5/17/2018 Cap 14

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.. -. ' II I I I . ICinetica de una partfcula:'Irabajo y energia" ' I ' : 'CAPiTULO

I I

I f II, I I P De s .a rr l'J lI~ re l p rin c ip lQ del If(1 baJo ~lIlallene~g 8' I f apl!cartd parareso!l,Ier p r O b ' ~ m a 5 que Im phcan fuerza ve loc ldad YdesplClZamiento.I . I f.studiar IproBlemas qr:i Impl ica potenoa y e f i < i e n c n i a

'P~nbr ~ Gon(. 'p~o ~ e ru erza cOt:\servi l t l 'va y apJica e l teo~em .a deconservadon d e 1 8 e ne fg fa parE' reso lVer prob lemas dnet ;cQs.I ~ I II I I

II

.~ 14.1 EI trabajo de una fuerzaEn rnecanlca, una fuerza F efectua trabajo sobre un apartfeula selo cuandoesta experi menta un despla-zamiento en fa .direcci.{m de la f u . e r z C I . Por ejemplo,considere Ia fuerza F que aenia sobre la partfculaen la fi,gura 14-1. Si la partfcula se rnueve a 10 largode la trayectoria s desde la posicion r hasta una nuevaposicion r', el desplazarniento es entonces tlr = - r' - . 1 : .La magnitud de dr es representada pot ds.que es unsegmento diferencial alo Iarge de la trayectoria, Sieldngnlo entre las colas de elr y .F es 8, figura 1+1,

1 5 9

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160 CAPiTULO 14 Cinetka de una partlcula: Trabajo y energla

entonces el trabajo dU que es realizado par F es una cantislad escalar,defirrida mediante

c lU = F ds cos f)Por definicion del producto punta (vea la Ee. C-14). esta ecuaciontambien puede ser esorita como

dU = FdrE te resultado puede ser interpretado de dos maneras.como el pr ducto

de; F 'Y la compenente del desplazamiento en la direcci6n de Ia Iuerza.es decir. ds cos e . a como el produere de ds y la componerue de laIuerza en la direccion del desplazamiento, es decir, F co e . Observe quesi 0"

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SFCC ION 14.1 1 : 1 trabajo de una fuerza 161

1 - A 1 s . F.-cos (J .~(a) (bFi~.14-3

Trabajo de una fuerza constants que se mueve a 10 largo de unalinea recta. Si t l a fnerza Fe tiene rnagnitud constante y aetna bajo unangulo constante e desde su trayecroria en linea recta. figura 14-3a_ell tences l a componen te de Fo(:en la direccion d el desplazarniento es Fecos e .EI trabajo reallzado -pm F" cuando la particula es desplazada de s ,a $2es determinado con laeeuacion 14-1, en cuyo casoo bien

(14-2)

Aqul cl traba]o de " F e representa el area del recftingriio en la figura ]4-3b.Trabajo de un peso. Considere una parucula que se rnueve haciaarriba a 10 largo de Ia trayectoria s mostrada en la figura 14-4 desde laposicion s, hasta Ia posici6n "2' En nn punt.o intermedio, el desplazamientcdt = (I-ri + dyj + dzk. Como W = - W1, aplicando 1 3 1 ecuacion 14--1obtenemos

UI-2= I Fd.r = fl(-Wj). (aLd.+ dxi + dzk)rj

(14-3)o bien

Asi. el trabajo realizado es igual a 13magnitud.del peso de la parrfculamultipllcado por .u de plazamiento vertical, En el caso mostrado enIll. figura 14-4 el trabajo es negativo ya que W esta dirigido haciaahajo y by esta dirigido hacia arriba. Sin embargo. observe que ila zpartfcula es desplazada hacia abajo (- 6.y). el trabajo del pe 0 po-irivo. LPor que? Fig,l4-4

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162 CAP[TULO 14 C!netit~ de una partfcula: Trabs]o y energia

ds . Fuerza-----il-lj , en el resorreF . . t .

(a)

F$

,I_"'--

(bl

PosIcion noabu-gulla. ,I ' = 0

Fuer za sobreIn partfcula

(c)

F i g. I .J .- S

Trabajo de la fuerza de un resorte. La magnitnd de la fuerzadesarrollada en nn resorte elastica lineal! cuando el re orte es desplazadouna distancia s desde su peslcion no alargada es F, = ks. claude k es larigidez del resorte, Si el resorte e alargado 0cornprimido de de unaposicion s] basta otra posid6n$;!. ftgura 14-5a,el trabajo realizado sabreel resorte pOI F~ es positivo, ya que en cada caso la Iuerza y el despla-zamienro tienen la misma direccion. Se requiere que

E ta ecuacion represents el area trapezoidal ba]o la linea F ; . = k s . [ligura.14-5b.Si una partfcnla (0 un cuerpo) e ti unida a un resorte. entonces fa

fuerza F, ejercida sobre in partfcula es OPUSf(I a la ejercida sobre elresorte, figura 14-Sc. En consecuencia, La Iuerza realizara tmbaj'onegative obre La partfcula cuando esta se mueva alargando ma (0comprimtendo) al resorte, Par consiguiente.Ia ecuaciou anterior toma Iaforma

(14-4)

Cuando se usa esta ecuacion, un error en signo puede ser eliminado51se observa simplemente la direccion de la fuerza del resorte quee. t:1 actuando sabre ill partfcula y se com para con Ia direccion del des"plazamienro deesta -si ambos tienen la misma direccion, resulta un(Tabajo positivo; si Ias direcciones SOIl opuesta entre i ' , el tra ba jo eIl'egotillo.

Las Iuerzas que acuian sabre el can-a. al ser jalado una distancla s .hacia arriba porel p lano inclinado ..se mue tran en u diagrams de euerpo libre. La fuerza constarueT ejecma trabejo positive igual a U1 = (T CO s ip):o. el peso erecrua trabajo negativolgual a Uw "" - - ' ( V V ' sen .9 ) . } ' Ia fuerza normal N no trabaja y a que no naydesplazarniento de esta Inerza a 10 largo de u linea de acoion.

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SECC ION i4. iI EI trabs]o de una fuerza 163

H I b lo qu e de ~O 'kg 'm@strad I ; r t , Is fig ura: 1 4- 'b a d e sca ns a sobre elplane inGlinaa.o lisa. Si 1.rn:ietalnietlte e1 resorts esta estirado 0.5 m,deterrrfine el tfilbaja toteal realizadt; POl:,toda las fuerzas qUE acUransobre el bloque euando una Iuerza, horizontal P =400 N 10 eEitpl!.l jab ac ia a rrib a PO[ el plano s =2 ill.

2"en

So uric ..Prime-To '6 dfbllja el diagrams de-euerpo libre de] bloque para tom;Udn cuenta todas lasfuerzas que actilan sobre es te_l ' igura 14~rnb.FL" zn h. run a l P o Como esia fuerza es con.stahle el trabajo sed e te rm i na a pl ie an d o -I a ecnaci6n ] 4-2. E1 resulrado puede s e c c al cu la doeemo ~afuerza multiplieada por la compenente del desplazmrienloen L a direcoion de la fuerza; esto es,

(a)

o como el desplazamiento multiplicado pot la componentede lafuerza en L a direecion del desplazamiento, esto es,

Euerza I'll eJ resorte F\~ En: LapOsici6u i.nic-iaiel r es0 t" te e s ta : estiradosJII ,= 0, 5 m, y en T h po lci(:) n final e L a est irado S 2 ; = 0 .5 + 2 =-S m.Reqnerimos que el trabajo sea negativ.i:l ya q u e la - fuerza y eldesplazamieuto esta,n en direcci enes opues taa :c.l traba] o de Fs 'esentence

Pe so . Como el peso actt,l,a en la ditetcion opuiesta a su de pla-zamienro vertical, el trahajo es negative; es deeir,

Observe que tambi6J\ es p' i ' }s lb le l i :o i l l l i rderar Ia eomppueute del peso.en la dire~ci0n del de p la zam ie :n te ; es d e ei r,

U w = -~98.Lsen 300N)2 m~ ~98.1JI l~~ nu nu (I Esta rnerza 1 ' 1 0 trabaja ya que es s iempre per-pendicular al despiagamiento,

rabaio El trabajo de toda las- fuerzas cuaado el bloque 'esd es plazad o 2 m .es entonee

Dr = 6928 - 90 - 98.1 = 50S J

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164 CAPiTULO 14 Cine.tica de una partlcula: Traba]o y energia

14.2 Principio del trabajo y la enerqiaConsidere una particula Pen la figura 14-7 q ue en el instanre conside-rado esta localizada sabre la trayectoria como medida desde un sistemacoordenado inertial Si la particula t iene rnasa tn y e t a . sometida a unsistema de fuerzas extern as representadas pOT la resnltante FR "" ZF.entonces laecuacion de movimiento para Ia parttcula en [a direcciontangencial es 1:.F/ =' mat. Al aplicar Ia ecuacion cinernatica a, =I} dv/tfe integrandoambos lades, sup niendo inicialmente que la partlcula tieneuna posicion .=Sl Y rapidez := 7)1,Ylucgo en s = 2. V =/)2, obtenemos

r-----------~------ySiStema cccrdeoado inerdal

Fig. '4-7

Si un C4TrO golpea estes barriles anticho-que la energla cinetica del earro se trans-fornla.ta:1I"Il trabajo. illcual.caus ara que losbarriles y ell alguna medlda el carro se de-fo rm en . C on oc ie n_d o la cantidad de errer-gi a absorbida pOT cada barril, es posibledisenanl'll cClkh6n antichoque como elite.

(14-5)

Apartir de laIigura 14-7. LF [ ~ '!.F'cos ( J , Y como el trabajo es detinidomediante Ia ecuacion 14-1, el resultado final puede ser escrito como

(14-6)Esia ecuacion represents el principio del trabojo y I I I energia para Iapartfcula, E1 termino ituado a la izquierde es la suma del trabajorealizado por codas las fuerzas que aetnan sobre la partfcula c ua nd e e stase mueve del punta I al punta 2. Los dos rerminos del lado derecho, queson de Ia forma T = ~r".,;2, definen la energfa c.infticlI final e inicial dela partfcula, respectivamente. Estes termino son siempre escalarespOSit/II.OS. Adema la ccuacion 14--6 debe er dirnensionaltneure homo-genea para que la energia cine-tics tenga las nrismas unidades que elrrabajo, por ejemplo, joules e n oples : lb.Cuando la ecuacion 14--6es aplicada, a rnenudo se le simboliza en la

forma ! Tl - + ~&lJ-.L = T 1 . 1la cual establece que la energfa einetica inicial de Ia partfcula ma5 eltrabajo realizado por toda las fuerzas que actdan obre la partfcula, almoverse esta desde . u posieidn lnieial.has ta su posicion final, es . igua l ala energla cinerica final de la partfcula.Como se ve en Laderivacion, el principia del trabajo y Ia energfa re-presenta una forma integrada de l:F, =ma; ebtenida al usar la ecuacioncinematica q,=U dv /d s . Como resultado.este principle proporcionara'una sustitu,ci61'~ eorrveniente de " 2 - F r = mi:llaJ resol er aquellos tipos deproblemas cineticos que implican Iuerza, velocidad j desplazamiento, yaque esas variable estaa contenidas en 10 lerm'nos de Ia ecuaeion 14-7.Por ejemplo, si larapidez inicial de una parucnla es conocida 'i el traba-jo de todas las Iuerza que aetnan sobre esta puede ser determinado,enronce la eeuaeion 147 proporciona un media dtrecto de obtener larapidez final V2 de 1 0 1 partfcula despues que ella experimenta un des-

(14-7)

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SE(QON14.2 Principle del trabajo y la energra 165

L

plazamiento especffico. Si en vez de este "'2 e determinada par mediade Ia ecuacion de mevimiento, e necesario un proceso de dos pasos, estoes, la aplicacion de " : i . F r =mar para obtener a" y luego integrar a, = 1)(i'v/ds para obtener V2' Observe que el principio del trabajo y la energiano puede ser usado, par ejemplo, para determiner fuerzas dirigidastiarmalmcrue a la trayectoria del rnovimiento, ya que esa fnerzas notrabajan sobre 1 3 1 partfcula, En Ingar de esc debe-set aplieada YF; , = mall'Sin embargo. pam trayectorias eurvas, la rnagnitud de Ia fuerza normales una funeion de la rapidez, Por consiguienre. puede er mas facilobtener esta rapldez usando el prineipio de! trabajo y la energia, y lue-go sustiturr esta cantidad en la ecuacion de movirniento "FI! =mv2 / ppara obtener la fuerza normal.

El'principio del trabajo y la energfase us a para lit olver problemasciD-i!tico que impliean 1I8lgc:idI1. ftu~rza '1 ' d~pw.Z(' , l I1Zie"w. y a queesos t~ntlin s aparecen en: Ia ecuaeidn. Para las apli aeion~_ esugiere usar el siguiente procedimiente.

r. {/ " rpaE s ~a ble zC "d e l is te ma ccordenadc mercia! 'J dibuje:

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166 CAPiTULO 14 Cim?tica de una partlcula: Traba]o y energfa

14.3 Principio def trabajo y la energia para un sistema de particulas

n ",1 \I,I_g:;.--'J~ r; C lI

El principia del trabajo y 1

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SEea6N14.3 Principia del trabajo y l a o energia pal's un sistema de partlculas 167

l _

El procedmriento de analisis dado en la secci6n 14.2 -proporciona unmetedo para aplicar la ecuacion 14-8' sin embargo, 5610 una ecuacion esa p licab le a to d o el s is tem a. j las partfculas estan coneotadas por cuerdaspuederr obtenerse otra eouacienes usando los principios einematieosdados en la seccion 12.9 para relaeionar teda rapidez de las partfculas,Vea el ejemplo 14.6.Trabajo de frkcren causado PQr deslizamiento A eontinuacionestudiaremos una cia e especial de problemas que requiere una cuidadosaaplicacion de 13 ecuacion 14-8. Todos estos problemas impllcan casodonde un cuerpo esta deslizandose obre la uperfieie de otro en presenciade friccion. Por ejemplo, considere un bloque que se traslada una disran-cia s sabre una superficie rugosa como se muestra en la figura 14-9a. Si lafnerza aplicada P equilibra jusiamente la fuerza de friccion r e s u . l r a n t e ,p'kN,figura 14-9b. enronces por eq uilibrio se mantiene una velocidad constanie'V , '1 esperartamos aplicar 10!ecuaci.6n 14-8 como sigue:

L

Realmente esta ecuacion es satisfecha iP = ILkN; in embargo, comosabemos por experiencia.el movimiento deslizante g e l1 ? ra .r a c a lo r unaforma de energfa que parece no tornarse en cuenta en Ia ecnacion tra-bajo-energfa, Para explicar esta paradoja y represerrtar mas exacta-mente illnaturaleza d e 13 I ric cio n , debemos modelar el blcque de maneraque las superficies de contacto sean de forml lbJes (no rfgidas), Reeuerdeque las poreiones rugesas presentes en el fonda del bloque acti.lan como"dientes". y cuando el '01 que e desliza esos dientes e deforman lfge-ramente y se rompen 0vibran debido a efectos de trabazon y arranquesabre Ia superficie de contacto, figura 14-9c. Como.resultade.Ias tuerzasde fricci6n que actuan sabre el bloque en esos puntas son desplazadasligeramente, debido a ~as deformaciones localizadas, y entonces sonreemplazada por otras Iuerzas de medon confonne e establecen otrospuntes de contaeto. En cualqnier instanle la .1'fSIlI'a11te F de todas esiasfuerzas de friccidn permanece esencialmente can lame. e to es, MkN;sin embargo. debido a las muchas deformaciones localimdas, el despla-zamiento real s' de iJ-kN noes el mismo desplazamienro s que el de latuerza aplicada P. En Ingar de eso, S1 sera mellor que s (s' < ),y partanto el rrabajo extemo realizado por Ia fuerza externa de Iriceion seraJ . L k N s ' y no I - L k N . La eantidad restante de trabajo, P < k N (S - s'), semanlfiesta como un incremento de energia im;em(J.la cual de hecho causauna elevacion de temperatura en el hloque.En resumen, la ecuaeidn 14~8 puede er aplieada a problemas que.implican fricci6n por deslisamiento: sin embargo, debe entenderse clara-mente que el traba]o de la Iuerza resultante de friccion no se representapar Il-kNs; en vez de elloeste termino represenra el trabajo externo defricci6n (f.l;kNs1 y el trabajo interne [ ,ukN(s ~ 5 1 ] que es convertido en"arias Eermas de energla interna, par ejemplo, en calor.t

'"Yea el capitulo 8 de ,wt !c t iJ l iG(l v e e t or ia l pa ra i l~gel ' ! iemS' ; EsMtit:(l.+Vea B, A. herwood W. H. Bernard, "Work and Hear 'Iransfer in the Presence of

Sliding Friction", lilt. J . Plzy!,'. 52, 1 00 1 (1 9& 4) ,

v--a)

w

N

Fig.l Q

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1168 CApiTULO 14 Cinetica de una particuta: Trabajo y energla

lO~ ~J AI h )1' i 14-1

El E!utom6~il de ~5'QO'Ih rnestrado en la figure 14-10a vJajn haciaB:b~o por el cam ino inclinai16 t n t > CQU una rapidez de 20 pieS'/s. Siel CG+,I~h.,).tor tctiQ,na los frenos, ocasionanuc que Tali ruedas setrabea, determine que tan lejos s.resbalan las ruedas: obre elcamino.Bl eeofieiorue do fricciem cjnette.i. ' l e:lllre la s ruedes y . e1 camino es#If = 05.

. . . t lon .Este p,r;oblema puede ser resuetto usando el principia del trabajo y laetIergfa ya que Impiiea faeIZ9, \I~locidad y desplazamienro.

'if t, I , e I' I IS e) Cemose muestra en la ligura14-100, la fuet7a norrual NA no ~Tabaia puesto que nunca experi-menta desplazamieuto a to largo de S U linea de accion. EI pe$o,35oolb. es desplazado 3' sen 10" y e fe cL ua tIfaes]o positive. bPar que? Lafuerza de friecien FA.eJectua lrabajo extemo e interne ruanda secon,~ithraque sufre un deljpla.zamJenro s. Bste trabajo as negauvo y aque ocurre eo la, d j teG.e io t l opuesta al de;;plaz.amletl'l~, ApJ l icandQ Laeruaci6n ae"equilibrlo normal al camino. tenemos -+ '1:11 = 0 ; _ . . t - 3- Q a'c os lO ,Q Ib =0 lilA = ~446.81bAsi,

'Jri" ' : ' i to del liabil'o . ' I It + ]'Ul~ =1 2

L ( 3500 Ib) ' I ? ' . ' ;s]-:- ., (2 f!l pies s)- ". {3500 [b(A' sen 100) - (172~.4lb1" = f)2 322p1es/s" ' "Despejando para s obtenemos

s = 19 .5 pies1 . . 1 I,

Si este problema es resuelte usando la ecuacicn de movtrniento, eS18nirnplieades d$ pasos, .Primero, at partir del diagrema de cuerpo Iibre,flgura 14-1Ob.la ecuaoiortde movimiento es apli~da a lo lwga del planoi f i C I i ; f l ~ d C ! ) . Esto da

3500 se n 1O .lb - 123.c41b = '3500 l~i a322 pies,a 0:::: -to.3 piesjs2

Lnego, us and o 1 '1fQrmajn tegrada d e a ds = d (cinemaUca) . comoa es eonstante, tenemo(+ ~) if- , v B + 2(1 /1($ - 3 1 l ) ;

(0 )2 ~ (20 pile~/s)2 + 2{ -10,3 pies/~) ($ - 0)s ;=0 HtSpies Re'p.

~ " .

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SECCION4.3 Principia del trabajo y la energia para un sistema de partkulas 169

Por un corte tiernpo.Ja gnia mostrada en la figure. 14-ila levanta 1 : : 1 .v ig a d e 2 .50 M geon una mama P '=28 + 3; l;N. Determ ine la v e-locic:iad de l a v ig a < ;l1 ,a n do e ha lfJVsitivo, et eual debe ser c1etenninado -POT lntegraciou a que estafu erza es v ariable , ThnlQt~. el peso es cons ran te y Tealizali4 tra.bajoIT gativo )In q ue el de lazamierito es bacia arriba.P . ; I ip] if, r trnbtlJ" y /0

Tl -I - : Z U l- = = 1 2o + r ( 2 8 + 3 s2)( lt? )d ,\' - -- "'2.S0){103)(9.81)s =t(2.50)(lQ:i)if

28{11Y)s + {ltP)s3 - 24325(103)s = 1.25(:Hfyv Zv =2 .78s + O.&J)~

Cuando s =31Il,I) =5.41 m/s R

1 'I a Como pudimos expresar la velocidad en funcion deldesplazarnientn el tiempo puede er determinado u ando =is llitE n es te cas e ,

I ds(2.788 + 0.8 ,3)~= -d t

La integracion pnede er efectuada numericamente u ando unacalculadora de bolsillnEl resulrado e

1=1.19

. l~ 1

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1 .70 C Ap rTULO 14 Gnetic:a de una partkula: Trabajo y lenergfa

_hat p latatorm a P , rn o trada eo la ilgura 14-1 '2a . tiene masa insignifi-cante Y ' es~aumdade Iq.an~ra (IU,efa' euerdas d e 0.4 rn de longitudman tie nen c om pD "im idQ ,0 . 6 Q1 a e n feserte d g'l m de l O l J g i h l ! C ' l C : : l :H i n . .,d o no h'3y nad sebre rIa platMorma. S l s e c olo ca lID ,blQque d e 2 kgsobru It p ! a t a f O i r m a y s e lib era. d el repQ~od espts que esta ' e . S empu-jad a, J:jacia tibajd lU m . figura 14-12fJ , d eterm ine la altura 1 J mmamaque cll bll!lQ ue e lev anta en el aire, me:ruda d ~ d e el ' 1 !l.eh~ .

(alflg.l4-U

19.6lN

Sa ludan1J I II ta, r . cue po Ii ~ 00010 a blcque es Iiberadod el reposo j d e sp ue s a lea nza s ua hu ra m .a hlm a.la s velocidades inieial

y final son eero, El diagrarna de euerpo Iibre del bloque cuando au",esta en contacto con la p131i'a'ferma' e muestra en Ia figura 14-12c .Observe que el peso ere-chia traba)o negative y el re one l'tabajo po-sitivQ,.l,Por q~? En particular. 1 3 compresion inicilit en el resorts esSl = O.em 1 " 0 .1 m =0 .7 m. Debido a las cue rd a s , la c< impresioo f i l U i . ld el re !ilrte es $1=0 .6 m (d es pues 'que el bloqne d eja la plataform a) , E I[ " 0 1 1 c l a d eJ b loque s e eleva desde una all:U r~d e (0 .4 m - OJ m) - - = - 03 mhasta una ahum final It.

F . Tl + 2 : .U 'l,_2 = 7 2~ m v r + {-(~k$i - ~kst) - WAy} =~m~

Observe que aqui sl =D.7m > 5 "2 =0.6 m, par le que el trabajo delresorte determinade pOT ta e,cl,laoion 14-4 ciertamente sera positiveuna vez Huee haga el caleulo, Axi,o + {-[~(200N/1n)~O.6 m)1 - ~(20d N/m) (O .7 ~)4

- (19 .6 2N )[h ~ (0 .3 m)D =()

(e)

n = Q.963: l t l fJ

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SECC ION 1,4.3 Principia del trabajo y loaenergfa para un Sistema de parttculas 171

I '

Est~problema mnibien 'ha side resuelte en el ejemplo 13.9..Si secomparan 10:~dosmeiodos de solueirin quedara.ciJare que un enCoqu.epOI' trabajo y . energfa da una solucirin mas .dkecta.

Los paquete COD. mass de 2 kg son. enrregadospor una banda trans-porHtd011a a un a ramp.a. eireulat U s a OOn una ".eJecidad 1)(1 = m l s . .como se mues ra 00-18 figure 1 4-1 3". S i el rarlte, de Ia ral11'ip~ erg de 0.5m, determine el ingllio B = Ii I tnr ix en el que 'G ad a p aq uete em pieZ a ade- jar la superficie,

Soludonr ImJ( ) "ag I"(I d no II El diagrams de cue "poli'bre del bloque se muestra en la ubicHGi6n intennedia B . EI pesoW = 2{9.81) ;= 19.62 N ,ere_c,[ua rrabajo'positivG durante el despla-

zamienlo; Si e s ujilO ne q ue u , . f . I l Flaqll iefe dtja L1 superIideeual'ldo,e =1 1 1 I 1 1 1 11.' entonces e1 pesese mueve a traves d e: un de'plazamienEt'> verticalde [0.5 - 0.5 00S 6 m ~ x ]m como se mnestra enla figura,P 'illdpio drl lrahqjv In e ~io

1 ', + : L . V 1 -.2 =~~[2'"kg)(Lm/~Y+ {19.62 N(05 - Q.~cos emiir).m} =,(2 kg)~

v i =9.81 (1 ~ ( l :OS 6 1 1 liiJ - + - 1 (1 )'(1 de nr umie to Hay dos incognitas en Ia ecuacion 1 Bum:

'V2' Una segunda ecuacion que reiaciona esas dos variables se puedeobtener aplic.a:ndo la e c u3 ic j6 n de movimiellto en Ia direcQi6n IlQrrrmla la s Iuetta. en el diagrama de caerpo 1 . i : I f f ~ (Ei principio del trabajoy la energfa ha reem.plazado Is. ,aphcaci6n de"4F, = r t u . 1 r ' comO e vioen Ia detiv:a.cioD_) A-si . . ~ . ( t f )N l J + ]9.62 Neels t J =~kg)' 0:5 m .Cuando el paquste deja la ramps en {}=~l1x, rN B = 0 Y i.l=Vi' partanto. esta eeuacien 'resulta sex

Elbninarrdc la b1c6gn.ita V i entre las ecuaciones 1 y 2 resulta4_905 co s l l m : ! C ~ 9 .. 8 1 (1 - It~S 9D1li('~f I

Despejanda obtenemot!O!; r1mi' ix =0 1735

i91ilU.'= 42.7"

OSm

Fl\!. 4--1.

(2.)

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172 CApITULO 14 Cinetica de una partlcula: Trabajo y energla

L es b lo qu es A y Bmos trad c en 1a f iglma 14-l4a tie ne n m a sa .d e '1 0 y100 kog.respClctivameJlte: Determine L a d is tan cia qu -e 1 1 reG0rre d es d e elpnnto donde es liberado drJ fep~ o basta e!punle en que su rapidez ,e.de im/s.

DRrum

(a) :

c ; Ic 'oE1problema puede ser r suelto considerando 10 blcques par eparadEly apU candQ e l prlti:clpiti del trabajc y Ia energfa a ca 'da b loq u~ . S ine m b . a r ~ o . el irabajo de l E I t e n s i O . n (rlesc~.noeida). ~ : o el eable puede setelim:ina"o ldil ana l iR is considerande 10 bloques A y I J jqntO's c omo un.~fS' le.ma.La selncion requerird resclver s im U lu in~ en tE llas ecu aci,o nesde tr:al1ajO y eneTgia y cinemati~ P 'a l! 8 ~e r cens i st ea te s con ! l J u e ! l b : aoonv enci6 n d e sign os , s upond rem os que amb e s bleques Sf! mue v e n enta dirsccidn positiva hacia Q'~Qja.

{. ( " ttl a f' pfj I C om o s e m ues tra en : el diagra:made'cuerpo llbre del sisL-eina, llgllrll 1 4 - 1 4 4 , 1 8 0 fuerzaT preseme en e1cable y Jas reaecicnes R, 'Y R1 Il-Q lrabajan. }a qUe estas fueIZa$repre entan las,.reacclones en lo s ~qportes Y i en cfm'seii:ue;ncia,-oo semueven mieatras los bloques syn Qespl~o-s . Los p e s o s reallzanttabajo ptls itiv o y a que, com o se indica. s a upone que ambos s e tnue-y ell. h aci a aba jo ," I I t: in ' O bs~rv and o qu~ los hloqnes sm-nlib~rado del r ep os e , te nemos

1'.T, + ~lll~ = 2 : T 2nmA 'A~ + ~m.B"vil)n + . {WA ~SA TW8 Asll}=

{im; t(vA) : l + ~m8(V8)n{ + Q} +{ .1N~,As'1)981 N ( . 6 . , v l J ) } ={~'(10 k,g ) ( ' I )A)~ + ~(~OOkg)~2 mjsf} (1 )

,I ',' Usande lo s metodos de la einematiea 8I )a I izar lQs ' en la, e e oion 12.2. en la figlira 14-14a pued e v ers e que en cualquier lnstame18 longittid total J de todos Ibs segmentos verticaies de ~b),e paede serespresada en t6m1inosde la s ceordeuadas de pos icion orAY s cemo

. \ ' . . . 1 . + 4 $ _ B =(P ar c (ilJ;fS ig uie nre .un crunb io. en po sic i6 n d a 1a 6 C 1 t 1 E l C i 6 n d e d es pla za -mierrto

9,.1 N(b)

fL .: &

dSA + 4 . t : . . S g =0a ~ ~ . . t=-411sBTal como se requiere ambos de pl~ep-tos SOP positives baciaabajo, Tomando 'la de r ivada C OD respecto aJ tie mp o re su lta

V A ~ -4'I'B = -4(2.m/s) = -8m/slOOtlUt ief'1do el signo negativo en l a_ ecua 'Cf6n 2 : y sus.ti tuyenclio on 13e cu ac i:6 o 1 o bte nemos

(2 )

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PROBLEMAS 173

PROBLEMAS14-1. Una muier con masa de 70 kg esta de pic en unclevador que tieue una aeeleracicn hacia abajo de 4mJs2partiendo del rcposo. Determine el trabajo realizado parsu peso 'f el trabajo de Ia fuerza normal qpe el piso ejerceobre ella euando el elevador desciende 6 m. Bxpilquepor que el trabajo de esras fuerzas eS rliferente.14-2. El automevil can masa de 2 Mg origmalmente e s { . < iviajando a 2 m / s . . Determine. in distancia que debe ser[alado por una fuerza F = 4 kN para que atcance unarapidez de 5 m/ ' Desprecie la friccion y la masa de lasruedas .

Prob.14-1

L4--3. La eaja de 20 kg esta omeiida a una fuerza quetiene direecidn constaate y magnitud F = lOON, donde ses medida en metro .. Cuaado = 15 m. In eOlja se estamoviendo haeia la dereeha een rapidez de 8 m/s.Determine su rapidez cuando s =25 m. B coefioiente defriccion cinetica entre la caja '1 el suelo es J - L k = 0.25.

Pml . J~J

*l4-4. EI "resorte de aire" A se usa pam proteger L 3estruotura de soporte B prevenir dano al peso ten-sionante C de I t ! banda transportadora en el caso de queocurra un a fallaen lat banda D. La fuerza desarrolladaper el resorte como una Iuncidn de su deflexion se mues-tra en Lagnific

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174 CAPiTULO 14 Cinetka de una partfcula: Trabajo y energia146. Cuaado un proycctil de 7 kg -es disparado por elbarril de ua cafi6n que tiene 2 ill de longitud, In fuerzaexpleslva ejercida sobre el proyectil, mientras esta en elbarril, varia. como se mnestra en el diagrama, Determineis velocidad aproximada del proyectil en el instante enque sale del barril Desprecie los efeeto de In fricciondentro del barril y supcnga que I! tc es horizonral,

F(MNl1 5

/_ /" - . II \IJ \ \I' t-,j/

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114-11. La Iuerza F, que acnia en dirceeion censlantesabre el bloque de 20 kg, tiene una rnagnitnd que variacon la posicion s del bloque. Determine qua distancia sedesllzael bloque antes que sn venoc1dad sea de 5 m/s .Cuando s = 0,'1':,1loque se esta moviendc hacia la derechaa 2 mrs. El coeficiente defriccidn clnetica entre el bloqne} ' I a superficie es ! J .k ; : : OJ.

v-Pruh.l4-11

~14-12. La fuerza P ', que aetna en direceion constanresabre el bloque de 20 kg, tiene una magnitud que variaCon la posicion s del bloque. Determine la rapidez delbloque despues que e ha deslizadn 3 m. Cuando s = 0e l bloque se esni moviendc hacia ta dereeha a 2 m/ . EIeoefieierue de frieeion CiJ let lca entre el bloque y lasuperficie e J L k = 0.3.

Pmh. U-J2

PROBLEMAS 115

14-13. Como se .indic6 en la derivaclon, el principle deltraba]o 'Y la.energfa es valida para observadores en cual-quier marco de referenda inercial. Demuestre que estoes asfmediante la consideraciou oe l blcque de 10 kg quedescansa sobre la superficie llsa y e L a . sometldo a unafuerza horizontal de 6N. Si el ob ervador A e encuenrraen LInmarco fiio x, determine la rapidez final de! bioquc51tiene una rapidez inicial de 5 m/s y viaja 10m, arnbadirigidas hacia la derecha y medidas desde el marco fijo,Compare el resnltado co n el obtenido par un observadorB,unido al eje x' y rnoviendcse a velocidad constante de2 mJ con relacion a A.Sugerellcia: La distancia que viajael bloque rendra que ser calculada primero para el eb-

.. servador B antes d e apliear el prineipio d el xra.bajo y II Ienergfa,It~~~----!IB-IlI!Srrob. t4-1J

1.J - l .1 . Determine La velocldad del bloque A de 20 kgdespue de liberarlo d el repaSQy que se mueve 1m baciaabajo par el plano. EI bloque B neue masa de 10 kg Y elcoeficieme de fricd6n cinetiea entre el plano y el bloqueA es I.I.~ = = 0.2. tCuAl es Ia ten sio n en If!cuerda?

Prub,I4-14

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H6 CAPITULO 14 Cinetica de una partlcula: Traba]o yenergia

14-15. El bloqne A pesa 60 Ib Y el bloque B 10 lb.Determine la rapidez dol bloque A despues tie que emueve 5 pies hacia abajo por el plano, partiendo delreposo, Desprecie la Iricoion y Ia masa de cnerda " J poleas,

*'14-16. 1 tapon lisa tiene un peso de 20 Ib yes empu-jado contra una serie de roldanss d~ resorte Belleville dernanera que Ill.compresien ell el resorte es s=0 ,0 5 p ies .Si la fuerza del reserte obre el tapen e F ~ (100sl/3) lb.donde s esta en pies. determine Ill.rapidez del tapon justedespues que sc aleja del resorte, es deeir, ell S = o .

_'

Prob.I4-16

14-17. El cellar tiene lima rnasa de 20 kg Y descansasobre Ia barra lisa. Dos resortes estau nnidos a e - I y a lose ttremos de 18 barra como semuestra, Cada resorte tienelongitud.nc-comprimida de 1m. Si el cellares desplazado, = 0.5 m y llberado del repose, determine su velocidaden el instante en que retorna al punto s = O.

Prob.14-17

14-18. Determine que altura h puede alcanzar el carrode 200 kg-sobre el plano inclinado cUrYQ D si Sf:" lanzadesde B con rapidez suficiente justo para alcanzar.Ia partesuperior d,d law eo C sin abandoner la via. El radio decurvature en C es oc = 25 m,

Prob.14-18

14-19. EI bloque de 2 kg esti sornetide a una fuerza dedlreccion constante y magnitad F = (:\00/0 s.)) N.donde !i esra en metro. Cuando = 4 1 1l,6 1 bloque e estamoviendo haria l

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14-;!(1. El rnovrmrente de una camioneta es frenadous and o una cam a d e pied ras s ueltas AB y un conjnn to d ebarriles antichoque Be. Si l o s experimentos rnuestranque las piedrasproporeinnan una nem:ten~il

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-----~----~~~-178 CAPITULO 14 Cinetica de una partlrule: Trabajo yenerqla."14~24. El Iingote de acero Ilene rnasa de U500kg..Viajaa lo largo de la banda transportadera con.rapidez V = 0.5m/s wando choca con el clispositi.vo de resortes "anida-dos". Determine Ia detlexiill1 maxima necesaria en cadaresoree pan detener el rnovlnaiento de l llngore, Considerek'l = 5 liN1 m . kR = 3 kNJm.

c- .BPruh. 1-I-!4

14-25. El lingote de acero tlene masa de 1.800 kg, Viajaalo large de la banda trsnsportadora COil rapidez 'I J =0.5m/s cuando choca con elcenjunto de resortes "anlda-dos", Si la rigidez del resorteexterior es kA = 5 kN 1m,determine LarigiclczkH requerida enel resorte interuo demanera que el rnovimiento del Ilngole sea detenldo en clmomento en que el frente C del llngote este a 0.3 m de1

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"'J..t.28. 81 ladrillo de 2 lb se desliza bacia aoajo par ltntecho lisa de tal forma que cuando esta enA su volocidades de 5 pie.s/". Determine la rapidez de! bloque justoanresde dejar la superfieie en B. is distancla d de de la paredbasta donde mea el 'ucla, y la raptd ez corn que toea elsuelo.

. . ~~--~~~~~~--~--------------~~\~Xd----~Prub. il4-liI

4-29. Las montana ruses on di'enadas de man era quelos pasajeros no experimenten mit!>de 3.5 veces su pesocomo fuerza normal contra el asiento del carro, Deter-mine el radio de eurvatura P UH!. pequefio de la via ensu punta ma,s bajo si el carro tiene rapidez de 5 pies!sen la cresta de la cafda, De precie Ia fricciun,

I'rull. 14-29

PROBLEMAS 179

1+-30. El mecanisme de catapulta se usa para impulsarel deslizador A de 10 kg bacia In derecha a 10 largo de tilvia lisa.La aeeion de propulsion se obtiene jalandolapoleaunida a la barra B e rapidnmente bacia la izquierda pOTmedia de un pi t60 P. Si el pi t6n aplica UJ1:lJ fuerzaconstante F = 20 k :N a la bam Be de tal man era que lamueve 0.2 m, determine la rapidea alcanzada pO T el de -Iizadcr que crlginalment eslaba en reposo.Desprecielamasa de poleas, cable. piston}' barra B e.

A

PI\!lh. 14-311

~,.--14-Jl. El collar ticne rnasa de 20 kg y se Id:eslizaa lo'largo de la barr .. lisa. Des resortes estan unidos al collar_ II los extrem es d e In barracorno mnestra, SiCc'lctaI'~SOI'te tiene longilLl'd 110comprirnida de 1 myel collartiene rapidez de 2 ml cuando s =0, determine Ia corn-presion maxima de cada resort debida al rnovimiemo devaiven (oscilatorio) del collar.

1m --I---t~---] 1I-- ~'O.:!5 m

l'rnh. l~3J

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180 CAP!TULO 14 Cinetka de una partlcula: Traba]o y energla

14-3~. El ciclista viaja al punto A pedaleando hasta quealcanaa 1J lO3 rapidez de VA. = R m/s. Luege viaja Iibre-mente hacia arriba pot Is . superfieie curva, Determine laIuerza normal que el ejerce sabre fa uperticie

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1~J6. Un bloque de 2 lb descansa sobre la superlidelisa semicillndrica. Una cuerda elastica con rigidez k = 2l b / p i e esu unida a l blcque en B y a 1 1 : 1base del semi-cilindro en el punte C. Si el bloque es llberado del reposeen A (0 = 0"), determine Ia longitud 110 alargada de lacuerda de m an era C lu e el bloque empiece a dejar el ern i -cilindro en el instante 8 = 45". Desprccie el tamafin delbloque,

Pwh. 14-.~

I.I'"

':~. 61 parachoques de: resorte e usa pare detener e1movimien:ro del bloqne de 4 Ib que Of t'la deslizandohacia 61a V = 9 pies/so Como se muestra, el resorte estaconflnado pO T 1

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182 CApITULO 1 1 4 Cinetica de una partku!a: Trabajo y energia

14.4 Potencia y efidencia

La salida de potencla de esta Iocomotoraproviene de la fuerza irnpulsora de fric-ci611 F desarrollada en sus ruedas, Esta~ la-fuerza que: vence Ia:resistencia demcoi6n de. los cartes y puede subir elpeso del tren par la pendiente.

. .

Potentia, La potencia se define COmo la cantidad de trabajo realizadopor unidad de tiempo, Ast, la potencia generada por una rnaquina 0 unmotor que realizan una cantidad de trabajo dU dentro del intervale detiempo t i l ' es

Si el trabajo dUe expresado por d U ",,;,F . dr, eutoncer tambien espo rihle escribir

dU F 'd r . elrp=_. =--=F-d: tlt dt

o bien

(]4-10)Por eonsigulente, la poiencia es un escalar, en dande Ia formulackm vrepre enta Ia velocidad del punto robre eJ que aetna la Iuerza F.La unidadc basioas de )tencia u adas en los sistemas SI FPS son

el watt (W ~)"eJ caballo de potencia (hp), respectivamente. Esas unidadesson definida como

1W =- 1Jls = 1N' mrs1 hp = 550 pies . Ibis

Para. Ia conversion entre los dos si temas de unidades, 1 bp = 746 W,EI termino "potencia" proporcicna una boae uti! para determiner el

tipo de motor 0maq uina requetido para efectuar cierta cantidad de tra-bajo en un tiempo dado. POJ ejernplo, cada una de dos bomb as puede'er capaz de vaciar un deposito si se le da suficiente tlempo: sin embargo,la bomba c-on mayor potencia terminara el trabajo mas pronto,E ficiencia, La eficiencia metuinica de una rnaqui na se define como larazon de Ia salida de potencia util producida per 1 3 maquina a Laentradade potencia suminisrraca ala maquina. POi' consiguien te,

s a!id a d e pOlMcta (14-11)f= entrada de PQtencift

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S! 'CC ION14.4 Potencia yeficlenda 183

Si la energfa aplicada a la maquina ocurre durante el mismo inrervalode tiempo err que es retirada, n ouces Ia eficiencia puede er expresadatambienen terrninos de L a razon de sal ida de energfa a entrada de ener-, gi a; e s decir,

salida de energ(ae- ---------------entrada de energia (14-12)

Como las maquinas cons tan de una serie de partes moviles, las fuerzasde friccion siempre seran desarrolladas dentro de la maquina, y como re-sultado, es necesaria energfa 0potencia adicional para veneer e asfuerzas,En consecuencia , l a e j7 'r .: ienc ia de un a mtJ:quflW siem pJ 't! es 1'I1el101' que 1 . .

Los requisitos de potencia de este elevador de-penden de Ia fuerza vertical f que aoniq sobre elelevadcr )' causa que se mueva hacia arriba. ilavelocidad del elevador es f. entonces la salida deporencia es P =F . v.

'La j]l0tefl,ciag~ada a' un euerpo r U . l . e d e calenlarse uSando elSigllierrte p.nro~edimlerito.Primere determine la Iuerza externa F que a:Ot l )a obreel eue r p oqaiil c ausa el 1t )ov i : rn ie f i~O. E ta fu erz a e s u s ua lmen te desarrolledapar una rn i iqu ina 0 lI'D motor oelocados de :n tio o Iue ra del cuerpe,S], e] uerpo esta acelerando, puede ser .necesario Dibujar SDdiagrams ,deout}tpo Iibre .y apliear la ecuacien de movirniento(:&F =nial para determinar.F,Una vez que P y la \

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184 CAPITULO' 4 Clnetlca de una particlJla: Traba]o y enerqla

Datum

(a)

( 1 ; I J

. 1 ': & -1 ;

a motor M d el nralacare rnos trad o en L a fig l.1 y a-1 4- 1S a o pe ra co neficieneia E " = 0.8S. Determine lli potencia que debe suministrarae almotor para levantar la eaja C de 751b en el instante en que el pun toP obre e! e-able tiene aceleraeion de 4 pies; 1y vel cid ad d 2 pies/SoDespreoie !a masade Ia polea y ; i cable . 0('0Para ealcular la ~a1ida de potencia del IDQ't()!r. primerc e ,n:ece$ariojetermblar-la tenskai-en el cable y~ que esta fnerza es m ~ a m ; o U a 4 apor eelmotor,A partir del diagrama de cuerpc Iibre, figura 14-15b, tenemes+! YF;. = may; 7-1b = 751b "a "32.2 pies/ii--2TLa aeeleraeion de Iii caja puede obtenerse usando ci[reml1~iea pararelaeionarla cen J e t aceleracion conocida del punro P,Iigura 14-15Q.

U ando los meiodos de 18 eccion 12.9. lll:$ coordenada, kc'l s'l' en IttFigura 14-iSlI puedea s e t r ela cio na d as con una por ci6n constantedecable de Iongitud I que esta carnbiando en las Bi-recciones vertical yhorizontal. T~nel os be + St' =.Tomando laseguuda derivada conrespecto Iiempo de esta eeuacion resnha

'tac=-UpComO U p = -+ 4 piesjs'\ entonees (I'e= (-4 pies/S l)1 2 =-2-p!esj-sl.l.Que indica cl signo negative? Sustituyendo este resultado en laecuacion 1 y retcnienlio el i~1.0 negative y a que ll a aceleracion e'n- ambas ecnaciones l'j 2 es ~b:siderado POSilive' ) hacia abajo. tenemos

75 lb ..~"XI + 75l'b = - . 2'(-2 ples/ 2)- 32.2 pte IT = 39.81b

La salida de PQl~ncia.medidi'l cell unidades de- caballos de potencia,requerida para exiraer el cable II . razcn de 2; piesl ~-~per tante;

P = T ." ", . t 1-9 .8 Ib ) '( 2 pie s! s ) 1 1 h p/ (550 pies ' 1b/ s ) ]=0.145hp

Esta salida.deporem:lll requiere que el moterproporcicne una entradade pot e 1 'l ti a de

entrada-de p0tencia =-(salida de potencia)~1= 00- (O.14S'hp) = 0.170 hp.tl)

Cerno Ia velecidad dela c:aja esta cambiando eousumtenreate, ebserveque e te requisite de potencia es hlS'fOl1tiilleo.

(1)

(2)

R . ! > p

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SECCION 14.4 Potenda y efieiencia 18'5

C b l

EI carredepctsivo.mastrado en Ia figara 14-16u ti fie mssa de 2 Mg'j esti!.iviajando con rapidcz de 25 m/s. cnando los frenos de todoslos neumatlcos son a pifcadns, ST el coeficiente de friccidn cineticaes J L . ~ = 0.3'5,determine la potencia desarrol lada por la Iuerza de fricci6ncuando el auiomovil .resbala, Luego encusntre 130rapidez del auto-movil despues que se hi! deslizado 10 01.

g. l4-J

01 1-Como se muestra eft el diag_rMWlde cuerpo libre, fig_nra 14-16b. IIIluerza normal Ne Y la fuerza d e fricdon Fe representan L a s jut!1?asres.ulrantC$ de las cuatrc ruedas,Aplicando la ecuaoion de equifibrie en la direccion y para deter- .rninar NC' , te n emos

Nc = lQ ., 62 kNLa fuerza de friccien e , por tanto,

Fe =0.35(19.62 kN)' = "6..867 kNLa velocidad del automovil puede set determinada cuando s - = 1 m

I aplicando el prinaipio del trabajo yIaeaergta. "Por que?T, + : S U i:2 =1 '2

1(100Ilkg)(25m/s) ~ 6 .861(103) ( lOm) = = ~(2000 kg)'lJ2V =23. ~9 rn!s

La potencia de la fuerza.de Iriecion ell este Instanre es entonces

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186 CApITULO 14 Clnetica de una partfcula; Trabajo y enerqla

PROBLEMAS14-41. E1motor diesel de un Iren, de 400 MgincIcmen tasu rapidez uniformemente desde el repose ha til 10 m/en 100 s a 1 0 .largo de un a v ia herizorual. Determine lapotencia promedio desarrollada.1.&-42. DetermineIa entrada de poteucia necesaria ennn motor para levaatar .300 lh a razon censtarue de 5pies/so La eficiencia del motor es E = 0.65.1443. Un tranvia electrico tiene un peso de L5OOOlb Yacelera a 10 largo de un.camlno h rizontal recto de'de elrepose de tal manera que la poteneiaes siempre d:e 100hp. Determine ~ m i n i : o tiempo le lama aleanzar 11113 rapi-dez de 40pies/s. .* 4-4-t El jeep tiene un peso de 25UOlb Yun motor quetransmite una potencia de 100 hp a todas las ruedas,Suponieudo que las ruedas 110 re balsn sobre el suelo,determine e1aragulu 0 del plano rna.s inclinado que el jeeppuede subir con rapidez constants v = 30 piesjs,

Prob.l4-4-11

~-45. Un automovil COlli masa de 2 Mg viaja haeia arribapOI una pendienre de i" con rapidez constante 'I) '" 100km/h. Si la friceion mecanica y la resisteneia del me SOI'ldespreciadas, determine J I a palencia desarrollada par elmotor s i el' automovil tiene una efieiencia E =0.65.

Prob.I4-45

1446. U n carn ien carg ad o pesa 1 6 (1 0 "') lb Y ace le ra uni-taiTIl(;mente en ill] camino a nivel desde 15 _pies!s hasta30 pies/s durante 4 s, 51 In resistencia pO T friccion delrnovnniento es de 325 lb. determine Ia potencia maximaque debe ser entregada a Lasruedas,14-47 Un tranvia electrico tiene un Pe50 de 15 0001 lb Yacelera a Lalargo de una via hon zon tal recta de de el re-peso de tal manera que la potencia es siempre igual a 100hp. Determine que tan Iejes debe viajar para alcanzar unaeapidez de 40 pies/so14~ij. Los esealones de una esealera mecsnica semueven con.rapldez constarrte de 0.6 ns ] . Si los esca-lones tienen 12.5 rnm de alto y 250 mm de IOl1gitud, de-termine la potencia neeesaria en el motor para levantaruna masa promedio de 150 kg par escalon. Se tienen 32e calones.4-411, A La caja de. 50 lb se Ie imprime una rapidez de10 pie Is en I = 4 s partiendo del re.poso. i ~I ace-leracion es constante, determine la potencia q 1 L 1 e debeser sumini truda al motor cuando r= 2 s.El motor Iieneeficiencia IE = O.7fi. Desprecie 1a rnasa de la polea y eLcable,

Pruh. J+-J'J

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I S~. Un carte tiene masa In )' aceiera a 10 largo de uncamino recto horizontal desde el repose de tal maneraque la potencia es iiempre ll1111 camidad eonstante P .Determine que:tan Iejesdebe viajar el earro para alcanzaruna rapidez de v.1"5 J. Para drarnatizar la perdida de energfa en un au-rornovil. considere un carro con pe 0de. :5 000 lb queesta viajando a 35 mijll. Si el carro es detcnido, deter-mine cuanto tiempo debe perrnanecer eneeadido unfoco de 100 V o l para COi l umir Ia miS1118 cantidad deenergia, (1 mi = = 5280 pies.)';'1+-::-2. E) motor ! V I se usa para levantar el elevadorde 500 kg con velocidad constante VE ;;;:;8 m/s. Si eolmotor extrae 60 kW de poteneia electrica, determine 58eficlen cia, D es precie 1 1'1masa d e- poleas y . cable.

E

PROBLEMAS 187I:;' El e:levadof d-e 500 ik g parte del repose 'j l'Iajahacia arriba can aceleraclon con tante a; =2 m/s2.Deter-mine la salida de potenela del motor M cuando l = 3 s,Desprecie la masa de poie.as y cable.

E 1

i ' r ! ) b . 1 4 - 5 3

14-54. La caja tieuc masa de 150 kg y de causa sabreUDa superficie pant Ia ClUU 10 coeficientes tie medonesrarica y cinetiea son P "f = .3 Y i - L k = 0.2. respectiva-menre, Si el motor M suministra eo' el cable una fuerzaF = ( r + 20) N. donde I e "ta ensegundos, determinela alida de poteneia desarrollada pnr el motor cuando1=5 .

M

Prnh ....... 5 . 4 '

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1188 CAPiTULO 14 Cinetica de una partlcule: Trabajn yenergla

14 55. El elevador E 'i su carga tieuen una rnasa (malde 400. kg. EI izado es proporcionado por el motor My el bloque C de 60 kg .. i 01 motor tiene efieicneiaIE =" 0.6, determine la potencia que debe sumiuistrarsea este cuando el elevador es izado con rapidcz eonstan-te VI!: =4tn/ ' i i .

"rnll. l"-55

14-5b. La caja de 50 kg es levamada por el pianoinclinado 30e mediante el sistema de polea y motor M ,S i ia caj a part e de 1 repose y por aceleracion consta fILt :alcanza una rapidez de 4 m/s despues de viajar 8 rn a10 largo del plano. determine La poteucia que debe sersuministrada a1 motor eneste insrante. Dasprecie lamedon a 1 0 largo el plano. EI motor tiene eficienciaE := 0.74.

1 >1

14~7 El C

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1460. 1 trinco cohere tiene masa de 4 i 19, \'lal3desde el repose [I 10 largo de la vfa horizontal para 1acual el coefieiente de friccnin cinetica es P'J ; = 0.20. Siel motor prcporciona un empuje constante T = 150 kN.determine su salida de potencia como fnncion del tiem-po.Desprecie la perdida de masa cembu tihle y la resis-rencia del

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19 .0 CAPfTU LO 14 (inetica d e una partlcula : T raba]o y enerqla

14.5 Fuerzas conservatlvas y enerqla potencialFU@l'Zaconservative. uande el trabajo realizado po r una fuerza almover una partlcula de lID punta aotru es Independiente de fa trayectoriaseguida por l a partfcula entonces esta fuerza se denomina /aerl.Q COIl-servativa. El peso de una partfcula y la fuerza de un re orte el Iilieo sondes ejemplos de fuerzas eonservativas encontradas amenudo en mecanica.E1 rrabajo realizado por el peso de una partfcula es intlependiente de fatraveaaria ya que depende s 6 [ , 0 del desp tazamiento vertical de 1 3 0partfcula,E] trabajo realizado por un resorte que asuia sobre tl'i1l! particula esindependiente de fa trayectoria d e la particula. y a que depende 610 de laextension 0compresi6n , ! , ' del resorte,En eoniraste con una Iuerza conservativa, considere Is fuerza de Irk-

cion ejercida sabre un objeto deslizable par una superflcie Iija, EIln'1 bajorealizado por la fuerza de medon depend de la trayectoria; entre mas1arga sea la trayectoria, mayer es el trabajo, En consecuencia , (as[uermde fricckin no son conservativas. El trabajo es disipado por el cuerpo enforma de calor.

En@rgia potencial, La energia puede ser definida como Ia capacidad deefectuar trabajo, Cuando la energfa proviene del movlmiento de la parnculase llama energia cinetica, Cuando proviene de leiposiclon de la partlcu-1a.medida desde un datum ~i9o plano de referencia.la fuerza se denominaenergta potencial. Asi, la energia potencial e una rnedida de Ia cantidadde traba]o que una fuerza conservariva realizara cuando se mueva desdeuna posicion dada basta el datum, En mecanica, la energia potencialdebida ala gravedad (peso) 0a un resorte elastico es de gran importsncia.

Energla potencial gravitatoria. Si una partfcula esta localizada a unadistancia Y pOT arriba de un datum elegido arbitrariamente, como semuestra en la Iigura 14-17. el peso W de la partfcula tiene una energiapot e nc ia l g r: o v i( a rori a positiva, Vg.ya que W tiene la capacidad de efecruarrrabajo positive cuando 1 8 partfcula es mo ida hacia abajo de regreso aJdatum. Igualrnente, si la parncula estalocalizada a una distancia y pOl'abaja del datum. Vges negative y a que e l peso efectua trabajo negativecuando la parncula es movida hacia arriba de regre a a l da tum, E.I l eldatum Vg = O .En general. si y e positiva bacia arriba, la energia potencial gra-vitatoria de la partfcula de peso Wes

(14-13)

'Aqui el peso se suponc consumte. Esta suposlcien e adecua,da para pcquenasdlfereecias en elevacion ~y. Sin embargo. cuando el cambia en elevaciou es irn-portante, una varlacion del pe 0 COn la elevad6n debe 5eT tomada en cuenia (vea e1Prob, 14-96).

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SECCION 14.5 IFuerzas conservativas y energla potencial 1'91

-1w \"_____l_ Datum

~

wFig. 14-17

IEnergra potencial elastica. Cuando un resorte elastica es alargadoo comprirnido una distancia desdesu posicion no alargada, la energiapotencial elastica Ve deb i da a la configuracicn del resorte puede serexpresada como

L~ I v ( ' ~ +~k 1 1 (1~14)Aqui Vi' es siempre positiva ya que, en la posicion deformada, Lafuerzadel resorte siempre tiene la cepncidad de efeetuar trabajo positivesobre 1a partieula cuando el resorte retorna a su position no alargada.figura 14-18.

Posicirinno nlltrllm:la, .= 0I ~ ~ k~ - . . . - . . . I r=

k

,-+s--

~""\II l l r = + - 4 - ~ 1

E n er gf a p ote nc ia l e l< U iiic a

FiIt14-18

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19.2 CAPITULO 14 Cinetica de una partic::ula: Trabajo y enerqla

Funci6n potencial. En el caso general, si una partieula esta someridaa fuerzas gravitatorias y a fuerzas elastlcas, u energfa potencial puede serexpresada como ul1Iajnnd6n potencial, que es la StiID

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SECOON ,1 4 ., 5 F u el'z a s c o ns e rv a tiv e s, yenerqla potencial, 19, ]

Cuando el desplazamiento a 10 largo de Latrayectoria es infinitesimal,es decir, del punto (x.y,~) a (x + ax,y + dy, z + dz)' la ecuacion 14-16lorna la forma

dU = V(x. y. l) - V(x +dx. )1 +dy, -l + dz)= -lJV(X, y. z ) ( '14-"17)Si la tuerza y el desplazarniento son definidos usando coordenadas rec-tangularea entonces el trabajo tambien puede ser expresado como

dU =F'dr= (F..:i,+ F .0 + F~k)'(d;"i + dyj + dzk)= Frd.r + F , - . d y + F : ; , dz

Sustituyendoeste resultado en la ecuacion 14-17 yexpresando La.dife-rencial dV(x, y. < = ) e n te rrn in os de sus derivadas parciales obtenemos

(ilV a v . a v )Ft/:r + F."d)/ + F-d:z =- -fix + -ely + -.-ciz, ' I : - ~ a x E J y i) Z .Como todcs los eambios en .:t.Y'j z son independientes uno de otro, estaecuacion se satisface si

. a vF~ --- ..o x()VF~=--_. u y Fl VR=--. . r J ; : : (14-18)

Entonces,sv sv ailF=--i --j ---kax oy - Ill.(a . a. a l k ) V- -. l+-J+-dx ay i ' : H :

o bienF= -VV (14--19)

donde V representa el operador vectorial V = (a/Glx)J + ( ( J / ~ _ v U +(alaz )k.La ecuacion 14-19 relaciona una fuerza 'F can su funcion potencial Vy con ello proporciona un criterio matematico para probar que F es

conservativa.Por ejemplo, la funelonpcteneial graviratoria para un pesolocalizadc a una distancia y por arriba de un datum es Vg = Wy. Paraprobar que W es ccnservativa, es neces ario m os trar que sausfaoe 1.11cua-cion 14-19 (0 Ia Ee. 14-18,), en cuyo caso

a vF \. =--_-,- oj' a _F =--(Wy) = ~Wr J yEl signa negativo indica que Wacttia bacia abajo.opuesta a lay positive,que es hacia arriba.

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194 CAPfTULO 14 Clnetica de una parncnle: Trabajo 'i enerqla

14.6 Conservaci6n de la energ.ia

1 peso de los linen que descansan sobreesta plataforma ocasiona que ene rgfa po-tenoiel sea alrnacenada en los resortes deoporte, AI retirar cada saco. Ia plarafor-rna S~ levaniarti llgeramente y n que partede la el1crgta poren cia! de los resortes semm"ferinl corno un incremento a 1 3 ener-gia potencial gravitateria de los saws res-tsntes, T'JI tiispositivo < ; ' s iiti] pars rerirarlossacos s in tenet que inellnarse para 10-marlos cuando son descargados,

Energfa pN,.mclll~fm{DlIEm l rg f lJ . c ] I 1 t=Ucb I. lI :e r o lE ncrgia l W l c m : h .: i 1renergia cineuea

Cuando nn sistema de fuerzas conservativas y 110 conservativas actuaobre una partfcuia, la porcion del trabajo realizade por Las [uerzascon iervotivas puede ser escrita en ierminos de Ia diferencia en susenergia potenciales usando la ecuacion 14-16. esto es, (LUl-2 ) , f , 1 [ L S =V - V2 . Como resultado, el principio del trabajo y la energfa puedeser escrito como

(14-20)Aqui(YVl-2)llorons represents el trabajo dew luerza no conservativesque acnian sabre la partfcula. Si s o l o . ftlt!fzas conservatives son aplicadasill cuerpo. este termino e'S cera y ellloilices tenemos

I T . +Vl~12+ 1 1 2 \ (14-21 )A esta ecuacion e . J~ conoce como ecuacion de la conservacian. de laenergia mecanica, 0simplemente como de la conservacl/m dela energta,Esta ecuacion estahlece que durante el movimiemo la . uma de las.energias cinetica Y po tenci al de la partfenla permanece constante. Paraque csio ocurra . Ia energia clnetica debe ser transformada en energfapotencial, y viceversa. Pnr ejemplo, si una bola de peso W es dejada caerdesde una altura II ..obre el uelo datum). figura ]4-20. la energia po-tenoial de la bola es maxima antes de dcjarla caer y su energta cineticae cero. La energia rnccanica total de la bola en su po ici6n inicial es en-tonces

E = ~ + 1 I J = 0 + Wh =WhCnando Ia bola ha caldo una di stancia h / 2 : . su rapidez puede ser determinada usando l:!. "'" V B + 2,,((y - )'0). que da Q ,I " '" V2g(l1/2) = Vif , .La energfa de Ia bola en la posicion a media altura es, por tanto.

I Energi ,apolencHil lreml justa ante' de que la bola toque el suelo, su energla potencial es cera yQ ) Energfa cl.l1t'iic.l fnllixl su rapidez v =v'iih. Aqut, de nuevo, la energfa total de 10bola eFig ...... 20

Observe que cuando labola cotta en contacto con cl suelo se detormaen alguna medida, y si el uelo es 10 suficientemente duro, la bola re-botara alcanzando una nueva altura h', la mal sera rnenor que 13alturaIi desde 1

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SEco6N 14,.6 Conservad6n de laenerqla ~ 195

Sistema de particulas. Si u n s is tem a. de partfculas esta sometido s6loa fUer1 .BS conservas ivas ; en to nces , pa ra las p arttcu las , pu ed e set e sc rita u naecuacion similar a la 14-21. Aplicando las idea's, de! analioss . precedente, laecuacion 14-8 0 2:TI + 2:U,-2 = IT~,. tomB la forma

@ 1 + 2:V1 = : 1 . 2 + ~ V D (14-22)A guf,1 3 s um a d e las ener:g fas in iciales c inetica y potencial d el s is tem aes igual ate suma de las energias finales cinetica y potencial del siste-ma. En. arras palahras, 'IT + LV =constante,Es importante recordar quesolo problemas que impliquen s i s t emas

conservadores de fuerzas (pesos Yresorres) pueden scr resueltos usandoe n teorema de la conservaciou de ill. energfa, Como se indieo, las Iucrzasde friccion a Iuerzas resistentes al aITa5ITe. que dependen de la velocidsdod e la ace leraeien . s on n o eons erv a Livas .U na porcion del t ra ba jo r ea liz adopor tales luerzas es transfrrrmado en energia termica, y en consecuenciae sta e ne rg i.a . s e disipa en el en torn o y nc puede s er recuperada.

Laecueeion d e la conser ;vaGion ,d e Ie .energfs s e u s a 'para re so lVer}:l,oblettlt18 q"t!:e"irnpIit.afl lIe/oti(lia{,de.\plai.u1"hrf:!rItb y sistemas tCor~~et-vadare s de f t. ~ e r' l. (1 ,POl' II ) g en ~ral es mds fifeil 4/#i'carltl "lU!eernplearel ptincipio d el trabaJa '! If!.e n c e . r g L a porque l it ecuac i( it l de energfare qu ia re d e e sp ee ifrc ar; llnic:.tment:e l a s . energl i iS ' cinetica } potencial.en s610 dos rmntos a 1Qlargo de la nyec'toria', en v e : z . de . de t erm ine rel trabajo cuando la particula se mueve ~ rraves de un dlJspiaz.anru'I.?I1f( ') ..Para ap'1ia~n3nonB$se sugiere u;;ar'e.1-lIiguieint: proced im iente ..

pi't!;uje q~$ diagran'lt.ls GU6 muestren a la part fdLi la t 1Ibicadi i en sus'Puntas inieiaL)r f inal a 1mlar~Q lli: ]1 ) tn w e cto ri'a . _Si 1 . . 1 p ar tiitU l :a e s t~ s o rn eti d a a U M despJUamiento vert,ital. esta-blezca el 'cianlm l'ijo horizontal p~ra rned ir desde q.!li 1;;1,nerg~'apo tenc ia l g ra v !t ;i 1'O r l'a Vs 'de la partfou 1a . ..L as d a to s p ertin en .te& ala ele '\ iacii l.n y de ~aparti~ul:a'desdee l da tumy la eXIetl ,Sl:6p G ') eoPlpesi(n;'j s de cu a lq uie r resorte cQ f1 ..ecLa.d(lpue.d~tI .set det~Ti1l imules ' a partir d e 13 geome:trfa a so oia d a e onlo s d es d l a g r E U J l l l . S .

R .ecuerue que ' V ; s := W y . doude .V e s pns i1 J v a M(: t!1 "3 . l' liDa c le~dee ldatum y riegaliva bacia ,abajo desde el datum; 1~bi6n V., =~ks?,quees s i e m . p r e ~p~tiri.a . ~C(l17Je.n>udon de I e , eIJagiu

Ap1ique la eGUlac iat t - Tl + VI = T 2 . + Vl.'Al : de t s rm inar bencrgitf oinetiQU, T = ~ mY.la rapidez '0 de taparti'euU ! d ebe s er m e

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1!16 CAPITULO14 Clnetica de una partitula: Trahajo y energia

'8 00 0(9 JU ) N

El portico que aparece !ola fotografia e use para. prober la respuestade un a V i o n durante un choque, Como se muesrra en laIiglllia 1ll--21a.el avlon GOD rnasa de' 8 M_ges levaatado bacia atras hasta ,que e =;::60", y Iuego el cable AC que to ha jalado se Iibera cuando el avieaesM en repo o. Determine la rapidez del avion justa ante deestrellarse contra el suelo, (j I = ]5". l .Cua t eli! la tension maxima desa-rrollada, en el cab-le de seporte durante el movimien to? Desprecie elelecto de elevaeion causado par las alas durante el movi rn le rao asicomo el romano del avion.

Datum

p.

\n

r lComo la fuerza del cable no IrafJaja sabre el avien, debe er obtenidausando la ecuacien de movimienro, Sin embargo, prirnero debemosdetermlnar Ia rapidez eel av ian en B.

" t Por eonveniencia, el da .um h a s ica establecidcen la parte superior del portico.

TA + VA =TB f VBa - 8 00 0 k g (9 ;1 31m /s f- ) (20 cos 6 0Q m~ =

~8000kg)t& - aOOO,kg (9 .81 01($2)(20 co_s-15"'m,''110 -135mfs R 1

f .' i'l Usando los datos tG,l;mj.ad0" en el dia-grama de cuerpo fibre cuando el avidn cs~i:ien B.Ilgura 14-21b. te-nemos+ , ! . . F r J ="ia,l; '(u.5m/s)2T - , SOon (9.81)Ncos 15" =8000 kg) 20m

T =149kN

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SEmON!14.6 Conservad6n de la enerqla 197

BI ernbelo R rncstrade en Ia figura 14-12a tienemasa de 100 kg Y esliberado del reposo ,0:75m desde la parte superior de: ,lID resorte Aque tiene rigidell k J l =12 kN [m. Si un segundo resorte B, con rigidezkfj =15 kN}m est~ "anidade" en A. determine el de plazamientornaxime deAitecesano para detener el raevimiento haeia abajodelembole. La longitud no alargada de cada resorte e t a indicada en lafignra, Despreeie Iamasa de Josre ortes,

L"La e~~~dll R3f, ,f'JI =~(H~ m, np representa las.l\UacI6n fisiea.Como' po ilil\l~e s me d ia l! ' h a ci a, 8 .bB .j P.e l !O ig non eg at iv o indica qu e el resorte A tendrfa , qu e. s e r

"e X[e Dc l1 ~Q " u na oa nd cJ :lid d e 0 ,1 4$ m 2 1:1 Uldele>!!;!'!', 0 1 6 1 n p o l o . ,

Solu 6n~ t, It SupOncJremos que el ~mJ;; l 'o lQl cemprime a~rlb(JS,resortes en el instante en que !le.ga al repose, HI datum pasa por el k )\ =~2centro de gravedad del embole en su posieicn inieial. figura 14- -22b .Cu an d oIs e ne rg ia c iI l(~Lica e red uce a cere ( '1 )2 ~ O),A 'e& compranidouna eli tancia SA Y B se comprime una dlstaneia sJj = If - 0.1 m,

on d ta e71+ 'V J =T2+~l Q ' , J ( ! ) = iQ + Hk:L1S~ , ~k13(5 .d - o.1f - Wh}

0+0 = 0 + {t(12000N/m) ; , -+ ~(1-000N/m)(s)\ - O.1m}~- 981 N(O.7S m + .sA) l

Reordenando los terminos,

13 50Us~ - 24815. '1 -660.75 = ,0 .o ando,laf6t1'nula cnadrauca y d spejando la ra~positiva.$tenemos

S)l =0.331 m Rip(lema S 'B =0.331 TIl - 0.1 m = , 2311l l . que ~s;post t i lVa" 1 a suposi~i6-nde q,Uleambos resortes estdn comprirnidos p'or elembolo es correcta,

kB = J5kN/m(til

\ ilS l N

Dillu:rnr9R IN

(bl

J': . \ _

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198 CAPfTUILO 14 Clnetlca de una particula: Trabajo yenerqia

Un coUar C U s o d e2 kg. rnostrade en Ia figru:a 14-23a , s e a J t t s t a co nliolguta s obTe 101flecha vertical. S i eJ reSt ' lrJ~ 110 ~St : i ruargado cuandoel COUMse enenentra en 18 posicion A, deterntine la rapidea conque el eQ Ual" se e l a I I1,pvic:mrlo euande Y '= 1 sn 51~Il)es Iiberado de lrepose en A, y (b si es JiberatiQ en A C0'n una veloCidad h o ; G i u arriba1 ) : . 4 - = 1 : m/s.

\I-C Soillci6nPaNe (a) a POl: correeniencia, el da1'UIDes e :s t'ablec id . o a tra-6s de Ali rigura 14-ZSb,.Cuando el cellar ~tli 'en Q, laeaergfaj : )o teno ia l gravitatoria es e-(mg)y. x a guo . e 1 c H U i ' es' l~ debajo deldatum, y la energia potencial !t~ es ~ / c s 2 c J 9 ' AquI . ! I " C !B - 0.5 ill, Icculli represerua el elOl 'LgamiemQ enel resorte cQrtI~ s e muestra en Iafi_gQntnme 'iddl d i 1 la ener. fa.TA + VA = Tc ~ Vc

0' + 0 = ~ m v t + f J !k s h l: - , ~ } : g A1- ., 1 "t .0o + 1 :1 = { _ a { 2 kg~tlc}+ h e S N7mHO.5m)~ - 2,9.61)

tic =4.39 m/~~(1m)}

~ste problema ta m h i6 n -p ue d ser rssuelto U 'a n d o' la e c ru a c io ll, d e roo.v iml,en (\)0 ei principia de] trabs,jo y- I a energfa. Observe CiJ,ueen esosdos me odos la variaoion de la rnagnitud y la direecion de la fuerzadel reserte debe ser tomada ep Gtuenta (vea ~I ~jemplo 13.4). Aqul,sin embargo ..el me1Qdo atj,letlOr de soluci6n e elaramente ventajosoya que los calculo$ dependen st)/a de datos calculados en 1 . pun[Q~inicial y fimtl de la tra,yeclOtm.Parr (p

1(111 de ; Si 1 .1 \ =~m{! i , mantic los datos dadosen la figura 14LJ3b, tenemestA + VA,-- X c ; + Vc

t , .nv~ + 0 = ~ni'~ + d k s ~ B - mgy )h 2 k.g)(2m/s?-O =i(2 kgJ?~ + {!(3N/iEHO,5 B ' l y ~- 2(9.8l) N(1 [TI)}

, l " b )

Observe g l L L ~lae l l e ; J ; g f a eiuttica cld collar depende s610 d e iamagoitLldde la v ~ l~ i~ 1 !.d , y por tanto no, es impcrtante si el cpIl1ar se rnuevehaci a a rt: Lba o .h a li :: ia aba Joa2 mls a t s et lib era dQ e n J r 1 .

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PROBLEMAS 199

PROBLEMAS*14-64, Resuelva el problema 1418 usando la ecnacidnde 13.conservacidn de la energia,14('.5. Resuelva elproblems 14--15 usando 1n ecnaeion"de 11:1ouservacion de IJiI energia.14-66. Res 1 1 elva e! problema 14-17 llsando hi ecuacionde la cOllllervad6tl de la energla.14-67. Resuelva el problema 14-31 usando la ecuaciend e ' l a t .~ o[ is e rv < !. ciOn d e 1 0 1 energia.+14-(~. Resuelva el problema 14-30 usando la ecuacionde la conservacion de I" energta.14-6'1. Resuelva: el problema 1..23 usando la ecuaclcnde la couservacion de 13 energfa,

v ~ 14-70, Dos resortes de iguallongitud estan "anidados"uno en el otro para fOID1ClJ un amortiguadcr. Si ~sto!estadisenado para detener el movimiento de una masa til! 2 kque se deja caer desde s =0.5 m por arriba de ios resortesdesee el repose . ., la compresion maxima de Iosresortes debe ser de 0.2 m, de termine la rigidez Ieq ueridadel resorte interne, 1 < : 8 , siel resorte externo tiene rigidezk", =400' N/rn.

Prnh, 14-10

l.i71. 1 bleque bene un peso de 1.5 lb Y se desliza a10 large-de la canaleta lisa AB. EL'hloque es liberado delrepose ell el punic A~qUl: liene eocrdenadas A(5 pies, O.10 pies). Determine ]8 rapidez, con f{!Jese desliza en B,que acne ,C'oQrclenada& 8(0,8 pies. 0) .

5piKr

s:

Pruh, 14-71

"14-71. La ni-iia tiene mass de 40 ka v - centro de mils-a'en G. Si e lla es ta o scil arrd 0 a u na a ltu .';a m ax ima d e fin ic la"pOT ~ = 60", determine Ia Iuerza dcsarrollada a 10 largode cad a uno de lo s pastes d e soporte como, el AB en elinstante () = 0", 1 cclumpie esta ubicado eentralmenteentre los postes,

I"rob. 14-"12

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2(JO CAP ITULO 14 C inetica d e una partlcula; T rabajo yenergfa

14- ., EI collar riene un peso de BIb. Si SI:! empuja baciaabajo de modo que comprima a1 resorte 2 pie-sy entoncese Iiberado del repo 0 (II = 0), determine su rapidezcuando se ha desplazadn II = 4.5 pies. EJ resorte no estaunido al collar, Desprecie la friccion.! 7J EI collar tiene un peso de 8 lb. S i es liberado del "repose a una altura de II =.1pies dosde Ia parte superiordel resorre no eomprirrrido, determine fa rapidcz del collardespues de caer . comprimir el resorte 0.3 pies.

Prul) ... 1+-7N74

1+-7~. El collar de 2 kg esta unido a . un resorre que rienelongitnd no alargada de 3 m. Sl el collar es jalado a I puntaB y Iiberado del reposo, determine 51 1 rapidez cuandoIlega al punto A.

Im1P,ruh. J:J.-75

14-76. El collar de 5 lb es llberado del repose en A yviaja a 10 largo 'de 1.

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14- ~. E l carro d e la montana rusa tiene masa de SOOkgincluyendo al pasajero.: parte de la ere ta A con rapidezVA = 3 m/s. Determine 1&altura mInima h de la erestaneeesaria para que el carro pucda recorrer los d05 lazossin epararse de Ia via, Desprecic Ia friccion, 1

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202 CApITULO 14 Cinetica de una partkula: Trabajo y energia

14-Ro1. Do re ortes de igual longi tud COD - rigidez I e . . ! , =300 rIm y kJ J =00 N Im estan "anidados' uno co n ottopam fonnar un absorbedor de cheques. Si un bloquc de1 .kg se deja caer des de una posicion en repose 0.6 rn porarriba de la parte superior de los resortes, determine sudeformacion cuando se detiene mcmcntaneamenre.

- 10.6 rnj

hob. 14-t14

14-115. EI jnegoen un parque de diversiones consta d euna gondola que es llevada a Una altura de 120 pies enA. Si la gondola es soltada del repose y C - 1 ! . e por la vfaparabolica. determine la rapidez en el instantc y = 20pies. Determine tarnbien Ia reaccion normal de los ridessabre la gondola en este instante. La gondola ye!pas ajerotienen un peso rota! de 500 lib.Desprecie 10 efcctos dela friceion }' la masa de las ruedas, .

\' = 20pje~;;

P ru h , I J. .. .8 .5

4-86 . Cuando Ia caja de 5 kg alcanza el punta A tienerapidez VA = 2 m/s. Determine ~1angulo (1 can el que lacaja deja la rampa lisa circular y ladistancia s a 1 8 quecae en el carro. Desprecie Iii Irlccion.

Frob. 14-SfI

14-87. La caja de 2 Ib 'tiene veloeidad de - pies /s cuandoempieza a resbalar bacia abajo per 1 1 1 supenicie lisa in-clinada localizadaen A. Determine el punto C (x, y)donde la caja toea el piano illd inado inferior.14-AA. La caja de 2 lb tiene velocidad de 5 picsjscuaado empieza a reshalar hacia abajo por [a uperflcielisa inelinada localizada enA. Determine su rapidez.justoantes de tocar la superficie en C 'j el iiempo que le ternaviajar de A a C. Las coordenadas del plilltO C son .Ii' =1 7.6 6 p ie s y )1 =8 .8 32 p ie s.

-P r n bs , 1 4 -- I! 71 f1 S

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l4-89. La bola de 2 kg Y tamafio inaigniflcante cs Ian-zada desde et punta A con velocidud inicial de 10 m/sbacia arriba por el plano Ii 0 inclinado, Determine Is dis-laru:i.a desde el puma C.hasta donde la bola toea la super-ficie horizontal en.D. i,Cual e su velocidad cuando toeaIs superficie?

f.5mC in

d ~Proh.I4-H9

1 4--9 U . L a bola tiene UD peso d e 1S Ib y esl: ! i Ilia a unabarra de masa iusignificante. Si es liberada del reposecuando f! = 0".determine el angulo B para el oual la fuerzade compresion eo la barra se vuelve cere.,

I

Prllb.1

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2014 CAPITULO 14 Cinetlca de una psrtlcula: Trabajo 'Y enerqla

14-94. E'] amorriguador de doble resorte se usa paradetener elungote de acero de 1500 Ib eo la plama de la-minaeion. Determine 1(1dcflexi6n maxima dc la placa Acausada pOI el Iingote i este Lagolpea con una rapidezde 8 pies I s . Desprecie la masa de resorte rodillos yplacasA y B. Considere k .l = 3aoe rrb/pie. k2 = 45 00 Ib /pie.

I.:;S pie:ifs- BPr(llt. 14-94

14l)5. S i la rna a de la Tierra es Mr. demuestre que laenengla potencial gravitatcria de un cuerpo de rna a mlocalizado a una distaneia r de'! centro de LaTierra esV f1= -GM"m/r. R ecuerd e que ta Iuerza grav itaroria q~e~ entre la Tierra y e! cuerpo es F = G(M.m /.),eeuacidn 13-1. Pam Los cdlcnlos, localice el datum en r-10 00. Pruebe tarnbien que F es una fuerzaconservativa,;,14-1Ji.. Un cohete de masa '" es disparado vertiealmen-Ie desde la superficie de 1

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R ~I'ASO DE L C AplrulO 2.05

REPAUna fu rza efectua trabajo euando experhnenta un desplezamierao a 1 . 0

largo de m lfrrea de accion, Si la fuerza 'vana con el de plazamiento, entoD.GflS f J . ~ J F ds,Grmcamente" esto representa el area b~jo el di~gr~ma F-s. Si la fue.rza es constarue, entonces,pa ra u n desplazamiento tis en I a direccion de la i fUerza U =F Iss.Un ejernplo l fpieo de este C 2 l 0 es el trabajo del peso, U'=W 1l}I,Aqnf, ~)' es el desplazamlcnto vertical. Unlit f ue rza de reserte, F = ks. depende de l elongamiemoI)compreaiou s del resorte. El t rabflojo e.s det~tltninaclo por inregracion igual a U . = }ki.

Si Ia ecnacion de movira ienao en Ia direccion ~a:ngencia].;E P t = mar; e eombinada co n Ia ecuaeidn c luernat i ra , Or ds-= V d 'U .l ;l b te l il em~s e l p1iincipio del IT abQjey la energia,

Aquf , la eaetgia, ejnetiGa l .Jpicialde Ia partloula (Tl =/1TI)f])' mas el trabajo realizad o por tod a lasfuetza~ q L W 31GtUal' lSQpre l!!l:parlitCtilacuando ella se mu eve de de su po ieidn i l1 i C c f i t l. lt a s t . a S U p 0 s i c io nfinOO(!'UJ-~' e dgual alia energla cinetica f inal de 13~particu13 (Tt =mz- . -E J principic del trabajo y la energia e util para resol'Verproblemas que implicea fueraa. velocidady des;plazamiento. En aplicaciones; el diagrarna de ouerpo libre de la partfcula debe ser trazado paraidentificar la.s fuerzas que trabajan,

~.. 't L a potencia es [a razon eo n respecto at tiempo de efectuar trabaje, Lap tencia s e def ine mediante P= dU/ a I , C I P .:= F . v . Paraaplieaeicees, la ~ ue.[za F q uee rea la porene fay u velecidad " Ifeben ser espeeiticadas. La .eficielleia representa la r .az6n de UI alida de pnten-cia a la Entrada! de potencla. Debido a las perdidas per meci0n, laceficienGia es slempre. menorque uno.

'f P I jjn a fn erz a c on se rv at iv a-e s a q:u e.U aq L1 ee fe C l(t1 ol un lr ah a jtf l in d o -p~'Odien.te de u trayectoria Dos ejemplo5 son el peso de una parrllcuJa""y1a Iuenza en ua resorte,La .f'ricei6I1es unafuerza no conservativa ya que el '~rabajo depend~de I ta lnngitud de.la.trayeetoria.E ntre mas large. es la trayecroria, m a tra:baj0 es - realizado. B l ttabajolealiZado por !IDa fuerzaconservativa depende de u pesici6n eO il re peeto a un datdm. Cuando oeste trabajo es rerenda co nrespeeto a un datum, se le denom i n a el1ergia potencial.Para nn peso, laenergfa potencial es v , g =W ; y ;y para un resone es V[! =~ ( : ( 2 .La energfa mecanicacon ta de energfa emeticsi T y energjas petenciales ,gravitatoria . y elasttca V.De acuerdo con la conservacidn de 1 3 energta, esta surna es-constante y tierra 6 1 misrno valor endos posiciones cualesquiera sobre la trayecteria. Esto eli,

Si el movirniento de la particula escausado s6j(i)por fuereas gravitatoria y , de resorte entonceesta eeuacion puede ser usada para resolver problemas que Implican desplazarmento y velocidad.

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Las velccidades de los vehkulcs lrnphcados en este -acddente pueden seres ttmad as us and o los principles d l impulso y momentum.