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UNIVERSIDADE FEDERAL

FLUMINENSE

Instituto de Matematica e Estatıstica

Controlabilidade de Sistemas Parabolicos

Nao Lineares

Dany Nina Huaman

Tese de Doutorado apresentada ao

Instituto de Matematica da Universi-

dade Federal Fluminense, como parte

dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Doutor em Matematica.

Orientador: Juan Bautista Lımaco Ferrel

Co-orientador: Enrique Fernandez Cara

Niteroi, 05 de Dezembro de 2018

Dedicatoria

Aos meus pais Doris e Maximo,

ao meu irmao Erick N e ao meu

tio Cesar, que em paz descanse.

i

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus pelo dom da vida e por ter me dado forcas para

concluir mais esta etapa de meus estudos.

Um agradecimento especial ao meu orientador, o professor Juan Lımaco Ferrel, pela

sua eficiente orientacao, paciencia, boa vontade, sabedoria, pelo exemplo de dedicacao a

profissao e por ter aceitado me orientar.

Ao professor e conselheiro Enrique Fernandez-Cara, eu devo um agradecimento es-

pecial por sua atencao e hospitalidade durante toda a minha estada em Sevilha. Muito

obrigado por tudo!

A coordenacao de Pos-Graduacao pelo apoio nos momentos difıceis.

A minha famılia pelo apoio incondicional e por terem sido a forca que faz ir em frente.

A minha amiga Jany Meirelles quem me ajudou a nao desistir.

A meus amigos: Reillon Santos, Genyle Nascimentos, Israel Diaz, Miguel Nunez,

Ronald Ramos.

Aos professores da Uff: Luiz Viana, Aldo Bazan, Haroldo Clark, Freddy Hernandez,

Max Souza, Simone Dantas, etc

Aos amigos da Universidade Nacional del Callao: Kupac, Yerson, Chacal, Ronald,

John Suarez, Edson Suarez, Paul Luque, Lennin, Andres Lipa, Franco Diaz, Roger,

Jorge Quispe, Carolina Effio, Orlando Sarmientos, etc.

Aos professores da Universidade Nacional del Callao: Orlando Moreno, Absalon

Castillo, Maritza Quispe, Lenin Cabracancha, Wilfredo Mendoza, Ezequiel Fajardo, etc.

A CAPES (Coordenacao de Aperfeicoamento de pessoal de Ensino Superior) pelo

apoio financeiro .

ii

Resumo

Nesta tese, os principais objetivos sao estabelecer:

i) A controlabilidade local exata por trajetorias para EDPs parabolicas com nao lineari-

dade nao local, em um domınio limitado Ω × (0, T ) ⊂ RN × R e com o controle

distribuıdo. Tambem vamos a provar a controlabilidade local exata por trajetorias

para EDPs parabolicas com nao linearidade nao local e com o controle na fronteira

em dimensao 1 respeito a variavel espacial.

ii) A controlabilidade local nula do sistemaN−dimensional de Ladyzhenskaya-Smagorinsky

com N − 1 controles escalares em um domınio arbitrario do controle.

iii) A controlabilidade local nula do “verdadeiro” sistema N−dimensional de Boussinesq.

iv) Um resultado de controlabilidade global nula aproximada do “verdadeiro” sistema

de Boussinesq em dimensao 3.

v) O controle Hierarquico seguindo a estrategia de Stackelberg-Nash para uma EDP

parabolica nao linear, em um domınio limitado Ω×(0, T ) ⊂ RN×R (para qualquer

inteiro N ≥ 1) e com os controles lıder e seguidores distribuıdos.

Palavras-chave: Controlabilidade, sistemas parabolicos, sistema de Ladyzhenskaya-

Smagorinsky, sistema de Boussinesq, estrategia de Stackelberg-Nash.

iii

Abstract

In this thesis the main goals are to establish:

i) The exact local controllability to the trajectories for parabolic PDEs with nonlocal

nonlinearities, in a limited domain Ω×(0, T ) ⊂ RN×R and with distributed control.

We will also prove the exact local controllabilities to the trajectories for parabolic

PDEs with nonlocal nonlinearities and with boundary control in dimension 1 with

respect the spatial variable.

ii) The null local controllability of the Ladyzhenskaya-Smagorinsky N − dimensional

system with N − 1 scalar controls in an arbitrary control domain.

iii) The null local controllability of the “true” N − dimensional Boussinesq system.

iv) A result on the global approximate null controllability of the “true” Boussinesq

system in dimension 3.

v) Hierarchical control following the Stackelberg-Nash strategy for a nonlinear parabolic

PDE, in a limited domain Ω× (0, T ) ⊂ RN ×R ( for any integer N ≥ 1) and with

distributed leader and followers controls.

Key words: Controllability, parabolic system, Ladyzhenskaya-Smagorinsky system,

Boussinesq system, Stackelberg-Nash estrategy.

iv

Sumario

Resumo iii

Abstract iv

1 Preliminares 12

1.1 Topicos de Analise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 Convergencia Fraca e Fraca Estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 Espacos Separaveis e Reflexivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Teoria das Distribuicoes Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Os Espacos Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Os Espacos Wm,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Os Espacos Wm,p0 (Ω) e W−m,q(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Espacos Lp (0, T ;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Distribuicoes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Equacao de Evolucao de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9 Alguns resultados de existencia e unicidade para Edps com termo nao local 27

2 Controlabilidade Exata por Trajetorias para EDPs Parabolicas com Nao

Linearidade Nao Local 30

2.1 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Alguns Resultados Tecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Lemas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2 Desigualdade de Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Controlabilidade Nula Aproximada de (2.7) com Controles Uni-

formemente Limitados em H1(0, T ;L2(ω)) . . . . . . . . . . . . . 39

v

2.3 Prova do Teorema 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Controlabilidade Local Nula Aproximada de (2.6) com Controles

Uniformemente Limitados em L2(ω × (0, T )) . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2 Passagem ao Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Alguns Comentarios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.1 Controlabilidade na Fronteira em dimensao 1 . . . . . . . . . . . . 43

3 Controlabilidade do Sistema N-Dimensional de Ladyzhenskaya-Smagorinsky

com N-1 Controles Escalares em um Domınio Arbitrario do Controle 52



3.2.1 Desigualdade de Carleman para (3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.2 Controlabilidade Nula de (3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.3 Estimativas do Estado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Prova do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Controlabilidade Local Nula do “Verdadeiro” Sistema de Boussinesq 66



4.2.1 Desigualdade de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Controlabilidade Nula de (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Prova do Teorema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Um Resultado de Controlabilidade Global Nula Aproximada do “Ver-

dadeiro” Sistema de Boussinesq em Dimensao 3 76

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Construcao de Algumas Funcoes Intermediarias . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.1 Uma Solucao Simples para o Sistema de Boussinesq . . . . . . . . 78

5.2.2 Equacao de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.3 Construcao de W com ∇ ·W = −∇ · y . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Prova do Teorema 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Prova da Proposicao 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Controlabilidade via a Estrategia de Stackelberg-Nash para uma EDP

Parabolica Nao Linear 93

vi

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.1 Prova do Teorema 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.2 A convergencia de ALG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


6.2.1 Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.2 Caracterizacao do quase-equilıbrio de Nash . . . . . . . . . . . . . 101


6.3.1 Desigualdade de Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.2 Controlabilidade Nula de (6.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.4 Prova dos Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.1 Prova da Proposicao 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.2 Prova do Teorema 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Questoes em Aberto 112

Bibliografia 114

vii

Introducao

A disciplina de controle existe ha muito tempo, por exemplo: nos projetos dos aque-

dutos romanos, que tinham um sistema de valvulas para manter o nıvel da agua cons-

tante, haviam elementos da teoria do controle. No final do seculo XVII, nos trabalhos de

Christiaan Huygens e Robert Hooke sobre a oscilacao do pendulo, cujo objetivo final foi

uma medida precisa do tempo, aparecem novamente elementos do que hoje conhecemos

como Teoria de Controle. O objetivo entao era fornecer instrumentos que servissem a

navegacao e, em particular, controlassem o posicionamento dos navios. Estos trabalhos

foram entao adaptadas a regulacao da velocidade dos moinhos de vento, utilizando um

sistema mecanico de bolas que rodavam em torno de um eixo cuja velocidade de rotacao

era proporcional a das laminas do moinho. Quando a velocidade de rotacao aumentava

excessivamente, as bolas afastavam-se do eixo, travando as asas do moinho atraves de

mecanismos engenhosos e mantendo, assim, uma velocidade aproximadamente constante.

James Watt adaptou este princıpio a maquina a vapor, dando assim um enorme impulso

a revolucao industrial. Atraves da revolucao industrial, as ideias do que hoje e chamado

de Teoria de Controle estavam tomando forma e se tornando cada vez mais presentes. Na

decada dos 30, comecou a ter um grande avanco em tudo o relacionado com o controle

automatico e suas aplicacoes foram numerosas: amplificadores em sistemas de telefonia,

estabilizacao de aeronaves, etc. Durante a Segunda Guerra Mundial e nos anos que se

seguiram, engenheiros e cientistas tiveram de aprimorar seus conhecimentos nos mecan-

ismos de controle para monitorar aeronaves e projeteis antiaereas. A partir de 1960,

tudo o descrito comecou a ser conhecido como Teoria de Controle “classica”. Ate entao

os modelos utilizados foram insuficientes para modelar a complexidade do mundo real,

porque com frequencia, apresentam um comportamento nao-linear e nao-determinıstico.

Richard Bellman com seus trabalhos sobre “programacao dinamica”, R. Kalman com

trabalhos “filtrada e analise algebrica de problemas de controle” e Lev Pontryagin com

trabalhos sobre “princıpios de maximos para problemas de controle otimo nao linear”

1

contribuıram e estabeleceram os pilares fundamentais para a pesquisa na Teoria do Con-

trole nas ultimas decadas. Outro personagem que influenciou bastante nas EDPs e na

teoria de controle foi Jacques-Louis Lions.

Um problema de controle para sistemas governados por uma equacao parabolica ou

hiperbolica pode ser formulado como segue: Dados um intervalo de tempo [0;T ], um

estado inicial e um estado final, buscamos um controle que atue na trajetoria do sistema

(o lado direito da equacao diferencial ou a condicao de fronteira) , de modo que, a solucao

do sistema associado a tal controle seja igual ao estado inicial no tempo t = 0 e ao estado

final no tempo t = T.

Para definir os tipos de controlabilidade vamos considerar um problema linear

abstrato:

(1)

yt + Ay = Bu em (0, T ),

y(·, 0) = y0 em Ω,

onde A e B sao operadores lineares, u : [0;T ] → U e o controle e y : [0;T ] → H e o

estado. Por H e U denotamos dois espacos de funcoes adequados. Entao fixado T > 0,

podemos definir varios tipos de problemas de controlabilidade no tempo T.

Controlabilidade exata: Dados y0 e y1 estados possıveis do sistema, obter um cont-

role u tal que a correspondente solucao y de (1) satisfaz y(T ) = y1.

Controlabilidade aproximada: Dados y0 e y1 estados possıveis do sistema e um nu

mero ε > 0, obter um controle u tal que a correspondente solucao y de (1) satisfaz

||y(T )− y1||H < ε.

Controlabilidade nula: Dado y0, provar que existe um controle u tal que a correspon-

dente solucao y de (1) satisfaz y(T ) = 0.

Controlabilidade exata por trajetorias: Dado y0 e uma trajetoria arbitraria y do

sistema (1) (solucao associada a um controle u), obter um controle u tal que a

correspondente solucao y de (1) satisfaz y(T ) = y(T ).

Sejamos mais especıficos sobre os problemas de controle que serao abordados nesta

tese. Seguiremos a ordem seguinte:

Capıtulo 1

Resultados Preliminares

2

Neste capıtulo enunciaremos algumas definicoes e resultados basicos para a melhor com-

preensao da tese.

Capıtulo 2

Controlabilidade Exata por Trajetorias para EDPs Parabolicas com Nao

Linearidade Nao Local

Neste capıtulo analisaremos o problema de controlabilidade exata por trajetorias com

um controle distribuıdo no sistema parabolico com nao linearidade nao local.

Dado Ω ⊂ RN(N ≥ 1 e um inteiro) um conjunto limitado nao vazio, conexo e aberto,

com fronteira regular ∂Ω. Fixamos T > 0 e definamos Q := Ω×(0, T ) e Σ := ∂Ω×(0, T ).

Dado ω ⊂ Ω e um conjunto nao vazio e aberto. Estudaremos a controlabilidade exata

por trajetorias para o sistema nao linear

(2)

yt − a(

∫Ω

y dx′)∆y = v1ω em Q,

y(x, t) = 0 sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde v e o controle e y e estado associado. Considere-se a trajetoria y = y(x, t), a qual

e solucao de yt − a(

∫Ω

y dx′)∆y = 0 em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

O termo nao local em (2) tem uma importante motivacao fısica. Com respeito a isto

mostraremos alguns exemplos onde este termo aparece naturalmente no mundo real:

• No caso da migracao de populacoes, por exemplo, as bacterias em um conteiner,

podem ter um coeficiente de difusao no tempo t apenas dependendo da populacao

total.

• No contexto de sistemas de reacao-difusao, tambem e frequente encontrar termos

desse tipo; o caso particular e dado por

a(〈`, y(· , t)〉)

onde a = a(s) e como acima e ` e uma forma linear contınua em L2(Ω), foi in-

vestigada por exemplo por Chang e Chipot em [47]. Ver este artigo para mais

detalhes.

3

Recentemente, importantes progressos foram feitos na analise de controlabilidade de

equacoes e sistemas parabolicos lineares e semi-lineares. Referimos-nos aos trabalhos

[1, 4, 12, 25, 65] e as referencias neles contidas. Em particular, a controlabilidade nula

de EDPs lineares parabolicas (e hiperbolicas) contendo termos nao-locais no espaco tem

sido o objetivo de [12]. Neste trabalho, a principal novidade do presente capıtulo e

que conseguimos um resultado de controlabilidade exata por trajetorias regulares para

sistemas do tipo (2), o qual ate o momento nao foi conseguida.

Capıtulo 3

Controlabilidade do Sistema N − dimensional de

Ladyzhenskaya-Smagorinsky com N − 1 Controles Escalares em um Domınio

Arbitrario do Controle

No estudo dos fluidos, nos podemos classifica-los como laminar e turbulento. Ver as

seguintes graficas:

Fluxo Laminar

Fluxo Turbulento

Uma das equacoes que modelam o comportamento dos fluidos turbulentos e o sistema

de Ladyzhenskaya-Smagorinsky e para enunciar-lo vamos definir os seguintes conjuntos

e notacoes:

Dado Ω e um subconjunto aberto, conexo e nao vazio de RN (N = 2 ou N = 3) de

classe C∞. Dado T > 0 e ω ⊂ Ω e um subconjunto (pequeno) aberto que e o domınio do

controle. Denotaremos por Q = Ω× (0, T ) e Σ = ∂Ω× (0, T ). No que segue, denotamos

por (· , ·) e || · ||, respectivamente o produto escalar e a norma em L2(Ω). A continuacao

apresentaremos o sistema de Ladyzhenskaya-Smagorinsky:

(3)

yt −∇ ·

((ν0 + ν1 ‖∇y‖2)Dy

)+ (y · ∇)y +∇p = v1ω em Q,

∇ · y = 0 em Q,

y = 0 sobre Σ,

y(0) = y0 em Ω.

4

Aqui, y = y(x, t) e p = p(x, t) representam a campo de velocidade “media” e a pressao

de um fluido turbulento onde as partıculas se encontram em Ω durante o intervalo de

tempo (0, T ); y0 e a velocidade media no tempo t = 0; 1ω e a funcao caracterıstica de ω;

ν0 e ν1 sao constantes positivas e Dy e o gradiente simetrico positivo: Dy = ∇y +∇Ty.

Por outro lado, ω× (0, T ) e o domınio do controle e v deve ser visto como o controle

(uma forca media) atuando no sistema.

O sistema (3) e uma generalizacao do sistema de Navier-Stokes. A controlabilidade do

sistema de Navier-Stokes foi objeto de estudo nos ultimos anos (ver [13] e [35]), tambem

a controlabilidade do sistema N − dimensional de Navier-Stokes com N − 1 controles

escalares foi estudada em [14] e [45]. O primeiro trabalho que trato a controlabilidade de

(3) encontra-se no artigo [15], onde os autores somente conseguiram a controlabilidade

local nula com N controles escalares, assim como tambem resultados numericos. Nos ap-

resentaremos neste capıtulo um novo resultado que mostra que o sistema N−dimensional

(3) pode ser controlado com N − 1 controles escalares em um domınio arbitrario do con-

trole.

Capıtulo 4

Controlabilidade Local Nula do “Verdadeiro” Sistema de Boussinesq

Vamos a estudar o comportamento de um fluido por meios das diversas leis e princıpios

fısicos (mais precisamente ver [55])

• Aplicando a segunda lei de Newton a dinamica de um fluido, temos

(4) ρ(yt + (y · ∇)y) = −∇p+ µ∆y + ~F + θ~k, ∇ · y = 0

ondeρ = masa da partıcula do fluido

yt + (y · ∇)y = aceleracao ao longo da trajetoria

~F = forca externa

θ~k = esforcos calorıficos

y = velocidade

p = pressao

• Da conservacao da quantidade de movimento

et + y · ∇e = −∇ · ~q + g + P (ρ,y) + ~F.y + θ~k.y

5

onde

e =1

2ρ|y|2 + Cρθ (e a energıa)

g = entrada (saıda do calor)

P (p,y) + F.y + θk.y = potencia das forcas que atuam

−∇ · ~q = transferencia do calor

• Pela lei de Fourier

~q = −k(θ)∇θ

De tudo isto temos o seguinte:

et + y · ∇e = Cρ(θt + y · ∇θ) + ρ(yt + (y · ∇)y)y

∇ · (k(θ)∇θ) + g + P (ρ,y) + ~F.y + θk.y = Cρ(θt + y · ∇θ) + (−∇p+ µ∆y + ~F + θ~k).y

∇ · (k(θ)∇θ) + g + P (p,y) = Cρ(θt + y · ∇θ) + µ∆y.y + g

Onde P (ρ,y) = µDy : ∇y + [(−∇p+ µ∆y).y] e

Dy : ∇y =1

2

N∑i,j=1

(∂yj∂xi

+∂yi∂xj

)∂yj∂xi

Pelo que finalmente temos o seguinte

(5) g + µDy : ∇y = Cρ(θt + y · ∇θ)−∇ · (k(θ)∇θ)

De (4) e(5) temos o seguinte sistema de Boussinesq o qual e o mais realista, pelo que

o chamaremos de “Verdadeiro” sistema de Boussinesq

(6)

yt −∆y + (y · ∇)y +∇p = θ~k + ~F, ∇ · y = 0 em Q,

θt −∆θ + y · ∇θ = Dy : ∇y + g em Q,

A controlabilidade do sistema de Boussinesq sem o termo Dy : ∇y tem-sido objeto

de estudo nos ultimos anos, por exemplo [14, 46, 60].

Dado Ω ⊂ RN (N = 2 ou N = 3) e um conjunto aberto, nao vazio, conexo e limitado,

com fronteira regular ∂Ω× (0, T ). Dado ω ⊂ Ω e um conjunto nao vazio e aberto.

Estudaremos a controlabilidade nula do “Verdadeiro” sistema de Boussinesq

(7)

yt −∆y + (y · ∇)y +∇p = θeN + v1ω, ∇ · y = 0 em Q,

θt −∆θ + y · ∇θ = Dy : ∇y + v01ω em Q,

y(x, t) = 0,∂θ

∂η(x, t) = 0 sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

6

Aqui, y = y(x, t), θ = θ(x, t) e p = p(x, t) representam, respectivamente, a velocidade

media do campo, temperatura e pressao do fluido de partıculas em Ω durante o intervalo

(0, T ); y0 e a velocidade media inicial no tempo t = 0; 1ω e a funcao caracterıstica em ω;

eN = (0, ..., 1) e Dy e o gradiente simetrico de y definido por: Dy = 12(∇y +∇Ty) e

Dy : ∇y =N∑j=1

N∑i=1

1

2(∂yj∂xi

+∂yi∂xj

)∂yi∂xj

.

Por outro lado, ω×(0, T ) e o domınio do controle e v e v0 deve ser visto como os controles

(forcas medias) atuando no sistema.

Nos artigos [14, 46, 60], os autores conseguem resultados sobre a controlabilidade

do sistema (7) sem o termo nao linear Dy : ∇y. A principal contribuicao do trabalho

desenvolvido neste capıtulo e que tratamos com um sistema do tipo Boussinesq com um

termo Dy : ∇y na equacao da temperatura, conseguindo assim o seguinte resultado:

Teorema: Dado T > 0 e ω ⊂ Ω, existe δ > 0 tal que, para todo (y0, θ0) ∈ V ×W 1,3/2(Ω) satisfazendo

||(y0, θ0)||V×W 1,3/2(Ω) < δ,

pode-se achar um controle v ∈ L2(ω × (0, T ))N e v0 ∈ L2(ω × (0, T )), tal que a solucao

(y, θ) de (7) satisfaz

y(x, T ) = 0 e θ(x, T ) = 0 em Ω,

isto e o sistema nao linear (7) e localmente nulo controlavel.

Para provar este Teorema, seguiremos uma tecnica usual (ver [14]), aplicando o Teo-

rema da Funcao Inversa.

Capıtulo 5

Um Resultado de Controlabilidade Global Nula Aproximada do

“Verdadeiro” Sistema de Boussinesq em Dimensao 3

Dado Ω um conjunto aberto definido por:

Ω := x ∈ R3 : xi ∈ (0, 1), 1 ≤ i ≤ 3,

cuja fronteira e denotada por ∂Ω e assumindo que T > 0. Denotemos por

Q := Ω× (0, T ), Σ := ∂Ω× (0, T ).

Vamos a introduzir os espacos

H(Ω) := w ∈ L2(Ω)3 : ∇ · w = 0 em Ω, w · η = 0 sobre ∂Ω

7

(onde η = η(x) e o vetor normal unitario em x ∈ ∂Ω) e

V0(Ω) := w ∈ H10 (Ω)3 : ∇ · w = 0 em Ω.

Dados (u0, θ0) ∈ V0(Ω)×H10 (Ω), vamos denotar por Γ0 e Γ1 os conjuntos

Γ0 := (0, x2, x3) : x2, x3 ∈ (0, 1), Γ1 = ∂Ω\Γ0

Vamos a considerar o sistema tridimensional de Boussinesq

(8)

ut −∆u+ (u · ∇)u+∇p = θe3, em Q,

∇ · u = 0 em Q,

θt −∆θ + u · ∇θ = Du : ∇u em Q,

u = 0, θ = 0 sobre Γ0 × (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

Aqui Du representa o gradiente simetrico de u: Du = 12(∇u+∇Tu) e

Du : ∇u =3∑j=1

3∑i=1

1

2(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)∂ui∂xj

.

Alguns resultados de controlabilidade de (8) sem o termo Du : ∇u foram estudados em

[2] (Controlabilidade Global) quando o controle atua em toda a fronteira. Por outro

lado a controlabilidade local de (8) sem o termo Du : ∇u teve um grande estudo, como

por exemplo nos artigos [13] e [60]. Tambem podemos mencionar que os resultados de

controlabilidade nestos ultimos artigos foram melhorados para o caso em que o controle

possui N − 1 controles escalares para um sistema N dimensional (N = 2 ou N = 3),

como se pode ver em [46].

Em [16], os autores conseguiram alguns resultados sobre a controlabilidade “parcial”

nula aproximada para o sistema (8) sem o termo Du : ∇u. Eles provam que, para

qualquer u0 e θ0, existem sequencias fn e gn tais que fn → 0 e gn → 0 em um

apropriado sentido e, para cada n, as equacoes associadas sao nulo-controlavel, com

controles na fronteira suportado por Γ1 × (0, T ). Os argumentos sao inspirados pela

prova do resultado principal em [59]. Neste capıtulo, nosso principal objetivo e provar

um resultado similar para o “verdadeiro” sistema de Boussinesq (8).

Capıtulo 6

Controlabilidade via a Estrategia de Stackelberg-Nash para uma EDP

Parabolica Nao Linear

8

Nas ultimas decadas existem muitos trabalhos abordando os problemas de controla-

bilidade de equacoes parabolicas lineares e semilineares ver por exemplo [1, 4, 7, 54].

Uma parte importante em Teoria de Controle e a otimizacao. Neste caso, alem

de resolver o problema de controlabilidade, buscamos o controle otimo no sentido de

minimizar custos (ou maximizar benefıcios). Os problemas de controle otimo onde pelo

menos dois controles atuam foi introduzido pela primeira vez por J. Louis Lions em [31]

o qual foi publicado no ano 1994, ali Lions trabalhou com dois controles: um lıder e um

seguidor via a estrategia de Stackelberg (motivado pelo Economista H. Von Stackelberg)

conseguindo o controle aproximado do seguinte sistema hiperbolico:

∂2y

∂t2−∆y = 0 em Ω× (0, T )

y =

v1 sobre Σ1

v2 sobre Σ2

0 sobre Σ \ Σ1 ∪ Σ2

y(x, 0) = y0(x),∂y

∂t(x, 0) = y1(x) em Ω

onde v1 e o lıder, v2 e o seguidor e queremos minimizar os seguintes funcionais:

J1(v1) =1

2

∫Σ

|v1|2 dΣ

J2(v2) =1

2

∫Ω×(0,T )

|y(v1, v2)− y2|2 dx dt+β

2

∫Ω

|v2|2 dΣ

com β > 0 uma constante e y2 e uma trajetoria de observacao.

Posteriormente no ano 2004 J. Louis Lions e J. I. Diaz publicaram “On the approx-

imate controllability of Stckelberg-Nash strategies”, neste artigo resolveram o problema

de controlabilidade aproximada para um sistema parabolico considerando um lıder e

n-seguidores (ver [28]), para ser mais preciso vejamos o problema abordado∂y

∂t+ Ay = v1O +

n∑i=1

wi1Oi em Q,


y(x, 0) = 0 em Ω,

onde A e um operador elıtico de segundo ordem em Ω e nesse artigo considere-se os

funcionais seguintes:

Ji(v, w1, ..., wn) =1

2

∫∫Oi×(0,T )

|wi|2 dx dt+αi2

∫Ω

ρ2i |y(T )− yT |2 dx.

9

Nesse artigo pela primeira vez usaram a estrategia de Stackelberg associada a ideia de

equilıbrio de Nash.

Logo foram publicados muitos artigos relacionados com a estrategia de Stackelberg-

Nash, veja por exemplo [18, 20, 27, 29, 63]. Neste perıodo teve um forte estudo as EDPs

do tipo linear ate o 2015.

No ano 2015 F. D. Araruna, E. F. Cara e M. C. Santos publicaram “ Stackelberg Nash

exact controllability for linear and semilinear parabolic equations”, nesse trabalho pela

primeira vez se conseguiu a controlabilidade via a estrategia de Stackelberg-Nash para

sistemas nao lineares. Para ser mais exatos o seguinte sistemayt −∆y + a(x, t)y = F (y) + f1O + v11O1 + v21O2 em Ω

y(x, t) = 0 sobre Σ

y(x, 0) = y0(x) em Ω

Neste capıtulo, propomos estudar um problema de controle multi-objetivo para uma

EDP parabolica nao linear seguindo uma estrategia hierarquica. Dividimos o controle em

duas (ou mais) partes, digamos f, v1, v2, · · · onde f e o controle principal, usualmente

chamado “lıder” e os controles vi sao controles secundarios, chamados “seguidores”. Va-

mos ver que o lıder e o principal responsavel pela “controlabilidade”. As propriedades

dos seguidores dos controles secundarios serao descritos posteriormente.

Dado Ω ⊂ RN (N ≥ 1 e um inteiro) um subconjunto, nao vazio, aberto e limitado, com

fronteira regular ∂Ω. Fixamos T > 0 denotamos por Q := Ω× (0, T ) e Σ := ∂Ω× (0, T ).

Estudaremos o seguinte sistema.

(9)

yt −∇ · (a(y)∇y) = f1O + v1β11O1 + v2β21O2 em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde y = y(x, t) e o estado e y0 e o dado inicial no tempo t = 0. Em (9) o conjunto

O ⊂ Ω e o domınio do controle principal e O1 e O2 ⊂ Ω sao os domınios dos controles se-

cundarios (todos eles sao supostos pequenos); 1O, 1O1 e 1O2 sao as funcoes caracterısticas

de O, O1 e O2 , respectivamente. Os controles sao f , v1 e v2, onde f e o lıder, v1 e v2

sao os seguidores.

Dado O1,d, O2,d ⊂ Ω sao conjuntos abertos, representando os domınios de observacao

dos seguidores. Considere-se os seguintes funcionais para (9)

Ji(f ; v1, v2) :=1

2

∫∫Oi,d×(0,T )

αi|y − yi,d|2dx dt+µi2

∫∫Oi×(0,T )

|vi|2dx dt,

10

O processo de controle pode ser descrito como segue. Assumindo que o lıder f foi

escolhido, procuramos um equilıbrio de Nash para os custos Ji (i ∈ 1, 2). Portanto,

uma vez fixado f procuramos vi ∈ L2(Oi × (0, T )) tais que satisfazem

J1(f ; v1, v2) = minv1

J1(f ; v1, v2), J2(f ; v1, v2) = minv2

J2(f ; v1, v2)

sujeito a restricao de controlabilidade

y(x, T ) = 0 em Ω.

F. D. Araruna, E. F-Cara, S. Guerrero e M. C. Santos em [18] conseguem alguns

resultados sobre a estrategia de Stackelberg-Nash para controlar uma equacao semilinear

parabolica em dimensao N ≤ 14. Alem disso, em [65] os autores provam a controlabili-

dade nula para um sistema N -dimensional do tipo (9) com somente um controle atuando,

para todo N ≥ 1 (inteiro). No presente capıtulo, a principal novidade e que conseguimos

a controlabilidade nula com respeito ao controle lıder do sistema (9) para qualquer N ≥ 1

(inteiro) tal que os seguidores sejam um equilıbrio de Nash.

11

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo apresentamos alguns resultados necessarios para que o leitor possa ter

uma melhor compreensao dos conteudos abordados nos capıtulos seguintes.

1.1 Topicos de Analise Funcional

1.1.1 Convergencia Fraca e Fraca Estrela

Definicao 1.1. (Convergencia Fraca) Sejam E um espaco de Banach e (uν)ν∈N uma

sequencia de E. Entao uν u se, e somente se, 〈ϕ, uν〉 → 〈ϕ, u〉, para todo ϕ ∈ E ′.

Definicao 1.2. (Convergencia Fraca Estrela) Sejam E um espaco de Banach,

ϕ ∈ E ′ e (ϕν)ν∈N uma sequencia de E ′. Diz-se ϕν∗ ϕ fraca estrela se, e somente

se, 〈ϕν , u〉 → 〈ϕ, u〉, para todo u ∈ E.

Proposicao 1.1. Seja E um espaco de Banach e (xn)n∈N uma sequencia em E. Entao:

(i) Se xn x em σ(E,E ′) entao 〈f, xn〉 → 〈f, x〉, ∀f ∈ E ′;

(ii) Se xn → x forte entao xn x fracamente para σ(E,E ′);

(iii) Se xn x em σ(E,E ′) e se fn → f fortemente em E ′ (isto e, ‖fn − f‖E′ → 0)

entao 〈fn, xn〉 → 〈f, x〉.

Demonstracao: Brezis ([24], p. 35).

12

1.1.2 Espacos Separaveis e Reflexivo

Definicao 1.3. Diz-se que um espaco metrico E e separavel se existe um subconjunto

D ⊂ E numeravel e denso.

Definicao 1.4. Seja E um espaco de Banach e seja J a injecao canonica de E em E ′′.

Diz-se que E e reflexivo se J(E) = E ′′.

Quando o espaco E e reflexivo identifica-se implicitamente E e E ′′ (com ajuda do

isomorfismo J).

Teorema 1.1. (Banach-Alaoglu-Bourbaki). Sejam E um espaco de Banach e E ′ o

seu dual topologico. Entao o conjunto

BE′ = f ∈ E ′; ‖f‖ ≤ 1 e compacto na topologia fraca estrela


Teorema 1.2. Sejam E um espaco de Banach separavel e E ′ o seu dual topologico.

Entao o conjunto

BE′ = f ∈ E ′; ‖f‖ ≤ 1 e metrizavel na topologia fraca estrela.

Reciprocamente, se BE′ e metrizavel na topologia fraca estrela, entao E e separavel.

Demonstracao: Brezis ([24], p.48).

O primeiro resultado (o corolario) e uma consequencia do Teorema 1.1 e Teorema 1.2.

Corolario 1.1. Sejam E um espaco Banach separavel e (fn)n∈N uma sequencia limitada

em E ′. Entao existe uma subsequencia (fnk)k∈N de (fn)n∈N tal que converge na topologia

fraca estrela.


Teorema 1.3. Seja E um espaco de Banach reflexivo e suponhamos que a sequencia

(fk)k∈N ⊂ E e limitada. Entao existe uma subsequencia (fkj)j∈N de (fk)k∈N e f ∈ E tal

que

fkj f.

Demonstracao: Evans ([42], p. 639).

13

1.2 Teoria das Distribuicoes Escalares

Definicao 1.5. Sejam Ω ⊂ Rn um aberto limitado e ϕ : Ω ⊂ Rn → R uma funcao

contınua. Denomina-se suporte de ϕ ao fecho em Ω do conjunto dos pontos x tais que

ϕ (x) 6= 0. Simbolicamente,

supp (ϕ) = x ∈ Ω;ϕ (x) 6= 0Ω.

Definicao 1.6. Denota-se por C∞0 (Ω) o espaco vetorial das funcoes contınuas e infini-

tamente derivaveis em Ω com suporte compacto em Ω.

O espaco C∞0 (Ω) e de grande importancia para o nosso estudo, visto que estamos

interessados em estudar funcionais lineares contınuos definidos em C∞0 (Ω).

Dado Ω como acima, considere o espaco vetorial topologico C∞0 (Ω). Diz-se que uma

sequencia (ϕν)ν∈N de funcoes em C∞0 (Ω) converge para ϕ em C∞0 (Ω) quando forem

satisfeitas as seguintes condicoes:

i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que

supp (ϕ) ⊂ K e supp (ϕν) ⊂ K, ∀ ν ∈ N

ii) Dαϕν −→ Dαϕ uniformemente em K para todo multi-ındice α.

O espaco vetorial C∞0 (Ω) munido da nocao de convergencia definida acima sera repre-

sentada por D (Ω) e denominado de espaco das funcoes testes .

Denomina-se distribuicao escalar sobre Ω a toda forma linear T : D (Ω) −→ Rcontınua com respeito a topologia de D (Ω). Isto significa que T satisfaz as seguintes

condicoes:

i) T (αϕ+ βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀α, β ∈ R

ii) T e continua, isto e, se uma sequencia (ϕν)ν∈N converge, em D (Ω) para ϕ, entao,

T (ϕν) −→ T (ϕ) em R.

O valor da distribuicao T na funcao teste ϕ sera representado por 〈T, ϕ〉. Equipa-se o

espaco vetorial das distribuicoes escalares da seguinte nocao de convergencia:

Considera-se o espaco de todas as distribuicoes sobre Ω. Neste espaco, diz-se que a

sequencia (Tν)ν∈N converge para T , quando a sucessao (〈Tν , ϕ〉)ν∈N converge para 〈T, ϕ〉em R para toda ϕ ∈ D(Ω).

14

O conjunto das distribuicoes escalares sobre Ω e um espaco vetorial real, denotado

por D′(Ω), denominado espaco das distribuicoes escalares sobre Ω. Com o intuito de

estudar os espacos de Sobolev, introduz-se o conceito de derivada distribucional para

objetos de D′(Ω). A motivacao no conceito de derivada fraca e posteriormente o conceito

de derivada distribucional dada por Sobolev, se deve a formula de integracao por partes

de Calculo, sendo este conceito generalizado para distribuicoes qualesquer em D′(Ω).

Dada uma distribuicao T em D′ (Ω) e dado um multi-ındice α ∈ Nn define-se a

derivada distribucional de ordem α de T como sendo DαT : D (Ω)→ R a forma linear e

contınua dada por

〈DαT, ϕ〉 = (−1)|α| 〈T,Dαϕ〉 , para todo ϕ ∈ D (Ω) .

Segue da definicao acima que cada distribuicao T sobre Ω possui derivadas de todas as

ordens. Note-se que a aplicacao

(1.1) Dα : D′(Ω)→ D′(Ω)

e linear e continua no sentido da convergencia definida em D′(Ω). Isto significa que

(1.2) limv→∞

Tv = T em D′(Ω) entao limv→∞

DαTv = DαT em D′(Ω)

1.3 Os Espacos Lp(Ω)

Nesta secao, serao dadas algumas definicoes e propriedades elementares dos espacos

Lp(Ω).

Definicao 1.7. Sejam Ω ⊆ Rn um subconjunto aberto e p ∈ R com 1 ≤ p < ∞; e

definido

Lp(Ω) = f : Ω→ R; f mensuravel e |f |p ∈ L1(Ω).

O espaco Lp(Ω) com 1 ≤ p <∞ e um espaco de Banach equipado com a norma

‖f‖Lp(Ω) =[ ∫

Ω

|f(x)|pdx]1/p

.

Definicao 1.8. Seja Ω ⊆ Rn um subconjunto aberto; e definido

L∞(Ω) = f : Ω→ R; f mensuravel e ∃ Cconstante tal que |f(x)| ≤ C q.s em Ω.

O espaco L∞(Ω) e um espaco de Banach equipado com a norma

‖f‖L∞(Ω) = infC; |f(x)| ≤ C q.s em Ω.

15

Teorema 1.4. (Desigualdade de Holder). Sejam as funcoes f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) com

1 ≤ p ≤ ∞ e q o expoente conjugado de p; isto e 1p

+ 1q

= 1. Entao f.g ∈ L1(Ω) e∫Ω

|fg|dx ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω).


Observacao 1.5. Temos que mencionar uma consequencia muito util da desigualdade

de Holder: sejam f1, f2, . . . , fk funcoes tais que

fi ∈ Lpi(Ω) para 1 ≤ i ≤ k com1

p=

1

p1

+1

p2

+ · · ·+ 1

pk≤ 1.

Entao o produto f = f1f2f3 . . . fk pertence a Lp(Ω) e

‖f‖Lp(Ω) ≤ ‖f1‖Lp1 (Ω)‖f2‖Lp2 (Ω) . . . ‖fk‖Lpk (Ω).


Teorema 1.6. (Teorema da convergencia dominada, Lebesgue). Seja (fn)n∈N uma sequencia

de funcoes em L1 que satisfazem:

(a) fn(x) −→ f(x) em q.t.p de Ω,

(b) existe uma funcao g ∈ L1 tal que, para todo n tem-se |fn(x)| ≤ g(x), em q.t.p de Ω.

Entao f ∈ L1(Ω) e ‖fn − f‖L1 → 0.


Teorema 1.7. Sejam (fn)n∈N uma sequencia de Lp e f ∈ Lp, tal que ‖fn − f‖Lp → 0.

Entao, existe uma subsequencia (fnk)k∈N de (fn)n∈N e uma funcao h ∈ Lp tal que

(a) fnk(x) −→ f(x) em q.t.p de Ω

(b) |fnk(x)| ≤ h(x) para todo k e em q.t.p de Ω.


Definicao 1.9. Diz-se que uma funcao f : Ω→ R e localmente integravel em Ω, quando

f e integravel a Lebesgue em todo compacto K ⊂ Ω. O espaco das funcoes localmente

integraveis e denotado por L1loc(Ω). Em sımbolos tem-se

f ∈ L1loc(Ω)⇔

∫K

|f |dx <∞, para todo compacto K ⊂ Ω.

As distribuicoes que aparecem com mais frequencia sao aquelas definidas a partir de

funcoes localmente integraveis.

16

Exemplo 1.8. Seja u ∈ L1loc(Ω) e definamos Tu : D(Ω)→ R por

〈Tu, ϕ〉 =

∫Ω

u(x)ϕ(x)dx

Nestas condicoes Tu e uma distribuicao escalar sobre Ω.

Lema 1.1. (Du Bois Raymond). Seja u ∈ L1loc(Ω). Entao Tu = 0 se, e somente se,

u = 0 quase sempre em Ω.

Demonstracao: Medeiros, L. A e Milla Miranda, M. ([41], p. 12).

Observacao 1.9. Outro resultado interessante e que a derivada de uma funcao L1loc(Ω),

nao e em geral uma funcao de L1loc(Ω).

Tal fato motivara a definicao de uma classe significativa de espacos de Banach de

funcoes conhecidas sob a denominacao de Espacos de Sobolev.

1.4 Espacos de Sobolev

Como vimos na secao anterior, toda funcao u ∈ Lp(Ω) possui derivadas distribucionais

de todas as ordens. Entretanto, as derivadas de u nem sempre sao tambem funcoes em

Lp(Ω).

1.4.1 Os Espacos Wm,p(Ω)

Chamaremos multi-ındice a toda n-upla α = (α1, α2, ..., αn) de numeros naturais.

Dado um multi-ındice α, definimos a ordem |α| de α por |α| = α1 + α2 + ... + αn, e

representamos por Dα o operador derivacao

Dα =∂|α|

∂xα11 ...∂x

αnn

.

Definicao 1.10. Sejam Ω um aberto do Rn, 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. O Espaco de Sobolev

que denotamos por Wm,p(Ω), e o espaco vetorial das (classes de) funcoes em Lp(Ω) cujas

derivadas distribucionais de ordem α pertencem a Lp(Ω), para todo multi-ındice α com

|α| ≤ m. Simbolicamente escrevemos:

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω);Dαu ∈ Lp(Ω) para todo α tal que |α| ≤ m.

17

O espaco Wm,p(Ω) com 1 ≤ p <∞ e um espaco de Banach equipado com a norma

‖u‖Wm,p(Ω) =( ∑|α|≤m

∫Ω

|Dαu(x)|pdx)1/p

,

tambem Wm,∞(Ω) e um espaco de Banach com a norma

‖u‖Wm,∞(Ω) =∑|α|≤m

sup essΩ|Dαu(x)|.

No caso p = 2, o espaco Wm,p(Ω) sera representado por Hm(Ω) que e um Espaco de

Hilbert, cujo produto interno e a correspondente norma induzida em Hm(Ω) sao dadas

por

〈u, v〉Hm(Ω) =∑|α|≤m

〈Dαu,Dαv〉L2(Ω) e ‖u‖Hm(Ω) =( ∑|α|≤m

∫Ω

|Dαu(x)|2dx)1/2

.

Agora vamos apresentar algumas desigualdades de Sobolev que nos ajudarao a alcancar

objetivo proposto.

Corolario 1.2. Supomos que Ω e um conjunto aberto de Rn e de classe C1 com Γ

limitado, seja 1 ≤ p ≤ ∞, entao tem-se

Se p < n W 1,p(Ω) → Lp∗(Ω), onde 1

p∗= 1

p− 1

n,

Se p = n W 1,p(Ω) → Lq(Ω), para todo q ∈ [p,+∞),

Se p > n W 1,p(Ω) → L∞(Ω),

e todas estas injecoes sao contınuas. Alem disso, se p > n tem-se para todo u ∈ W 1,p(Ω)

|u(x)− u(y)| ≤ C‖u‖W 1,p|x− y|α q.s. x, y ∈ Ω,

onde α = 1− (N/p) e C dependa apenas do Ω, p e n. Em particular W 1,p(Ω) → C(Ω).


Teorema 1.10 (Rellich–Kondrachov). Suponha Ω um subconjunto de Rn limitada e de

classe C1. Entao tem-se as seguintes injecoes compactas

Se p < n W 1,p(Ω) → Lq(Ω), para todo q ∈ [1, p∗) com 1p∗

= 1p− 1

n,

Se p = n W 1,p(Ω) → Lq(Ω), para todo q ∈ [p,+∞),

Se p > n W 1,p(Ω) → C(Ω).

Em particular, W 1,p(Ω) → Lp(Ω) com injecao compacta para todo p ( e para todo n).

18


Observacao 1.11. Note que D(Ω) e denso em H1(Ω). Se u, v ∈ D(Ω), vale a identidade∫Ω

∂

∂xi(uv)dx =

∫Γ

uvνidΓ,

sendo νi = cos(xi, ν), ν normal unitaria externa a Γ. Portanto,∫Ω

∂u

∂xivdx = −

∫Ω

u∂v

∂xidx+

∫Γ

uvνidΓ,

para todo par de funcoes u, v ∈ D(Ω). Por densidade, estende-se este resultado para

funcoes u, v ∈ H1(Ω).

Demonstracao: Medeiros, L. A e Milla Miranda, M. ([39], p. 126).

1.4.2 Os Espacos Wm,p0 (Ω) e W−m,q(Ω)

Observe que, embora o espaco vetorial das funcoes testes D(Ω) seja denso em Lp(Ω),

para 1 ≤ p < ∞, em geral ele nao e denso em Wm,p(Ω). Isto acontece porque a norma

de Wm,p(Ω) e “bem maior” que a norma de Lp(Ω) e por isso que Wm,p(Ω) possui menos

sequencias convergentes. Isto motivou a definicao dos espacos Wm,p0 (Ω).

Definicao 1.11. Seja Ω um subconjunto aberto de Rn, e definido

Wm,p0 (Ω) = D(Ω)

Wm,p(Ω).

No caso p = 2, o espaco Wm,p0 (Ω) sera representado por Hm

0 (Ω).

Teorema 1.12. (Desigualdade de Poincare). Suponhamos Ω e um subconjunto aberto e

limitado de Rn e 1 ≤ p < ∞. Entao existe uma constante C (dependendo de Ω e p) tal

que

‖u‖Lp(Ω) ≤ C‖∇u‖Lp(Ω), para todo u ∈ W 1,p0 (Ω).

Demonstracao: Ver Brezis ([23], p. 290).

Observacao 1.13. Em particular a expressao ‖∇u‖Lp(Ω) e uma norma no espaco W 1,p0 (Ω),

equivalente a norma ‖u‖W 1,p(Ω); em H10 (Ω) tem-se o produto interno

((u, v)) =n∑i=1

∫Ω

∂u

∂xi

∂v

∂xidx,

que induz a norma ‖∇u‖L2(Ω), equivalente a norma ‖u‖H1(Ω).

19


Os espacos Wm,p0 (Ω) e, em particular, os espacos Hm

0 (Ω), desempenham papel funda-

mental na Teoria dos Espacos de Sobolev, e por conseguinte, na Teoria das EDP’s.

Se 1 ≤ p <∞ e o numero q e o expoente conjugado de p, isto e 1p

+ 1q

= 1, entao repre-

sentamos por W−m,q(Ω) o dual topologico de Wm,p0 (Ω) e por H−m(Ω) o dual topologico

de Hm0 (Ω). Em outras palavras, se f pertence a H−m(Ω) e uma funcional linear limitada

sobre Hm0 (Ω).

Definicao 1.12. Se f ∈ H−1(Ω) a norma e definida como sendo

‖f‖H−1(Ω) = sup〈f, u〉; para todo u ∈ H10 (Ω) com ‖u‖H1

0 (Ω) ≤ 1.

Observacao 1.14. Em particular, as conclusoes do Corolario 1.2 sao validas para o

espaco W 1,p0 (Ω) com um subconjunto arbitrario aberto Ω de Rn. Similarmente, a con-

clusao do Teorema 1.10 e valido para W 1,p0 (Ω) com um subconjunto arbitraria Ω aberto

e limitado de Rn


1.5 Espacos Lp (0, T ;X)

Estende-se as nocoes de mensurabilidade e integrabilidade, para funcoes

f : [0, T ] −→ X,

onde T > 0 e X e um espaco de Banach real com a norma ‖.‖

Definicao 1.13. (i) Uma funcao s : [0, T ]→ X e chamada simples se tem forma

s(t) =m∑i=1

χEi(t)ui, (0 ≤ t ≤ T ),

onde cada Ei e um subconjunto Lebesgue mensuravel de [0, T ] e ui ∈ X, (i=1,2,...,m).

(ii) Uma funcao f : [0, T ] −→ X e fortemente mensuravel se existem funcoes simples

sk : [0, T ]→ X tais que

sk(t) −→ f(t); para q.s 0 ≤ t ≤ T.

(iii) Uma funcao f : [0, T ] −→ X e fracamente mensuravel se, para cada u∗ ∈ X∗ a

aplicacao t 7→ 〈u∗, f(t)〉 e Lebesgue mensuravel.

20

Definicao 1.14. (i) Se s(t) =∑m

i=1 χEi(t)ui e uma funcao simples, definimos∫ T

0

s(t)dt =m∑i=1

|Ei|ui.

(ii) Dizemos f : [0, T ] −→ X e somavel se existe uma sequencia de sk∞k=1 de funcoes

simples, tal que ∫ T

0

‖sk(t)− f(t)‖dt→ 0; quando k →∞.

(iii) Se a funcao f e somavel, definimos∫ T

0

f(t)dt = limk→∞

∫ T

0

sk(t)dt.

Definicao 1.15. Denota-se por Lp (0, T ;X), com 1 ≤ p ≤ ∞ o espaco vetorial das

(classes de) funcoes u : (0, T ) −→ X fortemente mensuraveis com valores em X e tais

que; se 1 ≤ p <∞ a funcao t 7→ ‖u (t)‖pX e integravel a Lesbegue em (0, T ); e se p =∞a funcao t 7→ ‖u (t)‖X ∈ L∞ (0, T ).

O espaco Lp (0, T ;X) e um espaco completo com a norma definido por

‖u‖Lp(0,T ;X) =

(∫ T

0

‖u (t)‖pX dt)1/p

, se 1 ≤ p <∞.

Se p =∞ norma acima e substituıda por

‖u‖L∞(0,T ;X) = sup ess0<t<T

‖u (t)‖X .

Apenas no caso em que p = 2 e X e um espaco de Hilbert, o espaco L2(0, T ;X) e um

espaco de Hilbert, cujo produto interno e dado por

〈v, u〉L2(0,T ;X) =

∫ T

0

〈v (t) , u (t)〉X dt.

Quando X e reflexivo e separavel e 1 < p <∞, entao Lp (0, T ;X) e um espaco reflexivo

e separavel, cujo dual topologico se identifica ao espaco de Banach Lp′(0, T ;X ′), onde p

e p′ sao ındices conjugados, isto e, 1p

+ 1p′

= 1. A dualidade entre esses espacos e dada na

forma integral por

〈v, u〉Lp′ (0,T ;X′)×Lp(0,T ;X) =

∫ T

0

〈v (t) , u (t)〉X′×X dt.

No caso p = 1, o dual topologico do espaco L1 (0, T ;X) se identifica ao espaco L∞ (0, T ;X ′).

21

Definicao 1.16. Denota-se por C ([0, T ] ;X), com T > 0 o espaco de Banach das funcoes

contınuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergencia uniforme

‖u‖C([0,T ];X) = max0≤t≤T

‖u (t)‖X <∞.

Teorema 1.15 (Aubin-Lions). Sejam B0, B, B1 espacos de Banach, B0 e B1 reflexivos,

a imersao de B0 em B e compacta, B imerso continuamente em B1, 1 < p0, p1 < ∞ e

W o espaco

W = u ∈ Lp0 (0, T ;B0) ; u′ ∈ Lp1 (0, T ;B1)

equipado da norma

‖u‖W = ‖u‖Lp0 (0,T ;B0) + ‖u′‖Lp1 (0,T ;B1) .

Entao W e um espaco de Banach, e a imersao de W em Lp0 (0, T ;B) e compacta.

Demonstracao: Lions ([32], p. 58).

Observacao 1.16. Uma consequencia do Teorema de Aubin-Lions: se (uν)ν∈N e uma

sequencia limitada em L2 (0, T ;B0) e (u′ν)ν∈N e uma sequencia limitada em L2 (0, T ;B1)

entao (uν)ν∈N e limitada em W . Daı, segue-se que existe uma subsequencia (uνk)k∈N de

(uν)ν∈N tal que uνk −→ u forte em L2 (0, T ;B) .

Lema 1.2. Sejam Q um subconjunto aberto limitado de Rnx×Rt, gm e g funcoes de Lq(Q)

com 1 < q <∞, satisfazendo

|gm|Lq(Q) ≤ C e gm → g, em q.t.p de Q.

Entao

gm g, em Lq(Q)


Lema 1.3. Sejam V,H, V ′ tres espacos de Hilbert, sendo V ′ o dual de V . Se uma funcao

u pertence ao espaco L2(0, T ;V ) e seu derivada u′ pertence ao espaco L2(0, T ;V ′), entao u

e quase sempre igual a uma funcao contınua de [0, T ] em H, e temos a seguinte igualdade

no sentido de distribuicao escalar em (0, T )

d

dt| u |2= 2〈u′, u〉.

A igualdade acima faz sentido desde que as funcoes

t 7→| u(t) |2 e t 7→ 〈u′(t), u(t)〉

sao ambas integraveis em [0, T ].

22

Demonstracao: Temam ([57], p. 261).

Lema 1.4. Sejam X um espaco de Banach, f ∈ Lp(0, T ;X) e f ′ ∈ Lp(0, T ;X) com

1 ≤ p ≤ ∞, entao

f ∈ C([0, T ];X).

(Possivelmente redefinidas sobre um conjunto de medida nula.)


1.6 Distribuicoes Vetoriais

Seja um numero real T > 0 e X um espaco de Banach real com a norma ‖.‖

Definicao 1.17. Uma distribuicao vetorial sobre (0, T ) com valores em X, e uma funcao

f : D (0, T )→ X linear e contınua. O conjunto dessas transformacoes lineares e chamado

Espaco das Distribuicoes Vetoriais sobre (0, T ) com valores em X e e denotado por

D′(0, T ;X) = L(D (0, T ) ;X).

Definicao 1.18. Seja f ∈ D′ (0, T ;X). A derivada de ordem n e definida como sendo a

distribuicao vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por⟨dnf

dtn, ϕ

⟩= (−1)n

⟨f,dnϕ

dtn

⟩, ∀ϕ ∈ D (0, T ) .

Observacao 1.17. Se a funcao f pertence ao espaco Lp(0, T ;X) com 1 ≤ p ≤ ∞, entao

define uma distribuicao que denotamos pela mesma funcao f e e dada por

f(ϕ) =

∫ T

0

f(t)ϕ(t)dt, para todo ϕ ∈ D (0, T ) ,

com valores integrales em X.


1.7 Equacao de Evolucao de Stokes

Definicao 1.19. Seja Ω aberto e limitado em RN com fronteira de classe C1 e N = 2 ou

N = 3H = w ∈ [L2(Ω)]

N; ∇ · w = 0 em Ω, ϕ · η = 0 sobre ∂Ω

V = w ∈ [H10 (Ω)]

N; ∇ · w = 0 em Ω

23

Consideremos o seguinte problema de evolucao de Stokes para (u, p)

(1.3)

∂u

∂t−∆u = f −∇p, em Ω× (0, T )

div(u) = 0, em Ω× (0, T )

u = 0, sobre ∂Ω× (0, T )

u(0) = u0, em Ω

Multiplicando a primeira equacao de (1.3) por w ∈ V tem-se:

(1.4)

d

dt(u(t), w) + (u(t), w)H = 〈f(t), w〉 , em (0, T ) para todo ω ∈ V

u(0) = u0, em Ω

Teorema 1.18. Se u0 ∈ H e f ∈ L2(0, T,H−1(Ω)N). Entao existe uma unica solucao

u ∈ C(0, T,H) ∩ L2(0, T, V ) com∂u

∂t∈ L2(0, T, V ′) de (1.4). Alem disso existe p ∈

D′(0, T, L2(Ω)) (de fato, p ∈ H−1(0, T, L2(Ω))) tal que (u, p) satisfaz (1.3)


Teorema 1.19. Se u0 ∈ V e f ∈ L2(0, T,H), entao a solucao u de (1.3) satisfaz

u ∈ C(0, T, V ) ∩ L2(0, T,H2(Ω)N),∂u

∂t∈ L2(0, T,H) e p ∈ L2(0, T,H1(Ω))


1.8 Resultados Importantes

Nesta secao, apresentamos alguns resultados importantes que serao utilizados na

obtencao dos objetivos desejados.

Teorema 1.20. Seja Ω aberto de RN e w ⊂ Ω, entao existe η0 ∈ C2(Ω) tal que η0 = 0

sobre ∂Ω, η0(x) > 0 em Ω e |∇η0| > 0 em Ω \ w.

Demonstracao: Fursikov ([1], p. 4).

Definicao 1.20. Seja X subconjunto de um espaco de Banach E se dize que X e convexo

se e somente se para todo t ∈ [0, 1] se tem que tx+ (1− t)y ∈ X para todo x, y ∈ X

Definicao 1.21. Seja X un subconjunto convexo de um espaco de Banach E e uma

funcao f : X −→ R, se diz que:

1. f e convexa se e somente se f(tx+(1−t)y) ≤ tf(x)+(1−t)f(y) para todo x, y ∈ Xe t ∈ [0, 1].

24

2. f e estritamente convexa se e somente f(tx + (1− t)y) < tf(x) + (1− t)f(y) para

todo x, y ∈ X e t ∈ (0, 1).

Teorema 1.21. Seja Uad um subconjunto convexo e fechado de um espaco de Hilbert

U e J : Uad −→ R uma funcao estritamente convexa, diferenciavel e que cumpre que

lim‖v‖−→+∞

J(v) = +∞ para todo v ∈ Uad. Entao existe um unico u ∈ Uad satisfazendo:

J(u) = infv∈Uad

J(v)

e caracterizado por

〈J ′(u), v − u〉 ≥ 0 ∀ v ∈ Uad


Teorema 1.22. (Teorema de completacao) Para qualquer espaco com produto interno

X existe um espaco de Hilbert H e um isomorfismo A : X −→ W ⊂ H denso. O espaco

H e unico excepto por isomorfismos.

Demonstracao: Kreyszig ([17], p. 139).

Teorema 1.23. (Lax-Milgram) Seja H um espaco de Hilbert e B : H × H −→ R uma

forma bilinear, para o qual existem constantes α, β > 0 tais que:

|B(u, v)| ≤ α ‖u‖ ‖v‖ e β ‖u‖2 ≤ B(u, u) (u, v ∈ H)

Finalmente dado f : H −→ R um funcional linear limitado em H. Entao existe um

unico u ∈ H tal que

B(u, v) = 〈f, v〉 para todo v ∈ H

Demonstracao: Evans ([42], p. 297).

Teorema 1.24. (Do Ponto Fixo de Kakutani)

Dado (Z, ||·||) um espaco de Banach e Λ : Z 7→ 2Z uma funcao tal que satisfaz o seguinte:

• Λ(z) 6= ∅, para qualquer z ∈ Z

• Λ(z) e convexo, para qualquer z ∈ Z

• Λ e compacta com grafico fechado

Entao o conjunto de pontos fixos de Λ e nao vazio e compacta.

25

Teorema 1.25. (Ponto Fixo de Schauder)

Seja (X, || · ||) um espaco de Banach e Λ : X 7→ X uma aplicacao continua tal que

Λ(x) ∈ K para todo x ∈ K, onde K e um subconjunto convexo e compacto de X. Entao

existe x0 ∈ K tal que Λ(x0) = x0.

Demonstracao: Smart ([6], p. 15)

No que segue, enunciaremos os Lemas seguintes que serao uteis.

Lema 1.5. Assumindo que α > 0, os coeficientes bi,j, cj, d ∈ Cα,α/2(Q) e fronteira ∂Ω

e suficientemente regular (mais precisamente, de classe Cα+2) e para alguma constante

µ > 0,N∑

i,j=1

bi,j(x, t)vivj ≥ µ|v|2, ∀(x, t, v) = (x, t, v1, ..., vN) ∈ Q× RN

Entao, para qualquer f ∈ Cα,α/2(Q), φ ∈ Cα+2(Ω) e Φ ∈ Cα+2,α/2+1(∂Ω × [0, T ])

satisfazendo as condi coes de compatibilidade de primeiro ordem dα/2 + 1e, o sistema

parabolico linearut −

N∑i,j=1

bijuxixj +N∑j=1

cjuxj + du = g em Q,

u = Φ sobre Σ,

u(0) = φ em Ω

tem uma unica solucao u ∈ Cα+2,α/2+1(Q).

Demonstracao: Ver prova em [48].

Lema 1.6. Para todo r > 1, g ∈ Lr(Q), cj ∈ C(Q) (j = 1, 2, ..., N), e bij ∈ C1,1(Q),

bij = bji (i,j=1,...,N) com d ∈ C(Q) e para alguma constante µ > 0,

N∑i,j=1

bi,j(x, t)φiφj ≥ µ|φ|2, ∀(x, t, φ) = (x, t, φ1, ..., φN) ∈ Q× RN

entao, a equacao parabolicaut −

N∑i,j=1

bijuxixj +N∑j=1

cjuxj + du = g em Q,

u = 0 sobre Σ,

u(0) = 0 em Ω,

26

admite, uma unica solucao forte em u ∈ W 2,1r (Q). Alem disso, existe uma constante

positiva C(Ω, T, µ, r) tal que

||u||W 2,1r (Q) ≤ Cexp

[C(1 +

N∑i,j=1

|bi,j|8C1,1(Q)

+N∑j=1

|cj|8L∞(Q) + |d|4L∞(Q))

]||g||Lr(Q),

ver prova em [65] e [48].

Lema 1.7. As seguintes imersoes continuas, sao satisfeitas:

1. se N + 2 > 2r, entao W 2,1r (Q) → Lr

∗(Q), onde r∗ = (N + 2)r/(N + 2− 2r).

2. se N + 2 = 2r, entao W 2,1r (Q) → Ls(Q) para qualquer s > 1.

3. se θ = 2− (N + 2)/r nao e um inteiro, entao W 2,1r (Q) → Cθ, θ

2 (Q),

Ver prova em [48], p. 80.

1.9 Alguns resultados de existencia e unicidade para

Edps com termo nao local

Seja a = a(r) uma funcao satisfazendo o seguinte:

(1.5) a ∈ C2(R), 0 < a0 ≤ a(r) ≤ a1 e |a′(r)|+ |a′′(r)| ≤M, ∀r ∈ R.

a partir de ali denotemos por:

α(t, w) := a(

∫ L

0

(w + y)dx′)

e

β(t, w) :=

−a(

∫ L

0

(w + y)dx′)− a(

∫ l

0

ydx′)∫ L

0

wdx′, se

∫ L0wdx′ 6= 0

−a′(∫ L

0

ydx′) , se∫ L

0wdx′ = 0.

Lema 1.8. Assumindo que y0 ∈ H10 (I), v0, v1 ∈ H1(0, T ) e y ∈ L∞(0, T ;W 2,∞(I)).

Entao a solucao y de

(1.6)

yt − α(t, w)yxx + β(t, w)

(∫ L

0

y dx′)yxx = 0, em Q

y(0, t) = v0(t), y(L, t) = v1(t), sobre (0, T )

y(x, 0) = y0(x), em I

27

satisfaz que y ∈ L2(0, T,H10 (I) ∩H2(I)), e yt ∈ L2(0, T, L2(I))

Demonstracao: Dado y(x, t) = y(x, t)−(L− x)

Lv0(t)−x

Lv1(t), consideremos o seguinte

problema

(1.7)

yt − α(t, w)yxx + β(t, w)

(∫ L

0

y dx′)yxx = g, em Q

y(0, t) = y(L, t) = 0, sobre (0, T )

y(x, 0) = y0(x), em I

where g(x, t) = Lβ(t, w)(v0(t) + v1(t))

2yxx(x, t) +

(L− x)

Lv′0(t) +

x

Lv′1(t) e y0(x) =

y0(x) − v0(0)(L− x)

L− x

Lv1(0), nos sabemos que existe uma solucao y para o sistema

(1.7) tal que y ∈ L2(0, T,H10 (I) ∩ H2(I)), e yt ∈ L2(0, T, L2(I)) portanto y(x, t) =

y(x, t)+(L− x)

Lv0(t)+

x

Lv1(t) e a solucao de (1.6) isto ultimo completa a prova do Lema

1.8.

Lema 1.9. Assumindo que v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]), y0 ∈ H3(I)∩H10 (I) e y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q),

entao a solucao y de (1.6) satisfaz

y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q)

Demonstracao: No sistema (1.6) temos

(1.8)

yt − α(t, w)yxx = −β(t, w)

(∫ L

0

y dx′)yxx, em Q

y(0, t) = v0(t), y(L, t) = v1(t) sobre (0, T )

y(x, 0) = y0(x), em I

como y0 ∈ H10 (I), entao tem-se que y ∈ L2(0, T,H1

0 (I)) ∩ L2(0, T,H2(I)) e yt ∈L2(0, T.L2(I)). Vamos garantir que se satisfazem as hipoteses do Lema 1.5. Lembre-se

que

α(t, w) = a

(∫ L

0

(w + y) dx′), so depende de ”t”,

para qualquer t1, t2 ∈ (0, T ) tal que t1 6= t2 temos o seguinte,

|α(t1, w)− α(t2, w)||t1 − t2|1/4

≤M

|∫ L

0

(w + y)(t1) dx′ −∫ L

0

(w + y)(t2) dx′|

|t1 − t2|1/4

≤M

(∫ L

0

|w(x′, t1)− w(x′, t2)||t1 − t2|1/4

dx′ +

∫ L

0

|y(x′, t1)− y(x′, t2)||t1 − t2|1/4

dx′)

≤ C(||w||C1/2,1/4(Q) + ||y||C1/2,1/4(Q)),

28

entao

α(t, w) ∈ C1/2,1/4(Q),

Denotemos por F (t) = −β(t, w)

∫ L

0

y(t) dx′, vamos verificar que Fyxx ∈ C1/2,1/4(Q).

Para qualquer (x1, t1), (x2, t2) ∈ Q tal que (x1, t1) 6= (x2, t2) tem-se,

|Fyxx(x1, t1)− Fyxx(x2, t2)||x1 − x2|1/2 + |t1 − t2|1/4

≤ |F (t1)||yxx(x1, t1)− yxx(x2, t2)||x1 − x2|1/2 + |t1 − t2|1/4

+|F (t1)− F (t2)||yxx(x2, t2)||x1 − x2|1/2 + |t1 − t2|1/4

≤ C(||z||L∞(0,T,L2(I))||yxx||C1/2,1/4(Q) + ||F ||C1/2,1/4(Q)||yxx||C(Q)

),

entao

Fyxx ∈ C1/2,1/4(Q)

Do fato de que v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]) temos em (1.8) que as hipoteses do Lema 1.5

sao satisfeitas, o que implica que

y ∈ C2+1/2,1+1/4(Q)

Lema 1.10. Se y0 ∈ C2+ 12 (I) satisfaz as condicoes de compatibilidade de primeiro ordem,

v0, v1 ∈ C1+1/4([0, T ]) , entao existe uma solucao y ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (Q) para o sistema (1.6),

sempre que y0, v0, v1 sejam suficientemente pequenos.

Demonstracao: Para y ∈ C1,1(Q), definindo a funcao Λ0(y) = y, onde y e solucao de

(1.9)

yt − a(

∫Ω

y dx′)∆y = 0 em Q,

y = 0 sobre Σ,

y(0) = y0 em Ω.

Se consegue provar que Λ0 e continua em C1,1(Q) e que para y0, v0, v1 suficientemente

pequenos, satisfaz as hipoteses do Teorema do Ponto Fixo de Schauder, pelo que existe

um ponto fixo y ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (Q) que e solucao de (1.6).

29

Capıtulo 2

Controlabilidade Exata por

Trajetorias para EDPs Parabolicas

com Nao Linearidade Nao Local

2.1 Formulacao do Problema

Dado Ω ⊂ RN(N ≥ 1 e um inteiro) e um conjunto limitado nao vazio, conexo e aberto,

com fronteira regular ∂Ω. Fixando T > 0 e sejam Q := Ω× (0, T ) e Σ := ∂Ω× (0, T ).

No que segue, denotamos por (· , ·) e ‖ · ‖, respectivamente, o produto escalar e a norma

em L2(Ω). O simbolo C denota uma constante generica positiva.

Dado ω ⊂ Ω e um conjunto nao vazio e aberto. Estudamos a controlabilidade exata

por trajetorias para o sistema nao linear

(2.1)

yt − a(

∫Ω

y dx′)∆y = v1ω em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde v e o controle e y e estado associado. Aqui, assumiremos que a funcao a = a(r)

satisfaz

(2.2) a ∈ C2(R), 0 < a0 ≤ a(r) ≤ a1 e |a′(r)|+ |a′′(r)| ≤M ∀r ∈ R.

Observe que se y0 ∈ H2(Ω) ∩ H10 (Ω), v ∈ L2(ω × (0, T )) e vt ∈ L2(ω × (0, T )),

entao (2.1) possui exatamente uma solucao satisfazendo

y ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)), yt ∈ L∞(0, T ;H1

0 (Ω)) e ytt ∈ L2(0, T ;H−1(Ω));

30

ver a prova em [44].

Considere-se a trajetoria y = y(x, t), solucao de

(2.3)

yt − a(

∫Ω

y dx′)∆y = 0 em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde

(2.4) y0 ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω).

Definicao 2.1. Dizemos que (2.1) e localmente exatamente controlavel por trajetorias

y no tempo T se existe ε > 0 com a seguinte propriedade: se y0 ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω) e

||y0 − y0||H2 ≤ ε,

entao e possıvel encontrar um controle v ∈ L2(ω × (0, T )) e um estado associado y tal

que

(2.5) y(x, T ) = y(x, T ) em Ω.

Neste capıtulo, a principal novidade e que lidamos com a controlabilidade exata por

trajetorias regulares para sistemas do tipo (2.1)

Nosso principal resultado neste capıtulo e o seguinte:

Teorema 2.1. Assumindo que sao satisfeitas as hipoteses (2.2), (2.3) e (2.4), o sistema

nao linear (2.1) e localmente exatamente controlavel para y no tempo T > 0.

Note que, se fazemos a seguinte mudanca de variaveis y = z + y e y0 = z0 + y0,

obtem-se

(2.6)

zt − a(

∫Ω

(z + y) dx′)∆z −m(z)∆y = v1ω em Q,

z(x, t) = 0 sobre Σ,

z(x, 0) = z0(x) em Ω,

onde

m(z) := a(

∫Ω

(z + y) dx′)− a(

∫Ω

y dx′)

Isto implica que, a controlabilidade local exata por trajetorias do sistema (2.1) e

equivalente a controlabilidade local nula da solucao de (2.6).

31

A fim de provar o Teorema 2.1, primeiro provaremos que (2.6) e localmente exata-

mente controlavel em zero. Isto e, existe ε > 0 tal que, se z0 ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω) e

||z0|| ≤ ε,

entao para todo δ > 0 pequeno, existem controles vδ uniformemente limitados em L2(ω×(0, T )) e um estado associado zδ satisfazendo

||zδ(·, T )|| ≤ δ.

Para este proposito aplicaremos o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani para uma

formulacao apropriada do problema de controlabilidade nula aproximada (2.6).

Mais precisamente, como primeiro passo, para cada w ∈ L2(Q) com wt ∈ L∞(0, T, L1(Ω)),

consideramos o seguinte sistema linear

(2.7)

zt − αw(t)∆z + βw(t)

(∫Ω

z dx′)

∆y = v1ω em Q,


z(x, 0) = z0(x) em Ω,

onde

αw(t) := a(

∫Ω

(w + y) dx′)

e

βw(t) :=

−a(

∫Ω

(w + y) dx′)− a(

∫Ω

y dx′)∫Ω

w dx′se

∫Ω

w dx′ 6= 0,

−a′(∫

Ω

y dx′) caso contrario.

O estado adjunto de (2.7) e dado por

(2.8)

−ϕt − αw(t)∆ϕ+ βw(t)

∫Ω

∆y(x′, t)ϕ(x′, t) dx′ = 0 em Q,

ϕ(x, t) = 0 sobre Σ,

ϕ(x, T ) = ϕT (x) em Ω,

onde ϕT ∈ L2(Ω). Estabeleceremos uma estimativa de observabilidade para as

solucoes de (2.8), donde deduziremos imediatamente a controlabilidade aproximada de (2.7).

Para este fim, usaremos as ideias encontradas em [12] e empregaremos uma tecnica de

compacidade unica. Entao, por um argumento do ponto fixo classico asseguraremos a

32

mesma propriedade para (2.6). Depois, em uma etapa final, passaremos limites quando

δ → 0 e a controlabilidade nula local desejada de (2.6) sera obtida.

2.2 Alguns Resultados Tecnicos

2.2.1 Lemas Preliminares

Precisaremos de alguns resultados (bem conhecidos) de Fursikov e Imanuvilov [1];

veja tambem [54]. Alem disso, sera conveniente introduzir um novo conjunto aberto

nao vazio ω0, com ω0 b ω. Devido ao Teorema 1.20. Existe uma funcao σ0 ∈ C2(Ω)

satisfazendo: σ0(x) > 0 ∀ x ∈ Ω,

σ0(x) = 0 ∀ x ∈ ∂Ω,

|∇σ0(x)| > 0, ∀ x ∈ Ω\ω0.

Introduzindo as funcoes:

σ(x, t) =e4λ||σ0||∞ − eλ(2||σ0||∞+σ0(x))

l(t), ξ(x, t) =

eλ(2||σ0||∞+σ0(x))

l(t),

onde

l(t) =

T 2

40 ≤ t ≤ T/2,

t(T − t) T/2 ≤ t ≤ T,

l(t) =

T 4

160 ≤ t ≤ T/2,

t2(T − t)2 T/2 ≤ t ≤ T

e λ > 0.

Nos denotaremos por λ1, λ2, ..., (respectivamente φ1, φ2, ...) os autovalores (respecti-

vamente com norma unitaria no espaco L2, de autofuncoes) do Laplaciano de Dirichlet

em Ω. Lembre-se que 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ∼ m2/N quando m → +∞ e

φ1 > 0 em Ω.

No que segue, precisaremos do espaco de Banach

Z := w ∈ L2(Q) : wt ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)).

Lema 2.1. Para a(·) satisfazendo (2.2) e w ∈ Z dados, definimos b(s) = a(∫

Ωw dx).

Entao existe R0 e C0, dependendo so de Ω, ω, T, a0, a1, e ||w||Z tais que, para todo

33

f ∈ L2(Ω), tem-se∑j≥1

e−2R0

√λj |(f, φj)|2

≤ C0

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|∑j≥1

(f, φj)e−λj

∫ Tt b(s)dsφj(x)|2 dx dt

Demonstracao: Dado w ∈ Z e definindo

α(s) := a(

∫Ω

w(x′, s) dx′).

Assumindo que ϕ satisfaz −ϕt − α(t)∆ϕ = 0 em Q,

ϕ = 0 sobre Σ,

ϕ(x, T ) = f em Ω.

Da desigualdade de Carleman para ϕ (ver [8]), tem-se

(2.9)

∫∫Q

e−C0/(T−t)|ϕ|2 dx dt ≤ C0

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt,

onde C0 so depende de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z e C0 somente depende de Ω, ω, a0, a1 e

||w||Z , (ver [1] e [4]). Como

ϕ(x, t) =∑j≥1

e−λj∫ Tt α(s) ds(f, φj)φj

e

‖ϕ‖2 =∑j≥1

e−2λj∫ Tt α(s) ds|(f, φj)|2.

De (2.9), calculamos∫ T

0

∑j≥1

e−2λj∫ Tt α(s) ds−C0/(T−t)|(f, φj)|2 dt ≤ C0

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt

e, consequentemente,

(2.10)∑j≥1

∫ T

0

e−2λja1(T−t)−C0/(T−t) dt |(f, φj)|2 ≤ C0

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt.

O decaimento assintotico das integrais no lado esquerdo e bem conhecido. Logo,

temos

34

∫ T

0

e−2λa1(T−t)−C0/(T−t)dt ∼(

π2C0

4(λa1)3

)1/4

e−4√C0a1λ, quando λa1 →∞.

(Ver [9])

Portanto, existe C1 outra vez dependendo de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z tal que∫ T

0

e−2λja1(T−t)−C0/(T−t) dt ≥ C1e−2R0

√λj ∀ j ≥ 1.

Sustituindo em (2.10) conclui-se a prova.

2.2.2 Desigualdade de Observabilidade

Para uso posterior utilizaremos as seguintes notacoes:

I(ϕ) =

∫∫Q

e−2sσ[(sξ)−1(|ϕt|2 + |∆ϕ|2) + (sξ)|∇ϕ|2 + (sξ)3|ϕ|2

]dx dt,

temos que I(ϕ) =4∑i=1

Ii(ϕ). Nos seguintes resultados apresentaremos algumas esti-

mativas de Observabilidade para solucoes do estado adjunto (2.8) que tem um papel

importante na prova do Teorema 2.1.

Proposicao 2.1. Assumindo que a(·) satisfaz (2.2). Existem s e C > 0 somente depen-

dendo de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z, tais que para qualquer ϕT ∈ L2(Ω), a solucao de (2.8)

satisfaz

(2.11) ‖ϕ(· , 0)‖2 ≤ C

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt

e

(2.12) I(ϕ) ≤ C

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt.

Demonstracao: Primeiro provaremos (2.11). Para conseguir isto faremos uso de um

argumento similar aplicado no Teorema 3 em [12].

Para qualquer ϕT ∈ L2(Ω) vamos denotar por ϕ a solucao de (2.8) e escrever

ϕ = p+ ζ,

35

onde p e a unica solucao de

(2.13)

−pt − αw(t)∆p = 0 em Q,

p(x, t) = 0 sobre Σ,

p(x, T ) = ϕT (x) em Ω.

Obviamente, temos:

(2.14)

−ζt − αw(t)∆ζ + βw(t)B(ζ)(t) = −βw(t)B(p)(t) em Q,

ζ(x, t) = 0 sobre Σ,

ζ(x, T ) = 0 em Ω,

onde tem-sido usada a notacao

B(v)(t) :=

∫Ω

∆y(x′, t)v(x′, t) dx′.

E bem conhecido que existe s(Ω, ω, T, a0, a1, ||w||Z) tal que a funcao

ϕT 7→ ‖ϕT‖v :=

(∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|p|2 dx dt)1/2

e uma norma em L2(Ω). Tambem, utilizando uma conhecida estimativa de Carleman

Global em (2.13) , pelo que temos

(2.15) I(p) ≤ C‖ϕT‖2v,

para algum C(Ω, ω, a0, a1, ||w||Z); ver [1].

Por outro lado, desde que

p(x, t) =∑j≥1

e−λj∫ Tt αw(s)ds(ϕT , φj)φj(x),

pelo Lemma 2.1 temos que

(2.16)∑j≥1

e−2R0

√λj |(f, φj)|2 ≤ C0‖ϕT‖2

v.

A desigualdade (2.11) sera uma consequencia das seguintes estimativas:

(2.17) ‖ϕT‖2v ≤ C0

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt ∀ϕT ∈ L2(Ω)

e

(2.18) ‖ϕ(· , 0)‖2 ≤ C‖ϕT‖2v ∀ϕT ∈ L2(Ω).

36

Vamos provar estas duas ultimas desigualdades.

Prova de (2.17). Aqui usaremos um argumento de contradicao e o metodo de com-

pacidade unica.

Assumindo que (2.17) nao e satisfeito, entao, para todo n ≥ 1, podemos encontrar

funcoes ϕTn ∈ L2(Ω) tais que

(2.19) 1 = ‖ϕTn‖2v > n

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕn|2 dx dt,

onde ϕn e a solucao de (2.8) associado a ϕTn .

Denotemos por pn (resp. ζn) a solucao de (2.13) correspondente a ϕT = ϕTn (resp. a

solucao de (2.14) para p = pn). Assumindo pelo momento que

(2.20) ζn → 0 forte em L2(Q).

Isso levara a uma contradicao, uma vez que

1 = ‖ϕTn‖2v ≤ 2

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕn|2 dx dt+ 2

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ζn|2 dx dt,

os dois termos no lado direito vao para zero.

Para provar (2.20), vamos primeiro verificar que

(2.21)

∥∥∥∥βw(·)∫

Ω

∆y(x′, · )pn(x′, · ) dx′∥∥∥∥2

L2(0,T )

≤ C, ∀n ≥ 1.

Isto e obtido de (2.16) e do fato de que

y(x′, t) =∑j≥1

e−λj∫ t0 a(

∫Ω y(ξ,s)dξ) ds(y0, φj)φj(x

′),

pn(x′, t) =∑j≥1

e−λj∫ Tt αw(s)ds(ϕTn , φj)φj(x

′).

37

Obviamente, tem-se∥∥∥∥βw(·)∫

Ω

∆y(x′, ·)pn(x′, ·) dx′∥∥∥∥2

L2(0,T )

=

∫ T

0

|βw(t)|2∣∣∣∣∫

Ω

∆y(x′, t)pn(x′, t) dx′∣∣∣∣2 dt

≤ C

∫ T

0

∣∣∣∣∣∑j≥1

λje−λj

∫ t0 a(

∫Ω ydx

′)ds(y0, φj)e−λj

∫ Tt αw(s)ds(ϕTn , φj)

∣∣∣∣∣2

dt

≤ C

∫ T

0

(∑j≥1

λ2je−2λja0te−2λja0(T−t)e2R0

√λj |(y0, φj)|2

)dt ‖ϕTn‖2

v

≤ CT‖y0‖2

(∑j≥1

λ2je−2λja0T e2R0

√λj

)‖ϕTn‖2

v

≤ CT‖y0‖2 < +∞.

Pela estimativa (2.21) podemos assumir que ζn converge forte em L2(Q). Agora,

garantiremos que ao menos de uma subsequencia, valem os resultados

(2.22) ϕn → ϕ fraco em L2(Ω× (0, T − δ)) ∀δ > 0,

com

(2.23) βw(t)

∫Ω

∆y(x′, t)ϕ(x′, t) dx′ = 0 em (0, T ).

Obviamente, para a sequencia ϕn pode se assumir que converge para algum ϕ fraca-

mente em L2(Ω× (0, T − δ)). para todo δ > 0, desde que temos as seguintes estimativas∫∫Ω×(0,T−δ)

|ϕn|2 dx dt ≤ 2

∫∫Ω×(0,T−δ)

|pn|2 dx dt+ 2

∫∫Ω×(0,T−δ)

|ζn|2 dx dt

≤ Cδ

∫∫Q

e−2sσξ3|pn|2 dx dt+ C

≤ CδC‖ϕTn‖2v + C

= CδC + C.

Aqui, foi usado (2.15). Imediatamente, obtemos que ϕ(x, t) = 0 em ω× (0, T ). Portanto,

da equacao (2.8) satisfeita por ϕ, deduzimos que (2.23) e verdadeira.

Pelas estimativas (2.21)-(2.23) e do fato que ζn e limitado em L2(Q), obtem-se

βw(t)

∫Ω

∆y(x′, t)ϕn(x′, t) dx′ → 0 fracamente em L2(0, T ;H−1(Ω))

38

e, consequentemente, (2.20) e satisfeito

Prova de (2.18). Neste ponto usaremos as estimativas de energia e observabilidade,

satisfeitas por p e as estimativas de energia satisfeitas por ζ.

De (2.13) e (2.15), consegue-se

(2.24) ‖p(· , 0)‖2 ≤ C

∫ 3T/4

T/4

‖p(· , t)‖2dt ≤ C‖ϕT‖2v.

Por outro lado, de (2.14) tem-se

‖ζ(· , 0)‖2 ≤ C‖βw(·)∫

Ω

∆y(x′, · )p(x′, · )dx′‖2L2(0,T ;H−1(Ω))

e, por um argumento como em (2.21), o seguinte e satisfeito

(2.25) ‖ζ(· , 0)‖2 ≤ C‖ϕT‖2v.

Finalmente, observe que ϕ = p+ ζ e juntando (2.24) e (2.25), temos (2.18).

A partir de agora, provaremos a estimativa (2.12).

Levando em conta a estimativa de Carleman satisfeita por p e argumentando como na

prova de (2.21), encontramos que:

I(ϕ) ≤ 2I(p) + 2I(ζ)

≤ 2I(p) + C(||ζ||2L2(0,T,H2(Ω)) + ||ζt||2L2(Q))

≤ C||ϕT ||2v + C||βw(·)∫

Ω

∆y(x′, · )p(x′, · )dx′||2L2(0,T )

≤ C||ϕT ||2vAssim, usando (2.17), deduzimos (2.12)

2.2.3 Controlabilidade Nula Aproximada de (2.7) com Controles

Uniformemente Limitados em H1(0, T ;L2(ω))

Proposicao 2.2. Assumindo que a(·) satisfaz (2.2). Para qualquer δ > 0 e z0 ∈ L2(Ω),

existe um controle vδ ∈ H1(0, T ;L2(ω) tal que a solucao zδ de (2.7) satisfaz

(2.26) ||zδ(· , T )|| ≤ δ.

Alem disso, os controles vδ podem ser escolhidos tais que

(2.27) ‖vδ‖H1(0,T,L2(ω)) ≤ C‖z0‖,

com C dependendo so de Ω, ω, T, a0, a1 e ||w||Z

39

Demonstracao: Para cada δ > 0, consideremos os seguintes funcionais sobre L2(Ω):

Fδ(ϕT ) :=

1

2

∫∫ω×(0,T )

e−2sσξ3|ϕ|2 dx dt+ δ||ϕT ||+ (z0, ϕ(· , 0)).

Aqui, para cada ϕT ∈ L2(Ω), ϕ e a solucao de (2.8). Entao fica claro que Fδ :

L2(Ω) 7→ R e contınuo e estritamente convexo. De (2.11), tambem tem-se que Fδ e

coercivo. Entao existe ϕTδ que e o unico minimo de Fδ, sera denotado por ϕδ a solucao

associada para (2.7), obviamente ϕTδ = 0 ou

(2.28)⟨F ′δ(ϕ

Tδ ), ϕT

⟩= 0 ∀ ϕT ∈ L2(Ω).

Suponhamos que ϕTδ 6= 0, entao de (2.7)

v = vδ := e−2sσξ3ϕδ|ω×(0,T ).

Denotemos por zδ a solucao associada ao estado e substituindo em (2.28), obtem-se∫Ω

(zδ(x, T ) +

δ

||ϕTδ ||ϕTδ (x)

)ϕT (x) dx = 0 ∀ ϕT ∈ L2(Ω),

o qual implica

(2.29) ||zδ(·, T )|| = δ

Portanto, por (2.11), tem-se

(2.30)

∫∫ω×(0,T )

e2sσξ−3|vδ|2 dx dt ≤ C||z0||2,

onde C = C(Ω, T, a0, a1, ||w||Z)

Isto prova que e possıvel encontrar controles satisfazendo (2.26) e (2.30). No que

segue, provaremos que vδ,t sao uniformemente limitados em L2(ω× (0, T )). Da definicao

de vδ, tem-se vδ,t = ((e−2sσξ3)tϕδ + e−2sσξ3ϕδ,t), em ω × (0, T ), portanto e imediato ver

que

||vδ,t||2L2(ω×(0,T )) ≤ C

(∫∫Q

e−2sσξ3|ϕδ|2 dx dt+

∫∫Q

e−2sσξ−1|ϕδ,t|2 dx dt).

Lembrando as estimativas (2.12) e (2.30), chegamos ao resultado desejado

(2.31) ||vδ,t||L2(ω×(0,T )) ≤ C||z0||,

que finaliza a prova do Teorema.

40

2.3 Prova do Teorema 2.1

Esta secao e dedicada a provar o resultado relativo a controlabilidade local exata para

as trajetorias do Teorema 2.1.

2.3.1 Controlabilidade Local Nula Aproximada de (2.6) com

Controles Uniformemente Limitados em L2(ω × (0, T ))

Provaremos que (2.6) e localmente aproximadamente nulo controlavel, com controles

uniformemente limitados em L2(ω × (0, T )). Logo definiremos os espacos W e K

W := (v, w) : v ∈ L2(0, T ;L2(ω)), vt ∈ L2(0, T ;L2(ω)), w ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)),

wt ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)), wtt ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)),

K := w ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)) : wt ∈ L∞(0, T ;H1

0 (Ω)), wtt ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)),

Para cada δ > 0, define-se vδ(x, t) := ρδ∗vδ(x, t) com ρδ ∈ C∞0 (ω×(0, T )) e denotamos

por zδ a solucao de (2.7) associado a vδ. De (2.26) e (2.27), obtem-se

(2.32) ||vδ||H1(0,T,L2(ω)) ≤ C(||w||Z)||z0||,

(2.33) ||zδ||Z ≤ C(||w||Z)||z0||H2 ,

(2.34) ||zδ(· , T )|| ≤ δ,

e

||zδ||K ≤ Cδ(||w||Z)||z0||H2 ,(2.35)

onde omitimos a dependencia das constantes por Ω, ω, T, a0 e a1.

Introduzindo as funcoes Λδ : Z 7→ 2Z , com

Λδ(w) = zδ ∈ Z : (vδ, zδ) e um par de controle-estado,

(vδ, zδ) ∈ W, satisfazendo (2.7), (2.32)− (2.35),

e fixamos R0 > 0. Entao, se ‖z0‖H2(Ω) e suficientemente pequeno, a funcao Λδ satisfaz as

hipoteses do Teorema 1.24 (Ponto Fixo de Kakutani). Obviamente, o seguinte e satisfeito:

• Λδ e bem definida; para cada w ∈ Z, Λδ(w) e um conjunto convexo. nao vazio (e

consequencia da Proposicao 2.2 )

41

• Existe ε > 0 (que so depende de Ω, ω, T, a0, a1 e R0 mas e independente de δ) tal

que, se ||z0||H2(Ω) ≤ ε, tem-se Λδ(w) ⊂ BZ [0;R0] para todo w ∈ BZ [0;R0]. Isto e

consequencia de (2.33)

• Existe um conjunto compacto Kδ ⊂ BZ [0, R0] tal que se ||z0||H2(Ω) ≤ ε e w ∈BZ [0, R0], obtem-se Λδ(w) ⊂ Kδ. Isto e uma consequencia do fato de que K → Z

imersao compacta.

• Λδ tem o grafico fechado em Z. Nao e difıcil de provar isto. Obviamente, dado

wn, com wn → w forte em Z, assumindo que zn ∈ Λδ(wn) e zn → z forte em Z.

Entao, existe uns controles vn,δ tais que (vn,δ, zn) pertencem a W e satisfazem (2.7)

e (2.32)-(2.35) para todo n ≥ 1.

Fazendo-se limite em (2.7) quando n→∞ obtem-sezt − αw(t)∆z + βw(t)

(∫Ω

z(x′, t) dx′)

∆y = v1ω em Q,


z(x, 0) = z0(x) em Ω.

Consequentemente, obtem-se z ∈ Λδ(w). Portanto, se ||z0||H2(Ω) ≤ ε(Ω, ω, T, a0, a1, R0),

Λδ possui pelo menos um ponto fixo zδ. Obviamente, zδ e o estado associado ao controle

vδ tal que (2.32) - (2.35) sao satisfeitas.

2.3.2 Passagem ao Limite

Sabemos que para δ > 0, pequeno existe (zδ, vδ) com zδ ∈ BZ [0, R0], vδ ∈ H1(0, T ;L2(ω)),

satisfazendo (2.32) - (2.34) e a seguinte equacao

(2.36)

zδ,t − a(

∫Ω

(zδ + y) dx′)∆zδ −m(zδ)∆y = vδ1ω em Q,

zδ(x, t) = 0 sobre Σ,

zδ(x, 0) = z0(x) em Ω,

onde

m(zδ) = a(

∫Ω

(zδ + y)(x′, t) dx′)− a(

∫Ω

y(x′, t) dx′).

42

Tomaremos limite no sistema nao linear (2.36) quando δ → 0. Obviamente, existem

subsequencias de zδ e vδ, as quais denotaremos da mesma maneira, tal que

(2.37)

zδ → z fracamente em L2(0, T ;H2(Ω)),

zδ,t → zt fracamente em L2(Q),

zδ,t → zt fortemente em L2(0, T ;H10 (Ω)),

vδ → v fracamente em L2(ω × (0, T )),

e, tambem,

(2.38) zδ(· , T )→ z(· , T ) fortemente em L2(Ω).

Portanto, as funcoes z e v satisfazem (2.6) e, alem disso,

z(x, T ) = 0 em Ω.

Consequentemente a prova do Teorema 2.1 esta concluıda.

2.4 Alguns Comentarios Adicionais

2.4.1 Controlabilidade na Fronteira em dimensao 1

Nesta secao, estudaremos a controlabilidade local exata na fronteira por trajetorias

para o sistema nao linear (2.1), assumindo que Ω e um intervalo (0, L), o qual sera

denotado por I e os controles associados estao atuando na fronteira.

(2.39)

yt − a(

∫ L

0

y dx′)yxx = 0 em I × (0, T ),

y(0, t) = v0(t), y(L, t) = v1(t), sobre (0, T ),

y(x, 0) = y0(x) em I,

onde v0, v1 sao os controles e y e o estado associado.

Consideremos a seguinte trajetoria

(2.40)

yt − a(

∫ L

0

y dx′)yxx = 0 em I × (0, T ),

y(x, 0) = y(L, t) = 0 sobre (0, T ),

y(x, 0) = y0(x) em I.

Se y0 ∈ H3(I) ∩H10 (I), entao y ∈ C2+1/2,1+1/4(I × [0, T ]) (devido ao Lema 1.10).

43

Definicao 2.2. Dizemos que (2.39) e localmente exatamente controlavel por trajetorias

no tempo T se para y solucao de (2.40) com y0 ∈ H3(I) ∩ H10 (I) existe ε > 0 tal que,

para qualquer y0 ∈ H3(I) ∩H10 (I) satisfazendo

||y0 − y0||H3(I)∩H10 (I) ≤ ε,

pode-se encontrar um par de controles v0, v1 ∈ C1+ 14 ([0, T ]) tal que a corresponde

solucao y de (2.39) satisfaz

(2.41) y(x, T ) = y(x, T ) em I.

denotaremos por y = z + y, y0 = z0 + y0, temos de (2.39) e (2.40).

(2.42)

zt − a(

∫ L

0

(z + y) dx′)zxx −m(z)yxx = 0 em I × (0, T ),

z(0, t) = v0(t), z(L, t) = v1(t) sobre (0, T ),

z(x, 0) = z0(x) em I.

A controlabilidade local nula de (2.42) e equivalente a controlabilidade local exata por

trajetorias (2.39).

Teorema 2.2. Assumindo as hipoteses previas de a(·), o sistema nao linear (2.39) e

localmente exatamente por trajetorias no tempo T > 0.

A prova do Teorema 2.2 e similar a prova do Teorema 2.1.

Portanto, em primeiro passo, consideremos o seguinte sistema linear para w ∈ Z =

C1,1(I × (0, T ))

(2.43)

zt − αw(t)zxx + βw(t)

(∫ L

0

z dx′)yxx = 0 em I × (0, T ),

z(x, t) = v0(t), z(L, t) = v1(t) sobre (0, T ),

z(x, 0) = z0(x) em I,

Se v0, v1 ∈ C1+ 14 ([0, T ]), z0 ∈ H3(I) ∩ H1

0 (I) e y ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (I × [0, T ]), entao pelo

Lema 1.9 a solucao z de (2.43) satisfaz z ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (I × [0, T ]).


(2.44)

−ϕt − αw(t)ϕxx + βw(t)B(ϕ)(t) = 0 em I × (0, T ),

ϕ(0, t) = ϕ(L, t) = 0 sobre (0, T ),

ϕ(x, T ) = ϕT (x), em I,

44

onde ϕT ∈ L2(I).

Introduzindo as funcoes

σ(x, t) =e2λ||σ00||∞ − eλσ00(x)

l(t), ξ(x, t) =

eλσ00(x)

l(t)

onde σ00(x) = 3x+ 1, λ > 0 e l(t) =

T 4

16, 0 ≤ t ≤ T/2

t2(T − t)2, T/2 ≤ t ≤ T

Lema 2.2. Para qualquer w ∈ Z, b(s) := a(∫ L

0w(x′, s) dx′), a(·) satisfazendo (2.2).

Entao existe R0(I, T ), C0 > 0 tal que, para todo f ∈ L2(I), tem-se

∑j≥1

e−2R0

√λj |(f, φj)|2 ≤C0

(∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|∑j≥1

(f, φj)e−λj

∫ Tt b(s)dsφjx(0)|2 dt+

∫ T

0

e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|∑j≥1

(f, φj)e−λj

∫ Tt b(s)dsφjx(L)|2 dt

)

onde C0 = C(I, T, a0, a1, ||w||Z)

Demonstracao: A prova e similar a Lema 2.1.

Proposicao 2.3. Assumindo que a(.) satisfaz (2.2), entao para qualquer z0 ∈ L2(I)

satisfazendo as condicoes de primeiro ordem, existe um controle v0, v1 ∈ C1+ 14 ([0, T ]) tal

que a correspondente solucao z de (2.43) satisfaz

z(x, T ) = 0 em I.

Alem,

‖v0‖C1+ 14 ([0,T ])

+ ‖v1‖C1+ 14 ([0,T ])

≤ C1‖z0‖

com C1(I, ω, T, a0, a1, ||w||Z)

Demonstracao: Primeiro vamos a provar a desigualdade de Observabilidade seguinte

(2.45)

‖ϕ(0)‖2 ≤

C

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕx(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕx(L, t)|2dt, ∀ϕT ∈ L2(I)

e

45

(2.46)∫∫Q

e−2sσ ξ3|ϕ|2 dx dt ≤

C

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕx(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕx(L, t)|2 dt, ∀ϕT ∈ L2(I)

para a solucao do sistema adjunto (2.44).

Vamos provar a desigualdade de Observabilidade (2.45).

Para qualquer ϕT ∈ L2(I), denotemos por ϕ a solucao de (2.44) e escrivamos

ϕ = p+ ζ,

onde p e a unica solucao de

(2.47)

−pt − αw(t)pxx = 0 em I × (0, T ),

p(0, t) = p(L, t) = 0 sobre (0, T ),

p(x, T ) = ϕT (x) em I.

Obviamente, tem-se

(2.48)

−ζt − αw(t)ζxx + βw(t)B(ζ)(t) = −βw(t)B(p)(t) em I × (0, T ),

ζ(0, t) = ζ(L, t) = 0 sobre (0, T ),

ζ(x, T ) = 0 em I,

E bem conhecido que a funcao

ϕT 7→ ‖ϕT‖h :=

(∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|px(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|px(L, t)|2dt)1/2

e uma norma L2(I) e, usando a desigualdade global de Carleman em (2.47), temos o

seguinte

(2.49)

∫ T

0

∫ L

0

e−2sσ[(sξ)−1(|pxx|2 + |pt|2) + sξ|px|2 + s3ξ3|p|2

]dx dt ≤ C‖ϕT‖2

h

com C(I, T, a0, a1, ||w||Z).

Tomando em conta que

p(x, t) =∑j≥1

e−λj∫ Tt αw(s)ds(ϕT , φj)φj(x)

pelo Lema 2.2

(2.50)∑j≥1

e−2R0

√λj |(f, φj)|2 ≤ C‖ϕT‖2

h

46

A desigualdade (2.45) sera uma consequencia das seguintes estimacoes

(2.51)

‖ϕT‖2h ≤

C

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕx(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕx(L, t)|2dt, ∀ϕT ∈ L2(I)

e

(2.52) ‖ϕ(0)‖2 ≤ C‖ϕT‖2h, ∀ϕT ∈ L2(I).

Vamos provar tudo isso.

Prova de (2.51). Aqui, por um argumento de contradicao e usando o metodo de compacidade-

unica.

Vamos assumir que (2.51) nao se cumpre. Entao, para tudo n ∈ N, nos podemos encon-

trar ϕTn ∈ L2(I) tal que

(2.53) 1 = ‖ϕTn‖2h > n

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕn,x(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕn,x(L, t)|2dt

onde ϕn e a solucao para (2.44) associado a ϕTn .

Denote por pn (resp. ζn) a solucao de (2.47) com dado final ϕT = ϕTn (resp. a solucao de

(2.48) para p = pn). Vamos ver que, ao menos de uma subsequencia, tem-se

(2.54)

ζn,x(0, ·)→ 0 fortemente em L2((0, T ))

ζn,x(L, ·)→ 0 fortemente em L2((0, T )).

Isto nos levara a uma contradicao, uma vez que se cumpra o seguinte

1 = ‖ϕTn‖2h =

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|pn,x(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|pn,x(L, t)|2 dt ≤

2

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕn,x(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕn,x(L, t)|2 dt+

2

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ζn,x(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ζn,x(L, t)|2 dt

e ambos termo na direita convergem para zero.

Para provar (2.54), lembremos que

(2.55)

∥∥∥∥βw(·)∫ L

0

yxx(x′, ·)pn(x′, ·) dx′

∥∥∥∥2

L2(0,T ;H−1(I))

≤ C, ∀n ∈ N.

Isto e similar a (2.21).

Pelo que podemos assumir que

ζn → ζ fracamente em L2(0, T,H2(I)),

ζnt → ζt fracamente em L2(0, T, L2(I))

47

Entao, ζn → ζ fortemente em L2(0, T,Hm(I)), com 1 < m < 2, consequentemente

ζn,x(0, ·), ζn,x(L, ·) converge fortemente L2(0, T )

Agora, nos vemos que ao menos de uma subsequencia, temos que

(2.56) ϕn → ϕ fortemente em L2(I × (0, T − δ)), ∀δ > 0

com

(2.57) βw(t)

∫ L

0

yxx(x′, t)ϕ(x′, t) dx′ = 0, em t ∈ (0, T − δ)

Obviamente ϕx(0, t) = ϕx(L, t) = 0 em (0, T − δ), denotemos por ψ = ϕx, temos

(2.58)−ψt − αw(t)ψxx = 0, em I × (0, T − δ)ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0, em (0, T − δ)

ψx(0, t) = ψx(L, t) = −βw(t)

αw(t)

(∫ L

0

yx(x′, t)ϕx(x

′, t) dx′), em (0, T − δ)

da desigualdade de Carleman em (2.58), tem-se

s−1

∫ T−δ

0

∫ L

0

e−2sσ(ξ)−1(|ψt|2 + |ψxx|2) dx dt+s

∫ T−δ

0

∫ L

0

e−2sσ ξ|ψx|2 dx dt+

s3

∫ T−δ

0

∫ L

0

e−2sσ ξ3|ψ|2 dx dt ≤

≤ C

(s

∫ T−δ

0

e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ψx(L, t)|2 dt)

≤ Cs

∫ T−δ

0

∫ L

0

e−2sσ ξ|ψ|2 dx dt

para s suficientemente grande, temos que o lado direito e zero, entao ψ = ϕx = 0 em

I × (0, T − δ). Isto prova que (2.56) e (2.57).

De (2.55)-(2.57) e do fato de que ζn e limitado em L2(0, T, L2(I)), nos deduzimos que

βw(·)∫ L

0

yxx(x′, ·)ϕn(x′, ·) dx′ → 0 fracamente em L2(0, T ;H−1(I))

e consequentemente, (2.54) e satisfeito.

Prova de (2.52). Analogamente da prova de (2.18).

48

A prova da estimativa (2.46) e similar a estimativa (2.12).

Agora, para cada ε > 0, vamos considerar o seguinte funcional

Fε(ϕT ) :=

1

2

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕx(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕx(L, t)|2 dt+

ε||ϕT ||+∫I

z0(x, 0)ϕ(x, 0) dx, ∀ ϕT ∈ L2(I).

Onde (z, ϕ) sao solucoes de (2.43) e (2.44)

E claro que Fε : L2(I) −→ R e continua e estritamente convexa. Consequentemente,

dado ϕT e o unico mınimo de Fε. Entao, obviamente ϕT = 0 ou

⟨F ′ε(ϕ

Tε ), ϕT

⟩= 0, ∀ ϕT ∈ L2(I).

Suponhamos que ϕTε 6= 0. Neste caso, temos

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)ϕε,x(0, t)ϕx(0, t) dt+

∫ T

0

e−2sσ(L,t)ξ(L, t)ϕε,x(L, t)ϕx(L, t) dt

+ε

(ϕTε||ϕTε ||

, ϕT)

+ (z0, ϕ(0)) = 0, ∀ ϕT ∈ L2(I),(2.59)

onde ϕε e a solucao de (2.44) correspondente a ϕT = ϕTε .

Tomando v0,ε(·) = e−2sσ(0,·)ξ(0, ·)ϕε,x(0, ·) e v1,ε(·) = e−2sσ(L,·)ξ(L, ·)ϕε,x(L, ·) em (2.43),

denotemos por zε o estado associado e substituindo em (2.59), obtem-se∫Ω

(zε(x, T ) +

ε

||ϕTε ||ϕTε (x)

)ϕT (x) dx = 0 ∀ ϕT ∈ L2(I)

o qual implica

(2.60) ||zε(·, T )|| = ε

de (2.59) e (2.45), temos que

(2.61)

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕε,x(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕε,x(L, t)|2 dt ≤ C||z0||2

onde C = C(I, T, a0, a1, ||w||Z)

No que segue provaremos que v0,ε e v1,ε sao uniformemente limitados em C1+ 14 ([0, T ]).

Dado 0 < δ1 < δ2 <s

2, introduzindo a notacao

49

ξ0 =1

l(t), ukε = e−(s+δk)σ∗ ξ0ϕε, k ∈ 1, 2 e σ∗(t) = σ(L, t).

note que u1ε satisfaz

(2.62)

−u1

ε,t − αw(t)u1ε,xx + βw(t)B(u1

ε)(t) = g1ε em Q,

u1ε = 0 sobre Σ,

u1ε(T ) = 0 em I.

onde g1ε = −(e−(s+δ1)σ∗ ξ3

0)tϕε, de (2.46) segue que

||g1ε ||2L2(I×(0,T )) ≤ C

∫ T

0

e−2sσ(0,t)ξ(0, t)|ϕx(0, t)|2 + e−2sσ(L,t)ξ(L, t)|ϕx(L, t)|2 dt

por (2.61), tem-se

(2.63) ||g1ε ||2 ≤ C||z0||2

entao u1ε ∈ W

2,12 (I × (0, T )) e de (2.63) temos que ||u1

ε ||W 2,12 (I×(0,T )) ≤ C||z0||, tambem

do Lema 1.7 obtem-se W 2,12 (I × (0, T )) → C

14, 14 (I × (0, T )), consequentemente

(2.64) ||u1ε ||C 1

2 ,14 (I×(0,T ))

≤ C||z0||

devido a u2ε = e−(δ2−δ1)σ∗u1

ε , temos que u2ε satisfaz

(2.65)−u2

ε − αw(t)u2ε,xx = −e−(δ2−δ1)σ∗

[βw(t)B(u1

ε)(t) + C(s, t, δ2)ξ20u

1ε

], em I × (0, T )

u2(x, t) = 0, sobre ∂I × (0, T )

u2(x, T ) = 0, em I

denote por

g2ε = −e−(δ2−δ1)σ∗

[βw(t)B(u1

ε)(t) + C(s, t, δ2)ξ20u

1ε

],

Obviamente, g2ε ∈ C

12, 14 (I × [0, T ]), o que implica que u2

ε ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (I × [0, T ]), com

(2.66) ||u2ε ||C2+ 1

2,1+ 1

4 (I × [0, T ])≤ C||z0||

Note que

uε = e−2sσ ξe(s+δ2)σ∗ ξ−10 u2

ε , σ∗ ≤ 4

3σ e δ2 ≤

s

2, tem-se

|e−2sσ ξe(s+δ2)σ∗ ξ−10 | ≤ C.

50

Por (2.66) e de um calculo simple, concluımos que

(2.67) ||uε||C2+ 12 ,1+ 1

4 (I×[0,T ])≤ C||z0||

Agora, tomando ε→ 0 em (2.60) e (2.67), temos que existe u ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (I × [0, T ])

tal que para v0(·) = ux(0, ·) e v1(·) = ux(L, ·) a correspondente solucao z de (2.43) satisfaz

(2.68) z(x, T ) = 0 em I.

Alem disso,

(2.69) ||v0||C1+ 14 ([0,T ])

+ ||v1||C1+ 14 ([0,T ])

≤ C||z0||.

onde C = C(I, T, a0, a1, ||w||Z)

Isto completa a prova da Proposicao 2.3.

Dado

Z = C1,1(Q),

W = (v0, v1, w) : v0, v1 ∈ C1+ 14 ([0, T ]), w ∈ C1+ 1

2,1+ 1

4 (Q),K = z ∈ C2+ 1

2,1+ 1

4 (Q); ||z||C2+ 1

2 ,1+ 14≤ 1.

Introduzindo a seguinte funcao Λ : Z → 2Z , com

Λ(w) = z ∈ Z : (v0, v1, z) e um controle-estado, (v0, v1, z) ∈ W ,

(2.43), (2.68) e (2.69) e satisfeito.

Entao, se ‖z0‖H3(I)∩H10 (I) e suficientemente pequeno, a funcao Λ satisfaz as hipoteses do

Teorema do Ponto Fixo de Kakutani, isto conclui a prova do Teorema 2.2

Observacao 2.3. Pode-se pensar em resolver a controlabilidade local exata por tra-

jetorias de (2.39) com um controle atuando em Γ (um subconjunto limitado) como em [49],

estender para um domınio Ω. Mas, infelizmente, o termo nao-local o impede.

Quando provamos a desigualdade de observabilidade para o sistema (2.8), na

primeira etapa, precisamos que ϕxi satisfizesse as condicoes de contorno, portanto, so

e possıvel quando trabalhamos em R.

51

Capıtulo 3

Controlabilidade do Sistema

N-Dimensional de

Ladyzhenskaya-Smagorinsky com

N-1 Controles Escalares em um

Domınio Arbitrario do Controle


Dado Ω e um subconjunto aberto, conexo e nao vazio de RN (N = 2 ou N = 3) de

classe C∞. Fixamos T > 0 e ω ⊂ Ω e um subconjunto (pequeno) aberto que e o domınio

do controle. Denotemos por Q = Ω× (0, T ) e Σ = ∂Ω× (0, T ).

No seguinte, denotaremos por (· , ·) e ||·|| respectivamente o produto escalar e a norma

no espaco L2(Ω). O simbolo C e usado para designar a constante generica.

Estudaremos neste capıtulo o seguinte sistema de Ladyzhenskaya-Smagorinsky:

(3.1)

yt −∇ ·

((ν0 + ν1 ‖∇y‖2)Dy

)+ (y · ∇)y +∇p = v1ω em Q,

∇ · y = 0 em Q,

y = 0 sobre Σ,

y(0) = y0 em Ω.

Aqui, y = y(x, t) e p = p(x, t) representam o campo de velocidade “media” e a pressao

de um fluido turbulento onde as partıculas que se encontram em Ω, durante o intervalo de

52

tempo (0, T ); y0 e a velocidade media no tempo t = 0; 1ω e a funcao caracterıstica de ω;

ν0 e ν1 sao constantes positivas e Dy e o gradiente simetrico positivo: Dy = ∇y +∇Ty.

Por outro lado, ω× (0, T ) e o domınio do controle e v deve ser visto como o controle

(uma forca media) atuando no sistema.

Os espacos vetoriais H e V sao os mesmos da Definicao 1.19.

Denotaremos por A : D(A) 7→ H o operador de Stokes. Por definicao, tem-se Aw =

P (−∆w) , onde P : L2(Ω)N 7→ H e a projecao ortogonal em H e D(A) = H2(Ω)N ∩ V .

Quando N = 2, y0 ∈ V , v ∈ L2(ω × (0, T ))N , entao (3.1) possui exatamente uma

solucao forte (y, p) com y ∈ L2(0, T ;D(A)) ∩ C(0, T ;V ), yt ∈ L2(0, T ;H), ver [15].

Quando N = 3, isto e verdade se y0 e v sao suficientemente pequenos em seus

respectivos espacos.

Neste capıtulo o principal resultado e o seguinte:

Teorema 3.1. Dado i ∈ 1, ..., N. Entao, para todo T > 0 e ω ⊂ Ω, existe δ > 0 tal

que, para todo y0 ∈ V satisfazendo

‖y0‖V ≤ δ,

pode-se encontrar um controle v ∈ L2(ω × (0, T ))N , com vi = 0, tal que a solucao (y, p)

de (3.1) satisfaz

y(· , T ) = 0,

isto e, o sistema nao linear (3.1) e localmente controlavel com N − 1 controles escalares

em um domınio arbitrario do controle.

Para a prova do Teorema 3.1, seguiremos os passos conhecidos (ver [45, 14] ). Primeiro,

deduziremos um resultado de controlabilidade nula para o sistema linear associado a (3.1):

(3.2)

yt − ν0∆y +∇p = v1ω + f em Q,

∇ · y = 0 em Q,

y = 0 sobre Σ,

y(0) = y0 em Ω.


(3.3)

−ϕt − ν0∆ϕ +∇π = g em Q,

∇ ·ϕ = 0 em Q,

ϕ = 0 sobre Σ,

ϕ(T ) = ϕT em Ω.

53


3.2.1 Desigualdade de Carleman para (3.3)

Apresentaremos a desigualdade de Carleman para o sistema retrogrado (3.3). Para

prova-la, necessitaremos de alguns resultados (bem conhecidos) de Fursikov e Imanuvilok

[50], ver tambem [1] . Alem disso, sera conveniente introduzir um novo conjunto aberto

e nao vazio ω0, com ω0 b ω

Lema 3.1. Existe uma funcao η ∈ C2(Ω) satisfazendo:η(x) > 0 ∀ x ∈ Ω,

η(x) = 0 ∀ x ∈ ∂Ω,

|∇η(x)| > 0 ∀ x ∈ Ω \ ω0.

Por outro lado, tambem e possıvel construir uma funcao positiva l ∈ C∞[0, T ] satis-

fazendo

l(t) =

ν0t t ∈ [0, T/4],

ν0T − ν0t t ∈ [3T/4, T ]

e l(t) ≤ l(T/2) para todo t ∈ [0, T ]. Definimos

l(t) =

‖l‖∞ 0 ≤ t ≤ T/2,

l(t) T/2 ≤ t ≤ T.

Entao, para todo λ ≥ 1 consideremos, com em [45], as seguintes funcoes com peso:

β(x, t) =e2λ‖η‖∞ − eλη(x)

l8(t), γ(x, t) =

eλη(x)

l8(t)

β∗(t) = maxx∈Ω

β(x, t), γ∗(t) = minx∈Ω

γ(x, t),

β(t) = minx∈Ω

β(x, t), γ(t) = maxx∈Ω

γ(x, t).

A desigualdade de Carleman desejada e dada pelo seguinte Lema.

Lema 3.2. Existe uma constante λ0 > 0, tal que para qualquer λ > λ0 existem duas

constantes C(λ) > 0 e s0 > 0 tais que para qualquer i ∈ 1, ..., N, g ∈ L2(Q)N e

54

ϕT ∈ H, a solucao de (3.3), satisfaz

(3.4)

‖ϕ(0)‖2 + s4

∫∫Q

e−5sβ∗(γ∗)4 |ϕ|2 dx dt ≤ C

∫∫Q

e−3sβ∗ |g|2 dx dt+

s7

N∑j=1,j 6=i

∫ T

0

∫ω

e−2sβ−3sβ∗(γ)7 |ϕj|2 dx dt

)para todo s ≥ s0.

Demonstracao: Dado ϕ solucao de (3.3) denotemos por Tν0 = ν0T , Qν0 = Ω× [0, Tν0 ],

Σν0 = ∂Ω× [0, Tν0 ] e considere-se as seguintes funcoes

ϕν0(x, t) = ϕ(x, t/ν0), πν0(x, t) =

1

ν0

π(x, t/ν0) e gν0(x, t) =1

ν0

g(x, t/ν0).

Note que ϕν0e solucao de:

−(ϕν0)t −∆ϕν0

+∇πν0 = gν0 em Q,

∇ ·ϕν0= 0 em Q,

ϕν0= 0 sobre Σ,

ϕν0(T ) = ϕT

ν0em Ω.

Do Lema 3.1 em [45], obtem-se (3.4).

3.2.2 Controlabilidade Nula de (3.2)

Para simplificar as notacoes fixemos λ = λ1 > λ0, s = s1 > s0 e definimos

(3.5)

ρ = e5sβ∗/2(γ∗)−2, ρ0 = e3sβ∗/2, ρ1 = esβ+3sβ∗/2(γ)−7/2,

µ = e3sβ∗/2(γ)−1, ξ = e3sβ∗/2(γ)−2.

Devido ao Lema 3.2 seremos capazes de provar a controlabilidade nula de (3.2) com

um termo no lado direito f que decai suficientemente rapido a zero no tempo t → T .

Mais precisamente, tem-se:

Proposicao 3.1. Dado i ∈ 1, ..., N. Assumindo que y0 ∈ H e ρf ∈ L2(Q)N . Entao,

pode-se encontrar um par de controle-estado (v,y) para (3.2) satisfazendo:

(3.6)

∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt+N∑

j=1,j 6=i

∫ T

0

∫ω

ρ21 |vj|

2 dx dt < ∞.

Em particular, tem-se vi = 0, y(· , T ) = 0 e y ∈ L2(0, T ;V ) ∩ C(0, T ;H)

55

Demonstracao: A prova desta proposicao e similar a prova da Proposicao 3.3 em [45]

e a Proposicao 1 em [14], pelo que somente mostraremos as ideias principais.

Para isso introduzimos os espacos

P0 = (w, h) ∈ C2(Q)N+1 : ∇ ·w = 0 em Q, w = 0 sobre Σ,

∫ω

h(t) dx = 0

e usamos a seguinte notacao

a(

(w, h); (w, h))

=

∫∫Q

ρ−20 (L∗w +∇h)(L∗w +∇h) dx dt+

N∑j=1,j 6=i

∫∫ω×(0,T )

ρ−21 wjwj dx dt,

G(w, h) = (y0,w(0)) +

∫∫Q

w(t)f(t) dx dt,

onde L∗w = −wt − ν∆w. E imediato ver que a(· , ·) : P0 × P0 7→ R e simetrica, forma

bilinear definida sobre P0. Denotemos por P a completacao de P0 com a norma induzida

de a(· , ·). Entao a(· , ·) e bem definida, contınua e tambem definida positiva sobre P .

Alem disso, pelas estimativas de Carleman (3.4), a forma bilinear (w, h) 7→ 〈G, (w, h)〉e bem definida e continua sobre P . Assim, pelo Lema de Lax Milgram (1.23) deduzimos

que o problema variacional

(3.7)

a(

(w, h); (w, h))

= G(w, h),

∀ (w, h) ∈ P, (w, h) ∈ P,

possui exatamente uma solucao (w, h). Definimos y e v comoy = e−3sβ∗(L∗w +∇h) em Q,

vj = −(e−2sβ−3sβ∗(γ)7w1ω)j, vi = 0 em ω × (0, T ).

Entao, e facil de ver que y e vj satisfazem∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt+N∑

j=1,j 6=i

∫∫ω×(0,T )

ρ21 |vj|

2 dx dt = a(

(w, h); (w, h))<∞,

e tambem que y, junto com alguma pressao p, e a solucao fraca (pertencem a

L2(0, T ;V ) ∩ C(0, T ;H)) do sistema de Stokes (3.2) para v. Isto conclui os passos da

prova da Proposicao 3.1.

56

3.2.3 Estimativas do Estado:

O estado encontrado na Proposicao 3.1 satisfaz propriedades adicionais, que serao

necessario posteriormente. Mais precisamente, mostraremos que ∇y, yt e ∆y pertencem

ao espaco L2 com pesos.

Proposicao 3.2. Assumindo que as hipoteses da Proposicao 3.1 sao satisfeitas e dado

v e (y, p) satisfazendo (3.2) e (3.6). Entao, tem-se

(3.8)

supt∈[0,T ]

∫Ω

µ2 |y|2 dx+

∫∫Q

µ2 |∇y|2 dx dt ≤ C

(‖y0‖2

H +

∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt+∫∫Q

ρ2 |f |2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ21 |v|

2 dx dt

)Demonstracao: Pelas definicoes de µ e ρ0 em (3.5), tem-se:

|µµt| ≤ Cρ20

Multiplicando (3.2)1 por µ2y e integrando em Ω. Obtem-se:

µ2y(yt − ν0∆y +∇p) = µ2y(f + v1ω)

1

2

d

dt

∫Ω

µ2 |y|2 dx−∫

Ω

µµt |y|2 dx+ ν0

∫Ω

µ2 |∇y|2 dx =

∫Ω

µ2fy dx+

∫Ω

µ2v1ωy dx

Note que

•∣∣∣∣∫

Ω

µ2v1ωy dx

∣∣∣∣ ≤ 1

2

(∫Ω

ρ21 |v|

2 1ω dx

)+ C

(∫Ω

ρ20 |y|

2 dx

)

•∣∣∣∣∫

Ω

µ2fy dx dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2

∫Ω

ρ2 |f |2 dx+ C

∫Ω

ρ20 |y|

2 dx

•∣∣∣∣∫

Ω

µµt |y|2 dx∣∣∣∣ ≤ C

∫Ω

ρ20 |y|

2 dx.

Assim,

1

2

d

dt

∫Ω

µ2 |y|2 dx+ ν0

∫Ω

µ2 |∇y|2 dx ≤ 1

2

∫ω

ρ21 |v|

2 dx+1

2

∫Ω

ρ2 |f |2 dx+ C

∫Ω

ρ20 |y|

2 dx.

Da desigualdade acima chega-se a (3.8).

57

Proposicao 3.3. Sob as hipoteses da Proposicao 3.2, dados v e (y,p) o controle e o

estado associado, fornecidos pela Proposicao 3.2, e supondo y0 ∈ V , entao, tem-se

(3.9)

supt∈[0,T ]

∫Ω

ξ2 |∇y|2 dx+

∫∫Q

ξ2(|yt|2 + |∆y|2

)dx dt

≤ C

(‖y0‖2

V +

∫∫Q

ρ2|f |2 dx dt+

∫∫Q

ρ20|y|2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ21|v|2 dx dt

).

Demonstracao: Da definicao de ξ em 3.5, observa-se que

|ξξt| ≤ cµ2

Multiplicando (3.21) por ξ2yt e integrando em Ω, obtem-se o seguinte∫Ω

ξ2 |yt|2 dx+1

2

d

dt

∫Ω

ν0ξ2 |∇y|2 dx− ν0

∫Ω

ξξt |∇y|2 dx =

∫Ω

ξ2fyt dx+

∫Ω

ξ2v1ωyt dx

•∣∣∣∣∫

Ω

ξ2v1ωyt dx

∣∣∣∣ ≤ C

∫ω

ρ21 |v|

2 dx+1

8

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx

•∣∣∣∣∫

Ω

ξ2fyt dx

∣∣∣∣ ≤ C

∫Ω

ρ2 |f |2 dx+1

8

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx

•∣∣∣∣∫

Ω

ξξt |∇y|2 dx∣∣∣∣ ≤ C

∫Ω

µ2 |∇y|2 dx.

Portanto,3

4

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx+1

2

d

dt

∫Ω

ν0ξ2 |∇y|2 dx ≤ C

(∫Ω

ρ21 |v|

2 1ω dx+

∫Ω

ρ2 |f |2 dx+∫Ω

µ2 |∇y|2 dx).

Integrando de 0 ate t, com t ≤ T . Temos o seguinte

3

4

∫ t

0

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx ds+1

2ν0

∫Ω

ξ2 |∇y|2 dx ≤ C

(‖y0‖2

V +

∫∫Q

ρ2 |f |2 dx dt+∫∫Q

ρ21 |v|

2 1ω dx dt+

∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt

).

Consequentemente,

(3.10)

∫∫Q

ξ2 |yt|2 dx dt+ supt∈[0,T ]

∫Ω

ξ2 |∇y|2 dx ≤ C

(‖y0‖2

V +

∫∫Q

ρ2 |f |2 dx dt+∫∫Q

ρ21 |v|

2 1ω dx dt+

∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt

).

58

Para obter estimativas para ξ2 |∇y|2 e ξ2 |∆y|2 vamos multiplicar (3.2)1 por ξ2Ay

para logo integrar em Ω. Obtem-se assim o seguinte

(3.11)

∫Ω

ξ2Ayyt dx− ν0

∫Ω

ξ2Ay∆y dx =

∫Ω

fξ2Ay dx+

∫Ω

v1ωξ2Ay dx

Observe que ‖Ay‖2H ≤ C ‖∆y‖2. Logo temos

•∣∣∣∣∫

Ω

ξ2v1ωAy dx

∣∣∣∣ ≤ 1

8

∫Ω

ξ2 |∆y|2 dx+ C

∫ω

ρ21 |v|

2 dx

•∣∣∣∣∫

Ω

ξ2fAy dx

∣∣∣∣ ≤ 1

8

∫Ω

ξ2 |∆y|2 dx+ C

∫Ω

ρ2 |f |2 dx

•∣∣∣∣∫

Ω

ξ2ytAy

∣∣∣∣ ≤ ν0

8

∫Ω

ξ2 |∆y|2 dx+ C

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx

• −ν0

∫Ω

ξ2Ay∆y dx = ν0

∫Ω

ξ2 |∆y|2 dx.

Do ultimo termo no lado direito de (3.11), obtem-se∫Ω

ξ2 |∆y|2 dx ≤ C

(∫Ω

ρ2 |f |2 dx+

∫ω

ρ21 |v|

2 dx+

∫Ω

ξ2 |yt|2 dx).

Entao, integrando 0 ate T e usando Proposicao 3.2, encontramos∫∫Q

ξ2 |∆y|2 dx dt ≤ C

(‖y0‖2

V +

∫∫Q

ρ2 |f |2 dx dt

+

∫∫Q

ρ21 |v|

2 1ω dx dt+

∫∫Q

ρ20 |y|

2 dx dt

).

Da ultima desigualdade e de (3.10) obtem-se (3.9).


Nesta subsecao, provaremos a controlabilidade local nula para o sistema (3.1).

Denote-se por Ly = yt − ν0∆y e introduzindo os espacos, para N = 2 ou N = 3 e

i ∈ 1, ..., N,

EiN = (y, p,v) : ρ0y, ρ1v1ω ∈ L2(Q)N , vi = 0, y ∈ L2(0, T ;D(A)),

ρ(Ly +∇p− v1ω) ∈ L2(Q)N , y(0) ∈ V, p ∈ L2(0, T ;H1(Ω))

59

E claro que EiN e um espaco de Banach com as seguintes normas:

‖(y, p,v)‖2EiN

= ‖ρ0y‖2L2(Q)N + ‖ρ1v1ω‖2

L2(Q)N + ‖p‖2L2(0,T ;H1(Ω)) +

‖y‖2L2(0,T ;D(A)) + ‖ρ(Ly +∇p− v1ω)‖2

L2(Q)N .

Assumindo que (y, p,v) ∈ EiN , entao yt ∈ L2(Q)N . Ja que y ∈ L2(0, T ;D(A)) tem-se

que y ∈ C(0, T ;V ) e, em particular, y(0) ∈ V e

‖y(0)‖V ≤ C ‖(y, p,v)‖EiN , ∀ (y, p,v) ∈ EiN

Alem, pela Proposicao 3.2 e 3.3, temos que µy ∈ L∞(0, T ;H) ∩ L2(0, T ;V ) e ξy ∈L2(0, T ;D(A)) ∩ L∞(0, T ;V ) com

(3.12)

‖µy‖2

L∞(0,T ;H) + ‖µy‖2L2(0,T ;V ) ≤ C ‖(y, p,v)‖2

EiN,

‖ξy‖2L∞(0,T ;V ) + ‖ξy‖2

L2(0,T ;D(A)) ≤ C ‖(y, p,v)‖2EiN

.

Introduzimos o espaco FN = L2 (ρ2;Q)N × V e a funcao A : Ei

N 7→ FN , definida por:

(3.13) A(y, p,v) =(yt −∇ · ((ν0 + ν1 ‖∇y‖2)Dy) + (y · ∇)y +∇p− v1ω,y(0)

)Note que, desta definicao∇·

((ν0 + ν1 ‖∇y‖2)Dy

)pode-se escrever como

(ν0 + ν1 ‖∇y‖2)∆y.

Provaremos que existe ε > 0 tal que, se (f ,y0) ∈ FN e ‖(f ,y0)‖FN ≤ ε, entao a

equacao

A(y, p,v) = (f ,y0), (y, p,v) ∈ EiN ,

possui ao menos uma solucao.

Em particular, isso mostra que (3.1) e localmente nulo controlavel, alem disso, o controle

do estado pode ser escolhido em EiN .

O seguinte resultado pode ser encontrado em [64].

Teorema 3.2. Dados Y e Z espacos de Banach e H : Br(0) ⊂ Y 7→ Z uma funcao de

classe C1. Assumindo que H ′(0) e sobrejetiva e ζ0 = H(0). Entao, existem ε > 0, e uma

funcao W : Bε(ζ0) ⊂ Z 7→ Y e uma constante K > 0 satisfazendoW (z) ∈ Br(0) e H(W (z)) = z , ∀z ∈ Bε(ζ0),

‖W (z)‖Y ≤ K‖z −H(0)‖Z , ∀z ∈ Bε(ζ0).

Em particular, W e a inversa a direita de H.

Para garantir que as hipoteses do Teorema 3.2 sao satisfeitas, usaremos alguns Lemas:

60

Lema 3.3. Dado A : EiN 7→ FN a funcao definida por (3.13). Entao A e bem definida e

contınua.

Demonstracao: Para qualquer (y, p,v) ∈ EiN

∫∫Q

ρ2 |A1(y, p,v)|2 dx dt =

∫∫Q

ρ2∣∣yt − (ν0 + ν1 ‖∇y‖2)∆y +∇p+ (y · ∇)y − v1ω

∣∣2 dx dt∫∫

Q

ρ2 |A1(y, p,v)|2 dx dt ≤ 3

∫∫Q

ρ2 |yt − ν0∆y +∇p− v1ω|2 dx dt

+ 3

∫∫Q

ρ2ν21 ‖∇y‖4 |∆y|2 dx dt

+ 3

∫∫Q

ρ2 |(y · ∇)y|2 dx dt∫∫Q

ρ2 |A1(y, p,v)|2 dx dt ≤ 3I1 + 3I2 + 3I3

(3.14) I1 ≤ ‖(y, p,v)‖2EiN

I3 ≤ C

∫∫Q

ρ2 |y|2 |∇y|2 dx dt. Consideremos as seguintes desigualdades

‖∇w‖L3 ≤ C ‖∇w‖1/2 ‖∆w‖1/2 e ‖(w · ∇)w‖2 ≤ C ‖w‖2L6 ‖∇w‖2

L3 ,

para todo w ∈ D(A), tem-se que

(3.15) I3 ≤ C

∫ T

0

ρ2 ‖∇y‖3 ‖∆y‖ dt.

Da definicao de ν e ξ em (3.5), temos

(3.16) ρ2 ≤ Cµξ3 ≤ Cξ6.

Combinando (3.16) e (3.15), segue que

I3 ≤ C

∫ T

0

µξ3 ‖∇y‖3 ‖∆y‖ dt

≤ C

(supt∈[0,T ]

ξ2 ‖∇y‖2

)(∫ T

0

µ2 ‖∇y‖2 dt

)1/2(∫ T

0

ξ2 ‖∆y‖2 dt

)1/2

.

Consequentemente,

(3.17) I3 ≤ C ‖(y, p,v)‖4EiN

.

61

De (3.16), calculamos

I2 ≤ C

∫ T

0

ξ4 ‖∇y‖4 ξ2 ‖∆y‖2 dt

≤ C

(supt∈[0,T ]

ξ2 ‖∇y‖2

)2∫∫

Q

ξ2 |∆y|2 dx dt

.

Logo, da Proposicao 3.3 e da desigualdade (3.12), temos

I2 ≤ C ‖(y, p,v)‖6EiN

Finalmente, da ultima desigualdade e devido a (3.14) e (3.17), encontramos

A1(y, p,v) ∈ L2(e5sβ∗(γ∗)−4;Q

)N,

provando que A e bem definida. Alem disso, usando argumentos similares e facil verificar

que A e contınua.

Lema 3.4. A funcao A : EiN 7→ FN e continuamente diferenciavel.

Demonstracao: Provaremos o Lema 3.4 para N = 3 pois a prova para o caso N = 2 e

similar. Primeiro provaremos que A e Gateaux Diferenciavel para todo (y, p,v) ∈ EiN e

calcularemos a G− derivada de A.

Fixando (y, p,v) ∈ EiN e dados (y′, p′,v′) ∈ Ei

N e σ > 0, temos o seguinte:

1

σ[A1 ((y, p,v)− σ(y′, p′,v′))−A1(y, p,v)] = y′t − (ν0 + ν1 ‖∇(y + σy′)‖2

)∆y′

− ν1

σ(‖∇(y + σy′)‖ − ‖∇y‖2)∆y +∇p′ − v′1ω + (y′ · ∇)y + (y · ∇)y′ + σ(y′ · ∇)y′

Introduzindo a seguinte funcao linear DA : EiN 7→ FN , com DA = (DA1, DA2) ,

onde:

DA1(y′, p′,v′) = y′t − (ν0 + ν1 ‖∇y‖2)∆y′ − 2ν1(∇y,∇y′)∆y+

∇p′ − v′1ω + (y′ · ∇)y + (y · ∇)y′

DA2(y′, p′,v′) = y′(·, 0).

Obviamente, temos que DA ∈ L(EiN , FN). Alem disso, e possıvel provar que

(3.18)

1

σ[A1 ((y, p,v) + σ(y′, p′,v′))−A1(y, p,v)]→ DA1(y′, p′,v′)

forte em L2(ρ2, Q)N quandoσ → 0.

62

De fato, temos que

‖ 1

σ[A1 ((y, p,v) + σ(y′, p′,v′))−A1(y, p,v)]−DA1(y′, p′,v′)‖L2(ρ2,Q)N

≤ ‖ν1(‖∇(y + σy′)‖2 − ‖∇y‖2)∆y′‖L2(ρ2,Q)N

+ ‖ν1

σ(‖∇(y + σy′)‖2 − ‖∇y‖2)∆y − 2ν1(∇y,∇y′)∆y‖L2(ρ2,Q)N

+ ‖σ(y′ · ∇)y′‖L2(ρ2,Q)N

= B1 +B2 +B3.

Calculando os termos Bi, para i ∈ 1, 2, 3, tem-se

B1 = ν21

∫∫Q

ρ2| ‖∇(y + σy′)‖2 − ‖∇y‖2 |2|∆y′|2 dx dt→ 0

B2 = ν21

∫∫Q

ρ2| 1σ

(‖∇(y + σy′)‖2 − ‖∇y‖2)∆y − 2(∇y,∇y′)∆y|2 dx dt→ 0

e

B3 = σ2

∫∫Q

ρ2 |(y′ · ∇)y′|2 dx dt→ 0

quando σ → 0.

Isto e consequencia da Proposicao 3.3. Portanto, (3.18) e satisfeita. Pelo que A =

(A1,A2) e Gateaux-Diferenciavel. Agora vamos verificar que A ∈ C1(EiN , FN) com

A′(y, p,v) = DGA(y, p,v), isto e

A′(y, p,v)(y′, p′,v′) = DGA(y, p,v)(y′, p′,v′).

Mas a prova disso e equivalente a provar que existe εn(y, p,v) tal que

(3.19) ‖(DGA(yn, pn,vn)−DGA(y, p,v)) (y′, p′,v′)‖2FN≤ εn ‖(y′, p′,v′)‖2

EiN.

Para todo (y′, p′,v′) ∈ EiN e lim

n→∞εn = 0. Vamos provar (3.19), para isto calculamos

DGA1(y, p,v)(y′, p′,v′) = y′t − (ν0 + ν1 ‖∇y‖2)∆y′ − 2ν1(∇y,∇y′)∆y+

∇p′ − v′1ω + (y′ · ∇)y + (y · ∇)y′

DGA1(yn, pn,vn)(y′, p′,v′) = y′t − (ν0 + ν1 ‖∇yn‖2)∆y′ − 2ν1(∇yn,∇y′)∆yn+

∇p′ − v′1ω + (y′ · ∇)yn + (yn · ∇)y′.

Logo,

(DGA1(y, p,v)−DGA1(yn, pn,vn)) (y′, p′,v′) =

ν1(‖∇y‖2 − ‖∇yn‖2)∆y′ − 2ν1(∇yn,∇y′)∆yn+

2ν1(∇y,∇y′)∆y + (y′ · ∇)yn + (yn · ∇)y′

− (y′ · ∇)y − (y · ∇)y′

63

‖(DGA1(yn, pn,vn)−DGA1(y, p,v)) (y′, p′,v′)‖2L2(ρ2,Q)N

≤ 3∥∥(ν1 ‖∇y‖2 − ν1 ‖∇yn‖2)∆y′

∥∥2

L2(ρ2,Q)N+

+ 3 ‖−2ν1(∇yn,∇y′)∆yn + 2ν1(∇y,∇y′)∆y‖2L2(ρ2,Q)N

+ 3 ‖(y′ · ∇)(yn − y) + (yn − y) · ∇y′‖2L2(ρ2,Q)N

= 3D1,n + 12D2,n + 3D3,n.

Entao, depois de alguns tediosos calculos, vemos que

(3.20) D1,n ≤ ε1,n ‖(y′, p′,v′)‖2EiN

,

onde

ε1,n = C ‖(yn, pn,vn)− (y, p,v)‖2Ei3

(‖(y, p,v)‖2

EiN+ ‖(yn, pn,vn)‖2

EiN

)(3.21) D2,n ≤ ε2,n ‖(y′,p′,v′)‖2

Ei3.

Alem disso,

ε2,n = C ‖(yn, pn,vn)‖2Ei3‖(yn, pn,vn)− (y, p,v)‖2

Ei3

+ ‖(y, p,v)‖2Ei3‖(yn, pn,vn)− (y, p,v)‖2

E23

D3,n ≤ ε3,n ‖(y′, p′,v′)‖2Ei3,

e com

ε3,n = ‖(yn, pn,vn)− (y, p,v)‖2Ei3.

Da ultima desigualdade junto com (3.20) e (3.21) obtem-se que limn→∞

εj,n = 0 para todo

j ∈ 1, 2, 3. Isto conclui a prova do Lema.

Lema 3.5. Dado A e a funcao definida por (3.13), entao A′(0, 0, 0) e sobrejetiva.

Demonstracao: Dado (f ,y0) ∈ FN . Da Proposicao 3.1 sabemos que existem (y, p,v)

tais que yt − ν0∆y +∇p = f + v1ω em Q,

∇ · y = 0 em Q,

y = 0 sobre Σ,

y(0) = y0 em Ω,

satisfazendo ρ0y, ρ1v1ω ∈ L2(Q)N , y ∈ L2(0, T ;V ) ∩ C(0, T ;H), y(0) ∈ V , ρ1(Ly +

∇p− v1ω) ∈ L2(Q)N , vi = 0. Pelos resultados conhecidos de regularidade do sistema de

Stokes (Teorema 1.19), temos que y ∈ L2(0, T ;D(A)) e p ∈ L2(0, T ;H1(Ω)). Portanto

(y, p,v) ∈ EiN e A′(0, 0, 0)(y, p,v) = (f ,y0). Isto conclui a prova do Lema.

64

De acordo com os Lemas 3.3, 3.4 e 3.5, notamos que o Teorema de Liusternik (Teorema

3.2 ) pode ser aplicado a funcao A com os espacos EiN e FN introduzidos no inıcio desta

subsecao. Consequentemente o sistema (3.1) e localmente nulo-controlavel no tempo T .

65

Capıtulo 4

Controlabilidade Local Nula do

“Verdadeiro” Sistema de Boussinesq


Dado Ω ⊂ RN (N = 2 ou N = 3) e um conjunto aberto, nao vazio, conexo e limitado,

com fronteira regular ∂Ω× (0, T ).

Denotaremos por (· , ·) e || · || respectivamente o produto escalar e a norma no espaco

L2(Ω). O simbolo C denotara a constante positiva generica. Dado ω ⊂ Ω e um conjunto

nao vazio e aberto. Estudaremos a controlabilidade local nula do sistema nao linear.

(4.1)

yt −∆y + (y · ∇)y +∇p = θeN + v1ω, ∇ · y = 0 em Q,

θt −∆θ + y · ∇θ = Dy : ∇y + v01ω em Q,

y(x, t) = 0,∂θ


y(x, 0) = y0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

Aqui, y = y(x, t), θ = θ(x, t) e p = p(x, t) representam, respectivamente, a velocidade

media do campo, temperatura e pressao do fluido de partıculas em Ω durante o intervalo

(0, T ); y0 e a velocidade media inicial no tempo t = 0; 1ω e a funcao caracterıstica em ω;

e Dy: e o gradiente simetrico y: Dy = 12(∇y +∇Ty) e

Dy : ∇y =N∑j=1

N∑i=1

1

2(∂yj∂xi

+∂yi∂xj

)∂yi∂xj

.

Por outro lado, ω × (0, T ) e o domınio do controle e v e v0 devem ser visto como os

controles (forcas medias) atuando no sistema.

66

Os seguintes espacos vetoriais, geralmente no contexto de fluidos incompressıveis,

serao usados ao longo do capıtulo

H = w ∈ L2(Ω)N : ∇ ·w = 0 em Ω, w · η = 0 sobre ∂Ω

e

V = w ∈ H10 (Ω)N : ∇ ·w = 0 em Ω.

O sistema (4.1),

para N = 2, y0 ∈ V , θ0 ∈ W 1,3/2(Ω) e quaisquer v ∈ L2(ω × (0, T ))N e v0 ∈L2(ω× (0, T )) suficientemente pequenos em seus respectivos espacos, possui exatamente

uma solucao forte (y, p, θ) com

y ∈ L2(0, T ;H2(Ω) ∩ V ) ∩ C(0, T ;V ), yt ∈ L2(0, T ;H), p ∈ L2(0, T ;H1(Ω))

e

θ ∈ L2(0, T ;W 2,3/2(Ω)) ∩ C(0, T ;W 1,3/2(Ω)), θt ∈ L2(Q).

Para N = 3, isto tambem e verdade se y0, θ0, v e v0 sao suficientemente pequenos

em seus respectivos espacos.

O principal resultado neste capıtulo e o seguinte:

Teorema 4.1. Dados T > 0 e ω ⊂ Ω, existe δ > 0 tal que, para todo (y0, θ0) ∈V ×W 1,3/2(Ω) satisfazendo

||(y0, θ0)||V×W 1,3/2(Ω) < δ,

pode-se encontrar os controles v ∈ L2(ω × (0, T ))N e v0 ∈ L2(ω × (0, T )), tal que a

correspondente solucao (y, p, θ) para (4.1) satisfaz

y(x, T ) = 0 e θ(x, T ) = 0 em Ω,

isto e, o sistema nao linear (4.1) e localmente nulo controlavel.

Para provar o Teorema 4.1, seguimos uma tecnica usual (ver [14]), que utiliza o Teo-

rema da Funcao Inversa. Primeiro, deduziremos a controlabilidade nula para o sistema

linear associado a (4.1), ou seja,

(4.2)

yt −∆y +∇p = θeN + v1ω + f , ∇ · y = 0 em Q,

θt −∆θ = v01ω + f0 em Q

y(x, t) = 0,∂θ


y(x, 0) = y0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

67


(4.3)

−ϕt −∆ϕ +∇π = g, ∇ ·ϕ = 0 em Q,

−ψt −∆ψ = ϕN + g0 em Q

ϕ(x, t) = 0,∂ψ


ϕ(x, T ) = ϕT (x), ψ(x, T ) = ψT (x) em Ω.


4.2.1 Desigualdade de Carleman

Necessitaremos alguns (bem conhecidos) resultados de Fursikov e Imanuvilov [49]; ver

tambem [1]. Por outro lado, sera conveniente introduzir um novo conjunto vazio ω0, com

ω0 b ω. Os seguintes resultados tecnicos sao devido a Fursikov e Imanuvilov [1], os quais

sao fundamentais para o desenvolvimento deste capıtulo.

Lema 4.1. Existe uma funcao η0 ∈ C2(Ω) satisfazendo:η0(x) > 0 ∀ x ∈ Ω,

η0(x) = 0 ∀ x ∈ ∂Ω,

|∇η0(x)| > 0, ∀ x ∈ Ω\ω0.

Introduzindo a funcao

l(t) =

T 2

40 ≤ t ≤ T/2,

t(T − t) T/2 ≤ t ≤ T.

Entao, para todo λ > 0 e m > 4, considere-se as seguintes funcoes dadas em [60]

α(x, t) =e

54λm||η0||∞ − eλ(m||η0||∞+η0(x))

l4(t), ξ(x, t) =

eλ(m||η0||∞+η0(x))

l4(t),

α∗(t) = maxx∈Ω

α(x, t), ξ∗(t) = minx∈Ω

ξ(x, t),

α(t) = minx∈Ω

α(x, t), ξ(t) = maxx∈Ω

ξ(x, t).

Nossa desigualdade de Carleman e dada pelo seguintes Lema:

68

Lema 4.2. Existe uma constante positiva C dependendo so de T, s e λ tal que para toda

ϕ, solucao do estado adjunto (4.3), temos

(4.4)

||ϕ(0)||2 + ||ψ(0)||2 +

∫∫Q

e−2sαξ3(|ϕ|2 + |ψ|2) dx dt

+

∫∫Q

e−2sαξ(|∇ϕ|2 + |∇ψ|2) dx dt

≤ C

(∫∫ω×(0,T )

e−8sα+6sα∗ ξ16(|ϕ|2 + |ψ|2) dx dt

+

∫∫Q

e−4sα+2sα∗ ξ15/2(|g|2 + |g0)|2) dx dt

).

Demonstracao: A prova deste Lema usa os mesmos argumentos encontrados em [60].


Definindo

(4.5)

ρ1 = e2sα−sα∗ ξ−15/4, ρ2 = e4sα−3sα∗ ξ−8, ρ3 = esα∗(ξ∗)−1/2,

µ1 = e8sα−7sα∗ ξ−15, µ2 = e8sα−7sα∗ ξ−16.

Devido ao Lema 4.2, provaremos a controlabilidade nula de (4.2) com termos f e f0

no lado direito, os quais decaem suficientemente rapido para zero quando t → T . Mais

precisamente tem-se:

Proposicao 4.1. Assumindo que y0 ∈ H ∩ L4(Ω), θ0 ∈ L2(Ω), ρ3f ∈ L2(Q)N e ρ3f0 ∈L2(0, T ;L3/2(Ω)). Entao, pode-se encontrar um controle-estado (y, p,v, θ, v0) para (4.2)

satisfazendo

(4.6)

∫∫Q

ρ21|y|2 dx dt+

∫∫Q

ρ21|θ|2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v|2 dx dt

+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v0|2 dx dt < +∞.

Em particular, temos y(x, T ) = 0, θ(x, T ) = 0, y ∈ L2(0, T ;V ) ∩ C(0, T ;H) e θ ∈L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)) ∩ C(0, T ;L3/2(Ω)).

Demonstracao: Note que devido a que y0 ∈ H∩L4(Ω), θ0 ∈ L2(Ω), ρ3f ∈ L2(0, T ;W−1,6(Ω))

e ρ3f0 ∈ L2(0, T ; (H1(Ω))′), entao podemos seguir as mesmas ideias de [60] e concluir a

prova.

69

Proposicao 4.2. Assumindo que as hipoteses da Proposicao 4.1 sao satisfeitas e dado

(y, p,v, θ, v0) satisfazendo (4.2) e (4.6). Tem-se:

(4.7)

supt∈[0,T ]

∫Ω

µ21|y|2 dx +

∫∫Q

µ21|∇y|2 dx dt ≤

C

(||y0||2H +

∫∫Q

ρ23|f |2 dx dt+

∫∫Q

ρ21|y|2 dx dt

+

∫∫Q

ρ21|θ|2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v|2 dx dt

),

se (y0, θ0) ∈ V ×W 1,3/2(Ω), entao

(4.8)

supt∈[0,T ]

∫Ω

µ22|∇y|2 dx+

∫∫Q

µ22(|yt|2 + |∆y|2) dx dt ≤

C

(||y0||2V +

∫∫Q

ρ23|f |2 dx dt+

∫∫Q

ρ21|y|2 dx dt

+

∫∫Q

ρ21|θ|2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v|2 dx dt

)e

(4.9)

∫ T

0

µ21||θ(t)||2L3/2(Ω) dt+ sup

t∈[0,T ]

µ22||∇θ||2L3/2(Ω) ≤

C

(||θ0||2W 1,3/2(Ω) +

∫∫Q

ρ21|θ|2 dx dt+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v|2 dx dt

+

∫∫ω×(0,T )

ρ22|v0|2 dx dt+

∫ T

0

||ρ3f0||2L3/2(Ω) dt

).

Demonstracao: A prova de (4.7) e (4.8) e encontrada de maneira similar em [15].

Provaremos (4.9), primeiro denotemos por θi = µiθ, vi,0 = µiv0 e fi,0 = µif0, e claro que

fi,0 ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)) e vi,0 ∈ L2(0, T ;L3/2(ω)). Entao em (4.2)2, obtem-se

(4.10)

θi,t −∆θi = vi,01ω + fi,0 + µi,tθ em Q,

∂θi∂η

(x, t) = 0 sobre Σ,

θi(x, 0) = µi(0)θ0(x) em Ω.

Note que de (4.6), temos que µi,tθ ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)) e devido a estimativas do tipo

energia em (4.10), chega-se a (4.9).

70


Esta subsecao e dedicada a provar os resultados sobre a controlabilidade local nula do

Teorema 4.1. Denotemos por L1y = yt −∆y e L2θ = θt −∆θ. Introduzindo os espacos,

para N = 2 ou N = 3,

YN =

(y, p,v, θ, v0) : ρ1y, ρ2v1ω, ∂xiy, ∂2xixj

y ∈ L2(Q)N , p ∈ L2(0, T ;H1(Ω)),

ρ1θ, ρ2v0 ∈ L2(Q), θ ∈ L2(0, T ;W 2,3/2(Ω)), ρ3(L1y +∇p− θeN − v1ω) ∈ L2(Q)N ,

ρ3(L2θ − v01ω) ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)), y(0) ∈ V, θ(0) ∈ W 1,3/2(Ω).

E claro que YN e um espaco de Banach para a norma || · ||YN , onde

||(y, p,v, θ, v0)||2YN = ||ρ1y||2L2(Q)N + ||ρ1θ||2L2(Q) + ||p||2L2(0,T ;H1(Ω)) + ||ρ2v||2L2(ω×(0,T ))N

+ ||ρ2v0||2L2(ω×(0,T )) + ||ρ3(L1y +∇p− θeN − v1ω)||2L2(Q)N

+ ||ρ3(L2θ − v01ω)||2L2(0,T ;L3/2(Ω))

.

Note que se (y, p,v, θ, v0) ∈ YN , entao yt ∈ L2(Q)N , θt ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)), desde que

y : [0, T ] 7→ V e θ : [0, T ] 7→ W 1,3/2(Ω) sao continuas e, em particular, temos y(0) ∈ V ,

θ(0) ∈ W 1,3/2(Ω), com a desigualdade

||y(0)||2V ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||2YN e ||θ(0)||2W 1,3/2(Ω) ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||2YN .

Alem disso, das Proposicoes 4.1 e 4.2, obtem-se

(4.11) ||µ1y||L∞(0,T ;L2)∩L2(0,T ;H1) + ||µ2y||L∞(0,T ;H1)∩L2(0,T ;H2) ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||YN

(4.12) ||µ1θ||L2(0,T ;L3/2) + ||µ2θ||L∞(0,T ;W 1,3/2) ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||YN

Introduzindo os espacos

ZN = L2(ρ23;Q)× L2(ρ2

3; 0, T ;L3/2(Ω))× V ×W 1,3/2(Ω)

e a funcao

A : YN 7→ ZN

A(y, p,v, θ, v0) = (A1,A2,A3,A4)(y, p,v, θ, v0),

onde

(4.13)

A1(y, p,v, θ, v0) = yt −∆y + (y · ∇)y +∇p− θeN − v1ω,

A2(y, p,v, θ, v0) = y(0),

A3(y, p,v, θ, v0) = θt −∆θ + y · ∇θ −Dy : ∇y − v01ω,

A4(y, p,v, θ, v0) = θ(0).

71

Usaremos o Teorema 3.2 (de Liusternik) para provar que existe ε > 0 tal que, para

qualquer (f , f0,y0, θ0) ∈ ZN e ||(f , f0,y0, θ0)||ZN ≤ ε, entao a equacao

A(y, p,v, θ, v0) = (f , f0,y0, θ0), (y, p,v, θ, v0) ∈ YN ,

possui ao menos uma solucao. Em particular, provaremos que (4.1) e localmente nulo

controlavel, com um controle-estado (y, p,v, θ, v0) ∈ YN .Agora nosso objetivo e mostrar que podemos aplicar esse resultado para a funcao A

em (4.13). Para isso provaremos os seguintes Lemas:

Lema 4.3. Dado A : YN 7→ ZN a funcao definida por (4.13). Entao A e bem definida e

contınua.

Demonstracao: Assumindo que (y, p,v, θ, v0) ∈ YN . Entao vamos provar queA(y, p,v, θ, v0)

tem sentido e pertencem a ZN . Aqui, a parte difıcil e mostrar que A3(y, p,v, θ, v0) ∈L2(ρ2

3; 0, T ;L3/2(Ω)). De fato,

||A3(y, p,v, θ, v0)||2L2(ρ2

3;0,T ;L3/2(Ω))≤ 3||ρ3(L2θ − v01ω)||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) + 3||ρ3y · ∇θ||2L2(0,T ;L3/2(Ω))

+3||ρ3Dy : ∇y||2L2(0,T ;L3/2(Ω)).

Conseguindo as estimativas.

• ||ρ3(L2θ − v01ω)||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||2YN

• ||ρ3y · ∇θ||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) ≤ C

∫ T

0

µ42||y||2L∞||∇θ||2L3/2(Ω)dt.

Observe que

(4.14) ρ3 ≤ Cµ1µ2 e ρ3 ≤ Cµ22,

logo, das desigualdades (4.11) e (4.12), tem-se

||ρ3y · ∇θ||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) ≤ C

(∫∫Q

µ22|∆y|2dx dt

)(sup[0,T ]

µ22||∇θ||2L3/2(Ω)

)≤ C||(y, p,v, θ, v0)||4YN .

• ||ρ3Dy : ∇y||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) ≤ C

∫ T

0

(∫Ω

|∇(µ2y)|3 dx)4/3

dt.

De (4.14) e usando o fato que

∇(µ2y) ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1(Ω))

72

e

(4.15) L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;L6(Ω)) → L4(0, T ;L3(Ω)),

encontramos

||ρ3Dy : ∇y||2L2(0,T ;L3/2(Ω)) ≤ C||(y, p,v, θ, v0)||4YN

Finalmente, considerando-se as ultimas desigualdades, temos que

A3(y, p,v, θ, v0) ∈ L2(ρ23; 0, T ;L3/2(Ω)),

por isso conluia-se que A e bem definido. Alem disso, usando os mesmos argumentos, e

facil garantir que A e contınua.

Lema 4.4. A funcao A : YN 7→ ZN e continuamente diferenciavel.

Demonstracao: Primeiro provaremos que A e Gateaux diferenciavel para todo

(y, p,v, θ, v0) ∈ YN , dado (y′, p′,v′, θ′, v′0) ∈ YN fixo e σ > 0. Introduzindo a funcao

linear DA : YN 7→ ZN com DA = (DA1, DA2, DA3, DA4), onde:

DA1(y′, p′,v′, θ′, v′0) = y′t −∆y′ +∇p′ − v′1ω − θ′eN + (y′ · ∇)y + (y · ∇)y′,

DA2(y′, p′,v′, θ′, v′0) = y′(0),

DA3(y′, p′,v′, θ′, v′0) = θ′t −∆θ′ − v′01ω + y′ · ∇θ + y · ∇θ′ −Dy′ : ∇y −Dy : ∇y′,

DA4(y′, p′,v′, θ′, v′0) = θ′(0).

Obviamente temos que A ∈ L(YN ;ZN). Alem disso,

(4.16)

1

σ[A1((y, p,v, θ, v0) + σ(y′, p′,v′, θ′, v′0))−A1(y, p,v, θ, v0)]→

DA1(y′, p′,v′, θ′, v′0) converge forte em L2(ρ23;Q)

quando σ → 0.

Obviamente, como

|| 1σ

[A1((y, p,v, θ, v0) + σ(y′, p′,v′, θ′, v′0))−A1(y, p,v, θ, v0)]−DA1(y′, p′,v′, θ′, v′0)||L2(ρ23;Q)

= σ||y′∇ · y′||L2(ρ23;Q)

≤ Cσ||(y′, p′,v′, θ′, v′0)||2YN ,

quando σ → 0, obtem-se (4.16). Por um argumento similar temos que

1

σ[Aj((y, p,v, θ, v0) + σ(y′, p′,v′, θ′, v′0))−Aj(y, p,v, θ, v0)]→ DAj(y′, p′,v′, θ′, v′0)

converge forte em ZN quandoσ → 0, para j ∈ 2, 3, 4.

73

Portanto, A e Gateaux-diferenciavel.

Denotemos por A′(y, p,v, θ, v0) a funcao linear DA. Provaremos que (y, p,v, θ, v0) 7→A′(y, p,v, θ, v0) e contınua. Isso sera suficiente para terminar a prova do Lema. Assim,

vamos supor que (yn, pn,vn, θn, vn0 )→ (y, p,v, θ, v0) em YN e vamos provar que

(4.17)

||(DA(yn, pn,vn, θn, vn0 )−DA(y, p,v, θ, v0))(y′, p′,v′, θ′, v′0)||ZN ≤

εn||(y′, p′,v′, θ′, v′0)||YN , ∀ (y′, p′,v′, θ′, v′0) ∈ YNpara algum εn → 0.

Observe que

||(DA3(yn, pn,vn, θn, vn0 )−DA3(y, p,v, θ, v0))(y′, p′,v′, θ′, v′0)||2L2(ρ2

3;0,T ;L3/2(Ω))≤

C(||ρ3D(yn − y) : ∇y′||2

L2(0,T ;L3/2(Ω))+ ||ρ3Dy′ : (yn − y)||L2(0,T ;L3/2(Ω))

+||ρ3y′∇(θn − θ)||2

L2(0,T ;L3/2(Ω))+ ||ρ3(yn − y)∇θ′||2

L2(0,T ;L3/2(Ω))

).

Fazendo uso da seguinte desigualdade

||ρ3∇z1∇z2||2L2(0,T ;L3/2(Ω))

≤ C|||∇(µ2z1)|2||L2(0,T ;L3/2(Ω))|||∇(µ2z

2)|2||L2(0,T ;L3/2(Ω))

∀ (z1, p1,v1, θ1, v10), (z2, p2,v2, θ2, v2

0) ∈ YN

e de (4.15), tem-se

||(DA3(yn, pn,vn, θn, vn0 )−DA3(y, p,v, θ, v0))(y′, p′,v′, θ′, v′0)||2L2(ρ2

3;0,T ;L3/2(Ω))≤

C||(yn, pn,vn, θn, vn0 )− (y, p,v, θ, v0)||2YN ||(y′, p′,v′, θ′, v′0)||2YN .

De maneira similar se consegue resultados para DAj j ∈ 1, 2, 4. Portanto, (4.17) e

satisfeita e a prova esta concluıda.

Lema 4.5. Dado A a funcao definida por (4.13). Entao A′(0, 0, 0, 0, 0) ∈ L(YN ;ZN) e

sobrejetiva.

Demonstracao: A′(0, 0, 0, 0, 0) e sobrejetiva se e somente se, para cada (f , f0,y0, θ0) ∈ZN existe (y, p,v, θ, v0) ∈ YN satisfazendo

yt −∆y +∇p = θeN + v1ω + f , ∇ · y = 0 em Q,

θt −∆θ = v01ω + f0 em Q,

y(x, t) = 0,∂θ


y(x, t) = y0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

Da Proposicao 4.1 existe um estado (y, p,v, θ, v0) com as propriedades desejadas.

Consequentemente, o Lema 4.5 esta provado.

74

Dos Lemas previos, temos que as hipoteses do Teorema 3.2 sao satisfeitas. Portanto,

pode-se a aplicar o resultado ao sistema (4.1) provando que e local nulo controlavel e a

prova do Teorema 4.1 esta concluıda.

75

Capıtulo 5

Um Resultado de Controlabilidade

Global Nula Aproximada do

“Verdadeiro” Sistema de Boussinesq

em Dimensao 3

5.1 Introducao

Dado Ω e um conjunto aberto definido por:

Ω := x ∈ R3 : xi ∈ (0, 1), 1 ≤ i ≤ 3,

cuja fronteira e denotado por ∂Ω e assumindo que T > 0. Denotemos por

Q := Ω× (0, T ), Σ := ∂Ω× (0, T ).

Vamos a introduzir os espacos

H(Ω) := w ∈ L2(Ω)3 : ∇ · w = 0 em Ω, w · η = 0 sobre ∂Ω

(onde η = η(x) e o vetor normal unitario em x ∈ ∂Ω) e

V0(Ω) := w ∈ H10 (Ω)3 : ∇ · w = 0 em Ω.

Dados (u0, θ0) ∈ V0(Ω)×H10 (Ω) vamos denotar por Γ0 e Γ1 os conjuntos

Γ0 := (0, x2, x3) : x2, x3 ∈ (0, 1), Γ1 = ∂Ω\Γ0

76

e considerar o sistema tri-dimensional de Boussinesq:

(5.1)

ut −∆u+ (u · ∇)u+∇p = θe3, ∇ · u = 0 em Q,

θt −∆θ + u · ∇θ = Du : ∇u em Q,

u = 0, θ = 0 sobre Γ0 × (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω.

Aqui Du representa a parte simetrica de u, o qual e , Du :=1

2(∇u+∇Tu) e

Du : ∇u =3∑j=1

3∑i=1

1

2(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)∂ui∂xj

.

Em [16] os autores conseguiram alguns resultados sobre a controlabilidade “parcial”

nula aproximada para o sistema (5.1) sem o termo Du : ∇u. Eles provam que, para

qualquer u0 e θ0, existem sequencias fn e gn tais que fn → 0 e gn → 0 em um

apropriado sentido e, para cada n, as equacoes associadas sao nulo-controlavel, com

controles na fronteira suportado por Γ1 × (0, T ). Os argumentos sao inspirados pela

prova do resultado principal em [59]. Neste capıtulo, nosso principal objetivo e provar

um resultado similar para o “verdadeiro” sistema de Boussinesq (5.1), apresentado no

seguinte teorema:

Teorema 5.1. Assumindo que os dados iniciais (u0, θ0) pertencem a V0(Ω) × H10 (Ω).

Existe uma famılia (fε, gε)ε>0 tal que

(fε, gε)→ (0, 0) em Lr(0, T ;H−1(Ω)3)× Lr(0, T ;H−1(Ω)) quando ε→ 0,

para todo r ∈ [1, 4/3) e existem solucoes (uε, pε, θε) para os problemas de controlabilidade

nula

(5.2)

uε,t− −∆uε + (uε · ∇)uε +∇pε = θεe3 + fε, ∇ · uε = 0 em Q,

θε,t −∆θε + uε · ∇θε = Duε : ∇uε + gε em Q,

uε = 0, θε = 0 sobre Γ0 × (0, T ),

uε(x, 0) = u0(x), θε(x, 0) = θ0(x) em Ω,

uε(x, T ) = 0, θε(x, T ) = 0 em Ω,

A forma de encontrar as funcoes (uε, θε) e construtiva. Vamos explicar as ideias

gerais da construcao. Como em [59], vamos dividir o intervalo de tempo (0, T ) em quatro

subintervalos:

77

• No primeiro subintervalo (0, T1) nao aplicamos controle, entao deixamos o sistema

evoluir com a condicao inicial (u0, θ0) e (uε, θε) e identica a solucao de (5.1) com

condicoes de contorno zero.

• No segundo subintervalo, explicitamente damos nossa solucao de (uε, θε). Em esta

etapa, nos “perturbamos” um pouco a solucao para o estado (u(· , T1), θ(· , T1)),

conduzindo-lo para para um estado (u1,α, θ1,α) com suporte compacto.

• No terceiro subintervalo, nos construımos nossa solucao (uε, θε) numa forma mais

intrınseca. Obviamente, vamos procurar (uε, θε) como uma soma de tres funcoes:

uma funcao muito particular que e uma solucao simples do sistema de Boussinesq

multiplicado por um parametro grande, e mais, uma solucao da equacao de trans-

porte mais uma solucao do sistema de Stokes-Bousisnesq. Isto permitira direcionar

o estado para uma solucao de um problema muito mais simples.

• No ultimo subintervalo nos reduziremos a tarefa para um problema de controle

nulo de um sistema parabolico nao linear em dimensao um. Entao, utilizamos uma

escala invariante e um resultado de controlabilidade nula para resolver isso.

A controlabilidade nula dos sistemas de Navier-Stokes e Boussinesq tem sido estudada

em muitos artigos nos ultimos anos, ver [3, 13, 14, 34, 36, 37, 45, 46, 50, 51, 60]. Ate

agora, sob condicoes de contorno de Dirichlet para o campo de velocidade, o resultado

global e aberto em ambos casos.

Este capıtulo esta organizado como segue. Na proxima secao, construımos alguns

funcoes intermediarias e lembraremos e/ou algumas estimacoes relevantes. Na secao 5.3,

a prova do Teorema 5.1 e feita, Finalmente, na secao 5.4 lidamos com a prova de uns

necessarios resultados tecnicos (Proposicao 5.2).

5.2 Construcao de Algumas Funcoes Intermediarias

Nesta secao, entre outras coisas, vamos construir uma funcao especifica (U, q,Θ) para

(5.1) satisfazendo (U · ∇)U ≡ 0.

5.2.1 Uma Solucao Simples para o Sistema de Boussinesq

Primeiro, dado as funcoes z2 = z2(x1, t), z3 = z3(x1, t) e ζ = ζ(x1, t) que resolvem o

sistema

78

(5.3)

z2,t − ∂2x1x1

z2 = c(t) em (0, 1)× (0, S),

z3,t − ∂2x1x1

z3 = c(t) + ζ em (0, 1)× (0, S),

ζt − ∂2x1x1

ζ =1

2(|∂x1z2|2 + |∂x1z3|2) em (0, 1)× (0, S),

z2(0, t) = 0, z2(1, t) = w2(t) sobre (0, S),

z3(0, t) = 0, z3(1, t) = w3(t) sobre (0, S),

ζ(0, t) = 0, ζ(1, t) = m(t) sobre (0, S),

z2(x1, 0) = z3(x1, 0) = ζ(x1, 0) = 0 em (0, 1).

Aqui c ∈ C3([0, S]) e uma funcao positiva e os wi e m sao funcoes nao negativas

satisfazendo wi ∈ C4([0, S]), m ∈ C3([0, S]), wi(0) = 0,

dk+1widtk+1

(0) =dkc

dtk(0),

dkm

dtk(0) = 0, 0 ≤ k ≤ 3.

Proposicao 5.1. Assumindo que c, w2, w3 e m sao suficientemente pequenos em seus

respectivos espacos ou S e suficientemente pequeno, existe uma unica solucao forte para

(5.3) com

zj, ζ ∈ L2(0, S;H1(0, 1)) ∩ L∞((0, 1)× (0, S)), zj,t, ζt ∈ L2(0, S;H−1(0, 1)).

Alem disso, para qualquer δ > 0 pequeno, temos que z2, z3, ζ ∈ C3([δ, 1 − δ] × [0, S])

e existem funcoes βjδ, γjδ, µjδ, λjδ, βδ, γδ e µδ em C0([δ, 1]× [0, S]) tais que

(i) zj(x1, t) = c(0)t+ βjδ(x1, t)t2 e ζ(x1, t) = βδ(x1, t)t

2,

(ii) ∂x1zj(x1, t) = γjδ(x1, t)t2 e ∂x1ζ(x1, t) = γδ(x1, t)t

2,

(iii) ∂tzj(x1, t) = c(0) + µjδ(x1, t)t e ∂tζ(x1, t) = ∂2x1ζ(x1, t) = µδ(x1, t)t,

(iv) ∂2x1x1

zj(x1, t) = λjδ(x1, t)t,

Demonstracao: A prova de existencia e unicidade para dados iniciais pequenos e

classica. Por outro lado, a prova dos itens (i) ate (iv) segue os argumentos de [43].

79

Proposicao 5.2. Assumindo que (z20, z30, ζ0) ∈ H10 (0, 1)3 e S > 0 sao dados, existem

controles de fronteiras (w2, w3,m) ∈ L∞(0, S)3 tais que a solucao associada ao sistema

(5.4)

z2,t − ∂2x1x1

z2 = 0 em (0, 1)× (0, S),

z3,t − ∂2x1x1

z3 = ζ em (0, 1)× (0, S),

ζt − ∂2x1x1

ζ =1

2(|∂x1z2|2 + |∂x1z3|2) em (0, 1)× (0, S),

z2(0, t) = 0, z2(1, t) = w2(t) sobre (0, S),

z3(0, t) = 0, z3(1, t) = w3(t) sobre (0, S),

ζ(0, t) = 0, ζ(1, t) = m(t) sobre (0, S),

z2(x1, 0) = z20(x1), z3(x1, 0) = z30(x1) em (0, 1),

ζ(x1, 0) = ζ0(x1) em (0, 1),

satisfaz

z2(· , S) = z3(· , S) = ζ(· , S) = 0 em (0, 1).

A prova da Proposicao 5.2 e apresentada na Secao 5.4.

Com ajuda das funcoes z2, z3 e ζ, definimos (U, q,Θ) como segue:

U(x, t) := (0, z2(x1, t), z3(x1, t)), q(x, t) = −(x2 +x3)c(t) e Θ(x, t) := ζ(x1, t). Observe

que (U · ∇)U ≡ 0, U · ∇Θ ≡ 0 e (U, q,Θ) resolve o seguinte problema de Boussinesq:

(5.5)

Ut −∆U + (U · ∇)U +∇q = Θe3, ∇ · U = 0 em G × (0, T ),

Θt −∆Θ + U · ∇Θ = DU : ∇U em G × (0, T ),

U(0, x2, x3, t) = 0, Θ(0, x2, x3, t) = 0 sobre R2 × (0, T ),

U(x, 0) = 0, Θ(x, 0) = 0 em G,

onde, G := (x1, x2, x3) : x1 ∈ (0, 1), x2, x3 ∈ R.Na prova do Teorema 5.1, nos adaptamos os argumentos usados em [16]. Portanto, a

construcao de uma solucao para (5.1) e dividida em quatro passos e, no terceiro passo,

procuramos uma solucao (u, p, θ) da forma

u = N2U + y + ξ(t)W, p = N2q + ξ(t)r, θ = N2Θ + h,

onde (y, h) e solucao de um sistema de transporte (ver secao 5.2.2), (W, r) e a solucao para

um sistema linear de Stokes-Boussinesq e N e uma constante positiva suficientemente

grande. Nos seguintes dois paragrafos construiremos y e W com estimativas explicitas

de suas normas em termos de N .

80

5.2.2 Equacao de Transporte

Neste paragrafo, para uma condicao inicial arbitraria

(y0, h0) ∈(C1

0(Ω)3 ∩H(Ω))× C1

0(Ω)

estendida por zero em G, e para algum N > 0 (suficientemente grande, que sera fixado

depois), consideremos o seguinte sistema

(5.6)

yt +N2(U · ∇)y +N2(y · ∇)U = he3 em Q2/N ,

ht +N2U · ∇h+N2y · ∇Θ = 0 em Q2/N ,

y(0, x2, x3, t) = 0, h(0, x2, x3, t) = 0 sobre R× (0, 2/N),

y(x, 0) = y0(x), h(x, 0) = h0(x) em G,

onde Q2/N := G × (0, 2/N) e (U,Θ) e como nas secoes anteriores. O seguinte se cumpre:

Lema 5.1. Para qualquer δ > 0 pequeno, existem constantes positivas Nδ e Cδ tais

que, para qualquer N ≥ Nδ, e qualquer (y0, h0) ∈ (C20(Ω) ∩H(Ω)) × C2

0(Ω) satisfazendo

supp(y0, h0) ⊂ [δ, 1 − δ]3, existe uma unica solucao (y, h) de (5.6) com as seguintes

propriedades:

(5.7)||(y, h)||C0(0,2/N ;C2(G)) +

1

N||(yt, ht)||C0(0,2/N ;C1(G))

≤ Cδ||(y0, h0)||C2(Ω)

e

(5.8) y(x, t) = 0, h(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ Ω× (1/N, 2/N).

Demonstracao: A prova e similar a prova do Lema 2.1 em [59]. Neste caso, a unica

solucao para (5.6) e explicitamente dada por

(5.9)

y1(x, t) = y0,1(x−N2X(x1, t)),

y2(x, t) = y0,2(x−N2X(x1, t))−N2y0,1(x−N2X(x1, t))m2(x1, t),

y3(x, t) = y0,3(x−N2X(x1, t))−N2y0,1(x−N2X(x1, t))m3(x1, t)

+ h0(x−N2X(x1, t)),

h(x, t) = h0(x−N2X(x1, t))−N2y0,1(x−N2X(x1, t))p(x1, t),

onde

X(x1, t) = (0,

∫ t

0

z2(x1, s) ds,

∫ t

0

z3(x1, s) ds).

Por brevidade, nos omitiremos os detalhes.

81

5.2.3 Construcao de W com ∇ ·W = −∇ · y

Introduzimos a notacao

Kδ(A2, A3) := [δ, 1− δ]× [δ, 1− δ + A2]× [δ, 1− δ + A3],

onde A2, A3 > 0 e δ > 0. Da expressao explicita de (y, h) em (5.9), vemos o seguinte:

• Para x1 /∈ [δ, 1− δ], temos y = 0 e h = 0.

• Para x1 ∈ [δ, 1 − δ], x2 /∈ [δ, 1 − δ + A2] e t ∈ [0, 2/N ] e N suficientemente grande

(dependendo de δ e A2), temos N2

∫ t

0

z2(x1, s) ds ∈ [0, A2] , desde que

(x2 −N2

∫ t

0

z2(x1, s) ds) /∈ [δ, 1− δ]

e, outra vez, y = 0 e h = 0.

• Alem disso, usando argumentos similares, se t ∈ [0, 2/N ], x1 ∈ [δ, 1 − δ] e x3 /∈[δ, 1− δ + A3] e N e suficientemente grande, tambem temos y = 0 e h = 0.

Consequentemente, pode-se assumir que

supp (y, h) ⊂ Kδ(A2, A3)× [0, 2/N ].

Fixamos A2 eA3 > 0 e tomamos N adequadamente, tal que (5.9) e satisfeito. Dado

B ⊂ (0, 1) × R2 um conjunto aberto tal que Kδ(A2, A3) ⊂ B e consideremos o seguinte

sistema de Stokes:

(5.10)

Wt −∆W +∇r = 0 em B × (0, 2/N),

∇ ·W = −∇ · y em B × (0, 2/N),

W = 0 sobre ∂B × (0, 2/N),

W (x, 0) = 0 em B.

O seguinte resultado e verdadeiro:

Proposicao 5.3. Dado (y0, h0) e (y, h) como no Lema 5.1 e W a solucao de (5.10),

entao, existe C (independentemente de N) tal que

(5.11) ||W ||L2(0,2/N ;H2(B)) + ||W ||L∞(0,2/N ;H1(B)) ≤ C||(y0, h0)||C2(Ω)

e

(5.12)

||W ||C0(0,2/N ;L2(B)) + ||Wx2||C0(0,2/N ;L2(B))

+ ||Wx3||C0(0,2/N ;L2(B)) ≤ CN−1/4||(y0, h0)||C2(Ω).

82

Demonstracao: Dado (W , r) a solucao de

Wt −∆W +∇r = yt −∆y em B × (0, 2/N),

∇ · W = 0 em B × (0, 2/N),

W = 0 sobre ∂B × (0, 2/N),

W (x, 0) = y0(x) em B.

Entao (−y + W , r) satisfaz (5.10) e, consequentemente, pela unicidade do problema

de Cauchy, tem-se

W = −y + W .

De (5.7) e (5.8), temos que

||y||C0(0,2/N ;C2(B)) +1

N||yt||C0(0,2/N ;C1(B)) + ||∇yt||C0(0,2/N ;C0(B))

≤ C||(y0, h0)||C2(Ω)

Das estimativas usuais de energia, deduzimos que

||W ||L2(0,2/N ;H2(B)) + ||W ||L∞(0,2/N ;H1(B)) ≤ C||(y0, h0)||C2(Ω)

Portanto, (5.11) e satisfeito.

Vamos denotar por (W ∗, r∗) e y∗ as extensoes por zero de (W , r) e y em Q2/N . Entao,

(W ∗, r∗) satisfaz:

W ∗t −∆W ∗ +∇r∗ = 0 em Q2/N ,

∇ ·W ∗ = −∇ · y∗ em Q2/N ,

W ∗(x, t) = 0, sobre Σ2/N ,

W ∗(x, t)→ 0 quando |x2|+ |x3| → +∞,

W ∗(x, 0) = 0 em G,

onde

I := 0, 1 × R× R+, Σ2/N := I × (0, 2/N).

Consequentemente, seguindo as ideias da prova da Proposicao 2.1 em [16] temos

(5.12).

83


Primeiro, note que pode-se assumir que T e suficientemente pequeno para garantir a

existencia unica de uma solucao forte para (5.1) completado com dado de Dirichlet zero

(resp. dado Dirichlet zero ) para u (resp. θ) sobre Γ1 × (0, T ) (ver [43, 57]):

Como mencionamos anteriormente, seguiremos os argumentos na prova do Teorema

5.1 em [59]. Consideremos varios passos a seguir, cada um num subintervalo de tempo.

• Primeiro passo: Existe pelo menos uma solucao fraca (u, p, θ) para o problema

(5.13)

ut −∆u+ (u · ∇)u+∇p = θe3, ∇ · u = 0 em Q,

θt −∆θ + u · ∇θ = Du : ∇u em Q,

u = 0, θ = 0 sobre Σ,

u(x, 0) = u0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Ω,

com u ∈ L2(0, T ;H2(Ω)3) ∩ C0(0, T ;V0(Ω)),

θ ∈ L2(0, T ;H2(Ω)) ∩ C0(0, T ;H10 (Ω)).

Ver [43], vamos tomar T1 ∈ (0, T ) e fazer (u1, θ1) = (u(· , T1), θ(· , T1)). Entao, pode-se

assumir que

(u1, θ1) ∈ (H2(Ω)3 ∩ V0(Ω))× (H2(Ω) ∩H10 (Ω)).

No intervalo (0, T1) nao aplicamos controle e simplesmente tomamos

uε = u, θε = θ, pε = p, fε = 0, gε = 0.

• Segundo passo: Vamos escolher um par (u1α, θ1α) em (C∞0 (Ω)3∩H(Ω))×C∞0 (Ω)

com

(u1α, θ1α)→ (u1, θ1) em V0(Ω)×H10 (Ω) quando α→ 0+

e

||u1α||V0(Ω) + ||θ1α||H10 (Ω) ≤ 2(||u1||V0(Ω) + ||θ1||H1

0 (Ω)).

Vamos tomar T2 ∈ (T1, T ) perto de T1, que sera definido depois, sobre o intervalo (T1, T2)

introduzimos

uε =t− T1

T2 − T1

u1α +T2 − tT2 − T1

u1, pε = 0, fε = Luε − θεe3,

θε =t− T1

T2 − T1

θ1α +T2 − tT2 − T1

θ1, gε =Mθε −Duε : ∇uε,

84

onde,

Luε := ut,ε −∆uε + (uε · ∇)uε,

Mθε := θt,ε −∆θε + uε · ∇θε.

Entao (fε, gε) ∈ L2(Q)3 × L2(Q),

||fε||L2(T1,T2;V ′0(Ω)) ≤C√

T2 − T1

||u1,α − u1||V0(Ω)

+C√T2 − T1

(||u1||2H1

0 (Ω)3

+||u1||H10 (Ω)3 + ||θ1||H1

0 (Ω)

)e

||gε||L2(T1,T2;H−1(Ω)) ≤C√

T2 − T1

||θ1,α − θ1||H10 (Ω)

+C√T2 − T1

(||θ1||H1

0 (Ω)

+||u1||2H10 (Ω)3 + ||θ1||H1

0 (Ω)||u1||H10 (Ω)3

).

Portanto, podemos escolher T2 suficientemente perto de T1 e entao para α suficiente-

mente pequeno, tem-se

||fε||L2(T1,T2;V ′0(Ω)) + ||gε||L2(T1,T2;H−1(Ω)) ≤ε

2.

Em seguida, vamos ver que (uε, pε, θε) resolve o sistema de Boussinesq em (T1, T2) com

termos do lado direito fε e gε e dado inicial (u1, θ1) no tempo t = T1.

• Terceiro passo: Vamos definir

u2 := uε(· , T2) = u1α, θ2 := θε(· , T2) = θ1α.

Dado δ > 0 tal que supp (u2, θ2) ⊂ [δ, 1−δ]3, trabalharemos no intervalo (T2, T2+2/N),

onde

N ≥ max(Nδ, 3/(T − T2))

e Nδ e fornecido pelo Lema 5.1. No intervalo [T2, T2 + 2/N ], para N suficientemente

grande, vamos procurar uma solucao (uε, pε, θε) da forma

uε(x, t) = N2U(x, t) + y(x, t) + ξ(t− T2)W (x, t),

pε(x, t) = −N2(x2 + x3)c(t− T2) + ξ(t− T2)r(x, t),

θε(x, t) = N2Θ(x, t) + h(x, t)

85

efε = −∆y +

((y + ξW ) · ∇

)(y + ξW )−N2(U · ∇)ξW

−ξN2(W · ∇)U − ξtW ,

gε = −∆h+ (y + ξW ) · ∇h−N2ξW · ∇Θ

+N2Dy : ∇U +N2DU : ∇y + ξN2DU : ∇W

+ξN2DW : ∇U +D(y + ξW ) : ∇(y + ξW ).

Aqui, U , Θ, etc sao respectivamente u, Θ, etc escrito no tempo t−T2, (U,Θ) e, junto

com q, a solucao de (5.1), (y, h) e a solucao de (5.6) com dado inicial (y0, h0) = (u2, θ2),

(W, r) e a solucao para (5.10) e ξ ∈ C∞([0, 2/N ]) e uma funcao satisfazendo

ξ(t) = 1 em (0, 1/N) e ξ(t) = 0 em uma vizinhanca de 2/N.

Devido a definicao e propriedades de (y, h) (ver Lema 5.1) e as definicoes de (U,Θ),

(W, r) e ξ, para N suficientemente grande, temos

(uε, θε)(x, T2 + 2/N) ≡ N2(U,Θ)(x1, 2/N), ∇ · uε = 0

e

uε(0, x2, x3, t) = 0, θε(0, x2, x3, t) = 0 em (0, 1)2 × (T2, T2 + 2/N).

Consequentemente, (uε, pε, θε) resolve o sistema de Boussinesq em (T2, T2 + 2/N) com

lado direito fε e gε e dado inicial (u2, θ2).

Vamos verificar que se N e suficientemente grande tambem temos

(5.14) ||fε||L2(T2,T2+2/N ;V ′0(Ω)) + ||gε||L2(T2,T2+2/N ;H−1(Ω)) ≤ε

2.

Note que, do Lema 5.1, tem-se

(5.15) ||∆y||L2(T2,T2+2/N ;H−1(Ω)) + ||∆h||L2(T2,T2+2/N ;H−1(Ω)) ≤C

N1/2.

Vamos descompor Ω como segue:

Ω = Ω1 ∪ Ω2, com Ω1 := (0, δ/2)× (0, 1)2 e Ω2 := (δ/2, 1)× (0, 1)2.

Lembre-se, que ∇ ·W = −∇ · y em Q2/N e y = 0 em Ω1 × (T2, T2 + 2/N).

86

Consequentemente,

||N2(W · ∇)U ||V ′0(Ω) = supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω

N2(W · ∇)U · β dx

≤ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω1

N2(W · ∇)U · β dx

+ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω2

N2(W · ∇)U · β dx

= I1 + I2.

Podemos facilmente calcular e estimar os Ii como segue:∫Ω1

N2(W · ∇)U · β dx ≤ C(||NW ||L2(Ω1) + ||N∇ · y||L2(Ω1)

)||NU ||L∞(Ω)

≤ C||NW ||L2(Ω1)

≤ CNN−1/4||(y0, h0)||C2(Ω).

Logo

(5.16) ||I1||Lr(T2,T2+2/N) ≤ CN3/4−1/r||(y0, h0)||C2(Ω).

Por outro lado,

|I2| ≤ C||N2∇U ||L∞((δ/2,1)×R2)||W ||L2(Ω2)

≤ C||W ||L2(Ω),

desde que

(5.17) ||I2||Lr(T2,T2+2/N) ≤ CN−1/r.

De (5.16) e (5.17), tem-se

(5.18) ||ξN2(W · ∇)U ||Lr(T2,T2+2/N ;V ′0(Ω)) ≤ CN3/4−1/r.

De maneira similar, calculamos

(5.19)

N2(||ξW · ∇Θ||Lr(T2,T2+2/N ;H−1(Ω))

+||ξ(U · ∇W )||Lr(T2,T2+2/N ;V ′0(Ω))

)≤ CN3/4−1/r

e

(5.20)

N2(||DU : ∇y||Lr(T2,T2+2/N ;H−1(Ω))

+||Dy : ∇U ||Lr(T2,T2+2/N ;H−1(Ω))

)≤ CN3/4−1/r.

87

De (5.11), deduzimos que

(5.21) ||ξtW ||Lr(T2,T2+2/N ;L2(Ω)3) ≤ CN−1/r.

Alem disso,

(5.22)

||(y + ξW ) · ∇(y + ξW )||L2(T2,T2+2/N ;V ′0(Ω))

≤ C||y + ξW ||2L4(T2,T2+2/N ;L4(Ω))

≤ CN−1/2,

e

(5.23)

||(y + ξW ) · ∇h||L2(T2,T2+2/N ;H−1(Ω)3)

≤ C||∇h||L2(T2,T2+2/N ;L∞(Ω)).||y + ξW ||2L2(T2,T2+2/N ;L2(Ω)3)

≤ CN−1/2.

Finalmente,

||D(y + ξW ) : ∇(y + ξW )||V ′0(Ω) ≤ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω

(Dy : ∇y) · β dx

+ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω

ξ(DW : ∇y) · β dx

+ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω

ξ(Dy : ∇W ) · β dx

+ supβ∈V0(Ω), ||β||V0(Ω)=1

∫Ω

ξ2(DW : ∇W ) · β dx

= J1 + J2 + J3 + J4.

Calculamos e estimamos os Ji como segue

||Ji||L2(T2,T2+2/N) ≤ CN−1/2 para i ∈ 1, 2, 3

e

||J4||L2(T2,T2+2/N) ≤ CN−1/4.

Consequentemente,

(5.24) ||D(y + ξW ) : ∇(y + ξW )||L2(T2,T2+2/N ;V ′0(Ω)) ≤ CN−1/2.

Portanto, (5.15) e (5.18)-(5.24) prova (5.14) para N suficientemente grande.

88

• Quarto passo: Agora, fazemos T3 := T2 + 2/N e trabalhamos no intervalo (T3, T ).

Note que (uε, pε, θε) comeca em t = T3 com a seguinte estrutura:

uε(x, T3) = (0, N2z2(x1, 2/N), N2z3(x1, 2/N)),

pε(x, T3) = −(x2 + x3)c(2/N),

θε(x, T3) = N2(∂z3 −∆z3)(x1, 2/N).

Isto permite reduzir a tarefa para um problema de controlabilidade de um sistema

parabolico do tipo (5.4). Mais precisamente, no intervalo [T3, T ], tomemos fε ≡ 0, gε ≡ 0

e tentamos de encontrar um controle na fronteira o qual leva ao estado associado,

comecando no tempo t = T3 exatamente para zero no tempo t = T. A Proposicao

5.2, permite que isto seja feito.

Desta maneira, seja

uε(· , T ) = 0, θε(· , T ) = 0.

Claramente, tem-se

||fε||Lr(0,T ;V ′0(Ω)) + ||gε||Lr(0,T ;H−1(Ω)) ≤ ε.

Isto finaliza a prova.

5.4 Prova da Proposicao 5.2

Nos discutiremos como segue.

1. Primeiro, reduziremos a controlabilidade na fronteira de (5.4) para a controlabili-

dade interna de um sistema similar (com tres controles escalares).

2. Segundo, introduziremos mudanca de escala no tempo e espaco, isso reduzira a

tarefa do controle em um tempo pequeno e espaco pequeno quando a dados iniciais

sao pequenos.

3. Finalmente, provaremos que a controlabilidade nula vale sob essas circunstancias e

aplicaremos um Teorema da Funcao Inversa.

Portanto, vamos estender por zero as funcoes z20, z30 e ζ0 no intervalo (0, 2), deno-

89

tando por z20, z30 e ζ0 as correspondentes extensoes, consideremos o sistema controlavel

(5.25)

z2,t − ∂2x1x1

z2 = v21ω em (0, 2)× (0, S),

z3,t − ∂2x1x1

z3 = ζ + v31ω em (0, 2)× (0, S),

ζt − ∂2x1x1

ζ =1

2(|∂x1z2|2 + |∂x1z3|2) + w1ω em (0, 2)× (0, S),

z2(0, t) = z3(0, t) = ζ(0, t) = 0 sobre (0, S),

z2(2, t) = z3(2, t) = ζ(2, t) = 0 sobre (0, S),

z2(x1, 0) = z20(x1), z30(x1, 0) = z30(x1) em (0, 2),

ζ(x1, 0) = ζ0(x1) em (0, 2),

onde ω = (3/2, 2) e v2, v3, w ∈ L∞(ω× (0, S)) e assumindo que (5.25) e nulo-controlavel.

Entao e claro que (5.4) e controlavel na fronteira e a Proposicao 5.2 e satisfeita.

Denotemos por Qλ = (0, 2λ−1/2)× (0, Sλ−1) e introduzimos as novas variaveis

(5.26) ξ = λ−1/2x1, τ = λ−1t, yj = λzj(λ1/2ξ, λτ), φ = λ2ζ(λ1/2ξ, λτ),

onde λ > 0. Entao (z2, z3, ζ) resolve (5.25) se e somente se (y2, y3, φ) resolve o sistema

(5.27)

y2,τ − ∂2ξξy2 = v21O em Qλ,

y3,τ − ∂2ξξy3 = φ+ v31O em Qλ,

φτ − ∂2ξξφ = 1

2(|∂ξy2|2 + |∂ξy3|2) + w1ω em Qλ,

y2(0, τ) = y3(0, τ) = φ(0, τ) = 0 sobre (0, Sλ−1),

y2(2λ−1/2, τ) = y3(2λ−1/2, τ) = φ(2λ−1/2, τ) = 0 sobre (0, Sλ−1),

y2(ξ, 0) = y20(ξ), y3(ξ, 0) = y30(ξ) em (0, 2λ−1/2),

φ(ξ, 0) = φ0(ξ) em (0, 2λ−1/2),

onde

O := (3

2λ−1/2, 2λ−1/2), yj0(ξ) = λzj0(λ1/2ξ) e φ0(ξ) := λ2ζ0(λ1/2ξ).

E facil verificar que

(5.28)

||yj0||2H1

0 (0,2λ−1/2)≤ Cλ5/2||zj0||2H1

0 (0,1),

||φ0||2H10 (0,2λ−1/2)

≤ Cλ9/2||θ0||2H10 (0,1)

.

Vamos ver que, para λ suficientemente pequeno, (5.27) e nulo-controlavel.

90

Para este proposito podemos seguir os passos de [1, 13, 25, 53] e aplicar o Teorema

de Liusternik (ver [64]) para uma formulacao apropriada do problema de controle nulo

para (5.27). Mais precisamente, vamos considerar a linearizacao de (5.27) a zero

y2,τ − ∂2ξξy2 = v21O em Qλ,

y3,τ − ∂2ξξy3 = φ+ v31O em Qλ,

φτ − ∂2ξξφ = w1O em Qλ,

y2(0, τ) = y3(0, τ) = φ(0, τ) = 0 sobre (0, Sλ−1),

y2(2λ−1/2, τ) = y3(2λ−1/2, τ) = φ(2λ−1/2, τ) = 0 sobre (0, Sλ−1),

y2(ξ, 0) = y20(ξ), y3(ξ, 0) = y30(ξ) em (0, 2λ−1/2),

φ(ξ, 0) = φ0(ξ) em (0, 2λ−1/2),

Existem funcoes positivas ρ1, ρ2, ρ ∈ C∞(Qλ) que explodem exponencialmente quando

t→ T tal que, para qualquer (y20, y30, φ0) ∈ H10 (0, 2λ−1/2)3. Alem disso, existem controles

(v2, v3, w) e estados associados (y2, y3, φ) satisfazendo

I(y2, y3, φ, v2, v3, w)

:= supτ

∫(0,2λ−1/2)

ρ21(|y2|2 + |y3|2 + |φ|2) dξ

+

∫∫Qλ

ρ21(|y2,ξ|2 + |y3,ξ|2 + |φξ|2) dξ dτ

+ supτ

∫(0,2λ−1/2)

ρ22(|y2,ξ|2 + |y3,ξ|2 + |φξ|2) dξ

+

∫∫Qλ

ρ22(|y2,ξξ|2 + |y3,ξξ|2 + |φξξ|2) dξ dτ

+

∫∫O×(0,Sλ−1)

ρ2(|v2|2 + |v3|2 + |w|2) dξ dτ < +∞.

Os pesos ρ1, ρ2 e ρ podem ser escolhidos com a seguinte propriedade

(5.29) ρ2 ≤ Cρ1ρ2,

(5.30)

||(y2, y3, φ)(· , 0)||2H1

0 (0,2λ−1/2)

≤ CI(y2, y3, φ, 0, 0, 0) para todo (y2, y3, φ),

91

e para algum C independente de λ. Vamos agora introduzir os espacos

Y := (y2, y3, φ, v2, v3, w) : yj,ξ, yj,ξξ, φ, φξ, φξξ ∈ L2loc(Qλ),

vj, w ∈ L2loc(O × (0, Sλ−1)), I(y2, y3, φ, v2, v3, w) < +∞,

yj(0, τ) = φ(0, τ) = yj(2λ−1/2, τ) = φ(2λ−1/2, τ) = 0,

para τ ∈ (0, Sλ−1)

eZ := (f2, f3, g, y20, y30, φ0) : fj, g ∈ L2

loc(Qλ), yj0, φ0 ∈ H10 (0, 2λ−1/2),∫∫

Qλ

ρ2(|f2|2 + |f3|2 + |g|2) dξ dτ < +∞

e a funcao nao linear Λ : Y 7→ Z, com

Λ(y2, y3, φ, v2, v3, w)

:= (y2,τ − y2,ξξ − v21O, y3,τ − y3,ξξ − φ− v31O,

φτ − φξξ − 12(|y2,ξ|2 + |y3,ξ|2)− w1O, y2(· , 0), y3(· , 0), φ(· , 0)

).

Entao, Λ esta bem definido e e uma funcao de classe C1 (devido a (5.29)) e Λ′(0, 0, 0, 0, 0, 0)

e sobrejetiva (devido ao fato de que o sistema (5.27) linearizado para zero e resolvıvel

em Y e (5.30) e satisfeito). Assim, em vista do Teorema de Liusternik, existe ε > 0

(independente de λ) tal que, se ||(y20, y30, φ0)||H10 (0,2λ−1/2) ≤ ε, a equacao

Λ(y2, y3, φ, v2, v3, w) = (0, 0, 0, y20, y30, φ0), (y2, y3, φ, v2, v3, w) ∈ Y

possui pelo menos uma solucao e, portanto o sistema (5.27) e nulo-controlavel.

A conclusao e que o sistema (5.25) e tambem nulo-controlavel. Obviamente, e suficien-

temente tomar λ suficientemente pequeno em (5.26). Isto finaliza a prova da Proposicao

5.2.

92

Capıtulo 6

Controlabilidade via a Estrategia

de Stackelberg-Nash para uma

EDP Parabolica Nao Linear

6.1 Introducao

Dado I ⊂ R e um intervalo aberto e limitado. Denotemos por Q o cilindro Q :=

I×]0, T [, com fronteira lateral Σ := ∂I×]0, T [. Tambem, dado ω ⊂ I e um conjunto

aberto nao vazio; como e usual, 1ω denota a funcao caracterıstica de ω.

Estudaremos neste secao o seguinte sistema

(6.1)

yt − (a(y)yx)x = v1ω em Q,


y(x, 0) = y0(x) em I,

e

(6.2)

yt − (a(y)yx)x = 0 em Q,

y(0, t) = w(t), y(1, t) = 0 sobre ]0, T [,

y(x, 0) = y0(x) em I,

onde v e w sao controles e y em ambos casos o estado associado. Aqui, assumiremos que

a funcao a = a(r) e de classe C2(R), possui derivadas limitadas de ordens ≤ 2 e satisfaz

0 < m ≤ a(r) ≤M, ∀r ∈ R.

93

Definicao 6.1. Dizemos que o sistema (6.1) (resp. (6.2)) e localmente nulo-controlavel

no tempo T se existe ε > 0 tal que, para qualquer y0 ∈ H10 (I) com

(6.3) ‖y0‖H10 (I) ≤ ε,

existem controles v ∈ L2(ω×]0, T [) (resp. w ∈ L∞(]0, T [)) tal que o estado associado y

satisfaz

(6.4) y(x, T ) = 0 em I.

Os principais resultados sao:

Teorema 6.1. Baixo as hipoteses de a, o sistema nao linear de (6.1) e localmente nulo

controlavel no tempo T > 0.

Uma consequencia do Teorema 6.1 e a controlabilidade local nula do sistema (6.2).

Teorema 6.2. Baixo as hipoteses de a, o sistema nao linear (6.2) e localmente nulo

controlavel no tempo T > 0.

Nos consideremos primeiro o sistema linearizado a zero

(6.5)

yt − a(0)yxx = v1ω + h em Q,


y(x, 0) = y0(x) em I.


(6.6)

−ϕt − a(0)ϕxx = F em Q,

ϕ = 0 sobre Σ,

ϕ(x, T ) = ϕT (x), em I,

onde F ∈ L2(Q) e ϕT ∈ L2(I). A controlabilidade nula de (6.5) sera obtida, para um

apropriado termo no lado direito h, como consequencia de uma desigualdade de Carleman

para solucoes de (6.6).

No segundo passo, reescreveremos o problema de controlabilidade nula de (6.1) como

uma forma de equacao

(6.7) H(y, v) = (0, y0), (y, v) ∈ Y,

em um espaco de Banach Y de controle-estado ´´admissıveis”.

Introduzindo o seguinte algoritmo iterativo: ALG 1:

94

1. Escolher (y0, v0) ∈ Y .

2. Entao, dados n ≥ 0 e (yn, vn) ∈ Y , calcular

(6.8) (yn+1, vn+1) = (yn, vn)−H ′(0, 0)−1 (H(yn, vn)− (0, y0)) .

Nas iteracoes previas, H ′(0, 0)−1 denotara a inversa de H ′(0, 0).

Note que ALG 1 e um algoritmo quase-Newton elementar com a seguinte propriedade

boa: em cada passo, a tarefa e reduzida a solucao de um problema linear que, depois da

discretizacao, leva a um sistema algebrico cuja matriz de coeficientes e sempre a mesma.

Isto e muito interessante e conveniente de um ponto de vista numerico, uma vez que torna

possıvel realizar apenas uma fatoracao no inıcio e, em seguida, calcular rapidamente cada

(yn+1, vn+1).

Mais detalhes de ALG 1 e suas propriedades de convergencia serao dadas abaixo.

Em particular, o seguinte resultado:

Teorema 6.3. Dado y0 ∈ H10 (I), com ‖y0‖H1

0 (I) ≤ ε (ε e dado pelo Teorema 6.1). Dado

Y um espaco de Hilbert onde podemos encontrar uma solucao (y, v) para (6.7). Existe

κ ∈ (0, 1) tal que, se (y0, v0) ∈ Y e

‖(y0, v0)− (y, v)‖Y ≤ κ,

entao os (yn, vn) convergem para (y, v) e satisfazem

(6.9) ‖(yn+1, vn+1)− (y, v)‖Y ≤ θ‖(yn, vn)− (y, v)‖Y

6.1.1 Prova do Teorema 6.2

Assumindo que I =]0, 1[, denotemos por Iδ =] − δ, 1[ com δ > 0 e dado ω ⊂ Iδ \ I e

um conjunto aberto nao vazio.

Considere o seguinte sistema auxiliar:

(6.10)

yt − (a(y)yx)x = v1ω em Iδ×]0, T [,

y(x, t) = 0 sobre ∂Iδ×]0, T [,

y(x, 0) = y0(x) em Iδ,

onde y0 ∈ H10 (Iδ) e a extensao por zero de y0 para Iδ.

95

Do Teorema 6.1, deduzimos a existencia de um controle v ∈ L2(ω×]0, T [) e um estado

associado y resolve (6.10) e satisfazendo

y(x, T ) = 0 em Iδ.

Dado w e a traco de y sobre ∂I×]0, T [. Entao, o par (y, w), onde y e a restricao de y

em I×]0, T [, resolve o correspondente sistema (6.2).

Isto prova o Teorema 6.2.

6.1.2 A convergencia de ALG 1

Argumentando como em [25] e [15], um algoritmo iterativo elemental de quase-Newton

pode ser introduzido para o calculo da solucao do problema de controle nulo. Para isso,

primeiro temos que definir um inverso H ′(0, 0)−1 para um operador linear H ′(0, 0).

Isto pode ser conseguido seguindo o metodo de Fursikov-Imanuvilov [51] e argumen-

tando como segue. Primeiro, vamos introduzir o espaco linear

P0 = p ∈ C2(Q) : p = 0 sobre Σ

e denotemos por P a completacao de P0 para o produto escalar

( p, p′ )P :=

∫∫Q

ρ−20 L∗pL∗p′ dx dt+

∫∫ω×]0,T [

ρ−23 pp′ dx dt,

onde temos usado a notacao L∗p := −pt − a(0)pxx. (· , ·)P e o produto escalar sobre P0 e

uma consequencia da desigualdade Carleman.

Dado (h, y0) ∈ Z. Lembre-se o significado de que h ∈ F , que e,∫∫Q

ρ23|h|2 dx dt < +∞

e y0 ∈ H10 (I). Entao existe exatamente uma solucao do problema variacional:

( p, p′ )P =

∫∫Q

h(x, t) p′(x, t) dx dt+

∫I

y0(x) p′(x, 0) dx,

∀p′ ∈ P ; p ∈ P.

Portanto p resolve, pelo menos em um sentido fraco, o seguinte sistema diferencial

parcial, que e de quarta ordem no espaco e de segunda ordem no tempo:L(ρ−2

0 L∗p) + ρ−23 p1ω = h em Q,

p = 0 sobre Σ,

ρ−20 L∗p = 0 sobre Σ,

ρ−20 L∗p

∣∣t=0

= y0, ρ−20 L∗p

∣∣t=T

= 0 em I.

96

Denotemos por

y := ρ−20 L∗p, v := −ρ−2

3 p|ω×]0,T [.

Entao nao e difıcil de provar que (y, v) ∈ Y e (6.5) e satisfeita, e que , H ′(0, 0)(y, v) =

(h, y0). Nesse sentido definamos H ′(0, 0)−1(h, y0) := (y, v); isso fornece a definicao dese-

jada de H ′(0, 0)−1.

ALG 1:

1. Escolher (y0, v0) ∈ Y .

2. Entao, para n ≥ 0 dado e (yn, vn) ∈ Y , calcular

(yn+1, vn+1) = (yn, vn)−H ′(0, 0)−1(H(yn, vn)− (0, y0)).

Note que, para cada n, a tarefa reduz a solucao de um problema de controlabilidade

nulo para o sistema linear

(6.11)

yn+1t − a(0)yn+1

xx = vn+11ω − (a(0)ynx − (a(yn)ynx))x em Q,

yn+1(x, t) = 0 sobre Σ,

yn+1(x, 0) = y0(x) em I.

A convergencia de ALG 1 e estabelecida no Teorema 6.3. Vamos ver a prova.

Prova do Teorema 6.3 Primeiro, note que para o dado inicial (y0, v0) ∈ Y , as iteracoes

em ALG 1 estao bem definidas. Usaremos alguns argumentos standares, apropriada

para metodos de este tipo, que dependam da regularidade C1 para H; ver [26].

Portanto, assumindo que ‖y0‖H10 (I) ≤ ( e dado pelo Teorema 6.1) e (y, v) ∈ Y satisfaz

H(y, v) = (0, y0); denotemos por CH := ‖H ′(0, 0)−1‖L(Z;Y ) e assumindo que 0 < θ <

1/(2CH). Pelo fato de que H e continuamente diferenciavel, existe δ > 0 tal que

(y, v) ∈ Y, ‖(y, v)‖Y ≤ δ ⇒ ‖H ′(y, v)−H ′(y, v)‖L(Y ;Z) ≤ θ.

Assumindo que ‖(y, v)‖Y ≤ δ nos provaremos que existe κ > 0 tal que, se (y0, v0) ∈ Y e

(6.12) ‖(y0, v0)− (y, v)‖Y ≤ κ,

entao os (yn, vn) satisfazem (6.9).

Dado κ tal que

(y, v) ∈ Y, ‖(y, v)− (y, v)‖Y ≤ κ

⇒

‖H(y, v)−H(y, v)−H ′(y, v) ((y, v)− (y, v)) ‖Z≤ θ‖(y, v)− (y, v)‖Y

97

e escolhendo (y0, v0) ∈ Y satisfazendo (6.12). Entao, se nos introduzimos en := (yn, vn)−(y, v), o seguinte se cumpre:

en+1 = en −H ′(0, 0)−1 (H(yn, vn)−H(y, v))

= −H ′(0, 0)−1 (H(yn, vn)−H(y, v)−H ′(0, 0)en)

= −H ′(0, 0)−1 (H(yn, vn)−H(y, v)−H ′(y, v)en)

−H ′(0, 0)−1 (H ′(y, v)−H ′(0, 0)) en.

Portanto,

‖en+1‖Y ≤ CH‖H(yn, vn)−H(y, v)−H ′(y, v)en‖Z+ CH‖H ′(y, v)−H ′(0, 0)‖L(Y ;Z)‖en‖Y .

Desde que ‖e0‖Y ≤ κ, esta desigualdade para n = 0 e satisfeita

‖e1‖Y ≤ 2CHθ‖e0‖Y

e, em particular, temos ‖e1‖Y ≤ κ. Por inducao, obtem-se

‖en‖Y ≤ 2CHθ‖en−1‖Y ≤ · · · ≤ (2CHθ)n‖e0‖Y

para todo n ≥ 1. Isto prova que en → 0 em Y e a desigualdade (6.9) se cumpre

com θ = 2CHθ.

Isto finaliza a prova.


Dado Ω ⊂ RN (N ≥ 1 e um inteiro) um subconjunto, nao vazio, aberto e limitado, com

fronteira regular ∂Ω. Fixamos T > 0, denotemos por Q := Ω× (0, T ) e Σ := ∂Ω× (0, T ).

No seguinte, denotaremos por (· , ·) e || · || respectivamente o produto interno e a norma

no espaco L2(Ω). O sımbolo C e usado para representar uma constante positiva generica.

Estudaremos o seguinte sistema.

(6.13)

yt −∇ · (a(y)∇y) = f1O + v1β11O1 + v2β21O2 em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

onde y = y(x, t) e o estado e y0 e o dado inicial no tempo t = 0. Em (6.13), o

conjunto O ⊂ Ω e o domınio do controle principal e O1, O2 ⊂ Ω sao os domınios dos

controles secundarios (todos eles sao supostos pequenos); 1O, 1O1 e 1O2 sao as funcoes

98

caracterısticas de O, O1 e O2 , respectivamente; os controles sao f , v1 e v2, onde f e o

lıder, v1 e v2 sao os seguidores. Aqui, assumiremos que a funcao a = a(r) satisfaz

(6.14) a ∈ C2(R), 0 < a0 ≤ a(r) ≤ a1, e |a′(r)|+ |a′′(r)| ≤M, ∀r ∈ R,

βi ∈ C∞0 (Oi) tal que 0 ≤ βi ≤ 1 em Oi, βi = 1 em Oi b Oi para i ∈ 1, 2 em

1Oi ≈ βi1Oi (estas hipoteses sao importantes porque, permitiram encontrar controles v ı

tais que βivi1Oi ∈ C

12, 14 (Q) ).

Note que, se y0 ∈ C2+ 12 (Ω), f ∈ C

12, 14

0 (Q), βivi1Oi ∈ C

12, 14

0 (Oi) para i ∈ 1, 2, entao

y ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (Q).

Dados O1,d, O2,d ⊂ Ω sao conjuntos abertos, representando os domınios de observacao

dos seguidores. Considere-se os seguintes funcionais para (6.13)

(6.15) Ji(f ; v1, v2) :=1

2

∫∫Oi,d×(0,T )

αi|y − yi,d|2dx dt+µi2

∫∫Oi×(0,T )

|vi|2dx dt,

onde αi ∈ C∞0 (Oid), 0 ≤ αi ≤ 1 em Oid, αi = 1 em Oid b Oid, µi > 0 e uma constante

e yi,d ∈ C12, 14 (Q) sao funcoes dadas.

O processo de controle pode ser descrito como segue. Assume que o lıder f foi escolhido

e procuramos um equilıbrio de Nash para os custos Ji (i ∈ 1, 2). Portanto uma vez

fixado f procuramos vi ∈ L2(Oi × (0, T )) tais que satisfazem

(6.16) J1(f ; v1, v2) = minv1

J1(f ; v1, v2), J2(f ; v1, v2) = minv2

J2(f ; v1, v2)

subjeito a restricao de controlabilidade

(6.17) y(x, T ) = 0 em Ω.

Definicao 6.2. Um par (v1, v2) satisfazendo (6.16) e chamado um equilıbrio de Nash

para J1 e J2 de (6.13).

Note que, se os funcionais Ji sao convexos, entao (v1, v2) e um equilıbrio de Nash

(6.13) se e somente se

(6.18) J ′1(f ; v1, v2)(v1, 0) = 0, ∀v1 ∈ L2(O1 × (0, T )), v1 ∈ L2(O1 × (0, T ))

e

(6.19) J ′2(f ; v1, v2)(0, v2) = 0, ∀v2 ∈ L2(O2 × (0, T )), v2 ∈ L2(O2 × (0, T ))

Definicao 6.3. Um par (v1, v2) satisfazendo (6.18) e (6.19) e chamado um quase-equilıbrio

de Nash para J1 e J2 de (6.13).

99

6.2.1 Resultados Principais

Nossos resultados principais sao os seguintes:

Proposicao 6.1. Existe r0 > 0 (independente de µ1 e µ2) tal que se

||yid||C 12 ,

14 (Q)

+ ||f ||C

12 ,

14 (Q)

+ ||y0||C2+ 1

2 (Ω)≤ r0,

entao, se (v1, v2) e um quase-equilıbrio de Nash para J1 e J2 de (6.13), existe C > 0,

independente de µ1 e µ2, tais que

(6.20)

⟨D2i Ji(f ; v1, v2), (wi, wi)

⟩≥ C

∫∫Oi×(0,T )

|wi|2dx dt,

∀wi ∈ L2(Oi × (0, T )), i ∈ 1, 2,

para µ1 e µ2 suficientemente grande. Em particular, os funcionais J1 e J2 sao convexos

em (v1, v2) ( Portanto o par (v1, v2) e um equilıbrio de Nash para J1 e J2 de (6.13)).

Teorema 6.4. Assumindo que

(6.21) Oid ∩ O 6= ∅, i ∈ 1, 2,

tambem assumindo-se que uma das seguintes condicoes se cumpre:

(6.22) O1d = O2d

ou

(6.23) O1d ∩ O 6= O2d ∩ O.

a = a(·) satisfaz (6.14) e os µi > 0 sao suficientemente grandes. Entao existe ε > 0 e

uma funcao positiva ρ = ρ(t) que explodem no tempo t = T com a seguinte propriedade:

se yid ∈ C12, 14 (Q) e y0 ∈ C2+ 1

2 (Ω) satisfazem as condicoes de primeiro ordem e

(6.24) ||yid||C 12 ,

14 (Q)

+

∫∫Oid×(0,T )

ρ2|yid|2dx dt+ ||y0||2C2+ 1

2 (Ω)< ε,

Entao existem controles f ∈ L2(O× (0, T )) e um equilıbrio de Nash associado (v1, v2) tal

que a solucao correspondente para (6.13) satisfaz (6.17).

Observacao 6.5. Quando (6.21) e (6.23) sao satisfeitas simultaneamente temos as

seguintes figuras:

100

6.2.2 Caracterizacao do quase-equilıbrio de Nash

Note que a convexidade dos funcionais Ji nao e garantida. Por isso devemos redefinir

o conceito de otimalidade de Nash ( Def. 6.3). Denotemos por Hi := L2(Oi × (0, T )).

Note que (6.18) e (6.19) sao equivalentes a:

(6.25)

∫∫Oid×(0,T )

αi(y − yid)yi dx dt+ µi

∫∫Oi×(0,T )

vivi dx dt = 0,

∀vi ∈ Hi, vi ∈ Hi,

onde denotamos por yi a derivada do estado y com respeito a vi na direcao de vi. Entao,

temos que

(6.26)

yit −∆(a(y)yi) = viβi1Oi em Q,

yi(x, t) = 0 sobre Σ,

yi(x, 0) = 0 em Ω.

Introduzindo o estado adjunto para (6.26)

(6.27)

−pit − a(y)∆pi = αi(y − yid)1Oid em Q,

pi(x, t) = 0 sobre Σ,

pi(x, T ) = 0 em Ω.

Se multiplicamos (6.27)1 por yi e integrando, temos o seguinte∫∫Oid×(0,T )

αi(y − yid)yi dx dt =

∫∫Q

piviβi1Oi dx dt,

substituindo em (6.25), tem-se∫∫Oi×(0,T )

piviβi dx dt+ µi

∫∫Oi×(0,T )

vivi dx dt = 0.

Como consequencia, temos a seguinte caracterizacao de qualquer quase-equilıbrio de Nash

para Ji

(6.28) vi = − 1

µipiβi1Oi .

101

Por isto temos o seguinte sistema de otimalidade para (6.13)

(6.29)

yt −∇ · (a(y)∇y) = f1O −1

µ1

p1β211O1 −

1

µ2

p2β221O2 em Q,

− pit − a(y)∆pi = αi(y − yid)1Oid em Q,

y(x, t) = pi(x, t) = 0, sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x), pi(x, T ) = 0 em Ω.

Para z ∈ C1+ 12,1+ 1

4 (Q) = Z, consideremos o seguinte sistema linearizado para (6.29)

(6.30)

yt −∇ · (a(z)∇y) = f 1O −1

µ1

p1β211O1 −

1

µ2

p2β221O2 em Q,

− pit − a(z)∆pi = αi(y − yid)1Oid em Q,

y(x, t) = pi(x, t) = 0, sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x), pi(x, T ) = 0, em Ω,

onde 1O ∈ C∞0 (O) tal que 0 ≤ 1O ≤ 1 em RN , 1O = 1 em O b O.Agora, consideremos o estado adjunto para (6.30)

(6.31)

−ϕt −∇ · (a(z)∇ϕ) = α1θ11O1d

+ α2θ21O2d

em Q,

θit −∆(a(z)θi) = − 1

µiϕβ2

i 1Oi em Q,

ϕ(x, t) = θi(x, t) = 0, sobre Σ,

ϕ(x, T ) = ϕT (x), θi(x, 0) = 0, em Ω.


6.3.1 Desigualdade de Observabilidade

Precisaremos de alguns resultados (bem conhecidos) de Fursikov e Imanuvilov [1]; ver

tambem [54]. E convenente introduzir um conjunto aberto nao vazio O0 b O ⊂ O tal

que Oid ∩ O 6= ∅ para i = 1, 2, e os subconjuntos aberto ωi com a propriedade seguinte

ωi b Oid ∩ O, i = 1, 2, ω1 ∩ ω2 = ∅,

observe-se que isto e possıvel devido as hipoteses (6.21) e (6.22).

Lema 6.1. Existem funcoes ηi ∈ C2(Ω) (i=1,2) tais queηi > 0 em Ω, ηi = 0 sobre ∂Ω,

|∇ηi| > 0 em Ω \ ωi, η1 = η2 em Ω \ O0.

102

Demonstracao: Ver a prova em [18].

Introduzindo as seguintes funcoes peso

σi(x, t) :=e4λ‖ηi‖∞ − eλ(2||ηi||∞+ηi(x))

l(t), ξi(x, t) :=

eλ(2||ηi||∞+ηi(x))

l(t).

Onde l(t) e definido por

l(t) :=

T 2/4, para 0 ≤ t ≤ T/2,

t(T − t), para T/2 ≤ t ≤ T,

||ηj||∞ = min||η1||∞, ||η2||∞, para algum j ∈ 1, 2, σ∗(t) = maxx∈Ω

σj(x, t)

e

ρ(t) = esσ∗,

se λ e suficientemente grande, temos que

(6.32) σj ≤ σ∗ <4

3σk, ∀ k ∈ 1, 2.

O seguinte resultado, representa a desigualdade de observabilidade para a solucao do

estado adjunto (6.31), que e importante para a prova do Teorema 6.13.

Proposicao 6.2. Assumindo que (6.21), (6.22) e (6.23) sao satisfeitas. Existem s0, C >

0, que somente dependem de Ω,O, T,Oi,Oid, αi, µi, ||z||Z tais que, para qualquer ϕT ∈L2(Ω) e s > s0, a solucao (ϕ, θ1, θ2) de (6.31) satisfaz

(6.33)

∫∫Q

e−2sσ1(ξ1)−3|ϕ|2dx dt+ ‖ϕ(0)‖2 +2∑i=1

∫∫Q

ρ−2|θi|2dx dt

≤ C

(∫∫O0×(0,T )

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)|ϕ|2dx dt).

Demonstracao: Devido a regularidade de z podemos provar (6.33) similarmente como

em [19].


Proposicao 6.3. Assumindo que (6.21), (6.22), (6.23) sao satisfeitos e a(·) satisfaz

(6.14). Entao para quaisquer y0 ∈ L2(Ω) e ρyid ∈ C12

14 (Q), existe um controle f ∈

C12, 14 (Q) tal que a solucao (y, p1, p2) de (6.30) satisfaz (6.17) e

||f ||C

12 ,

14 (Q)≤ C||y0||,

onde C(Ω,O, T,Oi,Oid, αi, µi, ||z||Z)

103

Demonstracao: Para cada ε > 0, considere-se o seguinte funcional sobre L2(Ω):

Fε(ϕT ) :=

1

2

∫∫O×(0,T )

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)|ϕ|21O dx dt+ ε||ϕT ||+ (y0, ϕ(·, 0))

−2∑i=1

∫∫Oid×(0,T )

yidαiθi dx dt, ∀ ϕT ∈ L2(Ω).

Aqui, para cada ϕT ∈ L2(Ω), (ϕ, θ1, θ2) e a correspondente solucao de (6.31).

E claro que Fε : L2(Ω) 7→ R e continua e estritamente convexa. Alem disso,

Fε(ϕT ) ≥ 1

4

∫∫Q

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)|ϕ|21O dx dt+ ε||ϕT ||

− C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Oid×(0,T )

αiρ2|yid|2 dx dt

),

em consequencia, Fε e coerciva em L2(Ω). Dado ϕT e o minimizador de Fε. Entao,

ϕT = 0 ou ⟨F ′ε(ϕ

Tε ), ϕT

⟩= 0, ∀ ϕT ∈ L2(Ω).

Suponhamos, que ϕTε 6= 0. Neste caso, temos que

(6.34)

∫∫Q

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)ϕεϕ1O dx dt+ ε

(ϕTε||ϕTε ||

, ϕT)

+(y0, ϕ(·, 0)

)−

2∑i=1

∫∫Oid×(0,T )

αiyidθidx dt = 0, ∀ ϕT ∈ L2(Ω),

onde (ϕε, θ1ε , θ

2ε ) e a solucao de (6.31) correspondente a ϕT = ϕTε . Fazendo f = fε =

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)ϕε em (6.30), denotemos por (yε, p1ε , p

2ε) o estado associado e com-

parando com (6.34), obtem-se∫Ω

(yε(T ) +

ε

||ϕTε ||ϕTε

)ϕTdx = 0 ∀ ϕT ∈ L2(Ω),

o qual implica

(6.35) ||zε(·, T )|| = ε

e, em vista de (6.34) e (6.33), temos o seguinte

(6.36)

∫∫Q

(e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)|ϕε|21O dx dt ≤

C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Oid×(0,T )

ρ2αi|yid|2dx dt

),

104

onde C = C(Ω,O, T,Oi,Oid, αi, µi, ||z||Z).

A seguer, provaremos que fε sao uniformemente limitados em C12, 14 (Q). Dado δ um

numero positivo e δk (k ∈ N) e uma sequencia no decrescente tal que 0 < δk < δ <s

2,

vamos introduzir as seguintes notacoes

ξ0 =1

l(t), fkε = e−(s+δk)σ∗ξ4

0ϕε, θi,kε = e−(s+δk)σ∗ξ4

0θiε.

Entao e facil verificar que fkε satisfaz

(6.37)

−fkε,t −∇ · (a(z)∇fkε ) = α1θk,1ε 1O1d

+ α2θk,2ε 1O2d

− gkε em Q,

θk,iεt −∆(a(z)θk,iε ) = − 1µifkε β

2i 1Oi + (e−(s+δk)σ∗ξ4

0)tθiε em Q,

fkε (x, t) = θk,iε (x, t) = 0 sobre Σ,

fkε (x, T ) = 0, θk,i(x, 0) = θk,i(x, T ) = 0 em Ω,

em (6.37)1 denotaremos por gkε = −(e−(s+δk)σ∗ξ4

0

)tϕε, quando k = 1 de (6.33) segue-se

que

(6.38)

||g1ε ||2L2(Q) + ||(e−(s+δ1)σ∗ξ4

0)tθiε||2L2(Q) ≤ C

(||y0||2+

2∑i=1

∫∫Oid×(0,T )

αiρ2|yid|2dx dt

),

de (6.38), (6.37) e do Lema 1.6, tem-se

||f 1ε ||W 2,1

r (Q) + ||θ1,iε ||W 2,1

r (Q) ≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Q

αiρ2|yid|2dx dt

) 12

,

onde C(Ω, T, a0, a1, ||z||Z). Pelo Lema 1.7, W 2,12 (Q) → Lr1(Q) para

r1 =

2(N + 2)/(N − 2) N > 2,

s > 1 N ≤ 2.

Note que g2ε depende so de f 1

ε e (e−(s+δ2)σ∗ξ40)tθ

iε depende so de θ1,i

ε , isto implica que

(6.39) ||g2ε ||Lr1 (Q) + ||(e−(s+δ2)σ∗ξ4

0)tθiε||Lr1 (Q) ≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Q

αiρ2|yid|2dx dt

)1/2

.

Outra vez, pelo Lema 1.6, temos que f 2ε ∈ W 2,1

r1(Q) e

||f 2ε ||W 2,1

r1(Q) ≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Q

αiρ2|yid|2dx dt

)1/2

.

105

Do Lema 1.7, temos que W 2,1r2

(Q) → Lr2(Q), onde

r2 =

r1(N + 2)/(N + 2− 2r1) N + 2− 2r1 > 0,

s > 1 N + 2− 2r1 ≤ 0.

Repetindo o processo de acima, obtem-se que 1rk− 1

rk+1= 2

N+2para todo k ∈ N, pelo que

deve existir k∗ tal que k∗ + 2 − 2rk∗ < 0. Pelo Lema 1.7, W 2,1rk∗

(Q) → Lrk∗+1(Q), para

qualquer rk∗+1 > 0, tomemos rk∗+1 = 2(N+2)3

, entao W 2,1rk∗+1

(Q) → C12, 14 (Q), desde que

(6.40) ||fk∗+1ε || ≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

αi

∫∫Q

ρ2|yid|2dx dt

)1/2

Note que

fε = (e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)ϕε = (e−2sσ1ξ41 + e−2sσ2ξ4

2)e(s+δk∗+1)σ∗ξ−40 fk

∗+1ε ,

e por (6.32), temos que e−2sσjξ4j e

(s+δk∗+1)σ∗ξ−40 ≤ C, δk∗+1 ≤

s

2. De (6.40) e por um

simple calculo, concluımos que

(6.41) ||fε||C 12 ,

14 (Q)≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Q

αiρ2|yid|2dx dt

)1/2

Agora, fazendo ε → 0 em (6.35) e (6.41), temos que existe um f ∈ C12, 14 (Q) tal que a

correspondente solucao y de (6.30) satisfaz

(6.42) y(x, T ) = 0 em Ω.

Alem disso,

(6.43) ||y||C2+ 1

2 ,1+ 14 (Q)

+ ||f ||C

12 ,

14 (Q)≤ C

(||y0||2 +

2∑i=1

∫∫Q

αiρ2|yid|2dx dt

)1/2

,

onde C = C(Ω, T, a0, a1, ||z||Z). Isto conclui a prova da Proposicao 6.3.

6.4 Prova dos Resultados Principais

6.4.1 Prova da Proposicao 6.1

A continuacao provaremos que se µ1 e µ2 sao suficientemente grandes, entao os fun-

cionais (6.15) sao convexos para dados pequenos.

106

O objetivo desta subsecao e provar a Proposicao 6.1. Dado f ∈ C 12, 14 (Q) com supp f ⊆

O × [0, T ] e (v1, v2) um quase-equilıbrio de Nash, notemos que, para qualquer s ∈ R e

w1, w2 ∈ L2(O1 × (0, T )), temos

(6.44)

〈D1J1(f ; v1 + sw1, v2), w2〉 =

∫∫O1d×(0,T )

α1(ys − y1d)zsdx dt

+µ1

∫∫O1×(0,T )

(v1 + sw1)w2dx dt,

onde

(6.45)

yst −∇ · (a(ys)∇ys) = f1O + (v1 + sw1)β11O1 + v2β21O2 em Q,

ys = 0 sobre Σ,

ys(0) = y0 em Ω,

zs e a derivada do estado ys com respeito a v1 na direcao de w2, isto e a solucao de

(6.46)

zst −∆(a(ys)zs) = w2β11O1 em Q,

zs = 0 sobre Σ,

zs(0) = 0 em Ω,

com y = ys|s=0 e z = zs|s=0, entao

〈D1J1(f ; v1, v2), w2〉 =

∫∫O1d×(0,T )

α1(y − y1d)z dx dt+ µ1

∫∫O1×(0,T )

v1w2dx dt(6.47)

Da (6.44) e (6.47) temos que

〈D1J1(f ; v1 + sw1, v2)−D1J1(f ; v1, v2), w2〉 =

∫∫O1d×(0,T )

α1(ys − y1d)psdx dt

−∫∫O1d×(0,T )

α1(y − y1d)p dx dt+ sµ1

∫∫O1×(0,T )

w1w2dx dt.(6.48)

Introduzindo o estado adjunto de (6.46)

(6.49)

−φst − a(ys)∆φs = α1(ys − y1d)1O1d

em Q,

φs(x, t) = 0 sobre Σ,

φs(x, T ) = 0 em Ω.

Multiplicando em (6.46)1 por φs, integrando em Q e devido a equacao (6.49), tem-se∫∫Q

(zst −∆(a(ys)zs))φs dx dt =

∫∫Q

β1w21O1φ

s dx dt∫∫Q

(−φst − a(ys)∆φ)zs dx dt =

∫∫Q

β1w2φs1O1 dx dt∫∫

Q

α1(ys − y1d)zs dx dt =

∫∫Q

β1w2φs1O1 dx dt.(6.50)

107

De (6.50) e (6.48) , temos que

(6.51)

〈D1J1(f ; v1 + sw1, v2)−D1J1(f ; v1, v2), w2〉 =

∫∫O1×(0,T )

β1(φs − φ)w2dx dt

+µ1

∫∫O1×(0,T )

w1w2dx dt.

Note que

−(φs − φ)t − a(ys)(∆φs −∆φ)− (a(ys)− a(y))∆φ = α1(ys − y)1O1d,

(ys − y)t −∇ · (a(ys)∇(ys − y)) +∇ · ((a(ys)− a(y))∇y) = sw1β11O1 .

Consequentemente, tomando-se o limite

η = lims→0

1

s(φs − φ) e h = lim

s→0

1

s(ys − y),

existem e satisfazem

(6.52)

−ηt − a(y)∆η − a′(y)h∆φ = α1h1O1d

em Q,

ht −∆(a(y)h) = w1β11O1 em Q,

η(x, t) = 0, h(x, t) = 0 sobre Σ,

η(x, T ) = 0, h(x, 0) = 0 em Ω.

Portanto, de (6.51) e (6.52), deduzimos que

〈D21J1(f ; v1, v2), (w1, w2)〉 =

∫∫O1×(0,T )

β1ηw2 dx dt+ µ1

∫∫O1×(0,T )

w1w2 dx dt.

Em particular, fazendo w2 = w1, temos o seguinte

〈D21J1(f ; v1, v2), (w1, w1)〉 =

∫∫O1×(0,T )

β1ηw1 dx dt+ µ1

∫∫O1×(0,T )

|w1|2 dx dt.(6.53)

Vamos provar agora que existe C dependendo de Ω, O, T , Oi, Oid, αi, tal que:∣∣∣∣∫∫O1×(0,T )

β1ηw1dx dt

∣∣∣∣ ≤ C(1 + ‖y0‖+ ‖f‖L2(O×(0,T )))‖w1‖2L2(O1×(0,T ))(6.54)

Das estimativas usuais de energia, tem-se

sup[0,T ]

‖h(t)‖2 +

∫∫Q

|∇h|2dx dt ≤ C

∫∫O1×(0,T )

|w1|2dx dt(6.55)

Tambem, obtem-se∫∫O1×(0,T )

β1ηw1dx dt =

∫∫Q

(ht −∆(a(y)h))ηdx dt

=

∫∫Q

h(−ηt − a(y)∆η)dx dt

=

∫∫Q

h(a′(y)h∆φ+ α1h1O1d)dx dt,(6.56)

108

como (v1, v2) e um quase-equilıbrio de Nash, viβi1Oi ∈ C12, 14 (Q) e yid ∈ C

12, 14 (Q), entao

pi (φ = p1), y ∈ C2+ 12,1+ 1

4 (Q), e usando estimativas do tipo energia, temos o seguinte

‖pi‖2

C2+ 12 ,1+ 1

4 (Q)≤ C(‖y‖2

C12 ,

14 (Q)

+ ‖y1d‖2

C12 ,

14 (Q)

)(6.57)

‖pi‖2

C2+ 12 ,1+ 1

4 (Q)≤ C(||f ||2

C12 ,

14 (Q)

+ ‖y0‖2

C2+ 12 (Ω)

+2∑i=1

‖yid‖2

C12 ,

14 (Q)

).(6.58)

De (6.55) - (6.58), temos que∣∣∣∣∫∫O1×(0,T )

β1ηw1dx dt

∣∣∣∣ ≤ ∫∫Q

(|a′(y)||h|2|∆p1|+ |h|2)dx dt

≤ C

∫∫Q

(|∆φ|+ 1)|h|2dx dt

≤ C(||p1||C2+1,1+ 1

2 (Q)+ 1)||h||2L2(Q)

≤ C(||f ||C

12 ,

14 (Q)

+ ||y0||+ 1)||h||2L2(Q)

≤ C(‖f‖C

12 ,

14 (Q)

+ ‖y0‖+ 1)‖w1‖2L2(O1×(0,T )).

Isto prova (6.54). Devido a (6.53) e (6.54), conseguimos o seguinte

〈D21J1(f ; v1, v2), (w1, w1)〉 ≥

(µ1 − C(‖f‖C

12 ,

14 (Q)

+ ‖y0‖C2+ 1

2 (Ω)+ 1))

∫∫O1×(0,T )

|w1|2dx dt.

Note que a constante previa C pode ser escolhida independente de µ1 e µ2.

De maneira similar, pode-se provar que sob as hipoteses anteriores para y0 e yid, temos

o seguinte

〈D22J2(f ; v1, v2), (w2, w2)〉 ≥

(µ2 − C(‖f‖C

12 ,

14 (Q)

+ ‖y0‖C2+ 1

2 (Ω)+ 1))

∫∫O2×(0,T )

|w2|2dx dt,

para uma constante similar C independente de µ1 e µ2.

E claro que para µi suficientemente grande os funcionais Ji sao convexos. Portanto,

(v1, v2) e um equilıbrio de Nash para (6.2).

6.4.2 Prova do Teorema 6.4

Esta subsecao e dedicada a provar a controlabilidade nula local do Teorema 6.4.

109

Introduzindo o espaco de Banach W , com

W := (f, z, p1, p2) : f ∈ C 12, 14 (Q), z, p1, p2 ∈ C1+ 1

2,1+ 1

4 (Q).

Definamos a funcao Λ : Z 7→ 2Z , com

Λ(w) = y ∈ Z : (f, y, p1, p2) e o controle-estado emW,

(6.42) e (6.43) e satisfeito,

e fixando R0 > 0. Entao, se ‖y0‖C2+ 1

2 (Ω)e suficientemente pequeno, a funcao multi-

valuada Λ satisfaz as hipoteses do Teorema do Ponto Fixo de Kakutani.

• Λ esta bem definida; tambem para cada w ∈ Z, Λ(w) e nao vazio e convexo (e

consequencia da Proposicao 6.3).

• Existe ε > 0 (dependendo somente de Ω,O, T, a0, a1 eR0) tal que, se ||y0||C2+ 1

2 (Ω)≤

ε, tem-se Λ(w) ⊂ BZ [0;R0] para todo w ∈ BZ [0;R0]. Isto e consequencia da

Proposicao 6.3.

• Existe um conjunto compacto K ⊂ BZ [0;R0] tal que, se ||y0||C2+ 1

2 (Ω)≤ ε e

w ∈ BZ [0;R0], implica que Λ(w) ⊂ K. Isto e uma consequencia do fato de que

C2+ 12,1+ 1

4 (Q) → Z compacta.

• Λ tem o grafico fechado em Z. Isto nao e difıcil de verificar. Obviamente, dado wn

com wn → w forte em Z, e assumindo que zn ∈ Λ(wn) e zn → z forte em Z. Entao,

existem controles fn tais que (fn, yn, p1n, p

2n) pertencem a W e satisfazem

(6.59)

yn,t −∇ · (a(zn)∇yn) = fn1O −1

µ1

p1nβ

211O1 −

1

µ2

p2nβ

221O2 em Q,

− pin,t − a(zn)∆pin = αi(yn − yid)1Oid em Q,

yn(x, t) = pin(x, t) = 0 sobre Σ,

yn(x, 0) = z0(x), pin(x, T ) = 0 em Ω.

Consequentemente, fazendo-se limite em (6.59) tem-se

yt −∇ · (a(z)∇y) = f 1O −1

µ1

p1β211O1 −

1

µ2

p2β221O2 em Q,

− pit − a(z)∆φi = αi(y − yid)1Oid em Q,

y(x, t) = pi(x, t) = 0 sobre Σ,

y(x, 0) = z0(x), φi(x, T ) = 0 em Ω.

Desde que (6.42) e (6.43) sao satisfeitas, temos que y ∈ Λ(z).

110

Assim, Λ possui pelo menos um ponto fixo y. Obviamente, y e o estado associado ao

controle f tal que (6.42) e (6.43) sao satisfeitos. Portanto a prova do Teorema 6.4 esta

concluıda.

111

Questoes Abertas

• A controlabilidade por trajetorias do sistemayt − a(

∫Ω

y(x′, t) dx′)∆y + b(x, t)y = v1ω em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω,

e um problema aberto.

Se tentamos usar as mesmas tecnicas do capıtulo 2 para este problema, a dificuldade

e encontrada na necessidade de ter uma desigualdade de Observabilidade. Porem, e

possıvel conseguir resultados similares a Proposicao 2.1 quando b = b(x) ou b = b(t).

• A controlabilidade local por trajetorias do sistema (3.1) e um problema aberto. A

principal dificuldade e encontrar uma desigualdade de Carleman para o seguinte

sistema:−ϕt − (ν0 + ν1||∇y||2)∆ϕ+ 2ν1

∫Ω

∆yϕdx′ + (Dϕ)y +∇π = g em Q,

∇ · ϕ = 0 em Q,

ϕ = 0 sobre Σ,

ϕ(T ) = ϕT em Ω,

os argumentos tradicionalmente usados nao funcionam.

• Sera possıvel a controlabilidade nula de (4.1) em dimensao tres com um controle

escalar ? No caso do sistema de Navier-Stokes foi resolvido por J. M. Coron e Pierre

Lissy em [36].

• A controlabilidade seguindo a estrategia de Stackelberg-Nash para o sistema N -

dimensionalyt −∇ · (a(∇y)∇y) = f1O + v1β11O1 + v2β21O2 em Q,


y(x, 0) = y0(x) em Ω.

Para qualquer N ≥ 1 (inteiro) e um problema aberto.

112

A tecnica desenvolvida no capıtulo 6 nao e suficiente. De fato, para estabelecer

a estimativa de Carleman de equacoes parabolicas lineares, exigimos que os coefi-

cientes das partes principais pertencam ao espaco de Sobolev W 1,∞(Q). Portanto,

para resolver o problema quase linear, temos que procurar por um ponto fixo em

um espaco contendo as funcoes y tal que ∇yt pertenca ao espaco L∞(Q)N . Pela

abordagem desenvolvida no capıtulo 6, precisamos escolher o espaco de controles

para ser C12, 14 (Q). Entao, pelas estimativas de Schauder para equacoes parabolicas

lineares de segunda ordem, a solucao y da equacao linearizada para (6.13) satisfaz

∇yt ∈ (L2(Q))N . Isso nao parece suficiente para estabelecer a estimativa de Carle-

man desejada para equacoes parabolicas lineares.

• A controlabilidade seguindo a estrategia de Stackelberg-Nash para os seguintes

sistemas

(p1)

yt −∇ · (a(y)∇y) = v1β11O1 + v2β21O2 em Q,

y = f1S sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x) em Ω,

e

(p2)

yt −∇ · (a(y)∇y) = f1O em Q,

y = v1β11S1 + v2β21S2 sobre Σ,

y(x, 0) = y0(x) em Ω.

Para qualquer N ≥ 1 (inteiro) sao tambem problemas abertos.

113

ConclusaoNesta pesquisa, conclui-se que problemas associados as equacoes do tipo Parabolico,

sao extremadamente desafiadores. O desenvolvimento da Tese proporcionou uma

completa compreensao da “aplicabilidade” da Teoria de Controle e mostrou que

algumas questoes abertas, podem ser respondidas!

Como resultado de esta Tese tem-se conseguido publicar em revistas cientificas os

seguintes trabalhos titulados:

– On the Theoretical and Numerical Control of a One-Dimensional Nonlinear

Parabolic Partial Differential Equations (ver [7])

– Local Null Controllability of the N-Dimensional Ladyzhenskaya-Smagorinsky

with N-1 Scalar Controls (ver [5])

– Exact Controllability to the Trajectories for Parabolic PDEs with Nonlocal

Nonlinearities (ver [10])

– On the approximate null controllability of the “true” Boussinesq system in

dimension 3 (Em preparacao)

Alem disso, espera-se que os resultados de controlabilidade obtidos no capıtulo

4 e capıtulo 6 junto com seu desenvolvimento seja sometido para sua respectiva

publicacao em revistas cientıficas.

114

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