Introduccion a las Matematicas Superiores
Material elaborado por los Profesores:
Salomon Alarcon
Florentino Baeza
Sergio Barrientos
Bernardo Leon de la Barra
hola
II
Prefacio
Estimado alumno, el presente texto ha sido creado con el objetivo de guiar tu estudio
teorico de los contenidos que seran evaluados en los certamenes del curso Introduccion a
las Matematicas Superiores. En el primer certamen se evaluaron los capıtulos 1 y 2 en la
Parte I; para el segundo certamen, los capıtulos 3 y 4 en la Parte I; para el tercer certamen
se evaluaron los capıtulos 5 y 6 en la parte II (esos apuntes aquı estan incompletos, hay
mas contenidos que se evaluaron) y para el cuarto certamen se evaluaran el capıtulo 7 en
la parte II y el capıtulo 8 en la parte III de este texto (tambien se evaluara el capıtulo de
funciones que aquı no aparece). Recuerda que este no es un texto de matematica formal,
por lo que si deseas profundizar mas en el estudio de los temas aquı tratados, te sugerimos
que revises la bibliografıa que hemos recomendado en el Programa del Curso.
Es nuestro deseo que este texto sea una verdadera ayuda en tu preparacion para rendir
tu cuarto certamen y mas adelante el examen global, recordandote de paso que el exito que
puedas tener en este curso dependera exclusivamente de tu esfuerzo. Suerte.
Tus Profesores de MAT-001.
III
hola
IV
Indice general
Prefacio III
Indice general V
I Matematica elemental I 1
1. Introduccion al sistema numerico real 3
1.1. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. El cuerpo de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . 7
1.1.3. Orden en IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Otras propiedades de orden en IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.7. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1. Comparacion entre numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2. Amplificacion y simplificacion de fracciones . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Fracciones propias e impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4. Operatoria en IQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5. Transformacion de un numero decimal a fraccion . . . . . . . . . . . 21
1.3. Razones, proporciones y porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3. Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
V
INDICE GENERAL
1.3.5. Tanto por ciento. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Algebra elemental I 29
2.1. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1. Monomios, binomios, trinomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2. Valoracion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Adicion y multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Adicion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Uso de parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Factorizacion y simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . 33
2.3.1. Factorizacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2. Simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita . . . 35
2.5.2. Analisis de las soluciones de una ecuacion de primer grado con una
incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Inecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita . . 41
2.6.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 43
2.7. Resolucion de problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Geometrıa elemental I 49
3.1. Construcciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Congruencia de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Congruencia de polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Semejanza de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1. Semejanza de polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
VI
INDICE GENERAL
3.3.2. Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3. Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Geometrıa analıtica elemental 67
4.1. Coordenadas cartesianas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1. Division de un trazo en una razon dada r . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Pendiente de un trazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. La ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.1. Representacion de una recta conocida su ecuacion . . . . . . . . . . . 76
4.5. Posicion relativa entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.1. Angulo de inclinacion de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.2. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.3. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.1. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . 84
4.7. Inecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incognitas . . . . . . . . . 92
II Matematica elemental II 101
5. Los numeros irracionales 103
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2. Radicacion. Raız n-esima de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.1. Raız cuadrada de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.2. Raız cubica de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.3. Raız n-esima de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.4. Potencias de exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Algebra elemental II 113
6.1. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.1. Operaciones entre fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 114
VII
INDICE GENERAL
6.1.2. Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas reducibles a una
de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7. Trigonometrıa 123
7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2. Razones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3. Identidades Trigonometricas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4. Razones trigonometricas entre triangulos semejantes . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.1. Reduccion a triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad) . . . . 128
7.5. Angulos notables y los valores de las razones trigonometricas asociadas . . 128
7.5.1. Tabla de razones trigonometricas de angulos notables . . . . . . . . . 129
7.5.2. Problemas de Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6. Circunferencia Goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.6.1. Reduccion al Cuadrante I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.7. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.8. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.9. Teoremas del Seno y del Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.9.1. Teorema del Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.9.2. Teorema del Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.9.3. Aplicaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
III Nociones de matematica superior 143
8. Introduccion a la teorıa de Logica y Conjuntos 145
8.1. Logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2.1. Complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.2. Interseccion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.3. Union: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.4. Diferencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.5. Cardinalidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
VIII
Parte I
Matematica elemental I
1
Capıtulo 1
Introduccion al sistema numerico real
1.1. Los numeros reales
Desde la perspectiva de las aplicaciones y de la resolucion de problemas, el conjunto
numerico de mayor relevancia es el de los numeros reales, que denotamos por R , debido a
la gran cantidad de propiedades que verifica, a saber: axiomas de cuerpo , axiomas de orden y
el axioma de completitud. Ademas, este conjunto posee un fuerte caracter geometrico ya que
puede ser representado por una recta, la cual llamamos recta numerica real: a cada punto
de una recta se le asocia un unico numero real.
Algunos subconjuntos notables de R y sus notaciones son:
N = {1, 2, 3, . . .} denota al conjunto de los numeros naturales.
N0 = N ∪ {0} denota al conjunto de los numeros cardinales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} denota al conjunto de los numeros enteros.
Q ={pq
: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0}
denota al conjunto de los numeros racionales.
Q′ = I = denota al conjunto de los numeros irracionales (por ejemplo:√
2,√
3, π, e).
OBSERVACION 1.1.1 Recordar que
Ademas:
Q ∩Q′ = ∅ y Q ∪Q′ = R.
Conviene aclarar en este momento lo siguiente: Q contiene a todos los numeros con
representacion fraccionaria (numeros con una cantidad finita de decimales o con una
cantidad infinita periodica o semiperiodica), mientras queQ′ contiene a todos los numeros
con infinitos decimales no periodicos. �
3
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
Representacion de los numeros reales en la recta numerica
Notar que si uno comienza a ubicar todas las fracciones racionales en la recta, visualmente
da la impresion de que uno logra cubrir toda la recta; sin embargo, esto dista mucho de
ser cierto, pues faltan aun todos los numeros irracionales, los cuales son muchos mas que
los racionales. Esto ultimo se puede chequear facilmente de la siguiente forma. Se sabe
que un numero racional mas uno irracional es otro numero irracional. Luego, como√
2 es
irracional (se probara mas adelante), tambien lo es r +√
2, donde r es cualquier
racional; por lo tanto hay al menos igual cantidad de irracionales que de racionales.
Pero tambien es irracional√
3, de manera que r+√
3, tambien es irracional para cualquier r
racional; por lo tanto hay al menos el doble de numeros irracionales que de
racionales. Mas generalmente, se sabe que√p, con p un numero natural primo, es
tambien un numero irracional, entonces considerando el hecho de que hay
infinitos numeros primos, tendremos que en realidad hay muchos mas numeros
irracionales que racionales.
A continuacion trataremos los axiomas de cuerpo y de orden de los numeros reales,
enfatizaremos en su representacion y estudiaremos con mayor detalle a uno de sus
subconjuntos notables, los racionales.
1.1.1. El cuerpo de los numeros reales
Consideramos en R las operaciones: adicion (+), y multiplicacion (·). El trıo (R,+, ·)denota a R dotado de estas dos operaciones y verifica las siguientes propiedades:
PARA LA ADICION EN R
(A0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a+ b ∈ R)
(A1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a+ b = b+ a)
(A2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)
(a+ (b+ c) = (a+ b) + c
)4
1.1. LOS NUMEROS REALES
(A3) Existencia de un elemento neutro aditivo (el cero):
(∃0 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(0 + a = a+ 0 = a)
(A4) Existencia de un elemento inverso aditivo:
(∀a ∈ R)(∃(−a) ∈ R
)tal que
(a+ (−a) = (−a) + a = 0
).
PARA LA MULTIPLICACION EN R
(M0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a · b ∈ R)
(M1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a · b = b · a)
(M2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)
(a · (b · c) = (a · b) · c
)(M3) Existencia de un elemento neutro multiplicativo (el uno):
(∃1 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(1 · a = a · 1 = a)
(M4) Existencia de un elemento inverso multiplicativo salvo para el neutro aditivo:
(∀a ∈ R \ {0})(∃a−1 ∈ R \ {0}) tal que(a · a−1 = a−1 · a = 1
)PARA LA MULTIPLICACION CON RESPECTO A LA ADICION EN R
(MA) Distributividad de la multiplicacion con respecto a la adicion:
(∀ a, b, c ∈ R)(a · (b+ c) = (b+ c) · a = a · b+ a · c
)Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de cuerpo en R. Ellas se aceptan y
no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.
OBSERVACION 1.1.2 Las propiedades (A0)-(A4) constituyen un grupo conmutativo sobre
el par (R,+); las propiedades (M0)-(M4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par
(R \ {0}, ·). y ademas tenemos la propiedad (MA). En consecuencia, el trıo (R,+, ·) posee
la estructura algebraica conocida como cuerpo.
5
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
OBSERVACION 1.1.3 La propiedad (A4) (Existencia de un elemento inverso aditivo) nos
permite definir la operacion sustraccion en R, la cual denotamos por el signo −, de la
siguiente manera:
(∀a, b ∈ R)(a− b = a+ (−b))
OBSERVACION 1.1.4 La propiedad (M4) (Existencia de un elemento inverso
multiplicativo, salvo para el cero) nos permite definir la operacion division en R \ {0},la cual denotamos por el signo :, de la siguiente manera:
(∀a, b ∈ R, b 6= 0)(a : b = a · b−1)
entendiendo que si b 6= 0, b−1 =1
by a · b−1 = a · 1
b=a
b.
OBSERVACION 1.1.5 La propiedad (A4) tambien nos permite introducir en la
representacion de R el concepto de opuesto o simetrico de un numero (simetrıa con
respecto al cero):
a+ 0 = 0 + a = a ∧ (−a) + 0 = 0 + (−a) = −a
y como
a+ (−a) = (−a) + a = 0,
podemos decir que los numeros a y −a estan a igual distancia del 0.
6
1.1. LOS NUMEROS REALES
1.1.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales
A partir de los axiomas de cuerpo, y usando las reglas de la logica proposicional,
podemos obtener otras propiedades que cumplen los numeros reales:
1. [0 es elemento absorbente multiplicativo] (∀a ∈ R)(a · 0 = 0)
2. (∀a, b ∈ R)(a · b = 0⇔ a = 0 ∨ b = 0)
3. [Cancelacion aditiva] (∀a, b, c ∈ R)(a+ b = a+ c⇔ b = c)
4. (∀a ∈ R)(− (−a) = a
)EJERCICIO 1.1.1 Sean a, b ∈ R. Demuestra las siguientes propiedades:
a) (−1) · a = −a
b) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b)
c) (−1)2 = 1
d) a 6= 0⇒ (a−1)−1 = a
1.1.3. Orden en IR
Para establecer una relacion de orden en el conjunto de los numeros reales, es
conveniente considerar un subconjunto de R, denotado por R+, el cual llamaremos
conjunto de los numeros reales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes
axiomas:
(O1) Invarianza para la adicion
(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a+ b ∈ R+)
(O2) Invarianza para la multiplicacion
(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a · b ∈ R+)
(O3) Tricotomıa
(∀a ∈ R)(a ∈ R+ ∨ a = 0 ∨ − a ∈ R+)
Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de orden en R. Ellas se aceptan
y no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.
7
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
DEFINICION 1.1.1 Sean a, b ∈ R. Se definen las siguientes relaciones entre a y b:
1. Decimos que a es mayor que b, lo que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+; es decir:
(a > b)⇔ (a− b ∈ R+)
2. Decimos que a es menor o igual que b, o equivalentemente que a no es mayor que b, lo
que denotamos por a 6 b, si −(a− b) = b− a ∈ R+ o a = b; es decir:
(a 6 b)⇔ (b− a ∈ R+ ∨ a = b)
3. Decimos que a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si −(a− b) = b− a ∈ R+;
es decir:
(a < b)⇔ (b− a ∈ R+)
4. Decimos que a es mayor o igual que b, o equivalentemente que a no es menor que b, lo
que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+ o a = b; es decir:
(a > b)⇔ (a− b ∈ R+ ∨ a = b)
Desde la definicion de >, se deduce que
a ∈ R+ ⇔ a > 0.
Ademas, desde la propiedad de tricotomıa y la definicion de 6, se sigue que
a ∈ R+ ⇔ (−a 6∈ R+ ∧ a 6= 0)⇔ (−a 6 0 ∧ a 6= 0)⇔ −a < 0.
Luego, existe otro subconjunto de R, el cual denotaremos por R−, y que llamaremos
conjunto de los numeros reales negativos, como sigue
a ∈ R− ⇔ a < 0.
Es claro ahora que R− corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elementos
en R+, y que la union de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Se tiene:
R− ∪ {0} ∪R+ = R ∧ R− ∩ {0} = ∅ ∧ R+ ∩ {0} = ∅ ∧ R− ∩R+ = ∅.
8
1.1. LOS NUMEROS REALES
1.1.4. Otras propiedades de orden en IR
1. El par (R,6) corresponde a una relacion de orden. Esto es, verifica:
(O4) Reflexividad(∀a ∈ R)(a 6 a)
(O5) Antisimetrıa(∀a, b ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 a⇒ a = b)
(O6) Transitividad(∀a, b, c ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 c⇒ a 6 c)
2. (∀a, b ∈ R)(a > b⇔ ∃p > 0 tal que a = b+ p)
3. (∀a, b, c ∈ R)(a > b⇔ a+ c > b+ c)
4. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c > 0⇒ a · c > b · c
)5. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c < 0⇒ a · c < b · c)
6. (∀a ∈ R)(a2 > 0)
7. (∀a ∈ R)(a > 0⇒ a−1 > 0)
8. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ b−1 > a−1)
9. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ a2 > b2)
OBSERVACION 1.1.6 La propiedad (M4), mas las propiedades de orden previas, nos
permiten introducir en la representacion de R el concepto de recıproco o inverso de un
numero (proporcionalidad inversa del numero con respecto al 1)
a ∈ R \ {0} ⇔ a−1 ∈ R \ {0}
y comoa · a−1 = a−1 · a = 1
podemos decir que los numeros a y a−1 son inversamente proporcionales con respecto al
1 si a > 0; y con respecto al −1 si a < 0.
9
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
OBSERVACION 1.1.7 Comparando los numeros sobre la recta numerica real de izquierda
a derecha, los numeros reales quedan ordenados de menor a mayor.
OBSERVACION 1.1.8 El axioma de completitud, que aquı no estudiaremos, intuitivamente
indica que entre dos numeros reales diferentes existe otro numero real, de manera que la
recta numerica quedara totalmente cubierta de numeros reales.
EJERCICIO 1.1.2 ll
1. Traza una recta numerica fijando la unidad. Luego, ubique sobre ella los enteros
entre 3 y −3, inclusive, y los numeros reales ±√
2, ±√
3, ±√
5, ±√
7, ±1
2, ±7
4y ±7
2.
2. Representa en la recta numerica a 2 +√
2 y 3−√
2.
3. Comprueba geometricamente que 2 < 3⇒ −2 > −3 y 3 > 0⇒ −3 < 0
4. Prueba que (∀a, b ∈ R)(a2 + b2 > 2ab)
5. Prueba que: (∀a, b ∈ R+)(a+ b > 2√ab)
6. Prueba que (∀a ∈ R+)(a+
1
a> 2)
7. Prueba que (∀a, b ∈ R)(a2
b2+b2
a2> 2)
8. Prueba que (∀a, b ∈ R−)(√a
b+
√b
a> 2)
9. Prueba que(a+ b = 1⇒ a2 + b2 >
1
2
)1.1.5. Valor absoluto de un numero real
DEFINICION 1.1.2 Sean a y b dos numeros reales. Definimos la distancia entre a y b,
denotada por dist(a, b) a la diferencia no negativa entre a y b, esto es:
a− b si a− b > 0; o bien, b− a si b− a > 0.
EJERCICIO 1.1.3 ll
1. Calcula la distancia entre los pares de numeros reales dados a continuacion.
Comprueba tus resultados en una recta numerica:
a) 3 y − 4 b) − 7 y − 5 c) − 3 y 4 d) 5 y 0 e) 0 y − 5 f) − 1 y 6
10
1.1. LOS NUMEROS REALES
2. De las siguientes afirmaciones, subraya aquellas que son verdaderas
a) dist(−13, 2) = dist(−2, 13) b) dist(√
5,√
2) = dist(√
5,√
2) c) dist(2, 5) = dist(5, 2)
d) dist(−9,−32) = dist(3
2, 9) e) dist(−a,−b) = dist(b, a) f) dist(a, b) = dist(b, a)
g) dist(5, 0) = 5 h) dist(1−√
2, 0)=√
2−1=−5 i) dist(−5, 0) = dist(0, 5)
OBSERVACION 1.1.9 La distancia entre un numero real dado y el cero es muy sencilla de
calcular, pues corresponde al numero real dado sin su signo, de modo que este quede
positivo. Este caso particular, de la distancia de un valor real al cero, corresponde al
concepto matematico denominado valor absoluto.
DEFINICION 1.1.3 Sea a ∈ IR. Llamamos valor absoluto de a, el cual denotamos por |a|, al
valor dist(a, 0). Es decir,
|a| = dist(a, 0)
OBSERVACION 1.1.10 Una definicion alternativa del valor absoluto de un numero es la
siguiente:
|a| =
a si a > 0
−a si a < 0
EJEMPLO 1.1.1 ll
1. |3| = 3 pues 3 > 0.
2. | −√
2| = −(−√
2) =√
2 pues −√
2 < 0
3. Sea a > 0. ¿Cual es el valor de |1− a|?
Solucion.
I Caso 0 < a < 1.
Notar que en este caso 1− a > 0, entonces
|1− a| = 1− a
I Caso a > 1.
Notar que en este caso 1− a 6 0, entonces
|1− a| = −(1− a) = −1 + a = a− 1 �
11
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
EJERCICIO 1.1.4 De las siguientes afirmaciones subraya aquellas que son siempre
verdaderas
a) |3|+ |0| = |3 + 0| b) |2|+ |3| = |2 + 3| c) | − 3|+ | − 2| = | − 3− 2|
d) |a|+ |b| = |a+ b| e) | − 2 + 3| > | − 2| − |3| f) |5− 2| > |5|+ | − 2|
g) |5 + 6| > |5|+ |6| h) |a+ b| > |a| − |b| i) |a− b| 6 |a|+ |b|
Propiedades que verifica el valor absoluto de un numero real
1. (∀a, b ∈ R)(|a · b| = |a| · |b|)
2. (∀a, b ∈ R)(b 6= 0⇒
∣∣∣ab ∣∣∣ = |a||b|
)3. (∀a, b ∈ R)
(|a| − |b| 6 |a± b| 6 |a|+ |b|
)4. (∀a, b ∈ R+)
(|a|+ |b| = |a+ b|
)5. (∀a, b ∈ R−)
(|a|+ |b| = |a+ b|
)6. (∀a ∈ R)
(|a| =
√a2)
1.1.6. Intervalos
Una forma usual de escribir y representar ciertos subconjuntos de los numeros
reales que involucran desigualdades en su definicion son los intervalos:
1. Llamamos intervalo abierto al conjunto:
]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
2. Llamamos intervalo cerrado al conjunto:
[a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
12
1.1. LOS NUMEROS REALES
3. Llamamos intervalo semi abierto por derecha al conjunto:
[a, b[:= {x ∈ R : a 6 x < b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
4. Llamamos intervalo semi abierto por izquierda al conjunto:
]a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
5. Llamamos intervalo infinito abierto por derecha al conjunto:
]−∞, b[:= {x ∈ R : x < b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
6. Llamamos intervalo infinito abierto por izquierda al conjunto:
]a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
13
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
7. Llamamos intervalo infinito cerrado por derecha al conjunto:
]−∞, b] := {x ∈ R : x 6 b}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
8. Llamamos intervalo infinito cerrado por izquierda al conjunto:
[a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}
Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:
EJERCICIO 1.1.5 ll
1. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las
siguientes desigualdades:
a)x2 − 4 > 0 b)x2 − 4 6 0 c) |x| > 2 d) |2x− 1| > 0 e) |x+ 1| > 1
2. Escribe el conjunto de valores de x que representa a cada uno de los graficos
obtenidos en el problema previo
3. Escribe en notacion de intervalo cada conjunto obtenido en el problema anterior.
4. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las
siguientes desigualdades:
a) |x| < 4 b) |x− 5| < 4 c) |x| > 3 d) |x+ 2| > 3
5. Expresa en notacion conjuntista los siguientes intervalos indicando de que tipo de
intervalo se trata, y representalos graficamente:
a) ]−∞, 4[ b) [−12, 5[ c) [−√
13,√
13] d) [4,+∞[
14
1.1. LOS NUMEROS REALES
1.1.7. Potencias de base real y exponente entero
DEFINICION 1.1.4 Sea a ∈ R y sea n ∈ N. Se define la n-esima potencia de a, la cual
denotamos por an, como sigue:
an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n veces a
NOTACION 1.1.1 Si a 6= 0, (a−1)n = a−1 · a−1 · . . . · a−1︸ ︷︷ ︸n veces a−1
=1
a· 1
a· . . . · 1
a= a−n
Propiedades que cumplen las potencias
Sean n,m ∈ Z y sean a, b ∈ R. Entonces
1. Potencias de base 0 y 1
0n = 0 ∀n ∈ N 1n = 1 ∀n ∈ ZOBSERVACION: 00 no esta definido.
2. Multiplicacion de potencias de igual base
an · am = an+m
3. Division de potencias de igual base
an : am = an−m, con a 6= 0
En particular,
a0 = 1, con a 6= 0 ∧ a1 = a
4. Multiplicacion de potencias de igual exponente
an · bn = (ab)n
5. Division de potencias de igual exponente
an : bn = (a : b)n
6. Potencia de una potencia
(an)m = an·m
15
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
OBSERVACION 1.1.11 ll
•(ab
)−n=( ba
)n• a
n
bn=(ab
)n• a > 0⇒ an > 0
• (a > 0)(an = am ⇔ m = n)
• (a > 1)(m > n > 0⇔ am > an)
• (0 < a < 1)(m > n > 0⇔ an > am)
• (n ∈ Z ∧ n es par )(a 6= 0⇒ an > 0).
• (n ∈ Z ∧ n es impar )
({a > 0⇒ an > 0
a < 0⇒ an < 0
)
Prioridad de la operatoria
1o) Parentesis
2o) Potencias
3o) Multiplicacion y/o Division
4o) Adicion y/o Sustraccion
EJERCICIO 1.1.6 ll
1. Calcule
a) 25 = b) 03 = c) (−1)4 = d) (30 − 13)−2 = e) (−1)n = f)53 · 45
102 · 26=
2. Simplifique
a) [23 · 22) · 35]4 = b)[( 1
−7
)3]−1
= c)23 + 2−3
43 + 1= d) − (−2)3 − (−2)2 =
3. Encuentre los valores de n que permiten verificar la igualdad
32 · 3n = 35
16
1.2. LOS NUMEROS RACIONALES
1.2. Los numeros racionales
El conjunto de los numeros racionales se denota por Q y esta dado por:
Q ={ab/ a, b ∈ Z ∧ b 6= 0
}.
La expresiona
b, con b 6= 0, se denomina fraccion y esta se compone de dos partes: a que se
llama numerador, y b, que se llama denominador.
OBSERVACION 1.2.1a
1= a y
a
0no esta definido.
1.2.1. Comparacion entre numeros racionales
Seana
b,c
d∈ Q. Entonces
a
b=c
d⇔ a · d = b · c
Si ademas b, d ∈ Z+, entonces
a
b>c
d⇔ a · d > b · c
a
b<c
d⇔ a · d < b · c
1.2.2. Amplificacion y simplificacion de fracciones
Seana
b,c
d∈ Q. Entonces
a · nb · n
=a
b, ∀n ∈ Z \ {0}
anbn
=a
b, ∀n ∈ Z \ {0}
OBSERVACION 1.2.2 Para muchos efectos es conveniente igualar los denominadores de
las fracciones. Lo hacemos usando el concepto de m.c.m. y amplificamos y/o
simplificamos.
17
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
EJEMPLO 1.2.1 Si queremos ordenar de mayor a menor las fracciones
2
3,5
6,3
4
una buena forma de hacerlo es igualando los denominadores y comparar los numeradores
obtenidos. Como m.c.m.(3, 6, 4) = 12, amplificamos cada fraccion convenientemente para
que todos los denominadores sean 12, ası obtenemos:
2
3=
2 · 43 · 4
=8
12;
5
6=
5 · 26 · 2
=10
12;
3
4=
3 · 34 · 3
=9
12
Por lo tanto, como 8 < 9 < 10, concluimos que:
2
3<
3
4<
5
6.
EJERCICIO 1.2.1 ll
1. Simplifica
a)8 · 6 · 21
9 · 16 · 14= b)
25 · 32
100=
2. Compara las siguientes fracciones y ordenalas de menor a mayor
a)3
4,7
8,5
6b)
21
12,7
4,35
20c)
10
9,5
7,3
6
3. Ubica en la recta numerica los siguientes valores reales (use compas para precisar su
respuesta)−5
4,1
2,√
3,
√3
2,−1, 3
2
3,−√
2
4. Simplifica las siguientes expresiones
a) (x−3)2 = b)(5
3
)4
· 33
20·(15
4
)−1
5. Calcula
a)(√
34−23+5−1
)(40−3·3−1)= b) (2−1+3−1)(2−1−3−1)+(2−1·20)−4 : 23 = c)
(34 + 33)2
93=
6. Encuentra el valor de n que permite verificar la igualdad
a) (22 : 4) · 2n = 4 b) 2−1 · 2n + 4 = 9 · 25
18
1.2. LOS NUMEROS RACIONALES
1.2.3. Fracciones propias e impropias
Sean a, b ∈ N. Entonces:
a < b⇒ a
bes una fraccion propia
a > b⇒ a
bes una fraccion impropia
OBSERVACION 1.2.3 Toda fraccion impropia se puede escribir como numero mixto. Por
ejemplo:42 : 9 = 4
6��
Luego, tenemos que
42
9= 4
6
9(notar que 4 · 9 + 6 = 42) ∧ 42
9=
42 : 3
9 : 3=
14
3= 4
2
3⇒ 4
6
9= 4
2
3.
1.2.4. Operatoria en IQ
En Q se pueden efectuar las cuatro operaciones basicas, salvo la division por 0. En efecto:(ab
+c
d∈ Q ∧ a
b− c
d∈ Q ∧ a
b· cd∈ Q ∧ c
d6= 0⇒ a
b:c
d∈ Q
) (∀ab,c
d∈ Q
).
I ADICION Y SUSTRACCION
Seana
b,c
d∈ Q, entonces
a
b+c
d=ad+ bc
bd
OBSERVACION 1.2.4 Una forma de sumar dos o mas fracciones es encontrando el mınimo
comun multiplo (m.c.m.) entre los denominadores de todas las fracciones.
EJEMPLO 1.2.23
5+
4
15− 5
6=
3·6 + 4·2− 5·530
Notar que m.c.m(5, 15, 6) = 30, 5 en 30 cabe 6 veces, 15 en 30 cabe 2 veces y 6 en 30 cabe 5
veces.
19
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
IMULTIPLICACION
Seana
b,c
d∈ Q, entonces
a
b· cd
=ac
bd
I DIVISION
Seana
b,c
d∈ Q, con
c
d6= 0, entonces
a
b:c
d=ad
bc
Lenguaje basico
Sea r ∈ Q. Entonces:
I El inverso aditivo (u opuesto) de r es −r
I El inverso multiplicativo (o recıproco) de r es1
r
I La mitad de r es1
2· r =
r
2
I Un tercio de r es1
3· r =
r
3
I Cuatro quintos de r es4
5· r =
4r
5
I La sexta parte de r es1
6· r =
r
6
OBSERVACION 1.2.5 Recordar que sia
b∈ Q y m ∈ Z, entonces
m · ab
=m
1· ab
=ma
b
20
1.2. LOS NUMEROS RACIONALES
1.2.5. Transformacion de un numero decimal a fraccion
Decimal finito a fraccion
Se escribe en el numerador el numero completo pero sin la coma, y se escribe en el
denominador un 1 acompanado de tantos ceros como decimales tiene el numero
original. Por ejemplo:
0, 075 =75
1000=
25 · 325 · 40
=3
40.
Decimal periodico a fraccion
Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y la parte
entera del numero original, y se escribe en el denominador igual cantidad de nueves que
la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original. Por ejemplo:
3, 12 =312− 3
99=
309
99=
3 · 103
3 · 33=
103
33.
Decimal semiperiodico a fraccion
Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y el
numero que antecede al perıodo, sin la coma, y se escribe en el denominador igual
cantidad de nueves que la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original
acompanado de tantos ceros como cifras tiene el anteperıodo. Por ejemplo:
0, 2135 =2135− 21
9900=
2114
9900=
2 · 1057
2 · 4950=
1057
4950.
EJERCICIO 1.2.2
1. Calcula
a)2
3· −3
5:
4
5−(− 1− 1
−4
)+
2
5· 10
4: 2 b) 4−
1− 1
3
1− 2
1− 2
5
c)
2
3· 15
8− 3
41
2− 1
3
d) 0, 27 + 0, 45
21
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
2. En una biblioteca existen 210 libros dedicados a cuatro ramas: Ciencias Naturales,
Historia, Matematicas y Lenguaje. Un tercio de los libros estan dedicados a Lenguaje,
tres septimas partes a Historia, y la sexta parte a Matematica. ¿Cuantos libros estan
dedicados a Ciencias Naturales?
3. Calcula
a)2
3:
5
6· 12
15−(2
3− 1
4:
5
4
)− 2
2
5b)
1
2−
2− 3
4
3− 1
4
c)
4
5· 25
2− 3
4:
6
82
5:
3
10− 1
3· 6
4
d) 0, 3 · 0, 15
4. Pedro desea comprar 2 kilogramos de cacao. Regresa desde un supermercado con 5
paquetitos de1
8kg., 3 de
1
4kg. y 1 de
1
2kg. ¿Cuantos kilogramos le faltaron para
completar los 2 kilogramos?
1.3. Razones, proporciones y porcentaje
1.3.1. Razones
DEFINICION 1.3.1 Una razon entre dos cantidades es una comparacion por cuociente
entre ellas. Si a y b son las cantidades y queremos comparar a con respecto a b mediante
una razon, escribimos
a : b oa
b
y leemos: “a es a b”. En este caso, a se denomina antecedente y b se denomina consecuente.
EJERCICIO 1.3.1 ll
1. En una granja hay patos, gallinas y pavos que suman en total 600 aves. Si hay 240
patos y la razon entre los pavos y las gallinas es 7 : 3, entonces ¿cuantos pavos hay
en la granja?
2. Camila es 4 anos mayor que Javiera. Si actualmente sus edades estan en la razon
3 : 5, ¿que edad tiene Camila?
22
1.3. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE
1.3.2. Proporciones
DEFINICION 1.3.2 Una proporcion es una igualdad entre dos razones. Si las razones
iguales son a : b y c : d, entonces escribimos
a : b = c : d oa
b=c
d
y leemos: “a es a b como c es a d”; a y d se denominan extremos; b y c se denominan medios.
Propiedad fundamental de las proporciones
En toda proporcion el producto de los medios es igual al producto de los extremos; ası:
a : b = c : d⇔ a
b=c
d⇔ ad = bc.
OBSERVACION 1.3.1 La proporcion a : b = c : d puede ser vista como una igualdad entre
fracciones. Desde este punto de vista:
I existe una constante k que corresponde al valor numerico del cuociente entre a y b (o
entre c y d). Mas aun,a = kb y c = kd.
La constante k se denomina constante de proporcionalidad.
I existe una nueva proporcion, a saber:a
a+ b=
c
c+ d.
OBSERVACION 1.3.2 Cuando tenemos una igualdad entre mas de dos razones hablamos
de serie de razones. Por ejemplo: a : x = b : y = c : z son tres razones iguales, esto se puede
escribir en forma compacta como sigue:
a : b : c = x : y : z.
En particular lo siguiente vale:a+ b+ c
x+ y + z=a
x=b
y=c
z= k.
EJERCICIO 1.3.2 ll
1. Hallar el valor de x en la proporcion5
2x+ 5=
3
x+ 4.
2. Las edades de Juan, Diego y Alonso estan en la razon 3 : 5 : 4. Si sus edades suman
96 anos, ¿que edad tiene Alonso?
23
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
1.3.3. Proporcionalidad directa
Si A y B representan valores variables, diremos que A es directamente proporcional a B
si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon de los correspondientes
valores de B.
Equivalentemente, dos variables A y B son directamente proporcionales si el coeficiente
entre ellas es constante. Este coeficiente, que denotamos k, corresponde a la constante de
proporcionalidad.
EJEMPLO 1.3.1 Si cada uno de los DVD’s de una coleccion de un total de 20 cuesta $2.500,
podemos escribir una tabla de precios que indique los valores de 1, 2, 3, . . . , 20 DVD’s.
Numero de DVD’s 1 2 3 . . . 20
Precio en $ 2.500 5.000 7.500 . . . 50.000
Claramente, el numero de DVD’s es directamente proporcional con el precio que se paga
por ellos. Aquı la constante de proporcionalidad es1
2500= 0, 0004.
OBSERVACION 1.3.3 En una proporcion directa, ambas variables aumentan por un factor
comun o ambas variables disminuyen por a un factor comun.
Representacion grafica de dos variables directamente proporcionales
Si A y B son dos variables directamente proporcionales, de manera queA
B= k, donde
k es la constante de proporcionalidad entreA yB, entonces en particularA = k ·B. Luego,
podemos representar esta situacion en un grafico en forma de recta (o puntos sobre una
recta) que parte en el origen y tiene pendiente k. En general, si
A
B=a1
b1=a2
b2=a3
b3= . . . =
anbn
= k,
entonces el grafico asociado serıa como el de la figura a continuacion:
24
1.3. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE
EJERCICIO 1.3.3 ll
1. Si m cuadernos de un mismo tipo cuestan $P . ¿Cuanto costaran n de esos mismos
cuadernos?
2. Si A varıa proporcionalmente con respecto a B, entonces de acuerdo a la tabla, ¿cual
es el valor de2
5y − x2?
A x 7 12
B 15 35 y
1.3.4. Proporcionalidad inversa
Si A y B representan valores variables, diremos que A es inversamente proporcional a B
si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon inversa de los
correspondientes valores de B.
Equivalentemente, dos variables A y B son inversamente proporcionales si producto
entre ellas es constante. Este producto, que denotamos k, corresponde a la constante de
proporcionalidad inversa.
EJEMPLO 1.3.2 Si 8 obreros realizan un trabajo en 400 dıas, es evidente que mientras mas
obreros comiencen a trabajar, menos dıas se demoraran en realizar el mismo trabajo; luego,
podemos escribir una tabla que muestre esta situacion
Numero de Obreros 8 10 16 . . . 32
Dıas de trabajo 400 320 200 . . . 100
25
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
Claramente, el numero de obreros es inversamente proporcional a los dıas trabajados para
terminar la obra. En el caso particular del ejemplo, la constante de proporcionalidad es
8 · 400 = 10 · 320 = 16 · 200 = . . . = 3.200.
OBSERVACION 1.3.4 En una proporcion inversa, si una variable aumenta por un factor la
otra variable disminuye por el recıproco del mismo factor. De igual forma, si una variable
disminuye por un factor la otra variable aumenta por el recıproco del mismo factor.
Representacion grafica de dos variables inversamente proporcionales
Si A y B son dos variables inversamente proporcionales, de manera que A · B = k,
donde k es la constante de proporcionalidad inversa entre A y B, entonces en particular
A =k
B. Luego, podemos representar esta situacion en un grafico en forma de una
hiperbola equilatera (o puntos sobre tal curva). En general, si
A ·B = a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = an · bn = k,
entonces el grafico asociado serıa como el de la siguiente figura a continuacion:
EJERCICIO 1.3.4 ll
1. Se sabe que las variables A y B son inversamente proporcionales y que cuando A
vale 40, B vale 60. Cuando B vale 80, ¿cuanto vale A?
2. Si 6 obreros pintan una casa en 20 dıas. ¿En cuantos dıas pintan la misma casa 12
obreros?
26
1.3. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE
1.3.5. Tanto por ciento. Porcentaje
La expresion matematica p% se lee “p por ciento” y equivale a la razonp
100.
Por otro lado, el porcentaje corresponde a un termino del caso particular de una
proporcionalidad directa de la forma:
a
c=
p
100.
Especıficamente, en la proporcion previa a es el porcentaje, c es la cantidad de referencia y p
es el tanto por ciento.
OBSERVACION 1.3.5 La frase: “el p% de c es a” se interpreta comop
100· c = a.
TABLA DE PORCENTAJES NOTABLES
Tanto por ciento de c Fraccion irreductible Decimal
1 % de c1|
100|· c 0, 01 · c
10 % de c1|
10|· c 0, 1 · c
12, 5 % de c1|
8|· c 0, 125 · c
20 % de c1|
5|· c 0, 2 · c
25 % de c1|
4|· c 0, 25 · c
33, 3 % de c1|
3|· c 0, 3 · c
50 % de c1|
2|· c 0, 5 · c
66, 6 % de c2|
3|· c 0, 6 · c
75 % de c3|
4|· c 0, 75 · c
EJERCICIO 1.3.5 Encuentra el valor de x que corresponda
a)x es el 15 % de 80 b) El x% de 45 es 15 c) El 40 % de x es 350
27
CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL
Aumento porcentual
Sea c una cantidad fija. Si aumentamos c en su p%, obtenemos:
c ·(
1 +p
100
)
Disminucion porcentual
Sea c una cantidad fija. Si disminuimos c en su p%, obtenemos:
c ·(
1− p
100
)
Reajuste
Una cantidad c a la cual se le aplica un reajuste de un d% corresponde a un aumento
porcentual si d > 0, o a una disminucion porcentual si d < 0 (o bien al hecho que se
diga que el reajuste es negativo).
EJERCICIO 1.3.6 ll
1. Un tienda esta liquidando desde hoy todos sus productos de ropa en un 20 % por fin
de temporada. Si la tienda tiene una polera a $30.000, ¿cuanto costaba esta ayer?
2. El dueno de una empresa decide subir los sueldos de sus empleados en un 12, 5 %. Si
uno de sus empleados gana $120.000 mensuales, ¿cual sera su nuevo sueldo
mensual?
Porcentajes sucesivos
El a% del b% de una cantidad c corresponde a la cantidad
a
100· b
100· c
EJERCICIO 1.3.7 ll
1. El a% del 22 % de 600 es 2046. ¿Cuanto vale a?
2. El 10 % del 15 % de x es 450. ¿Cuanto vale la mitad de x?
28
Capıtulo 2
Algebra elemental I
El algebra es una generalizacion del estudio de los numeros reales que
incluye cantidades variables que se representan por letras.
2.1. Expresiones algebraicas
Una expresion algebraica es una combinacion de numeros y letras unidas o separadas
entre sı por una o mas operaciones matematicas. Por ejemplo, las siguientes son algunas
expresiones algebraicas.
1) 5x 2) a2 + b3 3) r2 − 3s+2
3rs3.
Las operaciones multiplicacion y/o division unen numeros y letras en lo que llamamos
termino de una expresion algebraica. Luego, una expresion algebraica esta compuesta por
uno o mas terminos separados por las operaciones adicion y/o sustraccion. Por ejemplo:
1) 3x tiene un termino 2) x2 +2y tiene dos terminos 3) a+ab−c tiene tres terminos.
La parte numerica de un termino se denomina coeficiente numerico y la parte literal, factor
literal. Por ejemplo:
En el termino√
2x2y el coeficiente numerico es√
2 y el factor literal es x2y.
2.1.1. Monomios, binomios, trinomios y polinomios
Una expresion algebraica puede clasificarse de acuerdo al numero de terminos que
posee. Ası, llamamos:
I monomio a una expresion algebraica de un termino
29
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
I binomio a una expresion algebraica de dos terminos
I trinomio a una expresion algebraica de tres terminos
I polinomio a una expresion algebraica de uno o mas terminos.
2.1.2. Valoracion de expresiones algebraicas
Cuando le asignamos un valor numerico a las letras de los factores literales de cada
termino de una expresion algebraica decimos que estamos valorando tal expresion.
EJERCICIOS 2.1.1
1. Sea a =√
2 y sea b =√
3; entonces ¿cual es el valor de a4 − b2?
2. Se define la operacion a~ b =b− aab
. ¿Cual es el valor de 0, 0001~ (−0, 0002)?
2.2. Adicion y multiplicacion de expresiones algebraicas
2.2.1. Adicion de expresiones algebraicas
Terminos semejantes
Dos o mas monomios son semejantes si sus partes literales son iguales. Por ejemplo,
los monomios 3x2y y 5x2y son semejantes, pero el monomio 3xy2 no es a ninguno de
ellos pues su parte literal no coincide con la parte literal de los otros.
Reduccion de terminos semejantes
Uno o mas monomios, se pueden sumar si ellos son semejantes. La operacion se efectua
sumando los coeficientes numericos respectivos, conservando el termino semejante. Los
terminos de una suma que no sean semejantes no se pueden reducir. Por ejemplo:
3xy−6x2+12xy+6x−4x2−5xy = (3 + 12− 5)xy +(−6− 4)x2+6x = 10xy−10x2+6x
30
2.2. ADICION Y MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2.2.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas
Producto de monomio por monomio
Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes numericos entre sı y los
factores literales entre sı, aplicando las propiedades de las potencias cuando corresponda.
Por ejemplo:
4x2y3z · 3x3y2z2 = 12x5y5z3.
Producto entre polinomios
Para multiplicar dos polinomios, debemos aplicar la propiedad distributiva
de la multiplicacion sobre la adicion, tal como se hace con los numeros. El producto se
hace termino a termino y al finalizar se reducen los terminos semejantes. Por ejemplo:
(x− 2y)(3x+ y − z) = x · 3x+ x · y + x · (−z) + (−2y) · 3x+ (−2y) · y + (−2y) · (−z)
= 3x2 + xy − xz − 6xy − 2y2 + 2yz
= 3x2 − 2y2 − 5xy − xz + 2yz
EJERCICIOS 2.2.1 Desarrolla las siguientes operaciones entre expresiones algebraicas y
reduce los terminos semejantes
1. (3x− 2y)(4x− 5y) =
2. (−0, 45u− 0, 3v + 8uv + 3) + (3− 2uv + v − 0, 1u) =
3.(3
4ab3c−1
)(16
15a2b−2c4
)=
4. (2x+ 1)(xn − 2xn+1 + 2xn+2 − 2xn+3) =
5. (3xy + x2 − 2x2y)− (y2 − 3x2y + x2 − 3xy) =
2.2.3. Uso de parentesis
Cuando tenemos un signo + o − antecediendo a un parentesis, conviene eliminar el
parentesis multiplicando este signo por cada termino al interior del parentesis. Si hay
varios parentesis al interior de otro, conviene aplicar el criterio previo eliminando los
31
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
parentesis desde el que esta mas al interior hacia afuera, reduciendo terminos semejantes
en la medida de lo posible. Por ejemplo:
3x− {5 + [4− (2− x) + x]} = 3x− {5 + [4− 2 + x+ x]}
= 3x− {5 + [2 + 2x]}
= 3x− {5 + 2 + 2x}
= 3x− 5− 2− 2x
= x− 7
EJERCICIOS 2.2.2 Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
1. −2x− {3x− (2x+ 3)− [4− (3− x) + x] + 5} =
2. 2x− y + {4x− (2x+ 3y)− [4y − {(3y − 2x)− (3x+ y)}] + y} =
3. −(3− 0, 2x2) + {x2 − 3, 2x− [(x+ 1)(0, 2x− 3) + x2]} =
2.2.4. Productos notables
Un producto notable es una multiplicacion algebraica que tiene un desarrollo de
formulacion bien caracterizada.
TABLA DE PRODUCTOS NOTABLES
Producto Notable Expresion Desarrollo
Producto de binomios con termino comun (x+ a)(x+ b)||| x2 + (a+ b)x+ ab
Cuadrado de binomio (a± b)2||| a2 ± 2ab+ b2
Suma por diferencia (a+ b)(a− b)||| a2 − b2
Cubo de binomio (a± b)3||| a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3
Cuadrado de trinomio (a+ b+ c)2||| a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
EJERCICIOS 2.2.3 Escribe el producto correspondiente sin desarrollar
1. (x+ 4y)(x− 5y) =
2. (0, 2a+ 0, 1)(0, 2a− 0, 01) =
3. (u2 + v)2 =
32
2.3. FACTORIZACION Y SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
4. (na −mb)2 =
5. (u+ v)2(u− v)2 =
6. (0, 3a2b− 0, 1b2)(0, 1b2 + 0, 3a2b) =
2.3. Factorizacion y simplificacion de expresiones
algebraicas
2.3.1. Factorizacion de expresiones algebraicas
La factorizacion de una expresion algebraica consiste en escribir esta como un productode otras expresiones algebraicas. En particular, decimos que los factores son primos si ellosno se pueden continuar factorizando.
TABLA DE FACTORIZACIONES NOTABLES
Expresion Nombre Factorizacion
xa+ xb+ xc Polinomio con factor comun x(a+ b+ c)|||x2 + bx+ c (Trinomio) (x+ p)(x+ q) con p+ q = b, pq = c|||x2 ± 2ax+ a2 Trinomio cuadrado perfecto ||| (x± a)2
x2 − a2 Diferencia de cuadrados ||| (x+ a)(x− a)
x3 − a3 Diferencia de cubos ||| (x− a)(x2 + ax+ a2)
x3 + a3 Suma de cubos||| (x+ a)(x2 − ax+ a2)
ax2 + bx+ c (Trinomio con factor)|||(ax+ p)(ax+ q)
a|||||
|||con p+ q = b, pq = ac
ax+ bx+ ay + by (Caso especial)||| (a+ b)(x+ y)
2.3.2. Simplificacion de expresiones algebraicas
La simplificacion de expresiones algebraicas se realiza cuando tenemos un cuociente
entre dos expresiones algebraicas las que al ser factorizadas poseen factores comunes
sobre los cuales se aplican las reglas de las potencias. Por ejemplo:
x2 + 4x+ 4
x2 − 4=
(x+ 2)2
(x+ 2)(x− 2)=x+ 2
x− 2.
33
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
EJERCICIOS 2.3.1
1. Simplifica la expresion algebraica2xy − 6x2yz
2x
2. Factoriza la expresion a2b2 + 4ab3 + 4b4
3. Si 4=z2 + 5z + 6, 5=z2 − z − 6, B=z2 + 4z + 4 y C=z2 − 9, entonces ¿cuanto
vale4 · 5C ·B
?
4. Factoriza la expresion 8y3 − 24y2 − 2y + 6
2.4. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas.
Para calcular el Maximo Comun Divisor (M.C.D.) entre dos o mas expresiones algebraicas
efectuamos el producto de todos los factores primos comunes entre las expresiones
involucradas con el menor exponente observado. Esto es lo mismo que hacıamos con los
numeros. Por ejemplo:
El M.C.D. entre x3 − x2 = x2(x− 1) y x3 − 2x2 + x = x(x− 1)2 es x(x− 1).
Para calcular el Mınimo Comun Multiplo (m.c.m.) entre dos o mas expresiones algebraicas
descomponemos cada expresion en factores primos y multiplicamos los factores primos
de todas las expresiones involucradas con el mayor exponente observado. Esto es lo
mismo que hacıamos con los numeros. Por ejemplo:
El m.c.m entre x3 − x2 = x2(x− 1) y x3 − 2x2 + x = x(x− 1)2 es x2(x− 1)2.
EJERCICIOS 2.4.1
1. Si A =1
xy B =
1
y. ¿Cual es el valor de Ay −Bx?
2. Si u=x
x+1, v=
1
x−1, w=
x
x2−1y t=
x+1
x−1, entonces ¿cual es el valor de (u+v−2w)t?
3. Simplificax2 + 2xy + y2
x2 − y2· x
2 − 2xy + y2
x+ y
4. Simplificau2 + 3u+ 2
u2 − 3u− 10:u2 + 2u+ 1
u2 − 2u− 15
34
2.5. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2.5. Ecuaciones de primer grado con una incognita
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen terminos
desconocidos llamados incognitas.
Una ecuacion de primer grado con una incognita es una ecuacion que se puede reducir a la
forma:
ax+ b = 0
donde a y b son numeros reales y x es la incognita a determinar.
Una raız o solucion de una ecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite
verificar la igualdad.
La reunion de las posibles soluciones de una ecuacion corresponde a su conjunto solucion.
Si dos o mas ecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces decimos
que ellas son equivalentes.
2.5.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita
Para resolver una ecuacion de primer grado con una incognita despejamos la incognita.
Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la igualdad, para que esta
se mantenga, hasta conseguir aislar la incognita.
EJEMPLOS 2.5.1 Resuelve las siguientes ecuaciones para x.
1. 4x+ 16 = 14
2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1)
3. (x− 3)(x+ 1) = (x+√
3)(x−√
3)− 2x
4. (x+ 1)2 − 2x = x2
5. a)x+ a
5+x+ b
10= 1
b) ¿Cuanto vale x si a = 5 y b = 0?
6. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 [a 6= 0]
b) ¿Cual debe ser el valor de a para que la solucion en a) sea 12?
35
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
Soluciones.
1. 4x+ 16 = 14 ⇒ 4x = 14− 16
⇒ 4x = −2
⇒ x = −2
4= −1
2�
2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1) ⇒ x2 + 6x+ 9 = x2 − x− 2
⇒ 6x+ 9 = −x− 2
⇒ 7x = −11
⇒ x = −11
7�
3. (x− 3)(x+ 1) = (x+√
3)(x−√
3)− 2x ⇒ x2 − 2x− 3 = x2 − 3− 2x
⇒ 0 = 0
Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, tenemos que
∴ cualquier x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �
4. (x+ 1)2 − 2x = x2 ⇒ x2 + 2x+ 1− 2x = x2
⇒ 1 = 0
Como hemos llegado a un resultado que es falso, tenemos que
∴ ningun x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �
5. a)x+ a
5+x+ b
10= 1 ⇒ 2(x+ a) + (x+ b)
10= 1
⇒ 2x+ 2a+ x+ b = 10
⇒ 3x = 10− 2a− b
⇒ x =10− 2a− b
3�
b) Cuando a = 5 y b = 0, obtenemos x =10− 2a− b
3=
10− 10− 0
3= 0. �
6. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 ⇒ x2 − a2 = x2 − 4ax+ 4a2
⇒ 0 = −4ax+ 5a2
⇒ 4ax = 5a2
⇒ x =5a2
4a(pues a 6= 0)
⇒ x =5a
4�
b) x =1
2⇔ 5a
4=
1
2⇔ a =
4
10=
2
5�
36
2.5. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2.5.2. Analisis de las soluciones de una ecuacion de primer grado con
una incognita
Una ecuacion de primer grado de la forma
ax+ b = 0
puede no tener solucion, tener solucion unica o poseer infinitas soluciones, dependiendo
de los valor de a y b:
I Si a 6= 0, la ecuacion tiene solucion unica; a saber: x =−ba
I Si a = 0 y b 6= 0, la ecuacion NO tiene solucion; pues tendrıamos
0 · x+ b = 0⇔ 0 + b = 0⇔ b = 0
que es una contradiccion con el hecho que b 6= 0.
I Si a = b = 0, la ecuacion tiene infinitas soluciones; a saber: todoR, pues tendrıamos
0 · x+ 0 = 0⇔ 0 = 0
lo que es siempre verdadero cualquiera sea x ∈ R.
EJERCICIOS 2.5.1
1. ¿Cual debe ser el valor de a en la ecuacion ax + 5 = 2x + 3 para que esta no tenga
solucion?
2. ¿Que valor de a permite que la ecuacion a2x − 3 = 2ax − (x + 3a) tenga infinitas
soluciones?
2.5.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto
Los siguientes ejemplos corresponden a ecuaciones de primer grado con valor absoluto.
Ellos se han resuelto mediante un uso estricto de la definicion de valor absoluto, con la
finalidad de observar que siempre es posible descartar algunos de los casos que se
originan por la aplicacion directa de este concepto en la resolucion de cualquier
ejercicio similar a alguno de los ejemplos planteados (vea las observaciones despues de
cada ejemplo).
37
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
EJEMPLO 2.5.1
1. Resuelve la ecuacion |2x− 5| = 12.
Solucion.
|2x− 5| =
{2x− 5 si 2x− 5 > 0
−(2x− 5) = −2x+ 5 si 2x− 5 < 0
Luego, hacemos el estudio en dos casos:
• PRIMER CASO:
2x− 5 > 0⇒ |2x− 5| = 2x− 5 ∧ x >5
2
Luego, la ecuacion a resolver es:
2x− 5 = 12⇔ 2x = 17⇔ x =17
2
(con x >
5
2
)• SEGUNDO CASO
2x− 5 < 0⇒ |2x− 5| = −(2x− 5) ∧ x <5
2
Luego, la ecuacion a resolver es:
−(2x− 5) = 12⇔ 2x− 5 = −12⇔ x = −7
2
(con x <
5
2
)CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es
S =
{17
2,−7
2
}�
OBSERVACION 2.5.1 Para resolver una ecuacion de la forma |ax+b| = c, procedemos
como sigue:
1o. Chequeamos que c sea mayor o igual a 0, pues por definicion un valor absoluto
es mayor o igual a 0. En caso de que c sea negativo, entonces la ecuacion no tendra
solucion y escribimos su conjunto solucion de la siguiente forma: S = ∅.
2o. Si c > 0, entonces resolvemos las ecuaciones:
ax+ b = c ∧ ax+ b = −c
y el conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes
a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas.
38
2.5. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2. Resuelve la ecuacion |x− 3| = |2x+ 5|.
Solucion.
|x− 3| =
{x− 3 si x− 3 > 0
−(x− 3) = −x+ 3 si x− 3 < 0
|2x+ 5| =
{2x+ 5 si 2x+ 5 > 0
−(2x+ 5) = −2x− 5 si 2x+ 5 < 0
Luego, hacemos el estudio en cuatro casos:
• PRIMER CASO
x− 3 > 0 ∧ 2x+ 5 > 0 ⇔(x > 3 ∧ x > −5
2
)⇒ x > 3
⇒ |x− 3| = x− 3 ∧ |2x+ 5| = 2x+ 5
Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que (x > 3):
x− 3 = 2x+ 5⇔ x− 2x = 5 + 3⇔ −x = 8⇔ x = −8
Pero x > 3 y x = −8 es imposible, ası que en este caso no hay solucion.
• SEGUNDO CASO
(x− 3 > 0 ∧ 2x+ 5 < 0)⇔(x > 3 ∧ x < −5
2
)Notar que x > 3 y x < −5
2es imposible, ası que en este caso tampoco hay solucion.
• TERCER CASO
(x− 3 < 0 ∧ 2x+ 5 > 0) ⇔(x < 3 ∧ x > −5
2
)⇔(−5
26 x < 3
)⇔ (|x− 3| = −(x− 3) ∧ |2x+ 5| = 2x+ 5)
Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que(−5
26 x < 3
):
−(x− 3) = 2x+ 5⇔ −x+ 3 = 2x+ 5⇔ −x− 2x = 5− 3⇔ −3x = 2⇔ x = −2
3
Notar que −52< −2
3< 3
• CUARTO CASO
(x− 3 < 0 ∧ 2x+ 5 < 0) ⇔(x < 3 ∧ x < −5
2
)⇒(x < −5
2
)⇔ (|x− 3| = −(x− 3) ∧ |2x+ 5| = −(2x+ 5))
39
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que(x < −5
2
):
−(x− 3) = −(2x+ 5)⇔ x− 3 = 2x+ 5⇔ x− 2x = 5 + 3⇔ −x = 8⇔ x = −8
Notar que −8 < −52
CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es
S =
{−8,−2
3
}�
OBSERVACION 2.5.2 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = |cx + d|,procedemos como sigue:
Resolvemos las ecuaciones
ax+ b = cx+ d ∧ ax+ b = −cx− d.
El conjunto solucion S resultante estara formado por los valores reales correspondientes
a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas.
OBSERVACION 2.5.3 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = cx + d, lo
hacemos exactamente igual que para resolver la ecuacion |ax + b| = |cx + d|, con la
salvedad de que ahora es imprescindible chequear que los valores de x encontrados
verifiquen realmente la igualdad |ax+ b| = cx+ d.
EJERCICIOS 2.5.2 Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto
1. |x− 5| = 16
2. |4x− 12| = 16
3. |3x− 13| = |4x+ 21|
4. |4x+ 3| = |5− 2x|
5. |5x− 6| = 3x+ 1
6. |x+ 8| = x
7. |x+ 8| = −x
8. | − x− 8| = x
9. x+ |3x+ 2| = −5x+ 3
10. x+ |x+ 3| = 2x− 5 + |x+ 1|
40
2.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2.6. Inecuaciones de primer grado con una incognita
Una inecuacion es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen
terminos desconocidos llamados incognitas.
Una inecuacion de primer grado con una incognita es una inecuacion que se puede reducir a
la forma:
ax+ b 6 0 ∨ ax+ b < 0 ∨ ax+ b > 0 ∨ ax+ b > 0
donde a y b son numeros reales y x es la incognita a determinar.
Una raız o solucion de una inecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite
verificar la desigualdad.
La reunion de las posibles soluciones de una inecuacion corresponde a su conjunto solucion.
Si dos o mas inecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces
decimos que ellas son equivalentes.
2.6.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita
Para resolver una inecuacion de primer grado con una incognita, despejamos la
incognita. Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la desigualdad,
teniendo especial cuidado con los inversos multiplicativos negativos, pues al multiplicar
por un numero negativo en una desigualdad, esta cambia de sentido.
EJEMPLO 2.6.1 Resuelve la desigualdad: 5x+ 1 > 3x− 3
Solucion. 5x+ 1 > 3x− 3 ⇒ 5x+ 1− (3x− 3) > 0
⇒ 5x+ 1− 3x+ 3 > 0
⇒ 2x+ 4 > 0
⇒ 2x > −4
⇒ x > −2
Luego el conjunto solucion es: S = {x ∈ IR/x > −2}.
41
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
EJERCICIOS 2.6.1
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 6x− 2 6 3x+ 10
b) 2 64x− 2
36 6
c) x+ < 4− x+ 2
2. Si x satisface la desigualdad7
4< x <
9
4. Determina los posibles valores de y, cuando
y = 4x− 8
2.6.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita
Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incognita esta formado por
varias inecuaciones de primer grado con una misma incognita. El sistema se resuelve
como sigue: resolvemos por separado cada inecuacion y luego intersecamos todos los
conjuntos solucion para obtener el conjunto solucion del sistema.
EJERCICIOS 2.6.2 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones
1.
{x > 3
x < 4
2.
x > 2
−7 < x 6 4
x 6 −6
3.
2x− 7 > 3
5x− 2 < 4x+ 1
x > 100
4.
{5x 6 3x+ 2
x > 1
42
2.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2.6.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto
Los siguientes ejemplos corresponden a inecuaciones de primer grado con valor
absoluto. Ellos se han resuelto mediante un uso estricto de la definicion de valor absoluto,
con la finalidad de observar que siempre es posible descartar algunos de los casos que
se originan por la aplicacion directa de la definicion de valor absoluto en la resolucion
de cualquier ejercicio similar a alguno de los ejemplos planteados (vea las observaciones
despues de cada ejemplo).
EJEMPLO 2.6.2
1. |2x− 3| < 5
Solucion. Por definicion de valor absoluto:
|2x− 3| =
{2x− 3 si 2x− 3 > 0
−(2x− 3) si 2x− 3 < 0
Luego, hacemos el estudio en dos casos:
• PRIMER CASO
(2x− 3 > 0⇔ x >
3
2
)⇒ |2x− 3| = 2x− 3
Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x > 32:
2x− 3 < 5⇒ 2x < 5 + 3⇒ 2x < 8⇒ x < 4
Notar que, x > 32∧ x < 4⇔ 3
26 x < 4, se representa en la recta real como:
• SEGUNDO CASO
(2x− 3 < 0⇔ x <
3
2
)⇒ |2x− 3| = −(2x− 3) = −2x+ 3
Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x < 32:
−2x+ 3 < 5⇒ −2x < 5− 3⇒ −2x < 2⇒ x > −1
Notar que, x < 32∧ x > −1⇔ −1 < x < 3
2, se representa en la recta real como:
43
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es
S =
]−1,
3
2
[∪[
3
2, 4
[=]− 1, 4[ �
que corresponde en la recta numerica a
OBSERVACION 2.6.1 Para resolver una inecuacion de la forma |ax + b| < c,
procedemos como sigue:
1o. Chequeamos que c sea mayor que 0, pues por definicion un valor absoluto es
mayor o igual a 0. En caso de que c sea negativo o 0, entonces la inecuacion no
tendra solucion y escribimos su conjunto solucion de la siguiente forma: S = ∅.
2o. Si c > 0, entonces resolvemos la inecuacion
−c < ax+ b < c
El conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes
a las soluciones de la desigualdad previa.
2. Resolver la inecuacion |3x+ 5| > 6
Solucion. Por definicion de valor absoluto:
|3x+ 5| =
{3x+ 5 si 3x+ 5 > 0
−(3x+ 5) si 3x+ 5 < 0
Luego, hacemos el estudio en dos casos:
• PRIMER CASO
(3x+ 5 > 0⇔ x > −5
3
)⇒ |3x+ 5| = 3x+ 5
Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x > −53:
3x+ 5 > 6⇒ 3x > 6− 5⇒ 3x > 1⇒ x >1
3
Notar que, x > −53∧ x > 1
3⇒ x > 1
3, y se representa en la recta real como:
44
2.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
• SEGUNDO CASO
(3x+ 5 < 0⇔ x < −5
3
)⇒ |3x+ 5| = −(3x+ 5) = −3x− 5
Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x < −53:
−3x− 5 > 6⇒ −3x > 6 + 5⇒ −3x > 11⇒ x < −11
3
Notar que, x < −53∧ x < −11
3⇒ x < −11
3, y se representa en la recta real como:
CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es
S =
]−∞,−11
3
[∪]
1
3,+∞
[�
que corresponde en la recta numerica a
OBSERVACION 2.6.2 Para resolver una inecuacion de la forma |ax+b| > c, procedemos
como sigue:
1o. Si c < 0, entonces la inecuacion tendra por solucion cualquier valor real, entonces
escribimos su conjunto solucion como sigue: S = R.
2o. Si c > 0, entonces resolvemos las inecuaciones
ax+ b < −c ∧ ax+ b > c
El conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes
a las soluciones de la desigualdad previa.
45
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
OBSERVACION 2.6.3 Otra forma de resolver una inecuacion de la forma |ax+ b| > c,
es la siguiente:
1o. Resolvemos la inecuacion |ax+ b| 6 c.
2o. Las soluciones de |ax + b| > c seran todos aquellos valores reales que le faltan al
conjunto solucion de |ax+ b| 6 c para completar IR.
Por ejemplo: Si resolvemos la inecuacion |3x+5| 6 6 encontraremos que su conjunto
solucion es
S1 =
[−11
3,1
3
]Por otro lado, ya vimos que |3x+ 5| > 6 tiene por solucion a
S2 =
]−∞,−11
3
[∪]
1
3,+∞
[Finalmente observamos que
S1 ∪ S2 = IR ∧ S1 ∩ S2 = ∅.
EJERCICIOS 2.6.3
1. Resuelve la siguientes inecuaciones:
a) |7x− 3| < 6
b) |4x+ 5| 6 8
c) |3x− 4| > 34
d) |16− 5x| > 3
e) |2x− 4| < 4x+ 3
f ) |x− 5| > 1− x
2. Si y = 3x+ 5, demostrar que |x− 1| < 1
10⇒ |y − 8| < 3
10
2.7. Resolucion de problemas con enunciado
Para resolver un problema con enunciado, es conveniente seguir los siguientes pasos.
1o) Lee cuidadosamente el enunciado del problema.
46
2.7. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ENUNCIADO
2o) Identifica claramente el o los objetos por los cuales se pregunta y asıgnales un letra
(estas seran las incognitas).
3o) Si es necesario, dibuja una figura o grafico que represente la situacion planteada.
4o) Anota todos los datos del problema, y si corresponde, ubıcalos en el dibujo trazado.
5o) Identifica las materias o contenidos especıficos que te ayudaran a resolver tu trabajo
6o) Planifica el trabajo que realizaras, escribiendo en primer lugar las relaciones
matematicas que conectan los datos y las incognitas [ecuaciones o inecuaciones].
7o) Identifica las restricciones numericas que puedan tener las relaciones planteadas.
8o) Una vez resueltas las ecuaciones o inecuaciones que planteaste, verifica que
los valores encontrados sean realmente validos para el problema.
9o) Por ultimo, escribe tu respuesta en forma clara y precisa.
EJERCICIOS 2.7.1
1. Un hombre tiene 30 anos mas que su hijo y 25 anos menos que su padre. ¿Que edad
tiene el hombre si entre las edades de los tres suman 100 anos?
2. La diferencia entre los7
8y los
8
15de un numero es 6. ¿Cual es el numero?
3. La suma de dos numeros es 64 y su diferencia es 16. ¿Cuales son los numeros?
4. La diferencia de dos numeros es a su producto como 1 : 30. Si la suma de los valores
recıprocos de los numeros es2
15. ¿Cuales son los numeros?
5. Una Companıa fabrica termostatos. Por cada termostato, el costo combinado de la
mano de obra y del material usado es de $4; y el costo fijo de la companıa en un
mes (gastos de luz, agua, arriendo, etc.) es de $60.000. Si el precio de venta de un
termostato es de $7, ¿Cuantos termostatos debe vender la companıa para obtener
ganancia despues de 30 dıas?
6. La UTFSM esta considerando ofrecer un curso de gestion en recursos medio-
ambientales. El curso resulta economicamente factible si se matriculan al menos 30
personas pagando US$50 cada una. La UTFSM, pensando en reducir los costos de los
47
CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I
estudiantes que se matriculen, descontara US$1,25 por cada persona que se
matricule por sobre los 30. ¿Cuantas personas se deben matricular para que el
dinero recibido por concepto de matrıculas nunca sea menor que el correspondiente
a 30 personas?
7. A los pintores generalmente se les paga por hora o por obra terminada. El salario
que reciben puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden
trabajar por US$8,50 la hora, o por US$300 mas US$3 por cada hora por debajo de
40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t
horas. ¿Para que valores de t el salario por hora es mejor?
8. En biologıa, la regla bioclimatica para zonas templadas establece que en primavera y
a principios de verano, fenomenos periodicos tales como la aparicion de insectos y la
maduracion de frutas se demoran, por lo general, alrededor de 4 dıas mas por cada
1.500 m de altura por sobre el nivel del mar. Esta regla es modelada por la siguiente
expresion d =4n
1.500, donde d = demora en dıas; n = cambio de altura medida en metros.
Si esta regla es valida para 0 6 n 6 4.000. Determina la mınima y la maxima demora
para que un fruto madure entre los 1.600 m y 2.300 m sobre el nivel del mar.
9. En un pequeno negocio familiar se emplean dos trabajadores que solo laboran unas
horas por semana. La cantidad total de los salarios que se pagan mensualmente a
estos empleados varıa entre los $128.000 y los $146.000. Si un empleado gana $18.000
mas que el otro, determina las posibles cantidades ganadas mensualmente por cada
empleado.
10. Una resistencia de 7 Ohm y una resistencia variable R se instalan en paralelo. La
resistencia resultante es RT =7R
7 +R. Determina los valores de la resistencia variable
R para los cuales la resistencia resultante es mayor que 3 Ohm pero menor que 5
Ohm.
48
Capıtulo 3
Geometrıa elemental I
3.1. Construcciones geometricas
A continuacion resolveremos algunos problemas de construcciones geometricas
usando solamente regla y compas. Previo a la resolucion del problema, sera necesario
elaborar un plan de trabajo que nos permita identificar los pasos necesarios para llevar
a cabo tal construccion. Finalmente, trazaremos la figura solicitada siguiendo los pasos
antes determinados, y si es necesario, haremos uso de algunos resultados conocidos de la
geometrıa plana para concluir.
EJEMPLOS 3.1.1
1. Dado el segmento AB, traza otro segmento que sea congruente a el.
2. Dado el angulo ∠ABC, dibuja otro angulo que sea congruente a el.
3. Dado el segmento AB, determina su punto medio.
4. Dado el segmento AB, traza su simetral (recta perpendicular a AB que pasa por su
punto medio).
5. Dado el angulo ∠ABC, traza su bisectriz.
6. Dados una recta L y un punto P fuera de ella, traza una recta paralela a L que pase
por P .
EJERCICIOS 3.1.1
1. Dados una recta L y un punto P fuera de ella, traza una recta perpendicular a L que
pase por P .
49
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
2. Dado el segmento AB, traza una recta perpendicular a AB que pase por A.
3. Dados una circunferencia C y un punto P en el exterior de ella, traza las rectas
tangentes a C que pasen por P .
4. Dadas una recta L y una circunferencia C, traza una recta tangente a C que sea
paralela a L.
5. Dados los segmentos AB, CD y EF , construye un triangulo cuyos lados sean
congruentes a los tres segmentos dados.
6. Dados los angulos ∠ABC y ∠PQR, y el segmento MN , construye un triangulo tal
que posea dos angulos congruentes a los dados y el lado adyacente a estos angulos,
congruente a MN .
3.2. Congruencia de figuras planasUsualmente decimos que dos objetos son congruentes si ellos tienen exactamente la
misma forma y el mismo tamano. Por ejemplo, cuando fotocopiamos una figura al 100 %,
obtenemos otra figura que es congruente a la original. Otro ejemplo, mas sofisticado que
el anterior, lo encontramos en el area industrial: la produccion en serie de autos,
botellas, planos de casas, libros, juguetes, neumaticos, etc. . . , da como resultado una gran
cantidad de objetos congruentes entre sı. En la naturaleza tambien es posible observar
figuras congruentes: en un panal de abejas, los bordes superiores de las celdas donde se
crıan las larvas son hexagonos regulares congruentes.
El resto de este capıtulo lo dedicaremos a estudiar el concepto de congruencias de
figuras planas. Especıficamente, congruencia de polıgonos.
3.2.1. Congruencia de polıgonosIntuitivamente, dos polıgonos son congruentes si al colocar uno sobre el otro estos
coinciden exactamente. Es decir, existe una correspondencia entre los vertices de las
figuras: a cada vertice del primer polıgono le corresponde un unico vertice del segundo.
Correspondencias como esta reciben el nombre de biyectivas o biunıvocas o uno a uno. No es
difıcil observar que si dos polıgonos son congruentes, entonces los lados correspondientes
deben tener la misma longitud y los angulos correspondientes la misma medida.
50
3.2. CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
DEFINICION 3.2.1 Decimos que dos polıgonos son congruentes si es posible establecer una
correspondencia uno a uno entre sus vertices de manera tal que
1. Los lados correspondientes tengan la misma longitud.
2. Los angulos correspondientes tengan la misma medida.
o en otras palabras, dos polıgonos son congruentes si
1. Sus lados correspondientes son congruentes
2. Sus angulos correspondientes son congruentes.
EJEMPLO 3.2.1 A continuacion se muestran dos polıgonos congruentes:
A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R, D ↔ S, E ↔ T ;
AB ∼= PQ, BC ∼= QR, CD ∼= RS, DE ∼= ST , EA ∼= TP ;
]A = ]P, ]B = ]Q, ]C = ]R, ]D = ]S, ]E = ]T.
EJEMPLO 3.2.2 A continuacion se muestran dos triangulos congruentes:
A↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C ′;
AB ∼= A′B′, BC ∼= B′C ′, CA ∼= C ′A′;
α = α′, β = β′, γ = γ′.
OBSERVACION 3.2.1 Recordemos que un polıgono de n lados, con n > 3, se puede
descomponer en n − 2 triangulos. Luego, para estudiar la congruencia de polıgonos sera
suficiente con estudiar en detalle la congruencia de triangulos.
51
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
3.2.2. Congruencia de triangulos
Para indicar que4ABC y4PQR son congruentes escribimos
4ABC ∼= 4PQR.
Esto quiere decir que se tienen las siguientes correspondencias entre los vertices:
A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R
y las siguientes congruencias:
1) entre los lados correspondientes,
AB ∼= PQ, AC ∼= PR, BC ∼= QR;
2) entre los angulos correspondientes,
∠A ∼= ∠P, ∠B ∼= ∠Q, ∠C ∼= ∠R.
Axiomas de congruencia
La reproduccion de triangulos mediante el uso de regla y compas nos permite
establecer algunas conjeturas sobre la congruencia de triangulos.
EJEMPLO 3.2.3
1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que AC = DF , ]A = ]D, AB = DE.
Luego, compara las medidas de los angulos y lados correspondientes. ¿Podemos
concluir que4ABC ∼= 4DEF ?
2. Repite el experimento utilizando otros triangulos. ¿Es cada triangulo obtenido
congruente a su correspondiente triangulo inicial? ¿Que opinas acerca de la
siguiente conjetura: “Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes dos lados y el angulo comprendido entre ellos”?
Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo lado, angulo, lado
o simplemente LAL.
52
3.2. CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
EJEMPLO 3.2.4
1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que ]A = ]D; AC = DF , ]C = ]F .
Luego, compara las medidas de los angulos y lados correspondientes. ¿Podemos
concluir que4ABC ∼= 4DEF ?
2. Repite el experimento utilizando otros triangulos. ¿Es cada triangulo obtenido
congruente a su correspondiente triangulo inicial? ¿Que opinas acerca de la
siguiente conjetura: “Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes un lado y los dos angulos adyacentes a ese lado”
Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo angulo, lado,
angulo o simplemente ALA.
EJEMPLO 3.2.5
1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que AB = DE, BC = EF y CA = FD.
Luego, compara las medidas de los angulos y lados correspondientes. ¿Podemos
concluir que4ABC ∼= 4DEF ?
2. Repite el experimento utilizando otros triangulos. ¿Es cada triangulo obtenido
congruente a su correspondiente triangulo inicial? ¿Que opinas acerca de la
siguiente conjetura: “Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes sus tres lados”?
Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo lado, lado, lado o
simplemente LLL.
Las conjeturas previas, basadas solamente en la observacion y experimentacion,
constituyen los axiomas de congruencia de triangulos. Estos axiomas son fundamentales
para continuar el desarrollo teorico de la geometrıa, pues nos permitiran probar una gran
cantidad de resultados asociados a los triangulos y, mas generalmente, a los polıgonos.
AXIOMA 3.2.1 (LAL) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes dos lados y el angulo comprendido entre ellos
AXIOMA 3.2.2 (ALA) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes un lado y los dos angulos adyacentes a ese lado
53
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
AXIOMA 3.2.3 (LLL) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes sus tres lados
Ahora cabe preguntarse ¿existen otras correspondencias con tres elementos primarios
del triangulo que permitan establecer congruencia? En primer lugar, notemos que las
correspondencias posibles entre elementos primarios del triangulo son: LLL, AAA, ALA,
LAL, AAL, LAA, LLA y ALL. Notemos tambien que las correspondencias AAL y LAA
son equivalentes, pues se trata de un lado, de un angulo adyacente a ese lado y de un
angulo opuesto a ese lado. De igual manera, las correspondencias ALL y LLA son
equivalentes, pues se trata de un angulo, de un lado adyacente a tal angulo y de un lado
opuesto a dicho angulo. Por lo tanto, resta estudiar las correspondencias AAA, LAA y
LLA.
Estudio de la correspondencia AAA. Observa la siguiente figura:
Como BD ‖ CE, observamos que entre 4ABD y 4ACE existe una correspondencia del
tipo AAA, pero claramente estos triangulos no son congruentes. Por lo que AAA no es
una correspondencia de congruencia entre triangulos.
Estudio de la correspondencia LLA. Observa la siguiente figura:
Como ^CBD = ^CDB, tenemos que 4DBC es isosceles de base DB, y por lo tanto
CD = CB; pero ademas, CA = CA y ^CAD = ^CAB. Luego, entre 4ABC y 4ADCexiste una correspondencia del tipo LLA, pero claramente estos triangulos no son
54
3.2. CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
congruentes. Por lo que LLA no es una correspondencia de congruencia entre
triangulos.
Estudio de la correspondencia LAA. Observa la figura a continuacion:
Asumamos que BA = ED, ^BAC = ^EDF y ^ACB = ^DFE. Luego, 4ABC y
4DEF estan en correspondencia LLA. Si esta correspondencia no permite establecer
congruencia entre 4ABC y 4DEF , entonces sin perdida de generalidad podemos
suponer que AC < DF , y extender AC, mas alla de C, hasta un punto C ′ tal que
AC ′ = DF . Ahora, como BA = ED, ^BAC ′ = ^EDF (pues ^BAC ′ = ^BAC y por
hipotesis ^BAC = ^EDF ) y AC ′ = DF , deducimos desde el axioma LAL, que
4ABC ′ ∼= 4DEF . En particular, tendremos que ^AC ′B = ^DFE, y como por hipotesis
^ACB = ^DFE, concluimos que ^AC ′B = ^ACB, que es una contradiccion, pues
∠ACB es un angulo exterior del4CC ′B, y como∠ACB no es adyacente con el∠AC ′B, se
deberıa verificar que ^ACB > ^AC ′B. La contradiccion viene de suponer que AC < DF ;
luego, AC = DF y como por hipotesis ^BAC = ^EDF y BA = ED, desde el axioma
LAL concluimos que 4ABC ∼= 4DEF (Notar que la demostracion es identica si
suponemos que AC > DF , solo deberıamos intercambiar en la figura y en la
demostracion C ′ por C). De esta forma hemos probado el siguiente teorema:
TEOREMA 3.2.1 (LAA) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes un lado, un angulo adyacente a aquel lado y el angulo opuesto a ese
mismo lado.
COROLARIO 3.2.1 Dos triangulos rectangulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes la hipotenusa y un cateto.
EJERCICIOS 3.2.1 Demostrar los siguientes teoremas
1. En todo triangulo isosceles, los angulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
55
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
2. En todo triangulo isosceles, el segmento que une el vertice opuesto a la base con el
punto medio de esta, es perpendicular a la base.
3. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
3.2.3. Isometrıas
En nuestro contexto, entenderemos por isometrıa a una relacion de desplazamiento de
un conjunto de puntos del plano, a otro lugar del plano, conservando las distancias y
ubicaciones respectivas entre los puntos de manera que si dos cambian de orientacion,
todos cambian de orientacion en el mismo sentido que los otros dos. Este concepto es
mucho mas general, pero para nuestros objetivos actuales sera suficiente entenderlo de
esta manera. En particular, una isometrıa aplicada a una figura dada del plano, genera otra
figura en el mismo plano la cual resulta congruente a la figura dada, pero tal vez ubicada
en otro lugar del plano y en una posicion visualmente diferente.
A continuacion estudiaremos algunos casos especiales de isometrıas en el plano
cartesiano.
DEFINICION 3.2.2 Sea O el origen en el plano cartesiano, esto es O = (0, 0). Llamamos
traslacion con direccion y sentido−→P =
−→OP y distancia d a la isometrıa T (
−→P , d) la cual hace
corresponder a cada punto Q del plano, un punto Q′ del mismo plano, de manera que
QQ′ ‖ OP y QQ′ = d. Aquı−→P se denomina vector de traslacion.Usualmente esto se denota
T (−→P , d)[Q] = Q′.
En otras palabras, las Traslaciones son isometrıas que permiten desplazar en
lınea recta todos los puntos del plano siguiendo una determinada direccion, sentido y
distancia. Ademas, es evidente que al aplicar una traslacion a una figura se obtiene otra
figura que es congruente a la original y que no importa el numero de traslaciones que se
le haga a una figura, siempre es posible reducir todas aquellas en una unica traslacion.
DEFINICION 3.2.3 Sea P un punto del plano y sea α una medida angular dada. Llamamos
rotacion con centro en P y giro angular α a la isometrıa R(P, α) la cual hace corresponder
a cada punto Q un punto Q′ del mismo plano de manera que QP = Q′P y ^QPQ′ = α.
Usualmente esto se denota R(P, α)[Q] = Q′.
En otras palabras, las Rotaciones son isometrıas que permiten girar en un angulo dado
todos los puntos del plano siguiendo un arco de circunferencia que tiene un centro bien
56
3.2. CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
determinado. Ademas, es evidente que al aplicar una rotacion a una figura, se obtiene una
figura congruente a la original.
DEFINICION 3.2.4 Sea L una recta. Llamamos simetrıa axial de eje L a la isometrıa Sa(L)
la cual hace corresponder a cada punto Q de un plano que contiene a L, un punto Q′ del
mismo plano, de manera que la recta L se transforme en simetral deQQ′. Usualmente esto
se denota Sa(L)[Q] = Q′.
En otras palabras, las simetrıas axiales son isometrıas que invierten los puntos del plano
con respecto a una recta. Ademas, es evidente que al aplicar una simetrıa axial a una
figura, se obtiene una figura congruente a la original. Por otro lado, es usual llamar eje
de simetrıa de una figura a aquella recta que permite dividir tal figura en dos partes
simetricas con respecto a la recta.
DEFINICION 3.2.5 Sea O un punto. LLamamos reflexion central de centro O a la isometrıa
Sc(O) que hace corresponder a cada punto Q de un plano que contenga a O, un punto
Q′ del mismo plano, de manera que el punto O se transforme en el punto medio de PP ′.
Usualmente esto se denota Sc(O)[Q] = Q′.
En otras palabras, las reflexiones centrales son isometrıas que invierten los puntos del
plano sin afectar las distancias entre ellos con respecto a un punto. Ademas, es evidente
que al aplicar una reflexion central a una figura, se obtiene una figura congruente a la
original y que una reflexion con respecto a un punto O equivale a una rotacion con centro
en O de 180o.
57
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
EJERCICIOS 3.2.2 En la figura se observa un polıgono cuyas vertices tienen coordenadas
(−8, 1), (−8, 5), (−13, 5), (−13, 7), (−15, 4), (−12, 1).
1. Traslada el polıgono 8 unidades a la derecha, y 6 unidades hacia arriba de la actual;
o equivalentemente, realiza a la figura la traslacion T(−−−→(4, 3), 10
). Senala las
coordenadas del nuevo polıgono.
2. Rota el polıgono en 90o con centro en el origen; o equivalentemente, realiza la
rotacion R ((0, 0), 90o). Senala las coordenadas del nuevo polıgono.
3. Traza una simetrıa axial del polıgono con respecto al eje y; o equivalentemente,
realiza la simetrıa axial Sa(eje y). Senala las coordenadas del polıgono obtenido.
4. Traza una reflexion central del polıgono con respecto al origen; o equivalentemente,
realiza la reflexion Sc ((0, 0)). Senala las coordenadas del polıgono obtenido.
5. Traslada la figura de manera que quede ubicada 12 unidades a la derecha, y 9
unidades abajo de la actual; o equivalentemente, realiza a la figura la traslacion
T(−−−−→(4,−3), 15
). Senala las coordenadas de la nueva figura.
6. Rota la figura en −90o = 270o con centro en el origen; o equivalentemente, realiza la
rotacion R ((0, 0), 270o). Senala las coordenadas de la nueva figura.
7. Traza una simetrıa axial de la figura con respecto al eje x ; o equivalentemente, realiza
la simetrıa axial Sa(eje x). Senala las coordenadas de la nueva figura.
8. Traza una reflexion central de la figura con respecto al origen; o equivalentemente,
realiza la reflexion Sc ((0, 0)). Senala las coordenadas de la nueva figura.
58
3.3. SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
3.3. Semejanza de figuras planas
3.3.1. Semejanza de polıgonosIntuitivamente, dos polıgonos son semejantes si es posible amplificar todos los lados
de aquel de menor tamano en una misma proporcion, manteniendo los angulos
formados entre ellos, de manera que se obtenga un polıgono congruente al otro. En otras
palabras, existe una correspondencia biunıvoca entre los vertices de los dos polıgonos (a
cada vertice del primer polıgono le corresponde un unico vertice del segundo), tal que
las medidas de los lados correspondientes estan en una misma proporcion y los angulos
correspondientes son congruentes.
59
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
DEFINICION 3.3.1 Dos polıgonos son semejantes si existe una correspondencia uno a uno
entre sus vertices de manera tal que
1) las medidas de los lados correspondientes estan en una misma proporcion.
2) los angulos correspondientes son congruentes.
EJEMPLO 3.3.1 A continuacion se muestran dos polıgonos semejantes:
A↔ P B ↔ Q C ↔ R D ↔ S E ↔ T
AB
PQ=BC
QR=CD
RS=DE
ST=EA
TP
]A = ]P ]B = ]Q ]C = ]R ]D = ]S ]E = ]T
EJEMPLO 3.3.2 A continuacion se muestran dos triangulos semejantes:
A↔ A′ B ↔ B′ C ↔ C ′
AB
A′B′=
BC
B′C ′=
CA
C ′A′
α = α′ β = β′ γ = γ′
OBSERVACION 3.3.1 Recordemos que un polıgono de n lados, con n > 3, se puede
descomponer en n − 2 triangulos. Luego, para estudiar la semejanza de polıgonos sera
suficiente con estudiar en detalle la semejanza de triangulos.
60
3.3. SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
3.3.2. Semejanza de triangulos
Para indicar que los triangulo4ABC y4PQR son semejantes escribimos
4ABC ∼ 4PQR.
Esto quiere decir que se tienen las siguientes correspondencias entre los vertices:
A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R
y
1) las medidas de los lados correspondientes son proporcionales,
AB
PQ=AC
PR=BC
QR
2) los angulos correspondientes son congruentes,
∠A ∼= ∠P, ∠B ∼= ∠Q, ∠C ∼= ∠R.
Teoremas de semejanza
TEOREMA 3.3.1 (TEOREMA DE THALES) Sean L1 y L2 dos rectas secantes en un punto O,
y sean L3 y L4 dos rectas tales que
L1 ∩ L3 = {A}, L1 ∩ L4 = {A′}, L2 ∩ L3 = {B} y L2 ∩ L4 = {B′}.
Entonces:OA
OA′=OB
OB′⇔ L3 ‖ L4.
61
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
COROLARIO 3.3.1 (TRAZOS PROPORCIONALES) Sean L1 y L2 dos rectas secantes en un
punto O, y sean L3, L4 y L5 rectas tales que
L1∩L3 = {A}, L2∩L3 = {A′}, L1∩L4 = {B}, L2∩L4 = {B′}, L1∩L5 = {C}, L2∩L5 = {C ′}.
Entonces:AB
BC=A′B′
B′C ′⇔ L1 ‖ L2 ‖ L3.
TEOREMA 3.3.2 (AAA) Dos triangulos son semejantes si tienen sus angulos interiores
congruentes.
COROLARIO 3.3.2 (AA) Dos triangulos son congruentes si tienen dos angulos interiores
congruentes.
EJERCICIOS 3.3.1
1. Asumamos que AB = 150 cm. Si un punto P divide interiormente a AB en la razon
2 : 3, determina la medida de AP y PB.
2. A un rectangulo de 16 cm de largo por 10 cm de ancho, un cırculo de 6 cm de radio
y un triangulo equilatero de lado 8 cm, se les toma una fotocopia en reduccion de
manera que todo lo que mide 12 cm en el original, mide 9 cm en la reduccion. ¿Cuales
son las medidas de las figuras en la reduccion?
62
3.3. SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
3. En la figura a continuacion BD ‖ CE. Si se asume que, AB = 4 cm, AD = 7 cm y
DE = 12 cm, calcula la medida de BC.
4. En la figura a continuacion ED ‖ AB. Si se asume que CA = 21 cm, AB = 14 cm y
ED = 6 cm, determina la medida de EC.
5. Las rectas L1, L2 y L3 de la figura a continuacion son paralelas. Si se asume que
BD = 8 cm, DF = 24 cm y CE = 18 cm, encuentra la medida de AC.
6. En la figura a continuacion CD ‖ AB. Si OD = (x + 1) cm, OA = (4x − 1) cm,
CO = (x+ 2) cm y OB = (4x+ 1) cm. ¿Cuanto mide cada uno de esos trazos?
63
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
7. En la figura a continuacion ¿Que valor debe tener x para que L1 sea paralela a L2?
8. Tres postes, en posicion vertical sobre una superficie plana, se encuentran alineados
con alturas de menor a mayor. El poste mas pequeno esta a 3, 6 metros del poste del
medio, y a 12, 6 metros de aquel de mayor altura. Si el poste de menor altura mide
1, 7 metros y el poste del medio mide 4, 1 metros, ¿cual debe ser la altura del poste
mas alto para que las cumbres de los tres postes sean colineales?
3.3.3. Homotecias
DEFINICION 3.3.2 Una homotecia de centro O y razon k 6= 0, es una transformacion
geometrica H(O, k) que hace corresponder a cada punto P del plano, un punto P ′ del
mismo plano determinado de la siguiente forma: si k > 0, P ′ sera el punto de la semirrecta
de origen O que pasa por P , ubicado a distancia k · d de O, donde d = OP ; mientras que si
k < 0, P ′ sera el punto de la semirrecta de origen O opuesta a P , ubicado a distancia |k| · dde O. Usualmente esto se denota H(O, k)[P ] = P ′.
En otras palabras, entenderemos por homotecia a una trasformacion geometrica que,
a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es claro que
si a una figura se le aplica una homotecia, se obtiene una figura semejante a la inicial. Mas
aun, si la razon es k = 1 la figura resultante es la misma figura inicial, y si k = −1, se
obtiene una figura congruente a la original, coincidiendo esta ultima situacion con una
reflexion central de centro el punto fijo.
EJEMPLO 3.3.3 Sean f y g dos transformaciones homoteticas definidas como sigue:
f = H(O, 2) y g = H
(O,−3
2
).
En particular, f(A) = H(O, 2)[A] = A′ quiere que 2 · OA = OA′, con A′ ∈−→OA, y
g(A) = H(O,−3
2
)[A] = A′′ quiere decir que −3
2·OA = OA′′, con A′′ ∈
−→AO.
64
3.3. SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
65
CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I
66
Capıtulo 4
Geometrıa analıtica elemental
4.1. Coordenadas cartesianas en el plano
Dado un plano P , escogemos un puntoO de el y dos rectas perpendiculares enO, cada
una representando aR y ubicadas de manera que una este en posicion horizontal y la otra
en posicion vertical. Generalmente, a la recta horizontal la llamamos eje x, y a la recta
vertical la llamamos eje y. Sobre el eje x los numeros reales se ubican en forma creciente
de izquierda a derecha, y en el eje y los numeros reales se ubican en forma creciente de
abajo hacia arriba. El punto asociado con el valor 0 de cada recta real es justo el punto
donde se produce la interseccion entre ambos ejes.
Ahora, si ubicamos un numero real a en la recta real representada por el eje x y trazamos
la recta paralela al eje y que pasa por el eje x en el valor a, y ubicamos un numero real b
en la recta real representada por el eje y y trazamos la recta paralela al eje x que pasa por
el eje y en el valor b; entonces, la interseccion entre ambas paralelas determina un unico
punto P del plano P que esta a distancia |a| del eje y y a distancia |b| del eje x.
67
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Al punto P lo denotaremos analıticamente por (a, b), es decir P = (a, b). De este modo, los
puntos del plano P pueden ser interpretados de manera unica como pares ordenados de
numeros en R × R. Ademas, los valores a y b que conforman el punto P = (a, b) reciben
el nombre de coordenadas del punto. Mas particularmente, a la primera coordenada, en
nuestro caso a, se le llama abscisa y a la segunda coordenada, en nuestro caso b, se le llama
ordenada. Ası, por ejemplo, si P = (−2, 3) entonces −2 es la abscisa y 3 es la ordenada.
Un plano tal que a cada uno de sus puntos se le ha asignado un par de coordenadas
en la forma previamente descrita, recibe el nombre de plano de coordenadas cartesianasR2, o
simplemente plano cartesiano, nombre dado en honor a su creador, el matematico frances
Rene Descartes. Si los ejes horizontal y vertical han sido nombrados como eje x y eje y,
respectivamente; entonces, para referirse al plano cartesiano correspondiente, tambien es
usual hablar de plano xy. Mas aun, los ejes x e y dividen al plano cartesiano en cuatro
cuadrantes, tal como lo indica la figura a continuacion:
En el primer cuadrante ambas coordenadas son positivas. En el segundo cuadrante, la
abscisa es negativa y la ordenada es positiva. En el tercer cuadrante ambas coordenadas
son negativas y finalmente, en el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada es
negativa.
68
4.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
EJERCICIOS 4.1.1
1. ¿En que cuadrante del plano xy se encuentran los siguientes puntos: A = (1, 2),
B = (−3, 1), C = (2,−3), D = (−3, 5), E = (−2, 0) y F = (0,−1)?. Representalos en
el plano.
2. Los puntos (3, 8) y (−3, 6) ¿de cual eje estan a igual distancia?
3. Si P pertenece al eje x, entonces ¿que forma tiene P ?¿(a, 0) o (0, b)?
4. Asumamos que (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d). Entonces, para Q = (2, 13) y R = (−3, 2
5),
¿cuales son las coordenadas de P = Q+R?
5. El paralelogramo de la figura a continuacion es un rombo de lado a y altura h.
Ubique un vertice del rombo en el origen del plano cartesiano. Determine, en
funcion de a y h, las restantes coordenadas de los vertices del rombo.
6. Las coordenadas de los puntos de un trazo son de la forma (x, 2) con 3 6 x 6 5.
Represente el trazo en el plano xy.
7. Si A tiene coordenadas (a1, a2) y B tiene coordenadas (b1, b2). ¿Cuales son las
coordenadas del punto medio M del segmento AB?
4.2. Distancia entre dos puntos
Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano.
69
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Es claro, desde la figura previa, que podemos calcular la distancia entreA yB aplicando el
Teorema de Pitagoras en el4ACB. Como AC = (x2 − x1) y BC = (y2 − y1) tenemos que:
AB =√AC2 +BC2
o equivalentemente:
AB =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Notar que si y1 = y2 = 0 (es decir, los puntos A y B estan sobre el eje x), se tiene que:
AB =√
(x2 − x1)2 = |x2 − x1|.
EJEMPLOS 4.2.1
1. Calcula la distancia entre los puntos:
a) A = (1, 2) y B = (3, 5),
b) A = (−3, 1) y B = (2,−3).
Solucion.
a) AB =√
(3− 1)2 + (5− 2)2 =√
4 + 9 =√
13,
b) AB =√
(2− (−3))2 + ((−3)− 1)2 =√
25 + 16 =√
41. �
2. Calcula las medidas de los lados del triangulo de vertices: A = (−3, 0), B = (5, 4) y
C = (−3, 8).
Solucion.
AB =√
(5 + 3)2 + (4− 0)2 =√
64 + 16 =√
80 = 4√
5,
AC =√
(−3 + 5)2 + (8− 0)2 =√
0 + 64 = 8, y
BC =√
(−3− 5)2 + (8− 4)2 =√
64 + 16 =√
80 = 4√
5.
Luego, el triangulo es isosceles, por tener dos lados de igual medida. �
3. Demuestre que en todo triangulo una mediana mide la mitad del lado paralelo a
ella.
Solucion. Asumamos conocido que las coordenadas del punto medio de un trazo
corresponden a las semisumas de las coordenadas de los extremos del trazo.
Entonces para un triangulo cualquiera de vertices A = (x1, y1), B = (x2, y2) y
C = (x3, y3), si llamamos M y N a los puntos medios de AC y BC, respectivamente,
entonces se tiene que:
70
4.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
M =
(x1 + x3
2,y1 + y3
2
)y N =
(x2 + x3
2,y2 + y3
2
).
Luego:MN =
√(x2 + x3
2− x1 + x3
2
)2
+
(y2 + xy
2− y1 + y3
2
)2
=
√(x2 − x1
2
)2
+
(y2 − y1
2
)2
=
√(x2 − x1)2
4+
(y2 − y1)2
4
=1
2
√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
=1
2AB. �
4.2.1. Division de un trazo en una razon dada r
Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano y sea P = (x, y) un
punto de AB que divide al trazo AB en una razon r, r > 0, esto es:
AP
PB= r o AP = rPB.
Sin perdida de generalidad, la situacion previa puede representarse en el plano cartesiano
como sigue:
71
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Por propiedades de segmentos proporcionales entre paralelas, tenemos que:
AP
PB= r =
x− x1
x2 − x,
entonces:
x− x1 = r(x2 − x)⇒ x(1 + r) = x1 + rx2 ⇒ x =x1 + rx2
1 + r.
Por otro lado, tambien tenemos que:
AP
PB= r =
y − y1
y2 − yentonces:
y − y1 = r(y2 − y)⇒ y(1 + r) = y1 + ry2 ⇒ y =y1 + ry2
1 + r.
Por lo tanto:
P =
(x1 + rx2
1 + r,y1 + ry2
1 + r
).
OBSERVACION 4.2.1 Notar que en el caso particular r = 1, P corresponde al punto medio
de AB, es decir:
P =
(x1 + x2
2,y1 + y2
2
).
EJEMPLO 4.2.1 Dado un triangulo de vertices A = (x1, y1), B = (x2, y2) y C = (x3, y3),
encuentre las coordenadas del punto medio D de AB. Luego, encuentre las coordenadas
del punto G que divide a CD en la razon 2 : 1. Pruebe que G = A+B+C3
, es decir: G es el
promedio de los tres vertices A, B y C.
Solucion.
Como D es el punto medio de AB, tenemos que:
D =
(x1 + x2
2,y1 + y2
2
).
Usando el cambio de variables:
u =x1 + x2
2∧ v =
y1 + y2
2,
de manera que D = (u, v). Ahora, como G divide a CD en la razon 2 : 1, obtenemos que:
G =
(x3 + 2u
3,y3 + 2v
3
).
Luego:
G =
(x3 + (x1 + x2)
3,y3 + (y1 + y2)
3
)=
(x1, y1)
3+
(x2, y2)
3+
(x3, y3)
3=A+B + C
3.
Mas aun, G corresponde al centro de gravedad del4ABC. �
72
4.3. PENDIENTE DE UN TRAZO
4.3. Pendiente de un trazo
DEFINICION 4.3.1 Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano.
Llamamos pendiente de AB al valor mAB definido como sigue:
mAB =
y2 − y1
x2 − x1
, si x2 6= x1
no esta definida en R si x1 = x2.
Desde la definicion, si AB es paralelo al eje x, entonces mAB = 0; y si AB es paralelo al eje
y, entonces mAB no esta definida en R.
EJEMPLOS 4.3.1
1. Calcula la pendiente de AB si:
i) A = (1, 3) y B = (2, 7)
ii) A = (1, 3) y B = (5, 3)
iii) A = (1, 3) y B = (1, 5).
73
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Solucion.
i) mAB =7− 3
2− 1=
4
1= 4.
ii) mAB =3− 3
5− 1=
0
4= 0.
iii) mAB no esta definida en R. �
2. Use la nocion de pendiente de un trazo para decidir si los puntos A, B y C a
continuacion son colineales:
a) A = (2, 3), B = (4, 6) y C = (5, 5)
b) A = (0, 3), B = (1, 5) y C = (2, 7).
Solucion.
a) mAB =6− 3
4− 2=
3
2y mBC =
5− 6
5− 4=−1
1= −1. Como mAB 6= mBC los puntos A,
B y C no son colineales.
b) mAB =5− 3
1− 0=
2
1= 2 y mBC =
7− 5
2− 1=
2
1= 2. Como AB y BC tienen la
misma pendiente, y B es un punto en ambos trazos, se sigue que A, B y C son
colineales. �
OBSERVACION 4.3.1 La propiedad que establece que tres o mas puntos son colineales si
las pendientes de los trazos cuyos extremos son un par cualquiera de estos puntos son
iguales, nos permitira definir la pendiente de una recta como la pendiente de un trazo
cualquiera contenido en la recta.
4.4. La ecuacion de la recta
Desde la geometrıa euclideana, sabemos que dos puntos diferentes del plano
determinan una unica recta que los contiene. Este hecho nos permitira encontrar una
relacion analıtica que represente a los puntos de una recta en el plano cartesiano de
manera unica.
Consideremos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2), con A 6= B, y la recta que pasa
por estos puntos:
74
4.4. LA ECUACION DE LA RECTA
De acuerdo a la Observacion 4.3.1, para P 6= A tenemos que: P ∈←→AB si y solo si
mAP = mAB.
En otras palabras, para x 6= x1 y x2 6= x1:
y − y1
x− x1
=y2 − y1
x2 − x1
.
Ahora, multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por (x−x1), obtenemos la
ecuacion:
y − y1 =y2 − y1
x2 − x1
(x− x1), (4.4.1)
que corresponde a la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2).
En particular, si la recta corta al eje x en (a, 0) y al eje y en (0, b), con a 6= 0 y b 6= 0,
entonces obtenemos que la ecuacion (4.4.1) se reduce a:
y − 0 = − ba
(x− a)⇔ y = − bax− b⇔ b
ax+ y = b.
Entonces, dividiendo cada termino de esta ultima ecuacion por b, obtenemos la ecuacion:
x
a+y
b= 1, (4.4.2)
conocida como ecuacion de interceptos de la recta o ecuacion de segmentos o ecuacion canonica
de la recta.
Por otro lado, como la recta determinada por dos puntos es unica, es claro que la
pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta debe ser constante. Luego, podemos
decir que la pendiente de una recta es unica e igual a la pendiente entre dos puntos
cualesquiera de ella; y por lo tanto, en la ecuacion de la recta (4.4.1), podemos reemplazar
mAB =y2 − y1
x2 − x1
75
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
por m, y obtener la ecuacion:
y − y1 = m(x− x1), (4.4.3)
que corresponde a la ecuacion de la recta conocida su pendiente: m; y un punto de ella: (x1, y1).
En particular, si la recta tiene pendiente m y corta al eje y en (0, b), la ecuacion (4.4.3)
equivale a y − b = m(x− 0); la cual se reduce a
y = mx+ b. (4.4.4)
Esta ultima ecuacion es conocida como ecuacion principal de la recta.
Mas generalmente, concluimos que una recta en el Plano Cartesiano corresponde a una
ecuacion de primer grado entre las variables x e y. Es decir, para ciertas constantes A,B y
C, con A 6= 0 o B 6= 0, una recta en el Plano Cartesiano siempre se puede escribir como
una ecuacion de la forma:
Ax+By + C = 0. (4.4.5)
La ecuacion de la recta escrita de esta forma es conocida como ecuacion general de la recta.
Es claro entonces que las ecuaciones:
2x+ 2y − 5 = 0
y = 2x+ 3
x
10+y
3= 1
representan rectas en el plano cartesiano. Mas aun, como la ecuacion de la recta es unica,
entonces dada la ecuacion de una recta en alguna de sus formas: (4.4.1),(4.4.2),(4.4.3),(4.4.4)
o (4.4.5), siempre podemos obtener sus otras formas de manera unica. A modo de ejemplo,
sea L una recta del plano cuya ecuacion general asociada es 2x + 3y − 5 = 0. Despejando
la variable y, obtenemos: y = −23x + 5
3que es la ecuacion principal de L con m = −2
3y
b = 53. Por otro lado, mediante arreglos adecuados obtenemos la ecuacion
x52
+y53
= 1, que
es la forma canonica o de interceptos de L con a = 52
y b = 53.
4.4.1. Representacion de una recta conocida su ecuacion
Sabemos que para representar una recta en el plano cartesiano, basta con conocer dos
puntos de ella. Entonces, dada una recta de ecuacion general Ax + By + C = 0, es facil
encontrar dos puntos que verifiquen la ecuacion. En efecto, si x = 0, entonces By+C = 0,
76
4.4. LA ECUACION DE LA RECTA
de donde y = −CB
y ası (0,−CB
) es un punto de la recta; en cambio, si y = 0, entonces
Ax + C = 0, de donde x = −CA
y ası (−CA, 0) es otro punto de la recta. Con los dos puntos
encontrados; a saber (0,−CB
) y (−CA, 0), podemos trazar la recta, pues, como ya hemos
mencionado, dos puntos distintos del plano determinan una unica recta.
Por ejemplo, para la recta L : 2x + 3y − 5 = 0, si x = 0 entonces y = 53; por lo tanto
P1 =(0, 53) ∈ L. Por otro lado, si y = 0, entonces x = 5
2; por lo tanto P2 =(5
2, 0) ∈ L. Entonces
la recta L corresponde a la recta que pasa por P1 = (0, 53) y P2 = (5
2, 0) y se representa en el
plano cartesiano como se muestra en la figura a continuacion:
EJERCICIOS 4.4.1
1. Representa en el plano cartesiano las rectas:
i) 3x− 2y + 5 = 0,
ii) x9
+ yx
= 1,
iii) y = 2x− 3.
2. Determina la ecuacion de la recta que:
i) tiene pendiente 3 y pasa por (0, 0)
ii) pasa por los puntos (1, 1) y (3, 3).
3. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triangulo
de vertices A = (1, 1), B = (5, 0) y C = (0, 5).
4. Encuentra la ecuacion de la mediana opuesta a AB en el triangulo del ejercicio 3.
5. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a las alturas del triangulo
del ejercicio 3. (Asume el siguiente hecho: si m es la pendiente de L, entonces la
pendiente de una perpendicular a L es − 1m
).
77
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
4.5. Posicion relativa entre dos rectas
4.5.1. Angulo de inclinacion de una recta
Toda recta en el Plano Cartesiano corta al eje x en un solo punto, o bien es paralela al
eje x. Nos interesa tratar el caso cuando la recta corta al eje x en un solo punto (el otro caso
es trivial).
DEFINICION 4.5.1 Sea L una recta secante al eje x en un punto P . Llamamos angulo de
inclinacion de la recta L a la medida de la region angular, medida en sentido antihorario,
que esta comprendida entre el semirrayo con origen en P orientado hacia el lado positivo
del eje x y contenido en el, y el semirrayo con origen en P contenido en la recta L.
En particular, como ya hemos mencionado antes, si la pendiente de la recta es m, entonces
dados dos puntos distintos de L, supongamos A = (x1, y1) y B = (x2, y2), la pendiente del
trazo cuyos extremos son estos puntos tambien es m. Es decir:
m =y2 − y1
x2 − x1
.
Entonces es valido preguntarse ahora, ¿que relacion existe entre el angulo de inclinacion
α de la recta L y su pendiente m?
Para responder a esta pregunta, es importante notar que siempre es posible asociar a
los puntos A y B de la recta L un triangulo rectangulo, como en la figura a continuacion:
78
4.5. POSICION RELATIVA ENTRE DOS RECTAS
Notar que, si 0o < α < 90o, uno tiene que: AC = x2 − x1 y BC = y2 − y1. Luego,
cateto opuesto a ∠αcateto adyacente a ∠α
=y2 − y1
x2 − x1
;
pero la razon del lado izquierdo de la igualdad es conocida como la tangente del ∠α
(usualmente denotada por tanα), y la razon del lado derecho de la igualdad corresponde
a m, que es la pendiente de la recta L; por lo tanto, tenemos que:
tanα = m,
resultado que facilmente se extiende a todo valor de α tal que 0o 6 α < 180o.
OBSERVACION 4.5.1 En el capıtulo de trigonometrıa estudiaremos con detalle las razones
trigonometricas. En particular, estableceremos que tanα > 0 si 0o < α < 90o, tanα < 0
si 90o < α < 180o y que tanα = −tan (180o − α); correspondiendo a cada valor de α, con
0o < α < 180o, α 6= 90o, un unico valor real.
4.5.2. Rectas paralelas
Desde la definicion de angulo de inclinacion de una recta y como consecuencia
directa del resultado geometrico que asegura que dos rectas son paralelas si los angulos
correspondientes son congruentes, resulta evidente el siguiente teorema:
TEOREMA 4.5.1 Dos rectas en el plano cartesiano son paralelas si y solo si ellas tienen la
misma pendiente.
En otras palabras, si L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, α1 y α2 sus respectivos
angulos de inclinacion y m1 y m2 sus respectivos angulos de inclinacion; entonces
L1 ‖ L2 ⇔ α1 = α2 ⇔ m1 = m2.
79
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Es claro ahora que, para m0 un valor real fijo, la familia de rectas Lb : y = m0x + b, con
b un valor real arbitrario, representa una familia de rectas paralelas. Ası por ejemplo, las
rectas y = 2x, y = 2x − 3 e y = 2x + 7 son paralelas entre sı. Tambien es claro que si las
ecuaciones de dos rectas estan dadas en su forma general, supongamos:
L1 : A1x+B1y + C1 = 0
L2 : A2x+B2y + C2 = 0
entonces sus pendientes respectivas son: m1 = −A1
B1
y m2 = −A2
B2
. Luego,
L1 ‖ L2 ⇔A1
B1
=A2
B2
.
Ası por ejemplo, las rectas x + 3y + 5 = 0 y 2x + 6y + 7 = 0, son rectas paralelas, pues1
3=
2
6.
4.5.3. Rectas perpendiculares
De acuerdo a nuestra definicion de angulo de inclinacion de una recta, dos rectas son
perpendiculares si y solo si la diferencia entre sus angulos de inclinacion es de 90o. Es decir, si
L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, y α1 y α2 son sus angulos de inclinacion
respectivos, entonces:
L1 ⊥ L2 ⇔ |α2 − α1| = 90o
En efecto, la figura a continuacion muestra geometricamente la relacion previa:
El resultado es una consecuencia del teorema del angulo exterior de un triangulo, el cual
establece que la medida del angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las
medidas de los angulos interiores no adyacentes a el. Luego, segun nuestra figura,
tendremos que α2 = α1 + 90o; y por lo tanto tendremos que |α2 − α1| = 90o. Mas aun,
80
4.5. POSICION RELATIVA ENTRE DOS RECTAS
de acuerdo a la figura previa, el 4ABC es rectangulo en C, y ası, por definicion de
tangente, obtenemos:
tanα1 =BC
AC∧ tan (180o − α2) =
AC
BC.
Entonces:
tanα1 =1
tan (180o − α2). (4.5.6)
Por otro lado, desde la Observacion 4.5.1 tenemos que tan (180o − α2) = −tanα2 y, de
acuerdo a la relacion entre el angulo de inclinacion de la recta y la pendiente de la
recta, tanα1 = m1, con m1 la pendiente de L1, y tanα2 = m2, con m2 la pendiente de
L2. Concluimos por lo tanto que:
m1 = − 1
m2
.
En resumen, hemos probado el siguiente resultado:
TEOREMA 4.5.2 Dos rectas del plano cartesiano, con pendientes reales no nulas, son
perpendiculares si y solo si el producto de sus respectivas pendientes es igual a −1.
En otras palabras, si L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, α1 y α2 sus respectivos
angulos de inclinacion y m1 y m2 sus respectivos angulos de inclinacion; entonces
L1 ⊥ L2 ⇔ |α1 − α2| = 90o ⇔ m1 ·m2 = −1.
Ahora es evidente que una recta perpendicular a L : y = mx + b es L′ : y = − 1mx + b′.
Ası por ejemplo, las rectas y = 2x e y = −12x− 3 son perpendiculares entre sı. Tambien es
claro que si las ecuaciones de dos rectas estan dadas en su forma general, supongamos:
L1 : A1x+B1y + C1 = 0
L2 : A2x+B2y + C2 = 0
entonces sus pendientes respectivas son: m1 = −A1
B1
y m2 = −A2
B2
. Luego,
L1 ⊥ L2 ⇔A1
B1
· A2
B2
= −1⇔ A1
B1
= −B2
A1
.
Ası por ejemplo, las rectas x + 3y + 5 = 0 y 6x − 2y + 7 = 0, son rectas perpendiculares,
pues1
3= −(−2)
6.
81
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
EJEMPLOS 4.5.1
1. Encuentra una recta paralela y otra perpendicular a la recta L : x+ y = 1.
Solucion. Una recta paralela es, por ejemplo, 2x + 2y = 5 pues tiene pendiente
−22
=−1, tal como la recta L. Por otro lado, una recta perpendicular a L debe tener
pendiente igual a − 1−1
= 1. En particular, la recta de ecuacion x − y = 1 tiene
pendiente 1. �
2. ¿Que puedes decir de los siguientes pares de rectas?
a) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 4x− 6y = 10
b) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 2x− 3y = 7
c) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 3x+ 2y = 7
Solucion.
a) Son paralelas coincidentes; es decir, tienen todos sus puntos en comun. Luego,
L ‖ L′ ∧ L ∩ L′ = L = L′.
b) Son paralelas disjuntas. Luego,
L ‖ L′ ∧ L ∩ L′ = ∅.
c) Son perpendiculares y tienen un solo punto en comun. Luego,
L ⊥ L′ ∧ L ∩ L′ = {P}. �
4.6. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas
Desde el punto de vista analıtico, una ecuacion de primer grado con dos incognitas
representa en el Plano Cartesiano a una unica recta. Luego, cada punto de la recta debe
verificar la ecuacion que la representa; y como una recta tiene infinitos puntos, la
ecuacion de la recta tendra infinitas soluciones. De igual forma, es claro que las soluciones
de una ecuacion de primer grado con dos incognitas corresponden a pares ordenados y
que la union de todas las soluciones de la ecuacion corresponde a una unica recta en el
plano. Para trazar esta recta, es usual hacer una tabla de valores que considere
al menos dos pares ordenados que sean soluciones de la ecuacion (vea para estas
instancias la Subseccion 4.4.1: Representacion de una recta conocida su ecuacion).
82
4.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Por ejemplo, si consideremos la ecuacion
2x− y = 2,
una tabla de valores asociada a esta ecuacion se puede confeccionar despejando la variable
y, en nuestro caso y = 2x− 2 (que corresponde a la ecuacion principal de la recta). Luego,
consideramos valores arbitrarios de x, y evaluamos en la ultima ecuacion para obtener los
respectivos valores de y:
x y = 2x− 2 Par asociado
−2 2 · (−2)− 2 = −6 (−2,−6)
−1 2 · (−1)− 2 = −4 (−1,−4)
0 2 · 0− 2 = −2 (0,−2)
1 2 · 1− 2 = 0 (1, 0)
2 2 · 2− 2 = 2 (2, 2)
El siguiente paso consiste en ubicar al menos dos de estos puntos en el plano cartesiano,
para luego trazar la recta como en la figura a continuacion:
OBSERVACION 4.6.1 Las ecuaciones de primer grado tambien son conocidas como
ecuaciones lineales. Una ecuacion lineal puede poseer n incognitas x1, x2, · · · , xn, en cuyo
caso adquiere la forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = c,
donde los coeficientes ai y la constante c son numeros reales. Aquı i = 1, 2, . . . , n y n es
cualquier entero positivo. Ası, por ejemplo, las ecuaciones: 2x − y = 1 y x + y =√
2 son
lineales; mientras que las ecuaciones: 4x+ 2xy = 3 y y = 2x+√x no son lineales, pues los
terminos 2xy y√x no son de primer grado.
83
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
4.6.1. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas es un arreglo entre dos
ecuaciones lineales con las mismas dos incognitas. La forma general de un sistema de
ecuaciones con incognitas x e y de este tipo es:
ax+ by = c
dx+ ey = f
donde a, b, c, d, e y e son coeficientes reales.
Una solucion del sistema de ecuaciones de incognitas x e y, es cualquier par ordenado
(x0, y0) que verifique simultaneamente ambas ecuaciones; y el conjunto formado por
todas las posibles soluciones del sistema se llama conjunto solucion del sistema. Ahora,
como cada ecuacion del sistema representa a una recta en el plano cartesiano, podemos
aprovechar tal representacion geometrica para realizar un estudio analıtico de las
soluciones de un sistema.
EJEMPLO 4.6.1 El conjunto solucion del sistema:
x+ y = 1
x− y = 0
es S = {(12, 1
2)}; pues con x = 1
2e y = 1
2ambas igualdades se cumplen; y no hay mas pares
ordenados que permitan verificar simultaneamente ambas ecuaciones. Esta situacion
puede ser observada claramente cuando trazamos las rectas asociadas a las ecuaciones
x+ y = 1 y x− y = 1:
Notemos que estas rectas se intersecan en un unico punto; a saber: (12, 1
2). �
84
4.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
EJEMPLO 4.6.2 Consideremos ahora el sistema:
x+ y = 1
2x+ 2y = 3
Observemos que las rectas asociadas a las ecuaciones de este sistema tienen la misma
pendiente: m = −1. Por lo tanto, las rectas son paralelas. Ahora, si multiplicamos la
primera ecuacion por 2, obtenemos la ecuacion 2x+2y = 2, que claramente representa una
recta paralela y disjunta a aquella que representa la segunda ecuacion del sistema, es decir
la interseccion entre ambas rectas es vacıa.
Analıticamente esto equivale a decir que el sistema no tiene solucion o, equivalentemente,
que el sistema de ecuaciones es inconsistente. �
EJEMPLO 4.6.3 En el sistema:x+ y = 1
2x+ 2y = 2
es facil observar que si dividimos cada termino de la segunda ecuacion por 2, obtenemos
una ecuacion identica a la primera, luego las rectas que representan las ecuaciones del
sistema son paralelas coincidentes, que equivale a decir que representan la misma recta, y
ası, cada punto de la recta representa una solucion del sistema.
85
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Luego, el sistema tiene infinitas soluciones. �
En resumen, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas puede ser
representado graficamente mediante el trazado, en un mismo plano cartesiano, de cada
una de las rectas que representan a cada una de sus ecuaciones. Ademas, a partir del
grafico resultante, podemos obtener informacion sobre el conjunto solucion del sistema
mediante un analisis de las posiciones relativas que tengan tales rectas en el plano carte-
siano.
I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas no paralelas,
entonces el sistema tiene solucion unica. Las rectas se cortan en un unico punto,
cuyo par ordenado asociado corresponde precisamente a la solucion del sistema.
En otras palabras, para que el sistema
ax+ by = c
dx+ ey= f
tenga solucion unica, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones deben
ser diferentes; es decir, se debe verificar que −ab6= −d
e, lo cual equivale a decir que:
a · e 6= d · b.
I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas paralelas
disjuntas, el sistema no tiene solucion. Las rectas no se intersecan; es decir, la
interseccion entre ellas es vacıa y, por lo tanto, el sistema no tiene solucion.
En otras palabras, para que el sistema
ax+ by = c
dx+ ey= f
no tenga solucion, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones deben
ser iguales y al dividir cada ecuacion por su respectivo coeficiente en y (estamos
asumiendo que estos coeficientes son no nulos) se deben obtener los mismos nuevos
coeficientes para x e y, pero no el mismo termino constante; es decir, se debe verificar
que −ab
= −de
y quec
b6= f
e, lo cual equivale a decir que:
a · e = d · b ∧ c · e 6= f · b.
86
4.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas paralelas
coincidentes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Las rectas coinciden en
todos sus puntos y los pares ordenados asociados a cada punto de la recta
corresponden precisamente a las soluciones del sistema.
En otras palabras, para que el sistema
ax+ by = c
dx+ ey= f
tenga infinitas soluciones, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones
deben ser iguales y al dividir cada ecuacion por su respectivo coeficiente en y
(estamos asumiendo que estos coeficientes son no nulos) se deben obtener los
mismos nuevos coeficientes para x e y, y el mismo termino constante; es decir, se
debe verificar que −ab
= −de
y quec
b=f
e, lo cual equivale a decir que:
a · e = d · b ∧ c · e = f · b.
OBSERVACION 4.6.2 La condicion para que el sistema tenga infinitas soluciones puede
ser cambiada por la siguiente:
ax+ by − c = k · (dx+ ey − f) para alguna constante k 6= 0 independiente de x e y.
Metodos de resolucion algebraica de un sistema de ecuaciones
IMETODO DE SUSTITUCION
Consiste en despejar una variable en una de las dos ecuaciones y reemplazarla en la otra,
obteniendose una ecuacion lineal con una incognita la cual se resuelve. El valor obtenido
se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor de la otra variable.
IMETODO DE REDUCCION
Consiste en escoger una variable como referencia y multiplicar cada ecuacion por un
factor conveniente de manera que, despues de realizar el producto, los coeficientes de
la variable escogida resulten cantidades opuestas en las ecuaciones. Luego, se suman
ambas ecuaciones y se resuelve la ecuacion con una incognita resultante . El valor
obtenido se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor de la
otra variable.
87
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
A continuacion presentamos algunos ejemplos donde hacemos uso de las posiciones
relativas de las rectas que representan a las ecuaciones de un sistema de ecuaciones
lineales con dos incognitas, y resolvemos analıticamente tal sistema, sin necesidad de re-
currir al trazado de sus graficas asociadas.
EJEMPLOS 4.6.1
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x+ 4y = 6
x− 2y = 1
Solucion. Como m1 = −246= 1
2= m2, donde m1 es la pendiente de la recta
asociada a la primera ecuacion del sistema y m2 es la pendiente de la recta asociada
a la segunda; entonces el sistema tiene solucion unica. Resolviendo el sistema
algebraicamente, obtenemos:
2x+ 4y = 6
x− 2y = 1
/ : 2
1
1
1⇒
1
+
x+ 2y = 3
x− 2y = 1
1⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.
Reemplazando x = 2 en cualquiera de las ecuaciones del sistema, obtenemos que
y = 12. Luego, el conjunto solucion del sistema es:
S ={(
2,1
2
)}. �
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x+ 4y = 6
x+ 2y = 3
Solucion. Como m1 = −24
= −12
= m2, donde m1 es la pendiente de la recta
asociada a la primera ecuacion del sistema y m2 es la pendiente de la recta asociada
a la segunda; entonces las rectas asociadas al sistema son paralelas. Ahora, como
2x+ 4y − 6 = 2(x+ 2y − 3),
concluimos que las rectas asociadas al sistema son paralelas coincidentes y ası, el
sistema tiene infinitas soluciones. Por lo tanto, si ponemos x = t, donde t representa
un numero real cualquiera; y despejamos y en cualquiera de las ecuaciones,
obtenemos y = 3−t2
, entonces el conjunto solucion del sistema es:
S ={(t,
3− t2
)/t ∈ R
}. �
88
4.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
3. Analiza los posibles conjuntos solucion del sistema:
x+ 2y = 4
3x+ αy = 12
para diferentes valores de α.
Solucion. El sistema tiene infinitas soluciones si se verifican las igualdades:
−1
2= − 3
α∧ 4
2=
12
α.
Despejando, obtenemos que α = 6, y entonces se cumple:
3(x+ 2y − 4) = 3x+ 6y − 12.
Ahora, poniendo x = t, donde t representa un numero real cualquiera, y despejando
y en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos y = 4−t2
. Por lo tanto, si α = 6, el
conjunto solucion del sistema es:
S ={(t,
4− t2
)/t ∈ R
}.
Por otro lado, el sistema tiene solucion unica si
−1
26= − 3
α;
lo que equivale a decir que para α 6= 6, el sistema tiene solucion unica. Notar que
si despejamos x en la primera ecuacion del sistema, obtenemos x = 4 − 2y; y
reemplazando este valor de x en la segunda ecuacion, nos queda la ecuacion
12 − 6y + αy = 12. Tomando en cuenta que α 6= 6, podemos despejar y de esta
ultima ecuacion y obtener que y = 0; luego, reemplazamos este valor de y en
cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos que x = 4. Por lo tanto, si α 6= 6,
el conjunto solucion del sistema es:
S = {(4, 0)}. �
EJERCICIO 4.6.1 Analiza los posibles conjuntos solucion del sistema:
x+ 2y = 4
2x+ αy = β
para diversos valores de α y β.
89
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
4.7. Inecuaciones de primer grado con dos incognitas
Una inecuacion de primer grado con dos incognitas es una inecuacion que se puede reducir
a una de las siguientes formas:
ax+ by + c < 0 ∨ ax+ by + c > 0 ∨ ax+ by + c 6 0 ∨ ax+ by + c > 0.
Notar que, graficamente la recta de ecuacion ax + by + c = 0 divide al plano xy en dos
semiplanos abiertos:
Luego, los puntos (x, y) del plano que cumplen con desigualdad ax+ by + c < 0, son:
y los puntos (x, y) del plano que satisfacen la desigualdad ax+ by + c > 0, son:
La recta pertenece al semiplano inferior si ax+ by + c 6 0:
90
4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
y pertenece al semiplano superior si ax+ by + c > 0:
Desde los comentarios previos, deducimos que la recta asociada a una inecuacion es el
borde de un semiplano y pertenecera a la solucion de la inecuacion si la desigualdad es del
tipo > o 6, mientras que no pertenecera a la solucion de la inecuacion si la desigualdad
es del tipo > o <. Para saber cual de los semiplanos corresponde a la soluciones de la
inecuacion, basta evaluar un solo par de coordenadas, como por ejemplo el (0, 0), y ver si
se cumple o no la desigualdad. Si la desigualdad se cumple, entonces el semiplano que
contiene a dicho punto de prueba corresponde a las soluciones de la inecuacion; en caso
contrario, el semiplano que no contiene al punto de prueba correspondera a las soluciones
de la inecuacion.
OBSERVACION 4.7.1 No se debe tomar un punto de la recta borde asociada a la
inecuacion como un punto de prueba. Por otra lado, al representar una inecuacion en el
plano cartesiano, es muy usual indicar el semiplano solucion con una flecha pequena des-
de la recta borde y perpendicular a ella, en direccion hacia el lado donde se encuentre un
punto de prueba que verifique la inecuacion.
EJEMPLO 4.7.1 Consideremos la inecuacion x+ y < 1 y escojamos el (0, 0) como punto de
prueba. Entonces 0 + 0 < 1 es verdadero. Luego, representamos el conjunto solucion de la
inecuacion como sigue:
91
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
4.7.1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incognitas
Llamamos sistema de inecuaciones lineales con dos incognitas al conjunto o sistema
formado por dos o mas inecuaciones lineales con dos incognitas. Por ejemplo, un sistema
de inecuaciones con dos incognitas es:
a1x+ b1y + c1 < 0
a2x+ b2y + c2 > 0
Resolver el sistema se reduce a encontrar la interseccion de los semiplanos soluciones de
cada una de las inecuaciones involucradas en el sistema.
Dicha interseccion es un subconjunto convexo del plano; es decir, una region del plano
tal que para dos puntos cualesquiera de la region, el segmento de recta que los une esta
totalmente contenido en la region. Los segmentos que limitan al conjunto convexo se
llaman bordes o lados y la interseccion de ellos, vertices. Los conjuntos convexos pueden
ser cerrados o abiertos respecto a cada lado o vertice, segun sea que se incluya este o no
en la solucion.
EJEMPLOS 4.7.1
1. Encuentra la region del plano xy que satisface las siguientes condiciones
x > 0, y > 0, 3x+ 2y 6 120, x+ 2y 6 80
Ademas, identifica los lados y los vertices de la region encontrada e indica en que
punto de la region la funcion f(x, y) = 20 000x+ 15 000y tiene valor maximo.
92
4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Solucion.
Zona de soluciones factibles
De acuerdo al grafico, es facil notar que los bordes estan sobre las rectas: x = 0, y = 0,
x+ 2y = 80 y 3x+ 2y = 120; y los vertices corresponden a: la interseccion de la recta
x + 2y = 80 con el eje y, que el punto A = (0, 40); la interseccion entre las rectas
x+ 2y = 80 y 3x+ 2y = 120, que es el punto B que resuelve el sistema:
3x+ 2y = 120
x+ 2y = 80⇒ B = (20, 30);
y la interseccion de la recta 3x + 2y = 120 con el eje y, que es el punto C = (40, 0).
Finalmente, evaluamos f(x, y) = 20000x+ 15000y en cada vertice obtenido:
f(A) = f(0, 40) = 15 000 · 40 = 600 800,
f(B) = f(20, 30) = 20 000 · 20 + 15 000 · 30 = 850 000,
f(C) = f(40, 0) = 20 000 · 40 = 800 000;
y concluimos que el maximo de f(x, y), en la region dada, ocurre en el punto de
coordenadas (20, 30).
2. Encuentra la region del plano xy que satisface las siguientes inecuaciones:
x > 0, y > 0, x+ y 6 10, x 6 6, y > 2, y > 2 , x > y,
y encuentra el punto de esta region donde la funcion f(x, y) = 0,1x + 0,07y alcanza
su mayor valor. �
93
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Solucion.
Zona de soluciones factibles
Los vertices correspondientes son A = (2, 2) (interseccion entre y = x e y = 2);
B = (5, 5) (interseccion entre x + y = 20 e y = x); C = (6, 4) (interseccion entre
x + y = 10 e x = 6; y D = (6, 2), interseccion entre x = 6 e y = 2. Ahora evaluamos
f(x, y) = 0,1x+ 0,07y en cada uno de los vertices y obtenemos:
f(A) = f(2, 2) = 0,1 · 2 + 0,07 · 2 = 0,34
f(B) = f(5, 5) = 0,1 · 5 + 0,07 · 5 = 0,40
f(C) = f(6, 4) = 0,1 · 6 + 0,07 · 4 = 0,88
f(C) = f(6, 2) = 0,1 · 6 + 0,07 · 2 = 0,74.
Por lo tanto, el mayor valor de f(x, y), en la region senalada, se alcanza en (6, 4). �
3. [Problema de transporte] Una empresa posee 2 fabricas, P1 y P2, dedicadas a la
produccion de cierto artıculo, el cual vende en 3 ciudades diferentes: C1, C2 y C3.
Se sabe que en P1 la empresa produce 5 000 unidades del artıculo, y en P2, 7 000
unidades. Las 12 000 unidades las distribuyen ası: 3 500 en C1, 4 000 en C2 y 4 500 en
C3. Si los costos de transporte, en euros por unidad de producto, desde las fabricas
hasta las ciudades estan dados en la siguiente tabla:
Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 3 2.5 3.5
Desde P2 2.25 3.75 4
Determina el numero de artıculos que debe enviar la empresa desde cada fabrica
hacia cada ciudad para que los costos de transporte sean mınimos.
94
4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Solucion. Para problemas de este tipo necesitamos definir nuevas variables. Sean
x = numero de unidades transportadas desde P1 a C1, y = numero de unidades
transportadas desde P1 a C2 y z = numero de unidades transportadas desde P1 a C3.
Entonces se debe cumplir que:
x+ y + z = 5 000.
Si desde P1 a C1 se envıan x unidades, y como en C1 necesitan 3 500, desde P2
se mandaran a C1 (3 500 − x) unidades. Razonando del mismo modo con y y z,
obtenemos la siguiente tabla:
Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 x y 5 000− x− yDesde P2 3 500− x 3 000− y x+ y − 500
Aquı hemos sustituido z por (5 000− y − x), pues x + y + z = 5 000 y ası reducimos
las 3 incognitas a 2 solamente. Por otro lado, es claro que cada cantidad ha de ser
mayor o igual que cero, es decir:
x > 0
3 500− x > 0
y > 0
4 000− y > 0
5 000− x− y > 0
−500 + x+ y > 0
que equivale a x > 0
x 6 3 500
y > 0
y 6 4 000
x+ y 6 5 000
x+ y > 500
Como se trata de minimizar costos, la funcion objetivo estara dada por:
C(x, y) = 3·x+2,5·y+3,5·(5 000−x−y)+2,25·(3 500−x)+3,75·(4 000−y)+4·(−500+x+y),
o equivalentemente:
C(x, y) = 1,25 · x− 0,75 · y + 22 625.
El siguiente grafico muestra la region donde las soluciones del problema tienen
sentido:
95
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
Notar que los vertices senalados en la grafica son: A = (0, 500), B = (0, 4 000),
C = (1 000, 4 000), D = (3 500, 1 500), E = (3 500, 0) y F = (500, 0), y evaluando
cada uno de ellos en C(x, y), obtenemos:
C(0, 500) = 22 250
C(0, 4 000) = 19 625
C(1 000, 4 000) = 20 875
C(3 500, 1 500) = 25 875
C(3 500, 0) = 27 000
C(500, 0) = 23 250
Por lo tanto, el mınimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4 000. Es decir, las unidades
a distribuir son:
Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 0 4 000 1 000
Desde P2 3 500 0 3 500
EJERCICIOS 4.7.1
I Sistemas de ecuaciones con dos incognitas.
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
96
4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
a)2x+ 3y = 13
x− 2y = 3d)
x+ 2y = 7
2x+ 5y = −3g)
3x− 6y = 8
2x+ 5y = 1
b)x− 5y = 32
3x+ y = 12e)
x− 5y = 32
2x− 10y = 16h)
x− 5y = 32
2x− 5y = 64
c)2x− 3y = 2
3x+ 2y = 8f )
2x− 3y = 2
2x− 3y = 4i)
2x− 3y = 2
3x− 9y = 6
2. Representa en el plano cartesiano cada uno de los sistemas anteriores.
3. Considera el sistema homogeneo
ax+ by = 0
cx+ dy = 0
Demuestra que si x = x0 e y = y0 es solucion del sistema, entonces x = kx0 e
y = ky0 tambien lo es.
4. En el sistema anterior, prueba que si las rectas correspondientes son paralelas,
entonces son coincidentes; es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. Expresa
algebraicamente dichas soluciones.
5. Prueba que el sistema del ejercicio 3. tiene solucion unica si ad − bc 6= 0. ¿Cual
es dicha solucion?.
6. Prueba que si el sistema homogeneo:
a1x+ b1y = 0
a2x+ b2y = 0
verifica a1b2 − a2b1 = 0, entonces tiene infinitas soluciones.
7. Encuentra al menos tres trıos de numeros enteros x, y y z que sean solucion del
sistema:
x+ y + z = 9
x+ 5y + 10z = 44
8. Considera los sistemas:
a)x− y = 3
2x− 2y = kb)
x− y = 3
3x+ ky = 9
Analiza, para cada caso, si existen valores del parametro k que permitan al
sistema tener: solucion unica, infinitas soluciones o ninguna solucion real.
97
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
9. Encuentra los valores de a y b, que permiten que el sistema
2x+ y = 5
6x+ ay = b
tenga: solucion unica, infinitas soluciones o ninguna solucion real.
II. Sistemas de inecuaciones con dos incognitas
1. Resuelve las inecuaciones graficamente, achurando la zona o region del plano
que verifica la inecuacion y traza la lınea recta que la bordea.
a) 3x+ 2y + 6 < 0
b) 2x+ 3y > 0
c) x− y + 1 6 0
d) x+ 2y + 4 > 0
2. Representa la region del plano xy que satisface el sistema de inecuaciones:
a) 2x+ 3y + 4 > 0
x− 2y − 2 < 0
x+ y − 1 6 0
b) y > 0
2x+ 4y > 8
2x− 5y 6 0
−x+ 5y 6 5
c) x > 0
y > 0
3x+ 2y 6 120
x+ 2y 6 80
d) x > 0
y > 0
x+ y 6 10
x 6 6
y > 2
x > y
e) x > 0
y > 0
x+ yx 6 120
x 6 100
x+ y 6 150
3. Una persona tiene 10 millones de pesos en sus fondos previsionales, los que
desea invertir en fondos de tipo A y de tipo B. Los del tipo A son mas riesgosos
pero producen un beneficio anual promedio del 10 %. Los de tipo B son mas
seguros, pero solo producen un beneficio promedio del 7 % anual. Despues de
varias deliberaciones la persona decide invertir como maximo 6 millones en el
fondo tipo A y por lo menos 2 millones en el fondo tipo B. Si ademas, decide
que lo invertido enA sea por lo menos igual a lo invertido enB, entonces ¿como
debe invertir sus 10 millones de modo que, con estas condiciones, el beneficio
anual sea maximo?
98
4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
4. Se desea preparar una dieta con dos alimentos: A y B, la cual requiere 3 000
calorıas y 80 gramos de proteınas. Si cada unidad de A cuesta US$8 y contiene
500 calorıas y 10 gramos de proteına; y cada unidad de B cuesta US$12 y
contiene 500 calorıas y 20 gramos de proteına, ¿que cantidad de unidades de
A y de B se deben comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo
mınimo?
5. Un fabricante artesanal de bicicletas cuenta con 80 Kilos de acero y 120 Kilos de
aluminio para hacer bicicletas de paseo y de montana, las cuales quiere vender
a 20 mil pesos y 15 mil pesos respectivamente. Si para cada bicicleta de paseo
usa 1 Kilo de acero y 3 Kilos de aluminio, y para cada bicicleta de montana
usa 2 Kilos de acero y 2 Kilos de aluminio, ¿cuantas bicicletas de cada clase
fabricara para obtener el mayor beneficio posible?
6. Un ayudante de matematica dedica parte de su tiempo a escribir en lenguaje
LATEXdos tipos de guıas: de Algebra y de Calculo. Por cada guıa de Algebra que
escribe el recibe 5 mil pesos y por cada guıa de calculo recibe 7 mil pesos. Si
el estudiante a lo mas puede hacer 12 guıas de Algebra y 10 guıas de Calculo
durante el semestre, con la restriccion que solo le cancelaran 15 guıas como
maximo por semestre, ¿cuantas guıas de cada tipo debe escribir el ayudante
para que su beneficio sea maximo?
7. Dos fabricas de cemento, F1 y F2, producen respectivamente 3 000 y 4 000 sacos
de cemento al dıa, los cuales envıan a tres centros de ventas C1, C2 y C3) en
cantidades de 3 000, 2 500 y 1 500 sacos respectivamente. Si los costos, en euros
por cada saco, del transporte de cada fabrica a los puntos de venta vienen dados
por:
Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3
Desde P1 2 2.5 2
Desde P2 1.5 3 1
Entonces, determina como hay que distribuir la produccion de cemento para
que el transporte resulte lo mas economico posible.
99
CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL
100
Parte II
Matematica elemental II
101
Capıtulo 5
Los numeros irracionales
5.1. Introduccion
En la primera parte del curso estudiamos el conjunto de los numeros reales tanto en
su concepcion axiomatica como en su interpretacion geometrica: cada punto de una recta
representa un unico numero real. En particular, centramos nuestro estudio en el conjunto
de los numeros racionales, el cual denotamos Q, definido como sigue:
Q ={mn
: n ∈ Z ∧ n ∈ Z \ {0}}.
En ese momento, observamos que desde el punto de vista geometrico, no es posible cubrir
completamente una recta numerica representando allı solo los numeros racionales. Este
hecho sugiere que deben existir otros numeros reales, y fue cuando demostramos que√
2
y√
3 no son numeros racionales. Mas aun, observamos que al sumar un numero racional
cualquiera con√
2, o con√
3, la suma obtenida tampoco corresponde a un numero racio-
nal. Por lo tanto, es claro que los numeros reales que no son racionales son muchısimos
mas que los que sı lo son.
DEFINICION 5.1.1 Llamamos conjunto de los numeros irracionales al conjunto Q′ definido
por
Q′ = {x ∈ R : x 6∈ Q}.
En otras palabras, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que no se
pueden representar como una fraccion con numerador y denominador enteros, siendo el
denominador distinto de 0. Es decir, los numeros irracionales son todos aquellos numeros
reales que poseen infinitos decimales, los cuales no son periodicos ni semiperiodicos.
Otros ejemplos conocidos de numeros irracionales son
- El numero pi: π = 3, 1415926535897 . . .
103
CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES
- El numero exponencial: e = 2, 7182818284 . . .
- El numero aureo: Φ = 1, 6180339887498 . . .
Pero nos interesa conocer mas numeros irracionales. Para ello, introduciremos nuevas
operaciones entre numeros naturales, enteros y/o racionales. Al operar estos numeros con
estas nuevas operaciones apareceran una cantidad impresionante de valores que seran
irracionales. Finalmente, extenderemos estas nuevas operaciones a todo numero real y
estudiaremos sus propiedades.
Para hacernos una idea de como surgen estas nuevas operaciones, vamos a describir
una posible explicacion que relaciona a los conjuntos numericos y las operaciones que co-
nocemos entre dos numeros. Partimos considerando el conjunto de los numeros naturales
(N), y la operacion binaria interna mas elemental que conocemos en este conjunto, que es
la adicion (+). A continuacion consideramos una segunda operacion binaria interna en el
conjunto de los numeros naturales: la multiplicacion (·). Esta operacion corresponde basi-
camente a la adicion de un mismo numero natural n veces, donde n representa tambien
a un numero natural. Entonces, con el afan de estudiar procesos inversos, comenzamos a
extender nuestros conocimientos.
Frente a la interrogante:
Sean a y b dos numeros naturales. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla:
a+ x = b?
surge la operacion inversa de la adicion, la cual conocemos como sustraccion (−). Notan-
do que a+ x = x+ a, nuestra respuesta es conocida: x = b− a. Claramente este valor no
siempre define un natural, ası que introducimos un nuevo conjunto numerico: el conjunto
de los numeros enteros (Z). Luego, extendemos de forma muy natural el uso de las ope-
raciones adicion y sustraccion en el conjunto de los numeros enteros y nos interesamos en
responder la siguiente interrogante:
Sean a y b dos valores enteros. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla: a · x = b?
Entonces surge la operacion inversa de la multiplicacion, la cual conocemos como divi-
sion (÷). Notando que a · x = x · a, nuestra respuesta es conocida: x = b ÷ a. Claramente
este valor no siempre define un numero entero, ası que asumiendo que a 6= 0, resulta
evidente introducir un nuevo conjunto numerico: el conjunto de los numeros racionales
(Q). Nuevamente podemos extender de forma muy natural el uso las operaciones adicion
y sustraccion, multiplicacion y division en el conjunto de los numeros racionales. Hasta
104
5.1. INTRODUCCION
aquı hemos completado el estudio de las cuatro operaciones elementales de la aritmetica
en Q.
Ahora consideramos la operacion potenciacion. Esta operacion parte en el contexto de
los numeros naturales y corresponde a la multiplicacion de un mismo numero natural m,
una cantidad n de veces; actualmente al numero m lo conocemos como base y al numero n
como exponente. Estudiar el proceso inverso de esta operacion es bastante mas difıcil que
en el caso de la adicion y la multiplicacion por una razon fundamental: en general, no
se obtiene un mismo resultado si intercambiamos la base con el exponente. Esta falta de
conmutatividad entre la base y el exponente nos permite vislumbrar que la potenciacion
debe tener dos operaciones inversas: una relacionada con la base y la otra relacionada con
el exponente. Estas nuevas operaciones son las que nos permiten determinar muchısimos
otros numeros reales que son irracionales.
Cuando estamos interesados en identificar la base de una potencia, nos enfrentamos a
la siguiente interrogante:
Sea n un numero natural y sea q un numero racional. ¿Que valor debe tener x para que se
cumpla: xn = q?
Entonces surge la operacion radicacion, la cual nos permite concluir que x = n√q. Sin
embargo, esto no es tan simple, pues la expresion n√q define un numero real solo para
adecuados valores de n y q. Este concepto ahora se relaciona con el de potencia de exponente
fraccionario.
En un sentido similar, cuando estamos interesados en identificar el exponente, nos
enfrentamos a la siguiente interrogante:
Sean a y b dos valores racionales. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla: ax = b?
Entonces surge la operacion logaritmacion y obtenemos x = loga b. Nuevamente este
asunto no es tan simple pues la expresion loga b define un numero real solo para valo-
res adecuados de a y b, donde a se llama base del logaritmo y b se llama argumento del
logaritmo. Finalmente, extendemos el concepto de potencia considerando su base y su
exponente real, y el de logaritmo considerando su base y su argumento real.
Sin embargo, antes de comenzar nuestro estudio sobre las dos ultimas operaciones an-
tes mencionadas (con el afan de obtener mas numeros irracionales) es conveniente senalar
que historicamente los numeros y operaciones entre ellos surgieron de acuerdo a las ne-
cesidades que existıan en determinadas epocas y no necesariamente en el orden que he-
mos planteado anteriormente. Sabemos que los primeros numeros conocidos, incluso en
105
CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES
la pre-historia, fueron los naturales, usados basicamente para contar o enumerar. Existen
antecedentes que alrededor del ano 2300 A.C. los sumerios poseıan una forma de organi-
zar los numeros, el sistema sexagesimal, y que para alrededor del 2000 A.C. los babilonios
ya operaban con las cuatro operaciones elementales entre numeros naturales, e incluso
habıan desarrollado el concepto de cuadrado y cubo de un numero. Los egipcios, alre-
dedor del ano 1800 A.C. introdujeron las fracciones entre naturales con numerador igual
a la unidad, salvo algunas excepciones; concepto desarrollado por los griegos. Los egip-
cios tambien introdujeron en su simbologıa, quizas de una forma intuitiva, el sistema de
numeracion decimal y aparentemente tambien habıan desarrollado el concepto del cero.
Algunos ejemplos de numeros no racionales fueron introducidas por los griegos alrede-
dor del ano 500 A.C.; segun la tradicion griega, por esos anos Hipaso de Metaponto, un
discıpulo de Pitagoras, descubrio el afamado Teorema de Pitagoras (quedo con ese nom-
bre pues el era un miembro de la Escuela Pitagorica); y como consecuencia de esto, des-
cubrio que√
2 no era un numero racional. Como Pitagoras no estaba de acuerdo con la
aparicion de numeros de estas caracterısticas, intento rebatir los argumentos de Hipaso
con el uso de la logica. La molestia de Pitagoras se producıa porque el numero√
2 “en-
suciaba”la perfeccion de los numeros racionales, por lo que no deberıa existir. Hipaso fue
entonces expulsado de la Escuela Pitagorica donde se construyo una tumba con su nom-
bre, mostrando ası que para los pitagoricos el estaba muerto. Pero para nuestra sorpresa
aun no se conocıan los numeros negativos. De hecho, los siguientes hitos historicos acerca
de los numeros ya son parte de la era cristiana. Existen antecedentes de que fueron los in-
dios quienes introdujeron los numeros enteros negativos y el cero de manera mas formal
recien alrededor del ano 600, pero esto no se conocerıa en el mundo occidental sino hasta
el siglo X cuando los arabes, quienes complementaron sus conocimientos matematicos con
los de los indios, los introdujeron a Europa durante su invasion Espana. De hecho, formal-
mente esto ocurrio gracias a Fibonacci en su libro Liber abaci publicado el ano 1202. A esas
alturas tambien se conocıa el concepto de potencia de un numero, el cual hacia finales del
siglo XIII habıa extendido su uso considerando la base positiva enQ y el exponente enN y
en un grado similar se habıa estudiado el concepto de raız n-esima de un numero racional
positivo. Fue el profesor parisino Nicole Oresmes en el siglo XIV, quien extendio el con-
cepto de radicacion a potencias con exponente fraccionario; uniendo de esta forma estos
dos conceptos. El concepto de logaritmo fue introducido por John Neper el ano 1614, en
su obra titulada Canonis mirifici logarithmorum descriptio, aunque hay quienes sugieren que
106
5.2. RADICACION. RAIZ n-ESIMA DE UN NUMERO REAL
el primero en usarlos fue Joost Burgi, un matematico y relojero suizo contemporaneo a
Neper. Con la introduccion de las raıces y los logaritmos quedo claro que habıan muchos
numeros reales no racionales, ası que ya era momento de ordenar todos los conocimien-
tos. Los numeros reales (R), tal como los conocemos hoy, es historia bastante mas reciente,
al igual que la concepcion de las operaciones potenciacion y logaritmacion en R.
5.2. Radicacion. Raız n-esima de un numero real
5.2.1. Raız cuadrada de un numero real
DEFINICION 5.2.1 La raız cuadrada de un numero real a existe en R y se denota por√a,
si existe un numero real b tal que el cuadrado de b es igual a a. Es decir:
√a = b ⇔ b2 = a
OBSERVACION 5.2.1 De acuerdo a la definicion, no todo numero real tiene raız cuadrada.
En efecto, para que√a tenga sentido en R, a debe ser mayor o igual que cero.
Algunas raıces cuadradas elementales
√0 = 0 pues 02 = 0 ;
√49 = 7 pues 72 = 49 ;
√196 = 14 pues 142 = 196;
√1 = 1 pues 12 = 1 ;
√64 = 8 pues 82 = 64 ;
√225 = 15 pues 152 = 225;
√4 = 2 pues 22 = 4 ;
√81 = 9 pues 92 = 81 ;
√256 = 16 pues 162 = 256;
√9 = 3 pues 32 = 9 ;
√100 = 10 pues 102 = 100;
√289 = 17 pues 172 = 289;
√16 = 4 pues 42 = 16 ;
√121 = 11 pues 112 = 121;
√324 = 18 pues 182 = 324;
√25 = 5 pues 52 = 25 ;
√144 = 12 pues 122 = 144;
√361 = 19 pues 192 = 361;
√36 = 6 pues 62 = 36 ;
√169 = 13 pues 132 = 169;
√400 = 20 pues 202 = 400
OBSERVACION 5.2.2 La raız cuadrada de un numero negativo no esta definida, por lo
tanto no es un numero irracional y tampoco un racional.
Otros numeros irracionales
I Todas las raıces cuadradas no exactas son numeros irracionales. Por ejemplo:
√2 = 1, 414213562 . . .
√3 = 1, 732050808 . . .
√5 = 2, 236067977 . . .
107
CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES
I Las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicacion y/o division
por cero, producen un irracional. Por ejemplo:
−2√
3 ∈ Q′√
2
5∈ Q′ 2
3π∈ Q′ 5 + π ∈ Q′ 1
5e− 2
3∈ Q′.
OBSERVACION 5.2.3 No siempre las operaciones entre numeros irracionales correspon-
den a un irracional. Por ejemplo:
√2 ∈ Q′ ∧
√8 ∈ Q′, pero
√2 ·√
8 =√
16 = 4 /∈ Q′
OBSERVACION 5.2.4 El sımbolo √ es una variante de la letra r correspondiente a la
inicial de la palabra, en latın, radix que significa es nuestra lengua raız. Este sımbolo es
el que se asocia a la operacion radicacion. En el siglo XVI usaban la letra mayuscula R y
le agregaban q para quadratus o una c para cubus, que era extraer raız cuadrada o raız
cubica, ası por ejemplo R.q4372 era√
4372.
5.2.2. Raız cubica de un numero real
Para tener mas ejemplos de numeros irracionales, introducimos aquı el concepto de raız
cubica de un numero.
DEFINICION 5.2.2 La raız cubica de un numero real a existe en R y se denota por 3√a, si
existe un numero real b tal que el cubo de b es igual a a. Es decir:
3√a = b ⇔ b3 = a
OBSERVACION 5.2.5
I Recordemos que en una raız cuadrada la cantidad subradical (la cantidad numerica
bajo la raız) NO puede ser negativa. Por ejemplo:
√−4 /∈ IR, pues no hay numeros reales cuyo cuadrado sea − 4,
(De hecho todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero gracias a la regla de los
signos pues estamos multiplicando un numero por sı mismo; esto es x · x > 0, ∀x ∈ IR).
I Cuando se trata de una raız cubica la situacion es diferente. Ahora todo numero real posee
raız cubica, esto se debe nuevamente a la regla de los signos. Por ejemplo:
3√−8 = −2 ∈ IR, pues (−2)3 = −8.
108
5.2. RADICACION. RAIZ n-ESIMA DE UN NUMERO REAL
Algunas raıces cubicas elementales
3√
1 = 1 pues 13 = 1 ; 3√
216 = 6 pues 63 = 216 ;
3√
8 = 2 pues 23 = 8 ; 3√
343 = 7 pues 73 = 343 ;
3√
27 = 3 pues 33 = 27 ; 3√
512 = 8 pues 83 = 512 ;
3√
64 = 4 pues 43 = 64 ; 3√
729 = 9 pues 93 = 729 ;
3√
125 = 5 pues 53 = 125 ; 3√
1000 = 10 pues 103 = 1000.
5.2.3. Raız n-esima de un numero real
Los conceptos de raız cuadrada y raız cubica se pueden extender al de raız de ındice
n, o bien raız n-esima de un numero real como sigue:
DEFINICION 5.2.3 Sea a,∈ IR y sea n un numero natural. Entonces, decimos que la raız
n-esima del numero real a existe en R y se denota por n√a, si existe un numero real b tal
que la n-esima potencia de b es igual a a. Es decir:
n√a = b⇔ bn = a
OBSERVACION 5.2.6 Las raıces de ındice par no estan definidas en IR si a < 0; mientras
que las raıces de ındice impar estan definidas en IR para todo a ∈ IR.
Propiedades de la raız n-esima de un numero real
Sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que
existen en R: n√a, n√b, m√a, m√b, n√ab, n
√a
b, n√anb, n
√m√a y nm
√a. Entonces:
1. n√
0 = 0
2. n√
1 = 1
3. n√a · n√b = n√ab
4.n√a
n√b
= n
√a
bsi b 6= 0
5. n√a · m√a = mn
√an+m
6.n√a
m√a
= mn√am−n
7. n√
m√a = nm
√a
8. a n√b = n√anb
109
CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES
Prioridad en la operatoria
1o) Parentesis
2o) Potencias y/o Raıces
3o) Productos y/o Cuocientes
4o) Sumas y/o Restas
5.2.4. Potencias de exponente racional
Sea a un numero real y sean p un numero entero y n un numero natural tales que p y n
no poseen factores comunes. Si n√a ∈ R, definimos:
apn = n√ap.
Con esta definicion, se comprueba facilmente que las potencias de exponente fraccionario
cumplen las mismas propiedades de las potencias de exponente entero. Mas aun, ahora
todas las raıces n-esimas se pueden interpretar como potencias y extender las potencias
de base real y exponente fraccionario a exponentes que tambien son reales.
Propiedades de la raız n-esima de un numero real
Sean p y q dos numeros enteros, sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos
numeros reales. Asumamos que existen en R: n√a, n√b, m√a, m√b, n√ab, n
√a
b, n√anb, n
√m√a y
nm√a. Entonces:
1. 0pn = 0
2. 1qm = 1
3. apn b
pn = (ab)
pn
4.a
pn
bpn
=(ab
) pn
si b 6= 0
5. apn · a q
m = amp+nq
mn
6.a
pn
aqm
= amp−nq
mn
7.(a
pn
) qm = a
pqmn .
110
5.3. LOGARITMACION. LOGARITMO DE UN NUMERO REAL
5.2.5. Potenciacion
A continuacion se puede definir la operacion potenciacion entre numeros reales posi-
tivos sin mayor dificultad. Entonces, al considerar un numero real positivo a, con a 6= 1, y
trazar una curva en el plano cartesiano que represente la relacion
y = ax
obtenemos los siguientes graficos:
5.3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real
DEFINICION 5.3.1 Sean a y p dos numeros reales positivos, a 6= 1. El logaritmo en base a
de p existe en R y se denota por loga p, si existe un numero real r tal que ar es igual a p. Es
decir:
loga p = r ⇔ ar = p.
El numero real positivo p se llama argumento del logaritmo.
OBSERVACION 5.3.1 Es usual usar la siguiente notacion
log10 p = log p
y
loge p = ln p
conocido como logaritmo natural.
La definicion de logaritmo nos permite establecer una relacion de reciprocidad con la
de potencia. De esta forma, para estudiar las propiedades que verifican los logaritmos
podemos hacerlo mediante las propiedades de las potencias.
111
CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES
Propiedades de los logaritmos
Sean a, b y c numeros reales positivos distintos de 1, sean p y q numeros reales positivos
y sea r un numero real. Entonces:
1. loga 1 = 0
2. loga a = 1
3. loga pq = loga p+ loga q
4. logapq
= loga p− loga q si b 6= 0
5. loga pr = r loga p
6. loga b =logc a
logc b
7. aloga p = p
8. loga p = − log 1ap
Al considerar un numero real positivo a, con a 6= 1, y trazar una curva en el plano
cartesiano que represente la relacion
y = loga x⇔ ay = x
obtenemos los siguientes graficos (que corresponden a una reflexion de los graficos de las
potencias con respecto al eje y = x pues basicamente hemos cambiado la x por la y:
112
Capıtulo 6
Algebra elemental II
6.1. Fracciones algebraicas
Una expresion algebraica fraccionaria tal que su numerador y su denominador son
polinomios recibe el nombre de fraccion algebraica.
EJEMPLO 6.1.1 Las siguientes expresiones
a)a
bx; b)
4x− y2x− y
; c)a3b4x2
x2y + xy2; d)
x2 − 4
x2 + 5x+ 6
son fracciones algebraicas. �
Si el polinomio en el denominador contiene n factores literales; digamos x1, x2, . . . , xn,
llamaremos dominio de valores admisibles o conjunto de restricciones de la fraccion algebraica
al conjunto formado por todas las n-uplas de la forma (x1, x2, . . . , xn) tales que el polino-
mio no se anula.
EJEMPLO 6.1.2
a) El dominio de valores de admisibles de la fraccion algebraicaa
bxes
{(b, x) : b 6= 0 ∧ x 6= 0}. �
b) El conjunto de restricciones de la fraccion algebraica4x− y2x− y
es
{(x, y) : y 6= 2x}. �
c) Las restricciones para que la fraccion algebraicaa3b4x2
x2y + xy2este bien definida son
x 6= 0, y 6= 0, y x 6= −y; pues x2y + xy2 = xy(x+ y) debe ser distinto de 0. �
113
CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II
d) Los valores de x para los cuales la fraccionx2 − 4
x2 + 5x+ 6esta bien definida son
x 6= −3 ∧ x 6= −2; pues x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3) debe ser distinto de 0. �
OBSERVACION 6.1.1 Recordar que para todo a, b ∈ R, la fracciona
b
representa un numero real si y solo si b 6= 0.
6.1.1. Operaciones entre fracciones algebraicas
Basicamente, la forma de operar con fracciones algebraicas es una replica de la forma
de operar con fracciones racionales numericas.
Antes, recordemos un ejemplo numerico las operaciones adicion y sustraccion entre
fracciones racionales numericas.
EJEMPLO 6.1.3 Cuando realizamos el siguiente calculo:
2
3+
5
6− 7
2
en general procedemos de la siguiente forma. Primero encontramos el mınimo comun
multiplo entre los denominadores
m.c.m(2, 3, 6) = 3 · 2 = 6.
Luego, amplificamos adecuadamente cada fraccion de manera que los denominadores
nuevos obtenidos para cada fraccion sean iguales a 6:
2
3+
5
6− 7
2=
2 · 23 · 2
+5
6− 7 · 3
2 · 3=
2 · 2 + 5− 7 · 26
Finalmente realizamos las operaciones indicadas y concluimos:
2
3+
5
6− 7
2=
4 + 5− 14
6= −5
6. �
Notar que un aspecto clave en nuestro ejemplo previo fue encontrar el mınimo comun
denominador posible entre los denominadores de las fracciones involucradas en el ejem-
plo (o mınimo comun multiplo entre los denominadores de las fracciones). Este aspecto
tambien sera clave cuando operemos con la adicion o sustraccion de fracciones algebraicas.
Luego, es conveniente recordar un metodo para encontrar mınimo comun multiplo entre
numeros que pueda facilmente ser adaptado para encontrar mınimo comun multiplo en-
tre polinomios.
114
6.1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJEMPLO 6.1.4 Cuando calculamos el mınimo comun multiplo entre los numeros natura-
les,
8, 12, 18 y 21
una forma de hacerlo es descomponiendo cada numero en factores primos:
8 = 2 · 2 · 2 = 23
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 318 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
21 = 3 · 7.
Luego, escogemos cada factor primo que aparezca entre todos los numeros factorizados,
con su potencia mas alta, a saber
23, 32 y 7,
y los multiplicamos para obtener el mınimo comun multiplo:
m.c.m(8, 12, 18, 21) = 23 · 32 · 7 = 504. �
Mınimo comun multiplo entre expresiones algebraicas polinomiales
Procedemos como sigue: consideramos cada factor polinomial no factorizable (llama-
dos polinomios irreductibles) entre todos los polinomios involucrados, con su potencia mas
alta; lo mismo con los factores numericos.
EJEMPLO 6.1.5 Encuentra el mınimo comun multiplo entre las siguientes expresiones
algebraicas
a) cd2, ac, 3ab2d3
b) a− b, ab− b2, a3 − b3
c) x3 − 4x, x2 − 3x+ 2, x4 − 4x3 + 4x2
Solucion:
a) Ya estan factorizados los polinomios. Ahora, escogemos los factores con sus potencias
mas altas
3, a, b2, c, d3.
Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones cd2, ac, 3ab2d3 es:
3ab2cd3. �
115
CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II
b) Primero factorizamos aquellos polinomios que no lo estan:
ab− b2 = b(a− b) y a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).
[Notar que a2 +ab+ b2 no es factorizable]. Ahora escogemos los factores con sus potencias
mas altas
b, (a− b), (a2 + ab+ b2).
Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones a− b, ab− b2, a3 − b3 es:
b(a− b)(a2 + ab+ b2). �
c) Primero factorizamos aquellos polinomios que no lo estan:
x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x− 2)(x+ 2), x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1)
y
x4 − 4x3 + 4x2 = x2(x2 − 4x+ 4) = x2(x− 2)2.
Ahora escogemos los factores con sus potencias mas altas
x2, (x− 2)2, (x+ 2).
Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones x3−4x, x2−3x+2, x4−4x3 +4x2
es:
x2(x− 2)2(x+ 1). �
Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas
Como hemos mencionado anteriormente, podemos proceder tal como en la adicion o
sustraccion de fracciones racionales numericas.
EJEMPLO 6.1.6 Simplifica las siguientes expresiones, senalando sus restricciones.
a)1 + 2k
2a− 1− 2− 3k
2a− 1
b)5
x2 − y2+
4
x2y − xy2
c)x+ 2
x− y+
4− xx2 − y2
− 2− xx+ y
116
6.1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Solucion:
a) Como los denominadores son iguales, podemos restar directamente los numeradores,
teniendo especial cuidado con los terminos afectados por la recta. Para evitar cometer
errores, es conveniente agregar parentesis a los numeradores:
1 + 2k
2a− 1− 2− 3k
2a− 1=
(1 + 2k)
2a− 1− (2− 3k)
2a− 1
=(1 + 2k)− (2− 3k)
2a− 1=
1 + 2k − 2 + 3k
2a− 1=
5k − 1
2a− 1,
y la restriccion es a 6= 1
2. �
b) Factorizamos los denominadores, y calculamos el mınimo comun multiplo para expre-
sar las fracciones involucradas con un mınimo comun denominador:
5
x2 − y2+
4
x2y − xy2=
5
(x− y)(x+ y)+
4
xy(x− y)
=5xy + 4(x+ y)
xy(x− y)(x+ y)=
4x+ 4y + 5xy
xy(x− y)(x+ y).
y las restricciones son x 6= 0, y 6= 0, x 6= y y x 6= −y. �c) Factorizamos los denominadores, y calculamos el mınimo comun multiplo para expre-
sar las fracciones involucradas con un mınimo comun denominador:
x+ 2
x− y+
4− xx2 − y2
− 2− xx+ y
=x+ 2
x− y+
4− x(x− y)(x+ y)
− 2− xx+ y
=(x+ 2)(x+ y)
(x− y)(x+ y)+
(4− x)
(x− y)(x+ y)− (2− x)(x− y)
(x+ y)(x− y)
=x2 + xy + 2x+ 2y + 4− x− 2x+ 2y + x2 − xy
(x− y)(x+ y)
=4y − x+ 2x2 + 4
(x− y)(x+ y). �
Antes de continuar con la multiplicacion y division de fracciones algebraicas, recorde-
mos brevemente estas operaciones entre fracciones racionales numericas.
EJEMPLO 6.1.7 Cuando realizamos el siguiente calculo:
2
3· 5
6
en general procedemos de la siguiente forma. Multiplicamos directamente numerador
con numerador y denominador con denominador, formando una nueva fraccion la cual
117
CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II
simplificamos adecuadamente para concluir
2
3· 5
6=
2/ · 53 · 6/
=1 · 53 · 3
=5
9. �
EJEMPLO 6.1.8 Cuando realizamos el siguiente calculo:2
3÷ 5
6
en general procedemos de la siguiente forma. Usando la definicion de division entre
numeros reales, y una propiedad de las potencias, obtenemos
2
3÷ 5
6=
2
3·(
5
6
)−1
=2
3· 6
5
Finalmente, procedemos como en la multiplicacion de fracciones racionales numericas
para concluir2
3÷ 5
6=
2 · 6/3/ · 5
=2 · 21 · 5
=4
5. �
Multiplicacion y division de fracciones algebraicas
Como hemos mencionado anteriormente, procedemos tal como en la adicion o sustrac-
cion de fracciones racionales numericas. Sin embargo, antes de simplificar en una fraccion
algebraica, debemos descartar todos aquellos casos en que el denominador se anula.
EJEMPLO 6.1.9 Simplifica las siguientes expresiones, senalando sus restricciones.
a)2x2 + 7xy + 6y2
x+ 2· x− 3
2x+ 3y
b)x+ y
x2 − y2÷ x3 − y3
x2y − xy2
c)x− yx+ 2
· 4− 2x
x2 − y2÷ 4− x2
x+ y
Solucion:
a) Notar que las restricciones son
x 6= −2 ∧ 2x 6= 3y,
mientras que
2x2 + 7xy + 6y2 =2 (2x2 + 7xy + 6y2)
2=
(2x) 2 + 7y (2x) + 12y2
2
=(2x+ 3y) (2x+ 4y)
2= (x+ 2y) (2x+ 3y)
118
6.1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
(Primero amplificamos por 2; luego buscamos dos expresiones tales que su suma sea 7y y
que su producto sea 12y2; y estas son 3y y 4y, y finalmente factorizamos y simplificamos
por 2). Entonces, considerando las restricciones previas, se sigue que si x 6= −2 ∧ 2x 6= 3y.
Ası:2x2 + 7xy + 6y2
x+ 2· x− 3
2x+ 3y=
(x+ 2y) (2x+ 3y) (x− 3)
(x+ 2) (2x+ 3y)= x− 3 �
b) Notar que los factores en los denominadores de las fracciones algebraicas son
x2 − y2 = (x+ y) (x− y)
x2y − xy2 = xy (x− y) .
Luego, tenemos las siguientes restricciones
x 6= y ∧ x 6= −y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0.
Por otro lado, el divisor en la division es
x3 − y3
x2y − xy2=
(x− y) (x2 + xy + y2)
xy (x− y).
Entonces tenemos que
x 6= y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0⇒(
(x− y) (x2 + xy + y2)
xy (x− y)6= 0⇔
(x2 + xy + y2
)6= 0
)y esto ultimo es siempre cierto pues x2+xy+y2 no es factorizable en polinomios de primer
grado. Luego, las unicas restricciones son x 6= y, x 6= −y, x 6= 0, y 6= 0. Considerando estas
restricciones, obtenemos
x+ y
x2 − y2÷ x3 − y3
x2y − xy2=
x+ y
(x+ y) (x− y)÷ (x− y) (x2 + xy + y2)
xy (x− y)
=(x+ y)
(x+ y) (x− y)· xy (x− y)
(x− y) (x2 + xy + y2)
=xy
(x− y) (x2 + xy + y2)�
c) Notar que los factores en los denominadores de las fracciones algebraicas son
x+ 2
x2 − y2 = (x+ y) (x− y)
x+ y.
119
CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II
Luego, tenemos las siguientes restricciones
x 6= −2 ∧ x 6= −y ∧ x 6= y.
Por otro lado, el divisor en la division es4− x2
x+ y=
(2− x) (2 + x)
(x+ y).
Entonces tenemos que
x 6= −y ∧ x 6= −2⇒(
(2− x) (2 + x)
(x+ y)6= 0⇔ (2− x) 6= 0⇔ x 6= 2
).
Luego, las restricciones son x 6= y, x 6= −y, x 6= 0 e y 6= 0. Considerando estas restricciones,
obtenemosx− yx+ 2
· 4− 2x
x2 − y2÷ 4− x2
x+ y=
x+ y
(x+ y) (x− y)÷ (x− y) (x2 + xy + y2)
xy (x− y)
=(x+ y)
(x+ y) (x− y)· xy (x− y)
(x− y) (x2 + xy + y2)
=xy
(x− y) (x2 + xy + y2)�
6.1.2. Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas reducibles a una
de primer grado
Partimos recordando como resolver una ecuacion de primer grado con coeficientes
racionales.
EJEMPLO 6.1.10 Resolver la siguiente ecuacion:x+ 1
5+x+ 2
10− 2x− 3
2= 3
Solucion: Para no tener problemas con las operaciones entre las fracciones involucradas,
conviene encerrar entre parentesis cada numerador. Luego, calculamos el mınimo comun
multiplo entre los denominadores involucrados, a saber m.c.m(2, 10, 5) = 10, y multipli-
camos cada termino de la ecuacion por este valor:
(x+ 1)
5+
(x+ 2)
10− (2x− 3)
2= 3 / · 10
⇒ 2(x+ 1) + (x+ 2)− 5(2x− 3) = 10 · 3⇒ 2x+ 2 + x+ 2− 10x+ 15 = 30
⇒ −7x = 11
⇒ x = −11
7�
120
6.1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para resolver una ecuacion que involucra fracciones algebraicas, la forma de proceder es
muy similar, resaltando el hecho que ahora debemos hacer las restricciones necesarias a
cada termino de la ecuacion para realizar las operaciones que nos permitan reducirla a
una ecuacion que ya sepamos resolver.
EJEMPLO 6.1.11 Resolver la siguiente ecuacion:
x− 1
x− 3− x− 3
x− 2− 4x
x2 − 5x+ 6= 0
Solucion: En primer lugar, notemos que
x2 − 5x+ 6 = (x− 3)(x− 2)
Luego, la ecuacion esta bien definida para valores de x que verifiquen
x 6= 3 ∧ x 6= 2.
Considerando estas restricciones, encontramos ahora el mınimo comun multiplo entre los
denominadores y multiplicamos la ecuacion por tal expresion. Tenemos
m.c.m.(
(x−3), (x−2), x2−5x+6)
= m.c.m.(
(x−3), (x−2), (x−2)(x−3))
= (x−3)(x−2).
Se sigue quex− 1
x− 3− x− 3
x− 2− 4x
x2 − 5x+ 6= 0
121
CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II
122
Capıtulo 7
Trigonometrıa
7.1. Introduccion
El principal problema que aborda la trigonometrıa es el de calcular las medidas de los
lados y angulos de un triangulo, conocidas las medidas de algunos de ellos. Resolver este
tipo de problemas, en apariencia sencillos, tomo anos en ser descubierto por el hombre.
Entre las motivaciones que posiblemente originaron estos estudios, se encuentra el hecho
de que el hombre debıa realizar ciertas mediciones, ya sea en el campo o en la ciudad,
basandose solo en algunos datos que poseıa. Por ejemplo, para calcular alturas de cerros,
arboles, edificaciones, etc. . .
En la actualidad, las aplicaciones de la trigonometrıa se han diversificado. En Fısi-
ca, es comun usarla en cierto tipo de problemas que miden la intensidad de un cam-
po electrico. En Construccion, es una herramienta de ayuda para efectuar armaduras de
tipo Fink. En Astronomıa, se usa para medir distancias a estrellas proximas mediante
tecnicas de triangulacion. En Geografıa, se emplea en la medicion de distancias entre
puntos geograficos. En diversas areas tambien es posible encontrar mas aplicaciones, por
ejemplo: en sistemas de navegacion por satelites, en movimientos de brazos roboticos, en
Topografıa, etc. . .
Figura 7.1: Armadura de tipo Fink
123
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
7.2. Razones Trigonometricas
A continuacion estableceremos algunas relaciones entre los lados de un triangulo
rectangulo con respecto a uno de sus angulos agudos:
Figura 7.2: Triangulo Rectangulo
Se definen las siguientes razones trigonometricas:
1. seno de ∠θ, como:
sen θ =cateto opuesto a ∠θ
hipotenusa
2. coseno de ∠θ, como:
cos θ =cateto adyacente a ∠θ
hipotenusa
3. tangente de ∠θ, como:
tan θ =cateto opuesto a ∠θ
cateto adyacente a ∠θ
4. cosecante de ∠θ, como:
csc θ =hipotenusa
cateto opuesto a ∠θ
5. secante de ∠θ, como:
sec θ =hipotenusa
cateto adyacente a ∠θ
6. cotangente de ∠θ, como:
cot θ =cateto adyacente a ∠θcateto opuesto a ∠θ
124
7.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES
7.3. Identidades Trigonometricas Fundamentales
Desde el Teorema de Pitagoras tenemos:
Figura 7.3: Teorema de Pitagoras
y aplicando las definiciones de la seccion anterior al triangulo de la Figura 2.2, obtenemos
sen θ =a
c; cos θ =
b
c; tan θ =
a
b
csc θ =c
a; sec θ =
c
b; cot θ =
b
a
Entonces:1. tan θ =
a
b=
acbc
=sen θ
cos θ
∴ tan θ =sen θ
cos θ
2. cot θ =b
a=
bcac
=cos θ
sen θ
∴ cot θ =cos θ
sen θ
3. tan θ =a
b=
1ba
=1
cot θ
∴ tan θ =1
cot θ
4. cot θ =b
a=
1ab
=1
tan θ
∴ cot θ =1
tan θ
5. sen θ =a
c=
1ac
=1
csc θ
∴ sen θ =1
csc θ
125
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
6. csc θ =c
a=
1ac
=1
sen θ
∴ csc θ =1
sen θ
7. cos θ =b
c=
1cb
=1
sec θ
∴ cos θ =1
sec θ
8. sec θ =c
b=
1bc
=1
cos θ
∴ sec θ =1
cos θ
9. a2 + b2 = c2 ⇒ a2
c2+b2
c2=c2
c2
⇒(ac
)2
+(bc
)2
= 1
⇒ sen 2θ + cos 2θ = 1
∴ sen 2θ + cos 2θ = 1
10. a2 + b2 = c2 ⇒ a2
a2+b2
a2=c2
a2
⇒ 1 +( ba
)2
=( ca
)2
⇒ 1 + cot 2θ = csc 2θ
∴ 1 + cot 2θ = csc 2θ
11. a2 + b2 = c2 ⇒ a2
b2+b2
b2=c2
b2
⇒(ab
)2
+ 1 =(cb
)2
⇒ tan 2θ + 1 = sec 2θ
∴ tan 2θ + 1 = sec 2θ
126
7.4. RAZONES TRIGONOMETRICAS ENTRE TRIANGULOS SEMEJANTES
7.4. Razones trigonometricas entre triangulos semejantes
EJEMPLOS 7.4.1
1. Justifica por que los siguientes dos triangulos son rectangulos y semejantes, e indica
la razon de semejanza entre ellos (aquı la unidad de medida de los lados es la misma
para cada triangulo, y en este caso la omitimos):
Figura 7.4:4 equilatero de lado 1
a) Establece una correspondencia de congruencia entre los angulos de los triangu-
los, indicandolos en la otra figura.
b) Para aquellos angulos congruentes al ∠α, calcula las razones trigonometricas
seno, coseno y tangente asociadas a estos angulos.
c) ¿Que puedes decir de los valores de las razones trigonometricas asociadas a
cada angulo congruente?
2. Justifica por que los siguientes dos triangulos son rectangulos y semejantes, e indica
la razon de semejanza entre ellos:
Figura 7.5:4 equilatero de lado 1
a) Establece una correspondencia de congruencia entre los angulos de los triangu-
los
127
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
b) Para aquellos angulos congruentes al ∠α, calcula las razones trigonometricas
seno, coseno y tangente asociadas a estos angulos.
c) ¿Que puedes decir de los valores de las razones trigonometricas asociadas a
cada angulo congruente?
7.4.1. Reduccion a triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad)Los ejemplos anteriores nos muestran que para cada triangulo rectangulo podemos
encontrar otro semejante de hipotenusa 1 (unidad). Ademas, las razones trigonometricas
resultan iguales pues la constante de proporcionalidad se simplifica. De esta forma, para
estudiar las razones trigonometricas en triangulos rectangulos, bastara con estudiar en
detalle lo que suceda con los triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad). Al calcular
las razones trigonometricas en triangulo rectangulo lo que realmente interesa es la medida
del angulo que se toma como referencia.
7.5. Angulos notables y los valores de las razones trigo-
nometricas asociadas• Estudiemos a continuacion el triangulo equilatero de lado 1. En la figura a continua-
cion determinaremos la medida de la altura h.
Figura 7.6:4 equilatero de lado 1
Desde la figura previa , obtenemos los siguientes resultados:
(1◦) cos 30◦ =√
32∧ sen 30◦ = 1
2
(2◦) cos 60◦ = 12∧ sen 60◦ =
√3
2
128
7.5. ANGULOS NOTABLES Y LOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICASASOCIADAS
• Ahora, estudiemos el triangulo rectangulo isosceles de hipotenusa 1. En la figura a
continuacion determinaremos la medida x del cateto:
Figura 7.7:4 rectangulo isosceles de hipotenusa 1
Desde la figura previa, obtenemos los siguientes resultados:
(3◦) cos 45◦ = 1√2∧ sen 45◦ = 1√
2
• Intuitivamente, uno puede observar que sen 0◦ = 0 y cos 0◦ = 1 (recordar la identidad
fundamental de la trigonometrıa), luego tan 0◦ = 0.
• Intuitivamente, uno puede observar que sen 90◦ = 0 y cos 90◦ = 1 (recordar la iden-
tidad fundamental de la trigonometrıa), luego tan 90◦ no esta definida en R (pues
tangente es el cuociente entre seno y coseno)
7.5.1. Tabla de razones trigonometricas de angulos notables
Ayudado por los resultados de esta seccion obtenemos la siguiente tabla de valores
para las razones trigonometricas sen , cos y tan :
θ = 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sen θ 01
2
1√2
√3
21
cos θ 1
√3
2
1√2
1
20
tan θ 01√3
1√
3 @
129
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
7.5.2. Problemas de Trigonometrıa
EJEMPLOS 7.5.1 Resuelve los siguientes problemas:
1. Una persona ubica un extremo de una escalera en el suelo y otro en el borde del
techo de su casa, formando esta con el suelo un angulo de 60◦. Si la escalera mide 25
metros, ¿a que altura esta el techo de la casa del suelo?
2. En un triangulo isosceles cuya base mide 40 cm y cuyos angulos basales miden 30◦,
¿cuanto mide su area y perımetro?
Solucion.
1. (1◦) Modelamos el problema real mediante un dibujo simplificado que identifique
la informacion del problema y sus incognitas. Sea h la altura desde el techo hasta el
suelo
(2◦) Interpretamos el dibujo simplificado y hacemos los calculos correspondientes
de acuerdo a la informacion que se tenga (en nuestro caso tenemos un triangulo
rectangulo y conocemos uno de sus angulos agudos, nos preguntamos por el cateto
opuesto a este angulo y conocemos su hipotenusa. Luego, es conveniente recurrir a
la razon trigonometrica seno del angulo agudo dado). Tenemos:
sen 60◦ =h
25⇒ h = 25 · sen 60◦ ⇒ h = 25 ·
√3
2.
(3◦) Concluimos:
La altura desde el techo hasta el suelo es de 25√
32
metros.
2. (1◦) Modelamos el problema mediante un dibujo simplificado que identifique la in-
formacion del problema y sus incognitas. Sea h la altura del triangulo isosceles que
se interseca con su base y sea x la medida de cada uno de sus lados congruentes
130
7.5. ANGULOS NOTABLES Y LOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICASASOCIADAS
(2◦) Interpretamos el dibujo simplificado y hacemos los calculos correspondientes
de acuerdo a la informacion que se tenga (en nuestro caso tenemos un triangulo
rectangulo y conocemos uno de sus angulos agudos, nos preguntamos por la hipo-
tenusa y conocemos la medida del lado adyacente a este angulo. Luego, es conve-
niente recurrir a la razon trigonometrica coseno del angulo agudo dado). Tenemos:
cos 30◦ =20
x⇒ x =
20
cos 30◦⇒ x = 20 · 2√
3=
40√
3
3
y encontramos el valor de h usando pitagoras:
202 + h2 = x2 ⇒ h2 =
(40√
3
3
)2
− 202 ⇒ h2 =1600− 1200
3⇒ h =
20√3
=20√
3
3
o recurriendo a la funcion tangente:
tan 30o =h
20⇒ h = 20 · tan 30o ⇒ h =
20√
3
3.
(3◦) Concluimos:
El perımetro del triangulo mide(
80√
33
+ 40)
metros y su area mide 400√
33
metros
cuadrados.
EJERCICIOS 7.5.1 1. Un arbusto de 12√
3 m de altura en perpendicular al suelo, pro-
yecta una sombra de 12 m. ¿Cual es el angulo que forma la direccion de los rayos
solares con la horizontal?
2. La velocidad inicial de un proyectil es de 26 mseg
, formando un angulo de 50◦ con
el suelo horizontal. Calcule la velocidad de la componente horizontal (considere
sen 50◦ = 0, 76).
3. Al despegar un jet, se eleva describiendo una trayectoria recta que forma un angulo
de 30◦ con la horizontal. ¿Que distancia ha volado el jet al alcanzar con esta trayec-
toria una altura de 2 000 m?
131
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
4. Si se tiene un rectangulo de 6√
6 cm. por 6√
3 cm, ¿cual es la medida del angulo
formado por la diagonal y el lado menor?
5. Si la altura de un triangulo equilatero es 14. ¿Cuanto mide su lado?
6. La ciudad de Oslo, Noruega, tiene una latitud de 60◦, considerando 6 370 km como
la longitud del radio terrestre, encuentre la distancia de Oslo al plano ecuatorial.
7. Encuentre la tension de los cables que sostienen el cuerpo que pesa 70 Kg. Tomese
en cuenta que la componente vertical en cada una de las fuerzas de tension T es de
35 Kg.
8. Determina las medidas de los restantes lados del siguiente triangulo:
7.6. Circunferencia Goniometrica
Partimos recordando la siguiente relacion entre las formas de medir un angulo:
360◦medicion en GRADOS
≡ 2πmedicion en RADIANES
A partir de esta relacion obtenemos la siguiente tabla de valores:
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦
0π
6π
4π
3π
22π3
3π4
5π6
π7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
Ahora consideramos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de R2. Vamos a
medir angulos con vertice en el origen, cuyo lado inicial es el rayo contenido en el eje x
132
7.6. CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA
lado positivo. La medicion se hace en sentido antihorario. Suponiendo que θ es el angulo
que queremos medir, asociaremos el par (x0, y0) sobre la circunferencia, que corresponde
a la interseccion del lado terminal del angulo con la circunferencia, el par (cos θ, sen θ),
lo que es posible gracias a la deficion de las razones trigonometricas seno y coseno del
angulo θ sobre un triangulo rectangulo:
Figura 7.8: Circunferencia Goniometrica
OBSERVACION 7.6.1 Notemos que el signo de cos θ y sen θ dependen del signo de x0 e y0
respectivamente. Por ejemplo, en el segundo cuadrante, un punto (x0, y0) sobre la
circunferencia es tal que x0 < 0 e y0 > 0. Luego, cos θ < 0 y sen θ > 0.
Figura 7.9: Un angulo en el Cuadrante II
133
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
OBSERVACION 7.6.2 Como una consecuencia de los resultados hasta aquı obtenidos para
la circunferencia gonometrica, tenemos:
Figura 7.10: Valores de coseno y seno en el Cuadrante I
7.6.1. Reduccion al Cuadrante I
1. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante II al Cuadrante I.
Observemos el siguiente dibujo:
Figura 7.11: Reduccion desde el Cuadrante II al Cuadrante I
Observar desde la figura que:
θ = π − α ∈ IIC.⇔ α = π − θ ∈ IC. ∧ cos θ = −cosα ∧ sen θ = senα
∴ θ ∈]π
2, π[⇒
cos θ = −cos (π − θ)
sen θ = sen (π − θ)
2. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante III al Cuadrante I.
Observemos el siguiente dibujo:
134
7.6. CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA
Figura 7.12: Reduccion desde el Cuadrante III al Cuadrante I
Observar desde la figura que:
θ = π + α ∈ IIIC.⇔ α = θ − π ∈ IC. ∧ cos θ = −cosα ∧ sen θ = −senα
∴ θ ∈]π, 3π
2
[⇒
cos θ = −cos (θ − π)
sen θ = −sen (θ − π)
3. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante IV al Cuadrante I.
Observemos el siguiente dibujo:
Figura 7.13: Reduccion desde el Cuadrante IV al Cuadrante I
Observar desde la figura que:
135
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
θ = 2π − α ∈ IVC.⇔ α = 2π − θ ∈ IC. ∧ cos θ = cosα ∧ sen θ = −senα
∴ θ ∈]3π
2, 2π[⇒
cos θ = cos (2π − θ)
sen θ = −sen (2π − θ)
OBSERVACION 7.6.3 (ANGULOS NEGATIVOS) Sea α un angulo. La notacion−α senala que
el angulo α se mide en sentido antihorario a partir del rayo que comienza en el origen con-
tenido en el eje x lado positivo. Entonces desde la Figura 2.10 obtenemos lo siguiente:
sen (−α) = −sen θ cos (−α) = cosα
Por otro lado (−1)n = −1 si n es impar y (−1)n = 1 si n es par. Estos hechos justifican el
que digamos que sen es impar y cos es par.
OBSERVACION 7.6.4 (ANGULOS QUE NO PERTENECEN AL INTERVALO [0, 2π[) Sea α ∈ [0, 2π[.
No es difıcil ver desde la Figura 2.10 que
α = 2π + α = 4π + α = 6π + α = . . . = 2nπ + α, ∀n ∈ N,
tomando en cuenta que cada vuelta completa de la circunferencia equivale en
radianes a 2π. Luego, n representa el numero de vueltas alrededor del cırculo que uno
a dado, pero en terminos practicos el angulo es el mismo.
Ayudado por los resultados de esta seccion obtenemos la siguente tabla de valores para
las razones trigonometricas sen , cos y tan :
0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 π 7π
65π4
4π3
3π2
5π6
7π4
11π6 2π
sen θ 0 12
1√2
√3
2 1√
32
1√2
12 0 − 1
2 − 1√2−√
32 −1 −
√3
2 − 1√2− 1
2 0
cos θ 1√
32
1√2
12 0 − 1
2 − 1√2−√
32 −1 −
√3
2 − 1√2− 1
2 0 12
1√2
√3
2 1
tan θ 0 1√3
1√
3 @ −√
3 −1 − 1√3
0 1√3
1√
3 @ −√
3 −1 − 1√3
0
7.7. Identidades Trigonometricas
Notemos que podemos extender los resultados obtenidos para las identidades trigo-
nometricas en angulos entre 0◦ y 90◦ a angulos de cualquier medidas. Basandonos en
aquellos resultados, ahora con la generalidad que corresponda y descartando aquellos ca-
sos de angulos donde alguno de los lados de la identidad se indefine, podemos demostrar
nuevas identidades trigonometricas.
EJEMPLOS 7.7.1 Prueba las siguientes identidades trigonometricas:
136
7.7. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.senα
1 + cosα+
1 + cosα
senα=
2
senα
2. 1 + cosα + senα + tanα = (1 + cosα) (1 + tanα)
3.senα
1− cosα=
1 + cosα
senα
Solucion.
1. Consideramos α 6= nπ para n ∈ Z. Entonces:
senα
1 + cosα+
1 + cosα
senα=
sen 2α + (1 + cosα)2
(1 + cosα) senα
=sen 2α + 1 + 2cosα + cos 2α
(1 + cosα) senα
=2 + 2cosα
(1 + cosα) senαpues sen 2α + cos 2α = 1
=2 (1 + cosα)
(1 + cosα) senα
=2
senα
2. Consideramos α 6= π2
+ nπ para n ∈ Z. Entonces:
1 + cosα + senα + tanα = 1 + cosα + senα +senα
cosα
=cosα + cos 2α + senαcosα + senα
cosα
=(cosα + cos 2α) + (senα + senαcosα)
cosα
=cosα (1 + cosα) + senα (1 + cosα)
cosα
=(cosα + senα) (1 + cosα)
cosα
=(cosα + senα)
cosα· (1 + cosα)
1
=(cosα
cosα+
senα
cosα
)· (1 + cosα)
1= (1 + tanα) (1 + cosα)
3. Consideramos α 6= nπ para n ∈ Z. Entonces:
senα
1− cosα=
senα
1− cosα· 1 + cosα
1 + cosα
=senα (1 + cosα)
1− cos 2α
=senα (1 + cosα)
sen 2αpues cos 2α = 1− sen 2α
=1 + cosα
senα
137
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
EJERCICIOS 7.7.1 Haciendo las restricciones necesarias, prueba las siguientes identidades
trigonometricas:
1. tanα + cotα = cscα · secα
2. sec 2α + csc 2α = sec 2α · csc 2α
3.senα
1− cosα= cscα + cotα
4.secα
tanα + cotα= senα
5.1− senα
cosα=
cosα
1 + senα
6. tanα =senα√
1− sen2 α
7. 1− (cosα− senα)2 = 2 senα · cosα
8.sen2 α
senα− cosα+
senα + cosα
1− tan 2α= senα + cosα
9. tan 2α− sen2 α = sen2 α · tan 2α
10. sen3 α (1 + cotα) + cos 3α (1 + tanα) = senα + cosα
11. (cotα + 1)2 + (cotα− 1)2 =2
sen2 α
7.8. Ecuaciones TrigonometricasAhora usaremos todo lo que hemos aprendido acerca de trigonometrıa junto a nuestros
conocimientos generales acerca de la resolucion de ecuaciones con una incognita para
resolver ecuaciones mas complejas.
EJEMPLOS 7.8.1 Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:
1. sen2 x = 2 sen x · cosx
2. sec 2x+ tan 2x = 2
3. (1− tanx) (senx · cos 3x− cosx sen3 x) = 0
138
7.8. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Solucion.
1. sen 2x = 2senxcosx
⇒ sen 2x− 2senxcosx = 0
⇒ senx (senx− 2cosx) = 0
⇒ senx = 0 ∨ senx = 2cosx / ( )2
⇒ senx = 0 ∨ sen 2x = 4 (1− sen 2x) pues cos 2x = 1− sen 2x
⇒ x = nπ ∨ sen 2x = 45
para n ∈ Z
⇒ x = nπ ∨
{senx = 2√
5+ 2nπ
senx = − 2√5
+ 2nπpara n ∈ Z
=⇒ x = nπ ∨
x = arcsen(
2√5
+ 2nπ)
x = arcsen(− 2√
5+ 2nπ
) para n ∈ Z
2. sec 2x+ tan 2x = 2
⇒ 1cos 2x
+ sen 2xcos 2x
= 2 x 6= π2
+ nπ, n ∈ Z⇒ 1 + sen 2x = 2cos 2x
⇒ 1 + (1− cos 2x) = 2cos 2x pues sen 2x = 1− cos 2x
⇒ cos 2x = 23
⇒ cosx =√
23
⇒
x = arc cos√
23
+ 2nπ ∨ x = arc cos√
23
+ 2nπ
x = arc cos(−√
23
)+ 2nπ ∨ x = − arc cos
(−√
23
)+ 2nπ
para n ∈ Z
3. (1− tanx) (senxcos 3x− cosxsen 3x) = 0
⇒ (1− tanx) cosxsenx (cosx+ senx) (senx− cosx) = 0 x 6= π2
+ nπ, n ∈ Z⇒ tanx = 1 ∨ senx = 0 ∨ cosx = −senx ∨ senx = cosx pues cosx 6= 0
⇒ x = π4
+ nπ ∨ x = nπ ∨ x = 34π + nπ para n ∈ Z
EJERCICIOS 7.8.1 Resuelva las siguientes ecuaciones trigonometricas para x ∈ [−π, π]:
1. cotx+ cscx = −2cos (2x) · cscx
2. 6senx · cosx+ 2senx+ 3cosx+ 1 = 0
3. sen (4x)− sen (2x)− cos (3x) = 0
4. cot 2x+ 5cotx+ 6 = 0
139
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
7.9. Teoremas del Seno y del Coseno
7.9.1. Teorema del Seno
Considere un triangulo cualquiera junto a sus elementos primarios, como por ejemplo
el de la figura:
Entonces siempre se tiene que:
a : b : c = senα : sen β : sen γ
o bien,
senα
a=
sen β
b=
sen γ
c
Estos resultados se conocen como Teorema del Seno y su demostracion es muy sencilla.
EJEMPLO 7.9.1 En cada figura encontrar el valor de x:
140
7.9. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO
7.9.2. Teorema del Coseno
Considere un triangulo cualquiera junto a sus elementos primarios, como por ejemplo
el de la figura:
Entonces siempre se tiene que:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cosα
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ
Estos resultados se conocen como Teorema del Coseno y su demostracion es muy sencilla.
EJEMPLO 7.9.2 En cada figura encontrar el valor de x:
7.9.3. Aplicaciones finales
EJERCICIOS 7.9.1
1. Resuelva los siguientes problemas con enunciado:
a) Los angulos de elevacion de un aeroplano se miden desde la base y desde lo
mas alto de un edificio que mide 20 metros de altura. El angulo en la cima del
edificio es 35◦ y el angulo desde la base del edificio es 40◦. Encuentre la altitud
del aeroplano.
141
CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA
b) Un hombre a 100 metros de la base de un risco observa desde el suelo la cima
de este con un angulo de elevacion de 28◦. Si el risco forma un angulo de 65◦
con el suelo, determine su altura aproximada.
c) Desde un faro se observa un bote en direccion sur con un angulo de
depresion de 55◦ y desde el mismo lugar se observa otro bote en
direccion poniente con un angulo de depresion de 28◦. Calcular la
altura del faro si la distancia entre los dos botes es de 150 metros.
2. En la siguiente figura, determine el valor de x.
3. Resuelva todos los elementos primarios del triangulo de acuerdo a los datos que se
le dan.
a) α = 80◦, β = 20◦, b = 7
b) β = 37◦, γ = 51◦, a = 5
c) γ = 15◦, a = 8, c = 5
d) a = 5, b = 7, c = 8
e) γ = 55◦, a = 25, b = 10
f ) α = 30◦, b = 20, c = 15
142
Parte III
Nociones de matematica superior
143
Capıtulo 8
Introduccion a la teorıa de Logica y Conjuntos
8.1. Logica proposicional
Muchas clases de oraciones aparecen en el lenguaje comun, incluyendo enunciados
basados en hechos, opiniones, ordenes y preguntas. La logica simbolica estudia solo el
primer tipo de oracion, la clase que concierne a los hechos.
DEFINICION 8.1.1 Una proposicion(o enunciado) se define como una oracion declarativa
que es verdadera o falsa (valores de verdad), pero no ambas de manera simultanea.
EJEMPLO 8.1.1 Los dos enunciados siguientes son proposiciones
1. La Casa Central de la USM esta ubicada en el Cerro Los Placeres de Valparaıso
2.√
2 es racional
Cada una es verdadera o falsa. Sin embargo, basandose en esta definicion.
EJEMPLO 8.1.2 Las siguientes oraciones no son proposiciones
1. ¡Que lindo esta tu peinado!
2. Desarrolla la guıa de ejercicios
3. ¿Que dıa es el proximo certamen de MAT001?
4. Esta frase es falsa
Estas oraciones no pueden identificarse como verdaderas o falsas, la primera es una opi-
nion, la segunda es una orden, la tercera es una pregunta y la cuarta una paradoja; si
suponemos que es verdadera, entonces es falsa, y si suponemos que es falsa, entonces es
verdadera.
145
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
NOTACION 8.1.1 Para identificar de manera simbolica una cierta proposicion se usan le-
tras del alfabeto como son p, q, r, s, ...etc.
DEFINICION 8.1.2 Una proposicion compuesta puede formarse por la combinacion de
dos o mas proposiciones. Las proposiciones que forman una proposicion compuesta re-
ciben el nombre de componentes de la proposicion. Para la formacion de proposiciones
compuestas pueden usarse varios conectivos logicos, o simplemente conectivos. Palabras
como y, o, no,y si ... entonces, son ejemplos de conectivos. (Aunque una proposicion tal
como Hoy no es martes consta de dos componentes, por conveniencia se considera se con-
sidera compuesta, ya que su valor de verdad se determina observando el valor de verdad
de una proposicion diferente: Hoy es martes.)
EJERCICIOS 8.1.1 Decida si cada proposicion es compuesta o no
1. Eduardo cursa el paralelo 1 de MAT001 y Marcelo el paralelo 12 de MAT021.
2. Un alumno de MAT001 puede aprobar la asignatura o reprobarla.
3. Si el profesor lo dijo, entonces debe ser verdadero.
4. Este texto lo escribio Ortega y Gaset.
DEFINICION 8.1.3 Negacion:
La oracion MAT024 es una asignatura impartida por el Departamento de Matematica de la
USM es una proposicion; la negacion de esta proposicion es MAT024 no es una asignatura
impartida por el Departamento de Matematica de la USM y es una nueva proposicion.
OBSERVACION 8.1.1
1. Al respecto de los valores de verdad de la negacion podemos decir que si la pro-
posicion es verdadera su negacion es falsa y si la proposicion es falsa entonces la
negacion sera verdadera, en lo referente a la notacion simbolica, si p es una proposi-
cion su negacion la denotaremos por p o bien,∼ p
2. que para ciertos analisis en matematica es practico en el afan de demostrar la vera-
cidad de cierta proposicion, probar la falsedad de la negacion
146
8.1. LOGICA PROPOSICIONAL
EJEMPLO 8.1.3 Recordemos la notacion utilizada en las desigualdades, en relacion a la
negacion:
La negacion de a es menor que 7 es a no es menor que 7. Como no podemos utilizar ”no”,
lo cual requerirıa escribir a ≮ 7, redactamos la negacion como a es mayor o igual a 7, o
a > 7
DEFINICION 8.1.4 Conjuncion:
A partir de dos proposiciones p y q formaremos la conjuncion de p y q, simbolizada por
p ∧ q. En el lenguaje comun, el conectivo logico y implica la idea de ”ambos”.
El lunes le sigue inmediatamente al domingo y marzo es el mes que sigue a febrero.
es verdadera, ya que cada proposicion componente es verdadera. Por otra parte, la pro-
posicion
2 es par y el cuadrado de su sucesor es par.
es falsa, a pesar de que parte de la proposicion (2 es par) es verdadera, para que la con-
juncion p ∧ q sea verdadera, ambas deben ser verdaderas y la segunda componente (el
cuadrado de su sucesor es par) es falsa. Los resultados del valor de la conjuncion depen-
diendo de los valores de verdad de las proposiciones componentes las resumiremos en
una tabla, llamada tabla de verdad.
p q p ∧ qV V V
V F F
F V F
F F F
EJEMPLO 8.1.4 Sea p la proposicion log4
√8 = 3
2y q la proposicion x2 + 6x + 1 tiene
raıces recıprocas, Encuentre el valor de verdad de p ∧ q.
Aquı p es falsa y q es verdadera, al observar el tercer renglon de la tabla de verdad de la
conjuncion se muestra que p ∧ q es falsa.
Consideremos la proposicion el libro se le entregara a Juan o el libro se le entregara a
Luis, significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos tambien se
entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar. Por
147
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
otra parte la proposicion Pedro ira de compras en autobus o en automovil, significa que
Pedro va de compras en autobus, o bien, lo hace en automovil, pero no en ambos. Para
evitar este tipo de ambiguedad definimos.
DEFINICION 8.1.5 Disyuncion
A partir de dos proposiciones p y q, formamos la proposicion compuesta p o q, la que
simbolizaremos mediante p ∨ q, para representar la opcion de p o q o ambas. Con este
significado de o, p∨ q se denomina disyuncion inclusiva, o simplemente disyuncion de p
y q.
Pedro le propone a su profesor: El lunes proximo traere resuelta la Tarea No1 o la Tarea
No2, llegado el lunes el profesor estara decepcionado de su estudiante, solo si este llega
sin ninguna de las dos tareas resueltas. La disyuncion p∨ q es falsa solo si las dos propo-
siciones componentes son falsas, la tabla de verdad para la disyuncion es la siguiente:
p q p ∨ qV V V
V F V
F V V
F F F
OBSERVACION 8.1.2 Los signos de las desigualdades 6 y > son ejemplos usuales de dis-
yuncion inclusiva. Por ejemplo, x 6 6 es verdadera, si cualquiera de las dos proposiciones
x < 6 o x = 6 se cumplen
EJEMPLO 8.1.5 La siguiente lista muestra algunas proposiciones y la razon por la cual
cada una es verdadera.
Proposicion Razon por la cual es verdadera
8 > 8 8 = 8
3 > 1 3 > 1
−5 6 −3 −5 < −3
−4 6 −4 −4 = −4
DEFINICION 8.1.6 Proposicion Condicional:
Si la construyes el vendra
La Voz en la pelıcula de 1990 Field of Dreams
148
8.1. LOGICA PROPOSICIONAL
Ray Kinsella, un granjero de Iowa en la pelıcula Field of Dreams escucho una voz desde
el cielo y lo interpreto como una promesa de que si construıa un campo de beisbol en su
campo de maız, entonces el fantasma de Joe Jackson (una estrella del beisbol de principios
del siglo XX) vendrıa a jugar a el. La promesa le llego en forma de una proposicion condi-
cional. Una proposicion condicional es una proposicion compuesta que usa el conectivo
Si ... ,entonces. Por ejemplo, algunas proposiciones condicionales son:
? Si leo por un largo tiempo, entonces me dolera la cabeza.
? Si las miradas mataran, entonces estarıa muerto.
? Si el no regresa pronto, entonces tendras que ir a buscarlo.
En cada una de estas proposiciones condicionales, la componente escrita despues de la
palabra si da una condicion (no necesariamente la unica) bajo la cual la proposicion que
sigue a la palabra entonces sera verdadera. Por ejemplo, la afirmacion: Si la temperatura
sobre los 90oF, entonces ire a la playa nos dice una condicion posible bajo la cual ire a la
playa→ si la temperatura sobre los 90oF.
La condicional se escribe con una flecha, de tal modo, la proposicion, si p, entonces q, se
simboliza por:
p⇒ q
Leamos p ⇒ q como p implica a q, o si p, entonces q. En la condicional p ⇒ q, la propo-
sicion p se denomina antecedente ( o hipotesis), mientras que la proposicion q se llama
consecuente (o tesis)
OBSERVACION 8.1.3 El conectivo condicional podrıa no estar siempre de manera explıci-
ta. Esto es, podrıa estar oculto en una expresion cotidiana. Por ejemplo, la proposicion
Los ninos no lloran
puede escribirse en la forma si ..., entonces como sigue
Si eres nino, entonces no lloras
Otro ejemplo, la afirmacion
Es difıcil estudiar cuando se esta distraıdo
149
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
puede escribirse
Si se esta distraıdo, entonces es difıcil estudiar.
Como se observo antes en la cita de la pelıcula Field of Dreams, la palabra entonces algu-
nas veces no se incluye en la proposicion, pero se sobrentiende que esta ahı en el contexto
de la misma. La proposicion mencionada, tu la construyes es el antecedente y el vendra es
el consecuente.
La tabla de verdad de la condicional (implicancia) es un poco mas difıcil de definir de lo
que fueron las tablas anteriores, para ver como definir la tabla de verdad de la condicional,
analizaremos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 8.1.6 Hugo, padre de Luis le dice a su hijo.
Si apruebas MAT001, entonces te regalare un automovil.
Como antes, hay cuatro combinaciones posibles de valores de verdad para dos compo-
nentes de la proposicion. Sea p la proposicion Si apruebas MAT001 y sea q te regalare un
automovil.
Conforme analizamos las cuatro posibilidades, serıa util pensar en terminos de lo siguien-
te: ¿Se enoja Luis con su padre?. Si lo hizo, entonces la proposicion condicional se consi-
dera falsa; en caso contrario,la proposicion condicional es verdadera.
1. Si Luis aprueba MAT001 y Hugo le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su pa-
dre?
2. Si Luis aprueba MAT001 y Hugo no le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su
padre?
3. Si Luis reprueba MAT001 y Hugo le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su
padre?
4. Si Luis reprueba MAT001 y Hugo no le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su
padre?
El ejemplo anterior nos sugiere la siguiente tabla de verdad para la condicional:
150
8.1. LOGICA PROPOSICIONAL
p q p⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
DEFINICION 8.1.7 Bicondicional:
La proposicion compuesta de p si, y solo si q (tambien abreviada a menudo p ssi q) se
llama bicondicional, simbolizada por p ⇔ q, y se interpreta como la conjuncion de dos
condicionales p⇒ q y q ⇒ p. Usando sımbolos esta conjuncion se escribe
(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
de modo que por definicion
p⇔ q ≡ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Mediante esta definicion, la tabla de verdad para la bicondicional p ⇔ q queda definida
mediante:
p q p⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
EJEMPLO 8.1.7 Diga si cada una de las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas
1. 6 + 9 = 15 si, y solo si 12 + 4 = 16
Ambas 6 + 9 = 15 y 12 + 4 = 16 son verdaderas. De acuerdo con la tabla de verdad
de la bicondicional, esta proposicion es verdadera.
2. 5 + 2 = 10 si, y solo si 17 + 19 = 36
Ya que la primera componente (5 + 2 = 10) es falsa y la segunda es verdadera, la
proposicion bicondicional completa es falsa.
3. 6 = 5 si, y solo si 12 6= 12
Ambos componentes de la proposicion son falsos, ası que el ultimo renglon de la
tabla de verdad para la bicondicional, la proposicion completa es verdadera. (¡Para
entender esto habrıa que reflexionar un poco mas!)
151
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
El resumen que sigue describe como pueden recordarse estas tablas de verdad
Resumen de tablas de verdad basicas
1. ∼ p, la negacion de p, tiene valor de verdad opuesto al de p
2. p ∧ q, la conjuncion, es verdadera solo cuando ambas, p y q, son verdaderas
3. p ∨ q, la disyuncion, es falsa, solo cuando amabas, p y q, son falsas
4. p⇒ q, la condicional, es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa.
5. p⇔ q, la bicondicional, es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad.
8.1.1. Ejercicios Propuestos
Ejercicios de Tipo 1
1. Escriba la negacion de Todo el mundo ama a alguien en algun momento
2. Sea p la proposicion 3 < 5 y q la proposicion 12 tiene 4 divisores, hallar el valor de
verdad de∼ p∧ ∼ q
3. Dado que∼ p es falsa y q es falsa, indique el valor de verdad de p⇒ q
Ejercicios de Tipo 2
4. De una negacion para la desigualdad y < −2.
5. Si p es una proposicion falsa, ¿cual es el valor de verdad de p ∧ (∼ q ∨ r)?
6. Decidir si las proposiciones siguientes son logicamente equivalentes: Si esto vuela,
entonces es un pajaro y Esto no vuela o es un pajaro
Ejercicios de Tipo 3
7. Intente negar la oracion El numero exacto de palabras en esta oracion es diez y vea
que sucede. Explique el problema que surge
8. ¿La proposicion 5 > 2 es una conjuncion o una disyuncion?
9. Determinar el valor de verdad de la proposicion: Si m2 es un numero par, entonces
m es un numero par.
152
8.2. CONJUNTOS
8.2. Conjuntos
DEFINICION 8.2.1 Conjuntos y Elementos:
Supongamos que el proceso mental que une objetos bajo una caracterıstica particular nos
da un conocimiento intuitivo adecuado de lo que entendemos por un conjunto. Los objetos
reunidos de esta manera se llaman elementos y decimos que estos pertenecen al conjunto
En general representamos los elementos por letras minusculas a, b, c, · · · , x, y, z y los
conjuntos con letras mayusculas A, B, · · · . Cuando queremos senalar que un elemento a
pertenece a un conjunto A, lo denotamos por:
a ∈ A (a pertenece a A)
El sımbolo ∈ representa la relacion fundamental de la teorıa de conjuntos, la relacion de
pertenencia. Esta es la relacion entre un elemento y un conjunto. Para expresar que un
elemento a no pertenece al conjunto A, lo denotamos por:
a /∈ A (a no pertenece a A)
EJEMPLO 8.2.1 Si A representa al conjunto de los numeros primos, entonces, 3 ∈ A y
12 /∈ A
EJEMPLO 8.2.2 Si S es el conjunto de las soluciones reales de la ecuacion x2− 3x− 10 = 0,
podemos asegurar que 1 /∈ B y 5 ∈ B.
Un conjunto puede designarse enumerando sus elementos dentro de llaves (extension).
Por ejemplo, si A es el conjunto de los primeros cinco enteros positivos, escribimos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
En este caso 2 ∈ A y 7 /∈ B.
Otra notacion comun para este conjunto es A = {x/x es un entero y 1 6 x 6 5} (ex-
tension). En este caso la diagonal / que aparece dentro de las llaves se lee como tal que,
los sımbolos {x/ · · · } se lee el conjunto de todos los x tal que · · · , las propiedades que
van despues del / nos ayudan a determinar los elementos del conjunto descrito.
¡Tenga cuidado!. La notacion A = {x/1 6 x 6 5} no es una descripcion adecuada del
153
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
conjunto A, a menos que hayamos acordado previamente que los elementos considerados
son enteros. Al adoptar esa convencion, decimos que estamos especificando un universo
o universo de discurso, que por lo general de denota por U , o bienU . Ası, solo elegiremos
elementos de U para formar nuestros conjuntos. En este ejemplo particular, Si U denota
el conjunto de los enteros o de los enteros positivos, entonces A = {x/1 6 x 6 5} es una
descripcion adecuada de A. Si U es el conjunto de los reales {x/1 6 x 6 5} contendrıa
todos los numeros reales entre 1 y 5 inclusive; si U esta formado solamente por enteros
pares, entonces los unicos elementos de {x/1 6 x 6 5} serıan 2 y 4. Para enfatizar el con-
junto universo escribiremos de manera mas acertada {x ∈ U/ · · · }
Consideremos un conjunto como el siguiente {x ∈ R/x2 +1 < 0}, nos encontramos enton-
ces con un conjunto vacıo (es decir, sin elementos). Ejemplifiquemos esta situacion de otra
manera, suponga que la Asociacion Nacional de Futbol hizo construir de finas maderas
un estante donde pondra las copas de los mundiales adultos de futbol que ha ganado,
lamentablemente, tan bello estante esta ahı vacıo, a la espera de que llegue algun trofeo,
es decir, esta el lugar preparado para contener elementos, sin embargo, ningun elemento
esta en ese lugar. Definimos entonces a un tal conjunto (sin elementos) como el conjunto
vacıo y lo denotamos mediante ∅, podemos escribir ∅ = { }.En la mayorıa de las areas de las matematicas, nuestro razonamiento puede ser auxi-
liado y esclarecido mediante el uso de diversos tipos de dibujos y diagramas. En la teorıa
de conjuntos, comunmente usamos los llamados diagramas de Venn, desarrollados por
el logico John Venn (1834-1923). En estos diagramas el conjunto universal esta represen-
tado por un rectangulo y los demas conjuntos de interes dentro de nuestro universo se
representan mediante regiones ovaladas, o en ocasiones por cırculos u otras formas.
154
8.2. CONJUNTOS
EJEMPLO 8.2.3 Consideremos los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6} = {x ∈ N/x es divisor de 6},B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · } = {x ∈ N/x es par},C = {x ∈ R/x2−1
x+1= 0}
D = {x ∈ R/ x−1x2−1
= 12}
E = {x ∈ R/(x− 1)(x+ 1)(x− 2) = 0}F = {x ∈ R/(x− 1)(x+ 1) = 0}
Los conjuntos A, C, D, E y F , son ejemplos de conjuntos finitos, mientras que B es un
ejemplo de un conjunto infinito. Al trabajar con conjuntos comoA yB, podemos describir
los conjuntos por comprension, o bien, enumerar los elementos suficientes para indicar,
esperamos, un patron evidente y de esa manera expresarlos por extension.
Para cualquier conjunto finito M , |M | (o equivalentemente #M ) denota el numero de sus
elementos y se conoce como el cardinal o tamano de M , en el ejemplo anterior, se tiene:
|A| = 4, |C| = 1, |D| = 0, |E| = 3 y |F | = 2.
Se puede observar que todo elemento de F , es a su vez un elemento de E. Esta importante
relacion se da en toda la teorıa de conjuntos y sus aplicaciones y conduce a la siguiente
definicion:
DEFINICION 8.2.2 Si M y N son conjuntos definidos en un universo comun U , decimos
que M es subconjunto de N y escribimos M ⊆ N o N ⊇ M , si cada elemento de M es a
su vez un elemento de N .Sı, ademas, N contiene un elemento que no esta en M , entonces
M es un subconjunto propio de N y se denota como M ⊂ N o N ⊃M .
OBSERVACION 8.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene: ∅ ⊆ A ⊆ U
DEFINICION 8.2.3 Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales, cuando ambos tienen los
mismos elementos, es decir, si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que
pertenece a B pertenece tambien a A. La igualdad entre conjuntos se denota A = B.
155
CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
OBSERVACION 8.2.2 Podemos observar de las dos definiciones anteriores que A = B sı,
y solo si A ⊆ B y B ⊆ A. Esta equivalencia es usada con frecuencia como tecnica de
demostracion para probar que dos conjuntos son iguales.
Operatoria entre Conjuntos
8.2.1. Complemento:
Para cualquier conjunto A dentro de un universo referencial U , el complemento de A,
denotado por Ac (o bien, A′), es el conjunto de elementos de U que no estan en A.
Ac = {x ∈ U/x /∈ A}
EJEMPLO 8.2.4 1. Considere el universo U = {a, e, i, o, u} y el conjunto A = {a, i},entonces
Ac = {e, o, u}
2. Considere el conjunto U = R y el conjunto A = {x ∈ R/x < 3} = (−∞, 3), entonces,
su conjunto complementario de A es: Ac = {x ∈ R/x > 3} = [3,+∞)
OBSERVACION 8.2.3 Algun resultado inmediato de la definicion es:
i) ∅c = U
ii) U c = ∅
iii) Si A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac
156
8.2. CONJUNTOS
8.2.2. Interseccion:
La interseccion entre los conjuntos A y B, denotado por A ∩ B, es el conjunto de los
elementos comunes a ambos conjuntos A y B, esto es:
A ∩B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}
EJEMPLO 8.2.5 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∩B = {5}
2. Si A = (−∞, 2] y B = (0,+∞), entonces A ∩ B = (0, 2] Los elementos de A son los
reales que cumplen la desigualdad x 6 2 y los que pertenecen a B estan caracteri-
zados por la desigualdad x > 0, luego, los que satisfacen simultaneamente ambas
desigualdades cumplen 0 < x ∧ x 6 2, o como regularmente se escribe: 0 < x 6 2.
OBSERVACION 8.2.4
1. Dos conjuntos A y B sin elementos en comun (A ∩ B = ∅) se llaman conjuntos
disjuntos
2. Si A ⊆ B, entonces A ∩B = A
3. ∅ ∩ A = ∅
4. A ∩ U = A
5. A ∩ Ac = ∅
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CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
8.2.3. Union:
La union entre los conjuntos A y B, denotado por A∪B, es el conjunto cuyos elemen-
tos pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos A y B, esto es:
A ∪B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}
EJEMPLO 8.2.6 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∪B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
2. Si A = (−∞,−1) y B = [3,+∞), entonces A ∪B = (−∞,−1) ∪ [3,+∞)
OBSERVACION 8.2.5 Algunas propiedades basicas son:
1. ∅ ∪ A = A
2. A ∪ U = U
3. Si A ⊆ B, entonces A ∪B = B
4. A ∪ Ac = U
8.2.4. Diferencia:
La diferencia entre los conjuntos A y B, denotado por A\B, es el conjunto cuyos
elementos pertenecen a A, pero no pertenecen a B, esto es:
A\B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x /∈ B}
158
8.2. CONJUNTOS
EJEMPLO 8.2.7 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∪B = {1, 3}
2. Si A = {x ∈ R/ 1x−1∈ R}, entonces, en lugar de escribir A, mediante la union
(−∞, 1) ∪ (1,+∞), lo podemos hacer mediante la diferencia mediante: R\{1}
OBSERVACION 8.2.6
Algunas propiedades basicas son:
A\∅ = A
A\U = ∅
Si A ∩B = ∅, entonces A\B = A
A\B ⊆ A
8.2.5. Cardinalidad:
Consideremos un conjunto universo finito U .
1. |∅| = 0
2. |Ac|+ |A| = |U |
3. Si A ⊆ B, entonces |A| 6 |B|
4. Sı A ⊂ B, entonces |A| < |B|
5. |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|
6. |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|
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CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
EJEMPLO 8.2.8 Bob Carlton es un jefe de seccion de una companıa de servicios electri-
cos. Los empleados de su seccion se encargan de cortar grandes arboles, escalar postes y
unir cables. Recientemente, Carlton presento el siguiente reporte a la gerencia de servicios:
Mi seccion incluye 100 empleados
1. T = el conjunto de empleados que pueden cortar arboles grandes,
2. P = el conjunto de empleados que pueden escalar postes,
3. W = el conjunto de empleados que pueden unir cables,
donde se tiene:
|T | = 45, |P | = 50, |W | = 57, |T ∩ P | = 28, |P ∩W | = 20, |T ∩W | = 25, |T ∩ P ∩W | = 11 y
|T c ∩P c ∩W c| = 9, la informacion entregada por Carlton a la gerencia aparece en la figura
adjunta
8.2.6. Ejercicios Propuestos
Ejercicios Tipo 1:
Considere U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C={1,2,3},D={4,5,6} y E = {2, 3, 4, 5}, determinar cada uno de los siguientes conjuntos:
a) (A ∪B)c
b) #[(D\E) ∩B]
c) (A\B) ∪ (B\A)
d) (C ∪D)c ∩ E
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8.2. CONJUNTOS
Ejercicios Tipo 2:
a) Si A = {x ∈ R/x es racional} y B = {x ∈ R/x es irracional}, entonces
1) A ∪B =
2) A ∩B =
b) Si A = {x ∈ R/x2 − 3x− 4 > 0} y B = {x ∈ R/x2 − 3x− 10 6 0}. Expresar
ya sea mediante union o interseccion de intervalos los siguientes conjuntos.
1) A
2) B
3) A ∩B
4) Ac ∪Bc
c) Escribir como union de intervalos reales la solucion en R de x >1
x
d) Escriba {x ∈ R/|x| 6= 3} como union de intervalos reales y como diferencia de
conjuntos.
e) Expresar por extension el conjunto A = {n ∈ Z/n2 − 3n− 4 6 0}
Ejercicios Tipo 3:
Ayudandose de diagramas de Venn visualizar la veracidad de la proposiciones si-
guientes y luego pruebelas algebraicamente.
a) Si A ⊆ B ⇒ A ∩B = A
b) Si A ⊆ B ⇒ A ∪B = B
c) Si A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac
d) A ∩Bc = A sı, y solo si A ∩B = ∅
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