Bton Arm

Pr. : A. AKEF

Universit Hassan II Ain Chock

Fac. Sciences Casablanca

LP : TMBTP

Chapitre I

INTRODUCTION

EN BETON ARME

I Gnralits

1) Bton

On appelle bton : le mlange dans des proportion convenable

des lments suivants :

liant hydraulique (ciment)

granulats (agrgats) ( sable, gravier,.....)

leau

2) Bton Arm

On appelle bton arm le matriau obtenu en ajoutant au bton

des barres en acier. Ces barres sont gnralement appeles

armatures.

3) Remarques

Dans lassociation bton + acier, le bton rsiste aux efforts de

compression et lacier rsiste aux efforts de traction et

ventuellement aux efforts de compression si le bton ne suffit

pas pour prendre tous les efforts de compression qui existent.

Rsistance la compression : 20 MPa 200MPa

Bton Rsistance la traction = 2 MPa 5MPa

La charge est de 25000 N/m3.

Acier Traction ou compression (200 MPa 500 MPa)

Une construction sera appele construction en bton arm si les

deux matriaux participent la rsistance de lensemble.

II Les avantages et les inconvnients du BA

1) Les avantages

Lintrt conomique

La souplesse dutilisation

conomie dentretien

Rsistance au feu

Rsistance aux efforts accidentels

Durabilit

2) Les inconvnients

Le poids

Lexcution

Brutalit des accidents

Difficult de modification dun ouvrage dj ralis

Chapitre II

REGLEMENTATION

ACTIONS ET SOLLICITATIONS

I La scurit

1) Dfinition

La scurit est dfinit comme tant labsence de risque dans le

domaine de construction; cela implique la stabilit, la

durabilit et laptitude lemploi. La scurit absolue nexiste

pas; il faut accepter une probabilit non ngligeable daccident.

2) Louvrage et la scurit

Le dimensionnement des ouvrages et la vrification de la

scurit ne peuvent pas se faire de manire empirique. Ils sont

bass sur des rgles de calcul bien prcises.

II Rglement classique CCBA

Le rglement CCBA, est un ensemble de formules sommaires

de 1968 permettant de calculer le moment de flexion dans

divers cas de figures.

Ce rglement utilise la mthode des contraintes admissibles qui

consiste vrifier que les contraintes calcules par la R.D.M

en tout point dune structure sont infrieur une contrainte

admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du

matriau par un coefficient de scurit k fix lavance.

k

es =Acier Bton

k

rs =

III Thorie probabiliste de la scurit

1) Seuil de probabilit

Les ingnieurs ont dfini la scurit par un seuil de probabilit;

un ouvrage sera acceptable si la probabilit de ruine reste

infrieure une probabilit fixe lavance. Cette valeur varie

en fonction de la dure de vie de la construction, du risque et

du cot.

2) Limite de la mthode

Cette mthode a de multiple difficult:

On ne peut pas dfinir la probabilit de ruine et son

volution dans le temps.

On ne peut pas recenser tous les facteurs alatoires

dune incertitude.

IV tats limites:(BAEL) 83-91-99;Eurocode2

1) Dfinition

Par dfinition, un tat limite est celui qui satisfait strictement

aux conditions prvues (la stabilit, la rsistance, la durabilit

et les dformations non nuisibles pour satisfaire les fonctions

techniques dutilisations des structures), sous leffet des

actions (forces, moments ou couples) qui agissent sur la

construction ou lun de ses lments.

2) Exemple

Rsister aux sollicitations imposes, leffet des intempries,

des dilatations, des retraits, etc.

3) Remarque

Cest une thorie semi probabiliste. Elle consiste :

Dfinir les phnomnes que lon veut viter (ltat

limite), ces phnomnes sont :

- Ouverture des fissures soit par :

a- Compression successive dans le bton.

b- Traction successive dans lacier.

- Dformation importante dans lensemble.

Estimer la gravit des risques lis ces phnomnes

(on distingue les tats limites ultimes et les tats

limites de services).

Dimensionner les lments de la construction de telle

manire que la probabilit datteindre lun de ces

phnomnes reste faible.

4) tat limite ultime (ELU)

Il correspond la valeur maximale de la capacit portante de la

construction et dont le dplacement entrane la ruine de la

construction.

a- tat limite ultime dquilibre statique de louvrage : stabilit

des constructions. Cest la perte de la stabilit dune partie ou

de lensemble de la construction (non glissement, non

renversement).

b- tat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de

construction : cest la perte de rsistance soit du bton (non

rupture par crasement) soit de lacier (non rupture par

allongement excessif).

a- Dfinition

b- Diffrentes ELU

c- tat limite ultime de stabilit de forme (flambement) : pas

dinstabilit. Les pices lances soumises des efforts de

compression subissent des dformations importantes et

deviennent instable.

Exemple : pour un poteau B.A., non risque de flambement.

5) tat limite de service (ELS)

a- Dfinition

Il constitue des limites au-del desquelles les conditions

normales dexploitation ne sont plus satisfaites sans quil yest

ruine. Il concerne les conditions dutilisation des ouvrages et la

durabilit

a- tat limite de service de compression de bton : contrainte

borne par le rglement. Cette limitation a pour but dempcher

la formation des fissures.

b- tat limite de service douverture des fissures : durabilit des

ouvrages. Il consiste assurer que les armatures sont

convenablement disposes dans la section et les contraintes ne

dpassent pas la valeur limite.

Exemple : (non corrosion des aciers).

c- tat limite de service de dformation : limitation des dsordre.

Il consiste vrifier que les dformations sont infrieures des

dformations limites.

Exemple : flche des planches limite pour rduire les dsordres

de fissuration des cloisons ou des revtements scells.

b- Diffrentes ELS

6) Les diffrents tats limites en bton arm (Eurocode2)

ELU dquilibre statique: l'ensemble doit rester en quilibre

lorsque des charges sont appliques.

ELU de rsistance des matriaux: le bton et l'acier ne

doivent pas se rompre.

ELU de stabilit de forme: Les lments ne doivent pas

flamber.

ELS de durabilit : Limitation de l'ouverture de fissure.

ELS de conditions dexploitation : Limitation des flches.

Exercice 1 :

Indiquer dans les diffrents cas ci-dessous, quel est ltat limite

considrer :

a - quilibre dun mur de soutnement.

b - Cas de fissuration.

c - Cas de limitation des flches.

d - quilibre dun poteau lanc.

e - Contrainte de compression du bton impose.

V Les actions et les sollicitations

1) Les actions

a- Dfinition

Les actions sont des forces ou des couples directement

appliqus sur la construction. Elles peuvent aussi provenir de

dformations imposes la structure tels que dilatations,

tassements d'appuis, retraits, etc.

Les valeurs de chacune de ces actions ont un caractre nominal

c'est dire quelles sont connues ds le dpart ou donnes par

des textes rglementaires ou contractuels.

On distingue trois types d'actions :

actions permanentes.

actions variables (d'exploitations).

actions accidentelles.

b- Les actions permanentes (G)

Ce sont des actions continues dont l'intensit est constante ou

trs peu variable dans le temps.

Quest-ce que les actions permanentes?

Les types dactions permanentes

-- les charges amenes par le poids propre de la structure.

-- les charges amenes par les poids des autres lments de la

construction.

-- les pousses des terres et les pressions ventuelles de

liquides.

-- les actions dues aux actions diffres (indpendantes des

charges).

c- Les actions variables (Q)

Ce sont des actions dont l'intensit varie frquemment et d'une

faon importante dans le temps. La dure d'application est trs

faible par rapport aux dures de vie de constructions. Les

valeurs de ces charges sont fixes par le rglement, en fonction

des conditions d'exploitation de la construction.

Quest-ce que les actions variables?

Les types dactions variables

-- les charges d'exploitation (QB en btiment et Qr pour les ponts).

-- les charges climatiques (W pour le vent et Sn pour la neige).

-- les charges amenes en cours d'excution.

-- les actions de la temprature (T variation uniforme et Dq gradient thermique).

-- les actions accidentelles (FA).

d- Exemple

1 - Mur de faade 2 - Mur de refend

3 - Charge concentre 4 - Action du vent

5 Personnes 6 Meuble 7 - Pousse des terres 8 - Plancher en bton arm 9 - Cloisons

10 - Temprature 11 - Revtement de plancher 12 - Poutre en bton arm 13 Automobile 14 - Sous-pression d'eau

Lgende

- les charges amenes par le poids propre de la structure: ce

sont, dans notre exemple, les charges 1 et 2 dues au murs de

faades et refends ainsi que celles amenes par les planchers et

les poutres en bton arm 8 et 12.

- les charges amenes par les poids des autres lments de la

construction: ce sont les charges amenes par les cloisons 9, les

revtements de plancher 11, la couverture et les quipements

fixes.

- les pousses des terres 7 et les pressions ventuelles de

liquides telles que les sous pressions d'eaux dues aux nappes

phratiques 14.

- les actions dues aux actions diffres comme par exemple le

raccourcissement par retrait du bton dans le plancher en bton

arm 8.

Les actions permanentes

- les charges d'exploitation comme les charges concentres 3,

les personnes 5, les meubles 6 et l'automobile 13.

- les charges climatiques fixes par des textes rglementaires

telles le vent 4 ou ventuellement la neige.

- les charges amenes en cours d'excution qui proviennent

des quipements de chantier non visibles sur notre exemple.

- les actions de la temprature dues aux variations d'ambiance

en cours de journe 10.

Les actions variables

2) Les sollicitations

Ce sont les effort normaux et tranchants et les moments

flchissant et de torsions qui sont calculs partir des actions

en utilisant les procds de la R.D.M.

3) Les combinaison dactions

En fonction des situations qu'une construction va connatre,

nous allons tre oblig de superposer les effets de plusieurs

actions. Pour cela :

nous affecterons chaque type d'actions, un coefficient

de scurit partiel,

nous combinerons les actions obtenues (principe de

superposition des effets),

nous dterminerons la ou les combinaisons qui

engendrent les sollicitations les plus dfavorables dans

les lments de la construction.

a - Combinaison dactions et notations

Gmax actions permanentes dfavorables.

G

Gmin actions permanentes favorables.

Q1 actions variables de bases.

Q

Qi actions variables d'accompagnement.

Pour dterminer les sollicitations, on utilise les combinaisons

d'actions avec les notations suivantes :

b- tats limites ultimes (E.L.U.)

=

n

1i

iQ1Qminmax .Q 1,3.QG1,35.G i1

A

n

1i

iQminmax F.QGG i =

: coefficient multiplicateur = 1,5 dans le cas gnral.

Avec les actions accidentelles FA nous avons : 1Q

Les situations accidentelles ont une faible probabilit de se produire.

Gnralement la combinaison des charges s'crit :

1,5.Q1,35.G

c- tats limites de services (E.L.S.)

=

n

1i

iQ1minmax .QQGG i

: coefficient multiplicateur 1Q

Gnralement la combinaison s'crit :

QG

Considrons une poutre en bton arm pose sur deux appuis

simples A et B. Sa section est de 20 cm x 50 cm et sa porte est

de 8,00 m. Elle supporte une charge dexploitation

uniformment rpartie de 12000 N/m.

Dterminer :

1) Les actions aux appuis RA et RB.

2) Les efforts tranchants T(x), TA et TB pour dterminer les

cadres et triers.

3) Les moments de flexion M(x) et Mmax pour dterminer les

sections daciers tendus.

Exercice 2 :

Chapitre III

CARACTERISTIQUES

GEOMETRIQUES DES SECTIONS

I Le moment statique

1) Thorme

Le moment statique dune surface plane par rapport un axe

passant dans son plan est gale au produit de laire de cette

surface par la distance de son centre de gravit (ou centre de

surface) laxe considr :

MS / OZ = A.YG MS / OY = A.ZG

2) Proprits

Si laxe OZ passe par le centre de gravit MS / OZ = 0. Si laxe OY passe par le centre de gravit MS / OY = 0.

3) Exemple

Considrons une section en I.

Y1

Y2

Y3

A1

A2

A3

O

y

z

Aire lmentaire Distance du CdG

laxe OZ

Produit

A1

A2

A3

Y1

Y2

Y3

A1.Y1

A2.Y2

A3.Y3

Gi

3

1i

iS A.Y.YA/OzM ===

On en dduit :

A

/OMY ZSG =

A = A1+A2+A3

II Le moment quadratique

1) Dfinition

Le moment quadratique dun lment de surface plane par

rapport un axe OZ, situ dans son plan, est gale au produit

de laire dA de cette lment par le carr de sa distance laxe

considr OZ.

Le moment quadratique de la surface A contenant tous les

lments daire dA, par rapport laxe OZ, est gale la

somme des moments quadratiques lmentaires :

dAyI

Ymax

Ymin

2

Oz =

2) Exemple

Cas dune section rectangulaire.

.b.dyydAyI

h

0

2

h

0

2

Oz ==

3

hbI

3

Oy =

de mme :

3

bhI

3

Oz =

Y

y

Z

z

b

h

dy

y

O

G

yG

3) Thorme de Huyghens

Le moment quadratique dune surface plane A par rapport un

axe OZ, situ dans son plan, est gale la somme :

-- du moment quadratique IGZ de cette surface par rapport

laxe GZ, parallle OZ et passant par le centre de gravit G.

-- du produit de laire de la surface A par le carr de la distance

yG du centre de gravit laxe OZ.

2

GGzOz A.yII =

Application la section rectangulaire

A

Ir soit

)section la de aire A(

) equadratiqumoment (Ir

zz'zz'

zz'2

zz'

=

=

4) Rayon de giration

Le rayon de giration est tel que :

23

Gz

2

GOzGz2

hbh

3

bhIA.yII

==

12

bhI

3

Gz =do :

Aire b.h

Centre de gravit u1 = u2 = h/2

Moment

quadratique 3

3bh

zz'I =

12

3bh

ZZ'I =

III Caractristiques des sections courantes

1) Rectangle

u2

Z h

b

G Z

u1

z z O

y

Aire (b.h)/2

Centre de gravit u1 =h/3 ; u2 = 2h/3

Moment

quadratique 12

3bh

zz'I =

36

3bh

ZZ'I =

2) Triangle

h Z G Z

b

u1

u2

z z

Aire D2/4

Centre de gravit u1 = u2 = D/2

Moment

quadratique 4

4R

64

4D

ZZ'I ==

3) Disque

u1

D z G

z

u2

En utilisant les notations prcdentes :

A, u1, IGZ et IOz.

1) Surface rectangulaire avec b = 6 cm et h = 40 cm.

2) Surface triangulaire avec b = 32 cm et h = 40 cm.

3) Surface rectangulaire avec b = 40 cm et h = 16cm.

4) Disque de rayon 14,28 cm.

Exercice 3 :

1) Calcul de yG (u2)

IV Section en forme de T

tablissons les formules pour calculer la position du centre de

gravit et le moment quadratique dune section homogne en

T dans le cas ou le centre de gravit est en dehors de la table.

G

h0

h A1

A2 O

y

z A3

b0

b

Z

yG

4).hb-(b /OzM

2

hy .h

2

)b(bA

4

).hb-(b /OzM

2

hy .h

2

)b(bA

2

.hb /OzM

2

hy .h bA

2

00S3

030

03

2

00S2

020

02

2

0S1101

==

=

==

=

===

/OzM/OzM/OzM /OzM AAAA S3S2S1S321 ==

2

2

00

2

0G

2

00

2

0S

u2A

).hb-(b.hb y

2

).hb-(b.hb /OzM

=

=

=

2) Calcul de IGz en fonction de u1 et u2

G

h0

A1

A2

O

y

z

b0

b

Z

A3 A3

u2

u1

3)h(u).b(bI )h-).(ub(bA

3

b.uI b.uA

3

.ubI .ubA

3

02030203

3

2222

3

101101

==

==

==

3

)h(u).b(b

3

b.u

3

.ub I

3

020

3

2

3

10GZ

=

Dans le cas dune section en T, calculer la position yG du

centre de gravit et le moment dinertie IGZ.

On donne :

b0 = 20 cm ; b = 80 cm ; h0 = 18 cm ; h = 78 cm.

Exercice 4 :

Dans chaque cas, dterminer :

1) La position yG, en utilisant le moment statique.

2) IOz ou IGZ, par utilisation du thorme de Huyghens. On donne :

Rectangle : b = 15cm ; h = 45cm.

Trapze : b = 30 cm ; b0 = 20 cm ; h = 45 cm. T : b = 50 cm ; b0 = 20 cm ; h = 45 cm ; h0 = 12 cm. I : b = 65 cm; b0 = 15 cm; b1 = 22 cm; h = 45 cm; h0 = 10 cm ;h1 = 15 cm .

Exercice 5 :

h

b

b0

z

y

O

h0

h

O

y

z

b0

b

b1

b

h

h1

b0

h0

O

y

z

y

z

h

b

O

Chapitre IV

LES COMPOSANTS DU

BETON ARME

I Caractrisation du bton

1) Dfinition

Cest un mlange de :

Liant hydraulique (ciment)

granulats (sable , gravier)

eau

adjuvants : cest des produits chimiques quon ajoute

au mlange pour amliorer une qualit.

Rsistance mcanique leve (20-200 MPa). Impermabilit leau et absence de raction chimique (milieu basique) avec lacier.

Bonne mise en uvre (facile couler). Bonne tenue dans le temps.

2) Qualits recherches pour le bton

Ces rsultats seront obtenus, en jouant sur les paramtres

suivants :

La qualit ciment, granulats.

Le dosage (quantit).

Un bon mlange (homognit).

3) Remarques

4) Masse volumique

La masse volumique bton granulats courants

(normal) : 2000 2600 kg/m3

La masse volumique bton granulats lgers : 800

2000 kg/m3

La masse volumique bton granulats lourds :

suprieur 2600 kg/m3

La masse volumique du bton arm 2500 kg/m3

le coefficient de dilatation du bton varie de 7.10-6 12.10-6, le

coefficient de dilatation de lacier est de 11.10-6 , dou le bton

arm 10-5.

5) Dformations indpendantes des charges

a- Dformation thermique

L T L L =

Coefficient de dilatation Diffrence de temprature Longueur de la poutre

le bton aprs sa confection (fabrication) contient un excs

deau, si le durcissement se fait lair libre leau va svaporer.

Cette vaporation saccompagne automatiquement par une

diminution du volume. Cette diminution sappelle le retrait.

b- Retrait hygromtrique

Estimation du retrait :

Retrait Situation

1,5.10-4

2.10-4

3.10-4

4.10-4

5.10-4

Dans les climats trs humide

Climat humide

Climat tempr sec

Climat chaud

Climat trs sec ou dsertique

c- Facteurs qui influencent le retrait

le retrait augmente avec :

la quantit du ciment

addition des adjuvants : plus deau qui ragit.

la scheresse de lair

d- Remarque

Pour les constructions courantes, les effets d aux variations de

temprature et au retrait seront ngligs, si on prvoit des joints

de dilatation tout les 20 30 mtre.

Les joints de dilatation sont de 1 2 cm.

6) Dformation due la charge

a- Rsistance la compression

Fr

2

4

d

rF=

Essai de compression

prouvette 16 cm x 32 cm

32

16

Mode de rupture des prouvettes cylindriques en compression

fc28 est appele rsistance

caractristique du bton

cjf

c28f

) jours ( jj 28

Dfinition de la rsistance caractristique la compression

Elle est dfinie par une valeur de la rsistance la compression du

bton lge de 28 jours par essai sur prouvettes cylindriques 16

cm x 32 cm.

Ordre de grandeur de la rsistance caractristique la compression

BFC : btonnage fabriqu sur chantier : 25 35 MPa, peut parfois

atteindre 50 MPa

BPE : bton prt l'emploi, btonnage soign en usine

(prfabrication) : 40 60 MPa ;

BHP : bton hautes performances : jusqu' 200 MPa ;

BUHP : bton ultra hautes performances, en laboratoire : 500 MPa.

20 MPa fc28 200 MPa

Les rsistances mcaniques en compression obtenues classiquement

sur prouvettes cylindriques normalises, sont de l'ordre de :

La rsistance la compression varie dans le temps.

volution avec lge du bton

fcj rsistance la compression j jours

fc28 rsistance la compression 28 jours

fc28 40 MPa

40 MPa < fc28 60 MPa

c28cj j83,076,4

jf f

=j 60 c28cj f f =

b- Rsistance la traction

L d

F 2

r=

Fr

Traction par fendage

prouvette 16 cm x 32 cm

32

16

Dispositif pour lessai de rupture par fendage

Rsistance caractristique la traction

cjtj . 0,06 0,6 ff =

Elle est conventionnellement dfinie partir de la rsistance

la compression du bton j jours par la relation :

2/3

cjtj . 0,275 ff =

fc28 60 MPa

60 < fc28 80 MPa

7) Dformation longitudinale

Un lment de bton comprim admet ds l'application de la

charge une dformation instantane. Mais au cours du temps, cette

dformation va continuer crotre du fait du retrait et du fluage

(dformation dans le temps, sous charge constante) et sera mme

trois fois plus importante que la dformation instantane.

a- Module de dformation instantan

Le module de dformation instantan (not Eij), pour une dure

dapplication des charges < 24 h.

3cjij 11000E f . =

20 GPa Ei28 50 GPa

b- Module de dformation diffr

3

E E

ij

vj =

3cjvj f . 3700 E =

Le module de dformation diffre (not Evj), pour une dure

dapplication des charges > 24 h.

c- Remarques

La valeur de ces modules intervient dans le calcul des flches

et les effets dus au retrait et au fluage du bton.

8) Dformation transversale

Elle a pour origine la dformation longitudinale. Elle se traduit

par le coefficient de Poisson :

alelongitudinn dformatio

salen transverdformatio =

Le coefficient de Poisson est pris gal :

n = 0,20 E.L.S. (section non fissure)

n = 0 E.L.U.

bcf

cj 6,0 f

bc

bcE

cjbcbcbcbc 0,6 et .E fff =

9) Diagramme contrainte dformation

a- Calcul lELS

b- Calcul lELU

La rsistance en compression pour le calcul lELU est donn

par :

b

cj

bcu

0,85

ff =

1 pour les charges appliques plus de 24h

0,9 entre 1h dure 24h

0,85 si la dure < 1h

E.L.U. normal 1,5

E.L.U. accidentel 1,15

b

Diagramme parabole rectangle Euro code 2

bcuf

2 3,5

)(bc 000

bcf

b

cj 85,0

bcu

f

f =b

c28 85,0

bcu

ff =

Exercice 6 :

fc28 en MPa 18 25 30

ft28 en MPa 1,68 2,1 2,4

Ei28 en MPa 28828 32164 34180

Contrler dans le tableau ci-dessous les contraintes de traction

du bton et les modules de dformation instantane du bton.

Exercice 7 :

Calculer la rsistance approximative du bton en compression

4, 10 et 21 jours sachant quil doit atteindre l'ge de 28

jours fc28 = 30 MPa.

Exercice 8 :

1) Calculer la contrainte d au retrait dans le cas dune poutre

B.A. de section 15 cm x 50 cm, sachant que :

--- ses extrmits sont lis des massifs btonns,

--- le climat est humide,

--- fc28 = 30 MPa,

2) Quel est leffet du retrait (fissuration du bton ou non).

II Lacier

1) Dfinition

Cest lalliage fer et carbone. On distingue des aciers doux, des

aciers mi-durs et des aciers durs.

Acier doux % carbone 0,15 - 0,25 %

Acier mi dur et dur % carbone 0,25 - 0,45 %

2) Remarque

Le caractre mcanique, qui sert de base aux justifications dans

le cadre des tats limites, est la limite dlasticit garantie

(symbole fe).

3) Essai de traction

ef

st

rf

e r )(st 00

Domaine

plastique

Ruptu

re

de striction

Zone

10 % 1 % 0,2 %

O

Dans le domaine lastique, lexpression de la contrainte en

fonction de lallongement sera : st = Es . Es = 210 GPa : module de Young

: la dformation.

La contrainte correspondante la limite de proportionnalit entre

contrainte et dformation est appele limite lastique ou limite

dlasticit, elle est note par fe.

Dans la zone de striction, la contrainte atteint un maximum ; on

lappelle contrainte de rupture et elle sera note par fr.

Dans les parties lastique et plastique, le diagramme

correspondant la compression est symtrique celui de la

traction par rapport lorigine.

4) Diagramme rglementaire de calcul lELU

A lELU normal s = 1,15 et lELU accidentel s = 1.

Leurocode2 limite dallongement des aciers la valeur de 10 %0.

st

s

e

stu g

ff =

st

es

Domaine

plastique

00010

Euro code 2

5) Calcul lELS : contraintes admissibles

En tat limite de service, les vrifications effectuer pour les

aciers portent sur l'tat limite d'ouverture des fissures.

L'apprciation du degr de nocivit de l'ouverture des fissures

dpend de l'environnement (agressif ou non), de la nature de la

structure, de l'utilisation de l'ouvrage, de la limite lastique des

aciers utiliss et de l'exprience sur des ouvrages analogues. Il

appartient au matre duvre de juger de ce degr de nocivit.

La condition concerne la contrainte

de traction des armatures

C'est le cas d'ouvrages situs en milieu peu agressif. L eurocode2

prcise qu'il s'agit d'lments situs dans des locaux clos et couverts,

non soumis des condensations.

Dans ce cas aucune vrification particulire n'est demande sur les

aciers si ce n'est qu'il conviendra dans la mesure du possible:

--- de n'utiliser les gros diamtres que dans les pices suffisamment

paisses,

--- d'viter les trs petits diamtres dans les pices exposes aux

intempries,

--- de prvoir le plus grand nombre de barres compatibles avec une

mise en place correcte du bton.

a- Fissuration peu prjudiciable

limitation fe (aucune vrification)

) 110 ; 3

2(min tjest ff

b - Fissuration prjudiciable

La fissuration est considre comme prjudiciable lorsque les

lments en cause sont exposs aux intempries, des

condensations, ou peuvent tre alternativement noys et immergs

en eau douce.

: Coefficient de fissuration qui dpend du type dacier.

fe : limite d'lasticit des aciers utiliss (MPa).

ftj = rsistance caractristique en traction du bton (MPa).

c - Fissuration trs prjudiciable

La fissuration est considre comme trs prjudiciable lorsque les

lments en mis en uvre sont exposs un milieu agressif (eau

de mer, atmosphre marine telle que embruns et brouillards salins,

eau trs pure, gaz ou sol particulirement corrosifs) ou bien

doivent assurer une tanchit.

: Coefficient de fissuration qui dpend du type dacier.

fe : limite d'lasticit des aciers utiliss (MPa).

ftj = rsistance caractristique en traction du bton (MPa).

) 90 ; 2

1(min tjest ff

1,0 pour les RL (F) et les TSL

1,3 pour les HA et les TSHA < 6mm

1,6 pour les HA et les TSHA6mm

Coefficient de

fissuration

6) Classification des aciers pour bton arm

Acier rond lisse.

Acier haute adhrence.

Treillis souds.

a- Acier rond lisse : symbole RL

Ce sont des aciers doux, lamins chaud et de surface lisse, ne

prsentant aucune asprits.

Les nuances utilises sont les Fe E 215 et Fe E 235.

Acier rond lisse RL

Nuance fe (MPa) es (10-3) fr (MPa)

gs = 1 gs = 1,15

Fe E215 215 1,075 0,935 330

Fe E235 235 1,175 1,02 410

b- Armature haute adhrence : symbole HA

Ils sont obtenus par laminage chaud d'un acier naturellement dur,

soit dont les caractristiques mcaniques sont dues une composition

chimique approprie.

Ces armatures ont leur surface marque par des crnelures (nervures)

de formes diverses suivant les marques commerciales, de faon

assurer une meilleure adhrence avec le bton. Ces aciers existent

dans les nuances Fe E 400 et Fe E 500.

Acier haute adhrence HA

Nuance fe (MPa) es (10-3) fr (MPa)

gs = 1 gs = 1,15

Fe E400 400 2 1,74 480

Fe E500 500 2,5 2,175 550

c- Treillis souds : symbole TS

Si les autres types dacier se prsentent en barres, ces derniers sont

soit en rouleaux, soit en panneaux et de dimensions normalises.

Leur largeur standard est de 2,40m. La longueur des rouleaux est de

50m et celle des panneaux est de 3,60m; 4,80m ou 6m.

Les treillis souds sont constitus par des fils se croisant

perpendiculairement et souds lectriquement leurs croisements.

On distingue les treillis souds fils trfils lisses dits TSL des

treillis souds fils haute adhrence dits TSHA.

l'espacement maxi des aciers ne doit en aucun cas dpasser 2h (h=

paisseur du dallage)

Types

aciers

Dsignation

Limite

las. fe (MPa)

R. la rupt. fr (MPa)

Allongt

la Rup.(%)

Coef. de

scellem.

Ys

Coef. de

Fissur.

h

Diamt. Couran.

(mm)

RL

Fe E 215

Fe E 235

215

235

330

410

22

22

1

1

6-8-10-12

HA

Fe E 400

Fe E 500

400

500

480

550

14

12

1,5

1,6

6-8-10-12

14-16-20-

25-32-40

TSL 500 550 8 1 1 3,5 9mm

TSHA

500

550

8

1,5

F

F

(mm) Nombre de barres Section en cm2

Masse

(kg/m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

6

8

10

12

14

16

20

25

32

40

0,20

0,28

0,50

0,79

1,13

1,54

2,01

3,14

4,91

8,04

12,54

0,39

0,57

1,01

1,57

2,26

3,08

4,02

6,28

9,82

16,08

25,13

0,59

0,85

1,51

2,36

3,39

4,62

6,03

4,92

14,73

24,13

37,70

0,79

1,13

2,01

3,14

4,52

6,16

8,04

12,57

19,63

32,17

50,27

0,98

1,41

2,51

3,93

5,65

7,70

10,05

15,71

24,54

40,21

62,83

1,18

1,70

3,02

4,71

6,79

9,24

12,06

18,85

29,45

48,25

75,40

1,37

1,98

3,52

5,50

7,92

10,78

14,07

21,99

34,36

56,30

87,96

1,57

2,26

4,02

6,28

9,05

12,32

16,08

25,13

39,27

64,34

100,53

1,77

2,54

4,52

7,07

10,18

13,85

18,10

28,27

44,18

72,38

113,10

0,154

0,222

0,395

0,617

0,888

1,208

1,578

2,466

3,853

6,313

9,865

6) Caractristiques des barres pour bton arm

Exercice 9 :

1) Dterminer lallongement unitaire correspondant une

contrainte de 348 MPa exerc sur un acier Fe E 400.

2) Pour les aciers HA Fe E 400 et Fe E 500, comparer les

rapports rsistance la rupture et limite lastique. Quel est

lacier qui offre le plus de scurit lutilisateur?.

3) Calculer pour un acier haute adhrence, de limite lastique

garantie fe = 400 MPa le rapport entre son allongement la

rupture et celui correspondant sa limite lastique thorique.

Chapitre V

ASSOCIATION

BETON-ACIER

I Gnralits

Lassociation bton /acier est efficace pour les raisons suivantes :

Le bton rsiste aux essais la compression.

L acier rsiste aux essais la traction.

L acier adhre au bton, se qui permet la transmission

des efforts dun matriaux lautre .

Il ny a pas de raction chimique entre lacier et le

bton et en plus le bton (milieu basique) protge

lacier de la corrosion .

Le coefficient de dilatation des deux matriaux est

pratiquement le mme.

II Ladhrence

Ladhrence dsigne laction des forces de liaisons qui

sopposent au glissement des barres suivant laxe par rapport au

bton qui lentoure. Ces forces de liaisons sont mesures par la

contrainte dadhrence qui est dfinie comme tant le rapport

entre la variation par unit de longueur de leffort axial quilibr

par la barre et le primtre de cette barre.

1) Dfinition

Soit une barre rectiligne scelle dans un bloc de bton.

Appliquons cette barre un effort de traction F et tudions

l'quilibre statique.

Barre de diamtre

2) Contrainte dadhrence

La contrainte dadhrence correspond aux efforts du bton

inclin 45. La contrainte est constante sur toute la longueur l

de la barre et est rpartie tout autour de celle-ci, sur une surface

gale Fl (F est le diamtre de la barre).

La barre est donc soumise :

l'effort de traction F,

la contrainte dadhrence ts.

Le principe dquilibre nous permet de dire que la contrainte

dadhrence soppose leffort de traction dans la barre donc :

Ce qui nous donne :

l F s=

l

F sF

=

Dans les constructions du bton arm les efforts sont appliqus

au bton et non pas aux aciers, ceux-ci seront sollicits grce

aux laissons avec le bton. La transmission des efforts a lieu le

long de la surface latrale des barres grce au phnomne

dadhrence.

3) Remarque

4) Rles de ladhrence

a - Transfert des efforts

Ladhrence entre le bton et lacier permet le transfert des

efforts entre eux.

b - Ancrages des barres

Appel aussi scellement, si la barre est trop courte, elle risque

de sarracher du bton sous leffet de leffort de traction. La

barre doit tre suffisamment longue pour tre convenablement

ancre (scelle) et pour reprendre tout les efforts de traction.

F

F

Une barre est dite "ancre" lorsque l'effort F de traction exerc

sur cette barre est entirement quilibr par l'adhrence entre le

bton et l'acier dans la zone d'ancrage.

c - Rpartitions des fissures

Ladhrence permet de rpartir les fissures tout en vitant la

formation de grandes fissures concentres.

5) Facteurs influenant ladhrence

a - L tat de surface des barres

Les surfaces rugueuses augmentent le frottement entre le bton

et lacier et par consquent augmente ladhrence.

La rsistance de barres au glissement est caractrise par deux

coefficients : h et ys.

1 pour RL

h Coefficient dadhrence ou de fissuration

1,6 pour HA

1pour RL

ys Coefficient de scellement (ancrage)

1,5 pour HA

b - Forme des barres

ladhrence circulaire (rond) est suprieure celle des barre

ayant une autre forme.

c - Groupement des barres

Lobjectif est dassurer une meilleure rpartition des fissures

tout en tant petite.

non non non

oui oui oui

non non Dans le sens des flches, les diamtres ne doivent

pas augmenter.

d - La rsistance du bton

Ladhrence augmente avec laugmentation de la rsistance la

compression du bton.

e - Compression transversale

Dans une pice comprime, ladhrence va augmenter par la

contrainte cre (le serrage).

III Ancrage des barres

La longueur dancrage sera la longueur ncessaire pour

quilibrer leffort axial exerc sur la barre.

1) Dfinition

2) Contrainte dadhrence

Une valeur limite pour la contrainte d'adhrence est fixe par

leurocode2. Cette contrainte intgre la fois les caractristiques

de lacier, avec le coefficient de scellement ys, et celles du

bton, avec sa rsistance la traction ftj.

Sur la longueur dancrage la contrainte dadhrence sera suppos

constante est gale sa valeur limite ultime qui est la suivante:

tj

2

ss 0,6 f=

La longueur de scellement droit Ls sera la longueur ncessaire

pour une barre rectiligne de diamtre F soumise une

contrainte gale sa limite lastique fe soit convenablement

ancre (ancrage total).

3) Ancrage rectiligne en traction

a Cas dune barre isole tendue

Ls

fe

Il y a quilibre entre la force due la contrainte dadhrence et

leffort F de traction provoquant dans cette barre une contrainte

gale la limite lastique fe de lacier.

s

es

4

L

f=

Nous aurons donc :

4

SF

2

ee

f f ==

L F ss=

Ce qui donne :

A dfaut de calcul prcis, leurocode2 permet d'adopter les

valeurs forfaitaires suivantes :

Ls = 40F pour les aciers HA Fe E 400

Ls = 50F pour les aciers HA Fe E 500

pour les aciers RL Fe E 215 et Fe E 235

b - Remarque

c Cas dun paquet de barres

Paquet de deux barres

Ls Ls

c Treillis soud TSL et TSHA

Paquet de trois barres

A partir de lancrage, nous avons :

1,5Ls pour le paquet de trois barres

Ls pour le paquet de deux barres

Ls pour une barre

L = 1,5Ls + Ls + Ls

1 3 2

4) Ancrage par courbure des barres tendues

2

rLL 2 = r

L2

L

q

RL r 3F

Rayons de courbure minimaux

HA r 5,5F

Calcul des longueurs

avec enrobage :

c2

rLL 2 =

o c est lpaisseur de lenrobage

sans enrobage :

Q 30 45 60 90 120 135 150 180

a 1,23 1,37 1,52 1,87 2,31 2,57 2,85 3,51

b 0,58 0,92 1,30 2,19 3,28 3,92 4,62 6,28

rLLL 1s2 =Ls : longueur quivalente

de scellement droit.

r

L2

L

q2

rLL 2 =

c2

rLL 2 =

sans enrobage :

avec enrobage :

o c est lpaisseur de lenrobage

L'ancrage d'une barre comprime courbe (ancrage courbe) est

interdit.

Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calcul

comme suit :

F : diamtre des barres.

ssc : la contrainte la compression de lacier.

s : la contrainte d'adhrence.

5) Ancrage en compression

s

scsc

4

L =

6) Ancrage des cadres, triers, pingles

Rayons de courbure minimaux r 2.F

Les ancrages des extrmits sont

assures par courbure suivant le

rayon minimale. Les parties

courbes sont prolongs par des

parties rectilignes de longueurs

gale :

5F pour un arc de 180;

10F pour un arc de 135;

15F pour un arc de 90.

Dterminez la longueur quivalente de scellement droit pour une

barre tendue dun acier HA 20 de nuance Fe E 500. La barre

appartient une poutre intrieure prenant appui sur un poteau de

rive. On donne : enrobage mini 3 cm ; crochet 120 ; L1 = 8F;

section du poteau 25cm x 25cm.

Exercice 10 :

Exercice 11 :

Calculer la longueur L1 ncessaire pour assurer lancrage totale

dune barre HA 16 dune poutre reposant chaque extrmit sur un

voile BA. On donne : fc28 = 30 MPa ; fe = 500 MPa ; ys = 1,5 ;

enrobage mini 2,5 cm ; crochet 135 ;paisseur du voile 18cm.

IV Dispositions constructives

1) Introduction

h

Tendue

Comprime

A.N.

0

2) Ferraillages de la poutre

1- 2- Barres de montage de compression Armatures de peau

si h > 50 cm

On distingue deux types darmatures :

Les armatures longitudinales

Les armatures transversales

a Les armatures longitudinales

On utilise gnralement des barres de haute adhrence avec des

diamtres suprieurs ou gales 12 mm. Elle seront disposes

dans la partie tendue de la poutre pour reprendre les efforts de

traction (armatures principales). Dans la partie comprime les

barres de montage qui peuvent ventuellement reprendre une

partie des efforts de compression lorsque le bton ne suffit pas.

Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes

dans la partie ou le moment est maximum.

b Les armatures transversales

Elles sont appeles armatures de couture puisqu'elles coudent

les fissures. Elles ont un diamtre infrieur 10 mm. Il existe

trois sorte d'armatures transversales.

Les armatures transversales sont disposes le long de la

poutre, elles sont trs rapproches au niveau des appuis parce

que l'effort tranchant est maximum.

Les armatures transversales sont attaches aux barres

longitudinales en maintenant leurs cartements.

crochet

3) Dispositions

a Enrobages des barres

Fl est le diamtre des armatures longitudinales et Ft le diamtre

des armatures transversales.

Suivant le cas et pour assurer une bonne protection des

armatures contre la corrosion, il faut que l'enrobage C soit au

minimum de 5cm, 3cm ou 1cm.

C enrobage

Cl enrobage des barres

longitudinales

a largeur du paquet de barres

b hauteur du paquet de barres

5cm : pour les ouvrages la mer ou exposs aux embruns, aux

brouillards salins, ainsi qu des atmosphres trs agressives (cas

des fissurations trs prjudiciable).

Cet enrobage peut tre ramen 3cm si les armatures ou le bton

sont protgs.

3cm : pour les parois coffres ou non qui sont soumises (ou

susceptibles de l'tre) des actions agressives, ou des

intempries, des condensations, ou encore, eu gard la

destination des ouvrages, au contact d'un liquide (cas des

fissurations prjudiciable).

Cette valeur peut tre ramene 2cm si fc28 > 40 MPa.

1cm : pour des parois qui seraient situes dans des locaux

couverts et clos et non exposes aux condensations (cas des

fissurations peu prjudiciable).

b Btonnage correct (eurocode2)

L'enrobage des barres Cl doit tre :

au moins gal leur diamtre si elles sont isoles,

gal la largeur a du paquet si elles sont groupes.

De plus, elles doivent vrifier les espacements suivants :

Cl max(enrobage ; a ; Cg) ; eh max(a ; 1,5Cg) ; ev max(a ; Cg).

Cg = dimension du plus gros granulat utilis.

c Diamtre maximum (eurocode2)

Pour les plaques, les dalles, les coques et les hourdis, les mailles

ne doivent pas tre trop grandes (vrification du bton au

poinonnement) et le diamtre maxi des armatures doit vrifier :

Fmaxi e/10

e = paisseur de l'lment.

Pour les poutres, les armatures transversales Ft doivent vrifier :

Ft =inf (Fl;h/35;b0/10)

Fl = diamtre des armatures longitudinales

h = hauteur de la poutre

b0 = largeur de la poutre

d Condition de rentr du bton dans le moule

(eurocode2)

Durant sa mise en place, le bton doit passer travers les mailles

qui sont obtenus avec le ferraillage. Ces mailles sont caractrises

par un rayon r (r = la surface/le primtre), de la plus petite maille

qui existe.

r Cg/1,4 : gravier roul et r Cg/1,2 gravier concass.

La difficult oppose au remplissage dun moule augmente

mesure que :

1. La dimension maximale du grain augmente (Cg).

2. Le pourcentage des graviers est lev.

3. Si les graviers sont anguleux.

4. La consistance du bton est plus ferme.

5. Les moyens de vibration nexistent pas.

e Pousse au vide

Toute armature courbe et tendue, exerce sur le bton une pousse

dans le plan de courbure et du cot de la concavit. Si l'armature

est comprime, la pousse est exerce du cot de la convexit.

Prsentation du problme

Si la pousse est oriente vers une face externe, il y a risque

d'clatement du parement. Il faut donc, pour viter les pousses

au vide, choisir un trac judicieux des armatures. Par exemple,

les pousses doivent tre, dans les courbures, orientes vers la

masse du bton.

Constats

Lorsque, par contre, des raisons constructives nous poussent

prvoir des pousses orientes vers le parement, il faut alors

obligatoirement prvoir des ligatures ancres dans la masse de

l'lment (eurocode2).

Problme particulier des ancrages avec retour d'querre.

Exemple :

Il convient soit de disposer une ligature ancre dans la masse du

bton, soit mieux, d'incliner le retour de l'ancrage vers la masse

du bton pour obtenir alors un crochet (eurocode2).

Solutions

4) Recouvrement

a Principe et objectif

Les armatures trouves dans le commerce ayant une longueur

limite, il est parfois ncessaire pour certains lments de plus

grande longueur, d'utiliser plusieurs barres. Pour tablir la

continuit entre les barres, nous effectuerons un recouvrement,

c'est dire que nous ferons chevaucher les barres sur une

longueur Lr, dite longueur de recouvrement.

Cette longueur sera donc la longueur ncessaire pour assurer la

transmission des efforts qui sollicitent l'armature. Il faut assurer

la continuit mcanique au niveau du recouvrement en

mobilisant l'adhrence et le frottement du bton sur l'armature.

b Barres tendues rectilignes

Les efforts sont transmis d'une barre l'autre par le jeu de

l'adhrence du bton.

Simple recouvrement des extrmits de barres

c est la distance entre les axes des deux barres.

Les deux barres sont dans le mme alignement. La transmission

est assure par une troisime barre de mme diamtre.

Recouvrement par couvre joint

La transmission des efforts se fait toujours par des bielles

inclines 45 sur l'axe de l'armature.

Armatures de couture des recouvrements

Les armatures de couture auront des petits diamtres de manire

assurer une bonne rpartition de ces armatures sur la jonction.

Nous pouvons dcomposer l'effort de traction : F = As fe

en un composante oblique Fb quilibre par les bielles de bton

et une composante verticale Ft quilibre par ces armatures de

couture. Le calcul qui suit minimise les sections des brins.

Nous aurons : S At fet As fe Pour une bonne scurit, le calcul des sections des brins se fait

avec lingalit suivante : S At fet As fe

Armatures de couture des recouvrements

S At fet : effort de traction dans les armatures de couture gal et oppos la composante Ft.

fet : limite lastique des aciers utiliss comme armatures de couture.

At : section totale des brins d'une nappe d'armatures de couture.

As : section des armatures recouvrir et fe leur limite lastique.

c Barres tendues avec crochets normaux aux extrmits

si c 5f Lr = La

si c > 5f Lr = La + c

avec : La = 0,6Ls pour les aciers RL

La = 0,4Ls pour les aciers HA

Lr

d Jonctions de barres comprimes

La longueur de recouvrement peut tre prise gale :

Lr = 0,6Ls

Les valeurs forfaitaires deviennent alors pour les aciers hautes

adhrence (ys = 1,5).

Fe E 400 : Lr = 34F

Fe E 500 : Lr = 30F

Les jonctions peuvent se faire par aboutement de barres au

contact en utilisant des manchons .

Exercice 12 :

Pour assurer la continuit des barres dans une poutre, on prvoit une

jonction par simple recouvrement sans crochet de deux barres.

Calculer :

1) La longueur de recouvrement.

2) La section et la disposition des aciers de coutures.

On donne :

--- nappe infrieure constitue de 4HA16 (Fe E 500).

--- diamtre des cadres prvus : 6mm (Fe E 400).

Chapitre VI

LES HYPOTHESES DE CALCUL

REGLE DES TROIS PIVOTS

I Hypothses lELU

1) Hypothse 1

Toute section plane avant dformation reste plane aprs

dformation. Hypothse de Navier

2) Hypothse 2

Il n y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . La

dformation des deux matriaux est la mme. Les dformations

des fibres sont proportionnelles leurs distances par rapport

laxe neutre.

A

A Coupe A-A :

Coupe A-A :

NOTATION :

bc : la dformation du bton la compression.

s : la dformation de lacier tendue. y : la distance de laxe neutre la

fibre comprime.

d : la distance de la fibre la plus

comprime au centre de gravit

des armatures tendues.

y y

3) Hypothse 3

La rsistance du bton tendu est nglige ou la rsistance la

traction du bton non prise en compte dans les calculs.

4) Hypothse 4

On suppose concentr en leur centre de gravit la section dun

groupe de plusieurs barres tendues ou comprimes, si lerreur

commise sur les dformations unitaires ne dpassent pas 15%.

5) Hypothse 5

Le diagramme contrainte dformation du bton pouvant tre

utilis dans tout les cas sera le diagramme parabole rectangle.

Lorsque la section nest pas entirement comprime, On peut

utiliser le diagramme rectangulaire simplifi dfinit comme suit :

Sur une distance de 0,2y partir de laxe neutre, la

contrainte sera considre comme nulle.

Sur la distance qui reste soit 0,8y, elle sera gale :

b

c28

85,0 f

q

qy y

y

1 pour les charges appliques plus de 24h

0,9 entre 1h dure 24h

0,85 si la dure < 1h

E.L.U. normal 1,5

E.L.U. accidentel 1,15 b

6) Hypothse 6

Rgle des trois pivots :

--- Une section de bton soumise des sollicitations normales se

dforme suivant lhypothse de Navier.

--- Les positions limites que peut prendre la droite de

dformation sont dtermins partir des diagrammes contrainte

dformation du bton et de lacier. Le raccourcissement unitaire

du bton est limit de 3,5 en compression et lallongement unitaire des aciers sera limit 10 . --- La dformation dune section ltat limite ultime de

rsistance est reprsent par une droite passant par lun des

pivots A, B , ou C, lintrieure ou la frontire des

domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure qui suit.

1a

2b

2a 2c

ees

OO : section avant dformation

Ce diagramme sera devis en 3 domaines :

Le domaine (1) : les diagrammes passent par le pivot A qui

correspond un allongement maximum de 10, les armatures tendues supposes concentr en leur centre de gravit.

On distingue deux sous domaines :

le sous domaine 1a : le bton est toujours tendue et ne participe

pas la rsistance de la section. Nous avons une traction simple

ou une flexion compose avec une section entirement tendue.

le sous domaine 1b : le bton est partiellement comprim. Nous

avons une flexion simple ou compose avec une section

partiellement comprime.

Le domaine (1) sera dcrit par la condition suivante :

0,259103,5

3,5

d

y0

stbc

bc =

=

= L0 ; L1 > L0 Autres

Lf 0,7 L0 L0

Euler dtermina la charge critique NcE pour diffrentes

conditions aux appuis.

8) Force critique

2

f

min

2

cEL

I E N =

le flambement intervient lorsque des poutres lances sont

soumises un effort de compression axial. Pour distinguer les

situations o un calcul au flambement est ncessaire de celles

o un calcul en compression suffit, on dfinit pour une poutre

sans dimension, llancement :

9) Llancement

min

f

i

L =

Lf : longueur de flambement

imin : rayon de giration mini

de la section

Imin : moment quadratique

mini de la section

B : aire de la section droite B

I i minmin =

N.B. : Llancement permet de prendre en compte la section et

l'inertie (moment quadratique) du poteau, et de comparer les

poteaux entre eux

10) Rayon de giration et lancement

a - Section rectangulaire

32

a=

14,4a

L si 50 f

b - Section circulaire

D

4L f= 12,5

D

L si 50 f

c - Section carre

a

L32 f= 14,4

a

L si 50 f

11) lancement critique dune poutre

2

2

f2

minmin

LBBiI ==et

B

I i minmin =

min

f

i

L =

avec sc contrainte

limite lastique

sachant que 2

f

min

2

cEL

I E N = nous avons

2

2

cEe

E

B

N ==do

2

2

cE

B E N =

finalement e

22

c

E =

Llancement critique lc, est llancement partir duquel la

poutre doit tre calcule au flambement.

On constate que llancement critique ne dpend que des

caractristiques mcaniques du matriau.

Les ordres de grandeur adopts en gnral sont :

lc = 100 pour les profils en acier

lc = 60 pour les poteaux en fonte

lc = 70 pour les poteaux en bois lc = 70 pour les poteaux en Bton arm

a - Dfinition

b - Remarque

Pratiquement on doit vrifier que l'effort normal ultime

agissant est infrieur l'effort normal ultime rsistant.

Nu Nu Limite

1) Principe

N. B. : Cette vrification ne tient pas compte d'un phnomne

physique important : LE FLAMBEMENT.

V Calcul aux ELU

A ltat limite ultime (ELU), on doit vrifier :

2) Dtermination de la capacit portante

s

es

b

c28ru

fA

0,9

BN

f

a est un coefficient de scurit qui compense le flambement

As est la section des armatures longitudinales prises en compte

dans le calcul

gb = 1,5 lELU normal et 1,15 lELU accidentel

gs = 1,15 lELU normal et 1 lELU accidentel

Br est la section rduite du poteau.

Br , la section rduite du poteau est obtenue en dduisant 1cm

aux dimensions relles de la section sur sa priphrie.

On compense le fait de ngliger le flambement en minorant la

valeur de l'effort normal rsistant par un coefficient a

dpendant de l'lancement.

a est divis par 1,1 si la majeure partie des charges est

appliques avant 90 jours.

3) Dtermination des armatures

On doit respecter les rgles suivantes :

- un lment insuffisamment arm est fragile

- un lment trop arm est irralisable correctement

a Pourcentage darmature

As min As As max

As min max (4p ; 0,2% B )

As max = 5% B P : primtre du

poteau en mtre.

Le rsultat en cm2.

Donnes : l, Nu, B, fc28, fe Inconnue : As

b Armatures longitudinales

e

s

b

c28rus

0,9

B

NA

f

f

- Si 35 : As reprsente l'aire de toute les armatures

longitudinales disposer sur tout le primtre de la section

considre.

-Si > 35 : As reprsente l'aire des armatures qui augmente

efficacement la rigidit dans le sens ou le moment d'inertie est

le plus faible.

c - Remarque

Pour les armatures longitudinales nous avons trois cas :

1- As min < As calcule < As max On ferraille avec As calcule.

2- As calcule < As min ou < 0 On ferraille avec As min.

3- As calcule > As max On augmente la section du bton B et on recalcule de nouveau As.

d Armatures transversales

3

max lt

Ces armatures ont principalement un rle de maintien des

armatures longitudinales. Elles vitent ainsi leur flambement.

Le choix des armatures transversales se fait partir de

dispositions forfaitaires:

1) Enrobage

V Dispositions constructives

Cest la distance minimale aux parements. Suivant le cas et pour

assurer une bonne protection des armatures contre la corrosion, il

faut que l'enrobage C soit au minimum de 5cm, 3cm ou 1cm.

2) Btonnage correct

Cl max(enrobage ; l ; Cg).

l : diamtre maximal des aciers longitudinaux.

Cg : dimension du plus gros granulat utilis.

La rpartition est faite de

manire assurer au mieux la

rsistance au flambement de

la pice dans les directions les

plus dfavorables.

3) Armatures longitudinales

a Section rectangulaire ou carr

Dans une pice rectangulaire

la distance maximale entre

deux armatures est :

40cm

10cmamine

Section carre : As placer aux angles.

Section rectangulaire : As placer le long de b.

b

Poteaux rectangulaires tels que (a/b) 0,9

Poteaux carrs ou rectangulaires tels que 0,9 (a/b) 1,1

b Section circulaire

Un minimum de 6 barres

c Section polygonale

Une barre chaque sommet

4) Armatures transversales

a Espacement des armatures

Lespacement des diffrentes nappes est donn par :

40cm

10cma

15

mine

min l

t

Toutefois, en zone de recouvrement, le nombre d'armatures

transversales doit tre suprieur ou gal 3. Dans la

pratique, on assure un lger dpassement des extrmits

des barres arrtes, 2fl environ, par rapport aux nappes

extrmes.

b Rpartition des armatures Les armatures transversales doivent former une ceinture continue

sur le pourtour du poteau.

Il faut maintenir par des triers et des pingles les aciers situs en

dehors des angles si leur diamtre est suprieur 20 mm ou s'ils ont

t pris en compte dans les calculs.

5) Jonction par recouvrement

Lr 0,6Ls. A dfaut de calcul prcis, on prend : Lr 24.

Le nombre des cours transversaux ralisant le recouvrement est au

minimum 3

Dterminer la section des armatures longitudinales du poteau situ dans

un lieu couvert.

Vrifier ou donner les dispositions constructives lorsque Cg max = 2 cm.

Exercice 17 :

Dterminer les armatures dun poteau intrieur BA soumis un

effort normal de compression centr sur la section du bton.

Vrifier ou valider les dispositions constructives.

Donnes :

Effort normal lELU : Nu = 0,85 MN.

Section du poteau : 25cm x 25 cm.

Longueur de flambement : Lf = 320 cm.

Chargement suprieur Nu/2, appliqu avant 90 jours.

Rsistance caractristique du bton fc28 = 30 MPa.

Les armatures longitudinales sont en acier HA :

fe = 400 MPa ; gs = 1,15 ; maximum Cg = 2cm.

Exercice 18 :

Chapitre VIII

LA FLEXION

A LETAT LIMITE

ULTIME

I Fonctionnement du bton arm en flexion

le bton reprend les efforts de compression

les aciers reprennent les efforts de traction.

1) Le principe du bton arm en flexion

2) Dimensionnement

Un lment en bton arm est optimis lorsque les matriaux bton et acier travaillent au maximum de leurs possibilits.

3) Diagramme contrainte dformation de lacier

s

e

stu g

ff =

st

es )(st 000

Domaine

plastique

10

Lacier travaillera au maximum partir dune contrainte fstu. Il travaille au maximum pour un allongement unitaire

comprise entre ees et 10 .

Euro code 2

Lacier travaillera au maximum lorsque :

Nuance fe (MPa) es () fr (MPa)

gs = 1 gs = 1,15

Fe E215 215 1,075 0,935 330-490

Fe E235 235 1,175 1,02 410-490

Fe E400 400 2 1,74 480

Fe E500 500 2,5 2,175 550

ees < est < 10

A lELU normal s = 1,15 et lELU accidentel s = 1.

Leuro code limite dallongement des aciers la valeur de 10 %0.

5) Diagramme contrainte dformation du bton

Le bton travaillera au maximum pour une compression unitaire

comprise entre 2 et 3,5 .

A lLU normal b = 1,5 et lELU accidentel b = 1,15.

Leuro code limite la compression du bton la valeur de 3,5 %0.

Euro code 2

bcuf

2 3,5

)(bc 000

bc

b

cj 0,85

bcu

f

f =

b

cj 0,85

bcu

f

f =

Le bton travaillera au maximum lorsque :

6) Conclusion

Il faudra donc dimensionner les lments de manire

respecter :

le rglement; optimiser llment en bton arm.

2 < ebc < 3,5

10

d

y

2.17

3.5 2

Acier Fe 500

Dans cet exemple, la section est ici bien dimensionne car les dformations

de lacier et du bton sont dans les intervalles noncs prcdemment. Les

matriaux travaillent donc de manire efficace.

7) Exemple

Prenons le cas dune poutre classique soumise la flexion.

Le diagramme dformation de la section a lallure suivante :

II Recherche du pivot

1) Moment de rfrence

Le moment de rfrence not MAB est le moment sollicitant

une section permettant datteindre simultanment est = 10

et ebc = 3,5 .

a - Dfinition

b - Remarque

Si d est inconnu; on prendra d = 0,9h.

Diagramme des dformations

d

3,5

f bcu

d

yAB 0,8yAB

Ast . f stu

b

MAB

Diagramme des contraintes

10

Les diagrammes sont les suivants :

c Diagrammes des dformations et des contraintes

On obtient dans ce cas un axe neutre une distance

yAB = 0,259d de la fibre suprieure de la poutre.

Thorme de Thals : 3,5/ yAB = 10/(d- yAB) do yAB = 0,259 d

La section est en quilibre Mt/aciers = 0

d Calcul de MAB

MAB = 0,8 yAB f bcu b (d - 0,4 yAB) avec yAB = 0,259 d

MAB = 0,186 b d f bcu = AB b d f bcu

AB = 0,186 est le moment de rfrence rduit

2) Moment de flexion ultime (rel)

Le moment rel not MU est le moment sollicitant une

section de telle manire ce que laxe neutre soit une

position y de la fibre la plus comprime. Ce moment dpend

du chargement.

a - Dfinition

y y

Diagramme des dformations

d

ebc

f bcu

d

y 0,8y

Ast . f stu

b

MU

Diagramme des contraintes

est

Les diagrammes sont les suivants :

b Diagrammes des dformations et des contraintes

Laxe neutre se trouve une distance y = ad de la fibre

suprieure (la plus comprime) de la poutre.

La section est en quilibre on pose Mt/aciers = 0

c Calcul de MU

MU = 0,8 y f bcu b(d - 0,4 y) avec y = a d

MU = 0,8 ad f bcu b(d - 0,4 ad)

MU = 0,8a (1-0,4a) bd f bcu = U bd f bcu

U = 0,8a (1-0,4a)est le moment ultime rduit.

3) Comparaison de MU et MAB

MU MAB 0,8a(1-0,4a) 0,186

Cest--dire : - 0,32a2 +0,8a0,186 0

La rsolution de cette inquation donne 0 < a 0,259.

Donc 0 < y 0,259d.

a Cas 1 : MU MAB

Cette tat limite sera caractris par les dformations suivantes :

est = 10

ebc = 0 3,5

tat limite ultime par

coulement plastique des

aciers PIVOT A

u 0,186

1a

2b

2a 2c

ees

MU > MAB 0,8a(1-0,4a)> 0,186

Cest--dire : - 0,32a2 +0,8a0,186> 0

La rsolution de cette inquation donne 0,259 < a 1.

Donc 0,259d < y d.

b Cas 2 : MU > MAB

Cette tat limite sera caractris par les dformations suivantes :

ebc = 3,5

est = 0 10

tat limite ultime par

coulement du bton

PIVOT B

u > 0,186

III Dimensionnement

1) Cas 1 : MU MAB : Pivot A

Mu MAB : pivot A est = 10 et ebc 3,5 .

Le risque est que le bton

travaille mal (si ebc 2 ).

Problme deux inconnues :

La positon de laxe neutre : y

La section des armature tendues : Ast

y

d

ebc

est = 10

Pivot A a Calcul de y et Ast

u 0,186

Deux inconnues deux quations :

f bcu

d

y 0,8y

Ast . f stu

b

Mu

Diagramme des contraintes

F/x = 0 : 0,8 y b f bcu = f stu Ast (1)

Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 y b f bcu (d 0.4 y) (2)

Lquation (2) donne y.

Lquation (1) donnera ensuite Ast.

La rsolution de l quation (2) donne :

=

bcu

2

U

d b

2M111,25dy

f

Cest la solution cohrente de lquation.

Le calcul de Ast laide de lquation (1) donne :

stu

bcust

0,8ybA

f

f=

ou

)211,25d(1y u=

b Le bton travaille-t-il bien?

est = 10 les aciers travaille bien car est > ees

ebc 3,5 Il faut calculer ebc car le bton travaille bien seulement si ebc > 2

Connaissant y, cela

permet de calculer ebc grce au diagramme

des dformations :

Thorme de Thals : ebc /y = 10 / (d-y) dou ebc = 10y / (d-y)

ebc

y

d

est = 10

Pivot A

Conclusion :

Si ebc > 2 alors le bton travaille bien.

Si ebc 2 alors le bton travaille mal (la section est surdimensionne)

on redimensionne la section (ex : on diminue h)

Thorme de Thals : ebc /y = 10 / (d-y) dou ebc = 10y / (d-y)

c Remarque (travail du bton)

y

d

ebc = 2

est = 10

Pivot A

Calculons y, pour ebc = 2 et est = 10 .

Thorme de Thals : 2/y = 10/(d-y)

dou y = 0,167d

Comme y = ad alors a = 0,167

Au pivot A, ebc < 2 y < 0,167d ou a < 0,167

Le bton travaille mal (la section est surdimensionne)

on redimensionne la section.

2) Cas 2 : MU > MAB : Pivot B

Mu > MAB : pivot B ebc = 3,5 et est 10 .

y

d

ebc = 3,5

est

Pivot B

a Position du problme

Problme deux ou trois inconnues :

La positon de laxe neutre : y

La section des armature tendue : Ast

La section des armatures comprimes Asc sil y a lieu.

u > 0,186

Le risque est que les aciers

travaillent mal (si est ees).

b Moment de plastification ou rsistant

Par dfinition, le moment de plastification Ml est le moment

sollicitant une section permettant datteindre est = ees (limite de la zone lastique / plastique).

Diagramme des dformations

d

ebc = 3,5

f bcu

d

yI 0,8yI

Ast . f stu

b

MI

Diagramme des contraintes

ees

On obtient dans ce cas un axe neutre une distance yl = aI d

de la fibre suprieure de la poutre (aI dpend de ees).

La section est en quilibre on pose Mt/aciers = 0

Calcul de MI

MI = 0,8 yI f bcu b (d - 0,4 yI) avec yl = aI d

MI = 0,8 aI d f bcu b(d - 0,4 aI d)

MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu

Thorme de Thals : 3,5/yI = ees /(d-yI)

do yI = 3,5d / (3,5+ ees ) et aI = 3,5 / (3,5+ ees )

I = 0,8aI (1-0,4aI)est le moment de plastification rduit.

Nuance fe (MPa) es () gs = 1,15

yI aI I

Fe E215 215 0,935 0,789d 0,789 0,432

Fe E235 235 1,02 0,774d 0,774 0,427

Fe E400 400 1,74 0,668d 0,668 0,392

Fe E500 500 2,175 0,617d 0,617 0,372

MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu

I = 0,8aI (1-0,4aI)

c Les aciers travaillent-t-ils bien?

ebc = 3,5 le bton travaille bien car ebc > 2

est 10 Il faut calculer est car lacier travaille bien seulement si est > ees

Pour rpondre cette question, il faut comparer Mu Ml :

moment de plastification des aciers

MU > MI u > I 0,8a(1-0,4a)> 0,8aI (1-0,4aI) On remplace aI par la valeur correspondante du tableau.

La rsolution de cette inquation donne a > aI et y > yI.

Donc est< ees.Les aciers travaillent mal.

MU < MI u < I 0,8a(1-0,4a)< 0,8aI (1-0,4aI) On remplace aI par la valeur correspondante du tableau.

La rsolution de cette inquation donne a < aI et y < yI.

Donc est > ees.Les aciers travaillent bien.

1a

2b

2a 2c

ees

d Exemple : acier Fe E500 y

d

ebc = 3,5

est = 2,175

Pivot B

Calculons yI, pour ebc = 3,5 et est = ees = 2,175

Thorme de Thals : 3,5/yI = 2,175/(d-yI)

dou yI = 0,617d

Comme xI = aId alors aI = 0,617

Au pivot B, est < ees = 2,175 y > 0,617d ou a > 0,617

Les aciers travaille mal

voir plus loin pour les solutions.

e MU < MI avec MU > MAB (Pivot B)

MU < MI est > ees.Les aciers travaillent bien.

Calcul de y et Ast

Le calcul est le mme

quau pivot A

Problme deux inconnues :

La positon de laxe neutre : y

La section darmature tendue : Ast

0,186 < u < I

Deux inconnues deux quations :

f bcu

d

y 0,8y

Ast . f stu

b

Mu

Diagramme des contraintes

F/x = 0 : 0,8 y b f bcu = f stu Ast (1)

Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 y b f bcu (d 0.4 y) (2)

Lquation (2) donne y.

Lquation (1) donnera ensuite Ast.

La rsolution de l quation (2) donne :

=

bcu

2

U

d b

2M111,25dy

f

Cest la solution cohrente de lquation.

Le calcul de Ast laide de lquation (1) donne :

stu

bcust

0,8ybA

f

f=

ou

)211,25d(1y u=

f MU > MI avec MU > MAB (Pivot B)

MU > MI est< ees.Les aciers travaillent mal.

z z

Les charges sont trop importantes par rapport la poutre.

u > I

laxe neutre descend;

besoin de plus de bton comprim pour rsister;

la partie comprime de la poutre supporte plus de charge, donc travaille plus;

les aciers travaillent dans de mauvaises conditions (est ees), car ils supportent moins de charge

Les charges sont trop importantes par rapport la poutre

Solutions pour optimiser dans la cas ou Mu > Ml

On voudrait avoir Mu < Ml sachant que Ml = I b d f bcu

f cj ou f c28 f bcu Ml

b ou d Ml

Ajout Asc Les aciers comprims aident le bton comprim

rduit la zone de bton comprim

monte ainsi laxe neutre

augmente le bras de levier y

permet aux aciers de bien travailler

z z

On ajoute juste assez daciers comprims pour remonter laxe

neutre de y yl. On aura ainsi est = ees .

Il y a 2 inconnues Ast et Asc (y est connu : y = yl).

Par exemple pour Fe E 500 : yl = 0,617d.

Diagramme des dformations

d

3,5 b

f bcu d

yl = 0,617d 0,8xl

Ast . f stu

Mu

Diagramme des contraintes

2,175

Asc . f stu d

F/x = 0 : Asc. f stu + 0,8 yI b f bcu = f stu Ast (1)

Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 yI b f bcu (d 0.4 yI) + Asc. f stu (d d ) (2)

)d'(d

MMA

stu

IUsc

=

f

Lquation (2) donne : Lquation (1) donne :

stu

bcuIscst

b0,8yAA

f

f=

yI est fonction du type dacier (voir le tableau).

MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu

f Remarques

Le rglement impose que la part des efforts repris par les aciers

comprims ne dpasse pas 40 % de leffort total, cest dire :

Il faut : Mu - Ml < 0,4 Mu (sinon, on redimensionne la poutre)

En prsence de Asc, il faut mettre des cadres tous les 12 des

Asc (pour viter le flambement des aciers comprims).

Exemple : si les aciers comprims sont en 12, alors les

cadres sont espacs de 14 cm.

N.B. : concernant les units.

Le plus simple est de respecter les units suivantes :

Les longueurs (b, h, d, y) sont en mtres (m)

f cj, f bcu , f e , f stu sont en MPa, Mu en MN

(Les Mgas sannuleront entre eux)

Les sections daciers Ast et Asc sont en m

(multiplier ensuite par 104, si on veut des cm)

Soit une section ( 25 50) cm sollicit par un moment

de flexion Mu = 0,153 MNm.

Les matriaux sont :

lacier HA FeE400 et le bton fc28 = 25 MPa.

Calculez la section du ferraillage lE.L.U.?

Exercice 19 : section armatures simple

Soit une section ( 25 50) cm sollicit par un moment

de flexion Mu = 0,315 MNm.

Les matriaux sont :

lacier HA FeE400 et le bton fc28 = 25 MPa.

On donne d = 5cm.

Calculez la section du ferraillage lE.L.U.?

Exercice 20 : section armatures double