Boolean

การลดทอนลอจิกด้วย พีชคณิต

เนื่องจากเราสามารถใช้กฏของพีชคณิตเพื่อลดรูปสมการบูลีนได้ หรือสามารถลดทอนวงจรลอจิกให้สั้นลงได้ ซึ่งส่งผลดีต่อการออกแบบวงจรดิจิตอล

ดังนั้นแทนท่ีเราจะต้องใช้ Gate จ านวนมากในการท างาน เราสามารถออกแบบให้มีวงจรขนาดเล็กลง แต่ให้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับวงจรขนาดใหญไ่ด้

ตัวอย่างการลดรูปสมการ

ตัวอย่างการลดรูปสมการ

ทฤษฏีของ ดีมอร์แกน

ทฤษฏีของดีมอร์แกน เป็นทฤษฏีที่ใช้ประโยชน์ในการแก้ปัญหาของพีชคณิตบูลีน กรณีท่ีสมการของตัวแปล อยู่ภายใต้เครื่องหมาย 𝐴𝑁𝐷 และ 𝑂𝑅 ซึ่งเราสามารถเปลี่ยนสมการ 𝑂𝑅 เป็น AND ได้ขอให้พิจารณาสมการดังนี้

BABA

BABA

1.

เราใช้ตารางความจริงในการแสดงการเท่ากนัของค่าทางด้านซ้ายมือและคา่ทางด้านขวามือ

2. ทดลองสร้างตารางความจริงของ

BABA

A B 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 + 𝐵

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

BABA

จากทฤษฎีนี้ แสดงให้เห็นว่าผลจากการ NAND กันของอินพุต 2 ตัว จะมีค่าเช่นเดียวกับการอินเวอร์ตค่าอินพุตทั้งสองแล้วน ามา OR กัน ดังรูป

และแสดงให้เห็นว่าผลจากการ NOR กันของอินพุต 2 ตัว จะมีค่าเช่นเดียวกับการอินเวอร์ตค่าอินพุตทั้งสองแล้วน ามาAND กัน ดังรูป

A

B

A

BA B

A + B

A+B A BA

B

A

B

จงลดรูปสมการต่อไปนี้

สมการ SOP และ POS

การเขียนสมการบูลนี แสดงการกระท าของลอจิกต่างๆ จะประกอบด้วย x และ . จึงได้มีการก าหนดรูปแบบ ของสมการ นิพจน์บูลีน 2 รูปแบบคือ Sum-of-Products และ Products-of-Sum (SOP และ POS) รูปแบบ SOP จะเป็นการน าเทอมท่ีเกิดจากการ AND กันต้ังแต่ 2 เทอม มา OR กันเช่น1. 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶

2. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐶

รูปแบบ POS จะตรงข้ามกับ SOP คือเกิดจากการ OR กันต้ังแต่ 2 เทอม มา AND กันเช่น

1. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ( 𝐴 + 𝐵 + 𝐶)

2. (𝐴 + 𝐵)(𝐵 + 𝐶)( 𝐴 + 𝐶)

สมการ SOP รูปแบบมาตรฐาน

จากการเขียนในรูปแบบ SOP เทอมอาจจะมีตัวแปรคนละตัวกันตัวอย่างเช่น 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶 𝐷

จะเห็นว่าตัวแปลทั้งหมดคือ A,B,C,D เราจะเห็นว่า 2 เทอมแรกมีตัวแปรไม่ครบถ้าหากเป็นรูปแบบ SOP มาตรฐานเทอมแรกควรมีตัวแปร D หรือ 𝐷 เทอมท่ี 2 ควรมี C หรือ C วิธีการท าให้เป็น SOP มาตรฐานให้ด าเนินการดังนี้

1. คูณเทอมที่ตัวแปรไม่ครบด้วยตวัแปรที่ยงัไม่มี และมีค่าทางบูลีนเป็น 1 เช่น ( 𝐴 + 𝐴)

2. ท าขั้นตอนท่ี 1 กับทุกเทอมที่ตัวแปรยังไม่ครบ

ตัวอย่าง

จงเขียนนิพจน์บูลีนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป SOP มาตรฐาน A BC+ B A+AB CD

วิธีท า

จะเห็นว่าเทอมแรกไม่มีตัวแปล D และ 𝐷 ให้คูณด้วย ( D + D)

A BC = A BC D + D

= A BC D + A BCD

เทอมอ่ืนๆ ท าเช่นเดียวกับเทอมแรก จะได้สมการ SOP มาตรฐานดังนี้A BC D + A BCD + A BCD + A BC D + A B CD + A B C D + AB CD

สมการ SOP และ POS

จากตารางความจริง แสดงค่า ของการกระท าของสมการ และจะได้ค่า Y คือ เอาต์พุตของสมกา จากตารางความจริงสามารถถอดความสัมพันธ ์ในตารางออกมาเป็น

สมการพีชคณิตได้ โดย1. ให้พิจารณา ค่าเอาต์พุตที่เป็น 1 และเขียนเทอมของ A B C ออกมา

แต่ละตัว 2. หากค่าตัวแปลมีค่า เป็น 0 ให้เขียน โดยใช้ not ก ากับ และถ้าเป้น

1 ให้ใช้ตัวแปรปรกติ 3. น าตัวแปรแต่ละตัวกระท าการ And กัน จากนั้นท าเทอมแต่ละ

เทอมมา Or กัน วิธีนี้เราจะเรียกว่า การเขียน แบบ Sum of Product (SOP)จากตารางความจริงเราเขียนสมการ SOP ได้ว่า

สมการ SOP และ POS

ท าการลดรูปสมการพีชคณิต

ตัวอย่าง

สมการ SOP และ POS

สมการแบบ POS product of Sum รูปแบบ POSจะตรงข้ามกับ SOP ตั้งแต่การพิจารณา เอาต์พุต การเขียนตัวแปลแต่ละตัวและการติดเครือ่งหมาย Not ให้พิจารณาตารางต่อไปนี้

จากผลการลดรูป POS จะเห็นว่าได้ผลเท่ากับสมการ ของ SOP ดังน้ัน เราจะเลือกใช้การถอดแบบใดขึ้นอยู่กับความเหมาะสมกับ เอาต์พุด เช่น ถ้ามีเอาพุต 0 น้อยให้เลือกใช้แบบ POS แต่ถ้า มี 1 น้อยให้เลือกใช้งานแบบ SOP เพื่อให้การลดรูปสมการไมซ่ับซ้อนจนเกินไป

ตัวอย่าง

การบ้าน

การบ้าน

การบ้าน