Legea gravitatiei (atractiei) universale

Un punct material de masă m1 atrage orice alt punct material din univers de masă m2 cu o

forţă

rF ˆ2

2112 r

mGm

G=6.67•10-11 Nm2/kg2

constanta atracţiei universale

m1 m2r̂

12Fr

m1 m212F

21F

1221 FF

r

Legea atractiei gravitationale a lui Newton

“I deduced that the forces which keep the planets in their orbs must be reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve; and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orb with the force of gravity at the surface of the Earth; and found them answer pretty nearly.”

Masurarea constantei gravitationale: Cavendish 1798

Câmp gravitational

m1

P

r̂ gr

g = intensitatea câmpului graviational (acceleratia câmpului graviational

21

21 ˆ

r

Gmg

r

Gm rg

Dacă se cunoaşte acceleraţia gravitaţională atunci forţa de atracţie dintre particula de masă m1 şi o altă particulă de masă m2 se poate

scrie astfel:

gF

212 mm1

m2r̂ gF

212 mr

Forţa de gravitaţie Câmpul gravitaţional

rF ˆ2

2112 r

mGm

221

r

mGmF

rg ˆ2r

Gm

2r

Gmg

Forţa de atracţie dintre două sfere cu masa distribuită cu simetrie sferică (densitatea depinde doar de raza sferei)

rM m

r̂ F

rF ˆ2r

GMm

rM

r̂g

Intensitatea câmpului gravitaţional creat de o sferă cu distribuţie simetrică de masă în exteriorul sferei

rg ˆ2r

GM

Densitatea Pământului

RF

MP

m

Forţa de interacţiune dintre Pământ şi un punct material de masă m rF ˆ2R

GmM p

legea a II-a:

2

2

R

GMg

R

GmMmg

mm

P

p

Fga

Rg

MPRG

g

RVV

M

G

gRM P

P

Pp

4

3

3

4 32

33 /5)(/5.3)( cmgcalculatcmgroci

Interpretare: In interiorul Pământului există o zonă cu densitate mare

k=6.67•10-11 Nm2/kg2 R=6371 km

6000

5000

4000

3000

2000

1000

00 2 4 6 8 10 12 14

Mantaua sup.

Zona detranzitie

Mantaua inf.

Nucleul extern

Nucleul intern

Variaţia densităţii în interiorul Pământului

Variaţia acceleraţiei gravitaţionale cu altitudinea

R0g

MP

hgr – distanţa de la centrul Pamântului până la un punct având altitudinea h

R – raza Pământuluig0= acceleraţia gravitaţională la suprafaţa Pământuluig = acceleraţia gravitaţională la altitudinea h

hRr Expresia modulului lui g este:

20

202222

)1(

1

))/(1()(

R

GMg

Rh

gRhR

GM

hR

GM

r

GMg

P

ppp

Dacă h<<R atunci g ~ g0

Variaţia acceleraţiei gravifice cu latitudinea

Un observator aflat la suprafaţa Pământului se găseşte într-un sistem de referinţă neinerţial datorită rotaţiei acestuia în jurul axei N-S.

Acceleraţia centripetă de inerţie are expresia:

)cos(2 latRac

Acceleraţia centrifugă de inerţie are expresia:

cci aa

)cos(2 latRaa cic

r

vrarv c

22

Acceleraţia gravifică g (acceleraţia unui corp în cădere) la suprafaţa Pământului este dată de suma dintre acceleraţia gravitaţională (g0) şi acceleraţia centrifugă de inerţie (aci):

ciagg

0

Pământul sferă rigidă

Modulul acceleraţiei gravifice poate fi calculat cu teorema cosinusurilor:

s

radmsg

latRglatRgg

520

220

22420

1027.781.9

)(cos2)(cos

cazuri particulare:1. punct pe ecuator lat=0°

Rgg

ci

20

0

agg

2. punct la pol lat = 90°

0

0

0

0

ggci

ci

gga

agg

Rotatia unor corpuri elastice

Forma Pamantului este forma unei suprafete echipotentiale. Intr-o prima aproximatie coincide cu nevelul mediu al marii.

Forma Pamantului

Matematic cea mai buna aproximatie este un elipsoid turtit la poli si bombat la ecuator

Geodezie – determinarea precisa a dimensiunii Pamantului (razele polare si ecuatoriale).

Pentru aceste determinari este necesara descrierea exacta a campului gravitational al Pamantului – Gravimetrie

Forma Pamantului se determina prin observarea modificarilor in orbita satelitilor artificiali – International Reference Ellipsoid

International Association of Geodesy - Geodetic Reference System (GRS80)

Pământul fiind o structură elastică sub influenţa rotaţiei ia forma unui elipsoid de rotaţie, alungit la ecuator şi turtit la poli.

Acceleraţia gravifică este în orice punct perpendiculară pe tangenta dusă la elipsoid (suprafata echipotentiala).In domeniul oceanic suprafaţa acestuia coincide, într-o primă aproximaţie, cu suprafaţa elipsoidului.

Direcţia ei reprezintă verticala locală (direcţia firului cu plumb). Exceptie la poli si la ecuator.

Datorită formei de elipsoid latitudinea geocentrică nu coincide cu latitudinea geografică.

Consecinte:

62

31

2e

22

21en

1087.5

103024.5

ms780318.9g

))lat2(sin)lat(sin1(gg

Acceleratia normala la elipsoid(Formula gravitatiei normale)

Acceleratia gravitationala la ecuator

(International Reference Ellipsoid)

62

31

2e

22

21en

1087.5

103024.5

ms780318.9g

))lat2(sin)lat(sin1(gg

Permite calculul acceleratiei gravitationale la orice latitudine

Daca neglijam β2 si lat=90° (poli) rezulta acceleratia normala la poli va fi de

gP = 9.832 186m/s2

Crestere a acceleratiei gravitatiolnale de la ecuator la poli de ~5.186X10-2 m/s2

De ce ?

1.La poli distanta pina la centrul Pamantului este mai mica – crestere de 6.6m/s2

2.Efectul fortei centrifuge este mai mare la ecuator – crestere de 3.375m/s2

3.In total cresterea este de 9.975m/s2 si nu de 5.186X10-2 m/s24.Aceasta discrepanta se explica prin faptul ca am exces de masa la ecuator din cauza formei Pamantului.

Aplicatie: anomalie gravitationala

Ondulatia geoidului este produsa de relief sau de excesul de masa din interiorul Pamantului

Geoidul de referintainternational reference ellipsoid – conventie matematicaFizic – suprafata echipotentiala de gravitatie se numeste geoid (reflecta distributia de masa reala in interiorul Pamantului)

Departe de uscat geoidul de referinta coincide cu suprafata oceanuluiPe uscat geoidul este afectat de masa reliefului

Masa din interiorul elipsoidului produce o atractie gravitationala orientata inspre centrul PamantuluiUn deal sau un munte care are centrul de masa deasupra elispoidului produce o atractie orientata in sens invers fata de centrul Pamantului

Aceasta produce o ridicare locala a geoidului fata de elipsoid.

Diferenta dintre elipsoid si geoid se numeste ondulatie a geoidului. Ridicarea cauzata de o masa aflata deasupra elipsoidului reprezinta o ondulatie pozitiva.

Geoidul de referinta

Un exces de masa local sub elipsoid va mari gravitatia locala

Ca urmare geoidul va urca si va produce tot o ondulatie pozitiva

Un deficit de masa sub elipsoid va produce o coborara a geoidului sub elipsoid conducand la o ondulatie negativa.

Astfel geoidul este o suprafata echipotentiala pentru distributia de densitate reala a Pamantului si variata atat cu longitudinea cat si cu latitudinea.

Ondulatiile geoidului

Goddard Earth Model (GEM) 10 – diferenta dintre geoid si elipsoidul de referinta din masuratori satelitare si masuratori de gravimetrie la suprafata.

1 m/s2 = 1 mgal

Δρ = ρ (masa) – ρ (mediu)

Compozitia rocilor din anomalii gravitationale- O bucata de sare cu densitate (ρ=2150

kg/m3)formata ca intruziune intr-o roca carbonatica cu densitate mai mare (ρ=2500 kg/m3 va produce o anomalie gravitationala negativa.

- O pana vulcanica (ρ=2800 kg/m3) ca intruziune intr-un granit (ρ=2600 kg/m3) va produce o anomalie gravitationala pozitiva.

Valori tipice de densitate pentru roci

Geodezie satelitara

Miscarea pe orbita a satelitilor artificiali este influentata de distributia de masa a Pamatului prin intermediul interactiei dintre forta centrifuga si atractia gravitationala a Pamantului

o Satellite laser-ranging – schimbarea relativa a pozitiei dintre doua perechi de statii pot fi comparate cu vitezele de deplasare a placilor tecctonice (

o Altimetrie satelitara – se estimeaza inaltimea satelitului desupra suprafetei pamnatului utilizand microunde. Diferenta intre inaltimea fata de suprafata Pamantului si cea fata de elipsoidul de referinta furnizeaza informatii despre totpografie.

o GPS satelitar - se foloseste la estimarea vitezelor de deplasare a placilor tectonice cu o procizie foarte mare (se folosesc 24 de sateliti)

o Sateliti care masoara gravitatia si geoidul de referinta – sateliti de altitudine joasa monitorizati continuu de sateliti GPS – micile perturbatii ale orbitelor pot fi urmarite cu acuratete si modelate. Rezulta modele de camp gravitational si modele de geoid global de mare acuratete.

o etc

http://www.ngdc.noaa.gov

Determinarea reliefului fundului oceanului pe baza masuratorilor din satelit a formei suprafetei oceanului

g

Exemple

http://topex.ucsd.edu/marine_topo/mar_topo.html

Identificarea crestelor si fracturilor din zona Atlanticului de Nord

Identificarea gropilor abisale din zonele de subductie