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CIENCIA E INGENIERIA DE

MATERIALES

Captulo 3 Arreglos atmicos y inicos


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2

Objectivos del Captulo 3

Estudiar la clasificacin de losmateriales basado en los arreglosatmicos y inicos.

Describir los arreglos en los slidoscristalinos de acuerdo con lasestructuras de la red, base ycristalina.


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3

Contenido 3.1 Orden de corto alcance Vs. orden de

largo alcance.

3.2 Materiales amorfos, principios ytecnologa de aplicacin

3.3 Redes, celdas unitarias, bases yestructuras cristalinas

3.4 Tranformaciones alotrpicas o polimorfas 3.5 Puntos, direcciones y planos en la celda

unitaria. 3.6 Sitios intersticiales. 3.7 Estructuras cristalinas de los materiales

inicos. 3.8 Estructuras covalentes


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4

SRO Un material tiene orden de corto alcance si elarreglo espacial de los tomos solo se extiende a suvecindad .

LRO El arreglo tomico espacial abarca escalas delongitud mayores a 100 nm, formando un patron regulary repetitivo.

Condensado de Bose-Einstein (BEC) Predijeron laexistencia de este estado de la materia, donde un grupode tomos enfriados a temperaturas muy bajas (justo

arriba de 0 K, mediante lseres y trampas magnticas,tiene el mismo estado cuntico fundamental. Uno de sususos podra ser lseres atmicos

Seccion 3.1Orden de corto alcance Vs. Orden

de largo alcance


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(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning

Figura 3.1 Niveles deordenamiento tomicoen los materiales:

(a)Los gasesmonotomicos inertesno tienenordenamiento regularde tomos. (b y c)algunos materialesque incluyen vapor de

agua, nitrogenogaseoso, silicioamorfo y vidrios desilicato, tienen ordende corto alcance. (d)Metales,aleaciones ymuchas cermicas, as

como polmeros,tienen ordenamientoregular de tomos oiones que se extiendea travs del material.


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6


Figura 3.2 Tetraedrobsico de Si-O en el

vidrio de silicio.


7/1027


Figura 3.3 Arreglo

tetradrico de losenlaces C-Hen elpolietileno.


8/1028

Figura 3.4 (a) Fotografa de unmonocristal de silicio. (b)Micrografa de un aceroinoxidable policristalino, donde

se ven los granos y los lmites degrano (Cortesia de los Dr. M. Hua,Dr. I. Garcia, y Dr. A.J. Deardo.)


9/1029

Figura 3.5 Pantalla de cristal lquido, estos materialesson amorfos en un estado y sufren cristalizacinlocalizada como respuesta a un campo elctrico externose usan mucho en las pantallas de cristal lquido (LCD).(Cortesia de Nick Koudis/PhotoDisc/Getty Images.)


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(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / ThomsonLearning

Figura 3.7 Clasificacin de los materiales con base en la clasede orden atmico.


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Materiales amorfos

Vidrios

Vitroceramicas

Seccin 3.2Materiales amorfos: Principios y

aplicaciones tecnolgicas


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Figura 3.9 (b) Esquema del proceso de formado por soplado y

estirado para fabricar una botella de dos litros de PET(tereftalato de polietileno) a partir de una pre forma. Elesfuerzo inducido en la cristalizacin causa la formacin decristales pequeos que contribuyen a reforzar el resto de lamatriz amorfa.


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Figura 3.10 Arreglos atmicos en el silicio cristalino y en elsilicio amorfo. (a) silicio amorfo. (b) Silicio cristalino.Obsrvese la variacin en la distancia interatmica en elsilicio amorfo.


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La red Es una coleccin de puntos llamados puntos dered ordenados en un patrn peridico de manera que losalrededores de cada punto de la red son idnticos.

Base Son un grupo de tomos asociados con un punto

de la red. Estructura cristalina = red + base Celda unitaria Es la sub divisin de una red que sigueconservando las caractersticas generales de toda la red.

Radio Atomico El tamao aparente del tomo en unacelda unitaria se calcula en base al radio de un tomo.

Factor de empaquetamiento Es la fraccin de espacioocupada por tomos, suponiendo que son esferas quetocan a su vecino cercano.

Seccin: 3.3Celdas unitarias,bases y estructuras cristalinas


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Figura 3.11 Loscatorce tipos deredes de Bravais,agrupados en

siete sistemascristalinos. En lasfiguras 3.12 y 3.16se muestra lacelda unitaria realpara un sistema

hexagonal.


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Tabla 3.1 Caractersticas de los siete sistemas cristalinos


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Figura 3.12Definicin delos parmetrosde la red y su

aplicacin enlos sistemascristalinoscbico,ortorrmbico yhexagonal.


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Figura 3.13 (a)

Ilustracin de ladistribucin de lostomos en caras yvrtices. (b) Losmodelos de celdasunitarias cbica

simple (SC), cbicacentrada en elcuerpo (BCC), ycbica centrada enlas caras (FCC)asumiendo que hay

un solo tomo porpunto de red.


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Calcule los puntos red por celda en los sistemas cristalinos

cbicos. Si solo hay un tomo en cada punto de red, calcule lacantidad de tomos por celda unitaria.

SOLUCION

En la celda unitaria SC : puntos de red / celda unitaria = (8

vrtices)1/8 = 1En BCC : puntos de red / celda unitaria= (8 vrtices)1/8 + (1 centro)(1) = 2

En FCC : Puntos de red / celda unitaria= (8 vrtices)1/8 + (6 caras)(1/2) = 4

Como se supone que solamente hay un tomo en cada puntode red, la cantidad de tomos por celda unitaria sera 1, 2, y4,para las celdas unitarias cbica simple, cbica centrada en elcuerpo y cbica centrada en las caras, respectivamente.

Ejemplo 3.1 Determinacin de la cantidad de puntosde red en sistemas cristalinos cbicos

Ej l 3 2


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20

Determine la relacin entre el radio atmico y elparmetro de red en las estructuras SC, BCC, y FCCcuando se tiene un tomo en cada punto de red.

Ejemplo 3.2Determinacin de la relacin entre el radio

atmico y los parmetros de red.


Figura 3.14 Relaciones entre el radio atmico y el parmetrode red en sistemas cbicos.


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Ejemplo 3.2 SOLUCIONDe la figura 3.14, vemos que los tomos se tocan a lolargo de la arista del cubo en las estructuras SC.

3

40

ra

En FCC , Los tomos se tocan a lo largo de la diagonal

de la cara del cubo, su longitud es

a02 y hay 4 radios

2

40

ra

ra 20

En BCC , Los tomos se tocan a lo largo de la diagonal del

cuerpo, que tiene una longitud a03, hay 4 radios


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Figura 3.15 Nmeros de coordinacin en celdas unitarias (a)SC y (b) BCC . En SC seis tomos tocan a cada tomo,mientras que en la celda unitaria BCC son 8.


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23

Ejemplo 3.3: Clculo del factor de empaquetamiento

74.018)2/4(

)34(4)(

empaquet.deFactor

24r/FCCparaComo

)3

4

)(atoms/cel.(4empaquet.Factor

3

3

0

3

0

3

r

r

r

a

a

Calcular el factor de empaquetamiento de una celda FCC

SOLUCION

Hay 4 puntos de red por celda, si hay un tomo por punto de red,tambin hay 4 tomos por celda. El volumen es 4r3/3 y elvolumen de la celda unitaria es :

3

0a


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Ejemplo 3.4Determine la densidad del hierro BCC

El hierro BCC , tiene un parmetro de red de 0.2866 nm.

SOLUCIONAtoms/cel = 2, a0 = 0.2866 nm = 2.866 10-8 cmmasa a. = 55.847 g/mol

Volumen = (2.866 10-8 cm)3 = 23.54 10-24 cm3/cellAvogadro NA = 6.02 1023 atoms/mol

30a

3

2324/882.7

)1002.6)(1054.23(

)847.55)(2(

Avogadro))(Nm.unitcel.(volume

hierro)delmasa(atoms/cel)de(numer

Densidad

cmg


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25


Figura 3.16 La estructura hexagonal compacta HCP(izquierda) y su celda unitaria.


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26

Tabla 3.2 Propiedades de la estructura Cristalina de algunosmetales


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27

Alotrpicas Los elementos que tienen mas de unaestructura cristalina se llaman alotrpicos. Este trminosuele reservarse para los elementos puros, donde el

efecto de la presin o la temperatura hace que cambie laestructura. Poliformismo Se emplea el mismo concepto pero para

materiales compuestos.

Seccin 3.4Transformaciones alotrpicas o

polimorfas


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Figura 3.17 Los sensores de oxgenogaseoso que se usan en automviles y

otras aplicaciones se basan encomposiciones de zirconia estabilizada.(Cortesa de Bosch Robert Bosch GmbH.)


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Calcular el cambio de volumen porcentual cuando lazirconia pasa de una estructura tetragonal a unaestructura monoclinica.[9] la constante de red paraestructuras unitarias monoclinicas son: a = 5.156, b =

5.191, y c= 5.304 , respectivamente. El ngulo de lacelda monoclinica es 98.9. Para la celda tetragonal lasconstantes de red son: a = 5.094 y c= 5.304 ,respectivamente. [10] durante la transformacin seexpande o se contrae la zirconia? Cuales son los efectosde esta transformacin sobre las propiedades mecnicasde la cermica de la zirconia?

Ejemplo 3.5Clculo de cambios de Volumen en

polimorfos de zirconia

l 3 SO C O


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Ejemplo 3.5 SOLUCIONEl volumen de una celda unitaria tetragonalV= a2c= (5.094)2 (5.304) = 134.33 3.

El volumen de una celda unitaria monoclnca esV= abcsin = (5.156) (5.191) (5.304) sin(98.9) = 140.25 3.

Entonces hay una expansin de la celda unitaria conforme elZrO2, se transforma de tetragonal a monoclnico. El cambioporcentual de volumen es:

= (Volumen final-Volumen inicial)/(volumen inicial)* 100= (140.25 - 134.33 3)/140.25 3 * 100 = 4.21%.

La mayoria de los cermicos son muy frgiles y no puedenresistir un cambio de volumen mayor al 0.1%.La conclusin es

que los cermicos de ZrO2 no pueden usarse en su formamonoclnica por que cuando la zirconia pase a su formatetragonal, casi con seguridad se rompe.Por lo tanto, el ZrO2 seestabiliza con frecuencia en una forma cbica, usando diversosaditivos, como CaO, MgO, and Y2O3.


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Ejemplo 3.6 Diseo de un sensor paramedir el cambio de volumen

Para estudiar el comportamiento del hierro a temperaturaselevadas, nos gustaria disear un instrumento que puedadetectar , con exactitud del 1%, el cambio de volumen de uncubo de hierro de 1-cm3 cuando se calienta pasando por sutemperatura de transformacin polimrfica. A 911oC, elhierro es BCC, con un parmetro de red de 0.2863 nm. A913oC, el hierro es FCC, con un parmetro de red de 0.3591nm. Determine la exactitud que se requiere en elinstrumento medidor.

SOLUCION

El volumen de una celda unitaria del hierro BCC antes detransformarlo es:

VBCC= = (0.2863 nm)3 = 0.023467 nm33

0a


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Ejemplo 3.6 SOLUCION (Continuacin)El volumen de una celda unitaria de hierro FCC :VFCC= = (0.3591 nm)3 = 0.046307 nm3

Pero este es el volumen que ocupa 4 tomos de hierro enFCC, en consecuencia se deben comparar 2 celdas BCC,con un volumen de 2(0.023467) = 0.046934 nm3, concada celda FCC, El cambio porcentual de volumendurante la transformacin es:

3

0a

%34.11000.046934

0.046934)-(0.046307volumendeCambio

El cubo de hierro de 1-cm3 se contrae a 1 - 0.0134= 0.9866 cm3 despues de la transformacin;enconsecuencia, para asegurar una exactitud de 1% elinstrumento debe detectar un cambio de:

V= (0.01)(0.0134) = 0.000134 cm3

Seccin 3 5:Puntos direcciones y


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Indices de Miller - Es la notacin abreviada para

describir las direcciones y planos metalogrficos. Lasdirecciones se denotan con corchetes [ ] y los planos conparntesis ( ). Los nmeros negativos se representan conuna barra encima del nmero.

Direcciones de una forma o familia Grupo de

direcciones equivalentes forman familias, se usa losparntesis especiales.

Distancia de repeticin. Es la distancia entre puntos dela red a lo largo de la direccin.

Densidad lineal Es la cantidad de puntos de la red por

unidad de longitud, a lo largo de la direccin. Fraccin de empaquetamiento Es la fraccin realmente

ocupada por tomos.

Seccin 3.5:Puntos, direcciones yplanos en la celda unitaria.


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Figura 3.18 Coordenadas de puntosseleccionados en la celda unitaria. El

nmero indica la distancia al origen,en trminos de parmetros de red.


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Determine los ndices de Miller en las direccionesA,B, y Cen la figura 3.19.

Ejemplo 3.7 Determinacin de Indices deMiller de direcciones

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing /Thomson Learning

Figura 3.19 Direcciones ycoordenadas cristalogrficas,para el ejemplo 3.7.

Ejemplo 3 7 SOLUCION


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Ejemplo 3.7 SOLUCIONDireccinA1. Los puntos son 1, 0, 0, y 0, 0, 02. 1, 0, 0, -0, 0, 0 = 1, 0, 0

3. No hay fracciones que eliminar ni enteros quereducir4. [100]Direccin B1. Los puntos son 1, 1, 1 y 0, 0, 02. 1, 1, 1, -0, 0, 0 = 1, 1, 13. No hay fracciones que eliminar ni enteros quereducir4. [111]Direccin C1. Los puntos son 0, 0, 1 y 1/2, 1, 0

2. 0, 0, 1 -1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 13. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2

2]21[.4


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Figura 3.20 Equivalencia de las direcciones cristalogrficasde una forma, en sistemas cbicos.


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38

Tabla 3.3 Direcciones de la familia 110 en sistemas cbicos


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Figura 3.21Determinacinde la distancia

de repeticin,densidad linealy fraccin deempaquetamiento para unadireccin [110]

en el cobre FCC.


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40

Determine Los ndices de Miller de los planosA, B, y Cen lafigura 3.22.

Ejemplo 3.8, Determinacin de los Indicesde Miller de planos


Figura 3.22 Planoscristlograficos y susintersecciones (para elejemplo 3.8)

Ejemplo 3.8 SOLUCION


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j pPlanoA1.x= 1, y= 1,z= 12.1/x= 1, 1/y= 1,1 /z= 13. No hay fracciones que eliminar

4. (111)Plano B

1. El plano nunca cruza el planozpor lo quex= 1, y= 2, yz=2.1/x= 1, 1/y=1/2, 1/z= 0

3. Eliminar fracciones:1/x= 2, 1/y= 1, 1/z = 04. (210)Plano C

1. Se debe cambiar origen, por que el plano pasa 0, 0, 0.

Mover en direccin y, entonces,x= , y= -1, and z =2.1/x= 0, 1/y= 1, 1/z = 03. No hay fracciones que eliminar.

)010(.4


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42

Tabla 3.4 Planos de la familia {110} en los sistemas cbicos


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Calcule la la densidad planar y la fraccin deempaquetamiento planar para los planos (010) y (020) enel Polonio cbico, cuyo parmetro de red es 0.334 nm.

Ejemplo 3.9 Clculo de la densidad planary la fraccin de empaquetamiento


Figura 3.23 Lasdensidadesplanares de losplanos (010) y(020) en celdas

unitarias SC noson idnticas(para el Ejemplo3.9).

Ej l 3 9 SOLUCION


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El total de tomos en cada cara es uno. La densidadplanar es:

2142

2

atoms/cm1096.8atoms/nm96.8

)334.0(caraporatom1

caradereacaraporatoms(010)planarDensidad

79.0)2(

)(

)(atom)1(

caraderea

caraporatomsderea(010)Emp.deFraccin

2

2

20

2

r

r

r

a

Sin embargo no hay tomos con centros en los planos(020). Por consiguiente la densidad planar y la fraccinde empaquetamiento planar son cero. Los planos (010) y(020) no son equivalentes!.

Ej l 3 10 t d d di i l


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Ejemplo 3.10 trazado de direccin y plano

trazar (a) direccin y (b) el plano en una celda

unitaria cbica.

1]2[1 10]2[


Figura 3.24

Construccinde a (a)unadireccin y (b)un planodentro de unacelda unitaria(para elejemplo 3.10)


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Example 3.10 SOLUCION

a. Como sabemos que hay que moverse en la direccinnegativa, ubiquemos el origen en 0, +1, 0. La cola de

la direccin estar en el nuevo origen. Se determina unsegundo punto de la direccin avanzando +1 en ladireccinx, -2 en la direccin y, y +1 en la direccin z(Figura 3.24(a)].

b. Para dibujar el plano, se determinan primero los

recprocos de los ndices para obtener las intercepciones:x= 1/-2 = -1/2 y= 1/1 = 1 z= 1/0 =

Como el cruce enx esta en una direccin negativa y sedesea trazar el plano dentro de la celda unitaria, se

cambia el origen +1 en la direccinxhasta 1, 0, 0.Entonces se puede ubicar la interceccin conx en - 1/2 ycon y en +1. El plano ser paralelo al eje Z [Figura3.24(b)].

10]2[


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Figura 3.25 Indices de Miller-Bravais en celdas unitariasHCP usando un sistemacoordenado de 4 ejes. Losplanos identificados con A yB y las direccionesidentificadas con C y D sondel ejemplo 3.11.


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Figura 3.26 Direcciones comunes en la celda unitaria HCPusando sistemas con 3 y 4 ejes. Las lneas punteadasmuestran que la direccin [1210] es equivalente a unadireccin [010].

Ejemplo 3 11 Dete minacin de los Indices


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49

Determine los ndices de Miller-Bravais para los planos Ay B y para las direcciones C y D en la Figura 3.25.

Ejemplo 3.11 Determinacin de los Indicesde Miller-Bravais para planos y direcciones


Figura 3.25 Los IndicesMiller-Bravais sonobtenidos usando unsistema de coordenadas de4 ejes. Los planosidentificados con A y B, ylas direcciones con C y Dson del ejemplo 3.11.

Ejemplo 3 11 SOLUCION


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PlanoA1. a1 = a2 = a3 = , c= 1

2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c= 13. No hay fracciones que simplificar4. (0001)

Plano B

1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c= 12. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c= 13. No hay fracciones que simplificar4.Direccin C1. Dos puntos son 0, 0, 1 y 1, 0, 0.2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = -1, 0, 13. No hay fracciones que eliminar ni enteros quereducir.4.

)1211(

113]2[]011[


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Example 3.11 SOLUCION (Continuacin)

Direccin D

1. Dos puntos son 0, 1, 0 y 1, 0, 0.2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 03. No fracciones que eliminar ni enteros quereducir4. 100]1[]101[


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Tabla 3.5 Planos y direcciones compactas


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Figura 3.27 Lasecuencia de

apilamientoABABABde planoscompactos producela estructura HCP.


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Figura 3.28 La secuencia de apilamientoABCABCABCde planos compactos produce la estructura FCC.

Seccin 3 6 Sitios Intersticiales


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Sitios Intersticiales En cualquiera de las estructurascristalinas hay pequeos huecos entre los tomosnormales, y en ellos se pueden ubicar tomos mspequeos. Esos huecos reciben el nombre de sitiosintersticiales

El sitio cbico Con un nmero de coordinacin de 8 sepresenta en la estructura simple SC. Sitios octadricos Producen un nmero de coordinacin

de 6. Los tomos tocan al tomo intersticial y forman unoctaedro y los tomos mayores ocupan los puntos

normales de la red. Sitios tetradricos Producen un nmero de

coordinacin igual a 4. Un tomo o ion toca 4 tomos oiones.

Seccin 3.6 Sitios Intersticiales


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Figura 3.29 Ubicacin de los sitios intersticiales en las celdas

unitarias cbicas. Solo se muestran sitios reprentativos.

Ejemplo 3 12 Clculo de sitios octadricos


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Ejemplo 3.12 Clculo de sitios octadricos

Calcule la cantidad de sitios octadricos que pertenezcan

en forma exclusiva a una celda unitaria FCC.SOLUCION: Los sitios octadricos incluyen las 12 aristasde la celda unitaria, con las coordenadas:

2

11,,02

11,,12

10,,12

1,0,0

,12

1,0,1

2

1,1,0

2

1,1,0

2

1,0

1,1,210,1,

211,0,

210,0,

21

mas la posicin central, 1/2, 1/2, 1/2.


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Ejemplo 3.12 Continuacin

Cada uno de los sitios en la arista de la celda unitaria secomparte entre 4 celdas unitarias por lo que solo un decada sitio pertenece exclusivamente a cada celda unitaria,entonces la cantidad de sitios que pertenecenexclusivamente a cada celda :

(12 aristas) (1/4 por celda) + 1 en centro= 4 sitios octadricos


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Ejemplo 3.13 Diseo de una pared


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Se desea producir una pared absorvente de radiacinformada por 10000 esferas de Pb, cada una de 3 cm dedimetro, en arreglo FCC. Se decide que habra mejorabsorcin si se llenan con esferas mas pequeas los sitiosintersticiales. Disee el tamao de las esferas de Pb maspequeas y determine cuntas se necesitan.

j p pabsorbente de radiacin


Figura 3.30 Clculo de unsitio intersticial octadrico,para el ejemplo 3.13.

Ejemplo 3.13 SOLUCIONPara este diseo podemos introducir esferas pequeas de


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61

Para este diseo, podemos introducir esferas pequeas dePb que quepan exactamente en todos los sitiosintersticiales octadricos. Primero calculamos el dimetrode los sitios octadrico entre las esferas de 3 cm de

dimetro:LongitudAB = 2R + 2r=4R/r = 2 R-R = (2 -1)R

r/R = 0.414

Esto es consistente con la tabla 3.6, como r/R = 0.414, elradio de la esfera pequea de Pb es :

r= 0.414 * R = (0.414)(3 cm/2) = 0.621 cm.

En el ejemplo 3-12, se observa que hay 4 sitiosoctadricos en el arreglo FCC que tambien tiene 4 puntosde red. Entonces se necesita la misma cantidad de esferaspequeas 10,000.

2

2 2

S i 3 7


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Se deben tener en cuenta los siguientes factores paracomprender las estructuras cristalinas de los slidos conenlaces inicos:

Radios inicos Neutralidad elctrica Conexin entre poliedros de anion Visualizacin de estructuras cristalinas en

computadoras.

Seccin 3.7Estructuras cristalinas de los

materiales inicos


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Figura 3.31 Conexin entre poliedros de aniones.(a) tetraedros con vrtices compartidos, (b) tetraedros conaristas compartidas y (c) tetraedro con cara compartida


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Figura 3.32 (a) Estructura del cloruro de cesio, una celdaunitaria SC con dos iones (Cs+ y CI-) por punto de red. (b)La estructura del cloruro de sodio,una celda unitaria FCCcon dos iones (Na+ + CI-) por punto de red. Nota: lostamaos de los iones no estan a escala.

Ejemplo 3 14 Relacin de radios del KCl


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Para el cloruro de potasio (KCl), (a) verificar que elcompuesto tiene la estructura del cloruro de cesio y (b)calcular el factor de empaquetamiento de este compuesto.

SOLUCION

a. De tablas, rK+ = 0.133 nm y rCl- = 0.181 nm, entonces:rK+/rCl- = 0.133/0.181 = 0.735

Como 0.732 < 0.735 < 1.000, El nmero de coordinacinde cada clase de ion es 8 y la estructura del CsCl es la mas

probable.

Ejemplo 3.14 Relacin de radios del KCl

Ej l 3 14 ti i d l SOLUCION


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Ejemplo 3.14 continuacin de la SOLUCION

b. Los iones se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpode la celula unitarial,entonces:

a03 = 2rK+ + 2rCl- = 2(0.133) + 2(0.181) = 0628 nma0 = 0.363 nm

725.0)363.0(

)181.0(3

4)133.0(

3

4

ion)Cl1(3

4ion)K1(

3

4

ientoempaquetamdeFactor

3

33

3

0

33

a

rrClK

Ejemplo 3.15 Ilustracin de una estructura


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67

Demuestre que el MgO tiene la estructura cristalina delcloruro de sodio y calcule la densidad del MgO.

SOLUCION

De tablas, rMg+2 = 0.066 nm y rO-2 = 0.132 nm, entonces:

rMg+2/rO-2 = 0.066/0.132 = 0.50

Como 0.414 < 0.50 < 0.732, el nmero decoordinacin de cada ion es 6, y es posible la estructura delcloruro de sodio.

Ejemplo 3.15 Ilustracin de una estructuracristalina y clculo de su densidad

l


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68


Las masas atmicas son 24.312 y 16 g/mol para elmagnesio y oxgeno respectivamente. Los iones se tocan

a lo largo de la arista del cubo, entonces:a0= 2 rMg+2 + 2rO-2 = 2(0.066) + 2(0.132)

= 0.396 nm = 3.96 10-8 cm

32338

-22

/31.4)1002.6(cm)1096.3()16)(O4()312.24)(Mg4( cmg


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Figura 3.33 (a) La estructura de la blenda de zinc (b) vista de planta.

Ejemplo 3.16 Clculo de la densidad


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La constante de red del Arseniuro de galio (GaAs) es5.65 . Demuestre que la densidad terica del GaAses 5.33 g/cm3.

SOLUCION

En la celda unitaria de la blenda de zinc GaAs haycuatro tomos de Ga y cuatro de As. De acuerdo a laTabla Peridica:

Cada mol (6.023 1023 atoms) de Ga tiene unamasa de 69.7 g. entonces la masa de 4 tomos sera:(4 * 69.7/6.023 1023) g.

Ejemplo 3.16 Clculo de la densidadterica del GaAs

3.16 SOLUCION (Continuacin)


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71

( )

Cada mol de As (6.023 1023 atoms) tiene una masa de74.9 g.

Entonces en 4 atomos de As se tiene:(4 * 74.9/6.023 1023) g. Estos tomos ocupan unvolumen de (5.65 10-8)3 cm3.

38

23

cm)1065.5(

10023.6/)9.747.69(4

volumen

masa

densidad

Entonces la densidad terica del GaAs es 5.33 g/cm3.


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Figura 3.34 (a) Celda Fluorita, (b) vista de planta.


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Figura 3.35 Celda unitaria de la perovskita mostrando loscationes en sitio A y B y los iones de oxgeno que ocupan lasposiciones de centro de cara de la celda unitaria. Nota: LosIones no se muestran a escala.


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Figura 3.36 Estructura cristalina de un nuevo super conductor

cermico de alta Tc basado en un oxido de cobre, bario e itrio.Estos materiales son excepcionales por ser cermicos cuyaresistencia elctrica, desaparece a bajas temperaturas. (Fuente:ill.fr/dif/3D-crystals/superconductor.html; M. Hewat 1998.)

(c


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Figura 3.37 Estructura del corindon de almina alfa (-AI203).

Seccin 3 8 Estructuras covalentes


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Materiales con enlaces covalentes Con frecuencia tienenestructuras complicadas para satisfacer las restriccionesdireccionales que imponen los enlaces.

Estructura cbica del diamante Los elementos como elSi, el Ge, el alfa Sn y el carbono (en su forma dediamante) estan unidos por cuatro enlaces covalentesque producen un tetraedro.

Seccin 3.8 Estructuras covalentes


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Figura 3.38 (a) Tetraedro y (b) Celda unitaria cbica deldiamante (DC) . Se produce esta estructura abierta porlos requerimientos del enlace covalente.

Ejemplo 3.17 Determinacin del factor de


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Determine su factor de empaquetamiento.

j pempaquetamiento para el silicio cbico

tipo diamante.

(c)2003Brooks/Cole

Publishing/

ThomsonLearning

Figura 3.39Determinacin de larelacin entre elparmetro de red y elradio atmico en unacelda cbica de

diamante. (para elejemplo 3.17).



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Los tomos se tocan a lo largo de la diagonal delcuerpo de la celda. Aunque no hay tomos en todos loslugares de la diagonal hay huecos que tienen el mismo

dimetro que los tomos, en consecuencia:

34.0)3/8(

)3

4)(8(

)

3

4)(atoms/cel.(8

ientoEnpaquetamFactor

83

3

3

3

0

3

0

r

r

a

r

ra

Comparado con el valor de tablas es el mismo valor.

Ejemplo 3.18 Clculo del radio y la


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j p ydensidad del silicio

La constante de red del silicio es 5.43 . Cual ser el radio y

la densidad del silicio?. La masa atmica del silicio es 28.1gm/mol.

SOLUCION

Tenemos que a = 5.43 , remplazando en la ecuacin

tenemos que el radio del silicio es R = 1.176 .

ra 83 0

3

38

23

/33.2cm)1043.5(

10023.6/)1.28(8

volumen

masadensidad cmg

Si hay 8 tomos por cada celda unitaria entonces la densidad:


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Brooks/ColePublishing/Thomson

Learning

Figura 3.40 Tetraedro Silicio-Oxgeno y la formacristobalita de silice resultante.


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Figura 3.41 Celda unitaria del polietileno cristalino

Ejemplo 3.19 Clculo de la cantidad de tomos de


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Cuntos tomos de carbono e hidrgeno hay en cada celda

unitaria de polietileno cristalino? Hay el doble de tomos dehidrgeno que de carbono en la cadena. La densidadaproximada del del polietileno es 0.9972 g/cm3.

SOLUCION

Si x es la cantidad de tomos de carbono, entonces, 2x es lacantidad de hidrgeno. De acuerdo con los parmetros dered en la figura 3.41:

carbono e hidrgeno en el polietileno cristalino.

)1002.6)(1055.2)(1094.4)(1041.7(

)/1)(2()/12)((23888

cmcmcm

molgxmolgx

x = 4 tomos de carbon por celda

2x = 8 tomos de hidrgeno por celda.

Seccin 3.9 Tcnicas de difraccin


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Difraccin La estructura de un material se puedeanalizar refractando Rx o difraccin de electrones.

Ley de Bragg Cuando los Rx se difractan, o el haz serefuerza esta cumpliendo el enunciado de la Ley de

Bragg, esto es:Sen = / 2dhkl En un difractmetro un detector mvil registra los

ngulos 2 con los cuales se difracta el haz y seobtiene una figura caracterstica de difraccin, figura3.45b.

para el anlisis de la estructuracristalina


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Figura 3.43 Interacciones(a) Destructiva y(b)Constructiva entre Rx yel material cristalino. El

refuerzo, o interaccinconstructiva, sucede enngulos que satisface laLey de Bragg.


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Figura 3.44 Fotografa de undifractmetro de Rx. (Cortesiade H&M Analytical Services.)


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Figura 3.45 (a) Diagramade un difractmetro dondese observan la muestra enpolvo y los haces incidente

y difractado. (b) Figura dedifraccin obtenida con unamuestra de polvo en oro.

Ejemplo 3.20 Anlisis de la difraccin de Rx.


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Los resultados de una difraccin de Rx utilizando = 0.7107 (radiacin obtenida con un blanco demolibdeno, Mo) indican que los picos de difraccinestan en los ngulos 2 siguientes:

Determine la estructura cristalina, los ndicesdel plano que produce cada pico y el parmetro dered del material.



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Primero se determina sin2 para cada pico y despues sedivide entre el valor mnimo, 0.0308.

Ejemplo 3 20 SOLUCION (Continuacin)


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Ejemplo 3.20 SOLUCION (Continuacin)

Para calcular la distancia entre planos se puede usarcualquiera de los valores de 2 de los picos y luego elparmetro de la red.Si escogemos el pico 8:2 = 59.42 o = 29.71

868.2)4)(71699.0(

71699.0)71.29sin(2

7107.0

sin2

2224000

400

lkhda

d

Este es el parmetro de red del hierro BCC


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Figura 3.46 Fotografa de un

microscopio electrnico detransmisin (TEM) usado para elanlisis de la microestructura demateriales. (Cortesia de JEOLUSA, Inc.)


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Figura 3.47 Micrografa electrnica de transmisin deuna muestra de aleacin de Al. La figura de difraccinde la derecha muestra manchas luminosas grandes querepresentan la difraccin de los principales granos de la

matriz de aluminio, las manchas ms pequeas seoriginan en cristales de nanoescala de otro compuestoque esta presente en esa aleacin. (Cortesa del Dr.

Jrg M.K. Wiezorek, University of Pittsburgh.)

(c)20


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Figura 3.48 Determine los ndices de Miller, para lasdirecciones mostradas


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ng

Figura 3.49Determine losndices para lasdirecciones en lacelda unitaria.

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)2003Brooks/ColePublishing/ThomsonLearning

Figura 3.50 Determine los ndices para los planos en lacelda unitaria cbica.

(c)200


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Figura 3.51 Determine los ndices para los planos de la celdaunitaria cbica.

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Figura 3.52Determine los

ndices para lasdirecciones en la redhexagonal, usandoel sistema de 3 y 4dgitos.

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Figura 3.53 Determinalos ndices para lasdirecciones en la redhexagonal, usando 3 y4 dgitos.

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Figura 3.54 Determinalos indices para los

planos mostrados.

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Figura 3.55 Determinalos ndices para losplanos mostrados.


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Figura 3.56 Si se usaron Rx longitud de onda de = 0.15418nmDetermine:La estructura cristalina,parmetro, los ndices de losplanos que produce cada pico.

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Figura 3.57 Si se usaron Rx de = 0.07107 nm, determine:Estructura cristalina, los indices de los planos y el parmetro del metal.

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