Indice 1 Richiami matematici 5 1.1 Gradiente ........................... 5 1.2 Divergenza .......................... 6 1.3 Rotore ............................. 7 1.4 Laplaciano vettoriale ..................... 8 1.5 Laplaciano scalare ...................... 8 1.6 Lemmi e formule di Green .................. 9 2 Cariche e correnti elettriche 11 2.1 Cariche elettriche ....................... 11 2.1.1 Modelli di distribuzione della carica elettrica ... 11 2.2 La corrente elettrica ..................... 13 2.3 La densit` a di corrente .................... 14 2.4 Relazioni tra densit` a ed intensit` a di corrente ....... 15 2.5 L’equazione di continuit` a .................. 16 3 I fondamenti dell’elettromagnetismo 19 3.1 La forza di Lorentz ...................... 19 3.2 L’esperimento di Faraday e la legge di Gauss ....... 19 3.3 La legge di Faraday ...................... 21 3.4 La legge di Ampere ...................... 22 3.5 Le equazioni di Maxwell ................... 24 3.6 Le correnti impresse ..................... 26 3.7 Relazioni costitutive dei mezzi elettromagnetici ...... 27 3.8 Equazioni di Maxwell in regime armonico ......... 34 3.9 Condizioni sulle superfici di discontinuit` a ......... 37 1
3 I fondamenti dell’elettromagnetismo 193.1 La forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 L’esperimento di Faraday e la legge di Gauss . . . . . . . 193.3 La legge di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 La legge di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Le correnti impresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Relazioni costitutive dei mezzi elettromagnetici . . . . . . 273.8 Equazioni di Maxwell in regime armonico . . . . . . . . . 343.9 Condizioni sulle superfici di discontinuita . . . . . . . . . 37
1
2
4 Primi esempi di risoluzione delle equazioni di Maxwell 434.1 La soluzione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . 434.2 La soluzione nel dominio dei vettori complessi: l’equazio-
7.2 Classificazione delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . 2057.3 Equivalenza con le linee di trasmissione . . . . . . . . . . 2107.4 Impedenza d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.5 Velocita di fase delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . 2147.6 Completezza delle onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.7 Riflessione e rifrazione di onde piane . . . . . . . . . . . . 220
7.7.1 La legge della riflessione e la legge di Snell . . . . . 2217.7.2 Il caso del mezzo con perdite . . . . . . . . . . . . 2257.7.3 Formule di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Si consideri una funzione scalare derivabile φ (si ricorda che una funzionescalare e una funzione che da come risultato un numero, come ad esempiola temperatura all’interno di una stanza), definita in una regione dellospazio V racchiusa dalla superficie S.
Il gradiente di φ e un vettore, funzione delle coordinate nello spazio,che viene indicato con il simbolo ∇φ, e che e definito come segue:
∇φ = limV →0
1V
o∫
Sφ n dS ,
dove n e il versore normale in ogni punto alla superficie S, orientatoverso l’esterno di questa.
In particolare, se all’interno del volume V viene introdotto un sistemadi riferimento cartesiano ortogonale (x, y, z) il gradiente risulta esseredato dall’operatore differenziale lineare
∇φ =(
∂
∂xx +
∂
∂yy +
∂
∂zz
),
e le sue componenti definiscono quindi la variazione della funzione φrispetto alle coordinate cartesiane.
Osservazioni
• Sono dette superfici di livello le superfici dello spazio sulle quali siha
φ = costante .
5
6 CAPITOLO 1: RICHIAMI MATEMATICI
Come e immediato verificare, poiche sulle superfici di livello lafunzione φ rimane costante, il gradiente e ortogonale alle superficistesse.
• Data una funzione f (anche vettoriale, ovvero che ha come risultatonon un numero, ma un vettore), si dice circuitazione di f da A aB lungo la linea dello spazio γ l’integrale
Circuitazione =∫ B
A,γf dγ ,
e vale ∫ B
A,γ∇f dγ = f(B) − f(A) .
1.2 Divergenza
Si consideri una funzione vettoriale w, definita nuovamente in un volumedello spazio V racchiuso dalla superficie S. Si definisce divergenza di w,e la si indica con la scrittura ∇ · w la quantita scalare
∇ · w = limV →0
Flusso di w attraverso ∆S (dall′interno all′esterno)V
= limV →0
1V
o∫
Sw · n dS .
Come si nota, la divergenza non e nulla solo nel caso in cui vi sia un flussonetto uscente (o entrante) nella superficie che racchiude il volume V . Inaltre parole, la divergenza puo essere interpretata come una misura dellesorgenti (o dei pozzi, nel caso in cui ∇ · w < 0) dai quali scaturisce ilcampo vettoriale w, o dove esso termina.
Un tipico esempio di natura elettromagnetica e quello che si riscon-tra quando una carica elettrica viene posta in quite in un punto dellospazio: essa da luogo ad un campo elettrico che “nasce” o “muore” incorrispondenza della carica, cio dipendendo dal segno della carica stessa.In termini matematici la “nascita” o “morte” del campo elettrico e rap-presentato da un valore di divergenza non nullo nell’intorno della carica.
Osservazioni
• Teorema di Gauss. Scelto un volume V dello spazio racchiuso dalla
1.3. ROTORE 7
superficie chiusa S, risulta∫V∇ · w dτ = o
∫Sw · n dS .
dove, come al solito, n indica il versore normale alla superficie Sed orientato verso l’esterno della stessa.
• Ritornando all’espressione che da la misura della divergenza, si puodimostrare che, quando viene assunto un sistema di riferimentocartesiano, risulta
∇ · w =∂wx
∂x+
∂wy
∂y+
∂wz
∂z,
dove wx, wy e wz sono le componenti di w rispettivamente lungogli assi x, y e z.
1.3 Rotore
Si consideri una funzione vettoriale u definita in un volume dello spazioV racchiuso da una superficie S orientata dal versore n uscente da essa.Si definisce rotore di u, e lo si indica con il simbolo ∇× u, la funzionevettoriale,
∇× u = limV →0
1V
o∫
Sn × u dS .
Osservazioni
• Teorema di Stokes. Scelta un superficie S dello spazio racchiusadalla curva chiusa γ, risulta∫
S∇× u · n dS = o
∫γu dγ = circuitazione diu .
• In un sistema di coordinate cartesiane il rotore puo essere formal-mente calcolato come determinante della matrice
M =
x y z
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zux uy uz
,
e risulta
∇× u =(
∂uz
∂y− ∂uy
∂z
)x +
(∂ux
∂z− ∂uz
∂x
)y +
(∂uy
∂x− ∂ux
∂y
)z .
8 CAPITOLO 1: RICHIAMI MATEMATICI
1.4 Laplaciano vettoriale
Data una funzione vettoriale v, si definisce laplaciano vettoriale la fun-zione vettoriale
∇2v = ∇(∇ · v) −∇×∇× v .
In coordinate cartesiane risulta
∇2v =
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
)v .
Infatti, se ad esempio si considera la componente lungo x, si ha
∇ (∇ · v)x = ∇x
[∂vx
∂x+
∂vy
∂y+
∂vz
∂z
]=
=∂2vx
∂x2+
∂2vy
∂x∂y+
∂2vz
∂x∂z
e
(∇×∇× v)x = (∇×)x
[(∂vz
∂y− ∂vy
∂z
)x +
(∂vx
∂z− ∂vz
∂x
)y
+(
∂vy
∂x− ∂vx
∂y
)x
]=
=∂2vy
∂y∂x− ∂2vx
∂y2− ∂2vx
∂z2+
∂2vz
∂z∂x,
la cui differenza coincide con
∇2xv =
∂2vx
∂x2+
∂2vx
∂y2+
∂2vx
∂z2.
1.5 Laplaciano scalare
Data una funzione scalare g, si definisce laplaciano scalare la funzionescalare
∇2g = ∇ · ∇g .
E immediato verificare che, se si introduce un sistema di riferimentocartesiano, e si suppone che la funzione g sia una delle componenti diuna funzione vettoriale w, ad esempio g = wx, il laplaciano scalare di gcoincide con la componente lungo x del laplaciano vettoriale di w.
1.6. LEMMI E FORMULE DI GREEN 9
1.6 Lemmi e formule di Green
Date due funzioni scalari e derivabili φ e ψ, valgono le seguenti identita,note come lemmi di Green
Primo lemma
ψ∇2φ = ∇ · [ψ∇φ] −∇φ∇ψ .
Secondo lemma
ψ∇2φ − φ∇2ψ = ∇ · [ψ∇φ − φ∇ψ] .
Da questi due lemmi si ricavano due importanti formule integrali.In particolare, dal primo lemma, e dal teorema di Gauss applicato adun volume V delimitato da una superficie chiusa S orientata secondo lanormale n da essa uscente, si ottiene la
Prima formula di Green
∫V
(ψ∇2φ + ∇φ∇ψ
)dV =
∫V∇ · (ψ∇φ)dV =
= o∫
Sψ∇φ · ndS =
= o∫
Sψ
∂φ
∂ndS ,
dove si e indicato con∂φ
∂n= ∇φ · n .
Analogamente, dal secondo lemma di Green e dal teorema di Gauss, siottiene la
Seconda formula di Green∫V
(ψ∇2φ − φ∇2ψ)dV = o∫
S
(ψ
∂φ
∂n− φ
∂ψ
∂n
)dS .
10 CAPITOLO 1: RICHIAMI MATEMATICI
Capitolo 2
Cariche e correnti elettriche
2.1 Cariche elettriche
I fenomeni di attrazione e repulsione regolati dalla legge di Coulomb pos-sono essere interpretati attribuendo ai corpi su cui le forze si manifestanouna determinata carica elettrica, usualmente indicata con la lettera q,la cui unita di misura e il Coulomb [C].
L’osservazione dei fenomeni fisici che intecorrono tra cariche elet-triche porta inoltre a riconoscere che un determinato corpo e in gradodi attrarne o respingerne altri, cosicche risulta naturale distinguere duetipi di carica, che vengono convenzionalmente indicati coi nomi di caricapositiva e negativa. Infine, e opportuno ricordare che gli esperimenti diattrazione e repulsione elettrica mostrano che la carica elettrica presentesu ogni corpo non ha un valore che varia con continuita nei numeri reali,ma sempre come multiplo di una quantita fissa, che viene assunta comemisura della carica elettrica elementare, e che vale
e = −1.602 × 10−19 C .
2.1.1 Modelli di distribuzione della carica elettrica
Modello corpuscolare
Secondo il modello corpuscolare, lo stato di elettrizzazione di un corpo,o di una regione dello spazio, ovvero la sua capacita di attrarre o respin-gere altri corpi carichi, e interpretato come dovuto alla presenza di una
11
12 CAPITOLO 2: CARICHE E CORRENTI ELETTRICHE
densita n(P ) [m−3] di particelle cariche, ognuna con una carica pari a
qP = N · e [C] ,
che, nell’insieme, concorrono a dar luogo, in ogni volume infinitesimo dτdello spazio, ad una carica infinitesima complessiva
dq = n(P ) qP dτ .
Quando poi si consideri che nel volume dτ possono essere contempo-raneamente presenti sia cariche positive sia cariche negative, la caricatotale immagazzinata nel volume e pari a
dq = dq+ + dq− = (n+(P ) q+P − n−(P ) q−P ) dτ ,
dove n(P )± e q± sono, rispettivamente, le densita volumetriche e lecariche delle particelle presenti nel volume dτ , ed aventi carica positivae negativa.
Modello continuo — Densita di carica
Sebbene il modello corpuscolare abbia una piu immediata rispondenzacon l’intuito fisico che porta ad immaginare una carica elettrica comeformata da una somma di contributi dati da elettroni e protoni, lo stu-dio dei fenomeni elettromagnetici utilizza piu di frequente un modellocontinuo, secondo il quale lo stato di elettrizzazione viene descritto at-tribuendo a ciascun punto P dello spazio una densita volumetrica dicarica, espressa in [C· m−3] che, in tutta generalita puo dipendere siadal punto P , sia dal tempo. Questa densita e definita come
ρC(P, t) = lim∆τ→0
∆qτ
∆τ,
essendo ∆τ un volume infinitesimo attorno al punto P , e ∆qτ la caricaivi contenuta.
In analogia con quanto fatto nel caso del modello corpuscolare, e poiopportuno prendere in considerazione anche il caso in cui nel volume∆τ siano contemporaneamente presenti densita di cariche sia positivesia negative, che possono venire indicate rispettivamente come ρ+
C e ρ−C ,e che danno luogo ad una densita complessiva
ρC(P, t) = ρ+C(P, t) + ρ−C(P, t) ≡ ρ+
C(P, t) − |ρ−C(P, t)| .
2.2. LA CORRENTE ELETTRICA 13
2.2 La corrente elettrica
S
Figura 2.1: Corrente elettrica. Individuata una superficie S orientata dallanormale n, la corrente e data dalla carica che attraversa nell’unita di tempo lasuperficie, concordemente o discordemente rispetto alla normale
La grandezza fisica piu comunemente utilizzata per descrivere il motodelle cariche elettriche e l’intensita di corrente elettrica. Essa e definitacon riferimento ad una superficie S ed al versore n ad essa normale.
Detta ∆qS,n la carica netta che attraversa nel tempo ∆t la superficieS orientata dalla normale n, si definisce intensita di corrente la quantita
i(t) = lim∆t→0
∆qS,n
∆t,
e la sua unita di misura e l’Ampere [A]. L’intensita di corrente dunquee una quantita scalare e come tale essa non ha verso, ma ha segno,che cambia se si inverte l’orientazione di S, cioe il verso di n. Come eimmediato pensare, infine, la carica netta ∆qS,n e data dalla somma degliapporti di carica dei due segni che fluiscono attraverso S concordementeo discordemente rispetto a n:
∆qS,n = ∆q+(n) − |∆q−(n)| − ∆q+(−n) + |∆q−(−n)| .
Nel definire la corrente come moto di cariche elettriche, si usa distin-guere tra i due seguenti tipi di corrente.
Corrente di convezione
Questa e la corrente che si manifesta quando un corpo elettricamentecarico si muove sotto l’azione di determinate forze, di natura elettrica omeno, trascinando nel suo moto anche le cariche su esso depositate.
14 CAPITOLO 2: CARICHE E CORRENTI ELETTRICHE
Corrente di conduzione
Questo tipo di corrente elettrica, che e quella di maggiore interesse nellostudio dei fenomeni elettromagnetici, e la corrente che si manifesta neimetalli, negli elettroliti e nei plasmi dove i portatori di carica elettricasi muovono all’interno della struttura in cui si trovano. Si tratta quindidi un moto di cariche libere che migrano all’interno del mezzo materialeche le contiene.
Come e noto, nella maggior parte dei metalli la corrente di con-duzione e attribuita alla presenza di un “gas di elettroni liberi” os-sia di quegli elettroni che, essendo meno vincolati dai legami chimici,possono muoversi all’interno del reticolo atomico del metallo. La piuelementare descrizione della conduzione elettrica puo quindi essere im-postata considerando semplicemente la velocita con cui gli elettroni sispostano all’interno del metallo.
Tuttavia, esistono altri materiali come per esempio alcuni semicon-duttori, nei quali la corrente di conduzione e invece attribuita al movi-mento di portatori di carica positiva. Si tratta di materiali nel cui reti-colo atomico vi “e un elettrone in meno” di quanti completerebbero unodei livelli atomici, e si puo pensare a questa mancanza come equivalentealla presenza di una carica positiva fittizia che prende il nome di la-cuna. Ogni lacuna puo essere colmata da un elettrone che abbandoni unreticolo vicino, completando in tal modo un livello atomico, ma contem-poraneamente contribuendo alla creazione di una nuova lacuna. Si creacosi un moto di lacune (in direzione opposta a quella degli elettroni) checostituisce una corrente di conduzione di cariche positive equivalenti.
2.3 La densita di corrente
Modello corpuscolare
Come si e visto nel precedente paragrafo, quando lo stato di elettriz-zazione di un corpo viene descritto tramite un modello corpuscolare siusa definire la densita n(P ) di particelle cariche presenti all’interno diun determinato volume. A queste particelle puo essere associata unavelocita media di migrazione vP , cosicche e possibile definire il vettoredensita di corrente elettrica
j(P, t) = n(P ) qP vP .
2.4. RELAZIONI TRA DENSITA ED INTENSITA 15
Modello continuo
Quando invece si fa riferimento ad una descrizione elettrica basata sulmodello continuo per la carica, il vettore densita di corrente viene definitocome segue:
j(P, t) = ρ+C(P, t)v+
P (P, t) + ρ−C(P, t)v−P (P, t) =
= ρ+C(P, t)v+
P (P, t) − |ρ−C(P, t)|v+P (P, t) ,
dove v±P (P, t) sono le velocita medie di migrazione nel punto P all’istante
t per le densita di carica positiva e negativa. Le dimensioni fisiche delladensita di corrente sono quelle di [A· m−2].
2.4 Relazioni tra densita ed intensita di cor-rente
Al fine di collegare il campo vettoriale densita di corrente j(P, t) all’in-tensita i(t) che attraversa una superficie S orientata dalla normale n altempo t e sufficiente osservare che ogni elemento dS di S e attraversato,in un intervallo di tempo ∆t da una carica positiva che, avendo velocitav+
P , occupa un volume con base dS ed altezza
dl+ = v+P ∆t .
S
∆S n vp+
dl+
Figura 2.2: Volume occupato dalla carica che attraversa l’elemento di superficie∆S nell’unita di tempo ∆t.
Il volume e quindi pari a
∆τ = v+P · n dS ∆t ,
e contiene una carica
dq+ = ρ+C∆τ = v+
P · n dS ∆t .
16 CAPITOLO 2: CARICHE E CORRENTI ELETTRICHE
Pertanto, la carica totale positiva ∆q+S,n che attraversa la superficie S
nell’intervallo di tempo ∆t e pari a
∆q+S,n = ∆t
∫S
ρ+C v+
P · n dS ,
e, analogamente, per la carica negativa
∆q−S,n = ∆t
∫S
ρ−C v−P · n dS .
L’intensita della corrente elettrica risulta quindi
i(t) = lim∆t→0
∆q+S,n + ∆q−S,n
∆t=
∫S
(ρ+
Cv+P + ρ−Cv−
P
)· n dS ,
e, ricordando che la densita di corrente e data da
j(P, t) = ρ+C(P, t)v+
P (P, t) + ρ−C(P, t)v−P (P, t) ,
si ha infinei(t) =
∫Sj(P, t) · n dS .
2.5 L’equazione di continuita
Nello studio dei fenomeni elettromagnetici, un ruolo di particolare rilievoe assunto dall’intensita di corrente dovuta alle particelle cariche che at-traversano una superficie chiusa, che indicheremo con il simbolo SC .
Per il principio di conservazione della carica, la carica ∆qusc cheesce dalla superficie chiusa SC nell’intervallo di tempo infinitesimo ∆t euguale ed opposta alla variazione ∆qint della carica contenuta nel volumeV racchiuso dalla superficie chiusa SC . Pertanto, se la superficie SC
viene orientata secondo la normale nusc ad essa uscente, si puo scrivere
iusc(t) =∫
SC
j(P, t) · nusc dSC =∆qusc
dt= −∆qint
dt.
Inoltre, se si adotta un modello continuo per descrivere la carica presentenel volume V racchiuso da SC , risulta
qint =∫
VρC(P, t) dτ ,
2.5. L’EQUAZIONE DI CONTINUITA 17
e quindi, in ultima analisi
iusc(t) =∫
SC
j(P, t) · nusc dSC = −∫
V
∂ρC(P, t)∂t
dτ ,
che rappresenta la forma integrale di una equazione che prende il nome diequazione di continuita. La forma differenziale dell’equazione puo esserericavata dalla sua forma integrale applicando il terorema di Gauss alprimo membro ottenendo
∇ · j(P, t) = −∂ρC(P, t)∂t
.
Questa equazione da una relazione tra grandezze scalari, funzioni delpunto P nello spazio e del tempo t, e mostra come i campi densita dicorrente di conduzione e densita di carica non siano tra di loro indipen-denti. Infatti, in accordo con l’intuito fisico, si riscontra che la densita dicorrente elettrica diverge (ovvero “nasce” o “muore”) in quei punti dellospazio, o in quegli istanti temporali nei quali si ha una variazione delladensita di carica elettrica. Il risultato non e dunque altro che una for-malizzazione matematica del concetto stesso di corrente di conduzioneche, come si e avuto modo di vedere, si genera quando vi e movimentodi cariche elettriche. Con riferimento a coordinate cartesiane, la formadifferenziale dell’equazione di continuita si scrive come
∂Jx(P, t)∂x
+∂Jy(P, t)
∂y+
∂Jz(P, t)∂z
= −∂ρC(P, t)∂t
.
18 CAPITOLO 2: CARICHE E CORRENTI ELETTRICHE
Capitolo 3
I fondamentidell’elettromagnetismo
3.1 La forza di Lorentz
Sperimentalmente si osserva che una carica puntiforme q in moto convelocita v in una regione dello spazio ove sia presente un campo elet-tromagnetico subisce l’azione di una forza, espressa in Newton [N], paria
f = q(e + v × b) . (3.1)
Questa forza prende il nome di forza di Lorentz, e l’equazione (3.1) puoessere assunta come l’equazione che definisce due vettori che risultanoessere funzione delle coordinate spaziali e del tempo. Questi vettorisono il vettore campo elettrico e, espresso in Volt/metro [V/m], ed ilvettore induzione magnetica b, espresso in Tesla [T] o, talvolta, nellascala equivalente dei Weber/m2 [W/m2]1.
3.2 L’esperimento di Faraday e la legge di Gauss
L’esperimento che viene ora richiamato ha una importanza fondamentalenell’ettromagnetismo perche esso rappresenta la prima osservazione che
1Si sono scritti i campi elettrico ed induzione magnetica utilizzzando lettere minus-cole. Qui e nel resto del libro questa notazione indichera grandezze che sono funzionidelle coordinate spaziali e del tempo. La notazione viene usata per distinguere ognicampo dalla sua corrispondente trasformata di Fourier, che verra indicata con l’usodi lettere maiuscole.
19
20 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
condusse alla individuazione ed alla definizione del “campo spostamentoelettrico” d ed e dovuta al fisico inglese Michael Faraday. Egli prese unasfera S1 caricata con una carica +Q e la circondo con una seconda sferaS2, di raggio maggiore rispetto a quello di S1 ed elettricamente isolata(si veda la Fig.(3.1)).
S1
++++
+++++
+++
+ ++QS1 -Q
S2- - -
----
------------- - - - -
Figura 3.1: L’esperimento di Faraday.
Faraday osservo che, se la sfera esterna veniva prima connessa aterra tramite la chiusura di un interruttore, e successivamente isolata,rimuovendo la sfera interna si trovava, su S2 una quantita di carica paria quella inizialmente depositata su S1, ma di segno opposto.
Faraday concluse che, durante il processo di connessione a terra edi successivo isolamento, c’era qualcosa che “fuoriusciva” dalla sfera in-terna per raggiungere quella esterna cosi da fare in modo che l’insiemedelle due sfere apparisse elettricamente neutro come necessario quandola sfera esterna era connessa a terra. Faraday noto inoltre che questo“qualcosa” che fuoriusciva dalla sfera interna non dipendeva ne dalledimensioni fisiche delle due sfere, ne dal particolare dielettrico tra esseinterposto, ma esclusivamente dalla carica +Q inizialmente depositatasulla sfera interna. Faraday chiamo questo “qualcosa” vettore (o flusso)spostamento elettrico, indicato qui con il simbolo d, e stabili che
• le “linee” del campo vettoriale d escono dalle cariche positive edentrano in quelle negative;
• il modulo del vettore e tale che il flusso di d valutato attraversouna superficie chiusa che racchiude una carica e uguale al valoredella carica.
3.3. LA LEGGE DI FARADAY 21
In termini matematici, le osservazioni di Faraday si riassumono nellaseguente legge, spesso indicata con il nome di legge di Gauss∫
Schiusa
d(t) · n dSchiusa = q(t) ,
dove q(t) e la carica (eventualmente variabile nel tempo) contenuta inun volume τ racchiuso dalla superficie chiusa Schiusa, ed n e la normalead essa uscente.
Come di consueto, se la carica q e distribuita nel volume τ secondouna densita ρ(t), si puo scrivere∫
Schiusa
d · n dSchiusa =∫
τρ dτ ,
ed applicando il teorema di Gauss al primo membro, anche
∇ · d = ρ .
3.3 La legge di Faraday
nb S(γ)
γ
Vγ
Questa legge, dedotta ancora da considerazioni sperimentali, fornisceun legame tra il campo elettrico ed il campo di induzione magnetica. Inparticolare, si osserva che quando si considera un circuito chiuso γ dis-posto in una regione dello spazio in cui e presente un campo di induzionemagnetica variabile nel tempo, nel circuito γ si manifesta una tensioneelettrica che risulta legata alla variazione del flusso di induzione magne-tica ad esso concatenato dall’espressione:
Vγ = −dΦγ
dt≡ − d
dt
∫S(γ)
b · n dS , (3.2)
22 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
dove si e indicata con S(γ) una qualsiasi superficie regolare orlata dallacurva chiusa γ, e con n il versore normale a S(γ) in ogni suo punto, edorientato rispetto a γ secondo la regola della vite destrogira.
La tensione elettrica Vγ puo essere attribuita alla presenza del campoelettrico e tale che, quando la curva γ e assunta ferma ed indeformabilenel tempo, risulti
Vγ = o∫
γe · γdγ = −
∫S(γ)
∂b∂t
· n dS . (3.3)
3.4 La legge di Ampere
L’equazione (3.3) non e l’unica relazione esistente tra grandezze elet-triche e grandezze magnetiche. Una seconda relazione, dedotta ancorauna volta da evidenze sperimentali, mostra infatti che, quando in unaregione dello spazio vi sono delle cariche elettriche in movimento, nellastessa regione si manifestano anche dei fenomeni di natura magnetica. Inparticolare, si osserva che, nel caso stazionario, ovvero quando le carichein movimento danno luogo ad una densita di corrente di conduzione jche non varia nel tempo, risulta
o∫
γh · dγ =
∫S(γ)
j · n dS , (3.4)
dove i simboli γ ed S(γ) hanno lo stesso significato che era stato loroattribuito nel paragrafo precedente.
In maniera analoga a quanto si era visto a riguardo della forza diLorentz (3.1), la relazione (3.4), che prende il nome di legge di Ampere,introduce un nuovo campo vettoriale, il campo magnetico h. Questocampo risulta, in generale, funzione delle coordinate spaziali e del tempo,e la sua unita di misura e quella di Ampere su metro [A/m].
Come appena detto, la relazione (3.4) vale solo nel caso di campistazionari, come e immediato verificare sulla base delle seguenti con-siderazioni. Per prima cosa, si applichi il teorema di Stokes al primomembro dell’equazione di Ampere e la si riscriva nella seguente formadifferenziale:
∇× h = j .
Successivamente, si calcoli la divergenza di ambro i membri di quest’ul-tima equazione; ricordando che ∇ · ∇ × h ≡ 0, ∀h e che, in base
3.4. LA LEGGE DI AMPERE 23
all’equazione di continuita della corrente, ∇ · j = −∂ρ/∂t, si riconosceimmediatamente quanto affermato in precedenza, ovvero il fatto che lalegge di Ampere risulta valida solo in condizioni stazionarie, cioe quando∂ρ/∂t = 0.
Nel caso di campi variabili nel tempo, la relazione (3.4) va dunquemodificata e, al fine di illustrare come cio vada fatto, risulta utile consid-erare i fenomeni elettrici che si verificano all’interfaccia tra l’armatura diun condensatore ed il dielettrico che la circonda qunado il condensatoreviene alimentato con una corrente variabile nel tempo.
n ∆S
iA(t)
SA
Per fissare le idee, si supponga che le armature del condensatore sianoideali, e che ideale sia anche il dielettrico tra esse interposto. Quando ilcondensatore e alimentato con la corrente iA(t), sulla superficie SA dellasua armatura superiore si deposita una carica qA(t) tale che iA(t) =dqA(t)/dt. Poiche in condizioni di idealita del mezzo che costituiscel’armatura la carica e solo superficiale, essa puo essere descritta permezzo di una densita superficiale ρS(P, t) tale che
qA(t) =∫
SA
ρS(P, t) dSA , P ∈ SA .
Si consideri ora la legge di Gauss
o∫∆S
d · n d∆S =∫∆τ
ρ(P, t) d∆τ ,
dove, come di consueto, n indica la normale uscente ad una superficiechiusa ∆S che interseca la superficie SA e che racchiude il volumetto∆τ . Si ottiene, per ∆τ → 0,
d(P, t) = ρS(P, t) n , P ∈ SA .
Si consideri ora la quantita
jS =∂d∂t
=∂ρ
∂tn ,
24 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
che, come appare evidente, ha le dimensioni di una densita di corrente,detta di spostamento, e si ricordi che, nel caso che si sta qui analizzando,si e supposto che sia le armature del condensatore sia il dielettrico traesse interposto siano ideali. Fisicamente, cio significa che il campo dnon e presente all’interno delle armature dove non vi e dunque correntedi spostamento. Viceversa, nel dielettrico d e presente e da ivi luogoa corrente di spostamento, mentre e nulla la corrente di conduzione.Poiche l’equazione di continuita della corrente e comunque valida, se nededuce che la jS e il termine che permette di prolungare la densita dicorrente oltre la regione di conduzione, andando ad invadere la regionedielettrica circostante.
In un caso piu realistico nel quale sia le armature del condensatore,sia il dielettrico interposto siano non ideali, entrambi sono sede di cor-rente sia di conduzione, sia di spostamento, e diviene pertanto significa-tivo definire la densita di corrente totale, somma delle densita di correntedi conduzione e di spostamento:
jtot = j + jS .
La correzione da apportare all’equazione (3.4) al fine di riconciliare irisultati che essa descrive con l’evidenza sperimentale e ora facilmenteidentificabile: al secondo membro di questa equazione non va consideratala sola corrente di conduzione, quanto invece la corrente totale, di modoche l’equazione (3.4) va riscritta nella forma
o∫
γh · dγ =
∫S(γ)
jtot · n dS =∫
S(γ)j · n dS +
∫S(γ)
∂d∂t
· n dS . (3.5)
e la nuova equazione cosi riscritta prende il nome di equazione di Ampere–Maxwell.
3.5 Le equazioni di Maxwell
Le equazioni (3.3) e (3.5) sono le equazioni di Maxwell che descrivono lapropagazione delle onde elettromagnetiche. Cosi come sono state scritte,esse si presentano nella forma indicata con il nome di forma integrale,ovvero in una forma nella quale le grandezze in gioco sono quantitafisiche che risultano osservabili e misurabili su intervalli di tempo e suregioni dello spazio con dimensioni finite.
3.5. LE EQUAZIONI DI MAXWELL 25
In una forma alternativa, detta forma differenziale, le equazioni pos-sono essere scritte con riferimento a quantita puntuali ed istantanee.La forma differenziale delle equazioni e ricavabile a partire dalla formaintegrale mediante l’applicazione dei teoremi di Stokes e di Gauss; nederivano le seguenti equazioni:
∇× e = −∂b∂t
, (3.6)
∇× h = j +∂d∂t
. (3.7)
Prima di intraprendere lo studio di queste equazioni e ora utile derivarealcune relazioni tra le grandezze elettromagnetiche che in esse com-paiono. Si consideri ad esempio l’equazione (3.6) e si calcoli la divergenzadi entrambi i membri; si ottiene
∇ ·(
∂b∂t
)= 0 , (3.8)
e, quando b e una funzione sufficientemente regolare in modo che l’operatoredi divergenza commuti con quello di derivazione rispetto al tempo, anche
∂
∂t(∇ · b) = 0 ⇒ ∇ · b = 0 , (3.9)
dal momento che un qualsiasi campo elettromagnetico di pratico inter-esse e nullo in tutti gli istanti antecedenti l’istante iniziale di analisi.L’equazione (3.9) trova una immediata giustificazione nell’intuito fisico:come si e avuto modo di notare in precedenza, una valore non nullo didivergenza implica infatti la presenza di linee di forza che non si richi-udono su se stesse o, in altri termini, di “sorgenti” o di “pozzi” nei qualinasce o termina il campo in esame. Come e ben noto, tuttavia, le lineedi forza del campo di induzione magnetica sono sempre linee chiuse, dalmomento che non esiste una “carica elementare” magnetica. Ne segueche, correttamente, la divergenza del campo di induzione magnetica deveessere identicamente nulla.
Una seconda relazione di interesse puo essere ottenuta in modo ana-logo a quanto appena fatto calcolando la divergenza di ambo i membridella seconda equazione di Maxwell. Si ottiene in questo caso
∇ · j = − ∂
∂t(∇ · d) = −∂ρC
∂t, (3.10)
26 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
dove si e nuovamente supposto che il campo d abbia sufficienti pro-prieta di regolarita tali da garantire l’intercambiabilita degli operatoridi derivata rispetto al tempo e di divergenza, e si e usata la legge diGauss per esprimere la relazione in termini della densita di carica vol-umetrica ρC . Anche in questo caso la relazione (3.10) appena ricavatatrova una semplice giustificazione fisica: essa infatti non e altro chela formulazione differenziale della equazione di continuita, gia vista nelprecedente capitolo.
3.6 Le correnti impresse
Lo studio della propagazione delle onde elettromagnetiche richiede es-senzialmente la capacita di risolvere le equazioni di Maxwell. La primacosa da fare e allora quella di individuare quali delle grandezze che in essecompaiono siano da considerarsi come grandezze incognite, e quali invecepossano essere considerate alla stregua di termini noti. La distinzione,che puo apparire banale da un punto di vista matematico, richiede inveceuna certa cura quando applicata ai casi pratici ed anzi, come si vedratra breve, nella maggior parte dei casi essa e una distinzione artificiosache comporta l’introduzione di approssimazioni: nella realta, infatti,nessuna delle grandezze che compaiono nelle equazioni di Maxwell puoessere ritenuta nota a priori, ed indipendente da tutte le altre.
Per chiarire il concetto si immagini di voler studiare il campo elettro-magnetico generato da una antenna, per esempio filiforme. Sulla scortadelle nozioni di teoria dei circuiti elettrici si e portati a pensare che,quando l’antenna viene collegata ad un generatore di cui si conosca lacaratteristica di tensione–corrente, ed il generatore viene fatto lavoraread una assegnata tensione, sull’antenna si manifesta un ben determinatovalore della corrente. Nella realta, tuttavia, la distribuzione di correnteche viene a trovarsi sull’antenna genera un campo elettromagnetico che,a sua volta, provoca la presenza di una corrente sulla stessa antenna. Insostanza, la corrente totale che e presente sull’antenna non dipende solodal generatore, ed a rigore non e dunque corretto ritenere che essa siaun dato del problema noto a priori.
Per poter procedere nello studio delle equazioni di Maxwell la dis-tinzione tra termini noti e termini incogniti e tuttavia indispensabile ecio che si usa fare e allora introdurre delle approssimazioni, decidendo diritenere noti a priori quei termini che possono essere stimati con buona
3.7. RELAZIONI COSTITUTIVE 27
approssimazione, o che possono essere misurati sperimentalmente conrelativa facilita. Spesso si riscontra che le grandezze che soddisfano aquesti requisiti sono le densita di corrente elettrica impressa, indicate quicon il simbolo ji, che sono le densita di correnti presenti in una regionedello spazio che si usa indicare con il nome di regione delle sorgenti.
Nello spirito di questa approssimazione, le equazioni di Maxwell inpresenza di sorgenti si scrivono allora come segue:
∇× e = −∂b∂t
, (3.11)
∇× h = j +∂d∂t
+ ji . (3.12)
3.7 Relazioni costitutive dei mezzi elettromag-netici
Dal punto di vista matematico, le equazioni (3.11,3.12) rappresentano unsistema con 15 incognite scalari (le tre componenti di ognuno dei cinquecampi vettoriali e, b, h, d e j) e 6 equazioni. Per poter procedere alla lororisoluzione e dunque necessario individuare delle ulteriori relazioni chepermettano di ridurre il numero delle incognite. Queste relazioni sonole relazioni costitutive del mezzo nel quale ha luogo la propagazione.
Per chiarire di cosa si tratta, si analizzi dapprima il caso piu sem-plice possibile, quello di un campo che si propaga nel vuoto in assenzadi sorgenti. In questo caso, poiche non vi e corrente di conduzione, leincognite sono “solo” 12, con 6 equazioni. Le relazioni che consentono dichiudere il sistema, riducendo a sei anche il numero delle incognite, sonoquelle che legano tra loro il campo elettrico al campo spostamento elet-trico ed il campo magnetico al campo di induzione magnetica, secondole relazioni
Le costanti ε0 e µ0 prendono rispettivamente il nome di permittivitadielettrica e permeabilita magnetica (del vuoto) e la loro introduzionemostra come per descrivere la propagazione di un campo nel vuoto nonsiano in realta necessari tutti quattro i vettori d, e, b e h, ma ne bastinoinvece solo due, uno di tipo elettrico ed uno di tipo magnetico.
28 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
A tale proporsito, va notato che sebbene da un punto di vista pu-ramente formale non vi sia ragione per preferire e a d, o h a b, con-siderazioni di tipo relativistico fanno tuttavia assumere i vettori e edh come vettori fondamentali, ed i vettori d e b come vettori derivati eper questa ragione le equazioni di Maxwell si scrivono usualmente conriferimento ai campi elettrico e magnetico.
Nel caso piu generale nel quale la propagazione avviene sempre inassenza di sorgenti, ma all’interno di un mezzo materiale, per procederealla riduzione del numero delle incognite e necessario individuare dellerelazioni piu generali che consentano di esprimere il legame tra i campib, d e j ed i campi e ed h. Nella pratica si riscontra che tali relazionisono dei funzionali del tipo
d = d(e) , b = b(h) , j = j(e) , (3.15)
che possono essere esplicitati solo analizzando con adeguato dettagliole proprieta generali dei mezzi materiali. Queste proprieta si dividonoin due classi: le proprieta connesse alle simmetrie dei mezzi materiali,e le proprieta connesse alla relazione di causa–effetto che vale in ognisistema fisico reale. Al primo tipo di proprieta appartengono le seguenticaratteristiche:
• Omogeneita nel tempo. Questa caratteristica esprime l’invarianzanel tempo del sistema fisico, ovvero il fatto che il comportamentodel sistema stesso e indipendente dal particolare istante nel qualeesso viene considerato. In altri termini, una traslazione tempo-rale di una sollecitazione che venga imposta al sistema si riflettesolamente in una corrispondente traslazione della risposta che ilsistema fornisce, di modo che la scelta dell’origine della coordi-nata temporale e del tutto arbitraria.
• Omogeneita nello spazio. In maniera del tutto analoga, un mezzogode di questa proprieta se una traslazione spaziale di una sol-lecitazione ad esso imposta si riflette solamente in una corrispon-dente traslazione spaziale della risposta del mezzo. Quando adun mezzo si applica questa proprieta, diventa arbitraria la sceltadell’origine di un sistema di riferimento spaziale.
• Isotropia. Questa proprieta, di tipo spaziale, tiene conto del fattoche le sollecitazioni e le risposte di un mezzo materiale possono
3.7. RELAZIONI COSTITUTIVE 29
avere natura vettoriale. In particolare, si dice che un mezzo eisotropo se ad una rotazione della sollecitazione corrisponde unauguale rotazione della risposta. Da un punto di vista fisico, cio im-plica che tutte le direzioni dello spazio sono tra di loro equivalenti,e che sollecitazione e risposta sono tra loro allineate.
Alla seconda classe appartengono invece le seguenti proprieta:
• Linearita. Un sistema si dice lineare se ad una sovrapposizione li-neare di cause, ognuna pesata per un determinato coefficiente, cor-risponde una sovrapposizione lineare degli effetti, pesati secondogli stessi coefficienti. Quando ad un sistema si applica questa pro-prieta si usa dire che in quel sistema vale il principio di sovrappo-sizione degli effetti.
• Dispersivita. Questa caratteristica riguarda la “memoria” tempo-rale o spaziale di un sistema. In particolare, si usa dire che unsistema e dispersivo nel tempo se la risposta che esso presenta inun determinato istante temporale dipende dal valore che la sol-lecitazione assume anche in altri istanti temporali. Si noti che,dovendo valere il principio di causalita, se un mezzo e dispersivonel tempo, la risposta cui esso da luogo all’istante t = t0 puodipendere solo dal valore della sollecitazione negli istanti t ≤ t0.
In maniera analoga, il mezzo si dice dispersivo nello spazio se allarisposta che esso presenta in un determinato punto dello spazioconcorrono i valori degli ingressi applicati anche in altri punti dellospazio. A differenza di quanto accade nel caso temporale, tuttavia,poiche lo spazio e tridimensionale e come tale non ammette unaordinamento univoco, l’effetto in un punto puo dipendere dallacausa applicata in un qualsiasi altro punto.
Chiarite queste proprieta generali, si puo ora illustrare in manieraesplicita la forma che assumono le generiche relazioni (3.15). In partico-lare, interessa qui valutare il comportamento di mezzi nei quali valganole proprieta di linearita e di dispersivita. In questo caso la relazione cheesiste tra il campo di spostamento elettrico ed il campo elettrico (e, ana-logamente, tra il campo di induzione magnetica ed il campo magnetico,e tra il campo di densita di corrente ed il campo elettrico) e data da unoperatore lineare che ammette la seguente scrittura formale:
d(r, t) =∫
G(r, t, r′, t′) · e(r, t) dr′ dt′ , (3.16)
30 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
dove r ed r′ sono due generici raggi vettori all’interno del volume didefinizione del campo, e t, t′ due istanti temporali. La matrice G, dettamatrice di Green, e invece la quantita che descrive matematicamente leproprieta del mezzo all’interno del quale si sviluppa il campo elettroma-gnetico. Per esteso, questa matrice si scrive nella forma
e quindi, nel caso piu generale possibile, essa dipende da nove funzioniscalari. Il significato di queste funzioni e di immediata comprensione.Basta infatti considerare il caso in cui al mezzo materiale in esame vengaapplicato un ingresso impulsivo concentrato nello spazio attorno allacoordinata r = r0 e, nel tempo, all’istante t = t0:
e(r, t) = e0 δ(r − r0) δ(t − t0) .
L’equazione (3.16) da in questo caso
d(r, t) = G(r, t, r0, t0) · e0 , (3.18)
e si riconosce allora che la matrice non e altro che la risposta che il mezzopresenta nel punto r, t quando esso viene sollecitato da un impulsoapplicato in r0 all’istante t0. Per quasta ragione la G viene anche dettarisposta impulsiva del mezzo.
Fino a questo punto si sono sfruttate solo le proprieta di linearitae di dispersione. E ora ragionevole domandarsi se l’uso delle rimanentiproprieta generali dei mezzi materiali possa aiutare a semplificare laforma delle funzioni che compaiono nella matrice di Green, o a ridurneil numero. In dettaglio si osserva quanto segue:
• Isotropia. Quando il mezzo gode di questa proprieta, l’ingresso el’uscita sono tra loro allineati nello spazio. Per fissare le idee, siimmagini che la sollecitazione, cioe il campo e, sia diretto lungol’asse x. Poiche d e parallelo a e, ne segue gyx(·) = gzx(·) ≡ 0.Ripetendo poi il ragionamento per un campo e diretto lungo yo lungo z si riconosce che la matrice di Green si semplifica nellaforma
G =
gxx 0 0
0 gyy 00 0 gzz
.
3.7. RELAZIONI COSTITUTIVE 31
Vi e tuttavia di piu: si deve infatti avere gxx = gyy = gzz. Perdimostrare questo fatto e sufficiente usare la definizione di isotropiain base alla quale una rotazione della causa deve comportare unacorrispondente rotazione dell’effetto. Si immagini allora di eseguireuna rotazione che porti dall’asse x all’asse z. L’effetto dovuto allacausa lungo x e pari a gxx ex, mentre quando la stessa causa eapplicata lungo z l’effetto e gzzex = gzzex. Poiche gli effetti devonocoincidere, gxx ≡ gzz. Analogamente, poi, gxx ≡ gyy. Nel caso diisotropia, dunque, la matrice di Green si semplifica in manierasignificativa: essa diviene proporzionale alla matrice identita diordine tre, e dipende quindi da una sola funzione scalare.
• Omogeneita nel tempo. Per definizione, quando un mezzo godedi questa proprieta, la relazione che esso impone tra l’ingresso dacui viene sollecitato e l’uscita che fornisce deve essere invarianterispetto ad una traslazione dell’asse dei tempi. Si consideri alloral’espressione generale (3.16), e si concentri l’attenzione sulla solaintegrazione rispetto alla variabile temporale:
d(t) =∫
G(t, t′) e(t′) dt′ .
Quando la sollecitazione viene traslata di un tempo T , si ha invece
dT (t) =∫
G(t, t′) e(t′ + T ) dt′ ,
e, dovendo risultare dT (t) ≡ d(t + T ), segue
G(t, t′) = G(0, t′ − t) . (3.19)
Infatti, deve aversi∫G(t, t′) e(t′ + T ) dt′ =
∫G(t + T, t′) e(t′) dt′ ,
ovvero, posto t′ + T = τ ,∫G(t, τ − T ) e(τ) dτ =
∫G(t + T, t′) e(t′) dt′ ,
da cuiG(t, τ − T ) = G(t + T, t′) ,
32 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
e anche, cambiando τ con t′
G(t, t′ − T ) = G(t + T, t′) .
Questa relazione deve valere per ogni t, T e t′ e quindi, in parti-colare, per t = 0: si e cosi ritrovata la (3.19).
L’omogeneita nel tempo implica dunque che la matrice di Green,ed ognuna delle funzioni al suo interno, non dipende separata-mente dai due istanti temporali t e t′, ma dipende invece dallaloro differenza.
• Omogeneita nello spazio. In maniera analoga, quando un mezzo eomogeneo nello spazio, la matrice di Green non dipende separata-mente dai raggi vettori r e r′, ma dalla differenza r − r′.Si noti che, da un punto di vista computazionale, la proprietadi omogeneita, sia spaziale sia temporale, consente una sempli-ficazione della matrice di Green mediante una riduzione del nu-mero delle variabili indipendenti che in essa compaiono. Infatti,quando un mezzo e non omogeneo, la matrice di Green dipendeda 8 variabili indipendenti: le 6 componenti scalari dei due raggivettori, e i due istanti temporali. Quando invece vale la proprietadi omogeneita rispetto al tempo, il numero di variabili indipen-denti scende a 7, e si riduce ulteriormente sino a 4 se insieme allaomogeneita temporale vale anche quella spaziale.
• Non dispersivita. Si analizzi dapprima il caso di un mezzo nondispersivo rispetto alla variabile temporale. Per definizione, larisposta del mezzo dipende solo dal valore istantaneo dell’ingresso.E allora immediato verificare che, affinche questo possa accadereper ogni istante temporale e necessario che la dipendenza della ma-trice di Green dalle variabili temporali sia di tipo impulsivo, ovveroche ognuna delle funzioni di Green contenga una distribuzione diDirac del tipo δ(t − t′). In maniera analoga, se vale la proprietadi non dispersivita rispetto alle coordinate spaziali, la dipendenzadella matrice di Green da queste si esprime per mezzo di una dis-tribuzione del tipo δ(r − r′).
Nella maggior parte dei casi che verrano illustrati nei capitoli suc-cessivi, i mezzi materiali nei quali si svilupperanno i campi elettromag-netici saranno mezzi lineari, non dispersivi nello spazio, ed omogenei
3.7. RELAZIONI COSTITUTIVE 33
nel tempo. La relazione tra d ed e che piu comunemente si utilizzera eallora una relazione che si scrive come:
d(r, t) =∫ t
−∞G(r, t − t′) e(r, t′) dt′ . (3.20)
Si noti che l’estremo superiore di integrazione e t e non +∞ per effettodel principio di causalita, in base al quale il valore assunto da d al tempot non puo dipendere dai valori di e negli istanti successivi a t. Si notialtresi che l’integrale (3.20) e un integrale di convoluzione, di modo chese il legame tra d ed e viene espresso con riferimento alle corrispondentitrasformate di Fourier D ed E, si ottiene
D(r, ω) = ε(r, ω)E(r, ω) , (3.21)
dove si e indicato con ε(r, ω) la matrice delle trasformate di Fourier dellarisposta impulsiva del mezzo materiale. Essa e ancora detta permittivitadielettrica del mezzo.
In maniera del tutto analoga, le relazioni tra le rimanenti grandezzeelettromagnetiche si scrivono come
B(r, ω) = µ(r, ω)H(r, ω) , (3.22)
dove µ e ancora la permeabilita magnetica del mezzo, e
J(r, ω) = γ(r, ω)E(r, ω) , (3.23)
dove γ e la conducibilita del mezzo, misurata in [Ω−1m−1]. Come eimmediato riconoscere, l’ultima relazione scritta non e altro che la leggedi Ohm.
Le equazioni (3.21–3.23) possono apparire formalmente analoghe alle(3.13,3.14). Tuttavia, e essenziale notare che tra le due coppie di re-lazioni vi e in realta un’importante differenza. Infatti, le (3.13,3.14)sono state scritte con riferimento ai campi nel dominio del tempo, e laloro validita e essenzialmente legata al fatto che il vuoto e un mezzo nondispersivo rispetto al tempo ed allo spazio. Le (3.21–3.23) valgono invecenel dominio della frequenza, e se si vogliono ottenere le corrispondentirelazioni nel dominio del tempo e necessario il calcolo di un integrale diconvoluzione.
Si noti altresi che le (3.21–3.23) sono state ottenute assumendo lalinearita del mezzo materiale. Il caso piu generale di propagazione in
34 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
mezzi non lineari comporta ulteriori complicazioni, e verra qui illustratosolo per sommi capi. Il modo con cui si procede e il seguente. Si evisto all’inizio del paragrafo che per ridurre il numero delle incognite enecessario individuare delle relazioni tra b e h, e tra d e e. Si possonoallora introdurre due e nuovi campi, detti di polarizzazione elettrica, p,e di polarizzazione magnetica, m, definiti come segue:
p = d − ε0 e , m =1µ0
(b − µ0 h) .
Questi nuovi vettori sono diversi da zero nei mezzi materiali, ed identica-mente nulli nel vuoto, e racchiudono in se le proprieta elettromagnetichedei mezzi in esame. Ovviamente, l’introduzione dei vettori di polariz-zazione non e di per se sufficiente ad ottenere la riduzione del numerodelle incognite, che sono sempre 15, ma risulta utile perche, almeno inalcuni casi di interesse pratico, analizzando il comportamento microscop-ico della materia che costituisce il mezzo materiale si possono scriveredelle relazioni che forniscono esplicitamente il valore delle polarizzazioni.In generale, si trova che queste possono essere scritte nella forma di unaserie di Taylor del tipo
p = χ(1) e + χ(2) e2 + . . .
dove il generico parametro χ(n) prende il nome di suscettivita elettrica(e magnetica nella corrispondente espansione per m) di ordine n. Inparticolare, la suscettivita del primo ordine, χ(1), e legata all’indice dirifrazione e alle perdite del mezzo, la χ(2) e responsabile di processi qualila generazione di seconda armonica e la conversione di frequenza, e laχ(3) dell’effetto Kerr.
Una ultima osservazione riguarda infine il caso sino a qui escluso,quello della propagazione in presenza di sorgenti. Come si nota dalleequazioni (3.11,3.12), dal punto di vista del numero delle incognite l’in-troduzione delle sorgenti non comporta alcuna ulteriore complicazione:le correnti impresse ji sono infatti dei termini noti la cui conoscenzaprescinde da tutte le altre grandezze.
3.8 Equazioni di Maxwell in regime armonico
Spesso nello studio dei campi elettromagnetici interessa valutare la pro-pagazione di onde il cui andamento temporale e descritto da una funzione
3.8. EQUAZIONI DI MAXWELL IN REGIME ARMONICO 35
sinusoidale. In questo caso, l’uso delle equazioni (3.11,3.12) e inutilmenteoneroso e complicato. Infatti, le grandezze che in esse compaiono sonotrattate come grandezze incognite rispetto alla loro dipendenza sia dallecoordinate spaziali, sia dalla coordinata temporale. E evidente, invece,che nel caso di campi con andamento sinusoidale, la forma temporaledelle soluzioni, lungi dall’essere incognita, e addirittura nota a priori,e le uniche grandezze da determinarsi sono le ampiezze e le fasi dellefunzioni sinusoidali in oggetto.
Diventa allora ragionevole domandarsi se non sia possibile trovareuna forma alternativa delle equazioni di Maxwell che valga per i solicampi armonici e nelle quali le incognite siano, per l’appunto, le ampiezzee le fasi dei campi elettromagnetici. La risposta a questo quesito e pos-itiva, e si basa sull’introduzione del cosiddetto metodo di Steinmetz, odella rappresentazione complessa delle grandezze sinusoidali. In sostanza,si tratta di introdurre per ogni campo un vettore complesso, indicato quicon una lettera maiuscola, ad esempio H nel caso del campo magnetico,legato al corrispondente vettore nel dominio del tempo dalla relazionebiunivoca
h(r, t) = ReH(r) eiωt
(3.24)
dove con ω e stata indicata la pulsazione della funzione sinusoidale. Re-lazioni analoghe alla (3.24) possono essere definite per tutte le rimanentigrandezze elettromagnetiche e, notando che all’operazione di derivazionenel tempo corrisponde, nel dominio dei vettori complessi, l’operazionedi prodotto per il fattore iω, si perviene infine alla seguente forma delleequazioni di Maxwell:
∇× E = −iωB = −iω µ(ω)H , (3.25)
∇× H = J + iωD + Ji = γ(ω)E + iω ε(ω)E + Ji . (3.26)
Analogamente, le equazioni delle divergenze assumono la forma
∇ · B = 0 , ∇ · D = ρ .
Nelle (3.25,3.26) si e esplicitamente scritta la dipendenza di tuttii parametri dalla frequenza ω, e si e anche tenuto conto del fatto cheessi possono avere natura tensoriale. In realta, nella quasi totalita deicasi che verranno trattati nel seguito, le equazioni di Maxwell verrano
36 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
studiate con riferimento a mezzi isotropi nei quali, come visto, i pa-rametri ε, µ e γ si riducono a parametri scalari. Per cio che con-cerne la loro dipendenza dalla frequenza e invece necessario aggiungerequalche ulteriore precisazione. In particolare, poiche la conducibilita γe sostanzialmente costante, e quindi non dispersiva, fino alle frequenzedell’infrarosso, spesso se ne tralascera la dipendenza da ω. Da un puntodi vista fisico cio corrisponde ad assumere che la risposta della correntedi conduzione all’applicazione di un campo elettrico sia sempre istanta-nea. Il caso dei parametri ε e µ e invece diverso: per cio che concernela permittivita dielettrica occorre infatti notare che molti dei mezzi diinteresse presentano una significativa dispersione temporale, cosicche ladipendenza di ε da ω diventa essenziale ai fini di una corretta model-lizzazione della propagazione. Per la permeabilita magnetica, infine, visono tre casi da prendere in considerazione. Il primo e quello dei mate-riali non magnetici, nei quali non vi e dispersione e quindi µ puo essereassunta costante ed anzi, con buona approssimazione, coincidente conquella del vuoto. Il secondo caso e quello dei materiali magnetici, siaparamagnetici, sia diamagnetici, nei quali la dispersione e largamenteavvertibile, a la dipendenza di µ da ω non puo quindi piu essere tralas-ciata. Il terzo ed ultimo caso e quello dei materiali ferromagnetici, neiquali intervengono fenomeni non lineari nel legame tra B e H.
Prima di concludere il paragrafo, si introducono due nuove grandezze,la permittivita complessa e l’angolo di perdita. Per cio che concerne ilprimo di questi parametri, la definizione discende dal fatto che nell’equa-zione (3.26) compaiono due termini che dipendono dal campo elettricoE. Si indica con il permittivita complessa la grandezza
εC = ε − iγ
ω,
e la sua introduzione nella (3.26) porta a riscrivere la seconda equazionedi Maxwell nella seguente forma compatta
∇× H = iω εC(ω)E + Ji .
Si noti che, da un punto di vista fisico, la permittivita complessa noncorrisponde ad una quantita realisticamente misurabile. Essa infattiracchiude in un unico contributo due densita di corrente, quella di con-duzione e quella di spostamento, la cui natura fisica e in realta profonda-mente diversa. Da un punto di vista puramente matematico, tuttavia,
3.9. CONDIZIONI DI CONTINUITA 37
la definizione di permettivita complessa non presenta difficolta e, comesi vedra nel seguito, il suo uso consente di trattare in modo semplice edunificato i casi di propagazione in presenza ed in assenza di perdite.
Per cio che concerne l’angolo di perdita, infine, esso e indicato conla lettera δ, ed e definito come segue (si illustra per semplicita il caso diun mezzo isotropo):
tan(δ) =Imε + γ
Reε con ε = Reε − iImε .
L’angolo di perdita e nullo per un mezzo con conducibilita nulla e conε puramente reale. Si vedra nel seguito che quest’ultimo requisito epressoche impossibile da realizzare in pratica, a meno che il mezzo nonsia rigorosamente non dispersivo. Quando invece il mezzo ha perdite,ed e un mezzo passivo, la tangente dell’angolo di perdita e un numeropositivo e per convenzione si assume 0 ≤ δ ≤ π/2.
3.9 Condizioni sulle superfici di discontinuita
In un contesto fisico reale un campo elettromagnetico si propaga sem-pre in una regione dello spazio nella quale il mezzo materiale presentadelle disomogeneita. E allora utile sapere come si comportano le com-ponenti del campo in prossimita di queste, ovvero stabilire un’insieme dicondizioni che vengono usualmente indicate con il termine di condizionisulle superfici di discontinuita.
Si analizza per primo il comportamento del vettore spostamento elet-trico d nel dominio del tempo. In virtu della legge di Gauss, se si con-sidera una superficie chiusa S che racchiude un volume V nel quale siapresenta una carica Q, si ha
o∫
Sd · n dS = Q ,
dove con n si e indicata, come al solito, la normale alla superficie Sorientata secondo il verso di uscita da questa.
Si immagini ora che S sia la superficie di discontinutita tra due mezzimateriali rispettivamente indicati con i simboli di mezzo “1” e mezzo “2”,e si consideri un volumetto cilindrico ∆V che interseca S. Sia ∆S l’areadelle basi del cilindro, L la sua altezza, e ∆Q la carica elettrica in essoracchiusa.
38 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
n
S
1
2∆S
L
L’applicazione delle legge di Gauss al volumetto ∆V fornisce il seguenterisultato:
−∆Sd1 · n + ∆Sd2 · n + ΦL = ∆Q .
dove con ΦL si e indicato il flusso di d attraverso la superficie lateraledel cilindro, mentre d1 e d2 sono i campi spostamento elettrico rispetti-vamente nel “mezzo 1” e nel “mezzo 2” . Si faccia ora tendere L a zero,lasciando inalterata ∆S. Il flusso ΦL tende a zero, e si ottiene cosi:
∆S (d2 − d1) · n = limL→0
∆Q = ∆QS ,
dove ∆QS e la carica superficiale eventualmente presente su ∆S. Infine,si faccia tendere anche ∆S a zero. Si ottiene:
(d2 − d1) · n = lim∆S→0
∆QS
∆S= ρS , (3.27)
dove ρS indica la densita superficiale di carica, misurata in [C·m−2]. Ladifferenza tra le componenti normali del vettore spostamento elettrico edunque pari al valore della densita superficiale di carica presente su unaeventuale superficie di discontinuita tra mezzi materiali.
Una interssante conseguenza di questo fatto e la seguente: si immag-ini che la superficie S sia la superficie di un conduttore elettrico perfetto.Come e noto dall’elettrostatica, sulla faccia interna di questa superficieil campo spostamento elettrico d1 e nullo e quindi, per avere campo aldi fuori della superficie metallica e necessario che sul conduttore sianodepositate delle cariche elettriche.
Con un procedimento analogo, partendo dall’equazione ∇ · b = 0, siottiene
(b2 − b1) · n = 0 . (3.28)
3.9. CONDIZIONI DI CONTINUITA 39
Le componenti normali di b sono dunque sempre continue nell’attraversareuna qualsiasi superficie di discontinuita tra mezzi materiali.
Spesso la (3.28) viene scritta nella seguente forma generalizzata:
(b2 − b1) · n = ρMs ,
dove con ρMs e indicata una quantita fittizia, e quindi sempre nulla nellarealta, che ha le dimensioni di Tesla e che viene introdotta al solo scopodi rendere simmetriche le equazioni di Maxwell. In queste equazioni,infatti, compaiono solo densita di correnti e di cariche elettriche, comedeve essere dal momento che non esiste la carica magnetica elementare.L’introduzione del termine ρMs consente di far comparire nelle equazioniun termine di carica magnetica che le rende maggiormente simmetriche.Tale termine e evidentemente un puro artificio matematico, e non haalcun riscontro fisico misurabile; tuttavia si vedra nel seguito che, alpari di altri termini solo matematicamente sensati, esso consente unatrattazione unificata e semplificata di alcuni problemi di propagazione,e solo a tale scopo esso viene introdotto.
n
a
tL
c
S
1
2
a
Per cio che concerne la continuita dei rimanenti campi e e h si puoprocedere come segue. Si indichi ancora con S la superficie di disconti-nuita tra due mezzi materiali e si individui ora un circuito rettangolarechiuso γ che intersechi ortogonalmente S. Sia Σ(γ) la superficie ret-tangolare contornata da γ, con lunghezza L ed altezza a. Inoltre, siindichino come n e t i versori rispettivamente normale e tangente a Se si applichi la legge di Ampere–Maxwell al circuito γ e alla superficieΣ(γ). Si ottiene
o∫
γh · c dγ =
∫Σ(γ)
∂d∂t
· w dΣ +∫Σ(γ)
j · w dΣ ,
dove c indica il versore tangente al circuito γ in ogni suo punto, e j ladensita di corrente che attraversa Σ(γ). In particolare, nel “mezzo 2”
40 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
c risulta parallelo a t ed il contributo al primo membro dell’integralee dunque pari a Lh2 · t. Analogamente, nel “mezzo 1” c e antiparal-lelo a t di modo che il contributo all’integrale risulta pari a −Lh1 · t.Pertanto, indicato con Ca il contributo alla circuitazione che deriva daitratti verticali di γ, la legge di Ampere–Maxwell si riscrive dunque nellaforma
L(h2 − h1) · t + Ca =∂Φd
∂t+ ∆I ,
dove Φd e ∆I sono il flusso di spostamento elettrico e la corrente chefluiscono attraverso Σ(γ). Si faccia ora tendere a zero l’altezza a di γ:si annullano cosi Ca e Φd (perche e il flusso attraverso una superficie lacui misura tende a zero), e la relazione di Ampere–Maxwell si semplificanella forma
L(h2 − h1) · t = lima→0
∆I = ∆IS .
La quantita ∆IS rappresenta la corrente superficiale che attraversa lalinea di lunghezza L tracciata dall’intersezione di Σ con S. Quandoanche L viene infine fatto tendere a zero, si ottiene allora
(h2 − h1) · t = limL→0
∆IS
L= jS · w , con L jS · w = ∆IS .
Si riarrangino ora i termini per mezzo delle seguenti operazioni di calcolovettoriale: poiche per costruzione t = w× n si ha innanzi tutto, in virtudella regola della permutazione ciclica del prodotto misto
(h2 − h1) · (w × n) ≡ w · [n × (h2 − h1)] = jS · w ,
da cui anche, [n × (h2 − h1)
]· w = jS · w ,
e poiche questa relazione deve valere comunque sia orientato w sullasuperficie S,
n × (h2 − h1) = js . (3.29)
Al primo membro c’e la differenza tra le componenti di campo magne-tico, prodotte esternamente per il versore normale alla superficie: sitratta in sostanza delle componenti di h tangenti alla superficie stessa.La relazione (3.29) si legge allora come segue: su una superficie di discon-tinuita tra due mezzi materiali la differenza tra le componenti tangentidi h e pari al valore della densita superficiale di corrente che fluisce sulla
3.9. CONDIZIONI DI CONTINUITA 41
superficie stessa. Chiaramente, se sulla superficie non fluisce corrente ilcampo magnetico tangente e continuo.
Per cio che concerne la continuita delle componenti di campo elet-trico, infine, l’applicazione delle legge di Faraday porge il seguente risul-tato:
n × (e2 − e1) = 0 . (3.30)
Le componenti tangenti di e sono sempre continue nel passaggio at-traverso una qulsiasi superficie di discontinuita tra due mezzi materiali.Spesso, tuttavia, in analogia a quanto fatto nel caso del campo di in-duzione magnetica, si usa scrivere la (3.30) nella forma generalizzata
n × (e2 − e1) = −jMs ,
dove jMs e una quantita fittizia, e come tale quindi nulla in un qual-siasi contesto fisico reale, che prende il nome di densita superficiale dicorrente magnetica e che, ancora una volta, viene introdotta al soloscopo di aumentare la simmetria nelle equazioni di Maxwell. Si noti aquesto proposito che, proprio per ottenere la maggiore simmetria possi-bile, questa densita di corrente fittizia viene qui introdotta con il segnonegativo.
42 CAPITOLO 3: FONDAMENTI DELL’ELETTROMAGNETISMO
Capitolo 4
Primi esempi di risoluzionedelle equazioni di Maxwell
Si e visto nel capitolo precedente che le equazioni dell’elettromagnetismorappresentano, nel loro complesso, un insieme di equazioni differenzialialle derivate parziali (che compaiono negli operatori rotore e divergenza)con un numero di incognite che, in generale, e pari a 15 e puo eventual-mente essere ridotto fino a 6 con l’introduzione delle leggi del legamemateriale e con la legge di Ohm.
La risoluzione delle equazioni di propagazione e dunque, in ogni caso,un problema matematico di notevole complessita, e cio comporta ine-vitabilmente il fatto che non puo essere trovata una soluzione del tuttogenerale per le equazioni di Maxwell, ma solo soluzioni particolari, ot-tenute in molti casi introducendo opportune ipotesi semplificative sulmezzo nel quale avviene la propagazione, o sulle sorgenti che generanoil campo.
Scopo di questo capitolo e quello di illustrare alcune tecniche matem-atiche che, nell’ambito di validita di tali ipotesi, consentono la risoluzionedelle equazioni, e forniscono una prima esemplificazione dei fenomenifisici in gioco.
4.1 La soluzione nel dominio del tempo
Si cominci dunque con il considerare le equazioni di propagazione espressenel dominio temporale e si supponga che siano verificate le seguentiipotesi:
43
44 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
1. il mezzo nel quale si sviluppa il campo elettromagnetico e un mezzolineare, omogeneo, non dispersivo ed isotropo. Le grandezze ε, µe γ sono quindi delle quantita scalari costanti, che pongono inrelazione di diretta proporzionalita il campo elettrico al campodi spostamento dielettrico, ed il campo magnetico al campo diinduzione magnetica;
2. il campo elettromagnetico, non nullo, si suppone eccitato da sor-genti che sono al di fuori della regione in cui il campo viene studi-ato.
Come si puo notare, le ipotesi sono estremamente restrittive ed ideali,e lasciano fuori una quantita di casi che, invece, sono di larga utilitapratica. Infatti, in base a queste ipotesi, lo studio del campo e ristrettoa regioni di spazio nelle quali non vi sono disomogeneita, il che e unaevidente limitazione in tutti quei casi nei quali, ad esempio, si intendaanalizzare il campo elettromagnetico in un’area nella quale vi siano edi-fici, automobili ed altri oggetti che possono “interrompere” l’omogeneitadel mezzo stesso. In modo del tutto analogo, anche l’ipotesi che richiedel’assenza delle sorgenti nella zona in cui lo studio viene affrontato puorivelarsi troppo restrittiva, escludendo di fatto tutto lo studio dei campiin prossimita di antenne o di altri dispositivi in grado di irradiare radi-azioni elettromagnetiche.
Tuttavia, come si accennava in precedenza, questo e il prezzo da pa-gare al fine di ottenere delle soluzioni per un problema matematico che e,di sua natura, estremamente complesso, e va per altro notato che nel se-guito si avra modo di sottolineare come particolari soluzioni che possonoessere trovate con l’introduzione di queste ipotesi restrittive formino inrealta un insieme completo di soluzioni. Cio significa che, mediante unaopportuna combinazione degli elementi della famiglia di soluzioni cositrovata, e possibile descrivere un qualsiasi campo elettromagnetico chesi sviluppi in un mezzo lineare, ma non piu necessariamente omogeneoe privo di sorgenti.
Si considerino dunque le equazioni nel dominio del tempo:
∇× e = −∂b∂t
= −µ∂h∂t
,
∇× h = j +∂d∂t
= γe + ε∂e∂t
,
4.1. DOMINIO DEL TEMPO 45
e si supponga, per il momento, γ = 0. Calcolando il rotore della secondaequazione e sostituendo ∇× e dalla prima si ottiene la nuova relazione
∇×∇× h = −µε∂2h∂t2
,
che e una equazione che coinvolge una sola delle incognite, ma non edi semplice risoluzione per la presenza del doppio rotore. A riguardo diquesto doppio operatore differenziale, va notato che esso viene incontratoin molte delle equazioni che descrivono fenomeni elettromagnetici, ed eallora opportuno ricordare che, per definizione di Laplaciano vettoriale,vale per un qualsiasi campo vettoriale a
∇×∇× a = −∇2a + ∇(∇ · a) .
Nel caso in esame si ha allora
−∇2h + ∇(∇ · h) = −µε∂2h∂t2
.
Si ricorda inoltre che l’equazione per la divergenza di b fornisce
∇ · b = ∇ · (µh) = 0 ,
e poiche si e supposto che il mezzo sia omogeneo nella regione in cui edefinito il campo, ovvero ivi µ =costante, anche
∇ · h = 0 .
Cio consente di semplificare notevolmente l’equazione differenziale chedescrive il comportamento di h, per giungere alla cosiddetta equazionedelle onde vettoriali, o equazione di D’Alembert
∇2h − µε∂2h∂t2
= 0 ,
che, in coordinate cartesiane, diventa
∂2h∂x2
+∂2h∂y2
+∂2h∂z2
− 1v2
∂2h∂t2
= 0 , v =1√µε
.
Si illustra ore come una soluzione di questa equazione possa essere in-dividuata con relativa semplicita e, al fine di formire una idea intuitiva
46 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
della propagazione senza appesantire eccessivamente la trattazione, sisuppone che il campo h abbia una sola componente scalare e che esso sisviluppi lungo una sola direzione dello spazio, per esempio la direzionez; si ottiene cosi
∂2h
∂z2− 1
v2
∂2h
∂t2= 0 ,
e si puo verificare che una soluzione e
h(z, t) = f(z − vt) + g(z + vt) ,
nella quale f(·) e g(·) sono due funzioni arbitrarie. Come era ragionevoleattendersi, la soluzione e data dalla sovrapposizione di due forme d’ondache si muovono l’una nel verso delle z crescenti (la funzione f), e l’altranel verso delle z descrescenti (la funzione g), con velocita pari a v. Ovvi-amente, la particolare forma delle funzioni f e g e data dalle condizionial contorno che vanno applicate all’equazione differenziale che forniscela soluzione per h e che, fisicamente, rappresentano il modo in cui ilcampo elettromagnetico viene instaurato dalle sorgenti che, si ricorda,sono al di fuori dell’analisi che si sta conducendo in questo momento.Nella figura viene illustrato il movimento della funzione f con lo scorreredel tempo.
z
t > 0
t = 0
z
z = v t
Figura 4.1: Evoluzione della forma d’onda f(·) allo scorrere del tempo.
Velocita della luce
Nel ricavare l’equazione delle onde vettoriali si e posto
v =1√µε
,
4.1. DOMINIO DEL TEMPO 47
e si e visto che questa e la velocita con cui le funzioni f e g avanzanonel tempo. La velocita v e dunque la velocita dell’onda elettromagnet-ica nel mezzo caratterizzato dalle costanti ε e µ, ed e essa stessa unacaratterisitca del mezzo. In particolare, se la propagazione avviene nelvuoto, si ha
Ritornando alla soluzione delle equazioni di propagazione, si e preceden-temente illustrata una serie di calcoli che ha fornito una soluzione peril campo magnetico h. Con procedura analoga e poi possibile ricavareuna soluzione anche per il campo elettrico: si ottiene infatti
∇×∇× e = −µε∂2e∂t2
,
da cui
−∇2e + ∇(∇ · e) = −µε∂2e∂t2
,
e, poiche∇ · d = ∇ · (εe) = ε∇ · e = ρ = 0 ,
in assenza di cariche libere ed in un mezzo omogeneo, ne risulta nuova-mente l’equazione delle onde vettoriali
∇2e − 1v2
∂2e∂t2
= 0 ,
che mostra come anche il campo e sia costituito dalla somma di dueonde, una progressiva e una regressiva, che si muovono con velocita v.
Osservazioni
1. Sebbene cio non sia stato sottolineato esplicitamente in prece-denza, e opportuno notare che, nel derivare l’equazioni delle ondevettoriali, si e fatto uso delle ipotesi inizialmente poste. In parti-colare, l’ipotesi concernente l’uniformita del mezzo all’interno deldominio di definizione del campo e stata usata per passare rispet-tivamente dalle equazioni per le divergenze di b e d a quelle per
48 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
h e e. Si noti che, qualora l’ipotesi venisse a cadere, non sarebbepiu possibile eliminare il termine del tipo ∇(∇·) e passare cosi daldoppio rotore al laplaciano.
Da un punto di vista fisico, cio si lega al fatto che, in un mezzonon omogeneo, si ha la nascita di nuove componenti di campo neipunti in cui ε o µ variano, con il risultato che il campo non puopiu essere espresso come somma di due sole onde.
In maniera del tutto analoga, si ritroverebbe lo stesso problemaqualora fosse la seconda delle ipotesi di partenza a cadere. Infatti,nel caso in cui vi fossero sorgenti all’interno della regione di spaziodove lo studio viene svolto, risulterebbe ∇·d = 0, cosa che, ancorauna volta, non consentirebbe piu il passaggio dal doppio rotore allaplaciano. Anche in questo caso, la spiegazione fisica del fenomenoe immediata, in quanto la presenza di sorgenti implica la creazionedi un nuovo campo elettromagnetico, con il risultato che il campocomplessivo non puo essere scritto come somma di due sole onde.
2. Nella derivazione delle soluzioni per e e h si sono usate due equa-zioni delle onde vettoriali che, apparentemente, sembrano essereindipendenti l’una dall’altra, come se i campi elettrico e magneticopotessero evolvere l’uno indipendentemente dall’altro. Cio e evi-dentemente falso, ed e dovuto al fatto che per ottenere le equazionidelle onde vettoriali si e dovuto alzare il grado delle equazioni dipartenza, introducendo in tal modo delle soluzioni spurie. La pro-cedura corretta per l’individuazione del campo elettro–magneticoe,h richiede quindi un procedimento differente, basato sul fattoche uno solo dei due campi puo essere risolto tramite l’equazionedelle onde vettoriali, mentre il secondo va ricavato tramite le e-quazioni di Maxwell.
3. L’equazione delle onde vettoriali e stata derivata supponendo chesia γ = 0, cioe che il mezzo sia privo di perdite. Il caso di unmezzo con perdite puo, tuttavia, essere facilmente analizzato sullafalsariga di quanto fatto nel caso di mezzo privo di perdite, e sitrova
∇2h − µε∂2h∂t2
− µγ∂h∂t
= 0 .
Le perdite compaiono quindi in un termine di derivata prima che
4.2. DOMINIO DEI VETTORI COMPLESSI 49
agisce come una forza di attrito che causa smorzamento delle fun-zioni f e g.
4.2 La soluzione nel dominio dei vettori comp-lessi: l’equazione di Helmoltz
Si considerino ora le equazioni dei rotori nella rappresentazione comp-lessa per un campo in assenza di sorgenti ed in un mezzo lineare, omo-geneo ed isotropo. Esse sono
∇× E = −iωµH ,
∇× H = iωεCE .
Si noti che, a differenza di quanto accade per le equazioni nel dominio deltempo, l’introduzione della permettivita complessa consente uno studiounificato dei casi di mezzi con e senza perdite. Inoltre, non e piu nec-essario supporre il mezzo non dispersivo perche nel dominio dei vettoricomplesi il legame tra D ed E (e tra B e H) e comunque espresso dauna relazione di proporzionalita diretta, almeno fintanto che non inter-vengono fenomeni non–lineari.
Analogamente a quanto si era fatto nella derivazione dell’equazionedelle onde vettoriali, se si sostituisce ∇× E nella seconda equazione, siricava ora
∇×∇× H = iωεC(∇× E) = iωεC(−iωµH) ,
e, utilizzando il fatto che ∇ · H = 0, si ottiene infine la seguente equa-zione, detta di Helmoltz:1
∇2H − σ2H = 0 , σ2 = −ω2µεC .
Questa equazione, usata qui per descrivere l’evoluzione della rappresen-tazione complessa H del campo magnetico, e una delle equazioni fonda-mentali dell’elettromagnetismo. Come si avra modo di apprezzare nel
1In maniera del tutto analoga, sostituendo ∇ × H nella prima delle equazioni diMaxwell, risulta anche
∇2E − σ2E = 0 .
50 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
seguito, infatti, essa rappresenta il formalismo matematico che ricorrein molti dei problemi che si affrontano nello studio dei campi elettro-magnetici e, proprio in virtu di questo fatto, nel corso degli anni essa estata approfonditamente studiata, con il risultato che sono ora disponi-bili svariate tecniche utili alla sua risoluzione, sia analitica, sia numerica.Per questa ragione d’ora in avanti si cerchera sempre, ove possibile, diridurre le equazioni della propagazione alla forma di una equazione diHelmoltz, e si considerera quest’ultima come una equazione “trattabile”con la quale lavorare preferibilmente.
Chiarito questo concetto, si puo ora illustrare la natura del fenomenoche l’equazione descrive. A tal fine risulta utile procedere ancora unavolta in analogia con quanto fatto nel caso della risoluzione per le e-quazioni nel dominio del tempo, e supporre per semplicita che il campoevolva lungo una sola direzione dello spazio, per esempio quella parallelaall’asse z. L’equazione di Helmoltz si semplifica allora nella forma
∂2H∂z2
− σ2H = 0 ,
ed ammette una soluzione del tipo
H = H01eσz + H02e−σz .
Si usa anche scrivere
σ = ω√−µεC = α + iβ ,
dove α ≥ 0 (e α = 0 se e solo se γ = 0) prende il nome di costante diattenuazione, mentre β (assunta per convenzione positiva), viene dettacostante di fase dell’onda. Nel caso di propagazione in un mezzo privodi perdite si ha pertanto
H = H01 eiβz + H02 e−iβz ,
ed e facile verificare che, in accordo con quanto trovato nello studiodelle equazioni nel dominio del tempo, questa espressione rappresenta lasomma di due onde, una progressiva e l’altra regressiva. Infatti, ricor-dando che il campo nel dominio del tempo puo essere ricavato a partireda quello della rappresentazione complessa come
h = Re[Heiωt] ,
4.3. I POTENZIALI VETTORI 51
si ottiene, per ognuna delle componenti del campo, una espressione deltipo
hξ = |H01,ξ| cos(ωt+βz+ϕ1,ξ)+|H02,ξ| cos(ωt−βz+ϕ2,ξ) , ξ ∈ x, y, z ,
nella quale ϕ1ξ e ϕ2,ξ sono, rispettivamente, le fasi dei numeri complessiH01,ξ e H02,ξ. Inoltre, in questa espressione, il primo addendo alla destradell’uguale rappresenta il contributo di onda regressiva, ed il secondoquello di onda progressiva. Si noti che, laddove nel caso delle equazioninel dominio del tempo si era trovato che l’equazione delle onde vettorialidescriveva la propagazione di una qualsiasi forma d’onda in moto nellospazio con velocita v, qui si trova che l’onda che si muove con velocitav ha andamento sinusoidale nel tempo, come deve essere dal momentoche si e ora partiti dalle equazioni di Maxwell in regime armonico.
espressione che mostra come la soluzione sia data ancora dalla sommadi due onde contropropaganti, ognuna delle quali si attenua rispetto alsuo verso di propagazione.
4.3 I potenziali vettori
Nei paragrafi precedenti si e dimostrato che, in un mezzo lineare, omo-geneo, isotropo e privo di sorgenti (Ji = 0), il campo elettromagneticopuo essere determinato in forma esatta tramite l’equazione delle ondevettoriali se ci si riferisce alla rappresentazione nel dominio del tempo,o tramite l’equazione di Helmoltz nel caso della rappresentazione com-plessa.
In questo paragrafo si intende allargare lo studio della propagazioneal caso in cui il mezzo sia ancora omogeneo, lineare ed isotropo, ma ora inpresenza di sorgenti. Si utilizza allo scopo la rappresentazione complessae si introducono dei nuovi strumenti matematici che prendono il nomedi potenziali vettori.
Si considerino dunque nuovamente le equazioni dei rotori, scritte conriferimento alla rappresentazione complessa per un campo in un mezzolineare, omogeneo, isotropo ed in presenza di sorgenti. Le equazioni sono
∇× E = −iωµH ,
52 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
∇× H = iωεCE + Ji .
Indipendentemente dalla presenza di sorgenti, e dall’omogeneita del mezzo,e poi sempre verificata la relazione
∇ · B = 0 ,
che mostra come il campo B sia un campo solenoidale, e come tale essopuo sempre essere espresso come rotore di un altro campo vettoriale,secondo la relazione
B = ∇× A .
Come e immediato verificare, infatti, vale ∇ · ∇ × A = 0 ∀A.Il campo A cosi definito prende il nome di potenziale vettore magne-
tico e si dimostra ora che quando esso e noto, e possibile ricavare i campiE e H tanto in assenza quanto in presenza delle sorgenti Ji.
Campo magnetico
Direttamente dalla definizione del potenziale vettore magnetico discende
H =1µB =
1µ∇× A . (4.1)
Campo elettrico
Dalla equazione di Maxwell per il rotore di H,
∇× H = iωεCE + Ji ,
segue1µ∇×∇× A = iωεCE + Ji ,
e quindi
E =∇×∇× A
iωµεC− Ji
iωεC. (4.2)
Le equazioni (4.1,4.2) mostrano quindi che se il potenziale A e noto,si puo ricavare tutto il campo elettromagnetico E,H tramite sem-plici operazioni di derivazione. Questo e un risultato tutt’altro che ba-nale, e configura nell’uso di A un notevole vantaggio dal punto di vistadell’onerosita computazionale richiesta per la risoluzione delle equa-zioni di Maxwell. Infatti, come si e gia piu volte sottolineato, se la
4.3. I POTENZIALI VETTORI 53
propagazione viene studiata tentando di integrare direttamente le equa-zioni di Maxwell, il problema matematico che ci si trova ad affrontare equello di un sistema di equazioni differenziali tra loro accoppiate che, inpresenza di sorgenti, coinvolge un numero di incognite pari ad almenosei. Cio che si e dimostrato ora, invece, e che se si affronta il problemain maniera diversa e possibile ottenere con operazioni semplici tutto ilcampo elettromagnetico a partire da una unica quantita vettoriale. Invista di cio risulta allora utile cercare una equazione ed una soluzione peril campo vettoriale A e, a tal fine, si puo utilizzare la prima equazionedi Maxwell
∇× E = −iωµH ,
sostituendo in essa le espressioni (4.1,4.2) appena ricavate. Si ottienecosi
∇×[∇×∇× A
iωµεC− Ji
iωεC
]= −iω∇× A ,
da cui anche
∇×[∇×∇× A
iωµεC− Ji
iωεC+ iωA
]= 0 . (4.3)
La quantita racchiusa nella parentesi quadra e dunque una quantitairrotazionale, e se la regione di spazio nella quale essa e definita e unaregione a connessione semplice, si puo allora scrivere
∇×∇× AiωµεC
− Ji
iωεC+ iωA = −∇φ , (4.4)
dove φ e una qualsiasi funzione scalare, che prende il nome di potenzialescalare elettrico, ed il cui unico requisito e quello di essere dimensional-mente compatibile con il primo membro dell’uguaglianza, e cioe di averele dimensioni fisiche dei Volt [V].2
2Si ponga attenzione al fatto che φ non deve essere confuso con il potenziale Vdell’elettrostatica. Infatti, poiche
E =∇×∇× A
iωµεC− Ji
iωεC,
risultaE = −iωA −∇φ ,
che sembra coincidere con la relazione dell’elettrostatica a patto di porre ω = 0.Tuttavia questa operazione non e lecita perche, per arrivare a scrivere E = −iωA−∇φsi e piu volte diviso per ω, cosicche non lo si puo poi porre a zero a posteriori.
54 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
Si noti che, data l’arbitrarieta nella scelta della funzione φ, esisteall’apparenza una corrispondente arbitrarieta nella definizione di A equindi, in ultima analisi, nei campi E ed H, il che e un risultato eviden-temente inaccettabile dal punto di vista fisico.
In realta, occorre notare che, sino ad ora, e stato fissato il solo valoredel rotore di A (che, per definizione, coincide con il campo di induzionemagnetica B). L’analisi dei campi vettoriali mostra tuttavia che il fattodi fissare il solo rotore di un campo vettoriale non e sufficiente per deter-minare univocamente il campo stesso. In altre parole, con le condizionisin qui poste su A, e possibile variare a piacimento il valore della suadivergenza senza che questo si rifletta in variazioni dei campi E ed H.Se quindi si mostra che l’indeterminazione di φ interviene nella diver-genza di A si puo concludere che diversi valori di φ possono determinare(univocamente) diverse espressioni per A, ma senza che questo influenziE ed H, inficiando cosi la validita e l’utilita della procedura di calcolobasata sul potenziale vettore magnetico.
La dimostrazione del legame tra la funzione φ e la divergenza di Ae immediata. Vale infatti
∇ ·[∇×∇× A
iωµεC− Ji
iωεC+ iωA
]= −∇ · ∇φ ,
cioeiω∇ · A − ∇ · Ji
iωεC= −∇2φ ,
cosicche appare evidente come al variare di φ vari anche ∇ · A.Avendo chiarito che differenti scelte di φ non inficiano la validita
del calcolo delle componenti di campo elettrico e magnetico, si puo al-lora sfruttare il grado di liberta offerto da questa indeterminazione alfine di semplificare il piu possibile l’equazione che governa l’evoluzionedel potenziale vettore A. In particolare, risultano utili a tal fine treparticolari scelte di φ che vengono illustrate in dettaglio qui di seguito.
4.3.1 La scelta φ = 0
Questa e, ovviamente, la prima scelta che viene alla mente, ma, comesi vedra tra breve, essa non e necessariamente la piu conveniente. Siconsideri infatti l’equazione per A (4.4) e si ponga φ = 0. Si ottiene
∇×∇× A + σ2A = µJi .
4.3. I POTENZIALI VETTORI 55
Come si e gia avuto modo di notare, quando in una equazione differen-ziale compare l’operatore di doppio rotore, spesso conviene riscriverel’equazione nella forma
−∇2A + ∇(∇ · A) + σ2A = µJi ,
per ottenere infine, quando e se ∇ · A = 0, una equazione di Helmoltznon omogenea.
Nel caso in esame il procedimento puo essere svolto, ma, come vienedimostrato di seguito, esso comporta una perdita di generalita. Infatti,si e visto che la divergenza di A e espressa dalla relazione
iω∇ · A =∇ · Ji
iωεC−∇2φ =
∇ · Ji
iωεC,
e si ha dunque ∇·A = 0 se e solo se ∇·Ji = 0. La scelta φ = 0 consentequindi di ottenere una equazione “trattabile” per A solo se le sorgentidel campo sono a divergenza nulla ovvero, da un punto di vista fisico, seesse sono formate da insiemi di cariche elettriche in moto lungo percorsichiusi.
Occorre tuttavia ricordare che i potenziali vettori sono stati introdotticon lo scopo di studiare il comportamento di un campo elettromagne-tico in presenza di sorgenti generiche, cosicche l’imporre una condizionerestrittiva a priori sulle sorgenti stesse e una limitazione che convienetentare di evitare, cercando scelte piu convenienti per il potenziale φ.
4.3.2 La scelta di Coulomb.
Come appena detto, cio che non soddisfa nella scelta φ = 0 e il fatto cheoccorre imporre condizioni sulle sorgenti per poter ottenere ∇ · A = 0e semplificare cosi l’operatore di doppio rotore con quello di laplaciano.Tuttavia, si e anche visto che la divergenza di A e data dall’espressione
iω∇ · A =∇ · Ji
iωεC−∇2φ ,
e si puo pertanto avere una valore nullo di divergenza se si sceglie φ inmodo che esso risolva l’equazione di Poisson
∇2φ =∇ · Ji
iωεC≡ −ρ
ε. (4.5)
56 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
La scelta di un potenziale φ siffatto prende il nome di scelta diCoulomb, ed essa conduce dalla generica espressione per A (4.4) allapiu semplice
∇2A − σ2A = −µJi + iωµεC∇φ .
La scelta di Coulomb consente quindi di ricavare una equazione rel-ativamente semplice per l’evoluzione di A senza imporre condizioni re-strittive sulle sorgenti. Esiste tuttavia un prezzo da pagare per giungerea questo risultato: per il calcolo del campo occorre risolvere, insiemeall’equazione per A, una equazione aggiuntiva per determinare il poten-ziale φ.
Si noti altresi che la scelta di Coulomb, e il potenziale φ che daessa deriva, non e unica. Infatti, se si indica con φ0 una soluzionedell’equazione di Laplace
∇2φ0 = 0 ,
il potenziale φ′ = φ + φ0 e ancora soluzione dell’equazione di Poisson(4.5). Chiaramente, se il potenziale φ′ viene usato al posto di φ cometermine noto nell’equzione di Helmoltz che da la soluzione per A, questaquantita cambia, assumendo un nuovo valore che indichiamo come A′.
Il legame che intercorre tra A e A′ e di facile valutazione ; infatti,poiche dalle (4.2,4.4) vale
E = −iωA −∇φ ,
e poiche il campo elettrico non deve dipendere dalla scelta di A che, siricorda, e solo uno strumento matematico introdotto per semplicare leprocedure di calcolo, si deve avere
E = −iωA −∇φ = −iωA′ −∇φ′ = −iωA′ −∇φ −∇φ0 ,
e quindi
A′ = A − ∇φ0
iω.
4.3.3 La scelta di Lorentz.
La scelta di Coulomb che e stata appena illustrata si basa sul fatto cheφ e soluzione di
∇2φ = −ρ
ε.
4.3. I POTENZIALI VETTORI 57
Si consideri ora il primo membro di questa equazione. Come si e or-mai gia piu volte detto, nello studio dei fenomeni elettromagnetici legrandezze in gioco spesso soddisfano ad una equazione differenziale diHelmoltz, omogenea o non omogenea, che e del tipo
∇2Q − σ2Q = secondo membro ,
dove si e indicata con Q una generica funzione delle coordinate spaziali.Da un punto di vista fisico, questa equazione descrive la propagazionedel campo Q espresso attraverso la sua rappresentazione complessa, edha come equivalente per il campo nel dominio del tempo l’equzione delleonde vettoriali
∇2q − 1v2
∂q∂t2
= secondo membro .
Se ne deduce che a cio che nel dominio dei vettori complessi com-pare indicato come σ2 corrisponde, nel dominio del tempo, l’operatoredifferenziale
σ2 ⇔ 1v2
∂2
∂t2,
che indica come le grandezze elettromagnetiche si propaghino nello spaziocon una velocita finita pari a v. Ora, nella scelta di Coulomb si e di fattoposto σ2 = 0, cosa che, fisicamente, significa aver chiesto al potenzialeφ di essere una grandezza elettromagnetica capace di diffondersi nellospazio con velocita infinita. Questa richiesta rappresenta chiaramenteuna forzatura rispetto a cio che e fisicamente ragionevole, e ci si puoallora domandare se reintroducendo una velocita finita nel calcolo delpotenziale φ non si possano trovare dei risultati migliori. La scelta diLorentz, che discende da queste considerazioni fisiche, e dunque quellache richiede al potenziale φ di risolvere una equazione di Helmoltz nonomogenea del tipo
∇2φ − σ2φ = −ρ
ε. (4.6)
Cosi facendo risulta ∇ · A = 0 e cio potrebbe indurre a pensare che sisiano in realta complicati i calcoli perche nella (4.4) non e apparente-mente piu possibile semplificare l’operatore di doppio rotore in quello dilaplaciano. Tuttavia, si ricorda che vale
∇ · A =1iω
[∇ · Ji
iωεC−∇2φ
]=
1iω
[−ρ
ε−
(σ2φ − ρ
ε
)],
58 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
cioe la divergenza di A e legata al potenziale φ dalla relazione lineare(che prende il nome di condizione di Lorentz)
iω∇ · A = −σ2φ . (4.7)
Vediamo ora che, sebbene la condizione di Lorentz mostri che, in gen-erale, A non ha divergenza nulla, e tuttavia ancora possibile arrivaread una equazione di Helmoltz per il potenziale vettore. Se infatti siconsidera ancora una volta la (4.4) e si sottrae ad ambo i membri laquantita
∇(∇ · A)iωµεC
,
si ottiene
− ∇2AiωµεC
− Ji
iωεC+ iωA = −∇
[φ +
∇ · AiωµεC
],
e, poiche il secondo membro si annulla in virtu della (4.7), anche
∇2A − σ2A = −µJi . (4.8)
Come si voleva, il risultato cui si e pervenuti e ancora quello di unaequazione di Helmoltz, non omogenea, che, almeno all’apparenza, pre-senta una difficolta in meno rispetto al caso della scelta di Coulomb,in quanto ora la soluzione non dipende piu da φ. Si noti anche che lascelta di Lorentz non e unica, e le stesse trasformazioni che consenti-vano di mettere in relazione tra loro una qualsiasi coppia di soluzionidiscendenti dalla scelta di Coulomb valgono anche nel caso presente.
Come si era anticipato piu sopra, dunque, l’uso dei potenziali con-sente una riduzione del numero delle incognite scalari che sono necessarieper la determinazione dell’intero campo elettromagnetico. In partico-lare la (4.8) sembra indicare che tale numero sia pari a tre. In generale,tuttavia, risulta necessario svolgere anche il calcolo del potenziale elet-trico φ, e le incognite necessarie sono di fatto quattro. La ragione ela seguente: l’equazione (4.8) e una equazione differenziale alle derivateparziali e come tale essa puo essere risolta quando siano assegnate le suecondizioni al contorno. Come si e piu volte notato, tuttavia, il campoA e solo uno strumento matematico utile a semplificare i calcoli, manon e una quantita fisicamente misurabile. Ne segue che le condizioni alcontorno per A non sono di semplice valutazione, ed e spesso necessario
4.4. POTENZIALE VETTORE ELETTRICO 59
determinarle per via indiretta. Un modo per procedere e ad esempioquello di usare la relazione E = −iωA−∇φ imponendo le condizioni suE e trasferendole poi ad A, ma cosi facendo la valutazione di φ risultaper l’appunto necessaria. Il solo caso in cui il calcolo di φ puo essereevitato e quello in cui ∇φ = 0, cioe φ =costante, ma l’unica soluzionecostante della (4.6) e quella identicamente nulla, e questa richiede ρ ≡ 0.Sebbene si trovino svariati casi in cui questa semplificazione puo essereutilizzata, e comunque bene tenere a mente che questo caso non e uncaso di carattere generale.
4.4 Potenziale vettore elettrico
Quando si scrivono le equazioni di Maxwell nel dominio delle rappresen-tazioni complesse,
∇× E = −iωµH ,
∇× H = iωεCE + Ji ,
e immediato accorgersi che, a parte il termine legato alle correnti im-presse, le equazioni presentano una completa simmetria, potendosi scam-biare tra di loro i simboli secondo le relazioni
E ⇔ −H ,
µ ⇔ εC .
Come gia notato, il termine Ji sbilancia una simmetria altrimenti com-pleta semplicemente perche esso descrive l’azione di una corrente (im-pressa), che e formata ad un flusso di cariche elettriche in movimento, eche, come tale, non ha un equivalente magnetico dal momento che nonesiste la “carica elementare” magnetica. Per questa stessa ragione, sipuo osservare una dissimmetria anche nelle equazioni delle divergenze,che, scritte ancora con riferimento alla rappresentazione complessa perun campo che si sviluppi in un mezzo omogeneo, si leggono come
∇ · H = 0 , ∇ · E = −∇ · Ji
iωεC,
con la seconda delle due che, in generale, risulta diversa da zero. Comegia accennato in precedenza, esistono tuttavia dei casi di pratica utilita,
60 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
quelli nei quali le sorgenti sono fisicamente formate da cariche in motolungo percorsi chiusi, nei quali si verifica che
∇ · Ji = 0 ⇒ ∇ · E = 0 ,
ed in questo modo la simmetria viene ripristinata almeno nelle equazionialle divergenze. Questa osservazione suggerisce che, in questi casi, ed inanalogia a quanto fatto nel paragrafo precedente nel quale si e definitoil campo A basandosi sulla solenoidalita di B, e possibile pensare diesprimere anche E come rotore di un opportuno campo vettoriale, e diprocedere poi alla risoluzione delle equazioni di Maxwell avvalendosi diquest’ultimo e seguendo lo stesso schema di calcolo gia intrapreso nelcaso del potenziale vettore magnetico. Si usa porre
E = − 1εC
∇× F ,
dove il segno meno viene introdotto per conservare le proprieta di sim-metria delle equazioni di Maxwell, ed il campo F prende il nome dipotenziale vettore elettrico (o potenziale di Fitzgerald).
Seguendo lo stesso schema dei paragrafi precedenti, si mostra orainnanzi tutto come i campi E e H possano essere determinati quandosia noto F, ed in seguito si ricava l’equazione cui F soddisfa.
Campo elettrico
Per definizione,
E = − 1εC
∇× F .
Campo magnetico
Dalla prima equazione di Maxwell si ha
H = − 1iωµ
∇× E =∇×∇× F
iωµεC.
Si vede quindi che, una volta noto F, i campi elettrico e magneticopossono essere ricavati tramite semplici operazioni di derivazione, e sitratta ora di individuare una equazione che fornisca il campo F. A talfine si ricorda che si e supposto che valga l’ipotesi
∇ · Ji = 0 ,
4.4. POTENZIALE VETTORE ELETTRICO 61
ovvero che le sorgenti siano solenoidali e che pertanto possano essereespresse come rotore di un opportuno campo Ki, secondo la relazione
Ji = ∇× Ki .
Si consideri ora la seconda equazione di Maxwell,
∇× H = iωεCE + Ji
e si sostituiscano in essa le espressioni che legano i campi H, E e Ji alpotenziale F. Si ottiene in tal modo
∇×[∇×∇× F
iωµεC+ iωF − Ki
]= 0 ,
e, se il dominio di definizione di F e a connessione semplice,
∇×∇× FiωµεC
+ iωF − Ki = −∇ψ , (4.9)
dove si e introdotta la funzione scalare ψ che e arbitraria, prende il nomedi potenziale scalare magnetico, ed ha le unita di misura di Ampere.Questa funzione assume il ruolo duale di quella che si era indicata comeφ nel caso del potenziale vettore magnetico, e l’unica scelta interessanteper essa e la scelta di Lorentz
∇2ψ − σ2ψ = 0 ,
nella quale il secondo membro risulta pari a zero perche non esiste lacarica magnetica elementare. Si noti che, ancora per questa ragione,la soluzione ψ = 0 e sempre una soluzione accettabile, a differenza diquanto accade per φ, che puo risultare una scelta di Lorentz solo seρ = 0. Inoltre, poiche del vettore Ki e stato fissato il solo valore delrotore, non e restrittivo scegliere ∇ · Ki = 0. Con questa posizione,e con ψ = 0, dalla (4.9) si ottiene infine ∇ · F = 0, e si puo allorasemplificare la stessa (4.9), che assume ancora una volta la forma di unaequazione di Helmoltz non omogenea, ora scritta come
∇2F − σ2F = −iωµεCKi .
62 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
4.5 Potenziale di Hertz
Si e visto che il formalismo del potenziale vettore elettrico puo essereapplicato quando ∇ · Ji = 0, ovvero quando il contesto fisico in esamee tale che in esso le sorgenti del campo elettromagnetico sono cariche inmovimento lungo un circuito chiuso. Esistono tuttavia altri casi, propridello studio dell’elettronica quantistica o della fisica dello stato solido,nei quali le sorgenti del campo sono rappresentate da cariche elettrichein moto oscillatorio attorno ad una posizione di equilibrio. In questi casisi usa scrivere la densita di corrente impressa nella forma
Ji = −iωPi ,
dove il vettore Pi prende il nome di vettore di polarizzazione elettricaimpressa. In questi casi, fermo restando il fatto che lo studio del campopuo comunque essere affrontato sulla base del potenziale A, si riscontrauna semplificazione formale se si introduce il potenziale vettore di Hertz,definito come segue:
Π = − AiωµεC
.
Con il campo cosi definito si ottiene infatti dalla (4.3)
∇×[∇×∇× Π + σ2Π − Pi
εC
]= 0 ,
e, se il dominio di definizione delle grandezze in gioco e a connessionesemplice, anche
∇×∇× Π + σ2Π − Pi
εC= −∇φ , (4.10)
dove, come di consueto, φ e una qualsiasi funzione scalare con le appro-priate dimensioni fisiche, qui quelle dei Volt [V]. Data l’arbitrarieta dellafunzione φ vi e ancora la possibilita di operare delle scelte in modo dasemplificare opportunamente l’equazione di evoluzione per Π e la sceltapiu interessante e quella di Lorentz, con φ soluzione di
∇2φ − σ2φ =∇ · Pi
εC.
Calcolando la divergenza di ambo i membri della (4.10) si ottiene infattila condizione ∇ · Π = −φ e, sottraendo la quantita ∇(∇ · Π) ad ambo
4.5. POTENZIALE DI HERTZ 63
i membri della (4.10), si giunge infine alla equazione di Helmoltz nonomogenea
∇2Π − σ2Π = −Pi
εC.
64 CAPITOLO 4: PRIMI ESEMPI DI RISOLUZIONE
Capitolo 5
I teoremi fondamentalidell’elettromagnetismo
5.1 Teoremi energetici
5.1.1 Teorema di Poynting nel dominio del tempo
Si considerino le equazioni di Maxwell nel dominio del tempo e le siscrivano per un mezzo isotropo con sorgenti e, in generale, dispersivo;esse sono:
∇× e = −∂b∂t
,
∇× h =∂d∂t
+ γe + ji .
Si moltiplichi internamente la prima delle equazioni per h, la secondaper e e si esegua la sottrazione membro a membro della seconda dallaprima. Si ottiene cosi
h · ∇ × e − e · ∇ × h = −h · ∂b∂t
− e · ∂d∂t
− γ|e|2 − e · ji ,
ed utilizzando l’identita vettoriale ∇ · (e × h) = h · ∇ × e − e · ∇ × h,anche
−e · ji = h · ∂b∂t
+ e · ∂d∂t
+ γ|e|2 + ∇ · (e × h) .
Questa relazione e una uguaglianza tra funzioni di punto, ed essa rimanevalida anche quando entrambi i suoi membri vengono integrati in un
65
66 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
volume V racchiuso da una superficie chiusa S. Si ha cioe
−∫
Ve·ji dV =
∫V
(h · ∂b
∂t+ e · ∂d
∂t
)dV +
∫V
γ|e|2 dV +o∫
S(e×h)·n dS ,
(5.1)dove si e indicato con n la normale uscente alla superficie S, e si eapplicato il teorema di Gauss all’ultimo addendo alla destra dell’uguale.
L’identita scritta va sotto il nome di teorema di Poynting e, come eimmediato verificare, essa rappresenta un bilancio di potenze. Vediamodunque di individuare di quali potenze si tratta.
♦ −∫
Ve · ji dV. E la potenza ceduta dai generatori del campo elet-
tromagnetico al campo stesso. Infatti, la corrente ji puo esserepensata come dovuta ad una densita di carica ρi che si muove convelocita v: ji = ρiv. La densita di carica in moto genera un campoe,h che da luogo, sulle sorgenti stesse, ad una densita di forza(di Lorentz)
f = ρi e + ji × b .
Affinche sia possibile mantenere in moto la densita di carica allavelocita v, e necessario che al mezzo in esame venga applicatadall’esterno (cioe per via non elettromagnetica) una densita diforza uguale e contraria. Questa densita di forza compie, per ognispostamento infinitesimo dr, una densita di lavoro
dL = −f · dr = −ρi e · dr − ji × b · dr ,
e la densita di lavoro per unita di tempo, ovvero la densita dipotenza, e allora
dW = −f · drdt
= −f · v = −ρi e · v − (ρi v) × b · v =
= −ρi e · v = −e · ji .
La potenza totale che i generatori devono erogare affinche possasussistere la densita di carica ρi in moto con velocita v e dunque
W = −∫
Ve · ji dV .
5.1. TEOREMI ENERGETICI 67
♦∫
Vγ|e|2 dV. Questo termine, che ha naturalmente ancora le dimen-
sioni di una potenza, dipende dalla conducibilita γ del mezzo nelquale il campo e definito, ed esso rappresenta dunque la potenzache viene dissipata nel volume V per effetto Joule.
♦∫
V
(h · ∂b
∂t+ e · ∂d
∂t
)dV. Questo termine si presta ad una inter-
pretazione chiara ed inequivocabile solo se il mezzo nel quale edefinito il campo e un mezzo non dispersivo nello spazio e neltempo, e linerare. In questo caso, infatti, vale
d = ε e , b = µh ,
e l’integrale puo essere riscritto come
∂
∂t
∫V
(12µ |h|2 +
12ε |e|2
)dV ,
dove si e supposto che il volume V sia fisso nel tempo e si e cosipotuto portare l’operatore di derivata rispetto al tempo al di fuoridel segno di integrale.
Il termine ε |e|2/2 ricorda un termine visto nello studio dell’elet-trostatica, termine che, quando integrato su tutto il volume diinteresse, rappresenta l’energia elettrostatica del sistema che e im-magazzinata in quel determinato volume. Fisicamente questa elegata al lavoro che si deve compiere per creare in maniera re-versibile il campo elettrico presente nella regione V . Analogo epoi il significato del termine µ |h|2/2, che si lega al contributo dienergia magnetostatica necessaria ad instaurare il campo.
Quando cade l’ipotesi di non dispersivita, il termine in oggetto nonpuo piu essere interpretato con certezza come termine di energiaelettromagnetica immagazzinata nel volume V , perche non e dettoche la trasformazione che ha portato all’instaurazione del camposia in questo caso ancora una trasformazione di tipo reversibile. Inaltre parole, affinche l’integrando sia effettivamente interpretabilecome energia interna del sistema e necessario che esso si presentinella forma di un differenziale esatto, di modo che il suo integralenel tempo dipenda esclusivamente dagli estremi di integrazione, enon dal percorso (temporale) che e stato seguito per connetterli.
68 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Questo accade certamente nel caso di mezzi non dispersivi, neiquali i campi e e h sono legati in maniera temporalmente localea d e b ed ogni trasformazione ciclica riporta quindi nel puntoda cui si era partiti. Viceversa, in presenza di dispersione, questorisultato non e piu garantito a priori, e l’identificazione del terminein oggetto con l’energia interna cade.
Chiarito questo aspetto fondamentale, si puo allora affermare chequando e chiaro il significato fisico del primo termine a destra dell’ugualenella equazione (5.1), l’interpretazione del teorema di Poynting e laseguente: il teorema afferma che la potenza ceduta dai generatori alcampo puo
1. essere dissipata per effetto Joule;
2. essere impiegata per variare l’energia elettromagnetica accumulatanel volume V ;
3. essere trasferita verso l’esterno del volume V . Questo contributoe rappresentato dal termine
o∫
S(e × h) · n dS ≡ o
∫Sp · n dS ,
dove il vettore p = e × h e detto vettore di Poynting. Per defi-nizione, dunque, esso e un vettore tale che il suo integrale estesoalla superficie S da il contributo di potenza che fluisce attraversoil contorno della regionedi definizione del campo e, a tal proposito,vi sono da fare due annotazioni importanti:
• la prima riguarda il fatto che puo risultare naturale cercaredi interpretare il vettore di Poynting in modo “locale”, at-tribuendogli cioe, punto per punto, il significato di densita dipotenza che transita attraverso la superficie S. In generale,questa interpretazione non e pero corretta. Infatti, si e po-tuto dimostrare il teorema di Poynting, e definire l’omologovettore solo perche si e applicato il teorema di Gauss al fine dipassare da un integrale di volume ad un integrale di superfi-cie, ma perche cio sia matematicamente corretto e necessarioche l’integrale di superficie sia esteso ad una superficie chiusa,
5.1. TEOREMI ENERGETICI 69
e non aperta come dovrebbe essere per poter attribuire al vet-tore di Poynting un significato locale. In altri termini, il teo-rema di Poynting assicura solo del significato fisico dell’interointegrale, non del significato dell’integrando.Tuttavia, in molti dei problemi pratici che si incontrerannonel seguito, cio che interessera valutare sara il campo irra-diato a grande distanza da opportuni insiemi di sorgenti. Sivedra allora che, in questi casi, la propagazione avviene es-senzialmente per onde sferiche nelle quali l’energia associataal campo viaggia proprio nella direzione radiale che coincidecon la direzione in cui e orientato p. In questi casi sara al-lora lecito dare all’integrando il significato di densita localedi potenza, ed affermare che il flusso di potenza e maggiore lidove |p| risulta maggiore.
• Il secondo punto importante da notare e che, come detto, ilteorema di Poynting ha una interpretazione chiara ed univocasolo quando il primo termine al secondo membro della (5.1)puo essere letto come variazione dell’energia elettromagneticaimmagazzinata e, come visto, questo richiede che il mezzo sianon dispersivo.
Nel caso della propagazione in un mezzo dispersivo, una interpre-tazione del teorema del tutto generale, che prescinda dal particolarelegame che intercorre tra d e e (o tra b e h) non puo essere data. Cioche e possibile fare, invece, e discutere i risultati che si possono ottenerein due casi ben specifici; questi sono il caso delle grandezze sinusoidali,ovvero il caso in cui tutte le componenti del campo elettromagneticohanno spettro rigorosamente impulsivo, e si parla in questo caso di teo-rema di Poynting nel dominio della frequenza, ed il caso dei segnali abanda stretta, e si parla allora di teorema dell’energia.
5.1.2 Teorema di Poynting nel dominio della frequenza
Prima di discutere il teorema e opportuno porre in evidenza che la dici-tura che viene comunemente usata, quella di “teorema nel dominio dellafrequenza” rappresenta in realta un abuso di linguaggio perche non si ap-plichera il teorema alle trasformate di Fourier dei campi nel dominio deltempo, quanto piuttosto ai fasori del campo, che sono quantita matem-atiche rappresentative di grandezze puramente sinusoidali.
70 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Chiarita questa premessa, si richiamano allora le equazioni di Maxwellnel dominio della rappresentazione complessa e si ricorda che, nel caso dipropagazione in un mezzo lineare, isotropo e non dispersivo nello spazio,esse si scrivono nella forma
∇× E = −iωµ(ω)H ,
∇× H = iωε(ω)E + γE + Ji .
Moltiplicando internamente la prima delle equazioni per H∗ e la com-plessa coniugata della seconda equazione per E e sottraendo membro amembro la seconda dalla prima si ottiene allora
H∗ · ∇ × E − E · ∇ × H∗ = −iωµ|H|2 + iωε∗|E|2 − γ|E|2 − E · J∗i ,
dove si e omessa la dipendenza dei parametri costitutivi del mezzo dallafrequenza per non appesantire eccessivamente la notazione.
Come gia nel caso del teorema nel dominio del tempo, l’identitascritta rappresenta una uguaglianza tra funzioni di punto, che rimanetale quando integrata sul volume in cui il campo e definito. Si ottienecosi:
−∫
V
E · J∗i
2dV = 2iω
∫V
(µ|H|2
4− ε∗|E|2
4
)dV +
∫V
γ|E|22
dV +
+ o∫
SP · n dS , (5.2)
dove si e definito il vettore di Poynting complesso
P =E × H∗
2,
e si e applicato il teorema di Gauss all’ultimo addendo della (5.2). Sinoti che il vettore di Poynting complesso non e la trasformata di Fourierdel vettore di Poynting nel dominio del tempo, una quantita che, d’altraparte, non sarebbe nemmeno definita dal momento che, per ipotesi, Ee H hanno spettro impulsivo. Il legame tra la quantita nel dominio deltempo e quella nel dominio della frequenza e invece la seguente: la partereale di P coincide con il valor medio di p calcolato sulla durata di unperiodo delle grandezze sinusoidali in oggetto. A tal proposito, si notianche che nella definizione del vettore di Poynting, e di tutti gli altri
5.1. TEOREMI ENERGETICI 71
addendi della (5.2), si e introdotto un fattore due al denominatore: cioe stato fatto solamente perche nello scrivere i fasori rappresentativi deicampi sinusoidali si e fatto uso delle ampiezze di picco, e non di quelleefficaci, di modo che la potenza elettromagnetica associata al campo vacalcolata producendo il campo elettrico per il complesso coniugato delcampo magnetico, e dividendo il tutto per due.
L’equazione (5.2) e una uguaglianza tra numeri complessi, ed essadeve dunque valere contemporaneamente sia per la sua parte reale, siaper quella immaginaria. Si consideri dapprima la parte reale di amboi membri: fisicamente, l’uguaglianza che cosi si ottiene rappresenta ilbilancio per i valori medi della potenza messa in gioco dai generatori,ed utilizzata dal campo. Infatti, se si scrive
P = PR + iPI , W ≡ −∫
V
E · J∗i
2dV = WR + iWI ,
eε = εR − iεI , µ = µR − iµI ,
si ottiene
WR = 2ω
∫V
(µI |H|2
4+
εI |E|24
)dV +
∫V
γ|E|22
dV +
+ o∫
SPR · n dS , (5.3)
e questa identita puo essere letta come segue: il valor medio dellapotenza ceduta dai generatori al campo (WR) viene impiegato in parteper effetti dissipativi, rappresentati dall’integrale dipendente dalla con-ducibilita γ che da la potenza dissipata per effetto Joule in un periododel campo, in parte per trasferire potenza attiva attraverso la superficieS (si ricordi che PR e il valor medio di p nel dominio del tempo), ed inparte per l’insieme dei fenomeni legati al termine
2ω
∫V
(µI |H|2
4+
εI |E|24
)dV ,
che e il valor medio di ∫V
(h · ∂b
∂t+ e · ∂d
∂t
)dV (5.4)
72 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Si era visto in precedenza che, nel caso di un mezzo non dispersivo,questo termine rende conto della variazione di energia elettromagneticaaccumulata nel volume V dove e definito il campo. Ora, se le grandezzein gioco hanno andamento temporale di tipo sinusoidale, e si valuta lavariazione netta di energia nel loro periodo, essa deve risultare identica-mente nulla. Questa conclusione e consistente con il risultato derivatoadesso perche, come si dimostrera nel seguito, se un mezzo e non disper-sivo, risulta ε ∈ IR e µ ∈ IR, ovvero εI = µI ≡ 0, ed allora la variazione dienergia media in un periodo si annulla.
In altre parole, quando nelle equazioni dell’elettromagnetismo com-paiono dei parametri costitutivi ε e µ complessi, la loro parte immagi-naria non nulla e la traccia della presenza di dispersione e, fisicamente,essa rappresenta il fatto che l’integrale (5.4) contiene dei contributi dis-sipativi che ne precludono l’interpretazione in termini di energia internadel sistema (infatti, l’integrale lungo un “percorso chiuso” nel tempo,come ad esempio quello su un periodo del campo, non da piu un va-lore identicamente nullo). Chiaramente, i contributi dissipativi di cui sista ora discutendo non possono essere attribuiti a cause connesse allaconducibilita del mezzo che e gia tenuta in considerazione dal secondoaddendo alla destra dell’uguale nella (5.2), e si usa allora indicare questeperdite di natura non conduttiva con il termine di perdite per isteresidielettrica e/o magnetica.
Va ancora notato che, sebbene questi contributi siano qui indicaticon la dicitura di “perdite”, l’integrale di volume (5.4) puo avere segnosia positivo sia negativo, il che corrisponde a dire che lo scambio dienergia tra il mezzo nel quale e definito il campo ed i generatori puoavvenire in entrambi i versi. Se pero, come accade nella maggior partedei casi di interesse, il mezzo in esame e un mezzo passivo, cioe esso esolo in grado di dissipare energia convertendola in calore, le costanti εI
e µI devono essere maggiori di zero per le frequenze ω > 0, e minori dizero per ω < 0. Si e dunque trovata una interessante conseguenza delteorema di Poynting: sulla base di elementari considerazioni energeticheesso ha permesso di fissare il segno delle parti immaginarie delle costantidel mezzo, un segno che non era prevedibile a priori.
Sino a questo momento si e dunque scritto ed interpretato un bilanciodi potenze che risulta valido anche nel caso dei mezzi dispersivi, e cheha permesso di identificare il fatto che parte della potenza attiva chee ceduta dai generatori puo essere utilizzata per fenomeni di isteresi
5.1. TEOREMI ENERGETICI 73
elettrica e magnetica. Cio che rimane ancora da studiare e ora solo ilbilancio che coinvolge le parti immaginarie delle (5.2), e che si scrivecome
WI = 2ω
∫V
(µR|H|2
4− εR|E|2
4
)dV + o
∫SPI · n dS . (5.5)
In questa espressione, l’unico termine che si presta ad una interpre-tazione fisica immediata e quello che dipende dalla frequenza ω. Infatti,se il mezzo e non dispersivo questo termine rappresenta la differenza tral’energia elettrica e magnetica media immagazzinata nel volume V inun periodo del campo. Quando invece il mezzo e dispersivo, e come sie gia sottolineato piu volte, questa lettura non e piu corretta, e si usadefinire i termini sotto il segno di integrale rispettivamente con i nomidi pseudoenergia magnetica ed elettrica.
L’interpretazione dei rimanenti termini della (5.5) e infine la seguente:il termine WI rappresenta la potenza reattiva ceduta dai generatori alcampo, mentre il termine dipendente dalla parte immaginaria del vet-tore di Poynting descrive il valor medio del flusso di potenza reattivache attraversa la superficie S in un periodo del campo.
A titolo di considerazione conclusiva, e infine interessante illustrare laragione per cui viene introdotto il concetto di potenza reattiva, e l’utilitapratica cui puo portare la sua conoscenza. Ad un primo sguardo superfi-ciale, infatti, la potenza reattiva puo apparire come un semplice artificiomatematico dal momento che cio che conta nella realta e il bilancio dellepotenze attive e dunque, una volta che sia stata fissata la parte realedella potenza, il bilancio energetico non cambia se cambiano le partiimmaginarie della (5.2). Tuttavia, quello che cambia quando cambia laparte immaginaria e lo squilibrio tra la media dell’energia magnetica edelettrica che sono immagazzinate nel volume V in un periodo del campo.E allora evidente che quando cio accade, almeno uno tra i campi E edH ha una ampiezza “maggiore di quella che sarebbe strettamente neces-saria” per avere la stessa potenza attiva cui il campo sta in realta dandoluogo: un valore elevato di WI indica dunque che si stanno utilizzandoi generatori in modo improprio ed inefficiente.
5.1.3 Teorema dell’energia
Come accennato in precedenza, con la dicitura “teorema dell’energia” siintende il teorema di Poynting applicato a mezzi dispersivi nel tempo
74 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
nei quali si propaghi un campo a banda stretta, cioe un campo con unaestensione spettrale molto inferiore alla frequenza della sua portante o,nel dominio del tempo, un campo le cui variazioni temporali abbianoluogo su una scala dei tempi molto maggiore del periodo della portante.Per illustrare come si scriva il teorema di Poynting per questo tipo dicampi e innanzi tutto opportuno riscrivere le equazioni di Maxwell inuna forma piu appropriata. A tal fine, si consideri ad esempio il termine
∂d∂t
=∂
∂t
∫ε(ω)E(ω) eiωt dω =
∫iω ε(ω)E(ω) eiωt dω .
Poiche per ipotesi il campo E(ω) ha una banda stretta, centrata at-torno ad una frequenza che verra indicata come ω0, si puo sviluppare lafunzione ω ε(ω) intorno ad ω0, ricavando
∂d∂t
∫
iω0 ε(ω0)E(ω) eiωt dω +∫
i∂(εω)∂ω
(ω − ω0)E(ω) eiωt dω ,
e poiche al prodotto per i(ω−ω0) corrisponde l’operatore di derivazionerispetto al tempo, ottenere cosi
∂d∂t
iω0 ε(ω0) e(t) +∂(εω)∂ω
∂e(t)∂t
.
Se il campo e fosse perfettamente sinusoidale, esso potrebbe essere scrittomediante la sua rappresentazione complessa introducendo il fasore E che,si ricorda, e legato al campo nel dominio del tempo dalla relazione
e(t) = Re[E eiω0t
],
nella quale il fasore E e un numero complesso indipendente dal tempo.Quando invece si tratta con segnali a banda stretta, si puo ancora imma-ginare di rappresentare il campo per mezzo di una notazione fasoriale,ma si deve ora lasciare ad E la liberta di essere una grandezza dipendentedal tempo, anche se con variazioni lente rispetto al periodo T = 2π/ω0.Le equazioni di Maxwell per questi fasori generalizzati si scrivono alloranella forma
∇× E = −iωµH − ∂(ωµ)∂ω
∂H∂t
,
∇× H = iωεE +∂(ωε)∂ω
∂E∂t
.
5.2. TEOREMA DI UNICITA 75
A partire da queste equazioni si possono a questo punto ripetere tuttii passaggi che erano serviti per la derivazione del teorema di Poyntingnel dominio della frequenza e, notando che si e ora immaginato di esserein un mezzo privo di perdite e di sorgenti, ottenere infine la seguenteespressione
o∫
SPR · n dS +
∂
∂t
∫V
(∂(ωµ)
∂ω
|H|24
+∂(ωε)∂ω
|E|24
)dV = 0 ,
che rappresenta ancora una conservazione della potenza, e nella qualel’integrale di volume puo essere identificato con l’energia elettromag-netica contenuta nel mezzo dispersivo nel caso di un segnale a bandastretta.
5.2 Teorema di unicita
Una volta che si sia data una formulazione matematicamente correttaal problema dell’elettromagnetismo, e importante capire se questo am-mette soluzioni e se, quando cio accade, le soluzioni trovate sono unicheo meno. Per cio che concerne l’esistenza delle soluzioni, essa verra quidata per scontata dal momento che le equazioni con cui si sta trattandosono equazioni che descrivono fenomeni fisici che l’esperienza dimostraessere esistenti. Piu importante e invece il problema dell’unicita dellesoluzioni perche si puo essere sicuri di aver descritto in maniera com-pleta tutti gli aspetti dei fenomeni fisici in oggetto solo quando si e ingrado di affermare con certezza che la soluzione che si e trovata e l’unicapossibile.
Da un punto vista matematico, il problema si pone come segue: leequazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali el’unicita delle loro soluzioni dipende quindi dalle condizioni al contornoche ad esse vengono applicate.
Si devono distinguere i casi delle equazioni nel dominio del tempo edin quello della frequenza: nel dominio del tempo, infatti, le condizionial contorno da applicare sono di due diversi tipi. Un primo tipo, che epiu correttamente indicato con il termine di condizioni iniziali, specificai valori che il campo assume nell’istante iniziale a partire dal quale essoviene calcolato. In aggiunta a queste condizioni vi sono poi delle vere eproprie condizioni al contorno, che sono quelle cui il campo deve soddis-fare sulla superficie S che delimita il volume V in cui esso e definito. In
76 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
particolare, se il volume V e un volume finito, lo studio delle equazionidi Maxwell viene indicato con la dicitura di problema interno, mentrenel caso contrario, quello in cui V si estende all’infinito, si usa dire cheil problema e un problema esterno. Per cio che concerne le equazioninel dominio della frequenza, infine, le uniche condizioni da imporre sonoquelle al contorno giacche i campi sono sinusoidali e cioe esistenti datempo infinito, e la nozione di condizione iniziale perde quindi di signi-ficato.
Scopo del presente paragrafo e dunque quello di illustrare quali sianole condizioni iniziali e/o le condizioni al contorno che devono essere ap-plicate alle equazioni di Maxwell per garantirne l’unicita delle soluzioni.
5.2.1 Dominio del tempo
Si consideri per il momento il caso del problema interno. Si dimostra orache, se lo studio delle equazioni viene affrontato nel dominio del tempo,la soluzione e unica quando sono determinate in maniera univoca leseguenti grandezze:
1. le correnti impresse ji;
2. il campo elettromagnetico nell’istante iniziale in ogni punto delvolume V : e(P, t = 0), h(P, t = 0), ∀P ∈ V ;
3. la componente tangente del campo elettrico oppure del campo ma-gnetico in ogni punto P del contorno S per ogni istante di tempot ≥ 0: etan(P, t ≥ 0) o htan(P, t ≥ 0), ∀P ∈ S.
Dimostrazione
La dimostrazione procede per assurdo: si suppone che esistano duesoluzioni e1,h1, e e2,h2, entrambe soddisfacenti alle tre ipotesisopra esposte, e si dimostra che se esse non coincidono si realizza unassurdo. Infatti, si indichi con
e ≡ e1 − e2 , h ≡ h1 − h2 ,
la differenza tra le due soluzioni e1,h1, ed e2,h2. Attesa la lin-earita delle equazioni di Maxwell, il campo e,h e ancora un campoelettromagnetico, ora alimentato da sorgenti nulle dal momento che, per
5.2. TEOREMA DI UNICITA 77
ipotesi, sia e1,h1 sia e2,h2 sono sostenuti dalle stesse sorgenti ji.Si applichi ora il teorema di Poynting al campo e,h: si ottiene cosi
0 =∂
∂t
∫V
(ε|e|2
2+
µ|h|22
)dV +
∫V
γ|e|2 dV + o∫
S(e × h) · n dS .
L’ipotesi 3. sopra esposta afferma che per entrambi i campi e1,h1ed e2,h2 e nota la componente tangente del campo elettrico o delcampo magnetico sul contorno S; ne segue che etan(P, t ≥ 0) ≡ 0 ohtan(P, t ≥ 0) ≡ 0 in ogni punto P ∈ S. Si consideri allora il terzoaddendo alla destra dell’uguale nell’ultima equazione scritta, quello checoinvolge il flusso del vettore di Poynting. Dal momento che in questo vie l’operazione di prodotto interno per il versore n che e ortogonale allasuperficie S, le uniche componenti di campo che contano sono le compo-nenti del campo elettrico e del campo magnetico che risultano tangentia S. In virtu del fatto che almeno una di esse e nulla, si puo allora affer-mare che il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie S nonda contributo al bilancio di potenze espresso dal teorema di Poynting,che si semplifica dunque nella forma
∂
∂t
∫V
(ε|e|2
2+
µ|h|22
)dV = −
∫V
γ|e|2 dV .
Si integrino ora entrambi i membri di questa espressione rispetto allacoordinata temporale nell’intervallo di tempo compreso tra l’istante in-iziale ed un generico istante t0. Si ottiene:[∫
V
(ε|e|2
2+
µ|h|22
)dV
]t=t0
−[∫
V
(ε|e|2
2+
µ|h|22
)dV
]t=0
=
= −∫ t=t0
t=0dτ
∫V
γ|e(P, τ)|2 dV .(5.6)
Il secondo addendo al primo membro, cioe il valore dell’integrale di vol-ume nell’istante t = 0 e nullo perche, in virtu dell’ipotesi 2., e(P, t =0) ≡ h(P, t = 0) ≡ 0 in ogni punto P ∈ V . Se il campo e,h non fosseidenticamente nullo, ovvero se e1,h1 non coincidesse con e2,h2 sisarebbe allora realizzato un assurdo: la quantita al primo membro della(5.6) sarebbe infatti una quantita strettamente positiva, mentre quellaal secondo membro sarebbe strettamente negativa. L’unico modo in
78 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
cui queste due quantita possono coincidere e che il campo e,h sia uncampo identicamente nullo, ovvero che e1,h1 coincida con e2,h2,come si voleva dimostrare.
5.2.2 Dominio della frequenza
In analogia a quanto fatto nel caso dei campi definiti nel dominio deltempo, per il momento si consideri ancora il caso del problema interno.Si intende dimostrare che la soluzione delle equazioni di Maxwell e unicase sono rispettate le seguenti ipotesi:
1. sono note le sorgenti del campo Ji;
2. e nota la componente tangente del campo elettrico oppure delcampo magnetico in ogni punto della superficie S che contornail volume di definizione del campo: Etan(P ) oppure Htan(P ) inogni punto P ∈ S;
3. il dielettrico racchiuso nel volume V deve avere perdite, indiffer-entemente dal fatto che queste vengano da fenomeni dissipativilegati ad una conducibilita γ = 0, o da fenomeni di isteresi, rappre-sentati da costanti ε e µ complesse, con parte immaginaria diversada zero.
Dunque, come gia anticipato in precedenza, non vi e piu un’ipotesi checoinvolga il valore del campo nell’istante iniziale, istante che, d’altraparte, non avrebbe nemmeno piu senso definire, ma vi e invece unacondizione che riguarda il fatto che il mezzo materiale non puo essereprivo di perdite. La ragione fisica alla base di questa condizione verrachiarita nel seguito.
Dimostrazione
La dimostrazione procede per assurdo di pari passo con quella eseguitanel caso dei campi nel dominio del tempo. Si definisce il campo differenzaE,H = E1−E2,H1−H2 e si applica ad esso il teorema di Poynting;si ottengono in tal modo le due relazioni
0=∫
Vγ|E|22
dV + 2ω
∫V
(µI |H|2
4+
εI |E|24
)dV + o
∫SPR · n dS (5.7)
5.2. TEOREMA DI UNICITA 79
0=2ω
∫V
(µR|H|2
4− εR|E|2
4
)dV + o
∫SPI · n dS , (5.8)
nelle quali il primo membro e nullo perche entrambi i campi E1,H1 edE2,H2 sono sostenuti dalle medesime sorgenti Ji e la loro differenzaha quindi sorgenti nulle. Inoltre, in virtu dell’ipotesi 2. sopra esposta,si annullano anche i contributi che coinvolgono il flusso del vettore diPoynting e le relazioni (5.7,5.8) si semplificano dunque nella forma
0 =∫
Vγ|E|22
dV + 2ω
∫V
(µI |H|2
4+
εI |E|24
)dV , (5.9)
0 = 2ω
∫V
(µR|H|2
4− εR|E|2
4
)dV . (5.10)
Si consideri ora la prima di queste due relazioni, la (5.9): essa si presentanella forma di una somma di tre contributi, ognuno dei quali intrinse-camente non negativo dal momento che, come mostrato nel paragrafo5.1.2, nei mezzi passivi vale γ > 0 e µI , εI > 0 per ω > 0.
Vi sono allora due diverse situazioni da prendere in considerazione.La prima e quella di un mezzo che, come nelle ipotesi, presenti delleperdite. Dalla (5.9) e evidente che in questo caso, indifferentemente dalfatto che le perdite siano di tipo dissipativo o isteretico, l’uguaglianzapuo essere soddisfatta se e solo se E ≡ H ≡ 0, e questo prova allora ilteorema, perche assicura che i campi E1,H1 ed E2,H2 coincidono.
La seconda situazione da considerare e invece quella di un mezzoprivo di perdite, ovvero con γ = εI = µI = 0. In questo caso la (5.9)si riduce ad una identita banale, ma la (5.10) mostra invece che vi puoessere una soluzione non identicamente nulla, ovvero il campo puo nonessere univocamente determinato, a patto che risulti
∫V
µR|H|24
dV =∫
V
εR|E|24
dV .
Fisicamente, questa relazione si legge come segue: il campo non e uni-vocamente determinato se l’energia magnetica media immagazzinata nelvolume V in un suo periodo coincide con l’energia elettrica media. Sitratta dunque di un campo risonante il cui equivalente a parametri con-centrati e un circuito del tipo di quello indicato in Fig.(5.1): infatti,come e ben noto dall’elettrotecnica, in un circuito siffatto puo esistere un
80 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
campo non sorretto da alcuna sorgente, e questo ha la caratteristica chel’energia ad esso associata viene continuamente scambiata tra l’induttoreed il condensatore con una frequenza caratteristica che dipende dai va-lori di L e C. L’equivalente a parametri concentrati del caso di mezzocon perdite e invece schematizzato dal circuito di Fig.(5.1.b) nel quale ilresistore rappresenta il meccanismo di perdita, qui pensata di tipo dissi-pativo. In questo circuito non puo evidentemente esistere alcun camposorretto da sorgenti nulle perche il resistore dissipa l’energia al passaredel tempo.
a) b)
Figura 5.1: Equivalenti a parametri concentrati dei mezzi considerati nelladimostrazione del teorema di unicita.
5.2.3 Condizioni di radiazione
Sino a questo momento si sono dimostrati i teoremi di unicita nei duedomini di rappresentazione facendo riferimento al caso del problemainterno. L’estensione al caso del problema esterno e tuttavia semplicesia nel caso dell’unicita nel dominio del tempo, sia in quello nel dominiodella frequenza, e viene esposta qui di seguito.
Da un punto di vista formale, cio che cambia nel passare dal casodel problema interno a quello del problema esterno e il fatto che, inquest’ultimo, non puo piu essere definita l’ipotesi che riguarda le com-ponenti tangenti del campo sul contorno del volume di definizione dalmomento che quando questo va all’infinito non ha nemmeno piu sensoparlare di una superficie che racchiuda il volume.
Per comprendere come si debbano modificare le ipotesi iniziali e al-lora opportuno ricordare come la condizione sulla superficie S era stata
5.3. TEOREMA DI EQUIVALENZA 81
utilizzata nel corso della dimostrazione relativa al caso interno: essa eraservita per poter affermare che il flusso del vettore di Poynting attraversola superficie S era nullo. Ora, il caso del problema esterno puo esserepensato come il caso limite di una successione di problemi interni neiquali la superficie che racchiude il volume di definizione del campo euna sfera il cui raggio r tende all’infinito. Quando si calcola il flusso delvettore di Poynting in questa successione di casi, ci si trova quindi adaffrontare un problema nel quale l’integrale e esteso ad una superficieche diverge con il quadrato del raggio e se si vuole essere certi che altendere di r → ∞ vi sia un flusso del vettore di Poynting comunquenullo, e dunque necessario che risulti
limr→∞ r2|P(r)| = 0 . (5.11)
Occorre tuttavia notare che per come si e deciso di interpretare il prob-lema esterno, il campo elettromagnetico che e presente sulla superficiesferica che diverge puo essere pensato come il campo irradiato a grandedistanza da un opportuno insieme di sorgenti e nel seguito si vedra che,indipendentemente da come queste sono fatte, il campo elettrico e quellomagnetico tendono a diventare l’uno proporzionale all’altro, e a disporsiin modo da formare una terna trirettangola con il versore radiale di unsistema di coordinate sferiche centrato nelle sorgenti stesse. La relazione(5.11) si traduce dunque nelle seguenti condizioni, dette condizioni di ra-diazione di Sommerfeld, per il campo elettrico e per il campo magnetico
limr→∞ r|E| = lim
r→∞ r|H| = 0 . (5.12)
Il teorema di unicita per il problema esterno si enuncia dunque sos-tituendo, tanto nel caso del dominio della frequenza quanto in quello deltempo, le ipotesi sulle componenti tangenti con la condizione (5.12).
5.3 Teorema di equivalenza di Love
Questo teorema e la formulazione rigorosa del principio noto in otticacon il nome di principio di Huygens, il quale afferma che quando si in-tende analizzare la propagazione di un’onda in una determinata regionedello spazio, invece che impostare lo studio a partire dalle vere sorgentidel campo elettromagnetico, si puo considerare un fronte d’onda, cioeuna superficie chiusa che circonda le sorgenti, e supporre che da ogni
82 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
elemento di questa superficie si irradi una onda sferica con ampiezza efase opportune. In sostanza, il principio afferma che si puo sostituire allevere sorgenti del campo un insiseme di sorgenti fittizie per poi ricostruireil campo totale come sovrapposizione delle singole onde dovute a questesorgenti fittizie.
Chiaramente, cosi come e enunciato il principio non da alcuna infor-mazione costruttiva per la risoluzione delle equazioni di Maxwell, percheesso non specifica quale legame intercorra tra le sorgenti vere e quellefittizie. Scopo del presente paragrafo e quello di illustrare questo punto,ovvero di chiarire come si possano costruire le sorgenti fittizie a partire daquelle vere. Si noti che, una volta che questo sara stato fatto, il teoremadi equivalenza rappresentera uno strumento di grande utilita perche essofornira un metodo di risoluzione delle equazioni di Maxwell nel quale vie completa liberta per cio che riguarda la scelta della superficie su cuidisporre le sorgenti fittizie.
Da un punto di vista pratico, cio significa che in ogni problema dipropagazione elettromagnetica e sempre possibile sostituire le sorgenti,per quanto complicate esse siano, con altre sorgenti definite su quellasuperficie dello spazio che, di volta in volta, permette la massima sem-plificazione dei calcoli. Si vedra altresi nel seguito che vi e un prezzo dapagare per ottenere queste semplificazioni, e questo e legato al fatto chele soluzioni che si possono trovare per mezzo del teorema di equivalenzasono soluzioni approssimate delle equazioni di Maxwell.
Ji = 0Mi = 0
nS
Re
Ri
Figura 5.2: Disposizione delle sorgenti nel teorema di equivalenza.
Con riferimento al caso delle equazioni nel dominio della rappresen-tazione complessa, si immagini allora di voler analizzare il comporta-mento di un campo E,H sorretto da un insieme di sorgenti Ji, Mi
5.3. TEOREMA DI EQUIVALENZA 83
che, in tutta generalita, possono essere di tipo sia elettrico sia magne-tico e si assuma che il dominio V in cui e definito il campo sia tale daassicurare l’unicita delle soluzioni del problema di Maxwell. Inoltre, siconsideri una superficie chiusa S, arbitraria, che racchiuda le sorgenti, esi supponga di voler trovare un insieme di sorgenti equivalenti a quelleoriginarie che, quando disposte sulla superficie S consentano di ottenere,nella regione esterna a S, lo stesso campo E,H cui danno luogo lesorgenti originarie. A tal fine, si dispongano su S le seguenti densita dicorrente superficiali:
JS = n × Htan , MS = Etan × n ,
dove n e la normale alla superficie S, orientata nel verso della regionenella quale si vuole provare l’equivalenza.
Il teorema di equivalenza afferma che se si dispongono queste sorgentifittizie su S e si “spengono” le vere sorgenti Ji ed Mi, si ottiene un campo
Eeq,Heq =
Ein,Hin nella regione Ri interna a S;
Eout,Hout nella regione Re esterna a S;
che e
1. identicamente nullo nella regione Ri interna a S: Ein,Hin ≡0, 0;
2. coincidente con il campo E,H generato dalle vere sorgenti nellaregione Re esterna a S: Eout,Hout ≡ E,H.
Dimostrazione
Si supponga che il teorema sia vero, e quindi che il campo che e generatodalle sorgenti fittizie sia effettivamente il campo Eeq,Heq specificatonelle ipotesi. Poiche si e supposto che il volume dello spazio nel qualee definito il campo e tale da assicurare l’unicita delle soluzioni, se sidimostra che questo campo:
• e una soluzione accettabile delle equazioni di Maxwell;
• rispetta tutte le condizioni al contorno;
84 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
si sara dimostrato che esso e l’unico campo che puo esistere e quindi, indefinitiva, si sara dimostrato il teorema.
Si consideri dunque dapprima il problema di determinare se il campoin oggetto e una soluzione accettabile delle equazioni di Maxwell. Percio che concerne la regione all’interno della superficie S va notato che,avendo posto Ji ≡ Mi ≡ 0, la regione e priva di sorgenti ed in essa ilcampo e quindi descritto dalle equazioni di Maxwell omogenee, che sonorisolte dal campo identicamente nullo Ein,Hin.
Analogamente, per cio che concerne l’esterno della superficie S, siverifica subito che Eout,Hout e una soluzione accettabile, semplice-mente perche in quella regione esso coincide, per ipotesi, con il campoE,H che e per definizione una soluzione delle equazioni di Maxwell.Dunque, l’intero campo Eeq,Heq e soluzione delle equazioni di Maxwell.
Si passi ora a considerare il problema delle condizioni al contorno,che sono due: le prime sono quelle che vanno applicate sulla superficieS; le seconde sono quelle che riguardano il bordo della regione V didefinizione del campo originario se tale bordo esiste, o le condizioni diradiazione di Sommerfeld se V diverge all’infinito.
nS
Re
γ
Per cio che concerne le prime, e sufficiente applicare la legge di cir-cuitazione di Ampere ad un percorso chiuso γ che intersechi la superficieS come indicato in figura; risulta infatti (si vedano anche le condizionidi continuita esposte nel capitolo 3):
n × (Hout,tan − Hin,tan) = densita di corrente elettrica superficiale ,
e poiche Hin ≡ 0, e Hout ≡ H, anche
n × Htan = densita di corrente elettrica superficiale .
5.3. TEOREMA DI EQUIVALENZA 85
La densita di corrente superficiale da considerarsi e quella che rappre-senta la sorgente elettrica fittizia, ovvero
densita di corrente elettrica superficiale = JS ,
e poiche, per ipotesi, questa e stata scelta proprio in modo che JS ≡n×H, non resta che concludere che il campo Heq rispetta la condizione alcontorno su S. In maniera del tutto analoga, per effetto della simmetrianelle equazioni di Maxwell deve poi risultare anche
n×(Eout,tan − Ein,tan) = −densita di corrente magnetica superficiale ,
ovvero
n × Etan = −densita di corrente magnetica superficiale ,
che e automaticamente verificata per la scelta che si e fatta per MS .Infine, per quanto concerne le condizioni al contorno sul bordo es-
terno della regione V (o le condizioni di radiazione di Sommerfeld), anchequeste sono automaticamente soddisfatte perche, per ipotesi, il campoEout,Hout coincide con E,H al di fuori di S.
In virtu dell’unicita della soluzione delle equazioni di Maxwell, ilcampo Eeq,Heq e dunque l’unica soluzione ammissibile e questa con-statazione dimostra il teorema.
5.3.1 Correnti assorbenti
Si supponga ora che sulla superficie S vengano fatte fluire delle correntiuguali ed opposte a quelle delle sorgenti equivalenti:
JA = −n × Htan , MA = −Etan × n .
Se le condizioni al contorno sul bordo del volume V sono invariantirispetto ad un cambio di segno nel campo elettrico e magnetico, ovverose esse risultano soddisfatte anche da −E,−H, e immediato verificareche le correnti JA,MA sostengono il campo
Ea,Ha = −Eeq,Heq =
0, 0 in Ri;
−E,−H in Re.
86 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Allora, se si suppone che siano contemporaneamente presenti sia le sor-genti JA,MA, sia le sorgenti originarie Ji,Mi, per il principio di sovrap-posizione degli effetti si trova che il campo totale presente nel volume Ve
Etot,Htot = Ea,Ha + E,H =
E,H in Ri;
0, 0 in Re.
Dunque, il campo coincide con quello di partenza all’interno della su-perficie S, ed e identicamente nullo al di fuori di essa: l’effetto dellecorrenti JA,MA e stato quello di “intrappolare” il campo all’internodella regione delimitata dalla superficie S e, per questa ragione, essesono dette correnti assorbenti.
5.3.2 Reversibilita del teorema
Il risultato appena mostrato si presta tuttavia anche ad un’altra inter-pretazione: si puo infatti immaginare di essere partiti dallo studio diun generico campo sorretto dalle sorgenti Ji,Mi e di aver cercato diapplicare il teorema di equivalenza alla regione Ri interna ad S.
Infatti, ai fini della dimostrazione esposta in precedenza, in questocaso si sarebbero dovuto spegnere le sorgenti nella regione Re, dove inrealta esse sono gia nulle, e sostituire il loro effetto su S con le sorgentifittizie JA,MA; si noti a questo proposito che le sorgenti fittizie sonoproprio le JA,MA e non le JS ,MS perche nelle ipotesi del teorema lasuperficie S deve essere orientata da una normale che “punta” verso laregione nella quale si vuole applicare l’equivalenza, qui la Ri, mentre ilversore n che si sta ora utilizzando e diretto verso l’esterno di S.
Il teorema avrebbe allora fornito il seguente risultato: il campo enullo nella regione esterna a S, ed identicamente coincidente con quellogenerato dalle sorgenti vere all’interno di S. Questo e esattamente ilrisultato ottenuto con l’introduzione delle correnti assorbenti, e la suavera importanza non risiede tanto nell’aspetto puramente geometricolegato alle regioni interne ed esterne a S, quanto piuttosto nel fatto che,per quanto e stato mostrato adesso, il teorema puo essere applicato anchea regioni dello spazio che contengano delle sorgenti. Di piu, se si decidedi orientare sempre la normale n verso la regione all’interno della quale sivuole applicare l’equivalenza, si e anche provato che l’insieme di sorgentifittizie da applicare ha sempre la forma JS = n × H e MS = E × n.
5.3. TEOREMA DI EQUIVALENZA 87
5.3.3 Osservazioni e corollari
1. In una forma alternativa, estremamente utile perche consente dieliminare una delle due sorgenti JS o MS , il teorema di equivalenzapuo anche essere dimostrato sulla base del fatto che per poterinvocare l’unicita non e necessaria la conoscenza delle componentitangenti di entrambi i campi elettrico e magnetico, ma e invecesufficiente una sola delle due.
Si immagini allora di voler applicare l’equivalenza alla regione es-terna alla superficie S e si supponga di operare come segue: simodifichi la regione interna ad S sostituendola con un conduttoreelettrico perfetto, e si applichi su di essa la sola densita di correntemagnetica MS = E × n. E immediato verificare che il teorema diequivalenza puo ancora essere dimostrato, essenzialmente perche ladensita di corrente cosi definita fa ancora si che vengano rispettatele condizioni al contorno per E su S e, come menzionato in prece-denza, cio e sufficiente per poter applicare i risultati del teoremadi unicita.
In una forma duale poi, si puo anche immaginare di sostituire laregione interna ad S con un mezzo che, idealmente, si comporticome un conduttore magnetico perfetto, e far fluire sulla sua su-perficie la densita di corrente elettrica JS = n × H. Anche inquesto caso, il teorema puo essere dimostrato in virtu delle ipotesirichieste dal teorema di unicita.
2. La formulazione del teorema che e stata appena proposta consentedi costruire una perfetta corrispondenza con il teorema di sosti-tuzione introdotto nei corsi di elettrotecnica.
Ri R
e
V0
I0
Figura 5.3: Schema di principio di una rete elettrica.
88 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Per illustrare come cio posa essere fatto, si immagini che sia as-segnata una rete elettrica, e che sia possibile isolare al suo internouna regione che contenga solo generatori ideali di corrente e/o ditensione. Si indichi con Ri questa regione, e con Re la sua com-plementare (si veda la Fig.(5.3)). Ora, si assuma di aver risolto larete, cioe di aver determinato la tensione a la corrente che e pre-sente in ogni nodo e ramo della rete e, in particolare, si indichinocome V0 ed I0 la tensione e la corrente ai morsetti di connessionetra le regioni Ri e Re.
Il teorema di sostituzione afferma che nulla cambia nella regioneRe se si chiudono in cortocircuito i morsetti che connettono questaregione alla regione Ri e si introduce al loro posto un generatoreideale di tensione che imponga il valore V0 (si veda la Fig.(5.4)).
Ri R
e
V0
Figura 5.4: Teorema di sostituzione: vengono cortocircuitati i morsetti, e vieneintrodotto un generatore ideale di tensione.
La corrispondenza con il teorema di equivalenza che si sta discu-tendo e allora provata: il corto circuito ideale dell’elettrotecnicanon e altro che il conduttore elettrico perfetto che racchiude laregione Ri, mentre il generatore ideale di tensione e l’equvalentea parametri concentrati della densita di corrente magnetica MS .In maniera analoga, si possono poi provare le corrispondenze congli altri casi discussi piu sopra. Ad esempio, il caso del conduttoreelettrico perfetto e della densita di corrente elettrica JS e quelloche, nell’elettrotecnica, sarebbe enunciato come segue: nulla cam-bia nella regione Re se i morsetti di connessione tra Ri ed Re
vengono aperti e, contemporaneamente, viene introdotto al loroposto un generatore ideale di corrente che imponga il valore I0 (siveda la Fig.(5.5)).
L’ultimo caso, infine, e quello nel quale non viene modificata latopologia della rete, e cioe non viene modificata la regione Ri medi-
5.3. TEOREMA DI EQUIVALENZA 89
Ri R
e
I0
Figura 5.5: Teorema di sostituzione: vengono aperti i morsetti, e viene in-trodotto un generatore ideale di corrente.
ante introduzione di conduttori perfetti: in questo caso, il teoremadi sostituzione afferma che nulla cambia nella regione Re se, ai suoimorsetti di connessione con Ri vengono introdotti contemporanea-mente sia il generatore ideale di tensione sia quello di corrente (siveda la Fig.(5.6)).
Ri R
e
V0
I0
Figura 5.6: Teorema di sostituzione: non viene modificata la rete, e vengonointrodotti due generatori ideali.
3. Come si evince anche dagli esempi precedenti, il teorema di sos-tituzione e uno strumento utile perche consente di semplificare icalcoli, ma esso non da una procedura costruttiva per la soluzionedi una rete elettrica. Essenzialmente, cio e dovuto al fatto che, se sivuole sostituire una porzione di una rete con un generatore di ten-sione o di corrente, e necessario conoscere il valore della tensione odella corrente nel ramo della rete nel quale si intende operare la sos-tituzione. In altre parole, per operare la sostituzione, e prima nec-essario risolvere la rete. Nell’ambito dei campi elettromagnetici, lostesso problema si ripresenta in maniera del tutto analoga: infatti,quelle che sono state indicate come sorgenti equivalenti, e che sonostate intese e trattate come se fossero dei termini noti, sono inrealta delle incognite dal momento che esse dipendono dai valori
90 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
di E e H che, per l’appunto, sono le incognite di ogni problema dipropagazione. Detto cio, ci si potrebbe allora lecitamente doman-dare per quale ragione sia necessario o utile introdurre e dimostrareil teorema di equivalenza. La risposta a questo quesito risiede nelfatto che, come sottolineato in precedenza, vi e totale liberta nellascelta della superficie su cui applicare le sorgenti equivalenti. Inpratica, cio significa che si puo scegliere di applicare il teoremacon riferimento a superfici sulle quali si possa stimare il valoredel campo con ragionevole cura senza dover veramente risolverel’intero problema della propagazione.
S1S2
Figura 5.7: Schema di un esperimento di diffrazione.
Un tipico caso nel quale si evidenzia questo tipo di utilizzo e, adesempio, quello rappresentato dal calcolo del campo diffratto dauna apertura praticata in uno schermo opaco (si veda la Fig.(5.7)).A rigore, il campo diffratto dovrebbe essere calcolato risolvendo leequazioni di Maxwell tanto nella regione S1 quanto nella S2, rac-cordando le due attraverso le condizioni al contorno da applicarsisulla superficie dello schermo opaco. Tuttavia, quando la fenditurache da luogo alla diffrazione e sufficientmente piccola, e possibileipotizzare il valore che il campo ha su di essa (ad esempio, immag-inando che tale campo sia la porzione dell’onda sferica centratanella sorgente che non viene intercettata dallo schermo) e pro-cedere poi al calcolo del campo diffratto utilizzando questo cometermine di sorgente equivalente.
Dunque, come si accennava nell’introduzione al teorema, questo
5.4. TEOREMA DI RECIPROCITA 91
modo di procedere puo senz’altro consentire di semplificare i cal-coli, ma e bene tenere a mente che esso fornisce dei risultati ap-prossimati perche fa uso di una stima del campo come punto dipartenza.
5.4 Teorema di reciprocita di Lorentz
Scopo di questo teorema e quello di mettere in relazione le proprieta dicampi che coesistono nella stessa regione dello spazio e che sono generatida diversi insiemi di sorgenti. Il teorema viene enunciato e dimostratonel dominio dei vettori complessi, e con riferimento ad un numero dicampi interagenti pari a due.
Si considerino dunque due insiemi di sorgenti, Ji1,Mi1 e Ji2,Mi2 esi supponga che essi irradino in una stesso volume V dello spazio i campiE1,H1 e E2,H2, rispettivamente soluzione di
∇× E1 = −iωµH1 − Mi1 , (5.13)
∇× H1 = iωεCE1 + Ji1 , (5.14)
e di
∇× E2 = −iωµH2 − Mi2 , (5.15)
∇× H2 = iωεCE2 + Ji2 , (5.16)
nelle quali i parametri costitutivi εC e µ sono gli stessi, perche i duecampi sono definiti nello stesso volume. Si assuma inoltre che valganole seguenti ipotesi:
1. il volume V e sede di un mezzo lineare ed isotropo;
2. se il volume V si estende fino all’infinito, i campi definiti al suointerno rispettano le condizioni di radiazione di Sommerfeld. Seinvece V e un volume finito, racchiuso dalla superficie S, su questasuperficie vale la seguente condizione al contorno:
Etan,i = Z Htan,i × n , i = 1, 2 ,
dove n e la normale alla superficie S, mentre il parametro Z, che hale dimensioni di Ohm, prende il nome di impedenza di parete. Il sig-nificato fisico di questa grandezza puo apparire al momento oscuro,
92 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
e verra chiarito nel seguito. Per il momento, basti ricordare che alfine di dimostrare il teorema in oggetto nel caso di un problemainterno, e necessario che il bordo del volume di definizione “im-ponga” la relazione che deve esistere tra il campo magnetico ed ilcampo elettrico, indipendentemente da come questi sono generati.
Il teorema afferma che, quando sono verificate queste ipotesi, lareazione del campo E1,H1 sulle sorgenti Ji2,Mi2 coincide con lareazione del campo E2,H2 sulle sorgenti Ji1,Mi1. Matematicamente:∫
V
(Ji2 · E1
2− Mi2 · H1
2
)dV =
∫V
(Ji1 · E2
2− Mi1 · H2
2
)dV .
(5.17)
Dimostrazione
Si moltiplichino scalarmente l’equazione (5.13) per H2, la (5.14) per E2,la (5.15) per H1 e la (5.16) per E1. In seguito si esegua la somma alge-brica membro a membro delle quattro equazioni cosi ottenute, prendendocon segno positivo quelle che contengono i rotori del campo E1,H1,e con il segno negativo quelle che contengono i rotori di E2,H2. Siottiene:
nella quale il primo membro coincide con ∇ · (H1 ×E2 −H2 ×E1). La(5.18) esprime una uguaglianza tra funzioni di punto, ed essa rimanequindi valida anche quando si calcola l’integrale esteso a V di entrambii membri. Applicando il teorema di Gauss alla sinistra dell’uguale siottiene allora
o∫
S
(E1 × H2
2− E2 × H1
2
)· n dS =
∫V
(E2 · Ji1
2− H2 · Mi1
2
)dV +
−∫
V
(E1 · Ji2
2− H1 · Mi2
2
)dV . (5.19)
Si faccia ora uso della regola della permutazione ciclica del prodottomisto, applicandola ai termini al primo membro della (5.19): in virtudell’ipotesi 2. sopra esposta e allora immediato verificare che tale mem-bro si annulla, ed il teorema e dimostrato.
5.4. TEOREMA DI RECIPROCITA 93
5.4.1 Osservazioni e corollari
1. Da un punto di vista pratico, il significato del teorema e il seguente:si supponga che, in un determinato momento, una sorgente Ji1
stia irradiando un campo E1,H1 in una regione dello spaziodove una diversa sorgente Ji2 sta irradiando il campo E2,H2.Il teorema afferma che i valori che assume il campo E1,H1 nonpossono essere indipendenti da quelli assunti dal campo E2,H2,perche deve valere la relazione (5.17). Il teorema rappresenta unaversione generalizzata di un analogo teorema visto nei corsi di elet-trotecnica. Anche in quella sede si usa infatti definire il concettodi reciprocita che, in sostanza, afferma quanto segue: quando inuna rete elettrica vengono scambiati tra di loro un amperometroed un generatore di tensione (o, dualmente, un voltmetro ed ungeneratore di corrente), la lettura dell’amperometro non cambia.
2. Si immagini di applicare il teorema ad una regione dello spaziofinita, priva di sorgenti, e contornata da un superficie chiusa Sarbitraria, ovvero non necessariamente tale che su di essa valgal’ipotesi 2. sopra esposta. In questo casi il teorema fornisce ancorauna nozione di reciprocita, che si esprime ora nella forma di unauguaglianza tra integrali di superficie. Infatti, dalla (5.19) discendeimmediatamente
o∫
S
E1 × H2
2· n dS = o
∫S
E2 × H1
2· n dS .
3. Si e dimostrato il teorema supponendo che il campo sia definito inuna regione dello spazio isotropa, ovvero caratterizzata da costantiε, µ e γ scalari. Tale ipotesi e tuttavia solo sufficiente, ma non nec-essaria nel senso che non e detto che ogni mezzo anisotropo violila reciprocita. In particolare, si dimostra che il teorema vale an-cora in presenza di anisotropie a patto che quando i parametricostitutivi vengono descritti in un sistema di riferimento ortogo-nale reale, i rispettivi tensori si presentino nella forma di matricidiagonali. Mezzi con queste caratteristiche sono, ad esempio, imezzi birifrangenti, nei quali D ed E sono tra loro allineati, ma ilvalore numerico della costante che lega i due campi dipende dalladirezione di allineamento. Per contro, una classe di mezzi nei qualenon vale la reciprocita e costituita dall’insieme dei mezzi girotrop-ici cui appartengono, ad esempio, le ferriti che proprio in virtu
94 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
di questa loro caratteristica trovano impiego nella realizzazione diparticolari dispositivi non reciproci quali ad esempio i rotatori diFaraday e gli isolatori.
4. Occorre prestare attenzione al fatto che la reazione non va confusacon una potenza complessa: infatti, nella reazione vi e il prodottoscalare tra un campo elettrico ed una densita di corrente, nontra il campo ed il complesso coniugato della densita di corrente.E facile verificare che se si tenta di dimostrare il teorema con lepotenze invece che con le reciprocita, si ottiene il risultato (5.17)solo se γ ≡ 0. Sarebbe pero sbagliato ritenere che il teoremavalga allora se il mezzo e privo di perdite: si tratta in realta diun teorema non fisico, perche esso varrebbe solo in questo caso,ovvero rappresenterebbe un risultato che non puo essere ottenutocon continuita analizzando il comportamento di una successionedi casi relativi a mezzi con perdite via via piu piccole, cioe conγ → 0.
5.5 Teorema di dualita
Quando si sono dimostrate le condizioni di continuita per i campi allesuperfici di discontinuita tra due mezzi materiali si sono introdotte dellegrandezze fittizie, le densita di carica e di corrente magnetica, sottoline-ando come queste venissero definite al solo scopo di rendere le equazionidi Maxwell simmetriche sia dal punto di vista delle incognite che in essecompaiono, sia da quello delle sorgenti. Con l’introduzione di questitermini le equazioni risultano infatti
∇× E = −iωµH − Mi , (5.20)∇× H = iωεCE + Ji . (5.21)
Il teorema che si suole indicare con il nome di teorema di dualita e,in realta, la seguente osservazione. Si supponga che E,H sia unasoluzione delle equazioni (5.20,5.21). E immediato verificare che se sieseguono le seguenti trasformazioni formali
Ed = −H , Hd = E , Jdi = −Mi , Mdi = Ji ,
εdC = µ , , µd = εC ,
5.6. TEOREMA DI SCOMPOSIZIONE 95
il nuovo campo Ed,Hd, che prende il nome di campo duale, e ancorauna soluzione delle equazioni di Maxwell, anche se queste si riferisconoad un mezzo diverso da quello originale, e con sorgenti diverse (duali)rispetto a quelle originarie.
Il teorema puo al momento apparire come una pura curiosita formale,senza alcuna utilita pratica. Nell’affrontare la teoria delle antenne sivedra invece che esso consente la rapida determinazione dell’andamentodel campo elettromagnetico in un caso di notevole interesse. Infatti,quando si intraprendera lo studio delle antenne, uno dei primi calcoliche si impareranno a fare sara quello relativo al campo irradiato da undipolo elettrico. In seguito, si studiera poi l’antenna a spira di correntemostrando che la spira e elettricamente equivalente ad un dipolo ma-gnetico di opportuna orientazione. Sulla scorta dei risultati del teoremaappena esposto, il calcolo del campo irradiato dalla spira sara alloraimmediato: per dualita bastera infatti considerare il campo irradiatodal dipolo elettrico e scambiare formalmente tra loro le espressioni delcampo elettrico e di quello magnetico.
5.6 Teorema di scomposizione
Questo teorema, che viene qui solo enunciato e non dimostrato, si ap-plica al caso della propagazione in regioni dello spazio lineari, omogenee,isotrope e prive di sorgenti.
Si supponga dunque che in una regione con queste caratteristichesia presente un campo elettromagnetico E,H: il teorema afferma che,scelta ad arbitrio una direzione dello spazio individuata dal versore a, esempre e comunque possibile scomporre il campo E,H nella forma
E,H = EL,HL + ET ,HT ,
dove EL,HL ed ET ,HT sono soluzioni delle equazioni di Maxwelltali che
EL · a ≡ 0 , HT · a ≡ 0 .
ed esse vengono rispettivamente indicate con i nomi di
EL,HL : campo trasverso elettrico (TE),ET ,HT : campo trasverso magnetico (TM).
Il teorema afferma inoltre che i campi TE e TM possono essere ot-tenuti mediante opportune operazioni di calcolo vettoriale a partire da
96 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
due soluzioni indipendenti, dette prepotenziali, dell’equazione di Hel-moltz scalare omogenea:
∇2L − σ2L = 0 , ∇2T − σ2T = 0 .
Da un punto di vista fisico il significato del teorema e il seguente:quando la propagazione ha luogo in un mezzo omogeneo, isotropo, privodi sorgenti e lineare, sono sufficienti due funzioni scalari per determinarecompletamente l’intero campo elettromagnetico. A priori, questo risul-tato non e ovvio, dal momento che il numero di incognite del problemadi Maxwell e pari a sei, e si sta invece qui affermando che esso puo essereridotto sino a due e che le rimanenti quattro possono poi essere ricavatea partire da queste due.
Si noti a tal proposito che, quando si era illustrata la procedura dirisoluzione delle equazioni di Maxwell basata sul formalismo del poten-ziale vettore magnetico, e si era visto che, con la scelta di Lorentz,l’equazione da risolvere si scriveva nella forma
∇2A − σ2A = −µJi ,
ed essa conteneva dunque tre incognite scalari. E allora ragionevolechiedersi come sia stato possibile diminuire ulteriormente il numero diincognite, fino a farle diventare soltanto due. La risposta a questo que-sito risiede nel fatto che nel problema che si sta esaminando ora vale peripotesi Ji ≡ ρ ≡ 0 e cio implica che
∇ · A = 0 .
Si puo dimostrare che la riduzione del numero delle incognite discendeda questa condizione.
5.7 Teorema delle immagini
Si consideri un mezzo omogeneo ed isotropo, sede di un campo E,Hsostenuto dall’insieme di sorgenti Ji,Mi. Si introduca una sistema diriferimento cartesiano ortogonale x, y, z e si esegua la trasformazionedi coordinate che rappresenta la riflessione dal piano z = 0, introducendole nuove variabili
x′ = x , y′ = y , z′ = −z .
5.7. TEOREMA DELLE IMMAGINI 97
E immediato verificare che nel nuovo sistema di coordinate il campo
E′,H′ :
Ex′ = −Ex
Ey′ = −Ey
Ez′ = Ez
,
Hx′ = Hx
Hy′ = Hy
Hz′ = −Hz
,
e soluzione delle equazioni di Maxwell con sorgenti
Ji′,Mi′ :
Jix′ = −Jix
Jiy′ = −Jiy
Jiz′ = Jiz
,
Mix′ = Mix
Miy′ = Miy
Miz′ = −Miz
.
La dimostrazione e banale: e sufficiente scrivere per esteso le equazioni diMaxwell nel sistema di coordinate cartesiane, e notare che esse risultanoinvarianti rispetto alla riflessione dal piano z purche i campi e le sorgentisiano modificati come nelle ipotesi.
5.7.1 Osservazioni e corollari
xy
z
E
H
J
Jm
Figura 5.8: Disposizione di campi e densita di corrente per l’illustrazione delteorema delle immagini.
Il teorema illustra il fatto che se il campo E,H e del tipo di quelloindicato in Fig.(5.8), la nuova soluzione e l’immagine riflessa dal pi-ano z = 0 secondo le relazioni sopra illustrate, ed essa risulta come inFig.(5.9).
Se ora si considera il campo Etot,Htot=E,H+E′,H′ si ha, sulpiano z = 0
Etot,x = 0 , Etot,y = 0 , Htot,z = 0 ,
98 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
xy
z
E
HJ
Jm
'
'
'
'
'
'
'
Figura 5.9: Immagine riflessa del campo di Fig.(5.8).
che sono le condizioni cui deve soddisfare un campo per essere compat-ibile con la presenza di un conduttore elettrico perfetto che metallizziil piano z = 0. Questa osservazione fornisce un risultato che puo es-sere utilizzato per il calcolo del campo prodotto da sorgenti poste inun semispazio omogeneo limitato da un piano conduttore (si veda laFig.(5.10)).
x
zJ
JJ
J ' J ' J '
Figura 5.10: Insieme delle sorgenti (vere piu fittizie) per un problema dipropagazione nel quale le sorgenti vere del campo siano in prossimita di unconduttore elettrico perfetto.
Esso e il campo Etot,Htot: infatti, questo campo e soluzione delleequazioni di Maxwell nel semispazio z > 0 in quanto costruito comesomma di due campi che sono entrambi soluzioni accettabili. Inoltre,poiche esso soddisfa le condizioni al contorno sul conduttore metallico,e, per unicita, l’unica soluzione ammissibile del problema di Maxwell inesame.
Come gia nel caso del teorema di dualita, anche il risultato appenaesposto trova un impiego di rilievo nell’ambito della teoria delle antenne,in quanto esso consente di calcolare in modo semplice il campo irradiato
5.8. RELAZIONI DI KRAMERS–KRONIG 99
da quelle antenne che lavorano a bassa frequenza in prossimita del suoloterrestre. Infatti, per ragioni che risulteranno chiare nel seguito, si vedrache, a bassa frequenza, il suolo tende a diventare elettricamente equiva-lente ad un conduttore metallico, modificando in tal modo le proprietadi radiazione di una antenna. Queste potranno tuttavia essere calcolatecon semplicita immaginando in un primo momento che l’antenna nonsi trovi in prossimita del suolo, per reintrodurre poi l’effetto del suoloutilizzando i risultati qui esposti.
5.8 Le relazioni di Kramers–Kronig
Nei capitoli precedenti si e menzionato il fatto che in un mezzo temporal-mente dispersivo i parametri costitutivi sono complessi, ovvero hanno siaparte reale sia parte immaginaria non identicamente nulle. Le relazionidi Kramers–Kronig, che sono l’oggetto del presente paragrafo, permet-tono di stabilire che le parti reale ed immaginaria non sono tra di loroindipendenti, ma risultano invece legate attraverso delle formule integraliche verranno ora dimostrate. In particolare, si trattera in esteso il casodi un mezzo non conduttore nel quale vi sia dispersione nella costantedielettrica, essenzialmente perche questo caso e quello di maggiore in-teresse pratico. L’estensione ai casi di mezzi conduttori o di mezzi conpermeabilita magnetica dispersiva sono lasciati al lettore come esercizi.
Per dimostrare le relazioni di Kramers–Kronig e innanzi tutto oppor-tuno richiamare il fatto che in un mezzo con dispersione del dielettrico,cioe tale che ε = ε(ω), i campi d(r, t) ed e(r, t) risultano legati da unarelazione non locale rispetto alla variabile temporale. Tralasciando ladipendenza dalle variabili spaziali, vale infatti
D(ω) = ε(ω)E(ω) ,
e quindi
d(t) =1√2π
∫ +∞
−∞dω D(ω) e−iωt =
1√2π
∫ +∞
−∞dω ε(ω)E(ω) e−iωt =
=1√2π
∫ +∞
−∞dω ε(ω) e−iωt 1√
2π
∫ +∞
−∞dT e(T ) eiωT .
Posto T = t − τ , vale allora anche
d(t) = ε0e(t) + ε0
∫ +∞
−∞G(τ)e(t − τ) dτ ,
100 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
dove1
G(τ) =12π
∫ +∞
−∞[εr(ω) − 1] e−iωτ dω .
Vi e ora una importante annotazione da fare: per effetto del principiodi causalita, ogni andamento fisicamente accettabile di εr(ω) deve esseretale che esso fornisca
G(τ) ≡ 0 , per τ < 0 ,
di modo che
d(t) = ε0e(t) + ε0
∫ +∞
0G(τ)e(t − τ) dτ ,
e quindi anche
εr(ω) = 1 +∫ +∞
0G(τ) eiωτ dω . (5.22)
Quest’ultima relazione che, si sottolinea, discende esclusivamente dalprincipio di causalita ed e quindi di carattere estremamente generale,e una relazione fondamentale perche, come si vedra nel prossimo para-grafo, essa conferisce ad εr(ω) delle importanti proprieta matematiche.
5.8.1 Proprieta di εr(ω)
1. Poiche d, e ∈ IR, segue G(τ) ∈ IR. E allora immediato dimostrareche
ε(−ω) ≡ ε∗(ω) . (5.23)
Dunque, la parte reale di ε e una funzione pari della frequenza,mentre la parte immaginaria e una funzione dispari. Si noti chequesto risultato e in accordo con quanto era stato affermato nelparagrafo 5.1.2 quando si era discusso del teorema di Poynting e siera osservato che, in base a sole considerazioni di tipo energetico,era necessario che la parte immaginaria di ε(ω) sia, per l’appunto,una funzione dispari della frequenza.
1Non si confonda εr(ω) con la parte reale di ε(ω). La εr(ω) e la permittivitadielettrica relativa, definita come il rapporto tra la permittivita assoluta e la permit-tivita del vuoto. Per evitare confusione nella notazione, quando si vorra indicare laparte reale o la parte immaginaria della permittivita si usera in questo paragrafo lanotazione Reεr e Imεr.
5.8. RELAZIONI DI KRAMERS–KRONIG 101
Una relazione piu generale della (5.23) puo essere derivata se siimmagina di prolungare la εr(ω) al corpo complesso, cioe se siimmagina che εr(ω) sia una funzione della variabile complessa ω =Reω + iImω. Si ottiene in tal caso
ε(−ω) ≡ ε∗(ω∗) .
2. Se il mezzo e non dispersivo, vale G(τ) = δ(τ) e quindi, dalla(5.22), εr(ω) ∈ IR. Anche in questo caso, e utile richiamare unfatto che era stato osservato nel corso dell’illustrazione del teoremadi Poynting: quando nei parametri costitutivi compare la parteimmaginaria, questa e la “traccia” della dispersione.
3. Se, come accade in un mezzo dielettrico, G(τ) → 0 per τ → ∞ e|G(τ)| < +∞, ∀τ , la funzione εr(ω) risulta analitica nel semipianoImω > 0.
4. Dal teorema del valore finale, si ha
limω→∞ εr(ω) − 1 =
(i
ω
)G(τ = 0+) +
(i
ω
)2 dG
∂τ
∣∣∣∣τ=0+
+
+(
i
ω
)3 d2G
∂τ2
∣∣∣∣∣τ=0+
+ · · · ,
e poiche non e fisicamente sensato immaginare che sia G(τ = 0−) =0 e G(τ = 0+) = 0, il primo termine alla destra dell’uguale ein realta nullo; ne segue che εr(ω) ha il seguente comportamentoasintotico:
limω→∞Reεr(ω) − 1 ∼ 1
ω2, lim
ω→∞ Imεr(ω) ∼ 1ω3
.
5.8.2 Derivazione delle relazioni
Ora che si sono stabilite le proprieta della costante dielettrica, si puopassare alla derivazione vera e propria delle relazioni di Kramers–Kronig.A tal fine si puo notare che, essendo εr(ω) analitica in Imω > 0, sipuo applicare il teorema di Cauchy e scrivere
εr(z) − 1 =1
2πi
∫C
εr(Ω) − 1Ω − z
dΩ ,
102 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
zReΩ
ImΩ
C
Figura 5.11: Percorso di integrazione C.
dove C e un percorso che si richiude nel semipiano superiore del pianocomplesso, come illustrato in Fig(5.11).
In particolare, se il teorema di Cauchy viene applicato ad un puntoω dell’asse reale, si ha
2πi [εr(ω) − 1] = v.p.
∫ +∞
−∞
εr(Ω) − 1Ω − ω
dΩ +
+∫
Cλ
εr(Ω) − 1Ω − ω
dΩ +∫
Cext
εr(Ω) − 1Ω − ω
dΩ ,
dove si e indicato con il simbolo v.p. il valor principale dell’integrale, edi contorni Cext e Cλ sono quelli illustrati in Fig.(5.12).
ωReΩ
ImΩC
ext
Cλ
Figura 5.12: Cammino di integrazione per il caso di un punto disposto sull’assereale.
Si noti che l’integrale sul contorno Cext tenze a zero quando il con-torno diverge all’infinito in virtu del comportamento asintotico di εr
posto in evidenza in precedenza. Per quanto concerne l’integrale sulcontorno Cλ, invece, si puo procedere come segue: si ponga Ω = ω+λeiθ
5.8. RELAZIONI DI KRAMERS–KRONIG 103
con −π ≤ θ ≤ 0. Si ha allora dΩ = iθλeiθdθ = iθ(Ω−ω)dθ, e l’integralerisulta:∫
Cλ
εr(Ω) − 1Ω − ω
dΩ = limλ→0
∫ 0
−πdθ iθ [εr(Ω) − 1] = iπ[εr(Ω) − 1] .
Scritto εr(ω) = Reεr(ω)− i Imεr(ω), si hanno cosi infine le relazionidi Kramers–Kronig, che si scrivono nella forma
Reε(ω) = 1 − 1π
v.p.
∫ +∞
−∞
Imε(ω)Ω − ω
dΩ ,
Imε(ω) = +1π
v.p.
∫ +∞
−∞
Reε(ω) − 1Ω − ω
dΩ .
104 CAPITOLO 5: TEOREMI FONDAMENTALI
Capitolo 6
Linee di trasmissione
Nei capitoli precedenti si e visto come si derivano le equazioni di Maxwell,e se ne sono indagate alcune caratteristiche generali. A partire da questocapitolo si comincia invece lo studio delle applicazioni delle equazioni acasi di utilita pratica ed in particolare si analizzano le proprieta deicampi guidati e di quelli irradiati e le caratteristiche ed i criteri di pro-getto dei dispositivi e dei circuiti che trovano impiego nel campo dellemicroonde e in quello dell’ottica.
La prima applicazione che viene studiata e quella delle linee di tra-smissione: si tratta di strutture che guidano la radiazione elettromagne-tica ed il cui scopo, come e facile intuire, e quello di consentire il trasfe-rimento di energia elettrica da un apparato generatore ad uno ricevente.Le strutture devono essere disegnate in modo che il trasferimento di e-nergia possa avvenire con la minima dispersione possibile, ed a tal finee necessario che esse siano in grado di realizzare il confinamento delcampo elettromagnetico all’interno di una regione dello spazio piccolaed orientata nella direzione desiderata. In altre parole, cio che bisognaevitare in questo contesto e che le linee si comportino come delle antennee che, come tali, esse perdano potenza utile al collegamento tra trasmet-titore e ricevitore per effetto di irraggiamento verso altre direzioni dellospazio. Si noti a tal proposito che, in virtu della reciprocita che esistetra il comportamento che una antenna presenta quando essa viene usataper la trasmissione o per la ricezione (una caratteristica della radiazioneelettromagnetica che sara studiata in dettaglio nel seguito) se una lineae in grado di interferire con altre apparecchiature irradiando verso diesse, essa ne puo al contempo assorbire potenza con il risultato che il
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106 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
segnale che trasporta puo venire distorto.Le strutture che garantiscono un trasferimento efficiente in accordo
con queste considerazioni sono, in generale, quelle costituite da condut-tori metallici, idealmente privi di perdite, tali che una delle loro dimen-sioni (quella longitudinale) sia molto superiore alle altre (quelle trasver-sali). A questi tipi di strutture appartengono, solo per menzionarnealcune, il cavo coassiale o le cosiddette linee bifilari, quali sono ad esem-pio la piattina ed il doppino usato nella telefonia.
E importante sottolineare che, da un punto di vista elettromagne-tico, queste strutture hanno una caratteristica che le accomuna tra loroe che, allo stesso tempo, le differenzia da altre strutture che realizzano iltrasporto di un campo elettromagnetico lungo una direzione prefissatae che sono dette guide d’onda. La caratteristica comune e quella di es-sere costituite da due conduttori, invece che da uno solo come accade nelcaso delle guide d’onda, e la distinzione e importante perche come si avramodo di apprezzare nel seguito, quando una struttura guidante e costi-tuita da due conduttori (ed anzi, piu in generale, da almeno due condut-tori), essa permette la propagazione di un campo elettromagnetico par-ticolarmente “semplice”, il campo trasverso elettromagnetico. Si trattadi un campo, spesso indicato brevemente con l’acronimo di campo TEM,che e costituito solo da componenti trasverse rispetto alla direzione dipropagazione o, in altri termini, di un campo che non presenta alcunacomponente allineata lungo la direzione di propagazione.
Al momento il lettore trovera probabilmente oscuri i motivi per cuila mancanza delle componenti longitudinali possa rendere il campo par-ticolarmente “semplice” da studiare, utile nella pratica, e possibile dariscontrare in una guida solo se questa ha piu di un conduttore. Ladimostrazione di queste affermazioni richiede infatti l’introduzione dialcuni concetti che non sono ancora stati discussi ed al momento ci silimita allora solo a menzionare il fatto che, da un punto di vista pu-ramente matematico, la mancanza delle componenti longitudinali delcampo consente di ridurre le equazioni di Maxwell alla forma di unproblema scalare.
Da un punto di vista piu fisico, invece, cio che si riscontra e il fattoche se il campo che si propaga non e un campo TEM, esso risulta inevi-tabilmente soggetto a distorsioni che tendono ad alterarlo. Per contro,queste distorsioni non sono avvertite da una onda TEM che, per questaragione, risulta preferibile se si vuole fare in modo che il segnale rilevato
6.1. EQUAZIONI DEL TELEGRAFO 107
dal ricevitore di un qualsiasi collegamento sia il piu possibile simile aquello inviato dal trasmettitore.
Chiarite queste considerazioni di carattere generale, si passa ora adillustrare in modo formale lo studio della propagazione in una linea ditrasmissione e, per evitare una esposizione eccessivamente astratta, sianalizza in dettaglio il caso della linea bifilare. E tuttavia bene tenerea mente che i risultati che si otterranno sono di validita piu generale, esi applicano in realta a tutte le strutture guidanti con le caratteristichegeometriche sopra esposte.
6.1 Le equazioni del telegrafo
Si consideri dunque la linea rappresentata in Fig.(6.1), e si immagini che iconduttori metallici che la costituiscono siano conduttori ideali dispostirettilineamente lungo un asse dello spazio individuato dal versore x.Inoltre, si supponga che il dielettrico che circonda i conduttori sia lineare,non dispersivo nello spazio, ed omogeneo nel tempo, e che il campo chesi propaga sia un campo TEM.
ττ
xN
M
A
B C
D
Figura 6.1: Schema di una linea di trasmissione bifilare.
Per definizione, la componente longitudinale del campo di induzionemagnetica e allora nulla (bx ≡ 0), e se si calcola la circuitazione delcampo elettrico su un circuito chiuso disposto in un piano ortogonale ax (ad esempio il percorso ABCD di Fig.(6.1)) si ottiene
o∫
ABCDe · d = − ∂
∂t
∫S(ABCD)
b · nS dS = − ∂
∂t
∫S(ABCD)
bx dS = 0 ,
108 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
dove si e indicato con S(ABCD) la superficie racchiusa dalla curvaABCD, e con nS il versore ad essa normale. Tenendo conto del fattoche i tratti BC e DA dell’integrale sono tratti che si sviluppano su unacurva tangente ad un conduttore elettrico perfetto, si ha dunque anche
∫ B
Ae · d =
∫ C
De · d ≡ v(x, t) .
La quantita indicata come v(x, t) ha le dimensioni di una tensione elet-trica che risulta essere funzione della coordinata x lungo la linea e deltempo, ma non del particolare cammino di integrazione che si sceglieper connettere una qualsiasi coppia di punti disposti sui due conduttoriperfetti alla stessa ascissa x.
In maniera analoga, poiche per ipotesi di campo TEM si ha anchedx ≡ 0, la circuitazione del campo magnetico lungo una curva chiusaM che abbracci uno solo dei conduttori e che giaccia interamente in unpiano ortogonale a x da
o∫
Mh · d =
∫S(M)
(j +
∂d∂t
)· nS dS ≡ i(x, t) ,
dove i(x, t) ha le dimensioni di una corrente elettrica, ed essa rappre-senta il flusso di densita di corrente lineare che fluisce sulla superficiedel conduttore. Anch’essa risulta una grandezza dipendente solo dallacoordinata lungo la linea, e dal tempo.
Si sono cosi definite, in modo univoco, la corrente e la tensione lungola linea e lo studio della propagazione puo allora essere notevolmentesemplificato se l’analisi viene svolta con riferimento a queste grandezzeinvece che ai campi elettromagnetici ad esse associati. Il vantaggio e du-plice: come accennato in precedenza, dal punto di vista matematico sitratta infatti di calcolare l’evoluzione di grandezze scalari che si svilup-pano lungo una sola dimensione dello spazio; dal punto di vista pratico,invece, vi e la possibilita di misurare le grandezze oggetto dell’analisiteorica (tramite amperometri e voltmetri) guadagnando cosi la pos-sibilita di verificare la rispondenza del modello teorico con l’evidenzasperimentale.
Le equazioni per l’evoluzione della tensione e della corrente lungola linea possono essere ricavate come segue: si calcoli innanzi tutto lacircuitazione del campo elettrico lungo la linea chiusa N di Fig.(6.1) nellaquale, per costruzione, i tratti verticali sono disposti ortogonalmente alle
6.1. EQUAZIONI DEL TELEGRAFO 109
linee. Si ottiene:
o∫
Ne · d = v(t, x2) − v(t, x1) = −∂Φ(b)
∂t,
dove Φ(b) e il flusso di induzione magnetica concatenato dal circuitoN . Posto ora x2 = x1 + ∆x e φ(b) il flusso di induzione per unita dilunghezza, si ha, al tendere di ∆x a zero,
∂v(t, x)∂x
= −∂φ(b)∂t
. (6.1)
Successivamente, si integri l’equazione di continuita della corrente nelvolume τ di Fig.(6.1). Si ha in questo caso:∫
τ
[∇ · j +
∂ρ
∂t
]dτ = 0 ,
da cui anchei(x2, t) − i(x1, t) = −∂Q
∂t,
dove Q e la carica totale presente tra le ascisse x1 e x2. Posto ancorax2 = x1 + ∆x ed indicata con q la carica per unita di lunghezza si haallora, al tendere di ∆x a zero,
∂i(x, t)∂x
= −∂q
∂t. (6.2)
Le (6.1,6.2) sono le equazioni che descrivono l’evoluzione della tensionee della corrente lungo la linea, ed esse possono essere ulteriormente sem-plificate utilizzando le relazioni costitutive del sistema in oggetto, ovverole relazioni che legano tra loro i flussi di induzione elettrica o magneticaalla tensione o alla corrente. Nel caso di mezzi lineari e non dispersivi,queste relazioni si scrivono come segue:
q = c v , φ = i , (6.3)
dove c e la capacita per unita di lunghezza, misurata in Farad/m [F/m],ed l’induttanza per unita di lunghezza, misurata in Henry/m [H/m].Inserendo le (6.3) nelle (6.1,6.2) si ottiene allora la seguente forma al-ternativa delle equazioni per la tensione e per la corrente
∂v(x, t)∂x
= −∂i(x, t)
∂t, (6.4)
∂i(x, t)∂x
= −c∂v(x, t)
∂t. (6.5)
110 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Queste equazioni sono usualmente indicate con il nome di equazioni deltelegrafo.
6.1.1 Le equazioni in regime armonico
Le equazioni (6.4,6.5) descrivono la propagazione di onde di tensione ecorrente aventi una generica dipendenza dal tempo. In molti casi, ed inmaniera simile a quanto si era fatto con le equazioni di Maxwell, risultatuttavia utile determinare le caratteristiche di propagazione di onde conandamento nel tempo di tipo sinusoidale. A tal fine, si possono associarealle grandezze nel dominio del tempo i corrispondenti fasori complessiche, quando scritti secondo la rappresentazione di Steinmetz, prendonola forma
V (x) ⇔ v(x, t) = ReV (x) eiωt
,
I(x) ⇔ i(x, t) = ReI(x) eiωt
.
Come gia nel caso delle equazioni di Maxwell, si sono indicati con let-tere maiuscole i fasori complessi, riservando le minuscole alle grandezzedefinite nel dominio del tempo. Inoltre, si e tralasciata la dipendenzadalla frequenza ω per non appesantire eccessivamente la notazione. Leequazioni del telegrafo, scritte per i fasori complessi, sono allora
∂V (x)∂x
= −ZI(x) , (6.6)
∂I(x)∂x
= −Y V (x) , (6.7)
dove l’impedenza Z e l’ammettenza Y risultano rispettivamente Z = iω e Y = iω c.
6.1.2 Circuito equivalente a costanti concentrate
E immediato trovare una interpretazione circuitale delle equazioni (6.6)e (6.7). Si immagini infatti di suddividere la linea di trasmissione intanti tratti infinitesimi di lunghezza ∆x, ognuno dei quali elettrica-mente equivalente ad un circuito a quattro porte come quello illustratoin Fig(6.2). Le quantita indicate con Z ∆x e Y ∆x rappresentano rispet-tivamente l’impedenza e l’ammettenza che si avvertono nell’attraversare
6.1. EQUAZIONI DEL TELEGRAFO 111
il tratto di linea di lunghezza ∆x, cioe Z e Y hanno le dimensioni di unaimpedenza e di una ammettenza per unita di lunghezza.
Z ∆x
Y ∆x
∆x
I(x) I(x+∆x)
V(x) V(x+∆x)
Figura 6.2: Circuito equivalente a costanti concentrate.
Applicando i principi di Kirchhoff alle maglie ed ai nodi del circuitoin figura si ottengono le seguenti relazioni tra le tensioni e le correntiall’ingresso e all’uscita del bipolo:
V (x) = [Z ∆x] I(x) + V (x + ∆x) ,
I(x) = [Y ∆x]V (x + ∆x) + I(x + ∆x) ,
e poiche per ipotesi ∆x e una quantita infinitesima, le stesse espressionivalgono anche se la tensione e la corrente vengono scritte mediante unaserie di Taylor arrestata al primo termine:
V (x + ∆x) = V (x) +dV
dx∆x ,
I(x + ∆x) = I(x) +dI
dx∆x .
Si ottiene cosi
V (x) = [Z ∆x] I(x) + V (x) +dV
dx∆x ,
I(x) = [Y ∆x]
V (x) +dV
dx∆x
+ I(x) +
dI
dx∆x .
112 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Semplificando le equazioni in modo da trascurare i termini infinitesimiche in esse ancora compaiono, ed identificando la Z con l’impedenza perunita di lunghezza offerta alla frequenza ω da un induttore con indut-tanza (per unita di lunghezza) , e l’ammettenza Y con l’ammettenzadi un condensatore con capacita (per unita di lunghezza) c, si ritrovanoinfine cosi le (6.6,6.7).
Lo studente che affronti per la prima volta questi concetti puo aquesto punto domandarsi per quale ragione una coppia di conduttorimetallici vada pensata come una successione di circuiti infinitesimi, o-gnuno dei quali contenente una impedenza serie ed una ammettenzaparallelo, quando invece nello studio delle reti proposto nei corsi ele-mentari di elettrotecnica essi vengono sempre considerati alla stregua dicortocircuiti ideali.
La spiegazione di questa apparente diversita risiede nella relazioneche intercorre tra le dimensioni fisiche dei circuiti oggetto di studio ela frequenza della radiazione elettromagnetica che in essi si propaga.Come si vedra tra breve, infatti, le equazioni del telegrafo indicano chela tensione e la corrente presenti nella linea di trasmissione hanno unandamento spaziale di tipo sinusoidale, con un periodo che risulta in-versamente proporzionale alla frequenza del campo. Se questa e suffi-cientemente elevata, il periodo delle onde di tensione e di corrente puoallora risultare comparabile con le lunghezze dei conduttori che realiz-zano il circuito e, quando questo accade, non e piu lecito modellare iconduttori come dei cortocircuiti nei quali la tensione e la corrente sianospazialmente costanti.
Nell’ambito delle reti studiate in elettrotecnica il problema non vieneusualmente messo in rilievo semplicemente perche le frequenze di lavoroli considerate sono nell’ordine delle decine di Hertz e ad esse corrispon-dono onde di tensione e di corrente il cui periodo e di migliaia chilometri.In questo caso le dimensioni di un qualsiasi circuito sono quindi sem-pre e comunque molto inferiori alla lunghezza d’onda, e le variazioni diampiezza che la tensione e la corrente presentano nei diversi punti lungoi conduttori possono essere trascurate.
Da un punto di vista piu fisico, la spiegazione dei diversi approcciche sono usati alle basse ed alle altre frequenze e ugualmente semplice.Infatti, cio che fisicamente accoppia due conduttori disposti l’uno inprossimita dell’altro e la variazione nel tempo del flusso di induzioneelettrica o magnetica. Alle basse frequenze, il flusso varia “lentamente”
6.1. EQUAZIONI DEL TELEGRAFO 113
nel tempo e l’accoppiamento puo essere trascurato. Viceversa, al cresceredella frequenza, esso diventa via via piu rilevante ed il suo effetto sullapropagazione non puo piu essere ignorato.
Va infine puntualizzata una considerazione sull’ipotesi da cui si epartiti per ricavare le equazioni, quella che riguardava il fatto che leonde che si propagano nella linea di trasmissione siano onde TEM. Daun lato, si e gia avuto modo di sottolineare come questo tipo di ondepossano esistere solo in linee che presentino ben determinate configu-razioni geometriche, quelle costituite da piu di un conduttore. Unaanalisi piu approfondita della propagazione porta tuttavia a riconoscereche nemmeno queste strutture sono a rigore sempre compatibili con lapresenza di onde TEM perche condizione necessaria per l’esistenza delleonde TEM e che i conduttori che le costituiscono siano strettamente prividi perdite. Infatti, questo e l’unico modo per rendere possibile lo scor-rimento di una corrente superficiale sui conduttori in presenza di unacomponente longitudinale di campo elettrico identicamente nulla.
Se lo studio della propagazione in una linea di trasmissione dovesseessere affrontato con rigore, esso richiederebbe dunque una notevole com-plicazione del formalismo e dei calcoli, cosa che ridurrebbe la facilita dicomprensione dei fenomeni fisici che entrano in gioco. Per evitare cio,si preferisce qui limitare lo studio al caso ideale di conduttori privi diperdite, e si accenna solo brevemente ad un metodo approssimato chepuo essere utlizzato nel caso dei conduttori non ideali. Tale metodosfrutta ancora l’ipotesi (non vera) che le onde siano TEM, ma tiene an-che conto dell’attenuazione che queste subiscono quando si propaganoutilizzando una rappresentazione della linea formata da un circuito e-quivalente che e ancora del tipo di quello illustrato in Fig.(6.2), ma nelquale la Z e ora l’impedenza di una serie di un induttore con induttanza(per unita di lunghezza) e di un resistore con resistenza (per unita dilunghezza) r, e l’ammettenza Y e quella del parallelo tra un conden-satore di capacita c e di un resistore di conduttanza g, come illustratoin Fig.(6.3). Fisicamente, i resistori r e g rappresentano rispettivamentela resistenza per unita di lunghezza offerta dal conduttore non idealecon cui e realizzata la linea, e la conduttanza per unita di lunghezza deldielettrico interposto tra i conduttori, e pensato anch’esso non ideale.
Per cio che concerne il metodo di analisi che si usa in questo con-testo, esso e di tipo perturbativo: in un primo momento si studia lapropagazione come se questa avvenisse per onde TEM in assenza di
114 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
perdite, utilizzando gli strumenti di calcolo che sono l’oggetto del pros-simo paragrafo. In un secondo momento, si introducono poi le perdite,valutando quale effetto esse abbiano sul campo che si e calcolato inprecedenza. I dettagli del metodo sono esposti piu avanti nel capitolo,precisamente nel paragrafo 6.2.1.
V(x+∆x)
I(x+∆x)I(x)
V(x)
∆x
r ∆x l ∆x
g ∆x c ∆x
Figura 6.3: Circuito equivalente con perdite a costanti concentrate.
6.2 Le equazioni del telefono e l’impedenza ca-ratteristica
Ora che si sono descritte le equazioni di rilievo nello studio della pro-pagazione nelle linee, e se ne sono chiariti i limiti di applicabilita, sipassa a valutarne le soluzioni. A tal fine, si considerano le equazioni deltelegrafo (6.6,6.7) e le si derivano rispetto alla coordinata x, ottenendoin tal modo una nuova coppia di equazioni che vengono indicate con ilnome di equazioni del telefono e che si scrivono nella seguente forma:
d2V
dx2= ZY V , (6.8)
d2I
dx2= ZY I . (6.9)
Si noti che, a differenza di quanto accade nelle equazioni del telegrafo,la tensione e la corrente sembrano ora essere grandezze tra loro indipen-denti, ed in questo senso le nuove equazioni che si sono trovate sonopiu semplici da risolvere rispetto a quelle da cui si e partiti. E tuttavia
6.2. IMPEDENZA CARATTERISTICA 115
evidente che l’indipendenza tra la tensione e la corrente non puo esserereale, se non altro per il fatto che queste grandezze erano tra loro accop-piate nelle equazioni (6.6,6.7) da cui si e partiti per ricavare le (6.8,6.9).
Matematicamente, la differenza che si riscontra nelle due coppie diequazioni e da ricercarsi in una argomentazione simile a quella usata nelCap. 4, quando si erano studiate le prime risoluzioni elementari delleequazioni di Maxwell, ed essa discende in sostanza dal fatto che perottenere le equazioni del telefono si e alzato l’ordine di derivazione, e sisono introdotte in questo modo delle soluzioni spurie. In altre parole,non e vero che una qualsiasi soluzione delle equazioni del telefono siaanche soluzione delle equazioni del telegrafo e se si sceglie di studiare gliandamenti della tensione e della corrente per mezzo delle equazioni deltelefono e poi necessario utilizzare anche quelle del telegrafo per capirequali tra le soluzioni trovate siano accettabili e quali no.
Operativamente, si puo procedere come segue: per prima cosa sirisolvono le equazioni (6.8,6.9), e si ottengono i seguenti andamenti:
V (x) = V+e−Γx + V−eΓx , (6.10)
I(x) = I+e−Γx + I−eΓx , (6.11)
dove, nel caso piu generale di propagazione in presenza di perdite, ilparametro Γ assume la forma
Γ =√
ZY =√
(r + iω)(g + iωc) .
Nella soluzione (6.10,6.11) compaiono quattro parametri: V+, V−,I+ ed I−. Se le onde di tensione e corrente fossero tra loro indipendenti,questi quattro parametri sarebbero arbitrari, e non vi sarebbe alcunlegame tra essi.
Viceversa, il fatto che le due grandezze elettriche in oggetto sianodipendenti l’una dall’altra si traduce nel fatto che i quattro parametrisono tra di loro legati per mezzo di relazioni che possono essere indivi-duate con l’uso delle equazioni del telegrafo. Si ottiene infatti:
dV
dx= −ZI : −ΓV+e−Γx + ΓV−eΓx = −ZI+e−Γx − ZI−eΓx ,
dI
dx= −Y V : −ΓI+e−Γx + ΓI−eΓx = −Y V+e−Γx − Y V−eΓx .
116 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Moltiplicando la prima delle equazioni per Y , la seconda per Γ, e som-mando membro a membro si ha allora
In maniera analoga si trova poi anche la relazione
V+ =
√Z
YI+ .
Si nota dunque che, cosi come era ragionevole attendersi, solo due dellequattro costanti che compaiono nelle espressioni della tensione e dellacorrente sono costanti arbitrarie, mentre le rimanenti due possono esserericavate da queste attraverso un nuovo parametro che si usa indicare conil nome di impedenza caratteristica della linea e che si scrive nella forma
ZC =
√Z
Y=
√r + iω
g + iωc.
Le dimensioni fisiche dell’impedenza cartteristica sono quelle degli Ohme, come si vede, questa grandezza dipende solo dalla frequenza del campoe dai parametri elettrici , c, r e g della linea, ovvero dalla conformazionegeometrica che quest’ultima presenta e dalla natura dei conduttori e deidielettrici con cui essa e realizzata.
Con l’introduzione dell’impedenza caratteristica gli andamenti dellatensione e della corrente possono essere riscritti nella seguente forma chemette in maggior evidenza l’esistenza di due sole costanti arbitrarie:
V (x) = V+e−Γx + V−eΓx , (6.12)
I(x) =V+
ZCe−Γx − V−
ZCeΓx . (6.13)
Si vuole ora dare una interpretazione fisica a queste espressioni, e sicomincia a tal fine dal primo addendo che compare nella (6.12), quelloscritto come
V+e−Γx .
6.2. IMPEDENZA CARATTERISTICA 117
Si ricorda che questo termine rappresenta il fasore complesso di unagrandezza sinusoidale con pulsazione ω, cui corrisponde l’andamentoreale nel dominio del tempo
v+(x, t) = ReV+e−Γx eiωt
.
Si supponga in un primo momento che la linea nella quale avviene lapropagazione sia priva di perdite, di modo che
Γ =√
(r + iω)(g + iωc) = iω√
c = iβ .
con β che prende il nome di costante di fase. Ne segue:
v+(x, t) = |V+| cos(βx − ωt + φ+) , (6.14)
dove si e indicata con φ+ la fase nel numero complesso V+.Vi sono tre osservazioni da fare a riguardo dell”espressione (6.14).
1. La prima riguarda il fatto che essa rappresenta una onda che simuove nel verso delle x crescenti allo scorrere del tempo, ovvero,da un punto di vista fisico, una onda progressiva che avanza dalgeneratore verso il carico.
2. La seconda osservazione riguarda invece la velocita u ed il periodospaziale λ di questa onda. Essi sono, rispettivamente,
u =ω
β=
1√c
e λ =2π
β=
2π
ω√
c.
Si nota allora che, come era stato anticipato in precedenza, nellatensione (ed in modo del tutto analogo anche nella corrente) com-pare un termine ondulatorio con un periodo spaziale che risulta in-versamente proporzionale alla frequenza del campo che si propaga:e per effetto di questo termine che non e lecito trattare i conduttoricome dei cortocircuiti ideali quando si aumenta la frequenza dellaradiazione.
3. L’ultima osservazione, infine, si riferisce al fatto che puo esserenotata un’analogia formale tra il risultato che si e ottenuto qui equello che si era ricavato quando si erano studiate le prime soluzionielementari delle equazioni di Maxwell, in particolare quelle valide
118 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
in un mezzo omogeneo e privo di sorgenti. Infatti, si era vistoin quella sede che la velocita delle onde elettromagnetiche dipen-deva esclusivamente dai parametri costitutivi ε e µ del mezzo. Inmaniera del tutto simile, si trova ora che l’onda che si propaganella linea di trasmissione avanza in questa con una velocita chedipende solo dai parametri e c. Come si avra modo di apprez-zare nel seguito, ed in particolare quando si affrontera lo studiodelle onde piane, questa analogia non e casuale; al contrario, essaha delle motivazioni rigorose che consentono di costruire una per-fetta corrispondenza tra la propagazione nelle linee di trasmisisoneideali e nei mezzi omogenei privi di sorgenti e di perdite.
Ora che e stata chiarita la natura fisica del termine V+e−Γx, l’inter-pretazione dell’altro addendo, V−eΓx, e immediata: tale termine rappre-senta infatti un’onda regressiva che viaggia dal carico verso il generatore,ed in generale, quindi, tanto la tensione quanto la corrente nella lineasono esprimibili come somma di due onde che viaggiano in direzioni op-poste e con ampiezze V+ e V− che dipendono dal tipo di carico e dalgeneratore che la linea connette.
6.2.1 Propagazione in presenza di perdite
A completamento della discussione sulla natura fisica delle onde pre-senti nella linea, si analizza ora il caso della presenza di perdite. Comeaccennato in precedenza, in questo caso lo studio puo essere condottoin maniera approssimata usando una tecnica perturbativa nella qualel’effetto delle perdite viene trattato come un “effetto piccolo”. Cio con-sente di procedere come segue: si consideri nuovamente la costante dipropagazione
Γ2 = (r + iω)(g + iωc) ≡ α + iβ ,
dove il parametro β e ancora detto costante di fase, mentre α vieneindicato con il nome di costante di attenuazione. Per definizione, essisono dati da
α2 − β2 = rg − ω2c , 2αβ = ω(rc + g) ,
e dunque risultano
α =1√2
√√r2 + ω22)(g2 + ω2c2) − (ω2c − rg) , (6.15)
6.2. IMPEDENZA CARATTERISTICA 119
β =1√2
√√r2 + ω22)(g2 + ω2c2) + (ω2c − rg) . (6.16)
Quando la linea e a basse perdite, cioe quando i coefficienti r e g sonotali che, a tutte le frequenze di interesse
r
ω 1 ,
g
ωc 1 ,
le (6.15,6.16) possono essere sviluppate in serie e forniscono il seguenterisultato:
α =r
2
√c
+
g
2
√
c=
r
21
ZC+
g
2ZC , (6.17)
β = ω√
c
[1 +
18
(r
ω− g
ωc
)2]
. (6.18)
Come si puo notare, le perdite introducono una correzione al primo or-dine sulla costante di attenuazione ed al secondo ordine nella costantedi fase. Inoltre, la variazione della costante di attenuazione con la fre-quenza e legata solo alla variazione dei parametri della linea.
Va anche sottolineato che, come si era anticipato in precedenza, le(6.17,6.18) sono espressioni approssimate non tanto perche esse derivanoda una espansione in serie arrestata ai primi termini, ma piuttosto percheil punto di partenza che si e usato per calcolarle e l’espressione dellacostante di propagazione valida per un modo TEM e, come sottolineatoall’inizio del capitolo, questo modo in realta non si puo propagare nellalinea se vi sono le perdite.
In modo analogo a quello appena illustrato, si puo poi procedere alcalcolo dell’impedenza caratteristica, che risulta
ZC =
c
[1 +
12
(r
ω
)2
− 32
(g
ωc
)2
+rg
4ω2c+ j
(g
2ωc− r
2ω
)],
e come si vede, dunque, il termine correttivo al primo ordine risulta inquadratura con il termine principale.
Facendo uso di una tecnica perturbativa abbinata ad una espansionein serie si e dunque in grado di valutare, almeno in linea di princi-pio, tutti gli ordini di correzione che vanno introdotti nella costante dipropagazione e di fase per effetto delle perdite.
120 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
In alternativa a questa tecnica, ve ne e una piu semplice che consenteil calcolo della costante di attenuazione al solo primo ordine. Questaseconda tecnica usa come punto di partenza le espressioni della tensionee della corrente valide nel caso privo di perdite, e ricava il coefficiente αin funzione dei parametri dissipativi r e g. Operativamente, si procedecome segue: si osserva che, quando nella linea sono presenti delle perdite,la potenza associata ad una onda puramente progressiva varia con lacoordinata di propagazione secondo una legge esponenziale del tipo
P (x) = P0 e−2αx ,
e la potenza che viene “perduta” nel corso della propagazione deveuguagliare la potenza dissipata. In termini matematici, se si indica conPd la potenza dissipata per unita di lunghezza, si deve cioe avere
dP (x)dx
= −Pd ,
e dunque
α =Pd
2P.
La potenza dissipata e dovuta alla presenza dei parametri r e g. Nellospirito della teoria perturbativa discusso piu sopra si ha allora
Pd =12
(r|I|2 + g|V |2
),
dove V e I sono le ampiezze delle onde di corrente e tensione presentinella linea in condizioni ideali, ovvero in assenza di perdite. Per cio checoncerne la potenza trasporatata P , in modo analogo, vale anche
P =12
ZC |I|2 ,
e poiche in assenza di perdite la tensione e la corrente sono legate dallarelazione V = ZC I, si ottiene infine
α =r
21
ZC+
g
2ZC ,
risultato che coincide con quello valutato tramite il primo approccioperturbativo che e stato illustrato.
6.3. COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE 121
6.3 Impedenza in linea e coefficiente di rifles-sione
La metodologia di calcolo esposta nel paragrafo precedente ha dunqueconsentito di risolvere le equazioni della propagazione in una linea ditrasmissione, ed ha mostrato come la tensione e la corrente siano rappre-sentabili nella forma di una somma di due onde che viaggiano in direzioniopposte. In questo paragrafo, e nei due successivi, si approfondisce ladescrizione della propagazione introducendo delle nuove grandezze elet-triche che risultano utili ai fini della descrizione dei fenomeni che hannoluogo nella linea. Queste grandezze sono l’impedenza in linea, il coeffi-ciente di riflessione, il rapporto d’onda stazionaria e la potenza comples-sa.
6.3.1 L’impedenza in linea
Essa e naturalmente definita come rapporto tra tensione e corrente, mapoiche la tensione e la corrente variano al variare della coordinata lungola linea, anche l’impedenza risulta essere una funzione della coordinatadi propagazione, che evolve secondo l’espressione
Z(x) =V (x)I(x)
= ZCV+e−Γx + V−eΓx
V+e−Γx − V−eΓx.
Si noti la differenza che intercorre tra l’impedenza caratteristicaZC della linea e l’impedenza Z(x) avvertita in ogni punto della lineadall’onda che in essa si propaga. L’impedenza ZC e una caratteristicadella linea di trasmissione e, come si e visto in precedenza, essa dipendeesclusivamente dalla frequenza del campo e dalla geometria della linea.L’impedenza Z(x) e invece il rapporto tra la tensione e la corrente edessa varia al variare della coordinata lungo la linea secondo un anda-mento che dipende dalle costanti V+ e V− e quindi, in ultima analisi,dal tipo di generatore e dal carico che vengono impiegati. La ZC com-pare in Z(x) solamente come un parametro di scala e per questa ragioneessa viene spesso trascurata nelle applicazioni mediante l’introduzionedel concetto di impedenza normalizzata, definita come
z(x) =Z(x)ZC
=V+e−Γx + V−eΓx
V+e−Γx − V−eΓx.
122 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
In maniera analoga, si usa definire anche l’ammettenza normalizzata, cherisulta
y(x) =1
z(x)=
ZC
Z(x)= Y (x) · ZC =
V+e−Γx − V−eΓx
V+e−Γx + V−eΓx.
6.3.2 Il coefficiente di riflessione
Questo parametro che, come si vedra nel seguito, trova ampio impiegonella pratica, e definito come il rapporto esistente, in ogni punto dellalinea, tra l’ampiezza dell’onda regressiva e quella dell’onda progressivadi tensione, secondo la relazione
ρ(x) =V−eΓx
V+e−Γx.
Vi e da accennare ad una convenzione che e comunemente accettata:in genere, nelle applicazioni, lo studio della propagazione in una lineadi trasmissione viene effettuato con riferimento a circuiti che, in linea diprincipio, possono essere schematizzati come in Fig(6.4).
Generatore
Z
Carico
Linea di trasmissioneG
0 x
Figura 6.4: Schema a blocchi dei circuiti studiati con la teoria delle linee.
Usualmente si conviene di fissare l’origine dell’asse x in corrispondenzaal carico, e risulta allora
ρ(x) = ρLe2Γx ,
doveρL =
V−V+
6.3. COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE 123
e il coefficiente di riflessione del carico.Come e immediato verificare, il coefficiente di riflessione e l’impedenza
(o l’ammettenza) normalizzate sono tra loro legati dalle relazioni
z(x) =1 + ρ(x)1 − ρ(x)
, y(x) =1 − ρ(x)1 + ρ(x)
,
eρ(x) =
z(x) − 1z(x) + 1
=1 − y(x)1 + y(x)
.
Linee prive di perdite
Le espressioni viste sin qui si semplificano notevolmente se si consideranolinee prive di perdite, per le quali
ZC =
√r + iω
g + iωc=
√
c
eρ(x) = ρL e2iβx , β = ω
√c .
Vi sono tre importanti osservazioni da fare:
• In una linea priva di perdite il coefficiente di riflessione ha modulocostante al variare della coordinata di propagazione lungo la linea:
|ρ(x)| =∣∣∣ρL e2iβx
∣∣∣ = |ρL| .
• Se si riporta graficamente ρ(x) nel piano complesso, al variare dix esso descrive un cerchio del tipo di quello indicato in Fig.(6.5),e poiche per convenzione si assume β > 0, un incremento posi-tivo nell’asse x, ovvero un movimento che sposti il punto di os-servazione dal generatore verso il carico, comporta una rotazionedel punto rappresentativo di ρ(x) sulla circonferenza in senso an-tiorario. Viceversa, un movimento dal carico verso il generatorecomporta una rotazione in senso orario.
• Come si e gia visto piu sopra, la tensione e la corrente sono grandezzeperiodiche nello spazio con periodo
λ =2π
β.
124 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Ora, poicheρ(x) = ρLe2iβx ,
il coefficiente di riflessione ρ(x), e quindi anche z(x) e y(x) risul-tano allora anch’esse grandezze periodiche, ma con periodo pari aλ/2.
x crescenti
|ρLReρ(x)
Imρ(x)
Figura 6.5: Rotazione del punto rappresentativo di ρL nel piano complesso nelcaso di propagazione in assenza di perdite.
Un esempio
Si consideri il circuito di Fig.(6.6), costituito da una linea alimentata daun generatore di tensione sinusoidale, e chiusa su un cortocircuito.
VG
Linea di trasmissione
Figura 6.6: Linea chiusa su un cortocircuito.
6.3. COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE 125
Chiaramente, se la frequenza del generatore fosse bassa cosi come etipico dei casi analizzati nei corsi di elettrotecnica, lo schema rappre-senterebbe un circuito di scarsa significativita, visto che una tensionechiusa su una impedenza nulla comporterebbe un valore infinito per lacorrente nei conduttori.
Se pero il circuito viene pensato come sede di un campo ad altafrequenza, la situazione appare completamente diversa. In questo caso,infatti, il circuito va caratterizzato per mezzo delle onde progressive eregressive, o di uno qualsiasi degli altri parametri sopra introdotti. Sisupponga ad esempio di voler fare riferimento al coefficiente di riflessione
ρ(x) = ρLe2iβx , ρL =V−V+
.
Nel caso in esame, il carico e costituito da un cortocircuito per il qualeV (0) ≡ 0, e poiche l’espressione generale per la tensione lungo la linea edel tipo
V (x) = V+e−Γx + V−eΓx ,
si deve allora avere
V+ + V− = 0 ⇒ V+ = −V− ⇒ ρL =V−V+
= −1 .
Il coefficiente di riflessione e dunque
ρ(x) = −e2iβx ,
e l’impedenza avvertita dalle onde nella linea risulta allora
Z(x) = ZC1 + ρLe2iβx
1 − ρLe2iβx=
1 − e2iβx
1 + e2iβx.
Si consideri nel dettaglio questa impedenza, e la si valuti, in particolare,in due punti di significativo rilievo:
• x = 0. Vale Z(0) = 0, cosi come deve essere, visto che x = 0 e lacoordinata del carico, e questo e un cortocircuito.
• 2iβx = −iπ. In corrispondenza a questo punto, ovvero quando cisi sposta dal carico verso il generatore di una distanza
x = − π
2β= − π
22π
λ
= −λ
4,
126 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
l’impedenza non e piu nulla come sul cortocircuito, ma essa valeinvece
Z
(−λ
4
)= ZC
1 − ρL
1 + ρL= ∞ .
Dunque, solo per effetto di uno spostamento di λ/4 lungo la lineal’impedenza avvertita dall’onda, lungi dall’essere ancora nulla, eaddirittura infinita, come se la linea, in quel punto, fosse un cir-cuito aperto. Da un punto di vista pratico, cio significa che nullacambia se i conduttori vengono fisicamente tagliati alla distanzaλ/4 dal carico, nel senso che questa operazione non viene avvertitadal generatore.
Evidentemente, questo comportamento e alquanto diverso da quelloche si e soliti considerare nell’elettrotecnica, ed esso deriva esclusi-vamente dal fatto che l’impedenza va ora calcolata come rapportotra onde di tensione e di corrente la cui ampiezza cambia lungola linea. Nel caso in esame si la corrente si annulla alla distanzaλ/4 dal carico e per questa ragione il comportamento della lineaappare li essere quello di un circuito aperto.
Ancora una volta si sottolinea come questo comportamento nonvenga usualmente posto in luce nell’ambito dell’elettrotecnica so-lamente per una questione di lunghezza d’onda delle radiazioni chesono in gioco. Infatti, con le frequenze tipiche dell’elettrotecnica(f = 50 Hz) la lunghezza d’onda e dell’ordine di λ 6000 km, equesto effetto non puo allora mai avere rilievo in quel contesto,giacche esso risulterebbe avvertibile solo per circuiti con lunghezzedell’ordine dei 1500 km.
6.3.3 Onde progressive, stazionarie e parzialmente stazio-narie
A completamento del tipo di descrizione della propagazione che si puoottenere facendo uso del coefficiente di riflessione, si introduce ora unaclassificazione delle onde che sono presenti in una linea.
La classificazione viene fatta distinguendo tre diversi regimi di pro-pagazione, che corrispondono ad altrettanti valori che possono essereassunti dal rapporto tra le ampiezze V+ e V− delle onde di tensioneprogressiva e regressiva, e cioe dal coefficiente di riflessione al carico.
6.3. COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE 127
Si considera a tal fine il caso della propagazione in una linea privadi perdite e si ricorda che l’espressione per la tensione e
V (x) = V+e−iβx + V−eiβx ,
o anche, esprimendo tutte le grandezze secondo il loro modulo e fase
V (x) = |V+|eiφ+
[e−iβx + |ρL|eiβx+iφL
].
A questa espressione ne corrisponde poi una nel dominio del tempo chee ricavabile dalla prima secondo la relazione
v(x, t) = ReV (x)eiωt
.
I tre casi che si usa distinguere sono i seguenti:
Onde progressive
Sia ρL = 0; alloraV (x) = |V+|eiφ+e−iβx ,
ev(x, t) = |V+| cos(ωt − βx + φ+) .
Come gia notato, questa espressione rappresenta il caso di un’onda pro-gressiva, nella quale la variabile temporale e quella spaziale compaiononell’argomento del coseno tramite una differenza. Se si rappresenta grafi-camente l’onda con riferimento ad istanti temporali diversi e per esempiocrescenti (t2 > t1 > t0), essa si presenta nella seguente forma
t0
x
t1 t2
ed ha quindi la caratteristica che ognuno dei suoi punti (massimi, minimi,punti di zero, ecc.) scorre nello spazio con il passare del tempo.
128 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Onde stazionarie
Si consideri ora il caso in cui |ρL| = 1. Si ha allora
V (x) = |V+|[e+i(φ+−βx) + e+i(φ−+βx)
],
da cui
v(x, t) = Re[V (x)eiωt
]=
= 2|V+| cos(
βx +φ− − φ+
2
)cos
(ωt +
φ− + φ+
2
).
Le variabili temporali e spaziali sono ora separate, nel senso che esse noncompaiono piu nell’argomento della stessa funzione sinusoidale. Si usadire che, in questo caso, nella linea si e instaurata una onda stazionaria:non si tratta piu di un’onda che si muove nello spazio al passare deltempo, quanto piuttosto di una oscillazione la cui ampiezza cambia neltempo senza muoversi di posizione. Si noti che, in base alla relazione
ρ(x) =z(x) − 1z(x) + 1
=1 − y(x)1 + y(x)
,
si deduce che si puo avere |ρL| = 1 solo nei tre casi di
1. circuito aperto: zL = ∞,
2. corto circuito: zL = 0,
3. reattanza pura: zL = i xL.
dove zL rappresenta l’impedenza normalizzata di carico.Al fine di chiarire ulteriormente la natura fisica delle onde stazionarie,
si considera nuovamente il caso del corto circuito per il quale ρL = −1 equindi
V (x) = |V+|eiφ+
[e−iβx − eiβx
].
Ne seguev(x, t) = 2|V+| sin(βx) sin(ωt + φ+) .
Graficamente, l’andamento dell’onda di tensione allo scorrere del tempoe quindi del tipo indicato in figura (6.7) ed esso presenta la caratteristicache la posizione dei vari punti (minimi, massimi, zeri, ecc.) e fissa nel
6.3. COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE 129
tempo, e dipende solo da x. Ad esempio, nella coordinata x = 0 dove sitrova il cortocircuito si ha, ovviamente, v(0, t) ≡ 0, ∀t. Questo punto, equelli omologhi che si trovano a distanze multiple di λ/2 da esso, sonodetti nodi di tensione. Tra ogni coppia di nodi, a distanza λ/4 da ognunodi essi, vi e invece una successione di punti nei quali l’onda di tensionee massima in modulo; questi punti sono detti ventri di tensione.
Si sottolinea nuovamente come questi punti siano fissi nel tempo: cioche cambia al variare del tempo e solo l’ampiezza che l’onda presenta.
Un calcolo del tutto analogo a quello appena svolto puo poi esseresvolto anche per la corrente, e si puo cosi vedere che anch’essa presentamassimi e minimi tra loro distanziati di λ/4 e con distanza λ/2 tra ognicoppia di massimi e minimi consecutivi. Inoltre, si puo verificare che lidove la corrente e massima in modulo, la tensione e nulla, e viceversa.
x
t0t1
t2
Figura 6.7: Andamento nel tempo delle onde di tensione in prossimita di uncorto circuito.
Onde parzialmente stazionarie
Il terzo ed ultimo caso considerato e quello nel quale il modulo del coef-ficiente di riflessione e un qualsiasi numero reale strettamente compresotra zero e uno. Per illustrare la natura fisica dell’onda che si propaga inquesto caso si consideri nuovamente l’espressione per l’onda di tensione
V (x) = |V+|ei(φ+−βx) + |V−|ei(φ−+βx) ,
e si aggiunga e tolga la quantita |V−|ei(φ+−βx). Si ottiene cosi
e si nota allora che l’onda e costituita dalla somma di due termini, ilprimo dei quali e un’onda progressiva con ampiezza |V+| − |V−|, ed ilsecondo un’onda stazionaria. In generale quindi, l’onda di tensione, maanche quella di corrente, si presenta come sovrapposizione di un’ondastazionaria e di una progressiva, e per questa ragione essa viene indicatacon il nome di onda parzialmente stazionaria.
6.4 Il rapporto d’onda stazionaria (ROS).
Si consideri il modulo della tensione lungo la linea. Esso vale
|V (x)|2 = V (x)V (x)∗ =
=∣∣∣|V+|
[e−iβx + |ρL|ei(φL+βx)
]∣∣∣2 =
= |V+|2(1 + |ρL|2
)+ 2|V+|2|ρL| cos(2βx + φL) .
Il modulo della tensione e dunque costituito dalla somma di due con-tributi, il primo dei quali e indipendente dalla coordinata x ed ha unaampiezza direttamente proporzionale a quella dell’onda progressiva ditensione. Il secondo termine, invece, varia con la distanza di propaga-zione secondo una legge sinusoidale, ed ha una ampiezza che dipende siada V+, sia dal coefficiente di riflessione del carico ρL.
In altri termini, il modulo della tensione e quindi costante sulla li-nea quando ρL = 0, mentre in tutti gli altri casi esso varia tra un va-lore minimo ed un valore massimo che possono essere determinati comesegue: il modulo raggiunge il suo massimo valore nelle sezioni in cui2βxM + φL = 2κπ, e li vale
|VMAX | = |V+| + |V−| ,
mentre nelle sezioni in cui 2βxm + φL = (2κ + 1)π esso e minimo, e vale
|Vmin| = |V+| − |V−| .
La distanza tra una sezione di massimo ed una di minimo immediata-mente adiacente e pari a λ/4, mentre due sezioni di massimo (o di mi-nimo) consecutive distano tra loro di λ/2.
Per quanto concerne la corrente, e facile verificare che risulta
I(x)2 =( |V+|
ZC
)2 [1 + |ρL|2 − 2|ρL| cos(2βx + φL)
].
6.4. RAPPORTO D’ONDA STAZIONARIA 131
Quindi |I| assume il valore minimo
|Imin| =|V+| − |V−|
ZC
in corrispondenza alle sezioni di massimo della tensione, ed il valoremassimo
|IMAX | =|V+| + |V−|
ZC
in corrispondenza alle sezioni di minima tensione.Si usa introdurre la quantita
S =|VMAX ||Vmin|
,
che prende il nome di rapporto d’onda stazionaria (ROS) e che risultalegata al coefficiente di riflessione e dalla relazione
S =|V+| + |V−||V+| − |V−|
=1 + |ρ|1 − |ρ| .
Si noti che, poiche con carichi passivi
|ρ| ≤ 1 ,
risulta1 ≤ S < +∞ e S = 1 ⇔ ρ = 0 .
E inoltre possibile mettere in relazione il rapporto d’onda stazionariocon il valore assunto dall’impedenza della linea in corrispondenza allesezioni di massima e minima tensione. Ad esempio, in una sezione dimassima tensione (e quindi di minima corrente), l’impedenza presentail suo valore massimo, dato da
ZMAX =|VMAX ||Imin|
=|V+| + |V−||V+| − |V−|
ZC = ZC S ,
e, analogamente, in una sezione di minima tensione (e quindi di massimacorrente), l’impedenza e minima e vale
Zmin =|Vmin||IMAX | =
|V+| − |V−||V+| + |V−|
ZC =ZC
S.
132 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
6.5 La potenza complessa.
In una linea priva di perdite, essa e definita come
P (x) =12
V (x) I(x)∗ ,
con
V (x) = V+e−iβx + V−eiβx ,
I(x) =1
ZC
[V+e−iβx − V−eiβx
],
ed essa risulta quindi
P (x) =12V+
[e−iβx + ρLeiβx
] V ∗+
ZC
[eiβx − ρ∗Le−iβx
]=
=|V+|22ZC
[1 − |ρL|2 + ρLe2iβx − ρ∗Le−2iβx
]=
=|V+|22ZC
[1 − |ρL|2
]+ i
|ρL| |V+|2ZC
sin(2βx + φL) .
La potenza complessa puo dunque essere scritta come
P (x) = PA + iQA(x) ,
dove
PA =|V+|22ZC
[1 − |ρL|2
],
e la potenza attiva che, come si vede, non varia lungo la linea. Questorisultato doveva essere atteso: infatti, si sta qui studiando il caso dellapropagazione in una linea priva di perdite nella quale dunque non haluogo alcun fenomeno dissipativo. Per il principio di conservazionedell’energia e allora necessario che la potenza attiva che transita in unaqualsiasi sezione della linea sia sempre la stessa.
Per cio che concerne il secondo addendo che compare nell’espressionedella potenza, quello scritto come
QA =|ρL| |V+|2
ZCsin(2βx + φL) ,
6.6. ADATTAMENTO IN UNIFORMITA 133
esso rappresenta il contributo di potenza reattiva erogato dai generatorie, come si vede, esso varia lungo la linea, ovvero non si conserva.
Si noti infine anche come i due contributi di potenza abbiano diversedipendenze dal coefficiente di riflessione del carico ρL. In particolare,quando ρL = 0 la potenza complessa e in realta costituita dalla sua solaparte reale, ovvero essa e interamente una potenza attiva. Viceversa, se|ρL| = 1, e cioe in presenza di uno dei carichi che danno luogo ad un’ondapuramente stazionaria nella linea, la potenza complessa e immaginariapura o, in altri termini, non vi e flusso di potenza attiva. Cio e d’altraparte ben giustificato dall’intuito fisico, dal momento che, come visto,gli unici carichi che sono in grado di instaurare una onda puramentestazionaria sono il circuito chiuso e quello aperto o una reattanza pura,e come e ben noto nessuno di questi carichi e in grado di assorbirepotenza attiva, che dunque non transita in alcuna sezione della linea.
6.6 Il problema dell’adattamento.
Si consideri un generico circuito del tipo di quello indicato in figura:
ZG
VG
ZC ZL
Zi
Generatore Linea Carico
Come e noto dall’elettrotecnica, si ha il massimo trasferimento dipotenza dal generatore all’impedenza che esso vede ai propri morsetti(Zi) quando
Zg = Z∗i ,
e quando questo accade si usa dire che si ha la condizione di adattamentoin potenza.
Quando si studia il problema della propagazione di segnali ad altafrequenza in linee di trasmissione, vi e tuttavia un secondo problema di
134 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
adattamento da tenere in considerazione, e questo e legato al rapportoche esiste tra l’impedenza del carico e l’impedenza caratteristica della li-nea con cui il carico viene alimentato. In generale le due non coincidono,ovvero
ZC = ZL ,
e quando si presenta questa situazione, al carico esiste un coefficiente diriflessione
ρL =ZL − ZC
ZL + ZC= 0 .
Si vuole ora mostrare quali problemi possano sorgere in una linea ditrasmissione quando cio accade. Come si e visto, il fatto che ρL sia di-verso da zero fa si che, nel tratto di linea che connette il generatore alcarico si instaura una onda che, in tutta generalita, e un’onda parzial-mente stazionaria (e diventa stazionaria pura se |ρL| = 1). Si e anchevisto che, in presenza di un’onda di questo tipo il modulo della ten-sione non si mantiene costante lungo la linea, ma varia invece tra unvalore massimo ed uno minimo. Si consideri, in particolare, quello cheaccade nella sezione dove il modulo della tensione e massimo (e quindi,contemporaneamente, il modulo della corrente e minimo). Vale li
|VMAX | = |V+| + |V−| , |Imin| =|V+| − |V−|
ZC,
ed in quella sezione la potenza complessa e quindi
P =12V I∗ =
12
(|V+| + |V−|)2ZC
|V+| − |V−||V+| + |V−|
=12|VMAX |2
ZC S.
Si osservi che, in base a questa scrittura, la tensione massima nella lineapuo essere legata alla potenza attiva tramite la relazione
|VMAX | =√
2PZC S .
Ora, si immagini di voler realizzare un circuito per trasferire una deter-minata potenza P0 ad un carico connesso al generatore da una linea conimpedenza ZC . Se vi e adattamento tra linea e carico il massimo modulodella tensione (che coincide anche con il minimo modulo, dal momentoche il modulo e spazialmente costante) vale |V | =
√2P0ZC .
Viceversa, se il carico non e adattato, il massimo del modulo ditensione e
√S volte maggiore di questo, cioe per trasportare la stessa
6.6. ADATTAMENTO IN UNIFORMITA 135
quantita di potenza utile la linea deve tollerare una tensione di piccoche e
√S volte maggiore di quella che sarebbe necessaria con il carico
adattato.Nei due casi vi e inoltre una seconda differenza. Infatti, come si
e visto in precedenza, se il carico e adattato la potenza nella linea euna potenza solo attiva. Quando invece ρL = 0 la potenza erogata dalgeneratore e in generale complessa, cioe essa risulta formata sia da unaparte reale, sia da una immaginaria. Si richiama a questo proposito unaosservazione che era stata fatta quando si erano commentati i risultatirelativi al teorema di Poynting, e che, in sotanza, coincide con quanto sista dicendo ora: la comparsa di una componente immaginaria di potenzae il segno che si stanno utilizzando i generatori in modo improprio edinefficace perche li si “costringe” a generare un campo nel quale qualcunadelle grandezze elettromagnetiche e maggiore di quanto essa dovrebbenecessariamente essere al fine di trasportare la stessa potenza attiva chesta trasportando.
Questi effetti negativi si hanno dunque se ρL = 0, ed e quindi oppor-tuno domandarsi se, una volta che siano stati assegnati il carico e la lineadi trasmissione, e che questi abbiano impedenze non coincidenti, non siapossibile agire in qualche maniera sul circuito per ottenere un valorenullo del coefficiente di riflessione al carico, ρL = 0, realizzando cio cheusualmente viene indicato con il nome di adattamento di uniformita.
La risposta al quesito e positiva, e questo tipo di adattamento vienedi norma effettuato mediante l’inserimento di una rete di componentipassivi, che prende il nome di adattatore
ZC ZLZC ZL
ZL ZL
Ada
ttat
ore
Figura 6.8: Inserimento di un adattatore prima del carico.
e che va progettata in modo che, quando inserita prima del carico, essa
136 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
faccia in modo che l’impedenza vista ai morsetti di uscita della lineacoincida con quella della linea stessa, ovvero
Z ′L = ZC .
In questo modo, infatti, il nuovo carico costituito dall’insieme delcarico originale e della rete adattatrice appare alla linea come un caricoadattato e l’insieme di linea, adattatore e carico diventa elettricamenteequivalente ad un circuito del tipo
ZC ZL
ZL = ZC
ρ = 0
che non da luogo alla nascita di una onda parzialmente stazionaria nellalinea.
Il progetto dell’adattatore e l’argomento dei prossimi paragrafi. Inparticolare, si studiera la realizzazione di adattatori privi di perdite, cioedi adattatori costituiti da reti con elementi non resistivi, che consentonol’adattamento in uniformita ad una determinata frequenza.
6.7 La carta di Smith.
Un sistema particolarmente semplice di progetto di un adattatore puoessere sviluppato avvalendosi di una opportuna rappresentazione graficadelle impedenze e dei coefficienti di riflessione, che prende il nome dicarta di Smith. Prima di procedere all’analisi del progetto di un adatta-tore, si introduce quindi questo tipo di rappresentazione delle impedenze.
Si immagini che sia stata assegnata una impedenza complessa
Z = R + i X ,
6.7. CARTA DI SMITH 137
o, in maniera del tutto equivalente, una ammettenza complessa
Y = G + i B .
Si normalizzino queste grandezze rispetto ad una impedenza di riferi-mento ZC : si ottiene, rispettivamente,
z =Z
ZC= r + i x , y = Y ZC = g + i b .
Se ora si vuole rappresentare una di queste grandezze normalizzate pervia grafica, il modo piu naturale che viene alla mente e quello di disporlein un grafico cartesiano nel quale vi sia la parte reale sull’asse delleascisse, e la parte immaginaria su quello delle ordinate.
rette con i x = cost.r
i xz
z0
In questo modo, la generica impedenza z0 = r0 + ix0 viene indivi-duata in modo univoco nel piano complesso z come intersezione tra unaretta del tipo r = r0 ed una del tipo i x = i x0.
Esiste tuttavia una rappresentazione che, se pur meno intuitiva, epero piu conveniente per il progetto di adattatori senza perdite. Questaseconda rappresentazione si basa, essenzialmente, su una rappresen-tazione delle impedenze (o delle ammettenze) normalizzate nel pianocomplesso ρ (invece che z), e sfrutta i legami espressi dalle relazionibilineari
ρ =z − 1z + 1
=1 − y
1 + y.
Queste due relazioni hanno infatti l’importante proprieta di trasformarele rette del piano z del tipo r = costante e i x= costante (e le analoghe delpiano y) in due famiglie di circonferenze del piano ρ. La dimostrazionedi questo fatto e semplice e viene illustrata qui di seguito.
138 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Si indichi il coeffciente di riflessione come ρ = u + iw. Poiche
z ≡ r + ix =1 + ρ
1 − ρ,
segue
r =1 − u2 − w2
(1 − u)2 + w2, x =
2w
(1 − u)2 + w2. (6.19)
Si consideri ora la prima di queste relazioni, e si valuti la curva che siottiene nel piano ρ quando r = r0 = costante. Si ha
(1 − u)2r0 + w2r0 = 1 − u2 − w2 ,
da cui anche (u − r0
1 + r0
)2
+ w2 =(
11 + r0
)2
.
Come volevasi dimostrare, questa espressione rappresenta una famigliadi circonferenze con centro (r0/(1 + r0), 0), e raggio 1/(1 + r0). Grafica-mente, tale famiglia appare come in fig.(6.9).
r = 0
r = 0.2r = 1
r = 5
Figura 6.9: Famiglia di circonferenza r = costante nel piano ρ.
Im maniera simile, dalla seconda delle (6.19) si ha anche, per x =x0 = costante,
(u − 1)2 +(
w − 1x0
)2
=1x2
0
,
6.7. CARTA DI SMITH 139
e si tratta dunque ancora di una famiglia di corconferenze, ora con centro(1, 1/x0) e raggio 1/|x0|. Graficamente, questa seconda famiglia apparecome in fig.(6.10).
x = 0
x = 0.1
x = - 0.1
x = 0.8
x = - 0.8
x = 5
x = - 5
Figura 6.10: Famiglia di circonferenza x = costante nel piano ρ.
Analoghe curve sono poi ottenute se invece di trasformare le rettedel piano z vengono trasformate quelle del piano y e le carte che si ot-tengono eseguendo le trasformazioni dei due insiemi di rette sono dette,rispettivamente, carta di Smith per le impedenze, e carta di Smith perle ammettenze. Per ragioni che verranno illustrate tra breve, la rappre-sentazione grafica delle due carte puo essere fatta coincidere, ed essa eriportata in Fig.(6.11).
140 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.210.21
0.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0.
AN
GLE O
F TRA
NSM
ISS ION
CO
EFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
AN
GLE O
F RE
FLE
CT
I ON
CO
EFFIC
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T IN
DEG
RE
ES
–> W
AV
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ENG
THS
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WA
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GEN
ERA
TOR
–><–
WA
VEL
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LO
AD
<–
IND
UC
TIV
E R
EACT
AN
CE C
OMPO
NENT (+jX
/Z
o), O
R CAPACITIV
E SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-
jX/Z
o), O
R INDUCT
IVE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Da un punto di vista pratico, il fatto che vi sia questa corrispon-denza biunivoca tra i punti del piano z (o y) e quelli del piano ρ signi-fica che quando un generico carico di impedenza z0 (o ammettenza y0)viene disegnato sul piano ρ, esso e ancora determinato univocamentedall’intersezione di due curve coordinate, anche se queste non sono piudelle rette, ma delle circonferenze.
Il principale vantaggio fornito dall’utilizzo della carta di Smith eessenzialmente legato alla estrema facilita con cui puo essere calco-lato il valore dell’impedenza avvertita nelle diverse sezioni della lineadi trasmissione da un’onda che in essa si propaghi. Infatti, si e vistoche l’impedenza normalizzata e legata al coefficiente di riflessione dallarelazione
z(x) =1 + ρ(x)1 − ρ(x)
,
con
ρ(x) = ρLe2iβx , ρL =zL − 1zL + 1
,
nell’ipotesi di linea priva di perdite.Come si e gia avuto modo di notare, quindi, il coefficiente di rifles-
sione descrive, al variare di x, una circonferenza del piano complesso cheviene percorsa in senso antiorario se x cresce ed in senso orario se x cala,e questo fatto comporta due conseguenze:
1. il valore dell’impedenza avvertita dall’onda coincide con zL sulcarico, ma poi esso varia quando ci si muove lungo la linea. Questofatto era d’altra parte stato mostrato dall’esempio che si era con-siderato in precedenza, e che si riferiva al caso di un carico co-stituito da un corto circuito, quando si era visto che il valore diimpedenza variava da zero sul carico ad un valore infinito quandoci si spostava da questo di un tratto pari ad un quarto di lunghezzad’onda;
2. la valutazione del valore z(x) al variare della coordinata lungo lalinea puo essere eseguita per via grafica con estrema semplicita. In-fatti, una volta che si sia posizionato sulla carta di Smith il valorezL, e poi sufficiente tracciare la circonferenza del piano ρ che passaper zL per avere automaticamente tutti i valori che l’impedenzapresenta al variare di x. L’unico aspetto cui e necessario prestarequalche attenzione e quello che riguarda il modo in cui si deve
142 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
tradurre la distanza x dal carico in una opportuno arco di cir-conferenza. Cio va fatto usando la relazione che lega la fase delnumero complesso ρ(x) ad x, relazione che si scrive nella forma
∆φ = 2β∆x = 2π∆x
λ/2. (6.20)
Questa relazione va usata come segue: se si intende valutare ilvalore dell’impedenza ad una distanza ∆x dal carico e necessariocompiere una rotazione che copra l’angolo ∆φ di cui alla (6.20). Sinoti, in particolare, che se lo spostamento dal carico e ∆x = λ/2(o un multiplo intero di questa quantita), la rotazione e pari a 2π(o a suoi multipli interi). Graficamente, cio corrisponde a dire chesi deve compiere un intero giro della carta di Smith, terminandocosi nello stesso punto da cui si era partiti. Questo risultato nondeve sorprendere: si e solo ritrovato, per via grafica, il fatto chel’impedenza avvertita dall’onda lungo la linea e una funzione perio-dica nello spazio, con periodo pari a meta della lunghezza d’onda.
Per facilitare la conversione tra archi di circonferenze e distanze lacarta di Smith e usualmente corredata da una ghiera esterna nellaquale vengono riportate le distanze normalizzate alla lunghezzad’onda. Come si puo notare un giro intero della carta corrispondead una rotazione pari a “0.5” nella ghiera esterna, e questo valoreva inteso nel senso che la rotazione corrisponde a “0.5” volte unalunghezza d’onda. Inotre, nella carta viene anche indicato il sensodi rotazione orario con la dicitura wavelengths toward generator,in accordo con quanto si diceva prima a riguardo del verso di per-correnza della circonferenza rappresentativa di ρ(x) al decresceredi x.
Carta delle ammettenze
Come gia accennato, se si applica un procedimento analogo a quelloillustrato in precedenza, e possibile determinare anche le famiglie dicerchi che rappresentano la trasformazione delle rette a parte reale oparte immaginaria costante dell’ammettenza di un generico carico y0.Si puo fare in modo che la rappresentazione grafica che si ottiene inquesto caso coincida con quella usata per le impedenze; a tal fine esufficiente che siano osservate le seguenti convenzioni:
6.7. CARTA DI SMITH 143
• carta delle impedenze: in questa carta la parte superiore si riferiscea carichi complessi con parte immaginaria x > 0. Si tratta insostanza di carichi che presentano una componente reattiva di tipoinduttivo;
• carta delle ammettenze: anche in questa carta la parte superiore siriferisce a carichi complessi con parte immaginaria b > 0. Tuttavia,occorre tenere presente che, trattandosi di una rappresentazione diammettenze, si tratta ora di carichi che presentano una suscettanzadi tipo capacitivo.
Un esempio di uso della carta di Smith.
ZC ZL
Si consideri una linea con impedenza caratteristica ZC = 50 Ω ecostante di fase pari a quella del vuoto, chiusa su un carico RL serie conR = 100 Ω e L = 79.6 nH. La frequenza di lavoro e f = 100 MHz. Sichiede di
1. di individuare zL sulla carta di Smith;
2. di valutare z alla distanza x1 = −0.375 m;
3. di valutare z alla distanza x2 = −0.75 m;
4. di valutare z alla distanza x3 = −1.5 m.
Soluzione.
Per prima cosa, bisogna valutare l’impedenza. Essa risulta
ZL = R + iωL , ω = 2π f .
144 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Quindi
ZL =(100 + i 2π × 108 79.6 × 10−9
)Ω (100 + i50) Ω .
Si ricorda tuttavia che sulla carta di Smith vanno riportate impedenzenormalizzate, e va quindi eseguita la normalizzazione, che porge
zL =ZL
ZC=
(100 + i50) Ω50 Ω
= 2 + i1 .
Il carico zL viene quindi riportato nel punto A della carta di Smith difigura (6.12) (si noti che, interpretando la carta di Smith come cartadelle impedenze, il punto A cade nella parte superiore della carta, inquanto ImzL > 0.)
Per cio che concerne gli altri quesiti proposti nell’esempio, si richiamail fatto che il calcolo delle impedenze a determinate distanze dal caricopuo essere svolto sulla carta di Smith con estrema facilita ricordandoche, nelle linee prive di perdite risulta
ρ(x) = ρLe2iβx .
Come gia notato, sul piano ρ (in cui e disegnata la carta di Smith) ilmovimento del coefficiente di riflessione al variare della coordinata lungola linea e quindi descritto da una circonferenza, centrata nell’origine, econ verso di rotazione orario se il movimento avviene dal carico verso ilgeneratore. Si usano ora questi fatti per valutare l’impedenza alla di-stanza x = −0.375 m. A tal fine va innanzi tutto notato che la lunghezzad’onda e
λ =c
f= 3m ,
e si tratta quindi di calcolare il valore del carico ad una distanza
x1
λ=
0.3753
=18
, x1 =λ
8.
Il valore dell’impedenza a questa distanza puo quindi essere calcolatoeseguendo una rotazione di λ/8 verso il generatore a partire dal puntoA di Fig.(6.12). Cio puo essere fatto con l’aiuto della ghiera esternaalla carta di Smith, e si trova cosi che il punto sulla carta di Smithrappresentativo dell’impedenza alla distanza x1 = −0.375 m e il puntoB, con impedenza normalizzata
zB = 1 − i1 .
6.7. CARTA DI SMITH 145
In termini reali, l’impedenza vale quindi
ZB = zB ZC = (50 − i50) Ω .
Ovviamente, questo valore puo essere trovato anche eseguendo tutti icalcoli analitici basati sulla dipendenza del coefficiente di riflessione dalladistanza, e sul legame tra coefficiente di riflessione e impedenza. Infatti,si ha
Z(x) = ZC1 + ρ(x)1 − ρ(x)
, ρ(x) = ρLe2iβx ,
conρL =
zL − 1zL + 1
=2 + i − 12 + i + 1
=1 + i
3 + i.
Quindi
ρ(x) = ρLe2iβx =1 + i
3 + i(−i) =
1 − i
3 + i.
Ne deriva
Z(x) = ZC1 + ρ(x)1 − ρ(x)
= ZC(1 − i) = (50 − i50) Ω ,
che coincide con il valore trovato in precedenza per via grafica.Si passi ora a valutare il carico avvertito dall’onda nella linea alla
distanza x2 = −0.75 m. Si ha x2/λ = −0.25 e si tratta quindi dioperare una rotazione che conduca, sulla ghiera esterna della carta diSmith, dal valore 0.214 che e quello in corrispondenza al carico, al valore0.214 + 0.25 = 0.464. Si individua cosi il punto indicato come punto Cin Fig.(6.12), che rappresenta un carico con impedenza normalizzata
zpunto C = 0.4 − i0.2 ,
cui corrisponde l’impedenza
Zpunto C = zpunto C ZC = (20 − i10) Ω .
Si noti che risulta
zpunto C = 0.4 − i0.2 =1
2 + i=
1zA
,
ed e quindi lecito domandarsi se sia strano aver trovato una impedenzanormalizzata che, alla distanza x2 = −λ/4, e il reciproco del valoreiniziale. La risposta e no, dal momento che, in generale, vale
Z(x) = ZC1 + ρ(x)1 − ρ(x)
, ρ(x) = ρLe2iβx ,
146 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
cosicche quando x = −λ/4, si trova
2βx = 22π
λ
λ
4= π ,
e quindi
ρ
(−λ
4
)= ρLe−iπ = −ρL .
Pertanto, se inizialmente vale
zL =1 + ρL
1 − ρL,
si ha, alla distanza λ/4 dal carico
z
(−λ
4
)=
1 − ρL
1 + ρL=
1zL
.
Si sottolineano due fatti:
1. questo risultato generalizza quello che si era trovato quando si erastudiato il caso di una linea chiusa su un cortocircuito: infatti, siera allora osservato che, nello spostarsi di una distanza pari a λ/4si passava da un valore di impedenza nullo ad uno infinito;
2. la relazione z(x − λ/4) = 1/z(x) vale ovviamente solo con riferi-mento alle grandezze normalizzate. Non si deve compiere l’errore,frequente quando non si ha sufficiente dimestichezza con lo studiodella propagazione nelle linee, di tentare di applicare questa re-lazione alle grandezze non normalizzate: ne deriverebbe un legameche risulta insostenibile almeno dal punto di vista dimensionale.
Il terzo e ultimo quesito posto dall’esercizio e infine quello relativo alcalcolo del valore dell’impedenza alla distanza x3 = −1.5 m. Questo cal-colo e immediato, notando che x3 = −λ/2 e quindi, poiche le grandezzeche compaiono nella carta di Smith sono periodiche di periodo λ/2,
Z
(−λ
2
)= ZL .
6.7. CARTA DI SMITH 147
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-2520
-2015
-1510
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.410.42
0.420.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
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GL
E OF R
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IND
UC
TIV
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EAC
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COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.12: Carta di Smith relativa al primo esempio.
148 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Secondo esempio di utilizzo della carta di Smith.
Si illustra ora un secondo esempio di utilizzo della carta di Smith, esi fa questa volta riferimento al caso della carta delle ammettenze. Siconsideri dunque il circuito in figura, nel quale la costante di fase e paria quella del vuoto
ZL = (40 + i 20) ΩZC = 50 Ω
f = 100 MHz
e si calcoli l’ammettenza alla distanza d = −0.3 m.
Soluzione.Per prima cosa, si calcoli l’ammettenza del carico. Essa risulta
YL =1
ZL=
140 + i20
Ω−1 =40 − i20
(40)2 + (20)2Ω−1 = (0.02 − i0.01) Ω−1 .
L’ammettenza normalizzata e quindi
yL = YL ZC = 1 − i0.5 .
Si riporti questo punto sulla carta delle ammettenze. Essa si trova nelpunto A della carta riportata in figura (6.13). Si noti che il punto A sitrova nella parte inferiore della carta, perche ImyL < 0.
L’esercizio chiede di valutare l’ammettenza ad una distanza d =−0.3 m. Si ricorda che le rotazioni sulla carta di Smith sono sempreriferite alla lunghezza d’onda che risulta ora
λ =c
f= 3m .
Quindi, l’ammettenza richiesta puo essere ricavata operando una ro-tazione pari a d/λ = 0.1 nel senso orario che indica il movimento dalcarico verso il generatore. Con l’ausilio dell ghiera esterna, si vede che ilpunto A e in corrispondenza al valore 0.356, ed occorre quindi ruotare
6.7. CARTA DI SMITH 149
sulla ghiera esterna fino a che si incontra il valore 0.356 + 0.1 = 0.456.Questo porta a riconoscere che il punto rappresentativo dell’ammettenzaalla distanza d dal carico e
y(−d) = 0.65 − i0.15 ,
cui corrisponde il valore reale
Y (−d) =y(−d)ZC
=0.65 − i0.15
50Ω−1 = (0.013 − i0.003) Ω−1 .
150 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
AN
GL
E OF R
EFLEC
TI O
N C
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THS
TOW
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D G
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R —
><—
WA
VEL
ENG
THS
TOW
AR
D L
OA
D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.13: Carta di Smith relativa al secondo esempio.
6.7. CARTA DI SMITH 151
Esercizio n.1
Sia dato il circuito in figura
C1 2 1
d
ZCZC
A
A
C R
nel quale la costante di fase e pari a quella del vuoto, f = 200 MHz,ZC = 50 Ω, d = 30 cm, R1 = 25 Ω e C1 = C2 = 16 pF. Si chiede divalutare l’impedenza che si misura alla frequenza f ai morsetti AA’.
Soluzione.Innanzi tutto, si valuti il carico costituito dal parallelo tra R1 e C2.Risulta comodo valutare l’ammettenza che vale
YL = YR1 + YC2 ,
conYR1 =
1R1
=1
25 Ω= 0.04 Ω−1 ,
YC2 = iω C2 = i(2πf)C2 i0.02 Ω−1 .
Pertanto, l’ammettenza di carico normalizzata risulta
Si riporti questo valore sulla carta delle ammettenze (punto A di figura(6.14). Per valutare quanto richiesto e necessario riportare il carico inparallelo al condensatore C1. Come di consueto, questo puo essere fattocon l’ausilio della ghiera esterna alla carta di Smith, ma ricordando che lerotazioni vanno calcolate in rapporto alla lunghezza d’onda, che risulta
λ =c
f= 1.5 m .
152 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
La rotazione e quindi di d/λ = 0.2, e porta al punto B di figura (6.14)con
yB = 0.5 − i0.5 ⇒ YB =yB
ZC= (0.01 − i0.01) Ω−1 .
Il circuito e quindi equivalente ad un circuito con il parallelo di dueammettenze, del tipo di quello indicato in figura
A
A
C YB
e l’ammettenza ai morsetti AA’ e allora data dal parallelo tra l’ammet-tenza YB e l’ammettenza del condensatore C1, ovvero essa risulta
YAA′ = YC1 + YB = YC2 + YB = (0.01 + i0.01) Ω−1 .
L’impedenza cercata e quindi
ZAA′ =1
YAA′= (50 − i50) Ω .
6.7. CARTA DI SMITH 153
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
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IN D
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EES
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E OF R
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D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.14: Carta di Smith relativa all’esercizio n.1
154 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Esercizio n. 2
E dato il circuito di figura
2 1
d
ZC
A
A
C R
l
nel quale la costante di fase e pari a quella del vuoto, f = 200 MHz,ZC = 50 Ω, d = 30 cm, R1 = 25 Ω e C2 = 16 pF. Si chiede di va-lutare l’impedenza vista ai morsetti AA’ quando agli stessi morsetti econnesso, in parallelo, uno spezzone di linea di impedenza ZC , chiuso incortocircuito, e di lunghezza
1. 1 = 0.3 m,
2. 2 = 1.3125 m.
Soluzione.Si e visto nell’esercizio n.1 che il parallelo tra R1 e C2 riportato aimorsetti AA’ ha ammettenza
yb = 0.5 − i0.5 .
Si consideri ora lo spezzone di linea in parallelo ai morsetti AA’. Esso puoessere considerato come un secondo carico (in parallelo) con ammettenza
Ys = ∞ ⇒ ys = Ys Zc = ∞ .
Nella carta di Smith esso appare dunque nel punto A di figura (6.15). Percalcolare quanto chiede l’esercizio, e necessario valutare l’ammettenzadel cortocircuito posto in parallelo ai morsetti AA’ quando essa vieneriportata ai morsetti stessi.
6.7. CARTA DI SMITH 155
– Caso 1). In questo caso 1 = 0.3 m e cioe 1/λ = 0.2. Eseguendola rotazione si termina quindi nel punto D1 di figura (6.15) conammettenza
yd1 = −i0.33 ,
cosiccheyAA′ = Yb + Yd1 = 0.5 − i0.83 ,
YAA′ =yAA′
ZC= (0.01 − i0.0166) Ω−1 ,
e dunque
ZAA′ =1
YAA′= (26.62 + i44.2) Ω .
– Caso 2). In questo caso 2/λ = 0.875 e si termina nel punto D2
con ammettenza normalizzata
yD2 = i1 .
Si nota quindi che il comportamento elettrico del tratto di lineadi lunghezza 2 e lo stesso del condensatore C1 del precedenteesercizio, di modo che (si veda l’esercizio n.1)
ZAA′ = (50 − i50) Ω .
156 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.210.21
0.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE
OF T
RA
NSM
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N C O
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CI EN
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IND
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EACT
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COM
PON
ENT (
+ j X/Z o)
, OR C
APACIT IVE SUSCEP
TANC E (+jB /Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONEN
T (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE SU
SCEP
TAN
CE (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.15: Carta di Smith relativa all’esercizio n.2
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 157
6.8 Il progetto di un adattatore.
Introdotta la carta di Smith, si passa ora ad illustrarne l’uso ai fini delprogetto di un adattatore privo di perdite. Come si e visto, quando eassegnato un carico generico di impedenza ZL, esso puo essere norma-lizzato rispetto all’impedenza caratteristica della linea su cui e chiusosecondo l’espressione
zL =ZL
ZCo yL = YL ZC ,
e poi posizionato sulla carta di Smith. Se il carico e adattato all’impe-denza della linea risulta quindi
r = 1 , i x = 0 ,
nella rappresentazione di impedenza, o
g = 1 , i b = 0 ,
in quella dell’ammettenza e, in entrambi i casi, esso si posiziona nelcentro della carta stessa. Per contro, ogni altro carico non adattato allalinea risulta rappresentato da un punto della carta di Smith che nongiace nel suo centro.
Dal punto di vista grafico, che e quello che si utilizza quando cisi avvale della carta di Smith, il progetto di un adattatore puo quindiessere considerato come un problema che si pone nei seguenti termini: eassegnato un carico che non si trova nel centro della carta di Smith, e sitratta di capire come l’uso di tratti di linea e/o di componenti passivipossa consentire di operare sulla carta uno spostamento che conduca dalpunto rappresentativo del carico sino al centro della carta stessa.
Come si vedra tra breve, esistono essenzialmente tre metodi in cuiquesto puo venire fatto. Essi sono i metodi di adattamento che utiliz-zano, rispettivamente, adattatori:
1. a singolo stub;
2. a doppio stub;
3. a quarto di lunghezza d’onda o, brevemente, a λ/4.
158 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
6.8.1 L’adattatore a stub semplice.
Si tratta di un adattatore del tipo illustrato in figura (6.16)
d
ZC ZL
l
Figura 6.16: Schema di principio dell’adattatore a singolo stub.
e, come si vede, esso e realizzato connettendo in parallelo al carico, e aduna distanza d da esso, un tratto di linea chiusa in cortocircuito. Questotratto di linea e detto stub, e la sua impedenza caratteristica puo essere,indifferentemente, uguale o diversa da quella della linea che costituisceil collegamento.
Il progetto di questo tipo di adattatore prevede essenzialmente l’in-dividuazione di due parametri, che sono
• la distanza d dal carico a cui va fatta l’inserzione, e
• la lunghezza dello stub che si inserisce.
L’illustrazione del dimensionamento di questi due parametri vieneora svolta tramite un esempio.
Esercizio n.3
Si consideri il circuito di fig.(6.17), nel quale J = 0.1 A, ZG = 50 Ω,ZC = 50 Ω, dTOT = 1.5 m, R = 125 Ω, L = 132.63 nH e la frequenza dilavoro e f = 300 MHz. La costante di fase e pari a quella del vuoto.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 159
ZC
d
Z CR
dTOT
ZGJ L
l
Figura 6.17: Schema del circuito utilizzato nell’esercizio n. 3.
Si chiede di
1. dimensionare un adattatore a stub semplice;
2. valutare la potenza erogata dal generatore
(a) prima di avere inserito l’adattatore;
(b) dopo aver inserito l’adattatore;
Soluzione.
Poiche lo stub e realizzato ponendo in parallelo uno spezzone di linea, epreferibile lavorare con le ammettenze. Si calcoli dunque l’ammettenzadi carico. Questo e formato dal parallelo di un resistore ed un induttore,e vale quindi
YL =1R
+1
iωL=
(1
125+
1i250
)Ω−1 = (8 − i4) × 10−3 Ω−1 ,
e l’ammettenza normalizzata vale quindi
yL = YL ZC = 0.4 − i0.2 .
160 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Si riporti questo valore sulla carta di Smith: esso si colloca nel punto Adi figura (6.18).
Si consideri ora il comportamento elettrico dello stub. Si e visto nel-l’esercizio n.2 che un tratto di linea posto in parallelo ad una linea ditrasmissione presenta, ai morsetti cui e connesso, una ammettenza yS
che e un numero immaginario puro (lo stub ha cioe comportamento pu-ramente reattivo, come deve essere dal momento che essendo realizzatocon un cortocircuito esso non puo dissipare potenza), che dipende dallalunghezza del tratto di linea con cui esso e realizzato.
Nell’adattatore a stub semplice, l’ammettenza cosi costituita vieneposta in parallelo a quella che il carico presenta dopo un tratto di lun-ghezza d, y(−d), e quello che si vuole ottenere e che il parallelo di questedue ammettenze realizzi l’adattamento, ovvero che
y(−d) + yS = 1 + 0 i .
In altre parole, il parallelo delle due ammettenze deve avere parte realeunitaria e parte immaginaria nulla, ovvero, tenendo conto che yS e unaammettenza immaginaria pura, deve risultare
La prima condizione permette quindi di stabilire la distanza d a cuiposizionare lo stub dal carico. Questa distanza e infatti quella a cuiil carico presenta parte reale unitaria, ed essa puo essere individuatatramite una semplice rotazione sulla carta di Smith.
Si ricorda infatti che, muovendosi lungo la linea dal carico al gene-ratore, il punto rappresentativo dell’ammettenza compie, sulla carta diSmith, una rotazione circolare in senso orario. La rotazione andra quindicompiuta per una lunghezza tale da portare il punto sulla carta di Smithdal carico fino al cerchio a parte reale dell’ammettenza costante e paria uno.
Con riferimento ai dati dell’esercizio, cio significa una rotazione cheda luogo a due soluzioni. La prima e quella che conduce dal punto A alpunto B di figura (6.18). In questo punto si ha
ypunto B = 1 + i1 ,
ed esso e raggiunto tramite una rotazione che puo essere letta sulla ghieraesterna della carta di Smith, e che vale
d
λ= B′ − A′ = 0.162 + 0.037 0.2 .
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 161
Si faccia attenzione che il valore cosi individuato e il rapporto tra d ela lunghezza d’onda, di modo che il valore reale della distanza cui vainserito lo stub semplice e
d = 0.2 λ .
In particolare, poiche nell’esercizio si ha f = 300 MHz, vale λ = 1 m equindi d = 20 cm.
Come illustrato nella carta, questa soluzione non e l’unica possibile,ma ne esiste invece una seconda, indicata con la lettera C in figura (6.18).Per questa vale
ypunto C = 1 − i1 ,
ed essa e ottenuta per mezzo di una rotazione con
d
λ= C ′ − A′ = 0.337 + 0.037 0.375 ,
ovvero d = 37.5 cm.Entrambe le soluzioni sono accettabili, ma in genere si tende a prefe-
rire quella che prevede il valore minore di d perche questa e la soluzioneche da luogo al piu breve tratto di linea non adattato.
Per completare l’adattamento, si deve ora dimensionare la lunghezzadello stub in modo che esso compensi la parte immaginaria dell’ammet-tenza di carico riportata alla distanza −d, come espresso dalla relazione
Imy(−d) + ImyS = 0 .
Se si fa riferimento alla prima delle due soluzioni individuate in prece-denza, ovvero a quella con ammettenza ypunto B = 1+ i1 si dovra quindirealizzare uno stub che presenti, ai morsetti ove esso e connesso in pa-rallelo, una suscettanza
bS = ImyS = −1 .
Questa suscettanza e ottenuta con un tratto di linea la cui lunghezzapuo essere valutata, una volta ancora, per mezzo della carta di Smith.Il procedimento e il seguente. Lo stub e un corto circuito, e come talepresenta impedenza nulla, ed ammettenza infinita. Quando esso vieneriportato sulla carta di Smith delle ammettenze, si trova quindi nel puntodi estrema destra (punto S0 in Fig.(6.18)). La lunghezza dello stub equella che consente di spostarsi da quel punto fino al punto di suscettanza
162 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
bS = −1, indicato come S1 in figura (6.18). La rotazione necessaria edunque
λ= 0.375 − 0.25 = 0.125 ⇒ = 12.5 cm .
Nel caso del punto indicato con C, si deve invece avere
yS = +i1 ,
e questo valore puo essere ottenuto con una rotazione pari a
λ= 0.25 + 0.125 = 0.375 ⇒ = 37.5 cm .
Calcolo delle potenze.
Al fine di calcolare la potenza impiegata dal generatore, sia prima siadopo l’inserimento dell’adattatore, conviene riportare lo schema del cir-cuito ad un equivalente del tipo
ZG ZLJ
Prima dell’adattamento. Lo schema equivalente richiede di riportare ilcarico ai morsetti del generatore, cosa che si puo fare con la carta diSmith, operando una rotazione
dTOT
λ=
1.5 m1 m
= 1.5 .
Si vede quindi che dTOT e un multiplo intero di mezza lunghezza d’ondadi modo che
Z ′L = ZL .
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 163
Il circuito equivalente e dunque il seguente
ZG ZLJ
A
A
e la potenza erogata dal generatore e quella che esce dai morsetti AA’.Essa e data da
PAA′ =12VAA′ (IAA′)∗ ,
con (regole del partitore di corrente)
IAA′ = JZG
ZG + ZL, VAA′ = J
ZG ZL
ZG + ZL.
PertantoPAA′ = 50 mW + 25 mVA .
Prima dell’adattamento il generatore eroga quindi potenza sia attiva, siareattiva.
Dopo l’adattamento. Poiche la linea e adattata, il circuito equivalente e
ZG ZCJ
e quindi
PAA′ =12|J |2
∣∣∣∣ ZG
ZG + ZC
∣∣∣∣2 ZC =|J |28
ZC = 62.5 mW .
164 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
AN
GL
E OF R
EFLEC
TI O
N C
OE
FFICIE
NT
IN D
EGR
EES
—>
WA
VEL
ENG
THS
TOW
AR
D G
ENER
ATO
R —
><—
WA
VEL
ENG
THS
TOW
AR
D L
OA
D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.18: Carta di Smith relativa all’esercizio n.3
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 165
6.8.2 L’adattatore a doppio stub.
Questo tipo di adattatore e realizzato connettendo in parallelo alla lineadi trasmissione due stub, il primo dei quali e collegato direttamente sulcarico, ed il secondo ad una distanza d che puo assumere i valori
d =
λ
8,λ
4,3λ
8
.
d
ZL
l2 l 1Z C
Cio che rimane da stabilire sono dunque solo le lunghezze 1 e 2 deidue stub, e cio viene svolto secondo i criteri illustrati tramite il seguenteesempio.
Esercizio n.4
3λ / 8
ZL
Vg
Rg
l2 l 1
Z C
Una linea di trasmissione avente costante di fase pari a quella delvuoto, impedenza caratteristica ZC = 50 Ω e lunghezza lTOT = 2.25 m e
166 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
chiusa su un carico che, alla frequenza f = 300 MHz, risulta caratteriz-zato da un coefficiente di riflessione ρL con
|ρL| = 0.5 , fase(ρL) = 50o .
Si chiede di determinare:
1. le lunghezze 1 e 2 dei due elementi di un doppio stub che, con-nesso sul carico e con distanza tra gli stub pari a d = 3λ/8, realizzal’adattamento in uniformita.
2. La potenza erogata da un generatore adattato in potenza (Rg =50 Ω) con tensione di picco Vg = 50 V, prima e dopo l’adattamento.
Soluzione.Per prima cosa, occorre individuare il carico. Espresso secondo la suaammettenza normalizzata, esso e
yL =1 − ρL
1 + ρL,
conρL = |ρL| exp i fase(ρL) = 0.32 + i0.38 .
Risulta quindiyL = 0.4 − i0.4 ,
e questo valore puo essere riportato sulla carta di Smith, dove esso ap-pare nel punto A di figura (6.19).
Si consideri ora il problema dell’adattamento. Al fine di comprenderela procedura che consente il dimensionamento delle lunghezze degli stube opportuno rifarsi a quanto si e visto nello studio dell’adattatore asingolo stub. Si consideri infatti il doppio stub, e, per il momento, siconcentri l’attenzione sul secondo degli stub, cioe su quello che non econnesso direttamente sul carico. Analogamente a quanto si e visto nelcaso dell’adattatore a singolo stub, anche in questo caso quello che si stacercando di fare e di avere, a sinistra del secondo stub, il carico adattato,cioe
y(2)sx = y(a sinistra del secondo stub) = 1 ,
e va tenuto conto che il secondo stub ha una ammettenza yS2 che epuramente immaginaria. Si puo cioe scrivere
y(2)sx = 1 = yS2 + y
(2)dx ,
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 167
dove y(2)dx e l’ammettenza che si ha subito a destra del secondo stub.
Scritta per esteso, questa relazione si divide in
1 = Rey
(2)dx
,
e0 = Im yS2 + Im
y
(2)dx
.
Si sono quindi ottenute due relazioni che indicano quanto segue:
• la prima che occorre fare in modo di avere, a destra del secondostub, una ammettenza con parte reale unitaria, ovvero una ammet-tenza che, riportata sulla carta di Smith, giaccia sulla circonferenzaa parte reale costante g = 1;
• la seconda da invece il criterio di dimensionamento per il secondostub, indicando che questo deve avere una suscettanza tale da com-pensare la parte immaginaria dell’ammettenza presente a destradello stub.
Il dimensionamento del secondo stub e dunque del tutto identico a quellovisto nel caso dell’adattatore a singolo stub, e puo essere fatto individu-ando, tramite la carta di Smith, la lunghezza che deve avere un trattodi linea per presentare una suscettanza pari a quella desiderata.
Cio che va invece capito e come soddisfare la prima delle due relazionisopra esposte. La relazione dice infatti che la parte reale dell’ammettenzadel carico a destra del secondo stub deve essere unitaria, ma quello cheinteressa sapere e come si fa ad ottenere questo valore a partire dai datiche si hanno in possesso, ovvero dal carico ed eventualmente dal primostub.
La domanda da porsi e allora la seguente: se a destra del secondostub l’ammettenza deve essere rappresentata da un punto sulla carta diSmith che giace sulla circonferenza g = 1, dove si deve trovare il puntorappresentativo dell’ammettenza a sinistra del primo stub? Ovviamente,la risposta e che esso si deve trovare in un punto della carta di Smith taleche quando si parta da esso e si compia una rotazione corrispondentealla distanza tra i due stub, si termini sul cerchio g = 1.
L’insieme dei possibili punti che soddisfano questa richiesta e di facileindividuazione sulla carta di Smith. E infatti sufficiente disegnare unacirconferenza uguale a quella con g = 1, ruotata in senso antiorariodi una distanza d rispetto a questa. I punti della circonferenza cosi
168 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
disegnata sono infatti quei punti che il tratto di linea interposta fra idue stub fa poi terminare sul cerchio g = 1.
Si e cosi in grado di stabilire come debba essere fatta l’ammettenza asinistra del primo stub, ed essa deve dunque essere rappresentata da unpunto della carta di Smith che giaccia sulla circonferenza g = 1 ruotatadi una quantita pari a d verso il carico. In particolare, quindi, se d = λ/8,la curva g = 1 va ruotata di 90 gradi in senso antiorario, mentre cond = λ/4 la rotazione deve essere di 180 gradi, e con d = 3λ/8 di 270gradi. Si indichi con y
(1)sx l’ammettenza a sinistra del primo stub cosi
individuata.Il dimensionamento del doppio stub e a questo punto quasi com-
pleto: a sinistra del primo stub c’e l’ammettenza y(1)sx mentre a destra
c’e l’ammettenza di carico yL. Il legame tra le due ammettenze e (pa-rallelo di ammettenze)
y(1)sx = yS1 + y
(1)dx = yS1 + yL ,
dove yS1 e l’ammettenza del primo stub. Sulla carta di Smith il punto adestra del primo stub e il punto rappresentativo del carico, mentre y
(1)sx
giace sulla curva g = 1 ruotata. Lo stub connette questi due punti, epoiche esso ha ammettenza puramente immaginaria, opera questa con-nessione tramite un movimento lungo le curve a parte reale costante,ed in particolare lungo la curva a parte reale costante uguale alla partereale dell’ammettenza del carico.
Operativamente quindi, l’ammettenza y(1)sx sara individuata dai punti
della carta di Smith nei quali la circonferenza g = 1 ruotata incrocia lacurva a parte reale uguale alla parte reale del carico, ed il dimensio-namento del secondo stub andra svolto sulla base della relazione soprascritta e che, espansa nella sua parte reale ed immaginaria, si legge come
Rey(1)
sx
= Re yL , Im
y(1)
sx
= Im yS1 + Im yL .
Il primo stub deve quindi avere suscettanza
bS1 = Im yS1 = Imy(1)
sx
− Im yL ,
e, come di consueto, esso puo essere realizzato con un tratto di linea lacui lunghezza va individuata con l’ausilio della ghiera esterna alla cartadi Smith.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 169
Si consideri l’esempio dell’esercizio proposto. In questo esercizio ladistanza tra i due stub e d = 3λ/8 e quindi come prima cosa, si deveriportare sulla carta di Smith la circonferenza g = 1 ruotata di 270 gradiin senso antiorario, come mostrato in figura (6.19).
Succesivamente, si individuano i punti nei quali la circonferenza ruo-tata incrocia la curva a parte reale costante uguale alla parte reale di yL.Questi due punti, indicati con le lettere B1 e B2 in figura (6.19) sono leammettenze y
(1)sx ammissibili. Esse risultano
B1 : yB1 = 0.4 − i0.2 ; B2 : yB2 = 0.4 − i1.8 .
Il dimensionamento del primo stub va quindi fatto come segue: nel primocaso la situazione e quella illustrata in figura
Questo valore di suscettanza e ottenuto con un tratto di linea di lun-ghezza (si veda il punto B′
1 di figura (6.19))
1
λ= 0.25 + 0.03 = 0.28 ,
e poiche λ = c/f = 1 m1 = 28 cm .
Analogamente, se viene scelta la seconda soluzione si ha
yS1 = yB2 − yL = −i1.4 ,
170 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
e questa suscettanza puo essere ottenuta con una linea di lunghezza (siveda il punto B′
2 in figura (6.20))
1
λ= 0.349 − 0.25 = 0.095 ⇒ 1 = 9.5 cm .
Individuate le due soluzioni ammissibili, e le relative lunghezze delprimo stub, si esegue la rotazione pari a d = 3λ/8. Per semplicita, siesegue solo il calcolo relativo al caso della soluzione che fornisce il valoreminimo di 1, cioe quella corrispondente al punto B2). La rotazioneconduce al punto indicato con la lettera C nella figura (6.19), che haammettenza
ypunto C = 1 + i3 .
Il secondo stub deve quindi compensare una suscettanza pari a i3, ovveroavere
yS2 = −i3
Questa puo essere ottenuta con una linea di lunghezza
2
λ= 0.302 − 0.25 = 0.052 ⇒ 2 = 5.2 cm .
Calcolo delle potenze
Prima dell’adattamento. Conviene, come di consueto, fare riferimentoad uno schema equivalente del tipo
VG
RG
A
A
ZL
e poiche la linea ha lunghezza lTOT che e multipla di λ/4 risulta
y′L =1yL
,
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 171
(si faccia attenzione che la relazione e vera solo con le ammettenze nor-malizzate, se non altro per ragioni di dimensioni fisiche). Pertanto
y′L =1
0.4 − i0.4= 1.25 + i1.25 ,
e quindi anche
z′L =1y′L
= 04. − i0.4 .
In termini realiZ ′
L = z′L ZC = (20 − i20) Ω .
La potenza richiesta e quella che esce dai morsetti AA’, ed e data da
PAA′ =12VAA′ (IAA′)∗ ,
con (partitore di tensione)
VAA′ = VgZ ′
L
Rg + Z ′L
, IAA′ =Vg
Rg + Z ′L
.
Pertanto
PAA′ =12
∣∣∣∣∣ Vg
Rg + Z ′L
∣∣∣∣∣2
Z ′L = 4.71 W − i4.71 VA .
Dopo dell’adattamento. Dopo l’adattamento il circuito equivalente sichiude su un carico Z ′
L = ZC = Rg e quindi
PAA′ =12
∣∣∣∣∣ Vg
2Rg
∣∣∣∣∣2
Rg = 6.25 W .
172 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
AN
GL
E OF R
EFLEC
TI O
N C
OE
FFICIE
NT
IN D
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EES
—>
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VEL
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R —
><—
WA
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D L
OA
D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.19: Carta di Smith relativa all’esercizio n.4.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 173
Come ulteriore esempio di progettazione di un adattatore a doppiostub, si esegue qui di seguito l’adattamento del carico del precedenteesercizio con un adattatore a doppio stub avente distanza tra gli stubparia d = λ/4 invece che d = 3λ/8.
In questo caso, si dovra quindi tracciare sulla carta di Smith il cerchiog = 1 ruotato di 180 gradi (in senso antiorario, anche se, come ovvio,con una rotazione di 180 gradi la cosa e irrilevante), come illustrato infigura (6.20).
Si individuano poi i punti di intersezione tra il cerchio cosi trac-ciato e la circonferenza a parte reale costante, ed uguale alla parte realedell’ammettenza di carico, ReyL = 0.4. Essi sono i punti indicati comeB1 e B2 in figura (6.20), e risultano rispettivamente caratterizzati daivalori di ammettenza
B1 : yB1 = 0.4 − i0.5 ; B2 : yB2 = 0.4 + i0.5 .
La suscettanza del primo stub e allora, nei due casi
B1 : yB1 = 0.4 − i0.5 = yS1 + yL ⇒ yS1 = −i0.1 ,
B2 : yB2 = 0.4 + i0.5 = yS1 + yL ⇒ yS1 = +i0.9 .
Queste suscettanze possono essere realizzate con tratti di linea di lun-ghezza rispettivamente pari a
B1 :1
λ= 0.486 − 0.25 ⇒ 1 = 23.6 cm ,
B2 :1
λ= 0.25 + 0.116 ⇒ 1 = 36.6 cm .
Supposto di scegliere la soluzione B2, si puo ora compiere la rotazionedi 180 gradi, per raggiungere il punto C di figura (6.20), che risultacaratterizzato dall’ammettenza
ypunto C = 1 − i1.2 .
Il secondo stub deve quindi avere suscettanza
bS2 = 1.2 ,
che puo essere ottenuta per mezzo di un tratto di linea di lunghezza
2
λ= 0.25 + 0.14 ⇒ 1 = 39 cm .
174 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
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-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
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SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
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D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.20: Carta di Smith relativa all’adattatore a doppio stub propostonell’esercizio 4, con distanza d = λ/4 tra gli stub.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 175
6.8.3 L’adattatore a λ/4.
Si consideri un tratto di linea di lunghezza λ/4, con impedenza caratte-ristica ZC1 chiuso su un carico con impedenza ZL.
ZC1
ZLZL
λ / 4
Con riferimento alle impedenze normalizzate, si ha
z′L =Z ′
L
ZC1=
1zL
=1
ZL/ZC1,
e pertanto
Z ′L =
Z2C1
ZL.
Il tratto di linea di lunghezza λ/4 si comporta quindi come un invertitoredi impedenza, e fa si che il carico presenti un nuovo valore di impedenza,Z ′
L, che dipende da ZC1.Un oggetto di questo tipo permette dunque di adattare una impe-
denza ad un’altra impedenza, e puo quindi essere utilizzato per realizzarel’adattamento di uniformita.
Infatti, si supponga in un primo momento di voler adattare un caricoreale
ZL = RL ,
ad una linea con impedenza caratteristica ZC . E sufficiente a tal fineintrodurre un tratto di linea di lunghezza λ/4
ZC1
RL
λ / 4
ZC RL
176 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
che faccia in modo cheR′
L = ZC .
L’unico parametro su cui si puo agire e, ovviamente, l’impedenza carat-teristica ZC1 del tratto di lunghezza λ/4, ed il dimensionamento va fattoin base alla relazione
R′L =
Z2C1
RL= ZC .
QuindiZC1 =
√RL ZC .
Questo valore di impedenza caratteristica del tratto λ/4 permette dun-que di adattare un carico reale RL. La domanda che sorge spontanea eallora se questo adattatore sia utilizzabile anche con carichi non reali, ela risposta e affermativa.
Infatti, se si ha un carico con parte immaginaria non nulla, e suf-ficiente interporre il tratto di linea λ/4 non direttamente sul carico,ma ad una distanza d dove esso risulta reale. Si consideri per esempiol’adattamento di un carico con impedenza
ZL = (50 + i25) Ω ,
ad una linea con impedenza caratteristica ZC = 50 Ω. Lo schemadell’adattatore e
ZC1
λ / 4
ZLZC
ZC
d
e cio che bisogna individuare sono la distanza d e l’impedenza caratte-ristica ZC1.
Il dimensionamento di questi due parametri risulta immediato quandosi usi la carta di Smith. Occorre innanzi tutto riportare il carico sullacarta; a tal fine si calcola il valore normalizzato,
zL =ZL
ZC= 1 + i0.5 ,
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 177
che compare sulla carta di Smith delle impedenze in un punto A comequello rappresentato in figura (6.21). La distanza d viene individuataimponendo che, a quella distanza, il carico abbia componenete immagi-naria nulla. Dalla lettura della carta di Smith si trovano due soluzioni,
B1 : zB1 = 1.65 ,
ottenuto con una rotazione
d
λ= 0.25 − 0.146 = 0.104 ,
ed una seconda soluzione che puo essere ricavata dalla prima con unarotazione di meta carta di Smith, ed ha quindi
B2 : zB2 =1
zB1
= 0.6 ,d
λ=
(d
λ
)B1
+ 0.25 .
Per calcolare le impedenze caratteristiche ZC1 del λ/4 e necessario ri-tornare ai valori dimensionali per le impedenze di carico riportate alladistanza x = −d. Si ottiene:
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.21: Carta di Smith relativa all’adattatore a λ/4.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 179
6.8.4 Un esercizio riassuntivo
A conclusione del capitolo si propone un esercizio riassuntivo dove ven-gono rivisitati i criteri di adattamento dei tre tipi di adattatori proposti,e viene anche illustrato come si possa valutare l’andamento dei modulidi tensione e corrente lungo la linea. Si consideri dunque il circuito difigura
Vg
Rg
A
A B
B
ZCR
L C
nel quale la linea ha costante di fase pari a quella del vuoto, Rg = ZC =50 Ω, Vg = 10 V, R = 37.5 Ω e L = 3nH, C = 147.42 pF e AB = 15.10 m.La frequenza e f = 200 MHz.
1. Si determini la potenza complessa erogata dal generatore.
2. Si dimensioni un adattatore che, inserito ai morsetti BB’ realizzil’adattamento in uniformita, e che sia
• uno stub semplice;
• uno stub doppio con distanza 3λ/8 tra i due elementi;
• un adattatore a λ/4.
3. In condizioni di adattamento, si calcoli la potenza complessa ero-gata dal generatore, e la potenza complessa su ogni elemento delcarico;
4. Con l’adattatore a doppio stub inserito, si tracci l’andamento delmodulo della tensione e della corrente lungo la linea (si consideriil solo doppio stub che rende minimo il valore della lunghezza d1
del primo stub).
180 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Soluzione.
Per calcolare la potenza complessa erogata dal generatore, e neces-sario valutare l’impedenza del carico, e riportarla ai morsetti AA’ delgeneratore, in modo che il circuito possa essere rappresentato in unaforma equivalente del tipo
Vg
Rg
A
A
ZB
IAA
Si valuti quindi innanzi tutto l’impedenza del carico, che e costituito dauna resistenza R posta in serie al parallelo di L e C. Quindi
ZL = R + ZCond. ‖ Ind. ,
con
ZCond. ‖ Ind. =1
1ZCond
+1
ZInd
=1
iω C +1
iωL
=iω L
1 − ω2CL.
Risulta allora
ZL = R +iω L
1 − ω2CL= (37.5 + i12.5) Ω .
Si normalizzi questo valore rispetto a ZC ; si ottiene
zL =ZL
ZC= 0.75 + i0.25 .
Si riporti questo valore sulla carta di Smith, dove esso appare nel punto Adi figura (6.22). Il carico puo essere ora riportato al generatore medianteuna rotazione (verso il generatore, e cioe in senso orario) corrispondentead un tratto di linea con lunghezza AB = 15.10 m. Si ricorda che sulla
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 181
carta di Smith le rotazioni sono espresse rispetto alla lunghezza d’onda,che risulta
λ =c
f=
3 × 108 m/s
200 × 106 Hz= 1.5 m .
La rotazione che e necessario compiere e pertanto
AB
λ=
15.10 m
1.5 m= 10 + 0.066 .
La rotazione di 10λ corrisponde a 20 giri completi della carta di Smith, enon ha quindi effetto, mentre la rimanente rotazione conduce dal puntoA di figura (6.22) con impedenza zA = 0.75 + i0.25 al punto B conimpedenza
zB = 1 + i0.4 ⇒ ZB = zB ZC = (50 + i20) Ω .
La potenza generata, che e la potenza che esce dai morsetti AA’, edunque pari a
P1 =12VAA′ (IAA′)∗ ,
con (leggi del partitore di tensione)
VAA′ = VgZB
ZB + Rg, IAA′ =
Vg
ZB + Rg.
Pertanto
P1 =12
∣∣∣∣∣ Vg
ZB + Rg
∣∣∣∣∣2
ZB = 240 mW + i96 mVA
Come e ovvio, a questo risultato si sarebbe potuti giungere ancheutilizzando l’ammettenza del carico al posto della sua impedenza. Inquesto caso, si sarebbe infatti trovato
YL =1
ZL= (0.024 − i0.008) Ω−1 ,
che, normalizzata rispetto a ZC da
yL = YL ZC = 1.2 − i0.4 .
Questo valore di ammettenza normalizzato compare sulla carta di Smithnel punto C di figura (6.22). La rotazione di 0.066 λ indotta dalla linea
182 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
conduce poi al punto indicato con D e caratterizzato dal valore di am-mettenza normalizzata
yD = 0.86 − i0.34 ⇒ YD =yD
ZC= (0.0172 − i0.0068) Ω−1 ,
e si puo verificare che, come ci si deve aspettare
1YD
=1
(0.0172 − i0.0068) Ω−1= (50 + i20) Ω = ZB .
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
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IND
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jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.22: Carta di Smith relativa all’esercizio riassuntivo. Calcolo dellapotenza complessa erogata dal generatore.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 183
Adattamento con lo stub semplice. Come piu volte sottolineato, al fine diesegure l’adattamento, sia con uno stub singolo, sia con il doppio stub,risulta conveniente lavorare con le ammettenze. Si posizioni quindi sullacarta di Smith l’ammettenza di carico, che, come visto, compare nelpunto C di figura (6.22), ed e stata riportata anche nella figura (6.23),che verra utilizzata per l’illustrazione dell’adattamento.
d
B
B
R
L C
l
Lo stub semplice e inserito ad una distanza d dal carico tale che, a questadistanza, l’ammettenza normalizzata del carico giaccia sulla curva g = 1.Cio avviene per due valori di d, individuati dai punti C1 e C2 di figura(6.23). Questi sono i punti con ammettenza normalizzata
C1 : yC1 = 1 − i0.42 ,
che e ottenuto con una rotazione
d
λ= 0.359 − 0.323 = 0.036 , d = 5.4 cm ,
eC2 : yC2 = 1 + i0.42 ,
ottenuto con una rotazione
d
λ= (0.5 − 0.323) + 0.14 = 0.317 , d = 47.55 cm .
184 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
L’elemento in parallelo che costituisce lo stub deve poi essere dimensio-nato in modo da compensare la parte immaginaria delle ammettenze chesi sono appena trovate. Nei due casi, esso deve quindi avere suscettanzabS tale che
C1 : bS = 0.42 , C2 : bS = −0.42 ,
e questi valori di suscettanza possono essere ottenuti con un tratto dilinea di lunghezza rispettivamente pari a (si vedano i punti C ′
1 e C ′2 di
figura (6.23))
bS = 0.42 :
λ= 0.25 + 0.063 = 0.313 ⇒ = 46.95 cm ,
bS = −0.42 :
λ= 0.437 − 0.25 = 0.187 ⇒ = 28.05 cm .
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 185
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
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jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.23: Carta di Smith relativa all’adattamento con stub semplice.
186 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
Adattamento con il doppio stub. Lo stub doppio che si chiede di pro-gettare ha distanza 3λ/8 tra i due elementi. Come prima cosa, si riportiquindi sulla carta di Smith il cerchio g = 1 ruotato di 3λ/8 verso ilcarico, cioe in senso antiorario (si veda la figura (6.24)).
3λ / 8
R
L C
d1d2
Il primo stub, connesso direttamente sul carico, deve servire a spostareil punto rappresentativo del carico sulla carta di Smith in modo taleche, muovendosi sulla circonferenza a parte reale costante, si intercettiil cerchio g = 1 ruotato che si e tracciato in precedenza. Si individuanocosi due soluzioni, indicate come D1 e D′
1 in figura (6.24), che risultanocaratterizzate dai valori di ammettenza normalizzata
D1 : yD1 = 1.2 − i0.02 , D′1 : yD′
1= 1.2 − i2 .
Si puo ora individuare l’ammettenza yS1 del primo stub, procedendocome segue. Nel caso della soluzione D1, si ha
yD1 = 1.2 − i0.02 = yS1 + yL = yS1 + 1.2 − i0.4 ,
e l’ammettenza normalizzata del primo stub e dunque
yS1 = i 0.38 .
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 187
Questo valore di suscettanza puo essere ottenuto con un tratto di lineadi lunghezza (si veda il punto A1 di figura (6.24))
d1
λ= 0.25 + 0.058 = 0.308 ⇒ d1 = 46.2 cm .
Analogamente, nel caso della soluzione D′1, si ha
yS1 = yD′1− yL = −i1.6 ,
che e ottenuto con un tratto di linea di lunghezza (si veda il punto A′1
di figura (6.24))
d1
λ= 0.339 − 0.25 = 0.089 ⇒ d1 = 13.35 cm .
Dopo aver dimensionato il primo stub, si puo eseguire la rotazione di3λ/8, ottenendo i due nuovi punti
D1 → D2 : yD2 = 1 + i0.2 ,
D′1 → D′
2 : yD′2
= 1 + i1.8 .
In entrambi i casi, il secondo stub deve compensare la parte imma-ginaria delle ammettenze normalizzate cosi individuate, e deve quindiavere suscettanza bS2 rispettivamente pari a
D2 : bS2 = −0.2 ,
ottenibile con un tratto di linea di lunghezza
d2
λ= 0.469 − 0.25 = 0.219 ⇒ d2 = 32.85 cm ,
eD′
2 : bS2 = −1.8 ,
ottenibile con un tratto di linea di lunghezza
d2
λ= 0.331 − 0.25 = 0.081 ⇒ d2 = 12.15 cm .
188 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
AN
SMISSIO
N C
OEFFIC
IENT
IN D
EGR
EES
AN
GL
E OF R
EFLEC
TI O
N C
OE
FFICIE
NT
IN D
EGR
EES
—>
WA
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ENG
THS
TOW
AR
D G
ENER
ATO
R —
><—
WA
VEL
ENG
THS
TOW
AR
D L
OA
D <
—
IND
UC
TIV
E R
EAC
TAN
CE
COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.24: Carta di Smith relativa all’adattamento con doppio stub.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 189
Adattamento con adattatore a λ/4. Per dimensionare questo tipo diadattatore risulta conveniente lavorare con le impedenze piuttosto checon le ammettenze. Si riporti quindi sulla carta di Smith il valoredell’impedenza normalizzata del carico, che appare nel punto A (zA =0.75 + i0.25) di figura (6.25).
dλ / 4
R
L C
Si ricorda che l’adattatore a λ/4 e costituito da un tratto di linea dilunghezza λ/4 ed impedenza caratteristica ZC(λ/4) posto ad una distanzad dal carico, tale che, a questa distanza, esso presenti una impedenzareale. Si cominci quindi con l’individuare questa distanza d per mezzodella carta di Smith. Ruotando il carico, si individuano due punti:
E1 : zE1 = 1.5 ; E′1 : zE′
1= 0.66 ,
ottenuti, rispettivamente, con rotazioni
E1 :d
λ= 0.25 − 0.074 = 0.176 ⇒ d = 26.4 cm ,
E′1 :
d
λ= 0.176 + 0.25 = 0.426 ⇒ d = 63.9 cm .
In unita dimensionali, le impedenze a destra dell’adattatore λ/4 valgonodunque
E1 : ZE1 = zE1 ZC = 75 Ω ,
E′1 : ZE′
1= zE′
1ZC = 33.3 Ω .
L’adattatore λ/4 deve quindi avere impedenza caratteristica che nei duecasi e rispettivamente uguale a
E1 : ZC(λ/4) =√
ZC ZE1 = 61.23 Ω ,
E′1 : ZC(λ/4) =
√ZC ZE′
1= 40.82 Ω .
190 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
GLE O
F TR
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N C
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D <
—
IND
UC
TIV
E R
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TAN
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COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.25: Carta di Smith relativa all’adattamento con adattatore a λ/4.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 191
Calcolo della potenza in condizioni di adattamento. In condizioni diadattamento il circuito e equivalente ad un circuito del tipo
Vg
Rg
A
A
ZB
IAA
e la potenza generata vale dunque
P2 =12
∣∣∣∣∣ Vg
ZC + Rg
∣∣∣∣∣2
Zc = 250 mW .
Poiche la resistenza R e l’unico elemento dissipativo del circutio, nederiva anche
PR = 250 mW .
Tuttavia, poiche vale anche
PR =12
R |IR|2 ,
se ne deduce che la resistenza e percorsa da una corrente
|IR|2 =2 PR
R= 13.33 × 10−3 A2 .
Per cio che concerne l’induttore ed il condensatore, che sono posti inparallelo, risulta conveniente fare riferimento alla tensione che vi e ailoro capi e che puo essere calcolata come segue. Il parallelo tra L e Cha impedenza
ZLC =1
iω C +1
iω L
= i 12.5 Ω ,
192 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
e ai capi di questa impedenza parallelo vi e dunque una tensione taleche
Tensione e corrente lungo la linea. Al fine di illustrare come tracciarecorrettamente gli andamenti dei moduli di tensione e corrente nei varipunti della linea, e opportuno richiamare brevemente alcuni aspetti giavisti durante la discussione della teoria riguardante la propagazione nellelinee prive di perdite. In particolare, si era visto che
1. in ogni tratto di linea omogeneo (cioe non interrotto da carichi,stub, o altri elementi), il modulo della tensione e della corrente euna funzione periodica
(a) con periodo pari a λ/2
(b) che presenta massimi e minimi assoluti tra loro intercalati,e con distanza λ/4 tra ognuna delle sezioni di massimo (mi-nimo) e ognuna delle sezioni di minimo (massimo) adiacente;
(c) infine, nelle sezioni in cui e massimo il modulo della tensionee minimo il modulo della corrente, e viceversa.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 193
2. In corrispondenza ai massimi del modulo della tensione, la sezionedella linea presenta il massimo valore di impedenza, che e reale evale
ZMAX =|VMAX ||Imin|
= ZC S ,
dove S e il rapporto d’onda stazionaria nella linea.
3. Analogamente, in corrispondenza ai minimi del modulo di tensionevi e il minimo valore di impedenza, dato da
Zmin =|Vmin||IMAX | =
ZC
S.
Questi risultati di carattere generale danno le linee guida per il trac-ciamento degli andamenti del modulo della tensione e della corrente.Infatti, si tratta di tracciare, in ogni sezione omogenea della linea, dellefunzioni periodiche di periodo λ/2 comprese tra valori estremi dati da|VMAX | e |Vmin| per la tensione, e |IMAX | e |Imin| per la corrente.
Le note dei precedenti punti 2) e 3) indicano poi che le sezioni diminimo e massimo modulo sono quelle nelle quali la linea presenta im-pedenza reale, e sono quindi facilmente individuabili attraverso la cartadi Smith.
Si consideri il caso dell’esercizio in esame, con l’adattatore a doppiostub inserito. Vi sono, in questo caso, tre sezioni omogenee della linea,e cioe il carico (subito a destra del primo stub), la sezione di lunghezza3λ/8 tra i due elementi dello stub, e quella di lunghezza AB − 3λ/8 asinistra del secondo stub. Si analizzano ora nel dettaglio le tre sezioni.
• Carico. In questa sezione, di dimensione “nulla”, non si deve,ovviamente, determinare dove si trovino massimi o minimi, masolo quali siano i valori del modulo della tensione e della corrente.Quest’ultima e quella gia calcolata, ovvero la corrente |IR| chefluisce nella resistenza R (e nell’impedenza parallelo di L e C), eche vale ∣∣I(x = 0+)
∣∣ = |IR| =
√2 PR
R= 0.12 A .
Per quanto concerne la tensione, si ha poi∣∣V (x = 0+)
∣∣ = |IR| |R + ZLC | = 4.56 V .
194 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
• Sezione tra gli stub. In questa sezione, che ha lunghezza 3λ/8 leonde di tensione e corrente sono onde parzialmente stazionarie, edoccorre quindi individuare le sezioni di massimo e minimo modulo,ed i corrispondenti valori di |I| e |V |. Inoltre, al fine di tracciaregli andamenti di tensione e corrente in tutti i punti della sezione,e necessario valutare anche i valori di |I| e |V | nei punti estremidella sezione stessa, ovvero immediatamente a sinistra del primostub, ed immediatamante a destra del secondo.
– A sinistra del primo stub (x = 0−). In questo punto l’am-mettenza normalizzata e
y = yD′1
= 1.2 − i2 ,
e si trova, nella carta di Smith, nel punto D′1 di figura (6.27).
L’ammettenza non normalizzata risulta quindi
YD′1
=yD′
1
ZC= (0.024 − i0.04) Ω−1 .
La parte reale di questa ammettenza consente di calcolare ilmodulo della tensione che e presente alla coordinata x = 0−,ovvero subito a sinistra del primo stub. Infatti, dal momentoche la linea e priva di perdite, la potenza attiva si conservain ogni sezione della linea e si puo allora scrivere
Pattiva =12|V (x)|2 Re Y (x) ,
dove V (x) e Y (x) sono la tensione e l’ammettenza alla gene-rica coordinata x. In particolare, quindi, nel punto x = 0−
immediatamente a sinistra del primo stub, si ha
∣∣V (x = 0−)∣∣ =
∣∣∣VD′1
∣∣∣ =
√2 Pattiva
Re Y (x = 0−) = 4.56 V .
Si noti che, non a caso, questo valore del modulo di ten-sione coincide con quello calcolato per x = 0+, cioe sul caricoposto immediatamente a destra del primo stub. Infatti, trale sezioni x = 0− e x = 0+ e interposto solo un elemento inparallelo, che quindi non altera il valore della tensione.
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 195
Per quanto concerne la corrente, essa e data da∣∣I(x = 0−)
∣∣ =∣∣∣ID′
1
∣∣∣ =∣∣∣VD′
1
∣∣∣ ∣∣∣YD′1
∣∣∣ = 0.21 A .
A differenza della tensione, questo valore non coincide conquello calcolato a destra del primo stub, perche solo una partedella corrente che c’e nella sezione D′
1 va sul carico, mentrela rimanente va nel primo stub.
– Massimi e minimi. Ci si interessa ora della tensione e dellacorrente nei punti compresi tra i due stub, dove la presenzadi onde parzialmente stazionarie da luogo a massimi e minimidel modulo di tensione e corrente. La prima cosa da fare eindividuare le sezione della linea dove le tensioni e le correntipresentano valori massimi o minimi. Come si accennava inprecedenza, questo puo essere fatto con semplicita usando lacarta di Smith, ed in particolare valutando le distanze allequali ruotando il carico yD′
1si trova una ammettenza nor-
malizzata reale, e cioe quando il punto sulla carta di Smithintercetta la retta a parte immaginaria nulla. Come illustratoin figura (6.27), una rotazione
d
λ= 0.5 − 0.308 = 0.192 ⇒ d = 28.8 cm ,
conduce ad esempio al punto H1 con ammettenza
yH1 = 0.2 ⇒ YH1 =yH1
ZC= 0.004 Ω−1 ,
che e un valore minimo di ammettenza, cioe massimo di im-pedenza. La sezione x = x1 = −28.8 cm e quindi una sezionedi massimo per il modulo di tensione, e quindi anche di mi-nimo per il modulo di corrente. I valori di questi massimi eminimi possono essere calcolati, ancora una volta, ricorrendoalla conservazione della potenza attiva, e cioe scrivendo
La successiva sezione nella quale l’ammettenza ritorna ad es-sere reale (ed uguale a yH2 = 5) si ha ad una distanza
x2 = x1 −λ
4= −66.3 cm .
Si noti tuttavia che il tratto di linea omogenea compresa trai due stub ha una lunghezza 3λ/8 = −56.25 cm, e quindi ilpunto x2 cade al di fuori di questa sezione e non puo essereaccettato (questo fatto puo, d’altra parte, essere notato anchenella carta di Smith. Si vede infatti che, nel ruotare da H1
verso H2 si incontra il punto D′2 prima di arrivare ad H2. Il
punto D′2 e pero il valore dell’ammettenza normalizzata che
si ha subito a destra del secondo stub, ed il fatto che questopunto venga raggiunto prima del punto H2 sta ad indicareche si trova il secondo stub prima della sezione nella quale vie un estremo dei moduli di tensione e corrente.)Nella sezione di lunghezza 3λ/8 c’e dunque solo un massimodel modulo della tensione (e, corrispondentemente, solo unminimo del modulo della corrente).
– A destra del secondo stub (x = −3λ/8+). In questo punto,che e il punto indicato come D′
2 in figura (6.27) si ha
yD′2
= 1 + i1.8 ⇒ YD′2
=yD′
2
ZC= (0.02 + i0.036) Ω−1 ,
e pertanto∣∣∣∣V
(−3λ
8
)∣∣∣∣ =∣∣∣VD′
2
∣∣∣ =
√√√√ 2 Pattiva
ReYD′
1
= 5 V ,
e ∣∣∣∣I(−3λ
8
)∣∣∣∣ =∣∣∣VD′
2
∣∣∣ ∣∣∣YD′2
∣∣∣ = 0.21 A .
• Sezione a sinistra del secondo stub. In questa sezione, dove vie adattamento in uniformita, si instaurano onde progressive ditensione e di corrente, e rimangono quindi costanti i moduli siadella tensione sia della corrente. Essi sono rispettivamente dati da
|V | =
√2 Pattiva
ZC= 5 V ,
6.8. PROGETTO DI UN ADATTATORE 197
|I| = |V |Zc = 0.1 A .
Ancora una volta, si nota che nell’attraversare il secondo stub,ovvero nel passare da x = −3λ/8− a x = −3λ/8+ vi e continuitadel modulo di tensione, ma non di quello della corrente.
Gli andamenti dei moduli di tensione e corrente sono quelli disegnatiin figura (6.26).
-0.6 -0.4 -0.2 0.00.0 0
0.0 2
0.0 4
0.0 6
0.0 8
0.1 0
0.1 2
0.1 4
0.1 6
0.1 8
0.2 00.2 2
0.2 4
x(metri)
|I (x)|
Posizione delsecondo stub
Posizione delprimo stub
Minimo di |I|e massimo di |V|in x = -28.8 cm
-0.6 -0.4 -0.2 0.001
2
3
45
6
78
9
1 0
1 1
1 2
x = 0−x = 0+
|V (x)|
x(metri)
Figura 6.26: Tensione e corrente lungo il circuito adattato con un adattatore adoppio stub.
198 CAPITOLO 6: LINEE DI TRASMISSIONE
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.50.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0.9
0.9
1.0
1.0
1.0
1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
2.02.0
2.0
3.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
5.0
5.0
5.0
10
10
1020
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.01.0
20-20
30-30
40-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-120
130
-130
140
-140
150
-150
160
-160
170
-170
180
±
90-9
085
-85
80-8
0
75-7
5
70-7
0
65-6
5
60-6
0
55-5
5
50-5
045
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.15
0.15
0.16
0.16
0.17
0.17
0.18
0.18
0.190.19
0.20.2
0.21
0.210.22
0.220.23
0.230.24
0.24
0.25
0.25
0.26
0.26
0.27
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.3
0.3
0.31
0.31
0.32
0.32
0.33
0.33
0.34
0.34
0.35
0.35
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.4
0.41
0.41
0.42
0.42
0.43
0.43
0.44
0.44
0.45
0.45
0.46
0.46
0.47
0.47
0.48
0.48
0.49
0.49
0.0
0.0
AN
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IND
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TAN
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COM
PON
ENT (+
jX/Zo), O
R CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)
CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-jX
/Zo), O
R IND
UCTI
VE
SUSC
EPTA
NC
E (-
jB/Y
o)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
Figura 6.27: Carta di Smith relativa all’esercizio riassuntivo. Calcolo dellesezioni di massimo e minimo modulo per le correnti e le tensioni.
Capitolo 7
Onde piane
Nel capitolo 4 si e mostrato che quando le equazioni di Maxwell vengonostudiate in una regione dello spazio priva di sorgenti ed omogenea, laloro soluzione e data dalla sovrapposizione di due onde le cui caratteris-tiche dipendono dalle condizioni al contorno che vanno poste sul bordodella regione di interesse, e che fisicamente descrivono il modo in cui igeneratori eccitano il campo elettromagnetico.
Scopo di questo capitolo e lo studio piu approfondito di una par-ticolare famiglia di soluzioni che si ottengono qualora si immagini chela regione dello spazio sede del mezzo omogeneo nel quale il campo sisviluppa sia tutto lo spazio. Come e facile immaginare, questo mod-ello per la propagazione, e i risultati che da esso derivano, sono unaastrazione che non potra mai corrispondere ad un caso reale sia perchenon e ragionevole ipotizzare che tutto lo spazio presenti le stesse carat-teristiche elettromagnetiche, sia perche in un siffatto modello non visarebbe spazio per le sorgenti che al campo danno luogo.
Tuttavia, la famiglia di soluzioni che si ottiene con questo modello,e che prende il nome di famiglia delle onde piane, ha un ruolo centralenella teoria dei campi elettromagnetici. Infatti, si vedra innanzi tuttoche le soluzioni di questo problema di propagazione sono estremamentesemplici e facili da utilizzare, ma soprattutto che esse formano cio che,in termini matematici, viene detto un insieme completo di soluzioni.
Questo termine sta ad indicare che la soluzione di un qualsiasi prob-lema di propagazione, che abbia luogo in un mezzo lineare anche nonindefinitamente omogeneo, puo sempre essere espressa attraverso unaopportuna combinazione di piu onde piane. In altre parole, con lo stu-
199
200 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
dio che si effettua in questo capitolo si acquisisce una base di soluzionisemplici delle equazioni di Maxwell che possono servire, con molta gen-eralita, a modellare campi che si propagano in strutture anche moltocomplicate.
Si consideri dunque la propagazione di un’onda elettromagnetica inuna regione dello spazio indefinitamente estesa ed omogenea, ed in as-senza di sorgenti. Lo studio del campo in questa regione puo essereaffrontato nel dominio della rappresentazione complessa tramite il for-malismo del potenziale vettore magnetico, che in questo caso risultaessere la soluzione dell’equazione di Helmoltz omogenea
∇2A − σ2A = −µJi = 0 ,
in quanto si e supposto che non vi siano sorgenti. I campi elettrico emagnetico sono poi dati da:
Campo elettrico
E = −iωA −∇φ ,
con φ soluzione di∇2φ − σ2φ = −ρ
ε= 0 ,
per l’assenza di sorgenti. Una possibile soluzione per φ e allora φ = 0 erisulta cosi
E = −iωA .
Campo magnetico
Direttamente dalle equazioni di Maxwell,
H = −∇× Eiωµ
.
7.0.5 La soluzione con il metodo della separazione dellevariabili
Si consideri dunque l’equazione
∇2A − σ2A = 0 ,
ed al fine di trovarne la soluzione si introducano le due seguenti ipotesi:
7. INTRODUZIONE ALLE ONDE PIANE 201
1. assunto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale x, y, z sisupponga che
A(x, y, z) = A(x, y, z) x .
Si noti che questa ipotesi che, come si vedra tra breve, consenteuna semplificazione dei calcoli, non e un’ipotesi restrittiva. Infatti,poiche il mezzo nel quale e definito il campo e stato assunto esserelineare, qualsiasi sia A e sempre possibile operare una scompo-sizione lungo i tre assi cartesiani, per ricostruire infine la soluzionetramite il principio di sovrapposizione degli effetti.
2. Si supponga inoltre che la funzione scalare A(x, y, z) possa esserescritta separando tra loro le variabili, ovvero nella forma
A(x, y, z) = A0 f1(x) f2(y) f3(z) .
A differenza della precedente, questa e, almeno in linea di principio,un’ipotesi restrittiva. Infatti, in base a questa ipotesi si limita laricerca delle soluzioni nell’ambito di quelle che riusltano esprimibilicome prodotto di tre funzioni, una dipendente dalla sola x, unadalla sola y e l’ultima dalla sola z.
L’ipotesi e restrittiva perche, in tutta generalita, non si puo affer-mare a priori che operando in tal modo si riescano ad individuaretutte le soluzioni del problema in oggetto, ovvero essere sicuri checosi facendo non si perdano delle soluzioni altrimenti accettabili.
La giustificazione della validita di questa ipotesi verra data piuavanti nel capitolo, precisamente nel paragrafo 7.6, dove si di-mostrera quella proprieta cui si accennava in precedenza, la com-pletezza dell’insieme di soluzioni che l’ipotesi consente di trovare.
Con l’introduzione di queste due ipotesi l’equazione per A puo alloraessere riscritta come segue
A0
[d2f1
dx2f2f3 + f1
d2f2
dy2f3 + f1f2
d2f3
dz2
]= σ2 A0 f1f2f3 ,
da cui si ha anche
1f1
d2f1
dx2+
1f2
d2f2
dy2+
1f3
d2f3
dz2= σ2 = costante , (7.1)
202 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
dal momento che il mezzo e indefinitamente omogeneo, cioe ε e µ nondipendono dalle coordinate x, y, z.
L’equazione (7.1) puo essere letta come segue: quando si separano levariabili si trova una soluzione che e formata dalla somma di tre termini,il primo dei quali dipende solo dalla coordinata x, il secondo solo dallay ed il terzo solo dalla z, e la somma di questi tre termini deve essereuguale ad un valore costante, cioe ad un numero indipendente da x, y ez.
Evidentemente, dovendo cio valere per ogni x, y, z, l’unico modoin cui questo puo risultare possibile e che ognuna delle tre funzioni siasingolarmente uguale ad una costante, ovvero che sia
1f1
d2f1
dx2= S2
1 ,1f2
d2f2
dy2= S2
2 ,1f3
d2f3
dz2= S2
3 ,
con le costanti S1, S2 e S3, dette costanti di separazione, tali che
S21 + S2
2 + S23 = σ2 .
L’intero problema elettromagnetico si e quindi ridotto allo studio di unaequazione differenziale del tipo
d2fi
∂ξ2= S2
i fi , ξ = x, y, z , i = 1, 2, 3 ,
che ha come soluzione la funzione
fi(ξ) = Cie−Siξ + Die+Siξ .
Si potrebbe quindi pensare di scrivere A(x, y, z) come prodotto di tre diquelle funzioni, ottenendo cosi una espressione data dalla combinazionedi otto termini. In realta cio e inutile perche, pur non sapendo quantovalgano gli Si e pur non avendo specificato se con Si si intende il ramopositivo o negativo di
√S2
i , gli Si sono pur sempre legati tra loro dallarelazione S2
1 + S22 + S2
3 = σ2. Si puo verificare allora che e sufficientescrivere la generica soluzione come
A(x, y, z) = A0e−(S1x+S2y+S3z) x = A0e−S·r x ,
dove si e indicato con r il raggio vettore che ha come coordinate x, y, z,e con
S = S1x + S2y + S3z ,
7. INTRODUZIONE ALLE ONDE PIANE 203
un vettore che ha S1, S2, S3 come componenti lungo i tre assi coordi-nati, e che prende il nome di vettore di propagazione. Esso ha la proprietache
S · S = S21 + S2
2 + S23 = σ2 .
Si noti a tal proposito che, poiche σ2 e, in generale, una quantita com-plessa, anche S lo e, e si usa scrivere
S = a + ik ,
con a che prende il nome di vettore di attenuazione, e k quello di vettoredi fase. Con l’introduzione di questi due vettori il campo A si scrivedunque come
A = A0 e−S·r x = A0 e−a·r e−ik·r x ,
e si nota che il primo dei due termini agisce sull’ampiezza dell’onda, edil secondo sulla fase. Questa osservazione e utile perche quando nellostudio di un fenomeno ondulatorio si riescono ad isolare i termini cheintervengono sull’ampiezza o sulla fase dell’onda, e poi possibile deter-minare le superfici dello spazio sulle quali l’ampiezza o la fase rimangonocostanti, e cio e importante perche, storicamente, si usa caratterizzare leonde (non solo quelle elettromagnetiche) proprio in base alla forma chele loro superfici equifase assumono.
Nel caso in esame, le superfici equifase, che sono per definizione quellesuperfici dello spazio sulle quali risulta
k · r = costante ,
sono dunque superfici piane dello spazio, precisamente le superfici or-togonali al vettore k = kxx + kyy + kz z. Per questa ragione la famigliadi soluzioni che sono state trovate viene indicata con il nome di famigliadella onde piane.
Accanto alle superfici equifase si possono poi determinare anche lesuperfici equiampiezza, che sono definite come l’insieme di quei puntidello spazio tali che
a · r = costante ,
e, come e immediato verificare, anche in questo caso le superfici sono deipiani, ora ortogonali al vettore a. Si faccia attenzione che, in generale,a e k possono avere orientazioni differenti, e quindi i piani equiampiezzapossono non coincidere con quelli equifase.
204 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
7.1 I campi elettrico e magnetico dell’onda pi-ana uniforme
Avendo derivato una forma analitica per il potenziale vettore magne-tico, si ricavano ora da questo le corrispondenti espressioni per il campoelettrico e per il campo magnetico.
7.1.1 Campo elettrico
Come visto all’inizio del capitolo, questo e legato al potenziale vettoredall’espressione
E = −iωA ,
e risulta quindiE = E0 e−S·r .
Il campo elettrico e quindi una funzione delle coordinate spaziali dellostesso tipo di quella gia incontrata per A, ed ha quindi piani equifase epiani equiampiezza rispettivamente coincidenti con quelli di A.
7.1.2 Campo magnetico
Il campo magnetico e dato da
H = −∇× Eiωµ
= −∇×
[E0e−S·r
]iωµ
,
e si tratta quindi di calcolare il rotore del prodotto tra un vettore (E0)ed una funzione scalare (il termine esponenziale). Si puo usare a tal finel’identita vettoriale
∇× (w f) = f∇× w + ∇f × w ,
valida per una qualsiasi funzione differenziabile f e per un qualsiasivettore w. Nel caso in esame, poiche E0 e un vettore costante, risultaallora
∇×[E0e−S·r
]= ∇
(e−S·r
)× E0 = −Se−S·r × E0 ,
e pertanto
H =S × Eiωµ
.
Anche il campo magnetico ha quindi gli stessi piani equifase ed equiampiezzadel potenziale A, e del campo elettrico E.
7.2. CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE PIANE 205
7.2 Classificazione delle onde piane
Nel paragrafo precedente si e utilizzata una delle equazioni di Maxwellal fine di ricavare il campo magnetico a partire dal campo elettrico.
Si mostra ora che, utilizzando anche l’altra delle equazioni di Maxwell,si possono ottenere delle ulteriori informazioni a riguardo della naturafisica dell’onda piana: in particolare, e possibile stabilire come i vettoriE, H ed S sono tra loro mutuamente orientati nello spazio, e si puointrodurre una classificazione delle onde piane.
Si consideri dunque l’equazione di Maxwell
∇× H = iωεCE .
Quando E e H sono onde piane si ha allora
E = −∇× (S × E)ω2µεC
= −S × S × E−ω2µεC
=S × E × S
S · S .
Si considerino ora i vettori
S , H =S × Eiωµ
, E =S × E × S
S · S .
A prima vista, i tre vettori sembrano formare una terna trirettangola,dal momento che, apparentemente (S × E)⊥S,E e (S × E × S)⊥S.Tuttavia, occorre tenere presente che, come detto piu sopra, il vettoreS e in generale un vettore complesso, e la nozione di ortogonalita travettori complessi non e altrettanto semplice di quella che risulta validaper i vettori reali. Nel caso in esame si puo dimostrare che la terna S, E,H e trirettangola solo se il vettore S risulta parallelo al suo complessoconiugato, il che e vero solo se
S = a o S = ik .
Si mostra ora che il primo di questo due casi, quello con S = a, cioecon k ≡ 0 non e tuttavia un caso fisicamente realizzabile. Infatti, vale
S · S = |a|2 − |k|2 + 2 ia · k = σ2 = −ω2µ
(ε − i
γ
ω
),
e si ottene dunque |a|2 − |k|2 = −ω2µε ,
2a · k = ωµγ .(7.2)
206 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Deve pertanto essere
|k|2 > |a|2 ⇒ |k|2 > 0 ⇒ |k| = 0 .
Come volevasi dimostrare, non puo dunque essere k ≡ 0. Da un puntodi vista fisico, d’altra parte, cio e ben giustificato: porre k ≡ 0 significainfatti richiedere che il campo elettromagnetico abbia la stessa fase intutti i punti dello spazio o, in altri termini, che esso si propaghi a velocitainfinita in tutte le direzioni dello spazio.
La terna S = ik, E, H e dunque una terna trirettangla solo se ilmezzo nel quale avviene la propagazione e tale da rendere nullo il vettorea, ovvero se esso e privo di perdite. Piu avanti nel capitolo si vedra comela direzione individuata dal vettore k sia la direzione in cui “fluisce”la potenza attiva associata ad un’onda piana, di modo che essa puoessere identificata con la direzione di propagazione dell’onda. Quando ilmezzo e privo di perdite il fatto che k, E ed H siano tra loro mutuamenteortogonali rappresenta allora, in termini matematici, l’idea intuituiva chesi ha delle onde elettromagnetiche: onde che si propagano in una datadirezione dello spazio, e nelle quali il campo elettrico e quello magneticogiacciono su un piano ortogonale alla direzione di propagazione e sono,anch’essi, disposti ortogonalmente tra loro. Si sottolinea ancora unavolta che, tuttavia, questa visione intuitiva della propagazione delle ondeelettromagnetiche e ben giustificata solo quando il mezzo nel quale ilcampo si propaga e rigorosamente privo di perdite.
Ora che si sono chiarite queste caratteristiche generali delle ondepiane, se ne propone una classificazione. A tal fine, si comincia con ilsupporre che il mezzo nel quale avviene la propagazione sia un mezzoprivo di perdite, ovvero con γ = 0. Dalle relazioni (7.2) si ha allora
2a · k = ωµγ = 0 ⇒ a · k = 0 ,
e questa condizione puo essere realizzata in due diversi modi. Il primoe quello che si ha quando
• a = 0.
In questo caso risulta
|k|2 − |a|2 = |k|2 = ω2µε ,
ovvero|k| = ω
√µε =
2πν
cµε≡ 2π
λµε,
7.2. CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE PIANE 207
dove cµε e la velocita della radiazione elettromagnetica nel mezzocon costanti µ, ε e
λµε =cµε
ν,
e la lunghezza d’onda che la radiazione presenta in quel mezzo. Sinoti che, a differenza della frequenza del campo, che e una quantitaindipendente dal mezzo in cui il campo si propaga 1, la lunghezzad’onda invece dipende dalle caratteristiche del mezzo.
Le onde cosi definite prendono il nome di onde piane uniformi, eper esse vale
E =S × E × S
σ2, H =
S × Eiωµ
,
conS = ik = iω
√µε k . (7.3)
E
H
kSorgente
raggio
Frontid'onda
k
E
H
Figura 7.1: Disposizione dei vettori k,E,H per l’onda piana uniforme e raffig-urazione della sua propagazione.
Ora, poiche risulta
S × E × S = (iω√
µε) k × E × (iω√
µε) k = σ2 k × E × k
S × E = (iω√
µε) k × E
1Questa affermazione e in accordo con un noto risultato dell’elettrodinamica quan-tistica che, modellando i fenomeni elettromagnetici in termini di fotoni invece che dionde, assegna ad ogni fotone una energia che e direttamente proporzionale alla suafrequenza. Per la conservazione dell’energia, la frequenza non deve quindi cambiarese anche si cambia il mezzo nel quale ha luogo la propagazione.
208 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
si ha dunque
E = k × E × k ,
H =√
ε
µk × E .
(7.4)
Come gia anticipato in precedenza, quindi, in questo caso la ternak,E,H e una terna trirettangola, con i tre vettori che risultanodisposti come in figura (7.1).
E interessante calcolare anche il vettore di Poynting dell’onda pi-ana uniforme; esso risulta
P =E × H∗
2=
12
√ε
µE × k × E =
12
√ε
µ|E|2k ,
e vi sono allora due osservazioni da fare:
1. P e un vettore puramente reale, il che indica che l’onda piana“trasporta” solo potenza attiva;
2. P ∝ k, cioe, come si era anticipato in precedenza, la potenzaattiva “si muove” nella direzione individuata dal vettore k equesta direzione puo quindi essere identificata con la direzionedi propagazione dell’onda. Il campo dell’onda piana e dunqueun campo TEM rispetto alla direzione di propagazione.Si noti altresi che le locuzioni “trasporta” e “si muove” sonostate indicate usando le virgolette, e cio e stato fatto per unaragione ben precisa, che viene esposta qui di seguito. Si im-magini infatti di applicare il teorema di Poynting all’onda pi-ana uniforme in un qualsiasi volume V dello spazio, racchiusoda una superficie S. Poiche il mezzo nel quale e definita l’ondae omogeneo, privo di sorgenti e di perdite, e P e puramentereale, il teorema fornisce il seguente risultato
0 = 2ω
∫V
(µR
|H|24
− εR|E|24
)dV + o
∫SP · n dS ,
dove con n si e indicata, come di consueto, la normale us-cente dalla superficie S. Ora, poiche in base alla (7.4) ilcampo dell’onda piana uniforme e, ovunque, localmente riso-nante 2, l’integrale di volume si annulla e quindi si ottiene
2Si noti che, se il mezzo e privo di perdite, cosi come nelle ipotesi del caso che sista trattando, µ ≡ µR e ε ≡ εR.
7.2. CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE PIANE 209
la seguente conclusione: il flusso del vettore di Poynting at-traverso una qualsiasi superficie chiusa dello spazio e sempree comunque nullo. In altri termini, nell’onda piana uniformenon vi e un vero trasporto di potenza, e non vi e quindi nem-meno un campo che si muove nello spazio: per effetto delleipotesi molto irrealistiche che sono state poste all’inizio dellatrattazione, infatti, l’onda piana e gia distribuita in tutti ipunti dello spazio e dunque, a rigore, non si potrebbe par-lare di direzione di propagazione o di movimento di ener-gia. In realta, come si vedra nel seguito, in molti casi reali,tipicamente quelli che coinvolgono il calcolo del campo irra-diato dalle antenne, quando il campo stesso viene valutatoa grande distanza dalle sorgenti, esso puo essere localmenteapprossimato con le espressioni valide per le onde piane; inquei casi avra senso identificare la direzione di propagazionedella potenza, e si vedra che in effetti questa coincide con ladirezione individuata dal vettore k.
• a⊥k.
Il secondo modo in cui e possibile annullare il prodotto internotra a e k e quello che si ha quando i due vettori in oggetto sonodisposti secondo due direzioni tra loro ortogonali. In questo caso,allora, l’onda piana ha i piani equifase che sono ortogonali ai pianiequiampiezza, ed essa viene indicata con il nome di onda pianaevanescente.
Al contrario di quello che potrebbe sembrare a prima vista, questotipo di onda non e una pura curiosita matematica, ma essa giocainvece un ruolo fondamentale nella comprensione di alcuni effettifisici che verranno illustrati nel seguito; in particolare, si vedra cheessa e essenziale per descrivere un fenomeno molto noto, quellodella cosiddetta riflessione totale, ed altri analoghi fenomeni chesi verificano, ad esempio, nella propagazione delle onde all’internodelle guide metalliche.
Rimandando dunque al seguito per l’esemplificazione dell’utilita diquesta onda, ci si limita ora solo a discuterne alcune proprieta. Inparticolare, si osserva che se si calcola il vettore di Poynting, essorisulta essere complesso, con la sua parte reale diretta secondo k,
210 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
e la sua parte immaginaria secondo a. Inoltre, poiche vale
|k|2 = |a|2 + ω2µε ,
il modulo del vettore d’onda k risulta maggiore di quello cheun’onda piana uniforme presenta nel mezzo con parametri ε e µ.
Proseguendo nella descrizione della classificazione delle onde piane,si passa ora ad analizzare il caso in cui il mezzo materiale in cui avvienela propagazione sia un mezzo con perdite di tipo dissipativo, cioe taleche γ = 0. In questo caso si ha allora
2a · k = ωµγ > 0 ,
e quindi, indicato con θ l’angolo compreso tra i vettori a e k, risulta|θ| < π/2. In particolare, se θ = 0 si ritrova un’onda con piani equifase epiani equiampiezza coincidenti, ma per la quale l’ampiezza non rimanecostante in tutto lo spazio. Questa onda prende ancora il nome di ondapiana uniforme. In tutti gli altri casi nei quali i piani equifase noncoincidono con i piani equiampiezza, l’onda viene invece indicata con ilnome di onda dissociata.
7.3 Equivalenza con le linee di trasmissione
Si e visto in precedenza che quando si considera la propagazione diun’onda piana uniforme in un mezzo privo di perdite si ottiene uncampo che e trasverso elettromagnetico (TEM) rispetto alla direzione dipropagazione. Questa caratteristica ne ricorda una analoga che era stataposta in evidenza quando si era introdotto lo studio della propagazionenelle linee di trasmissione e si vuole ora dimostrare che l’analogia none casuale, ma deriva invece dal fatto che si puo costruire una perfettacorrispondenza tra il problema di propagazione che si sta analizzandoqui e quello che riguarda le linee.
A tal fine si considerino le equazioni di Maxwell scritte nel dominiodella frequenza per un mezzo omogeneo, isotropo e privo di sorgenti
∇× E = −iωµH ,
∇× H = iωεE .
7.4. IMPEDENZA D’ONDA 211
e si supponga per semplicita che la direzione di propagazione coincidacon quella identificata dal versore z. Poiche si intende analizzare lapropagazione di onde piane, il campo elettrico e quello magnetico delleonde in oggetto devono essere funzione della sola coordinata z, cioe essinon devono dipendere dalle coordinate trasverse x e y:
E = E(z) , H = H(z) .
Dalle equazioni di Maxwell si ricava allora
iωµ Hz ≡ iωε Ez ≡ 0 ,
e
dEx
dz= −iωµ Hy
dHy
dz= −iωε Ex
,
dEy
dz= iωµ Hx
dHx
dz= iωε Ey
.
Il sistema delle equazioni di Maxwell si separa dunque in due sottosis-temi che coinvolgono solo le componenti trasverse dei campi elettrico emagnetico, e che sono tra loro indipendenti: nel primo vi sono solo lecomponenti Ex ed Hy e, nel secondo, solo le Ey ed Hx.
Si consideri ora nel dettaglio il primo di questi sottosistemi e si ponga
E(z) = V (z) x , H(z) = I(z) y .
Le equazioni che descrivono la propagazione dell’onda sono allora
dV
dz= −ZI
dI
dz= −Y V
dove
Z = iωµ
Y = iωε,
e, come e immediato verificare, esse coincidono formalmente con le equa-zioni del telegrafo derivate per le linee di trasmissione, cosi come volevasidimostrare.
7.4 Impedenza d’onda
L’analogia appena descritta puo essere estesa ulterioremente, e si pos-sono allora definire anche per l’onda piana i concetti di costante di fase,
212 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
β, e di impedenza intrinseca, η. Queste due grandezze risultano rispet-tivamente uguali a
iβ =√
ZY = iω√
µε , η =
√Z
Y=
õ
ε. (7.5)
Si individuano cosi due quantita che sono entrambe caratteristiche delmezzo nel quale avviene la propagazione; per la prima valgono le consid-erazioni gia esposte in precedenza, in particolare il fatto che la lunghezzad’onda delle onde di tensione e di corrente dipende dai paramatri elettricidel mezzo materiale. Per cio che concerne l’impedenza, invece, essa e unagrandezza che ha le dimensioni fisiche degli Ohm, e che, nel vuoto, valeη ≡ η0 120π [Ω]. Come e mostrato anche dalle equazioni (7.4), questagrandezza risulta pari al rapporto tra le ampiezze dei campi elettricoe magnetico dell’onda piana, ed in questo senso la sua definizione coin-cide con quella che viene usualmente data nell’ambito dell’elettrotecnica,dove l’impedenza e calcolata come rapporto tra tensione e corrente.
Va tuttavia sottolineato che a questo risultato si e giunti essenzial-mente perche nel caso delle onde piane si puo ridurre il problema delleequazioni di Maxwell ad un problema scalare, e cio consente di inter-pretare i campi elettrico e magnetico nella forma delle tipiche grandezzedell’elettrotecnica, ovvero in termini di tensione e di corrente.
Con tutta evidenza, questo e tuttavia un caso particolare, e la cor-rispondenza tra campi e circuiti che e qui cosi naturale diventa menoimmediata quando lo studio delle equazioni di Maxwell viene affrontatonella sua completa generalita, e cioe quando si deve trattare con campivettoriali. In questo caso, naturalmente, l’impedenza non puo piu esseredefinita semplicemente come rapporto tra le ampiezze dei campi elet-trico e magnetico, giacche questi hanno natura vettoriale, ma va inveceintrodotta come segue.
Si indica con u una generica direzione dello spazio e si definisce im-pedenza d’onda nella direzione u la quantita
η(u) | u × E × u = η(u)H × u .
Si noti che, nel caso dell’onda piana, l’impedenza calcolata in precedenzacoincide con quella definita qui a patto che quest’ultima venga valutatanella direzione di propagazione, cioe con u ≡ z. Si ha infatti in questocaso
u × E × u = V (z) z × x × z = V (z) y × z ,
7.4. IMPEDENZA D’ONDA 213
H × u = I(z) y × z ,
da cui, per l’appunto, η(z) = I(z)/V (z) =√
µ/ε. A riguardo di questaespressione vi sono da fare due osservazioni importanti:
1. l’impedenza d’onda e reale, e questo fatto non deve trarre in in-ganno. Infatti, sulla scorta dell’analogia con l’elettrotecnica che estata prima posta in rilievo, si potrebbe erroneamente pensare chevi sia incongruenza tra il fatto di aver trovato una impedenza realeed il fatto che la propagazione e stata considerata in un mezzo privodi perdite, e come tale non dissipativo. In realta, un valore realedell’impedenza indica solamente che il campo elettrico e quello ma-gnetico sono tra loro in fase, di modo che l’onda “trasporta” solopotenza attiva. Si e di fatto ritrovato un risultato gia visto nellostudio della propagazione nelle linee di trasmissione: come ora, seaccade che in una determinata sezione della linea l’impedenza epuramente reale, cio significa che li vi e transito di sola potenzaattiva, indipendentemente dal fatto che in quella sezione vi sia onon vi sia un vero resistore fisico dove la potenza attiva si possadissipare.
2. Se si calcola l’impedenza d’onda in direzione u = −z si trovaη(−z) = −η(z). Anche in questo caso il risultato si presta aduna immediata interpretazione circuitale: esso infatti e l’analogodi quanto si trova nella teoria dei circuiti se si cambia convenzionead una tensione o ad una corrente alla porta di ingresso di ungenerico bipolo.
k E
H
uθ
Figura 7.2: Disposizione dei vettori per il calcolo dell’impedenza d’onda nelcaso di campo con polarizzazione TM.
Accanto al caso del campo TEM, e poi interessante valutare l’im-pedenza d’onda anche per campi TE e TM. Si condsideri dapprima il
214 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
caso illustrato in fig.(7.2), nel quale si valuta l’impedenza d’onda in unadi direzione u appartenente al piano che contiene i vettori k e E. Eimmediato verificare che risulta
ηTM (u) = η cos(θ) ,
dove si e usato il pedice TM per indicare che l’impedenza e stata val-utata in una direzione che giace nel piano trasverso rispetto al campomagnetico.
Analogamente, nel caso rappresentato in Fig.(7.3) risulta anche
ηTE(u) =η
cos(θ),
e si e usato il pedice TE ad indicare che, questa volta, il calcolo dell’im-pedenza d’onda e stato eseguito rispetto ad una direzione che appartieneal piano ortogonale al vettore di campo elettrico.
k
E
H uθ
Figura 7.3: Disposizione dei vettori per il calcolo dell’impedenza d’onda nelcaso di campo con polarizzazione TE.
7.5 Velocita di fase delle onde piane
La trattazione che e stata fin qui presentata ha riguardato l’analisi dellarappresentazione complessa del campo elettromagnetico che si sviluppain un mezzo indefinitamente esteso in assenza di sorgenti. Il corrispon-dente campo espresso nel dominio del tempo puo essere ricavato secondole consuete relazioni del tipo
e(t, r) = Re[E0 e−a·r e−ik·r eiωt
],
che forniscono, nella direzione individuata dal generico versore ξ,
eξ(t, r) = |E0,ξ| e−a·r cos(k · r − ωt + φξ) , ξ ∈ x, y, z .
7.5. VELOCITA DI FASE 215
Come si nota, quando si studia l’onda nel dominio del tempo, si riconoscein sostanza che essa e una “versione tridimensionale” delle onde che sierano trovate nel capitolo 4, e nelle quali comparivano funzioni del tipof(kz − ωt). In analogia a quanto si era fatto allora, quando si eramostrato che la dipendenza del tipo (kz − ωt) configurava un fenomenoondulatorio che si muove nello spazio al passare del tempo, e per il qualepuo quindi essere definita una velocita, si usano ora le espressioni piugenerali del campo nel dominio del tempo che sono state derivate inquesta sede per approfondire il concetto di velocita di fase delle ondeelettromagnetiche.
A tal fine, si puo procedere come segue: si immagini di fissarel’attenzione in un particolare punto della funzione coseno, ad esempiosul punto di massimo di questa, e di muoversi insieme all’onda con unavelocita tale che il punto sotto osservazione appaia “fermo” rispetto alsistema di riferimento solidale con l’onda. Quando cio accade, si puoscrivere
d(ωt − k · r) = 0 ,
e questa relazione indica che il punto sotto osservazione appare fermo sein ogni intervallo di tempo infinitesimo dt ci si e spostati nello spazio diuna quantita dr tale che
ω dt − k · dr = 0
Posto oradr = u|dr| , k = k|k| ,
con u versore della direzione in cui ci si muove, si ha allora
dove θ e l’angolo tra i versori k e u. Si definisce allora velocita di fasedell’onda nella direzione u la quantita
vf (u) =|dr|dt
=ω
|k| cos(θ). (7.6)
Si noti che la velocita di fase dipende dunque dalla direzione di osser-vazione ed essa e data da una espressione che induce ad alcune consider-azioni. In particolare, si puo notare che vi e un termine del tipo cos(θ)al denominatore della (7.6), cosa che implica una velocita vf → ∞ per
216 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
θ → π/2. Questo risultato, apparentemente in contrasto con i prin-cipi della relativita e, in realta, un risultato corretto e facilmente in-terpretabile. Per come e stata definita, infatti, la quantita vf (u) e lavelocita con cui e necessario muoversi lungo la direzione u al fine dimantenersi in un sistema di riferimento in moto solidale con l’onda.Quindi, innanzi tutto essa e solo la velocita con cui si vede la fase evol-vere nello spazio rispetto ad una determinata direzione, ovvero, comeverra anche chiarito con maggior dettaglio nel paragrafo 7.11, essa none la velocita con cui si muove l’energia del campo elettromagnetico eper questa ragione il fatto di trovare che essa puo eccedere la velocitadella luce nel vuoto non costituisce nessuna violazione di principi fisicifondamentali. Inoltre, poiche vf e una misura di quanto rapidamente“scorrono” i piani equifase rispetto alla direzione di osservazione u, eragionevole attendersi che, quanto piu e grande l’angolo di osservazione,tanto piu rapido sembri essere il movimento dei piani equifase.
Normalmente, quando non si specifica in modo esplicito la direzionedi osservazione u, si sottointende che questa coincida con la direzioneindividuata dal vettore di fase k, e la velocita di fase e il valore minimodella (7.6), ovvero
vf =ω
|k| .
Seguendo la classificazione delle onde che si e introdotta in prece-denza, si valuta ora la velocita di fase per i vari tipi di onde piane:
Onde piane uniformi in mezzi privi di perdite.
Per queste onde risulta k = ω√
µε e dunque
vf (u) =1
cos(θ)1√µε
=cµ,ε
cos(θ).
La velocita dell’onda e dunque pari a quella che nel capitolo 4 era stataindicata con il termine di velocita della luce nel mezzo con costanti ε eµ se essa viene valutata lungo la direzione di propagazione; in tutte lealtre direzioni, invece, la velocita di fase risulta maggiore della “velocitadella luce”.
Onde evanescenti.
Per queste onde, come si e visto, risulta |k| > ω√
µε. Ne segue che inalcune direzioni dello spazio si ha vf < cµ,ε. Per questa ragione le onde
7.6. COMPLETEZZA DELLE ONDE PIANE 217
piane evanescenti sono anche dette onde lente.
Onde in mezzi con perdite.
Anche in questo caso, poiche a = 0 si ha |k| > ω√
µε ed esistono quindidirezioni dello spazio lungo le quali la velocita di fase risulta inferiorealla “velocita della luce”. Anche le onde presenti nei mezzi con perditesono dunque onde lente.
7.6 Completezza delle onde piane
Si dimostra ora che la famiglia delle onde piane che sono state sinqui descritte forma un insieme completo di soluzioni delle equazioni diMaxwell.
A tal fine, si considerano campi definiti in regioni di spazio isotrope,lineari, prive di sorgenti ed omogenee a tratti, e si sottolinea, in par-ticolare, quest’ultima caratteristica: essa e di particolare rilievo perchequando si sara dimostrata l’espandibilita in onde piane di un campodefinito in una regione con queste proprieta si sara di fatto mostratoquanto era stato anticipato in precedenza, cioe il fatto che le onde pi-ane possono servire per rappresentare campi che si sviluppano in mezzi“realistici”, nei quali possono trovare spazio anche disomogeneita deiparametri costituivi.
E facile verificare che, quando il mezzo nel quale e definito il campoha queste caratteristiche, il campo stesso
1. soddisfa quasi ovunque (cioe tolto al piu un insieme di misuranulla) all’equazione di Helmoltz omogenea
∇2E − σ2E = 0 , ∇2H − σ2H = 0 ,
dove σ2 e una funzione costante a tratti;
2. ha componenti che sono funzioni costanti a tratti.
Cio che si intende dimostrare, dunque, e che quando valgono questeipotesi sul mezzo materiale, e quando si considera un campo fisica-mente sensato, cioe tale che la sua energia accumulata e la sua potenzatrasportata siano finite, questo campo e sempre rappresentabile per mezzodi una combinazione di onde piane.
218 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Matematicamente, richiedere che il campo abbia potenza ed energiafinite significa limitare lo studio ai campi rappresentati da funzioni aquadrato sommabili, cioe tali che per esse esista almeno una direzionedello spazio, indicata come direzione z, tale che∫∫
N
14
(µ|H|2 + ε|E|2
)dx1 dx2 < +∞ ,
dove N e un qualsiasi piano ortogonale a z, e (x1, x2) e una coppiadi generiche coordinate ortogonali ivi definite. La dimostrazione dellacompletezza comincia mostrando innanzi tutto che il campo elettrico eespandibile nella forma di una opportuna combinazione di onde piane,e cio viene fatto osservando che quando il campo gode della proprietadella sommabilita del quadrato, per ognuna delle sue componenti Ei epossibile definire la trasformata di Fourier bidimensionale
Ei(κ1, κ2, z) =∫ +∞
−∞dx1
∫ +∞
−∞dx2 Eiei(κ1x1+κ2x2) , κ1, κ2 ∈ IR ,
e questa risolve l’equazione
d2Ei
dz2= σ2 Ei + (κ2
1 + κ22) Ei ≡ h2 Ei , h2 = σ2 + (κ2
1 + κ22) .
che ammette la soluzione
Ei = fi(h)e−hz ,
dove fi(h) e una opportuna funzione di h. Antitrasformando si hadunque
Ei =(
12π
)2 ∫ +∞
−∞dκ1
∫ +∞
−∞dκ2 fi (h) e−iκ1x1−iκ2x2−hz , (7.7)
espressione che dimostra come la componente Ei del campo elettricopossa essere espansa nella forma di una somma di onde piane, cosi comesi intendeva mostrare.
Al fine di completare la dimostrazione e pero necessario mostrare chetutto il campo elettro–magnetico puo essere scritto nella forma di unasomma di onde piane e a questo riguardo e necessario notare che cio nonpuo essere fatto semplicemente cambiando E con H nei passaggi chesono appena stati eseguiti . Se cosi si facesse, infatti, si dimostrerebbe
7.6. COMPLETEZZA DELLE ONDE PIANE 219
solamente che e possibile trovare una espansione in onde piane per H,mentre quello che occorre vedere e che l’espansione per H e la stessache e stata utilizzata per E, ovvero che essa ha esattamente gli stessicoefficienti che compaiono nell’espansione del campo elettrico. A talfine, si deve considerare l’equazione di Maxwell
∇× E = −iωµH ⇒ H =∇× E−iωµ
,
ed inserire in questa l’espansione (7.7) usata per rappresentare il campoelettrico E. Dimostrare che l’espansione per H contiene gli stessi coeffi-cienti di quella per E significa allora dimostrare che si possono scambiaretra loro l’operatore di derivazione rispetto alle coordinate spaziali checompare nel rotore con l’operazione di integrale rispetto ai vettori d’ondaκ1 e κ2 che compare nella (7.7). Cio e lecito e corretto se l’integrale diespansione converge uniformemente ad E, cosa che qui si verifica dalmomento che le componenti di campo elettrico sono continue all’internodi ognuno dei mezzi omogenei che concorrono a formare il dominio didefinizione del campo stesso. Questa osservazione prova dunque cheanche H e espandibile in onde piane, con gli stessi coefficienti che com-paiono nell’espansione di E, e cio conclude allora la dimostrazione.
Imh
Reh+ω µε
−ω µε
Figura 7.4: Valori che possono essere assunti dal parametro h nell’espansione(7.7).
A titolo di considerazione finale, si sottolinea in ultimo una parti-colarita che riguarda il vettore d’onda della generica onda piana checostituisce l’espansione (7.7); esso e
S = ik1 x + iκ2y + h z .
220 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Se per semplicita si suppone ora che il mezzo nel quale e definito il camposia un mezzo privo di perdite, essendo κ2
1 ≥ 0 e κ22 ≥ 0, risulta dunque
−ω2µε ≤ h2 < +∞ ,
ed i valori che h puo assumere sono quindi quelli disegnati in Fig.(7.4):si tratta di tutti i punti dell’asse reale e di quei punti dell’asse imma-ginario che, in modulo, sono minori di ω
√µε. In virtu di questo fatto,
l’espansione (7.7) indica dunque che per ottenere la completezza dell’in-sieme di funzioni rappresentato dalla famiglia delle onde piane e neces-sario prendere in considerazione sia le onde piane uniformi, sia le ondepiane evanescenti che si attenuano nella direzione z.
7.7 Riflessione e rifrazione di onde piane
µ1, ε1
µ2, ε2
θi θr
θt
Ondaincidente
x1
Ondariflessa
Ondatrasmessa
x2
Figura 7.5: Onda elettromagnetica che incide sulla superficie di separazione tradue mezzi.
Si passa ora ad illustrare il comportamento di un’onda piana uni-forme che incide sulla superficie di separazione tra due mezzi semi in-finiti, ognuno dei quali omogeneo e privo di sorgenti. I due mezzi sonocaratterizzati dalle loro costanti elettromagnetiche, ε1 e µ1 per il mezzoda cui si suppone provenire l’onda piana, ed ε2 e µ2 per l’altro dei due.La conducibilita del mezzo “1” e assunta essere γ1 = 0, mentre percio che concerne γ2, si suppone in un primo momento che anch’essa sianulla, e si espone nel seguito la trattazione relativa al caso del mezzocon perdite.
Si noti che, da un punto di vista pratico, il problema che si staqui affrontando e un problema estremamente noto, che si presenta ad
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 221
esempio quando un fascio di luce proviene dall’aria e viene fatto incideresu un vetro o sull’acqua. L’esperienza insegna che, in questi casi, ilraggio incidente che raggiunge la superficie di separazione tra i due mezzi“sembra dividersi” in un “raggio riflesso” che si propaga nello stessomezzo da cui proviene il raggio incidente, ed in un “raggio rifratto” chesi trasmette nel secondo dei due mezzi semi infiniti.
Scopo di quanto viene esposto qui di seguito e quello di illustrarele leggi che legano i campi riflesso e rifratto al campo incidente. Inparticolare, nei paragrafi 7.7.1 e 7.7.2 ci si interessa di valutare quale siala relazione che intercorre tra le direzioni di propagazione dei vari raggiin gioco, cioe si stabiliscono i legami tra l’angolo di incidenza θi e quellidi riflessione θr e di trasmissione θt. Successivamente, nel paragrafo 7.7.3si valutano invece i legami tra le ampiezze Er ed Et dei campi riflesso etrasmesso e l’ampiezza Ei del campo incidente.
7.7.1 La legge della riflessione e la legge di Snell
Come menzionato piu sopra, si supponga in un primo momento che ilmezzo “2” sia un mezzo privo di perdite.
All’interfaccia di separazione tra i due mezzi materiali i campi elet-trico e magnetico devono rispettare le condizioni di continuita delle com-ponenti tangenti, che si scrivono nella seguente forma indicata anche conil nome di insieme delle equazioni di Fresnel (si veda la Fig.(7.5))
x1 ×[Eie−iki·r + Ere−iSr·r
]= x1 × Ete−iSt·r
x1 ×[Hie−iki·r + Hre−iSr·r
]= x1 × Hte−iSt·r
, r ∈ (0, x2, x3) ,
(7.8)dove Ei ed Hi sono, rispettivamente, le ampiezze complesse del campoelettrico e del campo magnetico dell’onda incidente, e analoghe notazionisono poi state usate anche per le onde riflessa e trasmessa (o “rifratta”).
Si noti anche che si e scritto esplicitamente che l’onda incidente eun’onda piana uniforme, avendo posto Si = iki. Per contro, poichea priori non e possibile ipotizzare la natura fisica delle onde riflessa erifratta, i loro vettori d’onda sono stati scritti nella forma piu generalepossibile, rispettivamente Sr = ar + ikr e St = at + ikt, lasciando intal modo aperta la possibilita al fatto che queste onde siano indifferen-temente piane uniformi o evanescenti.
Dal punto di vista matematico, le equazioni di Fresnel (7.8) rapp-resentano un sistema omogeneo di equazioni lineari nelle incognite Er,
222 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Hr, Et ed Ht, e si tratta dunque di un sistema nel quale sono presenti 12incognite, che possono essere ridotte a 6 usando le espressioni che met-tono in relazione le ampiezze dei campi elettrico e magnetico attraversol’impedenza d’onda. Come e noto dall’algebra lineare, il sistema puoammettere una soluzione non banale se e solo se il numero di equazioniindipendenti da cui esso e costituito e inferiore al numero delle incognite.E allora immediato verificare che cio accade solo se
iki · r ≡ Sr · r ≡ St · r , ∀r ∈ (0, x2, x3) . (7.9)
Infatti, se cosi non fosse, si potrebbero costruire infinite equazioni linearisemplicemente cambiando il raggio vettore r, ed il sistema non ammet-tere allora alcuna soluzione. Si mostra ora che usando questa condizionesi possono ricavare tutte le informazioni utili alla descrizione delle re-lazioni che intercorrono tra l’angolo di incidenza e gli angoli di riflessionee di rifrazione.
Onda riflessa
Si consideri dapprima l’onda riflessa. Al riguardo, si dimostrano i seguentifatti:
1. l’onda riflessa non puo essere un’onda evanescente, ma deve nec-essariamente essere una onda piana uniforme;
2. l’angolo di riflessione e uguale all’angolo di incidenza: θr ≡ θi.
Dimostrazioni
1. La dimostrazione di questo fatto procede per assurdo: si supponeche l’onda riflessa sia un’onda piana evanescente, e si dimostra chesi trova una condizione non sostenibile. Infatti, se l’onda riflessafosse evanescente, dalle (7.9) si dovrebbe avere
ki · r = kr · rar · r = 0 con ar = 0
, r = (0, x2, x3) . (7.10)
e, per ipotesi di onda evanescente, anche ar · kr = 0.
La seconda delle (7.10) indica che il vettore ar sarebbe allora or-togonale al piano di separazione tra i mezzi materiali, cioe essorisulterebbe disposto parallelamente all’asse x1. Ne seguirebbe
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 223
anche che, dovendo essere ar ortogonale a kr, quest’ultimo vet-tore apparterrebbe al piano (x2, x3) e piu precisamente, poiche percostruzione ki non ha componenti lungo x3, kr sarebbe paralleloa x2.
Si ricorda tuttavia che se l’onda riflessa fosse un’onda evanescenteper essa risulterebbe |kr| > ω
√µ1ε1 = |ki|. Come e immediato ver-
ificare, questa posizione sarebbe allora incompatibile con la primadelle (7.10) calcolata per un raggio vettore r = (0, x2, 0): non e in-fatti possibile che la proiezione del vettore ki sull’asse x2 coincidacon la proiezione di kr se, come mostrato, |kr| > |ki| e kr ‖ x2. Sie dunque giunti ad un risultato assurdo, e non rimane allora checoncludere che sono insostenibili le ipotesi da cui si e partiti: comevolevasi dimostrare, l’onda riflessa non puo essere un’onda evanes-cente e poiche il mezzo in cui essa si propaga e privo di perdite,essa e necessariamente un’onda piana uniforme.
2. Ora che si e stabilito che l’onda riflessa e piana uniforme, la di-mostrazione del secondo fatto in oggetto e immediata. Per l’ondariflessa vale infatti
|kr| ≡ |ki| = ω√
µ1ε1 ,
e la prima delle (7.10), che risulta ancora valida, si legge alloracome
|kr| sin(θr) = |ki| sin(θi) ,
da cui segue immediatamente θr ≡ θi, come intendevasi dimostrare.
Onda trasmessa
Per cio che concerne l’onda trasmessa, si dimostra invece quanto segue:
1. l’onda trasmessa puo essere evanescente, ma a tal fine e necessarioche ε1 > ε2 e che
θi > arcsen(
n2
n1
),
doven1 =
√ε1ε0
, n2 =√
ε2ε0
,
sono gli indici di rifrazione dei mezzi “1” e “2”, rispettivamente,ed ε0 e la permittivita dielettrica del vuoto;
224 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
2. quando l’onda trasmessa non e un’onda evanescente, il legame tral’angolo di incidenza e quello di trasmissione e espresso dalla leggedi Snell
n1 sin(θi) = n2 sin(θt) .
Dimostrazioni
1. Con lo stesso procedimento gia usato nella dimostrazione dell’as-surdo che si realizza nel caso dell’onda riflessa, si trova ancora chese l’onda trasmessa e evanescente
• il vettore di attenuazione at e diretto parallelamente a x1, edil vettore di fase kt parallelamente a x2;
• il modulo del vettore di fase e |kt| > ω√
µ2ε2.
Proiettando la prima delle (7.9) sull’asse x2 si ha allora
ω√
µ1ε1 sin(θi) = |ki| sin(θi) = |kt| > ω√
µ2ε2 , (7.11)
ma a differenza di quanto accadeva nel caso dell’onda riflessa questauguaglianza non rappresenta piu un assurdo perche i parametricostitutivi dei mezzi “1” e “2” sono tra loro diversi. In particolare,poiche in tutti i mezzi di interesse µ e costante (e praticamente co-incidente con la permeabilita µ0 del vuoto), si osserva che affinchel’onda trasmessa sia evanescente e condizione necessaria che le per-mittivita dei mezzi siano ε2 < ε1. Questa condizione e tuttavia solonecessaria, perche la (7.11) puo essere soddisfatta solo se
sin(θi) >|kt||ki|
⇒ θi > arcsen(
n2
n1
),
cosi come volevasi dimostrare.
Si noti che quando nel mezzo “2” si instaura una onda evanescente,li non si ha propagazione di potenza attiva: e questo il ben notofenomeno della riflessione totale, e cio che si e dimostrato, quindi,e che questo puo avere luogo solo quando un’onda elettromagneticasi propaga da un mezzo “piu denso” verso uno “meno denso” (cioe,ad esempio dall’acqua verso l’aria, ma non viceversa), e a patto chel’angolo di incidenza sia maggiore di un angolo minimo, che vienedetto angolo critico, e che e usualmente indicato con il simbolo θc.
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 225
2. Quando invece l’onda nel mezzo “2” non e un’onda evanescente, equindi e un’onda piana uniforme perche il mezzo e privo di perdite,la proiezione della prima delle (7.9) sull’asse x2 da
|ki| sin(θi) = |kt| sin(θt) ,
con |ki| = ω√
µ1ε1 e |kt| = ω√
µ2ε2, e segue allora immediatamentela legge di Snell
n1 sin(θi) = n2 sin(θt) . (7.12)
Insieme al caso della riflessione totale, questa legge costituisce unodei principali esempi dell’utilita delle onde evanescenti: infatti, seci si limitasse a studiare il comportamento di un campo elettroma-gnetico in presenza di una discontinuita dei mezzi materiali sullabase di un semplice approccio geometrico, poiche la legge di Snellnon puo fornire una soluzione accettabile in condizioni di riflessionetotale, se ne dovrebbe concludere che, in quel caso, nel mezzo “2”non vi e alcun campo elettromagnetico. Questa conclusione, comemostrato in precedenza, e tuttavia errata. Quando si e in pre-senza del fenomeno della riflesisone totale, infatti, non e vero chenel mezzo complementare rispetto a quello da cui proviene l’ondanon vi sia alcun campo: vi e una onda evanescente.
7.7.2 Il caso del mezzo con perdite
La trattazione del paragrafo precedente ha riguardato la caratterizza-zione della propagazione di onde piane tra due mezzi privi di perdite.Lo studio che si svolge in questo paragrafo riguarda invece il caso in cuiil mezzo complementare a quello da cui proviene l’onda sia un mezzocon perdite, cioe con conducibilita γ2 = 0.
Il punto di partenza per questo studio e ancora la coppia di relazioni
ki · r = kt · rat · r = 0 con at = 0
, r = (0, x2, x3) ,
con at ·kt = 0. Nel mezzo “2” si instaura quindi un’onda dissociata il cuivettore di attenuazione e ortogonale al piano di separazione tra i mezzimateriali, ed il cui vettore di fase non e parallelo a questo. (Si veda laFig.(7.6)).
226 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
θi
Piani equifasedell'onda inc.
Piani equifasedell'onda trasm.
Piani equiampiezzadell'onda trasm.
1
2
Figura 7.6: Onda dissociata trasmessa in un mezzo con perdite γ2 = 0.
Scrivendo le condizione di continuita in modo esplicito si trova che,in luogo della legge di Snell, il legame tra l’angolo di trasmissione θt equello di incidenza θi e dato dalla relazione implicita
sin(θt) =n1
n2
sin θi√√√√√12
1 +
√1 +
(γ2
ωε2 cos(θt)
)2
,
che mostra come il legame tra gli angoli non dipenda piu solo dagli indicidi rifrazione, ma anche dalla conducibilita del mezzo “2”.
Un caso di particolare rilievo e quello in cui il mezzo “2” e un cosid-detto mezzo buon conduttore, cioe un mezzo tale che
γ2 ωε2 ,
e quindi un mezzo nel quale la corrente di conduzione risulta di granlunga prevalente sulla corrente di spostamento. Con riferimento a questotipo di mezzo, si osserva che
limγ2/ωε2→+∞
sin(θt) = 0 ⇒ θt = 0 ,
e quindi l’onda che si propaga all’interno di questo mezzo presenta dei pi-ani equifase che tendono a ritornare a coincidere con i piani equiampiezza,cioe l’onda diventa una onda piana uniforme che si attenua esponenzial-mente man mano che si propaga all’interno del conduttore. Il calcolo del
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 227
valore dei moduli dei vettori di attenuazione e di fase puo essere svoltocome segue: si ricorda che, come per qualsiasi altra onda piana, ancheper quella in oggetto valgono le relazioni
|kt|2 − |at|2 = ω2µε2 ,
2at · kt = ωµγ ,(7.13)
e, quindi, per definizione di mezzo conduttore, risulta anche
|kt|2 − |at|2 = ωµ(ωε2) ωµ(γ2) = 2at · kt .
Poiche i vettori at e kt sono tra loro paralleli, la differenza tra i loromoduli quadrati puo risultare molto inferiore al loro prodotto internosolo se
|kt| |at| ,
e dalla seconda delle (7.13) segue allora
|kt| |at| =√
πµfγ2 .
L’onda trasmessa all’interno del buon conduttore e quindi del tipo
Et = E0t exp−(1 + i)
x1
δ
,
dove si e indicato, come gia in precedenza, con x1 il versore ortogonalealla superficie di separazione tra i mezzi materiali, e con E0t il valore delcampo sulla superficie di separazione, e si e introdotto il parametro
δ =1√
πµfγ2
che prende il nome di spessore di penetrazione. Il grafico dell’andamentodel modulo del campo elettrico all’interno del buon conduttore e ripor-tato in Fig.(7.7).
Da un punto di vista fisico, cio che accade e quanto segue: l’ondache proviene dal mezzo “1” incide sul mezzo buon conduttore, dovepenetra e si attenua con legge esponenziale. Come e consuetudine fare inpresenza di fenomeni fisici descritti da leggi esponenziali, la rapidita concui ha luogo l’attenuazione viene caratterizzata per mezzo della costantedi decadimento esponenziale, qui lo spessore di penetrazione, che e unindice di quanto il campo riesce ad entrare nel mezzo buon conduttore:
228 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|E|
x/δ
Figura 7.7: Attenuazione del campo elettrico che penetra in un mezzo buonconduttore.
alla distanza caratteristica x1 = δ il valore del campo e pari a e−1 = 0.36volte il suo valore iniziale. In termini di potenza, che varia secondo lalegge
P (x1) = P (0) exp−2x1
δ
,
alla distanza x1 = δ si ha P (x1) 0.13P0, ovvero a questa distanza lapotenza subisce una attenuazione pari a 8.68 dB, che salgono a 26 dB aduna distanza pari a tre volte lo spessore di penetrazione.
E importante notare che lo spessore di penetrazione dipende dallafrequenza e, per la precisione, esso diminuisce con la radice quadratadella frequenza del campo; cio significa che piu e alta la frequenza dellaradiazione che incide sul buon conduttore, piu e “sottile” lo strato su-perficiale di conduttore dove il campo ha ampiezza significativa: e il bennoto fenomeno usualmente indicato con il nome di effetto pelle. Diretta-mente collegato a questo fenomeno ve ne e un secondo di notevole rilievo,e questo e quello che riguarda l’aumento della resistenza, e quindi delleperdite, che si osserva in un conduttore metallico all’aumentare della fre-quenza dei campi che si propagano in sua prossimita. La giustificazioneformale di questa caratteristica e ricavabile come segue.
Nel mezzo conduttore, come si e visto, il campo elettrico e del tipo
Et = E0t exp−(1 + i)
x1
δ
x ,
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 229
y
x
zEt
Ht Mezzo
conduttore
Figura 7.8: Campo elettrico e magnetico trasmesso nel mezzo buon conduttore.
e solo per comodita esso e stato assunto essere polarizzato lungo l’assex di Fig.(7.8). Il corrispondente campo magnetico e allora
Ht =(1 + i) z × Et
iωµδ=
1 − i
2
√γ2
πµfE0t exp
−(1 + i)
x1
δ
y ,
e quindi, indipendentemente dall’angolo di incidenza, nel mezzo condut-tore si instaura un’onda che ha impedenza d’onda in direzione z
η(z) = Zs = Rs + iXs = (1 + i)
√πµf
γ2.
Si noti che questa impedenza, che e detta impedenza di parete, dipendesolo dalla frequenza e dalle caratteristiche fisiche del conduttore, ma nondalla direzione o dalla natura dell’onda incidente. Tra poco si ritornerasu questo punto, spiegando l’importanza che esso assume in alcuni con-testi di grande rilievo pratico.
Per il momento, invece, si vuole completare la discussione a riguardodella dipendenza dalla frequenza della resistenza di un conduttore, ed atal fine si nota che l’impedenza di parete e costituita dalla serie di un re-sistenza e di una ammettenza induttiva di uguale valore. In particolare,la resistenza puo essere riscritta come
RS =
√πµf
γ2=
1γ2 δ
,
e si osserva allora che essa coincide con la resistenza che presenterebbeun conduttore piano di profondita δ ad una radiazione continua. Poichela profondita δ decresce al crescere della frequenza, l’effetto che si ottienee equivalente a quello che si osserverebbe in continua se si facesse fluire
230 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
una corrente in un conduttore che va via via assottigliandosi: come e bennoto, in questo caso la resistenza aumenterebbe in maniera proporzionalealla diminuzione dello spessore del conduttore, in accordo con quanto siintendeva provare.
Si ritorna ora alla questione lasciata precedentemente in sospeso,ovvero all’importanza di aver trovato che, indipendentemente dalla di-rezione dell’onda incidente, il mezzo buon conduttore si presenta comeun mezzo che impone l’impedenza di parete Zs. L’importanza praticadi questo fatto risiede in quanto segue: poiche l’impedenza di parete“e la stessa” per qualsiasi onda incida sul conduttore, essa puo essereusata come una condizione al contorno per lo studio della propagazionein presenza di mezzi conduttori. Un esempio di particolare importanzadi questo tipo di studi e quello rappresentato dal caso della propagazionenelle guide metalliche “reali”, cioe nelle guide contornate da pareti metal-liche con conducibilita diversa da zero. Se la propagazione in questestrutture volesse essere studiata con rigore, sarebbe necessario risolverele equazioni di Maxwell nel dielettrico interno alla guida e nelle paretidella guida e, successivamente, applicare le condizioni di continuita perle componenti di campo tangenti al profilo della guida. Questa stradasi rivela tuttavia molto onerosa, con il risultato che solo raramente siriescono a svolgere tutti i calcoli di interesse in forma chiusa.
La strada alternativa che si puo allora seguire e quella che coinvolgel’impedenza di parete, ed operativemente si puo procedere come segue:nel mezzo conduttore e presente un’onda piana uniforme con i campielettrico e magnetico le cui ampiezze sono legate dalla relazione Et =Zs Ht. Si scrivano ora le condizioni di continuita per le componentitangenti del campo all’interno della guida (Eit, Hit) sulla superficie delconduttore. Poiche Et ed Ht sono tangenti alla guida, vale
Eit ≡ Et , Hit ≡ Ht .
La presenza del conduttore impone allora la seguente condizione al con-torno (detta condizione di Leontovic) sulle componenti tangenti allaguida del campo nel dielettrico
Eit = Zs Hit . (7.14)
La condizione di Leontovic puo allora essere usata come segue: si con-sidera solo il campo all’interno del dielettrico e si risolvono le equazionidi Maxwell soggette alla condizione al contorno (7.14). Cio e sufficiente
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 231
per poter caratterizzare la propagazione nella guida, senza che sia piunecessario considerare sia il campo nel dielettrico, sia quello nel condut-tore.
Prima di concludere il paragrafo si vuole infine fornire una giustifi-cazione “piu fisica” (e meno matematica) del motivo per cui il camposi attenua man mano che esso penetra nel conduttore. Si immagini atal fine di eseguire il seguento esperimento: si ponga una sorgente adalta frequenza in prossimita di un mezzo conduttore, e si indichi con E0
l’ampiezza dell’onda di campo elettrico impresso che essa impone sullasuperficie del conduttore.
x
zy
AB B'
C C'D
E0
Poiche il campo elettrico varia nel tempo, esso produce un campomagnetico (anch’esso variabile nel tempo) che risulta disposto ortogo-nalmente al campo elettrico (e, per la precisione, in direzione uscente dalfoglio nel sistema di riferimento della figura). Anche il campo magneticovariabile nel tempo da luogo, a sua volta, ad un nuovo campo elettricoindotto E1 che tende ad opporsi a E0. Si consideri ora la circuitazione diE1 lungo i percorsi ABCDA e AB1C1DA. Il percorso che include i verticiB1 e C1 concatena un maggior flusso magnetico e la tensione elettricaindotta nel tratto B1C1 e dunque maggiore di quella indotta nel trattoBC. Ne segue che, tanto piu si penetra nel conduttore, tanto minore e ilcampo disponibile E0 + E1.
7.7.3 Formule di Fresnel
Avendo completato la discussione sulle direzioni di propagazione deiraggi riflesso e rifratto si passa ora ad analizzare le relazioni che in-tercorrono tra le ampiezze Er ed Et dei campi riflesso e trasmesso el’ampiezza Ei del campo incidente. Si suppone dapprima che l’ondatrasmessia sia piana uniforme, rimandando ad un secondo il caso della
232 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
x2
x1
x3
P
riflessione totale.
Campo con polarizzazione TM
Si individui il piano P dello spazio che contiene le onde incidente, riflessae trasmessa, ovvero il piano su cui giacciono i vettori ki, kr e kt esi fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel quale gli assicoordinati x1 e x2 appartengono al piano, con x1 parallelo alla superficiedi separazione. L’asse x3, infine, e l’asse ortogonale a P.
Si scelga l’asse x2 come asse rispetto al quale applicare il teorema discomposizione. Per definizione, quando si considera la componente TMdel campo, le tre onde in esame hanno allora
• campo magnetico Hi, Hr e Ht ortogonale al piano P, ovvero ori-entato lungo l’asse x3;
• campo elettrico che, dovendo valendo per ognuna delle onde inesame la relazione
H =√
ε
µE (k × E) =
E
η(k)(k × E) ,
giace sul piano P.
Una possibile disposizione delle terne di vettori k,E,H e illustratain figura 7.9, dove, una volta assegnato il verso ai campi elettrici Ei, Er
ed Et, i corrispondenti campi magnetici sono orientati in modo conformealla “regola della mano destra”. In particolare, quindi, con la scelta deivettori E illustrata nella figura 7.9, si verifica che i campi Hi e Ht sono
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 233
x2
x1
x3
ki
EiHi
x1
x2
ki
Ei
Hikr
Er
Hr
kt
Et
Ht
Figura 7.9: Disposizione dei campi elettrico e magnetico per un’onda con po-larizzazione TM.
entranti nel piano del foglio, e vengono rappresentati tramite una croce,mentre il campo Hr esce dal foglio, ed e rappresentato da un circoletto.
Stabilita la corretta orientazione dei vettori, si possono applicare lecondizioni di continuita per i campi elettrico e magnetico in corrispon-denza alla superficie di separazione tra i due mezzi materiali. Si noti che,per come sono disposti i vettori campo elettrico e campo magnetico, siapplicheranno le condizioni di continuita di campo elettrico solo lungol’asse x1, e le condizioni sul campo magnetico solo lungo x3.
Continuita lungo x1.
La componente del campo elettrico incidente che risulta parallela ax1 e pari a Ei cos(θi). Analogamente, le componenti lungo x1 delle onderiflessa e trasmessa sono rispettivamente pari a Er cos(θr) e Et cos(θt).Ne segue che la continuita delle componenti di campo elettrico si scrivecome
Ei cos(θi) + Er cos(θr) = Et cos(θt) .
Continuita lungo x3.
Si ricorda che, per costruzione, lungo l’asse x3 ci sono solo compo-nenti di campo magnetico che, in accordo con la quanto visto in prece-denza a riguardo della loro disposizione secondo la regola della manodestra, danno luogo ad una condizione di continuita che si scrive come
Hi − Hr = Ht ,
234 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
nella quale il segno − della componente del campo magnetico riflesso edovuta al fatto che esso ha verso discorde rispetto alle altre due.
Inoltre, poiche le onde in gioco sono onde piane uniformi, per og-nuna di esse vale la seguente relazione tra i moduli dei campi elettrico emagnetico
Hi =Ei
η1, Hr =
Er
η1e Ht =
Et
η2.
Le condizioni di continuita per i campi elettrico e magnetico possonoquindi essere riassunte come
Ei cos(θi) + Er cos(θr) = Et cos(θt) ,
Ei
η1− Er
η1=
Et
η2,
e cio che ci si propone di valutare e
• il coefficiente di riflessione ρTM = Er/Ei ,
• il coefficiente di trasmissione τTM = Et/Ei .
A tal fine e sufficiente moltiplicare la seconda delle equazioni di con-tinuita per η2 cos(θt), e sottrarre la quantita cosi ottenuta alla prima. Siottiene
Ei
[− cos(θi) +
η2
η1cos(θt)
]= Er
[cos(θr) +
η2
η1cos(θt)
],
e quindi, ricordando che θr = θi, anche
ρTM =Er
Ei=
η2 cos(θt) − η1 cos(θi)η2 cos(θt) + η1 cos(θi)
=η2TM (x1) − η1TM (x1)η2TM (x1) + η1TM (x1)
.
Si noti che quando θi = θt = 0, il coefficiente di riflessione si riduce a
ρTM =η2 − η1
η2 + η1,
che coincide con l’espressione trovata nell’ambito delle linee di trasmis-sione a riguardo del comportamento di un campo di tensione o di cor-rente che, proveniendo da una linea con impedenza caratteristica η1,incide su un carico con impedenza η2.
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 235
Per quanto concerne la valutazione del coefficiente di trasmissione,si puo poi considerare la seconda delle equazioni di continuita e, usandoil fatto che Er ≡ ρTM Ei, ricavare direttamente
τTM =η2
η1(1 − ρTM ) =
2η2 cos(θi)η2 cos(θt) + η1 cos(θi)
.
E interesante verificare che le onde riflessa e trasmessa con ampiezzeregolate dai coefficienti ρTM e τTM appena determinati sono tali dasoddisfare il principio della conservazione della potenza, valido nei mezziprivi di perdite. Infatti, se si calcola il vettore di Poynting per l’ondaincidente si trova
Pi =Ei × H∗
i
2=
|Ei|22η1
ki ,
di modo che la potenza che attraversa una superficie unitaria dispostaparallelamente al piano di separazione tra i due mezzi semi infiniti e paria
Wi =|Ei|22η1
cos(θi) .
Analogamente, si trova per le onde riflessa e trasmessa
Wr =|Er|22η1
cos(θr) , Wt =|Et|22η2
cos(θt) .
La conservazione della potenza richiede che si abbia Wi = Wr + Wt
ovvero|Ei|22η1
cos(θi) =|Er|22η1
cos(θr) +|Et|22η2
cos(θt) .
Ricordando che θi = θr si deve allora avere anche
1 = ρ2TM +
η1
η2
cos(θt)cos(θi)
τ2TM ,
relazione che, cosi come deve, risulta verificata dai coefficienti ρTM eτTM sopra derivati.
Campo con polarizzazione TE
Nel caso di un campo a polarizzazione TE, le componenti del campoelettrico sono orientate lungo x3, mentre le componenti di campo ma-gnetico giacciono sul piano P. Una possibile scelta per le orientazioni
236 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
x2
x1
x3
ki
Ei
Hi
x1
x2
kiEi
Hi
kr
Er
Hr
kt
Et
Ht
Figura 7.10: Disposizione dei campi elettrico e magnetico per un’onda conpolarizzazione TE.
dei campi elettrici e magnetici, che rispetta la regola della mano de-stra rispetto ai vettori di propagazione, e quella illustrata in figura 7.10e analogamente a quanto fatto in precedenza, anche in questo caso siapplicano ora le condizioni di continuita per i campi elettrico e magne-tico in corrispondenza alla superficie di separazione tra i due mezzi semiinfiniti.
Continuita lungo x1.
Con l’orientazione dei campi magnetici illustrata in figura 7.10, lacondizione di continuita lungo l’asse x1 si scrive come
Hi cos(θi) − Hr cos(θr) = Ht cos(θt) ,
o, ricordando la relazione esistente tra i moduli dei campi elettrico emagnetico, anche
Ei
η1cos(θi) −
Er
η1cos(θr) =
Et
η2cos(θt) .
Continuita lungo x3.
In questo caso, essendo i tre vettori di campo elettrico tutti orientatinello stesso modo, la continuita si scrive semplicemente come
Ei + Er = Et .
7.7. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE 237
Con procedimento analogo a quello usato nel precedente caso dei campicon polarizzazione TM, si ottiene ora
ρTE =Er
Ei=
η2
cos(θt)− η1
cos(θi)η2
cos(θt)+
η1
cos(θi)
=η2TE(x1) − η1TE(x1)η2TE(x1) + η1TE(x1)
.
Anche in questo caso, come ci si puo aspettare, l’espressione del coeffi-ciente di riflessione coincide con quella valida per le linee di trasmissionequando θi = θt = 0. Infine, per cio che concerne il coefficiente di trasmis-sione, si ha
τTE =Et
Ei=
2η2
cos(θt)η2
cos(θt)+
η1
cos(θi)
.
L’angolo di Brewster
Si considerino i coefficienti ρTE e ρTM appena calcolati. Come si puovedere, se non c’e discontinuita di indice di rifrazione, risulta ρTE =ρTM = 0 (infatti, in questo caso θi = θt e η1 = η2; d’altra parte ilrisultato e ovvio, visto che, se non c’e discontinuita di indice di rifrazionenon c’e ragione per cui debba generarsi un’onda riflessa). Esiste tuttaviaun caso in cui, pur essendoci discontinuita di indice di rifrazione, nonc’e onda riflessa. Si consideri infatti il caso del coefficiente di riflessioneTM
dal momento che la permittivita magnetica e, con buona approssimazio-ne, costante in tutti i mezzi di interesse, e praticamente coincidente conquella del vuoto. Usando la legge di Snell e allora immediato verificareche il coefficiente di riflessione puo essere scritto nella forma equivalente
e si trova quindi ancora ρTM = 0 se θt = θi, ovvero se non c’e disconti-nuita di indice di rifrazione, ma anche
ρTM = 0 quando θi + θt =π
2.
Si chiama angolo di Brewster θiB quell’angolo di incidenza che da luogoad un angolo di trasmissione
θtB =π
2− θiB ,
e che non genera onda riflessa alla superficie di discontinuita tra i duemezzi semi infiniti per un campo con polarizzazione TM. Come e imme-diato verificare ricorrendo ancora alla legge di Snell, esso e legato agliindici di rifrazione dei mezzi materiali in gioco dalla relazione
tan(θiB) =n2
n1.
Il caso dell’onda evanescente.
Ora che si sono analizzati i coefficienti di riflessione e di trasmissione chesi ottengono quando nel mezzo complementare a quello da cui provienel’onda incidente si instaura un’onda piana uniforme, rimane da esam-inare il caso della riflessione totale, e cioe il caso in cui nel secondo deidue mezzi semi infiniti si propaga un’onda evanescente. Si dimostra che,in questo caso, i coefficienti di riflessione risultano
ρTE =
iωµ
|at|− η1
cos(θi)iωµ
|at|+
η1
cos(θi)
, ρTM =
|at|iωε
− η1 cos(θi)
|at|iωε
+ η1 cos(θi),
dove at e, come di consueto, il vettore di attenuazione dell’onda evanes-cente, orientato in direzione ortogonale alla superficie di separazione trai due mezzi semi–infiniti. Si nota che risulta
|ρTE | = 1 , |ρTM | = 1 ,
come ci si poteva aspettare dal momento che si e in presenza di riflessionetotale, e non vi e quindi passaggio di potenza attiva dal mezzo da cuiproviene l’onda incidente verso l’altro dei due. Tuttavia, e importante
7.8. SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE PIANE 239
notare che, sebbene il modulo dei coefficienti di riflessione sia unitario,questi hanno in realta valori diversi a seconda delle caratteristiche delmezzo in cui si instaura l’onda evanescente. Infatti, se questo mezzo e, adesempio, un conduttore elettrico perfetto, si ha at = 0, e cosi ρTE = −1,ρTM = 1, ovvero i due coefficienti di riflessione hanno modulo pari a uno,e fasi rispettivamente uguali a π e a zero. Altri mezzi possono invecefar si che le fasi dei coefficienti ρTE e ρTM siano comprese tra zero e π,dando cosi luogo a onde riflesse che risultano sfasate rispetto a quellaincidente, come se la riflessione avesse avuto luogo su un conduttoreperfetto posto dietro la superficie di separazione tra i mezzi semi infiniti(effetto Goos-Haenchen).
7.8 Sovrapposizione di onde piane
Sino a questo momento si sono considerati i fenomeni fisici che si os-servano quando si considera la propagazione di una singola onda pianache, come visto, puo eventualmente dividersi nella composizione di ondetrasmesse e riflesse se essa si propaga in una regione dello spazio che nonsia infinitamente omogenea.
Nei prossimi paragrafi saranno invece analizzate alcune caratteris-tiche della propagazione per onde piane che si osservano quando si sup-ponga che nella regione di definizione del campo sia presente piu di unasola onda piana. In particolare, i fenomeni di interesse che sarannostudiati sono quelli che riguardano la formazione di onde stazionarie,discusse nel paragrafo 7.9, la propagazione in mezzi dielettrici multi-strato, esposta nel paragrafo 7.10 e, da ultimo, il concetto di velocita digruppo delle onde elettromagnetiche, esposto nel paragrafo 7.11.
7.9 Onde stazionarie
Si supponga che in una stessa regione dello spazio siano presenti dueonde piane uniformi e, per semplicita, si assuma che queste abbiano lastessa ampiezza e la stessa polarizzazione; per esempio, con riferimentoal campo elettrico delle due onde, si indichi l’ampiezza con E0, e sisupponga che la polarizzazione sia rettilinea e disposta parallelamenteall’asse x di una terna cartesiana ortogonale. Si supponga inoltre che leonde viaggino in direzioni opposte, entrambe allineate rispetto all’asse zdel sistema cartesiano introdotto in precedenza. Si intende ora valutare
240 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
l’andamento nel tempo del campo elettrico e magnetico generato dallasovrapposizione delle due onde piane e, in seguito, le espressioni delvettore di Poynting e dell’impedenza d’onda nella direzione z.
7.9.1 Andamento nel tempo dei campi elettrico e magne-tico
Nel dominio della rappresentazione complessa i campi elettrico e magne-tico della sovrapposizione delle due onde piane sono
E(z) = E(z) x = E0
[e−iβz + e+iβz
]x ,
eH(z) =
iβz × E(z)iωµ
= H(z) y =E0
η
[e−iβz − e+iβz
]y ,
dove, come di consueto, β = ω√
µε, e η =√
µ/ε. Le corrispondentiespressioni nel dominio del tempo sono allora
e(z, t) = Re[E(z)eiωt
]= 2E0 cos(ωt) cos(βz) x ,
h(z, t) = Re[H(z)eiωt
]= 2
E0
ηsin(ωt) sin(βz) y ,
dove si e supposto E0 ∈ IR senza perdita di generalita. L’andamentografico dei campi allo scorrere del tempo e illustrato in Fig.(7.11).
Nelle espressioni dei campi le variabili temporali e spaziali compaionodunque separatamente, cioe negli argomenti di funzioni diverse. Comesi e gia avuto modo di vedere quando si sono studiate le linee di trasmis-sione, questo fatto rappresenta una configurazione del campo elettroma-gnetico nel quale le onde non si spostano nello spazio allo scorrere deltempo, ma esse danno invece luogo ad un fenomeno di pulsazione, cioead una onda stazionaria.
L’analogia con il caso delle linee di trasmissione e d’altra parte evi-dente: due onde contropropaganti di uguale ampiezza e polarizzazionesono quelle che si trovano in una linea quando questa e chiusa su uncarico non resistivo e, come si e visto, questi carichi comportano, perl’appunto, la formazione di un’onda stazionaria nella linea stessa.
Anche nel caso che si sta ora analizzando, inoltre, si puo verificareche i campi elettrico e magnetico sono tra loro in quadratura sia neltempo sia nello spazio, cosi come accadeva alle onde di tensione e dicorrente di una linea chiusa su un carico reattivo.
7.9. ONDE STAZIONARIE 241
t = t0
t = t1
t = t2
z
h(z,t)
t = t0
t = t1
t = t2
z
e(z,t)
Figura 7.11: Andamento nel tempo del campo elettrico e magnetico di un’ondastazionaria.
7.9.2 Vettore di Poynting ed impedenza d’onda
Queste due grandezze risultano rispettivamente pari a
P =E × H∗
2= 2 i
|E0|2η
sin(2βz) z ,
e
ηOS(z) =E(z)H(z)
= iη cotg(βz) .
Si puo notare quanto segue
1. Il vettore di Poynting e diretto lungo z, cosi come era ragionevoleattendersi dal momento che entrambe le onde si propagano lungola direzione individuata da questo versore;
2. inoltre, il vettore di Poynting e immaginario puro. Sebbene allaluce dell’analogia con le linee di trasmissione che e stata posta in
242 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
luce in precedenza questo risultato non stupisce, e tuttavia impor-tante sottolineare il seguente aspetto: si e considerata la sovrappo-sizione di due onde piane unformi, ognuna delle quali “trasporta”una potenza puramente attiva, e si e trovato che la loro sommanon trasporta potenza attiva, ma trasporta invece una potenza pu-ramente reattiva.
Da un punto di vista matematico questo risultato si spiega comesegue: il calcolo della potenza e una operazione non lineare rispettoalle ampiezze dell’onda di campo elettrico e/o magnetico, ed equindi sbagliato pensare che la potenza associata alla somma didue onde debba coincidere con la somma della potenze delle dueonde. Fisicamente, invece, il risultato e di immediata compren-sione non appena si pensi all’analogia con le linee, in particolareal caso della linea chiusa su un corto–circuito: anche in quel casol’onda che incide sul corto circuito, se vista da sola, trasportauna potenza attiva; tuttavia, in corrispondeza al corto circuito sicrea un’onda riflessa che “riporta indietro” tutta la potenza at-tiva nella direzione opposta a quella dell’onda incidente giacche ilcorto–circuito non puo assorbire potenza reale. La potenza attivanetta che transita in ogni sezione della linea in condizioni di regimee dunque nulla.
3. Il coefficiente dell’immaginario che compare nell’espressione delvettore di Poynting cambia segno con una periodicita pari a metadella lunghezza d’onda del campo di ognuna delle onde progres-sive che costituiscono l’onda stazionaria. Ancora una volta, laspiegazione matematica di questo fatto risiede nella natura non–lineare del calcolo che e necessario svolgere per la valutazionedella potenza; dal punto di vista fisico, invece, un coefficientedell’immaginario positivo o negativo e il segno del fatto che in al-cuni punti dello spazio prevale il comportamento magnetico (cioeinduttivo) del campo, mentre in altri punti prevale quello elettrico.
4. Le stesse considerazioni possono poi essere fatte se al posto del vet-tore di Poynting si analizza l’impedenza d’onda. Anche questa, in-fatti, e immaginaria pura a significare che all’onda stazionaria e as-sociata solo potenza reattiva, con segno che cambia ogni quarto dilunghezza d’onda e periodicita pari a meta della lunghezza d’onda,in accordo con i risultati derivati nello studio delle linee di trasmis-
7.10. MEZZI DIELETTRICI MULTISTRATO 243
sione. Infine, si nota anche che vi sono punti dello spazio in cuil’impedenza d’onda e nulla, ed altri nei quali essa diverge: questipunti sono, rispettivamente, i punti nei quali si annulla il campoelettrico o quello magnetico, cioe, con la stessa terminologia usatanelle linee di trasmissione, sono i punti nei quali cadono i nodi delcampo elettrico o del campo magnetico.
7.10 Mezzi dielettrici multistrato
n1
n2
n3
d
Figura 7.12: Mezzo dielettrico multistrato.
In questo paragrafo si considera la propagazione di un’onda piana at-traverso una struttura dielettrica multistrato, dove con questo termine siintende una struttura nella quale le proprieta del mezzo sono costanti neipiani ortogonali ad una certa direzione, e possono invece variare lungoquella stessa direzione. Un esempio particolarmente semplice di questotipo di struttura e quello riportato in Fig.(7.12), dove e rappresentatoun mezzo nel qualo uno strato di materiale di spessore d ed indice dirifrazione n2 e interposto tra due mezzi semi–infiniti con indici n1 e n3.
Lo studio di questo tipo di mezzi e di fondamentale importanza spe-cialmente nel campo dell’ottica, dove i dielettrici multistrato trovanoimpiego per la realizzazione di film antiriflesso, cioe di materiali cheriducono la riflessione da una data superficie o, al contrario, anche perla realizzazione di strutture che permettono invece di aumentare la ri-flessione stessa, o di renderla dipendente dalla polarizzazione dell’ondaincidente. Si realizzano in questo modo degli utili dispositivi ottici qualidivisori di fascio, filtri, e polarizzatori.
Vengono qui proposte due metodologie di studio: la prima e basatasul computo delle onde parziali, cioe delle onde che sono riflesse da og-nuna delle superficie che concorrono a costituire il mezzo multistrato.Per semplicita, il metodo verra illustrato con riferimento al mezzo di
244 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Fig.(7.12) supponendo che l’onda incidente si propaghi in direzione per-pendicolare alle superfici di discontinuita tra i mezzi materiali.
Nel seguito, nel paragrafo 7.10.2, verra invece proposto un metododi studio piu generale, basato sul formalismo delle matrici di trasferi-mento, ed esso verra dapprima applicato ancora al caso della Fig.(7.12),e poi esteso al caso di un mezzo costituito da piu strati e con una ondaincidente di polarizzazione e direzione arbitraria.
Nel paragrafo 7.10.3 verra infine discusso un particolare caso dipropagazione in mezzi stratificati che coinvolge la sovrapposizione dionde evanescenti e che e usualmente indicato con il nome di effetto tun-nel elettromagnetico.
7.10.1 Metodo delle onde parziali
Si consideri dunque il mezzo di Fig.(7.12). Nel seguito si fara spessouso dei coefficienti di rifessione e trasmissione alle interfacce tra i tredielettrici in gioco, e conviene allora scriverne espressamente i valori.Essi sono
ρ12 =n1 − n2
n1 + n2, ρ21 = −ρ12 , ρ23 =
n2 − n3
n2 + n3,
τ12 = 2n1
n1 + n2, τ21 = 2
n2
n1 + n2, τ23 = 2
n2
n2 + n3,
dove si e indicato con ρ12 il coefficiente di rflessione per il passaggio dalmezzo con indice n1 al mezzo con indice n2, ed una simbologia analogae poi anche usata per tutti gli altri coefficienti.
Come illustrato nella Fig.(7.13), l’onda trasmessa nel mezzo con in-dice n3 e costituita dalla somma di piu termini, che risultano, rispetti-vamente
Et1 = E0 τ12 τ23 e−iβ2d ,
Et2 = E0 τ12 τ23 ρ23 ρ21 e−3iβ2d ,
Et3 = E0 τ12 τ23 ρ223 ρ2
21 e−5iβ2d ,
. . . ,
Etn = E0 τ12 τ23 ρ2(n−1)23 ρ
2(n−1)21 e−i(2n+1)β2d ,
7.10. MEZZI DIELETTRICI MULTISTRATO 245
E0 Er0
Er1Er2
Et1 Et2Et3
n1
n2
n3
d
τ12
τ23 ρ23
ρ21
Figura 7.13: Composizione delle onde trasmessa e riflessa in un mezzo dielet-trico multistrato.
e vale dunque
Et =+∞∑n=1
Etn = E0τ12 τ23 e−iβ2d
1 − ρ23 ρ21 e−2iβ2d. (7.15)
In maniera analoga, l’onda riflessa e data dalla somma delle seguentionde parziali
Er0 = E0 ρ12 ,
Er1 = E0 τ12 τ21 ρ23 e−2iβ2d ,
Er2 = E0 τ12 τ21 ρ223 ρ21 e−4iβ2d ,
. . . ,
Ern = E0 τ12 τ21 ρn23 ρ
(n−1)21 e−i2nβ2d ,
ed essa risulta quindi pari a
Er = ρ12E0 + ρ23τ21
τ23e−iβ2d Et . (7.16)
Le espressioni (7.15) e (7.16) vengono ora specializzate a due casi diparticolare rilievo.
246 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Strato a mezzo’onda.
Il primo caso che si considera e quello di un mezzo nel quale lo stratocon indice n2 ha dimensione
d =λ0
2 n2,
cioe il suo spessore e pari a meta della lunghezza d’onda che la radiazionepresenta in corrispondenza all’indice di rifrazione n2. E facile verificareche in questo caso le (7.15,7.16) risultano rispettivamente
Et = −2 E0n1
n1 + n3, Er = E0
n1 − n3
n1 + n3,
e, come si nota, i coefficienti di trasmissione e di riflessione sono dunqueindipendenti dall’indice n2. La ragione di questo risultato e presto sp-iegata se si considera l’analogia che esiste tra il mezzo multistrato diFig.(7.12) e la linea di trasmissione illustrata in Fig.(7.14).
η1η2 η3
d
Figura 7.14: Linea di trasmissione equivalente al mezzo multistrato diFig.(7.12).
η1η3
Figura 7.15: Linea di trasmissione equivalente al mezzo multistrato diFig.(7.12) quando il tratto con indice n2 ha spessore d = λ0/n2.
7.10. MEZZI DIELETTRICI MULTISTRATO 247
Quando la lunghezza fisica del tratto con impedenza η2 e pari a metadella lunghezza d’onda della radiazione in quel mezzo, la linea e elettri-camente equivalente a quella mostrata in Fig.(7.15), e le ampiezze delleonde trasmessa e riflessa dipendono allora solo dai valori delle impedenzeη1 e η3, cioe degli indici n1 e n3.
Strato a quarto d’onda.
Il secondo caso di rilievo e invece quello in cui
d =λ0
4 n2,
per il quale vale
Et = −2i E0n2 n1
n22 + n1n3
, Er = E0n1n3 − n2
2
n1n3 + n22
.
In questo caso, quindi, il coefficiente di riflessione si annulla quandon2
2 = n1n3: si e realizzato un adattatore a quarto d’onda che adattal’impedenza η3 all’impedenza η1.
Quando si e studiata la propagazione nelle linee di trasmissione si einfatti visto che, con riferimento alla Fig.(7.14), l’impedenza ai morsettidi uscita della linea con impedenza intrinseca η1 e
Req =η22
η3,
ed il coefficiente di riflessione e dunque
ρ =Req − η1
Req + η1=
n1n3 − n22
n1n3 + n22
,
ed esso si annulla, per l’appunto, quando n2 =√
n1 n3.Come si accennava all’inizio del paragrafo, questa tecnica di adatta-
mento trova impiego nella pratica, in particolare nel campo dell’otticae dell’optoelettronica, quando si vuole accoppiare della radiazione a deidispositivi realizzati su substrati di semiconduttore. I semiconduttorihanno infatti indici di rifrazione che, tipicamente, sono nell’ordine din 3 ÷ 3.5, e darebbero quindi luogo ad una forte riflessione per unfascio luminoso che incida su di essi provenendo dall’aria. Per evitareche cio accada, si usa depositare sulla faccia di ingresso del dispositivo a
248 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
semiconduttore uno strato di materiale con indice opportuno che vienedetto coating antiriflesso ed il cui scopo e quello di adattare le impe-denze ed annullare, o quanto meno ridurre, in tal modo la riflessione inoggetto.
7.10.2 Metodo delle matrici di trasferimento
7.10.3 L’effetto tunnel elettromagnetico
7.11 La velocita di gruppo
L’ultimo dei risultati che riguardano il comportamento di onde piane chesi sovrappongono e quello che consente di trarre utili indicazioni circa lavelocita di propagazione delle onde stesse.
Infatti, si e gia avuto modo di notare che, per effetto dell’ipotesi chevuole le onde piane definite a priori in tutto lo spazio, a rigore non epossibile parlare di trasporto di energia, e non e quindi nemmeno pos-sibile individuare la velocita con cui l’energia associata alle onde pianesi muove nello spazio. Questo fatto e d’altra parte ben giustificabilecon una semplice osservazione: in un’onda piana unforme la potenza eproporzionale al modulo quadro del campo elettrico e questo e costanterispetto alle coordinate dello spazio: il movimento dell’onda non puoquindi essere rilevato dal momento che il campo ha sempre lo stessovalore costante di potenza in ogni punto dello spazio, ed in ogni istantetemporale.
Da questa osservazione e allora facile intuire che se si vuole misu-rare la velocita di spostamento dell’energia e necessario prendere in con-siderazione campi che presentino una qualche forma di modulazione diampiezza, ovvero che non abbiano un inviluppo spaziale costante, dimodo che sia possibile studiare il modo in cui l’inviluppo si muove nellospazio al passare del tempo, e dedurre cosi la sua velocita.
Si consideri dunque un campo modulato in ampiezza, e si scelga ilpiu semplice di tutti: quello formato dalla sovrapposizione di due ondepiane uniformi che viaggino nella stessa direzione dello spazio (cioe cheabbiano vettori di fase k tra loro paralleli), ma diverse frequenze, adesempio le frequenze ω0+∆ω e ω0−∆ω. Per non appesantire inutilmentela trattazione, si supponga anche che le ampiezze e le polarizzazioni deidue campi coincidano, e che la propagazione avvenga lungo la direzionedello spazio individuata dal versore z. Indicate rispettivamente con β+ =
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 249
β(ω + ∆ω) e β− = β(ω − ∆ω) le costanti di fase alle frequenze ω + ∆ωe ω − ∆ω, e posto
β+ = βm + ∆β , β− = βm − ∆β , βm = ω0√
µε ,
il campo risultante dalla sovrapposizione delle due onde piane e
La (7.17) ricorda l’espressione valida per un’onda progressiva, nella qualela dipendenza dalle varabili temporali e spaziali compare nell’argomentodella medesima funzione tramite una differenza. Nel caso in esame,tuttavia, ci sono due diversi contributi: il primo, quello espresso daltermine cos(ω0t − βmz) e il contributo gia analizzato in precedenza, erappresenta una onda piana con frequenza ω0 e costante di fase βm chesi muove con la velocita di fase vf = ω0/βm.
Il secondo contributo nella (7.17) e invece il termine di modulazionedi ampiezza dovuto alla sovrapposizione delle onde piane, ed e il con-tributo che si stava cercando al fine di determinare la velocita con cui sisposta l’energia. Come e immediato verificare, questa velocita e
vg =∆ω
∆β.
Ora, se la costante di fase β(ω) e sufficientemente regolare in un oppor-tuno intorno di ω0, essa puo essere scritta nella forma di una serie diTaylor del tipo
e quando la distanza spettrale ∆ω tra le due onde piane con cui si ecostruita la modulazione di ampiezza tende a zero, la velocita di gruppopuo dunque essere scritta come
vg(ω0) =dω
dβ
∣∣∣∣ω=ω0
=1
dβ
dω
∣∣∣∣ω=ω0
. (7.19)
250 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Questa velocita viene indicata con il nome di velocita di gruppo dell’ondapiana uniforme alla frequenza ω0 e, per come e stata ricavata, essa rap-presenta la velocita con cui si muove la modulazione di ampiezza diun’onda a banda stretta (∆ω ω0) che si propaghi in un mezzo nelquale β(ω) sia una funzione sufficientemente regolare della frequenza.
Nel prossimo paragrafo si estendera lo studio che e stato appenaproposto al caso di campi il cui spettro sia piu complicato di quelloconsiderato qui, e si mostreranno cosi anche gli effetti che sono legatiai termini dell’espansione in serie (7.18) che sono stati sin qui trascu-rati. Per il momento si vuole invece concludere il presente paragrafomostrando come la quantita definita nell’equazione (7.19) possa essereinterpretata anche in un diverso modo, precisamente quello che perme-tte di identificarla con la velocita con cui viene trasportata nello spaziol’energia attiva associata al campo elettromagnetico. A tal fine, si con-siderano le equazioni di Maxwell scritte nel dominio della frequenza perun mezzo dispersivo e privo di perdite
∇× E = −iωµ(ω)H ,
∇× H = iωε(ω)E .
Come si e mostrato in precedenza, qualsiasi sia il campo E,H soluzionedi queste equazioni, esso puo sempre essere espanso sull’insieme com-pleto delle onde piane, per ognuna delle quali vale la relazione vettoriale
∇× = −ik× = −iβ(ω) k× , β(ω) = ω√
µ(ω) ε(ω) .
Le equazioni di Maxwell possono allora essere riscritte nella forma
−iβ(ω) k × E = −iωµ(ω)H ,
−iβ(ω) k × H = iωε(ω)E .
Si derivino ora ambo i membri di queste equazioni rispetto alla fre-quenza; si ottiene
−idβ
dωk × E − iβ k × dE
dω= −i
∂(ωµ)∂ω
H − iωµ∂H∂ω
,
−idβ
dωk × H − iβ k × dH
dω= +i
∂(ωε)∂ω
E + iωε∂E∂ω
.
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 251
In seguito, si moltiplichi la prima di queste equazioni per H∗, la secondaper E∗ e si operi la sottrazione membro a membro tra le due. Quando sicompie questa operazione, tra gli altri termini compare anche il seguente:
−iβ k × ∂E∂ω
· H∗ + iωε∂E∂ω
· E∗ ,
ed e immediato verificare che questo termine e identicamente nullo. In-fatti, usando la regola della permutazione ciclica del prodotto misto,esso puo essere riscritto come
[iβ k × H∗ + iωεE∗
]· ∂E∂ω
=[∇× H∗ + iωεE∗
]· ∂E∂ω
,
e risulta dunque nullo dal momento che il termine racchiuso nella par-entesi quadra alla destra dell’uguale altro non e che il complesso coni-ugato della seconda delle equazioni di Maxwell. In maniera analoga, sipuo poi dimostrare che risulta anche
iβ k × ∂H∂ω
· E∗ + iωµ∂H∂ω
· E∗ ≡ 0 ,
e dall’operazione di sottrazione membro a membro si ricava dunque laseguente identita
−i∂β
∂ω
[k × E · H∗ − k × H · E∗
]= −i
[∂(µω)
∂ω|H|2 +
∂(ωε)∂ω
|E|2]
.
Usando ancora la regola della permutazione ciclica, si ottiene allora in-fine
Re[P · k
]= vg
[∂(µω)
∂ω
|H|24
+∂(ωε)∂ω
|E|24
]. (7.20)
L’equazione (7.20) va letta come segue: il termine al primo membroe il flusso della parte reale del vettore di Poynting attraverso una su-perficie di area unitaria, mentre quello racchiuso dalle parentesi quadreal secondo membro e, come si e visto quando si e discusso il teoremadell’energia, la densita di energia di un campo a banda stretta che sipropaghi in un mezzo dispersivo. Le due quantita sono tra loro in re-lazione di diretta proporzionalita tramite la velocita di gruppo vg edallora, in analogia a quanto e consuetidine fare nella dinamica dei fluidi,si puo interpretare la velocita vg come la velocita di trasporto dell’energiaattiva, cosi come si intendeva dimostrare.
252 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Si noti che nel caso in cui la propagazione avvenga per onde pianein un mezzo non dispersivo con parametri ε e µ, la velocita di gruppo e
vg =1
d
dω(ω
√µε)
=1√µε
= cµε ≡ vf ,
cioe essa coincide con la velocita di fase. Questa osservazione spiega ilmotivo per cui la quantita cµε viene indicata con il nome di velocita dellaluce, senza che venga posta alcuna enfasi particolare sul fatto che essasia la velocita di fase o quella di gruppo.
Va tuttavia sottolineato che il fatto che la definizione non dia aditoad ambiguita e una peculiarita della propagazione per onde piane, legataessenzialmente al fatto che per questo tipo di onde le due velocita coinci-dono; tuttavia, questa proprieta non e assolutamente una caratteristicagenerale dell’elettromagnetismo perche, come si avra modo di apprez-zare meglio nel seguito, le due velocita sono in generale diverse tra loro,e cio che si riscontra e che la velocita di fase puo essere indifferentementemaggiore, minore o uguale a cµε, mentre deve necessariamente risultare
vg ≤ cµε ,
per non violare la teoria della relativita, che, come si usa dire con lin-guaggio improprio, afferma che “la velocita di propagazione non puosuperare la velocita della luce”.
Sulla scorta delle nozioni che si sono qui esposte, si puo riconoscereche questo modo di enunciare il risultato relativistico e poco preciso,perche quella che si usa indicare con il termine di velocita della luce ein realta la velocita di un’onda piana in un mezzo con parametri µ edε, ed il risultato della teoria della relativita andrebbe allora enunciatopiu correttamente dicendo che ogni onda elettromagnetica che non siaun’onda piana deve trasportare la sua energia con una velocita che nonpuo eccedere quella dell’onda piana uniforme.
7.11.1 Dispersione della velocita di gruppo
Come si e anticipato piu sopra, si intende ora analizzare il compor-tamento di un campo che risulti formato da uno spettro piu “ricco”di quello costituito da due sole armoniche, e si incentra l’attenzionesull’evoluzione nello spazio e nel tempo dell’inviluppo del campo al fine
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 253
di illustrare gli effetti cui danno luogo quei termini dell’espansione inserie (7.18) che erano stati precedentemente trascurati.
A tal fine, si scrive la generica componente del campo elettromagne-tico utilizzando la nozione di inviluppo complesso, ovvero nella forma
ψ(t, r) = A(t, r) e−iω0t eik0·r
e si suppone che A(t, r) sia lentamente variabile rispetto al periododell’onda portante a frequenza ω0 (cioe, si assume che lo spettro diA(t, r) sia stretto attorno alla portante). Fisicamente, A(t, r) rappre-senta dunque l’inviluppo, ovvero la modulazione, di un campo altrimentimonocromatico alla freqeunza ω0, e cio che ci si propone di individuareora e una equazione che descriva il modo in cui A(t, r) varia nel tempoman mano che il campo si propaga. Conviene riferirsi al dominio dellafrequenza dove la trasformata ψ(ω, r) di ψ(t, r) risolve l’equazione diHelmoltz omogenea3
∇2ψ(ω, r) = −β2(ω) ψ(ω, r) .
Per semplicita, si supponga che l’onda si propaghi lungo la direzionedello spazio individuata dal versore z, e che essa sia indipendente dallecoordinate x ed y. L’equazione di Helmoltz si riscrive allora nella forma
∂2ψ(ω, r)∂z2
= −β2(ω) ψ(ω, r) , k0 = β0z ,
e vale quindi anche
∂2A(ω, z)∂z2
+ 2iβ0∂A(ω, z)
∂z=
[β2
0 − β2(ω)]A , β0 = β(ω0) ,
dove si e indicata con A(ω, z) la traformata di Fourier di A(t, z). Poichesi e supposto che A sia lentamente variabile, si puo trascurare la derivataseconda rispetto a z e semplificare l’equazione per A nella forma
i∂A(ω, z)
∂z=
(β0 − β(ω))(β0 + β(ω))2β0
A(ω, z) (β0 − β(ω)) A .
3La coppia trasformata–antitrasformata di Fourier e cosi definita:
ψ(ω, r) =1√2π
∫ψ(t, r) eiωt dt , ψ(t, r) =
1√2π
∫ψ(ω, r) e−iωt dω .
254 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Applicando ora l’espansione in serie di Taylor (7.18) per la costante dipropagazione β(ω), si ha ancora
∂A(ω, z)∂z
= +iβ1(ω − ω0)A +i
2β2(ω − ω0)2A . . . ,
di modo che quando si antitrasforma e si usa il fatto che alla molti-plicazione per il fattore (ω − ω0), corrisponde, nel dominio del tempo,l’operatore +i∂/∂t, si ottiene infine l’equazione di evoluzione cercata,che si scrive come segue
∂A(t, z)∂z
+ β1∂A(t, z)
∂t+
i
2β2
∂2A(t, z)∂t2
+ . . . = 0 . (7.21)
In questa equazione i vari termini dell’espansione (7.18) compaiono inuna forma chiara ed e allora semplice valutare gli effetti fisici cui ognunodi essi da luogo. In particolare, si discute qui di seguito la natura deifenomeni legati ai parametri β1 e β2, cioe si assume che βn ≡ 0, pern ≥ 3.
• β1. Per valutare l’effetto di questo termine, ovvero per dimostrareche esso descrive gli stessi fenomeni che sono gia stati illustratiin precedenza, si ponga β2 = 0 nell’equazione (8.52). In questocaso, l’equazione si semplifica nella forma
∂A(t, z)∂z
+ β1∂A(t, z)
∂t= 0 ,
ed essa e risolta da un campo con un qualsiasi profilo temporale,purche in esso le variabili spazio e tempo appaiano nella forma
A(z, t) = A0(z − t/β1) , A0 = A(z = 0, t) .
Si ritrova cosi il fatto che β1 e pari all’inverso della velocita con cuisi sposta la modulazione del campo, cosi come era stato mostratonel paragrafo precedente.
• β2. Per definizione, questo parametro, che viene detto dispersione dellavelocita di gruppo o dispersione cromatica, e pari a
β2 =∂2β
∂ω2
∣∣∣∣∣ω=ω0
=∂
∂ω
(∂β
∂ω
∣∣∣∣ω=ω0
)= − 1
v2g
∂vg
∂ω.
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 255
Dunque, quando in un problema di elettromagnetismo si trova chela derivata seconda della costante di propagazione non e nulla, dalpunto di vista fisico cio significa che la velocita delle onde dipendedalla frequenza che esse hanno. Ora, poiche lo spettro di un seg-nale modulato e composto da un insieme di onde con diverse fre-quenza, e ragionevole attenderesi che in presenza di dispersione visia una distorsione dell’inviluppo del campo man mano che questosi propaga.
Per dimostrare questo fatto conviene studiare l’equazione di propa-gazione (8.52) in un sistema di riferimento temporale in moto conla stessa velocita vg = 1/β1 del campo. Cio puo essere ottenutointroducendo la variabile temporale τ = t− β1 z nella (8.52), cosache consente di modificare l’equazione come segue
∂u(τ, z)∂z
+i
2β2
∂2u(τ, z)∂τ2
= 0 , u(τ, z) = u(t−β1z, z) . (7.22)
Questa equazione, che e detta equazione di Schrodinger, e unaequazione di fondamentale importanza nello studio dei fenomeniondulatori e, oltre che nel campo dell’elettromagnetismo, essa eampiamente utilizzata anche nella meccanica quantistica, doveconsente di modellare in termini probabilistici il moto di una par-ticella non soggetta a forze esterne.
Per cio che concerne l’effetto che si vuole qui illustrare, cioe ladistorsione dell’inviluppo del campo, e ora opportuno non tentaredi procedere in modo del tutto generale, ma concentrare invecel’attenzione su un caso particolare che ha il pregio di consentireuna valutazione in forma chiusa di tutti i calcoli di rilievo. Questocaso e quello di un campo che presenti un profilo temporale inizialedella modulazione di ampiezza di tipo gaussiano:
u(τ = 0, z) = U0 exp
− τ2
2 T 20
.
L’evoluzione di questo campo e agevolmente studiata ritornandonel dominio delle trasformate, dove l’equazione di Schrodinger ap-pare nella forma
∂u(Ω, z)∂z
− i
2β2Ω2u(Ω, z) = 0 , Ω = ω − ω0 ,
256 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
con condizione iniziale
u(Ω, z = 0) = U0 T0 exp−1
2Ω2T 2
0
.
La soluzione e di immediata individuazione e porge
u(Ω, z) = u(Ω, 0) eiβ22
Ω2z = U0 T0 exp−1
2Ω2 [T 2
0 − iβ2z]
,
da cui, antitrasformando,
u(τ, z) =U0 e
i2arctanD(z)
4√
1 + D2(z)exp
− τ2
2 T 20
1 + iD(z)1 + D2(z)
, (7.23)
dove si e indicato con D(z) la quantita
D(z) =β2 z
T 20
.
L’espressione (7.23) induce alle seguenti osservazioni:
1. si consideri innanzi tutto la durata temporale dell’impulsodi modulazione: essa dipende dalla coordinata z, secondo l’e-spressione
T (z) = T0
√1 + D2(z) = T0
√1 +
(β2 z
T 20
)2
.
Come ci si aspettava, dunque, la dispersione cromatica causala distorsione della modulazione, che si manifesta nella formadi un allargamento temporale dell’impulso che si osserva manmano che questo si propaga. Va anche notato che esistono duepossibili regimi di dispersione, caratterizzati dai parametri
β2 < 0 : dispersione anomala ∂vg/∂ω > 0 ,
β2 > 0 : dispersione normale ∂vg/∂ω < 0 ,
e, come si vede, l’allargamento temporale ha luogo nella stessamaniera in entrambi i casi;
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 257
2. e facile trovare una spiegazione intuitiva di quanto appena af-fermato, ovvero del fatto che entrambi i regimi di dispersionedanno luogo ad allargamento temporale. A tal fine e suffi-ciente osservare che il campo ψ(t, z) puo essere scritto nellaforma
ψ(τ, z) = exp
− τ2
2 T 20 [1 + D2(z)]
e−i[ω0+∆ω(τ,z)]τ+iα(z) ,
dove
∆ω(τ, z) =τ
2 T 20
D(z)1 + D2(z)
=β2 z
T 20
τ
2 T 2(z).
Questa espressione mostra che, man mano che il campo sipropaga in presenza di dispersione cromatica, la sua mod-ulazione di ampiezza presenta una frequenza istantanea chevaria al variare dell’istante temporale; in altri termini, lafrequenza della radiazione che costituisce il fronte di salitadell’impulso di modulazione (τ < 0) e differente da quelladella radiazione che ne costituisce il fronte di discesa (τ > 0).Ad esempio, se la propagazione avviene nel regime di dis-persione normale (β2 > 0) il fronte di salita ha una fre-quenza istantanea inferiore a quella del fronte di discesa.Occorre tuttavia ricordare che si sta trattando il problemadella propagazione in un mezzo con dispersione cromatica,ovvero di un mezzo nel quale la velocita di propagazionedelle onde dipende dalla loro frequenza. Nel regime di disper-sione normale, in particolare, la velocita di gruppo diminuisceal crescere della frequenza: ne segue che, man mano chel’impulso si propaga, il suo fronte di salita ha una velocitache tende a diventare sempre piu grande rispetto a quella delfronte di discesa, e cio si riflette nell’allargamento temporaledell’impulso che e stato precedentemente messo in evidenza.In maniera analoga, nel regime di dispersione anomala, la fre-quenza istantanea del fronte di salita e maggiore di quella delfronte di discesa, ma poiche in questo regime di dispersionela velocita cresce al crescere della frequenza, il fronte di salitatende ancora ad avere velocita superiore a quella del frontedi discesa, e cio si riflette nuovamente in un allargamentotemporale.
258 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
3. Si definisce lunghezza di dispersione la quantita
LD =T 2
0
|β2|,
e come e immediato verificare, essa rappresenta la distanzaalla quale la larghezza temporale dell’impulso di modulazioneaumenta di
√2 volte rispetto al suo valore iniziale. Si noti
che LD scala con il quadrato della durata iniziale T0: quantopiu e breve l’impulso iniziale, tanto piu rapidamente esso siallarga quando si propaga.Al pari di quanto fatto nel precedente punto 2., anche questacaratteristica della propagazione in presenza di dispersionepuo essere chiarita con una semplice spiegazione intuitiva.Infatti, un impulso breve nel dominio del tempo ha neces-sariamente uno spettro costituito da un grande numero di ar-moniche. Ora, poiche in presenza di dispersione la differenzadi velocita tra le armoniche e direttamente proporzionale allaloro separazione in frequenza, appare evidente che la rapiditacon cui aumenta la durata temporale dell’impulso dipendedalla sua estensione in frequenza e quindi, in ultima analisi,dal suo valore iniziale.Va per altro notato che la proprieta appena esposta non epeculiare della propagazione in presenza di dispersione, ma einvece di carattere molto piu generale perche discende da unprincipio fondamentale della fisica, il principio di indetermi-nazione di Heisemberg. Questo principio si applica a tutti ifenomeni fisici che coinvolgono coppie di variabili coniugatequali sono, per l’appunto, la durata temporale e l’estensionespettrale, ma anche, ad esempio, l’estensione spaziale e lospettro dei vettori d’onda di un generico campo elettroma-gnetico. E dunque ragionevole attendersi che fenomeni similia quelli appena illustrati si possano ritrovare anche in altricontesti che riguardano la propagazione delle onde elettro-magnetiche: un caso ben noto, che verra illustrato in det-taglio nel seguito, e ad esempio quello della diffrazione, cioe diquel fenomeno che si osserva quando un campo elettromagne-tico viene fatto transitare attraverso una fenditura spaziale“stretta”.
7.11. VELOCITA DI GRUPPO 259
4. L’ultimo aspetto di interesse nella (7.23) riguarda infine ilfattore di ampiezza
U0 ei2arctanD(z)
4√
1 + D2(z)
che compare nell’espressione del campo. Come si vede, pereffetto di questo termine l’ampiezza del campo non rimanecostante nel corso della propagazione, ma diminuisce all’au-mentare di z. La ragione fisica di questa diminuzione diampiezza non e quella di una attenuazione, giacche il mezzonel quale avviene la propagazione e stato assunto essere privodi perdite, quanto piuttosto la conservazione dell’energia. In-fatti, poiche, come si e visto, la durata temporale dell’impulsodi modulazione aumenta man mano che il campo si propaga,l’energia si puo conservare solo se l’ampiezza della modu-lazione diminuisce all’aumentare di z.
260 CAPITOLO 7: ONDE PIANE
Capitolo 8
Antenne
Lo studio dell’irradiazione di un campo elettromagnetico da parte diun insieme di sorgenti e uno dei problemi piu classici dell’elettroma-gnetismo, e puo essere idealmente diviso in due categorie, che verrannopresentate qui di seguito nel seguente ordine: l’irradiazione da parte diantenne filiformi, e quella da parte di antenne ad apertura.
2L
v(t)
Figura 8.1: Antenna filiforme alimentata nel gap da una tensione v(t).
Per fornire un’idea delle problematiche che entrano in gioco, si con-sideri il primo di questi due casi, quello delle antenne filiformi. Si trattadi analizzare il comportamento di un filo metallico, che viene troncatonel mezzo, ed alimentato con una tensione v(t) (si veda la Fig.(8.1)). Inlinea di principio, la valutazione del campo irradiato da questa sorgentee “semplice”: si risolvono le equazioni di Maxwell e si impongono leseguenti condizioni al contorno:
• Etan = 0 sulla superficie esterna del conduttore metallico;
261
262 CAPITOLO 8: ANTENNE
• le condizioni di radiazione di Sommerfeld per il campo all’infinito;
• si chiede infine che l’integrale di linea del campo elettrico su unpercorso che unisce tra loro la superficie inferiore e quella superioredel gap che e stato praticato nel centro dell’antenna sia uguale allatensione v(t) ad esso applicata.
Il problema che si riscontra all’atto pratico e pero il fatto che, in ge-nerale, la tensione v(t) non puo essere considerata come un termine noto,giacche essa dipende sia dal generatore che viene usato per alimentarel’antenna, sia dal campo irradiato, che e l’incognita del problema. Siosservi che le cose non cambierebbero sostanzialmente nemmeno se siconsiderasse un’antenna alimentata da un generatore ideale di tensione(di modo che la tensione non dipende dal carico, ed e dunque pari adun valore fissato): in questo caso, infatti, vi sarebbe pur sempre daconsiderare il fatto che la connessione tra generatore ed antenna vienerealizzata per mezzo di una linea di trasmissione, e questo rende subitochiaro che ci si ritrova cosi con un problema del tutto analogo rispettoa quello che si cercava di evitare: nota la tensione fornita dal genera-tore, e le caratteristiche geometriche e fisiche della linea di trasmissione,calcolare v(t) ai capi dell’antenna. In sostanza, dunque, il calcolo delcampo irradiato e solo una parte di un problema piu complesso, che equello della propagazione in presenza di sorgenti.
D’altra parte, poiche non e possibile pensare di risolvere singolar-mente ogni problema di eccitazione di ciascuna particolare antenna, eopportuno ricorrere alla caratterizzazione di un certo numero di antenne“canoniche” per poi procedere al calcolo di casi piu complessi basandosisulle informazione che si sono ottenute con questo studio.
L’esposizione che viene presentata in questo capitolo segue questametodologia, e comincia con il caso piu semplice, che e quello dell’ir-radiazione da parte di un dipolo elettrico elementare, e cioe di un filodi corrente di lunghezza infinitesima, percorso da una corrente nota.Nel seguito, per mezzo del principio di sovrapposizione degli effetti, irisultati del dipolo vengono poi estesi al caso di antenne a spira e diantenne filiformi di lunghezza generica.
Successivamente, nel paragrafo 8.4, viene affrontato lo studio dell’e-missione da parte di antenne ad apertura, e si illustra come trattareuna problematica che e del tutto analoga a quella cui si accennava inprecedenza, e cioe il fatto che, nemmeno in questo tipo di antenne,
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 263
e possibile ipotizzare la conoscenza a priori del campo sull’apertura,giacche questa dipende anche dall’incognita del problema, che e il campoirradiato.
Il capitolo prosegue poi illustrando come sia possibile riassumere leproprieta di irradiazione di una antenna in forma sintetica e semplicemediante l’introduzione di un insieme di parametri di trasmissione ericezione; i paragrafi conclusivi, infine, sono dedicati allo studio delleschiere di antenne.
8.1 Dipolo elementare
8.1.1 Studio nel dominio della frequenza
θ
ϕ
r
P
z
x
y
Figura 8.2: Dipolo corto con i sistemi di coordinate cartesiane ortogonali esferiche.
Si consideri dunque un filo di corrente di lunghezza ∆z infinitesima(e cioe, in pratica, tale che ∆z λ), disposto parallelamente all’asse zdi un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, e percorso da una cor-rente I che, dato che ∆z λ, puo essere considerata costante rispettoa z. Lo studio in frequenza dell’irradiazione da parte di questa sorgentepuo essere affrontato utilizzando il formalismo del potenziale elettroma-gnetico, e cioe risolvendo l’equazione
∇2A − σ2A = −µJi , (8.1)
264 CAPITOLO 8: ANTENNE
dove Ji e la densita di corrente impressa che, nel caso in esame, vale
Ji = I δ(x) δ(y) f(z) z , f(z) =
1 |z| ≤ ∆z/20 altrove
,
con δ(·) la funzione di Dirac, utilizzata qui perche si assume che il filodi corrente abbia sezione trascurabile nel piano x, y.
Proiettando la (8.1) sui tre assi del sistema di coordinate cartesianesi ottiene
∇2Ax − σ2Ax = 0 ,
∇2Ay − σ2Ay = 0 ,
∇2Az − σ2Az = −µIδ(x)δ(y)f(z) .
Le prime due equazioni sono risolte da Ax = Ay ≡ 0. Per cio checoncerne la terza, invece, si puo osservare che, quando la lunghezza ∆zdel filo di corrente tende a zero, e viene pero mantenuto costante ilprodotto I ∆z, essa diventa
∇2Az − σ2Az = −µIδ(r) , (8.2)
e, come e dimostrato nell’appendice 1 di questo capitolo, fornisce lasoluzione
A =µ
4π
I ∆z
re−σr z . (8.3)
Questo risultato e di importanza fondamentale: esso da il valore delpotenziale vettore magnetico per il campo irradiato da un elemento in-finitesimo di corrente e permette dunque di stimare l’emissione di campoda parte di una antenna filiforme con estrema semplicita. A tal fine, in-fatti, e sufficiente eseguire da un lato quelle operazioni di derivazione chepermettono di passare dal potenziale vettore ai campi elettrico e magne-tico; dall’altro applicare la sovrapposizione degli effetti per passare daun’antenna infinitesima ad una di lunghezza finita.
Per prima cosa, vediamo dunque le espressioni dei campi, che sonoottenute per mezzo delle seguenti relazioni
H =∇× A
µ, E = −iωA +
∇∇ · Aiωµε
.
Esprimendo le componenti nel sistema di coordiante sferiche, si ottiene
H = Hϕ ϕ , E = Eθ θ + Er r ,
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 265
con
Hϕ = I ∆zsin(θ)e−σr
4π
(σ
r+
1r2
), (8.4)
Eθ = Z0 I ∆zsin(θ)e−σr
4π
(σ
r+
1r2
+1
σr3
), (8.5)
Er = Z0 I ∆zcos(θ)e−σr
2π
(1r2
+1
σr3
), (8.6)
Il campo non ha alcuna dipendenza dall’angolo ϕ, cosi come ci si potevaattendere dato che la sorgente ha simmetria di rotazione attorno all’assez; per cio che concerne la dipendenza dalle altre coordinate, invece, visono delle peculiarita che e opportuno analizzare nel dettaglio.
• Dipendenza dalla coordinata r. Nelle componenti del campocompaiono piu addendi che presentano una diversa dipendenzadalla distanza r. In particolare, se si suppone che il mezzo che cir-conda l’antenna sia privo di perdite, di modo che σ = i2π/λ (come,ad esempio, se l’antenna e nel vuoto), e si considera l’espressionedi Hϕ, si osserva che sono presenti i due addendi con dipendenza
σ
r= i
2π
λre
1r2
,
e pertanto, se accade che il punto nel quale interessa valutare ilcampo e posto ad una distanza r λ dalla sorgente, e lecitotrascurare il termine 1/r2 rispetto a 2π/rλ, e dunque approssimarel’espressione del campo magnetico con la seguente
Hϕ iI ∆z
2λrsin(θ) e−σr . (8.7)
In maniera analoga, il campo elettrico puo essere approssimatocome segue
Eθ = Z0 Hϕ iZ0
I ∆z
2λrsin(θ) e−σr ,
Er 0 .
(8.8)
dove Z0 =√
µ0/ε0 e l’impedenza d’onda del vuoto (ovvero delmezzo che circonda l’antenna).
266 CAPITOLO 8: ANTENNE
La regione in cui valgono queste approssimazioni che, come si edetto, e caratterizzata da valori di r λ, e detta regione di campolontano, mentre quella complementare e detta regione di campo vi-cino ed i relativi campi sono detti, rispettivamente, campo lontanoe campo vicino.
Si osservi che, proprio per definizione, le componenti di campolontano dipendono dalla distanza solo attraverso il termine 1/r,mentre quelle di campo vicino hanno dipendenze di tipo 1/r2 o1/r3, e questo fatto ha una interessante conseguenze che riguardala potenza irradiata dall’antenna. Infatti, se si calcola il vettore diPoynting, si ottiene1
P =|I|2(∆z)2
4λ2Z0 sin2(θ)
[1r2
− i
(λ
2πr
)3 1r2
]r ,
e dunque si osserva che le componenti di campo lontano contri-buiscono solamente alla parte reale del vettore di Poynting (dalmomento che questo e calcolato come prodotto di campo elettricoe magnetico, e la sua parte reale scala con 1/r2), mentre le com-ponenti di campo vicino danno luogo alla parte immaginaria di P.In altre parole, le componenti di campo lontano sono quelle che“trasportano” la potenza attiva, mentre le componenti di campovicino sono responsabili di accumulo di energia elettrica o magne-tica in prossimita del dipolo. Per questa ragione le prime vengonoanche dette componenti radiative del campo, e le seconde compo-nenti reattive.
Se si integra il vettore di Poynting su una superficie sferica cen-trata nell’origine, si ottiene la seguente espressione per la potenzairradiata dall’antenna2
W =π
3Z0 |I|2
(∆z
λ
)2[1 − i
(λ
2πr
)3]
. (8.9)
1Il vettore di Poynting contiene in realta anche una componente diretta lungo θ,ma questa non conta ai fini della potenza irradiata.
2Si ricorda che l’integrale su una superficie sferica va operato come segue:∫Sup.sf.
f(r, θ, ϕ) dSup.sf. = r2
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
dθ sin(θ) f(r, θ, ϕ)
dove r e il raggio della sfera.
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 267
La potenza attiva irradiata dall’antenna e dunque indipendentedal raggio della sfera su cui si e operata l’integrazione, cosi comeci si doveva aspettare, dal momento che il mezzo che circondal’antenna e privo di perdite e la potenza si deve conservare; lapotenza reattiva scala invece con (λ/2πr)3, ed e quindi addiritturapredominante nel campo vicino, mentre decresce rapidamente azero appena ci si allontana dall’antenna. Inoltre, come si puo os-servare, essa ha il segno negativo, ad indicare che il comportamentoelettrico dell’antenna a dipolo corto e di tipo capacitivo.
Si osservi anche che la potenza attiva dipende dal fattore (∆z/λ)2
e dunque, poiche per ipotesi ∆z λ, l’antenna a dipolo cortotrasmette una potenza molto piccola.
Un commento conclusivo riguarda infine le espressioni (8.7,8.8):nella regione di campo lontano, sono presenti solo le componentidi campo allineate rispetto ai versori angolari θ e ϕ, ed esse sonotra loro in fase, e di modulo uguale a meno dell’impedenza d’ondaZ0. La parte reale del vettore di Poynting e invece diretta lungo re quindi, nella regione lontana il campo elettromagnetico tende adessere un campo che, punto per punto, puo essere approssimato daun’onda piana che si propaga lungo le direzioni che si allontananoradialmente dall’antenna.
La spiegazione intuitiva di questo fatto e immediata: infatti, agrande distanza, l’antenna tende a confondersi con una antennapuntiforme che, per ragioni di simmetria, irradia un’onda sferica.Piu e grande il raggio di quest’onda, piu e lecito approssimarelocalmente ogni singola porzione della superficie sferica con unpiano, ed il campo elettromagnetico con quello di un’onda pianache si propaga lungo la direzione radiale.
• Dipendenza dalla coordinata θ.
Per cio che concerne la dipendenza da questa coordinata, si puoosservare che le componenti di campo che sono allineate rispettoai versori angolari θ e ϕ contengono il fattore sin(θ), mentre lacomponente di campo elettrico radiale contiene il termine cos(θ).Ora, come si e visto, le componenti di maggior rilievo ai fini praticisono quelle angolari, dal momento che esse contengono i termini dicampo lontano, e si puo dunque concludere che, a grande distanzadall’antenna, il campo elettromagnetico e proporzionale al seno
268 CAPITOLO 8: ANTENNE
dell’angolo azimutale θ. Ne segue che l’irradiazione e massimanel piano che taglia a meta l’antenna (e cioe nel piano z = 0),mentre tende ad essere nulla o trascurabile sull’asse z, e cioe sullaperpendicolare all’antenna.
Come vedremo nel prosieguo del capitolo, questa caratteristica ecomune a molte antenne, ma va ricordato che essa vale solo nellaregione di campo lontano; in altre parole, non e sempre correttodire che in prossimita dell’antenna non vi e campo al di sopra (oal di sotto) dell’antenna stessa e, come e facile immaginare, questopuo essere un aspetto di rilievo, ad esempio quando si installa unaantenna sul tetto di un edificio, o in prossimita del suolo.
Il limite statico
Prima di concludere lo studio nel dominio della frequenza, e opportunovedere quali espressioni assumano i campi elettrico e magnetico quandola frequenza del campo tende a zero, e cioe quando si tende a ricaderenel cosiddetto limite statico.
A tal fine si supponga di intersecare il dipolo con una superficiechiusa S e si integri l’equazione di continuita della corrente nel volumeV contenuto in essa, assegnando il segno positivo alla corrente che entranel volume (si veda la Fig.(8.3)).
+q
-q
Volume V
z
Figura 8.3: Disposizione del dipolo e del volume V per la definizione del camponel limite statico.
Si ottiene
−I + iωq = 0 ,
e quindi anche I ∆z = iωU , dove U = q∆z e, per definizione, il mo-mento del dipolo elettrico. Sostituendo questa quantita nelle (8.4–8.6),
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 269
si ottiene allora
Hϕ =U
4πε
1Z0
(iβ
r2+
(iβ)2
r
)sin(θ) e−iβr , (8.10)
Eθ =U
4πε
(1r3
+iβ
r2+
(iβ)2
r
)sin(θ) e−iβr , (8.11)
Er =U
2πε
(1r3
+iβ
r2
)cos(θ) e−iβr . (8.12)
Si noti in particolare che, se ω → 0, si ha Hϕ → 0, ed il campo elet-trico si riduce a quello ben noto dai corsi di Elettrotecnica, con la soladipendenza dall’inverso del cubo della distanza.
8.1.2 Studio nel dominio del tempo
A completamento dell’analisi, si rivisita ora lo studio dell’irradiazioneda parte dell’antenna a dipolo corto nel dominio del tempo.
Il potenziale vettore magnetico
Come si e visto, nel dominio della frequenza ed in assenza di perdite, ilpotenziale vettore magnetico soluzione del propblema di propagazionein presenza della sorgente a dipolo corto si scrive come segue
A =µ
4π
I ∆z
re−iβr z .
La corrispondente grandezza nel dominio del tempo e allora
a(r, t) =z
2π
∫µ
4π
e−iβr
rI(ω)∆z eiωt dω =
= zµ
8π2∆z
∫I(ω)
expiω
(t − r
c
)r
dω .
Si osservi che, per passare dalla prima alla seconda di queste espressionie necessario assumere che il mezzo in cui avviene la propagazione siaun mezzo non dispersivo, altrimenti non e vero che vi e una dipendenzalineare di β da ω.
Si ponga ora
i(t) =12π
∫I(ω) eiωt dω .
270 CAPITOLO 8: ANTENNE
Si ottiene cosi
a(r, t) =µ
4π
i(t − r
c
)∆z
rz .
Nel dominio del tempo, il potenziale vettore ha dunque la forma diun’onda sferica che si propaga nel verso delle r crescenti: infatti, ilvalore di corrente che era presente ad un dato istante t sull’antenna vieneritrovato ad una distanza r da essa dopo che e trascorso un intervallo ditempo pari a r/c. Per questa ragione, il potenziale a(r, t) viene ancheindicato con il nome di potenziale ritardato.
Si osservi anche che questa interpretazione fornisce una ulterioregiustificazione al motivo per cui, nel derivare la (8.3) si e posto a zeroil termine che dipende da exp+iβz (si veda l’Appendice 1 di questocapitolo): questo darebbe luogo ad un termine del tipo i(t + r
c ), e cioead un termine che comparirebbe alla distanza r nell’istante temporale−r/c, e cioe “prima dell’accensione” della corrente. Si tratterebbe al-lora di un potenziale anticipato, che deve essere trascurato in virtu delprincipio di causalita.
I campi elettrico e magnetico ed il vettore di Poynting
Per cio che concerne le componenti del campo nel dominio del tempo,conviene assumere come punto di partenza le espressioni nel dominiodella frequenza che sono state scritte con riferimento al momento didipolo U(ω). Ad esempio, per la componente radiale del campo, si ha
Er(ω) =U(ω)2πε
(1r3
+iω
cr2
)cos(θ) e−iωr/c ,
da cui, antitrasformando, si ottiene
er(t) =Z0
2πrcos(θ)
[cu(t∗)
r2+
u′(t∗)r
], (8.13)
dove si e indicato con l’apice l’operazione di derivazione rispetto all’ar-gomento, e si e introdotto il tempo ritardato t∗ = t−r/c che rappresentail tempo misurato a partire dall’istante in cui, nel punto di coordinatar, arriva un segnale che viaggia con velocita c.Analogamente, le componenti azimutali del campo risultano
eθ(t) =Z0
4πrsin(θ)
[cu(t∗)
r2+
u′(t∗)r
+u′′(t∗)
c
], (8.14)
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 271
e
hϕ(t) =1
4πrsin(θ)
[u′(t∗)
r+
u′′(t∗)c
]. (8.15)
Parallelamente a quanto accade nel dominio della frequenza, anchequi si riscontra la presenza di termini che hanno diverse dipendenzedalle coordinate spaziali ed allora, per fornire una piu chiara visione deifenomeni che entrano in gioco, conviene abbandonare una trattazionedel tutto generale, e concentrarsi invece su un caso particolare, quellodi un dipolo alimentato con un momento la cui espressione consenta dieseguire i calcoli in forma chiusa. Si scelga, ad esempio,
u(t) = u0 exp
−2
t2
T 2
.
Si ottiene cosi
u′(t) = − 4t
T 2u(t) , u′′(t) =
4T 2
[4t2
T 2− 1
],
e quindi
er(t) =2Z0u(t∗)4πrcT 2
[(cT
r
)2
− 4cT
r
t∗
T
]cos(θ) ,
eθ(t) =Z0u(t∗)4πrcT 2
[(4t∗
T
)2
− 4
]− 4
cT
r
t∗
T+
(cT
r
)2
sin(θ) ,
hϕ(t) =u(t∗)
4πrcT 2
[(4t∗
T
)2
− 4
]− 4
cT
r
t∗
T
sin(θ) .
I termini di campo vicino (e cioe quelli che dipendono da 1/r2 o da 1/r3)risultano dominanti fino alla distanza r < cT , mentre quelli di campolontano prevalgono per r > cT . Dunque, nel dominio del tempo la“frontiera” tra campo vicino e campo lontano e data dalla quantita cT ,e cioe dal prodotto della durata dell’impulso con cui viene alimentatal’antenna per la velocita della luce. In altre parole, la frontiera coincidecon l’estensione spaziale dell’impulso, e si puo cominciare a parlare dicampo lontano a partire da quella coordinata nella quale l’impulso si ecompletamente staccato dalla sorgente.
Per cio che concerne il vettore di Poynting, infine, e immediato verifi-care che la sua componente radiale (che e l’unica a contribuire al flusso di
272 CAPITOLO 8: ANTENNE
potenza attraverso una suiperficie chiusa disposta attorno alla sorgente)risulta
sr(t) =Z0 sin2(θ)(4πrc)2
(u′′)2 +
c
r
ddt
[(u′)2
2+
c
ruu′ +
12
(c
r
)2
u2
],
di modo che, se si valuta l’energia che fluisce attraverso una superficiesferica di raggio r nell’intervallo di tempo t∗2−t∗1 si trovano due contributidi tipo diverso:
• il primo e quello che dipende da un integrale del tipo∫(u′′)2(τ) dτ ,
e diventa predominante per distanze r > cT , e cioe nella regionedi campo lontano. Questo contributo e sempre positivo (a menoche non si abbia u′′(t) ≡ 0), e corrisponde all’energia irradiata daldipolo nell’intervallo di tempo t∗2 − t∗1. Questa energia si propagaverso l’infinito (per effetto delle condizioni di radiazione di Som-merfeld) e ad essa corrisponde un flusso di potenza irreversibile, ecioe tale da non poter essere recuperato dalla sorgente una voltache questa l’abbia irradiato.
Si noti che, se il dipolo e realizzato per mezzo di una carica fissaed una (di segno opposto) in moto verso di essa, il momento didipolo e
u(t) = q ∆x(t) ,
e quindi vi e potenza irradiata solo se ∆x′′(t) = 0, e dunque solose la carica e accelerata, ovvero non in moto rettilineo uniforme.
• Il secondo contributo che compare nell’energia e invece dato da untermine che e proporzionale a
∫ t∗2
t∗1
ddt
[(u′)2
2+
c
ruu′ +
u2
2
(c
r
)2]=
[(u′)2
2+
c
ruu′ +
u2
2
(c
r
)2]t∗2
t∗1
.
Questo termine e funzione dei soli estremi di integrazione e, con-tenendo termini di derivata prima e addendi pesati per (c/r) o(c/r)2, dipende dalle componenti reattive del campo. Se il mo-mento di dipolo u(t) e una funzione limitata del tempo (come, adesempio, una funzione ciclica), l’integrale puo essere reso nullo conuna opportuna scelta di t∗1 e t∗2: ne segue che l’energia associataa questo termine e di natura reversibile, ovvero essa puo esserecompletamente recuperata dalla sorgente.
8.1. DIPOLO ELEMENTARE 273
Il campo irradiato da una carica in moto
Come ultimo esempio di studio dell’irradiazione nel dominio del temposi analizza ora il comportamento di una carica in moto uniforme lungol’asse z di un opportuno sistema di riferimento cartesiano. Sia t = 0l’istante temporale nel quale la carica transita per l’origine del riferi-mento; la densita di corrente associata alla carica in moto e allora
ji(t) = qδ(x)δ(y)δ(
t − z
v
)z ,
dove v e la velocita della carica. Nel dominio di Fourier si ha allora
Ji = qδ(x)δ(y)e−iωz/v z ,
espressione che mostra come la densita di corrente possa anche esserepensata come dovuta alla densita di corrente che vi e all’interno di unconduttore filiforme, disposto parallelamente a z, e percorso da una cor-rente di modulo costante, e fase variabile secondo l’andamento periodicodato da exp−iωz/v.
L’elemento infinitesimo di questa corrente che e centrato attornoalla posizione ξ nel filo, ed ha lunghezza ∆z, produce allora, nel puntoP = (ρ, z′) il potenziale vettore
dA =µ
4πqe−iωξ/v∆z
exp−iωnd/cd
z
dove n e l’indice di rifrazione del mezzo che circonda il conduttore elet-trico, e
d =√
ρ2 + (z′ − ξ)2 ,
e la distanza del punto P dall’elemento di corrente considerato.Il potenziale vettore dovuto alla corrente dell’intero filo e allora
A =µq
4πz
∫ +∞
−∞dξ
exp−iω
[ξ
v+
n
c
√ρ2 + (z′ − ξ)2
]√
ρ2 + (z′ − ξ)2,
cui corrisponde, nel dominio del tempo,
a =µq
8π2z
∫ +∞
−∞du 2π
δ
[t − u + z′
v− n
c
√ρ2 + u2
]√
ρ2 + u2,
274 CAPITOLO 8: ANTENNE
avendo supposto che il mezzo sia non dispersivo, di modo che n nondipende da ω.
Analizziamo ora il comportamento della funzione di Dirac all’internodell’integrale, e poniamo a tal fine w = u+(nc/v)
√ρ2 + u2. La funzione
e alloraδ
[1v
(vt − z′ − w
)],
ed il suo argomento si annulla per w = vt − z′ = z0 − z′, z0 essendo laposizione della particella al tempo t. Occorre distinguere due casi:
• caso sub-relativistico: (nv/c) < 1, ovvero v < c/n, e quindi ilcaso di una particella che si muove con velocita inferiore alla ve-locita della radiazione elettromagnetica nel mezzo considerato. Alvariare di u da meno infinito a piu infinito, anche w cambia concontinuita tra questi estremi e quindi, qualsiasi sia la posizioneiniziale z0, e sempre possibile trovare un valore di z′ che annullil’argomento della funzione di Dirac. Ne segue che il potenzialevettore e diverso da zero in tutti i punti dello spazio.
• caso super-relativistico: (nv/c) > 1, ovvero v > c/n. In questocaso, al variare di u da meno infinito a piu infinito, si ha
w ≥ ρ
√(nv
c
)2
− 1 ,
e l’integrale che contiene la funzione di Dirac puo allora assumerevalori non nulli solo se
z0 − z′ ≥ ρ
√(nv
c
)2
− 1 .
Si individua cosi un volume dello spazio, delimitato dalla superficieconica
z′ = z0 + ρ
√(nv
c
)2
− 1
all’interno del quale a = 0: se la particella si muove nel versodelle z crescenti, il campo elettromagnetico e diverso da zero soloall’interno di un cono che ha il vertice nella particella, e giaceinteramente a sinistra di essa. Questo effetto prende il nome dieffetto Cerenkov.
8.2. ANTENNA A SPIRA 275
8.2 Antenna a spira di corrente
Dalle (8.10–8.12), applicando il teorema di dualita, si possono ricavarele espressioni del campo irradiato da un dipolo magntico (invece cheelettrico). Esse si ottengono cambiando formalmente il campo magneticoH con un nuovo campo elettrico, E′, il campo elettrico E con un campomagnetico, H′, la costante dielettrica ε con µ′, quella magnetica µ con ε′,ed il momento di dipolo elettrico Ue con il momento di dipolo magnetico,Um. Omettendo gli apici per semplicita di notazione si trovano allora leseguenti espressioni per il campo irradiato
Eϕ = −Um
4πεZ0
(iβ
r2+
(iβ)2
r
)sin(θ) e−iβr , (8.16)
Hθ =Um
4πµ
(1r3
+iβ
r2+
(iβ)2
r
)sin(θ) e−iβr , (8.17)
Hr =Um
2πµ
(1r3
+iβ
r2
)cos(θ) e−iβr . (8.18)
Cio che rimane da chiarire, ora, e che cosa rappresenti Um dal puntodi vista fisico: infatti, mentre nel caso del dipolo elettrico e semplicedefinire il momento Ue, che e dato dal prodotto di una carica per unalunghezza, la stessa cosa non si puo dire per Um, dal momento che nonesiste una carica magnetica elementare.
Quello che e possibile fare, tuttavia, e costruire un dipolo magneticoequivalente e cio che si dimostra qui di seguito e che questo puo essereottenuto se si realizza una antenna a spira di corrente.
La dimostrazione procedera come segue: per semplicita dei calcoli, cisi limitera al caso statico, e si considerera una spira di raggio R percorsada una corrente I (si veda la Fig.(8.4)). Utilizzando la sovrapposizionedegli effetti, e le conoscenze che sono state acquisite nel corso dello studiodel comportamento del dipolo elettrico, si calcolera il campo prodottodalla spira, che verra pensata come la giustapposizione di tanti condut-tori elettrici di lunghezza infinitesima, disposti a formare un cerchio.Per confronto con le (8.16–8.18), ridotte al loro limite statico, si vedraallora che la spira di corrente si comporta effettivamente come un dipolomagnetico equivalente di opportuna ampiezza, e si potra cosi inferire chele (8.16–8.18) sono le espressioni dei campi prodotti, anche al di la dellimite statico, da una distribuzione circolare di corrente.
276 CAPITOLO 8: ANTENNE
θ
ϕ1
r
P
z
x
yQ
r1
P = (r,θ,ϕ)Q = (R,π/2,ϕ
1)
Figura 8.4: Spira di corrente in un sistema di coordinate sferiche.
Si consideri dunque la distribuzione di corrente di Fig.(8.4) e, in par-ticolare, si concentri l’attenzione sull’elemento infinitesimo di correnteche e disposto attorno al punto Q di coordinate sferiche r = R, θ =π/2, ϕ = ϕ1. Il potenziale vettore che questo elemento di corrente eccitanel punto P = R, θ, ϕ e
dA =µ
4π
IRdϕ1
r1ϕ1 ,
dove r1 e la distanza del punto P dal punto Q. Si osservi che questaespressione risulta vaida in virtu dei seguenti fatti:
1. la direzione di dA e ϕ1 perche, come si e visto nello studio pro-posto nel paragrafo precedente, il potenizale vettore e parallelo alladirezione lungo la quale fluisce la corrente;
2. poiche la corrente fluisce su un conduttore circolare di raggio R,la lunghezza infinitesima del dipolo elettrico centrato nel punto Qpuo essere scritta come ∆z = R dϕ1;
3. non vi e il termine exp−iβr perche, per ipotesi, i calcoli vengonosvolti nel limite statico.
Si esprima ora dA nel riferimento sferico centrato nell’origine: a talfine si puo utilizzare il teorema di Carnot per approssimare la distanza
8.2. ANTENNA A SPIRA 277
r1 come segue:r1 r − R cos(ϕ − ϕ1) sin(θ) .
Si ottiene cosi
dA µIR
4πr
[1 +
R
rcos(ϕ − ϕ1) sin(θ)
]ϕ1 dϕ1 . (8.19)
Il potenziale vettore dovuto all’intera distribuzione di corrente puo oraessere ottenuto semplicemente, integrando la (8.19) su tutta la spira. Atal fine conviene scomporre dA nelle sue componenti cartesiane, otte-nendo (si veda la Fig.(8.5))
dA = −dA sin(ϕ1) x + dA cos(ϕ1) y .
x
y
ϕ1
dAϕ1
dAx = -dA sin(ϕ
1)
dAy = dA cos(ϕ
1)
Figura 8.5: Componenti cartesiane del potenziale vettore dA.
Scritto anche il versore ϕ1 mediante le sue componenti cartesiane,ϕ1 = − sin(ϕ1)x + cos(ϕ1)y, si tratta dunque di integrare rispetto a ϕ1
la seguente quantita
A =∫ 2π
0
µIR
4πr
[1 +
R
rcos(ϕ − ϕ1) sin(θ)
] [− sin(ϕ1)x + cos(ϕ1)y
]dϕ1 .
Si ottiene
A =µIR
4πrπ sin(θ)
[−R
rsin(ϕ)x +
R
rcos(ϕ)y
]=
=µIR2
4πr2sin(θ)π ϕ ,
da cui, mediante derivazione
Hr =IπR2
2πr3cos(θ) , Hθ =
IπR2
4πr3sin(θ) ,
278 CAPITOLO 8: ANTENNE
espressioni che coincidono con le (8.16–8.18) ridotte nel loro limite statico,a patto che si ponga
Um = πµIR2 = µIS ,
S essendo la superficie della spira.Si ritrova cosi un risultato gia visto nell’ambito dell’Elettrotecnica:
una spira elementare di corrente e equivalente ad un dipolo magneticoortogonale al piano della spira, e di verso tale che la corrente si “avviti”lungo di esso. L’intensita del dipolo e pari a µIS, o a NµIS se lastruttura in esame e un solenoide costituito da N spire (principio diAmpere).
8.2.1 La sorgente di Huygens
Si definisce sorgente di Huygens una antenna costituita dalla combi-nazione di due dipoli, uno elettrico ed uno magnetico, disposti tra loroortogonalmente, e con ampiezze il cui rapporto e pari all’impedenza in-trinseca del mezzo (si veda la Fig.(8.6))
m
e
x
yz
m
e
Figura 8.6: Sorgente di Huygens.
Si osservi che, in base al teorema di equivalenza3, il campo irradiatoda questa sorgente e uguale a quello che viene prodotto da un’areolaelementare investita da un’onda piana che si propaga lungo z e con
3Si faccia attenzione che, per poter applicare il teorema di equivalenza e necessarioche la superficie sulla quale sono definite le sorgenti equivalenti sia una superficiechiusa. L’areola che viene investita dall’onda piana di cui si discute nel testo devequindi essere parte di una superficie che si richiude attorno alle vere sorgenti delcampo.
8.2. ANTENNA A SPIRA 279
campo elettrico e magnetico dati, rispettivamente, da
E = E0 x , H = H0 y =E0
Z0y .
Infatti, il teorema di equivalenza afferma che, quando l’areola elementareviene investita da un’onda piana con questi campi, e possibile attirbuirel’irradiazione che ne deriva alla presenza di densita superficiali di cor-rente sull’areola, che risultano pari a
JS = z × H = −H0 x , MS = E × z = −E0 y ,
e che si comportano, rispettivamente, come un dipolo elettrico ed unomagnetico, disposti come in figura, e con rapporto tra le ampiezze pariall’impedenza d’onda del mezzo nel quale l’onda piana si propaga.
Il calcolo del campo irradiato dalla sorgente di Huygens puo esseresvolto per mezzo del principio di sovrapposizione degli effetti come segue.Il dipolo magnetico da luogo ad una corrente magnetica pari a
∆IDM = E0 2∆y (−y) , |x| ≤ ∆x ,
e quello elettrico ad una corrente elettrica
∆IDE =E0
Z02∆x (−x) , |y| ≤ ∆y ,
dove ∆x e ∆y sono, rispettivamente, la larghezza e l’altezza dell’areolaelementare.
Calcoliamo dunque il campo magnetico prodotto da queste distribu-zioni di corrente. In generale, in presenza di un dipolo elettrico orientatosecondo una direzione arbitraria a, si ha
H =∇× A
µ=
1µ∇×
[µI
4π
e−σr
ra
],
e, usando l’identita vettoriale (nella quale f e una funzione, e v unvettore)
∇× (f v) = f ∇× v + ∇f × v ,
si ottiene
H =e−σr
r∇×
(I
4πa
)+
I
4π∇
(e−σr
r
)× a .
280 CAPITOLO 8: ANTENNE
Ora, poiche la quantita racchiusa nella prima parentesi tonda e costante,si ha ancora
H =I
4π
(−σ − 1
r
)e−σr
rr × a ,
e quindi, a grande distanza dalla distribuzione di corrente (ed in unmezzo privo di perdite)
H −iI
2λre−iβr r × a .
Nel caso che si sta analizzando qui, la corrente elettrica e pari a I =−E0∆x∆y/Z0 x e quindi il contributo al campo magnetico che derivadal dipolo elettrico e
HDE = −i1Z0
E0∆S
2λr, e−iβr
(r × (−x)
), ∆S = ∆x∆y .
Analogamente, una distribuzione di corrente magnetica da luogo ad uncontributo di campo elettrico che vale
EDM = +iE0∆S
2λre−iβr
(r × (−x)
),
e dunque il campo elettrico totale prodotto dalla sorgente di Huygensrisulta dato dalla seguente espressione (nota anche come formula di Sil-ver):
E = EDM + Z0 HDE × r =
= iE0∆S
2λre−iβr
(1 + cos(θ)
) (cos(ϕ)θ − sin(ϕ)ϕ
).
Si osservi che, per θ = π, vale E ≡ 0: l’antenna di Huygens nonirradia posterioremente.
8.3 Antenne filiformi
Ora che si e visto come si calcola il campo elettromagnetico che eprodotto da un elemento infinitesimo di corrente, si puo procedere allostudio del campo irradiato da un’antenna filiformi di lunghezza gene-rica. A tal fine, si considerera l’antenna schematicamente illustrata inFig.(8.7): si tratta di un conduttore elettrico, di lunghezza 2L, diposto
8.3. ANTENNE FILIFORMI 281
r
Pd
r'
'
z
+L
-L
Figura 8.7: Campo irradiato da un’antenna filiforme di lunghezza 2L generica.
parallelamente all’asse z di un riferimento cartesiano ortogonale, ed ali-mentato al centro.
Cio che interessa valutare e il campo in un generico punto P posto agrande distanza dall’antenna (r λ), e questo calcolo viene effettuatoriguardando l’antenna come la giustapposizione di tanti dipoli elementaridisposti lungo z, ed applicando la sovrapposizione degli effetti.
Si cominci dunque con il calcolare il campo prodotto dal genericoelemento di corrente infinitesimo centrato attorno alla coordinata ξ sul-l’antenna. Esso vale
dEθ iZ0I(ξ) dξ
2λr′sin(θ′) e−iβr′ , dHϕ =
dEθ
Z0, (8.20)
dove r′ e θ′ sono, rispettivamente, la distanza del punto P dall’elementodi corrente centrato nel punto ξ, e l’angolo che il raggio vettore r′ formacon l’asse z.
Per poter applicare la sovrapposizione degli effetti, e ora necessarioesprimere questo campo in un sistema di riferimento che sia comune an-che a tutti gli altri contributi che derivano dai diversi punti dell’antenna,e cioe nel sistema che e centrato nella sua origine. A tal fine, si puo uti-lizzare il teorema di Carnot e scrivere
(r′
)2= r2 + ξ2 − 2ξr cos(θ) .
282 CAPITOLO 8: ANTENNE
Si osservi ora che la dimensione 2L di un’antenna e tipicamente dellostesso ordine di grandezza della lunghezza d’onda, e quindi, poiche sista qui calcolando il campo a grande distanza, e senz’altro ragionevoleassumere che la posizione ξ, che puo al piu essere uguale a meta dellalunghezza dell’antenna, sia di molto inferiore a r, ed approssimare quindila distanza r′ come segue:
r′ = r
√1 − 2
ξ
rcos(θ) +
(ξ
r
)2
r
1 +
12
[−2
ξ
rcos(θ) +
(ξ
r
)2]− 1
8
[4ξ2
r2cos2(θ) + . . .
]
r − ξ cos(θ) +12
ξ2
rsin2(θ) + . . .
avendo usato lo sviluppo di Taylor
√1 + x 1 +
x
2− x2
8+ . . . , |x| 1 .
Vediamo ora nel dettaglio come usare questa approssimazione. Ladistanza r′ compare infatti in due punti diversi della (8.20), e questi duepunti hanno diversa natura fisica, e diverso impatto sulla valuatazioneglobale del campo:
• il primo punto in cui essa compare e al denominatore della (8.20):si tratta di un termine che rende conto dell’ampiezza che ha l’ondairradiata dall’elemento centrato attorno alla coordinata ξ quandoessa raggiunge il punto di osservazione P . E allora evidente checonfondere r′ con il solo valore r e, senza dubbio, un’approssima-zione piu che sufficiente. Per rendersene conto, si consideri unesempio pratico, quello dell’antenna di un telefono cellulare. Ladimensione dell’antenna e dell’ordine di pochi centimetri, mentrela distanza tipica a cui interessa calcolare il campo e quella che puoesistere tra l’antenna ed una stazione radio base, quindi nell’ordinedelle decine o centinaia di metri. Approssimare la distanza r′ con rsignifica quindi trascurare centimetri a fronte di centinaia di metri,il che e, senza alcun dubbio, sempre largamente accettabile.
• Il secondo punto in cui compare r′ e nell’esponenziale exp−iβr′ equesto termine richiede un’approssimazione piu raffinata di quella
8.3. ANTENNE FILIFORMI 283
usata in precedenza perche esso agisce sulla fase del campo, nonsulla sua ampiezza. In altre parole, questo termine rende contodella fase con cui l’onda irradiata dalla coordinata ξ raggiunge ilpunto P , e poiche la fase evolve sulla scala della lunghezza d’onda,non e piu possibile trascurare la posizione ξ da cui l’onda viene irra-diata perche, come detto, questa puo essere proprio dello stesso or-dine di grandezza di λ. In prima approssimazione, si deve dunquetenere almeno il primo termine dell’espansione di Taylor, e scrivereallora4
βr′ βr − βξ cos(θ) .
Il campo elettrico e magnetico irradiato dalla totalita dell’antennafiliforme e dunque il seguente
Eθ iZ0e−iβr
2λrsin(θ)
∫ +L
−LI(ξ) eiβ cos(θ)ξ dξ
Hϕ =Eθ
Z0
, (8.21)
4Come detto, questa approssimazione richiede che il campo sia valutato a grandedistanza dalla sorgente , e cioe per r λ, una regione che viene anche indicata conla dicitura di zona di Fresnel. Avendo scelto di trascurare i termini dell’espansionein serie con potenze di ξ maggiori di uno, si stanno tuttavia imponendo altre con-dizioni per la validita dei calcoli che seguiranno. Infatti, per poter accettare questaapprossimazione e necessario che risulti anche
βξ2
r 1 ⇒ r L2
λ.
Questa regione dello spazio viene detta zona di Fraunhofer ed occorre porre attenzioneal fatto che non e detto che la zona di Fraunhofer sia sempre racchiusa nella zona diFresnel, e dunque che l’approssimazione proposta sia valida. Cio dipende, essenzial-mente, dalle dimensioni dell’antenna e dalla lunghezza d’onda del campo irradiato.Nelle applicazioni alle radiofrequenze, ad esempio, si ha tipicamente f 100MHz,ovvero λ 3m, e L 1m di modo che
rFresnel 1m , rFraunhofer 10 cm ,
e l’approssimazione e quindi valida. Se invece si considera l’irradiazione alle frequenzeottiche, quando λ 1 µm, e L 1mm si ha
rFresnel 1 µm , rFraunhofer 1m ,
cosicche la zona di Fraunhofer non e piu racchiusa in quella di Fresnel, ed i calcoliproposti nel testo non sono piu validi.
284 CAPITOLO 8: ANTENNE
dove si e approssimato θ′ con θ ancora una volta in virtu del fatto cheil punto di osservazione P e a grande distanza dall’antenna.
Si osserva dunque un fatto di rilievo: per poter calcolare il campoirradiato da un’antenna di lunghezza generica e necessario conoscere ilmodo in cui la corrente I(ξ) si distribuisce su di essa, e questo e un puntotutt’altro che banale perche, come si diceva all’inizio del capitolo, questacorrente dipende sia dal generatore, sia dallo stesso campo irradiato, ecioe essa non puo essere assunta come un dato del problema, ma vainvece calcolata.
Esistono due diverse metodologie utili a questo calcolo:
1. l’espansione modale: si tratta, in sostanza, di scrivere il campoe la corrente sull’antenna per mezzo di un’opportuna espansionein armoniche sferiche. Questo metodo e rigoroso, e fornisce unasoluzione esatta del problema, ma, nella pratica, si riesce ad ap-plicare solo a poche geometrie molto particolari, quelle nelle qualisono coinvolte antenne sferiche o sferoidali, e non e dunque unapproccio che consenta uno studio generale della problematica inesame;
2. l’equazione integrale di Hallen: questo e il metodo che verra ana-lizzato con dettaglio nel seguito, con particolare riguardo al casodi una antenna formata da un conduttore metallico alimentato nelsuo centro.
8.3.1 L’integrale di Hallen
Consideriamo dunque un conduttore metallico, di lunghezza 2L, e dia-metro 2a, eccitato nella parte centrale dalla tensione V0. Ci occupiamo,in particolare, di antenne “sottili”, antenne cioe nelle quali il parametrodi snellezza
Ω = 2 ln(
2L
a
) 10 ⇒ 2L
a 150 .
In queste antenne, per ragioni di simmetria, e trascurando cio che av-viene sulle basi terminali, la corrente e diretta lungo l’asse dell’antenna(e cioe l’asse z; si veda la Fig.(8.8)), di modo che anche il potenzialevettore e parallelo a z.
La determinazione dell’andamento della corrente sull’antenna vieneeseguita come segue: si calcola il potenziale vettore A che e presente sulla
8.3. ANTENNE FILIFORMI 285
z
a
La +(z-)2 2
V0
z
2a
Figura 8.8: Antenna filiforme.
superficie laterale dell’antenna per mezzo di due approcci differenti; li siconfronta, e se ne deriva un’equazione integrale nella quale l’incognitae, per l’appunto, la disribuzione di corrente I(ξ).
Il primo modo in cui si puo calcolare il potenziale sulla superficiedell’antenna e quello che usa la relazione che lo lega al campo elettricoE:
E = −iωA +∇∇ · Aiωµε
che qui, data la simmetria del problema, si particolarizza come
Ez = −iωAz +1
iωµε
∂2Az
∂z2= −i
ω
β2
[∂2Az
∂z2+ β2Az
].
Se l’antenna e costituita da un conduttore perfetto si ha pero Ez ≡ 0 inogni punto che non appartiene al gap centrale di alimentazione; inoltre,se questo e sufficientemente sottile rispetto alla lunghezza d’onda, dimodo che si possano applicare concetti di tipo quasi statico, si puo anchedire che l’integrale di linea del campo elettrico lungo un percorso checongiunge i due terminali del gap deve essere uguale all’opposto dellatensione V0 ad essi applicata. In sostanza, si ha allora
Ez = −V0δ(z) ,
286 CAPITOLO 8: ANTENNE
e l’equazione per il potenziale Az diviene cosi la seguente
−V0δ(z) = −iω
β2
[∂2Az
∂z2+ β2Az
].
Ora, se si calcola il potenziale sulla sola superficie esterna dell’anten-na, dove la coordinata radiale e fissata, ed il campo e indipendentedall’angolo ϕ per ragioni di simmetria, la derivata parziale e in realtauna derivata totale, ed il potenziale Az e allora soluzione della seguenteequazione
d2Az
dz2+ β2Az =
β2
iωV0δ(z) ,
che porge
Az = C cos(βz) +βV0
2iωsin(β|z|) , (8.22)
dove C e una costante di integrazione, che verra determinata nel seguitoimponendo le opportune condizioni al contorno.
Per il momento, invece, si procede al calcolo del potenziale vet-tore anche per la seconda delle due possibili strade che si erano men-zionate piu sopra. Questa si rifa alla metodologia che e stata pro-posta nello studio della radiazione emessa da un dipolo corto, e procedecome segue. Si supponga che la corrente sia interamente distribuitasull’asse dell’antenna, cosa che tende ad essere tanto piu vera quantopiu l’antenna e sottile; sulla superficie dell’antenna si ha allora
A(z) =µ
4π
∫ +L
−LI(ξ)
exp−iβ
√a2 + (z − ξ)2
√
a2 + (z − ξ)2dξ . (8.23)
Uguagliando la (8.22) con la (8.23), si giunge cosi alla seguente equa-zione, che e detta equazione integrale di Hallen:
∫ +L
−LI(ξ)
exp−iβ
√a2 + (z − ξ)2
√
a2 + (z − ξ)2dξ = −2πi
V0
Z0sin(β|z|) +
+4πC
µcos(βz) , (8.24)
con la condizione al contorno I(±L) = 0.Dal punto di vista matematico, questa e una equazione integrale
di Fredholm di prima specie, e cioe nella quale l’incognita, che e la
8.3. ANTENNE FILIFORMI 287
distribuzione di corrente I(ξ), compare solo sotto il segno di integralee, a rigore, essa non ammette soluzioni integrabili dal momento che aprimo membro e presente una funzione analitica di z, mentre al secondomembro no. Cio e legato al fatto che si e supposto che la corrente siaconcentrata sul solo asse dell’antenna, mentre, nella realta, essa e pre-sente anche al di fuori di esso, ma, dal punto di vista pratico questaapparente inconsistenza matematica non comporta delle complicazioniinsormontabili. La soluzione dell’equazione viene infatti trovata dap-prima trasformando l’equazione in una equazione di Fredholm di se-conda specie, e cioe nella quale l’incognita compare sia sotto il segno diintegrale, sia all’esterno di esso, e operando poi delle approssimazionisuccessive. Vediamo del dettaglio come fare.
Per prima cosa si puo notare che, al tendere di a → 0, il termine
exp−iβ√
a2 + (z − ξ)2√a2 + (z − ξ)2
1 − iβ√
a2 + (z − ξ)2√a2 + (z − ξ)2
,
e rapidamente variabile nell’intorno di ξ = z. Conviene allora separaregli andamenti lentamente e rapidamente variabili scrivendo
∫ +L
−LI(ξ)
exp−iβ
√a2 + (z − ξ)2
√
a2 + (z − ξ)2dξ =
∫ +L
−L
I(ξ)√a2 + (z − ξ)2
dξ +
−∫ +L
−LI(ξ)g(z, ξ) dξ .
dove si e introdotta la funzione
g(z, ξ) =1 − exp
−iβ
√a2 + (z − ξ)2
√
a2 + (z − ξ)2
che risulta lentamente variabile nell’intorno di ξ = z. Il primo integrale,invece, e fortemente piccato nell’intorno di ξ = z, e puo quindi essereapprossimato come segue
∫ +L
−L
I(ξ)√a2 + (z − ξ)2
dξ I(z)∫ +L
−L
dξ√a2 + (z − ξ)2
= I(z)f(z) ,
con
f(z) = ln(L + z) +
√a2 + (L + z)2
a+ ln
(L − z) +√
a2 + (L − z)2
a.
288 CAPITOLO 8: ANTENNE
La funzione f(z) e pari rispetto a z, in z = 0 assume il valore
f(0) = 2 lnL +
√L2 + a2
a 2 ln
(2L
a
)= Ω ,
e, in z = ±L,
f(±L) = ln2L +
√4L2 + a2
a ln
(4L
a
).
La funzione e molto piatta nell’intorno di z = 0, come si evince dal suosviluppo in serie che, quando a = 0, si scrive come
f(z) Ω −+∞∑n=1
1n
(z
L
)n
,
e dunque, se si approssima la f(z) con Ω in tutto l’intervallo delle z, siottiene
I(z) 1Ω
[4πC
µcos(βz) − 2πi
V0
Z0sin(β|z|)
]+
+1Ω
∫ +L
−LI(ξ) g(z, ξ) dξ . (8.25)
Questa espressione appare ora nella forma di un’equazione di Fredholmdi seconda specie, e si presta ad una soluzione iterativa: infatti, il primoaddendo a secondo membro ha ordine di grandezza 1/Ω, e quindi anchela corrente I(z) e di ordine 1/Ω. Ne segue che il secondo membro adestra dell’uguale e di ordine 1/Ω2 e, almeno in prima istanza, puoessere trascurato rispetto al primo.
Si ottiene cosi la soluzione al primo ordine di iterazione, che fornisceil seguente valore per la corrente I(z):
I(z) 1Ω
[4πc
µcos(βz) − 2πi
V0
Z0sin(β|z|)
]. (8.26)
Gli ordini successivi possono essere calcolati inserendo la (8.26) all’in-terno della (8.25) ed iterando poi il procedimento.
Rimane ora da valutare la costante di integrazione, cosa che puoessere fatta applicando le condizioni al contorno, e cioe imponendo chela corrente si annulli per z = ±L. Si ottiene cosi
C = iµV0
2Z0
sin(βL)cos(βL)
,
8.3. ANTENNE FILIFORMI 289
da cui l’espressione finale per la corrente
I(z) = I0
sin[β(L − |z|)
]sin(βL)
, I0 = i2π
ΩZ0tan(βL)V0 . (8.27)
Vi sono due osservazioni da fare:
1. La corrente diverge per sin(βL) = 0 e cioe per βL = 2kπ, a menoche non sia I(0) = 0. Questo fatto e dovuto alle approssimazioniche sono state introdotte nella derivazione della (8.27) e, in par-ticolare, all’aver arrestato la procedura di risoluzione iterativa alsolo primo passo. Chiaramente, una soluzione nella quale I(0) = 0non e fisicamente accettabile, perche se cosi fosse sarebbe nulla lapotenza (1/2)V0I
∗0 che viene trasferita dai generatori all’antenna e
da questa allo spazio circostante. Nonostante cio, nella pratica siriscontra che l’ipotesi di distribuzione di corrente sinusoidale co-stituisce un’approssimazione del tutto accettabile per cio che con-cerne il calcolo del campo irradiato e, data la sua semplicita, vieneutilizzata di sovente. Come vedremo nel seguito, l’approssimazionee invece del tutto insufficiente se cio che si intende valutare el’impedenza di ingresso dell’antenna.
2. L’espressione della corrente mostra che, in prima approssimazione,la distirbuzione della corrente e la stessa che si avrebbe in una lineadi trasmissione di lunghezza L, aperta agli estremi e divaricata, conimpedenza caratteristica
ZC = Z0Ω2π
.
L
zz=0I
0
Figura 8.9: Illustrazione dell’equivalenza tra un’antenna ed una linea lasciataaperta agli estremi.
Questo fatto e istruttivo e facile da verificare: si consideri infattiuna linea di trasmissione alimentata da un generatore ideale di
290 CAPITOLO 8: ANTENNE
corrente che impone il valore I0. La corrente nella linea e pari a
I(z) = I+ e−iβz + I− e+iβz ,
e poiche alla coordinata z = 0 e presente un circuito aperto, deveaversi
I(z = 0) = I+ + I− = 0 ⇒ I+ = −I− ,
di modo che
I(z) = I+ e−iβz − I+ e+iβz = −2i I+ sin(βz) .
Alla coordinata z = −L la corrente deve coincidere con quellaimposta dal generatore:
I(−L) = 2i I+ sin(βL) = I0 ⇒ I+ = −iI0
2 sin(βL),
e dunque
I(z) = −I0sin(βz)sin(βL)
.
Operiamo ora un cambio di coordinate per rappresentare il casodell’antenna, e poniamo z = ξ−L per ξ > 0, e z = −ξ−L per ξ < 0(perche nell’aprire i due tratti di linea in modo che essi si presentinocome un’antenna filiforme, occorre tener conto che in uno dei braccidell’antenna la corrente fluisce in verso opposto rispetto a quelloche faceva nella corrispondente linea di trasmissione).
ξz=0
I0
ξ=Lξ= 0+
z=-Lz=-Lz=0
ξ= 0-ξ= −L
Figura 8.10: Rappresentazione equivalente della linea in Fig.(8.9).
Si ottiene cosi (si veda la Fig.(8.10))
ξ > 0 : I(ξ) = −I0
sin[β(ξ − L)
]sin(βL)
= I0
sin[β(L − ξ)]
sin(βL),
ξ < 0 : I(ξ) = −I0
sin[β(−ξ − L)
]sin(βL)
= I0
sin[β(L + ξ)]
sin(βL),
8.3. ANTENNE FILIFORMI 291
e quindi, in definitiva,
I(z) = I0
sin[β(L − |z|)
]sin(βL)
,
in accordo con la (8.27). Il fatto che vi sia questa perfetta co-incidenza illustra pero un aspetto di rilievo: infatti, quando si estudiata la propagazione nelle linee di trasmissione si e sottoli-neato come quello studio fosse valido nell’ipotesi che non vi fossealcuna irradiazione da parte della linea. Al contrario, in questasede lo studio viene effettuato proprio per descrivere l’emissione daparte di una distribuzione di corrente, ed il fatto che i due risultaticoincidano significa che almeno una delle due trattazioni (ma inrealta entrambe) e approssimata. Come si e gia avuto modo didire, nell’ambito dell’equazione di Hallen l’approssimazione derivadal fatto di avere arrestato la procedura iterativa al solo primo or-dine, ed il risultato che si ottiene non e per nulla soddisfacente se siguarda all’impedenza di antenna, e dunque alla potenza irradiataperche, di fatto, si tratta l’antenna come una linea di trasmissioneche non irradia.
Si mostra ora l’utilizzo del risultato fornito dall’equazione di Hallenper il calcolo della corrente in alcune antenne di particolare rilievo.
Antenna corta
E un’antenna per la quale vale
βL 1 .
Ne segue che, nell’espressione (8.27) che da l’andamento della corrente,si puo approssimare la funzione seno con il suo argomento, di modo chesi ottiene
I(z) I0βL − β|z|
βL= I0
(1 − |z|
L
).
La corrente ha dunque un andamento triangolare, che converge a zerosugli estremi dell’antenna, come illustrato nella Fig.(8.11).
Nota la distribuzione di corrente, e possibile utilizzare la (8.21) pervalutare il campo irradiato dall’antenna, che risulta
Eθ = iZ0
sin(θ) e−iβr
2λr
∫ +L
−LI0
(1 − |ξ|
L
)e−iβξ cos(θ) dξ
Hϕ = Eθ/Z0
,
292 CAPITOLO 8: ANTENNE
z+L-L
I(z)
Figura 8.11: Antenna corta con distribuzione triangolare di corrente.
e poiche con βL 1 si ha anche exp−iβξ cos(θ) 1 il che, fisica-mente, significa che i contributi al campo che derivano dai diversi puntidell’antenna si sommano tutti in fase, e si ottiene cosi
Eθ iZ0I0L
2λrsin(θ) e−iβr .
Dunque, l’antenna corta si comporta come un dipolo corto, ma di metalunghezza. Cio e dovuto al fatto che, mentre nel dipolo corto la correntee costante su tutta la lunghezza (infinitesima) dell’antenna, qui la cor-rente ha distribuzione triangolare, ed i diversi punti dell’antenna noncontribuiscono alla formazione del campo nello stesso modo.
E ora interessante valutare il comportamento dell’antenna anche neldominio del tempo. Infatti, la distribuzione della corrente
I(z) = I0
(1 − |z|
L
)= i
2πV0
Z0Ωβ(L − |z|) ,
mostra che la relazione tra la corrente e la tensione di ingresso e
I0 = i2πεL
ΩωV0 ,
ovvero, nel dominio del tempo
i0(t) = Cdv0(t)
dt, C =
2πεL
Ω.
Come gia nel caso del dipolo elementare, anche l’antenna a dipolo cortoha dunque un comportamento elettrico di tipo capacitivo. Inoltre, il suomomento equivalente e
U =I0L
iω,
8.3. ANTENNE FILIFORMI 293
e dunque, nel dominio del tempo
du(t)dt
= i0(t)L = Cdv0(t)
dtL ,
e poiche il campo a grande distanza e legato alla derivata secondadel momento di dipolo (si veda la (8.14)), ne risulta che l’irradiazionedell’antenna corta e proporzionale alla derivata seconda della tensioneche e applicata ai suoi capi.
In maniera analoga, si puo vedere che il campo associato ad una pic-cola spira di corrente e proporzionale alla derivata prima della tensioneapplicata, e che l’antenna risponde a questa con un comportamento in-duttivo.
Antenna marconiana
E una antenna largamente utilizzata nel campo delle basse frequenze:essa e costituita da un filo metallico, corto rispetto alla lunghezza d’onda,che viene disposto veritcalmente al suolo, ed alimentato usando il suolocome riferimento.
z
L
I(z)V(t)
Figura 8.12: Antenna marconiana con la sua distribuzione di corrente.
Se il suolo puo essere approssimato con un conduttore perfetto (e,nella pratica, cio avviene da un lato perche, a bassa frequenza, esso tende
294 CAPITOLO 8: ANTENNE
effettivamente a comportarsi come tale, e comunque perche usualmentene viene esaltata la conducibilita disponendo al di sotto dell’antenna unaraggiera di fili di rame), per il teorema delle immagini la lunghezza totaledell’antenna viene raddoppiata ai fini del calcolo del campo irradiatoal di sopra di essa: l’antenna marconiana realizza dunque proprio ilcomportamento di un’antenna corta.
Antenna a L rovesciata
L
V(t)
zb
Figura 8.13: Antenna a L rovesciata.
Rispetto all’antenna marconiana, si ottiene una maggiore irradia-zione di campo se si realizza una “antenna a L rovesciata”, come quella inFig.(8.13). Infatti, in questa antenna il braccio orizzontale non conta aifini dell’irradiazione, dal momento che il suo effetto e annullato da quellodell’antenna immagine, ma esso contribuisce invece alla distribuzione dicorrente perche questa non deve piu annullarsi in z = L, come succedevanel caso dell’antenna marconiana, ma piuttosto in z = L + b. Ne derivauna distribuzione
I(z) = I0
(1 +
|z|L + b
),
che da luogo al campo
Eθ iZ0I0
2λr
(L
L + 2b
L + B
)sin(θ) e−iβr .
L’antenna si comporta dunque come un dipolo di lunghezza
LL + 2b
L + B> L .
8.4. ANTENNE AD APERTURA 295
Spesso, al posto di un solo braccio orizzontale, si utilizza una raggieradi fili centrata sul conduttore verticale, e si dice che l’antenna e caricatacon capacita terminale. Infatti, la raggiera costituisce un serbatoio perl’accumulo di carica, ed il suo effetto e quello di una capacita postain testa all’antenna; in questo modo, la corrente sul braccio verticaledell’antenna diventa quasi costante, e l’antenna realizza dunque unasorta di dipolo elettrico elementare.
Antenna λ/2
z-λ/4
I(z)
+λ/4
Figura 8.14: Antenna a λ/2 con la sua distribuzione di corrente.
In questa antenna, si ha L = λ/4, βL = π/2 e la distribuzione dicorrente e dunque
I(z) = I0 cos(βz) .
8.4 Antenne ad apertura
Questo paragrafo conclude la trattazione dell’emissione di campo dasorgenti assegnate, e tratta il caso di antenne nelle quali l’irradiazioneavviene attraverso un’apertura praticata in una struttura che altrimentie chiusa, come ad esempio accade se si tronca una guida d’onda metal-lica.
Al pari di quanto accade nel caso delle antenne filiformi, anche nelcaso delle antenne ad apertura lo studio rigoroso delle proprieta di ir-radiazione si presenta, per ben che vada, difficile, se non impossibileperche esso richiederebbe la risoluzione contemporanea delle equazionidi Maxwell sia nella struttura chiusa che realizza l’antenna, sia nellaregione esterna che e sede del campo irradiato.
Di fatto, un calcolo del genere risulta praticabile solo per alcunegeometrie molto particolari (una guida circolare troncata, o due piatti
296 CAPITOLO 8: ANTENNE
piani indefiniti e paralleli) e quindi, in generale, risulta necessario av-valersi di metodi approssimati che si basano sulla divisione del problemain due passi:
1. determinazione delle correnti che vengono eccitate sull’antenna;
2. valutazione del campo irradiato.
E evidente che il piu delicato tra i due passi e il primo, giacche unavolta che questo e stato risolto, il secondo discende automaticamente, edai fini della sua risoluzione conviene avvalersi del teorema di equivalenza,che afferma quanto segue: considerata una regione di spazio sede diun campo elettromagnetico sostenuto da certe sorgenti, e racchiuse lesorgenti dentro ad una superficie arbitraria S, orientata dalla normaleesterna n, nulla cambia all’esterno di S se si spengono le sorgenti delcampo e le si sostituisce con le densita superficiali di corrente
JS = n × Htan , MS = Etan × n ,
che devono essere disposte su S.Si osservi che, dal punto di vista pratico, questo teorema non for-
nisce un metodo costruttivo per la risoluzione del problema di Maxwell,perche esso afferma solamente che e possibile sostituire le vere sorgentidel campo con altre sorgenti fittizie che, tuttavia, sono incognite dalmomento che dipendono dai campi E e H che, per l’appunto, sono leincognite del problema. L’utilita del teorema risiede pero nel fatto chee possibile scegliere S ad arbitrio, e cio puo facilitare di molto i cal-coli quando questa superficie viene scelta in modo che sia ragionevoleipotizzare il valore che il campo assume su di essa. Ad esempio, nelcaso della guida d’onda troncata, una buona scelta per S e quella co-stituita dall’insieme della superficie esterna della guida, unita alla suaapertura. Infatti, se la guida e costituita di un materiale conduttore,vale MS ≡ 0 sulla superficie esterna dell’antenna, dal momento cheli la componente tangente del campo elettrico e nulla; inoltre, poichel’irradiazione avviene essenzialmente attraverso l’apertura, e ragionevoleipotizzare che il campo magnetico sia molto piu intenso sulla stessa aper-tura che non sulla superficie esterna della guida, e quindi ritenere cheanche la densita di corrente elettrica JS sia per lo meno trascurabile suquest’ultima superficie. Si osservi tuttavia che questa ipotesi introduceun’approssimazione nel calcolo, che da luogo a risultati ragionevolmente
8.4. ANTENNE AD APERTURA 297
corretti nel semispazio che non contiene la guida, e comunque a grandedistanza da essa, ma che risulta invece inaccettabile se si tenta di calco-lare il campo in prossimita della guida.
Chiarito questo aspetto, l’approssimazione introdotta mostra co-munque che per calcolare il campo irradiato e necessario valuatare solole correnti sull’apertura dell’antenna, e dunque il campo elettromagne-tico che e presente su di essa. Questo viene usualmente fatto usandodue diverse approssimazioni:
• Approssimazione di Kirchhoff, o dell’ottica fisica
Questa approssimazione puo essere utilizzata quando la lunghezzad’onda della radiazione nella guida e molto inferiore alle dimen-sioni dell’apertura. In questo caso, e lecito ritenere che il camposull’apertura sia lo stesso che si avrebbe se la guida, invece diessere troncata, continuasse indefinitamente. Cio perche l’effettodi bordo che e introdotto dalla troncatura della guida si risentefino ad una distanza dal bordo stesso che e dell’ordine di due o trevolte la lunghezza d’onda e dunque, se l’apertura e molto maggioredella lunghezza d’onda, la porzione di superficie dell’apertura sullaquale il campo differisce da quello imperturbato e percentualmentepiccola.5
• Approssimazione di Bethe
Questa approssimazione viene utilizzata nella situazione comple-mentare alla precedente, e cioe quando la lunghezza d’onda dellaradiazione e molto maggiore delle dimensioni dell’apertura. Il casotipico in cui cio avviene e quello illustrato dalla Fig.(8.15), chemostra un’antenna a fessure, ottenuta realizzando delle fessurelongitudinali disposte lungo una guida d’onda di larghezza6 λ/2.L’approssimazione di Bethe consiste, essenzialmente, nel ritenereche le fessure non vi siano: in questo modo, la guida e costituitaovunque da un conduttore elettrico perfetto, e quindi si ha MS ≡ 0dappertutto, mentre si ha JS = 0 sulle fessure, ed il valore di
5In realta, e stato dimostrato che l’approssimazione vale anche per dimensioni diapertura comparabili con la lunghezza d’onda, ma solo quando si calcola il valore delcampo nei punti in cui esso e massimo.
6Si osservi che le fessure vanno praticate vicino ai bordi, perche al centro dellaguida esse non alterano significativamente il campo, e dunque non danno luogo adirradiazione.
298 CAPITOLO 8: ANTENNE
questa densita di corrente superficiale puo essere calcolato utiliz-zando il campo magnetico che e presente nella guida imperturbata.
λ/2
Figura 8.15: Antenna a fessure.
L’approssimazione ha pero un punto debole, che risiede nell’averritenuto nulle le correnti elettriche e magnetiche in tutti i puntidella guida che non appartengono alle fessure. Infatti, laddovequesto e corretto per le correnti magnetiche perche, come dettopoco sopra, la componente tangente del campo elettrico e nullasulla superficie della guida, non e invece nulla la componente dicampo magnetico, che viene generato dalla stessa radiazione chefuorisce dalle fessure e che puo risultare addirittura comparabilecon il campo che e presente su di queste. Si puo tuttavia di-mostrare che queste correnti non alterano la forma del campo, mane modificano solo il valore, e dunque l’approssimazione risulta ac-cettabile fintanto che ci si accontenta di una descrizione sommariadelle proprieta di irradiazione dell’antenna, non quando si tentaun calcolo preciso del campo irradiato.
Una volta che il campo sull’apertura sia stato approssimato comee maggiormente appropriato, il calcolo del campo irradiato puo esseresvolto utilizzando la completezza delle onde piane, come viene illustratoqui di seguito.
8.4.1 L’espansione in onde piane
La Fig.(8.16) illustra l’antenna che si intende studiare: si tratta di unaantenna che occupa il semispazio z < 0, e la cui apertura, sita nel pianoz = 0 si affaccia verso il semispazio z > 0 che e sede di un mezzo lineareomogeneo ed isotropo, con costanti ε e µ.
Poiche l’apertura ha dimensioni finite, il campo elettromagnetico chee presente sul piano z = 0 ha necessariamente potenza finita e, in virtu di
8.4. ANTENNE AD APERTURA 299
x
y
z
r
P
Figura 8.16: Schema dell’antenna ad apertura studiata mediante l’espansionein onde piane.
questo fatto, puo essere sempre rappresentato come una sovrapposizionedi onde piane, secondo la seguente scrittura
E(x, y, z > 0) =(
12π
)2∫dκx
∫dκy E(κx, κy) e−iκxx−iκyy−hz , (8.28)
doveh2 = κ2
x + κ2y − ω2µε , (8.29)
e la componente del vettore d’onda che e allineata lungo l’asse z, eE(κx, κy) e lo spettro di onde piane (del campo sul piano z = 0), datoda
E(κx, κy) =∫
dx
∫dy E(x, y, z = 0) expiκxx + iκyy . (8.30)
Si osservi come la (8.28) rappresenti effettivamente una espansionedel campo in onde piane: essa mostra infatti che il campo elettricoirradiato dall’antenna nel punto P di coordinate cartesiane x, y, z > 0puo essere scritto come la somma di infinite onde piane, alcune delle qualisono onde piane uniformi (quelle per cui h e un numero immaginariopuro), ed altre onde piane evanescenti (per le quali h e un numero realepuro).
Si noti inoltre come ognuna delle onde dello spettro e univocamentedeterminata da tre grandezze:
• la sua ampiezza complessa, che vale E(κx, κy);
300 CAPITOLO 8: ANTENNE
• le due componenti del vettore d’onda che sono allineate rispettoagli assi x e y: infatti, una volta che queste due componenti sonostate fissate, la terza, diretta lungo z, non puo piu essere assegnataad arbitrio, giacche essa deve sottostare alla relazione (8.29).
Si noti infine come la (8.28) sia una espressione di grande utilitae generalita: essa permette infatti di valutare il campo elettrico irra-diato da una qualsiasi antenna ad apertura in un qualsiasi punto P delsemispazio omogeneo z > 0 che giace davanti all’antenna: a tal fine e in-fatti sufficiente calcolare la trasformata di Fourier bidimensionale (8.30)del campo che e presente sull’apertura dell’antenna, ed utilizzare questovalore nell’integrale (8.28).
Sebbene il calcolo di questo integrale possa essere svolto per vianumerica, e ora opportuno vedere come esso si possa in realta semplifi-care, al fine di apprezzare maggiormente la natura dei fenomeni fisiciche entrano in gioco. Si riscrivano allora le coordinate del genericopunto P nella seguente forma x = r ux, y = r uy e z = r uz, dover =
√x2 + y2 + z2 e la distanza del punto P dall’origine delle coordi-
nate, e ux, uy, uz sono i coseni direttori del versore che punta verso P ,tali che u2
x + u2y + u2
z = 1.La (8.28) si riscrive allora come segue
E =(
12π
)2 ∫dκx
∫dκy E(κx, κy) e−r(iκxux+iκyuy+huz) , (8.31)
e questa scrittura permette di apprezzare come l’integrando dipendadalla distanza r del punto P solo attraverso il fattore di fase che apparenel termine esponenziale. Per poter semplificare in maniera significatival’integrale di espansione, e ora necessario distinguere due casi.
Onde piane evanescenti: h reale
Quando il vettore d’onda lungo z risulta reale, l’onda piana con ampiezzaE(κx, κy) e vettori d’onda κx e κy e un’onda piana evanescente.
Ora, se si calcola il campo irradiato dall’antenna nella regione dicampo lontano, e cioe se si fa crescere indefinitamente il valore di rnell’integrale di espansione, il contributo legato all’onda evanescente inesame diventa sempre meno importante perche il termine exp−hruzconverge rapidamente a zero. Fisicamente cio ha un significato moltochiaro: a grande distanza dall’apertura dell’antenna, non rimane alcuna
8.4. ANTENNE AD APERTURA 301
traccia di tutte quelle componenti spettrali del campo sull’apertura chesono costituite da onde evanescenti. D’altra parte, non puo che esserecosi: le onde evanescenti, infatti, si attenuano esponenzialmente manmano che si propagano e dunque, a distanza sufficientemente grandedall’apertura dell’antenna, la loro ampiezza si riduce ad un valore deltutto trascurabile.
Onde piane uniformi: h immaginario
Quando invece h assume un valore immaginario, l’onda piana con am-piezza E(κx, κy) e un’onda piana uniforme, ed e dunque in grado dipropagarsi senza attenuarsi nel semispazio omogeneo z > 0 che si trovadi fronte all’antenna; in termini matematici, cio significa che il suo con-tributo all’integrale di espansione (8.31) non e nullo, ed esso puo esserevalutato come segue.
Si consideri il termine di fase che compare nella (8.31): scritto informa estesa, esso risulta pari a
rφ(r, κx, κy) = r(κxux + κyuy +
√ω2µε − κ2
x − κ2y uz
)≡ r (κxux + κyuy + κz uz) ,
dove e stato esplicitamente indicata la componente κz del vettore d’ondadell’onda piana.
-1
-0.5
0
0.5
1
κx0 κx
r = 20 λ
-1
-0.5
0
0.5
1
κx0 κx
r = 200 λ
-1
-0.5
0
0.5
1
κx0 κx
r = 100 λ
Figura 8.17: Andamento di cos(rφ) al variare di κx (per κy = 0) e, da sinistraa destra, per r = 20, 100, 200 λ.
La Fig.(8.17) mostra il tipico andamento della parte reale di eirφ alvariare di κx, quando κy = 0, e la distanza r e pari a 20, 100 o 200lunghezze d’onda. Si osserva il seguente fatto: esiste un punto, che eindicato con il simbolo κx0 nella figura, attorno al quale la fase rimanepressoche costante al variare di κx, indipendentemente dal valore di r;
302 CAPITOLO 8: ANTENNE
per valori di κx sostanzialmente diversi da κx0, invece, la fase variarapidamente al variare di κx, e la variazione e tanto piu rapida quantomaggiore e la distanza r del punto in cui si valuta il campo.
L’andamento della parte immaginaria di expirφ e sostanzialmenteanalogo a questo, e presenta ancora il punto κx0 attorno al quale la faserimane pressoche costante al variare di κx, indipendentemente dal valoredi r.
Il punto in cui la fase rimane pressoche costante al variare di κx (odi κy) viene indicato con la dicitura di punto di fase stazionaria, ed e difacile valutazione: basta infatti considerare le derivate parziali
∂φ
∂κx= ux − κx√
ω2µε − κ2x − κ2
y
uz ,
∂φ
∂κy= uy −
κy√ω2µε − κ2
x − κ2y
uz ,
ed annullarle, per trovare che detto punto e quello individuato dai valoriκx0 e κy0 tali che
ux
uz=
κx0√ω2µε − κ2
x0 − κ2y0
=κx0
κz0
uy
uz=
κy0√ω2µε − κ2
x0 − κ2y0
=κy0
κz0
, (8.32)
e dunque per
κx0 = ux ω√
µε , κy0 = uy ω√
µε , κz0 = uz ω√
µε . (8.33)
Ora, poiche nell’integrale (8.31) il termine expirφ compare comeun fattore che moltiplica lo spettro E(κx, κy), si deduce che, al cresceredi r, gli unici termini che contribuiscono in maniera significativa al va-lore dell’integrale sono quelli che si trovano in prossimita del punto difase stazionaria, giacche tutti gli altri vengono rapidamente mediati azero dalle oscillazioni della fase. In altre parole, e lecito approssimarel’integrale (8.31) come segue: si scrive l’epsansione della fase attorno alpunto di fase stazionaria per mezzo della serie di Taylor
φ(κx, κy) φ(κx0, κy0) + ξ(κx, κy) ,
8.4. ANTENNE AD APERTURA 303
dove
ξ(κx, κy) =12
∂2φ
∂κ2x
(κx − κx0)2 +12
∂2φ
∂κ2y
(κy − κy0)2 +
+∂2φ
∂κx∂κy(κx − κx0)(κy − κy0) + . . . .
Usando la (8.33), e tenendo conto che i coseni direttori ux, uy e uz sonotali che u2
x + u2y + u2
z = 1, si ha anche
rφ(r, κx0, κy0) = rω√
µε ≡ β r ,
di modo che l’integrale (8.31) puo essere riscritto come segue
E(x, y, z > 0) E(κx0, κy0) e−iβr
(2π)2
∫dκx
∫dκy e−irξ(κx,κy) ,
= i cos(θ)E(κx0, κy0)
λre−iβr , (8.34)
dove θ e l’angolo azimutale mostrato in Fig.(8.16).Vi sono alcune osservazioni da fare:
1. nel passare dalla (8.31) alla prima delle (8.34), lo spettro di ondepiane E(κx, κy) e stato portato al di fuori del doppio integrale,ed e stato valutato nel solo punto di fase stazionaria, κx = κx0,κy = κy0. Cio e stato fatto in virtu di quanto si e osservato piusopra, e cioe del fatto che tutti i termini dello spettro con vettorid’onda differenti da κx0 e κy0 vengono mediati a zero dal termineesponenziale;
2. la derivazione della seconda delle (8.34) richiede alcuni passaggialgebrici non banali, che sono riportati nell’Appendice 2 di questocapitolo;
3. l’espressione finale cui si e giunti mostra che il campo a grandedistanza dall’antenna dipende, tra l’altro, dal coseno dell’angoloazimutale θ: ne segue che l’irradiazione e nulla sul piano che con-tiene l’apertura dell’antenna (sul quale θ = π/2), e tende ad esseretanto maggiore quanto piu il punto di osservazione e di fronteall’antenna; si osservi come si sia ritrovata, ancora una volta, lacaratteristica tipica dell’emissione di molte antenne: l’irradiazione
304 CAPITOLO 8: ANTENNE
tende ad essere massima “davanti” all’antenna, e tende invecead essere trascurabile nella direzione o nel piano che contienel’antenna (cosi come succedeva con le antenne filiformi, la cui ir-radiazione e massima nel piano che taglia in due l’antenna, ed einvece nulla al di sopra o al di sotto dell’antenna stessa);
4. l’ampiezza del campo dipende dalla distanza del punto di osser-vazione tramite il fattore 1/r e, ancora una volta, questo fatto puoessere spiegato con semplicita: piu e grande la distanza dall’anten-na, piu l’apertura puo essere confusa con una sorgente puntiforme,ed il fattore 1/r esprime il fatto che l’onda irradiata tende ad esseresferica, e la potenza deve essere conservata;
5. l’ampiezza del campo e proporzionale alla trasformata di Fourierdel campo sull’apertura e, piu precisamente, nel punto sotteso daicoseni direttori ux ed uy, all’ampiezza dell’onda piana con vettorid’onda
κx0 = β ux , κy0 = β uy .
In certo modo, questo risultato doveva essere atteso. Infatti, la(8.30) mostra che il campo sull’apertura puo essere pensato comela somma di infinite onde piane, che si differenziano tra di loro per idiversi valori di κx e κy, e cioe, in sostanza, per la diversa direzionedi propagazione giacche, come si e visto quando si e affrontato lostudio delle onde piane, la direzione del vettore di propagazionecoincide con la direzione lungo la quale si “propaga” la potenzaattiva che e associata ad un’onda piana.
Il risultato che abbiamo trovato qui si puo quindi leggere comesegue: l’ampiezza del campo irradiato verso il punto P e pro-porzionale all’ampiezza dell’onda piana dello spettro che si propagain quella direzione. Tutte le altre onde piane si propagano lungodirezioni diverse e, nel punto P , si compongono in modo da elidersia vicenda.
8.5 Parametri delle antenne in trasmissione
Fino ad ora si e visto quali calcoli sia necessario fare al fine di valutareil campo prodotto da una generica antenna, filiforme o ad apertura chesia; da un punto di vista pratico, tuttavia, il progetto di un collegamento
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 305
radio e grandemente facilitato se si riesce a caratterizzare le proprietadi irradiazione dell’antenna per mezzo di grandezze che siano di piu im-mediata comprensione che non delle formule, tipicamente dei numerio dei diagrammi. I parametri che risultano utili a questo scopo ven-gono usualmente indicati con la dicitura di parametri delle antenne intrasmissione, ed essi vengono analizzati nel dettaglio qui di seguito.
Come e facile immaginare, la grandezza che interessa caratterizzaree il campo (elettrico) che viene irradiato a grande distanza dall’antennae, al fine di poter confrontare tra loro diversi tipi di antenna, convieneintrodurre delle grandezze normalizzate. Si distinguono due casi
1. se nell’antenna e facile individuare una coppia di morsetti ai capidei quali si puo misurare una tensione o una corrente di riferimento,che indicheremo come I0, si usa porre
E∞(r, θ, ϕ) ≡ E(r → ∞, θϕ) = iZ0I0 h(θ, ϕ)
2λre−iβr , (8.35)
dove la funzione h(θ, ϕ) e complessa, ha le dimensioni di metri, eprende il nome di altezza (o lunghezza) efficace in trasmissione.
θ0
ϕ
r
P
z
x
yϕ
r
P
z
x
y
θ0a) b)
Figura 8.18: a) Antenna di lunghezza 2L che non e orientata in maniera ot-timale rispetto al punto di osservazione P; b) antenna piu corta, orientata inmaniera ottimale, che irradia nel punto P lo stesso campo irradiato dall’antennadel pannello a).
Il suo significato e di immediata comprensione se si consideral’esempio riportato nella Fig.(8.18). Nel pannello a) vi e un’an-tenna corta, di lunghezza 2L, disposta nel centro di un sistema
306 CAPITOLO 8: ANTENNE
di coordinate sferiche, ed allineata lungo z, ed un osservatore chemisura il campo elettromagnetico irradiato in un generico puntoP di coordinate sferiche P = (r0, θ0, ϕ0). Come e stato mostratonel paragrafo 8.3, il campo ricevuto nel punto P ha modulo
E = iZ0I0Leff
2λr, Leff = L sin(θ0)
Si consideri ora la situazione mostrata nel pannello b) della figura,dove vi e un’antenna di lunghezza Leff orientata ortogonalmenteal raggio vettore che congiunge l’origine del sistema di riferimentocon il punto P . Il campo ricevuto in questo caso coincide con ilprecedente: infatti, e vero che l’antenna e piu corta, ma essa e oradisposta in modo che la sua irradiazione e massima proprio nelladirezione del punto P .
Si evince dunque che, agli occhi dell’osservatore, e impossibile di-stinguere se il campo che esso riceve e stato irradiato da un’antennapiu lunga, disposta in maniera non ottimale, o da una piu corta,ma orientata correttamente. In altre parole, per l’osservatore, tuttova come se il campo fosse stato irradiato da un’antenna di lun-ghezza Leff , ovvero, utilizzando la (8.35), egli puo affermare cheil comportamento dell’antenna puo essere riassunto immaginandoche l’antenna abbia una lunghezza efficace pari a h(θ, ϕ).
Si osservi che, poiche la definizione di questo parametro comportala conoscenza della corrente di alimentazione I0, l’altezza efficacee un parametro che si adatta meglio al caso delle antenne filiformipiu che non a quello delle antenne ad apertura. Non vi e pero ra-gione per ritenere che esso possa essere utilizzato unicamente con leantenne filiformi: infatti, esso da solo un mezzo per rappresentarein maniera convenzionale l’emissione di un’antenna e, come tale,puo essere utilizzato con completa generalita.
2. Il secondo parametro che si usa definire viene utilizzato quandonon e immediata l’individuazione di una corrente di alimentazionecome avviene, ad esempio, nel caso delle antenne a microonde.In questo caso si preferisce allora normalizzare il campo a grandedistanza rispetto al valore che esso assume in una direzione di ri-ferimento che, tipicamente, viene assunta essere quella di massimairradiazione. Si scrive allora
E∞(r, θ, ϕ) = f(θ, ϕ)E∞(r, θmax, ϕmax) ,
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 307
dove la funzione f(θ, ϕ) e complessa ed adimensionale, e prende ilnome di vettore di radiazione.
Nel seguito si vedra che l’altezza efficace ed il vettore di radiazionenon sono indipendenti l’uno dall’altro, come e d’altra parte ragionevoleattendersi, dal momento che essi sono solo due diversi modi per espri-mere la stessa grandezza fisica.
Figura 8.19: Esempio di solido di direttivita.
Per ora tuttavia, risulta utile definire alcuni altri parametri di in-teresse; infatti, sia l’altezza efficace sia il vettore di radiazione sonoquantita complesse e vettoriali e, come tali, esse offrono una rappre-sentazione molto completa del campo, perche ne forniscono ampiezza,fase e polarizzazione. In molte applicazioni, pero, queste informazionisono addirittura sovrabbondanti, perche spesso basta la sola conoscenzadel modulo del campo e, per questa ragione, viene introdotto il solido didirettivita dell’antenna, che e definito come segue:
D(θ, ϕ) = limr→∞
|E(r, θ, ϕ)| 4πr2∫S(r)
|E(r, θ, ϕ)|2 dS=
|f(θ, ϕ)|2 4π∫ 2π
0dϕ
∫ π
0dθ|f(θ, ϕ)|2 sin(θ)
=
=|h(θ, ϕ)|2 4π∫ 2π
0dϕ
∫ π
0dθ|h(θ, ϕ)|2 sin(θ)
, (8.36)
308 CAPITOLO 8: ANTENNE
dove S(r) e la superficie sferica (con r → ∞) che contiene l’antenna (ol’insieme di antenne) che si vuole caratterizzare.
La Fig.(8.19) mostra la tipica forma di un solido di direttivita: essosi presenta in genere diviso in regioni, ciascuna delle quali prende ilnome di lobo di radiazione e, come e facile intuire, serve a dare unarappresentazione molto immediata dell’ampiezza e delle direzioni lungole quali si ha l’emissione da parte dell’antenna.
Insieme al solido di direttivita si definiscono anche i diagrammi didirettivita, che sono ottenuti sezionando il solido di direttivita con deipiani. Tipicamente, nel caso delle antenne filiformi si usa rappresentareil diagramma di direttivita nel piano che taglia l’antenna, ed in quello chela contiene; nel caso delle antenne ad apertura, invece, si rappresentail diagramma su un piano posto davanti all’antenna che, ad esempio,potrebbe rappresentare la facciata di un edificio posto di fronte a questa;oppure, si rappresenta il diagramma su piani orizzontali e questo tipo dicaratterizzazione serve, ad esempio, ad avere una misura del campo chesi riscontra in prossimita del suolo, o ad una certa altezza da esso.
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
0 90 180-180 -90Angolo
b)
1
a
0.5
'
a)
Figura 8.20: Esempio di diagrammi di direttivita, in coordinate polari (a), ecartesiane (b).
I diagrammi di direttivita vengono normalmente disegnati in coor-dinate polari o cartesiane, come illustrato nella Fig.(8.20), e presentanoancora i lobi di radiazione, divisi tra loro dalle direzioni di zero. Nellafigura, vengono poi evidenziati alcuni altri parametri di interesse, chesono la larghezza del lobo principale, ∆α, e la larghezza ai 3 dB del loboprincipale, ∆α′. Si osservi che se la quantita che viene rappresentataper mezzo di un diagramma del tipo di quelli in Fig.(8.20) e una quan-tita legata al modulo del campo elettrico o magnetico, e non al modulo
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 309
quadro del campo, la larghezza ai 3 dB va misurata in corrispondenza alpunto in cui il diagramma assume il valore 1/
√2. Da ultimo, si definisce
anche il rapporto tra i lobi, indicato come a in figura, che e il rapportoesistente tra il primo lobo secondario ed il lobo principale. Come e facileimmaginare, queste tre grandezze permettono di dare un’idea di quantoconfinata e la radiazione rispetto ad una certa direzione dello spazio, edi quanto l’antenna irradia in direzioni al di fuori di quella di massimo.
Se accade che, su un dato piano, il diagramma di radiazione e un cer-chio, l’antenna e detta onnidirettiva in quel piano; se poi esso e un cerchiosu tutti i piani, e cioe se il solido di rotazione e una sfera, l’antenna edetta isotropa. Si osservi tuttavia che, affinche cio avvenga, l’antennadeve essere perfettamente puntiforme: nella realta dunque, non e possi-bile realizzare un’antenna con questa proprieta.
Insieme ai diagrammi per la quantita D(θ, ϕ), vengono poi disegnatianche analoghi diagrammi per una quantita che e piu direttamente legataalla densita di potenza che e irradiata da una data antenna: si trattadell’intensita di radiazione, definita come
Ir(θ, ϕ) =|E∞|22Z0
r2 .
Accanto a questa, viene poi anche definita per l’intensita di radiazionenormalizzata,
ir =Ir
maxIr.
Si sono dunque visti due insiemi di parametri delle antenne di tra-smissione: il primo insieme, formato dall’altezza efficace e dal vettoredi radiazione, permette una caratterizzazione completa dell’emissionepoiche fornisce ampiezza, modulo e fase del campo; il secondo insieme equello formato dai diagrammi e dai solidi di radiazione, che fornisconoinformazioni sul solo modulo del campo, per via grafica. Ora, si intro-ducono degli altri parametri, che sono assegnati in forma numerica, eche, quindi, da un lato forniscono una rappresentazione ancor piu im-mediata delle proprieta di irradiazione, dall’altro, meno puntuale e menodettagliata.
A questo insieme di parametri appartengono la direttivita, il guada-gno in potenza, e l’impedenza d’antenna. Vediamo nel dettaglio comesono definiti.
310 CAPITOLO 8: ANTENNE
La direttivita, DM , e definita come il valore massimo che viene as-sunto dal solido di direttivita, e quindi
DM = D(θmax, ϕmax) =|E∞(r, θmax, ϕmax)| 4πr2∫
S(r)|E∞(r, θ, ϕ)|2 dS
≡
=|Emax|2 4πr2∫
S(r)|E∞(r, θ, ϕ)|2 dS
. (8.37)
Si osservi che, poiche per definizione si ha |E∞(r, θ, ϕ)| ≤ |Emax|, risultaDM ≥ 1 e DM = 1 solo per un’antenna che sia idealmente isotropa (cioe,per un’antenna puntiforme). La direttivita consente il calcolo imme-diato della densita di potenza irradiata dall’antenna nella sua direzionedi massimo: si ha infatti
Smax(r) =|Emax|2
2Z0=
|Emax|22Z0
4πr2
4πr2
∫S(r)
|E∞(r, θ, ϕ)|2 dS∫S(r)
|E∞(r, θ, ϕ)|2 dS=
= DMPirr
4πr2, (8.38)
dove Pirr e la potenza totale irradiata dall’antenna. Questo risultato sipuo leggere come segue: se l’antenna fosse isotropa, la densita di potenzasarebbe uguale in ogni direzione dello spazio, e pari al rapporto tra lapotenza irradiata e la superficie sferica su cui essa viene valutata perchel’antenna isotropa irradia un’onda che e perfettamente sferica. Se invecesi usa un’antenna non isotropa, la densita di potenza nella direzione dimassimo aumenta di un fattore che e proprio pari alla direttivita.
Si osservi anche che, dividendo e moltiplicando la (8.37) per 4πr2, sipuo riscrivere la direttivita nella forma di un rapporto di potenze:
DM =P0
Pirr.
Di queste potenze, Pirr e ancora la potenza irradiata dall’antenna chesi sta caratterizzando; P0, invece, e la potenza che sarebbe irradiata daun’antenna isotropa che ecciti un campo di intensita uguale a quelloeccitato dall’antenna sotto esame nella sua direzione di massimo.
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 311
In altre parole, la direttivita ha il significato che segue: si immaginidi voler irradiare in un dato punto dello spazio un certo campo elet-tromagnetico e che, a tal fine, si possa disporre di due antenne, unaisotropa, ed una non isotropa. DM indica allora qual’e il “risparmio”in termini di potenza che si ha utilizzando l’antenna direttiva al postodell’antenna isotropa per ottenere il campo desiderato.
Il “risparmio” deriva dal fatto che l’antenna direttiva e in gradodi confinare la radiazione verso una direzione privilegiata dello spazio dimodo che, quando essa eccita il campo desiderato lungo quella direzione,l’irradiazione e poi inferiore lungo tutte le altre direzioni. L’antennaisotropa, invece, irradia in ugual misura lungo tutte le direzioni dellospazio, e deve quindi impiegare una potenza superiore per eccitare lostesso campo massimo dell’antenna direttiva.
In alternativa alla direttivita viene spesso fornito il guadagno inpotenza dell’antenna, dato da
G =P0
Palim=
P0
Pirr
Pirr
Palim= ηD ,
dovePalim = Pirr + Pdiss ,
e la potenza con cui viene alimentata l’antenna, data dalla somma dipotenza irradiata e potenza dissipata, e η e il rendimento dell’antenna.
Si osservi che il guadagno in potenza e piu facile da misurare che nonla direttivita, essenzialmente perche esso richiede la conoscenza dellapotenza di alimentazione e non della potenza irradiata. La potenza dialimentazione, infatti, puo essere valutata con relativa semplicita misu-rando la tensione e la corrente ai morsetti dell’antenna; la potenza irra-diata, invece, richiede una misura piu complicata, da farsi posizionandol’antenna in un luogo che deve essere privo di ostacoli, e sufficientementeampio da poter essere considerato alla stregua dello “spazio libero”.
Si osservi inoltre che l’antenna ha rendimento unitario se la potenzairradiata coincide con la potenza di alimentazione, e quindi se l’antennae priva di dissipazioni interne o, come si usa dire, se essa e priva diperdite.
La direttivita ed il guadagno in potenza vengono spesso forniti nellascala dei decibel e, poiche essi esprimono rapporti di potenza, si scrivonorispettivamente come
DM(dB) = 10 log10 DM , GdB = 10 log10 G .
312 CAPITOLO 8: ANTENNE
L’ultimo dei parametri numerici che vengono usualmente forniti perla caratterizzazione di un’antenna e l’impedenza d’antenna, che e definitacome il rapporto tra i fasori di tensione e di corrente che sono presentiai morsetti dell’antenna:
Zi = Ri + iXi =Vmorsetti
Imorsetti.
Naturalmente, l’impedenza di ingresso descrive l’antenna dal punto divista circuitale nel senso che se si sostiuisce l’antenna con un bipolo diimpedenza Zi, il generatore che alimenta l’antenna continua ad erogarela medesima potenza attiva e reattiva che erogava prima della sosti-tuzione. Si osservi tuttavia che, in generale, la Zi non possiede tuttele proprieta delle impedenze dei circuiti a parametri concentrati: adesempio, essa non e sempre esprimibile nella forma di un rapporto dipolinomi.
La parte reale dell’impedenza di ingresso, detta resistenza di in-gresso, e il parametro di maggior interesse pratico, ed e facilmente misu-rabile se l’antenna ed il mezzo esterno sono privi di perdite. In tal caso,infatti, la potenza irradiata coincide con la potenza di alimentazione, esi puo scrivere
12Ri
∣∣∣Imorsetti
∣∣∣2 = Palim = Pirr = limr→∞
∫S(r)
|E(r, θ, ϕ)|2 dS
2Z0.
Si osservi che, poiche in questo caso Ri e direttamente legata alla potenzairradiata, essa e anche detta resistenza di radiazione, e viene indicatacon la scrittura Rirr. Invece, se l’antenna ha perdite, la resistenza diradiazione non coincide con la resistenza di ingresso, e quest’ultima edata dalla somma della prima e della resistenza parassita che e presenteall’interno dell’antenna e che e responsabile dei fenomeni di dissipazione.
La conoscenza della resistenza di radiazione (o della resistenza diingresso) permette di completare un’osservazione che era stata sollevataall’inizio del paragrafo, e cioe l’esistenza di un legame tra l’altezza effi-cace h(θ, ϕ) ed il vettore di radiazione f(θ, ϕ). Infatti, per definizione divettore di radiazione si ha
|E∞(r, θ, ϕ)|2 = |Emax|2|f(θ, ϕ)|2 ,
mentre, per definizione di altezza efficace
|E∞(r, θ, ϕ)|2 = Z20
|I0|2|h(θ, ϕ)|24λ2r2
.
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 313
Si ottiene quindi
|h(θ, ϕ)|2 =2Z0 4πr2|Emax|2
2Z0
λ2|f(θ, ϕ)|2|I0|2Z2
0
= P02λ2
π|I0|2Z20
|f(θ, ϕ)|2 =
= PirrDM2λ2
π|I0|2Z20
|f(θ, ϕ)|2 =
=12Rirr|I0|2DM
2λ2
π|I0|2Z20
|f(θ, ϕ)|2 ,
da cui discende subito
|h(θ, ϕ)| = λ
√RirrDM
πZ0|f(θ, ϕ)| . (8.39)
I vettori h e f hanno dunque ugual direzione e verso, ma diverso mo-dulo, ed il rapporto tra i moduli dipende dalla lunghezza d’onda, dallaresistenza di radiazione e dalla direttivita dell’antenna.
Si osservi anche che, se la (8.39) viene valutata nella direzione dimassimo dove, per definizione vale f(θmax, ϕmax) = 1, si ottiene
RirrDM =πZ0
λ2|h(θmax, ϕmax)|2 , (8.40)
relazione che lega tra loro la direttivita e la resistenza di radiazione at-traverso il modulo dell’altezza efficace, valutato nella direzione di mas-sima irradiazione.
Si osservi infine che, se l’antenna ha perdite, vale una relazioneanaloga alla precedente, nella quale pero compaiono il guadagno inpotenza al posto della direttivita, e la resistenza di ingresso al postodella resistenza di radiazione:
RiG =πZ0
λ2|h(θmax, ϕmax)|2 .
Ora che si sono definiti tutti i parametri di interesse, se ne analizzanoalcuni esempi relativi ad antenne di particolare riguardo.
8.5.1 Esempi di calcolo di parametri di trasmissione
Lunghezza efficace di un dipolo corto
Si ricorda che l’altezza efficace e definita in base alla relazione
E∞ = iZ0I0 h(θ, ϕ)
2λre−iβr ,
314 CAPITOLO 8: ANTENNE
e poiche il campo irradiato da un dipolo corto di lunghezza ∆z e
E∞ = iZ0I0 ∆z sin(θ)
2λrθ e−iβr ,
si ottieneh(θ, ϕ) = ∆z sin(θ) θ . (8.41)
Analogamente, un’antenna corta di lunghezza 2L ha altezza efficace
h(θ, ϕ) = L sin(θ) θ .
Lunghezza efficace di un’antenna a mezz’onda
Per semplicita, calcoliamo questa lunghezza efficace nel piano di massimairradiazione dell’antenna, e cioe per θ = π/2.
In questa antenna la distribuzione della corrente e
I(z) = I0 cos(βz) ,
ed il campo irradiato a grande distanza (nel piano θ = π/2) e allora
E∞ = i Z0e−iβr
2λrθ
∫ +λ/4
−λ/4I0 cos(βξ) dξ = i Z0
e−iβr
2λrI0
λ
πθ ,
da cui segue
hλ/2(π/2, ϕ) =λ
πθ = −λ
πz .
Si osservi che, poiche la lunghezza fisica dell’antenna e 2L = λ/2, lalunghezza efficace risulta pari a 2/π volte la lunghezza fisica dell’antenna.
Lunghezza efficace di un’antenna verticale al suolo
Si consideri un’antenna di altezza efficace h posta in prossimita del suolo,e si supponga che questo possa venir riguardato come un mezzo perfet-tamente conduttore. Con riferimento alla Fig.(8.21), l’antenna numero“1” irradia un campo che risulta pari a
E1 = iZ0I0 h(θ, ϕ)
2λre−iβr ,
mentre il campo dovuto all’antenna immagine e
E2 = iZ0I0 h(θ, ϕ)
2λre−iβr e−iβ2d cos(θ) .
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 315
d
θ
2d cos(θ)
Figura 8.21: Antenna verticale al suolo.
Il campo totale e quindi
Etot = E1 + E2 = iZ0I0 h(θ, ϕ)
2λre−iβr
[1 + e−iβ2d cos(θ)
]e l’altezza efficace, valutata rispetto al punto di alimentazione dell’an-tenna
htot = 2h e−iβd cos(θ) cos [βd cos(θ)] .
Lunghezza efficace di un’antenna a spira di corrente
Il campo irradiato a grande distanza da questa antenna e
Hθ =Um
4πµ
(iβ)2
rsin(θ) e−iβr = −πR2I0β
2λrsin(θ), e−iβr ,
Eϕ = −Z0 Hθ =πR2I0β
2λrZ0 sin(θ) e−iβr ,
dove R e il raggio della spira. Ne segue dunque
h = −iβπ R2 sin(θ)ϕ . (8.42)
E interessante confrontare i campi prodotti da un’antenna corta e dauna a spira alimentata dalla stessa corrente I0: l’antenna corta irradiaun campo che e proporzionale alla semilunghezza L, mentre la spiraa βπ R2 = 2π2R2/λ. Dunque, se le dimensioni della spira sono con-frontabili con quelle dell’antenna corta, e cioe se L R λ, la radia-zione emessa dalla spira e molto inferiore a quella emessa dall’antennacorta. Tuttavia, nelle applicazioni (ad esempio nel caso delle antennetelevisive) si tende a preferire l’uso di un’antenna a spira perche essa
316 CAPITOLO 8: ANTENNE
ha un comportamento elettrico di tipo induttivo e quindi necessita del-l’aggiunta di un condensatore per la sintonizzazione. L’antenna corta,invece, ha un comportamento capacitivo e viene quindi sintonizzata permezzo di un induttore che, in generale, e un componente con delle re-sistenze parassite molto superiori a quelle che si riscontrano in un con-densatore. In definitiva, a parita di corrente erogata dal generatore, siriesce a far circolare una corrente maggiore in una spira piuttosto che inun’antenna corta, e la radiazione e quindi superiore nella prima antennache non nella seconda.
Vettore di radiazione di un’antenna a mezz’onda
Si ricorda che il vettore di radiazione e definito in base alla relazione
E∞(r, θ, ϕ) = f(θ, ϕ)Emax .
z
I(z)
Figura 8.22: Solido e diagramma di direttivita per un’antenna λ/2.
In un’antenna λ/2 il campo e
Eθ = i Z0e−iβr
2λr
∫ +λ/4
−λ/4I0 cos(βξ) eiβξ cos(θ) dξ =
= i Z02 e−iβr
λβrI0
cos[π
2cos(θ)
]sin(θ)
,
e la direzione di massima irradiazione si ha per θ = π/2, dove vale
Emax = i Z02 e−iβr
λβrI0 .
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 317
Ne segue che il vettore di radiazione e
f(θ, ϕ) =cos
[π
2cos(θ)
]sin(θ)
θ .
La figura (8.22) mostra il solido di direttivita ed il diagramma di diret-tivita (nel piano ϕ = 0, ma questo non cambierebbe al cambiare di ϕ)per questo tipo di antenna. Si noti che, come era stato anticipato nelcorso della discussione sull’irradiazione da parte delle antenne filiformi,anche questa antenna ha il massimo di radiazione nel piano che la tagliaa meta, ed non irradia invece nella direzione verticale che e posta al disopra o al di sotto di essa.
Vettore di radiazione di un’antenna filiforme generica
z
I(z)
2L =
z
I(z)
2L = 3
Figura 8.23: Diagrammi di direttivita per un’antenna λ e 3λ/2.
In un’antenna di lunghezza 2L generica, la corrente e
I(z) = I0
sin[β(L − |z|)
]sin(βL)
,
e si ottiene
f(θ, ϕ) =cos
[βL cos(θ)
]− cos(βL)
sin(θ)[1 − cos(βL)
] θ ,
dove la normalizzazione e stata eseguita rispetto al valore del camponella direzione θ = π/2, e si e assunto βL = 2kπ.
318 CAPITOLO 8: ANTENNE
Si distinguono due casi di particolare interesse, quelli delle antennecon lunghezza 2L = λ e 2L = 3λ/2, i cui diagrammi di direttivita, nelpiano ϕ = 0, sono riportati nella Fig.(8.23).
Si osservi come, nel caso dell’antenna di lunghezza λ la corrente enulla in z = 0, il che comporterebbe un trasferimento nullo di potenzadal generatore all’antenna e da questa allo spazio circostante. Nellapratica, dunque, un’antenna di lunghezza λ non deve essere alimentatanel suo centro; si osservi inoltre come, all’aumentare della lunghezzadell’antenna aumentano i lobi del diagramma, ed il massimo di radia-zione non si trova piu nel piano θ = π/2.
Vettore di radiazione per un’antenna ad onda progressiva
z+L-L
θ
Figura 8.24: Diagramma di direttivita per un’antenna ad onda progressiva.
Si tratta di una antenna costituita da un filo, di lunghezza 2L per-corso dalla corente
I(z) = I0 e−iβz , −L ≤ z ≤ L .
Il campo irradiato e
Eθ = i Z0I0
2λre−iβr sin(θ)
sin[βL(1 − cos(θ))
]1 − cos(θ)
,
ed i massimi del vettore di radiazione si hanno per
βL(1 − cos(θ)) = (2k + 1)π
2, k = 0, 1, . . . ,
con k che puo arrivare fino al valore in corrispondenza al quale βL ≥(2k + 1)π/2. Il numero di massimi aumenta all’aumentare di L/λ ed ilmassimo assoluto si ha in corrispondenza al minimo degli θ.
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 319
Figura 8.25: Antenna a rombo.
Una realizzazione pratica di questa antenna e la cosiddetta antenna arombo: si tratta di un’antenna costituita da quattro conduttori dispostia rombo, e terminati su un carico adattato (si veda la Fig.(8.25)). Ladimensione dell’antenna e scelta in modo che i campi generati dai lobiorizzontali si sommino in fase, mentre quelli degli altri lobi si elidano. Inquesto modo si ottiene un’antenna fortemente anisotropa nella direzionedei lobi orizzontali.
Vettore di radiazione per un’antenna ad apertura rettangolare
Si consideri l’irradiazione da parte di un’antenna ad apertura rettango-lare, di dimensione 2a rispetto ad x e 2b rispetto ad y, posta nel pianoz = 0 di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Si assuma cheil campo elettromagnetico sull’apertura sia costante:
E(x, y, z = 0) =
E0 per |x| ≤ a, |y| ≤ b
0 altrove.
Il suo spettro e quindi
E(κx, κy) =∫ a
−adx
∫ b
−bdyE0 eiκxx+iκyy = 4ab
sin(κxa)κxa
sin(κyb)κyb
E0 .
e dunque, nel generico punto P = (x, y, z) a grande distanza dall’antennail campo e
E∞ ∝ 4abE0
sin(
βx
za
)β(x/z)a
sin(
βy
zb
)β(y/z)b
cos(θ) =
320 CAPITOLO 8: ANTENNE
= 4abE0
sin(
2πxa
zλ
)β(x/z)a
sin(
2πyb
zλ
)β(y/z)b
cos
(z√
x2 + y2 + z2
),
e risulta formato da un lobo principale, di ampiezza ∆x = λz/(2a)rispetto ad x, e ∆y = λz/(2b) rispetto a y, e da una serie di lobi secon-dari, di ampiezza via via decrescente.
a
xR = 2
za
a
xR = 20
za
Figura 8.26: Diagramma di direttivita per un’antenna ad apertura rettangolare,nel piano y = 0, disegnato su un cerchio di raggio R = 2λ (sinistra), e R = 20λ(destra).
Si osservi che, aumentando la dimensione dell’apertura e/o della fre-quenza, si puo riscalare il diagramma di radiazione avvicinando la po-sizione dei lobi verso l’origine; cio significa che, in questo modo, e possi-bile confinare la radiazione in una regione di spazio piu circoscritta, manon si puo invece aumentare il rapporto tra i lobi dell’antenna.
La Fig.(8.26) mostra il diagramma di radiazione che si ottiene nelpiano y = 0 per diversi valori di R =
√x2 + z2. La figura e stata ot-
tenuta eseguendo l’integrazione numerica dell’equazione (8.28), ed illu-stra il fatto che, nelle vicinanze dell’antenna, e ben visibile l’effetto delleonde evanescenti che concorrono a formare lo spettro di onde piane delcampo sull’apertura. Infatti, mentre nel diagramma a grande distanza(pannello di destra) sono ben visibili i lobi dovuti all’andamento di tiposin(u)/u che si e trovato poco piu sopra, nelle vicinanze dell’antenna(pannello di sinistra) il diagramma di radiazione ha un andamento menonetto, dovuto alla presenza di onde evanescenti che non si sono ancora
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 321
attenuate.
Vettore di radiazione per un’apertura ad apertura circolare
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
D
00
Figura 8.27: Diagramma di direttivita per un’antenna ad apertura circolare.
Come e facile immaginare, la radiazione da questo tipo di antennaad apertura ha caratteristiche simili a quella dell’antenna rettangolare;infatti, se si considera un campo con distribuzione iniziale
E(x, y, z = 0) =
E0 per√
x2 + y2 ≤ R,
0 altrove.
si ottiene uno spettro (vedi Appendice 3) dato da
E(κx, κy) =2πR√κ2
x + κ2y
J1
(R
√κ2
x + κ2y
),
dove J1 e la funzione di Bessel di ordine 1. Introducendo la quantitanormalizzata
R =√
κ2x + κ2
y R ,
si ottiene cosi che il diagramma di direttivita a grande distanza dall’a-pertura e proporzionale alla quantita
D(θ, ϕ) ∝∣∣∣∣∣J1(R)
R
∣∣∣∣∣2
cos2(θ) ,
il cui andamento, indicato anche con il nome di diagramma di Airy, eriportato in Fig.(8.27). Si osservi come esso sia sostanzialmente analogo
322 CAPITOLO 8: ANTENNE
a quello di un’apertura rettangolare, con l’unica differenza formale rap-presentata dal fatto che, mentre nel caso dell’apertura rettangolare sierano ottenute dipendenze funzionali del tipo | sin(u)/u|2, qui si otten-gono andamenti espressi tramite opportune funzioni di Bessel.
Direttivita dell’antenna corta
Si ricorda che la direttivita e definita come segue
DM = 4πr2 |h(θmax, ϕmax)|2∫S(r)
|h(θ, ϕ)|2 dS=
4πr2∫S(r)
|f(θ, ϕ)|2 dS,
e poiche per un’antenna corta
h(θ, ϕ) = L sin(θ) θ ,
si ottiene
DM =4π∫ 2π
0dϕ
∫ π
0dθ sin3(θ)
=4π
8π/3=
32
.
Direttivita dell’antenna λ/2
Per questa antenna vale
f(θ, ϕ) =cos
[π
2cos(θ)
]sin(θ)
θ .
Lo sviluppo in serie di Fourier di questa funzione, nell’intervallo 0 ≤ θ ≤π, risulta
f(θ, ϕ) =∞∑
n=0
an sin[(2n + 1)θ
]θ ,
con
an =2π
∫ π
0sin
[(2n + 1)θ
] cos[π
2cos(θ)
]sin(θ)
dθ .
In particolare,
an =2π
∫ π
0cos
[π
2cos(θ)
]dθ = 2J0
(π
2
) 0.945 .
8.5. PARAMETRI IN TRASMISSIONE 323
In prima approssimazione, ai fini della potenza irradiata si puo alloraapprossimare f 0.945 sin(θ) θ e si ottiene cosi
DM =4π
8π/3 (0.945)2 1.63 .
Si osservi che, nel passare da una antenna corta (o, addirittura, in-finitesima come il dipolo corto) ad una antenna λ/2, la direttivita cam-bia molto poco, da 1.5 a 1.63. Si ottiene cosi un risultato di interesse:nelle antenne filiformi la direttivita e sostanzialmente indipendente dallalunghezza d’onda, e quindi dalla frequenza.
Guadagno di un’antenna corta
Il guadagno di un’antenna corta e dato da
G =32
Rirr
Ri,
dove, come di consueto, Rirr e la resistenza di radiazione, e Ri la re-sistenza di ingresso dell’antenna. Si osservi che, se l’antenna e corta, laresistenza di ingresso e data quasi esclusivamente dalla resistenza ohmicadel conduttore che costituisce l’antenna, giacche la resistenza di radia-zione e quasi trascurabile. Inoltre, nella resistenza di ingresso occorreconteggiare anche la resistenza parassita dell’induttore che viene utiliz-zato per sintonizzare l’antenna di modo che, spesso, il guadagno puorisultare un numero molto inferiore all’unita.
Resistenza di radiazione dell’antenna a dipolo corto
Come si e visto, la potenza attiva irradiata da un’antenna a dipolo cortoe
Patt =π
3Z0 |I0|2
(∆z
λ
)2
,
e quindi, per definizione, la sua resistenza di radiazione e
Rirr =2π
3Z0
(∆z
λ
)2
800(
∆z
λ
)2
Ohm .
Se l’antenna e disposta in prossimita del suolo, e questo puo essereriguardato come un mezzo conduttore, la presenza dell’antenna imma-gine fa si che, in ogni punto dello spazio al di sopra del suolo, il campo
324 CAPITOLO 8: ANTENNE
raddoppi e quindi la potenza quadruplichi. Cio potrebbe indurre a pen-sare che anche la resistenza di radiazione quadruplichi, ma cio e errato:infatti, nel calcolare la potenza irradiata occorre tenere presente chel’integrazione del flusso di potenza va eseguita solo sulla semisfera al disopra del suolo, e quindi la resistenza di radiazione aumenta solo di unfattore due.
Resistenza di radiazione dell’antenna λ/2
Per il calcolo di questa resistenza di radiazione si puo utilizzare l’espres-sione (8.40) che la lega alla direttivita; si ha infatti
RirrDM = πZ0|h(θmax, ϕmax)|2
λ2,
e poiche DM 1.63, |h(θmax, ϕmax)| = λ/π, si ottiene
Rirr Z0
1.63 π 73.6 Ohm .
Impedenza di ingresso di un’antenna filiforme generica
L’impedenza di ingresso di una generica antenna e
Zi =V (0)I(0)
,
e, per un’antenna filiforme di lunghezza generica vale
I(z) = i2π V0
Ωz0
sin[β(L − |z|)
]cos(βL)
= I0
sin[β(L − |z|)
]sin(βL)
.
Risulta quindi
Zi = −iZ0Ω2π
cotg(βL) .
Questa formula e insoddisfacente per due diversi motivi: da un lato,l’impedenza e sempre immaginaria pura, il che vorrebbe dire che l’anten-na non e mai in grado di irradiare potenza attiva. Inoltre, l’impedenzadiventa infinita per lunghezze di antenna pari a multipli interi dellalungheza d’onda. La causa di queste inconsistenze va ricercata nelfatto che la corrente nell’antenna che e stata utilizzata per il calcolodell’impedenza e stata ricavata arrestando la procedura iterativa della
8.6. PARAMETRI IN RICEZIONE 325
soluzione dell’equazione integrale di Hallen al solo primo passaggio.Risultati piu soddisfacenti si ottengono con una migliore approssima-zione della corrente, che puo essere ottenuta con un metodo noto conil nome di metodo di King–Middleton. Questo porta a dimostrare chel’antenna si comporta come una sorta di circuito risonante, caratteriz-zato da successivi nulli di reattanza al crescere della frequenza. Il primonullo si ha per una lunghezza (totale) d’antenna pari a circa λ/2, ed ecaratterizzato da un valore relativamente basso della resistenza di in-gresso, che e nell’ordine di circa un centinaio di Ohm. Il secondo nullosi ha per 2L λ, ed esso e invece caratterizzato da un alto valore diresistenza di ingresso, dell’ordine di circa 2000 Ohm.
8.6 Parametri delle antenne in ricezione
Le stesse antenne che sono usate per la trasmissione del segnale elettro-magnetico possono essere usate anche per la sua ricezione, e l’applica-zione tipica che si considera e la seguente: un’antenna viene posta inuna regione dello spazio che e sede di un campo elettromagnetico, ed“estrae” da questo della potenza che invia ad un circuito cui e connessa.
Se tutti gli elementi di cui e costituita l’apparato di ricezione sonolineari, l’antenna puo quindi essere riguardata come un bipolo attivolineare che, per il teorema di Thevenin, puo essere a sua volta schema-tizzato (si veda la Fig.(8.28)) come un generatore di tensione V0, parialla tensione misurabile ai capi della struttura in assenza del carico,ed un’impedenza interna Zi, che e quella che si misura ai capi dellastruttura quando il generatore e cortocircuitato e che, come dimostratonell’appendice 4 di questo capitolo, coincide con l’impedenza interna chee stata definita per le antenne in trasmissione.
Cio che interessa valutare e la potenza che l’antenna e in grado diconsegnare al carico cui e connessa e, come e immediato riconoscere,questo tipo di problema presenta delle peculiarita che lo rendono piucomplicato di quello relativo alla trasmissione del segnale elettromagne-tico.
Per illustrare la questione, si consideri infatti la piu semplice delleantenne possibili, quella costituita da un filo metallico, e si immagini chesu di essa incida un campo7 Ei,Hi; per prima cosa e subito necessario
7Usualmente, si assume che il campo incidente sia costituito da un’onda pianaperche, tipicamente, la distanza che esiste tra la sorgente che lo ha generato e l’antenna
326 CAPITOLO 8: ANTENNE
ZL
A
A'
Zi
ZL
A
A'
V0
Figura 8.28: Antenna di ricezione connessa ad un carico ZL, e suo equivalenteelettrico.
specificare che questo campo e da intendersi come il campo che ci sarebbenella zona dell’antenna in assenza di questa, perche la presenza stessadell’antenna perturba l’ambiente dal punto di vista elettromagnetico ecomporta quindi una variazione del campo.
Infatti, se l’antenna e costituita, ad esempio, da un filo perfetta-mente conduttore, il campo deve risultare nullo all’interno dell’antennae deve avere componente tangente nulla sulla sua superficie esterna. Ingenerale, queste condizioni non sono assicurate dal solo campo incidenteche e stato irradiato da qualche altra sorgente, e cio significa che, lo-calmente, deve generarsi un campo diffratto Es,Hs tale che il campototale
E = Ei + Es , H = Hi + Hs ,
verifichi le condizioni sopra esposte.Una situazione ancora diversa si ha se, come in Fig.(8.28), l’antenna
ricevente ha un piccolo gap nel suo centro perche, in questo caso, la com-ponente tangente del campo non deve piu annullarsi in prossimita dellaregione del gap. Piuttosto, se questa regione e sufficientemente piccolada poter essere trattata come un “elemento concentrato” a cui applicare
di ricezione e molto maggiore della lunghezza d’onda e delle dimensioni dell’antennastessa, per cui l’onda irradiata, che tende ad essere in realta un’onda sferica, vieneavvertita dall’antenna di ricezione come se fosse un “pezzo” di onda piana. D’altraparte, anche se questa approssimazione non fosse accettabile, vale sempre il fattoche le onde piane costituiscono un insieme completo di soluzioni delle equazioni diMaxwell, e quindi, noto il comportamento in presenza di una onda piana, attraverso lasovrapposizione degli effetti e in realta noto il comportamento in presenza di qualsiasicampo.
8.6. PARAMETRI IN RICEZIONE 327
concetti di elettrostatica, si deve richiedere che l’integrale di linea delcampo attraverso il gap coincida con la tensione che viene indotta aimorsetti dell’antenna, tensione che e pari a V0 nel caso in cui il circuitoa valle dell’antenna venga disconnesso, e ad un valore diverso se questoviene lasciato connesso.
Si capisce quindi che la complicazione che si incontra nel caratteriz-zare il processo di ricezione di un’onda elettromagnetica deriva essen-zialmente dal fatto che il campo ricevuto non dipende solo dal tipo diantenna che si sta considerando, ma anche dal carico cui essa e connessa,e da queste due entita dipende anche il campo che e inevitabilmentediffratto nel processo di ricezione.
Scopo di questo paragrafo e quello di illustrare come sia comunquepossibile caratterizzare con un certo grado di generalita un’antenna nellasua funzione di antenna di ricezione e, a tal fine, si procede parallela-mente a quanto si era fatto nel caso della trasmissione, distinguendo duecasi:
1. il primo riguarda quelle antenne nelle quali e agevole individuaredei morsetti ai quali misurare una tensione o una corrente. Inquesto caso, la caratterizzazione dell’antenna di ricezione vieneeffettuata introducendo il concetto di altezza efficace in ricezione,che e definita in base alle seguenti considerazioni.
ZL
A
A'
z
x
y
Ei ZL
A
A'
z
x
y
Eia) b)
Figura 8.29: Antenna di ricezione eccitata da un’onda piana.
Per fissare le idee, si supponga inizialmente di avere a che farecon un’antenna filiforme investita da un campo elettromagnetico
328 CAPITOLO 8: ANTENNE
polarizzato linearmente, e nel quale il campo elettrico e paral-lelo all’asse dell’antenna (Fig.(8.29.a)). Se l’antenna e a vuoto, aisuoi morsetti si manifesta una tensione che e lecito supporre pro-porzionale al campo che e presente nella zona dell’antenna quandoquesta non c’e, e si puo allora porre
V0 = −hr Ei , (8.43)
dove hr e una quantita che ha le dimensioni di metri, e prendeil nome di altezza efficace in ricezione: essa e un fattore di pro-porzionalita che consente di passare dal valore del campo nellazona dell’antenna alla tensione che si manifesta ai suoi morsettiquando essa e lasciata a vuoto.
La definizione puo poi estesa con facilita al caso piu generale incui il campo incidente abbia polarizzazione arbitraria (si veda laFig.(8.29.b)). In questo caso, infatti, si suppone che l’altezza ef-ficace sia un vettore, hr, funzione degli angoli θ e ϕ, perche inquesto modo:
(a) attraverso la dipendenza dagli angoli si puo tenere in contoil fatto che campi provenienti da diverse direzioni possonoindurre diverse tensioni a vuoto;
(b) e, attraverso la natura vettoriale di hr, anche del fatto chela tensione indotta da campi che provengono dalla stessa di-rezione potrebbe dipendere dalla loro polarizzazione.
Si pone cosiV0 ≡ Ei · hr . (8.44)
Si osservi che il vettore hr ha due sole componenti, allineate lungoθ e ϕ: infatti, come e stato notato piu sopra, il campo che incidesull’antenna puo essere approssimato con un’onda piana, che sirichiude sull’antenna viaggiando lungo la direzione −r. Ne segueche Ei non ha componenti lungo r e quindi, nella definizione di hr,la componente radiale di questo vettore puo essere assunta pari azero.
Si osservi inoltre che la (8.44) ricomprende la (8.43): infatti, quandoEi e parallelo all’antenna, l’unica componente di hr che conta aifini del calcolo e la componente allineata lungo θ e si ha
hr · Ei = Ei hr θ · z = Ei hr(−z · z) = −Ei hr .
8.6. PARAMETRI IN RICEZIONE 329
Una volta che hr e stata determinata, il problema che ci si eraposti in partenza, quello della valutazione della potenza trasferitadall’antenna al suo carico, puo essere risolto con facilita. Infatti,la tensione che e presente ai capi del carico, e la corrente che loattraversa, sono rispettivamente pari a (si veda la Fig.(8.28))
VL = VAA′ =ZL
Zi + ZLV0 =
ZL
Zi + ZLEi · hr ,
IL =VL
ZL=
Ei · hr
Zi + ZL,
e la potenza trasferita e quindi
P + iQ =VL
(IL
)∗
2=
|Ei · hr|22|Zi + ZL|2
ZL .
2. Quando invece non si vuole o non si puo caratterizzare l’antennain base a tensioni e correnti ai morsetti, si ricorre al concetto diarea efficace. Per illustrarlo, si consideri un’antenna adattata peril massimo trasferimento di potenza al carico (e quindi un’antennachiusa su un carico che e il complesso coniugato dell’impedenzainterna), e si supponga che sull’antenna incida un’onda localmentepiana con densita di potenza
Wi =|Ei|22Z0
.
Questa densita di potenza e ricevuta dall’antenna e trasferita alcarico, dove si dissipa una potenza attiva Patt. L’area efficace edefinita come il fattore di proporzionalita che esiste, in condizionidi adattamento tra la potenza consegnata al carico e la densita dipotenza che esiste nella regione dell’antenna
Aeff =Patt
Wi=
Patt
|E2i |/2Z0
.
Essa e una quantita reale e scalare che dipedende dalla direzione dacui proviene il campo elettromagnetico incidente perche e questoche, in ultima analisi, determina la potenza attiva Patt. Inoltre,
330 CAPITOLO 8: ANTENNE
essa non e indipendente dall’altezza efficace in ricezione, giacche sipuo scrivere
Patt =12|Ei · hr|2|Z∗
i + Zi|2ReZi =
|Ei · hr|28Ri
≡ |Ei|22Z0
Aeff .
Ne segue
Aeff =Z0
4Ri
|Ei · hr|2|Ei|2
=Z0
4Ri|hr|2 χ , (8.45)
dove si e definito il parametro
χ =|Ei · hr|2|Ei|2 |hr|2
,
che prende il nome di fattore di depolarizzazione. Come si vede,esso dipende dal prodotto interno tra il campo elettrico e l’altezzaefficace in ricezione e quindi dalla loro mutua orientazione, ed e unnumero reale compreso tra zero e uno. Il valore massimo viene as-sunto quando e verificata la cosiddetta condizione di adattamentoin polarizzazione, e cioe quando Ei ‖ h∗
r .
Come si vede, dunque, la definizione di area efficace che abbiamodato e, in certo modo, ambigua, giacche essa verrebbe a dipenderenon solo dalle caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla pola-rizzazione del campo. Al fine di poter dare una definizione nonambigua, si conviene allora di definire l’area efficace come il fat-tore di proporzionalita che esiste tra la potenza attiva consegnataal carico e la densita di potenza presente nella zona dell’antenna(e valutata in assenza di questa), quando
(a) l’antenna a adattata in potenza;(b) l’antenna e orientata in maniera ottimale.
Con questa definizione, la potenza attiva consegnata ad un gene-rico carico ZL da un campo con polarizzazione arbitraria vale
Patt =|Ei|22 Z0
Aeff χξ ,
dove χ e il fattore di depolarizzazione definito in precedenza, e
ξ = 4Ri RL
|Zi + ZL|2,
prende il nome di fattore di disadattamento (in potenza).
8.6. PARAMETRI IN RICEZIONE 331
8.6.1 Esempi di calcolo di aree ed altezze efficaci in rice-zione
Altezza efficace in ricezione di un’antenna a dipolo elementare
θ
ϕ
z
x
y
Ei Hi
ki
Figura 8.30: Dipolo elementare in ricezione.
Per caratterizzare l’altezza efficace di un dipolo elementare e innanzitutto importante stabilire come sia possibile realizzare il dipolo, e cioeua struttura filiforme nella quale la corrente sia costante. A tal fine siricorda un risultato che si era trovato quando si era introdotta l’antennaa L rovesciata, e cioe il fatto che una realizzazione pratica del dipolopuo essere ottenuta disponendo un filo tra due piatti metallici che sicomportano come serbatoi di carica; in questa struttura, infatti, le cor-renti radiali sui piatti tendono a cancellarsi a vicenda, e l’antenna hauna altezza efficace (in trasmissione) pari a
ht = L sin(θ) θ .
Per cio che concerne la ricezione, si puo considerare una struttura comequella appena descritta, e supporre, almeno inizialmente, che essa siainvestita da un campo elettrico polarizzato rettilineamente e paralleloall’asse del filo. Il dipolo e elementare se le dimensioni di tutti i compo-nenti (piatti e filo metallico) sono molto inferiori alla lunghezza d’ondae, quando questo accade, e lecito applicare concetti di tipo statico, eparlare di differenza di potenziale tra i due piatti, che risulta
V = −Ei L .
L’altezza efficace in ricezione e dunque pari a L.
332 CAPITOLO 8: ANTENNE
Se il campo incidente non e parallelo al conduttore, ma forma conquesto un angolo θ, la differenza di potenziale vale
−∫conduttore
Ei · dz z −LEi · z = −LEi ·[−sin(θ) θ+cos(θ) r
]= L sin(θ) θ ,
dove si e usato il fatto che il campo incidente si propaga lungo la di-rezione −r e quindi, essendo formato da un’onda piana uniforme, nonha componente lungo r. Per il dipolo corto, la lunghezza efficace inricezione coincide dunque con quella in trasmissione.
Altezza efficace in ricezione di un’antenna a spira di corrente
z
x
y
Ei Hi
ki
BA
Figura 8.31: Spira elementare in ricezione.
In trasmissione, l’altezza efficace della spira vale (si veda l’espressione(8.42))
ht = −iβπ R2 sin(θ) ϕ .
Per cio che concerne il calcolo in ricezione, va notato innanzi tutto chese la spira e elementare (e cioe R → 0), ed aperta, la corrente indotta sudi essa e nulla, e pertanto il campo magnetico incidente non e deformatoin modo apprezzabile. La tensione indotta ai capi della spira puo esserecalcolata applicando la legge di Neumann–Lentz, che porge∫
A→BEi · d = −iωµ
∫S(A→B)
Hi · z dS = − iωµ
Z0
∫S
dS (−r × Ei) · z =
= − iωµ
Z0
∫S
(Ei × r) · z = (supponendo la spira piccola)
= − iωµ
Z0π R2 (r × z) · Ei = iβπ R2 sin(θ) ϕ · Ei ,
8.6. PARAMETRI IN RICEZIONE 333
dove si e usato z = − sin(θ) θ + cos(θ) ϕ.Ora, poiche V0 = VB − VA, si ha
V0 = −iβπ R2 sin(θ) ϕ · Ei ,
e quindiht ≡ hr = −iβπ R2 sin(θ) ϕ .
Anche per l’antenna a spira di corrente, quindi, l’altezza efficacein ricezione coincide con quella in trasmissione; questo fatto, insiemea quello analogo che si era riscontrato nel caso dell’antenna a dipolocorto non e casuale: in realta, come e dimostrato nell’appendice 5 diquesto capitolo, l’uguaglianza tra l’altezza efficace in ricezione ed intrasmissione e una proprieta generale che vale per qualsiasi antenna.
Area efficace di un’antenna a dipolo elementare
Come si e visto, in condizioni di adattamento in polarizzazione (cosa chee necessaria per definire in maniera non ambigua l’area efficace), vale laseguente relazione
Aeff =Z0
4Ri|hr,max|2 .
Nel caso dell’antenna a dipolo elementare, si ha
Ri =2π
3Z0
(∆z
λ
)2
, |hr,max|2 = (∆z)2 ,
e dunque
Aeff =3λ2
8π.
Si osservi che questo risultato necessita di qualche commento. Infatti,almeno apparentemente, esso sembrerebbe indicare che abbassando lafrequenza l’area efficace cresce monotonicamente, e diverge per f → 0.Nella realta, il comportamento in ricezione di un dipolo corto non ecertamente questo, ed il motivo e da ricercarsi nel fatto che la definizionedi area efficace implica la condizione di adattamento in potenza, ed undipolo elementare presenta una componente capacitiva dell’impedenzadi ingresso che, si puo dimostrare, scala come f−2. Per ottenere l’adatta-mento, e quindi necessario inserire ai capi del dipolo un’induttanza L ∝f−2 e questa introduce inevitabilmente una resistenza parassita Rpar ∝f−2 che, di fatto, riduce di molto l’efficienza di ricezione dell’antenna. Si
334 CAPITOLO 8: ANTENNE
ritornera piu avanti su questo punto, calcolando con esattezza il valoredi area efficace che puo essere ottenuto quando si tiene in considerazionela resistenza parassita di ingresso.
8.7 Le relazioni tra i parametri di trasmissionee ricezione e la formula di Friis
Come e mostrato nell’appendice 5 di questo capitolo, per effetto delteorema di reciprocita il comportamento di un’antenna in ricezione none indipendente da quello in trasmissione, tanto che l’altezza efficace inricezione coincide con quella in trasmissione. In questo paragrafo, questaproprieta viene usata per ricavare delle altre espressioni che pongono inrelazione tra loro i parametri delle antenne in trasmissione ed in ricezionee, in particolare, viene mostrato che
1. per un’antenna priva di perdite, vale
Aeff =λ2
4πDM , (8.46)
2. per un’antenna con perdite,
Aeff =λ2
4πG . (8.47)
Vediamo nel dettaglio la dimostrazione di queste due relazioni.
1. Antenna priva di perdite. In questo caso, dalla (8.40) si ha
DM =π Z0
λ2Rirr|ht(θmax, ϕmax)|2 ,
e, dalla (8.45), anche
Aeff =Z0
4Ri|hr(θmax, ϕmax)|2 ,
in quanto la definizione di area efficace prevede che vi sia adatta-mento in polarizzazione, e quindi che χ = 1. Ora, poiche hr ≡ ht,e poiche in assenza di perdite la resistenza di radiazione Rirr coin-cide con la resistenza di ingresso Ri, si ottiene subito
Aeff =λ2
4πDM ,
che e la relazione che si intendeva provare.
8.7. RECIPROCITA E RADIOCOLLEGAMENTI 335
2. Antenna con perdite. Per cio che concerne la relazione che vale inquesto caso, si puo considerare il comportamento di due antennefiliformi, disposte parallelamente, orientate in modo ottimale l’unarispetto all’altra, ed entrambe adattate, ovvero chiuse su un caricocon impedenza ZL1,2 = Z∗
i1,2.
Z11 2
Z2
d
Figura 8.32: Disposizione di due antenne in un radiocollegamento.
In un primo momento si supponga che l’antenna numero “1” stiatrasmettendo, e la numero “2” ricevendo. Per definizione di areaefficace (dell’antenna “2”), la potenza che questa antenna ricevepuo essere scritta come
PR2 = Aeff,2 W1→2 ,
dove W1→2 e la densita di potenza dovuta al campo prodottodall’antenna “1” e presente nella zona dell’antenna “2” quandoquesta non c’e. Essa e legata alla potenza Palim,1 con cui vienealimentata l’antenna “1” dalla relazione
W1→2 = G1Palim,1
4πd2,
dove G1 e il guadagno in potenza dell’antenna “1”, e d la distanzatra le due antenne. In definitiva, quindi
PR2 = Palim,1Aeff,2 G1
4πd2. (8.48)
In maniera analoga, se l’antenna “2” e l’antenna in trasmissione,e la “1” quella in ricezione, si ha anche
PR1 = Palim,2Aeff,1 G2
4πd2.
Ne segue cheG1
Aeff,1=
G1
Aeff,1
PR2 Palim,2
PR1 Palim,1. (8.49)
336 CAPITOLO 8: ANTENNE
Questa relazione puo ora essere utilizzata per provare la (8.47). Atal fine si mostrera innanzi tutto che riuslta
PR2 Palim,2
PR1 Palim,1= 1 ⇒ G1
Aeff,1=
G2
Aeff,2,
si sara cosi dimostrato che il rapporto tra il guadagno e l’areaefficace e una costante uguale per tutte le antenne, e l’unica cosarimasta da provare sara solo il fatto che questo rapporto risultaproprio pari a (λ2/4π). Si scegliera allora l’antenna che piu rendesemplici i calcoli, ad esempio l’antenna a diplo corto, e si mostrerache questo fatto e vero.
Si cominci dunque con l’analizzare il rapporto di potenze che com-pare al secondo membro della (8.49). Usando la definizione di lun-ghezza efficace in ricezione, ed il fatto che le antenne sono dispostein maniera ottimale l’una rispetto all’altra, ed entrambe chiuse suun carico adattato, e possibile riscrivere le potenze ricevute comesegue
PR1 =12|E2→1|2 |hr1|2
4 Ri1, PR2 =
12|E1→2|2 |hr2|2
4 Ri2,
dove E1→2 e il campo prodotto dall’antenna “1” e presente nellazona dell’antenna “2”, e analoga definizione vale per E2→1. Inoltre,Ri1 e Ri2 sono, rispettivamente, le resistenze di ingresso dell’an-tenna “1” e della “2”.
Le potenze di alimentazione possono essere invece riscritte come
Palim,1 =12
Ri1|I1|2 , Palim,2 =12
Ri2|I2|2 ,
ed il rapporto di potenze in oggetto risulta quindi pari a
PR2 Palim,2
PR1 Palim,1=
|E1→2|2 |hr2|2 |I2|2|E2→1|2 |hr1|2 |I1|2
.
Si usi ora la definizione di altezza efficace in trasmissione: essapermette di scrivere
|E1→2|2|E2→1|2
=|ht1 I1|2|ht2 I2|2
,
8.7. RECIPROCITA E RADIOCOLLEGAMENTI 337
di modo che si ottiene
PR2 Palim,2
PR1 Palim,1=
|ht1|2 |hr2|2|hr1|2 |ht2|2
= 1 ,
dal momento che l’altezza efficace in trasmissione coincide conquella in ricezione per qualsiasi antenna.
Dunque, dalla (8.49) segue
G1
Aeff,1=
G2
Aeff,2,
e cioe, come anticipato piu sopra, il rapporto tra guadagno edarea efficace e indipendente dal tipo di antenna considerata. Ilsuo valore puo essere calcolato facendo riferimento ad un’antennaqualsiasi, ad esempio il dipolo corto, per il quale vale
Aeff = Z0(∆z)2
4Ri,
mentre il guadagno puo essere ricavato a partire dalla relazione
G = DMPirr
Palim=
P0
Palim=
|E∞(θmax, ϕmax)|22Z0
4πd2
Palim=
=4πd2
2Z0
∣∣∣∣Z0ht(θmax, ϕmax)I0
2λr
∣∣∣∣2 2
Ri|I0|2=
=πZ0
Riλ2|ht(θmax, ϕmax)|2 = π
Z0
Ri
(∆z
λ
)2
.
Dal confronto tra queste due espressioni discende quindi subito
Aeff =λ2
4πG ,
che e la relazione che si intendeva provare.
Area efficace e guadagno di un’antenna corta reale
Si ritorna ora su quanto era stato osservato alla fine del precedenteparagrafo, e cioe sul fatto che se si valuta l’area efficace di un’antennacorta trascurando la resistenza parassita di ingresso, si trova un valoreche diverge all’infinito al decrescere della frequenza. Cio che si mostra
338 CAPITOLO 8: ANTENNE
ora e che, utilizzando la (8.47), si puo invece ottenere un valore finitoche e fisicamente sensato.
A tal fine, si indichi con RΩ la resistenza parassita, e con Rirr quelladi radiazione. Il guadagno e legato alla direttivita dalla relazione
G = DPirr
Palim= D
Rirr
RΩ + Rirr=
32
1
1 +32π
(λ
L
)2 RΩ
Z0
,
e quindi, anche se RΩ Z0, a frequenza sufficientemente bassa esso puoessere approssimato come segue
G 32
2π
3
(L
λ
)2 Z0
RΩ= π
(L
λ
)2 Z0
RΩ.
Dalla (8.47) segue allora
Aeff =λ2
4πG 1
4Z0
RΩL2 ,
e dunque l’area efficace non diverge piu all’infinito.
Area efficace e guadagno di un’antenna ad apertura
Si puo dimostrare che se si considera un’antenna ad apertura circolaredi raggio R, e si calcola la sua direttivita, si ottiene il seguente risultato
D =4π
λ2
(πR2
),
da cui segueAeff = πR2 ≡ Ageom .
Quindi, in un’antenna ad apertura l’area efficace coincide con l’area geo-metrica, e questo risultato pone in luce una differenza importante tra leantenne ad apertura e le antenne filiformi: nelle antenne filiformi la di-rettivita (o il guadagno) e sostanzialmente indipendente dalla frequenza,mentre nelle antenne ad apertura e l’area efficace ad essere tale: dalle(8.46,8.47) segue quindi che il guadagno di un’antenna ad apertura crescecon il quadrato della frequenza.
8.7. RECIPROCITA E RADIOCOLLEGAMENTI 339
8.7.1 La formula di Friis
La (8.47) puo essere utilizzata anche per ottenere un’importante formula,detta formula di Friis, che esprime la relazione che intercorre tra lapotenza trasmessa e la potenza ricevuta da una coppia di antenne diun radiocollegamento. Il punto di partenza e l’equazione (8.48), che dala potenza ricevuta dall’antenna di ricezione in funzione della sua areaefficace, della potenza di alimentazione dell’antenna di trasmissione, edel guadagno di quest’ultima. La relazione si scrive
PRX = Palim,TXAeff,RX GTX
4πd2.
Utilizzando la (8.47) si ha dunque anche
PRX = GRX
(GTX Palim,TX
) (λ
4πd
)2
, (8.50)
che e, per l’appunto, la formula di Friis. Si noti che, per come e stataricavata, essa vale solo se le due antenne del radiocollegamento sonol’una nel campo lontano dell’altra, e se il mezzo interposto tra di esse eomogeneo, e cioe privo di qualsiasi ostacolo, ed anche privo di perdite.
Il fattore (λ/4πd)2 che compare nella formula e detto attenuazionedi spazio libero e questa dicitura non deve trarre in inganno: infatti,esso e si un fattore che mostra come la potenza ricevuta diminuiscaall’aumentare della lunghezza d del radiocollegamento, ma questa di-minuzione non deve essere imputata a fenomeni dissipativi, giacche ilmezzo tra le antenne e, per ipotesi, privo di perdite. La ragione della di-minuzione sta semplicemente nel fatto che qualsiasi antenna emette delleonde che, nella regione di campo lontano, tendono ad essere sferiche, esolo una porzione di queste onde raggiunge l’antenna di ricezione.
Il termine (GTX Palim,TX) e stato invece posto in evidenza perche essoracchiude il ruolo dell’antenna di trasmissione ai fini della potenza rice-vuta. Come si vede, questo termine e dato dalla prodotto della potenzadi alimentazione per il guadagno dell’antenna di trasmissione, ed essomostra come, dal punto di vista del ricevitore, sia impossibile discerneretra il campo irradiato da un’antenna a basso guadagno alimentata conalta potenza, o da una ad alto guadagno e bassa potenza. Per questaragione, questo termine viene indicato con la dicitura di effective radi-ated power (ERP, potenza irradiata efficace), ed esso viene comunemente
340 CAPITOLO 8: ANTENNE
usato come parametro di riferimento per specificare le caratteristiche chesono richieste al tramettitore di un radiocollegamento.
Si osservi che la dipendenza dalla frequenza della potenza ricevutacambia a seconda che il radiocollegamento sia effettuato tramite an-tenne ad apertura o filiformi. Infatti, nelle antenne filiformi il gua-dagno e indipendente dalla frequenza e quindi, a parita di potenzatrasmessa, la potenza ricevuta e proporzionale al quadrato della lun-ghezza d’onda. Viceversa, nel caso delle antenne ad apertura, il gua-dagno e proporzionale a λ−2 e quindi, per effetto dei due gudagni checompaiono nella (8.50), e dell’attenuazione di spazio libero, a parita dipotenza trasmessa, la potenza ricevuta e inversamente proporzionale alquadrato della lunghezza d’onda:
Collegamento tra GRX GTX PRX/PTX
Antenne filiformi indip. da λ indip. da λ ∝ λ2
Antenne ad apertura ∝ λ−2 ∝ λ−2 ∝ λ−2
A titolo di considerazione finale, si osservi anche che, come e stato detto,la formula di Friis da la relazione fondamentale per ogni collegamentoradio, ma se si vuole avere una descrizione piu accurata dello stesso enecessario tenere conto che un’antenna di ricezione riceve inevitabilmenteanche del rumore sovrimposto al segnale utile, tanto che la specifica cheviene chiesta piu normalmente all’atto della realizzazione di un collega-mento e il rapporto segnale disturbo che il collegamento stesso e in gradodi assicurare.
Occorre dunque fornire anche una descrizione statistica del segnale e,usualmente ed indipendentemente da qual’e la vera sorgente del rumore,si conviene di caratterizzare questo nella forma di un processo aleatoriogaussiano bianco, con potenza media
σ2η = k Ta B , (8.51)
dove k = 1.38 × 10−23 J/oK e la costante di Boltzmann, B la banda delricevitore, e Ta la temperatura di rumore, che e definita dalla (8.51) e cheviene valutata misurando sperimentalmente la σ2
η. Un valore tipico neiradicollegamenti terrestri e quello di Ta 300 oK, cioe la temperaturadi rumore e circa coincidente con la temperatura dell’ambiente, e questoavviene principalmente perche in questi collegamente i lobi delle antennesono paralleli al suolo, ed il rumore captato e quello di radiazione di corponero emesso dalla Terra.
8.7. RECIPROCITA E RADIOCOLLEGAMENTI 341
Se invece le antenne sono puntate verso il cielo, come accade, adesempio, in un collegamento verso un satellite, la temperatura di rumorescende sensibilmente anche se, come e stato dimostrato dai premi NobelPenzias e Wilson, essa non puo comunque scendere al di sotto dei 4 oK,che e la temperatura di corpo nero dell’universo.
8.7.2 La formula del radar
Si intende ricavare la relazione che esiste tra la potenza trasmessa e lapotenza ricevuta da un radar (radio detection and imaging) che “illu-mina” un dato oggetto.
A tal fine, si consideri un’antenna trasmittente e, a distanza r da essa,un oggetto che sia in grado di diffrangere le onde elettromagnetiche cheincidono su di esso. Se l’antenna di trasmissione ha un guadagno GTX,e viene alimentata con una potenza PTX, l’oggetto viene raggiunto dauna densita di potenza che vale
Winc =PTX GTX
4πr2.
Il modo in cui l’oggetto reirradia il campo che lo colpisce puo esserecaratterizzato introducendo la sua sezione radar: si tratta di una gran-dezza che ha le dimensione di un’area, e che esprime il rapporto tra lapotenza reirradiata e la densita di potenza della radiazione incidente,nel seguente modo.
Quando l’oggetto viene investito dalla radiazione elettromagneticaincidente, esso reirradia un campo ER cui e associata, a grande distanza,la densita di potenza
Wr(θR, ϕR) =|E(θR, ϕR)|2
2Z0.
Si sono scritte in maniera esplicita le coordinate θR, ϕR di un sistemasferico centrato nell’oggetto diffrangente per porre in evidenza comela forma stessa dell’oggetto che reirradia il campo possa far si che ladiffrazione sia fortemente anisotropa, e cioe tale che la sua intensitarisulti significativamente differente a seconda della direzione in cui essaviene misurata.
Si definisce allora sezione radar il rapporto
σ(θR, ϕR, θinc, ϕinc) =4πr2|ER(θR, ϕR)|2/2Z0
Winc(θinc, ϕinc),
342 CAPITOLO 8: ANTENNE
dove θinc e ϕinc sono le coordinate angolari da cui proviene il campo diilluminazione, che possono non coincidere con quelle lungo le quali vienemisurato il campo reirradiato. Se accade che θR ≡ θinc e ϕR ≡ ϕinc,e cioe se le antenne di trasmissione e ricezione del radar coincidono, lasezione radar viene detta monostatica, altrimenti bistatica.
La densita di potenza che e reirradiata dall’oggetto e che raggiungel’antenna ricevente e dunque
WRX =Winc σ(θR, ϕRθinc, ϕinc)
4πr2=
PTX GTX
(4πr2)2σ ,
e quindi, come si osserva, essa dipende dalla quarta potenza della di-stanza tra l’antenna e l’oggetto illuminato dal radar.
8.8 Schiere di antenne
La necessita di adoperare schiere di antenne deriva dal fatto che le carat-teristiche di irradiazione delle singole antenne (sia filiformi, sia ad aper-tura) sono poco flessibili: ad esempio, nel caso delle antenne filiformi,una volta che e assegnata la lunghezza dell’antenna, la distribuzione dicorrente su di essa e fissata, e questa genera un campo nel quale non epossibile controllare ne la posizione ne l’ampiezza dei lobi.
Per ottenere un sistema radiante che generi un campo confacentea esigenze fissate a priori sarebbe dunque necessario poter interveniresulla corrente di alimentazione, e poiche questo non si puo fare sempresulla singola antenna8, si realizzano schiere nelle quali le antenne sono
8Questa affermazione puo essere dimostrata in modo piu formale ricorrendo alladefinizione di lunghezza efficace in trasmissione:
h(θ) =
∫ +L
−L
I(ξ) eiβξ cos(θ) dξ .
Posto u = β cos(θ) e definito I(ξ) al di fuori dell’intervallo ([−L, L]) attraverso laposizione I(ξ) ≡ 0 ∀|ξ| ≥ L, si ha infatti
h(u) =
∫ +∞
−∞I(ξ) eiuξ dξ ,
e cioe l’altezza efficace in trasmissione, che e il parametro che descrive come un campoirradiato viene distribuito nello spazio, e pari alla trasformata di Fourier della correntesull’antenna.
Erroneamente, questo risultato potrebbe far pensare che questo provi gial’affermazione che si voleva formalizzare, e cioe il fatto che comunque sia assegnato un
8.8. SCHIERE DI ANTENNE 343
alimentate con correnti indipendenti l’una dall’altra.
0
1
N-1
r1
r0
r0
O Pr
Figura 8.33: Disposizione delle antenne in una schiera generica.
Si consideri dunque un sistema di N antenne, alimentate nei puntirn, n = 1 . . . N . Ognuna delle antenne e caratterizzata dalla sua altezzaefficace hn che, in questo contesto, viene anche indicata con il terminedi fattore di antenna per porre in evidenza il fatto che, a rigore, hn noncoincide con l’altezza efficace di cui si e discusso nei paragrafi precedenti,giacche le altre antenne della schiera agiscono come fattore di pertur-bazione. Tuttavia, spesso e lecito supporre che questa perturbazione siapiccola, e far quindi coincidere il fattore di antenna con l’altezza efficace.
Il campo elettrico totale irradiato a grande distanza dalla schiera diantenne e allora pari a
ESch. =N−1∑n=0
i Z0e−iβr′n
2λr′nIn hn , (8.52)
diagramma di radiazione, esiste sempre un modo per generarlo, a patto che si possaagire in modo opportuno sulla corrente di alimentazione dell’antenna. A rigore, in-vece, non e ancora lecito trarre questa conclusione: infatti, le distribuzioni di campofisicamente sensate sono definite solo per valori di u compresi nell’intervallo ([−β, β]),e non gia per u ∈ IR come nella trasformata di Fourier comunemente definita; inoltre,e anche necessario che la restrizione di h(u) all’intervallo −β ≤ u ≤ β sia ottenibiletrasformando secondo Fourier una funzione I(·) a supporto compatto. Come si vedequindi, esistono delle notevoli limitazioni sulle scelte possibili per h(u), ma si puocomunque dimostrare che, essendo gli esponenziali complessi una base di funzionidense in L2, almeno in linea teorica e sempre possibile realizzare una qualsivogliah ∈ L2([−β, β]) attraverso funzioni a supporto compatto. In pratica, pero, puo ac-cadere che ne risultino delle distribuzioni di corrente talmente complicate da esseretecnicamente irrealizzabili, di modo che non e possibile avere sempre un’antenna cheirradi secondo il diagramma desiderato.
344 CAPITOLO 8: ANTENNE
dove r′n e la distanza tra l’n–esima ed il punto di osservazione P . At-traverso il teorema di Carnot, si esprima ora la distanza r′n come segue
(r′n)2 = r2 + r2n − 2rrn cos(ψn) ,
dove ψn e l’angolo compreso tra i vettori rn e r e si osservi che, se,come nelle ipotesi, il punto di osservazione e a grande distanza, e cioese |r| |rn|, si ha anche
r′n r − rn cos(ψ) = r − r · rn .
Si sostituisca ora questo valore nella (8.52), ponendo attenzione al fattoche esso compare in due diversi punti, al denominatore della frazione,dove ha un ruolo che agisce sull’ampiezza del campo irradiato dall’n–esima antenna, ed all’esponente del termine al numeratore, dove inveceagisce sulla fase dello stesso campo.
Come si era gia visto quando si era affrontato lo studio dell’irra-diazione da parte di un’antenna filiforme di lunghezza generica, e beneusare due diversi ordini di approssimazione in questi due punti, e scriverequindi il campo totale irradiato come segue
ESch. = i Z0e−iβr
2λr
N−1∑i=0
In hn eiβ r·rn . (8.53)
Questa formula e di carattere molto generale, dal momento che essaesprime il campo irradiato da un generico insieme di N antenne, chepossono essere anche tutte diverse tra di loro, e posizionate in puntidello spazio del tutto arbitrari.
Una notevole semplificazione si ottiene se si considera una schieranella quale le antenne sono tra loro tutte uguali, ed allineate lungo unaretta. In tal caso, infatti, il fattore di antenna hn e lo stesso per tuttele antenne, e puo essere portato al di fuori della sommatoria; inoltre,si puo scrivere In = αn I0, dove I0 e una corrente arbitraria, ed αn unnumero complesso che tiene conto del rapporto (in ampiezza e fase) trala corrente sull’n–esima antenna e la corrente I0. Infine, il prodottointerno r · rn e, anch’esso, uguale per tutte le antenne, e pari a
r · rn = rn cos(ψ) ,
con ψ l’angolo tra la direzione di allineamento e la direzione lungo cuigiace il punto di osservazione del campo (si veda la Fig.(8.34)).
8.8. SCHIERE DI ANTENNE 345
r0 r1 rN-1...
P
ψ
Figura 8.34: Allineamento di antenne lungo una retta.
La (8.53) si scrive allora come
ESch. = E0 F (θ, ϕ) ,
E0 = i Z0e−iβr
2λrI0 h0
F (θ, ϕ) =N−1∑n=0
αn eiβ rn cos(ψ)
,
dove E0 e il campo irradiato dalla singola antenna della schiera, e F (θ, ϕ)prende il nome di fattore di allineamento (o di composizione), ed e il ter-mine che rende conto dell’azione combinata delle antenne nella schiera.Le coordinate θ e ϕ che compaiono al suo interno sono le coordinateangolari del sistema sferico centrato nell’origine di riferimento.
Un caso di particolare interesse si ottiene quando la schiera e uni-forme, e cioe quando la distanza tra un’antenna e la successiva e semprela stessa:
rn = n d , d = passo della schiera .
Si ottiene
F =N−1∑ =0
α η , η = eiβd cos(ψ) , (8.54)
e cioe il fattore di composizione compare nella forma di un polinomio(detto di Schelkunoff) di grado N − 1 nella variabile complessa η, equesto fatto ha alcune importanti conseguenze pratiche:
1. il teorema fondamentale dell’algebra afferma infatti che un poli-nomio di grado (N −1) ha (N −1) zeri nel piano complesso, e cioeF puo essere riscritto nella forma
F = (η − η1)(η − η2) · (η − ηN−1) .
346 CAPITOLO 8: ANTENNE
Se accade che uno degli zeri cade sul cerchio unitario del pianocomplesso, |ηj | = 1, ad esso corrisponde una direzione di zero delcampo totale irradiato che e sottesa dall’angolo
cos(ψ) =log(ηj)
iβd∈ IR .
Si osservi che, dato che la funzione coseno e pari, se ψ e unadirezione di zero, lo e anche −ψ.
2. Questo fatto puo essere convenientemente usato in fase di realiz-zazione di un sistema radiante. Si immagini infatti di voler pro-gettare una schiera di antenne che non emette lungo certe direzionidello spazio; cio significa attribuire a priori gli zeri del polinomiodi Schelkunoff e quindi, in ultima analisi, il numero delle antennenella schiera e la loro alimentazione relativa.
Un esempio pratico puo aiutare a comprendere meglio la proceduradi dimensionamento della schiera. Si assuma ad esempio di volerrealizzare, per mezzo di antenne a dipolo corto allineate lungol’asse x di una terna cartesiana, un sistema radiante che non emettelungo le direzioni ϕ1 = 28.95o e ϕ2 = 104.48o del piano che tagliaa meta le antenne. Si assuma inoltre che il passo della schiera siad = λ/2.
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
q
j
r
P
z
x
y
a
Figura 8.35: Esempio di allineamento di tre dipoli corti, e relativo diagrammadi radiazione nel piano z = 0 quando le alimentazioni sono scelte in modo dadare luogo a direzioni di zero negli angoli ϕ1 = 28.95o e ϕ2 = 104.48o.
Per prima cosa, si osserva subito che, dovendo essere due le di-rezioni di zero, il minimo numero di antenne con cui e necessario
8.8. SCHIERE DI ANTENNE 347
realizzare la schiera e
N − 1 = 2 ⇒ N = 3 .
Nella variabile η, le direzioni di zero risultano
η1 = exp
i2π
λ
λ
2cos (28.95o)
= exp
i7π
8
η2 = exp
i2π
λ
λ
4cos (104.48o)
= exp
−i
2π
8
e quindi si ottiene
F = (η − η1) (η − η2) = η2 − η(ei7π/8 + e−i2π/8
)+ ei5π/8
η2 +(0.39ei56.25o
)η + ei112.5o
Per confronto con la (8.54), si osserva quindi che la prima antennadeve essere alimentata con una corrente di ampiezza arbitraria; laseconda antenna con una corrente di ampiezza pari a 0.39 voltel’ampiezza della corrente della prima antenna, e con uno sfasa-mento di 56.25 gradi, e la terza antenna con una corrente di mo-dulo uguale a quella della prima antenna, ma sfasata di 112.5 gradi.La figura (8.35) mostra l’allineamento delle antenne, ed il relativodiagramma di radiazione nel piano z = 0.
3. Poiche | cos(ψ)| ≤ 1, si riescono ad imporre direzioni di zero soloall’interno del settore angolare che e compreso tra −βd e +βd, eche prende il nome di spazio visibile dell’allineamento di antenne.
8.8.1 Schiere a fase progressiva
In queste schiere, le correnti di alimentazione delle antenne tutte ugualiin modulo, e sfasate di una quantita costante nel passaggio da un’anten-na alla successiva. Si ha cioe
α = −iδ ,
ed il fattore di composizione risulta
F =N−1∑ =0
[eiβd cos(ψ)−δ
] = ei(N−1)ν sin(Nν)
sin(ν),
348 CAPITOLO 8: ANTENNE
-450
2
4
6
8
450-90 -90ν (gradi)
|F|
N = 4
-450
2
4
6
8
450-90 -90ν (gradi)
|F|
N = 8
-450
2
4
6
8
450-90 -90ν (gradi)
|F|
N = 1
Figura 8.36: Modulo del fattore di composizione di una schiera a fase progres-siva con un numero di elementi N = 1, 4, 8.
con
ν =12
[βd cos(ψ) − δ
]=
πd
λcos(ψ) − δ
2.
La figura (8.36) mostra l’andamento del modulo del fattore di com-posizione all’aumentare di N (N = 1, 4, 8 in figura): come si puo os-servare, la funzione e periodica di periodo π nella variabile ν ed il suovalore massimo, che e raggiunto per ν = 0, vale N . Cio significa che, seesiste una direzione ψ lungo la quale risulta ν = 0, in quella direzioneil campo elettromagnetico totale irradiato dalla schiera e N volte mag-giore di quello irradiato da ogni singola antenna, e quindi la densita dipotenza e N2 volte maggiore di quella ottenibile con una sola antenna.
Il lobo principale ha larghezza delimitata dai valori di nu = ±π/N ,e la sua ampiezza e quindi pari a
∆ν =2π
N.
Per cio che concerne l’ampiezza dei primi lobi laterali, invece, e suffi-ciente porre a zero la quantita
d
dν
∣∣∣∣sin(Nν)sin(ν)
∣∣∣∣ = 0 ,
e, per semplificare i calcoli, si puo notare che quando N e sufficien-temente grande, la variazione del numeratore e molto piu rapida diquella del denominatore, e si puo quindi approssimare la derivata con laseguente
d
dν
∣∣∣∣sin(Nν)sin(ν)
∣∣∣∣ d
dνsin(Nν) = 0 .
8.8. SCHIERE DI ANTENNE 349
Questa si annulla per
Nν =π
2(2p + 1) , p = 0, 1, 2, . . . ,
e, scartando la soluzione con p = 0, che non e valida, ed e dovutaall’approssimazione introdotta, si trova allora che i primi lobi lateralisono siti in corrispondenza dei valori
ν ± 3π
2N,
e la loro ampiezza e
|F (ν = ±3π/2N)| =∣∣∣∣ sin(3π/2)sin(3π/2N)
∣∣∣∣ 2N
3π.
Dunque, all’aumentare di N si restringe l’ampiezza del lobo principaleche, almeno in linea di principio, puo essere mandata a zero al divergeredi N ; cio che non puo invece essere reso grande a piacere e il rapportotra i lobi, che vale
a =ampiezza del primo lobo secondario
ampiezza del lobo principale 2N/3π
N=
23π
.
Con questo tipo di schiera, quindi, non e possibile costruire un sistemaradiante superdirettivo, e cioe con lobo principale stretto a piacere erapporto tra i lobi grande a piacere; quest’ultimo puo al piu valere20 log10[2/(3π)] −13.5 dB.
Condizioni di esistenza e unicita del lobo principale
Come si e visto, affinche esista il lobo principale, e necessario che ilparametro ν assuma il valore zero. Ora, poiche i valori massimo e mi-nimo di ν sono
νmax =πd
λ− δ
2, νmin = −πd
λ− δ
2,
l’esistenza e assicurata quando
πd
λ− δ
2> 0 , −πd
λ− δ
2< 0 ,
e quindi quando ∣∣∣∣δ2∣∣∣∣ <
πd
λ.
350 CAPITOLO 8: ANTENNE
Per cio che concerne l’unicita, invece, e sufficiente notare che il loboe unico se l’intervallo di valori coperto da ν e inferiore a π, e quindi se(
πd
λ− δ
2
)−
(−πd
λ− δ
2
)≤ π ⇒ d ≤ λ
2.
8.8.2 Schiere broad–side ed end–fire
Sono, rispettivamente, schiere nelle quali il lobo principale e ortogonaleo parallelo alla direzione di allineamento. Queste due condizioni possonoessere ottenute come segue.
Schiere broad–side
Il massimo (ν = 0) deve essere raggiunto per ψ = π/2; dunque
πd
λcos
(π
2
)− δ
2= 0 ⇒ δ = 0 .
La larghezza del lobo principale, ∆ψ, puo essere ricavata imponendo che
πd
λcos
(π
2± ∆ψ
2
)− δ
2=
πd
λcos
(π
2± ∆ψ
2
)= ± π
N,
e quindi, supponendo ∆ψ piccolo,
∆ψ 2λ
Nd.
Schiere end–fire
In queste schiere il massimo deve essere raggiunto per ψ = 0; dunque
πd
λcos(0) − δ
2= 0 ⇒ δ =
2πd
λ= βd .
La larghezza del lobo principale e data dalla relazione
πd
λcos
(∆ψ
2
)− πd
λ=
π
N,
e risulta
∆ψ 2
√2λ
Nd,
ovvero, al crescere di N , esso si restringe meno rapidamente che nelleschiere broad–side.
8.9. ANTENNE A LARGA BANDA 351
8.9 L’antenna Yagi–Uda e l’antenna logaritmica
Sono due tipi di antenne a schiera molto utilizzate nell’ambito televisivo,e vengono qui descritte solo per sommi capi.
L’antenna Yagi–Uda
Riflettore Antennaalimentata
0.31 λ
0.25 λ
Figura 8.37: Antenna Yagi–Uda a 6 elementi.
L’antenna Yagi–Uda, dai nomi dei due inventori, e stata sperimen-tata per la prima volta nel 1926 ed e formata da un riflettore, un’antennafiliforme alimentata, ed una ulteriore serie di antenne filiformi, parallelea quella alimentata, e disposte in modo da consentire il controllo dellecaratteristiche di emissione. Gli studi di Yagi e Uda hanno dimostratoche le prestazioni migliori in termini di guadafno si hanno con antennedi lunghezze pari a circa λ/2 e disposte in modo che la prima, quellaalimentata, sia disposta ad una distanza λ/4 dal riflettore, mentre tuttele rimanenti sono spaziate di circa λ/3.
Una valutazione qualitativa delle caratteristiche di emissione di que-st’antenna puo essere eseguita come segue: si immagini che tutti glielementi della schiera siano spaziati con passo d = λ/4, e si osservi che, inprima approssimazione, si puo ritenere che sulle antenne non alimentatesi instauri una corrente che e uguale a quella dell’antenna alimentata, ameno di un fattore di fase dato dalla distanza di propagazione, e quindipari a βd = π/2.
L’antenna e quindi di tipo end–fire, e puo essere dimensionata inmodo che essa non irradi (ne riceva) nella direzione ψ = π. A tal fine esufficiente imporre che
sin[N
(π
4cos(π) − δ
2
)]= sin
[N
(−π
4− π
4
)]= 0 ,
352 CAPITOLO 8: ANTENNE
e dunque che N sia un qualsiasi numero pari.
L’antenna logaritmica
Uno dei principali difetti delle schiere di antenne e il fatto che le lorocaratteristiche dipendono fortemente dalla frequenza, perche dalla fre-quenza dipende ν e quindi, in ultima analisi F . Negli anni si e quindisviluppata una intensa attivita di ricerca tesa ad individuare quali strut-ture potessero assicurare allo stesso tempo sia un guadagno maggiore diquello ottenibile con una singola antenna, sia una banda sufficientementelarga; uno dei principali contributi in questo senso fu dato, nel 1949 daY. Mushiake, che osservo come una antenna auto–complementare pre-sentasse sempre la stessa impedenza, pari a meta dell’impedenza d’ondanel vuoto, a qualsiasi frequenza.
All’infinito
Terminali
All’infinito
Terminali
Figura 8.38: Esempi di antenne auto–complementari.
La Fig.(8.38) mostra alcuni esempi di antenne auto–complementari,ma e evidente che questi sono solo alcuni di quelli che e possibile im-maginare, ed in questo senso l’osservazione di Mushiake e fondamen-tale, perche apri la strada ad un nuovo modo di guardare alle schieredi antenne. In particolare, seguendo questa indicazione, V. H. Rum-sey postulo negli anni cinquanta il seguente principio: l’impedenza edil diagramma di radiazione di un’antenna puo essere indipendente dallafrequenza solo se il profilo dell’antenna puo essere descritto attraversodegli angoli.
Un esempio di questo tipo di antenna e quella a spirale logaritmica,il cui profilo e descritto dall’equazione
r = costanteθ ,
8.9. ANTENNE A LARGA BANDA 353
x
y
Figura 8.39: Antenna a spirale logaritmica.
dove r e la distanza del punto sulla spirale dall’origine, e θ e l’angolomisurato rispetto all’asse x (si veda la Fig.(8.39)).
Lj
Lj+
1
dj dj+1
Figura 8.40: Antenna a dipolo log–periodico.
Studi successivi mostrarono anche che caratteristiche sufficientementeindipendenti dalla frequenza possono essere ottenute anche con antennenon auto–complementari e, in particolare, con antenne nelle quali ledimensioni degli elementi si espandono in maniera graduale. Un esem-pio di questo tipo di antenna fu introdotta nel 1960 da D. Isbell, ede l’antenna a dipolo log–periodica (si veda la Fig.(8.40): si tratta diun’antenna nella quale la lunghezza di ogni dipolo, e la distanza dalsuccessivo, scala secondo la legge
Lj+1
Lj=
dj+1
dj= costante .
Il funzionamento si basa sul principio che, in prima approssimazione,si ha irradiazione solo da parte dell’elemento la cui lunghezza e circa
354 CAPITOLO 8: ANTENNE
pari a meta della lunghezza d’onda, perche gli elementi di lunghezzamaggiore presentano una grande componente induttiva dell’impedenzadi ingresso, mentre quelli piu corti una capacitiva, e sono quindi alimen-tati con correnti molto inferiori a quelle che circolano negli lementi dilunghezza appropriata.
8.9. APPENDICI 355
Appendice 1: risoluzione della (8.2).
Per r = 0, l’equazione in esame e
∇2Az − σ2Az = 0 ,
ovvero, in coordinate sferiche
1r2
ddr
(r2 dAz
dr
)− σ2Az = 0 ,
dal momento che, data la simmetria del problema, e ragionevole atten-dersi che non vi sia alcuna dipendenza dalle coordinate angolari θ e ϕ.
Posto Az(r) = f(r)/r si ha allora
d2f(r)dr2
− σ2f(r) = 0 ⇒ f(r) = Ce−σr + De+σr ,
dove C e D sono due costanti arbitrarie, che possono essere determinateimponendo le condizioni al contorno.
A tal fine, mostriamo innanzi tutto che, nel problema che stiamoconsiderando qui deve essere D ≡ 0. Infatti, se il mezzo e privo diperdite, di modo che σ = iβ, i termini exp−iβr/r e exp+iβr/rrappresentano, rispettivamente, un’onda sferica che viaggia nel versodelle r crescenti, ed una che viaggia in quello delle r decrescenti. Dunque,l’addendo che dipende da C e un’onda che “esplode” allontanandosi dallasorgente, mentre quello che dipende da D e un’onda che “implode” versodi essa provenendo dall’infinito.
Questo termine ha pertanto un significato fisico che e accettabile,perche indica che e possibile che vi siano delle onde che sono state irra-diate da qualche altra sorgente e che vengono a “chiudersi” sull’antenna adipolo corto che occupa l’origine del sistema di coordinate sferiche. Tut-tavia, queste onde non sono la soluzione del nostro problema, perche noistiamo studiando quello che accade quando si dispone una sola sorgentenel centro di un sistema di coordinate sferiche, ed e dunque necessarioporre D ≡ 0.
Per cio che concerne C, invece, si puo procedere come segue. Siintegra l’equazione di partenza su un volume infinitesimo ∆V centratoattorno all’origine del sistema di coordinate sferiche. Si ottiene∫
∆V
(∇2Az − σ2Az
)d∆V = −µI∆z ,
356 CAPITOLO 8: ANTENNE
e dunque anche∫S(∆V )
(∇Az · r) dS − σ2∫∆V
Az d∆V = −µI∆z ,
dove S(∆V ) e la superficie chiusa che racchiude il volume ∆V . Quandoquesto viene ridotto attorno all’origine, il secondo integrale a primomembro converge a zero perche, se e pur vero che esso contiene unfattore 1/r in Az, l’elemento di volume va a zero piu rapidamente di r.Rimane cosi
C
∫S(∆V )
(−σ
r− 1
r2
)dS = −µI∆z ,
e, immaginando che S(∆V ) sia una superficie sferica di raggio r,
C
(− 1
r2
)r2 4π = −µI∆z ,
da cui discende subito la (8.3).
8.9. APPENDICI 357
Appendice 2: valutazione dell’integrale (8.34).
Si intende valutare l’integrale
E(κx0, κy0) e−iβr
(2π)2
∫dκx
∫dκy e−irξ(κx,κy)
dove
ξ(κx, κy) =12
∂2φ
∂κ2x
(κx − κx0)2 +12
∂2φ
∂κ2y
(κy − κy0)2 +
+∂2φ
∂κx∂κy(κx − κx0)(κy − κy0) =
=1
2βκ2z
(κ2
z + κ2x)(κx − κx0)2 + (κ2
z + κ2y)(κy − κy0)2 +
+2κxκy(κx − κx0)(κy − κy0)
.
Cio puo essere fatto come segue: per prima cosa, si trasla l’origine dellecoordinate nel punto di fase stazionaria, ponendo kx = κx − κx0 e ky =κy − κy0. Successivamente si introduce una rotazione di coordinate,definita dalle relazioni
kx = wx cos(δ) + wy sin(δ) ,
ky = −wx sin(δ) + wy cos(δ) .
nelle quali si sceglie δ in modo da annullare i termini che dipendono dalprodotto misto wxwy:
tan(2δ) =2κxκy
κ2y − κ2
x
⇒ tan(δ) =κx
κye sin2(δ) =
κ2x
κ2x + κ2
y
.
Si ottiene cosi
ξ(wx, wy) =w2
x
2β+
w2y
2β
[1 +
κ2x + κ2
y
κ2z
]=
=w2
x
2β+
w2y
2β
[1 +
u2x + u2
y
u2z
]=
=w2
x
2β+
w2y
2β
1u2
z
=w2
x
2β+
w2y
2β cos(θ)2
358 CAPITOLO 8: ANTENNE
e l’integrale nella (8.34) si fattorizza dunque nel prodotto di due integralidel tipo ∫
exp−ia2v2
dv =
√π
aeiπ/4 .
che forniscono
E(x, y, z > 0) E(βux, βuy) e−iβr
(2π)2i2πβ
rcos(θ) ,
da cui discende direttamente la seconda delle (8.34).
8.9. APPENDICI 359
Appendice 3: valutazione dello spettro di un’an-tenna ad apertura circolare.
Si consideri l’integrale
IC =∫ ∫
C(R)dxdy expiκxx+ iκyy , C = (x, y) |
√x2 + y2 ≤ R .
Si trasformino le coordinate ponendo
x = r cos(ϕ) , y = r sin(ϕ) ,
si ottiene allora
IC =∫ 2π
0dϕ
∫ R
0r dr expiκxr cos(ϕ) + iκyr sin(ϕ) .
Si ponga poi
κx = K cos(α) , κy = K sin(α) , K =√
κ2x + κ2
y .
L’integrale diventa
IC =∫ R
0r dr
∫ 2π
0dϕ expiKr cos(ϕ − α) ,
ed essendo
J0(u) =12π
∫ 2π
0expiu cos(ξ − ξ0)dξ ,
anche
IC = 2π
∫ R
0dr r J0(Kr) .
Usando ora l’integrale notevole∫ x
0dξ ξ J0(ξ) = xJ1(x) ,
si ha infine
IC =2πR
KJ1(KR) =
2πR√κ2
x + κ2y
J1
(R
√κ2
x + κ2y
),
che e l’espressione riportata nel testo.
360 CAPITOLO 8: ANTENNE
Appendice 4: dimostrazione dell’equivalenza traimpedenza interna in trasmissione e ricezione
Si consideri un’antenna in ricezione, investita da un campo prodotto dasorgenti poste a grande distanza da essa
ZL
A
A'
Zi
ZL
A
A'
Ji
V0
Figura 8.41: Antenna di ricezione, e suo equivalente elettrico.
Per definizione, l’impedenza interna in ricezione e l’impedenza chesi vede guardando dai morsetti AA’ verso sinistra quando i generatoriequivalenti di tensione sono cortocircuitati. Nello schema di Fig.(8.41),cio significa spegnere le correnti Ji, di modo che la situazione fisica chesi presenta diventa quella di Fig.(8.42).
A
A'
Mezzo privodi sorgenti Zi
Figura 8.42: Come in Fig.(8.41), quando vengono spente le sorgenti Ji.
L’impedenza che si avverte e dunque l’impedenza dell’antenna chee usata come un trasmettitore verso un mezzo privo di sorgenti, e cioeproprio l’impedenza interna che era stata definita per una antenna ditrasmissione.
8.9. APPENDICI 361
Appendice 5: dimostrazione dell’uguaglianza tral’altezza efficace in trasmissione ed in ricezione
S1 1 S22
V
All'infiniton
Figura 8.43: Disposizione delle antenne e della superficie di integrazionenell’applicazione del teorema di reciprocita.
Si considerino due antenne alimentate da generatori ideali di ten-sione tramite due linee di trasmissione schermate e prive di perdite, esi applichi il teorema di reciprocita al volume V che, per costruzione, eprivo di sorgenti. Si ottiene∫
S(E1 × H2 − E2 × H1) · n dS = 0 ,
dove E1,H1 e E2,H2 sono i campi prodotti dalle due antenne, Se la superficie chiusa che racchiude il volume V (disegnata con lineatratteggiata in Fig.(8.43)), e n la sua normale uscente.
All’integrale non contribuiscono la porzioni di superficie che sonoparallele alle linee di trasmissione, perche le componenti di campo elet-trico tangente sono ivi nulle, ne la superficie che diverge all’infinito,perche il campo deve rispettare le condizioni di radiazione di Sommer-feld. Ne deriva che si ha anche∫
S1
(E1 × H2 − E2 × H1) · n dS1 =∫
S2
(E1 × H2 − E2 × H1) · n dS2 ,
dove S1 e S2 sono due sezioni disposte all’interno delle linee di trasmis-sione che alimentano, rispettivamente, l’antenna “1” e l’antenna “2”.
Si supponga ora che le due linee di trasmissione siano monomodali, esi indichino con e1,h1 ed e2,h2 le rispettive funzioni modali, e cioele disposizioni che il campo assume all’interno di esse.
362 CAPITOLO 8: ANTENNE
Si consideri poi l’integrale sulla sezione S1 e si ponga
E1 = e1 V1 , H1 = h1 I1 ,
E2 = e2 V21 , H2 = h2 I21 ,
dove V1 ed I1 rappresentano la tensione e la corrente presenti nell’an-tenna “1” quando questa e alimentata dal suo generatore e viene fattalavorare nella sua funzione di antenna di trasmissione, mentre V21 e I21
sono la tensione e la corrente che sono presenti nell’antenna “1” quandoquesta e usata come antenna di ricezione, e viene investita dal campoprodotto dall’antenna “2”. Con queste definizioni si ottiene∫
S1
(E1 × H2 − E2 × H1)·n dS1 =(V1I21−V 21I1
) ∫S1
(e1 × h1)·n dS1 .
In maniera analoga, l’integrale sulla superficie S2 puo essere scritto come∫S2
(E1 × H2 − E2 × H1) · n dS1 =(V12I2−V 2I12
) ∫S2
(e2 × h2) · n dS2 .
e, scegliendo in modo opportuno le normalizzazioni per le funzioni mo-dali, talche ∫
S1
(e1 × h1) · n dS1 =∫
S2
(e2 × h2) · n dS2 = 1 ,
ancheV1I21 − V21I1 = − (V12I2 − V2I12) .
Ora, poiche si e detto che le antenne sono alimentate da generatori ideali,e sempre possibile trovare due sezioni nelle quali risulta
I12 = I21 ≡ 0 .
Infatti, un generatore ideale di tensione ha impedenza interna nulla, ede allora sufficiente spostarsi di un tratto pari ad un quarto di lunghezzad’onda per avere corrente pari a zero.
Su queste sezioni si ha quindi
I1V21 = I2V12 . (8.55)
Si osservi che, avendo scelto una sezione sulla quale I21 = 0, la tensioneV21 e la tensione dovuta all’antenna “2” e presente nell’antenna “1”,
8.9. APPENDICI 363
quando in quest’ultima non circola corrente; in altre parole, V21 e latensione a vuoto indotta dall’antenna “2” nella “1” e, per definizione dilunghezza efficace in ricezione, essa puo quindi essere scritta come segue:
V21 = E2 · hr1 .
Inoltre, per definizione di lunghezza efficace in trasmissione (dell’antenna“2”) vale anche
E2 = i Z0I2 ht2
2λde−iβd ,
con d la distanza tra le due antenne. Ripetendo queste considerazioneanche per gli altri termini della (8.55) si ottiene allora
i Z0I1 I2
2λde−iβd ht2 · hr1 = i Z0
I2 I1
2λde−iβd ht1 · hr2 ,
da cui segueht2 · hr1 = ht1 · hr2 . (8.56)
Si osservi che questo risultato e stato derivato solamente come con-seguenza del teorema di reciprocita, ed esso vale quindi per qualsiasi cop-pia di antenne “1”e “2”. In particolare, si e dimostrato che se l’antenna“2” e un’antenna a dipolo corto, vale
hr2 ≡ ht2 = L sin(θ) θ ,
di modo che dalla (8.56) si ottiene
ht1 · θ = hr1 · θ . (8.57)
Analogamente, se l’antenna “2” e un’antenna a spira di corrente, per laquale
hr2 ≡ ht2 = −iβπ R2 sin(θ) ϕ ,
dalla (8.56) segue anche
ht1 · ϕ = hr1 · ϕ . (8.58)
Si ricordi ora che l’altezza efficace, sia in ricezione, sia in trasmissione, eun parametro definito per il campo a grande distanza, e cioe in quella re-gione nella quale il campo irradiato puo essere localmente approssimatocon un’onda piana. Ne segue che ne ht1 ne hr1 hanno componenti radiali
364 CAPITOLO 8: ANTENNE
e quindi, poiche le (8.57) e (8.58) mostrano che deve essere contempo-raneamente verificata una uguaglianza nella quale compaiono i prodottiinterni per θ e ϕ, deve necessariamente risultare
