:
𝑏 = ℎ = 0,50𝑚 (𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟)
𝑑′ = 𝑑′′ = 0,03𝑚 (𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎)
𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎(𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜)
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎(𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜)
Chega-se a armadura necessária para resistir aos esforços de projeto:
𝐴𝑠 = 72 𝑐𝑚² (( (4-16)
O esquema de armaduras no pilar é apresentado na figura 4.5:
Figura 4.5 –Esquema de armaduras dos pilares
47
4.3 ANÁLISE POR SEGURANÇA GLOBAL
A análise por segurança global assume uma situação última de ruptura, em
que tanto as vigas quanto os pilares do pórtico central atingem suas capacidades
resistentes. No caso das vigas, considera-se a situação da formação de rótulas
plásticas quando elas atingem sua capacidade resistente com o aumento das
cargas aplicadas na estrutura analisada (cargas de vento, no caso exemplificado).
Após a formação de rótulas plásticas nas vigas, o aumento das solicitações
aplicadas no pórtico passa a ser resistido exclusivamente pelos pilares. O
momento crítico da análise ocorre quando são formadas rótulas plásticas nas
bases dos pilares, dando início a uma cadeia cinemática.
No caso exemplificado, a análise consiste em manter constante o valor
aplicado de carga permanente (carga de piso) e majorar progressivamente as
cargas de vento aplicadas na estrutura, multiplicando-as por um fator λ (fator de
análise global) até o momento de colapso do pórtico analisado.
Para obter os resultados desejados na análise por segurança global, são
considerados os valores médios das cargas aplicadas, assim como os valores
médios das resistências consideradas. Essa consideração tem como objetivo evitar
que os resultados encontrados sejam influenciados por definições arbitrárias de
solicitações e resistências características e de cálculo, que variam de acordo com
a norma considerada para o projeto.
Além disso, para garantir a simetria da estrutura analisada, possibilitando a
melhor análise dos mecanismos de formação das rótulas plásticas, é considerada
simplificadamente a aplicação apenas de cargas nodais.
Na obtenção dos valores médios das cargas aplicadas são consideradas as
relações entre valores médios e característicos (“bias factor”) de 1,05 para carga
permanente e de 1,187 para a carga de vento (correspondente a um período de
recorrência de 50 anos e a um coeficiente de variação de 0,35). Com isso, chega-
se aos seguintes valores para as cargas aplicadas.
Carga de Piso:
𝑃 = 1,05 × 240 = 252 𝑘𝑁 (( (4-17)
48
Carga de Vento:
𝑉 = 1,187 × 18 = 21,37 𝑘𝑁 (( (4-18)
As cargas nodais são então aplicadas no pórtico central modelado em
programa de análise estrutural.
Figura 4.6 –Cargas aplicadas na análise global.
Após a determinação das cargas atuantes na estrutura, é necessário
determinar as capacidades resistentes de vigas e pilares considerando os valores
médios das resistências do concreto e do aço. Para isso, deve-se considerar que a
definição para valores característicos de resistência dos materiais pela NBR 6118
(ABNT,2014) leva em consideração o quantil de 5%.
As relações entre os valores de resistência média e característica (“bias
factor”) do concreto e do aço são respectivamente 1,328 e 1,089; considerando os
coeficientes de variação para as resistências do concreto e do aço iguais a 0,15 e
0,05.
Com isso, determinam-se os valores de resistência média.
Concreto:
𝑓𝑐𝑚 = 1,328 × 30000 = 39840 𝑘𝑃𝑎 (( (4-19)
Aço:
𝑓𝑦𝑚 = 1,089 × 50 = 54,45 𝑘𝑁/𝑐𝑚² (( (4-20)
49
Tendo sido determinados esses valores, é possível calcular os momentos
resistentes médios (capacidade resistente) das vigas analisadas. Para isso será
utilizada a planilha de dimensionamento desenvolvida por SANTOS (2019),
conforme exemplificado para a viga 1:
Figura 4.7 – Ábaco de verificação da viga 1 considerando as resistências médias.
Portanto, vemos que para o caso da viga 1, ao considerar os valores de
resistência média chega-se à seguinte capacidade resistente:
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 1151 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-21)
A mesma metodologia foi adotada para determinação da capacidade resistente
das vigas que vão do segundo ao décimo terceiro pavimento. Os valores obtidos
são apresentados a seguir:
Tabela 4.3 –Capacidade resistente das vigas do pórtico central.
50
Tendo então sido determinadas as capacidades resistentes de todas as vigas
que compõem o pórtico analisado, é possível modelar no programa de análise
estrutural as rótulas plásticas que surgirão quando os momentos solicitantes nas
vigas atingirem os momentos resistentes médios.
A análise considerando as rótulas plásticas é então realizada. A metodologia
adotada é a de se aumentar gradativamente o valor de λ (fator de segurança
global) até se atingir a situação de ruptura do pilar mais solicitado.
A situação de ruptura ocorre quando se atinge os seguintes esforços no pilar
mais solicitado:
𝑀𝑠𝑜𝑙 = 1016 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-22)
𝑁𝑠𝑜𝑙 = −5114 𝑘𝑁 (( (4-23)
O que pode ser verificado com auxílio da planilha de dimensionamento de
SANTOS, considerando agora as resistências médias do concreto e do aço para
determinação da capacidade resistente do pilar:
Figura 4.8 –Ábaco de verificação do pilar mais solicitado considerando resistências
médias.
51
Os esforços solicitantes que causam a ruptura do pilar são encontrados
quando se aplica no programa de análise estrutural os carregamentos horizontais
apresentados parcialmente na figura 4.9:
Figura 4.9 – Resultados da análise de segurança global.
Logo, o fator de segurança global encontrado na análise realizada é de:
𝜆 =74,8
21,37= 3,50 (( (4-24)
Esse valor relativamente elevado mostra que é possível otimizar o projeto,
reduzindo o custo da estrutura, no que diz respeito à análise por segurança global.
Para isso é necessário definir uma relação entre o λ (fator de segurança global) e o
índice de confiabilidade (β), que é usualmente apresentado nas normas de
dimensionamento, com o objetivo de garantir o nível requerido de segurança.
Sendo assim, a seguir serão realizadas análises de confiabilidade com o intuito
de determinar essa relação entre os fatores λ e β.
4.4 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA O ELU - VIGAS
A análise probabilística de segurança no estado limite último consiste em
analisar seccionalmente a segurança nas seções críticas dos elementos estruturais
solicitados. Neste tópico serão analisadas as vigas do pórtico plano central
previamente apresentado; no próximo tópico serão analisados os pilares.
Para as vigas submetidas à solicitação de flexão simples, a NBR 6118
(ABNT,2014) considera o equilíbrio seccional com o bloco retangular equivalente
de resistência do concreto, conforme mostrado na figura 4.10:
52
Figura 4.10 –Seção simplificada de concreto armado para análise seccional.
Considerando o equilíbrio na seção de acordo com as recomendações
normativas, é possível determinar uma equação representativa do momento fletor
resistente de vigas submetidas à flexão simples.
Primeiramente, determinam-se as forças atuantes no aço e no concreto, além
do braço de alavanca entre essas duas forças:
𝐹𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 (4-25)
𝐹𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 0,8𝑥 (4-26)
𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥 (4-27)
Depois, igualam-se as forças do concreto e do aço:
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑧 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (( (4-28)
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 −0,5 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
0,85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏) (( (4-29)
Considerando-se a altura útil da seção de concreto como sendo a altura total
subtraída do cobrimento (neste caso definido como a distância entre o centro de
gravidade das armaduras e a face mais próxima do concreto) adotado, chega-se à
seguinte equação para o momento fletor resistente das vigas:
𝑀𝑟𝑒𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (ℎ − 𝑐𝑜𝑏 −0,588 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
𝑓𝑐 ∙ 𝑏) (( (4-30)
Com isso, é possível definir a equação de falha das vigas submetidas a flexão,
que nada mais é do que uma subtração do momento fletor resistente menos o
solicitante (W):
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑆. 𝑓𝑦. (ℎ − 𝑐𝑜𝑏 − 0,588. 𝐴𝑆 .𝑓𝑦
𝑓𝑐 ∙ 𝑏) − (𝑊) (( (4-31)
53
Para a definição probabilística das variáveis, são consideradas as
características apresentadas na tabela 4.4.
Tabela 4.4 –Características probabilísticas para as análises de confiabilidade
Além disso, devem-se definir algumas outras variáveis referentes ao caso
analisado, como altura da seção (h), largura da seção (b), cobrimento adotado para
a armadura e o momento solicitante na viga causado pela ação do vento (W).
Tomando como base a tabela 4.4, são definidas as variáveis probabilísticas
que são utilizadas na análise de confiabilidade. A seguir são apresentadas as
variáveis adotadas para análise da Viga 1.
Tabela 4.5 –Características probabilísticas da viga 1.
A análise de confiabilidade é então processada no programa “VAP”, aplicando-
se o método FORM. Os resultados encontrados são apresentados na figura 11.
Variável Distribuição Média Desvio Padrão
h(m) Normal 1,100 0,010
b(m) Normal 0,150 0,0049
cob(m) Normal 0,050 0,005
As(cm²) Normal 22,73 0,3410
fc(kN/m²) Normal 39840 5976
fy(kN/cm²) Normal 54,45 2,7225
W(kNm) Gumbel 728,3 254,91
Viga 1
54
Figura 4.11 –Análise probabilística seccional da viga 1.
A análise fornece os seguintes resultados:
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝛽) = 1,43
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 = 7,692 × 10−2
Esse baixo valor de β é explicado pelo fato de o momento solicitante ser todo
proveniente da carga de vento, que é uma carga com alto coeficiente de variação.
A seguir são apresentados os resultados dos índices de confiabilidade encontrados
para todas as vigas que compõe o pórtico central analisado.
Tabela 4.6 –Análise probabilística seccional das vigas.
4.5 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA O ELU – PILARES
Para se determinar a função de falha dos pilares submetidos à flexão
composta reta, inicialmente é feita a definição da taxa mecânica de armadura (ω),
do esforço normal reduzido (η) e do momento reduzido (μ), de acordo com o
apresentado por SANTOS (2019):
𝜔 =𝐴𝑆 . 𝑓𝑦
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐 (( (4-32)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
β 1,43 1,42 1,43 1,42 1,44 1,42 1,41 1,42 1,41 1,43 1,41 1,43 1,42
Prob. Falha 7,69E-02 7,85E-02 7,68E-02 7,76E-02 7,56E-02 7,73E-02 7,87E-02 7,72E-02 7,87E-02 7,66E-02 7,89E-02 7,57E-02 7,81E-02
Vigas
55
𝜂 =𝑁
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐 (( (4-33)
𝜇 =𝑀
𝑏. ℎ2𝑓𝑐 (( (4-34)
É então feita a consideração de que as variáveis ω, η e μ são expressas por
uma relação linear na região em torno do ponto de projeto:
𝜔 = 𝐴 + 𝐵𝜇 + 𝐶𝜂 (4-35)
Figura 4.12 –Relação linear entre as variáveis adimensionais.
Será inicialmente determinado o ponto de projeto:
Taxa mecânica de armadura:
𝜔 =𝐴𝑆. 𝑓𝑦
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐=
72 ×50
1,15
0,5 × 0,5 ×30000
1,4
= 0,58435 (( (4-36)
Momento adimensional:
𝜇 =𝑀
𝑏. ℎ2𝑓𝑐=
487
0,5 × 0,52 ×30000
1,4
= 0,18181 (( (4-37)
Normal adimensional:
𝜂 =𝑁
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐= −
4992
0,5 × 0,5 ×30000
1,4
= −0,93184 (( (4-38)
56
Tendo sido encontrada a posição do ponto de projeto, são escolhidos 3 pontos
próximos a essa posição para determinação da equação linear que determina o
valor da taxa mecânica de armadura.
Os pontos escolhidos são:
Ponto 1:
𝜔 = 0,6; 𝜂 = −1,0
Ponto 2:
𝜔 = 0,6; 𝜂 = −0,75
Ponto 3:
𝜔 = 0,4; 𝜂 = −1,0
Tendo sido determinados os valores da taxa mecânica de armadura e do
esforço normal reduzido de cada ponto, seguindo o critério de que os pontos
escolhidos devem estar próximos do ponto de projeto, é possível determinar os
valores dos momentos fletores reduzidos. A seguir será apresentado o cálculo do
momento fletor reduzido para o ponto 1 (𝜔 = 0,6 ; 𝜂 = −1,0).
Cálculo da área de armadura e do esforço normal de projeto:
𝐴𝑠 =𝜔 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐
𝑓𝑦=
0,6 × 0,5 × 0,5 ×30000
1,450
1,15
= 73,93 𝑐𝑚² (( (4-39)
𝑁𝑑 = 𝜂 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 = −1 × 0,5 × 0,5 ×30000
1,4= −5357,14 𝑘𝑁 (( (4-40)
Tendo sido determinados a área de armadura e o esforço normal de projeto, o
valor do momento fletor de projeto é obtido por meio da planilha de
dimensionamento desenvolvida por SANTOS (2019):
𝑀𝑑 = 452 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-41)
E assim determina-se o valor do momento fletor reduzido:
𝜇 =𝑀
𝑏. ℎ2𝑓𝑐=
452
0,5 × 0,52 ×30000
1,4
= 0,16875 (( (4-42)
Com isso chega-se a equação representativa do primeiro ponto de projeto:
𝐴 + 0,16875𝐵 − 𝐶 = 0,6 (( (4-43)
57
A mesma rotina é adotada para os pontos 2 e 3, sendo determinado o seguinte
sistema de equações lineares para determinação das incógnitas A, B e C:
𝐴 + 0,16875𝐵 − 𝐶 = 0,6 (4-44)
𝐴 + 0,23184𝐵 − 0,75𝐶 = 0,6 (4-45)
𝐴 + 0,09931𝐵 − 𝐶 = 0,4 (4-46)
A resolução do sistema fornece a relação linear na região de entorno do ponto
de projeto. Considerando-se o esforço de compressão como positivo, chega-se a
seguinte equação:
𝜔 = −0,6129 + 2,8802𝜇 + 0,7268𝜂 (( (4-47)
A partir dessa relação, pode-se determinar a função de falha dos pilares
submetidos à flexão composta reta:
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝜔𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡 + 0,6129 − 2,8802𝜇 − 0,7268𝜂 (( (4-48)
Em que:
𝜔𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡 =𝐴𝑆 . 𝑓𝑦
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐 (( (4-49)
Logo:
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑆. 𝑓𝑦
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐+ 0,6129 − 2,8802𝜇 − 0,7268𝜂 (( (4-50)
A seguir todos os fatores são multiplicados pelo fator 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐:
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129𝑏ℎ𝑓𝑐 − 2,8802𝜇𝑏ℎ𝑓𝑐 − 0,7268𝜂𝑏ℎ𝑓𝑐 (( (4-51)
E como:
𝜇𝑏ℎ𝑓𝑐 =𝑀
ℎ (( (4-52)
𝜂𝑏ℎ𝑓𝑐 = 𝑁 (( (4-53)
Chega-se à função de falha em função dos esforços solicitantes de cálculo:
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 −2,8802 ∙ 𝑀
ℎ− 0,7268 ∙ 𝑁 (( (4-54)
Tomando como base a tabela 4.4, são definidas as variáveis probabilísticas
que são utilizadas na análise de confiabilidade. A seguir são apresentadas as
variáveis adotadas para o pilar analisado.
58
Tabela 4.7 – Características probabilísticas do pilar analisado
A análise de confiabilidade é então processada no programa “VAP”, aplicando-
se o método FORM. Os resultados encontrados são apresentados na figura 4.13.
Figura 4.13 – Análise probabilística seccional do pilar analisado
A análise fornece os seguintes resultados:
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝛽) = 2,91
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 = 1,781 × 10−3
O valor encontrado de β está abaixo do valor limite recomendado (𝛽𝑙𝑖𝑚 = 3,8).
Isso pode ser explicado pelo fato da peça estar submetida à ação simultânea de
cargas permanentes e variáveis, com a solicitação variável representando grande
parcela da solicitação total (cerca de 47%).
Contribuição da parcela de momento fletor (carga variável):
𝐹𝑊 =2,8802 × 412,9
0,5= 2378,47 𝑘𝑁 (( (4-55)
Variável Distribuição Média Desvio Padrão
h(m) Normal 0,500 0,007
b(m) Normal 0,500 0,007
As(cm²) Normal 72,00 1,080
fc(kN/m²) Normal 39840 5976
fy(kN/cm²) Normal 54,45 2,7225
N(kN) Normal 3744,00 187,2
W(kNm) Gumbel 412,9 144,5
Pilar
59
Contribuição da parcela de esforço normal (carga permanente):
𝐹𝑁 = 0,7268 × 3744 = 2721,14 𝑘𝑁 (( (4-56)
Razão entre solicitação variável e solicitação total:
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =2378,47
5099,61= 0,466 (( (4-57)
Durante o período de vida útil de uma edificação usual, a probabilidade de que
as solicitações variáveis representem 47% das solicitações totais é pequena.
4.6 ANÁLISE PROBABILÍSTICA PARA A SEGURANÇA GLOBAL
Para a determinação da probabilidade de falha da estrutura considerando a
análise por segurança global, é necessário definir, a partir dos esforços solicitantes
na estrutura, o momento fletor e o esforço normal que surgem na base do pilar. Na
análise a seguir é determinado o índice de confiabilidade relacionado ao fator λ
(fator de segurança global) de 3,5.
O cálculo do momento fletor atuante na base do pilar é feito considerando o
equilíbrio do pilar, na seguinte situação:
Figura 4.14 – determinação do momento fletor na base do pilar
Portanto, o momento solicitante na base do pilar pode ser determinado pela
seguinte equação:
𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = (1 + 2 + 3 … + 13) × 3 ×𝐹𝐻
2− ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠
𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =273 × 𝐹𝐻
2− ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠 (( (4-58)
60
Já o cálculo do esforço normal que ocorre na base do pilar pode ser realizado
considerando a seguinte configuração:
Figura 4.15 – Determinação do esforço normal na base do pilar
Portanto, o esforço normal na base do pilar pode ser determinado pela
seguinte equação:
10 × (𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 − 13 ∙ 𝐹𝑉) + 2 × 𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 273 × 𝐹𝐻
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =(273 ∙ 𝐹𝐻 − 2 ∙ 𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟)
10+ 13 ∙ 𝐹𝑉 (( (4-59)
Tendo sido determinadas essas equações, e considerando a função de falha
adotada na análise probabilística de pilares, é possível definir uma nova equação
de falha em função dos esforços verticais e horizontais aplicados na estrutura e
dos momentos fletores que surgem nas vigas quando aplicados esses
carregamentos.
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 −2,8802 ∙ 𝑀
ℎ− 0,7268 ∙ 𝑁
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 −2,8802 ∙ (
273 ∙ 𝐹𝐻2 − ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)
ℎ− 0,7268
∙ ((273 ∙ 𝐹𝐻 − 2 ∙ 𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟)/10 + 13 ∙ 𝐹𝑉)
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 −2,8802 ∙ (
273 ∙ 𝐹𝐻2 − ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)
ℎ− 0,7268
× ((0,1 × (273 ∙ 𝐹𝐻 − 2 ∙ (273 ∙ 𝐹𝐻
2− ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)) + 13 ∙ 𝐹𝑉)
61
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 0,6129 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 −2,8802 ∙ (
273 ∙ 𝐹𝐻2
− ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)
ℎ
− 0,7268 × (13 ∙ 𝐹𝑉 + 0,2 ∑ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)
(( (4-60)
Tomando como base a tabela 4.4, são definidas as variáveis probabilísticas
que são utilizadas na análise de confiabilidade. A seguir são apresentadas as
variáveis adotadas para o pilar analisado:
Tabela 4.8- Características probabilísticas na análise por segurança global
Os valores encontrados de média (µ) e desvio padrão (σ) para o somatório de
momentos fletores atuantes na viga foram determinados da seguinte forma:
𝜇 = ∑ µ𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠 (( (4-61)
σ = √∑ σ𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠2 (( (4-62)
O desvio padrão para o momento fletor atuante em cada viga é determinado a
partir da diferença entre os valores de momento fletor médio e característico, da
seguinte maneira:
σ =𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 − 𝑀𝑘
1,65 (( (4-63)
A seguir são apresentados os valores de momento fletor atuantes nas vigas
encontrados no programa de análise estrutural, quando são aplicados os esforços
médios e característicos na estrutura, além dos seus respectivos desvios padrões
e os quadrados dos desvios padrões (variâncias)
Tabela 4.9- Médias e desvios padrões dos momentos fletores que surgem nas vigas
Variável Distribuição Média Desvio Padrão
h(m) Normal 0,500 0,007
b(m) Normal 0,500 0,007
As(cm²) Normal 72,00 1,080
fc(kN/m²) Normal 39840 5976
fy(kN/cm²) Normal 54,45 2,7225
FV(kN) Normal 252,0 12,6
FH(kNm) Gumbel 21,37 7,48
Mvigas(kNm) Gumbel 9193 267,1
Análise por segurança global
62
Como exemplo, é determinado o desvio padrão do momento fletor atuante na
viga do primeiro pavimento:
σ =𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 − 𝑀𝑘
1,65=
1151 − 995,8
1,65= 94,1 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (( (4-64)
Após determinadas as médias e os desvios padrões de todas as variáveis que
compõem a função de falha, a análise de confiabilidade é processada no programa
“VAP”, aplicando os métodos FORM, SORM e Monte Carlo (1000000 de
amostras). Os resultados encontrados são apresentados na figura 4.16:
Figura 4.16 – Análise probabilística para a segurança global
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Mméd(kNm) 1151 1207,8 1169 1117,0 939,6 840,5 740,3 603,5 510,6 381,3 283,4 168,9 80,0
Mk(kNm) 995,8 1094,6 976,4 908,2 787,2 707,3 623,5 508,3 430,0 321,2 238,8 141,7 67,3
σ(kNm) 94,1 68,6 116,7 126,5 92,4 80,7 70,8 57,7 48,8 36,4 27,0 16,5 7,7
σ² 8848,5 4706,8 13625,3 16013,8 8531,0 6516,9 5010,9 3328,9 2386,2 1326,7 730,6 271,8 59,2
Vigas
63
A análise fornece os seguintes resultados:
Método FORM:
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝛽) = 3,84
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 = 6,137 × 10−5
Método SORM:
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝛽) = 3,85
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 = 6,019 × 10−5
Método de Monte Carlo (1000000 de amostras):
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝛽) = 3,89
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 = 5,000 × 10−5
Portanto, percebe-se que a análise de confiabilidade relacionada ao fator de
segurança global (λ) de 3,5, que corresponde ao dimensionamento usual de
acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), fornece resultados em conformidade com
o limite normativo recomendado para o índice de confiabilidade (𝛽 ≥ 3,8):
𝜆 = 3,50; 𝛽 ≅ 3,85 > 3,8
A figura 4.17 apresenta uma evolução do índice de confiabilidade β em função
do fator de segurança global λ, com valores obtidos em análises similares à
apresentada.
Figura 4.17 – Relação λ x β
64
4.7 CAPACIDADE DE ROTAÇÃO DAS RÓTULAS PLÁSTICAS
Conforme apresentado no item 2.3.3, para se garantir que o pórtico analisado
esteja em segurança com relação ao estado limite último, deve-se verificar as
rotações plásticas que ocorrem na estrutura devido ao mecanismo de formação de
rótulas plásticas.
Para isso, foram retiradas do programa de análise estrutural as rotações que
ocorrem nas vigas dos três primeiros pavimentos em duas situações, quando
submetidas aos seus limites de carregamento elásticos e na situação de colapso
plástico encontrada na análise por segurança global (fator λ = 3,5).
Os resultados obtidos são apresentados na tabela 4.10.
Tabela 4.10- Rotações nas vigas devido à formação de rótulas plásticas
Portanto, percebe-se que a viga do segundo pavimento apresenta a maior
rotação plástica:
𝜃 = 3,00 𝑚𝑟𝑎𝑑
A capacidade de rotação das rótulas plásticas é determinada seguindo a
metodologia apresentada no item 2.3.3, de acordo com a figura 2.16, considerando
𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 e a razão x/d = 0,411. Tem-se:
𝜃𝑝𝑙 = 7,50 𝑚𝑟𝑎𝑑
Para determinação da máxima rotação plástica admissível, adota-se a
seguinte relação:
𝜃𝑎𝑑𝑚 = 𝜃𝑝𝑙 ∙ √𝑎/𝑑
3 (( (4-65)
65
Em que:
𝑎 = 5,0 𝑚 (𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜)
𝑑 = 1,10 𝑚 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
Logo:
𝜃𝑎𝑑𝑚 = 7,50 ∙ √5
1,1 ∙ 3 = 9,23 𝑚𝑟𝑎𝑑 (( (4-66)
Portanto, após feita a verificação da capacidade de rotação das rótulas
plásticas, tem-se que a maior rotação plástica que ocorre nas vigas do pórtico
analisado está dentro do limite proposto pela NBR 6118 (ABNT,2014).
𝜃 = 3,00 𝑚𝑟𝑎𝑑 < 𝜃𝑎𝑑𝑚 = 9,23 𝑚𝑟𝑎𝑑 (( (4-67)
Assim, a estrutura analisada está segura no que diz respeito ao mecanismo de
formação de rótulas plásticas nas vigas quando elas atingem sua capacidade de
resistência elástica.
66
5 CONCLUSÃO
Os resultados encontrados indicam que a análise de confiabilidade por
segurança global resulta em índices de confiabilidade superiores aos encontrados
nas análises seccionais de vigas e pilares. Deve-se observar que as análises de
confiabilidade usuais em seções isoladas podem levar à resultados distorcidos,
pois não representam o funcionamento da estrutura como um todo.
Além disso, percebe-se que o fator de segurança global correspondente ao
dimensionamento realizado pelo estado limite último de acordo com a NBR 6118
(ABNT, 2014) resulta em um índice de confiabilidade que está em conformidade
com o valor de β= 3,8, muitas vezes considerado como o valor limite nas análises
probabilísticas de segurança.
A tabela a seguir resume os resultados encontrados nas diversas análises:
Tabela 4.11- Resultados obtidos
A realização de mais estudos é necessária para a efetiva aplicação dos
conceitos de análise por segurança global aqui apresentados. Será necessária
uma definição normativa para o fator 𝜆 mínimo a ser considerado em cada caso,
em conformidade com os limites recomendados para o índice de confiabilidade β.
Considera-se também que esse fator de segurança deva ser mais rigoroso
nos casos de ruptura frágil das estruturas, apresentando valores maiores do que
nas situações em que ocorre a ruptura do tipo dúctil.
Como sugestão para trabalhos posteriores pode-se citar o estudo do
coeficiente de segurança global em estruturas nas quais ocorrem rupturas do tipo
frágil, ou a obtenção do fator de segurança global de estruturas de edifícios de
concreto armado aplicando todas as cargas usualmente consideradas em projeto,
por meio de análises mais refinadas.
Análise β
Vigas 1,43
Pilares 2,91
Global, λ=3,50 3,85
Global, λ=3,00 3,37
67
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABNT-ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014. NBR
6118: Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro.
BASTOS, F. P. S. 2012. Análise de Confiabilidade de Seções Submetidas
a Flexão Simples e Composta pelo Método de Monte Carlo. Universidade
Federal do Rio de Janeiro. Projeto de Graduação.
BECK, A.T. 2015. Curso de Confiabilidade Estrutural. São Carlos:
Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos - Departamento
de Engenharia de Estruturas.
CERVENKA, V. 2013. Reliability-based non-linear analysis according to
fib Model Code 2010. Structural Concrete, 14, No. 1.
CEN-EUROCODE. 2002. EN 1990: Basis of Structuctural Design. s.l. :
Eurocode, 2002.
FRAGOSO, R. R. S. 2018. Avaliação probabilística das variáveis de
projeto de edifícios. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Projeto de
Graduação.
FRANCO, R. M. 2010. Avaliação da segurança em peças de concreto
armado com base na teoria da confiabilidade. Universidade Federal do Rio de
Janeiro. Projeto de Graduação.
INTERLANDI, C.; MARTHA, L. F.; SANTOS, S. H. C. 2018. Confiabilidade
em Estruturas de Concreto Armado: Estudo Comparativo entre Enfoques de
Estado Limite Último e de Segurança Global. Anais do X Congresso Brasileiro
de Pontes Estruturas, Rio de Janeiro.
INTERNATIONAL FEDERATION FOR STRUCTURAL CONCRETE (fib),
2013 – Model Code for Concrete Structures 2010.
MELCHERS, R. E., 2018. Structural Reliability Analysis and Prediction.
3rd., Melbourne, John Willey & Sons.
PETSCHACHER SOFTWARE UND PROJEKTENTWICKLUNGS, 2017. VAP
– Variables Processor, Version 4.0.
68
PINHEIRO, J. I. D., et al. 2011. Princípios de Estatística. Rio de Janeiro:
Elsevier.
SANTOS, S. H. C. 2018. Curso de Confiabilidade Estrutural. Rio de
Janeiro: notas de aula, 2018. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Programa
de Projeto de Estruturas (PPE), Escola Politécnica.
SANTOS, S. H. C. 2019. Fundamentos de Concreto Armado II. Rio de
Janeiro: apostila, 2019. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola
Politécnica.
SCHNEIDER, J. 2017. Introduction to Safety and Reliability of Structures.
3rd. ed.: International Association for Bridge and Structural Engineering (IABSE).
