Arriésgate - Universiteit Utrecht...6 2 3 Durante el almuerzo, Helena y Roberto quieren jugar al...

ArriésgateAnálisis de datosy probabilidad

Lasmatemáticas

encontexto

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center for EducationResearch (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad de Educación,de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute (InstitutoFreudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo del subsidion.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional para lasCiencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del sub-sidio n.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Jonker, V., van Galen, F., Boswinkel, N., Wijers, M., Bakker, A., Simon, A. N., Burrill,G. y Middleton, J. A. (2006). Arriésgate. Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago:Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisivao por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto auna licencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago,IL 60610.

ISBN 0-03-093043-X

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Vincent Jonker, Frans van Galen, Nina Boswinkel y Monica Wijers desarrollaron la primeraversión de Arriésgate. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es deAaron N. Simon, Gail Burrill y James A. Middleton.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Arthur Bakker y Monica Wijers desarrollaron la versión revisada de Arriésgate. La adaptación para suuso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCordinadora editorial Cordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y ellogotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (izquierda, derecha) © GettyImages; (medio) © Corbis

Ilustraciones4 (abajo) Jason Millet; 6 (arriba izquierda y derecha) Mona Daily; (abajo) Jason Millet; 13 (arriba, abajo izquierda y medio), 15 (arriba yabajo) Jason Millet; 23 (arriba) Holly Cooper-Olds; (abajo izquierda)Mona Daily; 27 (todas) 31 (izquierda) Jason Millet

Fotografías1 (todas) Mary Stone Photography/HRW; 2, 3 (izquierda) VictoriaSmith/HRW; (medio) Mary Stone Photography/HRW; (derecha) ©PhotoDisc/Getty Images; 7 (arriba izquierda) © PhotoDisc/GettyImages; (arriba derecha) Mary Stone Photography/HRW; (abajo) JohnLangford/HRW; 23, 26 © PhotoDisc/ Getty Images; 27 (todas) MaryStone/HRW; 29 (arriba) Mary Stone/HRW; (abajo) Peter VanSteen/HRW Photo; 30 Peter Van Steen/HRW Photo

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Contenido V

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ContenidoCarta al alumno VI

Sección A ImparcialHelena y Roberto 1Decisión 2Imparcial de nuevo 3Hacer un disco giratorio 4Diferentes objetos al azar 6El concierto 6Resumen 8Verifica tu trabajo 8

Sección B ¿Cuál es la probabilidad?Sucesos arriba o abajo 10Relaciónalos 12La rana Newton 13Discos giratorios 16Resumen 18Verifica tu trabajo 18

Sección C Deja que te llegue la buena rachaAsuntos de azar 20¡Lancemos los dados! 21A cara o sello 22Piensa antes de actuar 23Calcula la probabilidad 23Resumen 24Verifica tu trabajo 24

Sección D Contar de distintas manerasFamilias 26La ropa de Roberto 27La ropa de Helena 27De nuevo dos niños 28¿Abierto o cerrado? 29Súmalos 29El tesoro 31Resumen 32Verifica tu trabajo 32

Práctica adicional 34

Respuestas para verificartu trabajo 37

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VI Arriésgate

Querido alumno:

Estás a punto de empezar a estudiar la unidad Arriésgate de Lasmatemáticas en contexto. Piensa en las siguientes palabras y en loque significan para ti: imparcial, seguro, incierto, improbable eimposible. En esta unidad, verás cómo se usan estas palabras enmatemáticas.

Echarás monedas a cara o sello y lanzarás cubos numéricos, yanotarás los resultados. ¿Crees que puedes predecir cuántasveces saldrá cara si echas una moneda un cierto número deveces? ¿Es mayor la probabilidad de obtener cara que la deobtener sello? A medida que investigues estas ideas, comenzarása estudiar probabilidades.

Aprenderás a contar de una manera inteligente todas las posibilidadesque pueden darse cuando pueden ocurrir varias cosas diferentes.Durante las próximas semanas, mantente alerta a los enunciadossobre probabilidad que leas o que oigas, como “La probabilidad delluvia es del 50%”. Podrías incluso llevar un registro de esosenunciados y mostrárselo a tu clase.

¡Ojalá te guste aprender probabilidades!

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las Matemáticas en contexto

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AImparcial

Helena y RobertoEsta unidad sigue a Helena y aRoberto, estudiantes de laEscuela Intermedia Eagle deMaine, mientras experimentancon el uso de la probabilidadpara tomar decisiones.

Seguramente ya sabes algunas cosas sobre probabilidad.

1. Reflexiona ¿En qué piensas cuando alguien dice la palabraprobabilidad?

Sección A: Imparcial 1

Helena Roberto

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Durante el almuerzo, Helena y Robertoquieren jugar al Genio de las matemáticas III,un juego de computadora. El juego estáinstalado en una computadora del salón declases. Como puede jugar una sola persona ala vez, Helena y Roberto tienen que decidirquién jugará primero.

2. ¿Cómo podrías resolver este problema demanera imparcial?

3. ¿Qué te parece que significa que algoes imparcial?

Hay muchas situaciones en las cuales tienesque hallar una forma imparcial de tomaruna decisión.

Roberto le dice a Helena: “Si sacas un 6 con este cubo numérico, puedesjugar; si no, jugaré yo”.

4. ¿Te parece que esto es imparcial?Sí o no, ¿por qué?

5. ¿Se te ocurre una maneramejor de decidir?

Finalmente, Helena y Roberto deciden usar undisco giratorio como el que se ve aquí. Decidenhacerlo girar una vez. Si la flecha apunta almorado, primero jugará Helena. Si la flechaapunta al verde, lo hará Roberto.

6. ¿Es este un método imparcial? Sí o no, ¿por qué?

Para este momento, ya todos los compañeros de clase de Helena y deRoberto se han enterado del juego de la computadora y quieren jugar.Helena dice: “¡Bueno, muy bien! Pongamos los nombres de todos en unsombrero, y la persona cuyo nombre salga será quien juegue”.

7. ¿Es imparcial esto? Sí o no, ¿por qué?

Un método de decisión es imparcial si da a todo el mundo la mismaprobabilidad de ser elegido.

8. Piensa otras dos situaciones en las cuales sea importante ser imparcial.

2 Arriésgate

ImparcialA

Decisión



AImparcial

Imparcial de nuevo

6 23

Al día siguiente, Helena y Roberto quierenvolver a jugar al juego de la computadora. Paraver quién jugará primero, deciden echar unamoneda a cara o sello. Puesto que existeigualdad de probabilidad (llamado a veces 50%de probabilidad) de obtener cara o sello, este esun método imparcial.

Para mostrar las dosposibilidades, puedeshacer un diagrama conramas como las de unárbol. El camino quetomes en el diagrama de

árbol depende del ladoque salga la moneda.

9. a. ¿Qué significan la C y la S?

b. Roberto dice, “Ya saben, el diagrama muestra que hay un 50%de probabilidad de que salga cara o sello”. Explica qué quisodecir Roberto.

Observa un cubo numérico.

10. a. ¿Cuántos números distintos puedes obtener si lanzas uncubo numérico?

b. Haz un diagrama que muestre las diferentes posibilidades.

11. ¿Cómo pueden Helena y Roberto usar un cubo numérico para decidirde manera imparcial quién jugará primero?

12. Helena y Roberto tienen un cubo blanco y negro. Si sale blanco ganaHelena, y si sale negro gana Roberto. ¿Cómo puedes saber si el cuboestá coloreado de manera imparcial?

C S


4 Arriésgate

ImparcialA

La clase de Helena está estudiando los dinosaurios. Al maestro, el señorLotto, le gustaría que los estudiantes hicieran un informe sobre los huesosde dinosaurio encontrados en las distintas partes del mundo.

El señor Lotto decide dividir el mundo en tresregiones (mira el mapa de la página 5):

• América del Norte, América del Sury Antártida;

• Europa y África; y

• Asia y Australia.

A los estudiantes de la clase les pareceque será imparcial si usan un discogiratorio para asignar una de estasregiones a cada uno de ellos.

13. Según tus resultados, ¿puedes decir si tu disco giratorio se puede usarpara tomar decisiones imparciales? Explica.

Hacer un disco giratorio

América del

Norte

América del Sur

Antártida

Asia

Australia

Europa

África

• Traza un círculo sobre la hoja con el compás.Marca el punto del centro.

• Toma el clip y estírale un extremo.

• Usa un lápiz para sostener el clip en el centrodel círculo.

• Divide el disco giratorio en tres partes igualescomo el que se muestra aquí. Escribe en cadaparte el nombre de una de las regiones.

Haz girar el disco 15 veces. Anota los resultados.

Tú puedes hacerte un disco giratorio como este. Necesitarás una hojade papel, un clip y un compás.


AImparcial


Shanna se pregunta si, en vez de un disco, se puede usar un triángulogiratorio para tomar decisiones imparciales.

14. a. Traza un triángulo en una hoja de papel. ¿Puedes hacer que eltriángulo giratorio funcione como un disco giratorio imparcial?

b. ¿Cómo sabes que es imparcial?

c. ¿Cualquier triángulo giratorio puede ser imparcial? Apoya turespuesta con algunos ejemplos.

Jonathan se pregunta si puede usar un cubo numérico para escogerregiones de manera imparcial.

15. a. ¿Puede? De ser así, ¿cómo?

b. Kara quiere saber si puede usar una moneda. ¿Puede?

16. ¿Cómo puedes saber si un determinado método será imparcial?Explica tu respuesta.

Dado que recientemente se han encontrado muchos huesos en Europa y enÁfrica, el señor Lotto cree que más estudiantes tendrían que hacer informessobre esta región que sobre las demás regiones.

17. a. ¿Cómo podrías hacer un disco giratorio para que la región deEuropa y África salga con más frecuencia que las otras?

b. ¿Sería imparcial este disco giratorio?

América del Norte, América del Sur

y Antártida

Tiranosaurio

Estegosaurio

HerrerasaurioCarnosaurio

Criolofosaurio

Europa

y África

Asia y

Australia

Plateosaurio

Iguanodonte

Espinosaurio

Braquiosaurio

Velociraptor

Mamenquisaurio

FulgurotheriumMinmi


Helena se pregunta qué otros objetos se pueden usar para tomardecisiones imparciales. Es difícil saberlo si los objetos no tienen una formaregular como las monedas, los cubos numéricos o los discos giratorios.Una manera de averiguarlo es lanzar el objeto o hacerlo girar una y otravez para ver qué sucede en cada ocasión.

Tu maestro dividirá la clase en grupos. Cada grupo tomará uno de loselementos de esta lista:

Tu tarea es averiguar si de alguna manera puedes usar tu elemento paratomar una decisión imparcial.

18. Lanza o haz girar tu elemento 30 veces. Haz una tabla con losresultados. Cuando hayas terminado, decide si puedes usar tuelemento para tomar una decisión imparcial. Informa a la clase delos resultados. Guarda estos resultados, porque volverás a usarlosmás adelante.

6 Arriésgate

ImparcialA

• Un vaso de papel grande

• Un vaso de papel pequeño

• Un borrador de pizarrón

• Una tapa de botella

• Un disco giratorio como elde la izquierda

El conciertoCompass Rose, una banda de rock que legusta a Helena, viene a tocar en Eagle lasemana próxima. La madre de Helenacompró cuatro boletos para el concierto.Llevará a Helena y a dos amigas de su hija.

El problema es que Helena tiene tresamigas a las que quiere llevar y debeencontrar una manera imparcial de decidirquiénes irán con ella.

Diferentes objetos al azar


AImparcial

6 23

19. Halla una manera imparcial de decidir cuálesdos amigas irán con Helena. Puedes usarmonedas, cubos numéricos, discos giratorioso cualquier cosa que creas que sea imparcial.

¡Oh, no! ¡Otra de las amigas de Helena también quiere ir!

20. Piensa en una manera imparcial de decidir cuáles dos de las cuatroirán ahora con Helena.

21. Da tu opinión sobre la imparcialidad de cadauna de las siguientes situaciones:

a. Un árbitro lanza una moneda antes de unpartido para ver cuál de los dos equiposde fútbol va a elegir el arco.

b. En la clase del señor Ryan, hay 10varones y 15 niñas. Para decidirquiénes serán los encargados delcorredor cada día, el señor Ryan sacael nombre de una niña de una cajaque contiene los nombres de todaslas niñas y luego saca el nombre deun varón de una caja que contienelos nombres de todos los varones.

c. A una excursión al zoológico pueden irsolamente 50 estudiantes, porque hay un solo autobús. El directordecide permitir que vayan los 50 primeros que se inscriban por lamañana antes del inicio de las clases.

d. En los Estados Unidos, tienen derecho a votar para presidentetodas las personas de 18 años o mayores.



8 Arriésgate

Imparcial

En la vida diaria, hay muchas situaciones en las que interviene laprobabilidad o en las que tienes que tomar decisiones imparciales.Imparcial significa que todas las posibilidades tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.

Para tomar decisiones imparciales, debes usar un método imparcial. Tepueden ayudar a tomar decisiones imparciales las monedas, los cubosnuméricos y los discos giratorios. También pueden ayudarte a tomardecisiones imparciales muchos otros objetos.

1. a. ¿Puedes lanzar un lápiz para tomar una decisión imparcial?Explica tu respuesta.

b. ¿Puedes lanzar una chinche para tomar una decisión imparcial?Explica tu respuesta.

Helena está montando en bicicleta. Va camino a visitar a una de susamigas. Todavía no ha decidido si visitará a Laura o a Asja. Helena resuelve:“Si el próximo semáforo está verde, visitaré a Asja; si no, visitaré a Laura”.

2. ¿Es esta una manera imparcial de decidir? Explica.

Tres estudiantes de la clase de Helena quieren jugar un juego. Necesitandecidir quién jugará primero.

3. Describe cómo pueden tomar una decisión imparcial en cada uno delos siguientes casos:

a. con un cubo numérico;

b. con un disco giratorio (dibuja además el disco giratorio que pueden usar);

c. con una moneda (¡esto no es fácil!);

d. de otra manera (decídela tú mismo).

Todas las semanas, un programa de televisión presenta dos equipos deescuelas locales que compiten en un concurso. Las escuelas que participanpueden enviar 40 estudiantes a integrar el público. La directora de laEscuela Intermedia Eagle ha decidido que cada una de las ocho clases dela escuela haga un sorteo y elija cinco estudiantes para que concurran alestudio de televisión.

A



Esta es la lista de las ocho clases de la Escuela Intermedia Eagle.

Número total Estudiantes

Clase de estudiantes seleccionados

Sr. Johnson 75 5

Sr. Geist 77 5

Sra. Lanie 50 5

Sra. McCall 51 5

Sr. Ford 74 5

Sra. Durden 75 5

Sr. Shore 70 5

Sr. Luxe 52 5

La directora dice que su método es imparcial.

4. a. ¿Es imparcial el método de la directora?

b. Si fueras estudiante de la Escuela Intermedia Eagle, ¿en qué clasete gustaría estar?

c. Helena y Roberto han decidido diseñar otro método que seaimparcial para que lo use la directora. ¿Qué método te parece quepodrían diseñar?

Te han pedido que elijas un método para tomar una decisión imparcial.Piensa una situación que requiera que se tome una decisión imparcial ydescribe por lo menos tres métodos que podrías usar.


10 Arriésgate

A veces, es difícil predecir si un suceso tendrá lugar. Otras veces, notienes dudas.

1. Usa la Hoja de actividad del estudiante 1. Pon una marca en la columnaque describa mejor tu confianza en que cada suceso tendrá lugar.

B¿Cuál es la probabilidad?

Sucesos arriba o abajo

EnunciadoSeguro

que no

Dudoso Seguro

que sí

En.

A

B

C

D

E

F

G

H

Este año, en algún momento, tendr·s un examen de matemáticas.

En algún momento, durantelos próximos cuatro días,lloverá en tu ciudad.

La cantidad de estudiantes de tu clase que pueden enrollar la lengua es igual a la cantidad de estudiantes que no pueden hacerlo.

Sacarás un 7 con un cubo numérico normal.

En un salón con 367 personas, dos de ellas cumplen años el mismo día.

El día de Año Nuevo caerá el tercer lunes de enero.

Cuando lanzas una moneda una vez, sale cara.

Si entras “2 � 2 �” en tu calculadora, el resultado será 4.

6

23


Si estás preguntándote cuál es la probabilidadde que ocurra un suceso en particular, puedeayudarte el pensar en una escalera.

Si estás bastante seguro de que algo ocurrirá,puedes pensar que se encuentra cerca delextremo superior de la escalera.

Si estás bastante seguro de que algo noocurrirá, puedes pensar que se encuentra cercadel extremo inferior de la escalera.

Si estás seguro de que algo no ocurrirá, ¡puedespensar que se encuentra en el suelo!

Puedes marcar en el dibujo de una escalera cuánalta es la probabilidad de que ocurra un sucesoen particular.

2. Dibuja una escalera como la de la izquierda.Pon en tu escalera los tres enunciadossiguientes.

a. El siguiente automóvil que veas pasar será uno fabricado en los Estados Unidos.

b. Mañana un gorila visitará tu escuela.

c. Hoy te crecerán las uñas.

3. Ahora regresa a la tabla de la página 10 ypon esos enunciados en una escalera. Explica por qué escogiste ese lugar paracada enunciado.

Sección B: ¿Cuál es la probabilidad? 11


Seguro

que sucede

Seguro que

no sucede

4. Pon en una escalera los siguientes enunciados sobre probabilidad:

“Estoy seguro de que ocurrirá.” “Hay un 50% de probabilidad.”

“Es poco probable.” “Es muy probable que suceda.”

“Probablemente ocurra.” “No hay manera de que eso ocurra.”

“Hay un 100% de probabilidad.” “Parece muy poco probable.”

“Hay 0% de probabilidad.” “Podría suceder.”


Daniel está haciendo un experimento. Tiene una bolsa que contiene trozosde papel de igual tamaño, numerados del 1 al 20. Va a sacar un número dela bolsa. Estos son algunos resultados posibles del número que saque.

a. Será par.

b. Será divisible por 5.

c. Será un 1 o un 2.

d. Los dígitos del número sumarán 12.

e. Será menor que 16.

5. Pon los cinco enunciados en una escaleracomo la de la derecha y explica por quélos pusiste en esos lugares.

La escalera indica que la probabilidadde que un suceso ocurra está entre el0% y el 100%.

• Los sucesos que estás seguro deque van a ocurrir estarán en elextremo superior.

• Los sucesos que estás seguro de queno van a ocurrir estarán en elextremo inferior.

• Los sucesos de los que no estásseguro estarán en algún lugar entrelos dos extremos.

12 Arriésgate

¿Cuál es la probabilidad?B

Relaciónalos

100%

0%Seguro que

no sucede

Seguro

que sucede


Finalmente, Helena encuentra a Newton. Está sentado sobre una baldosadel corredor.

6. Observa el piso del corredor. ¿Te parece queHelena encontró a Newton sentado en unabaldosa negra o en una baldosa blanca? Explica.

7. ¿Qué habría sucedido si lo hubiera encontrado enuna baldosa de la cafetería?, ¿es probable queestuviera en una baldosa del mismo color?



Newton, que teme por su vida…

… brinca de su acuario y se aleja a los saltostan rápido como sus patitas se lo permiten.

Helena va hacia ellaboratorio deciencias y llevaconsigo a Newton,una rana toro quetiene de mascota.

La rana Newton

Corredor

Cafetería

La rana

NewtonLa rana

Newton


8. Supón que Newton intentóescaparse otra vez en estepiso. Dibuja una escala comoesta. Marca la probabilidad deque Newton se detenga enuna baldosa negra. Explicapor qué marcaste la escala enese lugar.

9. a. En la misma escala queusaste para el problema 8,marca la probabilidad deque Newton se detengaen una baldosa negra deeste piso.

b. ¿Es esta probabilidadmayor o menor que la delproblema 8? Explica.

10. a. En la Hoja de actividad del estudiante 2, colorea elprimer piso de modo que Newton tenga un 50% deprobabilidad de caer en una baldosa negra.

b. Marca el 50% de probabilidad en la escala de la Hoja

de actividad del estudiante 2.

c. ¿De qué otra manera se puede decir “La probabilidades del 50%”?

11. a. En el piso del problema 8, puedes decir que laprobabilidad de que Newton se detenga en unabaldosa negra es 4 de 16. Explica.

b. Jaime dice: “Eso es igual a 1 de 4”. ¿Estás deacuerdo? Explica.

c. ¿Qué fracción se puede usar para expresar estaprobabilidad? ¿Y qué porcentaje?

d. Observa el piso del problema 9. ¿Cuál es laprobabilidad de que Newton se detenga en unabaldosa negra de este piso?

14 Arriésgate


Seguro que100%

sucede

Seguro que0%

no sucede

100%

0%

Aquí hay otro piso de baldosas.

Ahora observa otro piso.


12. a. Colorea el segundo piso de laHoja de actividad del

estudiante 2 de modo que laprobabilidad de que Newtonse detenga en una baldosanegra sea 1 de 5.

b. Ahora colorea el tercer piso dela Hoja de actividad del

estudiante 2 con cualquierpatrón de baldosas negras yblancas. ¿Cuál es laprobabilidad de que Newtonse detenga en una baldosanegra del piso que hiciste tú?

13. Reflexiona Si tuvieras un piso de baldosas blancas y negras, explicacómo podrías calcular la probabilidad de que una rana que andesaltando sobre él se detenga en una baldosa negra.



Resulta que Newton no tenía que preocuparse. Sólo va a participaren la feria de ciencias, en un experimento sobre el número demoscas que comen las ranas.


14. Estudia los discos giratorios de la izquierda.

a. ¿Puedes usar el disco giratorio I para tomardecisiones imparciales? Explica tu respuesta.

b. ¿Puedes usar el disco giratorio II, el III o el IV paratomar decisiones imparciales?

c. Dibuja otro disco giratorio —distinto del I, del II, delIII y del IV— para tomar decisiones imparciales.

15. a. Dibuja en tu cuaderno una escala deprobabilidades. Para cada disco giratorio de laizquierda, marca la escala donde indique laprobabilidad de que se detenga en la parte morada.

b. Con otro método que no sea una escala, expresa laprobabilidad de que cada disco giratorio se detengaen la parte morada.

Jaime hizo este disco giratorio y coloreó este piso. DiceJaime: “El disco giratorio y el piso ofrecen la mismaprobabilidad de caer en la parte morada”.

16. ¿Estás de acuerdo con Jaime? Explica.

16 Arriésgate


Discos giratorios

I

II

III

IV



17. Busca en el periódico enunciados sobre probabilidad. Pon tusenunciados en una escala de probabilidades. Lleva la escala a la escuela y explica por qué escogiste esos lugares para ubicar tus enunciados.

Aquí tienes algunos ejemplos de ayuda.

UPL Reportes de que una

está intentando a la regió

Probabilidades por el título

de la división se desvanecen

Guía del comprador inmobiliario

ESTA PUEDE SER SU ÚLTIMA

OPORTUNIDAD DE COMPRAR

CASA NUEVA EN SILVER LAKEEsta semana se venderán las últimas 20.

Guía de clasificación

del sitio

Lo último del béisbol Larga sequía puede estarpor acabar

El tamaño y el número de las

familias que quieren estable-

cerse en esta zona espectacu-

lar han aumentado enorme-

mente durante las últimas

la variedad de paisajes y la

disponibilidad de cómodos

accesos a muchas de las salidas

recreativas dan un nuevo

significado al término “Tierra


18 Arriésgate

¿Cuál es la probabilidad?

En esta sección, viste diferentesmaneras de expresarprobabilidades. Has visto que lasprobabilidades se pueden expresaren una escala con porcentajes. Sihay certeza de que algo ocurrirá,puedes decir que la probabilidad esdel 100%. Si hay certeza de que noocurrirá, la probabilidad es del 0%.Las probabilidades se puedenexpresar también con fracciones.Puedes hacer una escala y rotularlacon fracciones en vez de porcentajes.

1. a. ¿Qué fracción usarás para representar una probabilidad del 50%?

b. Pon en una escala de probabilidades algunas otras fraccionesdonde correspondan.

c. ¿En qué lugar de la escala pondrías una probabilidad de 1�6?

2. Los siguientes son algunosenunciados sobreprobabilidades. Algunos deellos se corresponden; sonsimplemente formasdistintas de decir lo mismo.

En la Hoja de actividad del

estudiante 3, une todos losenunciados que dicen lo mismo.Un ejemplo ya está hecho.

B

La

probabilidad

es de .

50%

1

8

12

La

probabilidad

es de .

Seguro que sucede 100%

Probablemente

Seguro que no sucede 0%



3. Dibuja un disco giratorio y un patrón de baldosas, cada uno con unaparte negra que represente una probabilidad del 20%.

4. a. Si tu maestro escoge el trabajo de un estudiante para leerlo enclase, ¿cuál es la probabilidad de que elija el tuyo?

b. ¿Cómo puede tu maestro elegir de manera imparcial? Si tumaestro elige imparcialmente, ¿cuál es la probabilidad de queelija tu trabajo?

Uno de tus compañeros de clase estuvo ausente esta semana. Trata deexplicarle por escrito y con dibujos las clases de matemáticas que perdió.Agrega dibujos a tu explicación. Asegúrate de incluir porcentajes,fracciones y escalas de probabilidades.


20 Arriésgate

Si lanzas un cubo numérico una vez, la probabilidad de que saques un 6 esla misma que la probabilidad de que saques 5, 4, 3, 2 o 1.

1. Si lanzas un cubo numérico 30 veces, ¿aproximadamente cuántasveces te parece que sacarás un 6?

2. Haz una tabla como la que aparece abajo. Lanza un cubo numérico30 veces. Anota el número que salga en cada tiro.

3. ¿Fue lo sucedido distinto de lo que esperabas que sucediera? ¿Cómo?

4. ¿Qué te parece que ocurrirá si aumentas el número de tiros a 60?

CDeja que te llegue la buena racha

Asuntos de azar

Número Cantidad de veces

lanzado que salió

1

2

3

4

5

6


Nina lanzó un cubo numérico y anotó los resultados en una tabla.

5. a. ¿Cuántas veces lanzó Nina el cubo numérico?

b. Dice Nina: “La probabilidad de sacar 1 en el próximo tiro es mayorque la probabilidad de sacar 6”. ¿Te parece que tiene razón?

6. a. Roberto lanzó un cubo numérico seis veces. ¿Te parece que habrásacado un 4? Explica.

b. Después Roberto lanzó el cubo numérico 20 veces más. ¿Habrásacado un 4 esta vez?

Como parte de un experimento, Helena lanzó un cubo numérico muchas veces.

7. Lamentablemente, el bolígrafo de Helenaperdió tinta y manchó la cantidad de vecesque salió el 6. ¿Qué te parece que hayescrito debajo de la mancha? Explica.

Sección C: Deja que te llegue la buena racha 21


¡Lancemos los dados!

Número Cantidad de veces

lanzado que salió

1

2

3

4

5

6

Número1 2 3 4 5

lanzado

Cantidad de44 36 37 41 39

veces que salió


Durante la Segunda Guerra Mundial, al matemático inglés John Kerrich loencerraron en una celda. Tenía consigo una moneda y decidió hacer unexperimento para pasar el tiempo. Mientras estuvo en prisión, echó lamoneda 10,000 veces a cara o sello y anotó los resultados.

Este es el comienzo de la tabla que pudo haber hecho.

8. a. ¿Salió cara en el primerlanzamiento?

b. ¿En qué lanzamiento sacócara el matemático porprimera vez?

c. ¿Cuántos lanzamientos debióhacer para obtener tres caras?

d. ¿Cuántas veces salió sello enocho lanzamientos?

9. ¿Aproximadamente cuántasveces te parece que salió cara enlos 10,000 lanzamientos?

10. Reflexiona ¿Cómo cambia el porcentaje de caras a medida queaumenta la cantidad de lanzamientos de la moneda?

11. a. Si lanzas una moneda 30 veces, ¿cuántas veces esperas que salga cara?

Lanza una moneda 30 veces. Anota los resultados en una tabla como la de la derecha.

b. ¿Coincidieron tus resultados con tu predicción?

c. Combina tus resultados con los de todos tuscompañeros. ¿Cómo se comparan los resultadosde la clase con los tuyos?

22 Arriésgate

Deja que te llegue la buena rachaC

A cara o sello

C S

Cantidad deCantidad

total delanzamientos

caras

1 0

2 0

3 1

4 1

5 2

6 2

7 3

8 3

9 4




Piensa antes de actuar

Calcula la probabilidad

A medida que lanzas una moneda muchas veces, el porcentaje de vecesque sale cara se acerca al 50% o 1

�2 . Decimos que la probabilidad de quesalga cara es de 1

�2 .

Pero en un solo lanzamiento, no puedes saber si saldrá cara o sello.Aunque no puedes predecir un único suceso con certeza, si repites unexperimento muchas veces, puede aparecer un patrón.

Elige un número del 1 al 4 y escríbelo en un trozo de papel.

12. a. Si todos los estudiantes de la clase anotan un número, ¿cuántas veces esperas que se elija cada número?

b. Cuenta todas las veces que eligieron el 1, el 2, el 3 yel 4, y coloca la información en una tabla. Estudia losresultados. ¿Es lo que esperabas? Sí o no, ¿por qué?

13. Reflexiona Si fueras el presentador de un programa dejuegos y tuvieras que poner un premio detrás de una decuatro puertas, ¿dónde lo pondrías? Da una razón paratu elección.

En el problema 18, en la página 6, experimentaste con estos objetos:

• Un vaso de papel grande

• Un vaso de papel pequeño

• Un borrador de pizarrón

• Una tapa de botella

• Un disco giratorio como elde la izquierda

14. Mira de nuevo el problema 18, en la página 6. Basándote en los30 lanzamientos o giros de tu objeto, estima la probabilidad decada resultado.


24 Arriésgate

Deja que te llegue la buena racha

Puedes calcular la probabilidad de un suceso experimentando con muchos,muchos intentos. En el corto plazo, posiblemente lo que suceda no sea loque esperas. Pero en el largo plazo, tus resultados se irán acercando cadavez más a lo que esperas.

Cuando echas una moneda a cara o sello, o cuando lanzas un cubonumérico, cada nuevo intento ofrece las mismas probabilidades que elanterior. Ni la moneda, ni el cubo pueden “recordar” de qué lado cayeronla última vez.

1. a. Si echas una moneda a cara o sello 10 veces y sale cara todas las veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara en el 11.° lanzamiento?

b. Si lanzas un cubo numérico una y otra vez, ¿qué te parece quesucederá con el porcentaje de números pares que salgan?

Supón que fueras a echar una moneda imparcial a cara o sello 100 veces.

2. a. ¿Aproximadamente cuántas veces esperarías que salga cara?

b. ¿Sería razonable que salieran 46 caras? Sí o no, ¿por qué?

Roberto y sus compañeros de clase van a lanzar un cubo numérico 500veces y a anotar los resultados en una tabla.

3. Predice los resultados y, con los números que creas probables,completa la segunda fila de la tabla para la clase de Roberto. Luego explica por qué completaste los números de la manera en que lo hiciste.

C

Número1 2 3 4 5 6

lanzado

Cantidad de

veces que salió



4. a. Diseña un disco giratorio de tres colores que no sea imparcial.Hazlo girar 30 veces y anota los resultados.

b. Basándote en los 30 giros, estima la probabilidad de cada color.

Roberto hizo un disco giratorio de cuatro colores. Después de 50 giros,había anotado los siguientes resultados.

5. a. Dibuja un disco giratorio como pudo haber sido el de Roberto.

b. Si hicieras girar 50 veces el disco que tú dibujaste, ¿serían losresultados exactamente los mismos que los de la tabla? Sí o no,¿por qué?

“Si lanzas una moneda 6 veces, y todas las veces sale cara, es másprobable que en el próximo lanzamiento salga sello.” Este enunciado, ¿es verdadero o falso? Sí o no, ¿por qué?

Rojo 12

Azul 24

Vere 6

Morado 8


26 Arriésgate

Hay muchos tipos distintos de familias.

Algunas familias tienen un adulto.

Algunas familias tienen dosadultos, y otras tienen más.

Algunas familias tienen niños,y otras no los tienen.

1. a. Supón que observas 20 familias con dos niños. ¿Cuántas de estasfamilias te parece que tendrán una niña y un varón?

b. Es posible que los otros estudiantes de tu clase no estén deacuerdo con tu respuesta a la parte a. Explica por qué crees que turespuesta es la más probable. Hacer un diagrama puede ser útil.

2. Puedes simular un estudio de familias de dos hijos echando a cara o sello dos monedas de uncentavo. La cara representa a las niñas, y el sellorepresenta a los varones. Lanza las dos monedas20 veces. Mira cuántas familias con un varón y unaniña obtienes. ¿Fue el resultado igual a lo quesupusiste para el problema 1a?

D Contar de distintas maneras

Familias

niña

varón


Sección D: Contar de distintas maneras 27

DContar de distintas maneras

La ropa de Roberto

La ropa de Helena

Esta es la ropa de Roberto.

Estos son lospantalones y lascamisetas queRoberto usa másfrecuentemente parair a la escuela.

3. Halla una manera de mostrar todos los conjuntos que Roberto puede usar para ir a la escuela. ¿Cuántos conjuntos posibles hay?

4. Cuando fue al concierto de Compass Rose, Helenale compró a Roberto otra camiseta. ¿Cuántosconjuntos puede ponerse Roberto ahora? Explica.

5. ¿Cuántos conjuntos podría ponerse Roberto situviera cuatro camisetas y tres pares depantalones?

Un día, Helena elige su camiseta y sus pantalones con los ojos cerrados.

6. ¿Qué conjunto esperas verle puesto?

7. ¿Cómo podría Helena haberse ayudado con cubos numéricos parapoder elegir la ropa?

8. Dice Helena: “La probabilidad de que elija mi camiseta de la estrella ymis pantalones escoceses es 1 de 36”. ¿Tiene razón? Explica.


Los diagramas de árbol pueden ser útiles para contar y para resolverproblemas sobre probabilidad de manera inteligente.

Piensa una vez más en las familias con hijos.

Un diagrama de árbol puede mostrar las dos posibilidades de un hijo.

9. Cada camino de este diagrama de árbol representa una igualdad deprobabilidades. ¿Cuál es la probabilidad de tener una niña?

Si una familia tiene un segundo hijo,puedes extender el diagrama deárbol de esta manera.

10. a. Copia el diagrama de árbol ytraza el camino de una familiaque tuvo primero una niña ydespués un varón.

b. ¿Cuáles son todas lascombinaciones posibles parauna familia con dos hijos?

c. Si en la clase de Helena hubiera 20 familias con dos hijos,¿aproximadamente cuántas esperarías que tuvieran dos niñas?¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos niñas?

d. ¿Es mayor la probabilidad de tener dos niñas que la de tener unaniña y un varón? Explica.

Ahora piensa en las familias que tienen tres hijos.

11. a. Extiende el diagrama de árbol para que muestre untercer hijo.

b. Anota todas las diferentesposibilidades de una familiacon tres hijos.

c. Roberto dice: “Es menosprobable que una familiatenga tres niñas de que tengados niñas y un varón”.Explica este enunciado.

d. Usa el diagrama de árbol de la parte a para hacer otros enunciados.

28 Arriésgate

Contar de distintas manerasD

De nuevo dos niños

VN

N

N

N


Helena Roberto Kevin Ganador

Roberto

Helena

Ninguno



¿Abierto o cerrado?

Súmalos

En un grupo de tres personas, esta es unaforma de elegir a una de ellas.

Formen un círculo, mirándose unos a otros.Uno de ustedes (o todos al mismo tiempo)dice: “Uno, dos, tres… ¡Ya!”. En “¡Ya!”, cadapersona extiende una mano abierta o unpuño cerrado.

Helena, Roberto y Kevin jugaron este juego.Cada ganador aparece a la derecha de lasiguiente tabla.

12. Nombra otra situación en la que no haya ningún ganador con este método.

13. ¿Cuántas combinaciones de manos abiertas y cerradas son posiblesen el juego? Anota todas las que puedas. Puedes usar un diagramade árbol.

14. ¿Te parece que esta sea una manera imparcial de decidir algo? Explica.

15. Lanza dos cubos numéricos de distinto color. Con todoslos pares de números que pueden salir, ¿cuáles son lassumas diferentes que puedes obtener?

A veces, Helena y Roberto juegan a Súmalos durante el almuerzo.


Cada uno de ellos elige una de las sumas posibles de dos cubosnuméricos. Luego lanzan los cubos, y el primero que saca su sumacuatro veces gana. El perdedor tiene que limpiar la mesa del almuerzodel ganador.

16. ¿Qué suma te parece que será mejor elegir?

Juega a esto con otra persona. Si los dos quieren el mismo número,piensen una manera imparcial de decidir quién se lo queda. Anota las sumas.

17. ¿Cuál fue la suma ganadora de tu juego?

Juega el juego cinco o seis veces. Cambia los números si lo deseas.

18. ¿Cuál te parece ahora la mejor suma para elegir?

19. La Hoja de actividad del estudiante 4 tiene unacuadrícula que muestra los números posibles decada uno de los dos cubos numéricos.

a. En cada cuadrado, coloca la suma de los números.

b. ¿Cuántos pares distintos son posibles cuandolanzas dos cubos numéricos?

c. ¿De cuántas maneras puedes obtener una sumade 10 con dos cubos numéricos?

d. ¿Cuál es el mejor número para elegir si estásjugando a Súmalos? ¿Es distinta tu respuesta delo que habías elegido en el problema 18?

20. a. Traza un diagrama de árbol que muestre todas las combinacionesposibles al lanzar dos cubos numéricos. ¡Podría ser engorroso!

b. Colorea los cuadrados de la grilla del problema 19 y los caminos deldiagrama de árbol de la parte a, que den la suma de 10.

c. ¿Cuál es la probabilidad de lanzar la suma de 10?

21. a. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos 1? ¿Cuál es laprobabilidad de que salgan dobles?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 7?

22. ¿Cuál crees que es la probabilidad de que no salga 10? ¿Y de que nosalga 7?

30 Arriésgate

654321

1

2

3

4

5

6



Durante una excursión por la playa con marea baja, Helena y Robertoencuentran un gran tablero de ajedrez en la arena.

En una roca junto a él, ven esta inscripción:

23. Helena y Roberto pudieron haberlanzado la moneda cuatro vecesy haber sacado CCCS.

a. ¿Qué ruta corresponde a esteresultado? ¿En qué cuadradoacabarán?

b. Otras rutas llevan al mismocuadrado. ¿Cuántosresultados diferentes llevarían a este cuadrado?Explica tu razonamiento.

24. Helena y Roberto lanzan la moneda cuatro veces y siguen lasinstrucciones de la inscripción. Colorea todos los cuadrados del tablerodonde pudieron haber acabado.

25. Reflexiona Helena y Roberto tienen tiempo para cavar un solo hoyoantes de que regrese la marea. ¿Dónde les dirías que caven paraencontrar el tesoro? Explica cómo decidiste dónde cavar el hoyo.


El tesoro

Empezarás por abajo, a la izquierda, Amigo,

Y una moneda cuatro veces lanzarás;

Si mi tesoro has venido a buscar,

Mis instrucciones entonces seguirás:

Ve al norte si sale cara

Y al este si sale sello;

Cava en el sitio que encuentres

Y si cavas donde la mayoría acaba,

Mi dinero nunca tendrás!


32 Arriésgate

Contar de distintas maneras

En esta sección, aprendiste que contar la cantidad de maneras en que unsuceso puede ocurrir te ayuda a calcular las probabilidades del suceso.

Puedes escribir todas las maneras posibles en que algo puede ocurrir opuedes hacer dibujos. Un tipo de dibujo útil son los diagramas de árbol.

Un diagrama de árbol te puede dar información sobre:

• todos los resultados posibles; y

• la probabilidad de que ocurra cualquiera de los resultados.

Este es un diagrama de árbol del problema 3 (La ropa de Roberto) de lapágina 27.

1. Si Roberto eligiera la ropa al azar, ¿cuál es la probabilidad de queescoja una camiseta rayada y un pantalón claro?

2. Haz un diagrama de árbol que termine con ocho ramas. Escribe unrelato que se adecue a tu diagrama.

D

pantalón

claro

pantalón

oscuro

pantalón

claro

pantalón

oscuro

pantalón

claro

pantalón

oscuro

camiseta oscura camiseta blanco mate camiseta rayada



3. Roberto tiene que elegir comida en un restaurante. Como entrada,puede pedir sopa o ensalada. Para el plato principal, puede elegir unovegetariano, pescado o carne de vaca. Los postres son helado yensalada de frutas. Haz un diagrama de árbol y cuenta todas lascomidas de tres platos posibles.

4. Roberto y Helena quieren hacer un lenguaje secreto con puntos yrayas (. y –). Deciden que todas las letras del alfabeto deben ser unacomposición de cuatro signos (puntos o rayas). Por ejemplo, A será ....(4 puntos), y B será ...– (punto, punto, punto, raya). ¿Tienencombinaciones suficientes para hacer su lenguaje secreto? Puedesusar un diagrama de árbol.

5. Inventa un juego de probabilidades que no sea imparcial. Explica porqué no es imparcial.

Los diagramas de árbol son muy útiles para resolver cierto tipo deproblemas. Describe cuándo podrías usar un diagrama de árbol. Da por lo menos un problema de ejemplo.


1. Con tus propias palabras, define lo siguiente.

a. probabilidad b. imparcial

2. Da un ejemplo que muestre cómo se podría usar una moneda parahacer lo siguiente.

a. tomar una decisión imparcial

b. tomar una decisión injusta

3. Troy dice: “Hay un 70% de probabilidad de que ganemos el partido deesta noche”. Explica qué significa esto.

4. El maestro anuncia: “¡Todos los que tienen ojos marrones pueden hoysalir de la escuela más temprano!”. ¿Es esta una decisión imparcial ono? Explica.

5. Decide si cada uno de los siguientes sucesos es imparcial. Explica tudecisión.

a. Todos los varones reciben cinco dulces cada uno, y todas las niñasreciben cuatro.

b. Todos los estudiantes con cabello marrón sacan una A.

c. Una bolsa contiene 10 canicas blancas y 10 rojas. Sin mirar, metesla mano en la bolsa y tomas una canica. Si es una canica blanca, tuequipo va primero en el partido.

d. Una bolsa contiene 20 canicas blancas y 10 verdes. Sin mirar, metesla mano en la bolsa y tomas una canica. Si tomas una verde, tuequipo va primero en el partido.

1. Dibuja una escalera como la de la izquierda. Luego pon en la escaleraestos enunciados sobre probabilidad.

a. Definitivamente, sucederá.

b. Hay un 25% de probabilidad de que suceda.

c. No sucederá.

d. Hay un 0% de probabilidad de que suceda.

e. Hay un 100% de probabilidad de que suceda.

34 Arriésgate

Práctica adicional

Sección ImparcialA

Sección ¿Cuál es la probabilidad?B


2. ¿Qué número podrías usar para representar un acontecimiento quesucederá con seguridad?

3. ¿Qué número podrías usar para representar un acontecimiento quedefinitivamente no sucederá?

4. ¿Qué fracción podrías usar para representar cada una de las siguientesprobabilidades?

a. una probabilidad del 50%

b. una probabilidad del 25%

c. una probabilidad del 75%

5. a. Dibuja un disco giratorio que se pueda usar para tomar una decisión imparcial.

b. Explica por qué el disco giratorio que dibujaste en la parte a sepuede usar para tomar una decisión imparcial.

6. Pon cada uno de los siguientes porcentajes en una escalera de probabilidades.

a. 10% d. 75%

b. 25% e. 100%

c. 50%

1. En 100 lanzamientos de una moneda, ¿aproximadamente cuántasveces esperarías que salga cara? Explica.

2. En 36 tiros de un cubo numérico, ¿aproximadamente cuántas vecesesperarías sacar un 6?

3. a. Lanza un cubo numérico 36 veces y anota los resultados de cada tiro.

b. ¿Cuántas veces sacaste un 6?

c. Compara tus resultados del problema 3a con las predicciones quehiciste en el problema 2.

d. Compara tus resultados del problema 3a con los de por lo menosotros dos compañeros de clase. ¿Obtuviste los mismos resultados?¿Es esto razonable o no?

Práctica adicional 35

Sección Deja que te llegue la buena rachaC


4. Si lanzas un cubo numérico tres veces y sacas un 3 cada vez, ¿cuál esla probabilidad de que saques un 3 en el siguiente tiro?

5. Si sacas la lotería una vez, ¿aumentará el primer triunfo tusprobabilidades de volver a ganar? Explica.

1. Con tus propias palabras, explica qué es un diagrama de árbol y cómose usa.

2. Si tienes tres camisetas y tres pares de pantalones, ¿cuántos conjuntosdistintos puedes formar? Apoya tu respuesta con un diagrama.

3. Si lanzas dos cubos numéricos, ¿cuál es la probabilidad de lograr lossiguientes tiros?

a. dobles

b. dos números pares

c. dos números impares

d. dos números que sumen 6

e. dos números que sumen 8

4. Supón que tienes una bolsa de caramelos de gelatina, que contiene:

10 caramelos rojos

20 caramelos verdes

15 caramelos amarillos

5 caramelos morados

a. Si sacas sin mirar un caramelo de gelatina de la bolsa, ¿qué coloresperarías que salga? ¿Por qué?

b. Si sacas sin mirar un caramelo de gelatina de la bolsa, ¿quéprobabilidad tienes de que sea uno morado? Explica cómo hallastela respuesta.

5. Inventa un problema en el que la probabilidad de un resultado sea eldoble de la probabilidad del otro.

36 Arriésgate

Práctica adicional

Sección Contar de distintas manerasD


1. a. Sí, se puede usar un lápiz para tomar decisiones imparciales si:

1) el lápiz tiene los lados parejos;

2) la probabilidad de que caiga sobre el borrador es muypequeña; y

3) si numeras los lados.

Podrías averiguarlo lanzando un lápiz 100 veces o simplementemirándole los lados.

b. No. Una chinche tiene una forma demasiado irregular para serpredecible. Tendrás que lanzarla muchas veces para determinar sise puede usar para tomar una decisión imparcial.

2. Esto es difícil de determinar. Es imparcial solamente si el semáforoestá verde la misma cantidad de tiempo que no lo está, lo cual no es probable.

3. a. Se puede usar un cubo numérico para decidir quién juega primerosi a cada estudiante se le asignan dos números. Por ejemplo, alestudiante A se le asignan el 1 y el 2; al estudiante B, el 3 y el 4; y alestudiante C, el 5 y el 6. También se puede usar un cubo numéricosi a cada estudiante se le asigna un solo número. Si sale unnúmero no asignado, se vuelve a lanzar el cubo.

b. Se puede usar un disco giratorio si está dividido en tres partesiguales y a cada estudiante se le asigna una de las partes.

c. Es posible usar una moneda, pero hay que diseñar una manerainteligente de tomar decisiones. Por ejemplo:

Vuelta 1: Lanzar la moneda tres veces, una para cada estudiante. Si sale cara, el estudiante ha perdido y no jugará primero. Si salesello, el estudiante sigue en la competencia. Si las tres veces salesello, volver a empezar. Si sigue la competencia más de unestudiante, pasar a la vuelta 2. Vuelta 2: Repetir la vuelta 1. Lanzar lamoneda una vez para cada estudiante no eliminado. Continuarhasta que quede un solo estudiante, quien será el primero en jugar.

d. Hay diferentes respuestas posibles. Una podría ser escribir elnombre de cada estudiante en un papelito, poner los papelitos enun sombrero o en una caja, y sacar uno.

Respuestas para verificar tu trabajo 37

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección ImparcialA


4. a. No, porque los estudiantes de las distintas clases no tienen lamisma probabilidad de que los elijan, ya que en cada clase hayuna cantidad de estudiantes diferente.

b. En la clase de la señora Lanie. Un estudiante de la clase conmenor cantidad total de estudiantes tiene la mejor probabilidadde que lo elijan.

c. Las respuestas variarán. Un método imparcial sería poner elnombre de todos los estudiantes de la escuela en un sombrero,mezclar los nombres y sacar 40 sin mirar.

1. a. 1�2 , o cualquier fracción que sea equivalente a ella, como 5

�10 o 50��100 .

b. Puedes tener diferentes c.

respuestas. Aquí tienesun ejemplo. Comenta turespuesta con uncompañero y mira siestán de acuerdo con laubicación en la escalera.

2.

3. Disco giratorio: 1�5 debe ser negro, y los 4

�5 restantes, de otro color

(puedes estimar el 1�5). Para el piso de baldosas, 1

�5 de las baldosasdebe ser negro, y el resto debe ser de otro color (por ejemplo, blanco).Es fácil si el piso tiene un número de baldosas que pueda dividirsepor 5. De modo que puedes hacer un piso de 25 baldosas, 5 de lascuales sean negras.

38 Arriésgate


100%

0%

3�4

1�2

1�3

2�3

1�4

100%

0%

1�6

50%

La probabilidad

es de . 12

18

La probabilidad

es de .

Sección ¿Cuál es la probabilidad?B


4. a. Si el maestro elige de manera imparcial, la probabilidad será de 1sobre la cantidad de estudiantes de la clase. Si no, podrían influiren la probabilidad toda clase de otros factores. Por ejemplo, unmaestro puede elegir solamente entre los trabajos que hayanobtenido una A.

b. El maestro puede poner el nombre de todos los estudiantes en unacaja y sacar uno. Entonces, la probabilidad de que elija el tuyo esde 1 sobre la cantidad de estudiantes de tu clase.

1. a. 50% o 1�2 . Cada lanzamiento de la moneda es independiente de los

lanzamientos anteriores.

b. Probablemente el porcentaje de números pares se acerque al 50%.

2. a. Esperarías obtener cara aproximadamente la mitad de las veces, o50 caras.

b. Sería razonable, porque no se obtiene siempre exactamente lo quese espera. Sin embargo, tus resultados deben aproximarse a tusexpectativas, y 46 está bastante cerca de 50.

3. Hay diferentes respuestas posibles. La cantidad de veces que se lancecada número debe ser aproximadamente igual, porque cada númerotiene la misma probabilidad de salir. A la larga, cada número debe salir

alrededor de 1�6 de los tiros. Por lo tanto el resultado de cada número

debe ser cercano a los 500��6 , o sea alrededor de 83. Usa 500 como la

cantidad total de tiros para tus cálculos. Esta es una respuesta posible.

4. a. Comenta tus respuestas con un compañero. Las seccionescoloreadas deben tener tamaños distintos. Si la diferencia es losuficientemente grande, afectará los resultados de los giros.

b. Para estimar la probabilidad de cada color, anota la cantidad deveces que de los 30 giros el disco se detuvo en ese color. Puedesescribirlo en forma de porcentaje. Si te resulta difícil, mira elproblema 14.

5. a. El disco giratorio debe ser aproximadamente 1�2 azul, 1

�4 rojo,1�8 verde y 1

�8 morado.

b. Posiblemente, los resultados serían semejantes. Dado que 50 girosno son muchos, los resultados pueden diferir un poco de lo queesperabas. Si no te sientes seguro, haz el disco y hazlo girar 50 veces.

Respuestas para verificar tu trabajo 39


Sección Deja que te llegue la buena rachaC

Número1 2 3 4 5 6

lanzado

Cantidad de80 78 90 85 76 91

veces que salió


1. La probabilidad es de 1�6 , o una de seis.

2. Muestra tu relato a un compañero para ver si está de acuerdo con tutrabajo. Puedes tener diversos relatos que empiecen con cantidadesdiferentes de resultados, pero asegúrate de que tu diagrama terminecon ocho ramas.

3. El diagrama de árbol puede ayudarte a contar.

También puedes razonar que existen 2 � 3 � 2 � 12 posibilidades.

4.

No, hay solamente 16 posibilidades. Para cada una de las cuatroposiciones de cada combinación de símbolos, puedes usar unpunto o una raya. De manera que son posibles 2 � 2 � 2 � 2 � 16composiciones diferentes, pero en el alfabeto hay 26 letras. Si sepermitieran también composiciones de 1, de 2 o de 3 símbolos,habría suficientes para las 26 letras. Así es el código Morse.

5. Hay muchas posibilidades. Puedes, por ejemplo, hacer discosgiratorios con partes desiguales. Comenta con un compañero si tujuego no es imparcial.

40 Arriésgate


Sección Contar de distintas manerasD

sopa

plato vegetariano

helado ensalada

de frutas

carne de vaca pescado plato vegetariano carne de vaca pescado

ensalada

helado ensalada

de frutas

helado ensalada

de frutas

helado ensalada

de frutas

helado ensalada

de frutas

helado ensalada

de frutas

punto raya punto raya punto raya punto raya punto raya punto raya punto raya punto raya

punto raya

punto raya

punto raya

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