KOLINEARNOST VEKTORA ZADATIH  POMOĆU KOORDINATA 

A 

B 

a

a

0

Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac.  Dva vektora               i            su kolinearni ako i samo ako je za neko                                       ,                        . 0, R ab

a

b

zyx bbbb ,,

zyx aaaa ,,

zyxzyx aaabbb ,,,, ab

z

z

y

y

x

x

ab

ab

ab

Uslov kolinearnosti dva vektora 

PRIMER 

)3,2,1( a )6,4,2( b

Vektori 

Su kolinearni zato što je 

23

624

12

)3,2,1( a )3,4,2( b

Vektori 

nisu kolinearni zato što je 

33

24

12

Odrediti vrednosti parametre           i             tako da su vektori 

kolinearni. 

)2,3,(a i  ),6,4( b

4,223

64

PRIMER 

Ugao izmedju dva vektora je ugao za koji treba zarotirati jedan od njih da bi se  poklopio po pravcu I smeru sa drugim vektorom. 

a

b

a

b

),( ba

),( ab

UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA 

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA 

Skalarni proizvod                      dva   vektora          i     je skalar, koji je jedanak proizvodu intenziteta vektora  i kosinusa ugla izmedju njih. 

a

b

ba

O 

x 

y 

z 

A 

a

B 

b

cos baba

a

b

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA 

O 

x 

y 

z 

A 

a

B 

b

cos baba

Osobine skalarnog proizvoda 

abba

bababa cabacba

022 aaaa 00 aaa

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA 

O x 

y 

z 

A 

a

B 

b

zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,

zzyyxx babababa

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

1  0  0 

0  1  0 

0  0  1 

i

j

k

i

j

k

PRIMER 

)2,1,1( a )4,1,1( b

84)2()1(111 ba

)2,5,1( a )4,1,1( b

124)2()1(511 ba

)2,2,1( a )3,1,1( b

33)2()1()2(11 ba

Izračunati skalarni proizvod datih vektora: 

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA  ‐ USLOV ORTOGONALNOSTI DVA VEKTORA 

O 

x 

y 

z 

A 

a

B 

b

cos baba

Dva nenula vektora su ortogonalni ako I samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli. 

0900 ba

zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,

00 zzyyxx babababa

Uslov ortogonalnosti vektora zadatih  pomoću koordinata 

)2,3,3(a )3,6,4( b

Vektori  

Su ortogonalni zato sto je 

061812)3(2634)3( ba

)2,3,3(a )2,6,4( b

Vektori  

nisu ortogonalni zato sto je 

0241812)2(2634)3( ba

PRIMER 

)2,3,(a ),6,4( b

3

PRIMER 

Odrediti vrednost parametra           tako da su vektori 

ortogonalni. i 

02634 ba

0 baba

0186

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA  ‐ UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA 

O 

x 

y 

z 

A 

a

B 

b

baba

cos

zyx aaaa ,,

zyx bbbb ,,

zzyyxx babababa

cos baba

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

PRIMER 

Data je kocka osnovne ivice                    sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. OB je dijagonala donje osnove  te kocke.  Odrediti kosinus ugla izmedju vektora                 i       

1a

OA OB

i

j

k

O  x 

y 

z 

C 

A 

E 

D  B 

a

xa

ya

za )1,1,1( OAa

)0,1,1( OBb

2b

3a

baba

cos

36

32011111cos

PRIMER 

)1,0,1(a )1,1,0( b

Odrediti ugao izmedju vektora  i  . 

baba

cos

21

221

1)1(010111)1(001cos

222222

0603

ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA 

O 

x 

y 

z 

a

B 

b

bortaaab

cosPr

bbbort

0Pr ab

A

A

ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA 

O  x 

y 

z 

a

B 

b

bortaaab

cosPr

bbbort

0Pr ab

AA

VEKTORSKI PROIZVOD 

a

b

bac

Vektorski proizvod vektora         i         je vektor    čiji je intezitet jednak površini paralelograma konstruisanog nad   vektorima           i        ,  pravac normalan na ravan odredjenu tim vektorima,  a smer je takav da vektori                     ,         ,         čine trijedar iste orjentacije kao i koordinatni sistem.   

bac

a b

a

b

a

b

c

VEKTORSKI PROIZVOD 

bac

bababacP

,sin

bcac

,a

b

P

VEKTORSKI PROIZVOD ‐ OSOBINE 

a

b

bac

baab

bababa

cabacba

VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE 

i

j

k

0 

0 

0 

i

i

j

j

k

k

k

k

j

j

i

i

i

j

k

zyx aaaa ,,

zyx bbbb ,,

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

xyyxxzzxyzzy

zyxzyx

babakbabajbabaiba

kbjbibkajaiaba

VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE 

zyx

zyxyx

yx

zx

zx

zy

zy

bbbaaakji

bbaa

kbbaa

jbbaa

iba

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx bbaa

kbbaa

jbbaa

ibbbaaakji

ba

Izracunati determinantu, drugog I treceg reda 

19107224331

21321

1423

2143231212

5)3(34)1(4331

221222112221

1211 aaaaaaaa

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA 

PRIMER 

a

b

bac

Izračunati vektorski proizvod vektora 

)2,1,1( a

)0,1,1(b

1111

0121

0121

011211

kjikji

ba

jiba 22

)0,2,2( ba

PRIMER 

Za date vektore  )2,1,1( a )2,0,1(b

)1,4,2( ba

0111

2121

2021

201211 kji

kjiba

kjiba

42

)1,4,2()1,4,2( baab

Izračunati                    i                   .   ba

ab

PRIMER 

Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima: 

a

b

P

)2,5,1( a )2,0,1( b

201251

kji

ba

kiba 510 )5,0,10( ba

0151

2121

2025

kjiba

55125)5(010 222 baP

PRIMER 

a

b

P

Izračunati površinu trougla konstruisanog nad datim vektorima: 

)2,5,1( a )2,0,1( b

201251

kji

ba

kiba 510 )5,0,10( ba

0151

2121

2025

kjiba

255125

21)5(010

21

21 222 baP

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA 

Mašoviti proizvod tri vektora                                    je skalarni proizvod  vektora                  i vektora        :      

cba

,,

ba

c

cbacba )(],,[

O ab

c

VHBcbacbacba cos,,

Mešoviti prozvod tri vektora                      je skalar, čija je apsolutna vrednost jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektoraima.     Znak mešovitog proizvoda označava orjentaciju trijedra koji grade ti vektori u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. Pozitivan rezultat označava da je trijedar orjentisan isto kao i koordinatni sistem, a negativan rezultat označava da je njegova orjentacija suprotna od orjentacije koordinatnog sistema. 

cba

,,

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA 

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA 

Cikličkom permutacijom vektora, vrednost mešovitog proizvoda se ne menja. 

bacacbcba )()()(

],,[],,[],,[ bacacbcba

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA 

zyx aaaa ,,

zyx bbbb ,,

zyx cccc ,,

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba ],,[

Tri vektora                      su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli.    

cba

,,

0)(],,[ cbacba

USLOV KOMPLANARNOSTI TRI VEKTORA 

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA – USLOV KOMPLANARNOSTI 

0],,[

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba

zyx aaaa ,,

zyx bbbb ,,

zyx cccc ,,

PRIMER 

)2,2,2( b

)1,2,1( a )1,2,0( c 2],,[ cba Vektori  

su nekomplanarni zato sto je  

02682221

2211

2120222

121],,[

cba

)3,2,1( a )2,3,2( b

)1,1,3(c

021165],,[ cba

Vektori 

su komplanarni zato sto je 

1332

31322

21123

1113232

321)(],,[

cbacba

O ab

c

PRIMER 

Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima 

)2,1,1( a )0,1,1(b

)0,2,1(c

6322111

2],,[ cba

i odrediti orjentaciju u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. 

Trijedar                         suprotne orjentacije u odnosu na koordinatni sistem.    

021011211

)(],,[

cbacba

66],,[ cbaV

06],,[ cba cba ,,

PRIMER 

O ab

c

],,[ cbaV pedaparalelopi

],,[31

31

31 cbaVBHV pedaparalelopipiramide

BHV pedaparalelopi

],,[61

61

21

31

31

1 cbaVBHHBV pedaparalelopitetraedra

O ab

c