Apostila ITA Analise Combinatoria

8/11/2019 Apostila ITA Analise Combinatoria

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B 01

Combinaes e Permutaes

Introduo

Neste captulo so apresentadas as ferramentas bsicas que nos permitemdeterminar o nmero de elementos de conjuntos formados de acordo com certasregras, sem que seja necessrio enumerar seus elementos.

A procura por tcnicas de contagem est diretamente vinculada histria daMatemtica e forma pela qual as pessoas tem seu primeiro contato com estadisciplina. A primeira tcnica matemtica aprendida por uma criana contar, ouseja, enumerar os elementos de um conjunto de forma a determinar quantos so osseus elementos. As operaes aritmticas so tambm motivadas (e aprendidas pelascrianas) atravs de sua aplicao a problemas de coragem.

Por exemplo, a operao de adio sempre introduzida em conexo com umproblema de contagem:

Fig. 1

A figura 1 ilustra um princpio bsico de contagem, que podemos chamar dePrincpio da Adio:

Se e B so dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente,

entre A B possui p q+ elementos.A seguir apresentamos o Princpio da Multiplicao, que, ao lado do Princpio

da Adio, constitui a ferramenta bsica para resolver os problemas de contagemabordados a nvel de 2 grau. Para motivar tal princpio, consideramos o exemplo aseguir.

Numa sala h 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos possvel selecionarum casal homem-mulher? Chamado os homens de

1h ,

2h ,

3h e as mulheres de

1m ,

2m ,

3m ,

4m fcil ver que h 4 casais nos quais o homem

1h , outros 4 nos quais

o homem 2

h e outros 4 nos quais o homem 3

h . O nmero de casais portanto

4 4 4 3 4 12+ + = = .


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interessante observar no exemplo 3 que se comessemos pelo ltimo algarismoteramos 10 modos de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o penltimoalgarismo (no podemos usar algarismo empregado anteriormente) e ... e agoraestamos diante de um problema: de quantos modos podemos escolher o primeiroalgarismo? A resposta : depende! Se o algarismo zero tiver sido usado em alguma das

ltimas casas, a resposta 8 (no podemos usar os dois algarismos j utilizadosanteriormente). Caso contrrio, a resposta 7(no podemos usar nem o zero nem osdois algarismos usados anteriormente).

claro que essa dificuldade no teria ocorrido se tivssemos comeado pelaescolha do primeiro algarismo do nmero, escolha essa que mais problemtica doque a dos dois outros algarismos (o primeiro algarismo no pode ser zero!).Da a recomendao:

Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades.Se alguma deciso mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeirolugar.

Exemplo 4: Quantos nmeros naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejammenores que 5000 e divisveis por 5, porem ser formados usando-se apenas osalgarismos 2 , 3 , 4 , e 5 ?

Soluo:Temos:ltimo algarismo 1 modo (tem que ser 5 )Primeiro algarismo 3 modos (no pode ser 5 )Segundo algarismo 4 modosTerceiro algarismo 4 modos

A resposta 1 3 4 4 48 = Exemplo 5: As placas dos automveis so formadas por duas letras (K, Y e W inclusive) seguidas por quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas?

Soluo:Cada letra pode ser escolhida de 26 modos e cada algarismo de 10 modosdistintos. A resposta

26 26 10 10 10 10 6760000 = .

Exemplo 6: Quantos so os nmeros naturais pares que se escrevem (na base 10)com trs algarismos distintos?

Soluo:O ltimo algarismo do nmero pode ser escolhido de 5modos (0, 2, 4, 6ou8). O primeiro algarismo pode ser escolhido de ... depende! Se o zero foi usado comoltimo algarismo, o primeiro algarismo pode ser escolhido de 9modos (no podemosusar o algarismo j empregado no ltima casa). Se o zero no foi usado como ltimoalgarismo, o primeiro algarismo s pode ser escolhido de 8modos (no podemos usarnem o zero nem o algarismo j empregado na ltima casa).


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Para vencer este impasse, temos duas alternativas:a abrir o problema em casos (que a alternativa mais natural). Contseparadamente os nmeros que tm zero como ltimo algarismo e aqueles cujo algarismo diferente de zero.

Terminando em zero temos 1modo de escolher o ltimo algarismo, 9modescolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num total de 1 9 8 nmeros.

Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolltimo algarismo (2, 4, 6 ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismopodemos usar nem o zero nem o algarismo j usado na ltima casa) e 8modescolher o algarismo no meio (no podemos usar os dois algarismos j empregnas casas extremas). Logo, temos 4 8 8 256 = nmeros terminados em um algadiferente de zero. A resposta , portanto, 72 256 328+ = .

b Ignorar uma das restries (que uma alternativa mais sofisticada). Ignoranfato de zero no pode ser primeiro algarismo, teramos 5modos de escolher o algarismo, 9modos de escolher o primeiro e 8modos de escolher o do meiototal de 5 8 9 360 = nmeros. Esses 360nmeros incluem nmeros comeadozero, que devem ser descontados. Comeando em zero temos 1 modo de escoprimeiro algarismo (0), 4modos de escolher o ltimo (2, 4, 6 ou 8) e 8modescolher o do meio (no podemos usar os dois algarismos j empregados nasextremas), num total de 1 4 8 32 = nmeros. A resposta , portanto, 360 32 nmeros.

claro tambm que poderamos ter resolvido o problema determinando todnmeros de 3algarismos distintos ( )9 9 8 648 = e abatendo os nmeros mpar

3algarismos distintos (5na ltima casa, 8na primeira e 8na segunda, num to5 8 8 320 = nmeros). A resposta seria 648 320 328 = nmeros.


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Exerccios

01. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com umalfabeto de 26 letras?

02. Quantos so os gabaritos possveis de um teste de 10 questes de mltipla-escolha, com cinco alternativas por questo?

03.

Quantos inteiros h entre 1000 e 9999 cujos algarismos so distintos?

04. De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretriode um conselho que tem 12 membros?

05. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila ?

06. Quantos nmeros de quatro dgitos so maiores que 2400 e:a) tm todos os dgitos diferentes.b) no tm dgitos iguais a 3 , 5 ou 6 .c) tm as propriedades a) e b) simultneamente.

07. O conjunto possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantasso as funes :f A B ? Quantas so as funes injetoras :f A B ?

08. Quantos divisores inteiros e positivos possui nmero 360 ?

09. Quantos so os nmeros naturais de 4 dgitos que possuem pelo menos doisdgitos iguais?

10. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?

11.De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez( )8 8 de modo que no haja duas torres na mesma linha nem na mesma

coluna?

12. Em uma banca h 5 exemplares iguais da revista , 6 exemplares iguais arevista B e 10 exemplares iguais da revista C . Quantas colees no vazias derevistas dessa banca possvel formar?

13. De um baralho comum ( 52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposio trscartas. Quantas so as extraes nas quais a primeira carta de copas, asegunda um rei e a terceira no uma dama?

14. Quantos nmeros diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos)dos nmeros 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9 ?


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B 02

01.Um vago de metr tem 10 barcos individuais, sendo 5 de frente e 5 de cDe 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costademais no tem preferncia. De quantos modos os passageiros podem se s

respeitando-se as preferncias?02. H duas estradas principais da cidade at a cidade B , ligadas por 10 est

secundrias, como no figura .2. Quantas rotas livres de auto-intersees at B ?

Fig.2

03. Quantos nmeros inteiros entre 100 e 999 so mpares e possuem trs ddistintos?

04.

Escrevem-se os inteiros de 1 at 222 222 . Quantas vezes o algarismo zescrito?

05. Quantos so os nmeros de 5 algarismos, na base 10 :a) nos quais o algarismo 2 figura?

b) nos quais o algarismo 2 no figura?

06. Em um concurso h trs candidatos e cinco examinadores, devendo examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podedistribudos?

07. O cdigo Morse usa palavra contendo de 1 a 4 letras, as letras ponto e trao. Quantas palavras existem no cdigo Morse?

08. Fichas podem ser azuis, vermelhas ou amarelas; circulares, retangularetriangulares; finas ou grossas. Quantos tipos de fichas existem?

09. Escrevem-se nmeros de cinco dgitos (inclusive os comeados por zerocartes. Como 0, 1 e 8 no se alteram de cabea para baixo se transform

9 , um s carto pode representar dois nmeros (por exemplo, 06198 e 86Qual o nmero mnimo de cartes para representar todos os nmeros de dgitos?


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10. No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federao tm 3 representantes cada. Deve-se formar uma comisso de modo que todos os estadose o Distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. De quantomodos essa comisso pode ser formada

11. a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720 ?b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros

positivos?c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de trs inteiros

positivos?d) De quantos modos 144 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros

positivos?

12.

a) Quantas so as palavras de 5 letras distintas de um alfabeto de 26 letras nas

quais a letra figura mas no a letra inicial da palavra?b) Refaa o item a suprimindo a palavra distintas do enunciado.

13. A figura 3 mostra um mapa com 4 pases

Fig. 3a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada pas com uma cor,

pases com uma linha fronteira no podem ter a mesma cor) se dispomos de com diferentes?

b) Qual o menor valor de que permite colorir o mapa?

14. Refaa o problema anterior para o mapa na figura 4.

Fig. 415.

a) De quantos modos possvel colocar um rei negro e um rei branco em casasno adjacentes de um tabuleiro de xadrez ( )8 8 ?

b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais?


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B 03

Permutaes Simples

Dados n objetos distintos1

a ,2

a ,... ,n

a , de quantos modos possvel orden-loPor exemplo, para os objetos 1,2,3 h 6 ordena

123, 132, 213, 231, 312 e 321. No caso geral temos n modos de escolher o objetocupar o primeiro lugar, 1n modos de escolher o que ocupar o segundo luga1 modo de escolher o objeto que ocupar o ltimo lugar. Portanto,

O nmero de modos de ordenar n objetos distintos :

( )1 1 !n n n =

Cada ordenao dos n objetos chamada uma permutao simplesdos n objo nmero de permutao simples de n objetos distintos representado por

nP . A

!n

P n= (J que 0! 1= , define-se 0 1P = ).

Exemplo 1: Quantos so os anagramas da palavra PRTICO?Soluo: Cada anagrama de PRTICO nada mais que uma ordenao das

, , , , , ,P R A T I C O . Assim o nmero de anagramas de PRTICO 7

7! 5040P = = .

Exemplo 2: Quantos so os anagramas da palavra PRTICO que cometerminam por consoante?

Soluo:A consoante inicial pode se escolhida de 4 maneiras, a consoante finamaneiras e as de 5 letras restantes podem ser arrumadas entre essas duas consode

55!P = modos. A resposta 4 3 5! 1440 = .

Exemplo 3: De quantos modos 5 rapazes e 5 moas podem se sentar em 5 bde dois lugares cada, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moa

Soluo:O primeiro rapaz pode escolher seu lugar de 10 modos, o segundo modos, o terceiro de 6 modos, o quarto de 4 modos e o quinto de 2 mColocados os rapazes, temos que colocas as 5 moas nos 5 lugares que sobrarque pode ser feito de 5! modos. A resposta 10 8 6 4 2 5! 460800 = .

Exemplo 4: De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianas?

Fig. 1


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Soluo: primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianasbasta escolher uma ordem para elas, o que poderia ser feito de 5! 120= modos.Entretanto, as rodas BCDE e EABCD so iguais, pois a roda o que importa aposio relativa das crianas entre si e a roda ABCDE pode ser virada na rodaEABCD . Como cada roda pode ser virada de cinco modos, a nossa contagem de120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta 120 / 5 24= .

Exemplo 5:

De quanto modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada?

Soluo:A diviso pode ser feita colocando as 8 pessoas em fila e dividindo-as demodo que um dos grupos seja formado pelas 4 primeiras pessoas e o outro pelas 4 ltimas. Como h 8! modos de colocas as pessoas em fila, a resposta parece ser 8!

Entretanto considerando a diviso /abcd efgh . Ela idntica diviso /efgh adcd

(os grupos formados so os mesmos: um grupo { }, , ,a b c d e o outro { }, , ,e f g h ).

No obstante, na nossa contagem de 8! , essas divises foram contadas como sefossem distintas. Alm disso, divises como /abcd efgh e /cadb efgh , que diferem pelaordem dos elementos em cada grupo, apesar de idnticas foram contadas como sefossem distintas. Cada diviso foi contada 2 4! 4! vezes ( 2 por causa da ordem dosgrupos; 4! por causa da ordem dos elementos do 1 grupo e 4! por causa da ordemdos elementos no 2 grupo).

Se contamos 8! divises e cada diviso foi contada 2 4! 4! vezes, o nmero de

divises 8!

352 4! 4! = .

Exerccios

01. Quantos so os anagramas da palavra CAPTULO:a) que comeam por consoante e terminam por vogal?b) que tm as letras C , , P juntas nessa ordem?c) que tm as letras C , , P juntas em qualquer ordem?d) que tm as vogais e as consoantes intercaladas?e) que tm a letra C no 1 lugar e a letra no 2 lugar?f) que tm a letra C no 1 lugar ou a letra no 2 lugar?g) que tm a letra C no 1 lugar ou a letra no 2 lugar ou a letra P no 3

lugar?


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02. Permutam-se de todos os modos possveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevos nmeros assim formados em ordem crescente.a) que lugar ocupa o nmero 62417 ?b) qual o nmero que ocupa o 66 lugar?c) qual o 200 algarismo escrito?d) qual a soma dos nmeros assim formados?

03. De quantos modos possvel sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modduas determinadas pessoas dessas 7 no fiquem juntas?

04. Se um conjunto com n elemento, quantas so as funes :f Abijetoras?

05.

De quanto modos possvel colocar em uma prateleira 5 livros de matemtide fsica e 2 de estatstica, de modo que livros de um mesmo as

permaneam juntos?

06. Quantas so as permutaes dos nmeros ( )1,2,...,10 nas quais o 5 est si

direita do 2 e esquerda do 3 , embora no necessariamente em luconsecutivos?

07. De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:a) em dois grupos de 6 ?b) em trs grupos de 4 ?c) em um grupo de 5 e um grupo de 7 ?

d) em seis grupos de 2 ?e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2 ?

08.De quantos modos rrapazes e m moas podem se colocar em fila de modas moas fiquem juntas?

09. Delegados de 10 pases devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De qumodos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sjuntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos no podem sentar juntos?

10. Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados difer

podemos formar gravando nmeros de 1 a 6 sobre essas faces?

11. Quantos dados diferentes podemos formar gravando nmeros de 1 a 6 sobfaces indistinguveis de um cubo de madeira?


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12. Resolva o problema anterior para:a) nmeros de 1 a 4 , tetraedro regular;b) nmeros de 1 a 8 , octaedro regular;c) nmeros de 1 a 12 , dodecaedro regular;d) nmeros de 1 a 20 , icosaedro regular;e) nmeros de 1 a 8 , prisma hexagonal regular;f) nmeros de 1 a 5 , pirmide quadrangular regular.

13. Um campeonato disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. Dequantos modos possvel selecionar os jogos da primeira rodada?

14.

Quantas so as permutaes simples dos nmeros 1,2,...,n nas quais o elementoque ocupa a k-sima posio inferior a 4k+ , para todo k?

15. Quantas so as permutaes simples dos nmeros 1,2,...,n nas quais o elementoque ocupa a k-sima posio maior que 3k , para todo k?


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Mate

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B 04

Combinaes Simples

De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n objetos disdados? Ou, o que o mesmo, quantos so os subconjuntos com p elementconjunto

{ }1 2, ,...,

n

a a a .Cada subconjunto com p elementos chamado de uma combinao simp

classe p dos n objetos1 2, ,...,

na a a . Assim, por exemplo, as combinaes simp

classe 3 dos objetos1 2 3 4 5, , , ,a a a a a so

{ } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { }

1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5

1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , .

a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

O nmero de combinaes simples de classe p de n objetos representadp

nC . Assim,3

5 10C = .Analisemos esta resposta: a escolha do 1 elemento da combinao pode se

de 5 modos; a do 2 , de 4 modos e a do 3 de 3 modos. A resposta parec5 4 3 60 = . Entretanto, se pensarmos numa combinao, por exemplo { 1 2,a a

verificamos que as combinaes { } { } { }1 2 3 1 3 2 2 1 3, , , , , , , ,a a a a a a a a a etc... so idnt

forma contadas como se fossem diferentes. Com efeito, se dissemos que h 5 mde escolher o 1 elemento da combinao porque estamos considerando as esc

1a e 2a como diferentes e portanto estamos contando { }1 2 3, ,a a a como diferent

{ }2 1 3, ,a a a . Em suma, na resposta 60 estamos contando cada combinao umpra cada ordem de escrever seus elementos. Como em cada combinao os elempodem ser escritos em 3 3! 6P = = ordens, cada combinao foi contada 6 vezes.

Logo, a resposta 60 / 6 10= .

No caso geral temos

( ) ( )1 1,0

!

p

n

n n n pC p n

p

+= < < , e 0 1

nC = .

Uma expresso alternativa pode ser obtida multiplicando o numeradordenominador por ( )!n p . Obtemos

( )

!, 0

! !

p

n

nC p n

p n p=


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Exemplo 1: Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar sedispomos de 10 frutas diferentes?

Soluo:Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas, o que pode ser feito

de 410

10 9 8 7210

4!

C

= = modos.

Exemplo 2: Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta 'R paralela a R . Quantos tringulos existem com vrtices em 3 desses 13 pontos?

Soluo: Para formar um tringulo ou tomamos um vrtice em R e dois 'R outomamos um vrtice em 'R e dois em R . O nmero de tringulo do 1 tipo 285 C e

o do 2 258 C . A resposta

2 2

8 5

8 7 5 4

5 8 5 8 140 80 2202! 2!C C

+ = + = + =

.

Poderamos tambm pensar assim:Para formar um tringulo devemos escolher trs pontos, no situados na mesma

reta, entre os treze pontos dados. O nmero de modos de escolher 3 dos 13 pontos 3

13C . Desse total devemos retirar as escolhas de 3 pontos situados em uma mesma reta.

Como h 35C escolhas possveis de 3 pontos em R e3

8C escolhas possveis de 3 pontos em 'R , a resposta

3 3 3

13 5 8 286 10 56 220C C C = = .

Exemplo 3: De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menosduas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?

Soluo:As alternativas so:

4 homens, 2 mulheres3 homens, 3 mulheres2 homens, 4 mulheres

A resposta 4 2 3 3 2 4

7 4 7 4 7 4 35 6 35 4 21 1 371C C C C C C + + + + + = + + = .


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Poderamos tambm contar todas as escolhas de 6 pessoas ( )611C e aba

escolhas sem mulheres ( )67C e com apenas uma mulher ( )574 C .

A resposta 6 6 5

11 7 74 462 7 84 371C C C = = .

Um erro muito comum o seguinte: Como o grupo de 6 pessoas deve c

pelo menos duas mulher, primeiramente escolhem-se duas mulheres ( )24C , e d

escolhem-se 4 pessoas quaisquer entra as 9 que sobraram ( )49C . Assim, obtemresposta (errada) 2 44 9 6 126 756C C = = . A explicao do erra simples.

Considere, por exemplo, uma seleo com 3 seleo com 3 mulhereshomens, 1 2 3 1 2 3M M H H H . Essa seleo foi contada 3 vezes. Uma quando 1

foram as mulheres escolhidas inicialmente, outra quanto 1 e 3 foram as muescolhidas inicialmente etc... J uma seleo com as 4 mulheres, por exe

1 2 3 4 1 2M M M M H H foi contada 6 vezes e obtem-se uma resposta errada muito que a resposta correta.

Exemplo 4: De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos pessoas cada?

Soluo:O primeiro grupo pode ser escolhido de 48C modos. Escolhido o 1 gsobram 4 pessoas e s h 1 modo de formar o segundo grupo. A resposta pare

4

8 1C . Entretanto, contamos cada diviso duas vezes. Por exe

{ } { }, , , , , ,a b c d e f g h idntica a { } { }, , , , , ,e f g h a b c d e foi contada com se

diferente. A resposta

4

81

352

C = .

interessante comparar esta soluo com a do exemplo 5 (B - 01).


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Exerccios

01. Uma comisso formada por 3 homes e 3 mulheres deve ser escolhida em umgrupo de 8 homes e 5 mulheres.a) Quantas comisses podem ser formadas?

b) Qual seria a resposta se um dos homens no aceitasse participar da comissose nela estivesse determinada mulher?

02.Para a seleo brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meiosde campo e 4 atacantes. De quantos modos possvel escalar a seleo com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes?

03.

Quantas diagonais possui um polgono de n lados?

04.

Quantas diagonais possui:a) um octaedro regular?b) um icosaedro regular?c) um dodecaedro regular?d) um cubo?e) um prisma hexagonal regular?

05. Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta 'R paralela a R .Quantos quadrilteros convexos com vrtices em 4 desses 13 pontos existem?

06. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais so jogados780 partidas. Quantos so os participantes?

07. Sejam { }1, 2,...,mI m= e { }1, 2,...,nI n= , com m n . Quantas so as funes

:m n

f I I estritamente crescente?

08.Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos.De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deveconvidar 6 pessoas?

09. Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito 4 figuraexatamente 3 vezes e o dgito 8 exatamente 2 vezes?

10. Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito 4 figura pelomenos 3 vezes e o dgito 8 figura pelo menos duas vezes?


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11. Quantos so os p -subconjuntos (isto , subconjuntos com p elemento

{ }1 2, ,..., na a a nos quais:

a) 1a figura;

b) 1a no figura;

c) 1a e 2a figuram;d) pelo menos um dos elementos 1a , 2a figura;

e) exatamente um dos elementos 1a , 2a figura.

12. Considere ( )2n n > pontos em um plano, entre os quais no h 3 p

colineares.a) Quantas so as retas que contm dois desses pontos?b) Qual o numero mximo de pontos de interseco dessas retas?


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B 05

01.

De quanto modos possvel dividir 20 pessoas:a) em dois grupos de 10 ?b) em quatro grupos de 5 ?

c) em um grupo de 12 e um de 8 ?d) em trs grupos de 6 e um de 2 ?

02. De um baralho do pquer ( 7,8,9,10, valete, dama, rei a s, cada um dessesgrupos aparecendo em 4 naipes: copas, ouros, paus, espadas), sacam-sesimultaneamente 5 cartas.a) Quantas so as extraes possveis? Quantas so as extraes nas quais se

formab) um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras trs em trs outros

grupos diferentes)?c) dois partes (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um

terceiro grupo)?d) uma trinca (trs cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos

diferentes).e) um four (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)?f) um full hand (trs cartas em um grupos consecutivos, no sendo todas do

mesmo naipe)?g) uma seqencia ( 5 cartas de grupos consecutivos, no sendo todas do mesmo

naipe)?h) um flush ( 5 cartas do mesmo naipe, no sendo elas de 5 grupos

consecutivos)?i) um straight flush ( 5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?j) um royal straight flush (10 , valete, dama, rei e s de um mesmo naipe)?

03. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos.Determine o nmero de funes :f A B sobrejetoras para:a) p n= ;b) 1p n= +

c) 2p n= +

04.Considere um conjunto Cde 20 pontos do espao que tem um subconjunto 1C formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos C socoplanares, ento eles so pontos de 1C . Quantos so os planos que contm pelomenos trs pontos de C?


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Mate

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05. Quantos so os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos compor vogal?

06. So dados, no plano, n pontos tais que entre as retas por eles determinadas nduas retas paralelas nem trs retas concorrentes. Quantos so os pontos de inter

dessas retas que so distintos dos pontos dados?

07.

Considere um polgono convexo de n lados e suponha que no h duas dediagonais que sejam paralelas nem trs que concorram em um mesmo pontno veja vrtice.a) Quantos so os pontos de interseo dessas diagonais?b) Quantos desses pontos de interseo so interiores ao polgono? Qu

so exteriores?

08.Uma fila de cadeiras no cinema tem 20 poltronas. De quantos modos 6 podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente sepade sua mulher?

09. Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questes de seguranplanos so guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de quepossvel abr-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes.a) Qual o nmero mnimo possvel de cadeados?b) Na situao do item a, quantas chaves cada cientista deve ter?

10. Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 aoferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos cadquantos modos ele pode fazer os convites se ele no deseja que um mesmo palunos comparea a mais de um jantar?

11.

Formam-se as combinaes simples de classe 5 dos elementos 1 2, ,...,a a aquais so escritas com os elementos em ordem crescente de ndices. Quantas scombinaes nas quais o elemento 8a ocupa o 3 lugar?

12. De quantos modos possvel colocar em fila h homens e m mulheres, todalturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiem ordem crescente de alturas?

13. No quadro a seguir, de quantos modos possvel formar a paMATEMTICA, partindo de um e indo sempre para a direita ou para ba


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Apostila ITA

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M

M A

M A T

M A T E

A T E M

A T E M A

A T E M A T

A T E M A T I

A T E M A T I C

A T E M A T I C A

14. Suponha que n carros esto em fila para entrar em um estacionamento quepossui n vagas, lado a lado. Se o 1 carro pode escolher qualquer vaga e cadaum dos outros carros ao estacionar deve justapo-se a um carro j estacionado,quantos so os modos possveis dos carros ocuparem as n vagas?

15.De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebolde 5 jogadores cada, denominados esperana, confiana e vitria?

16.

O conjunto A possui n elementos.a) Determine o nmero de relaes que podem ser construdas em A ;b) Idem, relaes reflexivas;c) Idem, relaes simtricas;d) Idem, relaes anti-simtricas;e) Idem, relaes reflexivas e simtricas;

f) Idem, relaes reflexivas e anti-simtricas;g) idem, relaes simtricas e anti simtricas;h) idem, relaes reflexivas, simtricas e anti-simtricas.

17. Qual so os jogos de um campeonato disputado por 20 clubes no qual todos seenfrentam uma nica vez?

18. Empregado dez consoantes e cincos vogais, calcule o nmero de palavras de seisletras que se podem formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes:a) Se no permitidas repeties;b) Se no permitidas repeties.

19. De quantos modos se pode iluminar uma sala que possui m lmpadas?

20.

Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modoque cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas tmexatamente um professor em comum.


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a) Calcule x ;b) Determine quantos professores h em cada banca.

21. A partir de um conjunto de a atletas formam-se ttimes de katletas cada. Tos atletas participam de um mesmo nmero de times e cada par de atleta

junto no mesmo time um mesmo nmero de vezes. Determine:a) de quantos times cada atleta participa;b) em quantos times cada par de atletas fica junto.

22.

Morre que existe um tabuleiro 6 4 cujas casas so todas pretas ou brancqual nenhum retngulo tem as 4 casas dos vrtices da mesma cor. Mostre qutodo tabuleiro 7 4 cujas casas so todas pretas ou brancas sempre existretngulo cujas 4 casas extremas tm a mesma cor. (Observao: no tabcasas adjacentes no tm necessariamente cores diferentes).

23. Prove que um produto de p inteiros consecutivos sempre divisvel por !p

24. Prove, usando um argumento um argumento combinatrio, que os nmabaixo so inteiros para qualquer n natural.

a)( )2 !

2nn

; b)( )3 !

2 3n n

n

;

c)( )3 !

!2 3n nn

n; d)

( )( )

2

1

!

! n

n

n +

;

e)

( )

( )( )1 !

! !

! n

n

n .

25. No incio de uma festa h 6 rapazes desacompanhados e 10 mdesacompanhadas. Quantos so os estados possveis no fim da festa?

26. Prove, usando um argumento combinatrio que

n r r n r

m n m m r C C C C

=

27. Prove que 2n

nC par, se 1n .

28. 5001000

C divisvel por 7 ?


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IME ITA

Date post:	03-Jun-2018
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Apostila ITA Analise Combinatoria

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