Date post: | 06-Jul-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | ryna-widya |
View: | 224 times |
Download: | 0 times |
of 8
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
1/8
D ER H INTEGR L
DIU DFT
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
2/8
Semua Ritlg R pada Bab 5 ini diasumsikan komutatif, dan mempunyai suatu
elemen Unitas 1, kecuali jika disebutkan lain.
D ER H INTEGR L
Sekarang, mula-mula sekalikita definisikan Pembagi Nol pada suatu Ring R.
Definisi
5
Pembagi Nol
Suatu elemen nonzero a < R adalah suatu Pembagi Nol jika terdapat suatu
elemen nonzero b, sedemikian sehingga ab =o.
Definisi
5 2
Daerah Integral
Suatu Ring komutatif D Brtunitas 1 adalah suatu Daerah Integral atau Inte
gral Domain jika D tidak mempunyai Pembagi ot
ONTOH D ER H INTEGR L
Contoh 5.1
Ring ZlOSdari integer modulo 105 adalah bukan suatu Daerah Integral.
Sembarang Zm dengan m adalah komposit, mempunyai Pembagi Nol;
untuk m =ab, 1 < a, b < m)
berakibat ab =0 pada ~
Pada m
=
105, terdapat enam Pembagi Nol yakni 3, 5, 7, 15, 21, dan 35.
Contoh 5.2
Ring ~9dari integer modulo 29 adalah suatu Daerah Integral.
Hal ini adalah kebalikan Contoh 5.1, yakni jika P adalah prima maka Z-ptidak
mempunyai Pembagi Not.
74
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
3/8
Di sini, untuk
1 < a. b < p,
ab=O+kp
p tidak habis dibagi a atau
p tidak habis dibagi b
berakibat a=Oataub=O
Sifat 5.1
Pandang D adalah suatu Daerah Integral. Jika ab =ac, dengan a * 0, maka
b =c.
Bukti
Jika ab=ac, maka
ab-ac
=
0, dan karenanya
a b-c =0
Karena a *0, dan D tidak mempunyai Pembagi Nol, haruslah
b-c
=
0, atau
b
=
c, seperti yang diminta.
Karena itu, perkalian pada D memenuhihukum penghapusan.
IDEAL UTAMA IU DAN DAERAH IDEAL UTAMA DIU
Definisi 5.3 Ideal Utama
Pandang Ring Komutatif R dengan suatu elemen identitas 1. Misalkan a
sembarang elemen pada R. Himpunan
[a] =Ira Ire R}
adalah suatu Ideal, yang kita sebut Ideal Utama IU yang dibentuk oleh a
7
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
4/8
Definisi
5
Daerah Ideal Utama
Suatu Ring R adalah suatu Daerah Ideal Utama DIU , jika R adalah suatu
Daerah Integral, dan jika setiap Ideal pada R adalah Ideal Utama.
CONTOH DIU
Contoh 5
Akan kita tunjukkan bahwa Z adalah suatu DIU.
Z adalah suatu Daerah Integral, karena Z tidak mempunyai Pembagi Nol.
Pandang J adalah suatu Ideal pada Z.
Jika J
=
to}, maka J
=
[0], Ideal Utama yang dibentuk oleh o.
Pandang bahwa J * to}, dan bahwa x * 0 termasuk dalam 1. Karenanya -x =
-I x termasuk dalam J; karena itu J berisi paling sedikit satu integer positif.
Misalkan a adalah integer positif terkecil pada J.
Kita inginkan bahwa J = [a], yakni, bahwa J berisi semua kelipatan dari a.
Pandang x E 1. De~gan Algoritma Pembagian
x =qa + r
di sini 0
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
5/8
ASOS AS
Sekarang kita detinisikan asosiasidari suatu elemen Ring.
Definisi asosiasi
Suatu elemen b E R disebut ssos s dari a E R, jika
b = ua
untuk beberapa Unit u E R.
CONTOH ASOS AS
Contoh 5 4
Kita hendak mencari asosiasi dari 4 pada ZIO integer modulo 10 .
Unit pada ZIOadalah 1, 3, 7, dan 9 [lihatContoh 4.2]. Kita kalikan 4 dengan
masing-masingUnit:
1*4
=
4, 3*4
=
2, 7*4
=
8, dan 9*4
=
6
Perkalian dikerjakan pada modulo 10 .
Karena itu 2.,4, 6, dan 8 adalah asosiasi dari padaZIO
Contoh 5.5
Kita hendak mencari asosiasi dari 5 pada ZIO.
Kita kalikan 5 dengan ma
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
6/8
Contoh 6
Akan kita tunjukkan bahwa relasi asosiasi adalah suatu relasi ekivalen pada
Ring R.
Sembarang elemen a adalah suatu asosiasidari dirinya sendiri, karena a =la
hukum refleksif .
Pandang b adalah suatu asosiasl dari a. Berarti
b =ua
di sini u adalah suatu Unit. Karenanya
di sini u-I adalah suatu Unit pula.
Jadi a adalah suatu asosiasi dari b hukum simetrik .
Terakhir, pandang a adalah suatu asosiasidari b, dan b adalah suatu asosiasi
dari c:
di sini uI dan u2 adalah Unit. Karenanya
a =
ul u2c
= u1u2 c
di sini perkalian u1u2 adalah juga suatu Unit.
Karenanya a adalah suatu asosiasi dari c hukum transitii .
Contoh 7
Kitahendakmencariasosiasidarin e Z.
UnitpadaZ hanyalah1dan-I LihatContoh4.1 .Karenanyahmiyan dan-
n merupakanasosiasidari
n
8
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
7/8
OAERAH FAKTORISASI TUNGGAL OFT)
Mula-mula kita definisikan suatu Elemen Tak Tereduksi pada suatu Daerah
Integral D.
Definisi 6 Elemen Tak Tereduksi
Suatu non Unit p E D adalah Tak Tereduksi, jika p = ab berakibat a atau b
adalah suatu Unit.
Hal ini jelas adalah suatu perluasan dari pengertianprima pada Z.
Bilangan Prima, dan negatif mereka merupakan Elemen Tak Tereduksi
pada Z.
Sekarang kita definisikan suatu Daerah FaktorisasiTunggal atau Unique Fac-
torization Domain.
Definisi 7 Daerah Faktorisas Tunggal)
Suatu Daerah Integral D adalah suatu Daerah Faktorisasi Tunggal DFT , jika
setiap non Unit a E D dapat ditulis secara tunggal unique sebagai suatu hasil kali
dari Elemen Tak Tereduksi. Hasil kali yang berbeda karena urutannya atau karena
asosiasinya, dianggap sarna
CONTOH OFT
Contoh 5.8
Kita hendak menyatakan 12pada Z sebagai suatu hasil kali dari Elemen Tak
Tereduksi.
Terdapat 12 hasil kali:
12
=
2 - 2 - 3
= -2 - -2 - 3
= -2 - 2 - -3
= 2 - -2 - -3
=2-3-2
8/16/2019 Bab5-Daerah Integral Dft
8/8
=
-2 - -3 - 2
= -2 - 2 - -2
= 2 - -3 - -2
=3-2-2
= -3 - -2 - 2
= -3 - 2 - -2
= 3 - -2 - -2
Contoh 5 9
Apakah Z suatu DFf?
Ya. Meskipun 12, dan sebagainya. dapat ditulis dalam banyak cara sebagai
suatu hasil kali dari Elemen Tak Tereduksi. semua hasil kali serupa itu berbeda
hanya terhadap urutan atau asosiasinya,jadi adalah hasil kali yang tunggal.
Contoh 5 1
HimpunanD
=
{a+ b.../13I a. b integer} adalah suatu Daerah Integral. Unit
dari D adalah:tl. 18:t 5.../13.dan -18:t 5.../13.Elemen 2. 3 /13. dan -3 /13 adalah
Elemen Tak Tereduksi pada D. Temyata bahwa D adalah bukan DFf. karena
rnisalnya4 dapat dinyatkan sebagai hasil kali Elemen Tak Tereduksi secara tidak
tunggal. yakni
4
=
2_2. dan
4
=
3 /13 -3 /13 .