+ All Categories
Home > Documents > Calcul Stochastique

Calcul Stochastique

Date post: 04-Jan-2016
Category:
Upload: mikhail-valko
View: 15 times
Download: 2 times
Share this document with a friend
Description:
Lamberton Lapeyre
64
Transcript
Page 1: Calcul Stochastique

������������ �������� ��� ����� ����������� �������� ��!"�$#

%�&('*),+.-0/1&2'43�+6587:9;- <=+65�-�&(5?>@/A&(B�+DCE5�+

Page 2: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d

e fhgjilk mnkpo q fsrutlvpwukxo

y zs{2|�}2~.��~.���A�E�P{6�����,~.��~]�1�6�;|E���:�^{2�E�1���H� �]�P~6�2�P�^~.�^�^~.� ���:{l���������P�^�l|�~.� ������ ���������¡ £¢¥¤¥¦§��¨A¨§©���¢¥ª�¨A«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨�®¯¦§ª�°�«�¨±­�¬��D¦§¤²�]© �=���³�=�����=���=� ´���bµ ¶�ª³°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��W¬:¹±��¤²ª�� ���=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=� º���U» ¼� ��W¦¡¤¥��½D £¢¥ª�¨±®¾¦¡ª�°�«�¨�­�¬��D¦¡¤¥�.© ���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=� ¿���À´ ÁS�D¦¡��½��¡ �¢²ª³¨W¦§¬6­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ª³ª�¦�­? £¢¥­�©�¢;ÅlÆUÁ`¦§Ç �����=���=���³�=�����=���=�È���

���À´���� Éʬ���¨Ë¦¡�§©�­�¦¡¤¥¬��uÅ�ª³¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ªÌ¨W¦§¬6­ÃÂ� £¨W¦§¤²Ä]©�ª ���³�=�����=���=�È�Pµ���À´��bµ É1 £¢²­�©�¢�ÅlÆÀÁ`¦¡Ç ���=�����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�È�:Í���À´��U» ÎÐÏ�ª�°�«�¢²ª�¨�ÅlÆÀ©�¦¡¤¥¢²¤¥¨¡ �¦§¤²¬���Å�ª³¢Ñ �Ò,¬��W°¾©�¢²ª�ÅlÆUÁ`¦§Ç �³�=�����=���=�Óµ6����À´��À´ Ô�¬��§°¾©�¢²ªÌÅlÆÀÁ`¦¡Ç�°¾©�¢�¦¡¤¥Å�¤²°�ª���¨W¤²¬�����ª�¢¥¢²ª �=���=���³�=�����=���=�Óµ�Õ

���bÕ Î�Ä]©� �¦§¤²¬���¨±Å�¤�Ö;���§ª��]¦§¤²ª�¢²¢²ª�¨1¨W¦§¬6­ÃÂ� £¨W¦§¤²Ä]©�ª�¨ �����=���=���³�=�����=���=�Óµ�×���bÕ6��� ØAÂ���¬£�§Ù�°�ª�ÅlÆUÁ`¦§Ç �����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�Óµ�×���bÕ6�bµ ¶�ª�«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨ÚÅlÆbÛ��W��¨W¦§ª�¤¥�6Ü[Ý�¢²Â�ª��.¸2ª�­ÃÞ ���=���³�=�����=���=�ß»�à���bÕ6�U» Î�Ä.©� �¦¡¤¥¬���¨AÅ�¤�Ö;���§ª��D¦§¤²ª�¢¥¢²ª�¨1¨W¦§¬6­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ª�¨�®¾·� £¢²ª�©��§¨Ê·£ª�­8¦¡¬�Ü

�§¤¥ª�¢²¢¥ª�¨ �����=���=�����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ß»�����bÕ6�À´ á��§¬�«��W¤²�8¦¡�âÅ�ª1¼$ £�§Þ�¬P·�Å�ª�¨�¨W¬�¢²©6¦¡¤²¬£��¨�ÅlÆU��Ä]©� �¦¡¤¥¬���¨EÅ�¤¥ÒHÒ,���§ª��6Ü

¦¡¤¥ª�¢²¢¥ª�¨1¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤²Ä]©�ª�¨ �=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ß»Dµ���Uº ÎÐÏ6ª��W­�¤²­�ª�¨ �����������=���=�����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ß»DÕ

ã äl�K��|E�^���:�^{2�å~]�����,{(æ(���H�P�E��~.��ç�{2|E�"�^~.�è��{���é.�^~.�¾ê������E�D�^~]�R� ë�ãµ6��� ì6¤¥°¾©�¢² �¦¡¤¥¬��"ª�¦�°�¬6Å�Ù�¢²ª�¨Êí��� ���­�¤¥ª��§¨ �=���=�����=���=���³�=�����=���=�î´]µ

µ6������� ¶� �°���¦§Â�¬6Å�ª�Å�ª=¼$¬��D¦¡ª=É1 £�W¢²¬ �=�����=���=���³�=�����=���=�î´]µµ6�����bµ ì6¤²°�©�¢Ñ �¦§¤²¬��ïÅlÆU©���ª³¢²¬�¤l©���¤¥Ò,¬��W°�ª�¨§©��=ðòñ�ó?ô�õ ���³�=�����=���=�î´D»µ6�����U» ì6¤²°�©�¢Ñ �¦§¤²¬��ïÅ�ª�¨A·� £�§¤² £¸�¢¥ª�¨± £¢¥�? �¦§¬�¤²�Wª�¨ �=���=���³�=�����=���=�î´�´µ6�����À´ ì6¤²°�©�¢Ñ �¦§¤²¬��ïÅ�ª³«��§¬.­�ª�¨§¨§©�¨Ú¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨W¦§¤²Ä]©�ª�¨ �=���³�=�����=���=�î´]×

µ6�bµ öÌ©�ª�¢²Ä]©�ª�¨Ú £¢¥½�¬��§¤�¦¡Â�°�ª�¨�©�¦¡¤¥¢²ª�¨ ���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ6�µ6�bµ6��� ÷�«�«��§¬?Ï6¤²°� �¦¡¤¥¬��ÌÅ�ª�¢² ÊÒ,¬���­�¦§¤²¬���Å�ª��§��«� £�W¦§¤¥¦¡¤¥¬��ÌÅlÆÀ©���ª�½� £©�¨ËÜ

¨§¤¥ª�����ª �����=���=�����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ6�µ6�U» ÎÐÏ6ª��W­�¤²­�ª�¨ �����������=���=�����=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ�µ

Page 3: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc ø

ù çEç�~.���E�K��~ ú(�µ6��� ûâ £�W¤Ñ £¸�¢²ª�¨± �¢²�? R¦¡¬�¤¥�§ª�¨Ê½D £©�¨W¨§¤²ª�����ª�¨ �=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ£»

µ6������� �� �©�¨§¨W¤²ª�����ª�¨��§��ª�¢²¢¥ª�¨ �=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ£»µ6�����bµ û ª�­8¦¡ª�©��§¨�½� £©�¨§¨W¤²ª���¨ �=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ�´

µ6�bµ Î�¨§«2���§ £��­�ª�­�¬£��Å�¤¥¦§¤²¬�����ª�¢¥¢²ª ���=���³�=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ�Õµ6�bµ6��� ÎÐÏ�ª�°�«�¢²ª�¨�Å�ª³¨§¬£©�¨ËÜM¦¡�§¤¥¸�©�¨ �=���=�����=���=���³�=�����=���=�ÓÕ�Õµ6�bµ6�bµ á��§¬�«��W¤²�8¦¡��¨±Å�ª³¢KÆUª�¨§«2���¡ ���­�ª�­�¬���Å�¤¥¦§¤²¬�����ª�¢²¢¥ª ���³�=�����=���=�ÓÕ�Õµ6�bµ6�U» É1 £¢²­�©�¢²¨AÅ;ÆUª�¨§«2���¡ ���­�ª�¨�­�¬£��Å�¤¥¦§¤²¬�����ª�¢¥¢²ª�¨ ���=���³�=�����=���=�ÓÕ£¿

ü �,�Ð�^�,{2æ(�P��ç����,~ ý�þÿ ����~�� ý(ã

Page 4: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc �

� � f��jt2rw$k �

��� kxq k� îr g w ��� tlk� kår��� fsr$t � o m t�� � wuk� r$tlkxi�ilkpoo�r ��� � f o�r$t � kpo

¶�ª�¨�Å�ª�©6Ï�«��§ª�°�¤²ª��§¨â­ÃÂ� £«�¤�¦¡�Wª�¨âÅ�ªÚ­�ªÚ¢¥¤¥·.�§ª±¬��D¦���¦§�Ú­�¬���¨¡ �­��§��¨A®³¢MÆÀ��¦¡©�Å�ªÚÅ�ªÚ°�¬�ÜÅ�Ù�¢²ª�¨Ì®�¦§ª�°�«�¨�Å�¤²¨W­��§ª8¦?�;ÛÌ�� �·.© ®�­�ª�¦W¦¡ª=¬6­�­? £¨W¤²¬��$¢MÆÀ¤²°�«�¬��˦à£��­�ª�Å�ª�¨���¬£¦§¤²¬���¨ÚÅ�ª°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª�¨��;Å�ªï¨W¦§�¡ �¦§��½�¤¥ª�¨� £©�¦§¬£í��� ���­���ª�¨���������¬�©�¨= £¢²¢¥¬���¨���¦§ª���Å��§ªï­�ª�¨=��¬£¦¡¤¥¬���¨ £© ­? £¨ïÅ�©p¦¡ª�°�«�¨ï­�¬£�]¦§¤²�]©l��Î��x«� £�˦¡¤²­�©�¢²¤¥ª�������¬�©�¨�¤²�D¦¡�W¬6Å�©�¤²�§¬£��¨è¢²ª�¨�¬�©�¦§¤²¢²¨è°� Rܦ§Â���°� �¦¡¤¥Ä]©�ª�¨Ì«2ª��W°�ª8¦§¦¡ £�D¦³Å�ª¯­�¬���¨W¦¡�W©�¤²�Wª¾Å�ª�¨�°�¬.Å�Ù�¢¥ª�¨ÌÅlÆÀ��·£¬�¢²©6¦¡¤²¬£� ÅlÆb �­�¦¡¤�Ò ª�¦³Å�ª­� £¢²­�©�¢²ª��Ú¢¥ª�¨�«��§¤ Ï�Å;ÆU¬�«6¦¡¤²¬£��¨��2¶�ª�¨Ú¬�©�¦¡¤¥¢²¨±¦¡ª�­ÃÂ���¤²Ä]©�ª�¨Ì¨§¬£�]¦Ì«�¢²©�¨�Å���¢²¤²­� �¦¡¨Ú®ï©�¦§¤²¢¥¤²¨§ª��ª��$¦¡ª�°�«�¨�­�¬£�]¦§¤²�]©�°� £¤¥¨�¢¥ª�¨�¤²Å���ª�¨Úª�¨§¨Wª��D¦¡¤¥ª�¢¥¢²ª�¨�Å�¤�Ö;���§ª��D¦�«�ª�©�Å�ª=­�ª�¢¥¢²ª�¨ÚÅ�©u¦¡ª�°�«�¨Å�¤¥¨§­��§ª�¦��

á�¬£©��§Ä]©�¬�¤�­�¬���¨W¤²Å�Ù��§ª8ÜM¦WÜ`¬�� Å�ª�¨�°�¬.Å�Ù�¢¥ª�¨�®ï¦§ª�°�«�¨�­�¬��D¦§¤²�]©���¶� "«��Wª�°�¤²Ù��§ª¾°�¬�ܦ§¤¥·� �¦¡¤¥¬��¯·.¤²ª��D¦ÊÅ�ª�¨1«�Â�����¬£°�Ù���ª�¨�Ä.©�ªÌ¢MÆÀ¬���·£ª�©�¦Ê°�¬.Å���¢²¤²¨Wª����D¢¥ª�¨â·£ ��§¤Ñ R¦¡¤²¬£��¨�Å�ª�¨Ê­�¬�ܦ¡ �¦¡¤¥¬���¨�¨§©���¢¥ª�¨ °ï ��§­ÃÂ���¨â¬£�§½D £��¤²¨§��¨ ¨§¬��D¦�ª���«��¡ �¦§¤²Ä]©�ªA¦¡ª�¢²¢¥ª�°�ª��D¦�Ò,�§��Ä.©�ª��D¦¡ª�¨1Ä]©lÆU©��°�¬6Å�Ù�¢²ª�®³¦¡ª�°�«�¨�Å�¤²¨W­��§ª8¦1«2ª�©�¦ÊÅ�¤! �­�¤²¢²ª�°�ª��D¦�ª��"�§ª���Å��WªÌ­�¬�°�«�¦§ª£�#"�ÆU £©�¦¡�Wª�«� ��W¦1¢¥ª�¨°�¬6Å�Ù�¢²ª�¨Ê­�¬��D¦¡¤²�]©�¨Ê­�¬���Å�©�¤²¨Wª��D¦�®�Å�ª�¨A°��8¦¡Â�¬.Å�ª�¨ÊÅ�ªÌ­? �¢²­�©�¢�«�¢¥©�¨1ªYÏ�«�¢²¤²­�¤¥¦§ª�¨ÊÄ]©�ª�¢¥ª�¨°�¬6Å�Ù�¢²ª�¨AÅ�¤²¨W­��Wª�¦¡¨��(°%$�°�ª�¨�ÆU¤¥¢;Ò^ £©�¦�«� £�ËÒ,¬�¤²¨± ?·£¬�¤²�A�Wª�­�¬£©��§¨Ú®�Å�ª�¨�°��8¦¡Â�¬.Å�ª�¨±�]©�°��8Ü�W¤²Ä]©�ª�¨��l÷�¤¥��¨§¤&��¢¥ª�°�¬6Å�Ù�¢²ª=¢²ª¾«�¢²©�¨Ì©6¦¡¤²¢¥¤²¨W�=Å� ���¨�¢Ñ ï«��¡ �¦§¤²Ä]©�ª(',¢²ª¾°�¬6Å�Ù�¢²ª=Å�ª�)Ê¢² £­ÃÞª8¦±ì6­ÃÂ�¬£¢²ª�¨+*�ª�¨Ë¦A©���°�¬6Å�Ù�¢²ªÚ®=¦§ª�°�«�¨1­�¬£�]¦§¤²�]©"Ä]©�¤�­�¬���Å�©�¤¥¦1®�©���ª�Ò,¬£�§°¾©�¢¥ªÚ¨W¤²°�«�¢²ª��Éʬ�°�°�ªÊ��¬�©�¨â¢KÆb ?·£¬���¨�¨§¤¥½��� £¢¥�ÊÅ� ���¨�¢MÆÀ¤²�D¦¡�W¬6Å�©�­�¦§¤²¬����R¢²ª�¨�¢²¤¥ª���¨Ðª��D¦¡�Wª�«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨ ¨Ë¦¡¬�Ü­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ª�¨âª�¦�í��� £��­�ª±��ª±¨W¬��D¦�«� £¨���¬�©�·£ª? £©.Ï,�]ª��u�:Í�à6�-��)1 £­ÃÂ�ª�¢²¤¥ª��.'H·�¬�¤¥�./ )Ê £­?à�à 01*Å� ���¨Ê©��ï°���°�¬�¤¥�§ª±¤²�D¦§¤¥¦¡©�¢²�32[ØAÂ���¬��W¤²ª�Å�ª�¢Ñ ³¨§«2��­�©�¢Ñ R¦¡¤²¬£�54�ª�¨Ë¦6�.��¬��"¨Wª�©�¢¥ª�°�ª��D¦1¢KÆU©��Å�ª�¨�«��§ª�°�¤²ª��§¨â®�¨�ÆÀ¤²�D¦¡���§ª�¨§¨§ª��Ê°� �¦¡Â���°� �¦¡¤¥Ä.©�ª�°�ª��D¦â £©6Ï�«��W¬�«��W¤²��¦§��¨ Å�©�°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦¸��W¬:¹±��¤²ª����(°ï £¤¥¨± £©�¨W¨§¤�®�Å�¬£����ª���Å�ª�¨ÚÒ,¬��W°¾©�¢²ª�¨±Å�ª=­� £¢²­�©�¢�Å�ª=«��§¤ Ï«�¬£©��±­�ª��˦ࣤ¥��ª�¨

Page 5: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc 7

¬�«6¦¡¤²¬£��¨���Ú¬£©�¨�Å�¬�����¬���¨âÄ]©�ª�¢²Ä]©�ª�¨Ê��¢¥��°�ª��D¦¡¨ °� �¦¡Â���°� �¦¡¤¥Ä.©�ª�¨�����­�ª�¨W¨¡ £¤¥�§ª�¨1®�¢Ñ �­�¬£°�«��W�8Ü

Â�ª���¨§¤¥¬��åÅ�ª�¨�°�¬6Å�Ù�¢²ª�¨¯®�¦§ª�°�«�¨¯­�¬£�]¦§¤²�]©l� Î��*«� £�W¦§¤²­�©�¢²¤¥ª����E��¬�©�¨�¤¥�D¦¡�§¬.Å�©�¤¥�§¬���¨¾¢²ª°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦�¸��W¬P¹±��¤²ª��8�lÄ]©�¤�ª�¨Ë¦³¢MÆÀ¬�©�¦§¤²¢E°ï :9Wª�©��ÌÅ�© °�¬.Å�Ù�¢¥ª�Å�ª�)Ê¢² £­ÃÞuª�¦=ì6­ÃÂ�¬£¢²ª�¨ª8¦�¨§ª��W¦â®Ì­�¬£��¨W¦§�§©�¤¥�§ª1¢² �«�¢²©�«� £�W¦ÐÅ�ª�¨ °�¬6Å�Ù�¢²ª�¨ÐÅlÆU £­8¦¡¤¥Ò,¨Ðª��¾í��� ���­�ª��Dá�©�¤²¨���¬£©�¨���¦§ª��6ÜÅ��W¬���¨±¢Ñ ¾��¬£¦¡¤¥¬��Å�ª³°ï £�˦¡¤¥��½D £¢¥ª� £©u­? �¨�Å�©u¦§ª�°�«�¨±­�¬��D¦¡¤¥�]©���ª���í��$��¬£©�¨±­�¬���¨Ë¦¡�W©�¤�Ü�W¬���¨�¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ª¯¨W¦§¬6­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ªïÅlÆÀÁ`¦¡Ç$ª�¦=��¬�©�¨�¤²�D¦§�§¬.Å�©�¤²�W¬���¨³¢²ªè­� £¢²­�©�¢ Å�¤¥Ö����Wª��D¦¡¤¥ª�¢Ä]©�¤�¢¥©�¤lª�¨Ë¦Ú £¨§¨W¬6­�¤²�;��¢¥ª�­? £¢¥­�©�¢lÅ;ÆUÁ`¦§Ç��

Éʪ��˦ࣤ¥��ª�¨³Å���°�¬£��¨W¦§�¡ �¦§¤²¬���¨�¨W¬��D¦��§��Å�¤²½���ª�¨³ª�� «�ª8¦¡¤�¦¡¨�­? ��¡ £­8¦¡Ù��Wª�¨���­�ª�¨§¬��D¦�Å�ª�¨Å���°�¬£��¨W¦§�¡ �¦§¤²¬���¨�¦¡ª�­ÃÂ���¤²Ä]©�ª�¨èÄ.©;ÆU¤¥¢Êª�¨Ë¦è­�¬���¨§ª�¤¥¢²¢¥�ïÅ�ª�¨§ £©�¦¡ª��¯¢²¬��W¨�ÅlÆÀ©���ª�«��§ª�°�¤²Ù��§ª¢¥ª�­�¦§©��§ª��

<>=�< [email protected]@EDGF>[email protected]�NMOCDPHJQ.NSRCDUTWVXQ.NMNYO(N[Z\KMQ.] R^N_VXT`BaKMI�BWOÉʬ�°�°�ª��+b ­�¬£��¨�«� £�l«��§��­�¤²¨Wª���­�ª�Ä]©�ª ¢MÆÀ¬��̪��D¦¡ª���Å�«� £�dcdegfihgjgkgkJl�k;®Ê¦¡ª�°�«�¨�­�¬��D¦¡¤¥�.©;�

m �Dê��E�H�P�^{2� y�n^yon^yqpErts c�cojJu1uvjè«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨�¨W¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤¥Ä.©�ªSwyxzjJ{|cok}hgf r x&~ r l�jJx�w� s uvjJl#e+k�� s�r k�l r jgkzc s hgjX��{al r ~;�Y� l r j�x&eL~���l��P�;l r jY� s {a~1u1uvj��1���&� �����U� �#j � s eL~1�s ��uvjgk s uv� s xzf�~1e+jgk,kJl#e>l r jgkzc s hgj`�#jEcde+f�� s ��~1u�~1xz�`�&�Ìó���ó+���>w � s uvjJl#e+k�� s�r k`�&��ó������

  ~.�������;|E~�y�n^yon¥ã ¡ "Ì £��¨�¢² ¯«��¡ �¦§¤²Ä]©�ª�¢KÆU¤¥��Å�¤²­�ª|¢1�Wª�«��W��¨Wª��D¦¡ª=¢²ª�¦§ª�°�«�¨��¡ Ý��=«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨Ð«�ª�©�¦� £©�¨§¨W¤5$8¦¡�Wªâ·.©�­�¬�°�°�ª�©���ª�Ò,¬���­8¦¡¤¥¬��� £¢²�� �¦¡¬�¤¥�§ª;�?®�­ÃÂ� �Ä.©�ª£ Å� £��¨��î¬��å £¨§¨W¬6­�¤²ª"¢² $Ò,¬���­8¦¡¤¥¬�� Å�ªC¤C¥xÅ� £��¨a�W�G¢�¦ ���§� £ �L�� £«�«2ª�¢¥��ªx�e s©¨ jghJxªf�~1e+jÊÅ�©u«��§¬.­�ª�¨§¨§©�¨��

¡ Ý�� «��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨¾«2ª�©�¦�$�¦§�§ª"­�¬���¨§¤¥Å����W�ï­�¬�°�°�ª�©���ª" �«�«�¢²¤¥­? �¦§¤²¬�� Å�ª%¤ ¥S« �Å� £��¨3�%�]��¬�©�¨â¨§©�«�«�¬£¨§ª��W¬���¨Ê¦§¬�©�9W¬�©��§¨âÄ.©�ª�­�ª8¦§¦§ª� £«�«�¢²¤¥­? �¦§¤²¬��¯ª�¨W¦1°�ª�¨W©��¡ �¸�¢²ª¢¥¬��§¨WÄ]©�ª�¢MÆÀ¬��°¾©���¤�¦¬¤ ¥­« � Å�ª�¢² �¦¡�W¤²¸�©(®��¯¤ ¥ � « �ߪ�¦�� Å�ª³¢Ñ ¾¦§�§¤²¸�©°�Ê�

¡ ÛÌ�$­�¬���¨W¤²Å����§ª��¡ ï �©�¨§¨W¤�Å�ª�¨�«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨Ì¤¥��Å�ªYÏ���¨�«� ��Ú©��$¤²�D¦¡ª��W·� £¢¥¢²ª�Å�ª³¦¡ª�°�«�¨ðòñ�ó�±±õ�¸2¬��W���£�

Éʬ�°�°�ªÌÅ� £��¨±¢¥ª�­? £¨�Å�¤²¨W­��Wª�¦6��¬��$¤¥�D¦¡�§¬.Å�©�¤�¦A¢Ñ ¾��¬£¦¡¤¥¬���Å�ª¬²³u�x&e s x�~´f r �m �Dê��E�H�P�^{2� y�n^yon¥��µ f�~1x����Ìó+��ó+���;l r jgkzc s hgj3�#j¶cde+f�� s ��~1u�~1xz�g�ol r j�í�¢¥¦§�¡ �¦§¤²¬��·�¯¸¹���z��º#»jgkJx¼l r j;� s {a~1u1uvj�hJe+f�~vkgk s�r xªj`�#j�kif�l�k½x�eL~���l¾k��#j¹�^�

Page 6: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc ¿

¶�ª¦¡�§¤¥¸�©S¸����§ª�«��§��¨Wª��D¦¡ª ¢KÆU¤¥��Ò,¬��W°ï �¦§¤²¬��4Å�¬��D¦"¬£�pÅ�¤¥¨§«2¬�¨§ª$® ¢KÆU¤¥��¨W¦¡ £�D¦�¢Y�ÊÛÌ� Å�¤¥¦Ä]©lÆÀ©��å«��§¬.­�ª�¨§¨W©�¨}�1�����ª��º#»�ª�¨Ë¦ s � s cdxª��®S�¯¸¹���z��º#»i�Ш§¤Ê«�¬�©��¯­ÃÂ� £Ä]©�ªC¢L�G����ª�¨W¦a¸¹�²Ü°�ª�¨W©��¡ £¸�¢²ª£�  ~.�������;|E~�y�n^yon ë "Ì £��¨�¢² ï¨§©�¤¥¦¡ªÀ�l¢²ª�¨�í�¢�¦¡�¡ R¦¡¤²¬£��¨ÚÄ]©�ªè¢KÆU¬���­�¬���¨W¤²Å����§ª��¡ Á�� �©��§¬��D¦¢² ¾«��§¬�«��§¤²�8¦¡��¨W©�¤¥·� £�D¦¡ªG�

ì6¤¶ÂÄÃÅ� ª�¦±¨W¤¶�°�¯Â��³Æ ñ6ó� �¢²¬��W¨A«�¬�©��1¦¡¬�©�¦¬¢L��ÂÇß¹�ªÈÉʪ�­�¤âª8Ï6«��§¤¥°�ª�Ä]©�ª%¸¹�1­�¬��D¦¡¤¥ª��D¦=¦§¬�©�¨�¢²ª�¨=ª���¨§ª�°¾¸�¢²ª�¨�Å�ª�°�ª�¨§©��Wª��]©�¢¥¢²ªèÅ�ª%����¶�ª¸�©6¦ïÅ�ªu­�ª8¦§¦§ª�Â�É.«�¬£¦§Â�Ù�¨Wª$¦§ª�­ÃÂ���¤¥Ä]©�ª�ª�¨W¦"Å�ª$«2ª��W°�ª8¦§¦¡�Wª$Å;Æb À ��W°�ª���Ä]©�ª$¨§¤¬� ÆÊ � «l�À¨��îª�¦�Ä]©�ª Ê ª�¨W¦.¸¹�ÑÜS°�ª�¨W©��¡ £¸�¢²ª� £¢¥¬��§¨E� ª�¨W¦Ú £©�¨W¨§¤¶¸��¥ÜS°�ª�¨§©��¡ £¸�¢¥ª£�

ÛÌ�=«2ª�©6¦�­�¬���¨Ë¦¡�§©�¤²�§ª ©���ªâí�¢�¦¡�§ �¦¡¤¥¬��³®�«� £�W¦§¤²�lÅlÆÀ©��=«��§¬.­�ª�¨§¨§©�¨¬�¯�����z��º#»Ðª��=«2¬�¨¡ ��]¦¸¹�aÆÌ˳�¯�%ÍYóLÎ[ÏТ©�Y��Éʪ�¦§¦§ª$í�¢�¦¡�§ �¦¡¤¥¬��å��ª$·£���§¤�í�ª�«� £¨�� ª��p½��������¡ £¢&� ¢MÆÀ¾É.«2¬£¦¡Â�Ù�¨§ª«��W��­���Å�ª��]¦§ª£�lÉʪ�«2ª���Å� ��]¦Ì¨§¤E¬����Wª�°�«�¢Ñ £­�ª³¢Ñ ¯¦¡�§¤¥¸�©Ñ¸¹��«� £�Ú¢² è¦§�§¤¥¸�©ÐÒ¸¹��ª���½�ª���Å��§��ª«� ��°¸��=ª�¦aÓ��1¢MÆÀª���¨§ª�°�¸�¢²ª Å�ª�¨$ª���¨§ª�°¾¸�¢¥ª�¨Å�ª�«��§¬£¸� £¸�¤¥¢²¤¥¦§���]©�¢¥¢²ª['^¬£�0Å�¤¥¦u £©�¨W¨§¤����½�¢²¤¥½�ª? �¸�¢²ª�¨g*âÅ�ª��C��¬���¬�¸�¦§¤²ª��]¦±©���ª�í�¢¥¦§�¡ �¦§¤²¬���·����W¤¥í( ��]¦±¢² ¾­�¬���Å�¤¥¦§¤²¬��"¨W¬�©�Â� �¤¥¦¡��ª£�ÛÌ�� £«�«2ª�¢²¢¥ª±­�ª�¦W¦¡ª±í�¢¥¦§�¡ �¦§¤²¬��¯¢² .²³u�x�e s x&~´f r(rds x�l5e+jJu1uvj�Å�©ï«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨½�1�����ª��º#»:�.öÌ©� £��Ŭ��ï«� £�§¢¥ª�Å�ªÌí�¢¥¦¡�§ �¦¡¤¥¬���«�¬�©��1©���«��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨A¨¡ ���¨± £©�¦§�§ª�¨Ê«��§��­�¤²¨W¤²¬���¨���¤¥¢(¨�ÆU £½�¤¥¦ÊÅ�ªÌ¨§ í�¢�¦¡�§ �¦¡¤¥¬��¯�� �¦§©��§ª�¢²¢²ª��DÝÚ��«��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨Êª�¨W¦�¸�¤²ª���¨©Ô��â £Å� £«6¦¡�Ú®³¨§ �í�¢�¦¡�§ �¦¡¤¥¬��¯�� �¦§©��§ª�¢²¢²ª��

¶� ���¬£¦§¤²¬��ïÅ�ª�xzjJ{|cok>�Y� s eLe+ÕJx���¬�©�¨1¨Wª��¡ ¾©6¦¡¤²¢¥ªÚ­�¬�°�°�ªÚÅ� £��¨1¢¥ª�­� £¨1Å�¤¥¨§­��Wª�¦���Ý��¦§ª�°�«�¨ÊÅlÆU £�W��$�¦1°�¬.Å���¢¥¤²¨Wª�©��"¦¡ª�°�«�¨Ê £¢²�� �¦¡¬�¤¥�§ª�Ä]©�¤;Å���«�ª���Å�Å�©�«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨AÅ�ªÚÒ^ ´b ­�¬����¬£�  £�D¦¡¤¥­�¤²«� £�D¦¡ª·'K®ï©���¤²��¨Ë¦Ã £�D¦ÌÅ�¬�������¢±¬£�^2[¨§ £¤¥¦§4�¨§¤E©���¦¡ª�°�«�¨ÚÅlÆU £�§�©$�¦Ìª�¨W¦�«�¢²©�¨«2ª�¦§¤¥¦AÄ]©�ª½¢©*8�(Ô�¬��W°�ª�¢²¢²ª�°�ª��D¦6�.¢Ñ ¾Å��8í���¤¥¦§¤²¬��ª�¨W¦�¢Ñ ¾¨W©�¤¥·� £�D¦¡ªG�m �Dê��E�H�P�^{2� y�n^yon¥ú�pEr�s c�cojJu1uvj�¦§ª�°�«�¨�ÅlÆU £�§�©$�¦Uc s e³e s c�cof�eLx�w|l r j�²³u�x�e s x&~´f r �1¸��&�z��º#»l r j � s eL~ s ��uvj s uv� s xªf�~1e+jUÖ×w � s uvjJl5e+k¹� s�r kG¤ ¥¼Ø½ÙÀÚ½ÛÝÜ xªjJu1uvj.Þ�l�jg�5cof�l5eExzf�l#x�¢Xß ñ¹à

Ù Ö^Ï�¢ Ü Ã}¸¹�ÛÌ�u £¨§¨W¬6­�¤²ª�®¯©��¦¡ª�°�«�¨±ÅlÆU £�§�©$�¦¬Öu©���ª³¦¡�W¤²¸�©�Ä]©�ª�¢MÆÀ¬�����¬�¦¡ª�¸�á���Å���í���¤²ª�«� ����

¸�á|Æ Ù ÂâÃÅ��ó�«2¬�©��1¦§¬�©�¦¬¢Xß ñuó+Â[ã Ù Ö^Ï�¢ Ü ÃŸ¹� Ü ÈÉʪ8¦§¦¡ªè¦¡�W¤²¸�© �§ª�«��§��¨§ª��]¦§ªï¢¥ª�¨³¤²��Ò,¬£�§°� �¦¡¤¥¬���¨ÌÅ�¤¥¨§«2¬���¤¥¸�¢²ª�¨³ :·� £�D¦�¢MÆÀ¤²��¨W¦Ã ��]¦= £¢¥�? �¦§¬�¤²�WªÖ;�2Û��Å���°�¬£�]¦§�§ª³Ä]©�ª·',·�¬£¤²�Aª8Ï6ª��§­�¤¥­�ª�¨ » � ´ � Õ � º � Í *��ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon^yon²ý å[µ ~YæâjgkJx3l r xªjJ{|cok>�Y� s eJe+ÕJx1�Gæ�jgkJxY¸|ç}{·jgkJl5e s ��uvj��

Page 7: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc è

åPµ ~,æéjgkJxal r xªjJ{|cok­�Y� s eJe+ÕJx1�¬² r ~¹cde+jgk�Þ�lojÅkJê#e+jJ{·j r x¯�°jJx%�1�W�¯�ª��º#»PjgkJx�l rcde+fihgjgkgkJl�k s � s cdxz��hgf r x&~ r l�� s uvf�e+k.�%çyjgkJxY¸|ç}{·jgkJl#e s ��uvj��

åPµ ~UæjJxG±ëkif r xE�#jJl�ì(xzjJ{|coka�Y� s eLe+ÕJxXxzjJuíkaÞ�l�j�æ�Ïî± �ëc8�ïk��ï� s uvf�e+k¹¸,çCð¸.ñU�

åPµ ~�æéjJx>±òkif r x%�#jJlÀì�xªjJ{|cokó�Y� s eJe+ÕJx s uvf�e+kÑæ�ôP± Æ õvö5÷6�&æÐó�±|�øjgkJxWl rxzjJ{|cok¹�Y� s eLe+ÕJx´��ù r c s eLx&~´hJl#u�~´jJeXkJ~�ætjgkJxMl r xzjJ{|cok¹�Y� s eLe+ÕJx�jJxo¢|jgkJxMl r xzjJ{|cok�#�JxzjJeL{a~ r ~vkJxªj¹æÅô(¢�jgkJx¼l r xªjJ{|cok`�Y� s eLe+ÕJx´�

<>=+ú ûyQü] T�O°ý�Q.] Q.B�K\þCDUT�ÿ B(IJQ.BÝÚ� ªYÏ6ª�°�«�¢²ª¾«� £�W¦§¤²­�©�¢²¤²Ù��§ª�°�ª��]¦�¤¥°�«2¬��W¦¡ £�D¦�Å�ª¾«��§¬.­�ª�¨§¨W©�¨�¨W¦§¬6­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ª¯ª�¨Ë¦�¢²ª

{·f�l � jJ{·j r x,��e+f � r ~´j r ��ÁS¢ ¨§ª��W·.¤²�§ $Å�ª�¸� £¨Wªï«2¬�©���¢Ñ ­�¬���¨W¦¡�W©�­�¦§¤²¬��4Å�ªï¢² �«�¢²©�«� £�W¦Å�ª�¨±°�¬.Å�Ù�¢¥ª�¨AÅlÆU £­8¦¡¤¥Ò,¨1í��� £��­�¤²ª��W¨±ª�¦�Å�ª�¦Ã £©.ÏÅlÆÀ¤²�D¦¡����$�¦��m �Dê��E�H�P�^{2� y�n¥ã�n^yqpEr�s c�cojJu1uvj�°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦ ¸��W¬:¹±��¤²ª�� l r cdegfihgjgkgkJl�k×kJxzfih�� s kJ�x�~�Þ�l�jC�¯���&�z��º#»Åw � s uvjJl#egk·e+�gjJu1uvjgkg�,Þ�l5~�jgkJx,l r «��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨è®� �­�­��W¬�¤²¨W¨§ª�°�ª��]¦§¨¾¤²��Å��8Ü«2ª���Å� £�D¦¡¨1ª8¦1¨W¦¡ �¦¡¤¥¬����� �¤²�§ª�¨ Å�¬��D¦1¢¥ª�¨�¦§�¡ :9Wª�­�¦§¬�¤²�Wª�¨â¨§¬��D¦A­�¬��D¦¡¤²�]©�ª�¨i���3j½Þ�l#~MkJ~�� r ~ ²EjÞ�lojMà

å ­�¬��D¦¡¤¥�.©�¤¥¦¡�¼à\� c8�ïk��Au s �6f r hJx�~´f r Î�¦ò�%Í�� £ �`jgkJx¼l r j;�6f r hJx�~´f r hgf r x�~ r loj��å ¤¥��Å���«�ª���Å� £��­�ª�Å�ª�¨= £­�­��§¬�¤¥¨§¨§ª�°�ª��D¦¡¨Yà µ ~¼ÎÑÏ ¢+�³������%ÍCjgkJx¹~ r �#�zcoj r � s�r x�#j�u s x&eL~���l�¸,Í�Æ Ë³�¯� �Dó��ÑÏÝÎ����

å ¨Ë¦Ã �¦§¤²¬����� £�§¤�¦¡��Å�ª�¨� £­�­��§¬�¤¥¨§¨Wª�°�ª��D¦¡¨Yà5kJ~#Î`Ï�¢+��u s uvf�~d�#jY������·Í¬jgkJx�~��#j r x�~�Þ�lojwChgjJu1uvj`�#j.�����5Í�ø�W»:�

Éʪ8¦§¦¡ª�Å���í���¤¥¦¡¤¥¬��u«�ª��§°�ª�¦ÌÅ�ª�­? ��¡ £­8¦¡���W¤²¨Wª���¢² �¢¥¬�¤�Å�ª�¢² �·� £�§¤² £¸�¢¥ª= �¢²�? R¦¡¬�¤¥�§ª,���[�lÉʪ�W��¨§©�¢¥¦Ã R¦�ª�¨Ë¦ Å���¢¥¤²­? R¦�®Ì��¦¡ £¸�¢¥¤²���R��¬�©�¨��§ª��]·£¬iÉ�¬���¨�®a/ �=ì�¿£à 0�«2¬�©���¨§ �Å���°�¬���¨Ë¦¡�¡ R¦¡¤²¬£�l�

� �E�]{(�Pé6�4~ yon¥ã¶n¥ã�µ ~G�¯���&�ª��º#»ajgkJx;l r {·f�l � jJ{·j r x³��e+f � r ~´j r � s uvf�egk3����}�%»ajgkJxl r j � s eL~ s ��uvj s uv� s xzf�~1egj�� s l¾kgkJ~´j ror j%�#ja{·f��¾j ror j��:¢°jJx|�#j � s eL~ s�r hgj½Ë���¢+���_jJx3Ë�Jx s�r xE�#jgk�hgf r kJx s�r xzjgk½e+�gjJu1uvjgk��

  ~.�������;|E~�y�n¥ã�n¥� ÝÚ�u°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��W¬:¹±��¤²ª��$ª�¨W¦�Å�¤¥¦,kJx s�r � s e©�̨§¤-��W»EÆ ñî� «;�U¨�� �P�¯�����³Æ ñ6ó ���§� ��! Æ ¢LÈ

Page 8: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc ""Ì ���¨Ì¢Ñ �¨§©�¤�¦¡ªÀ�;¢²¬£�§¨§Ä]©�ª=¢MÆÀ¬���«� ��§¢²ª��¡ �Å�ª¾°�¬�©�·�ª�°�ª��D¦�¸��§¬:¹±��¤¥ª�����¨¡ £��¨� £©�¦§�§ª¾«��W�8Ü­�¤²¨§¤¥¬����2¤²¢�¨�ÆU £½�¤²�§ ïÅlÆÀ©���°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦Ì¸��§¬:¹±��¤¥ª���¨W¦¡ £��Å� £�WÅl�¶"Ì ���¨�­�ª¯­� £¨��l¢² ï¢²¬£¤�Å�ª����«��§ª���Å$¢² ¾Ò,¬��§°�ª;� ô# $�% ¢�& ��')((�*�+-, ó+-, ��¦Ã ��]¦�¢² è°�ª�¨W©��§ª³Å�ª�¶�ª�¸2ª�¨W½�©�ª�¨§©��.¤��

ÛÌ��«2ª�©6¦ÊÅ���°�¬£�]¦§�§ª��â©���ªÚ«��§¬�«��W¤²�8¦¡�A«��W��­�¤¥¨¡ £�D¦�¢²ªA­� £�¡ £­8¦¡Ù��§ª�½D £©�¨W¨§¤²ª���Å�©ï°�¬�©6Ü·£ª�°�ª��D¦u¸��§¬:¹±��¤¥ª��l��ÛÌ� ·.¤²ª��D¦Å�ª ·£¬�¤²��Ä]©�ª�«2¬�©��"¦¡¬£©�¦C¢L�X����ª�¨W¦u©���ª�·� £�W¤Ñ £¸�¢²ª £¢¥�? �¦§¬�¤²�Wª�½D �©�¨§¨W¤²ª�����ª£��ÛÌ�u �©���ª�«��§¬�«��W¤²�8¦¡��«�¢¥©�¨1Ò,¬��W¦§ª;�� �E�]{(�Pé6�4~ yon¥ã¶n ë µ ~¼�1�W�¯�ª��º#»·jgkJxXl r {·f�l � jJ{·j r xX��e+f � r ~´j r �;kJ~�ñ�Ï�¢�.0/ È�È6È1/¢32 s uvf�e+k`�¯����4Yó6È�È6È�ó����65��ajgkJx¼l r ·�ª�­8¦¡ª�©���½D �©�¨§¨W¤²ª��¶�ÛÌ�"«2¬�©��W�¡ �­�¬���¨§©�¢¥¦¡ª��Ê¢KÆb £«�«�ª���Å�¤²­�ª�«� �½�ª Õ£» «�¬�©��ÊÅ�ª�¨1«��§��­�¤¥¨§¤²¬£��¨Ê¨W©��1¢²ª�¨�·£ª�­�¦§ª�©��W¨½D �©�¨§¨W¤²ª���¨��m �.��{2���8�:�P���P�,{��87 ì6¬�¤�¦ ñ Ï ¢�.9/ È6È6È:/ ¢325�� £¢¥¬��§¨$¢²ª�·£ª�­8¦¡ª�©��� £¢¥�? �¦§¬�¤²�Wª�1�W� 4 ó���� ( ���� 4 ó<;=;=;�ó���� 5 ���� 5?> 4 ��ª�¨W¦�­�¬�°�«�¬£¨§�ïÅ�ªï·� £�§¤² £¸�¢²ª�¨� £¢²�� �¦¡¬�¤¥�§ª�¨=½D �©�¨ËܨW¤²ª�����ª�¨½',ÅlÆU £«��§Ù�¨A¢²ª�¦¡Â���¬��§Ù�°�ª ���Zµ.�Zµ * ª�¦A¤¥��Å���«�ª���Å� £�D¦¡ª�¨½'^«� £�1Å��8í���¤¥¦§¤²¬���Å�©�°�¬�©6Ü·£ª�°�ª��D¦A¸��W¬P¹±��¤²ª��o*J�.­�ª�·£ª�­�¦§ª�©��ʪ�¨W¦1Å�¬���­Ú©��"·�ª�­�¦¡ª�©��1½D �©�¨§¨W¤²ª��;��ÁS¢2ª��"ª�¨W¦AÅ�¬£��­�Å�ª°W$�°�ª�«�¬£©��>�¯����4Yó6È�È6È�ó����65��8�ÛÌ�* £©��¡ �¸2ª�¨W¬�¤²�åÅlÆÀ©���ª�Å���í���¤�¦¡¤¥¬���¢²��½�Ù��Wª�°�ª��D¦¯«�¢¥©�¨¯«��§��­�¤¥¨§ª�ÅlÆÀ©��å°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦¸��W¬:¹±��¤²ª��$«� ��A�¡ £«�«2¬��˦�®è©���ª�¦¡�§¤¥¸�©C¸��[�m �Dê��E�H�P�^{2� y�n¥ã�n¥ú�pEr�s c�cojJu1uvjJe s ¸¹� ¡ °�¬�©�·�ª�°�ª��D¦¯¸��§¬:¹±��¤¥ª�� l r cde+fihgjgkgkJl¾kWkJxzf��h�� s kJx�~�Þ�l�j>w � s uvjJl5e+k½e+�gjJu1uvjgk�jJxXw·x&e s©¨ jghJxzf�~1e+jgk�hgf r x&~ r lojgk�Þ�l#~ � �JeJ~ ²Ej¶àåA@ f�l#e½xªf�l#xY¢Xß ñ#�M���|jgkJxM¸��ª�z{·jgkJl#e s ��uvj��åPµ ~¶Î`Ï�¢+�M���B �%Í�jgkJx3~ r �#�zcoj r � s�r x¼�#j>u s x&eL~���l�¸,Í��åPµ ~¶Î`Ï�¢+�¼u s uvf�~¼�#j¬���Cø�·Í�jgkJx¼~��#j r x&~�Þ�loj�w(hgjJu1uvj`�#j.�����5Í�ø�W»:�

  ~.�������;|E~�y�n¥ã�n¥ý ¶�ª�«��Wª�°�¤²ª���«�¬�¤¥�D¦³Å�ª�¢² �Å���í���¤¥¦¡¤¥¬�� «��§��­���Å�ª��D¦¡ª�«��§¬�©6·�ªïÄ]©�ªË³�1� �]ó��ÏТ©�}ð ¸��`�X"�ª$«�¢²©�¨�� ¤²¢±ª�¨Ë¦ïÒ^ £­�¤²¢¥ªuÅ�ª$·����§¤�í�ª���Ä.©;ÆU©���¸¹�²Ü`°�¬�©6·�ª�°�ª��D¦¸��W¬:¹±��¤²ª��$ª�¨W¦�©��u°�¬�©6·�ª�°�ª��D¦�¸��W¬P¹±��¤²ª��u«� £�A�§ £«�«2¬��W¦�®¯¨§ èí�¢�¦¡�§ �¦¡¤¥¬��"�� �¦§©��§ª�¢²¢¥ª£�

Page 9: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc D<>=�E F F�DYKMI�BHG`F>HJQ.NAZ KMQ.] RÑN VXT`B�KMI�BWO

Éʬ�°�°�ª�Å� £��¨�¢²ª­? £¨èÅ�ª�¨�°�¬.Å�Ù�¢¥ª�¨�®�¦§ª�°�«�¨èÅ�¤²¨W­��Wª�¦6��¢²  ��¬£¦¡¤¥¬��åÅ�ªu°ï £�˦¡¤¥�6ܽD �¢²ªÌª�¨W¦�©��u¬�©�¦¡¤¥¢;ª�¨§¨§ª��D¦¡¤²ª�¢�«�¬�©��Aª8Ï6«�¢²¤¥­�¤�¦¡ª��ʢѠ¾��¬£¦§¤²¬���Å;Æb £�W¸�¤¥¦§�¡ £½£ª£��¶� ¯Å���í���¤¥¦§¤²¬��¨W©�¤¥·� £�D¦¡ª³ª�¨W¦�©���ª³ª8Ï.¦§ª���¨W¤²¬��uÅ�ª³­�ª�¢²¢²ª�Å�©u¦§ª�°�«�¨±Å�¤²¨W­��§ª8¦?�m �Dê��E�H�P�^{2� y�n¥��n^yîµ f�~1x¹�&�Ìó+��ó�����l r jgkzc s hgj�cde+f�� s ��~1u�~vki�%jJx|�1¸��¯�ª��º#»·l r j¬²³u�x�e s �x�~´f r �#jWhgjJx�jgkzc s hgj��JI r jE� s {a~1u1uvj s � s cdxª�gj��LKó�&�ª��º#»·�#j � s eL~ s ��uvjgk s uv� s xzf�~1egjgk�~ r xz�J���e s ��uvjgkg�NM©ho� jgkJx��§w��§��~1e+j � �JeL~ ² s�r xO���?PQKó��P �R/ Ú>Û cof�l#e½xªf�l#xM¢TSCjgkJx¾à

å l r j±°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª�kJ~v�¶cof�l#e½xªf�l#x;Î>Ï�¢+�����UKó��P ¸,ͧ�³ÆVK Í��å l r j±¨W©��§°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª�kJ~v��cof�l#e½xªf�l#x�Î`Ï�¢+���P�UKó��P ¸|ͧ�XÏ�K Í��å l r j±¨W¬�©�¨§°� £�˦¡¤²��½D £¢²ª�kJ~v�¶cof�l#e½xªf�l#x;Î>Ï�¢+�����UKó��P ¸,ͧ�Eß9K Í��

  ~.�������;|E~�y�n¥��n¥ã ÛÌ��Å���Å�©�¤�¦�Å�ªÚ­�ª�¦§¦§ªÚÅ���í���¤�¦¡¤¥¬��èÄ.©�ª��.¨§¤Y�WK­�&�ª��º#»Êª�¨W¦�©���ª�°ï ��Ëܦ§¤²��½D �¢²ª��� £¢²¬£�§¨X���LKó�&��Æ����LKy»L�L��«�¬�©��1¦¡¬�©�¦¬¢Y�"�¬£����¬���¨=Å�ª�¨=ª8Ï6ª�°�«�¢¥ª�¨�Å�ªï°� £�W¦§¤²��½D �¢²ª�¨�Ä]©�ª�¢MÆÀ¬���«2ª�©6¦¾­�¬£��¨W¦§�§©�¤¥�§ª�®$«� £�˦¡¤¥��Å�©°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦�¸��§¬:¹±��¤¥ª��l�ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon¥��n²��µ ~¼�1�����ª��º#»·jgkJx¼l r ¸¹�z�z{·f�l � jJ{·j r x3��egf � r ~´j r kJx s�r � s e©�¼àY��¹���|jgkJx¼l r j.¸��z�z{ s eLx�~ r � s uvj��Z#�¹� �� ø¢�jgkJx¼l r j¬¸��ª�z{ s eLx�~ r � s uvj��[¾�]\?^`_��¯Ë8���B �¯Ë �?a $ �ª¢©��jgkJx3l r j.¸�� �z{ s eJx�~ r � s uvj��m �.��{2���8�:�P���P�,{���7 ì6¤UÎ�Ï ¢± �¢²¬��W¨.���Bø�·ÍAª�¨W¦Ú¤²��Å���«�ª���Å� £�D¦§ª�Å�ª�¢Ñ ¯¦¡�W¤²¸�©(¸,ÍY�"�¬£��­b�a�¯���ct�%Í=P ¸,ͧ�°Æd���1���e��·Í©�8�â¼$ £¤²¨è©��*°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��W¬:¹±��¤²ª��p¨W¦¡ £�6ÜÅ� ��§Å�ª�¨W¦�­�ª��D¦§�§����Å�¬���­����1�W�Bø�%Í��3Æ ñ���ÛÌ��ª���Å���Å�©�¤¥¦Ú¢²ª³«��Wª�°�¤²ª��Ú«2¬�¤²�D¦��(á�¬�©��Å���°�¬£�]¦§�§ª��A¢²ª�Å�ª�©6Ï6¤²Ù�°�ª����Wª�°� £�§Ä]©�¬£��¨±Ä.©�ª;������ �� ø� �Í P ¸,ͧ�ÌÆ �P�§�¯���By�·Í©� � Ú $ �%Í��1�W�C �%Í©�fP ¸|ͧ�

Æ �P�§�¯���By�·Í©� � P ¸|Í©� Ú $ �%Íg�P�����B �%Í=P ¸|ͧ�;ó°� £¤²¨Ê­�¬�°�°�ªa�¯���&�ª��º#»�ª�¨Ë¦Ú©���ª=°� £�˦¡¤²��½D £¢²ªN�P�1���Cø�%Í=P ¸,Í©��Æ@ñÁ��ª�¦�Å�¬���­G����§� �� ø� �Í P ¸|Í Æ����6�1���Cø�%Í©� � P ¸,Í È

Page 10: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc h¶� �¨Ë¦Ã �¦§¤²¬����� £�§¤�¦¡�³ª�¦Ú¢MÆÀ¤²��Å���«2ª���Å� £��­�ª=Å�ª�¨Ì £­�­��§¬�¤¥¨§¨§ª�°�ª��D¦¡¨�Å�©�°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��§¬:¹1Ü��¤¥ª��«2ª��§°�ª�¦W¦¡ª��]¦�Å�ª³«�¢¥©�¨AÅlÆU À ��§°�ª��±Ä]©�ª;��P�§�¯���Bø�%ͧ�g�-P ¸,ͧ�ÌÆ ���ª�i����5Íg

Æ ¢j[Î-ȶ� èÅ�ª��W��¤²Ù��§ª���½D £¢¥¤¥¦§��ª�¨W¦�Å�©�ª= £©$Ò^ �¤¥¦±Ä]©�ª`���Ш§©�¤�¦Ú©���ª�¢¥¬�¤l½D £©�¨§¨§¤¥ª�����ª�­�ª��D¦¡�§��ª�Å�ª·� £�W¤Ñ £��­�ª,¢Y�2ÛÌ�uª��$Å���Å�©�¤�¦�Ä.©�ª��P���k�� ¢=P ¸|ͧ�¼Æt�k�Í [Î���¨§¤YÎl/[¢Y�

á�¬£©��¯Å���°�¬��D¦¡�Wª��¾¢¥ªïÅ�ª��§��¤¥ª��¾«2¬�¤¥�]¦����§ £«�«2ª�¢¥¬���¨��E¦¡¬�©6¦¯ÅlÆU £¸�¬£�§Å���Ä.©�ª���¨W¤Rm ª�¨W¦©���ª�½� £©�¨§¨W¤²ª�����ª³­�ª��]¦§�§��ª��§��Å�©�¤�¦¡ª���¬��� E�

��� &on�p Æ�q ¥1r� r &on?s=& ��')(( +-,# $f% Æ &on (3t � È"�ª³«�¢¥©�¨���¨W¤YÎ�/�¢d���� &ou?v * � u ( � t � P ¸,Í Æ &ouwvBx � u ( � t � ��� &oufyzv * � vBxT{ P ¸|Í ­� £�E�%Í1ª�¨W¦.¸|ÍMÜS°�ª�¨§©��¡ £¸�¢¥ª���ª8¦�­�¬�°�°�ª��W�Cø�%Íʪ�¨Ë¦�¤²��Å���«�ª���Å� £�D¦§ª�Å�ª>¸|Íg��¬��u E���� & u=y|v * � v x { P ¸,Í Æ �V� & ufyzv * � v x { Æ �V� & uwv * > x Æ � � & uwp�} ���5Í Æ &�~ (g� * > x��(Éʪ³Ä]©�¤�Å�¬�����ª³¢²ª��§��¨§©�¢�¦Ã �¦Ú £����¬���­��£�

ì6¤��LKó�&�ª��º#»ª�¨W¦©���ª °� £�˦¡¤²��½D £¢²ªÀ� ¢Ñ ��Wª�¢Ñ R¦¡¤²¬£���P�LKó��P ¸,ͧ�}Æ K ÍL�Ê«2ª�©�¦($8¦¡�§ª�8¦¡ª���Å�©�ª�®uÅ�ª�¨�¦§ª�°�«�¨¾ �¢²�? R¦¡¬�¤¥�§ª�¨³¨W¤�­�ª�¨�¦§ª�°�«�¨�¨W¬��D¦¾Å�ª�¨°xªjJ{|cok°�Y� s eLe+ÕJx��Jf�e r �gk8�Éʪ¾�W��¨W©�¢¥¦¡ �¦�«2¬��W¦§ª¾¢²ª=��¬�° Å�ªCx��o�gf�e��J{·ja�Y� s eLegÕJx^����¬�©�¨� �Å�°�ª8¦§¦§¬���¨Ì­�ª¾¦¡Â���¬��§Ù�°�ªª8¦Ú�Wª��D·�¬iÉ£¬���¨Ì®(/ ��ì�¿�¿ 0�«� £½�ªè�:ͯ«�¬£©��A¨¡  Å���°�¬���¨W¦§�¡ �¦§¤²¬��;�� �E�]{(�Pé6�4~ yon¥�¶n ë�� � ���.{(�Pé.��~$��� ���P�f�D��n��øµ ~��LKó�&�ª��º#»|jgkJxdl r j¼{ s eLx�~ r � s uvjXhgf r x�~1�r loj³c s e�e s c�cof�eLx;w�l r jY²³u�x&e s x�~´f r �1¸��¯�ª��º#»��³jJxYkJ~oÖf.>jJx�Ö � kif r x;�#jJl�ìaxzjJ{|cok��Y� s eLe+ÕJxxzjJuíkóÞ�loj°Öf.øÏòÖ � Ï �y��� �Jx s�r xal r jyhgf r kJx s�r xzj×e+�gjJu1uvj`² r ~´jg� s uvf�e+k�Kóá ( jgkJx~ r xz�W��e s ��uvj�jJx¾à �P�LKóá ( P ¸�á 4 ��ÆVKóá 4 �\c8�ïk��·È

Page 11: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d!�  ~.�������;|E~�y�n¥��n¥ú ¡ Éʪ¯�§��¨§©�¢�¦Ã �¦Ìª��D¦¡�§ ��Ñ��ª¯Ä]©�ªÀ�l¨§¤UÖ�ª�¨W¦³©���¦§ª�°�«�¨ÌÅlÆU £�W��$�¦

¸2¬��W������ £¢²¬£�§¨N���WKóái�.Æ����LKy»J��',¤²¢�¨§©Á è¦�Å;Æb £«�«�¢²¤¥Ä.©�ª���¢¥ª=¦§Â���¬��WÙ�°�ª�ÅlÆU £�W��$�¦ ?·£ª�­½Ö�.�Æ@ñ�ó�Ö � ÆtÖuª�¦�Å�ª³«��Wª���Å��Wª=¢KÆUª�¨§«2���§ £��­�ª³Å�ª�¨±Å�ª�©6Ïu°�ª�°�¸��§ª�¨g*8�

¡ ì.¤�Kó�Aª�¨Ë¦�©���ª�¨W¬�©�¨W°ï £�˦¡¤¥��½D £¢¥ª��;¬£�  ¢²ªè°%$�°�ª¾¦§Â���¬£�§Ù�°�ª�ª����Wª�°�«�¢Ñ &b ­? £�D¦¢KÆU��½D £¢¥¤¥¦¡�Ú«��§��­���Å�ª��D¦¡ª=«� £����P�UKóá ( P ¸¹á 4 �Xß9Kóá 4 � «l�À¨��

��¬�©�¨" �¢²¢²¬£��¨èÅ�¬�����ª��ï©�� ª8Ï6ª�°�«�¢¥ª�ÅlÆU £«�«�¢¥¤²­� �¦¡¤¥¬��åÅ�ª�­�ª��§��¨§©�¢�¦Ã �¦ï £© ­? £¢¥­�©�¢�Å�ª�¨¦§ª�°�«�¨AÅlÆU �¦§¦§ª�¤²�D¦§ª�Å;ÆU©��u«2¬�¤²�D¦±«� £�A¢¥ª�°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��W¬:¹±��¤²ª��l�ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon¥��n²ý�µ f�~1x��¯���&�ª��º#»^l r ¸¹�z�z{·f�l � jJ{·j r x,��e+f � r ~´j r �R�>f�xzf r kg��kJ~��jgkJx�l r·r f�{W��e+jXe+�gjJuí�Á±C�.ÆÝõ!öÁ÷ Ù Î>ß ñ�ó��%Í�ÆV� Ü �Yf�l Ú>Û kJ~¶hgjJxGj r kijJ{W��uvj¹jgkJx � ~��#j��� uvf�e+kg��±C�×jgkJx.l r xzjJ{|cok%�Y� s eLegÕJx¶² r ~Mcdegjgk�Þ�loj�kJê#e+jJ{·j r x¯���#f r x¬u s uvf�~�jgkJx,h s �e s hJxz�JeJ~vki�gjXc s e�k s x&e s�r k¯�6f�eL{·�gj`�#j� s cdu s hgj¶à��� & � n ñw� Æ & � } � n�� � � Èm �.��{2���8�:�P���P�,{���7 ��¬�©�¨³¨§©�«�«�¬�¨Wª��W¬���¨�Ä.©�ª��óß ñ��8±C�¯ª�¨Ë¦=©�� ¦§ª�°�«�¨³ÅlÆb ��§��$8¦6�ª��$ª8Ö;ª8¦6��­�¬£°�°�ª|�%Í1ª�¨Ë¦Ú­�¬��D¦¡¤¥�.©�ª;�Ù ±C�,Ï�¢ Ü Æîãe� �=�M���c�C�¡  _Í)¢¾� �%ÍR£¤�¥§¦�¨ÑÆ ãc� �o�M�!� Ø Íª�o�M�ª© Í3¢¾� Ù �·Í«£¬�l§¦ Ü È

Éʪ¯Å�ª��§��¤¥ª��̪���¨§ª�°¾¸�¢¥ª¯ª�¨W¦�Å� ���¨,¸�� �;­�ª¯Ä]©�¤�«��§¬�©�·£ª¯¢²ª¾�W��¨W©�¢¥¦¡ �¦?�lÛ�����¬�¦¡ª��§ "Å� £��¨­�ª�Ä]©�¤�¨W©�¤¥¦ , ôb­aÆ õvöÁ÷�� , ó¡­ �Y��Ú¬£©�¨� £¢²¢¥¬���¨; £«�«�¢¥¤²Ä]©�ª��;¢²ªÐ¦§Â���¬��WÙ�°�ª�ÅlÆU £�§�©$�¦E®1¢Ñ 1°� £�˦¡¤²��½D £¢²ª�Kó��Æ�\w^`_���Ë8���® ��ËB� a $ �z¢©�8�ÛÌ�"��ªÚ«�ª�©�¦1«� £¨1 £«�«�¢²¤¥Ä.©�ª��⢲ªÚ¦§Â���¬£�§Ù�°�ª�Å;Æb £�W��$8¦A®>±C��'^Ä]©�¤2�lÆUª�¨W¦A«� £¨Ê¸2¬��§���i*8��Éʪ8Ü«2ª���Å� £�D¦6�;¨W¤c¯�ª�¨W¦³©�� ª��D¦¡¤²ª��Ì«2¬�¨§¤�¦¡¤¥Òª�o±C�3ô°¯ ª�¨Ë¦³ª���­�¬��§ª¾©���¦¡ª�°�«�¨ÌÅ;Æb £�W��$8¦W',·£¬�¤²�«��W¬�«2¬�¨§¤�¦¡¤²¬£� �������bº *J��Ä]©�¤(ª�¨Ë¦â¸�¬��W�����D¬£��«2ª�©6¦�Å�¬���­� £«�«�¢¥¤²Ä]©�ª���¢²ª1¦¡Â���¬��WÙ�°�ªAÅlÆb ��§��$8¦?�ÛÌ�¬�¸�¦§¤²ª��D¦Ú £¤¥��¨§¤-� �P�UK­ñw��±=2���Æ ô-ȼ� �¤²¨OK­ñ � ±f2`Æ & u?v�² �?³ 5 � ~ (( y ñ � ±=2 { Ϭ\?^�_Y�¯Ë´�#�8�i"Úªâ«�¢²©�¨���¨§¤-±C�/ Ú½Û �¶µvõ¸·l2=¹ ¥1r K­ñ � ±=2`ÆK­ñw��ª�¦�¨§¤3±C�·Æ Ú½Û �E¬��  $«�¬�©��=¦¡¬£©�¦�¢L�M���½Ïº�o��Å;ÆU¬-»¼µvõ¸·l2=¹ ¥1r K­ñw��±=2­Æ ñ��¶�ªA¦¡Â���¬��§Ù�°�ª±Å�ªÚ¶�ª�¸2ª�¨W½�©�ª�Å�¬�����ª�Å�¬���­]���g½ Ù ±B�J/ Ú½ÛÝÜ K­ñw�i�³Æ ô-�D¨§¬�¤�¦6�D­�¬�°�°�ª�añw�¹ÆV�ï¨W¤�±B�¾/ Ú½Û � �À¿Á½ Ù ±B�J/ Ú>ÛÝÜ & � ~ (( ñw�wÂ Æ & � u � È

Page 12: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d�d

Î���Ò^ £¤¥¨¡ £�D¦�¦§ª���Å��§ª�Ë ·£ª��§¨³ñ�¬���¬�¸�¦§¤²ª��]¦ÌÄ.©�ª��°�1±B�¥/ Ú½Û �¬ÆÓô('^­�ª¾Ä]©�¤�¨W¤²½���¤�í�ªÄ]©�ª³¢²ª�°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦�¸��§¬:¹±��¤¥ª��$ �¦§¦§ª�¤¥�]¦±¢² �·� £¢²ª�©��Ã�ï«��Wª�¨§Ä]©�ª�¨�Ô��§ª�°�ª��D¦g*±«�©�¤²¨��

�À¿ & � ~ (( ñw�¶Â Æ & � u � ÈÛÌ��¦¡�§ £¤¥¦§ª�¢²ª�­? �¨]�Ä/xñèª��u�§ª�°� £�WÄ.©� £�D¦±Ä.©�ª;�

±B�¬ÆÝõvöÁ÷ Ù Î`ß ñ�ó<¹�%Í�Æ�]� Ü ó ?·�ª�­_�)¹���&�ª��º#»�Ä]©�¤±ª�¨W¦�©��[¸��²Ü`°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦�¸��W¬:¹±��¤²ª��Ä'^­� £�è­£ÆÀª�¨Ë¦"©�� «��§¬.­�ª�¨§¨§©�¨­�¬��D¦¡¤²�]© ®� £­�­��§¬�¤¥¨§¨Wª�°�ª��D¦¡¨Ì¤¥��Å���«�ª���Å� £�D¦¡¨Úª�¦�¨W¦Ã R¦¡¤²¬£���� £¤¥�§ª�¨�Å�ª=°�¬iÉ�ª�����ª¾�]©�¢¥¢²ª³ª�¦Å�ª�·� £�W¤Ñ £��­�ª,¢©*8�¶�ª�¦§Â���¬��WÙ�°�ª ÅlÆb ��§��$8¦Ð«2ª��W°�ª8¦E £©�¨W¨§¤]ÅlÆÀ¬�¸�¦¡ª���¤²��Å�ª�¨�ª�¨W¦§¤²°� �¦¡¤¥¬���¨�«2¬�©���¢²ª�°� RÏ6¤²°¾©�°ÅlÆÀ©���ª °� £�W¦§¤²��½� £¢²ª��?ì6¤�K­��ª�¨Ë¦E©���ª °ï ��W¦¡¤¥��½D £¢¥ª��8¬���«�ª�©�¦E¸�¬��W��ª���¢¥ª °�¬�°�ª��D¦�Å;ÆU¬��WÅ��§ª$ Å�ª ��  _ »¡¢¾��¢�ñ PQKó��PZ�?Éʪ�¦W¦¡ª ¤²����½D £¢¥¤¥¦¡��ª�¨Ë¦�­�¬����]©�ª ¨§¬£©�¨�¢²ª���¬£°@ÅlÆÀ¤²����½D £¢¥¤¥¦¡��Å�ª¼"�¬.¬�¸l�

� �E�]{(�Pé6�4~ yon¥�¶n�ÅÆ� ÿ ���]æ2���K�H�:�u�E~ m {;{2�e�yµ ~·�LKó�&�§»¡¢¾��¢�ñ jgkJx%l r jy{ s eLx&~ r � s uvjhgf r x�~ r l�jg�Xf rós à �ÈÇ �¡  _»¡¢¾��¢�ñ PÉKó��P �¡Ê Ï�Ë-�a�?PÉK×ñeP � �Lȶ� ¯Å���°�¬���¨Ë¦¡�§ �¦¡¤¥¬���Å�ª³­�ª��§��¨§©�¢�¦Ã �¦±ª�¨W¦�Å�¬�������ª³Å� £��¨�¢MÆÀª8Ï6ª��§­�¤¥­�ª ¿ �

<>=3Ì Í�BaKM@0G½D;F½H�QòN¶KMTWVeÎ(F>N¶KMI¶ÏWO(Q QEK VXF>H�VEOCHAÐÒÑ3Í�KOÓ"Ì £��¨¾¢²ª�­? £¨=Å�ª�¨=°�¬.Å�Ù�¢²ª�¨=®u¦§ª�°�«�¨�Å�¤²¨§­��§ª8¦6�E¢Ñ u·� £¢¥ª�©��� £­8¦¡©� �¢²¤²¨W��ª�ÅlÆÀ©���«�¬£�ËÜ

¦§ª�Ò,ª�©�¤²¢²¢¥ª Å�ª�·£ �¢²ª�©��u¤¥��¤¥¦§¤Ñ £¢¥ªkÔo»�ª8¦�½����§� ¨§ª�¢²¬�� ¢Ñ �¨W¦§�¡ �¦§��½�¤¥ª4 �©�¦¡¬£í��� £��­���ª§ÕëÆ�UÖ×2-� »¡¢Á2�¢`Ø ¨�ÆÀ��­��§¤�¦¶� Ô�» Ú 2ÙÚ�Û . Ö Ú ��Üæ Ú ÝÜæ Ú �1.©�LÈÉʪ8¦§¦¡ª±·� £¢²ª�©��â £«�«� ��¡ ��¥¦�­�¬�°�°�ª�©���ª`x�e s�r k¯�6f�eL{·�gj|�#j¹{ s eJx�~ r � s uvjШ§¬�©�¨â©���ª�«��W¬�¸� Rܸ�¤¥¢²¤�¦¡��«2¬�©��±¢² £Ä]©�ª�¢¥¢²ªÌ¢¥ª�«��§¤ ÏÅ�ª³¢MÆU £­�¦§¤¥Ò� £­8¦¡©� £¢¥¤²¨W�W� ÜæC2-�§»¡¢Á2�¢`Ø ª�¨W¦Ú©���ª³°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª��"Ì ���¨�¢¥ª�­� £¨EÅ�ª�¨�°�¬.Å�Ù�¢¥ª�¨�®±¦¡ª�°�«�¨E­�¬��D¦§¤²�]©��P��¬�©�¨� £¢¥¢²¬���¨�½£�������¡ £¢¥¤²¨§ª���­�ª�¦W¦¡ªâÒ,¬��§°¾©�¢²ª®¯¢MÆU £¤¥Å�ªÌÅlÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ �¢²ª�¨AÅ�©u¦zÉ.«2ªlÞ �» Ö�Í + Üæ�ÍÃ�

Éʪ�«2ª���Å� £�D¦³¢²ª�¨Ì°�¬.Å�Ù�¢²ª�¨Ú©�¦¡¤¥¢²¤¥¨§��¨Ú­�¬�©��¡ £°�°�ª��D¦Ì«2¬�©��ÌÅ���­��W¤²�§ª�¢MÆU £­�¦§¤¥Ò�¨W¬��D¦�¬�¸6ܦ§ª��]©�¨�®�«� £�W¦§¤²�±Å�©�°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦Ì¸��§¬:¹±��¤²ª��l�;Û����(©���ª¾Å�ª�¨�«��W¬�«��W¤²��¦§��¨Ú¤²°�«�¬��˦à£�D¦§ª�¨

Page 13: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc dDø

Å�©�°�¬£©�·�ª�°�ª��]¦Ê¸��§¬:¹±��¤¥ª���ª�¨W¦ÊÄ]©�ªÌ«��Wª�¨§Ä]©�ª�¨�Ô��Wª�°�ª��D¦1¨Wª�¨�¦§�¡ :9Wª�­�¦§¬�¤²�Wª�¨Ê¨W¬��D¦Ê�]©�¢¥¢²ª«� ��W¦Å�¤�Ö;���§ª��D¦§¤Ñ £¸�¢¥ª�¨��Ê÷�©6¦¡�§ª�°�ª��D¦$Å�¤¥¦6��¨§¤,����ª�¨Ë¦$©��0°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦u¸��§¬:¹±��¤¥ª����ʤ²¢�lÆÀª8Ï6¤¥¨W¦¡ª�«� £¨1Å�ª�«�¬�¤¥�D¦¡¨3¢ Å�ª,¤ ¥ ¦§ª�¢²¨ÊÄ.©�ªàß v *ß �  �¤¥¦1©��"¨§ª���¨��(ÛÌ����ª�«�ª�©�¦1Å�¬£��­Ì«� £¨Å��8í���¤¥�A¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ªÌ«��W��­���Å�ª��D¦§ª�«� £�8�q �»àá �´Î:� + �%Í�Æ q �»àá �´Î:� + �%Í+ Î + Î-ÈÛÌ�¯«2ª�©�¦�Å�¬�����ª�����­�ª�«2ª���Å� ��]¦���©��¯¨Wª���¨ «��W��­�¤¥¨�®Ì­�ª�¦zÉ6«2ªAÅlÆ�¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ª�¨�«� £���§ £«�«2¬��W¦ £©u°�¬�©�·�ª�°�ª��D¦Ú¸��§¬:¹±��¤²ª��l��É�ÆUª�¨W¦Ú­�ª�Ä]©�ª=��¬�©�¨Ú £¢²¢¥¬���¨ÊÒ^ £¤¥�§ª�Å� ���¨Ú­�ª=«� £�¡ £½£�¡ £«�Â�ª£�ÛÌ�u £«�«2ª�¢¥¢²ª�­�ª�¨±¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ª�¨AÅ�ª�¨X2[¤²�D¦§��½��§ £¢²ª�¨A¨W¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤¥Ä.©�ª�¨§4¡�âäã�å]ãgâ æèçäé¾êìë`í�î¾ïðë�ñ)çäéÝò¾óõôwö�ñgé�ë�÷´øeí�ù�ô)óúêìë`ç0ïªû¾ùäêìë�ñ)üXî]ó

ì6¬�¤�¦¹�Wý}�&�ª��º#»â©��a¸¹�²ÜS°�¬�©�·£ª�°�ª��D¦ ¸��§¬:¹±��¤¥ª���¨W¦¡ £��Å� £�WÅ訧©�� ©��èª�¨W«� £­�ªÚ«��W¬�¸� £¸�¤�Ü¢¥¤²¨§�Aí�¢�¦¡�W�����Ìó+��ó:�¯¸¹�¯�z��º#»:ó+���8�#�Ú¬�©�¨1 £¢¥¢²¬���¨�Å�¬�����ª��Ê©��"¨Wª���¨1®¥Þ �» á �´Î�ó £ � + ýóÍ�«2¬�©��©���ª"­�¢² £¨§¨WªïÅ�ª"«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨ á �´Î�ó £ �³ £Å� £«�¦§��¨�®�¢Ñ í�¢¥¦§�¡ �¦§¤²¬����¯¸¹�&�ª��º#»?��ÛÌ��·� �­�¬�°¯Ü°�ª���­�ª���«� £��­�¬���¨W¦¡�W©�¤²�Wª�¢KÆU¤¥�]¦§��½��§ £¢²ª�¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤²Ä]©�ª=¨§©��Ú©���ª���¨§ª�°¾¸�¢¥ª�Å�ª=«��§¬.­�ª�¨§¨§©�¨Å�¤�¦¡¨,�Juv�J{·j r x s ~1egjgk8�¾"� £��¨ ¦¡¬�©�¦§ªÚ¢² �¨W©�¤¥¦§ª��]¬���í�Ï6ª�± ©����§��ª�¢2¨W¦¡�W¤²­8¦¡ª�°�ª��D¦�«�¬£¨§¤¥¦§¤¥Ò2ª�¦í���¤M�m �Dê��E�H�P�^{2� y�n ëMn^yqpErøs c�cojJu1uvj�«��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨³��¢¥��°�ª��D¦Ã £¤¥�§ª^�UÖa�&�ª»¡¢¾��¢�ñ�l r cde+fihgjgkgkJl�k�#j½u s �6f�eL{·j¶à Ö��©� £ ��Æ þÙ ÿ Û . Õ ÿ � £ �¶½�� ��� > 4 © �����&�¯¢©�f���ñ>Æ ¢ª»]/P¢�.X/ÝÈ6È6È1/P¢ þ Æt± jJx�Õ ÿ jgkJxM¸¹��� > 4 �z{·jgkJl5e s ��uvj`jJxE�Jf�e r �gj��¶�ÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ª¯¨W¦§¬6­ÃÂ� �¨W¦¡¤¥Ä]©�ª�Å;ÆU©�� «��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨���¢²��°�ª��]¦¡ £¤²�Wª Ö ª�¨W¦� £¢²¬£�§¨��;«� £�³Å���í���¤�ܦ§¤²¬����6¢²ª�«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨Ú­�¬��D¦¡¤¥�]© �����LÖ×�z���§»¡¢¾��¢�ñ�Å���í���¤E«� £����¨W¤�¢EÃ�õï¢�ó�¢ ¥ .Mõ-����LÖ×�z�¶Æ Ù.3¢ ÿ ¢� Õ ÿ �Wý}���BAý}��� > 4 � Ú Õ� ¥ .J�Lý×�CAý×�� ��JÈ��¬£¦¡¬���¨�Ä]©�ª����LÖ}�ª�E«�ª�©�¦�¨�ÆÀ��­��§¤²�Wª;����LÖ}�ª�8Æ Ù.3¢ ÿ ¢ þ Õ

ÿ �Wý}���¸±i�B§ý×��� > 4 ±i���8ó­�ªïÄ]©�¤â«��§¬�©6·�ªï¢² u­�¬��D¦¡¤¥�.©�¤¥¦¡��Å�ª�¢Ñ �Ò,¬���­8¦¡¤²¬£�y¢�� ¦ �8�UÖ×�ª�`��ÛÌ����¬£¦¡ª��¡ °Þ �» Ö�Í + ý­Í«2¬�©������LÖ}�ª�S�2ÛÌ�u è £¢²¬��W¨A¢²ª��W��¨§©�¢¥¦Ã R¦±ª�¨§¨Wª��D¦¡¤¥ª�¢�¨§©�¤¥·� £�D¦¶�ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon ëMn²ã�µ ~¼�UÖ����§»¡¢¾��¢�ñtjgkJx³l r cde+fihgjgkgkJl�k��Juv�J{·j r x s ~1egj¶à

å � Þ �» Ö�Í + ýóÍ »¡¢¾��¢�ñ jgkJx3l r j.¸¹�z�z{ s eLx&~ r � s uvj�hgf r x�~ r lojg�

Page 14: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d��

å ��Ç ¿�q �» Ö�Í + ýóÍ Â � Ê Æ�� ¿�q �» Ö �Í + Î Â �å � Ç!��  _��¢�ñ ���� q �» Ö�Í + ý­Í ���� � Ê Ï¬Ë-� Ç q ñ» Ö �Í + Î Ê �

m �.��{2���8�:�P���P�,{��§7�� L8OPJ(N����1L8G�IKJMcËJ�Q[cËI^IMc��PJKL���L�\^TUIKTbL8GÊGPL�OR\�VYXbXUL�GR\�O:IMTUXbTb\KcËJ�N:cW\��PJML:Q[c§\K\KOR\� IMc����R\ÊN:Tb\MQ[JMc[I �"!2G�c#�c[I $���L�OPJ%�ËIMV'&PXUTbJ�a�OPc ��Þ)(*,+�-/.102- cW\^I�OPGRc3�AVYJKIKTbG54�VYXbc'$.TbXl\^O�61IAN:c�PJML8O57�cËJ�a�OPc'$��£L8OPJlIML8O:I98;:=<�>? ¿�q (* +�@A.A0B@DC E - ÂGF q -* +�@A.A0B@H T2XJI L8GèVLK,L�O:IKcM<�c[I%8 � XbV�\KO5&�N:TN7?TZ\^TbL8GO8 * FQP�R 8TS R U�U�U R 8JV FXW $.c[IÊ\^T(L�GO��L�\^cZYO[ FÞ (�\* + - .10 - c[I,]�[ F E (�\ �£L8OPJ P�^`_2^Ba $8TbX�\KO�61I�N:c97��ËJMTcbRcWJ(a�OPcdYO[ÊcW\^I2OPGRcd]�[AeJ�AVYJKIKTbG54�VYXbc'�� L8OPJ�N����1L8G�IKJMcËJ�Q[c§Q[TJ$PJMc��AVYJ`a�OPL8GR\;a�OPc�>

Y [ F q ( \* +�-f.A02- F [Ù gNh S)i g�j 0 (�k"l 0 (�knm'kpoVq78c§Q i g a�OPT�c§\,Ir] g�s S/et�Êc§\^ORJMV'&PXUc���u%I VYO:IMJKc%�RVYJKIdv�[ F 0 (�\ cW\^I�OPGPc�]w[Aet�AVYJKIKTbG54�V8XUc3x cËG=c#�c[I $y 0 (pz (t{ * c§\,IlOPGZ�1L8O57�c��1cËG�I|&RJKLL}�GPTbcËG�~/� y YO[ z [1��� *�� V/� V����RVYJ`Vq�ZI;N:L�GRQ�Q[L����1cÐOPGPc�IKJ`VYGR\p� L8J����ËcN:cEXZV��AV8J^IMTUG54�VYXbc y v�[ z [1��� *�� V/� ��FHX£cW\^I���V�Q[TbXUcÐN:c�N����1L8G�IMJKcWJ�a�OPc y YO[ z [���� *�� V/� ORGPcd�AV8J^IMTUG54�VYXbc'�A�]cN:cËO5�?T����1c��£L8TbG�IE\�I L'&:IMTUcWG�I $PcËG�JMc��AVYJ`a�ORVYG�I�a�ORc�>

? y Y��[ z F ?��� Ç [Ù g�h S i g y v g l v g�s S z Ê ���F [Ù g�h S [Ù�Th S ? y i g i � y v g l v g�s S z y v � l v �s S zTz

uEcr�RXUOR\�$P\KT�� R�� $RL8GÌV�>? y i g i � y v g l v g�s S z y v � l v �s S zpz FF ? y ? y i g i � y v g l v g�s S z y v � l v �s S z C ] �s S zpzF ? y i g i � y v g l v g�s S z ? y v � l v �s S C ] �s S zTz U� L'���1c�v � cW\^I�OPGPc��AVYJKIKTbG54�V8XUc�$�L�G�V�? y v � l v �s S C ] �s S z FGP ����G�cËG�N��WNPOPTÀI�a�OPc�$P\^T�� R�� >? y i g i � y v g l v g�s S z y v � l v �s S zpz F�P UH T � :`�2L�GÚL�&:IKTbcËG�I�Xbcr�����1c�JT�§\^OPXUIMVYI���!(G5bRG�\^T�� F`� $PL�G�V�>? j i �g y v g l v g�s S z � o F ? j ? j i �g y v g l v g�s S z � �� ] g�s S o oF ? j i �g ? j y v g l v g�s S z � �� ] g�s S o o��

Page 15: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc dÀ7

c[I�bRG�VYXbc��1cËG�I�> ? j y v g l v g�s S z � �� ] g�s S o FG  j y 0 ( k)l 0 ( k�mA¡ z � o F 8 g l 8 g�s S U!(GÌJKc�48JML8O5��VYG�I;QËcW\�J��W\KOPXUIMVÃI`\;L8GÌL'&:IMTUcWG�I�>? �� Ç [Ù g�h S)i g y v g l v g�s S z Ê � �� F ? Ç [Ù gNh S)i �g y 8 g l 8 g�s S z Ê U

�.V�QËL8G�IKTbG?OPTUIT��NPc�8�¢ Þ (* +�-f.10B- cW\^I�Q[XZVYTbJMc2\^ORJ6\MV�N��b�GPTÀIMTUL�G��L�]c�IMJKL�Tb\KT����1c��£L8TbG�I�cW\^I6OPGRc�Q[L�GR\T�ea�OPcËGRQËc�N:c�X£I TbG5��4�VYXbTÀI�� N:cruEL?L'&Ox ¤'� ¥5�§¦ ~;V��5�RXUTZa�O5�Ëc � XZV��1V8J^IMTUG�4�VYXbc�Q[L8G�IMTUG?OPc ��Þ)(* + - .A0 - (t{ * �  ~.�������;|E~�y�n ëMn¥� ÛÌ�$«2¬�¨§ª³«� ��AÅ���í���¤¥¦¡¤¥¬����

q ñ� Ö�Í + ý­Í³Æ q ñ» Ö�Í + ýóÍ� q �» ÖWÍ + ýóÍì6¤À¢EÏ�±>�?ª�¦E¨W¤-ÂÇß��ª�? £¢²¬��W¨MÎ,¦ ½D¨�½ Ù ¢X/�Î Ü Ö�Í;�§ª�¨W¦¡ª ©���«��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨E��¢²��°�ª��D¦Ã £¤¥�§ªª8¦Ú¤¥¢;ª�¨W¦�Ò^ £­�¤¥¢²ª�Å�ª³·£���W¤¥í�ª����(¨§©��±¢² ¾Å���í���¤¥¦¡¤¥¬��Å�ª³¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ �¢²ª��.Ä]©�ª;�

q ñ» ½�¨CÖ�Ͷ½ Ù ¢R/�Î Ü + ýóÍ;ÆȽD¨ q ñ� Ö�Í + ý­ÍgÈ 'Ë�����:*ÛÌ��·.¤²ª��D¦�Å�ª³Å��8í���¤²�Aª8¦�Å�¬�����ª��±Å�ª�¨±«��W¬�«��§¤¥��¦§��¨AÅ�ª³¢MÆÀ¤²�D¦§��½��§ £¢²ªÌ¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤²Ä]©�ª³«2¬�©��¢¥ª�¨�«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨���¢²��°�ª��]¦¡ £¤²�Wª�¨�����¬£©�¨� £¢¥¢²¬���¨�°� £¤²��¦§ª��� ��]¦���¦§ª���Å��Wª¾­�ª8¦§¦§ª¯¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ª�®©���ª�­�¢Ñ £¨W¨§ª³Å�ª³«��W¬6­�ª�¨§¨W©�¨Ú £Å� £«�¦§��¨��

© Æ � �LÖ��&�ª»¡¢¾��¢�ñEó�«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨� £Å� £«6¦¡��®^�¯¸¹���ª��º#»:óä� Ç q ñ» Ö �Í + Î Ê / Ú>Û�¨ Èä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon ëMn�ë µ f�~1x¼�Lý×�&�z��º#»`l r ¸¹�z�§��e+f � r ~´j r � � uvf�egk|~1uYj©ì-~vkJxzj|l r j1©���¤²Ä]©�ªs c�cdu�~´h s x�~´f r u�~ r � s ~1e+jBªÝ�#j © � s�r k�¢KÆUª�¨§«� �­�ª¾Å�ª�¨�¸¹�ÑÜS°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª�¨A­�¬��D¦¡¤¥�]©�ª�¨ÚÅ���í�Ü��¤¥ª�¨A¨W©��=ðÀñ�ó©±�õ¯�¼xzjJu1uvj`Þ�l�j¶àY�� µ ~��LÖ����ª��¢�ñtjgkJx³l r cdegfihgjgkgkJl�k��Juv�J{·j r x s ~1e+jg� � c8�ïk�� cof�l5e½xzf�l5x�ñWÏ�¢XÏ�±ª��LÖ×�z�8Æ«���LÖ×�z�§�Z#� µ ~�¢EÏ�±�������ª³�UÖ×� ��� Æ9�À¿�q �» Ö �Í + Î Â �

Page 16: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d�¿

�3jJx�xªj s c�cdu�~´h s x&~´f r u�~ r � s ~1e+jÑjgkJx½l r ~�Þ�l�j s l kij r k%kJl5~ � s�r x1�,kJ~Mª jJx¬ª|­¹kif r x`�#jJlÀìcde+f�uvf r �#jJ{·j r x1k�u�~ r � s ~1e+jgk � �JeL~ ² s�r x³uvjgkEcde+fgcdeJ~´�Jxz�gk¬cde+�ghg���#j r xªjgk s uvf�e+kMà

�\c8�ïk�� ®;ñ�Ï�¢EÏ�±±ó¯ª³�UÖ×�ª��Æ°ª ­ �LÖ}�ª�pEr}r f�xzjg��kJ~´Ö à © � q �» Ö�Í + ýóÍ�Æ°ª³�LÖ}�ª�zÈ"�ª³«�¢¥©�¨±­�ª8¦§¦¡ª³¤¥�]¦§��½��§ £¢²ª�¨W¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤¥Ä.©�ª�·£���§¤�í�ª³¢²ª�¨A«��§¬�«��§¤²�8¦¡��¨�¨W©�¤¥·� £�D¦§ª�¨��ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon ëMn²ú�µ ~¼�UÖ����§»¡¢¾��¢�ñPl r cde+fihgjgkgkJl¾k��#j © s uvf�e+k¶àY�� pEr×s à � Ç!��  _��¢�ñ ���� q �» Ö�Í + ýóÍ ���� � Ê Ï¬Ë-� Ç q ñ» Ö �Í + Î Ê 'Ë���bµ-*Z#� µ ~�ÖPjgkJx¼l r ¸¹�ª�zxªjJ{|cok>�Y� s eJe+ÕJx¾à

�qc8�ïk�� q á» Ö�Í + ý­Í�Æ q ñ» ½ ٠νÏ�Ö Ü Ö�Í + ý­Í 'Ë���U»�*

m �.��{2���8�:�P���P�,{�� 7«± L8OR\�V�N��1c[I^IMJKL�GR\�a�OPc±\KT y + - z -f²�³ c§\,I NPV8GR\�´µ$DTbX(c�:TZ\,IMcAOPGPc±\KOPTUIKcy + [- z -�²�³ NPcr�PJKL:QËcW\M\^OR\;�WXN���ÊcWG�IMVYTbJMcW\;IKcWXb\�a�OPc�>¶N·�¸['¹rº�» ? Ç q ³* C + - l + [- C � . < Ê F�P U��G�IMJKL�O578cWJMV�OPGPc�N����1L8GR\^IKJ`VÃIMTUL�G�N:c�QËc�JT�§\^OPXUIMVYI�NPVYGR\�¼ ½ H�¾�¾ ¿ x���V�48c�¤�¥'À��PJKL�&PX����1c�Á��ÃÂ'~/�H T +ÅÄ ´ c[I y + [ z [ { * cW\^IlORGPc \^ORTÀIMc N:c��PJKL:QËcW\M\^OR\;�WXN���ÊcWG�IMVYTbJMcW\�Q[L�G178cËJ�48c§VYG�I�7�cËJ`\ + $PVYO\^cWGR\,�PJ��WQ��WN:cWG�I $:L8GÌV�>

? ¿5ÆTÇ5È( ²É³ C Ê y + [�º�V z ()l Ê y + [ z ( C �  ^ÌË ? Ç q ³* �� + [�º�V- l + [- �� � . < Ê U xp¤'� ÀA~FHXDc�:TZ\,IMc N:L8GRQÐOPGRc \^L�OR\�\^ORTÀIMc +BÍ�Î [�Ï IKcËXbXbc a�ORc�>? ¿5ÆpÇ�È( ²�³ C Ê y + Í�Î [�º"SpÏ zÐ( l Ê y + Í�Î [�Ï zÐ( C �  ^ÒÑÓ [�.V�\p�WJKTbc�N:cÔ� L8GRQ[IKTbL8GR\;N:c�IKcWJT�1cÕ4'�ËG��ËJ`VYX Ê y +BÍ�Î [�º"SpÏ z l Ê y +µÍ�Î ['Ï z c§\,IlN:L8GRQ'$��RJKc§\Ka�OPcÐ\pÖPJMc��1cWG�I $OPGPTN� L8J������1cËG�I�QËL8G178cWJT4�cËG�IKc�$]NDI L�× Ê y +µÍ�Î [�Ï z�( Q[L8G17�cËJ�48c�78cWJM\�ORGPc�� L8G�QSIKTbL8GèQËL8G�IKTbG?OPc�a�OPT;\^cWJMV�RVYJ�N5�bRGPTUIKTbL8GZ8�Ø¢ÚÙ y + z�( �5!(G¬�RV8\M\MVYG�I � XZVÊXUT��1TÀIMc NPVYG�\rx ¤'� À ~$PL8G�L'&PIKTbcËG�I�>

? ¿ ÆTÇ5È( ²É³ C Ù y + z�( l Ê y + [ zÐ( C � Â�^ÛË ? Ç q ³* C + - l + [- C � . < Ê U xp¤'�ÃÂ'~

Page 17: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d�è

� cWQËT�cËG�IKJ`Vq� GPc1a�ORc y Ù y + z�(pz * ² ( ²�³ GRc1N5���£cËGRN2�RV�\�N:c1XbVÌ\KOPTÀIMcAV��5�PJMLq�:TN�AV8G�IMc'� y Ù y + zÐ(pz * ² ( ²É³cW\^I�OPGPcr�AVYJKIKTbG54�V8XUc�$?cËGÌc#�c[I�> ? y Ê y + [ zÐ( C E - z F Ê y + [ z -qUuEc��PXbOR\��£L8OPJ�IML8O:Ir8 ¶N·�¸ ['¹rº�» Ê y + [ z�( F Ù y + z�( cËG�GPL�JT�1c�Ü � yJÝ �TÞ z cËI�XZV�Q[L8G�IMTUG?OPTUIT�ANPV8GR\Ü � y£Ý �TÞ z NPc�X£I cW\T�w�WJMV8GRQ[c�Q[L�GRN:TUIKTbL8GPGRcËXbXUc��£cËJ��ÊcËIEN:c Q[L�GRQ[XbOPJMc'�u�cÔx ¤��  ~£c[I.N:c�? y Ê y + [ z �( z F ? ��Þ ³* C + [- C � . < L�G�N��WN:ORTÀI6a�OPc�? y Ù y + z �( z F ? �¡Þ ³* C +�-�C � . < �uEcr�����Êc NPc�x ¤'�à~�c[IENPc�? y ÆpÇ5È ( ²�³ Ê y + [ z �( z ^ÛË ? �¡Þ ³* C + [- C � . < $PL8GÌN��§N:OPTUIßx ¤'�ÃÁ ~���I OPGPTZQ[TUIT� NPOZ�RJKL�XUL�G548c��ÊcWG�I;J��W\KOPXUIKc�N:c�XZVÊNPcËGR\KTÀI�� N:cW\,�RJKL:Q[c§\K\KOR\;�ËX����1cWG�I`VYTbJKc§\�NPVYG�\;´µ�± L�OR\;VYXbXUL�GR\��AVYTbG�IKcWGRVYG�I�N����1L8G�IKJMcËJÕx ¤'� ¥ ~����G�JKc��1V8JMa�OPc�N�I V'&�L�JMNAa�OPc�x ¤'��¤ ~(JKc§\,IMc97ÃVYXZV�&PXbc\^T +àÄ ´µ��FHXl\KO�61I���L�OPJÊQËcËXZV�NDI O:IMTUXbTb\KcËJÊXZV=N:cWGR\KTÀI��ÚN:c§\%�RJKL:Q[c§\K\KOR\ß�ËX����1cËG�IMV8TUJMcW\�NPVYG�\�´ cËIx ¤��  ~/���G�7ÃVlcËGR\KOPTUIKc2N����1L8G�IKJMcËJDXbc�JT�§\^ORXÀI`VÃI��£L8OPJ.NPcW\�IMc����R\.N�I V8JKJ��[I]N:c(XZV;� L8J��1c�á Fãâ S ² g ² [ 8 gTä1å k $L'× P�R 8 S Rçæ�æ�æ5R 8 [ F�W $?XUc§\9è g �ËIMVYG�IEN:TZ\�K,L8TbG�I`\lc[I E (�k �1cW\KOPJMV'&PXbcW\��5��G�V1NPV8GR\�Q[c�QËV�\�>q ³* äwé <�:ÌáÉê +�-/.102- F q ³* �� ÙS ² g ² [ ä å k ä�é <r:Ì8 g ê �� +�-.A02- ��AVYTZ\�Q`_RV�a�OPc ä é <r:Û8 g ê ä å k +�- c§\,IAV8NPV'�:IT�2x � cZ�PJML?QËcW\M\^O�\âc§\,IÊG�ORXl\KT9< ^ 8 g c[I�7ÃVYO:I ä å k +�-\^TbGPL�Gw~�c[IEN:L�GRQ�NPVYGR\�´µ�w��GÚcWG�N��WN:ORTÀIEa�OPc�>Þ ³* ä é <r:ÛáÉê + - .10 - F ÙS ² g ² [ q ³* äAå k ä é <r:Û8 g ê + - .A0 -F ÙS ² g ² [ äAå k q ³( k + - .A0 - F q ³ë + - .10 - ��POPTZ\�a�OPc Þ ³* äwé < ^ áÉê +�-f.10B- F Þ ë*Z+�-f.A02- �� L8OPJÔ4'�ËG��ËJ`VYXbTb\KcËJ�QËc JT�§\^ORXÀI`VÃI�$�JKc��AVYJ`a�ORL8GR\�a�O�I OPGÌIKc����R\ENDI VYJMJ��[IEa�OPcËXZQ[L�GRa�OPcráì�£cËO:IÕ�[IKJMcV��5�RJKLq�:T����Õ�RV8J�OPGPc�\^ORTÀIMc N��WQËJKL�Tb\M\KV8G�IKc�N:cÐIKc����R\ENDI V8JKJ��[I�N:O�I�í1�£cÕ�RJT�§Q�WNPcËG�I�cËG¬��L�\KV8G�I�>á�[ F Ù* ² g ² � \ y£î�ï�Ñ z WÓ [ ä"ð î WÓ [ ^ á Rñy£î�ï�Ñ z WÓ [ ò Uá [ Q[L�G178cËJ�48c��PJMcW\Ma�OPcâ\TÖPJMc��1cËG�IÔ7�cËJ`\9á�cËG=N��WQËJKL�Tb\M\KV8G�I�����G³cWG³N��WNPOPTÀI�a�OPc��PJMcW\Ma�OPcâ\TÖPJMc��1cËG�IÞ ë \*°+�-.A02- IKcËG�N37�cËJ`\ Þ ë*Z+�-f.A02- �RVYJ�QËL8G�IKTbG?OPTÀI���N:cr8�Ø¢ Þ)(*�+�-/.10B- ��ußI VYOPIKJMcÕ��VYJKI�>? �� ����� q ³* ä é < ^ áÉê + - .A0 - l q ³* ä é < ^ á�[�ê + - .10 - ����� � �� F ? Ç q ³* ä é á R < ^ á�[Éê + �- . < Ê

� c�N:cWJKGPTbcËJ IKcËJ��1cAIKcWGRNO7�cËJ`\ P �RV8JâQ[L�GA7�cËJ�48cWGRQ[cAN:L��ÊTbG5�Wc'$6NPL8GRQ Þ ³* ä é < ^ á [ ê + - .A0 - IKcWGRNNPVYG�\ÕÜ � yJÝ �TÞ z x cËIr�PJKc§\Ka�OPcA\TÖPJMc��1cËG�I���L�OPJ�OPGPcA\KL8OR\�\KOPTÀIMc ~Õ7�cËJ`\ Þ ³* ä�é < ^ áÉê +�-.A02- � � cWQËT��cWJT�1cËIENDI L�&:IKcWGPTbJ�X£I ��4�VYXbTÀI���x ¤'� ¥ ~|�£L8OPJlIML8O:I�IMc����R\�NDI VYJMJ��[I��

Page 18: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc dÁ"��¬�©�¨Ú £©��W¬���¨�¸�ª�¨§¬�¤¥��ÅlÆÀ©����W��¨§©�¢¥¦Ã R¦Ú«2ª��W°�ª8¦§¦¡ £�D¦�Å�ª��§ª�¢Ñ RÏ6ª��Ú¢KÆUÂ�É.«�¬�¦¡Â�Ù�¨§ª�Å;ÆU¤¥�]¦§�8ܽ��§ £¸�¤¥¢²¤¥¦§�Ú«2¬��˦à£�D¦�¨§©��`�UÖWͧ�Y�(á�¬�¨W¬���¨��Ü© Æ � �LÖ�Í��ª»¡¢5Í)¢�ñ�ª�¨Ë¦Ú©��$«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨Ú £Å� £«6¦¡��®^�¯¸¹���ª��º#»:ó q ñ» Ö �Í + Î�/ Ú½Û � «l�À¨�� ¨ ȶ� ¯«��§¬£«�¬�¨W¤¥¦§¤²¬���¨W©�¤¥·� £�D¦¡ª³«2ª��W°�ª8¦±Å�ª³«��§¬�¢¥¬���½�ª��A¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ �¢²ª�¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤²Ä]©�ª�Å�ª © ®Ü© �ä �P{2ç�{2�?�H�P�,{2� yon ëMn²ýôó uMj©ì-~vkJxzj|l r j|l r ~�Þ�loj s c�cdu�~´h s x�~´f r u�~ r � s ~1e+j ܪP�#j|u�� jgkzc s hgj�Ü©� s�r k½u�� jgkzc s hgj � jghJxªf�eL~´jJuY�#jgk±«��§¬.­�ª�¨W¨§©�¨�­�¬£�]¦§¤²�]©�¨��#�¯² r ~vk|kJl5e=ðòñ�ó�±±õ���xªjJu1uvj�Þ�lojMàY���á��W¬�«��§¤¥��¦§�¾Å�ª¾«��W¬�¢²¬£��½�ª�°�ª��D¦�� µ ~¬�UÖa�&�ª»¡¢¾��¢�ñîjgkJx¬l r cde+fihgjgkgkJl¾kW�Juv�J{·j r x s ~1egj

s uvf�e+k¶à�\c8�ïk��ïóÕ®;ñ�Ï�¢EÏ�±±ó§Üª³�LÖ}�ª��Æõ���LÖ×�z�zÈZ#��á��W¬�«��§¤¥��¦§�"Å�ª�­�¬£�]¦§¤²�]©�¤�¦¡�;� µ ~,�LÖ 2 �)2�º#»­jgkJx½l r j%kJl#~1xzjÑ�#j�cde+fihgjgkgkJl�k(�#j Ü©

xzjJu1uvj�Þ�loj«Þ ñ» Ö 2Í � + Î�xzj r � � jJe+kâñ^j r cde+f�� s ��~1u�~1xª� s uvf�e+k �¡  _ ��¢�ñ P�ܪ;�LÖ 2 �ª�¡P xzj r �� jJe+k�ñ­j r cde+f�� s ��~1u�~1xª���

pEr}r f�xzj>xzf�l ¨ f�l#e+k]Þ �» Ö�Í + ýóÍEcof�l5e¤Üª³�LÖ×�z�§�  ~.�������;|E~�y�n ëMn�Å ÁS¢Dª�¨Ë¦Ð¤¥°�«2¬��W¦¡ £�D¦�Å�ª ��¬£¦§ª���Ä]©�ªâÅ� £��¨�­�ªâ­? �¨ ��Þ �» Ö�Í + ý­Í »¡¢¾��¢�ñr � jgkJx�c s kÄM r �ghgjgkgk s ~1e+jJ{·j r x6S�l r j>{ s eJx�~ r � s uvj8�m �.��{2���8�:�P���P�,{�� 7 FHX2cW\^Ir��V8Q[TbXbc1NPc±N��WN:ORTUJMc±N:cAXZV¬�PJKL��PJMTN�ËIT�AN:c��PJML8XbL8G54�c��1cËG�I�c[IâN:cAXZV�PJML'�PJMTN�ËIT��N:c Q[L�G�IKTbG�ORTÀI���a�OPc�$R\KT +«Ä ´ VYXbL8J`\ Þ ��� \�� �)ö 8 ^ÛW ��÷Ù y + z ( F Ù y + z ( �H L�TÀI +øÄ ÷´µ$��£L�\KL8GR\ W [ F ·Nù�ú�û P�^ < ^ÛW � Þ -* + �@ .�ü�ý _�þ x ïrÿ \KT�Q[c[I±cWGR\Kc��ß&RXUcÌcW\^I7?TbN:cq~/$PcËI + [- F + - äwé < ^ÌW [�ê ���L�G�IMJKL�GR\�$¡IKL8OPI2NDI V'&�L�JMN�$8a�OPc W [ cW\^I2OPGÊIMc����R\(NDI VYJMJ��[I�� � L����Êc é W [ ^ 8fê F é�Þ)(* + �@ .'ü�ý_ ê�$�TUXDGRL8OR\;\^O56ÊI�N:cÕ�PJML8O57�cËJ;a�ORc Þ)(* + �@ .�ü cW\^I;ORGPcd7ÃV8JKTZV�&PXbc�V8XN�§VÃIML8TbJKc E ( et�1cW\KOPJ`V�&PXbc'���³VYTZ\lQ[cJT�§\^ORXÀI`VÃIlcW\^I;7?J`VYT�\^T + cW\^I;OPGZ�PJML:Q[cW\M\KOR\��WXN���1cËG�IMV8TUJMc'$?c[I�N:L�GRQÔ��VYJ�N:cËG�\^TUIT��\KT +ÅÄ ´µ��!(G�b�G�\KT+ÅÄ ÷´µ$ Þ (*�+ �@ .'ü a�OPTDcW\^I�XbV�XbTN�1TUIKc��PJMcW\Ma�ORcÐ\TÖPJMc'$�XUL�JM\Ma�OPc��0IKcWGRN378cËJ`\ ïrÿ $:N:c Þ (*�+ �@�� � .�ücW\^I1V8OR\M\^T E ( eJ�1cW\KOPJ`V�&PXbc'��FHXlcW\^I1V8XUL�JM\ß��V8QËTUXbcÌN:c37�L8TbJÊa�OPc�XbcW\��PJML?QËcW\M\^O�\ + [- \^L�G�I1V8NPV'�:IT�§\âcËI&�L�JKG��W\�N:L�GRQ�NPVYGR\;´B��uEcr�RXUOR\�>q (* + [- .A02- F q (* äwé < ^`W [ ê + [�º)S- .10B- U��I ��4�VYXbTÀI���x ¤'� ¥ ~|�PJML8O57�cÐV8XUL�JM\la�OPc�>q (* + [- .A02- F q (�� ³ \* + [�º"S- .A02- U

Page 19: Calcul Stochastique

FHG�IKJML?NPORQSIMTUL�G�V8O�QWVYXZQ[OPX]\^IKL:Q`_RV�\,IMTba�OPc d!DuEL�GRQÌ\^ORJAX£I cËGR\Kc��%&PXbc é Þ ³* + �@ .'ü R _ ê�$���L�OPJ1IKL�O:I¯8 ^ W $;Ù y + [ z�( F Ù y + [�º"S zÐ( � � L'���1c� [ { * é�Þ ³* + �@ .�ü RÌ_ ê F é�Þ ³* + �@ .�ü R ïrÿ ê�$YL�G���cWO:I�N���bRGPTbJ��PJMcW\Ma�ORcl\TÖPJMc��1cËG�I(OPG��PJML:Q[c§\K\KOR\÷Ù y + z ( cËG¬�£L�\MVYG�I�\^ORJ é�Þ ³* + �@ .'ü RÛ_ ê�>

ö 8 ^ÌW ÷Ù y + z�( F Ù y + [ z�( U�]c¬�PJML:Q[cW\M\KOR\ß8MØ¢ ÷Ù y + z ( cW\^I��RJKc§\Ka�OPc�\TÖPJKc��1cËG�I1QËL8G�IKTbG?O�$��RV8J1N5�bRGPTUIKTbL8G����.V2�PJML'�PJMTN�ËIT�ÌN:c�PJML8XbL8G54�c��1cËG�IDcW\^I"7��ËJMTcb��Wc��RVYJ6Q[L8G�\,IMJKORQ[IKTbL8G��WFHX8JMcW\^IKc(N:L�GRQ � �RJKL�O578cWJ]XbV9�PJKL��PJMTN�ËIT�(N:c2QËL8G�IKTbG?OPTUIT�N:c ÷Ù�� � L8OPJ�QËcËXZV�JMc��AV8JMa�OPL�GR\la�ORc�>Þ � ÆTÇ5È ( ²É³ ��� ÷Ù y + zÐ( ��� ý ^ Þ ��Þ ³* + �- . < ý S� ï Þ ����� ä � q ³* + �@ .'ü R Ñ ¨ ÆTÇ5È ( ²É³ ��� ÷Ù y + z ( ��� ý

� ���� UH T�XJI L�G�GPL8IKc¬á � F ·�ù�ú ûA< ^ÛW � Þ -* + �@ .�ü�ý S� þ x ïrÿ \^T�QËc[IAcËGR\Kc��%&PXbcÚc§\,I�7?TbNPc ~/$(V8XUL�JM\Ê\KOPJ� Þ ³*Û+ �@ .'ü R S��� $��JI ��4��������T��x ¤�� ¥ ~��������57! #"��� '$5�$�!���%���!���98 ^ÛW >

q (* +�-/.A02- F ÷Ù y + z ( F Ù y + S z ( F q (* + S- ä é < ^ á � ê .10B- F q (* +�- ä é < ^ á � ê .102- UußI �'×�$� '&(�)��������*+��&��ßx ¤�� Á ~|�,�����-�� r�����)./ 0*�*���*�<dØ¢ +�- ä�é < ^ á � ê >Þ ¿5ÆpÇ�È( ²�³ ��� ÷Ù y + z ( ��� ý1  ^ Þ Ç q ³* + �- . < ý Ñ Êï32465 ? ��Þ ³*Û+ �- äwé < ^ á � ê . < ^ Þ Ç q ³* + �- . < ý Ñ Ê ï Ë ���&7 8&:9��09)�����-"��� #*�� Þ ³*Û+ [ �- . <��+ '&�9M7! 8�+* P 8&3������&���&������;���'$<�����!�=* ÆTÇ5È ( ²É³ C ÷Ù y + [ z ( C �� 8&�937! '�=*P '&¬���+�'&��'&��������T�'�� �!���Ô�������57! 8�-���>����&5�8�!�����T�?9) ÷Ù�$$./�!&,*@�A9��'�+�!&,*-9) '���Z���+�<.' 8*+*@�,*-9) ÷´µ$ + '���B /�C�� 8*�9) '�5�*@���;�+ 8* + [( /�%� [( 9���b�&��� 8*D./�'���> E�!�79���&��)�%9� E�A�?9����>��&�*F�+�+�������!&�$!�� 8���� �"��� Þ ³* y + [- l +�- z � . < /� Þ ³* y � [- l � - z � . <G�+ '&�9) 8&��� 8&B���+�'&,��&��������T�%7! 8�+* P ����&µ�$ '���H�!�����+*Ô���!*+*� '� � �A�I���N�>���� J9��!&�*�£I ��4������;����Ù y6K + [ ïML � [ zÐ( F K Ù y + [ z�( ïNL Ù y � [ zÐ( $w4!�=O!./ � �A�����+�'���+���/�T�?9� P./��&��+��&<�����T�G9) ÷Ù����&:��&)���� '&��E�!��&�*��Q�A�G����&5�8�!�����T�H9) ÷Ù��!R&�b,&�$S�� 3�������T"��� (*@� +àÄ ÷´U�����!�=* Þ ³* y + ( l + [( z � . 8#�� 8&�9 7� '�=* P 8& ���+�'&��'&��������T�: /�G�A����+�'���+�N�'�T�#9) ?./��&�����&����;���Õ�������57! 8&��-�JI ��&���.'�;���?9)�¬���+�!���!&54� ��> '&����

Page 20: Calcul Stochastique

VW&����+�<9���.X�+����&(�!�(.8���A./���Y*@���).=Z���*F�+��"��� [!h�Ú¬£©�¨± £¢²¢¥¬���¨â�§��¨§©�°�ª��1¢¥ª�¨1­�¬���Å�¤�¦¡¤¥¬���¨ÊÅ;ÆUªYÏ�¤¥¨W¦§ª���­�ª�Å�ª�¢MÆÀ¤²�D¦¡��½��¡ £¢¥ªÚ¨Ë¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤²Ä]©�ª

«� ��ï�¡ �«�«�¬£�W¦�®4©�� °�¬£©�·�ª�°�ª��]¦"¸��§¬:¹±��¤¥ª����âª�¦�¢¥ª�¨�¾É.«2¬£¦¡Â�Ù�¨§ª�¨Ä.©�¤�«2ª��§°�ª�¦W¦¡ª��]¦ÅlÆU À ��§°�ª��AÄ]©lÆÀ¤²¢�¨�Æb �½�¤¥¦AÅ;ÆU©���ª=°� £�W¦§¤²��½� £¢²ª��\ ÷´ê`î(] ÷3^ì6¬£¤¥¦³�Lý×�&�z��º#»�©��½¸¹�²Ü`°�¬�©6·�ª�°�ª��D¦�¸��§¬:¹±��¤²ª��³ª�¦3�LÖ��&�ª»¡¢¾��¢�ñ¾©��³«��W¬6­�ª�¨W¨§©�¨¶¸¹�ÑÜ[ £Å� �«�¦¡���ÛÌ�«�ª�©�¦�Å���í���¤²�±¢MÆÀ¤²�D¦§��½��§ £¢²ªÚ¨W¦¡¬.­ÃÂ� £¨Ë¦¡¤¥Ä.©�ª°�UÞ �» Ö�Í + ýóͧ�§»¡¢¾��¢�ñ�Å�Ù�¨�Ä]©�ª�Þ ñ» Öb�Í + Îl/Ú½Û � «l�À¨����:¶�ª�«��§¬.­�ª�¨§¨W©�¨3�LÞ �» ÖWÍ + ý­Í��ª»¡¢¾��¢�ñ¾ª�¨W¦�©���ª °� £�W¦§¤²��½� £¢²ªE¨§¤-���¡Þ ñ» Ö°�Í + Î /Ú½Û �6Éʪ�¦W¦¡ª�­�¬���Å�¤�¦¡¤¥¬����;ÆUª�¨W¦1­�ª�«2ª���Å� £�D¦A«� £¨�����­�ª�¨§¨§ £¤²�Wª£�`_�ª�°ï £�WÄ]©�¬���¨��]¦§¬�©�¦§ª�Ò,¬�¤¥¨��Ä]©�ª³¢Ñ ¯­�¬���Å�¤�¦¡¤²¬£�H� � Þ ñ» Öb�Í + Î / Ú½Û ª�¨W¦���Ä.©�¤¥·� £¢²ª��D¦¡ª�®E�

� Ç��¡  _���,a »¡© ñ�� ¿�q �» Ö�Í + ý­Í  � Ê / Ú½Û ó

ª8¦ÚÄ]©�ª���Å� ���¨±­�ª³­? £¨±¬��$ ¯¢MÆÀ��½D �¢²¤¥¦§�;�

�cbd Ç q ñ» Ö�Í + ý­Í Ê �'ef Æ���Ç q ñ» Ö �Í + Î Ê È ''gih�j�*kTl�m:nSo8pinSo8qsr�t0r�mJm8piuQt:v`r�wMpiuQtxo0r�l�m7vzy$uSmI{�|�l�}`l�o0~�qs~�l g)� hâäã�å]ã+� æèùäôgïCî¾ô ò öW��ë��� p$�Sm>y${6{spiu`mHwy$q6uQtxl�uSy$uQtGq6uQtxo0p�vS�Sq6o0lI�Su�~<y${6~��S{RvSq��W�Fr�o0l�u`txq6l�{zm8�SoG~�l�mGqsuQtxr��ioxy${6l�mm'txp�~��zy$m8t0qs�Y�Sl�m h�� u�y$n`n�l�{s{sl(~�l�~<y${6~��S{��X~<y${6~��S{Dv%|��=t0�,��l!t:{�|�p$�`txq6{Dl�m8m0l�uYt0qsl�{El�u�l�m8t:{�y�=�Fpio0w��`{sl(vD|��=t0�,� h� y��Fpio8w��S{sl7v%|;�=tx��v`piuSuSl,��l�u�nzy$o8t0qs~��S{sq6l�o��Q{sy��@y b ~�piu1vSl:vSq6��r�o8l�uS~�qsl�o ¢ä�¦ á �Lý×�&�m8q á l�m8tI�SuSl:�FpiuS~�t0qspiuvSl���}�FpiqsmG~�piuQt0qsu Ô wMl�uQtJvSq��Dr�o0l�uQt0q�y$�S{6l h � |�l�}�l�wMnS{sl�m8�Sq6�,y$uQtnSo8pi�`�$l>�Y�Sl>{slPnSo8pi{spiu`�il�wMl�uQt�uzy, +�Rv`��~<y${6~��S{�vSq��Dr�o0l�uQt0qsl�{��Sm8�Sl�{�l�m8t��ipi�Sr>¡({+|;r�~��Sl�~ h¢��`nSn�p$m0piuSm£���`l{+|;piu¤�il��`qs{s{6lN�XvSq6��r�o8l�uS~�qsl�o'� ¢�¦ ýõ�� l!t�{+|;l!}�nSo8qswMl�o�l�u¥�Fp$uS~�t0qspiuvSl�� + ý×� � hI¦ p$�So��`uSl¤�Fp$uS~�t0qspiu á#§W¨8© v`q6��r�o0l�uQtxq�y,�S{slªuY�S{6{sl«l�u­¬`�Jpiu­y á#§F¨8© �SÆ$ Þ`®» á#§ Î ©:¯á�§ Î © + Î�Æ $ Þ`®» á#§ Î © + á#§ Î © hz° y$uSm:{sl�m7~�y$m7vS��wMpi�`�$l�wMl�uQt(�`o0p)±IuSqsl�u�l!t(vSl{�|�q6uYt0r��io0y${sl²m'txp�~��zy$m'txqs�Y�Sl£piuªuSl�n�l��`t²y<�ip$qso7�SuSl��Fp$o0w��S{6l�v`�ªw�³�w�l²tX´�n�l#µ ýõ�®�¶$ Þ ®· ý¤¸ + ý¤¸�h�¹ uºl���l�t<�Ev%|�y$nSo8»�m�~�l1�Y�SqGn`o0r�~�r�vSl,� Þ ®· ý¤¸ + ý¤¸ l�m'tN�SuSlwy$o'txq6uS�Qy${6l¼ ~<y$o � � Þ`®· ýõ�¸ +�½ /¿¾�ÀÂÁ �%uY�S{6{slNl�uÄÃ�r�o0p h ¢�qHl�{6{sl�r!t�y$q�t�r��Qy${6lÅ¡ ýú�® l�{6{sl�m8l�o0y$q6tn�pim0q�txq��il$��l�tM�SuSl�w�y$o'txqsu`�Qy${sl�uY�S{s{6l1l�uƬÇuSl3n�l��`tų�t0o0l3n�pim0q�txq6�$l1�Y�Sl3m0qJl�{s{sll�m8tuY�S{6{sl h

Page 21: Calcul Stochastique

VW&����+�<9���.X�+����&(�!�(.8���A./���Y*@���).=Z���*F�+��"��� È��kTpiwMw�l�uxÉ ~�p$uSm3nzy$o�nSo8r�~�q6m0l�oÊ{syºvSr�Ëzu`q6txq6piuÌvSl«{�y¥~�{�y$m8m0l«vSl«nSo0p�~�l�m0m8�Sm�n�pi�So{sy$�Y�Sl�{6{sl�piu3n�l��`t7r�uSpiuS~�l�o7{�y£�Fpio8w��S{sl(v%|��=t0� hÍ�ÎQÏ#ÐEÑWÒ�Ñ@Ó�ЭÔRÕ×ÖCÕ6ØÚÙ%Û�Ü+Ý!Þzß §�à�á0â�á�§Fâ ® © ®�ã · áx䣩Iå Þ�Ý�æXç`è�é�Ý#ç�êxÛ$ë�èQë�ÜWìíÜsæ)îJï å ÞzÜCðEñ å ÞDÝò ìíß@ê8è$ß�Ü+Û�ÞªÝ!ß § ý ® © ®�ã · å Þ â ®'ó ïÛ å�ô Ý!ïÝ!Þzß�ë�êxÛ�õHÞzÜ+Ý!Þ�ö#÷>Þ�è!çQçzÝ!ìWìsÝ nSo8p�~�l�m0m8�Sm>v%|;�=tx��øå Þç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ §Wù ® © ·0ú ® úQûýü ô è$ìsÝ å êxæ£ðQè$Þ`æIþÿßXÝ!ì�� å Ý��

ä çDö�æ�ö�� ¨��� ù ® ¶ ù · ¾� ®· � ¸�� ½ ¾� ®· � ¸����¤¸ áè ô Ý�é��ó ù · â ·�� ïÝ�æ å ê8èQë�ìsÝ�öó § � ® © ·0ú ® úQû Ý!ß § � ® © ·0ú ® úQû ð�Ý�æJç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ�èQðQè!ç�ß/î�æ ü â ® öó�� û·�� � ¸ � � ½�� ¾�À ä çDö�æ�öó�� û· � � ¸ � � � ½�� ¾�À ä çDö�æ�ö

� un�l���t>vSr�w�piuQt0o0l�o ¼ �$piqsoPl!}�l�o0~�q6~�l gig Á {slIo0r�m0�S{�t�y,tGm0�Sq��,y$uQt<�Y�Y�Sq�n`o0r�~�qsm8l({+|;�SuSq6~�q�txrvSl�{sy�vSr�~�piw�n�pim8q6txq6piu�nSo8r�~�r�vSl�uQt0l h����Ó��HÓ� <ÑWÒ�ÑFÓ�ЭÔzÕ×ÖCÕ"!ÚÙ%Û�ÜWß §$# ® © ·0ú ® úQû Ý�æ!ß å ÞDÝ�ïMè$ê�ß@ÜWÞ�%Qè$ìsÝ�é�Û�Þzß�ÜWÞ å Ý�ßXÝ!ìWìsÝ&� å Ý��

# ® ¶ ®· � ¸'� ½ á è ô Ý�é ä çDö�æ�ö á û· � � ¸ � � ½�� ¾�À áè$ìsÛ�êxæ�� ä çDö�æ�ö�� ¨(��Iá�# ® ¶ ¬*)+ Ý�é!ÜGÝ!Þzß@ê8è-,WÞDÝ.� å Ý/�

ó10 è«ð�î�é�Û�ï(çzÛ)æ!ÜWß@Ü+Û�ÞÆðEñ å Þªç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ1ðEñ 2�ß'3«Ý�æ!ß å ÞzÜ4� å Ý�ö + Ý5� å Ü>æ!Ü6%$ÞzÜ ò Ý7� å Ýæ!Ü-�ù ® ¶ ù · ¾ ®· � ¸�� ½ ¾ ®·7� ¸'���¤¸ ¶ ù98· ¾ ®· � 8¸ � ½ ¾ ®· � 8¸ ���«¸è$ìsÛ�êxæ��

ù · ¶ ù98· � ä çDö�æ�ö � ¸ ¶ � 8¸ � ½;: � ä çDö;çDö � ¸ ¶ � 8¸ � ½;: � ä çDö;çDöó ÙRÜ §Fù ® © ·0ú ® úQû Ý�æ!ß å ÞDÝ�ïMè$ê!ß@ÜWÞ�%Qè$ìsݲð�ݲì�è=<<Û�ê�ïÝ ù · ¾ � ®· � ¸>� ½ ¾ � ®· � ¸'�*�«¸ øè$ìsÛ�êxæ � ® ¶ ¬ � ¨ : � ä çDö;çDöWö

Page 22: Calcul Stochastique

VW&����+�<9���.X�+����&(�!�(.8���A./���Y*@���).=Z���*F�+��"��� È�[� y��Fpio8w��S{6l(v%|;�=tx�NnSo8l�uSv�{sy��Fpio8w�l:m0�Sq��$y,uYt0l ¼ u`pi�Sm>{�|�y$v`w�l!t0txp$uSmTm0y$uSm>vSr�w�p$uSm8t0oxy@?t0qspiuªl!t²uSpi�`m²o0l�uQ�$p�´$piuSm�¡BA CTpi�EDFD G#n�pi�So��Su`l�vSr�wMpiuSm'txo0y,txq6piuªr�{6r�wMl�uQt�y,qso0l�vzy$uSm{6l²~<y$mIvS�Ê�So0p)±IuSq6l�uÊpi�Ê¡HA I�¢JDFD GCn�pi�`oJ�SuSl�vSr�wMpiuSm'txo0y,txq6piu�~�piwMnS{6»�txl Á µK.L ÎYÓ;�NM*OQP¥ÔzÕ×ÖEÕ@ÔSR¿Ù%Û�ÜWß §Fù ® © ·0ú ® úQû å Þç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ�ðEñ 2�ß'3T�

ù ® ¶ ù · ¾ ®· � ¸>� ½ ¾ ®· � ¸��*�«¸ áÝ!ßVU å ÞDÝW<<Û�ÞDé!ß�Ü+Û�ÞÇð�Ý å-X <<Û�Üsæ�é�Û�Þzß@ÜWÞEY�ïÝ!ÞzßTð$Ü Z�î!êxÝ!Þzß@Ü@èQë�ìsÝ ø Û�Þ«è[�U §Fù ® © ¶ U §Fù · © ¾ ®· U 8F§Wù ¸ © � ù ¸%¾]\^ ®· U 8 8W§Fù ¸ © � � ù�á0ù`_ ¸Û@a ø ç`è$ê�ð�î ò ÞzÜWß�Ü+Û�Þb�

� ù�á0ù`_ ® ¶ ®·5� �¸ � ½ áÝ!ßS� ®· U 8W§Fù ¸ © � ù ¸ ¶ ®· U 8W§Fù ¸ © � ¸'� ½ ¾ ®· U 8W§Fù ¸ © � ¸>���«¸ )c�Ý�ï d!ïݲæ!Ü §W¨�áfe�©[g U §F¨�á>e�© Ý�æ!ß å ÞDÝW<<Û�ÞDé!ß�Ü+Û�Þ¤ð�Ý åhX <<Û�Üsæ£ð$Ü Z�î!êxÝ!Þzß�Ü@èQë�ìsÝ�Ý!Þ e Ý!ßå ÞDÝ/<<Û�Üsæ(ð$Ü Z�î!êxÝ!Þzß�Ü@èQë�ìsÝ:Ý!Þ ¨ ø é�Ý�æ(ð�î!ê!Ü ô î�Ý�æ(î!ß=è$Þzß?é�Û�Þzß�ÜWÞ å Ý�æ�Ý!Þ §F¨�á>e�©&i Û�Þ3ð$ÜWß�ðQè$Þ`æé�Ý�é0è�æ&� å ÝjUÌÝ�æ!ßTð�Ý�é!ì�è�æ�æ)Ýlknmpo �fq ø Û�Þ¤è[�U §F¨�á8ù ® © ¶ U § ¬ á8ù · © ¾ ®· U 8¸ § ½ á8ù ¸ © � ½¾ ®· U 8r § ½ á0ù ¸ © � ù ¸%¾ \^ ®· U 8 8rsr § ½ á0ù ¸ © � � ù�á0ù`_ ¸ )

tWuwvju4x y7z={/|~}��'{����n�w�l�*�'�'�������*���W���b{��'���s�T�E|��j��{��&�F�@���kTpiwMw�l�uxÉ ~�p$uSm²nzy$o�t0oxy$q�txl�o(�SuÄl�}�l�wMnS{slNr�{sr�wMl�uQtxy$qso8l h ¢�q U §we�© ¶ e � l�t ù ® ¶� ® �Spiu�y � ¸ ¶ ¬Nl!t � ¸ ¶ \ �SvSpiu`~#µ

� �®¶ ^ ®· �«¸>���«¸-¾ \^ ®· ^-� ½ )� u3pi�`t0qsl�uQt-µ � �®�� ¨ ¶ ^ ®· �«¸>���«¸ )kTpiwMwMl���� � ®· � �¸ � ½��7� ¾�À �zpiuÊo0l!txo8pi�`�il�{sl²�@y$q�tI�Y�Sl � �® � ¨ l�m8t:�SuSl�wy$o'txq6u*?�Qy,{sl h

Page 23: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± È`Ȳ p$�Sm7y${s{6piuSm>w�y$qsuQt0l�uzy$uQtIuSp$�SmIqsuQtxr�o0l�m8m0l�o(y$��}3m0pi{6�`txq6piuSm §�³ ® © ®�ã · vSl#µ

³ ® ¶ e · ¾ ®· ³ ¸ §4´ � ½ ¾1µ����«¸ © ) ¼ gih°¶iÁ� u3r�~�o0q6tIm8pi�`�$l�uQt�~�l�tX´�n�l�vD|�r����Sy,txq6piu3m0pi�SmI{syN�Fp$o0wMl#µ

� ³ ® ¶ ³ ® §4´ � ¨ ¾1µ·�*� ® ©Dá ³ · ¶ e · ) ¼ gih D ÁkTl�{�yIm0qs�$uSq6Ëzl?�Y�SlP{+|;piu�~��Sl�o8~��Sl>�Su�nSo0p�~�l�m0m0�`mHy$vzy$n�txr §$³ ® © ®�ã · txl�{Y���`lT{sl�mCqsuQtxr��ioxy${6l�m� ®· ³ ¸�� ½ l�t � ®· ³ ¸����«¸ y$qsl�uQtI�Su�m8l�uSm��Rl�tI�Y�Sq-�ir�o0q6ËSl$�zn�pi�SoJ~��zy$�Y�Sl ¨ µä n h m h ³ ® ¶ e · ¾ ®· ´/³ ¸'� ½ ¾ ®· µ ³ ¸>���«¸ )¸ y$q6m0piuSm�t0pi�`t�v%|�y$��p$o0vÆ�Su ~�y${s~��S{J�Fpio0wMl�{���n�pim0p$uSm ¹ ® ¶»º½¼F¾ §�³ ® © p-¿ ³ ® l�m8t��SuSlm8pi{s�`t0qspiuÇv`lM{�|�r��Y�zy,txq6piu«nSo0r�~�r�vSl�uQtxl h ³ ® l�m't��`uÄnSo8p�~�l�m8m0�Sm�v%|��=t0��y<�$l�~ � ¸ ¶ ´/³ ¸l!t � ¸ ¶ µ ³ ¸�hEÀ nSnS{6qs�Y�Spiu`mJ{�y£�Fpio8w��S{sl(v%|��=t0�¡ U §�e�© ¶Áº"¼F¾ §we�© ¼ y,��wMpiqsu`mT�Fpio0wMl�{Â?{6l�wMl�uQt>~�y$o U §�e�© u%|;l�m'tInzy$m>vSl(~�{�y,m0m0l k ��à Á!hS� upi�`txq6l�uQtJl�u�m0�SnSn�pim0y$uQtI���`l ³ ® l�m8tn�pim0q�txq���µ

º"¼-¾ §$³ ® © ¶Áº½¼F¾ §�³ · © ¾ ®· � ³ ¸³ ¸ ¾ \^ ®· � \³ �¸ µ � ³ �¸ � ½ ám8piq6t��Sl�uÊ�`txq6{sq6mxy$uQt ¼ gih D Á µ¹ ® ¶ ¹ · ¾ ®· � ´ � µ �§Ä ^ � � ¨ ¾ ®· µ���� ® )� u3l�uÊvSr�v`�Sq6t7�Y�Sl#µ

¹ ® ¶Åº"¼F¾ §�³ ® © ¶Åº½¼F¾ §$³ · © ¾ � ´ � µ �©Ä ^ � ¨ ¾1µ�� ® )�X{-m8l�w��S{6l²vSpiuS~��Y�Sl#µ³ ® ¶ e ·;ƧÇ*È �É� ´ � µ �©Ä ^ � ¨ ¾1µ/� ® �m8piq6t��`uSlÇm0pi{6�`txq6piuývSl«{�|�r����Sy,txq6piu ¼ g$hª¶ Á�hËÊ r�o0q�ËzpiuSm�o8qs�ip$�So0l��Sm0l�w�l�uYt3~�l�{sy h ³ ® ¶U §W¨�á � ® © pF¿²µ U §F¨�áfe�© ¶ e ·�Æ©Ç*È �F� ´ � µ � Ä ^ � ¨ ¾�µ e � )� y��Fpio0w£�S{sl�vD|��=t0��vSp$uSuSl#µ

³ ® ¶ U §F¨�á � ® ©¶ U § ¬ á � · © ¾ ®· U 8¸ § ½ á �«¸ © � ½¾ ®· U 8r § ½ á �¤¸ © ���«¸-¾ \^ ®· U 8 8rsr § ½ á �¤¸ © � � � á � _ ¸ )

Page 24: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± È�ÌÍ y,qsm��`~�piwMw�l � � á � _ ® ¶ ¨ µ

³ ® ¶ e · ¾ ®· ³ ¸ � ´ � µ �§Ä ^ � � ½ ¾ ®· ³ ¸'µ·�*�«¸-¾ \^ ®· ³ ¸'µ � � ½ ál!t7ËSuzy${sl�w�l�uQt-µ³ ® ¶ e · ¾� ®· ³ ¸ ´ � ½ ¾� ®· ³ ¸'µ����¤¸ )

Î7P�OÐÏJ�hÑÓÒ�P ÔRÕ×ÖCÕ@ÔRÔ � uÊy$�`oxy$q�tJnS�3pi�`t0l�uSq6o ¼ l!}�l�o0~�q6~�l Á {6l�o0r�m0�S{�t�y,tIn`o0r�~�r�vSl�uQt(l�uy$n`nS{sq6���Sy$uQt:{syÅ�Fp$o0w��S{6l�v%|��=t0�1¡ ³ ® ¶ÕÔ §$Ö ® © ��y<�il�~ Ö ® ¶ §w´ � µ � Ä ^ ©/¨ ¾�µ/� ® ¼ �Y�Sql�m8t7�SuÊnSo0p�~�l�m0m0�`m:v%|;�=tx� Á l!t Ô §we�© ¶ e ·�Æ©Ç*È §we�© h� u���q6l�uQt(v`piuS~�vSl�v`r�wMpiuQtxo0l�o:{�|�l�}�qsm8t0l�uS~�l£v%|;�SuSl�m0pi{6�`txq6piu3vSl ¼ gih°¶ Á!h ² pi�Sm:y${s{6piuSmw�y$qsuQt0l�uzy$uQt�n`o0pi�`�$l�oÊ�Y�Sl«~�l�t8txl¤m0pi{6�`txq6piuýl�m8tÊ�SuSq6���`l hI¦ p$�So3~�l�{sy`�>uSp$�SmÊy${s{6piuSm�`t0qs{6qsm0l�oH�SuSl:nSo0pin`o0qsr!txr7�ir�u`r�oxy,{sqsm0y$uQtT{sy��=�Fpio0w£�S{slJv%|;qsuQt0r��io0y,txq6piu�nSy$oGnSy$o8t0qsl�m/�7vzy$uSm{6l²~<y$mIvSl�m7n`o0p�~�l�m8m0�Sm:v%|;�=tx� h����Ó��HÓ� <ÑWÒ�ÑFÓ�ЭÔzÕ×ÖCÕ�Ô�×Ø>ÙCÓ;�@OÚÒÜÛwPÞÝ[ß�Ñ@Ð�Ò)ÎSà;�NÏ`Ò�ÑFÓ�Ð1�ÜÏJ�7�ÜÏJ��Ò)Ñ4P� $ÕâáÄÙ%Û�Ü+Ý!Þzß ù ® Ý!ß¹ ® ð�Ý åhX ç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ:ðEñ 2�ß'3 ø ù ® ¶ ù · ¾ � ®· � ¸>� ½ ¾ � ®· � ¸'���¤¸ Ý!ß ¹ ® ¶ ¹ · ¾ � ®· � 8¸ � ½ ¾� ®· � 8¸ ���«¸ öÓã(ìsÛ�ê�æ��

ù ® ¹ ® ¶ ù · ¹ · ¾ ®· ù ¸'� ¹ ¸%¾ ®· ¹ ¸>� ù ¸'¾ � ù�á ¹ _ ®è ô Ý�é�ì�è�é�Û�Þ ô Ý!Þzß�Ü+Û�ÞÚ� å Ý��� ù�á ¹ _ ® ¶ ®· � ¸ � 8¸ � ½ )

Í�Î�O Ó�ÐÜ !Ò¬�NÏ`Ò�ÑFÓ�ÐÅä � uÊy`�zvD|�y$n`o0»�mI{syN�Fp$o0w��S{6l�v%|;�=tx�Jµ§Fù ® ¾ ¹ ® © � ¶ §Fù · ¾ ¹ · © �¾�^ � ®· §Wù ¸%¾ ¹ ¸ © � §Fù ¸-¾ ¹ ¸ ©¾ � ®· § � ¸-¾ � 8¸ © � � ½ù �® ¶ ù �· ¾�^ � ®· ù ¸>� ù ¸%¾ � ®· � �¸ � ½¹ �® ¶ ¹ �· ¾�^ � ®· ¹ ¸>� ¹ ¸%¾ � ®· � 8 � ¸ � ½ )° |;pF¿%�zl�uÊ�@y,qsmxy,uYtI{sy�vSq6��r�o8l�uS~�l�l�uQtxo8l�{sy�nSo0l�w�q6»�o0l²{6qs�iu`l�l�t7{sl�mJvSl���}Êm0�Sq��$y,uYt0l�m%µ

ù ® ¹ ® ¶ ù · ¹ · ¾ ®· ù ¸>� ¹ ¸-¾ ®· ¹ ¸'� ù ¸%¾ ®· � ¸ � 8¸ � ½ )

Page 25: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ÈSå

Í piuQtxo8piuSm��Ew�y$q6uYt0l�uzy,uYt��%{+|;�SuSq6~�q�txr£vD|��Su`l�m8pi{s�`t0qspiuÇv`lM{�|�r��Y�zy,txq6piu ¼ g$hª¶ Á�h ² p,txpiuSm�Y�Sl#µ³ ® ¶ e ·;ƧÇ*È �É� ´ � µ �©Ä ^ � ¨ ¾1µ/� ® �l�m8t��`uSl�m0p${s�`t0qspiuÊvSl ¼ gihª¶ Á l!t�m0�`nSn�p$m0piuSm(���`l §Fù ® © ®�ã · l�uªm8piq6t:�SuSlNy,�`txo8l hD� u��$y~��Sl�o0~��Sl�o(¡Ål!}�nSo8qswMl�oJ{sy��/vSq��Dr�o0l�uQt0qsl�{6{sl:m8txp�~��zy$m'txq6���`l!��vSl ù ® ³Ëæ m® hR¦ p$m0piuSmDµ

Ö ® ¶ ³ ·³ ® ¶ ƧÇ*È �É� � ´ ¾�µ � Ä ^ � ¨ � µ/� ® � á´ 8 ¶ç� ´ ¾èµ � l�t µ 8 ¶é� µ�hJÀ {6pio0m Ö ® ¶ Æ©Ç*È �F� ´ 8 � µ 8 � Ä ^ � ¨ ¾�µ 8 � ® � l�tT{sl(~�y${s~��S{�@y$q�tJnSo8r�~�r�vSl�wMwMl�uQt7nSo0pi���il����`l#µ

Ö ® ¶ \ ¾ ®· Ö ¸ §w´Ó8 � ½ ¾�µ 8 ���«¸ © ¶ \ ¾ ®· Ö ¸ �É� � ´ ¾�µ � � � ½ � µ����«¸ � )� uªn�l��`t²y${spio8m:l�}�nSo0q6w�l�o({�y��/vSq��Dr�o0l�uYt0qsl�{s{sl���vSl ù ® Ö ® �iofê$~�lN¡�{�yM�Fp$o0w��S{6l�vD|�q6uYt0r§?�io0y,txq6piu�nzy$oJnSy$o8t0qsl�mJn�pi�SoI{6l�mJnSo8p�~�l�m0m8�Sm7v%|��=t0�Jµ� §Fù ® Ö ® © ¶ ù ® � Ö ® ¾ Ö ® � ù ® ¾�� � ùªá©Öë_ ® )�X~�q+�SpiuÊy>µ

� ù�á©Öé_ ® ¶ � 7ì· ù ¸�µ����«¸ á � 5ì· Ö ¸pµ����¤¸ _ ® ¶Õ� ®· µ � ù ¸ Ö ¸�� ½ )� u3l�uÊvSr�v`�Sq6t7�Y�Sl#µ� §Fù ® Ö ® © ¶ ù ® Ö ® �É� � ´ ¾1µ � � � ¨ � µ���� ® � ¾ ù ® Ö ® §4´ � ¨ ¾1µ·�*� ® © � ù ® Ö ® µ � � ¨ ¶ ¬ù ® Ö ® l�m8t:vSpiuS~�r��Qy${-¡ ù · Ö · �S~�l��Y�Sq-l�uQtxo0yhí�u`l²���`l#µ� ¨�î ¬ á ä n h m h ù ® ¶ e · Ö æ m® ¶ ³ ® )� l�mInSo8p�~�l�m8m0�Sm ù ® l�t Ö ® r�t�y,uYt7~�piuQtxqsuY�Sm��z~�l�~�qCnSo0p$�`�il��Y�Sl#µä n h m h � ¨(î ¬ áHù ® ¶ e · Ö�æ m® ¶ ³ ® )� u���qsl�uQt:y$q6uSm0q%v`l�v`r�wMpiuQtxo0l�oI{�y�nSo8pin�p$m0q6t0qspiu�m8�Sq6�,y$uQt0l#µK.L ÎYÓ;�NM*OQP¥ÔzÕ×ÖEÕ@Ô�ï µ ø ´ î!ß=è$ÞzßTð�Ý å-X ÞDÛ�ïMë�êxÝ�æ�ê�î�Ý!ì�æ ø § � ® © ®�ã · î!ß+è$Þzß å ÞªïÛ å�ô Ý �ïÝ!ÞzßIë�êxÛ�õHÞzÜ+Ý!Þ Ý!ß � å Þ¤êxî�Ý!ìCæ!ß@ê�Ü+é!ß/Ý!ïÝ!Þzß�çzÛ)æ!ÜWß@Ü < ø ìWì?Ý X Üsæ!ßXÝ å Þ�ç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ�ð�Ý�2!ßp3å ÞzÜ4� å Ý §�³ ® © ·0ú ® úQû � å Ü ô î!ê�Ü ò Ý ø çzÛ å ê�ßXÛ å ß ¨��� �

³ ® ¶ e · ¾ ®· ³ ¸ §4´ � ½ ¾1µ����«¸ © )

Page 26: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ÈJð+ Ý>ç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ�Ý�æ!ßTð�Û�ÞzÞDî>ç`è$ê��

³ ® ¶ e ·;ƧÇ*È �É� ´ � µ �©Ä ^ � ¨ ¾1µ�� ® � )Î7P�OÐÏJ�hÑÓÒ�P ÔRÕ×ÖCÕ@ÔQÖ ñÌ� l�nSo0p�~�l�m0m8�Sm ³ ® ���`lN{+|;piu���qsl�uYt�v%|�l�}�nS{sq6~�q6t0l�o:m0l�o'��qsoxyv`l�wMp�v`»�{sl²m't�y$u`vzy$o0v�n�p$�SoI{sl�nSo0q×}3v%|;�Suªy,~�txq���ËzuSy$uS~�q6l�o h�� u�{+|�y$nSn�l�{6{sl�wMph?v`»�{sl²v`l.CG{�y$~sò1l!t:¢�~��Spi{6l�m h

ñ � pio8m0�Y�Sl ´ ¶ ¬`� ³ ® l�m't²�SuSl�wy$o'txq6uS�Qy${6l ¼ �ip$qso(n`o0pin�pim0q�txq6piu g$h°ó`h¤ó Á ��~�l£tX´�n�lv`l�n`o0p�~�l�m8m0�Sm7n�pio8t0l²{sl²uSpiw vSl�wy$o'txq6uS�Qy${6l(l!}�n�piuSl�uYt0qsl�{s{sl hÎ7P�OÐÏJ�hÑÓÒ�P ÔRÕ×ÖCÕ@Ô�ô ¢�piq6t�õU�SuÇpi�`�$l�o8t�vSl þ l�t §Fù ® © ·0ú ® úQû �SuÇn`o0p�~�l�m8m0�Sm²vD|��=t0��Y�SqR�ir�o0q6ËSl$�`n�pi�So?txp$�`t ¨(�� � ù ®Vö õ h ¢�q���v`l(nS{6�Sm�� U l�m't>�Su`l(�FpiuS~!txqsp$uvSl���}�Fp$qsm~�piuQtxqsuS÷SwMl�uQt(vSq6��r�o8l�uQtxqsy$�S{sl�vSl�{+|;pi�`�il�o8t�õ vSy$uSm þ ��piu�n�l��`t[ø8�Sm'txq�Ëzl�o:o0qs�$pi�So0l��*?m8l�wMl�uQt7{+|;l!}�txl�uSm0q6piu�v`l�{sy£�Fpio0w£�S{sl�vD|��=t0��vzy,uSmI~�l�~<y$mDµ

U §Wù ® © ¶ U §Fù · © ¾ ®· U 8@§Wù ¸ © � ù ¸%¾ \^ ®· U 8 8F§Fù ¸ © � �¸ � ½ )kTlJo8r�m0�`{6t�y�tHn�l�o0wMl�t?l�uMnSy$o8t0qs~��`{sqsl�o�v`lÜø8�Sm8t0q6Ëzl�oH{+|�y$nSnS{6qs~<y�txqsp$u�vSlJ{sy:�Fpio8w��S{slGv%|;�=tx�S�n�pi�SoJ�SuÊnSo8p�~�l�m0m8�Sm7m8txo8qs~!txl�wMl�uQt7n�pim0q�txq6�Cl!t7n�pi�`oJ{�y��FpiuS~!txqsp$u º"¼F¾ htWuwvjuwv ùj�T�ú|é�j�'{��n�W�h���]|��b�®�*�'�b��|û{��b���'�W�b�b{��'�'{

� y��Fpio8w��S{slMv%|;�=tx�Çm8l1�ir�u`r�oxy,{sqsm8l1y$��}¥~�y$m�pF¿º{syÊ�FpiuS~!txq6piu U vSr�n�l�uSv vSl1nS{6�*?m8qsl��`o0m(n`o0p�~�l�m8m0�Sm²vD|��=t0�1l�t({spio8m0�Y�Sl�~�l�m�nSo8p�~�l�m8m0�Sm�vD|��=t0��m�|;l!}�nSo0q6w�l�uQt�l�uª�Fp$uS~�t0qspiuvSl²n`{s�Sm8qsl��`o0m>wMpi�`�$l�wMl�uQtxmJ�So8p)±IuSqsl�uSm h kTl!t0t0l��$r�uSr�oxy${6qsmxy�txqsp$um0l²o8r��$»�{sl²��txqs{6l$��nzy$ol�}`l�w�n`{sl$�`n�pi�`o7{6l�mJwMp�v`»�{sl�mJvSl²t�y$��}3v%|;qsuQtxr�o0³�t7m8pinS�Sq6m8txq6�Y�Sr�m hÍ�ÎQÏ#ÐEÑWÒ�Ñ@Ó�ЭÔRÕ×ÖCÕ@Ô�üc÷>Þýè!çQçzÝ!ìWìsÝ â ® � ïÛ å�ô Ý!ïÝ!Þzß�ë�êxÛ�õHÞzÜ+Ý!Þ5ý � ð$ÜWïÝ!Þ`æ!Ü+Û�ÞzÞDÝ!ì å Þç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ ü ô è$ìsÝ å êxæ�ðQè$Þ`æTþnþ ø § � ® © ®�ã · èQðQè!ç�ßXî ü â ® ø è ô Ý�é � ® ¶ § � m® á )�)�) á � þ® © øÛ@aÊìsÝ�æ § ��ÿ® © ®�ã · æ)Û�ÞzßGð�Ý�æ â ® � ïÛ å�ô Ý!ïÝ!ÞzßWæ�ë�êxÛ�õHÞzÜ+Ý!Þ`æ�æ!ß+è$Þ�ðQè$ê8ð�æ�ÜWÞ�ð�îXçzÝ!Þ�ðQè$ÞzßFæ�ö� u3�ir�u`r�oxy,{sqsm8l²vzy$uSmI~�l�~�y$vSo8l�{sy�uSp$txq6piu�vSl�nSo8p�~�l�m0m8�Sm(vD|��=t0� hÍ�ÎQÏ#ÐEÑWÒ�Ñ@Ó�ЭÔRÕ×ÖCÕ@Ô�� ÷>Þ«ð$ÜWß�� å Ý §Fù ® © ·0ú ® úQû Ý�æ!ß å Þç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å æ�ðEñ 2�ß'3£æ!ÜF�ù ® ¶ ù · ¾ ®· � ¸�� ½ ¾ þ�

ÿ�� m ®· � ÿ¸ ��� ÿ¸Û@a=�

ó � ® Ý!ßPìsÝ�æ § � ÿ® © æ)Û�ÞzßTèQðQè!ç�ß/î�æ ü §Fâ ® © ö

Page 27: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± È��ó � û· � � ¸ � � ½�� ¾�À ä çDö�æ�ö�öó�� û· § � ÿ¸ © � � ½�� ¾�À ä çDö�æ�ö�ö

������ ������������ ���0��� ��! ��"�#�$�� �%&������� ��'�(%���) � �# � � µ����Ó��HÓ� <ÑWÒ�ÑFÓ�ЭÔzÕ×ÖCÕ�Ô�ØÚÙ%Û�Ü+Ý!Þzß §Fù m® á )�)�) á0ù+*® ©-, ç�ê�Û)é�Ý�æ�æ å æ�ðEñ 2�ß'3T�

ù ÿ®P¶ ù ÿ· ¾ ®· � ÿ¸ � ½ ¾ þ�. � m ®· � ÿ o .¸ �*� .¸è$ìsÛ�êxæ�æ!ÜÜU Ý�æ!ß å ÞDÝË<<Û�ÞDé!ß@Ü+Û�Þ ð�Ý åhX <<Û�Üsæ�ð$Ü Z�î!ê�Ý!Þzß@Ü@èQë�ìsÝNÝ!Þ e Ý!ß å ÞDÝË<<Û�Üsæ�ð$Ü Z�î!ê�Ý!Þ �ß@Ü@èQë�ìsÝ�Ý!Þ ¨ ø é�Ý�æ�ð�î!ê�Ü ô î�Ý�æ�î!ß+è$ÞzßIé�Û�Þzß@ÜWÞ å Ý�æ�Ý!Þ §F¨�áfe�© �U §F¨�á0ù m® á )�)�) á0ù *® © ¶ U § ¬ á0ù m· á )�)�) á8ù *· © ¾ ®· / U/ ½ § ½ á0ù m¸ á )�)�) á0ù *¸ © � ½¾ *�

ÿ�� m ®· / U/ e ÿ § ½ á8ù m¸ á )�)�) á0ù *¸ © � ù ÿ¸¾ \^ *�ÿ o . � m ®· / � U/ e ÿ e . § ½ á0ù m¸ á )�)�) á0ù *¸ © � � ù ÿ á8ù . _ ¸

Û@a=�ó � ù ÿ¸ ¶ � ÿ¸ � ½ ¾10 þ . � m � ÿ o .¸ ��� .¸ øó � � ù ÿ á0ù . _ ¸ ¶ 0 þ 2 � m � ÿ o 2¸ � . o 2¸ � ½ ö

Î7P�OÐÏJ�hÑÓÒ�P ÔRÕ×ÖCÕ@Ô�! ¢ ) §Wù ¸ © ·0ú ® úQû � � § ¹ ¸ © ·0ú ® úQû %��� � ���!�43 � ��456�!%�%���%��7�98 �;:`� �� � �!� � ��< Ë �)$ =��� ��'�!�$���!�'�! � �$�?>@56 ���5BA�� �DC ��� ù � �˹ ¼FE ���G�H�9�� '�I �� � < � ù�á ¹ _ ¸0Á� �J &���!%G »!K �$�!%&%���) � �# � �6% µñ � ùªá ¹ _ ® �!% �7� )$��)$ �<L�#)$ ��M� � % ´ �'< � �) E ���JNñ � � ì· � ¸�� ½ á0ù ì _ ® ¶ ¬ %�) §Wù ® © ·0ú ® úQû �!% � �� � ��456�!%�%���%O���P8 ��: Nñ � � ì· � ¸'��� ÿ® á � ì· � 8¸ ��� .® _ ® ¶ ¬ %�)RQ-S¶UTñ � � ì· � ¸'����ÿ® á � ì· � 8¸ ���ëÿ® _ ® ¶ � ®· � ¸ � 8¸ � ½V � ��� ����< Ë �) � )��� � �6 ��'� � ���W �� � �����X#�! ����Y��# �����$�Z���[5! ��45BA�� � ���� � �<6�\�]�# �%^�_�� �� � ��%�) � )��# � �<65!<6���! � �JN

Page 28: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± È�`aIb;c dfe'gYhji�kml^nporqYktsvuxwzyGnZi�kmy&{6{myGo|o7i�l'}�~Yh^o7i�k6e�g�yGo

²M�#��%O�LX#�� �%O< � ����)�<I�! +��< � �#)$�H�]�J� � �# �� K �� � A�� ��N9��N�� �$�!%-%����$� � )$�� �%G���I�H�9< E �]� ?� )��� µù'� ¶ e ¾ �· ù ¸m� ´ � ½ ¾1µ����«¸�� )� � �6� � 5!�� �%�)���<! ��6 G���!%-< E �]� � )��� �%&�7�P�� ��I��# ��'� � ����% K <! �<6 ;�#�$�!% µ

ùZ� ¶ Ö ¾� �·\� � ½ á0ù ¸��>� ½ ¾� �· µ�� ½ á0ù ¸��>���«¸ ) ¼ ��NP� Á� U� ��� �!���$��5!�6%�< E ��� � )$�� �%'���!%>@< E ��� � )$�� �%Z��)$��<! ��! � )$�!�$���!%�% � ��5BA]�#% � ) E ���6% C N��M ��%������ � )��� ���� ¼ ��N�� Á � �� � �\���� ��������'>@��)$����%�)$�� C N V �6%�< E �]� � )��� �% � �6 ��'� ��� �! � ���56�� �% � ���)$ ����_� � ��� � �# � ���6%��'�4� » ���6%������#5 � )��%z� � )��$�!%��! Ë ]�# �56�!%!�#�#��%�%�)���)��6 ����# �% E ������P�� �5BA��! �5BA����j������<!�$)�%��! ����!%?�#5 � )$�% E ���G���!% � �J�43Z�7�9)� � <6 �� � NS²M�#��%��#���$�� �%=< � ����)$�! E ���6� E ���!% � �� � �)$< � <!%G���!%G%������ � )��� �%x���I5!�!%G< E ��� � )$�� �%!NtWuH� u�t ���O���T�� /|û{Á�n�¢¡h�4£¤� �<65!)�%��� �%6� � ��� � �7�P�#�¥�� �����5!� E ���j�H�9�� Y�! � �6 �� � �J &�� ��j%����$� � )$�� ���� ¼ �#N�� Á NÍ�ÎQÏ#ÐEÑWÒ�Ñ@Ó�ЭÔRÕ½ô%Õ@Ô ÷>Þ¥æ)Ý�ç�ì�è�é�ÝÅæ å ê å ÞÌÝ�æXç`è�é�Ýð�Ý�ç�êxÛ$ë�èQë�ÜWìíÜWß/î � à�á;¦�áxä � ï å ÞzÜðEñ å Þ ò ìíß@ê0è$ß@Ü+Û�Þ � â-� � � ã�§ ö(÷>ÞÄæ)Ýð�Û�ÞzÞDÝ ø �'¨ þ�© : þ g þ ø µ ¨ þ�© : þ g þ øÖ å ÞDÝ ô è$ê�Ü@èQë�ìsÝ�è$ìsî0è$ß/Û�ÜWêxÝ â § � ïÝ�æ å ê0èQë�ìsÝÇÝ!ß �$� � � � ã�§ å Þ âM� � ïÛ å�ô Ý!ïÝ!Þzß�ë�êxÛ�õ �ÞzÜ+Ý!Þ�ö�ªSêxÛ å�ô Ý!ê å ÞDÝ�æ)Û�ì å ß�Ü+Û�Þ ü ì0ñ îf� å è$ß@Ü+Û�Þ i « ö¢¬ q æ!Ü6%$ÞzÜ ò Ý1ß�êxÛ å�ô Ý!ê å ÞÄç�êxÛ)é�Ý�æ�æ å ææ!ßXÛ)éB­`è�æ!ß�Ü4� å Ý � ù'� � � ã�§ é�Û�Þzß@ÜWÞ åMâ-� � èQðQè!ç�ßXî ø � å Ü ô î!ê�Ü ò Ý��ó¯® Û å ê�ßXÛ å ßx° îr± ø ìsÝ�æ�ÜWÞzßXî$%$ê0è$ìsÝ�æ � �§ � � ½ á0ù�² �>� ½ Ý!ß � �§ µ�� ½ á0ù�² �>��� ² Û�Þzß å Þæ)Ý!Þ`æ��

�§ � � � ½ á0ù�² � � � ½�� ¾�À Ý!ß �§ � µ�� ½ á0ù�² � � � � ½�� ¾�À ä çDö�æ�ö )ó � ùZ� � � ã�§ ô î!ê�Ü ò Ý i « ö¢¬ q ézñ Ý�æ!ß �'ü-� ð$ÜWêxÝ/�

�¥° î³± ä çDö�æ�ö ùZ�R´ëÖ ¾ �§ � � ½ á8ùW² �ú� ½ ¾ �§ µ�� ½ á0ù�² �J��� ² )Î7P�OÐÏJ�hÑÓÒ�P ÔRÕ½ô%Õ½× � " �� � ����� ����6�����6���6 � ¼ �#N�� Á %�����%-�_����� �����µ¶ � ù'�·´ � � ° á0ùZ� �ú� °R¸ µ'� ° á0ùZ� �J��� �ù § ´ Ö

Page 29: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ¹�º»R� � A�<6�� �¼6���Z%���)$XJ�# � ���� � ��'���!%^5!�� ���) � )��� �%j%���½'%;�# � �6%%��� � � � µ � ���� ^�LX#��)� �� p �<6%���� � � � ���P�t3�)$% � �! �56�^� � ���P�� �)�5!) � < � ���� I¾ ��N�� ¿mNK.L�À Ó;�NM*OQP¥ÔzÕ½ô-Õ½ïÚÙRÜ � Ý!ß µ æ)Û�Þzß²ð�Ý�æ=<<Û�ÞDé!ß@Ü+Û�Þ`æ�é�Û�Þzß@ÜWÞ å Ý�æ ø ßXÝ!ìWìsÝ�æ � å ñ ÜWì>Ý X Üsæ!ßXÝ� � ¸jÁ ø è ô Ý�é��« ö � � � ° áfe � � � � ° á� � � ¸ � µ�� ° áfe � � µ�� ° á; � � � � � e �  �à ö � � � ° áfe � � ¸ � µ�� ° áfe � � � � � \ ¸ � e � �Ä ö � � Ö � � � ¸IÁè$ìsÛ�êxæ ø çzÛ å ê3ß/Û å ß � îű ø i « ö¢¬ q èQð$ïÝ!ß å ÞDÝ�æ)Û�ì å ß@Ü+Û�Þ å ÞzÜ4� å Ý�ðQè$Þ`æÊì0ñ ÜWÞzßXÝ!ê ô è$ìWìsÝÆ ±`áf�GÇ ö/c�Ý>ç�ì å æNé�Ý!ß�ßXݲæ)Û�ì å ß�Ü+Û�Þ � ù�² � § ú ² úQû ô î!ê�Ü ò Ý/�

�ÉÈËÊ�Ì È§ ú ² úQû � ù�² � ��Í � ¸jÁ0 ñ å Þ]Î+émÎWß/î�æmÎ6%$Þ]Î ò Ý.� å Ý�æmÎ � ùZ� � § ú � úQû Ý!ß � ¹ � � § ú � úQû æÐÏ�ÞzßJð�Ý åhX æÐÏ�ì å ßFÎHÏ�Þ`æ£ð�Ý i « ö¢¬ q øè$ì�Ï�êxæ�� ä çDö�æ�ö�� ±�� ° ��Iá ùZ�7´ ¹ � )Ñ À OÓÒ¥ÔÜ mÕ¬�NÏ�Õ×Ö�Ò�ÔÅä�Ø ��«4�¥�@«ÚÙÛjÜÞÝ�ß�àGá@â¢ã�ä�áHä�åçæWè �$��¢�±>«$«4¡h«Ó¢��§����£°��¡j±���éRê�ë⦥ N¦ è �Hìmí��$±�¨�¯�¡N±�îðï�ñ�ò×óáHä#åõô àGá ô ö@÷+øYù�ú+ûÛü ¡N�N£J ¬±T¨ª¦��N�§� ü ±-ý à ý Ü�þ î"ÿ$ñ�ò×ó ã�ä�á�ä#å ô à á ô ö�� ±>«4�/¡N��±f« è ¦¥¢'±��§±f¢p�$�§�$£¤±>¨É�N�§� ü ìW¢'� üxè ¨°±'���Ø �§¡N�( Ðì ü �§���$��±>�[¨�� ±��£ª«4��±��h¢'±l�@�§¡@«(¦©¨°¨¤�¥�@«W¡N��£°¨¤£ª«4±>�Ë¡@� ¦©��§¡ ü ±>���Ë �� ± �¬£°«4��±>�@¢'±b �� ¡N� è �§£°�¥�����¬±è �¥¡N�l¡@�N±.¦ è×è ¨°£°¢>¦s��£°�§�H¢��§�����®¦§¢'�$¦§�¥�$±����¬�§£¤����¨�� ¦ è è ¨¤£ª¢�¦©��£°�§�H¯�¡N£�� ¡N� è ���¬¢'±f«�«�¡@« ß�à á â ã�ä�áHä�妧«$«4�¬¢�£¤±V¡N� è �$��¢�±>«$«4¡h« ß � ß�à^â á â ã�ä�á�ä#å  Ðì�@�N£ è ¦§��Ù

� ß�à�â ê Ü�� ù êã�� ß��mæ�àGá â���� ù êã! ß��6æ�à&áDâ���"^á�#��£ à ±f«w�( N¦©�@« Û í$� ß�à^â ±f«w��%N£°±��� Ðì�@�N£°±míú ¬± è ¨°¡@«(«4£ à ±'�'& «��§���Ë N±�¡(�ì�¨�ì ü ±����®«Ë ¬± Û ±��¡¬��£°¨°£°«$¦©����¨¤±�)6¦§£ ��¯�¡N±6í ß+* ù � â ö�,.- ß+* ö ù � ö â �¥�j�/%¬��£°±�����Ù

ô � ß�à^â ê10 � ß & â ê ô ö2, - ï ñFò ó ãDä ê ä#å4333 � êã ß � ß��6æFà á â 0 � ß��6æ & á â�â���� 333 öù ñFò ó ãDä ê ä#å 333 � êã ß ß��mæ�à á â 0 ß��6æ & á âFâ5�6" á 333 ö ÷

Page 30: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ¹87 ¬�§�h¢Ü±>��¡¬��£°¨¤£ª«$¦©����¨�� £¤� 쥦§¨¤£¤��ì:9 ;��=< >�Ù

î ÿ ñ�ò×ó á�ä#å ô � ß�à�â ê80 � ß & â ê ô ö � , - î�ïÐñFò ó ãDä ê ä#å � � êã ô � ß��6æFà á â 0 � ß��mæ & á â ô ��� � ö ÷ù@? î � � åã ß ß��6æ�à á â 0 ß��mæ & á âFâ ö ��� �, - ß�A öCBzö ùED A öCB â îpÿ$ñFò×ó ãDä ê ä#å ô à ê10 & ê ô ö �FG� ��HYý�� ß�à^â 0 � ß & â ý ,JI - ß+A ö B ö ùED A ö B â ý à 0 &MýK�LF�± è ¨¤¡h«DíS�¥� ¦M96�§�n�N�§��±ON è �§¡N�W¨°±è �$��¢�±>«$«4¡h« £ª ¬±>�¥�$£°¯�¡N± ü ±����/��¡N¨P> Ù

ô � ß N â ê ô ö ,RQ È � ö ù ñ�ò×óãDä ê ä#å 3333 êã � ß��6æ N â���� 3333 ö ù ñ�ò×óãDä ê ä#å 3333

êã ß��6æ N â���"�á 3333 ö ͱ��b��± ü ¦©�®¯¥¡h¦©���·¯�¡N± ß�* ù � ù!S â öT,UQ ß+* ö ù � ö ù�S ö â �WVE�� ¬�¥�@¢]ÙîðïËñ�ò×óã�ä ê ä�å ô � ß N â ê ô ö ÷ ,RQ ß î ß�� ö â ù A ö B ö ùED A ö B â øYù�ú #X ��±��. Ðì> ¬¡@£ �T¯�¡N±Y� ±f«w��¡N�N±(¦ è×è ¨°£ª¢�¦s�$£¤�¥�� ¬± Û  N¦©�h« Û  ¬±[�N�¥� ü ±[ N±�Z�£ è «$¢®­N£¤�\[ ü ¦K]w�§�Hì�± è ¦©�^ ß B â�Ü I - ß+A ö B ö ù!D A ö B â �/_/�§¡h«E¢'� üxü ±��a` ¢'�§�h« è ¦©�;«�¡ è×è �¥«�±��E¯�¡N± B ±>«4�E«�¡(b=«$¦ üxü ±���� è ±���£¤�è �¥¡N� ¯�¡N± ^ ß B â ø�c �(� ±>«4� ¦©¨°�§�®«E¡N�@±Ü¦ è è ¨¤£ª¢�¦©��£°�§�=¢��§�����®¦§¢'�$¦©���$±/ ¬± Û  N¦§�@« Û �/V;¨°¨°±Ü¦§  ü ±��Ó ¬�¥�@¢¡N� è �§£°���1�W��± ¡N�N£ª¯�¡N±Ó @¦©�@« Û �dF�± è ¨°¡@«�í «�£ à ±>«4�J¡@� è �§£°�¥�e���¬±  N±f�zís¢K� ±>«4�*¡@�N±Ó«��§¨°¡¬�$£¤�¥�[ ¬±�9 ;�� g > �h ±>¢�£ è �$�§¡��¥± ¨�� ± �¬£ª«w�$±��@¢�±��8F'� ¦§¡¬���$± è ¦§�4��íS¡N�N±=«��§¨°¡¬�$£¤�¥�� ¬±i9 ;/� g >T¯�¡N£;±>«4�Ë N¦§�@« Û ±f«w�[¡@� è �¥£¤������¬±( N±:�j� h ±>¢�£ è ���¥¡��§±Ë¨�� ¡N�N£ª¢'£¤��ì  �� ¡N�N± «��§¨°¡¬��£°�§�. ¬±k9 ;�� g >Ü N¦©�h« Û � Ø �¥¡N�� Ðì ü �§���$��±>�ܨ�� ¡@�N£°¢�£ �Hì N¦©�h« ¨ª¦(¢'¨ª¦§«$«4±� ¬±Ü���§¡h«·¨¤±f« è ���¬¢'±f«�«�¡@«Ó ¬±��â�\lJí¬£¤¨É«�¡(b��� N± è ���¥¡��§±>�Ó¯�¡L� ¡N�N±T«��§¨°¡¬��£°�§�b ¬±�9 ;�� g > ±>«4�)Â�§�®¢@ì ü ±>���� @¦©�@« Û �m���§£¤� à ¡@�N±T«4�¥¨¤¡¬�$£¤�¥�b N±O9 ;�� g >@í¬�N�§¡h«��N�©�$±��$�§�@« B�n ÜUoqp(rsd�Tt N æ ô àGá ô�u�vxw±'�zy n ß|{Fâ�Ü î ÿ ñFò×ó ãDä áHä ê+} å�~ ô àGá ô ö � �F��¨*±f«w�@)6¦§¢�£¤¨°±Ë N±'�6ì��$£��@±>�ܯ�¡N±:y n ß|{Fâ ±>«4�Ü¡N�@±G)Â�¥�@¢p�$£¤�¥�4�@�N£°±±'��¢��§����£°��¡N±��(V;�k)6¦§£°«$¦©����¨¤± üY�Dü ±T¥±��N�$±T �� ±f«w�$£ ü ¦©��£°�§��¯¥¡@± è ��ìf¢@ìf ¬± üxü ±������§�b��%¬�$£¤±>����Ùîpÿ�ñ�ò×ó ã�äm�6ä ê+} å ~ ô à � ô ö � , Q ï î ß�� ö â ù î � � ê+} å�~ã A�ß c�ù"ô à á ô â���� � ö ùED î � � ê+} å�~ã A ö ß c�ùpô à á ô â ö ��� � ÷

, Q � î ß�� ö â ù - ß+A öCB ùED A ö â � êã ÿ c�ù î ÿ ñ�ò×ó ã�äm�6ä�á } å ~ ô à � ô ö ��� ��� � #h ±�¨ª¦� ¬�§�N�@±V¨�� ±>«4��£ ü ¦©��£°�§��«�¡N£��s¦§�¥�$±çÙ

y n ß|{Fâ , * ù � êã y n ß���â5�6�/#_/�¥¡@«�¦©¨°¨¤�¥�@« ü ¦©£°����±��h¦©����¡¬��£°¨¤£ª«�±���¡N�N±T�¥±��®«4£°�§�b ¬¡�¨¤± üxü ±W N±T�V�$�§���·¦©¨°¨�������!�!���m�P�L���U�������!�����e�����d�����G�W�+�������fy � ¡a¢T£(¤���¥ ¦d¤�§ ¢��+¦d¤¨§a¦d¤�¢��©¤�£W�Cª�¢«� ¬©¬���­ £W�G®W¦d£(¯¢�¦K£(¢1N , { ,°B ª1y ß|{Fâ , * ù � � êã y ß��;â���� ª�±K¬�¦d¯a¡jy ß B â , *�ß c�ù!²d³ å âµ´¶�·��!�m�e¸¹µ����¹µº+�m�¼» Ø ��«4�¥�@«¾½ ß|{FâçÜ ²�¿�³ ê � êã y ß��;â���� � X ��¦'½�À ß|{FâçÜ ²�¿�³ ê ß y ß��;â 0 � � êã y ß��;â�����â ,* ²�¿�³ ê � Ø ¦§��£¤����쵧�®¦s�$£¤�¥�Úí��§����%¬�$£¤±>���¾½ ß B â , *�Á � ±'�jy ß B â , *�ß c�ù�²d³ å â �

Page 31: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ÌeÂX � ±��7 Ðì> ¬¡@£ � £ª¢'£/¯�¡N±iy n ß B â ø A ø ù�ú í A ì'�$¦§����¡@�N±�¢'�§�h«w�®¦©����±�)Â�§�@¢'��£°�§�  ¬± B ü ¦©£ª«£¤�h Ðì è ±��@ @¦©����±V ¬± v ��ZS±Ü¨¤± üõü ±� ¬±jÃh¦s�$�§¡= ¬�¥�N�N±Ü¦§¨¤�¥�$«�í¥±>� è ¦¥«�«$¦©�����[¨°¦T¨°£ ü £¤��±V±�� v í�¯�¡N± è �¥¡N����¥¡¬� B Ù îðï�ñFò óãDä áHä#å ô àGá ô ö ÷+ø A øYù�ú #à ±f«w�/ ¬�¥�@¢T N¦§�@« Û � h ±f¢'£F��±>� ü £°�N±T¨ª¦( ×ì ü �§�@«4���®¦s�$£¤�¥�j N¦§�@«�¨°±T¢�¦§«·�/H B ±>«4� è ±���£¤�µ�Ø �§¡N�W¢��§�@¢�¨¤¡@��± è �¥¡N� B ¯¥¡@±�¨ª¢'�§�h¯¥¡@±míF£¤¨ «4¡(b��[ ¬± è �$±��h ¬��± v ¦§«$«4±µ['¥�$¦§�@ �±��W ¬± �$¦§£°«��§�@�N±��«4¡h¢�¢'±f«�«�£q�§± ü ±>�¥��«�¡N��¨¤±f«·£¤���$±���� ¦§¨¤¨°±>«TÄ N æ B Á v�Å í�Ä B Á v æ -KB Á v�Å íqÆÆµÆ íqÄ ß v 0 c â B Á v æ B Å �tWuH� u�Ç Èn{Á}j�ú�:É {��*���b���n�aÊ �J�b�É�J{��'�:ËWÌ �D�j{���Í.{fÉeλR� � ���5!�6%�%���%Z�7� � � �% � �!)� ? �M�$A��! Ú�¥�!5 ò �!% � ���Ë%��#��� � )��� ��� �) E ���������H�9< E �]� � )��� %���)$XJ�# � ��µ ¶ ��Ï � ´ ��Ð Ï � � °7¸ µ���� �Ï § ´ e� � �!� � �t3 � ��)$5!) � �! M5!� ��� �%������ � )��# 7NÒÑ� ��m��� � � � ��%��# �% ¹ ��´ Ï �5Ó�Ô � � � <65! �)$X��# �%(�_���� �����$���7�9)� � < K ;� � )��� � �# � �# � )��6%7µ

� ¹ �R´ ��Ï �5Ó Ô � ¸ Ï � �¥� Ó Ô � � ¸ � � Ï�Õ Ó Ô ì _G� )ÍË�J)�% � Ï�Õ Ó�Ô ì _&��´·± 5L�# �¥� Ó�Ô � � ´ Ð Ó�Ô � � °tN � [�6 [��<!����) � E ��� � ¹ �M´ µ Ó�Ô � ��� �� ��)�% E ���=µÏ �7´ e�Ó æ Ô � ¸ µ Ó æ Ô � �§ Ó Ô ²'�*� ² )� � �6� � 5L�#�$5!���$�! &������(Ö��6 � ��I� � �_��XJ�# �)_�# �5!�(��� Ï � µ

� �«Ï � � ´ e�Óhæ Ô � ¸ µ Óhæ Ô � � ï �§ Ó Ô ² ��� ² ÷ ´Åe�Óhæ Ô �¾��! p�6��� �j��� � �§ � Ó�Ô ² � � �8× � � ¸jÁ ��� � ���� �5 � �§ Ó�Ô ² ��� ² �!% � �� ��^���# � )� K �#���O ��������j����P)$ �% � �# � ± ���� �5j���j���(Ö#�! � ��j Ú���$���пtNÙØO�j�'�!�'�=µÊ �# �«Ï � � ´ � � �«Ï � � � ��Ï � ��� � �´ µ � �ÉÈ Óhæ � Ô � ï �§ Ó Ô ² ��� ² ÷ � Í´ µ � Óhæ � Ô � � ï �§ Ó � Ô ² �8× ÷´ µ � \ � Ó æ � Ô �^ Ð

Page 32: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ÌÒÚ� � �!� � ��<!�'�� � ��! E ��� Ï � �!% � �� ��"XJ�# �)_�#�����"�#��<!� � ��)$ �� K �#��%�%�)$�! � ��#�õ�6 �6��� �Ï � %!�9<!56 �) � � �§ U ��××�>��� ² � ¿ U � ) � �!% � �� ��Ó��# �5 � )��� ��< � �6 ��')� �)$% � �Ó��� � �!� � %+� �� �§ U � �\× ���8× � ¸jÁ ¾�X#��)� Z�t3��6 �56)�5!� ¶ ¿mN�¤��$��% � �<!56)�%�<!�'�! � �����UÛ�Ü;Ï(ÝdÞdßdß�àLß ��Ï � � ��á §�6% � �� � ���5!�!%�%���% K �#��%�%�)��6 7N V �6�_�W%�) K �)+â]� E ����%�)Tã m Õ�ä(ä(ä/Õ ã * %��# � ���!%( �<!�!�$%O� � %�)± � ° m � ä(ä(ä � ° * �¥�_��XJ�# �)��#���$�j�#��<!� � ��)$ ���ã m Ï ��å ¸ ä(ä(ä ¸Jã * Ï �|æ �6% � �� ��^XJ�# �)_�#������#�$<L� � ��)� �� K �J��%�%�)��! � ��#N¥¤z�#�� G%��j5!�� XJ�#)$ �5! ��I���I56�!56)H�])���%���½ � ���j ��6�W�# E ���! E ���=µ

Ï �|ç�´Åe�Ó æ Ô �|ç ¸ ©Ùè§ éxê × � ° ÿ�ë Ó Ô ²���� ²�´íì ÿ ¸ �§ U ÿ ��××�>��� ² )À ���� �%�ã m Ï ��å ¸ ä(ä(ä ¸îã * Ï � æ ´ 0 *ÿ�� m ã ÿ ì ÿ ¸ � �§ � 0 *ÿ�� m ã ÿ U ÿ ��××���ú��� ² �!% � ��)��6 +�� ��XJ�# �)_�#���$�O�J��<L� � ��)$ �� K �#��%�%�)��6 � ��'¾�5L�# x5J�P�6% � ��5!���'�'� � �<!5!<6���!�'�'�! � ���� ��()� � < K ;�J���% � ��5BA]�#% � ) E ���j�7�9�� ��j��� �5 � )��# ���< � �! ��')� �)�% � �(��� � �!� � %;¿mNtWuH� u4x yðï��b���*�'�[�j�»�b�Cñ��·�J{��Ë�*�'{����'{��`�S�*�:É��j�W�S�*� ï��b{��óò ôÜ�W��{��l�ú�

ôW{fÉ��*�T�ú�'{��'�'{��� � �6� ��K <! �<! ;�J��)�%��! ����P< � �����&���!%�< E �]� � )��� �%���)$��<! ��! � )$�!���$�!%=% � ��5BA]�#% � ) E ���6%��#�435!�#%j� ¿ �$� � ���5!�6%�%���%^<mX����$�������# �%�þ * N V � ��� � K <! �<6 ;�#�$)�%;� � )��# ��!% � � � )��$�#�7�]�J �%^�$�!%� ��� ��)$5L� � )��� �%õ�'���õâ] ]�# �56�#�ç���# �% E ���j���P�� Y5BA��6 �5BA�����5!�� �% � ���)� ��I���!%-������¼!�$�!% � ���� ���6% � �# �)$�! �%G�7�P�#5 � )��# �%&���p���j���6X�)�%��!%6N � Y%��j���# � ��=µñ � ´ ��� m Õ )�)�) Õ©� þ � �� ¨ö � ? �����4X��!�'�! � �� ��(÷G �)��6 ý � ��)$���6 �%�)$�� � ��6�HNñ �M¨ þ © : þ * g þ * � � �\×�Õ e � ´ � � m �\×�Õ e ��Õ�ä(ä(ä/Õ � * �\×�Õ e ��� Nñ µ ¨ þ�© : þ *.g þ *�ø þ�¾F�H�9�! �%��!�������j���6%-��� � �)�56�!% , : ý¥¿t�µ��\×�Õ e � ´ �4µ ÿ o . ��×�Õ e ��� mCù ÿ ù * o mCù . ù þ )ñ Ö|´ � Ö m Õ )�)�) Õ Ö * � �� ��YXJ�# �)��#�����\�#��<!� � ��)$ ��Rö § ? ���6%��� ��#�����p��XJ�#���6�� ��]�# �%þ * N� � ���P�# �5!�� �%�)���¼6 ��j�H�9< E �]� � )��# p��)$��<! ��6 � )��6���$�O% � �45BA��#% � ) E ���=µ

Ï �7´ëÖ ¸ �§ � ��×�Õ�Ï ² �ú�1× ¸ �§ µ��5×�Õ�Ï ² �J��� ² Õ ¾D��N��(ú ¿� ¿ )$��F�#� � 56��� � ��! ��� �� E ���-�H�9�� Z5BA��! �5BA��M�� � ��456�!%�%���% ��Ï � � § ù � ù�û �jXJ�#�$�!�� �%��]�# �%þ * �J�]� ��� <�� � ö � � ��á § � �-� �!� E ��� ü � N9%!N"� � ���� � ��� � °&� �M� ���� � ��� � Q � , �ç�� � � ��!% E ���I% ÷ ��!�'�! � µÏ ÿ� ´ëÖ ÿ ¸ �§ � ÿ �\×�ÕµÏ ² ���1× ¸ þ�. � m �§ µ ÿ o . �\×�Õ�Ï ² ����� .² )

Page 33: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± Ì]¹»R� � A�<6�� �¼6���(���P�t3�)$% � �! �56�^� � ���P�� �)�5!) � <(%�� K <6 �<! ��#��)$%������I���F��ý 5!�� Y%���)$XJ�# � ��µK.L�À Ò;�NM*OQPÿþ��½ô��½ô��çÎ e ö þ *�� � e � Þdß����� �ÏWÜ��RÞ¨Þ�àÙÝ� Î��#Î�Þ� � ÒÞ��8Þ e Þ��kßmÎ µ ö� *�ø þ � � µ � � ´ 0 mCù ÿ ù * o mCù . ù þ µ �ÿ o .���� �ß�à�Û�Û]Ï(ß(Þ��6àÙÞ��« � � � � ° Õ e � � � � ° Õ Â � � ¸ � µ�� ° Õ e � � µ�� ° Õ Â � � � � � e �  �à � � � � ° Õ e � � ¸ � µ�� ° Õ e � � � � � \ ¸ � e � �Ä � � � � Ö � � � � ¸IÁ���ÏWÜ�ßjÎ�jÞ X Î�ß��CÞ�à� ÒÞ�ßÐÏ�©à��FÎHÏ� à� ]Î��6à$Þ�� "!$#"�6à%���FÎHÏ� i « � «�& q � cõÞ�Û'©àLßEÝdÞ���� Þ4ßÐÏ�©à��FÎHÏ� ( #�ÜtÎ )YÞ � Û]ÏWà8Ü*�@ÏWà��,+-� �ÉÈËÊ�Ì È§ ù ² ù�û � Ï ² � � Í � ¸jÁ

»�����<!�'�� �% � �� � )$�� ��!% � )$���! � ) E ���j��5!�!�$���(���p5L�J%M�XJ�#�$�!�� �%-���# �%.�+NtWuH� uwv /9�ú�T}b�J�@�Ó���B�j{10 �T�eÎW� ô �b{�� �*�W�'�l�*�'�W�b� �n���fï��b���*�'�[�j� �j�'�µË�B�·�ú{��=�J�'{��'�'{����É�*�:É��b�W�É�*�ï(�b{��»�� � �� � �)�< � <G���jÍË�# ò �ÐX � ���� ��� � ���5!�6%�%���% �«Ï � � ��á § %�) K �)�â]� E ���G�$�&5!��� � �# ?� �!�'�! � �� � �� -���(5!� � ���5!�6%�%���%O� � �¼6%G°õ��< � �! ��"�� �) E ���!�'�! � ��� Ï � � � ��� Y���j5!�E ��)�%6�P�6% �^� �#%�%�<W�LXJ�# � °tN V � � ��)$ � �!% � �6%�%��6 � )��6���]�# �%j���6%j5L�#�$5!���$%(��� � �)�3��7�9� �*?� )��� �%6N�8 � � �! ��'� � ��� � �����X#�! E ����$� � �)�3"�7�9�� ��� �4� )��# +%��� O�� ��#5 � )$����# ò �ÐX�)��! ��j��< � �6 �� E ���^��� � �)�3����I�����J5 � )�z�Z���P)$ �% � �# � °tNÍË� � A�<!��� � ) E ���!�'�! � �7�� ð��)� �� E ���P�� � ���5!�6%�%���% �«Ï � � ��á § X�<! �)�â]�Z��� � �� � �)�< � <����Í"�# ò �×X � �# x �� ��� �� � ��� ���â]� � ;� � )��� � ö � � ��á § � ���� x��� E ���!�$���O)$���6% � �#�]� ��� <J��%�)� ���� � ��� � �(��� �5 � )$�� ÞU����� �<!�$)��! � ����¥�� � �<6�j� �-� �#�� � ����% × � � °t� � �6��% E ��� ×�2 °¥µ

� � U ��Ï � � � ö ² � ´ � � U ��Ï � � � Ï ² � )²-����%'�#���$�� �%^<! ��� �5!�! '�]�# �%�5!� � �# �� K ;� � A����_� � �� � �)�< � <����ÞÍË�# ò �ÐX � ���� ��� ��%������ � )��� ��� ¾ ��N�� ¿mN � f �� � �6 ;� ��Ï � o r² ÕK× î ° � ��� %������ � )��# ³���ð���P< E �]� � )$�� ɾ ��NP� ¿� �J � �J � ��� e �'�H�9)� �% � �# � °&� � Ï9r ´ Ï § o r ����%��#��� � )��� p�������P< E �]� � )$�� � �# � �# � ���e �Z���P)$ �% � �# � ± N Ï � o r X#<! �)+â]� � �#�� × î °¥µ

Ï � o r² ´Åe ¸43 ²� � �65 ÕµÏ � o r7 ��8 5 ¸93 ²� µ �"5 Õ�Ï � o r7 �:8 � 7 )À � �)��� �)H� Ï � o rì �!% � ��</â] �) � ���� � ��� � � ° Õ e � � ��6% E ����% ÷ ��!�'�! � N � � �6� � 5!� � �6 ��]�# � �%�����%����!%�A�Ö � � � A�¼!%��!%x��� � A�<!�� �¼!�'� �#N<;4N ó � 56�� �% � ���)$ ��-�� � ���5!�!%�%���%?��< � �! ��]�# � ���

Page 34: Calcul Stochastique

�������$�� N¡@¢p�$£¤�¥�b¦§¡b¢>¦©¨ª¢'¡N¨S«4���¬¢®­@¦¥«w�$£°¯�¡N± ÌJÌ� ° Õ e ÕK××� E ��)��6% � ü � N9%!N 56�� � )$ ����! [56�!% � ��#)�%(XJ�# �)��#�����6%j� �I� �!� E ��� Ï � o r² %���) �%������ � )��� p���^�H�9< E �]� � )��� � �<65!<6���! � �JN V �9�!% � �� + �<6%���� � � � ��<6��)�5!� � ����<6���� � ��! ¾F�� � �����X#�! ��'%��'��<6���# �% � ;� � )��� ��]�J �% A =?>ÅD ¶ G ¿ E ���I �����%-�#�$���� �%x�#���'� ��� ��JN»�� � �� � �)$< � <"���èÍË�# ò �ÐX �6% � �� ���5!�� �%�< E ���6 �5!�ð�7�9�� �� � �� � �)�< � <Y> ���A@]� �DCX#<! �)+â]<!� � �# x�$�!%x%������ � )��� �%?�7�9�� ��(< E �]� � )$�� \��)���<6 ��6 � )��6�����-% � �45BA��#% � ) E ���#N V �P�6% � �� ��K <6 �<! ��#��)$%;� � )��� W���j�_� � �� � �)$< � <I���*@�� � ���!%-< E �]� � )��# �%&��)$��<! ��! � )$�!�$���!%õ�� ���)$ ]�#)$ ��!%6NBWP�O�OÐP þC�½ô?�½üD�7ÏWàLß*�ÞdßEÝBÏ� '�#Î��FÎHÏ� eßE�màF�¢­�#BÏWÜHG��RÞ « ��IJ� Ä � ßmÎ × î °?�

Ï § o r² ´ Ï+� o KMLN² ü Û � ß �Ñ À OÓÒ¥ÔPOmÕRQNÏ�Õ×Ö�Ò�Ôéä _��§¡@«Ü�N±� ¬�§�@�N�§�@«Ü¯�¡N±[¨�� £ª Ðì>±'6ì��×ì>�$¦§¨¤±[ N±Ë¢'±��4�$±( Ðì ü �§�@«4���®¦s�$£¤�¥�L� X �¦×í è �§¡N�·�$�§¡¬�TS�ÙVU è � «� à êXW Yá Ü S ù 3 áê � ÿ ½ æ�à êXW Y� � � ½ ù 3 áê ÿ ½ æ�à êXW Y� � ��" � #X �j±>�� Ðì> ¬¡@£ ��í@«4¡h¢�¢'±f«�«�£q�§± ü ±>�¥��í¬¯¥¡@±

U è � «µ� è �§¡N�·�$�§¡¬�TZ\[]vÙà êXW ^á Ü Z ù 3 áê � ÿ+½ æFà êXW ^� � � ½ ù 3 áê ÿ�½ æFà êXW ^� � ��" � æè ¡N£ª«�¯�¡N±çÙ à êXW _�`aá Ü�à Yê ù 3 áê � � ½ æFà êXW _?`a� � � ½ ù 3 áê � ½ æ�à êXW _�`a� � ��" � #h ±>«[��ìf«4¡N¨¤�$¦©�$«Ë«4�¥�¥�(£¤���$¡N£ �$£�)6«�í ü ¦§£°« è �§¡N�˨¤±f« ]w¡@«4��£��@±>�˱>�  Ðì'�®¦©£°¨ £°¨�)6¦©¡¬�(¡¬��£°¨¤£ª«�±��[¨ª¦�¢��§����£°��¡N£¤��ì ¬±.Zcbd à êXW ^e �e_/�§¡h«W¨ª¦©£ª«�«��§�@«[ ¬±l¢'�§��ì=¨°±>«Ë Ðì'�®¦©£°¨°«Ë ¬±=¨°±�¡N�®«[ ×ì ü �§�@«4���®¦s�$£¤�¥�@«µ� h ±�¨ª¦�¦§  ü £ª«Dí*�§���± ü ¦©�®¯¥¡@±V¯�¡N± à Yá ±>«4��¦©¡h«�«�£É«4�¥¨¤¡¬�$£¤�¥�b N±T¨�� ì>¯�¡@¦©��£°�§� è ��ìf¢@ìf ¬±�����±6í¬±���±gfF±'��í@«�£ { , � Ùà Yá Ü S ùih áã � ß ½ æFà Y� â(� ½ ùjh áã ß ½ æFà Y� â(��"��Ü à Yê ù h áê � ß ½ æFà Y� â�� ½ ù h áê ß ½ æFà Y� â(�6" � #Z$� ¡N�N£ª¢'£¤��ìW ¬±f«�«4�¥¨¤¡N��£°�§�@«� ¬±W¢�±'����±�ì>¯�¡@¦©��£°�§� è ���¥¡��§±6íN¦©¨°�§�®«Dí¬¯�¡N± à ã W Yá Ü�à êXW _ aá è �§¡N� { , � �»�� � �� � �)�< � <(���.ÍË�# ò �ÐX � ��6 ��p�]�# �%G5!�j5!�#%G�_���� ��'��%���)$XJ�# � ��µk.L�À ÒCQNM*OQPÿþ��½ô��_�l�7Ï Î�� �«Ï � � ��á § à� ÒÞ�ßÐÏ�©à��FÎHÏ� m�8Þ i « � ¬ q �.n !=Þdß���à� ¨Û�Ü;Ï(ÝdÞdßdß�à�ßo�8Þp1�mÜrq Ï ( Û%�mÜ�Üs��Û�Û]ÏWÜ��t�u��v)wx�5Ü"���FÎHÏ� � ö � � ��á § �mày�WÏWà ( Þ��RÞ� ��tz6Ü;Ï�{t ]Î�Þ� � ® ©àLßGÛ�Ür#�|ÝmÎ�ßR#��RÞ� �� � Ï� �� � Û]ÏWà8Ü}�@ÏWà��CÞ�~LÏ� ÒÝ��FÎHÏ� �zmÏWÜr#� Î�Þ� � ÒÞEzmÏWÜ� �#dÞ��c�

ü Û � ß ��� � � ��Ï � �P� ö ² � ´�� �«Ï ² �KÕÏ�� � ����� ´ � � � �«Ï ²g� �� ��� �

Page 35: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥�¦§y¨�©«ª%Q­¬�®,¨ þC�°¯?�°± � " �� � �(%��#��X��6 � �H�9< K �J��) � < � �<!56<!���6 � ��%�����%G�_����� �����µ

� � � ��Ï � �P� ö ² � ´ � � � ��Ï ²�� �� ���R� � � K�²?³Ñ À ©ÓÒ¥ÔPOmÕRQ�ª�Õ×Ö�Ò�Ô9´ _T���­�C��¤µ�R������¤��������¶¢��8� ����¤,¤s��¢����<����¤,�R¤P�£���Ðì ü ���­�¡�$�������£���L� Ø ���N������¤�Ðì ü �����¡�$�������£�����g� üxè �£·g��¤t��� è ���N�$���¸�g���������¹��¤��tº ÃN���x»�¼ ½��Z�� è ��� è ����ìg�Hìc�R¤u¾���� è ��������¤u¢���¤míP��� � t { í à Yê Ü à á W _�`¿ê � F'� ���R�$��¤ è �©����íT��� è ¤s�R��Ðì ü �����$��¤>�*¢���¤ à á W Yê �µ� ¤� è ��� ü ¤o��¤õ)���` �g��� ü ¤"���@����%���¤o¤s�¼)À�������������1�R¤s�*���6�������£����¤ ü ¤6�������R�%N���d������¤s� ß�"�á�ÁL� 0 "�á�æ ½ t N â ¤g�*�R¤ÂSÿ9°�g¤n�Hìs�����¹� �H�¤s�����­�H���@��¤s� ü ���£��Ðìs���<�6������]¡�������Pë��¤��}¤s�A�×ìg�������O9+�����¤�uº ÃN���x»�¼ ½|>5>C�@���t��� ���Ã��� ü ¤6�E�g¤n�Hìs�����¹� �H��í è ���N�}��� � ¤g�}��� { ���Ðìs����Ã�à á W Yê Ü � ß S æa" á¡ÁL� 0 " árÄ ½ t N â ¤g�,�R�����]Ùà Yê Ü � ß�à Yá æa" á�Á8� 0 " árÄ ½ t N â@æ����¤"� à Yá ¢����J¤"�¡��é á ü ¤s���N����%��£¤P¤6� ß�" á�ÁL� 0 " á â ��Å#ã ¢�����¤s���T���­�Ðì è ¤6���������T�R¤�é á ���������� è×è �£�£¢���¤?�£¤���ì"�����������Æ��¤��£� è ��� è �����¹������� <�� <�� ¼ �R¤���� � è è ¤s���R�<�g¤f� à á í ß�" á�ÁL� 0 " á â ��ÅJã í�y¤6��é á í�������%R����¤s����Ùî ß y ß � ß�à Yá æa"^á¡ÁL� 0 "�á Ä ½ t N âFâ ô é á â Ü î ß y ß � ß S æa"^á�Á8� 0 "�á Ä ½ t N âFâ�â ô YsÇ�_ `¿Ü î ß y ß�à á W Yê â�â ô YsÇ�_ `¿»R�+ �<!%���� � � ��� �<65!<6���! � %�� K <! �<6 ;�#�$)�%��Ë�Ó���6%\��� �5 � )��� �%W���6% � ;�RÈ��!5 � ��)� ��!%\���+�_���)�����%�)��# Ë� � �¼!%M�H�9)� �% � �# � × N�Ñ� � �# � )�56����)$�! !����� � A�<6�� �¼6���I%���)$XJ�# � �6% � � � )$���j�]�# �%�$�!%&5L�J��5!����%&��)$<!%&�J�43 � �J�43Y�7�9)� � <6 �� � Nk�É�À ÒCQ�Ê�©m¨ÿþ��°¯��°Ë��7Ï Î�� ��Ï � � ��á § à� ÒÞ�ßÐÏ�©à��FÎHÏ� «�8Þ Ì « � ¬ ÍðÞ��µÎ ��×�Õ"��� à� ÒÞ�~LÏ� ÒÝ���ÎHÏ� �RÞdß�à8Üs�Jz��ÞYÛ]Ï(ßmÎ���Î ( Þ ��� �� � ßmÎ�°vÏ × �

ü Û � ß �Â� ï Ó­Ð h N²�Ñ"Ò 7 � K?Ó�ÔÀÕ 7 � ��Ï � �P� ö ² ÷ ´Ö� �«Ï ² �� ( ÞdÝ�� � ����� ´ � ï Ó Ð h N²ÆÑ"Ò 7 � K ²�× LÓ Ô�Õ 7 � �«Ï ²g� �� � ÷ ³� m#dÝ�ÜtÎ��¸�màLßdßmÎ�ÝdÞ����CÞu#�ØJ�� Î��g#�ßÐÏWà�ßE��\~LÏWÜ��RÞ��� ï Ó­Ð h N²CÑsÒ 7 � K?Ó�ÔÀÕ 7 � �«Ï � �,� ö ² ÷ ´ � ï Ó­Ð h N²CÑsÒ 7 � K ²�× LÓ ÔÀÕ 7 � ��Ï ²�� �� � ÷ 3333 ��Ù K ² ³§y¨�©«ª%Q­¬�®,¨ þC�°¯?�5þ�Ú �}ÛÝܶÞ�ß%à�Þ�ÛAá�â�ã�à.äÆå�æjçVÛJàrèsÞ�è\ßÆÛAèså�ésßÆê°àrâ­à�Ü%êëßÆé.ìVå�ÛÆå�è"â�êPí�ßÆÞî Þ�êëß%ã�å�ÛÆçVÛ î åEÜÆè"å î å�ä%Þ�æjæiÞ�Û�à�ï¶ð�ãTçVÛÝç�æiÞ�à.êëÞ�é\äÆå�àHâ�ã°êëévàrÞ îHñ ÛÆã°í�ß%Þ�é � çVÛFܶÞ�ß%à�â ½ è6òæjÞ�èóí�ßÆÞ � é"ã � Þ�é6àóô�ßÆÛÆÞ}á¡çVÛ î àrã°çVÛ�äÆÞ}àrçVß�àrÞ*êXâÂà"èrâ È Þ î àrç�ãëè"Þ�õ}äÆÞ Ï � â�ÜÆè ¼ é × µü Ü?ï¹é�ï � � � �«Ï �� Õ °vö ××�,� ö ² � ´ � � � ��Ï ²�� �� Õ °¸ö ××���R� ��Ù K?²?³

Page 36: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥�÷§y¨�©«ª%Q­¬�®,¨ þC�°¯?�5þ$þ » ç�è"é"í�ßÆÞ � Þ�àiø�ÛÆÞFäÆå�ܶÞ�ÛÆäÆÞ�ÛJà�í�ßÆÞFäÆÞ � ¾ çVÛùäÆã�àií�ßÆÞÝêXâäÆã � ß%é"ãëç�ÛÝÞ�ésà ñ çVæiç�ì ¼ ÛÆÞEä�â�Û%é î Þ î â�é ¿m� çVÛÃÜ'Þ�ß�à�æjçVÛJàrèsÞ�è\í�ß%ÞÂêXâjêëçVã�ä%Þ Ï ²�� �² © � Þ�ésàã°äÆÞ�ÛJàrã°í�ßÆÞ � î Þ�êëê°ÞEä%Þ Ï § � �� � î Þ�í�ßÆã,é"ã°ìVÛÆã â Þ*í�ß%Þ�ésã � Þ�é6àßÆÛÆÞ*á¡çVÛ î àrã°çVÛÝæjÞ�ésßÆèrâ � êëÞÞ�à � çVèsÛÆå�Þ µ � � � ��Ï ²�� �² © � ��� ´ �ûú � �«Ï § � �� �gü ³ýÛ1Ü'Þ�ß%à*å�àrÞ�Û%äÆè"Þ î Þuè"å�ésßÆê°àrâ­à}Þ�à*æiçVÛJà"è"Þ�è�í�ß%Þ�þ?ésã Î Þ�ésà*ßÆÛÆÞoá¡ç�Û î à"ãëçVÛÃä%Þ � ßÆÛ%ã�òí�ßÆÞ�æiÞ�Û�à µ

� ï Ó Ð h ²Xÿ N² Ñ"Ò K ²�× LÓ ÔÀÕ 7 ��� Ï ²g� �² ©���� ÷ ´ � ï Ó Ð h N� Ñ"Ò K � × LÓ ÔÀÕ 7 ��� Ï § � ���� ÷ ³ýÛ Þ�ÛFäÆå�ä%ßÆã°à\í�ßÆÞ�þ�äÆâ�ÛÆé î Þ î â�é�þ�êëÞà ñ å�çVè ¼ æjÞ �Vï ; ï é���Þ� %Ü%è"ãëæjÞ*é"çVß%é�êëâÂá¡çVè"æjÞ µ� ï Ó Ð h N² ÑsÒ K�Ó�ÔÀÕ 7 ��� Ï � � � ö ² ÷ ´ � ï Ó Ð h N�� ²� Ñ"Ò K � × LÓ Ô�Õ 7 ��� Ï�� � �� Ð ² � ÷ 3333 ��Ù K?² ³

����� �������! #"$ %�'&(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨ þ ð�çVã°à �.- � � � á � ßÆÛÆÞ æiâ�èsà"ãëÛÆìVâ�êëÞ­þ,à"Þ�êëê°Þyí�ßÆÞ Ü¶ç�ßÆèuàrçVß%à�/�þ � �0-21� �43¸jÁ ï Ø å�æiç�Û�à"è"Þ�è\í�ßÆÞ*ésã ×�2 /65�ûú �.- �87 -:9 � 1 � ö*9 ü<; ��ú - 1� 7 - 19 � ö*9 ü ³(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨>= ð�çVã°à Ï � ßÆÛ ÜÆèsç î Þ�é"ésßÆé@?jâ î�î èsçVãëésé"Þ�æiÞ�Û�à"é.ãëÛÆäÆå�ܶÞ�ÛÆä�â�ÛJà"é\Þ�à.ésàrâ­àrã°çVÛ�òÛ�â­ãëè"Þ�éMÛ�ßÆê�Þ�Ûcê.��ã°ÛÆésàrâ�ÛJàBA}Þ�àtàrÞ�êÆí�ßÆÞ�þJÜ'çVßÆèPàrçVß%àC/�þ � � Ï 1� ��3 ¸IÁ ïJý}ÛcésßÆÜÆÜ'çVé"Þ�èrâ%þäÆÞ\ÜÆê°ßÆé�þ�í�ßÆÞ�êëâ*á¡çVÛ î àrã°çVÛD/BEF � � Ï 1� � Þ�é6à î çVÛJàrãëÛ�ßÆÞ­ï Ø å�æjçVÛJàrè"Þ�è�í�ßÆÞ � � Ï � � ; Ð /Þ�à�í�ßÆÞHG:â�è � Ï � � ; ÐJI /�þ Ð Þ�à Ð�I å�àrâ�ÛJà\äÆÞ�é î ç�ÛÆésàrâ�ÛJàrÞ�é�ï(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨>K Ø å�æjçVÛJàrèsÞ�è.í�ßÆÞ�þCé"ãMLFÞ�ésà\ßÆÛ àrÞ�æjÜÆé.äM��â�è"è�N�àO5

öQP ; êSRUT>V Õ Ü'çVßÆèvàrç�ß%àW/ ö A Õ RYX ê L 2 / ë T ö � ëäÆå â ÛÆã�à.ßÆÛÆÞ}àrèsã[ZÆß?ï(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨]\ ð�çVã°à@^ ßÆÛ àrÞ�æjÜÆé.äM��â�è"è�N�à�þÆäÆå�æjçVÛJàrèsÞ�è.í�ßÆÞ_^ùÞ�é6à öa` æiÞ�é"ßÆè"âbZÆêëÞ­ï

Page 37: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥�c(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨Ã¯ ð�çVã°à4^ Þ�à + äÆÞ�ßd àrÞ�æiÜ%é�äM�£â­è"èeN�à�þ¸à"Þ�ê°é�í�ß%Þ:^ 2 + ü Ü?ï¹é�ï ïØ å�æiç�Û�à"è"Þ�è\í�ßÆÞ ö*`gf ö û ï(*)?¨�Q,+ Ö�+V¨>h ð�çVãëÞ�ÛJàQ^ ß%ÛyàrÞ�æjÜÆéväi�£â�èsèeN�à�þ â ÛÆã�ÜÆèsÞ�ésí�ß%ÞEé�jÆè"Þ�æiÞ�ÛJà�þÆÞ�à � Ï � � � á � ß%ÛÜÆèsç î Þ�ésé"ßÆé�â�ä�â�Ü�àrå*Þ�à\ÜÆèsÞ�é"í�ßÆÞEéej%è"Þ�æjÞ�ÛJà î ç�Û�à"ãëÛ�ß?ï��ï Ø å�æjçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%Þ�þ ü Ü?ï¹é�ï�þCܶç�ßÆèvàrçVß�à × 5

Ï 9 ; k[l�mnpo'q èsrt á � évu tJw n � Ò t q8x Ô w n u � × � Ï tJw n �zy �{ ï@|tèsçVß�}VÞ�è.í�ß%Þ�ê.�£â�Ü%ÜÆêëã î â­à"ãëçVÛH5��~ A Õ /������ Õ�� ��~ A Õ /�� � � ö � � 7 F �¡� Õ�� �¡� �e�� ×�Õ y � E 7 F Ï 9$��y �Þ�ésà\æjÞ�é"ß%èrâbZÆê°Þ�ï� ï Ñ Û äÆå�äÆßÆãëèsÞ�í�ßÆÞ é"ãQ^ 2 /�þ Ï ` Þ�ésà ö � æjÞ�ésßÆèrâbZ%êëÞ�þµÜÆßÆãëéuí�ßÆÞ Ï ` Þ�ésà ö*`æjÞ�ésßÆèrâ�ZÆêëÞ­ï(*)?¨�Q,+���+V¨���� Þ�à"à"ÞÞ� �Þ�è î ã î ÞÞ�ésàóß%ÛÆÞãëÛJà"è"ç�äÆß î à"ãëçVÛg?Âê.��ã°Û�à"å�ìVè"â�êëÞóé6àrç îHñ â�é6àrãëí�ßÆÞ­ï���êé��£â�ì�ã°àuäÆÞ î çVÛÆé6àrè"ß%ãëè"Þ�ß%ÛÆÞ ãëÛJàrå�ìVèrâ�ê°ÞyäÆß-à Ö Ü¶Þ h q è� ��� × � 8 Ï 9 þMçb� � Ï � � � á � Þ�ésàcß%Ûö � ò�æjçVß�}�Þ�æjÞ�ÛJà�Z%è"ç ÷ ÛÆãëÞ�Û�Þ�à �!� × � Þ�ésàóßÆÛ%Þ�á¡çVÛ î àrãëç�ÛyæiÞ�é"ßÆè"âbZÆê°Þ�äÆÞ ��� q Õe� ��� q �e�ä�â­ÛÆé ��� Õ�� ��� ��� àrÞ�êëêëÞ�í�ß%Þ�5 3 q è� � 1 � × � 8 × 3���� ³� Þoà Ö Ü'Þjäi��ã°Û�à"å�ìVè"â�êëÞÂé$��â�ÜÆÜ'Þ�êëê°ÞoãëÛJà"å�ìVè"â�êëÞoä%Þo> ãëÞ�Û%Þ�è}Þ�à î ��Þ�ésàEßÆÛ î â­éEÜÆâ�èsà"ã î ß%êëãëÞ�èäÆÞ*ê.��ã°Û�à"å�ìVè"â�êëÞ�äM��� àrçjí�ß%ã�Þ�ésà\ã°Û�à"è"ç�äÆßÆã�àrÞ*â�ß Ü�â�è"â�ìVè"â�Ü ñ Þ �Vï�� ïýÛ*èrâ�ÜÆÜ'Þ�ê°êëÞPí�ß%Þ:ê.��Þ�ÛÆé"Þ�æ<ZÆê°Þ!�Dä%Þ�é�á¡çVÛ î àrãëç�ÛÆé?äÆÞtêëâ¸á¡çVè"æjÞC� � ù���ùd� Ð x�� � éb� � ç�� � ç ÿ å � þâp}VÞ î � � T � þ�Þ�à�/ � ; A 2 / x 2 ä(ä(äÆ2 / � Þ�ésà.ä%Þ�ÛÆésÞ}ä�â�ÛÆéW� 1 �¡� q@Õ 8 � � æÂßÆÛÆã�ä%ÞêXâÛÆç�è"æjÞ¡  �  �¢¤£ ;¦¥ h q¨§� � 1 �0© � 8 © ï��ï�ð�çVã°à � � T�ª þ�Þ�àaA ; / �a« / x «­¬®¬®¬¨« / � þ�Þ�à � ; � �e¯ � ¯ � Ð x � �±° � �³² � �³² ÿ�´ � ï¶ý}ÛÜ'çVésÞ�5 µ$¶ ��� � ; r�e¯ � ¯ � Ð x � � �z· �³² ÿ¤´ 7 · �³² � ³¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�èví�ßÆÞ µ$¶ ��� � Þ�é6à.ßÆÛÆÞ*}­â�èsãXâbZ%êëÞ�â�êëå�â­àrçVã°è"Þ\ìJâ�ßÆésé"ã°Þ�ÛÆÛÆÞ}ä%çVÛJàóçVÛ î â­ê�òî ßÆêëÞ�èrâuêXâoæj箹VÞ�ÛÆÛÆÞEÞ�à\êXâ_}­â�èsãXâ�Û î Þ�ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è.Þ�ÛFÜ�â�èsà"ã î ßÆêëã°Þ�è¸í�ßÆÞ!5� � µ�¶ ��� � 1 � ;   �   1¢ £ ³

Page 38: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥»º{ ï@¼tÛyä%å�äÆßÆã°è"Þ\í�ßM��ã°êCÞ� �ãëé6àrÞßÆÛ%Þ�ßÆÛÆã°í�ßÆÞ�â­ÜÆÜÆêëã î â­à"ãëçVÛcê°ãëÛÆå�â�ãëèsÞóäÆÞa� 1,� ª q!½J¾ � � ?}­â�ê°Þ�ßÆèsé.ä�â�ÛÆé@� 1,� � ½e¿]½�À � þ µ þÆàrÞ�êëêëÞ*í�ßÆÞ µ ��� � ; µ$¶ ��� � þ�é"ã � Þ�ésà�ä�â�ÛÆéQ� Þ�à� � µ ��� � 1 � ;   �   ¢¤£ þ�Ü'çVßÆèvà"çVß%à � ä�â�ÛÆéQ� 1 � ª q � ï� ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è�í�ßÆÞ­þPésã �Á· n � n� � Þ�ésàÂßÆÛÆÞié"ßÆã�àrÞjäÆÞÃ}­â�èsãXâbZ%êëÞ�éEâ�ê°å�â­à"çVãëèsÞ�é}ìJâ­ßÆé6òésãëÞ�ÛÆÛÆÞ�é î Þ�ÛJàrè"å�Þ�é�í�ß%ã î çVÛ�}VÞ�è"ìVÞ�Û�àÂä�â�ÛÆéÄ� 1 � � ½e¿]½�À � }VÞ�è"é · þTâ�êëç�è"é · Þ�ésàß%ÛÆÞ�}­â�è"ãëâbZÆêëÞµâ�êëå�â­àrç�ãëè"ÞPìJâ�ßÆésé"ã°Þ�ÛÆÛÆÞ î Þ�ÛJàrèså�Þ­ï�¼tÛ*äÆå�äÆßÆãëèsÞtí�ßÆÞté"ã � T � 1 � ª q ½J¾ � �â­êëçVèsé µ ��� � Þ�ésàAßÆÛÆÞÅ}�â­è"ãXâ�ZÆêëÞ�â�ê°å�â­à"çVãëèsÞ1ìJâ�ßÆésé"ã°Þ�ÛÆÛÆÞ î Þ�Û�à"è"å�Þ äÆÞ�}�â­è"ãXâ­Û î Þh q¨§� � 1 �0© � ¾ © ï�%ï�ð�çVã°à � T � 1 � ª q ½J¾ � � þwçVÛ ÛÆç­àrÞÇÆ � ; h �� ���0© � ¾ ·g9 ; h ° � � � � � �.© � ���0© � ¾ ·g9 þä%å�æjçVÛJàrè"Þ�èií�ßÆÞ>Æ � Þ�ésà ßÆÛ ÜÆèsç î Þ�ésé"ßÆé�â­ä�â�Ü%à"å>? ¿ � þ:Þ�àií�ßÆÞ�Æ �C7 Æ 9 Þ�ésàã°ÛÆäÆå�ܶÞ�ÛÆä�â�ÛJà\äÆÞ ¿ 9aÈ î ç�æiæjÞ�Û î Þ�èóÜ�â­èvàrèrâ­ã°àrÞ�èóêëÞ î â�é � T>É�Ê ïË ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è�í�ßÆÞtêëÞ�é�ÜÆè"ç î Þ�é"é"ß%é�Æ � þSÆ 1� 7 h �� �81S�.© � ¾ © þ$Ì�ÍdÎ � Æ ��7 �ÐÏSÑ¤Ò � h �� �61S�0© � ¾ © �ésçVÛJà\äÆÞ�é ¿ � ò�æiâ�èsà"ãëÛÆìVâ�êëÞ�é�ï(*)?¨�Q,+���+V¨Ã± ð�çVãëÞ�ÛJà�ÓDßÆÛ�è"å�Þ�êtÜ'çVé"ã�àrã°á:Þ�à �0- � � �e¯ � ¯�Ô ßÆÛÆÞ ¿ � ò�æiâ�èsà"ãëÛÆìVâ�êëÞ î çVÛJà"ã�òÛ�ßÆÞ­ï'ý}ÛFé"ß%ÜÆܶç�é"ÞEí�ß%Þ � �0- 1Ô � Þ�é6à'Õ�ÛÆã�ï��ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%Þ � � - � � � �e¯ � ¯�Ô ßÆÛÆÞEé"çVß%é6ò�æiâ�è6àrãëÛ%ìJâ�êëÞ­ï{ ï*ÖFçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%Þ�þ�é"ã -Ø× ;2Ù�Ú Î �e¯ � ¯�Ô � - � � 5Û À ��- × ö Û � « �UÜ � - Ô � °¨Ý - × ö ÛMÞ¤ßÈ�à à"ãëêëã°é"Þ�è\ê°ÞÂà ñ å�çVè�á�æjÞoäM��â�è"è�N�à}Ü'çVßÆè�êXâ ésçVßÆé6ò æ â­èsàrã°ÛÆìJâ�ê°Þ � - � � Þ�ÛJàrèsÞ<LDâÇÓçb�ãL ;äl�å�æ Ý / « Ó ½ � - � � ö ÛMÞ È é"ã î Þ�à�Þ�ÛÆé"Þ�æ<ZÆêëÞ�Þ�é6à�ÛÆç�Û]}�ãëäÆÞ­þ ��� é"ã°ÛÆçVÛ ÊÞ�àWÓ Ê ï� ï ¸ å�äÆßÆã°è"Þ*äÆßFè"å�é"ßÆê�àHâ­à.ÜÆèså î å�äÆÞ�Û�à�í�ßÆÞ�þCésã R Þ�ésà\Ü'çVé"ã�àrã°áç5� ���0- × â R � 1 � « Ò � ���0- × â R � � - Ô � � ³È�à à"ãëêëã°é"Þ�è¸êëÞá�â­ã°àóí�ßÆÞ �0- × â R ��è ;2é»ê�ë�ì,í� î � è Ð x ¾ � Ü'çVßÆè î ; Ï ½ Ò Ê ï�%ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%Þ�þ � �.- × � Þ�é6à@Õ�Û%ã�Þ�à.í�ßÆÞ�5

�­ï ÙeÚ Î�e¯ � ¯�Ô � - � � 1�ð «�ñ � � � - Ô � 1 � ³

Page 39: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥�ò(*)?¨çó,+���+V¨ÃË �Vï ¸ å�æjçVÛJàrèsÞ�èwí�ßÆÞ\é"ã6^mÞ�à%^ I ésçVÛJà�ä%Þ�ßd ¿ � ò à"Þ�æjÜÆéwäM��â�è"è�N�à�â�êëç�è"é^]âÇ^ I ;�l�å�æ � ^ ½ ^ I � Þ�àa^]ôÇ^ I ;2ÙeÚ Î � ^ ½ ^ I � ésçVÛJà\äÆÞ�é ¿ � ò àrÞ�æiÜ%éóäM�£â­è"èeN�à�ï{ ï@¼tÛ-ß%à"ãëê°ãëérâ­Û�à�êëÞiàrÞ�æjÜÆéoäi�£â�èsèeN�àg^:ô © Þ�àuê°Þ à ñ å�çVèeá�æiÞ äM�£â­è"èeN�àuäÆå�æiçVÛJà"è"Þ�èí�ßÆÞ!5 �UÜ -:` °vÝ ^ Ï�© Þ � ¿ 9 ß ; -:9 °vÝ ^ Ï�© Þ� ï@¼tÛFäÆå�ä%ßÆãëèsÞ}í�ß%Þ�þCé"ã © « /65

� Ü -:` ì � °vÝ ^ Ï�© Þ � ¿ 9 ß ; -:9 °vÝ ^ Ï�© Þ ½�%ï@¼tÛFß%àrã°êëã°érâ�ÛJàvê°Þá�â�ã°àví�ß%Þ -s` ì 9 Þ�é6à ¿ 9 æjÞ�ésßÆèrâ�ZÆêëÞ­þÆæiç�Û�à"è"Þ�èóí�ß%Þ�/CF -:` ì �Þ�ésà\ßÆÛÆÞ ¿ � æiâ�è6àrãëÛ%ìJâ�êëÞ­ï(*)?¨çó,+���+V¨:õ�Ú �Vï�ð�çVã°à � É � � �e¯ � ¯�Ô ßÆÛ ÜÆèsç î Þ�ésé"ßÆé æjÞ�é"ß%èrâbZÆê°Þ1â�ä�â­Ü%àråAà"Þ�êí�ßÆÞé Ô� É 1� ¾ / 3ö� þ î ³ © ³ ï�ýÛ4Ü'çVésÞ - � ; é �� É 9 ¾d÷ 9 þ È ç¤� � ÷ � � �e¯ � ¯�Ô Þ�é6à ß%ÛæjçVß�}�Þ�æjÞ�ÛJà¡Z%è"ç®ø.ÛÆãëÞ�Û ésàrâ�ÛÆä�â­è"ä Ê ï�ÖÝç�Û�à"è"Þ�èyí�ßÆÞAésã �ûú Ù�Ú Î �e¯ � ¯�Ô - 1� ü 3� þµâ�êëç�è"é �ûú é Ô� É 1� ¾ / ü 3ù� ïMý}ÛùÜ'çVßÆè"è"âÃãëÛJàrèsç�ä%ßÆãëèsÞyêXâÃésßÆã°à"Þ�äÆÞyàrÞ�æiÜÆéäi�£â�èsèeN�àyäÆå�Õ�ÛÆãëÞAÜ�â�è�L n ;úl�å�æ Ý / ö A �4é �� É 19 ¾ © ;üû Þ Þ�àyæjçVÛJàrèsÞ�èyí�ßÆÞý��0- 1Ô ì P�þ � ; �ûú é Ô ì P�þ� É 19 ¾ © ü ï{ ï�ýÛ Ü¶ç�é"Þ î � / ½ � � ; xÿ x Ð � Ì�ÍdÎ � 7 � 1 ѤÒv� Ï 7 / ��� þ�Ü'çVßÆè�A « / 3 Ï Þ�à � T ª þÞ�à î � Ï ½ � � ; A%ïMð�çVã�à �0- � � �e¯ � ¯ x êëÞyÜ%è"ç î Þ�ésé"ßÆécäÆå�Õ�ÛÆãvésßÆè ~ A ½ Ï �¸Ü�â�è - � ;î � / ½�÷ � � ïÈ â Ê ÖÝçVÛJàrèsÞ�è.í�ßÆÞ - � ; - � � � ���� î� � �0© ½�÷ 9 � ¾ç÷ 9 ³È Z Ê ð�çVã°à É � ; � � î Ñ � � � � / ½�÷ � � ï*ÖÝçVÛJàrèsÞ�èÝí�ß%Þ é x� É 1� ¾ / 3 � þ î ³ © ³ Þ�à��ú é x� É 1� ¾ / ü<; ��� ï(*)?¨çó,+���+V¨:õ»õ ð�çVã°à �0- � � �e¯ � ¯�Ô ßÆÛÆÞ ¿ � ò�æiâ�è6àrãëÛ%ìJâ�êëÞ î çVÛJàrã°Û�ß%Þ«àrÞ�êëêëÞ í�ßÆÞ - � ;é ���� 9 ¾ © þ�ç¤� � � � � �e¯ � ¯�Ô Þ�é6àTßÆÛ*ÜÆè"ç î Þ�é"é"ß%é ¿ � ògâ­ä�â�Ü%à"åµàrÞ�êJí�ß%Þ À Ü?ï�é�ï é Ô� � � 9 � ¾ © 3��� ï

Page 40: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¥����ï�ýÛ1ésßÆÜÆÜ'çVé"Þ­þ�äÆÞuÜÆêëß%é�þ?í�ßÆÞ À Ü?ï�é�ï é Ô� � � 9 � ¾ © «� 3¦��� ï ¸ å�æiçVÛJà"è"Þ�èí�ßÆÞ*ésãM/ n� ; Ó� Ñ û Ü'çVßÆè'A « « û þCâ�ê°çVè"éM5k�l[mn®o'q¨§ � ï nr� Ù x ú - � þ² 7 - � þ² � ´ ü 1 ð ; A ³{ ï�ð�çVßÆé.êëÞ�é ñ ¹�Ü'ç�à ñ á�é"Þ�é�äÆÞ*êëâoí�ß%Þ�ésà"ãëçVÛFÜÆèså î å�äÆÞ�ÛJà"Þ�þ'äÆå�æjçVÛJàrÞ�è\í�ßÆÞ!5

� ï nr� Ù x ú - � þ² 7 - � þ² � ´ ü 1 ð ; � ú - 1Ô 7 - 1� ü ³¼tÛFäÆå�ä%ßÆãëèsÞ - Ô ; A À Ü?ï¹é�ï þ�Ü%ßÆãëéóí�ßÆÞ À Ü?ï¹é�ï �6/ « Ó ½ - � ; A�ï� ï�ýÛ�ÛÆÞ}ésßÆÜÆÜ'çVé"Þ*ÜÆê°ßÆéví�ßÆÞ é Ô� � � 9 � ¾ © é"ç�ã°àWZ'çVè"Û%åæ â­ãëé¸ésÞ�ßÆê°Þ�æjÞ�ÛJà.í�ßÆÞ î Þ�à"àrÞ}­â�èsãXâbZ%êëÞcâ�ê°å�â­à"çVãëèsÞuÞ�ésà�Õ�ÛÆã°ÞiÜ%è"Þ�ésí�ßÆÞyéej%è"Þ�æjÞ�ÛJà�ïMýÛ â­äÆæiÞ�à"à"èrâ í�ß%Þ êXâ¡}­â�òèsãXâbZ%êëÞEâ�êëå�â­àrç�ãëè"Þ é �� � � 9 � ¾ © Þ�ésà ¿ � ò æiÞ�é"ßÆè"âbZÆê°Þ�ï8ÖÝçVÛJàrèsÞ�èí�ßÆÞÄÓ n ;Ul[å�æ Ý A «© « Ó ½ é �� � � 9 � ¾ ©*ö û Þ È Ó ésã î Þ�à:Þ�Û%é"Þ�æ_ZÆêëÞ\Þ�é6à }�ã°äÆÞ Ê Þ�é6à¸ß%Ûjà"Þ�æjÜÆéwäM�£â­è"èeN�à�ï|tèsçVß�}VÞ�ètí�ßÆÞ À Ü?ï¹é�ï k[l�m n®o'q¨§ Ó n ; ÓE祿tÛcäÆå�ä%ßÆãëèsÞ�þ�Þ�Ûcß%àrã°êëãëé"â�ÛJàMêëâ�é"ßÆã�àrÞä%ÞEæiâ�è6àrãëÛ%ìJâ�êëÞ�é �.- � ì Ô þ � �  � þ�í�ßÆÞ À Ü?ï¹é�ï��6/ « Ó ½ - � ; A%ï�%ï�ð�çVã°à - � ßÆÛÆÞ\æiâ�èsà"ãëÛÆìJâ­êëÞ¸ä%Þ�êëâ�á¡çVè"æjÞ é �� É 9 ¾ç÷ 9 � é �� � 9 ¾ © â®}�Þ î é �� É 19 ¾ © 3��� À Ü?ï¹é�ï Þ�à é �� � � 9 � ¾ © 3ù��� À Ü?ï¹é�ï ïC¼tÛùß%àrã°êëãëé"â�ÛJàoêëâAé"ßÆã�àrÞ�äÆÞà"Þ�æjÜÆé äi�£â�èsèeN�à�Ó n ; l�å�æ Ý / « Ó ½ é �� É 19 ¾ ©4ö û Þ þ¸äÆå�æiç�Û�à"è"Þ�è í�ßÆÞ � � ;A ¾ /#� À Ü?ï¹é�ïëï(*)?¨çó,+���+V¨:õç= ýÛÝé$�¹ãëÛJàrå�è"Þ�ésé"Þ�?jêXâué"ç�êëß%à"ãëçVÛ · � äÆÞEê0�¹å�í�ß�â­à"ãëçVÛFäÆã���å�è"Þ�ÛJà"ãëÞ�ê°êëÞ}é6àrç­òîHñ â­ésàrã°í�ßÆÞ�5 � ¾ · � ; ���i· � � � I � ¾ / � � ø · � � ø I � ¾d÷ �· � ; A ³ýÛ Ü¶ç�é"ÞÄ^ � ; Ì�ÍdÎ ����� 7 ø 1 ÑbÒ � / � ø ÷ � � ï��ï@¼ î è"ãëèsÞ}ê0�¹å�í�ß�â­à"ãëçVÛ äÆã���å�è"Þ�Û�à"ãëÞ�êëêëÞ�ésà"ç îHñ â­ésàrã°í�ßÆÞ�ä%çVÛJà.Þ�ésà�é"ç�êëß%à"ãëçVÛã^ Ð x� ï{ ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%Þ�5¾ �Á· � ^ Ð x� � ; ^ Ð x� �e��� I 7 ø?ø I � ¾ / � ø I ¾ç÷ � � ³� ï@¼tÛFäÆå�ä%ßÆãëèsÞ}ßÆÛÆÞEÞ� �ÜÆè"Þ�é"ésãëçVÛFܶç�ßÆè · � ï

Page 41: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¦��(*)?¨çó,+���+V¨:õçK ð�çVã°à � ÷ � � �  � ßÆÛ ¿ � ò æiç�ß�}VÞ�æiÞ�Û�à*ZÆè"ç®ø.ÛÆã°Þ�Û?ï���Þ<ZÆß%à�äÆÞ î Þ�à}Þ� �Þ�è6òî ã î Þ}Þ�ésà�äÆÞ î â�ê î ßÆê°Þ�èvêëâuêëçVã¶äÆß î çVßÆÜÆê°Þ � ÷ � ½ ÙeÚ Î 9 ¯ � ÷ 9 � ï��ï�ð�çVã°à#^«ßÆÛjàrÞ�æjÜÆé:äM��â�è"è�N�à�Z'çVèsÛÆå�ïç¼tÛyß%à"ãëêëã°érâ�ÛJàwê°Þ.à ñ å�ç�èeá�æjÞ�äi�£â�èsèeN�à¸Ü'çVßÆè:êXâæiâ�è6àrãëÛ%ìJâ�êëÞ - � ; Ì�ÍdÎ � �� ÷ � � � 1 / Ñ¤Ò � þ­çb���Þ�é6àtßÆÛoÛÆç�æ<ZÆè"Þ�è"å�Þ�ê�þ�äÆå�æiçVÛJà"è"Þ�èí�ßÆÞ­þ�é"ã�A «��Ç«�� 5

��ú�� �! Ò!"$# ÿ&% Ð " Ó ÿ&% Ô � ¿�' q ` ü�; � Ð)( ££ Ò+* Ð ' Ô ³{ ï@¼tÛ1äÆå�äÆßÆã°è"ÞÂí�ßÆÞ ÷ `' ; ÷,' q ` 7 ÷ ` Þ�ésà}ßÆÛ ¿ ` q ' ò�æjçVß�}�Þ�æjÞ�ÛJàaZÆèsç®ø.ÛÆãëÞ�Ûã°ÛÆäÆå�ܶÞ�ÛÆä�â�ÛJà\äÆÞ*êXâÂà"è"ã[Z%ß ¿ ` ï� ï�ð�çVã°à ��- � � �  � Þ�ésà�ßÆÛFÜÆè"ç î Þ�é"é"ß%éâ�ê°å�â­à"çVãëèsÞ î çVÛJà"ãëÛ�ßÝã°ÛÆäÆå�ܶÞ�ÛÆä�â�ÛJà\äÆÞEêXâÂàrèsã[ZÆß� àrÞ�ê�í�ßÆÞ � � Ù�Ú Î �e¯ 9 ¯/. � -69 � �>3 ��� ï:ð�çVã°àÃÓ ßÆÛÆÞã}­â�è"ãëâbZÆêëÞ â­êëå�â�àrçVã°è"Þ � òæjÞ�ésßÆèrâ�ZÆêëÞHZ'çVè"Û%å�Þ*Ü�â�è � þ�æjçVÛJàrèsÞ�èóí�ßÆÞ�5� �0- Ô � � � ; � �0- � � � � Ù Ô ³ýÛ î çVæjæiÞ�Û î Þ�èrâ Ü�â�è*àrè"â�ã°à"Þ�è*êëÞ î â­éÂç¤�ÅÓ Þ�é6àoäÆÞiêXâyá¡çVè"æjÞ � x ¯ � ¯ n / ��° í ² þçb�]A 3 / x 3 ¬®¬®¬ 3 / n ; � þ�êëÞ�é R � å�àrâ�ÛJà\äÆãëé È çVãëÛJàré¸Þ�à � æiÞ�é"ßÆè"âbZÆêëÞ�é�ï�%ï�ýÛuÜ'çVé"Þ%L�1 ;�l[å�æ Ý ©�ö A ½%÷ 9¸Ï ÛMÞ þ�äÆå�æiç�Û�à"è"Þ�èMí�ßÆÞ�þVésã32 Þ�ésàwßÆÛÆÞvá¡ç�Û î à"ãëçVÛZ'çVèså�êëã°Þ�ÛÆÛ%ÞaZ¶ç�è"ÛÆå�Þ�54657 2 � ÷ � � °98 L 1 « /;:/<= ; 4>57 °98 L 1 « /;: � � / 7 L 1 � <= ½çb� � � � � ; 4D� 2 � ÷?' � Û �e� ï�¼tÛ äÆå�äÆßÆãëèsÞ�þ�Þ�Ûjß%à"ãëêëã°érâ�ÛJàwê°Þ.á�â­ã°àtí�ßÆÞ 4D� 2 � ÷,' �Û �e� ; 4D� 2 � 7 ÷?' � Û �e� í�ßÆÞ�54657 2 � ÷ � � °98 L 1 « /;:/<= ; 4657 2 �0Ò Û 7 ÷ � � °98 L 1 « /;:/<= ³Ë ï*ÖFçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%ÞEésã ÷ ×� ;2Ù�Ú Î 9 ¯ � ÷ 9 Þ�à\ésã Û ö A�5À � ÷ � « Û ½%÷ ×� ö Û � ; À � ÷ � ö Û ½%÷ ×� ö Û � ; À � ÷ � ö Û � ³¼tÛFäÆå�ä%ßÆãëèsÞ}í�ß%Þ ÷ ×� é"ßÆã�à.êXâoæÃN�æjÞ}êëçVã¶í�ß%ÞA@ ÷ � @£ï

Page 42: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¦CBD ï ¸ å�æjçVÛJàrè"Þ�è.í�ß%ÞEésã Û ö�� Þ�à Û ö A�5À � ÷ � « � ½%÷ ×� ö Û � ; À � ÷ � ö�Ò Û 7 � ½%÷ ×� ö Û � ; À � ÷ � ö�Ò Û 7 � � ³Þ�à.í�ßÆÞ�ésã Û « � Þ�à Û ö A�5À � ÷ � « � ½%÷ ×� ö Û � ; Ò À � ÷ � ö Û � 7 À � ÷ � ö�� � ³E ï'G�å�èsã�Õ�Þ�èóí�ß%Þ�êëâoêëçVã¶äÆß î çVßÆÜÆê°Þ � ÷ � ½�÷ ×� � Þ�é6à�ä%çVÛÆÛÆå�ÞEÜÆâ�èM5° Ý A «�F Þ ° Ý � «�F Þ Òv�0Ò F 7 � �G ÒIH /KJ Ì�ÍdÎ ï 7 �.Ò F 7 � � 1Ò / ð ¾ � ¾ F ³

Page 43: Calcul Stochastique

�����������������������������s���<�g���������R� �����¡���£¢���¤ ¦ML

N OQPSRUT9VXWZY [\]T_^ `Qa_PbVZTCced YfV PaCcSgWZT9VZOQ^ Yih R ce`jWaCY�h ^ c]kjl�aCYih mndQPdQofTCY�WZh

prqts uwvtx y{zt|�}~v���� ��}�x ���{��z����6�Z�X|��X��v�������������A�������������� ;¡t¢�£�¢¥¤§¦��3�����A¡;¤¨¡ª©���«�£ à ¢¥¤§¦���¤t�A¬w  à ©��/��¤;�{«�¤;¢¥¬w¤ àsà ��� à �­�®��£�¯¬°���­� à £����?��¤t� ¬��±� á ��¤t� Õ �3�§��¡t£�¤t¢¥�;²)³�¤t��¬�  à ©��±��¤t�´����� à ������µ�¤t� à � à £���¤t�t¦_�������´��¤¡;��� à ¤�¶ à ¤·��¤;��¬�� à ©� ;¬·� à £�¸¹��¤;� Õ �3����¡;£ á ¢¥¤t�;¦�¡t��¢ ¤t����¤t�´«9¤t¢¥¬w¤ àsà ¤;� à ��¤w¡º����¡t����¤t¢´��¤«�¢�£�¶���¤»�C¼+£�¬�«9��¢ à ¤½¸±��¤t����¤���« à £�����«9����¢�«9¤t��¸±��¤��¾¼¿�����¥��¡ª©�¤��¾¼¿¤�¶/«�¢�£�¬w¤t¢~�¥�����ÁÀ0��¢¥¬w¤��¤��¾¼¿¤t��«� ;¢Â����¡;¤°�C¼¿����¤�µ§��¢�£­��Ã���¤ ���� t� à ��£�¢¥¤´¸¹��¤°�ļ+���Å�Â�§£ à �¥£�¬�����¤;¢t²6¸Æ�����Ç¡t¤�¡t���t¦��­�¬w  à ©��/��¤���¤ Ö ��� à ¤�³���¢������� ;¡t¢¥£ à ¤�«������È����£���«9¤t¢¥¬w¤ à �§����¢��Á�C¼¿ t¡t¢�£�¢�¤ à ¢ á �$¢Â��«�£���¤t¬�¯¬w¤t� à ���¨����É���¢¥£ à ©�¬w¤�«9¤t¢�¬�¤ à"à ��� à �¾¼¿ ;µ§������� à £����?��¤r¡t¤ à"à ¤w��« à £����C²_³�¤;�´¬�  à ©��±��¤t������ à ¬�����©�¤t��¢�¤t����¤t¬w¤t� à «�¤;��¤�Ê�¡t��¡t¤;��¤ à ���Ë��¤Z��¤t�r� à £���£��¥¤�¸¹��¤A�¥£��ļ+���f��¤X�¥��£ à¤Ì¶�«���£�¡;£ à ¤t¢Æ��¤�«�¢¥£Í¶,��¤��ļ+��« à £����,�¥������À0��¢�¬�¤°���3��� ¹�à £�¸¹��¤§²O¸Ç¤r¬�Î;¬�¤§¦C¸¹�3�����Ï���Ð�¥¤«9���¥¤���¤t�$¸¹��¤t� à £������È¡t��¬w«���¤�¶/¤t�È����¢$����¤�� à ¢Â� à  tÉ�£�¤���¤�É�¤;� à £�������¤�«9��¢ à ¤;À0¤;��£�����¤HÈ0«3��¢¤Ì¶�¤;¬�«���¤�¦/¸¹��¤t����¤Æ��¤t¢Â����������£9�3���������X¬���£����C¼¿���X«9��¢ à ¤;À0¤t��£�����¤�¡;����µ�¤t¢ àóà ��������¤t�ÆÑÓÒÔ ����¢¥�$¤t����¤t� à ����¤t� à ¢¥¤ Ê ¦¹�­��¢� t«9�����¥¤�¤�¶���¡ à ¤�¤t� à £��3��¡t¡;¤t���¥£�Ã���¤����3�§� ¹�à £�¸±��¤t¬w¤t� à ² � ¤t�¬w  à ©��/��¤t����¤ �¥£�¬°���­� à £����·�¥��� à ������¢¥��£���¡t��� à ����¢��3��Ã���¤t�t²

Õ�ÖØ×½ÖØ× Ù°ÚÜÛeÝßÞ/àÇá�â�ãäâ�ãäåæá$ç»Þ/ãSèÏÚÈé�êKá� ¤�«�¢¥��Ã�� á ¬�¤���¤��­�·��£�¬°���­� à £����Z�¥¤�«9���¥¤���¤�����À��Äë ¡;���Ð�¥��£�µ��§� à ¤�²Cì��Ð��¤���������¤����¤�µ§��¢�£­��Ã���¤����� º� à ��£�¢�¤���¤�����£��$í ¾�î�ï ¤ à �ļ+���w¡ª©�¤t¢¥¡ª©�¤Æð�¢¥ t����£��¥¤t¢È����¢$���w��¢¥��£��3� à ¤t��¢����¤·�¥��£ à ¤w��¤ à £�¢¥��É�¤;��·{ñ ½ºòtòºò$½ ·ró ½ºòºòºò ðA«�¢¥£���¢¥£$£�� Õ ��£�¤ à ¤t����¤r¸¹��¤���¤;��·róA�¥��£�µ�¤;� à���ô����£Æ�Èí ¾�î�ï ¤ à ¸¹��¤¨���ô�¥��£ à ¤õíÁ·ró ï ó  ñ�����£ à ����¤¨����£ à ¤,��¤Ïµ§��¢�£­��Ã���¤t���� º� à ��£�¢�¤t�

Page 44: Calcul Stochastique

öø÷tù��¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� ���£����� t«9¤t���3��� à ¤;�t²�/£ ¡;¤t�~© ¹ «9� à © á ��¤t�)�¥��� à �Â� à £��ØÀ���£ à ¤t�t¦;���´«�¤;� à ��«�«���£�¸¹��¤;¢C�­������£§À0��¢ à ¤��¤;��É�¢Â������������¬°Ã�¢�¤t��«9����¢��§Êw¢¥¬w¤t¢�¸¹��¤§¦M�¥£ 2 ¤t� à ����¤ À0����¡ à £����{��¯�£�� à  ;É�¢Â�§Ã���¤��

���������� § Ï� �ñ ¯ ó ¯ � 2 íz·wó ï! � 2 í î�ï �Èí ¾�î�ï�ò È#"/²�Ñ Ê$)����¢Æ£�¬�«��� t¬w¤t� à ¤;¢�¡;¤ àsà ¤�¬w  à ©��/��¤��¥��¢Æ���,��¢¥��£��3� à ¤t��¢;¦����,«�¢¥�±¡ á ��¤���¤°�­�wÀ��¾ë ¡t�������£�µ§��� à ¤§²CìÆ�?����«�«9���¥¤�¸¹��¤��¾¼¿���Å�¥��£ à ¡t����� à ¢���£�¢�¤�����¤°�¥��£ à ¤���¤°����¬�Ã�¢¥¤;��í&%)ó ï ó  ñ¸¹��£»¢¥ º�§��£���¤�����¤��¥��£ à ¤·��¤�µ§��¢�£­��Ã���¤t������ t� à ��£�¢¥¤;������£�À0��¢�¬�¤;������¢��ļ+£�� à ¤t¢Øµ��§����¤('*) ½ Ï,+Ħ£����� t«9¤t���3��� à ¤;�t¦M¤ à ���X¡ª©�¤;¢¥¡ª©�¤�����¤�À0����¡ à £���� í � ñ ½ºòºòºò�½ � è ï!-. / í � ñ ½ ¬®¬®¬ ½ � è ï à ¤t����¤¸¹��¤Æ��������£M��¤Ç��� µ§��¢¥£���Ã���¤��§�� º� à ��£�¢¥¤ / í%$ñ ½ ¬®¬®¬ ½ % è ï �¥��£ à ��������£M¡ª©�¤t¢�¡ª©� t¤��$í ¾�î�ï ² � �����£ à ¤���¤�µ��§¢¥£­�§Ã���¤;�»�§�� º� à ��£�¢¥¤t��íz·wó ï ó  ñÈ�10g·wó 2/ í%!3 ó43ñ65 è � ñ ½ ¬®¬®¬ ½ %)ó è ï ¤t� à ������¢¥�����¤·�¥��£ à ¤w��¤wµ��§¢¥£­�§Ã���¤;���§�� º� à ��£�¢¥¤t�´£����� t«9¤t���3��� à ¤;���¥��£�µ§��� à ���A����£Áµ���������¤��Á²�ì��«9¤t� à ¦�«3��¢È¤Ì¶/¤t¬w«���¤§¦¹��«�«���£�¸¹��¤t¢WÈ "/²�Ñ Ê ¦����/¶�À0����¡ à £������ 2 í î�ï! î ¤ à�2 í î�ï7 î98 «9����¢¤;� à £�¬�¤;¢»��¤t�»¬���¬w¤t� à ���C¼¿��¢¥��¢¥¤<ÏƤ à Ò���¤*· È���������¢� t��¤t¢�µ�¤�¸¹��¤�4rí @ · @ 8Âï ����£ à Õ ��£ Ê ²� �w����£ à ¤�í&%)ó ï ó  ñ�¤t� à ¢� º����£��� t¤´¡t����¡t¢¥  à ¤;¬�¤;� à «3��¢���¤t����«�«9¤t��������¡t¡;¤t�¥��£�À0�Çðr���É� ;�� t¢¥� à ¤;��¢���¤»����¬°Ã�¢¥¤;��«���¤t�����§¯K���� º� à ��£�¢�¤t�;² � ��«�����«3��¢ à ��¤;�Á�­�§��É ��É�¤;�~��£���«�����£�Ã���¤t�����¢$��¤t�È��¢¥��£��3� à ¤;��¢¥�Ȭw�±��¤t¢���¤t�$«9���¥�� t��¤;� à ����¤�À0����¡ à £����w���� t� à ��£�¢¥¤§¦§��  Ô �´«�¢¥��É�¢Â��¬�¯¬w t¤§¦�¸¹��£_¢¥¤ à ����¢���¤��¥��£ à ���A����¬�Ã�¢¥¤�«���¤t�����·���� º� à ��£�¢�¤Ç¡;��¬�«�¢¥£���¤t� à ¢�¤:)°¤ à Ï�¦�����£ à���ˤt� à £�¤t¢w���� º� à ��£�¢�¤{�3�����r���õ£�� à ¤;¢�µ§������¤ Õ ¶/ :È�¡;¤ à"à ¤AÀ0����¡ à £����f«9��¢ à ¤A��¤X����¬ ��¤;=<?>=@!ACB ¤;�EDGF�HJI�K¹¦M��¤ ;=<L>=@�MON ¤t�QPSR ;1T9MVUJ<JW�X1<=Y Ê ²Z\[^]`_�ó?acbd[fehg�õig�õ � ��À0����¡ à £���� / «9¤t� à �3�§���~¡t¤t¢ à ��£���¡t���%È�¤;��«3�§¢ à £�¡t����£�¤;¢ß����¢¥�¥¸¹��¤�ļ+����¡ª©�¤t¢¥¡ª©�¤Æð´�¥£�¬�����¤;¢Á��¤t� à ¤t¬w«��$�C¼ �§¢¥¢¥Î à Ê ¦ �� t«9¤t����¢¥¤���¤ à ��� à ¤��­���¥��£ à ¤ í%)ó ï ó  ñ�¦¤ à �����Ы��������C¼+���¨����¬°Ã�¢¥¤ Õ ¶�¤r��¤j%dk¾² � ��¬w  à ©��±��¤�«�¢¥ ;¡t ;��¤t� à ¤w¤t� à ¤t��¡;��¢¥¤r� à £�¯��£��Â�§Ã���¤ �¥£Á�ļ+���,�Â��£ à �¥£�¬°����¤;¢@· ð{�¾¼+��£���¤��C¼¿���Ð����¬�Ã�¢¥¤°«�¢¥¤t��¸¹��¤���l�¢¥¤;¬�¤;� àHÕ ��£Á��¤%dk�¦È¡;¤X����¬°Ã�¢�¤{«�����µ§��� à �� t«9¤t����¢�¤X���õ©����Â��¢��C²½³Ç¼¿¤t� à ��¤{¡º���;¦È«3��¢r¤�¶/¤t¬w«���¤�¦Á��¤�ļ ����É���¢�£ à ©�¬�¤���¤{��£�¬°���­� à £����Ï�C¼¿����¤�µ§��¢¥£���Ã���¤����� º� à ��£�¢�¤�«9��£����¥����£�¤t����¤�È0µ���£�¢�«3��É�¤m D Ê ²Õ�ÖØ×½Ö¾Õ npoØÛrqÇêKÚÁÞ=oØá$ç âtsuqÇçÇã êKávowq�ç�oyxªáÈé3Ûeã{z^q�é}|�~����S��������{������������¬���� à ¢¥¤;¢·¡t��¬�¬w¤t� à �ļ+���i«�¤;� à ¡;����� à ¢¥��£�¢¥¤?��¤t�{É� ;�� t¢¥� à ¤;��¢¥�{��¤����¬°Ã�¢¥¤;���§�� º� à ��£�¢¥¤t�´�§� ¡º�§���10¨��¤;� É� t�� ;¢Â� à ¤t��¢�����¤w�­�X¬·�§¡ª©�£���¤r��¤w��������¤t¢¥��£�¤;� à«3�§��¤;� à £ á ¢¥¤´�Â� à £��ØÀ���¡ à £����ß²� ��¬w  à ©��/��¤����w«��������¥£�¬w«���¤ ¤ à ����«��������¥����µ�¤t� à � à £���£��¥ ;¤´¤t� à �­�r¬�  à ©��±��¤ ��¤t�¡;����É�¢���¤t��¡;¤t�)��£��� º��£�¢¥¤;�t²tì��´É� ;�� t¢�¤$����¤$�¥��£ à ¤�í î ó ï ó Â^� ��¤È����¬°Ã�¢¥¤t�~¤;� à £�¤;¢¥�~¡t��¬w«�¢�£��¤;� à ¢¥¤�)r¤ à���� Ï���¤´����À��¾ë ¡t���A�¥��£�µ§��� à ¤��� î � µ��§��¤t��¢�£���£ à £­�§��¤r� Ý ) ½ Ï ½ ¬®¬®¬ ½ ��� Ï Þî ó � ñ ���î ó�����í0¬��±������� � ï

Page 45: Calcul Stochastique

öø÷tù��¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �J��¨½ � ½ �   à ��� à ��¤;��¤t� à £�¤t¢¥��¸¹�C¼¿£��~À���� à ¡ª©���£���£�¢��¥��£�É���¤t���¥¤t¬w¤t� à ��£Á�¾¼¿���ŵ�¤t� à ¸¹��¤���¤t�¡t��¢Â��¡ à  ;¢¥£�� à £�¸±��¤t��� à � à £�� à £�¸¹��¤t����¤´�­���¥��£ à ¤´����£�¤;� à �¥� à £���À���£��Â��� à ¤;�t²��/¤;��É�¤ ø £�¡��X�3������ �/¤t��� E � «�¢� t¡t����£���¤ ��¤�¡ª©���£Í¶{�¥��£�µ§��� à �

��� ��� � Ï ñ Ï��L�¤ÒdÏ� Ï� Ï�)L�³�¤ à"à ¤A¬w  à ©��/��¤A«9¤t¢¥¬w¤ à ��¤A�¥£�¬°����¤t¢r��¤t�w¤t� à £�¤t¢���«��¥¤t�����®���� º� à ��£�¢�¤t��¤t� à ¢¥¤f)Ф à��� Ï1 C«9����¢Æ��Ã à ¤;��£�¢Æ���Ï����¬°Ã�¢�¤�¢¥ t¤;�È���� º� à ��£�¢�¤�¤;� à ¢¥¤¡)�¤ à Ïr���,��£�µ±£���¤°�¾¼¿¤t� à £�¤t¢���� º� à ��£�¢�¤Æ��£����¥£ßÉ� t�� ;¢¥  «3��¢ � ²

¢�£�¤,¥L¦¨§¤ª© «¨¬�¬�¬�¬�¬,¬�¬�¬¢�£�¤,¥L¦¨§¤ª©�« «­¬�¬�¬�¬¢�£�¤,¥L¦¨§¤¯® °1«�±�«­²,³�´1«µ,¶�§O·Q¸,¹?µCº9»µ,¶C§O·¡¼¾½:µ�¶C§O·À¿LÁÂOà ¸,¹µCº1¦¨¼?µ�¦�¤¡¼À¼Ä�ÅÀ¿E¤�§Æ¤�ÇL¦­º�ÄC§Oº(µ�¤ÈEÉ­¶�Ç�¤�Å�¥�µ,¶CÊ1È�É Ã�ÂË µ�¶C§O·Ì¼^«¯ÍQ¼  ©J«Sε�¶C§O·Ì¼¬QÍQ¼EÏj©J«Sε�¶C§O·À¿S«¯Í(¿  ©J«Sε�¶C§O·À¿O¬QÍ(¿ÀÏj©J«SÎÅO¤�º,¹OÅ,§�»,»�»Ð¼¬ à ¿S«ªÑ̼^« à ¿O¬Á¯Ï\©�«�Á à ©�«tÑ̼¬ à ¿O¬Á¯Ïj©hÎÒ£O¶�¹�®?µ,¤jÓ�Ä�§�£O¶­©Ô»ÕÁË È­º�Ä�º1¦,Öjµ�¶C§O·(ÄiÎÄQÍ�»6¸,¹?µCºi»Äi½×®SÁ¡ÑØ«�ÁjÏÙ©hÎÓOÄC§�£O¶­©fÍ(Ä Â ©ÔÎÒ� ¤,É� t�� t¢Â� à ¤t��¢A«�¢¥ t¡; t��¤;� à À0����¢¥��£ à ��¤;�A¢� t����� à � à �X��¡;¡t¤;« à ��Ã���¤t�{�������{��¤;�{¡º���¡;����¢Â�§� à �t²�³�¤;«�¤;���3��� à �¥�f«9 t¢�£��±��¤ È0£�¡;£ � ÏO)L� Ê «9¤t� à �¥¤,¢� ;µ� ;��¤;¢{«3��¢�À0��£��·£��/¯����Êw�Â��� à ¤§²)ìÆ�,«�¤;� à ¦ß������¢��t¦9��Ã à ¤t��£�¢Æ��¤t��É� t�� ;¢Â� à ¤t��¢�����¤°����¬�Ã�¢¥¤;�´���� t� à ��£�¢¥¤;����¤«9 t¢�£��±��¤w��¢¥Ã�£ à ¢¥��£�¢�¤t¬w¤t� à ������É���¤r¤t�®����É�¬�¤;� à ��� àt� ² � ¤·��¤t¡ à ¤t��¢�£�� à  t¢¥¤;�¥��  à ¢����/¯µ�¤t¢Â�°��¤t������¬�Ã�¢¥¤;�/¶�¢�¤t����¤t£�É���¤t¬w¤t� à ���¥��¢���¤t�»É� t�� ;¢Â� à ¤t��¢�����¤Æ����¬°Ã�¢¥¤;������ º� à ��£�¢�¤t�¤ à ����À��¾ë ¡t���A��¤ ��¤t��«�¢���É�¢Â�§¬�¬w¤t¢»�¥��¢����A��¢¥��£��3� à ¤t��¢�������� � Ú �¹�i��Ñ � ¤ à � � ¼ ¼!Û Ò � ²

Õ�ÖØ×½ÖÐÜ npoØÛrqÇêKÚÁÞ=oØá$ç âÇãhzÞÝ�Ú$éJoKÚ!ßÇêKãhzõÚ$êKÝ_ÚÁÞ�á!oþé�ãhz� ¤t� ����£���¸¹��¤����������Óµ�������� à £���£��� t¤;��«�����¢ ��¤t�´¬w�/�� ;��£��Â� à £������ Õ �3����¡;£ á ¢¥¤t� �¥��� à¤;�¥�¥¤;� à £�¤;����¤t¬w¤t� à ��¤;�{����£���É������¥��£�¤;����¤t��È��3��������¤Z¡º������¤t�{¬w�/� á ��¤;��¡;��� à £��¹��� Ê ¤ à

Page 46: Calcul Stochastique

öø÷tù��¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �9à��¤;������£��»¤Ì¶/«�����¤t� à £�¤t����¤t�»¤ à «9��£����¥����£�¤t����¤t��È0�3��������¤Æ¡t������¤;��¬��±� á ��¤t���Óµ�¤t¡��¥��� à � Ê ²�������������������»��������¤t¢���¤t��¬w  à ©��±��¤t��«9¤t¢�¬�¤ à"à ��� à ��¤Æ��£�¬°����¤t¢½¡ª©3��¡;����¤���¤Ç¡t¤t������£��;²áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè [Àê�_vó â _�ëìäÐ[^íwî9_ibìí,í â [ çdç [^íà���¤�¬w  à ©��±��¤�¡t�����¥��£�¸¹��¤�«9����¢È��£�¬°����¤t¢Á��¤t��µ§��¢�£­��Ã���¤t�Á����  à ��£�¢¥¤t��É �������¥£�¤;����¤;�½¢�¤�¯«9���¥¤�����¢$�­�Æ¡;����� à � à � à £����ãÈ0µ���£�¢È¤�¶/¤;¢¥¡t£�¡t¤ Ñ m Ê ¸±��¤�¦ �¥£)í%$ñCï�% 8 ï �¥��� à ��¤;�/¶�µ§��¢¥£���Ã���¤t����� º� à ��£�¢�¤t������£�À0��¢�¬�¤;���¥��¢ª'*)JïpÏ�+_£����� t«9¤t���3�§� à ¤t�Ô�

ð �òñ ��ó1ô í&%$ñ ïJõ ó Ù í ñ H�% 8 ï����£ à ����¤�����£/É������¥��£�¤;����¤�¡;¤t� à ¢� t¤�¤ à ¢¥ t����£ à ¤÷ö�£Ä²+¤§²§��¤�¬��Oø�¤;����¤��¹������¤½¤ à ��¤»µ��§¢¥£­�§��¡t¤ù�ú ² $�����¢Ç��£�¬°����¤t¢���¤t��É �������¥£�¤t����¤;�Æ��¤�¬��Oø�¤;����¤ � ¤ à ��¤ µ§��¢¥£�����¡t¤�ûô£��)����Ê à ��¤«9���¥¤;¢pü � �ýûcþ9¦��10Qþ·¤;� à ����¤´É �������¥£�¤t����¤´¡;¤t� à ¢� t¤ ¢¥ t����£ à ¤�²£O¶�¹�®?µ,¤j·�Ä�¹1È�ÈO¦�¤�§�§¤�»#£�¶C¹�®µ�¤�©Ô½6£O¶C¹�®µ,¤ÀÈO¦­·�©1Ä?ÁË Å�¤�º,¹�Å�©Ì©ÿÑÆÈO¦­·�©1Ä Ã È�¿�Å�º9»���´ � ¬ à µ,¶�·9»6ÓOÄC§�£O¶­©c»�Á�Á�Á à Ö�¶È^»´ � ¬ à ¼1¦ à Ó�ÄC§�£�¶­©Ô»�Á�Á�ÎÒáÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè�� b ç [fä æ�â [���� æ�ç [ ç å â [=äÐäu[���«�«9¤t����������¸¹�C¼+����¤�µ§��¢¥£���Ã���¤����� º� à ��£�¢�¤ üæ�¥��£ à ����¤°����£)¤Ì¶/«�����¤t� à £�¤t����¤���¤�«3�&¯¢¥��¬ á�à ¢�¤��Ï��£_�Â�r����£9µ§��� à � Ý î�� ) Þ � � 4� ���� îìÆ�?«9¤t� à �¥£�¬�����¤;¢�üæ¤;�,¡t����� à � à ��� à ¸¹��¤�¦ß�¥£v%�¥��£ à ����¤°����£)����£�À0��¢¥¬w¤ �¥��¢¯'*)Jï ù +1������ 3���5 �¥��£ à ����¤´����£ß¤�¶/«�����¤t� à £�¤t����¤���¤´«3��¢¥��¬ á�à ¢�¤��Á²£O¶�¹�®?µ,¤Ì¤���¼¶C§¤C§�º1¦�¤Oµ�µ�¤�»#£�¶�¹�®µ,¤÷©¹1ÁË Å�¤�º�¹OÅ,§��\µ,¶�·9»6ÓOÄC§�£O¶­©c»�Á�Á  ©¹VÎÒZ\[^]`_�ó?acbd[fehg�õig�e ³�¤Z¬w�Oø�¤;����¤A�¥£�¬°���­� à £����®��¤Z���,����£�¤Ì¶/«�����¤t� à £�¤t����¤X¤t� à ����¤¡t���Ç«3�§¢ à £�¡t����£�¤;¢���¤����w¬w  à ©��/��¤���¤��­���þÀ0����¡ à £����A��¤�¢� t«3��¢ à £ à £���� �¡öøµ���£�¢Çðw¡t¤���� Ô ¤ à�ļ+¤Ì¶�¤;¢¥¡;£�¡t¤ Ñ�! ú ²

Page 47: Calcul Stochastique

öø÷tù��¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �#"áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè�� b ç [(ê�_vó â _�ë�äu[E_�ä%$�_Jå æ�â ó�[&� æ�â í�í æ�çìâ [ çìç [à���¤�µ§��¢¥£���Ã���¤»���� º� à ��£�¢�¤½«9��£��¥�¥����£�¤;����¤�¤;� à ����¤�µ§��¢¥£���Ã���¤�ð�µ§����¤t��¢����3�§���(' à ¤t����¤¸¹��¤�� )·íuü û ï! � 4 1+* óû-, ï �¥£ û � ).Ǥ�«������;¦��¥£_í0/�k ï k213ñ)¤;� à ����¤�����£ à ¤���¤�µ§��¢�£­��Ã���¤t������ t� à ��£�¢¥¤;��¤�¶/«9����¤;� à £�¤;����¤;�È��¤�«3�§¢Â�&¯¬43 à ¢¥¤ * ¦C������¢¥���­�·����£���¤w�65 87 ó913ñ : #; /~ñÔ�=<><><��?/�óA@CBEDF/~ñ �G<><><O�H/9ó � ñJI¤;� à ��������£M��¤�$���£��¥��������¤�«3��¢Â�§¬K3 à ¢¥¤ * B̲J��ñ½��������¡Æ¬wÎt¬w¤�����£M¸¹��¤Æ�­��µ§��¢¥£���Ã���¤�ü¸¹��¤��ļ+����¡ª©�¤;¢¥¡ª©�¤�ð��¥£�¬�����¤;¢t²L.�¼+��� à ¢�¤�«3�§¢ à ¦&���°«9¤t� àµà ��� Ô ����¢���¬w¤ à"à ¢¥¤½��¤;��µ§��¢¥£���Ã���¤t�¤Ì¶�«9����¤;� à £�¤;����¤t�M/�k~�¥����������À0��¢¥¬w¤ � ��óLô í&%dk ï�N * ¦��10X��¤;� í&%dk ï kO13ñ������ à ��¤t��µ§��¢¥£���Ã���¤t����� º� à ��£�¢�¤t�È����£�µ§��� à �­�´����£3����£�À0��¢�¬�¤�����¢ '*)Jï ù +M¤ à £����� ;«�¤;���3��� à ¤;�t²J�rñÈ�;¼+ ;¡t¢�£ à ������¢��Ô�

�rñ �ó913ñ : 8 %$ñ­% 8 <><><�%)ó � ñE@ � 4 1 D2%$ñ�% 8 <><><C%)ó : ò³�¤;�­�?¡t��������£ à ð,�¾¼+����É���¢¥£ à ©�¬w¤w����£�µ§��� à «9����¢���£�¬°����¤t¢�����¤{µ§��¢¥£���Ã���¤·���� º� à ��£�¢�¤·��¤$)��£����¥���C²£O¶�¹�®?µ,¤QP�¶¦,È�ÈC¶C§9»#£O¶C¹�®µ,¤¡µ,Ä­©®�£�Ä?ÁË £O¶C¹�®µ,¤Ù¹fÍQÓ�ÄC§O£O¶­©Ô»�Á�ΣO¶C¹�®µ,¤ÌÄÀÍ(¤��,¼9»��Cµ,Ä­©�®�£OÄ?Á^Φ¨§Oº §fÍ(¬iÎÊSRS¦Cµ�¤�»Ð¹UTQÄ?Á ˹EÍ̹ à Ó�ÄC§�£O¶¨©hΧOÑ�Ñ9ÎÒÅ�¤�º,¹�Å,§Ì§¾ÎÒ$�����¢X�­�ô�¥£�¬°����� à £����i�C¼+��� à ¢¥¤t�X����£���¸¹��¤Ð�������X�C¼ �ºµ������A«3���X¡t£ à  t¤;�t¦���� «9����¢�C¼+��� à ¢¥¤;�w¬w  à ©��±��¤t�r��¤X�¥£�¬°����� à £����ô��¤;������£��°«�¢¥ t¡; t��¤;� à ¤t�;¦����f«9����¢�¢Â�,¡t�����¥��� à ¤t¢� V ���i� D � ²

áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè [Àê�[ WLå�[=bYXí¡î9_ibdí�í â [ ç í� ��¢¥��¸¹��¤��ļ+���X¡;����� à ¢¥��£ à ��¤t��¬��±�#3t��¤t���10A£�� à ¤;¢�µ±£�¤;����¤;� à «������¥£�¤;��¢¥����¡ à £�À0�ªö0«3��¢¤Ì¶�¤;¬�«���¤�����¢¥�¥¸¹��¤��ļ+���{¡ª©�¤t¢�¡ª©�¤°ð°¬w�/�� t��£��¥¤;¢���¤t��«3�§��£�¤;¢¥���C¼+��¡ à £�À0��¡;��¬w¬�¤Æ�ļ+£�����£�¡t¤Ã9����¢��¥£�¤;¢�³EZ�³ m Ò ú ¦����ô¤t� à ��¬�¤;�� �ðZ¡t������£��� ;¢¥¤;¢°��¤t��«�¢¥�±¡t¤t���¥����É������¥��£�¤;����ðZµ§�&¯��¤t��¢��Ç�3�����\[ ó ²^]_¤°«�¢���Ã��23;¬�¤���¤°�����¥£�¬°����� à £����Z��¤t�Ƶ�¤;¡ à ¤t��¢�� É������¥��£�¤;���¯ö0µ���£�¢���¤

Page 48: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �ba«3�§¢Â��É�¢¥��«�©�¤ "/²�Ñ�² " ��¤Ç�ļ �§«�«�¤;����£�¡t¤Ç«9����¢»�­�´�� �c���£ à £������C¼+����µ�¤t¡ à ¤;��¢�É �������¥£�¤t� ú ¤t� à������¢¥��¤t�¥��¤t� à £�¤t�IJ3����������������������������¤t¢�����¤´¬�  à ©��±��¤Æ��¤´��£�¬°����� à £����w��¤´¡t¤ à ø±«�¤´��¤µ§��¢�£­��Ã���¤t���§�� º� à ��£�¢¥¤t�;²�������_�¥��«�«�����¤t¢������)¸±��¤È�¾¼¿����¡ª©�¤t¢�¡ª©�¤»ð��¥£�¬�����¤;¢C����µ�¤;¡ à ¤;��¢~É �������¥£�¤t��íuü{ñCïS<><><Cï¨üró ï����� à ��������£�¤;� à ¡º�§¢Â��¡ à  t¢�£��� t¤�«3��¢���¤Çµ�¤;¡ à ¤t��¢���¤;��¬��Oø�¤;����¤;� � í � ñCïd<><><�ï � ó ï! í0eríuü{ñ ï ïS<><><�ïferíuüró ï¥ï ¤ à ��� ¬�� à ¢¥£�¡;¤ô��¤f¡t�Óµ§��¢�£­����¡;¤hg íuû�kji ï ñ�k�k2k¹óLl ñ�k9iJk¹ó��10û�kji eríuü¯k�ü�i ï � eríuü¯k ï erí ü�i ï ²#]~��¬�� à ¢�£�¡t¤mg,¤t� à �� �c3��£�¤Æ«9���¥£ à £�µ�¤Ç¤ à ���������¥��«/¯«9���¥¤;¢¥�����t¦¹��¤�«������t¦ ¸¹�C¼¿¤t����¤�¤t� à £�� µ�¤t¢¥��£�Ã���¤�²±ìÆ�w«�¤;� àwà ¢¥����µ�¤;¢»����¤�¢¥��¡t£���¤�¡º��¢�¢¥ ;¤���¤gȦ�¡§¼+¤;� à ð°��£�¢¥¤Æ����¤�¬·� à ¢¥£�¡t¤on�¦ à ¤t����¤Ç¸¹��¤pnrq 5 n g$²�³���¬w¬�¤\gФt� à £�� µ�¤;¢¥��£�Ã���¤�¦nS�¾¼¿¤t� à  tÉ �§��¤t¬w¤t� à ¦�¤ à ���,«9¤t� à ¡t�����¥£��� t¢¥¤;¢Æ��¤ µ�¤;¡ à ¤;��¢6s n 43ñ íuü ��� ï ²+tþ��¤t� àÀ���¡;£���¤���¤wµ� t¢�£Oc3¤;¢�¸¹��¤�¡t¤�µ�¤t¡ à ¤t��¢�¤t� à ��� µ�¤;¡ à ¤;��¢�É������¥��£�¤;�C¦~¡t¤t� à ¢¥ �²-.Ǥ�«������´�¥�¬�� à ¢�£�¡;¤Æ��¤´¡t�Óµ§��¢¥£�����¡;¤Æµ��§� à �eríus�k0sYi ï 7 ñ�kwv�k¹ó9l ñ�kwx�k¹ó ery�n 43ñkzv íuü4v �Þ� v ï n 43ñi{x í üKx �Þ� x ï{|

7 ñ�kwv�k¹ó9l ñ�kwx�k¹ó e y n 43ñkzv n 43ñi�x û}v~x | í%n 43ñ g½í 5 n ï 43ñ ï k�i í%n 43ñ n 5 n°í 5 n ï 43ñ ï kji r� � òs ¤t� à ������¡����Aµ�¤;¡ à ¤;��¢ÇÉ������¥��£�¤;�Å¡t¤;� à ¢¥ ���¤ ¬·� à ¢¥£�¡t¤���¤ ¡t�Óµ§��¢¥£�����¡;¤�£���¤t� à £ à  §²�])�����£~���ŵ�¤;¡ à ¤t��¢6sS¤;� à ¡t¤t����¤���¤ : É �������¥£�¤;����¤;��¡t¤t� à ¢¥ t¤;��¢¥ ;����£ à ¤t��£����� ;«�¤;���3��� à ¤t�t²]~������£M���·µ�¤;¡ à ¤t��¢ ü � ��n\s ¦/«9¤t� à ������¡�Î à ¢�¤Æ�¥£�¬°���� t¤���¤Æ�­�´À��¾ë ¡t�����¥��£�µ§��� à ¤��� ìÆ�X¡º�§��¡t����¤�����¤´¢¥��¡t£���¤�¡º��¢�¢¥ ;¤ ��¤ ����¬·� à ¢¥£�¡t¤\gȦ#n�²� ìÆ����£�¬°����¤ : É �����¥�¥£�¤t����¤t�~¡t¤;� à ¢¥ ;¤t�~¢¥ ;����£ à ¤t�~£����� t«9¤t������� à ¤t��� íuþ¹ñ�ïS<><><Cï¨þ§ó ï ²� ìÆ�X¡º�§��¡t����¤ � �hn��r²

Z\[^]`_�X?acbd[fehg%�igO�{$�����¢�¡t����¡;����¤;¢��­��¢Â�§¡t£���¤w¡t��¢¥¢� t¤w��¤4gȦ_���¨«9¤t� à ����«�«9���¥¤;¢�nà ¢¥£­�§��É�������£�¢�¤È�¥��«9 t¢�£�¤t��¢¥¤�¦§£��Sø��Ç������¢¥�)����¤���¤t����¤��¥����� à £�����ðÇ�¾¼¿ t¸¹�3� à £�����n�q 5 n gȲ�È� ¤�¶/«���£�¡t£ à ��� à ¡t¤ àsà ¤, ;¸±��� à £����C¦���� ��Ã à £�¤t� à À���¡;£���¤;¬�¤;� à ��¤;��¡t�±¤;Êw¡;£�¤t� à �{��¤�n�²³�¤ à"à ¤½¬w  à ©��/��¤È��¤½¡t����¡;��� ��¤$�­��¢¥��¡t£���¤È¡º��¢�¢¥ ;¤»�;¼ ��«�«�¤;����¤È����¬�  à ©��±��¤$��¤»³�©�����¤;µ±�¨�Søö0«�����¢����Å�§����É�¢�£ à ©�¬�¤�¡t��¬�«���¤ à µ���£�¢ � ³�£­�1�L� � ú ²Õ�ÖØ×½Ö0� npoØÛrqÇêKÚÁÞ=oØá$ç âÇãr��é�á���ãhz=z^q�zýz Þ�á���àÇÚ!z¹Þ=o�� q�ãhz]_¤t��¬w  à ©��±��¤t���� t¡t¢�£ à ¤t��«�¢� t¡; t��¤;¬�¬w¤t� à «9¤t¢�¬�¤ à"à ¤;� à ��¤Æ��£�¬°����¤t¢½����¤Çµ§��¢�£­��Ã���¤���� º� à ��£�¢�¤�¦~¤t�f«3�§¢ à £�¡t����£�¤;¢����Zµ§����¤;��¢��C¼¿���f«�¢��/¡;¤t�¥�����r� à �/¡ª©3�§� à £�¸¹��¤Xð?���f£���� à ��� à�������� �²/ìÆ���´«3��¢ØÀ0��£��ÈÃ9¤t����£�����¤��Â�ºµ���£�¢$�¥£�¬�����¤;¢ à ��� à ¤���� à ¢Â� Ô ¤t¡ à ��£�¢�¤��C¼+���·«�¢��/¡;¤t�د�����t²½³�¤{«3�§¢Â��É�¢¥��«�©�¤{«�¢¥��«9���¥¤{¸¹��¤;��¸¹��¤;�w«�¢¥�±¡t t�� t�r t��¤t¬w¤t� à ��£�¢¥¤;�°«�¤;¢¥¬w¤ àsà ��� à ��¤��£�¬°����¤t¢���¤t� à ¢¥� Ô ¤t¡ à ��£�¢¥¤t����¤´«�¢��/¡;¤t���¥���;²

Page 49: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �#�áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè b ] æ b ê�[^]`[ ç å¡ë-X æw�jçdâ [ çìÆ�°«9¤t� à ¡;£ à ¤t¢���¤t�/¶�¬�  à ©��±��¤;��«9¤t¢¥¬w¤ àsà ��� à ��¤��¥£�¬°����¤t¢)���°¬w����µ�¤;¬�¤;� à Ã�¢¥�>��¯��£�¤t� í`��5 ï 5�1 � ²M]~� «�¢¥¤t¬w£23;¢¥¤Z¡t������£�� à ¤,ð��þ¢¥¤;����¢¥¬�����£��¥¤;¢{�X����¤?¬���¢¥¡ª©�¤?���� t� à ��£�¢¥¤§²�/��£ à í ü¡k ï k21 � ����¤Ï����£ à ¤,��¤?µ§��¢¥£���Ã���¤t�{���� º� à ��£�¢�¤t��£����� ;«�¤;���3��� à ¤;�X¤ à  t¸¹��£���£�� à ¢�£�¯Ã��� t¤t����¤r����£()�í ü¯k ù ï ù N ñ ¦�) í ü¯k � ù ï÷ ù N ñ ²)ì��¨�A������¢��pe�í ü¯k ï )¤ à eõíuü 8k ïp ù ²ßì��Å«�����¤A��ó ü{ñ ��<><><L��üró/¦����?«�¤;� à ������¢¥�M�Ø�§«�«�¢¥�º¶/£�¬w¤t¢�� ��¤¬w����µ�¤t¬w¤t� à Ã�¢¥�>����£�¤t�A«3��¢���¤�«�¢¥�±¡t¤t���¥����íuü ó5 ï 5�1 � �10 �

ü ó5 ù� : �-� ód5z��10ÿ' î +_�� ;�¥£�É���¤��­��«3��¢ à £�¤�¤t� à £O3t¢¥¤���¤ î ²MìÆ� à ¢¥����µ�¤;¢Â�����X�� tÃ�� à ��¤ Ô ��� à £Oc�¡º� à £����{ð¡;¤ à"à ¤�À��¾ë ¡t���A��¤´�¥£�¬°����¤t¢���¤�¬����/µ�¤t¬w¤t� à Ã�¢�������£�¤t�X�3�§�����ļ+¤Ì¶/¤t¢¥¡;£�¡;¤ Ñ>� ².Æ�������­����¤t�/¶/£23;¬�¤�¬�  à ©��±��¤�¦9���,¢�¤t¬���¢¥¸¹��¤�¸±��¤�¦C��£�íuþk ï k21 � ¤t� à ����¤�����£ à ¤���¤É �§���¥��£�¤t����¤t��¡t¤;� à ¢¥ ;¤t��¢¥ t����£ à ¤t��£����� t«9¤t���3�§� à ¤t�;¦9��£Y��BM�V)�¤ à ��£_�¾¼¿���X«�����¤��� � � )��ó � ñ � ��ó þ&ó������¢¥���­������£���¤�í � � Bf� � ï � ��B��)ñCïS<><><Cï � ��Bf��ó ï ¤;� à £���¤t� à £�¸±��¤�ð�¡;¤t����¤���¤��íu� � ïJ��¡¢5&ïJ� 8 ¡¢5yïS<><><�ïJ�,ód¡¢5 ïÌòìÆ�X«�¤;� à ��«�«�¢��º¶�£�¬�¤;¢���¤�¬w����µ�¤t¬w¤t� à Ã�¢¥�>����£�¤t�A«3��¢ ü ó5 � ��Bf�-� 5¤£¥¡¢5z� ²áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè [^íA$^aÔbd_=å âÐæ�ç í èì⧦ $�X[ ç å â [^äÐäÐ[^ítí�å æ W9¨ _ií�å â aÔb [^ítþ�±¤�¶/£�� à ¤���¤�����¬°Ã�¢¥¤t���¥¤t��¬�  à ©��±��¤t�;¦§¡;¤t¢ à ��£���¤t� à ¢f3;�Á�¥��«�©�£�� à £�¸±�� t¤t�;¦§«9����¢��¥£�¬°�/¯��¤t¢����r������� à £������C¼¿���Z ;¸¹�3� à £����X��£O©� t¢�¤t� à £�¤t����¤Æ� à �±¡ª©3��� à £�¸¹��¤§¦3���Z«9����¢�¢Â�°¡;�����¥��� à ¤;¢t¦«9����¢����Å«�������¢¥��¬·�r��¤�¡t¤t��¬�  à ©��±��¤;� � $(ª���! � ²9�������Ç��¤�«3�§¢¥��¤;¢¥������£�¡t£~¸¹��¤���¤��­�¬w  à ©��/��¤����w«������� t�� ;¬�¤;� à ��£�¢¥¤��3�����þ¬�  à ©��±��¤´�C¼«�$����¤t¢Ç���� t� à ��£�¢¥¤J�ª²}]_¤ «�¢¥£���¡t£�«�¤´¤;�¤;� à ��¤�����£�µ§��� à �3¡;�����¥£��� t¢�����������¤´ ;¸±��� à £����X��£O©� t¢�¤t� à £�¤t����¤Æ� à �/¡ª©���� à £�¸¹��¤��� ü � î� üA5 �&í ü45 ï � Bh�ýû$íuüA5 ï � ��5 òìÆ�ô��¤Qc�¶/¤����®«3�§����¤���£��¥¡;¢¥  à £��¥� à £���� ¤;� à ¤;¬�«�� ��B̲ÈìÆ�ô«9¤t� à ������¢���¡;����� à ¢¥��£�¢¥¤���¨«�¢¥�±¡t¤;�¥���°ð à ¤;¬�«�����£��¥¡t¢�Î à íu��ó ï óL1 � ��«�«�¢��º¶�£�¬·�§� à ���A������� à £����Ï��¤��¾¼¿ t¸¹�3� à £������£¤©ß ;¢¥¤;� à £�¤;����¤�� à �/¡ª©3�§� à £�¸¹��¤��§�/¶X£���� à �§� à : ��B̦3¤t�Å«9���¥��� à �� � � î��ó � ñ � ��ó ¬ �&íu��ó ï ��Bh�éû$í`��ó ï(y � 3+ó � ñ65­¡¢5 � �?óS¡+5 |�®

Page 50: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� �#¯�/£Ôü ó5 � � 5¤£¥¡¢5z�0¦)í ü ó5 ï 5�1 � ��«�«�¢��Ó¶/£�¬�¤rí üA5 ï 5�1 � ���Z��¤t�����¥��£�µ§��� à �° ¨�$ æ X�±=]Ø[ÆeÔg%�9g­²´³¶µL·w¸6¹�µL·w¹-/º� )o»

e½¼¿¾�À#Á5�k�ÂÄà ü ó5 � üA5 à 8fÅ @GÆÇÂ+��B�ïÆÇÂCÈ�¹uÉ¿Ê}¹�· ʢˠÌ͵LÊ�Î�¹uÉ¿Ê}¹�Ë�ÏwÈ�Ð}Ë�ÊbÏ�É¿Ê}¹(·wÊ}Ñ%Òd·}Ë�ÓQË�Ê}¹MÏwË�/�ÔìÆ�UÕ¥¢¥����µ�¤t¢¥�·�­�w�� t¬w�����{Õ¢Â�LÕ£����Å��¤�¡t¤°¢� t�¥���OÕª�LÕ¯öÄ�§£�����£)¸¹��¤��C¼ �§��Õ¢�¤t�Æ��¡ª©� t¬����Æ��¤��£��¥¡;¢¥ �Õ¥£��¥�9Õ£����¨��¤t�� ;¸¹�3�9Õ£���������£O©� t¢�¤t��Õ£�¤t����¤t�´��Õ¥�/¡ª©�����Õ¥£�¸¹��¤t� ú �3��������¤r¡ª©3�§«�£OÕ¥¢¥¤×Ö��¤ � Ø �§¢­�1� � ²]~������£)��¤���¤��­��À���¬w£�����¤ y �`3 ó � ñ65¤¡¢5 � �?óS¡¢5 | óL1 � ¤t�{Õ´£���¤;��Õ¥£�¸¹��¤�ð�¡;¤t����¤°�C¼¿����¤À���¬w£�����¤ ��¤wÉ �������¥£�¤;����¤;��£����� t«9¤t���3����Õ¤;��¡t¤;��Õ¢¥ ;¤t��¤�Õ ��¤rµ��§¢¥£­�§��¡t¤A��B̲�.Æ����� ����¤��£�¬°�����9Õ£����C¦M���Т¥¤;¬�«��­��¡;¤ y � 3 ó � ñ65¤¡¢5 � �?óS¡¢5 | «3��¢òþ&ó � ��B̦C�10õíuþ&ó ï óL1 � ¤;��Õ ����¤����£OÕ¥¤Æ��¤ÆÉ �§���¥��£�¤t����¤t��¡;¤t��Õ¢� t¤t��¢� t����£¤Õ¤;��£����� t«9¤t���3�§��Õ¥¤t�;²�])���¥��£¤Õ¤���«�«�¢¥�º¶/£�¬�����Õ¤í`�ÚÙó ï ó91 � ¤t�{ÕÇ�3�§����¡t¤´¡º������ �c3��£�¤ «���¢Ô�� � Ù� î�ÛÙó � ñ �ÛÙó �h� B7�§í`�ÛÙó ï �ýû$íu�ÛÙó ï þ&ó � ��BZ\[^]`_�X?acbd[fehg%�igOÜ ìÆ��«9¤t��Õ»�¥��Ã���Õ¥£OÕÂ��¤t¢»ð ��� ����£OÕ¥¤���¤�µ§��¢�£­��Ã���¤t�$���� º�9Õ¥��£�¢�¤t�ÈÉ �§���د��£�¤t����¤t�½£����� t«9¤t���3�§��Õ¤;��íuþk ï k21 � ����¤�����£OÕ¥¤���¤�µ§��¢�£­��Ã���¤t�$���� º�9Õ¥��£�¢�¤t�È£����� t«9¤t���3����Õ¤;�í%ìk ï k21 � ¦+Õ¤;����¤�¸¹��¤�)·í&%dk ù ïp )·í&%dk � ù ïp ù N ñ ²+tþ�)À�����Õt¦�¡;¤t«9¤t���3�§��Õt¦ß���9Õ¤t¢¸¹��¤§¦��3�§����¡;¤�¡t���t¦M���Z�C¼+��«3������¤´¬wÎt¬w¤\Õ&ø/«9¤ ��¤�¡;��� µ�¤t¢�É�¤t��¡t¤°¸¹��¤��3��������¤\Õ©� t�§¯¢�3t¬w¤ "±²�Ñ�² m ²±ìÆ�w«�¤;��Õ��� t¬w����Õ¢¥¤;¢$���KÕ¥©� t��¢�3t¬w¤���¤�¡;��� µ�¤;¢¥É�¤;��¡t¤§¦�¬���£��È����¢»��¤t�$����£����¤;�Æ«�¢��/¡;¤t�¥�����t²_ì��Å«�����¢¥¢Â�w¡t�����¥���¤Õ¤t¢ � Ú ���~ÖÝÖ � ¦ � $(ª���! � ¦ � ª��§� Û ! � ¤�Õ � Ú $ Û " � «9����¢��¤;��«�¢� t¡;£��¥£��������¥��¢�¡t¤KÕ&ø±«9¤���¤�¡t��� µ�¤;¢¥É�¤;��¡t¤{¤�Õ°��¤·����¬°Ã�¢�¤t�/¶¨¢� t�¥���OÕª�LÕÂ������¢���¤t���£��¥¡;¢¥ �Õ¥£��¥�9Õ£�������¤;�Z����£C��¤;�� ;¸¹�3�9Õ£���������£¤©ß ;¢¥¤t��Õ¥£�¤t����¤;����Õ¥�/¡ª©3�§��Õ£�¸¹��¤t�;²Þ ç [f_#����ä â W1_=å âÐæ�ç _ibG] æhè ±^äÐ[ è [�ßwäÐ_}W�à [Så á WL¨ æ äu[^í.Æ��������¤�¡º���»���{¬w�/�#3;��¤���¤ V �­��¡��r¤�Õ��/¡ª©�����¤t�;¦�£��9�;¼ �§É�£OÕ»��¤Ç��£�¬°����¤t¢½�­�´�¥������Õ¥£������¤´�ļ+ ;¸±���9Õ£���� � � ü � î� ü45 üA5Øí0á � BÔ�éû � ��5 ï�òìÆ��«9¤t��Õ�«�¢¥�±¡t ;��¤t¢���¤Æ��¤t�±¶�À��Äë ¡;�����t²�]~��«�¢¥¤;¬�£O3t¢�¤Ç¡t�����¥£���Õ¤Æð���Õ£���£��¥¤t¢½�­� ¬� �Õ©��±��¤�C¼«�È����¤;¢����� t�9ÕÂ��£�¢¥¤§²3ìÆ�A«�����¤��� � � î��ó � ñ ��ó�í ù �Há¿��B �ýûcþ&ó � ��B ï ï

Page 51: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� àwâ¤�Õ�ð �¥£�¬°����¤;¢�üA5C«3��¢7ü ó5 � � 5¤£¥¡¢5z�0²w]ȼ �§��Õ¢�¤�¬w �Õ¥©��±��¤�¡;������£���Õ¥¤Çð´��Õ¥£���£��¥¤;¢Á�­��À0��¢¥¬w¤¤Ì¶�«���£�¡;£OÕ¥¤Æ��¤´�­���¥������Õ¥£���� �

üA5 îoã�ä Á ¼ á�B � û 8ñ B �ýûY��5 Ť�Õ�ðr��£�¬°����¤t¢���¤Æ¬w����µ�¤t¬w¤t��Õ�Ã�¢¥�>����£�¤t�X«3��¢�����¤ ��¤t��¬� �Õ©��±��¤;��¡;£OÕ¥ t¤t��«�¢¥ t¡; t��¤;¬r¯¬w¤t��Õº²Y.Ç����� ��¤r¡º��� �10Ï�¾¼¿���Ï�¥£�¬�����¤���¤�¬����/µ�¤t¬w¤t��Õ�Ã�¢¥�>����£�¤t�¨«3��¢ � ��B 7 ók­å�ñ þk�¦���X��à Õ£�¤;��Õ ��ó îoã�ä Á ¼ í0á � û 8 N ñ ï : � BÔ�éû � ��B ó�k­å�ñ þk Å ò ö#"/² " úìÆ�A��«�«�¢��º¶�£�¬�¤�Õ¥��� Ô ����¢¥�püA5�«3�§¢ ü ó5 � � 5¤£¥¡¢5z��²Z\[^]`_�X?acbd[fehg%�igOæ ìÆ�i«�¤;��ÕX�����¥�¥£��¥��Ã���Õ£¤ÕÂ��¤;¢{���/¶õµ§��¢¥£���Ã���¤t������ t�9ÕÂ��£�¢¥¤;��É �§���د��£�¤t����¤t� þkÈ��¤t��µ§��¢�£­��Ã���¤t����¤ V ¤t¢�������£�����£_µ§��������Õ�� ù ��� � ù �ºµ�¤;¡w«�¢¥��Ã3�§Ã�£���£OÕ  ù N ñ�3�§���÷ö "±² " ú ¦¹���{��Ã�Õ¥£�¤t��Õ»���{¬w�/�#3;��¤���¤mÕ&ø±«9¤ÆÃ�£�����¬�£�����«�¢��/¡ª©�¤Æ���{¬w�/�#3;��¤���¤´³��º¶����¥�ç���Ã�£�����Õ¥¤t£��X��Õ¥£���£��¥ �¤t�Äc3�3����¡t¤�²áÔâ ]ãbdäÐ_=å âÐæ�çéè [^í¡] æhè ±^äÐ[^ít_Sê�[ W(í,_ibhå�íìÆ�Å��¡;�����¥£��� t¢�¤�£�¡t£C����¤�¤Ì¶wÕ¤t���¥£����Z���A¬w�/�#3;��¤���¤ V ����¡���¤�Õò�±¡ª©�����¤;��¡t��¬w«���¢Ø¯ÕÂ����Õr��¤t�w�Â��� ÕÂ�t¦$�������w�����������°�� ;¡t¢�£�¢¥¤X����¤A¬w �Õ¥©��±��¤{«�¤;¢¥¬w¤�Õ�Õª����Õw��¤X�¥£�¬°����¤;¢°¡t¤«�¢��/¡;¤t���¥���;²+]_¤´«�¢��/¡;¤t�¥������íuüA5 ï 5�1 � �¥¤;¢�µ§����ÕÇ��¤ ¬w�±�#3t��¤Æ�C¼+��¡�Õ¥£�À��t¼¿ t¡t¢�£OÕh�

üA5 �îéèê �}ëìifå�ñ í ù �V%¢i ï�íî�ï 3« 4wð�ñ�£ 8 5�5 � ð�ò ë ï ö#"/²«ó ú�10ôíu��5 ï 5�1 � ¤;��ÕÇ���?¬w����µ�¤;¬�¤;��ÕÆÃ�¢�������£�¤t�Å��Õª�§���3��¢�� ¦�í6�65 ï 5�1 � ¤t�{ÕÆ���Å«�¢¥�±¡t¤;�¥�¥�����¤�$���£��¥�������C¼¿£���Õ¤;���¥£¤Õ  * ¦±¤�ÕÆí&%¢i ï iÍ13ñȤt�{Õ�����¤��¥��£¤Õ¤���¤�µ§��¢�£­��Ã���¤t�½���� º�9Õ¥��£�¢�¤t�$£����� �¯«9¤t��������Õ¤t�� ;¸¹��£���£���Õ¥¢¥£�Ã��� t¤;�t¦3ð�µ§����¤t��¢����3����� + � ù ï��pôr'¹��¤Æ����£+õ$í � î�ï ²#]_¤;�MÕ¢¥£�Ã����¤;��É�¤t����¢¥ ;¤t��«3��¢�íu��5 ï 5�1 � ¦)íÐ�65 ï 5�1 � ¦)í&%¢i ï iJ13ñ»������Õ�����«�«9���¥ ;¤t��£����� t«9¤t���3�§��Õ¥¤t�;²$�����¢��¥£�¬�����¤;¢�¡t¤´«�¢��/¡;¤t�¥�����Æ�§�/¶X£�����Õª�§��Õ¥� : ��B̦3���¿Õ¥������¸¹��¤´�¾¼¿���A� �

üród¡¢5 �î q®í ü4¡¢5 N&î�ï qfíuü 8 ¡¢5 N ü4¡¢5 ï q òºòºò q®íuüróS¡+5 N ü 3 ó43ñ65¤¡¢5 ïÌò�/£��¾¼¿���Ð���¿Õ¤Aö�v íuü4v~¡+5 N üÌ3zvC43ñ65¤¡¢5 ï ¦C���Ы9¤t��Õ «�¢�����µ�¤;¢t¦~ð{�¾¼+��£���¤°��¤;� «�¢¥��«�¢�£� �Õ t���¤ÏíÐ�65 ï 5�1 � ¦�íu��5 ï 5�1 � ¤�ÕZí%¢i ï iJ13ñ ¸¹��¤X�­�?����£OÕ¥¤{��¤t�Zí`ö�v ï v�13ñ À0��¢�¬�¤�����¤{�¥��£¤Õ¤{��¤µ§��¢�£­��Ã���¤t���§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤t�Ç£����� ;«�¤;���3����Õ¥¤t����¤w¬wÎt¬w¤�����£¾²_³���¬�¬w¤türóS¡¢5 Üî ö_ñ òºòºò öMó/¦���X��£�¬°���­�9Õ¥£����?��¤¡ü ���/¶Ð£�����ÕÂ����ÕÂ� : ��B��¥¤w¢Â�§¬K3;��¤wðZ¡t¤;����¤���¤����{�¥��£¤Õ¤Åí`ö�v ï v�13ñ̲

Page 52: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� àb÷³�¤�ÕfÕ¤��¥��£OÕ¤� �Õª����Õ»£����� t«9¤t���3�§��Õ¥¤� t¸¹��£���£���Õ¥¢¥£�Ã��� t¤§¦ £�������ÊAÕ½��¤��¥�ºµ���£�¢½��£�¬°����¤t¢Úö_ñ ü4¡¢5 NIî ²9ì��A«�¢��/¡�3t��¤§¦M������¢��t¦�¡;��¬w¬�¤Æ����£OÕÔ�

� ìÆ�X�¥£�¬°����¤Æ����¤´µ§��¢¥£���Ã���¤Ç���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤ÇÉ �������¥£�¤;����¤´¡t¤;��Õ¢¥ ;¤�¢� t����£OÕ¤ þ9²� ìÆ�X�¥£�¬°����¤Æ����¤´µ§��¢¥£���Ã���¤Ç���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤Ç«���£��¥������£�¤;����¤���¤´«3�§¢Â��¬43�Õ¥¢¥¤ * � B��9�ϲ� �±£=� : ¦I������£�¬°����¤ : µ§��¢¥£���Ã���¤t�~���� º�9Õ¥��£�¢�¤t�~�¥¤;�������­������£�õ$í � î�ï �1%½ñCï òºòºò ïC%�ó/²ª)����Õ¥¤t��¡t¤;��µ��§¢¥£­�§Ã���¤;�Æ�¥����Õ´����«�«9���¥ ;¤t� £����� ;«�¤;���3����Õ¥¤t�t²�Z�����¢��t¦�£���¤;��Õ�À���¡;£���¤°��¤��¥¤¡;��� µ��§£���¡;¢¥¤´¤t�A��Õ£���£��Â����Õ��ļ+ ;¸¹�3�9Õ£����Øö "/²«ó ú ¸¹��¤´�­�°����£C��¤��

èê �ìi�å�ñ í ù �V%¢i ï�íî ï 3« 4wð ñ £ 8 5¤¡+5 � ðdø ¡¢5�ù¤;��Õ�£���¤;��Õ£�¸¹��¤ ð�¡t¤;����¤���¤6ö_ñ̲prqÂp ú6yX��z�ûwyX����| z�ü��´��v�}�ýXx ��� y�}~v;z����

�������w�Óµ������r¢Â�§�¥�¥¤;¬°Ã��� A£�¡t£»¸±��¤t��¸¹��¤;�·�§��É���¢�£OÕ¥©�¬�¤;���C¼¿���¥��É�¤X¡t����¢Â����Õr����¢¥�¥¸¹��¤�ļ+���{¡ª©�¤t¢¥¡ª©�¤°ð�¡º����¡t����¤t¢���¤;��«�¢¥£�¶��C¼¿��«�Õ£������;²Õ�Ö¾Õ�ÖØ× þÿ�m��é�á���oØÛeÚÁÞJoKá$ç âÇãôêKÚVxªá$çm�MÞJoKá$ç âÇã¨é�Ý^�ÆÚÈé/Þ=o�Þ=oKá½çSâtsuqÇç�ã� Úvq�z=z^oKã_çÇç�ã

�/��£¤Õh� �ôí î�ï )�í ü @ î�ïv �� �4�� ï 4�� ññ � î� ñ ò��£Jü ¤t�{Õ$����¤�µ§��¢¥£���Ã���¤����� º�9Õ¥��£�¢�¤»É������¥��£�¤;����¤�¡t¤;��Õ¢¥ ;¤�¢¥ t����£OÕ¥¤�²��$���ļ+£�¬�«9��¢�ÕÂ����¡;¤»��¤¡;¤�ÕfÕ¥¤wÀ0����¡�Õ¥£����Ы9����¢´��¤;� ¡t��¡t�������´�¹��¬w t¢�£�¸¹��¤t�;¦~�������´¤t�¨������������� ��¤t�/¶ÏÀ0��¢�¬°����¤t��C¼+��«�«�¢¥�º¶/£�¬��9Õ£����QÕ£�¢¥ ;¤t����¤ � Zò�#Ö�Ò � ²]~�Å«�¢�¤t¬w£23t¢�¤���«�«�¢¥�º¶/£�¬��9Õ£���� ¤;��Õ�«�¢¥ t¡;£���¤{ð ù ) 4� «�¢f3t�;¦Á¬���£�� ¤t����¤w��Õ£���£���¤������«�«�¤;�~ðr����À0����¡�Õ£����A¤Ì¶/«�����¤t��Õ£�¤t����¤�²9�±£ î � ) �� ) ò ñ � ù�����ù���tñ ) ò � ù�� � � ù � � )� 8 � ) ò � � � � � ��� � ñ��� ù ò�� � ù�� ��� � ������ � ù ò � ñ ù ñ �1� � � ���� ù ò �1� ) ñ � ��� ñ �B ù N í ù � � î�ï

Page 53: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� à��� í î�ï � ù � ù� ñ ï 4 � ññ í6�tñ�Bh��� 8 B 8 �����~B � �é���ÍB � �é�!�~B � ï�ò]~�Ç��¤;�/¶/£23;¬�¤���«�«�¢��Ó¶/£�¬·�9Õ¥£���� ¤t�{ÕÈ«�¢� t¡t£��¥¤�ð ù ) 4"� «�¢�3t�Á¬���£��)¤t����¤½��¤�À���£¤Õ�£���Õ¤t¢Øµ�¤;��£�¢¸¹�C¼¿����¤´À0¢Â��¡�Õ£����{¢Â�9Õ¥£�������¤t����¤�²J�/£ î �V) �

# ñ ) ò ù���� �1� �# 8 ) ò ù1ù � ù����# � ) ò )1)1) � ���# � ) ò ) ù�� � ñ ��ôí î�ï � ù � ùñ í ù � # ñ î � # 8 î 8 � # � î � � # � î � ï 4$� ò

prq&% ')(·������vt�»���*m�Ô[wXLW â W1[ ��² �±��£OÕpü ¤�ÕoöÜ��¤;�/¶Xµ§��¢¥£���Ã���¤;������ º�9Õ¥��£�¢�¤t��É �§���¥��£�¤t����¤t��¡t¤;��Õ¥¢¥ ;¤t�Ç¢� �¯����£OÕ¤;�t¦º¡t����¡;����¤;¢C�­�»����£§���´¡t����«���¤Á��¤Áµ§��¢�£­��Ã���¤t�C���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤;�Èí � ü 8 �Fö 8 ïª��¢¥¡�ÕÂÉ�í`ö N ü ï¥ï ²�È� �� t����£�¢¥¤$¸¹��¤½�¥£�%$ñC¤�Õ7% 8 �¥����Õ���¤t�±¶´µ��§¢¥£­�§Ã���¤;�_���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤;�_����£�À0��¢¥¬w¤t�_����¢ ' )Jï ù + ¤�Õ£����� t«9¤t���3����Õ¤;�t¦Ó��¤;�Cµ§��¢¥£���Ã���¤;�C���� º�9Õ¥��£�¢�¤t� ð ��ñ ��ó1ô í%½ñ ï^õ ó ¾Ií ñ % 8 ï ¤�Õ ð ��ñ ��ó1ô í%$ñ ï ¾ �,+ í ñ % 8 ï������Õ�£����� ;«�¤;���3����Õ¤;��¤�Õ��¥��£�µ�¤t��Õ�����¤ ����£ßÉ �����¥�¥£�¤t����¤ ¡;¤t��Õ¢� t¤�¢¥ t����£OÕ¥¤�²*m�Ô[wXLW â W1[ �wÜ{�±��£OÕ.-{����¤�À0����¡�Õ¥£����w��¤ç[>�3�§���Ç[Ŧ�Õ¥¤t����¤�¸¹��¤/-�í î�ï �V)´«�����¢�Õ¥����Õî ¦3¤�Õ�Õ¤t����¤Æ¸¹��¤10 � �4�� -Áí î�ï � îQ ù ²MìÆ�Xµ�¤t��Õ��¥£�¬°����¤t¢�����¤´µ§��¢�£­��Ã���¤Æ�§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤�ü ��¤����£2-�í î�ï � î ²¹ìÆ�r«9���¥¤ / í43 ï7 0�54�� -Áí î�ï � î ²�.Ç ;¬�����Õ¥¢¥¤;¢È¸±��¤���£¾% ¤;��Õ$����¤�µ§��¢�£­��Ã���¤���� º�9Õ¥��£�¢�¤�����£�À0��¢¥¬w¤��¥��¢\' )=ï ù +Ħ~������¢��´�­�X����£Á��¤ / 43ñ í&% ï ¤t��Õ6-Áí î�ï � î ²-�È�¨�� t����£�¢¥¤����¤ ¬w �Õ¥©��±��¤���¤´�¥£�¬°���­�LÕ£�������¤ ü®²*m�Ô[wXLW â W1[ �wæbìÆ�w�¥��«�«�����¤�¸±��¤�í`��5 ï 5�1 � ¤;��Õ½���r¬w����µ�¤;¬�¤;��Õ»Ã�¢¥�>����£�¤;�r��Õª�§���3��¢��¤�ÕƸ¹��¤Xí%ìk ï k213ñ�¤t��ÕÆ����¤°����£OÕ¥¤���¤�µ��§¢¥£­�§Ã���¤;���§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤t��£����� t«9¤t��������Õ¤t��µ��§�­����Õò� ù��� � ù �ºµ�¤t¡ «�¢¥��Ã���Ã�£���£OÕ¥  ù N ñ ²MìÆ�Z«9���¥¤ ��ó üXñÔ�G<><><��ýüró/²Ñ�²o.� t¬w����Õ¢¥¤;¢�¸±��¤�¦3�¥£_¸¹��¤÷ü ó5 ñø ó � � ó�5z�0¦�ü ó5 Õ¥¤t���A¤t�A����£�µ�¤;¢¥�m��5K²"±²��±��£�¤;��Õ×B�¤�Õ87¨��¤;�/¶ ¢¥ ;¤t���X«9���¥£¤Õ£�À0�t¦�¤;� ��Õ¥£���£��Â�§��Õ���¤,À���£OÕX¸¹��¤Ï�­� µ§��¢�£­��Ã���¤�§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤�ü ó5 �:9 � ü ó5 ¤;��Õ�£����� ;«�¤;���3����Õ¥¤���¤ ü ó5 ¦M�� t¬w����Õ¢�¤t¢�¸¹��¤ ��¤´¡t����«���¤í ü ó5 �:9 ï¨ü ó5 ï Õ¥¤t���C¦3¤;�Z����£¾¦¹µ�¤;¢¥��íu��5 �:9 ïJ��5 ï ²ó/²��±£�)FD BÂñ D <><><çD B<; ¦È�� ;¬�����Õ¥¢¥¤;¢w¸¹��¤¨í ü ó5>= ïS<><><,ï¨ü ó5�? ï Õ¤;���ˤt�Ë����£�µ�¤t¢��í`��5>=�ïS<><><�ïÍ��5�? ï ²

Page 54: Calcul Stochastique

@BACA ���X�{v;���

prqts D |���v;|1EXz���� | zGF�|´}~� vÌ����� ü�| yX�~�~v����X�{���.Æ����� ¡;¤r«3��¢Â�§É�¢Â��«�©�¤�¦C��������¢Â�§«�«�¤;����������¤t��«�¢¥£���¡t£�«�����¤;�Æ«�¢¥��«�¢¥£� �Õ ;����¤t�´É �§���د��£�¤t����¤t�;²3ìÆ� Õ¢�����µ�¤;¢Â�°��¤t���� t¬w������Õ¥¢Â�9Õ¥£���������¤;��¢¥ ;�¥���¤Õª�9Õ¥���3����� � V ���i�Ý� � ¦�¡ª©���«�£OÕ¥¢¥¤�mtª¦3«3��¢Â�§É�¢Â��«�©�¤ Û ²

Õ�ÖØ×½ÖØ× H�Ú!q�z^z^oØã_ç�çÇãhzôé�Ý_ã_êØêKãhzI���¤°µ��§¢¥£­�§Ã���¤����� t�9ÕÂ��£�¢¥¤�¢¥ ;¤t����¤:ü ¤;��Õ ��«�«9¤t�� t¤°É������¥��£�¤;����¤�¡t¤;��Õ¢¥ ;¤r¢¥ t����£OÕ¥¤°�¥£¤;����¤Æ����¬w¤�Õ�«9����¢���¤;���¥£¤Õ ´�­�°À0����¡�Õ£����

: í î�ï! ù� ñ ã�ä ÁU¼ � î98ñ Å ò]~������£���¤ ü ¤;��Õ�������¢¥����«�«�¤;�� t¤�����£ß����¢¥¬�����¤Ç¡t¤t��Õ¥¢¥ t¤�¢¥ ;����£OÕ¥¤�²�/£1ü>¤t�{Õ�����¤»É������¥��£�¤;����¤½¡t¤t��Õ¥¢¥ t¤½¢¥ ;����£¤Õ¤$¤�Õ)�¥£ � ¤�Õdû�������Õ)��¤t�)����¬°Ã�¢¥¤t�~¢� t¤t���t¦���·µ��§¢¥£­�§Ã���¤��§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤�ö � �Vûcü ¤t��Õ���«�«�¤;�� t¤rÉ �§���¥��£�¤t����¤r��¤r«3��¢Â�§¬K3�Õ¢¥¤;� �¤�Õ û 8 ² ]~������£M��¤�öS¤t�{Õ��­� ����£9����¢�¬·�§��¤���¤Æ«3�§¢Â��¬43�Õ¥¢¥¤t� � ¤�Õ û 8 ¦/���9Õ t¤KJÜí � ï­û 8 ïö0¡t¤�Õ�Õ¤Z����£���¤A�� ;«�¤;���i«3����������£�É���¤Z��¤(ûä¡t��¢¡ü ¤�Õ � ü ����Õ�¬wÎt¬w¤X����£ ú ²(]_¤t�«3�§¢Â��¬43�Õ¥¢¥¤t� � ¤�Õ�û 8 �¥����ÕÇ¢¥¤;�¥«9¤t¡�Õ¥£�µ�¤t¬w¤t��Õ��­�w¬��Oø�¤t����¤�¤�ÕÆ���wµ§��¢�£­����¡;¤���¤�ö·²¾�/£ûML )�¦����Å��¤;���¥£¤Õ ���¤ ö ¤t�{Õr�������� ;¤�«3��¢��­�AÀ0����¡�Õ¥£���� ñø 8ON ð ñ ãJä Á y � 3 ��4$P�5¤ñ8 ð ñ | ²��/£û )�¦��­������£)��¤ ö�¤;��Õ´�­�w¬�¤;�¥��¢�¤°��¤A.Ç£�¢Â��¡�¤t� � ¤�ÕÆ�C¼ ��������¡°«3�§�Æ��¤���¤;���¥£¤Õ � ���X«3�§¢¥��¤�«���¢�À0��£��t¦���������¡t¤´¡º�§�t¦3��¤´É �����¥�¥£�¤t����¤��þ�� tÉ� t�� ;¢¥ t¤J�§²�/£�ü ¤t�{Õ ����¤rÉ �������¥£�¤t����¤r¡;¤t��Õ¢� t¤w¢¥ t����£OÕ¥¤�¦C«9����¢�Õ¥����Õ´����¬�Ã�¢¥¤r¡t��¬�«���¤�¶/¤RQ�¦���A� e y ï�SUT | �ï2V ññ ò]~��À0����¡�Õ¥£����w¡º�§¢Â��¡�Õ t¢�£��{Õ£�¸¹��¤���¤�üj¤;��Õ»������¡��������� t¤�«3��¢KW T í43 ï7 �ï 4 5 ñ¥£ 8 ¤�Õ½¡t¤t����¤�C¼¿����¤½É �����¥�¥£�¤t����¤»��¤½¬w��ø�¤t����¤ � ¤�Õ���¤½µ§��¢�£­����¡;¤!û 8 «3�§¢XWZY½í43 ï7 �ï k 5 P ï 4 5 ñ ð ñ £ 8 ²>tþ�¤;��Õ���Õ¥£���¤Ç��¤Æ�¥�ºµ���£�¢�¸¹��¤��¥£cüj�¥��£¤Õ��­� ����£9����¢�¬·����¤�¡;¤t��Õ¢� t¤´¢¥ ;����£¤Õ¤�¦/���X��)·í à ü à �

!¿ó

Page 55: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� à��ù ï ��� òºòºò¿ï¡ )Jï�)S�?¤�ÕA)·í à ü à � ñ ï � òºòºò¿ïÙ )Jï�) ù ²�$�����¢r��¤t��É�¢Â������¤t��µ§����¤;��¢¥����¤BE� )�¦3�ļ+¤;��Õ£�¬·�LÕ£����·�¥��£�µ§����Õ¤´¤t�{Õ�£���Õ ;¢¥¤t���Â����Õ¥¤��

)·íuü �ÿB ï7 ù� ñ � �5 ï 4���ñ¥£ 8 � î @ ùB � ñ � �5 îbï 4���ñ�£ 8 � îÌ ï 4�5 ñ £ 8B � ñ[ ò���«�«9¤t�������´¸¹�C¼+£��$¤�¶/£��{Õ¤·��¤KÕ¢�3t� Ã�������¤t����«�«�¢��º¶�£�¬·�LÕ£������´��¤����XÀ0����¡�Õ¥£����Ï��¤·¢� �¯«3�§¢�Õ£¤Õ£�������¤����Ç����£/����¢�¬·����¤�¡;¤t��Õ¢� t¤�¢¥ t����£OÕ¥¤�ö�¡;ÀK²�¡ª©3��«�£¤Õ¢¥¤ " ú ��£����¥£�¸¹��¤���¤;�(Õª��Ã���¤t��{Õª�9Õ¥£���Õ¥£�¸¹��¤;��ö�¡;ÀK²3«���¢�¤�¶/¤t¬w«���¤ � V �����Ý� � ú ²Õ�ÖØ×½Ö¾Õ \?ã��MÞ�ãhq�é�z � Ú!q�z^z=oKã_ç�z]×$�^ çdâ å âÐæ�ç ehg%�ig%�`_�Ê¢ËbaLÉ¿¸JÑ%É�ced2Ë É�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~Ë�ü í ü{ñ�ï òºòºò ï¨ügf ïih aLÉ�d2Ë�·w¸~Î Ï�É¿Ê�Î[ f ËÍÎ�¹KÉ�Ð�Ð}ËGd2ÈÍËja¿ËÍÌ�¹�Ë�· ¸lk�É¿·�ÎÍÎ�ÑuË�Ê�m�Î�ѶÐ}µL· ¸�¹�µL·�Î�¸~ÈÍËGd Î � ñ�muÔ>Ô>ÔGm � f�m6d¤ÉnaLÉ¿¸�Ñ%É�ced2ËÉ�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~Ëp¸~ÈÍËGdod2Ë 7 fk­å�ñ � k�ü¯kçËÍÎ�¹Ç·wÊ¢Ëpk�É¿·�ÎÍÎ�ÑuË�Ê}Ê¢ËdÔ]_¤t��¡t��¬w«����Â����Õ¤;�×ü{ñ�¦�²t²;²t¦9üqfÇ�C¼+���ŵ�¤;¡�Õ¤;��¢ÆÉ �§���¥��£�¤t�Z�¥����ÕÇ ;µ±£���¤;¬�¬w¤t��Õ���¤t�É �§���¥��£�¤t����¤t�;¦�¬·�§£��w£�����¤?����ÊAÕ{«3����¸¹��¤,��¤t��¡t�±��¢¥�������� t¤;���C¼¿���iµ�¤;¡�Õ¥¤t��¢X�¥��£�¤t��ÕÉ �§���¥��£�¤t����¤t��«�����¢�¸¹��¤���¤´µ�¤t¡�Õ¤;��¢Æ�¥��£OÕ�É �������¥£�¤;�C²�$���¢�¡t����Õ¥¢¥¤�¦9�¥£ ü{ñ̦iü 8 ¦�²;²t²t¦9ügf������Õ���¤t�ÇÉ �������¥£�¤;����¤;�Æ¢¥ ;¤t����¤t� ѧÊbÏwÈ�Ð}Ë�ÊbÏ�É¿Ê}¹�ËÍÎ�¦9������¢¥����¤´µ�¤;¡�Õ¤;��¢wíuü{ñCï òtòºò ï¨ügf ï ¤t��ÕÉ �§���¥��£�¤t�ß²]~��¬·�LÕ¢¥£�¡t¤Á��¤Áµ��§¢¥£­�§��¡t¤Ì¯þ¡t�Óµ§��¢�£­����¡;¤Á�C¼¿����µ�¤;¡�Õ¤;��¢)���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤dü íuü{ñ�ï òtòºò ï¨ügf ï¤;��Õ��­�°¬��9Õ¢�£�¡;¤pg»í ü ï7 íuû�kji ï ñ�k�k2l iÍk"f�������Õ���¤t��¡t�±¤;Êw¡t£�¤t��ÕÂ��������Õ��������� ;��«3�§¢Ô�

û�kji ¡;�IµCíuü¯k#ï¨ü i ï7 e�'Ííuü¯k � erí ü¯k ï�ï íuü i � e�íuü i ï¥ï + òìÆ� �Â��£¤Õ{¸¹��¤�¦���£Æ��¤;��µ��§¢¥£­�§Ã���¤;�{���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤;�jü{ñ̦�²t²t²;¦püqfA�¥����ÕA£����� t«9¤t���3����Õ¤;�t¦��­�¬��9Õ¢�£�¡;¤pg»í ü ï ¤t�{ÕÇ��£­��É����3����¤§¦�¤�Õ�¸¹��¤ �­��¢¥ ;¡t£�«�¢¥�±¸¹��¤�¤;��Õ�À��������¥¤�¤t�AÉ� t�� ;¢Â���Ħ3¬·�§£��µ±¢Â�§£�¤��3��������¤�¡º����É �§���¥��£�¤t� �° ¨�$ æ X�±=]Ø[ÆeÔg%�9g�esr^µLѧ¹iü íuü{ñ�ï òºòºò ï�üqf ï · Êba¿ËÍÌ�¹�Ë�·w¸ k�É¿·�ÎÍÎ�ÑuË�Ê h aLÉ�d2Ë�· ¸~ζÏ�É¿Ê�Î[ f Ô tYËÍÎgaLÉ¿¸JÑ%É�ced2ËÍÎKÉ�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~ËÍÎ÷üXñumuÔ>Ô>ÔGm!üqfQÎ>µLÊ}¹çѧÊbÏwÈ�Ð}Ë�ÊbÏ�É¿Ê}¹�ËÍÎ�Î�ÑmË�¹¶Î>Ë�·"d2Ë�ÓQË�Ê}¹Î�ÑXd¤ÉQÓ4É¿¹%¸JÑuÌÍË ÏwË1aLÉ¿¸JÑ%É¿Ê¢ÌÍËGvfÌ͵aLÉ¿¸JÑ%É¿Ê¢ÌÍËpÏ¿·Ca¿ËÍÌ�¹�Ë�·w¸pü ËÍÎ�¹EÏ¿Ñ%É�kwµLÊbÉ�d2ËdÔìÆ�ÄÕ¢¥����µ�¤;¢Â������¤��� ;¬�������Õ¥¢Â�9Õ¥£����X��¤ ¡t¤ ¢¥ ;�¥���¤Õª�9Õ��3����� � V ���i�Ý� � ¦M¡ª©3�§«�£OÕ¥¢¥¤/��tª¦M«C²Ñ�!¿!/²Z\[^]`_�X?acbd[fehg%�igO�º]ȼ+£�¬�«9��¢�ÕÂ����¡;¤���¤t��É �������¥£�¤;����¤;�Ç«9����¢��­�r¬��±�� t��£��¥�9Õ£����·µ±£�¤;��Õ���9Õª��¬w¬�¤;��Õ�����Õ¥©� t��¢f3t¬w¤�¡;¤t��Õ¢¥����¯���£�¬w£OÕ¥¤×ö�¡�ÀK² � V ���i�Ý� � ¦§¡ª©3��«�£¤Õ¢�¤.��t�tª¦�«3��¢¥��É�¢¥��«�©�¤m ú ²7$�����¢r�¾¼¿¤t��Õ¥£�¬��9Õ£����ô�{Õª�9Õ¥£���Õ¥£�¸¹��¤;����¤t�wÉ �������¥£�¤t����¤;�t¦$���f«9����¢¥¢¥�,�¥¤X¢¥¤;«���¢{Õ¤;¢�ð� .�³M.ò�S" � ö�¡ª©3��«�£OÕ¢�¤ ! ú ¤�Õt¦3«�����¢���¤t��¢��¥£�¬����­�9Õ¥£����ߦ����X¡ª©3�§«�£OÕ¥¢¥¤ " ²

Page 56: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� àJàprqÂp ' � A F���|��X��� �����A�{vÌ}~v;���X�{��z;z��Õ�Ö¾Õ�ÖØ× wx��ã~Û´�ÆêKãhzfâÇã�z/á!q�z�yÓÞ±é�o&ß�q�z

�/��£¤Õ´í4zòï�{ ï ���X¤t��«3��¡;¤�«�¢¥��Ã���Ã�£���£��¥��Ã���¤�¤�Õ��¥��£�¤t��Õ}| ñ̦�| 8 ¦�²;²t²;¦:|�ó�¦ :  t�� t¬w¤t��ÕÂ���¤����mÕ¢¥£�Ã��R{SÀ0��¢�¬·�§��ÕÁ����¤�«3��¢�Õ¥£OÕ¥£����°��¤~zƲ�]~��À���¬w£�����¤K�f��¤;�» ;�� ;¬�¤;��Õ¥�$��¤�{S¸¹��£������ÕƵ±£���¤;�����,��¤��­�wÀ0��¢¥¬w¤�|�k�=��j|�k,=��é<><><�j|�k��&¦C�ºµ�¤;¡R�Øñ̦�²t²;²t¦��uv¯� ; ù ï òºòºò ï : I¹¦À0��¢�¬�¤�����¤Æ�¥�����د¥Õ¥¢¥£�Ã��Kc3��£�¤}�i��¤p{{¦¹¸¹��£9�C¼¿¤t��Õ�����Õ¢�¤Ç¸¹��¤��­�6Õ¥¢¥£�Ã��·¤;��É�¤t����¢¥ ;¤Æ«3��¢��¤t��|�k¾²� t¡t£�«�¢¥�±¸¹��¤t¬w¤t��Õt¦ÁðUÕÂ����Õ¤��������K¯¥Õ¢�£�Ã��éc���£�¤q�Ü��¤x{{¦����®«�¤;��Õr�����¥�±¡t£�¤;¢°����¤«3�§¢�Õ£¤Õ£����\c3��£�¤Çí�|´ñCï òºòºò ï�|�ó ï ��¤.zô«3��¢)��¤t�� t�� ;¬�¤;��ÕÂ����¤.{{¦I¸¹��£/¤;��É�¤;����¢¥¤;��Õ��Æ�§��¤t�|�k��¥����ÕÈ��¤t�� t�� ;¬�¤;��ÕÂ�Á������µ±£���¤;�Á��¤.� ¸±��£���¤�¡;����Õ£�¤t����¤;��ÕÈ«3���Á�ß¼ ��� Õ¢¥¤» t�� t¬w¤t��ÕÁ��¤�˸¹�C¼+¤;�/¶¹¯þ¬wÎt¬w¤t�½¤�Õ»�­��«3��¢{Õ£�¤�µ±£���¤�²±ìÆ�·��¤t�½��«�«9¤t����¤���¤t�»�9ÕÂ��¬w¤t�È��¤~��²wtþ�iøw�´������¡����¤Å¡t��¢¥¢¥¤;�¥«9�����3�§��¡t¤?Ã�£�����£�µ��±¸¹��¤Å¤;��Õ¥¢¥¤?�������K¯¥Õ¢�£�Ã����Kc3��£�¤t����¤8{ ¤�Õ�«3�§¢�Õ£¤Õ£������c3��£�¤t����¤�z «3��¢���¤t�� t�� t¬w¤t��ÕÂ����¤1{{²����¿Õ¥¤t¢�¸¹��¤´�¥£�� ¤;��Õ�����¤ �������K¯¥Õ¢�£�Ã�� c���£�¤���¤{{¦º����¤½��«�«���£�¡º�LÕ£����Ç��¤ z¨�������Y[�ö�¬°����£���¤$�Â�MÕ¢�£�Ã��´Ã9��¢¥ ;��£�¤t����¤ ú ¤t�{Õ��½¯þ¬w¤t����¢Â�§Ã���¤��£_¤�Õ��¥¤;����¤;¬�¤;��Õ���£_¤t����¤Æ¤t�{Õ�¡t�����{Õª����Õ¥¤�����¢�¡ª©3��¡t���Å��¤;���LÕÂ��¬w¤t����¤���²�/��£¤Õ)¬·��£���Õ¤t������Õ�����¤½µ§��¢�£­��Ã���¤$���� º�9Õ¥��£�¢�¤�ü��� �c3��£�¤»����¢�í4zòï�{ ï ¦Ið�µ§����¤;��¢¥�)�3��������r¤;�¥«3��¡;¤�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤´í��¡ïu� ï ²Ý]~�mÕ¢�£�Ã���¤;��É�¤;����¢¥ ;¤�«3��¢�ü ¤;��Õ$�­��«�������«�¤�Õ£OÕ¥¤EÕ¢�£�Ã��¢�¤t���3�§��Õ��ļ ��«�«���£�¡º�9Õ¥£����¡ü ¬w¤t����¢Â��Ã���¤������Z���°���¿Õ¤÷û$í ü ï ²9³Ç¼¿¤t�{ÕÇ �µ±£���¤;¬�¬w¤t��Õ�����¤�������دuÕ¢�£�Ã��X��¤�{6¤�Õ�£��C¤;��Õ�À���¡;£���¤Ç��¤�µ���£�¢�¸±��¤û$í ü ï7 ¬ n ��{ Ã�� | �8� ï~n ü 43ñ í�| ï! ; ü �j|4I ® òìÆ�Ð�� t¬w����Õ¢�¤�¸¹�C¼+����¤�µ��§¢¥£­�§Ã���¤��§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤�ö �� �c3��£�¤��¥��¢�í4zòï�{ ï ¦ßð{µ§����¤t��¢����3��������w¤t��«3��¡;¤Ç¬w¤t�¥��¢Â��Ã���¤�í / ïu� ï ¤t��Õ û$í ü ï ¯�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤§¦ �¥£M¤�Õ½��¤t����¤t¬w¤t��Õ���£M¤t����¤�¤t�{Õ���¤����À0��¢¥¬w¤ ö -R�püEï�10b-{¤t��Õ½����¤Ç��«�«���£�¡º�9Õ¥£�����¬w¤t����¢Â��Ã���¤���¤�í��¡ïu� ï �������Çí / ïu� ï ö�¡;ÀK² � V �����Ý� � ¦¹«C²�ѺÒ�Ñ;¯ÑÓÒ1" ú ²-ZÇ��Õ¥¢¥¤t¬w¤t��Õw��£¤Õº¦���¤t�°µ§��¢�£­��Ã���¤t���§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤t�ªû$íuü ï ¯þ¬w¤t����¢Â��Ã���¤t���¥����Õw¤�¶���¡�Õ¤�¯¬w¤t��Õ���¤;��À0����¡�Õ¥£�������¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤;����¤ ü®²

Õ�Ö¾Õ�Ö¾Õ �?é�á(�ÇéJoKÝßÞ�Ýhzfâ�ãäêCs�ãhz���ÝCé�Ú$çm��ãº�ßá$çÇâ�o�ÞJoKá$çÇç�ã_êKêØã�/��£¤Õ´í4zòï�{Ìï~) ï ���X¤t��«3��¡;¤���¤�«�¢¥��Ã3��Ã�£���£OÕ¥ �¤�Õ��¥��£OÕ�������¤��¥�����د¥Õ¥¢¥£�Ã��{��¤�{{²�])��� �c3��£¤Õ£�������¤´�¾¼¿¤t��«� ;¢Â����¡;¤�¡t������£OÕ¥£�������¤t����¤Ç¢�¤t«9���¥¤�����¢���¤mÕ¥©� t��¢f3t¬w¤��¥��£�µ§����Õ:ö�«9����¢����¤ �� t¬w������Õ¥¢Â�9Õ¥£����ߦ�¡;ÀK² � V �����Ý� � ¦�¡ª©3��«�£¤Õ¢�¤:� ú ²° ¨�$ æ X�±=]Ø[ÆeÔg�ehg%�r³¶µL·w¸�¹�µL· ¹�Ë�aLÉ¿¸JÑ%É�ced2Ë�É�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~Ë�¸~ÈÍËGdod2Ë Ñ§Ê}¹�È�k¿¸fÉ�ced2Ë×ü�mÇÑodÚË&�ÝÑ2Î�¹�Ë·wÊ¢Ë�aLÉ¿¸JÑ%É�ced2ËMÉ�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸ÍËǸ~ÈÍËGdod2Ë�m¢Ñ§Ê}¹�È�k¿¸�É�ced2Ë��pv�ÓQËÍÎ�·w¸�É�ced2Ë�m#ö6m^·wÊ}Ñ%Òd·}˶ɿ·�� Ë�Ê�Î>Ë�Ógced2ËÍÎ

Page 57: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� àw"Ê¢È�k�d�Ñ�kwËfÉ�ced2ËÍÎÇÐb¸��ÍÎ�m(¹�ËGdod2Ë�Òd·}ËY»

� | ��� eríuü "� ï! erí`ö "� ïÌòöܤt�{Õ���«�«9¤t�� ;¤�¤t��«� ;¢Â����¡;¤�¡;������£¤Õ£�������¤;����¤Ç��¤ ün�¥��¡ª©3����Õ~� ¤�Õ����¿Õ¥ t¤perí ü à � ï ²�/£��U¤;��ÕÏ����¤®��������Õ¢�£�Ã�� c3��£�¤�¦Æ�ß¼ �9Õ¥��¬w¤t��| ñ̦�²t²;²t¦�|�ó/¦���� �Cerí ü à � ï 7 kZ� 3 TK u¡�¢ 5£ 3 � ¢ 5 $� ¢ ¦9�­�·����¬�¬w¤  �Õª�§��Õ´��£�¬w£OÕ¥ t¤´���/¶?�9Õ¥��¬�¤;�Ç��¤�«�¢¥��Ã3�§Ã�£���£OÕ ´�����?�¹������¤�²Z�£�����£¾¦ �¥��¢»¡ª©3�§¸±��¤Æ�9Õ¥��¬�¤}|�k¾¦¹�­��µ��§��¤t��¢½��¤oerí ü à � ï ¤t��Õ��­��µ§����¤;��¢$¬��Oø�¤;����¤���¤×ü����¢¤|�k¾²�.Æ�§������¤�¡º������¤Æ�­�pÕ¢�£�Ã���É�¢¥�����¥£23;¢¥¤tö4� ;¥ ï�zmI ú ¦±���X��eríuü à � ï7 eríuü ï ²]_¤,¬·�§��£�¤;¬�¤;��Õ���¤t�{¤;�¥«9 t¢Â�§��¡t¤;�Z¡;������£¤Õ£�������¤t����¤;�·¢¥¤;«����¥¤,�¥��¢A��¤t��«�¢¥��«�¢�£� �Õ t�����£�µ§����Õ¤;�t²Ñ�²��±£cü ¤;��Õ}�½¯�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤�¦#erí ü à � ï7 ü®¦�«ß²+�;²�²"±²çeõí§eõí ü à � ï�ï7 eõí ü ï ²ó/²�$)����¢�ÕÂ����Õ¥¤»µ§��¢�£­��Ã���¤$���� t�9ÕÂ��£�¢¥¤Çs¦�$¯þ¬w¤t����¢Â��Ã���¤½¤�ÕÁÃ9��¢��� t¤§¦9eõí%soeríuü à � ï�ï7 e�íus×ü ï ²m ²o]_£��� º��¢�£OÕ¥ �� eõí * ü��hõ�ö à � ï! * eõí ü à � ï �Hõ^eõí§ö à � ï «C²¿�t² ò!±²�$)���¥£¤Õ£�µ/£¤Õ ��½�¥£�ü � )�¦��§����¢��Qerí ü à � ï � )r«C²¿�t²�¤�Õº¦�«�������É� ;�� t¢¥����¤;¬�¤;��Õº¦§ � ö©¨ e�íuü à � ïE� erí`ö à � ï «C²+�;²�²}.�¤�¡;¤�ÕfÕ¥¤´«�¢¥��«�¢¥£� �Õ §¦����A�� t����£OÕ�¸¹��¤Ã e�í ü à � ï à @ eõí à ü ÃOà � ï «C²¿�t²¤�Õ�������¡´¸¹��¤lªJeríuü à � ï ª!« = 3­¬^5 @®ª�ü¯ª!« = 3­¬^5 ¦�/²��±£±°¨¤t��Õ�����¤��������دuÕ¢�£�Ã��X��¤��ǦM�§����¢��,�e�í§eõíuü à � ï à ° ï! eõí ü à ° ï «ß²+�;² òÖ±²��±£Ys ¤;��Õ}�½¯�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤�¤�Õ�Ã���¢¥�� ;¤�¦}eõí`s�ü à � ïv soeõí ü à � ï «C²¿�t² ò�/²��±£cü ¤;��Õ�£����� t«9¤t��������Õ¤´��¤�� ������¢��t¦#eõí ü à � ï! eõí ü ï «C²¿�t²�²]~��¢¥ ;¡t£�«�¢¥�±¸±��¤ ��¤ ¡;¤�Õ�Õ¤´«�¢¥��«�¢¥£� �Õ �¤;��Õ�À��������¥¤�¦3¬���£������Z�r��¤�¢¥ ;�¥���¤Õª�9Õ�����£�µ§����Õº²

²6X æ � æ í â å âuæ�ç eÔg�eÔg�esr^µLѧ¹�ü · Ê¢Ë}aLÉ¿¸JÑ%É�ced2ËmÉ�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~Ëm¸~ÈÍËGdod2ËdÔ=ü ËÍÎ�¹-ѧÊbÏwÈ�Ð}Ë�ÊbÏ�É¿Ê}¹�ËÏwË�d¤ÉQ¹%¸JÑ4cd·q� Î�ÑEË�¹ Î>Ë�·"d2Ë�ÓQË�Ê}¹ÚÎ�ÑÝ»� 3f��[ e yfï k 5 T à � | e yfï k 5 T | ТԤÎdÔ ò ö#"/² m ú

Page 58: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� à#a]×$^] æ�ç íCå>X�_Jå âuæ¾ç´³ ³���¬�« Õ¤�Õ¤;�±� ��¤Ð�­�®«�¢���«�¢�£� �Õ¥  � ¡;£�¯���¤t���¥���;¦�£��Æ�¥�/Ê4ÕA��¤¬w����Õ¢�¤t¢w¸±��¤ýö "/² m ú ¤t��Õ¢¥��µ­��¤Z�ļ+£����� t«9¤t���3����¡;¤�²�ì�¢;¦$�¥£mery ï k 5 T à � |V ery ï k 5 T | ¦��� ��¦�«9����¢ Õ¥����Õ¶| �B�Ǧ¶e y�ï k 5 T $�^| e yfï k 5 T | )·í�| ï ¦�«3��¢X�� �c3��£OÕ¥£���� ��¤�ļ+¤;�¥«9 t¢Â�§��¡t¤´¡t������£OÕ¥£�������¤t����¤�²J�/£�)·í�| ï L )�¦����A«�¤;��Õ� t¡;¢¥£�¢�¤�¸¹��¤

e ¼ ï k 5 T "�)·í�| ï Å e y ï k 5 T | ò³�¤�ÕfÕ¤� ;É ����£¤Õ ���£�É���£Oc3¤�¸¹��¤��­�ÇÀ0����¡�Õ£����r¡º��¢¥��¡�Õ¥ t¢�£���Õ¥£�¸¹��¤���¤pü ¤t�{Õ»���Ƭ�Î;¬�¤��������½�­�«�¢���Ã3��Ã�£���£¤Õ �) ¤�Õ$�¥�����È�­�Ç«�¢���Ã3��Ã�£���£¤Õ ½��¤���¤;���¥£¤Õ    ¡£ 3 � 5 «3��¢Á¢¥��«�«9��¢�Õ$ðo)�²¿]$¼¿ tÉ�����£¤Õ ��¤;��À0����¡�Õ¥£�������¡º��¢¥��¡�Õ¥ t¢¥£���Õ¥£�¸¹��¤t��¤;��Õ¥¢Â��µ���¤´�¾¼¿ tÉ �§��£OÕ¥ Ç��¤;������£���¤�Õt¦3«3��¢�¡t�����¥ ;¸±��¤t��Õº¦

e´¼�-�íuü ï $�)�í4| ï Å eõí�-�íuü ï�ï ï«9����¢MÕ¥����Õ¤�À0����¡�Õ£����{Ã9��¢¥ ;��£�¤;����¤�Ã9��¢¥�� t¤�¦3¡;¤´¸±��£_¤t��Õ¢¥��µ­��¤´�ļ+£����� t«9¤t���3����¡;¤�²Z\[^]`_�X?acbd[fehg�eÔgO�r�/£Jü ¤t�{Õ½��¤�¡º��¢�¢¥ �£���Õ¥ tÉ�¢¥��Ã���¤§¦�£���¤t�w¤t�{Õ½��¤�¬�Î;¬�¤���¤�eríuü à � ï¤�Õ×eríuü à � ï ¡t��·¾��¡t£���¤,�ºµ�¤;¡,�­� «�¢¥� Ô ¤;¡�Õ£�������¢{Õ©���É����3����¤Z��¤fü ����¢i¸!8&í�zòï���ï~) ï ¦¡;�����¥£��� t¢� �¡;��¬w¬�¤��������د�¤t��«3��¡t¤�À0¤t¢�¬� ���¤~¸ 8 í4zòï�{Ìï~) ï ¦�¬�����£3����«�¢¥�±����£¤Õ$�¥¡º�§�­��£�¢¥¤í üfïÍö ïÀ-. eríuü�ö ï ö�¡;ÀK² � V ���i�Ý� � ¦½¡ª©3��«�£OÕ¢�¤¶�mtftftª¦$«3�§¢Â��É�¢¥��«�©�¤f" ú ²�]ȼ¿¤t�¥«9 t¢¥����¡;¤¡;������£¤Õ£�������¤t����¤»��¤ ü �¥��¡ª©3����Õ �Ë��«�«3�§¢Â��µOÕ$������¢¥�Á¡;��¬�¬w¤����Ƭ�¤;£�����¤t��¢�¤���«�«�¢¥�º¶/£�¬��&¯Õ¥£����°��¤ ü ���r�¥¤t���È��¤t�$¬w��£�����¢¥¤t��¡º��¢�¢¥ t�È«���¢Á����¤�µ§��¢�£­��Ã���¤��§�� º�LÕÂ��£�¢¥¤ �½¯þ¬w¤t����¢Â�§Ã���¤��¤½¡º�§¢¥¢¥ ½£���Õ¥ tÉ�¢¥��Ã���¤§²>�È��«3�§¢�Õ£�¡t����£�¤;¢t¦º��£"�Ϥt�{Õ����¶Õ¥¢¥£�Ã���¤;��É�¤;����¢¥ ;¤�«3�§¢)����¤½µ§��¢�£­��Ã���¤���� º�9Õ¥��£�¢�¤X¹�¦I�¾¼¿¤t��«� ;¢Â����¡t¤�¡;������£¤Õ£�������¤;����¤(e�íuü à � ï ¦I¸¹��£±¤t�{ÕÈ������¢¥�~���¿Õ¥ t¤Çeríuü à ¹ ï ¦Ó¤t��Õ����¬w¤t£�����¤;��¢¥¤���«�«�¢¥�º¶/£�¬��9Õ£����r��¤�üQ«3�§¢�����¤�À0����¡�Õ¥£�������¤~¹�¦/«���£���¸±��¤Æ��¤;�»µ§��¢¥£���Ã���¤t����� º�9Õ¥��£�¢�¤t�!û$ío¹ ï ¯�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤t�½�¥����Õ���¤t�»À0����¡�Õ¥£������½¬w¤t�¥��¢Â��Ã���¤t�»��¤p¹�²±���¿Õ¤;¢�¸¹��¤Æ�¾¼¿����Àö�¤;�Z� Õ£���£��¥����Õ���¤mÕ¥©� t��¢f3t¬w¤´��¤�$�øwÕ¥©3��É���¢¥¤ , ú ªJeríuü à � ï ª!« ñ 3�¬^5 @®ª�ü¯ª!« ñ 3�¬^5 ²Z\[^]`_�X?acbd[fehg�eÔg­² ìÆ�Ë«9¤t� Õw�����¥��£��� �c3��£�¢ e�íuü à � ï «9����¢�Õ¥����Õ¥¤·µ§��¢¥£���Ã���¤·���� t�&¯Õ¥��£�¢�¤�ü «����¥£OÕ¥£�µ�¤�ö��¥�����_¡t������£OÕ¥£������ß¼+£���Õ¥ tÉ�¢¥��Ã�£���£OÕ¥  ú ²tìÆ�´��������¢¥�+eríuü�s ï7 eõí0erí ü à � ï s ï ¦«9����¢\ÕÂ����Õ¤�µ§��¢¥£���Ã���¤����� t�9ÕÂ��£�¢¥¤ sº�½¯�¬�¤;�¥��¢¥��Ã���¤�«�����£OÕ¥£�µ�¤r¤�Õ���¤t�´¢f3;É���¤;�´��¤�¡t����¡;���������Õ�¤t�¥��¤t��Õ£�¤t����¤t¬w¤t��Õ���¤t��¬wÎt¬w¤t��¸¹��¤´�3��������¤�¡º����£���Õ tÉ�¢Â��Ã���¤¯ö�¡�ÀK² � .�³M.ò�S" � ¦3¡ª©3�&¯«�£¤Õ¢�¤p� ú ²

Page 59: Calcul Stochastique

öø÷tù`_¾úºûIü&ýþù¾ÿ+ú;÷���üÇý���� ýKü�����ùÄúÓý����0ù¾ÿ �tü�� àw�Õ�Ö¾Õ�ÖÐÜ èÏÚ$ê{�¾qÇêyzfâts0ãhzw��ÝCé�Ú$ço�ßãhz?�ßá$ç�â�o�Þ=oØá$ç�çÇã_êKêKãhz]~��«�¢¥��«9����£OÕ£����{�¥��£�µ§����Õ¤´¤t�{Õ¶Õ¢f3;���¥����µ�¤t��ÕÆ� Õ£���£��� t¤Æ�3�§����¡t¤´��£�µ/¢�¤�²²6X æ � æ í â å âuæ�ç eÔg�eÔg2Üsr^µLѧ¹�ü ·wʢ˻aLÉ¿¸JÑ%É�ced2ËÇÉ�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸ÍË��~v�ÓQËÍÎ�· ¸�É�ced2Ë h aLÉ�d2Ë�·w¸~ÎÇÏ�É¿Ê�Îí4�Ùïu� ï Ë�¹�Î>µLѧ¹^ö ËÍÎ�¹Ú· Ê¢Ë~aLÉ¿¸JÑ%É�ced2Ë�É�d2ÈfÉ¿¹�µLѧ¸~Ë»£����� t«9¤t��������Õ¤4ÏwË.�}m h aLÉ�d2Ë�·w¸~Î�Ï�É¿Ê�Îí / ï&� ï Ô#³¶µL·w¸M¹�µL·w¹�Ë�¼SµLÊ¢Ì�¹`ÑuµLÊ�½¾c�µL¸~ÈGd�ÑuË�Ê}Ê¢Ë�m�Ð}µ>Î�ѧ¹`Ñoa¿Ë/¿�µL·gc�µL¸�Ê¢ÈÍËÁÀçÎ�·w¸�í��?q / ïu�}Â� ï m»d¤É~¼SµLÊ¢Ì�¹%ÑuµLÊlÃrÏwÈ<Ä Ê}ÑuËMÐ�É¿¸�»

� î ��� Ã�í î�ïv eõí�½�í î ïÍö ï¥ïËÍÎ�¹.c�µL¸~ÈGd�ÑuË�Ê}Ê¢ËmÎ�·w¸�í4�Ùïu� ï Ë�¹¶µLÊ�É�»

eõí�½�í üfïÍö ï à � ï! Ã�í ü ï ТԤÎdÔ ò]ÆÅlÇuÈ,É�Ê2ÈOc:ËeÅ9Õ�È�Ì�Ê�Í2ÎbËÏÎ�Õ�Õ�ÎbÐ�ÑuÌ�ÐÒÌ�ÇuȤÕ�È�Ì�Ê�ÎeÇ�ÕÔÓ$Õ2Î�Ö�ÇuÌ�Õ�ÇÔ×�ÎeÇ1Ø�ø"ÐÒÌ¿Õ�Ø�3eÇuÎÏÇ6ÙeÊ2Ì�Ê2ËeÙÏÎeÇeÖÌ�ÊlÐÒÎeÕ�Õ}ËeÅ�×,ËÏÕ2×,ÎÏÑ�e�í4½�íuüEïÍö ï à � ï ÎÏÊCÚ4Å�È,Ç�Å�Ê�Õ�ËÏÌ�ÛgÛqÎ�Ç&ÈÔüÜÙ�Õ�Å�ȤդÕ2Ê2Î1ËeÌ�Ê2Ç�Õ�Å�Ê�Õ�Î�Ý]×$^] æ�ç íCå>X�_Jå âuæ¾çÞ³nß Ì¿ÕuÌ�Ê2Ƕ)ÔYà×>Å6×�Ì�È�Í2Î6ögÝÒá/ʶÅ�â

Ã.ã<ä±å»æ ��ç ½/ã<ä ï�è�å � )1Y»ã4è�åÎ�Õ�×>ÅpÛgÎeÇ&Õ2Ñ�Å�é2È,×�ÈOÕ�Ù Í2Î�½êÑuÙÏÇuÕ2פÕ�Î�Í�ÕAÕuØ2ÙeÌ�Ñf3eÛgÎ�Í2Î�ëZÕ�é2È,Ê2È�Ý�ì"Ì�ÈOÕíÛbÅ�È�Ê�Õ�ÎeÊ2Å�Ê�Õ sîÕ2Ê2Îï Å�Ñ&È>Å�é2×�Î1Å�×,ÙeÅ9Õ�Ì�È�ÑuÎ�� ðOÛqÎÏÇuÕ2ÑuÅ�é2×�ÎÔÐÒÌ�ÇuȤÕ�È ï ÎÌö<Ð:Å�Ñ}ÎGñ�ÎeÛgÐ2×�Πsòæ $� Ö�Å ï ÎeË6|`ó�� ú Ýì�ȱÌ�ÊlÊ2Ì¿ÕuÎ\) T l ôl×>ÅÔ×,Ì�ȱÍ2ÕlËeÌ�Õ2Ð�×,ÎRã üfïJs�å!Ö�Ì�ÊCÅ�Ö�ÎeÊlÕ�ÕuÈ,×,È�Ç�Å�Ê�ÕK×�õöÈ,Ê2Í�ÙeÐÒÎeÊ2Í:Å�Ê2ËeÎ/Í2Îö÷Î�Õ�Í�Õ ï ÎeË�ÕuÎeÕ2Ñ�ãuüEïJs�åGÖ

eîã�½/ãuüEïÍö�å�s�åøæ �)� ½/ã<ä ïuè2åùQ � ) T l ô�ãoä ï�Q�å � )1YKã4è�åæ �ûú�� ½/ã<ä ï�è�å � )1Y ã4è�åUüýQ � ) T l ô�ãoäÆþ�Q�åæ � Ã�ã<ä±åùQ � ) T l ô�ãoäÆþ�Q�åæ e¦ã�Ã�ã üàåfspå±þËÏÎ1Ó$Õ2È�ÎÏÊ�Õ�Ñ�ŵ>Ê2Î�×,Î/Ñ&ÙeÇ&Õ2×OÕ�Å9Õ}Å�Ê2Ê2Ì�Ê2ËeÙ�Ýÿ�������X������� ��� Oæº.�Å�Ê2Ç~Õ2Ê8ËeÅ�Í2Ñ&ÎýÉ�Å�Õ�ÇuÇuÈ�ÎeÊ ÖZ×�Î1ËeÅ�×,ËÏÕ2×ÆÍ õöÕ2Ê2ÎýÎÏÇuÐÒÙeÑuÅ�Ê2ËeÎýËeÌ�Ê2Í�È�ðÕuÈ,Ì�Ê2Ê�Îe×,×�ÎÔÎÏÇ�Õ�Ð:Å�Ñ�Õ�È�ËeÕ2×�È23ÏÑuÎeÛgÎeÊ�Õ~ÇuÈ�ÛqÐ2×�Î�Ý+��ÊjÎ�©±Î�Õ�Ö�ÇuÈ�ã%ö þ¨ü��!þ�ü��eþ������Ïþ¨ü���å}ÎeÇ�Õ�Õ�Ê

Page 60: Calcul Stochastique

�����`_��� "!$#%��&'�(�*)+!*#,).-/#0!"-213�4�5#76$)(18��&:9�!"; <w¯ï ÎeË�ÕuÎeÕ2ÑÆÉ�Å�Õ2ÇuÇ&È,ÎeÊ�=3> ï Å�×�ÎeÕ2Ñ&Ç Í:Å�Ê�Ç�[ �5?@�,A Ö�×�õöÎeÇ&бÙÏÑ�Å�Ê�ËeÎ�ËeÌ�Ê2Í2ÈOÕuÈ,Ì�Ê�Ê2Îe×�×,Î(s ære¦ã0ö à B ��þ������Ïþ B ��åÎÏÇ�Õ}Í2Î�×>ÅýÚ<Ì�Ñ&ÛqÎíâ s æ #.CED �

FG å@� # G B G þÌIH ×�ÎeÇ # G Ç&Ì�Ê�ÕCÍ2ÎeÇlËeÌ�Ê2Ç�Õ�Å�Ê�Õ�ÎeÇCÑuÙÏÎe×�×,ÎeÇÏÝKJ.Îe×,Å Ç&È,É�Ê�ÈOc:Î�Ó$Õ2Î�×,ÅêÚ<Ì�Ê2Ë�ÕuÈ,Ì�Ê)Í2ÎÏÇ B GÓ$Õ2ȤÅ�Ð2Ð2ÑuÌ"Ë�Ø2ÎiÅ�ÕêÛqÈ�ÎeÕ�ñéö ÎeÇ{ÕRÕ2Ê2ÎxÚ<Ì�Ê�Ë�Õ�È�Ì�ÊêÅ�LgÊ2ÎiÎ�Õ6Ó$Õ2Îi×�õöÌ�Ê ÐÒÎeÕ ÕRË�Å�×�ËeÕ2×�ÎeÑsMÎeÊêÐ2Ñ&Ì$M&Î�Õ�Å�Ê�Õ�Í:Å�Ê�ÇON � ×>Å ï Å�ÑuÈ,Å�é2×,ÎgÅ�×�Ù�Å9ÕuÌ�È,Ñ&Î4ö ÇuÕ�Ñý×,ÎgÇuÌ�Õ2ÇùðOÎeÇuÐ2Å�ËeÎ ï ÎeË�ÕuÌ�ÑuÈ�Îe××�È,Ê2ÙeÅ�È,Ñ&ÎeÛgÎeÊ�Õ�ÎÏÊ2É�ÎeÊ�Í2ÑuÙRÐ:Å�Ñ/×,ÅxËeÌ�Ê�Ç�Õ�Å�Ê�ÕuÎQP�Î�Õ1×�ÎeÇ B G =4ËGÚUÝSR V Ì�ÕUTÝ� V�Ö�Ë�Ø:Å�Ð�ÈOÕ�Ñ&Î�T�ÖÐ:Å�Ñ�Å�É�ÑuÅ�Ð2Ø2ÎXW A Ý

Page 61: Calcul Stochastique

Y�8YZ��4[]\]^`_`a@b`��c d�â

e f�gih�f�jlknmpolqirsf�t

Rvu/ìxw�y�V z Ý"u~é2Ñ�Å�ÛgÌ5{�È�|~}�Î(|���Ý'uÔÝ�ì2|�ÎeÉ�Õ2Ê Ö[ÎeÍ2È�|�ÎÏÕ2ÑuÇÏÝU���¿Ê����+�5�5���0���������}Ë+�����3�uÌ~����� Ê¢Ì+�3���LÊ��GÝ��pÌ ï ÎeÑeÖ���|uØlÎeÍ2È�|�È,Ì�Ê Ö�5�Iw�y�Ý

R���Å�Ë�yIy�V ��Ý]�.Å�Ë�Ø2Îe×�È,ÎÏÑeÝ� ¤Ø�ÙeÌ�Ñ&È,ÎiÍ2Îi×,Å�ÇuÐÒÙeËeÕ�×>Å�|uÈ,Ì�Ê Ý�¡mÊ}Ê�¢¤£^Ì+�3¢¦¥¶Ì§�$�2Ë©¨X�$ª.��¢£«�5¬¢,Ö��"w�â:­®�+¯�TI°�Ö���IyIy�Ý

R��.Ì�ÕUT�°�V ß ÝU�.Ì�Õ2×�Î�Å�Õ�ݲ±²ª³���§�������´���%µ§�¶�wËX�~· ¸�Ê�¹�µ�ÊU�uË+��ª!Ý�º~ÎÏÑuÛqÅ�Ê2Ê Ö�5�ITI°�ÝR��.Ì�ÕUT�T�V ß Ý»�KÌ�Õ2×,ÎeÅ�Õ Ý¼±²ª³�>ÌÍ˧�§�+���½£«�0�>̧���$�+�3�3¾��}˧��Ë+�¿¡²¬�¬��´�uÌ~���4���LÊ��GÝÀº~ÎeÑ&ÛbÅ�Ê2Ê Ö

�5��TIT�ÝR'J.È>ÅIT�T�V Á�Ý/Â6Ý�J.È>Å�Ñ&×,Î(|eÝÀÃYÊ¢ËO¸�ÊU�3ª§�����}Ì+�3���LÊÅÄÆ�~· �¿Ê����´Ç5�>ËAÊU���©µ+ª.�3¾���Ë������3ª+�uÌ+�uË+���2ËË+�²Ä��~·È�§¬��3���É�Ê�����4���LÊ:ÝSz¶Å�ÇuÇ&Ì�Ê Ö`�5�ITIT�ÝR���J¤�¿T�­"VO�ýÝ���Å�ËeÕ2Ê2Ø2ÅðËJ�Å�ÇË|�ÎÏ×,×,Î�Î+|¤zàÝ®�~Õ�Ì:Ì2Ý�±»ª³���§�������´���%µ§�6Ë+�`�+�7���3�Ê�+�3�3¾���˧�§Í��%�$�QË

Î Í]±»ª³�����ÊÏ+�Q˧�¶Ä©��Ë+�*¬U��ÐÑ ËGÝÒzQÓ�Ô,Ô~ÕIÖ×��5�IT�­�ÝRöëUØ~Ù�w�W$V uÔÝÆë«Ø,ÙÊÚ(Û2Û©Ó�Ö Ý�£«�0�>̧���$�+�3�uÌÉÜÝ� Þ�Ë+ª~Ë�ÊU�4�3���¥¦¾������3���LÊ��©�¿Ê���¡¤¬�¬��´�uÌ~���3���LÊ��GÝ

u¦ß�Ó�ÛxÚeÛ�ÙÊßÝÁ�Ø,Ú�Ô~Ô(×`�5��wIW�ÝR'ÂXÓ�سTIT�V  /Ý@ÂÝÓ�Ø~Û Ý¦¸�ÊU�3ª§�����}Ì+�3���LÊà�%��£«�0�>̧���$�+�3�uÌÝÜÝ� Þ�Ë+ª~Ë�ÊU�4�3����¥¦¾������3���LÊ:ÝKzQÓ�Ø~ß(Ú�á

�*Ú(â2â�Ú�Ø(×����ITIT�ÝR'ÂÔì®TIy�V ��Ý���Ý�ÂÝÙ�ã2Û�Ó�Ö�Ú(|äuýÝvå�ÝÒì®â�ÕIØ~Õ�ãxÕ®Û�ݦ¸�ÊU�3ª³������Ì+�3���LÊ�Ä©����æ��Uµ§�$ª.�u˶�w˧��±»ª³�$çÌÍ˧�§�+���ä¡*�ʵ~���%�$��ªÍ˧�GÝÒzèÙÊØ�×�5�ITIy�ÝR�é�Ö�êxT���Vë�ýÝ'ì¤Ýé�Ö2ê�|~ã Ý�æ��}Ë*¡*ª.�ä�0��í»�$�*¬��®��Ë+ªî¬�ª³�~¹�ª,���É�É�§Ê�¹$Ͷï��$��¢]ð�ÍÒ£^Ë+�É�§ÊU�®ç

�QË+ª.�uÌ~���«¡*��¹��$ª.�������ñ�GÝ]u¦ÛxÛxÙ�Ô~ÕIÖ�ð�ò�Ú(Ô~á�Ú(óI×����IT��IôR�éÝÁÒ�I­$V Áô:ì¦ô�é�áÊÕ�Ú�Û�Ú�ÖÆÚ(|Xì¦ô�Á�áÊÓ�|³Ú(Ö�ô�¨*���QË+ª+�uÌ~���£��$�´�®�3���LÊÅ�0�ñ£«�0�>̧���$�+�3�u̶Ü�� �.ç

�SË+ª~Ë�ÊU�3�3���@¥¤¾��x���3���LÊ��+ô ì®õxØ,ÙÊÖxöIÚ(ؤåSÚ�Ø,á÷Ó�öx×@�5�I��­�ô

Page 62: Calcul Stochastique

Y�8YZ��4[]\]^`_`a@b`��c dø

R�é1ì�TIT�V �§ô@éÝÓ�سÓ�|~}�Ó�ÔäÚ(|1ì�ô:ì¦ô�ì�ãxØ~Ú ï Ú�ôñù¦ª§�$ú(ÊU�3�¿Ê��à�$�4���LÊ��¿Ê���£«�0�>̧���$�+�3�uÌ©íS���´çÌ+���´�2�+ô ì�õxØ~Ù�ÖxöIÚ�ØUð7åSÚ(Ø~á÷Ó�öx×xûKÚ({�ð�üÒÕ�Ø~â«×��5�ITIT®ôR�é�êxÔ§wIw"V ºXô/ý�ô®é�êxÔ~ãxÖ�Ú�Ø�ô�±»ª³���§�������´���4Ƕ��Ë+���U���$�E���$ª¤¡¤¬�¬�ª³�(ÑI�������3���LÊ��¿�§Ê½£«�0�>̧���$�+ç

�3�uÌñí»�LÊU�4ª³�$��¿Ê��¤���$ª¦¥»���´�:¬��4�uÌ¾������4���LÊ��+ô�u¦ß�Ó�ÛxÚ�þ�ÙÊßäÁ�Ø~Ú(Ô~Ô�×®ûäÚ+{ÀüÒÕIØ~â«×�5�IwIw®ô

R���õ:ìS�Iy�V Áô®��õ'ì�ß�ê�ó�Ú�Ø�ôEÿäÓ�ÖxÛxÕIþ Ö2êxþ�é�Ú�Ø,Ô � ÕIØÒÔ~Ù�þOêxáÊÓ�|³Ù�ÕIÖ�ô¤í»�$�É�É�wÊU�uÌ~���3���LÊ����0����}Ë*¡Oí���×�����×��5y��5���Iy�ô

R�Á� îT�W$V ì¦ôIÁ�Ó�Ø~Û�ÕIê�ñÉÚ+|Ò�ñôI �Ó�á÷Ó�ó�ôU�*ÙÊÔ,ß�Ø,Ú(|³Ù�}�Ó�|~ÙÊÕIÖOÓ�ÖxÛÉÔ~Ù�þOêxáÊÓ�|³Ù�ÕIÖñÕ � ÔË|³Õ�ߧãUÓ�ÔË|³ÙÊßÛxÙ��Ú(Ø~Ú(Ö2|~Ù÷Ó�á¦Ú��2êUÓ�|³Ù�ÕIÖxÔ(ô ¡�Ì+����¡¤¬�¬��´�uÌ~�¿Ê����wË��Æ�����}Ë+�����4�uÌ~�wË+×��â:­�"¯���w®×�5��T�W®ô

R�ÿ�ò T�w$V ��ô:J*ô/ÂÉô�ÿîÕIöIÚ�Ø,ÔÝÚ(|X�ñô�ò¼Ù�áÊáÊÙÊÓ�þ�Ô�ôOÜÝ� Þî���+���LÊ��§Í²�Æ��ª§���� �±²ª³�>ÌÍ˧�§�>˧���¿Ê���Æ��ª.�4�§Ê�¹����2˧�§Í½æ��$�QËèð�Í�¸.��� íS���2Ì+���´�2�+ô ý�ÕIã�Ö ò¼ÙÊá�Ú(óÅÓ�ÖxÛ)ì®ÕIÖxÔ(פûäÚ+{üÒÕIØ,â«×��5�IT�w�ô

R ì®Ú�ÛxT�w$V ÿÝôZì®Ú(ÛxöIÚ({îÙ�ߧâ«ô¤¡*��¹��$ª.�������ñ�+ô]u¦ÛxÛxÙ�Ô~ÕIÖ�¯�ò�Ú(Ô~áÊÚ+óI×`�5�ITIw®ôRv EÓ�á÷��W$V �ñôU �Ó�áÊÓ5ó�ôKì®ÙÊþOê�á÷Ó�|~ÙÊÕIÖ�Õ � ÔË|³Õ�ߧãUÓ�Ô,|~ÙÊßÝÛxÙ��Ú(Ø~Ú�Ö�|~Ù÷Ó�á�ÔËó�Ô,|³Ú(þ�Ô(ô¤�¿Ó�ÖxÔ*Á�Ó�êxá

é�Ø��(ÚpÚ+|�ò�Ó�á�|³Ú�ØÉò Ú�ÛxÙ�öx×�Ú�Û�Ù�|³Ú(êxØ~Ô(×î±»ª³���§�����´�Ê�+�3�uÌ�� Ë+���U���$�è�§ÊÅ¡²¬�¬��´�uË~�±S��Ç5�+�u̧�+× ï ÕIáÊêxþ�Ú���W®�¤ÛxÚ��YËÍÌ+�3�®ª~Ë»¨¶�$��˧�î�§Ê�±S��Ç5�+�u̧�+×�õxÓ�öIÚ�Ô�W��$¯®�I°®×��²Ú(Øùðá�ÙÊÖ½ºäÚ(ÙÊÛxÚ(á,é�Ú�Ø,öx×�5����W®ôZì®õ�Ø~ÙÊÖ�öIÚ�Ø(ô

Page 63: Calcul Stochastique

������c�� d��

�! #" t%$

&('�)+*-,/. 0/01(243658793;: ,=<>'�?9. @BACED 7�2 'GF6)+HJI : FLK�M8N�,8H�'GF6, 3O3 ,PI

IG'�) 5�Q�2 IG'GF D 7 ,PIB.JRTSBUV/WC IGX�M8N 2 H 5 , 5 )+H : FO'GF6)+H9HJ, 3O3 ,/. 0/0

5B2 IZY 247 I�I�F6,8H�. 0/[:�\ 7 HJ,^] 2 NGF 24_93 , 243 M 2 '�)+FON�,^X`)/IGFO'GFO]T,/.

0TS,8'ZX9N�)4aG, 5 'GF6)+Hb)+NG' Q )+YT)+H 243 ,/. 0TSX 2 NcN 2 X9X�)+NG'ed 7 HJ,^] 2 NGF 24_93 , 243 M 2�f

'�)+FON�,/. 0TSg F 3 'GN 2 'GF6)+H�. h

H 2 ' 7 N�, 3O3 ,/. 0g )+NG* 793 , :�\ FOH�'�M8Y/N 2 'GF6)+HiX 2 NjX 2 NG'GF6,PIB. R/Vg )+NG* 793 , :�\ <k'�?9. R�@

* 793 'GF : FO*-,8HJI�F6)+H9HJ, 3O3 ,/. R/0lm247 I�IGF6,8H9HJ,/. 0/VY 247 I�IGF6,8H9HJ,

5 ,8H�'GN�MP,nN�M :�7 FO'�,/. 0/Vl M8HJM8N 2 '�, 7 N�I : ,EHJ)+* _ N�,PI 243 M 2 '�)+FON�,PIB. h�V<kH�'�M8Y/N 243 ,=IG'�) 5�Q�2 IG'GF D 7 ,/. @BR<kHJM8Y 243 FO'�M : ,mo�)) _ . @/@p )+F

HJ)+NG* 243 ,/. 0/Vq 2 NG'GFOH9Y 243 ,

,�r�X`)+HJ,8H�'GF6, 3O3 ,/. [ . R/0s Q MP)+N�t8*-, :�\u2 NGN�v8'B. A

dw'�,8*cXJI 5 )+H�'GFOH 7 . [q ) : t 3 ,

2 ]T, 5 I 247 '�II�FO* 793�2 'GF6)+H�. 0/W

: ,=x 3�2+5�y�f{z5�Q ) 3 ,PIB. R/0I�FO* 793�2 'GF6)+H�. h�A

q ) 7 ]T,8*-,8H�' _ N�)B|ZH9F6,8H�. }z FO* 793�2 'GF6)+H : ,~X9N�) 5 ,PI�I 7 IB. h�[

q M8' Q ) : ,: , q )+H�'�, 1(2 N 3 )9. h�R

q M8' Q ) : ,PIZH 7 *-M8NGF D 7 ,PI� )+H 5 'GF6)+H : ,�N�M8X 2 NG'GFO'GF6)+H :�\ 7 HJ, 3 )+F

Y 247 I�IGF6,8H9HJ,/. 0�@� N�) 5 ,PI�I 7 I

:�\�� NGHJIG'�,8FOH fk��3OQ ,8H _ , 5�y . V/W*-) 7 ]T,8*-,8H�' _ N�)B|ZH9F6,8H�. }dw'�,8*cXJI 5 )+H�'GFOH 7 . h

� N�) 5 ,PI�I 7 I :�\ <>'�?9. R/W� N�)+X9NGF6M8'�M : , q 2 N y )B]�.�V/R�UV/0z FO* 793�2 'GF6)+H : ,~X9N�) 5 ,PI�I 7 IB. h�S

*-) : t 3 , 2 ]T, 5 I 247 '�I�. 0/W*-) : t 3 , : ,mx 3�2+5�y�f{z5�Q ) 3 ,PIB. h�A*-) 7 ]T,8*-,8H�' _ N�)B|ZH9F6,8H�. h�[M D 7�2 'GF6)+HJI : FLK��9I�'�) 5�Q�2 IG'GF D 7 ,PI�. h�[

z FO* 793�2 'GF6)+H : ,PI�] 2 NGF 24_93 ,PI 243 M 2 '�)+FON�,PIB. h�0Y 247 I�IGF6,8H9HJ,/. h�0] 2 NGF 24_93 ,n,�rX�)+HJ,8H�'GF6, 3O3 ,/. h�0] 2 NGF 24_93 ,=X`)+F6I�I�)+H9F6,8H9HJ,/. h�}]T, 5 '�, 7 NjY 247 I�IGF6,8H�. h�}

z ) 7 I f 'GNGF _97 . 0/0

Page 64: Calcul Stochastique

������c�� d`�

s ,8*cXJI :�\u2 NGN�v8'B. 0'�,8*cXJI :�\u2 'G'�,8FOH�'�,/. @BW

s Q MP)+N�t8*-, :�\u2 NGN�v8'B. A


Recommended