7/24/2019 Bedrosian, E. -- The Analytic Signal Representation of Modulated Waveforms

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PROCEEDINGS OF THE IR E

Th e A n a l y t i cS i g n a lR e p r e s e n t a t i o nof M o d u l a t e dW a v e f o r m s *EDWARD BEDROSIANt, SENIOR MEMBER, IRE

Summary-This r e p o r to f f e r sa r a t h e rg e n e r a la n d m a t h e m a t i -c a l l yc o n v e n i e n tf o r m u l a t i o no f a n a l o g - m o d u l a t e ds i g n a l sw h i c hm a k e su s e o ft h ea n a l y t i cs i g n a lc o n c e p t .K n o w nt y p e so fm o d u l a -t i o na r e r e a d i l yi d e n t i f i e da s s p e c i a lc a s e s . A s a r e s u l to fe x a m i n i n gt h ev a r i o u sc a s e sw h i c ht h em o d e le m b r a c e s ,a ne w t y p eo fm o d u l a -t i o nh a s b e e n d i s c o v e r e d - s i n g l es i d e b a n df r e q u e n c ym o d u l a t i o n( S S BFM)-which c a n b e d e r i v e df r o ma c o n v e n t i o n a lp h a s e - m o d u -l a t e ds i g n a lb y a n a d d i t i o n a la m p l i t u d em o d u l a t i o n ,u s i n g t h e e x -p o n e n t i a lf u n c t i o no ft h em o d u l a t i n gs i g n a l ' sH i l b e r tt r a n s f o r m .T h er e s u l t i n gm o d u l a t e ds i g n a lw i l lh a v ea o n e - s i d e ds p e c t r u ma b o u tt h ec a r r i e rf r e q u e n c y ,w i l lb e c o m p a t i b l ew i t h e x i s t i n gFM r e c e i v e r s ,a n dw i l lc a u s e ad e c r e a s ei ns i g n a lb a n d w i d t h .

I N T R O D U C T I O N ECENT STUDIES o fc o m p a t i b l es i n g l es i d e b a n d

( S S B ) m o d u l a t i o ns y s t e m sh a v e s t i m u l a t e di n -t e r e s ti n t h e t h e o r e t i c a la s p e c t so fs i m u l t a n e o u s

a m p l i t u d ea n d p h a s em o d u l a t i o n[ I ] -[ 4 ] . 1T h e s es t u d i e sa r e n o t a b l ef o ra t l e a s tt w o r e a s o n sw h i c ha r e n o t c o n -n e c t e d w i t ht h eSSB a p p l i c a t i o n .F i r s t ,t h e y u n d e r s c o r et h e f a c tt h a t a l t h o u g ha m p l i t u d ea n d p h a s em o d u l a t i o na r e d i s t i n c tt e c h n i q u e s ,t h e y h a v e a n i n t i m a t ec o n n e c -t i o n .S e c o n d ,t h e o r e t i c a ls t u d i e si n v a r i a b l yi n t r o d u c et h eH i l b e r tt r a n s f o r m[ 5 ] ,[ 6 ]s o o n e ro r l a t e ra n d b e -c o m e , i n f a c t ,a p p l i c a t i o n so f t h e a n a l y t i cs i g n a l[ 7 ] ,[ 8 ] .

O t h e rs t u d i e sd e a l i n gw i t hv a r i o u st y p e so fs i g n a la n dn o i s ew a v e f o r m s[ 9 ] -[ 1 2 ]f u r t h e ra t t es t t o t h e g r o w i n gu t i l i t yo f t h e a n a l y t i cs i g n a lr e p r e s e n t a t i o na s a t h e o -r e t i c a ld e v i c e .T h i s p a p e rc o n s i d e r st h e a p p l i c a t i o no ft h ea n a l y t i cs i g n a lt o B a g h d a d y ' sr e p r e s e n t a t i o no fa n a l o gm o d u l a t i o n[ 1 3] i no r d e rt o o b t a i na m o r e g e n e r a lf o r m u l a t i o nw h i c h e m b r a c e sknown t y p e s o f a n a l o gm o d u l a t i o na n di nw h i c hs i g n a l sh a v i n go n e - s i d e ds p e c t r aa r e i m p l i c i t .

THE ANALYTICS I G N A L

B a s i c a l l y ,t h ea n a l y t i cs i g n a li sa c o m p l e xf u n c t i o no fa r e a lv a r i a b l ew h o s er e a la n d i m a g i n a r yp a r t s a r e a

* R e c e i v e dA p r i l1 9 ,1 9 6 2 ;r e v i s e dm a n u s c r i p tr e c e i v e d ,J u l y9 ,1 9 6 2 .T h e w o r kd e s c r i b e di n t h i sp a p e rwa s s p o n s o r e db y t h e U . S .A i r F o r c e u n d e rP r o j e c tRAND-Contract N o . A F 4 9 ( 6 3 8 ) - 7 0 0 .I ta l s oa p p e a r sa s RAND Memo. R M - 3 0 8 0 - P R ,M a r c h1 9 6 2 .V i e w so rc o n c l u s i o n sc o n t a i n e di nt h i ss t u d ys h o u l dn o t b e i n t e r p r e t e da s r e p r e -s e n t i n gt h eo ff i c i a lo p i n i o no r p o l i c yo ft h e U n i t e dS t a t e sA i r F o r c e .

t E l e c t r o n i c sD e p a r t m e n t ,RAND C o r p o r a t i o n ,S a n t a M o n i c a ,C a l i f .

I T h i s l i s to fr e f e r e n c e si sb y n o means c o m p l e t e .T h e f i r s tt h r e ea r e m e r e l yt h e m o s t r e c e n t w h i c hh a v ec o m e t o t h e a u t h o r ' sa t t e n -t i o n .L y a n n o y[ 4 1r e v i e w st h e p r e v i o u sl i t e r a t u r eg i v i n gn u m e r o u sr e f e r e n c e s ,a n d a s s e r t s t h a t t he n ot io no f s i m u l t a n e o u sa m p l i t u d ea n d p h a s em o d u l a t i o no r i g i n a t e dw i t h Te t e l ' b a u mi n 1 9 3 7 ;Ta y l o r[ 1 ]c r e d i t sB a r k h a u s e n ,a l s oi n 1 9 3 7 .A d d i t i o n a lr e f e r e n c e sa r e g i v e nb y Kahn [ 3 ] .

H i l b e r t p a i r .I n p r a c t i c e ,t h e a c t u a l w a v e f o r mu n d e rc o n s i d e r a t i o ni s i d e n t i f i e dw i t h e i t h e rt h e r e a lo r t h ei m a g i n a r yp a r t o f t h e a n a l y t i c s i g n a l ;t h e a n a l y t i cs i g n a li st h e n s i m p l ys u b s t i t u t e df o rt h e a c t u a l s i g n a lf o rt h e p u r p o s eo fa n a l y s i s .

F r e q u e n t l yt h e r e s u l ti sa m o r ec o n v e n i e n ta n d c o m -p a c t n o t a t i o nw h i c hc a n b eu s e di nc o n v o l u t i o ni n t e g r a lo r i n c o n j u n c t i o nw i t h t r a n s f e rf u n c t i o n si n t h e s a m ef a s h i o na s t h e r e a ls i g n a la n d w h i c h ,i n a d d i t i o n ,h a ss e v e r a li n t e r e s t i n ga n d u s e f u lp r o p e r t i e s :

1 ) T h e F o u r i e r t r a n s f o r mo f t h e a n a l y t i c s i g n a lv a n i s h e sf o rn e g a t i v ef r e q u e n c i e sw h i l et h a t o fi t sc o m p l e xc o n j u g a t e v a n i s h e s f o r p o s i t i v ef r e -q u e n c i e s . 2

2 ) T h e r e a la n d t h ei m a g i n a r yp a r t s o f t h e a n a l y t i cs i g n a lh a v ei d e n t i c a la u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n sa n dp o w e rs p e c t r a .

3 ) T h e m a g n i t u de a n dp h a s eo f t h e a n a l y t i cs i g n a ls e r v e t o d e f i n em a t h e m a t i c a l l ya n e n v e l o p ea n dp h a s e f o rt h e a c t u a l w a v e f o r m .In p r a c t i c e ,t h ee n v e l o p ea n d p h a s eo fa n a c t u a lw a v e f o r mh a v ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c eo n l y f o rn a r r o w - b a n ds i g n a la n d c a n n o tb e m e a s u r e dp r e c i s e l ye x c e p tf o rp u r e

s i n u s o i d s .I t i sc l e a rf r o mt h e f o r e g o i n gt h a t t h e a n a l y t i cs i g n a li ss i m p l ya f o r m a l i z e dv e r s i o no ft h e r o t a t i n gv e c t o ro r p h a s o r t h a t i s f r e q u e n t l yu s e d i n c i r c u i ta n a l y s ia n ds t u d i e so fc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s . 3T h e t h e o r e t i cj u s t i f i c a t i o no ft h i sr e p r e s e n t a t i o ni sg r a t i f y i n gb e c a u s ei t b r i n g st o l i g h ts o m eo f t h eo t h e r w i s eu n s u s p e c t e dp r o p e r t i e sl i s t e da b o v ea s w e l la s e l i m i n a t i n gt h en e e df o ri t si n t u i t i v ei n t r o d u c t i o n .D e t a i l so ft h e s ep r o p e r t ia r e g i v e ni n [ 5 ] ,[ 7 ] - [ 1 2 ] ,[ 1 5 ]a n d [ 1 6 ] .

THE MODULATEDS I G N A L

W h i l et h ea c t u a l p r o c e s s e se m p l o y e di ng e n e r a t i n ga na n a l o g - m o d u l a t e ds i g n a lm a v d i f f e rc o n s i d e r a b l yf o rv a r i o u st y p e so fm o d u l a t i o n ,t h er e s u l t i n gs i g n a la p p e a r sr e p r e s e n t a b l ea s t h ep r o d u c to ft w o t i m e f u n c t i o n s ,v i z . ,

s ( t )= c ( t ) m ( f ( t ) ) , ( 1 )

2 T h e q u e s t i o no ft h er e a l i t yo fp o s i t i v ev s n e g a t i v ef r e q u e n c ii ss e e nt ob e a c a d e m i c .T h ep r e s e n c eo fo n l yo n i eo r t h eo t h e ra p p e a r sr e l a t e dt o t h ef a c tt h a tt h ea n a l y t i cs i g n a la n d i t sc o m p l e xc o n j u -g a t e a l w a y sr o t a t e i no p p o s i t ed i r e c t i o n si n t h ec o m p l e xp l a n e .

I T h ed a t e a t w h i c ht h e r o t a t i n gv e c t o rw a si n t r o d u c e di sd i f f i c u lt o d e t e r m i n ep r e c i s e l y.Many o ft h em o d e r nc o n c e p t sa s s o c i a t e dw i t ha n a l y s i so fFM a n dSSB s y s t e m sa r e g i v e nb y W h e e l e r[ 1 4 1 .

1 9 6 2 2 0 71

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PROCEEDINGS OF T I H EIR E

w h e r ec i sa f u n c t i o nr e p r e s e n t i n gt h e c a r r i e ra n d i mi st h em o d u l a t i o nf u n c t i o n a lr e p r e s e n t i n ga n o p e r a t i o no nt h em o d u l a t i n gs i g n a lf . The f o r m o f ( 1 )h a s t h e a d -v a n t a g eo fm a t h e m a t i c a l l yd i s a s s o c i a t i n gt h e o p e r a t i o no f p r o vi di ng ac a r r i e rf r o m t h a t o f c h a r a c t e r i z i n gt h ea c t u a l m o d u l a t i o nt e c h n i q u e .

T h e C a r r i e rF u n c t i o nThe p u r p o s eo ft h e c a r r i e rf u n c t i o ni n ( 1 )i st ot r a n s f e r

t h ei n t e l l i g e n c es p e c t r u mt oa f r e q u e n c yr e g i o nw h i c hi sm o r es u i t a b l ef o rp r o p a g a t i o n .The e f f e c to n t h e r e s u l t -i n gs p e c t r u mi s s e e n f r o mt h eF o u r i e rt r a n s f o r mo ft h ep r o d u c t[ 1 7 ]i n ( 1 ) ,

s ( w )=f C ( , ) M ( w- ) d ( 2 )-00

I f t h e c a r r i e ri sa n a r r o w - b a n dw a v e f o r ma s m i g h tb ee m p l o y e df o rn o i s em o d u l a t i o n ,t h e n t h e c o n v o l u t i o ne x p r e s s e di n ( 2 )r e s u l t si na s p re a di n go ft h e s i g n a lb a n da s w e l la s i t s t r a n s l a t i o nt o t h e v i c i n i t yo f t h e c a r r i e rf r e q u e n c y .I f t h e c a r r i e ri sa p u r es i n u s o i d ,t h e na s i m p l ef r e q u e n c yt r a n s l a t i o ni se f f e c t e da n d ( 2 )b e c o m e s

S ( W )= 1 [ M ( c o- c o o )+ M ( Wo+ c o ) ] . ( 3 )I f t h e c a r r i e ri s w r i t t e n a s a n a n a l y t i c s i g n a lw h o s e

s p e c t r u m ,t h e r e f o r e ,e x i s t so n l y f o rp o s i t i v ef r e q u e n c i e s ,t h e n t h e f r e q u e n c yt r a n s f e ri so n l y t o w a r dt h e p o s i t i v ef r e q u e n c i e sa s i l l u s t r a t e di n F i g s .1 ( a )a n d 1 ( b )f o r

l M ( W ) l

wWa

Wa

( a )I I

l C ( a j ) t

O W C

I S ( w ) l

o Wa

o o> 0 .W h e t h e ro r n o t s ( t )i si nt u r n a n a l y t i cd e p e n d so nt h e s p e c t r a le x t e n to fb o t h c ( t )a n d m ( t ), t h e t e s tb e i n gw h e t h e ro rn o t S ( w )v a n i s h e sf o rw n e g a t i v e .T h e M o d ul a t i o nF u n c t i o n

U s a b l e n m o d u l a t i o nf u n c t i o n s m u s t b e l i m i t e d ,o fc o u r s e ,t o t h o s ew h i c hy i e l dm o d u l a t e ds i g n a l sa m e n a b l e

t o s u b s e q u e n td e m o d u l a t i o n .The t e c h n i q u e sc u r r e n t l ya v a i l a b l ea r e :c o h e r e n t( a m p l i t u d e )d e t e c t i o ni nw h i c har e p l i c ao f t h e c a r r i e rf u n c t i o n i s u s e d t o r e n d e r t h ea m p l i t u d eo ft h em o d u l a t i o nf u n c t i o n ,p h a s eo rf r e q u e nd e t e c t i o ni nw h i c ht h e o s c i l l a t o r yc h a r a c t e ro fa n a r r o w -b a n dm o d u l a t e ds i g n a lp e r m i t sa n a p p r o x i m a t em e a s u r e -m e n to fi t s p h a s eo r f r e q u e n c y ,a n d e n v e l o p ed e t e c t i oi n w h i c ha s u i t a b l er e c t i f y i n ga n d f i l t e r i n gn e t w o r kc a ny i e l da n a p p r o x i m a t i o nt o t h ee n v e l o p eo f a n a r r o w -b a n dm o d u l a t e ds i g n a l .T h u s , t h em o d u l a t i o nf u n c t i om u s tc a u s et h e m o d u l a t i n gs i g n a lt oa p p e a r( t h o u g hn o tn e c e s s a r i l yl i n e a r l y )i n e i t h e rt h e a i m p l i t u d e ,p h a s e/ f r e q u e n c y,o r e n v e l o p eo f t h em o d u l a t e c ds i g n a l .T h el i n e a ra n d e x p o n e n t i a lf u n c t i o n a l sa r e u n i q u ei n t h e i ra b i l i t yt o p r o d u c ej u s tt h e s ee f f e c t sa n d a r e ,t h e r e f o rt h eo n l y o n e s c o n s i d e r e dh e r e .

A s m i g h tb e s u s p e c t e d ,t h e l i n e a rf u n c t i o n a lc o r r e -s p o n d st o a m p l i t u d em o d u l a t i o n .T h ee x p o n e n t i a lf u n c -t i o n a l ,h o w e v e r ,c o r r e s p o n d sn o t o n l y t o t h ef a m i l i ap h a s em o d u l a t i o n 4b u t a l s ot ot h ee m e r g e n tt e c h n i q u eo fs i m u l t a n e o u sa m p l i t u d ea n d p h a s e m n o d u l a t i o nw h i c hm a y b e b e t t e rc h a r a c t e r i z e da s e n v e l o p em o d u l a t i o n .The l a t t e r w i l lb e d i s c u s s e di n g r e a t e r d e t a i li n a s u b -s e q u e n ts e c t i o n .

I f t h em o d u l a t i o nf u n c t i o ni sw r i t t e nf o rt h e a n a l y t i ca s w e l la s t h e

p u r e l yr e a lm o d u l a t i n gs i g n a l s ,t h e n b o t h

t h eSSB a n d d o u b l es i d e b a n d( D S B )f o r m so ft h e m o d u -l a t e ds i g n a la p p e a r . T h e SSB f o r m r e s u l t s ,o fc o u r s ef r o mt h ef a c tt h a t a n a n a l y t i cf u n c t i o nm o fa n a n a l y t i cf u n c t i o n fi si t s e l fa n a l y t i c ,a n d t h e r e f o r eh a s a s p e c t r u mw h i c h v a n i s h e s f o r n e g a t i v ef r e q u e n c i e s .F r e q u e n c yt r a n s l a t i o nb y t h ec a r r i e rf u n c t i o nt h e n r e s u l t si n am o d u l a t e ds i g n a lw h i c hh a s o n l y a n u p p e rs i d e b a n d .Ao n e - s i d e ds p e c t r u mh a v i n go n l ya l o w e rs i d e b a n dc a n b eg e n e r a t e db y u s i n g t h ec o m p l e xc o n j u g a t eo f t h e a n a -l y t i cf u n c t i o nf , s i n c ei t ss p e c t r u mv a n i s h e sf o rp o s i t i vf r e q u e n c i e s .

H A R M O N I C - C A R R I E RS Y S T E M S

The m o d u l a t e ds i g n a l sr e s u l t i n gf r o m t h e f o r e g o i nm o d u l a t i o nf u n c t i o n sa r e b e s ti l l u s t r a t e db y u s i n g t h eh a r m o n i ca n a l y t i cc a r r i e re i w o ti n ( 1 ) .F o r e a c h m o d u l a -t i o nf u n c t i o nm ( t ) ,a c o m p l e xm o d u l a t e ds i g n a ls ( t )r e -s u l t s ;w h e na n a l y t i c ,b o t h i t sr e a la n d i m a g i n a r yp a r t sa r e v a l i dr e p r e s e n t a t i o n so ft h ea c t u a l m o d u l a t e ds i g n a l ,a n d i t s m a g n i t u d eg i v e st h e e n v e l o p e .T h e m o d u l a t i n g

( b )

F i g .I - S p e c t r a lt r a n s l a t i o n sd u e t o i n t r o d u c t i o no f a n a l y t i cc a r r i e r .( a )G e n e r a l( b a n d l i m i t e d )a n a l y t i cc a r r i e r .( b ) Harmonic ana-l y t i cc a r r i e r ,e i t ( t .

4 No f u n d a m e n t a ld i s t i n c t i o nn e e db e made b e t w e e np h a s ea n df r e q u e n c ym o d u l a t i o ns i n c et h e y d i f f e ro n l y b y a l i n e a ro p e r a t i o n( d i f f e r e n t i a t i o no r i n t e g r a t i o n )o n t h e m o d u l a t i n gs i g n a l .F r e q u e n c y' m o d u l a t i o nc a n b e o b t a i n e db y p h a s em o d u l a t i n gw i t h t h e i n t e g r a lo ft h e m o d u l a t i n gs i g n a la n d c o n v e r s e l yu s i n gd i f f e r e n t i a t i o n .

8- w

-

lo ( A

O c t o b e0 7 2

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B e dr o s i a n : S ig n a lR e p r e s e n t a t i o no fM o d u l a t e dW a v e f o r m s

s i g n a li s d e n o t e d b y f ( t ) a n d i t s H i l b e r t t r a n s f o r mb y . 7 ( t ) .

L i n e a r ( A m p l i t u d e )M o d u l a t i o n

D o u b l eS i d e b a n d :

m ( t )= f ( t )

s ( t )= f ( t )c o sw o t+ i f ( t )s i nc o o t ( 4 )| s ( t )I = f ( t ) , c o . >O a x .

T h e r e p r e s e n t a t i o no f a c o n v e n t i o n a la m p l i t u d e -m o d u l a t e ds i g n a l 5i s i m m e d i a t e l ya p p a r e n ti n ( 4 ) .I t i sa n a l y t i cf o rc o o> C O m a x ,w h e r eC O m a xi s t h e h i g h e s ta n g u l a rf r e q u e n c yc o m p o n e n ti nf ( t ) ,a s n o t e d b o t h b y O s w a l d[ 9 ]a n d b y W o z e n c r a f t[ 1 6 ] .C o h e r e n td e t e c t i o nc a nr e c o v e rf ( t )e x a c t l yf o ra l lc o o .T h e o r e t i c a l l y ,t h e s ig na lm u s t b e a n a l y t i ct o p e r m i t e n v e l o p ed e t e c t i o n ;p r a c -t i c a l l y,i t m u s ta l s ob e n a r r o w - b a n d .

S i n g l eS i d e b a n d :

m ( t )= f ( t )+ i ( t )s ( t )= [ f ( t )c o s c o o t- . ( t )s i nc o o t ]

+ i f ( t )s i nc o o t+ . / ( t )c o sc o o t ]s ( t ) = [ I 2 ( t )+ 1 2 t ]1 2 2 c o o> 0 .

I T h a t( 5 ) r e p r e s e n t s a SSB a m p l i t u d e - m o d u l a t e ds i g n a li se a s i l ys h o w nb y n o t i n gt h a t c o s a ta n d s i na ta r ea H i l b e r tp a i r ,s o t h eF o u r i e rs e r i e sr e p r e s e n t a t i o n so ff ( t )a n dJ ( t )a r e

0 0 0 0

f ( t )= c , ,c o s ( c o 0 t+ : ) ; J ( t ) c , ns i n( c n t+ 0 k n -n r = O 1o

T h u s , ( 5 )c a n b e w r i t t e n

s ( t ) E C c O s [ ( W n+ w o ) t+ ( k n Jn=O

+ i c ns i n[ ( c o n+ Wo ) t+ s b n ]n =O

w h e r et h e s i m p l et r a n s l a t i o no f a l l f r e q u e n c yc o m n p o -n e n t s b y a n amoun t c o oi sa p p a r e n t .The r e p r e s e n t a t i o ni sa n a l y t i cf o ra l lv a l u e so fco>O a n d o n l yc o h e r e n td e -t e c t i o nc a n r e c o v e rf ( t )e x a c t l y.

E x p o n e n t i a l( P h a s e )M o d u l a t i o nD o u b l eS i d e b a n d :m ( t )= e i f ( t )s ( t )= c o s[ wo t+ f ( t )+ i s i n[ c o o t+ f ( t ) J ( 6 )

s ( t ) I c o o > > 2 m a .

Th e c o n v e n t i o n a lr e p r e s e n t a t i o no f p h a s em o d u l a t i o ni sa p p a r e n ti n ( 6 ) ;i t i s d e s i g n a t e da s DSB t o e m p h a s i z et h a t t h e s p e c t r u mi s t w o - s i d e da b o u t c o o . Even i f t h e

6Th e c a r r i e ri s s u L p p r e s s e di n t h i s r e p r e s e n t a t i o n ,b u t t h e d i s -t i n c t i o ni s t r i v i a ls i n c e i t i s e a s i l yi n s e r t e db y a d d i n ga c o n s t a n tt om ( t )i n( 4 )and ( 5 ) .

m o d u l a t i n gs i g n a lf ( t )i s b a n d - l i m i t e d ,t h ee x p o n e n t i a lo p e r a t i o nu s e d i n g e n e r a t i n gm ( t ) a s s u r e s t h a t i t w i l lh a v ea s p e c t r u mo fi n f i n i t ee x t e n t i n b o t h p o s i t i v ea n dn e g a t i v ed i r e c t i o n s .S h i f t i n gt h e c e n t e r f r e q u e n c yt oc o oc a n n o t , t h e r e f o r e ,p r o d u c ea s p e c t r u mc o n t a i n i n go n l yp o s i t i v ef r e q u e n c i e ss o ,a s n o t e da l s ob y D u g u n d j i[ 11 ] ,t h er e p r e s e n t a t i o ni sn o t a n a l y t i c .I n a p r a c t i c a ls e n s e ,

o fc o u r s e ,i t i sk n o w nt h a t t h e s p e c t r u m

f a l l so f fr a p i d l y

b e y o n ds o m e f r e q u e n c y .T h u s , t h e r e p r e s e n t a t i o nc a nb e t a k e n a p p r o x i m a t e l yt o b e a n a l y t i c i f t h e c e n t e rf r e q u e n c yi sh i g hc o m p a r e dw i t h t h e h i g h e s ts i g n i f i c af r e q u e n c yc o m p o n e n tQ m a xi nm ( t ) .

S i n g l eS i d e b a n d :m ( t )= e i [ V ( t ) + i f ( t ) ls ( t )= e - ( t )c o s[ w o t+ f ( t ) ]+ i e f ( t )s i n[ c o o t+ f ( t ) ]( 7 )

| s ( t )I = e - f( t ) , o > O .T h e m o d u l a t e ds i g n a lg i v e n b y ( 7 )a p p e a r st o b e

n o v e l .S i n c e t h e m o d u l a t i o nf u n c t i o ni s no w a n a l y t i ci t c o n t a i n sn o n e g a t i v ef r e q u e n c i e s( t h o u g ht h e s p e c -t r u m s t i l le x t e n d si n f i n i t e l yi n t h e p o s i t i v ed i r e c t i o nT h u s ,s ( t )i sa n a l y t i cf o ra l lv a l u e so fc o 0> 0 .

By a n a l o g y w i t h( 5 ) ,t h em o d u l a t e ds i g n a lg i v e n b y( 7 )r e p r e s e n t sa SSB v e r s i o no fp h a s em o d u l a t i o ns i n c ei t c o n t a i n sn o f r e q u e n c yc o m p o n e n t s b e l o wc o o .T h o u g ht h e i n s t a n t a n e o usf r e q u e n c y

d oWi n d s t -= C O O+ f ( t )h a s t h es a m ee x c u r s i o n sf o rb o t h ( 6 )a n d ( 7 ) ,t h em u l t i -p l i c a t i v ef a c t o re - f ( t )c a u s e st h el o w e rs i d e b a n dt o d i s -a p p e a ri n ( 7 ) .To d e m o n s t r a t et h a t t h i si s i n d e e dt h ec a s e a n d ,a l s o ,t o g a i ni n s i g h ta s t o t h ee f f e c to n t h eu p p e rs i d e b a n d ,c o n s i d e rf r e q u e n c ym o d u l a t i o nb y t h es i n g l es i n u s o i d

f ( t )= Qc o sc tw h e r eQ i s t h ep e a k f r e q u e n c yd e v i a t i o n .T h e p h a s ef u n c t i o na n d i t sH i l b e r t t r a n s f o r mb e c o m e

Qf ( t )= i nc o t ,

L i. ( t )= os c t

L i

w h e r eQ l /i s t h ed e v i a t i o nr a t i oo r m o d u l a t i o ni n d e xT h e m o d u l a t i o nf u n c t i o ni n ( 7 )b e c o m e s

m ( t )= e i [ f ( t ) + i f ( t ) ]= e x p [ - e i w t ]=E ) e i k tw k = O k c o

y i e l d i n gt h ea n a l y t i cm o d u l a t e ds i g n a l00 1 ~ k

m ( t ) e i w o t = E 1 e i ( - o + k w ) tk = o k w

The a c t u a lm o d u l a t e ds i g n a lm a y b e t a k e n a s t h er e a lp a r t o r

e - f t C o s[ o t+ f ( t )= - c o s ( c o+ k c o ) t( 8 )T . o k . \

2 0 7 39 6 2

7/24/2019 Bedrosian, E. -- The Analytic Signal Representation of Modulated Waveforms

4/6

PROCEEDINGS OF THE IR E

f r o m w h i c ht he o n e -s i d e dn a t u r e o f t h e s p e c t r u mi sc l e a r . 6The m e a n - s q u a r ev a l u e o f t h e a m p l i t u d ef a c t o ri sI o[ 2( Q l / )] ,s o t h e r a t i oo fp e a k - t o - a v e r a g ep o w e ro v e rt h e m o d u l a t i o nc y c l eb e c o m e s

e2( S l v )/ j I o ( 2 - ) .

A c o n v e n t i o n a lf r e q u e n c y - m o d u l a t e d( F M )s i g n a lu s i n gt h es a m em o d u l a t i n gs i g n a lh a s t h e f a m i l i a r e x p a n s i o n

c o s[ c o o t+ f ( t ) ]= E J k - ) c o s ( w o+ k w ) t . ( 9 )k= -o o Cd

T h e l i n es p e c t r ao f( 8 )a n d ( 9 )a r e p l o t t e di nF i g .2 f o rs e v e r a ld e v i a t i o nr a t i o s .The c o m p o n e n tm a g n i t u d e sh a v eb e e na d j u s t e ds ot h a t t h e s p e c t r ar e p r e s e n ts i g n a l so fe q u a l a v e r a g ep o w e r .G e n e r a l l ys p e a k i n g ,t h e c a n c e l -l a t i o no f t h e l o w e rs i d e b a n di s a c c o m p a n i e db y a n e x -t e n s i o no ft h e u p p e rs i d e b a n d .N e v e r t h e l e s s ,t h e w i d t h so f t h eo n e - s i d e ds p e c t r a a p p e a r r e d u c e db y r o u g h l yo n e - t h i r d .

The o n e - s i d e ds i g n a lc a n b e g e n e r a t e df r o m a c o n -v e n t i o n a lp h a s e - m o d u l a t e ds i g n a lb y f o r m i n gt h e H i l -

C o n v e n t i o n o lFM

w 0 -a w o w o + a

S S B : - p 5 . 1d b |

( a )C o n v e n t i o n a lFM I |

W 6 - nW O w O + a

S S B : P p e k 7 . 8d b

WO Qa o we+Q

( b )C o n v e n t i o n a lFM

- - - - l I I . I I I

w 0 - d i w 0 w 0 + d iS S B :t p- e kB. 9db ||||||Xt..

W d - nW O Wa + n( c )

F i g .2 - M a g n i t u d e so f s p e c t r a lc o m p o n e n t sf o rc o n v e n t i o n a la n dSSB f o r m so f FM w i t h s i n u s o i d a lm o d u l a t i o n .( a )M o d u l a t i o ni n d e x Q / c o = 1 .( b )M o d u l a t i o ni n d e x O / w = 3 .( c )M o d u l a t i o ni n d e x U / c o = 5 .

6 I t w o u l db e d i f f i c u l tt o f i n da more s t r i k i n ge x a m p l eo f t h em a t h e m a t i c a ls i m p l i c i t ya f f o r d e db y t h e u s e o f t h e a n a l y t i cs i g n a lt h a n t h a t d e m o n s t r a t e db y t h ed e v e l o p m e n tl e a d i n gt o t h e F o u r i e rs e r i e se x p a n s i o ng i v i n gb y ( 8 ) .T h e c o n v e n t i o n a la p p r o a c hi s t om u l t i p l yt h e F o u r i e rs e r i e se x p a n s i o n

e-f tIn t-) c o s n o t

b y t h a t f o rc o s [ l w o t + f ( t ) lg i v e nb y ( 9 )a n d t h e n r e d u c et h e d o u b l es u m m a t i o n ;n e e d l e s st o s a y,t h e p r o c e d u r ei st e d i o u s .

b e r t t r a n s f o r m( b y m e a n s ,s a y,o fa 7 r / 2p h a s es h i f t e r )a n d a m p l i t u d em o d u l a t i n gw i t h t h e e x p o n e n t i a l ;l i m i t -i n g i n t h e r e c e i v e rw i l lt h e n r e s t o r et h e l o w e rs i d e b a n da n d p e r m i t t h e u s e o f a c o n v e n t i o n a ld i s c r i m i n l aH o w e v e r ,t h e ne w t h r e s h o l db e h a v i o ri sn o t c l e a i r .E x p o n e n t i a l( E n v e l o p e )M o d u l a t i o n

D o u b l e S i de b an d :m ( t )= e ( t ) , g ( t )= a l o g f ( t ) ,f ( t )> 0s ( t )= f a ( t )c o s w o t + i f a ( t )s i n , o t ( 1 0 )

T h ei n t e r m e d i a t ef u n c t i o ng ( t )i si n t r o d u c e dt oc l a r i f yt h e i n c o r p o r a t i o no ft h e a n a l y t i cs i g n a li n ( 1 1 ) .T h ed i f -f e r e n c eb e t w e e n( 4 )a n d ( 1 0 )i so b v i o u s l yt r i v i a la n d t h el a t t e rh a s b e e n i n c l u d e dm a i n l yf o rc o m p l e t e n e s s ;t h e ya r e ,o fc o u r s e ,i d e n t i c a lf o ra 1 .

S i n g l eS i d e b a n d :

m ( t )=

e [ g ( t ) + i ( t ) ,g ( t )=

a l o g f ( t ) ,f ( t )> 0s ( t )= f ( t )c o s[ C o o t+ a l o g f ( t ) ]

+ i f r ( t )s i n[ c o o t+ a l o g f ( t ) ]s ( t ) = p ( t )

( 1 1 )

) o > 0 .

T h eSSB v e r s i o ng i v e nb y ( 1 1 )i sr e l a t e dt o ( 7 ) ,f r o i mw h i c hi t c a n b e d e r i v e db y c o n s i d e r i n gt h e l o g a r i t h mo ft h em o d u l a t i n gs i g n a l .T h e r e a s o nt h e s et w o c l a s s e so fe x p o n e n t i a lm o d u l a t i o nh a v e b e e ni n a d ed i s t i n c th e r ei st h a t ( 6 )a n d ( 7 )c o n t a i n t h e m o d u l a t i n gs i g n a li n t h ep h a s eo ft h e m o d u l a t e ds i g n a l ,w h i l e( 1 0 )a n d ( I t )c o n -t a i nt h em o d u l a t i n gs i g n a li n t h e e n v e l o p e ;h e n c e ,t h ed e s i g n a t i o n s .

T h e e x p o n e n ta i s i m p o r t a n tb e c a u s eo ft h e r e l a t i o ns h i pw h i c ht h ec h o i c eo fi t sv a l u e a s e i t h e r1 o r 2 b e a r so n t h eq u e s t i o no fc o m p a t i b l eSSB m o d u l a t i o n .P o w e r s[ 2] c o n s i d e r st h e c a s e a = 2 ,s o t h a t t h e m o d u l a t i ns i g -n a li s c o n t a i n e di n t h es q u a r e o f t h ee n v e l o p e ,t h u sr e q u i r i n ga s q u a r e - l a we n v e l o p ed e t e c t o rf o rd i s t o r t i ol e s sr e p r o d u c t i o n .S i n c ei t i s t h i sc a s e w h i c hp r o d u c eam o d u l a t e ds i g n a lh a v i n gt h es a m es p e c t r a lw i d t ha s ac o n v e n t i o n a lSSB s i g n a l ,h e c o n c l ud est h a t t r u e c o m -p a t i b i l i t y( i . e .a s y s t e mu s a b l e w i t h a l i n e a re n v e l o p ed e t e c t o r )i s i m p o s s i b l e .

L y a n n o y[ 4 ]

r e a c h e s t h es a m i e

c o n c l u s i o na n d ,i n -c i d e n t a l l v,l a b e l st h e c a s e O p t i m a lA m p l i t u d ea n d P h a s e

M o d u l a t i o n OAPM) f o rS q u a r e - L a wD e t e c t i o n .Hea l s oc o n s i d e r sa= 1 o r OAPM f o rL i n e a rD e t e c t i o na n dp o i n t so u t t h a t t h i sm o d u l a t e ds i g n a lo c c u p i e sa b a n d -w i d t h j u s tt w i c e t h em i a x i m u mm o d u l a t i n gf r e q u e na n d t h a t i t i sc o m p a t i b l ew i t ha l i n e a re n v e l o p ed e t e c t o r

N a t u r a l l y ,t h e r ew o u l db e n o a d v a n t a g et o a c o m -p a t i b l eSSB s y s t e mw h i c hh a s t h e s a m n es p e c t r a lw i d t ha s a c o n v e n t i o n a lAM s y s t e m ,b u t L y a n n o ya d d s t h a tt h e b a n d w i d t hc a n b e h a l v e d i n p r a c t i c eb y s u i t a b lf i l t e r i n gb e c a u s eo f t h ec h a r a c t e r i s t i c so f s p e e c h .T ' h i sd e r i v e sf r o mt h e f a c tt h a t a r e a ls i g n a lh a s c o m p o n e n t s

2 0 7 4 O c t o b e

s ( t ) p ( t ) , @ ( O>> Q r l i a x -

7/24/2019 Bedrosian, E. -- The Analytic Signal Representation of Modulated Waveforms

5/6

B e d r o s i a n :S i g n a lR e p r e s e n t a t i o no fM o d u l a t e dW a v e f o r m s

w h o s em o d u l a t i o nd e p t ha p p r o a c h e s1 0 0 p e r c e n to n l yi n t h er a n g e u p t o 1 5 0 0o r 2 0 0 0 c p s ,t h em o d u l a t i o nd e p t hd e c re a s i ng r a p i d l yt h e r e a f t e r .H e n c e ,r e m o v a lo ft h e u p p e rh a l fo ft h e s i g n a ls p e c t r u mp e r m i t st h e l a r g e -m o d u l a t i o n - i n d e x ,l o w - f r e q u e n c yc o m p o n e n t st o b e r e -c e i v e dw i t h o u td i s t o r t i o n ,w h i l e t h e s m a l l - m o d u l a t i o n -i n d e x ,h i g h - f r e q u e n c yc o m p o n e n t sa r e r e c e i v e dw i t h a

s m a l l b u t t o l e r a b l ed i s t o r t i o n .A n e x p e r i m e n t a ls t u d yo fOAPM f o rL i n e a r D e t e c t i o ni s r e p o r t e db y T e t e l ' b a u ma n d G r i n e v i t c h[ 1 8 ] .T h e i rm e t h o do fd e r i v i n gt h ep r o p e rp h a s ef u n c t i o ni n ( 1 1 )i st o a p p r o x i m a t et h e l o g a r i t h mb y a n o n l i n e a rvacuum-t u b e c h a r a c t e r i s t i ca n d t o o b t a i nt he H i lb e r tt r a n s f o r mf r o m i t s d e f i n i n g i n t eg ra lb y m e a n so f a d e l a y - l i n es u m m a t i o n .

A m e t h o do fc o m p o s i t ea m p l i t u d ea n d p h a s em o d u -l a t i o nw a s d e m o n s t r a t e db y Vi l l a r d[ 1 9 ]a s e a r l ya s1 9 4 8 .H i s t e c h n i q u ei st of o r m9 0 0p h a s e - s h i f t e dv e r s i o n so ft h em o d u l a t i n gs i g n a l ,t h e n a m p l i t u d em o d u l a t ew i t ho n e a n d p h a s e m o d u l a t ew i t h t h eo t h e r .S u c h a p r o -c e d u r ea m o u n t s ,i n f a c t ,t o u s i n gt h e l i n e a ra p p r o x i -m a t i o nt o( 1 1 )f o ra = 1 . 7A s a r e s u l t ,h i ss i d e b a n de l i m i -n a t i o n i s i m p e r f e c t ,a n d t h i r d -a n d h i g h e r - o r d e rs i d e -b a n d sa p p e a r .V i l l a rd a l s oo b s e r v e st h a t r e c e p t i o no ft h es e c o n d - o r d e rs i d e b a n d si s n e c e s s a r yo n l y f o rt h el o w e rm o d u l a t i n gf r e q u e n c i e s ,b e c a u s eo f t h ec h a r a c t e r i s t i c so fs p e e c hr e f e r r e dt o a b o v e .

T h e Kahn s y s t e mo fC o m p a t i b l eSSB ( C S S B )[ 3 ]i sa p p a r e n t l yc l o s e l yr e l a t e dt o t h a tg i v e n b y ( 1 1 )f o ra = 1 . H o w e v e r ,t h eK a h n s y s t e mi s u n i q u ei n t h a ti td e r i v e st h e p h a s em o d u l a t i o nb y l i m i t i n ga SSB ( p l u sc a r r i e r )v e r s i o no ft h em o d u l a t i n gs i g n a l .I t c a n r e a d i l yb e d e d uc e df r o m

( 5 )t h a t

t h i si s e q u i v a l e n tt o p h a s e

m o d u l a t i o nw i t h t h ef u n c t i o n

( t ) - t a n - l ' ( ) ) '

w h i c hh a s t h e same l e a d i n gt e r ma s l o gf ( t )f o r f ( t )s m a l l .K l i a g i n[ 2 0 ]u s e s t h i sm e t h o dw i t h s i n u s o i d a lm o d u l a -t i o nt oc o m p a r et h eKahn s y s t e mw i t h o n eo f q u a d r a -t u r em o d u l a t i o nw h i c hc l o s e l yr e s e m b l e sVi l l a r d ' s .

I n i t sl a t e s tc o n f i g u r a t i o n ,t h e K a h n s y s t e mi n c l u d e sa n a d d i t i v e p a i ro fu n s p e c i f i e dn o n l i n e a ro p e r a t i o n so nt h e SSB s i g n a lb e f o r el i m i t i n g .T h u s , i t i sn o t p o s s i b l e ,a t t h em o m e n t ,t o e x p r e s st h e p h a s em o d u l a t i o na n a -l y t i c a l l yi no r d e r t o m a k ef u r t h e rc o m p a r i s o n sw i t h t h eo p t i m a lm o d u l a t i o no f( 11 ) .

C O N C L U S I O N

I t h a s b e e ns h o w nt h a t a n a l o g - m o d u l a t e ds i g n a l sa r er e p r e s e n t a b l ei n g e n e r a l a s t h ep r o d u c to f a c a r r i e rf u n c t i o na n d a m o d u l a t i o nf u n c t i o n .When a n a n a l y t i cs i g n a li sc h o s e nf o rt h ec a r r i e r ,i t se f f e c ts p e c t r a l l yb e -

7 Vi l l a r d ' st e c h n i q u ei sa c t u a l l ya h y b r i ds i n c ei t a l s oc o r r e s p o n d st o t h el i n e a ra p p r o x i m a t i o nt o( 7 )a n dc a n ,t h e r e f o r e ,b e d e m o d u l a t e db y a p h a s ed e t e c t o ra s w e l l .

c o m e so n e o f t r a n s l a t i n gt h e s i g n a ls p e c t r u mt o t h ev i c i n i t yo f t h e c a r r i e rf r e q u e n c y .The p r o c e s si so n e o fp u r et r a n s l a t i o nw h e nt h e c a r r i e ri sh a r m o n i c ,e x p ( i c o t ) ,o r o n eo ft r a n s l a t i o np l u ss p r e a d i n gwhen t h e c a r r i e rh a sa f i n i t es p e c t r a le x t e n t ( e . g . ,w h e nn o i s e l i k e ) .

T h e u s e f u lf o r m so ft h e m o d u l a t i o nf u n c t i o na r e t h el i n e a ra n d e x p o n e n t i a lf u n c t i o n a l sf r o m w h i c h t h r e e

c l a s s e so fm o d u l a t e ds i g n a l sc a n b e d e r i v e d ,v i z . ,a m p l i -t u d e ,p h a s e ,a n d e n v e l o p em o d u l a t i o n .W i t h i n t h e s ec l a s s e s ,t h eu s e o f t h e p u r e l y r e a lo r a n a l y t i cs i g n a lf o r m so f t h em o d u l a t i n gs i g n a ll e a d sn a t u r a l l y t o t h eDS B a n d SSB ( i . e . ,t w o - s i d e da n d o n e - s i d e ds p e c t r af o r m s ,r e s p e c t i v e l y ,o ft h e m o d u l a t e ds i g n a l .

T h ee x i s t i n gf i a m i l i a rf o r m so fm o d u l a t i o na r e r e a d i l yi d e n t i f i e dw i t h i nt h ea b o v es t r u c t u r e .In a d d i t i o n ,a ne wf o r m o f m o d u l a t i o nw h i c hm a y b e c a l l e dSSB FM i sr e v e a l e d .I t c a n b e d e r i v e df r o ma c o n v e n t i o n a lp h a s e -m o d u l a t e ds i g n a lb y a n a d d i t i o n a la m p l i t ud e m o du l a -t i o nu s i n gt h ee x p o n e n t i a lf u n c t i o no f t h em o d u l a t i n gs i g n a l ' sH i lb e r t t r an s fo r m.The r e s u l t i n gm o d u l a t e ds i g n a lw i l lh a v ea o n e - s i d e ds p e c t r u ma b o u t t h e c a r r i e rf r e q u e n c ya n db e c o m p a t i b l ew i t he x i s t i n gFM r e c e i v e rT h e a d v a n t a g ei s a d e c r e a s ei n s i g n a lb a n d w i d t h ;t h ed i s a d v a n t a g e ,t h e l o s so fa c o n s t a n tt r a n s m i t t e ro u t p u tl e v e l .

From a p r a c t i c a lv i e w p o i n t ,t h i sf o r m o f FM m a yf i n dl i t t l ea c c e p t a n c ei n w i d e - b a n ds y s t e m s ,n o t o n l yb e c a u s eo ft h eu n f a v o r a b l ep e a k - t o - a v e r a g ep o w e rr a t i or e q u i r e do ft h et r a n s m i t t e r ,b u t a l s ob e c a u s eo ft h e l a c ko fa n y p a r t i c u l a rp r e s s u r e t o c o n s e r v et h er a d i os p e c -t r u m a t p r e s e n t i n s e r v i c e ss u c h a s b r o a d c a s tFM o rs p e c i a l i z e dm i l i t a r ya n dc i v i l i a nc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s .

On t h e o th e r h a n d , s o m eo ft h e

b a n d sa s s i g n e dt op u b l i cu s e a r eq u i t ec r o w d e da n d u s e r sa r e t h e r e f o r ed i s -

p o s e dt o w a r dm o d u l a t i o nt e c h n i q t u e sw h i c hm a k e moree f f i c i e n tu s e o f t h ea v a i l a b l es p e c t r u m .A c o m p a t i b l en a r r o w - b a n dSSB FM s y s t e mo ft h e t y p ed es c r ib ed h e rem a y p r o v eu s e f u li ns u c ha p p l i c a t i o n sb y n a r r o w i n gt h es i g n a lb a n d w i d t hf o ra g i v e nm o d u l a t i o ni n d e xw i t h o u ts a c r i f i c i n gt h e i m p r o v e m e n to r t h e i m m u n i t yt o i m -p u l s en o i s ea s s o c i a t e dw i t h FM. T h e p e a k - t o - a v ep o w e rr a t i oo fa n a r r o w - b a n dSSB FM s i g n a lm a y p r o v ea n a c c e p t a b l eb u r d e ni n t h a t c a s e .

O b s e r v a t i o no f t h e c o m p a r a b l e( i . e . ,S S B ) f o r m o fe n v e l o p em o d u l a t i o nc o m m e n d sP o w e r s 's u g g e s t i o no ft h ea p p l i c a t i o no ft h en o n c o m p a t i b l e ,s q u a r e - l a wt y p eo f e n v e l o p em o d u l a t i o n[ n = i n ( 9 ) ]a s a means o fSSB d a t a t r a n s m i s s i o n[ 2 ] .C o n v e n t i o n a lSSB i s a d e -q u a t e f o rs p e e c ho r m us i c b e c a u s eo f t h ew e l l - k n o w nt o l e r a n c eo ft h eh u m a n e a r f o rp h a s eo r e v e nf r e q u e n c ye r r o r si nr e p r o d u c t i o n .H o w e v e r ,d a t a w a v e f o r m sm u s tb e r e p r o d u c e dw i t h o u ts u c h e r r o r s ,s o e x a c tc a r r i e rr e -i n s e r t i o ni s r e q u i r e d( a p r o c e d u r ew h i c hi s f r e q u e n td i f f i c u l t ) .T h e f a c tt h a t t h em o d u l a t i n gs i g n a li s c o n -t a i n e d i n t h e e n v e l o p eo f ( 9 )i n d i c a t e st h a t s q u a r e - l a we n v e l o p ed e t e c t i o ns h o u l dr e s u l ti nd i s t o r t i o n l e s sr e c e p -t i o n ,t h u s o b v i a t i n gc a r r i e rr e i n s e r t i o nw i t h o u ts a c r i -f i c i n gs p e c t r a le c o n o m n y.

1 9 6 2 2 0 7 5

7/24/2019 Bedrosian, E. -- The Analytic Signal Representation of Modulated Waveforms

6/6

PROCEEDINGS OF THE IRE

ACKNOWLEDGMENT

D r . W. D o y l eo f The RAND C o r p o r a t i o np r o v i d e dm a n y s t i m u l a t i n gd i s c u s s i o n sa n d u s e f u ls u g g e s t i o n s .H i s c o n t r i b u t i o ni s g r a t e f u l l ya c k n o w l e d g e d .

REFERENCES[ 1 ]N . B .C h a k r a b a r t i , C o m b i n e dAM a n d PM f o ra o n e - s i d e d

s p e c t r u m , P R O C .I R E ,v o l .4 7 ,p . 1 6 6 3 ;S e p t e m b e r ,1 9 5 9 .Com-m e n t s :A. H . Ta y l o r ,P R O C .I R E , v o l .4 8 ,p . 9 5 3 ;M a y ,1 9 6 0 ;R . M . G o l d s e n ,M . R . S c h r o e d e ra n d N . B .C h a k r a b a r t i ,P R O C .I R E , v o l .4 8 ,p p .1 0 9 4 - 1 0 9 5 ;J u n e ,1 9 6 0 .

[ 2 1K . H . P o w e r s , T h e c o m p a t i b i l i t yp r o b l e mi n s i n g l e - s i d e b a n dt r a n s m i s s i o n ,P R O C .I R E ,v o l .4 8 ,p p .1 4 3 1 - 1 4 3 5 ;A u g u s t ,1 9 6 0 .C o m m e n t :L .R . K a h n ,s a m e i s s u e ,p . 1 5 0 4 .

[ 3 ]L .R . K a h n , C o m p a t i b l es i n g l es i d e b a n d ,P R O C .I R E , v o l .4 9 ,p p .1 5 0 3 - 1 5 2 7 ;O c t o b e r ,1 9 6 1 .

[ 4 ]V . P . L y a n n o y , U s eo f s i m u l t a n e o u sa m p l i t u d ea n d p h a s em o d u l a t i o ni nr a d i ob r o a d c a s t i n g ,I z v e s t i y aVy s s h i k hU c h e b n y k hZ a v e d n i y ,MVSSO, S e r i y aR a d i o t e k h n i k a ,K i e v,U . S . S . R . ,v o l .4 , p p .8 4 - 9 3 ; 1 9 6 1 . Av a i l a b l ea s U . S .J o i n tP u b l i c a t i o nR e s .S e r v i c eT r a n s l a t i o n ,J P R S :1 0 9 2 0 ;N o v e m b e r1 0 ,1 9 6 1 .

[ 5 ]E .C .T i t c h m a r s h , I n t r o d u c t i o nt o t h eT h e o r yo fF o u r i e rI n -t e g r a l s ,O x f o r dU n i v e r s i t yP r e s s ,Ne w Yo r k N . Y . ,c h .5 ;1 9 3 7 .

[ 6 ]A .E r d e l y i ,W. M a g n u sa n d F . G .

Tr i c o m i , Ta b l e s

o fI n t e g r a lT r a n s f o r m s ,M c G r a w -H i l l B o o kC o . ,I n c . ,Ne w Yo r k ,N . Y . ,v o l .2 ,c h .1 5 ;1 9 5 4 .[ 7 1D . G a b o r , T h e o r yo fc o m m u n i c a t i o n ,J . I E E , v o l .9 3 ,p t .3 ,

p p .4 2 9 - 4 5 7 ;N o v e m b e r ,1 9 4 6 .[ 8 ]J . V i l l e , T h e o r i ee t A p p l i c a t i o nd e l a N o t i o nd e S i g n a lA n a -

l y t i q u e ,C a b l e se t Tr a n s . ,v o l .2 , p p .6 1 - 7 4 ;J a n u a r y ,1 9 4 8 .

Av a i l a b l ea s RAND Tr a n s l a t i o n iT- 9 2 ;A u g u , s t1 , 1 9 5 8 ,b y1 .S e l i n .

[ 9 1J . R . V . O s w a l d , T h e t h e o r yo fa n a l y t i cb a n d - l i m i t e ds i g n l aa p p l i e dt o c a r r i e rs y s t e m s ,IRE T R A N S .ON C O M M U N I C ATT H E O RY,V O l .C T- 3 ,p p . 2 4 4 - 2 5 1 ;D e c e m b e r ,1 9 5 6 .

[ 1 0 ]R . A r e n s , C o m p l e xp r o c e s s e sf o re n v e l o p e so fn i o r i n a ln o i s e ,IRE T R A N S .ON I N F O R M AT I O NT H E O R Y,v - o lI T- 3 ,p p .2 0 4 - 2 0 7 ;S e p t e m b e r ,1 9 5 7 .

[ 111J . D u g t u n d j i , E n v e l o p e sa n d p r e - e n - v e l o p e so fr e a lw a v e f o r m lIRE TRANS. ON I N F O R M AT I O NT H E O R Y,V O I .I T- 4 ,p p . 5 3 - 5 7M a r c h ,1 9 5 8 .

[ 1 2 ]E .J . K e l l y,I .S .R e e da n d W V .L .R o o t , T h ed e t e c t i o n io fr a d a re c h o e si n n o i s e ,J . S I A M ,v o l .8 , p p .3 0 9 - 3 4 1 ,J u n e , 1 9 6 0 ;a n d v o l .8 ,p p .4 8 1 - 5 0 7 ;S e p t e m b e r ,1 9 6 0 .

[ 1 3 ]E .J . B a g h d a d y , A n a l o gm o d u l a t i o ns y s t e m s , i n L e c t t i r e so n lC o m m u n i c a t i o nS y s t e mT h e o r v, 'M c G r a w - H i l lB o o kC o . ,N e wYo r k ,N . Y . ,c h .1 9 ;1 9 6 1 .

[ 1 4 ]H . A . W h e e l e r , T h e s o l u t i o no fu n s y m i m e t r i c a l - s i d e b a n dp r o b -l e m s w i t h t h e a i do f t h ez e r o - f r e q u e n c yc a r r i e r ,P R O C .I l R E ,v o l .2 9 ,p p .4 4 6 - 4 5 8 ;A u g u s t ,1 9 4 1 .

[ 1 5 ]P . M . Wo o d w a r d , P r o b a b i l i t ya n d I n f o r m a t i o n iT h e o r y ,w i t hA p p l i c a t i o nt o R a d a r , M c G r a w - H i l lB o o kC o . ,Ne w Yo r k ,N .Y . ;1 9 5 3 .

[ 1 6 ]J . M. Wo z e n c r a f t , S e q u e n t i a lr e c e p t i o no f t i m e - v a r i a n td i s -p e r s i v et r a n s m i s s i o n s ,i n Le c tu re s o nC o m m u n i c a t i o nS y s t e mT h e o r y , M c Gr a w - H i l l B o o kC o . .Ne w Yo r k , N . Y . ,c h .1 2 ;1 9 6 1 .

[ 1 7 ]E .A. G u i l l e m i n , T h e M a t h e m a t i c so fC i r c u i tA n a l y s i s ,J o h nW i l e ya n d S o n s ,I n c . ,Ne w Yo r k , N . Y . ,c h .7 ,a r t i c l e2 3 ;1 9 4 9 .

[ 1 8 ]S .1 .Te t e l ' b a u ma n d Y u . G . G r i n e v i c h , E x p e r i m e n t a ls t u d yo ft h e m e t h o do fo p t i m u ma m p l i t u d e - p h a s em o d u l a t i o n ,R a d i o -t e k h n i k a( M o s c o w ) ,v o l .1 2 ,p p .4 2 - 4 7 ;M a y ,1 9 5 7 .

[ 1 9 ]0 . G . Vi l l a r d ,J r . , C o m p o s i t ea m p l i t u d ea n dp h a s em o d u l a t i o E l e c t r o n i c s ,v o l .2 1 ,p p .8 6 - 8 9 ;N o v e m b e r ,1 9 4 8 .

[ 2 0 1L .E .K l i a g i n , S p e c t r u ma n a l y s i si n a m p l i t u d e - p h a s em o d u l a -t i o I n , R a d i o t e k h n i k a( M o s c o w ) ,v o l .1 5 ,p p .6 7 - 7 3 ; A u g u s t ,1 9 6 0 .

O b s e r v a t i o n sof S a t e l l i t e - R e l a t e dI o n i z a t i o nE f f e c t sB e t w e e n 1 9 5 8a n d 1 9 6 0 *

J . D . KRAUS t , F E L L O W, I R E , AND M. E . T I U R I t ,MEMBER, IR E

S u m m a r y - T h r e ei n d e p e n d e n ts e t so fo b s e r v a t i o n so v e r a t w o -y e a rp e r i o d( 1 9 5 8 - 1 9 6 0 )i n v o l v i n gt h es a t e l l i t e s5 7 0 2 1a n d 5 8 0 4 2a r ed e s c r i b e dw h i c hs h o wa m a r k e dc o r r e l a t i o nb e t w e e ns a t e l l i t ep a s s e sa n d i o n o s p h e r i c - i o n i z a t i o ne f f e c t s .T h e e f f e c t st e n d t o p e a ka t t h et i m e o fn e a r a p p r o a c ho ft h es a t e l l i t eo r s o m e w h a tb e f o r ew i t hm o s to ft h ee f f e c t s

o c c u r r i n gi n

t h ei n t e r v a lo f2 0 m i n u t e s

b e f o r et o1 0

m i n u t e sa f t e rt h e s a t e l l i t e ' sp a s s a g e .O t h e ro b s e r v a t i o n so f s o m es h o r t - r a n g ee f f e c t sa r e d e s c r i b e dw h i c hi n d i c a t ea d e p e n d e n c eo ft h ee f f e c t so n t h es a t e l l i t e ' sh e a d i n ga s a f u n c t i o no ft h el o c a lt i m e a n do n i t sp o s i t i o nw i t hr e s p e c tt ot h eo b s e r v i n gl o c a t i o n .

* R e c e i v e dJ u n e 1 1 ,1 9 6 2 ;r e v i s e dm a n u s c r i p tr e c e i v e dJ u l y 1 6 ,1 9 6 2 .T h i s w o r kwa s s u p p o r t e di n p a r t b y a c o n t r a c tb e t w e e nt h eArmy R o c k e ta n d G u i d e dM i s s i l eA g e n c ya n d t h eO h i oS t a t eU n i -v e r s i t yR e s e a r c hF o u n d a t i o na n d a l s oi n p a r t b y g r a n t s f r o m t h eO h i oS t a t e U n i v e r s i t yD e v e l o p m e n tF u n da n d t h e O h i oS t a t e U n i -v e r s i t yF u n df o rB a s i cR e s e a r c h .

t R a d i o O b s e r v a t o r y ,D e p a r t m e n to f E l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,T h eO h i oS t a t eU n i v e r s i t y ,C o l u m b u s ,O h i o .

INTRODUCTION

HILE m o n i t o r i n gt h e 2 0 - M ct r a n s m i s s i o n so fWWV a t t h e O h i oS t a t e U n i v e r s i t yR a d i o O b -s e r v a t o r y OSURO) l a t ei n 1 9 5 7i t w a s n o t e d

t h a t l a r g ei n c r e a s e si n t h e s i g n a ls t r e n g t h o f WWVo f t e n o c c u r r e da t t h e t i m e o f p a s s a g eo f t h e a r t i f i c i ae a r t h s a t e l l i t e s5 7 0 1 2a n d 5 7 0 2 1( S p u t n i k sI a n d I I ) . 'WWV i ss i t u a t e dn e a r W a s h i n g t o n ,D . C . ,a t a d i s t a n c eo fa b o u t3 3 0 m i l e s f r o m t h e o b s e r v i n gp o i n t a t C o l u m -b u s O h i o . Much o f t h e t i m e ,e s p e c i a l l ya t n i g h t ,t h ee l e c t r o nd e n s i t yi n t h e i o n o s p h e r ei s t o o s m a l l t o r e f l e c ts i g n a l sf r o mW a s h i n g t o nt o C o l u m b b u so n 2 0 M c .I T h u s

' J . D . K r a u s , D e t e c t i o no fS p u t n i k sI a n dI I b y C W Vr e f l e c t i oP R o c .I R E ,v o l .4 6 ,p p .6 1 1 - 6 1 2 ;M a r c h ,1 9 5 8 .

2 0 7 6 O c t o b e