calc of synchronous machines

7/27/2019 calc of synchronous machines

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T h e C a l c u l a t i o n o f t h e A r m a t u r e R e a c t a n c e o fS y n c h r o n o u s M a c h i n e sBY P . L . ALGER*

Member, A . I . E . E .S y n o p s i s . - T h i s p a p e r p r e s e n t s new a n d s i m p l i f i e d f o r m u l a s f o r g i v e n . T h e d e f i n i t i o n s o f a r m a t u r e l e a k a g e a n d a r m a t u r e r e a c t i o nt h e a r m a t u r e l e a k a g e r e a c t a n c e o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e s , a n d c o m - r e a c t a n c e s u s e d a r e t h o s e p r o p o s e d b y D o h e r t y a n d N i c k l e i n

p a r e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t e s t s o n 1 0 0 m a c h i n e s o f v a r i e d t y p e s . 1 9 2 6 , a n d a s a r e s u l t t h e l e a k a g e r e a c t a n c e h a s a much s m a l l e r v a l u eT h e new f o r m ? n u l a s a r e c h a r a c t e r i z e d b y n o v e l e x p r e s s i o n s f o r t h e t h a n h a s h e r e t o f o r e b e e n a s s i g n e d t o i t , t h u s r e q u i r i n g a r a t h e re n d l e a k a g e a n d f o r t h e " a i r - g a p " o r " d i f f e r e n t i a l l e a k a g e " r e a c - f u n d a m e n t a l r e v i s i o n o f t h e o r d i n a r y c o n c e p t i o n s o f t h e f l u x d e n -l a n c e s . F o r i m u l a s f o r z e r o p h a s e - s e q u e n c e r e a c t a n c e s a r e a l s o s i t i e s e x i s t i n g i n t h e v a r i o u s p a r t s o f a l o a d e d s y n c h r o n o u s m a c h i n e .

I . I N T R O D U C T I O N o f a r m a t u r e m . m . f . , i s m i d w a y o f t h e i n t e r p o l a r s p a c e .T HE g r o w i n g i n t e r e s t o f o p e r a t i n g e n g i n e e r s i n T h e a r m a t u r e l e a k a g e r e a c t a n c e i s d e f i n e d a s t h em a c h i n e r e a c t a n c e s , ( a s s y s t e m s t a b i l i t y a n d s h o r t - d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t o t a l , o r s y n c h r o n o u s , a r m a t u r ec i r c u i t p h e n o m e n a b e c o m e c o n t i n u a l l y m o r e r e a c t a n c e a n d t h e a b o v e d e f i n e d r e a c t a n c e o f a r m a t u r ei m p o r t a n t ) , t o g e t h e r w i t h t h e r e c e n t a d v a n c e s i n t h e r e a c t i o n . T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e l e a k a g e a n d t h et h e o r y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e s , m a k e r e n e w e d c o n - a r m a t u r e r e a c t i o n c o m p o n e n t s o f t h e t o t a l r e a c t a n c e i ss i d e r a t i o n o f t h e s u b j e c t o f r e a c t a n c e c a l c u l a t i o n q u i t e a n a r t i t r a r y o n e , s i n c e n o w i n d i n g c a n h a v e ao p p o r t u n e a t t h e p r e s e n t t i m e . P a p e r s o n t h i s s u b j e c t d e f i n i t e v a l u e o f l e a k a g e r e a c t a n c e e x c e p t w i t h r e s p e c th a v e a p p e a r e d i n t h e J O U R N A L ' S p a g e s a t i n t e r v a l s o v e r t o a n o t h e r w i n d i n g . S o m e d i s t i n c t i o n o f t h i s c h a r a c t e ra p e r i o d o f m o r e t h a n 2 0 y e a r s , e a c h p a p e r m a r k i n g a i s v e r y d e s i r a b l e , h o w e v e r , f o r c o n v e n i e n c e i n c a l c u l a t -f u r t h e r r e f i n e m e n t o f m e t h o d s a n d a n a d v a n c e i n i n g t h e t r a n s i e n t r e a c t a n c e , a n d f o r o t h e r p u r p o s e s .a c c u r a c y . A t f i r s t , i t w a s c u s t o m a r y m e r e l y t o e s t i m a t e T h e a r m a t u r e l e a k a g e r e a c t a n c e a s a b o v e d e f i n e d , i st h e n u m b e r s o f l e a k a g e l i n e s p e r a m p e r e i n c h o f em - a s n e a r l y e q u a l a s may b e , t o t h a t p a r t o f t h e t o t a lb e d d e d a n d f r e e c o n d u c t o r , a n d m u l t i p l y t h e m b y t h e a r m a t u r e r e a c t a n c e w h i c h r e m a i n s t h e same u n d e rr e s p e c t i v e l e n g t h s t o o b t a i n t h e r e a c t a n c e . L a t e r , t h e t r a n s i e n t a s u n d e r s t e a d y c o n d i t i o n s o f o p e r a t i o n .r e a c t a n c e w a s s e g r e g a t e d i n t o s e v e r a l d i s t i n c t e l e m e n t s F o l l o w i n g A d a m s ' t r e a t m e n t o f t h e i n d u c t i o n m o t o r ,t h a t w e r e s e p a r a t e l y c a l c u l a t e d . T h e s e c a l c u l a t i o n s t h e a r m a t u r e l e a k a g e r ea c t a n c e o f a s y n c h r o n o u sd u e t o t h e i r g r e a t e r i m p o r t a n c e a n d i n t h i s c a s e , t h e m a e h i n e w i l l b e d i v i d e d i n t o f o u r p a r t s ; t h e s l o t , e n d ,p o s s i b i l i t y o f m o r e a c c u r a t e t e s t s h a v e r e a c h e d g r e a t e r z i g z a g , a n d b e l t l e a k a g e s . F o r m u l a s f o r e a c h o f t h e s ep r e c i s i o n i n c o n n ec t i o n w i t h i n d u c t i o n m a c h i n e s w i l l b e d e r i v e d i n t u r n . A s t h e s l o t l e a k a g e h a s b e e nt h a n w i t h s y n c h r o n o u s m a c h i n e s . A d a m s " 1 1 ' 3 ' 1 4 f i r s t q u i t e s a t i s f a c t o r i l y t r e a t e d b y A d a m s " 1 a l r e a d y , t h ed e v e l o p e d f o r m u l a s f o r i n d u c t i o n m o t o r r e a c t a n c e s , a n d d i s c u s s i o n o f i t h e r e w i l l b e a b b r e v i a t e d a s much a sl a t e r F e c h h e i m e r 9 a n d D o h e r t y a n d S h i r l e y 7 d e v e l o p e d p o s s i b l e , c o n s i s t e n t w i t h t h e d e r i v a t i o n o f a l i t t l e m o r ef o r m u l a s f o r s y n c h r o n o u s m a c h i n e s . I n 1 9 2 6 D o h e r t y e x a c t f o r m u l a , a n d i t s e x t e n s i o n t o a p p l y t o z e r o p h a s e -a n d N i c k l e 3 p r e s e n t e d some f u n d a m e n t a l e x t e n s i o n s s e q u e n c e c u r r e n t s . N o n e o f t h e o t h e r t h r e e e l e m e n t s o fo f t h e t h e o r y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e s , a n d p r o p o s e d t h e l e a k a g e h a s b e e n a d e q u a t e l y t r e a t e d b y p r e -n e w , m o r e p r e c i s e , d e f i n i t i o n s o f a r m a t u r e l e a k a g e v i o u s w r i t e r s , s o t h e y w i l l b e g i v e n m o r e d e t a i l e dr e a c t a n c e a n d o f a r m a t u r e r e a c t i o n r e a c t a n c e . T h e c o n s i d e r a t i o n .p r e s e n t p a p e r a d o p t s t h e s e new d e f i n i t i o n s a n d d e v e l o p s T h e f o u r d i v i s i o n s o f t h e r e a c t a n c e f o u n d u s e f u l f o rs i m p l e f o r m u l a s f o r t h e a c c u r a t e c a l c u l a t i o n o f t h e t w o i n d u c t i o n m a c h i n e s a r e f o l l o w e d f o r t h e t w o r e a s o n sq u a n t i t i e s , f o r s a l i e n t p o l e m a c h i n e s . t h a t t h e y f i t i n v e r y w e l l w i t h t h e n e w c o n c e p t i o n s o fT h e r e a c t a n c e o f a r m a t u r e r e a c t i o n i s h e r e d e f i n e d a s l e a k a g e r e a c t a n c e , a n d t h a t t h e i r a d o p t i o n w i l l t e n d t ot h e r e a c t a n c e d u e t o t h e f u n d a m e n t a l s i n e wave o f u n i f y t h e theirt y p t i o n wind toa i r - g a p f l u x p r o d u c e d b y t h e a r m a t u r e c u r r e n t a c t i n g p a r t i c u l a r t h e t o t a l " a i r - g a p l e a k a g e , d u e t o h a r m o n i c sa l o n e . I t i s c a l c u l a t e d b y m e a n s o f t he c u r v e s d e r i v e d o f . t h e a i r - g a p f l u x , i s s e g r e g a t e d i n t o t h e t w o p a r t sb y W i e s e m a n 2 f r o m f l u x p l o t s . T h e r e a r e t w o d i s t i n c t c a l l e d z i g z a g a n d b e l t l e a k a g e , r e s p e c t i v e l y , i n o r d e r t ov a l u e s f o r i t , t h e d i r e c t a x i s v a l u e o c c u r r i n g w h e n t h e c a l d z g g a n b e t e k g , r s p t i l y i n o e r oa l u e s f o r i t t h e d i r e c t a x i s v a l u e o c e u r r i n g w h e n t h e p e r m i t t h e e f f e c t s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , n u m b e ra x i s o f a r m a t u r e m . m . f . c o i n c i d e s w i t h t h e p o l e a x i s ; o f s l o t s , a n d n u m b D e r o f p h a s e b e l t s t o b e s e p a r a t e l ya n d t h e q u a d r a t u r e a x i s v a l u e , o c c u r r i n g w h e n t h e a x i s t a k e n i n t o a c c o u n t .* A s s i s t a n t E n g i n e e r , A - C . E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , General A l l p r e v i o u s l y p u b l i s h e d f o r m u l a s f o r z i g z a g l e a k a g eE l e c t r i c C S o m p a n y , S c h e n e c t a d y , N . Y . hv novdtecnieaino vrapn rmrF o r n u m b e r e d r e f e r e n c e s s e e b i b l i o g r a p h y , . a e i v l e h osdraino vrapn rmrP r e s e n t e d a t t h e W i n t e r C o n v e n t i o n o f t h e A . I . E . E . , New Y o r k , and s e c o n d a r y t e e t h , and s o h a v e i n a d e q u a t e l y t a k e nN . Y . , F e b 1 r u a r y 1 3 - 1 7 , 1 9 2 8 . i n t o a c c o u n t t h e e f f e c t s o f f l u x f r i n g i n g i n t h e a i r - g a p ,

4 9 3

2 8 - 3 0


2/20

4 9 4 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .a n d h a v e b e e n i n a p p l i c a b l e t o s y n c h r o n o u s m a c h i n e s . f i e l d , b u t t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h i s f l u x w a s e r r o n e o u s l yA l s o , o l d e r f o r m u l a s f o r e n d l e a k a g e h a v e b e e n f r a n k l y b a s e d o n t h e l i n k a g e s o f t h e a r m a t u r e b y t h e a i r - g a pe m p i r i c a l i n n e a r l y a l l c a s e s . A l l n e w f o r m u l a f o r f l u x d u e t o t h e f i e l d . 7 T h e r e m a i n i n g p a r t o f t h e t o t a lt h e s e e l e m e n t s w i l l b e d e r i v e d b y c o n s i d e r i n g t h e l e a k - a i r - g a p f l u x p r o d u c e d b y t h e a r m a t u r e w a s t h e n c a l l e da g e f l u x t o c o n s i s t o f r e v o l v i n g m a g n e t i c f i e l d s , d i v i d e d t o o t h t i p l e a k a g e . A s t h e new d e f i n i t i o n o f a r m a t u r ei n t o a f u n d a m e n t a l a n d a s e r i e s o f h a r m o n i c s . I n e a c h r e a c t i o n i n c l u d e s m o s t o f t h i s l a t t e r f l u x , we h a v ec a s e , t h e c o e f f i c i e n t o f t h e r e s u l t i n g f o r m u l a w i l l b e a b a n d o n e d t h e name " t o o t h t i p " a n d c a l l e d t h e s m a l ld e r i v e d f r o m t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s a l o n e , a n d n o r e m a i n i n g p a r t , t h e s y n c h r o n o u s f r e q u e n c y v o l t a g e -e m p i r i c a l m u l t i p l i e r s w i l l b e u s e d t o b r i n g t h e r e s u l t s p r o d u c i n g h a r m o n i c f l u x e s , " d i f f e r e n t i a l l e a k a g e , " a si n t o a g r e e m e n t w i t h p r a c t i s e , a l t h o u g h s i m p l i f y i n g j u s t d e s c r i b e d .a s s u m p t i o n s w i l l b e f r e e l y m a d e a s t h e o c c a s i o n B e a r i n g i n m i n d t h e s e c o n c e p t i o n s o f t h e l e a k a g ed e m a n d s . r e a c t a n c e s w h i c h w e a r e g o i n g t o c a l c u l a t e , w e c a n nowB e f o r e p r o c e e d i n g t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e f o r m u l a s , p r o c e e d t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e f o r m u l a s . T h e f o u ri t i s d e s i r a b l e t o g e t c l e a r l y i n m i n d t h e d i s t i n c t i o n s c o m p o n e n t s o f t h e r e a c t a n c e w i l l b e t a k e n u p i n t h eb e t w e e n t h e f o u r e l e m e n t s o f t h e l e a k a g e t h a t h a v e o r d e r o f t h e i r d i f f i c u l t y , a n d s u b s e q u e n t l y t h e r e s u l t sb e e n s p e c i f i e d . T h e e n d l e a k a g e r e a c t a n c e i s d u e t o t h e o f t h e i r a p p l i c a t i o n t o a c t u a l m a c h i n e s w i l l b e c o m p a r e df l u x l i n k i n g t h e e n d w i n d i n g s a l o n e . T h e s l o t l e a k a g e w i t h t e s t s .c o m p r i s e s a l l o f t h e f l u x c r o s s i n g t h e s l o t s d u e t o t h e I I . S L O T LEAKAGE R E A C T A N C Ea r m a t u r e c u r r e n t , b u t d o e s n o t i n c l u d e f l u x p a s s i n g O n l y t w o - l a y e r b a r r e l - t y p e a r m a t u r e w i n d i n g s i nf r o m t o o t h t o t o o t h i n t h e a i r - g a p s p a c e . E v i d e n t l yt h e r e i s a s l i g h t e r r o r h e r e , b e c a u s e t h e f l u x l i n e s n e a r o p s l o t s i l c nd i n u t h i s p a p e r , i s i c et h e m o u t h o f t h e s l o t d o n o t p a s s s t r a i g h t a c r o s s , b u tb u l g e o u t w a r d s i n t o t h e g a p . T h e z i g z a g l e a k a g ec o m p r i s e s a l l o f t h e s p a c e h a r m o n i c s o f t h e a i r - g a pf l u x , d u e t o t h e a r m a t u r e c u r r e n t i n a o n e s l o t p e r p o l ep e r p h a s e w i n d i n g w h i c h i n d u c e s f u n d a m e n t a l f r e q u e n c yv o l t a g e s i n t h e a r m a t u r e . T h i s i n c l u d e s t h e f l u x w h i c hc r o s s e s f r o m t o o t h t o t o o t h i n t h e a i r - g a p a n d i n t e r p o l a rs p a c e s w i t h o u t a c t u a l l y r e a c h i n g t h e f i e l d s u r f a c e , a n d Is o t a k e s u p t he l e a k a g e f l u x a t t he p o i n t a t w h i c h t h e Its l o t l e a k a g e l e f t i t . T h e b e l t l e a k a g e t h e n c o m p r i s e s La l l t h e r e m a i n i n g f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y v o l t a g e p r o -d u c i n g s p a c e h a r m o n i c s o f t h e a i r - g a p f l u x d u e t oa r m a t u r e c u r r e n t . T h i s l a s t r e a c t a n c e i s t h e a d d i t i o n a lr e a c t a n c e t h a t a n a c t u a l w i n d i n g h a s a b o v e t h a t w h i c hi t w o u l d h a v e i f t h e r e w e r e a s many p h a s e s a s s l o t s p e rp o l e . T h u s , t h e z i g z a g l e a l t a g e r e a c t a n c e i s d u e t o t h e F I G . 1 - S L O T L E A K A G E F L U X P A T H Sd e v i a t i o n o f t h e a r m a t u r e m . m . f . w a v e f r o m a s i n u s o i d ,c a u s e d b y t h e l i m i t e d n u m b e r o f s l o t s , a n d t h e b e l t o f s i n g l e l a y e r w i n d i n g s h a v e r e d u c e d t h e m t o a p l a c el e a k a g e r e a c t a n c e i s d u e t o t h Q f u r t h e r d e v i a t i o n c a u s e d o f o n l y h i s t o r i c a l i m p o r t a n c e i n p o l y p h a s e a - c . m a c h i n e sb y t h e l i m i t e d n u m b e r o f p h a s e s . o f A m e r i c a n m a n u f a c t u r e .T h e b e l t a n d z i g z a g r e a c t a n c e s t o g e t h e r h a v e b e e n C o n s i d e r t h e s l o t s h o w n i n F i g . 1 . A l l t h e f l u xa p p r o p r i a t e l y c a l l e d 5 t h e " d i f f e r e n t i a l l e a k a g e , " s i n c e c r o s s i n g t h e s l o t r e t u r n s b e l o w i t s c l o s e d e n d t h r o u g h at h e y a r e d u e t o t h e d e v i a t i o n s o f t h e a r m a t u r e m . m . f . p a t h o f n e g l i g i b l e r e l u c t a n c e , a n d n o n e o f i t l i n k s a n yf r o m t h e i d e a l s i n e w a v e . T h e y may a l s o b e c a l l e d o f t he o t h e r s l o t s . T h e l e a k a g e r e a c t a n c e i n o h m s p e r" a i r - g a p l e a k a g e , " s i n c e t h e y r e p r e s e n t t h e d i f f e r e n c e p h a s e , d u e t o t h i s f l u x i s t h e n e q u a l t o t h e p r o d u c t o f t h eb e t w e e n t h e t o t a l a n d t h e a r m a t u r e r e a c t i o n c o m - f o l l o w i n g f a c t o r s :p o n e n t s o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y v o l t a g e p r o d u c i n g 1 . T h e p e r m e a n c e o f t h e p a t h a c r o s s u n i t l e n g t ha i r - g a p f l u x . A s t h e d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e o f s l o t .v a r i e s w i t h t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e a x e s o f t h e 2 . T h e e m b e d d e d l e n g t h o f s l o t , o r La r m a t u r e m . m . f . a n d t h e p o l e s , t h e a r m a t u r e l e a k a g e 3 . T h e n u m b e r o f s l o t s i n s e r i e s p e r p h a s e , o r S / qr e a c t a n c e v a r i e s l i k e w i s e , a n d h a s a s l i g h t l y h i g h e r 4 . T h e s q u a r e o f t h e n u m b e r o f s e r i e s c o n n e c t e dv a l u e i n t h e q u a d r a t u r e t h a n i n t h e d i r e c t a x i s . 3 / qZ \ 2F o r m e r l y , t h e a i r - g a p f l u x d u e t o t h e a r m a t u r e c u r r e n t c o n d u c t o r s i n e a c h s l o t , o r ( Sw a s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s , t h a t d u e t o t h e a r m a t u r e /r e a c t i o n , a n d t h a t d u e t o " t o o t h t i p l e a k a g e . " 7 T h e 5 . T h e r a t e o f c h a n g e o f t h e f l u x , o r 2 r f ta r m a t u r e r e a c t i o n p a r t w a s i n t e n d e d t o r e p r e s e n t t h e 6 . A c o n s t a n t t o r e d u c e l i n k a g e s p e r s e c o n d t oa i r - g a p f l u x p r o d u c e d b y t h e a r m a t u r e t h a t l i n k s t h e o h m s , o r 1 0 - 8


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 4 9 5T h e p e r m e a n c e o f t h e p a t h f o r f l u x A l i n k i n g a l l t h e a n d t h a t o f I I i s p r o p o r t i o n a l t o :c o n d u c t o r s i n t h e s l o t o f F i g . 1 i s : 1 r d 1 - d 2 d1-d21

4 0 ( w d l i n e s p e r a m p e r e p e r c m . l e n g t h o f s l o t 4 ld3+ 2And i f t h e w i n d i n g i s f u l l p i t c h , s o t h a t t he c u r re n t s I- [d3 + 1 d l li n c o i l s i d e s I a n d I I a r e i d e n t i c a l i n m a g n i t u d e a n d 3

p h a s e , t h e l i n k a g e s p e r a m p e r e p r o d u c e d b y t h e f l u x i n w h i l e t h e i r m u t u a l i n d u c t a n c e i s p r o p o r t i o n a l t o :p a t h s B a n d D a r e e q u a l t o t h e e x p r e s s i o n : 1 [ ( d i - d 2 )4 7 r d i - d 2 4 Ld+ 41 0 ( d wd ' H e n c e , t h e t o t a l l i n k a g e s d u e t o t h e t w o c u r r e n t s

s i n c e w i t h u n i f o r m c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o v e r t h e h e i g h t 0 0 o u t o f p h a s e a c t i n g t o g e t h e r a r e p r o p o r t i o n a l t o :d i , t h e f l u x d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s l i n e a r a n d t h e l i n k a g e 1 d i - d 2 1 2 d i d 2d i s t r i b u t i o n i s p a r a b o l i c , w h i l e t h e a v e r a g e h e i g h t o f a - d 3 + 6 + d 3 + +p a r a b o l a i s o n e - t h i r d i t s maximum h e i g h t . A s a l l t h e 4 6 41 3 3f l u x t h r o u g h p a t h C l i n k s o n e - h a l f t h e t o t a l c u r r e n t , t h e ( 4 d 3 + d- d 2 ) c o s 6l i n k a g e s d u e t o i t a r e o n e - q u a r t e r a s much a s t h e y w o u l d + 8b e i f t h i s f l u x l i n k e d a l l t h e c u r r e n t . T h e l i n k a g e s d u et o C a r e , t h e r e f o r e : O r , t h e s l o t c o n s t a n t f o r t h i s c a s e i s :

l 1 0 ( 4w) 2 ( w1+ c o s 0 ) + 2w ( 5 + 3 c o s 0 )a n d s o t h e t o t a l s l o t r e a c t a n c e o f a b a l a n c e d , f u l l p i t c h , d 2p o l y p h a s e w i n d i n g i s e q u a l t o : 24w ( 3 c o s 0 - 1 ) .

8 w r 2 / q Z \ 1 2 d 3 + 4 d - d When t h e w i n d i n g p i t c h i s 1 0 0 p e r c e n t , a l l t h e s l o t s= 1 0 , ( S q 12' ] q- 1X s l o t = 1 0 9( f L ) ( S / q ) t S / L 12w ] h a v e 0 = 0 d e g . ; w h e n t h e p i t c h i s , a l l t h eq0 . 7 9 f L q Z 2 [ 1 2 d3+ 4 d i - d 2 1 1 8 0 d e g .1 0 ' S L 12w j s l o t s h a v e 0 = , a n d w h e n t h e p i t c h i sqo h m s p e r p h a s e ( 1 )F o r d i m e n s i o n s m e a s u r e d i n i n c h e s , t h e c o n s t a n t - a l l h a v e 0 g F o r i n t e r m e d i a t e0 . 7 9 b e c o m e s 2 . 0 0 6 . T h e e x p r e s s i o n o u t s i d e t h eb r a c k e t i s a q u a n t i t y c o n t a i n i n g f a c t o r s common t o p i t c h e s , t h e s l o t c o n s t a n t v a r i e s l i n e a r l y b e t w e e nmany o f t h e e l e m e n t s o f r e a c t a n c e , a n d s o i t i s c o n - t h e s e v a l u e s . T h u s , b y p l o t t i n g t h e f u n c t i o n K Sv e n i e n t t o g i v e i t a s p e c i a l s y m b o l , M , i n f u t u r e e q u a - a g a i n s t p e r c e n t p i t c h , w h e r e K S i s a b r o k e n l i n et i o n s . T h e b r a c k e t e d e x p r e s s i o n i s t h e " s l o t c o n s t a n t . " f u n c t i o n h a v i h g v a l u e s e q u a l t o

F o r a f r a c t i o n a l p i t c h w i n d i n g , t h e c u r r e n t s i n t h e m 7 r qq- mt w o c o i l s i d e s i n some s l o t s a r e n o t i n p h a s e , a n d s o , a K S= (1+c o s a t p i t c h , ( 2 )more d e t a i l e d a n a l y s i s must b e m a d e . I f t h e c u r r e n t i n 2 qc o i l s i d e I I l a g s t h a t i n I b y 0 0 , t h e n i n t h e s l o t c a r r y i n g m b e i n g a n y i n t e g e r , ( a s s h o w n i n F i g . 2 ) , a n d s u b s t i t u t -t h e r e t u r n c o n d u c t o r o f I , i n t h e b o t t o m o f a n o t h e r i n g i t i n t h e e x p re s s i o n f o r t h e s l o t c o n s t a n t , w e h a v es l o t , t h e r e w i l l b e ( u n d e r b a l a n c e d c o n d i t i o n s ) a t o p a s t h e f i n a l e q u a t i o n f o r s l o t r e a c t a n c e :c o n d u c t o r c a r r y i n g c u r r e n t 0 Q a h e a d o f t h e c u r r e n t i n l . d 3 __ diA s t h e m u t u a l i n d u c t a n c e o f I , w i t h r e s p e c t t o I I , i s X s i 0 t = M K S + 8 + ( 1 - K s )e q u a l t o t h a t o f I I w i t h r e s p e c t t o I , t h e o u t - o f - p h a s e W 3wJ 1 2 w (c o m p o n e n t o f v o l t a g e i n d u c e d i n e a c h c o i l s i d e b y t h l eo t h e r w i l l b e c a n c e l e d b y t he c o r r e s p o n di n g o u t - o f - _ _ _ {Ks- ~- ( ) Jp h a s e v o l t a g e i n t he r e t u r n c o i l s i d e , l e a v i n g o n l y t h e 4w 3JJi n - p h a s e c o m p o n e n t s o f v o l t a g e t o b e c o n s i d e r e d . Th t h r t e r i n t h i exrsio.snglgbeT h e o t a l s e l - i n d c t a n e o I i p r o o r t o n a l t o : e x c e p t f o r z e r o p h a s e - s e q u e n c e c u r r e n t s , u n l e s s t h e r e i S1 d1-d2 - a l a r g e s p a c e b e t w e e n t h e t o p a n d b o t t o m c o i l s i d e s ,4d+ J a s i n t h e c a s e o f a m u l t i - s p e e d m a c h i n e w i t h t w o. ~ ~ ~ ~ p r i m a r y w i n d i n g s . T h e s e c o n d t e r m i s v e r y s m a l l ,


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4 9 6 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .u n l e s s t h e p i t c h i s b e l o w t w o - t h i r d s , s o t h a t o n l y t h e T A B L E If i r s t t e r m i s o r d i n a r i l y o f i m p o r t a n c e . VALUES OF Ks FOR USE IN EQUATIO-N ( 3 )T h e s l o t r e a c t a n c e g i v e n b y ( 3 ) , w i t h t h e c o e f f i c i e n t s W i n d i n g p i t c hK s o f F i g . 2 , a p p l i e s w h e n b a l a n c e d p o l y p h a s e c u r r e n t s C o n n e c t i o n T y p e o f w i n d i n g 0 1 / 3 2 / 3 1f l o w i n t h e w i n d i n g s . I t i s s o m e t i m e s d e s i r a b l e t o K i v a l u e sk n o w t h e s l o t r e a c t a n c e f o r o t h e r c o n d i t i o n s , h o w e v e r , B a l a n c e d t h r e e -a s f o r s i n g l e - p h a s e , o r f o r z e r o p h a s e - s e q u e n c e c u r r e n t s . p h a s e . . . . . . . . . t h r e e - p h a s e , 6 0 - d e g . b e l t s 0 0 . 2 5 0 0 . 7 5 0 1 . 0 0T h e s e r e a c t a n c e s can a l l b e o b t a i n e d f r o m e q u a t i o n ( 3 ) , L i n e t o n e u t r a l ,one-phase... t h r e e - p h a s e , 6 0 - d e g . b e l t s 0 0.500 0.500 1 . 0 0i f p r o p e r v a l u e s o f K s a r e u s e d . T h e a p p r o p r i a t e v a l - L i n e t o l i n e , o n e -p h a s e . . . . . . . . . t h r e e - p h a s e , 6 0 - d e g . b e l t s 0 0.250 0.750 1 . 0 0Z e r o p h a s e . . . . . . . t h r e e - p h a s e , 6 0 - d e g . b e l t s 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0B a l a n c e d , t h r e e -p h a s e . . . . . . . t h r e e - p h a s e , 1 2 0 - d e g . b e l t s 0 . 3 7 5 0 . 7 5 0 0 . 7 5 0L i n e t o n e u t r a l ,one-phase.n e - t h r e e - p h a s e , 1 2 0 - d e g . b e l t s 0 0 .2 5 0 0 .5 0 0 0 . 5 0 0L i n e t o l i n e , one-p h a s e . . . . . . t h r e e - p h a s e , 1 2 0 - d e g . b e l t s 0 . 3 7 5 0 .7 50 0 .7 50Z e r o p h a s e . . . . . t h r e e - p h a s e , 1 2 0 - d e g . b e l t s 0 0 0 0B a l a n c e d , t w o -

p h a s e ..;.. t w o - p h a s e , 9 C - d e g . b e l t s 0 0 .3 3 3 0 .6 6 7 1 . 0 0L i n e t o l i n e , one-phase.... t w o - p h a s e , 9 0 - d e g . b e l t s 0 0.333 0 . 6 6 7 1 . 0 0Z e r o p h a s e . . . . . t w o - p h a s e , 9 0 - d e g . b e l t s 0 0.333 0.667 1 . 0 0F o r i n t e r m e l d i a t e v a 1 i s o f p i t c h .Kh v a r i e s l i n e a r l y b e t w e e n t h e t a b u -

l a t e d v a l u e s .r e a c t a n c e , p l u s o n e - t h i r d o f t h e z e r o p h a s e s e q u e n c eI v ~ ~ ~ ~ r e a c t a n c e .

iII. EN D LEAKAGE REACTANCET h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e e n d w i n d i n g s w i l l h e r eb e c o n s i d e r e d a s d u e t o t w o k i n d s o f f i e l d . T h e f i r s ti t i t j i z 1 + < 9 1 | k i n d i s a r e v o l v i n g m a g n e t i c f i e l d o f t h e s a m e n a t u r ea s t h o s e t h a t a r e p r o d u c e d i n t h e c o r e l e n g t h . T h i sf i e l d f l o w s i n p l a n e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e s h a f t , a n d i s

FIG. 2 2X/)(~

u e s c a n r e a d i l y b e d e r i v e d b y t h e m e t h o d s a l r e a d ye m p l o y e d , a n d t h e r e f o r e t o s a v e s p a c e t h e d e t a i l s o ft h e w o r k w i l l b e o m i t t ed h e r e . T h e f o l l o w i n g t a b l e o f zwv 4 / ,s p e c i a l v a l u e s o f K s c o v e r s m o s t o f t h e c a s e s t h a t a r e met : _ : - = -c C 0 , 9 X / , V 4 e Z , 9 r l v / -w i t h i n p r a c t i s e . o p c . 7 t . , 8 rI t w i l l b e n o t e d t h a t t h e s i n g l e - p h a s e l i n e t o n e u t r a l F I G . 3 A X I A L L E A K A G E F L U X O F E N D V V I N D I N G Ss l o t r e a c t a n c e o f a t h r e e - p h a s e w i n d i n g i s n o t h a l f t h er e a c t a n c e b e t w e e n l i n e s , u n l e s s t h e w i n d i n g p i t c h i s d u e t o t h e a x i a l l y d i r e c t e d a n d w i n d i n g c u r r e n t s o n l y .e x a c t l y 0 , 5 0 p e r c e n t , o r 1 0 0 p e r c e n t . T h i s i s s o H e r e a f t e r i t w i l l b e d e s i g n a t e d a s t h e " p e r i p h e r a lb e c a u s e t h e m u t u a l s l o t r e a c t a n c e b e t w e e n a n y t w o l e a k a g e f i e l d . " T h e s e c o n d k i n d i s d u e t o t h e p e r i p h -p h a s e s , A a n d B , i s o n l y z e r o w h e n t h e r e a r e a s many e r a l l y d i r e c t e d e n d w i n d i n g c u r r e n t s , s h o w n i n F i g . 4 ,s l o t s c o n t a i n i n g a n A c o i l s i d e i n t h e b o t t o m a n d a w h i c h p r o d u c e a l e a k a g e f i e l d f l o w i n g i n r a d i a l p l a n e s ,B i n t h e t o p a s t h e r e a r e s l o t s c o n t a i n i n g a B c o i l s i d e a s i n d i c a t e d i n F i g . 3 . T h i s w i l l h e r e a f t e r b e c a l l e d t h ei n t h e b o t t o m a n d a n A i n t h e t o p ; a c o n d i t i o n t h a t " a x i a l l e a k a g e f i e l d . " T h e p e r i p h e r a l l e a k a g e p r e -a l w a y s e x i s t s w i t h t w o - p h a s e , b u t t h a t o n l y o c c u r s d o m i n a t e s f o r s y n c h r o n o u s m a c h i n e s w i t h b a r r e l t y p \ ew i t h p i t c h e s o f 0 , 5 0 , a n d 1 0 0 p e r c e n t w i t h t h r e e - w i n d i n g s . W i t h s i n g l e l a y e r c h a i n t y p e w i n d i n g s , t h ep h a s e w i n d i n g s . A s s h o w n b y P a r k , 1 t h e l i n e t o a x i a l l e a k a g e f l u x i s g r e a t l y i n c r e a s e d , a n d s o b e c o m e sn e u t r a l r e a c t a n c e o f a t h r e e - ph a s e w i n d i n g i s a l w a y s t h e g r e a t e r o f t he t w o . F o r i n d u c t i o n m a c h i n e s , t h ee q u a l t o t w o - t h i r d s o f t h e p o s i t i v e p h a s e s e q u e n c e p e r i p h e r a l l e a k a g e i s g r e a t l y r e d u c e d b y t h e p r o x i m i t y


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 4 9 7o f t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y w i n d i n g s , a n d s o t h e T h e f i r s t o f t h e s e f a c t o r s i s g i v e n b y t h e f a m i l i a ra x i a l l e a k a g e u s u a l l y p r e d o m i n a t e s . e x p r e s s i o n :T h e p r o c e d u r e w i l l b e , t h e n , f i r s t t o f i n d t h e p e r - V 7meance o f a c y l i n d r i c a l a i r c o r e t o a s i n u s o i d a l l y d i s - f K p K d Z 1 0 - 8 ( 8 )t r i b u t e d e n c i r c l i n g m . m . f . , s e c o n d t o f i n d t h e e f f e c t i v e 2m . m . f . o f t h i s c h a r a c t e r p r o d u c e d b y t h e e n d w i n d i n g s , T h e s e c o n d f a c t o r i s :t h i r d t o d e t e r m i n e t h e n c e t h e r e a c t a n c e d u e t o t h e 8 7 D Lp e r i p h e r a l e n d l e a k a g e f l u x ; a n d , f i n a l l y , t o d e t e r m i n e A = gP ( 9 )t h e a d d i t i o n a l r e a c t a n c e d u e t o t h e a x i a l l e a k a g e . T h i s gc o m p l e t e s t h e s t o r y f o r a s a l i e n t - p o l e s y n c h r o n o u s a n d t h e t h i r d * i s :m a c h i n e , w h e r e t h e r e i s n o m u t u a l i n d u c t a n c e b e t w e e n A 2 q Z K p Kdt h e a r m a t u r e a n d f i e l d e n d w i n d i n g s . F o r i n d u c t i o n ( 1 0 )m a c h i n e s , h o w e v e r , t h e f u r t h e r s t e p o f s u b t r a c t i n g t h e 7 r P / 2m u t u a l r e a c t a n c e o f t h e t w o w i n d i n g s f r o m t h e sum T h e p r o d u c t o f t h e s e t h r e e f a c t o r s g i v e s t h e m a g n e t -o f t h e i r t o t a l r e a c t a n c e i s n e c e s s a r y .A s s h o w n b y e a r l i e r w r i t e r s 3 ' 6 l 0 , t h e t o t a l f l u x p e rp o l e p r o d u c e d i n a c i r c u l a r a i r c o r e o f o n e c m . a x i a l - - -l e n g t h b y a s i n u s o i d a l m . m . f . d i s t r i b u t e d a r o u n d t h ep e r i p h e r y i s e q u a l t o j u s t t w i c e t h e maximum m . m . f . -i n g i l b e r t s . O r : A ,44wA 7 r= 2 (10) ( 4 )

T h i s e q u a t i o n a s s u m e s t h e f l u x t o l i e e n t i r e l y i n a i r | lon o n e s i d e o f t h e p e r i p h e r y o f t h e c o r e , a n d e n t i r e l y %- -i n i r o n o f h i g h p e r m e a b i l i t y o n t h e o t h e r s i d e . I t m a k e s _ Crn o d i f f e r e n c e w h e t h e r t h e a i r i s o n t h e i n s i d e o r t h e o u t -s i d e o f t h e c o r e , a n d n e i t h e r d o e s i t m a k e a n y d i f f e r e n c ew h a t t h e r a d i u s o f t h e p e r i p h e r y o f t h e c o r e i s . I f t h e r e _7-


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4 9 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .M u l t i p l y i n g t o g e t h e r ( 7 ) , ( 1 1 ) , a n d ( 1 2 ) , t h e l e a k a g e h a r m o n i c s may b e a p p r o x i m a t e l y t a k e n c a r e o f b yr e a c t a n c e o f t h e e n d w i n d i n g s d u e t o t h e f u n d a m e n t a l s i m p l y o m i t t i n g t h e f a c t o r K d 2 i n t h e f i r s t member o fo f t h e p e r i p h e r a l f i e l d o n l y i s : e q u a t i o n ( 1 3 ) .[0.319Kd2DS1 P g T h e c o m p o n e n t o f e n d l e a k a g e r e a c t a n c e d u e t oX E P ML p2g Jt 2 D ) a x i a l f l u x may b e e v a l u a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e p e r i p h -e r a l c o m p o n e n t s o f t h e e n d w i n d i n g c u r r e n t s a t a n y

7 r p D t a n al [ p D S K d 2 t a n al f r a c t i o n a l d i s t a n c e x f r o m t he o u t e r e n d o f t h e w i n d i n g ,L PL J F ( p ) = ML 2 p 2 L jF ( P ) a s i n d i c a t e d i n F i g . 4 . T h e p e r i p h e r a l c u r r e n t s i n t h eu p p e r a n d l o w e r l a y e r s o f t h e w i n d i n g a r e o u t o f p h a s e( 1 3 ) i n t i m e b y a n a n g l e e q u a l t o p 7 r x , w h i c h d i f f e r s b y 7 rw h e r e F ( p ) i s t h a t f u n c t i o n o f t h e w i n d i n g p i t c h t h a t f r o m t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a x i a l l y d i r e c t e dc o r r e s p o n d s f o r t h e c o i l e n d p r o j e c t i o n l e n g t h t o t h e c o m p o n e n t s o f t h e s a m e c u r r e n t s . T h u s , t h e r e s u l t a n tf u n c t i o n K p 2 o v e r t h e c o r e l e n g t h . T h e d i s t r i b u t i o n p e r i p h e r a l c u r r e n t a t a n y p o i n t i s p r o p o r t i o n a l t of a c t o r K d i s t h e s a m e f o r t h e e n d w i n d i n g s a s f o r t h ec o r e p o r t i o n , d u e t o t h e u n v a r y i n g w i d t h s o f t h e p h a s e c o s P T h e e n t e r o f g r a v i t y o f t h i s c u r r e n t a r e ab e l t s . 2T o e v a l u a t e F ( p ) , c o n s i d e r a n e l e m e n t a r y s e c t i o n o f i s a c c o r d i n g l y l o c a t e d a t a d i s t a n c e f r o m t h e e n d o f t h et h e e n d w i n d i n g s a t a d i s t a n c e x f r o m t h e o u t e r e n d , a s c o r e e q u a l t oi n d i c a t e d i n F i g . 4 . I f x i s e x p r e s s e d a s a f r a c t i o n o ft h e t o t a l a x i a l w i n d i n g p r o j e c t i o n o n o n e e n d , t h e p i t c h - 1o f t h e w i n d i n g a t a n y p o i n t i s e q u a l t o p x . T h e r e f o r e , x C o s p 7 x d xt h e s q u a r e o f t h e r a t i o o f t h e m . m . f . a t a n y p o i n t t o i t s r pD t a n a 10v a l u e i n t h e c o r e p o r t i o n i s , 2 P C o s P 7 x d x

s i n 2 P J 27 r - p D t a n a e / 2 t a n p 7 r / 4a n d a c c o r d i n g l y t h e v a l u e o f F ( p ) i s : 2 P tapW/4)

p pp ( 1 4 ) s i n p D p p 2F ( p ) s i n 2 2 d x = 2 p w ( 1 4 ) _ p D t a n a 1 + P 50 /To e v a l u a t e t h e a d d i t i o n a l e n d r e a c t a n c e d u e t o t h e

i r r e g u l a r p e r i p h e r a l s p a c e d i s t r i b u t i o n o f t h e e n d w i n d - a p p r o x . ( 1 5 )i n g m . m . f . , we may p r o c e e d a s f o l l o w s : T h e r a t i o o f We w i l l now m a k e t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e a x i a l e n dt h e n t h h a r m o n i c f l u x p e r p o l e i n a n a i r c o r e t o t h e l e a k a g e r e a c t a n c e i s t h e s a m e a s i f t h e p e r i p h e r a l c u r r e n tf u n d a m e n t a l f l u x p e r p o l e i s n t i m e s g r e a t e r t h a n t h e w e r e c o n c e n t r a t e d i n a c o n d u c t o r o f c i r c u l a r c r o s s -s a m e r a t i o f o r a u n i f o r m a i r - g a p , ( f r o m e q u a t i o n s ( 5 ) s e c t i o n a t e a c h e n d o f t h e m a c h i n e a t t h e d i s t a n c ea n d ( 6 ) ) . F o r a f u l l p i t c h w i n d i n g w i t h a l a r g e n u m b e r f r o m t h e c o r e e n d s g i v e n b y ( 1 5 ) . T h e p r o p e r d i a m e t e ro f s l o t s p e r p o l e , t h e r e a c t a n c e d u e t o t h e n t h h a r m o n i c o f c r o s s s e c t i o n t o a s s u m e f o r t h e s e c o n d u c t o r s i s e v i -i s t h e r e f o r e a p p r o x i m a t e l y 1 / n 2 t i m e s t h a t d u e t o t h e d e n t l y g r e a t e r t h a n t h e d e p t h o f p r i m a r y s l o t , a n d l e s sf u n d a m e n t a l f o r a n a i r c o r e , a n d 1 / n 4 t i m e s t h e f u n d a - t h a n t h e a x i a l l e n g t h o f t h e e n d p r o j e c t i o n o n o n e e n d .m e n t a l f o r a u n i f o r m a i r - g a p , t h e l a t t e r r a t i o b e i n g F o r r e a s o n s o f s i m p l i c i t y , we w i l l a s s u m e t h i s d i a m e t e rd e r i v e d i n t h e s e c t i o n o f t h i s p a p e r o n b e l t l e a k a g e . T h e t o b e o n e - h a l f t h e a x i a l p r o j e c t i o n a t e a c h e n d , o r , f r o ms u m o f t h e v a l u e s o f 1 / n 2 f o r a l l t h e h a r m o n i c s p r e s e n t ( 1 2 ) :i n a f u l l - p i t c h p o l y p h a s e w i n d i n g w i t h a n i n f i n i t e 7 r p D t a n an u m b e r o f s l o t s i s e q u a l t o 1 / K d 2 . t T h e a c t u a l e f f e c t 4 p ( 1 6 )o f t h e h a r m o n i c s i s l e s s t h a n t h i s f o r w i n d i n g s w i t hp i t c h e s a l i t t l e l e s s t h a n 1 0 0 p e r c e n t , a n d g r e a t e r f o r A s t h e p e r i p h e r a l c u r r e n t e x t e n d s o v e r a r a d i a l d e p t hv e r y s h o r t p i t c h w i n d i n g s , b u t t h e s e e r r o r s a r e n o t e q u a l t o t h e d e p t h o f p r i m a r y s l o t , t h e e q u i v a l e n ti m p o r t a n t . T h e t o o t h h a r m o n i c s d u e t o t h e c o n c e n - d i a m e t e r c a n n o t b e l e s s t h a n t h i s . H e n c e ( 1 6 ) i st r a t i o n o f t h e m . m . f . i n a s m a l l n u m b e r o f c o n d u c t o r s r e a l l y b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e p r i m a r y s l o ta r e s m a l l e r i n t h e e n d w i n d i n g s t h a n i n t h e c o r e , s i n c e d e p t h i s a b o u t e q u a l t o o n e - t h i r d t h e a x i a l e n d p r o -t h e f i n i t e s l o t d e p t h m a k e s t h e a c t u a l l e n g t h o f f l u x j e c t i o n , a n d i f w i d e v a r i a t i o n s f r o m t h i s r e l a t i o n s h i pp a t h much g r e a t e r f o r t h e h i g he r h a r m o n i c s t h a n i n t h e o c c u r , t h e n ( 1 6 ) w i l l b e c o r r e s p o n d i n g l y i n e r r o r . T h ei d e a l c a s e , f o r w h i c h t h e f o r m u l a s a r e d e r i v e d , w h e r e t h e e f f e c t o f t h i s e r r o r i s t o m a k e t h e c a l c u l a t e d r e a c t a n c em . m . f . i s c o n c e n t r a t e d i n a c y l i n d e r o f z e r o t h i c k n e s s . t o o h i g h f o r v e r y d ee p p r i m a r y s l o t s a n d t o o l o w f o r v e r yT h u s , t h e i n c r e a s e i n e n d l e a k a g e r e a c t a n c e d u e t o s h a l l o w s l o t s . H o w e v e r , s i n c e o n l y t h e l o g a r i t h m o fI S i l b e r s t e i n , " S y n o p s i s o f A p p l i c a b l e M a t h e m a t i c s , " p . 8 7 . t h i s e f f e c t i v e d i a m e t e r e n t e r s t h e f i n a l e q u a t i o n , a


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 4 9 9c o n s i d e r a b l e e r r o r i n t h e d i a m e t e r m a k e s o n l y a s m a l l v e r y c l o s e l y . T h e s u b s t i t u t i o n o f 0 . 3 ( 3 p - 1 ) f o r t h ee r r o r i n t h e r e s u l t . c o m p l i c a t e d f u n c t i o n o f p i t c h g i v e n i n ( 2 0 ) i s j u s t i f i e dT h e c u r r e n t i n t h i s c o n d u c t o r v a r i e s c y c l i c a l l y a r o u n d b y t h e c o m p a r i s o n o f t h e t w o v a l u e s s h o w n i n F i g . 5 .t h e p e r i p h e r y , i t s r . m . s . v a l u e f o r a f u l l - p i t c h w i n d i n g O v e r t h e o r d i n a r y r a n g e o f p i t c h e s f r o m 0 . 5 t o 1 . 2 , t h eb e i n g a g r e e m e n t i s v e r y s a t i s f a c t o r y . We w i l l , t h e r e f o r e ,b e i n g , 2 t i m e s t h e t o t a l a x i a l l y d i r e c t e d c u r r e n t i n a d o p t ( 2 1 ) as o u r f i n a l e x p r e s s i o n f o r t h e e n d l e a k a g e2 v / 2 r e a c t a n c e o f a s y n c h r o n o u s m a c h i n e w i t h a b a r r e l - t y p eo n e p o l e p i t c h , o r : p r i m a r y w i n d i n g .( 2 1) ( K p Kd q I Z) ({2 a / 2 ) E q u a t i o n ( 2 1 ) g i v e s t h e e n d l e a k a g e r e a c t a n c e , u n d e r

2 - \ / 2 J P Jt 7q I Z K , K d

We w i l l n e g l e c t t h e l e a k a g e f l u x t h a t e n t e r s t h e e n d so f t h e a r m a t u r e c o r e i n an a x i a l d i r e c t i o n , a s i t i sl a r g e l y c a n c e l e d b y o p p o s i n g e d d y c u r r e n t s i n t h ep u n c h i n g s , t h a t a r e e n t e r e d b r o a d s i d e o n . T h e n , t h e _p e r i p h e r a l c u r r e n t s a t t h e t w o e n ds may b e c o n s i d e r e da s f l o w i n g i n a p a i r o f p a r a l l e l w i r e s s e p a r a t e d b y ad i s t a n c e t w i c e t h a t g i v e n b y ( 1 5 ) . _ YA s s u m i n g t h e a i r - g a p d i a m e t e r , D , l a r g e c o m p a r e d L e S 1w i t h t h i s d i s t a n c e , t h e p r o b l e m r e d u c e s t o t h a t o f c a l - |7/| Ic u l a t i n g t h e r e a c t i v e k v - a . o f a s i n g l e - p h a s e t r a n s -m i s s i o n l i n e c o n s i s t i n g o f r o u n d w i r e s o f a d i a m e t e rg i v e n b y ( 1 6 ) , s e p a r a t e d b y a d i s t a n c e t w i c e t h a tg i v e n l b y ( 1 5 ) , o f a l e n g t h w D , a n d c a r r y i n g a c u r r e n tp e r c o n d u c t o r g i v e n b y ( 1 7 ) . T h e i n d u c t a n c e o f s u c ha l i n e i s e q u a l t o :

2 0 D [ 12+ 2 1 n 4 ( 1 + p 2 / 5 ) ] h e n r y sw h i c h i s p r a c t i c a l l y e q u a l t o :4wrD ( 8 . 2 + p 2 ) (8( 5 ) 1 0 9

T h e t o t a l r e a c t i v e v o l t - a m p e r e s d u e t o t h e a x i a l e n dl e a k a g e f l u x a r e , t h e r e f o r e , e q u a l t o : F I G . 5 -E ND L E A K A G E R E A C T A N C E C O E F F I C I E N T S1 3 . 1 f q D K p 2 K d 2 Z 2 ( 1 + 0 . 1 2 p 2 ) ( 1 9 ) t h e c o n d i t i o n o f b a l a n e e d p o l y p h a s e c u r r e n t s f l o w i n gX E A = 1 0 P 2 i n t h e armature w i n d i n g . As t h e d e r i v a t i o n o f t h i sA d d i n g ( 1 9 ) t o ( 1 3 ) , a n d d r o p p i n g t h e K d 2 f a c t o r o f e q u a t i o n i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e e n d( 1 3 ) a s p r e v i o u s l y e x p l a i n e d , we o b t a i n f o r t h e t o t a l l e a k a g e f i e l d s a r e d u e t o r e v o l v i n g m . m . f s . , w i t he n d l e a k a g e r e a c t a n c e : n e a r l y n e g l i g i b l e s p a c e h a r m o n i e s , t h e r e a c t a n c e s f o r

p D S t a n a F ( p ) o t h e r w i n d i n g c o n n e c t i o n s may b e t a k e n a s p r o p o r t i o n a lX E n d = M p 2 p 2 L t o t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f a r m a t u r e r e a c t i o n .On t h i s b a s i s , t h e c o e f f i c i e n t 0 . 3 o f e q u a t i o n ( 2 1 )K p 2 K d 2 D S ( 1 + 0 . 1 2 p 2 ) - ma y b e c h a n g e d i n a c c o r d a n c e w i t h t h e f o l l o w i n g t a b l e+ 6 p 2 L J ( 2 0 ) i n t h e s p e c i a l c o n n e c t i o n c a s e s :

We w i l l t a k e a = 6 0 d e g . , a v a l u e h i g h e r t h a n t h e T A B L E _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I I _ _u s u a l a n g l e o f t h e e n d s , b u t o n e t h a t c h e c k s t h e mean ||Valuef c o e f f i c i e n tl e n g t h o f c o n d u c t o r o n m o s t w i n d i n g s , a n d s o o n e t h a t C o n n e c t i o n W i n d i n g f o r e q u a t i o n ( 2 1 )a l l o w s s o m e t h i n g f o r t h e s t r a i g h t p o r t i o n b e y o n d t h e B a l a n c e d p o l y p h a s e.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . | t w o o r t h r e e - p h a s e. 3c o r e . Equation ( 2 0 ) then r e d u c e s t o : S i n g l e - p h a s e , l i n e t O l i n e u t r a l ] t w o o r t h r e e - p h a s e 0 . 2 3

0 .3 1 M D 5 ( 3 p- 1 ) Z e r o p h a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . t h r e e - p h a s e , 6 0 o r 1 2 0End = p2L Z e r o p h a s e ....t w o - p h a s e . . . . . | 0 . 3


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5 0 0 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .I V . Z I G Z A G L E A K A G E R E A C T A N C E T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n b e l t - l e a k a g e a n d z i g z a g

I n a s m u c h a s t h e s t a t o r w i n d i n g s o f p o l y p h a s e l e a k a g e i s t h a t t h e f o r m e r i s d u e t o t h e c o n c e n t r a t i o n o fm a c h i n e s c o n s i s t o f c o i l s a r r a n g e d i n a f i n i t e n u m b e r o f t h e m. m. f . i n a d e f i n i t e n u m b e r o f p h a s e b e l t s , w h i l es l o t s a n d c o n n e c t e d i n a f i n i t e n u m b e r o f p h a s e s , u s u a l l y t h e l a t t e r i s d u e t o i t s c o n c e n t r a t i o n i n a d e f i n i t e n u m -t w o o r t h r e e , t h e s h a p e o f t h e w a v e o f m a g n e t o m o t i v e b e r o f s l o t s . N o a c c u r a t e d i v i d i n g l i n e c a n b e d r a w nf o r c e a l o n g t h e a i r - g a p s u r f a c e i s n o t s i n u s o i d a l , e v e n b e t w e e n t h e t w o k i n d s o f l e a k a g e , a s t h e y a r e m u t u a l l yt h o u g h t h e w i n d i n g c a r r i e s b a l a n c e d s i n u s o i d a l p o l y - d e p e n d e n t o n e a c h o t h e r , a n d a s i n t h e c a s e o f o n e s l o tp h a s e c u r r e n t s . A t a n y p a r t i c u l a r i n s t a n t t h e s h a p e p e r p o l e p e r p h a s e , f o r e x a m p l e , t h e y c o a l e s c e i n t o t h eo f t h e m . m . f . w a v e i s s t e p p e d , t h e a g r e e m e n t b e t w e e n s a m e t h i n g . T h e r e a s o n f o r m a k i n g a d i s t i n c t i o n i st h e s t e p p e d f i g u r e a n d a t r u e s i n u s o i d b e c o m i n g c l o s e r t h a t , f o r o r d i n a r y d e s i g n p r o p o r t i o n s , a c h a n g e i n t h ea n d c l o s e r a s t h e n u m b e r s o f s l o t s a n d p h a s e s a r e made n u m b e r o f s l o t s a f f e c t s o n l y t h e z i g z a g l e a k a g e , w h i l e al a r g e r a n d l a r g e r , u n t i l p e r f e c t a g r e e m e n t r e s u l t s w h e n c h a n g e i n t h e w i n d i n g p i t c h a f f e c t s o n l y t h e b e l tb o t h t h e n u m b e r o f s l o t s a n d t h e n u m b e r o f p h a s e s l e a k a g e , s o t h a t t h e i n d e p e n d e n t e f f e c t s o f n u m b e r o fa r e i n f i n i t e . s l o t s a n d o f p i t c h c a n b e more e a s i l y d e a l t w i t h w h e nA s s h o w n i n r e f e r e n c e 3 , t h e a i r - g a p f l u x p r o d u c e d t h e t w o p a r t s a r e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y .b y t h i s s t e p p e d m . m . f . w a v e i n a s a l i e n t - p o l e s y n - I n d e p e n d e n t f o r m u l a s w i l l b e d e v e l o p e d f o r t h e b e l tc h r o n o u s m a c h i n e c o n s i s t s o f t h r e e e l e m e n t s : a n d z i g z a g r e a c t a n c e s , t h e r e f o r e , b u t i t m u s t b e r e c o g -1 . A f u n d a m e n t a l s i n e w a v e s t a t i o n a r y o n t h e r o t o r , n i z e d t h a t , w h e n e v e r t h e n u m b e r o f s l o t s p e r p o l e i si n d u c i n g f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y v o l t a g e s ; s m a l l , t h e t w o a r e n o t s e p a r a b l e , a n d t h e f o r m u l a s

2 . A s e r i e s o f h a r m o n i c s m o v i n g w i t h r e s p e c t t o b e c o m e i n a c c u r a t e . T h e o n l y a c c u r a t e way t o o b t a i nt h e r o t o r a n d a l s o i n d u c i n g f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y t h e t o t a l d i f f e r e n t i a l r e a c t a n c e i s t o c o m p u t e i t f o rv o l t a g e s ; a n d e a c h c a s e s e p a r a t e l y , a n d t a b u l a t e t h e r e s u l t s . The3 . O t h e r h a r m o n i c s i n d u c i n g o t h e r t h a n f u n d a - c o m p u t a t i o n o f t h e t o t a l f o r a n y r e g u l a r w i n d i n g c a n b em e n t a l f r e q u e n c y v o l t a g e s i n t h e a r m a t u r e w i n d i n g . s i m p l y c a r r i e d o u t b y t h e means s u g g e s t e d b y C h a p -O f t h e s e , 1 i s t h e e f f e c t o f t h e a r m a t u r e r e a c t i o n , 2 m a n . ' T h i s h a s b e e n d o n e i n A p p e n d i x A , w h e r e i n t a b l e sc o n s t i t u t e s a n e l e m e n t o f t h e l e a k a g e r e a c t a n c e , a n d 3 f o r s o m e o f t h e more u s u a l r e g u l a r w i n d i n g s a r e g i v e n .may b e d i s r e g a r d e d . T h u s , i f we no w d e r i v e a f o r m u l a T h e d e f i n i t i o n s a d o p t e d w i l l b e a s f o l l o w s :f o r 2 , we w i l l c o m p l e t e t h e w o r k o f d e t e r m i n i n g t h e T h e p e r c e n t d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e i s t h ea r m a t u r e l e a k a g e r e a c t a n c e . t o t a l p e r c e n t r e a c t a n c e d u e t o h a r m o n i c f l u x e s c r o s s i n gI n t h e p r e s e n t d i s c u s s i o n , t o b e g i n w i t h , a n i d e a l t y p e t h e a i r - g a p t h a t a r e n o t o f t h e f u n d a m e n t a l n u m b e r o fo f m a c h i n e w i l l b e c o n s i d e r e d . T h e a i r - g a p l e n g t h w i l l p o l e s . O r , i t i s t h e t o t a l e x c e s s p e r c e n t r e a c t a n c e , d u eb e a s s u m e d u n i f o r m , a n d t h e f l u x w i l l b e a s s u m e d t o t o a i r - g a p f l u x e s , a b o v e t h a t o f a s i m i l a r m a c h i n e , w i t hc r o s s t h e g a p r a d i a l l y . T h e s l o t s w i l l b e a s s u m e d t o a n i n f i n i t e n u m b e r o f s l o t s a n d o f p h a s e s .h a v e n o r e a l p h y s i c a l e x i s t e n c e w h i c h m i g h t e n t a i l a T h e p e r c e n t b e l t l e a k a g e r e a c t a n c e i s t h e t o t a lv a r i a t i o n i n a i r - g a p p e r m e a n c e , b u t w i l l b e a s s u m e d t o e x c e s s p e r c e n t d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e o f a p o l y -b e m e r e l y t h e p o i n t s a l o n g t h e p e r i p h e r y o f t h e m a c h i n e p h a s e a r m a t u r e w i n d i n g a b o v e t h a t o f a s q u i r r e l - c a g ea t w h i c h t h e c u r r e n t i s c o n c e n t r a t e d a n d a t w h i c h , w i n d i n g w i t h t h e s a m e n u m b e r o f s l o t s .t h e r e f o r e , t h e m . m . f . c h a n g e s . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , T h e p e r c e n t z i g z a g l e a k a g e r e a c t a n c e i s t h e t o t a lt h e a i r - g a p f l u x w i l l v a r y a l o n g t h e p e r i p h e r y o f t h e p e r c e n t d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e o f a s q u i r r e l -m a c h i n e a t a n y i n s t a n t i n a s t e p p e d w a v e s h a p e e x a c t l y c a g e w i n d i n g , o r o f a w i n d i n g w i t h a s many p h a s e sp r o p o r t i o n a l t o t h e m . m . f . a t e a c h p o i n t . a s i t h a s s l o t s p e r p o l e .I f t h e f l u x w a v e p r o d u c e d b y t h e s t a t o r c u r r e n t s I n t h i s s e c t i o n we w i l l c o n s i d e r t h e z i g z a g l e a k a g e ,a l o n e b e c o n s i d e r e d , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e s t e p p e d o r t h e h a r m o n i c f l u x e s p r o d u c e d b y a s q u i r r e l - c a g ew a v e o f f l u x may b e a n a l y z e d i n t o a f u n d a m e n t a l w i n d i n g . I t i s s h o w n i n A p p e n d i x A b y C h a p m a n ' ss i n u s o i d a l d i s t r i b u t i o n o f f l u x h a v i n g t h e s a m e n u m b e r m e t h o d t h a t t h e t o t a l i n d u c t a n c e o f a f u l l p i t c h w i n d i n go f p o l e s a s t h a t f o r w h i c h t h e s t a t o r w i n d i n g i s c o n - w i t h o n e s l o t p e r p o l e p e r p h a s e , a s a r a t i o t o t h en e c t e d , p l u s a n i n f i n i t e n u m b e r o f h a r m o n i c f l u x i n d u c t a n c e o f o n e f u l l - p i t c h c o i l i s :w a v e s h a v i n g d i f f e r e n t n u m b e r s o f p o l e s . 3 T h e r e 1b e i n g n o r o t o r c u r r e n t s b y a s s u m p t i o n , t h e m a g n i - Q =- C S C 2 ( 2 2 )t u d e s o f t h e f u n d a m e n t a l , a n d o f a l l o f t h e h a r - s 2 sm o n i c f i e l d s , a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t i n t h e w h e r e s i s t h e n u m b e r o f s l o t s p e r p o l e .w i n d i n g s , t h e b a c k e . m . f . p r o d u c e d b y t h e s e f l u x e s i n A n d , i t i s a l s o s h o w n i n A p p e n d i x A t h a t t h e t o t a lt h e s t a t o r w i n d i n g i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t , a n d u s e f u l i n d u c t a n c e o f s u c h a w i n di n g , d u e t o t h e f u n d a -t h e f l u x e s a r e t r u l y s e l f - i n d u c t i v e . m e n t a l f l u x i t p r o d u c e s , a s a r a t i o t o t h e i n d u c t a n c e o fT h e r e a c t a n c e d u e t o t h e s e h a r m o n i c f i e l d s c o n s t i - o n e f u l l p i t c h c o i l i s :t u t e s t h e " a i r - g a p l e a k a g e , " o r " d i f f e r e n t i a l l e a k a g e " 4 sr e a c t a n c e o f t h e m a c h i n e , w h i c h i s u s u a l l y d i v i d e d i n t o Qu = ( 2 3 )t w o p a r t s , t h e " b e l t l e a k a g e " a n d t h e " z i g z a g l e a k a g e . "


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 5 0 1H e n c e , t h e z i g z a g l e a k a g e , X t , i s e q u a l t o : K P n K d n ( K P n K d n 2 K P = i K d n : = 2X e - (7 CcS1r2s-) 92df 7 - d P o ' + 1 / 2 ( P i d p 2 N )X t = X a ( ~- C S C 2 i r / 2 s -4 s 2 ( 2 4 ) p N + n w h e r e t h e p l u s s i g n s a r e t a k e n i f t h e n t h h a r m o n i cw h e r e X , , i s g i v e n b y ( 1 1 ) . r o t a t e s b a c k w a r d s w i t h r e s p e c t t o t h e f u n d a m e n t a l ,A s 7 r / 2 s i s a s m a l l a n g l e , ( 2 4 ) may b e d e v e l o p e d i n t o a n d v i c e v e r s a . F o r t h e q u a d r a t u r e a x i s , t h e s i g n s o fa s e r i e s o f w h i c h o n l y t h e f i r s t t w o t e r m s n e e d b e t h e P 2 t e r m s i n b o t h t h e f u n d a m e n t a l a n d t h e h a r m o n i cc o n s i d e r e d , s o t h a t : m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e e x p r e s s i o n s c h a n g e s i g n .2 Xa 7. 2 V I t may e a s i l y b e s h o w n t h a t t h e p r o d u c t K P KPn2x t = 102 l 1 + 2 0 2 + 4S ( 2 5 ) i s a l w a y s e i t h e r n e g a t i v e o r v e r y s m a l l , a n d t h a tK d n K d n , 2 i s a l w a y s n e g a t i v e f o r t h e l o w o r d e r ( b e l to r , a p p r o x i m a t e l y : l e a k a g e ) h a r m o n i e s , b u t i s p o s i t i v e f o r t h e t o o t h5 X a 5 ' P X ( z i g z a g l e a k a g e ) h a r m o n i c s . H e n c e , t h e n u m e r i c a lx t = 6 S 2 = 6 S 2 J ( 2 6 ) v a l u e s o f t h e t w o t e r m s i n t h e f o r e g o i n g e x pr e s s i o n a r ea d d i t i v e f o r t h e b e l t l e a k a g e , b u t a r e s u b t r a c t i v e f o rE q u a t i o n ( 2 6 ) , t h e n , g i v e s t h e d e s i r e d r e s u l t , t h e t h e z i g z a g l e a k a g e , a n d t h e c o n t r a r y i s t r u e f o r t h et o t a l d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e o f a r e g u l a r w i n d i n g q u a d r a t u r e a x i s .w i t h o n e s l o t p e r p o l e p e r p h a s e , o r , b y d e f i n i t i o n , t h e I t i s q u i t e f e a s i b l e t o c a r r y t h r o u g h t h e i n d i c a t e dz i g z a g r e a c t a n c e o f a n y w i n d i n g w i t h t h e s a m e n u m b e r n u m e r i c a l w o r k f o r a n y p a r t i c u l a r c a s e , u s i n g t h e s eo f s l o t s p e r p o l e . C l e a r l y t h e e r r o r i n t h e f o r m u l a i s g e n e r a l m e t h o d s , b u t t o d o s o f o r t he g e n e r a l c a s e i ss m a l l f o r l a r g e v a l u e s o f s , b u t i t m a k e s t h e c a l c u l a t e d q u i t e i m p r a c t i c a l . W e w i l l , t h e r e f o r e , make s o m ev a l u e a l i t t l e l o w w h e n s b e c o m e s l e s s t h a n 3 . T h e b o l d a s s u m p t i o n s a t t h i s p o i n t , w i t h t h e o b j e c t o fv a l u e o f X t t h u s f o u n d a p p l i e s t o a s i n g l e w i n d i n g , a n d o b t a i n i n g a s i m p l e f o r m u l a a c c u r a t e e n o u g h f o r g e n e r a lt o t h e c a s e o f a u n i f o r m a i r - g a p l e n g t h . u s e . F i r s t , w e w i l l a s s u m e a v e r a g e v a l u e s f o r t h eF o r t h e c a s e o f a s a l i e n t p o l e s y n c h r o n o u s m a c h i n e , p e r m e a n c e c o e f f i c i e n t s , c o r r e s p o n d i n g t o a t w o -t hi r d st h e z i g z a g l e a k a g e c a n b e f o u n d f r o m t h e s a m e f o r m u l a s r a t i o o f p o l e a r c t o p o l e p i t c h , a minimum a i r - g a p t w oi f a n e q u i v a l e n t u n i f o r m v a l u e o f a i r - g a p l e n g t h c a n p e r c e n t o f t h e p o l e p i t c h , a n d a maximum a i r g a p 1 . 5b e a s c e r t a i n e d . I t h a s b e e n s h o w n b y D o h e r t y a n d t i m e s t h e m i n i m u m , a s f o l l o w s :N i c k l e 3 t ha t t he r e a c t a n c e d u e t o t h e n t h h a r m o n i c o f p i l 2 / 3 m n Iu 1 2 n d N =13 Np r i m a r y m . m . f . d e p e n i d s o n t h e a v e r a g e p e r m e a n c e , O n 3 t h i sbs, h n t 2 h r o n i a n e t i i n r e a c t a N ca n d o n t h e s e c o n d h a r m o n i c o f p e r m e a n c e v a r i a t i o n On t h i s b a s i s , t h e n t h h a r m o n i c m a g n e t i z i n g r e a c t a n c eo n l y , a n d t h a t t h e s e t w o p e r m e a n c e s h a v e d i f f e r e n t v a r i e s a b o u t 1 5 p e r c e n t , a b o v e a n d b e l o w i t s a v e r a g e ,v a l u e s f o r e a c h h a r m o n i c . T h e e f f e c t o f t h e v a r i a t i o n o f b e t w e e n t h e d i r e c t a n d q u a d r a t u r e a x e s . W e s h a l lp e r m e a n c e d u e t o t h e s a l i e n t p o l e s i s t o m a k e t h e l e a v e t h i s r e l a t i v e l y s m a l l v a r i a t i o n o u t o f a c c o u n t ,f u n d a m e n t a l a r m a t u r e f l u x a n d t h e b e l t l e a k a g e f l u x t h e r e f o r e , a n d c a l c u l a t e o n l y t h e a v e r a g e r e a c t a n c e ,g r e a t e r i n t h e m a i n a x i s t h a n i n t h e q u a d r a t u r e a x i s , a s s u m i n g i t t o b e t h e s a m e i n b o t h a x e s . T h e n , t h eb u t t o m a k e t h e z i g z a g h a r m o n i c l e a k a g e f l u x e s g r e a t e r r a t i o o f t h e m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e f o r t h e n t h h a r m o n i ci n t h e q u a d r a t u r e a x i s t h a n i n t h e m a i n a x i s . T h i s i s t o t h e d i r e c t a x i s m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e o f t h e f u n d a -t r u e b e c a u s e t h e p r e d o m i n a t i n g p o r t i o n s o f t h e h i g h m e n t a l i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o :o r d e r h a r m o n i c f l u x e s a r e p r o d u c e d a t t h e p o i n t s o f X a n . 9 K p n 2 K d n 2maximum a r m a t u r e c u r r e n t , a n d t h e s e come o v e r t h e 2 2 2p o l e f a c e s ( l o w r e l u c t a n c e ) w h e n t h e p o l e s a r e i n t h e X a d n K KIq u a d r a t u r e a x i s , w h i l e t h e y come o v e r t h e i n t e r p o l a r F i n a l l y , we m u s t t a k e i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t o u rs p a c e s ( h i g h r e l u c t a n c e ) w h e n t h e p o l e s a r e i n t h e m a i n i d e a l a s s u m p t i o n o f t r u e r e c t a n g u l a r m. m. f . waves f o ra x i s . e a c h c o i l i s n o t e x a c t . A c t u a l l y , t h e m. m. f . o f e a c hT h e a v e r a g e p e r m e a n c e i n c r e a s e s w i t h t he o r d e r o f s l o t i s d i s t r i b u t e d a c r o s s t h e s l o t o p e n i n g , i n s t e a d o ft h e h a r m o n i c , s i n c e t h e s h o r t e r t h e h a r m o n i c p o l e p i t c h , c o n c e n t r a t e d a t a p o i n t i n t h e c e n t e r o f t h e s l o t , a n d s ot h e g r e a t e r t h e r e l a t i v e p e r m e a n c e f o r t h e p e r i p h e r a l t h e s t e p s i n t h e m. m. f . waves a r e n o t v e r t i c a l , b u tf l u x t h a t r e e n t e r s t h e p r i m a r y i r o n w i t h o u t e v e r r e a c h - s l i g h t l y s l o p i n g . T hi s r e d u c es a l l t h e h a r m o n i e s a p -i n g t h e p o l e f a c e . F o r t h e s a m e r e a s o n , t h e s e c o n d p r e c i a b l y , e s p e c i a l l y t h e h i g h e r o r d e r o n e s . We s h a l lh a r m o n i c o f t h e p e r m e a n c e v a r i a t i o n i s l e s s t h e g r e a t e r a s s u m e t h a t t he a v e r a g e e f f e c t o f t h i s e r r o r i s t o r e d u c et h e v a l u e o f n . t h e m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e t o 5 / 6 o f i t s i d e a l v a l u e .T h e s a m e a u t h o r s h a v e s h o w n t ha t t he f u n d a m e n t a l M u l t i p l y i n g t h e l a s t e x p r e s s i o n b y t h i s f a c t o r , t h e r e f o r e ,m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e i n t h e d i r e c t a x i s i s p r o p o r t i o n a l w e f i n d t h e p r o p e r a v e r a g e v a l u e o f Xa t o s u b s t i t u t e i nt o : e q u a t i o n ( 2 6 ) i s :K p , 2 K d , 2 ( P o ' 1 / 2 p 2 ' ) , 3a n d t h a t o n t h e s a m e b a s i s t h e d i r e c t a x i s m a g n e t i z i n g Xa = X a d ( 2 7 )r e a c t a n c e f o r t h e n t h h a r m o n i c i s p r o p o r t i o n a l t o :


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5 0 2 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .V . B E L T L E A K A G E R E A C T A N C E a n d r o t o r b e l t l e a k a g e m u s t b e a d d e d t o o b t a i n t h e

T h e b e l t l e a k a g e r e a c t a n c e i s d u e t o t h e i n c r e a s e t o t a l .i n d i f f e r e n t i a l l e a k a g e c a u s e d b y r e d u c i n g t h e n u m b e r o f A s a f i r s t s t e p , i t w i l l b e n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h ep h a s e b e l t s p e r p o l e , q , t o a s m a l l n u m b e r . When t h e X a in u m b e r o f s l o t s p e r p o l e i s v e r y l a r g e , t h i s e f f e c t c a n r a t i o X a w h e r e X i s t h e m a g n e t i z i n g r e a c t a n c eb e r e a d i l y c a l c u l a t e d , b u t a s t h e s l o t s a r e made f e w e r ,t h e e l t l e a k g e n c r e s e s t o wo o t h e e t m e s i t s o f t h e n t h h a r m o n i c . A m e a s u r e o f t h e e f f e c t i v e n e s s o ft h e b e l t l e a k a g e i n c r e a s e s t o t w o o r t h r e e t i m e s i t s t h s a o r w n i g n p o d c g f u a m t l f u x sl i m i t i n g v a l u e . When t h e s l o t s f i n a l l y b e c o m e e q u a l t h e s t a t o r w i n d i n g i n p r o d u e i n g f u n d a m e n t a l f l u x i st o o n e p e r p o l e p e r p h a s e , t h e b e l t l e a k a g e b e c o m e s z e r o , t h e n u m b e r o f t u r n s i n s e r i e s p e r p h a s e t i m e s t h e p i t c hb y d e f i n i t i o n . A s t h e e f f e c t o f t h e n u m b e r o f s l o t s i s a n d d i s t r i b u t i o n f a c t o r s f o r t h e f u n d a m e n t a l n u m b e r o ff u r t h e r c o m p l i c a t e d b y v a r i a t i o n s i n t h e w i n d i n g p i t c h , p o l e s o ri t i s n o t c o n s i d e r e d p r a c t i c a b l e t o p r e s e n t a n y a d e q u a t e N 1 =K1 K d 1 Nf o r m u l a f o r t h e b e l t l e a k a g e i n t h e g e n e r a l c a s e . How- i n t h e s a m e way t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e s t a t o r w i n d i n ge v e r , a s t h e b e l t l e a k a g e i s s m a l l b y c o m p a r i s o n w i t h t h e i n p r o d u c i n g n t h h a r m o n i c f l u x i s m e a s u r e d b yz i g z a g l e a k a g e , u n l e s s s i s l a r g e , a n d a s i n t h i s c a s e t h e Nn = K P r , K d N ,b e l t l e a k a g e f o r m u l a i s f a i r l y a c c u r a t e , t h e s e e r r o r s a r e w h e r e K P , , . K d n a r e t h e p i t c h a n d d i s t r i b u t i o n f a c t o r s ,n o t i m p o r t a n t . F o r a c c u r a t e r e s u l t s , i t i s n e c e s s a r y t o r e s p e c t i v e l y , o f t h e s t a t o r w i n d i n g f o r t h e n t h h a r m o n i cc o m p u t e t h e t o t a l d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e , a n d f l u x .t a b u l a t e t h e r e s u l t s f o r a l l u s e f u l w i n d i n g s , a s o u t l i n e dzen 1X ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I fv o l t a g e i S a p p l i e d t o t h e p r i m a r y w i n d i n g a n d i Sn A p p e n d i x A . f i r s t a s s u m e d t o b e o p p o s e d e n t i r e l y b y f u n d a m e n t a lT h i s i s e s p e c i a l l y n e c e s s a r y i n t h e c a s e o f f r a c t i o n a l f l u x a n d t h e n e n t i r e l y b y n t h h a r m o n i c f l u x , t h e r a t i os l o t s p e r p o l e , a s h e r e t h e b e l t l e a k a g e i n c r e a s e s g r e a t l y , o f t h e m a g n e t i z i n g c u r r e n t s i n t h e t w o c a s e s w i l l b e t h ea n d a s i t v a r i e s c o n s i d e r a b l y , d e p e n d i n g o n t h e p a r t i c - r a t i o o f X a t o X a .u l a r s e q u e n c e o f l a r g e a n d s m a l l n u m b e r s o f s l o t s p e r I f ni s t h e t o t a l f l u x p e r p o l e , t h e np h a s e b e l t e m p l o y e d .T h e h a r m o n i c f i e l d s c o r r e s p o n d i n g t o t h e b e l t l e a k a g e = 4 N 1a r e o f l o w e r o r d e r s t h a n t h o s e o f t h e z i g z a g l e a k a g e , na s t h e f o r m e r a r e p r i m a r i l y d u e t o t h e p h a s e b e l t s w h i c h a n d i f B i s t h e a i r - g a p f l u x d e n s i t y , t h e ne x t e n d o v e r s e v e r a l o f t h e s l o t s t o w h i c h t h e l a t t e r a r ed u e . F u r t h e r , s i n c e a l l t h e h a r m o n i c f i e l d s m u s t N 1c r e a t e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y v o l t a g e s i n t h e p r o d u c i n g B = B1Nw i n d i n g , a n d s i n c e t h e n t h h a r m o n i c h a s n t i m e s t h ef u n d a m e n t a l n u m b e r o f p o l e s , i t f o l l o w s t h a t e a c h s i n c e t h e a r e a o f e a c h p o l e f o r t h e n t h h a r m o n i c i s 1 / nh a r m o n i c m u s t r e v o l v e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o d u c i n g t i m e s t h a t f o r t h e f u n d a m e n t a l .w i n d i n g a t o n e n t h o f f u n d a m e n t a l s p e e d . T h e r e f o r e , S i n c e f o r t h e n t h h a r m o n i c t h e r e a r e n t i m e s a s manyt h e h a r m o n i c f i e l d s d u e t o t h e p r i m a r y w i n d i n g i n d u c e p o l e s t o m a g n e t i z e a s t h e r e a r e f o r t h e f u n d a m e n t a l ,h i g h f r e q u e n c y v o l t a g e s i n t h e s e c o n d a r y , a n d , i f t h e t h e m a g n e t i z i n g c u r r e n t i n t h e s e c o n d c a s e i s :l a t t e r i s s h o r t - c i r c u i t e d , p r o d u c e d a m p i n g c u r r e n t s i n i t .A r e g u l a r p h a s e w i n d i n g , o r a s a l i e n t - p o l e f i e l d w i n d i n g , I m n n 2h a s s o l i t t l e a d m i t t a n c e f o r t h e s e v o l t a g e s t h a t t h i s N 2 nd a m p i n g e f f e c t c a n b e n e g l e c t e d . B u t , i n t h e c a s e o f as q u i r r e l - c a g e , t h e i n d u c e d c u r r e n t s a r e s u f f i c i e n t t o A n d , a s t h e m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e i s e q u a l t o t h eg r e a t l y r e d u c e t h e b e l t l e a k a g e h a r m o n i c f l u x e s . T h e r a t i o o f t h e a p p l i e d v o l t a g e t o t h e m a g n e t i z i n g c u r r e n t ,z i g z a g l e a k a g e f l u x e s a r e o n l y s l i g h t l y r e d u c e d i n u s u a l tc a s e s , a s t h e s q u i r r e l - c a g e a d m i t t a n c e f o r t h e s e h i g h 1 / K P n 2 K d , z 2 ( 2o r d e r h a r m o n i e s i s s m a l l . %X 2aK22T h e r e f o r e , t h e p r i m a r y b e l t l e a k a g e c a n b e p r a c t i c a l l yn e g l e c t e d i n a l l m a c h i n e s w i t h i n t e g r a l s l o t s p e r p o l e T h e t o t a l b e l t l e a k a g e r e a c t a n c e i s e q u a l t o t h e sump e r p h a s e , h a v i n g s q u i r r e l - c a g e s e c o n d a r y w i n d i n g s , a n d o f t h e m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e s o f a l l t h e h a r m o n i c s e x -s o w e w i l l a s s u m e f o r t h i s c a s e : i s t i n g w i t h a d e f i n i t e n u m b e r o f p h a s e s , a d e f i n i t e( 2 8 ) w i n d i n g p i t c h , a n d a n i n f i n i t e n u m b e r o f s l o t s . I t i sX B =O()well k n o w n t h a t a w i n d i n g w i t h q p h a s e b e l t s p e r p o l e

F o r r e g u l a r w i n d i n g s w i t h a n i n f i n i t e n u m b e r o f s l o t s p r o d u c e s o n l y t h o s e h a r m o n i c s w h o s e o r d e r s a r e e q u a lp e r p o l e , t h e b e l t l e a k a g e r e a c t a n c e i s t h e s u m o f t h e t o 2 k q 1 . A n d , f o r a l l t h e s e h a r m o n i c s , t h e d i s -m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e s o f a l l t h e h a r m o n i c m . m . f s . t r i b u t i o n f a c t o r w i t h a n i n f i n i t e n u m b e r o f s l o t s i sF o r s y n c h r o n o u s m a c h i n e s t h e s t a t o r o n l y n e e d b e s i m p l y e q u a l t o o n e n t h o f t h e f u n d a m e n t a l d i s t r i b u t i o nc o n s i d e r e d , w h i l e f o r i n d u c t i o n m a c h i n e s t h e s t a t o r f a c t o r . H e n c e , w e may w r i t e :


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 5 0 3n e Go 2 T h e a c t u a l v a l u e o f X B f o r a n y p i t c h f o r e a c hX B = X a > ' ( 3 0 ) t y p e o f w i n d i n g c a n n o t b e e x p r e s s e d b y a n y s i m p l eP 1 f o r m u l a , b u t m u s t b e f o u n d b y a c t u a l l y c a r r y i n g

w h e r e n t a k e s o n l y t he v a l u e s 2 k q 1 ; k = 1 , 2 , 3 , . . . o u t t h e s u m m a t i o n i n d i c a t e d i n ( 3 0 ) . T h i s h a s b e e nF o r a f u l l p i t c h t w o - p h a s e w i n d i n g w i t h 9 0 d e g . p h a s e d o n e , a n d t h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 6 .b e l t s , t h i s i s : T h e v a l u e o f X B f o r a s a l i e n t p o l e s y n c h r o n o u s m a -c h i n e i s a l s o a p p r o x i m a t e l y g i v e n b y t h e f o r e g o i n gX B 9 0 o = Xa ( 3 + 5 4 + 7 4 + * )equation, i f 3 / 4 t h e d i r e c t a x i s m a g n e t i z i n g r e a c t a n c e i su s e d f o r X a , a s s h o w n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . S u m -m i n g u p , t h e r e f o r e , t h e b e l t l e a k a g e r e a c t a n c e i s e q u a l7 F 4 \ t o :

9 6 - 1 X a = 0 . 0 1 4 7 X a ( 3 1 ) X B = 0 ( 2 8 )f o r a n y m a c h i n e w i t h a s q u i r r e l - c a g e w i n d i n g a n d i n t e -F o r a f u l l - p i t c h t h r e e - p h a s e w i n d i n g w i t h 6 0 d e g . g r a l s l o t s p e r p o l e p e r p h a s e ;p h a s e b e l t s , i t i s : 31 1 1 X B - X a d ( K B 1 ) ( 3 3 )X B 6 0= X a + + 1 1 3 ( 3 3/ 7 4 141 4 f o r s a l i e n t - p o l e s y n c h r o n o u s m a c h i n e w i t h o u t s q u i r r e l -1 B1 1 ) 7 r14)X c a g e ; a n d w i t h i n t e g r a l s l o t s p e r p o l e p e r p h a s e ; a n d= ( I + X B g 0 ) t 1 - 3 4 - X a l 4 8 6 X p2XB = XT= 5 Xd ( 3 4 )= 0 . 0 0 2 1 4 Xa ( 3 2 ) 8 Sf o r a s a l i e n t - p o l e s y n c h r o n o u s m a c h i n e w i t h f r a c t i o n a l

I 1 B 1 1 4 I t ~ ~ ~ ~ s l o t s p e r p o l e p e r p h a s e . T h i s l a s t e q u a t i o n i s a r b i t r a r y ,eza ta t J W X _ t is XB f o r f r a c t i o n a l s l o t w i n d i n g s v a r i e s v e r y w i d e l y ,b u t i n a g e n e r a l way X B i n s u c h cases i s l a r g e r t h e l a r g e rX T S , a n d i t i s o n t e a v e r a g e o f t h e s a m e o r d e r o fm a g n i t u d e . From some u n p u b l i s h e d w o r k o f P r o f e s s o rA . A . B e n n e t t , t h e d i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e f o rs i x d i f f e r e n t f r a c t i o n a l s l o t w i n d i n g s a v e r a g e d 1 . 8 2t i m e s X T . H e n c e , o u r a s s u m p t i o n o f 2 f o r t h i s f a c t o ri n t h e g e n e r a l c a s e i s n o t u n r e a s o n a b l e , a n d s h o u l d b es a t i s f a c t o r y u n t i l s u c h t i m e a s a n a d e q u a t e t a b l e o fd i f f e r e n t i a l l e a k a g e r e a c t a n c e v a l u e s f o r i r r e g u l a r_ _Q_C _ _ _ r - - - - - --- N w i n d i n g s i s a v a i l a b l e .S i n c e some o f t h e h a r m o n i c s o f b e l t l e a k a g e f l u x f o rf r a c t i o n a l s l o t w i n d i n g s a r e o f f r a c t i o n a l , a n d many a r eo f r a t h e r l o w , o r d e r s , a s q u i r r e l - c a g e w i n d i n g w i l l h a v eT o


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5 0 4 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .5 p F i n a l l y , t h e r e f o r e , o u r f o r m u l a f o r t h e p e r c e n t l e a k a g e+ 8 ( ) 2 X a d ( 3 5 ) r e a c t a n c e , e x p r e s s e d a s a d e c i m a l , o f a s a l i e n t - p o l e8 / s y n c h r o n o u s m a c h i n e w i t h a b a r r e l - t y p e a r m a t u r eT h e b e l t l e a k a g e g i v e n b y e q u a t i o n ( 3 3 ) o r ( 3 4 ) w i n d i n g , a n d f r a c t i o n a l s l o t s p e r p o l e , i n i n c h u n i t s , i s :s h o u l d b e a d d e d i n c a s e t h e m a c h i n e h a s f r a c t i o n a l 2 0 A P L 3 p + 1 \ d 3 d is l o t s o r h a s no s q u i r r e l - c a g e w i n d i n g . T h e s e c o n d X I KP2Kd2 LS4A w + 3w)o r d e r t e r m s o f t h e s l o t r e a c t a n c e ( e q u a t i o n ( 3 ) ) h a v e P d

b e e n o m i t t e d a s b e i n g n o n - e s s e n t i a l f o r n o r m a l s y n - 0 . 3 ( 3 p - 1 ) D 1 . 1 Ac h r o n o u s m a c h i n e s . + p ] + F ( ( P / S ) 2 + 0 . 6 K B ) ( 3 7 )E x p r e s s e d a s a f r a c t i o n a l v o l t a g e d r o p d u e t o f u l l -l o a d c u r r e n t , ( 3 4 ) b e c o m e s b y ( 8 ) , ( 1 0 ) , a n d ( 1 1 ) : I f i n t e g r a l s l o t s p e r p o l e a r e u s e d , t h e ( P / S ) 2 t e r m7 . 9 0 A r P L KS / d 3 d i s h o u l d b e m u l t i p l i e d b y 0 . 5 I f i n a d d i t i o n t h e m a c h i n eX K 2 K 2 + 3 1 j h a s a s q u i r r e l - c a g e w i n d i n g , t h e K B t e r m i s t o b eo m i t t e d . T h e r e a c t a n c e i s a s s u m e d t o b e t h e s a m e i n0 . 3 ( 3 p- 1 ) D 5 p 2 A K\ b o t h a x e s , b u t a c t u a l l y i t i s g r e a t e r i n t h e q u a d r a t u r e+ i]+ 8 ( S aF--) ( 3 6 ) a x i s t h a n i n t h e d i r e c t a x i s b y a b o u t 1 / 4 o f t h e A/Fp8f F / term.f o r l e n g t h s m e a s u r e d i n c m . , t h e c o n s t a n t 7 . 9 0 b e c o m i n g A s t h e v a l u e o f X 1 f o u n d f r o m t e s t i s t o t a l l y d i f f e r e n t ,2 0 . 0 i f i n c h u n i t s a r e u s e d . T h e v a l u e o f F t o b e u s e d d e p e n d i n g o n how t h e a r m a t u r e r e a c t i o n i s c o n -i n t h e l a s t t e r m o f ( 3 6 ) i s t h e n u m b e r o f n o r m a l v o l t a g e v e r t e d i n t o e q u i v a l e n t f i e l d a m p e r e - t u r n s , i t i s n e c e s -s a r y t o c o n s i d e r t h e m a t t e r b e f o r e p r o c e e d i n g t o" e f = / o I Z L U X A 2 N D F , T e t q L , q () t h e c o m p a r i s o n o f t e s t r e a c t a n c e s w i t h t h o s e g i v e n b y

r 0 e . , s ^ 6e c F & iF0 2 2 7A/E .W3i e s e m a n 2 h a s d e r i v e d a c c u r a t e c o e f f i c i e n t s b y f l u x0 o e 9 , * s e a~ 7 0 , q a e - : >sE 0J7 ^fJ 0AI _ Z&_ /_- _ Z 7 1 1 } - p l o t t i n g f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f u n d a m e n t a l s i n e1 . 0 4 _ /I _ _ _> 4 $ ~ wave o f f l u x p r o d u c e d i n a s a l i e n t p o l e m a c h i n e b y t h e7 4 . 2 - I ~ ~ ~ ~ ~ < t - V A O ,- X t = to n c e n t r a t e d f i e l d t u r n s , a n d b y a s i n u s o i d a l l y d i s -t r i b u t e d a r m a t u r e r e a c t i o n . By t a k i n g t h e r a t i o o ft h e s e t w o c o e f f i c i e n t s , t h e n e c e s s a r y f a c t o r , K a , , t oc o n v e r t t h e a r m a t u r e r e a c t i o n a m p e r e - t u r n s i n t oB , 0 6r, t e - e q u i v a l e n t f i e l d a m p e r e - t u r n s , c a n b e d e r i v e d . T h i s h a s0 o v ! > | b e e n d o n e b y M r . W i e s e m a n , a n d t h e r e s u l t i s s h o w n i n/ . 0 2 1 _ _ T s _ - 0 & S e l F i g . 7 . By s u b s t i t u t i n g t h e q u a d r a t u r e a x i s c o e f f i c i e n t s ,0 . _6 0 0 _ a 0 . l 7 5 a l s o g i v e n i n r e f e r e n c e N o . 2 , f o r t h o s e o f t h e d i r e c t a x i s ,t h e a r m a t u r e r e a c t i o n a n d t h e t o t a l , o r s y n c h r o n o u s ,r e a c t a n c e i n e i t h e r a x i s c a n b e a c c u r a t e l y c a l c u l a t e d .T h e u s u a l way t o d e t e r m i n e t h e a r m a t u r e l e a k a g e

07e o . 0 7 voa ao3 004 005 r e a c t a n c e b y t e s t i s f i r s t t o t a k e o p e n a n d s h o r t - c i r c u i tc h a r a c t e r i s t i c c u r v e s , w h i c h g i v e a r m a t u r e v o l t a g e o nF I G . 7 o p e n - c i r c u i t a n d a r m a t u r e c u r r e n t o n s u s t a i n e d s h o r tc i r c u i t , r e s p e c t i v e l y , a s f u n c t i o n s o f f i e l d c u r r e n t .f i e l d a m p e r e - t u r n s , a n d Ka i s t he c o n s t a n t r e q u i r e d t o T h e n , t h e f i e l d c u r r e n t c o r r e s p o n d i n g t o f u l l l o a dc o n v e r t a r m a t u r e r e a c t i o n a m p e r e - t u r n s i n t o e q u i v a - a r m a t u r e c u r r e n t o n s h o r t c i r c u i t , d i v i d e d b y t h e f i e l dl e n t f i e l d a m p e r e - t u r n s . Ka d e p e n d s o n t h e p a r t i c u l a r c u r r e n t c o r r e s p o n d i n g t o n o r m a l v o l t a g e o n t h e a i r - g a ps h a p e o f f i e l d p o l e a n d l e n g t h o f a i r - g a p u s e d , b u t i t h a s l i n e , i s e q u a l t o t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e , e x p r e s s e d a sa n a v e r a g e v a l u e a l i t t l e l e s s t h a n 0 . 9 , a n d i s g i v e n b y a f r a c t i o n . By s u b t r a c t i n g t h e c a l c u l a t e d a r m a t u r eF i g . 7 . r e a c t i o n , a l s o e x p r e s s e d a s a f r a c t i o n o f t h e n o l o a d a i r -A f u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n o f ( 3 6 ) c a n b e made b y g a p f i e l d a m p e r e - t u r n s , f r o m t h e t e s t v a l u e o f s y n c h r o -3 p + 1 nous r e a c t a n c e , t h e t e s t v a l u e o f a r m a t u r e l e a k a g ep u t t i n g K s = _ , w h i c h i s e x a c t l y c o r r e c t f o r r e a c t a n c e i s f o u n d . T h e c a l c u l a t e d a r m a t u r e r e a c t i o na m p e r e - t u r n s a r e g i v e n b y ( 1 0 ) , m u l t i p l i e d b y t h e v a l u e

t h r e e - p h a s e w i n d i n g s w i t h p i t c h e s b e t w e e n 2 / 3 a n d 1 , o f K a f r o m F i g . 7 .a n d w h i c h i s s l i g h t l y h i g h e r t h a n c o r r e c t f o r a l l o t h e r A s t h e e r r o r s o f t h e t e s t v a l u e o f s y n c h r o n o u s r e a c -w i n d i n g s , ( F i g . 2 ) . A s t w o - p h a s e w i n d i n g s h a v e h i g h e r t a n c e p r o b a b l y a v e r a g e o n e p e r c e n t , a n d a s F i g . 7 a l s ob e l t l e a k a g e s , a n d a s t h e n e g l e c t e d s e c o n d o r d e r t e r m s i n v o l v e s s l i g h t e r r o r s , i t i s e v i d e n t t h a t t h i s m e t h o d o fi n t h e s l o t r e a c t a n c e b e c o m e a p p r e c i a b l e w h e n t h e p i t c h o b t a i n i n g t h e l e a k a g e r e a c t a n c e i s i n h e r e n t l y v e r yi s b e l o w 2 / 3 , t h e s m a l l e r r o r s s o i n t r o d u c e d a r e o n t h e i n a c c u r a t e . On h i g h - s p e e d m a c h i n e s , t h e l e a k a g er i g h t s i d e . r e a c t a n c e i s v e r y s m a l l b y c o m p a r i s o n w i t h t h e t o t a l


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F e b . 1 9 2 8 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES 5 0 5r e a c t a n c e , s o t h a t t h e r e s u l t s a r e p a r t i c u l a r l y i n a c c u r a t e T A B L E I VMEDIUM HIGH SPEED M I A C H I N E Si n t h i scase.TetXI t i s p o s s i b l e t o m e a s u r e t h e t o t a l l e a k a g e r e a c t a n c e _ _ _ _ _ _ C a l c u l a t e d T e s T e s t X do f a s y n c h r o n o u s m a c h i n e a t s t a n d s t i l l , j u s t a s f o r a n P o l e s K v - a . F r e q . X i d X a d X d X d C a l c . X di n d u c t i o n m a c h i n e , b u t t h i s r e q u i r e s t h e i n c l u s i o n o f t h e 8 5 6 0 6 0 0 . 0 6 7 0 . 8 1 5 0 . 8 8 2 0 . 8 8 4 1 . 0 0 2r e a c t a n c e s o f t h e f i e l d w i n d i n g a n d s q u i r r e l - c a g e , i f 8 8 0 0 6 0 0 . 0 7 7 1 . 3 3 8 1 . 4 1 5 1 . 4 1 6 1 . 0 0 1pre-sentw h i c h d o no t enter t h e ca l c u l a t i on of s t e a d y 8 1 2 0 0 6 0 0 . 0 8 6 1 . 0 7 3 1 . 1 5 9 1.150 0.992p r e s e n t , d o n t e 8 2 5 0 0 6 0 0.143 2.100 2.243 2.230 0.994s t a t e p e r f o r m a n c e . I t i s a l s o p o s s i b l e t o m e a s u r e t h e 8 5 0 0 0 6 0 0 . 1 6 1 1 . 7 5 0 1 . 9 1 1 1 . 9 2 8 1 . 0 0 9a r m a t u r e r e a c t a n c e w i t h t h e r o t o r r e m o v e d a n d t o 1 0 1 1 0 0 ' 6 0 0 . 0 9 7 0 . 9 8 3 1 . 0 8 0 1 . 0 9 8 1 . 0 1 9d e t e r m i n e t h e l e a k a g e r e a c t a n c e a s t h e d i f f e r e n c e b e - 1 0 1 8 8 0 6 0 0 . 0 6 1 1 . 1 3 9 1 . 2 0 0 1 . 2 1 4 1 . 0 1 2t w e e n t h e t o t a l a n d t h e c a l c u l a t e d r e a c t a n c e d u e t o t h e 1 0 7 5 0 0 6 0 0 . 0 8 0 0 . 8 5 3 0 . 9 3 3 0 . 9 2 2 0 . 9 8 8f u n d a m e n t a l o f t h e f l u x p r o d u c e d i n t h e a i r c o r e . T h i s 1 2 1 0 0 0 2 5 0 . 0 8 1 0 . 8 1 0 0 . 8 9 1 0 . 9 0 5 1 . 0 1 61 2 1 9 0 0 2 5 0 . 0 8 9 0 . 7 5 8 0 . 8 4 7 0 . 8 4 2 0 . 9 9 4l a s t m e t h o d i n v o l v e s l a r g e e r r o r s i n t h e a m o u n t s o f 1 2 2 4 0 0 6 0 0 . 1 5 9 1 . 1 0 3 1 . 2 6 2 1 . 2 4 5 0 . 9 8 6z i g z a g a n d e n d l e a k a g e , h o w e v e r , a n d i s n o t a s a c c u r a t e 1 2 2 5 0 0 6 0 0 . 0 9 3 1 . 4 5 2 1 . 5 4 5 1 . 5 6 4 1 . 0 1 21 2 5 0 0 0 6 0 0 . 1 3 2 1 . 5 6 0 1 . 6 9 2 1 . 6 6 7 0 . 9 8 5a s t h e u s u a l s h o r t c i r c u i t t e s t m e t h o d o f m e a s u r e m e n t . 1 2 5 0 0 0 6 0 0 . 1 0 1 0 . 7 5 0 0 . 8 5 1 0 . 8 5 2 1 . 0 0 1F i n a l l y , i t i s p o s s i b l e t o i n s e r t e x p l o r i n g c o i l s o n t h e 1 2 5 3 0 0 6 0 0 . 1 3 5 1 . 2 8 0 1 . 4 1 5 1 . 4 1 4 0 . 9 9 91 2 7 0 0 0 5 0 0 . 1 1 5 0 . 9 0 0 1 . 0 1 5 0 . 9 8 7 0 . 9 7 2a r m a t u r e s u r f a c e a n d b y t h e i r m e a n s m e a s u r e t h e n e t 1 2 1 2 5 0 0 5 0 0 . 1 1 0 1 . 0 4 8 1 . 1 5 8 1 . 1 7 2 1 . 0 1 2f l u x e x i s t i n g d u r i n g a s h o r t - c i r c u i t t e s t , w h i c h g i v e s a 1 2 1 5 0 0 0 6 0 0 . 0 8 6 0 . 6 6 7 0 . 7 5 3 0 . 7 6 6 1 . 0 1 7m e a s u r e o f t h e l e a k a g e r e a c t a n c e . T h e d i s s y m m e t r y 1 2 1 5 0 0 0 6 0 0 . 1 3 7 1 . 0 6 5 1 . 2 0 2 1 . 2 0 8 1 . 0 0 5a n d w a v e f o r m e r r o r s i n t r o d u c e d , u n l e s s t h e e x p l o r i n g 1 6 3 5 0 0 5 0 0 . 1 1 4 0 . 9 6 9 1 . 0 8 3 1 . 0 7 1 0 . 9 8 9A v e r a g e . . . . . . . . . . . 1 . 0 0 0c o i l s e x a c t l y f o l l o w t h e a r m a t u r e c o i l g r o u p i n g , t o g e t h e r A v e r a g e e r r o r f r o m m e a n . . . . . . 3. 0 1 0w i t h t h e f a c t t h a t t h e s l o t l e a k a g e p a r t o f t h i s f l u x l i n k s A v e r a g e e r r o r f r o m 1..010o n l y a p o r t i o n o f t h e w i n d i n g , make t h i s m e t h o d o f n o TABLE Vp r a c t i c a l u s e . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e u s u a l m e t h o d o f M I E D I U M L O W - S P E E D M A C H I N E Sf i n d i n g X 1 f r o m o p e n a n d s h o r t - c i r c u i t t e s t s h a s b e e n T e s t N df o l l o w e d i n e h e c k i n g t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t h e _ _ i _ C a l c u l a t e d T e s t -f o r m u l a s d e r i v e d i n t h i s p a p e r . P o l e sv_a. F r e q . X l d X a d X d N d C a l e . X d

1 8 1 . 6 5 0 4 0 0.108 0.844 0 . 9 5 2 0 . 9 9 3 1.043TABLE I I I 1 8 1 , 6 5 0 6 0 0.123 0 . 9 6 1 1 . 0 8 4 1 . 1 0 0 1.015HIGH SPEED M\ACHIN'ESH I G H _ S P E E D _ _ _ _ _ A C H I _ E S 2 0 2 , 2 5 0 4 0 0.148 0.975 1.123 1.136 1 . 0 1 1T e s t X d 2 0 1 4 , 4 4 4 5 0 0.123 0 . 8 9 6 1 . 0 1 9 1 . 0 2 3 1 . 0 0 4C a l c u l a t e d T e s t __ _

P o l e s K y - a . F r e q . X l d Xad X d X d C a l c . X d 22 2 , 0 0 0 6 0 0.123 1 . 0 7 8 1 . 2 0 1 1.188 0.989-__ _ 12____________ _______-_____.........22 7 , 9 0 0 6 0 0 . 1 6 2 1 0 1 7 1 . 1 7 9 1 . 1 9 8 1 . 0 1 64 9 0 6 0 0.105 0.955 1.060 1 . 0 4 3 0.9844 1 0 5 50 0.054 1 . 2 2 0 1 . 2 7 4 1 . 2 5 0 0 . 9 8 1 24 1 , 1 0 0 6 0 0 . 1 3 2 0 . 9 9 2 1.124 1 . 1 5 2 1 . 0 2 54 1 S 0 6 0 0 . 0 6 1 1 . 0 0 2 1 . 0 6 3 1 . 0 3 2 0 . 9 7 1 24 4 , 0 0 0 5 0 0 . 1 3 6 1.027 1 . 1 6 3 1.178 1 . 0 1 34 6 0 0 60 0.060 2 . 1 6 3 2 . 2 2 3 2 . 1 9 5 0 . 9 8 7 24 6 . 8 8 0 5 0 0 . 1 3 1 0 . 6 8 8 0 . 8 1 9 0 . 8 2 6 1 . 0 0 94 9 4 0 I 2 5 0 . 1 2 8 1 . 7 7 0 1.898 1 . 8 9 5 0 . 9 9 8 24 t O , 7 0 0 5 0 0 . 1 2 0 0 . 6 18 0 . 7 6 8 0 . 7 6 1 0 . 9 9 14 2 0 0 0 2 5 0 . 1 9 8 1 . 5 6 2 1 . 7 6 2 1.7 9 3 1 . 0 1 8 2 4 3 0 , 0 0 6 0 0 . 1 2 8 0 . 6 1 7 0.775 0 . 8 0 3 1 . 0 3 64 3 0 0 0 2 5 0.117 2.300 2 . 4 1 7 2 . 3 5 5 0 . 9 744 5 7 0 0 2 5 0.109 1 . 8 5 7 1.966 1 . 9 3 7 0 . 9 8 0 28 1 0 , 1 2 5 6 0 0.147 0 . 9 1 9 I . Q 6 6 1 . 0 8 9 1 . 0 2 26 1 5 0 2 5 0 . 1 0 2 1 . 0 4 0 1.142 1 . 0 9 2 0.9546 1 8 7 6 9 0.063 0.998 1 . 0 6 1 1 . 0 6 8 1 . 0 0 7 30 3 . 1 2 5 6 0 0.10 6 0.973 1 . 0 7 9 1.080 1.0016 2 C 0 6 0 0.055 0.804 0.859 0.872 1.0156 4 C l 0 0 6 0 0.069 1.250 1.319 1.275 0.967 3 2 7 5 0 6 0 0.138 0.820 0 . 9 5 8 0 . 9 5 1 0 . 9 9 36 4 3 5 ; ) 6 0 0.077 1 . 1 2 7 1 . 2 0 4 1 . 1 7 2 0 . 9 7 3 32 2 , 2 5 0 40 0.180 0.918 1.098 1.113 1 . 0 1 46 5 0 0 6 0 0 . 1 5 1 2.065 2.216 2.212 0.998 3 2 9 , 3 7 5 6 0 0 . 1 4 2 1.064 1 . 2 0 6 1 . 2 0 2 0 . 9 9 76 5 0 0 6 0 0.105 1 . 6 1 0 1 . 7 1 5 1 . 6 7 8 0.9786 1 0 0 0 6 0 0.127 1 . 9 3 2 2 . C 5 9 2 . 0 4 0 0 . 9 9 1 3 6 50 0 6 0 0 . 1 5 5 0.853 1.008 1.003 0 . 9 9 56 1 5 0 0 6 0 0 . C 9 2 2.025 2 . 1 1 7 2 . 1 4 5 1 . 0 1 3 3 6 1 , 5 0 ( ) 6 0 0.117 0 . 8 8 1 0.998 0.988 0 . 9 9 06 : 3 1 5 25 0.098 1 . 0 1 9 1 . 1 1 7 1 . 1 3 3 1.0146 5 0 0 0 25 0 . 0 9 7 1 . 0 6 0 1 . 1 5 7 1 . 1 6 1 1 . 0 0 3 4 0 7 5 0 6 0 0 . 1 6 2 0.756 0.918 0.906 0 . 9 8 76 5000 25 0.088 1 . 5 9 2 1 . 6 8 0 1 . 7 4 5 1 . 0 3 9 40 1 , 3 7 5 60 0.088 0.619 0.70 7 0 . 7 1 6 1 . 0 1 3Average ..................... 0 . 9 9 9 A v e r a g e ............. 1 . 0 0 8A v e r a g e e r r o r from mean . . . . . 0. 0 1 7 Average e r r o r from mean.. 013A v e r a g e e r r o r from I . . . . . . . . . 0 9 . 0 1 2 Average e r r o r from10 . 0 1 4I n T a b l e s I I I t o V I I i n c l u s i v e , t h e c a l c u l a t e d a n d i n h e r e n t i n F i g . 7 a r e c o n s i d e r e d . I f t h e v a l u e o f t h et e s t v a l u e s o f s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e a r e c o m p a r e d f o r a r m a t u r e r e a c t i o n r e a c t a n c e , X a d , a n d t h e t e s t v a l u e o ff i v e g r o u p s o f m a c h i n e s o f d i f f e r e n t t y p e s . T h e t o t a l r e a c t a n c e , X d , a r e a s s u m e d t o b e e x a c t , t h em a c h i n e s w e r e s e l e c t e d a t r a n d o m , a n d t h e t e s t s w e r e t e s t v a l u e o f l e a k a g e r e a c t a n c e c a n b e f o u n d b y s u b -a l l m a d e i n t h e r e g u l a r c o m m e r c i a l r o u t i n e . T h e t r a c t i n g t h e o n e f r o m t h e o t h e r . T h i s h a s b e e n d o n ea v e r a g e a b s o l u t e e r r o r f o r t h e e n t i r e l i s t o f l 1 0 0 m a c h i n e s f o r e a c h g r o u p o f m a c h i n e s , a n d t h e a v e r a g e e r r o r si s 0 . 4 p e r c e n t , a n d t h e a v e r a g e n u m e r i c a l e r r o r i s 1 . 7 b e t w e e n t h e t e s t a n d c a l c u l a t e d v a l u e s o f X 1 f o r e a c hp e r c e n t , s o t h a t t h e r e s u l t s a r e a s a c c u r a t e a s c o u l d c a s e a r e g i v e n i n T a b l e V I I I , t o g e t h e r w i t h t h e c o r -

r e a s o n a b l y b e e x pe c t e d w h e n t h e e r r o r s o f t e s t a n d t h o s e r e s p o n d i n g e r r o r s i n X d .


14/20

5 0 6 ALGER: SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .T h e a v e r a g e a b s o l u t e e r r o r o f t h e l e a k a g e r e a c t a n c e e a c h o n e u s e s . T h e f o r m u l a s a s g i v e n w e r e d e r i v e df o r t h e 1 0 0 m a c h i n e s o n t h i s b a s i s i s 0 . 6 p e r c e n t , a n d t h e s t r a i g h t f o r w a r d l y f r o m t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s , a n da v e r a g e n u m e r i c a l e r r o r i s 1 4 . 6 p e r c e n t . T h e w o r s t n o a t t e m p t h a s b e e n m a d e t o m a k e e m p i r i c a l c o r -e r r o r s o c c u r f o r t h e h i g h s p e ed m a c h i n e s , a n d i n s p e c t i o n r e c t i o n s , a l t h o u g h s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s h a v e b e e no f T a b l e V I I I i n d i c a t e s t h a t t h e c a l c u l a t e d v a l u e o f X d f r e e l y u s e d .i s a p p r e c i a b l y t o o h i g h f o r h i g h s p e e d m a c h i n e s a n d a T h e c a u s e s f o r t h e v a r y i n g m a g n i t u d e s o f e r r o r s h o w nl i t t l e t o o l o w f o r l o w s p e e d m a c h i n e s . By e m p i r i c a l i n T a b l e V I I I a r e b r o u g h t o u t m o r e c l e a r l y b y a s t u d y

TABLE VI TABLE V I I ILOW SPEED MACHINES Percent N u m e r i c a lC a l c u l a t e d T e s t X d e r r o rl _ _ l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ d _ _ TesT e s t T e s t P e r c e n t -_ _ _P o l e s K v -

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calc of synchronous machines

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