ció como el de los Fundamentos de la Matemática.Este último proceso se puede considerar que seinicia con Frege, para quien los resultados boolea-nos fueron de extraordinaria importancia.

Angel Ruiz Zúñiga

BOOLE y LAS MATEMATICAS DEL SIGLO XIX

Surnmary: It is intended to describe some ofthe main ideas of George Boole in the decisivecontext of emerging mathematics of the XIX thcentury. We look [or the connection between thenew geometries and algebras (non euclidian, qua-ternions, etc.) and developments seeking to showthat logic is part of mathematics.

1his paper is completed with a description ofthe rigorization process in the logical foundationsof Mathematics established since the mathematicaldevelopments of the XIV th Century. This mathe-matical rigorization was one of the special compo-nents of the traditions leading to the mathemati-co-philosophical process (since the last part of theXIX th Century and continuing strongly till theThirties in this century) called Foundations ofMatematics. This process is considered to beginwith Frege, for whom Boolean results were ex-traordinarily important.

Resumen: Se trata de describir algunas de lasprincipales ideas de George Boole en el contextodeterminante de las matemáticas que emergen enel siglo XIX. Se busca la conexión de la abstrac-ción que se establece a partir de las nuevas geome-trías y el álgebra (no euclidianas, cuaterniones,etc.) y los desarrollos que pretendían demostrarque la lógica era matemática.

El trabajo se completa con una descripción delproceso de rigorización en los fundamentos lógicosde las matemáticas modernas establecidas a partirde la revolución matemática del siglo XVI!. La ri-gorización matemática fue una componente espe-cial de las tradiciones que condujeron al procesomatemático-filosófico (desde finales del XIX Y confuerza hasta los treinta de este siglo) que se cono-

Durante el siglo XVII se generaron los resulta-dos teóricos centrales que darían inicio a una nue-va época en las matemáticas desde la antigüedadgriega. Los trabajos de la geometría analítica (Des-cartes y Fermat), la aritmética superior, las proba-bilidades, etc., pero especialmente el cálculo infini-tesimal (Newton y Leibniz) establecieron el derro-tero teórico de la elaboración matemática del sigloXVIII y las bases del salto en abstracción que sedaría en el siglo XIX. El cálculo condensó los tra-bajos de muchos matemáticos que desde el Renaci-miento venían trabajando en un método que bus-caba dar cuenta del "Continuo" (espacial y tempo-ral).

Fue sin duda la especial conexión entre los mé-todos matemáticos y la mecánica (que había esta-blecido Galileo) una fuente teórica e históricaesencial para el decurso de los nuevos resultados.Estos métodos matemáticos no estaban sin embar-go desvinculados de todos aquellos procesos inte-lectuales que en las ciencias físicas se habían idoestableciendo, motivados por un contexto teóricoy social revolucionario. Las nuevas condiciones his-tóricas permitieron iniciar la respuesta a problemasmatemáticos planteados desde Eudoxo y Arquíme-des.

El salto cualitativo que vivió la matemática delXVII exigía sin embargo un desarrollo en nuevosresultados que cuantitativamente asegurasen la uti-lidad así como la validez entendida de estas mate-máticas.

Rev. Fil. Univ. Costa Rica, XXV (62), 195-200,1987

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Las matemáticas del siglo XV~I1(a diferencia delas del siglo XVII) fueron esencialmente cuantitati-vas. Fue un siglo de un gran desarrollo matemáticoconectado a la evolución de las ciencias llamadasnaturales. El "Siglo Heroico" configuraba, sin em-bargo, una situación que podríamos caracterizarcomo contradictoria. Se tenía una gran producciónmatemática, un gran éxito en la capacidad de pre-dicción en la ciencia de los resultados matemáti-cos, y al mismo tiempo "un marasmo lógico en losfundamentos" (1). El centro del análisis era el cál-culo y a pesar de la enorme oscuridad lógica, apesar del uso "libertino" de los números, éste ex-perimentó un enorme desarrollo (2). Los númerosirracionales eran admitidos a principios del XIX,aunque no los negativos y los complejos (3). Ber-keley aprovechaba el marasmo para atacar los infi-nitesimales de Leibniz y la matemática en general(4). Duran te el siglo XVII las matemáticas que sehicieron estuvieron basadas en la intuición y el sen-tido físico de las mismas, que fue lo que las condu-jo y no la lógica. La confianza de su trabajo noresidía ni en la consistencia ni en reglas formales.

Los problemas de la ausencia de fundamentoslógico si bien habían sido tratados no ocuparon unlugar preponderante entre los matemáticos, hastaque (a principios del siglo XIX) se evidenciaronelementos de la matemática que rompían supuesta-mente el esquema de la coincidencia matemática-naturaleza, la idea extraída del mundo griego anti-guo (adecuadamente cristianizado) del conoci-miento matemático como conocimiento de la na-turaleza. El surgimiento de las geometrías no eucli-dianas y la existencia de números que no seguíanlo esperable en ellos (los cuaterniones de Hamil-ton), volcaron las mentes sobre los fundamentoslógicos. Si se miraba hacia el análisis no había fun-damento ni en el álgebra ni en la aritmética usada,y en la geometría había problemas (5). Los cuater-niones no conmutativos y las geometrías no euclí-deas eran lo que Kline caracteriza como un autén-tico desastre (6).

Este "primer desastre" va a tener consecuenciasextraordinarias para la reflexión sobre la matemáti-ca y para la evolución de la filosofía de las mate-máticas. Durante el siglo XVIII y principios delXIX la visión Kantiana sobre la matemática se po-día apreciar en coherencia con la realidad de loque era la práctica matemática. Sin embargo, cuan-do emergen las geometrías no euclidianas y loscuatemiones las cosas no pueden quedar en el mis-mo sitio. El sentido de la "intuición" kantiana en-tró en problemas, sobre todo cuando había asumi-

do como dada en la "intuición" la geometría euclí-dea. Los recientes resultados matemáticos señala-ban la importancia de la estructura y la validezlógica frente a una intuición entendida en cone-xión con lo sensible. La correspondencia de la ma-temática con la realidad no había sido entendidaen cuanto estructuras susceptibles de tener un mo-delo capaz de coincidir con la real, sin relación conla experiencia más que en aspectos planteados enciertos momentos. Había sido entendida a partirde la relación sensible individual, limitada por lasfronteras más directas de las condiciones de loshombres. Si se quiere, se puede decir que la visiónque se tenía de la matemática era la que permitíauna conexión casi sensorial con el espacio inmedia-to y con la realidad material. Desde un punto devista teórico, las geometrías no euclidianas y loscuatemiones pusieron de manifiesto la existenciade un nuevo carácter en las matemáticas, que nopodía ser aprehendido por Kant; no porque hayaasumido una particular geometría, sino porque lasnociones de intuición y construcción que estable-ció no podían dar cuenta de ese carácter. La emer-sión de "lo nuevo" en las matemáticas del sigloXIX afirmaba una separación entre las matemáti-cas y la realidad. Mostró un camino en el que lamanipulación formal y la consistencia lógica ocu-pan un papel muy importante.

Para Kline lo que sucedió era algo que se acu-mulaba desde el XVIII:

"...un oculto cambio en la naturaleza de la matemática hasido hecho inconscientemente por los maestros. Hastaalrededor de 1500, los conceptos de las matemáticas eraidealizaciones inmediatas o abstracciones de la experiencia(...). Cuando además los números complejos, una álgebraextensiva que emplea coeficientes literales, y en las nocio-nes de derivada e integral entraron en las matemáticas, elasunto empezó a ser dominado por conceptos derivadosde los lugares recónditos de las mentes humanas" (7).

Para Kline esta nueva matemática (que creaconceptos más que abstrae) está presente desde si-glos anteriores (8).

Sin embargo, lo nuevo no fue comprendido co-mo tal y entonces no se entendió la necesidad deun fundamento aparte al de las verdades evidentes(9). En realidad, la matemática no es nunca meraabstracción o generalización inductiva; existe uncontenido operativo y estructurador en la esenciade la práctica matemática. Los irracionales y nega-tivos en los griegos por ejemplo no son mero pro-ducto de la abstracción; no se trata entonces de uncambio de un tipo de abstracción a otro. El carác-ter de la nueva matemática del XIX va a estar de-

BOOLE y LAS MATEMATICAS

terminado por el devenir propio de las matemáti-cas, así como por las condiciones generales de laevolución científica de la época; lo esencial va a serlo primero.

La producción matemática hasta el siglo XVIlIconcentró resultados matemáticos extraordinariosque (en la segunda mitad y en la primera del XIX)encuentran un punto de acumulación. Esto engen-dró una auto-conciencia diferente en ella. La mate-mática (fusión histórica y social de esfuerzos indi-viduales) entró en el siglo XIX en una nueva etapaevolutiva en la que la conciencia de ella fue unfactor de la misma; aunque esta conciencia no co-rrespondiese (en mi opinión) a la esencia de sunaturaleza última. Las geometrías no euclidianas ylos cuaterniones fueron los resultados teóricos ea-talizadores que sacidieron el mundo matemático yse convirtieron en la palanca central gestadora dela nueva etapa.

Las nuevas condiciones en las matemáticas (y lareflexión sobre las mismas) generaron un intentoextendido por solventar las debilidades de las ma-temáticas del XVII y el XVIII. Se sucedieron im-portantes intentos en la búsqueda de la consisten-cia de las nuevas geometrías y en la rigorizacióndel análisis y el álgebra (Bolzano, Abel, Cauchy,etc.). Cauchy trató de fundamentar el cálculo en elnúmero, y en el concepto de límite (10). El mejorintento en esta rigorización fue hecho por Weiers-trass (11). Este dio una derivación de las propieda-des de los irracionales a partir de los racionales, yDedekind se colocó en la misma dirección (12).Pero, además, como era consecuencia de los nue-vos tiempos, la Lógica debía sufrir modificaciones.El resurgir de la lógica en las islas británicas fueiniciado en el siglo XIX por Richard Whately. SirWilliam Hamilton y Augustus De Morgan contribu-yeron también; pero fue George Boole el verdade-ro fundador de la Lógica simbólica moderna. Suaproximación se va a inspirar en la visión del álge-bra de Peacock, Gregory y De Morgan, pero sobretodo en las características de una nueva matemáti-ca (cuaterniones y geometrías no euclidianas apun-talaban una visión axiomática y operativa, nocuantitativa). Los avances de Boole en la Lógicason establecidos por la matematización de la mis-ma (el simbolismo y el carácter operatorio-aritrné-tico). Sus trabajos reforzaban la nueva visión de lasmatemáticas.

Para Boole la Lógica posee su fundamento últi-mo en las operaciones de la mente (13). Afirma laposibilidad de la Lógica en la capacidad humanapara concebir clases y designar sus elementos a tra-

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vés de un nombre común (14). Ahora bien, es en ellenguaje donde se pueden percibir las operacionesde la mente (15). Para Boole, las leyes de la lógicapodían establecerse a través de un cálculo deducti-vo (16) y simbólico (17).

La visión de Boole conectaba con las pretensio-nes leibnizianas de un cálculo simbólico, que esentendido como matemático, axiomático. ParaBoole la Lógica es operatoria (18). Es por esto quela Lógica es entonces Matemática y no metafísica.Más aún, el carácter axiomático de la Lógica es loque más le une a la Matemática (19). En 1847decía en Análisis Matemático de la Lógica:

" ..la Lógica, como la geometría, se basa en verdades axio-máticas y ... sus teoremas se construyen teniendo en cuen-ta la doctrina general de los símbolos que constituye labase del Análisishoy aceptado" (20).

Insiste en el mismo libro:

"... porque es un método que se apoya en el empleo desímbolos regidos por leyes combinatorias generales y co-nocidas, cuyos resultados admiten una interpretación nocontradictoria" (21).

Sin embargo, Boole considera que las leyes de laLógica son matemáticas sólo en su forma, no en sucontenido (22). Para demostrar su punto de vistarealiza una reducción simbólica, operativa y axio-mática de las leyes de la Lógica. La aproximaciónbooleana encontraba sustento intelectual en los re-sultados matemáticos de la época. En particular, eldescubrimiento de nuevas entidades algebraicas noconsideradas convencionalmente como números yel descubrimiento de sistemas numéricos que nocumplen ciertas propiedades aritméticas usuales (laconmutatividad en los cuaterniones) (23).

Para Boole la matemática no es de magnitudes,su esencia está dada por su carácter calculatorio yaxiomático (24). Esta es una aproximación que de-ja de lado los aspectos cuantitativos que fueron losque predominaron en el siglo XVIII. Para Boole larealidad (al igual que la Lógica) también está regi-da por las leyes matemáticas.

La forma precisa de la expresión matemática dela Lógica es en Boole a través de "ecuaciones"(25), cosa que Hamilton (el filósofo) había obteni-do. Los razonamientos se pueden expresar a travésde funciones y sus desarrollos. El camino internoentre las premisas y las conclusiones puede estable-cerse simbólica y matemáticamente, para sólo alfinal retomar el sentido lógico. Esta "expansión"es el procedimiento fundamental en el despliegueformal del sistema de Boole" (26).

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en Peirce) la Lógica simbólica era matemática. La"autoconciencia" de la Lógica como ciencia inde-pendiente, aparte de su consideración como leyesdel pensamiento, objetivas o subjetivas, va a apare-cer con claridad en Frege. Aquí la Lógica ya no esmatemática, sino al revés: esta última es Lógica.Para establecer esta inversión adecuadamente eranecesario una renovación y síntesis de la lógica, unlenguaje simbólico más desarrollado y una aproxi-mación filosófica apropiada. El proceso que con-duce a ese resultado en Frege no fue establecido,sin embargo, a partir solamente de los productosdel trabajo de Boole, De Morgan o Peirce; de nue-vo la evolución de los problemas de las matemá-ticas fue central en ese desarrollo. La búsqueda delfundamento lógico de la matemática en una etapaen que se percibía ésto como una tarea intelectualdecisiva, fue un factor determinante.

Durante el siglo XVIII se habían desarrolladotrabajos en el análisis muy importantes (Euler, La-grange, etc.). En la búsqueda del rigor se buscó laconexión de los infinitesimales, las "operaciones"de derivación e integración y, en general, el conti-nuo real, con la aritmética. Se puede señalar a Bol-zano como iniciador de este proceso, aunque desdeel siglo anterior se buscaban formas de rigorizaciónde los resultados obtenidos. Para Cauchy es necesa-rio buscar definiciones claras y precisas y el esta-blecimiento preciso de las fronteras de los concep-tos y las fórmulas (32). Intentos en la aproxima-ción del análisis y la aritmética fueron realizadospor Martin Ohm (1822) (34), y después Grass-mann, Hankel y Weierstrass. Pero fue este últimoel que ofreció una definición rigurosa de los núme-ros irracionales a partir de los racionales. Su traba-jo implica una " ... liberación del análisis del tipode prueba geométrica intuitiva tan prevaleciente enese tiempo" (35). La noción de número real estabaconectada entonces a las magnitudes de la geome-tría. Otros autores como Dedekind (en sus trabajosde 1872 y 1888) (36) y Cantor, tomando comopunto de partida la validez de las propiedades delos racionales les conectaron a éstos los irracionales(37).Nos señala E.T. Bell en su Historia de las Matemá-ticas de 1940:

ANGEL RUIZ

El tratamiento booleano de la Lógica introducela Lógica de clases, y con ello una mejor aproxima-ción que la dominada por la relación clásica suje-to-predicado. De hecho la matemática tal y comoél la concibe es el 'instrumento' que le permite ladelimitación de fronteras para abrir curso a la inde-pendización de la Lógica como ciencia. Esta direc-ción va a ser asumida en la segunda mitad del sigloXIX y establecerá indiscutiblemente el camino dela Lógica moderna. Boole inicia con su teoría delas funciones de verdad y su expresión en formanormal disyuntiva. Los trabajos de Boole actuali-zaron en el espectro intelectual de la época la vi-sión leibniziana sobre la matemática y la Lógica,engendraron elementos que fueron utilizados luegoen la edificación del proyecto logicista de Frege.Apuntaló entonces una visión axiomática y formalde las relaciones entre Lógica y aritmética (27).

Los resultados de Boole superan los trabajos deLeibniz (que ya habían intentado sin éxito ser su-perados por diversos autores previos: Segner, J.Lambert, Ploucquet, Holland, De Castillon, Ger-gonne) (28). Boole al asociar a una proposición elconjunto de casos en los que se verifica.

" ... interpreta la relación de implicación como una inclu-sión y su cálculo con conjunt scle proporcionan de estemodo las reglas del 'Cálculo Proposicional'''(29).

Sus trabajos van a servir como base para Jevons,el mismo De Morgan y C.S. Peirce. De Morganhabía establecido en su Formal Logic de 1847 quela Lógica se refiere esencialmente a relaciones, aligual que Boole (30). Peirce extendería estos resul-tados en sus escritos de 1870 a 1893 y Schroederlos sistematizaría (31). El énfasis en las relacionesera una consecuencia del flujo general que apunta-laba la axiomática y de la nueva aproximación ha-cia la matemática y la Lógica. Peirce introdujo unanotación para las proposiciones que expresan rela-ciones, enfarizó (lo que Boole apenas había toca-do) el concepto de función proposicional (32) yelde cuantificadores (33). La conjunción derelaciones, clases, funciones proposicionales ycuantificadores, abría una nueva etapa en la Lógicay describía el panorama de la misma previo a lostrabajos de Frege.

Durante esta época los avances en la Lógica ha-bían sido introducidos en el marco de la evoluciónde la matemática. Muchas de las innovaciones apa-recían condicionadas por las necesidades en la bús-queda de sustentar condiciones de rigor para losresultados matemáticos. En Boole (como también

"La definición de Dedekind de los números irracionalescom o cortaduras en clases infinitas de racionales, las suce-siones de números racionales de Cantor para definir losnúmeros irracionales, y los números irracionales deWeierstrass considerados como clases de relaciones, todasellas en definitiva referían el continuo de los númerosreales a los números naturales. Las "magnitudes" de

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Eudoxio quedaban reemplazadas por construcciones hipo-téticas realizadas con los números 1, 2, 3 ..."De este modo, la aritmetización del análisis era una vuel-ta al programa de Pitágoras" (38).

La aritmetización del análisis no se puede consi-derar un proceso mecánico y simple de rigoriza-ción de resultados matemáticos, sino que debe ver-se integrada a una nueva "autoconciencia" en laevolución de la matemática. La aritmetización vadirigida en el siglo XIX al abandono de la intuicióngeométrica que había predominado en el cálculodel siglo XVIII; es la búsqueda por aprehender unanueva realidad en la que la validez lógica aparececomo central (39).

Los trabajos de Cantor en lo que se refiere a losfundamentos del análisis continúan la obra deWeierstrass (40). En las definiciones de los reales elproblema residía en la forma de traducir el paso allímite de los enteros. Para Cantor, por ejemplo,"toda sucesión regular define un número; la clasede todos los números así definidos es el sistema delos números reales" (41). Para Dedekind y tambiénpara Weierstrass está presente esta incidencia sobrelo que es una referencia al continuo y, entonces, alinfinito. La noción de continuo real implica unproceso matemático (mental si se quiere) cualitati-vamente diferente al que se manifiesta en la arit-mética. Con la aritmetización del análisis no se tra-taba simplemente de desgeometrizar el cálculo yde apuntar hacia mejores condiciones lógicas ensus fundamentos; se trataba de una reducción dediferentes nociones conceptuales (referidas a obje-tos diferentes) a las nociones aritméticas. Este pro-ceso de cualidades diferentes sólo podía ser realiza-do a partir de una nueva abstracción y, sugiero, apartir de la introducción implícita o explícita desupuestos teóricos sobre la existencia y la naturale-za de las entidades matemáticas. La aritmetizaciónde las matemáticas es la manifestación, por otraparte, de una intención reduccionista de sus distin-tos componentes. Es la búsqueda de una unidadteórica en la diversidad, cuyo planteamiento exigeuna re adecuación en la conciencia de la naturalezade la matemática e incluso del conocimiento. Unproceso que no fue abordado en el siglo XIX y esposible que fuesen necesarios más elementos teóri-cos que los existentes entonces para establecer suactualidad.

La matemática del siglo XIX se puede resumiren la emersión de las geometrías no euclidianas, laaritmetización del análisis, la sistematización geo-métrica y el surgimiento de formas algebraicas nue-

vas; pero quedarían por fuera, sin duda, muchosresultados importantes (42): los trabajos de Gaussen la teoría de números (seguido por Dirichlet), loslogros en la generalidad de la geometría analítica,la .teoría de las funciones de Weierstrass, Schwarz yMittag-Leffler (43). En este panorama intelectualse construyó la teoría de conjuntos. Esta nace, nosdice Bourbaki, debido a:

"Las necesidades del Análisis -en particular el estudio afondo de las funciones de variables reales-, que se desarro-lla durante todo el siglo XIX" (44)

Tal y como la conocemos ahora es trabajo deCantor. Este se interesó por el asunto en 1872, apropósito de los problemas de equipotencia en1873, de la dimensión a partir de 1874, y entre1878 y 1884 incidió sobre casi todos los proble-mas de la teoría de los conjuntos (45). A pesar dela oposición general que esta teoría generó en laépoca de Cantor, Weierstrass y Dedekind siguieroncon interés la labor de Cantor. Para Dedekind suobjetivo era fundamentalmente la aplicación de lanoción de conjunto a la de número (46). Desde elmomento en que aparecen muchos de los resulta-dos, éstos van a ser aplicados a las cuestiones clási-cas del Análisis (47). La teoría de conjuntos fuemuy importante porque iba a servir como engrana-je de los principales resultados matemáticos y lógi-cos de la época y también concentraría sobre ellala reflexión sobre los fundamentos de la matemáti-ca. La teoría de conjuntos, de una u otra forma, vaa representar desde entonces un papel esencial enla descripción de las matemáticas, a pesar de lasdificultades que a partir de ella se sucedieron enmomentos posteriores.

Los resultados de Boole en la Lógica se uniríana aquellos de la rigorización de la matemática, enel contexto de un nuevo carácter en la matemáticacreando un cuadro intelectual extraordinario par~la síntesis en los fundamentos y la reflexión sobrelas matemáticas. El primer intento en ese sentidosería dado por Gottlob Frege retornando la filoso-fía logicista de Leibniz.

NOTAS

( 1) Kline, Morris. Matematics. The Loss ofCertainty.New York: Oxford University Press, 1980. pp. 153.

( 2) Cf. Ibid., pp. 140.( 3) Cf. tu«, pp. 153.( 4) Cf. [bid. pp. 145,146.( 5) Cf. Ibid., pp. 127.

(29) Ibid., pp. 21.(30) Cf. Kline. Ob. Cit. pp. 185.(31) Cf. iu«, pp. 186.(32) Cf. Idem.(33) Cf. Ibid. pp. 187.(34) Cf. Babini, José. Historia Suscinta de la Matemá·

tica. Madrid: Espasa-Calpe, 1969, pp. 121.(35) Cf. Bourbaki. Ob Cit. p. 41.(36) Wilder, Raymond. Introduction to the [ounda-

tions of Mathematics. New York. John Wiley and sons,1956. p. 190.

(37) Cf. Babini. Ob. Cit. p. 123.(38) Cf. Kline, Ob Cit. pp. 179.(39) Bell, E. T. Historia de las Matemáticas. Trad. R.

Orriz. México: Fondo de Cultura Económica, 1949, pp.291.

(40) Cf. Ibid., pp. 307.(41) Cf. Wilder. Ob. Cit. pp. 195.(42) Bell. Ob. Cito pp. 289.(43) Cf. Babini. Ob. Cit. pp. 130.(44) Cf. tu« pp. 131, 132.(45) Bourbaki. Ob Cit., pp. 46.(46) CC.iu«, pp. 47.(47) Cf. Ibid., pp. 49.(48) Cf. Ibid. pp. 50, 51.

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( 6) Cf !bid., pp. 99.( 7) Cf. Ibid., pp. 167( 8) Cf. Idem.( 9) Cf. tu«, pp. 168.(10) Cf. Ibid., pp. 174, 175.(11) Cf. Ibid., pp. 177.(12) Cf. ¡bid., pp. 178,179.(13) Boole, George. Análisis Matemático de la Lógica.

Trad. Armando Nasri Vera. Buenos Aires: Universidad Na-cional de la Plata, 1960. pp. 9.

(14) tu« pp. 13.(15) Boole, George. An investigation of the laws of

thought on which are founded the mathematical theoriesof logic and probabilities. New York: Dover Publications.Inc., 1958. pp. 24.

(16) Boole. Análisis Matemático de la Lógica. pp. 10.(17) tu«, pp. 13.(18) Boole. Laws ofThought. pp. 1.(19) tu«, pp. 5.(20) Boole. Análisis Matemático de la Lógica. pp. 25.(21) !bid., pp. 12.(22) Cf. Boole. Laws of Though t. PP. 11.(23) Kneale, Martha y William. El desarrollo de la lógi-

ca. Trad. Javier Muguerza. Madrid: Editorial Tecnos,1972. pp. 374.

(24) Boole. Análisis Matemático de la Lógica. pp. 12.(25) !bid., pp. 18.(26) Kneale. Ob. Cit. pp. 384.(27) Boole. Laws of Though t. pp. 46.(28) Bourbaki, Nicolás. Elementos de Historia de las

Matemáticas. Trad. Jesús Hemández. Madrid: Alianza Edi-torial, 1976. pp. 21.

Angel RuizEscuela de MatemáticaUniversidad de Costa RicaSan Pedro de Montes de OcaCosta Rica