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Introducci´on a la L´ ogica Matem´ atica ´ Algebra Araceli Guzm´ an y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM Semestre 2018-1 doyouwantmektalwar.wordpress.com
Introduccion a la Logica Matematica
Algebra
Araceli Guzman y Guillermo Garro
Facultad de CienciasUNAM
Semestre 2018-1
doyouwantmektalwar.wordpress.com
Logica y conjuntos Algebra
Referencias basicas
1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.
2. Bravo, Rincon, Rincon, Algebra superior, 2006. Bajar aquı.
3. Carmen Gomez, Algebra superior, 2014. Bajar aquı.
4. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı
5. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior, 1990. Bajar aquı.
6. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos, 1965. Bajar aquı.
Otras referencias
1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.
2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.
3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.
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Logica y conjuntos Algebra
Referencias basicas
1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.
2. Bravo, Rincon, Rincon, Algebra superior, 2006. Bajar aquı.
3. Carmen Gomez, Algebra superior, 2014. Bajar aquı.
4. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı
5. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior, 1990. Bajar aquı.
6. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos, 1965. Bajar aquı.
Otras referencias
1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.
2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.
3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.
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Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son relaciones (funciones de “verdad”) con las cuales podemoscombinar proposiciones para formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son relaciones (funciones de “verdad”) con las cuales podemoscombinar proposiciones para formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son relaciones (funciones de “verdad”) con las cuales podemoscombinar proposiciones para formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Conectivos logicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACION INTERPRETACION
¬ Negacion ¬pNo p.
No sucede p.
∧ Conjuncion p ∧ q p y q
∨ Disyuncion p ∨ q p o q
Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas
⇒ p ⇒ q
p implica q.
Si p entonces q.
Implicacion q si p.
(o condicional) p solo si q
p es condicion suficiente para q.
q es condicion necesaria para p.
⇔ p ⇔ q
p si, y solo si, q.
Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.
(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.
p es equivalente a q.
El condicional: Una cuestion gramatical
La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q
se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:
Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.
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Conectivos logicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACION INTERPRETACION
¬ Negacion ¬pNo p.
No sucede p.
∧ Conjuncion p ∧ q p y q
∨ Disyuncion p ∨ q p o q
Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas
⇒ p ⇒ q
p implica q.
Si p entonces q.
Implicacion q si p.
(o condicional) p solo si q
p es condicion suficiente para q.
q es condicion necesaria para p.
⇔ p ⇔ q
p si, y solo si, q.
Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.
(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.
p es equivalente a q.
El condicional: Una cuestion gramatical
La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q
se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:
Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.
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Logica y conjuntos Algebra
Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones
p : El viento sopla muy fuerte.
q : Se caen las hojas de los arboles.
Tenemos entonces
Operacion Significado
¬p El viento no sopla muy fuerte.
p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles.
p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.
p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien
se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces
se caen las hojas de los arboles.
p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,
se caen las hojas de los arboles.
El objeto de la logica... mas o menos
La logica (matematica o proposicional o simbolica) es formal en el sentidode que carece de contenido. Esto es, no es asunto de la logica averiguarque afirmaciones son verdaderas o falsas, ni es un teorıa de la verdad. Lalogica es el estudio metodico de las reglas (formas, estructuras, etc.) querigen las relaciones existentes entre ciertos objetos llamados proposiciones,los cuales admiten solo dos valores (llamados valores de verdad), formadasmediante funciones proposicionales llamadas conectivos.
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Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones
p : El viento sopla muy fuerte.
q : Se caen las hojas de los arboles.
Tenemos entonces
Operacion Significado
¬p El viento no sopla muy fuerte.
p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles.
p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.
p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien
se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces
se caen las hojas de los arboles.
p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,
se caen las hojas de los arboles.
El objeto de la logica... mas o menos
La logica (matematica o proposicional o simbolica) es formal en el sentidode que carece de contenido. Esto es, no es asunto de la logica averiguarque afirmaciones son verdaderas o falsas, ni es un teorıa de la verdad. Lalogica es el estudio metodico de las reglas (formas, estructuras, etc.) querigen las relaciones existentes entre ciertos objetos llamados proposiciones,los cuales admiten solo dos valores (llamados valores de verdad), formadasmediante funciones proposicionales llamadas conectivos.
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Logica y conjuntos Algebra
Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
F F
F F F V V
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Logica y conjuntos Algebra
Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
F F
F F F V V
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Logica y conjuntos Algebra
Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V
V F V V
V F F
V V F F
F V F
V V V F
F F F
F F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V
F V V
V F F V
V F F
F V F V
V V F
F F F F
F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F
V V
V F F V V
F F
F V F V V
V F
F F F F F
V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F V
V
V F F V V F
F
F V F V V V
F
F F F F F V
V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
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Logica y conjuntos Algebra
Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V V V V
V F F
V F F V
F V F
V V F F
F F V
V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V
V V
V F F
V
F
F V
F V F
V
V
F F
F F V
V
V
V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V
V
V
V F F
V
F
F
V
F V F
V
V
F
F
F F V
V
V
V
V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V V V
V F F
V
F F V
F V F
V
V F F
F F V
V
V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Una equivalencia esperada
Veamos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad essiempre V independientemente de los valores de verdad de susproposiciones componentes, es llamada Tautologıa o Ley Logica.
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V F V
V F V
V V F
F V V
V V F
F F F
V F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V F
V
V F V
V V
F
F V V
V V
F
F F F
V F
V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V
F V
V F V
V
V F
F V V
V
V F
F F F
V
F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Negacion del bicondicional
Es tautologıa:(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es, la diferencia simetrica pY q es equivalente a la negacion de la doble implicacionp⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒
Es tautologıa:[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇒ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒
Es tautologıa:[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇒ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒
Es tautologıa:[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V
V V V V
V V F V
F F V F
V F V F
F V V V
V F F F
F V V F
F V V V
V V V V
F V F V
F F V V
F F V V
V V V V
F F F V
V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇒ (p⇔ r)
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Es tautologıa:[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
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V V V V
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F F F V
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Transitividad de ⇔
Se sigue que
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V V V V
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Se sigue que
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V V V V V V
V
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F F V V V V
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F F F V V V
V
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Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇒ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
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F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
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Se sigue que
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V V V V V V V V
V V F V F F V F
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F V V V V V V V
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Logica y conjuntos Algebra
Las Leyes de De Morgan
Las proposiciones
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
F F
V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las proposiciones
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¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
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Las proposiciones
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Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F
F V V F
V F F V
V F V V
F V V F
V F V V
F F V V
V F V V
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Las proposiciones
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son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F
F
V
V F
V F F V
V
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V V
F V V F
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F F V V
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¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V
V F
V F F V V F
V V
F V V F V F
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Las proposiciones
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¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V
V
F
V F F V V F
V
V
F V V F V F
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V
F F V V V F
V
V
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son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
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Las proposiciones
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
son equivalencias logicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Logica y conjuntos Algebra
Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
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O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
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O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
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¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
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es tautologica.
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¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Equivalencias de ⇒
Son tautologıas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Logica y conjuntos Algebra
Equivalencias de ⇒
Son tautologıas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
Son tautologıas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F
V V V F
V F V
F V F V
F V F
V V V F
F F V
V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V V F
V F V F
V F V
F V F V
V V F
F F V V
V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Son tautologıas:
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(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V V
F
V F V F
V F
V
F V F V
V V
F
F F V V
V V
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De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V
V F
V F V F
V
F V
F V F V
V
V F
F F V V
V
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De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
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p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
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(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Para la equivalencia (2):(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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Para la equivalencia (2):(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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Logica y conjuntos Algebra
Para la equivalencia (2):(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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Logica y conjuntos Algebra
Para la equivalencia (2):(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera leyde De Morgan e involucion, las dobles implicaciones que siguen son tautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔ (¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔ (¬p ∨ q) – involucion.
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar ladisyuncion ¬p ∨ q.
¿Como negar ⇒?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalenciases que proporciona una formula para negar ⇒:
¬(p⇒ q)⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ p ∧ ¬q –involucion.
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Logica y conjuntos Algebra
Las reglas basicas: Leyes conmutativas
Conmutatividad de ∨:
(p ∨ q)⇔ (q ∨ p)
p q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
Conmutatividad de ∧:
(p ∧ q)⇔ (q ∧ p)
p q (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F V F
Conmutatividad de ⇔:
(p⇔ q)⇔ (q ⇔ p)
(p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] –primera equivalencia de⇔
⇔ [(q ⇒ p) ∧ (p⇒ q)] –conmutatividad de ∧
⇔ (q ⇔ p) –primera equivalencia de⇔.
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Logica y conjuntos Algebra
Las reglas basicas: Leyes asociativas
Asociatividad de ∨:
(p ∨ (q ∨ r))⇔ ((p ∨ q) ∨ r)
La tabla es un buen ejercicio.
Asociatividad de ∧:
(p ∧ (q ∧ r))⇔ ((p ∧ q) ∧ r)
La tabla es un buen ejercicio.
Convenios: Eliminacion de parentesis
Escribimos p ∧ q ∧ r en lugar de (p ∧ q) ∧ r. E igualmente, p ∨ q ∨ r por (p ∨ q) ∨ r.
Las expresionesp1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn y p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn
se definen recursivamente
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn = p1 ∧ (p2 ∧ (· · · ∧ (pn−1 ∧ pn) · · · ))
p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn = p1 ∨ (p2 ∨ (· · · ∨ (pn−1 ∨ pn) · · · ))
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Logica y conjuntos Algebra
Consecuencias importantes: Ley del contrarecıproco
Es tautologıa:(p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Primero vamos a dar una prueba mediante una tabla.
p q ¬p ¬q(p⇒ q
)⇔
(¬q ⇒ ¬p
)V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F V V V
F F V V V V V
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Logica y conjuntos Algebra
Consecuencias importantes: Ley del contrarecıproco
Es tautologıa:(p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Primero vamos a dar una prueba mediante una tabla.
p q ¬p ¬q(p⇒ q
)⇔
(¬q ⇒ ¬p
)V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F V V V
F F V V V V V
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Logica y conjuntos Algebra
Consecuencias importantes: Ley del contrarecıproco
Es tautologıa:(p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Ahora un argumento sin tablas. Los bicondicionales siguientes son tautologicos:(p⇒ q
)⇔ ¬(p ∧ ¬q) –primera equivalencia de⇒
⇔ ¬(¬q ∧ p) –conmutatividad de ∧
⇔ ¬(¬q ∧ ¬(¬p)) –involucion
⇔(¬q ⇒ ¬p
)–primera equivalencia de⇒
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Logica y conjuntos Algebra
Corolario
Es tautologıa:(p⇔ q)⇔ (¬p⇔ ¬q)
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos
(p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] –primera equivalencia de⇔
⇔ [(¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p⇒ ¬q)] –ley del contra-recıproco
⇔ (¬q ⇔ ¬p) –primera equivalencia de⇔
⇔ (¬p⇔ ¬q) –conmutatividad de⇔.
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Logica y conjuntos Algebra
Corolario
Es tautologıa:(p⇔ q)⇔ (¬p⇔ ¬q)
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos
(p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] –primera equivalencia de⇔
⇔ [(¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p⇒ ¬q)] –ley del contra-recıproco
⇔ (¬q ⇔ ¬p) –primera equivalencia de⇔
⇔ (¬p⇔ ¬q) –conmutatividad de⇔.
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Logica y conjuntos Algebra
Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
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F
F
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F
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V
F
F
F
F
F
F
F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
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V
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F
F
F
F
F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V
V
V V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V F
V
V
V
V
V
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F
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V
F V V
V
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V
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F
F F F
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V V V
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V V F
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F
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F
F V V
V
F
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F F F
V
F
F
F
F
F
F
F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V
V
V V V
V
V V V
V
V
V
V
V
V
V V F
V
V V V
V
V
F
F
V
V
F V V
V
V F F
V
V
V
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V
F
F F F
V
V F F
F
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V V V
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F F V
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F F V
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F
F
F V V
V
F F F
F
F
F
V
F
F
F F F
V
F F F
F
F
F
F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V
V
V V V
V
V V V
V
V V V
V
V
V V F
V
V V V
V
V F F
V
V
F V V
V
V F F
V
V V V
V
F
F F F
V
V F F
F
V F F
F
F
V V V
V
F F V
F
F F V
F
F
V V F
V
F F V
F
F F F
F
F
F V V
V
F F F
F
F F V
F
F
F F F
V
F F F
F
F F F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V V V V V
V
V V V
V
V V V
V V V V F
V
V V V
V
V F F
V V F V V
V
V F F
V
V V V
V F F F F
V
V F F
F
V F F
F F V V V
V
F F V
F
F F V
F F V V F
V
F F V
F
F F F
F F F V V
V
F F F
F
F F V
F F F F F
V
F F F
F
F F F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V V V V V
V
V V V V V V V
V V V V F
V
V V V V V F F
V V F V V
V
V F F V V V V
V F F F F
V
V F F F V F F
F F V V V
V
F F V F F F V
F F V V F
V
F F V F F F F
F F F V V
V
F F F F F F V
F F F F F
V
F F F F F F F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
( p ∧ ( q ∨ r ) ) ⇔ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) )
V V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V V F F
V V F V V V V F F V V V V
V F F F F V V F F F V F F
F F V V V V F F V F F F V
F F V V F V F F V F F F F
F F F V V V F F F F F F V
F F F F F V F F F F F F F
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para probar (2) tambien se puede hacer una tabla, pero eso es demasıado tedioso.Podemos llegar a ella justificando mediante las reglas ya probadas, que los siguientesbicondicionales son tautologicos:
p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion
⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)
⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion
Por transitividad,(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
es tautologıa, como querıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por laizquierda. Pero es muy facil deducir como tambien se valen por la derecha,usando conmutatividad:
(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)
⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).
Analogamente se prueba
(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para probar (2) tambien se puede hacer una tabla, pero eso es demasıado tedioso.Podemos llegar a ella justificando mediante las reglas ya probadas, que los siguientesbicondicionales son tautologicos:
p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion
⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)
⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion
Por transitividad,(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
es tautologıa, como querıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por laizquierda. Pero es muy facil deducir como tambien se valen por la derecha,usando conmutatividad:
(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)
⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).
Analogamente se prueba
(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
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Leyes distributivas
Son tautologıas:
(p ∧ (q ∨ r))⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (1)
(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (2)
Para probar (2) tambien se puede hacer una tabla, pero eso es demasıado tedioso.Podemos llegar a ella justificando mediante las reglas ya probadas, que los siguientesbicondicionales son tautologicos:
p ∨ (q ∧ r)⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involucion
⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)
⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involucion
Por transitividad,(p ∨ (q ∧ r))⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
es tautologıa, como querıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por laizquierda. Pero es muy facil deducir como tambien se valen por la derecha,usando conmutatividad:
(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)
⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).
Analogamente se prueba
(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
p⇒ p
p ⇒ p
V V V
F V F
p⇔ p
p ⇔ p
V V V
F V F
(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)
p q (p⇔ q) ⇒ (p⇒ q)
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F V V V
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas con nombre propio
Adicion:
p⇒ (p ∨ q)
p ⇒ (p ∨ q)
V V V V V
V V V V F
F V F V V
F V F F F
Simplificacion:
(p ∧ q)⇒ p
(p ∧ q) ⇒ p)
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V F
Consecuencia:(p ∧ q)⇒ (p ∨ q)
Demostracion.
(p ∧ q)⇒ p⇒ (p ∨ q).
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
Idempotencia:
(p ∨ p)⇔ p
(p ∨ p) ⇔ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia:
(p ∨ q)⇔ (p ∨ p ∨ q)
Idempotencia:
(p ∧ p)⇔ p
(p ∧ p) ⇒ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia:
(p ∧ q)⇔ (p ∧ p ∧ q)
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
Conjuncion con una tautologıa:
[(p ∨ ¬p) ∧ q]⇔ q
[(p ∨ ¬p) ∧ q] ⇔ q
V V F V V V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F V V F F V F
Disyuncion con un absurdo:
[(p ∧ ¬p) ∨ q]⇔ q
[(p ∧ ¬p) ∨ q] ⇔ q
V F F V V V V
V F F F F V F
F F V V V V V
F F V F F V F
Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradiccion
En particular tenemos las tablas,
Ley del tercero excluido
p ∨ ¬pV V F
V V F
F V V
F V V
Ley de no contradiccion
p ∧ ¬pV F F
V F F
F F V
F F V
Esto es, p∨¬p es una tautologıa (es siempre V independientementede los valores de sus proposiciones componentes).
Mientras que p ∧ ¬p es un absurdo (es siempre F independiente-mente de los valores de sus proposiciones componentes).
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Otras utilısimas leyes logicas
Conjuncion con una tautologıa:
[(p ∨ ¬p) ∧ q]⇔ q
[(p ∨ ¬p) ∧ q] ⇔ q
V V F V V V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F V V F F V F
Disyuncion con un absurdo:
[(p ∧ ¬p) ∨ q]⇔ q
[(p ∧ ¬p) ∨ q] ⇔ q
V F F V V V V
V F F F F V F
F F V V V V V
F F V F F V F
Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradiccion
En particular tenemos las tablas,
Ley del tercero excluido
p ∨ ¬pV V F
V V F
F V V
F V V
Ley de no contradiccion
p ∧ ¬pV F F
V F F
F F V
F F V
Esto es, p∨¬p es una tautologıa (es siempre V independientementede los valores de sus proposiciones componentes).
Mientras que p ∧ ¬p es un absurdo (es siempre F independiente-mente de los valores de sus proposiciones componentes).
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Logica y conjuntos Algebra
Otra caracterizacion del bicondicional ⇔
Es tautologıa:
(p⇔ q)⇔ [(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)]
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos:
(p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] –primera caracterizacion del bicondicional
⇔ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] –segunda equivalencia del condicional
⇔ [((¬p ∨ q) ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∨ q) ∧ p))] – ∧ se distribuye sobre ∨
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] – ∨ se distribuye sobre ∧ (y asoc.)
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p)] – (q ∧ ¬q) y (¬p ∧ p) son absurdos
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)] – conmutatividad de ∧
⇔ [¬(p ∨ q) ∨ (p ∧ q)] –De Morgan (1)
⇔ [(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)] –segunda equivalencia del condicional
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Otra caracterizacion del bicondicional ⇔
Es tautologıa:
(p⇔ q)⇔ [(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)]
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos:
(p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] –primera caracterizacion del bicondicional
⇔ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] –segunda equivalencia del condicional
⇔ [((¬p ∨ q) ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∨ q) ∧ p))] – ∧ se distribuye sobre ∨
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] – ∨ se distribuye sobre ∧ (y asoc.)
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p)] – (q ∧ ¬q) y (¬p ∧ p) son absurdos
⇔ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)] – conmutatividad de ∧
⇔ [¬(p ∨ q) ∨ (p ∧ q)] –De Morgan (1)
⇔ [(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)] –segunda equivalencia del condicional
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Logica y conjuntos Algebra
Una equivalencia inesperada
Es tautologıa:(p⇔ ¬q)⇔ ¬(p⇔ q)
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos:
(p⇔ ¬q)⇔ [(p⇒ ¬q) ∧ (¬q ⇒ p)] –primera caraterizacion del bicondicional
⇔ [(¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬q ∨ p)] –segunda equivalencia del condicional
⇔ [¬(p ∧ q) ∧ (q ∨ p)] –De Morgan e involucion
⇔ [(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)] –conmutatividad de ∨ y ∧
⇔ ¬[(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)] –primera equivalencia del condicional
⇔ ¬(p⇔ q) –segunda caraterizacion del bicondicional
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Logica y conjuntos Algebra
Una equivalencia inesperada
Es tautologıa:(p⇔ ¬q)⇔ ¬(p⇔ q)
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos:
(p⇔ ¬q)⇔ [(p⇒ ¬q) ∧ (¬q ⇒ p)] –primera caraterizacion del bicondicional
⇔ [(¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬q ∨ p)] –segunda equivalencia del condicional
⇔ [¬(p ∧ q) ∧ (q ∨ p)] –De Morgan e involucion
⇔ [(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)] –conmutatividad de ∨ y ∧
⇔ ¬[(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)] –primera equivalencia del condicional
⇔ ¬(p⇔ q) –segunda caraterizacion del bicondicional
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Logica y conjuntos Algebra
¡Sorprendente!
Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia simetrica Y son equivalentes.
En otras palabras, es tautologıa:
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [(p Y q) Y r]
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [¬(p⇔ q)⇔ ¬r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q)⇔ ¬r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
⇔ ¬[(p Y q)⇔ r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q) Y r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
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Logica y conjuntos Algebra
¡Sorprendente!
Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia simetrica Y son equivalentes.
En otras palabras, es tautologıa:
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [(p Y q) Y r]
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [¬(p⇔ q)⇔ ¬r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q)⇔ ¬r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
⇔ ¬[(p Y q)⇔ r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q) Y r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
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Logica y conjuntos Algebra
¡Sorprendente!
Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia simetrica Y son equivalentes.
En otras palabras, es tautologıa:
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [(p Y q) Y r]
En efecto, los bicondicionales siguientes son tautologicos
[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [¬(p⇔ q)⇔ ¬r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q)⇔ ¬r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
⇔ ¬[(p Y q)⇔ r] –⇔ no se altera con las negacion de sus componentes
⇔ [(p Y q) Y r] – Y es equivalente a la negacion de⇔
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Logica y conjuntos Algebra
¡Sorprendente!
Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia simetrica Y son equivalentes.
Es tautologıa:[(p⇔ q)⇔ r]⇔ [(p Y q) Y r]
Y ahora una tabla para los escepticos...
[( p ⇔ q ) ⇔ r ] ⇔ [( p Y q ) Y r ]
V V V V V V V F V V V
V V V F F V V F V F F
V F F F V V V V F F V
V F F V F V V V F V F
F F V F V V F V V F V
F F V V F V F V V V F
F V F V V V F F F V V
F V F F F V F F F F F
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Logica y conjuntos Algebra
La funcion de Sheffer
No es frecuente que las iteraciones de un conectivo sean iguales a las iteraciones de sunegacion.
Por ejemplo la “barra (o funcion) de Sheffer”, es el conectivo |, (o tambien ↑) determi-nado por la tabla de valores de verdad
p q p | qV V F
V F V
F V V
F F V
(3)
Es decir, la proposicion p | q (“p barra q”) es F si, y solo si, ambas p y q son V. Entoncesinterpretamos p | q como “p es incompatible con q”.
Es facil comprobar que es tautologıa
(p | q)⇔ ¬(p ∧ q).
Por lo que la barra de Sheffer es tambien denominada como NAND, es decir, “no and”,y entonces leemos p | q como “pNAND q”
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Logica y conjuntos Algebra
La funcion de Sheffer
Vamos a comprobar que las proposiciones siguientes no son equivalentes
(p ∧ q) ∧ r y (p | q) | r
[( p ∧ q ) ∧ r ] ⇔ [( p | q ) | r ]
V V V V V V V F V V V
V V V F F F V F V V F
V F F F V V V V F F V
V F F F F F V V F V F
F F V F V V F V V F V
F F V F F F F V V V F
F F F F V V F V F F V
F F F F F F F V F V F
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Logica y conjuntos Algebra
Ley del reemplazo
NOTA: Poner mejor en un flachazo hasta el final y decir que esta es una regla que haestado presente en casi todas las pruebas logicas.
Supongamos que T(p, q) es una formula (una proposicion compuesta) en donde inter-vienen dos proposiciones p y q (puede que haya otras proposiciones formando parte dela formula, pero para simplificar solo vamos a pensar en este caso sencillo). Supong-amos ademas que p y p son dos proposiciones logicamente equivalentes. Entonces lasproposiciones T(p, q) y T(p, q) son logicamente equivalentes. Esto es
T(p, q)⇔ T(p, q)
es tautologıa.
Si p⇒ p es V, entonces T(p, q)⇒ T(p, q) es V.
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Logica y conjuntos Algebra
Truth Table Generator
Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las mas destacadas sonlas siguientes:
Truth table tool de la clase CS 103 Mathematical of Computing, de la Stanford Uni-versity.
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Logica y conjuntos Algebra
Truth Table Generator
Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las mas detacadas son lassiguientes:
Truth table generator, desarrollada por Michael Rieppel, profesor adjunto en el Philos-ophy Department at Syracuse University.
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Logica y conjuntos Algebra
¿Que deberıamos preguntar?
1. ¿Cuantos conectivos binarios hay?
2. ¿Hay conectivos “ternarios”? ¿Cuantos?
3. Todavıa mas, si entendemos por conectivo n-ario (con n un entero posito arbitrario)como una funcion tal que asigna unicamente dos valores de verdad a n proposi-ciones, ¿cuantos conectivos n-arios hay?
Y tales conectivos, ¿sirven de algo?
No podemos contestar en este curso estas y otras preguntas que nos obligarıan a exten-dernos mucho mas de lo debido. Baste decir que, puede demostrarse que es suficiente(mas que suficiente de hecho), estudiar la lista de los pocos conectivos que hemosrevisado aquı para tener una teorıa de la logica (proposicional) digamos completa.
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