Date post: | 01-May-2015 |
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Bibliografia:J. Singh “Semiconductor Devices. Basic Principles”, John Wiley & Sons
C. Kittel “Introduzione alla Fisica dello Stato Solido” Ed. Boringhieri
Ashcroft N.W., Mermin N.D. – “Solid State Physics”
B.G. Streetman, S.K. Banerjee “Solid State Electronic Devices” Pearson International Edition
B. S.M. Sze “Semiconductor Devices: Phyisics and Technology” Ed. Wiley (cap1-5)
E.F. Schubert “Physical Foundations of Solid State Devices”, New York 2005
Per approfondire:
R. F. Pierret ”Semiconductor Device Fundamentals”, Ed. Addison Wesley
Sapoval, C. Hermann, “Physics of Semiconductors”, Ed Springer Verlag
J. Singh “Semiconductor Optoelectronics Physics and Technology”, Mac Graw Hill
E.F. Schubert “Physical Foundation of Solid State Devices” (cap 12-14-15)
http://people.roma2.infn.it/~demattei/Didattica/Fisica dei Dispositivi a Stato solido/
LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1
LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 2
Crisi della descrizione classica del mondo
fisicoRadiazione in cavità (Catastrofe UV) + Effetto
fotoelettrico Fotoni h (h=6.626 x 10-34J s
=1015Hz)
Radioattività
Superconduttività a bassa temperatura
Spettri atomici discreti bande nei solidi
LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 3
Spettri atomici Spettri atomici (assorb e emiss) raggruppati in serie di linee
spettrali Per l’idrogeno le serie prendono il nome da Lyman, Balmer,
Paschen ecc. Differenze tra livelli energetici discreti (L m=1n, B m=2n,
P m=3n e viceversa)
2
1
nR=E yn
{hkl}
Rydberg
eV=
hπε
me=R
0
4
y 13.6054
2π22
2
hc
n
mn
m
R
mR
nR=E y
yynm
2
22
222
1122
22
mn
nm
R
hc
ynm
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Ipotesi di de Broglie
Dualismo onda particella. Elettrone è descritto anche da onda.Relazione tra lunghezza d’onda e impulso
= h/p Dipende dalla scala dell’oggetto con cui interagisce
l’onda/particella Se molto più grande descrizione particella altrimenti onda
L’energia cinetica può allora essere scritta come
In presenza di energia potenziale l’energia totale della particella sarà la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale
E=K+U
I=VR
p=λ
2π
2m
2π
2m
1
2m
2222 k=
λ=
p=K
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Operatori quantistici
I=VR
tiE
zip
xip
yip
z
y
x
In meccanica quantistica gli osservabili sono operatori che agiscono sulla funzione d'onda
Calcoliamo la lunghezza d'onda associata ad una energia di 1 eV nel caso di: a) fotone; b) elettrone; c) neutrone
a)
b)
c)
μm=mx=
J
smJs=
E
hc=
ν
h=λph 1.24101.24
1.6x10
/3x106.6x10 619
834
nm=Jkg
Js=
E
h=
k=λ
e
e 1.231.6x100.91x102
6.6x10
2m
2π2/11930
34
nm=λ=m
mλ=λ e
n
een 0.028
1824
1
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Equazione di Schrödinger
I=VR
Eψ=ψrV+
2
2
2m
ikxikx Be+Ae=ψ Particella libera non soggetta a potenzialeOnda piana
Eq. Schrödinger
tiEti Ae=Ae=tψ
ψE
i=tψi
/
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Elettroni liberiElettroni liberi di muoversi in un potenziale uniforme (zero).Gli elettroni in un solido possono essere considerati come se fossero “liberi” sotto alcune condizioni addizionali
rEψ=r]ψV+[ 02
2
2m
rik±eV
=rψ 1 123 =rψrd
Normalizzazione
0V+k
=E2m
22
k=pkψψr
i=pψ ovvero
0m
k=v
Relazione di dispersione
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Banda di energia
Le energie permesse per l'elettrone libero formano una banda continua che parte da V
0 in su
Relazione E-k o di dispersione
k=
V0
Intervallo di energie proibito
Intervallo di energie permesso
0V+k
=E2m
22
0V+k
=E2m
22
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Densità degli stati DOS
DOS nulla
2/10
230 VEmEN
V0 E
DO
S (J-1 m
-3)
Densità degli stati N(E) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di energia per unità di volume. Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE
32
2/10
2/3
02
π
VEm=EN
Condizioni periodiche al contorno, cubo di lato L
L3 Volume del solido
m0 massa dell'elettrone
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Densità degli stati DOSLa periodicità impone che gli stati stazionari siano a valori di k discreti
I valori di k sono quindi equispaziati ed ogni stato elettronico occupa un volume nello spazio k pari a
Il numero di stati in un intervallo d3k intorno a k per unità di volume è N(k) d3k
duplicità di spin
La relazione di dispersione è isotropa rispetto a tutte le direzioni e quindi ci interessa conoscere la densità degli stati in funzione del modulo |k|.
Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE.
dE
π
VEm=dEEN
32
2/10
2/302
ψ ( x+L,y,z ) =ψ ( x,y,z )ψ ( x,y+L,z ) =ψ ( x,y,z )ψ ( x,y,z+L )=ψ ( x,y,z )
;
L
πn=k
nN=nL
πn=k
L
πn=k
zz
iiy
y
xx
2
02
2
3/1
LV=
L
338π2π
3
3
33
33
8π/8π
2 kd=
L
kd
V=kdkN
N ( k ) dk= 24 πk 2 dk8π3
= k 2 dk2π2
002m VE=k
dEVE
=dk0
0
2
2m
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Densità degli stati DOSCalcoliamo la densità degli stati di elettroni che si muovono in un potenziale nullo con una energia di 0.1 eV.
La densità degli stati in un sistema 3D è:
Convertendo i valori di energia in eV otteniamo
che per E=0.1 eV vale
N(E)=2.15 x 1021 eV-1 cm-3
32/3563342
2/330
32
2/12/30
1.07x101.05x10
0.91x102
2
mJdEE=dEJsπ
Ekg
=dEπ
Em=dEEN
31cmeVE=EcmeVx=EN
2132
2/3
1956 6.8x1010
1.6x10
11.07x10
Valore indicativo, non ha vero senso.Bisognerebbe integrarlo su un intervallo di energie
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Elettroni nell'atomo
Gli elettroni in un atomo sono soggetti al potenziale coulombiano del nucleo ed eventualmente degli altri elettroni. Ci sono due intervalli di energie di interesse.
Stati liberi Quando l'elettrone possiede un'energia cinetica sufficiente per superare l'attrazione del nucleo. Tutti i valori di energia sono permessi.
Stati legati Sono gli stati stazionari dell'atomo che abbiamo visto danno origine alle transizioni atomiche
caso dell'idrogeno
Generalmente si assume l'energia del vuoto come zero dell'energia
Gli stati legati hanno energia negativa, quelli liberi positiva
E n =E vac− R y1
n2
E vac=0
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Elettroni in un solido cristallino
Gli stati a energia più bassa, stati di core, rimangono abbastanza imperturbati e simili agli stati di core dell'atomo
Gli elettroni di valenza sono quelli coinvolti nel legame molecolare. Nell’esempio del diamante ogni atomo di carbonio ha quattro legami covalenti con 4 altri posti ai vertici di un tetraedro equilatero
A bassa temperatura gli elettroni sono legati nei loro legami tetraedrici. Aumentando la temperatura questi legami possono delocalizzarsi e gli elettroni contribuire alla conduzione.
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Elettroni in un solido cristallino I livelli energetici più alti, elettroni di
valenza, si allargano in bande di energie permesse.
Le bande permesse possono essere separate da intervalli energetici proibiti. Gap di energia
In un atomo, se applichiamo un campo elettrico l'elettrone non si muoverà perché soggetto al potenziale del nucleo. E' come se avesse una massa molto grande
In un cristallo l'elettrone obbedirà ad una relazione di dispersione E-k anche se questa sarà più complicata.
All'interno di ogni banda permessa l'elettrone si comporta come se fosse libero salvo che risponde con una massa inerziale differente. Massa efficace m*
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Distribuzione degli elettroni negli stati
Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi?Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile)Funzione di distribuzione di Fermi-DiracProbabilità che uno stato permesso a energia E
sia occupato (all'equilibrio termico)
f(E) ≤ 1 e monotono decrescente.E
F è l'energia di Fermi e rappresenta l'energia del livello per cui si ha
probabilità di occupazione ½. (E=EF → f(E)= ½ )
Il livello di Fermi è determinato conoscendo la densità degli stati N(E) e la densità degli elettroni.
Quando (E-EF)»k
BT si ricade nella distribuzione di Boltzmann
kT
EE
e+
=EfF
1
1
kTEE
=Ef
F
B
e
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Metalli Semiconduttori Isolanti
Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no?Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) e seguendo la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac. A T=0 gli elettroni disporranno nelle bande via via a maggiore energia. L'energia che separa gli stati occupati da quelli non occupati è l'energia E
F(T=0).
Due casi sono possibili:• Una banda permessa è completamente piena di elettroni mentre la seguente banda permessa è separata da un gap di energia E
g ed è
vuota.
La più alta banda occupata è solo parzialmente occupata.
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Conduzione Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni nella banda non possono condurre alcuna correntenella banda non possono condurre alcuna corrente Gli elettroni sono fermioni e le bande sono simmetriche per inversione spaziale. Per ogni stato k (2m
0v=hk) ce ne è un altro a
-k. In assenza di forza esterna, per un elettrone che si muove in un verso ce ne è un altro che si muove nel verso opposto.
In presenza di una forza esterna, se non ci sono stati disponibili in cui un elettrone può spostarsi rompendo la simmetria tra +k e -k, non può esserci corrente netta.Questo spiega la distinzione tra metalli (banda semipiena) e isolanti (banda piena).
Un semiconduttore è un isolante con energia di gap Eg<3eV
kdt
d=Fext
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Conduzione La banda che a 0 K normalmente è piena di elettroni nei semiconduttori è detta banda di valenza mentre la banda vuota superiore è detta banda di conduzione.
I metalli hanno una conducibilità molto alta a causa del numero molto alto di elettroni che possono partecipare alla corrente di trasporto. E' difficile alterare la conducibilità dei metalli.
I semiconduttori, invece, hanno conducibilità nulla a 0 K e cmq bassa a temperatura normale, ma è possibile alterare la loro conducibilità di ordini di grandezza.
Per questo i semiconduttori possono essere usati come dispositivi attivi mentre i metalli sono relegati ad essere usati come componenti passivi come interconnessioni, contatti, etc.
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Conduzione La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il livello di Fermi è detta Funzione di lavoro (Work Function e
e )
La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il fondo della banda di conduzione è detta Affinità elettronica (Electron Affinity e
e )
eee
e
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Livello di Fermi Semiconduttore T=0 KBanda di valenza pienaBanda di conduzione vuota
Non c'è conduzione
Semiconduttore T>0 KBanda di valenza con qualche vuotoBanda di conduzione con qualche elettrone
Sia la banda di valenza che quella di conduzione possono concorrere al trasporto
Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?
0 1E
B
F
TkEE
exp+
dEEN=n
N(E) densità degli statin numero di elettroni nella banda per unità di volume
A T=0
2/3032
2/302/1
032
2/30
03π
222EE
m=dEEE
π
m=
EdEEN=n F
F
E
Valido solo per i metalli (EF>E
0)
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Livello di Fermi La situazione è più complicataLa situazione è più complicata
0E
B
F
dETkEE
eEN=n
Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora validan è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente. Questo determina l'energia di Fermi
T>0
2/32/3
20
0
2π2 Tk
m=N
Tk
EE
eN=n
Bc
b
F
c
32322 1010 cm÷A
ρNN=n e
A
Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più basso f(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann
πTk
EE
eTkπ
m=
=dyeTk
EE
eTkπ
m=
=dyeyTk
EE
eTkπ
m=
=dETkEE
eEEπ
m=n
b
F
B
E
xb
F
B
y
E
b
F
B
E
B
F
0
2/3
32
2/30
0
2
0
2/3
32
2/30
0
0
2/3
32
2/30
0
2/1032
2/30
2
2
2
2
Caso non-degenere
2/32
0
2
0 32m
nπ=EEF
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Livello di Fermi
n=E 0
∞
N (E ) e−
E− E F
k B T dE
2/32/3
20
0
22 Bc
b
F
c
kTπ
m=N
Tk
EE
eN=n
Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più bassof(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann
πTk
EE
eTkπ
m=
=dyeTk
EE
eTkπ
m=
=dyeyTk
EE
eTkπ
m=
=dETkEE
eEEπ
m=n
b
F
B
E
xb
F
B
y
E
b
F
B
E
B
F
0
2/3
32
2/30
0
2
0
2/3
32
2/30
0
0
2/3
32
2/30
0
2/1032
2/30
2
2
2
2
Caso non-degenere
Caso degenereSe il numero di portatori è alto una buona approssimazione è quella di Joyce-Dixon
ccBF N
n+
N
nTk=EE
8
1ln0