ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 1 / 12

Aplicac ao do Capıtulo VI

a Classificac ao de Conicas e Qu adricas

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A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na

classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por

equacoes do 2o grau.

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A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na

classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por

equacoes do 2o grau.

Definic ao

Uma conica e o conjunto dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem uma

equacao do segundo grau em duas variaveis da forma

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

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A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na

classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por

equacoes do 2o grau.

Definic ao

Uma conica e o conjunto dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem uma

equacao do segundo grau em duas variaveis da forma

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma

[

x y]

.

[

A B

2B

2C

]

.

[

x

y

]

+[

D E]

.

[

x

y

]

= F

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Efectuando uma mudanca de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo

uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, e possıveldar a equacao anterior uma forma mais simples.

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Efectuando uma mudanca de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo

uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, e possıveldar a equacao anterior uma forma mais simples.

A matriz quadrada real

M =

[

A B

2B

2C

]

e simetrica, logo, existe uma matriz Q ortogonal, tal que QT MQ = D, com

D diagonal. As colunas de Q sao vectores proprios ortonormados de M e oselementos diagonais de D sao os correspondentes valores proprios λ1 e λ2

de M .

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Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

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Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

obtem-se uma equacao da forma

λ1(x′)2 + λ2(y

′)2 + D′x′ + E′y′ = F ′.

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Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

obtem-se uma equacao da forma

λ1(x′)2 + λ2(y

′)2 + D′x′ + E′y′ = F ′.

Em seguida, eliminam-se os termos do primeiro grau, procurando quadrados

perfeitos de modo a obter uma equacao da forma

λ1(x′ + x0)

2 + λ2(y′ + y0)

2 = F ′′.

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Fazendo uma outra mudanca de coordenadas (uma translacao)

x′′ = x′− x0, y′′ = y′ − y0

obtem-se uma equacao reduzida

λ1(x′′)2 + λ2(y

′′)2 = F ′′′

e pode-se finalmente classificar a conica.

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Proposic ao

Considere-se a conica de equacao

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =

[

A B

2B

2C

]

. Entao:

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Proposic ao

Considere-se a conica de equacao

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =

[

A B

2B

2C

]

. Entao:

(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse

degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);

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Proposic ao

Considere-se a conica de equacao

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =

[

A B

2B

2C

]

. Entao:

(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse

degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);

(b) Se B2− 4AC = λ1λ2 < 0, a conica e uma hiperbole ou uma hiperbole

degenerada (duas rectas concorrentes);

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Proposic ao

Considere-se a conica de equacao

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.

Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =

[

A B

2B

2C

]

. Entao:

(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse

degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);

(b) Se B2− 4AC = λ1λ2 < 0, a conica e uma hiperbole ou uma hiperbole

degenerada (duas rectas concorrentes);

(c) Se B2− 4AC = λ1λ2 = 0, a conica e uma parabola ou uma parabola

degenerada (duas rectas paralelas, uma recta ou o conjunto vazio).

Exemplo

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A conica de equacao

2x2− 4xy − y2

− 4x + 10y = 13

pode escrever-se da seguinte forma

[

x y]

.

[

2 −2−2 −1

]

.

[

x

y

]

+[

−4 10]

.

[

x

y

]

= 13

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A matriz quadrada real

M =

[

2 −2−2 −1

]

e simetrica, logo, existe uma matriz Q =

[

2√

5

5

√5

5

−

√5

5

2√

5

5

]

ortogonal, tal que

QT MQ =

[

3 00 −2

]

.

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Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

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Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

obtem-se uma equacao da forma

3(x′)2 − 2(y′)2 +18

√

5

5x′ +

16√

5

5y′ = 12.

ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 9 / 12

Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)

[

x

y

]

= Q

[

x′

y′

]

,

obtem-se uma equacao da forma

3(x′)2 − 2(y′)2 +18

√

5

5x′ +

16√

5

5y′ = 12.

Em seguida, procuram-se quadrados perfeitos e obtem-se uma equacao da

forma

(x′−

3√

5

5)2

4−

(y′ − 4√

5

5)2

6= 1.

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Fazendo uma outra mudanca de coordenadas (uma translacao)

x′′ = x′−

3√

5

5, y′′ = y′ −

4√

5

5

obtem-se uma equacao reduzida

(x′′)2

4−

(y′′)2

6= 1,

equacao de uma hiperbole com semieixo transverso alinhado com o eixo dos

x′′ com comprimento 2.

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Definic ao

Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma

equacao do segundo grau em tres variaveis da forma

Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.

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Definic ao

Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma

equacao do segundo grau em tres variaveis da forma

Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.

Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma

[

x y z]

.

AB

2

C

2

B

2D

F

2

C

2

F

2E

.

x

y

z

+[

F G H]

.

x

y

z

= F

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Definic ao

Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma

equacao do segundo grau em tres variaveis da forma

Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.

Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma

[

x y z]

.

AB

2

C

2

B

2D

F

2

C

2

F

2E

.

x

y

z

+[

F G H]

.

x

y

z

= F

Analogamente , a diagonalizacao de matrizes simetricas reais de ordem 3

pode ser utilizada na classificacao de quadricas.

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De igual modo se pode obter uma equacao reduzida de uma quadrica.