� ��������
������ � ���� � ������ ����� �� �� ����� �� �������� ������� ������������� �������� ���� � ����� ��������� ������� ����� � ���������� ����� � �� �� ����� ������� ����� �������� �� ��� ���������� ��� s = s(t)� � � �� ���� ������ v(t) = s′(t)� � ��� ������� a(t) = v′(t)� !������������ ��"��� ������# �����$ �����% ��%� �������#&� ������� � ���� ' ���� ���� ��#���(� ������� a = a(t)� � ������� ������ �������%� ����� � ���� ������ � ����� a(t)��������� �����# v(t)� ��� ���� ������ a �������� �� ������ � ���� �������� � ����� v ��������� �����# s� ) ������������� ����������%� ������ � ���� �����% ��������������"� ������ ����������� ���#����%� � *����������# ����� �� � ��������� �� +',( � ���� � ��� *�� ������� ��"��� �������������� ��������� � ��� *�� ���� ��� ����� ������������������ � � �� ���%��-����� ��� ���%� �����%� ������ ����#��� �� ���%��
�� %��#��� ������� �%� � ����%� ������� � ������ � �%������ �� %������ ������������ .������ ��� � ����� ������� �������� ����������� ��������� ���� ������� �%� �� %�����������������%� ���������/ ���� � �������������� ��� ������ ����� ������ ����
���� �� ����� �� ��� ��� ������� �� �� �%� �� �� ����������%� ����� 0��� ��� �� � �� �� *���������� ����� ���&������� ������� ���� ����#&���� *���������� ��������!����%� ����% ���������� ��� ��#��� � ����� ����
�
� ����� �� � � ������������� ����� �
.����Δ � �����%� � ��������%� ���� ��� ����� �� ������ f F ����% �� Δ�
����������� ������� F ����� �� ������������ ������� f ��������� �� Δ� ���� ������� F ��������������� �� Δ � F ′(x) = f(x)��� ������ x ∈ Δ�
�������� ������ F (x) = x3
3 �������� ������� �� �����f(x) = x2�
.������ ��� �#�� ����� ������%���� ��� ��� �� ���� �� �����#� !����� ������� � ���� ���� ������� ��� �� �� ������������%���� �������� � �� �%��� � ���� �����
f(x) =
{2x sin 1
x− cos 1
x, �� x �= 0,
0, �� x = 0.
�� ���� ����� � ��&������� ������� ���
F (x) =
{x2 sin 1
x, �� x �= 0,
0, �� x = 0.
����� ���� ������� f ��������� �� ������� �� � � �����
� ��� ������������ ������� f �� �
/ �������"�� ����� ����� ������� �%� ������%��%� �� ��������� ��������� �������
����� � �� ���� ! �� ��� ��������������� �� Δ ������� F� G ��� ������������ ����� � �� �� ������� f ����"����� � ���
� � �!��� ! �� ��� � ��!����# �� Δ �� ��� ������� � �� # �����
��� F � G ����������� f ���� � ��#�� ����� �����
G(x) = F (x) + C, x ∈ Δ,
��� C $ ���� ���� ��� �������
���� ��#� ��� 1�� F ������� ��� ����� f � � ���� F ′(x) =
f(x) ��Δ� � ������ F (x)+C �������� ������� �� �� � �����f � ��� ��� (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x)�1�� ����� F G ����#��� ������� �%� ����� f � � ����
F ′(x) = G′(x) = f � � (F (x)−G(x))′ = F ′(x)−G′(x) = 0� 2������������ ������ 3����� � F (x) − G(x) = C �� Δ�
�
����������� � %��������� # ���" ����������" ������� f �� Δ ���
��� �� ������������� �� ������� ������� f � �����!�� ��∫f(x) dx�
.� ���� �������� �"�� ��� ������� �� ���� �����# f � � ���� ������ �� ���������� dx� 4� �������� ��� ��� ���% ���� ���� � ���� ��������� &�� ������� ��#� -����� f �� %��������%���������� �������� � �%�� ��� f(x)dx � ��%���������%��%�� �����1�� F �������� ������� ��� ����� f � � �"��∫
f(x) dx = F (x) + C. '5(
2����� ������ '5( �� ���� �������� ��� ��������������� F $
dF (x) = F ′(x)dx = f(x)dx.
� �������� ������� �������������� ����� �
.���� ������ f ���� ������� ��# F �� ���� ���� �
�∫
dF (x) = F (x) + C� �� �� � � �����∫
F ′(x)dx = F (x) + C�4� ��� � ������� ��������� ������������ �������� ��� ��
������� ���� ������� �%��
�� &��� ����� # ������������ ��������� .���� ����� f1 f2
��#� ������� �%� �� ���� ���� Δ� ���� ������ (f1 + f2) ����������� ��# �� ���� ���� Δ� �����∫
(f1(x) + f2(x)) dx =
∫f1(x) dx +
∫f2(x) dx. '6(
.������� �������� �������� ��� �������� ���� �� ���� ��������
���� ��#� ��� .���� ����� F1 F2 ����#��� ������� �%������� f1 f2 ������������ � ���� F ′
1(x) = f1(x), F ′2(x) = f2(x)�
���� ∫f1(x) dx = F1(x) + C1,
∫f2(x) dx = F2(x) + C2,
�
��� C1, C2 � �� ����%� ������%�� .� � F (x) := F1(x)+F2(x)�-����� F ����� ������� �� ����� (f1 + f2)� ��� ���
F ′(x) = F ′1(x) + F ′
2(x) = f1(x) + f2(x), x ∈ Δ.
2�����������∫(f1(x) + f2(x)) dx = F (x) + C = F1(x) + F2(x) + C,
��� C � �� ������ ��������� 2 ����� ����%�∫f1(x) dx +
∫f2(x) dx = F1(x) + C1 + F2(x) + C2.
.������ C, C1, C2 � �� ����%� ������%�� � �� ����� ������� F1(x)+F2(x)+C F1(x)+C1+F2(x)+C2 ������#�� �� ������������������ ��������� '6(�
�� .���� λ � ���� λ �= 0� ����∫λf(x) dx = λ
∫f(x) dx, '7(
�������� �������� �������� ��� �������� ���� �� ���� ��������
���� ��#� ��� .���� ������ F (x) �������� ������� �� ������ f(x)� ���� ������ λF (x) �������� ������� �� ����� λf(x)���� ��� (λF (x))′ = λF ′(x) = λf(x)� 8�����∫
λf(x) dx = λF (x) + C1,
��� C1 � �� ������ ��������� 2 ����� ����%�
λ
∫f(x) dx = λ(F (x) + C2) = λF (x) + λC2,
��� C2 � �� ������ ��������� .������ λ �= 0� C1 C2 �� �����%� ������%�� � �� ����� ������ λF (x) + C1 λF (x) + λC2
������#�� �� ������ ������������ ��������� '7(�
�� '������� # ��������� .���� λ1, λ2 � ����� ��� �% �� ���� ���� ����∫
(λ1f1(x) + λ2f2(x)) dx = λ1
∫f1(x) dx + λ2
∫f2(x) dx.
�
9�� �������� ��� � ������� ������ 6� 7�
���� �������� ������ ����
5�∫
xα dx = xα+1
α+1 + C, α �= −1.
6�∫
dxx = ln |x| + C.
7�∫
ax dx = ax
ln a + C, a > 0, a �= 1, � ��������∫
ex dx = ex + C�
:�∫
sin x dx = − cos x + C.
;�∫
cos x dx = sin x + C�
<�∫
dxcos2 x = tg x + C.
=�∫
dxsin2 x
= − ctg x + C.
>�∫
dxx2+a2 = 1
a arctg xa + C = −1
a arcctg xa + C, a �= 0�
?�∫
dxx2−a2 = 1
2a ln∣∣x−ax+a
∣∣+ C, a �= 0.
5@�∫
dx√a2−x2 = arcsin x
a + C = − arccos xa + C, |x| < |a|.
55�∫
dx√x2−a2 = ln |x +
√x2 − a2| + C, |x| > |a|.
56�∫
dx√x2+a2 = ln |x +
√x2 + a2| + C.
1�� ���������� ��%���������� ����� ���&����� � ��� ������� ����� � �������%� �����% ����� ���������% �"� ������ ���� ����� � ���%� ��� ���%� ���������� � ��� �� ���&�������
��������
5� ���� �������∫
(3 sinx + 5 cosx) dx�
(�)����� /���� ���"�� ��������# �������� '������ :( �������� �����∫
(3 sinx+5 cos x) dx = 3
∫sin x dx+5
∫cos x dx = −3 cosx+5 sin x+C.
6� ���� �������∫
(√
x + x)√
x dx�
�
(�)����� A����%� ����� ����� ���"�� ��������# ��������� �������� �����∫
(√
x + x)√
x dx =
∫x dx +
∫x
32 dx =
x2
2+
2x52
5+ C.
��� �������
1.∫
dx. 2.∫
3√
x dx. 3.∫
dx√x. 4.
∫(x3 + 3x) dx. 5.
∫2 sin2 x
2 dx.
6.∫ (1−x
x
)2dx. 7.
∫(√
x + 3)(x2 +√
x) dx. 8.∫ (2+x)3
x√
xdx.
9.∫ 5·2x+2·5x
2x dx. 10.∫
tg2 x dx.
� �������� ������ �������� ���
�� � ��� ���������� � �������������� ������ ��
.���� ����� f(x) ϕ(t) ����% ����������� �� ���� ����� Δx
Δt� ����� ϕ(Δt) = Δx� ���� ���� ��%�� �� ��� ������ f(ϕ(t)),
t ∈ Δt� .���� ������ ϕ ������������� ������� ���� ��&�������� ������� ������ ϕ−1(x) �� Δx�
����� � *�� # ������� ϕ ��������������� � ���� ���� �� Δt�
������� f(x) ����� �� Δx � ϕ(Δt) = Δx� ���� � ������� f ����� ���
� ������������ F �� Δx� �∫f(x) dx =
∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt
∣∣∣∣t=ϕ−1(x)
.
���� ��#� ��� -����� F �������� ������� �� ����� f � ����� F ′ = f � .���� x = ϕ(t)� ��� ��� �� ������ F (ϕ(t)) ��������� ������� �� ����� f(ϕ(t))ϕ′(t)� 9�����������
[F (ϕ(t))]′ = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t).
���� ��� �� ����∫f(x) dx = F (x)+C = F (ϕ(t))|t=ϕ−1(x) +C =
∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt
∣∣∣∣t=ϕ−1(x)
,
��� C � �� ������ ���������
�
8������ �� ���� �%���� ������ ���������� � �����# ������� ���� ∫
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫f(ϕ(t)) dϕ(t) =
∫f(x) dx
∣∣∣∣x=ϕ(t)
.
4�� ������ �� %������ ��������� �� ��� ������������
��������
5� ���� �������∫
e5x dx�
(�)����� 2������ ����� t = 5x� /%�� �� x� ����� x = 15t, dx =
15dt� .���������∫
e5x dx =1
5
∫et dt =
1
5et + C =
1
5e5x + C.
6� ���� �������∫
tg x dx�
(�)����� B���� �� ��������� ��������� ����� ���� �� ��������������� �����∫
tg x dx =
∫sin x
cosxdx = −
∫d cosx
cos x= − ln | cosx| + C.
7� ���� �������∫
xx2+1 dx�
(�)����� 8������ �� xdx = 12dx2 = 1
2d(x2 + 1)� �����∫x
x2 + 1dx =
1
2
∫d(x2 + 1)
x2 + 1=
1
2ln(x2 + 1) + C.
/ �������� ��������� ����� �%�� ���� ���� ����� t = x2 + 1�
��� �������
11.∫
cos 3x dx. 12.∫ ln x
x dx. 13.∫
x9 7√
8 − x10 dx. 14.∫
x3
x2+4 dx.
15.∫
a−2x dx. 16.∫ arctg3 x
1+x2 dx. 17.∫
dxsin2 x
√1−ctg x
. 18.∫
e2x
ex+1 dx.
19.∫ cosx
3√sin2 xdx. 20.
∫ 1+x√1−x2 dx.
�
��� ��������� ��� �� ! ����
����� � ���� ������� u(x) � v(x) �������������� �� ���� ����
������� �� Δ � ����� ��� �� �����∫
v du� � ����� ��� �� ��
����∫
u dv � ����������� ������� �� ����������� �� !�� ��+∫u dv = uv −
∫v du.
���� ��#� ��� . ������ ������������� �� ������d(uv) = v du + u dv� �*���
u dv = d(uv) − v du.
B������� � �� �� �������� ������ ��&�������� � ����%� ��&�������� � ������� 5 ������������ ���������
∫d(uv) = uv + C� �
���� ��&������� � ����#� 8����� ��&������� �������∫
u dv ������ ���"�� ���������# ������������ �������� '������6(� ���� ∫
u dv =
∫d(uv) −
∫v du = uv −
∫v du,
��� �������� C ������� � ��������∫
v du�
.������� ������ ���������� � ������ �������� � � ����������� ���� ������� � ����� ���� ��������� �� ��&� �������� ��� ������ B���������� � ������ ������� � �������� ������#&� ������� �������
"� / ��������� ���∫
P (x) cos ax dx,∫
P (x) sin ax dx,∫
P (x)eax dx,��� P (x) � �������� a �= 0� � �������� ����� u ������� ������ P (x)�� �� ���������� ������ ����� sin ax, cos ax, eax ������������� .��� ���������� � ������� ������� ������ � �������� ��� � ���� � � ����"� ��� ������� B������� ����� '������ :(��*��� ����� �������� P (x) �������� ������ xn� ��� n � ����������� ���� A������� ����%� �%"��������%� ��������'������%� �������#��� �������($∫
xn cos ax dx =1
a
∫xnd sin ax =
1
axn sin ax − n
a
∫xn−1 sin axdx.
B���������� � ������ �� ���� n �� � ��� �� ���������� �������� � x�
�
��������
5� ���� �������∫
x sin 3x dx�(�)����� .������ ���� �� ��� ����������� �����������
� �������∫x sin 3x dx = −1
3
∫xd cos 3x = −1
3x cos 3x +
1
3
∫cos 3xdx =
= −1
3x cos 3x +
1
9sin 3x + C.
6� ���� �������∫
x2ex dx
(�)����� / ���� u = x2� dv = ex dx� ���� v = ex, du = 2xdx ����� �� ������ ���������� � ������� ����∫
x2ex dx =
∫x2 dex = x2ex − 2
∫xex dx.
.���� �������� ��� u = x� dv = ex dx� �����∫xex dx =
∫x dex = xex −
∫ex dx = xex − ex + C.
!���������� ∫x2ex dx = x2ex − 2xex + 2ex + C.
""� / ��������� ���∫
P (x) arcsinax dx,∫
P (x) arccosax dx,∫P (x) arctg ax dx,
∫P (x) arcctg ax dx
∫P (x) lnx dx �%�� ���
P (x)dx ������� � �������� dv� B���������� � ������ � ����� �������� � �����%� ������������� ������ � �������� 1�������%� ������������� ����� � ������ � �����% � �������� m, m > 0� � �� ��������� � ������ ������� m �� ����� ������ ��� ������� ����� ��� ������������ � ������ m
�� � C�� � ����%��&�� ������ ����� �������� P (x) �������������� xn� ��� n � ���������� ��� � ����∫
xn lnm x dx =1
n + 1
∫lnm x dxn+1 =
xn+1
n + 1lnm x− m
n + 1
∫xn lnm−1 x dx.
��������
5� ���� �������∫
x lnx dx
(�)����� / ���� u = ln x� dv = xdx� ���� v = x2
2 , du = 1xdx �
���� �� ������ ���������� � ������� ����∫x lnx dx =
x2
2lnx−
∫x2
2· 1x
dx =x2
2ln x− 1
2
∫x dx =
x2
2lnx− x2
4+C.
6� ���� �������∫
arccos 2x dx�
(�)�����.���� u = arccos 2x� dv = dx� ���� v = x, du = −2 1√1−4x2 dx�
.���������� � ������$∫arccos 2x dx = x arccos 2x + 2
∫x√
1 − 4x2dx =
= x arccos 2x− 1
4
∫(1−4x2)−1/2 d(1−4x2) = x arccos 2x− 1
2
√1 − 4x2+C.
"""� B�������% ���∫
ebx sin ax dx,∫
ebx cos ax dx, a �= 0, b �= 0� ����������� � ������ ��� �%� ������� ��� � ����� .������ ������������ �����# ebx ����������� � ������$
I1 :=
∫ebx sin ax dx =
1
b
∫sin ax debx =
1
bebx sin ax − a
b
∫ebx cos ax dx.
.���� ���� �� ���������� �����# ebx ����������� �������� ������� � ������� �����
I1 =1
bebx sin ax − a
b2
∫cos ax debx =
=1
bebx sin ax − a
b2 cos ax ebx − a2
b2
∫ebx sin ax dx.
.������ ������� ����� I1� ���� ��� �� ����� �������� ��������� I1
I1 =1
bebx sin ax − a
b2 cos ax ebx − a2
b2 I1.
/%�� �� ��#�� I1� ��������� �����∫ebx sin ax dx =
ebx
a2 + b2 [b sin ax − a cos ax] + C.
�
)������ � � ������∫ebx cos ax dx =
ebx
a2 + b2 [b cos ax + a sin ax] + C.
��� �������
21.∫
x cos 2x dx. 22.∫
arcsinx dx. 23.∫
x2e−x dx. 24.∫
ln x dx.25.∫
x3x dx. 26.∫
arctg√
x dx. 27.∫
x3exdx. 28.∫
ln2 x dx.
29.∫
x tg2 x dx. 30.∫
cos lnx dx.
9���� �������� �� ���%� ����% ���������� �� ���"� ������� *���������%� �������
� �������� ��� ���� ����� �����
A�������� ����# �� %������ ����� �������� ����������� ����� ����#��� �������%$
R(x) =anx
n + an−1xn−1 + ... + a0
bNxN + bN−1xN−1 + ... + b0,
������� �� an �= 0, bN �= 0� 1�� ������� �������� � ����������� ����"� ������ �������� � ����������� n < N � � ����� ����������� ���� �� %������ ��������� 1�� � ������� ��������� ���������� ���"� �� ����� ������ �������� n ≥ N � � ��������������� ���� � �� �%�� ������� � ����� �������� ��������� ��������� ��� ����� ������ ��� �������� �� ����� ������� '�������� ������� � ����� � ���������� �%������� � ������� �����&�� �%�� ���(� .���� Pn(x) �������� �QN(x) ���������� ��������� ��� R(x) n ≥ N
R(x) =Pn(x)
QN(x)= S(x) +
Tk(x)
QN(x),
��� S(x) Tk(x) �������%� ����� k < N �9����� �#��� ��������� ���������� ���� � �� �%�� �� � ���
�� ����� ������"� ��������%� ������ .�����"� �� %��#������ ���
A
(x − a)k,
Bx + C
(x2 + px + q)m, p2 − 4q < 0, k, m ∈ N,
��
A, B, C � ��&�������%� �����
.������ �� ��� ��������� ������ �� � �� �#�� ��������� ��������� ��� �� ����� ������"� ��������%� ������
����� # *�� #P (x)Q(x) $ ������#��� ��������#��� ����# � ����� ����
��� ��,������� ���� ����
Q(x) =
r∏j=1
(x − aj)kj
s∏l=1
(x2 + plx + ql)ml,
��� aj $ ������� ����!�� ����� ����� ����� �����!���� Q(x) ��� ���� � kj, j = 1, ..., r- � ��"!��� x2 + plx + ql ����� ! � p2
l − 4ql <
0, l = 1, ..., s� .���� ����� ��� ����� ����� !���� A(1)j , ..., A
(kj)j , j =
1, ..., r; B(1)l , ..., B
(ml)l , C
(1)l , ..., C
(ml)l , l = 1, ..., s� ���� ! �
P (x)
Q(x)=
r∑j=1
(A
(1)j
x − aj+
A(2)j
(x − aj)2 + ... +A
(kj)j
(x − aj)kj
)+
+s∑
l=1
(B
(1)l x + C
(1)l
x2 + plx + ql+
B(2)l x + C
(2)l
(x2 + plx + ql)2 + ... +B
(ml)l x + C
(ml)l
(x2 + plx + ql)ml
).
������� A� � �� �� ������"� ���� 4x2−3x(x−2)2(x2+1) �
(�)����� 9��� �������� ��������� �*��� � ������
4x2 − 3x
(x − 2)2(x2 + 1)=
A1
x − 2+
A2
(x − 2)2 +Bx + C
x2 + 1.
.���� �����# ����� � �&��� ���������#� �����
4x2 − 3x
(x − 2)2(x2 + 1)=
A1(x − 2)(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 2)2
(x − 2)2(x2 + 1).
D ��� ������ ����� �����%� ���������� ����� � ����% ������ ���� ����% � ������� ���� ��� �� ������ A1, A2, B, C ���������
4x2 − 3x = A1(x − 2)(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C)(x− 2)2. ':(
��
9�� �������� ����% ���� ���� ����� ���� � �*������%����%� .*��� �������� �*������% �� �� �� ������� ����������� :�� �������� :�� �� �����%�$⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩A1 + B = 0
−2A1 + A2 − 4B + C = 4A1 + 4B − 4C = −3
−2A1 + A2 + 4C = 0
!��#�� A1 = 1, A2 = 2, B = −1, C = 0 ' ������ �� ������� ��%�� ��� ':( x = 2� �% ��� � ��� ���� A2(� ���� ��� �� ����
4x2 − 3x
(x − 2)2(x2 + 1)=
1
x − 2+
2
(x − 2)2 −x
x2 + 1
�� � ��� �������� ��������� ��� �� ������"��
B���� ��� ��� ���% ������������ ���������# ����� ���������� ����� �� � ����� ������� ��#� ��������� ����� � �����������# ���� �� � �� �� ������"��B������� � ������"�� ��� A
(x−a)n �������� ������%�� .� n = 1∫A
x − adx = A ln |x − a| + C.
.� n > 1∫A
(x − a)ndx = A
∫(x − a)−n d(x − a) = − A
(n − 1)(x − a)n−1 + C.
B������� � ������"�� ��� Bx+D(x2+px+q)n � ��� p2 − 4q < 0 ������ �
�������� � ��� bt+c(t2+a2)n ����� �%������ ���� ���������
x2 + px + q =(x +
p
2
)2+ q − p2
4,
������ ����% ��������� t = x + p2 '���� a2 � ������ �� �
������� ������ q − p2
4 (� .� n = 1∫bt + c
t2 + a2 dt = b
∫t
t2 + a2 dt+c
∫1
t2 + a2 dt =b
2ln(t2+a2)+
c
aarctg
t
a+C.
��
.���� n > 1� B�������∫
bt+c(t2+a2)n dt � � �� ��� �� ��� ���������
.���%� ���� ������ � ��������$
b
∫t
(t2 + a2)ndt = − b
2(n − 1)(t2 + a2)n−1 + C.
9�� �������� In :=∫ 1
(t2+a2)n dt �%����� �����������# ������ ����& ���������� � ������� � ���� �%�� � In ���� In−1$
In :=
∫1
(t2 + a2)ndt =
1
a2
∫t2 + a2 − t2
(t2 + a2)ndt =
=1
a2
∫1
(t2 + a2)n−1 dt − 1
a2
∫t
t
(t2 + a2)ndt =
=1
a2In−1 − 1
a2
(− t
2(n − 1)(t2 + a2)n−1 +1
2(n − 1)
∫1
(t2 + a2)n−1 dt
)=
=1
a2In−1 +t
2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1 −1
2a2(n − 1)In−1.
���� ��� �� ���������
In =t
2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1 +1
a2
(1 − 1
2(n − 1)
)In−1, n = 2, 3, ... . ';(
��� ��� ������� I1 � � �%������ � � � �%����� I2, I3 ����
��������
5� ���� �������∫ 3x+5
x2+2x+5 dx
(�)����� 9�������� ���������� ����"� ����� �*��� �%����� ���������� ���%� �������� x2+2x+5 = (x+1)2+4� 2����� ������# ����� t = x + 1 '�� *�� dx = dt(� �����∫
3x + 5
x2 + 2x + 5dx =
∫3t + 2
t2 + 4dt = 3
∫t
t2 + 4dt +
∫2
t2 + 4dt.
/ ����� �������� ������� t �� ��� ������������ ���� �������� �������� ������%�� .��� � ������ ��������$
3
2ln(t2 + 4) + arctg
t
2+ C =
3
2ln(x2 + 2x + 5) + arctg
x + 1
2+ C.
6� ���� �������∫ 3x+5
x2+2x−3 dx
��
(�)����� %����� /� 9�������� ���������� ���"� ����� ������ ���������� ����#��� x = 1, x = −3� A� � � ���� �� �������"�
3x + 5
(x − 1)(x + 3)=
A
x − 1+
B
x + 3.
.���� ���� ���&� ������� � �&��� ���������#� ����� ��������� ��������
3x + 5 = A(x + 3) + B(x − 1).
4� �������� �%����� �� ���� x� �*���� ������� x = −3� ������ B = 1� ������� x = 1� ����� A = 2� ���� ��� ��∫
3x + 5
x2 + 2x − 3dx = 2
∫dx
x − 1+
∫dx
x + 3= 2 ln |x − 1| + ln |x + 3| + C.
%����� 0� /%���� � ���������� ���%� �������� x2 + 2x − 3 =
(x + 1)2 − 4� 2����� ������# ����� t = x + 1 '�� *�� dx = dt(������∫
3x + 5
x2 + 2x − 3dx =
∫3t + 2
t2 − 4dt = 3
∫t
t2 − 4dt +
∫2
t2 − 4dt.
/ ����� �������� ������� t �� ��� ������������ ���� �������� �������� ������%�� .��� � ������ ��������$
3
2ln |t2 − 4| + 1
2ln
∣∣∣∣t − 2
t + 2
∣∣∣∣+ C =3
2ln |x2 + 2x − 3| + 1
2ln
∣∣∣∣x − 1
x + 3
∣∣∣∣+ C.
.������� �%�� ��� � � �������� ����� ���"�� ���������������
ln |x2 + 2x − 3| = ln |(x − 1)(x + 3)| = ln |x − 1| + ln |x + 3|;ln
∣∣∣∣x − 1
x + 3
∣∣∣∣ = ln |x − 1| − ln |x + 3|..*��� ���������∫
3x + 5
x2 + 2x − 3dx = 2 ln |x − 1| + ln |x + 3| + C.
��� �������
31.∫
x+1(x−1)(x+3) dx. 32.
∫x
x2−3x+2 dx. 33.∫
x5+x4−8x3−4x
dx. 34.∫
xx4−3x2+2 dx.
35.∫ 2x2−7x
(x−2)2(x+1) dx. 36.∫
dxx(x2+1). 37.
∫x3−2x2+3x−6
x3−3x2+4 dx. 38.∫
x2
1−x4 dx.
39.∫
x3+x+1(x2+2)2 dx. 40.
∫dx
(x2+1)(x2+x).
��
�������� ��� ��!����� � ���� ����� "#�!$
���
.���� R(u1, ..., un) � ���������� ���� ����� u1 = f1(x), ..., un =fn(x)� ���� �������� �� R(f1(x), ..., fn(x)) ���������� ���� ������� f1(x), ..., fn(x)�
"� A������� �������% ���∫R
(x,
(ax + b
cx + q
)r1
, ...,
(ax + b
cx + q
)rn)
dx. '<(
0���� ������������ �� ���� r1, ..., rn � ��������%� �����% ���� ������������ ri = pi
m � ���m � ����������� pi � ���%�� aq−bc �=0 '���� ���� � � �������(�2������ � �������� '<( ����� ��������� tm = ax+b
cx+q � /%�� �� ��
�#�� x� ����� x = qtm−ba−ctm =: ρ(t)� -����� ρ �������� ���������
����#E �� �� ����� ρ′ ��� � �������� ��������� ����#� .*���� ����� dx = ρ′(t) dt�
(ax+bcx+q
)ri
= (tm)pim = tpi ���� ������� '<( �
�������� � ��������� ���$∫R
(x,
(ax + b
cx + q
)r1
, ...,
(ax + b
cx + q
)rn)
dx =
∫R(ρ(t), tp1, ..., tpn)ρ′(t) dt.
!����� ������ �����%� ������ c = 0� ���� �� ����� ��������� �%�� ���� ������� '<( ���� ��∫
R(x,
r1√
ax + b, ...,rn√
ax + b)
dx.
��������
5� ���� �������∫
dx1+
√x
(�)����� 2������ � �������� ����� x = t2� dx = 2t dt� .�������������� ∫
dx
1 +√
x=
∫2t dt
1 + t= 2
∫t + 1 − 1 dt
1 + t=
= 2
∫dt − 2
∫dt
1 + t= 2t − 2 ln |1 + t| + C = 2
√x − 2 ln |1 +
√x| + C.
6� ���� �������∫ √1−x
1+x dx
��
(�)����� 2������ ����� 1−x1+x = t2� /%�� �� ��#�� x� �����
x = 1−t2
1+t2 � dx = −4t(1+t2)2 dt�
∫ √1 − x
1 + xdx =
∫t
−4t
(1 + t2)2 dt = −4
∫t2 + 1 − 1
(1 + t2)2 dt =
= −4
∫1
1 + t2dt + 4
∫1
(1 + t2)2 dt.
.���%� ������� �������� ������%�� � ���� ������� ���� �� ';(�� a = 1, n = 2� .��� �� ������ ��������� �����
−4 arctg t + 4
[t
2(1 + t2)+
1
2
∫1
1 + t2dt
]= −2 arctg t +
2t
1 + t2+ C.
.������ ����� � ��������� x� ����� ����$∫ √1 − x
1 + xdx = −2 arctg
√1 − x
1 + x+ 2√
(1 + x)(1 − x) + C.
��� �������
41.∫
x+1x√
x−2 dx. 42.∫
dxx( 3
√x−3). 43.
∫x+ 3
√2+x√
2+xdx. 44.
∫dx√
x− 3√
x.
45.∫ 6
√x+3−1√
x+3(1+ 3√
x+3) dx. 46.∫ √
x−1x√
x+1 dx. 47.∫
3
√x−2x−1
dx(x−1)3 .
48.∫ √
x+2(√
x+2+√
x−1)(x−1)2 dx. 49.∫
dxx(1+ 3
√x)3 . 50.
∫ √x
3√x2− 4
√xdx.
""� 1�� ��������%� �������� x2 + px+ q ���� ��&�������%� ����� �� �#�� ��������� r �������% ���∫
R(x, r√
x2 + px + q) dx '=(
� � ����� � ����%��&��� �����#� 9�����������
R(x, r√
x2 + px + q) = R(x, r√
(x − a)(x − b)) =
= R
(x, |x − b| r
√x − a
x − b
)= R1
(x,
(x − a
x − b
)1/r)
.
/ �����%� �����%� ������� ��� �������� ��� '=( ������ ���� ���� ������� �� � � �������� A������� ���� �����
��
�������% ���∫
R(x,√
ax2 + bx + c) dx� a �= 0� ��� �� ���%������� ����������� ��������%� � �� ���%� ��������
� .�������� ��!����� ����� C�������%� �������� x2 + px + q
����� �%������ ���� �������� ������ ����% ������ � �%��� ��# t2 ± a2� 9�� ��� ���% ������� � ����������� ���������� ∫
R(t,√
t2 ± a2) dt,
∫R(t,
√a2 − t2) dt '>(
� � ���� ���� �����#&� ������������� ����%�
�(∫
R(t,√
a2 − t2) dt, −a ≤ t ≤ a� ����� t = a · sin y� −π2 ≤ y ≤ π
2 E
�(∫
R(t,√
t2 − a2) dt, |t| ≥ a� ����� t = asin y � −π
2 ≤ y ≤ π2 , y �= 0E
�(∫
R(t,√
t2 + a2) dt� ����� t = a · tg y� −π2 < y < π
2 �
�������
���� �������∫ √
1 − x2 dx, −1 ≤ x ≤ 1�
(�)����� 2������ ����� x = sin y, −π/2 ≤ y ≤ π/2� dx = cos y dy�∫ √1 − x2 dx =
∫ √1 − sin2 y cos y dy =
∫cos2 y dy =
=1
2
∫[1 + cos 2y] dy =
1
2
∫dy +
1
2
∫cos 2y dy =
y
2+
1
4sin 2y + C =
=y
2+
1
2sin y cos y + C =
1
2arcsinx +
1
2x√
1 − x2 + C.
�� 1������� � !���� ��� ���������� ������ ���� ��"!����� � ��
����� ��� ����� ������ A������� �������% ���∫
Ax+B√ax2+bx+c
dx� A �=0, a �= 0� 9�� ��� ���� *�� �������� �%���� � ������� �� �����# ��������� ���������� ���&�� �� ���� ����� �� � �������� �� ����� ���� ��������� ����&��� � ������%��∫
Ax + B√ax2 + bx + c
dx =
∫ A2a
(2ax + b) + B − Ab2a√
ax2 + bx + cdx =
=A
2a
∫d(ax2 + bx + c)√
ax2 + bx + cdx +
(B − Ab
2a
)∫dx√
ax2 + bx + c.
��
.���%� �������%� �������� �������� ������%�� � ���� ������� � �������� ����� �%������ ���� �������� � ���������%�� ��� !���������%� ���� � ������ a > 0∫
Ax + B√ax2 + bx + c
dx =
=A
a
√ax2 + bx + c +
2aB − Ab
2a√
aln |x +
b
2a+
1√a
√ax2 + bx + c| + C.
!���������%� ���� � ������ a < 0 '������ b2 − 4ac > 0� ���� ��������� �%�� ��� ����"� ���� �� �#�� x(∫
Ax + B√ax2 + bx + c
dx =
=A
a
√ax2 + bx + c +
2aB − Ab
2a√−a
arcsin−2ax − b√
b2 − 4ac+ C.
�������
���� �������∫ 3x+4√−x2+6x+8
dx�
(�)����� /%����� � ������� �� ����# �������� �%�� ���� −2x + 6� �����∫
3x + 4√−x2 + 6x + 8dx =
∫ −32(−2x + 6) + 13√−x2 + 6x + 8
dx =
= −3
2
∫d(−x2 + 6x + 8)√−x2 + 6x + 8
dx + 13
∫dx√
17 − (x − 3)2dx =
= −3√−x2 + 6x + 8 + 13 arcsin
x − 3√17
+ C.
��2� �� ������������" ��,������� ��� A������� ������� ���∫ Pn(x)dx√ax2+bx+c
� ��� Pn(x) � ������� n��� ������� B������� ���� ���� � ���� �� ��& � ������∫
Pn(x)dx√ax2 + bx + c
= Qn−1
√ax2 + bx + c + λ
∫dx√
ax2 + bx + c,
��� Qn−1 � ������� (n − 1)�� ������ � �����������%� �*���������� λ � ���� 9���������� ��� ���� � ����� ����� ��� ������ � �&��� ���������#� ����� ��������� ���� � ��������� �*������% �������� Qn−1 ��� λ�
�
�������
���� �������∫
x3−x−1√x2+2x+2
dx�
(�)����� .������∫x3 − x − 1√x2 + 2x + 2
dx = (ax2 + bx+ c)√
x2 + 2x + 2 +λ
∫1√
x2 + 2x + 2dx.
9���������� �� ���� ���������� �����
x3 − x − 1√x2 + 2x + 2
=
= (2ax + b)√
x2 + 2x + 2 + (ax2 + bx + c)x + 1√
x2 + 2x + 2+
λ√x2 + 2x + 2
.
!��� ������ � ����������$
x3 − x − 1 = (2ax + b)(x2 + 2x + 2) + (ax2 + bx + c)(x + 1) + λ.
2������� �*������% �� �����%� �������� x� ����⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
3a = 1
5a + b = 04a + 3b + c = −1
2b + c + λ = 1.
!����� a = 13 , b = −5
6 , c = 16, λ = 5
2� !����������∫x3 − x − 1√x2 + 2x + 2
dx =
=1
6(2x2 − 5x + 1)
√x2 + 2x + 2 +
5
2
∫1√
(x + 1)2 + 1dx =
=1
6(2x2 − 5x + 1)
√x2 + 2x + 2 +
5
2ln(x + 1 +
√x2 + 2x + 2) + C.
�� %������#��� ����� ����������� B�������∫
dx(x−α)k
√ax2+bx+c
���
���� � ��������� ������������ � ������ 7� ��������� x− α = 1t �
9����������� dx = −dtt2 � ax2 + bx + c = (aα2+bα+c)t2+(2aα+b)t+a
t2 � �������� ����������� x > α, t > 0� �����∫
dx
(x − α)k√
ax2 + bx + c= −
∫tk−1√
(aα2 + bα + c)t2 + (2aα + b)t + adt.
�
�������
���� �������∫
dx(x−1)
√−x2+2x+3�
(�)����� .������ x − 1 = 1t � ���� x = 1
t + 1� dx = −dtt2 � B����∫
dx
(x − 1)√−x2 + 2x + 3
= −∫ dt
t2
1t
√−(1 + 1
t )2 + 2(1 + 1
t ) + 3=
= −∫
dt√4t2 − 1
= −1
2
∫dt√t2 − 1
4
= −1
2ln
∣∣∣∣∣t +
√t2 − 1
4
∣∣∣∣∣+ C =
= −1
2ln
∣∣∣∣∣2 +√−x2 + 2x + 3
2(x − 1)
∣∣∣∣∣+ C.
��� �������
51.∫ √
1+x2
x4 dx. 52.∫
dx√(x2−4)3
. 53.∫ √
3 − 2x + x2 dx. 54.∫ 8x−11√
5+2x−x2dx.
55.∫ 2x2−3x√
x2−2x+5dx. 56.
∫dx
(x+2)2√
x2+5. 57.
∫x2+5x+3√5−4x−x2 dx. 58.
∫dx
x2√
x2−2x.
59.∫ 6x+5√
x2−4x+8dx. 60.
∫x
x−√x2−1
dx.
"""� A������� �������% ���∫(a + bxβ)αxγdx,
��� a, b � ��&�������%� ����� α, β, γ � ��������%�� .�%����������� �%�� ��� �� %������ ������������%� ����� 2����� � ��������� ����� x = t
1β ' dx = 1
βt
1β−1dt(� ������� �� � ���� ������
��� ∫(a + bxβ)αxγdx =
1
β
∫(a + bt)αtλdt,
��� λ = γ+1β
− 1 � ��������� ����
A������� �� �������
5� α � ���� ���� .���� λ = mn � ��� m n > 0 � ���%� �����
2����� �� �������� ������ F ��������� u = t1n ���� ������� �
�������� � ��������� ����
��
6� λ � ���� ���� .���� ������ α = mn � ��� m n > 0 � ���%�
����� 2����� �� �������� ������ F ��������� u = (a + bt)1n ����
������� � �������� � ��������� ����
7� α + λ � ���� ���� .����� ��� �%"�� α = mn � ��� m n > 0 �
���%� ����� B����∫(a + bt)αtλdt =
∫ (a + bt
t
)α
tα+λdt.
2��� ������� ������� ���� ����������� � ������ F� 8����� u =(a+bt
t
)1/n������ ������� � �������� � ��������� ����
8������ �� � � ���� ����� ������ ������� � �������������� ���� �� �%�� ����� ���� *���������%� ������
�������
���� �������∫ 3√
1+ 4√
x√x
dx.
A�"���� 2������ � �������� ����� t = x14 � ���� x = t4, dx =
4t3dt� ∫3√
1 + 4√
x√x
dx =
∫x− 1
2 (1 + x14 )
13 dx = 4
∫t(1 + t)
13 dt.
8���� α = 13, λ = 1 � ���� ���� �*��� ���� ������ 6� 2������
����� u = (1 + t)13 � ���� t = u3 − 1, dt = 3u2du� ���� ��� �� ����∫
3√
1 + 4√
x√x
dx = 12
∫(u6 − u3) du =
12
7u7 − 3u4 + C =
=12
7(1 + t)
73 − 3(1 + t)
43 + C =
12
7(1 + x
14 )
73 − 3(1 + x
14 )
43 + C.
% �������� ��� ����������&��!�� "#�!���
"� B������� ���∫
R(sinx, cosx)dx ������ ����������� ���������� u = tg x
2 , −π < x < π� � �������� � ��������� ���� .�*��� x = 2 arctg u, dx = 2du
1+u2 � ������������� ����� �%�� ��#��� �����#&� ��� �$
sin x =2u
1 + u2 , cos x =1 − u2
1 + u2 .
��
9����������� ���� �� ����� ������������� � ����� ������� ��� ������ ����� �� ���� ������� ���������� �� cos2 x
2 ������
sin x =2 sin x
2 cos x2
cos2 x2 + sin2 x
2
=2 tg x
2
1 + tg2 x2
=2u
1 + u2 ;
cos x =cos2 x
2 − sin2 x2
cos2 x2 + sin2 x
2
=1 − tg2 x
2
1 + tg2 x2
=1 − u2
1 + u2 .
B���� ����∫R(sinx, cos x)dx =
∫R
(2u
1 + u2 ,1 − u2
1 + u2
)2du
1 + u2 .
8������ �� �� �%����� �������� ���∫
R(sinx, cos x) dx ����� �� %��#��� ��� �%� �������� u = sin x, u = cosx, u = tg x�/ ���� ������� �� ��������� � ��&�# *�� �������� ���������� ������ ����"� �%������� ��� �� ��������� � ��&�#����������� ���������1�� ���������� ���� R(u, v) ����� � ���� ���������� ���
����� u� � ���� R(−u, v) = R(u, v)� � �� � �� �%�� ��������� ��� R(u, v) = R1(u
2, v)� ���� �&� �"� ����%� ������ u� 1��R(u, v) ������� � ���� ���������� � ���� R(−u, v) = −R(u, v)�� �� � �� �%�� �������� � ��� R(u, v) = u · R1(u
2, v)� �� ��� �
������� ����%��&�� �������� ��� �� ������� � R(u,v)u �
�( ����� R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cos x)� � ���� ��%����������������� ������� � ������ ����
R(sinx, cos x)dx = R1(sin2 x, cos x) sinx dx = −R1(1−cos2 x, cosx)d cosx,
���������� ���� ��������� �� ��������� u = cos xE
�( �������� ���R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cos x)� � ���� ��%������������ ������ ������� � ������� � �������� �� ����� u =sin xE
�( ��� R(− sinx, − cosx) = R(sinx, cos x)� � ���� ��%����������������� ����� � ������ ������ �� ������ u �� u
vv� ����� ����
R(u, v) = R(u
vv, v) = R1(
u
v, v) = R2(
u
v, v2),
��
�������� �������� ������� ��� �� R1(uv , −v) = R1(
uv , v)� � ����
R1 ����� � ����� ���������� ������ �(� .*���
R(sin x, cos x) = R2(tg x, cos2 x) = R2
(tg x,
1
1 + tg2 x
),
�� ����������� ����� u = tg x '−π < x < π(�
��������
5� ���� �������∫
dx1−sinx
�
(�)����� .������ ��%����������� ������ �� �������� � ������� � �������� � ������� �����������# ��������� u = tg x
2 �∫dx
1 − sin x=
∫2du
(1 + u2)(1 − 2u1+u2)
=
∫2du
1 − 2u + u2 =
= −2
∫(1 − u)−2d(1 − u) = 2(1 − u)−1 + C =
2
1 − tg x2
+ C.
6� ���� �������∫ sin x
(1−cosx)2 dx �
(�)����� .�%����������� ������ �������� ������� � �������*��� ���� � � ������� ����� u = cos x�∫
sin x
(1 − cos x)2 dx =
∫d(1 − cosx)
(1 − cos x)2 =
∫du
u2 =
= −1
u+ C = − 1
1 − cosx+ C
""� B�������% ���∫
sinm x cosn x dx, n, m� ���%�� �%����#��� ���� ��� � ������ � ������ n m�
�( ��� n m ������%� ����� � ��������� u = cos 2x ��%����������� �%�� ��� ������ � ��������� ���� .���� m = 2k +1, n = 2 + 1�∫
sin2k+1 x cos2�+1 x dx =1
2
∫sin2k x cos2� x sin 2x dx =
= −1
4
∫ (1 − cos 2x
2
)k (1 + cos 2x
2
)�
d cos 2x =
��
= − 1
2k+�+2
∫(1 − u)k(1 + u)� du.
�( ��� n m ����%� ����� � ��������� u = tg x ��%����������� �%�� ��� ������ � ��������� ���� .� *�� x =
arctg u, dx = du1+u2 E ���� ��
sin2 x =1
2(1 − cos 2x) =
1
2
(1 − 1 − u2
1 + u2
)=
u2
1 + u2 ;
cos2 x =1
2(1 + cos 2x) =
1
2
(1 +
1 − u2
1 + u2
)=
1
1 + u2 .
0��� ��� ��� ���� n m �����������%�� �� � � ���� ������� ������� ����� ���������� sin2 x = 1−cos 2x
2 , cos2 x = 1+cos 2x2 � ��
*�� ����� �������% ���� � ���� � � ����"� ��� �������
�( ��� n � ������ � m � �������� � ����� u = cos x� � ��� n ��������� � m � ������ � ����� u = sinx ����� � �������� ���������� ����
��������
5� ���� �������∫
tg4 x dx�
(�)����� 2������ ����� u = tg x� /%�� �� x� ����� x = arctgu,dx = du
1+u2 � ∫tg4 x dx =
∫u4
1 + u2 du.
/%���� �������� 5 � �������� �� ���� ������� ������� �����$ ∫
u4 − 1 + 1
1 + u2 du =
∫(u2 − 1) du +
∫du
1 + u2 =
=u3
3− u + arctgu + C =
tg3 x
3− tg x + x + C.
6� ���� �������∫
sin2 x dx�
(�)����� /%�� � ������� ����� ���� ����� ����� ����� ������� ������� � ����� ������%� ��������$∫
sin2 x dx =
∫1 − cos 2x
2dx =
1
2
∫dx− 1
2
∫cos 2x dx =
x
2− sin 2x
4+C.
��
7� ���� �������∫ sin3 x
cos2 xdx�
(�)����� D ����� �������� �������� � ������ ������� �*��� �������� ���� �� ��� ����������� '� ���� �������� ����� u =
cos x(� ���� *�� �� ���� ������� �� ����� ������%� ���������∫sin3 x
cos2 xdx = −
∫sin2 x
cos2 xd cos x = −
∫1 − cos2 x
cos2 xd cos x =
= −∫
1 − u2
u2 du = −∫
du
u2 +
∫du =
1
u+ u + C =
1
cos x+ cosx + C.
"""� / ��������� ���∫
sin ax cos bx dx,∫
sin ax sin bx dx,∫cos ax cos bx dx ��� ����� ������� ��� �� ������ ��������
������ ������$
sin ax cos bx =1
2[sin(a + b)x + sin(a − b)x];
sin ax sin bx =1
2[cos(a − b)x − cos(a + b)x];
cos ax cos bx =1
2[cos(a + b)x + cos(a − b)x].
�������
���� �������∫
sin x cos 2x dx�
(�)����� /���� ���"�� ����� ������ �������%� �%"������� ∫
sin x cos 2x dx =
∫1
2[sin 3x − sin x] dx =
=1
2
∫sin 3x dx − 1
2
∫sinx dx = −1
6cos 3x +
1
2cos x + C.
��� �������
61.∫
dx3+2 cosx . 62.
∫dx
5−4 sinx+3 cosx . 63.∫ 1+ctg x
1−ctg x dx. 64.∫
dx1−sin4 x
.
65.∫ sin3 x
cos8 x dx. 66.∫
sin2 x cos2 x dx. 67.∫
sin3 x cos5 x dx.
68.∫
dxsin4 x cos2 x
. 69.∫
sin 2x sin 3x dx. 70.∫
cos x cos2 3x dx.
��
/ ���#���� ������ �� �� ����� ������� � *���������� ������ �%�� ����� ���� *���������%� ������ � ���� �� �� ��� ������� �������� �� ���� � *���������� ������ .����% G�������&���G��������∫
dxln x =
∫et
t dt � ���������%� ������E∫ sin xx
dx � ���������%� ����E∫e−x2
dx, � ���������%� �������E∫dx√
(1−x2)(1−k2x2)�∫
x2dx√(1−x2)(1−k2x2)
∫
dx
(1+hx2)√
(1−x2)(1−k2x2)� '0 < k < 1�
h � �� ����%� ��������( � *��������� �������%�
��
' ������
1.x + C. 2.343√
x4 + C. 3.2√
x + C. 4.x4
4 + 3x
ln 3 + C. 5.x − sin x + C.
6.− 1x − 2 lnx + x + C. 7.27
√x7 + x3 + x2
2 + 2√
x3 + C. 8.− 16√x
+ 24√
x +
4√
x3 + 25
√x5 + C. 9.5x + 2
ln 52
(52
)x+ C. 10. tg x − x + C '��� ���$ �
������� ������� �%����� cos2 x(�11.13 sin 3x + C. 12.12 ln2 x + C. 13. − 7
807√
(8 − x10)8 + C. 14.12x2 −
2 ln(x2 + 4) + C. 15. − a−2x
2 lna+ C. 16.14 arctg4 x + C. 17.2
√1 − ctg x + C.
18.ex − ln(ex + 1) + C. 19.3 3√
sinx + C. 20. arcsinx −√1 − x2 + C.
21.12x sin 2x+ 14 cos 2x+C. 22.x arcsinx+
√1 − x2+C. 23.−(x2+2x+
2)e−x+C. 24.x lnx−x+C. 25. 1ln 3x3x− 1
ln2 33x +C. 26.(x+1) arctg
√x−√
x + C. 27.(x3 − 3x2 + 6x − 6)ex + C. 28.x ln2 x − 2x lnx + 2x + C.29.x tg x− x2
2 + ln | cos x|+C. 30.x2(cos lnx+sin lnx) +C '��� ���$ ������������� ��� �� � � ������� ���� ��"�� �������� ������������ ��������(�
31.12 ln |x − 1| + 12 ln |x + 3| + C. 32. − ln |x − 1| + 2 ln |x − 2| + C.
33.x3
3 + x2
2 + 4x + 2 ln |x|+ 5 ln |x− 2| − 3 ln |x + 2|+ C. 34.12 ln |x2 − 2| −12 ln |x2−1|+C. 35. ln |x−2|+ln |x+1|+ 2
x−2+C. 36. ln |x|− 12 ln(x2+1)+C.
37.x+ 73 ln |x−2|− 4
3 ln |x+1|+C. 38.14 ln |x+1|− 14 ln |x−1|− 1
2 arctgx+C.39. 2−x
4(x2+2) +12 ln(x2+2)− 1
4√
2arctg x√
2+C. 40. ln |x|− 1
2 ln |x+1|− 14 ln(x2+
1) − 12 arctgx + C �
41. 2√
x − 2 +√
2 arctg√
x−2√2
+ C. 42. − 13 ln |x| + ln | 3
√x − 3| + C.
43. 23
√(x + 2)3 − 4
√x + 2 + 6
56√
(x + 2)5 + C. 44. 2√
x + 3 3√
x + 6 6√
x +
6 ln | 6√
x−1|+C. 45. 3 3√
x + 3−6 6√
x + 3−3 ln | 3√
x + 3+1|+6 arctg 6√
x + 3+
C. 46. ln(√
x + 1 +√
x − 1) − ln(√
x + 1 −√x − 1) − 2 arctg
√x−1x+1 + C.
47. − 37
3
√(x−2x−1
)7+ 3
43
√(x−2x−1
)4+C. 48. − 1
3 · x+2x−1+ 2
3
√x+2x−1− 2
3 ln(1 +
√x+2x−1
)+
C. 49. 32 · 2 3
√x+3
(1+ 3√
x)2 +ln |x|−3 ln |1+ 3√
x|+C. 50. 65
6√
x5+ 125
12√
x5+ 125 ln | 12
√x5−
1| + C�51. − 1
3 sin3(arctg x) + C. 52. − 14 sin(arccos 2
x) + C. 53. 2 arcsin x+12 +
sin(2 arcsin x+12 ) + C. 54. − 8
√5 + 2x − x2 − 3 arcsin x−1√
6+ C.
55. x√
x2 − 2x + 5−5 ln |x−1+√
x2 − 2x + 5|+C. 56. −√
x2+59(x+2)− 2
27 ln |5−2x+3
√x2 + 5|+ 2
27 ln |x+2|+C. 57. −(x2 + 2
)√5 − 4x − x2+ 3
2 arcsin x+23 +
C� 58. − 16
(1 − 2
x
) 32 + 1
2
(1 − 2
x
) 12 + C� 59. 6
√x2 − 4x + 8 + 17 ln |x− 2 +√
x2 − 4x + 8| + C. 60. x3
3 + 13
√(x2 − 1)3 + C '��� ���$ ��� ��
��
�� ����� ���� �� x +√
x2 − 1(�
61. 2√5arctg
(tg x
2√5
)+ C. 62. 1
2−tg x2
+ C. 63. ln | sin x − cos x| + C.
64. 12 tg x+ 1
2√
2arctg(
√2 tg x)+C. 65. 1
7 cos7 x− 15 cos5 x +C. 66. x
8 − sin 4x32 +C.
67. − 132 cos 2x− 1
64 cos2 2x+ 196 cos3 2x+ 1
128 cos4 2x+C. 68. − 13 tg3 x
− 2tg x +
tg x+ C� 69. 12 sinx− 1
10 sin 5x+ C. 70. 12 sinx + 1
20 sin 5x+ 128 sin 7x+ C.
�
( )��� �#
3!������+
5� 0���� H�2�� ������� 2�I� G9�����������%� ����������%� �������G� I�� ������ 5?>>�6� 8����� /�2�� B����� 1�1��C��%��� GB���������� �������
������ ��� ���������G� �� IJ�D �� 0������� 6@@<� ;6>��7� C�������� 3�9� GC����� ���� ������������ ���� �G� ����
������� 5� �� GKLMNG� 5??>� :@@��:� .����� ��2� G9������������ ���������� ������� ���
��� �G� ���� ����� I�� ������ 5?=>�;� -�������� J�I� G!���% ������������ ���� �G� ���� �����
�� 5� I����� 5?;;� ::@��
4���!����+
<� 0����� J��� G2���� ���� � ����� ������������ ���� �G� ��G.������G� 6@@6� :76��=� 9��� .�1�� .�� )�J�� C ������ ��H� G/%�"�� ��������� �
���� ����� ������G� ���� ������� ����� 5� I����� �� G/%�"��"���G� 5???� 7@:��>� 1��� )�/�� 9����� 0�.� '����( G2���� ���� � ���������
��� ��� �G� �� G�����G� 5?>5� :<:��?� 1��� )�/�� .����� )�2� '����( G2���� ���� � ���������
��� ��� �G� ���� ����� �� 6� I����� 6@@7� :76��
�
*���+ ���
$�������
� �������� %� � � �������������� ������ � �
� �������� ������� ��������������� ������ � �
� �������� ������ ���������� ��� &
:�5 8����� ��������� � ������������ �������� � � � � � � <:�6 B���������� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � >
# ��������� ��� � ���� �'��� ������
& ��������� ��� ��(������ ��� ���� �'��� )*�(��� &
+ ��������� ��� ������������!��(�� )*�(��� ��
, ������ �,
- .���� �*� �/
��