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Ministerio deEducación Nacional

República de Colombia

SITUACIONES PROBLEMA

ESTRUCTURA OBJETO COMPETENCIA BOGOTÁ D.C., MAYO DE 2010 ° DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ° UNIVERSIDAD CENTRAL

http://www.ucentral.edu.co/comunidadcentralista/simbilos-insti/logo-transp-pp.gif



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UNIVERSIDAD CENTRAL

SITUACIONES PROBLEMA – ESTRUCTURAOBJETO COMPETENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

BOGOTÁ D.C., MAYO DE 2010



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CONSEJO SUPERIOR

Fernando Sánchez Torres –

Presidente Jaime Arias RamírezRafael Santos CalderónJaime Posada DíazDanghelly Zuñoga Reyes – Representante docentes Guillermo Páramo Rocha – RectorLigia Echeverri de Ferrufino – Vicerrectora Académica Nelson Gnecco Iglesias – Vicerrector AdministrativoJulio Mario Rodríguez Devis – Decano Facultad de Ingeniería

GRUPOS DE INVESTIGACIÓN TECNICE Y TECNIMAT

Luis Facundo Maldonado

David Macías MoraRicardo Bernal BuenoGloria Rodríguez de GranadosEva Cecilia VargasEdel Serrano Iglesias



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CONTENIDO

LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS .......................... 5EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN ....... 8DE COMPETENCIAS COGNITIVAS ................................. 8REFERENCIAS .............................................................. 10EJEMPLOS DE SITUACIONES PROBLEMA .................... 11UNIDAD 1 ..................................................................... 12UNIDAD 2 ..................................................................... 17UNIDAD 3 ..................................................................... 21UNIDAD 4 ..................................................................... 25UNIDAD 5 ..................................................................... 29

UNIDAD 6 ..................................................................... 33UNIDAD 7 ..................................................................... 37UNIDAD 8 ..................................................................... 41UNIDAD 9 ..................................................................... 44



| MARCO TEÓRICO 5

MARCO TEÓRICO

LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

El Departamento de Matemáticas de laUniversidad Central ha diseñado un modeloque articula cada uno de los objetosmatemáticos a construir con las competenciasmatemáticas a desarrollar organizadas entres dimensiones: conceptual, operativa ymodelativa entendidas de la siguientemanera:

Se entiende por competencia conceptual: elmanejo de estructuras conceptuales a travésde definiciones, reglas, mapas conceptuales yejemplos. En matemáticas la competenciaconceptual liga el objeto a construir almétodo, esto es, a la argumentación y a losrazonamientos inductivos y deductivos, quedesde el planteamiento de axiomas oproposiciones generales, permiten llegar ala conclusión de verdades particulares.

El desarrollo alcanzado por el estudiante enesta dimensión se evidencia de dos maneras:la primera de ellas es por el reconocimientode los atributos característicos de los objetosconstruidos y la identificación de lasrelaciones existentes entre los conceptos queintervienen en la red de cada uno de losobjetos.

La segunda forma de evidenciar el avanceen la dimensión conceptual, es a través delos argumentos planteados por el estudianteen sus trabajos colaborativos, que en elcaso de este proyecto quedan registradosen la plataforma soporte del ambientedigital, en las cadenas de razonamientosconstruidas con las que es posible vincular

la conclusión de un argumento, o lapropuesta de alternativa de una alternativade solución elegida entre las opcionesposibles, a un concepto, a una propiedad, aun objeto matemático o, a una teoría yaestablecida.

Se entiende por competencia operativa: el

manejo de algoritmos para dirigirprocedimientos y obtener procesos válidos desolución de problemas. Cada objetomatemático está vinculado a un conjunto desímbolos y operadores que le son propios yque hacen parte de un lenguaje reguladopor las jerarquías existentes entre lossignos y por las reglas presentes en losalgoritmos de transformación que hacenposible la simplificación de las expresiones.La competencia operativa permite calcular ,intervenir sobre los signos, ejecutando las

acciones de un proceso que sigue ellineamiento dado por un razonamiento.

El avance del estudiante en esta dimensiónse evidencia en el desarrollo de algoritmosatendiendo a la jerarquía de los operadores,en la identificación de posibilidades desolución ante un problema dado y en lainterpretación de las respuestas encontradasen cada situación.

Se entiende por competencia modelativa:la capacidad de establecer relaciones entrelos objetos estudiados y por lo menosalguna de las tres representaciones dadas acontinuación:



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Expresiones construidas en lenguajenatural.Representaciones diagramáticas ogeométricas del objeto.

Proposiciones matemáticas formales,expresadas a través de variables yrepresentativas de las relacionespresentes en el objeto estudiado.

El avance logrado por el estudiante enesta dimensión se evidencia en el tránsitorealizado entre las distintas representaciones,verbal, diagramática y formal, y en lacapacidad de transferir aprendizajes a lasolución de nuevos problemas o de problemaspresentados en diferentes contextos, deestablecer relaciones de analogía, dehomomorfismo o isomorfismo. Losindicadores de desarrollo de lascompetencias descritas anteriormente semuestran en la figura 1.

El área de física introduce una cuartacategoría: la experimentativa, entendidacomo la capacidad de manipular instrumentosde medición, comparar resultados teóricos yexperimentales, diseñar, simular o realizarexperimentos para establecer relaciones entremagnitudes físicas.

La definición de estas dimensiones permiteabordar cada uno de los objetos deaprendizaje atendiendo a lo que el estudiantedebe poder hacer con en lo conceptual, en looperativo y en la modelativa, lo cual permiteconstruir un indicador o meta a alcanzar.



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ESTRUCTURA OBJETO - COMPETENCIA

DIMENSIONES

Competenciamatemática

CONCEPTUAL OPERATIVA MODELATIVA

OBJETOSMATEMÁTICOS DE

ESTUDIO

Articula en res losconceptos de unobjeto matemático.

Construyeargumentosidentificandohipótesis yconclusión.

Detectainconsistenciascuando existen enun argumento.

Utilizaherramientascomputacionalespara plantear yresolver problemas.

Actúa sobresímbolos usando demanera adecuadalas reglas detransformación.

Analiza datosexperimentalespara inferirconclusiones

Expresa elconjunto deproposicionesreferidas a unobjeto o a unsistema:

- En lenguaje

natural- En diagrama o

gráfica- En lenguaje

algebraico- En lenguaje

computacional

SITUACIÓNPROBLEMA

De esta manera se ha elaborado y se

tienen como productos de este proyecto:el sistema de indicadores de laasignatura, o conjunto de matrices quearticulan los objetos a construir en cadaunidad con las dimensiones de lacompetencia matemática y, el conjunto deejercitadores diseñados, al menos unopara cada indicador, con el cual elestudiante puede entrar a interactuar enel ambiente digital encontrando en elsistema una respuesta cualitativa queaprueba el ejercicio realizado o lodirecciona a repasar los conceptos opropiedades que sean pertinentes.

Las matrices de indicadores diseñadas para

cada unidad con sus correspondientesbaterías de ejercicios permiten alestudiante autoevaluar su propio avance,gestionar sus metas y detectar de manerapuntual las falencias de su aprendizaje encada una de las unidades. Este es un ejercicioque cada estudiante realiza de maneraindividual o bajo la orientación delmonitor con el cual tiene encuentrossincrónicos o asincrónicos a través delambiente digital.



| /EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DE COMPETENCIASCOGNITIVAS

8

EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DECOMPETENCIAS COGNITIVAS

Russel y Norvig (1996) caracterizan losproblemas con base en los conceptos desolucionador, operando, operador ytransición de estados. Si un sistema(operando) está en un estado actual o Inicio yel solucionador desea que este sistema lleguea un estado Meta, el problema consiste enhallar la secuencia de estados mediante laaplicación de un operador para que eloperando alcance el estado meta. Por tanto lasolución de un problema es una

transformación mediante una sucesión detransiciones de estado. Cada transiciónimplica decisiones, es decir, que hay al menosdos estados posibles y su secuencia se puederepresentar en una estructura arbórea, quepor ser representación de posibilidadesconstituye lo que se denomina el espacio delproblema. El solucionador seguía por larepresentación que tenga de las posibilidadesde acción (uso de operador) y de las posiblessecuencias de estado, de tal manera que serámás efectivo si su espacio es representación

suficiente.Goel y Pirolli (1992) distinguen, en estaperspectiva, los problemas débil yfuertemente estructurados, según se puedaconstruir o no el árbol de búsqueda completoy se pueda disponer del operador adecuado encada paso. La resultante se puede verasociado a grados de incertidumbre en losprocesos de solución. Cuando se puedenencontrar secuencias que garantizan lasolución, el proceso es algoritmizable; cuandono, la actividad de exploración reduce laincertidumbre mediante heurísticas orecomendaciones surgidas de la experienciaexplorativa previa.

La dinámica del espacio del problema estáasociado con la actividad “mental” del

solucionador. En los procesos de formación,quien aprende se ve permanente retado aelaborar, frente a problemas expresados endiferentes formatos, un espacio del problemay a garantizar una solución. La solución deproblemas, como se ha estudiado en la cienciacognitiva (Newell y Simon, 1972), es unproceso de complejidad variable queinvolucra los patrones de representación del

solucionador con su ambiente (ambiente de latarea).

En procesos pedagógicos se habla deproblemas formales o algebraicos yproblemas en contexto. En términoscognitivos, significa esto que el ambiente dela tarea presenta una expresión deestructuras simbólicas abstractas y formaleso que está constituido por variables delentorno que demandan del solucionadorprocesos de abstracción y formalización. Las

dos condiciones, exigen habilidadesdiferentes para el solucionador. En principio,una estructura abstracta es general yaplicable a muchos contextos, la dificultadsurge por cuando el solucionador debe tenerla habilidad representar los contextos quetienen información relevante y no relevante,mediante esas estructuras. Encontramosentonces dos dificultades inherentes en laconstrucción del espacio del problema: 1.Algoritmizar la solución o al menos hallarheurísticas;

2. Tomar la información relevante delcontexto, usar estructuras abstractas.



| /EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DE COMPETENCIASCOGNITIVAS

9

El proceso de formación orientado a formarcompetencias de acción en el mundo de lavida implica procesos de formación ensolución de problemas. La solución de unproblema no es suficiente para formar elsolucionador eficiente, por la dificultadinherente a la variedad de los contextos. Lasolución de un problema nuevo mejora lahabilidad, pero, ésta siempre es mejorable. Elarte de enseñar a solucionar problemaspedagógicamente está relacionado con eldiseño y presentación de casos, por una parte,y con el monitoreo y asesoramiento, por otro.A este proceso, lo hemos denominadoacompañamiento.

Los ambientes de la tarea se puedenmejorar pedagógicamente mediante losdispositivos tanto analógicos comodigitales, pero sobretodo, mediante losprocesos de interacción colaborativa tantodel solucionador que aprende con elexperto, como entre pares desolucionadores en formación. En otraspalabras, el aprendizaje de solución deproblemas es un proceso que involucrarelaciones en una red social de experticia yen consecuencia, los procesos deargumentación alrededor de la solución deproblemas se destacan por su especialeficacia (Schwartz y De Groot, 2006).



| /REFERENCIAS 10

REFERENCIAS

Russell, S y Norvig, P. (1996). Inteligencia Artificial: un enfoque moderno.

Editorial Prentice Hall.

Goel, V y Pirolli, P. (1992). Structure of Design Problem Spaces. Corgnitive

Science, Vol 16, No 3, 395 – 429

Schwartz. B y De Groot, R., (2006). Argumentation in a changing world.Interational Journal of Computer Collaborative Learnning.



| EJEMPLOS DE SITUACIONES PROBLEMA 11

EJEMPLOS DE SITUACIONESPROBLEMA



| /UNIDAD 1 12

UNIDAD 1NÚMEROS REALES

MAPA CONCEPTUAL

1



| MATRIZ DE INDICADORES 13

MATRIZ DE INDICADORES

COMPETENCIAOBJETO COMPRENDELOS CONCEPTOS

CONSTRUIDOS

OPERA CONSIGNIFICADO MODELA

NÚMEROS REALES

Subconjuntos numéricos

El enfoque axiomático

Clasificar númerosreales de acuerdo alas características decada subconjunto

Resolver ejerciciosque hacen uso delos axiomas deorden y laspropiedades de losnúmeros reales.

Expresarenunciados verbalesutilizando símbolosmatemáticos; asímismo tener encuenta los axiomasde orden y lasoperacionespermitidas en el

conjunto de losnúmeros reales,

INTERVALOS

Comprender elsignificado de lossímbolos utilizadospara expresar unadesigualdad.

Usar laspropiedades de lasdesigualdades ydel valor absolutopara encontrar suconjunto solución.

Mostrar lasrelaciones de ordenentre dos númerosreales a y b

SISTEMAS DENUMERACIÓN

Identificar laspropiedades básicasen cada sistema y lasoperaciones posiblesen cada sistema denumeración.

Convertirexpresionesnuméricas de unsistema a otro,utilizando losalgoritmoscorrespondientes.

Comparar lasventajas ydesventajas deestos sistemas denumeración en basea su operatividad ysus usos.



| PROBLEMA COLABORATIVO 14

PROBLEMA COLABORATIVONÚMEROS REALES

Se quiere encerrar un lote rectangular de 20

metros de largo por 12 metros de ancho. Parafacilitar el cerramiento se han dispuesto 4postes, uno en cada vértice del lote, de 2.5metros de longitud, enterrados el 18% de sulargo.

Se cuenta con un rollo de alambre acerado de50 metros y 3 rollos de alambre de púas de100 metros cada uno con los cuales serealizará el cerramiento con 4 cuerdas,separadas entre si 0.5 metros una de la otra.La primera cuerda también está colocada a0.5 metros del piso.

Para dar mayor seguridad a los postes se lescolocará un anillo en la parte superior, delcual se fijará una cuerda hecha en el alambreacerado, que será asegurada en un clavocolocado a dos metros del pie del poste.

Para la elaboración de los anillos se cuentacon una varilla de 1/4 de pulgada dediámetro por 3,5 metros de longitud.

EN CADA CASO JUSTIFIQUE SUS

RESPUESTAS

1. ¿Es suficiente el alambre de púas, pararealizar el cerramiento? ¿ por que?

2. ¿Es posible colocar, en las mismascondiciones una cuerda adicional a la cerca?

Considere todas las opciones.

3. ¿Que longitud del poste queda enterrada?

4. Si cada uno de los postes tiene un diámetrode 20cm. ¿Es suficiente la varilla para colocarlos cuatro anillos?




5. Si se recomienda un margen en la longituddel anillo de el 1% de su propia longitud,¿Entre que valores se encontrara estalongitud? (construya el inérvalo).

5. Si cada uno de los anillos se coloca a 20cmde la parte superior del poste. ¿Qué longitudtendría cada uno de los alambres aceradosque ayudan a sostenerlos?

6. Si se mantiene constante la longitud delcable que sostiene al poste. ¿Es posiblecolocar el clavo a un metro de distancia delpie del poste? ¿Por qué?

7. ¿Es suficiente el rollo de alambre acerado?

8. Si los anillos se colocaran no a 20cm si no a30cm del borde. ¿En qué porcentaje se

disminuye la longitud de cada alambreacerado?

9. Realice una clasificación de las respuestas

en los diferentes conjuntos numéricos.10. Ubique los valores encontrados en larecta real.

11. Exprese en notación de valor absoluto ladistancia entre el menor de los valoresencontrados y un punto cualquiera de la rectareal

12. Calcule la distancia entre los dos valoresmás distantes

13. Clasifique las respuestas en el siguientecuadro según corresponda.

NUMEROSNATURALES

NUMEROSENTEROS

NUMEROSRACIONALES

NUMEROSIRRACIONALES

NUMEROSNATURALES

1

2

3

4

5

6

7



| CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS 16

CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS

COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDELOSCONCEPTOS

OPERA CONSIGNIFICADO REPRESENTA YEXPRESA CONSIGNIFICADO

NÚMEROSREALES

1,2 3,7,12 6,7

INTERVALOS 5,,10 5,8 10

SISTEMAS DENUMERACIÓN

13 11,13 11



| /UNIDAD 2 17

UNIDAD 2EXPONENTES – LOGARITMOS – RADICALES

MAPA CONCEPTUAL

2

Operaciones

Suma

que puede ser realizado

con un mismo

y se representa

mediante la

son

Producto

son

cuyos elementos son

Potenciaciónm

Base

despejada

que cuando debe

ser

en una

requiere de

Ecuación

Exponente

Radicación

despejado

que cuando debe

ser

en una

requiere de

Ecuación

Factor

Logaritmación





COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDE LOSCONCEPTOS

CONSTRUIDOS

OPERA CONSIGNIFICADO

REPRESENTA,EXPRESA CONSIGNIFICADO

EXPONENTES,LOGARÍTMOS Y

RADICALES

Explicar y entender larelación existente entrelogaritmos, exponentesy radicales. Analizarque construcciones son

posibles a partir de susaxiomas.

Resolverejercicios conexpresiones quecontienenpotenciación,

radicación ylogaritmos, apartir de suspropiedades.

Representar gráfica yalgebraicamentesituaciones que llevenal uso de bases,exponentes, yradicales. Realizar

problemas queinvolucren y haganver la estrecharelación entrelogaritmos,exponentes y radicales




PROBLEMA COLABORATIVOEXPONENTES – LOGARITMOS – RADICALES

Las gráficas representan la forma de

reproducción de dos bacterias diferentes. Enlos dos casos, cada bacteria en su momentode dar origen a otra(s) muere.

De acuerdo con las gráficas analice y

responda los siguientes cuestionamientos?

EN CADA CASO JUSTIFIQUE SUSRESPUESTAS

1. Para cada una de las bacteriasindique la población resultante entérminos del tiempo t = 1, t = 2, t =3, t = 4.

2. Construya una forma general paraencontrar la población en términosdel tiempo t.

3. Cuál es la población de cada una delas bacterias al cabo de un tiempo det = 10.

4. ¿Qué operación representa la formageneral?

5. ¿Cuál de la bacterias mencionadasda origen a una población de 16 ent= 4?

6. ¿Cuál de la bacterias da origen auna población de 64 en t = 2?

7. ¿Cuál de la bacterias mencionadas daorigen a una población de 64 en t=4?

8. ¿Cuál de la bacterias mencionadas daorigen a una población de 256 en t=4?

9. En cada caso indique en términos deltiempo transcurrido el número debacterias a los que da origen antes demorir.

10. Construya una forma general queexprese el número de bacterias a que daorigen cada una antes de morir entérminos del tiempo.

11. ¿Al cabo de un tiempo encontraron 32bacteria descendientes de la bacteria A,

cuánto tiempo fue necesario para queresultara esta cantidad de población?12. ¿Al cabo de un tiempo encontraron 256

bacteria descendientes de la bacteria B,




cuánto tiempo fue necesario para queresultara esta cantidad de población?

13. Para cada una de las bacterias expreseel tiempo transcurrido en términos dela población resultante.

14. Construya una forma general queexprese el tiempo en términos del totalde la población y del numero debacterias a que da origen cada unaantes de morir.

15. A partir de la población existente ent = 3, analice el comportamiento deuna de las bacterias de 5 periodosadicionales de tiempo, utilice estainformación para determinar lapoblación generada por todas lasbacterias existentes en el periodo t= 3 al cabo de 5 periodos




| /UNIDAD 3 21

UNIDAD 3OPERACIONES ALGEBRAICAS

MAPA CONCEPTUAL

3





COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDELOS

CONCEPTOSCONSTRUIDOS

OPERA CON

SIGNIFICADO


OPERACIONESALGEBRAICAS

Identificar en ellenguaje algebráicoel significado deconceptos comoliteral, exponente, yconstante en unaexpresiónalgebraica.Clasificarexpresionesalgebraicas deacuerdo con sunúmero de términos

Efectuar lasoperaciones desuma, resta,multiplicación ydivisión cuandocombinamos dos omás expresionesalgebráicas.

Simbolizar en el lenguajealgebráico enunciadosverbales.

PRODUCTOS YCOCIENTESNOTABLES.TEOREMA DELBINOMIO YTRIÁNGULO DEPASCAL.DIVISIÓN

SINTETICA

Caracterizar losdesarrollos que setienen a partir delas formulas deproductos notablesy cocientesnotables.

Realizaroperaciones queincluyendesarrollos deproductos notablesy cocientesnotables.Generalizar estosresultadosutilizando el

triángulo de Pascaly el Teorema delBinomio.

Usar gráficos paradeducir las formulas deproductos notables.

FACTORIZACIÓNY FRACCIONESALGEBRAICAS

Caracterizar la ideade mínimo comúnmúltiplo para lasuma y resta deexpresionesalgebraicas.Analizar los pasos aseguir en lasoperaciones demultiplicación ydivisión depolinomios.

Simplificarexpresionesalgebraicas de tiporacional querequieren el uso delos distintos casosde factorización.

Emplear los métodosvistos para despejarvariables en expresionesque requieren el uso defactorización




PROBLEMA COLABORATIVOPROBLEMA SOBRE LA BIBLIOTECA

Se va a construir una biblioteca con la

distribución y el diseño que se muestra enla figura:

1. Encuentre el perímetro de la base de labiblioteca.

2. ¿Cuál es la suma del perímetro de losentrepaños?

3. Calcular la altura del cajón que forma laparte inferior de la biblioteca.

4. Encuentre el volumen del escritorio de labiblioteca.

5. Si el área de la parte de atrás de labiblioteca está dada por 3X2 + 58X- 40 yun lado mide X + 20, utilizando la divisiónencuentre el otro lado.

Utilizando los productos notablesconocidos encuentre:

1. El área de la base de la parte inferior.2. Calcular el área de un entrepaño.3. Si el área de la base es X2 + 10X - 600

encuentre las dimensiones.4. Para la elaboración de este mueble se

compraron tablones de madera de áreaX² - 9 encuentre el largo y el ancho.

5. Si el volumen del espacio superior de labiblioteca es de x3 - 60x2 - 400x + 24000Encuentre el alto, largo y ancho.

6. Si el valor de x es de 100 centímetrosencuentre los valores reales de cada una

de las dimensiones anteriores.







| /UNIDAD 4 25

UNIDAD 4ECUACIONES E INECUACIONES

MAPA CONCEPTUAL

4

al ser comparadas dan lugar a

que puede ser

cuya solución se

representa con

Intervalos

En una variable degrado 1,2 o más

que son

subconjuntos de la

RectaReal

que puede ser

cuya soluciones son

Reales

En una variable degrado 1,2,3 o más

que contienen

Partereal

Compleja

Parteimaginaria

Se pueden operar mediante

Adición ySustracción

Multiplicació

División

Números

Complejos

que conforman las

operaciones en

Expresiones Algebraicas

Inecuacion

Ecuacione





COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDELOS

CONCEPTOSCONSTRUÌDOS


REPRESENTA,EXPRESA CON

SIGNIFICADO

ECUACIONES YDESIGUALDADESEN UNAVARIABLE

Identificar laecuación como unaigualdad querelaciona dosexpresiones quecontienenconstantes y unavariable que tomaun valor único.

Identificar quepropiedades de losnúmeros reales sonutilizadas en lasolución deecuaciones.

Solucionar yaplicar lasecuaciones de unavariable ensituacionesdiversas. Extenderel concepto deecuación paraaplicarlo ainecuaciones einecuaciones convalor absoluto.

ECUACIONES DESEGUNDO GRADOEN UNAVARIABLE

Identificar laecuación como unaigualdad querelaciona dosexpresiones quecontienenconstantes y unavariable que puedetomar dos valoresen los númerosreales y aquellas

soluciones quecorresponden asoluciones en losnúmeros complejos.

Utilizar para lasolucionarecuaciones desegundo grado, laecuacióncuadrática, losmétodos defactorización y elmétodocompletandocuadrados.

Modelarsituaciones que,descritas enlenguajealgebraico, nossirven para aplicarlas ecuaciones desegundo grado.Representarsituaciones para lascuales su solución

sea descrita através deintervalos.

ECUACIONES DEOTROS GRADOS

Identificar que tiposde algoritmos sedeben utilizar parallevar una ecuaciónde grado superior auna ecuacióncuadrática.

Utilizar en formaadecuada elconjunto deaxiomas de losnúmeros reales, asícomo la divisiónsintética parasolucionarecuaciones quegrado superior ados.

Modelar problemasque soportan el usode ecuaciones deotros tipos.Estudiar algunostipos de ecuacionespropias de laIngeniería,Ciencias y CienciasSociales.









| /UNIDAD 5 29

UNIDAD 5PLANO CARTESIANO

MAPA CONCEPTUAL

5

Ecuaciones

En dos variables

Lineales Cuadráticas

Dos puntos Punto pendiente

Intersección a losejes coordenados Razón de cambio

Variables

Sistema de ecuaciones

Paralelas No paralelas

que pueden ser

que pueden ser

o

que pueden ser

determinadas mediante

que permiten determinar

entre las

Que consideradas en

conjunto constituyen un

que pueden ser rectas

o





COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDELOS

CONCEPTOSCONSTRUÌDOS



PLANOCARTESIANO,RECTA YSISTEMAS DEECUACIONES.

Interpretar yrelacionar lasrepresentacionesposibles en elplano

cartesiano.Logrardeducir cada unode los conceptosempleados comopareja ordenada,plano cartesiano,distancia entre dospuntos, pendientede una recta, yecuación de larecta.

Obtener lasolución aejerciciospropuestos yanalizar tanto elmétodoalgebraicoempleado como elmétodo gráfico.

Presentarproblemas quenos permitanaplicar los

conceptos vistos aotras situaciones.Proponer modelosy formasalternativas pararesolverproblemas queinvolucren el usode sistemas deecuaciones.




PROBLEMA COLABORATIVO

En un mapa de altimetría se relaciona la

distancia entre ciudades o municipios (enKm) y la altura sobre el nivel del mar (enm.). En un viaje de Bogotá a Barbosa(Santander ) se tiene la siguienteinformación: altura de Bogotá 2600 m.;primera población que se encuentraVillapinzón distanciada 95 km. de Bogotá ycon una altura de 2715 m.; Tunjadistanciada 123 km de Bogotá y con unaaltura sobre el nivel del mar de 2775 m. yBarbosa esta distanciada de Bogotá 214 kmcon una altura sobre el nivel del mar de1588 m .

1. Utilizando una escala adecuada ubique los

puntos en un plano cartesiano y una con

segmentos de recta.

2. Utilizando el concepto de punto medio

ubique este entre Bogotá y Villapinzón,

Tunja y Barbosa. (Interpretar).

3. Determine la pendiente de cada uno de

los segmento de recta.

4. Construya cada una de las ecuaciones

lineales de los segmentos.

5. Determine la altura para poblaciones a 70

km; 170km y 200 km de Bogotá.

6. Si la población de Choconta (entre Bogotá

y Tunja) esta a una altura sobre el nivel del

mar de 2665 m. se podría afirma que

Choconta está distanciada a mas de 20 km

de Villapinzón?

7. Si la distancia entre Bogotá y una

población que esta a nivel del mar es de

1990 km. Construya la ecuación lineal para

la situación.

8. Utilizando la expresión del numeral 7

determine la altura para poblaciones a 300

km; 800 km y 1200 km de Bogotá.

9. exprese un modelo general para la

relación distancia entre poblaciones y altura

sobre el nivel del mar de dichas poblaciones.








COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDE LOSCONCEPTOS

CONSTRUÍDO



PARÁBOLA Identificar la parábolacomo el conjunto detodos los puntos del

plano que equidistande un punto fijo, elfoco, y una recta fija,la directriz yreconocer suselementos.

6.1.2 Dadas ciertascondiciones hallar laecuación de la

parábola y alcontrario: a partir detrasformacionesalgebraicas identificartodas lascaracterísticas y

elementos de estacónica.

6.1.3 A partir de la ecuacióno de ciertas condiciones,graficar correctamente la

parábola y modelar ysolucionar casos realesasociados a la parábola.

ELIPSE Identificar la elipsecomo el conjunto detodos los puntos del

plano cuya suma desus distancias a dos

puntos fijos, los focos,es una constante

positiva y reconocersus elementos.

Dadas ciertascondiciones hallar laecuación de la elipse yal contrario: a partirde trasformacionesalgebraicas identificartodas lascaracterísticas yelementos de estacónica.

6.2.3 A partir de la ecuacióno de ciertas condiciones,graficar correctamente laelipse y modelar ysolucionar casos realesasociados a la elipse.

HIPÉRBOLA Identificar la hipérbolacomo el conjunto detodos los puntos del

plano cuya diferenciade sus distancias a dos

puntos fijos, los focos,es una constante

positiva y reconocersus elementos.

Dadas ciertascondiciones hallar laecuación de lahipérbola y alcontrario: a partir detrasformacionesalgebraicas identificartodas lascaracterísticas yelementos de estacónica.

A partir de la ecuación o deciertas condiciones, graficarcorrectamente la hipérbola ymodelar y solucionar casosreales asociados a lahipérbola.






d) Si el eje mayor mide 2000 ft y el eje menormide 100 ft , encuentre las cuatro ecuaciones

particulares que modelan cada hoja deltrébol.

e) Construya la grafica de estas 4 ecuacionesen el mismo plano cartesiano.

f) Halle los puntos de corte de la elipsevertical superior y la elipse horizontalderecha.

g) En los focos de cada elipse se concentra elruido producido por los motores del avión.

¿Cuáles son estos puntos en cada elipse?

h) Investigue cuál es la ecuación del trébolde cuatro hojas en coordenadas polares.

3) La tercera maniobra recibe el nombre degiro de martillo. Se inicia a 10.000 ft , de sura norte. En esta maniobra el piloto deberápasar de un vuelo horizontal a un vuelovertical en ascenso, describiendo en estatransición la parte superior derecha unahipérbola vertical, antes de llegar a velocidad

cero, hace un giro parabólico hacia laderecha hasta quedar en descenso vertical yposteriormente recobrar altura describiendonuevamente otra hipérbola.

La foto que se muestra a continuación, fuetomada de frente al avión.

a) Haga una gráfica intuitiva, en dosdimensiones, del recorrido del avión.

b) Si se considera la hipérbola con centro en(0,0), vértice en ( 0, 10000 ) y el punto donde

comienza la parábola es ( 75, 12.500 ). Queecuación modela esta primera parte de lamaniobra? (Recuerde que solamente es laparte superior derecha de una hipérbolavertical)




c) ¿Cuál es el foco de esta hipérbola?

d) ¿Cuál es su asíntota?

e) Si la altura máxima se consigue en elpunto ( 100, 12800 ) halle una ecuación querepresente la curva parabólica que realiza elavión antes de caer verticalmente.

f) ¿Cuál es el foco de esta parábola?

g) A una altura de 10000 ft el avión detienesu descenso vertical y recobra velocidad yaltura describiendo la misma hipérbolainicial. ¿La ecuación de esta hipérbola es

igual a la primera? Si la respuesta es no,halle la nueva ecuación.

h) Escriba en forma matemática el recorrido

total de esta acrobacia. Tenga presente quela grafica es a trozos: formada por variascurvas.

i) Investigue qué es una función matemática.

j) Según su investigación, esta maniobra esuna función? Diga si o no y porque.




| /UNIDAD 7 37

UNIDAD 7FUNCIONES

MAPA CONCEPTUAL

7

Trascendentes

Dominio

Cuando se realiza entre f y f -1 dan lugar a

Composición

Variables

Funciones

Rango

o

Inyectiva

Función Inversa

Función Idéntica

Algebraicas

Polinómicos

que se clasifican en Pueden ser operadasmediante

Sus componentes se llaman

puede ser

pueden ser

cuyo conjunto devalores se denomina

cuyo conjunto devalores se denomina

que cuando se relacionan

Condición que garantiza laexistencia de la

Dependientes

Racionales

Independientes

Suma

Resta





COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDELOS

CONCEPTOSCONSTRUÍDOS

OPERA CON

SIGNIFICADO


ELEMENTOS DE UNARELACIÓNFUNCIONAL.DOMINIO, RANGO EINTERCEPTOS

Reconocer en unagráfica loselementoscaracterísticos derelaciones yfunciones.

Asociar laintersección degráficas con lasolución algebraicade un sistema deecuaciones.

Usar un modelogeneral paraexpresar a partirde él, situacionesen las cuales lasvariables tomancasosparticulares.

TRANSFORMACIONESDE UNA GRÁFICA

Establecer lacorrespondencia

apropiada entredesplazamientosverticales yhorizontales,realizados sobreuna gráfica y lasoperacionesalgebraicasefectuadas sobre elenunciado de unafunción.

Reconocer los

desplazamientoshorizontales yverticalesrealizados sobre lagráfica, ysimbolizarlas demanera apropiada.

Interpretarenunciadosverbales contransformacionessobre la gráficade una relación.

FUNCIÓNCOMPUESTAFUNCIÓN INVERSA

Reconocer

condicionescaracterísticas dela inversa de unafunción.

Reconocer ycomprobar las

relacionesalgebraicasexistentes entrelas funciones y susinversas.

Modelar

situaciones queincluyen el uso dela funcióninversa.




PROBLEMA COLABORATIVOBANDA TRANSPORTADORA

Una compañía dispone de una banda

transportadora de 18 metros longitud.Para desplazamiento de carga. Además, labanda tiene un mecanismo que permiteelevar el extremo B para llevar carga hasta

una altura de 10 metros.

1. ¿A qué altura se encuentra la cargaa los 2, 8, 12 y 15 metros delpunto A, si el desplazamiento eshorizontal?

2. Represente la situación en unsistema cartesiano. ¿Qué clase defunción representa ésta situación?

3. Para objetos muy pesados, elmaterial flexible de la banda tomala forma de la función:

Construya la gráfica de la bandadeformada. ¿Qué clase de funciónrepresenta ésta situación?

4. Halle la longitud máxima que sedeforma con respecto al piso.

5. A que altura se encuentra la carga parauna distancia horizontal de 12 m.

Para las preguntas 6 – 14 tenga en cuentala siguiente posición de la bandatransportadora.

6. Encuentre la distancia d, si se quierellevar una carga a un deposito que estaubicado a 5 metros de altura con respectoal piso y calcule el ángulo que forma labanda con la horizontal.

7. Si la mínima distancia de d es de 16 m.,es posible colocar una carga en un deposito

que se encuentra a 10 metros de altura conrespecto al piso?

8. Si el ángulo que forma la banda con lahorizontal es de 30 o , cuáles son losvalores de h y d?

9. Represente la situación anterior en unsistema ejes coordenados.

10. Halle la pendiente de la banda en laposición anterior

11. Modele una ecuación que represente laaltura desde el piso hasta cualquier puntode la banda y diga que clase de función segenera cuando se presenta ésta situación.

http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1620%7Dx%5E2+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B90%7Dx+%2B+1



| 40

12. Encuentre el dominio y el rango para lafunción anterior de la bandatransportadora.

13. En esta posición el peso de algunosobjetos deforma la banda en forma

exponencial. Planteé una funciónexponencial que se aproxime a estasituación.

14. Halle la función inversa de la funciónanterior.




| /UNIDAD 8 41

UNIDAD 8FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

MAPA CONCEPTUAL

8

Exponenciales

Inyectiva

Una de sus

propiedades es la

Propiedad que

garantiza la

existencia de su

función inversa que es

la

Función Logaritmo de base b>0

en particular

La función Logaritmode base b=10

La función logaritmonatural de base b=e

que si su base es el número

de Euler se define la

Función exponencialnatural

que al combinarlas dan

origen a las

FuncionesHiperbólicas





COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDELOS

CONCEPTOSCONSTRUÍDOS



FUNCIONESTRASCENDENTES,FUNCIONESEXPONENCIAL YLOGARÍTMICA

Identificar laspropiedades quecaracterizan a las

funcionesexponenciales ylogarítmicas.

Encuentra eldominio, elrango y lainversa de lasfuncionesexponenciales ylogarítmicas.

Modela situacionesque se ajustas a lasfuncionesexponenciales ylogarítmicas.

Soluciona problemas

relacionados coninterés compuesto,crecimiento y todasaquellas situacionesdonde se necesitedespejar exponentes ode igual manerautilizar loslogaritmos.





| /UNIDAD 9 44

UNIDAD 9FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

MAPA CONCEPTUAL

9



| /UNIDAD 9 45


COMPETENCIASOBJETOS COMPRENDELOSCONCEPTOS

CONSTRUÍDOS

OPERA CONSIGNIFICADO MODELA

ÁNGULOS Y SUSSISTEMAS DEMEDIDA

Identificar losdiferentes sistemasde medición deángulos

Encontrar medidade ángulosnegativos ypositivos en losdiferentescuadrantes

Distinguirsituaciones dondese utilizanángulos deelevación y dedepresión

RELACIONESTRIGONOMÉTRICASEN TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS

Interpretarlasrazonestrigonométricascomo la relaciónentre la magnitudde los lados y lamedida en ángulosde un triángulorectángulo.

Resolverejercicios dondese emplean lasrazonestrigonométricas

Interpretarenunciados paradescribirproblemasrelacionados conlas razonestrigonométricas

TEOREMA DEL SENOTEOREMA DELCOSENO

Establecer

relaciones entrelados y ángulos deun trianguloobtusángulo

Utilizar los

teoremas de senoo del coseno, ysuscaracterizacionescon el fin deintuir, cual es elmás adecuado encada situación.

Explicar las

diferencias ysemejanzas entreel teorema delseno y del coseno,al utilizarlo.

FUNCIONESTRIGONOMÉTRICASEN EL PLANOCARTESIANO

Identificar yverificar relacionesentre funcionestrigonométricas.

Calcular valoresde ángulos apartir de lasgráficas yecuacionestrigonométricas

Caracterizarsituacionescaracterísticas delas funcionestrigonométricas,tales como,desplazamientos,periodo y fase.




PROBLEMA COLABORATIVOBOGOTA EN NAVIDAD

Cada diciembre la Alcaldía de Bogotá

coloca un árbol de navidad en la intersecciónde dos avenidas que forman un ángulo de 95grados. La longitud del árbol, desde la basehasta la estrella colocada en su extremosuperior, es de 7 metros.

Si desde el paradero, ubicado en la esquinaE1, hasta la estrella colocada en el extremosuperior del árbol se forma un ángulo de

elevación de 5 grados; 1. ¿Cuál es la longitudde la calzada desde el paradero hasta la basedel árbol?

2. Por la avenida 2 transita un automóvil auna velocidad de 60 km/h y tarda ½ minutoen recorrer la distancia entre la esquina E2 yla base del árbol; ¿Cuál es la longitud de lacalzada desde E2 hasta la base del árbol?.

3. ¿cuál es el ángulo de elevación formadodesde E2 al extremo superior del árbol?

4. ¿cuál es la distancia entre las esquinas E1y E2?

5. El área limitada por los puntos E3, E4, yE5 es una zona verde. La longitud del ladoE3 a E4 es de 650 metros y el ánguloformado en E3 es de 35°, calcule laslongitudes de los otros dos lados.

6. Halle el área de la zona verde.



TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS( NO RECTÁNGULOS)

Teorema de Pitágoras: h2 = b2 + c2

фc h

b

Ley de cosenos: a

2

= b

2

+c

2

–

2bc.cos

c a

b

Razones Trigonométricas:

Ley de senos:


β

Date post:	05-Jul-2018
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