Date post: | 09-Jul-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | orgil-jargalsaihan |
View: | 343 times |
Download: | 2 times |
МХТС МХТС J.TC207J.TC207МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Комбинторик
Rosen 6Rosen 6thth ed., §5.1-5.3, § 5.5 ed., §5.1-5.3, § 5.5
1
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Комбиторик
• Аливаа юмсыг олон төрлийн комбинациар тооцоолдог. ж.н. Хэрэв 6-8 оронтой тоо эсвэл үсгээр
кодлсон бол хичнээн кодлол үүсэх боломжтой вэ?
• Үндсэн 2 арга байдаг ба үүнд:– Нэмэх хууль– Үржүүлэх хууль
2
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Нэмэх хууль
• Хоёр даалгавар авч үзье:– нэгдүгээр даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо m.– Хоёрдугаар даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо n
– Даалгавар бүр бие биенээсээ тусгаарлагдсан• Нэгдүгээр даалгавар амжилтгүйтвэл хоёрдугаар
даалгавар нь орлогч хувилбар
• Нэмэх хууль: даалгавар нэг эсвэл хоёрын аль нэг нь хийгдэнэ гэхдээ хоёулаа биелэхгүй бол m+n.
• Олон даалгаваруудад авч үзье...
3
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• Оюутан компьютерийн төслийн жагсаалтаас 3-с 1-ийг сонгоно. Жагсаалтууд тус тусдаа 23, 15 болон 19 боломжит төсөлтэй. Хэдэн боломжит төслийг сонгож болох вэ?
4
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Олонлогын онолын хэлбэр
• Хэрэв A олонлог нь даалгавар нэгийг хийх аргууд ба B олонлог нь даалгавар хоёрыг хийх аргууд тэгвэл A болон B disjoint салгая:
“даалгавар нэг хоёрыг хийх аргууд нь
A∪B, ба |A∪B|=|A|+|B|”
5
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Үржүүлэх хууль
• Хоёр даалгавар авч үзье:– нэгдүгээр даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо m.– Хоёрдугаар даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо n
– Даалгавар бүр бие биенээсээ тусгаарлагдсан• Нэгдүгээр даалгавар амжилтгүйтвэл хоёрдугаар
даалгавар нь орлогч хувилбар
• Үржүүлэх хууль: даалгавар нэг болон хоёр хоёулаа хийгдэнэ гэвэл mn.
• Олон даалгаваруудад авч үзье...
6
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Олонлогын онолын хэлбэр
• Хэрэв A олонлог нь даалгавар нэгийг хийх аргууд ба B олонлог нь даалгавар хоёрыг хийх аргууд тэгвэл A болон B disjoint салгая:
• даалгавар нэг хоёрыг хамтад нь хийх аргуудыг A×B гэх ба|A×B|=|A|·|B|
7
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• 7 бит урттай дарааллыг хэчнээн янзаар байрлуулж болох вэ?
8
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• Холбооны сургуульд CS – ийн 37 факултет байдаг ба 83 CS мэргэжтэй бол хичнээн боломж байх вэ?
9
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Дасгал
• Лицензийн дугаарын эхний 3 оронд үсэг байх ба сүүлийн 3 оронд тоо байвал хичнээн боломж байх вэ?
10
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Дасгал
• Төгсгөлөг олонлог S – д хичнээн тооны өөр дэд олонлгууд байх вэ?
11
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
2 хуулийг ашигласан жишээ
• Компьютерийн хэрэглэгч бүр нууц үгтэй ба 6-9 оронтой том үсэг болон тоо орсон нууц үг бүрд багадаа 1 тоо орсон бол хичнээн нууц үгийн боломжтой вэ?
12
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
IP хаяглалын жишээ(Internet Protocol vers. 4)
• Компьютерийн хаяглалын 3 төрлийн нэг нь үнсэн хаяг байдаг:– Class A:7-бит “netid” ≠ 17, болон 24-бит “hostid” хаяглал.– Class B: 14-бит netid болон 16- бит hostid байдаг.– Class C: 21-бит netid болон 8-бит hostid байдаг.
– Hostid-нууд нь бүгд 0 болон 1 байхыг зөвшөөрөхгүй.
• Хичнээн боломжит хаяглал байх вэ?13
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
2 хуулийг ашигласан жишээ:IP хаяглалын шийдэл
• (# addrs) = (# class A) + (# class B) + (# class C)(нэмэх хуулиар)
• # class A = (# valid netids)·(# valid hostids)(үржүүлэх хуулиар)
• (# боломжит class A netids) = 27 − 1 = 127.• (# боломжит class A hostids) = 224 − 2 = 16,777,214.• энэ загварыг үргэлжлүүлвэл хариулт нь:
3,737,091,842 (3.7 тэрбум IP хаяглал байна)
14
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Оруулах гаргах зарчим(“нэмэх хууль”)
• Хэрэв даалгавар нэгийн m тооны даалгаварын k≤m k арга нь даалгавар хоёрт давхардаж байсан.
• Тэгвэл даалгавар нэг хоёрыг тус тусд нь хийх аргын тоо нь m+n−k.
• Олонлогын теорем: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.
15
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• 8 бит дараалал нь 1 эхлээд 00 төгсдөг бол хичнээн боломж байх вэ?
16
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• Нууц үг нь:– 2 тэмдэгтийн урттай байх ёстой.– Нууц үг бүр нь a-z үсэг, 0-9 тоо, эсвэл 10
тусгай тэмдэгт байна !@#$%^&*().– Нууц үг бүр нь нэг тоо эсвэл нэг тусгай
тэмдэгт багтаасан байна.
17
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Шийдэл
• Нууц үгэн нь үсэг болон тоо эсвэл тусгай тэмдэгт байрлал 1 эсвэл байрлал 2-т байна.
• (#1 байрлалд тохирох тэмдэгт нь) = (10+10)·(10+10+26)
• (#2 байрлалд тохирох тэмдэгт нь): мөн 20·46• (# 2 байрлалд хамт байх тоо т/т нь): 20·20
• Хариулт нь: 920+920−400 = 1,440
18
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Мод шийдэлЧамд 4 цамц, 3 өмд болон 2 хос гутал байсан бол хэдэн янзаар өмсөх боломжтой вэ?
19
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Мод шийдэл
Цэг дийг тод улаанаар холбосон ба хичнээн холбоос байна үүвэ?
Мот шийдэл нь тусгай б тэцтэй асуудлын ү
тохиолдлуудын дарааллыг тооцоолох тохиромжтой арга юм.
20
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Тагтааны үүр зарчим
• Хэрэв k+1 объект k байранд байрланагэвэл хамгийн багадаа 1 байр нь ≥2 объект байрлана.
• Даалгавар функц нь: Хэрэв f:A→B ба |A|≥|B|+1,байвал хэсэг B элемент нь ≥2 f доорх өмнөх дүрс pre-images. f нь one-to-one (1-1) биш байна.
21
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Тагтааны үүр зарчим
Хэрэв n тагтаа k рэнд нисэн үүорвол k < n ба зарим р нь 2 үү
х ртэл тагтаа орох боломжтой.ү22
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Тагтааны үүр зарчим
Хэрэв n тагтаа k рэнд нисэн үүорвол k < n ба зарим р нь 2 үү
х ртэл тагтаа орох боломжтой.ү23
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Тагтааны үүр зарчим
S олонлогт дурын 6 эерэг б хэл тоог авч зьеү ү . Тэгвэл эдгээр хос тоонууд нь 5 хуваагдах байдлаараа ялгаатай бол ялгааг ол.
S = {a1,a2,a3,a4,a5,a6}. Эдгээрийг 5-д хуваахад лдэгдэл нь үямар байх вэ?
0, 1, 2, 3, or 4
6 тооны, 5 боломжит лдэгдэл байгааг мэднэ.ү
Эдгээр тоонуудыг ai болон aj гээд лдэгдлийгү r гэе. Тэгвэл ai = 5m + r, болон aj = 5n + r.
Эдгээрийн ялгаа нь: ai - aj = (5m + r) - (5n + r) = 5m - 5n = 5(m-n), 5-д хуваагдахад болно.
24
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Тагтааны үүр зарчмыг дүгнэвэл
• Хэрэв N≥k+1 объект k байранд байрлана, тэгвэл ядаж нэг байр нь N/k объект байрладаг.
• Ж.н, ангид N=280 оюутан байсан. Мөн жилд k=52 долоо хоног байдаг.– Тэгвэл , 1 долоо хоногт ангийн 280/52=
5.38=6 хүртэлх оюутны төрсөн өдөр болдог.
25
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Proof of G.P.P.
26
• Үл нийцэл contradiction. Байр бүр < N/k объекттэй байг, үүнээс ≤ N/k−1 байна.
• Тэгвэл нийт объектын тоо нь ихдээ
Nk
Nk
k
Nk
k
Nk =
=
−
+<
−
111
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
G.P.P. Дасгал
• Өгсөн нь: ангид 280 оюутан байсан. Хэний ч төрсөн өдрийг мэддэггүй ба ижил сард төрсөн оюутны тоо N ийн ямар утганд байх вэ?
• Хариулт:
27
280/12 = 23.3 = 24
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Сэлгэлт
• Сэлгэлт нь S олонлогийн объектуудын дарааллуулсан жагсаалт ба S-ийн элемент уг жагсаалтанд нэг л удаа орно.
ж.н, 1 2 3, 2 1 3, 3 1 2• S –ийн элементийн r ялгаатай дарааллуулсан
жагсаалтыг r-permutation.• S олонлогийн r-permutation-ий элементийн тоо
n=|S| нь P(n,r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!
28
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• 100 хүн оролцсон ба 3 дахь байрны ялагчаар хичнээн хүн тодрох боломжтой вэ?
29
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• Террорист танай хотод бөмбөг тавьжээ. Чиний даалгавар утсыг салгах ба бөмбөгийг аюулгүй болгох.
• Бөмбөг нь 10 утсаар холбогдсон. • Хэрэв чи зөв 3 утсыг тасалвал бөмбөг аюулгүй
болох ба бусад тохиолдолд дэлбэрнэ! • Хэрэв бүх утас ижил өнгөтэй байвал чамд
аврагдах хэдэн боломж байгаа вэ?
30
P(10,3) = 10·9·8 = 720, тэгээд чамд 720 боломжоос 1 зөв 3 утас салгаснаар чи аврагдана.
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Жишээ
• Дараах үсгүүдийг ABC дарааллыг алдагдуулалгүй байрлуулах хэдэн сэлгэлт байна вэ? ABCDEFG
31
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Кобинаци
• S олонлогоос r элементийг дараалал харгалзахгүйгээр сонгох.
S={1,2,3} ж.н, 1 2 , 1 3, 2 3• S олонлогийн r-combination C(n,r)-ий
элементийн тоо n=|S| нь
!( , )
!( )!
n nC n r
r r n r
= = −
32
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Комбинаци болон сэлгэлт
• Голдуу дараалал харгалцахгүй сэлгэлт гэдэг…
• Дараах нөхцөл биелэнэ. C(n,r) = C(n, n−r)
)!(!
!
!
)!/(!
),(
),(),(
rnr
n
r
rnn
rrP
rnP
r
nrnC
−=−==
=
( , ) ( , ) ( , )P n r C n r P r r=
33
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Комбинацийн жишээ
• 52 хөзрөөс 7 хөзрийг гарт хичнээн боломжоор сугалах вэ? – Гарт сугалах дараалал хамаарахгүй.
• Хариулт C(52,7) = P(52,7)/P(7,7)= 52·51·50·49·48·47·46 / 7·6·5·4·3·2·1
34
710 82
17
52·17·10·7·47·46 = 133,784,560
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Комбинаци болон сэлгэлтийг дүгнэвэл
• Тооцоолох асуудлыг хэрхэн шийдэж байгаагаар нь элемент нь нэг удаа орж байна уу олон удаа байна уу?
• Тооцоолох асуудлыг хэрхэн шийдэж байгаагаар нь хэсэг элемент нь ялгаагүй байна уу?
• Тооцоолох асуулдалд байр ялгаатай байна уу эсвэл оролцож байгаа элемент ялгаатай байна уу?
35
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Давталтат сэлгэлт
• Олонлогоос n объектыг r-permutation давталтайгаар сонгосон бол
• Жишээ: n урттай тэгдэгтэнд англи хэлний цагаан толгойн үсгүүдийг хичнээн янзаар байрлуулж болох вэ?
rn
36
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Давталтат Комбинаци
• N элементтэй олонлогоос r-combinationкомбинацийг элементийн давталттайгаар сонговол C(n+r-1,r).
• Жишээ: төлбөр төлөх болжээ $1 билл, $2 билл, $5 билл, $10 билл, $20 билл, $50 билл, болон $100 биллээс 5 билл давталттайгаар сонгох хичнээн боломжтой вэ?
37
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Давталтат Комбинаци
Эхлэл: s1, s2 … гэх мэтчилэн байраар 5 тэмдэгтийг ангилъя Шийдэл: сонгосон байрлалд 5 од орох 11 боломж байна.
38
n=7r=5
Байрлал болон хуваагч
тэмдэгт
C(n+r-1,5)= C(7+5-1,5)=C(11,5)
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Давталтат Комбинаци
• Жишээ: 10 ялгаагүй бөмбөгийг 8 ялгаатай саванд хийх хичнээн боломжтой вэ?
39
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Давталттай давталтгүй Сэлгэлт болон Комбинаци
40
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Бином коэффициент
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b + b3
(a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4
Ягаад чухал вэ гэвэл
● Сонирхолтой хэлбэр
● Рекурс тодорхойлох● Баталгааны шинэ
хэлбэр● Тооцоолох р өө
шийдэл.41
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Бином коэффициент
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Бином коэффициент a9b3 ол (a + b)12?
● 36● 220● 15● 6
● Хариулт байхг йү
42
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Бином коэффициент
• (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
Бином теорем: x болон y хувьсагчийн хувьд , n с р г биш ө өб хэл тоо байвалү
€
(x +y)n =nj
j=0
n
∑ x n−jy j
= a4
€
40
+ a3b
€
41
+ a2b2
€
42
+ ab3
€
43
+ b4
€
44
43
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Бином теорем: x болон y хувьсагчийн хувьд , n с р г биш б хэл тоо байвалө ө ү
€
(x +y)n =nj
j=0
n
∑ x n−jy j
Бином коэффициент
(3a +2b)17 бином задаргааны a8b9 коэффициентийг ол?
What is n? 17
What is j? 9
What is x? 3a
What is y? 2b€
17
9
(3a)8(2b)9=
17
9
3829a8b9
44
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Бином коэффициент
(a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)= a4
€
40
+ a3b
€
41
+ a2b2
€
42
+ ab3
€
43
+ b4
€
44
●10C6
●9C4
●9C5
●8C4 + 8C5
● Хариулт байхг йү
45
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
€
(x +y)n =nj
j=0
n
∑ x n−jy j
Бином коэффициент
Паскалын гурвалжны м р дийн нийлбэрө үү :2 зэрэгт
€
nj
j =0
n
∑ =2n N хэмжээтэй олонлог г гдс н бол хичнээн ө ө ө
дэд олонлог сэх вэ?үү 2n
0 хэмжээтэй дэд олонлог хэд байх вэ?
nC0
1 хэмжээтэй дэд олонлог хэд байх вэ?
nC1
2 хэмжээтэй дэд олонлог хэд байх вэ?
nC2
Дэд олонлогуудыг дээрх байдлаар тоолдог. 46
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
€
(x +y)n =nj
j=0
n
∑ x n−jy j
Бином коэффициент
Паскалын гурвалжны м р дийн нийлбэрө үү : 2 зэрэгт
€
nj
j =0
n
∑ =2n
x=1 болон y=1 бином теорем нь
бол
€
nj
j=0
n
∑ 1n−j1 j =(1+1)n
€
nj
j =0
n
∑ =2n
47
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Pascal’s Identity
Паскалын ▲-ны элементийн хамаарал нь:=
jn
n-1Cj-1
€
n -1j -1
+
n -1j
n-1Cj
48
МХТС МХТС J.TC207J.TC207
Vandermonde’s Identity
m, n, болон r эерэг б хэл тоонууд байг ү r нь m эсвэл n-ээс их биш. Тэгвэл
Am б лэгү
€
m+nr
=
mr- j
nj
j=0
r
∑
Bn б лэгү
49