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COVARIANZA

 Anteriormente vimos que si teníamos una función q(x,y);por ejemplo:

En general la función puede ser q(x,y,z,….)

La incertidumbre es:

 = + Entonces:

Vimos además que   calculado de la maneraanterior puede ser una exageración ya que se esta

tomando el máximo error. Ya que podría haber una

cancelación parcial de los errores

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Cuando los errores son independientes dijimos que

También vimos que una buena medida de la incertidumbre

es la desviación estandar,

vimos que si las mediciones de x se distribuyen normalmente,podemos estar 68% seguro de que el valor medido se

encuentra dentro del valor verdadero.

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COVARIANZA

Supongamos que queremos hallar la función  = (,)Realizamos N medidas obteniendo:

,   ;   ,   ;…….(,)

Hallamos también:

Hallamos:

 Análogamente tenemos:

 Asumimos que nuestras incertidumbres son pequeñas

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 Aproximando:

Las derivadas parciales

Son evaluadas en:

Con esta aproximación la media se convierte

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Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene

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La suma de los dos primeros términos es la que aparece en

la desviación estandar   La covarianza de x e y es:

 = ( − )( − )

Por lo tanto:

 =  

 +  

 +  

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Si las mediciones de x y y son independientes podemos

observar que después de muchas mediciones la

covarianza  se va a aproximar a cero; ya que  (−)puede ser + o – y después de muchas mediciones sellega a aun equilibrio. Además en el límite de muchas

mediciones (infinitas) 1/N garantiza que =0

Después de muchas mediciones finitas     no seránecesariamente cero, pero es pequeña si los errores de xe y son independientes y aleatorios

 =

   +

 

=0

Resultado familiar para incertidumbres independientes y

aleatorias

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Si las mediciones de x e y no son independientes la

covarianza no necesariamente es cero. Ya que podría ser 

que   (−) y   (−) ambos sean positivos o negativosentonces el producto es siempre positivo, o uno de ellos

positivo y el otro negativo por lo tanto el producto es

negativo

Ejercicio: Cinco estudiantes dan las medidas de dos ángulos . Hallar  =  +

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Hallamos:

Hallamos    = +  =  +  = +  =La covarianza

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 =

   +

   +

 

 =    =  

 +  

 +  

Si hubiésemos considerado independientes las mediciones

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Usando:

 =    +    +   Se puede demostrar que:

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:

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Con este resultado establecemos el significado de nuestra

incertidumbre vista anteriormente

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEALLa noción de covarianza nos va a permitir responder si las

medidas de dos variables por ejemplo x, y se encuentran

relacionadas linealmente.

Si se hacen medidas de: ,   ,   ,   …….   ,

Si están relacionadas linealmente    =  +Hallamos A y B por mínimos cuadrados

Graficamos y vemos que tan alejados están los puntos

medidos con la recta obtenida analizando sus incertidumbres

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No siempre es fácil determinar 

si la relación entre dos

variables es lineal, para eso

calculamos el coeficiente de

correlación lineal

Reemplazando las expresiones halladas anteriormente en la

ecuación de «r» tenemos

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De la relación de :

Se demuestra:

 Asumiendo que todos los puntos , se encuentran sobrela recta y= A+Bx

Entonces tenemos:

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* Si r= 0 entonces x e y no están correlacionadas linealmente,

lo mismo si r es cercano a cero

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Ejemplos