BAB 3. LIMIT FUNGSI - · PDF fileKALKULUS Ilham Saifudin Limit Deﬁnisi Limit Limit -limit...

KALKULUS

IlhamSaifudin

Outline

BAB 3. LIMIT FUNGSI

Program Studi Teknik Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

4th April 2017

KALKULUS

IlhamSaifudin

Outline1 Limit

Definisi Limit

Limit -limit satu sisi

Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga

Limit fungsi trigonometri

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga

Limit fungsitrigonometri

MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi

Makna limit secara intuisiUntuk mengatakan bahwa

limx→c

f (x) = L

berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f (x) dekat

dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L


dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L


dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Definisi limit kiri dan limit kananbahwa

limx→c+

f (x) = L

berarti bahwa ketika x dekat tetapi sebelah kanan c, maka f (x) dekatdengan L. Demikian pula bahwa

limx→c−

f (x) = L

berarti x dekat tapi pada sebelah kiri c, maka f (x) dekat dengan L.

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Teorema A

limx→c

f (x)

jika dan hanya jikalim

x→c+

f (x) = L

danlim

x→c−f (x) = L

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L

berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan

sedemikian rupa sehingga |f (x) − L| < ε asalkan 0 < |x − c| < δ yakni

0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

contohcontoh yaitu buktikan bahwa

limx→4

(3x − 7) = 5

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L



0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.


limx→4

(3x − 7) = 5

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L



0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.


limx→4

(3x − 7) = 5

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

[f (x).g(x)] = limx→c

f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c

[f (x)]n = [ limx→c

f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema subtitusiJika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

limx→c

f (x) = f (c)

asalkan f (c) terdefinisi, nilai penyebut pada c tidak nol

ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit


limx→c

f (x) = f (c)


ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit


limx→c

f (x) = f (c)


ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung

A. bila diperoleh bentuk tentu

1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu

menggunakan cara lain.

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

2. Cara tidak langsung

A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36

B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.

limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit



limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36


limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit



limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36


limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit


C. Dengan perkalian bentuk sekawan : bentuk (√

a −√

b) sekawandengan bentuk (

√a +

√b). Contoh :

limx→3

√5x + 1 −

√3x + 7

6x − 18

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼

k =∼ A. Dapat dikatakan :

limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :

1 Penjabaran rumus trigonometri

2 Dengan derivatif

3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

KALKULUS

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Thank You

Date post:	08-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	ngohanh
View:	446 times
Download:	36 times

BAB 3. LIMIT FUNGSI - · PDF fileKALKULUS Ilham Saifudin Limit Deﬁnisi Limit Limit -limit...

Documents