dengan menggunakan integral.

 Integral Tentu  Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah nilai dari
 
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f  pada selang tersebut, maka
berlaku :
Teorema Dasar Kalkulus 
a
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f (x) pada interval  [a, b].
y
x
Tentukan limitnya 
1 )(  
i
n
)()( lim
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
Li   f(xi) xi
 f(xi) xi
 a
 
 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 1.
Langkah penyelesaian :
5. Ambil limit jumlah luasnya
L  = lim  xi 2  xi 
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
Jawab
 
 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Contoh 2.
Langkah penyelesaian :
5. Ambil limit jumlah luasnya
L  = lim   y. y 
hitung nilainya
Jawab
xi 
2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi 2) xi dan
A j  -(4x j - x j 2) x j
3. Jumlahkan : L  (4xi - xi 2) xi dan A
  -(4x j - x j 2) x j
4.  Ambil limitnya L = lim
 (4xi - xi 2)  
x j
dx ) x x4( 
4
 Menghitung Luas dengan Integral  Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
 
3 643
 
Kesimpulan :
b
a
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f ( x ) dan y  = g( x ) dengan  f ( x ) > g( x ) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
 jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
4. Jumlahkan : L
5.  Ambil limitnya :
y
ba
dx  x  g x  f  b
a     )()(L
 
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2  dan garis y = 2 - x
Contoh 4.
Langkah penyelesaian:
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x   x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
5. Nyatakan dalam integral tertentu
dx  x  x 
Jawab
 
menghitungnya.
 Menghitung Luas dengan Integral  Luas Daerah Luas Daerah
 
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()(   y  f  x  x  f y    y
0
x
Luas daerah =   d 
Li  y
 
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =   2
Jawab
 
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
 
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
 
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
Dengan cara jumlahkan, ambil
diperoleh:
2)]([v     
x
h=  
x
x
x
y
 x
y
 Metode Cakram  Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 6.
Langkah penyelesaian:
y
h=  
x
x
x
     15 11
3 16
 Metode Cakram  Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
partisi
diputar, jumlahkan, ambil
  dy
2
0
 
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
Menghitung volume benda putar
h r
 Metode Cincin  Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2  dan garis y = 2x  diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
y
x
4
y
0
)( 5 32
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
 
r r
 Metode Kulit Tabung  Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
x
0
x
dx  x V    2
  8V 
Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
  )816(   V