Bode Freud en Berg

8/3/2019 Bode Freud en Berg

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J.M. PIASCO

AUTOMATIQUE FREQUENTIELLE


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SOMMAIRE

Chapitre 1 :

Rponse harmonique des systmes linairesLieux de transfert.................................................................................. 1

1) Introduction ........................................................................................................... 12) Rappel.................................................................................................................... 13) Rponse d'un systme linaire une entre sinusodale ....................................... 24) Les lieux de transfert ............................................................................................. 55) Dtermination des lieux de transfert..................................................................... 6

Chapitre 2 :

Rponses harmoniques des systmes du premier et dusecond degr........................................................................................... 13

1) Systmes du premier degr.................................................................................... 132) Systmes du second degr ..................................................................................... 163) Dtermination des caractristiques des rponses temporelles

partir des caractristiques frquentielles .................................................................... 21

Chapitre 3:Systmes de degr quelconque ............................................................. 23

1) Fonction de transfert - Forme canonique...............................................................232) Rponse harmonique, lieux de transfert. ...............................................................233) Caractristiques de la rponse frquentielle..........................................................304) Systme dphasage minimal (ou non minimal) .................................................305) Second degr quivalent un systme de degr quelconque................................346) Le retard pur ..........................................................................................................36

Chapitre 4:

Systmes en boucle ferme - Asservissement - Rgulation- Performances....................................................................................... 39

1) Configuration des boucles d'asservissement - Rgulation ....................................392) Sensibilit et sensibilit complmentaire ..............................................................423) Performances statiques et dynamiques..................................................................43

Chapitre 5 :Stabilit des systmes asservi ou rgul .............................................. 49

1) Introduction ...........................................................................................................49

2) Critre de Routh ....................................................................................................493) Critre de Nyquist..................................................................................................49


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4) Critre du revers ....................................................................................................64

Chapitre 6 :Marges de stabilit - Abaque de Nichols - Compromis

performances - stabilit - robustesse ................................................... 69

1) Marges de stabilit.................................................................................................692) Abaques de Hall et Nichols ...................................................................................713) Stabilit relative et surtension de la sensibilit complmentaire...........................794) Le gabarit performance - robustesse......................................................................815) Le thorme de Freudenberg .................................................................................83

Chapitre 7 :Synthse des rgulateurs dans le domaine frquentiel ...................... 87

1) Introduction ...........................................................................................................872) Rgulateur action proportionnelle ......................................................................883) Rgulateur action proportionnelle et drive......................................................894) Rgulateur action proportionnelle - intgrale.....................................................955) Rgulateur action proportionnelle - intgrale et drive ....................................1016) conclusion gnrale ...............................................................................................1087) Problme : mlangeur............................................................................................1098) Problme : Asservissement de position.................................................................116

Chapitre 8 :Gnralits sur les systmes asservis non linaires ............................ 123

1) Introduction ...........................................................................................................1232) Exemples de non linarits ....................................................................................1243) Systmes asservis un lment non linaire .........................................................1274) Exemples de systmes asservis non linaire .........................................................128

Chapitre 9 :L'approximation du premier harmonique ......................................... 134

1) Principe de la mthode ..........................................................................................134

2) Non linarit indpendante du temps : lieu critique..............................................1353) Lieux critiques de non linarits usuelles..............................................................1364) Stabilit des systmes asservis non linaires.........................................................1415) Auto-oscillations, oscillations limites ...................................................................1426) Application : le pompage.......................................................................................144

Exercices ....................................................................................................... 149

Bibliographie.................................................................................................. 159


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1

Chap. 1: REPONSE HARMONIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES

LIEUX DE TRANSFERT

1) INTRODUCTION

Dans ltude temporelle des systmes asservis ou rguls on utilise des signaux tests tels que :lchelon, la rampe, le signal carr, triangulaire

Un autre signal test trs intressant est le signal sinusodal. On ralise alors une tude en

rgime sinusodal encore appele tude en rgime harmonique ou tude frquentielle.

Remarque : trs peu de processus industriels sont soumis des consignes ou des perturbations

sinusodales. Le signal sinusodal est ici utilis pour une tude ou des tests. Pour des

processus lents (ou trs lents) ces tests sont impossibles pour des problmes de dure. Cette

tude sera alors purement thorique.

Dans la premire partie de ce document (Chapitre 1 3) on dtermine les rponses des

systmes linaires des excitations sinusodales.

La deuxime partie (Chapitre 4 7) est consacre ltude des systmes asservis ou rguls

par lapproche frquentielle.

Dans la troisime partie on tudie les systme asservis non linaires par la mthode du

premier harmonique.

2) RAPPEL

Une boucle dasservissement rgulation comporte gnralement les lments suivants :

- le processus

- les capteurs- les actionneurs

- le rgulateur (ou correcteur ou compensateur)

dans le cas mono entre, mono sortie le diagramme est le suivant :

yC u v xRgulateur Actionneur Processus capteur

y

w

Notations :

v : entre du processus

x : sortie du processus ( asservir ou rguler)

y : mesure

u : commande

w : perturbation

yC : consigne

les signaux v et x ne sont gnralement pas directement accessibles on rassemble donc leprocessus, lactionneur et le capteur en un seul bloc dentre u (la commande) et de sortie y

(la mesure) :


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2

w

yC u

Rgulateur Actionneur-Processus-Capteur

y

3) REPONSE DUN SYSTEME LINEAIRE A UNE ENTREE SINUSOIDALE

Soit un systme linaire de fonction de transfert H(s) :

?u

H(s)

Lentre u(t) est un signal sinusodal, nul pour les instants ngatifs, de pulsation etdamplitude U1.

(t)t)(sinUu(t) 1= o (t) est lchelon unit

On recherche lexpression du signal y(t), rponse du systme linaire cette excitation

sinusodale u(t).

Dmonstration :

Les transformes de Laplace des fonctions cos(t)(t) et sin(t)(t) sont respectivement :

22 ss+

et22 s

+

D(s)I(s)-J(s)

U(s)H(s)Y(s) += avecD(s)N(s)

H(s)=

J(s) et I(s) tant deux polynmes dpendants des conditions initiales

221 sUU(s)+

=

D(s)

I(s)-J(s)

D(s))(s

N(s)UY(s)

221+

+=

Dveloppons en lments simples. On suppose que D(s) possde n zros s i distincts (rels ou

complexes conjugus), ce qui nest pas restrictif.

++++=

==

n

1i i

in

1i i

i221 s-s

)

s-s

sBsA(UY(s)

Calculons A et B :

==+H(-j)jBA

H(j)jBA

=

+=

)H(-j)H(j2j1B

)H(-j)H(j2A

Mais H(s) tant une fraction rationnelle o dnote le conjugude)(j

*H)H(-j = )(j

*H

)H(j


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3

=

=

)H(jImB

)H(jReA

Notons

== )H(jArg)(

==

sin)H(jB

cos)H(jA

++

++

+=

=

n

1i i

ii1

22221 s-s)(U

)s

ssins

(cos)H(jUY(s)

La transforme inverse de Y(s) est alors :

t)xp(se)(U)tcossintsin(cos)H(jUy(t) in

1i

ii11 +++==

t)xp(se)(U)tsin()H(jUy(t)i

n

1iii11

=

+++=

Si H(s) est stable, tous ses ples sont parties relles ngatives

t0t)exp(si

+

t

)tsin()H(jUy(t) 1

Thorme :

Quand il existe un rgime permanent sinusodalt

)tsin(Yy(t) 1 += avec

amplitude )H(jUY 11 == dphasage sortie/entre

== )H(jArg

On dfinie donc deux fonction de la pulsation , la fonction amplitude et la fonction phase :

==

===

)H(jArg)(

)H(jUY)A(A

1

1

Les caractristiques frquentielles dun systme linaire sont donc entirement dfinies par lafonction de transfert H(s) (o on remplace s par j).

Exemple :

vC

R

u

Le condensateur est initialement dcharg : v(0) = 0

Le signal u(t) est cosinusodal : (t)t)(cosUu(t) 1= Les conditions initiales tant nulles on peut crire :


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4

U(s)H(s)V(s) = avec221 s

sUU(s)+

= etsRC1

1H(s)+

=

on pose = RC

221 ssU

s11V(s) ++= dveloppons en lments simples :

++

++

+

=22

2

22

1

s

s

s11

UV(s)

La transforme inverse de Laplace de V(s) est :

+++

= ttsintcost-

1

Uv(t) e

22

1

quand t (en pratique le temps de rponse 5% par exemple : TR5 = 3))tsin(1 Vv(t) += avec

)H(jU1

1UV 122

11

=

+=

== )H(jArg)Atan(

Pour = 1 rd/s et = 1 s on obtient alors la rponse suivantes :

0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

t

u , v

On observe bien au bout de t = 3 s (environ) un rgime permanent sinusodal damplitude

2/1 et un dphasage de 45.


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5

4) LES LIEUX DE TRANSFERT

Dfinition : lieu H(j) quand varie de 0

4-1) Reprsentation dans le plan complexe : lieu de NYQUIST

= =0

Im

Re

H( )

Attention : le lieu de Nyquist comprend la courbe, le sens des croissants (flche), lesgraduations en .

4-2) Reprsentation dans le plan de BODE :

-180

-90

1 100100,1

db A=|H|

1 100100,1

=Arg[H]0

La courbe damplitude A() est trace en db : A db = 20 log|H|

est port en chelle logarithmique.La courbe de phase () est trace en chelle linaire.


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6

4-3) Reprsentation dans le plan de BLACK :

On porte horizontalement la phase () en chelle linaire et verticalement lamplitude A()

en db. Langle est dfinie 360 prs. Par convention [-360, 0] .

Ce plan est appel le plan de BLACK.

+20

0-180-360

db A

= 0

-20

-40

-60

=

Attention : le lieu de BLACK comprend la courbe, le sens des croissants (flche), lesgraduations en .

5) DETERMINATION DES LIEUX DE TRANSFERT

5-1) A partir de H(s) :

Lorsque H(s) est connue on pose s = j H(j) le lieu de transfert

5-2) A partir de la rponse impulsionnelle :

la rponse impulsionnelle h(t) est la transforme inverse de Laplace de H(s)

H(j) est donc la transforme de Fourier (continue-continue) de h(t) : H(j dttj-h(t)e) +=


10/133

7

5-3) Dtermination exprimentale de H(j) :

5-3-1) Appareils de mesure classiques :

on suppose que lentre de lactionneur et la sortie du capteur sont deux tensions lectriques.

Le relev du lieu de transfert ncessite trois appareils de mesure :- un Gnrateur de tension avec sortie sinusodale

- un multimtre utilis en mesure de tension alternative avec chelle db et zro

relatif.

- Un phasemtre dont lentre rfrence est connecte la sortie du gnrateur et

lentre signal la sortie du capteur. Cet appareil affiche le dphasage entre son

entre signal et son entre rfrence.

Multimtre

+ -

Phasemtre

rf. Signal

+ - + -

Capteur

lectrique

Processus

linaire

Action.

lectrique

Gn. Sinus

- +

u(t) y(t)

On branche tout dabord le multimtre sur la sortie du gnrateur, on choisit la mesure

tension alternative en db et prend comme zro relatif cette tension u(t). Puis on branche

le multimtre sur la sortie du capteur. On fait alors varier la frquence entre fmin et fmax et on

relve directement :- la frquence sur le gnrateur

- la phase sur le phasemtre

- le rapport damplitude sur le multimtre

En effet : A = A(f) = Y1 db U1 db

U1 db = 0 A = A(f) = Y1 db


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8

5-3-1)Appareil spcialis : Analyseur de Signaux et systmes

y(t) u(t)

Entres

rf . signal SortieAnalyseur

Sig. / Sys.

Processus

+Actionneur

+Ca teur

PC

Dans un seul appareil on trouve :

- la fonction gnrateur de signal (sinus)

- la fonction acquisition et calcul du rapport damplitude

- la fonction mesure de la phase

- dautres fonctions utiles telles que : des fonctions de filtrage, daffichage des lieux

de transfert, dchange avec dautres logiciels

Exemple : lanalyseur SIGLAB de DSP Technology Inc.

OK

Input input SCSI Battery

Overload Active Active Low

Status

Power on

1 21 2

Inputs

dsp Technology Inc SigLab .Model 20-22

Outputs

Caractristiques :

Processeur : DSP TMS320C31, RAM : 16MoConvertisseurs 16 bits Bande passante : 20 KHzConnexion PC : liaison SCSI Programmation : Matlab

Il existe plus de 10 fonctions danalyse de signaux et systmes dont la fonction vss

(virtual swept sine) dite du sinus balay


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9

Paramtres danalyse spcifier :

ADD SPAN Frequency start: 10 300 1000 frq.limite basse

DEL SPAN Frequency end: 300 1000 8000

frq.limite haute

Sweep type Log Log Log espacement en frq.(lin. ou log)

Tracking bandwidth(Hz) 10 50 100 largeur de bande dufiltre passe bande

Number of averages 10 10 10 nombre de points pourCalculer la moyenne

Number of steps 20 40 50 nombre de pas en frq.(nb de pts du lieu de T)

Inter step delay (mS) 10 10 10 dlai entre pas de frq.

Acquisition time (sec) 40.2 16.4 10.5 dure de lanalyse(donne par vss)

Level control channel Out1 Out1 Out1 niveau de contrle surSortie ou entre 1 ou 2

Control level (volts) 5 4 8 niveau de contrle

Ch1 AC - 10v 10v 10v calibre entre 1

Ch2 AC - 10v 10v .6v calibre entre 2

AC ou DC bande bande

de frq1 de frq3 .

- Dfinition de plusieurs bandes de frquences.

- Espacement des frquences linaire ou logarithmique.

- Filtrage des mesures par un filtre passe bande de largeur de bande rglable.

- Moyennage des mesures pour une mme frquence.

- Choix du dlai avant deffectuer la mesure (attente du rgime permanent

sinusodal).

- Choix du niveau de contrle sur lentre (1 ou 2) ou sur la sortie (lamplitude de

lentre sajuste alors automatiquement).

- Choix du mode (AC ou DC) et des calibres dentres (ventuellement

automatiques).


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10

-

Rponses en amplitude et en phase plan de BODE

-250

-200

-150

-100

-50

0

101

102

103

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2/1:degrees

2/1:volts/volt(dB)

Hertz

0

2

46

8

Level

OverLd

Coh

saturations

Cohrence = 0

niveaux

Cohrence = 1

saturations

Le logiciel affiche dans premier cadre les niveaux de tensions de sortie (ici 5 Volts entre 50 et

300 Hz, 4 Volts entre 300 et 1000 Hz, 8 Volts entre 1000 et 8000 Hz) et les saturations

ventuelles (ici le calibre choisi sur lentre 2 (0.6 Volt) est trop faible et les 5 mesures aprs

1000 Hz sont errones).

Dans un deuxime cadre on trouve la cohrence :

= 2i

2

i

2

ii

Yn

1U

n

1

YUn

1

coh

o Ui = U1 et Yi = Y1 ej

lessai ni

Si tous les Ui sont gaux entre eux et tous les Yi galement alors coh = 1. Mais les mesures

sont entaches de bruits donc coh < 1 et coh 0 quand les erreurs sont trs importantes (lesmesures ne sont plus cohrentes ). Ici la cohrence est trs proche de 1 pour toutes les

frquences.

Dans un troisime cadre le logiciel affiche les courbes damplitude et de phase dans le plan de

BODE. Un curseur permet de lire les mesures.


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11

Lieu de Nyquist :

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Imaginarypart

Real part

saturations


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13

Chap. 2 : REPONSES HARMONIQUES DES SYSTEMES

DU PREMIER ET SECOND DERGRE

1) SYSTEMES DU PREMIER DEGRE

Forme canonique :sT1

KH(s)+

= K = gain statique

T = Constante de temps

yu

sT1K+

(t)t)(sinUu(t) 1= o (t) est lchelon unitLe rgime permanent sinusodal est (Chapitre 1) : )tsin(Yy(t) 1 += avec

==

===

)H(jArg)(

)H(jUY)A(A

1

1

Posons K = 1 (linarit)

=

+=

TAtan)(

T1

1)A(

22 posons u = T= pulsation rduite

[ ]uAtan)u(;u1

1)A(u2

=+

=

1-1) Reprsentation dans le plan de BODE

[ ]uAtan

)ulog(1-10logA20Adb 2

=+==

u est port en chelle logarithmique

La courbe Adb(u) en fonction de log(u) a 2 asymptotes : une asymptote horizontale Adb = 0

quand u 0 et une asymptote oblique de pente 20 db par dcade (ou 6db/octave) quandu . Ces 2 asymptotes se coupent au point [u = 1 ; Adb = 0].

Dmonstration :

et0u

0Adb

u

20-Adb

logu

+

=+

u

0u1

ulog10logu20Adb

2

2

On calcule : A(1) = -10log(2) - 3dbA(2) = -10log(5) - 7dbA(0,5) = -10log(1,25) - 1db


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14

La courbe (u) a 2 asymptotes horizontales : = 0 quand u 0 et = -90 quand u On choisit comme approximation le segment de droite dextrmits :

[u = 0,1 ; = 0] ; [u = 10 ; = -90]La pente de ce segment de droite est donc de 45/dcade ou 13,5/octave

Lerreur maximum pour cette construction pseudo-asymptotique est de 6

La courbe (u) est symtrique par rapport au point [u = 1 ; = -45] en effet :(u)90

u1 =

-20

-15

-10

-5

0

0.1 1 10

-90

-45

0

2

-1

-6

-7

0.5 u

u

db A

-3

1-2) Reprsentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist

On trace dans le plan complexe H(ju).

Exercice : dmontrer que le lieu de Nyquist est un demi cercle de centre( , 0) et de rayon .


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15

u=0,2

u=0

u=0,5

u=1

u=1,5

u=2

u=3

u=0,5

-0,5

0 1

Re

Im

1-3) Reprsentation dans le plan de BLACK : lieu de BLACK

Axe vertical A(u) en dbAxe horizontal (u)

-90 -45

-40

-30

-20

-10

0

db A

u=0

u=0.5u=1

u=2

u=10

u=100

-3

-1

-6


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16

Les coordonnes des points de pulsation rduite u = [0 ; 0.5 ; 1 ; 2 ; 10 ; 100] se dduisent des

courbes damplitude et de phase traces dans le plan de BODE.

Exercice : montrer que la tangente au lieu de Black en u = 0 est horizontale.

1-4) Dfinitions :

Pulsation de coupure C :

2

1

)H(0

)cH(j = ou 3dbdb

)H(0db

)cH(j =

Systme du 1erdegr C = 1/T

Bande passante : domaine de tel que )cH(j)H(j

Systme du 1erdegr BP = [0 , C = 1/T]

2) SYTEMES DU SECOND DEGRE

formes canoniques des systmes du second degr :

2n

2

n

ss

21

KH(s)

++=

=

=

=

entamortissem

naturellepulsation

statiquegainK

n

Pour > 1 seulement :

)sT)(1sT(1

KH(s)

21 ++=

=

=

tempsdeconstantes2TetT

statiquegainK

21

Pour ltude en rgime harmonique on utilise la forme gnrale :

2n

2

n

s

s21

K

++

yu


==

===

)H(jArg)(

)H(jUY)A(A

1

1

Posons K = 1 (linarit)


19/133

17

2n

2

n

j21

1)H(j

+= posons : rduitepulsation

nu ==

uj2u1

1u)H(j

2 +=

2222 u4)u1(

1H(ju))A(u

+==

[ ] == H(ju)Arg)u(

1)u(u-1

u2Atan-

1)u(u-1

u2Atan

2

2

Calculons le maximum de A(u) :

2222

22

2222

222

u42)u1(

)]2-(14u[u

u42)u1(

u8)u-4u(1

du

)](u[Ad

+

=

+

+=

Il y a donc un extremum en u = 0

Si22

il existe un deuxime extremum (maximum) en u = 2R 2-1u =

uRest appele pulsation rduite de rsonance.

On note R la pulsation de rsonance : 2nR 2-1 = Si on inverse les deux formules prcdentes on a :

2u-1

2

R= et 2

-1

2

n

2R

=

2224R

12

1

)21(44

1)A(u

=

=

+

1 2 3

0

1

5

u

A

= 0.1

= 0.4

=0.8

uR

Remarque : R n quand 0


20/133

18

Dfinition : coefficient de surtension H(0)

)H(jQ R=

Ici :1

)A(uR=Q

212

1Q

= ou

2

1/Q-1-1 2 =

Pulsation de coupure C :

Par dfinition :2

1

)H(0

)cH(j = ou 3dbdb)H(0db)c =H(j

On pose : rduitecoupuredepulsationn

u CC ==

21

)A(uC = 2C222C u4)u1(2 += 01)u21(2u 2C24C =

222

C )2-1(12-1u ++= ou 2C

4

C

2

C

4u

u2u-1 =

2-1) Reprsentation dans le plan de Bode

]u4)ulog([(1-10logA20Adb 2222 +==

La courbe Adb(u) en fonction de log(u) a 2 asymptotes (u est port en chelle logarithmique) :

une asymptote horizontale Adb = 0 quand u 0 et une asymptote oblique de pente 40 db par dcade (ou 12db/octave) quand u . On dmontre que ces 2 asymptotes se coupentau point [u = 1 ; Adb = 0].

0.1 1 10

-40

-30

-20

-10

0

10

db A

u

2

-12


21/133

19

La courbe (u) a 2 asymptotes horizontales : = 0 quand u 0 et = -180 quand u On nutilise pas de construction pseudo-asymptotique pour les systmes du second degr.

Exercice : Montrer que la courbe (u) est symtrique par rapport au point [u = 1 ; = -90]

On trace ci dessous les courbes damplitude et de phase pour = 0.2 ; 0.425 ; 0.707 ; 1 ; 1.5

0.1 1 10

-180

-135

-90

-45

0

0.1 1 10

-40

-30

-20

-10

0

10

db A

u

u

=0.2

=1.5

=1.5

=0.2


22

0 R n

|H| 1 Q | 0

Arg[H] 0 -90 -180

22

0 n

|H| 1 | 0

Arg[H] 0 -90 -180

On trace ci dessous les lieux de Nyquist pour = 0.2 ; 0.425 ; 0.707 ; 1 ; 1.5


22/133

20

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

ImRe

=1.5

=0.2

u=1

u=1

u=0u=

2-2) Reprsentation dans le plan de Black :

-180 -135 -90 -45 0

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

uR

u=0

u=1

u=10

u=100

db A


23/133

21

3) DETERMINATION DES CARACTERISTIQUES DES REPONSES

TEMPORELLES A PARTIR DES CARACTERISTIQUES FREQUENTIELLES

3-1) Systmes du premier degr :

db |H|

|H(0)|

C

On relve sur la courbe damplitude :

- lasymptote horizontale |H(0)|- lintersection des deux asymptotes C

H(0)K= etC

1T =

Do les rponses temporelles. Par exemple la rponse indicielle y i(t) :

1/C

yi

|H(0)|

t

3-2) Systme du second degr : (22


24/133

22

On relve sur la courbe damplitude :

- lasymptote horizontale |H(0)]- lintersection des deux asymptotes n - le maximum |H(jR)]

H(0)K=

)H(0

)H(jQ R=

2

1/Q-1-1

2

=

Do les rponses temporelles. Par exemple la rponse indicielle y i(t) :

y1

y

yi

tp

t

H(0)Ky ==

dpassement : )-1

exp(-21 =X

=y

yyX 11 )X(1H(0)y 11 +=

2

n

p

-1

t =

Remarque : la rponse frquentielle prsente une surtension pour22

, mais les rponses

temporelles sont oscillatoires pour 1 .

Valeurs numriques retenir :

= 0,425 Q = 1,3 Q = 2,3 db X1 =0.23 = 23%


25/133

23

Chap. 3 : SYSTEMES DE DEGRE QUELCONQUE

1) FONCTION DE TRANSFERT - FORME CANONIQUE

yu

H(s)

D(s)

N(s)H(s)= avec d(N) = n et d(D) = m

Forme canonique :

G(s)s

KH(s)

C=

=

=

=

systmeduclassec

1G(0)

statiquegainK

c > 0 : c = nombre de ples lorigine (nombre dintgrateurs)c < 0 : c = nombre de zros lorigine (nombre de drivateurs)

...s)s)

...s)s)

21

21

T(1T(1

(1(1G(s)

++++

=

Ti et j peuvent tre parties relles positives ou ngatives.Si Re[Ti] > 0 ; i H(s) est stableSil existe des Ti (ou des j ) complexes ils apparaissent par paires conjugues. Dans ce cas onles rassemble dans un terme du second ordre de la forme : )

s

s2

2i

2

ii ++(1

i peut tre positif, ngatif, ou nul. Si i > 0 ; i H(s) est stable

Consquence : ==

N

1ii (s)HH(s) avec

+++ 2

i

2 )

s

is

i2(1,sT)(1,s,KH(s) , , entiers relatifs

2) REPONSE HARMONIQUE, LIEUX DE TRANSFERTS


[ ] ])(jArg[H)H(jArg)(

)(jH)H(jU

Y)A(A

N

1ii

N

1ii

1

1

===

====

=

=

On exprime habituellement les amplitudes en dcibels

[ ] ==

==

=

=

N

1ii

N

1ii

)](jArg[H)H(jArg)(

db)(jHdb)H(jdb)(A


26/133

24

==

eslmentairphasesPhase

db)(eneslmentairamplitudesAmplitude

2-1) Reprsentation dans le plan de Bode

Terme K :

K > 0 [ ]

==

=

0KArg)(

logK20)dbA(

K < 0 [ ]

==

=

180KArg)(

log(-K)20)dbA(

Par exemple pour K > 0 les courbes damplitude et de phase sont :

db A

20logK

0

1 100.1

01 100.1

Terme s

:

=

=

90)(

log20)dbA(

La courbe damplitude est une droite de pente 20 db par dcade (ou 6 db/octave).La courbe de phase est une horizontale 90

Par exemple pour > 0 les courbes damplitude et de phase sont :

db A

20

0

1 100.1

-20


27/133

25

01 100.1

90

Terme (1+ sT)

:

[ ]

=

+=

TAtan)(

)T1log(10)dbA( 22

Les courbes damplitude et de phase se dduisent de celles du premier degr (chap 2 ; 1-1).

Par exemple pour > 0 et T > 0 les courbes damplitude et de phase sont :

0.1 1 10

0

45

900

10

20

T

T

db A

367

0.11

10

Remarque : pour T < 0

Tj1+ =

Tj1 mme courbe damplitude

T]jArg[1+ = est chang de signe T]jArg[1Symtrie par rapport laxe des .


28/133

26

Terme

2

i

2

)s

is

i2 ++(1 :

Les courbes se dduisent de celles du second degr :

La courbe Adb() en fonction de log() a 2 asymptotes ( est port en chellelogarithmique): une asymptote horizontale Adb = 0 quand 0 et une asymptote oblique de

pente 40 db par dcade (ou 12 db/octave) quand . On dmontre que ces 2asymptotes se coupent au point [ = n ; Adb = 0].

La courbe ( ) a 2 asymptotes horizontales : = 0 quand 0 et = x180quand

Exemple de construction :

Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudo-

asymptotiques, les courbes damplitude et de phase de la fonction de transfert :

5s)2s)(1s(1

10H(s)

++=

On trace les amplitudes des 4 termes lmentaires en utilisant les approximations

asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .

5s1

1

+ 5s1

1

+

5s1

1

+

0.01 0.1 1 10-60

-40

-20

0

20

40

60

0.2

34

18

0.5

db A

K=10

1/s

1/1+5s

1/1+2s


29/133

27

La somme des 4 termes lmentaires prsente donc une pente de -20db/dcade (-6db/octave)

entre 0 et 0.2 rd/s, de 40db/dcade (-12db/octave) entre 0.2 rd/s et 0.5 rd/s, de -60db/dcade

(-18db/octave) entre 0.5 rd/s et .Pour = 0.01 rd/s : la somme des 4 termes lmentaires est : 20 + 40 + 0 + 0 = 60 dbPour = 1 rd/s : la somme des 4 termes lmentaires est : 20 + 0 6 14 = 0 db

Pour = 0.2 rd/s : lamplitude est : 40 6 = 34 dbPour = 0.5 rd/s : lamplitude est : 0 + 3x6 = 18 db

Do les coordonnes des points caractristiques :

0 0.01 0.2 0.5 10 |H| 60 34 18 -60

On trace les phases des 4 termes lmentaires en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .

0.01 0.1 1 10

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

-108

-252

50.02 0.05

K=10

1/s

1/1+2s

1/1+5s

2

La somme des 4 termes lmentaires prsente donc une horizontale 90 entre 0 et 0.02 rd/s,

une droite de pente de 45/dcade (13.5/octave) entre 0.02 rd/s et 0.05 rd/s, de

90/dcade (27/octave) entre 0.5 rd/s et 2 rd/s, de de 45/dcade (13.5/octave) entre 2

rd/s et 5 rd/s, enfin une horizontale 270 entre 5 rd/s et .


30/133

28

Pour = 0.05 rd/s : lamplitude est : -90 (45 13.5 13.5) = 108Pour = 0.5 rd/s : lamplitude est : -270 +(45 13.5 13.5) = 252

Do les coordonnes des points caractristiques :

0 0.02 0.05 2 5 Arg[H] 90 90 108 252 270 270

Si lon trace les courbes damplitude et de phase exactes (avec la bote outils commande

de Matlab) on constate un cart trs faible avec les constructions (pseudo) asymptotiques.

-60

-40

-20

0

20

40

60

-

0.1-

1 10

-270

-225

-180

-135

-90

0.01

db A


31/133

29


[ ]

=

=

=

=

])(jArg[H)H(jArg

)(jH)H(j

N

1i i

N

1ii

La construction point par point est longue et fastidieuse. On utilise donc, en pratique, les

tracs dans le plan de Bode.

Variations de A() et () Lieu de Nyquist

Exemple :5s)2s)(1s(1

10H(s)

++=

Des tracs (pseudo) asymptotiques prcdents on dduit le tableau des variations suivant :

0 |H] 0

Arg[H] -90 -270

Quand varie de 0 , on se rapproche de lorigine en tournant dans le sens inversetrigonomtrique de 90 270. Le lieu de Nyquist a donc lallure suivante :

Re

Im

=

=0

Exercice : montrer que le lieu de Nyquist a une asymptote verticale quand 0.

2-3) Reprsentation dans le plan de Black

On retrouve les avantages des chelles logarithmiques. Lutilisation du plan de Black facilite

par exemple la synthse des rgulateurs :

yueK(s) G(s)


32/133

30

posons :[

=

=

)K(jArgK

)K(jAK

11

11

];

[

=

=

)K(jArgK

)K(jAK

22

22

]; etc

-180 0

A db

2

1

K2

K1

AK1

AK2

G(j)

K(j)G(j)

3) CARACTERISTIQUES DE LA REPONSE FREQUENTIELLE

Pour les systmes de degr quelconque les dfinitions (Chapitre 2) de pulsation de coupure,

c , bande passante, pulsation de rsonance, R , et coefficient de surtension, Q , restentvalables.

4) SYSTEME A DEPHASAGE MINIMAL (OU NON MINIMAL)

4-1) Problme :

Soit un systme linaire de fonction de transfert H(s) inconnue. On connat )H(j)(A =

dterminer : [ ])H(jArg)( =

Rponse : Il existe une infinit de systmes S0, S1, S2, , de fonction de transfert H0(s),H1(s), H2(s),, qui possdent la mme courbe damplitude A(). Ils ne diffrent que parla prsence de facteurs :

s1

s-1(s)D1 +

= > 0 ou (et)2

n

2

ni

2

n

2

ni

2

s

s21

s

s21

(s)D++

+= > 0 et n > 0

En effet :

1j1

j-1)(jD

1 =+

= et )tan(A2)](jArg[D 1 =


33/133

31

1

j2

-1

j2

-1

)(jD

n2

n

2

n2

n

2

2 =

+

= et =)](j2Arg[D

n2

n

2

n

n2

n

2

n

;2/-1

/2Atan2

;/-1

/2Atan2

Il existe un seul systme S0, de fonction de transfert H0(s), sans termes dphaseurs tel que :)A()(jH0 =

= + duu

)A(jLn-A(ju)Ln2)(

220

Relation de Bode (rarement utilise en pratique)

4-2) Dfinitions :

Un systme est dphasage minimal sil ne possde pas de zro partie relle positive. Il est

dphasage non minimal sil possde un (ou plusieurs) zro partie relle positive.

4-3) Rponse indicielle dun systme dphasage non minimal :

La rponse indicielle, y(t), dun systme non minimum de phase possdant un seul zro

partie relle positive (cas le plus frquent) dmarre dans le mauvais sens .

Exemple :

0t

y

t

y

S0 minimum de phase S1 non minimum de phase

Dmonstration :

Notons :1...sa1...sbK(s)H n

n

m

m0 ++ ++=

avec K > 0 (non restrictif)

an > 0 le systme S0 est suppos stablebm > 0 le systme S0 est minimum de phase

s1

s-1(s)H(s)H 01 +

=

Pour le systme S0 la premire drive non nulle est positive.

dt

dy(0)> 0 ; ou si

dt

dy(0)= 0 alors

2

2

dt

y(0)d> 0

En effet daprs les thormes, bien connus, de la drive et de la valeur initiale sur latransforme de Laplace:


34/133

32

n

m

n

n

m

mm-n

sm-n

m-n

a

bK)]

s

1

1...sa

1...sbKs(s[lim

dt

y(0)d=

++++

=

> 0

Pour le systme S1 la premire drive non nulle est ngative :

-

a

bK)]

s

1

s1

s-1

1...sa

1...sbKs(s[lim

dt

y(0)d

n

m

n

n

m

mm-n

sm-n

m-n

=

+

++

++=

< 0

4-4) Exemple :

Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudo-

asymptotiques, les courbes damplitude et de phase des deux fonctions de transfert :

0.1s)s)(1(1

0.5s1(s)H0 ++

+= et

0.1s)(1s)(1

s)0.5s)(1(1(s)H

21 +++

=

H0(s) est minimum de phase et H1(s) est non minimum de phase (un terme dphaseur dupremier ordre) :

s1

s1(s)H(s)H 11 +

=

Les courbes damplitude des deux fonctions de transfert sont videmment identiques. On

trace les amplitudes des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations asymptotiques.

La somme des 3 termes lmentaires prsente donc une horizontale 0 db entre 0 et 1 rd/s,

une droite de pente de 20db/dcade (-6db/octave) entre 1 rd/s et 2 rd/s, une horizontale

6 db entre 2 et 10 rd/s, et une droite de pente de -20db/dcade (-6db/octave) entre 10 rd/s et

.

On trace les phases des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations pseudo-

asymptotiques.

Arg[H0(s)] prsente donc une horizontale 0 entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente 45

/dcade (13.5/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, une horizontale 13.5 entre 0.2 et 1 rd/s,

une droite de pente de 90/dcade (27/octave) entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale

58.5 entre 10 et 20 rd/s, une droite de pente 45/dcade (13.5/octave) entre 20 rd/s et

100 rd/s, enfin une horizontale 90 entre 100 rd/s et .

On trace la phase du terme dphaseur en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques.

Arg[H1(s)] prsente donc une horizontale 0 entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente 135

/dcade (40.5/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, de 90 /dcade (27/octave) entre 0.2 et 1

rd/s, de 135 /dcade (40.5/octave)entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale 238.5 entre

10 et 20 rd/s, une droite de pente 45/dcade (13.5/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin

une horizontale 270 entre 100 rd/s et .

La phase H0(s) de varie entre 0 et 90 et celle de H1(s) entre 0 et 270. Le dphasage de

H0(s) de varie donc entre 0 et 90 et celui de H1(s) entre 0 et 270. Ceci justifie lappellation

de systme non minimum de phase pour H0(s).

On trace les courbes damplitude et de phase exactes (avec la bote outils commande deMatlab). On constate un cart faible avec les constructions (pseudo) asymptotiques.


35/133

33

-30

-20

-10

0

10

20

10-1 1 10 100

-270

-180

-90

0

90

db A

1+0.5s

1/1+0.1s

1/1+s

0.1

1+0.5s

1/1+0.1s

1/1+s

1-s/1+s

H0(s)

H1(s)

-6

-103.5

-238.5

-40.5

-13.5

-58.5


36/133

34

Remarque : les rponses indicielles y0(t) et y1(t) de H0(s) et H1(s) (traces avec la bote

outils commande de Matlab) sont les suivantes :

0 1 2 3 4 5 6 s-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y0

y1

t

y1(t)

y0(t)

5) SECOND DEGRE EQUIVALENT A UN SYSTEME DE DEGRE QUELCONQUE

De nombreux systmes asservis ou rgul prsente une surtension en rgime harmonique. Par

dfinition le second degr quivalent un systme de degr quelconque, de fonction de

transfert H(s), est le second degr qui a la mme surtension Q, la mme pulsation dersonance R et le mme gain statique |H(0)|. Notons H2(s) la fonction de transfert de cesystme du second degr :

2n

2

n

2

s

s21

K(s)H

++=

R n

Q

db A

|H|

|H2|


37/133

35

Gnralement les rponses temporelles sont relativement voisines lune de lautre. Par

exemple pour les deux rponses indicielles y(t) et y2(t) les dpassements X1 et X12 et les

instants mis pour atteindre les dpassements tp et tp2 seront proches.

0t

y y2

Consquence : on utilise pour les systmes de degr quelconque la relation X1 = X1(Q)

calcule pour les systmes du second degr :

Q 2

1/Q-1-1

2

= )-1

exp(-X

21=

On obtient ainsi la courbe suivante :

0 2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

50

60

70

Q

db

X1%


38/133

36

Les valeurs numriques les plus utilises sont :

Q db 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

X1% 19.9% 20.6% 21.2% 21.8% 22.4% 23.0% 23.6% 24.2% 24.8% 25.4% 26.0%

6) LE RETARD : s-e

Soit le systme retard pur = : y(t) = u(t-)

yuRetard pur

Daprs le thorme du retard sur la transforme de Laplace : U(s)s-eY(s) =

Si lon compare avec la dfinition de la fonction de transfert dun systme linaire :

U(s)H(s)Y(s) = (conditions initiales nulles).

on pourrait conclure (trop) rapidement que la fonction de transfert du retard pur = est :s-eH(s) =

Ceci est faux car s-e nest pas une fraction rationnelle.

6-1) Etude harmonique du retard pur

Soit (t)t)(sinUu(t) 1=)-(t)]-t([sinUy(t) 1 =

On retrouve donc ici, comme pur les systmes linaires, quand t , un rgime permanentsinusodal :

)tsin(Yy(t) 1 += avec 1j-

eU

Y

1

1 == et j-eArg =

=

Par convention on choisit comme diagramme fonctionnel du retard pur :

yus-e

Attention : ne pas utiliser dans la thorie de lAutomatique linaire (en particulier dans les

thormes sur la stabilit).

Exemple :

Soit lasservissement ci dessous dont on dsire tudier la stabilit en boucle ferme.


39/133

37

sT1

s-e

+

_

yC +K

u y

La fonction de transfert en asservissement est :

D(s)

N(s)

s-

eKsT1

s-eKH(s)

(s)Y

Y(s)

C

=

++

==

Il est bien sur impossible dappliquer le critre de Routh la fonction D(s). En effet D(s) nest

pas un polynme. Notons quil existe une thorie de la stabilit des systmes retard.

6-2) Lieux de transfert

Lieu de Nyquist :

Cest un cercle centr lorigine , de rayon 1, parcouru une infinit de fois.

/ , 4/ , = 0, 2

= /2 , 5/2 ,

= / , 3/ ,

= 3/2 , 7/2 ,

0

Im

Re

Plan de Bode :

La courbe damplitude est une horizontale 0 db. La courbe de phase dcrot de 0 -.


40/133

38

-1

-0.5

0

0.5

1

db A

0.1 1 10

-630

-540

-450

-360

-270

-180

-90

0

Lieu de Black :

Cest une horizontale 0db, parcourue une infinit de fois de 0 360.

0

db A

+

-180-360

= 0 , 2/ , 4/ , = 2/ , 4/ ,

= / , 3/4 , 5/4 , ...


41/133

39

Chap. 4 : SYSTEMES EN BOUCLE FERMEE

ASSERVISSEMENT REGULATION PERFORMANCES

1) CONFIGURATION DES BOUCLES DASSERVISSEMENT REGULATION

1-1) Exemple dintroduction

Lasservissement de position angulaire de lexercice 2 est constitu :

Dun moteur courant continu, M, command par la tension dinduit, courantinducteur constant. On note la position angulaire, en radians, de larbre moteur et v latension dinduit. Les caractristiques du moteur sont :

- Rsistance dinduit : R

- Inductance dinduit : L

- Constante de force lectromotrice : Kem

- Inertie ramene sur larbre moteur : J

- Coefficient de frottement visqueux ramene sur larbre moteur : f- Couple utile : w(t)

Dun potentiomtre dasservissement, P, 1 tour, linaire, aliment sous les tensions +EetE, dlivrant la tension de mesure y. Le cblage est ralis de telle sorte quun crneau

positif sur la tension dinduit provoque une augmentation de la tension y.

Dun amplificateur diffrentiel quilibr (gain de mode commun nul), de gain de modediffrentiel, K, rglable, indpendant de la frquence.

Dun amplificateur de puissance, de gain en tension, A, positif, indpendant de lafrquence. La tension dentre est note u.

Dun gnrateur de tension fournissant la tension de consigne yc.

Lentre du processus est donc la tension dinduit v(t) et sa sortie la position angulaire (t).Lactionneur dentre u(t) (la commande) et de sortie v(t) est lamplificateur de puissance de

fonction de transfert A. Le capteur dentre (t) et de sortie y(t) (la mesure) est le

potentiomtre de fonction de transfert

E

Le diagramme fonctionnel de lactionneur, du moteur et du capteur est (rponses aux

questions 1 et 2 de lexercice 2-1) :

LsR

1

+ Kem Jsf

1

+

Kem

s

1

E

A

u c

e

w

iv + y

_

++

Ce diagramme se rduit sous la forme suivante :

Avec

+++

+=

+++=

]Js)Ls)(f(Rs[K

E/Ls)(R

(s)G

]Js)Ls)(f(Rs[K

E/AKG(s)

2em

w

2

em

em


42/133

40

Gw(s)

G(s)y

w

u

d

++

Dfinitions :

==

==

onperturbati

mesure

w

y(s)G

commande

mesure

u

yG(s)

w

On dsire que la mesure y(t) suive une consigne y c(t). Pour cela on peut utiliser

lamplificateur diffrentiel de gain K :

Ampli. diffrentiel

Moteur

+ actionneur

+ capteurK

yc u

w

y

+

On obtient ainsi le schma avec un correcteur ( action proportionnelle) suivant :

Kyc u

d

y

+G(s)

++

Gw(s)w

e

1-2) Cas gnral

Pour lasservissement de position angulaire prcdent un correcteur proportionnel de gain

K constant est suffisant pour obtenir de bonnes performances (voir exercice 2-1). Dans le

cas gnral on remplace le gain K constant par un correcteur dynamique K(s). Do la

loi de commande suivante :

y)(yK(s)u c =

Plus gnralement la loi de commande a deux transferts diffrents entre yc et u et entre y et u :


43/133

41

yK(s)y(s)Ku cc =

Kc(s) et K(s) sont deux fractions rationnelles.

Si on rduit ces deux fractions rationnelles au mme dnominateur on obtient :

S(s)

yR(s)yT(s)u c

=

R(s), S(s) et T(s) sont des polynomes en s. Cette forme prend le nom de forme R.S.T.

Une autre criture consiste factoriser Kc(s) en Kc(s) = Rc(s)K(s), do :

ccrr y(s)Ryavec,y)(yK(s)u ==

Do la CONFIGURATION NORMALE dune boucle dasservissement rgulation :

K(s)yc u

d

y

yr +

G(s)

++

Gw(s)w

eRc(s)

Rgulateur ou Correcteur

Action. + Processus + Capteur

Rgulateur :

commande:sortie1

mesureetconsigne:entres2

Action. + Processus + Capteur :

mesure:sortie1

onperturbatietcommande:entres2

Si w(t) nest pas mesure on ne fait apparatre que d(t) = effet de la perturbation sur lamesure.

Dfinitions :

==

==

rgulationentransfertdefonctiononperturbati

mesure

w

y

mentasservisseentransfertdefonctionconsigne

mesure

y

y

c

Si w = cte la boucle ferme est un asservissement

Si yc = cte la boucle ferme est une rgulation


44/133

42

2) SENSIBILITE ET SENSIBILITE COMPLEMENTAIRE

2-1) Sensibilit aux perturbations

La fonction de transfert entre la perturbation d et lcart e est : dK(s)G(s)1

1e+

=

Par dfinition : SensibilitK(s)G(s)1

1S(s) =

+=

On note :retourdeDiffrenceL(s)]1[

boucledeTransfertK(s)G(s)L(s)

=+

==

L(s)1

1S(s)

+

=

2-2) Sensibilit aux erreurs de modles

La fonction de transfert en asservissement est :K(s)G(s)1

(s)K(s)G(s)RH(s)

y

y c

c +==

En rgime harmonique :))G(jK(j1

)(j)R)G(jK(j)H(j c

+=

Pour yc sinusodal de pulsation la variation (ou incertitude) G(j) sur G(j) entraine unevariation H(j). Calculons lapproximation au premier ordre de H(j) :

GG)K(1

RKG

dG

dHH

2

c +

= G

G

GK1

1

H

H

+=

La variation relative du lieu de transfert du processus se transmet sur la variationrelative du

lieu de transfert en asservissement par lintermdiaire de :))G(jK(j1

1)

+=S(j ce qui

justifie une deuxime fois lappellation de sensibilit.

On cherchera donc le rgulateur K(s) qui minimise la sensibilit.

2-3) Sensibilit complmentaire

Il revient au mme de rendre S(j) petit en module ou de prendre [1-S(j)] voisin de 1. Pardfinition :

airecomplmentSensibilitL(s)1

L(s)

K(s)G(s)1

K(s)G(s)S(s)-1T(s) =

+=

+==

La fonction de transfert en asservissement scrit :

(s)RT(s)H(s) c=


45/133

43

L'insensibilit conduit rechercher une sensibilit complmentaire voisine de 1 (pour une

certaine plage de pulsation). La prsence de Rc(s) nest donc pas toujours indispensable.

Cependant Rc(s) apporte un degr de libert supplmentaire, il permet par exemple :

- de compenser un gain statique non unitaire de T(s),

- de compenser les ples ou les zros indsirables de T(s), pour acclrer les rponsesou diminuer les dpassements,

- Dadoucir les variations brusques de la consigne et viter ainsi de brutaliser les

actionneurs,

-

3) PERFORMANCES STATIQUES ET DYNAMIQUES

3-1) Prcision statique :

La configuration NORMALE dune boucle dasservissement rgulation est ( 1-2) :

L(s)eyr

y

d

On note Yr(s) et D(s) les transformes de Laplace de yr(t) et d(t). Daprs le thorme, bien

connu, de la valeur finale sur la transforme de Laplace :

D(s))](s)(YL(s)1

1s[lime(t)lim r

0st

+==

est lcart statique (en rgime permanent) ou lerreur statique. On note :

l(s)s

kL(s)

C=

=

=

=

L(s)declassec

1l(0)

L(s)destatiquegaink

D(s))](s)(Yks

ss[lim rc

c

0s

+=

Considrons trois signaux de rfrence :

- lchelon damplitude a : yr(t) (ou d(t) ) = a (t)

on dfiniea

r= cart relatif en %

- la rampe de pente b : yr(t) (ou d(t) ) = b t (t)

on dfinieb

r= cart relatif en s

- la parabole : yr(t) (ou d(t) ) = c t2

(t)


46/133

44

on dfiniec

r= cart relatif en s

2

a) Systmes de classe 0 :

D(s))](s)(Yk1

1s[lim r0s +=

yr(t) = 0 et d(t) = a (t) s

aD(s)=

k1

a-

+=

k1

1r +

=

yr(t) = 0 et d(t) = b t (t) 2sb

D(s)= = =r

yr(t) = 0 et d(t) = = c t2(t)

2s

bD(s)= = =r

Si on inverse yr(t) et d(t), change de signe mais rreste inchang.

b) Systmes de classe 1 :

D(s))](s)(Yk

s[lim r

2

0s =

yr(t) = 0 et d(t) = a (t) s

aD(s)= 0 = 0r =

yr(t) = 0 et d(t) = b t (t) 2sb

D(s)= k

b =

k

1r =

yr(t) = 0 et d(t) = = c t2(t) 2sbD(s)= = =r

Si on inverse yr(t) et d(t), change de signe mais rreste inchang.

c) Systmes de classe 2 et plus :

D(s))](s)(Yk

s[lim r

1c

0s =

+

do le tableau suivant :

Classe : c 0 1 2 3 4

yr(t) = a (t)d(t) = a (t) k1

1r +

= 0 0 0 0

yr(t) = bt (t)d(t) = bt (t)

k

1r = 0 0 0

yr(t) = c t2(t)

d(t) = c t2(t)

k

1r = 0 0


47/133

45

Conclusions :

Si d (ou yr) est un chelon unitaire :

-S(0)]s

1sS(s)[lime(t)lim

0st ===

On simpose une prcision statique (en valeur absolue) petite : S(0) < avec avec 0 0M

1 quand s 0

Si d (ou yr) est une rampe de pente unit :

]sL(s)

1[lim]

s

1sS(s)[lime(t)lim

0s20st

===

Pour les systmes de classe c = 0 Pour les systmes de classe c = 1 :On simpose une prcision statique (en valeur absolue) petite :

]sL(s)

1

[lim0s < || = 1 |L(s)| > 1sM1

quand s 0

Pour les systmes de classe c 2 : 0 =

Si d (ou yr) est de type polynomial (ou autre) :On gnralise les rsultats prcdents contrainte de type :

|L(s)| >m(s)

1 quand s 0

o m(s) est une fraction rationnelle, souvent de le forme : m(s) = M s

p

3-2) Performances dynamiques :

d (ou yr) est maintenant un signal sinusodal. S(j) doit tre petit (et donc L(j) grand) lafrquence nulle mais aussi sur une bande de frquence suffisamment large. Le cahier des

charge spcifiera donc une fraction rationnelle m(s) et une pulsation haute 1 :

|L(j)| >)m(j

1 pour [0 ; 1]


48/133

46

Do le gabarit de performances frquentielles :

)m(j

1

Pente 1

m1

1

|L(j)|

db A

En pratique le gabarit est dfini par 3 paramtres : 1, m1, 1.1= 0 db/dcade ; -20 db/dcade ; -40 db/dcade

Exemple : soit lasservissement de position (1-1) :

)sT)(1sTs(1

kL(s)

21 ++=

On dsire obtenir un cart infrieur 1 pour d (ou yc ) sinusodal de pulsation 1 et un cartstatique infrieur 0 pour d (ou yc ) en rampe. Dterminer le gabarit de performances.

Pour= 1 :

)L(j11

1+< 1 )L(j 1 >

11 (car )L(j 1 >> 1)

Pour= 0 :

|L(s)| >1sM

1 quand s 0 |L(j)| >

0j

1 quand 0


49/133

47

1ercas :

01

db11

)L(j

-20 db/dec

db A

1= -20 db/dec

1

db1m1

1 =

db A

1

2me cas :

01

db11

1

)L(j

-20 db/dec

db A

1= -20 db/dec

1

db A

db

1m

01

1=

3-3) Signal sinusodal quivalent un signal quelconque

Dfinition : Soit d(t) un signal quelconque. Le signal sinusodal quivalent x(t) a la mme

drive maximum et la mme acclration maximum.

)youd ( r

t

vM

aM


50/133

48

t)(sinXx(t) 11=

=

=

t)(sinX(t)x

t)(cosX(t)x

1

2

11

111

&&

&

==

==

Mmax

2

11

Mmax11

axX

vxX

&&

&

M

2M

1a

vX = etM

M1

v

a =

Si on dsire que lerreur en rgime dynamique, pour signal sinusodal quivalent x(t), soit

infrieure :

)v

aL(j1

a

v

)L(j1

X

M

M

M

2

M

1

1

+

=+

< )v

aL(j

M

M >

1

a

v

M

2

M

Dou le gabarit de performance :

1 = 0 db/dec

db A

(db)1

a

vm

M

2

M1 =

M

M1

v

a =

Si de plus on simpose que lcart soit nul lorsque 0 (cart nul en rgime permanent) :

L(s) de classe c = 1 (au moins)

)L(jlim0

1= -20 db/dec

db A

(db)1

a

vm

M

2

M1 =

M

M1

v

a =


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49

Chap. 5 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS OU REGULES

1) INRODUCTION

Soit la configuration NORMALE dune boucle dasservissement rgulation :

L(s)eyr

y

d

Rc(s)

yc

+ +

_

+

L(s) = transfert de boucle

==+

=

==+

=

rgulationentransfertdefonctionS(s)L(s)1

1

d

y

mentasservisseentransfertdefonctionT(s)(s)RL(s)1

L(s)(s)R

y

ycc

c

S(s) = sensibilit ; T(s) = sensibilit complmentaire ; [1+L(s)] = diffrence de retour

On choisit, bien videmment, une fonction Rc(s) de transfert stable. Les fonctions de transfert

en asservissement et en rgulation seront stables si la fonction de transfert T(s) est stable.

T(s) est stable tous les ples de T(s) sont parties relles ngatives tous les zros de [1+L(s)] sont parties relles ngatives

Notons 1+L(s) = 0 lquation caractristique du systme en boucle ferme

2) CRITERE DE ROUTH

On applique le critre de ROUTH lquation caractristique.

Exercice : soit le systme boucl de transfert de boucle :

)sT)(1sTs(1

kL(s)

21 ++= avec T1 > 0 et T2 > 0

Dterminer les valeurs de k pour lesquelles T(s) est stable.

3) CRITERE DE NYQUIST

Le critre de Nyquist est un critre de stabilit dans le domaine frquentiel. Il permet

dtudier la stabilit de la fonction de transfert T(s) partir du lieu de transfert de boucle

L(j).


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50

3 -1) Lemme fondamental : thorme de CAUCHY

Soit F(s) une fonction complexe de la variable complexe s .

Le point m, image de s, dcrit dans le plan complexe entirement le contour (C) dans le sens

inverse trigonomtrique.

Re

Im

O

(C)

Z2

P2

P1

P3

Z1

m (s)

Le point M, image de F(s), dcrit dans le plan complexe entirement le contour (). Lescontours (C) et () se correspondent point par point.

Re

Im

O

()

M [F(s)]

+

On note : P le nombre de ples de F(s) situs dans (C)

Z le nombre de zros de F(s) situs dans (C)

Thorme : le nombre de tours N de autour de lorigine (compt positivement dans le sens

trigonomtrique) est : N = P - Z ou = 2 (P Z)

Dmonstration :

Soit F(s) une fraction rationnelle :...)p-)(sp-(s

...)z-)(sz-(skF(s)

21

21=

...)]p-Arg[(s-)]p-Arg[(s-...)]z-Arg[(s)]z-Arg[(sArg[F(s)] 2121 +== ...--...Arg[F(s)] 2121 +==


53/133

51

Calculons quand m dcrit entirement (C) :

Re

Im

O

(C)

Zi(P

i)

m

i(

i)

Pour les Zi (ou Pi) situs lextrieur de (C) i = i = 0

Re

Im

O

(C)

Pj

(Zj)

m

j(

j)

Pour les Zj (ou Pj) situs lextrieur de (C) j = j = -2

Z)(P2P)(Z2 ==

3 -2) Application : critre de NYQUIST

Choisissons pour contour (C) la courbe suivante, appele contour de Nyquist. Le nombre de

zros de [1 + L(s)] partie relle positive est le nombre de zros de [1 + L(s)] situs dans (C).


54/133

52

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

Soit : F(s) = 1 + L(s)

Notons () le lieu de M image de F(s) et N le nombre de tours de () autour de lorigine(compt positivement dans le sens trigonomtrique).

M

() ()

Re

Im

-1

0

M

Soit () le lieu de M image de L(s) . N est donc aussi le nombre de tours de () autour dupoint -1 (compt positivement dans le sens trigonomtrique). Le point -1 est encore

appel le point critique.

Construction de () :1) m dcrit OA : s = j ; [0 , ] M [image de L(j)] dcrit le lieu de Nyquist

dans le sens des croissants2) m dcrit BO : s = -j ; [0 , ] M [image de L(-j)]

mais L(-j) = L*(j) ( * = conjug)L(s) = fraction rationnelle M dcrit le symtrique du lieu de Nyquist

3) m dcrit le demi cercle de rayon infini. Mais pour un systme physique le degr du

numrateur est infrieur ou gal au degr du dnominateur |L(s)| 0 (ou une constante)quand |s| M est infiniment prs de lorigine (ou dun point de laxe rel)


55/133

53

Im

Re-1

Point

critique

=0==

()

M

() est un contour ferm. N est le nombre de tours de () autour du point critique (compt positivement dans le

sens trigonomtrique).

P est le nombre de ples de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist = nombre deples de L(s) lintrieur du contour de Nyquist ( partie relle positive).

Z est le nombre de zros de [1 + L(s)] partie relle positive.

Daprs le thorme de Cauchy : N = P Z

T(s) stable Z = 0 N = P

3-3) Exemples :

3-3-1) Exemple 1 :

Transfert de boucle :sT)(1

kL(s)

+= k > 0et T > 0

L(s) possde un seul ple : P1 = -1/T situ lextrieur du contour de Nyquist P = 0



M dcrit le symtrique du lieu de Nyquist

3) m dcrit le demi cercle de rayon infini. Le degr du numrateur est infrieur au degr du

dnominateur |L(s)| 0 quand |s| M est infiniment prs de lorigine


56/133

54

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

P1 = -1/T

Im

Re-1

Point

critique

= 0 = =

M

()

() nentoure pas le point critique N = 0P = 0 ; N = P Z Z = 0

Il ny a donc aucun zro de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il ny a donc aucun zro de [1 + L(s)] partie relle positive.

La fonction de transfert T(s) est donc stable k et T


57/133

55

3-3-2) Exemple 2 :


kL(s)

= k > 0et T > 0

L(s) possde un seul ple : P1 = 1/T situ lintrieur du contour de Nyquist P = 1

P1 = 1/T

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=


dans le sens des croissants

Im

Re-1

Point

critique

= 0 = =

M

()


58/133

56

2) m dcrit BO : s = -j ; [0 , ] M [image de L(-j)] M dcrit le symtrique du lieu de Nyquist



() nentoure pas le point critique N = 0P = 1 ; N = P Z Z = 1

Il y a donc un zro de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il y a donc un zro de [1 + L(s)] partie relle positive.

La fonction de transfert T(s) est donc instable k et T

3-3-1) Exemple 3 :

Transfert de boucle : 3sT)(1

k

L(s) += k > 0et T > 0

L(s) possde 3 ples : P1 = P2 = P3 = -1/T situ lextrieur du contour de Nyquist P = 0

P1 = P2 = P3 = -1/T

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=







59/133

57

1

Im

Re-1

Point

critique

= 0 = =

M

()

1ercas : Si | L(j1)| < 1 () nentoure pas le point critique N = 0P = 0 ; N = P Z Z = 0

Il ny a aucun zro de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il ny a aucun zro de [1 + L(s)] partie relle positive.

Le systme en boucle ferm (de fonction de transfert T(s)) est donc stable.

2me cas : Si | L(j1)| > 1 () entoure deux fois le point critique (dans le sensinverse trigonomtrique) N = -2

P = 0 ; N = P Z Z = 2

Il y a 2 zros de [1 + L(s)] lintrieur du contour de NyquistIl y a 2 zros de [1 + L(s)] partie relle positive.

Le systme en boucle ferm (de fonction de transfert T(s)) est donc instable.

T)Atan(3180)]Arg[L(j 11 == 3T1 = 8

k

)31(

k)L(j

31=

+=

La fonction de transfert T(s) sera donc stable si k < 8 (vrification critre de Routh) .

3-4) Cas des ples de L(s) appartenant au contour de Nyquist :

Si des ples sont sur laxe imaginaire on ne peut plus utiliser le contour de Nyquist prcdent.

En effet sont t-ils lintrieur ou lextrieur de (C) ?

Notons : p0 = 0 et n2

1j

p

p=

On modifie alors lgrement le contour de Nyquist.

Pour p0 = 0 on choisit lun des deux contours suivant :


60/133

58

P0

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

r =

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

P0

r =

ou

Pour on choisit par exemple le contour suivant :n2

1j

p

p=

P2 = -jn

P1 = jn

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

r =

r =


61/133

59

Exercice : proposer pour un 2n2

1j

p

p=

me contour de Nyquist modifi.

Exemple : Sil existe p0 = 0 avec un ordre de multiplicit c

l(s)s

kL(s)

C= avec

=

==

L(s)declassec

1l(0)L(s)destatiquegaink

P0

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

r =0+

0-

La portion de () qui correspond au demi cercle de rayon est :Cs

kL(s)= car l(0) = 1

|s| = C

kL(s) = M cercle de centre O et de rayon =

C

k

Dautre part :

=

0s

Arg[s]-cArg[L(s)]

m O- O+Arg[s] -/2 /2

Arg[L(s)] c/2 - c/2

Lorsque m parcourt le demi cercle de rayon , de O- O+ (dans le sens trigonomtrique)

parcourt c demi cercles (dans le sens inverse trigonomtrique) de rayon R

Exercice : quelle est la portion de () qui correspond au demi cercle de rayon du 2mecontour de Nyquist modifi ?

3-4-1) Exemple 4 :

Transfert de boucle :)sT)(1sTs(1

kL(s)21 ++

= k > 0 , T1 > 0 et T2 > 0


62/133

60

P2=-1/T2

P1=-1/T1 P0

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

r =0+

0-

L(s) possde 3 ples : P0 = 0 , P1 = -1/T1 , P2 = -1/T2 situ lextrieur du contour de

Nyquist modifi P = 0





dnominateur |L(s)| 0 quand |s| M est infiniment prs de lorigine4) m dcrit le demi cercle de rayon .

|s| =


k

Dautre part :

=

0s

Arg[s]-Arg[L(s)]

m O- O+Arg[s] -/2 /2

Arg[L(s)] /2 - /2

Lorsque m parcourt le demi cercle de rayon , de O- O+ (dans le sens trigonomtrique)

parcourt un demi cercle (dans le sens inverse trigonomtrique) de rayon R


63/133

61

()

M

-1 =+=-

- k(T1+T2)

=0+

Re

Im

=0

21

21

TT

TTk

+

()

M

-1 =+=-

- k(T1+T2)

=0+

Re

Im

=0

Exercice : dterminer lasymptote de L(j) et son intersection avec laxe rel.

1er cas : Si21

21

TT

TTk

+

< 1 () nentoure pas le point critique N = 0

P = 0 ; N = P Z Z = 0Il ny a aucun zro de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il ny a aucun zro de [1 + L(s)] partie relle positive.La fonction de transfert T(s) est donc stable.

2me cas : Si21

21

TT

TT

+k

> 1 () entoure deux fois le point critique (dans le sens

inverse trigonomtrique) N = -2P = 0 ; N = P Z Z = 2

Il y a 2 zros de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il y a 2 zros de [1 + L(s)] partie relle positive.

La fonction de transfert T(s) est donc instable.

Vrification : Soit T1 = 1s et T2 = 2 s . La sensibilit complmentaire est stable pour :

21

21

TT

TTk

+

< soit k < 3/2

Traons les rponses indicielles de T(s) pour k = 0.5 , k = 1,5 et k= 1,8 :

Pour k = 0,5 la rponse indicielle (stable) prsentent des oscillations amorties. Pour k = 1,5 la rponse indicielle ( la limite de stabilit) prsentent des oscillations

entretenues.

Pour k = 1,8 la rponse indicielle (instable) prsentent des oscillations damplitudescroissantes et tendant vers linfini.


64/133

62

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

K=0,5K=1,5

K=1,8

Temps (s)

y

3-4-2) Exemple 5 :

Transfert de boucle :sT)(1s

kL(s)

2 += k > 0 , T > 0

L(s) possde 3 ples : P0 = P1 = 0 , P2 = -1/T situ lextrieur du contour de Nyquist

modifi P = 0

P0 = P1

P2=-1/T

(C)

Re

Im

A

O

B

m R=

r =0+

0-

Construction de () :

1) m dcrit OA : s = j ; [0 , ] M [image de L(j)] dcrit le lieu de Nyquistdans le sens des croissants


65/133

63

2) m dcrit BO : s = -j ; [0 , ] M [image de L(-j)] M dcrit le symtrique du lieu de Nyquist


dnominateur |L(s)| 0 quand |s| M est infiniment prs de lorigine4) m dcrit le demi cercle de rayon .

|s| = 2


2

k

Dautre part :

=

0s

Arg[s]2-Arg[L(s)]

m O- O+Arg[s] -/2 /2

Arg[L(s)] -

Lorsque m parcourt le demi cercle de rayon , de O- O+ (dans le sens trigonomtrique) parcourt un cercle (dans le sens inverse trigonomtrique) de rayon R

()

M

-1 =+=-

=0+

Re

Im

=0

() entoure deux fois le point critique (dans le sens inverse trigonomtrique) N = -2P = 0 ; N = P Z Z = 2

Il y a 2 zros de [1 + L(s)] lintrieur du contour de Nyquist

Il y a 2 zros de [1 + L(s)] partie relle positive.

La fonction de transfert T(s) est donc instable.


66/133

64

4) CRITERE DU REVERS

4-1) Critre :

Le critre du revers est un critre de stabilit dans le domaine frquentiel. Il permet dtudier

la stabilit de la fonction de transfert T(s) partir du lieu de transfert de boucle L(j ).

Hypothses :

- L(s) est minimum de phase.

- L(s) est stable au sens large.-

Rappel : L(s) est stable au sens large si :

- tous les ples de L(s) sont parties relles strictement ngatives.

- sil existe des ples sur laxe imaginaire ils doivent tre simples.

Enonc du critre :

Un systme boucl est stable si, en dcrivant le lieu de Nyquist du transfert de boucle

dans le sens des croissants, on laisse le point critique gauche.

Le petit bonhomme est plac au point dintersection du lieu de transfert de boucle L(j)avec laxe rel ngatif et il regarde la feuille. La flche des croissants lui rentre par les piedset lui sort par la tte.

-1 =

=0

Re

Im

D

G

L(j)

Point

critique

Point

critique

-1 =

=0

Re

Im

D

G

L(j)

T(s) Stable T(s) instable

Justification :

Considrons deux familles de courbes :

i = cte L(i+j) avec [0 , ]j = cte L(+j j) avec [- , ]

Ces deux familles de courbes (verticales et horizontales) sont orthogonales.


67/133

65

Re

-3 -2 -1 0 1 2 3

Im

3

2

1

C - C

C + Cm

Les deux familles de courbes L(i+j) et L(+j j) sont galement orthogonales car unetransformation conforme conserve les angles.

Re

-3 -2 -1 1 2 3

Im

3

2

1

M

-1

Les courbes L(i+j) avec i < 0 sont donc gauche de L(0 +j).Soit L(C+j) et L(+jC) les deux courbes passant par le point critique : (C+jC) estsolution de L(s) = -1 soit [L(s) + 1] = 0

Donc : si on laisse le point critique gauche C < 0 La partie relle du zro (C+jC) de [L(s) + 1] est ngative T(s) est stable

4-2) Exemples :

4-2-1) Exemple 1 :


kL(s)

+= k > 0et T > 0

L(s) na pas de zro et possde un seul ple : P1 = -1/T partie relle ngative. L(s) est donc

minimum de phase et stable au sens large. Nous pouvons appliquer le critre du revers.


68/133

66

Im

Re-1

Point

critique

=0 =

Le lieu de transfert de boucle L(j) ne coupe pas laxe rel ngatif. On ne peut donc pasemployer le critre du revers.

4-2-2) Exemple 2 :


kL(s)

= k > 0et T > 0

L(s) na pas de zro et possde un seul ple : P1 = 1/T partie relle positive. L(s) est donc

minimum de phase mais nest pas stable au sens large. Nous ne pouvons donc pas appliquer le

critre du revers.

4-2-3) Exemple 3 :

Transfert de boucle :3sT)(1

kL(s)

+= k > 0et T > 0

L(s) na pas de zro et possde 3 ples : P1 = P2 = P3 = -1/T parties relles ngatives. L(s) est

donc minimum de phase et stable au sens large. Nous pouvons donc appliquer le critre du

revers.

1

Im

Re-1Point

critique

=0= G

D

L(j)

Si | L(j1)| < 1 On laisse le point critique gauche lorsquon dcrit le lieu deNyquist du transfert de boucle L(j) dans le sens des croissants.


69/133

67

T)Atan(3180)]Arg[L(j 11 == 3T1 = 8

k

)31(

k)L(j

31=

+=

La fonction de transfert T(s) est donc stable pour k < 8 .

4-2-4) Exemple 4 :

Transfert de boucle :)sT)(1sTs(1

kL(s)

21 ++= k > 0 , T1 > 0 et T2 > 0

L(s) na pas de zro et possde 3 ples : P0 = 0 , P1 = -1/T1 , P2 = -1/T2 parties relles

ngatives ou nulles. Le ple P0 = 0 est simple. L(s) est donc minimum de phase et stable au

sens large. Nous pouvons donc appliquer le critre du revers.

-1 =

=0

Re

Im

D

G

L( )

Point

critique

21

21

TTTTk-

+

Si21

21

TT

TTk

+

< 1 On laisse le point critique gauche lorsquon dcrit le lieu de

Nyquist du transfert de boucle L(j) dans le sens des croissants. La fonction de transfert

T(s) est donc stable pour21

21

TT

TTk

+

< .

4-2-5) Exemple 5 :

Transfert de boucle :sT)(1s

kL(s)

2 += k > 0 , T > 0

L(s) na pas de zro etpossde 3 ples : un ple double P0 = 0 et un ple simple P1 = -1/T.

L(s) est donc minimum de phase mais nest pas stable au sens large. Nous ne pouvons donc

pas appliquer le critre du revers.


70/133

68

4-3) Critre du revers dans le plan de Black :

Enonc : on inverse droite et gauche

Un systme boucl est stable si, en dcrivant le lieu de Black du transfert de boucle dans

le sens des croissants, on laisse le point critique droite.

Le petit bonhomme est plac au point dintersection du lieu de transfert de boucle L(j)avec la verticale 180 et il regarde la feuille. La flche des croissants lui rentre par les

pieds et lui sort par la tte.

Point

critique

-180 0

Arg[L(j)]

db |L(j)|

0

D

G

L(j)

= 0

=

T(s) stable

Point

critique

-180 0

Arg[L(j)]

db |L(j)|

0

D

G

L(j)

= 0

T(s) instable


71/133

69

Chap. 6 : MARGES DE STABILITE-ABAQUE DE NICHOLS

COMPROMIS PERFORMANCES-STABILITE-ROBUSTESSE

1) MARGES DE STABILITE

Dans une grande majorit de cas pratiques la limite de stabilit dun systme asservi ou rgul

(critre de Nyquist ou du revers) est obtenue lorsque le lieu de Nyquist du transfert de boucle

passe par le point critique. La stabilit relative dun systme boucl peut donc tre quantifie

par une distance de L(j) au point critique.

1-1) Marge de phase :

Cas n1 : Cas n2 :

-1 =

=0

Re

Im

L( )

Point

critique

P

Q

m

-1 =

=0

Re

ImL( )

Point

critique

P

Q

m

(T(s) stable)

Soit Q le point dintersection du transfert de boucle L(j) avec le cercle de rayon unit, centr lorigine.

Dfinition : la marge de phase, m , est la phase constante que lon peut ajouter tous les

points de L(j) pour le faire passer par le point critique.

1-2) Marge de gain :

Soit P le point dintersection du transfert de boucle L(j) avec laxe rel ngatif.

Dfinition : la marge de gain, mg , est la variation de gain, suprieure 1, qui fait passer L(j)par le point critique.

Cas n1 : mg =OP

1; Cas n2 : mg = OP


72/133

70

1-3) Marge de gain et de phase dans le plan de Black :

Dans le plan de Black les marges de gain et de phase peuvent tre mesures trs facilement.

Cas n1 :

Point

critique

-180 0

Arg[L( )]

db |L( )|

0

L( )

= 0

=

m

mg

T(s) stable

P

Q

QA

Cas n2 :

Point

critique

-180 0Arg[L( )]

db |L( )|

0L( )

= 0

=

m

mg

T(s) stable

A Q

P

Q

Soit P et Q les points dintersection du transfert de boucle L(j) avec la verticale 180 etavec lhorizontale 0db. Soit A le point critique :

mg = AP ; m = AQ

1-4) Marge de gain-phase :

Dfinition : la marge de gain-phase, mg , est le rayon du plus petit cercle centr au point

critique et tangent au lieu de transfert de boucle L(j).


73/133

71

Cas n1 : Cas n2 :

-1

=

=0

Re

Im

L( )

Point

critique

mg

-1

=

=0

Re

Im

L( )

Point

critique

mg

1-5) Marge de retard :

Q

m

m =

Dfinition : la marge de retard m , est le retard pur que lon peut introduire dans la boucledAsservissement-Rgulation pour faire passer L(j) par le point critique.

L(s)ey

ry

d

Rc(s)

yc

+ +

_

+m-se

En effet : =+= 180)]Arg[L(j

m)]L(j

j-Arg[e Q

Q

QQmQ

1-6) Valeurs numriques :

45 < m < 50

10 db < mg< 15 db

3,2 < mg< 5,6

1/4 < mg < 1/2

2) ABAQUES DE HALL ET NICHOLS

La relation entre la sensibilit complmentaire et le transfert de boucle est :L(s)1

L(s)

+=T(s)

On recherche un moyen simple pour passer du lieu de transfert de boucle L(j) au lieu detransfert de la sensibilit complmentaire T(j) et inversement.


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72

2-1) Etude dans le plan complexe :

M

L( )

M

T( )

1

-1

A B

= 0

= 0

Im

Re

O

1

Soit M le point image de L(j1) et M le point image de T(j1) )L(j1

)L(j)

1

11 +

=T(j

AMOM

MOT == et car MAB-MOBMOBArg[T] ==

=+

=

MABL]Arg[1

MOBArg[L]

M3

M2

M1

3

2

1

Im

Re

O

Im

Re

O

? ?

Plan T(j) Plan L(j)


75/133

73

La construction point par point de T(j) partir de L(j) est longue et fastidieuse. Le passagedun lieu lautre est facilit si on construit dans le plan L(j) les deux faisceaux de courbescorrespondant :

|T(j)| = M = Cte et Arg[T(j)] = = Cte

Courbes de modules constants :

|T| = M = Cte ; L = x + jy jyx1

jyx

L1

LT

+++

=+

=

22

222

yxx21

yxM

++++

= 01M

M1)x2(yx

2

222 =

+++

222

2

2

2

22

42

2

2

R)1(M

M

1M

M

)1(M

My)

1M

M(x =

=

=+

+

Les lieux L(j) correspondant |T| = M sont donc des cercles de centre 0),1M

M2

2

(

et de rayon1M

M2

=R . Cest un faisceau de cercles points limites O et A

-1

OM=0M=

M=1

Im

ReA

Plan L(j)


76/133

74

Courbes de phases constantes :

Arg[T] = = Cte ; L = x + jy tan = N = Cte

x1

y

Atan-x

y

Atan += 22 yxx

y

x1

y

x

y1

x1

y-

x

y

Ntan ++=+

+

+==

0N

yyxx 22 =++ 2

2

22 R4N

1

4

1)

N

1-y()

2

1(x =+=++

Les lieux L(j) correspondant Arg[T] = sont donc des arcs de cercles de centre

)N2

1,

2

1( et de rayon

N

11

2

12

+=R . Cest un faisceau de cercles points de base O et A.

Im

Re

-1 -0.5 0

0 < <

< < 0

=

Plan L(j)


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75

Remarque 1 :

22

2

yx)(1

jyy1)x(x

jyx1

jyxT

+++++

=++

+= Im[T] est donc de mme signe que Im[L]

Les arcs de cercles 0 < < sont donc situs dans le plan imaginaire positif et les arcs

de cercles < < 0 sont situs dans le plan imaginaire ngatif.Remarque 2 :

Notons langle que fait la tangente lorigine (dun arc de cercle Arg[T] = ) avec laxe

rel :x

ytan =

Lquation du cercle scrit : 0N

1

x

y

x

y1

x

x 22=++

Quand x 0 et y 0 0x

x2 et 0

x

y2 N

x

y =

Les deux faisceaux de cercles (|T| = Cte ) et (Arg[T] = Cte) constituent labaquede HALL.

-3 -2 -1 -0.5 0 1 2-2

-1

0

1

2

0.5

0.6

0.7

0.811.2

1.5

2

35

20

3045

60

90

120

-20

-30-45

-60

-90

Abaque de Hall


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76

2-2) Etude dans le plan de Black

Dans le plan de Black :

Les courbes |T| = M = Cte sont des horizontalesLes courbes Arg[T] = = Cte sont des verticales

Courbes de modules constants :

M = 0 : |L| = 0 (-db)M = 1 : la courbe passe par le point (-1/2 , 0) = (-6 db , -180) et possdent 2

asymptotes verticales 90 et 270.

M > 0 db : les courbes sont des contours ferms entourant le point critique.

M < 0 db : les courbes ont une phase Arg[L] variant entre 0 et 360,

prsentent un module maximum, |L|, pour une phase Arg[L] = 0 (ou 360) et

un minimum pour 180.

-360 -270 -180 -90 0

M = 0

M < 0db

M > 0db

M = Arg[L]

|L| db

-6

Courbes de phases constantes :

Tous les cercles de labaque de Hall passent par le point (-1 , 0) donc tous les

contours de phase constante passent par le point critique (0 db , -180).

les cercles de labaque de Hall ont une tangente lorigine qui fait un angle

avec laxe rel (arc de cercle Arg[T] = ) donc les courbes de phaseconstantes (Arg[T] = ) ont une asymptote verticale Arg[L] = .


79/133

77

360 270 180 900

=-10

=-90

=- 135

=- 170

=- 180

=-190

=-270

=-350

=-315

10

|L| db

Arg[L]

Ces deux faisceaux de courbes constituent labaquede Nichols (page suivante) :

2-3) Utilisation de labaque de Nichols

Exemple : construction dans le plan de Bode des courbes damplitude et de phase de T(j) partir du lieu de Black de L(j).

-180 0

Arg[L]

db |L|

M1

1

L(j)

1


80/133

78

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

Arg[L]

|L|db

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-8

-10

-15

-20-30-40-50-60-70-80-90-100

-110-120

-130

-140

-150

-160

-170

12

8

65

4

3

2.3

2

1.4

1

0.7

0.5

0.25

0-0.5

-1

-1.4

-2

-3

-4

-5

-6

-8

-12

-14

Abaque de NICHOLS


81/133

79

db A=|T|

=Arg[T]

M1

1

1

1

Pour chaque valeuron

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