Apuntes Garay - Relatividad General - Universidad Complutense de Madrid (1)

Notas deRelatividad general

Luis J. GarayMadrid, 5 de octubre de 2009

Universidad Complutense de MadridFACULTAD DE CIENCIAS FSICASDEPARTAMENTO DE FSICA TERICA IIAvda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espaa

Luis J. Garay [email protected].: + 34 913945170, Fax: + 34 913944557http://jacobi.fis.ucm.es/lgaray

La persistencia de la memoriaSalvador Dal (1931)The Museum of Modern Art, New York

PrefacioEstas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaboran-do con el nico objeto de que me sean tiles en la enseanza de la asignatura deRelatividad general. Aunque probablemente estas notas os sean tiles tambin avosotros, no debis olvidar que, en ningn caso, pueden sustituir a la bibliografade la asignatura.En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias:Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vezms, mis apuntes personales.No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas nidel uso que hagis de las mismas. La bibliografa pertinente es, sin duda, elmedio ms adecuado para obtener los conocimientos necesarios.Son una notas incompletas cuyo contenido no va ms all de los temastratados en la asignatura de Relatividad general.

Agradecera que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar.Sin duda alguna, sern muchas.De hecho, quiero dar las gracias a todos los alumnos que han seguido estecurso por haber contribuido notablemente a disminuir el nmero de errorescontenidos en estas notas.Recibid un saludo de mi parte,

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Bibliografa[1] S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity,http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.[2] R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, 1984).[3] S.W. Hawking y G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time (Cam-bridge University Press, 1973).[4] C.W. Misner, K.S. Thorne y J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman and Co.,1973.[5] H. Stephani, General relativity, An introduction to the theory of the gravi-tational field, Cambridge University Press, 1990.[6] I. Ciufolini y J.A. Wheeler, Gravitation and inertia, Princeton Univ. Press,1995.[7] J. Stewart, Advanced general relativity, Cambridge University Press, 1993.[8] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt, M. MacCallum y E. Schmutzer, Exact so-lutions of Einsteins field equations, Cambridge University Press, 1981.[9] A.P. Lightman, W.H. Press, R.H. Price y S.A. Teukolsky, Problem book inrelativity and gravitation, Princeton University Press, 1975.[10] J. Foster y J.D. Nightingale, A short course in general relativity, 2a edicin,Springer, 1995.[11] B.F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press,1985.[12] E. Poisson, An advanced course in general relativity,http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf.[13] P.K. Townsend, Black holes, http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9707012.[14] L.J. Garay, Notas de Fsica de agujeros negros, http://jacobi.fis.ucm.es/lgaray.Relatividad general (2009/10/5) luis j. garay 05

ndice1. Geometra diferencial 111.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.1. Estructura diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2.2. Uno-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2.3. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos . . . . . . . . 181.1.3.1. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 181.1.3.2. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.3.3. Inmersiones y embebimientos . . . . . . . . . . . 191.1.4. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.2. Conexiones. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.2.1. Derivacin covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.2.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.2.2.1. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.2.2.2. Coordenadas normales . . . . . . . . . . . . . . . 1151.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . 1161.2.4. Desviacin geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianas . . . . . . . . . . 1171.3.1. Mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.3.2. Conexin de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.3.3. Geodsicas como principio variacional . . . . . . . . . . . 1211.3.4. Hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.3.4.1. Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Relatividad general (2009/10/5) luis j. garay 07

NDICE1.3.4.2. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . 1231.3.4.3. Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . 1241.3.5. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.3.5.1. Isometras propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.3.5.2. Variedades estacionarias y estticas . . . . . . . . 1251.3.5.3. Isometras conformes . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.4. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.4.1. Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.4.2. Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.4.3. Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.4.3.1. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.4.3.2. Elementos de volumen . . . . . . . . . . . . . . . 1291.4.3.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301.5. Interludio: principios de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2. Mecnica newtoniana y relatividad especial 212.1. Mecnica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1. Espaciotiempo galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Espaciotiempo newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3. El campo gravitatorio como fuerza externa . . . . . . . . 282.1.4. El principio de covariancia especial de Galileo . . . . . . 292.2. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153. Teora general de la relatividad 313.1. La variedad espaciotemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Los campos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2. Sistemas lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3. Fluidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4. Condiciones de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3103.2.5. Aproximacin newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31208 luis j. garay Relatividad general (2009/10/5)

ndice3.2.5.1. Gravedad newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . 3123.2.5.2. Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.3. Dinmica del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.3.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.3.2. Ecuaciones dinmicas del campo gravitatorio . . . . . . . 3153.3.3. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3173.3.4. Ligaduras y ecuaciones dinmicas . . . . . . . . . . . . . . 3183.3.4.1. Campo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . 3183.3.4.2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.4. Estrellas relativistas (esfricas y estticas) . . . . . . . . . . . . . . 3203.4.1. Ecuaciones dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3203.4.2. Solucin exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.4.3. Solucin interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.4.4. Lmite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.4.5. Colapso gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4. Estructura global del espaciotiempo 414.1. Propiedades globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.1. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2. Planitud asinttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.3. Hiperbolicidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.4. Horizontes de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.5. Singularidades desnudas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. El espaciotiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1. Singularidad desnuda para M < 0 . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2. Extensin analtica mxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.3. Diagrama de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.3. El espaciotiempo de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4124.3.1. Solucin de Kerr con singularidad desnuda . . . . . . . . 4134.3.2. Solucin de Kerr no degenerada . . . . . . . . . . . . . . . 4154.3.2.1. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . 4164.3.2.2. Inestabilidad de los horizontes de Cauchy . . . . 418Relatividad general (2009/10/5) luis j. garay 09

NDICE4.3.3. Solucin extrema de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.3.4. Ergosfera. Proceso de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.4. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4244.4.1. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4244.4.1.1. Congruencias de geodsicas temporales . . . . 4244.4.1.2. Congruencias de geodsicas nulas . . . . . . . . 4284.4.1.3. Superficies atrapadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4294.4.2. Teoremas de singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4294.4.3. Caracterizacin de las singularidades . . . . . . . . . . . . 4324.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

5. Formulacin hamiltoniana 515.1. Descomposicin 3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.1. Campos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3. Hamiltoniano total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.4. Dinmica hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3. lgebra de ligaduras y difeomorfismos espaciotemporales . . . 595.4. Trminos de superficie. Masa y momento angular ADM . . . . 5125.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5156. Radiacin gravitatoria 616.1. Propagacin y generacin (por Javier Olmedo) . . . . . . . . . . 636.1.1. Linealizacin de las ecuaciones de Einstein en vaco . . . 636.1.2. Ondas planas y polarizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.3. Radiacin cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1.4. Energa gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2. Deteccin (por Eduardo Martn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6106.2.1. Precisin de los detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6116.2.2. Antena de Weber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6126.2.2.1. Modelo de detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6136.2.2.2. Caractersticas espectrales . . . . . . . . . . . . . 6156.2.2.3. Seccin eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617010 luis j. garay Relatividad general (2009/10/5)

ndice6.2.2.4. Lmites de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . 6186.2.3. Detectores interferomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6186.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

7. Relatividad computacional (por David Yllanes) 717.1. Relatividad numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.2. Formalismo ADMBSSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.3. Formulaciones armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1.4. Colisin de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2. Relatividad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.1. Los escalares del tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . 711A. Topologa A1


Tema 1Geometra diferencial

1.1. Variedades diferenciables1.1.1. Estructura diferenciable1.1.2. Tensores1.1.2.1. Vectores1.1.2.2. Uno-formas1.1.2.3. Campos tensoriales1.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos1.1.3.1. Aplicaciones diferenciables1.1.3.2. Difeomorfismos1.1.3.3. Inmersiones y embebimientos1.1.4. Derivada de Lie1.2. Conexiones. Curvatura1.2.1. Derivacin covariante1.2.2. Transporte paralelo1.2.2.1. Geodsicas1.2.2.2. Coordenadas normales1.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci1.2.4. Desviacin geodsica1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianas1.3.1. Mtrica1.3.2. Conexin de Levi-Civita1.3.3. Geodsicas como principio variacional1.3.4. Hipersuperficies1.3.4.1. Embebimientos1.3.4.2. Primera forma fundamental1.3.4.3. Segunda forma fundamental1.3.5. Isometras1.3.5.1. Isometras propias1.3.5.2. Variedades estacionarias y estticas1.3.5.3. Isometras conformesRelatividad general (2008/10/22) luis j. garay 11

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.4. Formas diferenciales1.4.1. Formas1.4.2. Derivacin1.4.3. Integracin1.4.3.1. Teorema de Stokes1.4.3.2. Elementos de volumen1.4.3.3. Teorema de Gauss1.5. Interludio: principios de covariancia1.6. Ejercicios

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1.1. Variedades diferenciables1.1. Variedades diferenciables1.1.1. Estructura diferenciable

El concepto de variedad diferenciable es la generalizacin del de superficieen R3. En otras palabras, una variedad diferenciable es un conjunto que, local-mente, es como Rn, es decir, que se puede cubrir mediante cartas coordenadas.Formalicemos esta definicin.Una variedad topolgica es un espacio topolgico M Hausdorff tal que todopunto posee un entorno abierto homeomorfo a un abierto de Rn. Una carta (U , )de M es un subconjunto U de M y un homeomorfismo : U (U ) Rn.Un atlas C de M es un conjunto de cartas {(U, )} tales quecubren todo M , es decir, tales que M = U;satisfacen la condicin de compatibilidad de cartas (ver figura 1.1): si doscartas solapan, U U 6= , entonces la funcin de transicin entre ambas 1 : (U U) (U U) es una funcin C entre abiertos deRn.Debe notarse que, si bien las funciones de transicin deben ser C, lascartas no necesitan satisfacer esta condicin y, de hecho, basta con quesean continuas.

Una variedad diferenciable C es una variedad topolgica M que posee unatlas C. Todas las variedades diferenciables que nosotros consideraremos sernparacompactas.Llamaremos coordenadas x del punto p M , asociadas a una carta (U , )que lo contenga, a las coordenadas en Rn de (p).Dada una funcin f : M R, llamaremos de la misma manera a suanloga en trminos de coordenadas locales, es decir, dada f (p), definiremosf (x) f 1(x) = f (p). Diremos que f es una funcin suave o C si y solo silo es f 1 y llamaremos FM al conjunto de todas las funciones suaves definidassobre la variedad M .Una variedad (diferenciable) M es orientable si y solo si admite un atlas talque para cada par de abiertos U y U no disjuntos, el jacobiano det(x/x) espositivo.Una variedad diferenciable con fronteraM se define de forma anloga sus-tituyendo Rn por 12Rn = {x Rn | x1 0} en la definicin anterior. La fronteraM de la variedad diferenciable es el conjunto de puntos de M cuya imagenmediante es la frontera de 12Rn. Se puede demostrar que M es una variedaddiferenciable (n 1)-dimensional sin frontera (EJERCICIO).Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 13

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL

Figura 1.1: Ilustracin de la condicin de compatibilidad de dos cartas.1.1.2. Tensores1.1.2.1. Vectores

Comenzaremos definiendo tensores en un punto de la variedad. Un campotensorial es un tensor definido en cada punto de la variedad.Dada una parametrizacin (t) de clase C de una curva enM , definimos elvector v(t0) tangente a la misma en el punto (t0) como el operador que asignaa cada funcin f de clase C el nmero v(f )|(t0) t(f )|t0 . A la vista de estaactuacin, tambin se utiliza el smbolo t para designar al vector tangente a unaparametrizacin.En trminos de las coordenadas locales (t) del punto (t),v(f )|(t0) = t|t0f |(t0).

[Ms estrictamente, si es una carta tal que ()(t) = (t), entonces se verificaque v(f )|(t0) = t|t0(f 1)|(t0)]. Por tanto, cualquier vector en p = (t0)se puede escribir como combinacin lineal de los vectores e|p cuya actuacinsobre funciones es e(f )|p = f |p (tambin se utiliza el smbolo para denotaral vector e). Por otro lado, cualquier combinacin lineal ve|p es un vectortangente a una parametrizacin (t) cuyas coordenadas son (t) = x(p) + tv.El conjunto TpM de todos los vectores v|p en p es un espacio vectorial cuyadimensin coincide con la de M llamado espacio vectorial tangente de M enp y que abreviaremos por Tp. El conjunto de vectores {e|p, = 1 n} es una14 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.1. Variedades diferenciablesbase coordenada de Tp, es decir, v|p Tp si y solo si v|p = ve|p. A partir deahora, omitiremos la evaluacin |p en el punto p en la notacin cuando no existariesgo de confusin.Dos bases coordenadas {e} y {e} asociadas a las coordenadas x y x,respectivamente, estn relacionadas mediante la expresin

e = xxe, = xx,como se puede deducir de su definicin (EJERCICIO).Un campo vectorial sobre M es una asignacin de un vector del espaciotangente Tp a cada punto p de la variedad tal que sus componentes en cualquierbase coordenada sean C.Adems de las bases coordenadas, es posible utilizar otras bases ms genera-les cuyos elementos no admiten la descripcin en trminos de coordenadas. Enuna de estas bases {ea, a = 1 n}, el vector v adquiere la expresin v = vaea,donde va son las componentes de v en esa base. Es importante notar que ladistincin entre bases coordenadas y bases no coordenadas tiene sentido solosobre regiones extensas abiertos de la variedad, como veremos en 1.1.4.A menudo, utilizaremos la notacin de ndices abstractos. En esta notacin,denotaremos por va tanto a las componentes del vector v en una base arbitraria{ea} como al vector en s. Utilizaremos ndices griegos para las bases coordena-das1.1.1.2.2. Uno-formas

Definimos una uno-forma en el punto p como una aplicacin lineal realsobre el espacio tangente Tp: : Tp R, : v ,v.

Dada una base cualquiera {ea} de vectores en p (ntese que esta base notiene que ser necesariamente una base coordenada de la forma {e}), existeun nico conjunto de n uno-formas {ea} tal que ea,eb = ab. Este conjuntoes linealmente independiente y forma, por tanto, una base (llamada base dualde {ea}) del espacio vectorial Tp de uno-formas en p llamado espacio dual o,tambin, espacio vectorial cotangente de M en p.Dados un vector v = vaea y una uno-forma = aea arbitrarios, la actuacinde sobre v es ,v = ava. Vemos as que el espacio vectorial tangente1Ntese que esta notacin es ligeramente diferente a la utilizada en la referencia [2]: utiliza-remos los ndices griegos solo para bases coordenadas. En dicha referencia, se utilizan ndicesgriegos para bases especficas, sean coordenadas o no.


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALacta tambin linealmente sobre Tp y que es, de hecho, su espacio dual, es decir,Tp = Tp.Cada funcin f sobreM define una uno-forma df |p en p, llamada diferencialde la funcin, que acta de la siguiente forma:

df,v = v(f ).La diferencial es la generalizacin del gradiente en Rn: la actuacin de df sobre unvector v nos da la derivada de f en la direccin de v. Dada la base {e} asociadaa las coordenadas x y su base dual {e}, vemos que df,e = e(f ) = f y, portanto, df = fe. Por esta razn, a menudo se utiliza dx para representar loselementos e de la base coordenada de uno-formas, dual a {e}, de forma quedf = fdx.El conjunto V = {p | f (p) = 0, df |p 6= 0} M es una variedad diferenciablede dimensin n 1 y su espacio lineal tangente Tp(V ) es el subespacio de Tp(M )aniquilado por df |p, es decir, los vectores v|p tales que df |p,v|p = 0 son tangentesa parametrizaciones de curvas de V . Esta variedad (n 1)-dimensional es unahipersuperficie.Los cambios de bases coordenadas estn dados por la expresin (EJERCICIO)

e = xx e, dx = xx dx,de forma que e,e = e,e = .1.1.2.3. Campos tensoriales

Un tensor T de tipo (r, s) es una aplicacin lineal que acta sobre el productocartesiano Tp r TpTp s Tp. El conjunto {ea1 eareb1 ebs} esuna base del espacio vectorial Trs (p) = Tp r TpTp s Tp, cuya dimensines nr+s, obtenido mediante producto tensorial. Los tensores de tipo (r, 0) recibenel nombre de tensores contravariantes y los de tipo (0, s) tensores covariantes.Las operaciones tensoriales son aquellas que preservan el carcter tensorial,aunque algunas de ellas pueden cambiar el tipo de tensor. Por tanto, el resultadode estas operaciones es independiente de la base que se utilice para realizarlas.Operaciones que preservan el tipo tensorial: Suma de dos tensores del mismo tipo y multiplicacin de un tensor porun escalar. Estas dos operaciones dotan al espacio Trs (p) de tensoresen p de tipo (r, s) con la estructura de espacio vectorial real.


1.1. Variedades diferenciables Dado un tensor T de componentes Ta1arb1bs en una base arbitraria,se define su parte simtrica en los ndices covariantes como el tensorde componentes

Ta1ar(b1bs) = 1s!pi Ta1arpi(b1)pi(bs),donde la suma se extiende a todas las permutaciones pi(b1) pi(bs) delos ndices b1 bs. Se define su parte antisimtrica en los ndicescovariantes como el tensorTa1ar[b1bs] = 1s!pi (1)piTa1arpi(b1)pi(bs),donde (1)pi toma valores positivos o negativos para permutacionespares o impares respectivamente. De forma anloga, se definen las(anti)simetrizaciones de los ndices contravariantes o de subconjuntosde ndices del mismo tipo.

Operaciones que no preservan el tipo tensorial: Producto tensorial de dos tensores. Dados dos tensores R Trs (p) yT Tpq (p) cuyas componentes son Ra1arb1bs y Ta1arb1bs respectiva-mente, su producto tensorial RT Tr+ps+q (p) tiene como componentes

(R T)a1ar+pb1bs+q = Ra1arb1bsTar+1ar+p bs+1bs+q .Puesto que la operacin producto tensorial es bilineal, dota a losespacios Trs (p) con la estructura de lgebra. Dado un tensor T de componentes Ta1arb1bs , definimos su contrac-cin con respecto a los primeros ndices como el tensor de componen-tes Ta1ara1bs y anlogamente para cualquier otro par de ndices, unocovariante y otro contravariante. Si fuesen los dos ndices fuesen delmismo tipo, el resultado dependera de la base utilizada (EJERCICIO).

Un campo tensorial T de clase C y de tipo (r, s) es una asignacin C deun elemento de Trs (p) a cada punto p M de manera que sus componentes encualquier base coordenada sean C.Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 17

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos1.1.3.1. Aplicaciones diferenciables

Diremos que : M N es una aplicacin de clase C si y solo si dadocualquier par de atlas {(U, )} y {(V, )} de M y N , respectivamente, lasfunciones 1 : Rn Rn son de clase C o, lo que es lo mismo, si ysolo si, dados dos sistemas de coordenadas locales, las coordenadas de la imagenq = (p) N de un punto p M son funciones C de las coordenadas de p.La aplicacin induce una aplicacin lineal , llamada pull-back, entre losespacios de funciones FN y FM mediante la siguiente regla2: dada una fun-cin f : N R, su pull-back f :M R es tal que f (p) = f (p) = f (q).Notemos que, en general, no es posible definir la aplicacin push-forward anloga entre los espacios de funciones FM y FN ya que necesitaramoshacer uso de 1 que, en general, no existe. En efecto, dada f : M R, laaplicacin f : N R definida mediante la regla f (q) = f 1(q) no esuna funcin.La aplicacin induce una aplicacin push-forward entre los espaciostangentes TpM y T(p)N mediante la siguiente regla: si v TpM , entoncesv es un vector de T(p)N tal que su actuacin sobre una funcin f FNest dada por v(f )|(p) = v(f )|p. Notemos que no es posible definir laaplicacin pull-back sobre vectores ya que necesitaramos hacer uso de1.La aplicacin induce una aplicacin pull-back entre los espacios cotan-gentes T(p)N y TpM mediante la siguiente regla: si T(p)N , entonces es una uno-forma de TpM cuya actuacin sobre vectores de TpM es,v|p = , v|(p). En particular, es fcil ver que, si f FN , entonces(df )|p = d(f )|(p); en efecto,

(df ),v|p = df, v|(p) = v(f )|(p) = v(f )|p = d(f ),v|p.Podemos definir la aplicacin pull-back sobre tensores covariantes y laaplicacin push-forward sobre tensores contravariantes de forma comple-tamente anloga (EJERCICIO).

2Ntese que, dependiendo de las referencias, el smbolo puede aparecer como subndice ocomo superndice y tienen distinto significado, en particular, si no es un difeomorfismo.18 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.1. Variedades diferenciables1.1.3.2. Difeomorfismos

Una aplicacin : M N es un difeomorfismo si y solo si tanto ella comosu inversa son biyecciones de clase C.Si es un difeomorfismo, entonces 1 es una aplicacin C bien definida,por lo que podemos extender la definicin de las aplicaciones pull-back ypush-forward para cualquier tipo de tensores notando que = (1) y que = (1) (EJERCICIO). Adems, ambas aplicaciones son isomorfismos entre losespacios tensoriales Trs (p) y Trs [(p)] y preservan, por tanto, el tipo, las simetrasy las operaciones tensoriales.Los difeomorfismos pueden interpretarse como cambios activos de coorde-nadas. En efecto, dado un difeomorfismo y una carta (U , ) que contenga a py otra (V , ) que contenga a q = (p), la aplicacin = que asigna a plas coordenadas de q , junto con el abierto U = 1[(U ) V ], es una carta quecontiene al punto p.Dado un campo vectorial , por cada punto pasa una nica curva parametri-zada por p(t) tal que p(0) = p y cuyo vector tangente es |p(t). Para demostrarlobasta con notar que la ecuacin de la curva integral de que pasa por el puntop en coordenadas locales es tp (t) = [p(t)], p (0) = x, donde x son lascoordenadas de p. La existencia y unicidad de la solucin est garantizada por elteorema correspondiente para ecuaciones diferenciales ordinarias.El campo vectorial es el generador de un conjunto de difeomorfismoslocales (uno por cada valor suficientemente pequeo de t) t : U t(U ) talque t(p) = p(t) denominado flujo local de . Obviamente, t s = t+s por loque los difeomorfismos locales constituyen un grupo.1.1.3.3. Inmersiones y embebimientos

Sean M y N dos variedades diferenciables de clase C y sea : M Nuna aplicacin entre ellas.1. es una inmersin si y solo si tanto ella como su inversa son de clase Clocalmente, es decir, si y solo si para cada p M existe un abierto U talque : U (U ) es un difeomorfismo.2. es un embebimiento si y solo si es una inmersin y un homeomorfismoen su imagen (M ), es decir, si y solo si es un difeomorfismo en suimagen.

Notemos que una inmersin admite intersecciones en (M ) pero un embebi-miento no.Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 19

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.1.4. Derivada de Lie

Para comparar un tensor en dos puntos diferentes p y q necesitamos los iso-morfismos pull-back y push-forward puesto que, dado un campo tensorial T , lostensores T|p y T|q pertenecen a distintos espacios y no es posible compararlos.Si existe un difeomorfismo :M M tal que (p) = q , entonces existe un iso-morfismo entre los espacios tensoriales correspondientes que convierte tensoresde un espacio en tensores del otro. Ahora vamos a ver cul es la diferencia deun campo tensorial entre puntos arbitrariamente cercanos.Dado un campo tensorial T , definimos su derivada de Lie a lo largo del campovectorial mediante la expresinLT|p = lmt0 t (T|t (p))|p T|pt ,donde t es el flujo local generado por el campo . Esta definicin comparael tensor Tt (p) en el punto t(p) con el mismo campo tensorial en el punto p.Para ello hemos necesitado convertir el primer tensor en otro definido en pmediante t .Propiedades de la derivada de Lie (EJERCICIO):

Preserva el tipo, las simetras y las operaciones tensoriales (en particular,la contraccin) puesto que lo hace.Es lineal.Satisface la regla de Leibniz:

L (T S) = LT S + T LS.La derivada de Lie de una funcin est dada por la actuacin del vector sobrela funcin

Lf = (f ),como se deduce directamente de la definicin, puesto que para valores de tsuficientemente pequeos, t f |p = f [p(t)] = f (p) + t (f )|p.La derivada de Lie de un vector esLv = [ ,v] = Lv ,

es decir, Lv es un vector tal que, sobre funciones f acta de la siguiente forma:(Lv)(f ) = [v(f )] v[ (f )]. Para demostrarlo, basta con elegir un sistema decoordenadas alrededor de p tal que el vector genere un flujo a lo largo de la110 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.2. Conexiones. Curvaturacoordenada x1, es decir = e1. Entonces, de la definicin de derivada de Lie,vemos que Lv = 1v cuyas componentes en la base e son 1v. Por otro lado,

[ ,v](f ) = [e1, ve](f ) = e1(vf ) ve(1f )= 1vf = 1ve(f ) = (1v)(f ),es decir, [ ,v] = 1v, lo que implica que ambas expresiones son iguales. Lascomponentes de Lv en coordenadas locales son (EJERCICIO)

(Lv) = v v.Ntese que los elementos e de una base coordenada conmutan. De hecho,es posible demostrar que una base del espacio tangente es coordenada si y solosi sus elementos conmutan (EJERCICIO). Vemos, por tanto, que para determinarsi una base es coordenada o no es necesario estudiar su comportamiento enregiones extensas, como ya habamos anticipado en 1.1.2.1.La derivada de Lie de una uno-forma L es tal que para todo vector v

L,v = L,v ,Lv.Sus componentes en coordenadas locales son (EJERCICIO)

(L) = + .EJERCICIO: Calcular las componentes de la derivada de Lie de un tensor arbi-trario en una base coordenada.Puesto que la derivada de Lie de un tensor depende no solo del campo vec-torial en el punto p sino tambin sus alrededores (depende de sus derivadasen p), la derivada de Lie no es adecuada como generalizacin de la derivada di-reccional (o lo que es equivalente de derivada parcial). Sin embargo, la derivadade Lie permite decidir si un tensor es invariante bajo difeomorfismos en ciertadireccin: lo ser si y solo si la derivada de Lie del mismo se anula en esa direc-cin. En otras palabras, LT = 0 si y solo si el tensor T se conserva a lo largodel flujo generado por .

1.2. Conexiones. Curvatura1.2.1. Derivacin covariante

Una conexin afn es una regla mediante la cual se asigna a cada campotensorial T de tipo (r, s) y componentes Tbcde otro tensor T de tipo (r, s+1)Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 111

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALy componentes (T)bcdea aTbcde Tbcde ;a, llamado derivada cova-riante de T , que tiene las siguientes propiedades:Linealidad: (aT + bS) = aT + bS, donde a, b R.Regla de Leibniz: (T S) = (T) S + T S.Conmuta con la contraccin.Sobre funciones f es simplemente la diferencial: f = df .Dado un vector v, llamamos derivada covariante direccional de un tensor Tde tipo (r, s) a lo largo de v al tensor vT de tipo (r, s) cuyas componentes sonvaaTbcde.Aunque las conexiones no son tensores, resulta conveniente introducir suscomponentes en una base arbitraria: abc ea,eceb.EJERCICIO: Demostrar que, bajo cambios de base ea = e aa ea, ea = eaaea,donde eaa = (e1) aa , las componentes abc de la conexin se transforman dela siguiente manera:

abc = eaae bb e cc abc + eaae cc ce ab ,donde a es la derivada ordinaria expresada en una base arbitraria (por ejemplo,actuando sobre vectores avb = e a (ebv)).Es posible demostrar (EJERCICIO, ver referencia [2]) que, dadas dos conexiones y definidas en la variedad M , su diferencia es un tensor de tipo (1, 2), esdecir, que = Ccbaec eb ea. Su actuacin sobre uno-formas da eltensor ( ) cuyas componentes en una base arbitraria son

(a a)b = Ccbac,donde Ccba = cba cba.EJERCICIO: Demostrar que (a a)tb = Cbcatc.EJERCICIO: Encontrar la expresin de las componentes de ( )T en unabase arbitraria, donde T es un tensor cualquiera.Consideremos una base coordenada fija de referencia {e}. Entonces, defini-mos la derivada covariante ordinaria asociada a esta base coordenada comola derivada covariante tal que, dado un tensor T , las componentes del tensor Ten esa base coordenada son T . Para ilustrar esta definicin, notemos que,en una base arbitraria de vectores {ea = e a e} y su base dual {ea = eae}, lascomponentes de la derivada covariante ordinaria asociada a la base de referencia{e} de un vector v sern

(v) ba avb = e a ebv112 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.2. Conexiones. Curvaturay no e a (ebv) = avb, que es la derivada ordinaria no covariante. La derivadacovariante ordinaria as definida es realmente una derivada covariante (EJERCI-CIO). Por tanto, su actuacin sobre tensores da tensores, lo que significa que suscomponentes se transforman adecuadamente bajo cambios de base arbitrarios{ea} {ea}. Sin embargo, en estas transformaciones, la base coordenada de re-ferencia permanece fija pues forma parte de la definicin de . Si cambiamos debase coordenada de referencia {e} {e}, estamos introduciendo una nuevaderivada covariante ordinaria asociada a la nueva base. Hemos demostrado, portanto, que al menos existe una derivada covariante (de hecho, existen infinitas)definida sobre cualquier variedad diferenciable: la derivada covariante ordinaria.En trminos de la derivada ordinaria (no covariante) y de las componentesde la conexin, la derivada covariante se puede escribir de la forma (EJERCICIO)

ab = ab cbac, avb = avb + bcavc.Notemos que, dada una derivada covariante ordinaria asociada a una ba-se coordenada, podemos utilizarla para escribir una conexin cualquiera entrminos de ella:

ab = ab Ccbac, avb = avb +Cbcavc.Teniendo en cuenta la relacin entre la derivada ordinaria y la derivada cova-riante ordinaria, podemos escribir el tensor C en funcin de las componentesde y de la base coordenada de referencia utilizada para definir C:

Cbca = bca ebaec.Notemos que C es un tensor por ser la diferencia de dos conexiones comohemos visto y, por tanto, sus componentes se transforman adecuadamente bajocambios de base arbitrarios {ea} {ea} (recordemos que, en estas transforma-ciones, la base coordenada de referencia permanece fija pues forma parte dela definicin de la derivada covariante ordinaria ). Si cambiamos de base coor-denada de referencia {e} {e}, estamos introduciendo una nueva derivadacovariante ordinaria asociada a la nueva base y el correspondiente nuevo C de respecto a la nueva derivada covariante ordinaria . Sin embargo, abc no esun tensor, como ya hemos visto.EJERCICIO: Encontrar la relacin entre los tensores Cabc de una conexin asociados a bases coordenadas diferentes y compararla con la transformacincorrespondiente de sus componentes abc.Diremos que una conexin afn es simtrica si y solo si sobre funciones facta de forma simtrica (torsin nula): abf =baf .


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALEJERCICIO: Demostrar que la diferencia entre dos conexiones simtricas y es un tensor C simtrico en sus ndices covariantes, es decir, que Cabc = Cacb.EJERCICIO: Demostrar que la condicin de que la conexin sea simtrica im-plica que 2a[bc]ea = [ec,eb] y que, por tanto, en una base coordenada = .EJERCICIO: Demostrar que (Lvw)a = [v,w]a = vbbwa wbbva para cual-quier conexin afn simtrica definida en M y cualesquiera dos vectores v yw. EJERCICIO: Demostrar que, dada cualquier conexin afn simtrica, la expresinde las componentes de la derivada de Lie de un tensor al largo de un vector sepuede escribir en trminos de la derivada covariante simplemente sustituyendolas derivadas parciales por las covariantes.

1.2.2. Transporte paraleloDada una parametrizacin de una curva (t) cuyo vector tangente es w(t),definimos la derivada covariante de T a lo largo de la misma como la derivadacovariante direccional de T a lo largo de su vector w, es decir, wT .Diremos que T es transportado paralelamente a lo largo de la curva para-metrizada por (t) si y solo siwT = 0. Los teoremas de existencia y unicidad deecuaciones diferenciales ordinarias garantizan la existencia y unicidad del trans-porte paralelo y, por tanto, el transporte paralelo establece un isomorfismo entrelos espacio tensoriales definidos en cada punto de (t).

1.2.2.1. GeodsicasUna curva es una curva geodsica si y solo si admite una parametrizacin(t) cuyo vector tangente w(t) = t es tal que ww es paralelo (proporcional)a w, es decir, waawb wb. Si es una curva geodsica, entonces es posibleencontrar (EJERCICIO) una reparametrizacin (s) [t(s)] tal que su vector tan-gente v(s) = s es transportado paralelamente a lo largo de la misma, es decir,tal que vv = 0. Tal parmetro s recibe el nombre de parmetro afn y es ni-co salvo multiplicacin y adicin de constantes que corresponden a la eleccindel origen del parmetro afn y a la eleccin de unidades. La parametrizacin(s) de la curva geodsica donde s es un parmetro afn recibe el nombre degeodsica. Dado un sistema coordenado, las geodsicas satisfacen las siguientesecuaciones: xx = 0 x + xx = 0,donde el punto denota la derivada con respecto al parmetro afn: x = dx/ds.Notemos que las geodsicas solo dependen de la parte simtrica de la conexiny, por esta razn, solo consideraremos conexiones afines simtricas.


1.2. Conexiones. CurvaturaUna geodsica es completa si y solo si su parmetro afn recorre toda larecta real. La variedad diferenciableM es geodsicamente completa si y solo sitodas sus geodsicas son completas.Definimos la aplicacin exponencial en p M como la aplicacin de claseC expp : Tp M tal que a cada vector v en p le asigna el punto expp(v) deMque se halla a una distancia paramtrica afn unidad de p a lo largo de la geodsicaque pasa por p y cuyo vector tangente es v. Entonces, M es geodsicamentecompleta si y solo si la aplicacin exponencial est definida para todos los vectoresde Tp y para todos los puntos de M .

1.2.2.2. Coordenadas normalesDado un punto p, la aplicacin exponencial define un difeomorfismo entreun abierto del vector nulo en Tp y un abierto Np de p en M que recibe elnombre de entorno normal3 de p. EscojamosNp de forma que, dados dos puntosde Np, exista una nica geodsica que los una y que est contenida en Np, esdecir, escojamos el entorno normal Np convexo. Entonces podemos definir unsistema de coordenadas (una carta) en Np eligiendo una base {e|p} arbitraria4de Tp y asignando coordenadas x al punto q Np obtenido mediante el mapaexponencial q = expp(xe|p). En otras palabras, utilizamos como coordenadasdel punto q las componentes del vector exp1p (q) en la base {e|p} y, por tanto, {}es una base coordenada de campos vectoriales en Np. Notemos que |p = e|paunque, en general, 6= e. Las coordenadas as definidas reciben el nombre decoordenadas normales centradas en el punto p.Notemos que, dados dos puntos de un entorno normal, existe un nica geod-sica que los une. Esta propiedad en general no es cierta globalmente: si los dospuntos no pertenecen a un entorno normal, pueden no existir geodsicas que losunan o pueden existir ms de una.Es fcil ver que las componentes de la parte simtrica de la conexin en unabase de coordenadas normales centradas en p se anulan en este punto. En efecto,todas las geodsicas que pasan por p se convierten mediante cualquier carta de coordenadas normales en rectas de Rn que pasan por el origen. Por tanto, suscoordenadas satisfacen x = 0, de lo que se deduce que () = 0. Desde otropunto de vista, en coordenadas normales, x = 0 es la ecuacin de las geodsicas.Un cambio de coordenadas arbitrario x x conduce a la ecuacin geodsicax + xx = 0.3La existencia de una conexin permite definir entornos normales, como acabamos de ver, ystos a su vez garantizan la paracompacidad de M (ver, por ejemplo, referencia [3]).4Hemos utilizado ndices griegos para esta base a pesar de ser arbitraria; puesto que se tratade una base del espacio tangente en un punto p concreto, tal distincin no es relevante.


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci

Sean f y c una funcin escalar y una uno-forma y calculemos (EJERCICIO) laaccin de la doble derivada covariante antisimetrizada sobre fc:(ab ba)(fc) = f (ab ba)c,

es decir, ab ba acta linealmente sobre uno-formas. Adems, aunqueno sea obvio, (ab ba)c solo depende del valor de c en p y no en susalrededores (EJERCICIO, ver referencia [2]). Por tanto,abba es un tensorR dabc de tipo (1, 3), (ab ba)c = R dabc d,llamado tensor de Riemann.A partir de la actuacin de ab ba sobre el escalar vaa, es posiblecomprobar (EJERCICIO) que(ab ba)vd = R dabc vc.

Asimismo, es posible demostrar que el tensor de Riemann tiene las siguientespropiedades (EJERCICIO)Es antisimtrico en los dos primeros ndices: R dabc = R dbac .Se anula si antisimetrizamos los tres primeros ndices: R d[abc] = 0.Satisface la identidad de Bianchi: [eR dab]c = 0.

Las componentes del tensor de Riemann en una base coordenada se puedenescribir en trminos de las componentes de la conexin en esa base (EJERCICIO):R = + .

El tensor de Ricci se define como la traza del tensor de Riemann: Rac = R babc .1.2.4. Desviacin geodsica

Consideremos una familia uniparamtrica de geodsicas s(t): para cada valorde s, s es una curva geodsica parametrizada afnmente por t. Sea t el campovectorial de vectores tangentes a la familia de geodsicas. Entonces t satisfacela ecuacin de las geodsicas, es decir, taatb = 0. Consideremos, adems, unvector de desviacin z = s tangente a la curva parametrizada por s para cadat constante. z se puede interpretar como el vector que une dos puntos de dos116 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianasgeodsicas vecinas. Notemos que t y z conmutan por ser vectores de una basecoordenada y, por tanto, taazb = zaatb.El vector va = tbbza nos da la velocidad de separacin entre dos geodsicascercanas y aa = tbbva su aceleracin relativa, es decir, la aceleracin con laque se acercan o separan. Es fcil ver (EJERCICIO) que el vector de desviacinsatisface la ecuacin de desviacin geodsica

aa = tcc(tbbza) = R acbd zbtctd.Esta ecuacin nos dice que la condicin necesaria y suficiente para que dos geo-dsicas inicialmente paralelas permanezcan paralelas (no se aceleren relativa-mente) es que el tensor de Riemann se anule. Diremos que una conexin esplana si y solo si su tensor de Riemann se anula en toda la variedad.El tensor de Riemann tambin determina cundo el transporte paralelo deun vector es independiente del camino elegido, en regiones suficientemente pe-queas. Equivalentemente, determina cundo, al transportar paralelamente unvector v a lo largo de una curva cerrada suficientemente pequea, el vector nocambia. Sean x(t) tales que x(0) = x(1) las coordenadas de la curva cerrada. Entonces se verifica (EJERCICIO) que

v = v(1) v(0) = 12R |(0)v(0) 1

0 x[x ]dt.EJERCICIO: Particularizar esta expresin al caso de superficies bidimensionalesy analizar el resultado desde el punto de vista de la geometra diferencial clsica.

1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianas1.3.1. Mtrica

Una mtrica g en una variedad diferenciable M es un campo tensorial si-mtrico C doblemente covariante (es decir, de tipo (0, 2)). Sus componentes enuna base arbitraria {ea} son gab = g(ea,eb). En una base coordenada, el tensormtrico se puede escribir g = gdx dx. Tambin utilizaremos la notacinds2 = gdxdx para representar al tensor mtrico, donde ds2 recibe el nombrede elemento de lnea.Definimos la norma del vector va como |gabvavb| y, dados dos vectores denorma no nula va y wa, definimos el ngulo que forman mediante la expresincos = gabvawb|gcdvcvd||gefwewf | .


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALDos vectores va y wa son ortogonales si y solo si gabvawb = 0. Ntese que lanocin de ortogonalidad est definida incluso para vectores de norma nula.Una mtrica es degenerada en el punto p si y solo si existe algn vectorde Tp perpendicular a todos los vectores de Tp si y solo si la matriz (gab) delas componentes de la mtrica es singular en cualquier base. A partir de ahora,supondremos que la mtrica no es degenerada. Entonces, existe un nico tensorde tipo (2, 0) cuyas componentes en una base arbitraria son gab y tal que (gab)es la matriz inversa de la matriz (gab), es decir, tal que gabgbc = ca . Puesto quela mtrica es no degenerada, la inversa tampoco lo es.La introduccin de una mtrica supone la presencia de una estructura adicio-nal en la variedad diferenciable que permite establecer un isomorfismo entre losespacios tangente Tp y cotangente Tp. As, se establece tambin un isomorfismoentre cualquier espacio tensorial definido sobre M mediante el cual podemossubir y bajar ndices con el tensor mtrico y su inverso. Por ejemplo, dado unvector va, podemos asociar una nica forma definida a partir de l medianteva = gabvb y viceversa. Similarmente, dado un tensor Tab de tipo (0, 2), podemosasociar (haciendo uso de la mtrica o de su inversa) un nico tensor Tab = gacTcbde tipo (1, 1) y otro Tab = gacgbdTcd de tipo (2, 0), que consideraremos como dis-tintas representaciones del mismo objeto. As, gab, gab y ab pueden considerarsecomo distintas representaciones del tensor mtrico g .Llamaremos signatura del tensor mtrico al nmero de autovalores positivosmenos el de negativos que posee y llamaremos mtrica lorentziana a aqullacuya signatura es n2 y cuya estructura de autovalores es, por tanto, (,+ n1 +).Una mtrica lorentziana en la variedad M separa el espacio tangente Tp en trestipos de vectores e introduce as su estructura causal:

temporales, tales que vava = gabvavb < 0;espaciales, tales que vava = gabvavb > 0;nulos o de gnero luz, tales que vava = gabvavb = 0. Este conjunto devectores define el cono de luz o nulo en el punto p.En cada punto p M , se puede llamar futuro a la mitad del cono de luz (figu-ra 1.2). Si es posible hacer tal asignacin de forma continua en todos los puntosde la variedad, entonces diremos que la variedad es orientable temporalmentey, si tal es el caso, entonces existe un campo vectorial ta de clase C que nose anula en ningn punto y que es de gnero tiempo en toda la variedad (sindemostracin; ver referencias [2, 3]).Diremos que una curva es de gnero luz, espacio o tiempo dependiendo desi su vector tangente es de gnero luz, espacio o tiempo en todos los puntos dela misma.118 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianasfuturo

pasado

Figura 1.2: Cono de luz.Puede demostrarse que toda variedad no compacta admite una mtrica loren-tziana. Sin embargo, es posible encontrar variedades compactas que no admitenuna mtrica lorentziana una esfera, por ejemplo (ver referencia [3]).

1.3.2. Conexin de Levi-CivitaEn una variedad diferenciable, pueden coexistir una conexin y una mtricasin relacin alguna. Sin embargo, existe una nica conexin sin torsin (sim-trica), llamada conexin de Levi-Civita, compatible con la mtrica, es decir, talque la derivada covariante de la mtrica se anula g = 0 , en componentes,agbc = 0. En efecto, esta condicin implica que, en una base coordenada, lascomponentes de la conexin deben satisfacer

+ = g.De esta expresin, vemos que g + g g = 2 y, por tanto, que sesatisfacen las relaciones de Christoffel

= 12g (g + g g).Esta conexin es la nica solucin de la ecuacin g = 0.EJERCICIO: Demostrar que la norma y ngulo entre dos vectores se preservanal transportarlos paralelamente con la conexin de Levi-Civita. Como consecuen-cia, las geodsicas tienen siempre un gnero bien definido.Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 119

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALEJERCICIO: Demostrar que Lgab = ab +ba, donde es la conexin deLevi-Civita.Adems de las simetras ya descritas que posee el tensor de Riemann asocia-do a cualquier conexin afn, la compatibilidad con la mtrica aade otra ms(EJERCICIO): es antisimtrico en el segundo par de ndices (covariantes),

Rabcd = Rabdc.En resumen, el tensor de Riemann de la conexin de Levi-Civita es antisimtricoen el primer par de ndices; tambin es antisimtrico en el segundo par de ndices;adems, es simtrico bajo el intercambio del primer par por el segundo, lo quehace que el tensor de Ricci sea simtrico Rab = Rba.Teniendo en cuenta estas simetras, el tensor de Riemann tiene n2(n2 1)/12componentes algebraicamente independientes y el tensor de Ricci n(n+1)/2 (paran 3). En una dimensin, los tensores de Riemann y de Ricci se anulan; en dosy tres dimensiones, el tensor de Riemann est completamente determinado porel de Ricci; en cuatro dimensiones, la mitad de las componentes del tensor deRiemann estn determinadas por el tensor de Ricci y la otra mitad no.

dim(M ) n 4 3 2 1Riemann n2(n2 1)/12 20 6 1 0Ricci n(n + 1)/2 10 6 1 0Definimos el escalar de curvatura como la traza del tensor de Ricci:

R Raa = gabRab.Definimos el tensor de Weyl como el tensor Cabcd que tiene las mismas si-metras que el de Riemann y que satisface la condicin adicional de que no tienetraza, es decir, que Cabad = 0:

Cabcd = Rabcd + 2n 2(ga[dRc]b + gb[cRd]a) + 2(n 1)(n 2)Rga[cgd]b.Mediante una transformacin conforme la mtrica g se convierte, pordefinicin, en g = g = 2g , donde es una funcin de clase C. Las trans-formaciones conformes preservan los ngulos pero no los mdulos de los vec-tores. Es fcil demostrar que dos mtricas lorentzianas sobre la misma variedadtienen la misma estructura causal si y solo si estn relacionadas mediante unatransformacin conforme (EJERCICIO).El tensor de Weyl tiene la propiedad de ser invariante bajo transformacionesconformes, es decir, C = C = C (EJERCICIO). Por tanto, el tensor de Weyldetermina la estructura causal de una variedad.


1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianasFinalmente, definimos el tensor de Einstein

Gab = Rab 12Rgab.Este tensor es simtrico y adems, tiene divergencia nula aGab = 0, como sededuce de la identidad de Bianchi (EJERCICIO). Evidentemente, esta identidad deBianchi reducida no contiene la misma informacin que la original en trminosdel tensor de Riemann completo. La parte que falta corresponde a la divergenciadel tensor de Weyl (EJERCICIO):aC abcd = 2(n 3)n 2

{[bRc]d + 12(n 1)[bRgc]d}.

1.3.3. Geodsicas como principio variacionalDada una curva de gnero espacio parametrizada por t y cuyo vector tangentees xa, definimos su longitud entre dos puntos de coordenadas x(0) y x(1) como

l = 10 dt|gxx|1/2.Esta longitud es independiente de la parametrizacin como es inmediato com-probar. Si la curva es de gnero luz su longitud es nula. Si la curva es de gnerotiempo, utilizaremos el trmino tiempo propio en vez de longitud l.Veamos ahora qu curvas hacen que la longitud (o el tiempo propio) entre dospuntos sea estacionaria. Para ello basta con calcular la variacin de la longitudl bajo pequeas deformaciones de la curva sin que se vean afectados los puntosextremos. El resultado es (EJERCICIO) que la curva para la que la longitud esestacionaria satisface la ecuacinxx = x|gxx|1/2 ddt |gxx|1/2.Esta es la ecuacin de una curva geodsica en trminos de un parmetro no afn.Una reparametrizacin adecuada la convierte en una parametrizacin geodsica.EJERCICIO: Demostrar que las geodsicas son curvas que hacen estacionariala accin S = dtgxx.En muchos casos, la forma ms conveniente de calcular los smbolos de Ch-ristoffel en una base coordenada es encontrar la ecuacin de la curva estacio-naria de esta accin y compararla con la expresin de las curvas geodsicas entrminos de los smbolos de Christoffel.


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.3.4. Hipersuperficies1.3.4.1. Embebimientos

Una hipersuperficie (S ) deM es una variedad (n1)-dimensional S embe-bida enM mediante el embebimiento . Puesto que es un difeomorfismo sobre(S ), dado un punto p S , el push-forward establece un isomorfismo entreel espacio tangente Tp y el subespacio (n 1)-dimensional H(p) (Tp) T(p).Por lo tanto, existe una uno-forma n en el espacio cotangente T(p) que aniquilaa todos los vectores v H(p), es decir, tal que n, v = 0, donde v Tp.Esta uno-forma n, llamada normal a la hipersuperficie, es nica salvo signo ynormalizacin. Ya vimos que si la hipersuperficie est definida por el ncleo dealguna funcin f , entonces n = df .La aplicacin pull-back no est definida en todo el espacio tangente T(p),pero s en la imagen del push-forward ; de hecho, : H(p) Tp es su iso-morfismo inverso, 1 . Si suponemos que la normal no es de gnero nuloy definimos = nana = 1, entonces podemos extender la actuacin de acualquier vector de T(p) mediante la proyeccin previa sobre el subespacio H(p).Dicha proyeccin se lleva a cabo mediante la aplicacin lineal h : T(p) H(p) talque, dado cualquier vector w T(p),habwb = wa (ncwc)na.

De forma anloga, podemos extender la actuacin de a cualquier tensor con-travariante. Utilizaremos el mismo smbolo para denotar tanto al pull-back ensentido estricto como a su extensin.Dada una uno-forma T(p), su pull-back es una uno-forma Tpbien definida. El push-forward de una uno-forma Tp no est definido demanera unvoca sobre T(p). En efecto, a la uno forma 0 Tp le correspondentodas las uno-formas proporcionales a n T(p), ya que stas aniquilan a todos losvectores v. Sin embargo, puesto que es un difeomorfismo en su imagen (S ),la aplicacin push-forward : Tp H(p) s esta bien definida, donde H(p) es elespacio dual de H(p). Obviamente, H(p) es el subespacio de uno-formas talesque ana = 0. Si la normal no es de gnero nulo, entonces podemos extenderla actuacin de a cualquier uno-forma de Tp mediante la proyeccin posteriorsobre el subespacio H(p). Dicha proyeccin se lleva a cabo mediante la aplicacinlineal h : T(p) H(p) tal que, dada cualquier uno-forma T(p),haba = b (ncc)nb.De forma anloga, podemos extender la actuacin de a cualquier tensor cova-riante. Utilizaremos el mismo smbolo para denotar tanto al push-forward ensentido estricto como a su extensin.122 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianasComo resumen, hemos extendido la actuacin de las aplicaciones pull-back ypush-forward a cualquier tensor de la variedadM definido en cualquier punto dela hipersuperficie (S ), es decir, a cualquier tensor de Trs ((p)), mediante la pro-yeccin sobre el correspondiente espacio tensorial Hrs ((p)) de la hipersuperficie(S ).Si tanto S comoM son variedades orientables, entonces es posible encontrarun campo C de uno-formas n normales a (S ) que no se anula en ningn punto.En este caso, la direccin de n determina la orientacin relativa de (S ) y Mde la siguiente manera. Escojamos un atlas deM tal que la hipersuperficie (S )satisfaga la ecuacin x1 = 0, de forma que n = dx1; entonces, (x2 xn) soncoordenadas locales orientadas de la hipersuperficie (S ).

1.3.4.2. Primera forma fundamentalDada una mtrica g en M , el embebimiento induce una mtrica g en Smediante el pull-back . La mtrica inducida g recibe el nombre de primeraforma fundamental de S . Esta mtrica ser (EJERCICIO)riemanniana si n es de gnero tiempo; entonces diremos que la hipersu-perficie (S ) es de gnero espacio.lorentziana si n es de gnero espacio; entonces diremos que la hipersuper-ficie (S ) es de gnero tiempo.degenerada si n es de gnero luz; entonces diremos que la hipersuperficie(S ) nula.

Dado un tensor T cualquiera en S , (la extensin de) el push-forward produce tensores en M , que tienen la propiedad de que cualquier contraccincon la normal se anula, como hemos visto. En particular, podemos introducir eltensor simtrico h = (g) cuya proyeccin sobre la normal se anula. Podemosescribir h en trminos de la mtrica g y de la normal n de la siguiente forma:hab = gab nanb,

donde nana = = 1 dependiendo de si la hipersuperficie es espacial o temporal.Obviamente, habnc = 0 y h = g , que es la primera forma fundamental de S .El tensor h es precisamente el proyector sobre la hipersuperficie (S ) puestoque permite descomponer cualquier vector de M en un vector tangente a lahipersuperficie y otro normal a la misma y anlogamente para las uno-formasy tensores en general. As, la primera forma fundamental permite identificarlos tensores de S con sus imgenes en la hipersuperficie (S ). En particular,podemos considerar h como la mtrica inducida en la hipersuperficie.Relatividad general (2008/10/22) luis j. garay 123

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALEsta mtrica inducida h define una conexin D compatible con ella que resultaser la proyeccin de la derivada covariante en M , es decir, en trminos de laderivada covariante en M y de la mtrica inducida, tiene la formaDaTb1brc1cs Tb1brc1csa = haahb1b1 hbrbrhc1c1 hcscsaTb1brc1cs ,donde hemos extendido el tensor T definido sobre (S ) a toda la variedad M .Notemos que esta derivada covariante es independiente de la extensin que uti-licemos para el tensor T puesto que h proyecta la derivada covariante sobre(S ).EJERCICIO: Demostrar que D es la derivada covariante compatible con h. Esdecir, demostrar que es una derivada covariante y que Dh = 0.

1.3.4.3. Segunda forma fundamentalDefinimos la segunda forma fundamental o curvatura extrnseca de la hi-persuperficie como el tensor K definido como la proyeccin de la derivada co-variante de la normal: Kab = hcahdbdnc.EJERCICIO: Demostrar las ecuaciones de Gauss y de Gauss-Codazzi, que re-lacionan el tensor de Riemann hR de la mtrica inducida h, la segunda formafundamental K y el tensor de Riemann R de la mtrica g :hR dabc = heahfbhgchdhR hefg + KacK db KbcK da , (Gauss)DaKab DbK = Rcdnchdb, (Gauss-Codazzi)

donde K = Kaa es la traza de la curvatura extrnseca.1.3.5. Isometras1.3.5.1. Isometras propias

Un difeomorfismo : M N es una isometra si y solo si preserva eltensor mtrico en toda la variedad M , es decir, si y solo si g = g . El grupouniparamtrico de difeomorfismos t generado por el campo vectorial es ungrupo de isometras si y solo si satisface la ecuacin de KillingLgab =ab +ba = 0.

Entonces recibe el nombre de campo vectorial de Killing.124 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.3. Variedades diferenciables pseudoriemannianasSea va el vector tangente de una geodsica y sea a un vector de Killing.Entonces, ava es constante a lo largo de la geodsica. En efecto,

vbb(ava) = vavbba + avbbva = 0.Una variedad diferenciable tiene como mximo n(n+1)/2 vectores de Killing.Para demostrarlo, basta con tener en cuenta la siguiente propiedad exclusiva delos vectores de Killing (EJERCICIO):

abc = R dcba d.Conocidas las n componentes del vector de Killing a y las n(n1)/2 componen-tes de su derivada covariante ab (por ser vector de Killing es antisimtrica)en un punto, podemos conocer el vector de Killing en toda la variedad medianteintegracin de estas ecuaciones. El nmero total de isometras es precisamente ladimensin del espacio de condiciones iniciales que es n+n(n1)/2 = n(n+1)/2.1.3.5.2. Variedades estacionarias y estticas

Una variedad lorentziana es estacionaria si y solo si existe un vector de Killing = t de gnero tiempo. Entonces, la mtrica estacionaria ms general en unabase coordenada adaptada a este Killing { ,ei} es de la forma g(xi) (EJERCICIO).Una variedad lorentziana estacionaria es esttica si y solo si existe una hiper-superficie espacial ortogonal al vector de Killing , lo que es equivalente (teoremade Frobenius; ver ejercicio 1.6) a la condicin[abc] = 0.

En cualquier sistema de coordenadas tal que el parmetro t sea una de ellas, lamtrica de un espaciotiempo esttico es invariante bajo inversin temporal y lamtrica es tal que g0i = 0 (EJERCICIO).1.3.5.3. Isometras conformes

Un difeomorfismo :M N es una isometra conforme si y solo si existeuna funcin tal que g = 2g . El grupo uniparamtrico de difeomorfismost generado por el campo vectorial es un grupo de isometras conformes si ysolo si Lgab gab. Entonces recibe el nombre de campo vectorial de Killingconforme.El vector es un vector de Killing conforme si y solo si satisface la ecuacinRelatividad general (2008/10/22) luis j. garay 125

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALde Killing conforme (EJERCICIO)

ab +ba = 2n (cc)gab.Sea va el vector tangente de una geodsica y sea a un vector de Killingconforme. Entonces, (EJERCICIO)

vbb(ava) = 1n (cc)vava.1.4. Formas diferenciales1.4.1. Formas

Una p-forma es un tensor covariante antisimtrico. Ntese que p n puestoque, de otra manera, la antisimetrizacin lo anula automticamente. Considere-mos el conjunto formado por todos los productos tensoriales completamenteantisimtricos de p uno-formas de una base del espacio cotangenteea1 eap = e[a1 eap].

Aunque este conjunto genera, mediante combinaciones lineales, todo el espaciode p-formas, sus elementos no son linealmente independientes. Sin embargo, elconjunto ordenado {ea1 eap , a1 < < ap} es una base de dicho espacio.As, cualquier p-forma se puede escribir de la forma = a1apea1 eap , (a1 < < ap),

o, si eliminamos la condicin de ordenacin, = 1p!a1apea1 eap .

Si es una p-forma y es una q-forma de componentes a1ap y b1bqrespectivamente, definimos su producto exterior como la (p + q)-forma cuyas componentes son( )a1ap+q = (p + q)!p!q! [a1apap+1ap+q ].

El producto exterior satisface la propiedad = (1)pq y es, obviamente,bilineal. El espacio de todas las p-formas (p = 0 n) con esta operacin formaun lgebra de Grassmann.126 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.4. Formas diferenciales1.4.2. Derivacin

Dadas dos conexiones diferentes y , su actuacin sobre una p-forma es tal que (EJERCICIO)[ab1bp] [ab1bp] = pk=1 Cc[abka1|c|ap],donde [ |c| ] indica antisimetrizacin en todos los ndices excepto c. Puestoque Ccab es un tensor simtrico en sus ndices covariantes, esta expresin se anu-la. Todas las derivadas covariantes (en particular, la derivada covariante ordinaria) actuando sobre una p-forma dan la misma (p + 1)-forma que denotaremospor d y que denominaremos derivada exterior. Las componentes de d son

(d)ab1bp = (p + 1)[ab1bp].Es fcil demostrar el lema de Poincar (EJERCICIO): dada una forma , ladiferencial de su diferencial se anula:

dd = 0.Una forma es exacta si es la diferencial de alguna forma. Una forma es cerradasi su diferencial se anula. As, el lema de Poincar nos dice que toda forma exactaes cerrada. El enunciado inverso, que toda forma cerrada es exacta, es decir, quesi d = 0 entonces existe una forma tal que = d , es cierto localmente.

Dada una p-forma y otra q-forma , la derivada exterior satisface la pro-piedad (EJERCICIO) d( ) = d + (1)p d .Sean 1p las componentes en una base coordenada de una p-forma . Enton-ces, d = 1p!d1p dx1 dxp .La derivada exterior conmuta con los difeomorfismos ya que lo hace sobrefunciones. Si :M N es un difeomorfismo y es una forma enN , entoncesd() = (d). Esta expresin es equivalente a la regla de la cadena (EJERCICIO).


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.4.3. Integracin1.4.3.1. Teorema de Stokes

Toda variedad paracompacta admite un atlas localmente finito5 {(U, )} yuna particin de la unidad (sin demostracin), es decir, un conjunto de funciones{f} de clase C tales que0 f 1.el soporte de f est contenido en U. f(p) = 1 para todo p M .

Definimos integral de una n-forma en toda la variedad comoM

=(U) f1ndx1 dxn,

donde {(U, ), f} es una particin de la unidad y 1n est definido en la basecoordenada {dx} asociada a la carta (U, ), es decir, = 1ndx1 dxn.EJERCICIO: Demostrar que la integral de una n-forma es independiente delatlas y de la particin de la unidad elegida.EJERCICIO: Demostrar que la integral de una n-forma es invariante bajo difeo-morfismos, es decir, que (M ) = M .Todas las n-formas en un punto de una variedad n-dimensional son propor-cionales (EJERCICIO). La variedad es orientable si y solo si es posible encontraruna n-forma continua en toda la variedad y que no se anule. Dos formas y definen la misma orientacin si y solo si = |f | para alguna funcin f .Una variedad orientable tiene dos posibles orientaciones: la definida por |f | y ladefinida por |f |.Teorema (Stokes): dada una (n 1)-forma en M ,M =

M

d,donde es el pull-back inducido por el embebimiento de la frontera M de lavariedad en la propia variedad M .EJERCICIO: Demostrar el teorema de Stokes. Determinar adems la orientacinde la frontera (ver referencias [2, 3]) para que se verifique este teorema.

5Diremos que un atlas es localmente finito si y solo si cada p M tiene un abierto que tieneinterseccin no vaca solo con un nmero finito de cartas.128 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.4. Formas diferencialesHasta ahora solo hemos necesitado la estructura de variedad diferenciable. Sinembargo, para poder integrar funciones en la variedad necesitamos la estructuramtrica, que permite introducir un elemento de volumen en la variedad.

1.4.3.2. Elementos de volumenDefinimos la forma cannica asociada a la mtrica g , tambin llamadatensor de Levi-Civita, como la n-forma

= |g |1/2e1 en,en una base cualquiera, donde g es el determinante de la matriz de las componen-tes del tensor mtrico en esa base g det(gab). Esta definicin es independientede la base elegida (EJERCICIO) gracias a la presencia del factor |g |1/2. Las compo-nentes covariantes de este tensor son

a1an = n!|g |1/21[a1 nan], 1n = |g |1/2.EJERCICIO: Demostrar que la derivada covariante de se anula.EJERCICIO: Demostrar que las componentes contravariantes de son

a1an = (1)sn!|g |1/2[a11 an]n,donde s = (n s)/2 y s es la signatura de la mtrica (para mtricas lorentzianas,s = 1).EJERCICIO: Demostrar que a1anb1bn = (1)sn!a1[b1 anbn].La forma cannica determina el elemento natural de volumen dv = enla variedad. Dada una subvariedad n-dimensional V de M , definimos su volu-men como V dv V . Anlogamente, dada una funcin f en M , definimos suintegral sobre la regin V como la integral de la n-forma f, es decir,

V

fdv = V

f =(UV ) ff |g |1/2dx1 dxn

que es, obviamente, independiente de las coordenadas elegidas (EJERCICIO).Dada una base arbitraria, resulta conveniente definir la forma densitizadadnx |g |1/2dv = , (dnx)a1an = a1an = n!0[a1 n an],donde a1an es el smbolo antisimtrico de Levi-Civita tal que 12n = 1 y ges el determinante de la mtrica en la base elegida. En trminos de esta forma


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALde volumen densitizada, la integral de una densidad escalar F = f |g |1/2 tiene lamisma expresin en Rn que en V , cuando se elige una base coordenada:

V

Fdnx =(UV ) fFdnx.

Dada una hipersuperficie cuya mtrica inducida es h, su forma cannica es, salvo el signo , la contraccin (en el primer ndice) de la normal n con (EJERCICIO): = n., a1an1 = nbba1an1 ,donde = nana = 1 depende del gnero temporal () o espacial (+) de lanormal a la hipersuperficie. De esta expresin, es fcil ver que (EJERCICIO) = n , a1an = nn[a1 a2an].

Llamaremos d = al elemento natural de volumen en la hipersuperficie y nadal elemento de volumen orientado.Notemos que el elemento de volumen espaciotemporal dv y el correspondien-te volumen d de la hipersuperficie, estn relacionados por las frmulasn.dv = d, nb(dv)ba1an1 = (d )a1an1.

1.4.3.3. Teorema de GaussSea V una variedad n-dimensional cuyo elemento de volumen es y sean ny la normal y el elemento de volumen de su frontera (n 1)-dimensional V .Para que la orientacin relativa sea la adecuada (de acuerdo con el teorema deStokes), debemos exigir que a1an1 sea positivo si a1 < < an1.Si la variedad es lorentziana y elegimos una base coordenada {e0,e1, . . . ,en1}en la que e0 es de gnero tiempo y tal que la nica componente no nula de lanormal sea n0 si la hipersuperficie es espacial ( = 1), esta condicin implicaque se debe satisfacer que n0 sea positivo, es decir, que n0 sea negativo; por tanto,el vector normal na debe apuntar hacia el interior. Anlogamente, escogiendouna base coordenada tal que la nica componente no nula de la normal sea n1 sila hipersuperficie es temporal ( = +1), se debe satisfacer que n1 sea positivo,es decir, que n1 sea positivo; por tanto, el vector normal na debe apuntar haciael exterior.Dado un vector w cualquiera, w. es una (n1)-forma que acta, en general,sobre vectores tangentes a la variedad V . Sus componentes son

(w.)a1an1 = wbba1an1 = nwbn[ba1an1] (1.1)130 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.5. Interludio: principios de covarianciay su derivada exterior es (EJERCICIO) d(w.) = (awa).El teorema de Stokes aplicado a la forma w. implica que

V

(awa)dv = V

d(w.) = V (w.).En el ltimo miembro de esta ecuacin, (w.) es una forma definida sobre lafrontera (n 1)-dimensional V y, por tanto, acta solo sobre vectores tangentesa esta subvariedad (que son perpendiculares a n). As, las componentes de estaforma sobre V son (w.)a1an1 = wbnba1an1 , como se deduce de la ecuacin1.1, es decir, (w.) = nbwb. Por tanto, el teorema de Stokes aplicado a esta(n 1)-forma se convierte en el teorema de Gauss:V

(awa)dv = V wanad.1.5. Interludio: principios de covariancia

Las cantidades fsicas relevantes deben producir nmeros que se puedan me-dir al utilizar coordenadas concretas. Una forma de implementar este requisitoes utilizar tensores que, al actuar sobre los vectores y las formas de una basecoordenada, dan nmeros contrastables con los experimentos. Las leyes de lafsica tienen, a menudo, carcter tensorial, aunque no necesariamente.El principio de covariancia general rige las leyes de la fsica: las nicascantidades que se refieren a la descripcin del espaciotiempo (con lo que estosignifique) que pueden aparecer en las leyes de la fsica son aquellas que defineny determinan su estructura. En particular, no deben aparecer campos o basesvectoriales privilegiadas universales, que se refieran solo a la estructura espacio-temporal. Debe notarse que la invariancia o no de las ecuaciones bajo cambiosde coordenadas no desempea en este principio ningn papel explcito, aunqueest ntimamente relacionado.Supongamos que cierta ley fsica que determina cierta cantidad vectorial Vse puede escribir en una cierta base coordenada {e} de la forma V = zdonde z = (1, 0, 0, 0) es una cantidad fija. Separando sus componentes, esta leyse puede escribir V 0 = 1, V i = 0. En el anlisis de la aplicacin del principiode covariancia general a este ejemplo, se pueden adoptar dos puntos de vista.Por un lado, z no es un vector porque no se transforma adecuadamente bajoun cambio de base z = ez 6= (1, 0, 0, 0) y, en consecuencia, esta ley tampocose transforma adecuadamente, es decir, no es covariante:V 0 = e0V = e00 6= 1, V i = eiV = ei0V 0 6= 0.


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIALSin embargo, siempre podemos definir el vector z = ze, en trminos del cualla ley en cuestin adquiere la forma tensorial V = z , en una base arbitraria,Va = za. Esta ecuacin no es covariante, pero la razn no es que no se transfor-me adecuadamente bajo cambios de base, puesto que s lo hace por definicin.Ms bien, el problema es que el vector z es un objeto tensorial completamen-te ajeno a las cantidades fsicas que introduce una direccin privilegiada en elespaciotiempo.El ejemplo quiz ms relevante en esta asignatura es el de los smbolos deChristoffel. Estos smbolos no pueden aparecer, si no estn derivados, en las leyesde la fsica por no tener carcter tensorial. Tampoco pueden hacerlo los tensoresC que caracterizan una conexin en trminos de una derivada covariante or-dinaria , a pesar de ser tensores. La razn, desde el punto de vista aqu adoptado,es que elegir uno de estos tensores C supone elegir una base coordenada privile-giada en trminos de la cual se define la derivada covariante ordinaria . En otraspalabras, en la ley fsica que contiene C podemos sustituir ste por C = .La derivada covariante determina el transporte paralelo y forma parte de losingredientes que definen la estructura espaciotemporal. Sin embargo, estableceuna base privilegiada de forma enteramente anloga a como lo hace el vector zen el ejemplo anterior, aunque la ley fsica que se est estudiando s est descritade forma covariante. Desde el punto de vista de cambios de coordenadas, la leyque contiene C adquiere una forma especfica en la base coordenada privilegia-da. Un cambio de base coordenada redefine este tensor de forma no tensorial y,por tanto, esta ley no se transforma tensorialmente bajo cambios generales decoordenadas. Ambos puntos de vista son duales y es importante no mezclarlos.De hecho, la situacin es anloga a la distincin entre transformacin activa ypasiva.El principio de covariancia especial se refiere a las simetras que nuestraestructura espaciotemporal posea: dados dos observadores S y S relacionadosmediante la accin de una simetra, los resultados fsicamente posibles de medi-das realizadas por uno tambin son resultados fsicamente posibles de mediadasrealizadas por el otro. Este principio implica que las simetras actan de igualmanera sobre los campos fsicos y sobre los observadores. Ms explcitamente,supongamos que es una simetra. Cada observador (S y S) lleva asociada unabase del espacio tangente ({ea} y {ea}) y ambas estn relacionadas mediante lasimetra : si S = S, entonces e = e. El principio de covariancia especialexige que si T es un campo fsico (no necesariamente tensorial), las medidas querealice S de T darn los mismos resultados que las que realice S de T .Si las leyes de la fsica son tensoriales, es decir, si T es un tensor, entoncesvimos que T(e ) = T(e ) y, por tanto, el principio de covariancia espe-cial queda automticamente implementado por el de covariancia general. Si loscampos fsicos no estn descritos mediante tensores o si el principio de cova-132 luis j. garay Relatividad general (2008/10/22)

1.5. Interludio: principios de covarianciariancia general no tiene aplicacin, todava es posible imponer el principio decovariancia especial haciendo uso de las simetras. La covariancia general es es-pecialmente til cuando no existen simetras que guen la formulacin de leyesfsicas.La covariancia especial se puede imponer, de forma anloga a lo que ocurrecon el principio de covariancia general, en trminos de cambios de coordenadas.Para ello, dada una ley tensorial, escribimos sus componentes en un sistema decoordenadas en trminos de las componentes de todos los tensores que aparecenen ella, incluido el tensor mtrico. Un cambio de coordenadas que correspondea una isometra no afecta a las componentes de la mtrica y, por tanto, teniendoen cuenta las leyes de transformacin de los tensores, vemos que la forma delas ecuaciones no cambia. Es decir, la covariancia especial se puede expresar entrminos de la invariancia de las ecuaciones para las componentes que repre-sentan las leyes de la fsica bajo un grupo especial de cambios de coordenadas,mientras que la covariancia general corresponde a la invariancia bajo cambiosgenerales de coordenadas.


1.6. Ejercicios1.6. Ejercicios1.1 Sea M una variedad n-dimensional y sea a1an el smbolo de Levi-Civita(es completamente antisimtrico y 12n = 1). Demostrar que el smbolo de Levi-Civita no es un tensor. Demostrar que el tensor de Levi-Civita a1an =|g |a1ans lo es. Encontrar la expresin de a1an . Demostrar que todo tensor antisim-trico de tipo (0, n) en una variedad n-dimensional es proporcional al tensor deLevi-Civita a1an .1.2 Encontrar los smbolos de Christoffel para una mtrica arbitraria en unabase en la que es diagonal.1.3 Calcular las componentes de la derivada de Lie de un tensor arbitrario entrminos de la derivada ordinaria y de cualquier derivada covariante simtrica.1.4 Demostrar que la derivada covariante ordinaria es una derivada covariante.Encontrar la relacin entre los smbolos de Christoffel de una conexin asociadosa bases coordenadas diferentes. Demostrar que los smbolos de Christoffel deuna conexin simtrica satisfacen la relacin 2a[bc]ea = [ec,eb] y que, por tanto,en una base coordenada = .1.5 Demostrar que una base del espacio tangente es coordenada si y solo si susvectores conmutan.1.6 Demostrar que si un vector es ortogonal a una familia de hipersuperficies,entonces [abc] = 0. El teorema de Frobenius (ver, por ejemplo, la referencia[2]) garantiza la condicin suficiente, que no demostraremos aqu.1.7 Comprobar las siguientes expresiones en una base coordenada:

a) g = ggg ,b) = 12(log |g |),c) g = |g |1/2 (|g |1/2g ),d) (|g |1/2) = (|g |1/2),e) (|g |1/2T ) = (|g |1/2T ) |g |1/2T .1.8 Deducir la ecuacin de desviacin geodsica. Calcular la diferencia entre unvector y su transportado paralelamente a lo largo de una curva cerrada.

1.9 Demostrar las propiedades de simetra de los tensores de curvatura de unaconexin mtrica.Relatividad general (2008/4/14) luis j. garay 135

TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL1.10 Dada la transformacin conforme g = 2g , escribir la derivada covariante compatible con g en trminos de la derivada covariante compatible con g .Encontrar los tensores de Riemann, de Ricci, el escalar de curvatura y el tensorde Weyl de la nueva mtrica g .1.11 Calcular los tensores de curvatura de una mtrica conformemente plana.1.12 Calcular la divergencia del tensor de Einstein y del tensor de Weyl.1.13 Encontrar la ecuacin de las geodsicas mediante un principio variacionalpara la longitud l = dt|x2|1/2 y para la accin S = dtx2.1.14 Demostrar que todo campo de Killing satisface las siguientes propiedades:

a) ab +ba = 0,b) abc = R dbca d,c) aab = R cb c1.15 Dada la mtrica de Robertson-Walker, calcular su tensor de Riemann y sutensor de Weyl.1.16 Demostrar las ecuaciones de Gauss y de Gauss-Codazzi.1.17 Demostrar el teorema de Stokes y determinar la orientacin de la fronterade la variedad para que se verifique este teorema.


Tema 2Mecnica newtonianay relatividad especial

2.1. Mecnica newtoniana2.1.1. Espaciotiempo galileano2.1.2. Espaciotiempo newtoniano2.1.3. El campo gravitatorio como fuerza externa2.1.4. El principio de covariancia especial de Galileo2.2. Relatividad especial2.3. Resumen2.4. Ejercicios


2.1. Mecnica newtoniana2.1. Mecnica newtoniana

Un estudio de este tema puede encontrarse, por ejemplo, en la referencia [4] yen A.N. Bernal, M. Snchez, J. Math. Phys. 44 (2003) 1129; Leibnizian, Galileanand Newtonian structures of space-time.2.1.1. Espaciotiempo galileano

Un espaciotiempo galileano es una variedad diferenciable cuadridimensionalM con la siguiente estructura adicional.

Tiempo absoluto: Es una aplicacin t :M R de clase C y cuyo gradienteno se anula en ningn punto de la variedad, dt 6= 0, definida de forma nicasalvo cambios afines, es decir, si t es el tiempo absoluto, at + b con a > 0tambin lo es.Superficies de simultaneidad: Dos sucesos dos puntos de M p y qson simultneos si y solo si t(p) = t(q). El conjunto de sucesos simultneosa p es una seccin espacial que divide a M en dos regiones: el pasado y elfuturo de p.Las secciones espaciales son variedades diferenciables tridimensionales rie-mannianas planas difeomorfas a R3.Una conexin compatible con el tiempo absoluto y con la mtrica planaespacial.

Un espaciotiempo galileano no admite una mtrica espaciotemporal debido ala incompatibilidad con el tiempo absoluto (EJERCICIO).Diremos que un vector w es de gnero tiempo si y solo si dt,w 6= 0 y degnero espacio si y solo si dt,w = 0.Sea t = t un generador del flujo temporal absoluto, es decir, t(t) = dt, t = 1.Notemos que, en realidad, es suficiente exigir que dt, t = a > 0. Sin prdidade generalidad, hemos elegido a = 1 pues diferentes valores de a correspon-den a diferentes sistemas de unidades temporales. Cualquier curva cuyo vectortangente t satisfaga esta condicin est parametrizada por el tiempo absoluto yrepresenta la trayectoria espaciotemporal de un observador, que llamaremos ob-servador fundamental, cuyo reloj mide el tiempo absoluto. La diferencia entredos observadores fundamentales con vectores tangentes t y t = t+v, donde v esun vector espacial que representa la velocidad espacial con la que se separan (enrealidad, v podra tener una componente temporal constante que, como hemosvisto, inducira simplemente un cambio de unidades temporales).Relatividad general (2008/10/28) luis j. garay 23

TEMA 2. MECNICA NEWTONIANA Y RELATIVIDAD ESPECIALSea h la mtrica plana de las secciones espaciales, es decir, el push-forwardde la mtrica plana en R3, que acta solo sobre tensores espaciales. Puesto quela conexin en esta variedad es plana, las coordenadas normales centradas enun punto o asociadas con una base {ei} del espacio tangente, donde los vectoresei son ortonormales, son rectas no solo localmente sino globalmente. En estesistema cartesiano de coordenadas centrado en el punto o, el tensor mtrico sepuede escribir como hab = e ia e jb ij .Para determinar completamente la estructura espaciotemporal, nos queda fi-jar una conexin espaciotemporal. Veamos cul es la conexin espaciotemporal ms general compatible con la estructura de tiempo absoluto y de seccionesplanas, es decir, tal que(dt) = 0 yh = 0. Para ello, elegimos una base coorde-nada, escribimos la conexin ms general en trminos de la derivada ordinariaasociada a esa base y los smbolos de Christoffel, que determinaremos a partir delas condiciones de compatibilidad. Aunque para este cometido sirve cualquier ba-se coordenada, elegiremos por sencillez una que contenga los vectores espacialesortonormales ei que, en principio, podran depender de la seccin espacial, esdecir, del tiempo absoluto t. Sin embargo, para que, dado un cuarto vector t = tasociado a un observador fundamental, el conjunto sea una base coordenada,se debe satisfacer que [e,e] = 0, lo que implica (EJERCICIO) que tei = 0. A lavista de esta condicin, resulta conveniente escoger un sistema de referenciafundamental S = {o, t,ei} definido por el centro o y la base coordenada {t,ei}del espacio vectorial tangente.La condicin de compatibilidad de la derivada covariante con el tiempoabsoluto adquiere la siguiente forma en este sistema de referencia:

0 =(t) = t t = 0.La compatibilidad con la mtrica espacial implica que

0 =ij = 2l (ij)l,Las componentes espaciales ( = k) de esta ecuacin se traducen en que laparte espacial del smbolo de Christoffel se debe anular, i jk = 0 (en efecto,i jk son las componentes espaciales de la conexin compatible con la mtricaplana en coordenadas cartesianas). La componente temporal ( = 0), nos diceque l 0ijl = l 0[ij]l ijkk. Por tanto, las componentes en esta base de laconexin ms general compatible con la estructura de espaciotiempo galileanoson = 0, excepto i00 g i, i0j ijkk.Esta conexin galileana queda completamente determinada por los vectores es-paciales g = tt y = eiijkjtk/2 o, en componentes, ga = tbbta ya = e ai ijkjtk/2 que reciben el nombre de campo gravitatorio y de vorticidad,24 luis j. garay Relatividad general (2008/10/28)

2.1. Mecnica newtonianarespectivamente, del observador fundamental S (cuyas trayectorias son tangentesal vector t). Es fcil ver que las vorticidades de dos observadores fundamenta-les cualesquiera tales que t = t + v estn relacionadas mediante la expresin = + v (EJERCICIO). As, la condicin necesaria y suficiente para que unespaciotiempo galileano no tenga vorticidad intrnseca (es decir, para que existaun observador fundamental sin vorticidad) es que la vorticidad de cualquier siste-ma de referencia fundamental se pueda escribir como el rotacional (obviamenteespacial) de un campo vectorial espacial.Llamaremos sistemas de referencia newtonianos, si existen, a los sistemas dereferencia que no tienen vorticidad y tales que la conexin galileana permaneceinvariada, es decir, es invariante bajo difeomorfismos temporales generados port. Evidentemente, la condicin de que se preserve la conexin en el flujo temporalgalileano implica que Ltg = 0 o, lo que es lo mismo, que el campo gravitatorio gdebe ser independiente del tiempo absoluto t.2.1.2. Espaciotiempo newtoniano

Un espaciotiempo newtoniano es un espaciotiempo galileano sin vorticidadintrnseca, es decir, tal que admite un sistema de referencia newtoniano. Al con-siderar solo espaciotiempos newtonianos, es decir, al restringir las conexionesgalileanas de forma que no tengan vorticidad, excluimos comportamientos queno se observan experimentalmente (por ejemplo, la imposibilidad de tener fluidosen reposo). Obviamente, que el espaciotiempo no tenga vorticidad intrnseca noquiere decir que en ciertos sistemas de referencia no se observe vorticidad. Aun-que, en general, un espaciotiempo galileano arbitrario no admitir observadoresnewtonianos, nosotros consideraremos solo espaciotiempos que s los admiten.En un sistema de referencia newtoniano para el que el campo gravitatorio esg , las nicas componentes independientes no nulas del tensor de Riemann son(EJERCICIO) R i0k0 = kg i.En una base arbitraria, este tensor se puede escribir (EJERCICIO) de la formaR dabc = 2[atb]gdct. Calculando su traza, obtenemos (EJERCICIO) el tensor deRicci Rab = atbtcgc. En las regiones que no contienen fuentes del campogravitatorio, la divergencia del mismo se anula y tambin lo hace el tensor deRicci. Por tanto, en estas regiones, el tensor de Riemann es igual al de Weyl, queno se anula en general y que determina la desviacin geodsica.El principio de covariancia general nos sugiere que, para describir las leyes dela mecnica, deberamos utilizar tensores definidos sobre la variedad espaciotem-poral permitiendo que, en dichas leyes, aparezca la estructura espaciotemporalRelatividad general (2008/10/28) luis j. garay 25

TEMA 2. MECNICA NEWTONIANA Y RELATIVIDAD ESPECIALgalileana: el tiempo absoluto, las secciones espaciales riemannianas planas, elcampo gravitatorio y la vorticidad.

Si una partcula no se ve afectada por ningn agente externo, es decir, eslibre, no existe ninguna razn para que cambie su estado de movimiento. Enotras palabras, no existe ninguna razn para que el vector tangente xa de latrayectoria espaciotemporal de una partcula libre se modifique en su evolucin.Si lo hiciera, deberamos ser capaces de identificar la causa. Por tanto, el vectortangente de la trayectoria de una partcula libre es transportado paralelamentea lo largo de la misma y es, por tanto, una geodsica. Si la partcula no es libre,el vector tangente ya no ser transportado paralelamente. Una posible raznpara este comportamiento es que no se haya utilizado el tiempo absoluto comoparmetro de evolucin pero, dado que el tiempo absoluto forma parte de laestructura espaciotemporal, esta razn es claramente espuria. En lo que sigue,siempre utilizaremos el tiempo absoluto como parmetro de evolucin, de formaque dt, x = atxa = 1. El cambio de dicho vector tangente ser causado poralgn agente externo que llamaremos fuerza. Adems, llamaremos masa deun cuerpo a la magnitud fsica que da cuenta de su resistencia al cambio deestado de movimiento ante las fuerzas externas. Por tanto, la ecuacin que rigeel movimiento de un cuerpo afectado por fuerzas externas esx = f/m, xa = xbbxa = fa/m,

donde f es la suma total de todas las fuerzas espaciales (no gravitatorias) queactan sobre l y m es su masa. Las fuerzas son tensores espaciales puestoque, si multiplicamos esta ecuacin por at , vemos que la compatibilidad de laconexin con el tiempo absoluto exige que atfa = 0 para que dt, x = atxapermanezca constante. Esta ecuacin es covariante general puesto que, en ella,las nicas cantidades que afectan a la estructura espaciotemporal son las quedefinen dicha estructura.La siguiente cuestin es saber, dado un sistema de referencia newtonianoS = {o, t,ei} que observa un campo gravitatorio g , qu otros sistemas newto-nianos S = {o, t ,ei} observarn el mismo campo gravitatorio g . Como vimos,dado un observador fundamental t, cualquier ot

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Apuntes Garay - Relatividad General - Universidad Complutense de Madrid (1)

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