Cap 2 - Cinematica de La Particula - 2D

8/19/2019 Cap 2 - Cinematica de La Particula - 2D

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Movimiento en el plano

1


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2

Vector posición y desplazamientoEl vector posición r va del

punto O a la posición P de

la partícula.

El vector desplazamiento r

indica el cambio de posiciónentre dos instantes de tiempo:

12 r r r


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Ley de movimiento

3

Expresa la posición de la partícula en función del tiempo:

)(t r r

En componentes:

)(

)(

t y y

t x x

Ejemplo: Dada la ley de movimiento de una partícula

)3;( 2t t r

Hallar su posición para t = 2 s.


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Vector Velocidad

4

En componentes x e y:

La veloc idad nos indica hacia donde se mueve la

par tícu la


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Módulo y dirección de la velocidad

5

El módu lo de la

velocidad es la rapidez

En todo pun to de

la trayector ia el

vector velocidad

es tangente a latrayectoria.


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6

Vector aceleración

En componentes x e y:

El vector aceleración

apun ta hacia el interior

de la cu rva desc ri ta

por la partícu la


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Componentes tangencial y normal de la aceleración

7

aceleración tangencial (a T )

Es la componente de la

aceleración paralela a lavelocidad.

aceleración normal (a N )

Es la componente de la

aceleración perpendicular ala velocidad.


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aceleración tangencial (a T )

8

Su función es cambiar

(aumentar o disminuir) el

módulo de la velocidad

(rapidez) de la partícula.

(+) a favor de la velocidad.

() en contra de la velocidad.

(Cantidad escalar)


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aceleración normal (a N )

9

Su función es cambiar la

dirección de la velocidad

de la partícula.

(Cantidad escalar)


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Ejemplo 1

10

Los autos de carrera

por lo general frenan

al entrar en una curvay aceleran al salir de

ella.

En la curva, el auto tiene una aceleración tangencial

(que produce el cambio en su rapidez) y una aceleración

normal (que produce el cambio en su dirección)


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Ejemplo 2

11

Vectores de velocidad y aceleración para una partícula

que pasa por un punto P de una trayectoria curva con

rapidez: (a) decreciente, (b) constante y (c) creciente.

( ) ( ) ( )a b c


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Trayectoria

12

Es el camino o recorrido seguido por la partícula. La

trayectoria es el camino y por lo tanto es independiente

del tiempo.

Trayectoria


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Ejercicio 1

13

Una partícula se mueve en el plano X-Y con la

siguiente ecuación de movimiento:

donde a y b son constantes positivas, r está en metros

y t en segundos.

a) Hallar la ecuación de la trayectoria y graficarla.

b) Encontrar la velocidad y la aceleración de la partícula para todo instante.

c) Demostrar que la velocidad es perpendicular a la

aceleración en todo instante.

ˆ ˆ( ) cos( ) sen( )r t a bt i a bt j


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Solución (a)

14


Dada la ley de movimiento:

La expresamos en componentes, x e y, para eliminar el tiempo:

)(

)cos(

bt bsen y

bt a x

Elevando al cuadrado y sumando:

2222222)()(cos abt senabt a y x

222 a y x Circunferencia de radio “a”


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Solución (b)

15


Dada la ley de movimiento:

Derivando, obtenemos la velocidad:

jbt abibt abdt

r d v ˆ)cos(ˆ)(sen

Derivando, obtenemos la aceleración:

jbt senabibt abdt

vd a ˆ)(ˆ)(cos 22


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Solución (c)

16

Para todo instante se tiene que:

jbt abibt abv ˆ)cos(ˆ)(sen

jbt senabibt aba ˆ)(ˆ)(cos 22

vava

0


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Ejercicio 2

17

La ecuación de la trayectoria de una partícula es

y = x2, x 0

donde x e y están en metros. La componente de la

velocidad en el eje x es constante e igual a 2 m/s. Si para

t = 0s la partícula estaba en el origen ( x = 0 m e y = 0 m),

determinar:

a) La ley del movimiento de la partícula.

b) La velocidad y la aceleración de la partícula en

cualquier instante de tiempo.

c) El desplazamiento de la partícula entre t = 1s y t = 2s.


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Solución

18

cte22

0

)(constantem/s2

t dt xdt

dva

v

x x

x

Para t =0s, x = 0 = cte:

t x 2

De la ec. de la trayectoria:

22 4t x y

a) La ley de movimiento:

b) Velocidad y aceleración:

2m/s)8;0(dt

vd a

c) Desplazamiento:

m)12;2(12 r r r


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Ejercicio 3

19

Una partícula se mueve en el plano X-Y con la

siguiente ecuación de movimiento:

donde r está en metros y t en segundos.

a) Hallar la ecuación de la trayectoria y graficarla.

b) Para t = 1s, encontrar la componente de laaceleración paralela a la velocidad.

c) Repetir la parte b) para t = 2s.

)42;()( 2 t t t t r


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Solución (a)

20

y

x

t t y

t x

42 2

Reemplazando:

x x y 42 2

2)1(2 2 x y

Notar que x 0, ya que t 0.


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Solución (b)

21

m)42;()( 2

t t t t r

m/s)44;1(

t dt

r d

v

2m/s)4;0(dt

vd a

Para t = 1s:

m/s)0;1(v

2m/s)4;0(a

Para t = 2s:

m/s)4;1(v

2m/s)4;0(a


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Movimiento de proyectiles

22

Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da

una velocidad inicial y a continuación sigue una

trayectoria determinada por su peso.


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23

El movimiento

de un proyecti l siempre se da en

el plano vertical

que contiene al

vector velocidad

inicial


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24

g a

a

y

x

0

oo y

oo x

θ vv

θ vv

o

o

sen

cos

Proyectil lanzado desde el origen (0; 0) con una

rapidez inicial vo y un ángulo o con la horizontal.


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Ecuación de la trayectoria

25

Eje x : 0 xa

Eje y : g a x

Vector Velocidad

La trayectoria es

una parábola.


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Ejercicio 1

26

Desde una altura de 45 m una persona lanza una piedra con

una rapidez inicial de 20 m/s y un ángulo de 30º sobre la

horizontal. Determinar:

a) El tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo.

b) La rapidez de la piedra justo antes de tocar el suelo.

c) El punto de impacto de la piedra con el suelo.


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Solución (a)

27

m/s32,17º30cos20 xo

v

m/s10º30sen20 yo

v

En componentes:

a) Cálculo del tiempo:

045109,4 2 t t


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Solución (b)

28

b) Cálculo de la rapidez de impacto:

Cuando llega al suelo: t = 4,22 s

Remplazando:


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Solución (c)

29

t x 32,17

Cuando llega al suelo:

t = 4,22 s.Remplazando:


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Ejercicio 2

30

Hallar vo mínima

para que la piedra

llegue al suelo yla distancia s a la

que cae la piedra.


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Solución

31

La rapidez mínima se obtiene cuando la piedra pasa por

el punto B.Tiempo para llegar a B:

2)8,9(214 t

s9,0t

Para que pase por B:

6)9,0( o B v x


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Solución (cont.)

32

Tiempo para llegar a C:

2)8,9(

2

18 t

s28,1t

En la horizontal:

m54,8)28,1)(67,6(

C xm54,8 s


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Ejercicio 3

33

La canica mostrada en

la figura sale del punto

A con una velocidadhorizontal de 25 m/s e

impacta en el punto B

del plano inclinado.

Hallar la distancia “d”

que separa a los puntos

A y B .


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Solución

34

º35send

º35cosd

2)8,9(2

1t y

t x 25

Cuando llega al punto B:

t d 25º35cos

2)8,9(

2

1º35sen t d

Resolviendo:

m109

s57,3

d

t


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Ejercicio 4

35

Una bola de nieve rueda por

el techo de un granero y sale

de él con una rapidez de 7 m/s

y una inclinación hacia abajo

de 40º. El borde del techo está

a 14 m del suelo. Una estatua

de 1,9 m de alto está a 4 m

del granero. ¿Caerá la bola de

nieve sobre la estatua?


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Solución

36

t x )º40cos7(

Para llegar a la estatua: x = 4 m.

Reemplazando:

t )º40cos7(4 s75,0t

A qué altura estaría la bola:

2)75,0)(8,9(2

1)75,0()º407( sen y

2)8,9(2

1)º407( t t sen y

Pasa a 7,87 m del suelo.

N l á

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