Bode plot From Wikipedia, the free encyclopedia Dari Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas

Jump to: navigation , search Langsung ke: navigasi , cari

Figure 1(a): The Bode plot for a first-order (one-pole) highpass filter ; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase varies from 90° at low frequencies (due to the contribution of the numerator, which is 90° at all frequencies) to 0° at high frequencies (where the phase contribution of the denominator is −90° and cancels the contribution of the numerator). Gambar 1 (a): The plot Bode untuk orde pertama (satu-kutub) filter highpass ; the-garis lurus aproksimasi diberi label "Bode tiang"; fase bervariasi dari 90 ° pada frekuensi rendah (karena kontribusi pembilang , yang 90 ° di semua frekuensi) untuk 0 ° pada frekuensi tinggi (di mana kontribusi fase penyebut adalah -90 ° dan membatalkan kontribusi pembilang).

Figure 1(b): The Bode plot for a first-order (one-pole) lowpass filter ; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase is 90° lower than for Figure 1(a) because the phase contribution of the numerator is 0° at all frequencies. Gambar 1 (b): The plot Bode untuk orde pertama (satu-kutub) filter lowpass ; the-garis lurus aproksimasi diberi label "Bode tiang"; fase adalah 90 ° lebih rendah dari pada Gambar 1 (a) karena kontribusi fase dari pembilang adalah 0 ° pada semua frekuensi.

A Bode plot is a graph of the logarithm of the transfer function of a linear, time-invariant system versus frequency , plotted with a log-frequency axis, to show the system's frequency response . Sebuah plot Bode adalah grafik dari logaritma dari fungsi transfer dari sebuah , linear invarian waktu sistem versus frekuensi , diplot dengan frekuensi sumbu log, untuk menunjukkan sistem respon frekuensi . It is usually a combination of a Bode magnitude plot (usually expressed as dB of gain ) and a Bode phase plot (usually expressed as degrees of phase shift ). Ini biasanya merupakan kombinasi dari besarnya plot Bode (biasanya dinyatakan dalam dB dari keuntungan ) dan fase Bode plot (biasanya dinyatakan sebagai derajat dari fase shift ).

Contents Isi

[hide] 1 Overview 1 Ikhtisar 2 Rules for hand-made Bode plot 2 Aturan untuk membuat Bode plot-tangan

o 2.1 Straight-line amplitude plot 2,1 Straight-line amplitudo plot o 2.2 Corrected amplitude plot Plot amplitudo 2,2 Dikoreksi o 2.3 Straight-line phase plot 2,3 Straight-line fase plot

3 Example 3 Contoh o 3.1 Magnitude plot 3,1 Magnitude plot o 3.2 Phase plot 3,2 Tahap plot

o 3.3 Normalized plot 3,3 Dinormalisasi plot 4 An example with pole and zero 4 Contoh dengan kutub dan nol 5 Gain margin and phase margin 5 Keuntungan margin dan margin fasa

o 5.1 Examples using Bode plots 5,1 Contoh menggunakan diagram Bode 6 Bode plotter 6 Bode plotter 7 Related plots 7 Terkait plot 8 See also 8 Lihat pula 9 Notes 9 Catatan 10 References 10 Referensi

11 External links 11 Pranala luar

[ edit ] Overview [ sunting ] Ikhtisar

Among his several important contributions to circuit theory and control theory, engineer Hendrik Wade Bode (1905–1982), while working at Bell Labs in the United States in the 1930s, devised a simple but accurate method for graphing gain and phase-shift plots. Di antara beberapa kontribusi penting kepada teori rangkaian dan teori kontrol, insinyur Wade Hendrik Bode (1905-1982), saat bekerja di Bell Labs di Amerika Serikat pada 1930-an, menyusun sebuah metode yang sederhana namun akurat untuk mendapatkan grafik dan plot-pergeseran fasa. These bear his name, Bode gain plot and Bode phase plot (pronounced Boh-dee in English , Bow-duh in Dutch ). [ 1 ] Ini namanya beruang, Bode mendapatkan plot dan Bode plot fasa (Boh-dee diucapkan dalam bahasa Inggris , Bow-duh di Belanda ). [1]

The magnitude axis of the Bode plot is usually expressed as decibels of power , that is by the 20 log rule : 20 times the common logarithm of the amplitude gain. sumbu besar dari beberapa plot Bode biasanya dinyatakan sebagai desibel dari kekuasaan , yang oleh log Aturan 20 : 20 kali logaritma dari gain amplitudo. With the magnitude gain being logarithmic, Bode plots make multiplication of magnitudes a simple matter of adding distances on the graph (in decibels), since Dengan keuntungan besar yang logaritmik, plot Bode membuat perkalian besaran masalah sederhana untuk menambahkan jarak di grafik (dalam desibel), sejak

A Bode phase plot is a graph of phase versus frequency, also plotted on a log-frequency axis, usually used in conjunction with the magnitude plot, to evaluate how much a signal will be phase-shifted . Sebuah plot Bode fase adalah fase versus grafik frekuensi, juga diplot pada sumbu frekuensi-log, biasanya digunakan bersama dengan plot besar, untuk mengevaluasi seberapa banyak sinyal akan fase-bergeser . For example a signal described by: A sin(ω t ) may be attenuated but also phase-shifted. Misalnya sinyal yang dijelaskan oleh: A dosa (ω t) dapat dilemahkan tapi juga tahap-bergeser. If the system attenuates it by a factor x and phase shifts it by −Φ the signal out of the system will be ( A / x ) sin(ω t − Φ). Jika sistem attenuates dengan faktor x dan fase pergeseran dengan-Φ sinyal dari

sistem akan (A / x) sin (ω t - Φ). The phase shift Φ is generally a function of frequency. The Φ pergeseran fasa umumnya fungsi dari frekuensi.

Phase can also be added directly from the graphical values, a fact that is mathematically clear when phase is seen as the imaginary part of the complex logarithm of a complex gain. Tahap juga dapat ditambahkan langsung dari nilai grafis, fakta yang matematis jelas ketika tahap dilihat sebagai bagian imajiner dari logaritma kompleks keuntungan yang kompleks.

In Figure 1(a), the Bode plots are shown for the one-pole highpass filter function: Dalam Gambar 1 (a), plot Bode ditampilkan untuk satu tiang highpass filter fungsi:

where f is the frequency in Hz, and f 1 is the pole position in Hz, f 1 = 100 Hz in the figure. dimana f adalah frekuensi dalam Hz, dan f 1 adalah posisi terdepan dalam Hz, f 1 = 100 Hz pada gambar. Using the rules for complex numbers , the magnitude of this function is Menggunakan aturan untuk bilangan kompleks , besarnya fungsi ini

while the phase is: sementara fase adalah:

Care must be taken that the inverse tangent is set up to return degrees , not radians. Perawatan harus diambil bahwa singgung pecahan ditetapkan agar mengembalikan derajat, tidak radian. On the Bode magnitude plot, decibels are used, and the plotted magnitude is: Pada plot besarnya Bode, desibel digunakan, dan besarnya diplot adalah:

In Figure 1(b), the Bode plots are shown for the one-pole lowpass filter function: Pada Gambar 1 (b), plot Bode ditampilkan untuk satu tiang lowpass filter fungsi:

Also shown in Figure 1(a) and 1(b) are the straight-line approximations to the Bode plots that are used in hand analysis, and described later. Juga ditunjukkan dalam Gambar 1 (a)

dan 1 (b) adalah pendekatan garis lurus ke Bode plot yang digunakan dalam analisis tangan, dan dijelaskan kemudian.

The magnitude and phase Bode plots can seldom be changed independently of each other — changing the amplitude response of the system will most likely change the phase characteristics and vice versa. Besarnya dan jarang Bode plot fasa dapat diubah secara independen satu sama lain - mengubah respon amplitudo sistem akan mengubah kemungkinan besar karakteristik fasa dan sebaliknya. For minimum-phase systems the phase and amplitude characteristics can be obtained from each other with the use of the Hilbert transform . Untuk minimum-fasa sistem fasa dan karakteristik amplitudo dapat diperoleh dari satu sama lain dengan menggunakan transformasi Hilbert .

If the transfer function is a rational function with real poles and zeros, then the Bode plot can be approximated with straight lines. Jika fungsi transfer adalah fungsi rasional dengan tiang nyata dan nol, maka plot Bode dapat didekati dengan garis lurus. These asymptotic approximations are called straight line Bode plots or uncorrected Bode plots and are useful because they can be drawn by hand following a few simple rules. Aproksimasi asimtotik ini disebut garis lurus atau tidak dikoreksi Bode plot diagram Bode dan berguna karena mereka dapat ditarik dengan tangan mengikuti aturan-aturan sederhana. Simple plots can even be predicted without drawing them. plot sederhana bahkan dapat diprediksi tanpa menarik mereka.

The approximation can be taken further by correcting the value at each cutoff frequency. pendekatan ini dapat diambil lebih lanjut dengan memperbaiki nilai pada masing-masing frekuensi cutoff. The plot is then called a corrected Bode plot . plot tersebut kemudian disebut plot Bode dikoreksi.

[ edit ] Rules for hand-made Bode plot [ sunting Aturan] untuk membuat Bode plot-tangan

The premise of a Bode plot is that one can consider the log of a function in the form: Premis dari plot Bode adalah yang satu dapat mempertimbangkan log dari suatu fungsi dalam bentuk:

as a sum of the logs of its poles and zeros : sebagai jumlah kayu dari perusahaan kutub dan nol :

This idea is used explicitly in the method for drawing phase diagrams. Ide ini digunakan secara eksplisit dalam metode untuk menggambar diagram fase. The method for drawing amplitude plots implicitly uses this idea, but since the log of the amplitude of each pole or zero always starts at zero and only has one asymptote change (the straight lines), the

method can be simplified. Metode untuk menggambar plot amplitudo secara implisit menggunakan ide ini, tetapi sejak log amplitudo dari masing-masing tiang atau nol selalu dimulai dari nol dan hanya memiliki satu perubahan asymptote (garis lurus), metode dapat disederhanakan.

[ edit ] Straight-line amplitude plot [ sunting ]-line amplitudo plot Lurus

Amplitude decibels is usually done using the 20log 10 ( X ) version. Amplitudo desibel biasanya dilakukan dengan menggunakan 20Log 10 (X) versi. Given a transfer function in the form Mengingat fungsi transfer dalam bentuk

where x n and y n are constants, s = j ω , a n , b n > 0 , and H is the transfer function: di mana x dan n n y adalah konstanta, s = j ω, n, b n> 0, dan H adalah fungsi transfer:

at every value of s where ω = x n (a zero), increase the slope of the line by pada setiap nilai s dimana ω = x n (nol), meningkatkan kemiringan garis dengan

per decade . per dekade . at every value of s where ω = y n (a pole), decrease the slope of the line by pada

setiap nilai s dimana ω = y n (tiang), penurunan kemiringan garis dengan per decade. per dekade.

The initial value of the graph depends on the boundaries. Nilai awal grafik tergantung pada batas-batas. The initial point is found by putting the initial angular frequency ω into the function and finding | H ( j ω)|. Titik awal ditemukan dengan menempatkan frekuensi sudut ω awal ke fungsi dan menemukan | H (j ω) |.

The initial slope of the function at the initial value depends on the number and order of zeros and poles that are at values below the initial value, and are found using the first two rules. Kemiringan awal fungsi pada nilai awal tergantung pada jumlah dan urutan nol dan tiang yang di nilai di bawah nilai awal, dan ditemukan dengan menggunakan dua aturan pertama.

To handle irreducible 2nd order polynomials, Untuk menangani order polinomial

tereduksi 2, can, in many cases, be approximated as dapat, dalam banyak

kasus, diperkirakan sebagai . .

Note that zeros and poles happen when ω is equal to a certain x n or y n . Perhatikan bahwa angka nol dan kutub terjadi ketika ω adalah sama dengan n x tertentu atau n y. This is because the function in question is the magnitude of H(jω), and since it is a complex function, Hal ini karena fungsi tersebut adalah besar dari H (jω), dan karena itu adalah

fungsi yang kompleks, . . Thus at any place where there is a zero or pole involving the term ( s + x n ) , the magnitude of that term is Jadi di setiap

tempat di mana ada nol atau tiang yang melibatkan s (istilah + x n), besarnya istilah yang

. .

[ edit ] Corrected amplitude plot [ sunting ] plot amplitudo Dikoreksi

To correct a straight-line amplitude plot: Untuk memperbaiki plot amplitudo garis lurus:

at every zero, put a point pada setiap nol, menaruh titik above the line, above the line,

at every pole, put a point di setiap tiang, menaruh titik below the line, di bawah garis,

draw a smooth curve through those points using the straight lines as asymptotes (lines which the curve approaches). menggambar sebuah garis mulus melalui titik-titik dengan menggunakan garis lurus sebagai asymptotes (baris mana pendekatan kurva).

Note that this correction method does not incorporate how to handle complex values of x n or y n . Perhatikan bahwa metode ini tidak memasukkan koreksi bagaimana menangani nilai kompleks atau n x n y. In the case of an irreducible polynomial, the best way to correct the plot is to actually calculate the magnitude of the transfer function at the pole or zero corresponding to the irreducible polynomial, and put that dot over or under the line at that pole or zero. Dalam hal suatu polinomial tereduksi, cara terbaik untuk memperbaiki plot sebenarnya adalah untuk menghitung besarnya fungsi transfer pada kutub atau nol sesuai dengan polinomial tereduksi, dan menempatkan bahwa titik atas atau di bawah garis pada tiang atau nol .

[ edit ] Straight-line phase plot [ sunting ]-line fase plot Lurus

Given a transfer function in the same form as above: Mengingat fungsi transfer dalam bentuk yang sama seperti di atas:

the idea is to draw separate plots for each pole and zero, then add them up. ide itu adalah untuk menarik plot terpisah untuk masing-masing tiang dan nol, kemudian menambahkan mereka. The actual phase curve is given by − arctan(Im[ H ( s )] / Re[ H ( s )]) . Kurva fase sebenarnya diberikan oleh - arctan (Im [H (s)] / Re [H (s)]).

To draw the phase plot, for each pole and zero: Untuk menggambar plot fase, untuk setiap tiang dan nol:

if A is positive, start line (with zero slope) at 0 degrees jika A adalah positif, mulai line (dengan kemiringan nol) pada 0 derajat

if A is negative, start line (with zero slope) at 180 degrees jika A adalah negatif, mulai line (dengan kemiringan nol) pada 180 derajat

at every ω = x n (for stable zeros – R e ( z ) < 0 ), increase the slope by di setiap ω = x n (untuk nol stabil - R e (z) <0), meningkatkan lereng oleh degrees per decade, beginning one decade before ω = x n (Eg: derajat per dekade, yang

dimulai satu dekade sebelum ω n x = (Misalnya: ) ) at every ω = y n (for stable poles – R e ( p ) < 0 ), decrease the slope by di setiap ω

n = y (untuk tiang yang stabil - R e (p) <0), penurunan lereng oleh degrees per decade, beginning one decade before ω = y n (Eg: derajat per dekade,

yang dimulai satu dekade sebelum ω n y = (Misalnya: ) ) "unstable" (right half plane) poles and zeros ( R e ( s ) > 0 ) have opposite

behavior "Tidak stabil" (setengah bidang kanan) kutub dan nol (R e (s)> 0) memiliki perilaku yang berlawanan

flatten the slope again when the phase has changed by meratakan lereng lagi ketika fase telah diubah dengan degrees (for a zero) or derajat (untuk nol) atau degrees (for a pole), derajat (untuk tiang),

After plotting one line for each pole or zero, add the lines together to obtain the final phase plot; that is, the final phase plot is the superposition of each earlier phase plot. Setelah merencanakan satu baris untuk setiap tiang atau nol, tambahkan baris bersama untuk memperoleh plot tahap akhir, yaitu alur tahap akhir adalah superposisi dari setiap plot awal.

[ edit ] Example [ sunting ] Contoh

A passive (unity pass band gain) lowpass RC filter , for instance has the following transfer function expressed in the frequency domain : Sebuah pasif (kesatuan lulus mendapatkan band) lowpass filter RC , misalnya memiliki berikut fungsi transfer disajikan dalam domain frekuensi :

From the transfer function it can be determined that the cutoff frequency point f c (in hertz ) is at the frequency Dari fungsi transfer dapat ditentukan bahwa frekuensi cutoff butir f c (dalam hertz ) adalah pada frekuensi

or (equivalently) at atau (f) di

where ω c = 2π f c is the angular cutoff frequency in radians per second. di mana c ω = 2π f c adalah frekuensi cutoff sudut dalam radian per detik.

The transfer function in terms of the angular frequencies becomes: Fungsi transfer dalam hal frekuensi sudut menjadi:

The above equation is the normalized form of the transfer function. Persamaan di atas adalah bentuk normal dari fungsi transfer. The Bode plot is shown in Figure 1(b) above, and construction of the straight-line approximation is discussed next. Bode plot ditunjukkan pada Gambar 1 (b) di atas, dan konstruksi dari pendekatan garis lurus dibahas berikutnya.

[ edit ] Magnitude plot [ sunting ] plot Magnitude

The magnitude (in decibels ) of the transfer function above, (normalized and converted to angular frequency form), given by the decibel gain expression A vdB : Besarnya (dalam desibel ) dari fungsi transfer di atas, (dinormalisasi dan dikonversi untuk membentuk frekuensi sudut), diberikan oleh keuntungan ekspresi A vdB desibel:

when plotted versus input frequency ω on a logarithmic scale, can be approximated by two lines and it forms the asymptotic (approximate) magnitude Bode plot of the transfer function: ketika diplot versus frekuensi ω masukan pada skala logaritmik, dapat didekati dengan dua baris dan membentuk asimtotik (perkiraan) besaran Bode plot fungsi transfer:

for angular frequencies below ω c it is a horizontal line at 0 dB since at low frequencies the untuk frekuensi sudut ω c di bawah ini merupakan garis horizontal

di 0 dB karena pada frekuensi rendah term is small and can be neglected, making the decibel gain equation above equal to zero, Istilah kecil dan dapat diabaikan, membuat keuntungan desibel persamaan di atas sama dengan nol,

for angular frequencies above ω c it is a line with a slope of −20 dB per decade since at high frequencies the untuk frekuensi sudut ω c di atas itu adalah garis

dengan kemiringan -20 dB per dekade karena pada frekuensi tinggi term dominates and the decibel gain expression above simplifies to istilah mendominasi dan keuntungan desibel ekspresi di atas disederhanakan menjadi

which is a straight line with a slope of −20 dB per decade. yang merupakan garis lurus dengan kemiringan -20 dB per dekade.

These two lines meet at the corner frequency . Kedua garis bertemu di frekuensi sudut . From the plot, it can be seen that for frequencies well below the corner frequency, the circuit has an attenuation of 0 dB, corresponding to a unity pass band gain, ie the amplitude of the filter output equals the amplitude of the input. Dari plot, dapat dilihat bahwa untuk frekuensi di bawah frekuensi sudut, rangkaian memiliki redaman 0 dB, yang berhubungan dengan kesatuan lulus mendapatkan band, yaitu amplitudo filter output sama dengan amplitudo masukan. Frequencies above the corner frequency are attenuated – the higher the frequency, the higher the attenuation . Frekuensi di atas frekuensi sudut yang dilemahkan - semakin tinggi frekuensi, semakin tinggi redaman .

[ edit ] Phase plot [ sunting ] Tahap plot

The phase Bode plot is obtained by plotting the phase angle of the transfer function given by Tahap Bode plot diperoleh dengan memplot sudut fase dari fungsi transfer yang diberikan oleh

versus ω , where ω and ω c are the input and cutoff angular frequencies respectively. versus ω, dan c di mana ω ω adalah frekuensi cutoff masukan dan sudut masing-masing. For input frequencies much lower than corner, the ratio Untuk frekuensi masukan jauh

lebih rendah daripada sudut, rasio is small and therefore the phase angle is close to zero. kecil dan oleh karena itu sudut fase mendekati nol. As the ratio increases the absolute value of the phase increases and becomes –45 degrees when ω = ω c . Sebagai rasio meningkatkan nilai absolut dari fasa dan meningkat menjadi -45 derajat ketika ω = ω c. As the ratio increases for input frequencies much greater than the corner frequency, the phase angle asymptotically approaches −90 degrees. Sebagai perbandingan untuk meningkatkan frekuensi masukan yang jauh lebih besar daripada frekuensi sudut, sudut fase pendekatan asimtotik -90 derajat. The frequency scale for the phase plot is logarithmic. Skala frekuensi untuk plot fasa logaritmik.

[ edit ] Normalized plot [ sunting ] plot Dinormalisasi

The horizontal frequency axis, in both the magnitude and phase plots, can be replaced by the normalized (nondimensional) frequency ratio Sumbu frekuensi horisontal, baik dalam

besarnya dan plot fasa, dapat digantikan oleh normal (tak-berdimensi) rasio frekuensi . . In such a case the plot is said to be normalized and units of the frequencies are no longer used since all input frequencies are now expressed as multiples of the cutoff frequency ω

c . Dalam kasus seperti plot dikatakan normal dan unit frekuensi tidak lagi digunakan karena semua frekuensi masukan sekarang dinyatakan sebagai kelipatan dari frekuensi ω c cutoff.

[ edit ] An example with pole and zero [ sunting ] Sebuah contoh dengan kutub dan nol

Figures 2-5 further illustrate construction of Bode plots. Angka 2-5 lebih lanjut menggambarkan konstruksi plot Bode. This example with both a pole and a zero shows how to use superposition. Contoh ini dengan kedua tiang dan nol menunjukkan cara menggunakan superposisi. To begin, the components are presented separately. Untuk memulai, komponen disajikan secara terpisah.

Figure 2 shows the Bode magnitude plot for a zero and a low-pass pole, and compares the two with the Bode straight line plots. Gambar 2 menunjukkan besarnya plot Bode untuk nol dan tiang low-pass, dan membandingkan dua dengan Bode plot garis lurus. The straight-line plots are horizontal up to the pole (zero) location and then drop (rise) at 20 dB/decade. Plot garis lurus adalah horisontal sampai ke kutub (nol) lokasi dan kemudian turun (naik) pada 20 dB / dekade. The second Figure 3 does the same for the phase. Figur kedua 3 melakukan hal yang sama untuk fase ini. The phase plots are horizontal up to a frequency factor of ten below the pole (zero) location and then drop (rise) at 45°/decade until the frequency is ten times higher than the pole (zero) location. Plot fasa horizontal sampai sepuluh faktor frekuensi di bawah tiang (nol) lokasi dan kemudian turun (naik) pada 45 ° / dekade sampai frekuensi adalah sepuluh kali lebih tinggi daripada tiang (nol) lokasi. The plots then are again horizontal at higher frequencies at a final, total phase change of 90°. Plot kemudian adalah lagi horizontal pada frekuensi yang lebih tinggi pada perubahan, tahap akhir total 90 °.

Figure 4 and Figure 5 show how superposition (simple addition) of a pole and zero plot is done. Gambar 4 dan Gambar 5 memperlihatkan bagaimana superposisi (penambahan sederhana) tiang dan nol plot dilakukan. The Bode straight line plots again are compared with the exact plots. Bode plot garis lurus lagi dibandingkan dengan plot yang tepat. The zero has been moved to higher frequency than the pole to make a more interesting example. Nol telah dipindahkan ke frekuensi yang lebih tinggi daripada tiang untuk membuat contoh yang lebih menarik. Notice in Figure 4 that the 20 dB/decade drop of the pole is arrested by the 20 dB/decade rise of the zero resulting in a horizontal magnitude plot for frequencies above the zero location. Perhatikan pada Gambar 4 bahwa 20 dB / dekade setetes tiang ditangkap oleh 20 dB / dekade bangkit dari hasil nol pada petakan besarnya horisontal untuk frekuensi di atas lokasi nol. Notice in Figure 5 in the phase plot that the straight-line approximation is pretty approximate in the region where both pole and zero affect the phase. Perhatikan pada Gambar 5 pada fase plot bahwa pendekatan garis lurus adalah perkiraan cantik di wilayah dimana kedua kutub dan nol mempengaruhi fase. Notice also in Figure 5 that the range of frequencies where the phase changes in the straight line plot is limited to frequencies a factor of ten above and below the pole (zero) location. Perhatikan juga pada Gambar 5 bahwa rentang frekuensi dimana

perubahan fase di plot garis lurus adalah terbatas pada frekuensi sepuluh kali lipat di atas dan di bawah tiang (nol) lokasi. Where the phase of the pole and the zero both are present, the straight-line phase plot is horizontal because the 45°/decade drop of the pole is arrested by the overlapping 45°/decade rise of the zero in the limited range of frequencies where both are active contributors to the phase. Dimana tahap tiang dan nol keduanya ini, plot fase garis lurus horizontal karena ° 45 / dekade setetes tiang ditangkap oleh kenaikan tumpang tindih 45 ° / dekade dari nol dalam rentang frekuensi yang terbatas di mana keduanya adalah kontributor aktif untuk fase.

Example with pole and zero Contoh dengan kutub dan nol

Figure 2: Bode magnitude plot for zero and low-pass pole; curves labeled "Bode" are the straight-line Bode plots Gambar 2: Bode plot besar untuk nol dan low-pass tiang; kurva berlabel "Bode" adalah garis lurus plot Bode

Figure 3: Bode phase plot for zero and low-pass pole; curves labeled "Bode" are the straight-line Bode plots Gambar 3: fase plot Bode untuk nol dan low-pass tiang; kurva berlabel "Bode" adalah garis lurus plot Bode

Figure 4: Bode magnitude plot for pole-zero combination; the location of the zero is ten times higher than in Figures 2&3; curves labeled "Bode" are the straight-line Bode plots Gambar 4: Bode plot besar untuk tiang-nol kombinasi; lokasi nol adalah sepuluh kali lebih tinggi dibandingkan dengan Angka 2 &3; kurva berlabel "Bode" adalah garis lurus plot Bode

Figure 5: Bode phase plot for pole-zero combination; the location of the zero is ten times higher than in Figures 2&3; curves labeled "Bode" are the straight-line Bode plots Gambar 5: fase Bode plot untuk tiang-nol kombinasi; lokasi nol adalah sepuluh kali lebih tinggi dibandingkan dengan Angka 2 &3; kurva berlabel "Bode" adalah garis lurus plot Bode

[ edit ] Gain margin and phase margin [ sunting ] Marjin Laba dan marjin fasa

Main article: Phase margin Artikel utama: Fase margin

Bode plots are used to assess the stability of negative feedback amplifiers by finding the gain and phase margins of an amplifier. Bode plot digunakan untuk menilai stabilitas penguat umpan balik negatif dengan mencari keuntungan dan margin fase dari sebuah penguat. The notion of gain and phase margin is based upon the gain expression for a negative feedback amplifier given by Gagasan dan margin keuntungan fasa berdasarkan ekspresi keuntungan untuk penguat umpan balik negatif yang diberikan oleh

where A FB is the gain of the amplifier with feedback (the closed-loop gain ), β is the feedback factor and A OL is the gain without feedback (the open-loop gain ). di mana A FB adalah gain penguat dengan umpan balik (di-gain loop tertutup), β adalah faktor umpan balik dan A OL adalah keuntungan tanpa umpan balik (di-gain loop terbuka). The gain A OL is a complex function of frequency, with both magnitude and phase. [ note 1 ] Examination of this relation shows the possibility of infinite gain (interpreted as instability) if the product β A OL = −1. Keuntungan A OL adalah fungsi frekuensi kompleks, dengan kedua amplitudo dan fase. [Catatan 1] Pemeriksaan dari relasi ini menunjukkan kemungkinan keuntungan yang tak terbatas (ditafsirkan sebagai ketidakstabilan) jika produk A = OL β -1. (That is, the magnitude of β A OL is unity and its phase is −180°, the so-called Barkhausen stability criterion ). (Artinya, besarnya β A OL adalah kesatuan dan fase adalah -180 °, yang disebut stabilitas kriteria Barkhausen ). Bode plots are used to determine just how close an amplifier comes to satisfying this condition. Bode plot digunakan untuk menentukan seberapa dekat sebuah penguat datang untuk memuaskan kondisi ini.

Key to this determination are two frequencies. Kunci untuk penentuan ini adalah dua frekuensi. The first, labeled here as f 180 , is the frequency where the open-loop gain flips sign. Yang pertama, berlabel di sini sebagai f 180, adalah frekuensi mana-gain loop terbuka sign flips. The second, labeled here f 0dB , is the frequency where the magnitude of the product | β A OL | = 1 (in dB, magnitude 1 is 0 dB). Yang kedua, label di sini f 0dB, adalah frekuensi mana besarnya produk | β A OL | = 1 (dalam dB, besarnya 1 adalah 0 dB). That is, frequency f 180 is determined by the condition: Artinya, frekuensi f 180 ditentukan oleh kondisi:

where vertical bars denote the magnitude of a complex number (for example, | a + j b | = [ a 2 + b 2 ] 1/2 ), and frequency f 0dB is determined by the condition: dimana garis vertikal menunjukkan besarnya suatu bilangan kompleks (misalnya, | a j + b | = [a 2 + b 2] 1 / 2), dan frekuensi f 0dB ditentukan oleh kondisi:

One measure of proximity to instability is the gain margin . Salah satu ukuran dari kedekatan dengan ketidakstabilan adalah margin keuntungan. The Bode phase plot

locates the frequency where the phase of β A OL reaches −180°, denoted here as frequency f 180 . Plot Bode fase menempatkan frekuensi mana fase β A OL mencapai -180 °, dilambangkan di sini sebagai frekuensi f 180. Using this frequency, the Bode magnitude plot finds the magnitude of β A OL . Menggunakan frekuensi ini, plot Bode menemukan besarnya besarnya β A OL. If |β A OL | 180 = 1, the amplifier is unstable, as mentioned. Jika | β A OL | 180 = 1, penguat tidak stabil, seperti disebutkan. If |β A OL | 180 < 1, instability does not occur, and the separation in dB of the magnitude of |β A OL | 180 from |β A OL | = 1 is called the gain margin . Jika | β A OL | 180 <1, ketidakstabilan tidak terjadi, dan pemisahan dalam dB besarnya | β A OL | 180 dari | β A OL | = 1 disebut margin keuntungan. Because a magnitude of one is 0 dB, the gain margin is simply one of the equivalent forms: 20 log 10

( |β A OL | 180 ) = 20 log 10 ( | A OL | 180 ) − 20 log 10 ( 1 / β ). Karena besarnya satu adalah 0 dB, margin keuntungan adalah hanya salah satu bentuk setara: 20 log 10 (| β A OL | 180) = 20 log 10 (| A OL | 180) - 20 log 10 (1 / β ).

Another equivalent measure of proximity to instability is the phase margin . Lain setara mengukur kedekatan dengan ketidakstabilan adalah batas fasa . The Bode magnitude plot locates the frequency where the magnitude of |β A OL | reaches unity, denoted here as frequency f 0dB . Besarnya plot Bode menempatkan frekuensi mana besarnya | β A OL | mencapai kesatuan, dilambangkan di sini sebagai frekuensi f 0dB. Using this frequency, the Bode phase plot finds the phase of β A OL . Menggunakan frekuensi ini, plot Bode menemukan fase fase β A OL. If the phase of β A OL ( f 0dB ) > −180°, the instability condition cannot be met at any frequency (because its magnitude is going to be < 1 when f = f 180 ), and the distance of the phase at f 0dB in degrees above −180° is called the phase margin . Jika fase β A OL (f 0dB)> -180 °, ketidakstabilan kondisi tidak dapat dipenuhi pada frekuensi apapun (karena besarnya akan menjadi <1 ketika f = f 180), dan jarak fase pada f 0dB di derajat di atas -180 ° adalah disebut batas fasa.

If a simple yes or no on the stability issue is all that is needed, the amplifier is stable if f 0dB < f 180 . Jika yang sederhana ya atau tidak pada masalah stabilitas adalah semua yang diperlukan, amplifier stabil jika 0dB f <f 180. This criterion is sufficient to predict stability only for amplifiers satisfying some restrictions on their pole and zero positions ( minimum phase systems). Kriteria ini adalah cukup untuk memprediksi stabilitas penguat hanya untuk memuaskan beberapa pembatasan tiang dan posisi nol ( fase minimum sistem). Although these restrictions usually are met, if they are not another method must be used, such as the Nyquist plot . [ 2 ] [ 3 ] Meskipun pembatasan ini biasanya dipenuhi, jika mereka tidak metode lain harus digunakan, seperti plot Nyquist . [2] [3]

[ edit ] Examples using Bode plots [ sunting Contoh] dengan menggunakan diagram Bode

Figures 6 and 7 illustrate the gain behavior and terminology. Angka 6 dan 7 menggambarkan perilaku keuntungan dan terminologi. For a three-pole amplifier, Figure 6 compares the Bode plot for the gain without feedback (the open-loop gain) A OL with the gain with feedback A FB (the closed-loop gain). Untuk-tiang penguat tiga, Gambar 6 membandingkan plot Bode untuk keuntungan tanpa umpan balik (di-gain loop terbuka) A OL dengan keuntungan dengan umpan balik A FB (di-gain loop tertutup). See negative

feedback amplifier for more detail. Lihat penguat umpan balik negatif untuk detail lebih lanjut.

In this example, A OL = 100 dB at low frequencies, and 1 / β = 58 dB. Dalam contoh ini, A OL = 100 dB pada frekuensi rendah, dan 1 / β = 58 dB. At low frequencies, A FB ≈ 58 dB as well. Pada frekuensi rendah, A FB ≈ 58 dB juga.

Because the open-loop gain A OL is plotted and not the product β A OL , the condition A OL = 1 / β decides f 0dB . Karena gain loop terbuka A OL diplot dan bukan produk β A OL, kondisi A OL = 1 / β memutuskan f 0dB. The feedback gain at low frequencies and for large A OL is A FB ≈ 1 / β (look at the formula for the feedback gain at the beginning of this section for the case of large gain A OL ), so an equivalent way to find f 0dB is to look where the feedback gain intersects the open-loop gain. Keuntungan umpan balik pada frekuensi rendah dan untuk OL A besar adalah A FB ≈ 1 / β (melihat rumus untuk mendapatkan umpan balik pada awal bagian ini untuk kasus keuntungan besar A OL), maka cara yang setara untuk menemukan f 0dB adalah dengan melihat di mana mendapatkan umpan balik memotong-gain loop terbuka. (Frequency f 0dB is needed later to find the phase margin.) (Frekuensi f 0dB diperlukan kemudian untuk menemukan batas fasa.)

Near this crossover of the two gains at f 0dB , the Barkhausen criteria are almost satisfied in this example, and the feedback amplifier exhibits a massive peak in gain (it would be infinity if β A OL = −1). Dekat ini crossover dari dua keuntungan pada f 0dB, kriteria Barkhausen hampir puas dalam contoh ini, dan pameran penguat umpan balik puncak keuntungan besar (akan tak terhingga jika β A OL = -1). Beyond the unity gain frequency f 0dB , the open-loop gain is sufficiently small that A FB ≈ A OL (examine the formula at the beginning of this section for the case of small A OL ). Selain frekuensi f gain 0dB, yang-gain loop terbuka cukup kecil bahwa A FB ≈ A OL (memeriksa rumus pada awal bagian ini untuk kasus OL A kecil).

Figure 7 shows the corresponding phase comparison: the phase of the feedback amplifier is nearly zero out to the frequency f 180 where the open-loop gain has a phase of −180°. Gambar 7 menunjukkan perbandingan yang sesuai fase: fase penguat umpan balik hampir nol ke frekuensi f 180 mana-gain loop terbuka memiliki fase -180 °. In this vicinity, the phase of the feedback amplifier plunges abruptly downward to become almost the same as the phase of the open-loop amplifier. Di sekitar ini, fase penguat umpan balik terjun ke bawah tiba-tiba menjadi hampir sama dengan tahap penguat loop terbuka. (Recall, A FB ≈ A OL for small A OL .) (Ingat, A ≈ A FB OL untuk kecil OL A.)

Comparing the labeled points in Figure 6 and Figure 7, it is seen that the unity gain frequency f 0dB and the phase-flip frequency f 180 are very nearly equal in this amplifier, f 180 ≈ f 0dB ≈ 3.332 kHz, which means the gain margin and phase margin are nearly zero. Membandingkan poin berlabel pada Gambar 6 dan Gambar 7, terlihat bahwa frekuensi f gain 0dB dan fase frekuensi flip-f 180 sangat hampir sama dalam penguat ini, f 180 f ≈ ≈ 0dB 3,332 kHz, yang berarti mendapatkan margin dan margin fasa hampir nol. The amplifier is borderline stable. amplifier adalah batas stabil.

Figures 8 and 9 illustrate the gain margin and phase margin for a different amount of feedback β. Angka 8 dan 9 menggambarkan margin fasa dan margin keuntungan dengan jumlah yang berbeda β umpan balik. The feedback factor is chosen smaller than in Figure 6 or 7, moving the condition | β A OL | = 1 to lower frequency. Faktor umpan balik dipilih lebih kecil dari pada Gambar 6 atau 7, bergerak kondisi | β A OL | = 1 ke frekuensi yang lebih rendah. In this example, 1 / β = 77 dB, and at low frequencies A FB ≈ 77 dB as well. Dalam contoh ini, 1 / β = 77 dB, dan pada frekuensi rendah A FB ≈ 77 dB juga.

Figure 8 shows the gain plot. Gambar 8 menunjukkan plot keuntungan. From Figure 8, the intersection of 1 / β and A OL occurs at f 0dB = 1 kHz. Dari Gambar 8, persimpangan 1 / β dan A OL terjadi pada 0dB f = 1 kHz. Notice that the peak in the gain A FB near f 0dB is almost gone. [ note 2 ] [ 4 ] Perhatikan bahwa puncak laba A FB dekat f 0dB sudah hampir habis. [Catatan 2] [4]

Figure 9 is the phase plot. Gambar 9 adalah fase plot. Using the value of f 0dB = 1 kHz found above from the magnitude plot of Figure 8, the open-loop phase at f 0dB is −135°, which is a phase margin of 45° above −180°. Dengan menggunakan nilai f 0dB = 1 kHz ditemukan di atas dari besarnya plot Gambar 8, fase loop terbuka di f 0dB adalah -135 °, yang merupakan batas fasa sebesar 45 ° di atas -180 °.

Using Figure 9, for a phase of −180° the value of f 180 = 3.332 kHz (the same result as found earlier, of course [ note 3 ] ). Menggunakan Gambar 9, untuk fase -180 ° nilai f 180 = 3,332 kHz (hasil yang sama seperti yang ditemukan sebelumnya, tentu saja [Catatan 3] ). The open-loop gain from Figure 8 at f 180 is 58 dB, and 1 / β = 77 dB, so the gain margin is 19 dB. The gain loop terbuka dari Gambar 8 di f 180 adalah 58 dB, dan 1 / β = 77 dB, sehingga margin keuntungan adalah 19 dB.

As an aside, it should be noted that stability is not the sole criterion for amplifier response, and in many applications a more stringent demand than stability is good step response . Sebagai samping, perlu dicatat bahwa stabilitas bukan kriteria tunggal untuk respon penguat, dan dalam banyak aplikasi yang ketat permintaan lebih dari stabilitas yang baik respons langkah . As a rule of thumb , good step response requires a phase margin of at least 45°, and often a margin of over 70° is advocated, particularly where component variation due to manufacturing tolerances is an issue. [ 5 ] See also the discussion of phase margin in the step response article. Sebagai aturan praktis , respon langkah yang baik membutuhkan margin fase setidaknya 45 °, dan sering dengan marjin lebih dari 70 ° adalah menganjurkan, terutama di mana variasi komponen karena toleransi manufaktur menjadi masalah. [5] Lihat juga pembahasan margin fase dalam langkah respon artikel.

Examples Contoh

Figure 6: Gain of feedback amplifier A FB in dB and corresponding open-loop amplifier A OL . Gambar 6: Keuntungan dari umpan balik penguat A FB dalam dB dan sesuai loop penguat terbuka A OL. Parameter 1/β = 58 dB, and at low frequencies A FB ≈ 58 dB as well. Parameter 1 / β = 58 dB, dan pada frekuensi rendah A FB ≈ 58 dB juga. The gain margin in this amplifier is nearly zero because | β A OL | = 1 occurs at almost f = f 180° . Marjin laba dalam penguat ini hampir nol karena | β A OL | = 1 terjadi di hampir = f 180 ° f.

Figure 7: Phase of feedback amplifier °A FB in degrees and corresponding open-loop amplifier °A OL . Gambar 7: Tahapan penguat umpan balik a ° FB dalam derajat dan sesuai loop terbuka penguat a ° OL. The phase margin in this amplifier is nearly zero because the phase-flip occurs at almost the unity gain frequency f = f 0dB where | β A OL | = 1. Batas fasa penguat ini hampir nol karena fase flip hampir terjadi pada frekuensi gain f = f 0dB mana | β A OL | = 1.

Figure 8: Gain of feedback amplifier A FB in dB and corresponding open-loop amplifier A OL . Gambar 8: Keuntungan dari umpan balik penguat A FB dalam dB dan sesuai loop penguat terbuka A OL. In this example, 1 / β = 77 dB. Dalam contoh ini, 1 / β = 77 dB. The gain margin in this amplifier is 19 dB. Marjin laba dalam penguat ini adalah 19 dB.

Figure 9: Phase of feedback amplifier A FB in degrees and corresponding open-loop amplifier A OL . Gambar 9: Fase umpan balik penguat A FB dalam derajat dan sesuai loop penguat terbuka A OL. The phase margin in this amplifier is 45°. Batas fasa penguat ini adalah 45 °.

[ edit ] Bode plotter [ sunting ] plotter Bode

Figure 10: Amplitude diagram of a 10th order Chebyshev filter plotted using a Bode Plotter application. Gambar 10: Diagram Amplitudo urutan 10 filter Chebyshev diplot menggunakan aplikasi Plotter Bode. The chebyshev transfer function is defined by poles and zeros which are added by clicking on a graphical complex diagram Fungsi transfer Chebyshev didefinisikan oleh tiang dan nol yang ditambahkan dengan mengklik pada sebuah diagram kompleks grafis

The Bode plotter is an electronic instrument resembling an oscilloscope , which produces a Bode diagram, or a graph, of a circuit's voltage gain or phase shift plotted against frequency in a feedback control system or a filter. The plotter Bode adalah instrumen elektronik menyerupai sebuah osiloskop , yang menghasilkan diagram Bode, atau grafik, dari yang mendapatkan tegangan rangkaian atau pergeseran fasa diplot terhadap frekuensi dalam sistem kontrol umpan balik atau filter. An example of this is shown in Figure 10. Contoh ini ditunjukkan pada Gambar 10. It is extremely useful for analyzing and testing filters and the stability of feedback control systems, through the measurement of corner (cutoff) frequencies and gain and phase margins. Hal ini sangat berguna untuk menganalisis dan menguji filter dan stabilitas umpan balik sistem kontrol, melalui pengukuran sudut (cutoff) frekuensi dan fasa dan margin keuntungan.

This is identical to the function performed by a vector network analyzer , but the network analyzer is typically used at much higher frequencies. Hal ini identik dengan fungsi yang dilakukan oleh sebuah vektor network analyzer , namun network analyzer biasanya digunakan pada frekuensi yang lebih tinggi banyak.

For education/research purposes usage of applications for plotting Bode diagrams for given transfer functions helps better understanding and faster getting of results (see external links). Untuk pendidikan / penelitian tujuan penggunaan aplikasi untuk merencanakan diagram Bode untuk fungsi transfer membantu pemahaman yang lebih baik dan lebih cepat mendapatkan hasil (lihat pranala luar).

[ edit ] Related plots [ sunting ] plot Terkait

Main article: Nyquist plot Artikel utama: Nyquist plot Main article: Nichols plot Artikel utama: Nichols plot

Two related plots that display the same data in different coordinate systems are the Nyquist plot and the Nichols plot . Dua terkait plot yang menampilkan data yang sama di berbagai sistem koordinat adalah Nyquist plot dan plot Nichols . These are parametric plots , with frequency as the input and magnitude and phase of the frequency response as the output. Ini adalah plot parametrik , dengan frekuensi sebagai masukan dan amplitudo dan fase dari respon frekuensi sebagai output. The Nyquist plot displays these in polar coordinates , with magnitude mapping to radius and phase to argument (angle). Nyquist plot menampilkan ini di koordinat polar , dengan pemetaan yang besarnya radius dan fase ke argumen (sudut). The Nichols plot displays these in rectangular coordinates, on the log scale . Nichols plot menampilkan empat persegi panjang ini koordinat, pada skala log .

Related Plots Terkait Plot

A Nyquist plot . Sebuah Nyquist plot .

A Nichols plot of the same response. Sebuah Nichols plot dari respon yang sama.

[ edit ] See also [ sunting ] Lihat pula

Nichols plot Nichols plot Analog signal processing Pengolahan sinyal analog Phase margin Tahap margin Bode's sensitivity integral Bode terpisahkan sensitivitas Electrochemical impedance spectroscopy Spektroskopi impedansi elektrokimia

[ edit ] Notes [ sunting ] Catatan

1. ̂ Ordinarily, as frequency increases the magnitude of the gain drops and the phase becomes more negative, although these are only trends and may be reversed in particular frequency ranges. ^ Biasanya, seperti meningkatkan frekuensi besarnya keuntungan dan fase turun menjadi lebih negatif, walaupun ini hanya tren dan dapat dibatalkan dalam rentang frekuensi tertentu. Unusual gain behavior can render the concepts of gain and phase margin inapplicable. mendapatkan perilaku yang tidak biasa dapat membuat konsep keuntungan dan marjin fasa diterapkan. Then other methods such as the Nyquist plot have to be used to assess stability. Kemudian metode lain seperti plot Nyquist harus digunakan untuk menilai stabilitas.

2. ̂ The critical amount of feedback where the peak in the gain just disappears altogether is the maximally flat or Butterworth design. ^ Jumlah umpan balik yang kritis di mana puncak keuntungan tersebut hilang begitu saja sama sekali adalah yang maksimal datar atau Butterworth desain.

3. ̂ The frequency where the open-loop gain flips sign f 180 does not change with a change in feedback factor; it is a property of the open-loop gain. ^ Frekuensi mana-gain loop terbuka flips tanda f 180 tidak berubah dengan perubahan dalam faktor umpan balik, yang merupakan milik-gain loop terbuka. The value of the gain at f 180 also does not change with a change in β. Nilai keuntungan pada f 180 juga tidak berubah dengan perubahan β. Therefore, we could use the previous values from Figures 6 and 7. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan nilai sebelumnya dari Angka 6 dan 7. However, for clarity the procedure is described using only Figures 8 and 9. Namun, untuk kejelasan prosedur dijelaskan menggunakan Angka hanya 8 dan 9.

[ edit ] References [ sunting ] Referensi

1. ̂ Van Valkenburg, ME University of Illinois at Urbana-Champaign, "In memoriam: Hendrik W. Bode (1905-1982)", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. ^ Van Valkenburg, ME University of Illinois di Urbana-Champaign, "In memoriam: Hendrik W. Bode (1905-1982)", IEEE Transaksi Automatic Control, Vol. AC-29, No 3., March 1984, pp. 193-194. AC-29, No 3., Maret 1984, hal. 193-194. Quote: "Something should be said about his name. To his colleagues at Bell Laboratories and the generations of engineers that have followed, the pronunciation is boh-dee. The Bode family preferred that the original Dutch be used as boh-dah." Quote: "Sesuatu harus dikatakan tentang namanya. Untuk rekan-rekannya di Bell Laboratories dan generasi insinyur yang telah mengikuti, pengucapan adalah boh-dee. Bode keluarga lebih suka yang asli Belanda digunakan sebagai boh-dah."

2. ̂ Thomas H. Lee (2004). The design of CMOS radio-frequency integrated circuits (Second Edition ed.). ^ Thomas H. Lee (2004). Rancangan CMOS frekuensi radio-sirkuit terpadu (Edisi Kedua ed.). Cambridge UK: Cambridge University Press. Cambridge UK: Cambridge University Press. p. §14.6 pp. 451–453. ISBN 0-521-83539-9 . http://worldcat.org/isbn/0-521-83539-9 . hal § 14,6 hlm.. 451-453 ISBN 0-521-83539-9 . http://worldcat.org/isbn/0-521-83539-9 .

3. ̂ William S Levine (1996). The control handbook: the electrical engineering handbook series (Second Edition ed.). ^ William S Levine (1996). The buku kontrol: seri buku pegangan teknik elektro (Edisi Kedua ed.). Boca Raton FL: CRC Press/IEEE Press. Boca Raton FL: CRC Press / Press IEEE. p. §10.1 p. hal hal § 10,1 163. ISBN 0849385709 . http://books.google.com/books?id=2WQP5JGaJOgC&pg=RA1-PA163&lpg=RA1-PA163&dq=stability+%22minimum+phase%22&source=web&ots=P3fFTcyfzM&sig=ad5DJ7EvVm6In_zhI0MlF_6vHDA . 163. ISBN 0849385709 . http://books.google.com/books?id=2WQP5JGaJOgC&pg=RA1-PA163&lpg=RA1-PA163&dq=stability+%% 22minimum fase + & source = web 22 & OTS = P3fFTcyfzM & sig = ad5DJ7EvVm6In_zhI0MlF_6vHDA .

4. ̂ Willy MC Sansen (2006). Analog design essentials . ^ Willy MC Sansen (2006). Analog penting desain . Dordrecht, The Netherlands: Springer. Dordrecht, Belanda: Springer. p. §0517-§0527 pp. 157–163. ISBN 0-387-25746-2 .

http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2 . hal § 0517 - § 0527 hal. 157-163. ISBN 0-387-25746-2 . http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2 .

5. ̂ Willy MC Sansen. §0526 p. ^ MC Sansen Willy. § 0526 hal 162 . ISBN 0-387-25746-2 . http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2 . 162 . ISBN 0-387-25746-2 . http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2 .

[ edit ] External links [ sunting ] Pranala luar