DD -
oo
ù'
oo
o o
4.54
3.53
2.5
(J2
1.5þ
.5
0
-Ã-l
1 5 zzÉg 3.5 4 4.5 5a
aaaaa
a
ln RQD
Bergklassificer¡ng med hiälpav regressionsanalys
Lars OlssonLars RosengrenHåkan Stille
Stiftelsen Bergteknisk Forskning - BeFoSwedish Rock Engineering Research Foundation
BeFo 21O:.1192
Bergklassificer¡ng med h¡älp avregressionsanalys
Rock classification based on regression analysis
Lars Olsson, TYRÉruSLars Rosengren, ltasca GeomekanikHåkan Stille, lnst för Jord- och bergmekan¡k, KTH
Stiftelsen Bergteknisk Forskning - BeFoSwedish Rock Engineering Research FoundationStockholm 1992
rsRN BEFO--g2/21 0-1--SE
FORORD
Etablerade metoder för att värdera bergmassors egenskaper ur bergteknisk
synvinkel är främst baserade på sammanställningar av erfarenhetsdata från
ett stort antal berganläggningar.
Det s k Q-systemet, utarbetat av Barton m fl samt Bieniawskis "Rock Mass
Rating" (RMR) används regelmässigt som hjälp för bedömning av
förstärkningsåtgärder mm. För indata till direkta dimensioneringsberäk-
ningar ger Q- resp RMR-värden vissa anvisningar, men en mera strikt
bestämning av hållfasthetspararnetrar skulle ofta vara önskvärd för att öka
tiliförlitligheten hos beräkningsresultaten.
Projektet bergktnssit'icering med hjrilp aa regressionsanalys har genomförts
under ledning av professor Håkan Stille vid Institutionen för Jord och
Bergmekanik på KTH. Lars Rosengren har i huvudsak svarat för data-
insamling och bearbetning medan Lars Olsson har gjort den statistiska
utvärderingen. Projektet har syftat till att pröva i vilken mån en statistisk
bearbetning av normalt tillgängliga data kan öka kvaliteten på de parametrar
som används vid dimensioneringen. Undersökningen har visat att metoden
som sådan är användbar, men att man skulle behöva en större datamängd
än den som varit tillgänglig för att uppnå statistiskt sett tillförlitliga resultat.
Det betonas också att utvärderingen måste grundas på ett bergmekaniskt
kunnande.
Stockholm í april7992Tomas Franzén
TNNEHåT,ú S I.öRÍE CKN ING
1 INLEDNING.
2 KTJASSTI'ICERINGSMEÍODERNAS MöJI,IGHET ATT
BESTå,MMA BERGMASSANS EGENSKAPER
1
2.L
¿.¿
2.3
2.4
t\
2.6
2.7
RQD-metoden (Rock Quality Designation)
RMR-met.oden (Rock Mass Ratíng)
RMS-met.oden (Rock Mass Strength)
Q-metoden (NGI Tunnellíng Quality Index)
övriga klassif íceringssystem
Samband och jämföre1se mellan olika klassi-ficeringsmetoder
Diskussion om bergklassificerinEsystem
3 .INGÅNGSDATA TII,I, ST.ATISTXSK MODETJTJ
3. l- Viktiga parametrar
3. l-.1 Lista på använd allmän geologiskinformat ion
3.2 Studerade "ças€"
4 STATISTISK TEORI
3
3
4
1
9
1_3
1,1
21_
24
24
24
32
35?tr
2tr
3'7
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.1
Avs iktKrav på indata
Regressionsanalys .
Sammanfattning av principer för línjärregress ion
Hur rroggrann är modellen
Val av antal variabler i modellen.
Sammanfattning
<v
4T
47
50
5 STATISTISKA SYNPUNKTER På !4ATERIALET
5.1 fnledning
5.2 Typer av mätvärden.
5.3 Transformeríngar
6 BER¡|,KNINGAR ;...
6. L Programvara
6.2 Utförda beräkninqar
7 BERJ|KNINGSRESULTAT
Beskrivande .statíst.ik. Samtliga paramet.rar
Korrelatíon mel-Ian parametrarna
Regressionsanalys.
Statistisk analys av utval-da parametrar
1 ,4 .I Korrel-at.ionsanalys.
7 .4 .2 Stepwise regression
Analys av transformeradegraderingsvariabler .
Analys utan outliers
Regressíonsanalys av variabl-er som trans-formerats på bergmekanisk grund
Vald modell
7.I7.2
'1 ?
7.4
7.5
1.6
7.8
52
tr,
53
53
56
56
56
57
57
57
59
60
60
62
64
65
61
74
8 ST,UTSATSER . . 77
9 SUMMARY 79
BI LAGOR
Bilaga 1 SammanstälJ.nínE av ingångsdata
Bilaga.2 Referenslist,a över studerade case .,... 2
tsilaga 3 Statistísk modell: linjår
1
regres s aon 6
al-a
BiJ,aga 4 Durunyvariabler ... .L4
Bilaga 5 Formler för beräkning av konfidens-intervall för enstaka utfa1]. 16
Bílaga 6 Histogram över ingående paramet,raË.. .. L7
BiJ.aga 7 Enkel regressionsanalys. 23
Bilaga 8 Transformerade variabler.... ......32
Bilaga 9 Regressionsanalys utan outliers. ..33
Litteraturreferenser ...38
I
1 INIJEDNING
Bergmassans komplexa naLur g0r det svårt att fÖrutsägadess egenskaper och dårmed dess beteende i olikasituationer.
I dag finns det olika metoder att uppskatta bergmassans
håI1fasthet,s- och deformationsegenskaper. Gemensamt fördessa är att de mer el1er mindre baserats på erfaren-het.er och subjektiva bedÖmningar som formulerats tillempiriska samband.
Under de senasLe decennierna har det utvecklats etLantal daLorbaserade hjälpmedel för at.t beräkna stabi-litet och deformationer vid bergbyggtande. Dessa hjälp-medel utgÖrs av numeriska beräkningsprogram av typenrinita Element. Metoden (FEM), Finita Differens Metoden(FDM), Boundary ElemenL Metoden (BEM) efler hybrider av
dessa. För att dessa beräkningsprogram skall kunna ut-göra kraftfulla hjålpmedel vid projekt.ering av en berg-anlåggning eller gruva, måst,e de indata man ger varabest.ämda på ett sådant sätt. aLL man vet aLt sät,tatilltro Lill beråkningarna.
Talesättet att "en beråkning aldrig kan bli båttre än
de indata man ger den" är väl inarbetad bland modelle-rare. En naturlig fÖljdfråga till detta påstående êlr:
Hur bra år indat,a?
Det år ofta svårt och ibland omÖjligL att få e.tt till-räckligL antal direkta bestämningar av bergmassans
deformations- och håIlfast,hetsparametrar. En möjlighetkan då vara aLL indirekc skaita dessa ur andra mer
låt.tbedÖmda parametrar och allmän geologisk informationom berggrunden.
2
Vi har i denna rapport studerat just denna möjlighet:att ur olika data som kan vara tillgångliga skapa eLtuttryck för beståmning av bergmassans hâ11fast.het ochdeformationsmodul .
Vår ambition har varit att detta uttryck ska1l varabaserat på en st.ringent analys av ingående data, samL
aLt det skall vara mÖjligt att ge ett mått på hur braman kan gÖra en bestämning av den sÖkta storheten.
Man kan se det som en mer strj-ngent form av att sÖka
ett empiriskt samband.
Den använda met.odiken kan sammanfattas i fÖljande steg:
1_) Upprättande av en lista Over allmän geologiskinformation.
2) Bestämning av de aktuella parametrarna ur vå1dokument,erade "case" .
3 ) Vårdering av de studerade fallens kvalitet.
4) Tilld.mpning av statistiska metoder för att finnasamband mellan de sökta parametrarna och denaIlmänna geologiska informationen.
5) Vårdering av metodiken.
3
2 KT,åS|STE ICERINGSMEIODERNÀS¡ MöJLIGTTEÎ ÀTT BESTJi}trTTA
BERGMASSÀNS IGENSKAPER
Ett ofta använt sätt at.t uppskatta bergmassans hå11-fasthet och deformat.ionsegenskaper är att utnyttjask bergklassificeringssyst.em. Genom at.t använda desssystem kan olika all-mängeoJ-ogisk information sanìman-
vägas och sedan översät.t.as till hållfasthet och de-forrnationsmodul. Systemens uppbyggande är helt sub-jektiv och baseras på upphovsmännens egna erfaren-heter.
I följande avsnitt redovisas de vanligast förekom-mande bergklas s i f iceringssystemen .
2.1 RQD-metoden (Rock Quality Designation)
RQD-metoden är ett kvantitativt indexsystem av berg-massans kvalitet som qrundas på upptagna bergkärnorfrån kärnborrning. Metoden lanserades 1964 av Deere.Deere föreslog följande relation mellan RQD-värdetoch bergmassans kvalitet:
.RQD
<2525-505 0-7575- 9090-100
Rock Quaj-ityvery poorpoorfairgoodvery good
RQD-index definieras som sunman av ostörda kärnbitarlängre än 100 mm räknade i procent av den teoretisktbetraktade kärnlängden, även inkluderande eventuellakärnförluster.
ROD(t) = 100 x I länqd av hela kärnbit.ar >
kärn1ängd
I vår vetskap finns inget direkt samband mellan RQD
och bergmassans håIIfast.het. publicerat. Däremot.
ingår RQD som en parameter i flera andra klassifice-ringssystem.
4
Någon ent.ydig relation mel1an RQD-index och berg-massans deformationsmodul finns ej redovisad. Detempíriska sambandet mellan kvoten av bergmassans ochbergartens elast.icitetsmodul (Bieniawski, j,979) kandärför endast användas för en grov uppskattning avbergmassans deformationsmodul (Fiq. 2.I) .
oL
l-9o
c9
too
f;Þo:
0 rOO
Rock quol'tY¿0 50 80
da¡rgnolroñ, 7.
Comp.rrr:.rn ol RQD r llh modulus rcducll(ìn rJllom,rdulu. r¡f rrrel m,ts. l{ì Er.. m(ilulu5 ,rf rtrel nr.¡tcrt¿l
¿v
Fig. 2.1, Samband meJ.lan ReD och kvoten mel_lan berg-massans och bergartens cleformationsmodul(Bieniawski, L978) .
2.2 RMR*metoden (Roek Mass Rating)
Bieniawski (I979) har föreslagit. ett. ktassifice-ringssystem som tar hänsyn ti11 sex olika paramet-rar. Dess parametrar har erfarenhetsmässigt t.i1lde-l-at.s en viss poäng och den sammanlagda poängsummanger bergmassans RMR-värde.
Följande faktorer ingår i RMR:
l-) Bergartens håIlfasthet2) RQD-värde3) Sprickavstånd4) Sprickornas ut"seende5 ) Grundvatt.enförhå]l_ande6) Sprickriktning och ori.entering
c Rcs!¡lît lroñ 0rorthok OomO.ata ot d(., ¡967(1,
I Oronoa -F¡¡h Tunncl - vrrtrcollockrâ9 tcrtr Otrvrcr, I977 (27)
^ Oror'ìgG-Fr¡l'ì funncl' holrtoñtolJockrn0 tat?t
o Orokan¡baro lat13o Elondrbcrg t.rll{¡ Oronga FÙvrr gro¡cct
c 0r.pilool
¡
=:ir7
oo
?"9
q^
^
^a
a
rÐa
o
.X
c
o
A
^Ð3
I
('
5
Fig. 2.2 vísar vilka faktorer som ingår i RMR-värdet
och hur de poängsätts. Vidare framgår också vilkenbergkJ-ass ett. visst RMR-värde ger.
0af!0rt
t
>1ã
on.-> 0.5
¡l - 'ãoe--..-...---
0.2{.tofl--
e$6e
lèã
ol-î.t42
oe
<to
oâ-.._._-0.o{.1
o{--æO@
0
on-Cæ*yéry
rã Ê¡;;ã-Oæ¡¡cdl6a
0r0ã)ta¡
Sdræ>tñMoá
5æ.¡¡6 > ! M
oaCq<5ñnd
oab.¡b!.tm
SrEñttqôsd$Sdn6 < rñ
Ft¡¡yÊññll
sr€ñít qÀ e¡{ËSæaol6 < I M
sr€ñrf ñrffi 6rl
vñqñadd
&FdrtF.dd,ü
cdr6dô@úui-
!ar0rtil
O-2ú ñôÐ.d'm0.a'2úSFq dæffhurñ
¡ !ttæù!t{tI
<ãts.lJtlst.ñtpl.t6hr ø drry AOO
0I2¡!a
tr.5tã
ãs- ræMàtæ.29MÈ>ä uh
'6ûf,lc6c¡*
rMufllâa ilaa¡trcAno.a t^lÐgni¡ lÆ rul' unrc¡
¡. ulm @tËm t4 æÍ oafrt^llota
-.rô{J.60
{t.rt-¡0
-rl.rO{.:0
trulFdpt
c. ¡oc¡ u! Nt mEfiæ nd rcfl unloa
ItrilcEb
<æèñ3>¡tó-ltlÈtl
ô. ruloorffiIgct¡{a
< rg.13. . á.ã..!.!. -6.>6.
< to rar16 . ¡O ¡Ptæ-ütrhÍr-õrñ>@¡ttCædhÉÐ
!ñþ!ñçir0ME¡.3ñFrr0Ëtrrlñryi^qa.É4fü
ilxICEþ
T¡ble 2.
The Effect of Dttconttnulty Slrlke and Dfp OrlentatloDt !u Tunnɡ'lnt'
2 Bergklassificering enJ-igt Bieniawskj-(19'79) .
V€ryfavourabie
Favourab Ie Fåtr ljnfavourable FðffVeryunf avourabl e
Unfavourab le
D1p 45'-90" Drp 20'-45' Dfp 45'-90' D1p 20'-45' Dtp 45'-90' Dlp 20'-45'
Dri.v. drh dlP Drlvê tBslnst dlp
StsllÊa pêrpeudlcul¿r to tumel ulrStrl.Le Psrellêlto tunn¿l ¿xla
DiP0' - 20'
trresP€c t tveof serlhe
Fig. 2
6
I tabellsektion D i fiq. 2.2 uttrycks bergmassanshåflfasthet med hjälp av parametrarna cohesion (C)och inre frikt.ionsvinkeln (0) .
Om sambandet
2C cos Qom
1 sin Q
utnyt.tjas i kombination med tabelI 2.1,
hål1s värden för bergmassans enaxiellafasthet.
nedan, er-t.ryckhå11--
Tabell 2.I C och $ beroende på bergklass ochRMR-värde
Klass och RMR-värdeI 00-Bl
IIB0-61
lIt60 -41
v V
40-2]l <20
Be rgma s san stryckhå'l'l fasthet, l4Pa
C, Kohesion, MPa
0, Fri ktionsvinkel
>l .9
>0.4
>450
1.5
0.4-0.34s - 35
<0 .3
<0. I
<l 50
0.9 0.4
0.3-0.2 0.2-0.135 - z5o lso-zso
Bakgrunden t.ill t.abellen är erhå1lna värden på berg-massans håflfasthet från i första hand kolgrruvor,dvs berg av tåg kvalitet och de innehåller dessutomen effekt av hög belastning. Uppskatt.ning av berg-massans hå1lfast.het med RMR-metoden ger enligtSti1le et al- (1,982) en underskattning av hål-l_fasthe-ten, speciellt för berg med bättre kvalitet.
f fig. 2.3 redovisas ett samband mel_Ian RMR-värdetoch bergmassans deformationsmodul (Bieniawski,1_978).
Av figuren framgår att deformationsmodulen låter sigberäknas endast för RMR-värden större än ca 50,vilket motsvarar bergmassa från mitten av klass IIIoch bättre (se tabelt 2.I) .
7
60=t¡J
6
¡Goôb
J
Ift¡,
:
Genom kompJ-etterande analys av sambandet mellan RMR-
värdet och bergmassans deformationsmodul föreslårStille (1982) föIjande relationer:
Em=2xRMR 100 (GPa) då RMR > 52
Em = 0.05 x RMR (GPa) då RMR < 52
80
GPo
40
20
0{o !o €o 70 tþ
cEoMEcHANrcs RocK MAss RATTNG R M R
90
Fig. 2.3 Samband mellan RMR-värdet och bergmassansdef ormat.ionsmodul (Bieniawski , I91B)
2.3 RMs-metoden (Rock MasE Strength)
StiIIe (1982) föreslår et.t klassificeringssystem som
grundar sig på RMR-systemets fem först.a punkter.StiIIe menar att den 6:e punkten i RMR-systemet,
sprickrikt.ning och orientering, i princip är fel*aktig, eftersom håflfastheten inte beror.på sprick-orienteringen. Vidare påpekar Stille, att bel-ast-ningen kan bli mer eller mindre ogynnsam beroende på
be.l-ast ningsriktningren i f örhåIlande t ill sprick-orienteringen. Vid t ex en FEM-analys beaktas
too
o
aaE¡ a
ot
¡I
ooEM=2n¡¡n-loo
o E AroStnG sct€E
t úlrÊr¡sËRc 30{Érat
g ill¡Gt-FlsH ll¡ia¡.¡ Íf8r,t coALRÊLo
O LE NOIJT fl¡| oll¡O¡^flc sc'r€E
o adoc't scl{E
8
belastningsriktningen í sjäJ_va beräkningen och skalldärför inte beaktas vid bedömning av hållfastheten.
I RMS-systemet. görs istälLet ett tilläggsprickor och antal spricksystem enligtnedan.
för typ avtabel I 2 .2
-10055Ej genom-gående
-150-15-15Genomgående
Fler än 2 spricksystI ôvrìgtilã I lf ast-
heten 'i
s prì ck-ri ktni nqen
Enskild markantspricka
ïyp av spricka
Typ av sprick-sys tem
'l el ler 2 spricksysten
Tabel I 2 .2
r tabell 2.3 redovisas bergmassans hålrfasthet somfunktion av RMS-värdet.
0.2OB1.32q4.7c, MPa
150450 ^-oJ3 250.-o3f,
5 tÊ 0.51230
<2060-41 41 -20B0-61100-BlRMS-vä rde
,, MPa
Tabel L 2 .3
9
2.¡l Q-metoden (NGI Tunnelling Quality Index)
Genom studier av et.t stort antal praktikfatl harBarton et al (L914) föreslagit ett index för bestäm*ning av bergmassans kvalitet vid tunnelarbeten. Detnumeriska värdet på detta index definieras av:
*BQDxJrx:lwJnxJaxSRFa
där
RQD =Jn=Jr=Uct
Jw=SRF =
Deere's Rock QualÍty DesignationJoint set numberJoint roughness numberJoint alteration numberJoint water reduct.ion factorSt,ress reduction factor
I tabelL 2.4 redovisas klassifikationen av varje in-gående parameter
För att relat.era Q-index t.i11 berqmassans uppförandeoch erforderlig förstärkningsinsats har Barton et alinfört ytterligare en kvantitet som kallas utbryt-ningens ekvivalent.a dimension, De. Denna dimensionfås genom att dividera ytbrytningens spännvidd, dia*meter eLler vägghöjd med "excavation supportratio", ESR.
Deutbryt.ningens spännvidd, diameter el-ler vägghöjd
ESR
ESR relaterar t.ill vad utbrytningen avses att. använ-das t.itt samt till vilken grad av instabilitet som
är acceptabel. ESR är ungefär analogt med inversenav säkerhet.sfaktorn som används víd design avslänter (Hoek och Bray, 'J.917) .
Förhållandet mell-an Q-index och ekvivalenta dimen-sj"onen, De, visas i fig. 2.4
l0
TabelL 2.4 Q-metodens klassifikation av varjeenskild parameter
¡r. JOTNT ALTERATTON NUHBER
a. Roek tnLL conta,ct.
A. Tightly healed, hard, non-softening, impermeable fi I I ing 0.75
ó. (approx. )Ja
A. Discontinuous jointsB. Rough or irregular, undulaÈingC. Snnoth, undulating0. Sl ickensided, undulatingE. Rough or i rregular, planarF. Snrcoth, planar
G. 5l ickensided, planar
c. No rock unLL contactuhen sheated.
l. Add 1.0 if the mean spacing of thereìevðnt jo¡nt set is greater than 3m.
2. J, = 0.5 can be used for planar, sl ick-ensíded joints havíng I ineations, providedthe I ineations ðre orientated for minimumstrength.
Jr
0
r.0
3. JOINT ROUGHNESS NUHE€R
It
3
2
r.5r.51.0
0.5
a, Rock wLL contact and.
b. Roek wll contact before10 ens shear.
H. Zone containing clay mineralsthick enough to prevent rockwal I contact.
J. Såndy, gravel ly or crushedzone th¡ck enough to preventrock wal I contact.
A. ¡',1êssive, no or few jointsB. One joint setC. 0ne joint set plus random
D. Two joint setsE. Two joint sets plus random
F. fhree joint setsG. Three joint sets plus random
H. Four or dþre joìnt sets,randorn, heavi ly jointedr5ugar cuber , etc
J. Crushed rock. earthl ike
Jn
0.5 - 1.0
2
3
4
6
9
t2
r5
20
2. JOINT SET NUI'188R
l. For intersecrions use (3.0 x Jn)
2. For portals use (2.0 x Jn)
I. ROCK QUALITY DESIGNATION
A. Very poor
B. Poor
L. l-¿¡ I r
D. Good
E. Excel lent
I . \,lhere RQO is reported or rneasured as5 l0 ( including 0 ), a nominat va'lue '
of l0 is used to evaluate Q.
2. RQO intervats of 5, i.e. 100, 95, 90 etcare suff iciently accurate,
RQD
0-2525-5050-7575-9090 - 100
NoteeVaLueDescríptíon
t-1
epprox. waterpressure (rg¡/cm?)
< 1.0
1.0 - 2.5
2.t - 10.0
2.5 - 10.0
> l0
> l0
Factors C to F are crudeest¡mðtes, lncrease J*i f drainage measures areinstal led,
5. JOINT WATER REDUCTION FACTOR
A, Dry excavâtions or minor inflow,i.e. < 5 lit,/min, locally
8. l'led ium inf low or pressure, occð-sional outwash of joint fillings
C. Large inflow or high pressure incompetent rock wi th unf í I led joi nts
D. Large inflow or high Pressure 'considerable outwðsh of fi I ì ings
E. Exceptional ly high inflow or pres-sure at blasting, decaying wi tht ime
F. Exceptionally high inflow or pres-sure continuing wi thout decaY
Jw
1.0
0.66
0.5
0.33
0.2 - 0.1
0.1 - 0.05
2. Specíal problemsby ice formationnot cons i dered.
causedare
B. Unaltered joint walls, surfacestaining only
C. Slightly aìtered joint wallsnon-softening mineral coatings,sandy particìesr clay-freedisintegrated rock, etc
D. Siìty-, or sandy-cla y coat i ngs,( non-smal I cìa
softeningE. Softening or low friction clay
mineral coðtings, i,e. kaolinite,mica. Aìso chlorite, taìc,and graph i te etc. , and sma I
tities of swelling clays. (
continuous coatings, l-2rvnless in thickness)
2.0 (25o - 3oo)
1.0 (200 - 250)
lr.0 ( 8o - l60)
1.0 (250 - 300)
6.0 (l60 - 2qo)
8.0 1r2o - t60)
5.0
tl.020.0
( 60 _ 2l,o)
ô, (aPProx. )
(z5o - 3to)
Values of O-, the resídualfriction anile, are intend-ed as an approx¡mate gu¡deto the mineralogical pro-pert ies of the a I teråt ionproducts, i f piesent.
J¿t
r.0
y-fraction)
II
yP5 umquan-
Dis-or
b. Rock tnLL contact before70 cns sheæ.
F.5andy part¡cles, clay-free dis-integraced rock etc
G. Strongly over-consol idated, non-softening clay mineral fillings(continuous, < lnrn thick)
H. l{edium or low over-congol idation,softening, clay mineral fi I I ings,(continuous, < lnm ¡hick)
J. Swel ì ing clay fi I I ings, i.e.Íþntrþr¡Ilonite (continuous, t 5Ím thick ), Values of J" dependon percent of swel I ing clay-sizepðrt¡cles, and access to water
c. No rock tnLL contactuh¿n sheæed.
K. Zones or bands of d¡s¡ntegråtedL. or crushed rock and clay (seeIt. G,H and J for clay conditions)N. Zones or bands of silty- or
sandy clay, smal I clay fraction,(non-softeni ng)
Q. Thick, continuous zones orP. bands of clay ( see G, H andR. J for clay condi tions)
8.0-12.0 (60-120)
8.0-12.0 (60-ztlo)
6.08.0
r0.013.0
TabeII 2,4 (fort.s.) Q-metodens klassifikation avvarje enskild Parameter
12
ADOITIONAL NOTES ON THE USE OF THESE TAELES
\.,/hen naking estimates of the rock mass quality (Q) the following 9uìdelines should be followed,in âdd¡tion to the notes I isted in the tables:l. l.,lhen borehole core is unavailable, RQD can be est¡mated from the number of jo¡nts per unit
volume, in which the number of joints per metre for each joint set are ådded. A s¡mple rel-åtion cân be used to convert th¡s number to RQD for the cåse of clay free rock nasses :
RQD = ll5'3.3Jv (approx.) where Jv - total number of joínts per n3(RQD . 100 for Ju < 4.!)
2. fhe paråmeter Jn representing the number of jo¡nt sets will often be affected by foliation,schistosity, slaty cleavage or bedding etc. lf strongly developed these parållel ¡'joints,,should obviously be counted as a complete jo¡nt set. However, if there are few'lvisible, or only occas¡onål breaks in the core due to these feåtures, then it w¡lappropriate Èo count them ås rrr¿ndom joints" when evaluating Jn,The parameters Jr änd Jâ (representing shear strength) should be relevant to the úeakestsignifícant joìnt seè o? cldy filled discontinuitg in the g¡ven zone. However, if thc jo¡nrset or d¡scontinuity w¡th thà minimun value of (.lr.zl") is favourably orlented for stabiiity,then å second, less favour¿bly oriented joint set or-discontínu¡ty mðy sometimes be moresign¡ficant, ånd its higher value oî Jr/Ja should be used when evaluating Q The ualue ofJn/io should in fact nelate to the surface nost Likely to alloa faíLune to ìnítíate.llhen a rock mass contå¡ns clay, the factor SRF âppropriate to loosening Loads should 6eevåluated. ln such cases the strength of the íntåct rock is of líttle ¡nterest. However,when jointing is minimal and clay is completely absent the strength of the intact rock may
become the weâkest link, and the stâbility will then depend on the ratio rock-stress/rock-strength. A strongly an¡sotrop¡c stress f¡eld is unfavourable for stability and isroughly accounted for ås in note 2 ¡n the table for stress reduct¡on factor evaluation.
!. The compressive and tensile strengths (oq and o¡) of the ¡ntact rock should be evðluðtedin the saturated condìtion ¡f this ¡s appropriate to present or future in situ çonditionsA very conservâtive est¡mate of strength should be made for those rocks thât deter¡oratewhen exposed to moist or saturated condit¡ons.
TabeIl 2.4 (fort.s) Q-metodens kl-assifikation avvarje enskild parameter
oints"be mre
6. sTREss REDUCTIOII FAcToR
4. l,lealoæse zones ¿nteîsectí,ng eæeauatìon, ohich naV eause Looseningof nock masg uhen tunnel is eæcauated.
Muìtíple occurrences of weakness zones containingclay or chemical ly disintegrâted rock, very loosãsurrounding rock (any depth)Single weakness zones containing cìay, or chemícãl ly dÌsintegrated rock (excavation depth < 50m)
Single weakness zones containing clay, or chem-ícal ly disíntegrated rock (excavation depth > 50n)Multiple shear zones in competent rock (clay free),loose surrounding rock (any depth )
Single shear zones in competent rock (clay free).(depth of excavation < 50m)
Single shear ¿ones in competent rock (clay free),(depth of excavation > !0m)
Loose open joints, heavi ly jointed or 'sugar cube,(any depth)
neasured) : when 5 taL/ú3{ 10, reduce-d. to 0.8o"and o¡ to 0.8o¡. llhena¡/og > lO, reduce qc anddt to 0.6dc and 0.6o¡,where oc - unconfinedcompressive strength, andor o tens i le strenqth(õoint load) and o¡ and03 are the najor and minorprincipal stresses.
3. Few case records avai lablewhere depth of crown belowsurface ¡s less thðn spånwidth. Suggest SRF in-crease fron 2.5 to 5 forsuch cases (see H),c. Sqwez¿ng roek, plastíc ilcu of ¿nconpetet;t nock under the
influenee of high t'ock presswe SRF
N. Hi ld squeezing rock pressure 5-100. He:vy squeez¡ng rock pressure 10-20
d. SweLLíng nock, chemícal süelL¿ng actíuity depnding upon preaence of üate?
P. tl¡ ld swel I ing rock pressure 5-10R. Heavy swelling rock pressure 10-20
2. For strongly an¡sotrop¡cvirgiñ stress f¡eld (if
G
0
I
A
l0-5 0.66-0.33 0.5-2
5- l0
¡ 0-20
5-2.5<2. 5
SRF
2.5
1.0
otlo!>13
l 3-0. 66
)nt
10.0
5.0
?.5
7.5
5.0
2.5
5.0b. Cônpetênt nock, nock sttcss probLena
aç/o 1
H. Low strcss, near surface >200
J. l{edium stress 200-10
0.33-0. r 6
<0. l6
K. H¡gh stress, very t ight structure(usual ly favourable to stab¡ I ¡tylmy be unfavourable for waìlstab¡ I ¡ty)
L. |l¡ ld rock burst (massive rock)
H. Heåvy rock burst (mssive rock)
Reduce these values ofSRF by 25 - 501 íf therelevent sheãr zones onlyinfluence but do not¡ntersect the excavation.
&U
ç rooút".-
550où3
2o
är0oÊX)u
E
t-I:UT
od
F
=
zè
5 l0 50 100
13
500
Ic)
Õz:u
=ôFzUJ
==
0.5
0.1U 00 005.0r ,05.r
ÏUNNELLING qUALITY A
5l
x . *î-JrJð
RQD
Jn
Fig. 2.4 Förhål-landet mellan maximala ekvivalentadimensionen, De, för en underjordisk ut-brytning och Q*index.
Q-index har blivit mest använt. för att bestämma er-forderliga förstärkningsinsatser vid undermarksbyg-gande. I Barton et. âf , L9'14, och Barton, 7916, redo-visas omsorgsfullt utarbetade grafer för det.ta ända*måI.
Hur Q-index kan utnyttjas för att bestämma bergmas-sans hållfasthet och deformationsmodul di"skuteras ikapitel- 2 .6 .
2.5 övriga klassífíceringssystem
Hoek och Brown
Vid bergklassificering enligt Hoek och Brown (1980)
tar man hänsyn ti11 bergartens enaxiella tryckhå11-fasthet samt en verbal, beskrivning av berqmassan.
I
i
I
I
. : : I r:rrtN0 suPPoRT nEqUrneo I
| | , lll¡ll I ì l
-lI
i
IIiI
I
II
xIrtl
S UPPORTllrl
t¡rlREQU I RE D
I tlil
lltII
EXC.G0on
TXT.GOOD
VERY
GOODGOODFAIRP OOR
VE RY
P OOR
TXTREHELYP OOR
EXCEPT I ON.ALLY POOR
14
Klassificeringen uttrycks med hjälp av Hoek ochBrowns brottvillkor.
I tabell 2.5 redovisas bergklass j_ng enligt Hoek ochBrown på formeln:
o1n=o III'O3r, *g
där m och s är materialkonstanter vilkas värde berorpå bergets egenskaper i vilken omfattning det harvarit sönderbrutet före det blivit utsatt för spän-ningarna o1 och o3. oln och o3r, är de normaliseradehuvudspänníngarna ot/Cc och o3/c", där oc är detintakta bergprovet.s enaxiella hålIfast.het. Tabell-2.5 anger också jämförande värden vid klassningmed RMR- och Q-metoderna.
r-l0)(t(D
Hts
N)
(¡^HPO\0rlæ19a5-t-'0)
U,(h
P.H
eo5PP.taat
¡&
o)ç'
alo
ño{
vlRY P00R QUALtT9 RnCK HÂSs
lìum.r,'rtl ltp,:t'i lu ¡,¡. 11t1"(.¿ joíùt:epaceà lc:cs thilt 50m ,¡ítìt ct,¡t)¿fílli,rr ," t,t:ltro t'-.'u tíLh fi'tts
CSII? r,tti,t,l ,4, i'¡i;! ¡'aÍitq 0-üt
P00R QUALllY RoCK ñASS
H Ør' r¡ ì t n',¡., ¡ t h¡ r,., l,í ¡ ¡ i t¡ t s t:¡t ¡tt, t !4t 3C t,) 5!1 tfr1 ù,í t\ 3tñP gt'rt;eiil.l inL;. . ir IrÌ '\,r1, ,.,',C-cl17 :1tt:ng ¿3, llil rùt:íûO ù. î
FAtR QUALTtY RoCK |,IASS
Seve\rl. set6 t1l' t?)tiÉ{atcere.l ,íoiat,s sln.'ed 4t 0.
iyJ
Death-toI
CSIR tatí'la 44, iicÌ P,ltinq !.0
c00D QuÂtrlY RocK HAss
Ftesh tô ali ;ht i¡, t,to,¡lher¡;¡! ro¡:h,elighLQ ii.sturl]a,l ù;th jo¿îtes\aced qt I òo ;< ..tre',C:;lR ratiilq 65, l¡(iÍ t'¿tír¡g 10
VERY GOOO QUALITY ROCI( "ASS
T íghtlg ¿n t c.l Õal i.nq undi e tu¡'b e.lrcek títh u6deathe!'ed join¿sepaeed at t 3met*?F
CSIR r<¿ti.nLt 85, ¡tt;f r\Lítg 1C0
IIIIACI RO€K SAI{PLES
!^1boñ!.ru eizP r^ok sl)eêiñ"nafree fron Êttw.luùtl deÎe.¿s
CSIR rctí.¿q l11t, NGi tY!tí49 5oo
APPROXIHAÏ'E EO-UATIONS FOR PRINCIPAL STRESS RELATIOI{SHIPS AI¡D HOHR ENVELOPTS FOR INTACT ROCK AND JOINTED ROCK I.IASSES
st¡ßoj¡ +fi.69¡.,,r+.4
I û , a.o\z (o, ¡ 0.5 34
dl¡¡ - o3r " "6.0r.nr,, - õ aõóoì
th = o.1 !5 (0¡ " o.ooo¿)0'646
o t¡: ol¡ * '-o.li ;;; * 0.000t
rn -o.198(0r "o.ooo7)0 662
o rr r rt¡r + '6-Z1 3r, ; o. öotí
rn - o. J69lon n 0.006)0'669
oln'ttn + 43;;¡;õ:irr - 0.651(rn * g.926¡0 679
otñ-o3r+Oa¡tt.i
r, - 0.8t6(o¡ + o. t¡.0)o'658
C,1RB0t¡l\ft R0CKS'¡rlTfir,,€LL OEU€LOP€D CRYSIALCLÊAVAGE
doi cní le, I íøeçt¡.¡e a't 7
wri: I o
olr¡ È olr. +,'[ gl0ot,, r õ
- , .a.539,'-0.050lt,r1
'rl'¡. ô1,,'/-o.óió¡n . o.oóoìi
1¡ - 0.r29 (d, ,6.s3g2¡0'655
.r¿ - o r{ . /õ. iô; ;;¡ õ:0õõi
f4 - 0.234 (qD + 0.0005)0 675
rt¡. dr,¡ . /ì.ôãr,, - õ.õõ(
t,¡ - 0.42i(o¡ * o.ooqlo'681
o l, - d !¡! + 6;1,.; 0, î
r4 - 0,719(o¡. o.02olo'692
drr r oln../i0,;1,;; i-:õ
¡r - Q.!18(o¡ .0.099)0'67/
LI IIIIFIED ARCILLACTOUS ROCKS
û. lal/,np, Fi ¿trt û4, ahIleq,¡.Ì dlatc (a"turl to
ot¡-ot¡+,0.0t5ôli+0
rn - o.o6l (n,,)o'5tt6
otÌ - d t,: r,ô.ò8oi¡ . o.õoodi
r,r - o.16? (dñ . o.ooot)0 672
orn' t t\ + 6. 3oo ¡l; o. ooor
1¡ - 0.280(d¡ .0.0O0llo'688
ot{ - o r¡ + /i. Soro ä.i06
r¡' 0.50t (aa. 0,003)o'695
orr.drn + /7:t;;+o.l
rn - 0.848(oa . o-ol t)o'702
ol4'd j{'/ii;ltîî:o
rn - t.olrl 1q, + q.067)o'692
^RËNACf0U5 R0CK5 r,ilflt stRor{G
cnYsr^ts ^¡¡D
PooRIY DEVEL0PI0cÂYsrA[ cL€'w^Gt
naûlatarl? ø,1 quattzíte
o r, - d ir¡ , f1-.¡\i;;" I'O
,r'0.065('r)0'548
rrr . d !r¡ *,6. ô9,' ;" ; õ. oõijoi
rr. o.l72 (or + ¿.690trc 676
dr'r r o 3n +,65C;;;;; orcoot
r¡ - 0.295 (o,. o.oool)0 691
o tn'o t4 + /1 . to J'r + 0.00,{
t n - o.52, (qn* 0. 002)o'698
arn- o3n+ Æ.!ã,f ;aì
rr, - 0.88J (o, * o. ol z)o'/05
otñ'o jn + /11i1i'"i1'.0'
r¡ - I .086 (o¡ * 0. o5g)0'696
FINT GRAINTO POLY}III¡EßALI.ICIGI¡EOUs CRYSIALLINE ROCKS
andesí.te, àoleríte " díabaee
anC rhyoLite
oÌñ - o3r. io.025;;;-* o
.' - 0.078 (o')0 556
otnI d3n + "õ. il;ì,,¡'0.õooõí
1r, - o.2ot (,in + o.ooot )0 686
o tn - o 3n. /õ-. 50.3n . o. ooo I
rn - 6.346 (on + g.ggtrr0'700
orn -o3r . 4:!J;,,;; oo,,
rr - 0.601{or. 0.002)0'707
oln-t34+"1i:503r';0J
rn - 0.!!8 (s, + 0.008)0'712
dt¡-dj¡¡iÆtotFl .o
rr - t.220 (on * o.orro)0'lo5
COARSE GRAINËD POLYI{I¡IERALLICICNEOUS ANO IlETA}IORPHICCRYSIATL I }¡E ROCKS
øn¡hibolite, gqhbro, lt¡¡eì ee,grdníte, notite and quartz-dí.o¡'i t e
P(¡
l6
Hoek och Bray
Hoek och Brays (1981) klassificeringssystem avserhållfasthetsklassning av bergmassa i slänter.Systemet grundar sig på fältobservationer och ti11-bakaräkning. Metoden tar hänsyn t.i11 sprickornasorientering i förhåIlande tiIl konstruktionen samten verbal beskrivning av bergmassan. Figur 2.5 visarförslag ti11 hål1-fasthetsklassifikation för slänterenligt Hoek och Bray (1981) uttryckt i cohesj-on ochfrikt ionsvinkel .
Ihtü.stwbed hardroek nasses utithno mfror struetuyaLpatterns rüppíngtouæds slope.
undístu¡bed hazdyoek nasses tithno thtough-goingstraeluyes dipping
'%lhtdistuybeC jointedsoft noek nasses
øsÀ,N tl,bF s s¡(:t ñ'è t)\ $È ooÑr,\ oÂo lñB &'IJþ.t $ Ss {Bø b.)Sø *'È od.è sE I ÈN'êBo¡¿s s$oorlöÈoùû,
\J 3$B.SN $qs
ñ ø 5¡È'Ë pì I\J $+ g99È&
J'lJ sl.ès$ Fo{'È È.1 s\'è{ ùb'b3 o
s,{ \,os(ùö3 * OÐsssÑFÈq}ö s Þ,$.è tJ Â.. SÈ öoss Ù+N\J(J-V SñÈÙBIJùs,13!ø$
€ "d ñ'è!s.q Ès Ès [email protected]'d o dñÈ * A,C)
oB
o- S È'ùo Ùñ{tlùÙñq- E$ È"tùì: \5{s a'è ÈÈ\ $$ A.e tro\ + o
n ! -ss st B\ù s Ê,
e'è ö *Èo$E
t2
11
6
3
oocx
þ
I
o
o,aoo
uith feuCippingsLope
st.uctu"estouayds
Saft rock nassesor jointeå hardt'oel: Cistutbeti byblasilng o? eÍcessLoaàíng.
Ileathered soft roekot, ãiseantínuítíesin hayd roek.
CLa¡t
-,-jg3ø-0 o5101520253035404550Friction angle þ * degrees
Fig. 2.5 FörsIag t.i11 håfffasthetsklassifikation förslänter enligt. Hoek och Bray (1-981).
N
I
u
o
oou
@o5 @ o8.o
5
o3
5
500
l5
oOc
x
N
ú
I
O
c:o
oECO
L7
2 6 Sa¡nband och jämförelse mellan ol,ika klassi-ficeringsmetoder
Q-metoden kan användas indirekt för bestämning avbergmassans hålIfast.het. och deformationsmodul om
följande empiriska relat.ion mellan RMR- och Q-meto-derna framtaqen av Bienawski (I916) används.
RMR 9InQ+44
Figurerna 2.6 och 2.7 visar förhåIlandet. mellan debåda metoderna för bergmassans hållfasthet. relaterattilI Hoek och Browns brottvill-kor respekt.ive defor-mat. ionsmodulen .
NoRrJEcIAN G€otECHltICÂt I¡tstIfufÊ Îuililfl-t-mc quA[Ilv IloE)( Q
fTCPTtooD
ttti[]rtlvc000
VEAYG000
cooDrÂt nPOORvthYP00n
txtRtxfl-YPOO¡
[¡ctP¡ t0Í^u-YÞoon
0,01 0.t
E
;Í
0,1
0. 00
0.000r
t.0 t0
0 t0 l0 to r00
v€¡Y G00Dr000FAIRPOORVEÀY FOO¡
30Ulll Atilr,\tl CourlclL FoR SCltt{TlrlC Âll0 ltl0usl¡lAL nEStÂRCtl crortCxAt{tCS Ct,^SStftCAftOH
2.6 Förhållandet mellan Q-metoden och RMR-me-toden samt plot för utvärdering avparametrar ti11 Hoek och Brownsbrot.tvillkor (Hoek och Brown, 1980) .
0
0.0r
0.001
0.000t,0
o cstiò ilG l
aa
a
/
/
a
a
a
Fig.
oatv--
aO../
/,/.-
\y'/
/
ì8
NGt CLASSlFtcATtolt
ETCPIGOOD
€TTßEItEIYG000I
GOOD VIRYG000
FAI RPOOt
ò t0 too 400 o000
oê,att
J:!
Ê
c36ËLo(,
E)
J
c
6
¡{
2
¡0 50 60 70 9o t00
csrR CLASStFtcATt0N
Fig. 2 7 Relation mellan bergmassans deformations-modul och bergklassificering enligt RMR-och Q-metoden (Bieniawski, 1978).
Hoek och Brown (1980) föresrår förjande samband förberäkning av bergmassans enaxj_el1a hållfasthet :
o""4 s' oÉ
Detta samband har Hoek och Brown relat.erat. tillbergmassans RMR-värde. I fig. 2.6 kan konstanten sut.värderas med hjälp av bergklassifikation,enligt O-metoden errer RMR-metoden. Endast mycket. begränsadprovning på eanguna Andesit lígger bakom diagrammet,varför det endast kan användas tiII mycket grov upp-skat.tning av bergmassans håflfasthet (StifIe et â1,1,982) .
r tabel-r 2.6 redovisas hur bergmassans enaxiellatryckhål-lfasthet beräknad med Hoek och Brownsbrottvirrkor varierar med bergkrass och RMR-värdetvid en enaxiell tryckhållfasthet för bergarten på100 MPa.
v€tY G000G000FAtt
L9
Bergk'lassRMR-värde
ï
I 00-81
IIB0-61
III60-41
IV
40-2r
V
<20
Tryckhå'l I fasthet jMPa enl igtHoek och Brown
(T. = loo MPa)
39 8.6 1 .7 0.4
Tabell 2.6 Tryckhållfastehetens beroende av RMR-värde och bergklass (StiIIe m fI, L982)
Figur 2. B anger sambanden mellan bergklass och berg-massans enaxiella tryckhållfasthet bestämd enligt.Hoek och Brown, RMS-metoden och RMR-metoden.Skillnaden mellan de olika metoderna är mycket stor,särskitt för bergmassekl-ass I. Hål1fasthet.en i klassI (90-100 poäng) är enligt Hoek och Brown 30 gångerstörre än enligt RMR-systemet (KrauIand et â1,t_986) .
!ergmassehållf asthelURM
100(MPa)
A. m och s (dc - 1OO MPa)
B. Stille
c. csrRA
\8,
0 Poäng
Bergmasseklass
100 ao 2060 Ito o
lr IV
Fig. 2"8 Jämförel-se av bergmassans hå]lfasthet be-stämd med tre klassifikationssystem(Krauland et â1, 1986).
20
För att kontrol_1era klassifikatíonssystemen harBoÌiden Mineral AB studerat två praktikfall där denstorskaliga hållfastheten varit känd:
a) Pelare i rum- och pelargruva (LaisvalI)
b) Hängvägg/slänt i dagbrott (Långsele)
I figur 2.9a anges pelarhålIfasthet,en bestämd medtre olÍka klassifikationssystem och verklig uppmättpelarhållfasthet. I figur 2.gb jämförs den klassi-ficerade hållfastheten för hängväggen i Långsele ochtillbakaräknad håf lfasther .
TryckhâlllasthetMPa
2
10
Oruu¡ ttllo nl¡ Cgn
Fig. 2.9a pelare Laisvall (o" = L77 Mpa,81 poäng) (Krau.Land et. al) .
40
30
f0
GruYt 8tttl. rn I ¡ Cgli
Fig. 2.9b Hängvägg - Långsele (oc = j.gO Mpa,'71, poäng) (Krauland et aI) .
50
40
30
0
20
o
21
2. 7 Diskussl.on Om bergklassíficeríngsystem
Gemensamt för alla system är att de har vuxit framsuccessivÇ och baserats på författarnas subjektivavärdering av ingående information. De har i först.ahand ut.vecþIats för at.L beskriva kvalitén på berg-massan. KvaIitén har därefter kopplat.s tiIl fråge-st.äIlningar såsom "stand up time", först.ärkningsin-saLser och bergmassans egenskaper
Vid användning av bergklassificeringsystembestämma bergmassans mekaniska egenskaperarbet.et i två steg:
översättning från klassningsvärden t.il-l-sans hållfasthet, ant.ingen direkt. i MPa
hjälp av håIlfasthet.sparametrarna C och
bergmassans deformationsmudul .
best.ämning och klassning av ingående allmän geo-logisk information
för attindel-as
bergmas-el-l-er med
S och
Ingående parametrar varierar något mellan systemen,men i st.ort set.t råder överensstämmelse vilka huvud-parametrar som skall vara med i klassifikationen. Itabell 2.7 redovisas en översikt över de ingåendeparamet.rarna i de ol-ika kl-assificeringssystemen.
Beroende på var man befinner sig i en byggprocesshar man t.iltgång t.ill informati-on av olika mängd ochkvalit.et.. I ett tidigt skede av ett projekt är oft.aendast information från häl-lkart.eringar och borrhåltilIgänqliq. Naturligtvis är LiIlförlitligheten isådan informat.ion mycket. mindre än den man kan till-godogöra sig efter flera års brytningsproduktion ien gruva. I tabelJ- 2.8 åskådliggörs vil-ken typ avinformat.ion man kan erhåtla i olika skeden av et.tprojekt, från borrkärna, tunnelfront samt färdigtbergrum eller slänt.
22
' ¡ 'r;1
(x)
x
(x)
(x)
(x)(x)
Spricksystem 'igeometri
sprickavsråndspricklängdor¡enterlngvågighet
hållJasthetsegenskaperråhetfyllning
Storskaliga diskonrinuitetergeometri
uthållighet. orientering. .
hålltasthetsegenskapertjocklekf yllnadsmaterialetsegenskaper
rntaktas
BergrumStuffBorrkårna
Tabell 2.7 översikt över de parametrar som ingår iklassificeringssystemen'(efter Xraulandet âI, L986)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xX
x
x
x
X
X
Tryckhållfasthet hostntakt berg
RQD
Sprrckavstånd
Sprrckytansf r rk tionsegensk aper
v atten
Antal sprickoreller spricksystem
Sprickornasorientering iförhållande tillkonstruktionen
Förekomst avstorskaliga svag-hetssffukturer
Verbal beskrivning avbergmassan
Hoek &Bray (slÊinter)
BCDNG¡StillemrsrtCSIR
* m och s kan även användas för att beräkna hållfastheten utifrån cslR ellerNGI klassrfícering.
I Information från bbrrhål, Lunnelfront ochbergrum/slänt om bergmassans håI1_fast-hetsparametrar (Krauland et â1, L986) .
Tabell 2
23
Gemensamt för samtliga klassificeringsmetoder är attingen av dem anqer varken qiftighetsområde e1lertillförlitlighet, vilket skulle underlätta använ-
dandet vid proJektering och planering av bergkon-struktioner. GíItiEhetsområdet är ju faktiskt be-gränsat, titl den geologiska mifjö och typ av berg-konst.ruktion som klassifikationssyst.emet är katibre-rat för.
24
3 . INGÅNGSDATÀ TILI, STÀTTSTISK MODELL
3.1 Viktiga parametrar
Vilka parametrar som är styrande. för bergmassanshållfasthet. respektive deformationsegenskaper, ärman i huvudsak ense om (se fig. 2.7 i. föregående av-snitt). Dessa uppfattningar grundar sig på erfaren-het och subjektiva bedömningar.
För att så objektivt som möj1igt särskilja vilkaparametrar som är relevanta och med vilken tyngd deskal-l påverka en uppskattning av t ex bergmassanshållfasthet, har vi i detta projekt försökt att. tamed så många parametrar som möj1iqt vid insaml-ingenav data tilt den statistiska studien. Tanken harsedan varit att resultatet av studien skall- ge vilkaparametrar som är mest relevanta, dvs om de över-huvudtaget skall vara med i den slutliga "forme.l_n,'och vilken tyngd den enskilda parametern skalI ha.
3.1.1 Lista på använd allnän geologisk infornation
För att strukt.urera insamlandet av indata upprät.ta-des en parameterlista som sedan fylldes i. Dennalist.a visas i bilaga l_ och har delats upp i en förhåIffasthet och en för deformationsmodul.
Det kan nämnas att parameterlistan reviderats tregånger under projektets gång.
r förjande avsnitt. beskrivs varje enskil-d parametersom tagit.s med i denna st.udie. Inom parentes angesdet variabeÌnamn parametern givits i den statistiskaanaJ-ysen.
De eqenskaper vi söker uppskatta hos bergmassan ärhållfasthet och deformationsmodul och har vidare i.texten kallats "beroende variabler".
25
Bergmassans hål- I fasthet, -9crn--fSJGCM)
Berqmassans enaxiella tryckhåflfasthet har angivitsí MPa. Det numeriska värdet utgör ett direkt mått på
hållfastheten och utnyttjas direkt i den st.atistiskaanalysen.
Bergmassans deformationsmodul-, En_-lEI4I
Bergmassans deformationsmodul har angivits i GPa.
Liksom för bergmassans hållfasthet utgör det. nume-
riska värdet ett. direkt mått på variabelns storleksom används direkt i den st,at.istiska analysen.
Följande indatalista över geologisk information(oberoçnde variabler) som kan påverka våra söktaegenskaper har använts.
Belastad volvm (eller "kritiskt belasLad" volvm)(VOLC, VOLE)
Syftet med denna variaÌ¡el är att få in hållfast.he-tens och deformaLionsmodulens volymsberoende i ana-1ysen. Variabel"n anges i enheten m2/m, vilkeL göratt. den refererar till ett plan.
Variabeln har definierats olika för hållfasthet och
deformationsmoCul, beroende på vilken konstruktionsom avses. I figur 3.1 nedan anges definitionernaför olika typer av konstrukt.ioner.
Inspänninl] INSPI
Inspänningsgraden har definierats enligt en fyra-gradig skala för de olÍka konstruktíonstyperna ovan:
s Iänt.pelarefundamenttunnel /þergrum
1_-2-3=4-
Siffrorna anger barakonst rukt i onst yperna,
en inbördes relat.ion meIlandvs det enda rangordningen
26
säger är att t ex en slänt är mindre inspänd än enpelare
VOLC=VOLE=B x H
+-a>
a) Pelare
VOLC VOLE
2rVOLC=f
VOLE=21
rl2<.> ,f- r=rad¡en för en circulär tunnelmsd ekvivalent area, A
b) TunneUBergrum
VOLC=VOLE:A
c) Slänt
VOLC=VOl-E=82
d) Fundament
Fig. 3.1 Definition av variabl-erna "VOLC" och"VOLE" .Belastningssituation (BEL)
B
þ'
B
B
2'7
Be Iastn ings s it,uat ionen
Belastningssit.uation (BEL)
indelas i
pålastningavlast.ning
Med denna variabel avses det inducerade spännings-tillståndet i en speciell riktning i förhålIandeti11 motsvarande initiella spänningstillstånd. Pga
det fakt.um att olika värde (pålastning och av-lastning) på variabeln kan uppkomma samtidigt i en
och samma punkt beroende på i víIken riktning ellervilken del av konstruktionen som avses, har denna
studie koncentrerats endast på pålastning. Detta förat.t hålla indat.amängden så l-iten och överskådlig som
möjligt i denna först.a etapp av projektet.. Av ovan
nämnda skäl ingår inte variabeln "BEL" i den sta-tistiska analysen. Givetvis kan den tas upp i en
framt ida fortsättnj-ngsstudie .
Spänningsnivå (SPNlva)
Spänningsnivån definíeras av sambandet.:
SpNIVA : (on+ou) /2 däroh = horisontell initialspänning (MPa)
Ov = vertikal initíalspänning (MPa)
Variabeln är ett mått på medelspänningen i det snittman t.ittar på.
SBänningskvot. (SPKVOT)
Spänningskvoten definieras som:
SPKVOT = (Ih/o,v däroh = horisontell initialspänning (MPa)
ov = vertikal initialspänning (MPa)
1
2
28
Denna variabel t,ar hänsyn tiII anisotropÍn i det in-det snitt man tittarspänningstil-1ståndet iit ie1 1a
på.
BerqarT (BERGART)
Angivandet av bergart har indelats i två typer:12
= kristal-lina= sedimentära
bergarterbergarter
Siffrorna j,nnebär inte någon gradering avseendebergmassans hållfasthets- och deformationsegenskaperutan är en indikat.ionsvariabel.
Metamorfosering/konsol idering (METAKONS )
Denna varíabel talar om i vilken grad berget är me-tamorfoserat. och/eller konsoliderat.. Graderingen harutförts i en tregradig skala:
i. : hög2 : medel3-1åg
Vit.t.rJ NO (VTTTRTNêI
Vittringsgraden hos berget har angivits i en fern-gradig skala:
friskt (ovitt.rat)någotmåtttigrmyckethelt "upplöst" (omvandtat)
Rorrr:r.|- ana anâvi al 'l r i- rrr¡l¡l.r I I f¡cJ-hat- ¡ Os (SIGC)
Bergartens håIffasthet som avser den enaxiellat.ryckhållfastheten för provning på små bergprov(bergkärnor) har angivits i tr¡pa. Det numeriska vär-det utgörs oftast av medelvärdet av ett antal prov-ningar av en oclr samma eller olika bergart.er"
!=I --=
3-4-É_J
29
Rorrrertanq êl âsf ì r:ì f cf smoclrr l . Ec (EC)
Bergartens elasticitet.srnodul är den elasticitetsmo-du1 som erhåIls vid utvärdering av last-deforma-tionskurvor vid provtryckning av små bergprov(bergkärnor). Det numeriska värdet utgörs oftast av
medelvärdet av ett antal tester på en och samma eI-ler olika bergart.er.
Bergartens sprödhet (SPRQDHETI
Bergartens sprödhet har graderats i en tregradigskala:
l- = hög2 = medelJ=Iag
Denna variabel har inte i någotvarför vi t.vingats att, på basistrar, uppskatta denna.
"case" angivits,av andra parame-
ROD (RODI
RQp som står för Rock Qality Designation har be-skrivits och definierats i kapiteJ- 2.1.
Vid st.udierna av de olika "casen" har det visat sigatt alLa inte använder sig av samma definition av
ROD. T ex förekommer det att istäIlet för att räknakärnbitar längre än L00 ÍìItìr finns det de som summe-
rar längden av antalet utsågbara provbitar som är) 50 mm. Det.t.a innebär at.t endast de delar av kärrtan
som är helt fria från sprickor kan räknas.
P g a denna olikhet i definitionen av RQD är ROD-
värdet int.e helt objektivt från faIl till fall "
Vilken met.od man använt. sig av har i regel inte an-givits.
30
Antal-et sprickqruooer (FRACNUM)
Antal-et sprickgrupper ayser antalet identifierbarahuvudsprickgrupper. Sprickgrupper av 1ägre signifi-.kans har alltså inte tagits med.
Sprickavstånd (FRÀCDTSTI
Sprickavståndet anges r meter-och avser ett slags"tredimensionellt" eIler volymetriskt medelvärde.
ï de case där antingen sprickavståndet el-ler ReD an-
;l;i; ".:""' "'H:ï:::.:aramete
rn upps katt
ROD l%l
100
90S: lractur¿ ¡pacine {cml
sÈ S. 17
sE S. 10 Priest
Deere
Frsctu.¿rlloot
75
60
45
30
15
123456
.5101520Fr¡cturü/m -
fig. 3.2 Två föresl-agna,samband mellan ReD ochsprickavstånd, Deere (L964) och priest etaI (1976).
VatIen IVALTEN)
Vattenförekomsten har angivits i en femgradig skala,där benämningarna är samma som i.RMR-systemet.
compJ-eteJ-y drydampwetdrippingflowing
l_J--
2-3=Q=E_J
31-
Här efter beskrivna parametrar, vilka gäller sprick-ornas egenskaper, utseende ell-er orient.ering, avserden spricka eller den sprickgrupp som anses mest be-tydande för del studerade problemet. Härvid krävs en
ingenjörsmässig bedömning för att avgöra vilkenspricka eller sprlckgrupp som är den mest relevanta.I denna studie har föIjande tumregel använts: - "Denspricka eller sprickgrupp som bildar den minsta vin-keln mot pålastningsriktningen ut.gör den mestreIevanLa".
Råhet i liten skala (SI'IALLRA)
Med råhet. i l-iten skala avses den småskaliga ojämn-heten J,ängs en sprickyta. Variabel-n har indelats ien Lregradig skala enligt:
= rough= smooth= slickenside
Råhet i stor skala (BIGRA)
Med råhet i stor skala avses den storskal-iga undule-ringen, vilken indelat.s i en tvågradig skala:
undul-erandeplana
Sprickbeläggning (FRACCOAT)
Sprickbeläggning har indelats i en femgradig skalaenligt:
1-
23
t_-t-
1-2=l=
ingen eller läktgouge material "staining" orcompletely filled wit.h gougetalk, cl-orite <1 mm
same as for 3) above but >l-
sand/silt filledmaterial c1ay,
mm4
Relat iv spricJlänqd (FRACLEN)
Med relativ spricklängd menas förhål-landet mellansprickans längd och konstrukt.ionens ell-er öppningensbredd (1/B) Tre olika gränser har definierat.s:
1 - <0.22 - 0.23 - >0.5
32
0.s
Varje enskild parameter harkval-itetsindex som talar om
f ram. Detta index indel-as iskala:
Vinkel mellan spriclcplan och belastningsriktning(ALFA)
Med vinkel mellan sprickplan och,belastningsrikt-ningen avses den minsta vínkeln mellan den mest re-levanta sprickan/sprickgruppen och pålastningsrikt.-ningen
1-)
2)
3)
4)
I denna första etapp av projektet harutnytt jats för at.t. värdera kvalitén påett fortsättningsprojekt skull_e det.taanvändas f ör at.t vikta parametrarna.
äv.en försetts med etthur parametern t.agitsen kvaLitet.ss junkande
dett.a indexett case " Iindex kunna
mätt /provat / observérat. /t i 1 lbakaräknatskatt at /beräknatgissatvet. ejlunderlag för en skattning eller "br?"gissning saknas
3.2 Studerade ttg¿s"í,
Måtsättningen vid valet av case har varit att deskulÌe representera så många olika geologiska miI-jöer och typer av konstruktioner som möjligt samtdessutom vara väl dokumenterade. Det. visade sigemellertid att det var mycket svårt. att hitta Iämp-liga case.
rnitierrt studerades 25 st case men vid bedömningenav dess kvalitet fick 4 st utgå
33
Bedömningen av casens kvalitet del-ades upp med avse-ende på de sökta egenskaperna, dvs ett case kan haoLika kvalitet för håIlfasthetsstudien och deforma-tionsmodulstudien. Krit.erierna för kvalitetsbedöm-ningen ges i fallande kvalitetsskala nedan:
L) God dokumentation av oberoende variabler. Den be-roende variabeln (SIGCM eller EM) är verifieradgenom in situ-mät.ning (observationer) ellert i I lbakaräkning .
2l God dokumentation av oberoende variabler. Den
beroende variabeln har uppskattats/beräknat.s.
3) Mindre god dokument,at.ion av de oberoende varia-blerna (många parametrar har gissats). Den
beroende variabeln enligt 1) ovan.
4) Mindre god dokument.ation av de oberoendeblerna. Den beroende variabeln enligt 2)
varia-ovan.
5) Underlag för bedömning/skat.tning/gissning avvissa oberoende variabler har saknats. Den
beroende variabeln enligt 1) eller 2) ovan"
6) Underlag för beräkning/bedömning/skatt.ning av så-väL de oberoende som den beroende variabeln harsaknat.s.
Anledningen till denna värdering av casen är bt a
att. möjliggöra ut.val av case med en viss hvalitet,t.ex att ut.föra statistisk analys bara på case med
kvalitet. 1 och 2.
I parameterlistan i bilaga t har casekvaliten förhåIlfasthet respekt.ive deformat.ionsmodul givits nam-
nen QHALLF resp QDÐF'.
Endast casestatÍ st. iska
med kvalit.et L-4 har tagitsanalys. Detta innebär att
med i respcaseom ett
34
harden
QHALLE=2 och QDEF=6,
statistiska analyseningår detta case endast iför hållfast.heten.
I bilaga 2 redovisas en referenslista över de stude-rade casen.
35
á Statistisk teori
4.1 Avsikt
Vår måtsättning är att ta de observationer vi har aven eller flera variabler skapa en matemat.isk rnodellför att förutsäga värdet av en annan vari abel.
Som bas för modellen har vi ett. ant.al fall- där viobserverat. (mätt) både den sökta variabeln, den be-roende variabeln och de oberoende variabl-erna.
Eftersom vi int.e har några exakt.a samband kan viendast skapa en modell som ger ett. troligt värde på
den beroende variabeln. Vi måste a1ltså arbeta med
stat.isti.ska metoder.
Den del av statist,iken som behandlar denna typ avproblem kalIas regressionsanalys.
4.2 Krav på indata
Vilka sorters data som helst kan inte utnytt jasformeLlt korrekt analys.
r_ en
Man brukar skilja på fyra typer av dat.a beroende på
enligt vilken t.yp av skala man mätt i:NominalskalaOrdinalskalaInterval- lskaLaKvotskala
Nominalskalan använder ett godtyckligt tal i st.älletför namn.
Ett exempel ärkristallin och 2
BBRGART där vi Iåtit 1 betydasedimentär
Ordinalskalan ger en rangordning.
Bt,t exempel är VITTRING där graden av vit.tring angi-vit.s med siffrorna 1 - 5. Vi kan dock inte säga att
36
s k i l lnaden me 1lan l_ och 2 är l ika st or s omskillnaden mellan 2 och 3. rnte heller går det attsäga att vittringsgrad 2 innebär dubbel-t så storvittring, som vittringsgrad j..
Det enda som går at.t utläsa ärvittringsgrad är mer vittrat.
att berg med högre
rntervallskala ger också den en rangordning men mankan dessutom avläsa skillnadernas storrek, den ärekvidistant graderad. Däremot saknar den en absorutnollpunkt vilket gör att man int.e Éan säga något om
kvoten mellan två värden.
Kvot.skalan ger rangordning, den är ekvidistant..gra-derad så att. man kan mäta skillnaden men den harockså en absorut norrpunkt så att man kan menings-fullt behandla kvot.en mellan två mätvärden.
Ett exemper på skitrnad mellan intervarl- och kvot-skala är temperaturmätning.
om man mäter i o celsius kan man inte säga att l-0oär dubbert så varmL som 5o, eftersom cersiusskalaninte har en absol-ut nolrpunkt. om vi använderKelvinskalan är det däremot möj1iqt..
I den statistiska regressionsanalysenst.rikt antas att variablerna är mätta ivaII- eller kvotskala.
skal1 deten inter-
Det är ofta så att man inte kan mäta atl-a variabrerpå detta sätt.Brand våra data förekommer ju datamätta i både nominal- och ordinalskalor.
Det. finns dock möjrigheter att behandl-a även sådanavariabler, genom att använda så kar-rade dummy-variabrer när det gärler nominalskalevariabler ochgenom transformationer när cet, Eälrer varíabrermätt.a i ordinalskaLa
37
(Det är dessutom ingalunda ovanligt att. man dírekttiIIämpar regressionsanaJ-ys på variabler mätta iordinalskala. )
Ett ytterligare problem är at.t. precisionen i model-l-en är beroende av antalet. datapunkter. Ju färre ob-servationer man har dess osäkrare bl-ir modellen ochdärmed våra skat.tningar. Detta kan vara ett. probtemi geovet.enskaperna där varje mätning ofta kost.arstora pengar.
4.3 Regressionsanalys.
ii,ndamåI
Avsikt.en med en regressionsanalys är vanl_igenman vill beskriva et.t samband som finns mel-lane1ler flera variabler.
atttvå
Regressionsanalysen används också till at,t. undersökaom det. finns et.t samband mellan variablerna och föratt göra statistiska uttalanden om det.ta samband.
Man måste härvid skitja på statistiska .samband ochverkliga orsakssamband. Att et.t antal prov visarett statistiskt samband betyder inte at.t. den obero-ende variabeln orsakar sambandet, det kan orsakas aven ytterligare variabel som inte beaktats. (Höjdaprästlöner och ökad sprit.konsumtion är ett klassisktexenpel. )
Orsakssambanden och deras validering måst.e bygga påt-eoretiska överväganden och inte bara på observeradest.atist iska samband .
Man kan däremot använda regression och korrelat.ionför att ur data undersöka förekomsten av möjligasamband "
38
A stat isticaT relatÍonshÍp, however strong andhowever suggestive, can never esta.bl.jsh causaLconnexion.
Kendall and Stuart. (1967)
En ytterliggare fälla ligger i att extrapolera ettsamband förbi dess giltighetsområde. Man kan lokaltha ett tydligt samband som utanför det observeradeområdet inte är korrekt.
Benvariabel
Verkl samband
Ober variabel
Figur 4.L
Med modellen kan man sedan göra en förutsägelse om
den ena, beroende, variabeln när man känner den (de)andra.
c
Ber.vari abel o
0ber, variabeì
Figur 4.2
Man kan därvid göra uttalanden, prediktioner, delsom väntevärdet (medelvärdet) hos den beroende vari-abe1n, dels om punktvärden. Man kan också ge upp-skattningar av f örvänt.acl osäkerhet hos uppskatt-ningen.
a
ao
39
4
En mer utförJ-ig beskrivning av teorin för regres-sionsanal-ys finns i bilaga 3.
4 Sammanfattning av príncíper för linjårregression
Man vitl i linjär regression använda en modell avt ypen
Y- a + Iß1x1
Eftersom den verkliga modellen är okänd söker man
skatt.a en modell utgående från gjorda samhörande ob-servationer av den beroende variabel-n och de obero-ende variablarna.
Man söker sedan anpassa parameterarna i modell-en såatt. man får en modell där de kvadrerade awvikelsernamelIan gjorda observationer och motsvarande urmodellen beräknade värden är mi-nimum.
Den statistiska modellen gäller för väntevärdet avden beroende variabeln. Avvikelserna mellan enstakaobservationer och motsvarande förut.sagda värde be-skrivs med en felterm .som antas normalfördelad ochoberoende.
För att kunna göra förutsägningar om denmodellens tillför1itJ-ighet måste man görat.aganden om de ingående variablerna:
anpassadevissa an-
o Felt.ermen ärvariansr sonì
normalfördelad och har en ko¡rstantär oberoende av prediktorvar j,abl-erna.
o Feltermen är stat.istiskt oberoende av de oberoendevariablerna och av den beroende variab.ein.
De utLalanden man vill göra gäller främst sprid-ningen i det förut.sagda värdet, både om man förut-säger medelvärdet och om man vill göra et.t uttaÌande
40
om trolígt intervall för enskirda värden runt medel--värdet.
Eftersom sådana uppgifter om moderlen är väsentligaför dess tänkta tiltämpning inom bergmekanÍken måsteman alltså testa att dessa antaganden är uppfyllda,åtminstone i rimlig utsträckning.
Man kan tänkaovan som inte
sig flera awikelser från antagandenaverkar särskilt osannolika:
a En i variablerna linjär modell är inteti11ämplig.
Det kan til1 exempe't visa sig att en funktion som ären andragradsfunktion av en av de oberoende varia-blerna syns ge en bättre anpassning tilt data.
r detta fall- kan det vara möjligt att med variabel-Lransformationer skapa en modell som är linjär i detransformerade variabl-erna, tilr exempel genom attinföra den nya prediktorvariabeln e= 72. Observeraatt de generella förutsätt.ningar som skarr uppfyllasav variabl-erna i den linjära modellen skall upp-fyllas av de transformerade variablerna.
En i parametrarna linjär modell är intetiIlämplig.
Ett sådant fatr är till- exempel när en exponentiellmodell är korrekt. Man kan då göra en transformationgenom logaritmeri.ng och få en Iínjär modell_, underförutsättning att man kan anta en felterm i den ur-sprungliga modellen som är multiplikativ. (Eftert.ransformeringen brir den additiv.) För detaljer seWonnacott &Wonnacott (Igj2) .
c. Variansen hos y är in[e konstant.
b
Det kan tiIIvarians som
exempel vara så att variabelnär proportionell_ mot någon
Y har en
av pre-
41
diktorvariablernas värde, så at.t osäkerheten ärstörre för sLora värden.
Det är i sådana fall lämpligt att. ge större vikt åtobservationer i de områden där variansen är liten.Se t.ex Ang & Tang (L975) sid 294 ff .
Tvper av variabler
I det ovanstående har antagits att prediktorerna harvarit ant.inqen helt styrbara, icke-stokastiskavärden eller utfall av en stokastisk variabel som
uppfyll-er vissa krav på oberoende etc enligt ovan.
Dessa typer av prediktorer är alItså kont.inuerliga,kvantitativa värden.
I många situationer inom bergmekaniken har man mät-värden från olika typer av berg, som man viII delain i klasser.Ett säLt, att. st.atisti-skt behandla dettafall är att. införa så kaflade dummyvariabler.Metoden beskrivs närmare i bilaga 4.
4.5 Hur noggrann är modellen
Bn viktig del i regressionsanalysen är en uppskatt-ning av dess noggrannhet. Det. sl-utliga ändamålet ärju at.t utgående från givna uppgifter göra en utsagaom en annan storliet, aLt göra en prediktion. Det ärviktigt för oss att veta hur noggrann denna pre-diktion är, eftersom vi kommer att grunda beslut påden.
En delfråga är om de grundJ-äggande kraven som ställsom oberoende osv är uppfyllda, så att vi verkligenfår använda regressionsanalysen (åLminstone formelltst at. i st. i skt )
En annan delfråga blir då också vilka variabl-er som
skalI ingå i den regressionsmodell vi använder;eftersom man ju int.e skaII behå1Ia variabler som
42
inte tillför någon information utan bara kompliceraranalysen.
En maximal gräns på antalet variabler som kan fåingå ges av ant.alet observerade fal1:
Vi kan int.e ha fler variabler än (antalet fatl 1),annars blir det inte möjIigt att lösa ekvations-systemet..
I det enkla fallet med endast en oberoende variabel_måste man ha minst två observationer, så att man fårt.vå punkter som def inierar den rät.a 1in jen. Manförstår att en till-kommande observation kommer attändra J-injens ekvati-on, man behöver allt.så fler ob-servationer.
Det finns också statistiska problem förknippade meden modell med för få observat.ioner, när det gälJ-eratt bedöma om modellens samband är verkliga.
Säl-l. âl-l- harìÄm¡ nm mnrla'l I on är + i I I € rlcct ä'l 'l anrla
Man har flera olika met.oder för att bedöma om enmodell som tagits fram med (multipel) linjär regres-sion är bra.
Det enklaste sättet är at.t grafiskt åskådliggöraresultatet., tiII exempel i form av en plot över pre-diktorvariabeln mot det predicerade värdet, ettscattergram. Ett sådant fungerar dock inte för enmultipel regression. Där brukar man i stäI1et. plottarestvärdena Ei dvs skil-l-naden mellan verkliga värdenoch de värden som modelJ.en ger. Ett vanligt sätt attplotta dessa är att plotta så kallade st.andard-iserade residualvärden mot beräknat y t fig 4.3. En
sådan plot skalt ge t.ill resultat att värdena hamnar
inom t 2 för hela intervallet på î. (Se Devore sid499; .fohnson & lrlichern sid 314)
43
f Ê
I
a Konstant varians.Oberoende av 1
b Variansen ej konstant
I
c Residualvärdena beror av 1Fler termer behövs, aìt skallen translonmation göras,
Figur 4.3 Exempel på plot.tar av residualvärden
Om de tidigare angivna kraven på parametrarna äruppfyllda är det möjligt att göra statistisk testerpå modellens egenskaper.
Egenskaper som kan testas äro Test av hel-a modellens förmåga att. göra en
meningsfull prediktiono Test av hypotesen "något ß =0", dvs at.t någon
term kan utgå.o Konfidensintervall för skattningen av
vänt,evärdet E (Y lx)
Test av hel-a modellen
En mycket vikt.iE test är om det finns någon rel_evantlinjär regression i hela modellen. Detta gör man
v
v
statistiskt genom en test av O-hypotesen att a1lafaktorerna (ßi) är 0.Som alternat.iv hypotes testasatt åtminstone en av faktorerna är skild från noll.
Förklarad varians
(Efter Wonnacott & Wonnacott. sid 419)
44
I figur 4.4linje, samt
Y
nedan visas en hypotetisk regressions-även medelvärdetY=[
totaìavvi kel sr
a
ej förkìarad avvikela avvikeìse förklara
ne ressioneno
X
Figur 4 ,4 Förklarad varians
Om vi vill göra en förutsägel-se av y utanvärdet av X är den bästa förutsägelsenvärdet av alla gjorda observationer.
Y aao
attY,
kännamedel-
Vi kommer då att göra ett fel, nämligen avvikelsenfrån en given punkt till medelvärdet. Om vi å andrasidan känner till värdet på X och använder oss avregressionslinjen kan vi minska avvikelsen med dendel som "förklaras" av regressionen.
Et.t mått. på hur effekt.iv regressionsmodellen är blirdå hur mycket den minskar den oförklarade delen.
Vid test av model-len testar man om bara en liten delav variat.ionen i Y förklaras av residualvarians,medan en slor del ska1l förklaras av det linjärasaml:andet mel-1an predikt.orvariabl-erna och y. Dettagörs med en så ka1lad F-test (se Milton & Arnold sid420ff ; Dillon & GoLdst.ein sid 220 ff) .
45
vid t.est.en beräknar man et.t test.värde och jämför medett teoretiskt värde. om testvärdet överstiger det.teoretiska förkastar man 0-hypotesen och ant.ar däri-genom den alternativa hypotersen at.t det finns ettregressionssamband mel-1an parametrarna.
Test av de olika parametrarna
Man kan sedan fortsät.ta med att t.esta de olika para-metrarna som ingår i modellen med nollhypotesen
ßí =o
Detta görs med en så kalÌad t-test., där man beräknarett testvärde och jämför med en t.eoretisk st.atistiskfördelning, den så kallade t-fördetningen.
Ett probJ-em som alltid finns vid hypotestester äratt. om man har ett för litet prov (litet antal ob-servationer) så blir testens urskiljande förmåga fördålig för att man skall- kunna förkasta någon hypotesMan kanske felakt.igt. accepterar O-hypot.esen och tarbort en variaber ur regressionen som egentligenskulle finnas där. Den statistiska metodiken gerall-tså ingen möjJ-ighet att påvisa rätt moderl- utanst.öd från teoretiska samband av ickestatistisk na-tur. Se Vrlonnacott & Wonnacott sid 3i4 ff .
Konfidens interval Ì
Man kan också beräkna så kallade konfidensintervalrför de olika parametrarna och även för medelvärdetY. Detta kan vid en variabel irl-ust.reras grafisktsom band som visar det intervall som är tillräckligtbrett för att det skall ha en viss sannorikhet attträffa det verkliga y. (sannolikheten väljs oftatiII 90 eller 95 å)
46
Bredden av detta band är beroende av hur väI ut-spridda observationerna av prediktorvariabeln är ochär minst vid dess medelvärde.
Korre l- at i on skoe f f i ci enten
Man kan visa att kvadraten på korrel_ationskoeffici-enten är ett mått på hur stor kvoten mel-lan den för-klarade variationen och den totala variationen är.
Om korrelationskoefficienten är 0r 5 förklaras alltså252 av den totala variationen av reqressj-onen.
Som vanJ-igt inom statistiken gäller det att man
måste tänka på att de parametrar man beräknar ur ettprov bara är ett estimatr êo uppskattning av denverkliga parametern. Dessutom gä1J-er det. att jufärre prov man har, desto osäkrare blir skattningen.
Det kan alltså vara så att den skattade korrela-tionskoefficienten visar att regressionen förklararen del av variansen, men att skattningen av koeffi-cienten är mycket osäker. Då kan man int.e accepterahypotesen om regressionen utan måste förkasta den.(Detta är analogt med det tidigare fördaresonemanget om prövning av hypotesen att allakoefficienter i regressionsekvationen i verklighetenär lika med no1l. )
Vi behöver allt.så ett kriterium som kopplar samman
antalet prov, värdet på den skatt.ade korrelat.j-ons-koefficj-enten r och risken att den verkliga korrela-tionskoefficienten r är notl även om r inte är det.
En sådan test. beskrivs i Koch & Link (1970) .
Ur tabellvärden finner man at.t om man har c:a 20prov den beräknade korrelat ionskoefficienten börminst vara av storleksordningen 0,4 för att man
skal-1 kunna anta att den verkliga korrelations-
41
koefficienten skitjer sig från 0 och att regres-sionen därigenom förklarar en del. av variansen.
4 . 6 Val av ant,al variabler i modellen.
Man vill inte ha variabfer i modellen som "i-nte hördit.' över huvud taget eller som endast i mycketliten omfattning förbättrar den förutsägelse man görmed modell-en.
Om man testat en fu1J-ständig modell- och därigenomvet att man kan anta att det finns åtminstone någonparameter ßi* 0 kan man prova alla t.änkbara modellermed €Dr två osv prediktorparametrar i och sedantesta dem för att se vilken mode]l- som är bäst..
Detta blir naturligtvis ytt.êrst arbetskrävande,eftersom det finns så många kombinationer.
I praktiken använder man i stället program som sökersig fram ti11 den bäst.a modellen, som vanl-igtvisinnehål-ler en delmängd av prediktorvariablerna.
Den metod som vi använt kallas stepwise regression.
Den fungerar så att den gör regiressionen i steg. (se
Johnson & Wichern sid 317)
Steg l-. Bäst.a lin jära regression t.as fram (Den pre-diktorvaribel- som har största korrelat ionenmed resultatet behål1-s
Steg 2 Den kvarvarande variabel som med en F-testbestäms ge största bidraget tas med. Dockskall- F-värdet överskrida ett bestämt "F toentertt
Steg 3 Programmet testar ytterligare variabler föratt. se om de skal-l- tas med. När en nyvariabel tas in t.estas också de 'som redanfinns i modellen för at.t. se om de ger ettsignifikant bidrag. Om deras F-värde ärmindre än ett bestämt "F to remove" tas debort.
48
När a1la kvarvarande varÍabler som inte är imodellen är icke-signifikant.a och variablerna imodellen är det. stannar beräkningarna.
Prediktionens noggrannhet
Avsikten med vår analys är egentligen inte att se om
det finns några samband mellan de oberoende vari-ablerna och den beroende utan snarare att göra för-utsägelser om värdet på den beroende variabeln närvi har mätt de oberoende.
Regressionsalinjen är alltså den bästa förutsägelsevi kan göra, men för att vi skall kunna ti1lämpa deni praktiskt. bruk behöver vi också kunna säga någotom hur bra den är.
Vår regressionsmodel-1 görvärdet (som också kallasatt vi har mätt ett antal
Dett.a kan man göra grenom
vilket det sanna värdetviss, val-d sannolikhet..
en förutsägelse om medel-väntevärdet) av Y, givetoberoende variabler x1.
att ange ett område inomkommer att ligga med en
förupp
Man brukar ofta ange sådana konfidensintervalldet sanna medel-värdet. när man beräknar och ritarregressionslinjen. Ett exempel visas nedan:
49
60
50
40
-30c()ct,6zo
l0
-100 10 29"'30 40 50 60
,. RQD
70 8O 90 100 110
Figur 4 5 Exempel på rel-ation mell-anmed 95% konfidensinterval-lmedelvärdet.
RQD
förochdet
STGCM
sanna
I figur .5 har lagts in två linjer som visar detområde inom vilket det sanna medelvärdet av predík-tioner faller med 95t sannolikhet.
Man bör observera att linjerna inte är paraJ_lellamed regressionslinjen utan att. avståndet till den ärminst där observationerna har sitt medelvärde ochatt det sedan ökar ju längre bort man kommer. Det ärockså mindre i områden där man har flera observa-tioner. Innebörden av dett.a är att man bör försökavä1ja att lägga sina mätvärden så att prectiktiÕnerìblir så noggrann som möjliqt.
För våra praktiska tilIämpningar är det ändå int.etiIIfyllest at.t kunna bedöma medelvärdet" av ettantal förutsägelser. Vad vi vilt göra är att göra enförutsäge1se för ett. enda t.i11fätle. Eftersomosäkerhelen i ett medelvärde atltid är mindre änosäkerheten för ett enstaka värde kommer vi att fåännu vidare konfidensintervall.
.'Úo
-'o"o-' O
o o
o
Eo.ÞØ
50
60
40 -Y-
$y¡6 957"
- Nedre 95%20
-40
02030 40 50 6070 80 90'lROD
Figur 4 6 Exempel på relation mellan RQD och SIGCM
med 95å konfidensintervall för förutsägel-sen av ett enstaka värde.
I figur 4.6 visas ett exempel på intervallet för 958sannolikhet för förutsägelse av ett enstaka värde.Intervallet skall jämföras med intervallet förmedelvärdet i föregående figur. Det framgår klart urfigurerna att medelvärdet kan best.ämmas med enbetydligt. högre noggrannhet.
Formler för beräkning av konfidensinterval-1 för en-staka värde finns i bilaga 5.
4.7 Sammanfattning
0
-20
MuItipeI regression gör det möjIigt at.t skapamodeIl ur vilken man kan dra slutsatser om
variabe.l- utifrån observationer från flera andra.
en
en
Man kan testa modellen för att se hur.bra den ärtotalt och man kan också t.esta de ingående variab-lerna för att se hur väsentliga de är för modeIlen.
Man kan också få en uppskattning av hur träffsäkermodellen är i sina förutsägelser.
J
arl -1.-
51
Men särskilt om man inte har många observatj-onerbLir modellen osäker. Man skall därför inte helt.lita till den statistiska modellen utan den ska1lges stöd av teoretiska, i vårt fall bergmekaniskaöverväganden. I annat fall gät1er den vanlígapríncipen:
"Garbage Ín, garbage out ! "
52
5 STATISTISKÀ SYNPUNKTE T
5.1 Inledning
Som ofta är fallet inom geo-material som vi f åt.t. f ram
statistisk synpunkt..
och bergtekn,ik ,är detint.e helt perfekt. ur
Det vanligaste problemet är att man inte kan få så
många observationer som man önskar och det är natur-ligtvis också här fallet. Eftersom vi måste ha mättae1ler bakräknade värden på håIlfasthet respektivedeformationsmodul blir antalet titlgängliga fallIitet, och i l-itt.eraturen redovisade fal1 är oftastotillräckligt dokumenterade .
Nästa problem rör möjligheten att mäta den önskadestorheten. Som nämnts i kapitlet om statistisk teoriskall- mätningarna göras i intervall eller kvotskala.Detta är ofta svårt och man tvingas därför att an-vända en ordinalskala av tidsskäI och ekonomiskaskäl. Ett exempel är variabeln VATTEN som mätts i en
ordinalskala. Man kunde givetvis ha gjort en mätningav vat.tenflödet i l-iter per sekund, men det hade
kostat i tid och pengar och kanske lett till att man
ytterligare fått skära ner på antalet fa1l. Det ärdessutom möjligt att hantera denna problematik:
Man kan göra en omformning av värdena på det. sätt.som beskrivs nedan eller också (och troligen vanli-gare) accept.erar man värdena som de är. I det senarefallet bör man dock försöka välja sin skala så attden efterliknar en int.ervallskala.
Ytterligare ett problem med materialet i vårt fatl-är att alla prediktorer (oberoende variabler) int.eär oberoende utan att det. förekommer en deI"konstgjorda" beroenden. Detta gä1ler t ex FRACDIST
53
och RQD
uppgiftsom i vissa fa]1 skati-ats från varandra närsaknats om båda.
5 .2 Typer av nätvärden.
Bland mätvärdena finns värden av flera principiellt.olika typer, även om alla uttrycks som siffror.
Klassning
Vi har värden som endastoch al-It.så i princip kan
en grupptitlhörighetvara ett namn.
angeranses
Exempel variabeln BERGART där värdet 1- betyder"kristal-1in" och värdet 2 b-et.yder "sedimentär". ,.
Gradering
vissa variablerskalan utgörs avvärdet placerar
anger en egenskap hos berget därett antal k.Lasser och där variabel-
provet i en av dessa klasser.
provets vitt-skal-a f rån L
inter-kontí-
Exempel variabeln VITTRING som gerringsgrad uttryckt på en femgradig(friskt) ti11 5 (helt "uppIöst").
Mätvärden
Vissa variabl-er är mät.värden, antingen på en
vallskala eller på en kvot.skala och i principnuerliqa.
5.3 Transformeringar
Av dessa ol-ika typer av mätvärden är det endast densistnämnda typen, kvantitativa värden, som direktkan användas i en regressionsanalys.
De första två t.yperna¡ kvalitat.iva värden, måsteLransformeras elfer behandlas på annat sätt j-nnan
man kan göra regressionsanalysen.
54
Klas sningsvariabler
Dessa behandlas enligt vad som beskrivits tidigaresom dummyvariabler, alternativt kan man behandla deolika klasserna var för sig (e1ler sammanslagna)
Som påpekats finns det ett problem i att datamängden(antalet fall-) är så litet.
Man får alltså lätt en situation där regressionenblir osäker.
Graderinqsvariabler
Dessa kan jämföras med betyg. Man har inom varjeklass egent.ligen en jämn för.delning av egenskapenupp titt nästa klassgräns, men man har valt ett be-gränsat antal klasser. Eftersom man har bet.eckningarpå klasserna som är subjektivt valda, måste man pånågot. sätt översätta beteckningarna t.i11 relevantamäteta1.
Ett sätt attt göra detta redovisas i MosteIler&Tukey (1,977) . Man antar at.t den klassificeradestorheten följer nånon IämpIig standardfördelning.Varje klass får utgöra en "remsa" skuren ur dennafördelning och man ger klassen det sj-ffervärde sommotsvarar remsans t.yngdpunkt. Remsans bredd får man
ur andelen prov som hänförts tiIl klassen.
55
om största värdet är tjugo gånger det ¡nirrsta börman göra transformationen nästan aIltid.
Då dessa regler inte var bekanta när beräkningarnagjordes har vi inte gjort någon sådan logaritmering.
Däremot har vivärden utgående
arbetat med logaritmering av mät-från bergmekaniska överväganden.
56
6 Baräkningar
6.1 Programvara
För beräkninqarna har använts Macintoshdat.or med
programvaran Statview
Data har Iästsprogrammet och
in via kalkylprogram, tilldär lagrats som ett antal
var och en av
statistik-filer.
respde övriga
6.2 Utförda beräkningar
Följande har beräknats:
+ Beskrivande statistik för varje variabelinklusive histoqram
Korrelationsmatrisen för samtliga variabler
Enkel regression me1lan hållfasthet+
+deformationsmodul ochparametrarna
+ Stepwise regression mel-Ian håIlfasthet respdeformationsmodul- och de övriga parametrarna.
+ Muit.ipe] regression på ut.valda parameLrar
(En multipel regression mellan hållfasthet resp de-formationsmodul och samtliga andra parametrar harint.e kunnat utföras på grund av bristande ant.al ob-
servationer i förhållande tilt antalet paramet.rar.En beräkning baserad på et.t urval av parametrarnahar därför gjorts. )
Enkel regressionsanalys av variabler som
omformat.s från ordinalskala
Enket regressionsanalys där extrema värden påparametrarna (out liers) tagit.s bort.
Regressionsanalys av variabler som omformatsutgående från bergmekaniska grunder, både medoch utan outliers.
+
+
+
57
7 BER¡{,KNINGSRESULT.AT
Resultatet omfattar dels beskrivande statistik överingående data, dels result.atet av regressions-analyserna. Detta redovisas nedan.
7.1 Beskrivande statistik. Santliga parametrar
För samtl-iga bergmekaniska parametrar har histogram(stapeldiagram) över observerade värden beräknats.Dessa diagram redovisas i bilaga 6.
I dessa diagram redovisas antal-et observatíoner("CounL") för varje val-t intervall.
7 .2 Korrelation mellan Pararnetrarna
I figur 7.I redovj-sas korrelationsmatrisen för de
ingående parametrarna.
r mat'risen anges korrelationskoefficienten p som ärett mått på variablernas koppling till varandra. Den
kan anLa värden i intervallet -1< p<l där värdet 1
ell-er -1 betyder fullständigt (determinist.iskt) be-roende och värdet. 0 betyder ett i statistisk mening
ful-Iständigt oberoende.
Som framgår av korrel-ationsmat.risen finns det ingauttal-ade klara samband me.l-Ian några variabl-er utanden högsta korrelationskoefficienten ligger kring0r5. Man bör observera att det är ett relativt be-gränsat ant.a1 prov och att. skattningen av korrela-tionskoefficienten därför är osäker.
ÈF
ÕoEØ
at/õ
'.¡d
.à3E,ç
E
IN1ôtI?E
ò
6lñ99N.ac!
EU
o1ô
dl<2Ic!õ
ô1
ci9ô,
I.-q
.:
o
î.1
oq
o.!
c;
AtÕ
91
III¡:'i
=
6l
a
J
ôn9
U
ônoc;
2
o<;a
o
c
óñ9
:E
c;oo
ts
1I:
oq
5B
1 Korrelationsmatris för de ingående paramet rarna
Figur 1
59
7. 3 RegreEsionsanal,ys.
En enkel reqressionsanalys med minsta kvadratmetodenmeIlan de två beroende variablerna bergmassans de-format.ionsmodul (EM) respektive bergmassans håfI-fasthet (SIGCM) och var och en av de övriga varia-blerna ger de resuftat som redovisas fuIlst.ändigt ibilaga 7.
(Ur analysen har uteslutits bergart samt case-kvalitet) .
I figurerna anqes det statistiska samband som rådermellan den beroende variabeln (EM respektive SIGCM)
och de oberoende variabl-erna när man betraktar varjepar av beroende och oberoende varíabel för sig.
Dessutom anges (via t2) hur statistiskt styrkt sam-
bandet är.
Det visar sig att de flesta sambanden inte alls ärstarka. Det är egentJ-igen endast i följande samband
som man bör anse at.t regressionen förklarar en del-
av variansen:
Beroende variabel-:SPNIVÅ.
TNSPVITTRINGSPRÖDHETRQDFRACNUMFRACDISTSMALLRAVATTEN
SPRODHET
SMALLRA
Det. skal-l- observeras att endast en liten del (< 358)
av variansen förklaras av regressionen.
60
7.4 Statistisk analys av utvalda parametrar
En möjlig väg at.t. få fram starkare samband är attundersöka flera parametrar samtidigt i en multipelregressionsanalys.
En1igt vad som tidigare sagts är vårt material_ såpass lit.et at.t det. är nödvändigt att få fler obser-vationer eller aLt skära ner anta.l_et variabler, förat.t få en tiIlräcklig överbestämning för att manskall- kunna göra en multipel regressionsanalys.
Eftersom det inte är möjliqt at.t få fler observatio-ner har vi istä1let valt att ut.ifrån bergmekaniskaöverväganden begränsa antalet ingående parametrar.
För de båda fallen håflfasthet respektive deforma-t.ionsmodul- har valts följande parametrar:
E!,r srccMINSP (dummy)
VOLC
SPNIVÅ SPRoDHET
SIGC SIGCECRQD RQD
FRACNUMFRACDTST FRACDIST(VATTEN)SMALLRA SMALLRAFRACCOAT FRACCOAT
FRACLEN
7 .4.1 Korrelationsanalys
Nedan visas ko.rrelationsmat-riserna för de båda data-mängderna:
6L
5igcm
Volc
Sigc
Sprödhet
ROD
Fracnum
Fracdist
SmallraFraccoa t
Frac len
Enr
Spnivå
JrqL
Ec
ROD
Fracdì st
Smaììra
Fraccoat
Vatten
Correlatlon llatrlx for Varlables: X I ... X9
Not,e I case cleìeted with mjssjng vaìues
7 .4.2 MulÈipel regressionsanalys
En multipet reqressionsanalys ger följande resultat:
För E-modul:
Correlatlon l'latrix for Variables: X¡ ...XtO
l'lultlpleRegresslonY I :Em SXvarlables
Beta Coelficient Table
Coeffrcrent: Std Err: std. Coeff,: t-Value: ilr
-.tB -.o7,7439rìq 2906t3-.t3o4-.24 -.23o6-.45t9 44
-.52 -.4929-.2tt2 -.294to4-.0605 -.3935,aç
52_ :? I-.4342_74
450l-.572-.J I
lt3t
, ta I
I
-68-34-29-o4- 4l 4B-.35-ll-340l 41-25-.4505
-.J 1-,5-1-,2OB-Jt i
ô i3537o1-08,16145 49
29 12-091-0128
OB
qmâì l12 2AÁ-46a 14-ìct q ô-17l
1006?1F rzccl i sl a 12\4 o 124
183??618ROr) 5 rô66R
F. 87-17?1r8 4Õa308045i qc 57 585 1
205l58l1750n I va o706I NTTRCEPT 26 37
62
För hål1fast.het:
Multlple Regression Y I :Em I X varlables
Beta Coefficient Tabìe
Varìable Coeff i Val Probabi I i t
11ultlpìeRegressionY I :Sigcm 9Xvariables
le: Coefflcr Probabi I r t
7 .4.2 Stepwise regression
Om man i st.ället. för att ta med all-a variabl_erna ianal-ysen gör en step-wise regressionsanalys där pro-grammet väl jer ut _i-ngående parametrar på rentstatistisk bas fås:
NultlpleRegressionY I :51gcm 9Xvariables
Beta Coefficient TableStd. Err.: Std. Coeff.:
Beta Coefficrent TableStd. [rr: Std. Coeff
2154rt3-29721-9 61Vatten006934972562196Fraccoat
-7 \')0B3.14-102Fracdist.8612l8-06836Ff acnurn048 32.25tBl223ROD
o143296-t05I 7.03-50 4Sorodhet67 4743IJ¡-)06S rqc
6?i65tl4o10tVôlc
260.39I NTERCEPT
ttz.¿1 .14,471lf9-20 5JFrac ì en
654f.46- llf6i352F racc.oalI 0861.76-42116'20.44Smalìra
63
le:
STEP N0. I Stepwìse RegressionY | :Em 9 X varlables
Variables in EquationCoef f F to Remove:Coefficìent: 5td. Er
dvs
Varjables Not in EquationVar iabì e:
STEP NO. 'l Stepwise Regresslon Y | :Em 9 X variabìes
V¿r ìables Not rn EquatronVar rable Par nter:
På statistiska grunder kan man ulesluta allavariabl-er utom FRACDIST, man får ekvationen:
EM: 3O.B + 6.8 FRÀCDIST
Ur berqmekanisk synpunkt är denna model-l inte bra,eftersom den säger att det minst.a värde som EM kan
anta är 3018, dvs det. värde man får om FRACDIST = 0.
Det. syns också tydligt på figuren över den enklakorrelationen (bilaqan sidan 25) att man har en
mycket stor spridni.ng vid ERACDTST = 0.
6?i6A?Fraealiqf a -17fo.82I NTERCEPT
,5\laPÔN
09Ec t41.415ìqc
50ntva 35l5
.AADummv 3 s1
t l427Vatten
Fr2aa(lzt oq?i42Smallra 3.27
64
För håIlfasthet fås
STEP NO, I Stepwlse RegresslonY 1 :Slgcm gXvartables
Vaniables in EquationVari ab Coefficientr Std rr Std Coefl" FT e
Variables Not in EquationPar. Corr Enterr
STEP N0. I Stepwise Regressiony 1 :Slgcm 9 Xvarlaþles
Variables Not in Equat ionVari Par. Corr:
dvs man får ekvationen
SIGCM = 67.5 - 25.4 SMALLRA
Enligt denna ekvation kan srGCM endast anta tre fixavärden eftersom SMALLRA endast kan anta värdena L, 2
eller 3. Ekvationen är alltså ej användbar.
7.5 Analys av transformerade graderingsvariabler.
Ett antal variabler har inte mätts erler kunnatmät.as i intervarl elrer kvotskal-a utan har i stärletmät.ts i en ordinal-skala (graderingsvariabler) .
e
r:
6,77-,529.74-25,36Smailra67,53I NTERCEPT
35- 14Fracnum
o2.04ROD
3.88-.43Sprödhet
9923Siqc
27-,l3Volc
02-.04Frac ì en
3.278-3-.01Fraccoat
29t?IJF racd i st
65
En transformat.ion har gjorts av dessa variabler på
det. sätt som tidigare angivits.
Därefter har dels beräknats korrelationsmatrisen,dels utförts en enkel- regressionsanalys mellan berg-massans mätta hålffasthet respektive deformat'ions-modul och de transformerade variablerna.
De transformerade variablerna och deras korrela-tionsmatris redovísas i bilaga I
En jämföreIse mellan korrelationsmatriserna för de
transformerade variablerna respekt'ive den ursprung-tiga korrelationsmaLrisen visar inga störreändringar.
Vid motsvarande jämförelse mellan resultaten frånregressionsanalyserna finner man någon gång vissaförändringar i ekvationen, men ingen förbättring isambandets tillförlitlighet .
Den fortsatta analysen har därför gjorts med icketrans formerade variabl-er
7.6 Analys utan outLíers
Ett studium av resultat.et av regressionen visar attdet f inns mätvärden
. som klart. avvi-ker f rån de
övriga, sk out.l-iers. Eftersom dessa värden påverkarresultatet ganska mycket. bör de granskas närmare. Om
det finns skäl att anLa att de inte är representa-t iva bör de uteslutas ur analysen för att man skallf å et.t- mer korrekt resultat. (Det f inns speciellametoder för att på renL statistisk bas elimineraoutliers, men här gör vi en rimlighetsbedömning på
bergmekaniska grunder. )
Bland de rapporterade fall-en finns några vars hål1-fasthet eller etasticitetsmodul Iigger mycket överde andras värden. Dessa värden kommer från några
66
fall hämtade från qruvindustrin vid rum och pelar-brytning. De rapporterde egenskaperna tillhör sjäJ_vamineraliseringen (malmkroppen) och ej sidoberget. De
berörda malmerna är kompetenta, nästan utan sprickoroch oftast har bergarten en mycket hög tryckhåll-fasthet. De avviker såIedes markant från de övrj-gafal1en och blir i en linjär regressionsanalys kraf-tigt. dominerande.
I några av dessa faII är egenskapernas värden såhöga att de strider mot gängse uppfattning om håll-fasthetens volymsberoende .
Några fel-aktigheter eller något. som tyder på atttolkningen skulle vara behäftad med större osäker-het.er i dessa fal-l har ej kunnat spåras.
Med tanke på den dominans som dessa få värden får iute-reqressionsanalysen har
slutits ur anaJ-ysen.de ändock tillfäIligt
En sak som skall_ observeras vid en jämförelse avresultaten från en regressionsanalys där outlierstagits bort respektive fått ingå i analysen är at.tområdet där anaJ-ysen är giltig ändras. (man börundvika att använda regressionsanalys för attext.rapolera) .
Ett exempel:
Reqressionsanalys av bergmassans håIlfasthet motsprickavståndet (fracdist)
61
Éoào
U)
troèo
(tt
.6.4.2I420 l2Fracdist Fracdist
Om det enstaka värdet med stort sprickavstånd tasbort ändras regressionslinjens beroende av den obe-
roende variabeln, men samtidigt har det intervallregressionen täcker blivit mindre.
(Anm. Exemplet har valts inte därför att det finnsskäl att förkasta värdet på fracdist utan för åskåd-
lighet.ens skull. )
ResuIt.atet. av berä.kninga.r ut.an outliers redovisas ibilaga I
(Endast. sådana
sas )
samband som har ett 12 )0r 1 redovi-
7.7 Regressionsanalys av variabler som trans-formerats på bergmekanisk grund
Då den regiression som visas ovan inte syns ge några
användbara samband mellan parametrarna har vi istäLl-et analyserat ett eventuellt samband meIIanLransformerade variabler .
ll
Ett bergmekaniskt övervägande enligt nedan
handen att. det är rimligare att finna ettmellan logaritmerna för parametrarna:
Em, Ec, och L+E/ 3ORQD resPektive
ger vidsamband
y=537x +24.22,12=oo
Sigcm, Smallra och RQD.
6B
Detta övervägande bygger på föIjande t.eoretiskasamband:
Em
Elastícitetsmodulen för en sprickig bergmassa kanhärledas med hjälp av teorierna för komposit-material-. Bergmassans E-modul E* kan då tecknas
E
1* E
kn's
där E är bergartens elasticit.etsmoduJ_, kn ärsprickst.yvheten och s är sprickavståndet.
Sprickavståndet. s är ungefär proportionel_lt. mot ReD-värdet. Efter logaritmering får man uttrycket
log Em * logE log (I+E/ (k.RQD.kn) )
Vi har vaI att använda värdet kn: 30 Gpa/m.Ett över-slag ger vid handen att man bör få rät.t. storl_eks-ordning på det beräknade värdet om man uttrycker ReD
som ett rent tal- och inte i %. Detta har ocksåprovats vid analysen.
Sigcm
ocm2c cos g
1 - s1nç
Kohesionen c har bedömtsmed sprickJ_ängden och"bryggor") .
öka med råheten samt minskasprickavståndet (antalet
f rikt.ionsandelenökande g
cosg/l-sing ökar nästan linjärt med
Friktionsvinkeln ökar med sprickornas råhet.Man fåralltså
Ocm * (Råhet/Sprickavstånd) Råhet
69
Eft.ersom sprickavståndet är proportionel-lt mot RQD
har vi valt att i stäIlet använda RQD
Efter logaritmering fås
lnOqrn oc 2 Ln Råhet ]n RQD
Resultat av re ctressionsanalvser på transformeradevariabler
Analysgången har varit den att vi har gjort en enkelregression med variabl-er som utvalts och transform-erats enligt ovan.
Därefter har viatt se om det
gjort en st.ep-wise analys förnågra multivariat.a samband.
ocksåfinns
70
De format i onsegenskaper :
lngående variabler:
ln Em, 1n Ec
RQD uttrycks, In(L+EclRQD) samt. ln 1t+ncl30 RoD) där
som ett rent taI.
Enkel regression
4.
y = .53x + 1.19, 12 - .09
Etric
3.5
3
2.5
2
t.5
I
U
5
4.5
4
3.5
3
2 2.5 3 3.5
ln Ec
4 4.s 5
..8 z.sC
2
t.5
Y = -3.22x + 5.4, 12 = .58
6.8ln( I +EclR0D)
5
042 1.2 1.4
Â
A
A
-o
aa
A
*AA
o
b
o 'O.o 'ð" 'q,
@
oO
I
I
¡.
*
-1I .I
:il
I..
7t
y--2,03X+6.11,12..525
4.5
3,5
lçiJ 2.5C
1.5
t.2 1.4 t.6 t.B 2 2.2 2.4
ìn( l* Ecl0,3R0D)
Stepwise regressien
Om man gör denna med alla variablerna enligttidigare utförda enkl-a regression får man:
STEP NO. 2 Stepwise Regresslon V 1 :ln Em 3 X varlables
abl Coeff iclent:Variables jn Equation
Std. Err.: Std. Coeff F to Remov
Vari ab ì eVariables Not in Equation
Par. Corr: F to Enter;
2.2836ìn Ec
Eftersom cle båda variablerna i uttrycket. i principär samma, får man att. bästa skattningen fås med
enkel regression enligt. tidigare:
5
0o I
ln( I +E/0.3R0D) 8,794.374.t3t2.23
12.o4-5.t I6.23-2t.6ln( I * EIROD)
5lINTERCE PT
In Em -0,32 1n (1+Ec/RQD) +5,4
II
72
Om man gör om beräkningrarna, men utesluter "out-liers" enligt de principer som tidigare angivits(Case nr L8 och L9) får man som bästa regression:
y . -3.34X + 5.32, f2 - .774.5
3.5
3
2.5ÊtlJC
2
2 4 6 .B
ln( I + E/ROD)
1.2 1.4
Modellen blir alltså:
ln Em = 3,34 ]n(l+EclRQD) +5,32
HåI I fasthet segenskaper
Ingående variabler:
In om, 1n Smal-l-ra och In RQD
Tdr
I
I
r.
3
lr.I
y--1.9x +332,12=.23
---"--_8.
o
oo
/J
Enkel regression:
-1
-.2 a
oòo
(a
oxÉ
0 .4 .ó
ln(x) of Smallra
.8 1 1.2
oèo
t/)
X
1.5 2þs 3 3.5ln(x) of RQD
4 4.5 5
SIEp N0. I Stepwise Regression Y 1 :ìn(x) of Sigcm 2 X variables
Variable: Crl,".ffir:tentVanables rn Equatìon
Std. Frr.: Std. Coeff F trt Remove
II.JTERCEPT -3 56
ln(x) of ROD l.¿16 39 66 t4l
Aven i det-taen oberoende
fa11 vj-sar en step-wise reqression aLtvariabel kan uteslut.as:
Vanablcs l.,lot rn EtluationPar. Corr: F to Enter
I n( x ) of :inra I lra -..\ / 1.94
y = 1.46x - 3.56, 12 = .44 O O
o9
-..--6 Io
o
.o
o o
Varrablc:
74
Smallra bidrar al-Itså inte utan vi får ekvationen:
In (Sigcm) -3,56 + 1,,46 In (RQD)
Om man gör motsvarande analys på ettkallade outliers tagits bort (Case
man följande bästa regression:
4.54
3.5
3 35ln(x) of ROD
mat.erial där så
20 och 2L, får
EOO)
ñ
XC
32.5
2r.5
I
.50
-5-l
I 5?côJZa
aa
44.55
]n (Sigcm¡ = -3, 62 + 1, 42 ln (RQD)
7.8 VaId modell
Av de beräkningar som gjorts framgår att den bästamodelÌen (i den statist.iska betydelsen ) fås om man
del-s gör en på bergmekaniska resonemang baseradtransformation av variablerna, del s, likaledes påbergmekaniska skäI, tar bort så kallade outliers.
De modell_er som erhållas är:
För bergmassans håflfasthet :
J-n (O"*) L, 42 ln (RQD) -3, 62
958 konf idensint.ervall för medelvärdet av ln (Ocm)
framgår av figuren nedan
y = 1.42x - 3.62, 12 = .53
9'
gO
o
o o
o o
o
Y = 1.42x - 3.62, 12 = .53 6O
..9-
15
5
3.53
2.5E.?lS(ñÇlô q><
(- t)r-.J
-1I
ÀÉ'1. J
4.5
2. -)
Modellen kan även skrivas
Ocm = 0r03 RQD It42
För bergmassans deformationsmodul gä1ler ekvationen
]n (Em) 5,32- 3,34 ln[(]-+Ec) /RQDI
med 95% konfidensintervall för medelvärdet enl-igtrl-9.
v = -3.34x + 5.32, 12 = .77
2 3 3.5
ln(x) of ROD
44,55
55
3
'lt:tLlC
5
04 6 B
ln( I *E/R0D)1.?_ t.4
o
b
ob
oo
tt. o
9Oo
76
Uttrycket kan tecknas:
204, 4H-
3,34( 1+--!-)
RQD
Det har alltså visat sig att de väsenttiga para-metrarna att mäta är del-s RQD, dels bergartens E-modul.
Om dessa skulle saknas, kan man t.rots det användaett regressionssamband av den typ som tidigare redo-visats under enkl-a regressioner. Det måste dock medskärpa påpekas att de sambanden inte är särskil-tstarka !
Man skall- aIltid observera, att en modell framtagenmed regressionsanalys har ett giltighetsområde somär beroende av spannet för de observatj_oner som denbaseras på. Detta syns tydJ_igt när man tittar på deinritade konfidensintervall_en (för det sanna medel-värdet), som blir mycket vida i ändarna av dettaspann.
Det skall- också betonas att modeller framtagna pådetta sätt återspeglar de samband som råder just iden använda datamängden. Sådana samband kan varaförklaringen tiII att den framtagna modellen förbergmassans deformationsmodul- har ett utseende somur bergmekanisk synpunkt verkar ologisk. Enligtmodellen gäller ju nämligen att en ökning av Es
medf ör en minskning av E¡n vid ett och samma ReD.orsaken til-1 at.t moderlen har detta ut.seende harinte ut,retts närmare, men kan bero på ingående dataoch kan all-tså ändras om man får mer data! Det äral- ltså vikt. igt att komma ihåg att man kan f åbegränsningar i gil_tigheten som orsakas av "snäva"indata.
77
8 SLUTSATSER
I denna rapport har gjorts en genomgång av den statistiskametodik som kallas reqressionsailalys.
Denna anlys har sedan tillampats på ett bergteknisktmaterial och samband har erhål1its mell-an vissa parametrar.
Ãven om resultatet kanske inte är hel[ entydigt kan vissaslutsatser dras:
a F'r¡r ¡ll i |_ô râ<:lrltâ,|-ÉrI. qka l^.'l ì cl-¡l. i ct'i crl¿f qr¡¡rrl mAql o
ñãn fÄrrrl-a +- +- ^t-t- Ìraramalz¡ni c1¡l- Þrrnn¡nria
Att bara tilJ-ämpa statistik och därigenom hoppas
samband är riskabelt och kan leda till felaktigrafå fram ettslutsatser.
Ett större antal observationer kr¡ävas
Antalet tiIlgängligavilket innebrurit atLerhållas.
observationer har varit begränsat,statistiskt säkra samband ej kunnat
En jämnare spridninq på den oberoende variabeln skulle dock
göra regressionen säkrare.
79
9---SUUI'ÍABY
Today, the rock mechanics engineer has
several powerful computer based tools,FDM.
at. his disposale.g. FEM, BEM and
then: "Ho\¡r to estimate t.he needed
data and how accurate will the
However, in order to be able to use these tools, data isneeded. Relevant measuremenEs of, sâY, rock mass shearstrength and/or moduli are ofLen scarce, and it is necessaryto estimate t.hem from other types of measurements, such as
RQD, which are more conmon.
An important question isparameLer from availableestimate be?"
With this method, the aim is toestimate from a relationship of
This report addresses these problems in the following \^/ay:
Data \^rere collected from several cases which are listed inAppendix 2.
For every case, the sought parameters for rock mass shearstrength Oç¡n (SIGCM) and deformation modulus Ep (EM) \^/ere
measured or back-calculated and could thus be considered as
known.
rn addition to t.hese, sever¿ìl other parameters were
deterrnined. The data is summarized in appendix 1.
In order to determíne any relationship that rnight existbetween the two parameters (srGCM) and (EM) and one or more
of the other measured parameters the statistical method oflinear regression analysis was used.
trythe
to determine the besttype
BO
Y- a + Ip1x1
i. e. the sought parameter isthe measured parameters. i.e
estimated as a weighted sum ofa straight line.
"Best" is interpreted as the line where the squared sum ofdeviations of t.he measured points from the line is minimum,see Appendix 3, Fig.2.
The accuracy of the estimate can be calculated in the formof confidence intervals. rt should be carefully observed,however, that the intervals usually given in the literature(and built into computer programs) sLate the accuracy of t,hemean of repeated estimates. For engineering purposes, asingle case estimate is usually desired. The confidenceintervar for such a predicition is necessarily much widerthan for the mean value. This is illustraLed in Fig.4.5 and4.6 (point estimate) for the relationship between osm andRQD. Relevant formulae are given in Appendix 5.
After a thorough statistical analysiswas deemed necessary to t,ransform Lhemechanics principles.
of the "raw" data itdata using rock
The
thecomplete discussion is found in Chapt er 7 .j and givestwo equations:
log E* logn los (l-+E/ (k.RQD.kn) )æ
1no6¡¡-2InRåhet ln RQD
(logarichms are used in order to geü a linear relationship)
The relationships as determined by linear regression are:
ln (Em) 5,32- 3,34 ln[1+Eç) /ReD] and
8l
1n (ocm) L, 42 ln (RQD) -3 ,62
with confidence intervals for the mean as shown on page 75.
IIon
shoul-d be pointed out that these results are conditionalthe data used!
Another selection of data, or additions tomight change the relationship and also theintervals.
t.he set used,confidence
Two main conclusions are:
WiLhout a sound foundation in rock mechanics the'int-arnrat-¡t--ian ¡^r'i 'l I Þro ¡^¡orÞ in â ci-rl.icl-ì¡¡l crênaâ
a
Just applying statistical procedures in the hope of findi-ngr
a relationshíp is risky and the conclusions might be
misleading.
A laroer number of observations is needed
From a statistical(cases) , about 20,
weak relationships
point of view,is sma]l. Thisthat have been
the number
is evidentfound.
of observationsfrom the rather
Evenly spread observations would al so be helpful in maki-ng
the confidence interval more narrow along the regressionl-ine.
20't I1816151413i12
'I 1
'I 0
8
6
5
4
3
2
CASE
1
569595
50
30
5052
5
26
40
1,5
EM
20
i 8c9C
14C
2C
6818
116
4
5.420
191
39745C
VOLE
450
2
2
4
2
c2
2
1
I4444444
INSP4
2.21 2.5
9,711.58,211
100
0
2.68.6
2C
0,81.ô7
0.30.35,9
4.20
0
1
0,3 3
2.71,70,81.2
2
2
2
2
22
2
2
2
)
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
3
2
3
1
2
2
3
2
6495955050
't 00100
506057
8,47A
7A
3840
71
2
2
3
2
2
2
2
2
65100
8595
80100
9562
807A
100
85
7A
2
2
2
2
42
3
0-4
1
0.50,7 5
0.751
0,30.750 -35
0,0 8
0,025o.20-1
1
0-1
1-1
0,0 5
o.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
I1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
BIGRA
2
3
3
2
2
4
2
2
3
J
3
3
3
3
2
3
3
1
2
1
3
2
0
0
0
400
90
90s040
t4'I 0
2A
0
8545
10
ALFA
0
2
1
2
2
'|
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
2
4
VAÏTÊN2
INDAIA DEFOBMATIONSMODUL
2
2
4
22
2
2
4
3
3
ODEF
SKIVA
2EI¡REPÉLARÊ
Gf]ELAFIEPELARE
PÊLARE
P€LARE
PELAFE
OSil¡BLOCK
STRIPA
TUNNEL
TUNNLAF
TUNNIARærcF[JMÊErcFUM
EEFGF¡JM
SFRTUNNI
SFRSILO
2
2l
19
'I 8
16
't5'I 4
11
I7
6
54
2
1
99
31 ,3
17
1-820
21-526
22.221 -6
287.40_6
521
551212
SIGCM'I 0
13C
9C
14C
2A7C1C
681€
52116201-32,71095
198225108
36225
2
2
1
42
2
2
2
2
'I
4
44444
4
14,212.5
5.922
12-59,7
1 1,54.211
10
2,68_6
?6,220
0,8¡.o
SPN¡VA
7.5
2,6
0_3
0
o_3
5.9t-32,32,9+.2
01
't.2
2.71.70,8
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
I2
1
a
'I
1l 1
BEFISAFIT
2
22
1
1
3
2
3
2
3
1
1
1
'I
1
I
'1
1
1
1
21
1
3
VITTRING
2
193
140
'I 40175
8021412616517521A202
37
't 75
1t5112
64108133
24
1
I
1
I2
1
1
1
1
1
1
23
1
22
2
2
2
2
6580
10095758595959580
10062
5
807A
1004585
ROD
7A
'I
2
21
3
2
22
3
4?
5
I
3
0,15
101
0.40,5
0.7s0.75
0.30_750,08
0.025
0,1
o- 1
1.1
0.05
1
1
1
22
'|
2
2
2
2
'|
1
1
2
1
3
1
2
1
2
1
'|
1
'I
2
2
2
2
2
2
BIGRA
1
1
2
3
1
1
1
1
2
2iI1
I1
4
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
,1
2
3
FRACLEN
2
0
0
oi 1
0
1540
0
9090909025
2A
0854S
251C
0
1
3
2
2
2
2
2
3
2
4
VATTEN
2
INDATA HALLFASTHET
2
1
1
1
1
41
2
1
,1
'1
1
2
4
4
4
2
2
OHALLF
2
SKIVA
PELAFE
PELÁFIE
SLANTætrPELAFìE
PELARE
PELAFE
PELÆìE
PELÀÎ8STRIPA
TUI.¡NEL
TUNNLAR
TUNNLAR
EjffiJMæFC+[JM
SJLO
ùtþ.Þh,tcþLrn0,
ã0,9orrsr:HtsÞ¡¡.Þq0,
F.ÞqpoÞqÍßÊ0,ffÊ,
TE?-ts0)(qÊr
(nP.p"
F
CASE
Bilaga sid 2
Bilaga.2 Referenslist,a över studerade case
RBFERENS
StilJ-e, H, Fredriksson, A, Wíding, E, .Â,hrling,G.FEM-analys av silo med anslutande tunnlar. SKB,
Arbetsrapport SI'R B5-05, VatLenfall september1985.
Stille, H, Delirr, P. SFR-tunnlar - Stabilitet vidpassage av Singölinjen. PreI. Rapp. Inst förjord- och bergmekanik, KTH. Stockholm, nov. 1984.
1
2
3 Hahn, T, Stille, H
vidd. Bergmekaniska83:1 /84, St-ockholm,
Bergrum med 30 m spänn-erfarenhet-er. BeFo
1984.
Forzano, G, Frassoni, A, Moro, T, Rossi,ValIino, G. The Edolo Underground Power
Station.Proc. of the Int. Symp. of LargeCaverns in Flelsinki, Finl-ancl 198 6 . VoI .
80.
P.P och
Rock
L, p 6'7'
q Legge, T.F.H, Richards, L.R. and Pound,J.B.Kiambere Hydro Electric Project Cavern: Rock
Mechanics Aspects. Proc. of t-he Int. Symposium ofLarge Rock Caverns in Helsinki, Finland 1986.
Vol. 7, p. 159-1'70,
Cravero, M, Grasso, P. Iabichino, G, Pelizza, S
Methodology for Calculation and Field CheckingAdopted for a Complex Configuration for an
Underground Highway Tnterchanqe (Como, Italy)Proc.of the Int. Symp. of Largre Rock Caverns inHelsinki, Finland 1986 . VoI. 2, p. 1235-1.246.
Heuze, F.E, Patrick, W.C, Butkovich,T.RrPeterson, J.C, de l-a Cruz, R.V, Voss, C.E.Rock Mechanics Studies of Mining in the ClimaxGranit e .
6
1
Bilaga sid 3
fnL. Jn
Vol-.19,Rock Mech. Min. Sci & Geom.ech. Abstr.p. 1,61-L83, LgB2.
B Ward, W.H., Coats, D.JTunnel- Support Syst.ems
MudstoneTunnelling -76. Inst.
P. Performance ofFour Fathom
, Tedd,in the
9
of Met. and Min., London.
Thorpe, R, Watkins , D.J, Ralph, W.E, Hsu, R. and
Flexer, S. Strength and Permeability Tests on
Ultra-Iarge Stripa Granite Core. Swedish-Americancooperative program on radioactive waste storagein mined caverns in crystalline rock. TechnicalInformation report No. 31". Lawrence BerkeleyLaboratory, University of California, sept. 1980.
10 Savilahti, T, Stephansson, 0. SKB BerggrundensStabilitet., VaÌidation of HNFEMP by Use of theCSM Div. of Rock Mechanics, Luleå Universit.yrofTechnology, January 1988.
1-1 PeIare i Laisvallgruvanr olnr. 55. Genomgång avBol-iden Mineral AB:s arkiv samL muntliginformation (P*E Söder och Norbert Kraul-and) .
1,2 Pel-are i LaisvalJ-gruvan, omr. 7. Genomgång av
Boliden Mineral AB:s arkiv samt muntliginformation (P-E Söder och Norbert KraulanrJ) .
13 Pelare i Stekenjokkgruvan, omr. 5050 och
1252.Genomgång av Boliden Mineral AB:s arkiv samt
munt.lig information (P-E Söder och NorbertKraul-and) .
Krauland, N, Söder, P-E.Stekenjokk, område 55050
Berqmekanikrapport I/85 |
19B5.
1,4 PeIare i Stekenjokkgruvan, omr 6051,134. Genomgång av Boliden Mineral AB
S lut bryt.ningspl aneringoch 1,252
Boliden Mineral AB, jan.
sektions arkiv
708-samt
Bilaga sid 4
muntJ-ig information (P-E Söder och NorbertKrau]and) .
Söder, P-8. Beräkning av pelaravsättníng melIansektion 734 och 708. Bergmekanikrapport 6/85,Boliden Mineral AB, sept 1985.
15 Pelare i Laisvallqruvan, Södra Strand. Genomgång
av Boliden Mineral AB:s arkiv samt muntliginformation (P-E Söder och Norbert xrauland).
1,6 Ramp i Stekenjokkgruvan, rampr 3. Genomgång av
Boliden Mineral AB:s arkiv samt muntliginformation (P-E Söder och Norbert Krauland).
Kleve, S. Försök med avlastningssprängning iSte'kenjokk, ramp 3, februari 1986.
Bergmekanikrapport 6/86, Boliden Mineral AB, okt.
1_986.
L7 Hängväggsras i Långselegruvan. Genomgång av
Boliden Mineral AB:s arkiv samt muntliginformation (P-E Söder och Norbert Krauland) .
Eriksson, C, Krauland, N. Bergmekaniska syn-punkter på hängväggsraseL i Långselegruvansskivpallsområde. Bergmekanikrapport 1 /15, BolidenMineral AB, nov 19'75 .
18 Pelare i Marmorilikgruvan. Omr a
information (P-E Söder) .
Muntlig
Krauland, N, Söder, P-8. Determining PiIlarSt.rength from PilIar Failure Observation. BolidenMineral AB, Reprint from Engineering and MiningJournal, August 1987
19 Pelare i Marmorilikqruvan, omr e. Muntliginformat ion (P-E Söder) .
Krauland, N, Söder, P-8. Determining PillarStrength from Pil-1ar Failure Observat-ion. Boliden
Bilaga sid 5
Mineral- AB, Reprint. from Engineering and MiningJournal, August 1981.
20 Mellanskivainformat.ion
i Renströmsgruvan. Muntlig(Staffan Sandst.röm) .
Borq, T I Lindblad, J, Sandström, S. Prognos avbrytningsförhåll-anden i Renströmsqruvan.Delrapport 2z Geomekanísk modell avRenst.römsgruvan. Bergmekanikrapport 8/87, BolidenMíneral AB, 1981.
21 Borg, T. Prediction of Rock Failures in Mineswith Application to the Näsliden Míne in NorthernSweden. Doctoral- Thesis 1983226D, LuIeåUniversityof Technology, Divi-sion of Rock Mechanics.
Agmal-m, G. NäsIiden. Ut.värdering av mätningar ochFEM-prognos. Bergmekanikrapport I/88, BolidenMineral- AB, mars 1l- 988 .
Nyström. A.Examensarbete, Avd för Bergmekanik, Högskolan iLuleå.
Bilaga sid 6
Bi].aga 3 Statistisk rnodell: linjärregression
För att förenkla dískussj-onen görs den först för enenkel regression. Principerna är de samma för enmultipel regression. Sedvanliga statistiska beteck-ningar används, dvs variabler betecknas med versal-er(t.ex Y) medan observationer och ut.fall- betecknasmed gemena (t.ex y) .
Den teoret.iska regressionskurvan kan definíeras urföljande:
Vi har två variabler X och y
Kurvan över medelvärdet. avY givet X=xför regressionen av X på y.
o Den verkJ-iga kurvanende variabeln somformen Y= c[ + Þx.
är linjär i såväti parametrar dvs
mY lx kal-1as
den obero-den är av
Denna t.eoretiska kurva behöver inte vara linjär.
Vi vi11 nu skatta regressionskurvan ifrån observe-rade data. Vi vilt göra detta på ett sådant sätt attvi dels får den "bästa" möjliga skattningen av denverkliga kurvan, <JeLs inför så få vj_Ilkor och förut-sättningar som möjligt.
FöI jande f örut sät.ts primärt :
Denna kurva kan också beskrivas som medelvärdet avtänkbara utfall yi av den beroende variabeln för ettoch samma värde xi.
E (Yi) a+Bx1r s€ figur 3
o Variablerna Yi är stat.istiskt oberoende
Täthetsfördelningarna f (yi I xi) har samma varianso2 för alla xi.
o
Bilaga sid 7
f (Ylx)
Y
xX X
2
FÍgur L Regressionens princip
För att få bästa möjliga anpassning av en rät linjetill uppmät,ta data söker vi den linje som minimerarkvadratsumman av avvikelserna mellan observerade ochberäknade värden.
a
Yi
Y
0 IFigur 2. Minsta kvadrat.metoden.:Kriterium: E( y-yi)2=min.
Parametrarna iuttryck:
ekvationen för linjen har följande
Lutning: X*iyi -nx.yIxf -nx2
Intercept. med Y-axeln: u=y-p.X
Det bör framhål-las at.t. eftersom lutningsfakt.orn ß
kan t.olkas som en viktad summa av y-värden med vik-ten proportionell mot. xi, så kommer ,'ouLliers" att.få en stor betydeJ-se vid skattningen eftersom deras
p
l
faxien
en stor betydelseligger 1ångt frånstor "hävarm" .
Bilaga sid I
vid skattningen eftersom derasmedel-värdet och de därför får
en för ossatt den har
av
Med minsta kvadratmetoden gör man en anpassning aven rät linje till ett antal kända punkter. Den linjesom bestäms på detta sätt är inte nödvändigtvis den
"sanna" linjen eft.ersom mätta data har en spridningrunt medelvärdet. Vi får alltså beroende på antalpunkter, deras representativitet etc en mer ellermindre god skatt.ning av den "sanna" linjen.
Man kan beskriva detta gienom att. beskriva avvikelsenav den stokastiska variabeln Yi från dess medel-värde
Yi G + Bx1 .+Bi
f ekvat.ionen är Ei är en felterm, med
okänd fördelning. Vi gör dock antagandetmedelvärdet 0 och en konstant. varians o2
Denna felterm uppkommer av två orsaker:
o Mät.fel. Det. kan föreliga mätfel vid mätningenden beroende variabeln.
o Stokastiska fel beroende på att vi inte tagit hän-syn ti11 alla inverkande faktorer, til-l att detfinns små variationer i den oberoende variabel-no.s.v.
Vi känner inte den verkliga regressionslinjen
Y a+Bx
ut.an bara en skattning, ett estimat
Y= cr*ÊX
Vi kan därför vilja göra uttalanden om hur nära vårskattning kommer den verkliga }injen och även som enföfjd göra uttalanden om hur bra vi kan bestämma
Bilaga sid 9
medelvärdet. Y och enskiLda värden Yi givet. ett värdepå x.
Den "naturliga" skatt.ningen är väntevärdet. Y, men
eftersom vi har en variation kring detta värde förvarje x, så vilI vi också hur stora avvikel-ser frånY som vi riml-igen kan förvänta oss.
För at.t. det skall vara möjligt att. göra dessa uttal--anden måst.e vi kunna uttala oss om både cr och ß, vadqräIler deras medelvärden och varianser och hur bravåra skattninqar av dem är.
Vi måste nu införa ytt.erligare ett villkor:
Fe1et Ei är normalfördelat N (0, 62.') .
Eftersom Yi är en Iinjär funktion av Ei innebärdetta villkor att även Yi är normalfördelade med va-riansen o2. .
Detta innebär at.t. osäkerheten i både fe1 och i denberoende variabeln ska1l vara konstanta och alItsåinte en funktion av den oberoende vari-abe1n, t.exöka när den oberoende variabeln ökar.
Sammanfattning:
Med enkel linjär regression kan man ur data bestämmaen modell där väntevärdet av den beroende variabelnär en linjär funktion av den oberoende variabeln.
Detta görs vanl-igen med minsta kvadratmetoden. Denger en mode]l- där linjens lutning är en viktad summa
av observationer av den beroende variabel-n
Bilaga sid 10
Följande antaganden görs:
o De oberoende variablerna Y1 är oberoende
o Sannolikhet.stäthetsfördelningiarna f (Yi lxi) harsamma varians c2. för al-l-a xi.
Ur modellen kan uLsagor görasnär den oberoende variabeln är
om vänt.evärdet av Y
känd.
Om man dessutom vill göra uLtalanden om hur bra ut-sagan är e]ler om man vil-l göra uttalanden om för-delningen av Yi görs även följande antagande:
o Samtliga Yi och feltermen Ei är oberoende och normalfördelade med den konst.anta variansen 02.
Viktigt är, att man kan betrakt.a denvariabeln på två sättr soÍì både ledersamma matematiska resultat .
oberoendefram till
I den ena modellen, se Benjamin & CorneJ-I (1970), ärx en icke-stokast.isk variabel som kan variera frånförsök ti]l försök. Modellen säger att det finns ett.funktionellt. samband mellan medelvärdet Y (av en
stokast.isk variabel) och variabeln x.
I den andra modellen är X en stokastisk variabel.ModelLen beskriver i detta fall att betingadeväntevärdet av den beroende variabeln, givet et.tvisst, utfaIl av den oberoende variabeln.
Skillnaden mellan modell-erna ligger främst i om man
kan kontrollera den oberoende variabel-n e1ler ej
MuItipeI_ reqression
Man kan väIja att. göra regressionen med flera obe-roende variabler. Vanligen gör man då en multipellinjär regression vilket är en utvidgning av denenkla linjära regressionen.
Bilaga sid 11
Man får då i stället för en regressionslinje ettplan (eventuelt et.t hyperplan i flera dimensioner)som beskriver vänt.evärdet för den beroendevariabeln:
E(Y )
X
Z
Xi, Zi
Figur 3. Lin jär regression med fl-era variabler
Planet. har uttrycket:
E(Y)= c*Fl x t *þzXz*,,.* ÞnXr
När man tillämpar minsta kvadratmetoden söks devärden på cr och B1 som minimerar
I (yi - ( a+pt x1 +82x2+...+Frxr,) \2 dvs minimerarsumman av de kvadrerade awikelserna meÌlan obser-verade värden på den beroende variabel-n och urmodellen förutsagda värden.
Skillnaden mellan observerade och förut.sagda värdenförklaras med en stokastisk felterm Ei. Man får då
Y ¡= 6¡+Þl Xl *þzxz* * pnXn*Ei
Förden
denna felterm gäJ-J-er som förut antagandet attär normalfördelad N(0,02) .
De olika feltermerna ska.l-l varaskal1 dessutom vara oberoende av
okorrelerade. De
Xi.
Bilaga sid L2
Ett problem som kan uppstå i multipel reqression ärmultikollinearitet, ett fenomen som orsakas av attvåra observationer av de oberoende variablerna harsådana värden (eller kombinationer av värden) attdet är svårt att definiera regressionsplanet. fråndem.
Probl-emet kan enkelt åskådliggöras för fallet med
enkel linjär regression:
Antag att aIla våra observationer av den oberoendevariablen X ligger på et.t enda värde xi, se figur 4.
Då är en punkt på regressionslinjen definierad,näml-igen medelvärOet tX,îl
men int.e J-injens lutning.
Y
X
Figur 4. Obestärnd regressionslinje på grund av Iitenspridning i X
Motsvarande kan inträffa vid multipel reqression. Ifigur 5 visas hur man vid fallet med två oberoendevariabler kan "tappa" en dimension om observa-tionerna av de två oberoende variabl-erna ligger på
en rät linje. Vi kan då j-nte J-ängre med säkerhet.definiera regressionsplanet utan endast skärningrs-Iinjen mel-l-an alla t.änkbara regressionsplan.
Bilaga sid 13
X
Linje på vilkenobservationerna avX och Z ligger
Figur 5 Mult.ikollinearitet i rnultipet reqression.
f verkliga tilJ-ämpningar är det osannol-ikt att deoberoende variablerna skulIe falla på en perfekt rätlinje som i figuren. Det kan dock ofta inträffa attvariablerna visar en viss grad av samvarians, vilketbland annat gör att bestämningen av regressions-planet blir mycket käns1ig för variationer i indata.
Man måste därför vara uppmärksam vid valet av obe-roende variabler så att man inte får in sådana sam-band dem emellan. En vanlig fät1a är att man vä1jervariabler som var och en för sig beror av någontredje variabel (som inte nödvändigtvis ingår i re-gressionsanalysen. )
Y
z
Bilaga sid L4
Bilaga 4 Dummyvariabler.
r många fal1 vil1 man i regressionsanaì-ysen ta medkvalitativa värden, klassningar, i vårt fall_ tillexempel bergart, som alttså är mätta i en nominal-skala. Det sätt som vanligen används är att man an-vänder siffror L,2,3.. för att beteckna olika klas-ser i sin datasammanställning. När man gör regres-sionsanalysen arbetar man sedan med så kallade"dummy-variabler. "
r det enklaste farlet har man bara två kl_asser ochger motsvarande variabel- värdet 0 ell-er l_.
Låt !{ vara dummyvariabeLn (bergart) .
Man får en modell_ av typen:
E (Y)= a +ßZ +gv{
där I¡rl=0 för magmatiska berqarter och
W=l- för sedimentära
Genom att sätt.aekvationer:
in värdet på W får vi två
E (Y)= a +ßZ för magmat.iska berqarter och
E(Y)= a +ßZ +g för sedimentära.
g representerar inverkan av bergarten.
Ur den mul_tip1a regressionsanalysenIinjer som representerar sambandet förbergart.
får vi tvårespekt ive
Det skattade regressionspranet får ekvationen
Det skall observeras, att om man endast använder envariabel i en regression på hera datamängden så kanman få systemat.iska fel i reqressionen. (se wonnacott
Bilaga sid 15
&Wonnacott (L977) sid 3BBff) Man får trot-igen intesamma reqressionslinje om man s1år samman alr_avärden ("berg") som om man derar upp berget i olikakl-asser. Man skalt observera att det regressionsplansom man passar in när man använder dummy-variablerär en sorts bästa anpassning när man använder a]ladatai det är inte bästa anpassningen när man behand-l-ar bara sediment.ära bergart er respekt ive baramagmatÍska bergarter. Förfarandet har dock den för-delen att det blir färre parametrar som skarlskattas ur en given datamängd, varför skattningarnabl-ir säkrare. (Om man delar upp reqressionen i tvåskall man skatta a och ß för vardera bergarten, dvsfyra parametrar mot tre om man arbetar med dummy_variabel-. )
om den kvaritativa variabern har fr_era klasser äntvå förfar man på ett riknande sätt. Man ansätterflera dummyvariabl_er, antalet är en mindre änant.aret kl-asser. på motsvarande sätt förfar man omman har flera kvalitativa variabl_er än en.
När man använder dummyvariabler ökar man ar]tsåantalet variabler som ingår i regressionsanalysen,men man får färre parametrar att skatt.a ur data-mängden och därigenom säkrare skatt.ning.
Man skal-1 dock observera at.t de skattade värdenablir ett slags kompromiss jämfört med om man harti1lräckJ-igt material, för att. göra en uppdelning.
Bilaga sid 16
Bilaga 5 Formler för beräkníng av konfídensínten¡all för enstaka utfall
r falIet när man bara har en oberoende variabel geskonfidensint.ervallet av
I * Xo2 *rnFn' zxí
Y o=Y o + t.025 S
där Student-t. har n -2 frihetsgrrader.
I exemplet i avsnitt 4.6 fås:
t.025 = 2,1,20 1n = 1g således L 6 frihetsgrader)
vari-ansen 52 ges av uttrycket
s2 = #)) [v,-îl'
som är en skattning av den sanna variansero2.
För en multivariat regressi-onslinje kan mot,svarandekonfidensintervall för en enstaka observationtecknas (Se Johnson & Wichern, ]-gg2rsid 31j_) :
Yo=Yo *¿n-r-1 gI 1+ xo (X'X)-1 Xgs
där L n-r-1 är övre I00(a/2) percentilen av en t_fördelning med n-r-l_ frihet.sgrader
n är antalet prov
r-l- är ant.alet oberoende variabler och
s beräknas ur residual_termernatidigare fast man dividerar med
på samma sätt som
n-r-1.
of Xl: SþcmHistogram
Bilaga sid I'l
Bilaga 6 Eistogrân över ingående parânetrar
ÉoU
7
20 40 60 80 100 120
0 l0 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
oO
EÍr5roU
7
oU
Histogram of X2: Em
of X3: VolcHistogram
Histogram of X4: Vole
0 50 100 150 200 250 300 3s0 400 450 500
Bilaga sid 18
7
Éto
(.)
ÉoU
I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 s.s
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5
7
ÉoU
0 2 3 4 5 6
I
éoO
I 1.25 1.5 r,75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.2s
of X5: InspH
Hlstogram of Xó: Spnivå
Hlstogram of X7: Spkvot
Histogram of X8: Bergart
of X9: Met¡konsHlstogram
BiJ-aga sid 19
7
E!
oU
I 1.5 2 2.5 3 3.5 4
I 1.5 t 2.5 3 3.5 4
0102030 40 50 ó0 70 80 90 100 ll0
áoU
Éo
of X10: VlttringHistogram
Histogram olXl2z
of X13: Sprä'dhetHistogram
I 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Bilaga sid 20
Histogram of X14:
01020304050 60 70 80 90 100 110
7
ÉoU
I 1.5 2 2.5 33.544.555.56
Éáo()
0 2 4 6 8 10 t2
ÉoU
2
Histogram of XlS: Fracnum
Hlstogram of Xló: Fracdlst
o1 Xl7:
I 1.5 2.5 3 3.5 4
Hlstogram of Xl8: Bþra
Bilaga sid 21-
áoU
c:
o(J
oU
oU
1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.2s
I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.s
1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 l0 20 30 40 50 60 70 80 90 100
of Xl9: Fraccoat
X20: Fraclen
Histogram of X2l: Alfa
Bilaga sid 22
Histogram oi XT2; Vatten
EIao
C)
l 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
ÉoU
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
7
oU
I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
Histogram of X2it: Qhallf
X24: QdefHistogram
Bilaga sid 23
Bilaga 7 Enke1 regressionsanalys.Santliga variabler
Bergmassans deformat ionsmodul
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Vole
I
cf¡l
-l.5 1.522.533.544.5
¡¡¡
-2.5 0 2.5 5
Insp
7.5 l0 12.5
Spnivå
-t
o
y = -.01x + 39.22, 12 = l34E-3
ö-o
o
------ooo
g
O y=-10.98x +69.6,12=.25
o€
o
y -.17x+37.2,12 = 1.328-3
o-0
oo
l5 t7.5 20 225
! = -LT)x + 41.92,12 =.O2
oo
Bilaga sid 24
90
l0
Ér¡
-l 0123
75 1 1.25 1.5 t.1S
4567Spkvot
2 2.25 2.5 2.75 3 3.25Melakons
t¡¡
75 I 1.25 1.5 1.75 2 2.25 3.25Viuring
50 60 70 80 90 100 110
.2.75 3
tfÐ
o----to
o- - -'-
+4.9\¡2=3.9ß,-3y=
g
û
cI
X = -2O.05x + 63.7\ 12 = .2
o
o
t'--.___
o
o
oy = .31x + 19.28, 12 = .08
--o-oaq
0102030ûEc
oö
y - -l9.2tx + 67.71î2 =.21o
l-t¡¡¡¡_
Bilaga sid 25
l¡¡
-l
cll¡¡
75 t 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.7t.3
3.25Sprödhet
80 90 100 1100 10- 30 40 50 60 70
RQD
ÉIJ¡
.5 1 1.5 2 2.5 3 4 '-.5 5.53.5F'racnum
Efr¡
4,,0 6 I
--__-9oo..d--8
J = .48x + l.5g12 =
oo
o
-- ---'c;
I-o-o
X = -I2.06x + 68.2A, ¡2 = .23
¡-
oo
tt
I
12 = .34
.6(D
o.ttY =6'7x+
-l-2
Fracdistl0 t2
Bilaga sid 26
l¡¡
75 I t.25 1.5 1.75 2 2.25 2.s 2.75 '3 3.25Smallra
-l
100
.8 I 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2,2Bigra
t¡l
.511.52 2.533.544.5Fraccoal
frl
1.25 1.5 1.75 2
a--____0o €t
I = -20,ó|x + 72.1\ 12 =.1!
oir-------
oo
Ioo
y = .73x + 37.32, 12 =
o8'----
oIo
x = .4x + 9.71, "z = 2,168-4
o
o
go
J = 1.06x + 35.óó, 12 = 8.32F.4
o-'----o
o
.75 1
Fraclen2.25 2.5 2.75 3 3.25
o
y = -.17x + U25, 12 = .Qg
o
Bílaga sid 27
Ef!¡
-l
-10 0 10 20 30 60 70 80 90 10040 50Alfa
Vatten
Bergmassans hål l_ fast.het
-500 0 5m 1000
Volc
.5 11.522.53
5 r t.5 2
1500 2orn 2500 3m0
4 4.5
100
Eoào
t/,
2.533.544.5
aIo
o
y = -13.28x + 6L86, ¡2 =.16
o€
o
I
I
o
y = -.01x + 2E.76, 12 = .03@
y = -4.52x + 39.61, 12 = .03
o
o
Inrp
o
ö'-A --.'
a
y=163x +7.46r12=.24
oo
Bilaga sid 28
Eoèott
-2.5 0 2.5 5
t0
7.5 l0 12.5
Spnivå15 t7.5 20 22.5
2 3 456 ,|
Spkvot
oI oo
-a
| = 4,67x + 19,5\ ¡2 = .06
OO
o
oq
€
X = -7.18x + 39.88, 12 = .A4
o
g
o
75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25Metakons
I 1.25 1.5 1.75 2
Y = .IE.43x + 49.07, 12 = .llo
e
75
Vittring- {.5 2.75 3 3.25
9.'-"""'o
y=.15x+5,52r¡2=.01)
oo
Bilaga sid 29
Eoàott,
025 100 125 150Sigc
75 175 200 225 250
Éoà0
(tt
75 I 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 'ãö.Spödher
3 3.25
30 40 50 60 70RQD
JD0 80 90 100 110
11.522.53 3.5 4 4,5 5
t0-...
12=.ßy = -A.Mx+
o
o
-€r-g-.o-
! = .32x + 2.6, 12 = .08
OO
ooo o
-----o-
y = -E.27x + 4t.05, 12 =,11
o
0
..._.._.O__
.5Fracnum
! = .62x + ?Á.37, ¡2 = 2.148-3p
Bilaga sid 30
-2 0 642 IFracdist
1.75 2 2.25 2.5Snrallra
1.4 1.6Bigra
'.to lz
75 1 1.25 1.5 2.ts - 3 3.25
1.8 a 2.2.8 1.2
.5 11.522.533.5
otê"..--
y = .25.3óx + 67.53, 12 = ,27
o
€n----- --.-.-F
y = 2.04x + 23,99, ¡2 = 1.298.3
o
o
o
o
_-_-_--o
y = -7.54x + 39.76, 12 = .06
e
oo
F¡accoat
-+4.5
I
Bilaga sid 31
Eoþo
(h
75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.2sFraclen
-10 0 10 20 30 40 50AIfa
ó0 't0 80 90 100
.5 11.522.53 4.543.Vatten
o
y = -7,E7x + 47,82. 12 = .03
OO
o
o
y = n03x + 27,tt, 12 = 1.348.3
0
J = -l 1.88x + 48,92, ¡2 = .llo o
t¡¡_¡¡__¡
21?a191¡171615141312l110sI
654321
2?22
'|
42222
71
1
44444444
1
1
I1
I1
1
1
1
1
1
2J
21
1
1
1
'I3
2
'I
1
1
1
21
1
1
1
1
1
2231
222?22
1
1
'I
1
221
2
22222
2
32
2
,l
1
2
'I1
21
1
2221
222t2
1
2
'|3
231
1
1
1
1
1
3?21
1
'|
1
42
3
233
33
33
2333
1
1
32
1
'I
1
32
21
1
1
1
2222?23242
-637
-.637.637
-2.7811.593
" 637-.637- 637-.637- 637-?.781-2.7411.5931.5931.5931 _5S31.5931.5931.5931 593
--60 1
--60 1
..601-.60 1
-_ 601
..60 1
- 601-.601- 601-.601,60t2.068
..6012.068-.601-.601..601..601- 601c.1 68
1 3211.3211-3211-321
1 1681.3211 3211.321't.3211 .3211 321
1.1681.1680.1 681-321
1.1681-1681.1681-1681.r68
'I 168
Bilaga 8 a lransforrnerade varial¡Ier
.1 5q3
.t.593
.1 .593
.1.593s38.938.1.593.938.938.938
q38.9 38.s38.938
'I _5931.5931.503
.9381-5q3
0.'168
q38
1 453-'t.321-1.3211.453-1 321.1-3211 .453
.1 .321'1 .3211.4531.4531.453-1 .3211.453
't.4531.453.1 7211.453.1 321
.1-321-1 121
1 1q5.8 23
1_ 1S52.068922
2.068.1 .1 951.195
-1.195-1.195-'l .1 95
-1.1952_058823
.823- t.195-1 1q5.1 .1 95-1 1q50.1 68
t23
838.1.49.83I.838.838.838.838.838.838.838,838
.1.49
.838
.838
.838
.838
.3.302'1.49.3.302.8381.49
-1.91.432lql1 .91
2.296432
.4321 .911 .91
1 _91
1 .91.432432
.432432
.432
.4322.296
0.168432
ü,1..Fb,þh,t¡'i¡B!,Ig¡H'o!ott0,oo
0,ilF.0,ötsoï
túP.ts0r(q0)
(nP.
(,N)
YATTEN dlrf:RACLEN ord
3IGRA qtrl:RACOôAT ¡
SMALLM otr
)ROD difVITTRING otr
¡GtrlAlfâ
F¡acnumR'tl
SrgcEc
voleVolcEmSiqcm
-o lF-o 3t
-o 1c-o 41-o.47-o 3A-o
o 11-o 26
o.3 3
o,1 5
o¿)o07o2âo3
1
fì ô5
-o ô1.ô 51
-0.49-o 51
ô6-o 5
o5
0,28õra
-o.1 2
ooo 01o.21
1
Em
o.1 3
o7
.0.05-o 2q
01
o tÁ
0.02ô 17oor
-0.3 €
-o. o2
ooe
ô9!1
-õ 77
-o 08-o i;
o. 05
-0,07ô ¿¡
-o. o8
oat-o tt-o 13
o ôso.25
-o 05-0.09
o 1¿
-o !9-o 33
0.350.03
-o Õ!o.29o 1Á
o 3tI
Sôn;v.â
-o 1too,
o 3¿o01o.27o 07o.1 5
î 17o 17o.27
-o 11ô3A
ô 1A-ô tq
- o.6-Ô 42-o 6s
oo7-ô 45o.46õ2
Siqc
-0.3 8
o)6
-0.36-Õ oq-o.56
_-0,3 2-ô t I
0.37-ô ô3o49
Ec
-o.67
-o.1 3
-n 5t-o 75-o.71-Õ 35
o.3 5
.o 4a
FCD
o37
o27ôo 360.2 3
o¿1
-o 43
-0 3?0.0s
-a 2a-o 3't-o 91-0 1r
-0,1 €
-0.21
1
o 41o04
-ô 06o29
-0.25-o 32-o 17
-õ4
ôô¿o.47o¿
Bilagr I b RorþhttoDr4tr!.r för t!&¡fonôrad¿ %riabLG
0.58ôô7
-o.15
o 55
o550.32
0 01o.24
o 33
ô 1AI
-oo 34
o 4€
VATTÊN qlrf
Bi].aga 9 Regressionsanalys utan outliers
Bergmassans deformat ionsmodul .
Bilaga sid 33
är case 18 och 19,De tvåpelare
värden som faller utanföri Marmolikgruvan.
11.52
-2.5 0 2.5 5 7.5
2.5 3.5 4 4.5Insp
l0 12.5Spnivå
1.5 1.75 2 2.25Viuring
15 17.5 20 22,5
2.75 3 3.25
o
o
----------o
o"o
Ioo.I O l=-7.Mx+52.6,¡2=.26
tlt¡rtrrr¡
--o--ooo
o
o
o
y = .92x +24.88,12 = .lo
O -..'
o-
Io
o
oo
t-t t
oI J = -14.59x + 50.62, 12 = ,/6
o
75 I r.25 )ì5.
Bilaga sid 34
l¡¡
75 I 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2:t5Sprcklhet
'3 3.25
fr¡
éf¡l
0 10.. 30 40 50 60 70 80 90RQD
100 110
1.75 2 2.25Smallra
2.5 2.75 3 3.2575 1 1.25 1.5
Bergmassans håI1 fasthet
Case nummer 20 och 2I har tagits bort..
(Endast sådanaredovisas )
t
ooo
o
_-__.-....e
o
y= +o I'------€
o __ììtllr
o
a
.'oo
y=3x+9.97r12=,23
o
o 9,o
o
---€
o
o
II \
y = -9.55x + 48.03, 12 = .llo I'-'---e
samband som har ett 12> 0r 1
Bilaga sid 35
0
-2,5 0 2.5 5
-1 012
7.5 l0 t2.5Spnivä
15 t7.5 2D 22.5
3456 7
-1
Spkvot
75 1 1.25 1.5 r.75 2
Vittring
2. 2.75 3 3.25
15 t t.25 L5 t.'ts 2 2.25 2.5
Sprödhet
o
-.-""-6-
oo
oo +v .1312l 73,1.06x
o
.,-eö
oo
o o-'-
a
a
+y=
o
I = -12,44x + 34.1, 12 =.18I
o oJ = -13.ó3x + 40,1, ¡2 = 1ß
J. 3 3.25
Bilaga sid 36
010 y' 40 50 60 70 80 90 100 ll0
'. J 3.zs
RQO
-1I r.5
1 r.5
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
Ëoào.â
Fracnum
75 I 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75Smallra
2 2.5 3 3.5 Y
.s'Q. -.'-<;
y =.3óx. t.71, 12 = 3E
o
o o
oo
o----o-__. o
o y =.4t5x + 3156, 12 =o
'--8b-.--o""
ooo
y = -12.62x + 39.93, 12 =.22I
---8-å"-.-..
o---------e-o
-i--a____-
y = .5.79x +2Å.86,¡2 = ,12
B
oo
.5
Fraccoat4.5
Bilaga sid 37
Eoà0
(rt
-10 0 l0 20 30 40 50
Alfa60 10 80 90 r00
,5 11.522.533.5 4.54Vatten
&-----s
"t""tl
y =,l9x + l2.l5r12 =,19o o
ta
8 !=.7.91x +33.t3, 12=.17
¡i¡¡-¡¡_
Bilaga sid 38
AngrH-S.A & TangrW.H. t1,975. Probabiì-ity concepts inengineering planning and design. John Wiley&Sons, Inc New York.
Devore I J.1. , 1 987 . Probability and statistics forengineering and the sciences. Brooks-Cole publishingCompany. A division of Wadswort.h, Inc.
Dillon,W.R. & GoldsteinrM., L984. Multivariate ana-lysis. Met.hods and applications. John vüiley &Sons.
Johnson, R.A & Wichern, D.Vü. ,1,982. Apptied multi-variate st.at.istical analysis. Prent.ice-HalL, Inc.NewJersey.
Kendall & Stuartstatistics.
L967. The advanced theory of
analysis ofNew York.
Koch, G.S & LinkrR.E. ,1,970. Statisticalgeological data.Dover Publicat.ions Inc.
Milton, J. S. & Arnold, J.C., 1986.ProbabiIity andstatistics in the engineering and computingsciences. McGraw-Hi11 Book Company.
Mosteller, F & Tukey , J.W. , Data analysis andregression. Addison-Wesley Publishing Company.
Wonnacott, R. J & Wonnacott, T.H .,79'T2.InLroductoryStatistics 3 ed. Wiley, N.Y.
